Physics 137A - Important Formulas

        ⟨| ⟩ ∫ | ||     ⟨ ⟩  ⟨ ⟩    ∫  ∫              ⟨⟩ ∫   ⟨  ⟩ ⟩     ⟨ ⟩ ∫        ∫        ∫ ∫           ∫ (  )    ∫ (  )    | || ⟨⟩  ∫                  ∑                             ∑     ∑           ⟨⟩   ∫   ⟨⟩     ̃    ∫       √      ∫               √       ∫                                                                        | ||             √                ⟨| ⟩          







Dot product for overlapping a wavefunction with a state  term IS the wavefunction  The Probability of finding the particle between and at time





Standard Deviation:

is the probability density Probability that lies between

and

is:

 

Normalized probability to equal 1:

 

 Average value value of x:  

 Average value for  

:

Momentum:



 



 

 

 



 





 



Kinetic energy:



Momentum, wavelength. DeBroglie formula:



 

 



 





 







Particle energy above potential (easier to use first solution for free particles):









          ∫ |   ||                                                                                                          ∑  ∫        ∫ ∑       ∑  ∫        ∫        | ||    |||   ∑      (  )                              ∫                     ∑          





 

 

  

 



  

 



  

  







     





 

 

  



                                        ∑                           ⟨ ⟩     ⟨⟩               ||             ∫     ||  ||   √      ̂         ̂                  ( )    ( )        ( )                          Probability Flow:











Tunneling: Particle energy above potential:

Particle energy below potential:





Match the  and the region boundaries Set A=1



Fraction transmitted:

 



 

SHO:







The energy of the eigenstate is is the raising operator There must exist a lower bound  such that 











at the

 || ⟩   | ⟩  ⟨ |    ⟨ ||                   | ⟩⟩          ⃗ | ⟩                                                                               ⃗        ()     ⃗   ̂ ⃗                         ̂                                                                                                 | ⟩ | ⟩ ||⟩  ⟩        | ⟩                             | ⟩ | ⟩               |                | ⟩  || ⟩                                            ( )                    |                                  ( )       ( )                                                                 Bra-Ket Notes 













3D





  

  



  







     

 Angular Momentum Momentum





raises the eigenvalue by



General solution:



This is the solution inside

Outside is

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Stern-Gerlach

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