Lời nói đầu Hình học là một trong những ngành có lịch sử lâu đời nhất. Hình học bắt nguồn từ chính thực tiễn của con người và từng bước hoàn thiện và phát triển theo thời gian trở thành một môn khoa học suy diễn và trừu tượng. Nhà toán học người Đức Christian Felix Klein là người đầu tiên đưa ra cách phân loại hình học theo nhóm các biến đổi trong nó. Dựa vào cách phân loại này thì hình học cao cấp gồm có hình học xạ ảnh, hình học affine, hình học Euclid. Số lượng khái niệm và định lý không nhiều, nhưng qua hình học affine chúng ta có thể suy ra được các khái niệm và định lý của hình học sơ cấp và giải bài toán hình học phẳng một cách tổng quát. Sau đây em xin giới thiệu về phép biến đổi affine. Mà điển hình là phép thấu xạ.
MỤC LỤC I ) Định nghĩa II) Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ III)Tính chất của phép thấu xạ IV) Mệnh đề V) Phân loại các phép thấu xạ VI) Các dựng ảnh của một điểm qua phép thấu xạ VII) Các phép thấu xạ trong không gian affine A 2 và A 3 : VII Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ : VII. Bài tập:
1
I.)Định nghĩa: 1.) Điểm bất động Điểm M được gọi là điểm bất động của phép affine f: A → A nếu f(M) = M. Theo hệ quả của định lí về sự xác định phép affine ta suy ra: Phép affine là phép đồng nhất khi và chỉ khi nó có ba điểm bất động không thẳng hàng. Ta thấy rằng: Nếu phép affine f có hai điểm bất động phân biệt A, B thì mọi điểm nằm trên đường thẳng AB đều là điểm bất động. 2)Định nghĩa phép thấu xạ : Trong không gian affine A cho phẳng α và không gian véctơ con β (khác {0}), của A thỏa mãn A = α ⊕ β . Cho λ là một số thực khác 0. Xét ánh xạ f : A A biến M ∈ A thành f (M) xác định bởi đặt M1 = α ∩ và f (M) là điểm thỏa mãn : M1f(M) = λ M1M . Ta gọi f là phép thấu xạ với cơ sở α có phương β và hệ số λ. Phép thấu xạ với cơ sở α có phương β và hệ số λ = -1 được gọi là phép đối xứng xiên theo phương β qua phẳng α.
II.Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ Giả sử cho phép thấu xạ f có trục là đường thẳng d và hai điểm tương ứng là A và A’ = f(A), (A không thuộc d). Chọn trên d hai điểm phân biệt O và B, đặt = = , ta được mục tiêu affine . Giả sử đối với mục tiêu đó vectơ
có tọa độ = (a,
b), B(1,0), A(0,1), B’(1,0), A’(a,b) Khi đó: f(O) = O = (0,0), = = = (1, 0), = = = (a, b)
Vậy đối với mục tiêu đó, phép thấu xạ affine có biểu thức tọa độ như sau:
A
d B x A’
O 2
Chú ý rằng b ≠ 0, vì A’ không thuộc d. Nếu a = 0, b = 1, phép thấu xạ là phép đồng nhất
III)Tính chất của phép thấu xạ Giả sử cho phép thấu xạ affine f không phải là phép đồng nhất 1.Phương thấu xạ Nếu điểm M và ảnh M’ = f(M) không trùng nhau thì đường thẳng MM’ luôn có phương cố định. Phương của các đường thẳng đó gọi là phương thấu xạ. Thật vậy, giả sử M = (x, y), thì M’ = (x + ay, by). Khi đó = (ay, (b - 1)y) = y(a, b - 1). Vậy, MM’ có phương xác định bởi vectơ (a; b - 1). 2. Trục thấu xạ Hai đường thẳng tương ứng m và m’ = f(m) hoặc cùng song song với phương thấu xạ, hoặc cắt nhau tại một điểm nằm trên trục thấu xạ d. Thật vậy: Trường hợp đường thẳng m song song với trục thấu xạ d thì ảnh m’ song song với d’, vì d’ trùng với d, nên m’ cũng song song với d. Trường hợp đường thẳng m cắt trục thấu xạ d tại điểm I thì m’ cắt d’ (tức d) tại I’ = f(I) = I. Vậy m và m’ cắt nhau tại điểm I trên trục thấu xạ d 3 .Tỷ số thấu xạ Nếu M không phải là điểm bất động và đường thẳng MM’ cắt d tại điểm M0 thì (M’, M, M0) = k, trong đó k là một số không đổi khác 0 và không phụ thuộc M. Số k gọi là tỉ số thấu xạ. Chứng minh: Nếu M = (x, y) thì chọn mục tiêu affine như ở trên ta có M’ = (x + ay, by). Điểm M0 nằm trên d nên M0 = (x0, O). Ta có M, M’, M0 thẳng hàng và (M’, M, M0) = k, tức = k , hay ta có: x + ay - x0 = k(x - x0) và by = ky. Vì M không thuộc d nên y ≠ 0 và do đó k = b không phụ thuộc vào điểm M. 3
IV) Mệnh đề : Phép thấu xạ với cơ sở α có phương β và hệ số λ là một phép affinee trên A liên kết với ánh xạ tuyến tính f = p1+ λp2 trong đó p1 và p2 lần lượt là các phép chiếu từ tổng trực tiếp A = α ⊕ β lên thành phần thứ nhất α và thành phần thứ hai β f (N) f (M) N M N1 M1
Chứng minh : Với mọi (M, N € A ) , f(M)f(N) = f(M)M1 + M1N1 + N1f(N) = λ MM1 + M1N1 + λ N1N = (M1N1) + λ (MM1 + N1N) Mặt khác, ta lại có MN = M1N1 + (MM1 + N1N) Và M1N1 € α, (MM1 +NN1) € β Nên ta có M1N1 = P1(MN) và λ (MM1 + N1N) = λ P2(MN). Vậy f(M)f(N) = (p1+ λ p2)(MN)
V)Phân loại các phép thấu xạ: 1)Phép thấu xạ đơn: a)Định nghĩa : - Phép biến đổi affine được gọi là phép thấu xạ đơn nếu có một siêu phẳng α mà mọi đểm của nó đều là điểm bất động. - Siêu phẳng α được gọi là cơ sở nền hay nền thấu xạ. - Nhận xét rằng phép đồng nhất là một trường hợp đặc biệt của phép thấu xạ đơn, lúc đó siêu phẳng bất kỳ nào của A đều là cơ sở nền của phép thấu xạ. b) Định lý:
4
Nếu f là một thấu xạ đơn khác phép đồng nhất thì có duy nhất một điểm bất động O sao cho mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó ( bất biến ) nhưng nói chung không bất động ( tức là một điểm bất kỳ của đường thẳng có thể biến thành một điểm khác cũng thuộc đường thẳng đó ) điểm đó gọi là tâm thấu xạ. Nhận xét: -
Nếu tâm thấu xạ O không nằm trên nền thấu xạ α thì phép thấu xạ đơn chính là phép thấu xạ tâm O và cơ sở thấu xạ là siêu phẳng α.
-
Nếu tâm thấu xạ O thuộc siêu phẳng α thì thấu xạ f được gọi là thấu xạ đơn đặc biệt. Chứng minh:
- Giả sử f là phép thấu xạ đơn, khác phép đồng nhất và có cơ sở nền là α. Do α là siêu phẳng nên có thể chọn trong α hệ n điểm độc lập xạ ảnh là
{ A1 ,A2 ,....,A n }
và có các vectơ đại diện là e1 ,e2 ,....,e
n
. Gọi d là đường
thẳng bất kỳ không nằm trong α và cắt α tại A. Lấy A0 ∈ d và A0 ∉ α ta có A0' = f ( A0 ) và A0 , A, A0’ thẳng hàng. Ta có thể tìm được các vectơ e0 , a, e’0 là
đại diện cho A0 , A, A0’ mà e’0 = e0 + a ( điều này có thể làm được vì giả sử x, y, z là ba vectơ đại diện cho A0 , A, A0’ thì do ba điểm A0 , A, A0’ thẳng hàng nên có một vectơ biểu thị tuyến tính qua hai vécto còn lại, tức: z = mx + ny, đặt e’0 = z, e0 = mx, a = ny cũng là ba vectơ đại diện cho A0’, A0, A mà e’0 = e0 + a ). - Lấy E là điểm có vécto đại diện là e = e0 + e1 + … +en thì ta được
{ A0 ,A1 ,A2 ,....,A ,En
}
là mục tiêu của
A. Do A thuộc α nên vécto đại diện của nó biểu
thị
e1 ,e2 ,....,e
tuyến n
,
tính
qua
hệ
vécto
tức:
a = a1.e1 + a2.e2 + … + an.en , vậy A = (0 : a1 : a2 : … : an ) và 5
A’0 = A + A0 = ( 1 : a1 : a2 : … : an ). Xét E0 = A1+A2+…+An = (0:1:1:…:1) do các A1, A2,….,An bất động nên E0 bất động. Gọi φ là phép biến đổi tuyến tính liên kết với f . Do A '0 = f ( A0 ) và A1, A2, ….,An bất động, f(E0)=E0 nên ta có: ϕ ( e0 ) = k0 .e '0 = k0 . ( e0 + a1 .e1 + a2 .e2 + .... + an .en ) ϕ ( ei ) = ki .ei voi i = 1, 2,..., n
ϕ ( e1 + e2 + ... + en ) = k . ( e1 + e2 + ... + en ) Cho k = 1 , ta có :
ϕ ( e1 + e2 + ... + en ) = e1 + e2 + ... + en ⇔ ϕ ( e1 ) + ϕ ( e2 ) + ... + ϕ ( en ) = e1 + e2 + ... + en ⇔ k1.e1 + k2 .e2 + .... + kn .en = e1 + e2 + ... + en ⇒ ki = 1, ∀i = 1, n
Ma trận của f là : 0 ... k0 k .a 1 0 0 1 M = ... 0 ... ... ... ... k0 .an 0 ...
... ... ... ... 0
0 0 .. Nhận thấy O = ( k0 − 1: k0 a1 : k0 a2 :....: k0 an ) là một điểm 0 1
bất động của f. Bây giờ chứng minh một đường thẳng d bất kỳ qua O bất động. Lấy X = ( x0 : x1 : x2 :….: xn ) thuộc d và X’ = f(X) = ( k0.x0 : k0.a1.x0 + x1 : k0.a2.x0 + x2 : …. : k0.an.x0 + xn ) = X + x0.O tức là f(X) thuộc đường thẳng nối O với X ( là d ). Vậy d là đường thẳng bất động. (đpcm) Nhận xét: Vậy một phép thấu xạ nào giữ bất động một siêu phẳng thì hoặc đó là thấu xạ tâm hoặc là thấu xạ đặc biệt. 2) Phép thấu xạ cặp: a) Định nghĩa: - Trong A cho m – phẳng (α) và (n – m – 1) – phẳng (β) bù nhau, tức là Α⊕β=A α∩ β = Ø 6
ta bảo α và β là (m, n – m – 1) – cặp. - Cho f là một phép biến đổi của A , ta nói f là thấu xạ cặp ( thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp ) với (α , β) là cặp nền nếu f giữ bất động mọi điểm nằm trên α và β. Tức là: f (X
∈ , ∪ X )X= ∀
αβ
.
- Trong trường hợp m = 0 thì thấu xạ ( 0, n – 1 ) – cặp được gọi là thấu xạ tâm với tâm là α = O và cơ sở thấu xạ là siêu phẳng β. b) Định lý: Cho f là thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp nền là (α , id β) mà f ≠
Pn
K khi đó tồn tại duy nhất k ∈ sao cho ∀ ∉ X ∪αβ = ≠ thì fX'X
X
\ {0,1
(
}
)
thì đường thẳng nối X và X’ cắt α tại A và cắt β tại B đều có tỷ số kép của hàng 4 điểm (ABXX’) = k. Chứng minh: Gọi f là phép thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp nền là (α , β) với α là cái phẳng m – chiều (m < n) và β là cái phẳng (n – m – 1) – chiều bù với α và hai cái phẳng này chứa toàn những điểm kép của f. Vì dim α = m nên có thể chọn trong đó m+1 điểm độc lập xạ ảnh là A0 ,A1 ,....,A m . Vì dim β = n – m – 1 nên ta có thể
A
A ,
,...., A
+ 2 n chọn trong đó n – m điểm độc lập xạ ảnh là m +1 m . Chọn thêm một điểm E không nằm trên α và β ( điều này có thể làm được vì α và β là hai phẳng chéo nhau ) ta được một mục tiêu xạ ảnh trong Pn là R :A , 0 ,...., , ,..., A mE , + n {A } . Gọi 1 A A 1 m
{ e0 ,e1 ,....,e
,e m 1 ,..., m e +
n
} là cơ sở nền của mục tiêu R. Đối với mục
x+ == x = ... tiêu trên thì m - phẳng α có phương trình là xm +1 = m 2 n x1 ... = x còn (n – m – 1 ) – phẳng β có phương trình là x0 ===
7
0 0
m
.
Qua phép thấu xạ f các điểm thuộc α và β đều kép nên ta suy ra biểu thức tọa độ của f đối với mục tiêu đã chọn có dạng : k .x i' = px . i voi≠ p 0= vài 0,1,...m. ' =. jvoi≠ q 0=+ vàj m + 1,m 2,...n. k .x j qx Ma trận A của f có (m + 1) số p và có (n – m) số q trên đường chéo chính, các phần tử khác đều bằng 0, tức:
p 0 . A = . . . 0
0 . p. . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . p . . q . . . . 0
0 . . . . 0 q
n +1
Nếu p = q thì f là ánh xạ đồng nhất. Nếu X và X’ là hai điểm tương ứng của f ( tức là X’ = f (X) ) với X không là điểm kép của f. Giả sử X = (x0 :x1 :…:xm :xm+1 :….:xn ) vì X không thuộc β (do X không là điểm kép của f ) nên trong các số x0 ,x1 ,…,xm phải có ít nhất một số khác 0 và trong các số xm+1 ,….,xn phải có ít nhất một số khác 0 (do X không thuộc α ). Ta có X’ = (px0 :px1 :…:pxm :qxm+1 :….:qxn). Giả sử đường thẳng nối X và X’ cắt α tại A và cắt β tại B. Điểm A thuộc đường thẳng XX’ nên A có tọa độ là: X + λ .µ . ' [ A] = [X ] [ ] , mặt khác A thuộc α nên tọa độ của A thỏa phương trình của α. Giả sử a a:m 1m:....: 0 . [ A] =a[ 0a: 1 :...: ] thì am+1 =am+ 2= =....a=n +a n x .+ = . .j = 0 v+ oi j + m m 1, 2,..., n Ta có: a j =λ . Vì có ít j µqx λ = q khi đó nhất một xj ≠0 nên λ +µ .q= 0 , ta lấy µ =− 1 và
[ A] = q.[ X ] − [ X '] = [ (q − p) x0 : (q − p) x1 :....: (q − p) xm : 0 :....: 0] Tương tự đường thẳng XX’ cắt β tại B có tọa độ là
[ B ] = p.[ X ] − [ X '] = [ 0 :....: 0 : ( p − q) xm +1 : ( p − q) xm+ 2 :....: ( p − q) xn ] Do X = (x0 :x1 :…:xm :xm+1 :….:xn ) có xi ≠0 với 0≤ i ≤ m và xj ≠0 với m +1≤ j ≤ n nên
xi pxi
xj ≠ 0 do p ≠ q qx j
8
' ' Ta có: k = ( ABXX ) = ( XX AB ) =
xi xj
(q − p ) xi 0
pxi qx j
(q − p ) xi 0
:
xi xi
0 ( p − q) xj
pxi qx j
0 ( p − q) xj
=
−1 1 p : = −q p q
Và k ≠ 0 vì p và q đều khác 0; k ≠ 1 vì p ≠ q (do f khác ánh xạ đồng nhất). Vậy tỷ số kép ( ABXX ') không phụ thuộc vào điểm X. 3) Phép thấu xạ trượt Định nghĩa: Nếu tồn tại điểm A có ảnh A’ = f(A) sao cho đường thẳng AA’ song song với trục thấu xạ d, thì phép thấu xạ f được gọi là phép thấu xạ trượt Khi đó, với mọi điểm M và ảnh M’ = f(M), ta có MM’ song song với trục thấu xạ d. Ví dụ 1: Trên mặt phẳng affine cho tam giác ABC. Xác định phép affine f và tìm điểm bất động của f nếu biết f(A) = A, f(B) = C, f(C) = B. Giải: Theo trên, biết ảnh của ba điểm không thẳng A, B, C là A, C, B nên phép affine f được xác định duy nhất
A
B
M
C
Trung điểm M của BC là một điểm bất động của f. Thật vậy, nếu M’ = f(M) thì do f bảo toàn tỉ số đơn: (BCM) = (CBM’) = -1, nên M’ cũng là trung điểm của BC, vậy f(M) = M
9
Đường trung tuyến AM có A, M là hai điểm bất động nên là đường thẳng gồm toàn các điểm bất động, do đó f là một phép thấu xạ affine, trục thấu xạ là trung tuyến AM, phương thấu xạ là BC, tỉ số thấu xạ k = -1 Ví dụ 2: Phép co về một đường thẳng Định nghĩa: Trong mặt phẳng affine, cho đường thẳng d và vectơ không song song với d và một số thực k, (k ≠ 0). Ánh xạ f được gọi là phép co về đường thẳng d theo vectơ và tỉ số k nếu = k. (*), trong đó M0 là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng m đia qua điểm M, có vectơ chỉ phương . Mỗi phép co f về đường thẳng d theo vectơ và tỉ số k, (k ≠ 0) là một phép thấu xạ affine. Thực vậy, đẳng thức (*) chứng tỏ f là một song ánh. Ta chọn hệ tọa độ affine xOy, có trục hoành Ox trùng với d, trục Oy có vectơ chỉ phương . Tọa độ của các điểm M = (x, y), M’ = (x’, y’), M 0 = (x, 0), do đó từ đẳng thức (*) ta có: Với ma trận A = không suy biến vì k ≠ 0 nên đó là biểu thức tọa độ của một phép affine. Hơn nữa, đường thẳng d gồm toàn các điểm bất động và phép co là một phép thấu xạ affine trục d, tỉ số k. Đặc biệt: Nếu k = 1, ta có phép đồng nhất của mặt phẳng affine Nếu k = -1 thì f được gọi là một phép đối xứng xiên, trục là d và theo phương của vectơ
M M0
d
10
M’
VI).Các dựng ảnh của một điểm qua phép thấu xạ Từ các tính chất của phép thấu xạ ta suy ra cách dựng ảnh của một điểm bất kì. Giả sử cho phép thấu xạ f có trục d và hai điểm tương ứng A và A’ = f(A). Khi đó ảnh M’ của điểm M dựng như sau: 1. Khi AA’ không song song với d Nếu M không nằm trên AA’ thì qua A’ dựng đường thẳng m’ ảnh của đường thẳng m = AM, (m’, d và m đồng quy hoặc song song). Giao điểm của m’ với đường thẳng qua M và song song với AA’ chính là ảnh M’ của M cần dựng A
M
m' B'
M'
Còn nếu M nằm trên AA’,
d
thì ta dựng ảnh N’ của điểm N không nằm trên AA’ theo cách trên, rồi dựng ảnh M’ của điểm M (thay hai điểm
A và A’ bằng hai điểm tương ứng N và N’) 2. Khi AA’ // d (tức là f thấu xạ trượt) A'
A
- Nếu M không nằm trên AA’, gọi I là giao điểm của trục d với đường thẳng AM, thì ảnh M’ của M chính là giao điểm của đường thẳng IA’ với đường thẳng qua M và song song với AA’.
11
M
M'
d
- Nếu M nằm trên AA’ thì dễ thấy rằng M’ là điểm sao cho =
A
A
M
N'
N
J
M
I
VII) Các phép thấu xạ trong không gian affin A 2 và A 3 : 1. Trong không gian A 2 : - Thấu xạ ( 0, 1) – cặp nền là ( O ,d ) với O là một điểm và d là đường thẳng không qua O. Với mỗi điểm M ∉ d và M ≠ O đường thẳng OM cắt d tại A và nếu M’ = f(M) thì (OAMM’) = k ( với k là một số cho trước ).
12
- Thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O và có cơ sở nền là đường thẳng đi qua O. Nếu ta biết một cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) thì ảnh N’ của điểm N được xác định : +) O, N, N’ thẳng hàng. +) Đường thẳng MN cắt đường thẳng M’N’ tại một điểm nằm trên d.
2. Trong không gian A 3 : - Thấu xạ ( 0, 2 ) – cặp nền là ( O, α ) với O là một điểm, α là mặt phẳng không qua O. Với M ∉ P và M ≠ O đường thẳng OM cắt α tại A và M’ = f(M) được xác định: +) M, M’, O, A thẳng hàng. +) ( OAMM’ ) = k ( với k là một số cho trước ).
13
- Thấu xạ ( 1, 1 ) – cặp nền là ( d, d’ ) với d và d’ là 2 đường thẳng chéo nhau. Phép thấu xạ trên được gọi là phép thấu xạ song trục với trục là d và d’ . Ảnh M’ của điểm M không thuộc d và d’ được xác định: +) Đường thẳng MM’ cắt d và d’ tại hai điểm A và B. +) (ABMM’) = k ( với k là một số cho trước ).
- Thấu xạ đơn đặc biệt tâm O và có nền là mặt phẳng P chứa điểm O. Nếu biết một cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) thì ảnh N’ của điểm N được xác định : +) O, N, N’ thẳng hàng. +) Đường thẳng MN cắt M’N’ tại một điểm nằm trên P.
14
VII. Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ : Ta biết rằng mỗi phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn siêu phẳng vô tận W của P n và đều sinh ra một phép biến đổi affine trong không gian affine An = Pn \W. Sau đây, ta xét một vài trường hợp khi f là một phép thấu xạ nào đó. 1. Giả sử f là phép thấu xạ ( 0, n – 1 ) – cặp với nền là ( O, α ) và hệ số thấu xạ là k. Với mỗi điểm M không là điểm bất động (i,e) M ∉ α và M ≠ O ) ảnh của nó là M’ = f(M) được xác định sao cho (OAMM’) = k
( k≠0 và k≠1 ) trong đó A là giao điểm của đường thẳng OM với siêu phẳng α . +) Nếu chọn α là siêu phẳng vô tận và xét không gian affine An = Pn \ α thì A là điểm vô tận nên ta có tỷ số đơn
( MM ' O ) = ( MM ' OA) = ( OAMM ') = k . Như vậy: OM = k .OM ' ⇒ OM ' = f sinh ra phép vị tự tâm O tỷ số
1 . k
15
1 .OM . Vậy k
+) Nếu chọn siêu phẳng W nào đó đi qua O làm siêu phẳng vô tận thì O là điểm vô tận nên: ( AMM ') = ( OAMM ') = k . Ngoài ra các đường thẳng MM’ luôn song song với nhau ( phương l của chúng được xác định bằng phương của điểm vô tận O ). Vậy f sinh ra trên A n = Pn \W một phép thấu xạ affine có cơ sở là W, phương thấu xạ là l, tỷ số thấu xạ là k. 2. Giả sử f là phép thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O nằm trên nền α . Nếu lấy hai cặp điểm M, M’ = f(M) và N, N’ = f(N) thì MM’ và NN’ đều qua O và MN giao với M’N’ tại một điểm thuộc α . Nếu lấy α là siêu phẳng vô tận thì trong A n = Pn \W ta có: MN song song M’N’ và MM’ song song với NN’, suy ra: MM’ = NN’. Vậy f sinh ra trong A n một phép tịnh tiến. VIII. Bài tập: Bài 1: Trong A 2 cho biến đổi xạ ảnh có biểu thức tọa độ: λ x0' = x1 + x2 ' λ x1 = x0 + x2 ' λ x0 = x0 + x1
Chứng minh f là phép thấu xạ tâm. Tìm tâm, nền , tỷ số thấu xạ. Giải: Tìm các điểm kép của f: - Phương trình tìm các điểm kép của f là: λ x0 = x1 + x2 −λ x0 + x1 + x2 = 0 λ x1 = x0 + x2 ⇔ x0 − λ x1 + x2 = 0 (1) λ x = x + x x + x − λ x = 0 0 1 2 2 0 1 −λ Xét 1 1
1 −λ 1
1 λ = 2 2 1 = 0 ⇔ ( −λ + 2 ) . ( λ + 1) = 0 ⇔ λ = −1 −λ
Ta có hai giá trị riêng là λ = 2 và λ = - 1(bội 2).
16
- Với λ = 2 thay vào (1) ta được: −2 x0 + x1 + x2 = 0 x0 = 1 x0 − 2 x1 + x2 = 0 ⇔ x1 = 1 Vậy ta có điểm kép là: A = (1: 1: 1). x + x − 2x = 0 x = 1 2 0 1 2
- Với λ = -1 thay vào (1) ta được: x0 + x1 + x2 = 0 x0 + x1 + x2 = 0 ⇔ x0 + x1 + x2 = 0 Vậy tập hợp các điểm kép lập thành một đường x + x + x = 0 0 1 2
thẳng có phương trình (d ) x0 + x1 + x2 = 0 . Nhận xét A không thuộc d nên f là thấu xạ tâm A và có nền là đường thẳng (d ) x0 + x1 + x2 = 0 . Tính tỷ số thấu xạ k: Lấy B = (1: 0 : -1) thuộc d. Lấy C = A + B = (2: 1 : 0) thì f(C) = D = (1: 2: 3)
1 1 thì k = (ABCD) = 1 0
2 1 1 1 1 2 −1 1 : = : = −2 2 1 1 1 2 1 0 2
Bài 2: Trong A 2 cho mục tiêu { S0 , S1 , S2 , E} . Viết biểu thức tọa độ của phép thấu xạ f : A 2 → A 2 trong các trường hợp sau: a) f là thấu xạ tâm, có tâm là điểm S0 = (1: 0: 0), trục thấu xạ là đường thẳng
S1S2 , tỷ số thấu xạ k. b) f là thấu xạ tâm, có tâm là điểm E = (1: 1: 1), trục là đường thẳng (d ) : x0 + x1 + x2 = 0 tỷ số thấu xạ là k = 2. c) f là thấu xạ đặc biệt, có trục là đường thẳng (∆) : x0 + x1 − x2 = 0 tâm là điểm
S = (1: 0: 1), biến điểm E = (1: 1:1) thành điểm E’ = (2: 1: 2). Giải:
17
Gọi e0 , e1 , e2 , e lần lượt là các vécto đại diện cho S 0 , S1 , S2 , S và φ là phép biến đổi tuyến tính liên kết với f. a) Lấy G = S1 + S2 = (0: 1: 1) thuộc S1S2 thì E = S0 + G. Đặt E’ = f(E) thì E’ thuộc S0E tức E’ = a.S0 + b.E = (a+b : b: b) và gọi e’ là vécto đại diện cho E’. Do f là thấu xạ đơn nên (S0GEE’) = k. 1 0 Ta có: k = 0 1
1 1 1 1
1 a+b 0 b 1 b a+b : = : = 0 a + b −1 − ( a + b ) b 1 b
Chọn b = 1 thì a+b = k. Suy ra: E’ = (k: 1: 1). Ta có: f(S0)=S0 , f(S1)=S1 , f(S2)=S2 , f(E)=E’ nên suy ra: ϕ ( e0 ) = l0 .e0 , ϕ ( e1 ) = l1 .e1 , ϕ ( e2 ) = l2 .e2
ϕ ( e ) = l.e ' ⇔ ϕ (e0 + e1 + e2 ) = l. ( k .e0 + e1 + e2 )
⇔ l0 .e0 + l1.e1 + l2 .e2 = l. ( k .e0 + e1 + e2 )
Chọn l = 1 thì l0 = k , l1 = l2 =1. Suy ra ma trận của f là: k 0 0 M = 0 1 0 . 0 0 1 λ x '0 = k .x0 Biểu thức của f là: λ x '1 = x1 , λ ≠ 0 λ x ' = x 2 2
b) Lấy A = (1: 0: -1) , B = (1: 1: -2) và D =B - A = (0: 1: -1) thuộc đường thẳng d. Lấy X = E + D = (1: 2: 0) và X’ = f(X) thì X’ thuộc đường thẳng ED tức X’ = a.E+b.D = (a: a+b: a-b). Lúc đó: m=e0–e2 là vécto đại diện cho A; n=e0+e1–2e2 là vécto đại diện cho B; p=e1–e2 là vécto đại diện cho D; x=e0+2e1 là vécto đại diện cho X, x’=ae0+ (a+b)e1+(a-b)e2 là vécto đại diện cho X’. 18
Do f là phép thấu xạ tâm với tỷ số k nên: (EDXX’) = k. 1 1 Ta có: k = 0 1
1 1 a 2 1 a+b 1 b a : = : = 1 0 a −1 −a b 2 1 a+b
Chọn b = 1 thì a = k , lúc đó: X’ = (k: k+1: k-1). Ta
có:
f(A)=A,
f(B)=B,
f(E)=E,
f(X)=X’
suy
ϕ ( e0 − e2 ) = l0 . ( e0 − e2 ) ϕ (e0 ) − ϕ (e2 ) = l0 . ( e0 − e2 ) ⇔ ϕ (e0 ) + ϕ (e1 ) − 2ϕ (e2 ) = l1 . ( e0 + e1 − 2e2 ϕ ( e0 + e1 − 2e2 ) = l1 . ( e0 + e1 − 2e2 ) ϕ ( e ) = ϕ ( e0 + e1 + e2 ) = l2 . ( e0 + e1 + e2 ) ϕ (e0 ) + ϕ (e1 ) + ϕ (e2 ) = l2 . ( e0 + e1 + e2 ) l2 − l1 l2 − l1 l2 + 2l1 ϕ (e0 ) = 3 + l0 .e0 + 3 .e1 + 3 − l0 .e2 l + 2l1 l + 2l1 l − 4l1 ⇒ ϕ (e1 ) = 2 − l0 .e0 + 2 .e1 + 2 + l0 .e2 3 3 3 l2 − l1 l −l l + 2l1 .e0 + 2 1 .e1 + 2 .e2 ϕ (e2 ) = 3 3 3
ra
)
ϕ ( x) = l.x ' ⇔ ϕ ( e0 + 2e1 ) = l.[ k .e0 + ( k + 1).e1 + ( k − 1).e2 ] Cho l =1, ta có :
l −l l + 2l1 l + 2l1 l2 − l1 l + 2l1 l − 4l1 + l0 .e0 + 2 1 .e1 + 2 − l0 .e2 + 2. 2 − l0 .e0 + 2 .e1 + 2 + l0 .e2 3 3 3 3 3 3 = k .e0 + (k + 1).e1 + ( k − 1).e2 ⇔ ( l2 + l1 − l0 ) .e0 + ( l2 + l1 ) .e1 + ( l2 − 2l1 + l0 ) .e2 = k .e0 + (k + 1).e1 + (k − 1).e2
l2 + l1 − l0 = k l0 = 1 ⇒ l1 = 1 Ta có: l2 + l1 = k + 1 l − 2l + l = k − 1 l = k 1 0 2 2
19
=
Lúc đó: k −1 k +2 k −1 ϕ (e0 ) = 3 .e0 + 3 .e1 + 3 .e2 k +2 k −1 k −1 .e1 + ϕ (e1 ) = .e0 + .e2 3 3 3 k −1 k −1 k +2 .e0 + .e1 + .e2 ϕ (e2 ) = 3 3 3
Biểu thức của f là: k+2 k −1 k −1 λ x '0 = 3 .x0 + 3 .x1 + 3 .x2 k −1 k +2 k −1 .x0 + .x1 + .x2 λ x '1 = 3 3 3 k −1 k −1 k +2 λ x '2 = 3 .x0 + 3 .x1 + 3 .x2 λ x '0 = 4.x0 + x1 + x2 Thay k=2 ta có: λ x '1 = x0 + 4 x1 + x2 , λ ≠ 0 λ x ' = x + x + 4 x 0 1 2 2
c) Ta có: E = (1: 1: 1) và E’ = f(E) = (2: 1: 2), tâm là S = (1: 0: 1). Xét S0 = (1: 0: 0) thì S0 không thuộc (∆) : x0 + x1 − x2 = 0 và S0 không thuộc đường thẳng EE’ vì tọa độ của đường thẳng EE’ là:
20
a1 b1
a2 a2 : b2 b2
a0 a0 : b0 b0
a1 b1
1 1 1 1 1 1 : : = = ( 1: 0 : −1) . Tọa độ của đường 1 2 2 2 2 1
thẳng ES0 là ( 0 :1: −1) , gọi A là giao điểm của ES0 với suy ra: A = (0: 1: 1). Tọa độ của đường thẳng SS0 là: ( 0 :1: 0 ) . Tọa độ của đường thẳng AE’ là:
( 1: 2 : −2 ) , Gọi S’0 = f(S0) thì S’0 là giao điểm của SS0 với AE’ suy ra S’0 = (2: 0: 1). Lấy B = (1: 1: 2) và C = (1: -1: 0) thuộc , ta có: f(B) = B, f(C) = C, f(E) = E’, f(S0) = S’0 Tacó:
1 ϕ (e0 ) = 2 [ (l0 − l1 + 4l2 ).e0 + (−l0 − l1 + 2l2 ).e1 + (4l2 − 2l1 ).e2 ] ϕ ( e0 + e1 + 2e2 ) = l1 . ( e0 + e1 + 2e2 ) 1 ϕ e − e = l . e − e ⇒ ( 0 1) 0 ( 0 1) ϕ (e1 ) = [ (−l0 − l1 + 4l2 ).e0 + (l0 − l1 + 2l2 ).e1 + (4l2 − 2l1 ).e2 ] 2 ϕ e + e + e = l . 2 e + e + 2 e ( ) ( ) 0 1 2 2 0 1 2 ϕ (e2 ) = (l1 − 2l2 ).e0 + (l1 − l2 ).e1 + (2l1 − 2l2 ).e2 ϕ ( e0 ) = l. ( 2e0 + e2 ) cho l = 1 ta có : 1 [ (l0 − l1 + 4l2 ).e0 + (−l0 − l1 + 2l2 ).e1 + (4l2 − 2l1 ).e2 ] = 2e0 + e2 2 l0 − l1 + 4l2 = 4 l0 = 1 ⇒ −l0 − l1 + 2l2 = 0 ⇒ l1 = 1 4l − 2l = 2 l = 1 1 2 2 ϕ (e0 ) = 2.e0 + e2 Ta có: ϕ (e1 ) = e0 + e1 + e2 Vậy biểu thức của f là: ϕ (e ) = −e 0 2
21
λ x '0 = 2 x0 + x1 − x2 + x1 ,λ ≠ 0 λ x '1 = λ x ' = x + x 0 1 2
Bài 3: Chứng minh rằng trong A 2 một phép biến đổi xạ ảnh f có 3 điểm bất động thẳng hàng là một phép thấu xạ tâm hay thấu xạ đặc biệt. Giải. Gọi d là đường thẳng đi qua 3 điểm bất động thẳng hàng của f. Do f bảo toàn tỉ số kép của hàng 4 điểm; nên lấy điểm M bất kì thuộc d thì f (M) = M. Do đó, d là đường thẳng ( đóng vai trò siêu phẳng trong A 2 ) bất động đối với f. Ta xét 3 trường hợp: TH 1: Nếu không có điểm bất động nào của f nằm ngoài d thì f là phép thấu xạ đặc biệt với nền là d và tâm là một điểm nằm trên d. TH 2: Nếu có 1 điểm bất động của f nằm ngoài d thì f là phép thấu xạ tâm. TH 3: Nếu có hơn 1 điểm bất động của f nằm ngoài d thì f là phép đồng nhất. Vì lấy X bất kỳ không thuộc d và những điểm bất động ngoài d thì mọi đường thẳng qua X đều bất động nên X là điểm kép. Khi đó có thể xem f là phép thấu xạ đặc biệt hay phép thấu xạ tâm bất kì. Bài 4: Trong A 2 cho phép biến đổi xạ ảnh f có phương trình: x2 − x3 kx1 ' = + x3 kx2 ' = x1 kx ' = 2 x − 2 x + 3 x 1 2 3 3
Chứng minh rằng f là một phép thấu xạ . Xác định tâm và nền của phép thấu xạ. Giải: Phương trình tìm điểm kép của f: x2 − x3 kx1 = −kx1 + x2 − x3 = 0 + x3 ⇔ x1 − kx2 + x3 = 0 kx2 = x1 kx = 2 x − 2 x + 3 x 2 x − 2 x + (3 − k ) x = 0 1 2 3 2 3 3 1
22
(*)
−k 1 Xét 2
1 −1 −k 1 = 0 ⇔ − k 3 + 3k 2 − 3k + 1 = 0 −2 3 − k
⇔ −(k − 1)3 = 0
Do đó k = 1 là giá trị riêng duy nhất bội ba . Thay k = 1 vào (*) và giải hệ tương ứng ta được: − x1 + x2 − x3 = 0 ⇔ x1 − x2 + x3 = 0 x1 − x2 + x3 = 0 2 x − 2 x + 2 x = 0 2 3 1
Như vậy, d: x1 − x2 + x3 = 0 là đường thẳng chứa tất cả các điểm kép của f, tức là f (X) = X , ∀x ∈ d . Do đó, f là phép thấu xạ với nền thấu xạ là d (đpcm). Hơn nữa, tâm O của f phải thuộc d. Nên f là thấu xạ đặc biệt. Ta đi tìm tọa độ của tâm O. Lấy M∈ A\d (tùy ý). Khi đó OM là đường thẳng bất biến. f ( M ) = M ' ∈ OM . Suy ra O = MM ' ∩ d
Chọn M = ( 0: 0: 1 ). Thay vào phương trình của f ta được : f(M) = M’ = ( 1: -1 : -3 ) Phương trình đường thẳng MM’: x1 + x2 = 0 − 1 1 1 1 1 −1 : : = (−1:1: 2) 1 0 0 1 1 1
Khi đó: O = MM ' ∩ d =
Bài 5: Trong A 2 với mục tiêu {Ai;E} cho phép biến đổi xạ ảnh f xác định bởi: f(A1) = A3; f(A3) = A1; f(A2) = E; f(E) = A2 a) Viết phương trình của f đối với mục tiêu đã chọn b) Tìm các điểm kép của f c) Chứng minh rằng f là phép thấu xạ đối hợp
Giải. a) Viết phương trình f: Ta có :
23
A1 (1: 0 : 0) → A3 (0 : 0 :1) A2 (0 :1: 0) → E (1:1:1) A3 (0 : 0 :1) → A1 (1: 0 : 0) E (1:1:1) → A2 (0 :1: 0) ur Gọi f là AXTT liên kết của f
Gọi {e1, e2, e3}là cơ sở nền của mục tiêu đã chọn Và e = e1+ e2,+e3. Khi đó:
ur ur ur f (e1), f (e2), f (e3) lần lượt là vectơ đại diện của A3, E, A1, A2 ur f (e1 ) = k (0, 0,1) = ke3 ur Ta có f (e2 ) = g (1,1,1) = ge1 + ge2 + ge3 (*) ur f (e3 ) = h(1, 0, 0) = he1
Ta tìm k, g, h ur
ur
ur
ur
Ta có f (e) = f (e1) + f (e2) + f (e3) 0 0 1 1 ⇔ 1 = k 0 + g 1 + h 0 0 1 1 0 k = −1 ⇔ g = 1 h = −1 ur f (e1 ) = −e3 ur Từ (*) suy ra f (e2 ) = e1 + e2 + e3 ur f (e3 ) = −e1
Ma trận của f trong mục tiêu đã chọn là: 0 1 −1 M = 0 1 0 −1 1 0
Phương trình của f :
24
x1 ' 0 1 −1 x1 λ x2 ' = 0 1 0 x2 x3 ' −1 1 0 x3 x2 − x3 λ x1 ' = ⇔ λ x2 ' = x2 λ x ' = − x + x 1 2 3
b) Tìm điểm kép của f Phương trình tìm điểm kép của f : x2 − x3 λ x1 = −λ x1 + x2 − x3 = 0 x2 ⇔ (1 − λ ) x2 = 0 (**) λ x2 = λ x = − x + x − x + x − λ x = 0 1 2 3 3 1 2 −λ 1 Xét 0 1 − λ −1 1
−1 0 = λ 2 (1- λ ) - (1- λ ) −λ
Do đó các giá trị riêng là λ = 1( bội 2 ) và λ = -1 ( bội 1 ) Thay λ = 1 vào (**) và giải hệ tương ứng ta được : − x1 + x2 − x3 = 0 ⇔ x1 − x2 + x3 = 0 0 x2 = 0 − x + x − x = 0 1 2 3
Tập hợp các điểm kép của f là đường thằng d có phương trình x1 − x2 + x3 = 0
Thay λ =- 1 vào (**) và giải hệ tương úng ta được : x1 + x2 − x3 = 0 x = 0 ⇔ 2 2 x2 = 0 x1 = x3 − x + x + x = 0 1 2 3
Ta có điểm kép của f là I (1:0:1) c) Cách 1: Cho M là một điểm tùy ý trong A 2, gọi N là ảnh của M Gọi [x] là ma trận tọa độ của M [x’] là ma trận tọa độ của N
25
Theo đề bài
[x’] = M [ x]
⇔ [x] = M-1 [ x’] = M [x’] ( Vì M-1 = M )
Suy ra M là ành của N Do đó f là phép thấu xạ đối hợp. Cách 2: Ta thấy f là phép thấu xạ tâm với tâm thấu xạ là điểm I (1:0:1) và trục thấu xạ là đường thẳng d : x1 − x2 + x3 = 0 Lấy A (1:2:0 ) thì A ≠ I và A ∉ d A’ = f (A) = (2:2:1) 2 0 0 1 1 2 AA ' = : : = [2 : −1: −2] 2 1 1 2 2 2 −1 −2 −2 2 2 −1 B = AA '∩ d = : : = ( −3 : −4 : −1) −1 1 1 1 1 −1
Khi đó I ∈ AA ' Ta có
1 −3 = −4 ≠ 0 nên 0 −4
1 0 ( IBAA ') = −3 −4
1 1 2 0 : 1 −3 2 −4
2 2 2 2 = × = −1 2 −2 2 2
Do đó f có hệ số thấu xạ là -1. Nên f là phép thấu xạ đối hợp. Bài 6: Trong A 2 cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt M, M’ không thuộc d. Chứng minh rằng: a) Có một phép thấu xạ đặc biệt duy nhất f của A 2 nhận d làm nền thấu xạ và
biến M thành M’. Hãy dựng ảnh của một điểm bất kì N qua f. b) Cho tùy ý một số k khác 0. CMR có một và chỉ một phép thấu xạ tâm f của
A 2 nhận d làm nền thấu xạ, k là hễ số thấu xạ và biến thành M thành M’. Hãy dựng ảnh của một điểm bất kì N qua f. Giải :
26
a) Gọi S = MM '∩ d . Ta xây dựng một phép biến đổi xạ ảnh như sau : Lấy X ∈ A2, X ∉d,X ∉ d{M,M’} X0= MX ∩ d Xét: f : A2 A2 M M’ = f(M) d f(d)=d X f(X) = SX ∩ X0M’ + f là phép biến đổi xạ ảnh giữ bất động đường thẳng d. + Mặt khác, ∀X ∈ A2, X ∉d : X, f(X), S thẳng hàng hay f giữ bất biến mọi đường thẳng qua S. Suy ra f là phép thấu xạ đặc biệt tâm S, nền là đường thẳng d.. * Sự duy nhất : F được xây dựng như trên là duy nhất vì không phụ thuộc vào điểm X; tức là với điểm X bất kì đều cho ta cùng một kết quả xây dựng . Điểm S = MM '∩ d là xác định duy nhất. Vậy tồn tại duy nhất phép thấu xạ đặc biệt f nhận d làm nền và biến M thành M’. * Dựng ảnh của N qua f: Cách dựng: S = MM '∩ d X 0 = MN ∩ d f ( N ) = N ' = SN ∩ X 0 M '
TA được N’ là điểm cần dựng.
27
X0 Chứng minh: Ta có: X 0 ∈ d ⇒ f ( X 0 ) = X 0 Do M, N, X0 thẳng hang nên M’, f (N), X0 thẳng hàng ( Do f bảo toàn 3 điểm thẳng hàng ). Do f giữ bất biến mọi đường thẳng qua S nên N, f (N), S thẳng hàng. Vậy f ( N ) = N ' = SN ∩ X 0 M ' là điểm cần dựng. b) Ta xây dựng tương tự câu a. * Dựng ảnh của N qua f: S = MM '∩ d
Dựng A xác định duy nhất sao cho (ASMM’) = k X 0 = MN ∩ d f ( N ) = N ' = AN ∩ X 0 M '
28
X0 Bài 7: Trong A 1 cho thấu xạ cặp f với cơ sở (P,Q) có ma trận biểu diễn trong một a
b
mục tiêu nào đó là . Hãy tính hệ số thấu xạ k. c d Giải: a
b
Gọi {A0,A1,E} là mục tiêu của P1 mà trong đó ma trận của f là . c d Gọi P ( x p : y p ) , Q ( xq : yq ) ta có: f ( P ) = ( ax p + by p : cx p + dy p ) , f ( Q ) = ( axq + byq : cxq + dyq ) do P , Q bất động nên ta
có: ax p + by p xp
=
cx p + dy p axq + byq cxq + dyq xp xq ; = . Đặt α = ; β = ta được: yp xq yq yp yq
29
1 = cα + d ⇔ c.α 2 + (d − a ).α − b = 0 α . Do P và Q phân biệt nên α ≠ β. Vậy α 1 a + b = cβ + d ⇔ c.β 2 + (d − a ).β − b = 0 β a+b
và β là hai nghiệm của phương trình c.x 2 + (d − a ).x − b = 0 . xp
Gọi A’0 = f(A0) = (a:c) và do P và Q phân biệt nên xq
yp ≠0 yq
thì hệ số thấu xạ là:
k = ( PQA0 A '0 ) =
a c
xp yp
1 0
xq yq
1 0
:
a c
xp yp xq yq
a c
a − y p cx p − ay p c β − a β − c = : = = a a − yq cxq − ayq cα − a α− c c
Đặt M = α − ; N = β − ⇒ k =
N M
a a−d a −( a + d ) −2 = M + N = α + β − 2 = c c c c Ta có: 2 2 MN = αβ − a ( M + N ) + a = −b − a a − d + a = ad − bc c c2 c c c c2 c2
Ta có: 1 k . k = 1 2 −( a + d ) 2 2 c 1 N M N 2 + M 2 ( M + N )2 − 2 = a + 2bc + d k + = + = = − 2 = ad − bc k M N MN MN ad − bc 2 c
30
Vậy k và
a 2 + 2bc + d 2 1 2 là nghiệm của phương trình X − k ad − bc
X +1 = 0
Bài 8: Viết phương trình của phép thấu xạ affine (bằng cánh chọn mục tiêu sao cho đơn giản nhất) Giải: Cho mục tiêu affine (0,e1,e2,….en_), trong đó α =<(0,e1,e2,….en_> β= < em+1 , ….. en> Và O ∈ α (f là phép thấu xạ nền của α phương β tỉ số λ) F(M)=M’, M1 = α ∩ β, β là phẳng có phương β đi qua M. Ta có M β OM = OM1 + M1M ’ OM = OM1 + λM1M M M(x1,x2, ……..,xn) và M’(x’1,x’2, ……..,x’n) x' 1 =x1 ……………… ' m m ' m+1
α .
x =x x =λxm+1 ………………… ' n n
x =λx
31
M1
xO
