A. Persa Persamaa maan n Pana Panass :
Gambar 1 Batang Penghantar Panas Gambar (1) menunjukkan sebuah batang yang dapat menghantarkan panas, batang tersebut homo homoge gen n deng dengan an panj panjan ang g temperatur temperatur pada posisi
L
dan dan luas luas poto potong ngan an meli melint ntan ang g A. Bila Bila
x dan
t
u ( x , t ) adalah
dan ujung batang dipertahankan tetap nol, maka dapat
ditulis:
u ( 0, t )=u ( L , t ) =0 ; 0 ≤ x ≤ L .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(1 )
.
t =0 , maka
( x ) pada saat Jika temperatur aalnya adalah f ( u ( x , 0 )= f ( ( x ) ; 0 ≤ x≤ L .
.
.
.
.
.
.
.
.
. ( 2)
Persa Persama maan an (1) (1) meru merupak pakan an pers persam amaa aan n syar syarat at bata batass dan dan persam persamaan aan (!) (!) meru merupak pakan an persamaan syarat aal. "alah satu prinsip aliran panas adalah panas mengalir dari temperatur yang panas ke temperatur temperatur yang lebih dingin. Bila #ungsi #ungsi aliran aliran panas dide#inisikan dide#inisikan dengan
q ( x , t ) , dengan
q ( x , t ) adalah jumlah energi panas per satuan aktu yang mengalir melalui batang pada posisi x dan saat aktu
t .
$nergi masuk
$nergi keluar % energi yang di serap
∆x
Gambar ! Potongan &elintang Batang. Jika diambil potongan ke'il dari batang dengan lebar
∆ x seperti pada Gambar (!), maka
dapat ditulis
∴
$nergi masuk
¿ q ( x , t ) ∆ t
$nergi keluar
¿ q ( x + ∆ x , t + ∆ t ) ∆ t
energi masuk
¿ energi keluar +¿ energi yang diserap
q ( x ,t ) ∆ t =q ( x + ∆ x , t + ∆ t ) ∆ t +¿ energi yang diserap $nergi yang diserap adalah proporsional terhadap perubahan temperatur dikali dengan panjang potongan melintang ∆ x . $nergi yang diserap
¿ k 1 [ u ( x + ∆ x 1 , t + ∆ t ) −u ( x , t )] ∆ x
sehingga diperoleh
q ( x ,t ) ∆ t =q ( x + ∆ x ,t + ∆ t ) ∆ t + k 1 [ u ( x + ∆ x 1 ,t + ∆ t ) −u ( x ,t )] ∆ x q ( x ,t ) ∆ t −q ( x + ∆ x ,t + ∆ t ) ∆ t =k 1 [ u ( x + ∆ x 1 , t + ∆ t ) −u ( x , t ) ] ∆ x q ( x , t )−q ( x + ∆ x , t + ∆ t ) k 1 [u ( x + ∆ x 1 , t + ∆t ) −u ( x , t ) ] = ∆x ∆ t Bila lim ∆ x→ 0
∆ x→0;∆t→0 k 1 [ u ( x + ∆ x 1 , t + ∆ t )−u ( x ,t ) ] q ( x , t )−q ( x +∆ x , t + ∆t ) = lim ∆x ∆ t ∆t →0
maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
−∂ q ∂x
=k 1
∂u . ∂t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
( 3)
karena Persamaan () terdiri dari dua ariabel terikat dan juga dua ariabel bebas x dan
t , maka perlu di'ari hubungan q dan panas yaitu
u karena itu gunakan dua prinsip aliran
1. Bila ada perbedaan temperatur, maka panas mengalir dari daerah yang bertemperatur panas ke daerah yang bertemperatur lebih dingin. !. Arus panas adalah proporsional terhadap perubahan temperatur per satuan panjang. *edua prinsip tersebut se'ara matematik dapat dinyatakan sebagai berikut:
∂ u q =−α ; α > 0 . ∂x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
( 4)
substitusikan Persamaan (+) ke Persamaan () sehingga diperoleh:
−∂ ∂x
(
)
∂ u ∂u =k 1 ∂x ∂ t
−α
2
∂ u ∂u α = k 1 ∂x ∂t 2
α ∂ u ∂ u = k 1 ∂ x ∂t 2
∂u ∂ u α = ; = 0 ≤ x ≤ L , t > 0 ∂ t ∂ x k 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(¿)
dengan:
u=¿ temperatur x =¿
jarak
t =¿ aktu L=¿ panjang kaatinteral
k =¿ koe#isien di#usiitas Jadi Persamaan (-) merupakan persamaan panas satu dimensi dengan syaratsyarat yang diberikan pada Persamaan (1) dan Persamaan (!). "e'ara singkat persamaan panas diatas dapat dituliskan sebagai berikut :
2
∂u ∂ u = ; 0 ≤ x≤ L,t > 0 ∂ t ∂ x u ( 0, t )=u ( L , t ) =0 ; 0 ≤ x ≤ L u ( x , 0 )= f ( x ) ; 0 ≤ x≤ L "olusi persamaan panas dengan kondisi batasan homogen. 2
u( , ) u x t β 2 ( x , t ) t x
(1)
0
,
u( 0, t )
u( L, t )
t>0
0
(!)
t>0 u( x ,0)
f ( x )
()
0
Jaab :
( ) ( ) /engan menerapkan metode pemisahan ariabel, u x , t = XT ; X = X x , T =T (t ) maka diperoleh dua persamaan di#erensial biasa 2 ∂u dX d X ' ∂ u ( x , t ) = = X T ; = 2 = X ' ' T 2 ∂ t dt ∂x dx 2
2
dX d X = 2 atau X T ' = X ' ' T dt dx *arena 0 dan t ariabel yang terpisah antara satu dengan lainnya, maka hasil pembagian keduanya sama dengan konstanta. '
' '
T
X
β T
=
X
K
=
&aka dapat dituliskan ' T − K β T =
2a dan
'' X − KX =
2b Persamaan (2.a) dan (2.b) disebut persamaan di#erensial biasa. /engan syarat batas yang diberikan (!)
u ( 0, t )= X ( 0 ) T ( t )= 0 u ( L, t )= X ( L ) T ( t ) =0 u( x , t )
t )=0 t>0 ,maka akibatnya bila disini T( 3 untuk semua
0
. 4entu aja ini tidak diharapkan3
dengan demikian maka
X ( 0 )= 0 dan X ( L )=0
5
dengan menggabungkan syarat batas persamaan (5) dengan persamaan di#erensial untuk 6 persamaan (2b) yakni ' '
X ( x ) KX ( x )
0
X ( 0 )
X ( L )
0
3
7
&aka penyelesaiannya ditentukan oleh nilai konstanta *3 Jika * 8 3 maka penyelesaian umum persamaan (7) sebagai berikut :
1.
X ( x )=c 1 e√ K x + c 2 e−√ K x /imana nilai
C 1
C 2
dan
adalah konstanta.
dengan memasukkan syarat batas yang diketahui maka nilai konstanta dapat ditentukan sebagai berikut : 9ntuk
X ( 0 )= 0 , maka X ( 0)= c 1 e √
K ( 0)
+ c 2 e−√ Kk (0 )
0 =c 1+ c2
c 1=−c 2 ,
dengan
9ntuk X ( L )=0 , maka
X ( L )=c 1 e √ K L + c 2 e−√ K L
c1 ≠ 0
C 1
dan
C 2
0 =c 1 e √
+ c2 e−√ K L
0 =c 1 e √
+(−c 1) e−√ K L
K L
K L
dengan
c 1=−c 2
0 =c 1 ( e √ K L−e−√ K L )
0 =c 1 ( e 2 √ K L −1 )
K >0maka *arena
(e
2 √ K L
−1 ) ≠ 0 , dengan demikian c 1=−c 2=0 ,tentu aja ini bukan
suatu penyelesaian yang diharapkan. Jika * maka penyelesaian umum persamaan (7)
2.
X ( x )=c 1 + c 2 x dengan menggunakan syarat batas (!), maka
( ) 9ntuk X 0 = 0 , maka X ( 0 )= c 1+ c2 ( 0) 0 =c 1
9ntuk X ( L )=0 , maka
X ( L )=c 1 +c 2 L 0 =c 1+ c2 L 0 =0 + c 2 L 0 =c 2 L
karena
c 1=0
maka akibatnya
c 1=−c 2=0 "ehingga penyelesaian ini bukan suatu penyelesaian yang diharapkan. 3.
Jika * ; 3 maka penyelesaian umum persamaan (7) adalah
X ( x )=c 1 cos √ − K x + c 2 sin √ − K x dengan menggunakan syarat batas (!), maka
9ntuk X ( 0 )= 0 , diperoleh:
X ( 0 )= c 1 cos √ − K ( 0 )+ c 2 sin √ − K ( 0 ) 0 =c 1( 1)+ c 2 ( 0 ) 0 =c 1
9ntuk X ( L )=0 , diperoleh:
X ( L )=c 1 cos √ − K L + c 2 sin √ − K L 0
=c
1
cos √
− K L + c
2
sin √
− K L
, karena
c 1= 0
<
0 =c 2 sin √ − K L
Akibatnya
C 2 =0 ,atau
sin
−
.
−
K L =
=ilai
sin
C 2
Persamaan 7 mempunyai solusi jika sin
K L =
K L = nπ
(n
.
1, 2, 3, . . . )
dengan nadalah integer
.
√ − K L=nπ
( )
nπ K =− L
2
&aka solusi persamaan (7) menjadi X n ( x ) = C n si n − K x
X n ( x ) = C n sin (
nπ ! ) x L
n C n sin( π ) x L
X n ( x )=an sin
( ) nπx L
X n ( x , 0 )= an sin
≅
K L =
0oleh karenanya kita peroleh
−
jika hanya jika
−
atau jika Cn an
( ) nπx L
an sembarang konstanta yang tidak sama dengan nol.
>
' T − K β T =
K = −( nπ / L) !
*arena diketahui
maka Persamaan (2a) yakni T '
' ! T + β ( nπ / L) T =
T
menjadi :
= − β ( nπ / L) !
atau n = 1, !, (, . . .
untuk setiap
maka solusi umum dari persamaan di#erensial diatas adalah
! − ( / ) T n ( t ) = bn e β nπ L t
u( x , t ) = X * T
&aka solusi #ungsi u n ( x , t ) = a n sin(
n
1, 2, 3, . . .
untuk setiap
adalah
! nπ x − β ( nπ / L) t )bn e L
!
nπ x β ( π / ) u n ( x , t ) = c n e − n L t sin( ) L
1 "elanjutnya jika kita ambil n sebanyak tak hingga maka jumlah dari #ungsi di atas menjadi : u( x , t )
nπ x ( / )2 c n e β nπ L t sin( ) L n 1
11 "yarat lainnya adalah u( x , 0 ) f ( x ) . "yarat batas ini tidak dapat dipenuhi oleh bentuk persamaan (1), tapi bila solusinya dikembangkan menjadi bentuk deret, maka dapat dinyatakan : ∞ nπ x u( x ,) = ∑ c n sin( ) = f ( x ) L n =1
,
0
∞ nπ x f ( x ) = ∑ c n sin( ) L n =1
1! Perluasan seperti ini dikenal dengan deret #ourier sinus.
?ontoh : 4entukan solusi dari persamaan di#erensial parsial berikut ini :
!
∂u ∂ u =7 ∂t ∂t !
0
t>0 u( x ,) = ( sin ! x − 5 sin 2 x
0
π
u( x ,0)
3 sin 2 x 6 sin 5 x
c n sin( n 1
c n sin( n 1
nπ x ) L
nπ x ) π
c n sin nx n 1
6sedangkan lainnya sama dengan nol. /engan demikian solusi maka didapat c2 = 3dan c5 =dari persamaan diatas adalah ! ! !π x 2π x − β (2π / L) t u n ( x , t ) = c ! e − β ( !π / L) t sin( ) + c2e sin( ) L L
=
(e
=
(e
!
(!π / π ) t
−7
t
− !<
sin(
sin ! x − 5e
!π x
π
−172
) − 5e
t
!
(2π / π ) t
−7
sin(
2π x
π
)
sin 2 x
@atihan : 4entukan solusi dari persamaan di#erensial parsial berikut ini : Au At
β
=
A
2
At
u 2
0
t>0
u( x 0 ) = f ( x )
Jika diketahui
=
!
L = π
dan
sedangkan #ungsinya sebagai berikut :
f ( x ) = sin ! x $ sin # x . 2 sin "! x
1. f ( x ) = sin & x ! sin % x . sin "0 x
!.
