penyelesaian-soal-latihan-teori-grup.docx

JSL Teori GRUP

No Name

Latihan 1 1. Misalkan A = { x : x ∈ dan 3 x =9 } dan b = 3, apakah A = b

Solusi { x : x ∈ dan 3 x = 9 } A = x

A = {3 } ,

A = x { x ∈ dan x =3 } !arena

b =3

A B dan

b =3

bA

maka A ≠ b

". Manaka Manakah h himp# himp#nan nan berik# berik#$$ %an& %an& sama sama

A = x { x , y , z }

'i(

B ={ x x , y , y , x , z } C ={ x x , y , z , √ z z

2

}

Solusi A = x { x , y , z } B ={ x x , y , y , x , z } dapa$ di$#lis C ={ x x , y , z , √ z z

2

}

dapa$ di$#lis

B ={ x x , y , z }

C ={ x x , y , z }

Jadi A Jadi A = B = C 'ii(

D= x { x : x adalah huruf pada kata atik } E= x adalahhuruf pada pada kata kata takita } { x : adalahhuruf F ={ i , t , a , k }

Solusi:

D dapat ditulis D = { a,t ,i, k } E dapat ditulis ditulis D ={ t , a , k , i } F ={ i , t , a , k } )imp#nan *, +,  memiliki elemen %an& sama, -adi * = + = 

{ x , y , z } . erapa ban%ak s#bse$ dari A, dan $#liskan s#bse$ $erseb#$. 3. Misalkan A = x

Solusi Struktur Al Jabar @1@

JSL Teori GRUP

No Name

A = x A )=3 { x , y , z } n ( A n ( A A ) =2 =8 3

S#bse$/s#bse$ dari A %ai$#0

∅

{ x } , { y } , { z { x , y } , { x , x z } , x x , z } , { x , y , z }

. Un$#k Un$#k sebaran sebaran& & A dan  s#bse$ s#bse$ dari dari S, $#n-#kka $#n-#kkan0 n0 a. Jika A ∅ , maka A =∅ b. Jika A B , maka

c

B A

c

¿ 2. Jika A B , maka

B

¿ A ¿

d. Jika A B =∅ , maka A =∅ dan

B =∅

¿ e.

A

.

¿ c A {B ¿ =B

¿ ¿

c

&. Jika A B =∅ , maka

c

B A =B

h. Jika A B =∅ , maka A Bc =B c

Solusi #k$i0 'a( Jika Jika A ∅ , maka A =∅ !arena A ∅ berar$i A ∅ =∅ Sehin&&a

A , maka A =∅

∅

'b( 'b( Jika Jika A B , maka

c

B A

c

!arena A B berar$i A B= B sehin&&a

c c A B ) =B ( A

erdasarkan dalil *e4 *e 4 Mor&an, Mor&an, maka0 c c c A B ) = A B ( A

¿ Bc Struktur Al Jabar @2@

JSL Teori GRUP

No Name

A = x A )=3 { x , y , z } n ( A n ( A A ) =2 =8 3

S#bse$/s#bse$ dari A %ai$#0

∅

{ x } , { y } , { z { x , y } , { x , x z } , x x , z } , { x , y , z }

. Un$#k Un$#k sebaran sebaran& & A dan  s#bse$ s#bse$ dari dari S, $#n-#kka $#n-#kkan0 n0 a. Jika A ∅ , maka A =∅ b. Jika A B , maka

c

B A

c

¿ 2. Jika A B , maka

B

¿ A ¿

d. Jika A B =∅ , maka A =∅ dan

B =∅

¿ e.

A

.

¿ c A {B ¿ =B

¿ ¿

c

&. Jika A B =∅ , maka

c

B A =B

h. Jika A B =∅ , maka A Bc =B c

Solusi #k$i0 'a( Jika Jika A ∅ , maka A =∅ !arena A ∅ berar$i A ∅ =∅ Sehin&&a

A , maka A =∅

∅

'b( 'b( Jika Jika A B , maka

c

B A

c

!arena A B berar$i A B= B sehin&&a

c c A B ) =B ( A

erdasarkan dalil *e4 *e 4 Mor&an, Mor&an, maka0 c c c A B ) = A B ( A

¿ Bc Struktur Al Jabar @2@

JSL Teori GRUP

No Name

Ambil x ∈ B c c

c

B = A B

!arena0

c

, maka x ∈ A c

!arena x ∈ A c maka

c

B A

c

¿ '2( Jika Jika A B , maka

B

¿ A ¿

!arena A B berar$i A B = B

¿ B

'deinisi pen&#ran&an(

¿ A ¿

c ¿ ( A A B ) ( A A )

¿ ( A A B ) S

'sia$ dis$rib#$i( 'sia$ iden$i$as(

¿ ( A A B )

¿B ¿ Jadi

B

¿

A ¿ 'd( 'd( Jika Jika A B =∅ , maka A =∅ dan

B =∅

A B =∅

A B={ x : x ∈ A a$a# x ∈ B 5 !arena

∅∈

A a$a#

∅∈

B , maka A =∅ dan

¿ 'e( A

¿ ¿

#k$i

¿ A

¿ ¿

'deinisi pen&#ran&an(

Struktur Al Jabar @3@

B =∅

JSL Teori GRUP

No Name

¿ A ( Bc B ) 'assosia$i( ¿ A ∅

¿∅

'iden$i$as(

¿ c A {B ¿ =B

'(

c

#k$i0

A {B ¿ = A ( B c

c

c

c c

)

'*einisi pen&#ran&an(

¿ A c B

'h#k#m iden$i$as(

¿ B Ac ¿ ¿B

'h#k#m kom#$a$i( '*einisi pen&#ran&an(

'&( '&( Jika Jika A B =∅ , maka

c

B A =B

#k$i0

A B=∅ berar$i A − B = A a$a#

B − A =B


B − A =B berdasarkan deinisi pen&#ran&an, maka B A c =B

Jika

'h( 'h( Jika Jika A B =∅ , maka

c

B A =B

c

#k$i0

A B=∅ berar$i A − B = A a$a#

B − A =B

B − A =B maka0

Jika c

B A =B


( B Ac )c = Bc

'kesamaan(

A c c B ( ¿¿ c ) =B

')#k#m *e4mor&an(

¿

6. Jika

B A =B

c

')#k#m iden$i$as(

A B = B

c

')#k#m kom#$a$i(

g : S → T dan

#k$ikan

f : : T →  ked#an%a #n&si sa$#/sa$#.

f g : S →  -#&a #n&si sa$#/sa$#


JSL Teori GRUP

No Name

#k$i0 g #n&si #n&si sa$#/sa$# ⇔

∀ x 1 , x 2 ∈ S

f #n&si sa$#/sa$# ⇔

∀ y 1 ,

f ( ( x x 1 )= g ( x2 ) maka x 1= x 2

den&an

y 2 ∈ S den&an

f ( ( y 1 ) =g ( y 2) maka y 1= y 2

f g : S → 

pandan&

( f g ) ( x x )=f ( ( g ( x x ) ) fg (¿ ) d!ngan ( f g ) ( x x 1 ) =( f g ) ( x 2) ∀ , x1 , x2 ∈ ¿ x 1 )= f ( ( g ( x x 1) ) ( f g ) ( x

dan

maka x 1= x 2

x 2 )= f ( ( g ( x x 2) ) ( f g ) ( x

g ( x x1 ) = g ( x x 2) dan f ( ( y 1) = f ( ( y 2)

!arena

g ( x x1 ) =f ( ( g ( x x2 ) ) f ¿ ¿

Maka

x 1 )=( f g ) ( x x 2 ) ( f g ) ( x

Jadi

( f g)

7lehn%a i$#

sa$#/sa$#

g : S → T dan

8. Jika

f : : T →  ked#an%a #n&si bi-ek$i.

f g : S → -#&a #n&si bi-ek$i

#k$ikan

Solusi #k$i0 g : S → T #n&si bi-ek$i ar$in%a sa$#/sa$# dan pada

g

sa$#/sa$# ar$in%a ⇔

g

pada ⇔

f : : T → 

den&an

g ( s 1 )= g ( s 2) maka

s 1= s2

∀ t ∈ T ∃ s ∈ S ∋ g ( s ) =t

#n&si bi-ek$i ar$in%a #n&si sa$#/sa$# dan pada

f

sa$#/sa$# ar$in%a ⇔

f

pada ⇔

Pandan&

∀ s1 , s2 ∈ S

∀ t 1 , t 2 ∈ S

∀ x ∈  ∃ t ∈ T

den&an

sehin&&a

f ( ( t 1 )= f ( ( t 2) maka

f ( ( t )= x

f g : S →

( f g ) ( s )= f ( ( g ( s )) Struktur Al Jabar @5@

t 1 =t 2

JSL Teori GRUP

No Name

∀ s1 , s 2 ∈ f

g den&an

f ( g ( s1 ) ) = f ( g ( s 2 ) ) , maka0

f ( g ( s1 ) ) = f ( g ( s 2 ) ) dike$ah#i

g ( s 1 )= g ( s 2)

( f g ) ( s1 )= ( f g ) ( s 2 ) s1 =s 2 Akiba$n%a

( f g)

sa$#/sa$#

∀ x ∈ u ∃ s ∈ S ∋ ( f

g ) ( s ) = x f ( g ( s ) ) = x f ( t )= x

Akiba$n%a !arena

(f g ) pada

(f g ) sa$#/sa$# dan pada, maka (f g ) bi-ek$i.

9. *iberikan himp#nan S dan T dan f : S →T berik#$. Ten$#kan

f mana %an& mer#pakan #n&si dan -ika b#kan berikan alasan.

a. S = sem#a :ani$a, dan T = sem#a laki/laki 's( = s#ami dari S b. S = bilan&an b#la$ posi$i T = bilan&an b#la$ $ak ne&a$i, dan 's( = s ; 1 2. S = bilan&an b#la$ posi$i, T = S, dan  's(= s ; 1 d. S = bilan&an b#la$ $ak ne&a$i, T = S dan 's( = s / 1 e. S = bilan&an b#la$, T = S, dan 's( = s ; 1 . S = bilan&an real, T = S, dan 's( = √ s &. S = bilan&an real posi$i, T = S dan 's( = √ s

Solusi 'a( S = sem#a :ani$a, dan T = sem#a laki/laki 's( = s#ami dari S

f : S →T b#kan #n&si, karena ada an&&o$a di S %an& $idak p#n%a pasan&an di T.

'b( S = bilan&an b#la$ posi$i T = bilan&an b#la$ $ak ne&a$i, dan 's( = s ; 1 Struktur Al Jabar @6@

JSL Teori GRUP

No Name

f : S →T #n&si, karena ada an&&o$a di S memp#n%ai pasan&an di T.

'2( S = bilan&an b#la$ posi$i, T = S, dan  's( = s ; 1 f : S →T b#kan #n&si, karena

∀ s ∈ S ∋ f ( s ) T

'd( S = bilan&an b#la$ $ak ne&a$i, T = S dan 's( = s / 1

f : S →T b#kan #n&si, karena ∀ s ∈ S ∋ f ( s ) T

'e( S = bilan&an b#la$, T = S, dan 's( = s ; 1 f : S →T

#n&si, karena

∀ s ∈ S ∋ f ( s ) ∈ T

'( S = bilan&an real, T = S, dan 's( =

√ s

f : S →T b#kan #n&si, karena ∀ s ∈ S ∋ f ( s ) T

'&( S = bilan&an real posi$i, T = S dan 's( = √ s

f : S →T #n&si

<. Pada soal no.9, Jika dideinisikan #n&si, $en$#kan apakah #n&si $erseb#$ sa$#/sa$#, on$o, a$a# ked#a/d#an%a.

Solusi 'b( S = bilan&an b#la$ posi$i T = bilan&an b#la$ $ak ne&a$i, dan 's( = s ; 1

f : S →T #n&si #k$i

f : S 1−1 T , kar!na ∀ s1 , s 2 ∈ S den&an →

f ( s1 ) =f ( s 2) maka

f : S"nt" T , kar!na #ika ∀ t 1 ,t 2 ∈ T ada →

s 1 ∈ S sehin&&a

∴ f : S → T

i-ek$i


s 1= s2 . f ( s1 ) =t 1 .

JSL Teori GRUP

No Name

'e( S = bilan&an b#la$, T = S, dan 's( = s ; 1 f : S →T

#n&si bi-ek$i

#k$i

f : S 1−1 T , kar!na ∀ s1 , s 2 ∈ S den&an →

f ( s1 ) =f ( s 2)

f ( s1 ) =f ( s2 ) s 1−1= s 2−1 s 1−1 + 1= s 2−1 + 1

')#k#m kesamaan(

s 1 + ( −1 + 1 ) =s 2+(−1+ 1)

')#k#m kesamaan(

s 1 + 0 = s 2+ 0

')#k#m den$i$as(

s 1= s2

'#n&si sa$#/sa$#(

s 1= s2 , maka #n&si $erseb#$ sa$#/sa$#.

!arena

f : S"nt" T , kar!na #ika ∀ t 1 ,t 2 ∈ T ada → '&( S = bilan&an real posi$i, T = S dan 's( =

s 1 ∈ S sehin&&a

f ( s1 ) =t 1 .

√ s

f : S →T #n&si f : S 1−1 T , kar!na ∀ s1 , s 2 ∈ S den&an → #kan #n&si on$o karena ∴ f : S → T

>. Jika

f ( s1 ) =f ( s 2) , maka

∃ t ∈ T ∋ s S

b#kan #n&si bi-ek$i.

f : S →T #n&si sa$#/sa$# dan on$o.

#k$ikan

−1 f : T → S -#&a sa$#/sa$# a$a# ked#a/d#an%a.

Solusi #k$i0 Misalkan Maka

t ∈ T

( f f −1 ) ( t )= f ( f −1 ( t ) )

¿ f ( s0 ) ∋ t = f ( s0 ) s 0 ∈ S ∋ f ( s 0 )= f ( s )

*einisi

−1

−1

f : T → S : f ( y ) = x , ∀ y ∈ T f ( x ) = y Struktur Al Jabar @8@

√ s 1=√ s 2 , -adi s 1= s2

JSL Teori GRUP

No Name

!arena 0 pada

f ( x ) = y

−1

f ( y ) (¿)=( f . f −1 ) y = y f ¿ Jadi

−1

f : T

1−1 S "nt"

Ambil y ∈ T maka

1?. Jika

−1

f

f : S →T on$o, dan

( y )= x , ∀ y ∈ T

g : S →  dan

, karena

f ( x ) = y , maka

h : T →  sehin&&a

−1 f : T → S on$o

( g f ) =(h f )

b#k$ikan & = h.

Solusi #k$i0 −1 f : T → S -#&a sa$#/sa$# a$a# ked#a/d#an%a.

Latihan 2 1. Periksa, manakah %an& berik#$ ini memben$#k &r#p den&an operasi @ %an& dideinisikan pada G, -ika b#kan aksioma mana %an& $idak dipen#hi. Struktur Al Jabar @9@

JSL Teori GRUP

No Name

a. G = himp#nan bilan&an b#la$, a∗b = a− b ∀ a ,b ∈ $ b. G = himp#nan bilan&an b#la$,

a∗b = a + b + ab , ∀ a ,b ∈ $

2. G = himp#nan bilan&an b#la$ $ak ne&a$i, a∗b =a + b ∀ a , b ∈ $ d. G = himp#nan bilan&an rasional, a∗b = a + b + ab , ∀ a ,b ∈ $

Solusi a. G = himp#nan bilan&an b#la$, a∗b =a− b ∀ a ,b ∈ $ adalah &r#p #k$i0 'i(

Ambil

∀ a , b , c ∈$

berlak#

a∗( b∗c ) =( a∗b )∗c

a∗( b∗c )=a −( b −c )

¿ ( a −b ) − c

( a∗b )∗c =( a −b )−c ¿ a −(b + c ) !arena

a∗( b∗c ) ≠ ( a∗b )∗c ,

maka

G

=

himp#nan

a∗b =a− b ∀ a ,b ∈ $ b#kan Gr#p. b. G = himp#nan bilan&an b#la$,

a∗b =a + b + ab , ∀ a ,b ∈ $

#k$i0 'i(

Ter$#$#p, dalam ar$i

∀ a , b ,∈ $

berlak#

a∗b ∈ $ a$a#

(a + b + ab ) ∈ $ 'ii(

Assosia$i, dalam ar$i

∀ a , b , c ∈$

, berlak#

a∗( b∗c )=a∗( b + c + bc )

¿ a + ( b + c + bc )+ a (b + c + bc ) ¿ a + b + c + bc + ab + ac + abc

( a∗b )∗c =( a + b +ab )∗c ¿ ( a + b + ab ) + c + ( a + b + ab ) c ¿ ( a + b + ab ) + c + ac + bc + abc ¿ a + b + c + bc + ab + ac + abc !arena 'iii(

a∗( b∗c ) =( a∗b )∗c , maka berlak# h#k#m asosia$i.

Tidak memp#n%ai #ns#r iden$i$as, karena Struktur Al Jabar @10@

bilan&an

b#la$,

JSL Teori GRUP

No Name

a + b + ab =0

a + ab=−b a ( 1 + b)=−b

a=

−b 1 +b

!arena

( )

− b $ , maka G@ b#kan &r#p. 1+ b

2. G = himp#nan bilan&an b#la$ $ak ne&a$i, a∗b =a + b ∀ a , b ∈ $ Bukti:

'i(

Ter$#$#p, dalam ar$i

'ii(

Assosia$i, dalam ar$i

∀ a , b ,∈ $

+¿

berlak#

+¿

¿

∀ a , b , c ∈ %

¿

a + b ∈ %

, berlak#

a + ( b + c ) =a +( b + c ) 'iii(

Memp#n%ai #ns#r iden$i$as, -ika berlak# a + b =b + a= a Un$#k memen#hi kesamaan di a$as, maka b =0 ,

+¿¿

0 % , sehin&&a G $idak memp#n%ai

#ns#r iden$i$as. Maka G b#kan &r#p .

". Jika 'G,@( &r#p kom#$a$i, b#k$ikan

( a∗b )n =an bn

,

∀ n ∈ %

' Z himp#nan bilan&an b#la$(

Solusi 'G,@( &r#p kom#$a$i Adib

( ab )n =an bn

,

+¿

¿

∀ n ∈ %

'i(

Un$#k n = 1, maka

( ab )1= a1 b1=ab

'ii(

As#msikan bah:a

( ab )k =ak b k

Akan di$#n-#kkan

( ab )k +1

'pern%a$aan benar(

'benar( '-#&a benar(

( ab )k +1=( ab )k . ab Struktur Al Jabar @11@

,

JSL Teori GRUP

No Name

¿ ak b k . ab ¿ ak . a . bk b

'sia$ kom#$a$i(

¿ a( k +1) . b(k +1)

'benar(

!arena 'i( dan 'ii( dipen#hi maka dapa$ disimp#lkan

( ab )n =an bn

+¿

, berlak#

¿

∀ n ∈ %

( ab )0 =! =! 0 . ! 0= a0 b0 Jika

n ∈ % , maka

−n

( ab )n ( ( ab )−1)

( b−1 . a−1)−n

'$eorema(

( b−1 )−n ( a−1)−n −n

( a−1 )−n ( b−1 ) n

karena G kom#$a$i

n

a b

( ab )n =an bn

Sehin&&a

, $erb#k$i

∀ a , b ∈ %

3. Jika G &r#p den&an #ns#r iden$i$as e, dan a" = e,

∀ a ∈$

, b#k$ikan G kom#$a$i.

Solusi Misalkan 'G,@( &r#p berlak# a" = e Adi$ a@b = b@a = e !arena a" = e ⇒ a @ a = e ⇒ a

= a/1

)al ini berar$i 'a@b('a@b( = e ⇒ 'a@b( = 'a@b(/1 erdasarkan $eorema %an& men%a$akan -ika G &r#p dan a,b Sehin&&a0

( a∗b ) =( a∗b )−1 ( a∗b ) =b−1 .a−1 !arena

( b∗a ) =b−1∗a−1

, maka

a∗b =b∗a


G, berlak#

( a b−1 ) =b−1 . a−1

JSL Teori GRUP

No Name

Jadi -ika G &r#p dan a" = e.

∀ a ∈$

, maka G kom#$a$i.

. #k$ikan akiba$ ".1" S#a$# semi&r#p &, memben$#k &r#p -ika

∀ a , b ∈$

persamaan

ax =b dan

ay = b , masin&/

masin& memp#n%ai pen%elesaian $#n&&al di G

Solusi G s#a$# &r#p dan

a x =b selan-#$n%a akan dib#k$ikan bah:a pen%elesaian

a , b ∈ $ den&an

i$# $#n&&al. Misalkan persamaan

au =b dan

a x =b memiliki pen%elesaian u dan v maka berlak# bah:a0

a& = b karena

au =b dan

a ∈ $ dan G &r#p maka a memp#n%ai iners 'a/1( sehin&&a

a& = b .

au =a&

a

(¿¿−1) ( au ) a−1= a& ¿ aa

(¿¿−1 ) −1 u ( a a )= & ¿

'sia$ asosia$i(

u ( ! )=& ( ! )

'#ns#r iden$i$as(

u= &

'#ns#r iden$i$as(

Jadi pen%elesaian dari persamaan Selan-#$n%a akan dib#k$ikan Perha$ikan G &r#p dan sehin&&a erar$i0

a x =b adalah $#n&&al.

a y =b memp#n%ai pen%elesaian $#n&&al.

b ∈ $ den&an

a y =b , karena

b ∈ $ dan G &r#p, maka

−1

a ∈$

( a y ) a−1=b . a−1 ( a y ) a−1=b . a−1 y ( a . a

−1

)=b . a−1


−1

y =b . a Jadi

−1

b.a

-#&a mer#pakan pen%elesaian dari

y a=b

pen%elesaian dari persamaan y a=b adalah -#&a $#n&&al. Struktur Al Jabar @13@

sehin&&a den&an sendirin%a

JSL Teori GRUP

No Name

6. #k$ikan bah:a se$iap &r#p %an& palin& ban%ak empa$ an&&o$an%a selal# kom#$a$i.

8. Jika G &r#p dan a =a−1

∀ a ∈$

, b#k$ikan G kom#$a$i

Solusi #k$i0

a , b ∈ $ dan

Misalkan !arena

−1

a =a

maka

a≠b a . a= ! dan

b . b= !

a ∈$ b ∈$

ab ∈ $ sehin&&a

( ab ) ( ab )=!

g ∈$ !arena

( ab ) ( ab )=!

( ab ) =( ab )−1 (b−1= bdana−1= a)

( ab ) =b−1 . a−1 ab =ba

'$erb#k$i(

9. #k$ikan ".16

Solusi S#a$# semi &r#p G diseb#$ &r#p -ika memen#hi 'i(

! ∈ $ sehin&&a

Ada

'ii(

∀ a ∈$

ada

a! =a ∀ a ∈ $

−1 a ∈ $ sehin&&a

−1

a . a =!

Un$#k men#n-#kkan 'i( dan 'ii( maka 2#k#p di$#n-#kkan bah:a a! =a dan Perha$ikan0 'i(

Ada

'ii(

! ∈ $ sehin&&a

∀ a ∈$

Pandan&

ada

a! =a ∀ a ∈ $


( !a ) . a−1= ! (a . a−1 )

.

−1

a . a =! 'sia$ assosia$i(


−1

a . a =!

JSL Teori GRUP

No Name

¿!.!

'dari ii(

¿!

'dari i(

¿ a . a−1

'dari ii(

( !a ) . a−1= a. a−1

Jadi diperoleh

*en&an men&&#nakan $eorema '".3( Maka

!a =a .......'1(

Jadi dari 'i( dan '1( diperoleh0

a! =!a =a ∀ a ∈ $ ni berar$i

! #ns#r iden$i$as di G

Selan-#$n%a pandan&

( a−1 . a ) . a−1=a−1 ( a . a−1 )

'sia$ assosia$i(

¿ a−1 ( ! )

'dari ii(

¿ a−1

' !id!ntitas di $ (

¿ !a−1

' dari 1 (

( a−1 . a ) . a−1=! . a−1 G#nakan pen2ore$an kanan, maka akan diperoleh0 −1

a a= !

'"(

*ari 'ii( dan '"( diperoleh0 −1

∀ a ∈$ ∃a

∈$ ∋a

−1

−1

. a= a . a =!

ni berar$i sem#a an&&o$a di G memiliki iners di G ∴$

mer#pakan &r#p.

<. Misalkan 'i( 'ii(

Ada

$ ,∗¿

¿

s#a$# semi &r#p dan memen#hi

! ∈ $ sehin&&a

∀ a ∈$

ada

a! =a ∀ a ∈ $


−1

a . a =!

Un$#k men#n-#kkan 'i( dan 'ii( 2#k#p di$#n-#kkan a . ! =a dan Sekaran& perha$ikan0 'i(

Ada

! ∈ $ sehin&&a

a! =a ∀ a ∈ $


−1

a . a= !

JSL Teori GRUP

No Name

∀ a ∈$

'ii( Pandan&


ada

a ∗( a∗ ! ) =( a ∗a )∗! −1

Jadi diperoleh

−1

a . a =!

−1


¿ !∗!

'dari ii(

¿!

'dari i(

¿ a−1∗!

'dari ii(

−1

−1

a ∗( a∗ ! ) =a ∗a

*en&an melak#kan pen2ore$an kiri diperoleh0

a∗! =a ..... '1( Jadi dari 'i( dan '1( diperoleh0 !∗a =a∗! = a ∀ a ∈ $

! #ns#r iden$i$as

ni berar$i

Selan-#$n%a pandan&

a ∗( a∗a −1

)= ( a−1∗a ) a−1

−1

¿ ! . a−1

'Assosia$i( 'dari 'ii(

¿ a−1 ( ! id!ntitas di$ )

¿ a−1∗!

'dari 1(

*en&an men&&#nakan pen2ore$an kiri diperoleh0 −1 a∗a = ! ..... '"(

*ari 'ii( dan '"( diperoleh0 −1

∀ a ∈$ ,∃ a

∈$∋ a

−1

∗a= a∗a−1=!

ni berar$i se$iap an&&o$a di G memp#n%ai iners di G, oleh karena i$# G &r#p.

>. S#a$# B#asi &r#p %an& assosia$i adalah &r#p. 1?. Len&kapi Teorema ".1> ners kiri dari s#a$# &r#p -#&a mer#pakan iners

Solusi #k$i0 Misalkan G &r#p dan e iden$i$as di G Struktur Al Jabar @16@

JSL Teori GRUP

No Name

a ∈ $ sebaran& dan misalkan

Ambil

−1 a ∈ $ iners kiri dari a.

−1

a . a =!

Jadi

Masih perl# di$#n-#kkan bah:a

−1

a . a =!

Misalkan G &r#p dan e iden$i$as kiri G ! . a =a ............... '1( !arena se$iap &r#p memiliki iners kiri maka #n$#k

−1

a ∈$ , ∃a ∈$

Sehin&&a0 −1 a . a= ! ............... '"(

*ari persamaan '1( dan '"( diperoleh0

a (¿¿ −1 . a ) . a=( a. a−1) . a =! . a

¿

G#nakan h#k#m pen2ore$an, maka diperoleh0

a (¿¿ −1 . a ) . a=! . a

¿

a (¿¿ −1 . a )= !

¿

−1

Jadi

a

mer#pakan iners kanan.

11. #k$ikan akiba$ "."? i( den$i$as kanan s#a$# &r#p -#&a mer#pakan iden$i$as kiri. ii( ners kanan s#ar# an&&o$a &r#p -#&a mer#pakan iners kiri dari an&o$a $erseb#$.

Solusi #k$i0 i(

Misalkan G &r#p dan e iden$i$as kanan di G ∀ a ∈ $ berlak#

a! =a ..'1(

!arena se$iap &r#p %an& memp#n%ai iden$i$as kanan J#&a memp#n%ai iners kanan, maka ∀ a ∈ $ ∃ a−1 ∈ $ sehin&&a *ari persamaan '1( dan '"( diperoleh0

( ! . a ) a−1 =! ( a . a−1)

Sia$ Asosia$i

¿!! . Struktur Al Jabar @17@

−1 a . a = ! .... '"(

JSL Teori GRUP

No Name

¿ a a−1 *en&an men&&#nakan h#k#m pen2ore$an kanan diperoleh0 ! . a . a ∀ a ∈$ Jadi e mer#pakan iden$i$as kiri.

ii(

Misalkan G &r#p dan e iden$i$as kanan di G Maka berlak#0

a! =a ..'1( !arena se$iap &r#p %an& memiliki iden$i$as kanan -#&a memiliki iners kanan, maka −1 a ∈ $ ∃ a ∈ $ sehin&&a0 −1 a . a = ! .... '"(

*ari persamaan '1( dan '"( diperoleh0

a (a . a

) =a . ! −1 a ( a . a ) =a . ! −1

*en&an men&&#nakan h#k#m pen2ore$an kiri diperoleh0 −1

a . a= ! Jadi e mer#pakan iners kiri.

1". Misalkan G &r#p,

( ab )3 =a3 b3

dan

( ab )5 =a5 b5 ∀ a ,b ∈ $

Solusi #k$i0 3

3

3

! ( ab ) =a b ∀ a , b ∈ $ Maka

( ab )3 =ab.ab.ab= a3 b3 ¿ aaa.bbb ¿ a−1 ( ab.ab.ab ) b−1

¿ a−1 ( aaa.bbb ) b−1 ¿ b . a b . a= aa.bb ¿ ab.ab =aa.bb Struktur Al Jabar @18@

b#k$ikan bah:a G kom#$a$i.

JSL Teori GRUP

No Name

¿ a4 .ababb−1 =a4 .aa.bbb−1 ¿ ba= ab ba= ab maka G &r#p kom#$a$i

!arena 5

5

5

! . ( ab ) =a b ∀ a , b ∈ $

( ab )5 =ab.ab.ab.ab.ab =a 5 b 5

Maka

¿ ab.ab.ab.ab.ab = aaaaa.bbbbb ¿ a−1 ( ab.ab.ab.ab.ab ) b−1=a−1 .aaaaa.bbbbb.b −1 ¿ b−1 b.ab.ab.ab.aa −1=a−1 aaaa. bbbb b−1 ¿ ab.ab.ab= aaa.bbb ¿ a b3 =aaa.bbb ¿ ( ab )3= a3 b3 erdasarkan b#k$i ba&ian per$ama maka dapa$ dika$akan G mer#pakan &r#p kom#$a$i.

13. Misalkan A ' =

{(

)

−sin ' ( ' ∈

cos ' sin '

cos '

#k$ikan A ' den&an operasi perkalian ma$riks memben$#k &r#p. Apakah kom#$a$i

Solusi 1(

' −sin ' . sin ¿=cos 2 ' + sin2 ' =1 cos . ' . cos . ' −¿ erar$i

2

2

cos ' + sin ' ≠ 0

"(

A ' $er$#$#p.

3(

A ' memiliki sia$ assosia$i 'operasi perkalian pada ma$riks M"" selal# asosia$i

(

A ' memp#n%ai iden$i$as %ai$#0

( 6(

cos ' sin '

)

−sin ' ( ' =0 cos '

A ' memp#n%ai iners kanan cos 2 ' + sin2 ' ≠ 0 berdasarkan $eorema pada ma$riks. !arena memen#hi sia$ &r#p maka A ' &r#p kom#$a$i

A ' adalah &r#p kom#$a$i Struktur Al Jabar @19@

JSL Teori GRUP

No Name

A ' ∈ $= { a + b √ 2 (' ,b ∈ ) } #k$ikan G &r#p $erhadap operasi pen-#mlahan, Apakah G

1. Misalkan kom#$a$i #k$i0 'i(

p a = ∈ $ dan *

Misalkan

x b= ∈ $ y

p x a + b √ 2= + √ 2 * y

¿ 'ii(

Jadi

py + x* √ 2 *y

a + b √ 2 ∈ $

Assosia$i dipen#hi

( a + b √ 2 ) + != ( a ) + ( b √ 2 +! ) ∀ a , b ∈ $ 0 ∈ $ 0 + a=a + 0= a 3

'iii(

! =0 =

'i(

p − p ∈ ∋ a + ( −a ) =−a +a =! a = , g ≠ 0 ∃−a = * * Jadi G adalah &r#p. G &r#p kom#$a$i karena

a + b √ 2= b √ 2 + a

p x x p + √ 2= √ 2+ * y y * py + x √ 2 xy √ 2 + py = *y *y

19. Misalkan + =

{( )

a b : ( ad −bc ) ≠ 0 ( a , b , c , d ∈ } c d

#k$ikan M den&an perkalian ma$riks memben$#k &r#p, Apakah M kom#$a$i

Solusi #k$i0 '1( M $er$#$#p Struktur Al Jabar @20@

JSL Teori GRUP

No Name

'"( M memiliki sia$ Assosia$i '3( M memp#n%ai iden$i$as %ai$#0

[ ]

1 0 , ∀ ai# ∈ , 0 1

'( M memiliki iners

ad −bc ≠ 0 , maka men#r#$ $eorema dalam ma$riks M memp#n%ai iners. *en&an

!arena

demikian $erb#k$i bah:a G &r#p. ∀ ai# ∈

M b#kan &r#p kom#$a$i karena

, $idak berlak# A

≠ BA

C 1<. Misalkan

¿

a \{1 } den&an operasi @ %an& dideinisikan a∗b = a + b −ab , ∀ a , b ∈ ) } . ∀ a , b ∈ ) \{ 1 },∗¿

Apakah

, memben$#k &r#p

Solusi *ike$ah#i

¿ ) }

¿

∀ a , b ∈ ) }

, dimana a@b = a D b ; ab

¿ ) } &r#p

Adi$0 #k$i0

'1( a @ b = a D b ; ab

¿

karena se$iap dioperasikan maka hasiln%a elemen ) } '"( a @ b = a D b ; ab Asosia$i Misalkan

p a= , *

x b= . y

a∗b asosia$i karena

(

)( )

p x px p x px + − = + − * y *y * y *y p ( y − xy ) + * x 2

⇒

*y

2

)al ini berar$i

2

p ( y − xy ) + * x 2

=

*y

2

2

( a + b )−ab =a + ( b− ab )

'3( Memp#n%ai #ns#r iden$i$as, %ai$#0 a∗b =a + b −ab Struktur Al Jabar @21@

JSL Teori GRUP

No Name

a + b −ab =0 a ( 1 −b ) + b = 0 a ( 1−b ) =−b a=

−b ( 1 −b )

b≠1

¿

berlak# ∀ a , b ∈ ) } , ∴ ) \{1

a=

− b 1 −b

} memiliki #ns#r iden$i$as ∴ ) \{1

*en&an demikian

} -#&a memiliki iners karena sia$ &r#p $erpen#hi )¿ } &r#p.

Latihan 3 16. erikan d#a 2on$oh $ak hin&&a %an& periodik.

Solusi e. E = himp#nan bilan&an b#la$, $erhadap operasi pen-#mlahan. E mer#pakan s#a$# &r#p $ak hin&&a, karena0 'i( 'ii( 'iii( 'i(

Ter$#$#p pada operasi pen-#mlahan ∀ a , b , c ∈ %

berlak#

( a +b )+ c =a +( b + c )

Memiliki #ns#r iden$i$as %ai$# −1

∀ a ∈ % ∃ a

*en&an demikian

0 ∈ % berlak#

0 + a =a + 0= a

∈ % ∋ a + ( −a )=!

% , +¿

¿

&r#p. Gr#p ini dapa$ dipandan& seba&ai &r#p siklik den&an

&enera$or 1 dan /1, se$iap bilan&an b#la$ n dapa$ din%a$akan seba&ai -#mlah n s#k# %an& sem#an%a 1 dan /1. Misaln%a 3 = 1 D 1 D 1 a$a# /3 = /1 D '/1( D '/1( Sem#a #ns#rFelemen di Z memiliki $in&ka$ den&an n = ? sehin&&a an =! *en&an demikian ' % , +¿ mer#pakan &r#p periodik $ak hin&&a. Struktur Al Jabar @22@

JSL Teori GRUP

No Name

18. erikan 2on$oh &r#p siklik dan $en$#kan masin&/masin& &enera$orn%a.

Solusi a. G = ?, 1, ", 3, , 6, 85 'G, D8( G mer#pakan &r#p siklik den&an &enera$or 1 a$a# 6 sebab 1" = " H "

G

16 = 6 H 6

G

13 = 3 H 3

G

18 = ? H ?

G

1 =  H 

G

19 = 1 H 1

G

6" =  H 

G

66 = 6 H 6

G

63 = 3 H 3

G

68 = ? H ?

G

6 = " H "

G

69 = 6 H 6

G

dan

b. G = ?, 1, ", 3, , 6, 8,9,<5 'G, I>( G mer#pakan &r#p siklik den&an &enera$or " sebab "1 = " H "

G

" = 9 H 9

G

"" =  H 

G

"6 = 6 H 6

G

"3 = < H <

G

"8 = 1 H 1

G

19. #k$ikan bah:a bilan&an b#la$ den&an operasi pen-#mlahan mer#pakan &r#p siklik

Solusi 'E,@( memben$#k s#a$# &r#p Struktur Al Jabar @23@

JSL Teori GRUP

No Name

Akan di$#n-#kkan bah:a 'E,D( mer#pakan &r#p siklik 'E,@( mer#pakan &r#p siklik -ika dan han%a -ika $erdapa$ a ∈ % sehin&&a se$iap an&&o$a dari E dapa$ diben$#k oleh a. Pilih a = 1 a$a# a = /1 !arena 1 dan /1 dapa$ memben$#k sem#a an&&o$a di G maka 1 dan /1 mer#pakan &enera$or. *en&an demikian 'E,D( mer#pakan &r#p siklik. $ =¿ 1 >¿ &r#p sikli dan

1<. Misalkan

t ( a ) = n . #k$ikan bah:a



a

&enera$or dari G #n$#k

1 -  - n , -ika dan han%a -ika m dan n rela$i prima

Solusi #k$i0 Un$#k memb#k$ikan bah:a ∃t



a

&enera$or dari G #n$#k

1-  - n

⇔

(  ,n )=1

,r ∈ B ∋ t + nr =1 .

Per$ama akan di$#n-#kkan bah:a 'm,n( = 1 !arena a &enera$or dari G dan $ 'a( = n n a =! , karena

Maka



a

&enera$or dari G dan

a ∈ $ , maka0

 t

a =( a

)

a =( a

) .!

 t

 t

a =( a

) . ( an )r

n

a =a . a

nr

t +nr

a =a

............. '1(

*ari persamaan '1( diperoleh -ika

(  ,n )=1

, maka

∃t

t + nr =1 , karena

,r ∈ B ∋ t + nr =1 sehin&&a0

t +nr

a =a

t

a =a a

nr

a =( a

) . ( an )t

a =( a

) .!

 t  t

 t

a =( a

t + nr =1 , maka

)


(  ,n )=1

sebalikn%a

JSL Teori GRUP

No Name

!esamaan $erakhir ini men%a$akan bah:a a dapa$ din%a$akan seba&ai perpan&ka$an b#la$ dari 

a

dan karena a seba&ai &enera$or dari G, maka se$iap elemen G dapa$ din%a$akan seba&ai 

perpan&ka$an b#la$ dari

a

, ini berar$i



a

adalah &enera$or dari G.

8. #k$ikan bah:a -ika G &r#p $erhin&&a berorde n dan ada

a ∈ $ den&an

t ( a ) =n , maka G

siklik.

Solusi G s#a$# &r#p dan

a x =b selan-#$n%a akan dib#k$ikan bah:a pen%elesaian

a , b ∈ $ den&an

i$# $#n&&al. Misalkan persamaan au =b dan

a x =b memiliki pen%elesaian u dan v maka berlak# bah:a0

a& = b karena

au =b dan

a ∈ $ dan G &r#p maka a memp#n%ai iners 'a/1( sehin&&a

a& = b .

au =a& a

(¿¿−1) ( au ) a−1= a& ¿ aa

(¿¿−1 ) −1 u ( a a )= & ¿


u ( ! )=& ( ! )

'#ns#r iden$i$as(

u= &

'#ns#r iden$i$as(

Jadi pen%elesaian dari persamaan Selan-#$n%a akan dib#k$ikan Perha$ikan G &r#p dan sehin&&a erar$i0

a x =b adalah $#n&&al.

a y =b memp#n%ai pen%elesaian $#n&&al.

b ∈ $ den&an

a y =b , karena

( a y ) a−1=b . a−1 ( a y ) a−1=b . a−1 y ( a . a

−1

)=b . a−1


−1

y =b . a


b ∈ $ dan G &r#p, maka

−1

a ∈$

JSL Teori GRUP

No Name −1

Jadi

-#&a mer#pakan pen%elesaian dari

b.a

y a=b

sehin&&a den&an sendirin%a

pen%elesaian dari persamaan y a=b adalah -#&a $#n&&al.

1>. #k$ikan bah:a se$iap &r#p %an& palin& ban%ak empa$ an&&o$an%a selal# kom#$a$i.

Solusi Misalkan $in&ka$ dari a adalah m !arena t 'a( = m, maka m mer#pakan bilan&an b#la$ posi$i $erke2il sedemikian hin&&a 2 3  a , a , a ,  a = ! dimana0

Pandan& 2

 a =! .



3

a, a ,a ,a ϵ$ i

#

a ≠ a ∀i ≠ #( 1 - i - 

Misalkan

1- # - 

Selan-#$n%a andaikan

a = a ( a )( a i

#

i

#

i

#

a ≠a

dimana

i > # ' 1 - # - i -  ¿

)− =! 1

i

− #

i − #

=!

a . a =! a )al ini $idak m#n&kin karena i

∴a

#

dan

≠ a (1 - i - n

Sehin&&a

2

3

n

a,a ,a ,a

i − # <  sedan&, m bilan&an b#la$ $erke2il sehin&&a

 a =! .

1- # - n

berbeda

)al ini men#-#kkan bah:a ban%akn%a an&&o$a di G %an& berbeda sama den&an $in&ka$ dari a a$a# 7 'G( = $'a( = n.

"?. #k$ikan bah:a -ika G &r#p $erhin&&a berorde n dan ada

aϵ$ den&an $'a( = n, maka G siklik.

Solusi #k$i0 Misalkan G &r#p $erhin&&a dan

aϵ$ den&an t 'a( = n %ai$#

" ( $ )= n 2 3 n n a =! , diben$#k A ={a , a , a ,  a = ! } . +lemen/elemen dari

A $idak ada %an& sama sebab -ika ada %an& sama, Misaln%a at =a r den&an t − r

a

= ! den&an Struktur Al Jabar @26@

0 < r < t < n maka

JSL Teori GRUP

No Name

0 < t −r < n , maka

t −r

a

= ! den&an 0 < t −r < n . )al ini $idak m#n&kin, karena $'a( = n %ai$#

n s#a$# bilan&an b#la$ posi$i $erke2il sedemikian hin&&a

n a =! , maka

t ( A ) =n , karena A s#b

&r#p dari G dan 7'G( = n, maka G = A. A adalah s#a$# &r#p siklik den&an &enera$or a, maka demikian p#la G.

"1. erapa ban%akkah &enera$or %an& $erdapa$ pada &r#p siklik berorde 1?

Solusi Un$#k men2ari ban%akn%a &enera$or maka dapa$ di&#nakan $eorema pada soal no. , !arena &r#p siklik memp#n%ai orde 1? dan bilan&an b#la$ posi$i memp#n%ai orde 1? dan bilan&an b#la$ posi$i %an& k#ran& dari 1? dan salin& prima den&an 1? adalah 1, 3, 9, >, maka &enera$or/ &enera$or dari &r#p Siklik %an& berorde 1? adalah a1 , a3 , a7 , a9 ban%akn%a &enera$or adalah .

"". #k$ikan Akiba$ 3.9 Jika &r#p G aperiodik a$a# 2amp#ran, maka G mer#pakan &r#p $ak hin&&a.

Solusi #k$i0 $ϵ $ sebaran& den&an a ≠ !

Ambil

Pandan&

2

3

k

a,a ,a ,a .

an&&o$a G %an& $ak $erhin&&a, maka an&&o$a

berbeda. Selan-#$n%a andaikan ada an&&o$a G %an& sama !a$akan

k

t

a =a

dimana

t > k maka0

a −1

(¿¿ k ) ( ak ) t k −1 a ( a ) =¿ t

−k

t

−k

k

−k

a a =a a a a =! t − k

a

=! Struktur Al Jabar @27@

2

3

k

a,a , a ,a .

JSL Teori GRUP

No Name

!arena $  k, maka $ ; k , sebab $ ; k = n, n mer#pakan bilan&an b#la$ posi$i sehin&&a a =! . )al ini $idak m#n&kin karena g r#p G aperiodik %an& ar$in%a $idak ada n ?, sehin&&a an = e a$a#

{nϵ/ , an =! }=0 2

Akiba$

3

a,a ,a

.... sem#a an&&o$an%a berbeda. *en&an demikian an&&o$a $erseb#$ $ak $erhin&&a.

"3. #k$ikan $eorema 3.> Jika a s#a$# an&&o$a &r#p G den&an $'a( = n dan e #ns#r iden$i$as di G0 ak =! k kelipa$an dari n.

Solusi #k$i0

aϵ$ sebaran& den&an a ≠ !

Ambil

Akan di$#n-#kkan bah:a #n$#k se$iap bilan&an b#la$ %an& mer#pakan kelipa$an dari n akan sama den&an salah sa$# an&&o$a di 'i(. Misalkan kelipa$an dari n

k

a

sebaran& bilan&an berpan&ka$ dari a dimana k

∀ kϵ%

erdasarkan Al&ori$ma pemba&ian0 ∀ k , nϵ% ∃ k =n* + r ( 0 - r - n

Jadi

n* + r

k

a =a

¿ an* ar a =( a k

n *

)

a

r

¿ a* a r 'karena an = e( ¿ ! ar k

r

a =a

!arena

0 - r - n , maka

r

a

salah sa$# an&&o$a di 'i(, sedan&

k

r

a =a

berar$i

k

a

-#&a

mer#pakan salah sa$# an&&o$a di 'i(, !arena ak an&&o$a di 'i( maka ak = e.

". Misalkan

$ ={ 1,− 1, i ,−i }

i bilan&an ima&iner, $#n-#kkan 'G, I( memben$#k &r#p. Apakah G

-#&a siklik


JSL Teori GRUP

No Name

K

1

/1

i

/i

1

1

/1

i

/i

/1

/1

i

/i

i

i

i

/i

i

1

/i

/i

i

1

/1

Tabel di a$as men#n-#kkan bah:a i(

( $ , x ) $er$#$#p

ii(

( $ , x ) Asosia$i 'operasi dari sem#a $ransormasi selal# asosia$i(

iii(

Ada #ns#r iden$i$as di G, %ai$# 1 karena dari $abel $erliha$ bah:a0 1I1=1 1 I '/1( = /1 1Ii=i 1 I '/i( = /i

i(

Se$iap an&&o$a di G %ai$#

{1,−1, i ,−i } memp#n%ai iners %ai$# 1, /1, i, /i

Memp#n%ai iners %ai$# 1, /1, i, /i !arena 1I1=1 /1 I '/1( = 1 i I '/i( = 1 /i I 'i( = 1 !arena i, ii, iii dan i dipen#hi maka 'G, I( mer#pakan &r#p, selan-#$n%a akan di$#n-#kkan G siklik a$a# b#kan. !arena

i x i =1,

i xi xi xi =1, dan

i x i x i =−i ,

Maka G mer#pakan &r#p siklik %an& diben$#k oleh I dapa$ di$#lis G = i


JSL Teori GRUP

No Name

Latihan 4 "6. T#n-#kkan bah:a

¿ ( ) } , x ¿

mer#pakan s#b&r#p dari 'R?(,I(

Solusi Men#r#$ Teorema .8 #n$#k memb#k$ikan bah:a '(

¿ ( ) } , x ¿

¿ ( 1 {0 ) , x ¿ ≠ 0 Struktur Al Jabar @30@

s#b&r#p dari 'R?(,I(, -ika memen#hi

JSL Teori GRUP

No Name

¿ ( 1 {0 ) , x ¿ ¿( ) \{ 0 })

'i(

∀ x ,

y ∈ \{0 } x , y \{ 0 }

'ii(

Ter$#$#p karena

'iii(

Memiliki iners karena

Jadi

¿

( ) } , x ¿

−1

∀ x ∈ \{ 0 }∃ x

−1

∈ \{0 } ∋ x . x

=!

mer#pakan s#b&r#p dari 'R?(,I(

"8. erikan minimal 6 2on$oh s#b&r#p dari s#a$# s#b&r#p.

Solusi 2 ={ 3 n / n ∈ B } a$a#

2. ',D( %ai$# &r#p bilan&an b#la$ den&an operasi pen-#mlahan '!, D( adalah s#a$# &r#p, karena 2 B maka ! s#b&r#p dari  d.

$={ 1,2,3,4,5,6 }

den&an perkalian mod#lo 9 adalah s#a$# &r#p

2 ={ 1,2,4 }

dan

3 ={ 1,6 } masin&/masin& s#b&r#p G. e. Misalkan G

$= {1, −1, i ,−i }

den&an operasi perkalian maka 'G, I( memben$#k &r#p

pandan& 3 ={ 1,−1 } maka 3 $ dan ) memben$#k &r#p di G. . 'E, D( mer#pakan &r#p 2 % ={ 2 % , % ∈ % } , maka "E mer#pakan s#b&r#p di E.

{[ ] ()={[ ]

&. Misalkan + 2()=

/ 2

a c

b , a , b , c , d ∈ , ad −bc ≠ 0 d

a c

b , a , b , c , d ∈ , ad −bc =1 d

} }

+ 2() dan

*en&an operasi perkalian maka

/ 2 ()

memben$#k &r#p dan

mer#pakan s#b&r#p dari + 2() . "9. Misalkan ), ! kompleks sebaran& dari &r#p G, Apakah )! = !) '-ika %aO $#n-#kkan, -ika $idakO berikan 2on$oh pen%an&kal(

Solusi 3k ≠ k3 on$oh pen%an&kal + =

{[ ] a c

b , a , b , c , d ∈, a , b , c , d ≠ 0 d

}


/ 2 ()

JSL Teori GRUP

No Name

*en&an men&&#nakan operasi perkalian ma$riks, maka M memben$#k &r#p. Misalkan

3 =

[

1 3

2 −4

]

dan 2 =

[

5 −7

6 8

]

3 + , dan 2 + karena #n$#k ) dan ! memen#hi ad −bc ≠ 0 elemen baris ke/1H kolom ke/1 dari )! adalah 1'6( D "'/9( = /> elemen baris ke/1H kolom ke/1 dari !) adalah 6'1( D 8'3( = "3 )asil di a$as memb#k$ikan bah:a 32 ≠ 23

"<. Misalkan G &r#p dan ), !, L masin&/masin& s#bse$ dari ). #k$ikan 3 ( 2 ∪ 4 ) = 32 ∪ 34

3 ( 2 5 4 ) = 32 5 34 

Apakah

Solusi #k$i0 berar$i



a

adalah &enera$or dari G.

">. Misalkan 3 $ , 3 ≠ ∅ dan G &r#p. #k$ikan0 ) s#b&r#p dari G -ika dan han%a -ika 3 3 −1 = 3

Solusi Misalkan 3 $ , 3 ≠ ∅ dan G &r#p. ) s#b&r#p dan G akan dib#k$ikan bah:a 3 3 −1 = 3 Ambil sebaran& x ∈ 3 . 3 −1 , maka x =a b−1 den&an dan

a , b ∈ 3 , maka men#r#$ Teorema .9

−1

ab

∈ 3

a , b , ∈ 3 , karena ) s#b&r#p dari G

sehin&&a x ∈ 3

Jadi 3 . 3 −1 3 ....... '1( Ambil

a ∈ 3

sebaran&

−1

karena

)

s#b&r#p

dari

−1

a . ! =a ∈ 3 . 3 ni berar$i

−1

3 3 . 3

..... '"(

*ari '1( dan '"( disimp#lkan bah:a 3 .3 −1= 3

3?. Misalkan G &r#p dan ), ! masin&/masin& kompleI dari G. Struktur Al Jabar @32@

G,

maka

$ ∈ 3 ,

sehin&&a

JSL Teori GRUP

No Name

#k$ikan0 )! s#b&r#p dari G -ika dan han%a -ika )! = !)

Solusi !arena ) dan ! s#b&r#p/s#b&r#p dari G, maka 3 .3 −1= 3 , 3 −1= 3 , 2 2 −1= 2 .

dan

−1 2 = 2 .

Jadi ), ! s#b&r#p dari G, maka

( 32 )−1= 32

. !arena

( 32 )−1= 2 −1 3 −1

, maka

1 + 2 = 23 , sebalikn%a men#r#$ pemb#k$ian no.6 Un$#k memb#k$ikan )! s#b&r#p dari G ki$a har#s men#n-#kkan bah:a

( 32 ) ( 32 )−1 = 32

( 32 ) ( 32 )−1 =( 32 ) ( k −1 3 −1 ) ¿ 3 ( 22 −1 ) 3 −1

'Sia$ asosia$i(

¿ ( 32 ) 3 −1

' 2 2 −1= 2 , karena ! s#b&r#p dari G(

¿ ( 23 ) 3 −1

' 32 = 2 3 , !e$en$#an(

¿ 2 ( 3 3 −1)


¿ 23

') s#b&r#p dari G(

¿ 32

')! = !)(

Jadi )! s#b&r#p dari G

31. #k$ikan0 Jika ), ! s#b&r#p dari G, maka 3 2 -#&a s#b&r#p dari G, maka ) &r#p siklik $akhin&&a.

Solusi #k$i0 Ambil

x , y ∈ 3 5 2 , 3 5 2 ≠ ∅ , karena

! ∈ ( 3 5 2 ) e iden$i$as di G

x , y , maka0 x ∈ 3 5 2 x ∈ 3 x ∈ 2

y ∈ 3 5 2 y ∈ 3 y ∈ 2 y ∈ 3 dan H s#b&r#p G maka y−1 ∈ 3 Struktur Al Jabar @33@

3 5 2 $ , karena

JSL Teori GRUP

No Name

y ∈ 2 dan K s#b&r#p G maka y−1 ∈ 2 Sehin&&a x∗ y −1 ∈ 3 dan x∗ y −1 ∈ 2 maka x∗ y −1 ∈ 3 5 2 . Jadi -ika ), ! s#b&r#p dari G, maka 3 5 2 -#&a s#b&r#p dari G.

3". #k$ikan0 Teorema .>

Solusi Teorema .>0 risan sebaran& kel#ar&a s#b&r#p dari &r#p G -#&a mer#pakan s#b&r#p dari G. #k$i0 Misalkan A, B sebaran& kel#ar&a s#b&r#p dari &r#p G akan dib#k$ikan A 5B s#b&r#p G. Ambil

a , b ∈ A 5 B . Ses#ai $eorema .9 akan dib#k$ikan

−1 a∗b ∈ A 5 B , A 5B ≠ 0 karena

! ∈ ( A 5 B ) e iden$i$as di G.

A 5$ $ , karena

a , b ∈ A 5 B maka0

a ∈ A 5 B a ∈ A dan a ∈ B

b ∈ A 5 B b ∈ A danb ∈ B −1

b ∈ A

dan A s#b&r#p G maka

b ∈ A

b∈B

dan B s#b&r#p G maka

b

!arena

∈B

a ∈ A dan

−1 b ∈ A maka

a∗b ∈ A ..... '1(

a ∈ B dan

−1 b ∈ B maka

a∗b ∈ B ..... '"(

*ari '1( dan '"( diperoleh !arena

−1

−1

a∗b ∈ A 5 B

−1 a∗b ∈ A 5 B maka A 5B s#b&r#p G

Jadi $eorema .> $erb#k$i.

33. Jika ), ! s#b&r#p dari &r#p ), apakah 3 ∪ 2 -#&a s#b&r#p dari G

Solusi Tidak, seba&ai 2on$oh pen%an&kal

% , +¿ adalah &r#p '"E, D( dan '3E, D( adalah s#b&r#p dari G 'E,D( akan dib#k$ikan "E a$a# 3E

¿

s#b&r#p E #k$i0 Struktur Al Jabar @34@

JSL Teori GRUP

No Name

2 % ∪ 3 % ={  ,−3,− 2,0,2,3,4,  } 2 ∈ ( 2 % ∪ 3 % ) 3 ∈( 2 % ∪ 3 % )

2+3

∉

Sehin&&a

(2 % ∪3 % ) ∉

2 % ∪ 3 %

bukan subgrup Z

Jadi jika H, K subgrup dari grup G, maka 3 ∪ 2 bukan subgrup dari G

3. #k$ikan0 Jika G &r#p siklik $akhin&&a dan ) s#b&r#p proper dari G, maka ) &r#p siklik $akhin&&a.

Solusi G &r#p siklik $ak $erhin&&a ) s#b&r#p proper dari G -ika

3 ≠ { ! } akan

3 ≠ $ dan

di$#n-#kkan G &r#p siklik $ak hin&&a maka ) &r#p siklik $ak hin&&a. •

Misalkan &enera$or G adalah a a$a#

$ =¿ a >¿ den&an

$ ( a ) =n < a men#n-#kkan bah:a

bilan&an posi$i $erke2il sehin&&a an s#a$# #ns#r di G. Pandan&

2

3

n

$=a ,a , a ,  a

den&an 

n

a

sehin&&a #ns#r $erke2il sehin&&a

•

Misalkan ki$a men&ambil

•

*en&an Al&ori$ma pemba&ian %ai$# #n$#k  ,n ∈ % , ∃ * , r ∈ % ∋  = n* + r

Jadi



a =a

a

%an& mana

n

a ∈ 3

sebaran& bilan&an berpan&ka$ dari a #n$#k s#a$#

 ∈ %

0-r-n

n* + r

¿ an* . ar r

a =a

− n*  a ∈ 3 dan

*ike$ah#i 3 G n

a ∈ 3

 −n

a

∈ 3

a (a 

−n a

)

.na

a

∈ 3

∈ 3

r a ∈ 3 den&an

0-r-n

*en&an demikian n bilan&an b#la$ posi$i $erke2il 9. n a ∈ 3 dan

0 - r - n men#n-#kkan #n$#k

r = 0 maka


 n* a =a =n* .

JSL Teori GRUP

No Name  a ∈ 3 maka

Jadi #n$#k sebaran& oleh

a

n

. Jadi

⟨a ⟩ n

n *

a =a =( a 

n*

)

berar$i se$iap an&&o$a ) dapa$ diben$#k

siklik.

36. Misalkan G &r#p dan 3 ={ a ∈ $,xa = ax , ∀ x ∈ $ } #k$ikan bah:a ) s#b&r#p dari G.

Solusi Misalkan e #ns#r iden$i$as dari G dan

!a =a! maka

! ∈ 3 sehin&&a 3 ≠ 0 . *ari ke$en$#an

bah:a dari se$iap elemen ) adalah himp#nan dari elemen G, maka 3 $ -adi ) s#a$# kompleks dari G. Ambil sebaran& x , y ∈ 3 , maka xa= ax dan ya =ay , selan-#$n%a perha$ikan bah:a0

( x y −1 ) a =( x y −1 ) a! ¿ ( x y −1 ) a ( x y −1 ) ¿ ( x y −1 ) ( ay ) y−1 ¿ ( x y −1 ) ( ya) y−1 ¿ x ( y y−1 ) ( ay )

'sia$ asosia$i( ' y ∈ 3 ( 'sia$ asosia$i(

¿ x!a y−1 ¿ ( xa ) y−1 ¿ ( ax ) y −1

' x ∈ 3 (

¿ a ( x y−1) Sehin&&a

−1

x y ∈ 3

Jadi ) adalah s#b&r#p dari G

38. Jika G &r#p kom#$a$i den&an #ns#r iden$i$as e, dan 3 ={ a ∈ $ : a2= ! } . #k$ikan ) s#b&r#p dari G.

Solusi 39. Jika G $idak memp#n%ai s#b&r#p se-a$i. #k$ikan G siklik


JSL Teori GRUP

No Name

3<. Jika, M N masin&/masin& s#b&r#p dari &r#p G dan #n$#k se$iap x ∈ $ , −1

+ 5 / ={! } , maka mn=nm #n$#k

x / x = / . #k$ikan -ika

−1

x + x = +

 ∈ + , n ∈ /

dan

'e #ns#r

iden$i$as di G(.

Solusi

Latihan 5 3>. Misalkan Z adalah himp#nan bilan&an b#la$ 'Z, D( adalah &r#p. Misalkan T#n-#kkan bah:a0 a( '), D( s#b&r#p dari 'E, D( b(

% = 3 ∪ ( 1 + 3 ) ∪ ( 2 + 3 )

Solusi . 'i(

3 ,+¿

s#b&r#p dari

¿

3 ,+¿ $er$#$#p

¿

% , +¿ , -ika 3 ,+¿ &r#p

¿

∀ a ∈ %

¿

,


3 ={ 3 a , aϵ% } .

JSL Teori GRUP

No Name ∀ a ,∈ %

,! ∈ %

3 a + ( 3 b + ! ) =( 3 a + 3 b ) + !

'ii(

Asosia$i karena

'iii(

Memp#n%ai #ns#r iden$i$as, karena ∃ ! ∈ % %ai$#

⇒

! =0 ∋ 3 a + 0= 0 + 3 a= 3 a Memiliki iners karena

'i(

Jadi %ai$# &.

3 ,+¿

¿

−1

∀ a ∈ % ∃ a

s#b&r#p dari

∈ % ∋ a + ( −a ) =( −a ) + a =0

% , +¿

¿

3 = {3 a =a ∈ % }={ − 9,−6,−3,0,3,6,9  } 1 + 3 = {1 + 3 a ∈ % }={  ,−8, −5,−2,− 1,1,4,7,10,  } 2 + 3 = {2 + 3 a ∈ % }= {  ,−4, −3,−2, −1,0,1,2,3,  } =%

?. Jika ) s#b&r#p dari G #k$ikan0 a) = b) -ika dan han%a -ika b−1 a ∈ 3 , ∀ a ,b ∈ $ .

Solusi −1

a3 = b3 b a ∈ 3 , ∀ a , b ∈ $ −1

(i)

a3 = b3 b a ∈ 3 , ∀ a , b ∈ $

(ii)

b a ∈ 3 a3 = b3 , ∀ a , b ∈ $

−1

Un$#k kas#s 'i( ) s#b&r#p dari G Ambil sebaran& !arena

! #ns#r iden$i$as( maka ! ∈ 3 ¿

a ! ∈ a3 a$a# !arena

a , b ∈ $ ∃ a3 =b3

a ∈ 3

a3 = b3 a∈ b3 −1

−1

b a ∈ b ( b3 ) −1

−1

b a ∈ ( b b ) 3 −1

b a ∈ !3 −1 b a ∈ 3 'karena

!3 = 3 ¿

Un$#k kas#s 'ii( Misalkan

−1 b a ∈ 3 akan di$#n-#kkan a3 = b3


JSL Teori GRUP −1

No Name

−1

b ∈ 3 b ∈ a3 = 3

'Men#r#$ $eorema

b3 = 3

−1

b b a3 = b3 ! a3 =b3 a3 = b3 *en&an demikian dapa$ disimp#lkan bah:a −1

a3 = b3 b a ∈ 3 , ∀ a , b ∈ $

1. #k$ikan, -ika ) s#b&r#p dari G, maka G mer#pakan &ab#n&an sem#a kose$ kanan 'kiri( dari ) di G.

Solusi $= 3a ∪ 3b

Akan dib#k$ikan

) s#b&r#p dari G maka 3 ≠ ∅

3a={ha : b ∈ 3 } 3b={ hb : b ∈ 3 } h ∈ 3 b ∈ $ a ∈ $ , b ∈ $ ha ∈ $

b ∈ $ , h ∈ $ hb ∈ $ x ∈ ( 3a 6 3b ) x ∈ $ Jadi -ika ) s#b&r#p dari G, maka mer#pakan &ab#n&an sem#a kose$ kanan 'kiri( dari ) di G.

". Misalkan G &r#p dan ) s#b&r#p dari G dideinisikan relasi

a ≅ b ( "d 3 ) -ika dan han%a -ika

−1

b a ∈ 3 T#n-#kkan bah:a relasi $erseb#$ mer#pakan relasi ek#ialen.

Solusi Misalkan G &r#p dari ) s#b&r#p dari G. Ambil sebaran&

a , b ∈ $ , kem#dian dide inisikan

Relasi di a$as memen#hi sia$ berikut. Struktur Al Jabar @39@

−1

a ≅ b ( "d 3 ) b a ∈ 3

JSL Teori GRUP

No Name

Releksi

(i)

Misalkan

a ∈$

diperoleh

a ≅ a ( "d 3 ) ∀ a , ∈ $ .

Jadi relasi (ii)

sebaran&, karena ) s#b&r#p dari G maka

∅

−1

a !3 ∀ a , ∈ $

sehin&&a

memp#n%ai sia$ relek$i.

Sime$ri

a , b ∈ $ sebaran& den&an a ≅ b ( "d 3 ) ini berar$i bah:a -ika

Misalkan maka

−1 b a ∈ 3 .

Maka

( a b )−1 ∈ 3

a ≅ b ( "d 3 )

'karena ) s#b&r#p(

( b− )− a− ∈ 3 1

1

−1

ba

1

∈ 3

b ≅ a ( "d 3 ) Jadi relasi (iii)

memen#hi sia$ relasi.

Transi$i Misalkan

a , b , ! ∈ $ ∋ a ≅ b ( "d 3 ) dan b ≅ ! ( "d 3 )

a ≅ b b ≅ ! 'mod )(

Maka −1

−1

a b ∈ 3 , b ! ∈ 3

( a b− ) ( b !− ) ∈ 3 −1 −1 a ( b b ) ! ∈ 3 1

1

−1

a (!) !

∈ 3

'e iden$i$as(

−1

a ! ∈ 3 a ≅ ! ( "d 3 ) kon&r#en mod ) maka relasi $erseb#$ mer#pakan relasi ek#ialen. 3. Misalkan G &r#p dan ) s#b&r#p dari G, )a dan )b masin&/masin& mer#pakan kose$ kanan dari ) di G. T#n-#kkan bah:a $erdapa$ korespondensi sa$#/sa$# an$ara )a dan )b.


JSL Teori GRUP

No Name

Misalkan ) s#b&r#p di G dan

a , b ∈$

Ha dan Hb adalah d#a kose$ kanan dari ) di G. !i$a akan $#n-#kkan 3a 3b *iben$#k peme$aan

f : 3a → 3b %an& dideiniskan oleh

f ( ha ) =hb ∀ h ∈ 3 Peme$aan ini sa$#/sa$# karena

hb ∈ 3b h ∈ 3 , sehin&&a

h1 a , h2 a ∈ 3a ∋ f ( h , a ) = f ( h2 , a ) h1 b= h2 b Sehin&&a

h1= h2 dan

h1 a= h2 b

Peme$aan ini on$o sebab hb ∈ 3b h ∈ 3 , sehin&&a

ha ∈ 3a dan men#r#$ deinisi

f ( ha )=hb

Mer#pakan s#a$# korespondensi sa$#/sa$# a$a# )a berkorespondensi sa$#/sa$# den&an )b

. #k$ikan bah:a -ika G &r#p $erhin&&a o'G( = n dan a an&&o$a sebaran& di G, maka an =!

'e

#ns#r iden$i$as di G(

Solusi Men#r#$ $eorema %ai$# -ika G &r#p $erhin&&a maka0 0 ( a)/0 ( $) , ∀ a ∈ $ : misalkan

0 ( a ) =n a

n

=!

n ak$or dari ?'G(, misalkan ?'G( adalah kelipa$an d ari n, Misaln%a

0 ( $ ) = 2n ∀ k ∈ B

Selan-#$n%a k

= ak =( a  ) =! k = !

0 ( $)

a

G &r#p $erhin&&a ?'G( = n, dan

n

∀ a ∈$ a

=!

6. #k$ikan bah:a &r#p $erhin&&a berorde prima $idak memp#n%ai s#b&r#p proper.

Solusi Misalkan G adalah &r#p $erhin&&a den&an order n dimana n adalah bilan&an prima, dan -ika m#n&kin maka ki$a simp#lkan seb#ah &r#p ka$akan orde - n Struktur Al Jabar @41@

JSL Teori GRUP

No Name

*en&an $eorema Lan&ran&e m memba&i n 'karena n prima maka m = 1 a$a# m = n( Te$api, ada d#a &r#p %an& s#b&r#p b#kan proper.

8. #k$ikan se$iap &r#p $erhin&&a berorde prima adalah siklik. 'G#nakan Teorema La&ren&e(.

Solusi Misalkan G s#a$# dan 7'G( = m den&an m men#r#$ $eorema Lan&ran&e

0 ( $ )/  , karena i$#

s#a$# bilan&an prima, maka ?'a( = m, selan-#$n%a men#r#$ $eorema maka G adalah elemen sebaran& dari G den&an

a ≠ ! maka se$iap elemen G selain elemen iden$i$as mer#pakan &enera$or dari G.

Se$iap &r#p $erhin&&a berorde prima adalah siklik.

9. Misalkan ) s#b&r#p dari &r#p G. #k$ikan.

( 3a )−1= a−1 3 ∀ a ∈ $

Solusi Misalkan ) s#b&r#p dari &r#p G. GF) den&an perkalian bersia$ $er$#$#p. n&a$ bah:a GF) adalah himp#nan sem#a kose$ kana dari ) dalam G. Se$iap kose$ kanan dari ) dalam G mer#pakan kompleks dari a karena perkalian bersia$ asosia$i, maka perkalian kose$/kose$ kanan memen#hi sia$ asosia$i -#&a.

Perha$ikan bah:a 3!. 3a= 3a dan

3a. 3!= 3a , maka 3!= 3 adalah elemen iden$i$as dari GF) Selan-#$n%a karena

−1 −1 3a. 3 a = 3a a = 3!= 3 dan

( 3a )−1= 3 a−1 ∀ a ∈ $ <. Misalkan ) s#b&r#p dari &r#p G, dan

2 ={ x ∈ $ : x3 = 3x } #k$ikan bah:a ! s#b&r#p dari G Struktur Al Jabar @42@

−1 −1 3 a 3a= 3 a a = 3!= 3 , maka

JSL Teori GRUP

No Name

Solusi #k$i0

k ∈ $ !∗! = ! ∈ 3 k ≠ ∅ a$a# 2 ={ x ∈ $ ( x 3 = 3x } ≠ ∅

>. erikan 2on$oh &r#p )emil$on %an& b#kan &r#p kom#$a$i

Solusi 6?. #k$ikan Akiba$ 6.>

Solusi Jika  s#a$# &r#p $erhin&&a maka

f ( a )/ 0 ($ ) , ∀ a ∈ $

#k$i0 Ambil

a ∈ $ sebaran&, karena G $erhin&&a maka f ( a ) ≠ .

Misal

f ( a ) = , maka

 2  a =! . *iben$#k himp#nan 3 ={  a , a  a = ! } elemen/elemen

dalam ) $idak ada %an& sama, sebab apabila den&an

r

a =a

s

den&an

0 < r < s < , maka

a

s−r

=! ,

0 < s −r <  . )al ini $idak m#n&kin karena 'a( = m %ai$# m s#a$# bilan&an b#la$ $erke2il

sedemikian sehin&&a am = e ) adalah s#b&r#p dari G. sehin&&a men#r#$ Teorema Lan&ran&e

0 ( 3 )/ 0 ( $ ) karena

7 ( 3 ) == f ( a ) t ( a )/ 0 ( $ )

61. Misalkan G &r#p dan N s#b&r#p dari G. #k$ikan bah:a, N normal -ika dan han%a -ika, perkalian sebaran& d#a kose$ kanan dari N di G -#&a mer#pakan kose$ kanan di G.

Solusi Misalkan G &r#p dan N s#b&r#p dari G, maka N normal. N normal maka /a=a/ dan /b=b/ , ∀ b ∈ $

( /a ) ( /b )= / ( a/ ) b ¿ //ab Struktur Al Jabar @43@

JSL Teori GRUP

No Name

¿( // )ab

¿ /ab karena N s#b&r#p dari G !arena

a , b ∈ $ , sehin&&a /ab ∈ $ / / %ai$#

sebalikn%a

ambil

sebaran&

( n1 a ) ( n 2 b )=( n1 a n2 a−1) ab= n3 ab

/ab

s#a$# kose$ kanan dari N dalam G,

( n1 a ) ( n 2 b ) ∈ ( /a) ( /b ) , maka

den&an

n1 , n2 ∈ /

−1

a n2 a ∈ / , berar$i N s#b&r#p normaH dari G.

6". Misalkan ) dan M masin&/masin& s#b&r#p normal dari G. #k$ikan

3 5 + -#&a s#b&r#p

normal di G

Solusi 63. Misalkan G &r#p, N dan ) masin&/masin& s#b&r#p dari G, dan N normal di G b#k$ikan0 a(

/3 ={nh : n ∈ / , h ∈ 3 } s#b&r#p dari G.

b( ) s#b&r#p normal dari N)

Solusi 6. Misalkan

$=

{[ ] a 0

b : a , b , d ∈ 1 , ad ≠ 0 d

}

dan / =

{[ ] } 1 0

b : b ∈ 1 1

#k$ikan0 a( G den&an operasi perkalian ma$riks memben$#k &r#p. b( N s#b&r#p dari G. 2( N normal di G.

Solusi 'a( 'G,I( memben$#k &r#p karena0 'i(

Ter$#$#p, karena ∀ a22 , b 22 ∈ $ , maka

'ii( Asosia$i, karena

dan

a xb∈$

∀ a , b , c ∈ $ ( a x b ) x c = a x ( b x c )

'iii( Memp#n%ai elemen iden$i$as, karena ∃ ! =

[ ]

1 0 ∈ $ dan 0 1


∀ a ∈ $ ∋ a x ! =a

JSL Teori GRUP

No Name

'i( Memp#n%ai iners karena ∀ a ∈ $ d!t ( a) ≠ 0 , sedemikian sehin&&a

∃a

−1

−1

−1

a =

%ai$#

[

1 d1 d!t ( a ) −c 1

−b a

]

∈$

dan

−1

a . a= a . a = !

Jadi 'G, I( memben$#k &r#p.

'b( N s#b&r#p dari G Men#r#$ $eorema .8 #n$#k memb#k$ikan N s#b&r#p di G, -ika memen#hi

[ ]

1 2 ∈ 0 1

'i(

/ ≠ 0 , karena

'ii(

/ $ , karena N $i$ik men&kh#s#s dari G

'iii( Ter$#$#p, karena ∀ g , h ∈ / g x h

[ ][ ] [ 1 b1 1 b2 0 1 0 1

=

=

'i( Memiliki iners karena −1

−1

g x g =g g=

]

1 b 1+ b2 ∈ / 0 1 ∀ g∈$

−1

∃g

%ai$#

[ ][ ] [ ]= 1 b 1 1 −b1 =1 0 0 1 0 1

0 1

−1

g

[ ] 1 0

−b1

∋

1

!

Jadi N s#b&r#p dari G

66. #k$ikan Teorema 6.1< Jika ) s#b&r#p Normal dari &r#p hin&&a G, maka berlak#0

7

( )

$ 7 ( $ ) = 3 7 ( 3 )

Solusi #k$i

7

( )

$ =1 a ( / ) %ai$# ban%akn%a kose$ kanan dari N dalam G. Men#r#$ Teorema Lan&ran&e, 3

karena G &r#p berhin&&a dan N s#b&r#p dari G maka 7 ( / )/ 7 ( $ ) sehin&&a0

7

( )

$ 7 ( $ ) = 3 7 ( 3 ) Struktur Al Jabar @45@

JSL Teori GRUP

No Name

68. T#n-#kkan bah:a se$iap &r#p ak$or dari &r#p kom#$a$i adalah kom#$a$i. 'Apakah kebalikann%a -#&a berlak#(

Solusi 69. T#n-#kkan bah:a se$iap s#b&r#p berindeks " selal# normal.

Solusi

Latihan 6 +¿ 4 $ ,¿ ¿ 6<. T#n-#kkan bah:a &r#p +¿ 4 { 0´ , 1´ , 2´ , 3´ } , ¿ ¿ somorpisma den&an &r#p

( $ 9 , x 5 ) =( {1´ , ´2 , ´3, 4´ } , x 5 )

+¿4 dan x 5 ber$#r#$/$#r#$ men%a$akan pen-#mlahan mod#lo empa$ dan perkalian mod#lo lima( ¿ ¿


JSL Teori GRUP

h.

No Name

f : $ → $ 9 sa$#/sa$#

$$

9

0´ → 1´ f ( ! ) 1´ → 2´

´ → 3´ 2 3´ → 4´ i.

#n&si pada

f ( 0´ )=1´ f ( 1´ ) =´2

f ( 2´ ) =3´ f ( 3´ ) =4´

-.

+¿4 b a¿ ¿ f ¿ +¿4 1´ a¿ ¿ f ¿ f ( 0´ )=1´ f ( 1´ ) =´2

+¿4 $ , ¿ isomorosis den&an ∴¿ 6>. Misalkan

+¿4 $9 , ¿ ¿

% ={  ,−3, −2,−1,0,1,2,3,  } dan % 9 ={  , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , } −3

−2

−1

0

1

2

3

T#n-#kkan a( (Z, D( dan (Z4, I( memben$#k &r#p b( (Z, D(

(Z4, I(


JSL Teori GRUP

No Name

a. (Z, D( dan (Z4, I( memben$#k &r#p ∀ a , b ∈ % → a + b ∈ %

(iii)

T#$#p

(iv)

Asosia$i

(v)

Ada #ns#r iden$i$as di E

∀ a , b , c ∈ % → a + ( b + c )= ( a + b ) + c

∃ ! ∈ % ∋ ∀ a ∈ %

(vi)

berlak#

a + != ! + a=a ( != 0

Ada #ns#r iners di E ∀ a ∈ % , ∃ ( −a ) ∈ % ∋ a + ( −a )= ( −a )+ a= !

(Z, D( memben$#k &r#p Akan di$#n-#kkan (Z4, I( adalah &r#p 9

(i)

T#$#p

(ii)

Asosia$i

∀ a , b ∈ % → a x b ∈ 9

%

∀ a , b , c ∈ % → a x ( b x c ) =( a x b ) x c 9

(iii) Ada #ns#r iden$i$as di E4 ∃ ! ∈ % 9 ∋ ∀ a ∈ % 9

berlak#

0

a + != ! + a=a ( != 2

(iv) Ada #ns#r iners di E4 ∀ a ∈ % , ∃ (−a ) ∈ % ∋ a x (− a ) =( −a ) x a=1 9

(Z4, I( memben$#k &r#p

b. (Z, D(

(Z4, I(

Pen&ai$ann%a T#$#p

f : %→ % 9 %an& dideinisikan

f ( a ) =2 ∀ a ∈ % a

(i)

Apakah  sa$#/sa$# ∀ a , b , c ∈ %

den&an

f ( a ) = f ( b ) maka

2

a

=2b

a

= log2b a log2=b log2 log2

a =2log2 b a =b ∴ ∀ a , b ∈ %

den&an

f ( a ) = f ( b ) berlak# a = b ' sa$#/sa$#(


JSL Teori GRUP

(ii)

No Name

Apakah  on$o Ambil y ∈ % sebaran&, maka y =2a ∀ a ∈ % Pilih

f ( a ) =2 =1 a

a ∈ % maka

Jadi  on$o ∀ a , b ∈ %

'iii(

berlak#

f ( a + b )= f ( a ) x f ( b )

f ( a + b ) =2

a+ b

f ( a + b ) =2 . 2 a

b

f ( a + b ) = f ( a ) x f ( b ) Jadi (Z, D(

(Z4, I(

8?. Misalkan 1= hipunanbilangan r!al dan 9

1 =hipunan bilangan r!al p"sitif T#n-#kkan (R, D( dan (R4, I( adalah &r#p Jika ada pen&ai$an

9

f a : 1 → 1 %an& dideinisikan

f a ( x )= a ∀ x ∈ x

#k$ikan 'a( isomorpisma ' a ∈ 1 sebaran& $e$api $e$ap, a?(

Solusi a. (R, D( dan (R4, I( memben$#k &r#p

(i) T#$#p

∀ a , b ∈ 1 → a + b ∈ 1

(ii) Asosia$i

∀ a , b , c ∈ 1 → a + ( b + c ) =( a + b ) + c

(iii) Ada #ns#r iden$i$as di R ∃ ! ∈ 1 ∋ ∀ a ∈ 1

berlak#

a + != ! + a=a ( != 0

(iv) Ada #ns#r iners di R ∀ a ∈ 1 , ∃ (− a ) ∈ 1 ∋ a + (−a ) =( −a ) + a =!

(R, D( memben$#k &r#p Akan di$#n-#kkan (R4, I( adalah &r#p


JSL Teori GRUP

No Name 9

(i)

T#$#p

(ii)

Asosia$i

(iii)

Ada #ns#r iden$i$as di R4

∀ a , b ∈ 1

→ a x b∈ 9 1

∀ a , b , c ∈ 1

∃ ! ∈ 1 9 ∋ ∀ a ∈ 1 9

(v)

→ a x ( b x c ) =( a x b ) x c

9

0

a + != ! + a=a ( != 2

berlak#

Ada #ns#r iners di R4 ∀ a ∈ 1 , ∃ (−a ) ∈ 1 ∋ a x ( −a ) =(−a ) x a =1 9

(Z4, I( memben$#k &r#p

b.

(R, D(

(R4, I(

Pen&ai$ann%a T#$#p

f ( a ) =2

a

(i)

f : %→ % 9 %an& dideinisikan

∀ a ∈ %

Apakah  sa$#/sa$# ∀  , , n ∈ %

f (  )= f (n ) maka

den&an



n

a =a

=log an  log a=n log a log a



 = a log a n  =n ∴ ∀  , n ∈ 1

(ii)

den&an

f (  )= f (n ) berlak# m = n ' sa$#/sa$#(

Apakah  on$o Ambil

n ∈ 1

sebaran&, maka

x

n =a ∀ x ∈ 1

f ( x ) =a = n x

Pilih x ∈ 1 maka Jadi  on$o 'iii(

∀ , n ∈ 1

berlak#

f a (  + n ) =f a (  ) x f ( n )  +n

f a (  + n ) =a

f a (  + n ) =a . a 

n


JSL Teori GRUP

No Name

f a (  + n ) =f a (  ) x f a ( n ) Jadi (R, D(

(R4, I(

81. #k$ikan Teorema 8."

Solusi Jika &r#p 'G,?( isomorpisma den&an &r#p 'G4,@( den&an  seba&ai #n&si isomorpisman%a, maka pe$a dari #ns#r iden$i$as di G oleh  mer#pakan #ns#r iden$i$as di G4 #k$i0 Misal 'G,?( dan 'G4,@( &r#p den&an 'G,?( Pen&ai$ann%a

f : $ → $ 9  #n&si isomorpisma

! ∈ $ den&an

Misalkan

'G,@(

! #ns#r iden$i$as di G

f ( ! ) %ai$# pe$a dari e oleh  di G

Pandan&

Ambil sebaran&

a 9 ∈ $ 9 karena ' sa$#/sa$# dan on$o( maka

∃a ∈$

f ( a ) =a 9 !arena

a ∈ $ dan e #ns#r iden$i$as di G, maka berlak#0

a . ! =! . a = a Jika

a . ! =a maka

f ( a . c ) = f ( a )

' sa$#/sa$#(

f ( a )∗f ( c ) =f ( a )

' isimorpisma(

9 a ∗f ( ! ) =a ( f ( a ) = a 9

*en&an demikian diperoleh bah:a ∀ a 9 ∈ $ berlak#0

f ( ! )∗a =a ∗f ( ! )=a 9 9

9

Jadi 'e( mer#pakan #ns#r iden$i$as di G4


,

a $#n&&al sehin&&a

JSL Teori GRUP

No Name

8". #k$ikan Teorema 8.

Solusi Misalkan 'G,?( &r#p dan G4 himp#nan den&an operasi @. Jika ada

f G→G' memen#hi sia$ isomorpisma maka 'G4,@( &r#p

#k$i0 Un$#k memb#k$ikan $eorema ini 2#k#p di$#n-#kkan bah:a G4 memen#hi sia$ asosia$i, iden$i$as, se$iap an&&o$a di G4 memiliki iners.

'i(

!arena 'G,?(

'G4,@( maka se$iap an&&o$an%a bi-ek$i 'G,?( mer#pakan &r#p, maka 'G,?(

memiliki sia$ asosia$i, karena 'G,?( 'ii(

'G4,@( maka 'G4,@( -#&a asosia$i.

Memp#n%ai #ns#r iden$i$as. !arena 'G.?( &r#p maka G memp#n%ai iden$i$as. Ambil iden$i$as 'G,?(

Jika

!∈ $

'G4,@(

!∈$

dan 'G,?(

'G4,@( maka

9

$ ,∗¿ f ( ! ) ∈ ¿

)al ini men&indikasikan 'G4,@( memp#n%ai iden$i$as. 'iii(

Memp#n%ai iners. Apabila 'G,?(

'G4,@( dan -ika

−1

a

mer#pakan iners dan G maka pe$a 'ima&e( dari

iners di G -#&a mer#pakan iners di 'G4,@(

83. Misalkan 'G,o( dan 'G4,@( masin&/masin& &r#p dan -#&a misalkan

f : $ → $ 9 isomorpisma

#k$ikan bah:a

t ( a ) =t ( f ( a ) ) ∀ a ∈ $

t ( a ) adalah $in&ka$ dari a di G(.

¿


JSL Teori GRUP

No Name

Solusi #k$i

8. Len&kapi b#k$i Teorema 8.<

Solusi Jika d#a &r#p siklik berorde sama, maka &r#p $erseb#$ isomorpisma #k$ikan0

$ ⟨ a ⟩ dan

Misalkan Maka0

$= {a , a , a  a

n

}

$ 9 = { b , b ,b  b

n

2

3

2

en$#k #n&si 'i(

" ( $ ) = " ( $ )= n

$ ⟨ b ⟩ dan

3

9

}

f : $ → $ 9

Sa$#/sa$#

'ii(

∀ a ∈$

maka

f ( a ) =b , ∀ a $

∀ n∈ $

maka

n =a

r

r

a 9 ∈ $ maka

ila

r

,

r

r

∀a

=n

f ( a ) =a =n r

r

Memen#hi sia$ on$o 'iii(

2

∀ a,a ∈$

berlak#

f ( a∗ a )= f ( b )∗ f ( b ) 2

2

G dan G4 isomorpisma

86. #k$ikan Teorema 8.1?

Solusi Teorema 8.1? 'sia$/sia$ somorpisma( Jika

: =$ → $ 9 s#a$# isomorpisma, maka berlak#0

'i(

: ( ! )∗!

'ii(

: ( x

'iii(

: ( $ ) s#b&r#p dari G

−1

9

9 !dan! masin&/masin& iden$i$as di G dan G4

)=: ( x )−1 ∀ x ∈ $ Struktur Al Jabar @53@

JSL Teori GRUP

'i(

No Name

: ( S ) s#b&r#p dari

Jika S s#b&r#p dari G maka

: ($ )

#k$i0 'i(

: =$ → $ 9 s#a$# isomorpisma

Misalkan

∀ a ∈$

,

a . ! =a : ( a! )=: ( ! )

erlak#

a

¿

'pen2ore$an kiri(

! :¿ : ( ! ) =! 9 Jadi 'ii(

: ( ! )∗!

9

'sia$ konselasi(

9 !dan! masin&/masin& iden$i$as di G dan G4

: =$ → $ 9 s#a$# isomorpisma

Misalkan

∀ a ∈$

,

−1 −1 −1 −¿= ! = x x : ( x . x )= : ( ! ) = : ( x x ) erlak#0 ¿

x . x

: ( x ) : ( x : ( x

−1

)al ini berar$i Jadi

'iii(

: ( x

−1

−1

) =!9 = : ( x− ) : ( x ) 1

)=( : ( x ) )−1

)=: ( x )−1 ∀ x ∈ $

: ( $ ) s#b&r#p di G : ( $ ) diseb#$ monomorpisma -ika !arena

: sa$#/sa$#

: =$ → $ 9 s#a$# isomorpisma dan G4 &r#p, maka0

Sia$ %an& ada pada G4 -#&a berlak# di : ( $ ) ∴:

'i(

($ ) s#b&r#p dari G

S s#b&r#p di G

: ( $ ) mer#pakan monomorpisma Ar$in%a

: sa$#/sa$#

!arena

:

!arena

: ( $ ) mer#pakan monomorpisma

sa$#/sa$# maka

: ( $ ) -#&a sa$#/sa$#

Sehin&&a Jika S s#b&r#p dari G maka : ( S ) s#b&r#p dari Struktur Al Jabar @54@

: ($ )

JSL Teori GRUP

No Name

88. #k$ikan $eorema 8.13

Solusi Jika

: =$ → $ 9 s#a$# isomorpisma dan 2!r ( : )={ y ∈ $ , : ( g ) = !9 }

9

! unsur id!ntitas di$

maka0

2!r ( : ) mer#pakan s#b&r#p normal dari G #k$i0 Misalkan G dan G4 masin&/masin& &r#p dan : : $ → $ 9 s#a$# isomorpisma Misalkan e #ns#r iden$i$as di G dan e4 #ns#r iden$i$as di G4 Ses#ai deinisi 9 2!r ( : )={ y ∈ $ , : ( g )= ! } dan

: ( ! 9 )=! 9 ini berar$i

s#a$# isomorpisma, maka men#r#$ Teorema 8.1?

:

! ∈ 2!r ( : )

Jadi 2!r (: )≠ ∅ dan -elas 2!r ( : ) $ a , b ∈ 2!r ( : )

Selan-#$n%a ambil sebaran& Maka

: ( a ) =! 9 dan

Pandan&

: (a b

−1

: ( b ) = ! 9 .

) =: ( a ) . : ( b−1) −1

¿ : ( a) [ : ( ! ) } ¿ ! 9 ( ! 9 )

9

¿ ! 9 ! 4= e )al ini men#n-#kkan bah:a

ab

−1

∈ k!r

( : ) oleh karena i$# k!r ( : ) mer#pakan s#b&r#p dari G

.... '1( Selan-#$n%a -ika diambil sebaran&

:(g.k.g

−1

g ∈ $ dan

k ∈ 2!r ( : ) maka0

) =: ( g ) . : ( k ) .: ( g− ) 1

−1

¿ : ( g ) .! . [ : ( g ) ]


JSL Teori GRUP

No Name −1

¿ : ( g) [ : ( g ) ] ¿!

)al ini men#n-#kkan bah:a

∀ g∈$,g.k.g

−1

∈ 2!r ( : )

a$a# den&an ka$a lain

normal di G *ari '1( dan '"( disimp#lkanbah:a 2!r ( : ) s#bnormal dari G

1". Misalkan R himp#nan bilan&an real dan

¿

x 1 i ¿ 0 x nn x 2 i ¿ 0

¿ x 1 i ¿ 0 x nn ⋱ ¿0 $= { [ ¿ ] : x i# ∈ 1 ,|¿|≠ 0 } dan

$ = 1 \{ 0 }, T#n-#kkan0

a( 'G, Im( &r#p b(

' $ ,I( &r#p

2( Ada homorpisma ; : $→ $

Solusi a( 'G, Im( &r#p 'i(

'G, Im( $er$#$#p ∀ a , b ∈ 1 → a∗b ∈ 1

'ii(

Asosia$i ∀ a , b , c ∈ 1 → a x ( b x c ) =( a x b ) x c ∈ 1

'iii(

Memiliki iden$i$as %ai$# 1 a x 1 =1 x a= a

'i(

Memp#n%ai iners ∀ a ∈ 1 ∃ a

−1

∈ 1 ∋ a x a

−1

= a−1 x a= 1

b( ' $ ,I( &r#p Struktur Al Jabar @56@

2!r ( : )

penyelesaian-soal-latihan-teori-grup.docx

Recommend Documents