Pengujian Hipotesis.pdf

Modul Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli

Pengujian Hipotesis

Pengujian Hipotesis

|i

DAFTAR IISI Daftar Isi

............................................ ................................................................... .............................................. .......................................... ...................i

Tujuan Pembelajaran .................................... ........................................................... .............................................. ................................... ............ iii Bab I

Pendahuluan ............................................ ................................................................... .............................................. ............................. ...... 1 1.1 Latar Belakang ..................................... ............................................................ .............................................. ............................. ......1 1.2 Distribusi Sampling ....................................................... .............................................................................. .......................... ...1 1.3 Distribusi Normal .............................................................. .................................................................................... ......................2

Bab II Pendugaan Parameter Paramet er ............................................. .................................................................... ..................................... ..............4 2.1 Ciri-ciri Penduga yang Baik .............................................. .................................................................... ......................4 2.2 Penduga Titik ................................... .......................................................... .............................................. ................................. ..........5 2.2.1 Penduga Parameter Distribusi Normal ........................................ ........................................... ...5 2.2.2 Penduga Pen duga Paramater Pa ramater Distribusi Binomial........................... Binomial......................................... ..............7 2.3 Penduga Interval ......................................................... ................................................................................ ............................. ......8 2.3.1 Pendugaan Parameter dengan Sampel Besar .................................. ..................................9 2.3.2 Pendugaan Parameter dengan den gan Sampel Kecil (n<30) ....................21 Bab III Pengujian Hipotesis ........................................... .................................................................. ....................................... ................32 3.1 Jenis Kesalahan (Type of Error ) ............................................ ............................................................ ................32 3.2 Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis ............................................. ................................................. ....33 Bab IV Pengujian Hipotesis Hipo tesis Satu Populasi ........................................... ........................................................... ................35 4.1Pengujian Hipotesis Rata-rata Satu Populasi.......................... Popu lasi.......................................... ................36 4.2 Pengujian Penguj ian Hipotesis Hipot esis Varian Satu Populasi ............................................ ............................................42 4.3 Pengujian Hipotesis Proporsi Satu Populasi .......................................... ..........................................45 Bab V Pengujian Hipotesis Hipotesi s Dua Populasi ............................................ ............................................................ ................49 5.1 Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi Po pulasi ......................... ......................................... ................49 5.2 Pengujian Penguj ian Hipotesis Hipot esis Rata-rata Data Berpasangan ................................. .................................51 5.3 Pengujian Hipotesis Varian Dua Populasi ............................................. .............................................53 5.4 Pengujian Hipotesis Proporsi Dua Populasi Pop ulasi .............................. .......................................... ............55

Modul Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli - Badan Pusat Statistik

ii| P e n g u j i a n H i p o t e s i s

Bab VI Pengujian Hipotesis k Populasi .............................................. ............................................................... ................. 58 6.1 Pengujian Hipotesis Rata-rata k Populasi ........................................... ............................................. .. 58 6.1.1 Jumlah J umlah sampel s ampel tiap populasi sama ............................................. ............................................... .. 58 6.1.2 Jumlah Ju mlah sampel tiap populasi popu lasi tidak sama ...................................... ...................................... 62 6.2 Pengujian Hipotesis Varian k Populasi ................................................. ................................................. 64 6.3 Pengujian Hipotesis Proporsi k Populasi ............................................ .............................................. .. 66 Soal dan Pembahasan ............................................................... ...................................................................................... ............................. ...... 72 Daftar Pustaka ........................................... .................................................................. .............................................. ..................................... .............. 91


Pengujian Hipotesis

| iii

Tu juan P Pembela jaran Tu juan P Pembela jaran U Umum Setelah mempelajari materi ini, peserta dapat memahami konsep pendugaan parameter dan pengujian hipotesis serta mampu mengaplikasikannya dalam kasus-kasus real.

Tu juan P Pembela jaran K Khusus Setelah mempelajari materi ini secara khusus, peserta dapat: 1. Melakukan pendugaan pen dugaan titik dan d an interval terhadap parameter p arameter populasi. 2 Menguji hipotesis rata-rata populasi, untuk data besar dan kecil. 3. Menguji hipotesis proporsi populasi. 4. Menguji hipotesis varian populasi.


Pengujian Hipotesis

Bab II

|1

Pendahuluan 1.1 Latar Belakang

Suatu percobaan atau penelitian dengan mengambil sebagian dari seluruh unit populasi (data sampel) bertujuan untuk dapat menarik suatu kesimpulan tentang peristiwa atau fenomena yang sedang diselidiki.Berdasarkan hasil percobaan atau nilai-nilai sampel, ingin ditarik suatu kesimpulan tentang populasi dari mana sampel tersebut dipilih.Penarikan kesimpulan sedemikian mungkin dapat membentuk pendugaan tentang satu atau beberapa parameter, atau mungkin juga berhubungan dengan persoalan menerima atau menolak suatu hipotesis yang memberi spesifikasi tentang nilai dari satu atau beberapa parameter distribusi. Seperti diketahui bahwa dalam suatu populasi dikenal adanya parameter populasi.Parameter ini biasanya meliputi rata-rata populasi (µ), standar deviasi (σ), dan proporsi (p).Selanjutnya karena kendala biaya, tenaga atau waktu maka sering kali penelitian hanya dilakukan dengan sampel atau pengambilan sebagian dari seluruh unit populasi. Sedangkan nilai-nilai parameter populasi tersebut tidak akan didapat apabila data yang ada merupakan data sampel. Untuk memenuhi kebutuhan analisis, maka dilakukan langkah pendugaan (estimation) terhadap nilai-nilai parameter tersebut. Dari hasil penghitungan data sampel didapat statistik sampel yang meliputi rata-rata sampel x , standar deviasi sampel (s) dan proporsi sampel . Statistik sampel ini merupakan penduga (estimator) bagi parameter populasinya.

̂ 

1.2 Distribusi Sampling

Suatu populasi yang terdiri dari N elemen yang mempunyai rata-rata (µ), standar deviasi (σ), diambil sampel sebanyak n elemen. Bila cara pengambilan sampelnya dengan pengembalian (with replacement), maka banyaknya kemungkinan kelompok sampel yang bisa terjadi adalah N n. Sedangkan jika pengambilan sampelnya tanpa pengembalian (without replacement), maka banyaknya kemungkinan

 !!

sampel yang bisa terjadi adalah N C n

. Dari masing-masing

kelompok sampel tersebut dapat ditentukan rata-rata dan variannya. Misalnya rata-rata dari masing-masing kelompok sampel dinotasikan 2 2 2 x1 , x 2 , x 3 , …, dan variannya s1 , s 2 , s 3 , … Kumpulan dari x1 , x 2 , x 3 ,… membentuk distribusi sampling untuk rata-rata sampel dengan nilai rata-ratanya µx = µ. Sedangkan besaran variannya akan bergantung kepada cara pengambilan sampelnya. Apabila pengambilan sampelnya dengan


2| P e n g u j i a n H i p o t e s i s

pengembalian, maka variannya adalah σ x2 =σ 2 /n dan apabila pengambilan sampelnya tanpa pengembalian, maka variannya 2

σ x =

σ 2 N − n n N − 1

Jika N cukup besar maka kedua metode pengambilan sampel tersebut mempunyai nilai varian yang sama, yaitu σ x2 = σ 2 /n. Kumpulan dari 2 2 2 s1 , s 2 , s 3 , … membentuk distribusi sampling untuk varian sampel yaitu

(n − 1)s 2

2

χ −1

~

σ 2

n

2

2

(baca : distribusi sampling untuk varian (n-1) s / σ mengikuti distrubusi khi-kuadrat dengan derajat bebas(db) n-1) dimana merupakan notasi distribusi khi-kuadrat (chi-square) dengan db =

 n-1.

1.3 Distribusi Normal

Dalam distribusi teoritis sampling dikenal adanya peubah acak (random variable).Ada dua jenis peubah acak yaitu peubah acak diskrit dan kontinyu.Distribusi normal merupakan salah satu distribusi teoritis dari peubah acak kontinyu. Jika digambarkan, fungsi distribusi ini akan berbentuk suatu lonceng (genta), dimana fungsi distribusinya adalah : f ( x ) =

1

1  x − µ  −   2  σ 

2

e

σ 2π Distribusi normal bergantung pada dua parameter yaitu rata-rata ( µ µ ) 2 dan varian (σ ). Dari fungsi f(x) di atas dapat disimpulkan bahwa x mengikuti distribusi normal dengan rata-rata µ dan dan varian σ 2 atau di tulis dengan X ~ N ( µ ; σ 2 ) .

Dalam distribusi kontinyu, cara menghitung probabilitanya adalah dengan jalan mencari luas daerah di bawah kurvanya, dimana caranya f(x)) adalah dengan menghitung integral dari fungsi peubah acaknya ( f(x) dengan batas yang ada. Sayangnya distribusi normal mempunyai fungsi peubah acak yang tidak memiliki integral yang sederhana. Untuk memudahkan dalam penghitungan dilakukan suatu metode transformasi variabel, dengan cara membentuk variabel baru yaitu variabel Z dimana nilainya adalah : Z =

x − µ

σ


Pengujian Hipotesis

|3

Dari transformasi ini didapat rata-rata µ z = 0 dan varian σ z2 = 1 . Maka Z dikatakan mengikuti distribusi normal standar. Dalam distribusi ini nilai rata-rata dan variannya sudah baku yaitu µ = 0dan 2

σ = 1 , atau ditulis dengan notasi Z ~ N (0;1) . Fungsi dari variabel z adalah : f ( z ) =

1 2π

e

− (1 2 ) z 2

;−∞ < z < ∞

Nilai dari f ( z ) yang telah dihitung dan dibuatkan selanjutnya dikatakan tabel Z atau tabel normal standar.

tabelnya,


Bab II Pendugaan Parameter Untuk menarik kesimpulan tentang populasi dari hasil sampel maka dilakukan pendugaan terhadap parameter populasi atau mungkin juga berhubungan dengan persoalan menerima atau menolak hipotesis yang memberi spesifikasi tentang nilai dari satu atau beberapa parameter distribusi.Kuantitas sampel yang digunakan untuk menduga parameter populasi disebut sebagai penduga (estimator ).Penduga ).Penduga parameter terdiri dari 2 yaitu penduga titik ( point point estimation) dan penduga interval (interval estimation). 2.1 Ciri-ciri Penduga yang Baik

  

Misalkan θ adalah parameter populasi dan adalah adalah penduga parameter, maka seyogyanya peubah acak bervariasi tidak terlalu jauh sekitar θ yang konstan.Statistik penduga sedemikian itu umumnya dinilai sebagai “penduga yang baik”. 1. Tidak bias (Unbiased ) Penduga θ ˆ dikatakan penduga tak bias dari θ jika E (θ ˆ) = θ 2. Efisien Penduga θ ˆ sebaiknya memiliki varian yang kecil sekali. Hal itu dapat terlihat dengan menggunakan diagram atau membandingkan variannya.



Var (θ ˆ1 ) ˆ Efisien relatif jika jika dibandingkan dengan d engan θ = Var (θ ˆ2 )

3. Konsisten Penduga parameter yang konsisten merupakan penduga yang berkonsentrasi secara sempurna pada parameter jika sampel bertambah secara tidak terhingga. Secara matematis ditulis

l→im     0 4. Cukup (Sufficience)

Pengujian Hipotesis

|5

Jika ada X1, X 2, X 3, ….Xn, sehingga fungsi densitas bersyarat dari (X1, X2, X3, ….Xn) diberi simbol T, tidak bergantung pada θ . merupakan penduga yang cukup (sufficient estimator) bagi merupakan apabila mencakup seluruh informasi tentang θ yang yang terkandung di θ apabila dalam sampel.

 

5. Varian minimum (Minimum Variance) Jika

ada

beberapa



nilai

,

i=1,2,3,…n,



dimana

ˆ merupakan penduga dengan varian v(θ ˆ1 ) < v(θ ˆ2 ) < v(θ ˆ3 ) maka θ 1 minimum, dimana θ = nilai rata-rata populasi, dari sampel yang mungkin.

= nilai rata-rata

Untuk penjelasan lengkap bisa dilihat pada modul Teknik Sampling.

2.2 Penduga Titik

Dalam bagian ini akan dibahas pendugaan titik untuk distribusi yang sering dipakai yaitu distribusi normal dan binomial. 2.2.1 Penduga Parameter Distribusi Normal

Misalkan X1, X2, …, Xn adalah sampel acak dari suatu populasi berdistribusi normal dengan rata-rata dan varian tidak diketahui. Maka rata-rata sampelnya adalah X dan standar deviasinya adalah s 1. Penduga Rata-Rata (µX) Karena E ( X ) = µ X = µ X , maka penduga rata-ratanya adalah



2. Penduga Varian (

2

Karena E ( s ) = σ

2

X

ˆ X = X ˆ X = X dan µ µ )

dan σ

2

X

=

σ 2 X n

, maka penduga variannya

adalah ˆ σ

2

X

2

= s dan σ ˆ

2

X

=

s

2

n



Contoh : 1. Permintaan akan minyak (liter/bulan) di Kabupaten X diasumsikan berdistribusi normal. Untuk menduga rata-rata dan variannya diambil sampel sebanyak sepuluh rumahtangga dengan data sebagai berikut:

Rumah tangga Permintaan Minyak

1 3

2 4

3 5

4 6

5 6

6 7

7 8

8 9

9 10 10 10

Dari data di atas didapatkan rata-rata sampel = 6,8, standar deviasinya = 2,44, maka penduga rata-rata populasinya = 6,8 dan penduga varian populasinya = 5,96.

2. Dari 7 sampel suatu penelitian tentang berat badan (kg) siswa SMK kelas 3 diperoleh data, yaitu: 78 kg, 83 kg, 65 kg, 57 kg, 85 kg, 60 kg, 72 kg. Bila populasi siswa SMK menyebar normal. Hitung penduga rata-rata populasi dan penduga varian populasinya ! Penyelesaian n

∑x ˆ X ) = X = Penduga rata-rata ( µ

i =1

n

i

=

500 = 71,43 7

Penduga Varian

 n  x )2   ∑ ( x i - x) (σ X 2 ) = s 2 =  i =1 n − 1       

(78 − 71, 43)2 + (83 − 71, 43)2 + ... + (72 − 71, 43)2 = 7 −1 43,17 + 133, 86 + 41, 35 + 208, 25 25 + 184,15 + 130, 64 64 + 0, 32 741, 74 74 = = = 123,62 6 6


Pengujian Hipotesis

|7

2.2.2 Penduga Paramater Distribusi Binomial

Telah diketahui dari modul Teori Probabilita bahwa apabila X berdistribusi Binomial dengan parameter sukses adalah p, maka ratarata dan varian populasinya adalah: 2

µ X = np dan σ x = np(1 − p )

Pada umumnya, proporsi p di atas dapat diduga secara tidak bias dengan proporsi sampel pˆ = X / n dimana X menyatakan jumlah sukses yang diobservasi dan n menyatakan banyaknya sampel. Distribusi proporsi sampel sedemikian itu memiliki rata-rata p(1 − p) 2 E ( pˆ ) = µ pˆ = p dan varian σ pˆ = n sehingga penduga proporsi populasi adalah pˆ = X / n

penduga varian populasi adalah X 2 pˆ

σ =

pˆ (1 − pˆ ) n

= n

(1 −

X n

)

n

Contoh : 1. Jika sebuah sampel yang terdiri dari 900 unit barang-barang dipilih dari populasi yang terdiri dari semua barang-barang yang diproduksi oleh perusahaan Z yang mengikuti distribusi binomial. Dari sampel tersebut 576 unit produksi rusak, berapa penduga proporsi kerusakan dan varian populasinya? pˆ =

576 = 0,64 900 dan 1 − pˆ = 0,36

σ x2 = 900(0,64)(0,36) = 207,36

2

σ pˆ =

(0,64)(0,36) = 0,000256 900



2. Dari 50 butir telur yang dibeli Afika di toko ‘Berdikari’, ternyata ada 8 butir telur yang busuk. Jika diketahui telur-telur yang dijual di toko ‘Berdikari’ berdistribusi binomial, hitunglah berapa penduga proporsi yang busuk dan varian populasinya ? Penyelesain X = 8 ; n= 50.

Maka pˆ =

x n

=

8 = 0,16 dan σ p2ˆ = 50

pˆ (1 − pˆ ) n

=

0,16 (1 - 0, 0,16) 50

=

0,002688 3. Dari 70 karung berasmiskin (raskin) yang dibagikandi Desa ‘Madesu’, ternyata ada 11karung yang tidak layak konsumsi. Jika diketahui beras-beras tersebut berdistribusi binomial, hitunglah berapa penduga proporsi beras yang tidak layak dikonsumsi dan varian populasinya populasinya ? Penyelesain X = 11 ; n= 70.

Maka pˆ =

X n

=

11 70

= 0,157 dan σ p2ˆ =

pˆ (1 − pˆ ) n

=

0,157 (1 - 0, 0,157) 70

=

0,0019 2.3 Penduga Interval

Kelemahan nilai penduga titik adalah sukar sekali identik dengan parameter populasi dan tidak dapat mengukur derajat kepercayaan terhadap kepastian dugaan yang dilakukan.Oleh karena itu, pengukuran yang obyektif terhadap kepercayaan kepastian dugaan adalah dengan menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan interval sedemikian itu disebut interval kepercayaan (confidence interval) dan dirumuskan secara umum st − tabel × σ st < parameter < st + tabel × σ st

st

σst =

=

statistik sampel atau penduga standar deviasi sampel

tabel = nilai tabel berdasarkan distribusi yang cocok dengan sampel dan tingkat keyakinannya.


Pengujian Hipotesis

|9

Misalkan dalam pendugaan digunakan keyakinan sebesar 95 persen, berarti dalam jangka panjang akan menolerir kesalahan duga (error of estimate ) sebesar α=0,05 atau 5 persen. Gambar1. Distribusi Normal Sampel Sekitar Parameter Populasi dengan Interval Keyakinan 1-α Batas keyakinan Bawah

Interval keyakinan

Batas keyakinan atas

α /2 Zα /2

α /2 0

Zα /2

Untuk mempermudah pembahasan selanjutnya, maka akan diduga rata-rata populasi (µ), varian populasi (σ2) dengan jumlah unit populasi N, bila diketahui jumlah sampel adalah n, rata-rata sampel X , standar deviasi sampel s, tingkat kesalahan duga (α) dan tingkat keyakinan (1-α).

2.3.1 Pendugaan Parameter dengan Sampel Besar

Yang dimaksud sampel besar adalah apabila banyaknya sampel lebih besar dari 30 (n≥30). Pada pembahasan ini terbatas pada sampel yang diambil dari populasi yang berdistribusi Normal dan Binomial baik untuk satu populasi maupun dua populasi. 1. Pendugaan Parameter µ dengan σ Diketahui dan Populasi Tidak Terbatas P ( X − Z α / 2

σ n

< µ < X + Z α / 2

σ n

) = 1 − α

Zα /2 = nilai tabel normal untuk α /2 Contoh : 1. Dari data pada contoh 1 diketahui bahwa varian populasinya adalah 6 liter/bulan. Berapa interval keyakinan 95 persen rata-rata populasi permintaan minyak?



Diketahui: n= 10, X =6,8

σ2 = 6 makaσ =

√ 6

= 2,45

α=0,05 , 1-α = 0,95, Z0,025=1,96 P (6.8 − 1.96 ×

2, 45 10

< µ < 6.8 + 1.96 ×

2, 45 10

) = 0.95

P (5,28 < µ < 8,32) = 0.95

Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen rata-rata populasi permintaan minyak di Kabupaten X antara 5,28 dan 8,32 liter/bulan. 2. Sebuah biro pariwisata di Jakarta mengadakan penelitian tentang kepariwisataan di Indonesia dan ingin memperkirakan pengeluaran rata-rata para wistawan asing per kunjungannya di Indonesia. Dari data yang ada didapatkan statistik sampel sebagai berikut: n = 100, X =$ 800,- , σ = $120,- , α=0,05 , 1-α = 0,95, Z0,025=1,96



120



100

P 800 − 1.96 ×

< µ < 800 + 1.96 ×

120 

 = 0.95 100 

P (776.48 < µ < 823.53) = 0.95

3. Jika diketahui dari 15 sampel diperoleh rata-rata 7,6 dan ragam populasinya adalah 9. Berapakah nilai pendugaan parameter µ jika selang kepercayaan 95% ? Penyelesaian Diketahui Diketahui : n= 15; X = 7,6 7, 6 ; σ 2 = 9 maka σ = 9 = 3 α =0,05; 1-α =0,95; Zα / 2 = Z 0, 025 = 1,96



P  X − Zα / 2

σ



n

< µ < X + Zα / 2



3



15

P  7, 6 − 1, 96

σ   n

< µ < 7, 6 + 1, 96

3 



15 

P ( 6, 08 < µ < 9,12 )

Artinya, dengan selang kepercayaan 95 persen nilai pendugaan parameter dari data tersebut berada pada interval 6,08hingga9,12.


Pengujian Hipotesis

| 11

4. Dari suatu survei penggunaan minyak goreng selama seminggu, diambil sampel 100 ibu rumah tangga di suatu desa. Diperoleh angka rata-rata penggunaan minyak goreng sebesar 5 liter/minggu dengan standar deviasinya 3,23. Maka interval keyakinan 99% rata-rata penggunaan minyak goreng di desa tersebut ialah ... Penyelesaian Diketahui : n= 100; X = 5 ; σ = 3,23 α =0,01; 1-α =0,99; Zα / 2 = Z 0, 005 = 2,575



P  X − Zα / 2

σ



n

< µ < X + Zα / 2



3, 23



10 0

P  5 − 2, 575

σ   n

< µ < 5 + 2, 575

3, 23 



1 00 

P ( 4,19 < µ < 5, 83)

Artinya, dengan selang kepercayaan 95 persen nilai pendugaan rata-rata penggunaan minyak goreng di desa tersebut berada pada interval 4,19 hingga5,83 liter/minggu.

2. Pendugaan Parameter µ dengan σ Diketahui dan Populasi Terbatas

  

P X − Z α / 2

σ N − n n

N − 1

< µ < X + Z α / 2

σ N − n  n

 = 1 − α

N − 1 

Contoh : 1. Andaikan sampel acak sebesar n= 64 dan X = 0.1165 dipilih dari populasi yang terbatas sebesar N = 300 dan σ = 0.0120 maka pendugaan parameter µ dengan tingkat keyakinan 90 persen adalah: Z0,05=1,645   

P 0.11650 − 1.645 ×

0.0120 64

×

300 − 64 0.0120 300 − 64   = 0.90 < µ < 0.11650 + 1.645 × × 300 − 1 300 − 1  64

P(0.11382 < µ < 0.11918) = 0.90



2. Di suatu SMP yang yang memiliki 500 siswa, dilakukan penelitian mengenaitinggi mengenaitinggi rata-rata siswa. Dari 100 sampel terpilih, diperoleh rata-rata tinggi siswa adalah 155 cm. Jika simpangan baku populasinya 7 cm. a.) hitunglah interval keyakinan 95% rata-rata tinggi siwa di SMP tersebut. b.) hitunglah interval keyakinan 90% rata-rata tinggi siwa di SMP tersebut.

∝

Penyelesaian a. Diketahui: N= 500: n= 100; x = 155 ; σ = 7 ; =0,05 ; Zα /2 = Z 0,025 = 1,96 X − Zα /2

σ N − n n

N −1

< µ < X + Z α /2

σ

N −n

n

N −1

7 500 − 100 7 500 − 100 < µ < 155 + 1, 1, 96 100 500 − 1 100 500 − 1 154, 8772 < µ < 155,1228 Artinya, dengan selang kepercayaan 95 persen nilai pendugaan tinggi ratarata siswa di SMP tersebut berada pada interval 154,8772 hingga 155,1228 cm. 155 − 1, 1, 96

∝

b. Diketahui: N= 500: n= 100; x = 155 ; σ = 7 ; =0,1 ; Zα /2 = Z 0,05 = 1,645 X − Zα /2

σ N − n n

N −1

< µ < X + Z α /2

σ

N −n

n

N −1

7 500 − 100 7 500 − 100 < µ < 155 + 1, 645 100 500 − 1 100 500 − 1 154, 8367 < µ < 155,1633 Artinya, dengan selang kepercayaan 90 persen nilai pendugaan tinggi ratarata siswa di SMP tersebut berada pada interval 154,8367hingga 155,1633 cm. 155 −1 1,, 645


Pengujian Hipotesis

| 13

3. Pendugaan Parameter µ dengan σ Tidak Diketahui



s



n

P X − Z α / 2

< µ < X + Z α / 2

s 

 = 1 − α

n 

Contoh : 1. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 100 mahasiswa telah diambil dari sebuah universitas. Mereka diberi tes kecerdasan guna menentukan angka IQ-nya.Angka rata-rata IQ-nya 112 dengan standar deviasinya 11.Maka interval keyakinan 95 persen rata-rata IQ mahasiswa di universitas tersebut adalah:



11



100

P112 − 1.96 ×

< µ < 112 + 1.96 ×

11 

 = 0.95

100 

P (109.844 < µ < 114.156) = 0.95

2. Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir menghasilkan ratarata dan simpangan baku nilai mutu rata-rata sebesar berturut-turut 2,6 dan 0,3. Maka selang kepercayaan 95% bagi rata-rata nilai mutu ratarata seluruh mahasiswa tingkat akhir adalah :



0,3



36

P 2,6 − 1.96 ×

< µ < 2,6 + 1.96 ×

0,3 

 = 0.95 36 

P ( 2,50 < µ < 2,70) = 0.95

3. Dari 100 sampel rumah tangga survei biaya hidup (SBH) di desa Srimenanti. Diperoleh angka rata-rata pengeluaran rumah tangga (Rupiah) selama sebulan sebesar Rp 1.735.500,- dengan standar deviasinya sebesar Rp 323.000,-. Hitunglah selang kepercayaan 90% rata-rata pengeluaran rumah tanggadi desa tersebut ! Penyelesaian Diketahui: n= Zα /2 = Z 0,05 = 1,645 X − Zα /2

s n

∝

100; x = 1735500 ; σ = 323000 ; =0,1

< µ < X + Z α /2

1735500 − 1, 645

32 300 0

;

s n

< µ < 1735500 + 1, 645

32 30 00

1 00 10 0 1682366,5 < µ < 1788633,5



Artinya, dengan selang kepercayaan 90 persen nilai pendugaan rata-rata pengeluaran rumah tangga di desa Alai berada pada interval Rp 1.682.366,5hinggaRp 1.788.633,5. 4. Berdasarkan penelitianyang dilakukan oleh Koperasi di BPS Pusat. Dari 60 sampel pegawai yang melakukan peminjaman uang di bulan Maret 2012, diperoleh data nilai rata-rata peminjaman uang sebesar Rp 2.350.000,- dengan standar deviasinya sebesar Rp 450.000,-. Hitunglah selang kepercayaan 95% rata-rata peminjaman uang di Koperasi BPS Pusat !

∝

Penyelesaian Diketahui: n= Zα / 2 = Z 0, 025 = 1,96 X − Zα /2

s n

60; x = 2350000 ; σ = 450000 ; =0,05

< µ < X + Z α /2

2350000 − 1, 96

4 50 00 0

;

s n

< µ < 2350000 + 1, 96

4 50 00 0

60 60 2236134,3 < µ < 2463865,7 Artinya, dengan selang kepercayaan 95 persen nilai pendugaan rata-rata peminjaman uang di Koperasi BPS Pusat berada pada interval Rp 2.236.134,3hingga Rp 2.463.865,7.

4. Pendugaan Parameter Proporsi Proporsi p

Jika sampel acak dipilih dari populasi Binomial yang besar, maka pendugaan parameter p dapat dilakukan dengan menggunakan proporsi sampel pˆ = X / n . Interval keyakinan untuk p adalah

  

P pˆ − Z α / 2

pˆ (1 − pˆ ) n

< p < pˆ + Z α / 2

pˆ (1 − pˆ )  n

 = 1 − α  

 X X X X   (1 − ) (1 − )  X n < p < X + Z n n  = 1 − α P − Z α / 2 n α / 2 n  n n n     Contoh : 1. Dinas Kesehatan Kota ingin sekali meneliti persentase penduduk kotadewasa yang merokok paling sedikit satu bungkus per hari. Sebuah sampel acak sebesar n=300 telah dipilih dari populasi yang


Pengujian Hipotesis

| 15

terdiri dari penduduk kota yang telah dewasa dan ternyata 36 orang merokok paling sedikit satu bungkus per hari. Maka interval keyakinan 95 persen orang yang merokok satu pak per hari adalah pˆ = X / n = 36/300 = 0.12



P 0.12 − 1.96 ×



(0.12)(0.88) (0.12)(0.88)   = 0.95 < p < 0.12 + 1.96 ×  300 300 

P(0.083 < p < 0.157) = 0.95

Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen, orang dewasa yang merokok minimal satu bungkus per hari di kota tersebut antara 8.3 sampai 15.7 persen. 2. Dari suatu contoh acak 500 orang yang makan siang di sebuah restoran selama beberapa hari Jumat, diperoleh informasi bahwa terdapat 160 orang yang menyukai makanan laut. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya orang yang menyukai makanan laut untuk makan siangnya pada hari Jumat di restoran ini !

 ,  1,96   150060  0,32

Diketahui : n = 500 ;

Maka, selang kepercayaannya adalah :

  

P 0.32 − 1.96 ×

(0.32)(0.68) (0.32)(0.68)   = 0.95 < p < 0.32 + 1.96 ×  500 500 

P (0.28 < p < 0.36) = 0.95

Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen, orang yang menyukai makanan laut untuk makan siangnya pada hari Jumat di restoran tersebut antara 28 sampai 36 persen.

3. Dari suatu sampel 300 pengunjung di suatu cafe selama satu minggu, diperoleh informasi bahwa terdapat 91 orang yang menyukai kopi mocca dibandingkan kopi hitam. Tentukan selang kepercayaan 90%proporsi sesungguhnya bagi pengunjung cafe yang menyukai kopi mocca !



Penyelesaian Diketahui: X= 91; n= 300; pˆ =

X n

=

91 300

∝

= 0,303 ; 1- pˆ =0,697 ; =0,1 ;

Zα / 2 = Z 0, 005 = 1,645

pˆ − Zα /2

0, 303 − 1, 645

pˆ (1 − pˆ )

< p < pˆ + Z α /2

n

0, 303 (1 − 0, 303) 30 0

pˆ (1 − pˆ ) n

0, 303( 1 − 0, 303)

< p < 0, 303 + 1, 645

30 0 0,259 < p < 0,347 Artinya, dengan selang kepercayaan 90%, proporsi pengunjung cafe yang menyukai kopi mocca berada pada interval 26% hingga 35%.

5. Pendugaan Parameter µ1-µ2, σ1 dan σ2 Diketahui 

P X 1 − X 2 − Z α / 2

 

σ 12 n1

+

σ 22 n2

< µ 1 − µ 2 < X 1 − X 2 + Z α / 2

σ 12 n1

+

σ 22  n2 

= 1 − α



Contoh :

1. Suatu ujian kimia diberikan pada 50 siswa perempuan dan 75 siswa laki-laki. Siswa-siswa perempuan mencapai rata-rata 76 dengan simpangan baku 6, sedangkan siswa laki-laki memperoleh rata-rata 82 dengan simpangan baku 8. Tentukan selang kepercayaan 96% bagi beda , dalam hal ini adalah rata-rata skor semua siswa lakilaki dan adalah rata-rata skor semua siswa perempuan yang mungkin mengambil ujian ini.

 

 ̅  82 ;   8 ;   75  ̅  75 ;   6 ;   50 ,  2,05

Diketahui :

Z α / 2 =

Maka, selang kepercayaannya adalah :   

P (82 − 76) − 2,05

64 75

+

36 50

< µ 1 − µ 2 < (82 − 76) + 2,05

64 75

+

36 

 = 0,96

50 

P(3,43 < µ 1 − µ 2 < 8,57 ) = 0,96

Artinya dengan tingkat kepercayaan 96%, beda rata-rata skor siswa laki-laki dan siswa perempuan antara 3,43 sampai 8,57.




Pengujian Hipotesis

2.

| 17

Suatu motor automatic merk terbaru ingin diujicobakan kepada konsumen untuk mengetahui minat pasar, diambil sampel sebanyak 60 wanita dan 75 pria. Dari 80 sampel wanita tersebut diperoleh nilai rata-rata 7,8 dengan simpangan baku 2,1, sedangkandari 75 sampel pria diperoleh nilai rata-rata 6,6 dengan simpangan baku 3,4. Tentukan selang kepercayaan 98% bagi beda 1- 2, jika diketahui 1 adalah nilai rata-rata penilaian motor dari 60 sampel wanita dan 2 adalah nilai rata-rata penilaian motor dari 75 sampel pria ! Penyelesaian 2 2 Diketahui: n1 = 80 x1 = 7,8 σ 1 = 2,1 =4,41 α = 2% 2 2 Z 0,01 = 2,33 σ 2 = 3,4 =11,56 n2 = 75 x 2 = 6,6

μμ

μμ

( X 1 − X 2 ) − Zα / 2

σ 12 n1

+

σ 22 n2

< µ1 − µ 2 < ( X 1 − X 2 ) + Z α / 2

σ 12 n1

+

σ 22

n2

4, 41 11 1 1, 56 4, 41 11 1 1, 56 + < µ1 − µ 2 < ( 7, 8 − 6, 6 ) + 2, 33 + 80 75 80 75

6 , 6 ) − 2, 33 ( 7, 8 − 6,

0,134 < µ1 − µ 2 < 2, 266 Artinya dengan tingkat kepercayaan 98%, beda rata-rata penilaian motor dari wanita dan pria berada antara 0,134 hingga 2,266. 3.

Suatu stasiun tv ingin mengetahui persepsi penonton terhadap acara-acara yang disajikan. Dari pengamatan selama satu minggu terhadap 60 sampel rumah tangga di desa Talang Balai diperoleh nilai rata-rata 8,5 dengan simpangan baku 3,3, sedangkan dari 70 sampel di desa Alai diperoleh nilai rata-rata 7,4 dengan simpangan baku 1,7. Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda 1- 2, jika diketahui 1 adalah nilai rata-rata penilaian di desa Huta Tonga dan 2 adalah nilai rata-rata penilaian di desa Laru Baringin !

μμ

μ μ

Penyelesaian Diketahui: n1 = 60 α = 10% n2 = 70 x 2 = 8,5

2

σ 12 = 3,3 =10,89

x1 = 7,4 2

σ 22 = 1,7 =2,89

Zα / 2 = Z 0, 05 = 1,645

( X 1 − X 2 ) − Zα / 2

σ 12 n1

+

σ 22 n2

< µ1 − µ 2 < ( X 1 − X 2 ) + Z α / 2

σ 12 n1

+

σ 22 n2



( 8, 5 − 7, 4 ) − 1, 645

10, 89 60

+

2, 89 70

< µ1 − µ 2 < ( 8, 5 − 7, 4 ) + 1, 645

10, 89 60

0, 324 < µ1 − µ 2 < 1, 876 Artinya dengan tingkat kepercayaan 90%, beda rata-rata penilaian persepsi penonton kepadastasiun tv tersebut dari desa Talang Balai dan desa Alai berada antara 0,324 hingga 1,876. 6. Pendugaan Parameter p1-p2, σp1-p2 Diketahui P ( pˆ 1 − pˆ 2 − Z α / 2 × σ p1− p 2 < p1 − p 2 < pˆ 1 − pˆ 2 + Z α / 2 × σ p1− p 2 ) = 1 − α

dengan σ p1− p 2 =

p1 (1 − p1 ) n1

+

p 2 (1 − p 2 ) n2

Pada umumnya, parameter p1 dan p2 tidak diketahui sehingga harus diduga dengan pˆ 1 dan pˆ 2 sehingga penduga variannya adalah

ˆ p1− p 2 = σ

pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n1

+

pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n2

Contoh : Suatu pengumpulan pendapat umum dilakukan terhadap penduduk kota dan penduduk di sekitar kota tersebut untuk menyelidiki kemungkinan diajukannya rencana pembangunan suatu kompleks gedung serba guna. Bila 2400 di antara 5000 penduduk kota dan 1200 di antara 2000 penduduk di sekitar kota tersebut yang diwawancarai menyetujui rencana tersebut, buat selang kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenarnya yang menyetujui rencana tersebut.

̂̂   2400  0, 4 8 5000 , /1200 2000  , 0, 61,0 645

Diketahui :


+

2, 89 70

Pengujian Hipotesis

| 19

Maka selang kepercayaannya adalah :

 0,0,480,600 1,645 0,0,45000880,52  0,0,62000000,40      0,480,600 1,645 0,0,45000880,52  0,0,62000000,40   0,90

0,0,1414      0,0986986  0,90

Karena kedua titik ujung selangnya negative, maka kita juga dapat menyimpulkan bahwa proporsi penduduk sekitar kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar daripada proporsi penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut, dengan tingkat keyakinan 90%.

2. Suatu perusahaan rokok ternama ingin memasarkan produk terbarunya terhadap penduduk Kota Sorong dan penduduk Kabupaten Manokwari.untuk itu dilakukan pengujian awal. Ternyata 320 di antara 500 penduduk Kota Sorong, dan 220 di antara 450 penduduk Kabupaten Manokwarimenyukairokok rasa baru tersebut. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih proporsi penduduk sebenarnya yang menyukai rokok rasa baru tersebut, jika diketahui 1 adalah proporsi penduduk di Kota Sorong dan 2 adalah proporsi penduduk di Kabupaten Manokwari!

p

p

Penyelesaian Diketahui: n1 = 500 n2 = 450 pˆ1 =

( pˆ1 − pˆ 2 ) − Zα / 2

x1 n1

=

x 2 = 220 32 0 500

pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n1

( 0, 64 − 0, 489 ) − 1, 645

x1 = 320

Zα / 2 = Z 0, 05 = 1,645

= 0,64 pˆ 2 =

+

pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n2

0, 64 (1 − 0, 64 ) 50 0

+

x2 n2

=

22 0 450

= 0,489

< p1 − p2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + Z α / 2 0, 489 (1 − 0, 489 ) 45 0

0, 64 ( 0, 0, 36 ) 50 0

+

0, 489 ( 0, 0, 511) 4 50

pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n1

+

pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n2

< p1 − p2 <

0 , 64 − 0, 489 ) + 1, 645 ( 0,

( 0,151) − 1, 645

α = 10%

0, 64 (1 − 0, 64 ) 50 0

< p1 − p2 < ( 0,151) + 1, 645

+

0, 489 (1 − 0, 489 )

0, 64( 0, 0, 36) 5 00

45 0

+

0, 489( 0, 0, 511)


4 50


( 0,151) − 0, 0524 < p1 − p2 < ( 0,151) + 0, 0524 0, 0986 < p1 − p2 < 0, 2034 Artinya dengan tingkat kepercayaan 90%, selisih proporsi penduduk yang menyukai rokok rasa baru tersebut berada antara 9,86% hingga 20,34%, dimana proporsi penduduk Kota Sorong yang menyukai rokok rasa baru lebih besar daripada proporsi penduduk Kabupaten Manokwari. 3.

Suatu pengumpulan pendapat umum dilakukan terhadap penduduk kota dan di pinggiran kota untuk menyelidiki kemungkinan didirikannya suatu pabrik kimia. Ternyata 2400 di antara 5000 penduduk kota, dan 1200 di antara 3000 penduduk di pinggiran kota menyetujui rencana tersebut. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenarnya yang menyetujui rencana tersebutjika diketahui 1 adalah proporsi penduduk kota dan 2 adalah proporsi penduduk di pinggiran kota !

p

Penyelesaian Diketahui: n1 = 5000 n2 = 3000 pˆ1 =

( pˆ1 − pˆ 2 ) − Zα / 2

p

x 2 = 1200 x1 n1

=

2 40 0 5000

pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n1

( 0, 48 − 0, 4 ) − 1, 645

α = 10%

x1 = 2400

Zα / 2 = Z 0, 05 = 1,645

= 0,48

+

pˆ 2 =

pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n2

0, 48 (1 − 0, 48) 50 00

x2 n2

1 20 0 3000

= 0, 4

< p1 − p2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + Z α / 2 +

0, 4 (1 − 0, 4) 3 00 0

0, 48 ( 0, 52 )

+

0, 4 ( 0, 6)

pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n1

+

pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n2

< p1 − p2 <

0 , 48 − 0, 4 ) + 1, 645 ( 0,

( 0, 08) − 1, 645

=

0, 48 (1 − 0, 48)

< p1 − p2 < ( 0, 08) + 1, 645

5 00 0 3 00 0 ( 0, 08) − 0, 0114 < p1 − p2 < ( 0, 08 ) + 0, 0114

50 0 0

+

0, 48( 0, 52) 50 00

0, 0686 < p1 − p2 < 0, 0914 Artinya dengan tingkat kepercayaan 90%, selisih proporsi penduduk yang menyetujui didirikannya pabrik kimia berada antara 6,86% hingga 9,14%, dimana proporsi penduduk kota yang menyetujui didirikannya pabrik kimia lebih besar daripada proporsi penduduk pinggiran kota.


0, 4 (1 − 0, 4 ) 3 00 0

+

0, 4( 0, 6) 30 00

Pengujian Hipotesis

| 21

2.3.2 Pendugaan Parameter dengan Sampel Kecil (n<30)

Untuk sampel besar apabila varian populasi tidak diketahui maka bisa diduga dengan s2akan memperoleh hasil dugaan yang memuaskan. Sebaliknya jika sampel kecil (n<30) maka dilakukan dengan distribusi student-t yang variabelnya distandarisasi dan diberikan sebagai t =

X − µ s n

1. Pendugaan Parameter µ dengan σ Tidak Diketahui dan Populasi Tidak Terbatas P ( X − t (α / 2 , n −1)

⁄2 ,   1

s n

< µ < X + t (α / 2, n −1)

s n

) = 1 − α

= nilai tabel student-t untuk α /2 dengan = d engan db = n -

1

Contoh : 1. Tujuh kantong besar diambil secara acak dari suatu penyalur beras dimana masing-masing beratnya (kg) : 9,8 10,2 10,4 9,8 10,0 10,2 9,6. Berapakah 95% selang kepercayaan untuk rata-rata berat kantong beras di penyalur tersebut, jika dianggap kantong-kantong beras tersebut sebarannya mendekati normal. Banyaknya sampel=7, Rata-rata=10 kg, Simpangan Baku= 0.283 Nilai tabel t0.025 ; (7-1) (tabel student-t untuk α = 0.025 dan n − 1 = 6 ) adalah 2.447 adalah



0,283



7

P10 − 2,447 ×

< µ < 10 + 2,447 ×

0,283 

 = 0,95

7 

P (9,74 < µ < 10,26) = 0,95

Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen, rata-rata populasi berat kantong adalah antara 9.74 dan 10.26 kg.

2.

Diketahui isi 7 botol asam sulfat (liter) di suatu pabrik kimia adalah:



10,8 9,2 10,8 9,8 9,5 10,1 9,6 Tentukan selang kepercayaan 90% untuk rata-rata isi semua botol bila distribusinya dianggap normal. Penyelesaian Diketahui: n= 7: α = 10% tα / 2 :n −1 = t 0, 05 :6 = 1,943 ; X = 9, 97; s = 0, 629 s

X − t(α / 2, n −1)

9, 97 − t( 0, 05:6 ) 9, 97 − 1, 943

< µ < X + t (α / 2, n −1)

n 0, 629

0, 629

7

s n

< µ < 9, 97 + t ( 0, 05:6 )

< µ < 9, 97 + 1, 943

0, 629 7

0, 629

7 7 9, 508 < µ < 10, 432 Artinya dengan tingkat kepercayaan 90 persen, rata-rata populasi isi botol asam sulfat adalah antara 9,508 hingga 10,432 3.

Rata-rata Indeks Prestasi (IP) sampel acak 26 mahasiswa STIS tingkat I adalah 2,9 dengan simpangan bakunya 0,5. Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata IP semua mahasiswa STIS tingkat I. Penyelesaian Diketahui: n= 26: α = 5% tα / 2 :n −1 = t 0, 025 :25 = 2,06 ; x = 2, 9; s = 0, 5 s

X − t(α / 2, n −1)

n

2, 9 − t( 0, 025:25) 2, 9 − 2, 06

< µ < X + t (α / 2, n −1)

0, 5

0, 5

26

s n

< µ < 2, 9 + t ( 0 , 025:25)

< µ < 2, 9 + 2, 06

0, 5 26

0, 5

26 26 2, 698 < µ < 3,102 Artinya dengan tingkat kepercayaan 95 persen, rata-rata IP semua mahasiswa STIS tingkat I adalah antara 2,698 hingga 3,102


Pengujian Hipotesis

| 23

2. Pendugaan Parameter µ dengan σ Tidak Diketahui dan Populasi Terbatas

  

P X − t (α / 2;n −1)

s

N − n

n

N − 1

< µ < X + t (α / 2; n−1)

N − n 

s

 = 1 − α n N − 1 

Contoh : 1. Pihak akademik fakultas ekonomi suatu universitas ingin mengetahui bahwa rata-rata angka hasil ujian bahasa Inggris mahasiswa persiapan. Suatu sampel yang terdiri dari 14 nilai hasil ujian mahasiswa persiapan telah terpilih dari nilai hasil ujian sebanyak 90 mahasiswa.Rata-rata sampelnya 75.6 dan standar deviasi 2.65. Interval keyakinan sebesar 95 persen untuk rata-rata seluruh mahasiswa adalah: t0,025;13=2.160   

P 75,6 − 2,16 ×

2,65 14

×

90 − 14 30 − 1

< µ < 75,6 + 2,16 ×

2,65 14

90 − 14 

 = 0,95

×

30 − 1 

P (74,2 < µ < 77,0) = 0,95

Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen nilai rata-rata ujian mahasiswa berada pada interval 74,2 dan 77,0.

2.

Seorang ahli botani ingin mengetahui tingkat pertumbuhan tanaman-tanaman (mm)di kebunnya selama seminggu. Dari 100 tanaman diambil sampel sebanyak 24tanaman, nilai rata-rata pertumbuhan dari sampel yang diambil ialah 28,3 mm dan standar deviasi 6,8 mm. Berapakah selang kepercayaan sebesar 95 % untuk nilai rata-rata murid kelas tersebut ? Penyelesaian Diketahui: N=100; n= 24:α = 5% tα / 2 :n −1 = t 0, 025 :23 = 2,069 ; x = 28, 3; s = 6, 8 X − t(α / 2 ;n −1)

s

N −n

n

N − 1

28, 3 − t( 0, 025; 23) 28, 3 − 2, 069

6, 8 24

6, 8

< µ < X + t (α / 2;n −1)

1 00 − 2 4 1 00 − 1 10 0 − 24

2 4 10 0 − 1 27, 083 < µ < 29, 516

s

N −n

n

N − 1

< µ < 28, 3 + t ( 0, 025; 23)

< µ < 28, 3 + 2, 069

6, 8

1 00 − 2 4

24

1 00 − 1

6, 8

100 − 24

24

1 00 − 1



Artinya dengan tingkat kepercayaan 95% nilai rata-rata pertumbuhan tanaman-tanaman di kebun tersebut berada antara 27,083 mm hingga 29,516 mm. 3. Seorang Dosen Statistik ingin mengetahui tingkat pemahaman murid dengan memberikan ujian. Di suatu kelas yang terdiri dari 65 murid diambil sampel 15 murid, nilai rata-rata ujian dari sampel yang diambil ialah 78,3 dan standar deviasi 7,5. Berapakah selang kepercayaan sebesar 95 % untuk nilai rata-rata murid kelas tersebut ? Penyelesaian Diketahui: N=65; n= 15: α = 5% tα / 2 :n −1 = t 0,0 25 :14 = 2,145 ; x = 78, 3; s = 7, 5 X − t(α / 2 ;n −1)

s

N −n

n

N − 1

78, 3 − t( 0 , 025;14 ) 78, 3 − 2,145

7, 5

< µ < X + t (α / 2;n −1)

7, 5

65 − 15

15

65 − 1

50

s

N −n

n

N − 1

< µ < 78, 3 + t ( 0, 025;14 )

< µ < 78, 3 + 2,145

7, 5

7, 5

6 5 − 15

15

65 − 1

50

15 64 1 5 64 74, 69 < µ < 81, 97 Artinya dengan tingkat kepercayaan 95% nilai rata-rata murid di kelas tersebut berada antara 74,69 hingga 81,97. 3.

Pendugaan Parameter Proporsi p

Jika sampel acak dipilih dari populasi Binomial, pendugaan parameter p dapat dilakukan dengan menggunakan proporsi sampel pˆ = X / n . Maka interval keyakinan untuk p

   ;  1       ;  1   1   Contoh : 1. Dinas Kesehatan Kota ingin meneliti persentase penduduk kota dewasa yang merokok paling tidak satu bungkus per hari. Sebuah sampel acak sebesar n=25 telah dipilih dari populasi yang terdiri dari penduduk kota yang telah dewasa dan ternyata 5 orang merokok paling sedikit satu bungkus perhari. Maka interval keyakinan 95 persen orang yang merokok satu bungkus per hari adalah pˆ = X / n = 5/25 = 0.2; t(0.025;24)=2.064


Pengujian Hipotesis

  

P 0.2 − 2.064 ×

| 25

(0.2)(0.8) (0.2)(0.8)   = 0.95 < p < 0.2 + 2.064 ×  25 25  P (0.035 < p < 0.37) = 0.95

Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen, orang dewasa yang merokok minimal satu bungkus per hari di kota tersebut antara 3,5 sampai 37 persen.

2. Dari suatu sampel acak 28rumah tangga yang memiliki TV disuatu desa, ditemukan bahwa 21 rumahtanggay ang memiliki TV berwarna. Tentukan selang kepercayan 99% bagi proporsi sesungguhnya dari rumahtangga yang memiliki TV berwarna di desatersebut ! Penyelesaian Diketahui: n = 28 X = 21 α = 1% tα / 2 :n −1 = t 0, 005 :27 = 2,771 X n

21 28

− t(α / 2;n −1)

− t( 0, 005; 27 )

X  X − 1  n n  < p < X + t (α / 2; n −1) n n

21  21  1−   21 28  28  < p< + t ( 0, 005; 27 ) 28 28

X X  − 1  n n  n

21  21  1−   28  28  28

21  7  21  7      21 21 28  28  28  28  − 2, 771 < p < + 2, 771 28 28 28 28 0, 523 < p < 0, 977 Artinya dengan tingkat kepercayaan 99 persen, proporsi rumahtangga yang memiliki tv berwarna di desa tersebut antara 52,3 hingga 97,7 persen.

3.

Dari suatu sampel acak 25mahasiswa STIS, ditemukan bahwa 14mahasiswamemiliki laptop. Tentukan selang kepercayan 90% bagi proporsi sesungguhnya dari mahasiswa STIS yang memiliki laptop!



Penyelesaian Diketahui: n = 25 X = 14 α = 10% tα / 2 :n −1 = t 0, 05 :24 = 1,711 X n

14 25

− t(α / 2;n −1)

− t(0, 05; 24)

X  X 1−   X n n < p < + t (α / 2;n −1) n n

X X  1−   n n n

1 4  14  14  14  1 −  25   1 − 25  25  25   < p < 14 + t  ( 0, 05; 24 ) 25 25 25

14  11  14  11      14 14 25  25  25  25  − 1, 711 < p < + 1, 711 25 25 25 25 0, 39 < p < 0, 73 Artinya dengan tingkat kepercayaan 90 persen, proporsi mahasiswa STIS yang memiliki laptop antara 39 hingga 73 persen. 4.

Pendugaan Parameter µ1-µ2, σ1 dan σ2 Tidak Diketahui

a. Jika σ1 = σ2 = σ   

P X 1 − X 2 − t (α / 2; n1+ n 2 − 2 ) s p

1 n1

+

1 n2

< µ 1 − µ 2 < X 1 − X 2 + t (α / 2; n1+ n 2 − 2 ) s p

dengan s p =

1 n1

+

1 

 = 1 − α

n 2 

( n1 − 1) s12 + (n 2 − 1) s 22 n1 + n 2 − 2

Contoh : 1. Sebuah sampel acak sebesar n1=7 dipiih dari populasi normal dengan 6µ1 sedangkan sampel acak sebesar n2=6 dipilih dari populasi normal dengan µ2. Hasil observasinya adalah sebagai berikut: X1 X2

57,8 64,2

56,2 58,7

61,9 63,1

54,4 62,5

  7; ̅  56,21;1;   9,02   6; ̅  61,25;   5,296 Modul Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli - Badan Pusat Statistik

53,6 59,8

56,4 59,2

53,2

Pengujian Hipotesis

s p =

| 27

6(9,02) + 5(5,296) = 2,7069 7+6−2

Maka interval keyakinannya adalah : t0,025;7+6-2=2,201   

P 5,04 − 2,201(2,7069) ×

1 7

+

1 6

< µ 1 − µ 2 < 5,04 + 2, 201(2,7069) ×

1 7

+

1 

 = 0,95

6 

P (1,7386 < µ 1 − µ 2 < 8,354 ) = 0,95

Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen perbedaan rata-rata antara dua populasi berkisar antara 1,7386 sampai 8,354, hal ini bisa diartikan pula bahwa ada perbedaan rata-rata antara dua populasi. 2. Materi pendugaan dan pengujian hipotesis diberikan pada 12 siswa dengan metode pengajaran yang biasa. Materi yang sama diberikan pula pada 10 siswa tetapi dengan metode pengajaran yang menggunakan bahan yang telah diprogramkan. Kedua kelas tersebut diberikan ujian yang sama. Kelas yang pertama mencapai nilai ratarata 85 dengan simpangan baku 4, sedangkan kelas yang kedua mencapai nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih antara kedua rata-rata populasi, bila diasumsikan kedua populasi menyebar menghampiri normal dengan ragam yang sama.

̅  85 ;   4 ;   12  ̅  81 ;   5 ;   10

Diketahui :

(12 − 1).4 2 + (10 − 1).52 = 4,478 s p = 12 + 10 − 2

t0,05;12+10-2 =1,725   

P (85 − 81) − 1,725( 4,478) ×

1 1 1 1  + < µ 1 − µ 2 < (85 − 81) + 1,725(4,478) × +  = 0.90 12 10 12 10 

P ( 0,69 < µ 1 − µ 2 < 7,31) = 0.90

Kedua ujung selang interval yang positif menunjukkan bahwa metode pengajaran biasa untuk materi pendugaan dan pengujian hipotesis lebih unggul daripada metode pengajaran dengan menggunakan bahan terprogramkan, dengan tingkat keyakinan 90 persen.



b.

Jika σ1≠σ2   

P X 1 − X 2 − t (α / 2; df )

2

s1

n1 − 1

2

+

s2

n2 − 1

2

< µ 1 − µ 2 < X 1 − X 2 + t (α / 2; df )

s1

n1 − 1

+

2 s2 

n2 − 1 

= 1 − α

dimana db adalah derajat bebas untuk distribusi t; ada beberapa pendapat mengenai derajat bebas: a. Menurut Behren dan Fisher Fisher 2

 s12 s22  n +n   1 2  db = 2 2  s12   s22       n1  +  n2  n1 − 1

n2 − 1

b. Menurut Torrie and Steel Jika n1=n2= n, maka db =n-1



Jika n1≠n2 maka penentuan tα /2 secara langsung dapat menggunakan rumus Cochran dan Cox sebagai berikut



2

s1 t ' =

n1

2

t (α / 2;n1 −1) + s12 n1

+

s2

n2

t (α / 2; n2 −1)

s 22 n2

Contoh (menggunakan teori Behren dan Fisher ) : Catatan selama 15 tahun terakhir menunjukkan bahwa curah hujan rata-rata di kota A selama bulan Mei adalah 4,93 sentimeter, dengan simpangan baku 1,14 sentimeter. Di kota B, catatan serupa selama 10 tahun terakhir menunjukkan bahwa curah hujan rata-rata di bulan Mei adalah 2,64 sentimeter dengan simpangan baku 0,66 sentimeter. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih curah hujan rata-rata yang sebenarnya selama bulan Mei di kedua daerah tersebut, bila diasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan itu berasal dari dua populasi normal dengan ragam yang berbeda.

̅  4,93 ; ̅  1,14 ;   15   2,64 ;   0,66 ;  10

Diketahui :


Pengujian Hipotesis

| 29

     1,1415 0,6610  22,7  23 ,  , t0,025;23 = 2,069

Maka, selang intervalnya adalah :

  

P ( 4,93 − 2,64) − 2,069

1,14 0,66 1,14 0,66   = 0,95 + < µ A − µ B < (4,93 − 2,64) + 2,069 + 14 9 14 9 

P (1,54 < µ A − µ B < 3,04 ) = 0,95

Jadi, dengan tingkat keyakinan 95% dapat disimpulkan bahwa selisih ratarata curah hujan antara kota A dan kota B selama bulan Mei antara 1,54 sampai 3,04 sentimeter. Rata-rata curah hujan di kota A selama bulan Mei lebih tinggi daripada di kota B.

Contoh (menggunakan teori Torrie dan Steel) :

Sebuah sampel acak sebesar n1=7 dipilih dari populasi normal pertama dengan rata-rataµ1 sedangkan sampel acak sebesar n2=6 dipilih dari populasi normal kedua dengan rata-rataµ2. Jika diketahui statistik berikut:

̅  56,21;   40,12; ,;  2,447 ̅  61,25;   6,95; ,;  2,571 t 0,025

40,2 6,95 2,447 + 2,571 7 6 = = 2,468 40,12 6,95 + 7 6

Interval keyakinan 95 persen adalah   

P 5,04 − 2,468 ×

40,12 7 −1

+

6,95 6 −1

< µ 1 − µ 2 < 5,04 + 2,468 ×

40,12 7 −1

+

6,95 

 = 0,95

6 − 1 

P ( − 1.97 < µ 1 − µ 2 < 12 .05 ) = 0 .95



Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen perbedaan rata-rata antara dua populasi berkisar antara –1,97 sampai 12,05.

2

5. Pendugaan Parameter Untuk Varian (σ ) 2   (n − 1)s 2 ( − 1 ) n s 2  < σ < 2 P 2  χ 2( / 2;n 1)  χ 1(1−α / 2; n −1)   α −

χ2(α /2;n-1) adalah nilai tabel chi-square pada tingkat signifikansi α dan derajat bebas n-1. Contoh :

1. Seorang analis pasar memilih sebuah sampel yang terdiri dari 20 buah pasar dalam suatu kota besar guna menentukan berapa besar variasi harga daging. Dari sampel diperoleh rata-rata = $92 dan standar deviasi = $8. Untuk memperkirakan variasi harga daging digunakan pendugaan interval untuk varian. Misal α=0,05 Dari tabel didapatkan χ2(0.025;20-1) = 32.85, χ2(0.975;20-1) = 8.91

 (20 − 1)8 2 (20 − 1)8 2  2  = 0.95 < σ < P 32 . 85 8 . 91   P (37 < σ < 136 ) = 0.95 2

Artinya dengan tingkat keyakinan 95 persen varian harga daging berkisar antara $37 dan $136.

2. Dalam tes kebugaran yang dilakukan oleh suatu tim sepakbola di Jakarta. Diukur jumlah pemain melakukan push-up dalam semenit.Dari sampel 15 pemain, diperoleh data rata-rata pemain mampu melakukan push-up 35 kali dalam semenit dengan ragam 7 kali. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi ragam jumlah push-up tersebut,. Penyelesaian Diketahui: α = 5% ; n=15; v=n-1=14; s2=7; χα 2 / 2; n −1 = χ 0,2 025;14 = 26,119 χ (21−α / 2 ); n −1 = χ 02, 975;14 = 5,629

Maka, selang kepercayaan 95% ialah:


Pengujian Hipotesis

( n − 1) s 2

2

< σ <

χ α2 /2; n−1

14 × 7 26,119

< σ 2 <

| 31

( n − 1) s 2 χ 12−α /2; n−1

14 × 7 5, 629

3, 752 < σ 2 < 17, 409 Artinya dengan tingkat kepercayaan 95% dapat disimpulkan bahwa ragam jumlah push-up dari pemain sepakbola tersebut antara 3,752 hingga 17,409 kali. 3. Data berikut ini berupa volume, dalam desiliter, 10 kaleng buah peach hasil produksi sebuah perusahaan tertentu : 46,4 ; 46,1 ; 45,8 ; 47,0 ; 46,1 ; 45,9; 45,8 ; 46,9 ; 45,2 dan 46,0. Buat selang kepercayaan 95% bagi ragam volume kaleng buah peach hasil perusahaan tersebut, bila diasumsikan volume kaleng tersebut menyebar normal.

   ∑ ∑   ,,,, /  ,  19,023 /  ,  2,700

Diketahui :

= 0,286

Maka interval keyakinan 95% adalah :

 (10 − 1)0,286

P



19,023

< σ 2 <

(10 − 1)0,286   = 0.95 2,700 

0,0,135     0,95353  0,95

Jadi, dengan tingkat keyakinan 95% dapat disimpulkan bahwa ragam volume kaleng buah peach hasil perusahaan tersebut antara 0,135 sampai 0,953 desiliter.



Bab IIII Pengu jian H Hipotesis Data yang diamati dari suatu survei, selain diperlukan untuk menduga suatu parameter, juga diperlukan untuk menguji berlakunya suatu anggapan tertentu mengenai parameter itu. Sebagai contoh, berdasarkan hasil kunjungan ke beberapa Sekolah Dasar, seorang penilik sekolah berpendapat bahwa tinggi badan murid laki-laki kelas enam sekarang ini lebih dari 120 cm. Pendapat penilik sekolah ini mungkin saja benar, tetapi mungkin saja salah. Untuk itu perlu dilakukan pengujian terhadap pendapat/anggapan tersebut berdasarkan data sampel murid kelas enam yang telah terpilih secara acak (acak). Pengujian dimulai dengan menerima suatu anggapan tertentu sebagai hal yang benar.Anggapan inilah yang digunakan sebagai landasan kerja selanjutnya dan dinamakan Hipotesis Nol (H 0 ).Jika anggapan ini berdasarkan data-data pengamatan dapat diterima kebenarannya, maka dianggap sebagai suatu kenyataan. Kalau data yang diperoleh tidak menyokong pendapat ini, maka diterimalah suatu anggapan lain yang merupakan tandingan dari H0 sebagai kenyataan. Anggapan tandingan ini dinamakan Hipotesis Satu (H 1 ).Hipotesis satu seringkali disebut juga dengan Hipotesis Tandingan atau Hipotesis Alternatif. Penentuan hipotesis mana yang akan diterima, ditentukan dalam bentuk sokongan yang diwujudkan oleh data yang terkumpul. Dalam pemilihan salah satu hipotesis sebagai anggapan yang berlaku, hanyalah dapat dilakukan dengan pernyataan berapa besarnya peluang bahwa hipotesis itu benar. 3.1 Jenis Kesalahan (Type of Error)

Ada dua macam jenis kesalahan yang mungkin timbul dari pengujian hipotesis secara statistik. 1. Kesalahan Jenis Pertama, ialah kesalahan yang mungkin timbul karena Ho yang ditolak sesungguhnya benar. Peluang timbulnya salah jenis pertama ini dilambangkan denganα atau P(tolak H0|H0benar) = α. 2. Kesalahan Jenis Kedua, ialah kesalahan yang mungkin dibuat, karena kita telah menerima berlakunya suatu H0 yang sesungguhnya tidak benar. Peluang untuk membuat salah jenis kedua ini dilambangkan dengan β atau P(terima H0|H0salah) = β. Antara keadaan kebenaran berbagai hipotesis yang disusun dan tindakan-tindakan yang mungkin diambil berdasarkan perbandingan


Pengujian Hipotesis

| 33

data yang terkumpul terhadap kriteria pengujian, serta akibat dan peluang terjadinya, dapat disimpulkan adanya hubungan sebagai berikut: Tabel 1. Jenis Kesalahan berdasarkan Hipotesis dan Keputusan Hipotesis Keputusan H0 benar H0salah Terima H0 Tindakan yang Kesalahan jenis benar (1 -α ) kedua (β) Tolak H0 Kesalahan jenis Tindakan yang pertama (α) benar (1 -β ) Usaha untuk mengecilkan peluang timbulnya salah satu jenis kesalahan ini, selalu diiringi dengan pembesaran nilai peluang kesalahan jenis yang lain. Kedua jenis kesalahan ini bisa diperkecil kalau ukuran sampel (n) diperbesar. Dalam praktek penetapan peluang timbulnya kesalahan jenis pertama, biasanya ditentukan disekitar nilai α=0,05 atau α=0,01. Apabila α=0,05 maka dikatakan bahwa taraf nyata pengujiannya 5% dan seterusnya. Nilai β biasanya sangat sulit ditentukan karena penyebaran hipotesis tandingan tidak diketahui.Jika kesalahan jenis kedua tidak diketahui, maka penerimaan H0 sebagai suatu kebenaran, mengandung kesalahan yang tidak diketahui berapa besar peluangnya.Oleh karena itu, orang enggan mengatakan menerima kebenaran H0, dan lebih menyukai mengatakan data tidak mendukung untuk menolak H0. 3.2 Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis

1. Penentuan H0 dan H1 berdasarkan anggapan yang akan diuji. H1 adalah hipotesis yang kita harapkan berlaku kebenarannya; H0 adalah hipotesis yang menolkan apa yang sesungguhnya kita harapkan berlaku kebenarannya; 2. Penentuan taraf uji (taraf nyata pengujian); 3. Pilih Statistik uji yang sesuai. Penghitungan nilai statistik uji berdasarkan keterangan yang dihimpun dari data; 4. Penentuan daerah kritis, yaitu untuk mengetahui batas-batas daerah tolak H0(area sebesar 1- α di bawah kurva) dan daerah terima/tidak menolakH0 (area sebesar α dibawah kurva);



5. Keputusan, membuat keputusan untuk tidak menolak atau menolak H0 berdasarkan kriterium pengujian yang berlaku; 6. Kesimpulan


Bab IV Pengujian Hipotesis Satu Populasi Jika peubah acak X∼N(µ, σ2), maka hipotesis yang perlu diuji biasanya mengambil salah satu dari ketiga bentuk berikut: 1. H0 :µ = µ0

lawan H1 : µ>µ0

2. H0 :µ = µ0

lawan H1 : µ<µ0

3. H0 :µ = µ0

lawan H1 : µ≠µ0

µ0 adalah suatu nilai yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Misalkan, untuk menguji apakah rata-rata produksi padi per Ha di suatu desa melebihi 5 ton, maka hipotesis yang akan di uji adalah: H0 :µ = 5 lawan H1 : µ> 5 Dua hipotesis yang pertama (1 dan 2) di atas, menunjukkan harus diadakan uji satu arah (one tail test ), ), karena hipotesis tandingan menempatkan nilai µ pada satu arah saja dari µ0. Bentuk yang ketiga (3) sebenarnya memiliki hipotesis tandingan yang merupakan kombinasi hipotesis tandingan bentuk pertama (1) dan kedua (2). Pengujian terhadap bentuk ketiga (3) ini dengan demikian bersifat dua arah (two tail test). 1. Penentuan daerah kritis untuk bentuk pengujian pertama: Daerah Terima H0

1-α 0

Daerah Tolak H0

α Zα

2. Penentuan daerah kritis untuk bentuk pengujian kedua: Daerah Tolak H0

Daerah Terima H0 1-α

α Zα

0


3. Penentuan daerah kritis untuk bentuk pengujian ketiga:

Daerah Tolak H0

1-α

Daerah Terima H0 Daerah Tolak H0

α /2

α /2 0

Zα /2

Zα /2

Pengujian suatu hipotesis harus didukung oleh adanya data yang dikumpulkan dari populasi berdasarkan suatu sampel acak yang berukuran sebesar n. Misalkan bahwa nilai-nilai yang diamati adalah: {X1, X2, X3, … , X n}. Telah diketahui bahwa n

∑ X

i

X =

i =1

n

 σ 2    n 

∞ N  µ ,

4.1Pengujian Hipotesis Rata-rata Satu Populasi

1. Varian Populasi (σ2) Diketahui: Z observasi =

X − µ 0 ∞ N (0,1) σ n

2. Varian Populasi Tidak Diketahui, Jumlah Sampel Besar Yang dimaksud jumlah sampel cukup besar adalah apabila n ≥ 30. Maka statistik ujinya adalah Z observasi =

X − µ 0 ∞ N (0,1) s n

3. Varian Populasi Tidak Diketahui, Jumlah Sampel Kecil Yang dimaksud jumlah sampel kecil adalah apabila n < 30. Maka statistik ujinya adalah t observasi =

X − µ 0 → t n −1 s n


Pengujian Hipotesis

| 37

n adalah ukuran sampel s adalah nilai simpangan baku yang dihitung berdasarkan sampel berukuran n; tn-1 adalah distribusi student-t, dengan derajat bebas (degrees of freedom) sebesar n – 1. Kaidah pengambilan keputusan bagi ketiga bentuk kriteria pengujian adalah: 1. H0 :µ = µ0 lawan H1 : µ>µ0 

Jika Zobservasi≤ Zα, maka H0 tidak ditolak



Jika Zobservasi> Zα, maka H0 ditolak, H1 diterima

2. H0 :µ = µ0 lawan H1 : µ<µ0 

Jika Zobservasi≥ Zα, maka H0 tidak ditolak



Jika Zobservasi< Zα, maka H0 ditolak, H1 diterima

3. H0 :µ = µ0 lawan H1 : µ ≠µ0 

Jika | Zobservasi|≤ Zα /2, maka H0 tidak ditolak



Jika | Zobservasi|> Zα /2, maka H0 ditolak, H1 diterima

Untuk sampel kecil, kaidah keputusan di atas ditetapkan dengan menggunakan statistik uji tobservasi, yaitu dengan menggantikan nilai Zα atau Zα /2 oleh nilai tα;(n-1) atau tα /2;(n-1).



Contoh : 1. Dari pengalaman diketahui bahwa tinggi murid laki-laki kelas enam SD menyebar secara normal dengan varian σ2 =25cm. Pendapat umum ialah bahwa tinggi rata-rata murid kelas enam = 120cm. Di suatu SD telah diberikan tambahan minuman susu setiap hari selama 2 tahun. Kepala sekolah ingin mengetahui apakah pemberian susu ini menambah tinggi badan rata-rata kelas enam. Diukur 100 orang murid kelas enam dan mendapatkan nilai rata-rata 121 cm. Apakah data ini menyokong pendapat bahwa pemberian susu selama 2 tahun memberikan pertumbuhan badan yang lebih tinggi dengan taraf nyata 5%. Jawab: 1. Penentuan hipotesis H0 :µ = 120 H1 :µ> 120 2. Taraf Uji α = 5% = 0,05 3. Statistik uji: σ2 diketahui nilainya yaitu 25 cm Z hitung =

X − µ 0 121 − 120 = =2 5 σ 100 n

4. Daerah kritis: Zα = Z 0,05 = 1,645 Daerah Terima H0

Daerah Tolak H0

0.95 0

0.05 1.645

5. Keputusan: Karena Zhitung> Ztabel, maka H0 ditolak 6. Kesimpulan: berdasarkan data tentang tinggi badan murid kelas 6 disimpulkan bahwa pemberian susu selama 2 tahun memberikan efek pertumbuhan badan yang lebih tinggi, bila digunakan taraf nyata 5%.


Pengujian Hipotesis

| 39

2. Dari varietas padi tertentu ingin diketahui mengenai jumlah malai yang dapat dihasilkan oleh satu rumpun apabila ditanam dengan jarak tanam 25 x 25 cm. Untuk keperluan ini telah dipilih secara acak rumpun dari suatu petak sawah tertentu dan dihitung jumlah malai yang dihasilkan yaitu 10, 14, 12, 16, 14, 10. Berdasarkan hasil yang diperoleh tersebut, hendak diuji pendapat-pendapat tersebut dengan menggunakan taraf uji 5%. 1.

Varietas padi tersebut menghasilkan kurang dari 14 malai setiap rumpunnya.

2.

Varietas padi dalam keadaan seperti itu rata-rata tidak menghasilkan 10 malai setiap rumpunnya.

Jawab: 1. σ2 tidak diketahui nilainya, maka diduga melalui data contoh, yaitu s2 = 5,8667. Ukuran contoh n = 6 (kecil); rata-rata = 12,67 1.

H0 :µ = 14 lawan H1 : µ< 14

2.

Taraf uji α = 0,05

3.

Statistik uji t observasi =

X − µ 0 12,67 − 14 = = −1,3571 s 5,8667 n 6

4.

Daerah kritis tα;n-1 = t0,05;5 = 2,015

5.

Keputusan : tobservasi
6.

Kesimpulan : berdasarkan data pengamatan dengan taraf uji 5%, cukup bukti untuk mendukung pendapat bahwa varietas padi tersebut rata-rata menghasilkan kurang dari 14 malai setiap rumpunnya.

2. σ2 tidak diketahui nilainya, maka diduga melalui data contoh, yaitu s2 = 5,8667. Ukuran contoh n = 6 (kecil); rata-rata = 12,67 1.

H0 :µ = 10 lawan H1≠ 10

2.

Taraf uji α = 0,05

3.

Statistik uji



t observasi =

12,67 − 10 5,8667

= 2,7249 1

6

4.

Daerah kritis tα /2;n-1 = t0,025;5 = 2,571 Daerah Terima H0 Daerah Tolak H0 0.025

0.025

-2.571

5.

Daerah Tolak H0

0.95 0

2.571

Keputusan: |tobservasi| = 2,7249> ttabel = 2,571 maka tolak H 0.

6. Kesimpulan: ternyata memang varietas padi tersebut ratarata tidak menghasilkan 10 malai dalam setiap rumpunnya, bila digunakan taraf uji 5%. 3.

Sebuah perusahaan ingin menguji pernyataan konsumen yang

menyatakan bahwa rata-rata bola lampu hasil produksinya bertahan sekitar 1000 jam. Perusahaan tersebut kemudian mengambil 100 sampel bola lampu secara acak dan diperoleh rata-rata= 980 jam dan standar deviasi = 80jam. Berdasarkan data yang ada, ujilah pernyataan konsumen dengan menggunakan taraf uji sebesar 5%.

̅

Jawab:



Diketahui : n=100, = = 980 jam, = 80 jam

  

Penyelesaian: :

= 1000 jam

:

1000 jam

Statistik uji:

1000  820  2.5   ̅√   9808800√ 10011000 00

.

Wilayah kritis :

= 1.96


Pengujian Hipotesis

| 41

Gambar : 0.025

0.025 0.95

-1.96

1.96

0

Acceptance Region

Rejection

Keputusan : Tolak

Rejection Region



Kesimpulan : rata-rata waktu bertahan bola lampu perusahaan tersebut tidak sama dengan 1000 jam yakni bisa kurang dari 1000 jam atau lebih dari 1000 jam.

4. Rata-rata

waktu

yang

diperlukan

mahasiswa

untuk

mendaftarkan diri pada STIS adalah 50 menit dengan simpangan baku 10 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan sistem pendaftaran online sedang dicoba. Bila suatu contoh acak 12 calon mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 30 menit dengan simpangan baku 11 menit dengan menggunakan sistem baru tersebut, ujilah hipotesis bahwa rata-rata waktu pendaftaran populasinya sekarang kurang dari 50 menit. (Gunakan taraf uji 0,01). Jawab:

̅



Diketahui : n=12, = = 30 menit, = 11 menit

  

Penyelesaian:

:

50

:

50

̅   3 0  5 0  20         √  11√ 1212 3.46  5.78

Statistik uji:



   ..  

Wilayah kritis : Keputusan :

<

= 2.718

maka Tolak



Kesimpulan : pendaftaran mahasiswa baru dengan menggunakan sistem pendaftaran yang baru membutuhkan waktu kurang dari 50 menit.

4.2 Pengujian Hipotesis Varian Satu Populasi

Hipotesis yang digunakan dalam uji ini adalah :

        

             1

1. H0 :

lawan H1 :

2. H0 :

lawan H1 :

3. H0 :

lawan H1 :

Sedangkan untuk menguji hipotesis tersebut digunakan statistik uji :

dengan : n : jumlah sampel

 

: varian sampel : nilai varian pada hipotesis nol

Kaidah pengambilan keputusan bagi ketiga bentuk kriteria pengujian adalah:

     

1. H0 :



2. H0 :

2     ,   

lawan H1 :

H0 ditolak jika

lawan H1 :


Pengujian Hipotesis



H0 ditolak jika

2  20

3. H0 :



| 43

2  , 2 2  20 2    ,   ,

lawan H1 :

H0 ditolak jika

dan

denganv = n-1 Contoh :

1. Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila suatu sampel acak 10 aki menghasilkan simpangan baku s = 1,2 tahun, apakah menurut anda σ> 0,9 tahun? Gunakan taraf nyata 5%. Jawab :

  0,81   0,81

H0 : H1 :

1.

α = 0,05

2.

Daerah kritis: tolak H0 jika

3.

Statistik hitung :

2  16,919

2  1,44

, n = 10

  90,18,144  16

Keputusan : tidak tolak H0

Kesimpulan : dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat disimpulkan bahwa belum cukup bukti untuk mengatakan bahwa simpangan baku umur aki lebih dari 0,9 tahun.

2. Isi suatu kaleng minyak pelumas menyebar normal dengan varian 0.03 liter. Bila suatu contoh acak sebanyak 10 kaleng pelumas diambil dan diperoleh data isi kaleng-kaleng pelumas tersebut (dalam liter) adalah sebagai berikut:



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10.2

9.7

10.1

10.3

10.1

9.8

9.9

10.4

10.3

9.8

Kaleng Isi kaleng

Berdasarkan data diatas, ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa varian dari isi kaleng pelumas tersebut kurang dari 0.03 liter pada taraf uji 0.01. Jawab: Diketahui : n=10;

 

Penyelesaian:

̅



= = 10.06 liter;

:

= 0.03

:

0.03

= 0.25

1  90.00.325  20..2053  75     1  ;   .;    ;

Statistik uji:

Wilayah kritis :

= 21.67

Keputusan :

>

maka Tolak

Kesimpulan : data mendukung pernyataan yang menyatakan bahwa varian dari isi kaleng pelumas adalah kurang dari 0.03 3. Data riset sebelumnya menunjukkan bahwa waktu yang diperlukan oleh mahasiswa

semester

3

Sekolah

Tinggi

Ilmu

Statistik

untuk

menyelesaikan ujian metode statistik merupakan suatu peubah acak normal dengan simpangan baku 6 menit. Bila suatu contoh acak sebanyak 20 mahasiswa semester

3 diambil dan menghasilkan

simpangan baku 4.51 menit, maka masih dapatkah kita simpulkan pada taraf uji 0.05 bahwa simpangan baku waktu ujian adalah 6 menit?

    

Jawab :

Diketahui : n = 20; = 4.51 menit; Penyelesaian: :

= 36 atau

= 6

:

36 atau

6



= 20.34 menit

Statistik uji:


Pengujian Hipotesis

| 45

    11  19193620.34  386.3646  10.735

  ;   .;    ;


= 21.67

>

maka Tolak

Kesimpulan : data mendukung pernyataan yang menyatakan bahwa varian dari isi kaleng pelumas adalah kurang dari 0.03

4.3 Pengujian Hipotesis Proporsi Satu Populasi

Dalam banyak hal, populasi yang diselidiki bersifat dwicabang (dikotom), yaitu suatu populasi yang anggota-anggotanya dapat digolongkan dalam dua kelompok; kelompok yang memiliki suatu sifat dan kelompok yang tidak memiliki suatu sifat itu.Misalkan dari sepeti buah jeruk Pontianak, ada 5 diantaranya busuk, yang lainnya tidak busuk. Contoh acak penduduk suatu desa yang ditanyakan tentang pencalonan kembali Kades yang lama, ternyata ada yang menyatakan setuju untuk dipimpin oleh Kades yang lama, disamping itu ada pula yang menginginkan untuk dipimpin oleh Kades yang baru. Apabila ukuran contoh yang digunakan untuk menguji anggapan tertentu dari populasi yang bersifat dwicabang itu besar, maka pendekatan sebaran normal masih cukup baik untuk digunakan sebagai statistik uji. Tata cara pengujian hipotesis parameter proporsi ini tidaklah berbeda dengan pengujian hipotesis sebelumnya, hanya notasi µ untuk parameter rata-rata populasi, dalam proporsi dilambangkan dengan P dimana nilai statistik ujinya didapat dari rumus Z observasi =

x − nP0 nP0 Q0

dimana: x adalah banyaknya kejadian yang sukses; n adalah banyaknya sampel P0 adalah nilai peluang sukses hipotesis



Q0 = 1 - P0 Contoh : 1. Seorang pengusaha di suatu kota besar ingin mendirikan Super Market, sebab dia beranggapan bahwa lebih dari 50% dari para ibu yang berbelanja senang pergi ke Super Market. Untuk itu dia meminta kepada seorang konsultan untuk menguji anggapannya.Ada 600 ibu rumah tangga yang dipilih secara acak dan 400 orang diantaranya menyatakan senang berbelanja di supermarket.Dengan menggunakan taraf uji 1%, ujilah anggapan tersebut. Jawab: 1.

Penentuan Hipotesis

H0 : P = P0 yaitu H0 : P = 50% = 0,5 H1 : P > P 0 yaitu H1 : P > 50% = 0,5 2.

Taraf uji: α = 1% = 0,01

3.

Statistik uji: Z observasi =

X − nP0 nP0 Q0

=

400 − 600(0,5) 600(0,5)(1 − 0,5)

= 8,16

4.

Daerah kritis Zα = Z 0,01 = 2,33

5.

Keputusan Zob> Z tabel, maka Ho ditolak

6.

Kesimpulan: ternyata data yang digunakan untuk menguji anggapan pengusaha itu mendukung keputusan untuk menolak hipotesis-nol; yang berarti anggapan pengusaha bahwa lebih dari 50% dari para ibu yang berbelanja senang pergi ke Super Market dapat diterima kebenarannya pada taraf uji 1 %.

2. Sebelum tahun 2008, 60% mahasiswa jurusan matematika pada sebuah Perguruan Tinggi menerima gelar kelulusannya setelah mengikuti proses 4 tahun perkuliahan. Kemudian, pada tahun 2008, hanya 15 dari 36 mahasiswa yang menerima gelar kelulusannya

pada

tahun

2012.

Untuk

menguji

apakah

kemampuan mahasiswa tahun angkata 1968 lebih buruk daripada


Pengujian Hipotesis

| 47

mahasiswa kelas sebelumnya maka lakukanlah pengujian hipotesis dengan taraf uji 5%.

Jawab : Diketahui : n = 36

̅   0.42 1   0.60.4  ̅    36  0.08    = =

Penyelesaian: :

= 0.60

:

< 0.60

Statistik uji:

  ̅  ̅  0.42420.080.0.606 0 2.25

 .

Wilayah kritis :

=

Keputusan : tolak



= 1.96

3. Sebuah obat penenang syaraf diduga mempunyai tingkat efektif 60%. Percobaan obat tesebut tehadap 100 orang penderita syaraf menunjukkan tingkat efektif sebesar 70%. Dengan level signifikan (alpha)=0,05, bila diperoleh Z observasi > Z 0, 05 maka, keputusan akhir yang diperoleh adalah... Jawab:

̅

Diketahui : n = 100

 ̅  1   0.71000.3  0.002

=70% =70% = 0.7

  

Penyelesaian: :

:

= 0.6 0.6



  ̅  ̅  0.0.7 0020.6  50

Statistik uji:

  .


=

= 1.96

 

maka tolak




Bab VPengujian Hipotesis Dua Populasi 5.1 Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi

Tabel yang tercantum dibawah ini memuat berbagai nilai statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis nol H0 mengenai rata-rata dua populasi, berikut wilayah kritis untuk hipotesis alternatif H1 yang bersifat satu atau dua arah. Tabel 2. Pengujian Hipotesis Rata-rata Dua Populasi H0

µ1 - µ2 = d0

Nilai Statistik Uji Z =

( X − X ) − d ) 1

s12

2

n1

0

+

s 22

n2

H1

Wilayah Kritis

µ1 - µ2< d0

Z < -Zα

µ1 - µ2> d0

Z > Zα

µ1 - µ2≠ d0

Z <-Zα /2

σ1 dan σ2 tidak diketahui Sampel besar µ1 - µ2 = d0

t =

( X − X 1

− d 0 )

2

1

S p

+ 1

n1

n2

v = n1 + n2 – 2; σ1 = σ2 tetapi tidak diketahui S p =

µ1 - µ2 = d0

Zα /2

µ1 - µ2< d0

t < -tα

µ1 - µ2> d0

t > tα

µ1 - µ2≠ d0

t < -tα /2 atau t > tα /2

(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22

t =

n1 + n2 − 2

( X − X )− d 1

2

2

s1

0

2

n1

+

s2

n2 2

 s s   n + n  1 2  v =  2 2  s12   s22       n1  +  n2  2 1

2 2

n1 − 1

n2 − 1

σ1≠σ2 dan tidak diketahui Keterangan: v

atau Z >

= derajat bebas dari sebaran t

µ1 - µ2< d0

t < -tα

µ1 - µ2> d0

t > tα

µ1 - µ2≠ d0

t < -tα /2 atau t > tα /2


 

= varian gabungan(pooled) dari sampel

Contoh :

Seorang pengamat masalah sosial berpendapat bahwa terdapat perbedaan rata-rata usia perkawinan pertama diantara wanita bekerja dan wanita tidak bekerja. Berdasarkan contoh dari suatu daerah perkotaan yang terpilih secara acak diantara kedua kelompok wanita tersebut diperoleh data sebagai berikut: Banyaknya contoh

Rata-rata usia Perkawinan Pertama (tahun)

Varian Usia Perkawinan Pertama (tahun)

Bekerja

2500

25

4

Tidak Bekerja

2400

22

2

Kelompok wanita

Jika digunakan taraf uji 5% untuk pengujian pendapat tersebut, maka perhitungan statistiknya adalah : 1. Hipotesis, misalkan mi salkan kelompok kelomp ok wanita bekerja adalah adal ah Xi dan kelompok wanita tidak bekerja adalah Yi, maka hipotesisnya adalah: H0 :µx - µy = 0 H1 :µx - µy≠ 0 2. Taraf uji α = 0,05 3. Statistik uji Karena ukuran contoh yang ditarik dari masing-masing populasi berukuran besar, maka walaupun nilai varian populasi usia perkawinan pertama tidak diketahui, dapat dilakukan pendugaan nilai melalui varian contohnya, yaitu 1 dan 2 tahun. Z observasi =

(25 − 22 ) − 0

(

4

2500

) (

+ 2

2400

)

= 60,82

4. Daerah kritis, dari tabel normal baku diperoleh Z 0,05/2 = 1,96. 5. Keputusan, karena Z> Ztabel, maka diputuskan tolak H0.


Pengujian Hipotesis

| 51

6. Kesimpulan Dengan demikian, berdasarkan data sampel tersebut dapat disimpulkan bahwa memang terdapat perbedaan rata-ratausia perkawinan pertama diantara wanita bekerja dan tidak bekerja. 5.2 Pengujian Hipotesis Rata-rata Data Berpasangan

Suatu anggapan tentang rata-rata yang perlu diuji kadangkala diamati dari data sampel yang tidak bebas.Hal ini terjadi, bila pengamatan dalam kedua contoh saling berpasang-pasangan sehingga kedua pengamatan itu berhubungan.Misalkan saja, kita ingin menguji keefektifan suatu diet baru menggunakan sampel individu-individu, dengan mengamati bobot badan sebelum dan sesudah percobaan program diet. Pengamatan dalam kedua contoh yang diambil dari individu yang sama tentu saja berhubungan, dan oleh karena itu membentuk suatu pasangan. Untuk mengetahui apakah diet itu efektif, kita harus memperhatikan selisih bobot badan sebelum dan sesudah (di) masing-masing pasangan pengamatan tersebut. Hipotesis statistik yang dapat disusun untuk data berpasangan adalah: H0 :µD = µ0 H1 : i) µD<µ0 atau ii) µD>µ0 atau iii) µD≠µ0 dengan statistik uji: t ob =

d − D0 ∞t n −1 S d n

d = rata-rata dari selisih pengamatan contoh

Sd = simpangan baku dari selisih pengamatan contoh. Keputusan tolak H0, artinya pula terima H1 untuk masing-masing jenis hipotesis alternatif yaitu jika: tob< -tα;n-1 tob> tα;n-1



|tob|< -tα /2;n-1

Contoh : Untuk menguji pernyataan bahwa suatu program diet baru dapat mengurangi bobot badan seseorang secara rata-rata 4,5 kg per dua minggu, dilakukan pengamatan terhadap 7 orang wanita yang mengikuti program tersebut.

1

2

3

Wanita 4

Sebelum program

58,5

60,3

61,7

69,0

64,0

62,6

56,7

Sesudah program

60,0

54,9

58,1

62,1

58,5

59,9

54,4

Bobot Badan (kg)

5

6

7

Pengujian pernyataan akan dilakukan dengan taraf uji 5%.

Jawab: Wanita

B i lBobot Badan (kg) a d i

1

2

3

4

5

6

7

-1,5

5,4

3,6

6,9

5,5

2,7

2,3

sebaran bobot badan diasumsikan menghampiri sebaran normal, maka selisih bobot badan sebelum dan sesudah program (di) dari ketujuh orang wanita tersebut adalah:

 ̅  3,56 ;   2,78

1. Hipotesis

H0 :µD = 4,5 lawan H1 : µD≠ 4,5 2. α = 5% 3. Statistik uji adalah: t observasi =

3,56 − 4,5 = −0,89 2,78 7

4. Daerah kritis; t 0,05/2;7-1 = t 0,025;6 = 2,447


Pengujian Hipotesis

| 53

5. Keputusan; karena tob = 0,89 < 2,447 maka H0 tidak ditolak. 6. Kesimpulan, dengan tingkat kepercayaan 95%, data contoh belum cukup untuk mendukung pernyataan bahwa program diet baru tersebut dapat menurunkan bobot badan seseorang secara rata-rata 4,5 kg per dua minggu. 5.3 Pengujian Hipotesis Varian Dua Populasi

Dalam pengujian hipotesis selisih varian populasi dengan menggunakan ukuran sampel kecil, apabila varian populasi σ12 dan σ22 tidak diketahui nilainya maka dibuatkan suatu asumsi untuk kedua nilai varian populasi tersebut. Asumsi yang diajukan adalah bahwa terdapat kesamaan atau ketidaksamaan nilai dari kedua varian populasi berdasarkan informasi dari varian sampelnya. Pada bagian ini untuk memperkuat asumsi mengenai varian populasi tersebut dapat dilakukan dengan menguji hipotesis mengenai varian dari dua populasi, yaitu membandingan varian suatu populasi dengan varian populasi lainnya. Jadi, mungkin saja kita ingin menguji hipotesis bahwa varian berat anak balita dari para ibu PUS akseptor KB sama dengan para ibu PUS yang non akseptor KB. Untuk dapat menguji hipotesis tadi, maka perlu disusun suatu hipotesis dalam bentuk pernyataan statistik yaitu: Hipotesis H0 :σ12 = σ22 = σ2 H1 :σ12<σ22 atau σ12>σ22 atau σ12≠σ22 Bila kedua sampel itu bersifat bebas, maka formula statistik ujinya adalah: F observasi =

S 12 2

S 2

dimana S12 adalah varian yang dihitung dari sampel pertama, S22 adalah varian yang dihitung dari sampel kedua. Keputusan; tolak H0 untuk masing-masing hipotesis apabila Modul Diklat Fungsional Statistisi Tingkat Ahli - Badan Pusat Statistik


i. σ12<σ22 adalah bila Fob< F 1-α;(v1,v2) = 1/(Fα;(v1,v2)) ii. σ12>σ22 adalah bila Fob>Fα;(v1,v2) iii. Fob< F 1-α /2;(v1,v2) = 1/(Fα /2;(v2,v1)) dan Fob> Fα /2;(v1,v2), dengan

    1     1 dan

adalah derajat bebas dari tabel

distribusi F.

Contoh : Sebuah penelitian bermaksud membandingan waktu yang diperlukan oleh karyawan laki-laki dan perempuan untuk merakit sebuah produk tertentu.Pengalaman lalu menunjukkan bahwa sebaran waktu yang diperlukan bagi karyawan laki-laki dan perempuan menghampiri sebaran normal. Contoh acak dari 11 orang karyawan diperoleh simpangan baku waktu 6,1 menit dan dari 14 orang karyawati menghasilkan simpangan baku waktu 5,3 menit. Apakah cukup alasan untuk menyatakan bahwa varian waktu untuk merakit di antara para karyawan dan karyawati tersebut memang berbeda ? Gunakan taraf uji 10%! Jawab: Karyawan (L) : nl = 11 ; Sl = 6,1; karyawati (P) : np = 14 ; Sp = 5,3 1. Hipotesis : H0 :σl2 = σp2 = σ2 H1 :σl2≠σp2 2. Statistik uji: F observasi

(6,1)2 = = 1,32 2 (5,3)

3. Daerah kritis Vl = v1 = 10 ; F 0,95;(10,13) =

Vp = v2 = 13 dan α /2 = 0,05

1 F 0, 05;(13,10)

,;,  2,67

=

1 = 0,35 2,89


Pengujian Hipotesis

| 55

4. Keputusan Karena 0,35< Fob dan Fob< 2,67 maka H0 tidak ditolak. 5. Kesimpulan, ternyata data contoh belum dapat menunjang pernyataan tentang adanya perbedaan varian waktu merakit suatu produk di antara para karyawan dan karyawati. 5.4 Pengujian Hipotesis Proporsi Dua Populasi

Seringkali kita berhadapan dengan masalah yang mengharuskan kita menguji bahwa dua proporsi adalah sama. Misalkan saja kita ingin menunjukkan bahwa proporsi dokter anak di suatu daerah sama dengan di daerah lain. Seorang perokok misalkan saja akan memutuskan berhenti merokok hanya bila ia merasa yakin bahwa proporsi perokok yang menderita kanker paru-paru lebih besar daripada proporsi bukan perokok yang menderita kanker paru-paru. Secara umum, pernyataan hipotesisnya dapat disusun sebagai berikut: H0 : P1 = P2 = P H1 : i) P1< P2 atau ii) P1> P2 atau iii) P1≠ P2 Parameter P1 dan P2 adalah dua proporsi populasi yang diselidiki.Sampel bebas berukuran besar, yaitu n1 dan n2 diambil secara acak dari dua populasi binomial yang diselidiki, dan proporsi dari ciri tertentu dihitung. Statistik uji bagi pengujian di atas adalah: Z observasi =

P1 − P2

 P (1 − P )  1

 +  1      n1   n2  

P=

x1 + x2 n1 + n2



dimana: X1 adalah banyaknya sukses untuk sampel 1 X2 adalah banyaknya sukses untuk sampel 2 Keputusan penolakan hipotesis nol (H0) untuk masing-masing hipotesis adalah : i) Zobs< -Zα; ii) Zobs> Zα; iii) Zob> Zα /2 atau Zob < - Zα /2 Contoh : Pejabat dari BKKBN berpendapat bahwa persentase ibu rumah tangga dari daerah pertanian A dan B yang setuju program dua anak, lakilaki atau perempuan sama saja. Dari penelitian diperoleh data bahwa 500 orang ibu rumah tangga dari daerah A, ada 400 orang yang setuju, sedangkan daerah B dari sebanyak 500 orang ibu rumah tangga, ada 350 orang yang setuju program tersebut. Contoh acak dari dua daerah pertanian tadi akan digunakan untuk menguji pendapat pejabat dari BKKBN dengan taraf uji 10%. Jawab: XA: banyaknya ibu rumah tangga yang setuju di daerah A yaitu 400 XB: banyaknya ibu rumah tangga yang setuju di daerah B yaitu 350 nA: ukuran contoh dari daerah A = 500 nB: ukuran contoh dari daerah B = 500 Proporsi contoh yang dapat dihitung dari kedua daerah adalah: P A =

P=

x A x A

=

400 350 x = 0,8 = 0,7 P B = B = 500 500 x B dan

400 + 350 750 = = 0,75 500 + 500 1000

1. Hipotesis:


Pengujian Hipotesis

| 57

H0 : PA = PB = P H1 : PA≠ PB 2. Statistik uji: Z ob =

0,8 − 0,7

[(

0,75(0,25) 1

500

)+ (1500 )]

= 3,65

3. Daerah kritis, Z(0,1/2) = Z 0,05 = 1,645 4. Keputusan, karena Zob = 3,65 > 1,645 maka H0 ditolak. 5. Kesimpulan, dengan taraf uji 10%, maka kita kit a setuju dengan den gan pendapat pejabat dari BKKBN tersebut bahwa persentase ibu rumah tangga yang menyetujui program dua anak, laki-laki atau perempuan sama saja di kedua daerah pertanian tidak sama.


Bab VI Pengujian Hipotesis k Populasi 6.1 Pengujian Hipotesis Rata-rata k Populasi 6.1.1 Jumlah Sampel Tiap Populasi Sama

Misalkan kita mempunyai k populasi. Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran n. Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas dan menyebar normal dengan rata-rata dan varian sama . Kita ingin memperoleh cara bagi pengujian hipotesis

,,, … , 

  ∶     …   

: setidaknya ada satu nilai rata-rata yang berbeda dari yang lain.

Misalkan xijadalah pengamatan ke- j j dari populasi ke-i dan susunan datanya seperti dalam tabel berikut :

No

 ..  . 1

1 2 : : n Total Rata-rata

: :

  . ̅ . 2

: :

Populasi … i … … : : … … …

 .. ̅ ..

… … …

  . .  . ̅. k

Total

: :

… … …

Di sini T i . adalah total semua pengamatan dalam sampel dari populasi ke-i, xi. adalah rata-rata semua pengamatan dalam sampel dari populasi ke-i, T..adalah total semua nk pengamatan, dan adalah rata-rata semua nk pengamatan. Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk

̅.

         ∑   

Yang dalam hal ini adalah simpangan pengamatan ke- j j dalam sampel ke-i dari rata-rata populasi ke-i. Bentuk lain yang lebih disukai bagi persamaan ini diperoleh dengan mensubstitusikan , sedangkan adalah rata-rata semua ; ; artinya

    

Pengujian Hipotesis

        ∑   ∑    0 

Oleh karena itu, kita dapat menuliskan ketentuan bahwa

| 59

dengan

.

Sudah menjadi kebiasaan untuk menyebut populasi ke-i.

sebagai pengaruh

Hipotesis nol bahwa semua rata-rata populasi itu sama lawan alternatifnya bahwa sekurang-kurangnya dua rata-rata tidak sama juga dapat dinyatakan oleh hipotesis berikut yang setara.

 :     ⋯    0  ∶      ̅ ∑ ∑    .           1 sekurang-kurangnya satu sekurang-kurangnya

tidak sama dengan nol. tidak

Uji kita akan didasarkan pada pembandingan dua nilai dugaan yang bebas bagi varian populasi . Nilai dugaan itu dapat diperoleh dengan cara menguraikan kevarianan total menjadi dua komponen. Varian semua pengamatan bila semua pengamatan itu tidak dikelompok-kelompokkan diberikan oleh rumus.

Penjumlahan ganda itu berarti bahwa kita harus menjumlahkan semua kemungkinan suku, dan ini akan diperoleh dengan mengambil i dari 1 sampai k untuk setiap nilai j dari 1 sampai n. Pembilang itu, yang kuadra t total, total , mengukur kevarianan total dalam data disebut jumlah kuadrat kita. Kevarianan total ini dapat diuraikan melalui identitas berikut.



Identitas Jumlah-Kuadrat Klasifikasi Satu-Arah

   ̅ .      ̅  ̅ .      ̅     .    .     

Akan lebih memudahkan bagi uraian selanjutnya bila suku-suku jumlah kuadrat itu diberi di beri notasi berikut : JKT = JKK =

∑ ∑   ̅.   ∑ ∑ ̅.  ̅ . 

= jumlah kuadrat total

= jumlah kuadrat untuk rata-rata kolom



JKG =

∑ ∑   ̅.

= jumlah kuadrat galat

Dengan demikian, identitas jumlah kuadrat itu dapat dilambangkan melalui persamaan JKT = JKK + JKG

   11    11   11

Salah satu nilai dugaan bagi bebas adalah

Nilai dugaan bagi bebas, adalah

, yang didasarkan pada k-1 derajat

yang lain, yang didasarkan pada k(n-1) derajat

Nilai dugaan ini bersifat tak bias, baik hipotesis nol benar atau salah. Kita telah melihat bahwa varian seluruh data itu, tanpa memperhatikan pengelompokkannya, yang mempunyai nk-1 derajat bebas adalah

 

yang merupakan nilai dugaan tak bias bagi bila benar. Penting untuk diperhatikan bahwa dalil identitas jumlah kuadrat tersebut tidak hanya menguraikan jumlah kuadrat total, tetapi juga jumlah total derajat bebasnya ; artinya

Bila

  1    1   1 1             1 1,   1 benar, rasio

Merupakan nilai peubah acak F yang berdistribusiF dengan dengan k-1 dan k (n-1) derajat bebas. Karena menduga lebih . Bila salah, maka kita mempunyai uji satu arah dengan wilayah kritiknya terletak seluruhnya di ujung kanan sebarannya. Hipotesis nol ditolak pada taraf nyata α bila .

Tidaklah mudah menghitung JKT, JKK dan JKG dengan menggunakan rumus di atas.Dalam prakteknya, kita menghitung JKT dan JKK terlebih dahulu dan kemudian dengan memanfaatkan dalil identitas jumlah kuadrat, JKGdiperoleh melalui pengurangan.


Pengujian Hipotesis

| 61

    .             ∑   .     .     

Rumus Hitung Jumlah Kuadrat

    

Analisis Varian bagi Klasifikasi Satu-Arah Sumber Jumlah Derajat Kuadrat Tengah Kevarianan Bebas Rata-rata JKK k-1 kolom Galat JKG (n-1) k (n Total

JKT

nk-1

   11    1 1

f Hitung



Contoh : Dari 5 tablet sakit kepala yang diberikan kepada 25 orang dicatat berapa lama tablet-tablet itu dapat mengurangi rasa sakit. Ke-25 orang itu dibagi secara acak ke dalam 5 grup dan masing-masing grup diberi satu jenis tablet. Data yang diperoleh sebagai berikut ; Tablet No Total A B C D E 1 5 9 3 2 7 2 4 7 5 3 6 3 8 8 2 4 9 4 6 6 3 1 4 5 3 9 7 4 7 Total 26 39 20 14 33 132 Rata-rata 5.2 7.8 4.0 2.8 6.6 5.28

Lakukan analisis varian, dan ujilah hipotesis pada taraf nyata 0.05 bahwa rata-rata lamanya tablet itu mengurangi rasa sakit adalah sama untuk kelima tablet sakit kepala itu.



Jawab :

1.1.  ∶              ,   ;   ,    

: sekurang-kurangnya dua rata-rata tidak sama

2. α = 0,05

3. Wilayah kritik : 2,87

4. Statistik hitung :

 132      5  4  ⋯7  25     2 6  39  ⋯3 ⋯ 3 3 132    = 834 – 696,960 = 137,040

5 25   137,137,04040  79,440  57,57,600 = 776,400 – 696,960 = 79,440

Sumber Kevarianan Rata-rata kolom Galat Total

Jumlah Kuadrat 79,440

Derajat Bebas 4

Kuadrat Tengah 19,860

f Hitung

6,90 57,600 137, 040

20 24

2,880

5. Keputusan : tolak H0 6. Kesimpulan : dengan tingkat keyakinan 95% dapat disimpulkan bahwa rata-rata lamanya obat tersebut dapat mengurangi rasa sakit tidak sama untuk kelima merk tablet sakit kepala.

6.1.2Jumlah Sampel Tiap Populasi Tidak Sama

,,, … , 

Misalkan k buah sampel acak itu masing-masing berukuran dan

    


Pengujian Hipotesis

| 63

Maka rumus hitung bagi JKT, JKK dan JKG menjadi

  .              .  .           

dengan derajat bebas N-1 untuk JKT, k-1 untuk JKK dan N-k untuk JKG. Contoh : Ada yang mengatakan bahwa mobil mahal dirakit lebih berhati-hati dibandingkan dengan mobil murah. Untuk menyelidiki apakah pendapat ini beralasan, diambil tiga tipe mobil yaitu mobil mewah besar A, sedan berukuran sedang B, dan sedan subkompak hatchback C untuk diselidiki berapa banyaknya bagian yang cacat. Semua mobil itu diproduksi oleh pabrik yang sama. Data banyaknya yang cacat dari beberapa mobil bagi ketiga tipe itu dicantumkan dalam tabel berikut :

No 1 2 3 4 5 6 Total

A 4 7 6 6

23

Model B 5 1 3 5 3 4 21

C 8 6 8 9 5

Total

36

80

Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa rata-rata banyaknya bagian yang cacat adalah sama untuk ketiga tipe mobil tersebut. Jawab :

1.1.  ∶      

: sekurang-kurangnya dua rata-rata tidak sama



2. α = 0,05

  , ;,

    4  7  ⋯5       2 3 21 36 80   4  6  5  15  38,283   65,33333  38,283  27,05050 3. Wilayah kritik : 3,89


= 65,333

Sumber Kevarianan Rata-rata kolom Galat Total

Jumlah Kuadrat 38,283

Derajat Bebas 2

Kuadrat Tengah 19,142

f Hitung

8,49 27,050 65,333

12 14

2,254

5. Keputusan : tolak H0

  8,49    3,89 6. Kesimpulan : dengan tingkat keyakinan 95% dapat disimpulkan bahwa rata-rata banyaknya bagian yang cacat untuk ketiga model mobil tersebut tidak sama.

6.2 Pengujian Hipotesis Varian k Populasi

Uji yang digunakan adalah uji Bartlett.Uji ini digunakan untuk mengetahui apakah varian dari k populasi tersebut homogen atau tidak. Hipotesis yang digunakan adalah :

 ∶     ⋯   

: setidaknya ada satu varian yang yang berbeda


Pengujian Hipotesis

 ,  , … ,      ,,, … ,    ∑    ∑   … //     ⋯        , ,

Pertama-tama, hitung k buah varian sampel sampel yang berukuran dengan

| 65

dari sampel= N.

Selanjutnya gabungkan semua varian sampel tersebut sehingga menghasilkan nilai dugaan gabungan Sekarang

Merupakan nilai peubah acak B yang mempunyai sebaran Bartlett. Untuk kasus , kita tolak pada taraf nyata α bila

Dalam hal ini adalah nilai kritik yang memberikan luas daerah sebesar α di ekor kiri sebaran Bartlett seperti tercantum dalam . Bila ukuran sampelnya tidak sama, hipotesis nol ditolak pada taraf nyata α bila

  ;,,, … ,  ;,,, … ,   ,,   ,,  ⋯,,  Sedangkan dalam hal ini

Contoh : Gunakan uji Bartlett untuk menguji hipotesis bahwa varian ketiga populasi dalam contoh 6.2 adalah sama.

Jawab :

    ∶               0 , 0 5; 4 , 6 , 5      0,547670,0,4699  60,0,6483  50,5762/15/15 : ketiga varian tersebut tidak semuanya sama 2. α = 0,05 3. Daerah kritis : tolak jika

  1,35831,1,58383  52,2,30000  42,700 2, 254  12


= 2,300

= 2,700



  1,5832,32,002542,700//  0,9804



5. Keputusan : tidak tolak . 6. Kesimpulan : dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat disimpulkan bahwa varian ketiga populasi tersebut sama.

6.3 Pengujian Hipotesis Proporsi k Populasi

Hipotesis yang akan diuji adalah :

 ∶     ⋯   

: tidak semua proporsi populasi sama

,,, … , 

Untuk melakukan uji ini, pertama-tama kita mengambil sampel acak bebas yang masing-masing berukuran dan bentuk tabel kontingensi 2 x k sebagai sebagai berikut : Contoh

             1

Keberhasilan Kegagalan

2

Rumusan untuk uji kebebasan :

dengan

 

: frekuensi yang teramati : frekuensi harapan

Frekuensi harapan dapat dihitung dengan cara :


… … …

   K

Pengujian Hipotesis

| 67

        , ditolak jika

dengan v : k -1 .

Contoh : Dalam suatu penelitian, dikumpulkan data untuk menentukan apakah proporsi produk yang cacat oleh pekerja yang bertugas pagi, sore, dan malam hari sama atau tidak. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut :

Cacat Tidak cacat

Pagi 45 905

Waktu kerja Siang Malam 55 70 890 870

Gunakan taraf nyata 0,025 untuk menentukan apakah proporsi produk yang cacat sama untuk ketiga waktu kerja! Jawab :

 ∶      

: tidak semua proporsi populasi sama

α = 0,025

   7,378   45   55   70   9502835170  57   9459452835170  56,7

Wilayah kritik : tolak

jika

dengan v = 2

Statistik hitung :



Maka, frekuensi teramati dan harapannya adalah sebagai berikut : Waktu kerja Total Pagi Siang Malam 45 55 70 Cacat 170 (57,0) (56,7) (56,3) 905 890 870 Tidak cacat (893,0) (888,3) (883,7) 2665 2835 Total 950 945 940

  ⋯  870883,7   6,288 7     4545 57,507,7,0  5556, 56,7 883,7     Keputusan :

6,288 <7,378 makatidak tolak

Kesimpulan : dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat disimpulkan bahwa proporsi produk yang cacat sama untuk semua waktu kerja.


Soal latihan 1.

2.

3.

Seringkali penelitian hanya dilakukan dengan sampel atau pengambilan sebagian dari seluruh unit populasi, hal ini terjadi karena adanya kendala. Kendala-kendala tersebut antara lain: A. Biaya, tenaga dan waktu B.Variannya besar C. Nilai ∝ besar besar D. B dan C benar Nilai-nilai parameter populasi tidak akan didapat apabila data yang ada merupakan data sampel. Untuk memenuhi kebutuhan analisis, maka dilakukan langkah ... A. Mengganti sampel B. Registrasi C. Mewawancarai ulang responden D. Pendugaan (estimasi) Jika x merupak merupakan an penduga penduga (estimator ) bagi µ, maka pˆ merupakan penduga (estimator) bagi ... A. σ 2

4.

B. χ α 2 ; n −1

C. p D. s2 Suatu populasi yang terdiri dari N elemen yang mempunyai rata-rata (µ), standar deviasi ( ), diambil sampel sebanyak n elemen. Bila cara pengembalian sampelnya dengan pengembalian (with replacement ), ), maka banyaknya kemungkinan sampel yang bisa terjadi adalah ...

σ

A. (N - n)! C. N C n = 5.

B. N N

n!(N − n)!

n

D. N n

σ

Suatu populasi yang terdiri dari N elemen yang mempunyai rata-rata (µ), standar deviasi ( ), diambil sampel sebanyak n elemen. Bila cara pengembalian sampelnya tanpa pengembalian (without replacement ), ), maka banyaknya kemungkinan sampel yang bisa terjadi adalah ... A. (N - n)! C. N C n =

6.



B. N N

n!(N − n)!



n

D. N n

Apabila pengambilan sampelnya dengan pengembalian (with replacement ), ), maka variannya adalah ... 2

A. σ X = C. σ X 2 =

σ 2 n σ 2 n

2

B. σ X = ( N − n)

σ 2 N − n

n N − 1 σ 2 2 D. σ X = ( N − 1) n


7.

Apabila pengambilan sampelnya tanpa pengembalian (without replacement ), ), maka variannya adalah ... 2

A. σ X = C. σ X 2 = 8.

2

B. σ X =

n σ 2

( N − n) n Perhatikan rumus berikut: f ( x ) =

9.

σ 2

1

1  x − µ  −   2  σ 

σ 2 N − n

n N − 1 σ 2 2 D. σ X = ( N − 1) n

2

e σ 2π Rumus tersebut merupakan fungsi distribusi dari distribusi ... A.student-t B. Chi-square ( χ 2 ) C. Binomial D. Normal Distribusi normal bergantung pada dua parameter, yaitu ... dan ...

σ σ

μ p~

A.varian ( 2) dan jumlah sampel (n) B. rata-rata ( ) dan varian 2 ( ) C. jumlah sampel (n) dan populasinya populasin ya (N) D.proporsi ( ) dan varian ( 2) 10. Distribusi normal standar atau ditulis dengan notasi Z N (0;1) (0;1) adalah distribusi normal yang nilai rata-rata dan variannya sudah baku yaitu ... A. μ = 0 dan σ2 = 0 C. μ = 0 dan σ2 = 1

σ

B. μ = 1 dan σ2 = 0 D. μ = 1 dan σ2 = 1

11. Pengujian hipotesisi dimulai dengan menerima suatu anggapan tertentu sebagai hal yang benar. Anggapan inilah yang digunakan sebagai landasan kerja dan dinamakan ... A. Hipotesis Pendukung (support ) B. Hipotesis Nol ( H H 0) C. Hipotesis Satu ( H D. Hipotesis Primer H 1) 12. Sedangkan anggapan lain yang merupakan tandingan dari anggapan yang digunakan sebagai landasan kerja, dinamakan ... A. Hipotesis Pendukung (support ) B. Hipotesis Nol ( H H 0) C. Hipotesis Satu ( H D. Hipotesis Primer H 1) 13. Berapa macam jenis kesalahan yang mungkin timbul dari pengujian hipotesis secara statistik ! A. 2 macam B. 3 macam C. 4 macam D. 6 macam 14. Kesalahan yang mungkin timbul karena H0 yang ditolak sesungguhnya benar, peluang timbulnya salah jenis ini dilambangkan dengan ∝ atau P(tolak H0|H0 benar) = ∝�Kesalahan ini adalah Kesalahan Jenis... A. Pertama B. Kedua C. Ketiga D. Keempat


Pengujian Hipotesis

| 71

15. Kesalahan yang mungkin dibuat karena kita telah menerima berlakunya suatu H0 yang sesungguhnya tidak benar, peluang membuat salah jenis ini dilambangkan dengan  atau atau P(terima H0|H0salah) =  �Kesalahan ini adalah Kesalahan Jenis... A. Pertama B. Kedua C. Ketiga D. Keempat [Untuk soal no. 16 dan 17] Perhatikan tabel berikut: Hipotesis Keputusan H0 benar H0 salah Tindakan yang benar Kesalahan jenis kedua Terima H0 (1-∝) (β) Tolak H0 …. (16) …..(17) Isilah titik-titik tersebut dengan pilihan jawaban yang benar ! 16. A. Kesalahan jenis pertama (1-∝ ) B. Tindakan yang salah (1- β) C.Kesalahan jenis pertama (∝ ) D. Tindakan yang benar (1- β) 17. A. Kesalahan jenis pertama (1-∝ ) B. Tindakan yang salah (1- β) C.Kesalahan jenis pertama (∝ ) D. Tindakan yang benar (1- β) 18. kedua jenis kesalahan yaitu α dan β , dapat diperkecil peluang kesalahannya secara bersama-sama (sekaligus) dengan cara ... A. Biaya pelatihan ditambah B. Pertanyaan pada kuesioner diperbanyak diperban yak C. ukuran sampel (n) diperbesar D. Jumlah pencacah ditambah 19. Langkah pertama dalam melakukan pengujian Hipotesis adalah ... A. Menentukan H0 dan H1 berdasarkan anggapan yang akan diuji. B. Menentukan daerah kritis. C. Membuat keputusan. D. Menarik kesimpulan. 20. Langkah terakhir dalam melakukan pengujian Hipotesis adalah ... A. Memilih statistik uji yang sesuai. B. Menentukan daerah kritis. C. Membuat keputusan. D. Menarik kesimpulan.



ESSAY 1. Suatu obat baru dibuat untuk mengurangi ketegangan syaraf. Dari sampel acak 100 orang yang menderita ketegangan syaraf menunjukkan bahwa 70 orang merasa tertolong oleh obat tersebut. Berapa penduga proporsi orang yang tertolong dan varian populasinya ? 2. Diketahui tinggi mahasiswa STIS STIS berdistribusi normal dengan simpangan baku 5 cm. Dari sampel sebanyak 50 mahasiswa, diperoleh rata-rata tinggi sebesar 163 cm. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah tinggi mahasiswa tersebut. 3. Berdasarkan soal nomor 1, buatlah selang kepercayaaan 95 persen proporsi orang yang merasa tertolong oleh obat tersebut. 4. Dari suatu penelitian tentang konsumsi ikan perbulannya. Diwawancarai Diwawancarai 67 orang Jepang dan 53 orang Inggris. Dari orang Jepang diperoleh informasi rata-rata setiap bulan mereka mengkonsumsi 46 kg ikan dengan ragam= 8, sedangkan dari orang Inggris diperoleh informasi rata-rata mereka mengkonsumsi 30 kg setiap bulan dengan ragam =7. Tentukan selang kepercayaan 96% bagi beda µ1-µ2, jika diketahui µ1 adalah nilai rata-rata konsumsi ikan perbulan dari 67 sampel orang Jepang dan µ2 adalah nilai ratarata konsumsi ikan perbulan dari 53 sampel orang Inggris ! 5. Suatu perusahaan rokok ingin merencanakan metode pelintingan rokok yang baru dengan menggunakan mesin. Untuk itu diambil sampel rokok dari metode pelintingan manual (menggunakan tangan) dan metode pelintingan mesin. Bila 85 dari 1500 rokok hasil pelintingan manual cacat, dan 90 dari 2000 rokok hasil pelintingan mesin cacat. Buatlah selang kepercayaan 90% untuk selisih proporsi rokok yang cacat sesungguhnya dari kedua cara tersebut ! 6. Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkan menyebar normal dengan simpangan baku 0,9 desiliter. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh mesin itu, bila dari sampel 25 gelas mempunyai isi rata-rata 22,5 desiliter. 7. Berat 10 kaleng sarden (gr) di Toko ‘Berdikari’ secara berturut-turut adalah 40, 60, 50, 50, 40, 60, 60, 40, 50, 40. Buatlah selang kepercayaan 99% bagi rata-rata berat kaleng sarden, jika diketahui terdapat 100 kaleng sarden di toko tersebut. 8. Seorang guru SMA ingin mengetahui minat siswa kelas I akan ‘’Jurusan Bahasa’. Dari kuesioner yang dibagikan kepada 28 siswa, diperoleh data 7 orang yang berminat ke ‘Jurusan Bahasa’. Buatlah selang kepercayaan 95% siswa yang berminat ke ‘Jurusan Bahasa’.


Pengujian Hipotesis

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

| 73

Seorang peneliti ingin mengetahui beda IQ laki-laki dengan perempuan di suatu kota tertentu. Untuk tujuan tersebut dia mengambil sampel 17 laki-laki dan 15 perempuan. Berdasarkan test yang dilakukan, rata-rata IQ laki-laki adalah 119 dengan simpangan baku 8 dan rata-rata IQ perempuan adalah 111 dengan simpangan baku 6. Buatlah selang kepercayaan 98% untuk beda IQ laki-laki dan perempuan di kota tersebut ! Dari 25 sampel siswa SMA SMA yang mengikuti UN diperoleh nilai tengah ratarata 70 dan ragam 16. Bila nilai ujian itu menyebar normal, buat selang kepercayaan 98% bagi σ2. Seorang kasir disuatu pasar swalayan menyatakan bahwa rata-rata jumlah ‘Sari Roti’ yang terjual tiap harinya adalah 100 bungkus. Untuk membuktikan hal tersebut, Manajer bagian pengadaan melakukan pengamatan selama sebulan (30 hari). Dari pengamatan diperoleh rata-rata jumlah ‘Sari Roti’ yang terjual adalah 93 bungkus dengan simpangan baku 8. Ujilah pernyataan kasir tersebut dengan tingkat kepercayaan 90%. Seorang pengusaha pakan menyatakan bahwa pakan miliknya tahan disimpan sekitar 800 jam. Namun muncul dugaan bahwa masa simpan pakan tersebut telah berubah. Untuk menentukan itu dilakukan penelitian dengan jalan menguji sampel 50 karung pakan. Ternyata rata-ratanya 792 jam.Dari pengalaman-pengalaman sebelumnya diketahui bahwa simpangan baku masa simpan pakan 60 jam. Dengan tingkat kepercayaan 95%,ujilah apakah kualitas pakan telah berubah atau tidak. Seorang peternak bebek ingin mengetahui jenis pakan yang paling baik untuk menghasilkan telur yang lebih banyak. Penelitian dilakukan kepada 23 ekor bebek betina dengan memberikan pakan jenis baru, rata-rata telur yang diperoleh dari seekor bebek per tahunnya adalah 296 butir dengan simpangan baku 15 butir. Jika dengan menggunakan pakan jenis yang lama rata-rata telur yang diperoleh dari seekor bebek pertahunnya adalah 283 butir. Ujilah pernyataan bahwa pakan jenis baru lebih baik dibandingkan pakan jenis lama. Gunakan tingkat kepercayaan 99%. Sebuah mesin minuman ringan perlu diperbaiki bila ragam minuman yang dikeluarkan melebihi 1,43 desiliter. Suatu sampel acak 27 minuman dari mesin ini menghasilkan ragam 1,97 desiliter. Pada tingkat kepercayaan 95%, ujilah apakah mesin itu harus diperbaiki ? Kepala Sekolah SMA Negeri 01 Biak akan mengundurkan diri jika ragam nilai UN tahun 2011 di sekolahnya lebih dari 6,0. Dari sampel acak 30 siswa yang mengikuti UN diperoleh nilai ragam 5,4. Pada tingkat kepercayaan 99%, tentukan keputusan yang akan diambil, apakah Kepala sekolah tersebut harus mengundurkan diri atau tidak ! Seorang camat di Sinjai Tengah berjanji dalam 3 tahun akan meningkatkan produktivitas cengkeh dengan kisaran ragam 500 kg.Ujilah janji camat tersebut,apakah sudah terlaksana atau tidak dengan tingkat kepercayaan 95%,



jika setelah 3 tahun pengangkatannya pengangkat annya ditarik sampel 30 petani cengkeh dari kecamatan tersebut dan diperoleh ragam 286 kg. 17. Manajer personalia suatu perusahaan menyatakan bahwa 60% pegawai baru sekurang-kurangnya membutuhkan waktu 1 bulan untuk dapat menyesuaikan diri dengan bidang pekerjaannya. Setelah diadakan penelitian terhadap 27 pegawai baru ternyata 13 pegawai mampu menyesuaikan diri kurang dari 1 bulan. Apakah pernyataan manajer tersebut dapat ditolak dengan tingkat kepercayaan 99%. 18. Seorang guru SMA menyatakan bahwa lebih dari 70% siswa yang mendapatkan nilai bagus adalah siswa yang mengikuti kursus. Ujilah pernyataan guru tersebut jika dari 70 siswa bernilai bagus terdapat 44 siswa yang mengikuti kursus. Gunakan tingkat kepercayaan 98%. 19. Seorang penjual menyatakan minimal 75% barang yang dia jual, disenangi oleh para konsumen karena kualitasnya baik. Ujilah pernyataan penjual tesebut bila dalam pengamatan 230 barang yang dijual ternyata ada 162 barang yang disukai konsumen. Gunakan tingkat kepercayaan 99%. 20. Seorang pengusaha susu sapi murni menduga sekurang-kurangnya 60% dari populasi sapi perahnya dapat menghasilkan susu murni dengan baik. Untuk itu, ia menarik sampel 25 sapi miliknya dan diperoleh informasi hanya 17 sapi yang mampu menghasilkan susu murni dengan baik. Gunakan tingkat kepercayaan 95%. 21. Sebuah sampel yang terdiri dari 9 ubinan memiliki rata-rata hasil sebesar 100 kg bawang merah dengan standar deviasi 15 kg. Tentukan interval keyakinan sebesar 98 persen bagi rata-rata hasil populasinya. 22. Sembilan sampel yang terdiri dari suatu larutan telah dianalisis secara cermat guna menentukan konsentrasi tembaganya dinyatakan dalam satuan gram per liter. Rata-ratanya ternyata sebesar 9.50 dan varian sampelnya 0.0064. Tentukan interval keyakinan sebesar 95 persen guna menduga konsentrasi larutan yang tidak diketahui. Berilah alasan dan komentar Saudara tentang hasil hitungan Saudara. 23. Sebuah sampel yang terdiri dari 100 petani, 64 orang merupakan pemilik tanah. Tentukan interval keyakinan sebesar 95 persen guna menduga proporsi populasi petani yang juga pemilik tanah. Gunakan pendekatan secara normal terhadap distribusi binomialnya. 24. Data hasil survei tentang rata-rata pendapatan keluarga per bulan (dalam ribuan rupiah) dari dua kota A dan B menghasilkan catatan sebagai berikut: Sampel Kota A: n=100, rata-rata=5.900, s2=9.050 Sampel Kota B: n=120, rata-rata=5.800, s2=8.700 Berapa beda rata-rata pendapatan keluarga di kota A dan B, jelaskan makna hitungan tersebut.


Pengujian Hipotesis

| 75

25. Suatu populasi normal memiliki varian =100. Sebuah sampel sebesar 25 dan dipilih dari populasi di atas memiliki rata-rata=17 dan standar deviasi=16. Dapatkah ditarik kesimpulan bahwa rata-rata populasi kurang dari 25? Gunakan α=0.05. 26. Suatu sampel sebesar 25 yang yang dipilih dari populasi normal ternyata memiliki rata-rata sampel sebesar 33 dan variannya 100. Jika α=0.01, apakah yakin bahwa rata-rata populasinya tidak akan lebih besar dari 26? . 27. Sebuah sampel yang terdiri dari 15 cat kaleng memiliki berat kotor (dalam kg per kaleng) seperti diberikan berikut ini: 1.21; 1.21; 1.23; 1.20; 1.21; 1.24; 1.22; 1.24; 1.21; 1.19; 1.19; 1.18; 1.19; 1.23; 1.18. Jika taraf nyata 1 persen, dapatkah diyakini bahwa populasi cat dalam kaleng secara rata-rata memiliki isi berat kotor 1.2 kg per kaleng? 28. Andaikan 2 sampel acak masing-masing sekitar 10 dan 12 dipilih dari 2 populasi normal yang independen dan andaikan hasil sampelnya rata-rata sampel pertama=20, rata-rata sampel kedua=24, standar deviasi sampel pertama=5 dan standar deviasi sampel kedua=6. Apakah rata-rata populasi pertama dan kedua sama? Gunakan α=0.05, hitung dengan asumsi varian kedua populasi sama dan tidak sama. 29. Data di bawah ini menyajikan pertambahan berat 10 ekor tikus di mana tikustikus tersebut semula memperoleh proteinnya dari kacang mentah. Penelitian dilakukan dengan mengganti makanan tikus-tikus tersebut dengan kacang rebus. Apakah kacang rebus mempunyai efek terhadap pertambahan berat? Gunakan α=0.01. Mentah

61 60 56 63 56 63 59 56 44 61

Rebus 55 54 47 59 51 61 57 54 62 58 30. Sebuah sampel sebesar 64 dipilih dari populasi hasil pembuatan dadu. Setelah diadakan penelitian, ternyata 8 butir dadu dinyatakan tidak memenuhi ketentuan kualitas yang diharapkan. Berdasarkan sampel di atas, dapatkah dipercaya bahwa lebih dari 10 persen hasil pembuatan dadu di atas sebetulnya tidak memenuhi kualitas sesuai yang diharapkan? α=0.05. 31. Dalam bulan Januari 40 persen dari 2000 dealer mesin cuci menyatakan bahwa mereka merencanakan pertambahan jumlah pesanan mesin cuci. Dalam bulan Maret, ada kecenderungan guna mempunyai bahwa persentasi di atas akan bertambah. Sebuah sampel yang terdiri dari 400 dealer telah dipilih dari seluruh dealer di atas dan proporsi sampelnya ternyata sebesar 46 persen yang menambah pesanannya. Apakah pertambahan tersebut cukup meyakinkan? α=0.05.



Jawaban 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

A. Biaya, tenaga dan waktu D. Pendugaan (estimasi) C. p D. N n N C. N C n = n!(N − n)! σ 2

2

A. σ X = 2

B. σ X =

n

σ 2 N − n

n N − 1 D. Normal B. rata-rata ( ) dan varian ( 2)

μ

σ

C. μ = 0 dan σ2 = 1. A. Biaya, tenaga dan waktu C. Hipotesis Satu ( H H 1) A. 2 macam A. Pertama B. Kedua C. Kesalahan jenis pertama (∝ ) D. Tindakan yang benar (1- β) C. ukuran sampel (n) diperbesar A. Menentukan H0 dan H1 berdasarkan anggapan yang akan diuji. D. Menarik kesimpulan.

ESSAY

1.

Diketahui: n=100; X = 70; Maka selang kepercayaan E ( pˆ ) = µ pˆ = p pˆ =

X

σ p2ˆ =

2.

=

70

n 100 pˆ (1 − pˆ )

= 0,7 0, 7 dan 1 − pˆ = 0, 3 =

n

0, 7 × 0, 3 1 00

=

0, 21 1 00

= 0,0021

Diketahui: n=50; X = 163 ; σ = 5 ; α = 0, 05; Zα / 2 = Z 0, 025 = 1, 96 X − Zα /2

σ n

< µ < X + Z α /2

σ n

Maka selang kepercayaan 95% adalah:


Pengujian Hipotesis

163 − 1, 96

5

| 77

5

< µ < 163 + 1, 96

50 50 163 − 1, 386 < µ < 163 + 1, 386 161, 614 < µ < 164, 386

3.

Artinya dengan selang kepercayaan 95 persen, nilai pendugaan rata-rata tinggi mahasiswa STIS berada pada interval 161,614 hingga 164,386 cm. 70 Diketahui: n=100; X = 70 pˆ = X / n = = 0,7 0, 7 ; α = 0, 05; Zα / 2 = Z 0, 025 = 1, 96 100 pˆ − Zα /2

pˆ (1 − pˆ ) n

< p < pˆ + Z α /2

pˆ (1 − pˆ ) n

Maka selang kepercayaan 95% adalah: 0, 42 − 1, 645

0, 42 (1 − 0, 42 ) 500

< p < 0, 42 + 1, 645

0, 42 (1 − 0, 42) 5 00

0,3837 < p < 0,4563 Artinya dengan selang kepercayaan 95 persen, nilai pendugaan proporsi orang yang merasa tertolong oleh obat tersebut berada pada interval 38,37% hingga 45,63%. 4.

Diketahui: n1 = 6 n2 = 53

σ 12 = 8

X 1 = 46

σ 22 = 7

X 2 = 30

( X 1 − X 2 ) − Zα / 2

σ 12 n1

+

σ 22 n2

α = 4% Zα / 2 = Z 0, 02 = 2,05

< µ1 − µ 2 < ( X 1 − X 2 ) + Z α / 2

σ 12 n1

+

σ 22

n2


30 ) − 2, 05 ( 46 − 30

8 67

+

7 53

< µ1 − µ 2 < ( 46 − 30 30 ) + 2, 05

8 67

+

7 53

(16 ) − 2, 05 × 0, 5 < µ1 − µ 2 < (16 ) + 2, 05 × 0, 5 14, 975 < µ1 − µ 2 < 17, 025

5.

Artinya dengan selang kepercayaan 96 persen, nilai pendugaan beda µ1-µ2 konsumsi ikan perbulan oleh orang Jepang dan orang Inggris berada pada interval 14,975 hingga 17,025 kg. Zα / 2 = Z 0, 05 = 1,645 Diketahui: n1 = 1500 x1 = 85 α = 10% n2 = 2000

( pˆ1 − pˆ 2 ) − Zα / 2

x 2 = 90 pˆ1 = pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n1

+

x1 n1

=

85 1500

pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n2

= 0,056 pˆ 2 =

x2 n2

=

90 2000

= 0,045

< p1 − p2 < ( pˆ 1 − pˆ 2 ) + Z α / 2

pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) n1



+

pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) n2


0, 056 (1 − 0, 056 )

( 0, 056 − 0, 045) − 1, 645

15 00

0, 045 (1 − 0, 045)

+

< p1 − p2 <

2 00 0

0, 056 − 0, 045 ) + 1, 645 ( 0,

0, 056 (1 − 0, 056 ) 15 00

+

0, 045 (1 − 0, 045)

( 0, 011) − 1, 645 × 0, 0319 < p1 − p2 < ( 0, 011) + 1, 645 × 0, 0319 0, 05752 < p1 − p2 < 0,1624 Artinya dengan tingkat kepercayaan 90 persen,nilai pendugaan selisih proporsi rokok yang cacatberdasarkan kedua cara tersebut berada pada interval 5,75% hingga 16,24% 6.

α = 10% ;

Diketahui: n= 25; X − t(α / 2, n −1)

s n

t

< µ < X + t (α / 2, n −1)

∝

/2:n-1=t0,05:24=

1,711;

5; s = 0, 9 X = 22, 5;

s

n

Maka selang kepercayaan 90% adalah: 0, 9 0, 9 22, 5 − t( 0, 05, 24 ) < µ < 22, 5 + t ( 0 , 05, 24 ) 25 25 22, 5 − 1, 711

0, 9

< µ < 22, 5 + 1, 711

25 22,19 < µ < 22, 81

0, 9 25

Artinya dengan tingkat kepercayaan 90 persen, nilai pendugaan rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh mesin tersebut berada pada interval 22,19 hingga 22,81 desiliter. 7.

Diketahui: n=10, N=100, X = 49, s= 8,76, X − t(α / 2; n −1)

s

N −n

n

N − 1

∝

=1%, t

< µ < X + t (α / 2; n −1)

∝

/2:n-1= t0,005:9=3,25

s

N −n

n

N − 1

Maka selang kepercayaan 99% adalah: 4 9 − t ( 0 , 005 ; 9 )

8, 76 100 − 10 10

49 − 3, 25

10 0 − 1 8, 76 90

< µ < 49 + t ( 0 , 005;9 ) < µ < 49 + 3, 25

10 99 40, 416 < µ < 57, 584

8.

8, 76 100 − 10 10

1 00 − 1

8, 76 90 10

99

Artinya dengan tingkat kepercayaan 99 persen, nilai pendugaan rata-rata berat kaleng sarden berada pada interval 40,416 hingga 57,584 gram Diketahui: n= 28, X =7, =7, ∝ =5%, =5%, t /2:n-1= t0,025:27 =2,052

∝

X n

− t(α / 2;n −1)

X  X 1−   n n n

< p<

X n

+ t (α / 2;n −1)



X X  1−   n n n

2 00 0

Pengujian Hipotesis

7 28

− t( 0, 025; 27 )

7  7  1−   7 28  28  < p< + t ( 0, 025; 27 ) 28 28

| 79

7  7  1−   28  28  28

7  21  7  21      7 7 28  28  28  28  − 2, 052 < p < + 2, 052 28 28 28 28 0, 082 < p < 0, 418 Artinya dengan tingkat kepercayaan 95 persen, nilai pendugaan proporsi siswa SMA yang berminat ke ‘Jurusan Bahasa’ berada pada interval 8,2% hingga 41,8% 9.

Diketahui: n1 = 17 n2 = 15 X 1 = 119 X 2 = 111 s1 = 8 s2 = 6 ∝ =2% =2%

( X 1 − X 2 ) − t(α / 2;

s12 db )

+

n1 − 1

s22 n2 − 1

< µ1 − µ 2 < ( X 1 − X 2 ) + t (α / 2;db )

2

s12 n1 − 1

+

s22 n2 − 1

2

 s12 s22   82 6 2   +   1 7 + 15  n n 1 2   =  2 db =  2 2 2  s12   s22   82   6 2       1 7   15    +   n1  +  n2 

Dimana,

n1 − 1

n2 − 1

16

14

2

 82 6 2   +  17 15  38,00359862 =  2 = 2 0,8858 ,885813 1314 148 8 + 0,41142 ,4114285 8571 71  82   6 2       17  +  15  16 14 db = 29, 29 295 ≈ 29

t(α / 2:db ) = t ( 0, 01:29 ) = 2,462

Maka, selang kepercayaan 98% adalah:

( X 1 − X 2 ) − t(α / 2;

s12 db )

(119 − 113) − 2, 462

n1 − 1

82 16

+

+

s22 n2 − 1

62 14

< µ1 − µ 2 < ( X 1 − X 2 ) + t (α / 2;db )

< µ1 − µ 2 < ( 119 − 113) + 2, 462

82 16

s12 n1 − 1

+

+

s22 n2 − 1

62 14

(8) − 6, 311 < µ1 − µ 2 < (8) + 6, 311 1, 689 < µ1 − µ 2 < 14, 311



Artinya dengan tingkat kepercayaan 98 persen, nilai pendugaan beda IQ lakilaki dan perempuan di kota tersebut berada pada interval 1,689 hingga 14,311. 10. Diketahui:

α = 2% ;

v=n-1=24;s2=16; χα 2 / 2; n −1 = χ 0,2 01;24 = 42,980 ;

n=25;

χ (21−α / 2 ); n −1 = χ 02, 99; 24 = 10,856

Maka, selang kepercayaan 98% ialah:

( n − 1) s 2 χ α2 /2; n−1

24 ×16 16 42, 980

2

< σ <

< σ 2 <

( n − 1) s 2 χ 12−α /2; n−1

24 × 16 16 10, 856

8, 934 < σ 2 < 35, 372 Artinya dengan tingkat kepercayaan 98 persen, nilai pendugaan ragam nilai ujian siswa SMA berada pada interval 8,934 hingga 35,372. 11. Diketahui n= 30; X = 93 ; s = 8 ; • Penentuan Hipotesis H0: µ � 100 bungkus H1: µ ≠100 bungkus

• •

Taraf uji: ∝ =10% =0,1 Statistik Uji : � diketahui diketahui nilainya yaitu 8

Z hitung =

=

X − µ 0 s n

93 − 10 0 = − 4,793 8 30

•

Daerah kritis: Zα / 2 = Z 0, 05 = 1,645

•

Keputusan: |Zobservasi |= 4, 793 > Ztabel = 1, 645 maka H0 ditolak

Kesimpulan: Dengan selang kepercayaan 90 persen,pernyataan kasir tersebut ditolak. Karena rata-rata jumlah ‘Sari Roti”yang terjual tidak sama dengan 100 bungkus perharinya, melainkan kurang dari 100. 12. Diketahui n= 50; X = 792 ; σ = 60 ; • Penentuan Hipotesis H0: µ � 800jam H1: µ ≠800 jam

• •

Taraf uji: ∝ =5% =0,05 Statistik Uji :σ diketahui nilainya yaitu 60


Pengujian Hipotesis

| 81

X − µ 0 σ n 792 − 800 = = − 0,943 60 50

Z hitung =

•

Daerah kritis: Zα / 2 = Z 0,0 25 = 1,96

•

Keputusan: |Zobservasi |= 0, 943 < Ztabel = 1, 96 maka H0 tidak ditolak

•

Kesimpulan: Dengan selang kepercayaan 95%,rata-rata masa simpan pakan tersebut masih bernilai sekitar 800 jam.

13. Diketahui n= 23; X = 296 ; s = 15 ; • Penentuan Hipotesis H0: µ � 283 butir H1: µ � 283 butir

• •

Taraf uji: ∝ =1% =0,01 Statistik Uji : � diketahui diketahui nilainya yaitu 15, dan n=23

thitung =

=

X − µ 0 → t n −1 s n

29 6 − 283 = 4,156 15 23

•

Daerah kritis: Tolak Tolak H 0 jika, jika, thitung > tα ; n −1 = t 0 , 01; 22 = 2,508

•

Keputusan: Keputusan: t hitung > t α ; n −1 ⇔ 4,156 >2,508 maka H0 ditolak ditolak

•

Kesimpulan: berdasarkan data pengamatantingkat kepercayaan 99%,cukup bukti untuk mendukung pernyataan rata-rata jumlah telur seekor bebek yang memakan pakan jenis baru lebih banyak dibandingkanrata-rata jumlah telur seekor bebek yang memakan pakan jenis lama. 14. Diketahui: n= 27; s2 =1,97 • Penentuan Hipotesis 2 H0: σ = 1,43 H1: σ2 > 1,43

2

•

Taraf uji :α = 5% ; χα 2 ; n −1 = χ 02, 05; 26 = 38,885

•

Statistik Uji:

χ hitung =

(n − 1)s 2 2

=

σ ,97 ( 26 )1,97

1,43

= 35,818



•

Daerah Daerah Kriti Kritis: s: H 0 ditolak ditolak jika χ 2 > χ α 2; n −1

•

Keputusan: χ h2itung < χ α 2 ; n −1 ⇔ 35,81 35,818 8 < 38,88 38,885 5 mak makaa H 0 tida tidak k dit ditol olak ak

•

Kesimpulan: dengan tingkat kepercayaan 95% belum cukup bukti untuk menolak H0, artinya mesin belum perlu untuk diperbaiki. 15. Diketahui: n= 30; s2 =5,4 • Penentuan Hipotesis H0: 2 = 6,0 H1: 2 > 6,0

σσ

•

Taraf uji :α = 1% ; χα 2 ; n −1 = χ 02, 01; 29 = 49,588

•

Statistik Uji:

2 hitung

χ

=

(n − 1) s 2 2

=

σ ( 29 ) 5, 4

6

= 26,1

•


•

Keputusan: χ h2itung < χ α 2 ; n −1 ⇔ 26,1 26,1 < 49,58 49,588 8 mak makaa H 0 tida tidak k dito ditollak

Kesimpulan: dengan tingkat kepercayaan 99% belum cukup bukti untuk menolak H0, artinya Kepala Sekolah tidak perlu mengundurkkan diri. 16. Diketahui: n= 30; s2 =86 • Penentuan Hipotesis H0: 2 = 500 H1: 2 >500

σσ

•

Taraf uji :α = 5% ; χα 2 ; n −1 = χ 02, 05; 29 = 42,557

•

Statistik Uji:

2 hitung

χ

=

(n − 1) s 2 2

=

σ ( 29 ) 286

500

= 16,588

•


•

Keputusan: χ h2itung < χ α 2 ; n −1 ⇔ 16,588 ,588 < 42,55 42,557 7 maka maka H 0 tida idak di ditol tolak

Kesimpulan: dengan tingkat kepercayaan 95% belum cukup bukti untuk menolak H0, artinya janji Camat tersebut belum terpenuhi. 17. Diketahui: n= 27; X = 13 • Penentuan Hipotesis H0: = P0 yaitu H0: = 60% = 0,6 H1: > P0 yaitu H0: > 60% = 0,6

PP

•

PP

Taraf uji :α = 1% = 0,01; Zα = Z 0,01 = 2,33


Pengujian Hipotesis

• Z hitung

Statistik Uji: X − nP0 = nP0Q0

=

| 83

13 − (27 × 0, 6) 27 × 0, 6 × (1 − 0, 6)

= − 1,257

•

Daerah Daerah Kriti Kritis: s: H0 ditolak ditolak jika jika Z > Z α

•

Keputusan: Z hitung < Z α → −1,257 ,257 < 2,33 ,33 ma maka H0 tida idak di ditol tolak

Kesimpulan: dengan tingkat kepercayaan 99% belum cukup bukti untuk menolak H0. Artinya pernyataan manajer personalia tentang 60% pegawai baru sekurang-kurangnya membutuhkan waktu 1 bulan untuk dapat menyesuaikan diri dengan bidang pekerjaannya tidak dapat diterima berdasarkan data yang ada. 18. Diketahui: n= 70; X = 44 • Penentuan Hipotesis H0: = P0 yaitu H0: = 70% = 0,7 H1: > P0 yaitu H0: > 70% = 0,7

PP

• •

Z hitung

PP

Taraf uji :α = 2% = 0,02; Zα = Z 0,02 = 2,05 Statistik Uji: X − nP0 = nP0Q0

=

44 − (70 × 0, 7) 70 × 0, 7 × (1 − 0, 7)

= − 1,304

•

Daerah Daerah Kriti Kritis: s: H0 ditolak ditolak jika jika Z > Z α

•

Keputusan: Z hitung < Z α → −1,304 ,304 < 2,05 maka H0 tida idak di ditol tolak

Kesimpulan: dengan tingkat kepercayaan 98% belum cukup bukti untuk menolak H0. Artinya pernyataan guru bahwa lebih dari 70% siswa yang mendapatkan nilai bagus adalah siswa yang mengikuti kursus tidak terbukti. 19. Diketahui: n= 230; X = 162 • Penentuan Hipotesis H0: = P0 yaitu H0: = 75% = 0,75 H1: > P0 yaitu H0: > 75% = 0,75

PP

• •

Z hitung

PP

Taraf uji :α = 1% = 0,01; Zα = Z 0,01 = 2,33 Statistik Uji: X − nP0 = nP0Q0

=

162 − ( 230 × 0, 75) 230 × 0, 75 × (1 − 0, 75)

= − 1,59



•

Daera Daerah h Kritis Kritis:: H 0 ditola ditolak k jika Z > Z α

•

Keputusan: Z hitung < Z α → −1,59 < 2,33 ,33 ma maka H0 tid tidak ditol itolaak

Kesimpulan: dengan tingkat kepercayaan 99% belum cukup bukti untuk menolak H0. Artinya pernyataan penjual yang menyatakan minimal 75% barang yang dia jual, disenangi oleh para konsumen karena kualitasnya baik, tidak terbukti. 20. Diketahui: n= 25; X = 17 • Penentuan Hipotesis H0: = P0 yaitu H0: = 60% = 0,6 H1: > P0 yaitu H0: > 60% = 0,6

PP

• •

Z hitung

PP

Taraf uji :α = 5% = 0,05; Zα = Z 0, 5 = 1,645 Statistik Uji: X − nP0 = nP0Q0

=

17 − (25 × 0, 6) 25 × 0, 6 × (1 − 0, 6)

= 0,816

•

Daera Daerah h Kritis Kritis:: H 0 ditola ditolak k jika Z > Z α

•

Keputusan: Z hitung < Z α → 0,81 0,816 6 < 1,645 ,645 ma maka H0 tida tidak k dit ditol olaak

Kesimpulan: dengan tingkat kepercayaan 95% belum cukup bukti untuk menolak H0. Artinya dugaan pengusaha susu sapi murni bahwa sekurangkurangnya 60% dari populasi sapi perahnya dapat menghasilkan susu murni dengan baik, tidak terbukti.

̅  1002,89685,85,5 √ 1259 114,1000048 2 ,890,698 √ 159  0,98

21. Diketahui : n = 9 = = 100 kg s = 15 kg = 0,02 t(0,01 ; 8) = 2,896

Maka interval keyakinan 98 persen adalah :

Jadi, dengan tingkat keyakinan 98 persen rata-rata hasil bawang merah antara 85,52 kg sampai dengan 114,48 kg.


Pengujian Hipotesis

| 85

̅

22. Diketahui : n = 9 = = 9,50 s = 0,0064 α = 0,05

t(0,025 ; 8) = 2,306

9,502,3060,9,90√ ,4064995 9,95,505050  2,2,30,0965 0,0√ 0649   0,95


Jadi, dengan tingkat keyakinan 95 persen rata-rata konsentrasi tembaga dalam suatu larutan antara 9,495 gram per liter sampai 9,505 gram per liter.

23.

Diketahui : α = 0,05

̂    0,64

Z0,025 = 1,96 Maka interval keyakinan 95 persen adalah :

0,641,96 0,0,6441000,00,0,,535660,0,0,736464 0,1,1,996956 0,0,6441000,0,366  0,95  ̅   5. 9 00 ;   9. 0 50     120; ̅  5.800 ;    8.700

Jadi, dengan tingkat keyakinan 95 persen proporsi populasi petani yang juga pemilik tanah antara antar a 55 sampai 73 persen.

24.

Diketahui : n1 = 100 ; Z0,025 = 1,96


 100  1,96   9.9100.050  8700120      10100  1,96   9.9100.050  8700120   0,95 74,74,98      125,02  0,95

Jadi, dengan tingkat keyakinan 95 persen dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan antara rata-rata pendapatan keluarga dari kota A dan kota B. Perbedaan tersebut berkisar antara Rp 74.980,00 sampai dengan Rp 125.020,00.



25.

  100 ;   25 ; ̅  17 ;   16 ::   2525 ̅    √   1725 16√ 252 5 2,5

Diketahui : Jawab : 1. Penentuan hipotesis

2. Taraf uji α = 5% = 0,05 3. Statistik uji :

4. Daerah kritis : tα;n-1 = t0,05 ; 24 = 1,711 Daerah Tolak H0

Daerah Terima H0 0.95

0.05

0

-1,711

5. Keputusan : thitung< ttabel maka tolak H0. 6. Kesimpulan : dengan taraf uji 5% dapat disimpulkan bahwa rata-rata populasi memang kurang dari 25.

26.

  25 ; ̅  3333 ;   100 ::   2727 ̅    √   3327 10√ 2525  3



4. Daerah kritis : tα;n-1 = t0,01 ; 24 = 2,492 Daerah Tolak Tolak H0

Daerah Terima H0 0.99

0.01 2,492

0

5. Keputusan : thitung> ttabel maka tidak tolak H0. 6. Kesimpulan : dengan taraf uji 1% dapat disimpulkan data pengamatan belum cukup untuk mendukung pendapat bahwa rata-rata populasinya tidak akan lebih besar dari 26. 27.

  15 ; ̅  1,21 ;   0,0004 :   1,2



Pengujian Hipotesis

| 87

:   1,2    ̅√   ,,,√   1,94


4. Daerah kritis : tα /2;n-1 = t0,005 ; 14 = 2,977 Daerah Terima H0 Daerah Tolak H0

Daerah Tolak H0

0.99

0.005 -2,977

0.005

0

2.977

5. Keputusan : thitung< ttabel maka tidak tolak H0. 6. Kesimpulan : dengan taraf uji 1% dapat disimpulkan bahwa belum cukup bukti dari data pengamatan untuk mendukung pendapat bahwa rata-rata populasi cat dalam kaleng memiliki isi dengan berat kotor 1,2 kg per kaleng.

28.

 ̅   20 ;   5     12; ̅  24 ;   6

Diketahui : n1 = 10 ;

a. Varian populasi sama tetapi tidak diketahui

1. Penentuan hipotesis

::     00       5  11116  12,33   1     1           2  9562 ̅ ̅      23 3024  0     11  12,32024  0, 7 6 1 1     10 12       2  5  6  2  9


dengan

4. Daerah kritis : tα /2;v = t0,025 ; 9 = 2,262

Daerah Terima H0 Daerah Tolak Tolak H0 0.025 -2,262

Daerah Tolak H0

0.95

0.025

0

2.262

5. Keputusan : thitung = -0,76 > ttabel = - 2,262 maka tidak tolak H0.



6. Kesimpulan : dengan taraf uji 5% dapat disimpulkan data pengamatan belum cukup untuk mendukung pendapat bahwa terdapat perbedaan rata-rata antara populasi satu dengan populasi dua. b. Varian populasi tidak sama dan tidak diketahui 1. Penentuan hipotesis

::     00 20246  0  1,71    ̅  ̅   52024   10  12


dengan





                   19,8  20   

4. Daerah kritis : tα /2;v = t0,025 ; 20 = 2,086

Daerah Tolak H0

0.95

Daerah Terima H0 Daerah Tolak H0

0.025

0.025

0

-2,086

2,086

5. Keputusan : thitung = -1,71 > ttabel = - 2,086 maka tidak tolak H0. 6. Kesimpulan : dengan taraf uji 5% dapat disimpulkan data pengamatan tidak mendukung pendapat bahwa terdapat perbedaan rata-rata antara populasi satu dengan populasi dua.

29.

Bila sebaran bobot badan diasumsikan menghampiri sebaran normal, maka selisih berat badan sebelum dan sesudah pemberian kacang rebus(di) dari kesepuluh tikus tersebut adalah: Tikus Berat Badan (kg) di

1 6

2 6

3 9

4 4

5 5

6 2


7 2

8 2

9 -18

10 3

Pengujian Hipotesis

Diketahui : n = 10 ; 1. Hipotesis

| 89

̅  2,1 ;   7,42

H0 : µD = 0 lawan H1 : µD< 0 2. Statistik uji adalah: t observasi =

2,1 − 0 = 0,89 7,42 10

3. Daerah kritis; - t 0,01;(10-1) = - t 0,01;9 = - 2,821 4. Keputusan : karena tob = 0,89 > - 2,821 maka H0 tidak ditolak. 5. Kesimpulan: dengan taraf uji 5%, data tidak mendukung pernyataan bahwa pemberian kacang rebus mempunyai efek terhadap pertambahan berat badan tikus-tikus.

30.

Diketahui : x = 8 ; n = 64 Jawab : 1. Penentuan Hipotesis H0 : p = p0 yaitu H0 : p = 10% = 0,1 H1 : p > p0 yaitu H1 : p > 10% = 0,1 2. Taraf uji: α = 5% = 0,05

3. Statistik uji: Z observasi =

X − nP0 nP0Q0

=

8 − 64(0,1) 64(0,1)(1 − 0,1)

= 0,67

4. Daerah kritis Zα = Z 0,05 = 1,645 5. Keputusan Zob < Z tabel, maka H0 tidak ditolak. 6. Kesimpulan: Dengan taraf uji 5 % dapat disimpulkan data pengamatan tidak mendukung pendapat bahwa dari 10 persen hasil pembuatan dadu di atas sebetulnya tidak memenuhi kualitas sesuai yang diharapkan.



31.

Diketahui : pA : proporsi pertambahan jumlah pesanan mesin cuci bulan Januari = 40% = 0,4 pB : proporsi pertambahan jumlah pesanan mesin cuci bulan Maret = 46% = 0,46 XA: banyaknya pertambaan jumlah pesanan mesin cuci bulan Januari = 40% dari 2000 dealer = 800 XB: banyaknya banyakn ya pertambahan jumlah pesanan mesin cuci bulan Maret = 46% dari 400 dealer = 184 nA: jumlah sampel pada bulan Januari = 2000 nB: jumlah sampel pada bulan Maret = 400 Proporsi contoh yang dapat dihitung dari kedua daerah adalah: P=

800 + 184 984 = = 0,41 2000 + 400 2400

1. Hipotesis: H0 : PA = PB = P H1 : PA< PB 2. Statistik uji: Z ob =

0,4 − 0,46

[(

0,41(0,59) 1

) (

2000

+ 1

400

)]

= −2,23

3. Daerah kritis : -Z 0,05 = - 1,645 4. Keputusan

: karena Zob = -2,23 < -1,645 maka H0 ditolak.

5. Kesimpulan : dengan taraf uji 5%, dapat disimpulkan bahwa memang terjadi peningkatan jumlah pesanan mesin cuci pada bulan Maret.


Daftar Pustaka Walpole, Ronald E. 1992. Pengantar Statistika. Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama. Walpole, Ronald E dan Raymond H. Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung : Penerbit ITB.

Pengujian Hipotesis.pdf

Recommend Documents