Péndulo de torsión El péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación.
Índice [ocultar ocultar]]
1 Determinación del periodo de las oscilaciones
2 Usos y aplicaciones o
2.1 Medida de módulo de rigidez
o
2.2 Medida de momentos de inercia
3 Véase también
4 Referencias
5 Bibliografía
6 Referencias externas
Determinación del periodo de las oscilaciones [editar editar]]
Péndulo de torsión sencillo para demostraciones en el laboratorio
Al aplicar un momento torsional
M en
el extremo inferior del hilo, éste experimenta
una deformación de torsión. Dentro de los límites de validez de la ley de Hooke, el ángulo de torsión φ es directamente proporcional al momento torsional
M aplicado,
de modo que
(1) donde τ es el coeficiente de torsión del hilo o alambre de suspensión, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material. Para el caso de un hilo o alambre es
(2) siendo D el diámetro del alambre, l su longitud y
G el
módulo de rigidez del material que lo
constituye. Debido a la elasticidad del hilo (rigidez), aparecerá un momento recuperador igual y opuesto al momento torsional aplicado; cuando se haga desaparecer el momento torsional aplicado, el sistema se encontrará en las condiciones precisas para iniciar un movimiento oscilatorio de torsión, concomitante con las oscilaciones de rotación de la masa suspendida del hilo o alambre. Igualando el momento recuperador -
τφ al
producto del
momento de inercia I del sistema por la aceleración angular α =d2φ/dt 2, tenemos la ecuación diferencial del movimiento de rotación: (3) que es formalmente idéntica a la ec. dif. correspondiente a un movimiento armónico simple. Así pues, las oscilaciones del péndulo de torsión son armónicas, y la frecuencia angular y el período de las mismas son
(4)
NOTA: El mecanismo de los relojes de pulsera mecánicos, accionado mediante un resorte espiral, tienen un periodo de oscilación que puede calcularse mediante la fórmula anterior. El reloj está regulado mediante el ajuste del momento de inercia de la rueda de inercia
(mediante unos tornillos de la rueda de inercia) y de forma más precisa
mediante el cambio del coeficiente de torsión .
Usos y aplicaciones[editar] El péndulo de torsión constituye el fundamento de la balanza de torsión y de un buen número de dispositivos y mecanismos.
Medida de módulo de rigidez[editar]
Mediante la determinación precisa del período de oscilación del péndulo de torsión podemos calcular el valor del coeficiente de torsión τ de la probeta, y a continuación el valor del módulo de rigidez
G del
material ensayado.
Medida de momentos de inercia[editar] Añadiendo al cuerpo suspendido otro cuerpo de momento de inercia desconocido
, el
nuevo periodo de oscilación por torsión será:
(5) de modo que eliminando
entre las ecuaciones (4) y (5) obtenemos
(6) que nos permite calcular el momento de inercia del cuerpo añadido.
Péndulo de torsión Sólido rígido Dinámica de rotación
Ecuación de la dinámica de rotación Momentos de inercia Dinámica de rotación y balance energético Péndulo de torsión Péndulo compuesto El columpio Rozamiento en el movimiento de rotación El oscilador de "Atwood"
Procedimiento estático Procedimiento dinámico
Para medir la constante de torsión de un muelle hel icoidal existen dos procedimientos uno estático y otro dinámico
Procedimiento estático Ya hemos estudiado el comportamiento de los muelles elásticos. La fuerza F que aplicamos es proporcional a la deformación del muelle, x. F=kx k se denomina constante elástica del muelle y se mide en N/m
Varilla inclinada Lápiz que cae (I) Lápiz que cae (II) Escalera que desliza Escalera, estática y dinámica
Para los muelles helicoidales existe una ley similar, la diferencia es que se aplica un momento en vez de una fuerza, y la deformación es un desplazamiento angular. F·r=K K se denomina constante de torsión y se mide en N·m En el experimento real, se gira la varilla soporte un cierto ángulo , se mide con un dinamómetro la fuerza F que hay que aplicar a una distancia r del eje para que la varilla soporte se mantenga en equilibrio para dicho desplazamiento angular. Se ha de tener cuidado de que el eje del dinamómetro forme 90º con la varilla. Se desvía la varilla un ángulo mayor, se mide la fuerza F , situando el dinamómetro a la misma distancia r del eje, y así sucesivamente.
Actividades Se mide la fuerza F con un dinamómetro situado a 20 cm del eje y formando 90º con la varilla para cada una de las posiciones angulares de la varilla 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º, 360º. Se pulsa el botón titulado Siguiente y la varilla incrementa su posición angular en 45º. En el área de texto del applet, apar ece la medida de la fuerza, la que se indica en la escala del dinamómetro. Cuando se han completado todas las medidas, se pulsa el botón titulado Gráfica. El programa interactivo multiplica los valores de la fuerza que marca el dinamómetro por el brazo que es 20 cm, y obtiene el momento aplicado, M=F·r Se representa mediante puntos los datos "experimentales" del momento M en función del ángulo , y la recta M=K· de pendiente K.
Procedimiento dinámico En el procedimiento dinámico se separa la varilla soporte un cierto ángulo de suposición de equilibrio, se suelta, y la varilla comienza a oscilar.
A partir de la medida del periodo de las oscilaciones se obtiene la constante elástica del muelle. Cuando la varilla soporte se ha desviado un ángulo y se suelta el muelle ejerce sobre la varilla soporte un momento K . El momento es de sentido contrario al desplazamiento angular. Tenemos un sólido en rotación alrededor de un eje fijo bajo la acción de un momento. La ecuación de la dinámica de rotación se escribe I =-K . En forma de ecuación diferencial
Esta es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular 2=K/I y periodo
Ahora bien, el momento de inercia de la varilla soporte, del eje de rotación y del tornillo de sujeción no es conocido. Podemos superar este inconveniente, midiendo el periodo de las oscilaciones cuando la varilla tiene colocados dos cuerpos iguales de masa conocida, simétricamente dispuestos sobre la
varilla.
Cuando los cuerpos, en este caso esferas, están a una distancia a del eje, el momento de inercia es
El último término de la suma, proviene de la aplicación del teorema de Steiner . El periodo de las oscilaciones vale
Cuando los cuerpos están a una distancia b del eje, el momento de inercia es
El periodo de las oscilaciones vale
Restando los cuadrados de ambos periodos se eliminan las cantidades desconocidas I varilla e I esfera
Midiendo P a y P b despejamos de la fórmula la constante de torsión del muelle helicoidal K . Completar una tabla como la siguiente, y calcular la constante
de torsión K . Masa de cada una de las esferas, m Posición a Periodo a Posición b Periodo b Constante de torsión K
Actividades Se introduce
Posición de a, en cm Posición de b, en cm Masa m de cada una de las esferas, en g
Se mide el periodo P a de las oscilaciones del péndulo de torsión estando las esferas en la posición a. Aparece activado el correspondiente botón de radio. Se cambia las esferas a la posición b, activando el botón de radio correspondiente. Se mide el periodo P b de las oscilaciones del péndulo de torsión Para que la precisión en la medidas sea mayor, se mide el periodo de varias oscilaciones (unas cinco) y se divide el tiempo total entre el número de oscilaciones. Se pulsa en el botón titulado Empieza para que el péndulo comience a oscilar. Para poner en marcha el cronómetro, se pulsa en e l botón titulado En marcha. Para parar el cronómetro, se vuelve a pulsar en el mismo botón titulado ahora Parar. Se obtiene numéricamente el valor de la constante de torsión y se compara con el resultado que nos proporciona el programa pulsando en el botón titulado Respuesta.
