PEMETAAN MOBIUS Pemetaan Möbius didefinisikan pada bidang kompleks diperpanjang (yaitu kompleks pesawat ditambah dengan titik di tak terhingga ):
Ini kompleks pesawat diperpanjang dapat dianggap sebagai suatu bidang, maka bola Riemann , atau sebagai kompleks baris proyektif . proyektif . Setiap Möbius adalah bijektif konformal bijektif konformal peta peta bola Riemann pada dirinya sendiri. Memang, setiap peta tersebut adalah dengan kebutuhan transformasi Möbius. Himpunan semua transformasi Möbius membentuk kelompok membentuk kelompok bawah bawah komposisi disebut kelompok Möbius. Ini adalah kelompok automorphism lingkup Riemann (bila dianggap sebagai permukaan Riemann ) dan kadang-kadang dilambangkan . Kelompok Möbius adalah isomorfik dengan isomorfik dengan kelompok orientasi-melestarikan isometries dari 3ruang hiperbolik dan hiperbolik dan karena itu memegang peranan penting ketika belajar hiperbolik belajar hiperbolik 3-manifolds . Dalam fisika , yang komponen identitas dari kelompok Lorentz bekerja Lorentz bekerja pada falak dengan falak dengan cara yang sama bahwa kelompok Möbius bekerja pada bola Riemann. Bahkan, kedua kelompok isomorfik. Seorang pengamat yang mempercepat untuk kecepatan relativistik akan melihat pola rasi yang dilihat dekat Bumi terus berubah sesuai dengan transformasi yang sangat kecil Möbius. Pengamatan ini sering diambil sebagai titik awal dari teori twistor . twistor . Beberapa sub kelompok dari kelompok dari bentuk kelompok Möbius kelompok automorphism yang lain hanya terhubung permukaan terhubung permukaan Riemann (yang kompleks pesawat dan pesawat hiperbolik ). hiperbolik ). Dengan demikian, transformasi Möbius memainkan peran penting dalam teori dari p ermukaan Riemann. Yang fundamental dari setiap permukaan Riemann adalah subkelompok diskrit dari kelompok Möbius (lihat Fuchsian kelompok dan kelompok dan kelompok Klein ). Sebuah subkelompok diskrit penting dari kelompok Möbius adalah grup modular , modular , yang merupakan pusat untuk banyak teori fraktal , bentuk modular , modular , belokan berbentuk bulat panjang dan persamaan Pellian . Pemetaan Möbius dapat lebih umum didefinisikan dalam ruang dimensi n> 2 sebagai konformal bijektif orientasi-melestarikan peta dari wilayah-n dengan n-bola. Transformasi tersebut adalah bentuk paling umum dari pemetaan konformal dari domain. Menurut Teorema Liouville 's transformasi Möbius dapat dinyatakan sebagai komposisi terjemahan, kesamaan, transformasi ortogonal dan inversi. Bentuk umum dari pemetaan Möbius diberikan oleh
dimana a, b, c, d adalah setiap bilangan kompleks memuaskan ad - bc ≠ 0. (Jika iklan = bc fungsi rasional didefinisikan di atas adalah konstan dan tidak dianggap sebagai transformasi Möbius.) Dalam hal c ≠ 0 definisi ini diperluas ke seluruh wilayah Riemann dengan mendefinisikan
jika c = 0 kita mendefinisikan
Ini ternyata f (z) menjadi bijektif fungsi holomorphic dari lingkup Riemann untuk lingkup Riemann. Himpunan semua transformasi Möbius membentuk kelompok bawah komposisi . Kelompok ini dapat diberikan struktur berjenis kompleks sedemikian rupa sehingga komposisi dan inversi adalah peta holomorphic . Kelompok Möbius adalah maka grup Lie kompleks . Kelompok Möbius biasanya dilambangkan Riemann.
karena merupakan kelompok automorphism lingkup
Dekomposisi dan sifat dasar Sebuah pemetaan Möbius adalah setara dengan urutan transformasi sederhana. Mari:
( terjemahan oleh d / c) ( inversi dan refleksi terhadap sumbu nyata) ( dilatasi dan rotasi )
(Terjemahan oleh a / c)
maka fungsi dapat terdiri , memberikan
Dekomposisi ini membuat banyak sifat dari transformasi Möbius jelas. Adanya transformasi Möbius invers dan rumus eksplisit yang mudah diperoleh komposisi fungsi invers dari transformasi sederhana. Artinya, mendefinisikan fungsi g 1, 2 g, g 3, 4 g sedemikian rupa sehingga setiap g i adalah invers dari f i. Kemudian komposisi
memberikan rumus untuk kebalikannya.
Pelestarian sudut dan kalangan umum Dari dekomposisi ini, kita melihat bahwa Möbius transformasi terbawa semua non -sepele sifat inversi lingkaran . Misalnya, pelestarian sudut berkurang untuk membuktikan bahwa inversi lingkaran mempertahankan sudut sejak jenis transformasi adalah pelebaran dan isometries (terjemahan, refleksi, rotasi), yang sepele melestarikan sudut. Selanjutnya, Möbius transformasi peta umum lingkaran ke lingkaran umum sejak inversi lingkaran memiliki properti ini. Sebuah lingkaran umum adalah salah satu lingkaran atau garis, yang terakhir ini dianggap sebagai sebuah lingkaran melalui titik di tak terhingga. Perhatikan bahwa transformasi Möbius tidak tentu lingkaran peta ke lingkaran dan garis untuk garis: dapat mencampur keduanya. Bahkan jika itu memetakan lingkaran ke lingkaran lain, tidak selalu memetakan pusat lingkaran pertama ke pusat lingkaran kedua ini.
Cross-rasio pelestarian Cross-rasio adalah invarian dalam transformasi Möbius. Artinya, jika suatu transformasi Möbius peta empat poin yang berbeda sampai empat titik yang berbeda masing-masing, maka
Jika salah satu poin adalah titik di tak terhingga, maka salib-rasio harus didefinisikan dengan mengambil batas yang sesuai; misalnya lintas rasio adalah
representasi matriks proyektif Dengan setiap invertible kompleks 2-oleh-2 matriks
kita dapat mengaitkan transformasi Möbius
Iklan kondisi - bc ≠ 0 adalah setara dengan kondisi bahwa determinan dari matriks di atas tidak sama dengan nol, yaitu bahwa matriks dapat dibalik. Hal ini mudah untuk memeriksa bahwa maka produk dari dua matriks akan terkait dengan komposisi dari dua transformasi Möbius sesuai. Dengan kata lain, peta
dari kelompok linier umum GL (2, C) untuk kelompok Möbius, yang mengirimkan matriks untuk f transformasi, adalah homomorfisma grup . Perhatikan bahwa setiap matriks diperoleh dengan mengalikan oleh λ skalar kompleks menentukan transformasi yang sama, sehingga transformasi Möbius menentukan matriks hanya sampai kelipatan skalar. Dengan kata lain: kernel dari π terdiri dari semua kelipatan skalar dari matriks identitas I, dan teorema isomorfisma pertama negara teori grup bahwa kelompok hasil bagi GL (2, C) / (C I) adalah isomorfis dengan kelompok Möbius. Kelompok kecerdasan dikenal sebagai kelompok linier proyektif dan biasanya dinotasikan PGL (2, C).
Identifikasi sama PGL (2, K) dengan kelompok transformasi linear pecahan dan dengan kelompok automorphisms linier proyektif dari garis proyektif memegang lebih setiap K lapangan, fakta yang menarik aljabar, khususnya untuk bidang terbatas, meskipun kasus tersebut dari angka kompleks memiliki kepentingan geometrik terbesar. 1
Alam tindakan dari PGL (2, C) pada baris proyektif kompleks CP adalah persis tindakan alami 1 dari kelompok Möbius pada bola Riemann, di mana garis proyektif CP dan lingkup Riemann diidentifikasi sebagai berikut:
1;
Berikut [z 1: z 2] adalah koordinat homogen pada CP titik [01:00] sesuai dengan titik ∞ lingkup Riemann. Dengan menggunakan koordinat homogen, perhitungan beton yang melibatkan transformasi Möbius dapat disederhanakan, karena perbedaan b esar huruf tidak berurusan dengan ∞ diperlukan. Jika seseorang membatasi untuk matriks determinan satu, peta π membatasi ke peta surjective dari kelompok khusus linear SL (2, C) untuk kelompok Möbius, dalam pengaturan terbatas kernel dibentuk dengan plus dan minus identitas, dan hasil bagi kelompok SL (2, C) / {± I}, dinotasikan dengan PSL (2, C), karena itu juga isomorfis dengan kelompok Möbius:
Dari sini kita melihat bahwa kelompok Möbius ad alah 3-dimensi grup Lie kompleks (atau kelompok Lie 6-dimensi nyata). Ini adalah semisimple non- kompak grup Lie. Perhatikan bahwa ada tepat dua matriks dengan determinan unit yang dapat digunakan untuk mewakili transformasi Möbius diberikan. Artinya, SL (2, C) adalah double cover dari PSL (2, C). Sejak SL (2, C) adalah hanya terhubung itu adalah penutup yang universal dari kelompok Möbius. Oleh karena itu fundamental dari kelompok Möbius adalah Z 2.
Menentukan transformasi dengan tiga poin Mengingat satu set dari tiga titik yang berbeda z 1, z 2, z 3 pada bola Riemann dan set kedua poin yang berbeda w 1, w 2, w 3, terdapat tepat satu Möbius transformasi f (z) dengan f (z i ) = w i untuk i = 1,2,3. (Dengan kata lain: tindakan dari kelompok Möbius pada bola Riemann adalah tajam 3transitif.) Ada beberapa cara untuk menentukan f (z) dari set yang diberikan poin.
Pemetaan pertama ke 0, 1, ∞ Sangat mudah untuk memeriksa bahwa transformasi Möbius
dengan matriks
peta z 1, z 2, z 3 ke 0, 1, ∞, masing-masing. (Jika salah satu dari z i adalah ∞, maka rumus yang tepat untuk diperoleh dari yang di atas dengan terlebih dahulu membagi semua entri dengan z i dan kemudian mengambil batas z → ∞ i.) Jika 1,2,3 1,2,3
juga sama ditetapkan untuk peta, w 1 w 2, w 3-0, 1, ∞, maka matriks w untuk menjadi
Rumus Eksplisit penentu Persamaan
yang memetakan z
setara dengan persamaan standar hiperbola
pada bidang-(z, w). Masalah membangun transformasi Möbius ke tiga
pemetaan tiga
dengan demikian setara dengan mencari koefisien a, b, c, d lewat
hiperbola melalui titik-titik determinan
. Persamaan eksplisit dapat ditemukan dengan mengevaluasi
melalui suatu ekspansi Laplace sepanjang baris pertama. Hal ini menghasilkan rumus determinan
untuk sebuah koefisien, b, c, d dari matriks yang mewakili
. Matriks dibangun
memiliki determinasi sebesar yang tidak hilang jika z i resp. w i adalah berpasangan berbeda sehingga transformasi Möbius didefinisikan dengan baik. Jika salah satu titik z i atau w i adalah ∞, maka pertama-tama kita membagi keempat faktor penentu oleh variabel ini dan kemudian mengambil limit sebagai pendekatan variabel ∞.
Klasifikasi Non-identitas Möbius transformasi biasanya diklasifikasikan menjadi empat jenis, parabola, elips, hiperbola dan loxodromic, dengan yang hiperbolik menjadi subclass dari yang loxodromic. Klasifikasi ini memiliki makna baik aljabar dan geometris. Secara geometris, berbagai jenis mengakibatkan transformasi yang berbeda dari bidang kompleks, seperti gambar di bawah ini menggambarkan. Empat jenis dapat dibedakan dengan melihat jejak adalah invarian dalam konjugasi , yaitu,
. Perhatikan bahwa jejak
dan setiap anggota kelas conjugacy akan memiliki jejak yang sama. Setiap pemetaan Möbius dapat ditulis sehingga yang mewakili matriks dengan skalar cocok). Dua Möbius transformasi mengubah) dengan
memiliki penentu satu (dengan mengalikan entri (Keduanya tidak sama dengan identitas
yang konjugasi jika dan hanya jika
Dalam diskusi berikut kita akan selalu mengasumsikan bahwa matriks mewakili bahwa seperti
.
dinormalkan
