∘
PEMBELAJARAN SISTEM TRANSFORMASI MӦBIUS ( , ) SEBAGAI SARANA MENYAMPAIKAN KONSEP GRUP
Iden Rainal Ihsan 1, Guntur Maulana Muhammad 2 1
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Nusantara, Jl. Soekarno - Hatta No. 530 Bandung,
[email protected] 2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Suryakancana, Jl. Pasir Gede Cianjur,
[email protected] Abstrak.
= dengan , , , ∈ ℂ dan +
Transformasi Mӧbius dengan dengan bentuk umum
−≠
+
Δ= 0 membentuk suatu grup terhadap operasi komposisi. Pembelajaran mengenai grup transformasi Mӧbius( , ) dapat dijadikan sarana melakukan proses abstraksi dan generalisasi dalam kuliah struktur aljabar khususnya pada pembelajaran grup. Dalam desain pembelajarannya terdapat ruang untuk mahasiswa dalam memeriksa suatu sistem termasuk grup atau tidak. Pembelajaran dapat pula memberika ruang bagi mahasiswa untuk memahami konsep homomorfisma dan isomorfisma suatu grup. Dalam pembelajaran ini mahasiswa diarahkan untuk memahami bahwa grup 2 ( ) isomorfis dengan grup , yang dapat membri ruang bagi mahasiswa untuk memahami issomorfisma grup.
ℳ∘
ℂ
ℳ ∘
: grup, Kata Kunci
transformasi Mӧbius, grup Mӧbius, grup
(ℂ) 2
PENDAHULUAN
Dalam mempelajari konsep-konsep aljabar yang abstrak, diperlukan kesempatan untuk melakukan proses abstraksi, generalisasi, dan analogi. Termasuk dalam kuliah struktur aljabar mengenai grup, mahasiswa harus memiliki ruang atau kesempatan melakukan proses abstraksi, generalisasi, dan analogi. Dalam menyampaikan konsep-konsep abstrak yang fundamental dalam aljabar seorang pendidik, dalam hal ini dosen, harus dapat membangun pemahaman peserta didik, dalam hal ini mahasiswa. Dalam menyampaikan konsep grup yang abstrak, dibutuhkan jembatan atau perantara agar mahassiw a dapat memahaminya. Pembelajaran harus dapat didesain sedemikian rupa sehingga mahasiswa dapat memahami konsep abstrak pada materi grup. Desain pembelajaran yang diaplikasikan tentu harus memberi ruang kepada mahasiswa untuk melakukan proses abstraksi, generalisasi, dan analogi. Perantara yang dapat digunakan salah satunya adalah pembelajaran sistem transformasi M ӧ bius
(
ℳ,∘). Sistem tersebut merupaka suatu grup yang dapat dipelajari strukturnya untuk kemudian
dijadikan sebagai perantara bagi mahasiswa untuk memahami konsep grup. Sistem ini dapat memberikan gambaran bagi mahasiswa dalam mempelajari grup. Pada pembelajaran sistem
ℳ,∘), mahasiswa dapat mengamati dua grup sekaligus, yakni grup transformasi M bius (ℳ ,∘) dan grup matriks bilangan kompleks 2 × 2 atau (ℂ). Dalam pembelajaran sistem transformasi M bius (ℳ,∘) mahasiswa difasilitasi untuk memahami konsep transformasi, matriks, transformasi Mӧ bius ( ӧ
2
ӧ
dan bilangan kompleks. Pada artikel ini akan dikaji konsep grup apa saja yang dapat disampaikan melalui pembelajaran sistem transformasi M ӧ bius
ℳ,∘.
PEMBAHASAN Transformasi Mӧbius
Transformasi M ӧ bius dikenal pula dengan istilah homographic transformations, linear fractional transformations, atau bilinear transformations. Sebagai penghormatan dan dedikasi kepada yang pertama kali membahas dan mengedepankannya, yaitu Auguste Ferdinand M ӧ bius (Deaux, 2008), dinamakanlah transformasi M ӧ bius yang didefinisikan sebagai berikut
+ = + , , , , ∈ ℂ, Δ = −≠ 0 Terdapat sifat penting mengenai ketidak-tunggalan dari koefisien transformasi
= , yang disebut koefisien dalam hal ini +
Mӧ bius. Misalkan terdapat transformasi Mӧ bius
+
∈ ℂ yang tidak sama dengan nol, maka + = = + + +
adalah , , , dan . Apabila terdapat
Dengan sifat ketidak tunggalan ini, transformasi M ӧ bius dan inversnya dapat direpresentasikan secara tidak unik. Dengan kata lain perkalian skalar dengan koefisien-koefisien transformasi M ӧ bius sama sekali tidak merubah transformasinya (Ihsan, 2015) Grup Transformasi M ӧbius
Berdasarkan definisi, transformasi M ӧ bius dapat dikatakan sebagai himpunan tak hampa. Hal tersebut dikarenakan kita dapat membentuk transformasi M ӧ bius dengan memilih
≠ 0.
, , , ∈ ℂ, −
Kemudian pada transformasi M ӧ bius berlaku juga operasi komposisi fungsi. Dengan
demikian transformasi M ӧ bius dengan operasi komposisi fungsi membentuk sistem matematika, misalkan kita simbolkan (
ℳ,∘).
Kita dapat memeriksa apakah operasi komposisi pada himpunan transformasi M ӧ bius terdefinisi
() dan () merupakan transformasi M bius dengan () = . sedemikian Sehingga ∘ = =
dengan baik atau tidak. Misalkan
1
ӧ
2
2 2 2 2
+ + + +
2 2 2 2
( )+ + 1() = ++ dan 1 1 2 + ( )+ + + + . Kita dapat memeriksa bentuk tersebut merupaka transformasi M ӧ bius atau + + + 1
1
1
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
bukan.
Dapat
kita
lihat
dari
2
2
2
2
bentuk
1
1
terakhir
Δ=
1
1
+ + − 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
+
+ . Proses aljabar dapat kita lanjutkan sedemikian hingga kita mendapatkan bentuk 1 2
1 2
1 2
seperti berikut Δ=
− − − = − ( − ) 1 1
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
2 2
− ≠ 0 dan − ≠ 0. Dengan demikian
Dari pemisalan awal diketahui bahwa
1 1
1 1
2 2
2 2
≠ 0, maka ∘ merupakan transformasi M bius. Hal ini menunjukkan bahwa koleksi
karena Δ
1
ӧ
2
transformasi Mӧ bius tertutup terhadap operasi komposisi. Langkah selanjutnya akan diperiksa apakah semua sifat pada definisi grup berlaku atau tidak pada transformasi Mӧ bius. Untuk memeriksa sifat assosiatif terlebih dahulu kita misalkan
, ; . Misalkan = , = , dan = . Dengan proses aljabar kita dapat menunjukkan ∘ ( ∘ ) = ( ∘ ) ∘ . Sehingga transformasi transformasi Mӧ bius
1
2
3
+ 1 1 + 1 1
1
1
2
+ 2 2 + 2 2
2
3
1
3
2
+ 3 3 + 3 3
3
Mӧ bius terhadap operasi komposisi memenuhi sifat assosiatif.
dapat dikatakan sebagai suatu transformasi M bius. Hal tersebut dikarenakan () = memenuhi syarat transformasi M bius, yakni nilai Δ ≠ 0. Sehingga dalam himpunan transformasi terdapat suatu unsur identitas , sedemikian sehingga ∘ = = ∘ , ∀∈ℳ. Sehingga dalam sistem transformasi M bius terhadap operasi Transformasi atau fungsi identitas ( ) =
ӧ
ӧ
ӧ
komposisi, terdapat unsur identitas.
ℳ,∘) invers untuk setiap anggotanya. Untuk setiap ( ) transformasi M bius, kita dapat mencari inversnya (− ( )). Invers dari ( ) adalah . − = − − Diketahui Δ = −− − = − ≠ 0, sehingga − () juga merupakan transformasi Pemeriksaan dilanjutkan dengan melihat ada atau tidaknya pada (
1
ӧ
+
1
1
Mӧ bius. Dengan terpenuhinya sifat assosiatif, kemudian terdapatnya unsur identitas dan untuk setiap anggota terdapat inversnya, maka (
ℳ,∘) merupakan grup terhadap operasi komposisi.
Terdapat suatu koneksi atau hubungan antara koleksi transformasi M ӧ bius dengan koleksi matriks bilangan kompleks berorde 2 × 2 yang memiliki invers (invertible). Misalkan
, ∈ ℳ 1
2
() = dan () = , terdapat matriks bilangan kompleks berorde 2 × 2, misalkan dan yang berturut-turut dapat dikaitkan dengan () dan (). Misalkan dan disajikan sebagai berikut = , dan = dengan − ≠ 0 dan − ≠0 Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya ∘ ∈ ℳ, begitu juga dengan 1 × 2 dengan
+ 1 1 + 1 1
1
1
+ 2 2 + 2 2
2
2
1
2
1
2 2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1 1
1 1
2 2
1
2
merupakan anggota dari grup matriks bilangan kompleks yang berorde 2 × 2 dengan determinan
(). Penyelidikan lebih lanjut dengan melihat hubungan antara × dengan ∘ . Sebagaimana diketahui, hasil × adalah sebagai berikut × = ca ++ d c c b ++ d d . Matriks tersebut adalah matriks yang menyatakan koefisien dari transformasi ( ∘ )(). Dengan demikian terdapat hubungan atau pengaitan dari grup (ℂ) ke ℳ .
berbeda dengan 0, atau disebut 1
2
1
2
1
1 2
1 2
2
2
1 2
1 2
1
1 2
1 2 1
2
1 2
1 2
2
2
(ℂ) ke ℳ terdapat juga ketika membahas unsur identitas dan invers. Sebagaimana telah dibahas, unsur identitas pada ℳ adalah pemetaan identitas yaitu () = . Berikut ini adalah Pengaitan dari
2
matriks yang dapat dikaitkan dengan pemetaan identitas
= 10 01 (ℂ). Kemudian apabila kita membahas invers, − sebagai invers dari matriks dapat dikaitkan dengan invers dari . matriks − − Matriks tersebut adalah matriks identitas di grup
2
1
1
1
Pengaitan tersebut dapat dilakukan berdasarkan ketidak tunggalan dari koefisien transformasi M ӧ bius.
− = , maka kita dapat mengalikan setiap koefisien dari − () dengan − − − sedemikian sehingga = − . Dengan demikian terlihat jelas bahwa − dapat dikaitkan dengan − . Misalkan
1
1
+
1
1
1
1
+
1
Dari penjelasan yang telah dipaparkan, dapat dikatakan terdapat suatu pengaitan dari grup
(ℂ) terhadap grup ke ℳ. Misalkan pengaitan tersebut adalah ∶ ℂ → ℳ Pengaitan 2
2
tersebut merupakan suatu homomorfisma grup.
ℳ dengan grup matriks bilangan kompleks 2 × 2 dengan determinan sama dengan 1 yaitu (ℂ). Terdapat pula kaitan antara grup ℳ dengan grup kuosien dari grup (ℂ) yaitu (ℂ)/± atau grup yang diberi nama (ℂ). Berdasarkan teorema isomorfisma grup, dapat dikatakan grup ℂ isomorfis dengan grup ℳ. Hal tersebut berdampak ∀∈ℳ dapat dikaitkan dan disajikan dengan bentuk ± dengan ∈ (ℂ). Dengan penyajian dalam bentuk matriks, nilai trace dapat Pengaitan berdasarkan struktur aljabar dapat dikaji lebih lanjut. Terdapat pengaitan grup
2
2
2
2
2
2
digunakan dalam mengklasifikasikan penyajian geometris dari transformasi M ӧ bius. Hubungan pengaitan-pengaitan tersebut dapat disajikan dalam bentuk gambar sebagai berikut
ℂ ℂ, dan ℳ
Gambar 1. Hubungan 2 ( ) , 2 Sumber : Ihsan (2015)
Relevansi Pembelajaran Sistem Transformasi M ӧbius terhadap Penyampaian Konsep Grup
Melalui pembelajaran sistem transformasi M ӧ bius, mahasiswa memiliki ruang untuk mempelajari konsep grup. Diawali dari memeriksa suatu operasi koposisi terdefinisi dengan baik atau tidak pada
himpunan transformasi M ӧ bius (
ℳ).
Pada proses tersebut mahasiswa dapat diarahkan untuk
memahami pengertian dari sifat tertutup suatu operasi. Pembelajaran dapat dilanjutkan pada proses pemeriksaan struktur sistem transformasi M ӧ bius
(
ℳ,∘). Mahasiswa diarahkan untuk dapat menunjukkan bahwa ℳ,∘ merupakan suatu grup.
Mahasiswa dapat diarahkan untuk memahami konsep sifat assosiatif pada operasasi komposisi. Mahasiswa diarahkan pula untuk dapat menunjukkan adanya unsur identitas, yaitu transformasi identitas
= , ∀∈ℂ.
Kemudian mahasiswa diarahkan untuk dapat menunjukkan dan
meyakinkan bahwa setiap unsur di
ℳ memiliki invers terhadap operasi komposisi. Mahasiswa
diharapkan dapat beragumen dengan valid mengenai kepastian setiap unsur memiliki invers. Pembelajaran dilanjutkan pada proses yang sama, namun pada himpunan dan sistem yang berbeda. Pembelajaran dapat dilanjutkan pada pembahasan grup matriks bilangan kompleks berorde
2 × 2 yang memiliki invers yang disebut
(ℂ). 2
Pembelajaran berlanjut pada pembahasan grup
(ℂ) (ℂ)/± atau grup
matriks bilangan kompleks 2 × 2 yang memiliki determinan sama dengan 1 yakni Pada pembelajaran dapat diperkenalkan pula contoh grup kuosien, yakni
2
2
(ℂ). Setelah proses tersebut, mahasiswa dapat diarahkan untuk mengetahui hubungan ℳ,∘, ℂ, (ℂ), dan (ℂ). Dengan proses tersebut, terdapat ruang bagi yang diberi nama
2
2
2
2
mahasiswa untuk memahami isomorfisma grup. PENUTUP Simpulan
Berdasarkan pembahasan terdapat beberapa konsep grup yang dapat disampaikan melalui pembelajaran mengenai sistem transformasi M ӧ bius
ℳ,∘. Mahasiswa
dapat diarahkan untuk
memahami sifat ketertutupan dari suatu operasi. Mahasiswa dapat pula diarahkan untuk menunjukan suatu sistem termasuk grup atau bukan. Dengan pengaitan dengan
ℂ, (ℂ), dan (ℂ) 2
2
2
mahasiswa dapat diarahkan untuk memahami konsep grup kuosien. Kemudian dengan pengaitan tersebut pula, mahasiswa dapat diarahkan untuk memahami konsep isomorfis. Dengan proses ini mahasiswa memiliki ruang untuk mengembangkan pemahamannya untuk memahami konsep abstrak. Pembelajaran mengenai sistem transformasi Mӧ bius
ℳ,∘ dipandang
cocok, karena selain dapat menjadi sarana menyampaikan konsep abstrak, pembelajaran membantu mahasiswa berpikir lebih general, tidak terpaku pada sistem bilangan saja. Mahasiswa diberi ruang untuk mempelajari grup selain dari sistem bilangan. Saran
Sebagai bahan lanjutan, dapat dilakukan penelitian-penelitian dan kajian-kajian yang dapat memperkaya pembahasan ini. Dapat diteliti ada atau tidaknya pengaruh pembelajaran sistem transformasi M ӧ bius terhadap pemahaman mahasiswa mengenai konsep grup. Kemudian dapat dikaji pula secara lebih lanjut mengenai sistem transformasi M ӧ bius agar dapat menjembatani penyampaian konsep grup yang lebih lanjut seperti kelas konjugasi dan lain sebagainya.
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, Ahmad 2000, Aljabar , Penerbit ITB, Bandung. Anderson, James W 2005, Hyperbolic Geometry, Springer-Verlag, London. Budhi, Wono S 2003, Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika, C.V. Ricardo, Jakarta. Deaux, Roland 2008, Introduction to The Geometry of Complex Numbers, Dover Publications Inc, New York. Ihsan, Iden R 2015, Klasifikasi Geometris dari Transformasi M ӧbius, Tesis, Institut Teknologi Bandung . Jones, Gareth A & Singerman, David 1987, Complex Function : An Algebraic and Geometric Viewpoint , Cambridge University, Cambridge. Needham, Tristan 1997, Visual Complex Analysis, Oxford University Press, Oxford,. Olsen, John 2010, The Geometry of M ӧbius Transformations, University of Rochester, Rochester. Schwerdtfeger, Hans 1980, Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non Euclidean Geometry, Dover Publication Inc, New York. Tall, David (Ed) 2002, Advance Mathematical Thinking, Kluwer Academic Publisher, New York Yaglom, I. M 1968, Complex Numbers in Geometry, Academic Press, London.
