DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL F ACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE T ALCA
PAUTA PRUEBA Nº 1 FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Nombre: __________________________________________ _____________________________________________ ___ Profesora: Marcela González A. Profesor Auxiliar: Gustavo Verdugo V.
Nota: _______________ Fecha: 06 de mayo de 2010
1. (1,0 punto) Presente un ejemplo en el cual no se cumpla el supuesto de: a) Proporcionalidad b) Aditividad 2.
(1,5 puntos) Una empresa TABLA 1. INFORMACIÓN SOBRE EL SISTEMA PRODUCTIVO se dedica a la fabricación de Indice de Producción (unidades/hora) (unidades/hora) artículos de peltre para uso Sección Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Capacidad casero, con una oferta de (horas/mes) cuatro productos (1, 2, 3 y 4, Cortado 25 6 20 10 400 respectivamente). El sistema Troquelado 14 8 20 10 380 17 9 33 8 490 de manufactura se divide en Esmaltado 20 4 ------8 450 cinco etapas: cortado, Acabado 50 13 50 20 400 troquelado, esmaltado, Empacado acabado y empacado. En la tabla de arriba se presenta la tabla con la información relevante del sistema productivo, mientras que abajo se presenta la información relevante de cada producto, donde (----) significa que no hay producción en esa sección. TABLA 2. INFORMACIÓN SOBRE CADA PRODUCTO Producto 1
Precio de Venta ($/unidad)
Costo de Producción ($/unidad)
1 2 3 4
100 300 160 250
50 200 100 150
Demanda Mensual (unidades) Mínima Máxima 500 5.000 750 6.000 650 8.000 0 3.500
Además, se sabe que en el siguiente mes sólo se dispondrá de 1.200 m 2 de la lámina que consumen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere de 0,50 m 2 de esta lámina por unidad y el producto 2 requiere 0,80 m2 por unidad. Formule el modelo que permita a la empresa planificar las unidades de productos a fabricar el próximo mes. 3.
(1,5 puntos) Una empresa dispone de $30 millones para distribuirlos el próximo año entre sus tres sucursales (sucursal 1, sucursal 2 y sucursal 3). Debido a compromisos de la estabilidad del nivel de empleados y por otras razones, la empresa ha establecido un nivel mínimo de fondos para cada sucursal. Estos fondos mínimos son de $3, $5 y $8 millones, respectivamente. Debido a la naturaleza de su operación, la sucursal 2 no puede utilizar más de $17 millones sin una expansión de capital grande, por lo que la empresa ha colocado dicho valor como límite. Por otro lado, la inversión realizada en la sucursal 1 debe ser a lo más un 70% del monto invertido en la sucursal 3 y la inversión realizada en el sucursal 3 debe ser a lo menos un 15% de los fondos invertidos en la sucursal 2. Cada sucursal tiene la oportunidad Sucursal Proyecto Tasa de Ganancia (%) Límite Superior de Inversión dirigir distintos proyectos con los 1 8% 6 fondos que recibe. Para cada 2 6% 5 1 proyecto se ha establecido una 3 7% 9 tasa de ganancia (como un % de la 4 5% 7 inversión). Además, algunos 5 8% 10 2 proyectos permiten sólo una 6 9% 4 inversión limitada. En la tabla al 7 10% 6 3 8 6% 3 lado se presentan los datos de cada proyecto. Formule el modelo que permita a la empresa establecer los montos a invertir en cada sucursal.
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4. (2,0 puntos) Una empresa de selección de personal realiza dos actividades principales: reclutamiento de candidatos y asignación de los candidatos a un puesto de trabajo. El reclutamiento es una actividad que no da ingresos, sino que involucra un costo de $15 por candidato reclutado, mientras que la asignación de los candidatos a un empleo genera un ingreso de $10 por candidato asignado. La empresa desea garantizar un lucro mínimo por día de $75. El director de la empresa dedica un máximo de una hora y quince minutos por día al control de las asignaciones, de manera de garantizar la calidad de éstas. Con este propósito, se dedica al conocimiento de cada candidato reclutado a través de una entrevista de 5 minutos y mantiene un contacto diario de 5 minutos con cada candidato asignado a un empleo. Mientras mayor sea el número de reclutados por día, mayor es el riesgo de que fracase su asignación posterior a un empleo, pues puede haber menor cuidado en esta actividad. Se puede afirmar que el riesgo aumenta de forma directamente proporcional al número de reclutamientos. Por otro lado, mientras mayor sea el número de candidatos asignados, menor será el riesgo de fracaso, ya que, en esta actividad, el factor experiencia permite aumentar la eficacia de la evaluación en relación a la aptitud de los candidatos para un puesto de trabajo. Esta relación es, por lo tanto, inversamente proporcional al riesgo, y se puede afirmar que cada candidato asignado contribuye dos veces para la disminución del riesgo de fracaso del proceso. a) Formule el modelo que permita a la empresa de selección determinar el número de reclutamientos y asignación de candidatos, de manera de minimizar el riesgo del proceso. b) Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible. c) Según el análisis gráfico ¿cuál es el riesgo esperado y cuántos reclutamientos y asignaciones debieran ser realizadas? d) En el informe generado por LINDO para la resolución de este modelo, coloque en la posición respectiva el valor óptimo y la solución óptima, colocando, además, el nombre de las variables que usted definió en el espacio respectivo para este fin. Es importante notar que no es necesario llenar todos los espacios en blanco. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) __________ VARIABLE ________ ________
VALUE REDUCED COST __________ __________ __________ __________
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse). DESARROLLO:
PAUTA PRUEBA Nº 1 Problema 1. (1,0 Puntos) a)
( 0 , 5 P u n t o s ) Ver Ver
ejemplo y asignar puntajes.
P r o p o r c i o n a l i d a d : El
x 2,…, x x n debe ser directamente proporcional en la función valor de cada variable, x 1, x objetivo y uso de los recursos, o sea que las variaciones de las variables deben afectar en forma proporcional a la función objetivo y al conjunto de restricciones.
b)
( 0 , 5 P u n t o s ) Ver Ver
A d i t i v i d a d : Requiere Requiere
ejemplo y asignar puntajes.
que la función objetivo sea la suma directa de las contribuciones de cada variable y las restricciones deben ser la suma de los usos individuales in dividuales de cada variable del recurso correspondiente. correspondiente. Como ejemplo podemos mencionar dos productos productos que compiten en el mercado, si el aumento en la venta de uno de ellos hace que la venta del otro sea menor, entonces ambos productos no satisfacen la condición de aditividad.
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Problema 2. (1,5 Puntos) ( 0 , 2 P u n t o s ) Las
x i =
variables de decisión para este problema son las siguientes:
unidades del producto i a a fabricar el próximo mes. Donde i = = 1,2,3,4.
( 0 , 2 P u n t o s ) La
función objetivo del problema corresponde a obtener los niveles de producción de los diferentes artículos que ayuden a maximizar las ventas y minimizar los costos (maximizar la utilidad total). LA función objetivo es la siguiente: Maximizar Z Maximizar Z = =
(100 – 50) x 1 + (300 – 200) x 2 + (160 – 100) x 3 + (250 – 150) x 4 Maximizar Z Maximizar Z = = 50 x 1 + 100 x 2 + 60 x 3 + 100 x 4
Se identifican restricciones de capacidad, mercado y entradas, esto es: a)
( 0 , 5 P u n t o s ) Capacidad Capacidad
(Cortado) (Troquelado) (Esmaltado) (Acabado) (Empacado) b)
de producción para cada una de las secciones:
(1/25) x 1 + (1/6) x 2 + (1/20) x 3 + (1/10) x 4 ≤ 400 (1/14) x 1 + (1/8) x 2 + (1/20) x 3 + (1/10) x 4 ≤ 380 x 1 + (1/9) x 2 + (1/33) x 3 + (1/8) x 4 ≤ 490 (1/17) x x 4 ≤ 450 (1/20) x 1 + (1/4) x 2 + (1/8) x x 1 + (1/13) x x 2 + (1/50) x 3 + (1/20) x 4 ≤ 400 (1/50) x
(0 ,4 Puntos) Demanda Demanda
mensual:
500 ≤ x 1 ≤ 5000 750 ≤ x 2 ≤ 6000 650 ≤ x 3 ≤ 8000 0 ≤ x 4 ≤ 3500 c)
( 0 , 1 P u n t o s ) Disponibilidad Disponibilidad
de materias primas:
0,50 x 1 + 0,80 x 2 ≤ 1200 d)
( 0 , 1 P u n t o s ) Restricción Restricción
x i ≥ 0, i = =
de no negatividad:
1,2,3,4.
Problema 3. (1,5 Puntos) ( 0 , 2 P u n t o s ) Las
x ijij =
variables de decisión para este problema son las siguientes:
Cantidad que invierte la sucursal i en en el proyecto j .
( 0 , 2 P u n t o s ) La
función objetivo corresponde a maximizar los retornos de la inversión, i nversión, esto es:
Maximizar Z Z
= 0,08 x 11 11 + 0,06 x 12 12 + 0,07 x 13 13 + 0,05 x 24 24 + 0,08 x 25 25 + 0,09 x 26 26 + 0,10 x 37 37 + 0,06 x 38 38
Las restricciones del problema son las siguientes: a)
(0,1 Punto) Cantidad Cantidad
disponible:
x 11 11 + x 12 12 + x 13 13 + x 24 24 + x 25 25 + x 26 26 + x 37 37 + x 38 38
b)
( 0 , 3 P u n t o s ) Existen Existen
30
≤
fondos mínimos que se deben invertir: i nvertir:
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x 11 11 + x 12 12 + x 13 13 ≥ 3 x 24 x x + + 24 25 25 26 26 ≥ 5 x 37 x 37 + 38 38 ≥ 8
c)
(0,1 Punto) Existen Existen
x 24 24 + x 25 25 + x 26 26
d)
montos máximos para invertir:
17
≤
( 0 , 2 P u n t o s ) Existe Existe
un porcentaje máximo y mínimo de inversión en la sucursal 1 y 3 respectivamente, esto es:
x 11 11 + x 12 12 + x 13 13 ≤ 0,7( x 37 37 + x 38 38) x 37 37 + x 38 38 ≥ 0,15( x 24 24 + x 25 25 + x 26 26)
e)
( 0 , 3 P u n t o s ) Existen Existen
x 11 11 x 25 25
f)
≤ 6
x 12 12
10
límites superiores de inversión:
5 x 26 26
(0,1 Punto) Restricción Restricción
x ijij
x 13 13
≤
≤
0
i = =
≥
1,2,3
4
≤ 9
x 37 37
≤
6
x 24 24
≤ 7
≤
x 38 38
3
≤
de no negatividad: j = =
4,5,6,7,8
Problema 4. (2,0 Puntos) A continuación se da la solución para cada una de las preguntas: a) El modelo que permite a la empresa de selección determinar el número de reclutamientos y asignación de candidatos es la siguiente: ( 0 , 2 P u n t o s ) Variables
x 1 = x 2 =
de decisión:
número de asignaciones realizadas para el empleo, por día. número de reclutamientos para un empleo, por día.
( 0 , 3 P u n t o s ) Se
desea minimizar el riesgo del proceso, esto es: Minimizar Z = = x 1 – 2 x 2
Sujeto a las siguientes restricciones: (0 ,2 Puntos) (0,1 Punto) (0,1 Punto)
b)
– 15 x 1 + 10 x 2 ≥ 75 5 x 1 + 5 x 2 ≤ 75 x 1, 1, x 2 ≥ 0
A A (0 ,5 Puntos)
continuación se resuelve la formulación anterior a través de análisis gráfico.
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c)
( 0 , 3 Pu Pu n t o s ) Según Según
el gráfico el riesgo mínimo esperado es Z = –30, –30, esto quiere decir que la forma menos arriesgada de reclutamiento es considerada bastante segura, dado el valor negativo de la función de riesgo. Esta solución óptima se obtiene con x 1 = 0 reclutados y reclutados y x 2 = 15 asignados. asignados .
d)
(0 ,3 Puntos)
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) – 30 . VARIABLE VALUE x 1 x 2
0 15
. .
