Pamer Aritmética 3er Año

 Ari  A rittmé méti tic ca

1 Lógica proposicional I LÓGICA PROPOSICION PROPOSICIONAL AL I La lógica proposicional llamada también simbólica o matemática, es parte de la lógica que estudia las proposiciones y la relación que existe entre ellas a través de las variables proposicionales proposicionales y los conectores.

Ejemplos: Luciana estudia Contabilidad o Administración 2 + 8 ≥ 6 No es cierto que hoy sea lunes Estudia, entonces ingresarás ●

● ●

1. Enunciado

 

●

Se denomina enunciado a toda expresión expresión del lenguaje común, el cual puede ser una frase, oración o expresión expresión algebraica. Ejemplos: Y ¿Qué día es hoy? Y ¡Auxilio! Y Lima es la capital c apital del Perú Y x+2>3

3. Conectores lógicos Son símbolos que reemplazan a las conjunciones gramaticales y al adverbio de negación; estos conectores permiten relacionar dos o más proposiciones simples, entre los más importantes tenemos:

3.1 Negación:  

2. Proposición lógica Llamada también enunciado cerrada; es todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero (V) o falso (F) sin ninguna ambigüedad. Las proposiciones lógicas se denotan con letras minúsculas tales como: p, q, r, s, … Ejemplos: Y El sol es una estrella Y 2+3>6 Y Luis y María son hermanos. Y Juan estudia y trabaja.

∼ p : No es cie cierto rto que que Luis viajó viajó a Ica      ∼

 

9

V

F

F

V

3.2 Conjunción    

Llamados también proposiciones proposiciones moleculares; son aquellas proposiciones con dos o más ideas unidas por conjunciones gramaticales; o que contienen el adverbio de negación no.

∼p

Algunas equivalencias de la negación son: “no”; no es el caso...”

●

2.2 Proposiciones compu compuestas estas

p

N���:

● ●

p

Tabla de verdad:

2.1 Proposiciones simples Llamadas también proposiciones atómicas o elementales; son aquellas proposiciones con una sola idea, carecen de conjunciones gramaticales y adverbio de negación (no). Ejemplo: p: Rubén es arquitecto. q: Luis es compañero de José. r: 3 y 4 son números consecutivos. consecutivos.

Notación: ∼ Se lee: No es cierto que … Ejemplo: P: Luis viajó a Ica:

Notación: ∧ Se lee: … y … Ejemplo: p: Ángel estudia q: Ángel trabaja p ∧ q : Ánge Ángell estu estudi diaa y traba trabaja ja     

p

 

∧

q

ARITMÉTICA

1

1 Lógica proposicional I LÓGICA PROPOSICION PROPOSICIONAL AL I La lógica proposicional llamada también simbólica o matemática, es parte de la lógica que estudia las proposiciones y la relación que existe entre ellas a través de las variables proposicionales proposicionales y los conectores.

Ejemplos: Luciana estudia Contabilidad o Administración 2 + 8 ≥ 6 No es cierto que hoy sea lunes Estudia, entonces ingresarás ●

● ●

1. Enunciado

 

●

Se denomina enunciado a toda expresión expresión del lenguaje común, el cual puede ser una frase, oración o expresión expresión algebraica. Ejemplos: Y ¿Qué día es hoy? Y ¡Auxilio! Y Lima es la capital c apital del Perú Y x+2>3

3. Conectores lógicos Son símbolos que reemplazan a las conjunciones gramaticales y al adverbio de negación; estos conectores permiten relacionar dos o más proposiciones simples, entre los más importantes tenemos:

3.1 Negación:  

2. Proposición lógica Llamada también enunciado cerrada; es todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero (V) o falso (F) sin ninguna ambigüedad. Las proposiciones lógicas se denotan con letras minúsculas tales como: p, q, r, s, … Ejemplos: Y El sol es una estrella Y 2+3>6 Y Luis y María son hermanos. Y Juan estudia y trabaja.

∼ p : No es cie cierto rto que que Luis viajó viajó a Ica      ∼

 

9

V

F

F

V

3.2 Conjunción    

Llamados también proposiciones proposiciones moleculares; son aquellas proposiciones con dos o más ideas unidas por conjunciones gramaticales; o que contienen el adverbio de negación no.

∼p

Algunas equivalencias de la negación son: “no”; no es el caso...”

●

2.2 Proposiciones compu compuestas estas

p

N���:

● ●

p

Tabla de verdad:

2.1 Proposiciones simples Llamadas también proposiciones atómicas o elementales; son aquellas proposiciones con una sola idea, carecen de conjunciones gramaticales y adverbio de negación (no). Ejemplo: p: Rubén es arquitecto. q: Luis es compañero de José. r: 3 y 4 son números consecutivos. consecutivos.

Notación: ∼ Se lee: No es cierto que … Ejemplo: P: Luis viajó a Ica:

Notación: ∧ Se lee: … y … Ejemplo: p: Ángel estudia q: Ángel trabaja p ∧ q : Ánge Ángell estu estudi diaa y traba trabaja ja     

p

 

∧

q

ARITMÉTICA

1

3.er a  añño

LÓGICA PROPOSICIONAL I

Tabla de verdad

N���:

N���:

Otras formas son:

Tambien equivalen al conector conjunción las palabras, pero; sin embargo; aunque; además, no obstante, incluso, tambien, etc.

   

pór consiguientes, luego; de manera que, etc. Condiciones inversa (←) ya que; puesto que; porque, etc.

3.3 Disyunción débil Notación: ∨ Se lee: … o … Ejemplo: p: José va al teatro. q: José va al cine.

   

p ∨ q : José José va va al tea teatro tro o al cin cinee    ∨ p q 

Tabla de verdad

 

3.4 Condicional Notación: →

          p q →

ARITMÉTICA

Se lee: … si y solo si Ejemplo: p: Mañana es miércoles q: Hoy es martes p ↔ q: Mañana es miércoles si y solo si hoy es martes.

Tabla de verdad

Se lee: … entonces …. p: Bertha nació en Lima. q: Bertha es limeña. p → q : Bert Bertha ha nac nació ió en Lima Lima , entonc entonces es es es lim limeña eña

1

3.5 Bicondicon Bicondiconal al Notación: ↔

10

N���: Algunas equivalentes pueden ser: Cuando y solo cuando; entonces y solo entonces.

3.er año

LÓGICA PROPOSICIONAL I

T��������� �� ����� Integral 1. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones lógicas? a) Huancayo queda en Junín. b) ¿Puede s prestarme tu libro? c) ¡Feliz cumpleaños! d) x + 1 < 9 e) 5 − 6 ≤ 7 2. ¿Cuántos de los siguientes

enunciados son proposiciones lógicas? a) López Meneses es un poeta b) 6 +3 > 8 c) x 2 ≤ 2 d) Perú y Chile son países vecinos e) Todas

Resolución Analizando cada una de las proposiciones: a) → ≅

5. Si ∼ (p ∧ q)  es falso, determina (∼ p → q) ∧ q 6. Si la expresión : (p ↔ ∼ q) →∼ p  es falsa, se-

ñala el valor de verdad de: ∼ p ∧ (q → p)

7. Si p y q son proposicio-

nes falsa y verdadera, respectivamente, señala el valor de verdad de la siguiente proposición: (∼ p ↔ q) ↔ (p ↔∼ q)

 

 

(p → q) ∧ q

↓

↓

F→F



↓

V ∧ F   F

Rpta.: El valor de verdad de la expresión es falsa

∨S ≡ V

V

∼ [ p ∧ (∼ q∧ ∼ p)] F∧V F ∧ F )

F

≡V

∼ p ∨ (q ∧ ∼ t) V ∨ (V ∧ V)    V ∨ V =V

Rpta.: Todas las proposiciones son  verdaderas

Matriz principal

10. Si la proposición es falsa,

Entonces: “p” es F “q” es F Nos piden:



V∨ F

∼(

∼ (p ∨ q) ≡ V

F

Entonces p ≡ F; q ≡ V ; t = F . Ahora, hallemos el valor de  verdad de las proposiciones: 

UNMSM 8. Determina la tabla de verdad de: (p ∧ q) → ∼ p Resolución:

9. Determina la tabla de verdad de (q → p) ∧ ∼ p

F

↓ V



Calculamos los valores de  verdad de “p” y “q” del esquema molecular

↓ ↓

↓ F

∼ p∨ t) ∨ s

dad de: (p ∨ ∼ q) →∼ p

Luego : (p ∨ q) ≡ F

↓ F

b) p ∧ q ≅ F

3. Determina la tabla de verPUCP 4. Si: ∼ (p ∨ q)   es verdadero, determina (p → q) ∧ q Resolución

↓ V

determina los valores de p, q, r y s, respectivamente (p ∧ ∼ q) → (r → ∼ s)

11. De la falsedad de la proposición (p → ∼ q) ∨ (∼ r → s) deduce el valor de: (∼ p ↔ r) ∧ ∼ s  UNI 12. Si (p ∧ q) y (q → t)  son falsas, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. (∼ p ∨ t) ∨ s II. ∼  p ∧ (∼ q ∧ ∼ p) III. ∼ p ∨ (q ∧ ∼ t)

11

13. Si (p ∧ r) y (∼ r ∨ q) son esquemas moleculares falsos, ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdaderas? I. (r → ∼ p) ∧ q   II. (∼ r ∨ ∼ p) → (p → ∼ r)   III. (r ∨ ∼ q) ↔ (p ∧ ∼ r) 14. Sabiendo que la proposición “p” es verdadera, ¿en cuáles de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de  verdad de las siguientes proposiciones? I. (p ∨ q) ↔ (∼ p ∧ ∼ q) II. (p ∧ q) → (p ∨ r) III (p → q) → r  

ARITMÉTICA

1

2 Lógica proposicional II TIPOS DE ESQUEMAS MOLECULARES Según los valores de la matriz principal, los esquemas moleculares son:

1. Tautología  

Cuando los valores de verdad de la matriz principal resultan ser todos verdaderos. Ejemplo:

 

Evaluar p → (p∨ q)

3. Contingente

 

Cuando en valores de verdad de la matriz principal se obtiene al menos un valor verdadero y al menos un valor falso. Ejemplo:

 

Evaluar: [ p ∧ (p → q)] ∨ ∼ p

2. Contradictorio  

Cuando los valores de verdad de la matriz principal resultan ser todos falsos. Ejemplo:

 

Evaluar: [(p∧ q) ↔ (q →∼ p)]

PRINCIPALES LEYES LÓGICAS 1. Idempotencia p

∧p ≡ p

p

∨p≡p

3. Asociativa (p∨ q) ∨ r ≡ p∨ (q∨ r) (p∧ q) ∧ r ≡ p∧ (q∧ r)

2. Conmutativa p

∧q ≡q ∧p

p

∨q ≡q ∨ p

4. Distributiva p ∨ (q ∧ r) ≡ (p∨ q)∧ (p∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

13

 

ARITMÉTICA

2

3.er año

LÓGICA PROPOSICIONAL II

5. Ley de doble negación

10. Del complemento p∨ ∼ p ≡ V

∼ (∼ p) ≡ p

p∧ ∼ p ≡ F

6. De De Morgan

11. De la identidad

∼ (p∨ q) ≡∼ p ∧ ∼ q

p∨ V ≡ V

∼ (p∧ q) ≡∼ p ∨ ∼ q

p∧V ≡ p p∨ F ≡ p p∧F ≡ F

7. De absorción p ∨ (p∧ q) ≡ p

Circuitos lógicos

p ∧ (p∨ q) ≡ p

Un circuito lógico es la representación gráfica de una o más proposiciones utilizando los esquemas denominadas circuitos lógicos.

p ∨ (∼ p∧ q) ≡ p∨ q p ∧ (∼ p∨ q) ≡ p∧ q

A. Circuito en serie

8. De la condicional

→ q ≡∼ p ∨ q   p → q ≡∼ q → ∼ p

Está dado de la forma

p

B. Circuito en paralelo

9. De la bicondicional

p ↔ q ≡(p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ≡∼ (p ↔ / q) p ↔ q ≡∼ p ↔∼ q

Está dado de la forma

 

T��������� �� ����� Integral

PUCP

1. Según la definición dada, in-

4. Se tiene el siguiente circuito lógico cuyo valor de verdad es verdadero.

dica qué tipo de esquema es la siguiente proposición:

5. Se tiene el circuito lógico cuyo valor de verdad es verdadero.

∼ p → (q∨ p)

¿Cuáles son los valores de p y q, respectivamente?

2. Simplifica: ∼ (∼ (∼ (∼ (p∨ q))))

Resolución Del circuito lógico tenemos:

¿Cuáles son los valores de p y q, respectivamente?

6. Simplifica: (p → q)∧ ∼ p

3. Según la definición dada, indica qué tipo de esquema hay en la siguiente preposición: ∼ (p ↔ q)∧ ∼ (p → q)

2

ARITMÉTICA

 

Observamos:

p≡V

q≡F

14

7. Simplifica: (p∨ q) → (∼ p∧ q)

3.er año

LÓGICA PROPOSICIONAL II

UNMSM

10. Determina la negación de: “Si Orlando estudia y saca buenas notas, entonces logrará obtener la beca”.

8. Simplifica:

[ p → (p ∧ ∼ q)] → (∼ p∨ q)

Resolución [(∼ p ∨ q) ∧ p] ∨ p"Simplificando  absorción" p Entonces:

Resolución: p → (p∧ ∼ q)"Del condicional"

11. Simplifica:

∼ p ∨ (p ∧ ∼ p)"Absorción"

[∼ (q↵p) → (p ∧ q)]↵(p↵q) [∼ q → (p ∧ q)]↵(p↵q ) C ondición

[(∼ p → q) ∧ (q → p)] ∧ ∼ p

[q ∨ (p ∧ q)] ↵(p↵q )

(∼p ∧ ∼ q)  

Ahora:

(∼ p ∨ ∼ q) → (∼ p ∨ q) " Del condicional "

q ↵p

UNI



q

12. Definimos el conector lógico “

∼ (∼ p ∨ ∼ q) ∨ (∼ p ∨ q) " De morgan "

”

[ p ∧ q ]@[∼ (∼ p@q) → (q ∧ ∼ p)]

(∼ p ∧ q) ∨ q ∨ V ∼ p " Absorción "

p

∴q ∨ ∼ p

9. Simplifica: ∼ (∼ p → q) → (q∧ p)

q ≡ [(~p ∨ q) ∧ p] ∨ p

 

Simplificar:

 

[~(q

p)→(p ∧ q)] (p

15

13. Definimos el conector lógico.

14. La negación de: “x es positivo ya que z es negativo” es:

q)

 

ARITMÉTICA

2

3 Razones RAZÓN Es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operación de sustracción o división.

1. Clases de razón 1.1 Razón aritmética (RA)

 

Ejemplo: Si en un corral hay 30 patos y 60 pavos, calcula la razón geométrica del número de patos y el número de pavos.

 

Resolución:

Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Dadas las cantidades a y b

Pa Pv

 

Ejemplo: Si la edad de Marcos es 16 años y la de Luis es 13 años, calcula la razón aritmética de sus edades.

 

Resolución: 16 – 13 = 3

 

= 30 = 1 60

2

Interpretación: La razón geométrica del número de patos y número de pavos es 1/2. El número de patos es como 1 y el número de pavos es como 2. El número de patos y pavos están en relación de 1 a 2. El número de patos y pavos son entre si como 1 es a 2. Por cada pato hay 2 pavos.

Interpretación:

Ten en cuenta:

Marcos es mayor que Luis en 3 años. La edad de Marcos excede a la edad de Luis en 3 años. Luis es menor que Marcos en 3 años La edad de Luis es excedida por la edad de Marcos en 3 años

En la resolución de problemas es conveniente expresar la razón geométrica de la siguiente forma:

1.2 Razón geométrica (R.G) Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Dadas las cantidades a y b

“a” es una vez más que “b” < > a = 2b “a” es dos veces más que “b” < > a = 3b

Antecedente b=3

a = k  b



Valor de la razón geométrica

Consecuente



“a” es n veces más que “b” < > a = (n + 1)b 17

 

ARITMÉTICA

3

er

3.  año

RAZONES

T��������� �� ����� Integral 1. Determina: a × b a b

=

8 11

; b – a = 12

2. Dos personas tienen dinero en la relación de 5 a 7. Si la segunda le entregara a la primera S/.100, entonces tendrían ambos la misma cantidad. ¿Cuánto tiene la primera persona?

3. Las edades de Ana y Rocío son entre sí como 2 es a 3. Si dentro de 8 años las edades estarán en la relación de 5 a 7. ¿Qué edad tendrá Rocío dentro de 4 años?

PUCP 4. Si “m” es a “n” como 5 es a 3 y “n” es a “p” como 4 es a 7, determina la relación de “m” y “n”. Resolución m n

=5 3

m× n n m p

n p

×p

=

=4 7

5× 4 3× 7

= 20

21

5. Si “p” esa “q” como 6 es a 11 y “q” es a “r” como 3 es a 2, determina la relación de “p” y “r”.

6. Determina: x – a a x

= 3 ; 2a + x = 39 7

7. La razón aritmética entre dos números es 9. Si la diferencia de sus cuadrados es 225, determina la suma de los números.

3

ARITMÉTICA

UNMSM

UNI

8. Se observa que en una fiesta,

12. Dos autos se desplazan en sen-

por cada 5 mujeres hay 6 hombres y por cada 5 hombres que beben hay uno que no bebe. Calcula cuántos hombres beben si en total hay 24 hombres más que mujeres. Resolución: Mujeres 5k  = Hombres 6k  H(beben) = 5Q H(no deben) 1Q Hombres – Mujeres = 24 6k – 5k = 24 k = 24 H(beben) + H(no beben) = Hombres 5Q + 1Q = 144 6Q = 144 Q = 24 Hombres que beben = 5 x 24 = 120

9. En una reunión el número de mujeres es al número de mu jeres que no bailan como 10 es a 3. Si todos los hombres están bailando y son 20 más que las mujeres que no bailan, ¿cuántas personas hay en la reunión?

10. En un salón de clase se sabe que la cantidad de varones es a la de las mujeres como 3 a 7. Si se aumentan 5 varones y 1 mujer, la relación sería de 4 a 9. ¿Cuántas mujeres había al inicio?

11. Hace 4 años un padre tenía 14 veces la edad de su hijo. Si dentro de 6 años la edad del padre y la de su hijo se encontrarán en la relación de 4 a 1, ¿cuál es la diferencia de sus edades actuales? 18

 

 

tidos opuestos, uno al encuentro del otro con velocidades que están en relación de 51 a 39. Si cuando están separados 270 m por segunda vez al más rápido le faltan 198 m para llegar a uno de los puntos de partida, ¿cuál fue la separación inicial de los autos? Resolución Se tiene: Recordemos: las distancias recorridas en tiempos iguales son proporcionales a las velocidades. Entonces: 39k + 51k = 270 90k = 270 k=3 Reemplazando 39n = 51(3) + 198 →  = 9

→ AB  51n + 39 n = 90 n = 90(9) ∴ AB = 810 13. Dos autos parten de las ciudades M y N al encuentro con  velocidades en la relación de 17 y 11. Si cuando están separados 140 m por segunda  vez al más lento le faltan 132 m ara llegar al punto M, ¿cuál fue la separación inicial de los autos?

14. El número de vagones que lle va un tren “A” es los 5/11 del número de vagones que lleva un tren “B”, el que lleva el tren “C” es los 7/13 de los que lleva otro tren “D”. Entre “A” y “B” llevan tantos vagones como los otros dos. Si el número de  vagones de cada tren no puede pasar de 60, ¿cuál es el número de vagones que lleva cada tren?

4 Proporciones DEFINICIÓN Es la igualdad de 2 razones de una misma clase y que tienen el mismo valor de razón.

Proporciones Discreta Aritmética

Geométrica

I. Clases de proporciones

a a −b =c

1. Proporción aritmética  

 

Es la igualdad de dos razones aritmética. Ejemplo: 17 – 9 = 20 – 12 Donde: 17 y 12 son términos extremos 9 y 20 son términos medios Se cumple:

 Suma de términos   Suma de términos   =  extremos medios     2. Proporción geométrica  

Es la igualdad de dos razones geométricas. Ejemplos: 16 4

=

−d

Ejemplo: Calcula la cuarta diferencial de 15, 4 y 28

Ejemplo: Calcula la cuarta proporcional de 30; 36 y 20

Resolución 

Resolución 

Sea “d” la cuarta diferencial

Sea “d” la cuarta proporcional

⇒ 15 − 4 = 28 − d ∴d = 17

⇒

 Producto de términos  extremos 

30 36

= 20 d

∴d = 24

Proporción Continua

3

Geométrica a

Donde: 16 y 3 son términos extremos 4 y 12 son términos medios

c: 3ra diferencial de “a y b” b: media diferencial

  Producto de términos  =  medios   

Según sus términos medios, las proporciones serán discretas (términos medios diferentes) o continuas (términos medios iguales). 19

d

d: 4ta proporcional de a; b y c

a−b = b−c

 

c

d: 4ta diferencial de a; b y c

Aritmética

12

b

=

b

=b c

de “a y c”

c: 3ra proporcional de “a y b” b: media proporcional de “a; b y c”

Ejemplo Calcula la tercera diferencial de 18 y 15.

Ejemplo: Calcula la tercera proporcional de 9 y 6.

 

ARITMÉTICA

4

3.

er

año

 

PROPORCIONES

Propiedades Si

a b

a1

c

=

d

b1 a+b b a−b b a b+a a b−a

= c+d d

= = =

c −d d c d+c c d −c

= c +d a −b c −d a −b = c −d a+b c +d a +c =a =c b +d b d a −c =a =c b −a b d

=

a2 b2

= ... =

an

=k

bn

 

a +b

Propiedades a1 + a 2

+ ... + a n = k  b1 + b2 + ... + bn a1 × a 2 × ... × a n = k  b1 × b2 × ... × b n

3. Razones geométricas equivalentes

m

m

m

 a1   a2   an  m  b  =  b  = ... =  b  = k    1  2  n

Es la igualdad de más de 2 razones geométricas que tienen el mismo valor.

T��������� �� ����� Integral

 

UNMSM

Donde: a

1. Calcula la suma de la tercera

= b = k 

b

diferencial de 24 y 18, con la cuarta proporcional de 18; 6 y 81.

c

8. Si el producto de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 625, determina la media proporcional.

2

→ ck = ck  = k  ck

c

Del dato:

2. Calcula M = E + T + A Si “E” es la media proporcional de 3 y 27, “T” es la tercera diferencial de 50 y 27 y “A” es la media diferencial de 28 y 12,

ck

 

PUCP

=b y b c

= 9c; a + b = 36

Sea

4

b

k

=3

3c

⇒

c

=

3c

a + b = 36 9c + 3c = 36 12c = 36

=3

∴c = 3

= b; c

b

=   una proporción

Sea: a b

 

= b = k  c

También: ck

2

ck

= ck  = k  c

Del dato: ck

2

⋅ ck ⋅ ck ⋅ c = 625

= 25c a + c = 78 a

4

⋅ k 4 = 625 ck = 5

→   La media proporcional 6. Si la suma de los 4 términos de

7. Calcula: c – a

c

a

geométrica continua.

3

ARITMÉTICA

 

c

5. Calcula: C a b

Resolución:

c

una proporción aritmética continua es 60, ¿cuál es la media diferencial?

Resolución  

=9c

a

Calcula c

a

2

9c

4. Si a

= 9c

Entonces:

3. En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 16 a 25. Si la suma de los términos diferentes es 366, calcula la media proporcional.

a

= b = c ; y a + b + c = 70 4

7

20

es b = ck 

∴ b=5 9. Si el producto de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 256, determina la media proporcional.

er

PROPORCIONES

3.  año

10. Si la razón de una proporción geométrica contínua es 4 y los términos extremos suman 85, determina la media proporcional.

 

a .b b .b ab

11. Si en una proporción aritmética continua la suma de sus términos es 60, determina la suma de sus términos extremos.

UNI 12. Determina:

=b= c

c ab + bc + cd ; d b2 + c2 + d 2

a +b+c

 

c .c

d .d

a

= bc2 = cd2 = k = 5 c

=b=

b

d

c

2

a .a

b

b .a 2

= b . b = c . c = k  c .b

d .c

2

2

cb

cd

+ b2 + c2 = k = 5 ab + cb + cd

2

2

3

3

M=

 

2

21

= k  =9

14. Calcula:

2 2 + b +c ∴ =5 ab + cb + cd

a

d

+c +d

= b = c = k 

2

c

a b+ b c +c d

Entonces:

a

=5

b+c+d

= b .c = c .d = k 

3

ab

2

Si; a b

2

b

a

+ b2 + c2 ab + bc + cd

a

13. Calcula:

Resolución Sea:

Si:

d

+ b2 + c2 = 4 ; 2 2 2 b +c +d a

2

a b

 

a

=b= c

c d

=2

ARITMÉTICA

4

5 Promedios DEFINICIÓN Es aquella cantidad que representa a un conjunto de cantidades, es un valor de tendencia central, pues está comprendida entre la mínima y la máxima cantidad promediada. Sean las cantidades: a1; a2; a3; …; an Sea P el promedio

Ejemplo: Calcula el promedio geométrico de 1; 2; 4; 6

≤ P ≤ an

a1

Ejemplo: Si un alumno tuviera en un mismo curso la nota: 12; 14; 16 y 18, el promedio no podrá ser 10 ni 20. 12

P.A.

=

=

= 4 1 × 2 × 4 ×6

P.G.

= 4 48 = 4 2 4 × 3

P.G.

=24 3

Promedio armónico: Sean: a1; a2; a3; …an P.H.

< P < 18

=

n 1 a1

Promedios importantes Promedio aritmético Sean: a1; a2; … + an P.A.

P.G.

PH =

+ a 2 + ... + a n

P.H.

1 an

3 1

=

+1+1 6

8

3 6

+4 +3

= 72 13

24

5

26 5

=

4

⇒ P.A. = 1 + 3 + 5 + 7 +10 = 5, 2

P.H.

P.A. = 5,2

= 72 13

N���:

Promedio geométrico Sean: a1; a2; …an

Si a todas las cantidades promediados se les afecta matemáticamente (sumando, restando, multiplicando, dividiendo) por una misma cantidad, entonces el promedio quedará afectado del mismo modo.

= n a1 ⋅ a 2 ⋅ ... ⋅ a n

  Nºcantidades

a3

+ ... +

Suma de las inversas

Número de cantidades

Ejemplo: Calcula el promedio aritmético de: 1; 3; 5; 7; 10

P.G. =

1

Ejemplo: Calcula el promedio armónico de 4; 6; 8

n

 Suma de las cantidades

P.G.

a2

+

Número de Cantidades

P.H.

∴

1

de las cantidades.

a1

P.A. =

+

Producto de cantidades

23

 

ARITMÉTICA

5

er

3.  año

PROMEDIOS

Promedio ponderado

Ejemplo:

Sean las cantidades:

Sean

14 ; 13 ; 16 y 20 y sus

Pesos

3 ; 4 ; 2; 1

a1; a2; a3; …an y los pesos p1; p2; p3; …pn PP

⇒ PP = 14 × 3 + 13 × 4 + 16 × 2 + 20 ×1 3 + 4 +2 +1 146 = 14,6 PP =

+ a 2P2 + ... + a nPn P1 + P2 + ... + Pn

a1P1

=

10

T��������� �� ����� Integral

5. El promedio de 4 números es 300; si aumentamos un quinto número, el promedio aumenta en 60. Determina el quinto número.

1. Calcula la media aritmética de 20; 30; 60 y 10. Resolución:

2. Calcula la media geométrica de 2; 12 y 9.

6. El promedio aritmético de 5 números es 140, si se agregan 5 números, la media aritmética queda aumentada en 60. ¿Cuál es la media aritmética de los 5 nuevos números?

3. Calcula la media armónica de 2; 3 y 6.

PUCP 4. El promedio de 5 números es

7. El promedio de 50 números es 14; si extraemos 20 números, el promedio de los números que quedan es 12. Determina el promedio de los números que se extrajeron.

200; si se considera un sexto número, el promedio aumenta en 50. Determina el sexto número.  

Resolución Sean: x1; x2; x3; x4; x5

P.A.

=

x1

UNMSM 8. El peso promedio de 5 señoras

+ x 2 + x 3 + x 4 + x5 5

es 50 kg. Si ninguna pesa menos de 45 kg, ¿cuál es el máximo peso que puede tener una de ellas? Resolución: Sean los pesos: P1; P2; P3; P4; P5

= 200

→  x1 + x2 + … + x5 = 200 x 5 = 1000

 

Ahora: P.A.

=

x1

+ x 2 + ... + x 6 6

→

= 250

→ x + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x6 = 1500 1 + x6 1000

∴ x6 = 500

5

ARITMÉTICA

P.A.

=

P1 + P2

+P

3

5

+P

4

+

P5

=

50

+ P2 + P3 + P4 + P5 = 50 ⋅ 5 P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 250 P1

Ahora, los pesos no son menores que 45 kg; entonces el peso mínimo serás 45 kg. 24

→

P1 + P2

+P +P

3

4 +

P5

=

250

        

mínimo

 

máximo

45 + 45 + 45 + 45 + P5 = 250 180 + P5 = 250 P5 = 70

∴ P5 = 70 9. La nota promedio de 6 alumnos es 16. Si ninguna nota es menor de 12, ¿cuál es la máxima nota que puede tener uno de ellos?

10. Si el P.G. de tres números pares diferentes es 6, ¿cuál es el promedio aritmético de dichos números?

11. La edad promedio de 4 hermanos es 15 años. Si ninguno de ellos tiene más de 12 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener uno de ellos?

UNI 12. De 40 alumnos de un aula, se sabe que el promedio de las notas es 13,5. Los 6 primeros obtuvieron un promedio de 18; otros 10 alumnos un promedio de 8 y de los demás, ninguno superó 15 de nota. Determina la nota mínima posible que pudo tener un alumno de este último grupo.

er

PROMEDIOS

3.  año

Resolución Sean las notas: x1; x2; …; x 40 x + x2 P.A. = 1

+ ... + x 40

40

La nota máxima. xA

= 13, 5 345 + x40 = 352 x40 = 7

Ahora, veamos los grupos: ∴

+ x + ... + x + x + ... + x + x17 + ...x 40 = 540

2 7 16  6  18×6 10×8

→  108 + 80 + x 17 + … + x40 = 540 x17 + … + x 40 = 352

+ x + ... + x + x 40 = 352 + x 40 = 352 15 × 23

8 39   

x1; x2; …; x 40  = 540

x1

de 17, otros 12 alumnos obtuvieron un promedio de 14 y de los demás, ninguno superó 15 de nota. Determina la nota mínima que pudo tener un alumno de este último grupo.

  La nota mínima de un alumno es 7.

14. La media aritmética de “n” números es 50; si se suprimen todos los 18 que son un total de “x”, la MA aumenta en “x” unidades. Determina “n” si este número es a “x” como 11 es a 3.

13. De 30 alumnos de un aula, se sabe que el promedio de notas fue 14,5. Los 5 primeros alumnos obtuvieron un promedio

25

 

ARITMÉTICA

5

6 Magnitudes proporcionales I MAGNITUD Es toda propiedad de los cuerpos que puede ser Asimismo, “K” representa que el cociente entre los medida. Otra acepción nos dice también, que es todo  valores de las magnitudes es el mismo. aquello que tiende a cambiar de valor o intensidad. En las magnitudes DP, su cociente es constante, mientras que en las magnitudes IP, su producto es Magnitudes proporcionales constante. Son aquellas que al ser comparadas y variar una de ellas, hace que la otra también varíe en forma 2. Magnitudes inversamente proporcionales proporcional. Estas magnitudes se dividen en dos Son aquellas que al aumentar o disminuir una de clases: ellas, hace que la otra disminuya y aumente en la misma proporción. Entre ellas se cumple que su 1. Magnitudes directamente proporcionales producto es siempre constante. Si tenemos que Son aquellas que al aumentar o disminuir una de dos magnitudes (A y B) son inversamente proellas, hace que la otra también aumente o dismiporcionales, entonces deben cumplir que: nuya en la misma proporción. Entre ellas se cumple que su cociente siempre debe ser constante. Magnitud A × Magnitude B = Cosntante Si tenemos dos magnitudes (A y B), estas serán directamente proporcionales si se cumple que: Además, si las dos magnitudes son IP (inversaMagnitud A mente proporcionales), tienen el siguiente gráfico = Constante Magnitud B que las vincula: Además, si las dos magnitudes nombradas son DP (directamente proporcionales) tendrán un gráfico que la vincula:

Donde se cumple que:

Donde se cumple lo siguiente:

a1 × b1 a1 b1

=

a2 b2

=

a3 b3

=

a4 b4

=

a5 b5

= k 

= a 2 × b2 = a3 × b3 = k

 

Asimismo, “k” representa que el producto entre los valores de las magnitudes dadas es el mismo. 27

 

ARITMÉTICA

6

er

3.  año

MAGNITUDES PROPORCIONALES I

3. Determinación de una fórmula en magnitudes proporcionales

Entonces, cuando “A” es DP a “B” y A es IP a “C”. se cumple la siguiente relación:

Si “A” es DP a “B”, entonces se debe cumplir lo siguiente: A B

A

× C = Constante

B

= Constante ...(a)

Si “A” es IP “C”, entonces se debe cumplir lo siguiente: A × C = Constante ...(b)

A esta expresión obtenida se le denomina “fórmula entre magnitudes proporcionales”. La expresión entre magnitudes: “A” DP a “B” y “A” IP a “C”, es lo mismo que “A” DP a “B” e IP a “C”.

T��������� �� ����� Integral 1. Relaciona las siguientes mag-

nitudes: # obreros – rapidez Eficiencia – tiempo Área - # carpetas Provisiones - # personas  

(raciones) Resolución:

2. Se sabe que “A” DP “B”. Cal-

cula “A” cuando B = 15, si cuando A = 105, B = 25. 3. Calcula “a” si:

Resolución: Las campanadas son un caso especial, pues se toman en cuenta los intervalos. 6:00 am ⇒  toca 6 campanadas En 6 campanadas hay 5 inter valos 11:00 am ⇒  toca 11 campanadas En 11 campanadas hay 10 intervalos

x

65

B

28

63

91

7. Si las magnitudes A y B3 son

inversamente proporcionales y cuando A vale 7, B es 8, ¿cuál es el valor de A cuando B vale 4?

8. Se contrata un emple4ado

PUCP

ARITMÉTICA

20

#intervalos = constante seg 3 10 × 15 5 10 = ⇒x= 15 x 5 1

Demorara 30 seg.

6

A

UNMSM

Rpta.:

con igual número de campanadas como número indica, demora 15 segundos para indicar las 6:00 am, ¿cuánto demorará para indicar las 11:00 am?

siguiente cuadro.

# intervalos es “DP” a seg

x = 30

4. Un reloj que señala las horas

6. Calcula el valor de “a” en el

5. Si un reloj que señala las ho-

ras con igual número de campanadas como número indica, demora 10 segundos para indicar las 4:00 am, ¿cuánto tiempo demorará para indicar las 10:00 am? 28

por el tiempo de un año, acordando pagarle S/.700 más un televisor; pero si al cumplir los siete meses se le despide pagándole S/.250 más el televisor, ¿cuál es el precio del televisor? Resolución: Tiempos de “DP” pago trabajo Tiempo Pago

= constante

1 año = 12 meses 12 700 + (tv)

=

7 250 + (tv)

er

MAGNITUDES PROPORCIONALES I

 

3.  año

3000 + 12 (tv) = 4900 + 7 tv  5 (tv) = 1900 tv = 380 Rpta.: Costo S/.380

f(5) = z z . 5 = 6 . 14 z

= 84 42

E=

9. Se contrató a un contador

por el tiempo de un año tres meses, acordando pagarle S/.800 más un celular; pero si al cumplir los nueve meses se le despide pagándole S/.312 más el celular ¿cuál es el precio del celular? 10. Si

A

 “IP” B calcula x.

los ingresos de José por la cantidad de productos que fabrica.

5

84

5

5

porcionalidad inversa. Calcula “B” si se cumple que g(4) = 9.

12. Siendo f(x) una función de

proporcionalidad determina “E”: f(10)× f(15) f(5)

= 14 = 2,8

13. Si g(x) es una función de pro-

UNI

E=

× 28 5

Calcula el valor numérico de “a + b”.

inversa,

, si f(6) = 14

Resolución: f(6) = 14 es inversa se cumple 6 x 14 = constante f(10) = x x . 10 = 6 . 14 x

11. La siguiente gráfica muestra

5

B=

g(2)× g(6) g(3)

14.

= 42 5

f(15) = y  y . 15 = 6 . 14 y  =

 28 5

Calcula

29

 

( )( ) a

3b

2

5

ARITMÉTICA

6

7 Magnitudes proporcionales II RUEDAS DENTADAS �ENGRANAJES� Este caso nos lleva a hacer asociaciones con nuestra realidad, la cadena de nuestra bicicleta está conectada a dos ruedas dentadas, y los relojes antiguos se movían en base a un complicado sistema de engranaje. De estos ejemplos, se pueden desprender dos posibles situaciones:

1. Cuando las ruedas están en contacto (engranadas)

 

Donde: # DA = Número de dientes de A # VA = Número de vueltas de A # DB = Número de dientes de B # VB = Número de vueltas de B

2. Cuando las ruedas están en el mismo eje de giro (concéntricas) Se nota que cuando están en el mismo eje de giro; si la rueda “A” da una vuelta, la rueda “B” dará también una vuelta, finalmente se cumplirá que:

A

Si la rueda “A” (la que tiene más dientes) gira una  vuelta; entonces la rueda “B” (de menos dientes) gira más de una vuelta. Finalmente, mientras más dientes tenga una rueda, en contacto con otra rueda, girará menos vueltas o viceversa; se deduce entonces que “El número de dientes y el número de vueltas son IP; entonces para las ruedas “A” y “B” se cumple que:

⋅

# DA # VA

= # DB ⋅ # VB

# Vueltas de A = # Vueltas de B

A���������� P�� Si dos magnitudes cambian en el mismo sentido, son directas y si lo hacen en sentido contrario, son inversas.

# Vueltas IP # Dientes

31

 

ARTIMÉTICA

7

er

3.  año

MAGNITUDES PROPORCIONALES II

T��������� �� ����� Integral 1. Dos ruedas en contacto dan 72 y 63 vueltas. Si la primera tiene 35 dientes, ¿cuántos dientes tendrá la segunda? Resolución: 2. Las ruedas A y B se encuentran en el mismo eje de giro. Si A da 20 vueltas, ¿cuántas vueltas dará B? 3. Si Juan, por resolver 18 pregunta de matemáticas cobra S/.50, ¿cuánto cobrará por 27 preguntas? PUCP 4. Si una docena de libros cuesta S/.72, ¿cuánto costarán 3 centenas de libros? Resolución: Del problema: (costo) DP (Número de libros) Costo Número de libros

= k 

tes y B, 18 dientes), ¿cuántas  vueltas dará B cuando A dé 20  vueltas? UNMSM 8. El costo de un automóvil es DP al número de llantas de repuesto que dan de regalo, e IP al número de puertas que tiene. Si un auto de dos puertas y de una llanta de repuesto cuesta S/.6000, ¿cuánto costará otro auto de 4 puertas por el que dan 2 llantas de repuesto? Resolución: C. costo del automóvil L: número de llantas P: número de puertas Del problema: C

× P = cte

L

C1 = 6000 P1 = 2 L1 = 1

Reemplazando valores: 600

× 2 = C2 × 4

1

Reemplazando valores: x 300 x

=

72 12

= 1800

5. Si media docena de libros cuesta S/. 48, ¿cuánto costarán 18 libros? 6. Si 12 obreros pueden hacer un trabajo en 6 días, ¿cuántos obreros más se necesitarán para hacer el trabajo en 4 días? 7. Si se tiene los piñones engranados A y B (A tiene 45 dien-

7

ARTIMÉTICA

C2 = ? P2 = 4 L2 = 2

¿Cuánto costará otro libro de 600 páginas y de 30 cm de longitud?

11. Si las ruedas A, B y C están en contacto y tienen 20; 25 y 30 dientes, respectivamente, al dar 60 vueltas la rueda A, ¿cuánto sumarán las vueltas que dan las ruedas B y C? UNI 12. Según la ley de Boyle, la presión es IP al volumen que contiene cierta cantidad de gas. Si 200 cc de una está sometido a una presión de 5 atm, ¿qué presión debe soportar 250 cc del mismo gas? Resolución: P: presión V: volumen Del problema: P x V = cte. P1 = 5 V1 = 200 P2 = ? V2 = 250

2

C2 = 6000

Reemplazando valores: 5 x 200 = 250 x P

9. El costo de un automóvil es DP al número de llantas de repuesto que dan de regalo, e IP al número de puertas que tiene. Si un auto de 3 puertas y de dos llantas de repuesto cuesta S/.5000, ¿cuánto costará otro auto de 5 puertas por el que dan 3 llantas de repuesto?

13. Según la ley de Boyle, la presión es IP al volumen que contiene cierta cantidad de gas. Si 500 cc de un gas está sometido a una presión de 8 atm, ¿qué presión debe soportar 40 cc del mismo gas?

10. El costo de un libro es DP al número de hojas que tiene, e IP a su longitud. Si un libro de 400 hojas y de 12 cm de longitud cuesta S/.50.

14. Las ruedas “A” y “B” están en contacto y tienen “x” y “x + 5” dientes. Si estas ruedas dan 25 y 20 vueltas, respectivamente, calcula “x”.

32

P = 4 atm

8 Repaso 1.

2.

¿Cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones lógicas? - x+3>8 - 2+3=6 - Sofía es la capital de Bulgaria. - ¿Messi es el mejor tenista del mundo? a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 4

5.

6.

Si ∼ (∼ p → q)   es verdadera, determina el valor de verdad de “p” y “q”. a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede determinar

4.

Simplifica: ∼ (∼ p →∼ q) a) ∼ p ∧ q  b) p∧ ∼ q  c) ∼ p ∨ q  d) p∨ ∼ q  e) ∼ p∧ ∼ q 

a) c) e)

6 21 8 21 6

b) d)

b) 3 d) 6

2

4 21 21

8

28

11.

Si 30 obreros hacen una obra en 20 días, ¿cuántos días tardarán 25 obreros en hacer la misma obra? a) 25 días b) 16 días c) 20 días d) 24 días e) 30 días

12.

Calcula “A + B” si “A” es la media proporcional de 4 y 9 y “B” es la tercera diferencial de 20 y 16. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

8

a) 10 c) 18 e) 12 8.

“A” es DP a “B” cuando A = 2 y B = 7, calcula “A” cuando B = 28. a) 4 b) 16 c) 8 d) 12 e) 6

= b = c ; además b + c = 65 5

Determina la media armónica de: 2; 6; 12; …; 90 a) 15 b) 10 c) 12 d) 18 e) 20

10. Si

Calcula “a” a

Si “A” es a “B” como 2 es a 3 y “B” es a “C” como 4 es a 7, ¿en qué relación están “A” y “C”?

9.

Si en una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 81, ¿cuál es su media proporcional? a) 8 c) 5 e) 2

7. 3.

En una reunión, la razón entre hombres y mujeres es de 3 a 5. Luego de media hora se retiran 20 parejas; si la nueva relación es de 4 a 7, ¿cuántas mujeres había al inicio? a) 200 b) 150 c) 120 d) 180 e) 300

b) 15 d) 20

Si el promedio geométrico de 3 números enteros diferente4s es 7, calcula su media aritmética. a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

C�����

1.

B

5.

E

9.

B

2.

D

6.

B

10.

C

3.

A

7.

A

11.

D

4.

C

8.

E

12.

E

33

 

ARITMÉTICA

8

er

3.  año

REPASO

B�����������

8

1.

PARDO PEREZ, José Armando. Fuenteovejuna. 1.era edición. Madrid: Editorial PAZ, 1805.

2.

PARDO, José Armando y FUENTES, Henry. Las mil y una noches. Lima: Editorial PAZ, 2005.

3.

Extraído de: www.elcomercio.com.pe/portada.html revisado el 21/02/2014.

ARITMÉTICA

34

 Aritmética

1 Radicación La expresión:

4. Raíz de un producto

índice n

a  = N

n

raíz  

Se lee: raíz n de a Ejemplo: n 14 → raíz sexta de catorce.

1. Potencia de exponente fraccionario n

am/n = am ; n ≥ 2 El denominador del exponente se convierte en el índice de la raíz. 3 4 27/3 = 27 ; 71/2 = 7 ; 113/4 = 113

Nota: Las potencias de exponentes fraccionarios siguen verificando las propiedades de los exponentes enteros

Ejemplos: 9×4  = 9 . 4 Y 36  = (3).(2) 6=6 Y 16×25  = 16 . 25 400  = (4).(5) 20 = 20 Y 9×16  = 9 . 16 144  = (3).(4) 12 = 12

5. Raíz de un cociente n

a  = a b nb

n

Propiedad

Ejemplos: 12 7 3 Y 31/3.31/4 = 31/3+1/4 = 37/12 = nuestro –1/2 Y (–9) = 1  = 1 Para no tiene (–9)1/2 –9 caso, solución Y 25–1/2 = 1  = 1  = 1 251/2 25 5

 

Ejemplos: Y

Y

Y

2. Raíz cuadrada  

Ejemplos: 2 Y 16  = 4, ya que 4  = 16 9  = 3, ya que 3 2 = 9 Y 2 Y 49  = 7, ya que 7  = 49

36 = 4 = 2 o 36  = 36  = 6  = 2 9 9 3 9 3 3 3 (–64) ÷ 8  = –64 ÷ 8 ⇒ (–4) ÷ (4) = –2 144 ÷ 16 = 144 ÷ 16 9  = (12) ÷ (4) 3=3

6. Raíz de una potencia n

am  = am ÷ n

3. Raíz cúbica  

Y

3.ER

 

Ejemplos: 3 –8  = –2, ya que (–2) 3 = –8 Y Y

AÑO

n

Propiedad

radicando

 

n

a.b  = a . b

3

27  = –3, ya que (3)  = 27

3

64  = 4, ya que 4 3 = 64

Ejemplos: Y

3

7

34  = 34/2 81  = 32 9=9

Propiedad Y

3

(–2)6 = (–2)6/3 3 64  = (–2)2 4=4 ARITMÉTICA

1

RADICACIÓN

Trabajando en clase Integral 1. Calcula:

3

2 23 × 2

3

2 × 22 23/3 = 2

7 49 + 25 625

2. Calcula:

9. Calcula:

32 + 42  + 52 + 23 + 42

5

3 33 33 33 32

3. Calcula:

5

5

5

( 3 )3×( 3 )4×( 3 )8 5 5 ( 3 )3×( 3 )2

10. Simplificar:

PUCP

11. Simplificar:

n

3

(a)5/7  × a 5 4 (a)2/3  × (a)2/5

4. Efectúa y simplifica: 3

3

3

3

6 + 64 – 1 + 343

Resolución 3 3 3 3

3

UNI 3

12. Resuelve:

6 + 64 – 1 + 7

100 veces

3

6 + 64  – 2

4

4 4 a  × a ×...× a ÷ a16 a  × a  ×...× a a2 20 veces

3

4 + 64 8  = 2

Resolución 4 ( a )100  = (a)16/2 2/2 ( a )20 (a)

5. Efectúa y simplifica: 3

3

3

3

19 + 125 + 21 + 216

(a)100/4  = a8 (a)20/2 a a25 ÷ a(8–1) a10 a(25–10) ÷ a7 a15 ÷ a7 a8

6. Simplifica: 3

16 – 16 ( 256  – 64 )

7. Reduce: n

40n + 10n 20n + 5n

13. Resuelve:

UNMSM 8. Calcula:

1

5

2 23 23 23 22

3

3

a15 4 8 a

14. Resuelve:

5

2 23 23 23 × 2 5

2 23 23 × 2

ARITMÉTICA

3

a  × a ×...× a ÷ 4 4 4 a  × a  ×...× a 10 veces

Resolución

3

90 veces 3

3

3

n

3n

a2  × a4  × a–3

4

4

4

8 8 8...  + 12 12 12...

8

3.ER

AÑO

2 Regla de tres simple REGLA DE TRES

De forma práctica; cuando sea regla de tres simple directa, se multiplica en aspa, igualando los resultados de la siguiente forma:

Es la operación que consiste en hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.

a.x = b.c

En la regla de tres se establece la relación de proporcionalidad entre magnitudes. La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa.

Regla de tres simple inversa Resulta de comparar dos magnitudes que son inversamente proporcionales.

REGLA DE TRES SIMPLE �R.T. S.�

IP

Regla de tres simple directa Resulta de comparar dos magnitudes que son directamente proporcionales.

DP Magnitud 1

Magnitud 2

a

b

c

x

Magnitud 1

Magnitud 2

a

b

c

x

Al ser IP, se cumple: Mag. 1 × Mag. 2 = constante Da forma práctica; cuando sea regla de tres simple inversa, se multiplica en forma paralela, igualando los resultados de la siguiente forma:

Al ser DP, se cumple: Magnitud 1  = constante Magnitud 1

a.b = c.x

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el tiempo que demora Piero en llegar a su casa cuando va a una velocidad de 35 km/h. Se sabe que cuando va a 85 km/h, demora 2 horas.

PUCP 4. Un empleado renuncia 10 días antes de terminar el mes de labores; si hubiera acabado el mes, hubiese cobrado 900 nuevos soles. ¿Cuántos nuevos soles recibió por el tiempo trabajado? Resolución: Soles Días 900 30 x (30 – 10) x = 900(30 – 10) 30 x = S/.600

2. Javier cobra S/.120 por pintar una pared cuadrada que mide 2 m de largo. ¿Cuánto cobrará por pintar otra pared de la misma forma si midiera 3 m de largo? 3. Una cuadrilla de 15 obreros demora en realizar una obra 8 meses. ¿Cuánto tiempo le tomará en realizar la misma obra a otra cuadrilla de 22 obreros? 3.ER

AÑO

9

ARITMÉTICA

2

REGLA DE TRES SIMPLE

5. Francisca renuncia 8 días antes de terminar el mes de labores; si hubiera trabajado el mes, hubiese cobrado 1500 nuevos soles. ¿Cuántos nue vos soles recibió por el tiempo trabajado?

11. Una ovejita atada a un árbol puede comer todo el pasto a su alcance en 9 horas. ¿Cuánto tiempo demorará en comer el pasto a su alcance si la cuerda midiera el triple de la longitud inicial?

6. ¿Cuántos obreros se necesitan para efectuar una obra en 30 días si con 3 obreros más terminarían la obra en 25 días?

UNI 12. Mateo es el triple de rápido que Omar al realizar una tarea. Si juntos puede culminar la tarea en 15 días, ¿cuántos días emplearía Mateo para realizar la misma tarea trabajando solo?

7. La rapidez de Fernanda y Kiomi están en relación de 3 a 5. Si juntas pueden realizar un trabajo en 4 días, ¿cuántos días demorará Fernanda en hacer el mismo trabajo trabajando sola?

UNI2013-I 

Resolución: Antes de resolver, primero tienes que reconocer las magnitudes. La rapidez de Omar es 1, entonces la rapidez de Mateo es 3.

UNMSM 8. Un ingeniero calculó construir un puente en 18 días, pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó cada día? Resolución: Horas diarias Días x 18 (x – 2) (18 + 6) 18x = (x – 2)(18 + 6) 18x = 24x – 48 24x – 18x = 48 x=8 ∴ trabajó 6 h/d

 

13. Dante es el cuádruple de rápido que Javier al realizar una tarea. Si juntos pueden culminar la tarea en 8 días, ¿cuántos días emplearía Dante para realizar la misma tarea trabajando solo? 14. Jaime cobra S/.225 por construir dos cubos idénticos cuya arista es 15 cm. ¿Cuánto cobrará por construir tres cubos idénticos cuya arista mide 4/3 que el anterior?

10. Si Nayeli resuelve 20 problemas en 40 minutos, ¿cuántos problemas resolverá en 1,3 horas?

ARITMÉTICA

Días 15 D

D = 4 × 15 3 ∴ Mateo solo demorara 20 días

9. Un ingeniero calculó construir un puente en 30 días, pero tardó 10 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó cada día?

2

Rapidez Juntos 1+3 Mateo solo 3

10

3.ER

AÑO

3 Regla de tres compuesta Regla de tres compuesta (R T C)

Si la relación es directa, la columna de datos se mantiene; si la relación es inversa, la columna de datos se invierte. Veamos:

Es aquella operación matemática que se utiliza cuando en el problema participan más de dos magnitudes.

16 = 8 . 4 . 6 . 1 → x = 64 x 16 8 3 2

Métodos 1. Método de comparación por parejas

2. Método de proporcionalidad constante Ejemplo: Se sabe que 20 obreros hacen una obra en 10 días con un rendimiento del 10%. ¿Cuántos obreros harán 5 obras en 20 días con un rendimiento del 20% y una dificultad del doble respecto al anterior?

Ejemplo: Se sabe que 16 hombres construyen 8 casas en 8 años, trabajando 3 hora diarias. ¿Cuántos hombres harán el doble de casas en la mitad del tiempo anterior, trabajando 6 horas diarias en un terreno que ofrece una doble dureza con respecto al anterior?

Resolución: Utilizamos la siguiente relación: obreros×tiempo×rendimiento  = k  obra×dificultad

Hombres Casas Años h/diarias Dureza 16 8 8 3 1 x 16 4 6 2 DP

IP

IP

k: constante de proporcionalidad 1 1 1 1 2 20.10.10% = x.20.20% 1.1 5.2 1

DP

Resolución: Comparamos todas las magnitudes con aquella magnitud que contiene la incógnita de la siguiente manera:

x = 50 obreros

Trabajando en clase Integral

3. Si 18 obreros, durante 8 días, han hecho 1/4 de una obra, ¿cuántos obreros más se tendrán que contratar para terminar la obra en 4 días?

1. Si cuatro máquinas de coser se utilizan para fabricar 600 chompas en 10 días, ¿cuántas chompas fabricarán dos de las máquinas durante 6 días?

PUCP 4. Si 20 obreros, durante 6 días, trabajando 8 h/d, hacen una zanja de 20 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad, ¿cuántos días más necesitarán 12 obreros, trabajando 6 h/d para cavar una zanja de 15 m de largo, 2 m de ancho y 1 m de profundidad en un terreno del triple de dificultad que el anterior?

2. Si 11 carpinteros demoran en construir 10 pizarras en 28 días, ¿cuánto tiempo demorarán 7 carpinteros en construir la misma cantidad de pizarras con un material que triplica la dificultad de las anteriores? 3.ER

AÑO

11

ARITMÉTICA

3

REGLA DE TRES COMPUESTA

Resolución: (IP) obreros días 20 6 12

(IP) h/d 8 x

10 – n = 720  ..... (2)

(DP) (DP) volumen dificultad 120 1 6 30 3

k + 60

Igualamos 1 y 2 3 4 12 240 = 720

1 2 5 1 1 20 x = 6× × 8 × 30 × 3 12 6 120 1 4 1 6 1 1 x = 10 Se pide cuántos días más necesitan: 10 – 6 = 4 ∴ 4 días más.

k 

k + 60

k + 60 = 3k  k = 30  y n = 2

∴ Se pide k  = 30  = 15 n 2

5. Si 15 obreros, durante 5 días, trabajando 7 h/d, hacen una zanja de 15 m de largo, 5 m de ancho y 2 m de profundidad, ¿cuántos días más necesitarán 7 obreros trabajando 5 h/d para cavar una zanja de 10 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad en un terreno del doble de dificultad que el anterior?

9. En 20 días, 8 obreros han hecho la cuarta parte de una obra; luego aumentan «m» obreros, y los que hay avanzan 1/2 más de la obra en «p» días. Si estos últimos terminan lo que falta de la obra trabajando «p – 10» días, ¿cuál es el valor de p/m?

6. Cuatro hombres trabajando 5 h/d han hecho 40 m de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 7 hombres trabajando 5 horas diarias para hacer 35 metros de la misma obra?

10. Dos obreros, A y B, pueden terminar una obra en 3 días, siendo A el doble de eficiente que B. Si aumenta cada uno su eficiencia en 50%, ¿en cuánto tiempo terminarán la obra?

7. Se emplearon «m» obreros para ejecutar una obra y al cabo de «d» días hicieron «1/k» de ella. ¿Cuántos obreros se necesitan para terminar la obra en «p» días más?

11. Si 80 obreros, trabajando 8 h/d, construyen 480 m 2 de una obra en 15 días, ¿cuántos días requieren 120 obreros, trabajando 10 horas diarias, para hacer 960 m 2 de la misma obra?

UNMSM 8. En 48 días, 10 obreros han hecho la tercera parte de una obra; luego se retiran «n» obreros, y los que quedan avanzan 1/6 días de la obra en «k» días. Si estos últimos terminan lo que falta de la obra, trabajando «k + 60» días, ¿cuál es el valor de k/n?

UNI 12. Si 16 operarios hacen 64 pares de zapatos cada 5 días, ¿cuántos días emplearán 20 operarios en hacer 128 pares de zapatos?

Resolución: Días Obreros 48 10 k (10 – n)

Resolución: (IP) operarios 16 20

Obra 1/3 1/6

(DP) 8 10 – n = 10 × 48  × 3 k  6 1 (10 – n) = 240  ..... (1)

∴ emplearán 8 días 13. Si 15 operarios hacen 85 pares de zapatos cada 7 días, ¿cuántos días emplearán 21 operarios en hacer 170 pares de zapatos?

k 

(IP)

obreros 10 (10 – n)

Obra 1/3 1/2

14. Un grupo de obreros promete hacer una obra en 15 días, pero cuando ya habían trabajado 5 días contratan 9 obreros más, con lo que terminan el trabajo 2 días antes. ¿Cuántos obreros habían en el grupo inicialmente?

(DP)

24 48 (10 – n) = 10 ×  × 3 (k+60) 2

3

ARITMÉTICA

días 5 x

2 128 × 16 = 8 x = 5× 64 20 1

(IP)

Días 48 (k + 60)

(DP) zapatos 64 128

12

3.ER

AÑO

4 Reparto proporcional ⇒ 4k + 14k + 7k = 3000

DEFINICIÓN

25k = 3000 k = 120 ∴ las partes son: A = 4(120) = 480 B = 14(120) = 1680 C = 7(120) = 840

Consiste en repartir una cantidad principal proporcionalmente a ciertos números dados.

CLASES DE REPARTO Directo

2. Reparto compuesto

A. Reparto simple

Es la combinación de 2 o más repartos a la vez. Ejemplo: Reparte 5200 en 3 partes DP a las cantidades 4; 3 y 5 e IP a los números 2; 3 y 7. Resolución:

Inverso B. Reparto compuesto

1. Reparto simple (R S.)

MCM(1; 1; 7) = 7

Es cuando el reparto puede ser directamente proporcional (DP) o inversamente proporcional (IP), y los cocientes permanecen constantes.

Partes DP IP DP A 4 2 4 = 2.7 = 14k  1 2 5200 B 3 3 3 = 1.7 = 7k  3 1 C 5 7 5 = 5.7 = 5k  7 7 Ahora: 26k = 5200 ⇒ k = 200 ∴ las partes son: A = 14(200) = 2800 B = 7(200) = 1400 C = 5(200) = 1000

R S. Directo Y

Reparte 750 en forma DP a 9; 6 y 10. Partes DP A 9 ⇒ 9k + 6k + 10k = 750 B 6 25k = 750 750 k = 750 C 10 25

∴ las partes son:

k = 30

A = 9(30) = 720 B = 6(30) = 180 C = 10(30) = 300

Recuerda Observación: Si A es DP a B y C → A es DP con (B•C).

R S. Inverso Y

3.ER

Reparte 3000 en cantidades IP a 7; 2 y 4. Partes IP DP MCM (7; 2; 4) = 28 A 7 1 × 28 = 4k  7 3000 B 2 1 × 28 = 14k  2 C 4 1 × 28 = 7k  4

AÑO

Advertencia pre En los exámenes de admisión de la UNMSM, se utiliza con frecuencia el reparto directo simple con cantidades que se pueden simplificar. En cambio, en la UNI, se utiliza el compuesto con números fraccionarios. Ten mucho cuidado en su resolución.

13

ARITMÉTICA

4

REPARTO PROPORCIONAL

Trabajando en clase Integral 1. Si un padre reparte 40 caramelos entre sus tres hijos, proporcional a sus edades: 5; 7 y 8 años, ¿cuántos caramelos recibe cada uno?

9. Se decide repartir cierta cantidad de manera proporcional a 3!; 4! y 5! Si al menor le tocó S/. 60, ¿a cuánto asciende el monto repartido?

2. Reparte 4700 IP a los números 5; 7 y 1, y da como respuesta la mayor parte obtenida.

10. Una empresa paga S/.1200 a dos albañiles por construir un muro de 200 m 3. Si el primero construyó 120 m3 más que el otro, ¿cuánto dinero le corresponde al que trabajó menos?

3. Determina la menor parte obtenida, al repartir S/.1000 DP a los números 4000; 6000 y 10 000.

11. Si se reparte 242 en partes IP a los primeros tres números compuestos, ¿cuál es la mayor parte obtenida?

PUCP 4. Si un padre reparte S/.540 DP a la raíz cuadrada de la edad de sus tres hijos, ¿cuánto recibe el hijo menor si las edades son 12; 27 y 48 años, respectivamente?

UNI 12. En la empresa textil «la lana» se desea repartir S/.22 400 entre sus tres socios, de manera proporcional a la raíz cúbica de los años que llevan como socios, e IP al factorial de sus gastos. Si los tres socios estuvieron 16; 54 y 2 años y sus gastos fueron 3; 4 y 5 mil soles, respectivamente, ¿cuánto fue la ganancia que recibió el que tuvo mayor gasto?

Resolución: Total = S/.540 Primer hijo recibe = 12  = 2 3 Segundo hijo recibe = 27  = 3 3 Tercer hijo recibe = 48  = 4 3 2k + 3k + 4k = 540 k = 60 Hijo menor = 2k = 2 × 60 Hijo menor recibió S/.120

Resolución:

DP IP DP IP 3 Socio A → 16 3! = 2 2 1 × 3! 3 3 Socio B → 54 4! = 3 2 4 × 3! 3 3 Socio C → 2 5! = 1 2 4 × 5 × 3! Entonces reciben: A = 2k ; B = 3k  y C = 1k  4 20 1 A + B + C = 2k  + 3k  + k   = 22 400 4 20 1 56k  = 22 400 → k = 8000 1 Mayor gasto socio C: k   = 8000  = S/.400 20 20 3

5. Reparte 800 DP a 8 ; 18  y 50 , y da como respuesta la mayor parte obtenida. 6. Reparte 4500 IP a los números 1 ; 1  y 1 , y da como 3 7 5 respuesta la mayor parte obtenida. 7. El entrenador del club deportivo «Las Estrellas» decide repartir S/.350 entre los dos goleadores del equipo. Si estos anotaron 2 y 3 goles, respectivamente, ¿cuánto más recibió el que anotó más goles? UNMSM 8. Se decide repartir cierta cantidad de manera proporcional a 4!, 5! y 6! Si al menor le tocó S/.80, ¿a cuánto asciende el monto repartido?

13. En la empresa «El tornillo» se desea repartir S/.9300 entre sus tres socios, de manera proporcional a la raíz cuadrada de los años que llevan como socios, e IP al factorial de sus gastos. Si los tres socios estuvieron 16; 64 y 4 años y sus gastos fueron 2; 1 y 3 mil soles, respectivamente, ¿cuánto fue la ganancia que recibió el que tuvo mayor gasto?

Resolución: Se reparte DP, entonces: A = 4! K = 4! × 1K B = 5! K = 4! × 5K C = 6! K = 4! × 5 × 6K A = K; B = 5K y C = 30K Al menor le tocó K = 80 El total es 5 + 5K + 30K = 36K = 36 × 80 El total es S/.2880.

4

ARITMÉTICA

14. ¿Cuál es la parte intermedia que se obtiene al repartir S/.1452, de forma proporcional a los primeros 11 números pares?

14

3.ER

AÑO

5 Regla de compañía La regla de compañía tiene por objeto repartir entre varios socios los beneficios (ganancias) que han obtenido o las pérdidas que han sufrido en sus negocios. La regla de compañía es un caso particular p articular del reparto proporcional.

k = 18 500 → k = 3700 5 cada socio perdió: 3 • (3700) = S/.11 100 2 • (3700) = S/.7400

Los beneficios o las pérdidas deben repartirse proporcionalmente a los capitales de los socios y a los tiempos en que dichos capitales quedaron quedaron invertidos en la empresa.

3. Carmen, Óscar y César obtienen S/.4700 de utilidad luego de haber trabajado en una empresa que formaron aportando S/.2000, S/.4500 y S/.5000. Si permanecieron en el negocio 2 años, 4 años y «t» años, respectivamente, calcula «t» si la diferencia de las ganancias de Carmen y Óscar es S/.2800.

Ganancia o Pérdida  = Cte Capital Tiempo

Ejemplo ilustrativo

Resolución:

1. Flor y Pati inician un negocio con $2000 y $2500, respectivamente, respectivamente, permaneciendo 8 y 6 meses respectivamente, al cabo de los cuales se obtuvo una ganancia de $6200. Determina cuánto le corresponde a cada una de ellas. Resolución: C×T 16k 15k 31k = 6200 k = 200

7400

⇒ k = 2800  = 2800 → k = 200 18 – 4

 

* F = 16(200) = 3200 * P = 15(200) = 3000

Luego:

→ 22 + 5t = 37 ∴ t = 3

2. Kenya forma una empresa con cierto capital y tres meses más tarde acepta un socio que aporta el mismo capital. Si el negocio duró 9 meses y se produjo una pérdida por S/.18 500, ¿cuánto perdió cada uno?

Advertencia pre Los valores de los capitales y tiempos se pueden simplificar para agilizar el cálculo de la constante «k» de proporcionalidad

Resolución: 9 meses → 9k  3k  6 meses → 6 k  2k 5k 

AÑO

14

7400  = 200 → 7400  = 200 4 + 18 + 5t 22 + 5t

∴ Rpta.: $3200 y $3000

3.ER

5000 • t → 5t 4500 • 4 → 18t 2000 • 2 → 4

César Óscar Carmen

15

ARITMÉTICA

5

REGLA DE COMPAÑÍA

Trabajando en clase Integral

Angélica; y Javier, S/.800 más que la primera. Si la ganancia que produjo la empresa en el primer año fue de S/.180 000:

Enunciado (preguntas del 1 al 4) Una empresa es formada de la siguiente manera: Socio Ricardo Andrea Carlos Margarita

6. ¿Cuánto fue la ganancia de cada uno de los socios?

Capital S/.1500 S/.4000 S/.3000 S/.2500

7. ¿Cuál es la diferencia entre las ganancias de Angélica y Javier? UNMSM

Si la ganancia que produjo la empresa es de S/.22 000:

8. Demetrio inicia un negocio, a los 4 meses acepta como socio a José y 3 meses después a Roger. Si la empresa, durante el primer año, produjo una ganancia de S/.25 000, ¿cuánto más recibió Demetrio con respecto a Roger?

1. ¿Cuánto fue la ganancia de Ricardo? 2. ¿Cuánto más ganó Margarita que Carlos? 3. ¿Cuánto ganaron los dos socios que aportaron mayor capital?

Resolución: Demetrio José Roger

PUCP 4. Leonor y Mayra forman una boutique; aportando S/.2000 y S/.3500, respectivamente. Si la diferencia de sus ganancias fue de S/.9300 en los tres primeros meses, ¿cuál fue la ganancia total de la empresa en este tiempo?

12k + 8k + 5k = 25 000 k = 1000 Demetrio ganó = 12k = 12 × 1000 = 12 000 Roger ganó = 5k = 5 × 1000 = 5000 12 000 – 5000 = S/.7000

Resolución: Leonor Mayra

Capital 2000 3500

Le corresponde corresponde 4k  7k 

9. Pamela inicia un negocio, a los 3 meses acepta como socia a Karen y 3 meses después a Susana. Si la empresa, durante el primero año, produjo una ganancia de S/.92 340, ¿cuánto más recibió Pamela con respecto a Susana?

7k – 4k = 9300 k = 3100 Ganancia total = 7k + 4k = 11k  ∴ 11 × 3100 = S/.34 100

Enunciado (preguntas 10 y 11) Marcos, Karla y Berenice forman una empresa. Se sabe que lo que aportó Marco es a lo que aportó Karla como 3 es a 5, y lo que aportó Karla es a lo que aportó Berenice como 10 es a 7, y que después de 2 años se reparten una ganancia de S/.92 000.

5. Jaime y Julián abren una tienda deportiva, aportando S/.4200 y S/.5600, respectivamente. Si la diferencia de sus ganancias en el primer año fue de S/.12 000, ¿cuál fue la ganancia que produjo la empresa en ese año?

10. ¿Quién obtuvo la mayor ganancia y cuánto fue?

Enunciado (preguntas 6 y 7) Tres socios forman una empresa aportando diferentes capitales: Angélica, S/.1200; Perla, S/.400 más que

5

ARITMÉTICA

Tiempo Le corresponde 12 meses 12k  12 – 4 = 8 meses 8k 8 – 3 = 5 meses 5k 

11. ¿Cuál es la diferencia entre las ganancias de Marcos y Berenice? B erenice?

16

3.ER

AÑO

REGLA DE COMPAÑÍA

UNI

 

Una empresa se forma de la siguiente manera:

Socio Ándres Sandra Yanina Sebastián

Capital S/.2000 S/.3500 S/.1500 S/.4000

Tiempo 4 meses 6 meses 8 meses 2 meses

Una empresa se forma de la siguiente manera:

Socio Marina Josefina Anthony Gustavo

12. Si Yanina ganó S/.2560 más que Andrés, ¿cuánto ganaron Sandra y Sebastián?

3.ER

AÑO

Capital S/.3000 S/.2200 S/.800 S/.600

Tiempo 1 mes 3 meses 5 meses 9 meses

13. Si Gustavo ganó S/.14 400 más que Marina, ¿cuánto ganaron Josefina y Anthony?

Resolución: Andrés Sandra Yanina Sebastián

12k – 8k = 2560 k = 640 Sandra = 21k = 21 × 640 = S/.13 440 Sebastián Sebasti án = 8k = 8 × 640 = S/.5120

Le corresponde 2000 × 4 = 8000 → 8k  3500 × 6 = 21000 → 21k  1500 × 8 = 12000 → 12k  4000 × 2 = 8000 → 8k 

14. Tres albañiles cobraron S/.10 656. Si el primero trabajó 5 días; el segundo, 6 días; y el último; 8 días, y cobraron sueldos de S/.56, S/.48 y S/.40 diarios, respectivamente; ¿cuánto ganó el segundo albañil?

17

ARITMÉTICA

5

6 Regla de mezcla DEFINICIÓN

GRADO ALCOHÓLI ALCOHÓLICO CO

Es la unión de dos o más sustancias, susceptibles de ser unidas, donde cada uno de sus componentes conserva sus propiedades propiedades químicas.

También se denomina pureza o concentración alcohólica. Es el porcentaje de alcohol puro que contiene cierta mezcla. Se calcula de la siguiente manera:

1. Precio (P) –

G = Vol(OH puro)  × 100% Vol total

Es el costo por cada unidad de mercadería.

2. Valor (v) Es el costo por el total de la mercadería.

Ejemplo:

3. Precio medio (Pm)

Es el precio intermedio obtenido en una mezcla. Recuerda:

6 litros de OH – 4 litros de H 2O

Precio menor < precio medio < precio preci o mayor G= Pm =

Valor total de la mezcla Total de unidades mezcladas

G = 60%  o G = 60°

Esquema: Se mezclan «n» ingredientes, ingredientes, cuyos precios son P1, P2, P3, ..., Pn y de los cuales se toman C 1, C2, C3, ..., Cn unidades respectivamente; se quiere determinar el precio medio (P m) o precio de mezcla. P1  + C1 Pm =

 + C2

Pn

P3

P2

 + ... C3

Pm

Las unidades en que se expresa el grado o concentración es el tanto por ciento (%) o el grado alcohólico (°).

Z

También se puede establecer el grado gr ado de una mezcla o la concentración de una mezcla (G m o Cm): G1 G2 G3 G1 G1  + L1

Cn

 + L2

 + ...... + L3

 = Ln

Donde:

(P1.C1) + (P2.C2) + (P3.C3) + ... + (P n.Cn) C1 + C2 + C3 + ... + C n

Gm =

(G1•L1) + (G2•L2) + ... + (G n•Ln) L1 + L2 + L3 + ... + L n

Por convención:

Es aquella en la que un componente participante es el alcohol, y de la cual se puede establecer el grado alcohólico (pureza o concentración que esta tiene). ARITMÉTICA

Z

 =

MEZCLA ALCOHÓLICA

6

6  × 100% (6 + 4)

Grado: (H2O) = 0° Precio: (H2O) = S/.0

Recuerda: Precio medio = precio de costo

18

3.ER

AÑO

REGLA DE MEZCLA

Trabajando en clase Integral

el ingreso total por la venta del vino. Resolución: G°medio = k(60) + k(48) + k(42) + 91(0)  = 36

1. Si se mezclan 20 L, 16 L y 14 L de alcohol de 40°, 25° y 50°, respectivamente, determina el grado de la mezcla.

k + k + k + 91

k = 78 Litros a vender: 3k + 91 = 3 × 78 + 91 = 325 1/2 litro cuesta S/. → 1 litro 6 325 × 6 = S/.1950 El ingreso total será de S/.1950

2. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar a 60 litros de alcohol de 40° para obtener alcohol de 30°? 3. Se mezclan 3 tipos de quinua, cuyos precios están en la razón de 4; 5 y 7, y en la proporción de 3; 2 y 4. Determina el precio de la mezcla si el mayor precio es S/.14.

9. Se mezclan tres tipos de pisco de 50°, 23° y 17° en cantidades iguales. Si a esta mezcla se le agregan 75 litros de agua, se obtiene pisco de 15°, que se  vende a S/.7 la botella de medio litro. Determina el ingreso total por la venta del vino.

PUCP 4. Si se hace una mezcla de 60 litros de alcohol de 40° con 40 litros de 60°, determina el grado de pureza de la mezcla resultante.

10. Si se mezclan dos tipos de café de 40 y 10 kg cuyos precios son S/.2 y S/. 4, respectivamente. ¿A qué precio se debe vender el kilo si se quiere ganar el 10%?

Resolución: Recuerda que calcular el grado medio de una mezcla es como sacar el promedio ponderado. G°  = 60 × 40 + 40 × 60  = 48°

11. Si la mezcla de A litros de alcohol de 60°, 2A litros de alcohol de 45° y 360 litros de agua, dan como resultado un alcohol de 40°, calcula A.

medio

UNI

60 + 40

12. Se funden 450 g de una aleación con 50 g de oro puro, si se observa que la ley del oro se incrementa 0,02 con respecto de la ley inicial, ¿cuál es la ley de aleación inicial?

5. Si se hace una mezcla de 20 litros de alcohol de 30° con 80 litros de 70°, determina el grado de pureza de la mezcla resultante. 6. Se mezclan tres tipos pisco, que cuestan 120, 80 y 60 soles por litro. Si las cantidades que se emplearon en las dos últimas son como 3 es a 5 y el precio medio es S/. 100, ¿cuánto se uso del primero?

Resolución: En una aleación, la ley del oro es 1 Se calcula de la ley media y obtenemos: L + 0,02 = L(450) + 1(50)

450 + 50

7. Se tiene una mezcla de 12 y 20 litros de vino de S/.5 y S/.9, respectivamente. Si a esta mezcla se le agrega 8 litros de vino para obtener una mezcla cuyo costo es de S/.7,02, ¿cuál fue el costo de la tercera clase de vino?

L = 0,8 La ley de aleación inicial es 0,800

13. Se funden 350 g de una aleación con 80 g de oro puro. puro. Si se observa obser va que la ley del oro se incrementa 0,05 con respecto de la ley inicial, ¿cuál es la ley de la aleación inicial?

UNMSM 8. Se mezclan tres tipos de pisco de 60°, 48° y 42° en cantidades iguales. Si a esta mezcla se le agregan 91 litros de agua, se obtiene pisco de 36°, que se  vende a S/.3 la botella de medio litro. Determina

3.ER

AÑO

14. Un comerciante mezcla dos clases de avena, que cuestan S/.18 el kg y S/.24 el kg. Si vende 60 kg de esta mezcla a S/.1380, ganando el 15%, ¿qué cantidad de avena interviene en cada clase?

19

ARITMÉTICA

6

7 Porcentaje I INTRODUCCIÓN

a%

El tema presentado tiene como nombre principal «Regla del tanto por ciento», pero por tratarse del caso más usado, estudiaremos la regla del «Tanto por ciento».

A 100

Cuando B es igual a 100, en A (N) B Z Se lee: A por ciento de N  Z Se denota por A% de N Z Se escribe A  × N 100 Es decir, el tanto por ciento es el número de centésimas partes de una cantidad cualquiera. Así: 100 partes

es

r

x

b

=

r

Operaciones con porcentajes En este tipo de aplicaciones es importante recordar dos propiedades:

Propiedad 1 Toda cantidad representa el 100% de sí misma. Ejemplos: Z A < > 100% A Z x2 < > 100% x 2 y  < > 100% y  Z 3 3 Z (a + b) < >100%(a + b) Propiedad 2 Se puede efectuar operaciones de adición y sustracción de porcentajes con respecto a una misma cantidad.

1 parte <> 1%

Ejemplos: Z 30% x + 80% x < > 110% x Z 70% y – 20% y < > 50% y  Z 12% a + a – 50% a < > 62% a Z 40% b + 2b – 70% b < > 170% b

Luego, tenemos: 1 parte < > 1% = 1 100 2 partes < > 2% = 2 100 3 partes < > 3% = 3 100

Descuentos sucesivos Para dos descuentos de a% y b%:

100 partes < > 100% = 100 100 En general: A% = A 100

D(único) = (a + b) – a×b 100 Ejemplo: Descuento único de 20% y 30% D(único) = (20 + 30) – 20•30 100 D(único) = 50 – 6 = 44 D(único) = 44%

PORCENTAJE Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad. ARITMÉTICA

b

tanto cantidad cantidad por total total ciento producto Igualdad

Tanto por ciento

7

de

20

3.ER

AÑO

PORCENTAJE I

Aumentos sucesivos

Ejemplo: Aumento único de 20% y 30% A(único) = (20 + 30) + 20•30 100 A(único) = 50 + 6 = 56 A(único) = 56%

Para dos aumentos sucesivos de a% y b%: A(único) = (a + b) – a×b 100

Trabajando en clase Integral 1. Calcular el 8 por 5, del 20% del 30% de 18 000.

Hombres = 3600 – 900 = 2700 Mujeres deben ser: 25% + 15% Se van 40% «x» hombres ⇒ 40 (3600 – x) = 900 100 x = 1350 ∴ se retiran 1350 hombres.

2. ¿Qué porcentaje de 1200 es 132? 3. A una fiesta asisten 50 alumnos, de los cuales 12 son  varones. ¿Qué porcentaje del total son mujeres? PUCP 4. Un padre reparte S/.1125 entre sus hijos. Si el mayor hubiera recibido 20% menos y el menor 30% menos, tendrían igual cantidad de dinero. Calcula cuánto tiene el mayor.

9. En una empresa trabajan 4200 personas. Si el 30% son mujeres, ¿cuántos varones deben retirarse para que el porcentaje de las mujeres aumente en 20%?

PUCP 2013-I 

Resolución:

11. Si el sueldo de Rosmery fuese aumentado en 8%, alcanzaría para comprar 24 polos. ¿Cuántos polos podría comprar si el aumento fuese del 35%? UNI 12. En la figura mostrada, determina el valor de W, si la  variación porcentual de M respecto a N es 40%, W = x – y. x

Recibió Recibiría Mayor M M – 20%M = 80%M   Menor m m – 30%m = 70%m 80%M = 70%m M  = 7n m 8n 7n + 8n = 1125 n = 75 ∴ el mayor = 7 × 75 = 252

y = 10 800

5. Un padre reparte S/.896 entre sus hijos. Si el mayor hubiera recibido 25% menos y el menor 35% menos, tendrían igual cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene el mayor?

N

7. Si «a» es igual al 10% del 25% del 30% del 40% de 7000 y «b» es el 80% del 3 por 8 del 5 por 1000 de 12 000, calcula el «a%» del «b%» de 5000.

UNI 2013-II 

13. Determina el valor de A, si la variación porcentual de P respecto a Q es de 35%, A = R – S R 

UNMSM 8. En una empresa trabajan 3600 personas. Si el 25% son mujeres, ¿cuántos hombres deben retirarse para que el porcentaje de mujeres aumente en 15%?

S = 13 000

USMSM 2013-II 

Resolución: Mujeres = 25  × 3600 = 900 100 AÑO

M

Resolución: N – M = 40% N x – 10 800 = 40% x 60 x = 10 800 ⇒ x = 18 000 100 ∴ se pide W = 18 000 – 10 800 = 7200

6. En una reunión, el 32% de los asistentes son hombres. Si el número de mujeres es 102, ¿cuántas personas, en total, asistieron a la reunión?

3.ER

10. Si en un triángulo, la base se reduce en 10%, mientras que su altura aumenta en 10%, ¿en cuánto varía su área?

21

Q P 14. Orlando gana en una apuesta el 20% y luego pierde el 20% de la nueva cantidad. Si se retira con S/.480, ¿con cuánto inició el juego Orlando? ARITMÉTICA

7

8 Repaso 1. Divide 24 en cantidades DP a 80; 240 y 160. Da como respuesta el producto de las partes obtenidas. a) 384 c) 396 e) 350 b) 360 d) 412

a) 3 b) 6

c) 4 d) 7

e) 8

8. Juan puede hacer un trabajo en 9 días. Si Carlos es un 50% más eficiente que Juan, ¿en cuánto tiempo haría Carlos el mismo trabajo? a) 5 días c) 7 días e) 9 días b) 6 días d) 8 días

2. Reparte 3200 IP a 1/80; 1/30 y 1/50, e indica la menor parte. a) 1800 c) 600 e) 1200 b) 1500 d) 1000

9. Para un negocio que duró 20 meses, se asociaron tres amigas, Ana aportó S/.400 y un año después S/.300 más; Betty, S/.1500 al principio y al final del año retiró la tercera parte de su capital; y Carmen, S/.2000 al principio, pero retiró S/.800 después de 10 meses y 4 meses más tarde devolvió S/.400. Si la empresa tuvo una utilidad de S/.21 240, ¿cuánto de ganancia le corresponde a Betty? a) S/.8260 c) S/.4160 e) S/.7800 b) S/.8400 d) S/.5

3. El abuelo House decidió dejar una herencia de S/.68 000, para que se repartieran sus nietos de manera proporcional a sus edades cuando el menor tenga 12 años. Si se sabe que el mayor nació 8 años antes que el menor y el otro hermano nació 2 años después que el mayor, ¿cuánto le tocó al menor si el reparto se realizó como había estipulado el abuelo en su testamento? a) S/.16 900 c) S/.16 800 e) S/. 16 320 b) S/.17 200 d) S/.18 100 4. Tres socios aportaron $451, $253 y $187, respecti vamente, para la formación de una empresa. Si al cabo de cierto tiempo se obtiene un beneficio de $162, ¿cuánto ganó el que aportó menor capital? a) $82 c) $46 e) $81 b) $34 d) $100

10. Una bomba puede llenar un tanque en 10 h 25 min; cuando se ha llenado la quinta parte del tanque se malogra la bomba y reduce su rendimiento en su tercera parte. ¿En qué tiempo se lleno el tanque? a) 12 h 30 min c) 11 h 45 min e) 1 h 45 min b) 2 h 5 min d) 14 h 35 min

5. Reparte 6300 DP a 12 ; 27 y 48 . Indica la suma de la parte mayor y la parte menor. a) 4200 c) 5600 e) 9 b) 4800 d) 7

11. Un litro de mezcla, formado por 30% de agua y 70% de alcohol, pesa 860 g. Si el litro de agua pesa 1 kg, calcula el peso de un litro de mezcla que 70% de agua y 30% de alcohol. a) 920 c) 930 e) 945 b) 940 d) 938

6. Si se tiene una mezcla de 45 L de alcohol al 75%, ¿cuántos litros de agua contiene la mezcla? a) 11,25 L c) 12,36 L e) 9,45 L b) 10,25 L d) 13,65 L

12. Setecientos hombres tienen víveres para 80 días; pero al finalizar el día 23 se retiran 320 hombres. ¿Cuántos días más durarán los víveres? a) 28 c) 38 e) 20 b) 58 d) 48

7. En un circo existen 24 leones, para los cuales se tiene ración para 21 días. ¿Cuántos leones tendrá que vender el circo si quiere que las raciones duren 28 días?

Bibliografía 1. 2. 3. 4.

CÓRDOVA ZAMORA, Manuel: Estadística descriptiva e inferencial. LIMA: MOSHERA, 2008 HERNÁNDEZ BAUTISTA, Hernán:  Aritmética. LIMA: ZAFIRO: 2005 PACHECO AZAÑA, Carlos: Aritmética. LIMA: SAN MARCOS, 2003 EXÁMENES DE ADMISIÓN, desarrollados: UNI-UNMSM. LIMA: SAN MARCOS, 2008

8

ARITMÉTICA

22

3.ER

AÑO

Presentación El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas. Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

ÍNDICE

3.er Año

ARITMÉTICA .................................................

5

●

Móviles ............................................................... 84

●

Porcentajes II (aplicaciones comerciales) .......

7

●

Intervalos de tiempo, longitudes y saludos .... 86

●

Regla de interés ..................................................

9

●

Cronometría ....................................................... 88

●

Regla de descuento ............................................ 12

●

Repaso ................................................................. 91

●

Números racionales I......................................... 15

●

Números racionales II ....................................... 17

●

Conjuntos I ......................................................... 19

●

Estática I ............................................................. 95

●

Conjuntos II ....................................................... 22

●

Estática II ........................................................... 100

●

Repaso ................................................................ 25

●

Dinámica lineal .................................................. 104

●

Dinámica circunferencial ................................. 107

●

Trabajo mecánico .............................................. 112

●

Energía mecánica .............................................. 116

●

Conservación de la energía mecánica ............ 119

●

Repaso ................................................................. 122

ÁLGEBRA ........................................................ 27 ●

Inecuación de primer grado ............................ 29

●

Inecuación de segundo grado ......................... 32

●

Relaciones .......................................................... 35

●

Funciones I ......................................................... 38

●

Funciones II ........................................................ 41

●

Función lineal I ................................................. 43

●

Función lineal II ................................................ 45

●

FÍSICA .............................................................. 93

QUÍMICA......................................................... 125 ●

Función sales ..................................................... 127

●

Unidades químicas de masa I (U.Q.M.) ......... 131

●

Unidades químicas de masa II (U.Q.M.) ...... 135

●

Estado gaseoso I ................................................. 137

●

Estado gaseoso II .............................................. 141

●

Reacciones químicas ......................................... 144

●

Reacciones redox................................................ 148

●

Repaso ................................................................. 151

Repaso ................................................................. 47

GEOMETRÍA ................................................... 49 ●

Relaciones métricas en la circunferencia ........ 51

●

Área de regiones triangulares .......................... 53

●

Área de regiones cuadrangulares .................... 56

●

Área de regiones circulares............................... 59

●

Relación de áreas................................................ 62

●

Rectas y planos ................................................... 65

●

Poliedros regulares ............................................ 68

●

Repaso ................................................................. 71

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO .............. 73

BIOLOGÍA ....................................................... 153 ●

Histología vegetal I ............................................ 155

●

Histología vegetal II .......................................... 160

●

Organografía vegetal ........................................ 164

●

La flor .................................................................. 169

●

Conteo de figuras .............................................. 75

●

El fruto ................................................................ 173

●

Problemas sobre ecuaciones I .......................... 78

●

La semilla ........................................................... 178

●

Problemas sobre ecuaciones II ........................ 80

●

Botánica económica .......................................... 181

●

Problemas sobre edades ................................... 82

●

Repaso ................................................................. 187

 Aritmética

1

Porcentajes II (aplicaciones comerciales) A G

Pc

PV

D

Pf 

P v  = Pc + G

Pc + A = Pf 

P v  = Pc – P

Pf  = Pc + G + D

P v  = Pf  – D

Precio de costo o precio de compra: P c Precio de venta: P v  Precio fijado o precio de venta: «P f » o «PL» Ganancia: G Descuento: D Incremento o aumento: «I» o «A» Pérdida: P

Importante Z

Z

La ganancia y la pérdida siempre es un porcentaje del precio de costo, a menos que el problema indique lo contrario. El descuento siempre es un porcentaje del precio fi jado, a menos que el problema indique lo contrario.

Trabajando en clase Integral

Precio de venta = 1/3 Ganancia = S/.10.00 Cantidad vendida «n» Pv = Pc + G n  = 2n  + 10 3 7 n  – 2n  = 10 3 7 n = 210

1. Determina el precio de venta si: Pc = S/.2000 G = 25% 2. Determina el precio de venta si: Pc = S/.3000 P = 20% 3. Determina qué % se ha ganado si: Pc = S/.8000 Pv = S/.10 000

∴ debe vender 210 chocolates. 5. Un vendedor ambulante compra 12 chocolates a S/.1,60 para venderlos 5 a S/.1.00. ¿Cuántos chocolates debe vender para ganar S/.8.00?

PUCP

6. Juliana adquiere un equipo de sonido con un descuento del 32%. ¿Cuál es el precio del equipo sin el descuento si pagó S/.510?

4. Un vendedor ambulante compra 7 chocolates por S/.2.00 para venderlos a 3 chocolates por S/.1.00. ¿Cuántos chocolates debe vender para ganar S/.10.00? PUCP 2013-II Resolución: Precio de costo: 2/7

3.ER

AÑO

7. Si se vendió un televisor en S/.1800, se ganó el 35% del precio de venta. ¿Cuál fue el precio de costo?

7

ARITMÉTICA

1

PORCENTAJES II (APLICACIONES COMERCIALES)

UNMSM

b) En la tienda «y» se hacen descuentos sucesi vos del 10% y luego del 40%. El dueño dese vender el producto en ambas tiendas al mayor precio. Determina la tienda en la que se debe incrementar el precio y en cuánto. Dar la respuesta aproximada. UNI 2013-II Resolución: Tienda «x» se calcula el descuento único. DU = (15 + 15) – 15 × 15 100 DU = 27,75 DU = (27,75 + 20) – 27,75× 20 100 DU = 42,2% PV = N – 42,2%N = 57,8%N Tienda «y» se calcula el descuento único DV = (10 + 40) – 10 × 40 100 DV = 46% PV = N – 46%N = 54%N PFINAL(x) = PFINAL(y) Entonces el precio de la tienda «y» debe incrementarse en su n%. 54% N + n%(54% N) = 57,8% N (100 + n)54 = 57,8 n = 7,04

8. Un comerciante compra cierto número de cuadernos por S/.68. Si los vende a S/.4.80 la unidad, pierde; y si los vende a S/.5.00 la unidad, gana. ¿Cuánto ganó si la mitad lo vendió a S/.6.20 y la otra a S/.6.80? UNMSM 2013-II Resolución La cantidad de cuadernos debe ser entero y par. Sea el número de cuadernos «2n». 4,80 < 68  < 5,00 2n 6,8 < n < 7,08 n=7 Total de cuadernos es 14. Pv = Pc + G 7(6,20) + 7(6,80) = 68 + G 91 = 68 + G G = 23 ∴ ganó 23 soles 9. Un comerciante compra cierto número de cuadernos por S/.50. Si los vende a S/.6,20 la unidad, pierde; y si los vende a S/.6,40 la unidad, gana. ¿Cuánto ganó si la mitad lo vendió a S/.7,20 y la otra a S/.7,55? 10. Se vende un artefacto en S/.2700 ganando 4/5 del precio de costo. Calcula el precio de costo.

13. Un producto se vende al mismo precio en dos tiendas. a) En la tienda «x» se hacen descuentos sucesi vos; primero, del 20% y, finalmente, del 30%. b) En la tienda «y» se hacen descuentos sucesi vos del 30% y luego del 10%. El dueño desea vender el producto en ambas tiendas al mayor precio. Determina la tienda en la que se debe incrementar el precio y en cuánto. Dar la respuesta aproximada.

11. Un comerciante vendió un artículo en S/.272, ganando el 20% del costo más el 40% del precio de  venta. ¿Cuál es el precio de costo del artículo? UNI 12. Un producto se vende al mismo precio en dos tiendas. a) En la tienda «x» se hacen descuentos sucesi vos, primero, del 15%, luego del 15% y, finalmente, del 20%.

1

ARITMÉTICA

14. En una tienda, se hace un descuento del 35% al precio fijado y aun así se gana el 20% del costo. ¿En qué tanto por ciento se incrementa el costo del artículo al momento de fijar los precios?

8

3.ER

AÑO

2 Regla de interés INTERÉS Es el pago que se hace por el préstamo de una cantidad de dinero, bajo ciertas condiciones comerciales. En esta operación participan los siguientes elementos:

Para el tiempo en meses →

I = C•r•t 1200

1. Capital (C)

Para el tiempo en días →

I = C•r•t 36 000

Es la cantidad de dinero que se presta, impone, deposita o coloca para iniciar la operación comercial.

Observación 1:

2. Tasa de interés (r)

El tiempo usado en la regla de interés debe ser comercial, es decir:

Es el tanto por ciento al que se impone el capital, es directamente proporcional a la ganancia; es decir, a más tasa, más ganancia.

Z

3. Tiempo (t)

Z

Es el lapso que dura la operación comercial. Se da en años, meses o días.

1 mes equivale a 30 días. 1 año equivale a 360 días.

Observación 2: La tasa de interés o de imposición debe ser expresado en forma anual, de no estar indicado de esta forma, se procederá a su conversión:

4. Interés (I) Es la ganancia neta o líquida obtenida en la operación comercial.

5. Monto (M)

Z

Es la ganancia total o bruta; se obtiene al sumar el capital y el interés.

Z Z Z Z

Si es mensual, se multiplia por 12. Si es bimestral, se multiplica por 6. Si es trimestral, se multiplica por 4. Si es cuarimestral, se multiplica por 3. Si es semestral, se multiplica por 2.

Advertencia pre No cometas el error de aplicar los datos si antes no has expresado la tasa en años. No debes confundir el monto con el capital. M>C M =C + I

FÓRMULAS DE INTERÉS Para el tiempo en años →

3.ER

AÑO

I = C•r•t 100

9

ARITMÉTICA

2

REGLA DE INTERÉS

Trabajando en clase Integral

capitales son de S/.3200 y S/.800, ¿cuál es la razón entre el menor y el mayor capital? UNMSM 2012-II

1. Una persona deposita S/.4000 al 20% durante 3 meses, en una financiera. ¿Cuánto fue el interés generado?

Resolución: C1 + C2 = 60 000 r1 + r2 = 12%

2. Calcula el beneficio que se obtiene al colocar S/.2000 al 5% trimestral durante 6 meses.

I1 =

3. ¿Cuál es el monto obtenido al prestar S/.5000 al 15% durante 12 meses?

C2r2  = 800 100 r1 = 320 000  ...1 C1 I2 =

PUCP 4. Se ha colocado 7/11 de un capital al 7% y el resto al 5%. Si al cabo de un año el capital más el interés es de 23 380 soles, entonces el capital es: PUCP 2012-II

80 000  ...2 C2 Sumamos 1 y 2 r2 =

3 320 000  + 80 000  = 12 C1 C2 100 25 320 000  + 80 000  = 3   C1 C2 25

Resolución: Capital = 11k  I1 + I2 + C = 23 380 7k.7.1  + 4k.5.1  + 11k = 23 380 100 100

5. Se ha colocado 3/7 de un capital al 5% y el resto, al 3%. Si al cabo de un año el capital más el interés es de S/.1454, entonces el capital es:

9. Dos capitales, cuya suma es S/.20 000, fueron prestados a diferentes tasas de interés anual, que sumadas, dan 13%. Si los intereses anuales producidos por los capitales son de S/.750 y S/.400, ¿cuál es la razón entre el menor y el mayor capital?

6. Calcula qué suma se debe imponer al 20% durante un año para generar un interés de S/.2400. 7. Determina la tasa de imposición trimestral a un depósito de S/.8000 para que en 4 años se obtenga un interés de S/.6400.

10. ¿Durante cuánto tiempo hay que depositar un capital al 5% mensual para que se triplique? 11. Paola tiene S/.2000 pero quiere comprarse un televisor plasma para ver el mundial cuyo costo es de S/.3500. ¿A qué tasa de interés bimestral deberá depositar su dinero para que después de 5 meses pueda comprarse el televisor?

UNMSM 8. Dos capitales, cuya suma es S/.60 000, fueron prestados a diferentes tasas de interés anual, que sumadas, dan 12%. Si los intereses anuales producidos por los ARITMÉTICA

...(a)

C1 + C2 = 60 000 ...(b) De «a» y «b» C1 = 20 000 C2 = 40 000 Se pide razón entre el menor y el mayor. 20 000  = 1 40 000 2

69k  + 11k = 23 380 100 1169k = 23 380 × 100 k = 2000 ∴ se pide el capital (11)(2000) = S/.22 000

2

C1r1  = 3200... 100

10

3.ER

AÑO

REGLA DE INTERÉS

UNI

3(C – 500)  > 1  C – 1 20 100 C > 1300 El beneficio será mayor cuando se deposite más de S/.1300 ∴ solo le conviene a tres de los capitales.

12. En la cuenta de ahorros del banco «A» se remuneran los depósitos con 15% de interés anual, libre de mantenimiento, pero no se remuneran los primeros S/.500 de la cuenta. El banco «B» paga 1% de interés y cobra S/.1 por mantenimiento en el mismo periodo. Si Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo y Dernaldo tienen, respectivamente, S/.1250; S/.2130; S/.4320 y S/.7450, ¿cuántos de ellos deberían depositar su dinero en el banco «A» para obtener mayor beneficio en un año? UNI 2011-I Resolución: Banco «A» 3 (C – 500).15 IA = 100 20

13. En la cuenta de ahorros del banco «M» se remuneran los depósitos con 20% de interés anual, libre de mantenimiento, pero no se remuneran los primeros S/.400 de la cuenta. El banco «N» paga 2% de interés y cobra S/.2 por mantenimiento en el mismo periodo. Si Beatriz, Carmen y Pilar tienen, respectivamente, S/.2000 y S/.2150 y S/.2750, ¿cuántas de ellas deberían depositar su dinero en el banco «M» para obtener mayor beneficio en un año? 14. Si Pierina deposita su capital durante 3 meses, se convertiría en S/.2360, pero si lo depositara durante 8 meses, se convertiría en S/.2960. ¿Cuál es la tasa de interés anual?

IB = 1%C – 1 IA > IB

3.ER

AÑO

11

ARITMÉTICA

2

3 Regla de descuento DESCUENTO

Donde

Es la disminución que se hace al importe de un documento de crédito a través de una determinada tasa de interés por el tiempo que falta, desde la fecha en que se hace efectiva hasta su fecha de vencimiento.

R  Mismas unidades

ELEMENTOS 1. Documento de crédito

 

DR = VaR•t•R  1200

2.

t: meses R% anual

Es todo documento con valor legal mediante el cual una persona llamada deudor (aceptante) se compromete a pagar una suma de dinero a otra persona llamada acreedor (girador o librador) Ejemplos: Letra de cambio, pagaré, facturas, etc.

DR = VaR•t•R  36 000

3.

t: días R% anual

2. Fecha de vencimiento (Fv) La fecha en la cual se debe cancelar la letra de cambio se llama fecha de vencimiento.

2. Descuento comercial (DC) Es el interés que producirá el valor nominal, también se le conoce como descuento externo o descuento abusivo.

3. Valor nominal (Vn) Es la cantidad que figura escrita en la letra de cambio.

Vac

DC

4. Valor actual (Va) También llamado valor efectivo, es la cantidad que se debe pagar por hacer efectiva dicha letra antes de su fecha de vencimiento.

t  

CLASES DE DESCUENTO 1. Descuento racional (DR) Es el interés que producirá el valor actual, también se le conoce como descuento interno o descuento matemático. VaR 

DR  t

 

2.

Vn

3

3.

DR = VaR•t•R  100 ARITMÉTICA

FV Vac = Vn – DC

DC = Vn•t•R  100 Donde t y R en las mismas unidades

t: años: R% anual t: meses: R% mensual t: días: R% diario

DC = Vn•t•R  1200 t: meses R% anual

FV VaR = Vn – DR 

Fórmulas: 1.

Vn

Fórmulas: 1.

Matemáticamente: Va = Vn – D

 

t: años: R% anual t: meses: R% mensual t: días: R% diario

DC = Vn•t•R  36 000 t: días

12

3.ER

AÑO

REGLA DE DESCUENTO

1. Vn > Va ⇒ DC > DR  2. Vac < VaR  3. VaR – Vac = DC – DR 

R% anual

¿Sabías que...? Z Z

Al descuento comercial también lo conocen como descuento abusivo o descuento exterior. Al descuento racional también lo denominan descuento interno o descuento matemático.

Observaciones: Para una misma letra y a una tasa de descuento fijada (R%)

4.

DC – DR = DR•t•R  100

5.

Vn = DC•DR  DC – DR 

«importante»

6.

DR = Vn•t•R  100 + r•R 

«DR en función del Vn»

Trabajando en clase Integral

5. ¿Cuál es el descuento que sufre un pagaré de S/.7400 al 4% bimestral descontado 2 años y 3 meses antes de su vencimiento?

1. Calcula el descuento comercial, si Vn = S/.275 T = 5 años r% = 4%

6. Cuál es el valor actual y el descuento abusivo de un pagaré de S/.600, si se negocia al 10%, 2 meses antes de su vencimiento. Da como respuesta la diferencia de estos valores.

2. Calcula el descuento racional, si VA = S/.3000 T = 3 años r% = 24%

7. Calcula el valor de una letra que descontada al 13%, 5 meses antes de su vencimiento, sufre una rebaja de S/.104.

3. Si Vn = S/.237 500 t = 4 meses r% = 6% anual ¿Calcula el valor actual?

UNMSM 8. Calcula el valor de un pagaré que descontado comercialmente a una tasa del 7%, 5 meses antes de su  vencimiento, se obtiene un valor efectivo de S/.1950.

PUCP 4. ¿Cuál es el descuento que sufre un pagaré de S/.5800 al 3% bimestral descontando 3 años y 6 meses antes de su vencimiento?

 

3.ER

Resolución: Vn = x r% = 7% Tiempo = 5 meses Va = 1950 Dc = Vn × r × t  = Vn – Va 1200

Resolución: Primero se realizan los cambios de unidades r% = 3% bimestral <> 18% anual 3 21 5800 × 18 × 42 Dc= 1200 2 1 ∴ Dc = S/.3654

AÑO

x • 7 • 5  = x – 1950 1200

∴ x = S/.3000

13

ARITMÉTICA

3

REGLA DE DESCUENTO

9. Calcula el valor de un pagaré por el cual se recibe S/.2260, descontado comercialmente a una tasa de 10% anual, 7 meses antes de su vencimiento.

40 Dc2 = 48 000 × 7 × 5  = 1400 1200 1

10. El valor actual de una letra es de S/.3999 y la suma del valor nominal y el descuento, S/.5301. Halla el  valor nominal.

Dc1 = 48 000.7.8  = 2240 1200 Bono = 0,2%(48 000) = 9% Va1 = 48 000 – 2240 = 45 760 Va2 = 48 000 – 1400 – 96 = 46 504 Va2 – Va1 = 46 504 – 45 760 ∴ S/.744

11. El descuento abusivo de una letra es a su descuento racional como 7 es a 6. Si la suma de ambos valores es de S/.260, ¿calcula el valor nominal de dicha letra? UNI 12. Un empresario firma una letra por S/.48 000 a ser pagada en 8 meses al 7% del descuento anual. Luego de transcurridos 3 meses, decide cancelar la letra, pues debe  viajar para radicar en Australia. Calcula la diferencia entre la cantidad que recibió y canceló el empresario, en nuevos soles, si se sabe que el acreedor cede un bono del 0,2% sobre el valor nominal si se cancela al final. UNI 2011-I Resolución: Se realiza el siguiente esquema práctico: 8 meses 3 meses

13. Un empresario firma una letra por S/.20 000 a ser pagada en 6 meses al 8% del descuento anual. Luego de transcurridos 2 meses, decide cancelar la letra, pues debe viajar para radicar en España. Calcula la diferencia entre la cantidad que recibió y canceló el empresario, en nuevos soles, si se sabe que el acreedor cede un bono del 0,3% sobre el  valor nominal si se cancela al final. 14. El valor actual de una letra es S/.1470. La suma del valor nominal y el descuento es S/.1530. Si la tasa descontable es 12%, ¿dentro de cuánto es la fecha de vencimiento?

48 000

Va1 Va2 Vn 5 meses recibió el empresario (antes del vencimiento)

3

ARITMÉTICA

14

3.ER

AÑO

4 Números racionales I NÚMEROS FRACCIONARIOS

Fracciones heterogéneas

Se denominan números fraccionarios a todos los números racionales que no son números enteros (Z).

Es un grupo de fracciones donde al menos uno de los denominadores es diferente a los demás. Ejemplos: 1 ; 5 ; 17 ; 3 ; ... 9 7 8 11

Ejemplos: 3 ; 20; 11 ; –17 ; ... 5 17 100 23

 

FRACCIÓN

c. Por los divisores de sus términos:

Son aquellos números fraccionarios, cuyos términos son positivos.   Numerador A F= B Denominador

 

 

Ejemplos: 4 ; 91 ; 25 ; 33 ; ... 6 700 ab05 aaa

Ejemplos: 5 ; 21; 101 ; ... 3 19 105

 

Irreductible

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES:

 

Cuando sus términos tienen más de un divisor común (no son PESI).

a. De acuerdo con su valor respecto a la unidad:

Fracción propia  

Es cuando el valor de la fracción es menor que la unidad. Ejemplos: 3 ; 1 ; 23 ; ... 5 7 100

Fracción impropia  

 

Es cuando el valor de la fracción es mayor que la unidad. Ejemplos: 5 ; 17; 100 ; ... 2 3 11 Observación: Toda fracción impropia se puede expresar como un entero, más una fracción propia; dicha expresión se denomina número mixto. Ejemplos: 7  = 3 + 1  = 3 1 2 2 2

 

b. Multiplicación a × c  = a × c b d b×d

Es un grupo de fracciones donde todos los denominadores son iguales. Ejemplos: 3 ; 1 ; 7 ; 17;... 5 5 5 5

AÑO

Observación: Toda fracción reductible, puede transformarse en una fracción irreductible. A partir de una fracción irreductible se puede obtener una fracción equivalente a ella, multiplicando cada término por un mismo número entero. Ejemplos: 1  = 2  = 3  = ... = 1.n 5 10 15 5.n

a ± c  = ad ± bc b d bd

Fracciones homogéneas

3.ER

Cuando sus términos tienen como único divisor común a la unidad (son PESI) Ejemplos: 17 ; 43 ; 137 ; ab2 ; ... 23 45 ab ab3

OPERACIONES CON FRACCIONES a. Adición y sustracción

b. Por grupo de fracciones:

 

Reductible

c. División a ÷ c  = a × d  = a × d b d b c b×c

15

ARITMÉTICA

4

NÚMEROS RACIONALES I

Trabajando en clase Resolución Sea la fracción: n  > 1 120 4  < n  < 5 3 120 2 160 < n < 300 Hay: 299 – 160 = 139 fracciones

Integral 1. ¿Cuántas fracciones propias con denominador 7 existen? 2. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles con denominador 24 existen?

9. ¿Cuántas fracciones impropias con denominador 18 hay desde 3/2 hasta 8/3?

3. ¿Qué parte de 7/9 es 2/9?

10. Halla el denominador de una fracción equivalente a 5/3, de modo que la diferencia de cuadrados de sus términos es 144.

PUCP 4. Halla una fracción equivalente a 7/5, de modo que si se multiplican sus términos, resulta 5915.

11. ¿Cuánto le falta a la mitad de los 2/3 de 24 para ser igual a la tercera parte de 36?

Resolución: Sea la fracción equivalente: a  = 7k  b 5k  Entonces, (7k)(5k) = 5915 → k = 13 Por lo tanto, a  = 7k  = 91 b 5k  65

UNI 12. Halla una fracción impropia, de modo que aumentada en sus 2/3, resulta los 12/5 de su inversa. Resolución: Fracción f = a ; inversa de f = b b a a  + 2 a = 12 b b 3 b 5 a 5 a = 12 b 3 b 5 a 2 a  = 36 b2 25 a  = 6 b 5

5. Halla una fracción equivalente a 5/7, de manera que si se multiplican sus términos, resulta 2240. 6. ¿Cuántas fracciones propias son mayores que 2/7 sabiendo que su denominador es 50? 7. Halla una fracción equivalente a 174 , de modo 261 que la suma de sus términos sea 40.

13. Halla una fracción impropia, de modo que aumentada en sus 4/5, resulta los 45/9 de su inversa.

UNMSM

14. Halla una fracción equivalente a 7/11, de modo que si se le agrega 28 unidades al menor de sus términos, el mayor término debe triplicarse para que la nueva fracción sea equivalente a 7/11. Da como respuesta el numerador.

8. ¿Cuántas fracciones impropias de denominador 120 están comprendidas entre 4  y 5 ? 3 2

4

ARITMÉTICA

16

3.ER

AÑO

5 Números racionales II 1. Relación parte-todo

 

Sea F la fracción, se representa: F = Parte Todo

es, son, representa de, del, respecto a

 

Ejemplo: Y ¿Qué fracción de 25 es 15? F = Parte  = 15  = 3 Todo 25 5 Y Julio tiene S/.150 y gasta S/.80, ¿qué parte del total gastó? F = Gastó  = 80  = 8 Todo 150 15

Solución: A 2 h ⇒ En 1 hora llena 1  tanque 2 B 6 h ⇒ En 1 hora llena 1  tanque 6 Juntos en 1 hora llena: 1  – 1  = 1 2 6 3 ∴ todo lo llenan en 3 horas.

3. Operaciones sucesivas    

Se aplica fracción sobre otra fracción. Ejemplos: 1. Calcula los 2  de los 5  de los 3  de 30. 3 4 5 Solución: 2  × 5  × 3 (30) = 15 3 4 5

2. Reducción a la unidad Consiste en homogeneizar la obra hecha por cada elemento en una unidad de tiempo.  

4 horas En 1 hora →

 

   

3.ER

Si un caño llena un tanque en 4 horas, en una hora llena la cuarta parte del tanque. Total 4h x 1h 1 x =  del total 4 Ejemplos: 1. Jani hace una obra en 12 días. En 1 día, ¿qué parte de la obra hace? Solución: 1 Obra 12d x 1d 1 x =  obra 12 2. Un caño «A» llena un tanque en 2 horas, y otro «B» lo vacía en 6 horas. Funcionando  juntos, ¿en qué tiempo se llenará el tanque?

AÑO

2. Voy a un casino y en la primera partida pierdo 2/5, en la segunda, pierdo 1/3 de lo que queda y en la tercera pierdo 5/7. ¿Qué fracción del total me queda? Solución: Tengo = x Pierdo Queda 2  × 2  × 5 5 1 5× 2 3× 3 3 3 5 5 2 3× 2 2 3× 7 3 5 7 3 5 Al final queda: 2 2 3 × = 4  × 7 3 5 35

Recuerda Recuerda que en los exámenes de admisión de la UNMSM, PUCP y UNI las preguntas sobre el tema de fracciones siempre son frecuentes.

17

ARITMÉTICA

5

NÚMEROS RACIONALES II

Trabajando en clase 1. Resuelve: Q = 3 1  – 2 1 2 4

9. Un caño A llena un tanque en 6 horas y un desagüe B lo vacía en 10 horas. Estando vacío el tanque y abriéndose los dos al mismo tiempo, ¿en cuánto tiempo lo llenarán?

2. Calcula: D = A + N. Si: A = 3/4 de 60 Además: N = 2/3 de los 3/5 de 90.

10. Carlos gasta sucesivamente los 4/5 y los 2/7 de su dinero. Si aún le quedan S/.20, ¿cuánto gastó la primera vez?

3. Daniel gasta los 3/5 de su dinero y aún le quedan S/.60. ¿Cuánto dinero tenía Daniel?

11. Una pelota es lanzada desde 243 m de altura, y cada vez que rebota se alza los 2/3 de su altura anterior. ¿Qué altura alcanzará en el cuarto rebote?

Integral

PUCP

UNI

4. Un caño A llena un tanque en 6 horas y otro caño B lo llena en 8 horas. ¿En cuánto tiempo llenarán el tanque ambos caños, si se abren al mismo tiempo estando vacío? Resolución: 1er caño: Llena en una hora 1/4 2do caño: Llena en una hora 1/8 En una hora trabajando los 1/4 + 1/8 = 3/8 dos caños llenan Tiempo total = 8/3 = 2 horas 50 minutos

12. Una pelota es lanzada desde una cierta altura y cada vez que rebota pierde 3/5 de su altura anterior. Si en el tercer rebote se eleva 24 cm, ¿desde qué altura fue lanzada? Resolución:

h

5. Un caño A llena un tanque en 4 horas y otro caño B lo llena en 10 horas. ¿En cuánto tiempo llenarán el tanque ambos caños, si se abren al mismo tiempo estando vacío?

z

Pierde 3/5 (altura) Y Se eleva 2/5 (altura) x = 2/5 h y = 2/5(2/5 h) z = 2/5(2/5(2/5 h)) z = 24 cm 3 z = 5h  = 24 125 z = 375 cm

7. Los 2/3 de los 4/5 de los 5/8 de 6000 sumados con los 3/4 de los 2/5 de los 4/7 de 3500 es igual a: ________. UNMSM 8. Un caño A llena un tanque en 8 horas y un desagüe B lo vacía en 12 horas. Estando vacío el tanque y abriéndose los dos al mismo tiempo, ¿en cuánto tiempo lo llenarán? Resolución Caño A = 1/8 × hora (llena) Desague B = 1/12 × hora (vacia) En una hora trabajando 1/8 – 1/12 = 1/24 el caño y el desaguee llenan Tiempo total = 24 horas ARITMÉTICA

y 

Y

6. Richard gasta sucesivamente los 3/5 y los 2/7 de lo que tenía. ¿Qué fracción de su dinero aún le queda?

5

x

13. Una pelota es lanzada desde una cierta altura y cada vez que rebota pierde 1/3 de su altura anterior, si en el tercer rebote se eleva 216 cm, ¿desde qué altura fue lanzada? 14. Daniel puede hacer una obra en 8 días, si junto con Richard pueden hacer la misma obra en 4,8 días, ¿en cuánto tiempo podría Richard hace solo la misma obra?

18

3.ER

AÑO

6 Conjuntos I NOCIÓN DE CONJUNTO

Simbólicamente:

Entenderemos por conjunto a la reunión, agrupación, colección o familia de integrantes homogéneos o heterogéneos, que reciben el nombre de elementos del conjunto.

A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A → x ∈ B Esto significa: «A» está incluido en «B» si y solo si para todo «x», si «x» pertenece a «A», entonces «x» pertenece a «B».

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Un conjunto queda determinado cuando es posible decidir si un objeto dado pertenece o no al conjunto. Para determinar conjuntos se puede proceder:

El símbolo ⊂ denota una relación de conjunto a conjunto.

Observación Representación gráfica de A ⊂ B: AB

1. Por extensión Cuando se mencionan uno a uno todos los elementos del conjunto, por ejemplo: A = {Brasil, Argentina, Uruguay} B = {0; 1; 2; 3}

2. Por comprensión

A=B

Cuando se enuncia una propiedad o característica común que cumplen sus elementos, por ejemplo: A = {x/x es un país sudamericano que ha ganado un campeonato mundial de fútbol} B = {x/x es un número natural menor o igual que 3}

A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

Si un objeto «x» es elemento de un conjunto «A», escribiremos x ∈ A, lo que se lee: «x» pertenece al conjunto «A». En caso contrario, escribiremos x ∉ A, lo que se lee: «x» no pertenece al conjunto «A».

Ejemplo: Si: A = {0; 1; 2} y B = {x/x es un número natural menor que 3}, entonces:

Ejemplo: Si: A = {2; 5; 8; 9}, entonces 2 ∈ A y 3 ∉ A

A =B

CONJUNTOS ESPECIALES 1. Conjunto vacío

El símbolo ∈ denota una relación de elemento a conjunto.

Es aquel que carece de elementos. Se le representa por «∅» ó { }. Por ejemplo: A = {x/x; ∈ N 4 < x < 5}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados los conjuntos «A» y «B», diremos que «A» es subconjunto de «B» o que «A» está incluido en «B», si cada elemento de «A» es también un elemento de «B». Se denota: A ⊂ B. AÑO

A ⊂ B («A» es subconjunto propio de «B»)

Dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos. Usando la relación de inclusión se tiene que:

RELACIÓN DE PERTENENCIA

3.ER

A

B

 

19

Nota: El conjunto vacío se considera subconjunto de todo conjunto. Simbólicamente, ∀A, ∅ ⊂ A. ARITMÉTICA

6

CONJUNTOS I

2. Conjunto unitario  

El número de elementos del conjunto potencia se puede determinar en la siguiente relación: n[P(A)] = 2n(A)

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: A = {5; 5; 5; 5; 5; 5} B = {x/x ∈ z ∧ –5 < x < –3} ⇒ B = {–4}

Donde: n(A) es el número de elementos del con junto «A».

3. Conjunto universal

4. Observación:

Es un conjunto que contiene todos los elementos de determinado contexto. Se denomina UNIVERSO (U). Existen muchos universos posibles.

1. Al número de elementos diferentes de un con junto se le llama también cardinal del conjunto. 2. Se demora conjuntos disjuntos, a aquellos que no tienen elementos comunes, por ejemplo: A = {1; 2; 3; 4} y B = {13; 14; 15}} 3. Todo conjunto tiene subconjuntos, y la cantidad de estos está dada por la siguiente relación: Número de subconjuntos = 2 n(A) 4. Se llama subconjunto propio, a todos los subconjuntos de un conjunto dado; excepto al que es igual al conjunto. Número de subconjuntos propios = 2n(A) – 1

4. Conjunto potencia

 

 

Se llama así a aquel conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos de un conjunto dado, por ejemplo: Dado: A = {m, n, p} Luego su conjunto potencial, que se denota por P(A), será: P(A)={{m},{n},{p},{m,n},{m,p},{n,p},{m,n,p}, ∅}

Trabajando en clase Integral

PUCP

1. Según el siguiente conjunto: D = {2; 3; {5}; 8; {7}} Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Y 2 ∉ D Y 3 ⊂ D Y {3} ⊂ D Y 5 ∈ D Y 3; {5} ∈ D Y {{7}} ⊂ D Y 8∈D Y {8} ⊂ D Y ∅ ⊂ D

4. Si los conjuntos «A» y «B» son iguales, halla «m + n» A = {2n + 2; –6} B = {3 – m; 10} Resolución: • 2n + 2 = 10 2n = 8 n=4 ∴ 9 + 4 = 13

5. Si los conjuntos «C» y «G» son iguales, hallar «m + p» (m y p ∈ N) C = {10; m2 – 3} G = {13; p2 – 15}

2. Determina los siguientes conjuntos por extensión y da como respuesta: n(A) + n(B) A = {2x – 1/x ∈ N; 1 ≤ x ≤ 7} B = {(2x – 1) ∈ N/1 ≤ x ≤ 7}

6. Calcula el cardinal de M = {(2x + 3) ∈ N/2 ≤ x ≤ 6}

3. Halla la suma de elementos del siguiente con junto: A = {2x + 1/x ∈ z ∧ –3 ≤ x ≤ 3}

6

ARITMÉTICA

• 3 – m = –6 9=m

7. Halla: n(B) + n(C). B = {2x/x ∈ N; x < 9} C = {(x + 1) ∈ z/–1 ≤ x ≤ 5}

20

3.ER

AÑO

CONJUNTOS I

UNMSM

UNI

8. Dado el conjunto B = {P; a; m; e; r}, determina cuántos subconjuntos tiene «B».

12. Calcula (a + x) si el conjunto mostrado es singleton: x ∈ Z+; S = {2a; 16; x4} Resolución: S = {2a; 16; x4} es singleton; quiere decir unitario, entonces, tenemos

Resolución: B = {P; a; m; e; r} → n(B) = 5 ∴ #subconjunto = 2n(B) = 25 = 32

2a = 16 a=4

9. Si el conjunto C = {2; 4; 6; 4; 3; 2; 1}, ¿cuántos subconjuntos tiene «C»?

∧

16 = x4 2=x

∴ 2 + 4 = 6

10. Si A = {1; 5; 5; 2; 5; 7; 2} B = {6; 6; 4; 3; 5; 3; 2} calcula: n[P(A)] + n[P(B)]

13. Determina (x + y) si el conjunto mostrado es singleton; «x», «y» son enteros positivos. W = {x2 – 1; 35; y 3 + 8}

11. Dado el siguiente conjunto V, calcula la suma de sus elementos. V = {x/x ∈ N; 2 < x  < 3} 5

14. Calcula n(A). A = {x ∈ N/2 < 3x + 2  < 6} 5

3.ER

AÑO

21

ARITMÉTICA

6

7 Conjuntos II OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Unión A

B

A

B A

B

A∪B

A ∪B

A∪B = B

2. Intersección A

B

A

B A

B

A∩B

A∩B = ∅

A∩B = A

3. Diferencia A

B

A

A –B

B A

B

B –A

B –A

4. Diferencia simétrica A

B

⇒ A∆B

5. Complemento U

(A – B) ∪ (B – A) U – (A ∩ B)

Recuerda A 1. Conjuntos disjuntivos: A 2. Conjuntos comparables: A

⇒ A' = AC = U – A

B

B

n(A)' = n(U) – n(A)

7

ARITMÉTICA

22

3.ER

AÑO

CONJUNTOS II

DIAGRAMAS 1. Diagramas de Venn-Euler  

2. Diagrama de Carroll  

Ejemplo:

BAILAN NO BAILAN TOTAL HOMBRES a m x MUJERES b n y   TOTAL c p z

U = estudiantes Aritmética

Hombres = x = a + m Mujeres = y = b + n Bailan = c = a + b No bailan = p = m + n Total = z = c + p = x + y 

Álgebra a

b

c d

Nota: Generalmente

U=a+b+c+d Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Ejemplo:

Solo Álgebra = a Solo Aritmética = c Álgebra y Aritmética = b Ni Álgebra ni Aritmética = d No estudia Álgebra = c + d No estudia Aritmética = a + d Estudia Aritmética o Álgebra = a + b + c Estudia Aritmética = b + c Estudia Álgebra = b + a Estudia solo un curso = a + c

a=b (se baila en parejas)

Importante Aviso Pre: Z Si en las lecturas aparece la letra «y», significa intersección «(∩)». Z Si en las lecturas aparece la letra «o», significa intersección «(∪)».

Trabajando en clase gusta Alianza Lima, y al 75% les gusta Universitario. Si a 30 personas les gusta los 2 equipos, ¿cuántos fueron los encuestados?

Integral 1. Si Pepe Lucho sale con Lucía 21 días y con Ana 17 días durante el mes de mayo, ¿cuántos días salió con ambas?

Resolución: U = 100k 

2. Si: n(A ∩ B) = 12 n(A) = 20 n(B) = 30

 0 k  A L = 4

U = 7 5k   

25k  15k 60k  

Determina n(A ∪ B) 15k = 30 ⇒ k = 2

3. En una reunión se observó que 80 mujeres y 70 hombres no bailan. Si asistieron 400 personas, ¿cuántos hombres asistieron a la reunión?

∴ U = 100k = 100(2) = 200 5. En una encuesta realizada sobre la preferencia de 2 platos de comida, se sabe que al 75% les gusta el ceviche y al 55% les gusta el arroz con pollo. Si a 45 personas les gusta los 2 platos, ¿cuántas personas fueron encuestadas?

PUCP 4. En una encuesta realizada a un grupo de hinchas, se obtuvo la siguiente información: al 40% les 3.ER

AÑO

23

ARITMÉTICA

7

CONJUNTOS II

6. De un grupo de 83 estudiantes, 40 estudian medicina, 48 estudian Ingeniería. Si 9 no estudian ninguna de estas 2 carreras, ¿cuántas personas estudian ambas carreras?

son tenistas. Si 12 personas solo practican tenis y 15 personas no practican ninguno de los deportes mencionados, ¿cuántas personas son tenistas y nadadores, pero no futbolistas?

7. En una fábrica se hizo un estudio sobre las fallas más comunes en las máquinas, y se determinó lo siguiente: Y 68 máquinas tienen la falla «A» Y 160 máquinas, la falla «B» Y 138 máquinas, la falla «C» Y 55 tienen la falla «A» y «B» Y 48 tienen la falla «A» y «C» Y 120 tienen la falla «B» y «C» Y 40 tienen las tres fallas ¿Cuántas máquinas tienen solo la falla «C»?

UNI 12. En un grupo de 80 estudiantes, se encuentran que los que estudiaban diversas lenguas eran 72, distribuidos de la siguiente manera: Y Alemán solamente 25 Y Español solamente 12 Y Francés pero no alemán ni español, 15 Y Alemán y Francés, 10 Y Alemán y Español, 8 Además, los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. ¿Cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 lenguas? Resolución: U = 80

UNMSM 8. En Chiclayo se determinó lo siguiente: Y A la cuarta parte de la población no le gusta la natación ni el fútbol. Y A la mitad le gusta la natación. Y A los 5/12 les gusta el fútbol. ¿A qué parte de la población le gusta solamente uno de los deportes mencionados? Resolución U = 12k   N = 6 k 

4k  2k

25 b

F = 5 k 

F

12 c

8

⇒ 25 + 12 + 15 + a + b + c + x + 8 = 80

3k  

60 + a + b + c + x = 80 ⇒ a + b + c + x = 20

Piden la relación ⇒ 7k  = 7 12k  12

13. En un grupo de 200 estudiantes, se encuentran que los que estudiaban diversas lenguas eran 150, distribuidos de la siguiente manera: Y 45 alemán solamente Y 23 español solamente Y 27 francés, pero no alemán ni español Y 18 alemán y francés Y 25, alemán y español Además, los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. ¿Cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 lenguas?

9. En Máncora se determinó lo siguiente: Y A la quinta parte de la población no le gusta la natación ni el fútbol. Y A la tercera parte le gusta la natación. Y A los 7/12 les gusta el fútbol. ¿A qué parte de la población le gusta solamente uno de los deportes mencionados? 10. De un grupo de amigos, la cuarta parte habla inglés y de estos la cuarta parte también habla francés. De los que no hablan inglés, la tercera parte no habla francés y los demás sí. ¿Cuál es la parte de los amigos que hablá francés?

14. El censo de una ciudad dio como resultado lo siguiente: El 60% de los niños toma leche, el 70% no come carne; los que toman leche y comen carnel, sumados con los que no toman leche, no comen carne y son el 40%, y 900 niños comen carne pero no toman leche. ¿Cuántos niños hay en dicha ciudad?

11. De un grupo de 105 personas, 52 son turistas y 55 nadadores. Si se sabe también que 15 tenistas practican futbol y natación, y todos los futbolistas ARITMÉTICA

a x

•a+x=8 • b + x = 10 •x+c=8 Nos piden: a+b+c+x

15

3k 

7

E

A

24

3.ER

AÑO

8 Repaso 7. En una reunión se sabe que 3/5 son mujeres. Si asistieron 30 varones, ¿cuántas personas asistieron a dicha reunión? a) 55 d) 65 b) 50 e) 75 c) 60

1. Determina el precio de venta si Pc = S/.2000 y G = 25%. a) S/.2400 d) S/.2700 b) S/.2500 e) S/.2250 c) S/.2800 2. Calcula qué tanto por ciento de descuento se debe de aplicar a un objeto que tiene como precio de lista S/.250 y como precio de costo, S/.100, para ganar S/.50. a) 40% d) 15% b) 25% e) 60% c) 34%

8. Un caño puede llenar un depósito en 3 horas y otro lo puede hacer solo en cuatro horas. Si el depósito está vacio y abrimos los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenara los 3/4 del depósito? a) 1 5 d) 2 1 7 7 b) 1 3 e) 1 2 7 7 c) 1 4 7

3. Determina el interés producido por un capital de S/.8000 impuesto al 10% durante 3 años. a) S/.3000 d) S/.2200 b) S/.2800 e) S/.2000 c) S/.2400

9. Si A = {5; 6; 8} y B = {2; 3; 4; 5}, determina cuántas premisas son verdaderas 5∈A( ) 9∈B ( ) 8∈A( ) 1∉B ( ) 3∈B ( ) 5;7 ∈ A ( ) a) 5 d) 4 b) 6 e) 3 c) 2

4. Determina la tasa de imposición trimestral a un depósito S/.80 000 para que en 4 años se obtenga un interés de S/.6400. a) 20% d) 5% b) 15% e) 2% c) 8% 5. Halla el valor nominal de una letra que vence dentro de 40 días y que descontada al 4,5% disminuye en S/.14. a) S/.2000 d) S/.2500 b) S/.2800 e) S/.3200 c) S/.3500

10. Determina «a + b» si los conjuntos M y N son iguales. M = {2a – b; 13} y N = {5; 4a + b} a) 6 d) 3 b) 8 e) 10 c) 4

6. ¿Cuál es el descuento que sufre un pagaré de S/.4800 al 5% descontado 90 días antes de su vencimiento? a) S/.50 d) S/.150 b) S/.60 e) S/.100 c) S/.80

3.ER

AÑO

11. Si n(A) = 10; N(B) = 13 y n(A ∩B) = 8, calcula n(A – B) + n(B – A) a) 10 d) 7 b) 12 e) 9 c) 5

25

ARITMÉTICA

8

REPASO

12. De un grupo de 35 personas, se sabe que los que prefieren solo el producto «A» son el doble de los que solo prefieren el producto «B». Si los que prefieren ambos productos son 7 y los que no prefieren ninguno de los productos son 4, ¿cuántos prefieren el producto «A»? a) 24 c) 23 e) 20 b) 18 d) 16

Claves 1. 2. 3. 4.

b a c d

5. 6. 7. 8.

b b e e

9. 10. 11. 12.

d c d c

Bibliografía 1. LÁZARO CARRIÓN, Moisés: Lógica y teoría de conjuntos. Lima: MOSHERA, 2004. 2. Enciclopedia Concisa. Barcelona: SOPENA, 1997 3. Exámenes de admisión desarrollados, UNI, UNMSM. Lima: SAN MARCOS, 2012

8

ARITMÉTICA

26

3.ER

AÑO

Presentación El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes. El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él. Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas. Juan Carlos Dianderas Gerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

ÍNDICE

3.er Año

ARITMÉTICA .................................................

5

●

Probabilidades .................................................... 83

●

Teoría de conjuntos III ......................................

7

●

Gráficos lineales y de barras ............................. 85

●

Numeración ........................................................ 10

●

Gráficos circulares y tablas ............................... 88

●

Numeración II .................................................... 12

●

Repaso .................................................................. 91

●

Numeración III ................................................... 15

●

Operaciones combinadas ................................... 17

●

Estadística ........................................................... 20

●

Electricidad I ...................................................... 95

●

Estadística II ....................................................... 24

●

Electricidad II ..................................................... 99

●

Repaso ................................................................. 27

●

Electricidad III ................................................... 103

●

Magnetismo ........................................................ 107

●

Electromagnetismo I ......................................... 112

●

Electromagnetismo II ........................................ 116

●

Radiaciones electromagnéticas ........................ 121

●

Repaso .................................................................. 125

ÁLGEBRA ........................................................ 29 ●

Función cuadrática ............................................ 31

●

Función raíz cuadrada........................................ 33

●

Función valor absoluto ...................................... 35

●

Logaritmos I ....................................................... 37

●

Logaritmos II ...................................................... 39

●

Logaritmos III .................................................... 41

●

Número combinatorio ....................................... 43

●

Repaso .................................................................. 45

GEOMETRÍA ................................................... 47

FÍSICA .............................................................. 93

QUÍMICA ........................................................ 129 ●

Estequiometría ................................................... 131

●

Estequiometría II ............................................... 134

●

Química orgnánica: átomo de carbono I ........ 137

●

Hidrocarburos saturados: alacanos ................. 146

●

Hidrocarburos insaturados: Alquenos y Alquinos .... 151

●

Hidrocarburos cíclicos y aromáticos ............... 156

●

Contaminación ambiental ................................ 161

●

Repaso .................................................................. 167

●

Prismas y cilindros ............................................. 49

●

Pirámide, cono y esfera ..................................... 53

●

Sistema de medida angular ............................... 57

●

Razones trigonométricas de ángulos agudos ..... 60

●

Ángulos de elevación y depresión ................... 63

●

Identidades trigonométricas ............................. 66

●

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano

●

Ecología ............................................................... 171

●

y ecuación de la recta ......................................... 68

●

Biotopo Factores Abioticos ............................... 180

●

Repaso .................................................................. 71

●

Biocenosis I: relaciones intraespecíficas ......... 187

●

Biocenosis II: relaciones interespecíficas ........ 190

●

Cadena Alimenticia: productores, consumidores

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO .............. 73

BIOLOGÍA ........................................................ 169

y descomponedores ........................................... 193

●

Fracciones ........................................................... 75

●

Problemas sobre porcentajes ............................ 77

●

Contaminación y agentes contaminantes ....... 198

●

Análisis combinatorio I, Principio de adición,

●

Contaminación II: consecuencias de la contaminación ambiental ................................. 202

multiplicación, permutación lineal y circular .... 79 ●

Análisis combinatorio II ................................... 81

●

Repaso .................................................................. 207

 Aritmética

1 Teoría de conjuntos III 1. Cardinal de un conjunto

5. Operaciones entre conjuntos

Es la cantidad de elementos diferentes que posee un conjunto. Se denota como: n(A)

Unión A

2. Determinación de un conjunto – Por extensión:

B A ∪ B

se mencionan todos los elementos. A = {1; 2; 3; 4; 5}

– Por comprensión:

Intersección

cuando se da a conocer una característica común de los elementos. 2 B = x  – 1 ∈ Z/x ∈ N, x < 9 2 Forma de los elementos

A

B A ∩ B

Condiciones

3. Relación entre conjuntos – Pertenencia:

Diferencia

∈ 1 elemento ∉  1 conjunto

A

B

– Inclusión

A–B

⊂ 1 conjunto ⊄  1 conjunto

4. Tipos de conjuntos – Conjunto unitario o Singleton:

Diferencia simétrica

Es aquel conjunto que posee solo un elemento.

A

B

– Conjunto iguales:

A ∆ B

Son aquellos conjuntos que poseen los mismos elementos.

– Subconjuntos:

Complemento

Es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado.

– Conjunto potencia:

A

Es el cardinal del conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. P(A) = 2n(A) 3.ER

AÑO

AC = A' AC 

7

ARITMÉTICA

1

TEORÍA DE CONJUNTOS III

6. Diagramas VENN

CAROLL U

A

Varones Mujeres

B k 

a r

b Y

x

Y

y 

Y

c C

Y

p

Y Y

Zona 1 = S1 = a + b + c Zona 2 = S 2 = k + r + y Zona 3 = S 3 = x S1 + S2 + S3 + p = n(U) 1S1 + 2S2 + 3S3 = n(A) + n(B) + n(C)

Bailan a b

No bailan c d

Varones que bailan = a Total de varones = a + c Total de mujeres = b + d Total de personas que bailan = a + b Total de personas que no baila = c + d Total de personas = a + b + c + d

Importante Recuerda que el tema de conjuntos es un tema recurrente en los exámenes de admisión

Trabajando en clase Integral

 

1. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. A = {2; 6; {3; 4}; 4} 3 ∈ A ... ( ) 6 ⊂ A ... ( )   2;4 ∉ ... ( ) {3; 4} ⊄ A ... ( ) {6; 4} ⊂ A ... ( ) {3; 4}; 6 ⊂ A ... ( )

5. Calcula la suma de elementos del conjunto R. R = y – 2 ∈ N/–3 ≤ y ≤ 4 3 6. Si los conjuntos B y K son unitarios calcula a 3 – 4b. B = {3b + 5; 17} K = {9; 4a – 3}

2. Calcula n(A ∆ B) + n(A – B) A = {p, e, d, r, o} B = {l; e; a; n; d; r; o}

7. En el mes de mayo Estefanía comió 22 días pescado y 18 días carne, ¿cuántos días comió los dos tipos de carne?

3. Si los conjuntos M y N son iguales calcula 2x + y 2. M = {x2 + 5; 2z – 6} N = {10; 21} x y z son enteros

UNMSM 8. En una fábrica de aparatos eléctricos un supervisor observó que: Y 8 artefactos presentan la falla A, B y C Y 13 artefactos presentan la falla A y B Y 14 artefactos presentan la falla B y C Y 15 artefactos presentan la falla C y A Y 24 presentan la falla A Y 34 presentan la falla C Y 28 presentan la falla B y solo contó 73 artefactos sin falla. ¿Cuántos aparatos electrónicos revisó el supervisor?

PUCP 4. Calcula la suma de elementos del conjunto A. A = x + 3 ∈ N/–4 ≤ x ≤ 4 2 Resolución: En este tipo de problemas lo que se busca es llevar la variable a la forma que tiene el elemento. –4 ≤ x ≤ 4 –1 ≤ x + 3 ≤ 7

1

ARITMÉTICA

–0,5 ≤ x + 3 ≤ 3,5 2 A = {0; 1; 2; 3} Nos piden la suma de elementos: 0 + 1 + 2 + 3 = 6

8

3.ER

AÑO

TEORÍA DE CONJUNTOS III

UNI

Resolución

U

A(24)

12. De un grupo de estudiantes se sabe que los que estudian solo música o solo danza son la mitad y la tercera parte, respectivamente, de las personas que estudian otras carreras. ¿Cuántas personas estudian danza, si los que estudian las dos carreras son la doceava parte del total, que son 120 estudiantes?

B(28) 5

4 7

8

9 6

13

73

Resolución:

C(34)

Música

Nos piden hallar el universo 24 + 9 + 6 + 13 + 73 = 125

3R

9. En una fábrica de textiles un supervisor observó que: Y 14 prendas presentan la falla A, B y C Y 22 prendas presentan la falla A y B Y 20 prendas presentan la falla B y C Y 23 prendas presentan la falla C y A Y 34 presentan la falla A Y 33 presentan la falla C Y 35 presentan la falla B y solo 43 prendas sin falla. ¿Cuántas prendas revisó el supervisor?

10

2R

 

3R + 10 + 2R + 6R = 120 11R = 110 R = 10 Nos piden los que estudian danza 10 + 2(10) = 30

13. De un grupo de estudiantes se sabe que los que estudian solo química o solo física son la cuarta y la quinta parte respectivamente de las personas que estudian otras carreras. ¿Cuántas personas estudian química si los que estudian las dos carreras son los 13/100 partes del total, que son 300 estudiantes?

11. En una reunión a la que asistieron 60 personas se observó que solo hay personas que tienen ojos azules o verdes y que la cantidad de hombres son la mitad que el de las mujeres, ¿cuántas mujeres tienen ojos de color verde si hay 23 mujeres que tienen ojos de color azul?

AÑO

Danza

6R 

10. Calcula (A – B) ∩ B si: A = {a; 3; 4; 5} y B = {4; 5; e; f}

3.ER

U(120)

14. De un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas?

9

ARITMÉTICA

1

2 Numeración CONCEPTOS BÁSICOS

Forma literal de un número

Número

Es una representación donde una cifra puede ser reemplazada por una letra.

Es un ente abstracto, carente de definición, solo se tiene una idea de él.

Ejemplo:

Numeral

Z

abc = número de 3 cifras = {100; ...; 999}

Z

mmmm = número de 4 cifras iguales = {1111; ...; 9999}

Z

abcba = número capicúa de 5 cifras = {10001; 10101; ...; 99999}

Es la figura o símbolo que representa o da la idea del número, por ejemplo; para el número cinco. IIIII; V; 3 + 2; 2  + 1; cinco; five; 5 2

Sistema numeración Es un conjunto de símbolos y leyes que nos permiten representar y expresar correctamente los números.

Orden

Descomposición Polinómica de un numeral del sistema decimal

Es el lugar que ocupa cada cifra contando de derecha a izquierda.

Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras.

1

2

3

4

Así, por ejemplo:

1er orden 2do orden 3er orden 4to orden

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 1 × 103 + 2 × 102 + 3 × 10 + 4

Lugar

Nótese que los exponentes de 10 son el número de cifras que están a la derecha de cada una de las cifras componentes.

Es el lugar que ocupa cada cifra empezada a contar de izquierda a derecha. Ejemplo: 1

2

3

4 4to lugar 3er lugar 2do lugar 1er lugar

2

ARITMÉTICA

10

Z

abc = a.102 + b.10 + c

Z

mmmm = m.103 + m.102 + m.10 + m = 1111.m

Z

abcba = 2.10 4 + b.103 + c.102 + b.10 + a

3.ER

AÑO

NUMERACIÓN

Trabajando en clase Integral

ab = 45 Nació: 1945 Actualmente (2014) ∴ Tendrá 69 años

1. Indica la suma de la cifra de segundo orden más la cifra del sexto lugar de: 42 399 981 308

9. En 1976 la edad de una persona coincidió con las dos últimas cifras del año de su nacimiento. Calcula cuántos años cumplió en 1990 si nació en el siglo XX.

2. Calcula la suma del mayor y menor número que se puede formar con todos los elementos de «x». x = {4; 2; 7; 9} 3. Calcular el valor de A, si 1232 es el doble de A1A.

10. ¿Cuántas cifras tiene un numeral en la cual se cumple que la cifra de cuarto lugar se encuentra en el tercer orden?

PUCP

11. ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a 8 veces la suma de sus cifras?

4. A un número de 2 cifras se le agregan dos ceros a la derecha, aumentándose el número en 4752. Calcula el número original.

UNI

Resolución: Sea el número: ab ab00 = ab + 4752 100 × ab = ab + 4752 99 × ab = 4752 ⇒ ∴ ab = 48

12. Al multiplicar un número de dos cifras por 3 se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 8 al número que se obtiene al invertir el orden de sus dígitos. ¿Cuál es dicho número? Resolución: El número: ab 3(ab) = 8(ba) 3(10a + b) = 8(10b + a) 22a = 77b 2a = 7b

5. A un número de 2 cifras se le agregan tres ceros a la derecha aumentando el número en 11 988 unidades. Calcula el número original y da como respuesta la suma de las cifras del número original:

⇒ a = 7

6. Si: 2b = ba – ab, calcula a + b.

b=2 ∴ ab = 72

7. Calcula la suma de las cifras de un número capicúa de tres cifras que sea igual a 23 veces la suma de sus cifras diferentes.

13. Al multiplicar un número de dos cifras por 5 se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 6 al número que se obtiene al invertir el orden de sus dígitos. ¿Cuál es dicho número?

UNMSM 8. En 1990 la edad de una persona coincidió con las dos últimas cifras del año de su nacimiento. Determina cuántos años tiene actualmente, si esta persona nació en el siglo XX.

14. Indica un número de 3 cifras que empieza en 4, tal que si se suprime este 4, se obtiene un número que es 1/17 del número original. Da la suma de sus cifras.

Resolución Sea el año del nacimiento 19ab Edad = 1990 – 19ab ab = 90 – ab 2ab = 90

3.ER

AÑO

15. Indica un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado 72. Da como respuesta la suma de sus cifras.

11

ARITMÉTICA

2

3 Numeración II PRINCIPIO DE LA BASE Z Z

Principales sistemas de numeración

Se denomina base de un sistema de numeración a todo número entero mayor que uno. La base también nos indica el número de símbolos (llamados cifras), con que cuenta el sistema para poder formar los numerales en ella.

Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ejemplo: Representar 21 unidades simples:

Base 10

∴ 21

Base 8

Nombre Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octonario Nonario Décuplo Undecimal Duodedimal

Cifras – Dígitos – Guarismos 0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)

Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras griegas para su representación: a = 10; b  11; g = 12; d = 13; ... Ejemplo:

∴ 21 = 25 (8)

2(10)3(11) (13) = 2a3b(13)

Observación

Base 5

Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base. Así, en el sistema de base «n», se pueden utilizar «n» cifras diferentes, las cuales son:   Máxima

↓

∴ 21 = 41 (5)

0; 1; 2; 3; 4; .........; (n – 1) Significativas

Base 3

Conclusión:

Cifra < Base

Descomposición polinómica de un numeral La descomposición polinómica nos permite encontrar el equivalente en el sistema decimal. Z 42 = 10 1 + 2 = 12 Z 278(9) = 2.92 + 7.91 + 8 = 233 Z 4232(5) = 4.53 + 2.52 + 3.51 + 2 = 567 Z 27 364 (x) = 2x4 + 7x3 + 3x2 + 6x1 + 4

∴ 21 = 210 (3) Luego: 21 = 25 (8) = 41(5) = 210(3)

3

ARITMÉTICA

12

3.ER

AÑO

NUMERACIÓN II

Observación:

867 3

Descomposición polinómica por bloques: abcdef (n) = ab(n).n4 + cd(n).n2 + ef (n) abcdef (n) = abc(n).n3 + def (n)

∴ 867 = 1543 (8)

Cambio de bases: Caso 1: de base «n» a base 10. Procedimiento: Descomposición polinómica Ejemplo: Y 876(9) = 8.9 2 + 7.9 + 6 = 717

Z

Propiedades adicionales A. Numeral expresado en bases sucesivas 1a = a + b + c + .......... + x + n 1b 1c. .. 1x(n)

648 63 También se puede utilizar el método de Ruffini 8

7 72

6 711

9 8

79

717 → número en

↓ 

el sistema decimal

B. Numeral formado solo por cifras máximas

Caso 2: de base 10 a base «n» Procedimiento: Divisiones sucesivas Ejemplo: Representar 867 en el sistema octonario

Z

8 108 8 4 13 8 5 1

(n – 1)(n – 1)(n – 1) ... (n – 1) n = nk  – 1 «k» cifras

Trabajando en clase Integral

 

1. Si los siguientes numerales: 3a3(4); bb(c); 2c(a) Están bien representados, calcular a + b + c.

Descomponiendo: 2n + 7 + 3n + 5 = 6.n + 3 9=n ∴ nonario

5. En qué sistema de numeración se efectuó la siguiente operación: 34 + 15 = 53

2. Calcula a + b + c, si se cumple: abc(7) = 246(8) 3. Sabiendo que: a, b, c y d son cifras significativas y diferentes entre sí, calcula m + n + p; sabiendo que: abcd(5) + abc(4) + ab(3) + a(2) = nmp

6. Dada la igualdad: (a – 2)(b + 1)(c – 2) (8) = 256(9). Expresa a.b.c en base 4.

PUCP

UNMSM

7. Calcula «a + b + c + d + e + n, si se cumple: 211(3) = abcde(n)

8. Calcula n en: 13 17 13 14(n) = 20

4. Pablito cuenta las manzanas y naranjas que tiene y dice: tengo 27 manzanas, 35 naranjas, si el total de frutas es 63. ¿Qué sistema de numeración usó Pablito? Resolución: 27n + 35n = 63n 3.ER

AÑO

13

ARITMÉTICA

3

NUMERACIÓN II

Resolución Aplicamos la propiedad: n + (3 + 7 + 3 + 4) = 20 ∴ n = 3

Para obtener 5 cifras: S = 5 Entonces: 5 0 5 9 ↓ 30 180 1110 6 5 30 185 1119 1119 5 4 223 5 3 44 5 4 8 5 3 1 ∴ 1 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 = 20

9. Calcula n en: 13 17 13 14(n) = 20 10. Si: N = 2 × 8 5 + 4 × 82 + 3 × 8 + 5. ¿Cómo se escribe el número N en base 8?

13. Se sabe que: 11. Un número se escribe en el sistema binario como 101 010, ¿en qué base se representará como 132?

UNMSM = 9275(11) Calcula U + N + M + S

UNI

14. Calcula n. 455(n) = 354(n + 1)

12. ERYKA(S) = 5059(6) Hallar: E + R + Y + K + A + S Resolución: S<6

3

ARITMÉTICA

15. Si: (k – 1)(k – 1)(k – 1)(k – 1)(k – 1) k  = 31 Calcula k + k 2 + k 3

14

3.ER

AÑO

4 Numeración III Métodos para expresar un numeral en otro sistema de numeración diferente al que se encuentra escrito

Segundo caso: de base diez a base diferente de diez Método de divisiones sucesivas

Para expresar un número de la base diez a otra base se divide el número por la base a la cual se quiere expresar; el cociente obtenido se vuelve a dividir nuevamente por dicha base, y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente menor que la base en la cual se quiere expresar dicho número. Para representar el número en el nuevo sistema de numeración se escribe el último cociente como cifra de mayor orden, y cada uno de los residuos hallados en las divisiones anteriores se va escribiendo sucesivamente a su derecha. Ejemplo: 452 a base 4 452 4 0 113 4 1 28 4 0 7 4 3 1

Primer caso: de base diferente de diez a base diez Método por descomposición polinómica

Para expresar un número de base diferente de diez a la base diez, se procederá descomponiendo polinómicamente el número dado, ya que con este procedimiento averiguaremos cuántas unidades simples posee dicho número. Ejemplo: 142(7) a base 10 142(7) = 1 × 72 + 4 × 7 + 2 142(7) = 49 + 28 + 2 142(7) = 79

Método de Ruffini

Para expresar en el sistema decimal un número de cualquier otro sistema, se escriben en una línea horizontal las cifras del número, de izquierda a derecha. Debajo de la primera cifra y separada por un trazo horizontal se escribe otra vez dicha cifra, se multiplica por la base y su producto se escribe debajo de la segunda cifra para sumarlo con ella, cuyo resultado se coloca debajo del trazo horizontal; se multiplica esta suma por la base y su producto se coloca bajo la tercera cifra y así sucesivamente, hasta sumar la última cifra, este último resultado representará al número dado en el sistema decimal. Ejemplo: 142(7) a base 10

1

4

∴ 452 = 13 010 (4)

Tercer caso: de base diferente de diez a otra base diferente de diez Si se presenta este caso, lo primero es expresar el número de la base diferente de diez a la base diez (por el método de descomposición polinómica o Ruffini); luego, el número en base diez se expresa en la otra base diferente de diez (por el método de divisores sucesivas). Ejemplo: 763(9) a base 6 Primero, de base 9 a base 10: 763(9) = 7 × 92 + 6 × 9 + 3 = 567 + 54 + 3 = 624

2

 7 ↓ 7 77

×

1× 11 79

Ahora, de base 10 a base 6:

∴ 142(7) = 79

624 6 0 104 6 2 17 6 5 2

Recuerda Si abcn = xyzw m ⇒ n > m

3.ER

AÑO

∴ 463(9) = 2520 (6)

15

ARITMÉTICA

4

NUMERACIÓN III

Importante

Z

En toda igualdad de dos numerales, en diferentes bases se cumple que a mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor numeral aparente le corresponde mayor base. Ejemplos: 212(3) = 25(9)  2431(5) = 556(8)

1e1d =n+a+b+c+d+e 1c1b 1a(n)

Ejemplo: 1214  = 5 + 3 + 4 + 2 135 Por lo tanto: 1214  = 14 135

Trabajando en clase Integral 1. Convierte mediante descomposición polinómica los siguientes numerales a base 10: 10 111(2) 247(1) 236(7)

Resolución Descomposición polinómica: a75 = a000 5 → 100a + 75 = 5 3a 100a + 75 = 125a 75 = 25a → a = 3

2. Convierte los siguientes numerales de base 10 a la base pedida. 237 a base 7 1000 a base 8 523 a base 7

9. Si abc = c000 6, calcula a + b + c.

10. Se sabe que los numerales están bien escritos: c426; 21a; a0b; b42c Calcula a + b + c.

3. Si pamer(5) = 4231 (6). Calcula: par + pramer PUCP 4. Traslada el mayor numeral de 3 cifras en base 6, a base 10.   (PUCP) Resolución: El mayor numeral de 3 cifras de base 6 es: 555 6 → 5556 = 5 × 62 + 5 × 6 + 5 = 5 × 36 + 5 × 6 + 5 = 180 + 30 + 5 = 215

11. ¿En qué sistema de numeración se cumple que: 201 – 45 = 112? (UNMSM 2005–I) UNI 12. Si se sabe que: aooa (6) = bc1; 0 es cero; determina a + b + c. (UNI 2008-II) Resolución: Descomposición polinómica   aooa(6) = bc1 a × 63 + a = bc1 216a + a = bc1 217a = bc1 ↓ 3→ a=3 Reemplazando: 217(3) = bc1 ⇒ b = 6 651 = bc1 c=5

5. Traslada la conversión a la base que se indica: Y 231(4) a base 6 Y 123(5) a base 4 Y 1021 (3) a base 7 7. Reconstruye los numerales representados polinómicamente. Y a × 5 4 + b × 52 + d × 51 + c × 5 0 + d × 5 3 → a base 5 Y m × 86 + p × 8 2 + q × 8 5 + n × 8 3 + r × 8 1 → a base 8 Y 7 × 9 4 + 8 × 92 + 6 × 91 + 5 × 90 + 1 × 93 → a base 9

⇒ a + b+ c =3 + 6+ 5 a + b + c = 14

13. Si mooo(3) = xy2; o es cero, calcula: (2x + y + m)

UNMSM

14. De la igualdad a2b (7) = a51(n). Calcula a + b + n.

8. Si: a75 = a000 5, calcula a.

4

ARITMÉTICA

(UNMSM 2003)

16

(UNI 2006 - II) 3.ER

AÑO

5 Operaciones combinadas ADICIÓN

2. Dado: donde a > b ab – Se cumple que: ba i) p + q = q pq ii) a – b = p + 1

A+B=S Donde: Z A y B son sumandos Z S es suma o total

3. Dado: donde a > c abc – Se cumple que: cba i) n = q mnp ii) m + p= 9 iii) a – c = m + 1

Principales sumatorias 1. Suma de los n primeros números enteros positivos: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n + 1) 2

Sustracción en otras bases: Calcula N: N = 734(8) – 276(8)

2. Suma de n primeros números pares positivos: 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

Resolución: +8 6 2 +8

3. Suma de los n primeros números impares positi vos:

7 3 4(8) – 2 7 6(8) 4 3 6(8)

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n 2

Cuando no se puede restar se presta un grupo de 8.

Adición en otras bases Calcula M. Resolución: +1 +1 +1 454

(6)

MULTIPLICACIÓN

M = 454(6) + 353(6) +

353(6) 1251

Si: P = a + a + a + ... + a b veces

i) 4 + 3 = 7 = 1(6) + 1 ii) 5 + 5 + 1 = 11 = 1(6) + 5 iii) 4 + 3 + 1 = 8 = 1(6) + 2

Se deduce que: P=a×b

SUSTRACCIÓN

Multiplicador Multiplicando Producto

M–S=D Donde: M: minuendo S: sustraendo

D: diferencia

DIVISOR D (Dividendo)

Propiedades: 1. La suma de los términos de una sustracción es igual al doble del minuendo:

Se cumple que:

AÑO

r (residuo) D=d×q+r

M + S + D = 2M

3.ER

d (divisor) q (cociente)

17

ARITMÉTICA

5

OPERACIONES COMBINADAS

Clases de división 1. División exacta: no tiene residuo Se cumple que: 8 2 4 0

D=d×q

2. División inexacta: tiene residuo Por defecto

Por exceso 9 2 (4 + 1) –1 Se deduce que:

9 2 4 1 Se deduce que:

D = d × (q + 1) – r e

D = d × q + rd

re: residuo por exceso

rd: residuo por defecto

Propiedades 1. r < d 2. rd + re = d 3. rmin = 1 rmax = d – 1

Trabajando en clase Integral

6. Calcula la suma de: 435 (7); 164(7) y 416 (7). 7. Calcula A + B A = 1 + 2 + 3 + ... + 50 B = 2 + 4 + 6 + ... + 80

1. Calcula P si: abc – cba = mn2 P = 5nm + n9m + mn4 2. Calcula la diferencia de 432 (5) y 143 (5).

UNMSM

3. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 48, calcula el minuendo.

8. Al multiplicar un número de cuatro cifras por 999, se obtiene un número que termina en 5352. Calcula la suma de las cifras del número. UNMSM 2012 - II Resolución abcd × 999 = ...5352 abcd × (1000 – 1) = ...5352 d=8 abcdooo – c=4   abcd b=6 . . . 5352 a=2

PUCP 4. La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 432. ¿Cuál es el mayor? PUCP 2013-II Resolución: Sean los números: xi(x + 2) (x + 2)2 – x2 = 432 x2 + 4x + 4 – x 2 = 432 4x + 4 = 432 → x = 107 ∴ Mayor: 107 + 2 = 109

∴ a + b + c + d ⇒ 2 + 6 + 4 + 8 = 20 9. Si se multiplica un número de cuatro cifras por 999, se obtiene un número que termine en 5023. Calcula la suma de cifras del número.

5. La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 1060, ¿cuál es el menor de los números?

5

ARITMÉTICA

18

3.ER

AÑO

OPERACIONES COMBINADAS

10. Calcula un número de 3 cifras que dividido entre el número formado por sus dos últimas cifras da como resultado 24 de cociente y 2 de residuo.

x + (x + 20) < 86 x < 33 → xmax = 32 ∴ Edad de Lorena = 32

11. Si la suma de los términos de una sustracción es 721, ¿cuál es el complemento aritmético del minuendo?

13. José tiene 25 años menos que Luis y este último 10 años menos que César. Si las edades de las tres personas suman menos de 90 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener Cesar?

UNI 12. Lorena tiene 20 años menos que Andre. Si las edades de ambas, suman menos de 86 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener Lorena? UNI 2013-II Resolución: Edad de Lorena = x Edad de Andre = x + 20

3.ER

AÑO

14. En una multiplicación, cuyo multiplicador es 23, si el multiplicador aumenta en 12 unidades y el multiplicando disminuye en 5 unidades, el producto aumenta en 965. Calcula el multiplicando original.

19

ARITMÉTICA

5

6 Estadística DEFINICIÓN

Ejemplo: La variable estado civil, puede adoptar las modalidades: soltero, casado, divorciado y viudo.

Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación análisis e interpretación de datos.

b) Variable cuantitativa Son variables que se obtienen como resultado de mediciones o conteos.

Definiciones previas 1. Población

 

Es la unidad de elementos del conjunto estudiado, en la cual se presentarán determinadas características, (edades, pesos, estatura de los habitantes de una ciudad, el número de artículos defectuosos producidos por una industria, etc.). Dependiendo del número de elementos que forman una población, esta puede ser finita o infinita. Ejemplos: Y El número de habitantes que viven en una ciudad (finito). Y Cantidad de número en el conjunto de los números reales (infinito).

Y

 

2. Muestra Es una parte de la población que será sometida a un estudio. Se suelen tomar muestras cuando es difícil o costosa la observación de todos los elementos de la población estadística.

Tabla de frecuencias de una variable discreta Consiste en presentar los datos en cuadros o tablas. A continuación, se detallarán los conceptos previos para la construcción de cuadros o tablas.

3. Dato estadístico Son números o medidas que han sido recopilados como resultado de observación.

Ejemplo: Se ha encuestado a 20 familias con respecto al número de miembros que lo conforman (padres e hijos incluídos)

4. Variables estadísticas Es la característica de la población que interesa al investigador y que puede tomar distintos valores. Las variables estadísticas se denotan en las letras x , y , z , etc. Ejemplos: peso, estatura, sexo, demanda de un producto, sintonía de un programa de TV o radio, etc. Y La variable estadística puede ser cualitativa o cuantativa. a) Variable cualitativa Consiste en la clasificación por categorías, no lleva clasificación numérica.

6

ARITMÉTICA

La variable cuantitativa puede ser directa o continua. a) Variable discreta: Esta variable no puede tomar cualquier valor comprendido entre otros dos enteros. Ejemplo: El número de miembros de una familia puede ser 4 o 5, pero no un valor entre ellos. b) Variable continúa: Esta variable puede tomar cualquier valor comprendido entre dos números enteros. Ejemplo: Una persona puede pesar 70 kg o 71 kg o cualquier valor comprendido entre ellos.

4 2 3 6

2 3 7 3

3 3 2 3

5 4 2 4

6 5 3 2

a) Rango o amplitud de los datos Llamado también recorrido de los datos, el rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los  valores que forman la variable. Del ejemplo, el rango de los datos es: R = 7 – 2 = 5

20

3.ER

AÑO

ESTADÍSTICA

b) Frecuencia absoluta de un dato (f  j)

Es el número de veces que aparece un valor de la  variable estadística. Del ejemplo, la frecuencia absoluta de 3 es 7.

H j =

F j n

Del ejemplo, la frecuencia acumulada de 3 es: 12  = 0,60 o 60%

c) Frecuencia absoluta acumulada de un dato (F j)

20

La frecuencia absoluta acumulada de un dato de la variable es la cantidad de datos hasta un determinado valor de la variable. Del ejemplo, la frecuencia absoluta acumulada de 3 es: 5 + 7 = 12

Nota: No confundir frecuencia absoluta con frecuencia relativa. (f  j ≠ h j)

d) Frecuencia relativa de un dato (h j)

Resumiendo los datos de una tabla:

Es el cociente entre la frecuencia absoluta del dato y el total de datos.

Número de Número de miembros de familias una familia (X j) f  j 2 5 3 7 4 3 5 2 6 2 7 1 Total 20

f  h j =  j n Del ejemplo, la frecuencia relativa de 3 es: 7  = 0,35 o 35%

20

e) Frecuencia relativa acumulada de un dato (HJ)

Es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el total de datos.

F j

h j

H j

5 12 15 17 19 20

0,25 0,35 0,15 0,10 0,10 0,05 1

0,25 0,60 0,75 0,85 0,95 1

Trabajando en clase Integral

PUCP

Enunciado: En una encuesta realizada a 800 personas sobre la simpatía por un color (suponiendo que a ninguno le gusta 2 colores a la vez). Se obtienen los siguientes datos. Color f j   h j Amarillo 120 c Rojo A 0,25 Azul B 0,30 Negro 160 D Verde F E n = 800

En una encuesta realizada a 400 alumnos de la universidad sobre qué profesiones están estudiando (suponiendo que ninguno puede estudiar 2 carreras a la vez) se obtienen los siguientes datos.

Administración

60

h j

Contabilidad

0,25

Economía

0,30 80

Medicina n = 400

2. ¿A cuántas personas les gusta el color verde?

4. Completa el cuadro y determina el porcentaje de alumnos que estudian Administración.

3. ¿Qué porcentaje del total de encuestados no simpatizan con el color amarillo?

AÑO

f j  

Ingeniería

1. Calcular el valor de A.

3.ER

Carreras

21

ARITMÉTICA

6

ESTADÍSTICA

Enunciado Respecto al siguiente cuadro sobre hinchas de equipo de fútbol. Equipos f j   h j

Resolución:

Z Z Z

Z

Z

Z

Carreras

f j  

h j

Administración

60

h1

Contabilidad

f 2

0,25

Economía

f 3

0,30

Ingeniería

80

h4

Medicina

f 4

h5

400

1

Universitario Alianza Lima Cristal

6. ¿Cuál es el porcentaje de hinchas a los que les gusta Cristal? 7. ¿Cuántos hinchas simpatizan con Alianza Lima? UNMSM 8. Se ha encuestado a 20 familias con respecto al número de miembros que lo conforman (padres e hijos incluidos).

400 h4 = 80 ⇒ h4 = 0,20 400 h5 = 40 ⇒ h5 = 0,10 400

2 3 2 5

→ Luego, nos piden el porcentaje, y lo obtenemos de

h j 0,23 0,27

5 3 6 5

2 6 3 5

Luego, de acuerdo con la encuesta, el número de familias compuesta por 5 miembros es 6. Calcula el porcentaje es determinar su frecuencia relativa mediante la siguiente formula:

10 1000

6 h j = f  j ⇒ h  =  = 0,30 miembros n

Completa el cuadro y determina el porcentaje de los alumnos que quieren postular a la Universidad Agraria. ARITMÉTICA

5 2 3 3

Resolución Resumiendo los datos en una tabla, tenemos: Número de Número miembros de de F j h j H j una familia familias (X j) f  j 2 6 6 0,30 0,30 3 5 11 0,25 0,55 5 6 17 0,30 0,25 6 3 20 0,15 1 Total 20 1

5. En una encuesta realizada a los alumnos del colegio pamer sobre a qué universidad preferirían postular (suponiendo que ninguno postula a 2 universidades a la vez), se obtuvo la siguiente información.

6

2 5 6 2

Resume los datos en una tabla y calcula el porcentaje que representan las familias compuestas por 5 miembros.

la frecuencia relativa con respecto a la carrera de Administración. → h1 = 0,15 → El porcentaje que estudian Administración es el 15%.

f j  430

0,30 100

f 2 = 0,25 × 400 = 100 f 3 = 0,30 × 400 = 120 f 5 → 60 + f 2 + f 3 + 80 + f 5 = 400 60 + 100 + 120 + 80 + f 5 = 400 → f 5 = 40 h1 = 60 ⇒ h1 = 0,15

Universidad UNMSM UNI PUCP AGRARIA UPC

40

20

∴ las familias compuestas por 5 miembros representan el 30%.

22

3.ER

AÑO

ESTADÍSTICA

9. Se ha encuestado a 30 familias con respecto al número de miembros que lo conforman (padres e hijos incluidos).

Enunciado En una encuesta realizada a 20 personas sobre su estado civil se obtuvo la siguiente información. C S C S

3 2 3 4 3 2 2 2 5 5 2 3 3 3 6 6 6 2 2 2 3 4 4 2

S C S C

C C C C

C S C S

S C S C

Donde S(soltero) y C(casado)

4 3 3 5 6 2

10. ¿Qué porcentaje representan las personas casadas?

Resume los datos en una tabla y calcula el porcentaje que representan las familias conformadas por 4 miembros.

11 ¿Qué porcentaje de los casados representan los solteros?

UNI 12. Relaciona mediante una flecha según corresponda: Y La estatura de una persona Y Y Los miembros de una familia Y Y h j Y Y F j Y Y El sexo de una persona Y

Variable cuantativa discreta Frecuencia absoluta acumulada Variable cuantitativa continua Variable cualitativa Frecuencia relativa de un dato

Resolución: Y La estatura es una variable cuantitativa continua por que además de tomar valores enteros, también toma un valor comprendido entre ellas. Y La cantidad de los miembros de una familia es variable cuantitativa discreta, porque solo toma valores enteros positivos. Y h j es la representación de la frecuencia relativa de un dato. Y F j es la representación de la frecuencia absoluta acumulada. Y El sexo es una variable cualitativa porque señala categoría.

13. Relaciona mediante una flecha según corresponda: Y Y Variable cualitativa Y Y Variable discreta Y Y Rango o amplitud Y Frecuencia absoluta Y Y Variable continua Y

Estado civil de las personas El peso Es el número de veces aparece un valor de la variable estadística. Números de empleados de una empresa. Es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que forman la variable.

14. Se muestra la siguiente tabla de distribución de los trabajadores en una empresa de acuerdo con su ocupación: Ocupación Abogados Ingenieros Obreros Secretarias

# de personas 18 32 40 10

Z

Si se despide a 8 abogados y 12 ingenieros. ¿Cuál será la frecuencia relativa correspondiente a los obreros?

Nota: Tanto la frecuencia absoluta acumulada como la relativa acumulada se obtienen sumando los valores de las frecuencias absolutas y relativas anteriores. 3.ER

AÑO

23

ARITMÉTICA

6

7 Estadística II Tabla de frecuencias de una variable continua (agrupación en intervalos)

ii. k = 1 + 3,3 log50 = 6,6; es decir, el número de intervalos de clase puede ser: 6; 7 u 8.

Es aquella tabla en la que los datos originales se clasifican en intervalos de clase debido al gran número de datos. Ejemplo: A continuación, se proporciona como dato las remuneraciones semanales (en dólares) de 50 obreros de una industria.

n = 50

70 65 69 76 73

47 70 58 79 64

67 57 76 77 70

82 85 67 88 46

67 59 52 94 68

70 70 68 67 63

60 57 69 77 72

67 73 66 54 84

61 77 72 93 63

c) Determinación del tamaño de los intervalos (C) Es conveniente que los intervalos de clase sean del mismo tamaño. Amplitud de clase: C = R  K

80 58 86 56 74

Amplitud de clase: C = 48 8 Del ejemplo, la amplitud de cada clase será:

d) Determinación de los límites de clases

a) Determinación del rango (R)

Se recomienda que el límite inferior del intervalo de la primera clase sea el menor de los datos, enseguida se agrega c, para obtener el límite superior de dicha clase.

Es la diferencia entre el mayor (X máx) y el menor (Xmín) de los datos de la variable. E = Xmáx – Xmín Del ejemplo: el rango es R = 94 – 46 = 48

Del ejemplo, el intervalo (semiabierto) de la primera clase es: [46; 52〉 46 + 6 = 52

b) Determinación del número de intervalos de clase (K) Consiste en dividir el rango en números convenientes de intervalos de clase, generalmente del mismo tamaño. No hay una fórmula exacta para calcular el número de intervalos de clase, sin embargo, existen tentativas y aproximaciones.

Límite superior Límite inferior

e) Determinación de la frecuencia de clase Consiste en determinar el número de datos que caen en cada intervalo de clase.

Podemos considerar dos tentativas: i. Número de clases: K = 5 si el número de datos (ii) es ≤ 25 y K = n  si n > 25. ii. Fórmula de Sturges: K = 1 + 3,3 long

Del ejemplo, en la primera clase: [ 46; 52〉 existen dos datos, es decir: f 1 = 2.

f) Marca de la clase (X j)

Es el punto medio de intervalo de clase. Del ejemplo, la marca de clase de la primera clase ([46; 52〉) es 46 + 52  = 49 2

Del ejemplo: n = 50, entonces podemos asumir: i. k = 50  = 7,07; es decir, el número de inter valos de clase puede ser: 6; 7 u 8.

7

ARITMÉTICA

C

24

3.ER

AÑO

ESTADÍSTICA II

Resumiendo los datos de una tabla: Remuneración (dólares) [46; 52〉 [52; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 Total

Marca de clase

f  j

F j

h j

H j

Trabajando en clase Integral

4. ¿Qué porcentaje de los egresos son de 320 nuevos soles a más? Resolución: Luego de completar la f  j de los intervalos [320 – 360 〉 y [360 – 400 〉, calcula la h j del intervalo [360 – 400 〉. Veamos: h[320 – 360 〉 = f  50 → f[320 – 360 〉 = 12 → f[240 – 280 〉 = 10 ∴ f[360 – 400 〉 = 50 – (8 + 10 + 15 + 12) = 5

Enunciado: Se muestra la siguiente tabla de distribución de los trabajadores de acuerdo con los años de servicio en una empresa: Años de servicio [0; 5〉 [5; 10〉 [10; 15 〉 [15; 20 〉

Número de personas 25 15 35 5

F j a b c 80

Luego: h[360 – 400 〉 = 5  = 0,1 = 10% 50 → El porcentaje de egresos que son de 320 nue vos soles a más es: 24% + 10% = 34%

1. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente al mayor [10; 15 〉? 2. Calcular el valor de a + b + c. 3. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada correspondiente al rango [10; 15 〉?

5. ¿Qué porcentaje de los egresos son de 240 nuevos soles a más?

PUCP

Enunciado: En la empresa de productos de limpieza SILVERSACH SAC. se hace una distribución sobre el estudio de soles invertidos por reactivos utilizados en la elaboración de los productos, obteniéndose la siguiente información: S/.invertidos f j  F j h j H j [10; 20 〉 0,1 [20; 30 〉 [30; 40 〉 0,3 [40; 50 〉 25 0,8 [50; 60〉 20

El siguiente cuadro muestra los egresos semanales en inversión de una librería. Egresos f j   F j h j [200 – 240 〉 8 [240 – 280 〉 0,20 [280 – 320 〉 15 [320 – 360 〉 0,24 [360 – 400 〉 n = 50 3.ER

AÑO

25

ARITMÉTICA

7

ESTADÍSTICA II

6. Calcula n + F2 + F4 – f 5.

S/.Invertidos x j [ ; 〉 30 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 160〉 Total

7. Calcula el porcentaje de soles invertidos de 30 soles a más. UNMSM Enunciado: En la siguiente distribución de ancho de clase constante. I j

f  j

[a; b〉 [c; d〉 20 [80; 100 〉 [100; e 〉 [e; f 〉 Total 130

F j 50 70 80 110 130

15 21 12 9

(en kg) a 30 jóvenes, 42 46 46 68 48 60 64 50 52 66 52 50 50 44 44

Si al realizar la tabla de frecuencias, se tiene: Peso (kg) x j f  j F j h j H j [40; 46〉 [46; 52〉 [52; 58〉 [58; 64〉 [64; 70〉 [70; 76〉

f = 140 h2 = f 2 n

⇒ h2 = 20  = 2 → h2 = 2

12. Determina el valor de: x3 + f 2 + F1 + h4 + H5

13

Luego: f – e + h2

Resolución: Al completar la tabla, tenemos: x3 = 55 f 2 = 10 F1 = 7 h4 = 3/30 H5 = 29/30

= 140 – 120 + 2  = 262 13 13

∴ x3 + f 2 + F1 + h4 + H5 =

55 + 10 + 7 + 3/30 + 29/30 = 73 1/15

9. Determina d – b + h 3.

13. Determina el valor de: x4 + f 1 + F3 + h5 + H2

Enunciado: La siguiente tabla corresponde a la distribución del número de pacientes atendidos en febrero del 2001 por 75 puestos de salud de la comunidad de Yaquepa – Puno. Sus anchas de clase son iguales a 20. ARITMÉTICA

12

Enunciado: Se ha tomado el peso obteniéndose: 48 46 44 56 70 42 50 40 52 54 68 42 62 50 62

⇒ e = 120

7

H j

UNI

Resolución Ancho de clase constante: 100 – 80 = e – 100 = f – e

13

h j 0,04

11. ¿Cuántos puestos atendieron de 20 a 60 pacientes y cuántos de 60 a 80?

f – e + h2.

130

F j

10. Calcula H4 + h5.

8. Determina:

Del gráfico:

f  j

14. ¿Qué porcentaje de jóvenes pesan de 58 kg a 70 kg?

26

3.ER

AÑO

8 Repaso Calcula n + F2 + F4 – f 5. a) 100 c) 185 b) 140 d) 160

1. Si 1(a + 1)a1 (4) = 1a1. Calcula a 2. a) 4 c) 16 e) 5 b) 9 d) 25

Enunciado En una encuesta realizada a 1000 personas sobre la simpatía por un equipo de fúlbol se obtuvieron los siguientes datos (suponiendo que ninguno es hincha de 2 equipos a la vez).

2. Determina el total de números de tres cifras donde la cifra de unidades es el triple de las decenas. a) 54 c) 36 e) 27 b) 24 d) 45 3. Si a56(8) = (a + 1)60 K, calcula a + k. a) 8 c) 9 e) 10 b) 11 d) 12

Equipo Universitario Sport Ánchash Inti Gas César Vallejo San Martín

4. ¿Cuánto le falta a la fracción decimal periódica 0,8 787 887..., para ser igual a la fracción decimal periódica 1,212 121...? a) 1/2 c) 1/5 e) 1/4 b) 1/3 d) 1/6

10. ¿Qué porcentaje del total de encuestados no simpatizan con el César Vallejo? a) 95% c) 90% e) 99% b) 75% d) 91,7%

7. Dada la tabla de distribución de frecuencias:

3.ER

AÑO

h j 0,1

F j

H j

11. ¿Cuántos números de la forma

0,3 25 20

e) 500

9. ¿Cuál es el porcentaje de los hinchas de César Vallejo? a) 5% c) 9% e) 10% b) 1% d) 9,6%

6. ¿Cuál es la fracción que dividida por su inversa, resulta 169/576? Da como respuesta la suma de sus cifras. a) 36 c) 42 e) 37 b) 41 d) 35

f j  

f j   h j 430 C A 0,23 B 0,27 10 D F E n = 1000

8. Calcula A + F. a) 290 c) 450 b) 430 d) 470

5. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador? a) 1/2 c) 1/5 e) 2/7 b) 1/3 d) 3/4

Clases [10; 20〉 [20; 30〉 [30; 40〉 [40; 50〉 [50; 60〉

e) 170

0,8

a) 23 b) 42

27

(x) = 30  y y  x 2 (12) existen? c) 28 e) 12 d) 24

ARITMÉTICA

8