PA1_Calculo 3

CÁLCULO III

Producto Académico N° 1

Producto Académico N° 1 Control de lectura 1 Instrucciones: Resuelva el problema de mezcla propuesto. JUSTIFICACIÓN Este proyecto promoverá una visión más general de lo que es el uso de ecuaciones diferenciales en mezclas; buscando brindar el conocimiento de este campo a los estudiantes que no han sabido solucionar problemas con relación al tema de mezclado como por ejemplo: A. ¿Cómo varía la concentración de soluto en función del tiempo en un tanque cuando el gasto de entrada y salida son iguales? B. ¿Cómo varía la concentración de soluto en función del tiempo en un tanque cuando el gasto de entrada y salida son diferentes? INTRODUCCIÓN

Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla, tema que es muy importante para la formación y desarrollo del conocimiento ingenieril, el cual necesitan manejar a la perfección los futuros aspirantes a ser profesionales en el campo de la ingeniería. OBJETIVO GENERAL Obtener el modelo matemático que determina la concentración de sal en cualquier instante en un tanque dado sus condiciones iniciales. OBJETIVO ESPECÍFICOS  

Determina la cantidad de sal en cualquier instante en el tanque. Para cierta concentración de soluto determina el tiempo transcurrido.

1|P á g i n a

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PROBLEMA PROPUESTO Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua, en los que se han disuelto 50 libras de sal. Otra salmuera ingresa al tanque a una razón de 3 gal/min y la solución bien mezclada sale a una razón lenta de 2 gal/min. Si la concentración de solución que entra es 2 lb/gal, determina: a. Una ecuación diferencial que expresa la cantidad de sal A(t) que hay en el tanque al tiempo “t”.

 = 3∗2 − 2 ∗  3− 2 300   = 6− 2   300   2 = 6    300    300    2  300 = 6   300    300 = 6 300    300 = 6∫  300   300 = 2  300  2|P á g i n a

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  = 2 300   300  = 0, = 0  0 = 600  90000  = −54000000   = 2 300 − 54000000   300 b. Cantidad de sal después de 5 minutos.

 = 610 − 580.489 = 28.51  5 = 25 300 −  = 610 −  +  c. ¿Cuál es la ecuación diferencial en el caso de que la solución bien mezclada sale a una razón más rápida de 3,5 gal/min?

 = 3∗2 − 3.5 ∗  3 −3.5 300   = 6   3.5  0.5  300  −   3.5 = 6  0.5 300  − 7 = 6    600 3|P á g i n a

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   − 7  = 6    600  600   600       ( 1 ) = 6    600   600  600 / 600 = 6  600    = 6∫ 1    600  600   = −6( 1 )     600 6 600   = −1     600  600   = − 600    600  = 0, = 0 0 = −600 600  = 1/600   = − 600  6001   600 4|P á g i n a