Ouvrage d'arts - Tome 2 Dimensionnement ENIT.pdf

École Nationale d’Ingénieurs de Tunis

COURS D’OUVRAGES D’ART Tome 2 : Dimensionnement

 par  Mongi BEN OUÉZDOU

Mise à jour : Octobre 2008

 ______________________________  ______________ _______________________________ _______________________________ __________________________  __________   ENIT, BP 37-1002 Tunis-Le Belvédère, Belvédère, Tunisie  E-mail : [email protected] [email protected]

Télécopie:216-71-872-729

 Préface

Ce document traite le dimensionnement des ouvrages. Il est le fruit de 16 ans d’enseignement du module d’ouvrages d’art dans des écoles d’ingénieurs. Il  présente le dimensionnement des tabliers des ponts à poutres. Le choix de ce type d’ouvrages est basé sur deux critères : Dans la plus part des cas, cet ouvrage est à travées indépendantes. Son calcul n’est pas « très compliqué » par rapport à celui des ouvrages continus. Dans la pratique, son étude se fait manuellement. Alors que pour les autres types d’ouvrages (ponts dalles, portiques, …), on fait recours au calcul automatique par le SETRA* ou par des codes d’éléments finis, tels que Robot, SAP et Effel. Grâce à l’étude de ce type de ponts, on peut étudier les différents cas  d’ouvrages tels que les ponts dalles et les portiques. C’est les lignes d’influences qui peuvent changer pour ces cas hyperstatiques, mais la méthode de GuyonMassonnet reste valable. Ce polycopié débute par un chapitre de rappel sur les lignes d’influences, qui va 

servir pour le calcul des poutres principales présenté plus tard (troisième chapitre). Ensuite, le chapitre deux présente les règlements des charges pour les ponts-routes et pour les ponts rails (règlements français employés en Tunisie). Le chapitre trois comporte les détails de calcul des sollicitations poutres principales dans le sens longitudinal avec un annexe de calcul de la répartition transversale par la méthode de Guyon-Massonnet et un annexe des tables de Guyon-Massonnet. Les détails de calcul du ferraillage n’ont pas été traités ici, puisque les poutres sont calculées en flexion simple, sujet traité dans le cours de béton armé. Ensuite, nous présentons un chapitre spécifié au calcul des entretoises d’appui, suivi d’un chapitre qui traite en détail le calcul des hourdis** des ponts à poutres. En effet, ce cinquième chapitre présente le calcul à la flexion locale par les abaques de Mougin (présenté en annexe 1) et le calcul de la flexion globale par la méthode de Guyon-Massonnet dont les tableaux sont présentés en annexe 2. Ce même chapitre est récapitulé par la flexion totale et suivi par les particularités du ferraillage du hourdis (calcul aussi à la flexion simple). Enfin, un dernier chapitre, en cours d’élaboration, présente le principe de calcul des appareils d’appui et des appuis. C’est un chapitre qui reste à compléter, ainsi que l’étude des fondations. *

 SETRA : Service d’Etudes Techniques des Routes et des Autoroutes, France.  Hourdis: Dalle pleine du pont à poutres (plus mince que pour les ponts dalles).

**

 Mongi Ben Ouézdou Ouézdou  Maître de Conférences Conférences à l’ENIT

Tunis, le 09 Octobre 2008

1

Chap 1: Les lignes d’influences.

Chap 2 : Les règlements de charges sur les ponts.

10

ETUDE DES PONTS A POUTRES A TRAVEES INDEPENDANTES Chap 3 : Calcul des poutres principales

35

Annexe au chapitre 3 : Méthode de Guyon-Massonnet

52

 : Etudes des entretoises d’about. Chap 4  :

95

Chap 5 : Calcul des hourdis

99

 : Chap 6  :

Annexe 1 au Chap 5 : Abaques de Mougin.

135

Annexe 2 au Chap 5: Tableaux de Guyon-Massonnet

150

Quelques données sur le calcul des apppuis

155

M.Ben Ouézdou

Cours d’Ouvrages d’Ouvrages d’Art, Tome 2 : Dimensionnement Dimensionnement

Chapitre 1

LES LIGNES D’INFLUENCUES

1-1 1-2 1-3 1-4 1-5

Introduction Lignes d’influences des poutres sur appuis simples Emploi des lignes d’influences Lignes d’influences d’autres poutres isostatiques Lignes d’influences des poutres continues

p1 p1 p3 p4 p8

1-1- Introduction Les lignes d’influences sont obtenues pour une section donnée x. Dans le cas des poutres, ces lignes d’influences sont déterminées pour les moments fléchissants et les efforts tranchants. Ils sont obtenus en faisant un balayage d’une charge unitaire (P=1) le long de la poutre et en cherchant le moment fléchissant ou l’effort tranchant dans la section x considérée.

P=1 x L  Figure 1 : Section x

pour une ligne d’influence.

Donc une ligne d’influence est toujours liée avec une section donnée (x). On écrit pour les lignes d’influences des moments fléchissants : Li "M x" et ceux des efforts tranchants : Li "Tx".

1-2- Lignes d’influences des poutres sur appuis simples Les lignes d’influences des moments fléchissants et des efforts tranchants sont présentées dans la Figure 2 ci-après. Pour les moments fléchissants, la ligne d’influence d’une poutre sur appui simple est une ligne brisée dont le sommet, y, est :

y

x L  x  L

Ainsi, les valeurs sont positives et de même signe. Pour les efforts tranchants, la ligne d’influence est formée par deux parties (Figure 2): une partie positive d’extrémité, y’, tel que :

x  y'  1     L .    

   x 

Et une partie négative d’extrémité :     L  

M.Ben Ouézdou

Chap 1, page 1

A

B

(L-x)

x L x1

x2 Li “Mx”

y1

y2 y

   1

x L  x  L

y'  1  x L

Li “Tx”

 x L    1

 Figure 2 : Lignes d’influences des moments fléchissants et des efforts

tranchants dans une section x.

Les valeurs des ordonnées y 1 ou y2 sont retrouvées à partir de la règle des triangles semblables (ou Thalès). Ainsi, connaissant x, y, x 1 on peut retrouver y 1, c.à.d.,

x   y1  y .    x1     

avec y =

x (L  x) L

De la même manière, en connaissant (L-x), y, et x 2 on peut retrouver y2.

x   y2  y .    L2x       Pour les valeurs des ordonnées intermédiaires des lignes d’influences des efforts tranchants, nous  procédons de la même manière. Application des lignes d’influences : Lignes d’influence des moments fléchissants à x = L/2 (au milieu de la travée) et les lignes d’influences des efforts tranchants à x = 0 (Réaction d’appui). A

B x = L/2 L Li “ML/2” x= L 2 y 

   1

2

y= L 4L

L 4

x=0

y=1–0=1

Li “T0”  Figue 3 : Lignes d’influences des moments fléchissants à x=

L/2 et lignes d’influences des efforts tranchants à la section x=0.

M.Ben Ouézdou

Chap 1, page 2

1-3- Emploi des lignes d’influences. 1  cas : Une charge concentrée, er 

P.

P

d

B

x

A

L Li “Mx” y y

y'  1  x L

x L  x  L

y’

Li “Tx”

 x L  Figure 4 : Charge concentrée P

appliquée à une distance d.

Dans ce cas : Mx = P . y

y : ordonnée correspondant à P sur la Li de Mx.

Tx = P . y’

y’ : ordonnée correspondant à P sur la Li de Tx.

2ème cas : Plusieurs charges concentrées,

d2 d1 A

P1

di

Pi

P2

Pi B

x L

y1

y

y'  1  x L

y’1

yi

y2

y’2  x L

Li “Mx”

x L  x  L

y’i

Li “Tx”

 Figure 5 : Plusieurs charges concentrées P i appliquée à une distance d i.

M.Ben Ouézdou

Chap 1, page 3

Dans ce cas, on somme : Mx = Tx = 3

ème

n

Pi yi = P  . y  + P  . y  + …  i 1 1

1

2

yi : ordonnée correspondant à P sur le Li de Mx.

2

n

' Pi yi  = P  . y’  + P  . y’  + …  i 1 1

1

cas : Charge répartie,

2

yi’ : ordonnée correspondant à P sur le Li de Tx.

2

q, sur une longueur c. c q B

x

A

L

y1 y

Li “Mx”

y2



x L  x  L

c

y'  1  x L

y’1

y’2

 x L

Li “Tx”

'

 Figure 4 : Charge concentrée P

appliquée à une distance d.

Dans ce cas : Mx = q . 

 : aire de la ligne digne d’influence de Mx comprise entre y 1 et y2.

Tx = q . ’

’: aire de la ligne digne d’influence de Tx comprise entre y’ 1 et y’2.

  1 y1  y2  . c 2

' ' '  1 y1  y2 . c 2

et

1-4- Lignes d’influences d’autres poutres isostatiques 1-4-1- Console.

A

B

x L

1

1

+

 Figure 5: M.Ben Ouézdou

Li "Tx"

  x      L

Li "Mx"

Lignes d'influence des moments et des efforts tranchants pour une console. Chap 1, page 4

1-4-2-Poutre en console

Pour une section entre les appuis, on la traite comme si c'était une poutre sur appui simple,  puis on extrapole linéairement sur les consoles. Les ordonnées de rive sont retrouvés à partir de l'ordonnée de la Ligne d'influence en "x" et connaissant les différentes distances (triangles semblables). Ces ordonnées sont notées sur la figure 6. Ainsi, on voit que lorsque la charge est en travée, elle n'a pas d'effet sur les consoles (section x').

A

x

B L2

L

L1 L1 ( L- x ) L

x L2 L Li "Mx"

y= [1-(x/L)]

L1 L

x ( L- x ) L L2 L

Li "Tx"

1

(-x/L)

- (L 2- x') Li "Mx' x' +1

 Figure 6:

Li "Tx' "

Lignes d'influence des moments fléchissants et des efforts tranchants  pour une poutre console.

1-4-3- Poutre cantilever 

Voici les lignes d'influence (Li) des sollicitations dans quelques sections pour les deux types de poutres cantilevers les plus utilisées.

M.Ben Ouézdou

Chap 1, page 5

1er type:

L1

C1

L

C2

L2

 A B

D

C x'

x

1 Li "R A "

1 Li "R "B 1-(x/L1) Li "T "x

1 Li "T x' "

x(L 1-x) L1

Li "M "x

(C 1-x')

Li "M "x'  Figure 7:

Lignes d'influence des moments fléchissants et des efforts tranchants  pour une poutre cantilever du 1er type.

En connaissant l'ordonnée indiqué sur les figures, on peut connaître entièrement les lignes d'influences.

M.Ben Ouézdou

Chap 1, page 6 

2ème type:

L1

C1

C2

L

E

 A

L2 F

B

D

C

x'

x

1 Li "R A"

1 Li "R B"

Li "T " x -1

1-(x'/L) Li "T x'" (C1-x) Li "M "x

Li "M x'" x' ( L- x' ) L  Figure 8:

Lignes d'influence des moments fléchissants et des efforts tranchants  pour une poutre cantilever du 2ème type.

L'intérêt de l'étude des poutres cantilevers est surtout d'étudier les anciens ponts de ce type. On trouve rarement des nouveaux ponts cantilevers. Ceci à cause des problèmes que présentent les nœuds au point de vue exécution, d'entretien et des désordres pathologiques. Il faut remarquer aussi le respect des règles de chargement dans le sens longitudinal parce que les Li changent de signe.

M.Ben Ouézdou

Chap 1, page 7

1-5- Poutres droites continues La détermination des lignes d'influence se base sur la méthode des foyers, qui peut être  programmé sur ordinateur. Mais en pratique, on peut tracer les lignes d’influences par des logiciels commercialisés tel que « Robot » ou « Effel ». Les lignes d’influences manuellement, peuvent être obtenues en employant les tables de Billinger [1]. Les lignes d'influence (Li) des moments fléchissants, des efforts tranchants et des réactions d'appui, au  point de la division en dixième des travées, sont données pour les poutres de même inertie. Le nombre des travées est limité à 4, avec différents rapports de portés. * 1 travée: encastré à une ou 2 extrémités; Tables 1 et 2. *2 travées: L1 / L2 = 1,0 à 2,5; Table 8 à 31. *3 travées: L1 / L2 / L3 = 0,4 / 0,4 à 2,5 / 2,5; Tables 37 à 55. *4 travées: L1 / L2 / L3 / L4 = 1 / 0,4 / 0,4 / 1 à 1 / 2,5 / 2,5 / 1; Tables 62 à 87. *plus de 4 travées: L1=L2=...=Ln; Table 88. Charge concentrée P: M = L1  Piyi i Charge répartie q: M = L1  qiwi i L1 : Longueur de la première travée.

T=

 Piyi i

T=

 qiwi i

De nos jours, ces lignes d’influences peuvent être obtenues aussi par certains logiciels tel que Robot, Effel, ou SAP2000.

1-6- Portiques et cadres Les portiques et les cadres sont aussi des systèmes hyperstatiques. La connaissance des lignes d’influences dans une section donnée peut se faire par la méthode des déplacements. Mais généralement, on ait recours au logiciel du SETRA (PI-PO ou PI-CF) ou on peut utiliser également les logiciels Robot ou Effel.

M.Ben Ouézdou

Chap 1, page 8

 Références relatives au Chapitre 1

[1] O. E. Billinger, « Tables pour Poutres Continues », Ed. Dunod, Paris, 1950.

M.Ben Ouézdou

Chap 1, page 9

Chapitre 2

LES RÈGLEMENTS DES CHARGES SUR LES PONTS 2-1- Introduction 2-2- Préliminaire sur les ponts routes 2-3- Charges routières normales 2-4- Charges routières à caractère particulier 2-5- Charges sur les trottoirs 2-6- Charges sur le remblai 2-7- Epreuves des charges 2-8- Combinaisons des charges pour le BAEL 2-9- Charges pour les pont-rails 2-5- Evolution des surcharges

p 10 p 10 p 12 p 19 p 22 p 23 p 24 p 26 p 26 p 31

2-1-Introduction Les règlements de charges sur les ponts sont regroupés dans le fascicule 61, titre I, II et III du Cahier des Prescriptions Communes (C.P.C.). Ces titres sont relatifs respectivement aux ponts-rails, ponts-routes et ponts-canaux. Le titre III est très réduit en volume et indique essentiellement la prise en compte d'une surhauteur de 0,30 m d'eau par rapport à son niveau normal [1]. Le titre I [2], relatif aux ponts rails, présente essentiellement un train-type. Mais ce titre est abrogé, en France, depuis 1978 et les ponts ferroviaires sont étudiés sur la base de recommandations internationales (Convoi Union Internationale des Chemins de fer "UIC" [3,4]) destinées à devenir un règlement de charges. En Tunisie, le Convoi UIC à travers le livret 2.01 est devenu applicable et par conséquent un résumé de ce convoi est présenté à la fin du chapitre, précédé par le Titre I. Le titre II du fascicule 61 du CPC intitulé "Conception, Calcul et Epreuves des Ouvrages d'Art" [5] est approuvé en 1971 et réédité en 1981. A noter que ce texte est aussi en cours de révision en vue d'un Eurocode [6], mais il est encore applicable en Tunisie et en France. Une présentation de ce titre sera donnée dans les paragraphes suivantes.

2-2-Préliminaires sur les ponts-routes 2-2-1 Types de surcharges

Le texte du titre II [5] définit essentiellement : -les charges routières normales avec deux systèmes différents: Système A et système B; -les charges routières à caractère particulier du type militaire et du type exceptionnel; -les charges sur les trottoirs et sur les pistes cyclables du type local et du type général ; -les charges sur remblais; -les charges dues au vent, aux séismes et les efforts dus à un choc de bateaux sur un appui de pont. Les systèmes A,B, militaires et exceptionnels sont distincts et indépendants, leur effets ne peuvent être appliqués simultanément. Le système A ne donne pas un effet défavorable pour le calcul des hourdis et par conséquent ne sera utilisé que pour le calcul des sollicitations dans les autres éléments t.q. celui des poutres principales. Le système B est en général utilisé pour tous les éléments d'un pont. Alors que les charges routières à caractère  particulier ne sont à prendre en compte que pour les itinéraires classés à cet effet.  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 10

2-2-2 Définitions

Avant de procéder à l'étude de ces chargements, on définit tout d'abord certaines notions qui seront utiles pour la suite. Toutes les parties de tablier ne sont pas forcément à charger par les charges de chaussée. Il faut donc définir une largeur chargeable qui se déduit elle-même de la largeur roulable. On donne ci-dessous les définitions correspondantes:   Largeur roulable (Lr): C'est la largeur de tablier comprise entre dispositifs de retenue, s'il y en a, ou bordures. Elle comprend donc la chaussée proprement dite et les surlargeurs éventuelles telles que les bandes d'arrêt d'urgence (BAU), bandes dérasées (BDG), etc.  Largeur chargeable (Lch): Lch = Lr - n . 0,5 (1) Lch: largeur chargeable en m. Lr : Largeur roulable en m n: Nombre de dispositifs de retenue; n  2. Lr  Lch 0,5 m 0,5 m Lch =

 Figure 1: Largeur roulable (Lr ) , Largeur chargeable(Lch)

Le règlement introduit également deux autres notions géométriques. Il s'agit du nombre de voies de circulation et de la classe de pont.   Nombre de voies (Nv): Par convention, le nombre de voies de circulation des chaussées  Nv est tel que: L  Nv = E( ch ) (2) 3 Lch: largeur chargeable en m. Le symbole E désigne la partie entière. Exemple : Lch = 7 m  Nv = E 7 = 2 voies. 3 Exceptions: Les chaussées comprises entre 5 m (inclus) et 6 m sont considérées comme ayant 2 voies. 5  Lch  6 m  Nv = 2 voies.  Largeur d'une voie (V): La largeur d'une voie de circulation , V, est donné par: L V = ch   (3)  N v  Classe des ponts : Les ponts sont rangés en 3 classes suivant leur largeur roulable, Lr, et leur destination: ère  1  classe: tous les ponts supportant une largeur roulable supérieure ou égale à 7 m c.à.d. Lr    7 m  et ceux portant des bretelles d'accès à de telles chaussées, ainsi que les autres  ponts éventuellement désigné par le Cahier des Prescriptions Spéciales (C.P.S.), tels que  ponts urbains ou en zone industrielle avec risque d'accumulation de poids lourds quelque soit leur largeur. ème  2  classe: tous les ponts autres que ceux de la 1ère classe supportant des chaussées de largeur roulable comprise strictement entre 5,50 m et 7 m, c.à.d., 5,5 m < Lr < 7 m. ème  3   classe: les ponts autres que ci-dessus portant des chaussées de 1 ou 2 voies de largeur roulable inférieure ou égale à 5,5 m. c.à.d. Lr    5,5 m. En résumé Pont de la 1ère classe si Lr   7m ou exceptions ème 2 classe si 5,5 < Lr < 7m ème 3 classe si Lr    5,5m  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 11

2-3- Charges routières normales 2-3-1- Système de charge "  A" 

Ce système se compose des charges uniformément réparties d'intensité variable suivant la longueur surchargée et qui correspondent à une ou plusieurs files de véhicules à l'arrêt sur le pont. Elles représentent un embouteillage ou un stationnement (pont urbain équipé de feux aux extrémités ou embouteillage d'ordre quelconque), ou bien tout simplement une circulation continue à une vitesse à peu près uniforme d'un flot de véhicules composé de voitures légères et de poids lourds. Ainsi, la chaussée des ponts de portées unitaires inférieures à 200 m est soumise à une surcharge uniformément répartie dont l'intensité est égale au produit de AL (variable avec la longueur surchargée L) par des coefficients a1 et a2 donnés ci-après. La valeur de AL est donnée par la formule: 36 en t/m2. (4) L  12 où L, la longueur chargée, est en m. En kN/m2 la charge AL est donnée par : AL = 2,3 + 360 en kN/m2. (4a) L  12 Cette valeur de AL est à multiplier par des coefficients de corrections a1 et a2. Les valeurs du coefficient a1 sont données dans le tableau ci-dessous: AL= 0,23 +

 Nombre de voies chargées Classe 1ère du 2ème  pont 3ème

1 1 1 0,9

2 1 0,9 0,8

3 0,9 -----

4 0,75 -----

5

0,7 -----

Tableau 1: Valeur de a1 en fonction de Nv et de la classe du pont

Mais si la valeur de A1= a1 x AL  trouvée par application des règles ci-dessus est inférieur à (0,44 - 0,0002 L) exprimé en t/m2 (avec L en m) ou à (3,92 – 0,002 L) exprimé en kN/m2, c'est cette dernière valeur qu'il faut prendre en compte, c.à.d., A1 = Sup a1 .( 2,3 + 360 ) , (4 – 0,002 L)   (5) L  12 Ensuite, la charge A1 est multipliée par le coefficient a2 qui est donné par: a2 = Vo.   (6) V

[

]

On rappelle que V étant la largeur d'une voie V = Lch/ Nv 3,50 m pour les ponts de la 1ère classe Vo ayant pour valeur = 3,00 m pour les ponts de la 2ème classe 2,75 m pour les ponts de la 3ème classe Donc en général on a: (7) A2 = a1 x a2 x AL  à appliquer uniformément sur toute la largeur de chaussée des voies considérées. Cette valeur tient compte des effets dynamiques et donc elle n'est pas à multiplier par un coefficient de majoration dynamique.  Règles d'application de la charge AL:  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 12

Les charges AL doivent être disposées sur le tablier de manière à produire l'effet le  plus défavorable pour l'élément considéré. On choisit la longueur et la largeur des zones chargées de façon à produire les effets maximaux dans l'élément d'ouvrage dont on étudie. Les règles ci-après sont applicables: la largeur de la zone surchargée comprend un nombre entier de voies de circulation. Celui-ci influe sur la valeur de a1 comme indiqué dans le tableau 1. 

Transversalement ,

  Longitudinalement ,

les zones chargées sont déterminées par la considération de la ligne d'influence de l'effort considéré (Moment fléchissant, Effort Normal ou Effort Tranchant): Les limites de ces zones coïncideront avec le zéro de la ligne d'influence, de manière à trouver l'effet le plus défavorable.  Si l'on surcharge plusieurs zones, la longueur L à prendre en compte est la somme des longueurs des zones chargées. Par conséquent, la valeur de AL est différente dans chaque cas.  Pour déterminer l'effet le plus défavorable de AL, il faut prendre la plus grande valeur de ALi i  (Figure 2), c.à.d., si une ligne d'influence comporte plusieurs zones de même signe, il faut charger ces zones une à une, puis deux ensembles, trois ensembles, etc, en essayant toutes les combinaisons possibles, sauf, si certains cas peuvent à l'évidence être écartés d'office. 

Exemple:

AL6 AL5 AL2 AL4

AL1 2

AL3 4 3

1

L1

L2

L3

L4

 Figure 2: Chargement de AL sur une ligne d'influence.

ALi: Valeur de AL sur la travée de longueur Li. i: Surface de la ligne d'influence sur la longueur Li. L5 = L1 + L3; L6= L2 + L4. 5= 1+3; 6= 2+ 4. Ici, par exemple, il faut comparer A L11, A L22, A L33, A L44, A L55 et AL66, sachant que les ALi ne sont pas les mêmes puisqu'ils sont déterminés d'après l'équation (4) ou (5) en utilisant les Lignes d'influences comme longueur de chargement. 2-3-2- Système de charge "  B" 

 ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 13

Les charges de type B sont composées de 3 systèmes distincts:  le système Bc se composant de camions types.  le système Bt composé de groupes de 2 essieux (essieux-tandems).  le système Br  qui est une roue isolée. Ces convois sont mobiles et les valeurs de charges de ces trois types sont multipliées par un cœfficient de majoration dynamique, , qui sera explicité par la suite. a) Convoi Bc Le convoi Bc  se compose d'un ou au maximum de 2 camions types par file. Dans le sens transversal le nombre de files est inférieur ou égal au nombre de voies. Les caractéristiques du convoi Bc sont présentées ci-après (Figure 3). Les charges sont données  par essieu. 

 Longitudinalement :

(masse relative à une file de camion et charge donnée par essieu)

12t 12t 2,25 1,5

4,5 m

6t 2,25

12t 12t 2,25 1,5 4,5 m

1 camion = 300 kN

P=120 kN



1 camion = 300 kN

P=120 kN P=120 kN P=120 kN P/2= 60 kN P/2= 60 kN  4,5 m 1,5 m 1,5 m 4,5 m 4,5 m

Transversalement.

1 file de Bc  0,25



6t 2,25

 En plan

2,0 m

1 file de Bc  0,5 m

1,5

2,0 m

4,5

   0    2  ,    0

0,20    5    2  ,    0

0,25

   0    0  ,    2

Sens de déplacement  Figure 3:

Système Bc.

 ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 14

Suivant la classe du pont et le nombre de files de camions considérées, les valeurs des charges du système Bc  à prendre en compte sont multipliée par un coefficient b c  dont les valeurs sont indiquées dans le tableau suivant (Tableau 2):  Nombre de files de camions Classe 1ère du 2ème  pont 3ème

1 1,2 1 1

2 1,1 1 0,8

3 0,95 -----

4 0,8 -----

 5

0,7 -----

classe du pont. pont. Tableau 2: Valeurs de bc en fonction de Nf et de la classe  Règles d'application de la charge B c:

On choisit le nombre et la disposition des convois de manière à produire l'effet le plus défavorable; tout en respectant le règlement suivant: Dans le sens longitudinal, le nombre de camions est limité à 2 par file, orientés dans le même sens. La distance des 2 camions d'une même file est déterminée pour produire l'effet le  plus défavorable et peut être nulle (minimum 4,5 m entre essieux des 2 camions). On peut considérer une partie d’un camion, l’autre partie étant sur la travée suivante ou sur le remblai d’accès, mais on ne peut couper un camion. 

Dans le sens transversal, le nombre de files de camions, Nf , ne doit pas dépasser le nombre de voies, Nv, (c.à.d. Nf    Nv), même si cela est géométriquement possible. On ne  peut pas p as couper coup er une file de camion. De plus, une un e distance dista nce minimale de 0,25 m (Figure 3) est exigée entre l'axe de la file de roues la plus excentrée et le bord de:  la largeur chargeable s'il s'agit du calcul des poutres principales.  la largeur roulable s'il s'agit du calcul des autres éléments du tablier (hourdis, entretoises). 

b) Système Bt Un tandem se compose de 2 essieux munis de roues simples pneumatiques. Les caractéristiques caractéristiqu es du système Bt sont présentées ci-dessous (Figure 4).   Terminologie 

1 essieu

 :  Longitudinalement  :

1 essieu-tandem

un tandem

P=160 kN

1,35

P=160 kN

  En

plan

Sens de déplacement 1,35



Transversalement .

1 file de Bt  0,50

2,0 m

 1,0 m

1 file de Bt 2,0 m

   0    0  ,    2    0    6  ,    0

0,25  Figure 4: Système Bt

 ________________________________________________________________________________________   _____________________________________________ ___________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 15

Suivant la classe du pont, les valeurs des charges du système Bt à prendre en compte sont multipliées par un coefficient bt dont les valeurs sont indiquées dans le tableau suivant (pour le pont de la 3 ème classe il n’ y a pas de coefficient b t): Classe du pont Coefficient bt

1ère 1,0

2ème 0,9

3ème ---

Tableau 4: Valeurs de bt en fonction de la classe du pont.

Le système Bt ne s'applique pas au pont de la 3 ème classe. Pour les ponts de la 1ère et  e t ème de la 2  classe, il convient de respecter les règlements suivants: 

Dans le sens longitudinal, un seul tandem est disposé par file.

Dans le sens transversal, un seul tandem est supposé circuler sur les ponts à une voie. Alors que pour les ponts supportant deux voies ou plus, on ne peut placer que 2 tandems au  plus sur su r la chaussée, côte c ôte à côte ou non, de manière à obtenir l'effet le plus défavorable. dé favorable. Une distance minimale de 0,50 m (Figure 4) est exigée entre l'axe de la file de roues la plus excentrée et le bord de:  la largeur chargeable s'il s'agit du calcul des poutres principales.  la largeur roulable s'il s'agit du calcul des autres éléments du tablier (t.q. le hourdis ou les entretoises). 

c) Système Br C'est une roue isolée disposé normalement à l'axe longitudinal de la chaussée. Les caractéristiques de cette roue sont présentées ci-dessous (Figure 5): 

 Long.

P=100 kN



Transv .

P=100 kN

  En

plan

   0    6  ,    0

0,30 Sens de déplacement  Figure 5: Système Br 

La connaissance du sens de déplacement des roues de Bt et de Br  est  est important lors de calcul du hourdis des ponts. Le rectangle d'impact de la roue peut être placé n'importe où sur la largeur roulable de manière (bien sûre) à produire l'effet le plus défavorable. Résumé des règles d'application du système B Système Bc Bt

Max longitudinal par file 2 camions 1 tandem

Br 

1 roue

Transversal Nf     Nv Nv = 1  Nf = 1  Nv   2  Nf = 2 1 roue

d) Coefficient de majoration dynamique,  ,:  ________________________________________________________________________________________   _____________________________________________ ___________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 16

Les charges du système B sont des surcharges roulantes et par conséquent doivent être multipliées par un coefficient de majoration pour effets dynamiques, , sera noté B pour la charge B (B   1). Ce coefficient, applicable aux trois systèmes Bc, Bt et B r  est  est le même pour chaque élément du pont. Il est déterminé à partir de la formule: 0,6 (8) 4.G 1 S L: Longueur de l'élément considéré (en m) G: Poids propre de l'élément considéré (même unité que S). S: Charge B maximale susceptible d'être placé sur l'élément considéré (en tenant compte des coefficient bc ou bt).

B  1 

où

0,4  1  0,2 .L

Ces termes sont donnés explicitement suivant l'élément calculé comme suit: 1er cas: Quand il s'agit d'un hourdis de pont à poutre sous-chaussées

 L : La longueur L sera prise égale à la plus petite valeur entre la largeur roulable, Lr , et la portée des poutres, Lc. Mais si la distance entre les poutres de rive, Lrive, est supérieure à la largeur roulable, Lr , on prendra pour la longueur L, la plus petite valeur entre Lrive et Lc, c.à.d., L = Inf [ Sup (Lr , Lrive); Lc]  (9) Long. Lc Transv.

Lr 

Lrive

 : Choix de la longueur L.  Figure 6  :

 G est le poids propre d'une section du hourdis, et des éléments reposant sur lui, de longueur L et de même largeur que le tablier. G = g per  . . LT . L. LT

Transv. L

 

Long.  : Considération de la charge G.  Figure 7  :

 ________________________________________________________________________________________   _____________________________________________ ___________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 17

 S est le poids total le plus élevé des essieux du système B qu'il est possible de placer sur la longueur L du tablier en respectant les règlements indiqués ci-dessus pour chaque système. S = Sup (SBc, SBt, SBr ).  SBc = ? - Long:

P

P 1,5

P/2

4,5 m

4,5 m

P

1,5

P

L

Plong =  Pi

(contenu dans L).

- Transv: Nf (max)= Nv Ainsi, SBc = bc . Nv . Plong.

 SBt = ? De même, SBt = bt . N f  . 320 (en kN). Ici, si Nv=1 alors Nf =1 et si Nv2 alors Nf =2.  SBr  = 100 kN. (une seule charge). Le coefficient B ainsi calculé s'applique aux hourdis du tablier. En pratique, ce coefficient varie entre 1,1 et 1,3. Pour les ponts de la 3ème  classe, le coefficient de majoration dynamique est borné supérieurement à 1,4. 2ème cas: Quand il s'agit des poutres principales.

 L: longueur de la travée de cette poutre = Lc.  G: poids total du tablier dans cette travée.  S: poids total le plus élevé des essieux du système B qu'il est possible de placer sur le tablier de cette travée en respectant les règles d'application. Ce coefficient se calcule de la même manière que précédemment sauf que L change en Lc et le poids considéré est celle de tout le tablier de la travée. Le coefficient B ainsi calculé s'applique aux poutres principales et aux entretoises. 2-3-3-Efforts de freinage (de A L et et de Bc)

Les charges de type A et Bc sont susceptibles de développer des réactions de freinage. Dans l'étude du tablier, les efforts de freinage ne sont pas à considérer. Ces efforts n'intéressent que la résistance des appareils d'appui et la stabilité des appuis. En ce qui concerne la charge AL, l'effort de freinage correspondant est donné par: a1 . a 2 .AL.(Lch .Lc) FAL =   (10) 20  0,0035. (Lch . Lc) où AL est la valeur calculé d'après l’équation (4 ou 4a) et (Lch x Lc) représente la surface chargée S en m2. En ce qui concerne la charge Bc, un seul camion est supposé freiner. L'effet développé est égal à son poids, c.à.d. : FBc = 300 kN. (11) Cette valeur n'est multiplié ni par le coefficient bc, ni par le coefficient de majoration dynamique B.  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 18

2-4- Charges routières à caractère particulier 2-4-1- Charges militaires

Elles ne sont à prendre en compte que pour les itinéraires classés par l'armé. Les charges militaires sont de deux classes: M 80 et M 120. Chaque classe se compose de 2 systèmes distincts: -Mc: véhicule type à chenilles -Me: groupe de 2 essieux. Ainsi on distingue: Mc80, Mc120, Me80 et Me120. Le système Mc à chenille est plus utilisé que celui à essieux. Les charges militaires doivent être multipliées par un coefficient de majoration dynamique . Ce coefficient est calculé par la même formule donnée pour le système B (éq.8). 0,6 (8a) 4.G   1 S L: Longueur de l'élément considéré (en m) G: Poids propre de l'élément considéré S: Charge Mc ou Me maximale susceptible d'être placé sur l'élément considéré.

M  1 

où

0,4  1  0,2 .L

Pour une classe donnée (80 ou 120) et pour chaque élément considéré, le coefficient de majoration dynamique est le même pour les 2 systèmes Mc et Me . Les charges militaires sont supposées ne développer aucune réaction de freinage, ni de force centrifuge. a) Système Mc à chenille Ce système est plus utilisé que le système à essieux. Un véhicule type du système Mc80 ou Mc120 comporte 2 chenilles dont les caractéristiques sont représentées respectivement sur la Figure 6 et la Figure 7.  Long.

Transv.

72 t

4,90 m q =147 kN/m

0 85 0

1,95 m

0,85

   8    0

 En plan

360 kN

   5    9  ,    1

360 kN Sens de déplacement

   5    8    0

 Figure 6 : Système Mc 80

Transv.  Long.  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 19

72 t 110

1,00 0

6,10 m

2,30 m

1,00

q =180 kN/m    0    1

 En plan

550 kN

   0    3  ,    2

550 kN Sens de déplacement

   0    0    1

 Figure 7: Système Mc 120

Ces deux systèmes répondent aux règles d'applications suivantes:  Chaque système est exclusif de toute autre charge routière, c.à.d., on ne lui ajoute pas l'effet de la charge de trottoir, par exemple.  Le rectangle d'impact de chaque chenille est uniformément chargé.  Dans le sens transversal, un seul convoi est supposé circuler quelle que soit la largeur de la chaussée. Les chenilles peuvent être disposées sur toute la largeur chargeable. Leur  position est choisi de manière à obtenir l'effet le plus défavorable.  Dans le sens longitudinal, la distance entre deux véhicules successifs d'un convoi est au moins égale à 30,50 m entre les points de contact avec la chaussée (il en résulte que la distance minimale entre les axes des véhicules est de 35,40 m pour Mc80 et de 36,60 m pour Mc120).(voir Figure 8).

30,50 30,50 m m

35,40 m (Mc 80) 36,60 m (Mc 120)

 Figure 8: Distance longitudinale minimale entre 2 chars.

 b) Système Me à essieux Un véhicule du système Me80 ou Me120 comporte 2 essieux dont les caractéristiques sont représentées respectivement sur la figure 9 et la figure 10. Les deux essieux sont assimilés chacun à un rouleau. Ces deux systèmes répondent aux règles d'applications suivantes: -La surface d'impact sur la chaussée est un rectangle uniformément chargé. -Les rectangles d'impact des essieux peuvent être placés n'importe où sur la largeur chargeable, de manière à obtenir l'effet le plus défavorable. -Chaque système est exclusif de toute autre charge routière, c.à.d., sans l'accumulation de la charge de trottoir, en particulier.  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 20

Transv.

 Long.

 En plan

 Figure 9: Système Me 80

Long.

Transv.

 En plan

 Figure 10: Système Me 120

2-4-2- Charges

exceptionnelles

Comme dans le cas des charges militaires, les charges exceptionnelles ne sont à  prendre en compte que pour les itinéraires classés à cet effet. Les charges exceptionnelles les  plus utilisées sont de type D et E. elles sont souvent plus défavorable que le système A et B  pour les hourdis et les entretoises. Les convois-types D et E comportent 2 remorques dont les caractéristiques sont représentées respectivement sur la figure 11 et la figure 12. Ces deux types répondent aux règles d'application suivantes: -La surface d'impact sur la chaussée est un rectangle uniformément chargé. -Le convoi est exclusif de toute autre charge routière. -Le convoi est supposé circuler seul quelles que soient la largeur et la longueur du  pont. -Dans le sens transversal, l'axe longitudinal doit être situé au moins à 3,50 m du bord de la largeur chargeable. Les charges exceptionnelles ne sont pas majorées pour les effets dynamiques. De plus, elles sont supposées ne développer aucune réaction de freinage, ni de force centrifuge.

 Longitudinalement 

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Chap 2, page 21

 En plan

 Figure 11: Système D  Longitudinalement 

 En plan

 Figure 12: Système E

2-5-Charges sur les trottoirs Le règlement prévoit deux systèmes de charges: un système local destiné à la  justification des éléments de couverture du tablier (hourdis, entretoises) et un système général  pour le calcul des poutres principales. Les diverses charges de trottoir ne sont pas majorées  pour les effets dynamiques. 2-5-1-Charges locales (calcul des hourdis et entretoises)

valeur:

Le système local comprend une charge uniformément répartie d'intensité qtr  de qtr  = 0,45 t/m2 = 4,5 kN/m2.

(12)

Cette charge est placée pour produire l'effet le plus défavorable. Ses effets peuvent éventuellement se cumuler avec les charges de B et de Mc. De plus, le système local comprend une roue de Ptr  = 6t dont la surface d'impact est un carré de 0,25 m de côté à disposer sur les trottoirs en bordure d'une chaussée. Pour un tel cas, le trottoir est supposé non séparé de la chaussée par un obstacle infranchissable aux véhicules  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 22

t.q. une barrière normale ou lourde (une bordure de trottoir, une glissière, ou une barrière légère sont considérées comme franchissables). Dans ce cas, on prend : Mtr  = Sup (Mqtr , MPtr ). 2-5-2-Charges générales (calcul des poutres principales)

valeur:

Le système général comprend une charge uniformément répartie d'intensité qtr  de qtr  = 0,15 t/m2 = 1,5 kN/m2.

(14)

à disposer sur les trottoirs bordant une chaussée. Ce système répond aux règles d'application suivantes:  Dans le sens longitudinal, on dispose cette charge pour qu'elle produise l'effet le plus défavorable (soit de la même façon que la charge AL des tabliers de ponts routiers). Dans le sens transversal, toute la largeur du trottoir est chargée, mais on peut  considérer, soit qu'un seul trottoir est chargé, soit que les deux le sont, de manière à obtenir l'effet le plus défavorable (suivant le signe de l'effet).   Cette charge est cumulable avec la charge routière à caractère normal et particulier, c.à.d., qu'on peut l'ajouter à la charge AL, à la charge Bc ou à la charge Mc si elle peut donner un effet plus défavorable. 2-5-3-Charges sur les passerelles et les pistes cyclables

De plus, le système général comprend une charge de densité uniforme dont l'intensité est fonction de la longueur chargée L (entre les zéros des lignes d'influence): 15 en t/m2 L  50 ici, L ,en m, est la longueur chargée. aL = 0,2 +

ou aL = 2 + 150 L  50

en kN/m2 

(15)

Cette charge est réservée aux ouvrages qui ne supportent qu'une circulation de piétons ou de cyclistes (passerelles). Elle est analogue à la charge AL  (respecter les mêmes règles d'application que pour AL et charger sur les mêmes longueurs que celle-ci, c.à.d., de manière à produire l'effet maximal envisagé).

2-6-Charges sur les remblais Sur les remblais d'accès aux ouvrages, on dispose une charge uniforme répartie sur toute la largeur de la plate-forme et d'intensité égale à: Sr  = 1 t/m2 ; ou Sr = 10 kN/m2 

(16)

elle intervient dans la justification de la stabilité des culées. En outre pour la justification des éléments de faible dimension (t.q. murs garde-grèves et mur en retour), il est recommandé de disposer sur le remblai les systèmes B t ou Br   (sans majoration dynamique B), qui peuvent donner des effets plus défavorables que celui de 1 t/m2.

2-7- Epreuves des ouvrages d’art  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 23

Tout pont, une fois construit, doit être soumis à des épreuves avant sa mise en service. Ces épreuves comportent: -l'application des charges définies ultérieurement. -des visites détaillées de l'ouvrage, avant, pendant et après l'application des charges. -la mesure des flèches et le nivellement des appuis. Le béton des éléments de la structure porteuse (appuis et tabliers) doit atteint l’âge minimal de 90 jours au moment de l’épreuve. Si lors de la mise en service le béton de certains éléments structuraux n’as pas atteint l’âge de 90 jours, il appartient au maître d’œuvre d’apprécier en fonction de la qualité de la réalisation les mesures à prendre. Les épreuves n’ont pas pour but de mesurer le coefficient de sécurité réel du pont, l’objet des épreuves est le contrôle de la bonne exécution du pont par l’examen de son comportement sous des charges normales. Les charges à appliquer lors de l'épreuve sont constituées par des charges sur les chaussées et des charges sur les trottoirs. Les charges sur les chaussées (sans chargement de trottoir) sont appliquées de deux sortes d’épreuves : épreuves par poids mort et épreuves par poids roulant. a) Epreuves par poids mort. Les véhicules d’épreuves sont disposés à l’arrêt sur la chaussée et serrés (Nf   peut dépasser le nombre des voies) tant dans le sens longitudinal que transversal de façon que les sollicitations qu’ils développent dans l’élément faisant l’objet de l’épreuve soient comprises entre les   et les ¾  des sollicitations maximales développées par l’ensemble des charges. Pour les ponts courants de protée modeste, les sollicitations dépendent essentiellement de la  position des essieux. Dans ce cas, on cherche à partir des lignes d’influences les emplacements des camions pour obtenir les sollicitations visés. Ces sollicitations qui s’ajoutent à celles développées par les charges permanentes sont celles résultant des charges appliquées sans coefficient de majoration dynamique. Les épreuves doivent commencer par le chargement des appuis avant d’effectuer toute mesure sur les travées et ce dans le but de provoquer immédiatement les tassements des appuis faute de quoi les mesures des flèches effectuées par la suite pourraient n’avoir aucune signification. Pour les ponts à travées indépendantes, on charge chaque travée (une à une). Pour les  ponts à travées continues, le chargement est réalisé en cherchant les sollicitations visées et en utilisant les lignes d’influences.  Exemple :  Cas

du pont N°2 de l’échangeur de Sidi Daoud : Longitudinalement, deux camions toupies par file, chargées de 26 t chacun, sont employés. Trois files sont placés transversalement (photo 1)..

 Photo 1 : Trois files placées transversalement sur la largeur chargeable.

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Chap 2, page 24

Pour les déformations désirées de la travée N°2 de ce pont, la figure 13 montre la  position des camions dans le sens longitudinal (placé sur la 3ème  travée) configurée sur la  photo 2.

 Figure 13 : Schéma de la disposition des camions de chargement

correspondant à la travée N°2. .

 Photo 2 : Configuration des camions pour la travée N°2.

 Photo 3 : Les instruments de mesures pour la détection de la flèche.

 b) Epreuves par poids roulant. Parmi les véhicules utilisés pour les épreuves par poids mort, on en conserve un nombre égal à celui des voies de circulation. Ces véhicules étant disposés de front et dans le même sens, on les fait circuler de bout en bout sur le pont à la plus grande vitesse possible compte tenu des exigences de sécurité ( à réduire le nombre pour les ponts à voies étroites).  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 25

2-8- Combinaisons des charges pour le BAEL.  Notations

Gmax, Gmin : Charges permanentes défavorables, favorables. Q1: action variable de base. Qi: actions variables d'accompagnement FA: action accidentelle Q1, Qi, Ai: Coefficients de pondération (voir tableau)  Combinaisons à l'ELU (Etat Limite Ultime)

• de résistance et de stabilité de forme 1,35 Gmax + Gmin + Q1 Q1 +  Qi Qi • situations accidentelles Gmax + Gmin + FA +  Ai Qi

(17) (18)

 Combinaisons à l'ELS (Etat Limite de Service)

Gmax + Gmin + Q1 Q1 +  Qi Qi

(19)

 Tableau des coefficients de pondération

Type de charge Charge permanente Caractère normal (A, B*) Caractère particulier$ (M*,D,E) Charges sur trottoirs Charge sur remblai Charge due au vent Charge sismique** Choc de bateaux**

ELU 1,35 1,6 1,35 1,6 1,6 1,2 1,2 1,2

ELS 1 1,2 1 1 1,2 1 0 0

* à multiplier par le Coefficient du majoration dynamique $ suivant l'itinéraire ** charge accidentelle non vérifiée à l'ELS.

2-9- Charges sur les ponts-rails En Tunisie, les ponts-rails sont justifiés sous l'effet des chargements indiquées par le titre I du 1960. Mais en France, et à partir du 1979, les ponts-rails (t.q. ceux de la TGV) sont calculées en employant un nouveau titre I du convoi UIC (Union Internationale de Chemin de fer) [3], présenté aussi dans le livret 2.01 de la SNCF Français [4]. 2-9-1- Règlement de 1960

Le titre I de 1960 [2] indique le chargement des ponts-rails supportant des voies ferrées de largeur normale. En plus des surcharges, il décrit les prescriptions pour les forces centrifuges, les forces longitudinales de démarrage et de freinage et la pression du vent. Il  présente aussi les surcharges pour les voies ferrées étroites de largeur 1 m. 2-9-1-1- Ponts-rails supportant des voies ferrées de largeur normale  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 26

a) Surcharges La surcharge à introduire dans les calculs est constituée par un train-type composé de 2 machines avec tender, placées en tête et suivies de 2 wagons chargés. Les charges de ces éléments dépend de la classification des lignes. Pour les lignes à grand trafic (voie normale) la charge par essieu est de 25 t alors que pour les autres lignes (employé en Tunisie pour les voies métriques [7]) la charge par essieu n'est que de 20 t. Les caractéristiques géométriques restent les mêmes pour les deux cas. Une représentation de ces train-types est donnée dans la figure 14 et la figure 15. Pour les ponts à double voie, on envisage l'hypothèse de 2 trainstype marchant côte à côte dans le même sens.

M: Machine

T: Tender

W: Wagon

 Figure 14: train-type pour lignes à grand trafic [2]

M: Machine

T: Tender

W: Wagon

 Figure 15: train-type pour autres lignes [2]

La position, la longueur et la composition des convois formés avec le train-type seront choisies, dans chaque cas, de manière à réaliser les efforts maximaux dans les différents éléments de l'ouvrage. Dans la recherche des efforts maximaux, on pourra, le cas échéant, intercaler des wagons vides s'ils sont susceptibles de produire des efforts plus considérables, les convois ne pouvant pas être coupés. Les wagons vides seront supposés peser 1,25 t/ml. Ces surcharges sont à multiplier par un coefficient de majoration dynamique, , dont l'expression est la même que celle présenté par l'équation 8. Dans ce cas S représente le poids maximal des surcharges que la pièce du tablier peut supporter au total.  b) Force centrifuge Si une voie est en courbe sur l'ouvrage, il faut tenir compte de la force centrifuge et du dévers de la voie. c) Force de freinage et de démarrage  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 27

Les efforts de freinage et de démarrage sont supposés agir au niveau de la surface de roulement des rails -les efforts de freinage Ffr sont t.q. Ffr  = 1  poids des charges mobiles maximales (20) 7 -Les efforts de démarrages Fdém sont t.q. Fdém= 1 poids des locomotives. (21) 7 Le poids maximal d'un convoi est limité à • 2 000 t pour les lignes à grand trafic • 1 600 t pour les autres lignes d) Pression du vent La pression maximale du vent sur une surface verticale atteint 0,25 t/m2, mais la  pression maximale compatible avec la circulation des trains est limitée à 0,15 t/m2. 2-9-1-2- Ponts-rails supportant des voies ferrées étroites de largeur un mètre. Dans ce cas toutes les dispositions relatives aux ponts à largeurs normale sont applicables sauf que le train type est modifié de la manière suivante (figure 16): Le train type employé est composé par 2 machines suivies de 4 wagons. Chaque essieu est chargé par 10 t

 Figure 16: Train-type pour les voies ferrées étroites métriques [2]

Dans la recherche du cas le plus défavorable, on peut intercaler des wagons vides dans le convoi, leur poids est réduit à 0,75 t/ml. 2-9-2- Convoi UIC 

2-9-2-1- Ponts-rails supportant des voies ferrées de largeur normale a) Lignes à trafic normal Pour les ponts rails supportant une voie et situé dans les itinéraires internationaux, la charge à introduire dans les calculs est définie par le schéma ci-dessous définie par l'UIC (Livret 2.01 [4]). La vitesse théorique maximale de ce convoi type est limité à 120 km/h. 250 kN 250 kN 250 kN

250 kN 80 kN/m

80 kN/m  0,8m

1,6 m 1,6 m 1,6 m

 0,8 m

 Figure 17 : Convoi UIC. ( 10 kN = 1 t).

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Chap 2, page 28

Ce schéma de charges est à placer dans le cas le plus défavorable; Il peut être réduit ou divisé selon le cas. En particulier, les parties du schéma de charges qui ont une influence contraire à l'effet recherché sont à supprimer. 250 kN 250 kN 250 kN

Exemple:

80 kN/m

4m

4m

4m

4m

 Figure 18: Exemple d'un chargement le plus défavorable par le convoi de l'UIC.

Pour les ouvrages supportant 2 voies, chacune des 2 voies est à charger soit indépendamment soit simultanément.  b) Lignes à trafic exceptionnel ou réduit Dans ce cas, les charges isolées et les charges réparties indiquées ci-dessus pourrait être multiplié par un facteur de classe (ce facteur sera fixé par les services compétents). c) Coefficient de majoration dynamique Il est donnée par 1 pour les moments fléchissants et par 2 pour les efforts tranchants.

1 

1,44  0,82 L0  0,2

pour M

(22a)

0,96  0,88 pour T (22b) L0  0,2 L0  est une longueur caractéristique de l'élément calculé. L 0  est donné ci-dessous pour les  principaux éléments (pour les autres éléments voir règlement) - Cas des hourdis entre poutres: L 0 = distance entre axe des poutres - Cas des poutres principales: • 1 travée isost. L 0 = L • 2 travées: L0 = 1,2 L m • 3 travées: L0 = 1,3 L m • 4 travées: L0 = 1,4 L m • 5 travées: L0 = 1,5 L m n Lm = 1 Li n: Nombre de travée et Li: Longueur de la travée i. n 1 - Cas des pièces de ponts: L 0 = (2 x distance entre pièces de ponts) + 3,0 m. - Cas des longerons: L0: distance entre pièce de ponts + 3,0 m.

1 

d) autres charges à considérer Ce titre I défini également les efforts de lacet et de roulis, les forces centrifuges, les forces longitudinales de freinage et de démarrage, les charges sur les accotements, les efforts sur les gardes-corps et les effets du vent. Il indique aussi les épreuves des ponts rails. 2-9-2-1- Ponts rails supportant des voies ferrées étroites d' un mètre de largeur  Toutes les dispositions indiquées aux ponts rails à voie normale sont applicables sans changements aux ponts rails à voie d'un mètre sauf que le schéma de charge à considérer est celui définit au figure 17, auquel on appliquera un facteur de classe de 0,45.  ________________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 2, page 29

2-9-3- Recommandations de la SNCFTunisien

La notice technique émise par la SNCFT [7], présente les éléments de calcul. 2-9-3-1- Convoi type Le convoi type en vigueur est celui du titre I de 1960 à essieux de 25 tonnes pour la voie normale (figure 14) et de 20 tonnes pour la voie métrique (figure 15). Mais ces dernières années, le convoi UIC commence à être de plus en plus considéré. 2-9-3-2- Convoi réel Le convoi réel en vigueur sera le plus agressif possible qui circule sur la ligne à étudier; Le schéma de ce convoi est présenté dans la figure 19 pour la voie normale et dans la figure 20 pour la voie métrique. 18t 18t 18t

18t 18t 18t 18t 18t 18t

1,7 1,7 6,28 m 1,7 1,7

 DI

18t 18t 18t

18t 18t

18t 18t 18t 18t 18t 18t

1,7 1,7 6,28 m 1,7 1,7 3,89 1,8 6,75 m 1,8 3,0 1,8 6,75 1,8

DI 

 Figure 19: Convoi réel pour la voie

 SMyW 

 SMyWF 

normale [7].

Le train réel pour voie normale sera composé de 2 locomotives DI (à 16,5 t par essieu) et de 2 wagons SMyW + SMWF ( à 18 t par essieu). Pour le calcul les DI sont portés à 18 t.

 Figure 20: Convoi réel pour la voie

métrique [7]

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Chap 2, page 30

Le convoi réel doit être révisé chaque fois qu'un nouveau matériel est acquis. En effet, la SNCFT envisage d’augmenter la charge des trains de 16 à 20 t pour la ligne Tunis-Gabès.

2-10- Evolution des surcharges Pour savoir l'évolution des surcharges depuis le 19ème siècle (1858 pour les ponts rails et 1869 pour les ponts routes), on présente les schémas de ces règlements avec une comparaison des moments pour une portée de 10 et 50 m. 2-10-1- Ponts routes

 Figure 21: Evolution des surcharges pour les

ponts routes

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Chap 2, page 31

Les premiers règlements ont été établies pour des calèches conduit par des chevaux (un cheval pèse 0,7 t d’après ces règlements). Ensuite, une charges répartie a été introduite en 1877. La représentation des véhicules a débuté en 1915. 2-10-2- Ponts rails

 Figure 22: Evolution des surcharges pour les

ponts rails

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Chap 2, page 32

 Bibliographie relatif au Chapitre 2

[1] J.A.Calgaro et M. Virlogeux,"Projet et Construction des Ponts, Généralités: Fondations, Appuis, Ouvrages Courants", Presses de l'ENPC, Paris, 1987. [2] Cahier des Prescriptions Communes, "Conception, Calcul et Epreuves des Ouvrages d'Art", Bulletin Officiel du Ministère de l'Equipement et du Logement et du Ministère des Transports, Fascicule 61,titre I, 1960. [3] Cahier des Prescriptions Communes, "Programme des charges et Epreuves des Ponts Rails", Fascicule 61,titre I, 1979. [4] SNCF Français, CPC, "Règles Techniques de Conception et de calcul des ouvrages en  béton, en Métal ou Mixte", Livret 2.01. Document provisoire, NG AG 4 AO n°1, mars 1989. [5] Cahier des Prescriptions Communes, "Conception, Calcul et Epreuves des Ouvrages d'Art", Bulletin Officiel du Ministère de l'Equipement et du Logement et du Ministère des Transports, Fascicule 61,titre II, 1971. [6] B. Jacob et M. Prat, "Etude du Trafic Routier sur les Ponts", Annales de l'ITBTP,  N°482, 85-124 (1990). [7] SNCFT, "Vérification et renforcement des ponts anciens à tabliers métalliques",  Notice technique de la SNCFTunisien.

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Chap 2, page 33

 ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

page 34

Chapitre 3

CALCUL DES POUTRES PRINICPALES

3-1- Préliminaire 3-2- Coefficient de répartition transversale (CRT) 3-3- Détermination des sollicitations dans les poutres principales 3-4- Sollicitations dues à la charge permanente 3-5- Sollicitations dues à la charge AL. 3-6- Sollicitations dues à la charge du trottoir. 3-7- Sollicitations dues à la charge Bc. 3-8- Sollicitations dues à la charge militaire. 3-9- Sollicitations de calcul. 3-10- Particularité du ferraillage des poutres principales.

p 35 p 35 p 38 p 38 p 41 p 43 p 44 p 47 p 49 p 50

3-1- Préliminaire Les tabliers des ponts à poutres sont des structures tri-dimensionnelles pour lesquelles de nombreuses méthodes de calcul classique ont été proposées. En général, l'étude du tablier est subdivisée en une étude dans le sens transversal et une étude d'une poutre dans le sens longitudinal. La première étude donne un Coefficient de Répartition Transversale (CRT), dont on le multipliera avec les sollicitations (globales) retrouvées dans le sens longitudinal  pour obtenir les sollicitations (moyennes) d'une poutre. Ainsi, on obtient le principe suivant: Sollicitation moyenne = CRT x Sollicitation globale Par sollicitation, on se réfère à un moment fléchissant ou à un effort tranchant. Pour déterminer les sollicitations globales, on fait souvent appel aux lignes d'influences puisqu'on  peut avoir des charges mobiles. C'est le sujet traité dans le premier chapitre. Dans le prochain  paragraphe et en annexe, on présente l’étude de la répartition transversale dans un pont à  poutres, puis on termine avec le calcul des sollicitations globales et moyennes.

3-2- Coefficient de Répartition Transversale (CRT) 3-2-1- Introduction

Le rôle principale des entretoises est de répartir les efforts entre les poutres  principales. Dans l'absence des entretoises, c'est le hourdis qui joue le rôle d'entretoisement. Ainsi, pour déterminer les efforts dans une poutre, on doit tenir compte de la répartition transversale des surcharges et ceci à travers un coefficient correctif appelé Coefficient de Répartition Transversale "CRT". Celui-ci montre la portion des surcharges transmise sur la  poutre considérée.  ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 35

Les tabliers des ponts à poutres sont des structures tri-dimensionnelles pour lesquelles de nombreuses méthodes de calcul ont été proposées. Ces méthodes sont classées en deux familles, selon que la section transversale peut être considéré comme étant indéformable (Figure 1) ou déformable (Figure 2). P

Entretoise intermédiaire  Section rigide indéformable

Principe de répartition transversale pour un pont à poutre avec entretoises intermédiaires  méthode de Courbon.

 Figure 1 :

P hourdis

 Section souple deformable

Principe de répartition transversale pour un pont à poutre sans entretoises intermédiaires  méthode de Guyon-Massonnet.

 Figure 2 :

Le cas d’une section transversale indéormable est adapté aux tabliers dotés d'entretoises suffisamment rigides (avec entretoises intermédiaires nombreux et rapprochées). Dans ce cas on utilise: -la méthode des entretoises rigides, connue sous le nom de la méthode de Courbon, appliquée aux ponts en béton armé (ponts à poutres, pont à caisson), 1940.[1-3] -la méthode de torsion uniforme (voir Calgaro et Virlogeux) [4], appliquée surtout pour les  ponts métalliques ou mixtes. Lorsque le tablier ne comporte pas d'entretoises rigides (sans entretoises intermédiaires ou avec entretoises d'espacement large), la section transversale est considérée comme étant déformable (Figure 2). Dans ce cas, le comportement mécanique de tels tabliers s'écarte de celui résultant de l'application de la méthode classique de la résistance des matériaux. On utilise, alors, l'une des méthodes suivantes: -méthode de Guyon-Massonnet [5-8], basée sur un modèle de grillage de poutres, appliquée aussi bien pour les ponts à poutres multiples sous-chaussées que pour les ponts dalles. -Méthode de Cart-Fauchart [4,9], appelée aussi méthode de matrice-transfert de flexion transversale, basée sur des sections entre nervures et hourdis, appliquée aux tabliers à nervures. -Méthode de Lacroix [10], basée sur la théorie des poutres croisées. -Méthode des coupures (de Abdunnur) [11], basé sur une coupure au milieu du hourdis.  ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 36

-Méthode de Eugène [10] des ponts à poutres élastiquements liées, basée aussi sur une coupure dans le sens longitudinal du pont et au centre du hourdis. -Méthodes des ossatures plissées [4] (voir Calgaro et Virlogeux), basée sur la schématisation du tablier par plusieurs voiles. La liste des méthodes citées n'est pas exhaustive. Mais en pratique, dans le cas de tablier rigide, on utilise la méthode de Courbon . Dans le cas contraire, c'est la méthode de Guyon-Massonnet qui est la plus utilisée. 3-2-2- Méthode de Courbon

Cette méthode suppose que les déformations des entretoises sont négligeables vis-àvis des déformations des poutres, c.à.d., les entretoises présentent une rigidité infinie. Ceci  peut être obtenue lorsque: -les entretoises sont suffisamment nombreux (3) et rapprochées (a  4m) -La largeur du pont est très inférieure à sa longueur (Lr/Lc  0,5). -Les entretoises ont une hauteur comparable à celle des poutres.  Notons que dans le cas de pont à poutres avec entretoises intermédiaires, ces conditions sont généralement réalisées en pratique. 3-2-3- Méthode de Guyon-Massonnet 

Lorsque la rigidité torsionnelle des éléments d'un pont ne peut être négligée, la section transversale du pont est considérée comme étant déformable; c'est alors qu'on utilise la méthode de Guyon-Massonnet (développée originalement par Guyon [5] en 1946 et mise sous forme de tableaux numériques par Massonnet [6-8] en 1954). Cette méthode est une méthode de calcul des dalles ou de réseaux de poutres. Voici les deux principes fondamentaux de la méthode: - Le premier principe fondamental est de substituer au pont réel un pont à structure continue qui a même rigidités moyennes à la flexion et à la torsion que l'ouvrage réel. - Le deuxième principe est d'analyser de façon approchée l'effet de la répartition transversale des charges en admettant que cette répartition est la même que si la distribution des charges selon l'axe du pont était sinusoïdale et de la forme:  x   p' = p sin L      p: constante; L: portée du pont. Les calculs peuvent être affinés en développant la charge en série de Fourier, en fonction de l'abscisse longitudinale. Comme, de nos jours les ponts à poutres ne sont pas dotés d’entretoises intermédiaires, nous  présentons Les détails de calcul d'après cette méthode dans  l'annexe 1 avec les tables correspondantes de Guyon-Massonnet présentées dans l'annexe 2. Le CRT est déterminée pour la poutre de rive et pour la poutre intermédiaire. Ensuite, en comparant les valeurs des CRT, y compris les différentes paramètres (a1, LAL, bc), nous retenons les valeurs des CRT les plus grandes. Ça sera une poutre modèle avec un les valeurs maximales des CRT. Ainsi, nous calculons une seule poutre et tous les poutres auront le même ferraillage pour éviter le risque d’erreurs lors de la mise ne œuvre.

3-3- Détermination des sollicitations dans les poutres principales  ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 37

Les poutres principales sont soumises à la charge permanente et aux surcharges (voir règles de chargement dans le chapitre 2). En ce qui concerne les charges à caractères normales, la charge Bc est en général la plus défavorable du système B. Il reste à comparer les effets de la charge Al et Bc, ensuite les cumuler à la charge du trottoir s'il en existe. Le résultat est à comparer avec les charges à caractères particuliers s'ils sont données. le principe est toujours le même, c.à.d., M = M per  + Sup M  Al   M tr , M  Bc  M tr , M Mc  M tr , M  Ex  On effectue l'évaluation des sollicitations aux sections critiques et à d'autres sections intermédiaires à l'ELU et à l'ELS. Cette reconnaissance de la répartition des sollicitations nous permet de faire l'arrêt des barres pour les moments fléchissants et de changer l'espacement des étriers pour l'effort tranchant. Pour cela on détermine couramment les sollicitations aux sections suivantes: x=Lc/2; x=Lc/4; x=Lc/6; x=Lc/8; et x=0. Ou un espacement d’un pas régulier est choisi (L/10 ou 1 m ou 2 m par exemple). Si l'étude transversale est effectuée d'après Courbon-bras de levier, Il suffit de calculer les moments fléchissants dans la poutre de rive et les efforts tranchants dans la poutre de rive et de sa poutre adjacente. Si l'étude transversale est effectuée d'après Guyon-Massonnet, on calcule les moments fléchissants et les efforts tranchants dans la poutre de rive (transversalement de rive) et la  poutre centrale . Longitudinalement, le schéma statique de ces poutres est le même, la seule différence réside dans le coefficient de répartition transversale.

3-4- Sollicitations dues à la charge permanente. 3-4-1- Valeur de la charge permanente

On évalue la charge permanente, g per , par m.l. de la poutre principale. En général, cette charge est composée de la somme des poids propres des éléments suivants: g per =g p+gd+gst.  La poutre elle-même, g p: g p = b p (h p - hd)  BA. BA: poids volumique du Béton Armé = 2,5 t/m3 = 25 kN/m3.    d

   h   p

   h

 b p  Figure 3 : Section transversale d’une poutre. 

Le hourdis, gd: gd = hd . b0 .BA.

 b0    d

   h

 b0

 b0

 Figure 4 : Section transversale du hourdis.

 ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 38

La superstructure ou équipements, gst (étanchéité, couche de roulement, trottoir, garde-corps, corniches, etc):



gst = gétch + gcroul+ gtr  + gg.c.+ gcor  + … L’étanchéité est généralement prise à 3 cm d’épaisseur ( et= 22 kN/m3). La couche de roulement d’épaisseur généralement de 7 cm d’épaisseur (rl= 22 kN/m3). Le poids du trottoir est estimé à travers sa surface et sa masse volumique (remplie de béton à 25 kN/m3). Les gardes corps sont évalués selon le modèle. Les plus courants de type S8 est de poids linéaire de 0,3 kN/ml alors que le type BN4 (barrière employé comme garde corps) est de poids linéaire de 0,65 kN/ml. Pour les autres éléments en BA tel que la corniche, il est suffit de déterminer le volume de l’élément considéré et d’utiliser la masse volumique du BA (BA= 25 kN/m3). Les charges de la superstructure sont majorées pour des incertitudes de leur poids (Gmax). Ainsi, l’étanchéité est majorée par 1,2 ; la couche de roulement de 1,4 et pour les autres éléments (trottoirs, corniches, bordures, …) de 1,05. En total, on évalue la charge permanente g per = g p+gd + gst. Alors que la charge d’entretoise sur appui n’intervient qu’aux appuis de la poutre de manière concentrée Ge. Elle n’est pas considérée pour le calcul des moments fléchissants et n’est considérée que pour les efforts tranchants sur les appuis (réactions d’appui). 

Ge = be . (b0 - b p). (he – hd).  BA.

en t ou en kN.

 b0

 b p Transv.    d

  e    h    h

 b0

 b0

 Long.

 be  Figure 5 : Section considérée pour l’entretoise

Coefficient de pondération des charges G  = 1,35 Suivant le dernier chapitre à l'ELU et G = 1,00 à l'ELS. G 

Répartition transversale La charge permanente est répartie de manière égale. Donc le CRT est  per  = 1. 

3-4-2- Moments fléchissants

La charge permanente est une charge répartie sur toute la poutre. Pour déterminer les sollicitations dues à cette charge, on n'a pas besoin d'utiliser le principe des lignes d'influence. Le problème se réduit à déterminer les sollicitations d'une charge répartie sur toute une poutre sur appui simple.  ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 39

g A

B

Lc/2 Lc

"M"

g Lc2/8  Figure 6:

Diagramme des moments fléchissants sous l'effet de la charge permanente

n x = G . g per . 2 (Lc- x) 2 n  per   per  M Lc/ 2  = G . g per  . Lc = M0,5. 8 2 3  per  n 3 . Lc  per  M Lc/ 4  = G . g per  . = 4 M0,5. 4 .8  per 

Mx

2   . gn . 5 . Lc = 5 M per . G  per  9 . 8 9 0,5 7  per  n  per  M Lc/8  = G . g per . = 16 M0,5.  per  M Lc/ 6  =

3-4-3- Efforts tranchants

De même pour les efforts tranchants, on utilise le diagramme des efforts tranchants d'une charge répartie sur une poutre simple.

g

GE

A

B

Lc/2 Lc

GE g . Lc/2

"T" g.Lc/2

 Figure 7:

 per 

Distribution des efforts tranchants sous l'effet de g per .

n

= G . g per  ( Lc  x) x  0 2  per  n x = 0 Tap = G . g per  Lc  + GE 2 n 3.Lc  per  T Lc/8 = G . g per  8 n  per  T Lc/ 4 = G . g per  Lc 4  per  T Lc/ 2  = 0. Tx

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Chap 3, page 40

3-5- Sollicitations dues à la charge Al. 3-5-1 Rappels:

a) valeur de la charge On rappelles quelques règlements de A L (chapitre 2) 360 AL = 2,3 + L + 12 en kN/m2. L : Longueur chargée longitudinalement; en m. On multiplie cette quantité par deux coefficient a1 et a2. a1 dépend de nombre de voies chargées et de la classe du pont (voir tableau 1 dans la page 12 du chapitre 2). a2 = V0/V V0 = 3,5/3,0/2,75 pour les ponts du 1 ère/2ème/3ème classe. V : Largeur d'une voie. A2 = a1 .a2 . A L. La charge devient par m.l. en multipliant par, L AL, la largeur de chargement déterminée transversalement, c.à.d., qAL = A2 . LAL = a1 .a2 . AL . LAL b) Coefficient de pondération des charges Q1  = 1,60 à l'ELU Suivant le chapitre 2 Q1  = 1,20 à l'ELS Q1 c) Coefficient de répartition transversale. La RDM nous apprend que les moments fléchissants Mi et les efforts tranchants Ti sont  proportionnels à la réaction de la poutre Ri. Donc, on doit multiplier ces sollicitations par le CRT. Celui-ci, Al, est déterminée d'après la méthode de Courbon (et bras de levier) si la section transversale est considérée comme indéformable ( cas des ponts avec entretoises intermédiaires). Par contre, pour les sections transversales déformable (ponts sans entretoises intermédiaires), le CRT Al est déterminée d'après la méthode de Guyon-Massonnet. Ici, on ne traitera que le cas où le CRT est déterminée par la méthode de Guyon-Massonnet (c.à.d.) le cas où il n'y a que des entretoises à l'extrémité des poutres principales. Ce coefficient est  présenté dans l’annexe de ce chapitre. 3-5-2- Moments fléchissants

Dans ce cas, aussi, l'utilisation de la ligne d'influence peut être remplacer par le diagramme des moments, puisque le cas le plus défavorable revient à charger toute la longueur de la poutre Lc.

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Chap 3, page 41

qAL A

B

Lc/2 Lc

"M"

qAL . Lc2/8  Figure 8:

Distribution des moments moments fléchissants fléchissants sous l'effet de la charge AL.

qAL = A2 . LAL = a1 .a2 . Al . LAL Ici, L = Lc dans l'expression de AL. x Al Mx = Q1 . Al . qAl . 2 (Lc- x) Al Lc2  .  x=Lc/2 MLc/2 = Q1 Al . qAl . 8 . Al 3.Lc x=Lc/4 MLc/4 = Q1 . Al . qAl . 32 . Al 7.Lc2 x=Lc/8 MLc/8 = Q1 . Al . qAl . 128 . 3-5-3- Efforts tranchants

Les efforts efforts tranchants tranchants se calculent à l'aide de leur ligne d'influence d'influence en en tenant tenant compte de la longueur chargée L AL . A

Lc-x

x

B

Lc

qAL 1- x

Lc

’AL  Figure 9:

Effort tranchant dans la section x sous sous l'effet de la charge charge Al.

360 = a1 . a2 .   . L  2,3 + (Lc -x) + 12    AL 1 x (Lc x)2 ’Al = 2 . (1 - Lc) . (Lc- x) =  2 . Lc Al AL T =   . AL . q .AL . Al

qx

x

Q1

Li "Tx"

en kN/m.

x

En particulier, 360 AL Al Lc Al Tap = Q1 . Al . qx . 2 . avec qx = a1 . a2 .   . L  2,3 + ( Lc+ 12)    AL Lc AL 360 Al Lc Al  pour x= 2 TLc/2 = Q1 . Al . qx . 8 . avec qx  = a1 . a2 .   . L  2,3 + ( 0,5 Lc + 12)    AL

 pour x=0

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Chap 3, page 42

3-6- Sollicitations dues à la charge du trottoir 3-6-1- Rappels

a)Valeur de la charge. On utilise la charge générale de valeur constante (chapitre 2 ): qtr  = 0,15 t/m2. = 1,5 kN/m2. Cette valeur est à multiplier par la largeur de chargement, qui est la largeur du trottoir L tr . qtr  =  = 0,15 . L tr  en t/m. ou qtr  =  = 1,5 Ltr  en  en kN/m.  b) Coefficient de pondération pondération des charges charges Q1  = 1,60 à l'ELU Suivant le chapitre. 2 Q1  = 1,00 à l'ELS Q1 c) Coefficient de répartition transversale. Le CRT est déterminée d'après Guyon-Massonnet décrite en annexe. 3-6-2- Moments fléchissants

Le calcul se fait de manière analogue à celui de AL x tr  Mx = Q1 . tr  . . qtr  . . 2 (Lc - x) 3-6-3- Efforts tranchants

Les efforts tranchants tranchants se calculent à l'aide de leur leur ligne d'influence. La charge charge qtr   est constante. Elle est placée de manière la plus défavorable. A

(Lc (Lc – x)

x

B

Lc

q tr  1- x

Lc

 tr 

Li "Tx"

Effort tranchant sous l'effet de la charge qtr  dans le cas où le l e CRT est donnée par la méthode de Guyon-Massonnet.  Figure 10:

1 x (Lc x)2  = 2 . (1 - Lc) . (Lc - x) =  2 . Lc tr  = tr  T =   . tr  . . qtr  . .tr  . . x

Q1

En particulier, pour x = 0

Lc tr  Tap = Q1 . tr  . . qtr  . . 2  .

 ____________________________________________________________________________________   _____________________________________________ _______________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 43

3-7- Sollicitations dues à la charge Bc 3-7-1 Rappel 

a) Valeur de la charge P 1,5

P

P/2 4,5 m

 Figure 11:

 4,5 m

P 1,5

P 4,5 m

P/2

P = 12 t = 120 kN

Schéma de calcul de la charge charge Bc dans le sens longitudinal

 b) Coefficient bc On doit multiplier la valeur de de la charge par le coefficient bc qui qui dépend du nombre de file et de la classe du pont (d’après le CRT). c) Coefficient de majoration dynamique B. B = 1 +

0,4 1 + 0,2 L +

0,6

G 1+ 4 S L: longueur de la travée = Lc. G: Poids total de cette travée. S: Poids total le plus élevé du système B placé sur la travée tr avée (en tenant compte du bc et bt). d) Coefficient de pondération des charges Q1  = 1,60 à l'ELU Suivant le chap. 2 Q1  = 1,20 à l'ELS Q1 e) Coefficient de répartition transversale. Le CRT Bc est déterminée d'après Guyon-Massonnet. Guyon-Massonnet. 3-7-2- Moments fléchissants

(xLc/2) ; Dans ce cas, les moments sont calculés à l'aide de leur lignes d'influence (Li) dans la section considérée en plaçant la charge Bc dans le l e sens longitudinal de manière la plus défavorable. La Li des moments est une ligne brisée formée de segments de droites. Il en résulte que la position la plus défavorable du convoi comporte probablement la présence d'un essieu au droit de la l a section considérée. Les essieux arrières sont les plus chargées et les plus rapprochés. Nous avons intérêt dans le but de trouver le cas le plus défavorable à mettre ces essieux à côté de l’ordonnée maximale de la ligne d’influence. Pour cela deux positions sont possibles : soit le dernier essieux sur l’ordonnée maximale soit l’avant dernier essieu. On essaye ces deux positions en déterminant la somme des produits de  Pi . yi .pour chaque position. ère

1  disposition :  ____________________________________________________________________________________   _____________________________________________ _______________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 44

A

P

B

Lc - x

x

Lc

P/2

P

P

P Li "Mx"

yi x  Figure 12 :

(Lc  x) Lc

Détermination des moments fléchissants sous l’effet de la charge Bc  pour la première disposition.

ème

2

 disposition :

A

B

Lc - x

x

Lc

P/2

P P

P P Li "Mx"

yi x  Figure 13 :

(Lc  x) Lc

Détermination des moments fléchissants sous l’effet de la charge Bc  pour la deuxième disposition.

Pour ces deux dispositions, nous déterminons les yi sur les lignes d’influences tel expliqué dans le chapitre1. Ensuite, nous cherchons le cas le plus défavorable entre les deux dispositions.  Pi yi = Sup [( Pi yi)1ère disp, ( Pi yi)2ème disp] Ainsi, on peut déterminer le moment maximum. Bc Mx  = Q1 . Bc . B . bc .  Pi . yi section au milieu de la travée (x=Lc/2) Avec exactitude suffisante pour la pratique, on admet que le moment maximum absolu agit au milieu de la travée. Mais en vérité sa position réelle est donnée par le théorème de  barré. *Cas particulier:

Théorème de Barré: "Le moment fléchissant est maximum au droit d'un essieu lorsque cet essieu et la résultante générale du convoi se trouvent dans des sections symétriques par rapport au milieu de la poutre." 

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Chap 3, page 45

Une étude, basée sur ce théorème, a été faite pour le convoi réglementaire Bc [1,12]. Les dispositions les plus défavorable des essieux pour différentes longueurs de travées et les expressions des moments maximaux correspondants sont données dans le tableau N°1 pour le cas de travée indépendante [1,12]. Portées ( Lc en m)

Dispositions des essieux

 (m) Moments maximaux (Mmax)

P

0 < Lc < 2,56 m

0 P

P

2,56 < Lc < 9,19

PP

9,19 < Lc < 11,75

P/2

17,44 < Lc < 18,38

P/2

18,38 < Lc

P/2

0,375

0,281 M= P (0,50 Lc +  Lc   0,75)

0,15

0,056 M= P (0,625 Lc +  Lc   1,875)

0,375

0,422 M = P (0,75 Lc +  Lc   3,375)

0,844

2,848 M= P (Lc +  Lc  - 7,875)



P

11,75 < Lc < 17,44

M= 0,25 P Lc

P/2

P P/2

P P

PP

P/2

P

P/2

PP

14,878 M = P(1,25 Lc + 1,725  Lc 13,125)

Tableau N°1: Expression du moment maximale sous l'effet du convoi Bc dans une poutre à travée indépendante [1,12]. Pour une approximation assez suffisante pour la pratique on suppose que ces moments sont obtenus pour la mi-travée, c.à.d., à x= Lc /2. Ainsi, on a: Bc M Lc /2 = Q1 . Bc . B . bc .Mmax. 14,878 Exp: Lc = 19 m; L= Lc > 18,38m Mmax = P (1,25 Lc +  Lc  - 13,125) Bc 14,878 M Lc /2 = Q1 . Bc . B . bc .P (12,5 Lc +  Lc - 13,125) avec P = 12t 3-7-3- Efforts tranchants

La position la plus défavorable est évidente (2 essieux arrière sur le maximum de la ligne d’influence, Li).

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Chap 3, page 46

A

B

(Lc-x)

x Lc

P 1- x

Lc

P/2

P

P

P

yi

Li "Tx"

 Figure 14: Détermination des efforts tranchants sous l'effet de Bc

Bc Tx  = Q1 . Bc . B . bc .  Pi yi

3-8- Sollicitations dues aux charges militaires 3-8-1- Rappel 

Nous étudions les charges Mc80 ou les charges Mc120 selon les cahiers des charges de maître d’œuvre (selon l’importance de l’itinéraire ). La plupart des ponts actuels sont  plutôt calculé pour la charge de Mc 120. a) Valeur de la charge • Mc80

q = 147 kN/m 30,5 m

4,9 m  Figure 15a :

• Mc120

q 4,9 m

Représentation longitudinale de la charge Mc80. q = 180 kN/m

q

30,5 m

6,1 m

 Figure 15b : Représentation longitudinale de la

6,1 m charge Mc120.

b) Coefficient de majoration dynamique Mc. 0,4 Mc = 1 + 1 + 0,2 L +

0,6

G 1+ 4 S L: longueur de la travée = Lc. G: Poids total de cette travée. S: Surcharge maximale de Mc correspondant placé sur la travée. c) Coefficient de pondération des charges Q1  ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 47

 = 1,35 à l'ELU Q1    1 à l'ELS Q1 d) Coefficient de répartition transversale. Le CRT Mc est déterminée soit d'après la méthode de Guyon-Massonnet. Suivant le chapitre 2

3-8-2- Moments fléchissants

Les charges militaires étant une charge répartie. En utilisant les lignes d'influences, on détermine les sollicitations en multipliant la charge par l'aire correspondante. Mais la question qui reste à étudier est la suivante: Où placer la charge pour avoir l'effet le plus défavorable? Ce qui revient à rechercher l'aire maximale de la ligne d'influence placée sous la charge. En ce qui concerne les moments fléchissants, et pour une longueur modérée (ne faisant pas intervenir un deuxième char) la charge est placée à une distante t  de l'appui gauche (voir figure 16). Ainsi, on doit rechercher la valeur de t pour avoir l'aire  maximale. Ceci est obtenu  bien entendu- en dérivant la fonction  par rapport à t et en égalisant la dérivée à zéro (d /dt = 0). C'est ainsi qu'on obtient la valeur suivante de t :  pour la charge de Mc80:  pour la charge de Mc120: A

x t =  Lc (Lc - 4,9) x t =  Lc  (Lc – 6,1)

x t

en m. en m.

(Lc-x)

4,9 m

B

Lc

q Li "Mx"

  Figure 16:

x (Lc  x) Lc

Détermination des moments fléchissants sous l'effet de la charge Mc 80 (le char est placé à une distance t de l'appui gauche de manière à produire l'effet le plus défavorable).

Les moments fléchissants dans la section x sous l'effet de Mc80 est: Mc Mx  = Q1 . Mc . Mc . q . 

Mc: CRT sous l'effet du Mc 80  : aire de la Li correspondante à la charge de Mc 80. Cet aire est déterminée en trouvant les ordonnées de ces extrémités par le principe de Thalès et en connaissant la valeur maximale de la ligne d’influence. Sous l'effet de Mc120, les moments fléchissants sont déterminés de manière analogue (t change). 3-8-3- Efforts tranchants

 ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 48

La recherche du cas le plus défavorable pour les efforts tranchants est plus simplifiée car il suffit de positionner un char adjacent au sommet de la ligne d'influence (Fig. 17). Éventuellement, on peut placer un deuxième char à 30,5 m. A

x

B

(Lc – x) Lc

4,9 m

q

1 x Lc Li "Tx"

’ Figure 17: Détermination des efforts tranchants sous l'effet de Mc80 Les efforts tranchants dans la section x sous l'effet de Mc80 est: Mc Tx  = Q1 . Mc . Mc . q . ’ Sous l'effet de Mc120, les efforts tranchants sont déterminés de manière analogue. Remarque: Pour les ponts de longueur importante (> 35 m), il y a lieu de prendre en compte l'effet du 2ème char. (surtout pour les efforts tranchants près de l'appui).

3-9- Sollicitations de calcul On établira un tableau de ces sollicitations à l'ELU et un tableau de l'ELS, dans les sections courantes. La combinaison des actions pour les moments fléchissants et les efforts tranchants est: Mx = M per  + Sup M  Al   M tr , M  Bc  M tr , M Mc  M tr  Tx = T per  + Sup T  Al   T tr , T  Bc  T tr , T Mc  T tr   Section Mx Tx

0 (appui)

Tableau N°2:

Lc/8

Lc /4

Lc /2

Tableau des sollicitations de calcul à préparer.

Ce tableau est à obtenir à l’ElU et à l’ELS.

3-10- Particularité du ferraillage des poutres principales  ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 49

Pour les ponts à poutres en béton Armé, la section de la poutre en T ou avec talon est calculée à la flexion simple. Pour le béton, on prend un f c28 = 30 MPa. Le calcul du BA ce fait d'après le règlement BAEL 91.  Nous procédons aux arrêts de barres. Cet arrêt est déterminé suivant le diagramme enveloppe en le décalant de 0,8 h p. On détermine le moment résistant du groupe de barres  pour le quel on veut effectuer l’arrêt. Ce moment doit être supérieur au moment due au charges appliquées (calculés). On ajoute une longueur de scellement. La condition de fissuration est très préjudiciable si l'ouvrage est sur site très agressif (sur mer ou en zone industrielle) sinon la fissuration est considérée comme préjudiciable. Ainsi, les conditions d'enrobage sont: • 3 cm dans le cas de fissuration préjudiciable • 5 cm dans le cas de fissuration très préjudiciable.  Dans la plus part des tabliers des ponts, la fissuration est considérée comme  préjudiciable, c’est ainsi que les calculs se font uniquement en ELS .

Il est à noter qu'on laisse en attente les armature de la face supérieure (étrier) pour constituer un mariage avec le hourdis. Les armatures longitudinales des poutres sont ainsi introduites lors du ferraillage du hourdis. Les poutres préfabriquées en Béton Armé posé par une grue sont dotées de crochets nécessaire pour leur manutention lors du levage. Ainsi, la poutre doit être calculé aussi à ce mode d'exécution. Le calcul se fait en considérant la poutre inversée appuyée sur les points d'accrochage et soumise à l'effet de la charge permanente de la poutre elle-même (Fig. 18).

Inverser 

g p  Figure 18: Schéma de principe de calcul

d’une poutre au moment de son levage.

Si le leavge est procédé aux extrémités des poutres (par les trous de réservations de l’acier inférieurs des entretoises), ce calcul n’est pas nécessaire.

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Chap 3, page 50

 Bibliographie relatif au Chapitre 1

[1] J. Courbon, "Application de la RDM au Calcul des Ponts", Dunod, Paris, 1950. [2] J. Courbon, " la Résistance Des Matériaux ", Tome 1, 2è ed., Dunod, Paris, 1964. [3] J. Courbon, "Calcul des Ponts à Poutres Multiples Solidarisées par des Entretoises", Annales des Ponts et Chaussées, Nov-Déc 1940. [4] J.A. Calgaro et M. Virlogeux, "Projet et Construction des Ponts: Analyse des Tabliers des Ponts", Presses de l'ENPC, Paris, 1988. [5] Y. Guyon, "Calcul des Ponts Larges à Poutres Multiples Solidarisées par des Entretoises", Annales des Ponts et Chaussées de France, 1946. pp553-612. [6] Ch. Massonnet, "Contribution au Calcul des Ponts à Poutres Multiples", Annales des Travuax Publiques de Belgique. Juin, Oct et Déc 1950, pp374-424, 749-800, 927-964. [7] Ch. Massonnet, "Compléments à la Méthode de Calcul des Ponts à Poutres Multiples", Annales de l'ITBTP, N°169, Jan 1962, pp1-36. [8] R. Bares et Ch. Massonnet, "le Calcul des Grillages de Poutres et Dalles Orthotropes", Dunod, Paris 1966. [9] J. Fauchart, "Exemples d'Etudes de Tabliers des Ponts Courants en Béton Précontraint, Coulés sur Cintre", Annales de l'ITBTP, Mai 1968, pp 765-786. [10] B. Archambeaud et F. Durand, " Ponts à Deux Poutres Reliées par un Hourdis: Calcul Eugène, Ponts à Poutres Elastiquement Liées", Travail de Fin d'Etudes, ENPC/SETRA, 1979. [11] C. Abdunur, "Influence des Entretoises sur le Comportement d'un Pont à Poutres", Bulletin de Liaison des Laboratoires des Ponts et Chaussées, N°95, Mai-Juin 1978,  pp33-50. [12] Réunions des Ingénieurs, "Cours de Ponts", Collection des cours de l'Ecole chez soi, Ed. Eyrolles, 1977.

 ____________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 51

Annexe au chapitre 3

Etude de la répartition Transversale des charges sur les ponts à poutres par la méthode de Guyon-Massonnet

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Chap 3, page 52

A-1-Introduction Lorsque la rigidité torsionnelle des éléments d'un pont ne peut être négligée, la section transversale du pont est considérée comme étant déformable. C'est alors qu'on utilise la méthode de Guyon-Massonnet (développée originalement par Guyon [1] en 1946 et mise sous forme de tableaux numériques par Massonnet [2-4] en 1954). Cette méthode est une méthode de calcul des dalles ou de réseaux de poutres.  A-1-1-Principes fondamentaux de la méthode

- Le premier principe fondamental est de substituer au pont réel un pont à structure continue qui a les mêmes rigidités moyennes à la flexion et à la torsion que l'ouvrage réel. Ce  premier principe n'est nécessaire que pour les hypothèses mathématiques (continuité des fonctions). - Le deuxième principe est d'analyser de façon approximative l'effet de la répartition transversale des charges en admettant que cette répartition est la même que si la distribution des charges selon l'axe du pont est sinusoïdale et de la forme:  x   p' = p sin L      p: constante; L: portée du pont. Les calculs peuvent être affinés en développant la charge en série de Fourier, en fonction de l'abscisse longitudinale.  A-1-2-paramètres fondamentaux

On considère une travée indépendante, de portée L, de largeur 2b, dont l'ossature est constituée par une poutraison croisée de n poutres longitudinales (portée L, espacement b1) et de m entretoises (portées 2b, et espacement L1) intermédiaires, disposées transversalement (figure 1). Entretoises (m,BE, CE , 2b)

   b    b    2    b

  e    l   p   m    i   s    i   u   p   p    A

L1

 poutres principales (n,BP ,CP ,L)

  e    l   p   m x    i   s    i   u    1   p    b   p    A

0

L y  Figure 1:

Modèle du tablier de pont d'après Guyon-Massonnet [1-4]

Toutes les poutres sont identiques et caractérisées par: - leur rigidité à la flexion BP = E . IP - leur rigidité à la torsion CP = G . K P De même, toutes les entretoises sont identiques, et également caractérisées par: - leur rigidité à la flexion BE = E . I E - leur rigidité à la torsion CE = G . K E  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 53

E : Module de Young E  : Cœfficient de Poisson 2(1+) IP : Moment d'inertie de flexion des poutres. K P: Moment d'inertie de torsion des poutres. IE : Moment d'inertie de flexion des entretoises. K E: Moment d'inertie de torsion des entretoises. G: Module de torsion.

avec G =

Par unité de longueur, ces rigidités deviennent: BP E . IP Rigidité de flexion: P =  b =  b 1 1 BE E . IE E = L =  L 1 1 CP G . K P Rigidité de torsion: P =  b =  b 1 1 CE G . K E E = L =  L 1 1 E On suppose que le cœfficient de Poisson du matériau constitutif est nul (=0)  G = 2 , E  K P c.à.d., P = 2  .  b 1 E  K E E = 2  .  L 1 Le comportement du pont est complètement défini par 2 paramètres principaux: P+E  =  Paramètre de torsion: 2 PE 

Paramètre d'entretoisement:

 b 4 P  = L E

Le paramètre de torsion  prend en compte en plus des rigidités de flexion P et E celles de la torsion P et E. Il caractérise donc l'influence de la torsion et varie entre 0 et 1. (P+E) = 0  La résistance à la torsion est négligeable.  = 0  = 1 P = E =   Le pont est une dalle isotrope (P+E) = 2  Ainsi, pour le calcul d'un tablier des ponts dalles , on suppose que la dalle est isotrope et par conséquent on prend  = 1. Les structures réelles d'un pont à poutres ont un comportement intermédiaire entre ces 2 cas particuliers. 

Lorsque le pont est très allongé ou les entretoises sont très rigides, le paramètre d'entretoisement  est voisin de zéro. Pour  < 0,3 , on peut admettre que les entretoises sont infiniment rigides [4], ce qui correspond à   = 0. Dans ce cas, on utilise la méthode de Courbon [5]. 

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Chap 3, page 54

A-2- Calcul des moments d'inertie de flexion et de torsion  A-2-1-Moments d'inertie de flexion

La détermination des moments d'inertie de flexion ne pose aucune difficulté. Si cela s'avère nécessaire, on peut utiliser le théorème de Hygens pour les sections composées. 1er cas:

section en T (en BA)

 b0 hd

1 hP 2

 ba  Figure 2 : Section en T

Le moment d'inertie de flexion pour cette section est [6]: 2 (b0-ba).hd2+ ba.hp2] [ 1 1 IP=Ix = 3 [(b0-ba).hd3+ ba.hp3]  4 [(b0-ba).hd + ba.hp ] 2ème cas:  Section en T avec talon (en BP)

 b0 hd y2 G hP

x  ba

y1

h1 h2

h ta

hta = h2+

h1 2

 bta  Figure 3: Section en T avec talon

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 55

Position du centre de gravité, G: 1  ba.hp2  (b 0  ba).hd 2  (bta  ba).hta.(2hp  hta) y2 = 2  ba.hp  (bta  ba).hta  (b 0  ba).hd y1 = hp – y2. Ainsi le moment d'inertie de flexion de cette section est [6]: 1 IP = Ix = 3  b0 .y23  (b 0  ba).(y2  hd) 3  bta.y23  (bta  ba).(y1  hta) 3   A-2-2-Moments d'inertie de torsion

La détermination des moments d'inertie de torsion, fait appel à la théorie de l'analogie de la membrane. D'après cette théorie, l'inertie de torsion d'un rectangle de longueur b et de largeur a (b>a) est donnée par (figure 4):  b  = k(a) . b . a3 b>a   a  b  Figure 4: Rectangle pour la détermination d'inertie de torsion

k( b )est une fonction du rapport  b dont quelques valeurs particuliers sont données dans le a a tableau suivant [7]:  b/a k 

1,0

1,2

1,5

1,75 2,0

2,25 2,5

3,0

4

5

0,141 0,166 0,196 0,213 0,229 0,240 0,249 0,263 0,281 0,292

Tableau N°1: Cœfficient k, en fonction de

10

 0,312 0,333

b/a, nécessaire pour le calcul de l'inertie de torsion

Cas de b/a >10 ; k = 0,333. Pour des calculs sur ordinateur, on peut admettre la formule empirique suivante [7]: 1 0,168 k = 3  ( 0,051 + R  ) e - 0,13R  avec R =  b a Ou pour plus de précision, en utilisant un développement en séries au lieu de la théorie de l'analogie de la membrane, Sâada a démontré que [8]: 1 64 a   b  k = 3  5  b tgh2 a .      Pour une section donnée, on décompose la section en rectangles élémentaires et on cumule les inerties obtenues. Mais dans notre cas, des corrections sont à apporter à la formule de  [7]: - Pour l'âme des poutres et la nervure des entretoises le coefficient k est calculé avec une hauteur double par rapport à la hauteur réelle. - Pour le hourdis, la valeur à retenir n'est que la moitié de celle donnée par la formule. Il en résulte que, pour les sections les plus utilisées, on détermine les inerties de torsion d'après les formules suivantes [7]: 1er cas: Section

en T (BA) La section est décomposée en 2 éléments. Le moment d'inertie de torsion par élément est : 1 1 1 = 2 3 b0 hd3 2(hp-hd) 2 = k    . (hp-hd) . ba 3.    ba      _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 56

b0 hd 1

hP 2

ba

 Figure 5:

Section en T, décomposé en 2 éléments pour le calcul d'inertie de torsion

Le moment d'inertie de la section est la somme des deux moments d'inertie, c.à.d., K P = 1+ 2 E E P = K P 2b = (1+ 2) 2b 1 1 2ème cas: section avec talon (BP)

 b0 hd 1 2

hP

 ba

3 h1

hta

h2

hta= h2 h21

 bta  Figure 6 :

Section en T, avec talon, décomposé en 3 éls. pour le calcul d'inertie de torsion

Cette section est décomposée en 3 éléments. Le moment d'inertie de torsion par élément est : 1 1 1 = 2 3 b0 hd3 2(hp-hd) 2 = k    . (hp-hd) . ba3.    ba       bta-ba 3 = k    . ( bta-ba) . hta3.   hta       _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 57

le moment d'inertie de la section est la somme des trois moments d'inertie, c.à.d., K P = 1+ 2 + 3 E E P = K P 2b = (1+ 2 + 3) 2b 1 1  Remarque très importante:

La méthode de Guyon-Massonnet considère une structure comprenant des poutres  principales et des entretoises, mais les entretoises ne sont pas supposées infiniment rigides; A la limite, il est possible d'appliquer la méthode à un tablier de ponts à poutres sans entretoises intermédiaires: c'est alors le hourdis qui joue le rôle des entretoises . Dans ce cas, on fait les calculs par m.l., et les inerties de flexion et de torsion du hourdis représentant les entretoises sont: E 1 1 E hd3 E =  2.1 = 2 3 . 1 . hd3 2 = E 12 hd3 hd3 E = Ih . E = 1 12   E = E 12 hd3 E = E = = E 12

A-3-Application de la méthode de Guyon-Massonnet au calcul du CRT Lu Ltr

Lr 

b0 Le

b0

Ltr

b0

L rive

b0 Le

2b

 Figure 7:

Disposition transversale pour les calculs d'après Guyon-Massonnet

 b0: distance entre axe des poutres. Lu: Largeur utile (Largeur totale du tablier) Lrive: Distance entre axes des poutres de rives 2b: Largeur active pour Guyon-Massonnet Largeur active 2b = Lu = Lr + 2 Ltr. Pour les poutres de même espacement b 0 entre axes des poutres et un encorbellement "Le" de (b0/2) [7], on a une largeur active 2b, t.q.,:  b0 2b = (n-1)b0 + Le = (n-1)b0 + 2 2  = n . b0 2b nb0 Les n poutres sont espacées de b 1 = n  = n  = b0  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 58

Le Cœfficient de Répartition Transversale (CRT), , est donnée par: n

 pi . K i  pK i K i  K   = i1n  = n.p  = n  = n  pi  i 1 où pi: charge appliquée sinusoïdale appliquée sur le pont. On remarque ici que p se simplifie et on n'a pas besoin d'écrire son expression sinusoïdale. K   = n n: nombre des poutres principales  K: Cœfficient déterminée par les tableaux de Guyon-Massonnet K dépend de : 1- la valeur du paramètre de torsion  2-la valeur du paramètre d'entretoisement . 3- l'excentricité de la charge e. 4- l'ordonnée de la poutre considérée y.

=0  K 0  =1  K 1 Pour   quelconque, l'interpolation n'est pas linéaire. Elle est donnée par Massonnet [3,4] K = K 0 + (K 1 - K 0)  Pour plus de précision, Sattler [9,4] a proposé les relations suivantes: K = K 0 + (K 1 - K 0) 0,05 0     0,1 K = K 0 + (K 1 - K 0) (1-eo)

0,1     1

avec

0,065 o= 0,663

 > 1 K = K 0 + (K 1 - K 0)  K 0 et K 1 sont données par les tables de Guyon-Massonnet [3,4] en fonction de , e et y (voir annexe). K 0 = K 0(, e , y) K 1 = K 1(, e , y) : varie de 0 à 1 de 0,05 en 0,05 varie de 1 à 2 de 0,10 en 0,10 -3b -b -b  b  b 3b e = -b, 4  , 2  , 4  , 0 , 4 , 2 , 4  , b.  b  b 3b y = 0 , 4 , 2 , 4 , b. pour y < 0 les valeurs sont symétriques. Remarque: Propriétés de K 1) K(y,e) = K (e,y) 1 -3b 3b 1 2) 2 K(e=-b) + K(e= 4  ) + ... + K(e= 4  ) + 2 K(e=b) = 8. Pour une poutre d'ordonnée y, on procède à une interpolation linéaire entre les valeurs de y données dans les tableaux de Guyon-Massonnet. Une interpolation linéaire peut se faire par rapport à . Pour aboutir à K, on trace sa ligne d'influence, en plottant: K = K(e). Puis on place les charges réglementaires sur cette Li, de la manière la plus défavorable, comme indiquée par les règles de chargement et en respectant les règles d'application pour chaque charge (chapitre 2).  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 59

A-4- Evaluation de K d'après ses Li, pour différentes charges Le coefficient K est retrouvé en appliquant la surcharge suivant les règles des charges (chapitre 2) et sera égale à l'ordonnée de la Li de K au point de l'application de la charge.  A-4-1-Cas de la charge Al 

Rappel: Règles d'application de Al - La largeur de la zone chargée est choisie de manière à produire l'effet le plus défavorable. - La charge Al est placée sur la largeur chargeable (la distance entre l'extrémité de la zone chargée et le bord de la largeur chargeable peut être nulle). - La largeur de la zone chargée comprend un nombre entier de voies de circulation. Celui-ci influe sur la valeur du coefficient a1. Dans ce cas le coefficient K est:

  K(e) de Al Surface couverte transversalement par A L sur la Li de K  L  Al Ki = = = Largeur couverte transversalement par A L LAl   de  L Al: Surface couverte transversalement par A L sur la Li de K. LAl: Largeur couverte transversalement par A L.  L'aire peut être évaluée par l'une des méthodes d'intégration numérique, à savoir, la méthode des trapèzes, la méthode des triangles, la méthode de Simpson, ... Le CRT est alors:

 Al i



K Al i n

n: Nombre des poutres principales.

Remarques: 1-Pour retrouver le cas le plus défavorable, il faut comparer "a1.  Al i .LAl" pour des combinaisons différentes de AL. 2-La largeur de chargement L AL doit être retenue pour qu'elle soit utilisée dans le calcul longitudinal.  A-4-2-Cas de la charge du trottoir, qtr (charge locale)

Rappel: règles d'application de qtr . - Toute la largeur du trottoir est chargée. - On considère soit qu'un seul trottoir est chargé, soit que les deux le sont, de manière à obtenir l'effet le plus défavorable. Dans ce cas le coefficient K est:

  K(e) de tr  1 tr  Surface couverte transversalement par qtr  sur la Li de K  Ltr  Ki =  =  = Largeur du trottoir  Ltr  = 2 (K 1+K 2)   e  d  Ltr  tr : Surface couverte transversalement par qtr  sur la Li de K. Ltr : Largeur du trottoir K 1 et K 2: Valeur de K aux bords du trottoirs. On voit que ce chargement est analogue à celui de A L (d'ailleurs les deux sont réparties) Le CRT est alors:

tr  i 

K tr  i n

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Chap 3, page 60

Remarques:

1 1 - Si les deux trottoirs sont chargées on a K tr  i = 2 (K 1+K 2) + 2 (K 1+K 2) où K 1 et K 2 sont les valeurs de K aux bords du deuxième trottoir. - Si les deux trottoirs donnent un effet défavorable, on ne le prend pas en compte.

 A-4-3-Cas de la charge Bc

Rappel: Règles d'application de Bc - On choisit le nombre et la disposition des convois de manière à produire l'effet le plus défavorable. - Le nombre de files de camions (Nf) ne doit pas dépasser le nombre de voies (Nv), c.à.d.  Nf  Nv, même si cela est géométriquement possible. De plus, on ne peut pas avoir la moitié d'un convoi (c.à.d. chaque deux files de roues ensemble). -Une distance minimale de 0,25 m est exigée entre l'axe de la file de roues la plus excentrée et le bord de la largeur chargeable. CRT? Un essieu se compose de 2 roues. Transversalement, sa charge P se divise en deux. P

P/2

P/2

Ainsi, dans le sens longitudinal, on prendra comme P la charge d'un essieu (c.à.d. P=12t pour les essieux arrières). Bc

Ki



1

 K j

2  j

K  j: ordonnée de la Li de la réaction K i au droit des points d'application des charges concentrées du camion Bc. Avec longitudinalement P = 12 t essieux arrière P= 6t essieux avant. Le CRT est alors:

Bc i 

K Bc i n

 A-4-4-Cas de la charge Mc

Rappel: Règles d'application de Mc. - Un seul convoi est supposé circulé quelle que soit la largeur de la chaussée. - Les chenilles peuvent être disposées sur toute la largeur chargeable, de manière la plus défavorable. De plus, le poids d'un char est partagé entre les deux chenilles: P

P/2

P/2

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Chap 3, page 61

Dans ce cas le coefficient K est:     K(e) de K(e) de 1 L2 Mc 1 L1 Ki = 2 +2      de  de L1 L2 1ère chenille 2ème  chenille 1 2 = 1 1 + 2 2 1 1 = 1    2 ( K 1 + K 2 ) + 2 ( K 3 + K 4 )    2 = 1 ( K 1 + K 2 + K 3 + K 4 ) 4 avec longitudinalement

P = 72 t P = 110 t

L1 et (L2) est la longueur de la 1 ère (2ème)chenille.

pour le cas de Mc 80. pour le cas de Mc 120.

K 1 et K 2 : ordonnée de la Li de Ki au bord de la 1 ère chenille. K 3 et K 4 : ordonnée de la Li de Ki au bord de la 2 ème chenille. Le CRT est alors:

Mc i



K Mc i n

.

A-5- Exemple de calcul des CRT pour un pont à poutres. Soit un pont à poutre sans entretoises intermédiaires, présentant des travées indépendantes égales dont la longueur de calcul est Lc = 15,36 m. Les caractéristiques géométriques sont présentées sur la section transversale suivante: 1,5

9,50 m

1,5

hd=0,16 1

bp=0,3

3

1,25

2,5

2,5

demi-section sur appui

 Figure 8:

2,5

2,5

1,25

demi-section en travée

Exemple de calcul du CRT par la méthode de Guyon-Massonnet. (tous les dimensions sont en m)

Déterminer le CRT sous l'effet des charges A L, qtr, Bc et Mc80 pour la poutre de rive N°1 et  pour la poutre centrale N°3.

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Chap 3, page 62

Solution:

1)Calcul des paramètres fondamentaux   b=6,25 m 2b = 9,5 + 2 . 1,5 = 12,5 m  b1 = b0 = 2,5 m et Nombre des poutres, n = 5. a) Moments d'inertie 

Poutre principale b0=2,5m

hd=0,16 b0 = 2,5 m ba= 0,3 m hd= 0,16 m hp=1,0 m (b0-ba)=2,5-0,3=2,2 m ba=0,3

 Figure 9: 

Géométrie de la section de la poutre principale.

Moment d'inertie de flexion IP:

1 1 IP=Ix = 3 [(b0-ba).hd3+ ba.hp3]  4

[ (b0-ba).hd2+ ba.hp2]2 [(b0-ba).hd + ba.hp ]

1 1 [ 2,2.0,16 2+ 0,3.1,02] 3 3 IP=3 [2,2.0,16 + 0,3.1,0 ]  4 [2,2.0,16 + 0,3.1,0 ] = 0,1030  0,0487 = 0,0543 m4.

2

IP 0,0543 P =  b  . E = 2,5  . E = 21,72.10-3.E. 1

Moment d'inertie de torsion Kp: 1 1 1 1 1 = 2 3 b0 hd3 = 2 3 .2,5.0,163 = 1,71.10-3 m4. 2(hp-hd) 2(1,00-0,16)  2 = k   .(hp-hd).ba3 = k    .(1,00-0,16).0,33= k(5,6).0,84.0,33    ba         0,3   k(5,6)=? • D'après une interpolation linéaire (en employant le tableau N°1) k(5)=0,292 et k(10)=0,312 5,6-5 k(5,6)=0,292 + (0,312-0,292) 10-5  =0,294 • D'après la formule de VIPP 

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Chap 3, page 63

1 0,168 k= 3 - (0,051 + 5,6 ) e-0,13.5,6 = 0,294 • Ou d'après la formule donnée par Sâada 1 64 1     k = 3 - 5 5,6 tgh2 5,6 = 0,296      Par exemple, et pour plus de précision, on retient k(5,6) = 0,296. 2 = 0,296.0,84.0,33= 6,71.10-3 m4. K P = 1+ 2 = 1,71.10-3 + 6,71.10-3 = 8,42.10-3 m4. K P 8,42.10-3 P = 2b  E = 2.2,5  E = 1,68.10-3 E. 1 Entretoises  Hourdis hd3 0,163 E = E = 12  E = 12  E = 0,34.10-3 E. 



Résumé P  = 1,68.10-3 E P = 21,72.10-3E

E = 0,34.10-3 E E= 0,34.10-3 E

 b) Paramètres fondamentaux  et .

 =

P+E 1,68.10-3 E+0,34.10-3 E  =  = 0,37 2 PE 2 21,72.10-3E . 0,34.10-3 E

 b 4 P 6,25 4 21,72.10 -3E  =1,15  = L E = 15,36  0,34.10-3 E

 = 0,37 et  = 1,15 En résumé  = 1,15 > 0,3  On utilise donc la méthode de Guyon-Massonnet. Remarque : Le module de Young, E, se simplifie. Nous n’avons pas besoin de connaître sa valeur. Ceci est vrai lorsque les poutres et le hourdis (jouant le rôle d’entretoise) sont de même matériaux (même E). 2) Calcul des CRT pour la poutre de rive N°1: a) Courbe de K *Interpolation sur   > 1 D'après Massonnet ou Sattler K  = K 0 + (K 1-K 0)  K  = K 0 + (K 1-K 0) 0,37 K = 0,39 K 0 + 0,61 K 1 *Interpolation sur   = 1,15 interpolation entre 1 = 1,10 et 2 = 1,20 K  +K    dans ce cas, K  = puisque la valeur est au milieu entre 1,10 et 1,20. 2  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 64

*Interpolation sur y (la position de la poutre) y = 2,5 + 2,5 = 5 m et

5 y = 6,25 b = 0,8 b

b = 6,25 m , donc

Les tableaux de Massonnet donnent les valeurs de K pour K 0,75b = K y=3b/4 et K  b = K y=b 0,8-0,75 K 0,8b = K 0,75b + (K  b -K 0,75b) 1-0,75 K 0,8b = 0,8 K 0,75b + 0,2 K  b K y=0,8b= 0,8 K y=3b/4 + 0,2 K y=b . En résumé , on a trois interpolations à faire. On choisit par ordre: 1) K y=0,8b = 0,8 K y=3b/4 + 0,2 K y=b . 2) K  =0,37 = 0,39 K 0 + 0,61 K 1 3) K  =1,15= 0,5 K

  1,10

.  0,5 K     1, 20

Il ne reste plus qu'à retrouver K =K(e). On détermine tout d’abord un tableau pour 1 = 1,10 et pour 1 = 1,20. 1er cas: Tableau pour 1 = 1,10

1=1,10

e

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

K 3b/4 -0,0097 -0,0936 -0,1626 -0,1515 0,0880 0,7675 0,1709 -0,0097 -0,2209 -0,4770 -0,6652 -0,4129 K 0 K  b K 0,8b 0,0264 -0,0768 -0,1743 -0,2166 -0,0626 0,5314 K 3b/4 0,0527 0,0882 0,1593 0,3055 0,5848 1,0740 0,0303 0,0527 0,0985 0,1969 0,3985 0,7931 K 1 K  b K 0,8b 0,0482 0,0811 0,1471 0,2838 0,5475 1,0178 0,0397 0,0195 0,0218 0,0886 0,3096 0,8281 K  K 1 Tableau N°2:

b/2

3b/4

b

2,0089

3,4539

4,3474

0,9824

4,3474

9,7780

1,8036

3,6326

5,4335

1,8145

2,5695

2,7813

1,5263

2,7813

4,6078

1,7569

2,6119

3,1466

1,7751

3,0100

4,0385

K pour  =1,10 après 2 interpolations (sur y puis sur )

Les valeurs de K 0 et de K 1 pour K 3b/4 et K  b sont recopiées directement à partir des tableaux de Massonnet (les 2 premières lignes pour chaque K); Ensuite, on effectue une  première interpolation sur y pour obtenir K 0,8b, à savoir: K 0 y=0,8b= 0,8 K 0 y=3b/4 + 0,2 K 0 y=b . K 1 y=0,8b= 0,8 K 1 y=3b/4 + 0,2 K 1 y=b . La deuxième interpolation a été effectuée sur  en utilisant la 3ème ligne pour chaque K pour obtenir la dernière ligne K 1. K   = K  =0,37 = 0,39 K 0 + 0,61 K 1  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 65

2ème cas: Tableau pour 2 = 1,20

2=1,20

e K 0

K 1 K 

K 3b/4 K  b K 0,8b K 3b/4 K  b K 0,8b K 2

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0,0279

-0,0594

-0,1424

-0,1685

0,0199

0,6851

2,0114

3,5547

4,3049

0,1439

0,0279

-0,1317

-0,3856

-0,6677

-0,6038

0,6620

4,3049

10,6635

0,0511

-0,0419

-0,1403

-0,2119

-0,1176

0,4273

1,7415

3,7047

5,5766

0,0348

0,0621

0,1217

0,2534

0,5233

1,0306

1,8501

2,7114

2,8817

0,0188

0,0348

0,0706

0,1533

0,3352

0,7182

1,4827

2,8817

5,0266

0,0316

0,0566

0,1115

0,2334

0,4857

0,9681

1,7766

2,7455

3,3107

0,0392

0,0182

0,0133

0,0597

0,2504

0,7572

1,7629

3,1196

4,1944

Tableau N°3: K pour  =1,20 après 2 interpolations (sur y puis

sur ).

De même que pour le tableau N°2, ici, on a utilisé les 2 interpolations sur y puis sur , c.à.d., K 0 y=0,8b= 0,8 K 0 y=3b/4 + 0,2 K 0 y=b . K 1 y=0,8b= 0,8 K 1 y=3b/4 + 0,2 K 1 y=b . K   = K  =0,37 = 0,39 K 0 + 0,61 K 1 Dans notre cas:  =1,15; On effectue alors la troisième interpolation sur   en utilisant la dernière ligne de chaque tableau à savoir:  0,5 K   K  =1,15= 0,5 K .   1,10   1, 20 Ainsi, on obtient:

 =1,15

e K

-b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b 0,0394 0,0188 0,0175 0,0741 0,2800 0,7926 1,7690 3,0648 4,1164

Tableau N°4: 

K=K(e), après les 3 interpolations

Les valeurs trouvées de K sont arrondies à 2 chiffres après la virgule pour qu'on puisse tracer la courbe de K

e K

-b 0,04

-3b/4 0,02

-b/2 0,02

-b/4 0,07

0 0,28

b/4 0,79

b/2 1,77

3b/4 3,07

b 4,12

Tableau N°5: Valeurs arrondis de K = K( e)

On choisit une échelle pour tracer la courbe K=K( e), qui représente la ligne d'influence (Li) de K pour la poutre N°1 (figure 10).On trace la courbe de K de préférence sur un papier millimétrique.

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 66

4,12 4,00

   7    0  ,    3

3,00

2,00

   7    7  ,    1

0,25

échelle 1,00

   9    7  ,    0

1m    8    2  ,    0    4    0  ,    0

e=-b

   2    0  ,    0

   2    0  ,    0

e=-3b/4 e=-b/2

  m    5    2  ,    6   =   e

  m    9    6  ,    4   =   e

  m    2    1  ,    3   =   e

 Figure 10:

   7    0  ,    0

e=-b/4 e=0   m    6    5  ,    1   =   e

  m    0   =   e

e=b/4   m    6    5  ,    1   =   e

e=b/2   m    2    1  ,    3   =   e

e=3b/4   m    9    6  ,    4   =   e

0,00 e=b   m    5    2  ,    6   =   e

Ligne d'influence de K pour la poutre N°1.

 b)Détermination des CRT *Caractéristiques du pont On détermine les caractéristiques du pont d'après les règlements des charges (chapitre 2). La largeur chargeable, Lch, est la même que la largeur roulable, Lr, puisqu'il n'y a pas de glissière de sécurité.  Lch = Lr = 9,50 m. Lch 9,5 Le nombre de voie est: Nv = E( 3 ) = E( 3 ) = 3 voies. 9,5 D'où la largeur d'une voie V est: V = 3  = 3,17 m. Lr = 9,50 m  7 m.  Le pont est de la 1ère classe.  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 67



Charge AL

On place la charge AL suivant les règles de chargement de la manière la plus défavorable. Pour cela et à cause de la variation de a1  et de la largeur de chargement LAl, on essaye différents cas (1voie, 2voies ou 3 voies chargées), (figure 11). Ltr=1,5m

Ltr=1,5m

Lch = 9,50 m

qtr  4,12 4,00

3 v Al 2 v Al 1 v Al

3,00

2,00

1,00

e=-b

e=-3b/4 e=-b/2

e=-b/4

e=0

e=b/4

e=b/2

e=3b/4

0,00 e=b

 Figure 11:Application de la charge AL et celle du trottoir qtr  sur la Li de K

 pour la poutre N°1

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 68

1er cas: 1 voie chargée, de largeur, LAl = 1.V = 3,17 m Pont de la 1ère classe et 1 voie chargée  a1=1,0. Ici, la fin de la voie chargée coïncide avec e = b - (Ltr + 1.V)  b/4. Le cœfficient K pour ce cas de chargement de Al est l'aire Al de la Li correspondant à la charge divisée par la largeur du chargement: Al K Al = L Al 1 1  b 1  b = L 2 K (e=b-Ltr) + K(e=2 ) + 2 K (e=b-(Ltr+V)) 4  Al  1 1 3b  b 1  b  b = L 2 K(e= 4 ) + K(e=2 ) + 2 K(e=4) 4  Al  1 1 1   6,25 = 3,17    3,07 + 1,77 +  0,79  2   2   4 = 1,82. Le CRT Al  est: K Al 1,82 Al = n  = 5  = 0,36 a1.Al.LAl = 1 . 0,36 . 3,17 = 1,16 2ème cas: 2 voies chargées, de largeur LAl = 2.V = 6,33 m Pont de la 1ère classe et 2 voies chargées  a1=1,0. La fin des 2 voies chargées coïncide avec e = b - (Ltr + 2.V) = -b/4 Al 1 1 3b  b  b 1 -b  b K Al = L = L  2 K(e= 4 ) + K(e=2) + K(e=4) + K(e=0) + 2 K(e= 4 )  4  Al Al  1 1 1   6,25 = 6,33    3,07 + 1,77 + 0,79 + 0,28 +  0,07  2   2   4 = 1,09 K Al 1,09 Al = n  = 5  = 0,22 a1.Al.LAl = 1 . 0,22 . 6,33 = 1,38 3ème cas: 3 voies chargées, de largeur LAl = 3.V = 9,5 m ; Toute la largeur roulable est chargée Pont de la 1ère classe et 3 voies chargées  a1=0,9. 1 1 3b  b  b -b -b 1 -3b  b K Al = L 2K(e= 4 ) + K(e=2)+K(e=4)+K(e=0)+K(e= 4 )+K(e= 2 ) + 2K(e= 4 ) 4  Al  1 1 1   6,25 = 9,5    3,07 + 1,77 + 0,79 + 0,28 + 0,07 + 0,02 +  0,02  2   2   4 = 0,74 K Al 0,74 Al = n  = 5  = 0,15 a1.Al.LAl = 0,9 . 0,15 . 9,5 = 1,28 Donc le 2ème cas est le plus défavorable. Ceci s'explique par le fait que la diminution de a 1 (de 1,0 à 0,9) est plus importante que l'accroissement de l'aire (de 1,39 à 1,42). Le 1 er  cas ne représente pas un cas plus défavorable parce que a1 conserve la même valeur. Donc, à retenir  pour le CRT: Al = 0,22 avec a1 = 1 et LAl = 6,33 m.

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 69



Charge qtr

Ltr  = 1,50 m Cas le plus défavorable: 2 trottoirs chargés Les extrémités des chargements correspondent au début et la fin des trottoirs, ceci coïncide avec e = b et e = b-Ltr =3b/4 pour le trottoir de droite et avec e = -b et e = -b+Ltr =-3b/4 pour le trottoir de gauche (figure 11). De même que pour Al, le cœfficient K est le rapport entre l'aire tr  de la Li correspondant au chargement du trottoir par sa largeur Ltr . tr  K tr  = L tr  Ltr  1 Ltr  1 = 2 [K(e=b)+K(e=b-Ltr )] L  + 2 [K(e=-b+Ltr )+K(e=-b)] L tr  tr  1 = 2 [K(e=b) + K(e=3b/4) + K(e=-3b/4) + K(e=-b)] 1 = 2 ( 4,12 + 3,07 + 0,02 + 0,04 ) =3,62 Le CRT tr  est: K tr  3,62 tr  = n  = 5  = 0,72 tr  = 0,72 avec Ltr  = 1,50 m. 

Charge Bc

Le cœfficient bc dépend du nombre de files de camions à placer (chapitre 2). Pont de la 1ère classe 1 file bc=1,2 2 files bc=1,1 3 files bc=0,95 A cause de la variation de bc, on essaye 3 cas différents (1 file, 2 files ou 3 files de Bc) (figure 12). On place les différentes files de roues sur la largeur chargeable de la manière la plus défavorable. Donc on place les convois de Bc décalées à droite en prenant soin de laisser 0,25 m entre le bord du trottoir et la première file de roues (chapitre 2). 1er  cas: 1 file de Bc avec bc = 1,2. 1 2 1 1 K Bc = 2    K i = 2 ( K 1 + K 2 ) = 2 ( 2,94 + 1,30 ) = 2,12 i=1 1 On rappelle que le facteur 2 est introduit pour indiquer que longitudinalement on prend la charge d'un essieu et non pas d'une roue. Les Ki sont déterminées graphiquement sur la figure (figure 12). Ainsi le CRT Bc est: K Bc 2,00 Bc = n  = 5  = 0,42. Pour la comparaison, on utilise bc.Bc.  bc.Bc = 1,2.0,42 = 0,50.

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Chap 3, page 70

Ltr=1,5m

Ltr=1,5m

Lch = 9,50 m

2,0

2,0

2,0 4,12 4,00

3 cv Bc 2,0

2,0

2 cv Bc 2,0

1 cv Bc

3,00

2,00

1,00

e=-b

e=-3b/4 e=-b/2

e=-b/4

e=0

e=b/4

e=b/2

e=3b/4

0,00 e=b

 Figure 12: Application de la charge Bc sur la Li de K pour la poutre N°1.

2ème cas: 2 files de Bc avec bc = 1,1. 1 4 1 1 K Bc = 2    K i = 2 ( K 1 + K 2 + K 3 + K 4 ) = 2 ( 2,94 + 1,30 + 1,00 + 0,28 ) = 2,76 i=1 K Bc 2,76 Bc = n  = 5  = 0,554  bc.Bc = 1,1.0,554 = 0,609.  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 71

3ème cas: 3 files de Bc avec bc = 0,95. 1 6 1 K Bc = 2    K i = 2 ( K 1 + K 2 + K 3 + K 4 + K 5 + K 6 ) i=1 1 = 2 ( 2,94 + 1,30 + 1,00 + 0,23 + 0,17 + 0,03 ) = 2,86 K Bc 2,86 Bc = n  = 5  = 0,572  bc.Bc = 0,95.0,572 = 0,543. On voit ici que bc.Bc (2 files) > bc.Bc (3 files). Ceci s'explique par le fait que l'apport de la 3ème file n'est pas aussi important que la variation de bc du cas de 2 files (=1,1) au cas de 3 files (=0,95). A retenir un CRT pour Bc:

Bc = 0,5554 avec bc=1,1 et P=12t (essieux arrière) et 6t (essieux avant) 

Charge Mc80

1 Char, c.à.d., 2 chenilles avec LMc=0,85 m; (voir figure 13) LMc 1 1 1 K Mc = 2  2 ( K 7 + K 8 ) + 2 ( K 9 + K 10 ) L    Mc 1 = 4 ( K 7 + K 8 + K 9 + K 10 ) 1 = 4 ( 3,16 + 2,38 + 0,98 + 0,58 ) =1,77 Le CRT Mc est: K Mc 1,77 Mc = n  = 5  = 0,35 A retenir: Mc = 0,35 avec LMc=0,85m et longitudinalement P=72t Résumé des CRT Charge CRT Al 0,22 qtr 0,72 Bc 0,55 Mc80 0,35

Caractéristiques a1 = 1 et LAl=6,33 m Ltr  = 1,50 m bc = 1,1 et P=12t ou 6t long. LMc= 0,85 m et P=72t long

Cas le plus défavorable 2 voies chargées 2 trottoirs chargées 2 files de Bc 1 Char de Mc80

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Chap 3, page 72

Ltr=1,5m

Ltr=1,5m

Lch = 9,50 m

0,85

1,95m

0,85 4,12 4,00

Mc80

3,00

2,00

1,00

e=-b

e=-3b/4 e=-b/2

 Figure 13:

e=-b/4

e=0

e=b/4

e=b/2

e=3b/4

0,00 e=b

Application de la charge Mc80 sur la Li de K pour la poutre N°1.

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Chap 3, page 73

3) Calcul des CRT pour la poutre centrale N°3: a)Courbe de K  et  conservent les mêmes valeurs que pour la poutre de rive, c.à.d.,  = 0,37 et  =1,15,  par conséquent, les interpolations sur  et sur  restent les mêmes que pour la poutre de rive  N°1, c.à.d., K = 0,39 K 0 + 0,61 K 1. K  =1,15= 0,5 K  0,5 K   1, 20 .   1,10  . Seule la position de la poutre change, elle devient: y = 0.Les tables de Massonnet donnent directement des lignes correspondant pour y = 0, c.à.d., on n'a pas besoin d'interpoler sur y. 1er  cas: Tableau pour 1 = 1,10 1=1,1 -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b e - 0,6652 0,0880 0,9531 1,9518 2,5621 1,9518 0,9531 0,0880 - 0,6652 K 0 0,3985 0,5848 0,9142 1,4075 1,7691 1,4075 0,9142 0,5848 0,3985 K 1 K  - 0,0163 0,3910 0,9294 1,6198 2,0784 1,6198 0,9294 0,3910 - 0,0163 Tableau N°6: K en fonction de e pour =1,10 après une interpolation ( sur ) pour la poutre centrale N°3. On remarque bien que les Ki sont symétriques par rapport à e=0. Les deux premières lignes sont recopiées directement des tables de Massonnet. Ensuite la dernière ligne est obtenue après interpolation sur . 2ème cas: Tableau pour 2 = 1,20 2=1,2 -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b e 0,6677 0,0199 0,8805 2,0050 2,7541 2,0050 0,8805 0,0199 - 0,6677 K 0 0,3352 0,5233 0,8834 1,4614 1,9124 1,4614 0,8834 0,5233 0,3352 K 1 K  - 0,0559 0,3270 0,8823 1,6734 2,2407 1,6734 0,8823 0,3270 0,0559 Tableau N°7: K en fonction de e pour =1,20 après une interpolation (sur ) pour la poutre centrale N°3.  Notre cas est pour  = 1,15. On utilise la dernière ligne de chaque tableau et on interpole par rapport à , à savoir: 1 K  =1,15= 2 (K  =1,10 + K  =1,20 ). =1,15 -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b e K  - 0,0361 0,3590 0,9058 1,6466 2,1595 1,6466 0,9058 0,3590 - 0,0361 Tableau N°8: K en fonction de e après tous les interpolations. Les valeurs trouvées sont arrondis à 2 chiffres après la virgule pour qu'on puisse tracer la courbe de K. -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b e K - 0,04 0,36 0,91 1,65 2,16 1,65 0,91 0,36 - 0,04 Tableau N°9: Valeurs arrondies de K en fonction de e.  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 74

On remarque bien qu'il existe une symétrie par rapport à e =0. On trace la courbe de K=K(e), qui est ainsi symétrique par rapport à l'axe longitudinale du pont (figure 14). K

2,00

échelle 0,2

1m 1,00

e=-b

e=-3b/4 e=-b/2

e=-b/4

e=0

e=b/4

e=b/2

e=3b/4

0,00 e=b

 Figure 14: Courbe de K en fonction de e pour la poutre centrale (N°3).

 b) Détermination des CRT  Caractéristiques du pont Le pont conserve les mêmes caractéristiques, à savoir: Lch = Lr = 9,50 m  Nv = 3 voies et V = 3,17 m Pont de la 1ère classe Charge Al (figure 15). 1 cas: 1 voie chargée LAl= 3,17 m a1 = 1 Al 1 1 V V K Al = L = 2 L  2    K(e=0) + K(e= 2 )  2    Al Al     1  b  b 1 6,25 = L  K(e=0) + K(e=4)  4 = 3,17 [ 2,16 + 1,65] 4   = 1,88  Al  K Al 1,88 Al = n  = 5  = 0,38 er 



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Chap 3, page 75

a1.Al.LAl = 1 . 0,38 . 3,17 = 1,19 Ltr=1,5m

Ltr=1,5m

Lch = 9,50 m

qtr  3 v Al 2 v Al 1 v Al 2,16 2,00

1,65

1,65

1,00 0,91

0,91

0,36

0,36

-0,04 e=-b

e=-3b/4 e=-b/2

 Figure 15:

e=-b/4

e=0

e=b/4

e=b/2

e=3b/4

0,00 e=b

Chargement de Al et de qtr sur la Li de K pour la poutre N°3.

2ème cas: 2 voies chargées LAl= 6,33 m 1 V = 3,17 m a1 = 1 Al 1 1  b  b 1  b  b K Al = L = 2 L  2    K(e=0) + K(e=4)  4 + 2    K(e=4) + K(e=V)    V- 4                  Al Al     1 1  b 1  b  b = 2 L  2 K(e=0) + K(e=4) + 2 K(e=2 ) 4  Al  1 1 1 6,25 = 2 6,33  2 2,16 + 1,65 + 2 0,91 4   = 1,57   K Al 1,57 Al = n  = 5  = 0,31 a1.Al.LAl = 1 . 0,31 . 6,33 = 1,96  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 76

3ème cas: 3 voies chargées LAl= Lch = 9,50 m a1 = 0,9 Al K Al = L Al 1 1  b  b 1 3b  b = 2 L  2 K(e=0) + K(e=4) + K(e=2)+ 2 K(e= 4  ) 4  Al  1 1 1 6,25 = 2 9,5  2 2,16 + 1,65 + 0,91+ 2 0,36 4   = 1,26 K Al 1,26 Al = n  = 5  = 0,25 a1.Al.LAl = 0,9 . 0,25 . 9,50 = 2,14 Il est clair que ce dernier cas est le plus défavorable. Donc à retenir: avec LAl = 9,50 m et a1=0,90 Al = 0,25 Charge qtr  (figure 15) Les deux trottoirs sont tous chargés Ltr   tr  1 K tr = L = 2 2 [K(e=b)+K(e=b-Ltr )] L = K(e=b) + K(e=3b/4) = -0,04 + 0,36 = 0,32 tr  tr  Le CRT tr  est: K tr  0,32 tr  = n  = 5  = 0,06 tr  = 0,06 avec Ltr  = 1,50 m. 

Charge Bc (figure 16) C'est le cas le plus difficile à traiter. Tout d'abord, comme pour la poutre N°1, le cœfficient bc dépend du nombre de files de camions à placer (chapitre 2). Pont de la 1ère classe 1 file bc=1,2 2 files bc=1,1 3 files bc=0,95 En plus de cette variation de bc, le choix de l'emplacement des files est essentiel pour avoir le cas le plus défavorable parce que la maximum de la courbe de K est sur l'axe centrale (e=0); dans chaque cas de n files de Bc, il faut trouver la position la plus défavorable. 

1er  cas: 1 file de Bc bc = 1,2 Il suffit de vérifier 2 dispositions: - Une file de roues placée sur l'axe centrale - Deux files symétriques par rapport à l'axe central. 1ère disposition:  1 file de roues placée sur l'axe centrale, l'autre file distant de 2,00 m est  placée à droite (ou à gauche) de la première file. 1 1 K Bc = 2 ( K 1 + K 2) = 2 (2,16 + 1,44) = 1,80 K Bc 1,80 Bc = n  = 5  = 0,36  bc . Bc = 1,2 . 0,36 = 0,43

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Chap 3, page 77

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Chap 3, page 78

2ème disposition: 2 files de roues placées symétriquement par rapport à l'axe centrale.

1 K Bc = 2 2 K 3 = K 3 = 1,94 K Bc 1,94 Bc = n  = 5  = 0,39  bc . Bc = 1,2 . 0,39 = 0,46 A retenir pour le 1er cas bc . Bc = 0,46

2ème cas: 2 files de Bc bc = 1,1 On vérifie 2 dispositions les plus logiques: - Une des files de roues adjacente au 2ème camion est placée sur l'axe central - les 2 convois de Bc placés symétriquement par rapport à l'axe central. 1ère disposition: Une des files de roues adjacente au 2ème camion est placée sur l'axe centrale 1 1 K Bc = 2 ( K 4 + K 5 + K 1 + K 6) = 2 (1,20 + 2,12 + 2,16 + 1,44) = 3,46 K Bc 3,46 Bc = n  = 5  = 0,69  bc . Bc = 1,1 . 0,69 = 0,76 2ème disposition: les 2 convois de Bc placés symétriquement par rapport à l'axe centrale 1 K Bc = 2 2 ( K 7 + K 8 ) = K 7 + K 8 = 2,14 + 1,32 = 3,46 KBc 3,46 Bc = n  = 5  = 0,69  bc . Bc = 1,1 . 0,69 = 0,76 même résultat que la 1ère disposition A retenir pour le 2ème cas bc . Bc = 0,76 3ème cas: 3 files de Bc bc = 0,95 On vérifie 2 dispositions les plus logiques: - Une des files de roues adjacente à un camion est placée sur l'axe central - Les 3 convois de Bc placés symétriquement par rapport à l'axe central. 1ère disposition: Une des files de roues adjacente à un camion est placée sur l'axe centrale 1 K Bc = 2 ( K 9 + K 10 + K 1 + K 2 + K 4 + K 11) 1 = 2 (1,22 + 2,12 + 2,16 + 1,44 + 1,20 + 0,43) = 4,28 K Bc 4,28 Bc = n  = 5  = 0,86  bc . Bc = 0,95 . 0,86 = 0,82 2ème disposition: Les 3 convois de Bc placés symétriquement par rapport à l'axe centrale. 1 K Bc = 2 2 ( K 3 + K 12 + K 13 ) = 1,92 + 1,68 + 0,76 = 4,36 K Bc 4,36 Bc = n  = 5  = 0,87  bc . Bc = 0,95 . 0,87 = 0,83 A retenir pour le 3ème cas bc . Bc = 0,83 Donc le cas le plus défavorable est déterminé d'après le 3ème cas avec sa 2ème disposition qui donne un CRT pour la charge Bc: Bc  = 0,87avecbc=0,95  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 79

*Charge Mc80 1er cas:Une chenille dont l'extrémité est sur l'axe central, l'autre à 1,95 m. 1 1 K Mc=4 (K 1 + K 2 + K 3 + K 4) = 4 (2,16 + 2,00 + 1,06 + 0,70) = 1,48 K Mc 1,48 Mc = n  = 5  = 0,30 Ltr=1,5m

Ltr=1,5m

Lch = 9,50 m

0,85

1,95m

0,85

Mc80 3ème cas Mc80 2ème cas Mc80 1er cas 2,16 2,00 1 5

5 2

6 8 9

9

1,00

8 3 7 4

e=-b

e=-3b/4 e=-b/2

K1=2,16

e=-b/4

e=0

e=b/4

e=b/2

e=3b/4

0,00 e=b

K2=2,00K3=1,06K4=0,70K5=2,12K6=1,2 K7=0,86 K8=1,92K9=1,52

 Figure 17 : Chargement par Mc80 sur la Li de la poutre centrale (N°3)

2ème cas:Une chenille sur l'axe centrale, l'autre à 1,95 m 1 1 K Mc=4 (2 K 5 + K 6 + K 7) = 4 (2.2,12 + 1,28 + 0,86) = 1,595.  _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 80

K Mc 1,595 Mc = n  = 5  = 0,32 3ème cas: 2 chenilles symétriques 1 1 1 K Mc= 2 4 (K 8 + K 9) = 2 (K 8 + K 9) = 2 (1,92 + 1,52) = 1,72 K Mc 1,72 Mc = n  = 5  = 0,34 Le cas le plus défavorable est le 3ème cas. A retenir Mc = 0,34 avec longitudinalement, P=72t et LMc=0,85 m Tableau de comparaison des CRT pour les deux poutres. Charge Poutre de Poutre rive N°1 centrale N°3 1,38 2,14 Al (a1.Al. LAl) 0,06 0,72 qtr (tr ) 0,55 0,83 Bc (bc.Bc) Mc80 0,35 0,34 Sauf pour le cas de la charge des trottoirs, la poutre centrale (N°3) prend plus de charge que la  poutre de rive (N°1).  Nous choisissons les valeurs les plus défavorables pour calculer une poutre unique (poutre modèle). Ainsi, toutes les poutres auront le même ferraillage . Remarque : Cette méthode de Guyon-Massonnet est aussi employée en Angleterre et aux USA [13].

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Chap 3, page 81

 Références relatives à l'Annexe 1 du chapitre 3

[1] Y. Guyon, "Calcul des Ponts Larges à Poutres Multiples Solidarisées par des Entretoises", Annales des Ponts et Chaussées de France, 1946. pp 553-612. [2] Ch. Massonnet, "Contribution au Calcul des Ponts à Poutres Multiples", Annales des Travaux Publiques de Belgique. Juin, Oct et Déc 1950, pp 374-424, 749-800, 927-964. [3] Ch. Massonnet, "Compléments à la Méthode de Calcul des Ponts à Poutres Multiples", Annales de l'ITBTP, N°169, Jan 1962, pp 1-36. [4] R. Bares et Ch. Massonnet, "le Calcul des Grillages de Poutres et Dalles Orthotropes", Dunod, Paris 1966. Code ENIT: D13. [6] G. Pissarenko et al.,"Aide-mémoire de Résistance Des Matériaux", 1975.Traduit du russe  par M. Segasayo, Ed. Mir Moscou.1979. pp 62-64.Code ENIT: C896. [7] SETRA, "VIPP: Viaduc à travée Indépendante à Poutres de béton Précontraint", Calcul automatique, Pièce: 2.5, Méthode de calcul, 2ème partie: Calcul des efforts.pp 9-28. [8] A. Sâada, "Elasticity: Theory and Application", Ed. Pergamon Press Inc, NY, USA, 1974.  p 289-295. (en Anglais). [9] K. Sattler, "Betrachtungen zum Berechnungsverfahren von Guyon-Massonnet für freiendliegende Trägerroste und Erweiterung dieses Verfahrens anf Beliebiege Systeme", Bauingnieur 30, N°3.1955.(en Allemand). [10] J. A. Calgaro, "Calcul Pratique des Dalles Minces", Master Ouvrages d'Art, ENPC, 1987.pp 21-37 [11] J.A. Calgaro et M. Virlogeux, "Projet et Construction des Ponts: Analyse des Tabliers des Ponts", Presses de l'ENPC, Paris, 1988.pp 162-169. Code ENIT: D1430. [12] Réunion des Ingénieurs, "Cours de Ponts", Eyrolles, Collection cours chez soi, 1977. Code ENIT: D270. [13] R.A. Cuseus et R.P. Pama, "Bridge Deck Analysis", Chap 2-4, ed. J.Wiley & Sons, London, NY, 1975. pp 29-132 (en Anglais). Code ENIT: D1187.

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Chap 3, page 82

ANNEXE 2 au Chapitre 2

 pour le calcul du CRT

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Chap 3, page 83

Les valeurs de K 0 et K 1 peuvent être calculées à l'aide des formules suivantes [3]: 1 K 0 = 2  b 2 a'.A + b'.(B1 + B2)]  sh (2. b)  sin2 (2. b) [ a' =2 ch((y+b)) cos((y+b)) A=sh (2. b) cos ((b+e)) ch ((b-e))  sin (2. b) ch((b+e)) cos((b-e))  b' = ch((y+b)) sin((y+b)) + sh((y+b)) cos((y+b)) B1 = sh(2. b) [sin((b+e)) ch((b-e))  cos((b+e)) sh((b-e))] B2 = sin(2. b) [sh((b+e)) cos((b-e))  ch((b+e)) sin((b-e))]  4 P  = E L 2

 2sh2() [ C  D + E + F ] Avec C, D, E et F les fonctions suivantes: C = ch (.) (  ch() + sh()). D =   sh(  sh(  ) R  . R  E= 3 sh( ch() -  Q . Q F= 3 sh( ch()+  En posant R u = ch(u) (  ch() - sh()) - u sh() sh (u) Qu = sh(u) (2 sh() +  ch()) - u sh() ch(u) u: indice remplaçant  ou .  e  b 4 P y et =L =  b  =  b  =  et  E K 1 =

 Remarque importante: Pour le calcul de K 0, lorsque e   y

=  - |- changer y en -y et e en -e.

Ces formules sont très utile lors d'une programmation pour un calcul informatique. En effet, il existe pas de programme de calcul dans certains bureaux d’études de type « fait-maison » qui calcule directement le CRT (tel que programme Guyon ou Transv). Mais pour les calculs à la main, il vaut mieux utiliser les tables suivantes établies par Massonnet [3].

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 84

=0

=0,05 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,05 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

b/2

3b/4

b

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,2500 0,4375 0,6249 0,8125 1,0000 1,1876 - 0,5001 0,1250 0,2499 0,6249 1,0000 1,3751 - 1,2501 - 0,6876 - 0,1251 - 0,4374 1,0000 1,5626 - 2,0001 - 1,2501 - 0,5001 0,2499 1,0000 1,7501  = 1  K 1 -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4

1,0000 1,3750 1,7502 2,1252 2,5002

1,0000 1,5626 2,1251 2,6877 3,2502

1,0000 1,7501 2,5001 3,2503 4,0003

b/2

3b/4

b

1,0000 0,9969 0,9938 0,9908 0,9878

1,0000 1,0015 1,0031 1,0046 1,0061

1,0000 1,0023 1,0046 1,0069 1,0092

1,0000 1,0030 1,0061 1,0092 1,0124

b/2

3b/4

b

1,0003 1,0005 1,0003 0,8127 1,0004 1,1879 0,6250 1,0001 1,3751 0,4373 0,9997 1,5622 0,2495 0,9993 1,7493  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0001 1,3751 1,7501 2,1249 2,4997

0,9997 1,5622 2,1249 2,6877 3,2505

0,9993 1,7493 2,4997 3,2505 4,0014

b/2

3b/4

b

1,0003 0,9971 0,9938 0,9906 0,9873

1,0001 1,0063 1,0124 1,0183 1,0241

0,9997 1,0090 1,0183 1,0276 1,0369

0,9993 1,0116 1,0241 1,0369 1,0498

b/2

3b/4

b

1,0018 1,0025 1,0018 0,8136 1,0018 1,1892 0,6250 1,0003 1,3755 0,4363 0,9984 1,5612 0,2475 0,9963 1,7466  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0003 1,3755 1,7504 2,1247 2,4988

0,,9983 1,5612 2,1247 2,6887 3,2526

0,9963 1,7466 2,4988 3,2526 4,0075

b/2

3b/4

b

1,0016 0,9940 0,9862 0,9784 0,9708

1,0002 1,0143 1,0279 1,0406 1,0529

0,9986 1,0194 1,0406 1,0617 1,0825

0,9969 1,0243 1,0529 1,0825 1,1126

1,0000 0,9978 0,9954 0,9931 0,9908

-b/2

1,0000 0,9985 0,9969 0,9954 0,9938

-b/4

1,0000 0,9992 0,9985 0,9978 0,9969

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,10 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

0,9993 0,9997 1,0001 0,2495 0,4373 0,6250 - 0,5000 - 0,1250 0,2500 - 1,2494 - 0,6872 - 0,1250 - 1,9988 - 1,2494 - 0,5000 -b

-3b/4

-b/2

0,9993 0,9873 0,9756 0,9641 0,9527

0,9997 0,9906 0,9816 0,9728 0,9641

1,0001 0,9938 0,9877 0,9816 0,9756

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,15 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

0,9963 0,9983 1,0003 0,2475 0,4362 0,6250 - 0,5003 - 0,1252 0,2499 - 1,2474 - 0,6864 - 0,1252 - 1,9944 - 1,2474 - 0,5003 -b

-3b/4

-b/2

0,9969 0,9708 0,9459 0,9219 0,8985

0,9986 0,9784 0,9590 0,9403 0,9219

1,0002 0,9862 0,9724 0,9590 0,9459

-b/4

1,0000 1,0008 1,0015 1,0023 1,0030

 K 0 0 b/4

1,0005 1,0003 1,0001 0,9997 0,9993

=0

=0,15 y

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

=0

=0,10 y

 K 0 0 b/4

1,0003 1,0034 1,0063 1,0090 1,0116

 K 0 0 b/4

1,0021 1,0016 1,0002 0,9986 0,9969

1,0016 1,0084 1,0143 1,0194 1,0243

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 85

=0

=0,20 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,20 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

0,9884 0,2421 -0,5008 -1,2418 -1,9823

0,9948 0,4337 -0,1257 -0,6839 -1,2418

1,0009 0,6251 0,2496 -0,1257 -0,5008

-b

-3b/4

-b/2

0,9912 0,9468 0,9058 0,8674 0,8305

0,9960 0,9610 0,9281 0,8972 0,8674

1,0006 0,9755 0,9513 0,9281 0,9058

-b/4

b/2

3b/4

b

1,0057 1,0078 1,0057 0,8160 1,,0057 1,1929 0,6251 1,0009 1,3767 0,4336 0,9948 1,5583 0,2421 0,9884 1,7394  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0009 1,3767 1,7514 2,1242 2,4961

0,9948 1,5584 2,1242 2,6912 3,2581

0,9884 1,7394 2,4961 3,2581 4,0236

b/2

3b/4

b

1,0044 0,9902 0,9755 0,9610 0,9468

1,0006 1,0257 1,0496 1,0708 1,0906

0,9960 1,0328 1,0708 1,1086 1,1449

0,9912 1,0392 1,0906 1,1449 1,2009

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,25

1,0138 1,0188 1,0138 0,8210 1,0138 1,2007 0,6251 1,0021 1,3791 0,4281 0,9874 1,5524 0,2309 0,9718 1,7244  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0021 1,3791 1,7535 2,1230 2,4905

0,9874 1,5524 2,1230 2,6966 3,2696

0,9718 1,7244 2,4905 3,2696 4,0574

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,0095 0,9862 0,9619 0,9382 0,9156

1,0012 1,0407 1,0773 1,1079 1,1354

0,9912 1,0484 1,1079 1,1669 1,2225

0,9812 1,0546 1,1354 1,2225 1,3133

-b

-3b/4

-b/2

0,9718 0,2309 -0,5019 -1,2302 -1,9571

0,9874 0,4281 -0,1267 -0,6789 -1,2302

1,0021 0,6251 0,2489 -0,1267 -0,5019

-b

-3b/4

-b/2

0,9812 0,9156 0,8569 0,8038 0,7539

0,9912 0,9382 0,8899 0,8456 0,8038

1,0012 0,9619 0,9246 0,8899 0,8569

b/2

3b/4

b

1,0283 1,0385 1,0283 0,8289 1,0283 1,2146 0,6252 1,0044 1,3833 0,4183 0,9742 1,5419 0,2109 0,9423 1,6974  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0044 1,3833 1,7572 2,1209 2,4805

0,9742 1,5419 2,1209 2,7062 3,2901

0,9423 1,6975 2,4805 3,2901 4,1177

b/2

3b/4

b

1,0173 0,9820 0,9453 0,9104 0,8776

1,0018 1,0591 1,1108 1,1508 1,1849

0,9840 1,0652 1,1508 1,2351 1,3126

0,9664 1,0689 1,1849 1,3126 1,4474

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,30 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

0,9423 0,2109 -0,5038 -1,2094 -1,9123

0,9742 0,4183 -0,1284 -0,6698 -1,2095

1,0044 0,6252 0,2477 -0,1284 -0,5038

-b

-3b/4

-b/2

0,9664 0,8776 0,8012 0,7345 0,6733

0,9840 0,9104 0,8453 0,7876 0,7345

1,0018 0,9453 0,8929 0,8453 0,8012

-b/4

1,0044 1,0167 1,0257 1,0320 1,0392

 K 0 0 b/4

1,0133 1,0095 1,0012 0,9912 0,9812

=0

=0,30 y

1,0061 1,0044 1,0006 0,9960 0,9912

=0

=0,25 y

 K 0 0 b/4

1,0095 1,0287 1,0407 1,0484 1,0546

 K 0 0 b/4

1,0244 1,0173 1,0018 0,9840 0,9664

1,0173 1,0451 1,0591 1,0652 1,0689

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 86

=0

=0,35 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,35 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

0,8954 0,1793 -0,5067 -1,1765 -1,8411

0,9532 0,4027 -0,1311 -0,6554 -1,1765

1,0079 0,6252 0,2457 -0,1311 -0,5067

-b

-3b/4

-b/2

0,9466 0,8340 0,7408 0,6624 0,5926

0,9741 0,8781 0,7958 0,7255 0,6624

1,0025 0,9261 0,8568 0,7958 0,7408

-b/4

b/2

3b/4

b

1,0514 1,0700 1,0514 0,8437 1,0514 1,2369 0,6252 1,0079 1,3903 0,4027 0,9532 1,5250 0,1793 0,8954 1,6545  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0079 1,3903 1,7633 2,1176 2,4642

0,9532 1,5250 2,1176 2,7215 3,3228

0,8954 1,6545 2,4642 3,3228 4,2142

b/2

3b/4

b

1,0279 0,9777 0,9261 0,8781 0,8340

1,0025 1,0807 1,1496 1,1983 1,2369

0,9741 1,0824 1,1983 1,3115 1,4123

0,9466 1,0808 1,2369 1,4123 1,6001

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,40

1,0851 1,1160 1,0851 0,8637 1,0851 1,2696 0,6250 1,0129 1,4005 0,3801 0,9225 1,5005 0,1337 0,8273 1,5916  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0129 1,4005 1,7725 2,1128 2,4400

0,9225 1,5005 2,1128 2,7438 3,3702

0,8273 1,5916 2,4400 3,3702 4,3560

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,0414 0,9733 0,9043 0,8420 0,7862

1,0031 1,1051 1,1931 1,2489 1,2893

0,9613 1,0994 1,2489 1,3940 1,5188

0,9220 1,0893 1,2893 1,5188 1,7680

-b

-3b/4

-b/2

0,8273 0,1337 -0,5106 -1,1286 -1,7381

0,9225 0,3801 -0,1350 -0,6344 -1,1286

1,0129 0,6250 0,2426 -0,1350 -0,5106

-b

-3b/4

-b/2

0,9220 0,7862 0,6778 0,5903 0,5148

0,9613 0,8420 0,7429 0,6613 0,5903

1,0031 0,9043 0,8171 0,7429 0,6778

b/2

3b/4

b

1,1304 1,1783 1,1304 0,8902 1,1305 1,3144 0,6242 1,0194 1,4148 0,3495 0,8811 1,4671 0,0730 0,7355 1,5059  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0194 1,4148 1,7857 2,1063 2,4061

0,8811 1,4671 2,1063 2,7708 3,4340

0,7355 1,5059 2,4061 3,4340 4,5496

b/2

3b/4

b

1,0577 0,9688 0,8804 0,8029 0,7355

1,0032 1,1318 1,2405 1,3013 1,3400

0,9458 1,1152 1,3013 1,4809 1,6291

0,8933 1,0938 1,3400 1,6291 1,9476

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,45 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

0,7355 0,0730 -0,5152 -1,0640 -1,6003

0,8811 0,3495 -0,1402 -0,6060 -1,0640

1,0194 0,6242 0,2380 -0,1402 -0,5152

-b

-3b/4

-b/2

0,8933 0,7355 0,6142 0,5202 0,4418

0,9458 0,8029 0,6881 0,5969 0,5202

1,0032 0,8804 0,7748 0,6881 0,6142

-b/4

1,0279 1,0659 1,0807 1,0824 1,0808

 K 0 0 b/4

1,0601 1,0414 1,0031 0,9613 0,9220

=0

=0,45 y

1,0399 1,0279 1,0025 0,9741 0,9466

=0

=0,40 y

 K 0 0 b/4

1,0414 1,0914 1,1051 1,0994 1,0893

 K 0 0 b/4

1,0850 1,0577 1,0032 0,9458 0,8933

1,0577 1,1214 1,1318 1,1152 1,0938

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 87

=0

=0,50 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,50 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

0,6203 -0,0021 -0,5198 -0,9828 -1,4286

0,8288 0,3111 -0,1466 -0,5703 -0,9828

1,0273 0,6223 0,2317 -0,1466 -0,5198

-b

-3b/4

-b/2

0,8609 0,6834 0,5516 0,4538 0,3751

0,9276 0,7617 0,6326 0,5340 0,4538

1,0028 0,8547 0,7308 0,6326 0,5516

-b/4

b/2

3b/4

b

1,1877 1,2575 1,1877 0,9226 1,1877 1,3721 0,6223 1,0273 1,4336 0,3111 0,8288 1,4250 -0,0021 0,6203 1,3968  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0273 1,4336 1,8038 2,0981 2,3613

0,8288 1,4250 2,0981 2,8125 3,5140

0,6203 1,3968 2,3613 3,5140 4,7981

b/2

3b/4

b

1,0767 0,9642 0,8547 0,7617 0,6834

1,0028 1,1603 1,2911 1,3544 1,3876

0,9276 1,1293 1,3544 1,5704 1,7409

0,8609 1,0937 1,3376 1,7409 2,1362

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,55

1,2556 1,3521 1,2556 0,9592 1,2556 1,4423 0,6185 1,0360 1,4571 0,2657 0,7666 1,3746 -0,0883 0,4848 1,2654  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0360 1,4571 1,8274 2,0885 2,3046

0,7666 1,3746 2,0885 2,8585 3,6081

0,4848 1,2654 2,3046 3,6081 5,0997

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,0981 0,9595 0,8275 0,7192 0,6309

1,0016 1,1902 1,3443 1,4071 1,4308

0,9069 1,1411 1,4071 1,6611 1,8520

0,8255 1,0889 1,4308 1,8520 2,3314

-b

-3b/4

-b/2

0,4848 -0,0883 -0,5233 -0,8871 -1,2289

0,7666 0,2657 -0,1538 -0,5279 -0,8871

1,0360 0,6183 0,2230 -0,1538 -0,5233

-b

-3b/4

-b/2

0,8255 0,6309 0,4916 0,3922 0,3153

0,9069 0,7192 0,5777 0,4737 0,3922

1,0016 0,8275 0,6859 0,5777 0,4916

b/2

3b/4

b

1,3316 1,4594 1,3316 0,9977 1,3316 1,5237 0,6119 1,0447 1,4853 0,2154 0,6968 1,3177 -0,1808 0,3347 1,1155  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0447 1,4853 1,8575 2,0778 2,2358

0,6968 1,3177 2,0778 2,9106 3,7122

0,3347 1,1155 2,2358 3,7122 5,4480

b/2

3b/4

b

1,1215 0,9545 0,7992 0,6761 0,5792

0,9996 1,2207 1,3994 1,4582 1,4686

0,8839 1,1510 1,4582 1,7518 1,9607

0,7878 1,0792 1,4686 1,9607 2,5312

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,60 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

0,3347 -0,1808 -0,5241 -0,7808 -1,0112

0,6968 0,2154 -0,1615 -0,4806 -0,7808

1,0447 0,6119 0,2117 -0,1615 -0,5241

-b

-3b/4

-b/2

0,7878 0,5792 0,4349 0,3362 0,2627

0,8839 0,6761 0,5243 0,4171 0,3362

0,9996 0,7992 0,6410 0,5243 0,4349

-b/4

1,0767 1,1557 1,1603 1,1293 1,0937

 K 0 0 b/4

1,1489 1,0981 1,0016 0,9069 0,8255

=0

=0,60 y

1,1146 1,0767 1,0028 0,9276 0,8609

=0

=0,55 y

 K 0 0 b/4

1,0981 1,1940 1,1902 1,1411 1,0889

 K 0 0 b/4

1,1878 1,1215 0,9996 0,8839 0,7878

1,1215 1,2361 1,2207 1,1510 1,0792

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 88

=0

=0,65 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,65 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

0,1776 -0,2731 -0,5207 -0,6691 -0,7883

0,6223 0,1624 -0,1690 -0,4303 -0,6691

1,0524 0,6014 0,1974 -0,1690 -0,5207

-b

-3b/4

-b/2

0,7485 0,5289 0,3823 0,2860 0,2171

0,8588 0,6330 0,4734 0,3648 0,2860

0,9965 0,7702 0,5966 0,4734 0,3823

-b/4

b/2

3b/4

b

1,4121 1,5752 1,4121 1,0347 1,4121 1,6143 0,6014 1,0524 1,5180 0,1624 0,6223 1,2565 -0,2731 0,1776 0,9520  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0524 1,5180 1,8946 2,0666 2,1547

0,6223 1,2565 2,0666 2,9669 3,8208

0,1776 0,9520 2,1547 3,8208 5,8338

b/2

3b/4

b

1,1468 0,9493 0,7702 0,6330 0,5289

0,9965 1,2516 1,4559 1,5073 1,5005

0,8588 1,1561 1,5073 1,8418 2,0659

0,7485 1,0648 1,5005 2,0659 2,7342

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,70

1,4938 1,6955 1,4938 1,0670 1,4938 1,7118 0,5862 1,0580 1,5548 0,1095 0,5464 1,1934 -0,3589 0,0216 0,7809  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0580 1,5548 1,9393 2,0554 2,0618

0,5464 1,1934 2,0554 3,0254 3,9282

0,0216 0,7809 2,0618 3,9282 6,2464

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,1737 0,9437 0,7407 0,5905 0,4808

0,9923 1,2824 1,5134 1,5539 1,5262

0,8319 0,1589 1,5539 1,9305 2,1668

0,7080 1,0461 1,5262 2,1668 2,9395

-b

-3b/4

-b/2

0,0216 -0,3589 -0,5114 -0,5575 -0,5733

0,5464 0,1095 -0,1756 -0,3794 -0,5575

1,0580 0,5862 0,1798 -0,1756 -0,5114

-b

-3b/4

-b/2

0,7080 0,4808 0,3342 0,2417 0,1782

0,8319 0,5905 0,4253 0,3171 0,2417

0,9923 0,7407 0,5535 0,4253 0,3342

b/2

3b/4

b

1,5732 1,8138 1,5732 1,0920 1,5732 1,8140 0,5657 1,0606 1,5951 0,0588 0,4719 1,1305 -0,4324 -0,1260 0,6074  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0606 1,5951 1,9919 2,0449 1,9577

0,4719 1,1305 2,0449 3,0841 4,0292

-0,1260 0,6074 1,9577 4,0292 6,6762

b/2

3b/4

b

1,2018 0,9377 0,7110 0,5490 0,4351

0,9869 1,3128 1,5717 1,5976 1,5456

0,8035 1,1584 1,5976 2,0174 2,2628

0,6670 1,0233 1,5456 2,2628 3,1462

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,75 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

-0,1260 -0,4324 -0,4953 -0,4508 -0,3776

0,4719 0,0588 -0,1809 -0,3299 -0,4508

1,0606 0,5657 0,1589 -0,1809 -0,4953

-b

-3b/4

-b/2

0,6670 0,4351 0,2906 0,2030 0,1452

0,8035 0,5490 0,3804 0,2741 0,2030

0,9869 0,7110 0,5118 0,3804 0,2906

-b/4

1,1468 1,2818 1,2516 1,1561 1,0648

 K 0 0 b/4

1,2783 1,1737 0,9923 0,8319 0,7080

=0

=0,75 y

1,2310 1,1468 0,9965 0,8588 0,7485

=0

=0,70 y

 K 0 0 b/4

1,1737 1,3307 1,2824 1,1589 1,0461

 K 0 0 b/4

1,3294 1,2018 0,9869 0,8035 0,6670

1,2018 1,3825 1,3128 1,1584 1,0233

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 89

=0

=0,80 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,80 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

-0,2595 -0,4898 -0,4719 -0,3530 -0,2094

0,4010 0,0123 -0,1844 -0,2834 -0,3530

1,0595 0,5394 0,1348 -0,1844 -0,4719

-b

-3b/4

-b/2

0,6259 0,3923 0,2516 0,1695 0,1177

0,7738 0,5089 0,3389 0,2358 0,1695

0,9802 0,6812 0,4720 0,3389 0,2516

-b/4

b/2

3b/4

b

1,6478 1,9348 1,6478 1,1076 1,6478 1,9191 0,5394 1,0595 1,6383 0,0123 0,4010 1,0694 -0,4898 -0,2595 0,4362  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0595 1,6383 2,0526 2,0353 1,8428

0,4010 1,0694 2,0353 3,1419 4,1195

-0,2595 0,4362 1,8428 4,1195 7,1154

b/2

3b/4

b

1,2308 0,9313 0,6812 0,5089 0,3923

0,9802 1,3426 1,6305 1,6381 1,5588

0,7738 1,1547 1,6381 2,1023 2,3534

0,6259 0,9971 1,5588 2,3534 3,3539

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,85

1,7161 2,0493 1,7161 1,1126 1,7161 2,0259 0,5074 1,0539 1,6839 -0,0290 0,3351 1,0113 -0,5289 -0,3753 0,2705  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0539 1,6839 2,1214 2,0271 1,7181

0,3351 1,0113 2,0271 3,1979 4,1963

-0,3753 0,2705 1,7181 4,1963 7,5588

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,2604 0,9242 0,6517 0,4703 0,3524

0,9723 1,3716 1,6897 1,6753 1,5660

0,7432 1,1478 1,6753 2,1851 2,4385

0,5852 0,9678 1,5660 2,4385 3,5623

-b

-3b/4

-b/2

-0,3753 -0,5289 -0,4412 -0,2663 -0,0733

0,3351 -0,0290 -0,1858 -0,2409 -0,2663

1,0539 0,5074 0,1081 -0,1858 -0,4412

-b

-3b/4

-b/2

0,5852 0,3524 0,2170 0,1409 0,0949

0,7432 0,4703 0,3009 0,2019 0,1409

0,9723 0,6517 0,4343 0,3009 0,2170

b/2

3b/4

b

1,7771 2,1592 1,7771 1,1070 1,7771 2,1334 0,4700 1,0436 1,7309 -0,0646 0,2749 0,9565 -0,5493 -0,4715 0,1129  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0436 1,7309 2,1980 2,0203 1,5843

0,2749 0,9565 2,0203 3,2519 4,2579

-0,4715 0,1129 1,5843 4,2579 8,0034

b/2

3b/4

b

1,2903 0,9164 0,6224 0,4335 0,3155

0,9631 1,3996 1,7493 1,7094 1,5677

0,7119 1,1380 1,7094 2,2658 2,5180

0,5452 0,9359 1,5677 2,5180 3,7710

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,90 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

-0,4715 -0,5493 -0,4042 -0,1919 0,0299

0,2749 -0,0646 -0,1851 -0,2028 -0,1919

1,0436 0,4700 0,0792 -0,1851 -0,4042

-b

-3b/4

-b/2

0,5452 0,3155 0,1864 0,1166 0,0762

0,7119 0,4335 0,2663 0,1722 0,1166

0,9631 0,6224 0,3987 0,2663 0,1864

-b/4

1,2308 1,4371 1,3426 1,1547 0,9971

 K 0 0 b/4

1,4420 1,2604 0,9723 0,7432 0,5852

=0

=0,90 y

1,3841 1,2308 0,9802 0,7738 0,6259

=0

=0,85 y

 K 0 0 b/4

1,2604 1,4941 1,3716 1,1478 0,9678

 K 0 0 b/4

1,5028 1,2903 0,9631 0,7119 0,5452

1,2903 1,5534 1,3996 1,1380 0,9359

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 90

=0

=0,95 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =0,95 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

-0,5476 -0,5520 -0,3619 -0,1299 0,1017

0,2205 -0,0942 -0,1823 -0,1694 -0,1299

1,0283 0,4281 0,0490 -0,1823 -0,3619

-b

-3b/4

-b/2

0,5064 0,2816 0,1596 0,0961 0,0608

0,6801 0,3985 0,2351 0,1463 0,0961

0,9526 0,5936 0,3654 0,2351 0,1596

-b/4

b/2

3b/4

b

1,8308 2,2647 1,8308 1,0911 1,8308 2,2413 0,4281 1,0283 1,7788 -0,0942 0,2205 0,9051 -0,5520 -0,5476 -0,0352  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0283 1,7788 2,2821 2,0152 1,4425

0,2205 0,9051 2,0152 3,3040 4,3036

-0,5476 -0,0352 1,4425 4,3036 8,4478

b/2

3b/4

b

1,3202 0,9079 0,5936 0,3985 0,2316

0,9526 1,4265 1,8092 1,7402 1,5641

0,6801 1,1255 1,7402 2,3445 2,5920

0,5064 0,9021 1,5641 2,5920 3,9800

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,00

1,8775 2,3663 1,8775 1,0658 1,8775 2,3492 0,3824 1,0080 1,8265 -0,1183 0,1715 0,8567 -0,5391 -0,6044 -0,1726  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

1,0080 1,8265 2,3729 2,0116 1,2940

0,1715 0,8567 2,0116 3,3546 4,3335

-0,6044 -0,1726 1,2940 4,3335 8,8915

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,3499 0,8985 0,5652 0,3656 0,2506

0,9410 1,4523 1,8696 1,7679 1,5557

0,6482 1,1105 1,7679 2,4213 2,6605

0,4688 0,8667 1,5557 2,6605 4,1892

-b

-3b/4

-b/2

-0,6044 -0,5391 -0,3161 -0,0796 0,1460

0,1715 -0,1183 -0,1774 -0,1402 -0,0796

1,0080 0,3824 0,0184 -0,1774 -0,3161

-b

-3b/4

-b/2

0,4688 0,2506 0,1363 0,0789 0,0484

0,6482 0,3656 0,2070 0,1239 0,0789

0,9410 0,5652 0,3342 0,2070 0,1363

b/2

3b/4

b

1,9518 2,5621 1,9518 0,9925 1,9518 2,5643 0,2842 0,9531 1,9180 -0,1515 0,0880 0,7675 -0,4770 -0,6652 -0,4129  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,9531 1,9180 2,5717 2,0089 0,9824

0,0880 0,7675 2,0089 3,4539 4,3474

-0,6652 -0,4129 0,9824 4,3474 9,7780

b/2

3b/4

b

1,4075 0,8771 0,5103 0,3055 0,1969

0,9142 1,5003 1,9915 1,8145 1,5263

0,5848 1,0740 1,8145 2,5695 2,7813

0,3985 0,7931 1,5263 2,7813 4,6078

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,10 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

-0,6652 -0,4770 -0,2209 -0,0097 0,1709

0,0880 -0,1515 -0,1626 -0,0936 -0,0097

0,9531 0,2842 -0,0403 -0,1626 -0,2209

-b

-3b/4

-b/2

0,3985 0,1969 0,0985 0,0527 0,0303

0,5848 0,3055 0,1593 0,0882 0,0527

0,9142 0,5103 0,2783 0,1593 0,0985

-b/4

1,3202 1,6148 1,4265 1,1255 0,9021

 K 0 0 b/4

1,6320 1,3499 0,9410 0,6482 0,4688

=0

=1,10 y

1,5662 1,3202 0,9526 0,6801 0,5064

=0

=1,00 y

 K 0 0 b/4

1,3499 1,6781 1,4523 1,1105 0,8667

 K 0 0 b/4

1,7691 1,4075 0,9142 0,5848 0,3985

1,4075 1,8095 1,5003 1,0740 0,7931

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 91

=0

=1,20 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,20 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

-0,6677 -0,3856 -0,1317 0,0279 0,1439

0,0199 -0,1685 -0,1424 -0,0594 0,0279

0,8805 0,1841 -0,0900 -0,1424 -0,1317

-b

-3b/4

-b/2

0,3352 0,1533 0,0706 0,0348 0,0188

0,5233 0,2534 0,1217 0,0621 0,0348

0,8834 0,4582 0,2304 0,1217 0,0706

-b/4

b/2

3b/4

b

2,0050 2,7541 2,0050 0,8978 2,0050 2,7777 0,1841 0,8805 1,9987 -0,1685 0,0199 0,6851 -0,3856 -0,6677 -0,6038  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,8805 1,9987 2,7876 2,0114 0,6620

0,0199 0,6851 2,0114 3,5547 4,3049

-0,6677 -0,6038 0,6620 4,3049 10,6635

b/2

3b/4

b

1,4614 0,8520 0,4582 0,2534 0,1533

0,8834 1,5432 2,1156 1,8501 1,4827

0,5233 1,0306 1,8501 2,7114 2,8817

0,3352 0,7182 1,4827 2,8817 5,0266

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,30

2,0413 2,9483 2,0413 0,7914 2,0413 2,9888 0,8098 0,7931 2,0633 -0,1733 -0,0365 0,6061 -0,2848 -0,6266 -0,7438  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,7931 2,0633 3,0138 2,0173 0,3448

-0,0365 0,6061 2,0173 3,6614 4,2119

-0,6266 -0,7438 0,3448 4,2119 11,5520

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,5105 0,8233 0,4093 0,2086 0,1182

0,8491 1,5808 2,2421 1,8761 1,4282

0,4648 0,9823 1,8761 2,8483 2,9631

0,2793 0,6446 1,4282 2,9631 5,4455

-b

-3b/4

-b/2

-0,6266 -0,2848 -0,0585 0,0432 0,0975

-0,0365 -0,1733 -0,1191 -0,0348 0,0432

0,7931 0,0898 -0,1259 -0,1191 -0,0585

-b

-3b/4

-b/2

0,2793 0,1182 0,0501 0,0228 0,0115

0,4648 0,2086 0,0923 0,0434 0,0228

0,8491 0,4093 0,1898 0,0923 0,0501

b/2

3b/4

b

2,0637 3,1479 2,0637 0,6806 2,0637 3,1979 0,0067 0,6947 2,1085 -0,1691 -0,0833 0,5281 -0,1892 -0,5558 -0,8337  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,6947 2,1085 3,2447 2,0248 0,0415

-0,0833 0,5281 2,0248 3,7775 4,0743

-0,5558 -0,8337 0,0415 4,0743 12,4402

b/2

3b/4

b

1,5538 0,7913 0,3642 0,1706 0,0905

0,8126 1,6136 2,3728 1,8935 1,3600

0,4101 0,9305 1,8935 2,9810 3,0266

0,2309 0,5739 1,3600 3,0266 5,8643

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,40 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

-0,5558 -0,1892 -0,0058 0,0445 0,0525

-0,0833 -0,1691 -0,0948 -0,0173 0,0445

0,6947 0,0067 -0,1461 -0,0948 -0,0058

-b

-3b/4

-b/2

0,2309 0,0905 0,0299 0,0148 0,0070

0,4101 0,1706 0,0698 0,0301 0,0148

0,8126 0,3642 0,1572 0,0698 0,0299

-b/4

1,4614 1,9466 1,5432 1,0306 0,7182

 K 0 0 b/4

2,0601 1,5101 0,8491 0,6448 0,2793

=0

=1,40 y

1,9124 1,6414 0,8834 0,5233 0,3352

=0

=1,30 y

 K 0 0 b/4

1,5105 2,0883 1,5808 0,9823 0,6446

 K 0 0 b/4

2,2108 1,5538 0,8126 0,4101 0,2309

1,5538 2,2334 1,6136 0,9305 0,5739

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 92

=0

=1,50 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,50 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

-0,4676 -0,1076 0,0265 0,0381 0,0189

-0,1217 -0,1583 -0,0711 -0,0053 0,0381

0,5893 -0,0620 -0,1516 -0,0711 0,0265

-b

-3b/4

-b/2

0,1895 0,0688 0,0248 0,0095 0,0042

0,3597 0,1388 0,0523 0,0208 0,0095

0,7729 0,3215 0,1270 0,0523 0,0248

-b/4

b/2

3b/4

b

2,0738 3,3538 2,0738 0,5700 2,0738 3,4055 -0,0620 0,5893 2,1332 -0,1583 -0,1217 0,4499 -0,1076 -0,4676 -0,8768  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,5893 2,1332 3,4761 2,0315 -0,2397

-0,1217 0,4499 2,0315 3,9049 3,8974

-0,4676 -0,8768 -0,2397 3,8974 13,3286

b/2

3b/4

b

1,5909 0,7566 0,3215 0,1388 0,0688

0,7729 1,6400 2,5032 1,9028 1,2971

0,3597 0,8769 1,9028 3,1105 3,0738

0,1895 0,5074 1,2971 3,0738 6,2832

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,60

2,0727 3,5656 2,0727 0,4624 2,0727 3,6130 -0,1152 0,4812 2,1381 -0,1429 -0,1521 0,3712 -0,0437 -0,3723 -0,8790  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,4812 2,1381 3,7055 2,0350 -0,4927

-0,1521 0,3712 2,0350 4,0450 3,6864

-0,3723 -0,8790 -0,4927 3,6864 14,2173

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,6215 0,7197 0,2829 0,1123 0,0519

0,7323 1,6616 2,6378 1,9056 1,2251

0,3139 0,8225 1,9056 3,2374 3,1060

0,1545 0,4458 1,2251 3,1060 6,7021

-b

-3b/4

-b/2

-0,3723 -0,0437 0,0416 0,0286 -0,0013

-0,1521 -0,1429 -0,0495 0,0025 0,0286

0,4812 -0,1152 -0,1451 -0,0495 0,0416

-b

-3b/4

-b/2

0,1545 0,0519 0,0173 0,0061 0,0025

0,3139 0,1123 0,0390 0,0142 0,0061

0,7323 0,2829 0,1032 0,0390 0,0173

b/2

3b/4

b

2,0605 3,7817 2,0605 0,3594 2,0605 3,8212 -0,1533 0,3742 2,1251 -0,1245 -0,1745 0,2923 0,0020 -0,2784 -0,8472  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,3742 2,1251 3,9312 2,0329 -0,7136

-0,1745 0,2923 2,0329 4,1981 3,4463

-0,2784 -0,8472 -0,7136 3,4463 15,1058

b/2

3b/4

b

1,6456 0,6813 0,2478 0,0904 0,0390

0,6909 1,6779 2,7753 1,9023 1,1512

0,2726 0,7683 1,9023 3,3627 3,1244

0,1253 0,3895 1,1512 3,1244 7,1209

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,70 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

-0,2784 0,0020 0,0444 0,0188 -0,0104

-0,1745 -0,1245 -0,0310 0,0069 0,0188

0,3742 -0,1533 -0,1301 -0,0310 0,0444

-b

-3b/4

-b/2

0,1253 0,0390 0,0120 0,0039 0,0015

0,2726 0,0904 0,0290 0,0097 0,0039

0,6909 0,2478 0,0836 0,0290 0,0120

-b/4

1,5909 2,3815 1,6400 0,8769 0,5074

 K 0 0 b/4

2,5180 1,6215 0,7323 0,3139 0,1545

=0

=1,70 y

2,3637 1,5909 0,7729 0,3597 0,1895

=0

=1,60 y

 K 0 0 b/4

1,6215 2,5318 1,6616 0,8225 0,4458

 K 0 0 b/4

2,6733 1,6456 0,6909 0,2726 0,1253

1,6456 2,6838 1,6779 0,7683 0,3895

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 93

=0

=1,80 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,80 y

e

0  b/4  b/2 3b/4  b

-b

-3b/4

-b/2

-0,1920 0,0310 0,0394 0,0104 -0,0122

-0,1889 -0,1044 -0,0161 0,0088 0,0104

0,2714 -0,1775 -0,1101 -0,0161 0,0394

-b

-3b/4

-b/2

0,1010 0,0291 0,0083 0,0025 0,0009

0,2358 0,0725 0,0215 0,0066 0,0025

0,6492 0,2161 0,0674 0,0215 0,0083

-b/4

b/2

3b/4

b

2,0376 4,0009 2,0376 0,2623 2,0376 4,0311 -0,1775 0,2714 2,0963 -0,1044 -0,1889 0,2140 0,0310 -0,1920 -0,7891  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,2714 2,0963 4,1527 2,0233 -0,9001

-0,1889 0,2140 2,0233 4,3641 3,1820

-0,1920 -0,7891 -0,9001 3,1820 15,9944

b/2

3b/4

b

1,6633 0,6420 0,2161 0,0725 0,0291

0,6492 1,6889 2,9154 1,8938 1,0767

0,2358 0,7150 1,8938 3,4868 3,1303

0,1010 0,3386 1,0767 3,1303 7,5398

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b =1,90

2,0042 4,2218 2,0042 0,1716 2,0042 4,2432 -0,1896 0,1754 2,0540 -0,0839 -0,1957 0,1377 0,0465 -0,1170 -0,7121  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,1754 2,0540 4,3710 2,0047 -1,0512

-0,1957 0,1377 2,0047 4,5422 2,8980

-0,1170 -0,7121 -1,0512 2,8980 16,8829

y

e

b/2

3b/4

b

0  b/4  b/2 3b/4  b

1,6748 0,6024 0,1877 0,0579 0,0217

0,6077 1,6950 3,0578 1,8806 1,0034

0,2032 0,6632 1,8806 3,6103 3,1250

0,0811 0,2931 1,0034 3,1250 7,9587

-b

-3b/4

-b/2

-0,1170 0,0465 0,0308 0,0042 -0,0101

-0,1957 -0,0839 -0,0050 0,0090 0,0042

0,1754 -0,1896 -0,0882 -0,0050 0,0308

-b

-3b/4

-b/2

0,0811 0,0217 0,0057 0,0016 0,0006

0,2032 0,0579 0,0159 0,0045 0,0016

0,6077 0,1877 0,0541 0,0159 0,0057

b/2

3b/4

b

1,9607 4,4436 1,9607 0,0884 1,9607 4,4575 -0,1917 0,0878 2,0003 -0,0641 -0,1954 0,0647 0,0515 -0,0557 -0,6232  = 1  K 1 -b/4 0 b/4

0,0878 2,0003 4,5839 1,9758 -1,1674

-0,1954 0,0647 1,9758 4,7313 2,5986

-0,0557 -0,6232 -1,1674 2,5986 17,7715

b/2

3b/4

b

1,6803 0,5629 0,1624 0,0461 0,0160

0,5668 1,6962 3,2023 1,8631 0,9307

0,1745 0,6133 1,8631 3,7334 3,1093

0,0648 0,2526 0,9307 3,1093 8,3776

-b/4

e

0  b/4  b/2 3b/4  b =2,00 y

0  b/4  b/2 3b/4  b

e

-b

-3b/4

-b/2

-0,0557 0,0515 0,0215 0,0003 -0,0067

-0,1954 -0,0641 0,0027 0,0080 0,0003

0,0878 -0,1917 -0,0666 0,0027 0,0215

-b

-3b/4

-b/2

0,0648 0,0160 0,0039 0,0010 0,0003

0,1745 0,0461 0,0117 0,0030 0,0010

0,5668 0,1624 0,0433 0,0117 0,0039

-b/4

1,6633 2,8372 1,6889 0,7150 0,3386

 K 0 0 b/4

2,9857 1,6748 0,6077 0,2032 0,0811

=0

=2,00 y

2,8293 1,6633 0,6492 0,2358 0,1010

=0

=1,90 y

 K 0 0 b/4

1,6748 2,9916 1,6950 0,6632 0,2931

 K 0 0 b/4

3,1423 1,6803 0,5668 0,1745 0,0648

1,6803 3,1466 1,6962 0,6133 0,2526

 _________________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 3, page 94

Chapitre 4

ÉTUDE DES ENTRETOISES D’ABOUT

De nos jours, les poutres dans le tablier des ponts à poutres sont préfabriquées. L’emploi des entretoises complique l’exécution, puisque la technique de la préfabrication a pour but d’éviter de mettre un échafaudage au sol (étaiement). Lorsque les poutres sont mise en place, le coulage des entretoises sans étaiement n’est aisé que pour les entretoises sur appui (utilisation de l’appui tel que le chevêtre pour l’exécution des entretoises). Ainsi, dans ce type de pont, on ne conçoit que des entretoises d’appui. Entretoise d’appui

Figure N°1 : Section transversale d’un tablier d’un  pont à poutres montrant les entretoises d’appui. Il est vrai que ces entretoises d’appui solidarisent la section transversale, mais elles sont nécessaires surtout lors de l’opération du vérinage. Cette opération est souvent effectuée pour un changement des appareils d’appui. En effet les appareils d’appui les plus employés de nos  jours sont en élastomère fretté (ou en caoutchouc fretté). Leur durée de vie est assez limitée et ils nécessitent souvent un changement. Cette opération demande un soulèvement du tablier à l’aide des vérins. C’est pourquoi on l’appelle opération du vérinage. Des vérins sont placés sur la tête des appuis (tel que chevêtre), et sous les entretoises d’appui. A ce moment, ces éléments vont supporter le poids propre du tablier. Le nombre et la répartition des vérins dépend de leur puissance et du poids du tablier à soulever. De nos jours des bossages frettés sont conçus pour indiquer l’emplacement des vérins et éviter le poinçonnement des appuis. Bossage pour appareil d’appui

Appareil d’appui

Bossage pour le vérinage

Frettage en acier Chevêtre

Figure N°2 : Bossage pour vérinage et pour appareil d’appui. Lors du vérinage, les vérins jouent un rôle d’appui provisoire pour les entretoises. Ainsi, l’entretoise est calculée comme une poutre supportant son poids propre (répartie) et le poids

M.Ben Ouézdou

Chap 4 , page 95

 propre de la superstructure (équipement), des hourdis et des poutres principales à travers ce dernier (charge concentrée). Le schéma statique dépend du nombre des vérins employés. 1er  cas : Emploi de deux vérins.

Section transversale sur appui

gent

G p Schéma statique de l’entretoise

Figure N°3 : Schéma du vérinage dans le cas de 2 vérins. Dans ce cas, l’entretoise est calculée comme une poutre isostatique avec deux consoles. Elle reçoit son poids propre gent, qui est une charge répartie et le poids transmis à travers les  poutres principales G p, qui est une charge concentrée. n  gent = G . g ent = G . (he-hd) . be . BA G pG ppG dGst G pp est le poids propre d’une poutre principale et qui répartie sur les deux entretoises d’about (x ½). G ppg pp.  b p.(h p.  h d) .  . BA 2 2 Gd est le poids propre du hourdis (dalle) transmis par une poutre (x bo) et qui se répartie également sur les deux entretoises d’about (x ½). 





G d g d .  b o .h d. . BA 2 2 Gst est le poids propre de la superstructure et qui se répartie sur les deux entretoises d’about (x ½). La superstructure comprend les couches de revêtement, les trottoirs, les gardes corps, etc. Gst gst.. 2 Le coefficient de pondération du BAEL, G, est égal à 1,0 à l’ELS. La résolution de tel cas est simple et on peut appliquer le principe de superposition. On cherche les moments fléchissants et les efforts tranchants pour en déduire le ferraillage correspondant. 2ème cas : Emploi de trois vérins ou plus. C’est le cas le plus courant pour les ponts à poutres. Le choix de l’emplacement des vérins influe beaucoup sur le travail de l’entretoise et par conséquent sur son ferraillage. Plusieurs propositions peuvent être évoquées et on traite le plus couramment :  Soit un vérin entre chaque poutre (emploi de plusieurs vérins).  Soit un vérin à côté de chaque poutre de rive ( 0,75 m) et un vérin au milieu du  pont (à 0,75 m d’un poutre centrale). M.Ben Ouézdou

Chap 4 , page 96 

a) Un vérin entre chaque poutre : Dans ce cas, l’entretoise est considérée comme une poutre continue sur plusieurs appuis. La résolution est effectuée soit par la méthode des 3 moments, soit par des logiciels de calcul de poutre continue.

Section transversale sur appui

G p

gent

Schéma statique de l’entretoise

Figure N°4 : Schéma du vérinage dans le cas d’un vérin entre chaque poutre.  b) un vérin à côté de chaque poutre de rive ( 0,75 m) et un vérin au milieu du pont (à 0,75 m d’un poutre centrale). L’entretoise est considérée comme une poutre continue sur 3 appuis avec 2 petites consoles. Lorsque le nombre des poutres est pair, le vérin intermédiaire est placé au milieu de l’entretoise.

Section transversale sur appui

0,75 m

0,75 m G p

gent

Schéma statique De l’entretoise

Figure N°5 : Schéma du vérinage dans le cas de 3 vérins.

M.Ben Ouézdou

Chap 4 , page 97 

Mais lorsque ce nombre est paire, le vérin intermédiaire est placé à côté de la poutre centrale (0,75 m à droite ou à 0,75 m à gauche de la poutre).

Section transversale sur appui

0,75 m

0,75 m gent

0,75 m G p Schéma statique de l’entretoise

Figure N°6 : Schéma du vérinage dans le cas de 3 vérins. On peut également choisir une répartition de vérin de manière à optimiser le ferraillage de l’entretoise, notamment que lorsqu’elle est continue, elle présente également un ferraillage supérieur. Le ferraillage des entretoises est continu sur toute la longueur (pas d’arrêt de barres). Ainsi, on détermine le moment maximum positif (pour avoir le ferraillage inférieur) et le moment maximum négatif (pour avoir le ferraillage supérieur). Dans le cas courant de la  préfabrication des poutres, nous prévoyons des aciers en attente (perpendiculairement) pour les entretoises. Un mariage est nécessaire entre ces aciers et ceux calculés des entretoises. Ces aciers en attente sont souvent pliés puis dépliés pour faciliter le coffrage et le transport des  poutres et par conséquent ils sont choisis en aciers lisses.

M.Ben Ouézdou

Chap 4 , page 98

Chapitre 5

CALCUL DES HOURDIS

Partie A: Flexion locale 5-1- Préliminaire 5-2- Diffusion des charges localisées 101 5-3- Dalle rectangulaire sur quatre appuis articulés 5-4- Calcul du hourdis: Dalle continue

p 100 p p 102 p 109

Partie B : Flexion globale 5-5- Moments fléchissants 5-6- Détermination des charges q 5-7- Détermination des coefficient µ. 5-8- Exemple d’application

p 111 p 111 p 113 p 115

Partie C : Particularité du ferraillage dans le hourdis 5-8- Sollicitations résultantes dans le hourdis : Flexion totale 5-9- principe du ferraillage pour le hourdis 5-10- Condition relative au poinçonnement sous charge localisée 5-11- Condition relative au non-emploi d'armature d'effort tranchant 5-12- Valeur minimale des armatures: Condition de non-fragilité 5-13- Dispositions des armatures dans le hourdis Annexe 1 : Les abaques de Mougin Annexe 2 : Les tableaux de Guyon-Massonnet

p 131 p 131 p 132 p 132 p 132 p 133 p 135 p 150.

Si les travées ne sont pas entretoisées en zone courante (c.à.d. sans entretoise intermédiaire), les efforts dans le hourdis sont surtouts données par le calcul des efforts transversaux dans les poutres (voir la méthode de Guyon-Massonnet). Dans ce cas, le hourdis va jouer le rôle d'entretoisement. Ainsi, il supporte, en plus de la flexion locale une flexion globale . On superposera les deux effets.

Flesion locale + flexion globale = Flexion totale.

 ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 99

Partie A: Flexion Locale 5-1- Préliminaire Une dalle est un élément d'épaisseur faible par rapport à ses autres dimensions et qui est chargé perpendiculairement à son plan moyen. la dalle d'un pont à poutres est souvent connue sous le nom de "hourdis". le calcul des hourdis des ponts peut s'effectuer [1]: - soit en utilisant un modèle élastique et linéaire (théorie classique des plaques minces, éléments finis, ...) - soit en utilisant un modèle plastique (tel que la méthode des lignes de rupture) L'article A.3.2.5 des règles BAEL 91 [2] rend facultatif le recours aux méthodes  plastiques. On ne présente que les méthodes de calcul issues de l'utilisation d'un modèle élastique et linéaire et plus précisément les résultats des calculs des plaques minces. Pour les ponts à poutres, le hourdis repose sur des poutres à âme mince et ayant une faible rigidité de torsion. Dans ce cas, on considère que le hourdis est simplement appuyé sur les poutres, puis on tient compte forfaitairement de la continuité du hourdis (Article A.8.2.3). 

Le calcul des efforts pour les dalles rectangulaires simplement appuyées peut être effectué au moyen: - de l'annexe E.3 du BAEL 91 [2] (pour les charges réparties sur toute la dalle). - des abaques de Pigeaud (1921) [3] - des abaques du Bulletin Technique N°1 du SETRA (établies par Thenoz en 1972) [4] et le complément n°1 de 1976 [5]. Ces abaques donnent directement les valeurs des moments fléchissants sous l'effet des charges réglementaires (Bc, Bt, Br et Mc120) suivant les dimensions de la dalle. - des abaques de Mougin (1985) [6], qui reprennent les abaques de Pigeaud mais avec plus de précision de calcul. (calcul sur ordinateur comparé à celui de 1921). La valeur du coefficient de Poisson , , rentre dans le calcul des moments fléchissants. Or conformément à l'article A.2.1.3 du BAEL 91, ce coefficient doit être pris égale à:  = 0 pour les calculs des sollicitations, à l'E.L.U. (Etat Limite Ultime) et à l'E.L.S. (Etat Limite de Service). Ainsi, on peut déterminer les moments fléchissants, suivant le BAEL, en utilisant les abaques de Pigeaud ou celles de Mougin. Mais, en ce qui concerne les abaques de Thenoz (SETRA), les moments fléchissants ont été calculés suivant le CCBA 68, c.à.d., avec un coefficient de Poisson, , de 0,15. Ainsi, d'après le SETRA, la différence au niveau résultats n'est pas énorme! et on considère que les valeurs des moments fléchissants obtenues d'après les abaques du Thenoz sont par excès à l'ELU et par défaut à l'ELS [1]. D’autre part, ces abaques sont données pour des valeurs entre poutres de 3 m ou plus, or dans la nouvelle conception des ponts à poutres la disatnce des poutres ne dépasse pas les 2m. Donc ces abaques sont inutiles. 

Les portées des hourdis à prendre compte sont mesurées entre nus des appuis, c.à.d., entre nus des poutres principales et entre nus des entretoises. On emploi les notations suivantes:  b0: distance entre axes des poutres principales a: distance entre axes des entretoises  bP: épaisseur de l'âme des poutres principales  bE:épaisseur des entretoises. 

 ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 100

Poutre principale

x

Entretoise My

Mx

y

y

Ent

PP x

bE

 Figure 1:

ly

bE

a

Notations et Conventions de la dalle (un panneau)

on note lx, le petit côté, tel que l x = Inf(b0-bP,a-bE); Le cas courant est d'avoir lx=b0-bP. on note ly, le grand côté, tel que ly = Sup(b0-bP,a-bE); Le cas courant est d'avoir ly=a-bE. Donc lx   ly. le rapport lx/ly est noté ,c.à.d., 0   =lx/ly    1. On choisit les axes xx et yy tel que xx//lx et yy//ly. Mx: Moment fléchissant au centre de la dalle dans la direction lx (autour de ly) My: Moment fléchissant au centre de la dalle dans la direction ly (autour de lx) *Le hourdis est calculé aux: -Charges permanentes (poids propre du hourdis et des éléments reposant sur lui) -Surcharges roulantes de type B (avec ses trois systèmes Bc, Bt et Br ) -Surcharges militaires ou exceptionnels si indiqués par les cahiers de charges). D'habitude, en Tunisie, les ponts sont calculés sous l'effet de la charge Mc120. La charge de type A n'est pas prépondérantes que pour le hourdis de grande largeur et donc elle n’est pas considérée pour le calcul du hourdis. *Lorsque le hourdis est soumis à une charge uniformément répartie sur toute la surface de la dalle, celle-ci est considérée comme portant dans une seule direction si  (=lx/ly) < 0,4 et portant suivant deux directions si 0,4      1. Par contre, sous l'effet d'une charge concentrée, la dalle porte suivant deux directions quelque soit le rapport . Type de charge  (= lx/ly) < 0,4 Charge unif répartie sur toute la dalle 1 direction Charge non répartie sur toute la dalle (concentrée) 2 directions Tableau N°1: Sens du travail de la dalle.

0,4      1 2 directions 2 directions

5-2- Diffusion des charges localisées D'après l'article A.3.2.5 des règles BAEL 83, on admet que les charges localisées appliquées à la surface de la dalle se diffusant suivant un angle de 45° jusqu'au plan moyen de la dalle. En ce qui concerne le revêtement qui est en général composé de matériaux moins résistant que le béton (asphalte coulé, béton bitumineux, enrobés, ...), l'angle de diffusion des charges localisées diminue à 37°.  ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 101

Soit une charge localisée P s'appliquant suivant une aire rectangulaire de dimension (uo,vo). P 45°

37°

uo

hr  hd/2 hd/2

revêtement dalle  plan moyen

u lx

lx y

  y    l

u rectangle d'impact (uox vo) x

v

x

u // lx v // ly rectangle de répartition (u x v)

  y    l

y  Figure 2:

Diffusion d'une charge, P, localisée sur le plan moyen de la dalle.

La charge se répartie au niveau du plan moyen de la dalle sur une aire rectangulaire de dimension (u,v), appelée rectangle de répartition, tel que: u = uo + 2 .tg37° .hr + 2 .(hd/2) = uo + 1,5 . hr + h d de même v = vo + 1,5 . hr + h d La dimension de la roue parallèlement à l'axe xx est notée u, celle parallèlement à l'axe yy est notée v, (u // lx et v // ly). u = uo + 1,5 . hr + hd et

v = vo + 1,5 . hr + hd

5-3- Dalle rectangulaire sur quatre appuis articulés Avant de calculer les sollicitations dans le hourdis, on les étudie pour un panneau de dalle simplement appuyée sur les poutres principales et les entretoises (indice o pour indiquer l'isostaticité). 5-3-1- Charge uniformément répartie sur toute la surface de la dalle

Cette charge représente la charge permanente gn per , en valeur normatique (sans  pondération).  ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 102

1er cas:  = lx/ly < 0,4 Dans ce cas, les moments fléchissants My ainsi que les efforts tranchants Ty dans le sens de la grande portée sont faibles. On les néglige et on admet que la dalle ne porte que dans une seule direction, celle de la petite portée l x. La dalle travaille donc comme une  poutres de portée lx. Les moments fléchissants et les efforts tranchants sont les mêmes que  pour une poutres isostatique à une travée, c.à.d., que leur valeurs maximaux par unité de largeur sont respectivement: gn  . lx2 Mox =  per   8 gn  . lx Tap,x =  per  2 avec dans le sens de yy: Moy = 0 et Tap,y = 0. x g lx

Mx

y

y

ly  Figure 3:

Mx

lx

x

Moment fléchissant d'une dalle portant dans une seule direction sous l'effet de la charge permanente

2ème cas: 0,4     1 La dalle porte alors dans les deux directions *Moments fléchissants Les moments fléchissants Mox et Moy qui agissent par bande de largeur unité dans les deux directions lx et ly au centre de la dalle sont égaux à: Mox = x . gn per  . lx2 Moy = y . Mox Les coefficients x et y sont données en fonction de (=lx/ly) et du coefficient de Poisson  du béton; celui-ci est pris égal à  = 0 pour l'ELU et  = 0,2 pour l'ELS. (voir l'annexe E3 des règles BAEL 83 [2] ou le tableau tiré des abaques de Mougin [6], voir annexe). *Efforts tranchants Les valeurs maximales de l'effort tranchant par unité de longueur sont égales à: - au milieu du grand côté ly (dans le sens de xx): gn per . lx .ly Tap,x = 2 . l  + l y x - au milieu du petit côté lx (dans le sens de yy): gn  . lx .ly Tap,y =  per  3 . ly

 ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 103

x

Tx

y

y lx

ly

x Ty

 Figure 4:  Distribution de l'effort tranchant au milieu des axes,

 pour une dalle portant suivant deux directions 5-3-2-Charge localisée, concentrée P, placé au centre de la dalle

Dans ce cas, la dalle travaille dans les deux directions quelque soit le rapport . La charge localisée est répartie sur un rectangle de répartition de dimension u x v. x

y u

y lx

v

ly

x

Figure 5: Charge localisée, concentrée P, placé au centre de la dalle, se diffusant sur un rectangle de répartition ( u x v) *Moments fléchissants Les moments par unité de largeur au centre de la dalle se calculent par les expressions suivantes: Mox = (M1 +  M2) . P Moy = (M2 +  M1) . P : coefficient de Poisson= 0. Donc. Mox = M1 . P Moy = M2 . P M1 et M2 sont des coefficients dont les valeurs ont été calculés par Pigeaud [3], en 1921, et mises sous forme d'abaques en fonction des rapports , u/lx et v/ly. Plus récemment, en 1985, les abaques de Pigeaud ont été rétablies avec des meilleurs précisions par J.P. Mougin [6] (voir annexe 2). L'utilisation des abaques de Mougin est assez simple. Les abaques sont données  pour plusieurs valeurs de   variant de 0,05 à 1,0 en 0,05. Pour des valeurs de  intermédiaires, on effectue une interpolation linéaire entre deux abaques. Celle d'en haut représente M1 et celle d'en bas représente M2. On détermine alpha = u/lx et on le point sur l'abscisse. On détermine béta = v/ly, on cherche la courbe correspondante (les courbes sont  ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 104

 paramétrées en béta) et si nécessaire par interpolation linéaire (visuelle) entre deux courbes. Les valeurs de M1 ou de M2 sont lues directement sur les axes des ordonnés. *Effort tranchant Les valeurs maximales de l'effort tranchant sur le bord de la dalle par unité de longueur sont égales à: 1er cas: u  v P - au milieu de v (dans le sens de xx): T ap,x =  3.u P - au milieu de u (dans le sens de yy): T ap,y =  2.u + v 2ème cas: u < v P - au milieu de v (dans le sens de xx): T ap,x =  2.v + u P - au milieu de u (dans le sens de yy): T ap,y =  3.v 5-3-3-Charge localisée, P, décentrée

Si le rectangle de répartition n'est pas concentrique, on peut utiliser les abaques de Pucher qui donnent les surfaces d'influences des moments et des efforts tranchants. D'autre  part, Thenoz a établie des abaques qui donnent directement les moments maximaux dans les deux directions obtenues pour les positions les plus défavorables des charges routières à caractère normales ou particulier. Ces abaques figurent dans le bulletin technique n°1 (et son complément ) [4,5] du SETRA. Mais on peut tout simplement utiliser la méthode de superposition avec les abaques de Pigeaud ou de Mougin. Ainsi, on découpe la dalle en un certain nombre de rectangles concentriques et superposer les résultats obtenues pour chaque cas élémentaire. C'est l'artifice de Résal (1912) [7], basé sur les différences des rectangles centrés. En pratique, il convient d'envisager les différents cas de charge de Bc, Bt, Br, Mc 80, etc. ainsi que les différentes positions du rectangle d'impact correspondant à fin de déterminer la valeur maximale du moment à considérer pour le calcul des sections, tant dans le sens longitudinal que dans le sens transversal [8]. Pour obtenir ce moment maximum, il faudra disposer les rectangles d'impact le plus près possible du centre de la dalle. Dans le cas du convoi Bc, plusieurs cas doivent être envisagés en fonction de la  position relative des poutres, de la chaussée et des trottoirs. De toute manière, ce sont les roues arrières de 6t qu'il faudra disposer à proximité du centre de la dalle. Les cas 1 et 2 supposent que la proximité des trottoirs ne permet pas de disposer un autre camion sur la dalle à côté du camion représenté. Les roues arrières de celui-ci étant  placées à proximité du centre de la dalle. Ainsi, il n'y a qu'un seul camion sur la dalle et on n'envisage que l'effet des roues 3 et 5, les autres roues , trop loin ou en dehors de la dalle, sont négligées.  Remarque très importante :

Dans le 3ème te 4ème cas de Bc, les roues arrières (3,4) et (5,6) se chevauchent au niveau de leur rectangle de répartition et ces cas sont traités comme les cas 1 et 2. u/2

0,5 m

u/2

 ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 105

 A L  Axe Longitudinal

4,5 m 4,5 m 3 3

1,5 m

 A T

 Axe Transversal 1,5 m

5 2,0 m

5 2,0 m

1er cas  Figure 6:

2ème cas

Cas les plus défavorable pour un seul camion sur la chaussée (Nv=1)  AL  AL

4,5 m 4,5 m

4

3

6

5

2,0 m

6

5

2,0 m

Camion B

 AT

2,0 m 0,5

2,0 m 0,5

Camion B

Camion A

Camion A

3ème cas  Figure 7:

3

1,5 m  AT

1,5 m

4

4ème cas

Cas les plus défavorable pour deux camions côte à côte sur la chaussée (Nv2)

 ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 106

Les cas 3 et 4 supposent que la position des trottoirs permet de disposer côte à côte 2 camions A et B symétriquement par rapport à l'axe longitudinal de la dalle, les essieux arrières de ces camions étant disposé à proximité immédiate du centre de la dalle. On n'envisage que l'effet des roues 3 et 5 du camion A et des roues 4 et 6 du camion B. Pour traiter ces cas, on peut employer l'artifice de Résal, mais en utilisation le  principe de la densité de charge. Celle-ci est tel que p = P   pour un rectangle de u. v répartition de dimension ( u x v ). En plus, dans la pratique, on peut avoir un chevauchement entre les rectangles de répartition, en particulier 3 avec 4 et 6 avec 5 de sorte que les cas 3 et 4 se réduisent aux cas 1 et 2! 1er cas: Effet de deux rectangles situés sur un axe et symétriques par rapport à un autre L'effet des deux rectangles d'impact (A1,A2,B3,B4) et (B1,B2,B3,B4) est égal à l'effet du rectangle (A1,A2,B3,B4) moins l'effet du rectangle (A4,A3,B2,B1) avec la même

densité de charge p. Les deux derniers rectangles sont centrés.  AL  A1

 A 2 v

 A 4

 A 3

 AT v

B1

2

v 1

B2 v

B4

B3 u

(A1,A2,A3,A4) + (B1,B2,B3,B4)  (A1,A2,B3,B4) - (A4,A3,B2,B1)  Figure 8:

Etude de l'effet des deux rectangles symétriques

Effet de (A1,A2,B3,B4): de dimension u et v1. les rapports u/lx et v1/ly nous permettent d'obtenir M1' et M2' d'après les abaques de Mougin (les notations ' pour indiquer les résultats du premier rectangles). On en déduit M0x' = M1' . P' M0y' = M2' . P' P': Poids total appliqué sur cette surface u x v1 de (A1,A2,B3,B4) P'= p . u . v 1 Effet de (A4,A3,B2,B1): de dimension u et v2. On obtient à l'aide des abaques de Mougin M1'' et M2'' M0x'' = M1'' . P'' M0y'' = M2'' . P'' P''= p . u . v 2 Effet des 2 rectangles d'impact (A1,A2,A3,A4) et (B1,B2,B3,B4) est: M0x = M0x' - M0x'' M0y = M0y' - M0y''  ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 107

2ème cas: Effet d'un rectangle centrée et d'un rectangle placé sur un axe On considère les deux rectangles d'impact (A1,A2,A3,A4) et (B1,B2,B3,B4).

Afin de pouvoir appliquer la méthode des différences de rectangles centrés, on ajoute un impact fictif (C1, C2,C3,C4) symétrique de (A1,A2,A3,A4) par rapport à l'axe transversal. Le rectangle (A1, A2,C3,C4) est de dimension (u x v 1). Le rectangle (A4, A3,C2,C1) est de dimension ((u x v2). Le rectangle (B1,B2,B3,B4) est de dimension (u x v)  AL  A1

 A 2 v

 A 4

 A 3

B1

B2

 AT

v B4

B3

C1

C2

v

2

v

1

v C4

C3 u

(A1,A2,A3,A4)+(B1,B2,B3,B4) 

1 2 [(A1, A2,C3,C4)-(A4, A3,C2,C1)]+ (B1,B2,B3,B4)  Figure 9:

Etude de l'effet d'un rectangle centré et d'un rectangle placé sue un axe.

3ème cas: Quatre rectangles non centrées et symétriques deux à deux.  AL  A1

 A 2 B1

B2 v

 A 4

 A 3

B4

B3

 AT v D1

D2 C1

2

v 1

C 2 v

D4 u

D3 C4 u2

u

C3

u1

(A1,A2,A3,A4)+(B1,B2,B3,B4)+ (C1,C2,C3,C4)+(D1,D2,D3,D4)   (A1,B2,C3,D4)- (A2,B1,C4,D3)- (A4,B3,C2,D1)+ (A3,B4,C1,D2)  Figure 10:

Effet de 4 rectangles non centrées et symétriques deux à deux

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Chap 5, page 108

Dans la pratique, lorsque les rectangles (A1,A2,A3,A4) et (B1,B2,B3,B4) se chevauchent entre-elles (cas de Bc), ainsi que les rectangles (C1,C2,C3,C4) et (D1,D2,D3,D4) se chevauchent entre-elles, ce cas se réduit au 1er  cas. 4ème cas:

Comme pour le 2ème cas, afin de pouvoir appliquer la méthode des différences des rectangles centrés, on rajoute 2 impacts fictifs (E1,E2,E3,E4) et (F1,F2,F3,F4) symétriques  par rapport à l'axe transversal des impacts (A1,A2,A3,A4) et (B1,B2,B3,B4) .  AL  A1

 A 2 B1

B2 v

 A 4

 AT

B4

B3

D2 C1

C 2

 A 3

D1

v D4

D3 C4

C3

F1

F2 E1

E 2

v

2

v 1

v F4

F3 E4 u

u

2 u1

E3 u

(A1,A2,A3,A4)+(B1,B2,B3,B4)+ (C1,C2,C3,C4)+(D1,D2,D3,D4)  1 2 [(A1,B2,E3,F4)-(A2,B1,E4,F3)-(A4,B3,E2,F1)+(A3,B4,E1,F4)] + (D1,C2,C3,D4) - (D2,C1,C4,D3)  Figure 11:

Effet de 4 rectangles dont deux centrées sur l'axe transversal et symétriques par rapport à l'axe longitudinal

5-4- Calcul du hourdis: Dalle continue Le hourdis des ponts à poutres sous chaussée est un panneau de dalle continue. Les  poutres (principales et entretoises) constituent des appuis de continuité. Mais les sollicitations sont intermédiaires entre celles obtenues lorsque les appuis constituent un encastrement parfait et celles obtenues lorsque les appuis sont articulées. On dit alors que cet appui constitue un encastrement partiel. Les moments dans le hourdis se calculent forfaitairement à partir des efforts isostatiques Mox et Moy  calculées calculés dans l'hypothèse des dalles appuyées sur des  ______________________________________________________________________________________  M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 109

tr 

tr 

appuis articulées. Ces moments au milieu des travées Mx et My peuvent être réduite de 20 à 25% selon les conditions d'encastrement. Les moments d'encastrement sur les petits et ap ap les grands côtés Mx  et M y  sont évalués au moins à 50% du moment M ox dans le sens de la petite portée. Ces calculs doivent être effectués pour chaque type de charge.

0,75 Mo

0,8 Mo

0,8 Mo

lcs Me

- 0,5 Mo

- 0,5 Mo

 Figure 12:

- 0,5 Mo

- 0,5 Mo

- 0,5 Mo

- 0,5 Mo

Me

Répartition des moments sur la dalle continue

Pour chaque type de charge (par, Bc, Bt, Br et Mc). * Dans les travées  Dans la direction l x tr   travée de rive M x  = 0,80 Mox tr 

 travée intermédiaire Mx  = 0,75 Mox  Dans la direction l y tr   travée de rive M y  = 0,80 Moy * Sur les appuis  Dans la direction l x ap  appui intermédiaire Mx  = - 0,50 Mox ap

 appui de rive M x  = - Sup ( 0,50 Mox; |Me|)  Dans la direction l y ap ap  appui intermédiaire My  = - 0,50 Mox = Mx ap

ap

 appui de rive M y  = - 0,50 Mox = Mx Me: Moment d'encorbellement calculé sous l'effet des charges permanentes et de la charge du trottoir. Celle-ci représente la charge locale de valeur 0,45 t/m 2  ou une charge concentrée de valeur P tr =6t à placer de manière le plus défavorable. 2  L L P cs tr  n Me = - G.g per  .  2 - Q1. Sup     qtr .Ltr . (Lcs - 2tr  ), Lctr  . Lcs    Lcs: longueur de la console Ltr : largeur du trottoir ap ap |Mg | + |Md |  1,25 Mox Dans tous les cas, on doit respecter la condition que M tr  + 2 Les efforts tranchants dans la dalle continue sont les mêmes que dans le cas de la dalle articulée.

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Chap 5, page 110

Partie B: Flexion Globale 5-5- Moments fléchissants Lorsque le tablier d'un pont à poutres contient des entretoises intermédiaires entre les  poutres, la section transversale devient rigide. Dans ce cas, les efforts dans les entretoises sont déterminées d'après la méthode de Courbon. Mais, lorsque le tablier est dépourvue d'entretoises intermédiaires, qui est le cas souvent rencontré de nos jours à raison de la préfabrication des poutres, le hourdis joue le rôle de l'entretoisement. Ainsi, une flexion générale est née. Cette flexion représente la flexion qu'elle qu'aurait endossée l'entretoise intermédiaire si elle existe. Cette flexion globale (parfois on l'appelle aussi flexion générale) est déterminée d'après la méthode de Guyon-Massonnet [1,2] en prenant 1 m.l. du hourdis comme étant une entretoise intermédiaire. Les efforts dans le hourdis, sous l'effet de la flexion globale, sont ainsi calculés comme dans le cas d'entretoise. ainsi, cette flexion globale est surtout importante dans le cas des ponts à poutres sans entretoises intermédiaires. D'après Guyon-Massonnet [1,2], le moment fléchissant dans une entretoise est donné  par: 

My(x,y) =  b . n.q n.sin n..x   8 n 1 Lc

(1)

Lr 2.Ltr  LT  = 2 ; 2 Lr: Largeur roulable; Ltr: largeur du trottoir; LT: largeur totale.  n : Coefficient de Guyon-Massonnet. q n : Charge appliquée en forme de lame de couteau (développement en série de Fourrier). Lc : Longueur de calcul (dans le sens longitudinal). Le moment maximum est au centre de la dalle x  Lc 2  sin n..x  sin n. Lc 2 Si n est impair sin n.  1 2 Si n est pair  sin n.  = 0 2 Ainsi, on ne retient donc que les harmoniques impairs ( n = 1, 3, 5, 7, …). Pour un calcul manuel, on peut se contenter des deux premiers termes (à savoir n=1 et n=3). Ainsi, My =  b. 1q1sin  3q3sin 3 8 2 2

avec b: demi-largeur active =

My =

b 8

.  1 q1   3 q 3 

(2)

5-6- Détermination des charges q. 2-1- Charges à considérer 

Pour le calcul de la flexion locale du hourdis d'un pont à poutres, comme les charges de type A sont moins défavorable que celles de type B, les charges à caractère normale  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 111

sont réduites à la charge de type B [3]. Ainsi, pour l'étude de la flexion globale, on a à considérer les mêmes charges prévues pour la flexion locale à savoir: - Charge permanente, g per  - Charge de trottoir, qtr  - Charge de type B avec ses 3 systèmes: Bc, Bt et Br - Charge militaire si elle existe. 2-2- Equivalence des charges

Ces charges doivent être développées en série de Fourrier en une lame de couteau (Fig. 1).

 Figure 1: Transformation d'une charge en forme de

lame de couteau.

L'équivalence des charges usuelles est présentée, pour trois cas, comme suit [4]: a) Charge uniformément répartie d'intensité q sur toute la longueur Lc  (t.q. la charge  permanente g per  et celle du trottoir qtr ). (Fig. 2) q Lc  Figure 2:

Charge uniformément répartie d'intensité sur toute la longueur

si k est impair qk  4q k  qk 0 si k est pair En particulier ici,

k=1



 

k=3



4q  4q q3   3 q1

(3)

 b) Charge uniformément répartie sur une longueur, 2c, centrée sur le point d'abscisse d (t.q. les charges militaires Mc80 ou Mc 120).(Fig. 3) 2c

q d Lc  Figure 3:

Charge uniformément répartie sur une longueur, 2c

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 112

k impair q k  4q .sin k ..c .sin k ..d k  Lc Lc qk  0 k pair 4q .c .d .sin .sin  Lc Lc 4q q3 .sin 3..c .sin 3..d   3 Lc Lc

c.à.d. q1

(4)

c) Charge concentrée P au point d'abscisse d (cas de Bc, Bt et Br) (Fig. 4). P

d Lc  Figure 4: Charge

concentrée

k impair q k  2P .sin k ..d Lc Lc qk  0 k pair Dans notre cas: q1 2P . sin .d Lc Lc q3 2P . sin 3..d   Lc Lc

(5)

 Remarques

1) Dans le cas de plusieurs charges concentrées P i distant de di  comme abscisse, on effectue une sommation, c.à.d., .d q1 2Pi .sin i Lc i Lc 3.di   q3  2Pi . sin Lc i Lc

(5')

2) Ces charges qui agissent longitudinalement sont placées de la manière la plus défavorable. En particulier, pour la charge de Bc, se référer au tableau établi d'après le théorème de Barré (chapitre 3). En déterminant q1  et q3 , il reste à trouver 1  et 3  dans l'expression (2) du moment, à savoir, My =  b.1q13q3  . 8

5-7- Détermination des coefficients µ Le coefficient  n dépend de: 1- La valeur du paramètre de torsion, ; 2- la valeur du paramètre d'entretoisement, ; 3- l'ordonnée de la fibre considérée du hourdis, y; 4- la position de la charge, e.  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 113

 n = f (,  , y, e) est déterminé par les tables ou les formules de Guyon-Massonnet

[1,2]. Celles-ci sont analogues aux tables de K = f ( , , y, e) employées pour le calcul du CRT [5] et le calcul du coefficient correspondant se fait de la même manière. En  particulier, cette fois on cherche les moments dans la fibre centrale (y=0). Ainsi, on utilise uniquement que la première ligne (y=0) de chaque table. C'est pourquoi les tables à employer (et les courbes obtenues par la suite) sont toujours symétriques par rapport à e=0. Ces tables sont présentées dans l'annexe. .   Le paramètre d'entretoisement est  n b (6) Lc Pour le calcul de  1 : 1  b   (6a) Lc Pour le calcul de  3 : 3  3 b   (6b) Lc , le paramètre de torsion, est le même que celui employé pour le calcul de K [5], à savoir, (7)   P   E   2 P.E où P, E, P, E sont respectivement les rigidités de flexion et de torsion des poutres et des entretoises par unité de longueur tels que définies dans le chapitre 3 pour le calcul du CRT K. De la même manière que pour le calcul de ce dernier (CRT K), l'interpolation sur  fait intervenir  0  pour  = 0 et  1  pour  = 1 (à ne pas confondre ce  1  pour  = 1 avec  1  pour n=1). L'interpolation peut se faire d'après la relation de Guyon- Massonnet [1,2], c.à.d.,

0  10    

(8)

ou pour plus de précision, on utilise la relation de Sattler [2,6]:  =  0 + ( 1 -  0) 0,05

0    0,1

 =  0 + ( 1 -  0) (1-eo)

0,1    1

avec

0,065 o= 0,663

  > 1  0 et  1 sont données par les tables de Guyon-Massonnet en fonction de , e et y (voir annexe). Il ne reste plus qu'à chercher la variation de  1 = f(e) et de  3 = f(e) en employant les tableaux de Guyon-Massonnet (ou les formules) présentés en annexe et correspondant aux valeurs de  et de . On trace ces deux courbes comme dans le cas de K (sur un même papier millimétrique). On charge transversalement par la charge permanente et par les charges réglementaire (Bc, Bt, Br, Mc80, q tr ) de la manière la plus défavorable. On cherche  1 et  3  pour chaque charge.  =  0 + ( 1 -  0)

Le calcul de  i est aussi analogue à celui de K [5,7], c.à.d., • Pour g per  et qtr , on cherche l'aire correspondante (de la même manière que pour Al, soit par la formule de trapèze ou autres);  = . 1

• Pour Bc et Bt,     i . Les files sont placés de manière la plus défavorable. on lit 2

les valeurs de  sous l'emplacement des essieux. Longitudinalement, on prendra la charge d'un essieu (P=12t pour Bc et P=16t pour Bt).  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 114

• Pour Br, on place la charge au milieu du pont et on lit directement la valeur de  sous la position de la charge. 1 1 L • Pour Mc80,on prend aussi l'aire sous les chenilles     i . L Mc  Mc   i 2

2

4

Dans le sens longitudinal, on prend la valeur de la charge correspondante aux 2 chenilles et on tient compte de L Mc.

5-8- Exemple d'application On reprend le même exemple qui a servis pour le calcul du CRT K (Fig. 8 de l’annexe du chapitre 5 page 62). En plus, on a évalué la charge permanente normatique à g per  = 0,656 t/m2, qui s'étale sur toute la largeur transversale.

l c  = 15,36 m

1,5

9,50 m

1,5

bp=0,3

1,25

2,5

2,5

demi-section sur appui

 Figure 5:

2,5

1,25

2,5

demi-section en travée

Exemple d'un pont pour le calcul de la flexion globale

Déterminer les moments de la flexion globale dans le hourdis sous l'effet des charges  permanentes, des surcharges du trottoir et de celles de type B et Mc80. Solution 1) Courbes de µ 1 et de µ 3 en fonction de e La demi-largeur, b, du pont est:  b  = 1,56 m.  b = 6,25 m 4 Le paramètre de torsion est:  = 0,37 (d'après le résultat précédent de la page 64 de l’annexe du chapitre 3), d'où l'interpolation sur  est: µ = 0,39 µ(=0) + 0,61 µ(=1). En ce qui concerne , on détermine ceux du 1er  et du 3ème harmonique, à savoir: 6,25  µ1 1  b = 15,36 = 0,40 Lc 3.6,25  µ3 3  3 b = 15,36  = 1,22 Lc  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 115

Maintenant, on détermine µ1=f(e) et µ3=f(e) correspondant respectivement à 1 et 3. Pour la valeur de 0,40, pas d'interpolation pour 1, les valeurs sont prises directement des tables de Guyon-Massonnet. Par contre, une interpolation linéaire est nécessaire pour 3=1,22 entre =1,20 et =1,40; à savoir: µ =1,22 = µ =1,20 + (µ =1,40 - µ =1,20) 1,22 - 1,20 1,40 - 1,20 µ1,22 = 0,9 µ1,20 + 0,1 µ1,40. Ainsi, on commence par la valeur de 1=0,40. On copie les valeurs des tables de Guyon-Massonnet dans les deux premières lignes et puis on interpole sur . Les résultats sont présentés dans le tableau N°1. Le tableau est symétrique par rapport à e =0. 1 = 0,40

e µ(=0).104 µ(=1).104 µ1.104

-b -2292 -1016 -1514

-3b/4 -b/2 -1161 -20 -617 -131 -828 -88

- b/4 1151 546 782

0 2372 1563 1878

Tableau N°1 : µ1=f(e) après interpolation sur

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

 correspondant à 1 = 0,40.

Ensuite, on procède de la même manière pour la valeur de 1 = 1,22. Mais cette fois, on ajoute une interpolation sur . Les résultats sont présentés dans le tableau N°2. 3= 1,22

e  = 1,2  = 1,4

µ(=0).104 µ(=1).104 µ3.104 µ(=0).104 µ(=1).104 µ3.104 µ3.104

-b -120 -77 -94 -4 -41 -27 -87

-3b/4 -190 -94 -131 -111 -59 -79 -126

-b/2 -190 -101 -135 -174 -81 -117 -133

- b/4 80 8 36 -0,5 -21 -13 31

0 940 657 767 801 566 658 756

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

Symétrique Symétrique

Tableau N°2 : µ3=f(e) après interpolation sur

, puis sur .

En résumé, on présente la variation de µ1 et µ3 en fonction de e (la dernière ligne de chaque tableau). C'est le tableau (N°3) avec lequel on va tracer les courbes µ 1=f(e) et µ3=f(e). Les deux courbes sont tracées sur la même figure avec une même échelle (voir la figure 6).

e µ1.104 µ3.104

-b -1514 -87

-3b/4 -b/2 -828 -88 -126 -133

- b/4 782 31

0 1878 756

b/4

b/2 3b/4 Symétrique

b

Tableau N°3 : µ1=f(e) et µ3=f(e) nécessaire pour le traçage des courbes.

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 116

Caractéristiques du pont: Lch = Lr = 9,50 m;  Nv = 3 voies; Lr  7m  Pont de la 1ère classe.  b = 6,25 m.

0,1878

0,0782 0,0756

 0,0031 -0,0087 -0,0088

-0,0126 -0,0133

-0,0828

-0,1514

 Figure 6 :

Courbes de µ1 et de µ3 en fonction de e.

2) Détermination des moments globaux. a) Charge permanente

 

Transversalement On charge toute la largeur transversale puisque cette charge existe toujours. Vu que cette charge est uniformément répartie on détermine les coefficients µ 1 et µ3 en prenant les différentes surfaces positives et négatives (Fig. 7). On prend l'avantage de la symétrie en traitant deux fois la moitié. 1 -3b -b -b 1  b µ1 = 2.  .4  2 µ1(e=-b) +.µ1(e= 4 ) +.µ1(e= 2 ) +.µ1(e= 4 )+ 2 µ1(e=0)     6,25 = (-0,1514 - 2.0,0828 - 2.0,0088 + 2.0,0782 + 0,1878). 4 = 0,015 m  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 117

1 -3b -b -b 1  b µ3 = 2.2 µ3(e=-b) + µ3(e= 4 ) + µ3(e= 2 ) +µ3(e= 4 ) + 2 µ3(e=0) . 4   6,25 = (-0,0087 - 2.0,0126 - 2.0,0133 + 2.0,0031+ 0,0756). 4 = 0,033 m

gper 

0,1878

qtr 

qtr 

0,0782 0,0756

 0,0031 -0,0087 -0,0088

-0,0126 -0,0133

-0,0828

-0,1514

 Figure 7:

Courbes de µ1 et µ3 en fonction de e et emplacement de la charge g per  et qtr .

Longitudinalement g pe Lc  Figure 8:

Chargement de g per  dans le sens longitudinal.

g per = 0,656 t/m2.  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 118

4q 4.0,656 q1 =   =   = 0,835 t/m2 4q 4.0,656 q3 = 3 = 3  = 0,278 t/m2 Enfin, on obtient le moment de la flexion globale sous l'effet de la charge permanente: My =  b.1q13q3  8 My = (6,25/8) . (0,015 .0,835 - 0,033 .0,278 ) = 0,003 t.m/ml. b) Charge du trottoir 

Transversalement: On emploie aussi la figure 7. 1 µ1 = 2.2.[µ1(e=-b) + µ1(e=-b+Ltr)] . Ltr -3b = µ1(e=-b) + µ1(e= 4 ) . Ltr   = ( - 0,1514 - 0,0828).1,5 = - 0,351 m 1 µ3 = 2.2.[µ3(e=-b) + µ3(e=-b+Ltr)] . Ltr -3b = µ3(e=-b) + µ3(e= 4 ) . Ltr   = ( - 0,0087 - 0,0126).1,5 = - 0,032 m. Longitudinalement qtr Lc  Figure 9:

Chargement du qtr  dans le sens longitudinal.

qtr  = 0,45 t/m2. 4q 4.0,45 q1 =   =   = 0,573 t/m2 4q 4.0,45 q3 = 3 = 3  = 0,191 t/m2 Ainsi, le moment global sous l'effet du trottoir est: My =  b.1q13q3  8 My = (6,25/8) [(-0,351) .0,573 - (-0,032) .0,191] = - 0,152 t.m/ml. c) Charge Bc

Transversalement: On place la charge Bc sur les courbes de manière la plus défavorable (tel qu'il a été fait  pour le calcul du CRT K et notamment pour la poutre centrale vue sa symétrie). Comme on doit respecter la règle Nf  Nv (=3), on charge une file, 2 files ou 3 files, symétrique  par rapport à l'axe transversal ou l'une des files de roues sur l'axe (cas non-symétrique). les valeurs de µ sont lues directement sur la courbe (Fig.10).  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 119

1er cas:

1 file de Bc 1ère position: Symétrique µ1,i= 0,115 et µ3,i = 0,020 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2 2.0,115 = 0,115 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2 2.0,020 = 0,020 2ème position: Non-symétrique µ1,1= 0,1878 µ1,2= 0,050 µ3,1 = 0,0756 µ3,2= - 0,006 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2 (0,1878+0,050) = 0,119 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2 (0,0756-0,006) = 0,035

2 files de Bc 1ère position: Symétrique µ1,1= 0,168 µ1,2= 0,038 2ème cas:

µ3,1 = 0,058

µ3,2= - 0,010

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 120

1 µ1 = 2

1  µ  = 1,i  2 .2.(0,168+0,038) = 0,206

1 µ3 = 2

1  µ  = 3,i  2 .2.(0,058-0,010) = 0,048

2ème position: Non-symétrique µ1,1= 0,023 µ1,2= 0,150 µ1,3= 0,1878 µ3,1=-0,012 µ3,2= 0,044 µ3,2= 0,0756 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2 (0,023+0,15+0,1878+0,05) (0,023+0,15 +0,1878+0,05) = 0,205 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2 (-0,012+0,044+0,0756-0,00 (-0,012+0,044+0,0756-0,006) 6) = 0,051 0,051

µ1,4= 0,050 µ3,2=-0,006

3 files de Bc 1ère position: Symétrique µ1,1= 0,115 µ1,2= 0,081 µ1,3= -0,028 µ3,1= 0,020 µ3,2= 0,004 µ3,3= -0,013 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2 .2.(0,115+0,081-0,028)  .2.(0,115+0,081-0,028) = 0,168 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2 .2.(0,02+0,004-0,013) = 0,011 2ème position: Non-symétrique µ1,1= 0,023 µ1,2= 0,150 µ1,3= 0,1878 µ1,4= 0,050 µ1,5= 0,023 µ1,6=-0,074 µ3,1=-0,012 µ3,2= 0,044 µ3,2= 0,0756 µ3,2=-0,006 µ3,5=-0,012 µ3,6=-0,013 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2 (0,023+0,15+0,1878+0,0 (0,023+0,15+0,1878+0,05+0,023-0,07 5+0,023-0,074) 4) = 0,180 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2 (-0,012+0,044+0,0756-0,0 (-0,012+0,044+0,0756-0,006-0,012-0,013 06-0,012-0,013)) = 0,038 La comparaison entre ces positions ne peut se faire qu'au niveau des résultats de My, après le calcul longitudinal. 3ème cas:

Longitudinalement La position la plus défavorable est déterminée par le théorème théorème de Barré (ou plus plus simplement on emploie le tableau N°1 du chapitre 3 page 46). Lc = 15,36 m 11,75 < Lc  < 17,44 m

= 0,375 m P

4,5 m

2

d 1

1,5 m

P

P

4,5 m

P 2

d 2 d

3 d4 l

 Figure 11:

c

Disposition la plus défavorable défavorable pour la charge Bc d'après d'après le chapitre 3.

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Chap 5, page 121

Les distances di sont déterminées d'après la valeur de  donnée dans le tableau. 15,36  d2 = Lc    = 2  0,375 = 7,305 m P2 = P = 12t. 2 P  d1 = d2  4,5 = 7,305  4,5 = 2,805 m P1 = 2 = 6t.   d3 = d2 + 1,5 = 7,305 + 1,5 = 8,805 m P3 = P = 12t. P d4 = d3 + 4,5 = 8,805 + 4,5 = 13,305 m P4 = 2 = 6t. 

d d d d q1  2P  1 sin 1  sin 2  sin 3  1 sin 4  2 c  2 c c c c  d d d d  2P  1 sin 1 sin 2 sin 3  1 sin 4  c 2 c c c c  2 2 . 12 1 1 = 15,36    0,408   2 0,543 + 0,997 + 0,974 + 2 0,   = 3,823 t /m 2P 3d 2P 3d 2P 3d 2P 3d q3  1 sin 1  2 sin 2  3 sin 3  4 sin 4 c

c

c

c

c

c

c

c

3d 3d 3d 3d  2P  1 sin 1 sin 2  sin 3  1 sin 4  c  2 c c c c  2 2 . 12 1 1 = 15,36    0,952   2 0,989  0,974  0,771 +2 0,   = - 1,210 t /m Enfin, les moments fléchissants sont obtenus et comparés pour en tirer la valeur maximale. Comme les coefficients µ sont multipliés par les charges q, la comparaison entre les différents cas doit se faire à ce niveau. C'est là aussi, qu'on tient compte du coefficient bc pour comparer les différents cas (la comparaison se fait avec bc.My). My =  b .1.q13 .q3  8 1 file de Bc bc=1,2 1ère position: Symétrique My = (6,25/8) . (0,115 .3,823 + 0,02 .1,210) = 0,362 t.m/ml.  bc My = 1,2.0,362 1,2.0,362 = 0,435 0,435 t.m/ml. 2ème position: Non-Symétrique My = (6,25/8) . (0,119 .3,823 + 0,04 .1,210) = 0,393 t.m/ml.  bc My = 1,2.0,393 1,2.0,393 = 0,472 0,472 t.m/ml.

1er cas:

2 files de Bc bc=1,1 1ère position: Symétrique My = (6,25/8) . (0,206 .3,823 + 0,048 .1,210) = 0,661 t.m/ml. 0,661 t.m/ml.  bc My = 1,1.0,661 1,1.0,661 = 0,727 t.m/ml. 0,727 t.m/ml. 2ème position: Non-Symétrique My = (6,25/8) . (0,205 .3,823 + 0,051 .1,210) = 0,660 t.m/ml.  bc My = 1,1.0,660 1,1.0,660 = 0,726 0,726 t.m/ml.

2ème cas:

3 files de Bc bc= 0,95 1ère position: Symétrique My = (6,25/8) . (0,168 .3,823 + 0,011 .1,210) = 0,512 t.m/ml.  bc My = 0,95.0,512 0,95.0,512 = 0,486 0,486 t.m/ml.

3ème cas:

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Chap 5, page 122

2ème position: Non-Symétrique My = (6,25) . (0,18 .3,823 + 0,044 .1,210) = 0,579 t.m/ml.  bc My = 0,95.0,579 0,95.0,579 = 0,550 0,550 t.m/ml. Donc le 2ème cas (2 files) à sa 1ère position symétrique représente le cas le plus défavorable. A retenir: retenir: My = 0,661 0,661 t.m/ml t.m/ml bc=1,1 bc=1,1 On tiendra compte par la suite des différents coefficients, à savoir bc, Q1 et B.  bc = 1,1 BAEL; Q1=1,6 à l'ELU Q1: Coefficient de pondération du BAEL; Q1=1,2 à l'ELS. B : Coefficient de majoration dynamique (le même que pour la flexion locale). d) Charge Bt 

Transversalement: Comme le pont pont est de la 1ère classe, on charge charge 1 ou 2 files de Bt, symétrique symétrique (1ère  position) ou non (2ème position). On emploie la figure 12 pour savoir les valeurs des coefficients µ.

2,0

1 cv Bt 2ème position

2,0 1 cv Bt 1ère position

2,0

1,0

2,0 2 cv Bt 2ème position

2,0

1,0

2,0

2 cv Bt 1ère position



 Figure 12:

Emplacement Emplacement de la charge Bt sur les courbes courbes de µ 1 et µ3.

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Chap 5, page 123

1 file de Bt 1ère position: Symétrique µ1,1 = 0,115 et µ3,1 = 0,020 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2 .2.0,115 = 0,115 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2 .2.0,020 = 0,020 2ème position: Non-symétrique µ1,1= 0,1878 µ1,2= 0,050 µ3,1 = 0,0756 µ3,2= - 0,006 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2 (0,1878+0,050) = 0,119 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2 (0,0756-0,006) = 0,035 2ème cas:  2 files de Bt 1ère position: Symétrique µ1,1= 0,150 µ1,2= 0,023 µ3,1 = 0,044 µ3,2= - 0,012 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2.2.(0,15+0,023) = 0,173 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2.2.(0,044-0,012) = 0,032 2ème position: Non-symétrique µ1,1= 0,050 µ1,2= 0,1878 µ1,3= 0,115 µ1,4=-0,003 µ3,1= -0,006 µ3,2= 0,0756 µ3,2=0,020 µ3,2=-0,013 1 1 µ1 = 2  µ1,i = 2 (0,050+0,1878+0,115-0,003) = 0,175 1 1 µ3 = 2  µ3,i = 2 (-0,006+0,0756+0,020-0,013) = 0,038 1er cas:

Longitudinalement On place la charge Bt de la manière la plus défavorable pour un moment centrale. On emploie les lignes d'influences et on fait avancer le tandem pour en tirer l'effet maximum.

= 0,675

1,35 P

P d1 d2 Lc  Figure 13:

Cas le plus défavorable pour Bt dans le sens longitudinal

1,35 d1 = Lc  - 2  = 7,005 m 2 1,35 d2 = Lc  + 2  = 8,335 m 2  c  = 15,36 m. P=16t  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 124

q1

2P1 c

sin

d1 2P2 sin d2  c

c

c

d d  2P   sin 1  sin 2    c   c  c   2.16 = 15,36 (0,990+0,990) = 4,125 t/m 2P 3d 2P 3d q3  1 sin 1  2 sin 2 c

c

c

c

3d 3d sin 1  sin 2   2P     c   c  c   2.16 = 15,36 ( - 0,915 - 0,915) = - 3,812 t/m Ainsi, on obtient les moments pour chaque cas. Comme le coefficient bt (ici bt=1) ne dépend que de la classe du pont, il n'intervient pas dans la comparaison des résultats. My =  b.1q13q3  8 1er cas: 1 file de Bt 1ère position: Symétrique My = (6,25/8) . (0,115 .4,125 + 0,02 .3,812) = 0,430 t.m/ml. 2ème position: Non-Symétrique My = (6,25/8) . (0,119 .4,125 + 0,04 .3,812) = 0,503 t.m/ml. 2 files de Bt 1ère position: Symétrique My = (6,25/8) . (0,173 .4,125 + 0,032 .3,812) = 0,653 t.m/ml. 2ème position: Non-Symétrique My = (6,25/8) . (0,175 .4,125 + 0,039 .3,812) = 0,680 t.m/ml.

2ème cas:

Donc le 2ème cas (2 files) à sa 2ème position non-symétrique est le cas le plus défavorable. A retenir: My = 0,680 t.m/ml avec bt = 1. On tiendra compte par la suite des différents coefficients, à savoir bt, Q1 et B. Q1: Coefficient de pondération du BAEL; Q1=1,6 à l'ELU et Q1=1,2 à l'ELS. B : Coefficient de majoration dynamique.(le même que pour Bc). e) Charge Br.

Le traitement de cette charge est plus simple puisqu'elle est représenté par une seule roue isolée. Transversalement On lit directement les valeurs de µ sur la courbe (Fig.14). µ1 = 0,1878 et µ3 =0,0756

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Chap 5, page 125

0,1878

0,0756



 Figure 14:

Emplacement de la charge Br sur les courbes de µ 1 et µ3.

Longitudinalement: P d Lc  Figure 15: 

d = 2c .

Position la plus défavorable pour Br dans le sens longitudinal.

 sin 1 2 c sin 3d sin 3 1 c 2 sin

d

P = 10 t.  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 126

q1 2P sin d  2P sin   2P  2.10   1,302 t/m. c c c 2  c 15,36 q3 2P sin 3d  2P sin 3  2P  2.10   - 1,302 t/m. c c c 2  c 15,36 Enfin, les moments fléchissants sous l'effet de la charge Br est: b My = .  1q1   3q 3  8

My = (6,25/8) . (0,1878 .1,302 + 0,0756 .1,302) = 0,268 t.m/ml. De même, On tiendra compte par la suite des coefficients Q1 et B. Q1: Coefficient de pondération du BAEL; Q1=1,6 à l'ELU et Q1=1,2 à l'ELS. B : Coefficient de majoration dynamique.(le même que pour Bc).  f) Charge Mc80

Transversalement Les valeurs de µ sont déterminées d'après la figure 16. L Mc = 0,85 m

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Chap 5, page 127

1er cas: 2 chenilles symétriques µ1,1= 0,117 µ1,2= 0,060 µ3,1 = 0,022 LMc 0,85 µ1 = 4  µ1,i = 4  .2.(0,117+0,060) = 0,075 m

µ3,2= - 0,003



LMc µ3 = 4

0,85  µ  =  3,i 4  .2.(0,022-0,003) = 0,008 m 2ème cas: 1 chenille sur l'axe, l'autre à 1,95 m. µ1,1= 0,154 µ1,2= 0,030 µ1,3= - 0,012 µ3,1 = 0,048 µ3,2= - 0,010 µ3,3= - 0,012 LMc 0,85 µ1 = 4  µ1,i = 4 (2.0,154+0,030-0,012) = 0,069 m LMc 0,85 µ3 = 4  µ3,i = 4 (2.0,048-0,010-0,012) = 0,016 m 3ème cas: 1 chenille dont l'extrémité est sur l'axe, l'autre à 1,95 m. µ1,1= 0,1878 µ1,2= 0,122 µ1,3= 0,006 µ1,4= - 0,038 µ3,1 = 0,0756 µ 3,2= 0,026 µ3,3= - 0,012 µ3,3= - 0,013 LMc 0,85 µ1 = 4  µ1,i = 4 (0,1878+0,122+0,006-0,038) = 0,059 m LMc 0,85 µ3 = 4  µ3,i = 4 (0,0756+0,026-0,012-0,013) = 0,016 m. Longitudinalement 2c

qMc

d Lc  Figure 17: 

d = 2c .

Position la plus défavorable pour Mc80 dans le sens longitudinal.

d sin  1 2 c sin 3d sin 3 1 c 2 sin

4,90 c = 2  = 2,45 m. 72 q = 4,9.0,85 = 17,29 t/m2. c d q1 4q sin sin  c c  4.17,29 sin .2,45 .1  15,36 = 10,57 t/m2. 3c 3d q3  4q sin sin c 3  c 3 .2,45 .(-1)  4.17,29 sin  3 15,36 = - 7,32 t/m2.  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 128

Ainsi, on obtient les moments pour chaque cas. My =  b.1q13q3  8 1er cas: 2 chenilles symétriques My = (6,25/8) . (0,075 .10,57 + 0,008 .7,32) = 0,665 t.m/ml. 2ème cas: 1 chenille sur l'axe, l'autre à 1,95 m. My = (6,25/8) . (0,069 .10,57 - 0,016 .7,32) = 0,661 t.m/ml. 3ème cas: 1 chenille dont l'extrémité est sur l'axe, l'autre à 1,95 m. My = (6,25/8) . (0,059 .10,57 - 0,016 .7,32) = 0,579 t.m/ml. Donc le 1er cas symétrique est le cas le plus défavorable. A retenir: My = 0,665 t.m/ml On tiendra compte par la suite des différents coefficients, à savoir Q1 et Mc. Q1: Coefficient de pondération du BAEL; Q1=1,35 à l'ELU et Q1=1,0 à l'ELS. Mc : Coefficient de majoration dynamique pour Mc.

Tableau récapitulatif  Charge My (t.m/ml)

g per  0,003

qtr  - 0,152

Bc 0,661

Bt 0,680

Br 0,268

Mc80 0,665

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Chap 5, page 129

 Références:

[1] Ch. Massonnet, "Compléments à la Méthode de Calcul des Ponts à Poutres Multiples", Annales de l'ITBTP, N°169, Jan 1962, pp 1-36. [2] R. Bares et Ch. Massonnet, "le Calcul des Grillages de Poutres et Dalles Orthotropes", Dunod, Paris 1966. [3] M. Ben Ouézdou, "Cours d'Ouvrages d'Art", Polycopié ENIT, Première version, 1993. Code ENIT: 358 PE. [4] J. A. Calgaro, "Calcul Pratique des Dalles Minces", Master Ouvrages d'Art, ENPC, 1987. [5] M. Ben Ouézdou, "Etude de la Répartition Transversale des Charges sur les Ponts à Poutres par la Méthode de Guyon-Massonnet", Polycopié ENIT, Première Edition, Oct. 1992. Code ENIT: 352 PE. [6] K. Sattler, "Betrachtungen zum Berechnungsverfahren von Guyon-Massonnet für freiendliegende Trägerroste und Erweiterung dieses Verfahrens anf Beliebiege Systeme", Bauingnieur 30, N°3.1955.(en Allemand).

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Chap 5, page 130

Partie C: Particularité du ferraillage dans le hourdis 5-8- Sollicitations résultantes dans le hourdis : Flexion totale. Pour chaque charge, la flexion totale est obtenue de la manière suivante : 

Dans le sens x-x.

 En travée. Mxtot = MxLoc + Myglob.

 Sur appui. Mxtot = MxLoc. 

Dans le sens y-y. Mytot = Myloc. Ensuite, nous procédons à la combinaison des charges.

Il faut pondérer les moments et les efforts tranchants trouvés dans l'hypothèse de la dalle articulée par les coefficients de pondération des charges   et par le coefficient de majoration dynamique   si nécessaire (voir chapitre 2). Ensuite il faut chercher les combinaisons à l'ELU et à l'ELS. La combinaison des moments est:  per  B Bc Bt Mc Mox = G Mox  + Sup  B . Q1 .Sup  bc.M ox , bt.Mox , MoxBr  , Mc .Q1 .M oxMc   per  B Bc Bt Mc Moy = G Moy  + Sup  B . Q1 .Sup  bc.M oy , bt.Moy , MoyBr  , Mc .Q1 .MoyMc   per 

Bc

Bt

Br 

Mc

Ex

 Mox , Mox , Mox, Mox, Mox et Mox :Moments dus respectueusement aux charges  permanentes, Bc, Bt, Br, Mc et Exceptionnel. Les deux dernières charges ne sont utilisées que si elles sont demandées par les cahiers de charges. B et Mc: Coefficient de majoration dynamique pour les charges de type B et Mc. De même la combinaison des efforts tranchants est: - au milieu du grand côté (dans le sens de lx):  per  Mc Mc Tox = G Tox  + Sup  B . BQ1.Sup  bc.ToxBc , bt.ToxBt ,ToxBr  , Mc . Q1 .Tox  - au milieu du petit côté (dans le sens de ly):  per  Mc Mc Toy = G Toy  + Sup  B . BQ1.Sup  bc.ToyBc , bt.ToyBt ,ToyBr  , Mc . Q1 .Toy  Les efforts tranchants ne présentent pas d’étude globale.  ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 131

5-9- Principe de calcul du ferraillage pour le hourdis En général, les ponts sont considérés comme des ouvrages avec fissuration  préjudiciable. Dans le cas de construction dans un milieu très agressive (tel que mers ou à  proximité d'une usine industrielle), la fissuration devient très préjudiciable. Le hourdis est calculé comme une poutre à section rectangulaire sous l'effet de la flexion simple, à l’ELS. Le ferraillage est donné par mètre linéaire. Cependant, on cite ci-dessous quelques particularités du ferraillage du hourdis [2, 9,10].

5-10-Condition relative au poinçonnement sous charge localisée Afin de ne pas disposer d'armatures d'efforts tranchants (armatures transversales), l'épaisseur du hourdis doit vérifier la condition: Qu hd   0,045 . uc . f c28/ b Qu: Charge de calcul vis-à-vis de l'ELU Qu = Q1 .  . P avec P = 6t pour Bc = 8t pour Bt = 10t pour Br à l'ELU pour le système B Q1 = 1,6  = B  Coefficient de majoration dynamique pour le système B. uc : Périmètre du rectangle de répartition uc = 2 ( u + v ) u,v : dimension du rectangle de répartition f c28: Résistance à la compression du béton à l'age du 28 jours.  b : Coefficient de sécurité pour la résistance du béton = 1,5 en général et = 1,15 pour les situations accidentelles. Ici, on prend 1,5.

5-11-Condition relative au non-emploi d'armature d'effort tranchant Aucune armature d'effort tranchant n'est nécessaire si la dalle est bétonnée sans reprise sur toute son épaisseur et si la contrainte tangente u est t.q.: f c28 T u= b  . d  0,07  d  b T: Valeur de l'effort tranchant à l'ELU d: Hauteur utile du hourdis  bd: 1 ml du hourdis = 100 cm. S'il n'y a pas reprise de bétonnage et si u > 0,05 f c28 on détermine les armatures 10 transversales comme dans le cas des poutres, mais la valeur de u est à multiplier par 3  hd si 15 cm  hd  30 cm.

5-12-Valeur minimale des armatures: Condition de non-fragilité Dalle appuyée sur ses 4 côtés d'épaisseur 12  hd  30 cm. lx 1 Ax  2 o ( 3 -  ) b hd =l y Ay   o b hd Ax Avec Ay  3 

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 132

 b = 1 m (de la dalle) = 1,2 . 10-3 ronds lisses Fe E22 ou Fe E24 o = 0,8 . 10-3 barres ou fils HA, Fe E40, ou treillis soudés en fils lisses de  > 6 mm. = 0,6 . 10-3 barres ou fils HA, Fe E50, ou treillis soudés en fils lisses de   6 mm. 

Dalle en console Ax   o b hd

Ax si 12  hd  30 cm avec A y  3

5-13-Dispositions des armatures dans le hourdis *Diamètre maximal des armatures hd   10 *Diamètre minimal des armatures fissuration préjudiciable   6 mm fissuration très préjudiciable   8 mm *Espacement maximal des armatures (avec charges concentrées) Type de fissures Espacement max

préjudiciable Inf(2 hd; 25 cm)

très préjudiciable Inf(1,5 hd; 20 cm)

*Enrobage minimal des armatures  c = 3 cm dans la face supérieure (risque d'infiltration d'eau de ruissellement à travers le revêtement)  c = 3 cm dans la face inférieure ( ceci d'après le BAEL 91, c = 2 cm dans le BAEL 83) c = 5 cm dans une atmosphère très agressive t.q. mer ( BAEL 91, c = 4 cm d'après 83) *Arrêt des armatures au centre des dalles Les aciers armants à la flexion dans la région centrale de la dalle sont prolongés  jusqu'aux appuis dans leur totalité puisque le hourdis est soumis à des charges concentrées mobiles. *Arrêt des armatures de chapeaux sur appui La longueur des chapeaux sur appui à partir du nu des appuis est au moins égale: - à 1/5 de la plus grande portée des 2 travées encadrants l'appui considéré si l'appui n'est pas de rive. - au 1/4 de la plus grande portée des 2 travées encadrants l'appui considéré s'il s'agit d'un appui intermédiaire voisin d'un appui de rive. *Disposition au niveau de joint entre les poutres. Les poutres préfabriquées sont indépendantes, mais le hourdis est généralement continue aur deux ou trois travées pour diminuer le nombre de joint de chaussée. Au niveau du joint entre les poutres (d’environ 20 cm), le ferraillage est soit en X pour  permettre la rotation des poutres au niveau des appuis, soit renforcé par une nappe supérieure (chapeaux).

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 133

 Références relatives au Chapitre 5

[1] SETRA,"Guide d'Emploi du Règlement Français du Béton Armé aux Etats Limites: BAEL 83, Exemples d'Application aux Ponts", Bagneux, 1987, Réf SETRA: F8724. Code ENIT: D1265 [2] DTU, "Règles Techniques de Conception et de Calcul des Ouvrages et des Ouvrages et des Constructions en Béton Armé Suivant la Méthode des Etats Limites", Règles BAEL 91, Eyrolles, 3ème tirage, 1994.. [3] ATAR, "Calcul des Plaques Rectangulaires: Abaques de Pigeaud",Code ENIT: 10PE [4] SETRA, "Calcul des hourdis de ponts", Bulletin Technique N°1, 1972 (réimpression en 1985 ) et 1976, Réf SETRA: F7206 . Code ENIT: D1238. [5] SETRA,"Calcul des hourdis de ponts", Complément N°1, 1976. Réf SETRA: F7614 Code ENIT: D1238 [6] J.P.Mougin, "Abaques pour le Calcul des Dalles Rectangulaires Articulées sur leur Contour", Annales de l'ITBTP, N°436, Juillet-Août 1985. [7] Rèunions des Ingénieurs, "Cours de Ponts", Collection des cours de l'Ecole chez soi, Ed. Eyrolles, 1977.Code ENIT: D270. [8] P. Dinnequin, "Cours Supérieure de Béton Armé: Règles BAEL 80", Eyrolles, 1982. Code ENIT: D448. [9] P. Charon, "Exercices de Béton Armé Selon les Règles BAEL 80", Eyrolles, 1982. Code ENIT: D448. [10] P.Charon,"Calcul des Ouvrages en Béton Armé Suivant les Règles BAEL 80: Théorie et Application", Eyrolles, Paris, 1981. Code ENIT: D935. [11] Ch. Massonnet, "Compléments à la Méthode de Calcul des Ponts à Poutres Multiples", Annales de l'ITBTP, N°169, Jan 1962, pp 1-36. [12] R. Bares et Ch. Massonnet, "le Calcul des Grillages de Poutres et Dalles Orthotropes", Dunod, Paris 1966. [13] J. A. Calgaro, "Calcul Pratique des Dalles Minces", Master Ouvrages d'Art, ENPC, 1987. [14] K. Sattler, "Betrachtungen zum Berechnungsverfahren von Guyon-Massonnet für freiendliegende Trägerroste und Erweiterung dieses Verfahrens anf Beliebiege Systeme", Bauingnieur 30, N°3.1955.(en Allemand).

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 134

ANNEXE 1 au Chapitre 5

Les Abaques de MOUGIN [6]

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 135

coefficients x et y pour une dalle rectangulaire uniformément chargée et articulée sur son pourtour lorsque  = (lx/ly) varie entre 0,4 et 1,0.

Tableau N°1 :   des

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 136

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 137

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 138

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 139

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 140

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 141

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 142

Annexe 2 au chapitre 5

Tables de Guyon-Massonnet pour µ à la fibre centrale (y=0)

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 5, page 150

Les valeurs de µ0 et µ1 sont calculées à partir des formules suivantes [11,12] a) Coefficient µ0

0

L



2

2

2  b sh 2  b  sin 2  b



a' . A  b' .B 1  B2 

a'   2 sh   b  y . sin  b  y   A   sh2  b . cos  b   e. ch  b  e  sin 2  b . ch  b  e. cos   b  e . cos  b  e b'  ch  b  y  .sin  b   y   sh  b   y  . cos  b  y  B1  sh2  b sin   b  e . ch   b   e  cos b  e . sh   b  e  B 2  sin 2  b sh  b  e. cos   b  e  ch   b  e .sin  b  e

avec  

 L 2

4

P E

b) Coefficient µ1

1 

1 2 4 sh 

CD



E



FG H

I



avec C, D, E, F, G, H, et I les fonctions suivantes C    ch   3 sh   ch   sh  . sh  D   ch   sh   ch   sh  . sh  E  3 sh  . ch    F   ch  .sh   sh  . ch  G   2 sh   ch   sh   sh  . ch  H  3sh  . ch    I   ch  .sh   sh  . ch    .sh  .sh 

Dans ces formules, les lettres  ,  ,  , et  représentent les quantités suivantes: y e      ;     . ; ; b

b

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 5, page 151

En particulier, à la fibre centrale y=0 et les coeficients µ0 et µ1 deviennent: a) Coefficient µ0

0

L



2

2

2  b sh 2  b  sin 2  b



a' . A  b' .B 1  B2 

a'   2 sh  b .sin  b  A   sh2  b . cos  b   e. ch  b  e  sin 2  b . ch  b  e. cos   b  e . cos  b  e b'  ch  b . sin  b  sh  b . cos  b B1  sh2  b sin   b  e . ch   b   e  cos b  e . sh   b  e  B 2  sin 2  b sh  b  e. cos   b  e  ch   b  e .sin  b  e

avec  



4

L 2

P E

b) Coefficient µ1

1 

1 4 sh2 

CD



E

I



avec C, D, E et I les fonctions suivantes C   ch   3 sh 

D   ch   sh   ch   sh  . sh  E  3 sh  . ch    I    ch  .sh   sh  . ch    .sh  .sh 

Dans ces formules, les lettres  ,  , et  ont même signification qu'en haut, à savoir e     ; ;     . b

Ces formules sont utiles lors d'un calcul automatique (programmation sur ordinateur), mais pour un calcul manuel, il est préférable d'employer les tableaux suivants qui sont établies pour y=0 tirés de [11,12].

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 5, page 152

= 0,10

e µ(=0).104 µ(=1).104

-b

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-2499

-1250

0

1250

2499

-2362

-1171

-19

1161

2385

-b

-3b/4

-2486

-1244

-1

1244

2491

-1868

-987

-61

956

2116

-b

-3b/4

-2430

-1220

-7

1217

2457

-1401

-787

-102

734

1820

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

= 0,20

e µ(=0).104 µ(=1).104

-b/2

- b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

= 0,30

e µ(=0).104 µ(=1).104

-b/2

- b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

= 0,40

e µ(=0).104 µ(=1).104

-b

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-2292

-1161

-20

1151

2372

-1016

-617

-131

546

1563

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

= 0,50

e µ(=0).104 µ(=1).104

-b

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-2040

-1053

-44

1031

2216

-730

-482

-147

401

1356

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

= 0,60

e µ(=0).104 µ(=1).104

-b

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-1690

-903

-77

864

1999

-525

-379

-152

201

1191

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

= 0,70

e µ(=0).104 µ(=1).104

-b

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-1296

-733

-113

675

1753

-379

-299

-150

208

1057

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

= 0,80

e µ(=0).104 µ(=1).104

-b

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-927

--571

-145

497

1518

-274

-237

-144

144

948

b/4

b/2

3b/4

b

Symétrique

 ______________________________________________________________________________________ M. Ben Ouézdou Chap 5, page 153

= 0,90

-b

e µ(=0).104 µ(=1).104

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-622

-436

-170

347

1318

-199

-188

-134

96

856

b/4

b/2 b/ 2

3b/4

b

Symétrique

= 1,00

-b

e µ(=0).104 µ(=1).104

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-393

-329

-185

231

1159

-145

-149

-124

58

779

b/4

b/2 b/ 2

3b/4

b

Symétrique

= 1,20

-b

e µ(=0).104 µ(=1).104

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-120

-190

-190

80

940

-77

-94

-102

7

657

b/4

b/2 b/ 2

3b/4

b

Symétrique

= 1,40

-b

e µ(=0).104 µ(=1).104

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-4

-111

-174

0

800

-41

-59

-81

-21

567

b/4

b/2 b/ 2

3b/4

b

Symétrique

= 1,60

-b

e µ(=0).104 µ(=1).104

-3b/4

-b/2

- b/4

0

32

-63

-146

-45

702

-22

-37

-63

-37

497

b/4

b/2 b/ 2

3b/4

b

Symétrique

= 1,80

-b

e µ(=0).104 µ(=1).104

-3b/4

-b/2

- b/4

0

35

-34

-116

-71

625

-12

-23

-49

-45

442

b/4

b/2 b/ 2

3b/4

b

Symétrique

= 2,00

-b

e µ(=0).104 µ(=1).104

-3b/4

-b/2

- b/4

0

-26

-15

-88

-84

563

-6

-15

-37

-47

398

b/4

b/2 b/ 2

3b/4

b

Symétrique

 ______________________________________________________________________________________  __________________________________________________________________ ____________________ M. Ben Ouézdou Chap 5, page 154

Chapitre 6 

QUELQUES DONNEES SUR LE CALCUL DES APPUIS

6-1 Etude des appareils d’appui en élastomère fretté 6-1 Principe de dimensionnement dimensionnement des appareils d'appui en élastomère fretté.

tst/2 t ts t ts t/2

élastomère

Frettes a  b

a : Dimension n plan du côté // à l'axe longitudinale du pont. b : Dimension n plan du côté  à l'axe longitudinale du pont. t: épaisseur d'un feuillet élémentaire de l'élastomère. ts: épaisseur d'une frette intermédiaire. T: Epaisseur totale de l'élastomère.

 Figure 1: Appareil d'appui en élastomère fretté. Le dimensionnement des appareils d'appui est essentiellement basé sur la limitation des contraintes de cisaillement qui se développent dans l'élastomère au niveau des plans de frettage et qui sont dues aux efforts appliqués ou aux déformations imposées à l'appareil. L'appareil d'appui est soumise à la compression, à la distorsion et la rotation.

a) Compress Compression. ion. Sous un effort normal, des contraintes de cisaillement  N  apparaissent au niveau du plan de frettage suivant la répartition donnée sur la figure 2. Les contraintes maximales se développent sur les bords de chaque feuillet et plus  précisément au milieu des grands côtés. La valeur maximale de cette contrainte,N , est (au milieu de b):

N 

1,5 m



où : Coficient de forme =

ab 2 t ab





m: Contrainte moyenne de compression =

M. Ben Ouézdou

N ab

Chap 5, page 155

 N: Effort Normal appliqué. N

a

N

 N , m ax ax " N"

 Figure 2: Répartition des contraintes de cisaillement sous l'effet de la compression. b) Distorsion: La distorsion des contraintes au niveau du plan du frettage est uniforme. H: Effort Horizontal appliqué. : Angle de distorsion. u H

T



H

H  Figure 3: Répartition des contraintes de cisaillement sous l'effet de la distorsion. 1er cas: La déformation u1 de l'appareil est lente (dilatation thermique de longue durée, retraitfluage) et connue. H1

u1



 H1 T

1

H1

 Figure 4: Effet de la déformation u1. M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 156

On peut déterminer l'angle de distorsion 1, la contrainte de cisaillement H1  et l'effort correspondant H1. u tg  1   T1

 H1   G tg 1  

G u1 T

u H 1  a b  H1   G a b T1

 où G: module d'élasticité transversal (statique).

2ème cas: L'effort dynamique H2 (freinage) est connue. H2

u2

H 

2

T

2

H2

 Figure 5: Effet de l'effort dynamique H2.

 H2 

H2 ab

Effort dynamique   module d'élasticité transversal Gdyn = 2 Gstat = 2 G.

H2

tg  2  2 G u2  T

H

tg  2   2 G 2a b

1er et 2 ème cas: On introduit une contrainte conventionnelle de calcul qui sous effort statique seul nous donne la même déformation totale:u  u1  u 2 u u1 u2

H

H 

T

H

 Figure 6: Effet d'une déformation totale conventionnelle u. Cette contrainte conventionnelle est:

 H  G tg   H1  

1 2

 H2 

G u1 H2  T 2ab

c) Rotation: Lorsqu'une frette, solidaire d'un feuillet, accomplit une rotation par rapport à l'autre frette solidaire du même feuillet, la répartition des contraintes de cisaillement s'établit comme indiquée dans la figure 7.

M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 157

 t

a

" "



 Figure 7:

Variation des contraintes de cisaillement due à la rotation.

La contrainte maximale apparait généralement sur les bords parallèles à l'axe de rotation et a  pour valeur: G a 2 2 t



 où

t:

t

angle de rotation (rad) d'un feuillet élémentaire



T n

  avec

T  l'angle

de rotation de

l'appareil d'appui. On tient compte des défauts de pose en ajoutant à la rotation due aux charges c  une rotation

. Cette rotation est prise généralement comme suit:  = 3 .10-3 rad pour les tabliers en BA coulé sur place.  = 10 .10-3 rad pour les tabliers en BA préfabriqués.  = 3 .10-3 rad pour les tabliers métalliques. 6-2- Prescriptions pour un appareil d'appui en élastomère fretté. 1) Limitation des contraintes de cisaillement

   N   H     5G  H 1  0, 5 G  H  0, 7 G

2) Limitation de la contrainte moyenne l'aire (a b) doit être t;q. m _ 15 MPa. 3) Condition de non-cheminement et de non-glissement

m,min =

N  _ 2 MPa ab

H < f . N avec N: Valeur minimale de l'effort Normal. f: Coefficient de frottement: f = 0,1 + (0,6/m) 4) Condition de non-flambement a   10

T  a5

M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 158

5) Condition de non-soulèvement

 t   3

2

at 

m G

6) Dimensionnement des frettes a m ts    e

t s  2 mm où e = 215 MPa acier E-24 si ts < 3 mm = 235 MPa acier E-24 si ts > 3 mm. En général , on peut adopter les valeurs des frettes comme suit: t (mm) ts (mm)

8 2

10 3

12 3

20 4

Tableau N°1: Valeurs de l'épaisseur des frettes en fonction de l'épaisseur de l'élastomère

6-3- Etapes de dimensionnement d’un appareil d’appui 1- Aire de l’appareil d’appui (ab). Limitation des contraintes moyennes :

m

 N max 15MPa  a b .

 N a b .  max 15

2- Hauteur nette de l’élastomère (T). T > 2 u 1. u1 : raccourcissement due au retrait (et fluage) et due à l’effet de longue durée de température. u1 = ur  + ut.  choix : n feuillet de t épaisseur : T= n . t

3- Dimensions en plan :

a T a 10 5

condition de non-flambement :

 N 5 T < a < 10 T   et avec a b .  max 15



choix de (a .b) avec a < b

4- Choix de l’épaisseur des frettes (ts). Valeur usuels de ts :

t ts

8 10 12 2 3 3

20 4

Conclusion : Résultat de prédimensionnement : Dimensions trouvées : a ; b ; n ; T ; t s. 

M. Ben Ouézdou

E = T + nombre des frettes x ts.

Chap 5, page 159

6-2- Efforts horizontaux agissants sur les appuis d’un pont

Force de freinage: a1.a 2.Al(Lch.lc) Al : FAl 200.0035(Lch.lc) Bc : FBc = 30 t.

Dilatation linéaire (thermique): Ut =

t . lc.

t = 4.10-4. -4 Action de longue durée : t = 3.10 . Action de courte durée :

Retrait et fluage : raccourcissement :

r  . lc -4 Avec : r  = 4.10  ouvrage en BA (retrait). r  = 7.10-4 ouvrage en BP(retrait+fluage). Ur =

Cas des travées indépendantes : Rotation : er  1  cas : charge répartie q sur une poutre de longueur l. 3

q.  24.E.I E : Module d’Elasticité. Pour les surcharges, module instantané : Ei = 11000 3 f c28 Pour les charges permanentes, module différé : Ev = 1 Ei = 3700 3 f c28

3

ème

2  cas : charge concentrée P distant de « a » à partir de l’appui gauche et de b à partir de l’appui droit. A

. .( b)  P.a b

M. Ben Ouézdou

6.E.I.

Chap 5, page 160

6-3- Répartition des efforts horizontaux sur les appuis Les efforts sur les appuis sont répartis sur les appuis en fonction de la rigidité totale, r t, de chaque appui. La souplesse totale (inverse de la rigidité) st (st= 1/r t) des appuis est exprimé par : st = U1 + U2 + U3. avec: U1: Déformation des appareils d’appui U2 : Déformation des appuis. U3 : Déplacement et déformation de la fondation. U1 , U2 et U3 sont dus à un effort unitaire H = 1,0 kN appliqué au niveau des appareils d’appui.

6-3-1- Souplesse des appareils d’appui  : U1. La souplesse des appareils d’appui est exprimée par : T Sa = U1 = na G A T : épaisseur nette de l’élastomère. na : nombre des appareils d’appui sur une ligne d’appui. G : module d’élasticité transversale de l’élastomère Gv = 0,8 MPa en différé Gi = 2 Gv = 1,6 MPa en instantané.

6-3-2-Souplesse des appuis  : U2. a) cas des colonnes surmontées par un chevêtre. La souplesse transversale d’un chevêtre est : u  c.  U2 = nc c: hauteur du chevêtre. : rotation en tête des colonnes. nc : nombre des colnnes.

u







2

3

3. E I 

2

2 .EI



c. 2 .E I



c. EI

 b) cas d’un voile (fût) de hauteur h. h

U2 =

  0

2

z . dz . E I(z)

Si I(z) = c

t



3

U2 = h . 3E I

6-3-3-Souplesse des fondations. : U3. Pour les fondations profondes sur pieux, les souplesses sont déterminés à l’aide s’un logiciel de calcul PSH du SETRA. C’est logiciel de calcul de sollicitations et de déplacements sous l’action d’un effort unitaire en tête (instantané et différé). M. Ben Ouézdou

Chap 5, page 161