AS: AS: 2009 2009/20 /2010 10 Matière :
SERIE
PROF PROF : M r BECH A Adel Adel ( prof principal) principal) eme Sciences exp , maths et technique eme 4 www.physique.ht.cx Sciences physiques D’EXERCICES
Obj Ob j et : : oscil osci l l ati at i ons on s mé can i ques qu es f or cé es ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 1
Un solide (S) de centre d’inertie G, de masse M =200g et pouvant glisser sur un sur un plan horizontal,est relié à l’extrémité d’un ressort horizontal (R) de masse négligeable, de raideur k et dont l’autre extrémité est fixe. Lorsque (S) est dans sa position d’équilibre, G occupe l’origine du repère (O, i ) d’axe Ox horizontal (figure 5).Un excitateur approprié exerce sur le solide (S) une force F i =Fm sin t i où l’amplitude F m est constante et la pulsation est réglable. (S) est introduit dans un liquide amortisseur où il subit une force de frottement visqueux f hv avec h est un coefficient positif et v est la vitesse de G. En régime
permanent l’équation horaire du mouvement de G est de la forme x(t)=Xm sin ( t
2
).
1-Donner 1-Donner l’unité internationale du coefficient de frottement h. (S) F t (R) 2-a) 2-a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par l’élongation x de G. b) Faire la construction de Fresnel relative à l’équation différentielle du mouvement de G. O i x Fig.5 c) Déduire que l’oscillateur est en résonance qu’on précisera la nature. d) Montrer que, dans ces conditions, la force de frottement f est opposée à la force excitatrice F . e) Prouver que, dans ces conditions, l’énergie mécanique du système {(S),(R)}se conserve. 4- A 4- A l’aide d’un d’un dispositif dispositif approprié approprié on mesure pour pour différentes différentes valeurs valeurs de , l’amplitude X m des oscillations de G et l’amplitude V m de la vitesse de passage de ce point par la position O. Les résultats des mesures ont permis de tracer les courbes X m() et Vm() de la figure 6. a) Identifier en le justifiant, la courbe qui correspond à X m (). b) Lire la valeur 1 de la pulsation propre du résonateur et déduire la valeur de k. c) Lire la valeur 2 de la pulsation à la résonance d’élongation et déduire la valeur de h. d) Déterminer la valeur de F m.
0,046
0,4
0,04 0,2 -1
(rad.s ) 0
5
10
-1
(rad.s )
0
7
10
Fig.6
e) Montrer que dans le cas où =1, la puissance moyenne consommée par le résonateur est maximale. 5) On change le liquide amortisseur ; on constate qu’on n’obtient plus le phénomène de résonance d’élongation. Interpréter ce résultat.
1
EXERCICE 2
un oscillateur mécanique est F(N) ;x(cm) formé d’un solide (S) de masse m=50g attaché à l’extrémité libre F(t) x(t) d’un ressort à spir es es non jointives de masse négligeable et de raideur K, l’autre extrémité est fixe. on suppose que le solide est soumis à une force de frottement visqueux de la forme f=-hv ou h est une t(s) constante positive. les oscillations /35 de (S) sont entretenues à l’aide d’une force supplémentaire F=Fmsin(t) exercée à l’aide d’un dispositif approprié jouant le rôle d’excitateur. 1-/ 1-/ Montrer qu’à tout instant t au cours du mouvement, l’élongation x de G, sa vitesse instantanée v=dx/dt et son accélération a=d 2x/dt2 vérifient la relation :m d 2x/dt2+h dx/dt+Kx= F msin(t) dont la solution est x(t)=Xmsin(t+). Les fonctions x(t) et F(t)sont représentées par les diagrammes de la figure cidessus. 2) A partir des digrammes de la figure ci-dessus. a) Déterminer les expressi ons ons de x(t) et F(t). Préciser, en le justifiant, s’il existe des valeurs de la pulsation de la force excitatrice pour lesquelles le déphasage de x(t) par rapport à F(t) change de signe. b) Faire la construction de Fresnel, et en déduire les valeurs de h et de K. Ech : 1N 1cm 3)a) Donner Donner l’expression de l’amplitude X m en fonction de F m, h, , K et m. Déduire l’expression de l’amplitude de Vm de la vitesse instantanée en fonction des mêmes données. b) Déterminer le rapport Fm/ Vm en fon ction de h, w, K,et m. Déduire à l’aide de l’analogie mécanique électrique , l’expression correspondant à ce rapport en électricité et en donner signification physique. 4) Dans le cas ou les frottements sont négligeables, donner les valeurs possibles du déphasage de f(t) par rapport à x(t). EXERCICE 3
Un pendule élastique est constitué d’un solide (S) de masse m=0,2 Kg attaché à l’extrémité d’un ressort (R) à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K, l’autre extrémité du ressort est fixe. fixe. Le pendule repose sur un plan horizontal (figure 1) et la position du centre d’inertie G du solide est repérée sur un axe horizontal (O,i), d’origine O position d’équilibre du solide. Au cours de son mouvement, le solide (S) est soumis à une force -1 de frottement frottement visqueux f=-hv (h=1,5 Kg.s ). Un dispositif approprié exerce sur (S) une force ex citatrice F=Fmsin( F=Fmsin(t).i, d’amplitude Fm constante et de pulsation réglable. 1) Comment peut-on montrer expérimentalement que les oscillations du solide (S) sont forcées ? 2) Etablir l’équation différentielle du mouvement. 3) La solution de l’équation différentielle précédente est x(t) =Xmsin( =Xmsin(t + ) a- Faire la construction construction de Fresnel dans le cas ou <0 ( (0 pulsation propre de l’oscillateur). b- Déduire l’expression de l’am plitude Xm en fonction de K, m, h, et Fm ainsi que celle de tg tg. 4) Expliquer brièvement la résonance d’élongation et donner l’expression de la pulsation r correspondante en fonction de 0, h et m.
2
5) a- Donner l’expression de l’amplitude Im de l’intensité du courant du courant i(t) traversant un circuit RLC en régime sinusoïdal forcé en fonction de R, L, , C et Um. b- Déduire, en précisant l’analogie utilisée, l’expression de l’amplitude Vm de la vitesse du solide (S) en fonction de h, m, , k et Fm. c- Montrer que l’impédance mécanique s’écrit sous la forme Zméc =
h
m
k .
6- Pour une valeur 1=20 rad.s de la pulsation de l’excitateur, l’impédance mécanique est minimale et égale à h alors que l’amplitude Xm a pris la valeur 8 cm. a- Montrer que le pendule élastique est à la résonance de vitesse. Calculer K et Fm. b- Déduire la valeur de dans ces conditions. c- Tracer l’allure de la courbe représentant Zméc =f( =f() en précisant le point correspondant à (Zméc )min. -1
EXERCICE 4
Un ressort (R) à spires non jointive et de raideur K, porte à l'une de ces extrémités un solide (S) de masse m, l'autre extrémité étant reliée à un excitateur approprié exerçant sur le solide (S) une force F. On admet que la force F est appliquée au centre d'inertie G de (S).
K
(S) G
x'
O i x
x
La valeur algébrique de F est F(t) = Fm.sin (t). L'ensemble {ressort, solide} est soumis à une force de frottement frottement f. f . On supposera supposera que les les frottements sont de type type visqueux f= -h v , où h est le coefficient de frottement frottement et v la vitesse du centre d'inertie G du solide (S). 1°/ Etablir l'équation différentielle du mouvement de ce solide relative à x(t). x étant l'abscisse de G dans un repère (O, i) où O est la position d'équilibre de G. La solution de cette équation différentielle est de la forme x(t) = Xmsin(t+ ). 2°/ A l'aide d'un dispositif et d'un logiciel appropriés, on réalise l'enregistrement de F(t) et x(t) et on trace les courbes correspondantes (Voir fgure4). a) Montrer que la courbe (2) correspond à F(t). b) Déterminer la valeur du déphasage de x(t) par rapport à F(t). c) Déterminer les expressions expressions de F(t) et x(t). 3°/a) Faire la construction de Fresnel correspondante. correspondante. b) Etablir l'expression qui relie l'amplitude Xm de l'élongation de G à F m, , h, m et K puis déduire l'expression l'expression de Vm amplitude de la vitesse. c) Donner l'expression de tg en fonction de h,m et K. 4°/ a) Montrer Montrer que h vaut 1,25 kg.s-1. b) Montrer que dans les conditions qui ont permis d'obtenir les tracés des courbes relatives à F(t) et x(t) ci-dessus données, données, les paramètres paramètres h, m et K vérifient vérifient la relation suivante suivante : K - m ² = .h 5°/ Pour une valeur o = 25 rad.s-1 de la pulsation de la force excitatrice, on constate que x(t) est 3
en quadrature retard de phase par rapport à F(t). a) Montrer que F - V =0. Dans quel état se trouve l'oscillateur. Donner une relation entre m et K. b) Déterminer les valeurs de K et m.
Figure 4 1
2 /40s
1div→x(t)
1N→F(t)
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