Óptica - Dino Otero - 1ed

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3 ÓPTI CA:LUZ+LUZ=¿ ?

SERI E:LO MEJ ORDELAFÍ SI CA

Di noOt e r o 2 0 1 1 Sa f eCr e a t i v e : Bue no sAi r e s , Ar g e nt i na [email protected]

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ÓPTI CA: LUZ+LUZ=¿ ?

Dino Otero 2011

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BIBLIOGRAFÍA Optica y Física Ondulatoria. Óptica geométrica y física Fenómenos de propagación. M. Bertin, J.P. Faroux, J. Renault, Ed Paraninfo, Madrid, 1990. Optics, Jenkins and White, McGraw-Hill Tokio, 1957. Óptica, Tomo I y II , G.S. Lándsberg, Ed Mir Moscú, 1983. Física General y Experimental, Tomo II, Ed Labor, Barcelona, 1953. Optics, B. Rossi, Addison-Wesley, Massachusettd, 1962. Optics, E. Hecht , Addison-Wesley.

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I NTRODUCCI ÓN Proponer otro texto de óptica puede parecer superfluo en el mejor de los casos. Sin embargo de acuerdo a mi experiencia dictando óptica en cursos de físicos e ingenieros ninguno de los textos que recomendaba como bibliografía me satisfacía enteramente. En algunos casos eran buenos pero algo vetustos, en otros nuevos pero muy acotados o demasiado completos. Me he llevado la sorpresa de estudiantes que tenían un buen curso de cuántica y un pobre curso de óptica física. La óptica física es una excelente oportunidad de comenzar a comprender los fenómenos cuánticos, pero esto está poco destacado en los libros de óptica. Así que esta será una buena oportunidad para que los lectores se introduzcan en la mecánica cuántica. Intentaré proponer un texto que sea cubra los requisitos mínimos de quienes requieren adquirir conocimientos de óptica pero que no necesariamente vayan a trabajar en ese tema. Se acepta implícitamente que cuando se habla de óptica nos referimos a los fenómenos relacionados con la luz visible. La luz visible es sólo una estrecha franja de la radiación electromagnética y en realidad puede estudiarse la óptica de un espectro mucho más amplio de las radiaciones electromagnéticas e incluso de partículas cargadas como electrones y iones. Si bien la radiación electromagnética está asociada a los conceptos de campo eléctrico y campo magnético, en ciertas interacciones con la materia, la radiación se manifiesta como partículas denominadas fotones. En el 1600 Newton y Huygens no se ponían de acuerdo si la luz se trataba de una onda o de una partícula. Actualmente sabemos que, en cierto sentido ambos tenían razón Este comportamiento se conoce como la manifestación de la dualidad onda-partícula. Aquí nos restringiremos al aspecto puramente electromagnético de la luz. La propagación de la luz no requiere de un medio material como, por ejemplo el sonido. Pero recién en 1887,

7 con la experiencia de interferencia de Michelson-Morley, se descartó la necesidad de un medio material para su propagación denominado entonces éter. Por entonces ya se conocía la velocidad de la luz para la cual, las mediciones actuales dan un valor de 299.792.458 m/seg. Einstein propuso, al formular su famosa teoría de la relatividad, que esa velocidad es el límite máximo que, un ente material o energético, puede alcanzar en la naturaleza. La descripción de los fenómenos físicos puede realizarse mediante dos conceptos. Por un lado, el concepto de partícula, algo concreto con límites bien definidos y que eventualmente puede “guardarse” en un cajón. Por otro, el concepto de campo, algo etéreo, muy poco localizado y muy difícil de guardar en un cajón. Las partículas son productoras de campos y los campos productores de partículas pero no es fácil tomar contacto con los campos. En particular el campo electromagnético se manifiesta en las audiciones de radio, TV y mediante los imanes pero no podemos verlo salvo, en el caso justamente de la luz. El rango de oscilaciones con que se propaga el campo electromagnético (lo que llamamos luz), da lugar a excitaciones electrónicas fácilmente detectables por… nuestros ojos. Esas excitaciones terminan convirtiéndose en una señal puramente eléctrica que informan al cerebro de los fenómenos lumínicos. Ese constituye nuestro mejor y más elaborado medio de comunicación con los fenómenos externos a nuestro ser.

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I . ÓPTI CA GEOMÉTRI CA 1 .PROPI EDADES GENERALESDELALUZ

Si

bien en algunas interacciones la luz puede comportarse como una partícula denominada fotón, carece de una propiedad importante de otras partículas: la masa. Posee sin embargo energía e impulso lineal. Por ejemplo el impulso de la luz solar es el responsable de la cola de los cometas. Esa cola consiste en gases que se generan al acercarse el cometa al Sol. Entonces los gases son empujados por la luz y apuntan hacia atrás de la dirección de movimiento cuando el cometa se acerca al Sol y hacia delante de la cabeza cuando se aleja del Sol. La energía puede expresarse en términos del valor medio cuadrático del campo electromagnético1,

r r En e r g í a= (ε / 2) < E2 > +( µ / 2) < H2 >

1

La justificación de esta formula puede encontrarse en un libro de electricidad y magnetismo.

(I.1.1)

9 Donde épsilon y mu son las constantes eléctricas y magnéticas que caracterizan el medio en el cual se propaga

r

r

la luz, E es el campo eléctrico, H es el campo magnético y donde está indicando un promedio temporal en un cierto punto del espacio. Se define el flujo de energía en un punto, para un rayo de luz,

Φ =

∆E ∆t

(I.1.2)

donde ∆E es la cantidad de energía que pasa por un cierto punto durante un intervalo de tiempo ∆t . A medida que nos alejamos de una fuente de luz, la intensidad disminuye. Para poner en términos matemáticos esta obviedad conviene introducir un concepto importante válido para la emisión de radiaciones en general, el ángulo sólido. La definición de ángulo sólido está totalmente asociado a la geometría euclidea, la geometría con la que convivimos todos los días. Consideremos un octante esférico como muestra la figura I.1.1:

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Figura I.1.1

ˆ es el versor normal al elemento de área dS, tal que Donde n

r r r ˆy r ˆ= d S= d S n (versor del radio vector). Se define el ángulo r

sólido como:

r ˆ d S.r d Ω = 2 r

(I.1.3)

ˆ y r ˆ son paralelos y la ecuación En el caso simple de la figura 1, n (I.1.3) se reduce a dO =dS/r2 y, como dS = rd?.rsen?df , se tiene que ˆ yr ˆ no son paralelos y forman por ejemplo un dO = sen?df d?. Si n cierto ángulo a entre ellos (figura 2), entonces la ecuación (I.1.3) queda, dO =cosadS´/r2. Pero cosadS´= dS, el diferencial de superficie esférica tomada desde el origen de donde se mide el ángulo sólido. En la medida que a crece el dS´ necesario para cubrir

11 un mismo dO crece como dS/cos a, tendiendo a 8 para a tendiendo a p/2.

Figura I.1.2 Teniendo ya este concepto conviene introducir la definición de intensidad luminosa:

J=

d Φ d2 E = d Ω d Ωd t

(I.1.4)

Si J no depende de ? ó f (simetría esférica, la fuente luminosa es esférica o puntual) entonces F = 4pJ (el factor sale de integrar el ángulo sólido justamente sobre 4p). También se define la iluminación como el flujo por unidad de área:

I= ˆ y si n

d Φ d Φ J = 2 = 2 d S rd Ω r

ˆ son paralelos. En el caso que formen un ángulo a, r

r S ˆ d d S.r d Ω = 2 = 2 cos α , entonces, r r

(I.1.5)

12

I=

d Φ d Φ Jcos α = 2 cos α = d S rd Ω r2

(I.1.6)

En ambos casos la iluminación cae como 1/r2. El factor cos a explica porqué el Sol calienta menos en invierno …

Figura I.1.3 Como se aprecia en la figura, el haz de luz (que por lo lejano que está sus rayos llegan prácticamente paralelos a la Tierra) debe cubrir una superficie menor en el hemisferio norte respecto del hemisferio sur que, en la figura aparece en invierno. Luego de seis meses el eje mantiene la orientación de la figura (por conservación de momento angular) pero la Tierra se encuentra del otro lado por lo que el invierno corresponderá al hemisferio norte:

13

Figura I.1.4 NOTAS: Integración del ángulo sólido: 2π

π

π

π

0

0

0

0

∫dΩ = ∫dϕ ∫senθdθ = ∫2πsenθdθ = 2π cosθ

= 4π

(I.1.7) El sentido de estos límites están ejemplificados en la figura I.1.5:

Figura I.1.5

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I . 2PRI NCI PI O DEHUYGENS

L

a óptica geométrica estudia el comportamiento de la luz analizando el camino principal en su trayectoria. Esta definición de la óptica geométrica es sutil pues deja entrever que la luz puede desplazarse de un punto a otro por varios caminos, existiendo uno que estamos denominando “camino principal”. En el vacío el camino principal entre dos puntos será una línea recta. Cuando existen medio translúcidos que dejan pasar la luz, el campo electromagnético del rayo luminoso interactúa con los átomos y moléculas de la substancia y se modifica la velocidad del rayo, disminuyéndola.

Figura I.2.1 Christian Huygens (1629-1695) tuvo la idea genial que la luz fuera un fenómeno ondulatorio y que en realidad lo que estamos denominando camino principal es en realidad la superposición de infinitas ondas que constructivamente generan ese camino. La idea central consiste en imaginar que, a medida que avanza un frente de luz cada punto de ese frente genera ondas secundarias cuya envolvente genera el nuevo frente en un tiempo posterior.

15

Figura I.2.2 En la figura I.2.2 se muestra como avanzaría según el principio de Huygens un f r e nt edeo ndapl a no . En esta propuesta no queda claro por qué no existe un frente de onda hacia atrás. Posteriormente Gustav Kirchhoff (1850) modifica tal que la intensidad vaya como cos(θ/2) tal que hacia atrás la intensidad es nula (ver figura I.2.3).

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Figura I.2.3

17

I . 3 .REFLECCI ÓNY REFRACCI ÓN:LEYESDE SNELL.

C

on el principio expuesto estamos en condiciones de deducir las leyes de reflexión y refracción de la luz. Estas leyes también pueden deducirse utilizando el principio “mecánico” de Fermat por el cual una partícula sigue el camino de menor energía. Pero el principio de Huygens es más poderoso y nos será útil para entender los fenómenos de interferencia y difracción. Supongamos un frente de onda plano2 que incide sobre un material transparente según un ángulo α. Supondremos que en el medio en el cual se mueve inicialmente el rayo, la luz avanza con velocidad v1 y que en el medio transparente la velocidad es v2. El nuevo frente de onda se desviará como se indica en la figura I.3.1. La construcción del nuevo frente de onda se realiza considerando que cada punto de la interfase entre los dos medio es un emisor de ondas secundarias con la velocidad v2.

2

Observar que para tener un frente de onda plano basta considerar el frente de onda de una fuente puntual que por simetría será esférico, a suficiente distancia de la fuente, tal que sea una buena aproximación considerar el plano tangente a la esfera del frente de onda en un ángulo sólido no demasiado grande.

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Figura I.3.1 Por hipótesis la propagación es perpendicular al frente de onda entonces abc y adc son triángulos rectángulos y por lo tanto el ángulo que forma el frente de onda con la interfase es el mismo que el ángulo que forma la dirección de propagación con la perpendicular a la interfase, tanto en el frente incidente como en el refractado. Para ir desde b hasta c la luz tarda t =

b c . En ese tiempo, en el medio v 1

transparente, la luz habrá ido desde a hasta d tal que

Entonces

t=

a d . v 2

v a d 2 . Pero b = c= a c s e n θ1 y a d= a c s e n θ2 y v b c 1

resulta,

v s e n θ2 n 2 = = n21 = 1 v s e n θ1 n2 1 I.3.1

19 La razón que los índices de refracción se definan como la inversa de la velocidad de la luz se origina en que se puede demostrar que son proporcionales al producto de las constantes dieléctrica y magnéticas. Como se señaló arriba se puede obtener este resultado utilizando el principio de Fermat de mínimo camino óptico, entendiendo por camino óptico la distancia recorrida por la luz multiplicadad por el índice de refracción en el medio: i =2

L= ∑ din i i =1

I.3.2 Donde di es la distancia recorrida en un medio de índice ni.

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I . 4TEORÍ APARAXI AL E

n los instrumentos ópticos se trabaja con ángulos sólidos muy pequeños y puede realizarse aproximaciones denominadas paraxiales, es decir muy cercanas a un eje definido por el centro del ángulo sólido. En general se considera simetría cilíndrica alrededor de dicho eje por lo que basta representar la trayectoria de la luz en un plano que pasa por dicho eje. Las líneas imaginarias que van, por ejemplo, desde una fuente de luz hasta el frente de onda se denominan rayos de luz. Normalmente se investiga la trayectoria de estos rayos de luz. La aproximación paraxial utiliza las aproximaciones a primer orden de las funciones trigonométricas. Veamos un ejemplo para determinar la bondad de las aproximaciones. Supongamos que aproximamos, senθ ≈ θ ≈ tgθ para θ = 14º = 0,25 radianes senθ = 0,24740 ∆ = 0,0026 tgθ = 0,25534 ∆ = 0,0079

I.4.1

ε = 1% ε = 3%

Figura I.4.1 Como se observa de la figura I.4.1el cono de ángulo sólido, que será en realidad de 28o, por la simetría alrededor del eje de propagación, es relativamente grande para una precisión de 1 a 3%. Para analizar el comportamiento de la trayectoria de la luz se asume que pueden definirse rayos de espesor infinitesimal perpendiculares al frente de avance de la luz. Se clasifican estos rayos en divergentes, convergentes y paralelos. El lugar desde salen los rayos se denomina fuente de luz u objeto (S) y el lugar al cual convergen imagen (I). Los rayos paralelos tienen la imagen y el objeto en infinito. Por convención la marcha de los rayos se asume de izquierda a derecha.

21 Tanto las fuentes como los objetos pueden ser virtuales. En la figura 4 se muestran ejemplos de fuente y objetos reales y virtuales. Sobre la interfase que separa ambos medios se utiliza las leyes de Snell para seguir la marcha de los rayos.

Figura I.4.2 Trabajaremos con sistemas ópticos ideales para los cuales se define que cada punto del “espacio objeto” tiene un solo punto en el “espacio imagen”. Aunque la luz es un fenómeno electromagnético ondulatorio se considera que la longitud de onda es despreciable y no existen fenómenos de difracción o interferencia.

22

I . 5SUPERFI CI ESESFÉRI CAS: DI OPTRAS,LENTESYESPEJ OS.

La marcha de los rayos la estudiaremos en sistemas ópticos centrados. Se definen estos sistemas a partir de un eje sobre el que está la fuente u objeto (no necesariamente puntual) y una sucesión de interfases planas (perpendiculares al eje) o esféricas (con el centro de la esfera sobre el eje). Se definen los focos de una interfase como el lugar donde convergen o divergen rayos que de un lado de la interfase son paralelos. En la figura 5 se aclara este concepto:

Figura I.5.1

23 Los puntos objeto imagen se denominan pares de puntos conjugados y los planos perpendiculares al eje óptico y que pasan por esos punto son los planos conjugados. Veamos ahora una convención de signos para el análisis de los sistemas ópticos centrados: Como ya dijimos se supone que la luz va de izquierda a derecha. En principio las distancias se miden desde el vértice de la interfase sobre el eje óptico,

Figura I.5.2 So+, distancia objeto positiva a la izquierda So-, distancia objeto a la derecha fo+, foco objeto positiva a la izquierda fo-, foco objeto negativa a la derecha R-, radio neg. si el centro está a la izquierda R+, pos. si el centro está a la derecha yo+, yi+, flecha de objeto e imagen hacia arriba yo-, yi-, flecha de objeto e imagen hacia abajo

FÓRMULADEGAUSS Sea un sistema ótico centrado como el de la figura I.5.3:

24

Figura I.5.3 Aplicamos sobre la interfase la ley de Snell para la difracción entre un medio con índice n y otro con índice n´ utilizando la aproximación paraxial,

s e n φ φ n′ ≈ = s e n φ ′ φ′ n

I.5.1

α + β +ψ = π (ángulos interiores de un triángulo), y φ +ψ = π , restando la segunda igualdad a la primera se tiene, a + β −φ = 0 , es decir φ = α + β . Además (π − β ) + φ′+ γ = π (ángulos interiores de un triángulo), luego φ′= β − γ , luego Como

volviendo a I.5.1 tenemos,

′( β − γ) n(α + β ) = n

I.5.2

reagrupando y usando las aproximaciones paraxiales,

t g α≈

h h h ≈α , t g β ≈ ≈β y t g γ ≈ , tenemos, ′ s R s

25 n h n′h (n′− n)h + = que eliminando h queda, ′ s s R n n′ (n′− n) + = I.5.3 ′ s s R conocida como fórmula de Gauss para una dioptria. Si ahora tendemos s´ a infinito obtenemos el foco objeto (los rayos de salida serán paralelos al eje),

f=

Rn n′− n

I.5.4

y para el foco imagen;

f′=

Rn′ n′− n

I.5.5

reemplando R se obtiene la fórmula de Gauss expresada en término de los focos,

n n n′ = + ′ f s s

y

n′ n n′ = + ′ f′ s s

I.5.6

Obsérvese la igualdad en las fórmulas por la reversibilidad del camino ótico, de acuerdo con las aproximaciones realizadas. Finalmente podemos obtener,

f n′= f′ n

I.5.7

LENTES Las lentes son construidas con dos interfases esféricas o una esférica y una plana. De acuerdo con el comportamiento de los rayos salientes se las clasifica en convergentes o divergentes. Cuando las lentes son gruesas presentan aberraciones que pueden corregirse con

26 una adecuada combinación. Estudiaremos ahora el caso más simple de las lentes delgadas. Para estas lentes se supone que el espesor es despreciable. Para fijar idea utilizaremos la distribución de la figura 8 aunque, el resultado es completamente general.

Figura I.5.4 Se suponen conocidos los focos de la lente. Un rayo que se emite paralelo al eje óptico desde la punta de la flecha objeto, pasará por el foco imagen f´. Un rayo que, emitido desde la punta de la flecha objeto, pase por el vértice de la lente no se desviará y al cortarse con el anterior determina la punta de la flecha imagen. Un rayo que salga desde la punta de la flecha objeto y pase por el foco objeto saldrá paralelo al eje óptico y arribará también a la punta de la flecha imagen. Entonces por triángulos semejantes se tiene,

′ y y+ y = y ′ s f′ sumando,

′ y ′ y+ y = ′ s f

′ y+ y ′ y y ′ y+ y + = + ′ s s f′ f

′→ ∞ , si s

s→ f, luego,

I.5.8

I.5.9

27 ′ y y ′ y+ y = + f f′ f

⇒

f = f´

I.5.10

entonces,

′ y+ y ′ y+ y ′ y+ y + = ⇒ ′ s s f

1 1 1 + = ′ s f s

I.5.11

La igualdad de los focos hace que la lente delgada se comporte isotrópicamente.

LENTESDELGADASENCONTACTO Para analizar este caso separaremos un poco las lentes en el diagrama:

Figura I.5.5 Para la primer lente la imagen se formaría en su foco f1. Esta imagen es un objeto virtual para la segunda lente, localizado en s´1 = f1 (recordar que en realidad las lentes están en contacto y se las considera de espesor despreciable). Aplicando la fórmula de lentes:

−

1 1 1 + = ′ f 1 2 s f 2

I.5.12

28 El signo menos es debido a que la imagen está del lado derecho de la lente 2. Pero s2´, el luegar donde la lente 2 forma la imagen es el foco del sistema compuesto por las dos lentes, s2 = f. Luego,

1 1 1 = + f f f 1 2

I.5.13

Se define la potencia de una lente como la inversa del foco medido −1

en metros ( d i o p t r a s= m son las unidades de potencia de lentes). Luego para un sistema compuesto por dos lentes la potencia viene dada por P = P1+P2

FORMULADELCONSTRUCTORDELENTES Deduciremos ahora la fórmula que permite construir una lente conociendo los índices de refracción (interno/externo) y el foco que se requiere. Aunque la lente la seguiremos considerando delgada, la dibujaremos un poco gruesa para poder seguir los rayos:

Figura I.5.6 Aplicando la fórmula de Gauss:

29

n n′ n′− n + = s s′ r 1

I.5.14

1

Donde s1´ es objeto virtual para la segunda superficie, entonces,

−

n′ n n− n′ + = ′ s ′ r 2 s 1

I.5.15

Los radios r1 y r2, se toman positivos y luego de acuerdo al caso serán negativos (superficies cóncavas respecto de la dirección de luz) o positivos (superficies convexas respecto de la dirección de la luz. En el ejemplo de la figura r2 < 0. Usando I.5.14 para reemplazar n´/s1´ en I.5.16 se tiene,

n n n′− n n′− n + − = ′ r s s r 2 1

I.5.16

Ordenando,

1 1 n′− n 1 1 + = ( − ) ′ s s n r r 1 2

I.5.17

Recordando la fórmula I.5.11 se tiene,

1 1 n′− n 1 1 = = ( − ) f f′ n r r 1 2

I.5.18

FÓRMULADENEWTON Midiendo la distancias desde los focos se puede definir x y x´, tal que, s=f+x entonces I.5.11 queda,

s = f + x´

I.5.19

30 1 1 1 + = ′ f f+ x f+ x

I.5.20

Sumando y pasando de miembro se tiene, 2f2 + fx´ +fx = f2 + fx + fx´ +xx´ y

f2 = xx´

I.5.21 I.5.22

AUMENTO TRANSVERSALYLONGI TUDI NAL Se define como,

MT =

′ y y

I.5.23

El signo de MT se relaciona con el signo de inversión de imagen.Por relación de triángulos semejantes (ver figura 8):

MT = −

′ s s

I.5.24

Si, como es el caso de la figura 8, se invierte la imagen. Usando la expresión de Newton podemos poner,

′ ′ ′f f+ x f f+ x f2 + x =− ( )=− = f+ x f f+ x f( f+ x ) ′+ x ′f ′ x x x =− =− f( f+ x ) f MT = −

I.5.25 Y de igual forma se puede obtener,

31 MT = −

f x

I.5.26

Donde los signos de x y f darán el signo de MT. En nuestro ejemplo con f y x positivos MT < 0. El aumento longitudinal se define como,

ML =

′ d x d x

I.5.27

Pues en general no se trabaja con objetos extensos en la dirección x. Derivando en la expresión de Newton,

′ d x f2 =− 2 d x x

⇒

′= x

f2 , x

f2 ML = − 2 = −MT2 x

I.5.28

Que nos permite relacionar ambos aumentos.

SI STEMAÓPTI CO CENTRADO Sea un conjunto de elementos ópticos, con simetría axial. Se definen los siguientes planos en la figura I.5.7:

Figura I.5.7 El rayo paralelo de un objeto en infinito cora al eje óptico en el foco imagen, así como el rayo que sale paralelo, formado una imagen en infinito se corta con el rayo de entrada en el foco objeto. El lugar

32 geométrico donde se cortan el rayo paralelo con el que pada en el foco imagen determina el plano principal imagen, H´(plano perpendicular al eje óptico que pasa por ese punto) y donde se cortan el rayo que sale paralelo con el rayo que pasó por el foco objeto determinan el plano principal objeto, H. Por los focos pasan los planos focales objeto e imagen respectivamente. Ahora el sistema complejo puede tratarse como una lente delgada a partir de H, H´. El concepto fundamental de sistema óptico centrado es que cada punto objeto tiene un punto imagen (sin aberraciones).

ESPEJ OS PLANOS, poseen la propiedad de inversión. ESFÉRI COS. Tienen la misma regla de signos que las lentes.

FÓRMULADELOSESPEJ OSESFÉRI COS Como ejemplo para la deducción usaremos un espejo cóncavo aunque, los resultados son válidos para los convexos.

Figura I.5.8

33 Donde R es el radio del espejo y el rayo incidente forma un ángulo igual al del rayo reflejado respecto del radio.

S C= s− R y

′, con la convención de signos R< 0, y entonces, CP= R− s

S C= s+ R Para

ángulos

′+ R) CP= −( s

y

pequeños

I.5.29

S A≈ s

consideraremos

y

′(Obviamente no es el caso del dibujo!). Por tener un PA≈ s ∆

ángulo igual y un lado común los triángulos semejantes, entonces se cumple que,

S C CP = S A PA

∆

S CA y CPA son

I.5.30

Reemplazando se obtiene,

′+ R s+ R s =− ′ s s

I.5.31

1 1 2 + =− ′ s s R

I.5.32

Reordenando,

′→ ∞ y Para evaluar los focos tendemos s→ ∞ y 1/f´ = -2/R, s 1/f = -2/R. Nuevamente los focos son iguales y se obtiene,

1 1 1 + = ′ f s s

I.5.33

PLANO FOCALDELENTEDELGADA

34

Figura I.5.9 Los rayos emitidos por la punta de la flecha forman un cierto ángulo a con el eje óptico y se cumple que,

y =t g α f

I.5.34

Es decir los rayos que salen de una cierta altura sobre el plano focal cumplen la condición I.5.34. Y viceversa los rayos que arriban paralelos formando un cierto ángulo a con el eje óptico, formarán una imagen que cumple,

′ f y= t g α

I.5.35

35

I . 5 . I NSTRUMENTOSÓPTI COS DI AFRAGMAS:Los diafragmas limitan la intensidad de luz pero permiten mejorar las condiciones paraxiales del instrumento óptico, pudiéndose jugar entre una mejor definición o una mayor luminosidad. En los instrumentos ópticos existen un diafragma de entrada y otro de salida. Los diafragmas determinan a su vez lo que se denomina pupila, en un caso de entrada y en el otro de salida. La pupila de entrada es la imagen del diafragma de entrada o de apertura vista desde el objeto. La pupila de salida es la imagen del diafragma de salida o de apertura de campo vista des la imagen.

Figura I.5.10 Determina la luz que emite el objeto (regula la iluminación)

36

Figura I.5.11 Determina el tamaño del objeto que, generado por las lentes convergentes previas, puede verse a la salida.

LUPA La visión humana va desde infinito hasta 25 cm (para personas adultas jóvenes). Los instrumentos ópticos aprovechan esta amplia gama de visión para aumentar el ángulo de visión normal del ojo.

37

Figura I.5.13 Utilizando una lupa:

Figura I.5.14 La lupa cuando el objeto se sitúa en su foco, pone la imagen en infinito, formando un ángulo a´con el eje óptico. Se define el aumento angular como la relación entre el ángulo de visión cercan y el ángulo de la imagen del objeto en infinito:

γ=

Como

t g α=

t g α′ t g α

I.5.36

y y yt g α ′= , tenemos para el aumento angular, 25 f

38 y f γ= y 25

γ=

25 f

I.5.37

Los aumento se miden en cuánto multiplica el ángulo que subtiende el objeto de visión cercana respecto de la imagen en infinito generada por la lupa. Debido a las aberraciones (deja de valer la aproximación paraxial) el aumento de una lupa no pasa de 2x o 3x (foco de 12 a 8 cm).

MI CROSCOPI O Es un sistema óptico centrado compuesto por dos o más lentes. Consta de un o b j e t i v oy de un o c u l a r . Este último puede ser simple o compuesto por más de una lente. El objetivo forma la imagen en el foco del ocular:

Figura I.5.15 Nuevamente definimos el aumento angular, ahora del microscopio, como

′ y ′25 f t g α′ y 2 M= = = y t g α yf 2 25

I.5.38

39 y´/y = mo se define como el aumento transversal del objetivo y

25 = λ0 es el aumento angular del ocular. Entonces el aumento f 2 angular del microscopio queda definido por,

M = m0γ0

I.5.39

Existen dos oculares típicos (por supuesto que en los microscopios de laboratorio son más complejos que lo expuesto aquí a los fines de reducir aberraciones).

OCULAR DE RAMSDEN ( POSI TI VO, TI PO LENTE) Consiste en dos lentes convexas con los focos relacionados por f21 = f22/3 . La primer lente hace retroceder la imagen del objeto hasta el foco de la segunda lente que es la que emite los rayos paralelos:

Figura I.5.16

40 OCULARDEHUYGENS( NEGATI VO)

Figura I.5.17 La relación de distancias focales entre la lente 1 y la lente 2 varía entre 3:1 a 15:1.

41

I IÓPTI CAFÍ SI CA I I . 1 .CAMPO ELECTROMAGNÉTI CO

A

partir de la ecuaciones de Maxwell se deducen las ecuaciones de las ondas del campo electromagnético

r r r2 r ∂E ∂2 E ∇ E= µσ + µε 2 ∂t ∂t r r r2 r ∂H ∂2 H ∇ H = σµ + µε 2 ∂t ∂t

(II.1.1)

Donde la primera parte de las ecuaciones es el término disipativo que normalmente puede despreciarse en el tratamiento de la óptica física (si bien en medios reflectantes resulta importante y debe realizarse una aproximación fenomenológica). Las ecuaciones quedan entonces:

r r2 r ∂2 E ∇ E= µε 2 ∂t (II.1.2)

42 r r2 r ∂2 H ∇ H = µε 2 ∂t Que tienen solución: rr r r r ik .r−i ωt E(r, t ) = E0 e rr r r r ik .r−i ωt H(r ,t ) = H0 e

y

(II.1.3)

r k es el vector de onda que es función de ε , µ y ω , y el rr r producto k .r proyecta la oscilación en la dirección de r. Los rr rr requisitos que ∇ E y ∇ B se anulen implica que, r r r r E0 .k= 0 y H0 .k= 0 r r además la relación entre el rotor de E y el campo H da la donde

condición,

r r r k∧ E0 = ωµH0

(II.1.4)

es decir los tres vectores son perpendiculares entre sí y la propagación es como se muestra en la figura II.1.1

Figura II.1.1

r r res elegido arbitrariamente podemos tomarlo en la dirección de k y entonces esa coordenada puede Como en principio

43 tratarse como un escalar. Tomando parte real en II.1.4, podemos escribir:

r r E( x ,t ) = E0 s e n(k x− ω t ) r r B( x ,t ) = B0 s e n(k x− ω t )

y

(II.1.5)

Las interacciones ópticas son fundamentalmente eléctricas (excitación eléctrica de los electrones de los átomos), por lo que podemos considerar sólo el campo eléctrico como la principal perturbación óptica. Así planteado k es simplemente el número de onda. Ahora podemos analizar el comportamiento del campo

r

eléctrico. Hasta ahora sabemos que E( x ,t ) es un vector perpendicular a la dirección x. Por el principio de superposición pueden elegirse dos soluciones que describan la evolución de

r E( x ,t ) y sumarlas, la suma también será una solución de la

ecuación de ondas. Las dos soluciones perpendiculares como muestra la figura II.1.2.

pueden

tomarse

Figura II.1.2 El argumento de la función sinusoidal se denomina fase de la onda y queda determinada a menos de una constante que depende (ϕ 0 ) de las condiciones iniciales: k x− ω t+ ϕ 0 . Las componentes del campo eléctrico pueden entonces ponerse como,

44

ˆ = Eoˆj E1i s e n(k x− ω t+ ϕ1 ) (II.1.6)

ˆs ˆ = Eok E2 i e n(k x− ω t+ ϕ 2 ) Estas son las ecuaciones paramétricas de una elipse, es decir el

r

vector E( x ,t ) gira en un plano perpendicular a la dirección de la trayectoria de la onda describiendo un elipse. Antes de demostrar esta propiedad analizaremos con más detalle el significado de la fase de la onda. Supongamos que observamos la perturbación óptica en un punto fijo sobre x, es decir x = xo. Observaremos la variación de t, que no permite definir el concepto de p e r í o d oT: tiempo en el cual la perturbación se repite.

Figura II.1.3 s e n(k x− ω t+ ϕ 0 ) sea s e n [kx− ω (t+ T) + ϕ0 ]se debe cumplir que,

Para

que

ω T= 2π

igual

a

(II.1.7)

La (2.6) relaciona la frecuencia con el período. Sea vla velocidad con se desplaza la perturbación óptica. Transcurrido un período T la distancia recorrida, que se denomina l o ng i t ud d eo nd a , será λ = Tv. Pero si acompañamos la onda el argumento no debe variar, es decir:

45 k x− ω t+ ϕ 0 = k( x+ λ) − ω (t+ T) + ϕ 0 k λ = ωT

luego, entonces

k=

(II.1.8)

ωT ω = . Escribiremos la perturbación óptica (sin λ v

especificar la componente vectorial) usando estas relaciones,

2π k T ω T Tϕ 0 E( x ,t ) = Eos e n(k x− ω t+ ϕ 0 ) = Eos e n ( x− t+ )= T 2π 2π 2π 2π x = Eos e n ( − t+ ϕ 0′) T v donde

ϕ 0′ es una nueva fase constante. Alternativamente también

podemos poner

2π x E( x ,t ) = Eos e n (t− + ϕ ) T v

(II.1.9)

pues un cambio de signo en el argumento es también un corrimiento arbitrario de fase. Cua nd ol al uza t r a v i e s aun me d i od i s p e r s i v o , d o nd es ep r o d uc el ar e f r a c c i ó n,l af r e c ue nc i anoc a mb i ap e r os i c a mb i al av e l o c i d a dyp o rl ot a nt ol al o ng i t udd eo nd a . En el formalismo de la mecánica cuántica esto significa que se conserva la energía pues la energía de la onda está dada en este formalismo por,

ω U = h = hω = h ν 2π

(II.1.10)

h absorbe el factor 2π o alternativamente se define una ω frecuencia “normalizada” por 2π : ν = . Conviene analizar 2π donde

46 más en detalle este concepto de onda electromagnética para evitar dudas cuando se estudian los fenómenos de interferencia/difracción. La luz se genera, generalmente, por excitación de los electrones en los átomos. El proceso consiste en excitar un electrón o inclusive eyectarlo del átomo, como indica la figura 24,

Figura II.1.4 El átomo recibe energía de alguna forma (por ejemplo chocando con otros átomos por calentamiento) y uno o más electrones son eyectados. Inmediatamente algún otro electrón externo al átomo ocupa el lugar vacante. Al hacerlo emite un fotón con energía bien definida U = h?. El fotón es una onda electromagnética y presenta como todas las partículas microscópicas la propiedad de manifestarse tanto como onda como partícula, según sea la interacción que realice. Una forma de compatibilizar la imagen de la onda con la de una partícula se muestra en la figura II.1.5;

Figura II.1.5 Esto es lo que conoce con el nombre de t r e nd eo nd a . El fotón se puede comportar como un tren de onda o como una partícula que localiza su energía en un punto. En realidad el tren de onda tiene una

47 localización espacial en tres dimensiones como se trata de mostrar en la figura II.1.6,

Figura II.1.7 Si este fuera el caso de un fotón con polarización lineal, las zonas grises podrían indicar el campo electromagnético saliente y las zonas claras el campo entrante. Las trayectorias (a) y (b) corresponden a las diferentes direcciones hacia donde se puede trasladar simultáneamente el fotón. Tendrá una cierta probabilidad de ir en la dirección (a) y otra cierta probabilidad de ir en la dirección (b). La probabilidad de ir en alguna de las direcciones comprendidas dentro del lóbulo será cercana a uno. Cuando se produce una localización por ejemplo en el efecto fotoeléctrico, toda la energía del fotón se concentra en un electrón eyectándolo del átomo. Esa concentración ser realiza totalmente al azar en algún punto de la burbuja de la figura. Resolviendo explícitamente la ecuación de ondas se demuestra que la velocidad de fase está dada por,

v=

1 µε

(II.1.11)

µ y ε con las constantes magnéticas y eléctricas que caracterizan al medio en el cual se propaga la luz. En el vacío donde se tiene µ0

48 y

ε0 , v es c, la velocidad de la luz, es decir la velocidad con que se

traslada un fotón o tren de onda.

49

I I . 2 .VECTORÓPTI CO Veamos ahora como la composición de las dos componentes de (II.1.6) generan paramétricamente una elipse. Por simplicidad consideremos que observamos la perturbación óptica en un punto del espacio y fijemos allí el origen de coordenadas, es decir x = 0. Escribiremos las componentes del campo eléctrico como,

x   Ey( x ,t ) = Ey0 cos ω (t− ) + ϕ y v   x   Ez( x ,t ) = Ez0 cos ω (t− ) + ϕ z v   Siempre es posible redefinir la fase tal que,

(II.2.1)

ϕ y = 0 y ϕ z= 0 .

Podemos ahora rescribir las ecuaciones de (II.2.1),

x  ′ Ey( x ,t ) = Ey0 cos ω (t− ) = Ey0 cos ω t v  (II.2.2)

x   Ez( x ,t ) = Ez0 cos ω (t− ) + ϕ z= v   ′+ ϕ z] Ez( x ,t ) = Ez0 [cos ω (t Con t´= t – x/v. En particular,

′+ ϕ z]= Ez0 cos ω t ′cos ϕ − Ez0 s ′s Ez( x ,t ) = Ez0 [cos ω t e n ωt e n ϕ (II.2.3)

50

Usando que de

′ cos ω t=

Ez( x ,t ),

Ez( x ,t ) = Ez0 dividiendo por

Ey( x ,t ) Ey0

, se lo reemplaza en la expresión

Ey( x ,t ) ′s cos ϕ − Ez0 s e n ωt e n ϕ Ey0

(II.2.4)

Ez0 ,

,t ) Ez( x ,t ) Ey( x ′s = cos ϕ − s e n ωt e n ϕ Ez0 Ey0

(II.2.5)

y elevando al cuadrado,

,t ) 2E( x ,t ) Ez( x ,t ) Ez ( x ,t ) Ey ( x + cos 2 ϕ − y cos ϕ = 2 2 Ey0 Ez0 Ez0 Ey0 2

2

′s ′) s =s e n2ω t e n2ϕ = (1 − cos 2 ω t e n2ϕ (II.2.6)

,t ) 2 Ey( x ,t ) Ez( x ,t ) Ez ( x ,t ) Ey ( x 2 + cos ϕ − cos ϕ = 2 2 Ey0 Ez0 Ez0 Ey0 2

2

 Ey2 ( x ,t ) 2 s = 1 − e nϕ 2   E y0   (II.2.7) pasando de miembro y utilizando que

s e n2ϕ + cos 2 ϕ = 1

51 ,t ) 2 Ey( x ,t ) Ez( x ,t ) Ez ( x ,t ) Ey ( x + − cos ϕ = s e n2ϕ 2 2 Ey0 Ez0 Ez0 Ey0 2

2

(II.2.8) Esta es la ecuación de una elipse no centrada. Veamos distintos casos según el valor que tome la fase ϕ .

Figura II.2.1 Figura II.2.1, caso (a) y (b): armar un cuadrado perfecto,

ϕ =n π , entonces en (II.2.8) se puede 2

Si

Ey0 Ez0 > 0

recta

Ey( x ,t )=

Ey0 Ez0

Ez( x ,t ) ,t ) Ey( x   =0, −  E  E z 0 y 0  

da la

Ez( x ,t ) (II.2.9)

correspondiente al caso (a).

52 2

E ( x ,t ) ,t ) Ey( x  =0, Y si Ey0 Ez0 < 0  z +  E  E z 0 y0   Ey Ey( x ,t ) = − 0 Ez( x ,t ) Ez0

da

la

recta

(II.2.10) correspondiente al caso (b).

2n+ 1 π, 2 2 2 ,t ) Ez ( x ,t ) Ey ( x + =1 2 2 Ez0 Ey0

El caso c) corresponde a

ϕ=

que es una elipse centrada con semiejes

(II.2.11)

Ey0 , Ez0 . En particular si

Ey0 = Ez0 , la elipse se convierte en un círculo. Los casos (a) y (b) se denominan luz linealmente polarizada, los casos b y c (este último corresponde a una elipse no centrada) se denomina luz elípticamente polarizada y si se cumple además la condición Ey0 = Ez0 , luz circularmente polarizada. Para los casos de luz elípticamente o circularmente polarizada es importante determinar el sentido de giro del vector eléctrico. Consideremos un vector como se muestra en la figura 28 donde la luz avanza hacia el espectador.

53

Figura II.2.2 El ángulo ? (t) de giro está dado por,

E( x ,t ) ψ (t )=a r c t g y = Ez( x ,t ) =a r c t g(

Ey0

c o z ω (t− x/ v ) ) Ez0 c o z ω (t− x/ v ) cos ϕ − s e ω (t− x/ v )s e n ϕ (II.2.12)

Para saber hacia donde gira debemos averiguar si al aumentar t el ángulo ψ crece o decrece. Para ello evaluaremos,

∂ψ ∂a r c t g(u)  2 ∂u S i g n o =S i g n o =S i g n o   2 ∂t ∂t 1 + u ∂t (II.2.13)

donde

u=

Ey0 c o z ω (t− x/ v ) Ez0 c o z ω (t− x/ v ) cos ϕ − s e ω (t− x/ v )s e n ϕ

54 2 es definido positivo por lo que basta averiguar 1 + u2 ∂u S i g n o . Para facilitar el cálculo conviene derivar 1/u, teniendo ∂t

El factor

en cuenta que, entonces,

∂ cos ϕ − s e n ϕt a g ω (t− x/ v )  S i g n o(−1) =  ∂t     ωs e n ϕ =S i g n o 2 i g n o( s e n ϕ) = S ) cos ω (t− x/ v (II.2.14) El sentido de giro se resume en la figura II.2.3.

Figura II.2.3

55

I I . 3 .PROPI EDADES ESPECI ALESDELAONDA SALTO DEFASEENLAREFLEXI ÓN

Veamos ahora otra importante propiedad de las ondas de fundamental importancia en la interferencia por reflexión. Para ello utilizaremos el concepto de reversibilidad de camino óptico, es decir que se pueden invertir la marcha de los rayos de luz manteniéndose inalterado el sistema como un todo. Esta reversibilidad está basada en la conservación de energía y no es válida cuando hay absorción o dispersión de luz. Consideremos un frente de onda plano que incide sobre una interfase que separa dos medios con distinto índice de refracción, como se muestra en la figura 30.

Figura II.3.1

56

Figura II.3.2 Sea

Ei= Ei0 cos ω (t+ x M /v 1)

v1>0, xM>0

(II.3.1)

la onda incidente, donde xM indica el camino en la dirección incidente. No es importante considerar el carácter vectorial de E, es decir los resultados son válidos cualquiera sea el estado de polarización del campo eléctrico. La onda se descompone en onda reflejada y onda refractada o transmitida,

Er = ρEiocos ω (t− x N/v 1)

v1<0, xN>0

(II.3.2)

donde ρ es el coeficiente de reflexión y el signo negativa en v1 aparece pues la onda después de reflejarse se propaga en sentido contrario a la incidente. La onda transmitida será

Et= τEiocos ω (t− x P/ v 2)

v2>0, xP<0

(II.3.3)

Ahora τ es el coeficiente de transmisión y el signo negativo aparece considerando que debajo de la interfase se cambia de signo.

57 Apelando a la reversibilidad de la marcha de los rayos invertiremos el rayo transmitido y el reflejado. Ambos generarán a su vez un rayo transmitido y un rayo reflejado. Entonces, Er′ = ρEiocos ω (t+ xN / v v1>0, xP>0 (II.3.4) 1) es la inversión del rayo reflejado, el cual origina, como ya dijimos, un rayo reflejado

Er′′ = ρ 2 Eiocos ω (t− x M /v 1)

v1<0, xP>0

(II.3.5)

v2>0, xQ<0

(II.3.6)

y un rayo transmitido,

Et′′ = ρ ′τEiocos ω (t− x Q/v 2)

Los coeficiente de reflexión y transmisión desde el medio (2) al medio (1) serán en principio τ′, ρ′. La inversión del rayo originalmente transmitido será,

Et′ = τEiocos ω (t+ x P/ v 2)

v2>0, xP<0

(II.3.7)

v2>0, xQ<0

(II.3.8)

que parcialmente se reflejará,

Er′′′ = τρEiocos ω (t− x Q/v 2)

y parcialmente se transmite nuevamente al medio (1),

Et′′′ = ττ′ Eiocos ω (t− x M /v 1)

v2<0, xM>0

Para que se cumpla la reversibilidad la suma de dar el rayo originalmente incidente:

Et′′′+ Et′′= ττ′ Eiocos ω (t− x M /v 1) + + ρ 2 Eiocos ω (t− x M /v 1) =

(II.3.9)

Et′′′ y Et′′ deben

58

()Τϕ ΕΤ Θ θ 124.32 495.6756(II.3.10) 3.96 17.16 ρε Ω∗ ν Β

= Ei0 ρ 2 + τ′ τ cos ω (t− x M /v 1) Por lo que se debe cumplir que,

τ′ τ + ρ2 =1

(II.3.11)

y como el rayo Q no existía,

Et′′ + Er′′′ = ρ ′τEiocos ω (t− x Q/v 2)+ + τρEiocos ω (t− x Q/ v 2) = 0

(II.3.12)

entonces,

τρ′+ τρ = τ( ρ′+ ρ ) = 0

(II.3.13)

ρ′= −ρ

(II.3.14)

de donde

Un signo menos equivale a un salto en

π en la fase.

x x   cos ω (t+ ) + π  = − cos(t+ ) v v  

(II.3.15)

59

EFECTO DELAAPROXI MACI ÓNPARAXI AL Un proceso importante en los fenómenos de óptica física es la superposición de , dos o más ondas lumninosas. Nuevamente, por el principio de superposición, podremos simplemente sumar vectorialmente las dos o más perturbaciones y la suma será también solución de la ecuación de ondas y representará el efecto de la superposición de las ondas. Sin embargo en la mayoría de los casos a estudiar la superposición será de ondas que se aproximan al punto en estudio con un ángulo pequeño, como se muestra en la figura II.3.3 :

Figura II.3.3 La polarización de las dos ondas se ha descompuesto en la dirección perpendicular al plano de la figura y la contenida en el plano de la figura. Las componentes perpendiculares al plano de la figura se pueden sumar como escalares pues están en la misma dirección. Las contenidas en el plano de la figura deberían sumarse como vectores pero si el ángulo es pequeño también podrán sumarse como escalares.

REPRESENTACI ÓNCOMPLEJ A La representación compleja de la perturbación óptica facilita la compresión de algunos modelos de interferencia y difracción. La representación compleja es también muy usada en problema eléctricos. La clave reside en el principio de superposición por el cual la combinación lineal de dos soluciones de la ecuación de ondas es también una solución. Ya vimos anteriormente el pasaje de la notación compleja a la notación real. La relación de Euler,

60 fundamental para esta transformación, puede demostrarse haciendo una expansión en serie de la funciones es la llave para el pasaje de una a otra representación : i α e = cos α + i s e n α

(II.3.16)

r

En nuestro caso, considerando por ahora el módulo del vector E (Por ahora no nos interesa el carácter vectorial del campo eléctrico ni el estado de polarización). Tenemos entonces,

ΕΤ= r Θeal θE0 174.12 E( x ,t ) = E0 cos ω ()Τϕ t+ x/ v ei(ω t+ x/ v) = 384.4356 r e al E0 ei(ω t+α )3.84 (II.3.17) En un cierto instante t sólo interesa x/v = a. En la figura II.3.4 se muestra el diagrama polar de la representación compleja. Para tiempos posteriores, tiempos crecientes, el vector rota hacia la izquierda.

Figura II.3.4 Si en ese instante llega otro rayo xon una fase

α1 =

podremos sumar la perturbación ótica como simples vectores,

x +ϕ , v

15.84 ρε

61

Figura II.3.5 Si fueran varios rayos que llegan simultáneamente a ese punto se sumarán como un polígono de fuerzas,

Figura II.3.6 Donde

δ1 , δ2 , δ3 son las diferencia de fase entre cada perturbación

óptica. En particular para dos rayos por el teorema del coseno se tiene,

E02 = E012 + E022 + 2 E01E02 cos(α 2 − α 1 )

(II.3.18)

62

Si α 2 − α 1 = 2n π , con n = 0, 1, 2, 3, … la superposición de las perturbaciones ópticas es máxima y se dice que hay interferencia constructiva, en cambio si α 2 − α 1 = 2( n+ 1)π la superposición da un mínimo y la interferencia es destructiva. En particular si E01 = Eo2 la interferencia constructiva da Eo = E01 + Eo2 y la destructiva E0 = 0 .

I NTENSI DAD El ojo y los aparatos ópticos más usuales no detectan la oscilación de la amplitud del campo eléctrico. Se trata de la cantidad de energía que deposita la perturbación óptica. La energía es proporcional al campo eléctrico al cuadrado por lo cual resulta apropiado definir la intensidad como el promedio cuadrático del campo eléctrico en un período :

T

∫E dt 2

I (I n t e n s i d a d) =

0

T

= E2

(II.3.19)

63

I I . 4I NTERFERENCI A

E

studiaremos ahora los modelos de interferencia. Comenzaremos con dos fuente puntuales coherente. Por coherencia entenderemos que, 1) tienen igual frecuencia 2) la diferencia de fase es constante en el tiempo. Estas condiciones son muy difíciles de cumplir para una fuente real. No sólo la luz debe ser monocromática para lo cual la fuente emisora debería tener un solo elemento sino que sólo la extensión de la fuente hace que diferentes átomos emitan a diferentes tiempo generando una diferencia de fase que varía erráticamente en el tiempo. El camino más simple (sin usar láseres) es haciendo interferir la onda consigo misma3. Esta posibilidad que no fue demasiado pensada en su momento está fuertemente ligada al concepto cuántico de la materia, en este caso de los fotones. Sobre la base de interferir consigo misma se originan dos posibilidades de interferencia: a) b)

POR DIVISIÓN DE FRENTE DE ONDA POR DIVISIÓN DE AMPLITUD

En el primer caso la onda se “parte”, las partes recorren caminos ópticos distintos y arriban a un mismo punto con diferencia de fase que genera la interferencia. En el segundo caso es más bien la 3

No existe mucha información sobre la real longitud del tren de ondas emitido por un núcleo. Mediciones realizadas en la Friedrich-Alexander Universität en 2008 dan valores entre 17 y 60 10-6 m. Las interferencias coloreadas de las pompas de jabón y de las delgadas capas de aceite que se observan en las calles indican valores similares.

64 amplitud la que desdobla y siguiendo también caminos diferentes termina interfiriendo en un mismo punto. Conviene definir el c a mi noó p t i c o= ? dini

(II.4.1)

donde las di son las distancias geométricas donde vale un índice de refracción ni.

I NTERFERENCI A DE MONOCROMÁTI CAS

ONDAS ESFÉRI CAS

Sean dos fuente puntuales monocromáticas y coherentes S1 y S2, como se muestra en la figura 36,

Figura II.4.1 Las perturbaciones ópticas generadas por cada fuentes serán,

E1 =

E01 t r   cos 2π ( − 1 ) + ϕ1  r  T λ  1 (II.2.2)

65

E2 =

E02 t r   cos 2π ( − 2 ) + ϕ 2  r  T λ  2

recordar

que,

r ω 2π r 2π t r  r ω t−  = ω t− = t− = 2π ( − ) . v T Tv T λ  v

Si

la

separación entre S1 y S2 es pequeña respecto de r1, r2, podemos reemplazar,

E01 E ≈ E01 y 02 ≈ E02 que serán aproximadamente r r 1 2

constantes. En la aproximación paraxial en P ó P´ podemos usar que el cuadrado de la perturbación total está dado por (ver 2.41),

2π  E2 = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos  (r − r) − (ϕ − ϕ ) 2 1 1 2 λ  (II.4.3) Con la definición de intensidad que dimos (II.3.19),

2π  I= I (r 1 + I 2 +2 I 1I 2 cos  2 −r 1 ) − (ϕ 1 − ϕ 2 )  λ  (II.4.4) En particular si ambas fuentes tienen la misma intensidad,

 2π  I= 2 I (r 0 1 + cos  2 −r 1 ) − (ϕ1 − ϕ 2 )  λ  

(II.4.5)

Tendremos entonces que para,

2π (r 2 −r 1) − (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2πk λ

Intensidad máxima = 4Io (II.4.6)

66 2π (r 2 −r 1) − (ϕ 2 − ϕ1 ) = π (2k+ 1) λ

Intensidad mínima = 0 (II.4.7)

Estos máximos y mínimos se sitúan, como puede verse en la figura 36, sobre círcunferencias centradas en el eje que determinan las dos fuentes y como paraboloides en un plano paralelo paralelo a dicho eje.

EXPERI ENCI A DE YOUNG ( Di v i s i ó nde lf r e nt ede o nda ) . Para tener dos fuentes coherentes se divide el frente de onda haciéndolo pasar por dos orificios como se muestra en la figura 37,

Figura II.4.2 Si el tren de ondas se piensa como un fotón, entonces el fotón pasa simultáneamente por ambos orificios e interfiere sobre la pantalla en el punto P. Justamente la coherencia se obtiene con orificios suficientemente cercanos de tal manera que se el mismo frente de

67 onda (o el mismo fotón como se prefiera!) el que pasa por ambos orificios. Si pasaran dos frentes de ondas originados en átomos diferentes se perdería la coherencia pues no estarían sincronizados para mantener siempre la misma diferencia de fase (la imagen de interferencia se observa como superposición de numerosos frentes de ondas (o fotones), todos partidos en dos ondas secundarias con diferencia de fase nula cuando salen de los orificios. Sea ahora

r 2 −r 1 ≈ S 2H e

y =t g ϕ ≈ ϕ . Además se tiene, D

S2 H r− r ≈s e n ϕ ≈ 2 1 ≈ ϕ , entonces, h h r− r y≈ D 2 1 h

(II.4.8)

Como ambas fuentes están en fase la condición de máximos y mínimos nos da,

2π (r 2 −r 1) = 2πk⇒ λ Dλk y= h 2π (r 2 −r 1) = π (2k+ 1) ⇒ λ Dλ (2k+ 1) y= 2h

2πy h = 2πk⇒ λD

I= 4Io

(II.4.9)

2πy h = π (2k+ 1) ⇒ λD I=0

(II.4.10)

La pantalla es un plano paralelo al eje determinado por S1, S2 y lo que se observan franjas levemente distorsionadas sobre la pantalla. Para aumentar la intensidad del experimento en lugar de dos orificios se hacen dos ranuras paralelas con lo que las franjas se ven más nítidas. La división del frente de onda se puede lograr también por reflexión. Por ejemplo el espejo de Lloy´d en figura II.4.3, donde sólo se pueden apreciar las franjas de un lateral,

68

Figura II.4.3 Un poco mejor, pero más elaborado es el espejo doble de Fresnel, figura II.4.4,

Figura II.4.4

I NTERFERENCI A DE LÁMI NAS DELGADAS ( Di v i s i ó ndea mpl i t ud) .

69

La lámina será suficientemente delgada como para asegurar que la interferencia se produce entre partes del mismo tren de ondas. Usaremos una lupa para generar una imagen real de la interferencia, aunque por supuesto podría ser el propio ojo. Veamos la figura II.4.5,

Figura II.4.5 Para evaluar la diferencia de fase con que los rayos (1) y (2) arriban al punto P debemos calcular la diferencia de camino óptico:

l Py l C+ n(CE+ EP) 1 =n 0S 2 =n 0S

(II.4.11)

l C− S P) + n(CE+ EP) 2 −l 1 =n 0 (S

(II.4.12)

Usando la aproximación (ver detalle en figura II.4.6),

70 SP− SC ≈ PCs e n ϕ

(II.4.13)

Figura II.4.6 Luego,

n P− SC) ≈ n Cs e n ϕ 0 (S 0P

(II.4.14)

Pero (ver fig. II.4.7),

PC =t g ϕ′ 2d

⇒

PC = 2d t g ϕ′

Figura II.4.7

(II.4.15)

71

Entonces

n0 ( S P− S C) = n0 2d.t g ϕ ′.s e n ϕ

por la ley de Snell,

(II.4.16)

n e n ϕ =n s e n ϕ ′, luego, 0s

s e n ϕ ′s e n ϕ′ s e n2ϕ ′ n P− S C) = n2d s e n ϕ = 2n d 0 (S senϕ cos ϕ ′ cos ϕ ′ (II.4.17)

2d = cos ϕ ′ CE+ EP

además

(II.4.18)

En realidad CE= EP, por eso aparece el factor 2 en (II.4.15). De aquí podemos despejar:

n(CE+ EP) =

2d n cos ϕ ′

(II.4.19)

Volviendo a la diferencia de caminos ópticos,

l C− S P) + n(CE+ EP) = 2 −l 1 =n 0 (S  1 s e n2ϕ ′ 2n d s e n2ϕ ′ = −2n d + = 2n d − cos ϕ ′ cos ϕ ′ = cos ϕ ′ cos ϕ ′   1− s e n2ϕ ′ cos 2 ϕ ′ = 2n d = 2n d = 2n dcos ϕ ′ cos ϕ ′ cos ϕ ′ (II.4.20) La diferencia de fase debido a la diferencia de camino óptico, estará dada por, ver (II.4.9) y (II.4.10),

2π

r l− l 2 −r 1 = 2π 2 1 λ λ

(II.4.21)

72

La pequeña diferencia entre los λ de ambos medios no afecta significativamente el resultado, pero sí se debe tener en cuenta la diferencia de fase adicional originada en la reflexión: el salto en π se refleja en el camino l1, en

n0 n y en el camino l2, en . Entonces n n0

la diferencia de fase total será,

α = 2π

l dcos ϕ ′ 1  2n 2 −l 1 − π = 2π  −  λ λ 2 

(II.4.22)

Entonces los máximos y mínimos estarán dados por,

dcos ϕ ′ 1  2n ó − = k  λ 2  2n d 2k+ 1 cos ϕ ′= máximos λ 2 2n d cos ϕ ′= k λ

mínimos

(II.4.23)

(II.4.24)

cuando la incidencia es normal a la superficie, cos ϕ ′= 1 . Para un espesor de la lámina constante el resultado es observar oscura su superficie o iluminada, la interferencia está localizada sobre la superficie. En cambio cuando el espesor varía es posible observar franjas. El efecto es fácilmente observable cuando una fina capa de aceite flota sobre agua, por ejemplo en cualquier esquina de una ciudad. Las franjas se observan tornasoladas porque la luz incidente no es monocromática y como se desprende de (II.4.23) y (II.4.24), los máximos y mínimos son función de la longitud de onda. PREGUNTA: ¿Por qué cuando el espesor del aceite aumenta las franjas desaparecen? Una forma práctica de observar el fenómeno es

73 utilizando otra lámina no demasiado delgada para que no genere sus propios efectos de interferencia, como se muestra en la figura 43,

Figura II.4.8 Con este método es posible apreciar variaciones en el espesor de

λ , 4

lo cual tiene enorme importancia práctica pues se están midiendo dimensiones en el nanometro. Para tener una idea de lo que esto representa, un nanometro cúbico tiene menos de 50000 átomos!

ANI LLOSDENEWTON Una experiencia clásica de laboratorio es la observación y medición de los anillos de Newton. Para ello se utiliza una lente muy delgada plana convexa, con un radio de curvatura muy grande, como se muestra en la figura II.4.9,

74

Figura II.4.9 La diferencia de camino óptico se da en la delgada lámina de aire (hemos dibujado la lente con radio de curvatura pequeño para apreciar mejor la relación entre las distancias. Para evaluar esa diferencia veamos que,

r =s e n ϕ, R

h = cos ϕ y d = R – R cos ϕ (II.4.25) R

entonces, 2   r d= R− R 1 − s e n2ϕ = R1 − 1 − 2 ≈  R   2 2   1r  1 r  ≈ R1 −  1 − = 2     2 R  2 R

(II.4.26)

75

Considerando que la incidencia es suficientemente vertical podemos utilizar los resultados (II.4.23) y (II.4.24) con cos ϕ ′= 1 . Tendremos entonces que la condición de máximos y mínimos será en este caso,

λ 1 r2 2k+ 1 = ⇒ r2 = Rλ 4 2 R 2

Máximos

d= (2k+ 1)

Mínimos

λ 1r d= k = ⇒ r2 = k Rλ 2 2 R

(II.4.27) 2

(II.4.28) En particular r = 0, el punto de contacto aparece oscuro (k=0). Las condiciones II.4.27 y II.4.28 corresponden a anillos brillantes y oscuros. Estos anillos pueden imaginarse como generados por dos fuentes, una detrás de la otra, debajo de donde apoya la lente.

FRANJ ASLOCALI ZADASENI NFI NI TO Los interferómetros, aparatos diseñados para utilizar el fenómeno de interferencia en la medición de espesores o distancias muy pequeñas, las franjas se localizan en infinito pero pueden observarse ocularmente. El esquema sería como el mostrado en la figura II.4.10,

76

Figura II.4.10 Ahora consideraremos los númerosos rayos que se generan por transmisión y por reflexión como se muestra en la figura II.4.10. Nuevamente calcularemos la diferencia de camino óptico, en este caso para los dos primeros rayos de transmisión.

l n− THn0 , 2 −l 1 = 2R 0T

d = cos ϕ ′, R0T

TH =s e n ϕ D

D/ 2 =t g ϕ ′, d luego,

(II.4.29)

n e n ϕ =n s e n ϕ′ 0s

(II.4.30)

77 d l −n .t g ϕ ′s e n ϕ= 2 −l 1 = 2n 0 2d cos ϕ ′ n = 2d( −n g ϕ ′.s e n ϕ= 0 .t cos ϕ ′

 n  s e n ϕ ′s e n ϕ′ = 2d s e n ϕ cos ϕ ′− ns = e n ϕ cos ϕ ′   1 − s e n2ϕ ′  = 2d n 2 −l 1  cos ϕ ′  = 2dcos ϕ = l  

(II.4.31)

(II.4.32)

En este caso el salto en la reflexión des dos veces por lo cual es 2π y es necesario considerarlo. La diferencia de fase será,

α = 2π

l 2dcos ϕ ′ 2 −l 1 = 2π λ λ

(II.4.33)

Cada camino de cada rayo tendrá, respecto del anterior esta misma diferencia de fase. Entonces tendremos la suma de infinitas componentes. Pero estas componentes van decreciendo en intensidad en cada reflexión/transmisión según el esquema de la figura II.4.11,

Figura II.4.11

78 En cada transmisión-reflexión-reflexión-transmisión la amplitud estará multiplicada por un factor ρ τ′ τ que obviamente es menor que uno y permite construir una serie convergente. Veamos gráficamente como sería esa serie en la figura II.4.12, 2

Figura II.4.12 Estos máximos y mínimos serían para los valores de diferencia de fase 2k π y (2k+ 1)π respectivamente. Para valores intermedios tendríamos composiciones del tipo que se muestran en la figura II.4.13,

Figura II.4.13 Para evaluar la suma de estas infinitas componentes usaremos la notación exponencial. Representemos por simplicidad la onda incidente como,

79

y

Ei= E0 eiω t

(II.4.34)

Et1 = ττ′ E0 eiω t

(II.4.35)

la primer onda transmitida. La transmitida luego de una reflexión, i ()Τϕ ωt −α ΕΤ Et2 = ττ′ ρ 2 E0 e

Θ θ 248.88 430.8756 2.28 9.48 ρε Ω∗ ν Β

(II.4.36)

donde α es la diferencia de fase debido a la diferencia de camino óptico entre la primer onda transmitida y la segunda. Para la tercera onda tendremos, ωt −2αΕΤ Et3 = ττ′ ρ 4 E0 ei()Τϕ

Θ θ 252.36 353.5956 2.28 9.48 ρε Ω∗ ν Β

(II.4.37)

y para la emésima transmisión, i ()Τϕ ωt −( mΕΤ −1)αΘ θ 214.68 300.0756 2.28 −i α 9.48 Etm = ττ′ ρ 2 ( m−1) E0 e = ττ′ E0 eiω t( ρ 2 e ) m−1

ρε Ω∗ ν ΒΤ /Φ2 9.1367

(II.4.38) La resultante será la suma de todas las componentes, ∞

ET = ∑ Etm = τ′ τ.E0e m=1

∞

∑ (ρ e

i ωt

2 −i α

m−1

)

=

m=1

(II.4.39)

1 = τ′ τ.E0e −i α 1 − ρ 2e i ωt

donde se usó la suma de una serie geométrica y se tendió al límite. Lo que en realidad se observa es la intensidad, proporcional a E2: ∗ ′ 2 02 I T≅ E TE T= E T = (τ τ) E 2

1 = −i α (1 − ρ e )(1 − ρ 2e ) 2 −i α

(II.4.40)

80

=

2 ()Τϕ τ′ τ E02ΕΤ Θ θ 116.16 506.3556 3.96 18 ρε Ω∗ ν ΒΤ i α −i α y como e + e = 2 cos α

i α −i α 1 + ρ 4 − ρ 2 (e +e )

(II.4.41)

I T=

(τ′ τ) 2 E02 1 + ρ 4 − 2 ρ 2 cos α

(II.4.42)

De una manera similar puede calcularse la intensidad de la onda reflejada. La amplitud luego de hacer la sumatoria de todas las contribuciones es,

 τ′ τ.ρ.e−iα ′ ER =  ρ +  1 − ρ 2 e−iα 

 iω t  E0 e 

(II.4.43)

Ahora hay que considerar un salto en p debido a la reflexión,

ρ′= −ρ y ρ 2 + τ′ τ = 1 . Evaluaremos el término del paréntesis: −i α −i α ρ′(1 − ρ 2e ) + τ′ τ.ρ.e = −i α 1 − ρ 2e −i α −i α − ρ (1 − ρ 2e ) + (1 − ρ 2 ).ρ.e = = −i α 1 − ρ 2e

(II.4.44)

−i α −i α −i α −i α − ρ + ρ 3e + ρ.e − ρ 3 .e ρ (e − 1) = = 2 −i α 2 −i 1− ρ e 1 − ρ eα

(II.4.45) Y expresando ambas intensidades en función del coeficiente de reflexión,

81

ρ 2 (1 − cos α ) E02 I R= 1 + ρ 4 − 2 ρ 2 cos α

(II.4.46)

(1 − ρ 2 ) 2 E02 1 + ρ 4 − 2 ρ 2 cos α

(II.4.47)

I T=

La suma de ambas contribuciones da la intensidad inicial, como era de esperar. Los máximos serán para α = 2k π, para α = 2k π para

α = (2k+ 1)π

2 I T= E 0

I R=

(II.4.48)

4 ρ 2 E02 (1 + ρ 2 ) 2

y los respectivos mínimos,

para

α = (2k+ 1)π

para α = 2k π

(1 − ρ 2 ) 2 E02 I T= (1 + ρ 2 ) 2 I T=0

(II.4.49)

En la figura II.4.14 se muestra el comportamiento de la interferencia en función de la diferencia de fase,

Figura II.4.14

82 Con el espectrómetro de Ferry-Perot que se muestra en la figura 50, se platean las caras para aumentar la transmisión con lo que se pierde reversibilidad,

Figura II.4.15

I NTERFERÓMETRO DEMI CHELSON

Figura II.4.16

83

Este interferómetro no sólo opera a 90o sino que las distancia a las cuales pueden estar los espejos A y B puede ser muy grande con lo cual cuando se asegura la interferencia y se pasa de oscuridad a brillo se están determinando distancias con la precisión de ¼ de longitud de onda. Este equipo fue utilizado para demostrar que la velocidad de la luz es independiente de marco de referencia.

I NTERFERÓMETRO DEMACHZENDER

Figura II.4.17 Ahora los objetos (adosados eventualmente a los espejos A y B) están a 180o y también la distancia puede ser arbitraria siempre que se asegure que los rayos superpuestos corresponden al mismo tren de ondas, es decir al mismo fotón.

84

I I . 5DI FRACCI ÓN La diferencia entre interferencia y difracción es que la primera se refiere a la superposición de un conjunto discreto de ondas en tanto que la segundo corresponde a un conjunto continuo de ondas. Si las aberturas no limitan el tren de ondas, éste, como ocupa un espacio tridimensional, como si fuera una burbuja, puede interferir consigo mismo en forma continua. Recordar la figura,

Figura II.5.1 Por otra parte de acuerdo con el principio de Huygens cada punto al cual arriba el rente de onda se convierte en un emisor de ondas secundarias. Este principio fue extendido por Faymman a la mecánica cuántica para describir la trayectoria de una partícula. Se suelen estudiar dos tipos de difracción: FRAUNHOFERFuente y pantalla en infinito. FRESNEL Fuente y pantalla a distancia finita.

FRAUNHOFER Estudiaremos la difracción a través de un abertura rectangular que supondremos, por el momento, de longitud infinita. Sobre ella incide una onda plana, ya sea de una fuente puntual muy

85 lejana o generada por una fuente puntual colocada en el foco de una lente. En la figura 53 esquematizamos el experimento.

Figura II.5.2 Cada pequeño elemento diferencial ds actúa como un emisor de ondas secundarias. Supongamos que la onda incidente tiene una amplitud dada por,

r r E( x ,t ) = E0 s e n(ω t− k x )

(II.5.1)

r

Aunque la perturbación óptica E( x ,t ) es un vector perpendicular a la trayectoria de los rayos supondremos que, en la aproximación paraxial (ver discusión anterior), puede considerarse un escalar, es decir sólo tendremos en cuanta el valor del módulo del vector. La contribución de una onda secundaria que proviene del centro de la ranura, estará dada por,

d E= E0 d s .s e n(ω t− k x )

(II.5.2)

En cambio la contribución de un ds que se encuentra a una distancia s del origen será,

86 d E= E0 d s .s e n [ω t− k( x+ ∆)]

(II.5.3)

Con ∆ = s .s e n θ Por simetría:

d Es = d E− s+ d Es=

= E0 d s [sen(ω t− kx− ks.senθ ) + sen(ω t− kx+ ks.senθ )] Usando que,

s e n α +s e n β = 2 cos

α −β α +β s e n , 2 2

d Es = E0 d s [2 cos(ks.senθ )sen(ω t− kx)]

(II.5.4)

(II.5.5)

Para sumar la contribución de toda la rendija debemos integrar de 0 a b/2, y multiplicar por 2 para considerar la parte de 0 a –b/2: b/ 2

ET = 2 E0 s e n(ω t− k x ) ∫cos(k s .s e n θ )d s= 0

b/ 2

= 2 E0 s e n(ω t− k x )

s e n(k s .s e n θ) k s e n θ 0

=

b k  2 E0 s e n e n θ  s 2 s = e n(ω t− k x ) k .s e n θ Definiendo

ET =

β=

As e n β β

k b .s e n θ πb s e n θ = , 2 λ

(II.5.6)

A=Eob,

entonces

87 Y la intensidad varía como,

s e n2 β 2 I≈ ET = A 2 β

(II.5.7)

Los máximos se pueden encontrar derivando la amplitud,

β cos β − s ∂ET e n β = A = 0 2 ∂β β  

(II.5.8)

Que da la ecuación trascendente,

t g β =β

(II.5.9)

Esta es una condición que suele aparecer en problemas relacionados con ondas. En la figura II.5.3 se muestra la solución de la recta interceptándose con la función periódica (divergente) de la tangente y los correspondientes máximos y mínimos de la amplitud e intensidad. Si la abertura es rectangular de lados bxl, se obtiene por doble integración, 2 I≈ b2 l

con

s e n2 β s e n2γ β2 γ2

(II.5.10)

88

Figura II.5.3

89 Los máximos cae cerca de valores semienteros de π aunque no exactamente. Los gráficos muestran sólo la mitad de la difracción. Por supuesto la mitad izquierda es totalmente simétrica. En cero tenemos el máximo principal. Si la abertura es rectangular de lados bxl, la intensidad se obtiene por un cálculo similar integrando en las dos direcciones, 2 I= b2 l

s e n2 β s e n2γ β2 λ2

(II.5.11)

πb .s e n θ (II.5.12) λ πl .s e n Ω (II.5.13) γ= λ Los ángulos θ y Ω se muestran en la figura II.5.4. β=

Figura II.5.4

90

Figura II.5.5

DOBLERANURA El estudio de la doble ranura permite estudiar los efectos combinados de la interferencia entre los rayos que salen de cada ranura y la difracción en las ranuras. Veamos la figura II.5.6

91

Figura II.5.6 Como en el caso de una sola ranura se tiene la contribución,

d E(1) = E0 d s .s e n [ω t− k( x+ ∆ )] (II.5.14) con ∆ = s .s e n θ . Nuevamente podemos sumar las contribuciones simétricas para la primera ranura,

d Es = d E−s+ d Es= (1)

E0 d s [sen(ω t− kx− ks.senθ ) + sen(ω t− kx+ ks.senθ )]= (II.5.15)

usando como antes

s e n α +s e n β = 2 cos

α −β α +β , s e n 2 2

=d Es = E0 d s [2 cos(ks.senθ )sen(ω t− kx)] (II.5.16) (1)

92 Una expresión similar se obtiene para

d E(s2 ) , correspondiente a la

ranura inferior. Sólo diferirán los límites de integración en cada ranura, determinan diferentes caminos ópticos. La contribución total será,

ET =

d/ 2 +b/ 2

(1) ∫dEs +

d/ 2

−( d/ 2 −b/ 2 )

∫dE

−d/ 2

(1) s

=

(II.5.17)

−( d/ 2 −b/ 2 ) d/ 2 +b/ 2  = 2 E0 s e n(ω t− k x )  ∫cos(k s .s e n θ )d s+ cos( k s . s e n θ ) d s = ∫   − d/ 2  d/ 2 

(2.II.18)

s e n( k s .s e n θ) = 2 E0 s e n(ω t− k x ) s e n θ d/ 2  k

d/ 2 +b/ 2

+

−( d/ 2 −b/ 2 )

s e n(k s .s e n θ) k s e n θ − d/ 2

 = 

(II.5.18) que puede rescribirse cambiando el signo en los límites, =

s e n(k s .s e n θ) 2 E0 s e n(ω t− k x ) s e n θ d/ 2  k

d/ 2 +b/ 2

−

( d/ 2 −b/ 2 )

s e n(k s .s e n θ) k s e n θ d/ 2

 = 

(II.5.19) el límite para d/2 aparece con los signos cruzados y se cancela, entonces nos queda, =

 k(d+ b).s e n θ e n θ  k(d− b).s e n s e n s   2 2 −   = 2 E0 s e n(ω t− k x )  k s e n θ k s e n θ       (II.5.20)

93

=

2 E0

s e n(ω t− k x )  k  k  e n (d+ b) s e n θ − s e n (d− b) s e n θ  = s k s e n θ  2  2  (II.5.21)

usando que sen(a+b)-sen(a-b) = 2sen(a)sen(b),

= 2 E0

s e n(ω t− k x ) k  k  2s e n e n θ cos b .s e n θ  =  d.s  k s e n θ  2  2  (II.5.22)

usando que

= E0λ

k=

2π , nos queda, λ

s e n(ω t− k x ) π  π  2s e n e n θ cos b .s e n θ  =  d.s  π .s e n θ  λ  λ  (II.5.23)

y poniendo además,

β=

π .b s e n θ λ

y

γ=

π .d s e n θ λ

(II.5.24)

Podemos escribir la intensidad compactamente como,

I≈ E02

s e n2 β cos 2 γ 2 β

(II.5.25)

s e n2 β corresponde al modelo de difracción por β2 2 una rendija y cos γ es el factor de interferencia entre las dos donde el factor

rendijas. Según sean las relaciones entre b y d así será el modelo de interferencia/difracción que se observa. En la figura II.5.7 se muestra en primer lugar una relación 2b=d y en el segundo caso 6b=d.

94

Figura II.5.7

95 REDDEDI FRACCI ÓN Consideraremos ahora un conjunto de N rendijas paralelas como se i δ

muestra en la figura II.5.8. Cada rendija contribuye con factor e , donde δ es la diferencia de fase entre rendijas. La interferencia entre todas ellas estará dada por, N−1

i nδ E≈ E0 ∑ e = E0 n=0

1 − eiNδ i δ 1−e

(II.5.26)

Figura II.5.8 Como siempre para halla la intensidad debemos evaluar el módulo al cuadrado de la amplitud:

96 i Nδ −i Nδ i Nδ −i Nδ 1 − e 1 − e  ) 2 (1 + 1 − e − e    E02  = E = 0 i δ  −i δ  i δ −i δ 1 − e (1 + 1 − e − e )   1 − e  (II.5.27) δ δ 2 2 − 2 cos N 2 1 − cos N = E0 = E0 2 − 2 cos δ 1 − cos δ

Para obtener el efecto conjunto de la interferencia de las N rendijas y la difracción en cada rendija basta multiplicar por el factor de

s e n2 β difracción, , β2 e n2 β 1 − cos Nδ  e n2 β s e n2 Nδ / 2 2 s 2 s I = E T≈ E 0 0 2   β2 s e n2δ / 2  β  1 − cos δ  (II.5.28)

α 2 ESTUDI O DE MÁXI MOS Y MÍ NI MOS DE UNA REDDEDI FRACCI ÓN( I NTERFERENCI A) . pues

1 − cos α = 2 s e n2

Se denomina red de difracción al conjunto de ranuras u otros dispositivos que puedan generar este tipo de interferencia múltiple por la similitud entre la fórmula

s e n2 β β2

y

s e n2 Nδ / 2 . s e n2δ / 2

Desarrollando en serie esta última expresión alrededor de un ángulo δ0 tenemos,

97

2 I T≈ E 0

s e n2 Nδ / 2 = s e n2δ / 2 2

N   e n Nδ0 / 2 + (cos Nδ0 / 2)(δ − δ0 )  s 2 2  = E0  1  e n δ0 / 2 + (cos δ0 / 2)(δ − δ0 )   s   2 

(II.5.29)

δ si N = Pπ con P entero, tenemos, 2 2

N   0 + (δ − δ0 )   2 2   (II.5.30) I T≈ E 0 1 s n δ0 / 2 + (cos δ0 / 2)(δ − δ0 )  e  2   δ0 Pπ δ0 Pπ en particular si = =k π, = =k π , es decir P es 2 N 2 N múltiplo de N, se tiene, 2

 N  (δ − δ0 )   2  2  = E02 N2 I T≈ E 0 1 0 + (δ − δ )   0  2  

(II.5.31)

la intensidad de los máximos resulta proporcional al cuadrado del número de rendijas con lo cual basta aumentar N para aumentar mucho la intensidad de los máximos. Pero si P es entero pero no es múltiplo de N, entonces para

δ0 ≠k N, el seno y coseno no se anulan y 2

δ → δ0 , la expresión II.5.30 se anula. Esos son los mínimos

de la red de difracción. También aparecen pequeños máximos secundarios y el gráfico de la intensidad luce como se muestra en la figura 60.

98

Figura II.5.9

DI FRACCI ÓNDEFRESNEL Este tipo de difracción pone drásticamente de manifiesto el concepto de generación de ondas secundarias: la luz no sólo se propaga en línea recta. Veamos justamente como iría la luz desde una fuente S hasta un punto P (figura II.5.10):

Figura II.5.10 Veamos que condiciones de interferencia cumplen los rayos que arriban a P por los múltiples caminos (obsérvese que se pueden construir infinitos caminos, quebrados a diferentes distancias entre S y P),

99

Figura II.5.11 Tenemos la siguientes relaciones,

l= r− r 0

y

′= r ′− r ′ l 0

(II.5.32)

2 2 2 ′ ′) 2 − r ′2 (r )2 − r (r 0 +l 0 = R y 0 +l 0 = R (II.5.33)

desarrollando el cuadrado, 2 2 2 2 r −r = R2 0 + l + 2r 0l 0 = R ⇒ l + 2r 0l 2

′2 + 2r ′′ 2 l 0 l= R

y

(II.5.34) (II.5.35)

Si l´ y l << ro, se puede despreciar l´2 y l2 en II.5.34 y II.5.35:

l=

R2 2r 0

y

′= l

R2 ′ 2r 0

(II.5.36)

y si la diferencia de camino óptico cumple que,

′= l+ l

mλ con m entero, sumando las dos expresiones de 2

(II.5.36) tenemos,

100 2 Rm2 Rm + = λm ′ r r 0 0

(II.5.37)

donde existe un Rm para cada m. La (II.5.37) es similar a la fórmula de lentes. Reordenando,

1 1 λm 1 + = 2 = ′ Rm f r r 0 0

(II.5.38)

imponiendo que f sea constante tenemos una condición constructiva de interferencia para una placa colocada en el plano que determina Q en la figura II.5.11. El área total encerrada por esa condición es 2 Rm π = Sm y por lo tanto,

Sm =

′ π .r 0 .r 0 .m ′ 0) λ(r 0 +r

(II.5.39)

y la diferencia entre dos zonas,

Sm − Sm−1 =

′ π .r 0 .r 0. ′ 0) λ( r 0 +r

(II.5.40)

da la condición para construir una red de zonas de fresnel. Hoy día es común la venta de “lentes” planas que se basan en este fenómeno. Normalmente la luz para ir de S a P suma la contribución de todos los caminos, como se muestra en la figura II.5.12,

101

Figura II.5.12 Es decir se tiene en P una amplitud promedio. En cambio si se tapan todas las franjas que cumplen una condición destructiva se tiene un refuerzo de la intensidad.

102

I I . 6 .POLARI ZACI ÓN

H

asta ahora no hemos investigado en detalle los efectos de la polarización, considerando que en los fenómenos estudiados los rayos llegan paralelos o casi paralelos. Ahora estudiaremos con especial cuidado los fenómenos que se observan debido al estado de polarización de la luz. En la emisión de luz natural, el desorden de orientación de los átomos emisores hace que se los estados de polarización estén absolutamente mezclados y se la denomina “no polarizada”. Sin embargo resulta relativamente censillo generar luz linealmente polarizada a partir de luz natural. Existen substancias denominadas ó p t i ma me n t ea c t i v a sque cuando la luz las atraviesa sólo dejan pasar al vector eléctrico vibrando en un determinado plano:

103

Figura II.6.1 Pero cómo poner de manifiesto este resultado. Simplemente poniendo a continuación otro filtro polarizador. Estos filtros dejan pasar bastante bien la luz, con muy poca absorción. El segundo filtro se denomina a na l i z a do ry tendrá el mismo efecto. Pero ahora sólo podrá dejar pasar la proyección de la luz que ya está linealmente polarizada, como se muestra en la figura II.6.2:

104

Figura II.6.2 La amplitud estará entonces multiplicada por el coseno del ángulo que forman las dos direcciones que dejan pasar cada polarizador. La intensidad será entonces proporcional al coseno cuadrado de dicho ángulo, 2 I (Ψ ) = I 0 cos Ψ

(II.6.1)

Esta expresión se conoce como ley de Malus.

EXPERI ENCI ADEWI NNER Existe un experimento que pone de manifiesto los fenómenos de interferencia y polarización en forma conjunta. Se hace incidir a 45o, una onda plana, linealmente polarizada sobre una superficie reflectora. La dirección de polarización del campo eléctrico es paralela al plano, como se muestra en la figura II.6.3,

105

Figura II.6.3 La onda interfiere consigo misma, constructivamente, a distancias

x2 = k λ y destructivamente a distancias x 2 = (k+ 1 / 2)λ . Se generan así planos luminosos y planos oscuros a las respectivas distancias de la placa. Para ponerlos de manifiesto basta colocar un film sensible a la luz en forma inclinada como se muestra en la figura II.6.4,

Figura II.6.5 En cambio si la luz está linealmente polarizada en el plano perpendicular a la placa, como se indica en la figura II.6.6,

106

Figura II.6.7 La interferencia será ahora una suma vectorial como la que nos permitió analizar los estados de polarización. Si la diferencia de fase es k λ queda polarizada linealmente y si es

1 (k+ )λ , resulta una 2

elipse centrada y como las amplitudes del campo incidente y reflejado son iguales, tendremos polarización circular y lineal:

Figura II.6.8

107 REFLEXI ÓNYREFRACCI ÓN También mediante reflexión y refracción se puede generar luz con un estado de polarización más definido que el que normalmente posee la luz natural. Lo que sucede es que hay cierta preferencia por reflejar la luz con polarización paralela al plano que separa dos medios con diferentes índices de refracción y preferencia por refractar la polarización contenida en el plano de incidenciareflexión-refracción. En la figura 70 se muestra el efecto de una reflexión refracción para una onda elípticamente polarizada. La perturbación óptica se descompuesto en dos componentes la perpendicular al plano de la figura y la contenida en dicho plano. El tamaño de la primera se indica por el tamaño de una cruz y el tamaño de la segunda por el tamaño de las flechas.

Figura II.6.9 Existe un ángulo para el cual el rayo polarizado perpendicularmente al plano de incidencia-reflexión-refracción, cae a cero cuando se cumple:

108

t g ϕP =

n2 n 1

(II.6.2)

La ecuación II.6.2 se denomina ley de Brewster. Por la ley de Snell,

s e n ϕ P n2 = ′ n s e n ϕP 1

(II.6.3)

entonces se cumple que,

′ cos ϕ P = s e n ϕP

(II.6.4)

π 2

Esta condición se cumple si

ϕ p+ ϕ ′ p=

Por ejemplo para el agua

ϕ p = 53,06o y para un tipo de vidrio

especial,

ϕ p = 62,12o. Aprovechando estas condiciones se puede

construir un sistema de polarizador/analizador mediante dos vidrios arreglados espacialmente como indica la figura II.6.10:

109

Figura II.6.10 La polarización por reflexión explica la eficiencia de vidrios polarizados en autos y anteojos para evitar el encandilamiento pues la luz generalmente nos llega por reflexión.

MEDI OSANI SOTRÓPI COS:BI RREFRI NGENCI A. Hemos considerado medios transparentes con un solo índice de refracción pero existen cristales que poseen índices de refracción que dependen de la dirección en la cual vibra el vector eléctrico. Esto pone bien de manifiesto que el índice de refracción está asociado a la interacción del campo electromagnético con la estructura de la materia. Comenzaremos por describir un experimento que pone de manifiesto la birrefringencia. Consiste en una onda plana de luz natural, un polarizador para convertirla en luz linealmente polarizada, un cristal birrefringente, un analizador que permite decidir como salió polarizada la onda luego de atravesar la lámina birrefringente. En la figura II.6.11 mostramos el dispositivo:

110

Figura II.6.11 Se comienza el experimento sin la lámina birrefringente. Se rota el analizador hasta que la luz desaparece en la pantalla, lo cual asegura que las direcciones del polarizador y del analizador están cruzadas. Luego se interpone entre el polarizador y el analizador la lámina birrefringente. Se observa que aparece nuevamente luz en la pantalla. Girando el analizador no se consigue oscuridad, a lo sumo pasar de máximos a mínimos, lo cual indica que la luz, inicialmente con polarización lineal, salió, luego de atravesar la lámina birrefringente, con una polarización elíptica. Veamos el tratamiento matemático. Si la luz incide sobre la lámina linealmente polarizada, tenemos para el campo eléctrico,

r r 2π .t E= E0 cos T

(II.6.5)

El índice de refracción supondremos que tiene dos componentes, perpendiculares entre sí, que identificaremos como nx y ny. Supongamos que figura II.6.12).

r E forma un ángulo ψ con la dirección de ny (ver

111

Figura II.6.12

r Descomponiendo E según las direcciones de los índices de refracción, tendremos, 0 Ey = Ey cos

2π .t 2π .t 0 y Ex = Excos T T

(II.6.6)

Luego de atravesar el cristal, 0 Ey = Ey cos

 t nyd 2π  nyd 0    t − = E cos 2 π y T− λ   T c 0     (II.6.7)

0 Ex = Ex cos

 t nxd 2π  nxd 0 cos 2π  t−  = Ex T− λ   T c 0  

donde d es el espesor de la lámina. Al atravesarla aparece una diferencia de fase,

φ=

2πd (nx− ny) λ0

(II.6.8)

112

si

d(nx− ny) =

λ0 π ⇒ ϕ= que corresponde a un elipse 4 2

centrado con los ejes del cristal. En ese caso se dice que la lámina es “un cuarto de onda”. En realidad no significa que sea tan delgada como un cuarto de onda. Basta que se cumpla que

(nx− ny)d= (2k+ 1)

λ0 . 4

ANÁLI SI SDELUZPOLARI ZADA Ahora podemos utilizar la lámina ¼ de onda para analizar el estado de polarización de un haz de luz desconocido. Con sólo un polarizador se tiene: 1) Al girarlo como se indica en la figura II.6.11, la luz que lo atraviesa pasa por máximos y mínimos lo cual puede ser que el haz inicial sea de luz elípticamente polarizada o que la luz esté parcialmente polarizada, por ejemplo una mezcla no coherente de trenes de onda linealmente polarizados. 2) Los mínimos llegan a cero, entonces no cabe duda que el haz inicial estaba linealmente polarizado. 3) No se obtienen ni máximos ni mínimos. Puede que el haz inicial sea luz circularmente polarizada o luz sin ninguna polarización definida (una mezcla aleatoria de trenes de onda con diversos estados de polarización) Pero interponiendo una lámina de onda y un analizador, como en el aparato descrito previamente se puede dilucidar los casos 1) y 3). Sea una onda con polarización elíptica centrada que incide sobre la lámina ¼ de onda como se muestra en la figura II.6.13,

113

Figura II.6.13 Podemos nuevamente descomponer índices de refracción: 0 Ey = Ey cos

r E según la dirección de los

2π .t 2π .t π  0 y Ex = Excos + (II.6.9) T  T 2

al atravesar la lámina ¼ de onda tenemos, 0 Ey = Ey cos

2π  nyd t−   T c  

y

2π  nd π  0 Ex = Ex cos  t− x +  c 2 T 

(II.6.10)

114 La diferencia de fase será,

∆ϕ =

nx− ny c

d−

π 2

(II.6.11)

nx− ny

π con c 2 r lo cual la diferencia de fase entre las dos componentes de E, se pero como se trata de una lámina ¼ de onda,

d=

anula en (II.6.11). Entonces, 0 Ey = Ey cos

2π 2π .t 0 y Ex = Excos T T

(II.6.12)

Que corresponde a una onda linealmente polarizada con inclinación positiva. De acuerdo con lo deducido en 2.24, una diferencia de fase

π π implica que el s e n = 1 (positivo) luego el 2 2 π sentido de giro será levógiro. Y si inicialmente tenemos − , el 2 π sentido de giro será dextrógiro. Pero si tenemos inicialmente − , 2 eso significa que en II.6.12 la diferencia de fase será – π y eso inicial de

+

corresponde a una onda linealmente polarizada con una inclinación negativa (ver figura II.6.14). Entonces según como deba ponerse el analizador, no sólo sabremos si el haz inicial era elípticamente polarizado (al anularse la luz) sino que según sea la dirección en que se anula podremos saber si se trata de una onda levógira o dextrógira.

115

Figura II.6.14

ELI PSOI DEDEFRESNEL Ahora realizaremos un análisis más delicado del comportamiento de una onda polarizada cuando incide sobre un material birrefringente. Supongamos que el índice de refracción puede ser representado por un vector,

r ˆ ˆ + nyˆj+ nzk n= nxi

(II.6.13)

Aunque existen medios que poseen los tres índices diferentes nos restringiremos aquí a sólo dos,

r ˆ ˆ + n2 ˆj+ n n= n2 i 1k

(II.6.14)

El efecto sobre una onda que incide en el material birrefringente se muestra en la figura II.6.15,

116

Figura II.6.15 Tal como hemos propuesto los índices en 2.III.11, en el primer caso de la figura 76, el vector eléctrico interactúa con el material vía un mismo índice de refracción n2, ya se que vibre sobre el plano de la figura o perpendicular a este plano. En cambio en el segundo caso, si vibra en el plano el índice correspondiente es n1 y si vibra perpendicular al plano de la figura, le corresponde n2. En el primer caso el rayo tendrá una velocidad bien definida dentro del material dada por v =c/n2. en el segundo caso en cambio habrá dos

r

velocidades según sea la dirección en que vibra E: v =c/n2 si vibra perpendicular al plano de la figura y v =c/n1 si vibra en el plano de la figura. Pero la incidencia no necesariamente estará en la dirección de algunos de los índices. Para analizar una incidencia oblicua conviene utilizar el elipsoide de Fresnel que se construye como indica la figura 77:

117

Figura II.6.16 El elipsoide de Fresnel se propone en cada punto del material. El prolado tiene forma de habano y el oblado de platillo volador. Se denomina eje óptico del cristal a la dirección del índice n1, es decir alrededor del cual el elipsoide tiene simetría de rotación. Veamos nuevamente los casos de la figura II.6.15, utilizando el elipsoide de Fresnel. Primero consideremos que el rayo incide según el eje óptico:

118

Figura II.6.17 No importa en que dirección esté polarizado (puede ser por ejemplo elíptico) el rayo, siempre se comporta como si el material tuviera un solo índice de refracción. En cambio si entre perpendicular al eje óptico, el rayo se desdobla y avanza con dos velocidades una correspondiente a la polarización según n1 y otra según n2:

119

Figura II.6.18 Supongamos ahora que el rayo incide sobre el material birrefringente con un ángulo arbitrario:

120

Figura II.6.19

r

Descomponemos E en dos direcciones. La paralela al círculo tiene una velocidad que es independiente de θ y ϕ da origen a un rayo denominado o r di na r i oque se propaga con velocidad v2 ˜ 1/n2. En cambio la componente perpendicular a la anterior tiene una velocidad que depende de θ (aunque no de ϕ ) y genera un rayo que se denomina e x t r a o r di na r i o : v≈

1 1 = 2 . La refracción 2 n nx + ny

es distinta para cada componente y mirando a través de un cristal birrefringente grueso, las figuras se ven desdobladas. Existen también materiales que poseen un elipsoide de Fresnel sin simetría de revolución, es decir que poseen tres índices de refracción. Estos cristales tienen dos ejes ópticos.

121 SUPERFI CI ESDEONDAENMEDI OS BI RREFRI NGENTES Si el medio es isotrópico, el rayo al llegar a un cierto punto de acuerdo con el principio de Huygens genera un frente de onda esférico (figura 81).

Figura II.6.20 Cuando el medio tiene dos índices de refracción pueden generarse dos frentes de ondas correspondientes a los rayos ordinario y extraordinario.

122

Figura II.6.21 En la figura II.6.21 se muestra que sucede con un rayo que penetra al material (oblicuamente) con una polarización perpendicular al plano que determinan el eje óptico y el rayo incidente. El vector eléctrico E2 está indicado por una cruz. Todos los rayos que se originan en el punto que incide el rayo, cualquiera sea el ángulo de salida, salen con la misma dirección de polarización y todos se refractan con el índice n2. Este estado de polarización dará nuevamente un frente de onda esférico. En cambio un estado de polarización en el plano que determinan el eje óptico y el rayo incidente dará lugar a rayos emergente del punto de incidencia para los cuales, si bien el vector E1 sigue contenido en dicho plano el ángulo varía de acuerdo con el ángulo de emisión del rayo secundario, como se muestra en la figura 83:

123

Figura II.6.21 Cada dirección en que salen los rayos secundarios E2, E2´, E2”, … tienen asociado un índice diferente: n, n´, n”, … En la figura II.6.22 se muestra como queda definido dicho índice:

124

Figura II.6.23 Es decir que según sea la dirección del rayo secundario se tendrá una velocidad diferente: v ˜ 1/n, v´ ˜ 1/n´, v” ˜ 1/n”, … Los casos límite corresponden al rayo que sale paralelo a la superficie y perpendicular a la superficie del cristal birrefringente. En el primer caso la velocidad es v2 ˜ 1/n2 y en el segundo caso v1 ˜ 1/n1. Veamos ahora como quedan los frentes de onda. En el caso más simple que la onda penetre al material birrefringente perpendicular al eje óptico, las direcciones del rayo ordinario y extraordinario serán la mismas

125 aunque el rayo extraordinario se desplaza retrasado respecto del ordinario como se muestra en la figura 85:

Figura II.6.24 El ejemplo de la figura II.6.25 corresponde a un elipsoide de Fresnel prolado, si fuera oblado el rayo extraordinario avanzaría por delante del rayo extraordinario:

126

Figura II.6.25 Si la incidencia es inclinada respecto del eje óptico, como en las figuras II.6.20-23, los rayos ordinario y extraordinario siguen direcciones distintas:

127

Figura II.6.26 Justamente por lo expuesto arriba al mirar a través de un crital birrefringente grueso se desdoblan las figuras. Veamos ahora como se relaciona este esquema con el comportamiento del ¼ de onda. El rayo entra perpendicular al eje óptico desfasándose los rayos como se indica en las figuras II.6.24 y II.6.25. Basta con cortar el cristal en espesores múltiplos de ¼ de λ (en general esto es muy difícil y lo que se hace es pulirlo hasta que alcanza el espesor deseado).

PRI SMADENI CCOLL Se utiliza un cristal birrefringente grueso y se lo corta como se muestra en la figura II.6.27, volviéndolo a pegar con una sustancia de índice de refracción isotrópico pero mayor que los del cristal . El ángulo de corte es tal que se puede desviar totalmente, por ejemplo el rayo ordinario, como se muestra en la figura, obteniéndose dos rayos con polarización lineal una perpendicular a la otra.

128

Figura II.6.28

ROTACI ÓNDELPLANO DEVI BRACI ÓN Las sustancias orgánicas, en particular los azúcares tienen la

r

propiedad de hacer girar el plano de vibración de E. La experiencia se monta como indica la figura 89. El “rotador” consiste en un recipiente cilíndrico transparente que se llena del líquido azucarado a analizar. Según sea la concentración del azúcar así será el ángulo que gira el plano de vibración. De hecho se lo utiliza para determinar la concentración de melaza en forma automática.

129

Figura II.6.29 Ahora existen nuevamente dos índices de refracción: nr, entonces E gira a la derecha y ni, E gira a la izquierda. Para analizar este efecto conviene considerar la onda linealmente polarizada como la superposición de dos ondas circularmente polarizadas que giran en sentido opuesto:

Figura II.6.30 La componente que gira a la izquierda tendrá componentes,

130

  x i ˆj Ey = ˆj E0 cos ω t−    v x π  ˆEi= k ˆE cos ω  k z 0  t− v+ 2     

(II.6.15)

y la componente que gira a la derecha [recordar como se definía el sentido de giro evaluando sen(diferencia de fase)],

  x d ˆj Ey = ˆj E0 cos ω t−    v x π  ˆEd = k ˆE cos ω  k z 0  t− v− 2     

(II.6.16)

sumando las componentes “y”:

  x i d ˆj Ey = ˆj ( Ey + Ey ) = ˆj 2 E0 cos ω t−  (II.6.17)   v Las componentes “z” pueden rescribirse como,

  x x π  ˆ ˆEi= k ˆE cos ω  k E0 s e nω t−  z 0  t− v+ 2  = k       v (II.6.18)

  x x π  ˆEi= k ˆE cos ω  ˆE s k nω t−  z 0 0 e  t− v− 2  = −k       v Las componentes “z” cancelan y sólo queda la componente “y”, es decir tenemos una onda linealmente polarizada. Como en el caso de

131 birrefringencia este es otro claro ejemplo, verificable experimentalmente, que la onda se comporta de acuerdo a como sea la interacción. En este caso se pondrá de manifiesto que tanto la onda lineal como la composición de dos ondas circulares permite describir el mismo fenómeno pero, la interacción con la melaza pone de manifiesto esta última representación. Obsérvese que en principio existen infinitas representaciones aunque no siempre es posible tener una experiencia que la ponga de manifiesto. La melaza según sea el sentido de giro genera una diferencia de fase diferente pues posee índices de refracción diferente según la onda gire a izquierda o a derecha: ni y nd:

  nd i ˆj Ey = ˆj E0 cos ω t− i  y c      nd ˆEi= k ˆEs k nω t− i  z 0 e c      nd d ˆj Ey = ˆj E0 cos ω t− d  y c      nd ˆEd = −k ˆEs k nω t− d  z 0 e c   

(II.6.19)

(II.6.20)

sumando componente a componente,

  d(ni+ nd)  d(ni− nd)  ˆj Ey = ˆj 2 E0 cos ω t−  cos   2c      2c  (II.6.21)

d(ni+ nd)  d(ni− nd)  ˆE = k ˆ 2 E cos ω  k e n s z 0  t−  2c      2c 

132 Ambas componentes están nuevamente en fase por lo que sigue siendo una onda linealmente polarizada aunque ya no está paralela a la dirección “y”. El vector eléctrico forma un ángulo respecto de la onda lineal de entrada dado por,

E  d(ni− nd)  d(ni− nd) Ψ =a r c t g z=a r c t gt g = Ey 2c  2c   (II.6.22)

Figura II.6.31

133

EPÍ LOGO No es natural que en un libro de física, particularmente en un texto de grado universitario, se finalice con un epílogo, más propio de un ensayo o una novela que de un tratado científico técnico. La razón de incluir este epílogo surge de reflexiones generadas en los últimos años. En mi época de estudiante de física la óptica parecía un disciplina menor dentro de los temas de investigación en boga por aquel entonces (1965): cuántica, nuclear, partículas elementales, teoría de campos. Si bien el desarrollo del láser revivió el estudio de la óptica, el refugio natural de esta rama de la física seguían siendo las aplicaciones técnicas. Entre los años 1980-90 se produjo una revitalización del tema con el estudio de la óptica no lineal, acompañando al éxito de la teoría del caos. Simultáneamente renacía el interés en estudiar los fundamentos de la mecánica cuántica, particularmente los relacionados con el problema planteado por el viejo trabajo de Einstein- Podolsky- Rosen. Más allá de establecer la completitud de la teoría cuántica se pasó al estudio de los estados cuánticos entrelazados para lo cual el uso de fotones se convirtió en una herramienta poderosa. Concretamente la superposición de ondas de luz coherente no era ni más ni menos que la manifestación de estados cuánticos coherentes de fotones. Se ha abierto un amplio panorama de aplicaciones tecnológicas en la transmisión de información encriptada y en la posibilidad de construir computadoras que utilicen quantum-bits, con mayor poder de cálculo, en lugar de los bits clásicos.

134

Í NDI CE BIBLIOGRAFÍA

5

INTRODUCCIÓN

6

I . ÓPTI CAGEOMÉTRI CA 1. PROPIEDADES GENERALES DE LA LUZ

8

2. PRINCIPIO DE HUYGENS

14

3. REFLECCIÓN Y REFRACCIÓN: LEYES DE SNELL

17

4. TEORÍA PARAXIAL

20

5. INSTRUMENTOS ÓPTICOS

35

I I . ÓPTI CAFÍ SI CA 1. CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.

41

2. VECTOR ÓPTICO

49

3. PROPIEDADES ESPECIALES DE LA ONDA

55

4. INTERFERENCIA

63

5. DIFRACCIÓN

84

6. POLARIZACIÓN

101

EPÍLOGO

132

135

Otros títulos de la serie “ LO MEJ ORDELAFÍ SI CA” : ¿PARA QUÉ SIRVE LA TERMODINÁMICA? ACORRALANDO AL UNIVERSO PROBLEMAS SELECTOS EN FÍSICA LA NATURALEZA ES BELLA CAÓTICA Y FRACTAL, VOL I: FRACTALES, VOL II: CAOS.