Operaciones con eventos y reglas de probabilidad Por: E mil milio io G onz onzál ález ez Olg Olg uín
Operaciones con eventos “Un evento no es otra cosa que un conjunto, así que las relaciones y resultados de la teoría elemental de conjuntos se pueden usar para estudiar eventos” (Devore, 2005, p. 55).
Las siguientes operaciones se usan para construir eventos nuevos a partir de eventos determinados.
Unión La unión de los eventos A y B denotada por ∪ se lee A unión B. Dará como resultante un conjunto que incluye los valores que están en A y en B.
Ejemplo 1 Si tenemos los siguientes eventos: A= {0, 1, 2, 3, 4}
B= {3, 4, 5, 6}
Entonces la unión de los eventos A y B es: ∪ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ejemplo 2 Si queremos lanzar una moneda dos veces, sabemos que el espacio muestral es: = { ,, ,, ,} ,}
Si el evento A es igual a que salgan dos tiros iguales = { , , } } Y el evento B es igual a que salga un águila = { ,, ,, }
Entonces la unión de los eventos A y B es: ∪ = { , , , }
Intersección La intersección de los dos eventos anteriores A y B se denota como A B y se lee: A intersección B. Da como resultado un nuevo conjunto que incluye los valores que comparten A y B. 1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente , mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de r ecuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
Ejemplo 1 Si tenemos los siguientes eventos: A= {0, 1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
Entonces la intersección de los eventos A y B es: ∩ = {3, 4} Ya que el evento A y el B sólo tienen en común los números 3 y 4.
Ejemplo 1 Si tenemos el experimento lanzar una moneda 2 veces, sabemos que el espacio muestral es: = { ,, ,}
Si el evento A es que salgan dos tiros iguales, ya sea águila o de sol = { , } Y el evento B es igual a que salgan exactamente dos águilas = { } Entonces la intersección de los eventos A y B es: ∩ = { } Ya que el único evento simple que comparten es AA (en este experimento los eventos
s imples es tán formados por dos letras).
Si dos eventos no tienen resultados en común la intersección de éstos no contiene resultados y se dice que son eventos mutuamente excluyentes (Marques de Cantú, 1991).
Complemento El complemento del evento A se denota de la siguiente forma: ̅
El complemento es el conjunto de todos los resultados contenidos en el espacio muestral y que no están contenidos en el evento A. 2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente , mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de r ecuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
Ejemplo Si tenemos que el espacio muestral es: = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Y el evento A es: A= {0,1,2,3,4} Entonces el complemento de A es: ̅ = {5,6}
Tabla 1. Operaciones con eventos (Hayter, 2002).
3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente , mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de r ecuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
Reglas de probabilidad Derivado de las operaciones con eventos podemos deducir las siguientes reglas de la probabilidad : 1. La probabilidad de un evento imposible es CERO. 2. La probabilidad del complemento de un evento es igual a 1 menos la probabilidad de ese evento.
P ( A )
1
P ( A)
3. Si un evento está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.
P ( A) P ( B)
4. La probabilidad de la unión de varios eventos incompatibles es la suma de sus probabilidades.
P ( A B C )
( A) P ( B) P (C )
P
4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente , mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de r ecuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
5. La probabilidad de la unión de dos eventos compatibles es la suma de sus probabilidades, restándole la probabilidad de su intersección.
P ( A B)
( A) P ( B) P ( A B)
P
6. La probabilidad de la unión de tres eventos compatibles es la suma de sus probabilidades, restándole la probabilidad de su intersección uno a uno, y sumándole la probabilidad de intersección de los tres eventos.
P ( A B C )
( A) P ( B) P (C ) P ( A B) P ( A C ) P ( B C ) P ( A B C )
P
Ejemplo
Para el experimento de lanzar un dado al aire considera los siguientes eventos: A = se obtiene un número par, B = se obtiene un número menor que 3, C = se obtiene un número primo y D = se obtiene un 5. Figura 1. Child girl play roll (Shanraz, s.f.).
5 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente , mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de r ecuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
1. 2. 3. 4. 5.
Determina la probabilidad de cada evento. Identifica los eventos compatibles y calcula su probabilidad de intersección. Calcula la probabilidad de obtener un número mayor o igual que 3. Calcula la probabilidad de A unión con D. Calcula la probabilidad de B unión con C.
Solución:
Primero define el espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Número total de elementos: 6. Elementos del evento A: 2, 4 y 6. Elementos del evento B: 1 y 2. Elementos del evento C: 2, 3 y 5. Elementos del evento D: 5.
1. Para calcular las probabilidades de cada evento simplemente aplica la fórmula: 3 2 3 1 P ( B ) P (C ) P ( D ) P ( A) 6; 6; 6; 6
2. Los eventos A y B son compatibles, ya que tienen un elemento en común; los eventos A y C son compatibles, ya que tienen un elemento en común; los eventos B y C son compatibles, ya que tienen un elemento en común; los eventos C y D son compatibles, ya que tienen un elemento en común. P ( A B )
1 6,
P ( A C )
1
P ( B C )
6,
1 6,
P (C D )
1 6
3. El evento obtener un número mayor o igual que 3 es el complemento de B: P ( B )
1
P ( B )
1
2
4
6 6 4. Los eventos A y D son incompatibles, ya que no tienen elementos en común: P ( A D)
3 6
1 6
4 6
5. Los eventos B y C son compatibles, ya que sí tienen elementos en común: P ( B C )
2 6
3 6
1 6
4 6
6 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente , mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de r ecuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
Referencias Devore, J. L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (6a. ed.). México: Thomson. Hayter, A. J. (2002). Probability and Statistics for engineers and scientists (2nd. ed.). Pacific Grove: Duxbury. Marques de Cantú, M. J. (1991). Probabilidad y estadística para ciencias químicobiológicas. México: McGraw-Hill Interamericana.
Referencia de la imagen Shanraz, S. (s.f.). Child girl play roll. Recuperada de http://pixabay.com/en/childgirl-play-roll-the-dice-538144/ (imagen de dominio público, de acuerdo a: http://pixabay.com/en/service/terms/).
7 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente , mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de r ecuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
