OCM NÍVEL 2

OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 1997-2015 NÍVEL II

PROFESSOR: MS. LUÍS FARIAS

OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA NÍVEL 2(1997-2015)

XVII OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 1997 1. Sejam !"#"$ números reais positivos dois tais que !% & #% ' !# ( $%. Prove que )! ' $ * + )# ' $ * é negativo. 2. Considere o conjunto {4, 8, 9, 16, 27, 32, 64, 81, 243}. Determine o número total de valores distintos que se pode obter multiplicando-se dois elementos distintos deste conjunto. ,- e o arco 0.- uma semicircunferência. 3. Sejam ,-./ um retângulo e 0 um ponto de /." 0- ( ,Sabendo-se que a área do triângulo 0.- é igual a 4 vezes a área do triângulo ,0- e a área do triângulo tri ângulo ,0- é 4,8123%, determine o perímetro do contorno da região hachurada.

10 conjuntos de pratos, cada um um deles contendo 10 pratos pratos.. O peso de 4. Um palhaço equilibrista comprou 10 cada prato, a princípio é de 200g. todos os pratos devem passar igualmente, pois caso contrário, o palhaço não poderia fazer seu número de equilibrismo. Alguém informa ao palhaço que um dos conjuntos de 10 pratos foi vendido errado, errado, pois os pratos deste conjunto pesam 150g. O palhaço pode utilizar uma balança que fornece o peso exato, mas essa essa balança só funciona com com ficha e ele tem dinheiro apenas para uma pesagem. Como ele descobre o conjunto mais leve? leve? 5. Seja ! um numero inteiro positivo impar. Determine ! de modo que a equação 4% ' !4 & 5! ( 6 tenha as duas raízes inteiras. 6. Se 4% & 4 & 7 ( 6, calcule o valor numérico de: 7 4& 8

9

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49

7 & 9 4

9

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4:

7 & : 4

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4 9<

7 9 & 9< = 4

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XVIII OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 1998 Encontre duas frações com numeradores inteiros e denominadores 7 e 9 de tal modo que a soma delas seja <: = >:

Sejam ,- e ./ as bases de um trapézio tal que a base menor ./ é igual a soma dos lados não paralelos do trapézio. Se @ é um ponto ./ e @, é bissetriz do ângulo ," mostre que @- é também bissetriz do ângulo -= BC DB

Prove que não existem inteiros positivos ! e # tais que EC DE ( 5= 4. Determine todos os inteiros positivos F de três dígitos tais F e a soma dos seus dígitos sejam divisíveis por 11. 5. Um polígono de 1998 lados será inscrito numa circunferência e tem seus vértices denominados por ,G " ,9 " H " ,GIIJ = Calcule a soma dos ângulos: ,9 & ,K & ,> & ; & ,GIIJ = 6. Sejam !G " !9 " H " !G: inteiros e LG " L9 " H " LG: numero primos. Sabe-se que: !G & !: ( LG !9 & !: ( L9 !: & !K ( L: H H H !G: & !G ( LG:

Encontre o valor do menor elemento dos conjuntos: , ( M!G " !9 " H " !G: N e - ( LG " L9 " H " LG: =

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XIX OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 1999 1. Na equação: 4% & L4 & O ( 6, os números L e O são inteiros positivos. a) Mostre que se essa equação tem duas raízes reais e iguais, então: L é par. b) Em que a situação essa equação não possui raízes reais e iguais? Justifique 4 1 6 3 No quadro de sua sala de aula. Disse para seus 2. Azambuja escreveu colegas que eles dispunham dos algarismos 9, 8 e 5 para colocar dois deles em dois quadrados vazios, apagar os quadrados não preenchidos e assim obter um número de seis algarismos diferentes. Quais algarismos devem ser escolhidos e onde coloca-los para formar o maior número possível que seja divisível por 6. 3. Achar todos os conjuntos de quatro inteiros consecutivos tais que o maior desses inteiros dividida o 33$ (mínimo múltiplo comum) dos outros três. Se L e PL9 & 7 são números primos positivos, prove que L ( A= 5. Sejam Q um inteiro positivo e R Q a soma de todos os divisores positivos de Q. Prove que: R Q &R Q &7 S

TQ = 8

6. Sejam ,- e ./ duas retas paralelas cortadas por uma transversal nos pontos @ e U , respectivamente. As linhas @V e @F trissectam o ângulo U@- e as retas UW e UX trissectam o ângulo @U/ , com U@V Y U@F e @UW Y @UX . Seja 0 a interseção de @V e UW e Z a interseção de @F e UX. Através de 0 desenhe a reta paralela a UZ cortando @Z em [ e a linha paralela a @Z cortando UZ em \. A linha [\ corta ,- em ] e ./ em ^. Mostre que ][ ( [\ ( \^=

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XX OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2000 1. Quatro jovens, Paulo, Rodrigo, André e Tiago foram juntos para uma loja de departamento e cada um comprou somente um objeto. Um deles comprou um relógio, outro um livro, outro um par de sapatos e outro uma máquina fotográfica. Estes objetos encontravam-se no primeiro, segundo, terceiro e quarto andares, mas não necessariamente nessa ordem e cada objeto era vendido somente em um dos quatro andares. Com base nas pistas seguintes, determine o objeto que cada um comprou e em que andar foi realizada a compra. Justifique sua resposta.

2. Cinquenta bolas, numeradas de 2 a 51, devem ser colocadas em 5 caixas, de modo que o máximo divisor comum )32$* dos números de duas bolas quaisquer de uma caixa não seja o numero correspondente a uma bola desta caixa. Quais são as bolas de cada uma das 5 caixas? Justifique. 3. Uma turma de trabalhadores rurais, todos com a mesma capacidade de trabalho, deverá riçar duas áreas, com o mesmo tipo de vegetação, em que uma delas é o dobro da outra. Durante metade de um dia, a turma completa trabalhou na roça de área maior. Na outra metade desse dia, metade da turma passou para a roça de área menor e a outra metade continuou na roça maior. No final de um dia de trabalha, o serviço estava feito, com exceção de uma pequena porção da roça menor. A roçagem desta porção ocupou todo o dia seguinte de um dos trabalhadores da turma. Quantos trabalhadores havia na terra? 4. Encontre as soluções inteiras da equação: _% ' A ( 4 + )A_ ' `*. 5. Sabendo-se que existe um hexágono convexo de área máxima inscrito numa circunferência, prove que esse hexágono é regular. 6. Um banqueiro prometeu a um estudante do ensino fundamental um prêmio em cédulas de 1, 10 e 50 reais. O estudante deverá escolher a quantidade de cédulas de cada valor, respeitando as seguintes condições: a) O número total de cédulas do prêmio é 100. b) Qualquer grupo de 100 cédulas escolhidas deverá conter pelo menos uma cédula de cada valor. c) A quantia total, em reais, deverá ser formada de pelo menos duas maneiras distintas. Por exemplo, R$1.355,00 pode ser obtido com 45 cédulas de R$1,00, 36 de R$10,00 e 19 de R$50,00 ou 5 cédulas de R$1,00, 85 de R$10,00 e 10 de R$50,00. Sabe-se que o estudante recebeu a quantia máxima possível. Qual o valor que ele recebeu?

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XXI OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2001 1. O número ! é média aritmética de três números, e # é media aritmética de seus quadrados. Expresse a média aritmética de seus produtos dois a dois em termos de ! e #. b Db Db D;Dbe Obs: A média aritmética dos números 4G " 49 " H " 4a é definida como: c C d a 2. Um comerciante possui para vender 2001 bilas (bolas de gude) e deseja distribuí-las em 11 sacos a serem lacrados, de modo que o primeiro cliente que queira comprar bilas possa ser atendido sem que seja necessário abrir nenhum dos sacos lacrados, bastando apenas levar os sacos de bilas apropriados. Como fazer a distribuição das bilas nos sacos se o primeiro cliente pode pedir qualquer quantidade de bilas menor ou igual a 2001? G 3. Ache as soluções inteiras de: 7 ' 4 9 & 4 ' _ 9 & _ 9 ( : 4. Demonstre que a bissetriz do ângulo reto de um triângulo é também bissetriz do ângulo formado pela altura e pela mediana relativa a hipotenusa deste triângulo. 5. No pais da verdade, onde ninguém mente, reuniram-se os amigos Marcondes, Francisco e Fernando. Entre os três ocorreu a seguinte conversa: - Marcondes: estou escolhendo dois inteiros positivos e consecutivos e vou dar um deles ao Francisco e outro a Fernando, sem que vocês saibam quem recebeu o maior. Após receber cada um o seu número, Francisco e Fernando continuaram a conversação. - Francisco: não sei o número que Fernando recebeu. - Fernando: não sei o número que Francisco recebeu. - Francisco: não sei o número que Fernando recebeu. - Fernando: não sei o número que Francisco recebeu. - Francisco: não sei o número que Fernando recebeu. - Fernando: não sei o número que Francisco recebeu. - Francisco: agora eu sei o número que o Fernando recebeu. - Fernando: agora eu também sei o número que Francisco recebeu. Quais os números recebidos por cada um deles? 6. Sejam 0G " 09 " 0: " 0K e 0f trinômios do segundo grau tais que cada numero 1, 2, 3, ..., 21 é raiz de, pelo menos, uma equação: 0g 4 ( 09 )4* , com 7 h i h T. Mostre que entre os cinco trinômios acima existem, pelo menos, dois iguais.

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XXII OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2002 1.

2.

3.

4.

Encontre todas as raízes reais da equação: 4% ' 84 ' 8 1% & 54 & 84 & (8 4% & 54 & 8 4% ' 84 ' 8 Um quadrado é divido em quatro triângulos retângulos congruentes e um quadrado menor, conforme a figura 1. Esses quatro triângulos e o quadrado menor são rearranjados da forma indicada na figura 2. O matemático indiano Bhaskara, demonstrava o teorema de Pitágoras com a ajuda desses diagramas. Obtenha, a partir das figuras abaixo, uma demonstração do teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma dos quadrados dos seus catetos.

Dois recipientes iguais estão cheios de álcool. Do primeiro recipiente retira-se , litros de álcool e coloca-se a mesma quantidade de água. Em seguida, a mistura obtida de álcool e água se retira , litros e coloca-se a mesma quantidade de agua. Do segundo recipiente retira-se 2,4 litros e se enche com a mesma quantidade de água. Determinar que parte do volume do recipiente constitui , litros sabendo que a concentração final da mistura no 9f primeiro recipiente é G> vezes maior que a concentração final da mistura no segundo recipiente. O professor Marcondes propôs a dois de seus alunos, Fernando e Francisco, a seguinte tarefa: eles devem escolher um número Q , e sem revela-lo a Marcondes, Francisco deve tomar Q e escrever de todas as formas possíveis a G G G fração a como soma de duas frações positivas b & j, com 4 e _ números inteiros, não impotandoa ordem das G

G

G

G

parcelas, isto é, b & j e j & b são consideradas a mesma resposta e somente uma delas deve ser escrita. Fernando, G

5.

6.

G

G

por sua vez, deve tomar Q e escrever a fração a como diferença de duas frações positivas b ' j, com 4 e _ inteiros. Após Francisco e Fernando terminarem suas contas, eles disseram a Marcondes que o total de soluções obtidas pelos dois foi 78. Marcondes então afirmou, sem conferir os cálculos, que um dos alunos errou. Explicar o fato, já que Marcondes desconhecia o número Q escolhido. Um viajante toma um trem as 7 horas da manhã na cidade , e chega a cidade - as 7 horas da noite do mesmo dia. Uma semana depois, ele deixa a cidade - as 7 horas da noite desse dia. O trem desenvolve velocidade variável tanto na ida quanto na volta e faz o percurso entre a cidade - e a cidade , pelos mesmos trilhos. Mostre que existe um ponto entre , e - no qual o viajante passa no mesmo horário na ida e na volta. Um magico resolveu exibir seus poderes encontrando, dentre 21 moedas de aparência semelhante, uma moeda falsa, mais leve que as demais, que tinham o mesmo peso. Ele dispôs as moedas em 3 pilhas de 7 moedas cada, denominada 0GG " 09G e 0:G . Ele então comparou os pesos de 0GG k 09G numa balança de pratos que indica o maior dentre os pesos comparados. As próximas pesagens foram assim realizadas: ele desmanchava as pilhas 0Gl " 09l e 0:l da pesagem anterior para obter 3 novas pilhas de 7 moedas cada denotadas por 0GlDG " 09lDG e 0:lDG . A seguir, ele comparava os pesos de 0GlDG k 09lDG na balança de pratos. Um espectador observou que o mágico seguia sempre os mesmos procedimentos: após a k-ésima pesagem, ele desmanchava uma pilha por vez, de cima para baixo, retirando as moedas uma a uma, e as colocava imediatamente em algumas das pilhas 0GlDG k 09lDG ou 0:lDG da pesagem subsequente. Ele se lembra também que sempre que 3 moedas ocupavam posições consecutivas numa mesma pilha 0GlDG k 09lDG ou 0:lDG elas ocupariam pilhas diferentes na próxima pesagem. Ele não lembra a ordem em que as pilhas eram desfeitas. Sabendo que o mágico não tinha poderes sobrenaturais, qual o procedimento que ele utilizou para realizar a sua mágica com a quantidade mínima de pesagens?

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XXIII OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2003 1. Simplifique a expressão m ' `! & !% & m & `! & !%, sabendo que ! Y 'A. n 2. Escreva a dizima 0, 23200320032003... como fração o, em que L e O são primos entre si. 3. Mostre que a diferença entre um número racional, suposto diferente de zero e um, e seu inverso, nunca é um número inteiro. 4. Seja 0 um ponto no interior de um hexágono regular com lados de comprimento um. Os segmentos que unem 0 a dois vértices tem comprimento 13/12 e 5/12, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos unindo 0 aos outros vértices do hexágono. 5. Se subtrairmos da minha idade atual a razão a idade atual do meu pai e a minha idade hoje, obteremos a idade que eu tinha quando meu pai tinha 6 vezes a minha idade. Sabendo que meu avô paterno não conhecia a minha avó paterna durante a segunda guerra mundial (1939 a 1945), quantos anos tenho hoje? 6. Tendo encontrado os pares ordenados )3"Q* dispostos como abaixo,

Pedro os rearranjou numa sequência (1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), etc., seguindo a ordem das setas esboçadas na ﬁgura. Qual será o par ordenado a ocupar a 2003ª posição na sequência? Exemplo: (1, 1) ocupa a primeira posição enquanto que (1, 3) ocupa a sexta posição na sequência.

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XXIV OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2004 1. Um estudante resolve colar seus selos num álbum. Se prega 20 selos em cada folha, o álbum não terá folhas suficientes para receber todos os selos. Se prega 23 selos, sobrará pelo menos uma folha vazia no álbum. Se o aluno receber outro álbum idêntico, com 21 selos em cada folha, ficará com um total de 500 selos. Quantas folhas tem o álbum? 2. Qual o menor inteiro positivo com o mesmo número de divisores de 2004? 3. Sejam !"#"$ três inteiros positivos tais que !% & #% ( $%. Mostre que um deles é múltiplo de 4. São dados no plano uma reta p e prove um ponto , q p e a distância de , a p é igual a 3cm. Determine, com prova, o menor comprimento possível de um segmento -. , com -". r p e tais que -,. ( 786s= 5. Mostre que existe um triângulo ,-. com elementos !" tB " uv , onde ! é o comprimento do lado -."tB é o comprimento da altura baixada do vértice - e uv é o comprimento da bissetriz do ângulo com vértice e, se e somente se: ! w t B " uv9 Y 8!)! & !% ' tB9 *=

6.

Separamos o conjunto x ( 7"8"H , como união disjunta x ( W y x ' W = O conjunto W é finito, tem z elementos e se os números naturais !" # são tais que ! q W" # q W, então ! & # q W. Mostre que o maior número em W é menor ou igual a 8z ' 7=

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XXV OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2005 1. Determine L e O em termos de 3, sabendo-se que o polinômio 4{ & L4 & O é divisível pelo polinômio 4% & 34 ' 7. } 2. O ângulo da base de um triângulo isóscele ,-. é igual | , com | S K, e a área é igual a ~. Achar a área do triângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo ,-. . 3. Uma fábrica tem que mandar a seu cliente 1100 peças acondicionadas em caixotes. Os caixotes são de três tipos. No caixote de primeiro tipo cabem 70 peças, no de segundo tipo 40 peças, e no terceiro tipo 25 peças. Os custos de envio nos caixotes do primeiro, segundo e terceiro tipos são, respectivamente, de 20, 10 e 7 reais. Quantos caixotes de cada tipo a fábrica deve utilizar pra que o custo de envio seja mínimo, sabendo que os caixotes devem ir cheios? 4. Determinar os inteiros Q S 7 que são divisíveis por todos os primos menores do que Q. 5. Mostre que existem duas constantes , e -, com , S - , tais que a fração c

• C€c •)b*

GDƒb

G

, onde ‚ 4 ( GD„b e 4 … ' „, independe do valor de 4. Considere agora a sequência )!a * definida

por !† ( 7" !aDG (

G " para GD9‡e

Q ( 7"8"A" H Estudando a sequencia ‚ !† " ‚ !G "H" determine !a para

todo Q. 6. Seja p ( 6" !G !9 !: H " com !g r 6"7 e !g ( 7 se, e somente se, i é um número primo. Mostre que p é um número irracional.

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XXVI OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2006 1. Um homem nasceu em 19 de março do ano 4 9 +1 e viu o Brasil ser campeão a copa de 1958. Qual é a sua idade hoje? 2. Seja ~ a área de um triângulo de lados !" # k $= Mostre que 5~ h 3ˆQi3‰ M!9 & # 9 " Š9 &$ 9 " $ 9 & !9 N= 3. Em um mostruário estão bolas numeradas de 1 até 2006. Três estudantes " digamos ," - e . retiram em sequência bolas do mostruário: primeiro , retira uma bola" depois -" depois ." a seguir , retira uma bola de novo" então - retira outra bola e assim sucessivamente " até restarem 8 bolas no mostruário. Se cada estudante escolhe a sua vez com liberdade que a bola retirará do mostruário " prove que o estudante . pode escolher suas bolas de modo que a soma dos números das 8 bolas restantes seja divisível por 3. G

4. Ache" com justificativas" todos os inteiros positivos, Q tais que a ( 0" n . ) 0" n representa a dizima periódica de período n. Assim " 0" 2 = 0"222H H" 0" 39 = 0"393939H H *

5. Seja ,-. um triângulo não degenerado. Quantos pontos 0 existem no plao tais que os triângulos 0,-" 0-. e 0,. têm a mesma área? Por quê? 6. Mostre que se L e L9 +8 são números primos, então L: +4 também é um número primo.

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XXVII OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2007 1. Determine o valor dos inteiros positivos L e Q tais que 86 Y L Y A6 seja um número primo e L + Aa ' 866‹ seja mínimo. 2. Prove que 21/3 + 22/3 < 3. 3. Uma prisão tem pelo menos dois presos. A partir de certo dia, a cada dia um preso é solto. Logo antes de ser solto, o primeiro preso libertado disse que havia 2.007 presos na prisão. A seguir, cada um dos presos libertados disse que todos os presos que foram soltos antes dele mentiram. Dentre os presos libertados, quantos disseram a verdade? Por quê? 4. 2007 números em sequência satisfazem à seguinte lei: se 4 é um número da sequência, o próximo bŒG número é igual a b D G . Qual é o valor do último da sequencia, sabendo que o primeiro é igual a 11. 5. São dados os pontos ," -" V e 0, onde V é ponto médio do seguimento ,- e 0 é um ponto fora da reta ,-. Usando somente uma régua sem marcas, construir a reta por 0 paralela à reta ,- (descrever os passos da construção). 6. Cada ponto do plano é colorido de verde, vermelho ou azul. Prove que, dados os pontos , e -, existem pontos . e / de mesma cor tais que os segmentos ,- e ./ têm o mesmo comprimento.

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XXVIII OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2008 1. Conta-nos Plutarco que Tales de Mileto, um dos sete sábios da Grécia Antiga, mediu a altura da Grande Pirâmide (a pirâmide de Quéops, no Egito), comparando sua sombra com a de uma vareta de comprimento conhecido fincada no chão. Ele obviamente não conhecia a posição do centro da pirâmide. Descreva o procedimento de Tales para descobrir a altura da grade pirâmide sabendo que ele realizou duas medições do comprimento da sombra da vareta em horários distintos. 2. Um mágico pede a uma pessoa que pense em um número de quatro dígitos. A seguir, pede que inverta a ordem dos seus algarismos e tome a diferença entre o maior e o menor desses números. Então pergunta à pessoa quais são os três últimos algarismos da diferença e “adivinha” qual é o seu primeiro algarismo. Qual é o truque do mágico? Ele pode falhar em sua mágica? 3. Calcule a soma dos inteiros positivos menores ou iguais a 500 que são primos com 21. 4. Ache, com justificativa, todos os inteiros positivos !" # e L" com L primo, tais que !K & 5#K ( L= 5. É dado um ponto 0 sobre o lado ,- de um quadrilátero ,-./ . Mostrar como construir o quadrilátero de perímetro mínimo, inscrito no quadrilátero ,-./ e que tem 0 como um de seus vértices. 6. No instante  0, Q formigas estão em um terreno plano. Elas então se movimentam pelo terreno e no instante  1 ocupam novas posições. Qual é o maior valor de Q para que, qualquer que seja a posição das formigas nos instantes 0 e 1, seja possível que: i) As formigas voltem à posição inicial por um percurso ao longo do qual a distância entre duas formigas no instante 0. ii) Entre os instantes 1 e 0 > 1 a distância entre duas formigas quaisquer se aproxime da distância 2 entre estas formigas no instante  0 de tal forma que no instante 2 tais formigas distem 2 , mas não necessariamente ocupem as suas posições iniciais.

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XXIX OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2009 1. Dada a parábola y = x 2 + bx + c, sabe-se que: Ž 29 é o valor mínimo que y pode tomar. Qual é o valor mínimo de c? 2. A soma dos dígitos das idades de um casal é igual à idade do filho mais velho, que recentemente atingiu a maioridade. A diferença entre a soma dos dígitos da idade do pai e a soma dos dígitos da idade da mãe é um cubo perfeito, que é igual também à diferença entre as idades do marido e de sua esposa. Calcule o produto das idades do casal. 3. Determine os dois números naturais: L e O de menor produto LO tais que 12 divide L, que L & 7 ( O9 e que O + 1 é um quadrado perfeito. 4. Sejam dados uma circunferência de centro O e raio R e um ponto P interior a esta circunferência. Construa, com régua e compasso, um triângulo ABC inscrito na circunferência e tal que P seja seu ortocentro (encontro das alturas). Quantas soluções existem? 5. João gosta dos úmeros 3 e 5. Um dia ele escreveu o seguinte quadro: A B C D E F G H 1

2

4

7

8 11 13 14

16 17 19 22 .... ....... Onde aparecem todos os números menores que 2999 que não são múltiplos nem de 3, nem de 5. Sabendo que João não cometeu erros, em que coluna ele escreveu 2009? 6. Sejam r a > r b > 0 números reais e C a, C b circunferências concêntricas de raios r a e r b, respectivamente. Sabe-se que entre C a e C b existem n circunferências C 1, C2,..., Cn, distintas, de raios (r a Ž r b)/2. Sabe-se que C1 é tangente à C n e C2, e que C k é tangente à C k-1 e Ck+1 qualquer que seja 2 h k h n Ž 1. Qual é o maior valor possível de r a/r b?

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XXX OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2010 1. Determine o valor de 4 que satisfaz a equação: 4&7 (

8&4 8&4 8 &;

2. Determinar o número natural F sabendo que sua decomposição em fatores primos é dada por ! #  ! & # )76!# & 8! & #* e que seu maior fator primo é )# : & !: ! & # ) 3. Descreva como se pode construir com régua e compasso um triângulo isósceles dados a circunferência que o circunscreve e o ponto médio de um de seus lados. 4. Há quantas sextas-feiras 13 de agosto no período entre 12 de agosto de 2001 e 14 de agosto de 2099. Justifique sua resposta. Obs: Lembre que, neste período, anos múltiplos de 4 são bissextos, ou seja, têm 366 dias. 5. Sejam ‚ 4 ( 4 aŒG & 4 aŒ9 & ; & 4 & 7 e z 4 ( 4> & 4 f & ; & 4 & 7 . Mostre que se 7 não divide Q então z(4 ) não divide ‚(4). 6. Seja ,-. um triângulo de incentro  e seja ‘ uma reta que passa por  e tal que os pontos ," - estão em um dos semiplanos determinados por ‘ e o ponto . está no outro semiplano determinado por ‘ (nenhum dos pontos ," -" . pertencente à reta ‘). Sejam 2 A, 2B, 2 C, respectivamente, as distâncias dos pontos ," -" . , respectivamente, à reta ‘ . Mostre que ! = 2A + # = 2 B = $ . 2 C, onde !"#"$ denotam, respectivamente, as medidas dos lados opostos aos vértices ," -" . , respectivamente.

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XXXI OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2011 1. Qual o valor mínimo da expressão 78` & 754K 86774%

no conjunto dos números reais diferentes de zero?

2. Mostre que podemos obter o produto de dois compreendidos entre 5 e 10 da seguinte maneira: fechar tantos dedos da mão esquerda quantas unidades faltam ao primeiro fator para ser igual a 10, e da mão direita tantos quanto faltam ao segundo fator para se igualar a 10: a seguir, efetuar o produto desses números de dedos, e somar tantas dezenas quantos são os dedos que ficaram aberto. 3. Sejam 4" _ r ’ tais que 6 Y 4 9 & _ 9 h 5. Também suponha que “” ! & –—“ # ( 4 e –—“ ! & “” # ( _. Escreva, em função de 4 e _, o valor de “” ! & # = Obs: “”˜)! & #* ( “”˜ ! –—“ # & “”˜ # –—“ ! = 4. Quatro casais reúnem-se para jogar cartas. O jogo é feito em duplas e após sorteio, temos as informações: Lia fará dupla com Carlos. (I) (II) Ana fará dupla com o marido de Clara. (III) Alfredo fará dupla com a esposa de Guilherme. (IV) Dóris fará dupla com o marido de Ana. (V) Guilherme fará dupla com a esposa de Carlos. Com quem Humberto é casado? Justifique sua resposta. 5. São dados 5 objeto idênticos (exceto pelo peso), pesando 100, 200, 300 e 400 gramas. Qual é a quantidade mínima de pesagens que são necessárias para determinar o peso de cada um dos objetos utilizando apenas os próprios objetos e uma balança de pratos iguais. Justifique sua resposta. 6. Seja ,-. um triângulo e sejam /"@"U pontos sobre os lados -."., e ,-, respectivamente, tais que -,. ( @/U" ,.- ( /U@. Mostre o ortocentro do triangulo /@U coincide com o circuncentro do triângulo ,-.=

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XXXII OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2012 1. Um cubo é formado por n cubinhos de lado 1. Quantos cubinhos podem ser vistos no exterior do cubo maior? O cubo grande pode ser girado, mas não pode ser partido. 3

2. Seja ABCDEF um hexágono (lados dois a dois disjuntos) tal que AB e AF têm o mesmo comprimento, o ˆ eF ˆ sabendo que os mesmo ocorrendo com CD e DE . São dados os ângulos Aˆ , Bˆ , Dˆ , E ˆ . Encontre os ângulos C segmentos BC e EF são paralelos. 3. Sejam x e r inteiros positivos tais que

(

)(

x x + r x +

)(

2r

2

r

! x

. Qual é o menor quadrado perfeito maior que

).

x + 3r

4. Determine todos os valores de

para os quais a equação:

a ! R

x

x

!

!a

=

2012

tem solução real. 5. Seja P um ponto interno ao triângulo AC em B´ e que CP intersecta AB em

ABC . Suponha que AP intersecta BC C

´

em

A

´

, Que BP Intersecta

. Calcule: PA

´

AA

PB +

´

´

BB

´

PC +

´

CC

´

6. Seja A um número inteiro positivo par e B o número obtido de A escrevendo seus dígitos na ordem inversa. Seja C A ! B . Sabe-se que C é a soma do quadrado dos seus dígitos mais nove e que é escrito com a metade =

da quantidade de dígitos com que se escreve A . Determine o menor número A que satisfaz as condições acima. Observação: nesta questão utiliza-se o sistema de numeração decimal para escrever os números A B C . ,

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,

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XXXIII OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2013 1. Qual é o valor de )m mmm mmm mmm mmm*: ? 2. Seja x um número positivo. Denotamos por {x} a parte fracionária de {x}, ou seja, 0 !{x}<1 e x=m+{x} onde m é um inteiro não negativo (assim, por exemplo, {1,2}=0,2 e {13,8888...}=0,8888...) . 89 Quanto vale {1,999...}? Justifique sua resposta. :9 Sejam a, b números positivos tais que a-b é inteiro, {a}{b}=0,444... e (a-{a})(b-{b})=11. Determine o valor dos números a e b. 3. São dados dois triângulos equiláteros ™G e ™9 de lado 1 (um) no plano. Sejam , ( ™G š ™9 e - ( ™G y ™9 ') ™G š ™9 *= Sabe-se que o produto da área de , pela área de - é o máximo possível. Determine o valor das áreas de , e - (justifique sua resposta exibindo dois triângulos satisfazendo as condições do problema). Obs.: Se . e / são conjuntos então . ' / é o conjunto dos elementos de . que não pertencem a /= 4. Definimos a sequência de números inteiros 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... chamada “sequência de Fibonacci”, admitindo que, a partir do terceiro, cada número da sequência de Fibonacci é a soma dos dois que lhe precedem. Assim, 2= 1+1, 3=2+1, 5=2+3, etc. Qual é o resto da divisão por 6 do número que ocupa a posição 2013 na sequência de Fibonacci? (0bs.: o número 1 ocupa a primeira posição na sequência de Fibonacci, a segunda posição é ocupada pelo número 1 também, a terceira pelo número 2, e assim sucessivamente). 5. Seja AB o diâmetro de uma semicircunferência (O, r), seja C um ponto na semicircunferência (O, r), com CD perpendicular a AB em D. Seja (O’, r’) a circunferência tangente a BD em E, tangente a CD em F e tangente à semicircunferência (O, r) em G. Mostre que os pontos A, F e G são colineares. 6. Prove que a quantidade de sequências !G " !9 " H " !a de n números inteiros positivos tais que a

!G !9 H !a

7' l›G

7 ( 867A !l

é finita qualquer que seja n. Obs:

a l›G #l

( #G & #9 & ; & #a =

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XXXIV OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2014

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XXXV OLIMPÍADA CEARENSE DE MATEMÁTICA 2015

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OCM NÍVEL 2

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