Números e Funções Reais ELON MA11

f(n) = n + 1, g(n) = n

+ 30,

h(n) = 2n,
são injetivas mas não são sobrejetivas.

Estas quatro funções são protago-

nistas da seguinte historinha que fecha o Capítulo 3.

Fantasia Matemática

o Grande

Hotel Georg Cantor tinha uma infinidade de quartos, nume-

rados consecutivamente, um para cada número natural. Todos eram igualmente confortáveis.

Num fim-de-semana prolongado, o hotel estava com

seus quartos todos ocupados, quando chega um viajante.

A recepcionista

vai logo dizendo: - Sinto muito, mas não há vagas. Ouvindo isto, o gerente interveio: - Podemos abrigar o cavalheiro, sim senhora. E ordena: - Transfira o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, passe o do quarto 2 para o quarto 3 e assim em diante. Quem estiver no quarto quarto

ti

+

ti,

mude para o

1. Isto manterá todos alojados e deixará disponível o quarto 1

para o recém-chegado. Logo depois chegou um ônibus com 30 passageiros, todos querendo hospedagem. A recepcionista, tendo aprendido a lição, removeu o hóspede de cada quarto

ti

para o quarto

ti

+ 30 e acolheu 49

assim todos os passageiros do

3

,

CAPÍTULO

3

SOBRE CONJUNTOS

INFINITOS

ônibus. Mas ficou sem saber o que fazer quando, horas depois, chegou um trem com uma infinidade de passageiros.

Desesperada, apelou para o ge-

rente que prontamente resolveu o problema dizendo: - Passe cada hóspede do quarto ri para o quarto 2n. Isto deixará vagos todos os apartamentos

de

número ímpar, nos quais poremos os novos hóspedes. - Pensando melhor: mude quem está no quarto

ti

para o quarto 3n. Os

novos hóspedes, ponha-os nos quartos de número 3n + 2. Deixaremos vagos os quartos de número 3n + 1. Assim, sobrarão ainda infinitos quartos vazios e eu poderei ter sossego por algum tempo. Não se deve confundir conjunto infinito com aquele que tem um número muito grande (porém finito) de elementos. Quando, na linguagem comum, se diz algo como" - Já ouvi isto uma infinidade de vezes", trata-se de uma mera força de expressão.

Não há distâncias infinitas (mesmo entre duas

galáxias bem afastadas) e até o número de átomos do universo é finito. (O físico Arthur Eddington estimou o número de prótons do universo em 136 x 2256.

O número de átomos é certamente

contém ao menos um próton.) nenhum número natural

ti

E importante

menor pois todo átomo

ter sempre em mente que

é maior do que todos os demais: tem-se sempre

n
50

NÚMEROS

CARDINAIS

Exercícios 3.1. Seja

B

C

f : X --+

f-l(B)

tem sempre f-l(f(A))

=

{x

para todo B C Y. Prove também

E

que

A para todo A C X. sobrejetiva se, e somente se, f(f-l(B))

f : X --+ f : X --+

=

=

f : X --+ g(f(x)) = x para

tais que

mostre que f é

B para todo B C Y .

x para todo x

Y é sobrejetiva

uma função h: Y --+ X tal que f(h(y)) 3.4. Dada a função

é injetiva se, e somente se,

Y é injetiva se, e somente se, existe uma

função 9 : Y --+ X tal que g(f(x)) 3.3. Prove que a função

f

Analogamente,

=

3.2. Prove que a função

de um conjunto

X; f(x) E B}. Prove que se =:l A para todo A C X e f(f-l(B)) C B

Y é o conjunto

f-l(f(A))

f

Y uma função. A imagem inversa por

X.

E

se, e somente se, existe

= y para todo

y

E

Y.

Y, suponha que g, h : Y --+ X são funções todo x E X e f(h(y))

=y

para todo y E Y.

Prove que 9 = h. 3.5. Defina uma função sobrejetiva equação

f (x)

=

f : N --+

N tal que, para todo n E N, a

n possui uma infinidade de raízes x E N. (Sugestão:

todo número natural se escreve, de modo único sob a forma 2a . b, onde a,b E N e b é ímpar.) 3.6. Prove, por indução, que se X é um conjunto finito com n elementos então existem n! bijeções

f : X --+

X.

3.7. Ache o erro da seguinte demonstração Teorema:

por indução:

Todas as pessoas têm a mesma idade.

Prova: Provaremos por indução que se X é um conjunto de n (n ~ 1) pessoas, então todos os elementos de X têm a mesma idade. Se n = 1 a afirmação é evidentemente

verdadeira pois se X é um conjunto formado

por uma única pessoa, todos os elementos de X têm a mesma idade. Suponhamos

agora que a afirmação seja verdadeira para todos os con-

juntos de n elementos.

Consideremos um conjunto com n + 1 pessoas,

{ai, a2, ... ,an, an+d . Ora, {ai, a2,· .. ,an} é um conjunto de n pessoas, logo ai, a2, ... ,an têm a mesma idade.

51

Mas {a2, ... , an, an+d

CAPÍTULO

3

também é um conjunto de

ti

elementos, logo todos os seus elementos,

em particular a-; e an+I, têm a mesma idade. Mas se aI, a2, a mesma idade de an e an+1, todos os elementos de {aI, a2,

, a.; têm , an, an+d

têm a mesma idade, conforme queríamos demonstrar. 3.8. Prove, por indução, que um conjunto com

ti

elementos possui 2n sub-

conjuntos. 3.9. Dados

ti

(n

;:?

2) objetos de pesos distintos, prove que é possível deter-

minar qual o mais leve e qual o mais pesado fazendo 2n - 3 pesagens em uma balança de dois pratos. É esse o número mínimo de pesagens que permite determinar o mais leve e o mais pesado? 3.10. Prove que, dado um conjunto com

ti

elementos, é possível fazer uma

fila com seus subconjuntos de tal modo que cada subconjunto da fila pode ser obtido a partir do anterior pelo acréscimo ou pela supressão de um único elemento. 3.11. Todos os quartos do Hotel Georg Cantor estão ocupados, quando chegam os trens TI, T2,

...

,

Tn,

...

(em quantidade infinita), cada um deles

com infinitos passageiros. Que deve fazer o gerente para hospedar todos?

li! A

52

}

NÚMEROS

REAIS

NÚMEROS

REAIS

,

CAPÍTULO

4

SEGMENTOS

COMENSUHÁVEIS

E INCOMENSlTHÁVEIS

Nos dois capítulos anteriores, foram introduzidos os números naturais e foi mostrado como eles são empregados na operação de contagem. Veremos agora de que modo o processo de medição das grandezas ditas contínuas conduz à noção de número real. Usaremos como protótipo a determinação do comprimento de um segmento de reta. Este exemplo de medição é tão significativo que o conjunto dos números reais é também conhecido como a reta real ou, simplesmente, a reta.

4.1

Segmentos Comensuráveis e Incomensurá-

.

veis Seja AB um segmento de reta.

Para medi-lo, é necessário fixar u '

segmento-padrão u, chamado segmento unitário.

Por definição, a medida

do segmento u é igual a 1. Estipularemos ainda que segmentos congruentes tenham a mesma medida e que se n - 1 pontos interiores decompusererr AB em

ti

segmentos justapostos então a medida de AB será igual à sorna

das medidas desses n segmentos. Se estes segmentos parciais forem todos congruentes a u, diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB (que representaremos por AB) será igual a n. Pode ocorrer que o segmento unitário não caiba um número exato vezes em AB.

Então a medida de AB não será um número natural.

c=

E ts

situação conduz à ideia de fração, conforme mostraremos agora. Procuramos um pequeno segmento de reta w, que caiba

ti

vezes no seg-

mento unitário u e m vezes em AB. Este segmento w será então uma media comum de u e AB. Encontrado w, diremos que AB e u são cotnensurâueu A medida de w será a fração l/n e a medida de AB, por conseguinte, se m vezes l/n , ou seja, igual a mf n. Relutantes em admitir como número qualquer objeto que não pertetcesse ao conjunto {2, 3, 4, 5, ... }, os matemáticos gregos à época de Euclid não olhavam para a fração

m/n

como um número e sim como uma razã

entre dois números, igual à razão entre os segmentos AB e

U.

Na realidade, não é muito importante que eles chamassem

m/n

de

1'-_

mero ou não, desde que soubessem, como sabiam, raciocinar com esses sír;

54

NC\IEROS

CAPÍTL"LO

REAIS

.o . (Muito pior eram os egípcios que, com exceção de 2/3, só admitiam _ ações de numerador nas çao

~ as

1. Todas as demais, tinham

de frações de numerador

que ser expressas como

1 e denominadores

- -,-Ono Egito era escrito como 1/3

diferentes. Por exemplo,

+ 1/5 + 1/6.)

tão

O problema mais sério é que por muito tempo se pensava que dois seg-

oa

tos quaisquer eram sempre comensuráveis: _D. aceitava-se tacitamente .a um número exato

ti

sejam quais fossem AB e

que haveria sempre um segmento EF que ca-

de vezes em AB e um número exato m de vezes

CD. Esta crença talvez adviesse da Aritmética,

á-

onde dois números

rurais quaisquer têm sempre um divisor comum (na pior hipótese, igual

t). A ilusão da comensurabilidade um

_t,

durou até o quarto século antes de Cristo.

uela época, em Crotona, sul da Itália, havia uma seita filosófico-religiosa, ada por Pitágoras.

Um dos pontos fundamentais

.ema "Os números governam o mundo". eram números naturais, admitindo-se rmando as frações.)

de sua doutrina

era

(Lembremos que números para tomar razões entre esses números,

Uma enorme crise, que abalou os alicerces do pita-

_-ri mo e, por algum tempo, toda a estrutura

da Matemática

::ando, entre os próprios discípulos de Pitágoras,

grega, surgiu

alguém observou que o

o e a diagonal de um quadrado são segmentos de reta incomensuráveis. O argumento

é muito simples e bem conhecido. D ,.-----------."

C

A "---+-+---t-_+_---'

B

Figura 4.1

núsím-

e houvesse um segmento de reta u que coubesse vezes na diagonal AC do quadrado

55

ti

vezes no lado AB

ABCD então, tomando AB como

.J

CAPÍTULO

A

4

RETA REAL

unidade de comprimento, a medida de AC seria igual a m/n

enquanto.

naturalmente, a medida de AB seria 1. Pelo Teorema de Pitágoras teríamos (m/n)2 = 12 + 12 donde m2/n2 = 2 e m2 = 2n2. Mas esta última igualdade é absurda, pois na decomposição de m2 em fatores primos o expoente d fator 2 é par enquanto em 2n2 é ímpar. A existência de segmentos incomensuráveis significa que os números naturais mais as frações são insuficientes para medir todos os segmentos de reta. A solução que se impunha, e que foi finalmente adotada, era a de ampliar o conceito de número, introduzindo os chamados números irracionais. de tal modo que, fixando uma unidade de comprimento arbitrária, qualquer segmento de reta pudesse ter uma medida numérica. Quando o segmente considerado é comensurável com a unidade escolhida, sua medida é um número racional (inteiro ou fracionário). Os números irracionais representare: medidas de segmentos que são incomensuráveis com a unidade. No exemplo acima, quando o lado do quadrado mede 1, a medida da diagcnal é o número irracional

V2.

(O fato de que esta conclusão não depend

do tamanho do quadrado que se considera, deve-se a que dois quadrad quaisquer são figuras semelhantes.) Nos meios de comunicação e entre pessoas com limitado conhecimem matemático, a palavra incomensurável

é muitas vezes usada em frases c

tipo: havia um número incomensurável de formigas em nosso piqueniq Isto não é correto. Incomensurabilidade é uma relação entre duas grandez: da mesma espécie; não dá ideia de quantidade muito grande. Uma palav: adequada no caso das formigas seria incontável ou enorme. Noutros casecomo um campo gigantesco, poderia ser imensurável ou imenso. Mas na . é incomensurável, a não ser quando comparado com outro objeto (grandeza da mesma espécie.

4.2

A Reta Real

A fim de ganhar uma ideia mais viável dos novos números, que de minamos irracionais e, em particular,

situá-los em relação aos raciona

imaginamos uma reta, na qual foram fixados um ponto O, chamado a

56

G

NÚMEROS

gem, e um ponto A, diferente de O.

Tomaremos

REAIS

CAPÍTULO

o segmento O A como

A reta O A será chamada a reta real, ou o eixo

unidade de comprimento. real.

A origem O divide a reta em duas semi-retas. e a semi-reta positiva.

A outra é a serni-reta

A que contém A, chamanegativa.

Diremos que os

pontos da semi-reta positiva estão à direita de O e os da serni-reta negativa à esquerda de O.

Seja X um ponto qualquer

da reta OA.

Se o segmento de reta OA

couber um número exato n de vezes em OX, diremos que a abcissa de X é o número natural n ou o número negativo -n, conforme X esteja à direita ou à esquerda da origem. Se X coincidir com a origem, sua abcissa será O (zero). O conjunto Z, formado pelo número zero e pelas abcissas dos pontos X do eixo real, tais que o segmento unitário

cabe um número exato de

-ezes em OX, chama-se o conjunto dos números inteiros.

= = Nu {O} u (- N), dos números

Ele é a reunião

naturais com o zero e o conjunto - N dos

úmeros negativos.

-1.._1_.....1..--+-1

----jf---+-I -2

-1

O

---L.._I_....L...! -~ 1

2

~

3

u

Figura 4.2

Mais geralmente,

se o ponto X, pertencente

segmento OX é comensurável

ao eixo real, é tal que o

com o segmento unitário OA, de modo que

gum segmento w caiba n vezes em OA e m vezes em OX, diremos que - abcissa do ponto X é

m/n

ou

-m/n,

conforme X esteja à direita ou à

uerda da origem. Isto inclui, naturalmente,

o caso em que o segmento

JA cabe um número exato de vezes em OX, quando se tem n

=

1 e a

- cissa de X pertence a Z. s,

O conjunto Q, formado pelas abcissas dos pontos X do eixo real tais que egmento OX é comensurável

com o segmento unitário OA, chama-se o

57

4

I

CAPÍTt-LO

-!

A

RETA REAL

Tem-se N C Z C Q. Como vimos acima,

conjunto dos números racionais.

os números racionais são representados ti E N. Se, agora, tomarmos

por frações m/n,

um ponto X no eixo real de tal modo que os seg-

mentos OX e OA sejam incomensuráveis, chamaremos X.

onde m E Z e

inventaremos

um número x, que

de número irracional, e diremos que x é a abcissa do ponto

O número x será considerado

positivo ou negativo, conforme o ponto

X esteja à direita ou à esquerda da origem, respectivamente.

Quando X

está à direita da origem, x é, por definição, a medida do segmento OX. Se X está à esquerda da origem, a abcissa x é essa medida precedida do sinal menos.

O conjunto IR, cujos elementos são os números racionais e os números irracionais chama-se o conjunto dos números reais. Existe uma correspondência biunívoca entre a reta OA e o conjunto IR, a qual associa a cada ponto X dessa reta sua abcissa, isto é, a medida do segmento OX, ou esta medida precedida do sinal menos. Temos N C Z C Q C IRAs letras N, Q e IR são as iniciais das palavras

número (ou natural),

quociente e real. A letra Z é a inicial da palavra zahl, que significa número em alemão. O conjunto IR pode ser visto como o modelo aritmético

de uma reta

enquanto esta, por sua vez, é o modelo geométrico de IR- Esta inter-relação entre Geometria

e Aritmética,

entre pontos e números, é responsável por

grandes progressos da Matemática A interpretação

atual.

dos números reais como abcissas dos pontos de uma reta

fornece uma visão intuitiva bastante

esclarecedora

sobre a soma x

+y

e a

relação de ordem x < y, com x, y E IRCom efeito, se X e Y são os pontos dos quais x e y respectivamente

são

as abcissas, diz-se que x é menor do que y, e escreve-se x < y quando X está à esquerda de Y, isto é, quando o sentido de percurso de X para Y é o mesmo de O para A. Quanto à soma, x

+y

o segmento XY' tem o mesmo comprimento

é a abcissa do ponto Y' tal que e o mesmo sentido de percurso

de OY. Também o produto xy dos números reais x, y pode ser definido geome-

58

NÚMEROS

REAIS

tricamente, de acordo com a Figura 4.3, quando x > O e y > O. Nos demais casos, é só mudar o sinal de xy convenientemente.

ue to to X Se

O

aI

1

y

Figura 4.3: O produto de números reais, visto geometricamente. os n-

As construções geométricas que fornecem interpretações visuais para a soma e para o produto de números reais já eram conhecidas desde Euclides (300 anos antes de Cristo).

Vale lembrar apenas que elas representavam

operações sobre grandezas (no caso, segmentos de reta), não sobre números reais. O progresso da Ciência e a diversidade de aplicações da Matemática, dos casos mais corriqueiros até a alta tecnologia, há muito tempo deixaram claro que esta visão geométrica, por mais importante que tenha sido e ainda seja, precisa ser complementada

por uma descrição algébrica de IR. Tal

complementação requer que seja feita uma lista das propriedades (axiomas) do conjunto ~, a partir das quais todos os fatos sobre números reais possam ser demonstrados. Algo parecido com os axiomas de Peano para os números naturais.

Só que, naturalmente,

uma estrutura

mais elaborada, pois ~ é

uma concepção bem mais rica e mais sutil do que N. A descrição mais simples de ~ consiste em dizer que se trata de um corpo ordenado completo. Os detalhes dessa caracterização não são difíceis, mas escapam aos nossos objetivos aqui. O leitor interessado pode consultar o livro Análise Real, vol. 1, capítulo 2. Diremos apenas que ~ é um corpo porque estão definidas aí as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão. E um corpo ordenado porque existe a relação x < y, que está interligada com a adição e a multiplie-

cação pelas leis conhecidas de monotonicidade. E, finalmente, a completeza

59

CAPÍTULO

4

CAPÍTULO 4

EXPRESSÕES DECIMAIS I

de IR equivale à continuidade e, mais geralmente,

da reta. É ela que garante a existência de via

de a" para todo a > O e todo x E IR. É a completeza de

IR que diferencia os reais dos racionais pois, afinal de contas, Q também é um corpo ordenado, só que não é completo. Há várias maneiras de formular matematicamente

a afirmação de que o corpo dos números reais é completo.

Todas elas envolvem, direta ou indiretamente,

a ideia de aproximação,

ou

limite. Aqui, usaremos as expressões decimais. Na prática, nossos olhos (e mesmo os instrumentos rição) têm um extremo de percepção

(ou de precisão), sendo incapazes de

distinguir diferenças inferiores a esse extremo. experimental entretanto

Portanto

nenhuma medição

pode oferecer como resultado um número irracional. lembrar que, quando o raciocínio matemático

mensurabilidade, valor aproximado;

4.3

mais delicados de afe-

Deve-se

assegura a inco-

o número racional obtido experimentalmente

é apenas um

o valor exato é um número irracional.

Expressões Decimais

Para efetuar cálculos, a forma mais eficiente de representar

os números

reais é por meio de expressões decimais. Vamos falar um pouco sobre elas. É claro que basta considerar

os números reais positivos.

números negativos, simplesmente

Para tratar

de

se acrescenta o sinal menos.

Uma expressão decimal é um símbolo da forma

onde ao é um número inteiro ~ O e aI, a2, ... ,an,

...

números inteiros tais que O ~ an

E N, tem-se um dígito

an, chamado o n-ésimo

~

9. Para cada

ti

sao dígitos, isto é,

dígito da expressão decimal a. O número natural

ao chama-se a parte inteira de a. EXEMPLO 4.1.

a = 13,42800 ... , {3 = 25,121212 ... , 7r = 3,14159265 ... são expressões decimais.

Nos casos de a e {3, está claro como se obtêm os dígitos que

não estão explicitados.

No caso de

7r

(medida da circunferência

quando se

toma o diâmetro como unidade), o que está escrito aqui não permite saber qual a regra para achar os dígitos a partir do nono, mas existem processos

NÚMEROS

bem definidos e eficientes para calculá-Ios.

Recentemente,

algoritmos

especialmente

concebidos e computadores

determinar

os primeiros 56 bilhões de dígitos de

REAIS

CAPÍTULO

com auxílio de

rápidos, foi possível

it .

Mas de que forma uma seqüência de dígitos, precedida de um número inteiro, representa

um número real? A resposta é: a expressão decimal

dada acima, representa

O!,

o número real (4.1)

Na realidade, é meio pedante usar uma notação diferente, a, para indicar o número real cuja expressão decimal é

O!.

Na prática,

Vamos então seguir o costume e usar a mesma notação

O!,

não se faz isso. para o número e

sua expressão decimal. Mais importante igualdade.

é explicar o significado daquelas reticências no final da

Elas dão a entender de que se trata de uma soma com infinitas

parcelas, mas isto é uma coisa que não tem sentido, pelo menos em princípio. O significado da igualdade

(4.1) é o seguinte:

o número real

estamos escrevendo sem a barra) tem por valores aproximados

O!

(que já

os números

racionais an

aI

O!n

= ao + 10 + ... +

Quando se substitui

O!

por

(n = 0,1,2, ... ).

lOn'

o erro cometido não é superior a

O!n ,

_1_

lOn

= 10-n.

Assim, ao é o maior número natural contido em

O!, aI

é maior dígito tal que

aI

+ 10

ao a2 é

~

O!,

maior dígito tal que ao

+

aI

10

+

a2

102

~

O!,

etc.

Deste modo, tem-se uma seqüência não-decrescente

que são valores (cada vez mais) aproximados cisamente, tem-se O ~

O! -

O!n ~

do número real

lO-n para cada

61

de números racionais

ti

=

0,1,2,3,4,

O!.

Mais pre...

4

C,\PÍTlTLO

4

EXPHESSÔI~S

DECIl\IAlS

Diz-se então que o número real a é o limite desta seqüência de números raCIOnaIS.

O fato de que existe sempre um número real que é limite desta sequência (isto é, que tem os an como seus valores aproximados)

é a forma

que

adotaremos para dizer que o corpo ordenado dos números reais é completo. Há algumas situações

particulares

que merecem ser vistas separada-

mente. A primeira delas é quando, a partir de um certo ponto, todos os dígitos an se tornam iguais a zero:

então aI 10

an

a=ao+-+···+-

io-

é um número racional; na realidade uma fração decimal (fração cujo denominador é uma potência de 10). Por exemplo 4 13,42800 ... = 13 + 10

2

+ 100 +

8 13428 1000 = 1000·

Mais geralmente, mesmo que não termine em zeros, a expressão decimal de a = ao, ala2 ... an seja periódica. intrigante.

pode representar

...

um número racional, desde que

Comecemos com o caso mais simples, que é também o mais

Trata-se da expressão decimal, ou seja, do número real 999 10 100

a=0999... =-+-+--+··· ,

1000

Afirmamos que a = 1. Com efeito, os valores aproximados aI =

1- a3

de a sã

0,9, a2 = 0,99, a3 = 0,999, etc. Ora 1 - aI = 0,1, 1 - a2 = 0,01.

=

0,001 e, geralmente,

n suficientemente

1- an

=

lO-n.

Vemos portanto que, tomand .

grande, a diferença 1 - an pode tornar-se

tão pequena

quanto se deseje. Noutras palavras, os números racionais an = 0,99 ... 99 são valores cada vez mais aproximados

de 1, ou seja, têm 1 como limite.

A igualdade que 1 = O,999 ... costuma causar perplexidade experientes.

aos menos

A única maneira de dirimir o aparente paradoxo é esclarece

62

--------------------------------------------------------------------------~

N(Tl\!EHOS HEAIS

que o simbolo 0,999 ... na realidade significa o número cujos valores aproximados são 0,9, 0,99, 0,999 etc. E, como vimos acima, esse é o número 1. Uma vez estabelecido que 9 9 0999 ... =-+-+-+···=1 , 10 100

9

10n

resulta imediatamente (dividindo por 9) que 1 1 1 1 O 111... = - + + ... + + ... =-. n , 10 100 10 9 Consequentemente, para todo digíto a, multiplicando por a, vem a a a a O aaa ... = - + + .,. + + ... = -. n , 10 100 10 9 Por exemplo, 0,777 ... =

7

9

Podemos ir mais além. Observando que 9 9 99 9 9 99 10 + 100 = 100 ' 1000 + 10000 = 10000 ' ete., obtemos:

logo 1 1 1 1 100 + 1002+ 1003 + . . . = 99' Dai resulta, por exemplo, que 37 37 37 0,3737 ... = 100 + 1002+ 1003 + ... = 37(_1 + _1_ + ... ) 100 1002 37 99

63

CAPÍTULO

4

EXPRESSÕES

DECIl\IAIS

Uma expressão decimal a = 0, aIa2 ... chama-se uma dica simples, de período aI a2 ... ap

,

dízima perió-

quando os primeiros p dígitos após a

vírgula se repetem indefinidamente na mesma ordem. Assim, 0,777 ... e 0,373737 ... são dízimas periódicas simples com períodos 7 e 37 respectivamente. O raciocínio acima se aplica em geral e nos permite concluir que toda dízima periódica simples representa um número racional, que se chama sua fração qerairiz (ou, simplesmente, sua geratriz).

Mais precisamente, pode-

mos dizer, como nos antigos compêndios de Aritmética: A qeratriz de uma dízima periódica simples é uma fração cujo numerador é o período e cujo denominador

é o número formado por tantos noves

quantos são os algarismos do período. Por exemplo, 521 0,521521521 ... = 999' Em particular, racional.

toda dízima periódica simples representa um número

Existem ainda as dízimas periódicas ditas compostas.

São aquelas que

depois da vírgula têm uma parte que não se repete, seguida por uma parte periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica composta, procede-se como no exemplo a seguir: a = 0,35172172

.

100a = 35 172172 = 35172 = 35 x 999 + 172 = , 999 999 35(1000 - 1) + 172 35000 + 172 - 35 35172 - 35 999 999 999 Portanto 35172 - 35 a=----99900 Chegamos assim à regra tradicional, que muitos de nós decoramos desde nossa infância:

64

NÚMEROS

CAPÍTULO

REAIS

A qerairiz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é igual à parte não-periódica (35) seguida de um período (172) menos a parte não-periódica e cujo denominador

é formado por tantos noves quantos são

os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica. Em suma, expressões decimais periódicas (simples ou compostas) representam números racionais. Reciprocamente, todo número racional é representado por uma expressão decimal finita (que acaba em zeros) ou periódica, como mostraremos a seguir. A rigor, uma expressão decimal finita, como 0,35000 ...

é periódica,

com período O, mas é costume separar este caso, por ser muito particular. Para obter a expressão decimal do número racional p/q, faz-se a "divisão continuada" de p por q, acrescentando-se zero ao dividendo p enquanto se tiver um resto não-nulo, como no exemplo abaixo

14 27 = 0,518518 ...

140

1

050

0,518

27

230 140

Como nas divisões sucessivas só podem ocorrer os restos 0,1,2, ... ,q - 1, após no máximo q divisões um resto vai repetir-se e, a partir daí, os dígitos no quociente vão reaparecer na mesma ordem, logo tem-se uma expressão periódica. Para um estudo mais detalhado sobre os casos em que o racional p/q gera uma dízima periódica simples, composta ou uma expressão decimal finita, bem como uma estimativa do número de algarismos do período, veja "Meu Professor de Matemática", págs. 158-171. Observemos que a correspondência que associa a cada expressão decimal um número real é uma função sobrejetiva e "quase" injetiva. A primeira das afirmações acima (sobrejetividade) significa que, dado arbitrariamente um número real a, existe uma expressão decimal ao, ala2 ... an tal que ao + aI .10-

1

+ a2 .10- + ... + an .1O-n + ... = a. 2

65

Como de costume,

...

4

I

C'APÍTl1LO

·1

EXPHESSÜES

DECIl\L\IS

basta considerar o caso em que a > O. Então obtemos a expressão decimal de a tomando sucessivamente ao = o maior número inteiro ~ O contido em (isto é, menor do que ou igual a) a;

+ ~b ~ a; ao + ~b + t~o ~

aI

=

o maior dígito tal que ao

a2

=

o maior dígito tal que

a;

e assim por diante. Por exemplo, quando escrevemos que que 3 <

7f

< 4, 3,1 < 7f < 3,2, 3,14 <

Quanto à "quase" injetividade

7f

7f

= 3, 14159265 ... estamos dizendo

< 3,15 etc.

da correspondência

expressão decimal

f--t

número real,

o que estamos querendo dizer é que, se O ~ an

~

8 então as expressões

decimais

definem o mesmo número real. Por exemplo, 3,275999 ...

=

3,276000 ...

e O,999 ... = 1, 000 ... A afirmação (um tanto imprecisa) de que uma correspondência

é "quase"

injetiva não tem sentido algum em geral. No presente caso, estamos querendo dizer que a situação acima descrita é a única em que há quebra de injetividade.

Isto pode ser provado mas não haveria muita vantagem

em

fazê-Io aqui. Para obter uma correspondência

biunívoca entre as expressões decimais

e os números reais, basta descartar as que terminam

por uma sequência de

noves. Isto é o que faremos de agora em diante.

Operações com expressões decimais Não é possível efetuar mais usando-as integralmente

as quatro

operações

com as expressões

pois estas são organizadas

66

deci-

da esquerda para

NlhmHOS

a direita,

enquanto

as operações

reita para a esquerda. a = ao, aia2 ...

ai {3

i-

(se (3

sao normalmente

C.\I'ÍTlTLO

HEAIS

desenvolvidas

da di-

(Como começar uma adição, por exemplo?)

Dados

e {3 = bo, bib2 ...

+ {3, a

, para calcular a

O) toma-se n E N e, considerando-se

- ,8, a . {3 e

os valores aproximados

an , {3n = bo, bi ... bn , os números racionais an + {3n, an - {3n, G.n . {3n CYn/ {3n são aproximações para os resultados que desejamos obter, tanto mais aproximados quanto maior for ti. (Veja exercício 4.11.) nn = ao,

ai'

..

Uma descoberta de George Cantor Cantor foi a primeira pessoa a provar que existem diferentes números cardinais infinitos.

Mais precisamente,

os conjuntos N e IR são ambos in-

finitos mas ele mostrou que não pode existir nenhuma

f :N

função sobrejetiva

IR. Em particular, não pode existir uma correspondência biunívoca entre N e IR. Como certamente existe uma função injetiva de N em IR (a -t

saber, aquela que a cada

ti

E

N faz corresponder

elemento de R), diz-se então que a cardinalidade do que a de IR. A demonstração

f :N

o próprio

ti ,

pensado como

de N é estritamente

menor

de Cantor consiste em mostrar que, dada qualquer fun-

IR, é sempre possível achar um número real y que não pertence à imagem f(N), isto é, tal que f(n) i- y, seja qual for ti E N. ção

-t

Basta tomar um número real y cuja representação n-ésimo dígito diferente do n-ésimo dígito de f(n), to garante que y

i- f (n),

seja qual for

ti

decimal tenha seu

onde

E N, portanto

y

ti

=

1,2,3, ....

ti: f (N).

Quando um conjunto é finito ou tem o mesmo número cardinal que N, diz-se que ele é enumerável.

O argumento de Cantor mostra que IR não é

enumeráveI. Ele também provou que o conjunto Ql dos números racionais é enumerável.

Não é difícil ver que a reunião de dois conjuntos enumeráveis

, ainda um conjunto números irracionais, 5..

enumeráveI.

Se chamarmos

de Qlc o conjunto

dos

teremos IR = Ql U Qlc. Como Ql é enumerável e IR não

resulta daí que o conjunto Qlc dos números irracionais é não-enumeráveI.

Isto significa que existem muito mais números irracionais do que racionais! Para mais detalhes, ver Análise

Real, vol. 1, Capítulos

67

1 e 2.)

i

CAPÍTULO

4

DESIGUALDADES

4.4

Desigualdades

A relação de desigualdade x < y entre números reais é fundamental. Por isso é conveniente destacar algumas de suas propriedades, a fim de que saibamos o que estaremos fazendo quando operarmos com essa relação. Em primeiro lugar, vale a pena lembrar que todas as propriedades das desigualdades derivam de duas afirmações simples e óbvias, que enunciaremos a seguir. Tais afirmações se referem aos números reais positivos. Para significar que o número real x é positivo, escreve-se x > O. O conjunto dos números reais positivos será designado por IR+. Assim IR+ = {x E IR; x > O}. As propriedades básicas dos números positivos, das quais resulta tudo o que se pode provar sobre desigualdades, são as seguintes: PL) Dado o número real x, há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou x é positivo, ou x = O ou -x é positivo. P2) A soma e o produto de números positivos são ainda números positivos. Com relação à propriedade Pl), nunca é demais lembrar que -x significa "x com o sinal trocado", ou seja, -x é, por definição, o único número rei. tal que -x

+x

=

O.

Ainda com respeito a Pl), quando -x é positivo, diz-se que x é

UIL

número negativo e escreve-se x < O. A desigualdade entre números reais reduz-se ao conhecimento dos números positivos pois a afirmação x < y significa que a diferença y - x é un; número positivo. As propriedades essenciais da relação x < y (que tambén::. se escreve y > x) são: 1) Tricotomia: dados x, y E IR vale uma, e somente uma, das alternativas seguintes: x < y , x = y ou y < x . 2) Transitividade: 3) Monotonicidade x

se x < y e y < z então x < z. da adição: se x < y então, para todo z E IR tem-se

+ z < y + z. 4) Monotonicidade

da multiplicação: se x < y e z é positivo então xz <

yz.

68

NÚMEROS

A tricotomia tal. que

< y) ou é zero (e então x

= y)

ou é negativa

(o que significa y < x). ela se prova usando P2), assim: se x < y e

Quanto à transitividade,

< z então y - x e z - y são positivos, logo a soma z - x = (y - x) é positiva, ou seja, x < z.

y

das eara dos

CAPÍTULO

de Pl ). Com efeito, ou a diferença

resulta imediatamente

y - x é positiva (em cujo caso x

REAIS

A monotonicidade

+ (z

- y)

da adição, conforme está enunciada, segue-se imedia-

tamente da definição de x < y. Com efeito, se x < y então y - x é positivo.

+ z)

Ora, y - x = (y

- (x

+ z).

Logo x

forte de enunciar a monotonicidade 3') Se x < y e x' < yl então x A propriedade

+z


+ z.

Há uma forma mais

da adição, que é a seguinte:

+ x' < y + yl.

3') nos autoriza a somar membro a membro das desigual-

dades. Ela decorre de 2) e 3), assim: Se x < y e x' < yl então, somando Xl a ambos os membros da primeira igualdade e y a ambos os membros da segunda, em virtude de 3) obtemos x

+ Xl <

X+XI

y

+ x'

e y

+ x' <

y

+ yl.

Por transitividade

resulta então que

< y+yl.

Finalmente,

a monotonicidade

da multiplicação

resulta do fato de que o

produto de dois números positivos é ainda um número positivo. Com efeito um

yz - xz

> 0, o que significa

xz

membro duas desigualdades,

e z > 0, logo (y - x)z > 0, ou seja

< yz.

Como no caso da adição, também

nú-

um

°

e x < y e z é positivo então y - x >

é permitido

multiplicar

membro a

desde que os números que nelas Ocorrem sejam

positivos. O enunciado preciso é: 4') Sejam x,y,xl,yl XXi

números positivos.

Se x < y e x' < yl então

< yyl. Para provar isto, multiplicamos

ambos os membros

da desigualdade

z < y pelo número positivo Xl e ambos os membros de Xl < yl pelo nú-se

mero positivo y, obtendo XXi < yxl e yxl < yyl. XXi

<

< yyl

Por transitividade,

vem

.

As pessoas atentas a detalhes observarão que, para ser válida a propriedade 4'), basta que apenas três dos quatro números x, x', y e yl sejam

4

CAPÍTULO

4

DESIG UALDADES

positivos.

(A demonstração

acima requer apenas a positividade

de

Xl

e y

mas, como x' < yl, daí resulta também que yl > O.) Outras propriedades 5) Se x

#-

que derivam de Pl), P2) e suas consequências são:

O então x2 > O. (Todo quadrado,

exceto O, é positivo.)

Com efeito, se x > O então x2 > O por P2). E se -x

> O. Mas (-x)(-x)

por P2), (-x)(-x)

> O então, ainda

= x2, logo x2 > O em qualquer

caso. 6) Se O < x < y então O < l/y < l/x.

(Quanto maior for um número

positivo, menor será seu inverso.) Em primeiro lugar, o inverso de um número positivo também e positivo porque ~ = x . (~? = produto de dois números positivos. multiplicando

(Veja 5).) Logo,

ambos os membros de x < y pelo número positivo l/xy

x/xy < y/xy , isto é, l/y < l/x. 7) Se x < y e z é negativo então xz > yz. os dois membros de uma desigualdade

vem

(Quando se multiplicam

por um número negativo, o sentido

dessa desigualdade se inverte.) Com efeito, o produto dos números positivos y - x e -z é positivo, isto é, (y - x)( -z)

> O. Efetuando a multiplicação vem xz - yz > O, portanto

xz > yz. A resolução de uma inequação com uma incógnita consiste na aplicação sucessiva das propriedades

acima para simplificá-Ia até chegar a uma

expressão final do tipo x < c ou x > c. Usa-se frequentemente a notação x ~ y para significar a negação de

y < x. Portanto,

x ~ y significa que x < y ou x

=

y. Por exemplo, são

verdadeiras as afirmações 3 ~ 3 e 5 ~ 7. Para encerrar estas considerações sobre desigualdade,

lembraremos

que

a afirmação x < y, relativa aos números reais x e y , pode ser interpretada de três modos diferentes:

Geometricamente: x < y significa que, num eixo orientado, o ponto de abcissa y está à direita do ponto de abcissa x.

Numericamente: Sejam . x = ao, ai ... an

...

e

y

= bo, bi

...

bn·

..

números reais positivos, dados por suas expressões decimais. Como se pode

70

NC':\IEROS RE:\IS

reconhecer que x < y? Certamente

y

se que estamos descartando aI

=

bl mas

ao < bo. (Lembre-

as expressões decimais que terminam com uma aI

< bl. Ou quando

a2 < b2. E assim por diante.

É como a ordem

Ou então quando ao = bo e

sequência de noves.)

ao = bo,

tem-se x < yquando

Tem-se x < y

segundo a qual as palavras estão dispostas num dicionário.

e, e somente se, ao < bo ou então existe um inteiro k > O tal que ao = bo,

= b, ,... , ak-I = bk-I e ak < bk. Caso se tenha x !'( O < y, a relação x < y é automática. E, finalmente, se x e y forem ambos negativos, tem-se aI

o

< y se, e somente se, o número positivo -y for menor do que o número positivo -x segundo o critério acima. Algebricamente: (Supondo conhecido o conjunto dos números positivos, x

zozando das propriedades

PI) e P2) acima enunciadas.)

Tem-se x < y

se, e somente se, a diferença d = y - x é um número positivo.

Noutras

palavras, vale x < y se, e somente se, existe um número real positivo d tal que y = x

+ d.

Qual das três interpretações o

I

< y é a mais adequada?

acima para o significado da desigualdade

Todas são. As circunstâncias

é que determinam

ual é a mais conveniente.

o

4.5

Intervalos

Sejam a, b números reais, com a !'( b. Os nove subconjuntos

de IR abaixo

iefinidos são chamados intervalos:

[a,b] = {x

E

IR;a !'( x!'( b},

(-oo,b] = {x

E

IR;x !'( b},

(a,b) = {x

E

IR;a < x < b},

(-oo,b) = {x

E

IR;x < b},

(a,b) = {x

E

1R;a!'( x < b},

(a, +(0)

=

{x

E

1R;a!'( x},

= {x

E

1R;a <

(a, +(0)

=

{x

E

1R;a < x},

(a,b1

X!'(

b},

(-00, +(0)

de

Os quatro intervalos da esquerda são limitados,

= 1R

com extremos a, b: (a, b]

fechado, (a, b) é aberto, [a, b) é fechado à esquerda, (a, b] é "echado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: (-00, b] é

=- um intervalo

semi-reta esquerda, fechada, de origem b. Os demais têm denominações e

análogas,

Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único

71

CAPÍTCLO

-!

NÚMEROS

da

REAIS

CAPÍTULO

Valor Absoluto

4.6

o valor

absoluto (ou módulo) de um número real x, indicado pela notação

Ix I, é definido

pondo-se

Ixl =

X, {

-x,

se

x?: O

se

x <

o.

Outra maneira de se definir o valor absoluto consiste em pôr:

[z]

=

max{x, -x}, (Quando x = O

o é, o valor absoluto de x é maior dos números x e -x.

Ixl = O.) Ix - 31 = x

rem-se, é claro, x = -x = Assim, por exemplo,

- 3 se x ?: 3 e

Ix -

31 = 3 - x quando

< 3. as questões que envolvem o valor absoluto é-se, em princípio, obrigado fazer as inevitáveis "considerações de casos", analisando separadamente

as

:'luações conforme o sinal de cada expressão que ocorre no interior das barverticais

I I·

Algumas vezes (infelizmente raras) isto pode ser evitado

csando-se esta outra caracterização

de valor absoluto:

Ixl

=

R.

Aqui

J:

para

_ amos tirando partido da convenção que regula o uso do símbolo o a ?: O, yfã é o número não-negativo cujo quadrado é a. Outra importante - respectivamente

- yl

interpretação

do valor absoluto é a seguinte: se x e y

as coordenadas

dos pontos X e Y sobre o eixo ]R então

= distância do ponto X ao ponto Y Y

X

•

•

y

I(

Ix-yl Figura 4.4

Para maiores detalhes sobre a distância D

livro "Coordenadas

luto são estudadas

entre dois pontos de um eixo,

no Plano", página 5. As propriedades

no livro "Análise Real", vol. 1, pago 14.

73

do valor

4

SEQ"L"ÊNCIAS E PROGRESSÕES

A interpretação

do valor absoluto

real, entre os pontos de coordenadas intuitivamente

Ix - yl como a distância,

no eixo:

x e y, permite que se possa enxerga:

o significado e a resposta de algumas questões envolvendc

módulos. Por exemplo, a igualdade ponto que a ele corresponde

Ix - 21 = 3 significa que o número x (ou = no eixo) está a uma distância 3 do número

=

Logo, deve ser x = 5 (se x estiver à direita de 2) ou x = -1 (se estiver esquerda). como Ix - ai <

E,

com

que a distância de x ao ponto a é menor do que

E,

logo x deve estar entre

Se tivermos uma desigualdade, a-

E

(a -

+ E. E, a + E). ea

o conjunto {x E IR; Ix - ai <

Portanto

E}

E

> 0, isto signific

é o intervalo aber.;

Quando se lida com valores absolutos, não basta saber que Ixl é igual x ou a -x. casos.

É necessário especificar quando é que se tem cada um dess -

Esta observação

deve ser aplicada

especialmente

na resolução C.

desigualdades. Sob o ponto de vista das manipulações

algébricas, as propriedades

maz

úteis do valor absoluto são expressas pelas relações abaixo:

1) Ix + yl :::;Ixl + Iyl e 2) Ix· yl = [z] . Iyl, válidas para quaisquer x, y E IR. Para demonstrar

1), observamos que x :::;Ixl e y :::; Iyl, logo x

Ixl + Iyl· Além disso, tem-se também -x :::; Ixl e

-y:::;

Iyl, logo -(x

+Y

_

+y

Ixl + Iyl· Assim, temos Ixl + Iyl ~ max{x

+ y,

-(x

+ y)} =

Ix + yl·

Quanto a 2), como ambos os membros da proposta

igualdade são nà -

negativos, basta provar que seus quadrados são iguais. Ora,

4.7

Sequências e Progressões

Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto N dos nr ros naturais.

Consideraremos

apenas sequências de números reais, istc -

74

.",""~",,,,,,,,,,",,,,,,------•...•••.••• ------------~!"""""""~~~~~~~~~~0j"I

NÚMEROS

CAPÍTL'LO

REAIS

funções de N em IR-

lXO

A notação usual para uma sequência é mente:

(Xn)nEN

é a função 1 H

ou

(xn)

,

simplesmente.

Xl,

2H

X2, ...

,

o

número natural n o número real

2.

Exemplos particularmente

n

H

Xn,

(XI,X2,'"

,xn,

... ) .

Abreviada-

Isto significa que a seqüência dada

Xn, ...

,

a qual faz corresponder

a cada

chamado o n-ésimo termo da seqüência,

interessantes

de sequências são as progres-

sões. Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência ca tre rto

onde cada termo, a partir do segundo, é a soma xn+1 =

1a ses de

Xn

+r

do termo

anterior mais uma constante r, chamada a razão da progressão.

Equivalen-

temente,

de razão r

quando

a sequência Xn+1

-

chama-se uma progressão aritmética

(xn)

Xn =

r para todo n E N.

Na progressão aritmética

tem-se

(xn)

ais e, em geral,

Xn+1

=

Xl

+ nr

para todo n E N.

A razão de uma progressão

aritmética

pode ser um número positivo,

negativo ou igual a zero. No primeiro caso, a sequência

< <

é, m < n

=} Xm

<

Xn.

(xn)

é crescente, isto

Quando a razão é negativa, a progressão aritmética

é uma seqüência decrescente, isto é, m < n uma progressão aritmética

=} Xn

< Xm. E, evidentemente,

de razão nula é constante:

Xl,

Xl, Xl, ....

Uma

sequência finita (ou uma lista) é uma função cujo domínio tem a forma L; = {I, 2, ... ,n}. 1:-

-

0

Ela é designada pela notação

(Xl,

X2, ...

caso, diz-se que se trata de uma seqüência com n termos. uma sequência Uma progressão (Xl, ...

,xn)

aritmética

(Xl, X2)

e, neste

Em particular,

com dois termos é o que se chama um par ordenado. finita (com n termos) é uma sequência finita

aritmética

tal que

,Xn)

X2 -Xl

=

pode ser pensada

reta, todos a igual distância

X3 -X2

= ... =

Xn -Xn-l

como uma sequência

=

de pontos sobre uma

dos seus vizinhos imediatos.

geométrica é uma sequência eé,

75

r. Uma progressão

Uma progressão

4

CAPÍTULO

4

SEQUÊNCIAS

MONÓTONAS

onde cada termo, a partir do segundo, é o produto Xn+l = Xn' r do anterior por uma constante r, chamada a razão da progressão. Tem-se portanto:

A igualdade (1 - r) (1 + r

+ ... + rn)

= 1 - rn+ 1 , de verificação imediata, mostra que a soma dos termos da progressão geométrica finita 1, r, r2, ... .r" é dada por 1+ r

1 - rn+l

+ r2 + ... + rn =

se

l-r

r

1= 1

Daí segue-se que, para uma progressao geométrica finita qualquer Xl, X2,

... ,Xn, de razão r Xl

1= 1, tem-se

+ X2 + ... + Xn =

Xl

(1 + r

+ ... + r n-l) =

n

1- r l-r

Xl---

É tradicional e conveniente escrever P.A. e P.G. em vez de "progressão aritmética" e "progressão geométrica", respectivamente.

4.8

Sequências Monótonas

Uma sequência (z.,) de números reais diz-se monótona

quando

Xl ::; X2

::;

... ::; Xn ::; Xn+l ::; ... ou então quando Xl 2: X2 2: ... 2: Xn 2: Xn+1 2: .... No primeiro caso, ela se chama monótona não-decrescente e, no segundo, monótona não-crescente.

Quando Xn < Xn+l para todo

cia se chama crescente

e quando Xn > Xn+1 para todo

ti

E N, a sequên-

ri E

N ela se diz

decres cente. Trataremos aqui de sequências monótonas não-decrescentes. O caso nãocrescente é inteiramente análogo e será deixado a cargo do leitor. Se existir um número real c tal que

Xn

::;

c para todo

ti

E

N, a sequência

monótona não-decrescente (xn) dir-se-á limitada. Uma observação simples porém crucial para a demonstração do teorema abaixo é a seguinte: se a sequência monótona não-decrescente nl ::; n2 ::; . ..

::; nk ...

de números naturais é limitada então, a partir de uma certa

ordem, ela é constante. Ou seja, existe um índice ko tal que todo k 2: ko·

76

nk

=

nko

para

NÚMEROS REAIS

CAPÍTULO 4

n Os números xn = --, n E N, formam uma seqüência crescente limin+l tada, com Xn ::; 1 para todo n E N. Por outro lado, Xn = n define uma

EXEMPLO 4.2.

sequência ilimitada.

o teorema

seguinte será utilizado no estudo da função exponencial e de

sua inversa, a função logaritmo. Antes de prová-lo,

vejamos mais uma definição.

Um conjunto X C ffi.

chama-se um conjunto de valores aproximados por falta do número real a quando cumpre as seguintes condições: 1) Para todo x E X tem-se x ::;a; 2) Dado qualquer

E

> O, pode-se achar um x E X tal que O ::; a - x < E.

Por exemplo, o conjunto dos números 0,9, 0,99, 0,999, etc é um conjunto de valores aproximados

de 1.

O leitor pode observar que o mesmo X não pode ser conjunto de valores aproximados

Os termos Xn

::; ...

de dois (ou mais) números reais distintos.

Xn

de uma sequência monótona

limitada

formam um conjunto de valores aproximados

Xl

::;

X2

::;

...

::;

TEOREMA 4.3.

de um número real

a.

A demonstração

deste teorema

é simples mas, antes de apresentá-la,

faremos alguns comentários. De acordo com a definição dada acima, para qualquer gamos, como desafio) pode-se encontrar como a seqüência é não-decrescente,

Xno

tal que O ::;

> O proposto (dia - Xno < E. Então, E

para todo n > no tem-se O ::; a-xn

<

E.

Por isso diz-se que a é o limite da sequência (xn) e escreve-se lim Xn = a. Assim, o teorema acima pode ser enunciado do seguinte modo: toda sequência monótona não-decrescente

limitada de números reais possui limite.

(Nesta frase "limitada" e "limite" são palavras usadas com significados bem diferentes. )

A fim de dispensar

a consideração

de casos, trataremos

somente de

DEMONSTRAÇÃO. DO TEOREMA 4.3

77

A 111

CAPÍTULO

4

SEQlJf~NCIAS

]\'lONÓTONAS

números reais 2': O. Sejam

. Veri

as expressões

decimais dos termos da sequência

O, 1, 2, ... , vemos que

alk

::; a2k ::; ...

Para cada k =

dada.

::; ank ::; ...

é uma sequência não-

decrescente limitada de números inteiros 2': O (com O ::;

9 se k 2': 1).

ank ::;

Logo, como foi observado acima, para todo k 2': O, a sequência "vertical" alk, a2k, ...

, ank, . ..

torna-se

índice n,

Ou seja,

ank

nk

> nk-l·

=

Se escrevermos

constante

tem a seguinte propriedade: de a coincidem com os de ti

2':

nk,

para todo

ankk ak

=

se Xn.

a partir de um certo valor

ankk,

n

>

ti

2':

Se

.

a

n

>

nk

vale O ::; a -

Portanto,

Xn

<

a diferença a -

E,

Xn

tem, para todo

A'

O::;

o teorema.

a, a 2 ,a 3 , ... , a n', ...

e crescen t e. Se

O < a < 1, a mesma seqüência é decrescente pois multiplicando por a" obtemos O < a +

n 1

lim o" = O ou seja, dado arbitrariamente

n-+oo

que

ano

b

l/a,

=

l/an>

<

E

(e, com maior razão, a" <

a-xn <

k > l/E veremos qu

o que demonstra

> 1 ,sa b emos que a sequencIa

dessas desigualdades

sempre

os k primeiros algarismos decimais

nk,

os k primeiros algarismos decimais iguais a zero. Logo

para todo

do

veremos que o número real

1/10k para n 2': tu: Ora, dado E > O, se tomarmos

E XEMPLO 44.

Tomaremos

nk.

nk

os termos

< a", Neste caso, tem-se

> O, podemos obter no E N tal para todo ti 2': no). Basta fazer

E

E

logo b > 1. Então existe no E N tal que bno > l/E, o que nos dá l/E e daí a" < E. finita . O

78

núj

N(Ti\IEHOS

HEAIS

Exercícios 4.1. Dados os intervalos A = [-1,3), (0,2J dizer se

° pertence

B = [1,4], C = [2,3), D = (1,2J eE =

a ((A - B) - (C n D)) - E.

4.2. Verifique se cada passo na solução das inequações abaixo está correto: a)

b)

5x+3 >2

+1 2x2 + X x2 + 1

2x

=:;:.

=:;:.

<2

. 4.3. Sejam a, b, c, d >

5x

°

+ 3>

2X2

+X

4x

+2

a

+2

< 2X2

. a c tais que b < d

.

=:;:.

x>

=:;:.

-l.

x < 2.

Mostre que

a+ c

c

b
e denominadores

de duas

frações?) 4.4. Qual é a aproximação

da raiz cúbica de 3 por falta com uma casa

decimal? 4.5. Ao terminar um problema envolvendo radicais, os alunos normalmente são instados a racionalizar o denominador

do resultado obtido. Por que

isso? 4.6. Considere todos os intervalos da forma [O,~], onde n E N. um número comum a todos estes intervalos?

Existe

E se forem tomados os

intervalos abertos? 4.7. Considere um número racional mf n, onde m e n são primos entre si. Sob que condições este número admite uma representação finita? Quando a representação

decimal

é uma dízima periódica simples?

4.8. O número 0,123456789101112131415

79

... é racional ou irracional?

C'APTTlTLO

-J

CAPÍTULO

4

SEQUÊNCIAS

MONÓTONAS

.

4.9. Utilize a interpretação geométrica de módulo para resolver as equações e inequações abaixo:

a) Ix - 11 = 4; + 11 < 2; c) Ix - 11 < Ix - 51; d) Ix - 21 + [z + 41 = 8; e) Ix - 21 + Ix + 41 = 1. b) [z

4.10. Sejam a e b números reais não negativos. Mostre que

Interprete geometricamente esta desigualdade. 4.11. Sabendo que os números reais x, y satisfazem as desigualdades 1,4587

«

x < 1,4588 e 0,1134 < Y < 0,1135, têm-se os valores exatos de x e y até milésimos. Que grau de precisão, a partir daí, podemos ter para o valor de xy ? Determine esse valor aproximado. Como procederíamos para obter um valor aproximado de xjy? encontrado no caso do quociente? 4.12. Prove que, para quaisquer x, y E IR, tem-se

Ilxl-lyll

80

:s; Ix - yl·

Qual o grau de precisão

FUNÇÕES

AFINS

CAPÍTULO

5

o

assunto principal deste capítulo e dos seguintes são as funções reais

de uma variável real, isto é, funções j : X ---+ IR que têm como domínio um subconjunto X C IR e cujos valores j(x),

para todo x E X, são números

reais. Em cada um desses capítulos, abordaremos um tipo particular de função, começando com o caso mais simples e aumentando pouco a pouco a complexidade. Iniciaremos com a função afim, cujo estudo será precedido de uma breve revisão sobre o produto cartesiano e o gráfico de uma função.

o.

Produto Cartesiano Um par ordenado p = (x, y) é formado por um objeto x, chamado a

primeira coordenada de p e um objeto y, chamado a segunda coordenada de p. Dois pares ordenados p = (x, y) e q = (u, v) serão chamados iguais quando x = u e y = v, isto é, quando tiverem a mesma primeira coordenada e a mesma segunda coordenada. É permitido considerar o par ordenado (x, x), no qual a primeira coordenada coincide com a segunda. O par ordenado p porque {x,y}

(x, y) não é a mesma coisa que o conjunto {x, y} sempre, mas (x,y) = (y,x) somente quando x = y.

=

= {y,x}

O produto cartesiano X x Y de dois conjuntos X e Y é o conjunto X x Y formado por todos os pares ordenados (x, y) cuja primeira coordenada x

_ G

pertence a X e cuja segunda coordenada y pertence a Y. Simbolicamente: X x Y = {(x,y);x Se X = {Xl' ... ,xm} p

E X,

y E Y}.

e Y = {Yl' ... ,yp} são conjuntos finitos com m e

elementos respectivamente, então o produto cartesiano X x Y é finito e

possui mp elementos. Noutras palavras, n(X x Y) = n(X) ·n(Y).

A melhor

maneira de enxergar isto é pensar no produto cartesiano X x Y como um quadro retangular

(Xl, Yl)(Xl, Y2)

(Xl, yp)

(X2,Yl)(X2,Y2)

(X2,yp)

82

c

FtTNC:ÔES

AFINS

CAPÍTllLO

com p colunas, cada uma das quais possui m elementos. Sejam AB e CD segmentos de reta. pode ser interpretado

EXEMPLO

5.1.

EXEMPLO

5.2.

como um retângulo, na forma indicada pela figura.

Tomamos AB e CD perpendiculares é representado

O produto cartesiano AB x CD

e cada elemento (x, Y) E AB x CD

pelo ponto P, interseção das perpendiculares

a AB e C D

tiradas pelos pontos x e y respectivamente.

ABxCD

D

P y

=

(x,y)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -.

C

•

x

A

•

B

Figura 5.1

Na mesma veia do exemplo anterior, o produto cartesiano '"'(x AB de uma circunferência '"'(por um segmento de reta AB é representado por um cilindro. (Ver Figura 5.2.) Para isto, tomamos o segmento AB perpendicular ao plano de '"'(.Cada elemento (x, y) do produto cartesiano '"'(x AB é representado pelo ponto P, interseção da reta perpendicular ao plano de '"'(tirada pelo ponto x com o plano perpendicular ao segmento AB tirado pelo ponto y.

f :X

GU) do produto cartesiano X x Y formado por todos os pares ordenados (x, y), onde x é um ponto qualquer de X e y = f (x). Assim, O gráfico de uma função

GU) = {(x, y)

E

--t Y é o subconjunto

X x Y; y = f(x)}

83

= {(x, f(x));

x

E

X}.

S

CAPÍTULO

5

B

YxAB

y

P=(x,y)

A

Y

x

Figura 5.2

A fim de que um subconjunto

f : X --+

G C X x Y seja o gráfico de alguma funçã

Y é necessário e suficiente que G cumpra as seguintes condições

Gl. Para todo x E X existe um par ordenado (x, y) E G cuja primei:: coordenada é x. G2. Se p = (x, y) e p' = (x, y') são pares pertencentes primeira coordenada

x então y

= y' (isto

é, P

a G com ames

= p').

É claro que estas condições podem ser resumidas

numa só, dizendo-

que para cada x E X existe um, e somente um, y E Y tal que (x, y) E G. O produto cartesiano X x Y acha-se intimamente ou, mais precisamente,

relação binária.

ligado à ideia de relaçã

Uma relação (binária)

R en _

elementos do conjunto X e elementos do conjunto Y é uma condição _ um conjunto de condições que permitem determinar,

dados x E X e y E ~-

se x está ou não relacionado com y segundo R. No caso afirmativo, escreve se xRy. Um exemplo à mão é a relação "menor do que" entre números reais. condição que nos permite escrever x < y, com x E ]R e y E ]R é Y - x > = Trata-se aqui de uma relação entre ]Re lR. Para outro exemplo, consideran; o conjunto D de todas as retas e o conjunto P de todos os planos do espaç: O paralelismo entre uma reta r e um plano TI é uma relação entre elemen: de D e elementos de P que se escreve rllTI e significa que a reta r e o plaz;

84

FCNÇÕES

AFINS

CAPÍTCLO

TI não têm elementos em comum. Um exemplo particularmente

importante de relação é a relação funcio-

nal. Ela ocorre quando se tem uma função

f : X -+ Y.

Diz-se então que o

elemento x E X está relacionado com o elemento y E Y quando y = Neste caso, não se costuma escrever xfy qualquer. Põe-se apenas y =

f (x).

como se faria numa outra relação

f (x).

O gráfico de uma relação R entre os conjuntos X e Y é o subconjunto

G(R) do produto cartesiano X x Y formado pelos pares (x, y) tais que xRy. Assim, G(R) = Nx, y) E X x Y; xRy}. Esta noção inclui o caso particular do gráfico de uma função. Praticamente uma função

todos\ os textos escolares em uso no nosso país definem

f : X -+ Y

como um subconjunto do produto cartesiano X x Y

com as propriedades Gl e G2 acima enunciadas. Essa definição apresenta ção

o inconveniente de ser formal, estática e não transmitir a ideia intuitiva de função como correspondência, transformação,

dependência (uma grandeza

função de outra) ou resultado de um movimento. rotação como um conjunto de pares ordenados?

Quem pensaria numa

Os matemáticos e (prin-

cipalmente) os usuários da Matemática olham para uma função como uma correspondência, não como um conjunto de pares ordenados.

Poder-se-ia

alvez abrir uma exceção para os lógicos, quando querem mostrar que todas as noções matemáticas se reduzem, em última análise, à ideia pura de conjunto. Mas certamente este não é o caso aqui. Se definimos uma função

f : X -+ Y

como um subconjunto particular do produto cartesiano X x Y,

qual seria a definição matemática do gráfico de uma função? ou Y,

Em suma, a terminologia que consideramos adequada é a seguinte: um

ve-

ubconjunto qualquer de X x Y é o gráfico de uma relação de X para Y. e esse conjunto cumpre as condições Gl e G2 acima estipuladas, ele é o

A

gráfico de uma função.

O. os

5.1

o Plano

Numérico }R2

ço. tos no

]R.2

=

]R.

x

]R. é

o exemplo mais importante de produto cartesiano pois,

afinal de contas, trata-se do caso particular que deu origem à ideia geral.

85

OBSERVAÇÃO.

;)

CAPÍTULO

5

o

PLANO

NUMÉRICO

]R2

Os elementos (x, y) de

são, naturalmente,

]R2

os pares ordenados de

números reais. Eles surgem como as coordenadas cartesianas de um ponto P do plano TI (x = abcissa, y = ordenada) quando se fixa nesse plano um par de eixos ortogonais OX e OY, que se intersectam no ponto O, chamado a origem do sistema de coordenadas.

y

= (x,y)

-------------..,P

o

x

Figura 5.3

Dado o ponto P E TI, a abcissa de P é o número x, coordenada do pé da perpendicular baixada de P sobre o eixo OX, enquanto a ordenada de P é a coordenada y do pé da perpendicular baixada de P sobre o eixo OY. Diz-se então que (x, y) é o par de coordenadas do ponto P relativamente ao sistema de eixos OXY.

Os eixos OX e OY dividem o plano em quatro

regiões, chamadas quadmntes,

caracterizadas pelos sinais das coordenadas

de seus pontos. No primeiro quadrante, tem-se x ~ O e y ~ O; no segundo. x :::;;O

e y ~ O; no terceiro, x :::;;O e y :::;;O; no quarto, x ~ O e y :::;;O.

A função

f : TI --+ ]R2,

coordenadas f(P)

que associa a cada ponto P do plano TIseu par de

= (x, y) relativamente ao sistema de eixos OXY, é uma

correspondência biunívoca. Ela permite traduzir conceitos e propriedades geométricas para uma linguagem algébrica e, reciprocamente,

interpretar

geometricamente relações entre números reais. Podemos então dizer que

]R2

TI é o modelo geométrico de

]R2.

é o modelo aritmético do plano TIenquantc

Do nosso presente ponto de vista, olharemos para

]R2

como um plane

(o plano numérico), chamaremos seus elementos P = (x, y) de pontos

é

procuraremos, com ajuda dessa linguagem geométrica e dos resultados da Geometria, alcançar um melhor entendimento das propriedades das funções

86

,

FUNÇÕES

de

AFINS

reais que vamos estudar. Veremos pouco a pouco as vantagens desse caminho de mão dupla que liga a Aritmética e a Álgebra de um lado à Geometria do outro. A pergunta mais básica, uma das primeiras que se impõe responder, é a seguinte: se P = (x, y) e Q = (u, v), como se pode exprimir a distância do ponto P ao ponto Q em termos dessas coordenadas? Y

P~-----f------'S Y x

o

u

x

pé Figura 5.4

de

A resposta é fornecida imediatamente pelo Teorema de Pitágoras. Introduzimos o ponto auxiliar S = (u, y). Como P e S têm a mesma ordenada, o segmento P S é horizontal (paralelo ao eixo OX).

Analogamente, QS é vertical (paralelo a OY).

Portanto

o segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQS, cujos catetos medem Ix - ul e Iy - vi respectivamente. Pitágoras nos dá então: d(P, Q)2

=

(x - U)2

(Vide seção 4.6.) O Teorema de

+ (y

- v?,

+ (y

- v)2.

ou seja: d(P, Q)

=

J(x

- u)2

Em particular, a distância do ponto P = (x, y) à origem O = (O, O) é igual a

87

CAPÍTULO

5

CAPÍTULO 5 ,

EXEMPLO 5.3.

o

PLANO NUMÉRICO

]R2

C é o ponto A = (a, b) e o raio é o número real r > O então, por definição, um ponto P = (x, y) pertence a C se, e somente se, d(A, P) = r. Pela fórmula da distância entre dois pontos, Se o centro de uma circunferência

vemos que

C

=

{(x,y);

+ (y

(x - a)2

- b)2

=

r2}.

Diz-se então que

é a equação da circunferência

de centro no ponto A = (a, b) e raio r.

y

b ---------

O

x

a

Figura 5.5 Por sua vez, o disco D de centro A e raio r é formado pelos pontos P = (x, y) cuja distância ao ponto A é ~ r . Portanto

OBSERVAÇÃO.

A palavra

círculo é ambígua.

Às vezes significa a circunferência,

vezes quer dizer o disco que tem essa circunferência é errado usá-Ia com qualquer desses dois significados. Além disso, os termos polígono, elipse, triângulo, têm duplo sentido.)

como fronteira.

Nã

(Euclides já o fazia.

quadrado,

etc. també

Mas é necessário explicar o que se está querendo dizer

para evitar mal-entendidos.

o

gráfico de uma função real de variável real

conjunto do plano numérico

]R2,

f : X ---+

logo pode ser visualizado

88

]R é um su

(pelo menos n -

FUNÇÕES

AFINS

CAPÍTULO

I

casos mais simples) como uma linha, formada pelos pontos de coordenadas

(x, f(x)),

quando x varia no conjunto X.

A fórmula da distância entre dois pontos serve para reconhecer que o gráfico G da função

f : [-1,

1] --+ IR.,dada por

f(x) é a senti-circunferência

=

VI -

x2,

C+ , de centro na origem

=

(O, O) e raio 1, situada

no semi-plano y ~ O

y

y?O

-1

x

1

O

Figura 5.6 s

Com efeito,

VI -

x2

{:} -1 ~ x ~ 1, y ~ O e y2 {:} Y ~ O e x2 + y2 = 1

=

(x, y) E G {:} -1 ~ x ~ 1 e y =

às

1 - x2

(5.1)

{:} (x, y) E C+. No caso de funções reais de uma variável real, as condições Gl e G2 adquirem uma forma mais geométrica e são resumidas assim: Seja X C IR.um conjunto que consideraremos situado sobre o eixo horizontal. Um subconjunto G C IR.2é o gráfico de uma função

f : X --+

IR.

se, e somente se, toda reta paralela ao eixo vertical, traçada a partir de um ponto de X, intersecta G num único ponto.

89

EXEMPLO

5.4.

5

CAPÍTULO

EXEMPLO

5

5.5.

A FUNÇÃO AFIM

,

Dado o número real c =I- O, consideremos

o conjunto G, formado pelos

pontos (x, y) de lR2 tais que xy = c. Simbolicamente, G = {(x, y) E lR2; xy = c}.

o conjunto

G é o que se chama uma hipérbole

mostra a forma de G nos casos c

> Oe

c

equilátera.

A figura abaixo

< O. Para todo r # O, a reta

vertical C{\lej)assa j)elo j)onto ~e abcissa x corta o conjunto G no único ponto (x, c/x). f(x) = ci«.

Logo, G é o gráfico da função

f : lR -

y

{O} -t lR, dada por

y

1

1

c>O

c
x

x

c

c

xy = c

Figura 5.7

5.2

A Função Afim

Uma função f : lR -t lR chama-se afim quando existem constantes a, b :: lR tais que f(x) = ax + b para todo x E lR. EXEMPLO

5.6.

A função

identidade

f : lR -t lR, definida por f(x)

é afim. Também são afins as translações

=

x para todo x

f : lR -t lR, f(x)

ainda casos particulares de funções afins as funções lineares, as funções constantes f(x) = b.

=

x

E:='

+ b.

f (x) = ar

FUNÇÕES

AFINS

É possível, mediante critérios como os que apresentaremos logo a seguir, saber que uma certa função

f : IR ---+

e b sejam fornecidos explicitamente.

IR é afim sem que os coeficientes a

Neste caso, obtém-se b como o valor

que a função dada assume quando x = O. O número b = f(O) se chama o valor inicial

da função f.

Quanto ao coeficiente a, ele pode

ser determinado a partir do conhecimento dos valores f(Xl) função

f

às vezes

assume em dois pontos distintos (porém arbitrários)

e f(X2) Xl

que a

e X2. Com

efeito, conhecidos e obtemos

portanto

Dados x, x+li E IR,com h -=I- O,o número a = [J(x+h) se a taxa de crescimento extremos x, x

+ h. f :X

---+ IR, com X C IR, chama-se:

< X2 =} f(Xl) < f(X2); decrescente quando Xl < X2 =} f(Xl) > f(X2); monótona não-decrescente quando Xl < X2 =} f(Xl) quando

monótona

Xl

não-crescente

quando

Xl

< X2

=}

f(Xl)

Em qualquer dos quatro casos, f diz-se monótona.

~ f(X2);

?': f(X2)' Nos dois primeiros (f

crescente ou f decrescente) diz-se que f é estritamente dois casos,

f

chama-

(ou taxa de variação) da função f no intervalo de

Lembremos que uma função crescente

- f(x)]/h

monótona.

Nestes

é uma função injetiva.

E

Não fica bem (embora algumas vezes se faça) chamar apenas de nãodecrescentes e não-crescentes as funções dos dois últimos tipos, pois negar (por exemplo) que uma função seja decrescente não implica necessariamente que ela seja monótona. Evidentemente, os quatro casos acima não são mutuamente excludentes. Pelo contrário, os dois primeiros são casos particulares

91

dos dois últimos.

CAPÍTULO

5

, CAPÍTULO

A

5

AFE\l

FUNÇÃO

Além disso, naturalmente,

há funções que não se enquadram em nenhuma

dessas quatro categorias.

Uma função afim é crescente quando sua taxa

de crescimento (dada pelo coeficiente a) é positiva, decrescente quando a é negativo e constante quando a = O. EXEMPLO

5.7.

O preço a pagar por uma corrida de táxi é dado por uma função afim

f :x

f----t

ax

+ b,

onde x é a distância percorrida (usualmente medida em

quilômetros), o valor inicial b é a chamada bandeirada

e o coeficiente a é o

preço de cada quilômetro rodado.

o

/7#,C/J

C&> &má' ~;?ÇM

cpfm /.'

Z

H az

+j

é i'/ma Ahda re?cZ.

Para ver isto basta mostrar que três pontos quaisquer

P2 = (X2,ax2 P3

=

(X3, aX3

+ b)

e

+ b)

desse gráfico são colineares. Para que isto ocorra, é necessário e suficiente que o maior dos três números d(PI,P2),

e d(g,P3) seja igualo' soma dos outros dois. Ora, podemos sempre supor que as abcissas Xl, X2 ~

< X2 < X3

X3 foram numeradas de modo que Xl entre dois pontos nos dá:

d(PI' P2) = J(X2

d(P2,P3)

-

XI)2

= (X2 - xlhh

+ a2(x2 + a2,

A fórmula da distânc'

.

- XI)2

e d(PI' P3) = (X3 - xI)Vl

+ a2

Daí se segue imediatamente que

Do ponto de vista geométrico, b é a ordenada do ponto onde a reta. é o gráfico da função

f :x

f----t

ax

+

b, intersecta o eixo OY.

92

O

TI'

Além disso, naturalmente,

há funções que não se enquadram

em nenhuma

dessas quatro categorias.

Uma função afim é crescente quando sua taxa

de crescimento (dada pelo coeficiente a) é positiva, decrescente quando a é negativo e constante quando a = O. EXEMPLO

5.7.

O preço a pagar por uma corrida de táxi é dado por uma função afim f : x ri ax quilômetros),

+ b,

onde x é a distância

percorrida

o valor inicial b é a chamada

(usualmente

bandeirada

medida em

e o coeficiente a é o

preço de cada quilômetro rodado.

o gráfico

G de uma função

afim f : x ri ax

+b é

uma linha reta.

Para ver isto basta mostrar que três pontos quaisquer

P2 = (X2,ax2 P3 = (X3, aX3 desse gráfico são colineares.

+ b)

e

+ b)

Para que isto ocorra, é necessário e suficiente

que o maior dos três números d(g,

P2), d(P2' P3) e d(g,

P3) seja igual à

soma dos outros dois. Ora, podemos sempre supor que as abcissas Xl, X2 e X3 foram numeradas

de modo que Xl < X2 < X3 . A fórmula da distância

entre dois pontos nos dá:

d(Pl, P2) = )(X2

- Xl?

= (X2 - xlhh

+ a2(x2 + a2,

- Xl)2

e

Daí se segue imediatamente

que

Do ponto de vista geométrico, b é a ordenada do ponto onde a reta, que é o gráfico da função

f :X

ri

ax

+ b, 92

intersecta

o eixo OY.

O número

FUNÇÕ8S

CAPÍT1.TLO

AFINS

y

(O, b)

x

O

Figura 5.8

a chama-se a inclinação, ou coeficiente angular, dessa reta (em relação ao eixo horizontal

OX).

Quanto maior o valor de a mais a reta se afasta da

f

Quando a > O o gráfico de

posição horizontal.

é uma reta ascendente

(quando se caminha para a direita) e quando a < O, a reta é descendente. De acordo com a letra estrita da definição, a fim de conhecer uma função

f : X -+

Y, deve-se ter uma regra que permita

determinar

o valor

f (x)

No caso particular

(pelo menos teoricamente)

para todo x E X.

de uma função afim

f : lR -+

uma linha reta e como uma reta fica inteiramente

lR, como seu gráfico é

determinada

quando se

conhecem dois de seus pontos, resulta que basta conhecer os valores f(Xl) , que a função afim f : lR -+ lR assume em dois números

e f(X2)

(escolhidos arbitrariamente)

para que

f

fique inteiramente

Na prática, sabendo que f : ]R.-+ lR é afim e que f(Xl) com tenha

Xl

i-

X2, queremos determinar

f (x) = ax + b para

Xl

i-

X2

determinada. =

Yl, f(X2)

=

Y2

os coeficientes a e b de modo que se

todo x E ]R. Isto corresponde a resolver o sistema

no qual as incógnitas são a e b (!). A solução é imediata: b = X2Yl - X1Y2 . X2 - Xl

93

fi

CAPÍTULO

5

A FUNÇÃO AFIl\!

[Em geral, sempre que precisamos fazer a hipótese Xl

i=

X2 para resolver

um problema, a diferença X2 - Xl costuma aparecer em algum denominador na solução.] O argumento

acima provou que

Dados

arbitrariamente

e somente

uma, função

Evidentemente,

(Xl, YI),

(X2, Y2) E ffi., com Xl

i=

X2, existe

= YI e f(X2)

afim f : ffi. -+ ffi. tal que f(XI)

uma,

= Y2·

o gráfico de uma função afim é uma reta não vertical,

isto é, não paralela ao eixo OY. Reciprocamente: Toda reta não-vertical

r é o gráfico

de uma função

afim.

Para provar esta afirmação, tomemos dois pontos distintos P, e P2 Xl

i=

f(X2)

=

(X2, Y2) na reta r.

(Xl,

=

yd

Corno r não é vertical, temos necessariamente

X2, logo existe uma função afim f : ffi. -+ ffi. tal que f(XI)

=

YI e

= Y2· O gráfico de f é uma reta que passa pelos pontos PI e P2 logo

essa reta coincide com r. Se f (x)

=

ax

+ b, diz-se

que Y

=

ax

+b é a

da reta r. Se a reta r é o gráfico da função afim f, dada por f(x)

equação

=

ax

+ b,

o coeficiente Y2 - YI , X2 - Xl e (X2, Y2) são dois pontos distintos quaisquer de a=

onde (Xl,

yd

mente o significado de taxa de crescimento

de

f .

T,

tem clara-

A esse número é dado

também o nome de inclinação ou coeficiente angular da reta r, pois ele é a tangente trigonométrica Estas interpretações

do ângulo do eixo OX com a reta r. nos levam a concluir imediatamente

que a equação

da reta que passa pelos pontos (Xl, YI) e (X2, Y2), não situados na mesma vertical é

ou Y2 - YI ( ) X - X2 X2 - Xl (Os segundos membros destas equações são iguais!) Y = Y2

+

A primeira equação

nos diz que, se começarmos no ponto (Xl, YI) e caminharmos

sobre a reta,

fazendo X variar, a ordenada Y começa com o valor YI e sofre um incremento igual ao incremento X - Xl dado a x, vezes a taxa de variação Y2 - YI X2 - Xl

94

FUNÇÕES

AFINS

A segunda equação diz a mesma coisa, só que partindo do ponto (X2, Y2). De modo análogo, vemos que a equação da reta que passa pelo ponto (xo, Yo) e tem inclinação a é

Y = Yo + a(x - xo).

Comentários sobre terminologia = ax + b, não é adequado chamar

1. Se a função afim f é dada por f(x) o número a de coeficiente

angular da função f. O nome mais apropriado, que usamos, é taxa de variação (ou taxa de crescimento). Em primeiro lugar não há, na maioria dos casos, ângulo algum no problema estudado. Em segundo lugar, mesmo considerando o gráfico de

f ,o

ângulo que ele

faz com o eixo horizontal depende das unidades escolhidas para medir as grandezas x e f(x).

Em resumo: tem-se taxa de variação de uma função e

coeficiente angular de uma reta. 2. A maioria dos nossos testes escolares refere-se à função afim como "função

do primeiro grau". Essa nomenclatura sugere a pergunta:

o que é o grau

de uma função? Função não tem grau. O que possui grau é um polinômio, (Quando a grau.)

=1=

0, a expressão f(x)

=

ax

+b

é um polinômio do primeiro

O mesmo defeito de nomenclatura ocorre também com as funções

quadráticas, que estudaremos no capítulo seguinte. Elas muitas vezes são chamadas, incorretamente, "funções do segundo grau".

5.3

A Função Linear

A função linear, dada pela fórmula f (x) = ax, é o modelo matemático para os problemas de proporcionalidade.

A proporcionalidade é, provavel-

mente, a noção matemática mais difundida na cultura de, todos os povos e seu uso universal data de milênios. Sem ir tão longe, vejamos como este assunto era tratado em nosso país pelas gerações que nos antecederam.

Para isto, vamos consultar um com-

pêndio antigo e muito bem conceituado, sem dúvida o texto matemático de mais longa utilização no Brasil. Trata-se da Aritmética

Progressiva, de

Antonio Trajano, cuja primeira edição ocorreu em 1883 e ainda se achava

95

CAPÍTULO

5

c'·\PÍTtTLO

A FUNÇÃO

5

LINEAR

em circulação na década de 60, com mais de oitenta edições publicadas. Trajano dá a seguinte definição: Diz-se que duas grandezas são proporcionais dem de tal modo que, multiplicando-se

quando elas se correspon-

uma quantidade de uma delas por um

número, a quantidade correspondente da outra fica multiplicada ou dividida pelo mesmo número. No primeiro caso, a proporcionalidade se chama direta e, no segundo, inversa; as grandezas se dizem diretamente proporcionais inversamente

0'/1

proporcionais.

Substituindo

as grandezas de Trajano por suas medidas, que são números

reais, podemos traduzir

o que está dito acima para nossa linguagem atual,

da seguinte forma: Uma proporcionalidade

é uma função f : ]R ---+ ]R tal que, para quaisquer

= c· f(x)

números reais c, x tem-se f(cx) f(cx)

= f(x)/c,

se c

i= O

(proporcionalidade

(proporcionalidade

direta) ou

inversa).

Nesta nova versão, as grandezas da definição antiga são os números reais x, y e a correspondência

a que Trajano se refere é uma função

f : ]R ---+

]R

tal que y = f(x). É claro que se f(cx) a = f(l)

=

c f(x)

, tem-se f(c) = f(c·

todo c E]R. x E IR, logo

para todo c e todo x então, escrevendo

1) = c· f(l)

= ca, ou seja, f(c) = ac para

Numa notação mais adequada,

f

temos f (x)

=

ax para todo

é uma função linear.

Em suma, a definição tradicional retamente proporcional

equivale a dizer que a grandeza y é di-

à grandeza x quando existe um número a (chamado

a constante de proporcionalidade)

tal que y = ax para todo valor de x.

Quanto à proporcionalidade

inversa, ela só tem sentido quando se trata

de grandezas não-nulas.

Seu modelo matemático

(onde ]R* = ]R - {O}) tal que f(cx)

= f(x)/c

é uma função

f : IR*---+

]R*

para c, x E ]R* quaisquer.

Usando o mesmo raciocínio anterior, isto quer dizer que, para todo x E ]R*, tem-se f(x)

= a/x, onde a constante a é f(1).

Fixaremos nossa atenção na proporcionalidade

direta, que chamaremos

apenas de "proporcionalidade". Na prática,

há situações em que a fórmula y = ax, que caracteriza

proporcionalidade,

é dada explicitamente

(ou quase).

Por exemplo, se um

quilo de açúcar custa a reais então x quilos custam y = ax reais.

96

a

FUNÇÔES

AFINS

Em muitos casos, porém, a constante a de proporcionalidade não está clara e, às vezes, nem mesmo tem relevância alguma para o problema. Um exemplo disso se tem nas aplicações do teorema de Tales. Naquele teorema, tem-se um triângulo ABC e uma correspondência que a cada ponto X do lado AB associa o ponto Y do lado AC tal que XY é paralelo a BC.

O teorema de Tales assegura que o comprimento y do

segmento AY é proporcional ao comprimento x de AX.

Mas que impor-

tância tem a constante de proporcionalidade a = y I x ? Por acaso, tem-se a = sen BIsen C mas este valor não significa muito no caso. A

~--------1..Y B

C

---------->e Figura 5.9

Este exemplo chama a atenção para o fato de que nos problemas relativos à proporcionalidade o que importa muitas vezes é saber apenas que se y = e y' = f(x')

f(x)

então y' Ix' = ylx

Quando a correspondência x

f---t

é constante. y, x'

f---t

y' é uma proporcionalidade, a

igualdade y' I x' = y I x permite que se determine um desses quatro números quando se conhecem os outros três. Nisto consiste a tradicional "regra de três". Mas há uma questão preliminar que é a seguinte: como vamos ter certeza de que a correspondência x

f---t

Trajano exige que se tenha f(cx)

y é uma proporcionalidade? =

cf(x)

A definição de

para todos os valores reais de c e

x. Em particular, para todo c. Isto é fácil de verificar quando c é inteiro. E nos outros casos? E se c for irracional? Felizmente basta que se saiba que

f(nx)

f

=

nf(x)

para todo x E IR e todo

ti

inteiro, desde que se suponha que

é monótona (o que é fácil de constatar na prática).

97

CAPÍTULO

G

CAPÍTULO

A FUNÇÃO LINEAR

5

o teorema

abaixo é a chave para determinar,

em todas as situações, se

uma dada função é ou não linear. TEOREMA TEOREMA

5.8.

FUNDAMENTAL

DA PROPORCIONALlDADE

Seja

f : IR ---+

IR uma funç~o crescente.

As seguintes afirmações são

equivalentes:

= nf(x) para todo ri E Z e todo x E IR . (2) Pondo a = f(1), tem-se f(x) = ax para todo x

(1) f(nx)

(Logo f(cx)

cf(x) para quaisquer c, x E IR.) (3) f(x + y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y

DEMONSTRAÇÃO.

E

IR.

=

Provaremos de demostrar racional r =

as implicações

(1) ~

E

IR.

(2), (2) ~

(3) e (3) ~

(1). A fim

que (1) ~ (2), provemos inicialmente que, para todo número

mf n,

a hipótese (1) acarreta que f(rx)

= rf(x),

seja qual for

x E IR. Com efeito, como nr = m, tem-se:

n· f(rx)

= f(nrx)

= f(mx)

= m· f(x),

logo

f(rx)

m

= -

f(x)

= r . f(x).

ti

Seja a = f(l).

Como f(O) = f(O . O) = O· f(O) = O, a monotonicidade

de f nos dá a = f(1)

> f(O) = O. Assim, a é positivo. Além disso, temos f(r) = f(r· 1) = r· f(l) = r . a = ar para todo r E Q. Mostremos agora que se tem f(x) = ax para todo x E IR. Suponha, por absurdo, que exista algum número real x (necessariamente

irracional) tal que f(x) caso f(x)

=I ax.

Para fixar ideias, admitamos

f(x)

< ax. (O

> ax seria tratado de modo análogo.) Temos f(x)

--
f (x) / a

e x. Assim,

f(x)

< r < x.

a < ar < ax, ou seja, f(x)

< ax. Mas isto é absurdo, pois f é crescente logo, como r < x, deveríamos ter f(r) < f(x). Esta Então f(x)

98

< f(r)

FUNÇÕES AFINS

contradição completa a prova de que (1) e (3)

=}

=}

(2). As implicações (2)

=}

CAPÍTULO 5

(3)

(1) são óbvias.

Em algumas situações, o Teorema Fundamental

da Proporcionalidade

precisa ser aplicado a grandezas (como área ou massa, por exemplo) cujas medidas são expressas apenas por números positivos. função crescente

f : IR+ -+ IR+,

Então temos uma

onde IR+ = {x E IR; x > O} é o conjunto dos

números positivos. Neste caso, as afirmações do Teorema leem-se assim:

(1+) f(nx) = n· f(x) para todo n E N e todo x E IR+. (2+) Pondo a = f(l), tem-se f(x) = ax para todo x E IR+. (3+) f(x + y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y E IR. Neste novo contexto, o Teorema Fundamental da Proporcionalidade tinua válido, isto é, as afirmações (1+),

(2+) e (3+) são ainda tes. Isto se mostra introduzindo a função F : IR -+ IR, onde F(x) = f(x) e F( -x) = - f(x) para todo x > O. Cada uma das (1+) , (2+) e (3+) para f equivale a uma das afirmações (1), (2) e Deve-se observar que a função tem-se a = f(l)

f

con-

equivalen-

F(O) = O, afirmações

(3) para F.

do teorema acima sendo crescente,

> O. No caso de se supor f decrescente vale um resultado

análogo, com a < O. A importância deste teorema está no seguinte ponto: se queremos saber

f : IR -+ IR é uma função linear basta verificar duas coisas. Primeira: f deve ser crescente ou decrescente. (Estamos lado o caso trivial de f identicamente nula.) se

Segunda: f(nx) = nf(x) para todo x E IR e todo n f : IR+ -+ IR+ basta verificar esta última condição para n

deixando de

E

Z. No caso de

E

N.

Se investirmos a quantia x, digamos numa caderneta de poupança, depois de um ano teremos um capital f(x).

Evidentemente,

EXEMPLO 5.9.

f é uma função

crescente de x: quanto mais se aplica mais se recebe no final. Além disso, tem-se f(nx)

=

nf(x)

para todo n E N e todo x. De fato, esta igualdade

significa que tanto faz abrir uma caderneta de poupança com o capital inicial x' = nx como abrir (no mesmo dia) n cadernetas, valor inicial x. O Teorema Fundamental

99

cada uma com o

nos permite concluir que f(x)

é

A 111

CAPÍTULO

A FUNÇÃO LINEAR

5

proporcional a x. Mais precisamente, se a aplicação de 1 real der, no final de um ano, um valor de resgate igual a a, então o capital inicial de x reais se transformará

= ax no final de um ano. (Não confundir este

em f(x)

exemplo com o crescimento do capital em função do tempo.

Este não é

proporcional e será tratado quando estudarmos a função exponencial.)

EXEMPLO 5.10.

Euclides dizia: "dois retângulos de mesma altura estão entre si como suas bases". Isto quer dizer que, se a altura de um retângulo é fixada, a área desse retângulo é proporcional à base. Ou ainda: a área de um retângulo de altura a e base x é uma função linear de x. É claro que esta afirmação é uma consequência super-óbvia da fórmula de área do retângulo. O ponto, todavia, é que ela é o argumento crucial para a dedução daquela fórmula, logo não pode ser deduzida como sua consequência. Para estabelecer sua veracidade, seja f(x)

f

a área do retângulo de altura a e base x. É claro que

é uma função crescente de x. Além disso, é claro que um retângulo de

altura a e base nx pode ser decomposto em n retângulos de mesma altura a, cada um com base x, logo f(nx)

=

nf(x).

Segue-se, então, do teorema

= A . x, onde A = f(1) é a área de um retângulo de altura a e base 1. Vamos mostrar que A = a. O mesmo argumento, aplicado aos retângulos de mesma base 1 e altura variável, mostra que A = a- U, onde U

que f(x)

é a área do retângulo de base e altura iguais a 1. Mas este é o quadrado de lado 1 o qual é, por definição, a unidade de área. Portanto U = 1 e A = a. Conclusão: a área de um retângulo de altura a e base x é igual a ax.

x

x

x

Figura 5.10

100

x

x

_-o enunciado que demos para o Teorema Fundamental da Proporcionae. fizemos a hipótese de que a função o mesmo).

f

fosse crescente (ou decrescente,

Outra hipótese possível para o teorema - e equivalente,

e caso à monotonicidade - seria de que a função ---,"-"",",eque, na demonstração, rar

a monotonicidade

f

fosse contínua.

foi usada apenas para

que se f (r) = ar para todo r racional então f (x) = ax para todo x

. Esta conclusão é imediata quando

f

é contínua, pois todo número real

. limite de uma seqüência de números racionais r n, logo a continuidade

r nos dá f (x)

=

lim f (r n) = lim ar n = ax. A razão pela qual optamos

usar monotonicidade, em vez da continuidade para

f

é que este último

ceito não é usualmente tratado no Ensino Médio, enquanto "crescente" e ecrescente" são noções bem mais elementares, que não dependem da ideia limite.

5.4

Caracterização da Função Afim

Como saber se, numa determinada situação, o modelo matemático a ser adotado é uma função afim? No caso da tarifa do táxi não há problema. Tem-se f(x)

= ax + bonde

x é a distância percorrida, f (x) é o preço a pagar, b é a bandeirada e a é a taxa por quilômetro rodado. Mas nem todo problema é assim tão explícito. Vejamos um caso diferente. E.W. observou, numa sapataria, que o vendedor determinava o número do sapato do cliente medindo seu pé com uma escala na qual, em vez de centímetros, estavam marcados os números ... 36,37,38, ....

O fato mais

importante que ele percebeu foi que esses números estavam igualmente espaçados, isto é, a distância de cada um deles para o seguinte era constante. Isto queria dizer que a acréscimos iguais no tamanho do pé corresponderiam acréscimos iguais no número do sapato. Dito de outro modo: se um certo pé precisar de crescer h centímetros para passar de tamanho 33 para 34, precisará de crescer os mesmos h centímetros para passar de 38 para 39. Isto lhe deu a certeza de que a função que faz corresponder a cada comprimento x de um pé o número f(x)

do sapato adequado é uma função afim:

101

OBSERVAÇÃO.

CAPÍTULO 5

.

CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO AFIM

f (X) =

ax + b. (Vide teorema a seguir.)

E.W. sabia que, para determinar tava conhecer Yl = f(xd

os coeficientes a, b da função afim, bas-

e Y2 = f(X2)

para dois valores diferentes quaisquer

e X2· Ele atravessou a rua. Do outro lado havia uma papelaria, onde comprou

Xl

uma régua.

Voltou à sapataria

e pediu emprestada

a escala do vendedor.

Como sua régua media até milímetros enquanto a escala só marcava pontos e meios pontos, escolheu dois valores correspondentes,

Yl = f(Xl)

inteiros.

Xl

Tomou

Xl

#-

X2 tais que os números de sapato

e Y2 = f(X2),

assinalados

= 20, X2 = 28 e viu que f(Xl)

na escala, fossem

= 32, f(X2)

partir daí, calculou os coeficientes a = (Yl - Y2)/(Xl

= 42. A

- X2) e b = Yl - aXl

chegando à fórmula f(X)=5X;28, que dá o número f(x) X

do sapato de uma pessoa em função do comprimento

do seu pé em centímetros.

Para chegar à sua fórmula, E.W. fez uso do

seguinte TEOREMA 5.11.

f : IR

Seja f(x

+ h)

IR uma função monótona

-----t

- f(x)

cp(h) depender

=

injetiva.

Se o acréscimo

apenas de h, mas não de x, então f

é uma função afim.

A demonstração

deste teorema, que faremos agora, é uma aplicação do

Teorema Fundamental que a função

f

da Proporcionalidade.

seja crescente.

Para fixar ideias, suporemos

Então cp : IR -----t IR também é crescente, com

cp(O) = O. Além disso, para quaisquer h , k E IR temos cp(h

+ k)

f(x)

=

- f(x

= Logo,

pelo

a = cp(l), f(x+h) f(x)

+ h + k) f((x + k) + h) cp(h) + cp(k).

= f(x

Teorema tem-se cp(h)

- f(x)

= ah.

Fundamental

+ k) + f(x + k)

da

Proporcionalidade,

= a . h para todo h E IR. Chamando

= ax + b para todo X

E

f(O)

IR.

102

( !

- f(x)

de b, resulta f(h)

pondo-se

Isto quer dizer que

= ah+b,

ou seja,

FUNÇÕES AFINS

A recíproca do teorema acima é óbvia. Se f(x)

h) - f(x)

=

= ax

ah não depende de z. A hipótese de que

CAPÍTULO .5

+ b então f(x + f(x + h) - f(x)

OBSERVAÇÃO.

não depende de x às vezes se exprime dizendo que "a acréscimos iguais de

x correspondem "acréscimos iguais para f(x)".

Outra maneira de exprimir

f (x)

esta hipótese consiste em dizer que os acréscimos sofridos por

são

proporcionais aos acréscimos dados a z.

Suponhamos um ponto que se movimenta sobre um eixo. Sua posição, em cada instante t, é determinada pela coordenada (abcissa) f(t). que se trata de um movimento no mesmo sentido (isto é,

f

uniforme

EXEMPLO 5.12.

Diz-se

quando o ponto se desloca sempre

é uma função monótona) e, além disso, em

+ h)

tempos iguais percorre espaços iguais. Isto significa que f(t

- f(t),

espaço percorrido no tempo h, a partir da posição f(t),

depende apenas

de h, mas não de t.

= at + b, onde

Então f é uma função afim: f(t)

a = f(t + 1) - f(t) , espaço percorrido na unidade de tempo, chama-se a velocidade e b = f (O) é a posição inicial.

Na definição usual de movimento uniforme, a condição de que o ponto móvel se desloque sempre no mesmo sentido não é imposta. A razão para isto é que se supõe sempre que, no movimento, a função f(t)

que dá a

posição do ponto no instante t seja contínua. E, como já observamos antes, no Teorema Fundamental

da Proporcionalidade,

a monotonicidade

de

f

pode ser substituída por sua continuidade, sem alterar a conclusão. Deve-se esclarecer, porém, que uma dessas hipóteses - monotonicidade, continuidade ou algo equivalente - deve ser incluída pois existem funções incrivelmente complicadas, para as quais vale a condição f(x

f (y) para x, y E ffi. quaisquer mas f não é da forma f (x)

=

f : ffi.

+ y)

=

----+ ffi.,

f(x)

+

ax.

Existe uma conexão interessante entre funções afins e progressões aritméticas, análoga à que veremos mais tarde entre funções exponenciais e progressões geométricas. Uma progressão

aritmética

pode ser vista geometricamente como uma

sequência (finita ou infinita) de pontos

103

Xl,

X2, ...

,Xi,

...

igualmente espa-

OBSERVAÇÃO.

CAPÍTULO

5

CARACTEHIZAÇÃO

çados na reta.

DA FUNÇÃO

AFIM

Isto quer dizer que a razão h

= Xi+l

-

Xi nao depende

de i:

h = X2 -

Xl

= X3 - X2 = ... =

xi+l

-

Xi = ....

Se f : lR -+ lR é uma função afim, digamos f(x)

= ax+b, e Xl, X2,"" Xi," é uma progressão aritmética, então os pontos Yi = f(Xi), i = 1,2, ... também estão igualmente espaçados, isto é, formam uma progressão aritmética cuja razão é Yi+l -

Yi = (aXi+1

+ b)

- (axi

+ b) =

a(xi+l - Xi) = ah.

Assim, se tivermos uma reta não-vertical (gráfico de uma função afim) em lR e tomarmos sobre ela os pontos

(1, YI), (2, Y2), ... , (i, Yi), ... cujas abcissas são os números naturais 1,2, ... ,i, ... , as ordenadas YI, Y2, ... :

Yi, ... desses pontos formam uma progressão aritmética. Reciprocamente, se uma função monótona f : lR -+ lR transforma qualquer progressão aritmética Xl, X2, ... ,Xi, ... numa progressão aritmética YI = f(xd, Y2 = f(X2), ... ,Yi = f(Xi), ... então f é uma função afim. Com efeito, neste caso a nova função 9 : lR -+ lR, definida por g(x) ~ f(x) - f(O), transforma qualquer progressão aritmética noutra progressão aritmética, e agora tem a propriedade g(O) = O. Mostremos que 9 é linear. Para todo X E lR, os números -x, O,X formam uma progressão aritmética, logo o mesmo ocorre com os números g( -x), O,g(x). Por conseguinte, g( -x) = -g(x). Em seguida, consideremos X E lR e n E N. Então os números O,x, 2x, ... , nx formam uma progressão aritmética, o mesmo se dando com suas imagens por 9 : 0,g(x),g(2x), ... ,g(nx). A razão desta progressão pode ser obtida tomando a diferença entre o segundo e o primeiro termo, logo esta razão é

g(x).

Segue-se então que g(nx)

ri . g(x). Finalmente, se ti é um inteiro negativo, temos -n E N logo g(nx) = -g( -nx) = -( Ti:» g(x)) = n.- g(x). Assim, vale g(nx) = ng(x) para todo ri E Z e todo X E IR. Pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, segue-se que 9 é linear: g(x) = ax, portanto, pondo f(O) = b, temos f(x) = g(x) + f(O) = ax + b para todo =

=r

X

E

lR, como queríamos demonstrar.

104

r.-:: -

çoe Po As funções poligonai

·gO..LL•... ~

urzem natura.mente,

tanto na vida cotidiana (im-

osto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoria que oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidade em diversas áreas da Matemática

comprada) como

(Análise, Cálculo Numérico, Equações Di-

ferenciais, Topologia). Diz-se que f : IR ---t IR é uma função

poligonal

... < tn tais que, para x ~ to, para x ~

quando existem to < i, <

t« e em cada um dos intervalos

[ti-I, ti], f coincide com uma função afim fi . (Para evitar descontinuidades, exige-se que fi(ti) função

f : IR

---t

O protótipo

f(x)

= Ixl·

=

fi-I(ti-I).)

Equivalentemente,

podemos dizer que uma

IR é poligonal quando seu gráfico é uma linha poligonal. de função poligonal é uma função

Ou então f(x)

= Ix - c],

f : IR

---t

para algum c E IR.

y

o

x

to

Figura 5.11: Gráfico de uma função poligonal.

Outros exemplos são dados por expressões do tipo

f(x)

= lax

+,81

ou

g(x) = Ix - ai + Ix

105

-,81

IR, definida por

I I

FC.:\Ç"ÕES POUGO.:\AIS

y

y

o

x

o

c

x

Figura 5.12

Estes exemplos nos levam a conjeturar

que toda função poligonal pode

ser definida combinando valores absolutos de funções afins. Esta conjetura é verdadeira.

(Ver exercícios deste capítulo.)

106

FUNÇÕES

AFINS

CAPÍTULO

Exercícios 5.1. Quando dobra o percurso em uma corrida de táxi, o custo da nova corrida é igual ao dobro, maior que o dobro ou menor que o dobro da corrida original? 5.2. A escala da Figura 5.13 a seguir é linear. Calcule o valor correspondente ao ponto assinalado. 17

59

1--

------11---+---

--

------11---

--I

1 Figura 5.13

5.3. A escala N de temperaturas

foi feita com base nas temperaturas

xima e mínima em Nova Iguaçu.

má-

A correspondência com a escala

Celsius é afim e sabemos o seguinte:

°N °C O 18 100 43

Em que temperatura

ferve a água na escala N ?

5.4. Uma caixa d'água de 1000 litros tem um furo no fundo por onde escoa água a uma vazão constante. Ao meio dia de certo dia ela foi cheia e, às 6 da tarde desse dia, só tinha 850 litros. Quando a caixa ficará pela metade?

107

5

,

F~-:\"Ç-UE:3 PULX;u:\"_\IS

!

,

5.5.

m garoto brinca de arrumar palitos fazendo uma sequência de quadrados como na figura. Se ele fez ti quadrados, quantos palitos utilizou?

Figura 5.14

5.6. Admita que 3 operários, trabalhando

8 horas por dia, construam um

muro de 36 metros em 5 dias. a) Quantos dias são necessários para que uma equipe de 5 operários, trabalhando

6 horas por dia, construa um muro de 15 metros?

b) Que hipóteses foram implicitamente utilizadas na solução do item anterior? c) Dentro dessas mesmas hipóteses, exprima o número D de dias necessários à construção de um muro em função do número N de operários, do comprimento C do muro e do número H de horas trabalhadas

por

dia. 5.7. As leis da Física, muitas vezes, descrevem relações de proporcionalidade direta ou inversa entre grandezas. Para cada uma das leis abaixo, escreva a expressão matemática correspondente. a) (Lei da gravitação universal). Matéria atrai matéria na razão direta das massas e na razão inversa do quadrado das distâncias. b) (Gases perfeitos).

A pressão exercida por uma determinada massa

de um gás é diretamente proporcional à temperatura

absoluta e inver-

samente proporcional ao volume ocupado pelo gás. c) (Resistência

elétrica).

A resistência de um fio condutor é direta-

mente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional à área de sua seção reta.

108

FUNÇÕES

d) (Dilatação térmica). é diretamente

A dilatação

proporcional

AFINS

CAPÍTl1LO ,)

térmica sofrida por uma barra

ao comprimento

da barra e à variação de

temperatura. 5.8. As grandezas X e Y são inversamente

proporcionais.

acréscimo de 25% qual o decréscimo percentual

Se X sofre um

sofrido por Y ?

5.9. Os termos aI, a2, ... ,an de uma P.A. positiva crescente são os valores

j(l),

j(2), ... ,j(n)

de uma função afim.

a) Mostre que cada

aí

é igual à área de um trapézio delimitado

pelo

gráfico de [, pelo eixo OX e pelas retas verticais de equações .

X ='1,--

1 2

Y

o

ti

1

X

Figura 5.15 b) Mostre que a soma S = aI

+ a2 + ... + a-;

é igual à área do trapézio

delimitado pelo gráfico de j, pelo eixo OX e pelas retas verticais x e x -_

ti

= ~

+1"2.

c) Conclua que S .10. Pessoas apressadas

=

altann . podem diminuir o tempo gasto em uma escada

rolante subindo alguns degraus da escada no percurso. Para uma certa escada, observa-se que uma pessoa gasta 30 segundos na escada quando sobe 5 degraus e 20 segundos quando sobe 10 degraus. os degraus da escada e qual o tempo normalmente

109

Quantos são

gasto no percurso?

CAPÍTULO

5

FUNÇÕES

POLIGONAIS

5.11. Augusto, certo dia, fez compras em 5 lojas.

Em cada loja, gastou

metade do que possuia e pagou, na saída, R$ 2,00 de estacionamento. Se após toda essa atividade ainda ficou com R$ 20,00, que quantia ele tinha inicialmente? 5.12. Seguindo as ideias de E.W., construa uma régua para medir números de sapatos. 5.13. Estuda-se a implantação da chamada "fórmula 95". Por essa fórmula os trabalhadores

teriam direito à aposentadoria

quando a soma da

idade com o número de anos de serviço atingisse 95. Adotada essa fórmula, quem começasse a trabalhar com 25 anos, com que idade se aposentaria? 5.14. Em uma escola há duas provas mensais, a primeira com peso 2 e a segunda com peso 3. Se o aluno não alcançar média 7 nessas provas, fará prova final. Sua média final será então a média entre a nota da prova final, com peso 2 e a média das provas mensais, com peso 3. João obteve 4 e 6 nas provas mensais. Se a média final para aprovação é 5, quanto ele precisa obter na prova final para ser aprovado? 5.15. Arnaldo dá a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e dá a Carlos tantos reais quanto Carlos possui. Em seguida, Beatriz dá a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui.

Finalmente,

Carlos

faz o mesmo. Terminam todos com R$ 16,00 cada. Quanto cada um possuía no início? 5.16. Um carro sai de A para B e outro de B para A, simultaneamente,

em

linha reta, com velocidades constantes e se cruzam em um ponto situado a 120m do ponto de partida mais próximo. Completada a viagem, cada um deles para por 10min e regressa com a mesma velocidade da ida. Na volta, cruzam-se em um ponto situado a 400m do outro ponto de partida. Qual a distância de A até B? 5.17. Em uma ferrovia, as estações A e B distam entre si 3km e a cada 3min parte um trem de cada uma delas em direção à outra.

Um pedestre

parte de A para B, no exato momento em que um trem parte de A

FUNÇÕES

AFINS

para B e outro chega a A vindo de B. Ele chega a B no exato momento em que um trem parte de B para A e outro trem chega a B vindo de

A. Em seu caminho, o pedestre encontrou 17 trens que iam no mesmo sentido que ele e com 23 trens que iam no sentido oposto ao seu, aí incluídos os 4 trens já citados anteriormente.

As velocidades dos trens

são iguais. Calcule as velocidades dos trens e do pedestre. 5.18. Dado o gráfico da função

i. a seguir,

obtenha, em cada caso, o gráfico

da função 9 tal que:

y

x Figura 5.16

a) g(x) b) g(x) c) g(x) d) g(x) e) g(x) f) g(x) g) g(x) h) g(x)

f(x) - 1; = f(x - 1); = f( -x); = 2f(x); = f(2x); = If(x)l; = f(lxl); = max{f(x), O}. =

i.19. Determine os valores reais de x que satisfazem:

(x - 1) < x + 1; b) 2x (x - 1) < x + 5; c) min{x+1;5-x} > 2x-3; a) 2x

+3+3-

111

CAPÍTULO

5

CAPÍTULO

5

FUNÇÕES

min{x e) min{2x d)

POLIGONAIS

+ 1; 5 -

x} < 2x; - 1; 6 - x} = x;

f) 21x + 11- 11- xl ~ x + 2; g) (2x + 3)(1- x) = (2x + 3)(x - 2); h) Ix + 1 - Ix - 111~ 2x - 1. 5.20. Resolva a inequação 1

1

--<--. 2x + 1 1- x 5.21. Determine a imagem da função

f(x)

=

f : IR

max{x

-+ IR tal que

-1,10

- 2x}.

5.22. Faça os gráficos de:

= min{4 - x;x + 1}; b) f(x) = Ix+11-lx-lIa) f(x)

5.23. Identifique o conjunto dos pontos (x, y) tais que:

a) Ixl + Iyl = 1; b) Ix - yl = 1. 5.24. Um supermercado está fazendo uma promoção na venda de alcatra: um desconto de 10% é dado nas compras de 3 quilos ou mais. Sabendo que o preço do quilo de alcatra é de R$ 4,00, pede-se: a) o gráfico do total pago em função da quantidade comprada. b) o gráfico do preço médio por quilo em função da quantidade comprada. c) a determinação de quais consumidores poderiam ter comprado mais alcatra pagando o mesmo preço. 5.25. Os novos valores de IR-fonte: (Dados de 1996.) Base de cálculo

Alíquota

Parcela a deduzir

Até R$900

Isento

-

De R$900 a R$1800

15%

R$135

Acima de R$1800

25%

R$315

112

FUNÇÕES

AFINS

CAPÍTULO I

Fonte: Secretaria da Receita Federal Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função do rendimento. 5.26. O imposto de renda y pago por uma pessoa que, em 1995, teve uma renda líquida x é calculado através de uma expressão da forma y = ax - p, onde a alíquota a e a parcela a deduzir p dependem da renda x e são dadas por uma tabela, parcialmente fornecida a seguir.

Renda (em R$)

Alíquota( a) Parcela a deduzir p

Até 8800

O

De 8800 a 17160

15%

De 17160 a 158450

26%

Mais de 158450

35%

O

a) Complete a tabela, de modo que o imposto a pagar varie continuamente com a renda (isto é, não haja saltos ao se passar de uma faixa de renda para outra). b) Se uma pessoa está na terceira faixa e sua renda aumenta de R$ 5.000,00, qual será seu imposto adicional (supondo que este acréscimo não acarrete uma mudança de faixa) 7 c) É comum encontrar pessoas que lamentam estar no início de uma faixa de taxação ("que azar ter recebido este dinheiro a mais!"). Este tipo de reclamação é procedente7 d) Os casais têm a alternativa de apresentar declaração em conjunto ou separadamente.

No primeiro caso, o "cabeça do casal" pode efetuar

uma dedução de R$ 3.000,00 em sua renda líquida mas, em compensação, tem que acrescentar a renda do cônjuge. Em que casos é vantajosa a declaração em separado 7 e) A tabela de taxação é, às vezes, dada de uma outra forma, para permitir o cálculo do imposto através de uma expressão da forma y = b(x - q) (isto é, primeiro se deduz a parcela q e depois se aplica a alíquota).

Converta a tabela acima para este formato (isto é, calcule

os valores de b e q para cada faixa de renda). f) Qual a renda para a qual o imposto é igual a R$ 20.000,007

113

G

CAPÍTULO

5

FUNÇÕES

POLIGONAIS

g) Esboce o gráfico da função que associa a cada renda x o percentual desta renda que é pago de imposto. 5.27. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços: Número de cópias de um mesmo original Preço por cópia de 1 a 19

R$ 0,10

de 20 a 49

R$ 0,08

50 ou mais

R$ 0,06

a) Esboce o gráfico da função que associa a cada natural n o custo de ti

cópias de um mesmo original.

b) O uso da tabela acima provoca distorções. Aponte-as e sugira uma tabela de preços mais razoável. 5.28. Resolva as seguintes equações:

21 = 2x - 1; 13x - 61 = x + 3; [z - 21 = x - 3.

a) I x b)

c)

5.29. Chama-se de junção-rampa

a uma função poligonal j : [a, b] -----t lR, cujo

gráfico é de uma das formas abaixo: y

y

a

D

°

c

° a

c

d

b

d

b

x

D

x

Figura 5.17

Isto é, j tem dois patamares mente, os valores

°

[a, c] e [d, b], onde assume, respectiva-

e D, ligados por uma rampa.

114

FUNÇÕES

a) Mostre que toda função-rampa Q

f(x)

=

2[(d

- c)

AFINS

CAPÍTULO

pode ser escrita na forma

+ Ix

- cl

+ Ix

- di]'

para todo x E [a, b], onde D Q=--

d-c é a inclinação da rampa. b) Mostre que toda função poligonal definida em um intervalo pode ser expressa como uma soma de uma função constante ser vista como uma função-rampa finito de funções-rampa.

[a, b]

(que pode

de inclinação zero) com um número

Escreva nesta forma a função poligonal cujo

gráfico é dado abaixo. y

4

X

Figura 5.18

c) Conclua que toda função poligonal definida em um intervalo [a, b] pode ser escrita na forma

para todo x E [a, b], onde aI, a2, ... ,an são as abcissas dos vértices da poligonal. Escreva nesta forma a função poligonal cujo gráfico é dado na Figura 5.18. -.30. Dadas as progressões aritméticas

115

5

CAPÍTULO

5

FUNÇÕES

POLIGONAIS

mostre que existe uma, e somente uma, função afim

f(al) 5.31.

= bs, f(a2) = b2, ... ,f(an)

= bn,

A e B são locadoras de automóvel.

IR tal que

...

A cobra 1 real por quilômetro

rodado mais uma taxa de 100 reais fixa. quilômetro

f : IR ----t

B cobra 80 centavos por

mais uma taxa fixa de 200 reais. Discuta a vantagem de

A sobre B ou de B sobre A em função do número de quilômetros a serem rodados. 5.32. Defina uma função f : IR ----t IR pondo f(x)

f(x)

=

3x se x é irracional.

todo n E Z e todo x E IR mas

2x se x é racional e Mostre que se tem f(nx) = nf(x) para

f

=

não é linear.

5.33. Prove que a função f : IR ----t IR, definida por f(x)

= 3x + sen(2nx), é

crescente e, para todo x E IRfixado, transforma a progressão aritmética

x, x

+ 1, x + 2, ...

numa progressão aritmética.

Entretanto,

f não é

afim. Por que isto não contradiz o fato provado no final da Seção 5.4 (págs. 114 e 115)7

-'

116

FUNÇÕES

QUADRÁTICAS

CAPÍTULO

6

DEFINIÇÃO

6.1

E PRELIMINARES

Definição e Preliminares

Uma função f : IR -t IR chama-se quadrática reais a, b, c, com a

#-

=

O, tais que f(x)

ax2

quando são dados números

+ bx + c para

todo x E IR.

A primeira observação que faremos é: os coeficientes a, b, c da função

f

quadrática

ficam inteiramente

determinados

assume. Noutras palavras, se ax2

+ bx + c =

pelos valores que essa função a'x2

+ b'x + c' para

todo x E IR

então a = a', b = b' e c = c'. Com efeito, seja ax2

+ bx + c =

a' x2

+ b'x + c' para

todo x E IR. Tomando

c'. Então, cortando c e c', tem-se ax2

+ bx = a'x'2 + b'x para todo x E IR. Em particular, esta igualdade vale para todo x #- O. Neste caso, cancelando x, obtemos ax + b = a'x + b' para todo x #- O. Fazendo primeiro x = 1 e depois x = -1, vem a + b = a' + b' e -a + b = -a' + b': x

= O, obtemos c =

donde concluímos a = a' e b = b'. A observação acima permite que se identifique uma função quadrática com um trinômio do segundo grau. Há, em princípio, uma diferença sutil entre esses dois conceitos. formal do tipo aX2

Um trinômio

+ bX + c, com

grau é uma expressão

do segundo

a, b, c E IR, sendo a

#-

O. A palavra formal

aí significa que a letra X é apenas um símbolo, sendo X2 um outro modo de escrever X X. Por definição, dois trinômios aX2 + bX + c e a' X2 + b' X + c' são iguais quando a = a', b = b' e c = c'. [Em última análise, um trinômio é o mesmo que um terno ordenado de números reais (a,b,c).]

A cada trinômio ax2

+ bx + c.

mio)

f---1

corresponde

A observação anterior significa que essa correspondência

(função quadrática)

drática, tal correspondência EXEMPLO

6.1.

definida por x

a função quadrática

é biunívoca.

f---1

(trinô-

(Pela definição de função qua-

é automaticamente

sobrejetiva.)

As frações racionais X3 - 3X

+2

X2 - 2X

+

são expressões formalmente

f : IR -

{1}

-t

1

e

X4

- X2 + X - 2 X3 - X2 +X-1

+ X3

bem diferentes, que definem a mesma função

IR, pois, para todo número real x x3 x2

-

3x 2x

+2

+1

x4

+ x3

-

x2

x3 -

x2

+X

--------

118

+X -

-

1

#2

1, tem-se =

x

+ 2.

FCNÇÕES

QUADRATICAS

CAPÍTl'LO

Este exemplo serve para mostrar que, quando não se trata de polinômios, duas expressões formais distintas podem definir a mesma função real de uma variável real. A partir de agora, identificaremos

a função quadrática

do segundo grau a ela associado e nos permitiremos f (x) = ax2

com o trinômio

falar da função

+ bx + c

sempre que não houver perigo de confundi-Ia com o número real f(x),

que

é o valor por ela assumido no ponto x.

A fim de que se tenha a = a', b = b' e c = c', não é necessário exigir, como fizemos acima, que

+ bx + c = a' X2 + b' x + c'

ax2

para todo x E IR . Basta supor que esta igualdade valha para três valores distintos de x. Passemos a discutir este assunto. Suponhamos

que as funções quadráticas

f(x)

= ax2 + bx + c e g(x) = a'x2 + b'x + c'

assumam os mesmos valores f(XI)

= g(XI),

para três números reais distintos

Xl,

f(X2)

X2 e X3.

= g(X2) e f(X3) Escrevendo

= g(X3)

a = a - a',

(3 = b - b' e "( = c - c', queremos mostrar que a = (3 = "(= O. Sabemos que f(XI)

- g(XI)

= O, f(X2)

= O e f(X3)

- g(X2)

Subtraindo

= O. Isto significa que

+ (3XI + "( = O + (3X2 + "(= O + (3x3 + "(= O.

axi {

- g(X3)

ax~ ax~

a primeira equação de cada uma das outras, vem: a(x~ a(x~

- xi) - xi)

+ (3(X2 - Xl) == O + (3(X3 - Xl) = o. #- O, podemos dividir

Xl

#-

O e X3 -

equações por X2 -

Xl

e a segunda por X3 - Xl, obtendo

Como X2 -

(S)

a(XI a(XI

Xl

+ X2) + (3 = O + X3) + (3 = O. 119

a primeira destas

6

CAPÍTULO

6

DEFINIÇÃO

E PRELIMINARES

Subtraindo membro a membro, temos a(X3 - X2) = O. Como X3 - X2

=I=-

O, resulta daí que a = O. Substituindo

anteriores, obtemos sucessivamente {3= O e I = Acabamos de mostrar que se duas funções mos valores em três pontos distintos isto é, assumem

o mesmo

nas equações

o.

quadráticas

assumem

Xl, X2, X3 então essas funções

valor para qualquer

número

os messão iguais,

real x.

Examinando o argumento usado, vemos que se tem um sistema (S) de três equações lineares a três incógnitas a, {3,I com os segundos membros iguais a zero (sistema homogêneo).

O que provamos foi que a única solu-

ção desse sistema é a solução trivial a = {3 = I =

o.

Sabemos que, em

geral, quando um sistema homogêneo só admite a solução trivial então podemos substituir os zeros dos segundos membros por números arbitrários que sempre teremos solução única. diretamente:

o caso presente, isto é fácil de ver

usando os mesmos passos seguidos acima, vemos que, dados

arbitrariamente

os números reais YI, Y2, Y3, existe um, e somente um terno

ordenado de números a, b, c tais que axi ax~ ax~

+ bXI + C = YI + bX2 + C = Y2 + bX3 + C = Y3.

Neste sistema, vários hábitos tradicionais são violados.

As incógnitas

são a, b, c em vez dos x, y, z de costume. Os coeficientes conhecidos são Xl, X2, X3, xi, x~, x~ e 1, 1, 1. Além disso, as incógnitas estão escritas antes dos coeficientes. Mesmo assim, não há maiores dificuldades em resolvê-Io, adotando, como dissemos, a mesma seqüência de passos do caso homogêneo. Estamos especialmente interessados no valor da incógnita a neste sistema. Ele é 1 [Y3 - YI _ Y2 - YI ] . X3 - X2 X3 - Xl X2 - Xl Podemos então afirmar o seguinte: dados três números reais distintos a =

Xl, X2 , X3 e números reais arbitrários YI , Y2, Y3, existe um, e somente um, terno de números a, b, c tais que a função f (x) = ax2

+ bx + c

120

FUNÇÕES

A função f(x)

=

ax2

+ bx + c, acima

menos que nos asseguremos que a

-=I-

QUADRÁTICAS

CAPÍTULO

obtida, pode não ser quadrática, a

O. O valor de a acima obtido mostra

que a é zero se, e somente se, vale

Se olharmos para os pontos A = (Xl, Yl), B = (X2, Y2) e C = (X3, Y3) em ]R2, a condição acima significa que as retas AC e AB têm a mesma inclinação, isto é, que os pontos A, B e C são colineares.

y

Figura 6.1

Então podemos enunciar: Sejam

Xl, X2, X3 três números

.

Existe

tal que f(Xl)

e Yl, Y2, Y3 números

tais

A = (Xl, Yl), B = (X2, Y2) e C = (X3, Y3) são não-colineares

que os pontos em]R2

reais distintos

uma,

e

somente

= Yl, f(X2) = Y2

uma, função e f(X3)

quadrática

f (x) = ax2

+ bx + c

= Y3'

Comentário sobre Colinearidade Sejam A = (Xl,

yd , B =

(X2, Y2) e C = (X3, Y3) três pontos distintos em ]R2.

A condição necessária e suficiente para que esses pontos sejam colineares é apresentada, em todos os nossos textos escolares, sob a forma da equação Xl

Yl 1

X2 Y2 1 =0, X3 Y3 1

121

· li! M >!!!J

6

CAPÍTULO

6

Ul\I PROBLEJ\L-\ J\JUITO ANTIGO

na qual o primeiro membro é um determinante 3 x 3 . Desenvolvendo esse determinante, vemos que a equação acima significa

ou seja (6.1) Como vimos, esta última igualdade exprime que as retas AB e AC têm a mesma inclinação.

Ela constitui um critério de colinearidade mais sim-

ples, mais direto, mais fácil de verificar e mais elementar do que aquele adotado nos livros que nossos alunos usam, pois não requer o conhecimento de determinantes. Pode-se objetar que a igualdade (6.1) só tem sentido quando Xl

i=

X3·

É verdade.

Mas o caso em que

Xl

=

X2

ou

Xl

=

X3

Xl

i= X2

e

não requer

cálculo algum. Se algum dos denominadores na igualdade (*) é igual a zero, isto quer dizer que dois dos pontos A, B, C têm a mesma abcissa, logo estão sobre uma reta vertical. Basta então olhar para a abcissa do terceiro ponto: se for igual às outras duas então A, B e C estão na mesma vertical, logo são colineares. Se for diferente, A, B e C não são colineares.

6.2

Um Problema Muito Antigo

o estudo

das funções quadráticas tem sua origem na resolução da equa-

ção do segundo grau. Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática.

Em textos cuneiformes, escritos pelos babilô-

nios há quase quatro mil anos, encontramos,

por exemplo, a questão de

achar dois números conhecendo sua soma s e seu produto p. Em termos geométricos, este problema pede que se determinem os lados de um retângulo conhecendo o semi-perímetro s e a área p. Os números procurados são as raízes da equação do segundo grau X2 -

sx

+P =

122

O.

FUNÇÕES

e

QUADRÁTICAS

CAPÍTl'LO

Com efeito, se um dos números é x, o outro é s - x e seu produto é p = x(s - x) = sx - x2, logo x2

sx

-

+p =

O.

Observe que se a é uma raiz desta equação, isto é, a2

.1)

(32 - s(3 + p = (s - a)2 - s(s - a)

zm-

= S2

le

= a2

e er

1

o,

sa

+p

O,

então (3 = s - a também é raiz, pois

m

o

-

Achar as raízes da equação x2

sa

+ a2 - S2 + p = O.

sx

+ P = O é, também,

2sa

-

-

+p = + sa + p = um conhecimento

milenar. Note-se que, até o fim do século 16, não se usava uma fórmula para os valores das raízes, simplesmente

porque não se representavam

por letras

os coeficientes de uma equação. Isto começou a ser feito a partir de François Viete, matemático

francês que viveu de 1540 a 1603. Antes disso, o que se

tinha era uma receita que ensinava como proceder em exemplos concretos ~o

(com coeficientes numéricos). A regra para achar dois números cuja soma e cujo produto

são dados

era assim enunciada pelos babilônios: Eleve ao quadrado a metade da soma, subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da diferença.

Some ao resultado a metade da soma.

o maior dos números procurados.

Isso dará

Subtraia-o da soma para obter o outro

número. Na notação atual, esta regra fornece as raízes X=~+J(~)2_p

2

para a equação x2

-

sx

e

2

+P =

s-x=--

S

~S2

2

-)-p

2

O.

Os autores dos textos cuneiformes não deixaram registrado o argumento que os levou a esta conclusão, mas há indícios de que pode ter sido algo assim: Sejam a e (3 os números procurados, a e (3 são equidistantes

digamos com a

da média aritmética

123

~

a~,8.

:s; (3.

Esses números

Se conhecermos a

6

UM PROBLEMAMUITO ANTIGO

CAPÍTULO 6

diferença d = f3 - (s/2) e f3 = (s/2)

+ d.

=

(s/2) - a teremos os dois números a

=

(s/2) - d

Mas d é fácil de achar, pois

logo

Daí

e

f3 = ~ + d = ~ +

J (~r-

p.

Como os dados s e p do problema eram sempre números positivos, os babilônios nunca tiveram preocupação com eventuais soluções negativas fornecidas por sua regra.

(S/2)2

<

Mas certamente deviam ocorrer casos em que

p, como no problema de achar dois números cuja soma e cujo

produto são ambos iguais a 2. Isto porém não os levou a inventarem os números complexos. Nestes casos, eles simplesmente diziam que os números procurados não existiam. O que é absolutamente correto no âmbito dos números reais. OBSERVAÇÃO.

Os números complexos só vieram a forçar sua admissão na Matemática no século 16, com a fórmula para as raízes da equação do terceiro grau, que fornecia as raízes reais por meio de uma expressão contendo raízes quadradas de números negativos.

OBSERVAÇÃO.

Se procurarmos dois números cuja soma é 6 e cujo produto é 9, encontraremos que esses números são 3 e 3. Então é um número só; não são dois. Para não ter que acrescentar ao enunciado do nosso problema a frase "... ou um número cujo dobro é s e cujo quadrado é p", preferimos seguir o costume, que se adota em Matemática desde aqueles tempos, segundo o qual a palavra "dois" às vezes significa "dois ou um". Quando quisermos garantir que significa "dois" mesmo, diremos "dois números diferentes". Mesma observação vale para três, quatro, etc.

li! A

124

FUNÇÕES

6.3

QUADRÁTICAS

CAPÍTULO

A Forma Canônica do Trinômio

Consideremos

o trinômio 2

ax

+ bx + c =

a [X2 + ~x

+ ~] .

As duas primeiras parcelas dentro do colchete são as mesmas do desenvolvimento do quadrado (x ax2

+ ;a)2.

+ bx + c =

Completando

+ 2 . -b

a [x2

2a

o quadrado, podemos escrever: 2

.x

2

+ -b 2 - -b 2 + -C] 4a

4a

ou: 2

ax

+ bx + c =

a [(x

+

b ) 2a

2

a

2

+

4ac - b 4a2

]

.

Esta maneira de escrever o trinõmio do segundo grau (chamada a forma canônica) tem algumas consequências.

Em primeiro lugar, ela conduz imeà fórmula que dá as raízes da equação ax2 + bx + c = O. Com

diatamente

efeito, sendo a =I- O, temos as seguintes equivalências

ax2

+ bx + c =

b 4ac - b2 _)2 + 2 = O 2a 4a b)2 b2 - 4ac {:}x+=-------,-( 2a 4a2 b Vb2 - 4ac {:} x + - = ±---2a 2a 2 -b ± Vb - 4ac {:}x= 2a

O {:} (x

+

(1) (2) (3) (4)

A passagem da linha (2) para a linha (3) só tem sentido quando o discriminante

é ~ O. Caso tenhamos

6. < O, a equivalência

entre as linhas (1) e (2)

significa que a equação dada não possui solução real, pois o quadrado x

+ (b/2a)

de

não pode ser negativo.

O método de completar matemáticas.

Independente

o quadrado

tem aplicações noutras

disso, é instrutivo

questões

fazer os alunos praticarem

seu uso em exemplos concretos, para resolverem a equação do segundo grau sem aplicar diretamente

a fórmula (4).

125

6

CAPÍTULO

A FORl'vIA CANÔNICA

6

DO TRINÔiVlIO

Da fórmula (4) resulta imediatamente

6. = b2

que, se o discriminante

-

4ac é positivo, a equação

+ bx + c =

ax2

O

tem duas raízes reais distintas CY

=

(-b - v;5,.)/2a

e

+ v;5,.)/2a,

(3 = (-b com cy < (3, cuja soma é s = -b/a

= (b2

p

Em particular,

-

e cujo produto é

6.)/4a2

= 4ac/4a2 = cl a.

a média aritmética

cye (3 são equidistantes

das raízes é -b/2a,

ou seja, as raízes

do ponto -b/2a.

Quando 6. = O, a equação dada possui uma única raiz, chamada

raiz

dupla, igual a -b/2a. Suponhamos

a>

o.

A forma canônica

2

f(x)=ax +bx+c=a

[( x+2a

b)2

+ 4ac4a-2

2

b

]

exibe, no interior dos colchetes, uma soma de duas parcelas. depende de x e é sempre >

o.

A segunda é constante.

soma é atingido quando

O menor valor dessa

:ar

(x+

é igual a zero, ou seja, quando x = -b/2a. assume seu valor mínimo. Portanto,

A primeira

Neste ponto, f(x)

também

quando a > O, o menor valor assumido

por f (x) = ax2

+ bx + c

é f( -b/2a)

= c - (b2/4a) = (4ac - b2)/4a.

Se a < O, o valor f( -b/2a) x E

é o maior dos números f(x),

IR.

126

para qualquer

FUNÇÕES

Quando a > 0, f(x) função ilimitada

=

+ bx + c não

ax2

superiormente.

QUADRkrrCAS

assume valor máximo:

Analogamente,

CAPÍTULO

é uma

quando a < 0, f(x)

não

assume valor mínimo: é ilimitada inferiormente. A forma canônica

ainda nos ajuda a responder

tem-se f(x)

=

= ax2 + bx + c, para quais valores x i- x'

f(x)

Dada a função quadrática

a seguinte pergunta:

f(x')?

Olhando para a forma canônica, vemos que f(x)

= f(x') se, e somente

se,

Como estamos supondo x

i- x',

isto significa que

isto é

X+X'

b 2a

2

Portanto,

f(x)

=

a função quadrática

i- x'

f(x') para x

f (x)

=

ax2

+ bx + c assume

o mesmo valor

se, e somente se, os pontos x e x' são equidistantes

de -b/2a.

o conhecimento

do ponto onde uma função quadrática

máximo ou mínimo permite obter rapidamente

assume seu valor

uma resposta para a tradici-

onal questão de saber qual o valor máximo do produto de dois números cuja soma é constante.

Neste problema,

um par de números x, y, com x possível. De x

+y =

+y

um número s é dado e quer-se achar =

s, tais que o produto xy seja o maior

s tiramos y = s - x portanto deve-se encontrar o valor

de x que torna máximo o produto x(s - x) = -x2

+ sx.

Esse valor máximo

é assumido quando x = s/2, logo y = s - x = 8/2. Concluímos então que o produto de dois números cuja soma é constante

assume seu valor máximo

quando esses números são iguais. (Note como ficaria complicado o enunciado desta conclusão se não tivéssemos permitido, seja igual a um.)

127

em alguns casos, que dois

EXEMPLO

6.2.

G

o

CAPÍTULO 6

6.4

GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRATICA

O Gráfico da Função Quadrática

o gráfico

de uma função quadrática

é uma parábola.

Dados um ponto F e uma reta d que não o contém, a parábola de foco

F e diretriz d é o conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de F e de d. (Vide Figura 6.2). A reta perpendicular

à diretriz,

baixada a partir do foco, chama- se o

eixo da parábola. O ponto da parábola mais próximo da diretriz chama-se o vértice dessa parábola. Ele é o ponto médio do segmento cujas extremidades são o foco e a interseção do eixo com a diretriz.

eixo

PF=PQ

----------~~----~--------d D' Q Figura 6.2

Lembremos que a distância do segmento perpendicular

EXEMPLO 6.3.

de um ponto a uma reta é o comprimento

baixado do ponto sobre a reta.

O gráfico da função quadrática f(x) = x2 é a parábola cujo foco é F = (0,1/4) e cuja diretriz é a reta horizontal y = -1/4. Com efeito, a distância de um ponto qualquer (x, x2) do gráfico de f(x) = x2 ao ponto F = (0,1/4) é igual a J x2 + (x2 - 1/4) 2 . A distância do mesmo ponto (x, x2) à reta y = -1/4 é x2

128

+ 1/4.

FUNÇÕES QUADRATICAS

CAPÍTULO 6 I

y

d

1) Y =-Li 1 X (X'-Li

------1----.-...-

Figura 6.3 Como se trata de números positivos, para verificarmos a igualdade entre estas duas distâncias,

basta ver que seus quadrados são iguais. E, de fato, tem-se

para todo x E IR, como se verifica facilmente.

i- 0,

(Veja o Exercício 39.)

f(x) = ax2 é a parábola cujo EXEMPLO 6.4. foco é F = (O, 1/4a) e cuja diretriz é a reta horizontal y = -1/4a. A fim de se convencer deste fato, basta verificar que, para todo x E IR, Se a

o gráfico da função quadrática

vale a igualdade

onde o primeiro membro é o quadrado da distância do ponto genérico P =

(x, ax2) do gráfico de f(x) = ax2 ao foco F = (O, 1/4a) e o segundo membro é o quadrado da distância do mesmo ponto P à reta y = -1/ 4a.

129

CAPÍTULO

G

() GnAFICO

DA

FUNÇAo

QUADRÁTICA

y

y

d d

-----11----

x

-----4f----

a>O

a
Conforme seja a > O ou a < O, a parábola y = ax2 tem sua concavidade voltada para cima ou para baixo.

EXEMPLO

6.5.

i= O

Para todo a

e todo m

E

IR, o gráfico da função quadrática f(x)

=

a(x - m)2 é uma parábola cujo foco é o ponto F = (m, 1/4a) e cuja diretriz é a reta horizontal y =

-1/ 4a. y

\ Y = ax2 \

\ \

\ \ \ \ \ \ \ \

\

,,

,,

x

m

d-----t-----'------Y =

1 -4a

F = (m, 41a) Figura 6.5 Para se chegar a esta conclusão, tem-se duas opções. Ou se verifica que,

130

FlTNÇÕES

QUADHÁTICAS

CAPÍTULO

para todo x E lR.,vale a igualdade

(x - m) 2

+

[

1] 2 a( x - m) 2 - 4a

do gráfico de g(x) = ax

[

a( x - m )2

pela translação

+ 4a1 ] 2

a(x - m)2 resulta horizontal (x, y) H (x + m, y), a

que o gráfico de f(x)

ou então observa-se simplesmente 2

=

=

qual leva o eixo x = O no eixo x = m.

Dados a, m, k

a(x - m)2

+k

E

lR.,com a

é a parábola

#-

cujo foco é o ponto F = (m, k

diretriz é a reta horizontal y = k -

y

\

\ \ \

\\

e cuja

=

a(x - m)2

+k

, ,, , ,,

\

k

+ L)

=

4~.

y

\

f(x)

O, o gráfico da função quadrática

F

,-

,

\

- - - - - - - ~,- - - - - ;:-,_-.1.. - - - - - -,- , ' '-:-----+--~''-d ---'

- - - - -

Y = k -

1 4a

x F = (m, k

+ 41a) Figura 6.6

A afirmação acima resulta imediatamente em conta que o gráfico da função quadrática

do exemplo anterior, levando

f(x)

=

a(x - m)2

do gráfico de g(x) = a(x - m)2 por meio da translação

(x, Y

+ k),

+k

é obtido

vertical (x, y) H

que leva o eixo OX na reta y = k e a reta y = -1/4a na reta

1

y=k-4 a· Segue-se deste último exemplo que o gráfico de qualquer função quadrática

f (x)

=

ax2

+ bx + c

131

EXEMPLO

6.6.

(j

CAPÍTULO

o

6

GRÁFICO

é uma parábola,

DA FUNÇÃO

QUADRÁTICA

cuja diretriz é a reta horizontal y=

4ac - b2

1

-

4a

e cujo foco é o ponto 2

F = (_ ~, 4ac - b 2a 4a Esta parábola baixo se a <

tem sua concavidade

+ 1).

voltada para cima se a > O ou para

o.

Com efeito, a forma canônica do trinôrnio ax2

+ bx + c

nos dá ax2

+ bx + c = a(x

-

m? + k,

onde m = -b/2a

o ponto

e

k = (4ac - b2)/4a.

do gráfico de f (x) = ax2

+ bx + c

mais próximo da diretriz é aquele de abcissa x = -b/2a.

Neste ponto, f(x)

atinge seu valor mínimo quando a > O e seu valor máximo quando a < O. Ainda quando x = -b/2a, constitui o gráfico de A propriedade,

o ponto (x, f(x))

é o vértice da parábola

que

f (x).

provada no final da seção anterior,

segundo a qual a

função quadrática f (x) = ax2

+ bx + c

assume valores iguais f (x) = f (x') se, e somente se, os pontos x e x' são simétricos em relação a -b/2a vertical x = -b/2a

(ou seja, x

+ x' =

-b/a)

é um eixo de simetria do gráfico de

é o eixo dessa parábola. O gráfico da função quadrática

f (x) = ax2

+ bx + c

132

significa que a reta

t, mais

precisamente,

FUNÇÕES

é um elemento de grande importância

QUADRÁTICAS

para entender o comportamento

CAPÍTULO

desta

função. As abcissas a, (3 dos pontos onde esse gráfico intersecta o eixo 0)( são as raízes da equação ax2

o ponto

+ bx + c =

O.

médio do segmento [a, (31 é a abcissa do vértice da parábola.

o gráfico está inteiramente

acima, ou inteiramente

Se

abaixo do eixo horizontal

OX, a equação não possui raízes. Se o gráfico apenas tangencia o eixo OX, a equação tem uma raiz (única) dupla. Se a < x < (3 então f(x) contrário ao sinal de a; se x < a ou x > (3, f(x)

tem sinal

tem o mesmo sinal de a.

Estas e outras conclusões resultam imediatamente

do exame do gráfico.

y a
b>O

x

Figura 6.7

Examinaremos

a seguir a questão de saber em que condições os gráficos

de duas funções quadráticas,

são parábolas congruentes.

Começaremos com

duas observações sobre gráficos, em geral. 1. Aplicando

a translação

f : IR -t IR, obtém-se

horizontal

(x, y)

o gráfico da função

H

(x+m,

y) ao gráfico da função

g : IR -t IR, tal que g(x) = f(x-m)

para todo x E IR. Com efeito, um ponto qualquer (x, f(x)) por essa translação

no ponto (x

+ m,

f(x)).

133

do gráfico de f é transformado Escrevendo

x = x + m,

donde

6

CAPÍTULO

o

6

x =

GRÁFICO

x-

(x, f(x))

DA FUNÇÃO

QUADRÁTICA

m, vemos que a translação

considerada transforma

cada ponto

do gráfico f no ponto (x, f(x - m)) = (x, g(x)) do gráfico de g.

y

y

x

o

o

x

m

Figura 6.8

2. A translação vertical (x, y) I-t (x, y + k) transforma o gráfico da função f : IR ---+ IR no gráfico da função h : IR ---+ IR) tal que h( x) = f (x) + k: para todo x E IR. Com efeito, essa translação leva cada ponto (x, f(x)) ponto (x, f(x)

+ k)

=

do gráfico de f no

(x, g(x)) do gráfico de g. y

k

x

o Figura 6.9

Consideremos agora, em particular, a função quadrática

f (x) = ax2

+ bx + c.

Sabemos que seu gráfico é uma parábola, cujo vértice tem abcissa igual a m = -bj2a.

Submetendo essa parábola à translação horizontal (x, y)

134

I-t

FUNÇÕES

QUADRÁTICAS

(x - m, y), obtemos uma nova parábola, cujo vértice tem abcissa igual a zero, isto é, está sobre o eixo OY. Pelo que vimos acima, esta nova parábola é o gráfico da função quadrática

b 9 (x) = f (x - m) = f (x - 2 a) b

=

a ( x - 2 a) 2

=

ax2

+ b (x

- :a)

+c

+ k,

onde k

= 4ac - b2 4a

f (x) = ax2

+ bx + c

f(x) = ax2

Y

+k

Y

x

x

Figura 6.10

Em seguida, aplicamos a esta segunda parábola a translação vertical

(x, y)

(x, Y - k), obtendo uma nova parábola, cujo vértice coincide com a origem O = (O, O). Pela segunda observação acima, esta última parábola H

é o gráfico da função

h(x)

=

g(x) - k

=

ou seja, h(x) = ax2.

135

ax2

+k

- k.

CAPÍTULO

6

CAPÍTULO

6

o

GRÁFICO

DA FLNç.~O

I

QUADRÁTICA

x

o Figura 6.11

Pelo que acabamos de ver, a parábola que é o gráfico da função

f (x) = ax2 + bx + c

transforma-se translação

na parábola

gráfico da função h( x ) = ax2 mediante

horizontal seguida de uma translação

uma

vertical. Isto significa qu

essas duas parábolas são congruentes. Assim, o gráfico da função

rp(x) = -ax2

é congruente

+ bx + c

ao gráfico de w(x) = -ax2.

Por sua vez, a reflexão em torno

do eixo horizontal, ou seja, a transformação de w(x) = -ax

2

no gráfico de h(x) = ax . 2

136

(x, y)

H

(x, -y), leva o gráfico

FUNÇÕES

QCADRATICAS

CAPÍTl'LO

y

h(x) = ax2

x
Figura 6.12

Podemos resumir a discussão acima enunciando: se aI = ±a gráficos

das funções

são parábolas

quadráticas

= ax2 + bx + c

f (x)

e
=

então aI x2 + bl X

os + cl

congruentes.

Quando aI = a, transformamos uma dessas parábolas na outra por meio de uma translação horizontal seguida de uma translação vertical. Se aI = -a, deve-se acrescentar ainda a reflexão em torno do eixo OX. Vemos assim que, para a congruência das parábolas, gráficos das funções quadráticas f(x) = ax2 + bx + c e
e

c, cl não importam. Eles apenas determinam a posição da parábola

em relação aos eixos: c é a ordenada do ponto em que a parábola corta o eixo vertical, enquanto b é a inclinação da tangente nesse mesmo ponto. Cabe, naturalmente,

perguntar se os gráficos das funções

ser congruentes, mesmo quando o'

=1=

±a.

f

e
A resposta é negativa.

Mais

explicitamente,

vale a recíproca do enunciado acima: se os gráficos das funções quadráticas f(x) = ax2 + bx + c e O e aI > O. Se for a < aI então ax2 < aI x2 (e se a > aI então ax2 > aIx2) para todo x E ]R.

137

G

CAPÍTULO

6

UMA PROPRIEDADE

NOTÁVEL DA PARÁBOLA

y


=

a'x2 f(x)

= -ax2

o < a < a'

x

o Figura 6.13

A figura acima deixa claro que as duas parábolas consideradas não sã congruentes. Com efeito, duas parábolas com o mesmo vértice e o mesmo (semi-) eixo são como dois ângulos que têm o mesmo vértice e a mesma (semi-reta) bissetriz: só são congruentes se forem iguais, isto é, se coincidirem.

6.5

Uma Propriedade Notável da Parábola

Se girarmos uma parábola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfície chamada paraboloule parabólica.

de revolução,

também conhecida como superfície.

Esta superfície possui inúmeras aplicações interessantes, toda

elas decorrentes de uma propriedade geométrica da parábola, que veremo nesta seção. A fama das superfícies parabólicas remonta à Antiguidade.

Há uma

lenda segundo a qual o extraordinário matemático grego Arquimedes, que viveu em Siracusa em torno do ano 250 A.C., destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios com os raios de sol refletidos em espelhos parabólicos. Embora isto seja teoricamente possível, há sérias dúvidas históricas sobre a capacidade tecnológica da época para fabricar tais espelhos. Mas a lenda sobreviveu, e com ela a ideia de que ondas (de luz, de calor, de rádio ou de outra qualquer natureza), quando refletidas numa

138

FUNÇÕES

QUADRATICAS

CAPÍTULO I

superfície parabólica, concentram-se sobre o foco, assim reforçando grandemente o sinal recebido. Da lenda de Arquimedes restam hoje um interessante acendedor solar de cigarros e outros artefatos que provocam ignição fazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superfície parabólica polida. Outros instrumentos atuam inversamente, concentrando na direção paralela ao eixo os raios de luz que emanam do foco. Como exemplos, citamos os holofotes, os faróis de automóveis e as simples lanternas de mão, que têm fontes luminosas à frente de uma superfície parabólica refletora. Um importante uso recente destas superfícies é dado pelas antenas parabólicas, empregadas na rádio-astronomia,

bem como no dia-a-dia dos apa-

relhos de televisão, refletindo os débeis sinais provenientes de um satélite sobre sua superfície, fazendo-os convergir para um único ponto: o foco, deste modo reforçando-os consideravelmente.

Figura 6.14: Sinais paralelos ao eixo do parabolóide refletem-se na superfície e se concentram no foco. Vamos agora analisar o fundamento matemático desses aparelhos. Começaremos com o princípio segundo o qual, quando um raio incide sobre uma superfície refletora, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Neste contexto, a superfície parabólica pode ser substituída

pela pa-

rábola que é a interseção dessa superfície com o plano que contém o raio incidente, o raio refletido e o eixo de rotação (igual ao eixo da parábola).

139

6

CAPÍTULO

6

UMA PROPRIEDADE

NOTÁVEL DA PARÁBOLA

Figura 6.15

o

ângulo entre uma reta e uma curva que se intersectam no ponto P

é, por definição, o ângulo entre essa reta e a tangente à curva traçada pelo ponto de interseção. É assim que se interpretam os ângulos de incidência e reflexão. A tangente

a uma parábola no ponto P é a reta que tem em comum com

a parábola esse único ponto P e tal que todos os demais pontos da parábola estão do mesmo lado dessa reta. A tangente a uma parábola tem sua posição determinada pelo teorema seguinte. Se a parábola é o gráfico da função

f(x)

=

+ bx« + c, + b.

no ponto P = (xo, Yo), onde Yo = aX6 ponto e tem inclinação

igual a 2axo

ax2

+ bx + c,

sua tangente

é a reta que passa por esse

Para provar isto, mostremos que todos os pontos dessa parábola que têm abcissa diferente de Xo estão fora da reta mencionada e no mesmo semi-plano determinado por ela. Mais precisamente,

suponhamos

Mostraremos que, para todo x y = ax2

+ bx + c

i-

(para fixar ideias) que seja a > Xo, o ponto (x, y) da parábola,

está acima do ponto (x, Yo

+ (2axo + b)(x

- xo)),

o.

com de

mesma abcissa x, situado sobre a reta. Noutras palavras, queremos provar

140

FUNÇÕES

QUADRATICAS

CAPÍTULO

que (supondo a > O) x =/= Xo

=}

ax2

+ bx + c > aX6 + bxo + c + (2axo + b)(x

- Xo).

y

+7'---

+---

(x, ax2 + bx + c) (x,Yo + (2axo + b))

+--+-- (xo, aX6

O

x

x

Xo

+ bxo + c)

Figura 6.16

Para isto, basta notar que x =/=xo JJ-

ax2

+ bx + c -

[ax6 =

+ bxo + c + (2axo + b)(x a(x-xO)2

> O.

Isto mostra que a reta de inclinação 2axo+b com Yo = f(xo) gráfico de

f

- xo)] =

que passa pelo ponto (xo, Yo),

tem este único ponto em comum com a parábola que é o

e que todos os pontos da parábola estão acima dessa reta. Logo

esta reta é tangente à parábola neste ponto. Quando a > O, a parábola se situa acima de qualquer de suas tangentes, conforme acabamos de ver. Se for a < O então a parábola se situa abaixo de todas as suas tangentes. Todas as retas paralelas ao eixo de uma parábola têm apenas um ponto em comum com essa parábola mas nenhuma delas é tangente porque há pontos da parábola em ambos semiplanos por ela determinados.

141

OBSERVAÇÃO.

(j

FUNÇÔES

QUADRATICAS

CAPÍ'ITLO I

As retas y = ax + b e y = aix + b', com a i=- O e ai i=- O, são perpendiculares

LEMA

6

6.7.

se, e somente se, ai = -1Ia.

Como as retas y = ax e y = a'x são paralelas às retas dadas, aquelas serão perpendiculares

se, e somente se, estas o forem.

estas retas sejam perpendiculares.

Suponhamos que

Tomando x = 1, vemos que o ponto

(1, a) pertence a uma das retas e o ponto (1, ai) pertence à outra, (ver Figura 6.18.) Então o triângulo cujos vértices são os pontos (0,0), (l,a) e (l,a') é retângulo, logo a altura baixada do vértice do ângulo reto é a média geométrica dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa.

Ora, o comprimento

da altura é 1. Além disso, um dos números a e ai (digamos ai) é negativo e o outro é positivo. 1 = -aa'

e ai = -lia.

Logo os referidos segmentos medem a e ai. Assim Reciprocamente,

se ai = -lia,

consideramos

a reta y = bx, perpendicular à reta y = ax a partir da origem. Pelo que acabamos de ver, temos b = -1I a , logo b = ai, logo y = aix coincide com y

= bx portanto é perpendicular a

y

= ax.

y

x

Figura 6.18

Podemos, finalmente, enunciar a propriedade geométrica da parábola na qual se baseiam as aplicações da superfície parabólica.

143

DEMONSTRAÇÃO.

CAPÍTULO

6

o

MOVIlVIENTO

UNIFORMEMENTE

VARIADO

A tangente à parábola num ponto P faz ângulos iguais com a paralela ao eixo e com a reta que une o foco F a esse ponto. A

T

--------------+---~--------d Figura 6.19

Com efeito, se Q é o pé da perpendicular baixada de P sobre a diretriz, a definição da parábola nos diz que F P = PQ, logo o triângulo F PQ é isósceles. Além disso, acabamos de ver que FQ é perpendicular à tangente, ou seja, a tangente é altura desse triângulo isósceles, logo é também bissetriz. Portanto, os ângulos F PT' e T' PQ são iguais. Logo APT = F PT' = o. Se a antena parabólica estiver voltada para a posição (estacionária) do satélite, a grande distância faz com que os sinais emitidos por este sigam trajetórias praticamente paralelas ao eixo da superfície da antena, logo eles se refletem na superfície e convergem para o foco, de acordo com o princípio que acabamos de demonstrar.

6.6

O Movimento Uniformemente Variado

A função quadrática é o modelo matemático que descreve o movimento uniformemente variado. Neste tipo de movimento, que tem como um exemplo importante a queda dos corpos no vácuo, sujeitos apenas à ação da gravidade, tem-se um ponto que se desloca sobre um eixo. Sua posição no instante t é dada pela abcissa

144

FUNÇÕES

f(t).

QUADRATICAS

CAPÍTULO

O que caracteriza o movimento uniformemente variado é o fato de f

ser uma função quadrática:

f(t)

=

1

+ bt + c.

2at2

(6.2)

Nesta expressão a constante a chama-se a aceleração, b é a velocidade inicial (no instante t = O) e c é a posição inicial do ponto. Expliquemos por que

f(t) tem esta expressão. Em qualquer movimento, dado por uma função

f(t

+ h)

- f(t)

I,

o quociente

espaço percorrido tempo de percurso

h

chama-se a velocidade média do ponto no intervalo cujos extremos são t e

t

+ h.

No caso em que

f

é dada pela fórmula (6.2), a velocidade média do

móvel entre os instantes t e t

+h

é igual a at

vez menor, este valor se aproxima de at

+ b.

v(t) = at

+b

+ b + a2h. Se tomarmos

h cada

Por isso se diz que

é a velocidade do ponto (no movimento uniformemente variado) no instante t. Quando t = O temos v(O) = b, por isso b se chama a velocidade inicial. Além disso, vê-se que a = [v(t

+ h)

- v(t)J/h

para quaisquer t, h, logo

a aceleração constante a é a taxa de variação da velocidade.

Por isso o

movimento se chama uniformemente variado. [Uniformemente acelerado ou retardado, conforme v tenha o mesmo sinal de a (isto é, t > -bja)

ou v

tenha sinal oposto ao de a (ou seja, t < -bja).] No caso da queda livre de um corpo, a aceleração a é a da gravidade, normalmente indicada pela letra g. Nosso conhecimento da função quadrática permite obter uma descrição completa do movimento uniformemente variado. Por exemplo, se uma partícula é posta em movimento sobre um eixo a partir do ponto de abcissa -6, com velocidade inicial de 5mj seg e aceleração constante de -2mj seg2, quanto tempo se passa até que sua trajetória mude de sentido e ela comece a voltar para o ponto de partida? Resposta: temos

f(t)

= -t2 + 5t - 6. Logo o valor máximo de f é obtido quando t =

145

G

CAPÍTULO

6

o

MOVIMENTO

-5/( -2) =

2,5seg.

UNIFORMEMENTE

VARIADO

Podemos ainda dizer que o ponto começa a voltar

quando v(t) = O. Como v(t) = -2t

+ 5 isto

nos dá novamente t = 2, 5seg.

O movimento uniformemente variado pode ocorrer também no plano. Um exemplo disso é o movimento de um projétil (uma bala, uma bola, uma pedra, etc.) lançado por uma força instantânea e, a partir daí, sujeito apenas à ação da gravidade, sendo desprezada a resistência do ar (movimento no

vácuo). Embora o processo ocorra no espaço tridimensional, a trajetória do projétil está contida no plano determinado pela reta vertical no ponto de partida e pela direção da velocidade inicial. Quando se tem um movimento retilíneo (sobre um eixo), a velocidade do móvel é expressa por um número. Mas quando o movimento ocorre no plano ou no espaço, a velocidade é expressa por um vetor (segmento de reta orientado), cujo comprimento se chama a velocidade

escalar do móvel

(tantos metros por segundo). A direção e o sentido desse vetor indicam a direção e o sentido do movimento. No plano em que se dá o movimento, tomemos um sistema de coordenadas cuja origem é o ponto de partida do projétil e cujo eixo OY é a vertical que passa por esse ponto. A velocidade inicial do projétil é o vetor v = (VI, V2) cuja primeira coordenada VI fornece a velocidade da componente horizontal do movimento (deslocamento da sombra, ou projeção do projétil sobre o eixo horizontal OX). Como a única força atuando sobre o projétil é a gravidade, a qual não possui componente horizontal, nenhuma força atua sobre este movimento horizontal, que é portanto um movimento uniforme. Assim, se P = (x, y) é a posição do projétil no instante t, tem-se x = VIt. Por sua vez, a aceleração (= força) da gravidade é constante, vertical, igual a - g.

(O sinal menos se deve ao sentido da gravidade ser oposto

à orientação do eixo vertical OY.)

Portanto,

a componente vertical do

movimento de P é um movimento uniformemente acelerado sobre o eixo OY, com aceleração - 9 e velocidade inicial V2. Logo, em cada instante t, a ordenada y do ponto P = (x, y) é dada por y = _~gt2

+ V2t.

(Não há termo constante porque y = O quando t = O.)

146

FUNÇÕES

QUADRÁTICAS

y

y = _~gt2

P=(x,y)

+ V2t V2

o

x

x = vIt

Figura 6.20

Se

VI

= O então, para todo

t, tem-se x

1 Y = --gt 2

2

=

vIt

= O, logo P = (O,y), com

+ V2t.

Neste caso, a trajetória do projétil é vertical. Suponhamos agora

VI

-=I-

o.

Então, de x = vIt vem t = X/VI.

tuindo t por este valor na expressão de y, obtemos

Isto mostra que a trajetória do projétil é uma parábola.

147

Substi-

CAPÍTULO

G

CAPÍTULO

ti

o

MOVIMENTO

UNIFORMEMENTE

1

VARIADO

Exercícios 6.1. Encontre a função quadrática

cujo gráfico é dado em cada figura abaixe

(1,9)

(3,5) Figura 6.21

6.2. Identifique

f(x) = ax2

os sinais de a, b e c nos gráficos de funções quadráticas

+ bx + c dados

na Figura 6.22.

b = inclinação da tangente quando x = O Figura 6.22

6.3. Escreva cada uma das funções quadráticas

a(x - m?

+ k.

abaixo na forma f(x)

A seguir, calcule suas raízes (se existirem),

simetria de seu gráfico e seu valor mínimo ou máximo

a) f(x) =x2-8x+23; b) f(x)

= 8x -

2X2.

148

=

o eixo de

FUNÇÕES

y

QUADRATICAS

a=3a=1

a=!3

1

x

o Figura 6.23

6.4. Observe os gráficos abaixo, que representam as parábolas y = ax2 para diversos valores de a. Estas parábolas são semelhantes entre si?

6.5. Encontre a unidade que deve ser usada nos eixos cartesianos de modo que a parábola abaixo seja o gráfico da função f(x) = 2x2.

x

o Figura 6.24

6.6. Encontre os valores mínimo e máximo assumidos pela função f(x) 2

x

-

4x

+ 3 em

cada um dos intervalos abaixo:

a) [1,4]; b) [6,10].

149

=

CAPÍTULO

6

o

MOVIMENTO

6.7. Seja f(x)

UNIFORMEMENTE

VARIADO

= ax2 + bx + c, com a> O.

a) Mostre que

mostre que se O < a < 1, então

b) Mais geralmente,

Interprete

geometricamente

esta propriedade.

6.8. Prove que se a, b e c são inteiros ímpares, as raízes de y = ax2

+ bx + c

não são racionais. 6.9. Dado um conjunto de retas do plano, elas determinam máximo de regiões quando estão na chamada elas são concorrentes comum.

um número

posição geral: isto é.

duas a duas e três retas nunca têm um ponto

Seja Rn o número máximo de regiões determinadas

por

TI

retas do plano. a) Quando se adiciona mais uma reta na posição geral a um conjunto de n retas em posição geral, quantas novas regiões são criadas? b) Deduza de a) que Rn é dada por uma função quadrática

de n e

obtenha a expressão para Rn. 6.10. No máximo quantos pontos de interseção existem quando são desenhadas n circunferências? 6.11. Um estudante

anotou a posiçao, ao longo do tempo,

de um móvel

sujeito a uma força constante e obteve os dados abaixo: Instante

(seg)

Posição (metros)

O

17

10 20

45

81

Calcule a posição do móvel nos instantes 5 seg, 15 seg e 25 sego

150

Fl'NÇÕES

6.12. O motorista

QU.-\DR.\TICAS

de um automóvel aplica os freios de modo suave e cons-

tante, de modo a imprimir uma força de frenagem constante a seu veículo, até o repouso. O diagrama a seguir mostra a posição do veículo a cada segundo a partir do instante em que os freios foram aplicados. Os

1s

2s

3s

e-------------e-----------e--------e 30m

25m

20m

Figura 6.25 a) Os dados acima são compatíveis com o fato de a força de frenagem ser constante? b) Qual a posição do veículo 5s após o início da frenagem? c) Quanto tempo o veículo demora para chegar ao repouso? d) Qual era a velocidade do veículo no instante

em que o motorista

começou a aplicar os freios? 6.13. Um grupo de alunos, ao realizar um experimento

no laboratório

Física, fez diversas medidas de um certo comprimento. orientou no sentido de tomar a média aritmética dos como o valor a ser adotado.

Este procedimento

O instrutor

de os

dos valores encontrapode ser justificado

do modo abaixo. Sejam Xl, X2, ... , x., os valores encontrados. adotado

X

É razoável que o valor

seja escolhido de modo que o erro incorrido pelas diversas

medições seja o menor possível. Em geral, este erro é medido através do chamado desvio quadrático

total, definido por

a) Mostre que d(x) é minimizado quando

x=

Xl

+ X2 + ... + Xn ti

b) Suponha agora que se deseje utilizar o desvio absoluto total e( x) = IX-XII+lx-X21+· que e(x)

+Ix-xnl

como medida do erro cometido. Mostre

é minimizado quando X é a mediana de Xl, X2,···

151

,Xn.

CAPÍTULO

6

o l\loVIMENTO

UNIFOIUdEMENTE

VARIADO

6.14. Numa vidraçaria há um pedaço de espelho, sob a forma de um triângulo retângulo de lados 60cm, 80cm e 1m . Quer-se, a partir dele. recortar um espelho retangular com a maior área possível. A fim de economizar corte, pelo menos um dos lados do retângulo deve estar sobre um lado do triângulo.

Figura 6.26

As posições sugeridas são as da figura acima. Em cada caso, determine 'qual o retângulo de maior área e compare os dois resultados. Discuta se a restrição de um lado estar sobre o contorno do triângulo é realmente necessária para efeito de maximizar a área. 6.15. Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio para confinar alguns animais.

rio

área cercada

Figura 6.27

Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível? 6.16. No instante t = O o ponto P está em (-2, O) e o ponto Q em (O,O). A partir desse instante,

Q move-se para cima com velocidade de 1

unidade por segundo e P move-se para a direita com velocidade de 2

li! lt:....

152

FUNÇÕES

unidades por segundo.

QUADRÁTICAS

Qual é o valor da distância mínima entre P

e Q? 6.17. Se x e y são reais tais que 3x z

=

x2

+ 4y =

12, determine o valor mínimo de

+ y2.

6.18. Um avião de 100 lugares foi fretado para uma excursão. A companhia exigiu de cada passageiro R$ 800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago. Para que número de passageiros a rentabilidade da empresa é máxima? 6.19. João tem uma fábrica de sorvetes. Ele vende, em média, 300 caixas de picolés por R$ 20,00. Entretanto, percebeu que, cada vez que diminuía R$ 1,00 no I?reço da caixa, vendia 40 caixas a mais. Quanto ele deveria cobrar pela caixa para que sua receita fosse máxima? 6.20. Uma loja está fazendo uma promoção na venda de balas: "Compre x balas e ganhe x% de desconto".

A promoção é válida para com-

pras de até 60 balas, caso em que é concedido o desconto máximo de 60%. Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram balas, respectivamente.

10, 15, 30 e 45

Qual deles poderia ter comprado mais balas e

gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática? 6.21. O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 9,00, em média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço do ingresso para que a receita seja máxima? 6.22. Qual o valor máximo de 21n - n2, n inteiro? 6.23. Esboce o gráfico de:

Ix21 - [z] = Ix2 - z].

a) f(x) b) f(x)

=

+ 1;

6.24. Identifique o conjunto dos pontos (x, y) tais que: a) x2

-

5x

+6 =

O; b) y = x2

-

5x

153

+ 6.

CAPÍTULO

6

CAPÍTULO

6

o

i.\IoVL\IENTO

UNIFORJ\IEJ\IENTE

6.25. Resolva a inequação x4 6.26. Determine

ax2

+ x2

6.27. Um restaurante

~

20 > O.

-

os coeficientes a, b, c do trinômio f(x)

explicitamente

+ bx + c em

VARIADO

função dos valores f(O),

f(l)

e f(2).

a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o

quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, por cada real de aumento no preço, o restaurante de 500g cada. restaurante

perderia

10 clientes, com um consumo médio

Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o

tenha a maior receita possível?

6.28. Um prédio de 1 andar, de forma retangular, a 3 e 4, vai ser construído.

com lados proporcionais

O imposto predial é de 7 reais por metro

quadrado, mais uma taxa fixa de 2.500 reais. A prefeitura concede um desconto de 60 reais por metro linear do perímetro, pela iluminação

externa

como recompensa

e pela calçada em volta do prédio.

Quais

devem ser as medidas dos lados para que o imposto seja o mínimo possível?

Qual o valor desse imposto mínimo?

Esboce o gráfico do

valor do imposto como função do lado maior do retângulo. 6.29. Determine

entre os retângulos

menor perímetro.

de mesma área a, aquele que tem o

Existe algum retângulo

cujo perímetro

seja maior

do que os de todos os demais com mesma área? 6.30. Que forma tem o gráfico da função f : [O,+(0) --+ IR, dada por f(x) y!x? 6.31. Mostre que a equação y!x

+m

=

x possui uma raiz se m > O, duas

=

raízes quando -~ < m :( O, uma raiz para m = -1/4

e nenhuma raiz

caso m < -1/4. 6.32. Numa concorrência pública para a construção de uma pista circular de patinação apresentam-se

as firmas A e B. A firma A cobra 20 reais por

metro quadrado de pavimentação,

15 reais por metro linear do cercado,

mais uma taxa fixa de 200 reais para administração.

Por sua vez, a

firma B cobra 18 reais por metro quadrado de pavimentação, por metro linear do cercado e taxa de administração

.1i":·.

154

20 reais

de 600 reais. Para

FUNÇÕES

QUADRÁTICAS

quais valores do diâmetro da pista a firma A é mais vantajosa? um gráfico que ilustre a situação.

CAPÍTULO

Esboce

Resolva um problema análogo com

os números 18, 20 e 400 para A e 20, 10, 150 para B. 6.33. Dados a, b, c positivos, determinar

x e y tais que xy

= c e que

ax

+ by

seja o menor possível. 6.34. Cavar um buraco retangular 3

cavado seja 300m

.

de 1m de largura de modo que o volume

Sabendo que cada metro quadrado de área cavada

custa 10 reais e cada metro de profundidade

custa 30 reais, determinar

as dimensões do buraco de modo que o seu custo seja mínimo. 6.35. Dois empresários

formam uma sociedade cujo capital é de 100 mil

reais. Um deles trabalha

na empresa três dias por semana e o outro

dois. Após um certo tempo, vendem o negócio e cada um recebe 99 mil reais. Qual foi a contribuição de cada um para formar a sociedade? 6.36. Nas águas paradas de um lago, Marcelo rema seu barco a 12km por hora. Num certo rio, com o mesmo barco e as mesmas remadas, ele percorreu

12km a favor da corrente e 8km contra a corrente,

tempo total de 2 horas.

num

Qual era a velocidade do rio, quanto tempo

ele levou para ir e quanto tempo para voltar? 6.37. Os alunos de uma turma custo de uma excursão.

fizeram uma coleta para juntar Todos contribuíram

hora, dois alunos desistiram.

igualmente.

405 reais, Na última

Com isso, a parte de cada um sofreu um

aumento de um real e vinte centavos. Quantos alunos tem a turma? 6.38. Olhando o gráfico da função quadrática uma parábola.

f(x)

= x2 , vê-se que ele parece

Se for, quais serão o foco e a diretriz?

Por simetria,

o foco deve ser F = (O, t) e a diretriz deve ser a reta y = =t: Use a definição de parábola para mostrar que t = 1/4.

155

6

FUNÇÕES POLINOMIAIS

CAPÍTULO

7

FUNÇÕES

7.1

POLINOi\IIAIS

VS POLINÔi\l!OS

Funções Polinomiais vs Polinômios

Diz-se que p : IR

IR é uma função polinomial quando são dados números reais ao, aI, ... .o-; tais que, para todo x E IR, tem-se -4-

(7.1) Se an =1= 0, dizemos que p tem grau n, A soma e o produto de funções polinomiais são ainda funções polinomiaIS. Um exemplo interessante

de produto é

Vemos assim que x" - an é divisível por x-a. Seja p a função polinomial apresentada

em (7.1). Para quaisquer x, a

reais, temos

Como cada parcela do segundo membro é divisível por x - a, podemos escrever, para todo x E IR: p(x) - p(a) = (x - a)q(x), onde q é uma função polinomial. Se p tem grau n, q tem grau Em particular,

ti -

1.

se a é uma raiz de p, isto é, p(a) = 0, então p(x) =

(x - a)q(x) para todo x E IR. A recíproca é óbvia. Portanto,

a é uma raiz de p se, e somente se, p(x) é divisível por x-a.

Mais geralmente aI, ... ,ak são raízes de p se, e somente, para todo x E IR vale

onde q é uma função polinomial de grau

ti -

k se p tem grau n.

Daí resulta que uma função polinomial de grau n não pode ter mais do que

ti

raízes.

Uma função polinomial p chama-se identicamente p(x) =

°

nula quando se tem

para todo x E IR. Neste caso, p tem uma infinidade de raízes.

158

FUNÇÔES

POLINOl\IIAIS

Cr\PÍTlfLO

(Todo número real é raiz de p.) Então nenhum número natural n é grau de p, a fim de não contradizer

o resultado acima. Isto significa que na expressão

todos os coeficientes an, an-l, ... ,ai, ao são iguais a zero. Concluímos então que a única função polinomial identicamente Oxn

nula é do tipo

+ Oxn- + ... + Ox + o. 1

Se nos ativermos à letra da definição, a função polinomial identicamente nula não tem grau, pois nenhum dos seus coeficientes é -=IDadas as funções polinomiais p e q, completando

o.

com zeros (se necessá-

rio) os coeficientes que faltam, podemos escrevê-Ias sob as formas p(x) = anxn q(x) = bnxn

+ .. ,+ alX + ao + ... + b1x + bo,

sem que isto signifique que ambas têm grau que an -=I- O nem que b., -=I- O. Suponhamos

ti,

pois não estamos dizendo

que p(x) = q(x) para todo x E lR, ou seja, que p e q sejam

funções iguais. Então a diferença d = p - q é a função identicamente pois d( x) = p( x) - q( x) =

°

para todo x E ]R. Mas, para todo x E lR, tem-se

Pelo que acabamos de ver sobre funções polinomiais identicamente segue-se que a.; - bn

=

nula,

0, ... ,ai - b1

=

nulas,

0, ao - bo = 0, ou seja:

Portanto as funções polinomiais p, q assumem o mesmo valor p( x) = q( x) para todo x E lR se, e somente se, têm os mesmos coeficientes. Como no caso das funções quadráticas,

existe uma diferença sutil entre o

conceito de função polinomial e o conceito de polinômio, que apresentaremos agora. Um polin6mio é uma expressão formal do tipo

159

7

CAPÍTULO

7

DETERl\IINANDO

Cl\I POLINÔl\IIO

A PARTIR

DE SEUS VALORES

onde (ao, aI, ... , an) é uma lista ordenada de números reais e X é um símbolo (chamado uma indeterminada),

sendo

x: uma abreviatura

(i fatores). Em essência, o polinômio p(X)

para X . X ... X

é o mesmo que a lista ordenada

dos seus coeficientes. Ao escrevê-lo da maneira acima, estamos deixando explícita a intenção de somar e multiplicar polinômios como se fossem funções polinomiais, usando a regra

x: . xj

=

p(X)

= anXn +

q(X)

=

são iguais (ou idênticos) A cada polinômio p(X)

bnxn

Xi+j.

+

Por definição, os polinômios

+ a1X + ao + b1X + bo

quando ao = bo, aI = bl, ... , an = bn. = anXn

+ ... + alX + ao

faz-se corresponder a = anxn + ... + aIX + ao.

função polinomial p : IR ----+ IR, definida por p(x)

para todo x E IR. Esta correspondência (polinômio)

M

(função polinomial)

é sobrejetiva, pela própria definição destas funções. A discussão que fizemos acima sobre os coeficientes de funções polinomiais iguais significa que a polinômios distintos correspondem funções polinomiais distintas.

Logo,

trata-se de uma correspondência biunívoca. Por esse motivo, não há necessidade de fazer distinção entre o polinômio p e a função polinomial p. Ambos serão representados símbolo p e serão chamados indiferentemente polinomial.

pelo mesmo

de polinômio ou de função

Além disso, diremos "a função p(x)"

sempre que não houver

perigo de confundi-Ia com número real que é o valor por ela assumido num certo ponto x.

7.2

Determinando um Polinômio a Partir de Seus Valores

Um polinômio de grau n é dado quando se conhecem seus n + 1 coeficientes. Segundo a boa prática matemática, para determinar n + 1 números é necessário (e muitas vezes suficiente) ter n + 1 informações. No nosso caso, vale o seguinte resultado:

160

FCNÇÕES

Dados n

+ 1 números

reais distintos xo,

,xn

Xl, ...

POLINOl\IIAIS

e

fixados arbitraria-

mente os valores Yo, YI, ... ,Yn, existe um, e somente um, polinômio p, de grau :s;; n, tal que

A parte "somente um" decorre imediatamente do que foi visto na seção anterior pois se p e q são polinômios de grau :s;; n que assumem os mesmos valores em n + 1 pontos distintos então a diferença p - q é um polinômio de grau menor do que ou igual a

ti,

com n

+ 1 raízes,

logo p - q = O e p = q.

A existência de um polinômio p de grau :s;; n que assume valores préfixados em n + 1 pontos distintos dados pode ser provada de duas maneiras diferentes.

A primeira delas segue as mesmas linhas do caso n = 2, já

estudado no capítulo anterior, e consiste em resolver o sistema de n equações nas n

+

1 incógnitas ao, aI,

anx~ anx~

+ +

...

+

1

,an abaixo indicado:

+ alXO + ao = Yo + alXI + ao = YI

Este sistema, no qual as quantidades conhecidas são as potências sucessivas de xo,

Xl, ... ,Xn,

tem sempre solução única quando estes n

+

1

números são dois a dois diferentes. [Seu determinante é o determinante de Vandermonde, igual a

I1(z, -

Xj),

o qual é -=I O.]

i
Outra maneira de provar que existe sempre um polinômio de grau :s;; n que assume nos n

+ 1 pontos

distintos xo,

Xl, ...

Yo, YI, ... ,Yn consiste em exibir explicitamente chamada fórmula de interpolação de Lagrange.

161

,xn os valores arbitrados esse polinômio, usando a

CAPÍTULO

7

DETEHi\IINANDO

Ui\l POLlNÔi\IIO

A P:\HTlH DE SEllS

V:\LOHES

Apresentamos a seguir os polinômios que resolvem o problema, destacando em especial os casos mais simples, n

=

1en

=

2.

n= 1: p(x) ti

=

=

Yo

x -

Xl

Xo -

Xl

X - Xo

+ YI---

Xl -

Xo

2:

Caso geral:

Esta é a fórmula de interpolação de Lagrange.

Vê-se imediatamente

que o polinômio p(x)

aí definido cumpre as condições p(xo)

YI,· .. ,p(xn)

Esse polinômio tem grau ~

=

Yn'

ti

= YO,P(XI)

=

mas seu grau pode

perfeitamente ser qualquer número inteiro entre O e n, Por exemplo, se pusermos Xo

=

-1,

Xl

=

O, X2

=

1, X3

=

2 e X4

=

3e

procurarmos o polinômio de grau ~ 4 que assume nesses pontos os valores -7, 1, 5, 11 e 25 respectivamente, obteremos p( x) = x3 - 2x2

+ 5x + 1,

que tem grau 3. E se, dados

ti

+

1 pontos distintos, procurarmos o polinômio de grau

~ n que se anula em todos esses pontos, a fórmula de Lagrange nos dará o polinômio identicamente nulo, o qual, segundo nossa definição não tem grau. Exceções como esta, e como várias outras que ocorrem quando se estudam polinômios, tornam conveniente atribuir ao polinômio identicamente nulo o grau

-00.

(Por exemplo: a convenção gr O =

-00

torna verdadeira, sem

exceções, a afirmação de que o grau do produto de dois polinômios é a soma dos graus dos fatores.)

162

FlTNÇÕES

7.3

POLINOl\IIAIS

CAPÍTl'LO

Gráficos de Polinômios

Quando se deseja traçar, polinômio,

certas informações

ao menos aproximadamente, de natureza

o gráfico de um

geral são de grande utilidade.

Vejamos algumas delas. Seja p(x) = anxn Se

ti

é par

+ ... + aIx + ao , com a # o. então, para Ixl suficientemente grande,

p(x) tem o mesmo o mesmo, não importando se x < O ou

sinal de a.; Este sinal é, portanto, x

> O, desde que

Ixl

Se, entretanto,

ri

seja suficientemente

grande.

é ímpar, p(x) tem o mesmo sinal de a-; para valores po-

sitivos muito grandes de x e tem o sinal oposto de an para valores negativos muito grandes de a.; Em ambos os casos (n par ou

Ip(x) I também

ti

ímpar), quando

Ixl cresce

ilimitadamente,

cresce ilimitadamente.

Para justificar as afirmações acima, notemos que o polinômio p(x) pode ser escrito como

n( an-I aI ao) px() =X an+--+···+--+-. x xn-1 Xn

Se tomarmos dos parênteses,

Ixl

suficientemente

grande, cada uma das parcelas dentro

a partir da segunda,

se deseje (em valor absoluto).

pode-se tornar tão pequena

quanto

Logo, para todos os valores suficientemente

grandes de [z], a soma dentro dos parênteses tem o mesmo sinal de a.; Se ti

é par, xn nunca é negativo, logo p(x) tem o sinal de an para todo

suficientemente

grande.

Ixl

Já se ri é ímpar, xn tem o mesmo sinal de x, logo

p( x) tem o sinal de an para x positivo e sinal contrário ao de a-; quando x é negativo. Na Figura 7.1 são esboçados gráficos de polinômios do primeiro, segundo, terceiro e quarto graus.

Em cada caso, pode-se dizer logo qual o sinal do

coeficiente do termo de mais alto grau.

163

7

CAPÍTULO

7

GRAFICOS

DE POLINÔl\IIOS

y=x

yx4.3x +3

Figura 7.1

Outra informação útil diz respeito à comparação

entre dois polinômios.

Se o grau de p é maior do que o grau de q então, para todo x com valor absoluto

suficientemente

grande, tem-se Ip(x)

Ip(x) I e Iq( x) I pode tornar-se tome Ixl suficientemente grande.

diferença entre desde que se

I >

Iq(x)

I.

Mais ainda:

a

tão grande quanto se queira,

A afirmação acima feita resulta também da forma de escrever um polinômio de grau tomaremos

ti

pondo em evidência uma potência de x. Por simplicidade,

p(x)

de grau 4 e q(x)

com grau 3. O caso geral se trata

do

mesmo modo. Sejam, então,

p(x)= ax4+bx3+cx2+dx+e e 3 2 q(x) = b'x + c'x + d'x + e'. Temos, p(x) = x4(a+~ + xC2 + xd3 + :4) = x4(a + f(x)) e q(x)= x4( ~+~~+:~+:~)=X4.g(X). Para todo Ixl suficientemente grande temos If(x)1

< lal/2 e Ig(x)1 <

lal/4. Ixl é grande bastante, vale la+ f(x)1 > lal/2, logo Ip(x)1 = > IxI ·lal/2 e Iq(x)1 < IxI4·lal/4, donde -lq(x)1 > -lx41·lal/4.

Assim, quando

x4·la+

f(x)1

4

164

FCNÇÕES

>

Somando, vem Ip(x)I-lq(x)1

POLINO),IlAIS

CAPÍTCLO

Ixl4 ·lal/4.

Portanto, podemos tornar Ip(x)1 - Iq(x)1 tão grande quanto desejamos desde que

Ixl

seja suficientemente grande.

Um exemplo extremamente simples desta situação ocorre com os polinô-

Ixl < 1, x6 [z] é bastante

mios p(x)

= x2 e q(x) = x6. Quando O <

é menor do que x2

mas, para

Ixl

grande, x6 é muito,

> 1, x6 supera x2 e, quando

muito maior do que x2 (ver Figura 7.2). y

1

O

x

1

Figura 7.2

Mais um dado relevante para traçar o gráfico de um polinômio é a localização de suas raízes. É claro que, por motivo da continuidade, se p(xt) e P(X2)

> O então p deve possuir uma raiz entre

Xl

e X2.


(Esta observação

já assegura que todo polinômio de grau ímpar possui ao menos uma raiz real.) Mas como se localiza alguma dessas raízes? As raízes dos polinômios de grau 2 foram expressas em função dos coeficientes há milênios. Durante a Renascença (meados do século 16) foram obtidas fórmulas para exprimir, mediante radicais, as raízes dos polinômios de terceiro e quarto graus em função dos coeficientes. Na verdade, essas fórmulas têm pouco mais do que mero valor teórico; são demasiadamente complicadas para serem de uso computacional. Os métodos que se usam atualmente para determinar uma raiz do polinômio p localizada no intervalo [a, b], quando se sabe que p(a) e p(b) têm sinais opostos não se baseiam em fórmulas fechadas, como as que foram obtidas para as equações de grau ~ 4. Em vez disso, esses métodos se ba-

165

I

CAPÍTULO 7

GRÁFICOS DE POLINÔMIOS

seiam em algoritmos

aproximativos,

os quais instruem, passo a passo, como

proceder para obter uma sequência de números Xl, X2, ... , Xn, ... os valores P(XI),P(X2),'"

,p(xn),

... estão cada vez mais próximos de zero.

Um exemplo de algoritmo grandemente equação p(x)

= O é o método

tais que

de Newton.

eficiente para obter uma raiz da Segundo este método, se Xl é um

valor próximo de uma raiz, a sequência Xl, X2, ... ,Xn, ... de números reais obtidos pela fórmula iterativa P(Xn) Xn+l = Xn - -(-) , p' Xn tem como limite uma raiz de p. Os termos bastante rapidamente

Xn

desta sequência se aproximam

do limite. Um caso particular

já era conhecido pelos babilônios,

do método de Newton

que calculavam a raiz quadrada

número positivo a (ou seja, uma raiz da equação X2 - a valor inicial Xl e, a partir dele, construir as aproximações de

OBSERVAÇÃO.

Va pela

=

de um

O) tomando um

Xl, X2, ... ,Xn, ...

fórmula iterativa

No denominador

da fórmula de Newton, p'(x)

representa a derivada do

polinômio

a qual é, por definição, p '(X ) = nanx

EXEMPLO 7.1.

Mostraremos

n-l

+ (n

- 1) an-IX n-2

agora como é eficiente o método de Newton para achar

raízes reais de uma equação algébrica. p(x)

=

+ ... + aI·

O onde p(x)

observando que p(l)

=

X5 - 5X2

+ 1.

Para isso, consideremos

Então p'(x)

=

5X4 - 10x.

a equação Começamos

= -3 é negativo enquanto que p(2) = 13 é positivo,

logo deve haver uma raiz real de p entre 1 e 2. Para achar essa raiz, tomamos Xo =

li! A

2 como ponto de partida.

Obtemos sucessivamente

166

FUNÇÕES

Xl =

p(Xo) Xo - -p'(xo) p(xr) P

X3 = X2 -

Xl

P(X2) P'(X2)

13

2 - - = 1,783. 60 3,124 = 1,783 - 3 70 = 1,687. 2, 3 0,434 = 1,687 - 23,627 = 1,667. =

X2 = Xl - ---,--( )

Com paciência e uma calculadora, necessidade.

poderíamos

1,668 é uma excelente aproximação

pois p(l, 668) é menor do que 1 milésimo. a raiz procurada

prosseguir, mas não há para a raiz procurada,

Uma aproximação

no método de Newton, cada aproximação exatos da aproximação

anterior.

"Análise Real", vol.

em contas, notando

p( x)

= X5 - 5X2

melhor para

seria 1,667977989 , tão próxima do valor que obtivemos

que não compensa o esforço de prosseguir o cálculo.

consultar

POLINOl\IIAIS

que p(O)

+ 1 localizada

De um modo geral,

obtida tem o dobro de dígitos

Para mais detalhes teóricos, o leitor pode 1, págs.

> O e p(l) entre O e 1.

167

114 a 118.

E para exercitar-se

< O, pode procurar a raiz de

CAPÍTULO

7

CAPÍTULO

7

GRÁFICOS

DE POLINÔMIOS

Exercícios 7.1. Sejam P(x) gr. P(x)

e p(x)

polinômios

~ gr. p(x).

não identicamente

nulos, tais que

(Onde gr. significa o grau do polinômio.)

que existe um polinômio q(x) tal que gr.[P(x)

Prove

< gr. P(x).

- p(x)q(x)]

Usando repetidamente

este fato, mostre que existem polinômios q(x)

e r(x)

= p(x)q(x)

tais que P(x)

q(x)

Os polinômios

e r(x),

+ r(x),

tais que P(x)

=

gr. r (x) < gr. p( x ), chamam-se respectivamente da divisão de P(x) O é

por p(x).

< gr. p(x).

com gr. r(x)

+ r(x)

p(x)q(x)

o quociente

com

e o resto

(Aqui admitimos que o grau do polinôrnio

-00.)

7.2. Prove a unicidade do quociente e do resto, isto é, se P(x)

= P(X)ql(X)+

= P(X)q2(X) + r2(x), com gr. rl(x) e gr. r2(x) ambos menores do que gr.p(x), então ql(X) = q2(X) e rl(x) = r2(x) para todo x E IR. (Novamente, gr.r(x) = -00 se r(x) é identicamente nulo.)

rl(x)

e P(x)

7.3. Diz-se que o número real a é uma raiz de multiplicidade linômio p(x) m

=

1 ou m

quando se tem p(x)

=

=

(x - a)mq(x),

2, a chama-se respectivamente

m do po-

com q(a)'-I-

O. (Se

uma raiz simples

ou

uma raiz dupla.) Prove que a é uma raiz simples de p(x) se, e somente se, tem-se p(a)

= O e p'(a)

-I-

O. Prove também que a é uma raiz dupla

= p'(a) = O e p"(a)

de p(x) se, e somente se, p(a)

-I-

O. Generalize.

7.4. Certo ou errado: a é raiz dupla de p(x) se, e somente se, é raiz simples de p'(x). 7.5. Determine o polinômio p(x)

p(2)

=

de menor grau possível tal que p(l)

=

2,

1, p(3) = 4 e p(4) = 3.

7.6. Seja p(x)

um polinômio cujo grau n é um número ímpar. Mostre que

existem números reais

Xl,

X2 tais que p(xd

< O e P(X2) > O. Conclua

daí que todo polinõmio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real. 7.7. Mostre que se

xn-l

ti

é um número par então o polinômio p(x)

+ ... + x + 1 não

possui raiz real.

168

x"

+

FUNÇÕES

7.8. Tomando

Xo

= ~ 2

.J5 com

(x

n

+ ~) X

2

decimais exatos porque 1,414

de

J2

(Por exemplo:

com três algarismos

< 2 < 1,415 .) 2

7.9. Usando o método de Newton, estabeleça

.qa,

n

três algarismos decimais exatos.

sabemos que 1,414 é uma aproximação

calcular

CAPÍTULO

= 3, use a relação de recorrência Xn-l

para calcular

POLIl\OMIAIS

um processo iterativo para

e aplique-o a fim de obter um valor aproximado

169

de

ij2.

7

FUNÇÕES EXPONENCIAIS LOGARÍTMICAS

E

CAPÍTULO

8

INTRODUçAo

8.1

Introdução f :

Vimos no Capítulo 5 que se acréscimo f(x

+ h)

- f(x),

IR ---+ IR é uma função afim então o

sofrido por f quando se passa de x para x

+ h,

depende apenas do acréscimo h dado a x mas não depende do próprio valor de x. Isto é óbvio, uma vez que f(x)

= ax+b implica f(x+h)-

f(x)

f

mais importante, tendo em vista as aplicações, é que quando crescente, ou decrescente, vale a recíproca: se de x então

f

f (x + h) - f (x)

= ah. O

é monótona não depende

é afim.

O Exemplo 8 do Capítulo 5 dizia respeito a uma quantia x, investida durante um prazo fixo e determinado, gerando no final desse período o valor

f(x).

Constatou-se ali que f(x)

é uma função linear de x.

Neste capítulo, consideraremos uma quantia Ca, aplicada a juros fixos, capitalizados continuamente. Se chamarmos de c(t) o capital gerado a partir daquela quantia inicial depois de decorrido o tempo t, é claro que c(t) é uma função crescente de t. Notamos ainda que se t < ti então o acréscimo c(ti

+ h)

Assim, c(t) não é uma função afim de t, já que c(t

+ h)

- c(ti), experimentado pelo capital após o decurso de tempo h, a partir do momento ti , é maior do que o rendimento c(t + h) - c(t) depois de decorrido o mesmo tempo h, a partir do momento anterior t, pois o capital acumulado c(tl), sendo maior do que c(t), deve produzir maior renda. - c(t) depende

não apenas de h mas de t também. Esta conclusão negativa indica que se deve buscar outro instrumento matemático, diferente da função afim, para modelar a presente situação. Analisando este problema mais detidamente, vemos que a diferença c(t+

h) - c(t) pode ser considerada como o lucro obtido quando se investiu a quantia c(t) durante o prazo h. (Esta observação será apresentada com mais detalhe na Seção 8.4 a seguir, na segunda caracterização das funções

+ h)

- c(t) deve ser proporcional à quantia aplicada c(t), ou seja, c(t + h) - c(t) = rp . c(t), onde o fator de proporcionalidade ip = rp(h) depende evidentemente do prazo h. A afirmação de que rp(h) = [c(t + h) - c(t)]/c(t) não depende do tipo exponencial.)

Portanto, como vimos acima, c(t

de t é a expressão matemática do fato de que os juros são fixos. Como

172

FUNÇÕES

[c(t

+ h)

- C(t)]/C(t) que o quociente c(t

EXPONENCIAIS

= [C(t + h)jc(t)]

- 1, esta afirmação equivale a dizer + h) j c(t) não depende de t.

Portanto, quando os juros são fixos, se c(t1 então c( t2

+ h) j c(t2)

E LOGARÍTMICAS

+ h)jc(t1)

= 2, por exemplo, = 2 para qualquer t2 (e o mesmo h). Isto quer dizer

que o tempo h necessário para que um capital seja dobrado é o mesmo em todas as ocasiões e para qualquer valor desse capital, pequeno ou grande. Vemos então que o modelo matemático conveniente para descrever a variação de um capital aplicado a juros fixos, em função do tempo, deve ser uma função crescente c(t) tal que o acréscimo relativo [c(t

+ h) - c(t)]/c(t)

dependa apenas de h mas não de t. Conforme será estabelecido neste capítulo, as únicas funções com estas propriedades são as da forma c(t) =

Co .

at.

Uma situação análoga ocorre quando se estuda a desintegração radioativa. Os átomos de uma substância radioativa (como o rádio e o urânio, por exemplo) tendem a se desintegrar, emitindo partículas e transformando-se noutra substância. As partículas emitidas não alteram consideravelmente a massa total do corpo mas, com o passar do tempo, a quantidade da substância original diminui (aumentando, consequentemente, a massa da nova substância transformada).

Isto ocorre de tal modo que, em cada instante,

a quantidade de matéria que se está desintegrando naquele momento é proporcional à massa da substância original que ainda resta. Assim sendo, se chamarmos (como fazem os cientistas) de meia-vida de uma substância radioativa o tempo necessário para que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por aquela substância, constatamos que a meia-vida é um número intrinsecamente associado a cada substância radioativa: o tempo necessário para reduzir à metade a radioatividade de uma tonelada de urânio é igual ao tempo que leva um grama da mesma substância para ter sua metade desintegrada. A propósito: os vários isótopos do urânio têm meia-vida da ordem de 9

10 anos. Enquanto isso, a meia-vida do rádio 224 é de 3 dias e 15 horas. De um modo geral, se designarmos por m = m(t) a massa da substância radioativa presente no corpo no instante t, veremos que m é uma função decrescente de t e, além disso, a perda relativa [m(t

+ h)

- m(t)]jm(t),

ocorrida após o decurso do tempo h, depende apenas de h mas não do

173

CAPÍTULO

8

CAPÍTULO

8

POTÊNCIAS

DE EXPOENTE

RACIONAL

instante inicial t, ou seja, da massa m(t) existente naquela ocasião. Outra vez constatamos a necessidade de uma função real de variável real m : lR ---t lR, que seja monótona (desta vez, decrescente) e tal que a variação relativa [m(t+h) -m(t)l/m(t) que a razão m(t

+ h)/m(t)

dependa apenas de h. Ou, equivalentemente, não dependa de t mas somente de h.

Mostraremos neste capítulo que as únicas funções com essas propriedades são as do tipo m(t) = b.o' (com O < a < 1). Os exemplos que acabamos de mencionar ilustram algumas das inúmeras situações em que ocorrem as funções do tipo exponencial, que estudaremos agora. Começaremos nosso estudo com uma revisão das potências com expoente racional.

8.2

Potências de Expoente Racional

Seja a um número real positivo. Para todo ti E N, a potência o" , de base a e expoente ti, é definida como o produto de n fatores iguais a a. Para n = 1, como não há produto de um só fator, põe-se aI = a, por definição. A definição indutiva de o" é: aI = a e an+1 = a . o", Para quaisquer m, ri E N tem-se

pois em ambos os membros desta igualdade temos o produto de m

+ ti

fatores iguais a a. Segue-se que, para mI, m2, ... , mk quaisquer, vale

Em particular, se mI = ... = ttu; = m , vem (am)k = amk. Se a > 1 então, multiplicando ambos os membros desta desigualdade por ti" , obtemos an+I > an

.

Portanto,

a > 1 ::::} 1 < a < a 2 < . . . < a n < a n+ 1 < . . . . Além disso, O < a < 1 ::::} 1 > a > a2 > ... > o" > an+I > ....

174

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

CAPÍTCLO 8

I

como se vê multiplicando

ambos os membros da desigualdade

a < 1 pelo

número positivo ano a sequência cujo n-ésimo termo é an é crescente quando a > 1

Portanto

e decrescente se O < a < 1. Para a = 1, esta seqüência é constante,

com

todos os seus termos iguais a 1. Existem sequências

crescentes

que sao limitadas

superiormente.

Um

exemplo disso é 1 2 3 2'3'4""'n+1""

ti

-

onde se tem n

--<1

n+1

para todo

E N.

ti

Entretanto,

se a > 1, a sequência formada pelas potências an ,

ilimitada superiormente:

Noutras

palavras,

mente c E IR., pode-se sempre achar n E N tal que o" > Para provar isto, escrevemos a = 1

+ d, c >

Bernoulli, temos o" > 1 + nd. Logo, se tomarmos 1 + nd > c e, com maior razão, o" >

sivas a, a , a

, ...

,

dado arbitraria-

C.

O. Pela desigualdade ti

C.

As potências suces-

a princípio próximas de 1, podem tornar-se tão grandes

quanto se deseje, desde que o expoente seja tomado suficientemente Se usarmos o argumento

grande.

acima para obter uma potência de a que seja su-

perior a 1 bilhão, devemos tomar um expoente realidade, usando uma calculadora, que um bilhão basta tomar que as potências

de

> (c - 1)/ d, teremos

Sej a a = 1, 000001 (um inteiro e um milionésimo). 3

E N, é

nenhum número real c, por maior que seja, pode

ser superior a todas as potências o",

2

ti

ti

da ordem de 1014.

vemos que para ter (l,OOOOO1)n

> 21 milhões.

Na maior

É que, ao demonstrarmos

sucessivas de um número maior do que 1 crescem acima

de qualquer limite prefixado, nos preocupamos

mais em usar um raciocínio

simples e claro do que obter o menor expoente possível.

o fato

de que a sequência a, a2, a3,

quando a > 1 é um caso particular

...

,

c", ... é ilimitada superiormente

da noção de limite infinito, que defini-

remos agora.

175

EXEMPLO 8.l.

CAPÍTULO

8

POTÊNCIAS

DE EXPOENTE

RACIONAL

Diz-se que uma sequência (xn) de números reais tem limite "mais infinito" (ou simplesmente "infinito"), e escreve-se lim Xn = qualquer A > O, fixado arbitrariamente, tal que todos os termos ti

> no

=? Xn

Xn

com

ti

+00,

quando para

for possível obter um índice no E N

> no são maiores do que A. Ou seja,

> A.

Toda sequência crescente ilimitada (xn) tem limite infinito pois uma vez obtido xno > A, daí em diante todo Portanto, tem-se lim a" =

+00

Xn

com

ti

> no cumpre

Xn

> xno > A.

quando a > 1.

Observe-se, porém, que pode ocorrer termos lim Xn =

+00

sem que

seja crescente. Isto se dá, por exemplo, com a sequência 1,4,3,16,5,36, na qual

Xn

=

ti

se n é ímpar e

Xn

= n2 se

ti

(xn)

... ,

é par.

Pode também acontecer que uma sequência de números positivos seja ilimitada sem ter limite infinito. Por exemplo, a sequência 1, 2, 1,4,1,6,1,8, onde se tem

Xn

=

ti

se

ti

é par e

Xn

=

1 se

ilimitada mas não é verdade que lim Xn =

ri

é ímpar. Aqui, tem-se

... , (xn)

+00.

De modo análogo, se O < a < 1 então as potências sucessivas a, a2, a3, ... decrescem abaixo de qualquer cota positiva: fixado arbitrariamente

um nú-

mero c > O, por menor que seja, pode-se sempre achar um expoente

ti

E

N

tal que o" < c. Com efeito, sendo O < a < 1, se escrevermos b = l/a, Logo, pelo que acabamos de ver, podemos achar ou seja, xP

<

m x ,

ti

E

teremos b > 1.

N tal que bn > l/c,

> ~ , donde o" < c. Com maior razão, para todo logo xP < c.

a~

p

>

ti

tem-se

Este resultado significa que limn-+oo o" = O quando O < a < 1. (A expressão limn-+oo an = O lê-se "o limite de a" , quando n tende ao infinito, é igual a zero".) Procuremos agora atribuir um significado à potência o", quando

ti

E

Z

é um número inteiro, que pode ser negativo ou zero. Isto deve ser feito de

modo que seja mantida a regra fundamental am . a" = am+n. Em primeiro lugar, qual deve ser o valor de aO ? Como a igualdade aO . aI

=

aO+l

deve ser válida, teremos aO . a

a única definição possível é aO = 1. Em seguida, dado qualquer n E N, devemos ter

176

= a,

logo

FUNÇÕES

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTl\IICAS

CAPÍTULO

Assim, se quisermos estender o conceito de potência do número real a > O, para admitir expoentes inteiros quaisquer e preservar a igualdade a'" . an = am+n , a única definição possível consiste em pôr aO = 1 e «» =

l/an para todo n E NA função

f :Z

---+ IR, dada por f(n)

= o" , n

E

Z, além de cumprir a

igualdade fundamental

f(m + n)

=

f(m) . f(n),

é ainda crescente quando a > 1 e decrescente quando O < a < 1. Seguese, em particular que, para a > 1 e n E N, tem-se a:" < 1 < an e, para O < a < 1, tem-se o" < 1 < a-n pois -n < O < n e aO = 1. De am . an = am+n segue-se que (am)n = a'?" ainda quando m, n E Z. Prosseguindo, vejamos que sentido pode ser dado à potência ar quando

r

é um número racional (onde m E Z e n E N), de modo que continue válida a regra ar . aS = ar+s. Desta igualdade resulta, que se deve =

m/n

ter, para r = m/n:

Portanto ar é

O

número real positivo cuja n-ésima potência é igual a am

Por definição de raiz, este número é \f(i,ffi, a raiz n-ésima de a"', Assim, a única maneira de definir a potência ar , com r = m/n

, m

E

Z, n E N,

consiste em pôr

Depois de dar esta definição, há alguns detalhes que devem ser examinados. Em primeiro lugar, como se tem m/n

=

mp/np para todo p

E

N,

é preciso mostrar que \Iffi = \1amp a fim de que a definição não seja ambígua. Em segundo lugar, deve-se mostrar que a definição dada assegura a validez da regra ar . aS = ar+s para r, S E Q. E finalmente, cumpre provar que a função f: Q ---+ IR+, definida por f(r) = ar, é crescente quando a > 1 e decrescente quando O < a < 1. Esses pormenores são fáceis de suprir. A função f : Q ---+ IR+ , definida por f(r)

=

ar, não é sobrejetiva.

Noutras palavras, fixado a > 0, nem todo número real positivo é da forma ar com r racional. Isto fica evidente se observarmos que, como Q é um conjunto enumerável, o mesmo deve ocorrer com sua imagem f(Q),

177

porém IR+ não

8

CAPÍTULO 8

POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL

,

é enumerável. mediante

De um modo mais elementar,

um exemplo.

número racional r = m/ onde m,

ti

este fato pode ser ilustrado

Tomemos a = 10 e indaguemos ti

tal que

lOm/n

=

se existe algum

11 ou sej a, tal que 10m = 11n ,

E N. É claro que, para qualquer m E N,lOm se escreve como 1

seguido de m zeros enquanto

11n não pode ter esta forma. Logo o número

real positivo 11 não pertence à imagem da função r r--+ Ií)", de Q em IR+. As potências ar , com expoente racional, embora não contenham os números reais positivos, estão espalhadas

por toda parte em jR+ , desde

que seja a ::; 1. Este é o conteúdo do lema abaixo. mesmo, embora elementar,

todos

A demonstração

do

é um tanto técnica e pode ser omitida numa

primeira leitura. Fixado o número real positivo a ::; 1, em todo intervalo de jR+ existe

LEMA 8.2.

alguma potência ar, com r E Q.

DEMONSTRAÇÃO.

Dados O < a < 13, devemos achar r E Q tal que a potência ar pertença ao intervalo [a,f3], isto é, a ::(ar ::( 13. Por simplicidade, suporemos a e a maiores do que 1. Os demais casos podem ser tratados

de modo análogo.

Como as potências de expoente natural de números maiores do que 1 crescem acima de qualquer cota prefixada, podemos obter números naturais M e

ti

tais que

a < 13 < a e 1 < a < (1 + 13a~ a) M

n

Da última relação decorrem sucessivamente 1 < a1/n < 1 + 13 - a aM

e

O < aM (a1/n

-

1) < 13 - a.

Logo m = 1 =+1 m - ::(M ::::}O < a-:;;:(an - 1) < 13 - a {:} O < ar;:- - ar> < 13 - a. ti

Assim, as potências

são extremos de intervalos consecutivos, que o comprimento

todos de comprimento

13 - a do intervalo [a, 13]. Como [a,f3]

menor do

C [1, aM]

,

pelo

menos um desses extremos, digamos a~, está contido no intervalo [a, 13].

178

FUNÇÕES

8.3

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTMICAS

CAPÍTULO

A Função Exponencial

Seja a um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1. A

de base a, f : ]R -+ ]R+, indicada pela notação f (x) = a",

função exponencial

deve ser definida de modo a ter as seguintes propriedades,

para quaisquer

x,y E]R: 1) a aY = a +Y; X

X

•

2) aI

= a;

3) x < y ~ a < aY quando a > 1 e x < y ~ aY < a quando < a < 1. X

°

X

É interessante

observar que se uma função

1) acima, isto é, f(x+y)

= f(x)·

f(y),

a menos que seja identicamente

=

tal que f(xo)

f

nula. Com efeito, se existir algum

Mais ainda: se

f (x) > f(x)

f

f : ]R -+

]R tem a propriedade

° para todo x

= f(~

E

E

- xo) = 0,

1) e não é identicamente

. f(~)

= [f(~)

f

r

> O.

1) e 2), tanto faz dizer que o contrade tomar ]R+ como

sobrejetiva, como veremos.

f : ]R -+ ]R+ tem

as propriedades

1) e 2) então, para todo

N tem-se

f(n)

]R

]R , pois

+~) = f(~)

é que se terá

Se uma função ti

°. f(x

é ]R como dizer que é ]R+ . A vantagem

contra-domínio

E

nula.

Assim, diante das propriedades mínio de

Xo

então, para todo x E ]R teremos

será identicamente

nula então

a propriedade

então f não pode assumir o valor 0,

= f(xo + (x - xo)) = f(xo) . f(x - xo) =

f(x) logo

°

f : ]R -+ ]Rtem

= f(1 + 1 + ... + 1) = f(1) . f(1) ..... f(1) = a . a· .... a = ano

179

8

CAPÍTULO

A

8

FUNÇÃO

EXPONENCIAL

Usando a propriedade 1), resulta daí, como mostramos na seção anterior. que, para todo número racional r = mf n, com ri E N, deve-se ter f(r)

ar =

=

yra;m.

= ar é a única função f : Q -t IR+ tal que f(r f(r) . f(8) para quaisquer r, 8 E Q e f(l) = a. Portanto f(r)

+ 8)

=

A propriedade 3) diz que a função exponencial deve ser crescente quando a > 1 e decrescente quando O < a < 1. Daí resultará, como veremos agora, que existe uma única maneira de definir o valor

f (x) = a

X

quando x é irracional. Para fixar as ideias, suporemos

a > 1. Então aX tem a seguinte propriedade:

Não podem existir dois números reais diferentes, digamos A < B, para assumir o valor a", com a propriedade acima.

Se existissem tais A e B

teríamos

r
8,

r,»

E

Q

ar < A < B < aS

=}

e então o intervalo [A, B] não conteria nenhuma potência de a com expoente racional, contrariando o Lema da seção anterior. Portanto, quando x é irracional, a é o (único) número real cujas aproX

ximações por falta são as potências ar, com r racional menor do que x e cujas aproximações por excesso são as potências aS , com

8

racional maior

do que x. Ou seja, se uma função

f : lR

f :

lR -t lR (ou, o que dá no mesmo,

-t lR+) possui as propriedades

1), 2) e 3) acima estipuladas para

ser uma função exponencial, então o valor

f (x)

=

f (x)

com x irracional é dado por

lim f (r n), onde (r n) é uma sequência (crescente ou decrescente) de

números racionais tais que lim r n = x. Na prática, escrevendo f(x)

= a (onde a = f(l)), tomamos a expressão decimal x = ao, ala2 ... an ... e temos a = lim arn, onde rn = ao, ala2 ... an° X

X

Definindo aX para todo x E lR, não há maiores dificuldades para verificar que, de fato, são válidas as propriedades 1), 2) e 3) acima enunciadas. Além disso, tem-se ainda

180

FUNÇÕES

4) A função f : lR. ~

EXPONENCIAIS

lR.+ , definida por f(x)

E LOGARÍTMICAS

CAPÍTULO

8

= a", é ilimitada superior-

mente. Com efeito, todo intervalo em lR.+ contém valores f(r)

=

ar segundo o

Lema da seção anterior. Mais precisamente:

se a > 1 então a

X

é muito grande. E se O < a < 1 então a

X

cresce sem limites quando x > O torna-se arbitrariamente

grande

quando x < O tem valor absoluto grande.

5) A função exponencial é contínua. Isto significa que, dado xo E lR., é possível tornar a diferença I aX -

aXo

I tão

pequena quanto se deseje, desde que x seja tomado suficientemente próximo de xo . Dito de outro modo: o limite de a quando x tende a xo é igual a X

aXO. Em símbolos: limx-+xo aX = aXO. Esta é novamente uma consequência das propriedades básicas 1), 2) e 3) da função exponencial.

Para prová-Ia, mostremos primeiro que é possível

tornar ah tão próximo de 1 quanto desejamos, desde que

Ihl

seja escolhido

suficientemente pequeno.

!

Para fixar as ideias, suponhamos a > 1 e h > O. Dado arbitrariamente E

> O, queremos mostrar que, tomando

h

h pequeno, teremos a

< 1+

E.

Ora, pela desigualdade de Bernoulli, temos (1 + E)n > 1 + ne. Portanto, se

> (a - l)/E, teremos ne > a-I, logo a < 1 + ne e daí (por Bernoulli) a < (1 + E) n e finalmente a l/n < 1 + E. Em suma: dado E > O, existe n E N tal que a1/n < 1+E. Mais precisamente: 1 < a1/n < 1+E. Se tomarmos h tal que O < h < l/n, teremos 1 < ah < a1/n < 1 + E. Assim

tomarmos n E N tal que

ti

faremos ah tão próximo de 1 quanto desejemos. Escrevemos limh-+Oah = 1 (1 é o limite de ah quando h tende a zero). Agora, fixado xo E lR., pomos h = x - xo e temos aX h

axo(a

-1).

aXo = axo+h

-

h

Quando x se aproxima de xo, h tende a O,a

-

aXo

=

h

tende a 1 e a -1

tende a zero. Como aXo é fixo (não depende de h), temos limx-+xo (aX - aXo) =

O, ou seja limx-+xo

X

a

=

aXo,

o que caracteriza a continuidade da função

exponencial.

181

CAPÍTCLO

A

8

FUNÇÃO

EXPONENCIAL

6) A função exponencial

f: IR ----t IR+, f(x)

= o", a =I- 1) é sobrejetiva.

Esta afirmação quer dizer que para todo número real b > O existe algum x E IR tal que aX = b. (Todo número real positivo é uma potência de a.) Para prová-Ia, usamos o Lema da seção anterior e escolhemos, para cada

n

E

N, uma potência a> , com rn E Q, no intervalo (b - ~,b

que Ib - arnl < l/n portanto

modo

limx-txQ o/> = b. Para fixar as ideias, supomos

a > 1. Escolhemos as potências arn sucessivamente,

Certamente,

+ ~),de

tais que

podemos fixar s E Q tal que b < aS . Então a monotonicidade

da função aX nos assegura que

ri

< rz < ... < rn < ... < s.

Assim, (rn) é uma sequência crescente, limitada superiormente

por s. A

completeza de IR garante então que os r n são valores aproximados

por falta

de um número real x, ou sej a, limx-txQr n = x. A função exponencial sendo contínua, temos então aX

= limx-txQa'> =

b como queríamos demonstrar.

Vemos, pois, que para todo número real positivo a, diferente de 1, a fun-

f : IR

IR+, dada por f (x) = a é uma correspondência biunívoca entre IR e IR+ , crescente se a > 1, decrescente se O < a < 1,

ção exponencial

com a propriedade

f(x

+ y)

=

----t

X

adicional de transformar

,

somas em produtos,

isto é,

f(x) . f(y)·

(A injetividade

da função x r---t a decorre da sua monotonicidade. X

Se

a > 1, por exemplo, então

portanto

x =I- y

=?

a =I- aY.) X

Tem-se ainda lim a" =

+00

x-t+oo

se

a> 1,

lim a x = O se

O < a < 1,

lim a" = O se

a >1

x-t+oo x-t-oo

lim aX =

+00

x-t-oo

se

A Figura 8.1 exibe o gráfico de f(x)

182

e

O < a < 1.

= a nos casos a > 1 e O < a < 1 X

FCNC;ÔES

EXPONENCIAIS

y f(x)

E LOGAHÍTl\IICAS

=

CAPí'lTLO

(')

(a> 1)

a

X

= a"

O
x

o Figura 8.1

Quando a > 1, nota-se que, quando x varia da esquerda para a direita, a curva exponencial y = aX apresenta um crescimento bastante lento enquando x é negativo. A medida que x cresce, o crescimento de y se torna cada vez mais acelerado. Isto se reflete na inclinação da tangente ao gráfico; para valores positivos muito grandes de x, a tangente é quase vertical. O crescimento exponencial supera o de qualquer polinômio. Se compararmos o gráfico de y = 2X (por exemplo) com o de y =

XlO

,

veremos que, para

O < x < 1,077 temos x10 < 2x. Para 1,077 < x < 58,77 tem-se x10 > 2x e, para todo x > 58, 77 tem-se sempre 2 > X

xlO

y

Figura 8.2

183

.

/

CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

CAPÍTCLO 8

8.4

Caracterização da Função Exponencial

As funções exponenciais são, juntamente dráticas,

os modelos matemáticos

elementares.

com as funções afins e as qua-

mais utilizados para resolver problemas

As funções afins ocorrem em praticamente

todos os proble-

mas durante os oito primeiros anos da escola e, com menos exclusividade, porém ainda com grande destaque, nos três anos finais. Por sua vez, as funções quadráticas tenham,

e exponenciais aparecem nesses três últimos anos, embora

principalmente

as últimas, importância

dade, bem como nas aplicações de Matemática

considerável na universiem atividades científicas ou

profissionais. Uma vez decidido que o modelo adequado blema é uma função afim, quadrática mento matemático

ou exponencial,

apropriado

antes, na escolha do instrumento

é preciso saber quais são as propriedades

de cada tipo de função.

des que caracterizam

As dúvidas

para o problema que se estuda. Para que essa esco-

lha possa ser feita corretamente, características

pro-

a partir daí o trata-

da questão não oferece maiores dificuldades.

que possam surgir acontecem geralmente, matemático

para um determinado

No Capítulos

5, vimos proprieda-

as funções afins. Vamos agora fazer o mesmo com as

funções exponenciais. TEOREMA 8.3. CARACTERIZAÇÃO FUNÇÃO

DA

EXPONENCIAL.

Seja

f : lR.

decrescente).

----+ lR.+ uma função monótona

injetiva (isto é, crescente ou

As seguintes afirmações são equivalentes:

(1) f(nx) = f(x)n para todo ti E Z e todo x E lR.; (2) f(x) = a para todo x E lR. , onde a = f(1); (3) f(x + y) = f(x) . f(y) para quaisquer x, y E ]R.. X

DEMONSTRAÇÃO.

Provaremos

as implicações

(1) ::::}(2) ::::}(3) ::::}(1). A fim de mostrar

que (1) ::::}(2) observamos inicialmente que a hipótese (1) acarreta que, para todo número racional r = m/n,

(com mE Z e

ti

E N) tem-se f(rx)

Com efeito, como nr = m, podemos escrever

f(rxt logo f(rx)

= f(x)m/n

=

f(nrx)

=

f(mx)

= f(xy.

184

=

f(x)m,

= f(xy

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTi\IICAS

CAPÍTCLO 8 I

=

Assim, se pusermos f(l)

para todo r E Q. Para completar ponhamos,

f(l)

f(r)

a, teremos

= f(r . 1) = f(lY

a demonstração

=

de que (1) ::::}(2) su-

a fim de fixar as ideias, que f seja crescente, logo 1 = f(O)

= a. Admitamos, por absurdo, que exista um x E IR tal que f(x) < a". (O caso f(x)

Digamos, por exemplo, que seja f(x) analogamente.)

ar

-I-

< o".

> a seria tratado X

Então, pelo Lema da Seção 2, existe um número racional r

< ar < o", ou seja, f(x) < f(r) < a". Como f é crescente, tendo f(x) < f(r) concluímos que x < r. Por outro lado, temos também ar < a", logo r < x. Esta contradição completa a prova de que (1) ::::}(2). tal que f(x)

As implicações restantes,

o Teorema

(2) ::::}(3) e (3) ::::}(1) são óbvias.

de Caracterização

mente diferente, substituindo de que

f

a hipótese de monotonicidade

seja contínua. A demonstração

t, deve

OBSERVAÇÃO.

pela suposição

do passo (1) ::::}(2) muda apenas no

Então tem-se x = lim rn, rn E Q, logo, pela continuidade

caso x irracional. de

pode ser enunciado de um modo ligeira-

n-+oo

ser

Dizemos que uma função 9 : IR -+ IR é de tipo exponencial quando se tem g(x) a > 1, 9

= ba" para todo x E IR, onde a e b são constantes positivas. Se é crescente e se O < a < 1, 9 é decrescente.

Se a função 9 : IR -+ IR é de tipo exponencial

então, para quaisquer

x, h E IR, os quocientes g(x

+ h)

- g(x)

g(x)

h

= a-I

e

g(x + h) g(x)

---,---

dependem apenas de h, mas não de x. Mostraremos

=

a

h

agora que vale a recí-

proca. Seja 9 : IR -+ IR+ uma função monótona decrescente)

h) - g(x)Jlg(x) a = g(l)/g(O),

injetiva (isto é, crescente ou

tal que, para x, h E IR quaisquer, o acréscimo relativo [g(x dependa apenas de h, mas não de x. Então, se b tem-se g(x)

=

ba" para todo x E IR

185

=

+

g(O) e

TEOREMA 8.4. PRIMEIRA CARACTERIZAÇÃO FUNÇÕES DE TIPO EXPONENCIAL.

DAS

CAPíTULO 8

DEMONSTRAÇÃO.

CAHACTEHIZAÇÃODA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Como vimos acima, a hipótese feita equivale a supor que
h)/g(x) independe de x. Substituindo, se necessário, g(x) por f(x) = g(x)/b, onde b = g(O), obtemos f : IR --+ IR+ monótona injetiva, com f(x + h)/ f(x) independente de x e, agora, com f(O) = l. Então, pondo x = O na relação
das funções de tipo exponencial,

teorema abaixo, pode mostrar-se

bastante

cada utilização concreta, saber interpretar

que veremos no

útil. Para isto, é necessário, em a condição 2) do enunciado.

Essa

condição que parece elaborada à primeira vista, tem um significado bastante intuitivo, como mostraremos. TEOREMA 8.5. SEGU

DA CARATERIZAÇÃü DE b· a'

Para cada b e cada t reais, suponhamos

dado um número f(b, t) > O com

as seguintes propriedades:

1) f(b, t) depende linearmente de t e é monótona 2) f(b, s + t) = f(f(b, s), t). Então, pondo a = f(l, 1), tem-se f(b, t) = b· at.

DEMONSTRAÇÃO.

A função

ip :

injetiva

em relação

a t;

IR --+ IR+, dada por
cumpre


+ t) =

f(f(l,

em virtude de 1) e 2) pois f(l, Pelo Teorema


at,

s), t) = f(l, s) . f(1, t) =
s) = f(l, s) . l.

de Caraterização

onde a =
f(b, t) = f(b·

das funções

exponenciais,

tem-se

1). Portanto

1, t) = b· f(l,

t) = b·
ato

A condição 2) do Teorema acima tem seu significado esclarecido quando se nota que b = b·

= f(b, O), ou seja, que b é o valor inicial da grandeza f(b, t) no instante t = O (pensando em t como o tempo decorrido desde que aO

186

,

FUNÇÕES EXPONENCIAISE LOGARÍTMICAS

CAPÍTCLO 8 I

a grandeza passou do valor b = f(b, O) para o valor f(b, t)). que, começar com o valor b e deixar passar o tempo s começar com o valor f(b,s)

+t

Então 2) diz é o mesmo que

e deixar transcorrer o tempo t.

Em situações concretas, como as dos exemplos que examinaremos no OBSERVAÇÃO. final deste Capítulo, a segunda caracterização das funções de tipo exponencial é bem mais natural e mais fácil de ser empregada.

8.5

Funções Exponenciais e Progressões

Seja

f :

IR ---t IR,

f (X) =

ba", uma função de tipo exponencial.

Se

Xl, X2, ... ,Xn, ... é uma progressão aritmética de razão h, isto é, Xn+1 = Xn

+ h,

então os valores

formam uma progressão geométrica de razão ah pois

Como o (n Xl

+ nh,

se

Xl

+ 1)-ésimo

termo da progressão aritmética dada é Xn+l

segue-se que f(Xn+l)

=

f(xd

. An , onde A = b· A".

= O então f(XI) = b logo f(xn+1)

=

o''. Em particular,

Esta simples observação é usada na prática para "discretizar" a análise das situações, "como aquelas da Seção 1, em que se tem crescimento ou decrescimento exponencial. Por exemplo, se um capital inicial

Co

é aplicado a juros fixos então, depois

de decorrido um tempo t, o capital existente é dado por c(t)

= Co .

at

.

Se

tirarmos extratos da conta nos tempos O, h, 2h, 3h, ... teremos c(O) = co,

c(h) = coA, c(2h) = Co· A2, c(3h) = Co· A3,

...

onde A = ah

.

Portanto, a

evolução do saldo, quando calculado em intervalos iguais de h unidades de tempo, é dada pela progressão geométrica:

187

FUNÇÃO INVERSA

CAPÍTULO 8

(Vide "Progressões e Matemática Financeira", Coleção do Professor de Matemática, SBM.) Esta propriedade é característica das funções de tipo exponencial, conforme o TEOREMA 8.6.

Seja

f : IR -+ IR

uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou

decrescente) que transforma toda progressão aritmética

Xl, X2,···,

numa progressão geométrica YI, Y2,· .. , Yn,·· ., Yn = f(xn).

b = f(O) e a = f(l)/

DEMONSTRAÇÃO.

f(O) teremos f(x)

= boi" para todo

Xn, ...

Se pusermos E IR.

X

Seja b = f(O). A função 9 : IR -+ IR+, definida por g(x) = f(x)/b, é monótona injetiva, continua transformando progressões aritméticas em progressões geométricas e agora tem-se g(O) = 1. Dado sequência x, O, -x ti

E IR qualquer, a

é uma progressão aritmética, logo g(x), 1, g(-x)

é uma

= l/g(x).

Sejam

progressão geométrica de razão g(-x). agora

X

Segue-se g(-x)

E N e x E IR. A sequência O, x, 2x, ... ,nx é uma progressão aritmé-

tica, logo 1, 9 (x) , 9 (2x ), ... , 9 (nx) é uma progressão geométrica, cuj a razão evidentemente é g(x).

-n

Então seu (n

+ l)-ésimo

= l/g(nx)

é um inteiro negativo então g(-nx)

Portanto, vale g(nx)

= g(x)n. Se = l/g(x)n = g(x)-n.

termo é g(nx)

= g(x)n para quaisquer

ti

E Z e x E IR. Segue-se do

Teorema de Caracterização acima que, pondo a = g(l) = f(l)/

g(x) = a", ou seja, f(x)

8.6

f(O), tem-se

= bo", para todo x E IR.

Função Inversa

Diz-se que a função 9 : Y -+ X é a inversa da função quando se tem g(f(x))

=

f

se, e somente se,

i, tem-se

f

é inversa de g.

g(y) = x se, e somente se, f(x) = y . = x para todo x E X então a função f é injetiva, pois

Quando 9 é a inversa de Se g(f(x))

-+ Y = Y para quaisquer x E X e Y E Y.

x e f(g(y))

Evidentemente, 9 é inversa de

f :X

188

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Por sua vez, a igualdade i(g(y))

CAPÍTULO 8

y, valendo para todo y E Y, implica que i é sobrejetiva pois, dado y E Y arbitrário, tomamos x = g(y) E X e temos i(x) = y. Portanto,

se a função

i :X

=

----t Y possui inversa então

sobrejetiva, ou seja, é uma correspondência Reciprocamente, X e Y então

se

i possui

i :X

i

é injetiva e

biunívoca entre X e Y.

----t Y é uma correspondência

biunívoca entre

uma inversa 9 : Y ----t X. Para definir g, notamos que,

= y.

sendo i sobrejetiva, para todo y E Y existe algum x E X tal que i(x) Além disso, como

i

é injetiva, este x é único. Pomos então g(y) = x. Assim,

9 : Y ----t X é a função que associa a cada y E Y o único x E X tal que

i(x)

= y.

É imediato que

= x e i(g(y))

g(f(x))

= y para x E X e y E Y

quaisquer. Lembremos que [0,+(0) = {x E IR; x ~ O}. Sejam

i :IR

[0,+(0) e EXEMPLO 8.7. g: [O,+(0) ----t IR definidas por i(x) = x2 e g(y) = y!Y. Tem-se i(g(y)) = y para todo y ~ Ornas g(f(x)) só é igual a x quando x ~ O. Se x E IR for negativo então g(f(x)) = -x. Portanto 9 não é inversa de i. Na realidade, nenhuma função sp : [O,+(0) ----t IR pode ser inversa de i porque i não é injetiva. Note, porém, que se considerarmos restrição de i a [O,+(0), isto é, a função F: [0,+(0) ----t [0,+(0), dada por F(x) = x2, então F é uma correspondência biunívoca, e sua inversa é a função G : [O,+(0) ----t [O,+(0), dada por G(y) = y!Y, pois ----t

ã

G(F(x))

= G(x2) =

H= x

e

F(G(y)) para quaisquer x ~

Mais geralmente,

°

= F(yíy) = (yíy)2 = Y

e y ~ O.

para todo

ti

E N, a função x f--+ x" é uma correspon-

dência biunívoca de [O,+(0) sobre si mesmo, cuja inversa é y t---+ \;/fJ. Se

ti

é ímpar, então x t---+ xn é uma correspondência

biunívoca de IR sobre

si mesmo, cuja inversa G: IR ----t IR é dada por G(y) = \;/fJ. Quando 9 : Y ----t X é a função inversa de

189

i :X

----t Y, escreve-se 9

=

i-I.

CAPÍTULO

8

FUNÇÃO

INVERSA

i :I

Prova-se que uma função contínua

I C IR, só pode ser injetiva se for monótona y

----t IR, definida num intervalo

(crescente ou decrescente). y

y=f(x)

y=g(x)

x f é não injetiva

g é injetiva (monótona)

Figura 8.3

Portanto,

a fim de que uma função contínua

possua uma inversa, é necessário que

i seja

i :I

----t J

(I , J intervalos)

crescente, ou decrescente, além

de sobrejetiva. A inversa de uma função crescente é crescente e a inversa de uma função decrescente é decrescente. Antes de falar sobre o gráfico da função inversa, revejamos a noção de simetria em relação a uma reta. Dois pontos P, Q no plano dizem-se simétricos em relação a uma reta r nesse plano quando r é a mediatriz do segmento PQ. Duas figuras dizem-se simétricas em relação à reta r quando cada ponto de uma delas é o simétrico de um ponto da outra em relação a essa reta. diagonal do plano IR2 a reta .6 formada pelos pontos (x, x)

Chama-se

que têm abcissa e ordenada iguais. O simétrico do ponto P

=

(x, y) E IR2 em relação à diagonal A é o ponto

Q = (y, x). Com efeito, o segmento PQ é uma diagonal do quadrado cujos vértices são (x, y), (x, x), (y, x) e (y, y), enquanto .6 é o prolongamento

da

outra diagonal.

i-i: função i-i

Se X, Y são conjuntos de números reais e função

i :X

G da função

----t Y então o gráfico G' da

i em

relação à diagonal .6 C IR2.

190

Y ----t X é a inversa da é o simétrico do gráfico

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTl\IICAS

CAPÍTCLO 8

y

I I I I I

(x,x)

I

------. x

I I I

(y,x) = Q

x

y

Figura 8.4

Com efeito, temos

(x, y) E G {:}y = f(x)

{:} x = f-l(y)

Se, numa folha de papel translúcido,

f

traçarmos

{:} (y, x) E G'. o gráfico de uma função

então, girando a folha no espaço num ângulo de 180 em torno da diagonal 0

~, obteremos o gráfico de

t '.

Se f : X -+ Y é sobrejetiva

e 9 : Y -+ X é tal que g(j(x))

todo x E X então tem-se necessariamente 9 =

r: é a inversa

tal que f(x)

=

x para

= y para todo y E Y e

de x. Com efeito, dado qualquer y E Y existe x E X

y, logo

= f(g(j(x)))

f(g(y))

8.7

f(g(y))

=

= f(x)

= y.

Funções Logarítmicas

Vimos na Seção 8.3 que, para todo número real positivo exponencial f : IR -+ IR+, f(x)

a#-

1, a função

= a", é uma correspondência biunívoca entre IR e IR+, crescente se a > 1, decrescente se O < a < 1, com a propriedade adicional

f(x + y) = f(x)

191

. f(y)·

OBSERVAÇÃO.

CAPÍTULO

8

FUNÇÕES

Segue-se que

I

LOGARÍTl\HCAS

f

possui uma função inversa.

A inversa da função exponencial de base a é a função sOl sOl

que associa a cada número real positivo x o número real Ioga x, chamado o

nú

logaritmo de x na base a. Por definição de função inversa, tem-se eis

e1 Assim, Ioga x é

O

expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o

número x. Ou seja,

=

y

Segue-se imediatamente

para x e Y positivos quaisquer.

=

x e av

= y,

=

Ioga x

ele

0,

da relação o" . a = a V

loga(xy)

aU

aY = x.

Ioga x {:}

no

+v

U

que

101 tr:

+ Ioga Y

Com efeito, se u = Ioga x e v = Ioga Y então

ql g(

logo xy

=a

U

•

av = au+v ,

ou seja

Esta propriedade

de transformar

original para a introdução popularidade,

produtos

dos logaritmos,

até bem recentemente,

em somas foi a motivação

no início do século 17, e de sua

como um eficiente instrumento

de

cada vez mais desenvolvidas,

fez

cálculo. O uso generalizado

das calculadoras,

com que essa utilidade inicial dos logaritmos perdesse o sentido. Entretanto, a função logaritmo continua extremamente

importante

na Matemática

e em

suas aplicações. Essa importância

é permanente:

inversa da função exponencial

jamais desaparecerá

(portanto

porque, sendo a

equivalente a ela), a função loga-

ritmo está ligada a um grande número de fenômenos e situações naturais,

a

onde se tem uma grandeza cuja taxa de variação é proporcional

p

dade da mesma existente no instante

dado.

livro "Logaritmos", já citado.)

192

à quanti-

(Vide RPM 18, pág.

24 e o

x

FUNÇÕES

EXPONENCIAIS

E LOGAHÍTMICAS

CAPÍTULO

A função Ioga: IR+ ---+ IR é crescente quando a > 1 e decrescente quando O < a < 1. Como aO = 1, tem-se Ioga 1 = O. É importante

ressaltar

somente números positivos possuem logaritmo real, pois a função x somente assume valores positivos.

f---7

aX

(Para uma discussão sobre logaritmos de

números negativos, ver "Meu Professor de Matemática", As funções logarítmicas

que

página 180.)

mais utilizadas são aquelas de base a > 1, espe-

cialmente as de base 10 (logaritmos decimais), base 2 (logaritmos binários) e base e (logaritmos

naturais, às vezes impropriamente

chamados neperia-

nos). Estes últimos são os mais adequados cientificamente

e voltaremos

a

eles logo mais. Como Ioga x é uma função crescente de x quando a > 1, e como Ioga 1 = O, segue-se que, para a > 1, os números compreendidos

entre O e 1 têm

logaritmo negativo e os maiores do que 1 têm logaritmo positivo.

Ao con-

trário, se O < a < 1 então Ioga x é positivo quando O < x < 1 e negativo quando x > 1. A figura mostra os gráficos das funções

f (x)

= 10g2x e

g(x) = 10gl/2X. y

O

Figura 8.5

Se tivéssemos traçado os gráficos das funções y = Ioga x e y = log, x, com a > 1 e O < b < 1 quaisquer,

as figuras obtidas teriam os mesmos

aspectos daquelas na Figura 8.5. Mais precisamente,

existiriam constantes

positivas c, d tais que Ioga x = c . 10g2x e log, x = d . 10g1/2x para todo x> O. Com efeito se u = Ioga x e v = 10g2x então aU = x e 2V = x. Portanto,

193

8

CAPÍTULO

8

FUNÇÕES

LOGARÍTMICAS

se escrevermos c = Ioga 2 teremos aC = 2, logo

portanto u = cv, isto é, Ioga

= C ·log2 X para todo

X

X

> 0, onde a constante

c é igual a Ioga 2. A igualdade

é válida em geral (mesmo raciocínio) e se chama a fórmula de mudança de base para logaritmos.

Quando a e b são ambos maiores ou ambos menores

do que 1 então Ioga b > O. Se um dos números a, b é maior e o outro é menor do que 1 então Ioga b < O. A fórmula acima diz que duas funções logarítmicas

quaisquer diferem por um fator constante.

Como Ioga: ]R+ -+ ]R é uma correspondência jetiva, segue-se que y = Ioga quanto inferiormente.

X

biunívoca, portanto

sobre-

é uma função ilimitada, tanto superiormente tem-se, para a > 1:

Mais precisamente, lim Ioga

x--++oo

=

X

+00

e lim Ioga

x--+o

X

=

-00.

A primeira destas igualdades significa que se pode dar a Ioga lor tão grande quanto se queira, desde que grande. Ioga X

X

-A

desde que

X

A > 0, tem-se

seja um número positivo suficientemente

Ao contrário da função exponencial, que cresce rapidamente, a M

+00

muito lentamente

> 0, tem-se

quando

>

Ioga X

M {::} X

X

-+

>

aM.

+00.

um va-

seja tomado suficientemente

A segunda quer dizer que, dado arbitrariamente

<

X

pequeno.

Ioga

tende

X

Com efeito, dado um número

Assim, por exemplo, se quisermos

que loglO X seja maior do que mil, será preciso tomar um número expressão decimal tenha pelo menos mil e um algarismos.

X

cuja

(Vide Observação

ao final da Seção 8.9.) Esse crescimento rápido da exponencial,

y =

Ioga

lento do logaritmo,

que contrasta

com o crescimento

é bem ilustrado pelos gráficos das funções y = a e X

x, que, como sabemos, são simétricos em relação à diagonal de ]R2.

194

FUNÇÕES

EXPONENCIAIS

y

=

E LOGARÍTl\IICAS

CAPÍTCLO

~

Ioga x

x

Figura 8.6

8.8

Caracterização das Funções Logarítmicas

Provaremos a seguir que, entre as funções monótonas injetivas IR+ -7 IR, somente as funções logarítmicas têm a propriedade

de transformar

em somas. Antes lembremos que se f : IR+ -7 IR é tal que f(aX) todo x E IR então f (y )

=

produtos =

x para

Ioga y para todo y E IR+, de acordo com a

Observação no final da Seção 8.6, pois x

H

aX é uma função sobrejetiva de

IR em IR+. (Estamos supondo a > O diferente de 1.)

Seja

f : IR+ -7

decrescente)

IR uma função monótona

tal que f (xy) = f (x)

existe a > O tal que f(x)

injetiva (isto é, crescente ou

+f

(y) para quaisquer z , y = Ioga x para todo x E IR+.

f

Para fixar as idéias, admitamos

crescente.

E

IR+. Então

O outro caso é tratado

f(1) + f(1), logo f(1) = O . Provemos o teorema inicialmente supondo que exista a E IR tal que f(a) = 1. Depois igualmente.

mostraremos

Temos f(1)

=

f(1 . 1)

=

que isto sempre acontece, logo não é uma hipótese adicional.

Como f é crescente e f(a)

= 1 > O = f(1), tem-se a > 1. Para todo m

195

E

N

TEOREMA

8.8.

CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS.

DEMONSTRAÇÃO.

CAPÍTULO

8

CARACTERIZAÇÃO

DAS FUNÇÕES

LOGARÍTMICAS

vale

J(am) = J(a· a- ....

a)

+ J(a) + ... + J(a) = 1 + 1 + ... + 1 = m, =

J(a)

0= J(l) = J(am =

logo J(a-m)

+

Tíl.,

J(am)

.

a-m)

+ J(a-m) = m + J(a-m),

Se r = m/n com m E Z e

ti

E N então

rn = m,

portanto

e daí J(a

T )

= ~ = r. Se x

E ~ é irracional então, para r, s racionais tem-se:

Assim todo número racional r, menor do que x, é também menor do que J(a

)

J(a

Segue-se que J(a

X

X

e todo número racional s maior do que x é também maior do que X

).

)

= x para todo x

E R

Portanto J(y) = Ioga y

para todo y > O. Consideremos agora o caso geral, em que se tem uma função crescente 9 : ~+ ----+ ~, tal que

g(xy) = g(x) sem mais nenhuma hipótese. Então g(l)

g(2) = b > O. A nova função J : ~+ ----+

+ g(y), = O e, como 1 < 2, devemos ter ~, definida por J(x) = g(x)/b, é

crescente, transforma somas em produtos e cumpre J(2) = 1. Logo, pela primeira parte da demonstração, tem-se J(x) = log., x para todo x > O. Isto significa que, para todo x > O, vale

com

a =

21jb.

Tomando Ioga de ambos os membros da igualdade

vem, finalmente: g(x) = logax.

196

ag(x) =

x

FUNÇÕES

8.9

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTl\IICAS

CAPÍTCLO

Logaritmos Naturais

Nesta seção, mostraremos como os logaritmos naturais podem ser apresentados de forma geométrica, usando para isso o Teorema de Caracterização demonstrado na seção anterior. Começamos pelo estudo de uma transformação geométrica bastante simples, que se revela útil para os nossos propósitos. Para cada número real k > 0, definimos a transformação

T

=

(= função)

Tk : jR2 ----t jR2 , que associa a cada ponto (x, y) E jR2 o ponto

T(x, y)

=

(kx, y/k),

obtido de (x, y) multiplicando a abcissa por k e di-

vidindo a ordenada pelo mesmo k. Um retângulo X de lados paralelos aos eixos, com base medindo b e altura medindo a, é transformado por T num retângulo XI = T(X), com lados paralelos aos eixos, porém com base kb e altura a/k. X e seu transformado XI

= T(X)

ainda

Portanto

têm áreas iguais. Mais geralmente, T

transforma toda figura F do plano numa figura FI = T(F),

cujas dimensões

em relação a F são alteradas pelo fator k na horizontal e l/k na vertical. Logo F e FI têm a mesma área. O leitor interessado numa análise mais detida do fato de que F e FI têm a mesma área observará que todo polígono retangular contido em F é transformado por T num polígono retangular (polígono cujos lados são paralelos aos eixos) de mesma área contido em FI enquanto T-1 faz o mesmo com os polígonos retangulares contidos em FI. [Vide "Medida e Forma em Geometria", especialmente as págs. 22 e 49.] Em seguida, lembrará que a área de uma figura plana é o número real cujas aproximações por falta são as áreas dos polígonos retangulares nela contidos. Interessa-nos em particular o efeito da transformação T nas faixas de hipérbole. Seja J[

=

{(x,l/x);x

>

O}

o ramo positivo da hipérbole equilátera xy = I; J[ é o gráfico da função h: jR+ ----t jR, h(x) = l/x.

Dados a, b E jR+, o conjunto J[~ dos pontos (x, y) do plano tais que x está entre a e b e

° ::;;y ::;;

l/x

chama-se uma faixa de hipérbole.

197

J[~

é o

8

CAPÍTULO

8

LOGARITMOS

NATURAIS

y

o Figura

(2x, y/2).

8.7:

Um quadrado,

um círculo e suas imagens

por T(x, y)

Q' e C' têm áreas iguais às de Q e C respectivamente.

conjunto do plano limitado lateralmente

pelas verticais x = a, x = b, ao sul

pelo eixo das abcissas e ao norte pela hipérbole H. Veja a Figura 8.8. y

o

a

b

Figura 8.8: A faixa H~. A transformação

x T = Tk : IR.2-+ IR.2leva a faixa H~

na faixa H~~.

Como T preserva áreas, segue-se que, para todo k > O, as faixas H~ e H~~têm a mesma área. Normalmente,

a área de uma figura não é um número negativo. Mas às

vezes é conveniente usar "áreas orientadas", ou seja, providas de sinal

+

ou

É o que faremos agora. Convencionaremos

que a área da faixa de hipérbole será positiva quando

198

FUi\çÔES

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTl\lICAS

y

o

a

b

ak

x

bk

Figura 8.9: As faixas H~ e H~~têm a mesma área.

a < b, negativa quando b < a e zero quando a = b. Para deixar mais clara esta convenção, escreveremos ,

AREA com letras maiúsculas,

tr;b

para indicar a área orientada

(provida de sinal). A

área usual, com valores > O, será escrita como área H~. Assim, temos ÁREA H~ = área H~ > O se a < b; ÁREA H~= -área

H~
ÁREA H~=O. É óbvio que, quando a < b < c, tem-se área H~

+ área

Hb

=

área H~.

Uma consequência da adoção de áreas orientadas ÁREA H~ = -ÁREA

é que se tem

Hg.

Daí segue que vale a igualdade ÁREA H~

+ ÁREA

Hb = ÁREA H~

em qualquer dos seis casos a ~ b ~ c, a ~ c ~ b, b ~ a ~ c, b ~ c ~ a, c ~ a ~

b e c ~ b ~ a. A igualdade anterior é fácil de provar. Basta ter a paciência de considerar

separadamente

cada uma destas seis possibilidades.

199

CAPÍnoLO

8

CAPÍTCLO

8

LOGARITI\:IOS NATCRAIS

y

ÁREAH~ =ÁREAH~+ ÁREAHg

o

a

c

x

b

Figura 8.10

f : ]R+

Definamos uma função

f(x)

~

]R pondo, para cada número real x

=

ÁREAHf

> O,

y

f (x) f(x')

O Figura 8.11: f(x)=área clara

x'

=áreaHf = -áreaH{

x

1

x

da região mais escura, f(x')=-área

da região mais

Resultam imediatamente da definição as seguintes propriedades:

f(x»O f(x)


f(l)

= O;

f

{:}

x>l;

{:}

O < x < 1;

é crescente.

200

FUNÇÕES

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTl\IICAS

CAPÍTCLO

Além disso, observamos que, para x, y E ffi.+ quaisquer:

f (xy)

= ÁREA HfY = ÁREA

Hf + ÁREA H:Y.

Mas, como vimos acima, ÁREA H:Y = ÁREA H'{. Logo f(xy)

Hf + ÁREA H'{ ,

ou seja:

f(xy)

=

Pelo Teorema de Caracterização

f(x)

+ f(y)·

das funções logarítmicas,

número real positivo, que chamaremos de e, tal que f(x) x E ffi.+. Escreveremos

= ÁREA

ln x em vez de log, x e chamaremos

existe um

= log, x para todo o número ln x de lo-

garitmo natural de x. y

o

1

Área=11---e 3 2

x

Figura 8.12

o

número e, base dos logaritmos naturais,

é caracterizado

que seu logaritmo natural é igual a 1, ou seja ÁREA O número e é irracional.

Um valor aproximado

Hf

pelo fato de

= 1.

dessa importante

cons-

tante é e = 2, 718281828459. Os logaritmos naturais, ções, especialmente

de base e, são os mais importantes

aquelas que envolvem o uso do Cálculo Infinitesimal.

Alguns autores chamam o logaritmo natural em homenagem 1614. Entretanto,

nas aplica-

de "logaritmo neperiano",

a John Napier, autor da primeira tábua de logaritmos, em tal denominação

logaritmo originalmente

não é inteiramente

apropriada,

pois o

definido por Napier não coincide com o logaritmo

natural.

201

8

CAPÍTULO

8

LOGARITi\IOS

Usualmente,

o número e é apresentado

(1 + ~)n quando troduzir

NATURAIS

ti

tende ao infinito.

como o limite da expressão

Noutras

palavras,

e como o número real cujos valores aproximados

costuma-se

in-

por falta são os

números racionais da forma (1 + ~)n , n E N. Essas aproximações são tanto melhores quanto maior for o número n. Mostraremos e, que acabamos de caracterizar

pela propriedade

agora que o número

ÁREA Hf = 1, é mesmo

o valor daquele limite. O argumento que usaremos para dar essa prova se baseia na Figura 8.13, copiada da capa do livro "Logaritmos", já citado antes.

y

1 1

l+x

o

l+x

1

x

Figura 8.13

Nela temos um retângulo l~X'

contido na faixa

menor, cuja base mede x e cuja altura mede

nt= e esta

faixa, por sua vez, contida no retângulo

maior, com a mesma base de medida x e altura igual a 1. Comparando áreas dessas três figuras, podemos escrever, para todo x > O:

--

x

< ln (1 + x) < x.

l+x

Dividindo por x: 1

--< 1+x Tomando x = 1: n

-- ti

n+1

ln (1 + x)

x

(l)n

< ln 1 + -

n

Portanto:

202

<1.

< 1,

as

FUNÇÕES

para todo n E N. Quando logo

en~l

ti

EXPONENCIAIS

cresce indefinidamente,

E LOGARÍTMICAS

n:l se aproxima

tende a e. Segue-se então destas últimas desigualdades lim n-+oo

Este argumento interpretar

de 1,

que

(1 + ~)n = e. n

ilustra bem claramente

a vantagem

o logaritmo natural geometricamente:

almente intuitiva, permitindo

CAPÍTULO

que se obtenham

que advém de se

a noção de área é visudesigualdades

como as que

foram usadas aqui. A igualdade e = lim (1 n-+oo

+ 1.n )n

foi obtida a partir da desigualdade ln (1 + x) <1 x '

1 1 +x

--<

válida para todo x > O. Se considerarmos e 1

+x >

O. Portanto

(8.1)

< x < O, teremos -x > O

-1

é válido ainda falar de In(1

+ x).

Observamos que

o retângulo cuja base mede -x e cuja altura mede 1 está contido na faixa

H{+x e esta, por sua vez, está contida no retângulo de mesma base e altura 1/(1 + x). Comparando as áreas destas figuras, vem x

-x < - lnl I + x) < - --.

l+x

Dividindo os 3 membros pelo número positivo -x obtemos

1< ln (1+ x) < _1_. x

(8.1) e (8.2) nos dão

As desigualdades

--

1

l+x

(8.2)

1 +x

1

< In(l + x)::; <

1 < lnf l

1 ou

1

1

+ x)::; < --,

l+x

ou seja 1

e1+x

1

< (1+ x)::; < e

conforme seja x > O ou -1

ou

1

1

e < (1+ x)::; < e1+x,

< x < O. Em qualquer hipótese, daí se segue

que lim(l x-+o

1

+ x)::;

(8.3)

=e

Isto significa que é possível tornar o valor da expressão

(1

+ x) ~

tão

próximo de e quanto se deseje, desde que se torne o número não-nulo x

203

8

FUl'\ÇÕES

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTMICAS

CAPÍTCLO

para todo n E N. Quando n cresce indefinidamente, n~l se aproxima de 1, logo e n~l tende a e. Segue-se então destas últimas desigualdades que lim(l+~)n=e.

n

n.....• CXJ

Este argumento ilustra bem claramente a vantagem que advém de se interpretar

o logaritmo natural geometricamente:

a noção de área é visu-

almente intuitiva, permitindo que se obtenham desigualdades como as que foram usadas aqui. A igualdade e = lim (1 + .1)n foi obtida a partir da desigualdade n.....• CXJ

n

ln (1 + x)

1

--< 1 +x

x

<1 '

(8.1)

válida para todo x > O. Se considerarmos -1

< x < O, teremos -x > O e 1 + x > O. Portanto é válido ainda falar de In(l + x). Observamos que o retângulo cuja base mede -x e cuja altura mede 1 está contido na faixa Hf+x e esta, por sua vez, está contida no retângulo de mesma base e altura 1/(1 + x). Comparando as áreas destas figuras, vem -x < -ln(l

+x) <

x ---o

l+x

Dividindo os 3 membros pelo número positivo -x obtemos 1 < In(l

+x) < _1_. x 1 +x

(8.2)

As desigualdades (8.1) e (8.2) nos dão

--

1

l+x

1

< In(l + x) x <

1 ou

1 < In(l

+x)x

1

1

< --,

l+x

ou seja 1

1

e l+x < (1 + x) x < e

ou

1

1

e < (1 + x) x < e l+x

,

conforme seja x > O ou -1 < x < O. Em qualquer hipótese, daí se segue que 1

lim(l x .....• o + x)x = e

(8.3)

Isto significa que é possível tornar o valor da expressão (1 + x) ~ tão próximo de e quanto se deseje, desde que se torne o número não-nulo x

203

S

CAPÍTULO 8

LOGARITMOSNATURAIS

(O próprio x pode ser > O ou

suficientemente pequeno em valor absoluto.

< O.) A igualdade (8.3) se exprime dizendo que (1 + x) ~ tende a e quando x tende a zero. Tomando, por exemplo, x = somente se n ---t lim

n-t=

vemos que 1. = x

g<,

n

!!: O'.

e que x ---t O se, e

Logo (***) nos dá

00.

( 1 + -a)n n

[a

= lim (1 + - )Qn]O'. = lim [ (1 + x);;1]0'. = e", n

n-t=

x-tO

Como caso particular da igualdade eO'.

= lim

n-t=

(1 + ~)n, n

válida para todo a E IR. , obtemos

(l)n

-1 = lim 1- e

OBSERVAÇÃO.

n-t=

n

.

Podemos agora esclarecer a afirmação feita ao final da Seção 7, de que Ioga x com a > 1 cresce ilimitadamente

com x, porém esse crescimento,

embora infinito, é bastante lento. Mostraremos aqui que, para valores suficientemente grandes de x, o número Ioga x é uma fração insignificante de

x. Mais precisamente, veremos que o quociente

10; x

pode tornar-se tão

pequeno quanto se deseje, desde que x seja tomado suficientemente grande. Com efeito, a Figura 8.13, mostra que para todo x > 1 , tem-se In(1

+

x) < x, logo ln x < x-I e, com maior razão, ln x < x. Segue-se que lny'x 1 P . t lnx _ 21nfi _ 2 lny'x 2 1 y'x < . or consegum e, ~ - y'xfi - fi fi < y'x se x > . Ora, dado qualquer número é > O, por menor que seja, podemos fazer com que seja

Jx

<

é,

bastando tomar x > 2

res de x maiores do que 4/é lim

x-t+=

e

nx) x

,

teremos

l:x

é;'

Portanto, para todos os valo-

< é. Isto se exprime escrevendo

= O e significando que, para valores suficientemente grandes de

o logaritmo naturalln

x

x é uma fração insignificante de x. Esta propriedade

que acabamos de provar para logaritmos naturais, é válida para Ioga x seja qual for a base de logaritmos a > 1. De fato, Ioga x = ln x . Ioga e. Portanto, basta tomar x > 410~a e . é

204

se desejarmos ter

10~a2

<

é,

FUNÇÕES

8.10

EXPONENCIAIS

CAPÍTCLO

E LOGARÍTMICAS

A Função Exponencial de Base e

o número

e, base dos logaritmos naturais, foi definido na seção anterior

como o único número real positivo tal que a área da faixa de hipérbole

Hf

é igual a 1. Em seguida, mostramos que esse número é também o limite de (1 + ~)n quando

ti

tende ao infinito. Nesta seção, daremos exemplo de uma

situação da vida real que leva à consideração do limite acima. Por sua vez, a função exponencial x por meio do limite e" = limn---+oo(1

+

M

e", de base e, pode ser definida

~Dn ou então,

geometricamente, pelo

fato de que y = e" é o único número real positivo tal que a área da faixa de hipérbole

f(x)

Hi é igual a x.

Mostraremos que as funções de tipo exponencial,

= bé"x, com base e, surgem em questões naturais e calcularemos a

taxa de variação instantânea dessas funções. Vejamos o exemplo anunciado. Um investidor aplica um capital Co a uma taxa de k por cento ao ano. Se escrevermos, por simplicidade, a = k/100, por cada real aplicado o investidor receberá, no final de um ano, 1 + a reais, de modo que o total a ser resgatado será co(1

+ a)

reais. O acréscimo Co . a

(juro) é uma espécie de aluguel do dinheiro. Sendo assim, raciocina o investidor, se eu resgatar meu capital depois de um semestre, terei direito a metade do juro (aluguel) anual, logo receberei

co(l

+ ~) reais.

Então reinvestirei esta soma por mais um semestre e, no

+ ~)2, que é uma quantia > 1 + a, pela desigualdade de

final do ano, em vez de co(l +a), vou receber co(1 maior. (Nosso investidor sabe que (1 + ~)2

Bernoulli. ) Pensando melhor, diz o investidor, posso resgatar e reinvestir meu capital mensalmente recebendo, no final de um ano, o total de (1+ ~) 12. Como o número a = k/100 lhe é conhecido, o investidor, com auxílio da calculadora, verifica imediatamente que (1 + ~)2 < (1 +

~)12.

Animado

com o resultado, nosso ambicioso investidor imagina que, resgatando e reaplicando seu dinheiro num número n cada vez maior de intervalos de tempo iguais, poderá aumentar ilimitadamente seu capital. Na verdade, fazendo o que imagina, no final do ano o investidor receberá o total acumulado igual a CO'

lim

n---+oo

(1 + ~)n n

=

Co . e".

Nosso personagem estava certo ao pensar que, para todo

205

ti

E N e todo

.....

CAPÍTULO

A

8

FUNÇÃO

EXPONENCIAL

a> O, se tem

(1 + ;) Mas, infelizmente, geral (1

+ ;nn

e

DE BASE

n

(1 +

<

n: 1)

se enganou ao acreditar

é ilimitada.

n+1.

que a sequência de termo

Com efeito, todos esses termos são menores do

que e". Seja como for, ao conceber esse processo imaginário de resgatar e reinvestir a cada instante seu capital, nosso investidor foi conduzido à noção de juros compostos, acumulados continuamente. O mesmo raciocínio é válido se considerarmos, arbitrário

t

> O, o capital

Co

para um número real

aplicado durante t anos, à mesma taxa a. Se

tivéssemos juros simples, no final desses t anos o capital resultante

+ at).

co(1

[O, t] em

Dividindo o intervalo

reinvestindo

ti

ti

partes iguais, resgatando

vezes, no final de t anos obteríamos

crescer indefinidamente,

seria

Co (1

+ c:n

n.

e

Fazendo n

chegamos a

C( t )

= coe at =

CO'

u ( 1+ -at) n

1m n--+oo

n

como o resultado da aplicação do capital Co, durante t anos, a uma taxa de a = k/100 ao ano, de juros compostos, acumulados continuamente. Em particular,

o capital de 1 real aplicado a uma taxa de 100% ao ano,

com juros acumulados continuamente,

gera no final de um ano um total de

e reais. (Assim se explica o número e a um capitalista.) Evidentemente, forma f(t)

=

a expressão f(t)

c-ai, onde a

por uma determinada fJ =

f(t)

c-

c eat pode também ser escrita sob a

e", portanto a = ln a. Ou, se houver preferência

base b, pode-se sempre escrever f(t)

As vezes é conveniente

l~b'

=

=

=

tomar

c· b{3t, com

a base 2, de modo que se tem

2{3t, onde fJ = a/ln2.

Matemáticos

e cientistas que se utilizam da Matemática

mente escrever as funções do tipo exponencial inicial b = f(O)

= b·

A taxa de crescimento

t, conforme

mostraremos

de uma função

por definição, o quociente

f(x

+ h)

- f(x)

h

206

f

eax,

não apenas o valor

como também o coeficiente a, que está intimamente

à taxa de crescimento de

+ h é,

preferem geral-

sob a forma f(x)

com a base e, porque esta expressão exibe explicitamente

x, x

=

ligado

agora.

no intervalo de extremidades

FUNÇÕES

EXPONENCIAIS

Este quociente pode também ser interpretado cante que liga os pontos (x, f(x))

E LOG.-\RÍT\IICAS

como a inclinação da se-

+ h, f(x + h))

e (x

do gráfico de f.

y

f(x+h) i

f(x)

___________

o

J

f(x+h)-f(x)

.-1

x

x

x+h

Figura 8.14

No caso particular da função

f (x

Chama-se

+ h)

h

- f (x)

derivada

[f(x + h) - f(x)]/h

=

f (x) = be?",

b

ax

ah

e

e

da função

f

-

h

[f(x

ah

1 = f ( ). e

x

no ponto

-

h

1.

x ao limite da taxa

quando h tende para zero. Este número, cujo signifi-

cado é o de taxa instantânea de crescimento de por 1'(x).

temos

f

no ponto x, é representado

Ele é o número real cujos valores aproximados são os quocientes

+ h)

- f(x)J/h para valores muito pequenos de h. Geometricamente, a derivada t' (x) é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto x.

207

CAPÍTULO

8

A FUNÇÃO EXPONENCIAL

e

DE BASE

y v

-----------------

, , , ,

, ,: v=f(x)+f'(x)-(u-x)

f(x)

o

x

u

x

Figura 8.15

o sinal

e o valor da derivada

i' (X)

indicam a tendência

da variação de

f a partir do ponto x. Se 1'(x) > O então f(x + h) > f(x) para pequenos valores positivos de h. Se 1'(x) < O, tem-se, ao contrário, f(x + h) < f(x) para h pequeno e positivo. Se 1'(x) é um número positivo grande, então f cresce rapidamente a partir de x. E assim por diante. A derivada é a noção fundamental

do Cálculo Infinitesimal.

Sua descoberta,

há três séculos e

meio, teve uma grande repercussão e provocou um progresso extraordinário na Ciência e em toda a civilização a partir daquela época. Mostraremos

a· f(x).

da função f(x)

agora que a derivada

Noutras palavras, a taxa instantânea

be?" é igual a

de crescimento de uma fun-

ção do tipo exponencial é, em cada ponto x, proporcional naquele ponto.

=

E o coeficiente a é precisamente

ao valor da função

o fator de proporcionali-

dade. Assim, por exemplo, no caso do investimento,

em que c(t) = co . ecxt, se,

to, considerarmos muito pequeno, teremos aproximadamente [c(to logo c(to + h) - c(to) ~ c(to) . oh.

um intervalo de tempo h

a partir de um dado instante

Usando a interpretação a derivada da função f(x) O ponto de partida

+ h)

- c(to)]jh

~ a . c(to) ,

geométrica do logaritmo natural, é fácil calcular =

b- eCXX•

consiste em mostrar que se tem lim

h-+O

eh

-

h

1

= 1.

Para ver isto, lembramos que a faixa de hipérbole h. Esta faixa está compreendida

Ht

tem área igual a

entre um retângulo de área (eh

208

-

1)/ eh e

FUNÇÕES

outro de área eh

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTl\'IICAS

1. Portanto

-

eh

-

--- h e

1

< h < eh

-

1.

y

,,

- - - - - - - - -,- - - - - - -~--,..---I

o

x

1

Figura 8.16

Aqui estamos supondo h > O. Dividindo as duas desigualdades por h

e

-

1, obtemos 1

eh < eh Quando h ----t O, a potência h

que limh--+O[hj(e

-

h _

1 < 1, para todo h > O.

é tende

l)J = 1, logo lim h--+O

o caso em que

a 1. Segue-se das desigualdades acima

eh

-

1

h

=

1.

h ----t O por valores negativos se trata de modo análogo.

Agora é imediato ver que

e, mais geralmente,

209

CAPÍTULO

8

CAPÍTULO

8

ALGUNS EXEl\IPLOS

CLÁSSICOS

Escrevendo k = cdi, vemos que h ----+ O {:} k ----+ O. Portanto eCl:(x+h)

lim h~O

_

eX

=

h

Ct .

eCl:X .

lim

1

-

k

h~O

Isto conclui a demonstração f' (x) =

ek

Ct .

=

Ct .

eCl:x.

=

de que a derivada da função f(x)

f (x), logo é proporcional

eCl:X

ao valor f (x) da função f, sendo

Ct

é

o

fator de proporcionalidade. É óbvio que o mesmo vale para uma função do tipo f(x)

8.11

eCl:x.

Alguns Exemplos Clássicos

A segunda caracterização da Seção 8.4, é bastante função

= b·

t, que

da função do tipo exponencial,

vista no final

útil em vários casos. Conforme aquele teorema, a

só assume valores positivos, é do tipo f(b, t) = b· at se (e,

somente se) cumpre as condições abaixo: 1.a) f(b, t) é homogênea em relação a b. Ou seja, f(k

. b, t) = k . f(b, t) para

todo k > O. 1.b) f(b, t) é monótona

e injetiva em relação a t. Isto significa que ou f

é crescente

em relação a t (isto é, t < ti

decrescente

(isto é t < ti

2) f(f(b,

s), t) = f(b, s

=}

=}

f(b, t) < f(b, ti) ou então

f(b, ti) < f(b, t).

+ t).

As condições 1.a) e 1.b) são fáceis de verificar e mais fáceis ainda entender.

A condição 2) parece mais elaborada,

como primeira variável em f(f(b, tuitivamente,

devido a presença de f(b, s)

s), t). Por isso deve ser interpretada

in-

após o que ela se torna mais natural.

A primeira coisa a observar é que, diante das condições 1.a), 1.b) e 2), tem-se f(b, O) = b. Com efeito, pela linearidade f(b, O) = f(b ·1, O) = b- f(l,

f relativamente

a b, temos

O), de modo que basta mostrar que f(l, O) = 1. Ora, pela condição 1.a), tem-se f(f(1, O), O) = f(l, O) . f(l, O). Já pelá condição 2) , como O + O = O, vemos que f(f(l, O), O) = f(l, O). (Aqui estamos usando 2) com s = t = O.) Segue-se que f(l, O) = f(1, O) . f(l, O), donde f(l, O) = 1 pois f nunca se anula. Assim, se interpretarmos f(b, t) como o valor no instante t, de uma grandeza que varia com tempo veremos que b = f(b, O) é o valor inicial dessa grandeza (correspondente ao instante t = O).

210

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

A condição 1), expressa pela igualdade f(f(b, se começarmos a medir a grandeza

f

o tempo total é s

+ t),

s), t) = f(b, s + t), diz que

a partir do instante

valor inicial será f(b, s)) então, transcorrido seu valor f(f(b,

CAPÍTULO 8

s (portanto

seu

a partir daí o tempo t (logo

s), t) é o mesmo que obteríamos se

começássemos a medir no instante O. É fácil (e instrutivo)

ver que a função afim f(b, t) = at

condições l.b) e 2) mas não cumpre l.a).

+ b,

satisfaz as

EXEMPLO 8.9.

Por sua vez a função quadrática

f(b, t) = b· (1 - t)2 satisfaz f(b, O) = b mas viola l.a), l.b) e 2). Vejamos três exemplos clássicos. Aqui se trata

de função c(co, t) = capital existente

após decorrido o EXEMPLO 8.10. CAPITAL (BIS).

tempo t, a partir da aplicação, a juros fixos, do capital inicial co. É claro que c(ea, t) é linear em relação a

Co

e crescente em t.

Como os juros não mudam, vale a igualdade c(c(co, s), t) = c(co, s pois ela significa que, após decorrido o tempo s, se o montante resgatado

A JUROS FIXOS

+ t)

c( Co, t) for

e reaplicado logo em seguida, decorrido o tempo t a partir daí,

tudo se passa como se não tivesse havido resgate e reaplicação. Pela segunda caracterização

das funções do tipo exponencial, existe uma

a > O tal que c(t) = c(co, t) = coat. O número Q é determinado pela taxa de juros. Tem-se a = c(l)jco, ou seja, coél
valor da taxa de juros.

Uma substância radiotiva tem massa mo no início da contagem do tempo

(t

O). Decorrido o tempo t, sua massa, que sofreu desintegração, é m(t) ou, mais precisamente m(mo, t). É bastante evidente que m(mo, t) é diretamente proporcional a mo e é uma função decrescente de t. Além disso, como =

a taxa de desintegração

m(t)

da substância

radiotiva é constante,

a variação de

se dá no mesmo ritmo, qualquer que seja o momento em que ocorre

a observação inicial, seja este momento o instante

s logo onde a = m(l, O).

O ou o instante

m(mo, s + t). Assim m(mo, t) = mo' É costume escrever m(t) = moecd onde a = ln a é a taxa de desintegração da substância que se observa. Mais comum ainda é tomar a meia-vida

m(m(mo,

s), t)

at,

=

211

EXEMPLO 8.11. DESINTEGRAÇÃO RADIOTIVA.

CAPÍTULO

8

ALGUNS

EXEMPLOS

CLAsSICOS

to = -ln 2/a, logo m(mo, to) = mo/2, e obter a = -ln 2/to. Note que. como m decresce quando t cresce, tem-se O < a < 1, portanto a < O. Em termos da meia-vida, m(mo, t) = mo . e-tln2/to.

EXEMPLO

8.12.

CONCENTRAÇÃO DE U~IA SOLUÇÃO.

Agora temos, no instante t = O, um volume b de sal misturado com a água do tanque, do qual a mistura se escoa por um ralo e é compensada igualmente pela água despejada de uma torneira. volume de sal restante, indicado por f(t)

Decorrido o tempo t, o

= f(b, t),

é uma função decres-

cente de t e é proporcional a b. Isto é claro. Ademais, se recomeçarmo nossa observação depois de decorrido o tempo s, quando o volume de sal que restou é f(b, s), passado o tempo t a partir daí, o volume de sal que permanecerá no tanque é, por um lado, igual a f(f(b, lado, é f(b, s

+ t).

Logo f(b, s

+ t) =

f(f(b,

s), t) e, por outro

s), t), o que comprova a condi-

ção 2), portanto f(b, t) = ba' é do tipo exponencial. Como de praxe, põe-se

f(b, t) = béd onde a = ln a é a taxa instantânea de escoamento (igual à taxa de abastecimento). Novamente aqui se tem O < a < 1 logo a < O, pois f(b, t) é uma função decrescente de t.

o princípio

deste exemplo é o mesmo que se aplica para estudar a elimi-

nação de drogas (medicinais ou não) no corpo de um animal. Neste caso, o escoamento se dá principalmente por suor e urina e o abastecimento se faz mediante a ingestão de líquidos.

212

FUNÇÕES

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTl\IICAS

CAPÍTCLO

Exercícios 8.1. Com um lápis cuja ponta tem 0,02mm de espessura, o gráfico da função f(x)

= 2x. Até que distância

deseja-se traçar

à esquerda

do eixo

vertical pode-se ir sem que o gráfico atinja o eixo horizontal?

f : lR -+

lR+ tal que, para todo

x E lR, a seqüência f(x+1), f(x+2), ... , f(x+n), geométrica mas f não é do tipo f(x) = b· a".

... é uma progressão

8.2. Dê exemplo de uma função crescente

8.3. Dados a > O e b > O, qual a propriedade

da função exponencial

que

assegura a existência de h =J. O tal que bX = ax/h para todo x E lR? Mostre como obter o gráfico de y = b" a partir do gráfico de y = a", Use sua conclusão para traçar o gráfico de y = (1/ gráfico de y = 2

-ij4y

a partir do

X •

8.4. Prove que uma função do tipo exponencial

fica determinada

quando

se f(x)

= b- a

se conhecem dois de seus valores. Mais precisamente, e F(x) Xl

=

B . AX são tais que f(XI)

=J. X2 então a

=

=

F(XI)

e f(X2)

=

F(X2)

X

com

A e b = B.

8.5. Dados Xo =J. O e Yo > O quaisquer,

prove que existe a > O tal que

aXO = Yo· 8.6. Dados Xo

=J.

Xl

e Yo, YI não-nulos com o mesmo sinal, prove que existem

a > O e b tais que b . aXo

=

Yo e b . aX1

= YI.

8.7. A grandeza y se exprime como y = b at em função do tempo t. Sejam d o acréscimo que se deve dar a t para que y dobre e m (meia-vida de y ) o acréscimo de t necessário para que y se reduza à metade.

Mostre

que m = -d e y = b· 2t/d, logo d = Ioga 2 = 1/ log., a. 8.8. Observações por longo tempo mostram que, após períodos de mesma duração,

a população

da terra fica multiplicada

pelo mesmo fator.

Sabendo que essa população era de 2,68 bilhões em 1956 e 3,78 bilhões em 1972, pede-se:

(a) O tempo necessário para que a população da

terra dobre de valor; (b) A população estimada para o ano 2012; (c) Em que ano a população da terra era de 1 bilhão.

213

8

CAPÍTULO

8

ALGUNS EXEMPLOS

CLÁSSICOS

8.9. Dê um argumento independente

de observações para justificar que, em

condições normais, a população iguais fica multiplicada

da terra após o decurso de períodos

pela mesma constante.

8.10. Resolva os exercícios do livro "Logaritmos", especialmente os do último capítulo.

214

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

CAPÍTULO

9

INTRODUÇÃO

9.1

Introdução

As funções trigonométricas

constituem

um tema importante

da Mate-

mática, tanto por suas aplicações (que vão desde as mais elementares, dia-a-dia,

até as mais complexas, na Ciência e na alta Tecnologia),

pelo papel central que desempenham A Trigonometria

descreviam

como

na Análise.

teve seu início na antiguidade

ditava que os planetas

no

remota, quando se acre-

órbitas circulares

em redor da Terra,

surgindo daí o interesse em relacionar o comprimento

da corda de uma cir-

cunferência com o ângulo central por ela subtendido.

Se c é o comprimento

da corda, a é o ângulo e r o raio da circunferência

então c

=

2rsen (a / 2) .

Esta é a origem da palavra seno, que provém de uma tradução

equivocada

do árabe para o latim, quando se confundiu o termo jiba (corda) com jaib (dobra, cavidade, sinus em latim).

[Cfr. "Meu Professor de Matemática",

pág. 187.] O objeto inicial da Trigonometria ção de triângulos,

era o tradicional

que consiste em determinar

problema da resolu-

os seis elementos dessa figura

(três lados e três ângulos) quando se conhecem três deles, sendo pelo menos um deles um lado. Posteriormente,

com a criação do Cálculo Infinitesimal,

gamento que é a Análise Matemática,

e do seu prolon-

surgiu a necessidade de atribuir

noções de seno, cosseno e suas associadas tangente,

cotangente,

às

secante e

cosecante, o status de função real de uma variável real. Assim, por exemplo, ~

~

cos x, o cosseno

ao lado de cos A, o cosseno do ângulo A, tem-se também

do número real x, isto é, a função cos : IR -+ IR. Analogamente, funções sen, tg, cotg, sec e cossec, completando Uma propriedade são periódicas.

fundamental

fenômenos de natureza

periódica,

as funções trigonométricas.

das funções trigonométricas

Por isso são especialmente

têm-se as

adaptadas

é que elas

para descrever os

oscilatória ou vibratória,

os quais abun-

dam no universo: movimento de planetas, som, corrente elétrica alternada, circulação do sangue, batimentos A importância

cardíacos, etc.

das funções trigonométricas

foi grandemente

reforçada

com a descoberta de Joseph Fourier, em 1822, de que toda função periódica (com ligeiras e naturais restrições) é uma soma (finita ou infinita) de funções

216

FUNÇÕES

do tipo a cos nx

+ bsen nx.

TRIGONOl\IÉTRICAS

Para que se tenha uma ideia da relevância deste

fato, que deu origem à chamada Análise de Fourier, basta dizer que, segundo o banco de dados da revista "Mathematical Reviews", o nome mais citado nos títulos de trabalhos matemáticos nos últimos 50 anos é o de Fourier. Como se sabe desde o Ensino Fundamental, num triângulo retângulo de ~ ~

hipotenusa a e ângulos agudos E, C, opostos respectivamente aos catetos b e c, têm-se as definições: cos Ê = ~ = (cateto adjacente) -;- (hipotenusa), a ~ b sen E = - = (cateto oposto) -;- (hipotenusa), a ~ b ~ c e, analogamente, cos C = -, sen C = -. a a

Figura 9.1 Estas relações definem o seno e o cosseno de um ângulo agudo qualquer, pois todo ângulo agudo é um dos ângulos de um triângulo retângulo.

É

fundamental observar que cos Ê e sen Ê dependem apenas do ângulo Ê mas não do tamanho do triângulo retângulo do qual E é um dos ângulos agudos. Com efeito, dois quaisquer triângulos retângulos que tenham um ~

ângulo agudo igual a B são semelhantes. Se esses triângulos são AEC e A'E'C', com nos dá

e

logo

----

b'

b

a'

a

c' a'

c , a

sen E' = sen E

e

217

----

F = Ê,

cosE' = cosE.

então a semelhança

CAPÍTULO

9

INTRODUÇÃO

C' C

A

L...-

---''--..::....

B

A'

L...-

-'--_..::....

B'

Figura 9.2

Portanto o seno e o cosseno pertencem ao ângulo, e não ao eventual triângulo que o contém. Assim, a semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigono»<;

metria. Se organizarmos uma tabela com os valores de cos B para todos os ~

~

ângulos agudos B, a relação c = a . cos B e o Teorema de Pitágoras

nos permitirão determinar os catetos b, c de um triângulo retângulo, uma vez conhecida a hipotenusa a e um dos ângulos agudos. Mais geralmente, num triângulo ABC qualquer, a altura h, baixada do vértice C sobre o lado AB, tem a expressão h

=

BC . sen Ê. Esta simples

fórmula exibe a eficiência da Trigonometria como instrumento de cálculo na Geometria, permitindo relacionar ângulos com comprimentos de segmentos.

C

A

L-- __

...J-

Figura 9.3

o Teorema

de Pitágoras

218

~ B

FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

I

aplicado ao triângulo retângulo ABC, com AB = c, AC = b e BC = a, nos mostra imediatamente ~

(cosB)

2

que

+(senB)

~

É um costume tradicional,

2

c2 =2+2= a

b2 a

b2

+ c2 a

2

a2 =2=1. a

que convém adotar, escrever cos" Ê e serr' Ê

em vez de (cos Ê? e (sen Ê)2 . A relação fundamental cos2 Ê

+ sen 2

mostra que, a ngor, basta construir

Ê= 1

uma tabela de senos para ter a de

cossenos, ou vice-versa. É evidente,

a partir da definição, que o cosseno de um ângulo agudo

é igual ao seno do seu complemento

e vice-versa.

Daí a palavra "cosseno"

(seno do complemento). É claro que o seno e o cosseno de um ângulo agudo são números compreendidos entre O e 1. Finalmente

observamos que se AlBI é a projeção ortogonal de um seg-

mento de reta AB sobre um eixo então os comprimentos

de AB e AIBI são

relacionados pela fórmula AIBI = AB· cos a, onde a é o ângulo de AB com o referido eixo. B I I I I I

a

:

A ---------------, I

I I I I I I I

Figura 9.4

219

CAPÍTCLO

9

CAPÍTULO

A FUNÇÃO DE EULER E A MEDIDA DE ÂNGULOS

9

9.2

A Função de Euler e a Medida de Ângulos

A relação fundamental

sugere que, para todo ângulo a, os números cos a e sen a são as coordenadas de um ponto da circunferência de raio 1 e centro na origem de

~2.

Indicaremos com a notação C essa circunferência, que chamaremos de circunferência unitária, ou círculo unitário. Temos, portanto C = {(x, y) E ~2;X2+y2 = I}.

y

y

------;,

1,'-' ;

(x,y) I I I

x

Figura 9.5 Observa-se que, para todo ponto (x, y) E C tem-se -1 ~ x ~ 1 e -l~y~1. A fim de definir as funções cos : ~ -+ IR e sen IR -+ IR, devemos associar a cada número real t um ângulo e considerar o cosseno e o seno daquele ângulo. O número t desempenhará, portanto, o papel de medida do ângulo. Evidentemente, há diversas maneiras de se medir um ângulo, dependendo da unidade que se adota. Há duas unidades que se destacam: uma (o radiano) por ser, como veremos, a mais natural; outra (o grau) por ser tradicional há milênios, além de que muitos ângulos comumente encontrados têm por medida um número inteiro de graus. A maneira natural de definir as funções trigonométricas tem como ponto de partida a função de Euler E : IR -+ C, que faz corresponder a cada

220

FUNÇÕES

número real t o ponto E(t)

TRIGONOMÉTRICAS

(x, y) da circunferência unitária obtido do

seguinte modo:

• E(O)

=

(1, O).

• se t > O, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, O), um caminho de comprimento

t, sempre andando no sentido positivo (con-

trário ao movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva de (1, O) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho será chamado E(t). • se t < O, E(t) comprimento

será a extremidade

Itl, que parte

final de um caminho sobre C, de

do ponto (1, O) e percorre C sempre no sentido

negativo (isto é, no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual). A função de Euler E : ]R -----t C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta, identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel) de modo que o ponto O E ]R caia sobre o ponto

(1, O) E C. y E

t

~

(1, O)

x

O

R

Figura 9.6

Cada vez que o ponto t descreve na reta um intervalo de comprimento /!, sua imagem E(t) percorre sobre a circunferência C um arco de igual comprimento /!. Em particular, como a circunferência unitária C tem comprimento

221

CAPÍTULO

9

CAPÍTULO

A

9

FUNÇAo

DE EULER E A MEDIDA

DE ÂNGULOS

igual a 2n, quando o ponto t descreve um intervalo de comprimento imagem E(t) dá uma volta completa sobre C, retornando

ao ponto de par-

+ 2n)

E(t) e, mais geralmente, para todo k E Z, tem-se E(t+2kn) = E(t), seja qual for t E IR. Reciprocamente, se t < ti em IR são tais que E(t) = E(t'), isto significa que quando um ponto s da reta varia de t a ti sua imagem E(s) se desloca sobre C, no sentido positivo, partindo de E(t), dando um número inteiro k de voltas e retornando ao ponto de partida E(t') = E(t). A distância total percorrida é igual a 2kn, logo ti = t + 2kn, pois o comprimento do caminho percorrido por E( s) é, por definição, igual à distância percorrida por s sobre a reta IR.

tida.

Assim sendo, para todo t E IR, tem-se E(t

2n, sua

Resumindo:

k

E

tem-se E(t')

=

= E(t) se, e somente se, ti = t + 2kn, com

Z. (Quando ti > t, vale k E N; quando ti < t tem-se k < O.)

y t

E ~

O

x

0.5

Figura 9.7

Escrevamos

B = E(t).

A = (1, O) e O = (O,O). Para cada t E IR, ponhamos

Diz-se neste caso que o ângulo AÔB

mede t radianos.

Esta

definição sugere uma série de observações . com t < O. Portanto

• Pode-se ter B = E(t) orientada: é permitido

esta forma de medida é

a um ângulo ter medida negativa. ~

• A medida do ângulo AO B é determinada

apenas a menos de um múltiplo

inteiro de 2n, pois B = E(t) implica B = E(t

222

+ 2kn)

para todo k E Z.

FUNÇÕES

TRIGONOl\IÉTRICAS

CAPÍTCLO

Assim, por exemplo, o ângulo de 1radiano é também um ângulo de 1- 27r radianos.

De um modo mais geral, se E = E(t) então E = E(t - 27r)

pois há dois arcos que vão de A = (1, O) até E; um de comprimento outro de comprimento

It -

Itl e

27r1·

y

x

Figura 9.8

• De acordo com esta definição, o ângulo AO E mede 1 radiano se, e somente se, o arco

AB

da circunferência C, por ele subtendido, tem comprimento

igual a 1, isto é, igual ao raio da circunferência. Mais geralmente, numa circunferência de raio r, a medida de um ângulo central em radianos é igual a

C/r,

onde C é o comprimento do arco subtendido por esse ângulo.

• A medida do ângulo AÔ E em radianos também pode ser expressa como 2a/r2

,

em termos da área a do setor circular AOE e do raio r.

Com efeito, a área a do setor circular AO E é uma função crescente do comprimento C do arco ÂB. comprimento

ti

vezes maior do que o arco ÂB (onde

setor AO E' é igual a Fundamental

Como se vê facilmente, se o arco

ti

ti

AB'

tem

E N) então a área do

vezes a área de AO E. Segue-se então do Teorema

da Proporcionalidade

que a área a é uma função linear do

comprimento C: a = c . C, onde c é uma constante. Para determinar o valor de c, basta observar que, quando o setor é todo o círculo (de raio r), o arco

223

9

CAPÍTULO

A

9

FUNÇÃO

DE EULER

E A MEDIDA

DE ÂNGULOS

y

A

X

Figura 9.9

correspondente

Tem-se então a = 7rr2 e .e = Zttr .

é toda a circunferência.

Logo 7rr2 = c . 27rr, donde c = ~. Portanto arco

AB pela

a área a do setor O B se relaciona com o comprimento

.e do

igualdade a = Er/2.

Segue-se que 2a r 2'

r

Como

.e/r

é a medida do ângulo AÔB em radianos, concluímos daí que

esta medida também vale 2a / r2, onde a é a área do setor AO B e r é o raio do círculo. Podíamos

também

ter definido uma função G : IR ----+ C pondo ainda

G(O) = (1, O) e estipulando que, para s > O, G(s) fosse o ponto da circunferência unitária obtido a partir do ponto (1, O) quando se percorre, ao longo de C, no sentido positivo, um caminho de comprimento E, para < O, G(s) seria definido de forma análoga, com o percurso no sentido negativo

;:Os.

s

de C. A função G : IR ----+ C tem propriedades

semelhantes

às de E, pois

27r

G(t) para todo t E IR . Em particular,

=

E( 360 t)

G(t') = G(t) se, e somente se, ti = t+360k,

onde k E Z.

224

FUNÇÕES

y

THIGONOMÉTRICAS

CAPÍTl"LO

y

(x, y)

(x,y)

x

x

(-x, -y)

y

y

(x, y)

x (X, -y)

y

(-x, y)

x

Figura 9.10

Se A = (1, O), O = (O,O) e B = G(s), diz-se que o ângulo AÔB mede s

graus. O ângulo AÔB mede 1 grau quando B = G(l), ou seja, quando o arco

AB

tem comprimento

igual a 2n /360. Noutras palavras, o ângulo de

1 grau é aquele que subtende um arco igual a 1/360 da circunferência.

225

!I

CAPÍTULO

As FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

9

Escreve-se 1 grau = 1° e 1 radiano = 1 rad. Como a circunferência

inteira tem 2n radianos e 360 graus, segue-se que

2n rad = 360°, ou seja, 360 1 rad = ( 2n )0 ~ 57,3 graus. É bom ter em mente relações como 180° = n rad, 90° = ~ rad, etc.

= (x, y) então E(t + n) = (x,-y), E(~-t) = (y,x)

As figuras acima deixam claro que se E(t)

= (-y,x),

E(t+~) E(n - t) = (-x, y). (-x,-y),

E(-t)

e

Estas relações exprimem certas simetrias da função de Euler E : lR -t C, que se traduzem em propriedades

das funções seno e cosseno, como veremos

a seguir.

9.3

As Funções Trigonométricas

As funções cos : lR -t lR e sen R -t lR, chamadas função cosseno e função

seno respectivamente,

são definidas pondo-se, para cada t E lR:

E (t) = (cos t, sen t). Noutras palavras, x = cos t e y = sen t são respectivamente ordenada do ponto E(t) da circunferência Segue-se imediatamente

a abcissa e a

unitária.

desta definição que vale, para todo t E lR, a

relação fundamental cos" t

+ serr'

t

= 1.

Uma função f : lR -t lR chama-se periódica quando existe um número

T f(t

=I=-

O tal que f(t

+ T) =

f(t)

+ kT) = f(t) para todo t E que f (t + T) = f (t) para todo

para todo t E]R.

Se isto ocorre, então

lR e todo k E íZ. O menor número T > O tal

t E lR chama-se o período da função f. As

funções seno e cosseno são periódicas, de período 2n. Diz-se ainda que a função f : lR -t lR é par quando se tem f( -t) = f(t) para todo t E]R.

Se se tem f( -t)

= -

chama-se ímpar.

226

f(t) para todo t E lR, a função f

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Seja f : IR --7 IR a função dente-de-serra, k E Z e f(k+a)

=

assim definida:

f(k)'

= O se EXEMPLO 9.l.

a quando O ~ a < 1 e k E Z. A função f é periódica, com

período 1, mas não é par nem ímpar. Por outro lado, a função 9 : IR --7 IR, onde g(t) = t" (com n E N) é par se n é um número par e é uma função ímpar quando n é um número ímpar.

y 1

-2 -1

1

O

x

2

Figura 9.11: A função dente-de-serra. Para todo t E IR, temos

E (t)

=

(cos t, sen t)

e

E(-t)

=

(-t)).

E(cos(-t),sen

Mas, como vimos no fim da seção anterior,

quando E(t) = (x, y) tem-se

E( -t) = (x, -y). para todo t E IR.

= cos t e sen (-t) = -sen t

Isto significa que cos( -t)

Assim, cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar. De modo análogo, as outras quatro relações estabelecidas

no final da seção anterior

mostram que, para todo t E IR, valem: cos(t+7r) = -cost, 7r cos( t + 2) = -sen t, 7r cos(2 - t) = sen t, cos(7r - t)

=-

cost,

sen (t+7r)

= -sen t,

7r sen (t + 2) = cos t, 7r sen (2 - t) = cost, sen (7r- t)

= sen t.

As figuras mostram os gráficos de y = cos x e y = sen x. Alguns valores particulares tidos mediante argumentos

das funções seno e cosseno podem ser ob-

geométricos, alguns dos quais são interessantes

227

CAPÍTULO 9

CAPÍTULO

9

As FUNÇÕES

TRIGONOMÉTHICAS

y

y

x

x y

=

cosx

y

= smx

Figura 9.12

exercicios, especialmente quando se usam as fórmulas de adição, que estabeleceremos a seguir.

Do ponto de vista numérico, entretanto,

é claro

que o modo mais eficiente de obter os valores dessas funções é usar uma calculadora, principalmente uma que opere com radianos e com graus. Independentemente

de calculadoras, é muito conveniente que se saiba,

sem pensar muito, quais os valores de t que satisfazem as equações sen t

=

O, cos t

=

O,

sen t = 1, cos t = 1, sen t = -1,

cos t = -1,

sen t = cos t, 1

sen t

= 2'

1

cos t

=2

e outras semelhantes. Para interessantes exemplos, exercícios e um tratamento

bastante com-

pleto dos assuntos aqui abordados, veja-se o livro "Trigonometria e Números Complexos", da Coleção do Professor de Matemática (SBM). Das funções seno e cosseno derivam as outras funções trigonométricas, a saber tg x = sen x] cos x, cotg x = cos x/sen

x, sec x =

li

cos x e

cossec x = 11sen x. Destas funções (chamadas tangente, cotangente, secante e cossecante), a mais importante é a primeira. Cumpre observar que tais funções, sendo definidas por meio de quocientes, têm seus domínios restritos aos números reais para os quais o denominador é diferente de zero. Assim, por exemplo, a função tangente,

dada pela expressão tg x =

sen x I cos x, tem como domínio o conjunto dos números reais que não são

228

FCNÇÕES

múltiplos ímpares de k

+ ~ onde

tt /2

pois cos x =

TIUGONOl\IÉTRICAS

° se, e somente

se, x = (2k

CAPÍTt·LO

+ 1H =

k E Z.

Assim, o domínio da função x

H

+ ~),para

valos abertos (k7r - ~, kn

tg x é formado pela reunião dos intertodo k E Z.

Em cada um desses intervalos [por exemplo (- ~, ~) J a função tangente é crescente e, na realidade, x

H

tg x é uma correspondência

um intervalo aberto de comprimento

7r e a reta inteira ]R.

x

7[1 --

1

2

biunívoca entre

I I I I I

1 1

I I

Figura 9.13

A função tangente, embora não esteja definida para todo número reallR, pode ser considerada

como uma função periódica, de período 7r, pois 7r é o

menor número real positivo tal que tg (x

+ 7r) =

tg x se x e x

+ 7r pertencem

ao domínio da função. A restrição da função tangente ao intervalo (- ~, ~) , sendo uma correspondência biunívoca tg : (-~,~)

~ lR, possui uma função inversa, chamada

arco tangente, indicada com a notação arctg : lR ~ (- ~, ~) , a qual é uma correspondência

biunívoca de domínio lR e imagem igual ao intervalo aberto

(-~, ~). Para todo ponto P = (x, y) em lR2 semi-eixo positivo

oX

,

com x =I- 0, se

LX

é o ângulo do

com a semi-reta DP então y

- = tg

LX.

X

Isto é verdadeiro,

por definição, quando P está sobre a circunferência

tária e vale também no caso geral por semelhança de triângulos.

229

uni-

9

I

CAPÍTULO

9

As FÓRi\IULAS

DE ADIÇÃO

y

x 11"

2

Figura 9.14: Gráfico da função arctg.

+b

Segue-se daí que se y = ax é a tangente

é uma reta não-vertical,

do ângulo a que o serni-eixo positivo

Com efeito, se tomarmos

Xl

YI =

=I-

X2

aXI

oX.

o coeficiente a

faz com essa reta.

e pusermos

+ b,

Y2

=

aX2

+ b,

teremos

Figura 9.15

9.4

As Fórmulas de Adição

As fórmulas clássicas que exprimem cos( a

+ 13)

e sen (a

de cos a, cos 13, sen a e sen 13 podem ser demonstradas

230

+ 13)

em termos

de vários modos.

FUNÇÕES

(Vi de "Trigonometria

TRIGONOl\fÉTRICAS

e Números Complexos", já citado.)

Daremos aqui a

prova que nos parece a mais simples e direta. Nela, admitimos tacitamente que a, /3 e a + /3 são positivos e menores do que ser tratado

1f

/2 mas

o caso geral pode

de modo análogo (ou melhor ainda, reduzir-se a este).

y

x

o

Figura 9.16

Na figura, onde CB' -L O B', temos

+ /3),

OA = cos(a OB' = cos/3, B'C

=

sen /3,

AB = A' B' = sen a . sen /3 e O B = cos a . cos /3. Logo

OA

=

OB - AB

=

cosa·

231

cos/3 - sen a· sen /3.

CAPÍTULO

9

CAPÍTULO

9

As FÓRlvIULAS

DE ADIÇÃO

Noutras palavras,

+ (3) =

cos( a Tomando

cos a ocos (3 - sen a osen (30

-(3 em vez de (3 na fórmula acima, como cos( - (3)

cos (3 e

sen (-(3) = -sen (3, obtemos: cos( a - (3) = cos a ocos (3 + sen a osen (3 o Além disso, como 7f

sen (2"

+ t)

=

cos t

e 7f

cos( 2" a fórmula de cos( a sen (a

+ (3)

+ t)

=

-sen t,

nos dá também:

+ (3) = -

+ a + (3)

cos (~

= - cos (~ + a ) cos (3 + sen (~ + a ) sen (3,

sen (a

+ (3) =

Daí resulta imediatamente

sen a ocos (3 + sen (3 ocos ao que

sen (a - (3) = sen a ocos (3 - sen (3 ocos ao As fórmulas para o seno e o cosseno do arco duplo são consequências diretas: cos 2a = cos2 a - serr' a

e

sen 2a = 2sen a ocos ao

Como aplicação das fórmulas de adição, mostraremos as coordenadas

como determinar

do ponto AI = (z", yl), obtido do ponto A = (x, y) por meio

da rotação de ângulo

e em torno

da origem de ~ 2

Chamemos de a o ângulo do eixo D X com o segmento DA e escrevamos

r = DA. Então r = DAI e se tem x

=

r ocos a,

y

=

r osen a,

Xl

=

r ocos (a

232

+ e),

yl

=

r osen (a

+ e) o

FUNÇÕES

TRIGONOl\,IÉTRICAS

y

y'

y

A

o

x

X'

x

Figura 9.17

As fórmulas de adição fornecem X' =

r cos a . cos e

y' = r cos a . sen

- rsen a . sen e = x cos e - ysen e, e + rsen a . cos e = xsen e + y cos e. e

Portanto a rotação de ângulo 2

em torno da origem é a função (trans-

2

formação) T : IR -t IR definida por

T(x,

y) =

(x cos e

-

ysen

e, xsen e + y cos e).

Outra aplicação interessante das fórmulas de adição consiste em mostrar que cos a e sen a se exprimem como funções racionais de tg ~, fato que está intimamente ligado com a parametrização

racional da circunferência

unitária C, conforme veremos agora. É um fato bastante conhecido, e muito fácil de constatar, que para todo

número real x vale a igualdade 1-

2 X )

( 1 + x2

2

+

(

2x ) 2 1 + x2 = 1.

Isto significa que, para todo x E IR, os números dentro dos parênteses acima são respectivamente

a abcissa e a ordenada de um ponto da circun-

ferência unitária C, isto é, são o cosseno e o seno de um ângulo (3. Além disso, todo número real x é a tangente de um (único) ângulo a E (- ~, ~).

233

CAPÍTCLO

9

CAPÍTULO

9

As

FÓRMULAS

DE ADIÇÃO

Logo, a igualdade acima significa que, para cada um desses valores de a, existe um (3 tal que 1 É fácil mostrar que (3 = substituir

tga por sen

200

00/

2 tg a + tg2 a

=

sen (3

usando as fórmulas de cos 200 e sen

Basta

200.

cos a no primeiro membro destas igualdades

e

fazer as simplificações óbvias para ver que 1- tg2a --"'::"""2-

1 + tg a

=

e

COS 200

2tg a ---;::-2-

1 +tg

a

= sen

200

Eq uivalentemente: 1- tg2~ cosa =

1

+ tg

20<

"2

,

y

A

P

x

Figura 9.18 Dado o ponto arbitrário

~

B = (cos a, sen a) da circunferência

unitária, ~

como o ângulo inscrito AP B é a metade do ângulo central a = AO B que subtende o mesmo arco AB, vemos que tan ~ é a inclinação da reta P B, onde P = (-1, O). Mantendo o ponto P fixo e fazendo ~ variar em (-7r/2, +7r/2) , cada semi-reta de inclinação igual a tg ~ corta a circunferência unitária num único ponto B = (cos a, sen a). Todos os pontos da circunferência ser obtidos assim, menos o próprio ponto P.

234

podem

FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

A correspondência 2

x é uma parametrização

corresponde

9.5

M

1 - x 2X) ( 1 + x2' 1 + x2

racional de C. Para todo x E Q, o ponto que lhe

tem ambas as coordenadas

racionais.

A Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos

Dado o triângulo

AEC, sejam a, b, c as medidas dos lados EC, AC e Seja ainda h = AP a altura baixada de A sobre o

AE respectivamente. lado EC. Há duas possibilidades, ilustradas nas figuras, conforme o ponto P pertença ao segmento EC ou esteja sobre seu prolongamento. A

A

,, ,, h' , , E

: .---

P

x

-------"------_.....::::...-

C P

E

C

Figura 9.19

No primeiro caso, seja x = EP = c· cos Ê. O Teorema de Pitágoras aplicado aos triângulos AEP e APC fornece as igualdades c2 = h2 b2 = h2 2 =h Comparando

+ x2, + (a - X)2 = h2 + x2 + a2 + x2 + a2 - 2ac . cos Ê.

- 2ax

estas igualdades obtemos

No segundo caso, x = EP = c· cos(n - Ê) = -c· cosE. cos Ê < 0, logo -c· cos Ê é positivo.)

235

Novamente Pitágoras,

(Note que aplicado aos

CAPÍTULO

9

CAPÍTeLO

A LEI DOS COSSENOS E A LEI DOS SENOS

9

triângulos AP B e APC, nos dá: c2 = h2 b2

=

h2

= h2

+ x2, + (a + x? = h2 + x2 + a2 + 2ax + x2 + a2 - 2ac· cos Ê.

Daí resulta, como antes, que

Portanto

a igualdade vale em qualquer caso. Ela é a lei dos cossenos,

da qual o Teorema de Pitágoras

é um caso particular,

que se tem quando

B é um ângulo reto. Evidentemente,

tem-se também

e

As mesmas figuras nos dão, no primeiro caso: h = c . sen B = b . sen C, logo b

c

sen B

sen C

--~

No segundo caso temos

~

h = b· sen C e

h = c . sen (1f - Ê) = c . sen Ê, logo, novamente: b

c

sen B

sen C

--~

como antes. Se tomarmos a altura baixada do vértice B sobre o lado AC, obteremos, com o mesmo argumento,

a relação a

c

sen A

sen C

--~

FUNÇÔES

TnIGONOl\Il:;THICAS

I

Podemos então concluir que, em qualquer triângulo, tem-se a

b

~

sen A

c

--~.

sen B

sen C

Esta é a lei dos senos . Ela diz que, em todo triângulo, a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto é constante, o lado escolhido. Há uma interpretação

isto é, é a mesma seja qual for

geométrica para a razão a/sen  .

Ela é igual ao diâmetro do círculo circunscrito

ao triângulo ABC.

C

~----=..:otB A

Figura 9.20

Com efeito, a perpendicular

OP, baixada do centro do círculo circuns-

crito sobre o lado BC é também

mediana do triângulo

bissetriz do ângulo CÔ B, que é igual a 2Â. Logo ~

que

~2

= rsen A, ou seja,

~A sen

isósceles OBC e

cõ P =

 e daí resulta

= 2r = diâmetro do círculo circunscrito ao

triângulo AB C. As leis dos cossenos e dos senos permitem obter os seis elementos de um triângulo quando são dados três deles, desde que um seja lado, conforme os casos clássicos de congruência de triângulos. Problema.

Determinar,

no triângulo

A, B, C nos seguintes casos: 1. São dados os lados a, b, c. Então

237

ABC, os lados a, b, c e os ângulos

CAPÍ'ITLO

~I

CAPÍTULO 9

A LEI DOS COSSENOSE A LEI DOS SENOS

logo

~

e isto nos permite determinar A. Analogamente se obtém o ângulo Ê; o ângulo ~

obtido a partir da relação A OBSERVAÇÃO.

~

~

+B +C =

ê pode ser mais facilmente

2 retos.

Para que exista um triângulo com lados a :( b :( c é necessário e suficiente que se tenha c < a

+ b. ~

2. São dados os lados a, b e o ângulo

C.

Neste caso, o lado c se obtém pela lei dos cossenos: c=

J

a2

+ b2

-

2ab cos ê,

recaindo-se assim no caso anterior. ~ ~

3. São dados os ângulos A, B e o lado c. .............

.......•••••.

..•••.•.....•

......••••••.

+ B + C = 2 retos  = c/sen ê, logo

Determina-se o ângulo C pela igualdade A a pela lei dos senos, segundo a qual a/sen sen Â/sen

õ.

e o lado a = c .

Agora tem-se os lados a, c e o ângulo Ê formado por eles.

Recai-se assim no caso anterior. ~

OBSERVAÇÃO.

~

Para que A e B sejam ângulos de um triângulo, é necessário e suficiente ~

que A

~

+B

< 2 retos.

4. São dados os lados a, b, com a > b, e o ângulo A. Este é o pouco conhecido quarto caso de congruência de triângulos, segundo o qual dois triângulos são congruentes quando têm dois lados iguais ~

~

e um ângulo igual oposto ao maior desses dois lados. Note-se que A > B, ~

,

logo o ângulo B é agudo. Aqui se usa novamente a lei dos senos. A partir da proporção a

--~

sen A

b

~ b ~ obtém-se sen B = -sen A. sen B a

= --~

Como b < a, vemos que ~sen  é um número positivo menor do que 1, ~

logo existe um único ângulo B, menor do que dois retos, cujo seno é igual a

238

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

~sen Â. Em seguida, determina-se

CAPÍTULO 9

o ângulo C pela igualdade  + B + ê = 2

retos. Agora, conhecendo a, b e C, recai-se no caso 2. Do ponto de vista em que nos colocamos, o triângulo tratando-se

ABC é dado,

apenas de calcular 3 dos seus elementos quando são dados outros ~

~

~

3. Por isso não cabia acima indagar se A + B < 2 retos, antes de calcular C. Entretanto,

é verdade que, dados a > b e A < 2 retos, existe um triângulo

ABC tal que BC = a, AC = b e  é o ângulo dado. Para ver isto, tome um segmento AC de comprimento b e uma semi-reta AX tal que o ângulo ~ ~ CAX seja igual ao ângulo A dado. Com centro no ponto C, trace uma circunferência de raio a. Como b < a, o ponto A pertence ao interior dessa circunferência, logo a semi- reta AX corta a circunferência num único ponto B, que é o terceiro vértice do triângulo procurado.

x

Figura 9.21

Para aplicações elementares de Trigonometria, blemas", publicado pela SBM.

239

ver o livro "Temas e Pro-

OBSERVAÇÃO.

CAPÍTULO

A

0

LEI DOS COSSENOS

[~ A LEI DOS SENOS

I

Exercícios 9.1. Determine os valores máximo e mínimo da função 3 por f(x) = --2 + sen x

f : IR -+ IR definida

---sen x 9.2. Observando a figura a seguir, onde AB = x, mostre que t = -cosx T

t

o "---------l

9.3. Se sen x

+ cos x

= 1,2, qual é o valor do produto sen x . cos x?

9.4. Definimos aqui as funções 1

i- O

secante:

sec x = -se cos x cosx

cossecante:

esc x

cotangente:

cotg x = -se sen x sen x

1 = --

sen x cosx

se sen x

Mostre que: a) sec2 x = 1 + tg2

X

b) esc" X = 1 + cotg2x 9.5. Prove as identidades

sen x b)

esc x - cotgx

A

=

abaixo:

1 + cosx

240

i- O i- O

FUNÇÕES

TIUGONOl\IÉTHICAS

9.6. Determine todas as soluções da equação cos ( 2x 9.7. Se tgx

+ secx = ~, calcule

+

i)

1 2

sen x e cosx.

9.8. Encontre as fórmulas para sen 2x, cos 2x e tg 2x em termos de sen x e cosx. ~

9.9. Observando a figura abaixo, mostre que AOE = 45°. A

p

o

E 9.10. Se tg x = ~, calcule tg 3x. 9.11. Calcular a) y = sen

5n . 12

cos

5n 12

;2

1 + tg b) y = 1 - tg ~

12

9.12. Determine os valores máximo e mínimo de y = 2sen2 x 9.13. Determine os valores máximo e mínimo de y = sen x

241

+ 5 cos" x.

+ 2 cos x.

CAPÍTULO

9

CAPíTULO

10

I

CONJUNTOS

10.1

Conjuntos

1.1. Seja x E U um objeto com a propriedade Q1. Então x não pode ter a propriedade P2 pois P2 ::::}Q2 e Q2 é incompatível com Ql' Como g e P2 esgotam todas as possibilidades, segue-se que x tem a propriedade

Pl. Assim, vemos que Ql ::::}Pç. Q2 ::::}P2.

Da mesma forma se mostra que

1.2. Sejam A, B, C pontos não-colineares e D o pé da perpendicular baixada de C sobre AB. Então CD é "a perpendicular" enquanto AC e

BC são as "duas oblíquas". As propriedades g e P2 são respectivamente as afirmações AD = BD e AD =I=- BD. Por sua vez, Ql e Q2 significam AC = BC e AC =I=- BC respectivamente. Uma vez provadas as implicações P, ::::}Q1 e P2 ::::} Q2, daí resultam as recíprocas Q1 ::::} P, e Q2 ::::} P2, pois as alternativas AD = BD e AD =I=- BD esgotam as possibilidades, enquanto AC = BC e AC

=I=-

BC são in-

compatíveis. (Aliás é claro que, neste caso, também P1 e P2 são incompatíveis e que Q1 e Q2 esgotam as possibilidades.)

A afirmação final

do exercício, segundo a qual "a maior é a que mais se afasta", requer uma modificação na qual P, e Ql são as mesmas, porém P2 significa

AD < BD, Q2 quer dizer AC < BC e uma nova implicação P3 ::::}Q3 é incluída, onde P3 é a afirmação AD > BD e Q3 significa AC > BC. Isto naturalmente,

requer provar o Exercício 1 para três implicações,

o que se faz do mesmo modo e antecipa o Exercício 4. 1.3. Resta provar que Y1 C Xl e 112 C X2·

Xl U X2

Ora, se y E Yl então, como

U, deve-se ter y E Xl ou Y E X2· Mas, como X2 C Y2, se fosse y EX2 isto obrigaria y E Y2, logo Y E YlnY2, o que não é possível =

pois Yl n Y2 = 0. Portanto y E Xl e daí Yl C Xl' Analogamente se mostra que Y2 C X2. 1.4. É claro que os exercícios 1 e 3 têm o mesmo significado, diferindo apenas na terminologia: um fala de propriedades, o outro de conjuntos. Um diz implicação, o outro inclusão. Familiarizar-se com esta equivalência é um passo essencial no aprendizado da Matemática. _-;;::::-

"Coordenadas no Espaço" (pág.

No livro

83), têm-se oito posições relativas de

244

]

três planos no espaço e, por outro lado, têm-se oito hipóteses possíveis sobre as equações que representam

esses planos.

hipóteses algébricas correspondem tricas, demonstram-se

exatamente

Para provar que as

às oito posições geomé-

oito implicações Álgebra

=?

Geometria.

Não há

necessidade de provar as oito recíprocas porque as hipóteses algébricas claramente

esgotam todas as possibilidades

e as posições geométricas

são, duas a duas, obviamente incompatíveis. 1.5. Se continuamos

admitindo

que Pl e P2 esgotam as possibilidades,

quanto Ql e Q2 são incompatíveis,

as implicações Ql

=?

P1 e Q2

=?

Q2·

é a propriedade

"ti

=?

P2

H =?

não obrigam que seja válida qualquer uma das três recíprocas: Ql nem P2

en-

o exemplo em que U = N, P1

Basta considerar é par", P2 significa

é ímpar", Ql quer dizer "n

"ti

múltiplo de 4" e Q2 diz "n é um número primo maior que 2". 1.6.

Vx + 2 = X x2

-

5x

=?

+4

=

são invertíveis, igualdade x

=

Vx

=X -

°

2

X =

=?

x = x2

=?

4x

-

+4

=?

x = 4 ou x = 1. Todas estas implicações

=?

(x - 2)2 é satisfeita

Vx =

Vx =

não apenas quando

-(x - 2), ou seja

caso é válido quando x = loque

= a2, a

Na verdade, como (-a)2

exceto a segunda.

como também se

(x - 2)2

Vx =

x - 2

2 - x. Este último

explica a "raiz estranha"

1. Como

vimos no texto, a seqüencia (correta) de implicações apenas diz que se

Vx + 2 = x

então x = 4 ou x = 1. Como x = 1 não cumpre a condição

Vx + 3 =

dada, segue-se que x = 4. Quanto à equação

x, a mesma

seqüencia de implicações acima nos conduz à equação x2 -7x

+9 =

0,

com a condição adicional x > 3 (pois x - 3 = Vx). As raízes desta equação são x = (7 ±

vTI) /2,

logo apenas x = (7

+ vTI) /2

é a raiz

> 3, a única que serve. 1. 7. A equação satisfeita, x

=

x2

-

Vx + m requer x

(x - m)2 e x (2m

distintas,

=

x, para ser escrita, requer x

2:: m. 2:: m.

+ l)x + m2 = cujo produto

Tem-se

Vx + m =

A igualdade x

=

x

=?

2::

°

Vx =

e, para ser X -

m

=?

(x - m)2 é equivalente a

O. Esta equação possui duas raízes positivas é m2, logo uma delas apenas é maior do que

m.

245

scw

CAPÍTULO

10

CONJUNTOS

1.8. O erro está na segunda equivalência algébrica.

2x

+1

=

2

O ::::} x

2 . 1

-

+1

=

Tem-se apenas x2

O mas a recíproca é falsa.

-

Uma

explicação mais completa está no exercício 9, a seguir.

anxn + .. , + alx + ao um polinômio. Definamos um novo polinômio q(x) tomando um número a e substituindo em p(x) o termo aixi (e somente este termo) por aiai. O polinômio q(x) tem a propriedade que q(a) = O. Nada mais. As demais raízes de q(x) nada têm que ver com as de p(x). (Quando, no caso de um polinômio p(x) = ax2 + bx + c, substituímos, no termo bx, a variável x por uma das raízes a de p(x), obtemos q(x) = a(x2 - (2). Uma das raízes de q(x) é a e a outra é -a.)

1.9. Seja p(x)

1.10.

=

a) Seja A o conjunto dos elementos de U que satisfazem a condiA afirmacão (1) significa que A = U enquanto que (2)

ção p(x).

exprime que A

-1=

0.

b) As negações de (1) e (2) são respectivamente: "Existe algum x

E

U que não satisfaz a condição P( x)" e "nenhum x E U satisfaz

P(x)".

Em termos de conjuntos (e com a notação do ítem a)),

estas negações se exprimem assim: A c

-1=

0

e A c = U.

c) Numeremos as sentenças de 1 a 5, na ordem em que aparecem. A única afirmacão verdadeira é a nº 4. As negações são: 1) Para todo número real x, tem-se x2 2

que n

:::;

-1=

-1. 2) Existe um número inteiro

n, 5) Para todo número natural

1.11.

tal

n. 3) Existe um número real x tal que x :::;1 e x 2:: 1. 4)

Existe um número real x tal que que

ti

2

ti

< x para todo numero natural

ti,

existe um número real x tal

n:::; x.

a) O texto constitucional não obriga intervenção federal num estado em nenhuma circunstância.

Provavelmente, os legisladores que-

riam dizer que nos casos citados, e somente nesses casos, a União intervirá. b) A União intervirá nos Estados ou no Distrito Federal para ... 1.12. Multiplicando ambos os membros da igualdade x2

x-I,

obtém-se x

3

-

2x + 1 = O.

246

+ x-I

= O por

•

~

SOlXC,'ÓES

1.13. x

+ 4y

=

13k :::} 4x

+ 3y =

camente, 4x

+ 3y 13k

=

4(x

:::} x

E:\EIH'ÍCIOS

j)OS

+ 4y) - 13y = 13(4k + 4y = 1O(4x + 3y) -

C\\I'Í

- y). Recipro13(3x

+ 2y) =

13· (10k - 3x - 2y). 1.14. 8

z

a) (XC U Y)" = 1 U 4; b) 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8;

c) 1U2U5U6; d) 7. 1.15.

a) (XUY)nZ

=

b) X U (Y n Z)C

3U4U6 e (XnZ)u(YnZ)

=

=

(3U4)U(3U6) = 3U4U6

1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 7 U 8 e X U v- U Zc

=

(1 U 2 U

3 U 4) U (1 U 4 U 7 U 8) U (1 U 2 U 5 U 8) = 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 7 U 8. 1.16. A condição A C C é necessária para que valha AU(BnC)

= (AUB)nC.

Com efeito, se A C C então A U C = C, logo A U (B n C) = (A U B)

n

(A U C) = (A U B)

Au (BnC)

n

C. Reciprocamente, se vale a igualdade

= (AUB) nC então A

C

Au (BnC)

= (AUB) nC

C

C,

isto é, A C C. Portanto, vale A U (B n C) = (A U B) n C se, e somente se, A C C. 1.17. Observar que (A - B) - C é o conjunto dos pontos de A que não estão em B nem em C, isto é, estão apenas em A, enquanto que A - (B - C) é formado pelos pontos que estão apenas em A mais aqueles que estão

247

ITLO

10

CAPÍTt'LO

10

Nl'l\IEROS

•

NATl'RAIS

em A e em C. Logo (A - B) - C = A - (B - C) se, e somente se,

An C = 0. 1.18. Como (2n)2 = 2(2n2) e (2n - 1)2 = 2(2n2 - 2n)

+

1, vemos que o

quadrado de um número par é par e que o quadrado de um número ímpar é ímpar.

2.4

Todo quadrado perfeito é o quadrado de sua raiz

quadrada, portanto esta só pode ser par ou ímpar se o número dado o for. Mais precisamente se k = n2 então

ti

= Vk é par (ou ímpar) se, e

somente se k é par (ou ímpar). 1.19. Dada uma função arbitrária

f :

A

-t

P(A),

considere o conjunto

{x E A; x ~ f(x)}. Então X E P(A) mas não existe x E A tal que f(x) = X, pois a existência de um tal x levaria a uma contradição. X

=

Com efeito, ou x E X ou x ~ X.

O primeiro caso não pode ocorrer

porque x E X significa x ~ f(x), ou seja, x ~ X. Já no segundo caso, temos x ~ X :::::}x E f (x) :::::}x E X.

2.

Números Naturais

10.2

2.1. Seja X = {n E N; a

+ ti

E Y}.

Como a E Y, segue-se que a

+1E

Y,

2.

portanto 1 E X. Logo X = N. Assim, Y contém todos os números naturais 2: a. 2.2. Seja X = {n E N; 2n+ 1 < 2n}. Temos 3 E Y. Além disso, ri E Y :::::} 2n + 1 < 2n :::::}2(n + 1) + 1 = 2n + 1 + 2 < 2n + 2n = 2n+1 :::::} ti

+1

seja,

Y contém todos os números naturais 2: 3, ou 2: 3 :::::}2n+ 1 < 2n. Em seguida, seja Z = {n E N, n2 < 2n}.

E Y. Portanto

ti

Temos 5 E Z e, além disso, n2 + 2n + 1 < 2n + 2n = 2n+l 2.3. Sabemos que para

ti

~)n n

(

e!1)2 < 2.

ti

E Z

:::::}n

2

<

2n

:::::}

(n + 1)2 =

:::::}n + 1 E Z

Ignorando isto, mostremos que

(n~l r < n

2: 3. É claro que (4/3)3 = 64/27 < 3. Agora, indução: < n:::::}(n

+ 2)n+l

=

n+l

< (n+l)n n

2

(n + 2)n . (n + 2) n+l n+l

(n+2) n+l

248

2

< n(n+2) n+l

< n(n+l). ti

C ...• _\.pf:L

(n~l

Escrevendo

n+-.yn + 1 <

vn

r< para

ti

sob a forma (n

ti

:::

+ l)n < nn+l

Logo 1, V2,

3.

ij3, ...

vemos que

é decrescente

a

partir do 3º termo. 2.4. A igualdade indicada é obviamente

válida para certo

ti

1+2

verdadeira para

ti

=

1. Supondo-a

temos

2

+3

2

2

+···+n

Para provar a implicação P(n)

=

n(n + 1)(2n + 1)

::::}P(n

.

6

+ 1),

.

basta verificar que

(n + l)(n + 2)(2n + 3) _ n(n + 1)(2n + 1) = (n + 1)2 6

6

'

o que é imediato. 2.5. O problema resulta do fato de que o "conjunto" dos números naturais pequenos não está bem definido. O "conjunto" dos números pequenos é limitado?

Se é, (como deveria) então qual é o maior número pequeno?

2.6. Por um lado (distributividade m

+ ti,

à direita),

Por outro lado (distributividade

(m + n)(l + 1) = m +

ti

+

à esquerda, depois à direita),

(m + n)(1 + 1) = m(l + 1) + n(l + 1) = m + m +

ti

+ n.

Logo m + n + m + n = m + m + n + n. Pela lei do corte (aplicada duas vezes) n 2.7. Suponha que seja X

=1=

+m =

m

+ n.

N. Seja a o menor elemento do conjunto não-

vazio A = N - X. Então todos os números naturais a pertencem Logo A =

0

a X.

menores do que

Pela hipótese, segue-se que a E X.

Contradição.

e X = N.

2.8. Suponha que o conjunto A dos números naturais n para os quais P(n) é falsa seja não-vazio.

Então 1 < a, 2 < a e, além disso P(a - 2) e

P(a - 1) são verdadeiras. é verdadeira.

Contradição.

Segue-se da hipótese (enunciado) que P(a) Logo A = 0 e P( n) é verdadeira para todo

n E N.

249

t:

T_<-">

:L(>

C\PTTlTLO

Núxnenos

10

•

CAHDINAIS

2.9. Certamente 13 = â12(l

+ 1)2.

Suponha, por indução, que

Para provar que se tem

basta verificar que

ou seja, que 1

_[(n2

4

+ 2n + 1)(n2+

1

1

4n + 4)]- _[n2(n2 + 2n + 1)] =(n + 1)3,

4

fln3+ il3n2 + 12n + 4- ;í4 - 2 ;í3-

4[;í4+

3.2. ;í2] =(n + 1)3,

1

4 [4n3 + 12n2 + 12n + 4] =(n + 1)3, n3 + 3n2 + 3n + 1 =(n + 1)3.

OBSERVAÇÃO. A igualdade 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ân2(n + 1)2 pode também ser

3.3.

escrita sob a forma 13 + 23 + 33 +

...

+

n

3

=

(1 + 2 + 3 + ... +

n?

Desta maneira, a indução fica mais fácil. 3.4.

10.3

Números Cardinais 3.5.

3.1.

a) x

E

A

=?

b) y E f(f-l(B))

B

II!I

r.~

=?

Y

E

f(x)

E

f(A)

=?

x

E

Y = f(x), x B .'. f(f-l(B)) C B =?

250

f-l(f(A)) E

f-l(B)

.'. A =?

C

f-l(f(A)).

Y = f(x),

f(x)

E

SOLUÇÕES

c) Seja f injetiva. Se x E f-l(f(A))

DOS EXERCÍCIOS

f(A), isto é tem-se f(x) = f(a) para algum a E A, logo x = a e x E A. Assim, f-l(f(A)) C A e daí (vide a) f-l(f(A)) = A. Reciprocamente, se f-l(f(A)) = A para todo A C X então dados Xl, X2 E X com f(xd = f(X2), tomando A = {xd temos X2 E f-l(f(A)) = A = {Xl} logo X2 = Xl e f é injetiva.

d) Seja

f

então f(x)

CAPÍTCLO

E

sobrejetiva, Então, para todo B C Y, temos: b E B

b = f(x),

X

E

X

~

b = f(x),

Assim B C f(f-l(B)).

X

f-l(B)

E

~

~

b E f(f-l(b)).

Por b), segue-se que f(f-l(B))

= B.

= B para todo B C Y então, tomando y E Y arbitrariamente e pondo B = {y} vemos que f(f-l(y)) = {y} logo f-l(y) =I- 0 e f(x) = y qualquer que seja se f(f-l(B))

Reciprocamente,

x

f-l(y).

E

Logo f é sobrejetiva.

3.2. Se existir 9 : Y --+ X tal que g(f(x))

x para todo x E X então f(Xl) = f(X2) ~ Xl = g(f(Xl)) = g(f(X2)) = X2 logo f é injetiva. Reciprocamente, se f é injetiva então definimos f : X --+ X assim: fixamos Xo E X. Dado y E Y, se não existir x E X tal que f(x) = y, pomos g(y) = xo. Se y = f(x) para algum x E X, este x é único e então pomos g(y) = x. A função 9 : Y --+ X cumpre g(f(x)) = x. =

= y para todo y E Y então, com x = g(y), logo f é sobrejetiva.

3.3. Se existir 9 : Y --+ X tal que f(g(y)) para todo y E Y tem-se y = f(x), Reciprocamente, se

f-l(y)

é =I-

f

é sobrejetiva então, para cada y E Y o conjunto

0. Escolhamos x

9 : Y --+ X cumpre f(g(y)) 3.4. Para todo

y

E

=

E

= x. A função

Y, pondo h(y) = x, temos

= g(f(x))

3.5. Defina f : N --+ N pondo f(n) E

e pomos g(y)

y.

g(y) = g(f(h(y)))

escreva n =

f-l(y)

2a .

=

1 se

ti

= x = h(y). é ímpar e, caso ri seja par,

b, com b ímpar, e ponha f(n)

números ímpares, a equação f(x) soluções.

251

=

ti

= a. Como há infinitos

tem para todo

ti

E

N, infinitas

10

--------------------------------------------

CAPÍTULO

10

NÚMEROS

•

CARDINAIS

3.6. Isto é claro se

ti =

1. Supondo verdadeira a afirmação para conjuntos

com n elementos, seja X um conjunto com um elemento a E X.

Uma bijeção

f :X

ti

+1

elementos.

Fixe

---+ X consiste em escolher

3.11.

ai = f (a) e definir uma bijeção de X - {a}. Existem ti + 1 escolhas possíveis para ai e (por indução) n! possíveis bijeções de X - {a} sobre X - {ai}. Segue-se que há (n + 1) . n! = (n + I)! bijeções de X. 3.7. O erro consiste na passagem P( n) ::::}P( n ti

= 1. (Não é verdade que P(I)

+ 1),

que é falsa quando

::::} P(2). Mais exatamente: P(2) é

certamente falsa.) 3.8. Seja P(n)

a afirmação de que um conjunto com n elementos tem 2n

subconjuntos.

Então P(I)

é verdadeira pois se X = {a} então

0

e

{a} são os dois únicos subconjuntos de X. Supondo P(n) verdadeira, seja X um conjunto com X - {a}.

ti

+

1 elementos. Fixando a E X, seja X'

=

Há dois tipos de subconjuntos de X: as partes de X' (em

10 4.1

número de 2n) e os subconjuntos que contêm a (também são 2n deles). Como 2n

+ 2n

=

2n+1, segue-se P(n

+ 1).

4.2

3.9. P(2) é óbvio pois uma só pesagem é suficiente para saber, entre dois objetos, qual é o mais leve e qual o mais pesado.

Supondo P(n)

verdadeira, efetuamos 2n - 3 pesagens e encontramos, entre

ti

objetos

dados, o mais leve L e o mais pesado P. Agregando-se o (n + 1)-ésimo objeto, basta efetuar duas pesagens mais, comparado-o com L e com

P. Se ele for mais leve do que L, será o mais leve dos n

+ 1 novos

objetos. Se for mais pesado que P também o problema está resolvido. Se for mais pesado que L e mais leve que P então L e P continuarão sendo o mais leve e o mais pesado. 2n - 3 é ,o menor número possível para resolver o problema, como se vê considerando três objetos. 3.10. P(I) com

é claro. Suponhamos todos os subconjuntos de um conjunto X ti

elementos disposto numa fila, de modo que cada um desses

subconjuntos difira do anterior pelo acréscimo ou pela retirada de um elemento. Tomemos um (n

+

1)-ésimo elemento e estendemos a fila

acrescentando-o, na ordem inversa, a cada subconjunto da fila antenor, começando com o último.

Desta maneira obteremos todos os

252

4.~

SOLUÇÕES

DOS EXERCÍCIOS

CAPÍTULO

subconjuntos de X dispostos como está prescrito no enunciado. 3.11. No hotel, cujos quartos são Ql, Q2, ... , Qn, ... , passe o hóspede do quarto Qn para Q2n-l. Assim, todos os quartos de número par ficam vazios e os quartos de numero ímpar, ocupados. Em seguida, numere os trens assim: TI, T3, Tç, T7, . . .. Pil, Pi2, ... {)

Ti·

é

Pik

,Pik,

...

Finalmente,

,

de modo que

Os passageiros do trem Ti serão Pik

é o k-ésimo passageiro do trem

complete a locação do hotel alojando o passageiro

no quarto de número 2k . i. Como todo número par se escreve, de

modo único, sob a forma 2k·i com k E N e i ímpar, haverá um hóspede apenas em cada quarto.

10.4

Números Reais nD

4.1. É claro que O E A mas não pertence a B nem a C

nem a E. Logo

O E ((A - B) - (C n D)) - E. 4.2.

a) A implicação

~~!i > 2 :::} 5x + 3 > 4x + 2 é obtida

a primeira desigualdade por 2x 2x

+1

+

> O, ou seja x > -1/2.

multiplicando

1. Portanto só é válida quando A maneira correta de resolver

esta inequação é separar 2 casos: x > -1/2 4 x < -1/2.

(Evi-

dentemente, não tem sentido pôr x = -1/2.) No primeiro caso, a solução é x > -1/2 e x > -1, logo x > -1/2. No segundo caso, para x < -1/2, tem-se 2x

+ 1 < Ologo vale:

5x + 3 --> 2 :::} 5x + 3 < 4x + 2 :::} x < -1 2x

+1

A resposta é x < -1 ou x > -1/2. [-1, -1/2].

Equivalentemente:

x ~

b) As implicações estão todas corretas: a primeira resulta de multiplicar ambos membros da desigualdade por x2

+ 1, que

> O para todo x. A segunda consiste em somar -

2X2

é sempre a ambos

membros. Valem as implicações opostas, em (a) e (b) 4.3. ~ < ~ :::} ad < bc :::} (a

+ c)d

=

ad

+ cd <

(b

+ d)c

:::} ~:~ < ~.

Analogamente % < ~ :::} % < ~:~. Uma possível interpretação de ~:~

253

10

CAPÍTULO

10

NÚl\IEHOS

•

REAIS

(

é a seguinte: na primeira fase de um campeonato foram realizados b jogos com um total de a gols convertidos.

O número médio de gols

por partida foi ~. Na segunda fase: ~. Média de gols por jogo no campeonato a

i

<

c-l-c

<

inteiro:

~~~. Supondo que ~ < ~, tem-se claramente

c

d'

b+d

4.4. Como 13 < 3 < 23, temos

ij3

= 1, ....

Além disso, (1,1)3 = 1,33;

(1,2)3 = 1,72; (1,3)3 = 2,19; (1,4)3 = 2,74 e (1,5)3= aproximação pedida para

ij3 é

4.8.

3,37. Logo a 4.9.

1,4.

4.5. No cálculo numérico, quando se deve efetuar uma divisão cujo dividendo é irracional, usa-se um valor aproximado do denominador. Se quisermos obter um grau de aproximação maior para o quociente, toma-se uma aproximação melhor para esse denominador e é-se obrigado a refazer a operação desde o início. Se, entretanto,

a irraciona-

lidade estiver no numerador apenas, basta prolongar a divisão acrescentando mais algarismos decimais ao dividendo, sem precisar recomeçar tudo de novo. Compare por exemplo, as operações 1/ V2 e

V2/2.

Evidentemente, estamos falando de operações efetuadas manualmente. No caso de cálculo eletrônico, não há quase diferença alguma. Aqui deve-se ter cuidado apenas com denominadores muito pequenos (em relação ao numerador),

onde uma pequena variação dos quais pode

causar grandes alterações no quociente. 4.6. O número O pertence a todos os intervalos [O,I/n],

ti

E N. Nenhum

outro número real x > O pode pertencer a todos esses intervalos porque, dado x > O podemos sempre achar x > l/n, portanto x tj [1, l/n]. natural

ti

ti

E N tal que

ti

> l/x, donde

[Um modo prático de obter um número

> x consiste em tomar a expressão decimal de x, desprezar

a parte após a vírgula e pôr

ti

= 1+ (a parte inteira de

x).]

4.7. O número racional representado pela fração irredutível mf-n tem uma expressão decimal quando existe um inteiro k tal que

ti .

k seja uma

potência de 10. Para isso, é suficiente que seu denominador seja da forma

ti

=

2a ·5b.

Por outro lado, se n é primo com 10 (isto é, não é

divisível por 2 nem por 5) então;:

gera uma dízima periódica simples.

4.10

SOLlTÇÕES

Com efeito, algum múltiplo de ti

é primo com 10, se

tem a forma 99 ... 90 ...

CAPÍTULO

° mas, como

n divide 99 ... 9 X lQT, divide o fator 99 ... 9. Logo

podemos afirmar que então :; =

ti

DOS EXERCÍCIOS

ti

tem um múltiplo tipo 99 ... 9. Se n-k = 99 ... 9

9r;~9 =geratriz

de uma dízima periódica simples.

4.8. Como 0, 1234567 ... não é periódico, trata-se de um número irracional. 4.9.

a)

Ix Logo

b)

Ix -

Ix + 11 < (-3,1)

c)

11 < 4 significa que a distância

Ix -

= (1 - 4, 1 + 4).

11 < 4 {:} x E (-3,5) 2 {:} a distância

Ix -

de x a -1 é menor do que 2 {:} x E

+ 2).

= (-1 - 2, -1 11 <

de x a 1 é menor do que 4.

51 {:} x está mais próximo de 1 do que de 5. O

ponto equidistante

de 1 e 5 é x = 3. Logo deve ser x < 3.

d) Ix - 21 + Ix - 41 = 8 {:} (distância de x a 4) 2)=8. Evidentemente, possibilidades:

x>

(distância de x a

x não pode estar entre 2 e 4. Logo, há duas

4 ou x < 2. No primeiro caso x-2+x-4

x = 7. No segundo caso, 2 - x

e) Ix - 21 + Ix

+

+ 41 =

+4 -

1. Novamente,

= 8,

x = 8, x = -1. x não pode estar entre 2 e 4

porque neste caso a soma das distâncias de x a 2 e a 4 seria sempre 2. Se x estiver à direita de 4, sua distância

a 2 será pelo menos

2. Se x estiver à esquerda de 2 então sua distância a 4 será 2:: 2. Assim, a equação Ix - 21 + Ix

a +2 b > (a +2 b) Logo 2

+ 41 =

1 não tem solução.

2

Interpretação

2

geométrica:

A desigualdade

acima significa que a

parte escura na figura tem área mínima quando os dois pequenos quadrados são iguais.

255

10

CAPÍTULO

10

FUNÇÕES

•

AFINS

5.2. -

4.11. Se 1,4587 < x < 1,4588 e 0,1134 < y < 0,1135 então, multiplicando

5.3.

membro a membro estas desigualdade obtemos 0, 16541 < xy < 16557. Tomando os inversos multiplicativos

nas desigualdades

que envolvem

y, temos 5.4.

8,8105 < y-l < 8,8183. Portanto

(multiplicando

estas desigualdades

x) resulta que

por aquelas que envolvem

x 12,851 < - < 12,864. Y

5.5.

Assim, vemos que xy = 0,165 com 3 algarismos decimais exatos e erro inferior a 1 décimo milésimo, por falta. Por outro lado,

:E y

= 12, 8 com

1 algarismo decimal exato e erro inferior a 1 centésimo, por falta. 4.12. Outra interpretação Comparando

(geométrica)

do Exercício 4.3. 5.6.

as tangentes:

c

b

10.5

FUnções Afins

5.1. Menor do que o dobro, pois na segunda metade da corrida não foi cobrada a bandeirada. 2ax

111A

+ b enquanto

Algebricamente:

2· f(x)

= 2ax

+ 2b.

256

se f(x)

=

ax+b então f(2x)

=

SOLUÇÕES

DOS EXERCÍCIOS

CAPÍTULO

5.2. Ao dizer que "a escala é linear", estamos afirmando que a deslocamentos iguais ao longo da linha correspondam

acréscimos iguais nos números

acima dessa linha. Se x é a distância de um ponto ao extremo esquerdo da linha e f(x)

é o número acima desse ponto, então f(x)

=

+ b.

ax

Como f(O) = 17 e f(8)

= 59, temos b = 17 e 8a+ 17 = 59, donde a = 5,25. Portanto f(3) = 3 x 5,25 + 17 = 32,75. do -57.

+ b.

5.3. Temos N = aC a = 4 e b = -72.

vem

Sabemos que O = 18a

+be

100 = 43a

+ b.

Logo

Segue-se que N = 4C - 72. Daí C = 100 ::::} N =

328. 5.4.

-em

o

t é V(t) = 1000 - at. sabemos que V(6) = 850, logo 1000 - 6a = 850 e daí a = 25. Portanto 1000 - 25t = 500 ::::} t = 20, ou seja, a água ficará pela metade após volume V(t) de água na caixa no instante

20 horas, o que ocorrerá às 8 da manhã do dia seguinte. 5.5. Podemos imaginar que o garoto começou com palito (vertical) e, para fIO

cada quadrado

om

que armou, precisou de 3 palitos, logo, para fazer

quadrados ele precisou de 3n+ 1 palitos. Alternativa: para fazer o primeiro quadrado subseqüente.

Assim,

ti

ti

ele usou 4 palitos

e mais 3 para fazer cada quadrado

quadrados

requererão

4

+ 3(n

- 1) = 3n

+1

palitos. 5.6.

a) Um operário, trabalhando

as mesmas 8 horas diárias, construiria

o mesmo muro em 5 x 3 = 15 dias, logo 5 operários, condições,

em iguais

fariam o mesmo serviço em 15 -;- 5 = 3 dias.

muro tivesse 15 metros, esses mesmos 5 operários, condições, terminariam Finalmente.

o trabalho

esses 5 operários,

vez de 8) completariam

Se o

nas mesmas

em (3/36) x 15 = 5/4 dias.

trabalhando

6 horas por dia (em

o muro de 15 metros em ~ + ~ =

i dias

(1

dia e 4 horas). b) As hipóteses utilizadas implicitamente

acima foram de que o tempo

necessário para fazer o muro é diretamente

proporcional ao número

de operários e ao número de horas diárias de trabalho. c) D = k·

NCH'

onde k é a constante de proporcionalidade.

Sabemos

que, pondo C = 36, N = 3 e H = 8, temos D = 5. Então 5 = k·i.~,

257

10

CAPíTULO

FUNÇÔES

10

donde k = 5.7.

I

AFINS

Portanto, a fórmula procurada é D =

130.

5.11

1~ . NCH·

a) F = k· mlm2/d2 b) pv=c·t

c) r=k·l/s d) !:::"l = k . l . !:::,.t

5.1~ 5.8. Temos Y = k/X,

X' =

i~~X=

onde k é a constante de proporcionalidade.

Seja

5.1l

~X. Então Y' = ~, = ~Y = 80% de Y. Logo Y sofre

um decréscimo percentual de 20%. 5.9. A função afim a que se refere o enunciado é f(x)

=

ai

+ (n -1)r,

onde

r é a razão de P.A., mas o exercício não precisa desta fórmula para ser

resolvido. Basta saber que

f

existe.

a) Esse trapézio tem altura 1 e base média ai, logo sua área é 1· ai =

b) ai +: . +an é a área desse trapézio maior porque ele é a justaposição dos trapézios de altura 1 considerados no ítem anterior. c)

t

aI an

é a base média do trapézio maior porque ai

+ an 2

f(l)

+ f(n) 2

f(I-~)

+ f(n+

~)

2

+ f (x' + h) + ~- ~ = n,

pois a função afim f tem a propriedade f (x - h)

f(x)

+ f(x').

Como a altura desse trapézio é n

o

resultado segue-se. 5.10.

Seja d o número de degraus de escada, a qual sobe com a velocidade de s segundos para cada degrau.

Ficando parada, a pessoa leva ds

segundos para subir a escada. Logo, pelos dados do problema, (d5)s = 30 e (d - 10)s = 20. Assim s = d~5 = d~~O e daí 30d - 300 = 20d -100, o que resulta em d = 20. A escada tem 20 degraus, gasta-se s = 20/(d - 10) = 20/10 = 2 segundos para subir cada degrau. Logo, o tempo normalmente gasto no percurso é de 2 x 20 = 40 segundos .

• ~ Lh.

258

5.1

SOLUÇÕES

DOS EXEHCÍCIOS

CAPÍTFLO

5.11. Na 5ª loja, Augusto gastou metade do que tinha e ainda sobravam 22 reais. Logo entrou na 5ª loja com 44 reais. Ao entrar na 4ª loja, ele tinha 88 reais; na 3ª tinha 176; na 2ª, 325; na 1ª 704. Augusto começou as compras com R$ 704,00. (Supondo um só estacionamento para todas as lojas. Caso pagasse o estacionamento

após cada compra

a resposta seria R$ 764,00.) 5.12. 25

+x +x =

95, x = 35, 25

+ 35 =

5.13. A média antes da prova final é (4·2 precisa tirar satisfaz (5,2·3

+ 6 . 3) /5

+ n . 2)/5

5.14. Sejam A, B e C respectivamente atriz e Carlos possuíam.

60. Com 60 anos. = 5,2. A nota

;::::5. Daí,

n que ele

ti ;:::: 4,7.

o número de reais que Arnaldo, Be-

Foram feitas 3 transferências.

Após a pri-

meira, as quantias com que eles ficaram (sempre na ordem alfabética) foram A - B - C, 2B, 2C. Após da segunda operação:

2A - 2B - 2C, 2B-(A-B-C)-2C, 4C, ou seja: 2A-2B-2C, 3B-A-C, 4C. E, no final: 4A-4B-4C, 6B-2A-2C, 4C-(2A-2B-2C)-(3B-A-C), isto é: 4A - 4B - 4C, 6B - 2A - 2C e 7C - A - B. Agora é só resolver o sistema:

4A - 4B - 4C = 16 -2A + 6B - 2C = 16 { - A - B + 7C = 16, o que nos dá A = 26 reais, B = 14 reais e C = 8 reais. Fazer também a solução via "trás-pra-diante",

como no Exercício 5.11.

5.15. Sejam v a velocidade do carro que sai de A e w a velocidade do carro que sai de B (medidas viagem eles se encontram

em metros p/rninuto).

Após t minutos

de

a 720m de A. Então vt = 720 e, chamando

de d a distância entre A e B, temos (com o mesmo t) wt = d - 720. Eliminando t, vem: ~ =

d~~~O'

Seja t' o tempo decorrido desde o inicio

do percurso até o segundo encontro dos carros. Levando em conta os 10 minutos em que cada carro esteve parado, temos v(t' - 10) = d

+ 400

e w(t' - 10) = 2d - 400. Dividindo membro a membro estas duas . ld a d es resu lt a wv -- 2d-400' d+400 C omprovan d o, obt emos d-720 720 d+400 igua 2d-400' Segue-se imediatamente

que d = 1760.

259

10

I

CAPÍTULO

10

FUNÇÕES

AFINS

5.16. Seja t mínimo do tempo gasto pelo pedestre para ir de A a B. Até chegar a B, ele foi ultrapassado

5.19.

por 16 trens (contando com o último,

que chegou junto com ele). Este último trem saiu de A 16 x 3 = 48 minutos após o pedestre, logo levou t - 48 minutos para ir de A a B. Sejam v a velocidade do pedestre e w a dos trens. Então w(t - 48) =

5.20. 5.21.

vt = 3km. Por outro lado, o primeiro trem que cruzou com o pedestre (na direção contraria)

saiu de B 22 x 3 = 66 minutos antes do trem que estava

saindo de B no momento em que chegava o pedestre.

Logo, o tempo

que aquele primeiro trem gastou para ir de B a A foi 66 - t minutos. (Saiu há 66 minutos mas já chegou há t minutos.)

5.22.

Então w(66 - t) =

vt = 3km. Assim, t - 48 = 66 - t, donde t = 57 minutos e t - 48 = 9 minutos. Como w(t - 48) = 3km, segue-se que w =

i!7n = 20km/h.

A veloci-

5.23

dade dos trens é, portanto, 20km por hora. A velocidade do pedestre . t o, ou seja . 5'7 180 k km e, v = 3/t = 573 k m por minu m /h = 60 19 hor a ' 5.17.

a) Desloque o gráfico uma unidade para baixo. b) Idem uma unidade para a direita. c) Imagem refletida do gráfico em torno do eixo Y. d) Duas semi-retas

com origem no ponto (1, -2).

5.24 Uma passa pelo

ponto (0,2) e a outra por (2, O). e) Duas semi-retas

com origem no ponto (~, -1).

Uma passa por

(0,1) e a outra por (2, O). f) Uma figura W, formada a partir do gráfico de j, refletindo a parte que tem y < O em torno do eixo X. g) A parte do gráfico que se tem x > O mais a reflexão dessa mesma parte em torno do eixo Y. h) O gráfico de j, com a parte que tem y < O substituída

pelo inter-

valo [~, 2] do eixo X. 5.18. a)

0;

b) ]R; c) x < 8/3; d) x > 1; e) x E {1,3}; f) -~

g) x = ±~; h) x E [~, 1] U [~, +00).

260

<

x

< ~;

SOIXÇÔES

B. Até

5.19.

DOS EXEnCÍCIOS

l· \i'I:.

x E [0,1) U (-00, -~).

último, 3 = 48

AaB. 48) =

5.20. [8/3,+(0). 5.21.

pontos (-1, O) e (4, O).

= {(x,-2);x::;

b) Assemi-retashorizontaisS

direção

(-1, -2) a B 5.22.

a) O quadrado

= {(x,2);x

-l}eS'

2:

com o segmento de reta que liga os pontos A =

I}, justamente

estava tempo . utos.

a) O ângulo reto com vértice no ponto (~,~) e lados passando pelos

(1,2), os quais são as origens dessas semi-retas.

=

cujos vértices são os pontos A = (1, O), B = (0,1),

C = (-1,0) e D = (O, -1). b) As duas retas y 5.23.

=x+1e

y

= x-L

a) No intervalo [0,3), o gráfico coincide com o da função y = 4x. No intervalo [3, +(0), o gráfico é o da função y = 3, 6x. b) Se J(x) é o preço de x quilos, pede-se o gráfico da função m(x) =

J(x)/x.

Para

°::;x <

(pois x' > 3) portanto 5.24. pelo

3, m(x) é constante, igual a 4, e para x 2: 3,

J(x')

=

4x

=

J(x).

a) O consumidor paga 12 reais pelos três primeiros quilos e 3,6 reais por cada quilo a seguir. Se J (x) é o preço de x quilos então J (x) =

4x para O ::; x ::; 3 e J(x) b) J(x)/x

=

12 + 3, 6(x - 3) para x > 3.

= 4 para O < x ::; 3 e

1,2:3,6X

= 3,6 +

1~2

para x > 3.

41------....,...... esma

3,6

1 - - - - - - - - - -1- - - - - - - - - - 1 1 1 1

inter-

1

3

<

1. 2'

c) 12 + 3, 6(x - 3) = 15 ~

x = 3,83 kg.

261

.

CAPÍTULO

10

FUNÇÕES

5.25. Se f(x) f(x) f(x)

I

AFINS

é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais temos

= O se O ~ x ~ 900, f(x) = O,15x - 135 para 900 < x ~ 1800 e = O, 25x - 315 para x > 1800.

900 5.26.

1800

a) As parcelas a deduzir são 0,1320, 3207,6 e 17468,1. b) 0,26· 5000 = 1300. c) Não.

d) Em cada faixa de renda, devemos ter ax - p = b(x - q) = bx - bq,

5.2~

para todo x. Ou seja: b = a e q = ~. Assim: • Até 8800: b = O, q arbitrário • De 8800 a 17160: b = 15%, q = 8800 • De 17160 a 158450: b = 26%, q = 12336,92 • Mais de 158450: b = 35%, q = 49908,86. e) Inicialmente,

calculamos o IR nos pontos de mudança de faixa: Renda

LR

8800

O

17160

1254,24

158450 37983,40 Logo, um IR igual a R$ 20.000,00 é pago na faixa de tributação de 17160 a 158450. A renda correspondente 3207,60 = 20000, ou seja, é igual a R$ 89.260,00. 5.27.

a) O, {

< 19; se 20 < n < 49;

1On, se 1 < n

0,08n, 0,06n,

262

se n ;:::: 50.

satisfaz O, 26x -

5.29

SorXÇ'ÔES

20

DOS EXEHCÍCIOS

50

b) A distorção consiste no fato de que é mais barato fazer, por exemplo, 20 cópias (R$ 1,60) do que 19 cópias (R$ 1,90), Uma escala mais razoável seria: • 0,10 por cópia, pelas primeiras 19 cópias. • 0,08 por cópia adicional, até 49 cópias. • 0,06 por cópia adicional, a partir da 50ª cópia. 5.28.

a) Procuremos, separadamente,

as soluções x ~ 2 e as x ::; 2. Se

x ~ 2 a equação dada é x - 2 = 2x - 1, logo x = -1.

Portanto

não há soluções x ::; 2. Se x ::; 2 então temos 2 - x = 2x - 1, logo x = 1, que é menor do que 2. Portanto a solução é x = 1. b) Novamente, separamos os casos. Se 3x - 6 ~

então a equação é 3x - 6x 3x - 6 ::; x

°

+ 3, donde

°

(isto é, se x ~ 2)

x = 4,5, uma boa solução. Se

(ou seja, x ::; 2) então ficamos com 6 - 3x = 3, donde

= 3/4, que também serve, pois 3/4 < 2. Portanto a equação

dada admite duas raízes: 9/2 e 3/4. c) Se x ~ 2 então temos x-2

= x-3,

sem solução. Se x::; 2, ficamos

com 2 - x = x - 3 e daí x = 2,5, que é maior do que 2. Logo a equação dada não tem raízes. 5.29.

a) Se a ::;x ::; c, f(x) Se c::; x ::; d, f(x)

= ~[d - c - x + c + x - d] = O. = %[d - c + x - c + x - d] = o-(z - c).

= D temos a(d - c) = D, ou seja, a = d~c' Se d::; x ::; b, f(x) = %[d - c + x - c - x + d] = a(d - c) = D.

Como f(d)

O segundo caso é análogo. b) Se a função poligonal

f : [a, b] ---+

IR é afim em cada um dos in-

tervalos [ti-i, ti], com a = to < ti < ... < i; = b, afirmamos que

263

C\\I'Í'ITLO

m

CAPÍTULO ,

10

FUNÇÕES

f

•

AFINS

= C+CPl +

.. ·+CPn, onde c

=

f(a)

e cada CPi : [a, b] ---t ffi. é a função-

rampa igual a zero no intervalo [a, ti-I] intervalo [ti, b].

No caso da função

e igual a f(ti)

f

- f(ti-1)

no

cujo gráfico é a Figura 24,

temos c = O e f = CPl + CP2 + CP3, onde as funções-rampa

CPl, CP2, CP3

têm os seguintes gráficos: 5.31.

-1

4

1

5.32.

-1 5.33

-1 c) A primeira

4

observação

Quanto à função

f

resulta imediatamente

dos ítem a) e b).

da Figura 24, o ítem a) nos diz que 1

CPl(X) = 2(1 1

CP2(X) = 2(1 1

6,]

+ Ix + 11-lxl) + Ixl

e CP3(X) = 2(1 +

Ix -

-

Ix 11-

11)

Ix -

41)

Portanto

5.30. Seja

f (x)

(ai, a2,···,

=

rb X Ta

an)

+ b1 -

rb Ta

1C

ai, sendo r a e rb as razões das progressões

e (bl, b2, ... ,bn, ... ), respectivamente.

A função f é

SOLUÇÕES

=

afim e f(an) bl

+ (n

rb

~

an +bl

-

rb

~

aI

=

rb

~

(an

DOS EXERCÍCIOS

+bl =

-aI)

rb

~

[(n-1)ra]

CAPÍTULO

+bl =

- 1 )rb = bn.

A unicidade é obvia pois só existe uma função afim f tal que f(al) . e f(a2)

=

=

bl

b2·

5.31. Para x quilômetros, A cobra 100 + x reais e B cobra 200 + O, 8x reais. O preço de B será menor que o de A para 200

+ O, 8x

< 100 + x, ou

seja, para x > 500. Para quilometragem superior a 500km, B é mais vantajosa. Para quilometragem inferior a 500km, A é mais vantajosa. 5.32. A afirmacão feita decorre o fato de que, para

ti

E Z, tem-se

racional se, e somente se, x é racional. Evidentemente, a função

ti .

f

x

não

é monótona. 5.33. Para todo x E ]R, como sen [27r(x

f(x+ 1)- f(x)

=

+ 1)]

(27rx), segue-se que 7, portanto a seqüencia f(x), f(x+ 1), ... ,f(x+n), ... = sen

é uma progressão aritmética de razão 7. A maneira mais rápida de ver que

f

é crescente é usar o Cálculo Diferencial.

A derivada de

f

é

f'(x) = 7 + 27r . cos(7rx). Como 127r. cos(7rx)I :::; 27r < 7, tem-se f' (x) > O para todo x, logo f é crescente.

10.6

Funções Quadráticas

6.1. A função procurada é f(x)

= a(x-m)2+k.

Cabe-nos achar os valores

de a, me k usando os dados da figura. Em primeiro lugar, a ordenada do vértice da parábola é 9 - 8

=

1, logo f(x)

= a(x -

m?

+ 1.

Como

a figura é o gráfico de uma função quadrática, o eixo da parábola é paralelo ao eixo y do sistema de coordenadas que está subentendido no enunciado do problema. Assim, num novo sistema de coordenadas

(X, Y) onde o eixo Y coincide com o eixo da parábola e o vértice da mesma tem coordenadas (0,0), a equação da parábola será Y = aX2, com o mesmo coeficiente a. Pela figura, vemos que X = 2

=}

Y = 8

logo 8 = a . 2 e daí a = 2. Assim, a função que buscamos é do tipo 2

f(x)

= 2(x - m)2

+ 1.

Olhando novamente para a figura como gráfico

265

10

C.\PÍ1TLO

10

FUNÇÕES

Qcr.-\DRr\TICAS

I

de f no sistema de coordenadas original, vemos que f(1) nos diz que 2(1 - m)2

+1=

=

9. Isto

9. Esta equação mostra que m = 3 ou

m = -1. Mas m é a abscissa do vértice, o que está à esquerda do ponto

(1,9). Logo deve ser m = -1. Mas m é abscissa do vértice, o qual está à esquerda do ponto (1, 9). Logo deve ser m = -1. Assim, a função quadrática procurada é f(x) 6.2.

a2

>Oe

= 2X2+4x+3.

ou seja, f(x)

> O pois a primeira está com a concavidade para baixo as outras estão com a concavidade voltada para cima. CI > O, C2 < O e C3 > O, pois c = f(O) e a primeira e a terceira parábola aI

< O,

= 2(x+l)2+1,

6.6.

a3

cortam o eixo vertical em sua parte positiva e a segunda o faz na parte negativa.

Como a abscissa do vértice é -

b 2 a'

a e b têm sinais

iguais quando a abscissa do vértice é negativa e têm sinais contrários quando a abscissa do vértice é positiva.

Portanto a e b têm sinais

contrários na primeira e na terceira parábola e têm sinais iguais na segunda parábola. Logo, bl > O, b2 > O e b3 < O. 6.3.

= x2 - 8x + 23 = x2 - 8x + 16 + 7 = (x - 4)2 + 7. Não há raízes reais, o eixo de simetria é a reta x = 4 e o valor mínimo é 7.

a) f(x)

= 8x - 2X2 = -2(x2 - 4x) = -2(x2 - 4x + 4 - 4) = 2[(x2)2 - 4] = -2(x - 2? +8. O eixo de simetria é a reta x = 2, o valor

b) f(x)

máximo é 8 e as raízes são os valores para os quais (x - 2? = 4, ou seja, x - 2 = ±2. As raízes são

Xl

= 4 e X2 =

o.

6.4. Uma homotetia (semelhança) de razão k (e centro na origem) transforma o ponto (x, y) no ponto (X, Y) = (kx, ky) e transforma a pa-

(I)

rábola y = ax2 na parábola ~ = as parábolas y =

ax2

lhança é k tal que ai

ey = =

I'

alx2

2,

ou seja, Y =

IX2.

Portanto,

são semelhantes e a razão de seme-

ou seja, k

=

;1.

Logo, as parábolas do

problema são semelhantes entre si. Como qualquer parábola pode ter equação da forma y = ax2, bastando para isso escolha convenientemente o sistema de eixos, conclui-se que quaisquer duas parábolas são semelhantes entre si. 6.5. Trace a bissetriz do primeiro quadrante.

Isso pode ser feito porque

não depende da escala dos eixos. O ponto de intersecção (distinto da

266

6.

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS

origem) da bissetriz com a parábola

é (0,5; O, 5).

CAPÍTULO 10

Dobre a abscissa

desse ponto e você obterá a unidade procurada. 6.6. O vértice da parábola y =

X2

ponto mais baixo do gráfico.

4x

-

+3

é (2, -1),

que corresponde

ao

É claro que quando mais afastado do

vértice estiver um ponto, mais alto ele estará. Em [1,4], o mínimo ocorre em x = 2 e é igual a -1; o máximo ocorre em x = 4 e é igual a 42 - 4 . 4 + 3 = 3. Em [6,10], o mínimo ocorre em x = 6 e é igual a 62 - 4 . 6 + 3 = 15; o máximo ocorre em x = 10 e é igual a 102 - 4 . 10 + 3 = 63. 6.7.

a) Provemos inicialmene que, se Xl

i=

então

X2,

(Xl !X2)

2

< xi;x§.

Ora,

i= X2· Se Xl i= X2

se Xl

e a > O então

+c
XI+X~ 2

+

b(XI+X2) 2

+c

(axI + bXI + c) + (ax~ + bX2 + c) 2

b) Provemos inicialmente

que, se Xl

i= X2 e O

< a < 1, então [axI +

(1 - a)x212 < aXI + (1 - a)x~.

= (a - a2)xI - 2a(1 > O se Xl i= X2 e O < a < 1.

Ora, aXI + (1 - a)x~ - [axI + (1 - a)x2P

a)xlx2+(a-a2)x~ Se Xl

i= X2,

= a(l-a)[xl-x212

O < a < 1 e a > O, f[aXI

+ (1 - a)x21 = a[axI + (1 -

a)x2P + b[axI + (1- a)x21 + c < a[axI + (1 - a)x~l + b[axI + (1 a)x21 + c = aaxI + abXI + ac+ (1- a)x~ + (1- a)bx2 + (1- a)c = af(xI) + (1 - a)f(x2).

267

C.\PÍTl'LO

10

FeNçÕES

•

QFADRATICAS

6.8. Solução 1

Se a = 2p

+ 1,

b = 2q

+1

e c = 2r

1) - 16pr - 8p - 8r - 3. Observe que

+ 1 então b2 - 4ac = q(q + 1) é um produto

4q (q + de dois

inteiros consecutivos e, de dois inteiros consecutivos, sempre um deles é par. Então 4q( q número -16pr

+ 1)

é multiplo de 8. também é multiplo de 8 o - 8p - 8r. Logo, b2 - 4ac é 3 unidades menor que um

múltiplo de 8, ou seja, é um número que dividido por 8 da resto 5. Se um número dividido por 8 der resto O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, seu quadrado dividido por 8 dará resto O, 1,4, 1, O, 1,4, 1, respectivamente. Nenhum quadrado perfeito dá resto 5 quando dividido por 8. Logo, b2 - 4ac

6.10.

não é quadrado perfeito e as raízes não podem ser racionais.

Solução 2

Suponhamos que a equação ax2 Seja

E q

+ bx + c =

O admita uma raiz racional.

a fracção irredutivel que é igual a essa raiz. Como

E q

satisfaz a

equação, subsitutindo e simplificando obtemos ap2

+ bpq + cq2

números p e q não podem ser ambos pares, pois

é irredutível. p e q

E q

= O. Os

não podem ser ambos ímpares, pois a soma de três números ímpares, ap2

+ bpq + cq",

não pode ser igual a zero. Então um dos números p e q 6.11.

é par e o outro é ímpar. Nesse caso, duas das parcelas de ap2+bpq+cq2 serão pares e a outra será ímpar, o que fará com que a soma seja ímpar. Isso é absurdo pois ap2

6.9.

a)

n+ 1.

+ bpq + cq2

=

O.

Cada nova reta que se traça começa criando uma nova região

e cria uma nova região após cada interseção com cada uma das

ti

retas já traçadas. b) Rn+l = Rn

+ ti + 1.

Como Rn+ 1- Rn =

ti

+ 1 forma

uma progressão

aritmética, Rn é dado por uma função polinomial do segundo grau em n.

6.12.

SOLUÇÕES

DOS EXERCÍCIOS

CAPÍTULO

+ (Rn-l - Rm-2) + ... + + (R3 - R2) + (T2 - RI) + RI =n + (n - 1) + ... + 3 + 2 + RI = (n + 2)(n - 1) + RI

Rn =(Rn - Rn-l)

2

n +n ---2

- 2

2

6.10. Cada nova circunferência ferências já traçadas

=

Rn

+ 2n.

2

que se traça intersecta cada uma das circun-

em 2 pontos e, após cada interseção com cada

uma das n circunferências Rn+l

n2 + n + 2 + 2 = ----

já traçadas,

cria uma nova região.

Logo

Daí

+ (Rn-l - Rn-2) + ... + + (R3 - R2) + (R2 - R d + RI =2(n - 1) + 2(n - 2) + ... + 4 + 2 + RI [2(n - 1) + 2](n - 1) = = n2 - n + rI = n2

RI =(Rm - Rn-l)

2

6.11. Seja j(t)

-

n

+ 2.

a posição, em metros, no instante t segundos.

Temos j(t)

= ~at2 + bt + c. Como j(O) = 17, j(10) = 45 e j(20) = 81,

obtemos o sistema { ~O~ ~\Ob

200a

+c=

45

. Substituindo

c = 17, ob-

+ 20b + c = 81

50a + 20b = 28 { 200a + 20b = 64 . Subtraindo da segunda equação o quádruplo da primeira, obtemos -20b = -48, b = 2,4. temos

Substituindo,

resulta a = 0,08. Temos j(t)

Daí, j(5) = 30, j(15)

= O, 04t2 + 2, 4t + 17.

= 62 e j(25) = 102.

6.12. Se j(t) é a posição no instante t, temos j(O) = O, j(l)

269

= 30, j(2) = 55,

10

CAPÍTULO

10

FUNÇÕES

f(3)

=

QUADRÁTICAS

f(t)

75. Se a força for constante,

c=O

a

4a + 2b + c = 55 9a + 3b + c = 75

4a

a = 2,5

at2,+ bt

c=O

+ b + c = 30

a

=

b = 32,5

+c c=O

+b=

1 + b = 30

30

+ 2b = 9a + 3b =

2a =-5 6a = -15

55 75

c = O.

6.14. a) Como o sistema tem solução, os dados são compatíveis com a hipótese da força constante. b) f(t)

=

-2,5t2

+ 32, 5t.

Daí, f(5)

=

-2,5

. 25

+ 32,5

. 5 = 100.

Está a 100m do ponto onde começou a frenagem.

+ b = -5t + 32,5.

c) A velocidade é f(t) = 2at quando t = 6,5.

A velocidade é nula

O veículo demora 6,5 segundos para chegar ao

repouso.

6.13.

d) f(O)

=

a) (x x n )x

+ (x - X2)2 + ... + (x - xn)2 = nx2 - 2(Xl + X2 + ... + + (X21 + X22 + ... + X2)n é mínimo para x = _.2.. 2a = X +X +··+x n

32,5 rrr/seg.

Xl)2

1

b) Suponhamos Ix-x21+·

que

Xl ::;

+Ix-xnl

X2 ::; ...

::; x.; A função f(x)

2

n.

= Ix - xII +

é uma função poligonal, cujo gráfico é formado

por segmentos de reta tais que dois segmentos consecutivos tem um vértice em comum.

Para x ::;

iguais a (z, - X); portanto, para x ::; a

IXl -

Xl.

Para

Xl ::;

Xl,

todos os valores absolutos são

a inclinação do gráfico é igual a -n,

X ::; X2, o primeiro valor absoluto é igual

z], sendo os demais iguais a Ix - z], para i = 2, ... , n.

Logo, a inclinação é igual a -n

+ 2,

neste intervalo.

é ímpar, a inclinação troca de sinal (passando ponto mediano X(n+l)/2; neste ponto. [Xn/2' X(n/2)+1];

Quando logo, f(x)

Quando

6.15

ti

de -1 para 1) no

logo, a função assume seu valor mínimo ti

é par, a inclinação é nula no intervalo é mínimo em cada ponto deste intervalo.

Os gráficos abaixo ilustram estas duas situações.

270

6.16

SOLUÇÕES

!

6.14.

DOS EXERCÍCIOS

)

I

CAPÍTULO

)

a) Se os lados são x e y (medidos em centímetros), temos, pela semelhança dos triângulos brancos,

=

60;Y

80~x'

Daí, 3x

y = 60 - ~x. A área é xy = x(60 - ~x) = _~X2 para x = -

;a

= 40. Nesse caso,

y

+ 4y =

+ 60x

240 e

e é máxima

= 30. O retângulo da maior

área tem lados iguais a 40cm e 30cm e área igual a 1200 em". b) Na segunda figura, seja x o lado do retângulo apoiado na hipotenusa e y o outro lado. h = ~ = mos xy =

x 100

-

A altura do triângulo retângulo é

6~~gO =

48cm. Usando semelhança de triângulos, teD'ai, Y -- 48(100-x) A' area d o re tâangu lco e 100' . " ,cUJO va 1or máximo ocorre para x = 50 cm, com

48-y ~

48x(100-x) 100

é

área igual a 1200cm2. A conclusão é que os dois modos de apoiar o retângulo sobre um dos lados do triângulo conduzem a triângulos com a mesma área máxima (igual à metade da área do triângulo). É possível demonstrar que, caso o retângulo não se apóie sobre um dos lados, sua área será menor que esta metade. Assim, para obter retângulos de área máxima é realmente necessário apoiar um de seus lados sobre o contorno do triângulo. 6.15. Se os lados são x e y, temos 2x xy = x(80 - 2x) = _2X2 x =

b

-2 a

= 20. Daí,

y

+y =

+ 80x

80, y = 80 - 2x.

e deve ser máxima.

A área é

Devemos ter

= 80 - 2 . 20 = 40. A cerca deve ter os

lados perpendiculares ao rio medindo 20 metros e o lado paralelo ao rio medindo 40 metros. 6.16. No instante t, Q está em (O, t) e P está em (2t - 2, O). A distância PQ satisfaz PQ2 = (2t - 2)2 + t2 = 5t2 - 8t + 4. PQ será mínima quando

271

10

CAPÍTlTLO

10

FUNÇÕES

QUADRÁTICAS

o for. Isso ocorre no instante t = -

(PQ?

temos PQ2 = 0,8 e PQ = Jü,8 = 6.17. z = x2

+ y2 =

x2

+

e2~3X)

2

= 1, 44. Neste caso, 1,442 + 1,922 = 5,76.

y

x

= -

;a

2r.

b 2a

= 0,8. Para

t

= 0,8

= i~X2 - ~x + 9 será mínimo para = 1,92. O valor mínimo procurado é

Outro modo:

12 12, o ponto (x, y) pertence à reta desenhada. x2 + y2 é o quadrado da distância do ponto (x, y) à origem. x2 + y2 será mínimo Se x

+ 4y

=

quando o ponto (x, y) for o ponto da reta situado mais próximo da

6.2

origem, isto é, quando o ponto (x, y) for o pé da perpendicular baixada da origem à reta. Nesse caso, o valor mínimo de X2+y2 será o quadrado da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo formado pela

6.

reta com eixos coordenados. Os catetos são 3 e 4, a hipotenusa é 5 e a altura h satisfaz ah = bc, 5h = 3x4 = 12. h = 2,4 e a resposta é h2 = 5,76. 6.18. Se x passageiros ocupam os lugares, a receita da empresa é 800x + 10(100 - x) = -10x2 + 1800x. A receita será máxima para x = =

;a

6.2

90 6.19. Reduzindo t reais no preço da caixa, ele venderá 300+40t reais cada, arrecadando R = (300 + 40t) (20 - t) = -40t2 A receita será máxima se t = -

;a = 6,25.

caixas a 20-t

+ 500t + 6000.

O preço deve ser 20-6,25

=

13, 75 reais para que a receita seja máxima. 6.20. Se o preço unitário é p, quem compra x balas paga, sem desconto, px Com desconto o preço pago é px(l

- l~O) = px - 1~OX2.

6.'

SOLUÇÕES

o gráfico

DOS EXERCÍCIOS

do preço pago em função de x é um arco de parábola.

y

40

50

60

X

Todos os que compraram entre 40 (inclusive) e 50 balas poderiam obter mais balas pelo mesmo preço. A resposta é Daniel. 6.21. Reduzindo t reais, são vendidos 300 e a receita é de (300+100t)(9-t) será máxima para t

=-

b

2a

=

=

+ 100t

ingressos a 9 - t reais cada

2

reais. A receita

100(-t +6t+27)

3. O preço deve ser 4 reais.

6.22. O vértice da parábola y = 21x - x2, que é o ponto mais alto do gráfico, é um ponto de abscissa x = -

;a = 10,5.

estiver o ponto, mais alto estará.

Como

Quanto mais perto do vértice ti

deve ser inteiro, os pontos

de abscissa inteira que estão mais próximos do vértice são n = 10 e ti

=

11. Em ambos, o valor de 21n - n2 é 110.

6.23.

6.24.

a) x2

-

5x

+6=O

equivale a x = 2 ou x = 3. O conjunto é formado

pelos pontos de duas retas verticais.

273

CAPÍTULO

10

I

CAPÍTULO

10

FUNÇÕES

•

QUADRATICAS

b) Parábola. 6.25. Fazendo x2 = y, obtemos y2 + y - 20 > O. Daí, y < -5 ou y > 4, isto é, x2 < -5 ou x2 > 4. A primeira alternativa é absurda. Logo, x2 > 4, x2 - 4 > O. A resposta é x < -2 ou x > 2.

= 1(0)

C

{ c = 1(0) ; a + b = 1(1) - 1(0)

+ b + c = 1(1) 4a + 2b + c = 1(2)

6.26.

a

{

+ 2b =

1(2) - 1(0)

6.31.

= 1(0)

C

a {

4a

+ b = 1(1)

- 1(0)

2a = 1(2) - 21(1)

+ 1(0)

1(0) b = 1-3(0)+4f(I)- f(2) D'ai, a = 1(2)-2f(I)+ 2' 2'

C

= 1(0)

.

6.27. Se o quilo custa 12 + t reais, serão vendidos 10 - 5t quilos e a receita será (12+t)(100-5t) = -5t2+40t+1200 reais. A receita será máxima b 2a

para t = -

= 4. O preço deve ser 16 reais.

6.28. Se os lados são 3t e 4t, o imposto é 7 . 3t . 4t 84t2 - 840t

+ 2500

+ 2500

- 60 . 14t

b

e será mínimo para t = - 2 a = 5. Os lados devem medir 15 e 12 metros. O imposto de 84.52 - 840·5 + 2500 = 400 reais. 6.29. Uma forma de resolver o problema do retângulo, 2

(x + ;).

cujo perímetro

Normalmente,

é expresso, então, pela função I(x)

o valor mínimo de

de Cálculo, assunto normalmente Médio. Alternativamente,

é designar por x um dos lados

1 é obtido

=

através do uso

não conhecido pelos alunos do Ensino

designemos por 2p o perímetro.

Os valores

íveis dee ZP sao - aque Ies para os quais is o SIS sist ema {x+y=Pt pOSSlVelS em xy = a solução ou, equivalentemente, a equação x(p - x) = a (ou seja, x2 px p ~

+a

=

O) tem solução. Deve-se ter, portanto, p2 - 4a ~ O, isto é,

2va. Logo, o valor

mínimo do perímetro é

6.30. Tem-se y = vfX se e somente se y2 =

X

4va.

e y ~ O. Logo, o gráfico de

y = vfX é formado pelos pontos da parábola y2 = x situados acima do eixo dos x ou sobre ele.

II!I f-h.

274

6.32.

SOLUÇÕES

DOS EXERCÍCIOS

CAPÍTULO

y

x 6.31. Chamando

Fx

de y, obtemos a equação de segundo grau y

+m

=

u',

ou seja, y2 - Y - m = O. Essa equação em y terá duas raízes reais diferentes quando seu discriminante zx = 1 + 4m for positivo, ou seja, quando m > -

i. Cada

raiz

em y que seja maior que ou igual a zero dará uma raiz para a equação em x e cada raiz negativa da equação em y é igual a -m e a soma das raízes da equação em y é igual a 1. Portanto: i) m > O. A equação em y tem duas raízes de sinais contrários. ii) m iii)

iv) v)

= O. A equação em y tem uma raiz nula e uma raiz positiva.

-i < m < O. A equação em y tem duas raízes positivas distintas. m = -i. A equação em y tem duas raízes positivas iguais. m < -i. A equação em y não tem raiz real.

Logo: a) tn > O. A equação em x tem uma única raiz. b) c) d)

-i < m < O. A equação em x tem duas raízes. m = -i. A equação em x tem uma única raiz. m < - i. A equação em x não tem raiz real.

6.32. Se d é o diâmetro,

é 1fd e a área é

o perímetro

7r~2.

O preço de A é

a = 51fd + 151fd+200 e o preço de B é f3 = 4, 51fd +201fd+600, 2

2

d > O. A é mais vantajosa

quando f3 - a = -O, 51fd2

+ 51fd + 400 >

O. Este trinômio tem duas raízes de sinais contrários; compreendido

entre elas e ser positivo.

5 + )25

~

+

8~O

21,72 metros.

275

sendo

d deve estar

Logo, devemos ter O < d <

10

CAPÍTULO

10

FUNÇÕES

QUADRÁTICAS

= 4, 57rd2 + 207rd + 400 e f3 = 57rd2 + 107rd + 150. A é mais vantajosa quando f3 - Ct = 0,57rd2 - 107rd - 250 > O. Este

Na outra situação,

Ct

trinômio tem duas raízes de sinais contrários;

d deve ser exterior ao

intervalo das raízes e ser positivo, isto é, d > 10 +

J

100 +

5~O ~

26, 10

metros.

+ by =

+ ~'

Os valores de 8 são positivos quando x > O e negativos quando x < O. temos ax2 - So: + be = O. O discriminante

6.33. 8 = ax

ax

deve ser maior que ou igual a O.

Portanto,

82

-

4abe 2: O.

Daí,

82: 2v'Q,bC ou 8::; -2v'Q,bC. Para x > O,o menor valor de 8 é 2Vabe. 6.34. Sejam 1, e, h as dimensões, em metros, do buraco. Devemos ter l·e·h 300. O custo é y = 10e = 30h = 10e 2

Temos lOe

-

ye

+9=

9000

=

+ 90cOO.

=

e.

Como e > O, temos y > O.

O. O discriminante

deve ser maior que

y2 - 260000 2: O e, como y > O, y 2: 600. O

ou igual a O. Portanto,

custo mínimo é 600 reais. Se y = 600, lOe2

-

600e

+ 9000 =

O e e = 30

metros. Se e = 30, h = 10 metros.

6. 6.35. Um empresário entrou com o capital x e trabalhou o outro investiu 100 - x e trabalhou lucros foram respectivamente

2 dias por semana;

três dias em cada semana.

99 - x e 99 - (100 - x) = x-L

de cada um por dia de serviço é (99 - x)/2 e (x - 1)/3.

Seus

O lucro Cada real 6

aplicado rendeu, por dia de serviço, o lucro

a igualdade traduzindo

99 - x

x-I

2x

3(100-x)'

a equitatividade 2

chegamos à equação x

-

595x

da sociedade.

+ 29.700

Simplificando,

= O, cujas raízes são 55 e

540. Como 540 > 100, o valor de x que responde a questão é x = 55. Portanto OBSERVAÇÃO.

um sócio entrou com 55 mil reais e outro com 45 mil.

1. Se chamarmos de x o capital investido pelo sócio que trabalhou dias por semana, teremos 99 -x

x-I

2(100 - x)'

3x

276

3

SOLCÇÕES

+ 395x

o que levará à equação x2

DOS EXERCÍCIOS

CAPÍTCLO

- 19.800 = O, cujas raízes são 45 e

-440. Como o problema não comporta resposta negativa, devemos ter x

= 45 e o outro sócio entrou com 100 -

= 55 mil reais

x

2. A primeira solução é, do ponto de vista didático, preferível porque mostra que às vezes a raiz que não serve pode também ser positiva. 3. Ao resolver este problema deve-se ter o cuidado de observar que 99 mil reais não é o lucro de cada empresário e sim a soma do capital que ele investiu mais o lucro.

li!v horas e = 144-v2; v2-2v-24 = O.

6.36. Se a velocidade da corrente é v, os tempos gastos são

li!v

i!~=~~

12~V

horas. + 12~V = 2; = 2; 120-2v A única raiz positiva é 6. A velocidade da corrente é 6km/h e os tempos

são 12/18 h = 2/3 h = 40 min (a favor da corrente) e lh20min (contra a corrente). 6.37. Com x alunos, a parte de cada um seria 405/x alunos, cada um dia daria 405/(x Eliminando

denominadores

- 2) raiz. Então ;~~ x2

e simplificando:

Com x - 2

reais. -

=

4~5

+ 1,2.

2x - 675 = O. A

única raiz positiva desta equação é 27. Logo a turma tinha 27 alunos. 6.38. Os pontos do gráfico são da forma P = (x, x2). parábola, a distância P F deve ser igual a x2

+ t, que

Pela definição de é a distância de P

-2

= (x2 + (x2 - t))2 = (x2 + t)2. Efetuando e simplificando obtemos imediatamente t = 1/4.

à reta y = =i: Tomando os quadrados temos P F

10.7

Funções Polinomiais

7.1. Se P(x)

= anxn + an_lXn-1 + ... + alX + ao, com a-;

bpxP + bp_1xP-1 P(x) - p(x)qo(x) igual a

ti -

Pondo P(x)

+ ... + b1x + bo,

com bp

(an-l - ~:bp_l)Xn-l

=I=-

+ ...

=I=-

O e p(x)

O, tome qo = ~:xn-p. tem grau no máximo

1.

- p(x)qo(x)

para desempenhar

o papel de P(x),

que existe um polinômio ql(X) tal que P(x) - p(x)qo(x)

277

vemos

- P(X)ql(X)

=

10

CAPÍTULO

FUNÇÕES

10

I

POLINOMIAIS

+ ql(X)]

P(x) - p(x)[qo(x)

tem, no máximo, grau n - 2. Prosseguindo,

vemos que existe um polinômio q(x)

=

[qO(X)+ql(X)]+··

·+qn-p(x)

tal

que P(x)

P(x)

- p(x)q(x) tem grau, no máximo, igual a p - 1. Chamando - p(x)q(x) de r(x), está provado o que se queria demonstrar.

7.2. Se P(x)

= p(X)ql(X)

+ rl(x)

de rl(x)

e de r2(x)

ambos menores que o grau de p(x),

traindo, p(X)[ql(X) identicamente

= p(X)q2(X)

e P(x)

- q2(X)] = r2(x) - rl(x).

+ r2(x)

com os graus temos, sub-

Se ql(X) - q2(X) não for

nulo, o grau do primeiro membro será igual a ou maior

que o grau de p( x), ao passo que o grau do segundo membro será menor que o grau de p(x). seja, ql(X) = q2(X).

rl(x) 7.3.

7.5

Logo ql(X) - q2(X) é identicamente

Substituindo,

obtemos O = r2(x)

- rl(x),

7.{

nulo, ou ou seja,

= r2(x).

a) Se o: é raiz simples de p(x) então p(x)

(x-o:)q(x), com q(o:) O. Daí, p(o:) = (o: - o:)q(o:) = O e, como p'(x) = (x - o:)'q(x) + (x o: ) q' (x) = q (x) + (x - 0:) q' (x), p' (0:) = q (0:) O. =

-I-

-I-

b) Se p(o:) = O e p'(o:)

p(x) e, como p'(x) q(a) = p'(a) o.

(x - o:)q(x) pois o: é raiz de (x-o:)'q(x)+(x-o:)q'(x) = q(x)+(x-o:)q'(x),

-I-

=

O, então p(x)

=

-I-

= (x-o:)2q(x), com q(o:) O. Daí, p(o:) = (o: - o:)q(o:) = O e, como p'(x) = [(x - o:)2l'q(x) + (x0:)2q'(X) = 2(x - o:)q(x) + (x - 0:)2q'(X) e p"(x) = 2q(x) + 4(x o:)q'(x) + (x - 0:)2q"(X), p'(o:) = O e p"(o:) = 2q(0:) O.

c) Se o: é a raiz dupla de p(x) então p(x)

-I-

-I-

d) Se p(o:) = p'(o:) = O e p"(o:) o: é raiz de p(x)

q(x)

-I-

e como p'(x)

+ (x

O, então p(x) =

(x - o:)'q(x)

= (x - o:)q(x) pois

+ (x

- o:)q'(x) = O; logo o: é raiz de q(x) e

- o:)q'(x), q(o:) = p'(o:) = portanto, q(x) é divisível por (x - 0:), o que garante a existência de um polinômio ql(X) tal que q(x) = (x - o:)ql(X). Então p(x) = (x - o:)q(x) = (x - 0:). (x - o:)ql(X) = (x - o:)2ql(X); como p'(x) = [(x - o:)2l'ql(X) + (x - o:)2q~(x) = 2(x - o:)ql(X) + (x - o:)q~(x) e p"(x) = 2ql(X) + 4(x - o:)q~(x) + (x - o:)2qnx), p"(o:) = 2q(0:), q(o:) = ~p"(o:) o. -I-

7.4. Errado.

Se p(x)

= x2 - 1, temos p'(x) = 2x. O é raiz simples de p'(x)

278

7.

7.

SOLUÇÕES

DOS EXERCÍCIOS

CAPÍTCLO

mas não é raiz dupla de p(x). 7.5. (x) =2 (x - 1)(x - 3)(x - 4) 1 (x - 2)(x - 3)(x - 4) P (2-1)(2-3)(2-4) + (1-2)(1-3)(1-4) (x - 2)(x - 3)(x -4) (x - 2)(x - 3)(x - 4) + 4 (1 _ 2)(1 - 3)(1 - 4) + 3 (1 - 2)(1 - 3)(1 - 4) 4 3

= - -x 7.6. Seja p(x)

3

+ 10x 2 -

65 -x 3

+ 15.

= anxn + an_IXn-1 + ... + alx + ao e suponhamos an > O.

Seja k o maior dos números laol, lall,···,

lan-ll.

Sex> 1, lan_IXn-I+···+alx+aol::; lan_Ilxn-I+···+lallx+laol::; lan_Ilxn-I+ .. ·+Iallx+laol ::; Iklxn-l+ .. ·+kxn-l+kxn-l = nkxn-l. Se tomamos um valor para x que, além de ser maior que 1, seja também maior que nk, teremos x > nk, anx > nk, anxn > nkxn-l > lan_IXn-1

an

an

+ ... + alX + aol, p(x) > O.

Se x < -1, lan_IXn-1

+ ... + alx + aol ::; lan-ll . Ixln-l + ... + lall .

Ixl + laol ::; klxln-l + ... + klxln-l = nklxln-l.

Se tomarmos um valor

para x que, além de ser menor que -1, seja também menor que _ nk, a n < -nkxn-l teremos x < - nk, anx < -nk, anx (como n é ímpar, an xn-l é positivo), lanxnl > nklxln-l (na desigualdade anterior os dois membros são negativos; de dois números negativos, o menor é o que tem maior módulo), lanxnl > lan_IXn-1 + ... + alX + aol e, como anxn é negativo, p(x) < O. Caso fosse a.; < O, bastava aplicar a conclusão ao polinômio -p(x).

< O e P(X2) > O, existe Xo compreendido entre Xl e X2 tal que p(xo) = o. Pela continuidade

do polinômio,

se P(Xl)

7.7. 1 não é raiz do polinômio pois p(l)

=

n + 1 =I- O. Se x =I- 1, p(x)

=

Xnx+~~l. Como n é par, não existe x real, x =I- 1, tal que xn+l = 1. Logo, p( x) =I- O também para todo x real diferente de 1. 7.8. Obtém-se Xo = 3; Xl = 2,333; X2 = 2,238; X3 = 2,236; X4 = 2,236. Como 2,2362 < 5 e 2,2372 > 5, a resposta é 2,236.

279

10

CAPÍTULO

10

FUNÇÕES

EXPONENCIAIS

E LOGARÍTMICAS

a raiz real de p(X) = X2 - a. A fórmula do método

7.9. Devemos determinar

•

de Newton é P(Xn) n Xn+l = X - p'(xn)

= Xn -

No caso a = 2, fórmula fica Xn+l = ~Xn obtém-se 1,25993

x~ - a 2 3x; = 3Xn

+ 3~~.

+

a 3x;·

Começando com

Xo

= 1,

= 1,3333; X2 = 1,2639; X3 = 1,2599; X4 = 1,2599. Como < 2 e 1,26003 > 2, a aproximação de .ij2 com 4 decimais Xl

exatas é 1,2599.

10.8

Funções Exponenciais e Logarítmicas 8.4

8.1. Podemos admitir que a ponta do lápis é um disco com raio de O,Olcm. O gráfico tocara o eixo horizontal

sempre que 2X <

num ponto (x,2X)

0, OOlcm, ou seja quando z-log 2 < log 0,01, donde x < log 0,01/ log 2 = -log 100/ log 2. tomando logaritmos de base 10, temos log 100 = 2 e

8.5

log 2 = 0,301. Então o gráfico tocará o eixo horizontal nos pontos de

8.6

abscissa x < -6, 644cm. 8.7

cp(t) = f(l, t). t) = f(l, s + t) = f(f(l, cp(s) . cp(t). Pelo Teorema segue-se que, pondo a = para todo t E R Daí f(b,

8.2. Ponhamos

8.3. A propriedade

Então cp é estritamente

s), t) = f(f(l,

monótona

s) . 1, t) = f(l,

de Caracterização

=

+

s) . f(l, t) =

da Função Exponencial

cp(l) = f(l, 1), tem-se f(l, t) = cp(t) = at t) = f(b· 1, t) = b· f(l, t) = b- ato

em questão diz que a função exponencial

definida por f(x)

e cp(s

b", é sobrejetiva.

280

ffi.+,

dado a > 0, existe

Portanto,

h E ffi. tal que b = a, ou seja, b = a'!". xER h

f : ffi. ---+

Daí b = aX/h X

para todo

8.8.

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS

2 3

CAPÍTULO 10

x

1

Para obter o gráfico de Y = b", trace a reta horizontal que passa pelo ponto de abscissa x/h no gráfico de y = a". O ponto dessa reta que tem abscissa x é (x, bX).

Quando a = 2 e b =

1/ij4,

a igualdade aX/h = b",

que equivale a h = log a/ log b, nos dá h = -3/2 e x/h = -2x/3. 8.4. Se baX1 = BAxl Xl

#-

X2,

e baX2 = BAx2

isto obriga a/A

=

então (a/A)Xl

=

1, ou seja, a = A.

Bfb

=

(a/A)X2. x

Então bA l

Como =

BAxl,

logo b = B. 8.5. Basta tomar a = y~/xo. 1

8.6. Basta tomar a = (YO/YI) XO-Xl e b = Yo . a-xo. 8.7. Deve-se ter b· ad = 2b, portanto Geralmente mente,

m (e, equivalentemente,

enquanto

a se obtém a partir

o:» = 2, resulta que a = de t fica Y = b . t

8.8.

ad = 2, donde d = Ioga 2 = 1/ log., a.

»=,

2m.

d) é conhecido experimentalde m:

d

de a

OBSERVAÇÃO.

= 2, ou seja,

Assim a expressão de Y em função

onde b é o valor inicial de Y (correspondente

a

= O).

a) As observações indicam que, em condições ideais de espaço e alimento, se b é a população num determinado

ano e t é o número de

anos decorridos a partir daí então a população após esses t anos é dada por uma expressão do tipo Y = b- eat. Começando a contar os

281

CAPÍTULO 10

•

FUNÇÕES EXPONENCIAISE LOGARÍTlvlICAS

anos a partir de 1956, temos 2,68 bilhões. Para determinar o coeficiente a, usaremos a observação de 1972, segundo a qual se tem (lembrando que t = 1972 - 1956 = 16. Portanto = 3,78...;- 2,68 = 1,41. Daí a = (log 1,41) ...;-16 = 0,0215. O

2,68e16a

e16a

=

3,78

tempo necessário para que a população dobre é o número t de anos tal que eO,0215t= 2. Daí vem t = (log 1) ...;-0,0215 aproximadamente

=

32,24

anos,

10

9.1.

32 anos e 3 meses.

b) Em 2012 teremos t = 2012 - 1956 = 56, portanto 2, 68eo,0215.56 = 8,9 bilhões será a população da terra prevista.

9.2.

c) A população da terra era de 1 bilhão quando 2,68 . eO,0215t = 1, donde eO,0215t= 1...;-2, 68 = 0,373. portanto t = -45,87

=

-(45

Isto nos dá 0, 0215t = log 0,373

anos e 10 meses). Isto ocorreu em

1910.

OBSERVAÇÃO. Usamos logaritmos naturais.

9.3

8.9. Por "independente de observações" deve-se entender sem coleta de dados estatísticos,

ou seja, um argumento baseado na reflexão.

"Em

condições normais" significa que não ocorreram repetidas catástrofes nem houve a descoberta do elixir da imortalidade.

9.4

Então, se começa-

mos a contar os anos a partir de quando a população da terra era de b bilhões de pessoas, indicaremos com f(b, t) a população após o decurso

9.5

de t anos. A primeira constatação que fizemos é que f(b, t) depende linearmente de b. Com efeito, é claro que f(b, t) é função crescente de b. Em seguida, notamos que f(n imaginarmos

ti

. b, t)

=

n· f(b, t) como se vê ao

planetas exatamente iguais à terra, cada um deles com

b bilhões de pessoas no mesmo ano t = O. O Teorema Fundamental da Proporcionalidade

de t. Finalmente, temos f(f(b,

s), t)

=

f(b, s

+ t)

pois esta igualdade

significa que, se começamos a contar os anos a partir do ano s, quando a população seria de f(b, s) bilhões, após decorridos t anos a população será de f(f(b,

9.6

nos garante então que f(b, t) depende linearmente

s), t) bilhões, a mesma que obteríamos se tivéssemos

considerado a população de b bilhões, quando s = t = 0, e olhássemos para essa população após s + t anos, quando seu valor seria f(b, s + t).

282

9.7

I

SOLUÇÕES

Portanto f(f(b, s), t) = f(b, s é do tipo exponencial.

10.9

+ t).

DOS EXERCÍCIOS

Pelo Exercício 2, vemos que f(b, t)

Funções Trigonométricas

9.1. Quando sen x cresce, f(x)

decresce e quando sen x decresce, f(x)

cresce. Assim, quando sen x = 1, f(x)

=

e, quando sen x

-1, f(x)

=

BG perpendicular

9.2. Traçando

= 1, que

3, que é seu valor máximo. ao raio OA e sendo T o ponto de in-

tersecção de O B com o eixo tangente

à circunferência,

triângulos OGB e OAT são semelhantes.

OG sen x OA:::::} t

DB

At

9.3. (sen x

+ cos X)2

=

=

é o seu valor mínimo

cosx 1

vemos que os

Logo sen x

:::::} t=--.

cosx

(1,2)2

1 + 2sen x . cos x = 1, 44 sen x cos x = 0,22. 94 •

•

a) 1 + tg 2 X = 1 +

=

2

sen x cos- X

2+

cos x sen cos2 X

2

x

1 = -cos

2

X

= sec 2 x.

b) igual. 9.5.

a) Basta substituir

(1-

cos x)

+ cos x) + ~ :::::}x = kat .

+ ~ = 2k1r 2x + ~ = 2k1r -

9.6. I) 2x

9.7.

sen x cosx

e tudo se resolve. sen2 x

sen x sen x cosx 1 csc x - cotgx 1- cosx ----sen x sen x sen2 x (1 + cos x) sen 2 x (1 + cos x)

b)

lI)

tg x por

sen x cosx

+ _1_ = -ª2 :::::} cosx

(1

-----'----::---....:... = 1 + cos x. 1 - cos-

~ :::::}x = kt: - ~. 2(1

+ sen

x) = 3cosx.

Elevando ao quadrado, 4(1

+ 2sen

13sen 2 x

x

+ serr'

+ 8sen

x)

=

x - 5=

9(1 - serr' x)

° 283

X

CAPÍTULO

10

CAPÍTULO

10

FUNÇÕES

TRIGONOi\IÉTRICAS

o que dá x = -1 ou sen x = Bem, sen x

=

5 1 3.

-1 não serve pois, neste caso, cos x

=

O. também deve

ser como se nota observando a primeira linha da solução. Logo, temos sen x =

5

13

e cos x =

12

13·

9.8. I) sen 2x = 2sen x cos cos x Il) cos 2x = cos''

serr' x

X -

llI) tg2x = ~. 1-tg2

X

9.9. Fazendo AOP = a e BOP = fJ, temos tg a = ~ e tg fJ tg(a

2+2

5/6

+ fJ) = l-~·l = -5/6·' = _2_3

2

9.10. tg x=

2.~ 1--2 4

=

1 3/4

=

1 Assim

AOB = a

+ fJ =

45°

~. Logo, .

4

3· 4+1

= Ll·~=

tg3x=tg(2x+x)

121.

3

9.11.

a) 2 Y = 2 sen b) Y --

57r

57r

12 . cos 12

tg-;f+tgfi 1-tg 2!:·tg.!I... 4

9.12. Y = sen2 x

t

= sen

(7r

g 4"

+ 127r)

12

+ 2 cos'' X + 3 cos"

Como O ::; cos''

X ::;

X

""6

57r

=

-

t

1

"2. tt

L -

g"3 -

1

ogo, Y = 4:. 103 v.)

= 2 + 3 cos'' x.

1 então o valor mínimo de y é 2 e o valor máximo

é 5.

9.13. Y = V5(sen

)g + ~

X·

cosx).

Seja a o arco (entre O e ~) tal que sen a = (~)

2

+ ()g)

2

=

1. Portanto,

)g.

y = V5. sen (x

Note que a existe pois

+ a).

Logo, os valores mínimo e máximo de y são respectivamente V5.

-V5

e

[1] CARMO, M. P., MORGADO, nometria

e Números

Matemática.

A. C. e WAGNER,

E. (2005). Trigo-

Complexos. 3a Edição. Coleção do Professor de

Sociedade Brasileira de Matemática.

[2] LIMA, E. 1., et al. (2012). A Matemática

do Ensino Médio. Vol.1.

Edição. Coleção do Professor de Matemática.

io-

Sociedade Brasileira de

Matemática. [3] LIMA, E. L. (2009). Análise Real. Vol. 1. lOa Edição. Coleção Matemática Universitária.

IMP A.

[4] LIMA, E. L. (2007). Coordenadas no Espaço. 4a Edição. Coleção do Professor de Matemática.

Sociedade Brasileira de Matemática.

[5] LIMA, E. L. (2011). Coordenadas no Plano com as Soluções dos Exercícios. 5a Edição. Coleção do Professor de Matemática.

Sociedade Bra-

sileira de Matemática. [6] LIMA, E. L. (2011). Medida e Forma em Geometria. 4a Edição. Coleção do Professor de Matemática.

Sociedade Brasileira de Matemática.

[7] LIMA, E. L. (2010). Meu Professor de Matemática 5a Edição. Coleção do Professor de Matemática.

e outras Histórias. Sociedade Brasileira

de Matemática. [8] LIMA, E. L. (2010). Logaritmos. 4a Edição. Coleção do Professor de Matemática. [9] TRAJANO,

Sociedade Brasileira de Matemática. A. (1883). Aritmética

Progressiva.

Ia Edição. Livraria

Francisco Alves. [10] (2005). Revista do Professor de Matemática. leira de Matemática.

285

N° 29. Sociedade Brasi-

BIBLIOGRAFIA

A

A(

Coordenadas,

Ângulo, 23

86

Corolário, 24

reto, 23

Corpo, 59 Abcissa, 57, 58, 86

ordenado, 59

Aceleração, 145

Correspondência

biunívoca, 43

Adição, 29 Dízima períodica

Adjetivo numeral, 28

simples, 64

Axioma, 24 da indução, 28

composta, 64

Axiomas de Peano, 27

Demonstração

por absurdo, 9

Diagonal, 190 Bibliografia, 285

Discriminante,

Bijeção,43

125

Domínio, 40

Círculo, 88

Eixo, 128

unitário, 220 Circunferência

real, 57

unitária,

220

Expressão decimal, 60

Coeficiente angular, 93, 95 Comprimento,

Fórmula

221

de interpolação

Conjunto complementar,

8

de Lagrange, 161

de mudança de base, 194

finito, 46

Figuras congruentes,

interseção, 11

Forma canônica, 125

reunião, 11

Fração, 54 geratriz, 64

universo, 8 bem-ordenado,

Função, 40

35

enumerável, 67

ímpar, 226

infinito, 46

afim, 90 arco tangente,

Conjuntos de proporcionalidade,

cosseno, 226

96

dente-de-serra,

Contagem, 22,46 Contra-domínio,

229

constante, 40, 90

equivalentes, 45 Constante

14

estritamente

40

287

227 monótona,

91

ÍNDICE

REMISSIVO

exponencial,

Lema, 24

179

identidade,

Limite infinito, 175

40, 90

injetiva, 41

Linha, 23

inversa, 188

Lista, 75

linear, 90

Logaritmos

monótona,

91

binários, 193

par, 226

decimais, 193

periódica, 226

naturais,

poligonal, 105

neperianos,

polinomial,

158

quadrática,

118

193

Método de Newton, 166

rampa, 114

Método axiomático,

seno, 226

24

Medição, 22

sobrejetiva, 42 translação,

193

Meia-vida, 173

90

trigonométrica,

216

Movimento uniforme, 103 Multiplicação,

Gráfico, 83, 85, 92

29

Multiplicidade,

Hipérbole equilátera,

90

168

Número cardinal, 46

Imagem, 40, 42

primo, 31

inversa, 51

irracional, 58

Implicação

Números

contrapositiva,

9

comparáveis,

recíproca, 6

inteiros, 57

Inclinação, 93

irracionais, 56, 58

Intervalo, 71

naturais,

aberto, 71 degenerado,

34

26

ordinais, 27 72

primos entre si, 23

fechado, 71 limitado, 71 Lei

reais, 58 Numeral, 28 Ordenada,

86

dos cossenos, 236 dos senos, 237

Par ordenado, 75, 82

288

Parábola,

128

Parabolóide

não-crescente,

76

não-decrescente,

de revolução, 138

76

Polinômio, 159

Silogismo, 5

Pontos, 86

Sistema de numeração decimal, 27 Soma, 29

simétricos, 190

Subconjunto,

Posição inicial, 145 Postulado,

próprio, 4

24

Princípio

Superfície, 23

da não-contradição,

parabólica,

8

das casas dos pombos, 47 das gavetas, 47 do Terceiro Excluído, 8 Produto,

4

Tangente,

140

Taxa de crescimento, 91

29

cartesiano,

de variação, 91

82

de crescimento, 95, 206

Progressão, 74 aritmética,

de variação, 95

75, 103

Teorema,24

geométrica, 75 Proporcionalidade, Quadrantes,

138

Fundamental

96

da Proporcionalidade,

Trinômio do segundo grau, 118

86 Universo do Discurso, 8

Razão, 75 Vértice, 128

Relação, 84

Valor

de inclusão, 4

absoluto, 73

Reta, 54

inicial, 91, 186

real, 54, 57 Retas perpendiculares,

Velocidade, 103, 145

23

escalar, 146 Segmento unitário, 54 Segmentos comensuráveis,

inicial, 145 54

Vetor, 45

Sequência crescente, 75, 76 decrescente, 75, 76 finita, 75 limitada, 76 monótona,

76

289

98

(continuação dos títulos publicados)

COLEÇÃO INICIAÇÃO CIENTíFICA Números Irracionais Números Racionais

- D. G. de Figueiredo

e Transcendentes

e Irracionais

- Ivan Niven

COLEÇÃO TEXTOS UNIVERSITÁRIOS Introdução

à Computação

Elementos de Aritmética

Algébrica

a Engenharia

para

Geometria

de Curvas

Matemática

o Maple

- L. N. de Andrade

- A. Hefez

Métodos Matemáticos Diferencial

com

Discreta - L. Lovász,

- E. C de Oliveira e M. Tygel

e Superfícies J. Pelikán

- M. P.do (armo

e K. Vesztergombi

Álgebra Linear: Um segundo Curso - H. P. Bueno Introdução

às Funções de uma Variável Complexa - C. S. Fernandez

e N. C Bernardes Jr.

Elementos de Topologia Geral- E. L. Lima

A Construção dos Números - J. Ferreira Introdução

à Geometria

Projetiva - A. Barros e P.Andrade

Análise Vetorial Clássica - F. Acker Funções, Limites Fundamentos

e Continuidade

- P.Ribenboim

D. Pellegrino, E. Teixeira

de Análise Funcional-

Teoria dos Números Transcendentes

e

G.

Botelho

- D. Marques

COLEÇÃO MATEMÁTICA APLICADA Introdução

à Inferência Estatística - H. Bolfarine

e M. Sandoval

COLEÇÃO OLIMPíADAS DE MATEMÁTICA Olimpíadas

Brasileiras de Matemática,

1a a 8a - E. Mega e R. Watanabe

Olimpíadas

Brasileiras de Matemática,

9a a 16a - C. Moreira e E. Motta, E. Tengan, L. Amâncio,

Rodrigues 21 Aulas de Matemática

Olímpica - C Y. Sh

Iniciação à Matemática:

Um curso com problemas

e soluções - K.I.M Oliveira e A.J.CFernández

N. C Saldanha e P.

E

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PROFMAT

ISBN 978-85-85818-81-4

9 788585818814

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