Números adimensionales utilizados en la transferencia de calor Número de Biot Cuando un cuerpo sólido se calienta por el fluido más caliente que lo rodea en principio el calor calor es llevado llevado por convecci convección ón hacia hacia el cuerpo cuerpo y, a continu continuació ación, n, conducid conducido o hacia hacia el interior del cuerpo. El número de Biot es entonces la razón de la resistencia interna interna de un cuerpo a la conducción conducción de calor con respecto a su r esistencia esistencia externa a la convección de calor. calor. Por Por lo tanto tanto,, un núme número ro pequ pequeo eo de Biot Biot repre represen senta ta poca poca resist resisten encia cia a la conducción del calor y, por tanto, !radientes pequeos de temperatura dentro del cuerpo. En el anál anális isis is de sist sistem emas as conc concen entr trad ados os se supo supone ne una una dist distri ri"u "uci ción ón unif unifor orme me de temperatura en todo el cuerpo, el cual es el caso sólo cuando la resistencia t#rmica de #ste #ste a la condu conducci cción ón de calor calor sea cero. cero. Por Por consi consi!u !uien iente, te, el análi análisis sis de sistem sistemas as concentrados es exacto cuando Bi $ % y aproximado cuando Bi & %, entonces, entre más pequeo sea Bi, más exacto es el análisis de los sistemas concentrados. El número de Biot se define como'
Bi =
h Lc k
(onde'
Lc =
V A s
)
*c es la lon!itud caracter+stica, y se define como'
) )
h es es el coeficie coeficiente nte de trans transfere ferencia ncia de calo calorr por por convecc convección. ión. es es el coefic coeficien iente te de condu conducti ctivid vidad ad t#rmi t#rmica ca..
El primer paso en la aplicación del análisis de sistemas concentrados es el cálculo del número de Biot y la valoración de la aplica"ilidad de este procedimiento. El número de Biot de"e ser tan pequeo como sea posi"le para que el análisis de sist sistem emas as conc concen entr trad ados os sea sea apli aplica ca"l "le. e. Por Por lo tant tanto, o, los los cuer cuerpo pos s pequ peque eos os con con conductividad t#rmica alta son "uenos candidatos para este tipo de análisis, en especial cuando se encuentran en un medio que sea un mal conductor del calor -como el aire u otro !as que est# inmóvil. Número de Fourier /e define como' 2
αt k L ( 1 / L ) ∆ T τ = 2 = 3 L ρ C p L / t ∆ T En donde' )
0 es la difusividad t#rmica. t#rmica .
)
t es el tiem tiempo po cara caract cter er+s +sti tico co..
)
* es la lon!itud lon!itud a trav#s trav#s de de la que la condu conducció cción n de calor calor ocurre ocurre
Por lo tanto, el número de 1ourier es una medida del calor conducido a trav#s de un cuerpo en relación con el calor almacenado. Por tanto, un valor !rande del número de 1ourier indica una propa!ación más rápida del calor a trav#s del cuerpo. Número de Grashof Es posi"le hacer adimensionales las ecuaciones que ri!en la convección natural y las condiciones de frontera dividiendo todas las varia"les dependientes e independientes entre cantidades constantes apropiadas' todas las lon!itudes entre una lon!itud caracter+stica *c, todas las velocidades entre una velocidad ar"itraria de referencia, 2 -la cual, "asándose en la definición del número de 3eynolds, se toma como 2 $ 3e *.v4*c, y la temperatura entre una diferencia de temperatura apropiada -la cual se toma como 5s )5 6 como'
En donde los asteriscos se usan para denotar varia"les no dimensionales. /ustituy#ndolas en la ecuación de la cantidad de movimiento y simplificando da'
El parámetro adimensional que se encuentra entre corchetes representa los efectos de la convección natural y se llama número de 7rashof' 3
Gr L =
gβ ( T s−T ∞ ) Lc v
2
en donde ) ! $ aceleración !ravitacional, m4s8 ) " $ coeficiente de expansión volum#trica, 94: -" ; 945 para los !ases ideales ) 5s $ temperatura de la superficie, . Por lo tanto, el r#!imen del flu=o so"re una placa vertical se vuelve tur"ulento a números de 7rashof mayores que 9%>. Cuando una superficie se su=eta a flu=o externo, el pro"lema involucra tanto
convección natural como forzada. *a importancia relativa de cada modo de transferencia de calor se determina por el valor del coeficiente 7r *43e*8' los efectos de la convección natural son desprecia"les si 7r *43e*8 « 9, la convección li"re domina y los efectos de la convección forzada son desprecia"les si 7r *43e*8?9 y los dos efectos son si!nificativos y de"en considerarse si 7r *43e*8 @9.
Número de Nusselt En los estudios so"re convección, es práctica común quitar las dimensiones a las ecuaciones que ri!en y com"inar las varia"les, las cuales se a!rupan en números adimensionales, con el fin de reducir el número de varia"les totales. 5am"i#n es práctica común quitar las dimensiones del coeficiente de transferencia de calor h con el número de Ausselt, que se define como'
Nu=
h Lc k
(onde es la conductividad t#rmica del fluido y *c es la lon!itud caracter+stica. Este número reci"ió el nom"re en honor de ilhelm Ausselt, quien realizó contri"uciones si!nificativas a la transferencia de calor por convección durante la primera mitad del si!lo , y se conci"ió como el coeficiente adimensional de transferencia de calor por convección. Para comprender el si!nificado f+sico del número de Ausselt, considere una capa de fluido de espesor * y diferencia de temperatura
∆ 5 $ 58 D59. *a transferencia de calor a
trav#s de la capa de fluido será por convección cuando esta última ten!a al!ún movimiento y por conducción cuando est# inmóvil. En cualquiera de los dos casos, el flu=o de calor -la velocidad de transferencia de calor por unidad de tiempo por unidad de área superficial es
q´ conv =h ∆ T
y
q´ cond =
k ∆ T L
l dividir am"as ecuaciones da
q´ conv q´ cond
=
h ∆ T hL = = Nu k ∆ T / L k
lo cual es el número de Ausselt. Por lo tanto, el número de Ausselt representa el me=oramiento de la transferencia de calor a trav#s de una capa de fluido como resultado de la convección en relación con la conducción a trav#s de la misma capa. Entre mayor sea el número de Ausselt, más eficaz es la convección. Fn número de Ausselt de Au $ 9 para una capa de fluido representa transferencia de calor a trav#s de #sta por conducción pura.
En la vida diaria se usa la convección forzada más de lo que el lector podr+a pensar. /e recurre a la convección forzada siempre que se quiera incrementar la velocidad de la transferencia de calor desde un o"=eto caliente. Por e=emplo, se enciende el ventilador en los d+as cálidos de verano para ayudar a que nuestro cuerpo se enfr+e de manera más eficaz. Entre mayor sea la velocidad del ventilador, me=or se siente. /e a!ita la sopa o se sopla so"re una re"anada de pizza caliente para hacer que se enfr+en más rápido. En los d+as invernales de mucho viento se siente mucho más fr+o de lo que en realidad hace. *a solución más simple para los pro"lemas de calentamiento en el empaque de los dispositivos electrónicos es usar un ventilador suficientemente !rande.
Número de Prandtl *a me=or manera de descri"ir el espesor relativo de las capas l+mite de velocidad y t#rmica es por medio del parámetro número de Prandtl adimensional, definido como'
i!usivid"d #o$%cu$"r d%$" c"ntid"dd% #ovi#i%nto v & c p Pr = = = i!usivid"d #o$%cu$"r d%$ c"$or α k /u nom"re se de"e a *udGi! Prandtl, quien introdu=o el concepto de capa l+mite en 9>%H, y realizó cola"oraciones si!nificativas a la teor+a de la capa l+mite. *os números de Prandtl de los fluidos van desde menos de %.%9 para los metales l+quidos, hasta más de 9%% %%% para los aceites pesados. Aótese que el número de Prandtl es del orden de 9% para el a!ua. *os números de Prandtl para los !ases son de alrededor de 9, lo cual indica que tanto la cantidad de movimiento como el calor se disipan a trav#s del fluido a más o menos la misma velocidad. El calor se difunde con mucha rapidez en los metales l+quidos -PrI9 y con mucha lentitud en los aceites -Pr?9 en relación con la cantidad de movimiento. Como consecuencia, la capa l+mite t#rmica es mucho más !ruesa para los metales l+quidos y mucho más del!ada para los aceites, en relación con la capa l+mite de la velocidad. Rangos típicos de los números de Prandtl para fluidos comunes Fluido Pr Jetales l+quidos %.%%H D %.%K% 7ases %.L D 9.% !ua 9.L D 9K.L 1luidos or!ánicos li!eros M D M% ceite M% D 9%%%%% 7licerina 8%%% ) 9%%%%%
Número de Rayleigh *a transferencia de calor por convección natural so"re una superficie depende de la confi!uración !eom#trica de #sta as+ como de su orientación. 5am"i#n depende de la variación de la temperatura so"re la superficie y de las propiedades termof+sicas del fluido que interviene.
*as comple=idades del movimiento del fluido hacen que sea muy dif+cil o"tener relaciones anal+ticas sencillas para la transferencia de calor mediante la resolución de las ecuaciones que ri!en el movimiento y la ener!+a. Existen al!unas soluciones anal+ticas para la convección natural, pero carecen de !eneralidad, ya que se o"tienen para confi!uraciones !eom#tricas simples con al!unas hipótesis simplificadoras. Por lo tanto, con la excepción de al!unos casos simples, las relaciones de transferencia de calor en la convección natural se "asan en estudios experimentales. *as correlaciones emp+ricas sencillas para el número promedio de Nusselt Au en la convección natural son de la forma' n
n
Gr L Pr ¿ =C '" L h Lc Nu= =C ¿ k en donde 3a L es el número de 3aylei!h, el cual es el producto de los números de 7rashof y de Prandtl' 3
'" L =Gr L Pr =
gβ ( T s −T ∞ ) Lc v
2
Pr
*os valores de las constantes C y n dependen de la configuración geométrica de la superficie y del régimen de flujo, el cual se caracteriza por el ran!o del número de 3aylei!h. El valor de n suele ser para el flu=o laminar y para el tur"ulento. El valor de la constante C normalmente es menor que 9. 5odas las propiedades del fluido de"en evaluarse a la temperatura de pel+cula'
T ! =( T s + T ∞)/ 2 Cuando se conoce el número promedio de Ausselt y, por consi!uiente, el coeficiente promedio de convección, la velocidad de la transferencia de calor por convección natural de una superficie sólida que está a una temperatura uniforme T s hacia el fluido circundante se expresa por la ley de AeGton del enfriamiento como'
´ conv =h A s( T s−T ∞) ( en donde As es el área de la superficie de transferencia de calor y h es el coeficiente promedio de transferencia de calor so"re la superficie.
