Notas Actuariales

Notas de Clase de Matemáticas aticas Actuariales del Seguro de Personas I

J. Enrique P. Salvador jose [email protected], [email protected]

Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma onom a de M´ exico exic o

Material escrito en LATEX Semestre 2012-1, 25 de noviembre de 2011

Índice general 1. Notas Preliminare Preliminaress

4

2. La Econom´ ıa del Seguro

6

2.1. Teor´ Teor´ıa de la Utilida d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. El Seguro y la Teor´ Teor´ıa de la Utilidad

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7

2.3. Elemento Elementoss del Seguro Seguro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ 2.4. Selecci´ Selecci´ on on del Seguro Seguro Optimo . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5. Modelos Modelos de Riesgo Riesgo Individual Individual para el Corto Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.6. Modelos para Variables Variables Aleatorias de Reclamo Individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.7. Sumas de Variables Variables Aleatorias Independientes Independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.8. Aproximac Aproximaci´ i´ on on a la Distribución on de la Suma de Variables Variables Aleatorias (Teorema (Teorema Central del L´ımite) ımite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Funciones Biom´ etricas etricas y Tablas de Mortalidad

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3.1. Definicion Definiciones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2. Tiempo de Vida Futuro Futuro Trunca Truncado do (Curtate-Future-Lifetime ( Curtate-Future-Lifetime ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.3. Fuerza de Mortalid Mortalidad ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4. Tablas de de Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4.1. 3.4.1. Enfoque Enfoque de Grupo de Sobrevivenc Sobrevivencia ia Aleatorio Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Índice general 1. Notas Preliminare Preliminaress

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2. La Econom´ ıa del Seguro

6

2.1. Teor´ Teor´ıa de la Utilida d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2. El Seguro y la Teor´ Teor´ıa de la Utilidad

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2.3. Elemento Elementoss del Seguro Seguro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ 2.4. Selecci´ Selecci´ on on del Seguro Seguro Optimo . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5. Modelos Modelos de Riesgo Riesgo Individual Individual para el Corto Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.6. Modelos para Variables Variables Aleatorias de Reclamo Individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.7. Sumas de Variables Variables Aleatorias Independientes Independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.8. Aproximac Aproximaci´ i´ on on a la Distribución on de la Suma de Variables Variables Aleatorias (Teorema (Teorema Central del L´ımite) ımite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Funciones Biom´ etricas etricas y Tablas de Mortalidad

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3.1. Definicion Definiciones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2. Tiempo de Vida Futuro Futuro Trunca Truncado do (Curtate-Future-Lifetime ( Curtate-Future-Lifetime ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.3. Fuerza de Mortalid Mortalidad ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4. Tablas de de Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4.1. 3.4.1. Enfoque Enfoque de Grupo de Sobrevivenc Sobrevivencia ia Aleatorio Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4.2. 3.4.2. Enfoque Enfoque de Grupo de Sobrevivenc Sobrevivencia ia Determinista Determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.5. Otras Caracter´ Caracter´ısticas de la Tabla Tabla de Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.6. Supuestos para Edades Fraccionales Fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.7. Algunas Leyes de Mortalidad Anal´ Anal´ıticas ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.8. Tablas Select Selectas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ 4. Primas Netas Netas Unicas de Seguros de Vida

19

4.1. Seguros Seguros Pagables Pagables al Momento Momento de la Muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.1.1. 4.1.1. Seguros Seguros con Beneficio Beneficio Nivelado Nivelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.1.2. Seguros con con Beneficio Variable Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.2. Seguros Seguros Pagables Pagables al Final Final del A˜ no no de la Muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.3. Relaciones Relaciones entre entre Seguros Seguros Pagaderos Pagaderos al Momento de la Muerte y los que se Pagan al Final del Año no de Muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ 5. Primas Netas Netas Unicas de Anualidad Anualidades es

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5.1. Anualidades de Vida Continuas Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.2. Anualida Anualidades des de Vida Discretas Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.3. Anualida Anualidades des de Vida con Pagos cada m-ésimo esim o de Año no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.3.1. 5.3.1. Antecede Antecedentes ntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.3.2. 5.3.2. Anualida Anualidades des de Vida con Pagos Pagos cada m-ésimo esi mo de Año no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Primas Netas Netas Peri´ odicas

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6.1. Primas Totalmente Totalmente Continuas Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.2. Primas Totalmente Totalmente Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.3. Primas Niveladas Niveladas Semicontinuas Semicontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.4. Primas Primas que se Pagan Pagan cada cada m-´ esima esima Parte del Año no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. Reser vas Matem´ aticas

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7.1. Reservas Reservas Matem´ Matematicas a´ticas Puras Totalmente Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.2. 7.2. Otras Otras F´ Fórmulas ormulas para Reservas de Beneficio Totalmente Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.3. Reservas Reservas Matem´ Matematicas a´ticas Puras Totalmente Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.4. Reservas Reservas Matem´ Matematicas a´ticas Puras Semicontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.5. Reservas Reservas Matem´ Matematicas a´ticas Puras basadas en primas niveladas que se Pagan cada m-ésimo esim o de d e a no n õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.6. 7.6. An´ alisis de Reservas Matemáticas alisis aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.6.1. 7.6.1. Reservas Reservas Matem´ Matematicas a´ticas Puras para Seguros Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.6.2. Relaciones Recursivas Recursivas para Reservas Reservas Matem´ aticas Puras Totalmente Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aticas

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7.6.3. 7.6.3. Reservas Reservas Matem´ Matematicas a´ticas Puras en Duraciones “Fraccionales”

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7.7. Terminolog´ıa ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8. Prima de Tarifa Tarifa

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8.1. Modelos Modelos Aumentados Aumentados con los Gastos Gastos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8.2. Gastos Gastos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8.3. Asset Shares

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Cap´ıtulo 1

Notas Preliminares Las áreas donde los actuarios han trabajado por muchos años son los seguros de Ejemplo: vida (life insurance), seguros de daños (non-life insurace o property and casualty Sup´ on que una aseguradora decide vender anualidades de vida cuyo pago se insurance) y beneficios al retiro (pensiones y beneficios relacionados), y nuevas incrementa con la inflación. Cuando la aseguradora vende una anualidad recibe un oportunidades se están presentando en consultor´ıa para proveedores de energ´ıa y pago de contado (single premium ). Su compromiso a cambio es hacer incrementos financiamiento de los cuidados de la salud. regulares y crecientes en los pagos durante el tiempo en que este vivo el cliente. El El Ciclo de Control Actuarial es un marco conceptual, representando una visión actuario asesorando a la aseguradora tiene responsabilidades profesionales, porque general de los procesos requeridos para el desarrollo y administración de una em- los clientes estarán confiando una gran parte de sus ahorros al retiro al asegurador presa del sector financiero, producto o proyecto. La Figura 1.1 muestra el Ciclo de a cambio de un ingreso de por vida. Control Actuarial: El entorno debe ser tomado en cuenta: ¿qué legislaciones y regulaciones afectan tales productos?, ¿cómo se les calculan los impuestos?, ¿hay productos de la Figura 1.1: El Ciclo de Control Actuarial, (Understanding Actuarial Management: competencia?, ¿cu´ al es la perspectiva para tasas de interés, tasas de inflación y the actuarial control cycle, p. 2 [3]) tasas de mortalidad?, ¿por qu´ e las personas querrán comprar las anualidades?. La aseguradora debe entender las fuentes de riesgo para este producto, como la volatilidad de la inflación e incremento en la longevidad. El producto tiene que estar claramente especificado, por ejempo, si la anualidad tiene un periodo de pago m´ınimo garantizado, cuál es el periodo, y cómo se definen los incrementos de inflación. Una vez que el producto es especificado, el actuario de la aseguradora puede desarrollar un modelo para pronosticar los flujos de efectivo futuros para el producto. El modelo será u ´ til de varias maneras:

1. Ayudará para determinar la extensión del riesgo que la aseguradora enfrentar´ a. La aseguradora necesita conocer cu´ anto capital mantener para estas anualidades, en caso de que la inflació n sea más alta, o los tiempos de vida sean más largos que los anticipados.

2. El modelo ayudar´ a a la aseguradora a decidir qué precios, o primas, cargar para el producto. En la determinación de la prima para la anualidad, la aseguradora necesita estar enterada del valor de los pasivos a largo plazo de los que se esta haciendo cargo. As´ı, el proceso de valuar pasivos es parte de la determinaci´ on de los precios, sin embargo, este no es el fin del requerimiento de valuar pasivos. La aseguradora invierte la single premium para generar ingresos con los cuales realiza los pagos de la anualidad. Las leyes relacionadas con los seguros de vida y est´ andares contables requieren que la compa˜ n´ıa revise regularmente que las inversiones respaldan adecuadamente los compromisos futuros de todos sus clientes. La aseguradora querrá demostrar a sus asegurados, sus accionistas, analistas financieros, agencias calificadoras, reguladores, asesores financieros y asegurados futuros que continua en una posición sólida para cumplir sus obligaciones futuras, i.e. es solvente. Los accionistas y la autoridad hacendaria, también estarán interesados en la ganancia que proviene de las anualidades de vida, y en la rentabilidad del producto. En el dise˜ no, determinación del precio y administración del producto, el actuario de la aseguradora hará supuestos acerca de los rendimientos de las inversiones, tasas de inflación, tasas de mortalidad y gastos en el futuro. Al pasar del tiempo, las tasas reales observadas ser´ an comparadas con las supuestas. Cualquier diferencia debe ser analizada y entendida. El actuario aconsejará a la aseguradora como responder a las nuevas tendencias que salen a la luz del monitoreo de la experiencia. En el marco del ciclo de control, el proceso de retroalimentación cierra el ciclo. En la práctica, el proceso ayuda a los actuarios, y a los administradores y a los tomadores de decisiones que aconsejan, a entender mejor el producto, clases de negocio, empresa o proyecto en cuestión. En el curso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas, se identifican y especifican los problemas clásicos de los seguros de vida. Se desarrollan soluciones al presentar principios para determinar las primas y valuar los pasivos, asumiendo que ya hubo un análisis previo para pronosticar el rendimiento de las inversiones, tasas de inflación y tasas de mortalidad, entre otros supuestos. No se cubren las etapas del proceso de inversión ni de monitoreo y respuesta a la experiencia. Las presentes notas de clase no contienen la expresi´ on de los valores presentes actuariales en valores conmutados por las razones expresadas por John Shepherd, p. 44 [3]: Technological development, especially in computing and communications,

has had a major impact on actuarial work since the early 1970s. Until then, many developments in actuarial science were focused on finding better ways to calculate the present value of expected future cash flows. Improvements in the storage capacity, processing speed and cost of computers, and the development of easy-to-use software like spreadsheets, has meant that what was once the cornerstone of actuarial work (commutation functions, assurance and anunuity functions and a complex system of symbolic notation) has been made almost redundant.

Cap´ıtulo 2

La Econom´ıa del Seguro Este cap´ıtulo esta basado en los Cap´ıtulos 1 y 2 de [1].

2.1.

Teor´ıa de la Utilidad

Cada uno de nosotros hace planes y tiene expectativas acerca del camino que su vida seguir´ a. Sin embargo, la experiencia nos enseña que los planes no se desarrollar´ an con certidumbre ya que algunas veces las expectativas no serán alcanzadas. Ocasionalmente los planes son frustrados porque están basados en suposiciones poco realistas mientras que en otras situaciones, circunstancias fortuitas interfieren. El seguro esta diseñado para proteger contra reveses financieros graves que resultan de eventos aleatorios que se entrometen en los planes de los individuos. Las limitaciones básicas de la protección que ofrece un seguro son:

1. Está restringida a reducir aquellas consecuencias de eventos aleatorios que pueden ser medidos en términos monetarios. 2. El seguro no reduce, directamente, la probabilidad de pérdida.

La Teor´ıa de la Utilidad es un campo del conocimiento que ha sido desarrollado para entender la toma de decisiones bajo situaciones de incertidumbre. Un tomador de decisiones toma decisiones -valga la redundancia-, teóricamente, adoptando un principio. Uno de esos principios es el principio del valor esperado ( expected value principle), en base a éste, un tomador de decisiones prefiere la distribuci´ on de X (la variable aleatoria que significa el resultado de un proyecto económico) sobre la distribuci´ on de Y (la variable aleatoria del resultado de otro proyecto económico) si E [X ] > E [Y ], y el tomador de decisiones es indiferente entre las dos distribuciones si E [X ] = E [Y ].

La teor´ıa inicia con el supuesto de que un tomador de decisiones racional, cuando Definici´ on: Un sistema de seguro es un mecanismo para reducir el impacto fi- se enfrenta con dos distribuciones de resultados afectando su riqueza, es capaz de nanciero adverso de eventos aleatorios que impiden la realización de expectativas expresar una preferencia por una de las distribuciones o indiferencia entre ellas. razonables. Adem´ as, las preferencias deben satisfacer ciertos requerimientos de consistencia que no mencionaremos porque van más allá de los objetivos del curso. La justificación económica para un sistema de seguro es que contribuye a la riqueza general mejorando la posibilidad de que los planes no sean frustrados por La teor´ıa culmina en un teorema, estableciendo que si las preferencias satisfacen eventos aleatorios. Dichos sistemas tambi´ en pueden incrementar la producci´ on to- los requerimientos de consistencia, hay una función de utilidad u(w) tal que si la tal animando a los individuos y a las corporaciones a embarcarse en aventuras distribuci´ on de X es preferida a la distribución de Y , entonces E [u(X )] > E [u(Y )], donde la posibilidad de grandes pérdidas po dr´ıa inhibir tales proyectos en la au- y si el tomador de decisiones es indiferente entre las dos distribuciones, entonces, sencia de un seguro. E [u(X )] = E [u(Y )]

2.2.

El Seguro y la Teor´ıa de la Utilidad

Supongamos que una aseguradora (insurer ) fue establecida para ayudar a reducir las consecuencias financieras del daño o destrucción de una propiedad. El asegurador emite contratos (policies ) que prometen pagar al dueño de la propiedad un monto definido igual o menor que la p´ erdida financiera si la propiedad fuera da˜ nada o destruida durante el plazo de la póliza. El pago contingente ligado al monto de la pérdida es llamado pago del reclamo (claim ). A cambio de la promesa contenida en la póliza, el dueño de la propiedad (insured ) paga una prima (premium ).

Es importante recordar que la ecuación anterior es desde el punto de vista del due˜ no de la propiedad. Acerca de la función de utilidad, es natural asumir que u(w) es una función creciente, i. e., “más es mejor”. Además, se ha observado que para muchos tomadores de decisiones, cada incremento adicional de riqueza resulta en un incremento más pequeño de utilidad asociada. Esta es la idea de la utilidad marginal decreciente en la Econom´ıa. Desigualdad de Jensen: Para una variable aleatoria X y una función u(w), y dado que existen E [u(X )], u(E [X ]):

El monto de la prima es determinado despu´ es de que un principio de decisión econ´ omica es adoptado por el asegurador y el asegurado. En adelante, X significa la variable aleatoria “monto del reclamo”, y asumiremos que es no negativa.

si u (w) < 0, si u (w) > 0,

⇒ E [u(X )] ≤ u(E [X ]) ⇒ E [u(X )] ≥ u(E [X ])

(2.2) (2.3)

El asegurador po dr´ıa establecer un precio base para una cobertura total como la Vamos a aplicar la desigualdad (2.2) para el problema del tomador de decisiones pérdida esperada, E [X ] = µ. En este contexto µ es llamada la prima pura para la descrito en (2.1). Asumiremos que las preferencias del tomador de decisiones son póliza de seguro con plazo de un periodo (1 año, 1 mes, 1 d´ıa, etc.). Para enfrentar   gastos, impuestos, ganancias y protección contra experiencia adversa de pérdidas, tales que u (w) > 0 y u (w) < 0. Aplicando la desigualdad de Jensen a ( 2.1) tenemos que: la aseguradora podr´ıa determinar la prima de la póliza con un recargo (loading ) agregado a la prima pura. E [u(w G)] = u(w G) Un ejemplo de lo descrito en el párrafo anterior ser´ıa una póliza de automóvil. = E [u(w X )] (2.4) Sea X la variable aleatoria pérdida por el choque de autom´ ovil: u(E [w X ]) H = (1 + a)µ + c = µ + aµ + c = u(w µ)

−

−

≤

donde:

−

− −

porque u (w) > 0, u(w) es una función creciente. Por lo tanto, (2.4) implica que w G w µ, o G µ.

− ≤ −

• a > 0, c > 0 • aµ: Gastos que var´ıan con las pérdidas esperadas • c: Gastos que no var´ıan con las pérdidas

≥

Formalmente, decimos que un tomador de decisiones con función de utilidad u(w) es averso al riesgo (risk averse ), si y solo si, u (w) < 0.

Ahora empleamos una función de utilidad general para el asegurador. Sea uI (w) la función de utilidad del asegurador y sea wI la riqueza actual del asegurador Ahora aplicamos la Teor´ıa de la Utilidad a los problemas de decisión enfrentados medida en términos monetarios; entonces la prima m´ınima aceptable H para asupor el dueño de la propiedad sujeta a pérdidas. El dueño de la propiedad tiene una mir una pérdida aleatoria X , desde el punto de vista del asegurador puede ser funci´ on de utilidad u(w) donde la riqueza w es medida en términos monetarios. El determinada por: due˜ no enfrenta una posible pérdida debida a eventos aleatorios que pueden dañar la propiedad. La distribución de la pérdida aleatoria X se asume conocida. El E [uI (wI )] = uI (wI ) = E [uI (wI + H X )] (2.5) due˜ no será indiferente entre pagar un monto G al asegurador, quién asumirá la pérdida financiera, o asumir el riesgo él mismo, si: La ecuación (2.5) nos dice que el asegurador es indiferente entre la posición actual E [u(w G)] = u(w G) = E [u(w X )] (2.1) y proveer seguro para X a la prima H . Si la función de utilidad del asegurador es

−

−

−

−

tal que uI (w) > 0, uI (w) < 0 aplicamos la desigualdad de Jensen (2.2) a (2.5): E [uI (wI )] = uI (wI ) = E [uI (wI + H X )] uI (E [wI + H X ]) = uI (wI + H µ)

≤

−

− −

(2.6)

para recolectar y analizar datos de la operación del seguro tal que el sistema del seguro se pueda adaptar. Adaptación en este caso puede significar cambios en las primas, pagar un dividendo basado en la experiencia o reembolsos de primas, o modificaciones futuras en las condiciones de la póliza.

2.4.

´ Selecci´ on del Seguro Optimo

Como la función de utilidad uI (w) es creciente, podemos concluir que H µ. Si G, determinada por el due˜ no de la propiedad resolviendo la ecuación (2.4) es tal Teorema 1 : Si un tomador de decisiones: que G H µ, un contrato de seguro es posible.

≥

≥ ≥

Ejemplos de funciones de utilidad son:

1. Tiene un monto de riqueza w

Función de utilidad exponencial: u(w) = e−αw , w,α > 0 Funci´ on de utilidad potencia fraccional: u(w) = wγ , w > 0, γ (0, 1)

(2.7) (2.8)

− αw2, w < (2α)−1, α > 0

(2.9)

−

Función de utilidad cuadrática: u(w) = w

2.3.

∀

∈

Elementos del Seguro

En este subtema revisaremos algunos de los factores que influyen en la organizaci´ on y la administración de un sistema de seguro. Un sistema de seguro puede ser organizado solo despu´ es de la identificaci´ on de una clase de situaciones donde pérdidas aleatorias pueden ocurrir. La palabra aaleatorioˆ ˆ a se usa para significar que la frecuencia, el tamañ o o el tiempo de la pérdida no ésta bajo control del posible asegurado. Una vez que una clase de situaciones asegurables es identificada, información sobre las utilidades esperadas y el proceso generador de las p´ erdidas pueden ser obtenidos. La investigación de mercado de los seguros puede ser vista como un esfuerzo para aprender acerca de las funciones de utilidad, es decir, las preferencias de riesgo de los consumidores.

2. Es averso al riesgo, en otras palabras, tiene una funci´ on de utilidad u(w) tal que u (w) < 0 3. Enfrenta una pérdida aleatoria d e monto X 4. Gastar´ a un monto P en la compra de un seguro y el mercado de seguros ofrece por un pago de P todos los contratos de seguro viables con cobertura I (x), 0 I (x) x, con E [I (x)] = β, entonces, la utilidad esperada del tomador de decisiones ser´ a maximizada comprando una p´ oliza de seguro con una cobertura:

≤

≤

I d∗ (x) =



0 x

− d∗

si x < d∗ si x d∗

≥

donde d∗ es la soluci´ on de ∞

β=



d∗

(x

− d∗)f (x)dx

(2.10)

Los procesos generadores del tamaño y tiempo de pérdidas pueden ser suficien- Notas: temente estables en el tiempo para que información pasada pueda ser usada para planear el sistema. Cuando un nuevo sistema de seguro es organizado, estad´ısticas β es la prima neta o pura por la cobertura I (x), P ser´ıa la prima de tarifa relevantes al seguro no están a menudo disponibles. Sin embargo, información compor lo que P β plementaria de situaciones de riesgo similares puede ser obtenida para identificar los riesgos y para proveer estimadores preliminares de las distribuciones de probaEjemplos de otras coberturas son: bilidad necesarias para determinar las primas. Porque la mayor´ıa de los sistemas de seguro operan bajo condiciones dinámicas, es importante que exista un plan 1. Coaseguro I (x) = αX,α (0, 1)

•

≥

•

∈

2. L´ımite de póliza I (x) =



x u

1. Modelo Riesgo Individual: S = X 1 + X 2 + + X n donde X i es la pérdida en la unidad asegurada i y n es el n´ umero de unidades aseguradas. Usualmente las X i ’s se asumen independientes, p orque as´ı son má s f´ aciles los cálculos y porque a menudo no hay datos históricos acerca de la dependencia entre las X i ’s. El supuesto de independencia funciona en la mayor´ıa de los casos pr´ acticos.

···

si x u si x > u

≤

3. Deducible franchise, d es el deducible I (x) =



0 x

si x < d si x d

2. Modelo de Riesgo Colectivo: S = X 1 + X 2 + + X N donde N también es una variable aleatoria (este modelo no lo estudiaremos en el curso).

···

≥

4. Deducible ordinario, d es el deducible I (x) =



0 x

El modelo de riesgo individual en este tema no reconoce el valor del dinero a través del tiempo (inter´ es) ya que estamos tratando riesgos a corto plazo (menor o igual a 1 a˜ no). En este curso discutimos solamente modelos cerrados, esto es, el número de unidades aseguradas en el Modelo de Riesgo Individual es conocido y constante al inicio del periodo. Si asumieramos entradas y salidas en el sistema de seguro, tendr´ıamos un modelo abierto.

si x < d si x d

−d

≥

• Para un seguro deducible ordinario, ∞

d

E [I (x)] =

   0

=

d

=

d

0f (x)dx +

 d

∞

(x

− d)f (x)dx

(1

− F (x))dx

(x

− d)f (x)dx 2.6.

∞

donde X es una variable aleatoria continua (para demostrar la última igualdad se usa una integral por partes).

• El teorema se prueba llegando a la desigualdad E [u(w − (X − I (x)) − P )] ≤ E [u(w − (X − I d (x)) − P )]

Modelos para Variables Aleatorias de Reclamo Individual

1. Cuando ocurre el evento, el monto del reclamo es constante ( b), por ejemplo, en un seguro de vida temporal a 1 año con suma asegurada constante. X = Ib, X es el monto del reclamo I es una variable aleatoria indicadora [si ocurre un reclamo entonces I = 1] con función de probabilidad:

∗

P r[I = i] =

para toda I (x).



1 q

−q

si i = 0 si i = 1

es decir, I Bernoulli(q), en consecuencia, E [X ] = E [Ib] = bE [I ] = b[0(1 q) + 1q] = bq, V ar[X ] = V ar[Ib] = b2 V ar[I ] = b2 (E (I 2 ) E (I )2 ) = b2 q(1 q)

∼

2.5.

Modelos de Riesgo Individual para el Corto Plazo

Para una organización aseguradora, sea S la pérdida aleatoria de un segmento de sus riesgos la cuál es la variable aleatoria de la que buscamos su función de distribución. Históricamente, han habido dos conjuntos de postulados para la distribuci´ on de S :

−

−

−

2. Cuando ocurre el evento, el monto del reclamo es aleatorio ( B), por ejemplo, en un seguro de salud o de choque de automóvil a un a˜ no. X = IB , X es el monto del reclamo. I es una variable aleatoria indicadora [si ocurre un reclamo entonces I =1] con funci´ on de probabilidad: P r[I = i] =



1 q

−q

si i = 0 si i = 1

es decir, I

∼ Bernoulli(q)

Si denotamos σ2 = V ar[B I = 1], entonces E [V ar(X I )] = σ2 q Por lo tanto, V ar(X ) = µ2 q(1 q) + σ 2 q (2.14)

|

Usualmente nos dan la distribución de la variable aleatoria B I . Para hallar E [X ] y V ar[X ] se tienen dos alternativas:

|

a ) Encontrar la función de distribución marginal de X con la ley de las probabilidades totales: F (x) = P r(X x) = P r(X x I = 0)P r(I = 0) + P r(X x I = 1)P r(I = 1) = P r(IB x I = 0)P r(I = 0) + P r(IB x I = 1)P r(I = 1) = P r(0 x I = 0)P r(I = 0) + P r(B x I = 1)P r(I = 1)

≤ ≤ | ≤ | ≤ |

≤ | ≤ | ≤ |

|

−

2.7.

Sumas de Variables Aleatorias Independientes

En este parte vamos a revisar la distribución de la suma de variables aleatorias independientes. Primero, consideraremos la suma de dos variables aleatorias, S =  Si B I es una variable aleatoria continua entonces f (x) = F (x), una vez X + Y , con función de distribución F S (s) = P r[S s] = P r[X + Y s] obtenida f (x) se calculan E [X ] y V ar[X ] p or definici´ on. Caso 1: X y Y son dos variables aleatorias discretas no negativas, si aplicamos b) Las siguientes relaciones se demuestran en Probabilidad II: la ley de las probabilidades totales a F S (s) obtenemos:

≤

|

E [X ] = E [E [X I ]] V ar[X ] = V ar(E [X I ]) + E [V ar(X I )]

(2.11) (2.12)

F S (s) =

Sea Z 1 = E [X I ], esta variable aleatoria depende de otra variable aleatoria (I ), es decir:

=

|

|

|

|

Z 1 =



E [X I = 1] = E [1B I = 1] = E [B I = 1] E [X I = 0] = E [0B I = 0] = E [0 I = 0] = 0

| |

| |

|

|

I = 1 I = 0

Sea Z 2 = V ar(X I ), esta variable aleatoria depende de otra variable aleatoria (I ), es decir:

|

  

P r(X + Y

≤ s | Y = y)P r(Y = y)

P r(X + y

≤ s | Y = y)P r(Y = y)

y≤s

y≤s

=

P r(X

y≤s

≤ s − y | Y = y)P r(Y = y)

Cuando X y Y son variables independientes tenemos que:



F S (s) =

P r(X

y≤s

Z 2 =



V ar(X I = 1) = V ar(B I = 1) V ar(X I = 0) = V ar(0 I = 0) = 0

| |

|

|

I = 1 I = 0

≤ s − y)P r(Y = y)

f S (s) =



f X (s

y≤s

|

− q)0 = qE [B|I = 1]

|

(2.13)

V ar(E [X I ]) = V ar[Z 1 ] = E [Z 12 ] E [Z 12 ] =

|

2

2

− E [Z 1]2

− q) = µ2q V ar(E [X | I ]) = V ar[Z 1 ] = E [Z 12 ] − E [Z 1 ]2 = µ2 q − (µq)2 = µ2 q(1 − q) E [V ar(X | I )] = E [Z 2 ] = V ar(B | I = 1)q + 0(1 − q) = V ar(B | I = 1)q E [B I = 1] q + 0 (1

|

− y)f Y (y)

(2.16)

Caso 2: X y Y son dos variables aleatorias continuas no negativas, si aplicamos la ley de las probabilidades totales a F S (s) obtenemos:

Si denotamos µ = E [B I = 1], entonces E [X ] = qµ

(2.15)

y su respectiva función de probabilidades puede ser calculada como:

Por lo tanto, E [X ] = E [Z 1 ] = qE [B I = 1] + (1

≤

s

F S (s) =



P r(X

0

≤ s − y | Y = y)f Y (y)dy

Cuando X y Y son variables independientes: s

F S (s) =

  0

f S (s) =

0

F X (s

− y)f Y (y)dy

(2.17)

f X (s

− y)f Y (y)dy

(2.18)

s

En probabilidad, la operación en las ecuaciones (2.15) y (2.17) es llamada la convo- idénticamente distribuidas pero si son independientes. luci´ on de las funciones de distribución F X (x) y F Y (y), y es denotada por F X F Y . n

∗

E [S ] =

Para determinar la distribución de la suma de más de dos variables aleatorias, podemos usar el proceso de convolución iterativamente. Para S = X 1 + X 2 + + X n donde las X i ’s son variables aleatorias independientes, F i es la función de distribución de X i , y F (k) es la funci´ on de distribución de X 1 + X 2 + + X k , procedemos as´ı:

···

(4)

F

∗ = F 4 ∗ F (3)

(2.20)

V ar(S ) =

V ar(X i )

(2.21)

i=1

Cuando n es âsuficientementeˆ a grande, S

F (2) = F 2 F (1) = F 2 F 1 F (3) = F 3 F (2)

E [X i ]

i=1 n

···

∗

 

∗

∼ N (E [S ], V a r(S )), por lo que: S − E [S ] ≤ s − E [S ] ] P r[S ≤ s] = P r[

(2.19)

.. .

≈

F (n) = F n F (n−1)

∗

donde Z





V ar(S ) V ar(S ) s E [S ] P r[Z ] V ar(S )

≤ −



(2.22)

∼ N (0, 1) Calcular P r[Z ≤ z] es d´ıficil pues no tiene una expresión algebraica y por ello se 2.8. Aproximaci´ on a la Distribuci´ o n de la Suma recurre a tablas de la distribución normal o a programas de cómputo como Excel ˆ R y Mathematica A ˆ R. de Variables Aleatorias (Teorema Central del A L´ımite) El enunciado usual del Teorema Central del L´ımite es que tenemos una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas X 1 , X 2 , . . . con ¯ n µ)/σ, 1 E [X i ] = µ y V ar(X i ) = σ 2 . Para cada n, la variable aleatoria n(X tiene media 0 y varianza 1. Cuando n es grande, el teorema es aplicado para apro¯ n con una distribución normal con media µ y varianza ximar la distribución de X 2 σ /n.

√

−

La efectividad de esta aproximación no solamente depende del número de variables sino tambi´ en de la desviaci´ on de la distribució n de los sumandos de la normalidad. Muchos libros de texto de estad´ıstica elemental recomiendan que n sea al menos 30 para que la aproximación sea ârazonableˆ a. El Teorema Central del L´ımite puede extenderse a sucesiones de variables aleatorias que no son id´ enticamente distribuidas (pero si independientes). La aplicación del teorema al Modelo de Riesgo Individual es la siguiente: Sea S = X 1 + X 2 + 1

¯n = X

1 n

n

i=1

Xi

··· + X n = nX ¯n donde no necesariamente las X i’s son

Cap´ıtulo 3

Funciones Biom´ etricas y Tablas de Mortalidad Este cap´ıtulo esta basado en el Cap´ıtulo 3 de [1]. En este tema desarrollamos un conjunto de ideas para describir y usar la distribuci´ on del tiempo hasta la muerte y la distribución de la correspondiente edad a la muerte. Mostramos como la distribución de la variable aleatoria edad a la muerte puede ser resumida en una tabla de vida. Tales tablas son útiles en muchos campos de la ciencia, por ejemplo, 1) los ingenieros usan tablas de vida para estudiar la confiabilidad de sistemas electrónicos complejos; b) los bioestad´ısticos usan las tablas de vida para comparar la efectividad de tratamientos alternativos de enfermedades y 3) los demógrafos usan las tablas de vida como herramientas en las proyecciones de población.

• s(x) = 1 − F X (x) = P r(X > x): es la función de sobrevivencia y representa la probabilidad de que un reci´ en nacido alcance la edad x, s(0) = 1 − F X (0) = 1 − 0 = 1. • Definición de probabilidad condicional: La probabilidad del evento A dado que ocurri´ o el evento B es

P r[A B] =

|

P r[A B] P r[B]

donde P r[B] > 0, en consecuencia, P r[A

∩

(3.1)

∩ B] = P r[A | B]P r[B].

• P r(x < X

Una tabla de vida es un componente indispensable de muchos modelos en la ciencia actuarial, de hecho, algunos eruditos establecen el año de inicio de la ciencia actuarial como 1693 en el que Edmund Halley publicó ˆ aAn Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Various Tables of Births and Funerals at the City of Breslauâ .

< X ≤ z) ≤ z | X > x) = P r(x P r(X > x) F X (z) − F X (x) = 1 − F X (x) s(x) − s(z) =

(3.2)

s(x)

3.1.

Definiciones

• X : variable aleatoria continua que representa la edad a la muerte de un recién nacido, es no negativa (X ≥ 0). • F X (x) = P r(X ≤ x) es la función de distribución de la variable aleatoria

X , (asumimos que F X (0) = 0) y representa la probabilidad de que un reci´ en nacido muera antes o en la edad x.

es la probabilidad condicional de que un recién nacido muera entre las edades x y z dado que sobrevive a la edad x.

• (x): vida o persona de edad x • T (x) = X − x | X > x representa la variable aleatoria tiempo de vida futuro de (x)

• tqx = P r[T (x) ≤ t], t ≥ 0 representa la probabilidad de que (x) muera dentro de los próximos t a˜ nos.

• t px = P r[T (x) > t] = 1 − tqx, t ≥ 0 representa la probabilidad de que (x)

3.

alcance la edad x + t

t|u qx

• Solo cuando t = 1, por convención, escribimos qx, px y no 1qx, 1 px

= P r[x + t < X x + t + u X > x] P r[x + t < X x + t + u] = P r[X > x] s(x + t) s(x + t + u) = s(x) s(x + t) s(x + t) s(x + t + u) = s(x + t) s(x) s(x + t) s(x + t) s(x + t + u) = s(x) s(x + t) = ( t px )(u qx+t )

≤ ≤

|

−

• t|u qx

= P r[t < T (x) < t + u] = P r[T (x) < t + u] P r[T (x) < t] = t+u qx t qx = (1 t+u px ) (1 t px ) = t px t+u px

−

−

−

− −

(3.3)

−

es la probabilidad de que (x) sobreviva t a˜ nos y muera dentro los siguientes u a˜ nos, dicho de otra manera, la probabilidad de que ( x) muera entre las edades x+t y x+t+u

3.2.

×

−

×

−

(3.6)

Tiempo de Vida Futuro Truncado (CurtateFuture-Lifetime )

• Solo cuando u = 1, por convención escribimos t|qx y no t|1qx • Si expresamos a tqx, t px, t|uqx en términos de la variable aleatoria edad a la muerte X , obtenemos:

Una variable aleatoria discreta asociada con el tiempo de vida futuro es el número de a˜ nos futuros completados por (x) antes de la muerte. La variable recibe el nombre de Tiempo de Vida Futuro Truncado ( Curtate-Future-Lifetime ) de (x) y es denotada por K (x). Su función de probabilidades es:

1. t qx

= P r[X x + t X > x] P r[x < X x + t] = P r[X > x] s(x) s(x + t) = s(x) s(x + t) =1 s(x)

≤

≤

≤

|

−

(3.4)

3.3.

≤

(3.7)

Fuerza de Mortalidad

La fuerza de mortalidad es una función de densidad condicional, es decir, para cada x nos da el valor de la función de densidad condicional de X a la edad x dada la sobrevivencia a dicha edad, y es denotada por µ(x):

2. = P r[X > x + t X > x] P r[X > x + t] = P r[X > x] s(x + t) = s(x)

−

−

−

t px

P r[K (x) = k] = P r[k (<)T (x) (<)k + 1] = P r[T (x) > k] P r[T (x) > k + 1] = k px k+1 px = ( k px )(qx+k ) = k| qx , para k = 0, 1, 2, . . .

|

(3.5)

µ(x) =

f X (x) = 1 F X (x)

−



s (x) − d ln[s(x)] =− dx s(x)

(3.8)

Dentro de la âteor´ıa de la confiabilidadâ (de la ingenier´ıa), en el estudio de las

probabilidades de sobrevivencia de partes fabricadas y sistemas, µ(x), es llamada la tasa de falla o tasa de riesgo o, más generalmente, la función tasa de riesgo.

3.4.

La fuerza de mortalidad puede ser usada para especificar la distribución de X , si a partir de (3.8) realizamos despejes y cambiamos a x por y:

3.4.1.

Integrando de ambos lados, de x a x + n, obtenemos: x+n

Enfoque de Grupo de Sobrevivencia Aleatorio

Consideremos un grupo de l0 reci´ en nacidos, cada uno de los cuales tiene una edad a la muerte con función de sobrevivencia s(x). Sea L(x) la variable aleatoria que denota el n´ umero de sobrevivientes de edad x de los l0 recién nacidos, por lo que:

−µ(y)dy = d ln[s(y)]

 −

Tablas de Vida

l0

x+n

µ(y)dy =

x



L(x) =

d ln(s(y))

s(x + n) s(x) = ln(n px )

− ln(s(x))

I j =

= ln

⇒ n px = e− y realizando el cambio de variable s = y n px

= e−

 x+n x

I j

j=1

x

= ln(s(x + n))





1 0

si el recién nacido sobrevive a la edad x en otro caso P r[I j = 1] = s(x) E [I j ] = s(x)

µ(y)dy

l0

− x, obtenemos

 n 0

E [L(x)] =



E [I j ] = l0 s(x) = lx

j=1

µ(x+s)ds

(3.9)

Sea n Dx la variable aleatoria que denota el número de muertes entre las edades x y x + n de los iniciales l0 recién nacidos. Realizando un análisis similar al de L(x), En el caso particular de x = 0 (un reci´ en nacido), recuperamos la funció n de obtenemos que: sobrevivencia de la variable aleatoria edad a la muerte X : E [n Dx ] = l0 [s(x) s(x + n)] = lx lx+n = n dx  − 0n µ(s)ds n p0 = s(n) = e La relación con la fuerza de mortalidad es:

−



Sean F T (x) (t) y f T (x) (t) la función de distribució n y la función de densidad de probabilidades de T (x), respectivamente. Ya sabemos que t qx = P r[T (x) t] = F T (x) (t), por lo tanto:

µ(x) =

≤

d d d F (t) = t qx = (1 t px) dt T (x) dt dt d s(x + t) d s(x + t) = (1 )= ( ) dt s(x) dt s(x) s (x + t) s(x + t) s (x + t) = = s(x) s(x) s(x + t) = t px µ(x + t)

f T (x) (t) =

3.4.2.

−

−

−

×−

−

×

−



(x) l0 s (x) (l0 s(x)) =− =− − ss(x) l0 s(x) l0 s(x)



=

− (llxx)



Enfoque de Grupo de Sobrevivencia Determinista

Un grupo de sobrevivencia determinista tiene las siguientes caracter´ısticas: (3.10)

• El grupo inicialmente consiste de l0 vidas de edad cero (radix ). • Los miembros del grupo están sujetos a tasas anuales de mortalidad especificadas por qx

• El grupo es cerrado, ningún entrante es permitido. Las únicas salidas son resultado de las tasas anuales de mortalidad.

• Esperanza de Vida Completa (complete-expectation-of-life ): ∞

◦

ex = E [T (x)] =



∞

tt px µ(x + t)dt =

0

El n´ umero de vivos y muertos en la edad x se obtienen:



l1 = l0 (1 q0 ) = l0 d0 l2 = l1 (1 q1 ) = l1 d1 = l0 (d0 + d1 ) .. .

−

− −

−

− qx−1) = lx−1 − dx−1 = l0

 −

−tt px|∞0 +

tt px µ(x + t)dt =

0

• E [T (x)2 ] =

x−1

lx = lx−1 (1

∞



dy

∞

t px dt

=0+

0

t2 t px µ(x + t)dt = 2



t px dt

0

∞



tt px dt

0

La u ´ ltima igualdad se prueba integrando por partes.

y=0

• V ar[T (x)] = E [T (x)2 ] x−1

lx = lx−1 px−1 = l0 (



py )

A partir de las fórmulas anteriores se puede demostrar que: lx+t t px = lx t dx t qx = lx u dx+t t|u qx = lx

− E [T (x)]2

• Mediana del tiempo de vida futuro de ( x), denotada por m(x): 1 P r[T (x) > m(x)] = = P r[T (x) ≤ m(x)], m(x) =? 2

y=0

(3.11) (3.12)

• La moda de la distribución de T (x), es un número t∗, tal que f T (x) (t) = t px µ(x + t)

alcanza un máximo local. La moda no necesariamente es única.

• nLx: n u´mero total esperado de años vividos entre las edades x y x + n por los sobrevivientes de un grupo inicial de l0 vidas n

(3.13)

n Lx



= lx [

=

0

=

tlxt px µ(x + t)dt + nlx+n

n

tlx+t µ(x + t)dt + nlx+n

0

= [a˜ nos vividos por aquellos que murieron entre las edades x y x + n] +[a˜ nos vividos por aquellos que sobrevivieron a la edad x + n] Integrando por partes vamos a simplificar el primer sumando de la expresión anterior: n

Otras Caracter´ısticas de la Tabla de Vida

 

tt pxµ(x + t)dt + nn px ]

0

n

Nota: Aunque los fundamentos matemáticos de los dos enfoques son distintos, las funciones resultantes t qx , lx , t dx, son numéricamente iguales. El enfoque del grupo de sobrevivencia aleatorio tiene la ventaja de permitir el uso completo de la teor´ıa de la probabilidad, por ejemplo, se puede estudiar la variación en el número de sobrevivientes.

Para la variable aleatoria T (x):

∞



0

La expresi´ on para lx puede ser reescrita como:

3.5.

t px dt

0

La u ´ ltima igualdad se prueba integrando por partes: ∞

−



 0

tlx+t µ(x + t) = −tlx+t |n0 + n

⇒ nLx = ( −nlx+n +

 0

n

 0

n

lx+t dt = −nlx+n +

lx+t dt) + nlx+n =

n

 0



lx+tdt

0

lx+t dt

• Tasa Central de Mortalidad (Central-Death-Rate ) n n lx × t px µ(x + t)dt lx 0 t px µ(x + t)dt m = 0 = n

 

x



n 0 lx+t dt

=

lx (1

n Lx

n

n Lx

n Lx

ex:n| ¯ =

n Lx

∞

∞

tlx+t µ(x + t)dt =

0



lx+t dt = l´ım

n→∞

0

T x = lx

∞ 0 lx+t dt



lx

=

∞ 0 lxt px dt



lx

∞

=



k px

◦

t px dt

3.6.

Supuestos para Edades Fraccionales

n Lx

◦

• Otra forma de expresar ex:



k=1

de sobrevivientes con l0 miembros iniciales: T x =

N´ umero esperado de a˜ nos vividos (completos) entre las edades x y x + n por los lx sobrevivientes a edad x:

− n px) = lx − lx+n = ndx

• T x: n u´mero total esperado de años vividos más allá de la edad x por el grupo



• Esperanza de Vida Truncada Temporal (temporary curtate life expectancy ):

= ex

0

Para especificar la distribució n de T , debemos postular una forma anal´ıtica o adoptar una tabla de vida con un supuesto acerca de la distribución entre enteros, para el segundo caso, examinaremos tres supuestos que son ampliamente usados en la ciencia actuarial. Estarán establecidos en términos de la función de sobrevivencia y en una forma para mostrar la naturaleza de interpolación sobre el intervalo (x, x + 1) implicada por cada supuesto.

• Esperanza de Vida Completa Temporal (temporary complete life expectancy ):

En cada enunciado, x es un entero no negativo y 0 < t < 1. Los supuestos N´ umero esperado de a˜ nos vividos entre las edades x y x + n por los lx sobre- se muestran en el Cuadro 3.1. Las implicaciones de usar cada una de las intervivientes a edad x: polaciones sobre las funciones t qx , µ(x + t) y t px se presentan en la Figura 3.1 n n T x T x+n ◦ n Lx 0 lx+t dt ex:n| = = = ¯ = t px dt lx lx lx 0



−



3.7.

Para la variable aleatoria K (x):

• Esperanza de Vida Truncada (curtate-expectation-of-life): ex = E [K (x)] =

∞

∞





k

k=0

× k px × qx+k =

k px

k=1

La u ´ltima igualdad se prueba sumando por partes.

•

∞

E [K (x)2 ] =



k=0

∞

k2 k px

× qx+k =



(2k

k=1

− 1)k px

La u ´ltima igualdad se prueba sumando por partes.

• V ar[K (x)] = E [K (x)2 ]

− E [K (x)]2

Algunas Leyes de Mortalidad Anal´ıticas

Hay tres justificaciones para postular una forma anal´ıtica para funciones de sobrevivencia: 1. Filos´ ofica: Muchos fen´ omenos estudiados en la f´ısica pueden ser explicados eficientemente por fórmulas simples, por lo tanto, usando argumentos biológicos, algunos autores sugieren que la sobrevivencia humana puede ser gobernada por f´ ormulas igualmente simples. 2. Práctica: Es más f´ acil entender y comunicar una función con pocos parámetros en vez de comunicar una tabla con cien o más probabilidades (como una tabla de mortalidad). 3. Estimació n: Una función de sobrevivencia anal´ıtica y simple con pocos par´ ametros es fácil de estimar (con datos observados y un método de estimaci´ on como método de momentos o máxima verosimilitud).

Cuadro 3.1: Supuestos para Edades Fraccionales con t Interpolaci´ on Lineal

Exponencial

Arm´ o nica

Distribuci´ on Es conocida como la distribución uniforme o distribución uniforme de las muertes dentro de cada a˜ no de edad Fuerza de mortalidad constante dentro de cada añ o de edad Se conoce como el supuesto hiperbólico o de Balducci, aqu´ı t px es una curva hipérbolica

∈ (0, 1), x ∈ Z+0

Expresi´ on s(x + t) = (1 t)s(x) + ts(x + 1)

−

ln s(x + t) = (1

1 s(x+t)

− t) ln s(x) + t ln s(x + 1) =

1−t s(x)

+

t s(x+1)

El apoyo a funciones de sobrevivencia simples ha declinado en a˜ nos recientes. Muchos opinan que la creencia en leyes de mortalidad universales es ingenua. Sin embargo, algunas investigaciones recientes han reiterado los argumentos biológicos para leyes de mortalidad anal´ıticas. El Cuadro 3.2 presenta tres leyes de mortalidad.

3.8.

1

Tablas Selectas

Existen situaciones con información adicional disponible acerca de (x) que har´ıa que la función de sobrevivencia original fuera inapropiada para evaluar probabilidades acerca del tiempo de vida futuro de ( x). Ejemplos:

Figura 3.1: Funciones de Probabilidad para Supuestos de Edades Fraccionales, (Actuarial Mathematics, p. 75 [1])

2. Una persona está discapacitada a la edad x. Esta información nos llevar´ıa a creer que el tiempo de vida futuro de ( x) tiene una distribución distinta de los que no están discapacitados a edad x. La información adicional nos conduce a que el modelo completo para esos vivos es un conjunto de funciones de sobrevivencia, una para cada edad en la que la informaci´ on está disponible, por ejemplo, la emisión del seguro o la declaración de discapacidad. Este conjunto de funciones de sobrevivencia puede ser pensado como una función de dos variables: una variable es la edad a la selección (por ejemplo, la emisión de la póliza o la declaración de discapacidad), [x], y la segunda variable es la duración desde la edad a la selección, t. En actuar´ıa, tal tabla de vida de dos dimensiones es llamada Tabla de Vida Selecta ( select life table ).

El impacto de la selección en la distribución del tiempo futuro de vida T (x) puede disminuir después de la selección. M´ as allá de un periodo r (llamado per´ıodo 1. Una persona de edad x tiene un seguro de vida. Esta información podr´ıa hacer creer que la distribución del tiempo futuro de vida de ( x) fuera diferente de selecto) las q’s de las edades alcanzadas pueden ser casi iguales sin observar el tiempo de selección, es decir: la función de sobrevivencia de las personas no aseguradas. 1

m = B/ ln(c), u = k/(n + 1)

q[x−j]+r+j

≈ q[x]+r , j > 0

(3.14)

Creador De Moivre (1729) Gompertz (1825) Makeham (1860) Weibull (1939)

Cuadro 3.2: Funciones de Sobrevivencia bajo varias Leyes µ(x) s(x) Restricciones (x

− ω)−1

Bc x A + Bc x kxn

1

− ωx

exp[ m(cx

− 1)] exp[−Ax − m(cx − 1)] exp[−uxn+1] −

0

≤x≤ω

B > 0, c > 1, x

≥0

B > 0, A

≥ −B,c > 1, x ≥ 0 k > 0, n > 0, x ≥ 0

Una tabla de vida en la cual las funciones dep enden solamente de edades alcanzadas se llama tabla agregada (aggregate table ). Figura 3.2: Estructura de una Tabla Agregada

Figura 3.3: Estructura de una Tabla de Vida Selecta

Cap´ıtulo 4

´ Primas Netas Unicas de Seguros de Vida Este cap´ıtulo esta basado en el Cap´ıtulo 4 de [1].

4.1.1.

Seguros con Beneficio Nivelado

En este tema desarrollamos modelos para los seguros de vida cuyo fin es reducir Un seguro de vida temporal n a˜ nos (n-year term life insurance ) provee un pago el impacto financiero del evento muerte. Debido que la mayor parte de estos seguros solo si el asegurado muere dentro de un plazo de n a˜ nos que comienza a partir son a largo plazo, el monto de las ganancias de las inversiones hasta el momento de la emisió n de la póliza. Si una unidad monetaria es pagable al momento de la del pago provee un elemento significativo de incertidumbre cuyas causas son la muerte de (x), entonces: tasa desconocida de rendimientos y el periodo de inversi´ on. En este curso se usa una distribución de probabilidad para modelar el periodo de inversión pero se usa un modelo determinista para los rendimientos desconocidos, dicho de otra manera, 1 t n nuestro modelo será construido en función de T (x), la variable aleatoria tiempo de bt = 0 t> n vida futuro del asegurado.

•

Nuestro modelo será u ´ til en cualquier situación donde el monto y el momento del impacto financiero puedan ser expresados únicamente en términos del tiempo a la ocurrencia del evento aleatorio.

4.1.

Seguros Pagables al Momento de la Muerte

• bt: monto del beneficio al tiempo de muerte t. • vt: factor de descuento desde la emisión de la póliza hasta el tiempo de muerte t, es determinista, i.e., no tiene una distribución de probabilidad.

• vt = vt = exp[−tδ] 2 •

x:n|



v T 0

T n T >n

≤





0

0

El j-ésimo momento de la distribución de Z es: E [Z j ] =

pago del beneficio.

n

  0

• Z T = bT vT : variable aleatoria que representa el valor1presente al momento de

=

la emisión de la póliza (t = 0) del pago del beneficio.

T = T (x)

Z =

≤

La esperanza de la variable aleatoria valor presente, Z , es llamada valor presente actuarial: ∞ n E [Z ] = A¯ 1 ¯ = zt f T (t)dt = v t t pxµx(t)dt (4.1)

• zt = btvt: valor presente al momento de la emisión de la póliza (t = 0) del 1



0

2

n

(v t )j f T (t)dt =

n



(e−δt )j t px µx (t)dt

0

(4.2)

e−(δj)t t pxµx(t)dt = j A¯x: 1 ¯ n|

A menos que se diga lo contrario, se asume que la fuerza de inter´ es δ es constante y positiva

Cuando usamos una f uerza de interés constante δ, calcular el j-ésimo momento de la distribución de Z , es equivalente a calcular el valor presente actuarial de Z con una fuerza de interés δ  = jδ. Un seguro de vida vitalicio (whole life insurance ) otorga un pago a la muerte del asegurado en cualquier momento del futuro. Si el pago es por una unidad monetaria al momento de la muerte de ( x), entonces:

• bt = 1, t ≥ 0 • vt = vt = exp [−tδ] • Z = vT , T ≥ 0

• bt = 1, t ≥ 0 • •

vt =

Z =

 

vt vn

t n t> n

v T vn

T n T >n

≤

≤

Este seguro puede ser visto como la combinación de un seguro de vida temporal n a˜ nos y un dotal puro temporal n años, cada uno con un pago de una unidad monetaria, y sean Z 1 y Z 2 sus respectivas variables aleatorias valor presente. Sea Z 3 = Z 1 + Z 2 , por lo tanto:

y su valor presente actuarial es: E [Z ] = A¯x =

∞



∞

t

v f T (t)dt =

0



t

v t px µx (t)dt

Z 1 =

(4.3)

0

Z 2 =

La relación con el seguro temporal n a˜ nos es l´ım n→∞ A¯ 1

¯ x:n|

bt =

• vt = vt = exp [−tδ], t ≥ 0 •



0 1

v T 0

T n T >n

0 vn

T n T >n

Z 3 = Z 1 + Z 2 =

Un dotal puro temporal n a˜ nos(n-year pure endowment ) otorga un pago al final de los n a˜ nos, si y solo si, el asegurado sobrevive al menos n años desde el tiempo de la emisión de la póliza. Si el monto pagable es una unidad monetaria, entonces:

•

 

≤

≤



vT vn

T n T >n

≤

¯1 A¯x:n| ¯ = E [Z 3 ] = E [Z 1 ] + E [Z 2 ] = A

¯ x:n|

+A

≤

Z =

0 vn

(4.5)

V ar(Z 3 ) = V ar(Z 1 ) + V ar(Z 2 ) + 2Cov(Z 1 , Z 2) Cov(Z 1 , Z 2 ) = E [Z 1 Z 2 ] E [Z 1 ]E [Z 2 ] pero Z 1 Z 2 = 0 Cov(Z 1 , Z 2 ) = E [Z 1 ]E [Z 2 ] = A¯x: 1 ¯A 1 n|

t n t> n

−

⇒ − − ¯ x:n| ¯ ⇒ V ar(Z 3) = V ar(Z 1) + V ar(Z 2) − 2Ax:n|¯ Ax:n|¯ 1



1

¯ x:n|

T n T >n

≤

Su valor presente actuarial es:

1

Un seguro diferido m a˜ nos (m-year deferred insurance ) otorga un beneficio a la muerte del asegurado solo si este u ´ ltimo muere m a˜ nos después de la emisión de la (4.4) póliza. El beneficio y el plazo del seguro puede ser alguno de los ya discutidos, por E [Z ] = A 1 = vn f T (t)dt = v n f T (t)dt = v n n px = n E x ¯ x:n| n n ejemplo, un seguro de vida vitalicio diferido m a˜ nos con un pago de una unidad N´ otesen las diferencias con la notación del seguro de vida temporal n a˜ nos. monetaria al momento de la muerte tiene: ∞



∞



Un seguro dotal mixto n a˜ nos (n-year endowment insurance ) provee un pago si ocurre la muerte del asegurado o si el asegurado sobrevive al final del plazo de n años, cualquiera que ocurra primero. Si el seguro es por una unidad monetaria, entonces:

•

bt =



1 0

t> m t m

≤

• vt = vt = exp [−δt] •

Z =



vT 0

,t ≥ 0 • bt = tm+1 m • vt = vt, t ≥ 0 • Z = Tmm+1 vT , T ≥ 0

T >m T m

≤

y su valor presente actuarial es:

El valor presente actuarial es: E [Z ] =

¯ m| Ax =

∞



v t f T (t)dt =

m

4.1.2.

∞



vt t px µx (t)dt

(4.6)

m

∞

tm + 1 vtt pxµx(t)dt



m

0

(4.8)

El caso l´ımite, cuando m , en el seguro de vida vitalicio con incrementos cada m-ésima parte de año, es un seguro que paga t al momento de la muerte t. Sus funciones son:

→∞

Seguros con Beneficio Variable

El modelo general Z = bT vT puede ser usado para una gran variedad de situaciones. Ya hemos visto modelos donde el beneficio es constante (una unidad monetaria). El mo delo también puede ser aplicado donde el monto del b eneficio por muerte se incrementa o disminuye en progresión aritmética sobre to do o parte del plazo del seguro. Un seguro de vida vitalicio con incrementos anuales (anually i ncreasing whole life insurance) provee un monto de 1 al momento de la muerte si esta ocurre en el primer a˜ no, un monto de 2 si la muerte ocurre en el segundo año, y as´ı sucesivamente:

• bt = t, t ≥ 0 • vt = vt, t ≥ 0 • Z = T vT , T ≥ 0 y su valor presente actuarial es: ¯A) ¯x= E [Z ] = (I

∞



tvt t px µx (t)dt

(4.9)

0

El seguro de vida temporal a n años con pagos anuales decrecientes (anually decreasing n-year term life insurance ), otorgando n unidades monetarias cuando la muerte ocurre durante el primer año, n 1 si la muerte ocurre durante el segundo a˜ no, y as´ı sucesivamente, con cobertura terminando al final del n-ésimo a˜ no. Tal seguro tiene las siguientes funciones:

• bt = t + 1, t ≥ 0 • vt = vt, t ≥ 0 • Z = T + 1vT , T ≥ 0

−

La función se llama máximo entero menor o igual a y puede interpretarse como un truncamiento, por ejemplo, 1.01 =1, 1.99 =1, 1.50 =1 (solo queda la parte entera del número). El valor presente actuarial del seguro en cuestión es:

·

¯ = E [Z ] = (I (m) A) x



¯ = E [Z ] = (I A) x





∞

  0



t

· 

t + 1 v t px µx (t)dt





(4.7)

• • vt = vt, t ≥ 0 •

bt =



n 0



(n 0

− T )vT

Z =

Los incrementos en el beneficio del seguro pueden ocurrir más de una vez al año. Para un seguro de vida vitalicio con incrementos cada m-ésima parte de año El valor presente actuarial es: (m-thly increasing whole life insurance ), el b eneficio ser´ıa 1 /m si la muerte ocurre durante la primera m-ésima parte del primer año, 2/m si la muerte ocurre durante ¯ 1 = E [Z ] = (DA) ¯ x:n| la segunda m-ésima parte del primer año, y as´ı sucesivamente:

− t

n

 0

(n

t n t> n

≤

T n T >n

≤

− t)vtt pxµx(t)dt

(4.10)

4.2.

Seguros Pagables al Final del A˜ no de la 4.3. Muerte

En la práctica, la mayor´ıa de los beneficios son considerados pagables al momento de la muerte y ganan inter´ es hasta que el pago realmente es hecho. No se pagan exactamente al momento en que muere el asegurado ya que la aseguradora tiene que comprobar que la muerte ocurrió y además bajo las condiciones de la póliza. En la mayor´ıa de las aplicaciones de seguro de vida, la mejor información disponible de la distribución de probabilidad de T est´ a en la forma de una tabla de vida. Esta es la distribución de probabilidad de K , el tiempo de vida futuro truncado del asegurado al momento de la emisión de la póliza, una función de T . En este tema construiremos modelos para seguros de vida en los cuales el monto y el tiempo del pago de los beneficios por muerte dependen solamente del nú mero de años enteros vividos por el asegurado desde la emisi´ o n de la póliza hasta el tiempo de muerte. Nos referimos a estos seguros simplemente como pagaderos al final del año de muerte (payable at the end of the year of death ).

Relaciones entre Seguros Pagaderos al Momento de la Muerte y los que se Pagan al Final del A˜ no de Muerte

• T (x) = T : variable aleatoria tiempo de vida futuro • K (x) = K : variable aleatoria tiempo de vida futuro truncado • S : variable aleatoria que representa la parte fraccional del año vivida durante el a˜ no de muerte, S ∈ [0, 1] Ejemplo: (x) murió a la edad x+40.32, entonces, T =40.32, K = 40 y S =0.32, T = K + S =40+0.32

El evento (K = k S s) es igual al evento (k < T k + s), por lo tanto, P r(K = k S s) = P r(k < T k + s) = (k px )(s qx+k ). Si suponemos una distribución uniforme de las muertes a lo largo del año, entonces, k+1 La función de beneficio, bk+1 , y la función de descuento, v son respectivamen- s qx+k = sqx+k , s (0, 1). te, el monto del beneficio y el factor de descuento cuando el tiempo de vida futuro P r[(K = k) (S s)] = k px s qx+k = k px sqx+k truncado es k, esto es, cuando el asegurado muere en el año k + 1. La variable = qx+k s = k| qx s = P r[K = k]P r[S s] k px aleatoria valor presente ser´ıa Z = bK+1 vK+1 . donde S U (0, 1) Para un seguro temporal n a˜ nos que provee un pago de una unidad monetaria Por lo tanto, K S , y además S tiene una distribución uniforme en (0, 1) al final del año de muerte, tenemos:

∩ ≤ ∩ ≤

≤

≤

∈

⇒

∩ ≤ ×

×

× ∼

×

×

≤

⊥

• • vk+1 = v •

bk+1 = k+1

,t



1 0

k = 0, 1, . . . , n en otro caso

Ahora vamos a demostrar que si S Dem.

−1

P r[R r] = P r[1 S r] = P r[S 1 r] = 1 P r[S < 1 r] = 1 (1 r) = r Por lo tanto R = 1 S U (0, 1)

≤ −

≥0 Z =



v K+1 0

K = 0, 1, . . . , n en otro caso

−1

En clases de Probabilidad se E [g(X )]E [h(Y )].

n−1 ¯ x:n|

=



v k+1 k px qx+k

(4.11)

Z = bT vT

k=0

Si queremos obtener el j-ésimo momento de Z : E [Z j ] = El resto de los seguros se presentan en la Figura 4.1.

− ≤ ≥ − − − − − ∼ prueba que si X ⊥ Y ⇒

E [g(X )h(Y )] =

Recordemos que el modelo general para un seguro que se paga al momento de la muerte es

El valor presente actuarial para este seguro es: E [Z ] = A 1

∼ U (0, 1) entonces R = 1 − S ∼ U (0, 1)

n−1 k+1 j ) k px qx+k k=0 (v



que para este tema lo vamos a restringir a:

• vT = vT

solo depende de la parte entera de T , es decir, K , por esta • bT : función que ∗ raz´ on, bT = bK+1 es una mejor notación

Adem´ as, recordemos que T = K + S, S

∼ U (0, 1)

⇒ Z = bT vT = b∗K+1vT = b∗K+1vK+1(1 + i)1−S

E [Z ] = E [b∗K+1 v K+1 (1 + i)1−S ] = E [b∗K+1 v K+1 ]E [(1 + i)1−S ] Calculemos la esperanza: E [(1 + i)1−S ] =

1



(1 + i)1−s (1)ds =

0 (1−s) ln(1+i)

=

1



e(1−s) ln(1+i) ds

0

ln(1+i)

e − e ln(1 + i) |10 = − ln(11+ i) + ln(1 + i) =

1+i i − ln(11+ i) + ln(1 = + i) δ

Por lo tanto, E [Z ] =

i E [b∗K+1 v K+1 ] δ

(4.12)

Ejemplos: 1. La distribuci´ on de las muertes a lo largo del año es uniforme. Usted conoce el valor de Ax . Calcular A¯x . El beneficio depende de K , es decir, bT = 1 = b∗K+1 (la función constante), A¯x = (i/δ)Ax

⇒

2. La distribuci´ on de las muertes a lo largo del año es uniforme. Usted conoce el ¯ 1 . valor de (IA) 1 ¯ . Calcular (I A) ¯ x:n|

x:n|

El beneficio depende de K , es decir, bT = K + 1,

¯ ⇒ (I A) ¯ = (i/δ)(IA)x:n| ¯ x:n| 1

1

Figura 4.1: Resumen de Seguros Pagables al Final del Año de Muerte (Actuarial Mathematics, p. 118 [1])

Cap´ıtulo 5

´ Primas Netas Unicas de Anualidades Este cap´ıtulo esta basado en el Cap´ıtulo 5 de [1].

La función de densidad de probabilidades se obtiene de la siguiente manera:

d d ln(1 δy) Una anualidad de vida es una serie de pagos hechos continuamente o cada igual f Y (y) = F Y (y) = F T ( ) intervalo de tiempo (tales como meses, cuatrimestres o años) mientras una persody dy δ na determinada sobrevive. Puede ser temporal o de por vida. Los pagos pueden f T ( − ln(1−δy) ) 1 comenzar inmediatamente o ser diferidos. Los pagos pueden ser al inicio del inδ = ,0
−

−

−

A menos que se diga otra cosa, asumimos una tasa de inter´ es efectiva anual constante i (o su equivalente fuerza de interés constante δ), dicho de otra manera, el interés no es aleatorio.

(5.2)

∞

a ¯x = E [Y ] =

 0

a ¯t|¯ t pxµ(x + t)dt

(5.3)

Usando integración por partes se obtiene que: ∞

a ¯x =

5.1.

0

Anualidades de Vida Continuas

Iniciamos con anualidades que se pagan continuamente a una tasa de 1 por año que no son comunes en la práctica. Una anualidad vitalicia continua (whole life annuity ) da pagos hasta la muerte. Por lo tanto, la variable aleatoria valor presente de los pagos es Y = ¯aT | 0 donde T es el tiempo futuro de vida ¯ para T (x). La distribución de Y puede ser obtenida de la de T como sigue:

≥

≤ y) = P r(¯aT |¯ ≤ y) = P r(1 − vT ≤ δy) − ln(1 − δy) ] = P r(v T ≥ 1 − δy) = P r[T ≤ δ ln(1 − δy) 1 − = F T ( ), 0 < y <

F Y (y) = P r(Y

δ

δ



v tt px dt =

∞



t E x dt

(5.4)

0

Esta es la “forma de pago actual” ( current payment form ) del valor presente actuarial de la anualidad vitalicia continua. En general, la técnica de pago actual para determinar un valor presente actuarial para una anualidad es: 1 ∞

AP V =



v tP r[pagos sean hechos al tiempo t]

0

× [monto del pago al tiempo t]

(5.5) Por lo general, es má s f´ acil calcular un valor presente actuarial de anualidad con la técnica de pago actual. N´ otese que la siguiente relación es v´ alida para todos los valores de t:

(5.1)

T 1 = δ¯aT | ¯ +v 1

APV: actuarial present value

(5.6)

n La variable aleatoria Y tiene un máximo de l´ımT →∞ Y = 1/δ a ¯n| ¯ = v /δ y la probabilidad de que tome un valor de cero es P r[Y = 0] = P r[T n] = n qx . Su (5.7) valor presente actuarial es:

Tomando esperanzas de ambos lados de ( 5.6):

−

1 = δ¯ ax + A¯x Una forma de obtener la varianza de Y es: V ar(¯ aT | ¯ ) = V ar(

1

− vT ) = V ar(vT ) = 2A¯x − (A¯x)2 δ2

δ

δ2

∞

(5.8)

¯x = E [Y ] = 0 n| a

∞

=

El valor presente de una anualidad de vida temporal n a˜ nos (n-year temporary life annuity ) de 1 por año, pagable continuamente mientras (x) sobreviva durante los pr´ oximos n a˜ nos es: a ¯T | 0 T


× nqx +

 0

n

v n ¯as|¯

 ×

vn ¯at−n| ¯

n+s px µ(x

× t pxµ(x + t)dt + n + s)ds

(5.13)

∞

n

= v n px

≤ ≥



≤

a ¯s| ¯

0

× s px+nµ(x + n + s)ds

= n E x ¯ax+n

La distribución de Y es mixta. El máximo valor de Y esta limitado a ¯an| ¯ , y hay Se puede demostrar que: una probabilidad positiva asociada con ¯an| n) = n px . El valor presente ¯ de P r(T ¯x = ¯ax a ¯x:n| (5.14) ¯ n| a actuarial es: n a ¯x:n| ¯at|¯ t px µ(x + t)dt + ¯an| (5.9) Integrando por partes obtenemos la forma de pago actual de este valor presente ¯ = E [Y ] = ¯ n px actuarial: 0 ∞ ∞ Integrando por partes se encuentra la forma de pago actual: a ¯ = vt p dt = E dt (5.15)

≥

−



n

¯ax:n| ¯ =



v t pxdt

(5.10)

0



Z =

v T vn

0 T

≤ T
E [Y ] = a ¯x:n| ¯ = E [ y

1

− Z ] = δ

− A¯x:n|¯ δ

2 ¯ 2 Ax:n| (A¯x:n| ¯ ¯) V ar(Z ) V ar(Y ) = = δ2 δ2

−

Y =



0 = ¯aT | a ¯T | ¯ ¯ v n ¯aT −n| = ¯aT | ¯ ¯

−

− a¯n|¯



¯n| a ¯ ¯aT | ¯

T n T >n

≤

n

a ¯x:¯n| ¯ = E [Y ] =



0 T

≤ T
0

∞

a ¯n| ¯ t px µ(x + t)dt + ∞

= n qx ¯an| ¯ +

(5.11)

 n

 n

a ¯t|¯ t px µ(x + t)dt (5.16)

a ¯t|¯ t pxµ(x + t)dt

La notación x :¯n¯ indica que los pagos continuan hasta máx[T (x), n]. La forma de (5.12) pago actual se obtiene integrando por partes:

|

∞

a ¯x:¯n| an| ¯ + ¯ =¯

Una anualidad vitalicia diferida n a˜ nos (n-year deferred whole life annuity ) tiene la siguiente variable aleatoria valor presente: Y =

x

El valor presente actuarial es:

es decir, Z es la variable aleatoria valor presente de un seguro dotal mixto temporal n a˜ nos, por lo tanto: 1

t

n

Una anualidad de vida cierta por n a˜ nos (n-year certain and life annuity ) es una anualidad vitalicia con una garant´ıa de pagos por los primeros n años. La variable aleatoria valor presente es:

≤ ≥





t x

n

t

Otra forma de calcular el valor presente actuarial de una anualidad de vida temporal n a˜ nos es: 1−Z a ¯T | 0 T


n| x



v t t px dt

(5.17)

n

Se puede demostrar que: ¯ax:¯n| an| ¯x ¯ + n| a ¯ =¯

(5.18)

5.2.

Anualidades de Vida Discretas

•



Y =

¨K+1| a ¯ a ¨n| ¯

0 K
≤ ≥

La teor´ıa de las anualidades de vida discretas es análoga a la teor´ıa de las anualidades continuas, con integrales reemplazadas por sumas, integrandos por sumandos y diferenciales por diferencias. Para las anualidades continuas no hab´ıa distinción Su valor presente actuarial es: entre pagos al inicio o al final del intervalo de pago (anticipadas o vencidas) mienn−1 tras que para las anualidades discretas la distinción si tiene significado. E [Y ] = ä ¯ = a ¨



x:n|

∞

¯ k px qx+k k+1|

+

k=0

Una anualidad anticipada vitalicia (whole life annuity-due) paga un monto de una unidad monetaria al inicio de cada año por cada año que (x) sobrevive.

n−1

=





a ¨n| ¯ k px qx+k

k=n

(5.23)

äk+1| an| ¯ k px qx+k + ¨ ¯ n px

k=0

• Y : variable aleatoria valor presente de una anualidad anticipada vitalicia = 1−vd = 1−vi (1+i), donde K es la variable aleatoria tiempo • Y = äK+1| ¯ K +1

El valor presente actuarial en la forma de pago actual es:

K +1

futuro de vida truncado y d =

i 1+i

n−1

äx:n| ¯ =

(tasa de descuento)



v k k px

(5.24)

k=0

El valor presente actuarial de Y es (por definición de esperanza): ∞

E [Y ] = a ¨x =



Otra forma de encontrar el valor presente actuarial es:

∞

a ¨K+1| ¯ P r[K = k] =

k=0



a ¨K+1| ¯ k px qx+k

Y =

(5.19)

k=0

donde:

El valor presente actuarial tambi´ en se puede expresar como en la forma de pago actual2:

Z =

∞

äx =



v k k px



a ¨x:n| ¯ = E [

1

äx = E [

La varianza es: V ar(

− vK+1 ] = 1 − Ax d

(5.21)

d

1

− vK+1 ) = 2Ax − (Ax)2 d

d2

0 K
≤ ≥

d 1

− Z ) = d

(5.22) Y =



0 n

|äK+1−n| ¯

La variable aleatoria valor presente de una anualidad anticipada de vida Su valor presente actuarial es: temporal n a˜ n os (n-year temporary lif e annuity-due ) de una unidad monetaria por a˜ no es: E [Y ] = n| a ¨x = n E x äx+n = äx 2

Se prueba realizando una sumatoria por partes

d E [Z 2 ]

(5.25)

− E [Z ]

2

d2

(5.26)

Para una anualidad anticipada vitalicia diferida n a˜ n os (n-year deferred whole life annuityˆ adue) de una unidad monetaria pagable al inicio de cada año mientras (x) sobrevive de la edad x + n en adelante, la variable aleatoria es:

La varianza de Y se puede encontrar como: V ar(äK+1| ¯ ) = V ar(

d

− Z ] = 1 − Ax:n|¯

Una forma más de obtener el valor presente actuarial es: 1

− Z

v K+1 vn

(5.20)

k=0

1

0 K
≤ ≥

∞

− a¨x:n|¯ =



k=n

v k k px

(5.27)

Una anualidad anticipada de vida y cierta por n a˜ n os (n-year certain and life annuity-due) tiene una garant´ıa de pagos por al menos n a˜ nos. Su variable aleatoria Figura 5.1: Resumen de Anualidades de Vida Discretas [Anualidad de 1 por año pagable al inicio de cada año (anualidad anticipada) o al final del año (anualidad valor presente es: vencida)] (Actuarial Mathematics, p.148 [1]) a ¨n| 0 K


≤ ≥

Su valor presente actuarial es: E [Y ] = a ¨x:¯n| ¯ n−1

=



∞

a ¨n| ¯ P r[K = k] +

k=0

= än| ¯ n qx +



a ¨k+1| ¯ k px qx+k

k=n ∞



(5.28)

a ¨k+1| ¯ k px qx+k

k=n

y en la forma de pago actual: ∞

a ¨x:¯n| an| ¯ + ¯ =¨



vk k px = än| ax ¯ + n| ¨

(5.29)

k=n

Para las anualidades vencidas el desarrollo es muy similar. En la Figura 5.1 se encuentra una tabla resumen de anualidades anticipadas y vencidas.

5.3.

Anualidades de Vida con Pagos cada m-ésimo de A˜ no

5.3.1.

Antecedentes

Analicemos un seguro vitalicio que paga 1 unidad monetaria al final de la mésima parte del año en que ocurrió la muerte. Definamos:

• K : Variable aleatoria tiempo de vida futuro truncado • J : Variable aleatoria número de m-ésimos completados vividos en el año en que ocurri´ o la muerte

Ejemplo: La persona (25) tiene las X ’s mostradas en el Cuadro 5.1 donde m=10.

ˆ A¿Qu´ e relación tienen las variables aleatorias K y J ? Si asumimos que la dis-

Cuadro 5.1: X K J 37.35 12 3 37 12 0 39.93 14 9

=

1/m−1 1/m + i)1/m × v 1 − v−1/mv × (1 (1 + i)1/m

1 m

1 (1 + i) 1 m (1 + i)1/m 1 i = (m) i =

(m)

Por lo tanto, Ax

tribuci´ on del n´ umero de muertes a lo largo del año es uniforme, entonces:

=

−

×

−

i i E [v K+1 ] = i(m ) Ax i(m)

Para este tema, debemos recordar de Matemáticas Financieras lo siguiente: P r[K = k

∩ J ≤ j] = P r[k < T ≤ k + ( j + 1)/m]

(m)

= k px j +1 qx+k m

j + 1 = k px qx+k m j + 1 = ( k px )(qx+k ) m = f K (k)f J ( j), j 0, 1, . . . , m

∈{

J tiene una distribución uniforme en los enteros 0, 1, . . . , m

{

−n

(5.30)

(m)

=

− 1} y además J ⊥ K

i A i(m) x

(m)

(m)

− 1}

(m)

n

(m)

(m)

/m 1 1+i • a¨(m) = 1+ii /m = d 1 ¯ = m i /m ∞| −1 1 (1+i) −1 =m = (1+i) , donde n esta en a˜ nos • s(m) ¯ i /m i n| (m)

La variable aleatoria valor presente del seguro vitalicio que paga 1 unidad moneJ +1 taria al final de la m-ésima parte del año en que ocurrió la muerte es Z = v K+ m . P. D. Ax

(m)

• 1 + i = (1 + i m )m, (1 + i)−1 = v = 1 − d = (1 − dm )m = (1 + i m )−m 1 1−(1+i) • a¨(m) =m (1 + i(m) /m) = 1−v , donde n esta en a˜ nos ¯ i /m d n| (m)

n

(m)

5.3.2.

(m)

n

(m)

Anualidades de Vida con Pagos cada m-´ esimo de A˜ no

Definamos:

• Y : variable aleatoria valor presente de una anualidad vitalicia anticipada con pagos de 1/m cada m-ésimo de año

Demostraci´ on:

A(m) x

= E [v

+1 K+ Jm

E [v

J +1 −1 m

] = E [v

K+1

= E [v

K+1

m−1

]=

 j=0

=

v

J +1 −1 m

]E [v

]

J +1 −1 m

]

+1 1 jm v −1 m

1 −1+ m1 v m

durante el a˜ no de muerte

En el Cuadro 5.2 muestra un ejemplo de valores de las variables aleatorias definidas.

m−1



• K : variable aleatoria tiempo de vida futuro truncado • J = (T − K )m variable aleatoria número de m-ésimos completados con vida

vj/m

La variable aleatoria Y se puede escribir como:

j=0

1 1 1 v = v −1+ m m 1 v1/m

−

−

mK+J

Y =

 j=0

1 j/m 1 (m) v = äK+(J + ¯ 1)/m| = m

− vK+(J +1)/m d(m)

(5.31)

(m)

Cuadro 5.2: T m K 13.5 10 13 13.53 10 13 14 10 14 13.03 10 13

Ahora vamos a encontrar una relación entre a ¨x y a ¨x : J 5 5 0 0

(m)

a ¨(m) = x = =

d(m) a ¨1| ¨x ¯ a äx (d

(m) + (s1|¯

−

d(m)

(m) ds1| ¯ äx (m) d

d(m)

d(m)

−

−

s1| ¯

(5.32) Es conveniente escribir (5.34) como:

d(m)

de lo anterior podemos obtener la identidad:

(m) (m)

(5.33)

α(m) = s1| a1| ¯ ¨ ¯ (m)

y tambi´ en llegamos a demostrar que 1 = d¨ ax + Ax

β(m) =

d(m)

1 (A(m) − d(m) − Ax ) x (m) − ä(m) − Ax) ¯ (Ax ∞| (m)

(m)

=

d , d(m)

(m)

a ¨∞| = ¯

¨(m) n| a x

∈

i (m) − Ax) = a¨∞|¯ ( i(m) Ax − Ax ) = a ¨∞| ¯ (s ¯ Ax − Ax ) = 1| (m) s1| −1 ¯ (m) Por lo tanto, ä(m) = ä1| ¨x − Ax ¯ a x (m) d (m) a ¨∞| ¯ (Ax

−1

d(m)

id i(m) d(m)

=

i i(m) i(m) d(m)

−

− n E xa¨(m) x+n = [α(m)äx − β(m)] − n E x [α(m)äx+n − β(m)] = α(m)(äx − n E x a ¨x+n ) − β(m)(1 − n E x ) = α(m)äx:n| ¯ − β(m)(1 − n E x )

Ahora vamos a simplificar ä∞| Ax ) asumiendo que las muertes tienen ¯ (Ax una distribución uniforme en cada año de edad, i.e., t qx = tqx , t [0, 1]

−

s1| ¯

=

a ¨(m) a(m) ¯ =¨ x x:n|

La u ´ltima expresi´ on anterior se encuentra conociendo que ä1| ¯ 1 . d(m)

(5.35)

Notar que las funciones α(m) y β(m) dependen únicamente de i y m. Para obtener (m) (m) los valores presentes actuariales a ¨x:n| ¨x 3 usaremos las relaciones entre valores ¯ y n| a presentes actuariales que ya obtuvimos:

⇒ 1 = d(m)a¨(m) + A(m) = d¨ ax + Ax x x (m) ⇒ a¨(m) = däx + Ax − Ax d a ¨x d(m) (m) = ä1| ¨x ¯ a

− β(m)

donde:

1 = d(m) a ¨(m) + A(m) x x

=

−1

d(m)

a ¨(m) = α(m)¨ ax x

x

(5.34)

−1

(m) (m)

− vK+(J +1)/m ] = 1 − E [vK+(J +1)/m] = 1 − A(m) x

− (s(m) − 1) ¯ 1|

(m) s1| ¯ d(m)

= s1|¯ a ¨1| ¨x ¯ a 1

d(m) 1)d)

(m)

y su valor presente actuarial es:

a ¨(m) = E [ x

− (s(m) − 1)(1 − däx) ¯ 1|

(m)

s1| ¯

−1

d(m)

(m)

= n E x a ¨x+n = n E x [α(m)¨ ax+n β(m)] = α(m)n| a ¨x β(m)n E x

−

Ax

(5.36)

−

(5.37)

Para hallar los valores presentes actuariales de las anualidades vencidas ser´ıa un desarrollo similar. 3

n est´ a en a˜ nos

Cap´ıtulo 6

Primas Netas Peri´ odicas Este cap´ıtulo esta basado en el Cap´ıtulo 6 de [1]. En los temas anteriores discutimos valores presentes actuariales de varios tipos de seguros y anualidades. Estas ideas son combinadas en este tema para determinar el monto de los pagos de una anualidad de vida necesarios para comprar los beneficios de un contrato de anualidad y/o de seguro. Las primas calculadas en este tema solo consideran el pago de los beneficios y NO gastos, ganancias y márgenes de contingencia que en la vida real tienen las aseguradoras.

k 0 1 2 3 4

v v2 v3 v4 v5

En el primer cap´ıtulo se mencion´ o que la determinación de la prima de seguro requiere de la adopción de un principio (Premium principle ). En el siguiente ejercicio se aplican varios principios para calcular una prima: Ejercicio: Un asegurador planea emitir una póliza para una persona de edad cero cuyo tiempo de vida futuro truncado K est´ a gobernado por la funció n de probabilidad: P r[K = k] = k q0 = 0,2, k = 0, 1, 2, 3, 4. La póliza pagará una unidad monetaria al final del año de muerte a cambio del pago de una prima P al inicio de cada año si la persona está viva en ese momento. Encuentra la prima anual P determinada por:

|

k 0 1 2 3 4

v v2 v3 v4 v5

l(k) P ä1| ¯ P ä2| ¯ P ä3| ¯ P ä4| ¯ P ä5| ¯

− − − − −

Cuadro 6.1: P r[L = l(k)] 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

P r[L l(k)] 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

≤

Cuadro 6.2: l(k) = 0 P P ¨ a1| 0.94339623 ¯ =0 P ¨ a2|¯ = 0 0.45795933 P ¨ a3|¯ = 0 0.29633001 P ¨ a4|¯ = 0 0.21565235 P ¨ a5|¯ = 0 0.16735509

P r[L > 0] 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

− − − − −

• Principio I: P será la prima anual m´ınima tal que el asegurador tiene probabilidad de una pérdida financiera a lo más de 0.25

• Principio II: P será la prima anual tal que el asegurador, usando una función de utilidad u(x) = x, será indiferente entre aceptar y no aceptar el riesgo.

• Principio III: P será la prima anual tal que el asegurador, usando una función de utilidad u(x) = − exp[−0,1x], será indiferente entre aceptar y no aceptar el riesgo.

Asume que el asegurador usará una tasa de inter´ es efectiva anual de i =0.06

Soluci´ on: Para K = k y una prima arbitraria P , el valor presente de la pérdida financiera es l(k) = v k+1 P ¨ ak+1| = vk+1 P (1 v k+1)/d = (1 + P/d)vk+1 ¯ P/d,k = 0, 1, 2, 3, 4. Su correspondiente variable aleatoria es L = v K+1 P ¨ aK+1| ¯ .

−

−

−

−

−

Principio I: l(k) = (1 + P/d)v k+1 P/d tiene un comportamiento decreciente. Nos piden la prima m´ınima P tal que P r[L > 0] 0,25.

−

Por lo tanto, P = 0.45795933

≤

Principio II: Aplicando el principio de la utilidad esperada, u(w) = E [u(w L)] u(w) = w = E [u(w L)] = E [w L] = E [w] E [L] = w w = w E [L] E [L] = 0

−

E [L] = E [(1 + P/d)v

K+1

− ⇒

−

−

Las primas basadas en el Principio III, usando una función de utilidad exponencial, son conocidas como primas exponenciales (exponential premiums). El principio que adoptaremos en adelante es el de equivalencia.

− E [L]

− − P/d] = (1 + P/d)E [vK+1] − P/d = 0,

6.1.

E [v K+1 ] = A0 = 0,842472757 (1 + P/d)A0 P/d = (P/d)(A0 1) + A0 = 0 A0 d por lo tanto, P = = 0.302723112 A0 1

−

−

−

Primas Totalmente Continuas

La variable aleatoria pérdida es: bT vT

−

− P¯Y = Z − P¯Y

(6.3)

donde:

Principio III: Aplicando el principio de la utilidad esperada,

E [u(w

• bT y vT son el monto del beneficio y el factor de descuento al tiempo

u(w) = E [u(w L)] u(w) = exp[ 0,1w], L)] = E [ exp[ 0,1(w L)]] = exp[ 0,1w]E [ exp[0,1L]],

− − − − − 0,1L u(w) = E [u(w − L)] ⇒ 1 = E [e ] ⇒ P = 0.30628

−

−

• P ¯ es la prima anual totalmente continua (es una constante desconocida) • Y es la variable aleatoria valor presente de anualidad de vida continua • Z es la variable aleatoria valor presente del beneficio

Las primas definidas por el Principio I son conocidas como Primas de Percentiles (percentile premiums ). Aunque el principio es atractivo se puede llegar a primas insatisfactorias. El Principio II tiene muchas aplicaciones en la práctica. Para formalizar sus conceptos, definimos la pérdida del asegurador, L, como la variable aleatoria valor presente de los beneficios a ser pagados por el asegurador menos la anualidad de primas pagadas por el asegurado. Este principio es llamado Principio de Equivalencia (equivalence principle) y tiene el requisito de que: E [L] = 0

T ,

respectivamente

− −

Aplicamos el Principio de Equivalencia: E [bT vT

− P¯Y ] = 0 ⇒ P ¯ = E E [b[T Y ]vT ]

(6.4)

Ejemplo: Consideraremos el caso de la prima nivelada anual continua para un seguro vitalicio de una unidad monetaria pagadera al momento de la muerte de ¯ considera: (x). Para cualquier prima pagadera continuamente, P , l(t) = v t

¯a¯ − P ¯ t|

(6.5)

(6.1)

La función l(t) es una funci´ on decreciente de t con l(0) = 1 y además l´ımt→∞ l(t) = P¯ /δ. Si t0 es el tiempo cuando l(t) = 0, la muerte antes de t0 Cuando hablamos de primas niveladas (benefit premiums ) nos referimos a aque- resulta en una pérdida positiva, mientras que la muerte después de t0 produce una llas que satisfacen E [L] = 0, i. e., las primas niveladas serán aquellas que satisfacen: pérdida negativa, es decir, una ganancia. Ahora consideremos la variable aleatoria

−

E [valor presente de los beneficios] = E [valor presente de las primas niveladas] (6.2) Cuando el principio de equivalencia se usa para determinar una sola prima a la emisi´ on de la póliza para un seguro o anualidad, la prima es igual al valor presente actuarial del pago de beneficios y se llama prima neta única.

L = l(T ) = v T

¯a ¯ − P ¯ T |

(6.6)

Si el asegurador calcula la prima con el Principio de Equivalencia, la prima es ¯ A¯x ) y satisface: denotada por P ( E [L] = 0

¯ A¯x )¯ax = 0 ⇔ A¯x − P (

(6.7)

Por lo tanto,

¯ ¯ A¯x ) = Ax P ( a ¯x La Figura 6.1 contiene el resto de las primas totalmente continuas.

• bK+1 y vK+1 son el monto del beneficio y el factor de descuento, respectiva(6.8)

mente

• P es la prima anual pagadera al inicio de cada año de aniversario de la póliza durante el periodo de pago de la prima y mientras el asegurado este vivo

Figura 6.1: Primas Niveladas Totalmente Continuas (Actuarial Mathematics, p. 173 [1])

• Y es la variable aleatoria valor presente de anualidad anticipada Aplicando el Principio de Equivalencia: E [bK+1vK+1

vK+1] − P Y ] = 0 ⇒ P = E [bK+1 E [Y ]

(6.10)

Ejemplo: Consideraremos el caso de la prima nivelada anual discreta para un seguro vitalicio de una unidad monetaria pagadera al final del año de muerte de (x). Ahora consideremos la variable aleatoria L = v K+1

− P xäK+1| ¯

(6.11)

Aplicando el Principio de Equivalencia: E [L] = 0

⇔ Ax − P xa¨x = 0

Por lo tanto, P x =

Ax a ¨x

(6.12)

(6.13)

La Figura 6.2 contiene el resto de las primas totalmente discretas.

6.3.

6.2.

En la práctica, los seguros de vida son pagables inmediatamente después de que ocurre la muerte en vez de al final del año de aniversario de póliza en que ocurre la muerte. Tales primas, siguiendo el mismo orden que en la Figura 6.2, son denotadas ¯x ) y hP (A¯ ¯ ). El Principio de Equivalencia por P (A¯x), P (A¯ 1 ¯ ), P (A¯x:n| ¯ ), h P (A x:n| x:n| es aplicado para producir fórmulas similares a las de las Figuras 6.1 y 6.2, por ejemplo, para el seguro vitalicio tenemos:

Primas Totalmente Discretas

La variable aleatoria de pérdida es: bK+1 vK+1 donde:

− P Y

Primas Niveladas Semicontinuas

(6.9)

P (A¯x ) =

A¯x a ¨x

(6.14)

Figura 6.2: Primas Niveladas Totalmente Discretas (Actuarial Mathematics, p. 183 [1])

Figura 6.3: Primas Niveladas Fraccionales (Actuarial Mathematics, p. 189 [1])

6.4.

Primas que se Pagan cada A˜ no

-´ esima Parte del

m

Si las primas son pagables m veces en el año, en vez de anualmente, sin ajuste en el beneficio de muerte, las primas resultantes son llamadas primas fraccionales (m)

(true fractional premiums ). As´ı, P x denota la prima nivelada anual fraccional, pagable al inicio de cada per´ıodo m-ésimo por un seguro de vida vitalicio pagable al final del año de muerte y donde la suma asegurada es una unidad monetaria. El s´ımbolo P (m) (A¯x ) tiene la misma interpretación excepto porque el seguro es pagable al momento de la muerte. En la práctica m es 2, 4 o 12. La Figura 6.3 contiene el resto de las primas.

Cap´ıtulo 7

Reservas Matem´ aticas Este cap´ıtulo esta basado en los Cap´ıtulos 7 y 8 de [1], y Cap´ıtulo 6 de [2]. La reserva matemática pura al tiempo t (benefit reserve at time t ) es la esperanza condicional de la diferencia entre el valor presente de beneficios futuros y el valor presente de primas niveladas futuras donde el evento que condiciona es la sobrevivencia del asegurado al tiempo t (t = 0 es el momento de la emisión de la póliza).

7.1.

Reservas Matem´ a ticas Puras Totalmente Continuas

Si la edad alcanzada fuera la única informació n a la emisió n de la póliza de seguro en la edad x, o por alguna otra razón una tabla de mortalidad agregada es usada para la distribución del tiempo de vida futuro, entonces la distribución de T (x) t es la misma que la de T (x + t), por lo que:

−

¯ ¯

t V (Ax ) =

A¯x+t

¯ A¯x )¯ax+t − P (

(7.3)

En la evaluación de estas esperanzas condicionales, la sobrevivencia de ( x) al tiempo t fue la u ńica información nueva incorporada. Un principio de reserva completo requerir´ıa toda la informaci´ on nueva relevante para que estimar las obligaciones de la aseguradora de manera apropiada. La Figura 7.1 contiene el resto de las reservas.

La reserva matemática pura para un seguro de vida vitalicio con suma asegurada de 1 pagadero al momento de la muerte emitido para ( x) con una prima nivelada ¯ A¯[x] ) al momento de la emisión es cero. La correspondiente reserva para anual de P ( un asegurado sobreviviente t a˜ nos más tarde es definida como el valor esperado de la pérdida prospectiva al tiempo t, dado que (x) ha sobrevivido al tiempo t. M´ as formalmente, para T (x) > t, la pérdida prospectiva es = vT (x)−t

¯ A¯[x] )¯ aT (x)−t| − P ( ¯

7.2.

Otras F´ ormulas para Reservas de Beneficio Totalmente Continuas

Ya hemos definido la reserva de beneficios como la esperanza condicional de la variable aleatoria pérdida prospectiva y desarrollado un método para escribir La reserva, como una esperanza condicional, es calculada usando la distribución fórmulas de reservas matemáticas puras totalmente continuas, llamado prospectivo condicional del tiempo de vida futuro en t para una vida seleccionada en x, dado (prospective method ), estableciendo que la reserva de beneficios es la diferencia entre los valores presentes actuariales de beneficios futuros y primas niveladas que ha sobrevivido hasta t, en términos de notación: futuras. A partir de este método, po demos escribir otras fórmulas para pólizas con ¯ ¯ beneficios nivelados y primas niveladas que vamos a ilustrar para un seguro dotal t V (A[x] ) = E [t L T (x) > t] mixto temporal n a˜ nos. T (x)−t ¯ A¯[x] )E [a = E [v T (x) > t] P ( ¯T (x)−t| T (x) > t] (7.2) ¯ ¯ A¯[x] )¯a[x]+t La fórmula de diferencia de primas (premium-difference formula ) se obtiene al = A¯[x]+t P ( tL

|

−

|

−

(7.1)

|

Una tercera expresió n es la fórmula retrospectiva (retrospective formula ) que Figura 7.1: Reservas Matemáticas Puras Totalmente Continuas, Edad a la Emisión desarrollamos de las siguientes relaciones, donde t < n s: x, Duración t, Una Unidad Monetaria de Beneficio, h < n donde h se mide en años ¯ 1 (Actuarial Mathematics, p. 212 [1]) A¯x+s:n−s| + t E x+s A¯x+s+t:n−s−t| (7.6) ¯ =A ¯ ¯

−

x+s:t|

a ¯x+s:n−s| ax+s:t|¯ + t E x+s a ¯x+s+t:n−s−t| ¯ =¯ ¯

(7.7)

¯ A¯ ¯ ) obteneSustituyendo estas expresiones en la f´ ormula prospectiva para s V ( x:n| mos: ¯ ¯ ¯)= s V (Ax:n|

¯ A¯ ¯ )¯a A¯x+s:n−s| P ( ¯ ¯ x:n| x+s:n−s| = ( A¯ 1 + t E x+s A¯ ) ¯

−

¯ A¯ ¯ )(¯ ¯x+s+t:n−s−t| ) − P ( ¯ + t E x+s a ¯ x:n| ax+s:t| ¯ A¯ ¯ )¯a ¯ ¯ A¯ ¯ )¯a − P ( − P ( = A¯ ] ¯ + t E x+s [A ¯ ¯ x:n| x+s:t| x+s+t:n−s−t| x:n| x+s+t:n−s−t| ¯ x+s:t| ¯ A¯ ¯ )¯a ¯ A¯ ¯ )] = A¯ − P ( ¯ + t E x+s [s+t V ( x:n| x+s:t| x:n| ¯ x+s:t| x+s+t:n−s−t|

¯ x+s:t| 1

1

la expresi´ on anterior tiene el siguiente significado:1 ¯ ¯

¯) s V (Ax:n|

= (VPA de los beneficios pagables durante [s, t] al inicio de este periodo)

(VPA de las primas pagables durante [s, t] al inicio este periodo) ¯ A¯ ¯ ) al inicio del periodo [s, t]) +(VPA de un dotal puro con beneficio s+t V ( x:n|

−

Reordenando los términos: ¯ ¯

factorizar a ¯x+t:n−t| ormula prospectiva: ¯ de la f´ ¯ ¯

¯ A¯ ¯ )¯a A¯x+t:n−t| P ( ¯ ¯ x:n| x+t:n−t| A¯x+t:n−t| ¯ ¯ A¯ ¯ )]¯a =[ P ( ¯ x:n| x+t:n−t| a ¯x+t:n−t| ¯ ¯ A¯ ¯ A¯ ¯ )]¯a = [ P ( P ( ¯ ) ¯ x+t:n−t| x:n| x+t:n−t|

¯)= t V (Ax:n|

− −

¯)+ s V (Ax:n|

(7.4)

¯ ¯ ¯)+ 0 V (Ax:n|

La fórmula seguro paid-up (paid-up insurance formula ) se obtiene factorizando el valor presente actuarial de los beneficios futuros de la fórmula prospectiva:

¯ A¯ ¯ )¯ ¯ 1 + t E x [t V ( ¯ A¯ ¯ )] P ( ¯ =A x:n| ax:t| ¯ x:n| x:t| ¯ A¯ ¯ ) = 1 [P ( ¯ A¯ ¯ )¯ ¯ ] ⇒ tV ( ¯ −A x:n| x:n| ax:t| ¯ x:t| t E x

(7.8)

1

Ahora vamos a definir dos valores actuariales: a ¯x:t|¯ = s¯x:t|¯ (t E x )

¯ A¯ ¯ )¯ − P ( ¯ x:n| ax+t:n−t|

a ¯ ¯ ¯ A¯ ¯ ) x+t:n−t| ]A¯ − P ( ¯ x:n| ¯ x+t:n−t| Ax+t:n−t| ¯ ¯ A¯ ¯ )/P ( ¯ A¯ ¯ = [1 − P ( ¯ )]A ¯ x:n| x+t:n−t| x+t:n−t| = [1

¯ A¯ ¯ )] + t E x+s [s+t V ( x:n|

¯ A¯ ¯ ) = 0 La fórmula retrospectiva se obtiene al establecer s = 0, notando que 0 V ( x:n| ¯ ¯ por el Principio de Equivalencia, y resolviendo para t V (Ax:n| ¯ ):

que exhibe la reserva de beneficio como el valor presente actuarial de una diferencia de primas pagable sobre el resto del plazo de pago de la prima “original”.

A¯x+t:n−t| ¯

1

¯ x+s:t|

(Recursos de la Aseguradora) = (Obligaciones de la Aseguradora)

−

¯ ¯ ¯)= t V (Ax:n|

¯ A¯ ¯ )¯ ¯ P ( ¯ =A x:n| ax+s:t|

A¯ 1

(7.5)

¯ x:t|

1

VPA: Valor Presente Actuarial

= tk¯x (t E x )

¯ x:t| ⇒ s¯x:t|¯ = a¯tE x

⇒ tk¯x =

(7.9)

A¯ 1

¯ x:t|

t E x

(7.10)

La ecuación (7.10) es conocida como costo acumulado del seguro ( accumulated cost Figura 7.2: Reservas Matemáticas Puras Totalmente Discretas, Edad a la Emisión of insurance) y también se puede expresar como: x, Duración k, Una Unidad Monetaria de Beneficio (Actuarial Mathematics, p. 216 [1]) t s t v s px µ(x + s)ds 1 t−s ¯ = (1 + i) l µ (s)ds (7.11) t kx = x+s x v t t px lx+t 0 0





Por lo tanto: ¯ ¯

¯)= t V (Ax:n|

¯ A¯ ¯ )¯s ¯ P ( x:n| x:t|

− tk¯x

= (primas niveladas acumuladas con inter´ es y compartidas solamente entre los sobrevivientes a la edad x + t) (costo acumulado del seguro)

(7.12)

−

Por u ´ltimo, aunque las reservas de beneficios son no negativas en la mayor´ıa de las aplicaciones, no hay teorema que garantice esta propiedad.

7.3.

Reservas Matem´ a ticas Puras Totalmente Discretas

Las reservas matem´ aricas puras totalmente discretas son para seguros que tienen pagos de prima anual y pagos de beneficio al final del año de muerte. Analizaremos el seguro de vida vitalicio emitido para (x) con prima nivelada P x . Para un asegurado que sobrevive k a˜ nos más tarde, definimos la reserva de beneficios, denotada por k V x como la esperanza condicional de la variable aleatoria pérdida prospectiva on k: k L, a la duraci´ kL

= v (K(x)−k)+1

− P xä(K(x)−k)+1| ¯ V = E [ L K ( x) = k, k + 1, . . . ] = E [k L|K (x) ≥ k] | k x k

(7.14)

−

= Ax+k

− P xa¨x+k

¯ k V x:n|

(7.13)

La fórmula prospectiva para la reserva matemática pura, considerando que K (x) k tiene la misma distribución que K (x + k): k V x

• Premium difference formula :

Podemos desarrollar otras fórmulas para la reserva matemática pura a partir de la f´ ormula prospectiva que ejemplificamos con un seguro dotal mixto:

− P x:n|¯ a¨x+k:n−k| ¯ Ax+k:n−k| ¯ =[ − P x:n|¯ ]äx+k:n−k| ¯ äx+k:n−k| ¯ = [P x+k:n−k| ax+k:n−k| ¯ − P x:n| ¯ ]¨ ¯

(7.16)

• Paid-up insurance formula : ¯ k V x:n|

= Ax+k:n−k| ¯ = [1

P x:n| ¨x+k:n−k| ¯a ¯ äx+k:n−k| ¯ P x:n| ]Ax+k:n−k| ¯ ¯ Ax+k:n−k| ¯

−

− = [1 − P x:n| ¯ /P x+k:n−k| ¯ ]Ax+k:n−k| ¯

(7.15)

La Figura 7.2 contiene el resto de las reservas.

= Ax+k:n−k| ¯

(7.17)

• Retrospective formula ¯ h V x:n|

= P x:n| ¯ sx:h| ¯

− hkx

(7.18)

donde sx:h| ax:h| ¯ =¨ ¯ /h E x y h kx = A 1

¯ x:h|

7.4.

/h E x

2) Seguro Dotal Mixto Temporal n a˜ nos

h (m) ¯ (Ax:n| ¯)= k V

Reservas Matem´ aticas Puras Semicontinuas

 

A¯x+k:n−k| ¯ A¯x+k:n−k| ¯ 1

3

− hP (m)(A¯x:n|¯ )ä(m) ¯ x+k:h−k|

k
≤

En la práctica, es más com´ un pagar primas como P (A¯x), P (A¯1 ¯ ), P (A¯x:n| ¯ ), donde: x:n| ¯ ¯ ¯ ). Para aquellos casos, la reserva de beneficios es obtenida reah P (Ax ) y h P (Ax:n| ¯ P por P (A) ¯ y V por V (A) ¯ en la Figura 7.2. lizando los cambios A por A, Si la distribución de las muertes a lo largo del año es uniforme A¯x+k:n−k| = ¯ i + n−k E x+k δA 1 ¯

•

x+k:n−k|

7.5.

Reservas Matem´ aticas Puras basadas en primas niveladas que se Pagan cada m-´ esimo de a˜ no

Vamos a revisar dos ejemplos, asumiendo que el número de muertes a lo largo del a˜ no [x, x + 1] tiene una distribución uniforme: 1) Seguro Dotal Mixto Temporal n a˜ nos2

h (m) ¯ k V x:n|

=

donde:

 

Ax+k:n−k| ¯ Ax+k:n−k| ¯ 1

− hP x:(m)n|¯ ä(m) ¯ x+k:h−k|

k
≤

1

(m) (m) ax+k:h−k| a1| = • a¨(m) ¯ − β(m)(1 − h−k E x+k ), donde α(m) = s ¯ ¨ ¯ = α(m)¨ ¯ 1| x+k:h−k| (m)

s1| ¯ −1 d(m)

=

i−i(m) i(m) d(m)

• hP x:(m)n|¯ = Ax:n|¯ /ä(m) ¯ x:h| • Lo que(m)se paga al inicio de cada m-ésimo de a nõ si esta vivo el asegurado es 1 ¯ m h P x:n|

2

h < n, h esta en a˜ nos

7.6.

An´ alisis de Reservas Matemáticas

Los resultados de este tema aplican para las reservas matemáticas donde el beneficio y la prima pueden variar, y en particular, cuando son constantes como en las reservas ya vistas.

7.6.1.

Reservas Matem´ aticas Puras para Seguros Generales

Considera un seguro totalmente discreto y general en el cual:

+ n−k E x+k • Ax+k:n−k| ¯ =A ¯ x+k:n−k|

id , β(m) = i(m) d(m)

• hP (m)(A¯x:n|¯ ) = A¯x:n|¯ /ä(m) ¯ x:h|

• El beneficio por muerte es pagable al final del año de muerte. • Las primas se pagan anualmente, al inicio del . anõ póliza”. • El beneficio por muerte en el j-ésimo año después de la emisión de la póliza es bj , j = 1, 2, . . .

• El pago de la prima en el j-ésimo año de póliza es πj−1, j = 1, 2, . . . Notar que los sub´ındices de b y π coinciden con los tiempos en que se pueden pagar. 3

Aqu´ ı el beneficio es pagado al momento de la muerte; h < n, h esta en a˜ nos

Para h Z+ , la pérdida prospectiva, h L es el valor presente en h de los beneficios futuros menos el valor presente en h de las primas futuras, como función de K (x) es igual a:

∈

hL

=



0 bK(x)+1v K(x)+1−h

−



La reserva de beneficios para este caso general es: ¯ = E [t L T (x) > t]

t V

T (x)

= E [bT (x) v T (x)−t

K (x) = 0, 1, . . . , h 1 K (x) = h, h + 1, . . .

−

K(x) j−h j=h πj v

|

−



|

T (x)−t

 −

= E [b(T (x)−t)+t v T (x)−t

= E [h L K (x)

|

≥ h]

= E [bK(x)+1 vK(x)+1−h

πj vj−h K (x)

|

j=h

= E [b(K(x)−h)+h+1 v

|

Si la distribución de T no es selecta, entonces la distribución de T (x) t dado que T (x) > t es la misma distribución que la de la variable aleatoria T (x + t) y se sigue que:

−

K(x)

 −

(7.21)

πt+r vr dr T (x) > t]

0

La reserva de beneficios en h est´ a definida como: h V

πu v u−t du T (x) > t]

t

≥ h]

(7.19)

K(x)−h

(K(x)−h)+1

−



πj+hv

j=0

j

¯ = E [bT (x+t)+t v T (x+t)

t V

| K (x) ≥ h]

∞

=

  0

Bajo la suposici´ on de que la distribución condicional de K (x) h, dado que K (x) = h, h + 1, . . . es igual a la distribució n de K (x + h) (esto sucede cuando usamos una tabla de mortalidad agregada) podemos reescribir hV como:

−

=

0

∞

(bt+u v u

u

−



T (x+t)

−



πt+r vr dr]

0

πt+r v r dr)u px+t

0

bt+u v u u px+t

µx (t + u)du

×  −

∞

× µx(t + u)du

(7.22)

πt+r v r r px+t dr

0

K(x+h) K(x+h)+1 h V = E [bK(x+h)+h+1 v j

∞

=

 

(bh+j+1 v j+1

j=0 ∞

=

−



−

 j=0

πh+k vk )j px+h

k=0

bh+j+1v j+1 j px+h

j=0

7.6.2.

πj+hv j ]

× qx+h+j

× qx+h+j

(7.20)

∞

 −

Relaciones Recursivas para Reservas Matem´ aticas Puras Totalmente Discretas

πh+j vj j px+h

Figura 7.3: Flujos de Efectivo de una Aseguradora bajo un Seguro Totalmente Discreto General

j=0

Ahora consideremos un seguro totalmente continuo y general para:

• El beneficio pagable por muerte al momento de la muerte, t, es bt • Las primas son pagables continuamente en t a la tasa anual, πt La pérdida prospectiva para una vida asegurada a edad x y que sigue viva t años después de la emisión de la póliza, es el valor presente en t de los beneficios futuros menos el valor presente en t de las primas futuras: tL

=



0 bT (x) vT (x)−t

−

T (x) πu v u−t du t



T (x) t T (x) > t

≤

Sea ch el valor presente en h de la p´ erdida neta de efectivo durante el año (h, h + 1) 1. Si (h, h + 1) es antes de la muerte, es decir, h < K (x), negativa es ganancia) 2. Si (h, h + 1) es el año de muerte, es decir, h = K (x),

⇒ ch = −πh (pérdida

⇒ ch = vbK(x)+1 − πh

3. Si (h, h + 1) es después del a n ˜ o de muerte, ch = 0

Una relación recursiva para la reserva de beneficios puede ser obtenida como: E [h L K (x)

|

Dicho de otra manera: ch =

 −

0 vb h+1 πh

K (x) = 0, 1, . . . , h 1 K (x) = h K (x) = h + 1, h + 2, . . .

−

− πh

ch = vb h+1 I

I =



1 0

≥ h, observamos que:

− πh

(7.23)

con probabilidad qx+h con probabilidad px+h

7.6.3. (7.24)

E [ch ] = E [ch K (x) h]P r[K (x) h] + E [ch K (x) < h]P r[K (x) < h] = (vb h+1 qx+h πh )h px + 0 (1 h px ) = (vb h+1 qx+h πh)h px

(7.25)

×

≥

−

≥

−

× −

|

∞

=



= E [m L K (x)

|

(7.27) (7.28)

Reservas Matem´ aticas Puras en Duraciones “Fraccionales”

Considera un seguro totalmente discreto con beneficios bj+1 pagable al final del a˜ no de muerte que se compra con primas anuales de πj donde j = 0, 1, 2, . . . . En este tema buscamos una expresión para la “Reserva de Beneficios Interina”, (Interim Benefit Reserve ) que es la reserva matemática pura en algún punto del tiempo entre aniversarios de póliza. La notación para esta reserva es: h+s V

Sea h L el valor presente en h de los gastos menos los ingresos del asegurador hL

m V

Para trabajar con las relaciones recursivas, se necesitan valores iniciales.

⇒ E [ch|K (x) ≥ h] = (vbh+1 × 1 − πh)qx+h + (vbh+1 × 0 − πh) px+h = vb h+1 × qx+h − πh × qx+h − πh × px+h = vb h+1 × qx+h − πh |

≥ m], m ∈ Z+ ∪ {0} h V = vb h+1 × qx+h − πh + vpx+h × h+1 V -Backward1 (h V − vb h+1 qx+h + πh) -Forwardh+1 V = vp x+h

y recordando que

Para la distribución condicional de ch, dado que K (x)

donde:

≥ h] = E [ch + v × h+1L|K (x) ≥ h] = E [ch |K (x) ≥ h] + vE [h+1 L|K (x) ≥ h] = vb h+1 × qx+h − πh + vE [h+1L|K (x) ≥ h] = vb h+1 × qx+h − πh + vpx+h E [h+1 L|K (x) ≥ h + 1]

para h = 0, 1, 2, . . . y 0 < s < 1

as´ı, s representa una fracción de un año. Figura 7.4: Reserva de Beneficios Interina

v j−h cj

j=h ∞

 

v j−h cj

= ch +

(7.26)

j=h+1 ∞

= ch + v

v j−h−1 cj

j=h+1

= ch + v

× h+1L (relación recursiva)

Se puede demostrar que para h < K (x), h L = v K(x)+1−hbK(x)+1

−

K(x) j=1



vj−h πj

Para reservas matem´ aticas en a˜ nos fraccionales (reservas a los tiempos h + s donde 0 < s < 1) queremos escribir una fórmula que relacione h+sV con h+1 V .

Recordemos que la fórmula recursiva para h V es: h V

+ πh = vb h+1qx+h + vp x+h

× h+1V

Para h+s V , estamos parados en el tiempo h + s as´ı que πh esta en el pasado y no estará en la fórmula. Además, todo lo descontaremos por un periodo de 1 s años en vez de 1 año. Finalmente, cualquier función de sobrevivencia comenzará a la edad x + h + s e involucrar´ a una sobrevivencia por 1 s a˜ nos. El resultado es:

−

−

h+s V

= v 1−s bh+1

× 1−sqx+h+s + v1−s1−s px+h+s × h+1V

(7.29)

La ecuación anterior significa que la reserva al tiempo h + s debe ser suficiente para proveer el beneficio bh+1 para aquellos que mueran en los próximos 1 s a˜ nos y también para proveer h+1 V al final del año para aquellos quienes sobreviven los pr´ oximos 1 s a˜ nos.

−

−

Notar que en (7.29) los términos 1−s qx+h+s y 1−s px+h+s dependen de la distribuci´ on de las muertes en el año, por ejemplo, distribución uniforme de las muertes, fuerza constante de mortalidad o Balducci.

7.7.

Terminolog´ıa

El a˜ no póliza (policy year ) desde el tiempo t = h al tiempo t = h + 1 es llamado “año póliza h + 1”. Para el año póliza h + 1, la siguiente terminolog´ıa aplica: h V

+ πh : reserva inicial para el a˜ no póliza h + 1 (initial benefit reserve ) (7.30) no h (terminal benefit reserve ) (7.31) h V : reserva final para el a˜ no h + 1 (7.32) h+1 V : reserva terminal para el a˜

El monto neto en riesgo (net amount at risk ) se refiere al monto de dinero que la aseguradora podr´ıa pagar al asegurado por encima de la reserva matemática pura, en otras palabras, el monto neto en riesgo para el año póliza h + 1 es: bh+1

− h+1V

(7.33)

En el negocio de los seguros esta es una cantidad importante pues representa el monto que la aseguradora tendrá que obtener de fuentes distintas de la reserva matem´ atica pura del asegurado si el asegurado muere en el año póliza h + 1.

Cap´ıtulo 8

Prima de Tarifa Este cap´ıtulo esta basado en el Cap´ıtulo 10 de [2]. Habr´ a dos temas principales en esta parte del curso:

• i =6% • Una persona (40) comprará un seguro de vida vitalicio totalmente discreto con beneficio a la muerte de 1000.

1. Gastos: El punto principal de los gastos es finalmente enfrentar el hecho de que todas las primas y reservas de las que hemos hablado en el curso son solamente para cubrir beneficios (como si esa fuera la única obligación de la aseguradora). As´ı, éstas no han cubierto otras demandas de efectivo a las que se enfrenta la aseguradora. 2. Asset Shares que requerir´ a nueva notación y explicaciones. Un punto importante de los Asset Shares es que prop orcionan un m´ etodo para asignar activos de la compa˜ n´ıa a los diferentes asegurados en el evento de que la aseguradora enfrente una bancarrota.

• Los gastos incluyen 10% de la Gross Premium más 5 por año, ambos pagables al inicio de cada año.

1. Encuentra la Gross Premium necesaria para fondear todos los beneficios y gastos. 2. Encuentra el monto de prima necesario para cubrir gastos (esta es llamada la prima de gastos (expense premium ) y es definida como la Gross Premium menos la prima de beneficios). 3. Encuentra la reserva de beneficios y la reserva de gastos (la porció n de la reserva total necesaria para pagar gastos futuros) al tiempo t = 10

8.1.

Modelos Aumentados con los Gastos Soluciones:

Los gastos no son dif´ıciles de tratar en tanto se traten como otros b eneficios que la aseguradora debe proveer (pero no necesariamente al asegurado sino a agentes de seguros, empleados, etc.), entonces, cuando calculamos la prima cargada con los gastos o prima de tarifa G (G es por Gross Premium ) solo necesitamos incluir los gastos en la ecuación del principio de equivalencia.

1. Primero establecemos la ecuación del Principio de Equivalencia: (Valor Presente Actuarial de Primas) = (Valor Presente Actuarial de Beneficios y Gastos)

Ejemplo 1: Dado que:

G¨ a40 = 0.10Gä40 + 5ä40 + 1000A40

• La mortalidad sigue la Tabla de Vida Ilustrativa.1 1

Actuarial Mathematics,

p. 675 [1]

G¨ a40 (1

− 0.10) = 5ä40 + 1000A40 + 1000A40 ⇒ G = 5ä400.90¨ a40

2. La prima de beneficios es P =

• La mortalidad sigue la Tabla Ilustrativa de Vida. • i=6 % • Una persona (40) comprará un seguro de vida vitalicio totalmente discreto

1000A40 a ¨40

Por lo que la prima de gastos es E = G

− P

3. La reserva de beneficios es A50 P ¨ a50 . La reserva de gastos es (0.10G+5)¨ a50 E a ¨50 .

−

con beneficio a la muerte de F .

−

Para este ejemplo, la prima de gastos financia exactamente los gastos del año, y la reserva es cero en todos los años. Los resultados se muestran en la Figura 8.1 Figura 8.1: Ejemplo 1

• Los gastos incluyen 10 % de la Gross Premium pagable al inicio de cada año. Adem´ as, hay un gasto inicial de 20 al momento de la emisión de la póliza y un gasto final de 80 al momento en que el beneficio por muerte es pagado.

• Gross Premium (G) es igual a 30. 1. Encuentra F 2. Encuentra la reserva de gastos en t = 10 Soluciones: 1. Establecemos la ecuación del principio de equivalencia: G¨ a40 = F A40 + 0.10G¨ a40 + 20 + 80A40 , donde G = 30 30¨ a40 (0.90) 20 80A40 F = A40

− −

2. Para calcular la reserva de gastos, primero calculamos la prima de gastos ( E ) E = 30

− FaÄ4040

La reserva de gastos en t = 10 es 0.10Gä50 + 80A50 E ä50 Los resultados ˆ num´ ericos se muestran en la Figura 8.2. A¡La reserva de gastos es negativa! Esto se debe al hecho de que el cargo inicial fue grande en valor presente relativo al cargo final al momento de la emisió n y es muestra de que las reservas matem´ aticas pueden ser negativas. Este fenómeno se revertirá años más tarde.

−

8.2.

Gastos

• Gastos por inversiones: Costos de análisis, compra, venta y servicio de Ejemplo 2: Dado que:

las inversiones de las reservas de la aseguradora. Los gastos de inversión son tomados en cuenta, usualmente, reduciendo la tasa de inter´ es asumida durante la vida de la póliza.

Figura 8.2: Ejemplo 2

por ejemplo, investigación, servicios actuariales y legales, contabilidad, requisitos legales. 4. Gastos de pago del beneficio: Gastos asociados con validar y pagar un reclamo: investigación de reclamos, defensa legal, costos administrativos de pagar beneficios. Ejemplo 3 Para un seguro dotal mixto temporal 10 años, totalmente discreto para (50), te han dado lo siguiente:

• Los porcentajes de gastos de primas por comisiones es igual al 50% de la

Gross Premium en el primer a˜ no seguido por 5 % de la Gross Premium desde el segundo añ o y hasta el último (estas comisiones son para el agente de seguros).

• Los gastos de adquisición son de 20, gastos por pago de beneficio son igual

a 10 por cada 1000 de suma asegurada, más 80; y gastos de mantenimiento anual igual a 5 más 2 por cada 1000 de suma asegurada.

• Los gastos de adquisición son pagados a la emisión de la póliza, los gastos por pago de beneficios son pagados cuando el beneficio es pagado, y los gastos de mantenimiento son pagados cuando la prima anual es pagada.

Si la suma asegurada de la póliza es b, encuentra la Gross Premium en términos de b y valores presentes actuariales de seguros y anualidades. Soluci´ on: G¨ a50:10| a51:9| ¯ = 0.50G + p50 v(0.05G¨ ¯ ) + 20 + (10b/1000 + 80)A50:10| ¯ + (5 + 2b/1000)¨ a50:10| ¯ + bA50:10| ¯ G[ä50:10| ¯

− 0.50 − p50v(0.05ä51:9|¯ )] = 20 + (0.010b + 80)A50:10|¯

+ (5 + 0.002b)ä50:10| ¯ + bA50:10| ¯

G=

• Gastos del seguro: 1. Gastos de adquisici´ on: Son los costos asociados con vender el seguro. Pueden incluir comisiones, costos de aseguramiento y publicidad.

=

2. Gastos de mantenimiento: Son los gastos que ocurren regularmente como recolecci´ on de las primas, cambios en las pólizas y correspondencia a los asegurados.

=

3. Gastos generales: Gastos que no son fáciles de repartir a cada póliza,

=

20 + (1.010b + 80)A50:10| a50:10| ¯ + (5 + 0.002b)¨ ¯ a ¨50:10| ¯

− 0.45 − 0.05 − p50v(0.05ä51:9|¯ )

20 + (1.010b + 80)A50:10| a50:10| ¯ + (5 + 0.002b)¨ ¯ a ¨50:10| ¯

− 0.45 − 0.05(1 + p50v(ä51:9|¯ ))

20 + (1.010b + 80)A50:10| a50:10| ¯ + (5 + 0.002b)¨ ¯ a ¨50:10| ¯

− 0.45 − 0.05ä50:10|¯

20 + (1.010b + 80)A50:10| a50:10| ¯ + (5 + 0.002b)¨ ¯ 0.95¨ a50:10| ¯

− 0.45

Los resultados num´ ericos se muestran en la Figura 8.3, dándole el valor de 1000 a b. Figura 8.3: Ejemplo 3

• G: prima de tarifa anual ( Gross Premium ) • k AS : asset share asignado a la póliza al tiempo t = k • ck : porcentaje de la prima de tarifa destinada a gastos al tiempo k (en otras palabras, ck G, es el monto de la prima de tarifa destinada a gastos)

• ek : gastos pagados por póliza al tiempo t = k (1) : probabilidad de muerte antes de la edad • qx+k

x + k + 1 para un asegurado

que tiene una edad de x + k

(2) : probabilidad de cancelación de la póliza antes de la edad x + k +1 para • qx+k

un asegurado de edad de x + k

• k CV : el monto de efectivo pagado al asegurado como un beneficio en el evento

de que el asegurado haya cancelado la póliza (CV es por cash value ), este monto lo define la aseguradora, y puede ser la reserva de beneficios, la última prima pagada menos gastos, etc.

• bk : beneficio por muerte pagadero al tiempo

t = k para una muerte en el

k-ésimo año de póliza

La definición del k-ésimo Asset Share (k AS ) es el valor acumulado actuarialmente al tiempo k de todas las primas pasadas, menos los gastos, beneficios por muerte y beneficios por cancelaciones. Si el asset share inicial es 0AS (el cual puede ser o no igual a cero), entonces, 1 AS debe satisfacer: (8.1) − c0) − e0](1 + i) = qx(1)b1 + qx(2)1CV + p(τ ) x 1 AS (τ ) (τ ) (1) (2) donde px = 1 − qx = 1 − (qx + qx ) (la Teor´ıa de los Decrementos Múltiples [0 AS + G(1

se estudia en Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas II).

8.3.

Asset Shares

Recordemos la fórmula recursiva para la reserva matemática pura: 0 V = vb 1 qx − π0 + vpx × 1 V ⇔ 0V (1 + i) = b1qx − π0(1 + i) + px × 1V ⇔ (0V + π0)(1 + i) = qxb1 + px × 1V

Los Asset Shares son una herramienta usada para: 1. Proyectar la acumulación de activos que financian un bloque de pólizas de seguro

Las diferencias son:

2. Asignar estos activos a cada p´ oliza Terminolog´ıa:

• Estamos usando primas de tarifa (Gross Premium ), gastos y beneficios por cancelaciones de la póliza.

t 0 1 2 3

t 0 1 2 3

Cuadro 8.1: (1) (2) q80+t q80+t 0.10 0.30 0.15 0.25 0.20 0.10 0.25 0.10

pura inicial es cero 0 V = 0, por definición, ya que la prima fue calculada por el principio de equivalencia.

• El Asset Share final puede no ser cero. La fórmula general de recursión es: (1) (2) (τ ) bk+1 + qx+k (k+1 CV ) + px+k × k+1 AS (8.2) − ck ) − ek ](1 + i) = qx+k

Ejemplo 4 Para un seguro de vida vitalicio totalmente discreto en (80), te han dado que:

• La suma asegurada es 1000, y la prima de tarifa es 200. • Los gastos incluyen 10% de la prima de tarifa más 20 en todos los años. • El cash value durante cualquier año es 50 % de todas las primas pagadas hasta ese momento.

• i =6 % • Las probabilidades de muerte y cancelaciones están dadas en el Cuadro 8.1. Asumiendo que el asset share inicial para esta póliza es 15, encuentra los montos de los asset shares en los tiempos t = 1, 2, 3 Soluci´ on: Aplicando la ecuación (8.1):

(1)

(2)

(τ )

[0 AS + G(1 c0 ) e0 ](1 + i) = q80 b1 + q80 1 CV + p80 1 AS [15 + 200(1 0.10) 20](1.06) = 0.10(1000) + 0.30(100) + (1 1 AS = 92.5

− − − − ⇒

15 92.4 112.8 84.5

Cuadro 8.2: Resultados

• El Asset Share inicial puede no ser cero mientras que la reserva matemática

[k AS + G(1

t AS

− (0.10+0.30))1AS

Aplicando la ecuación (8.2), se obtiene los valores del Cuadro (8.2)

Notas Actuariales

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