Álgebra Superior - Murray R Spiegel

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ALGEBRA ALGEBRA SUPERIOR SUPERIOR MUf¡ray R. Spiegel Murray Spiegel

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601 problemas resueltos con so completamente detalladas. Incluye 487 problemas propuestos con solución.

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Abarca los aspectos teóricos y prácticos del álgebra. Entre los problemas resueltos figura la deducción de algunas fórmulas y teoremas.

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http://carlos2524.jimdo.com/


ALGEBRA SUPERIOR SUPERIOR ALGEBRA MURRA y R. SPIEGEL, SPIEGEL, Ph. D. MURRAY of Mathematics Professor of Rensse/aer Polytechnic Institute Rensselaer

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TRADUCCIÓN TRADUCCIÓN

YY ADAPTACIÓN ADAPTACIÓN

LUIS LUIS GUTIÉRREZ GUTIÉRREZ DIEZ DiEZ

Ingeniero de Armamento Armamento ANGEL ANGEL GUTIÉRREZ GUTIÉRREZ V ÁZQUEZ

Ingeniero de Armamento Armamento Licenciado en Ciencias Físicas Diplomado Nuclear Diplomado en Ingeniería Nuclear

McGRAW-HILL McGRAW-HILL MÉXICO. MÉXICO. BUENOS BUENOS AIRES. AIRES. CARACAS CARACAS.• GUATEMALA. GUATEMALA. LISBOA. LISBOA. MADRID. MADRID. NUEVA NUEVA YORK YORK SAN SAN JUAN. JUAN. SANTAFÉ SANTAFÉ DE BOGOTÁ. BOGOTÁ. SANTIAGO. SANTIAGO. SAO SAO PAULO. PAULO. AUCKLAND AUCKLAND LONDRES. LONDRES. MILÁN MILÁN.• MONTREAL MONTREAL •• NUEVA NUEVA DELHI DELHI •• SAN SAN FRANCISCO. FRANCISCO. SINGAPUR SINGAPUR STo STo LOUIS LOUIS •• SIDNEY SIDNEY •• TORONTO TORONTO


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SPIEGEL

Gerente de Producto: Carlos Granados Islas Supervisorade edición: Leticia Medina Vigil Supervisor de producción: Zeferino García García

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Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

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DERECHOS RESERVADOS © 1998, 1991, 1956 respecto a la primera edición en español por McGRA W-HILLlINTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Una División de The McGraw-Hill Companies Inc. Cedro Num 512, Col. Atlampa Delegación Cuauhtémoc 06450 México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editotial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN

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970-10-2172-X

(ISBN 968-422-925-9

1991-:'l9561

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Cc

Translated ofthe firts edition in English of SCHAUM'S OUTLINE OF COLLEGE ALGEBRA Copyrigh © MCML VI, by McGraw-Hill, Inc., U.S.A.

1,

ISBN 0-07-060-226-3

1402356789

Impreso

G.A.91

en México

09876543201

Printed

in Mexico

Esta obra se lenninó de Imprimiren Enero del 2001 en Litográfica Ingramex Centeno Núm. 162-1 Col. Granjas Esmeralda Delegación Iztapalapa 09810 México, D.F.

'Se tiraron

1500 ejemplares


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Prólogo Prólogo álgebra, de brillante brillante historia, historia, con con más más de tres tres mil años años de de antígüedad, El álgebra, antígüedad, muy muy bien bien pudiera pudiera consiconsiderarse como como el idioma idioma universal universal de la civilización. civilización. Constituye Constituye la la base base sobre sobre la que que se apoya apoya la alta alta mamaderarse temática y es el lenguaje lenguaje en que que se expresan expresan la ciencia ciencia y técnica técnica modernas. modernas. Problemas temática Problemas de de dificil dificil solución solución partir de un un planteamiento planteamiento aritmético aritmético se resuelven resuelven mucho mucho más más fácilmente fácilmente si se plantean plantean en en términos ténninos a partir algebraicos. algebraicos. Igual que que ocurre ocurre con con los idiomas, idiomas, el álgebra álgebra también también exige exige muchas muchas horas horas de de dedicación dedicación antes antes de de Igual que el estudioso estudioso pueda pueda considerarse considerarse versado versado en ella. ella. El viejo viejo adagio adagio de existe un de que que «no «no existe un camino camino de de que aprendizaje corto» corto» no no es una una excepción excepción en este este caso caso. . Para Para llegar llegar a «hablar» «hablar» con con soltura soltura este este idioma idioma es aprendizaje necesario adquirir, adquirir, ante ante todo, todo, una una idea idea clara clara y concisa concisa de sus principios principios fundamentales ponecesario fundamentales y, después, después, poseer una una gran gran dosis dosis de práctica. práctica. seer propósito de este libro libro es, en esencia, esencia, proporcionar proporcionar El propósito de este al alumno alumno los los conocimientos conocimientos necesarios necesarios para llegar llegar a dominar dominar este este campo campo fundamental fundamental de de la matemática. matemática. Además para Además de de servir servir como como libro libro de de texto texto alumnos de un curso curso medio medio de álgebra, álgebra, puede puede ser ser de considerable utilidad para aquellos aquellos otros otros que que a los alumnos de considerable utilidad para deseen repasar repasar sus sus principios principios fundamentales fundamentales aplicaciones como como introducción deseen y aplicaciones introducción a ulteriores ulteriores estudios estudios matemáticas, ciencias ciencias o ingeniería. ingeniería. de matemáticas,

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contenido del del libro libro se divide divide en capítulos capítulos que que abarcan abarcan todos todos los El contenido los conceptos conceptos clásicos clásicos de de la teoría. teoría. Cada uno uno de ellos ellos comienza comienza con con un resumen, resumen, a modo modo de de fonnulario, formulario, de Cada de las las definiciones, definiciones, principios principios y teoteoremas correspondientes, correspondientes, junto con con ejemplos ejemplos ilustrativos ilustrativos de los mismos. mismos. A continuación, remas junto continuación, figura figura una una cocolección de problemas problemas resueltos resueltos y otra otra de problemas problemas propuestos. propuestos. Los han elegido eiegido de de forma fonna lección Los primeros primeros se han que proporcionen proporcionen una visión visión clara clara de la aplicación aplicación correcta correcta de de los que una los principios principios enunciados. enunciados. Ilustran Ilustran y complementan teoría, ya que que la repetición repetición de los teoremas teoremas es de de importancia complementan la teoría, importancia vital vital para para conseguir conseguir una una enseñanza eficaz eficaz e iluminan iluminan con con potente potente foco foco aquellos aquellos conceptos conceptos que por su especial especial dificultad dificultad escapan escapan enseñanza que por generalmente al alumno, alumno, y cuya cuya ignorancia traduce siempre siempre en sentimiento sentimiento de de inseguridad. inseguridad. Entre Entre los los generalmente ignorancia se traduce problemas resueltos resueltos figura figura la deducción deducción de algunas algunas fórmulas fórmulas y teoremas. teoremas. El estudio estudio que que se hace hace de de mumuproblemas chas de las materias materias tratadas tratadas es más más profundo profundo y completo completo que que el que chas que se encuentra encuentra en en la mayoría mayoría de de los libros de texto; texto; su exposición exposición incluye incluye el número número complejo, complejo, la teoría teoría de de ecuaciones, ecuaciones, la combinatoria, combinatoria, libros cálculolo de probabilidades, probabilidades, determinantes y las series series infinitas infinitas. . La el cálcu los determinantes La finalidad finalidad de la presente presente obra obra es dar respuesta respuesta a cualquier cualquier selección selección de temas temas propuesta propuesta por por el profesor, profesor, servir libro de dar servir como como libro de consulta consulta estimular un ulterior ulterior interés interés del alumno alumno por materia que que aquí aquí se trata. y estimular por la materia trata.

M. Spiegel M . R. Spiegel


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12. 13. 1~ 15. 16. 17. 18. 19.

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n n. 24. 25.

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Tabla de materias CAPITULO CAPITULO

PAGINA PAGINA

FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS...................... 1. OPERACIONES OPERACIONES FUNDAMENTALES 1. NUMEROS .. .. ...... .. . ... ..... .

1

'OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ALGEBRAICAS. . . . . . . 2. 'OPERACIONES

11 11

INTERES PRACTICO. PRACTICO. . .. . .................. . .......... . . . .... 3. PRODUCTOS PRODUCTOS DE INTERES

21 21

4.

26

DESCOMPOSICION EN FACTORES.. FACTORES . ......... . .... . . ....... . .. . .. .. .......... . DESCOMPOSICION o

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5. FRACCIONES............................. FRACCIONES 5. .. ................... . ..... . .. . ... .. .

35

6.

POTENCIACION yy RADICACION. RADICACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . POTENCIACION

42

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7. RADICALES 7. RADICALES........... . .. . .... .. ................. .. .. . ... .... . ... ..... ..... . . ..

53 53

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. OPERACIONES NUMEROS COMPLEJOS.

63 63

9.

ECUACIONES EN GENERAL....... GENERAL. ECUACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . .

67

10. FUNCIONES FUNCIONES Y GRAFICAS GRAFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lO.

75 75

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11. ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES CON UNA INCOGNITA.. INCOGNITA.............................. 11. .. .. .. .. .............. . . . ...

87 87

12. SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES. . . . . . . .. .... ....... .. ... .. .. . .. . . . . .. . . 12.

100 100

13. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON UNA INCOGNITA.... INCOGNITA................ 13. .... ........

110 110

ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON DOS INCOGNITAS... INCOGNITAS o........... 14. ECUACIONES . .. . . ....... .

127 127

15. RAZON, RAZON, PROPORCION PROPORCION y PROPORCIONALIDAD . ............ . ... . .o........... 15. y PROPORCIONALIDAD ........ .. .

135 135

16. PROGRESIONES......... PROGRESIONES............................................................... 16. .. .... . ......... . . ... . . . ..............................

140 140

TEOREMA DEL BINOMIO BINOMIO DE NEWTON....................................... 17. TEOREMA NEWTON .... . .. ...... . ........ .. . . . .. . . . . . . ....

155 155

18. PRINCIPIO PRINCIPIO MATEMATICO MATEMATICO DE INDUCCION INDUCCION COMPLETA......... COMPLETA....................... 18. .. .. .. . . ... . . .

163 163

19. DESIGUALDADES.... DESIGUALDADES.............................................................. 19. .. .. . ... . ........ .. .......... .... .. . .. . .. . .. .. . ...........

167 167

20.

172 172

FORMA POLAR POLAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOS............................. FORMA NUMEROS COMPLEJOS. . .. .... . . .... ... .. .. ..... ...

21. TEORIA TEORIA DE ECUACIONES. ECUACIONES. . . ............ . . .. .. . ......... ....... ... ..... ....... 21.

182 182

22. LOGARITMOS........... LOGARITMOS 22. . .. . ......... . . ..................... . ... ... .. . . . .......

209 209

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23.

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INTERESES Y ANUALIDADES. ANUALIDADES. . . . . .. .... . .. . ..... ... . ....... .. ..... .. ....... .. INTERESES

221 221

24. . ......... . ............ ... .. ... ... ...... . . ... . .... ....... 24. COMBINATORIA...... COMBINATORIA

229 229

25. PROBABILIDADES.. PROBABILIDADES............................................................. 25. . ....................... . .................... .. . . . . .. ... ...

242 242

26. DETERMINANTES DETERMINANTES Y SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES. LINEALES. . . . ......... . ... 26.

252 252

27.

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DETERMINANTES DE ORDEN ORDEN n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. DETERMINANTES

260

28.. FRACCIONES FRACCIONES SIMPLES SIMPLES ......... : . ......... . ..... . .... ... ... . .... ~ . . . . . . . . . . . . . 28

275 275

SERIES INFINITAS. INFINITAS. .. . . . . ..... . . . . . . . .... . . . . . .... . . . . ....... . . . . . . . . ........ . . . . . . . . .... . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . ....... . . . . . .. 29. SERIES

280 280

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APENDICE APENDICE LOGARITMOS DECIMALES....... DECIMALES ... TABLA DE LOGARITMOS . ...... . . . . ....... .. . .. ..........

300 300

INTERES COMPUESTO. COMPUESTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. TABLA DEL INTERES

302 302

VALOR ACTUAL ACTUAL DESPUES DESPUES DE n PERIODOS.... PERIODOS..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... VALOR

303 303

CAPITAL DE UNA UNA ANUALIDAD....... ANUALIDAD CAPITAL .. .. .. . . ..... ... .. .... .o . . .... . ...o...... ... .. .

304

VALOR ACTUAL ACTUAL DE UNA ANUALIDAD.. ANUALIDAD...................................... VALOR . .......... . . . ....... ...... . ...... ..

305 305

INDICE '0·................................... INDICE... . .... . . ..................... ... ...... . ....... . ............. .. ...............

307

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CAPITULO CAPITULO 1

Operaciones Operaciones fundamentales con los números

CUATRO OPERACIONES OPERACIONES fundamentales fundamentales del álgebra y la aritmética aritmética son la suma, la resta, LAS CUATRO multiplicación y la división. la multiplicación SUMA. La suma, o adición, adición, de dos números números a y b se representa representa por por a SUMA. 5. bien 3 y 2, se escribe 3 + 2 == 5.

+ b. Por ejemplo, 3 más 2, o

sustracción o diferencia diferencia de un número número b de otro otro a se representa representa por por a-b. a-b. Por RESTA. La resta, sustracción ejemplo, 6 menos 2, o bien, de 2 a 6, se escribe 6 - 2 == 4. particular de la suma. Esto es, la diferencia a - b es un número número x tal que La resta es un caso particular x más b proporciona proporciona el número número aa:: x + b == a. Por ejemplo, 8 - 3 es un número número x tal que sumadonde 8 - 3 == 5. 5. do a 3 da 8, es decir, x + 3 == 8, de donde MUL TIPLICACION. TIPLICACION. producto de dos dos números números a y bes bes otro otro número número cy se representa representa así: a x b == c. MUL El producto operación de multiplicar multiplicar se puede indicar indicar mediante mediante una cruz, un punto punto o un paréntesis. paréntesis. Por La operación = 5·3 5·3 = = 5(3) = = (5)(3) (5)(3) = = 15, 15, en donde donde los números números 5 y 3 son los factores y 15 15 ejemplo, 5 x 3 = producto. Cuando Cuando se utilicen letras para para representar representar números, números, se debe evitar la notación notación p x q, q, el producto. confundir con una letra que pudiera pudiera representar representar a otro otro número. número. ya que el símbolo x se puede confundir DIVISION. Cuando Cuando se divide un número número a entre, o por, otro b, el cociente se representa representa así: a -:-:- b, a: a: b DIVISION. alb, en donde donde a recibe el nombre nombre de dividendo dividendo y b el de divisor. La expresión a/b ajb también también se deo a/b, nomina fracción, siendo. a el numerador numerador y b el denominador. denominador. nomina l(b), l(e).] l(e).] La división por cero carece de sentido. [Véanse Probs. l(b),

particular de la multiplicación. multiplicación. Esto es, el cociente a/b afb es un número número x La división es un caso particular multiplicado por b da lugar al número número a : bx == a. Por Por ejemplo, 6/3 es un número número x tal que tal que multiplicado multiplicado por 3 da 6, es decir, 3x == 6, de donde donde 6/3 == 2. 2. multiplicado CONJUNTO DE NUMEROS NUMEROS REALES REALES se establece, hoy en día, como resultado resultado de un proceso EL CONJUNTO gradual de aplicación aplicación de otros otros conjuntos conjuntos que vamos a reseñar a continuación. continuación. gradual 1) Números Números naturales naturales 1, 1, 2, 3, 4, ...... , (los puntos puntos suspensivos significan «y así sucesivamente») 1) para contar contar y que se denominan denominan también también números números enteros enteros positivos. La suma o que se utilizan para multiplicación de dos números números naturales naturales es siempre otro otro número número natural. natural. la multiplicación Números racionales racionales positivos o fracciones positivas. Son los cocientes de dos enteros enteros po2) Números positivos ofracciones 121/17. El conjunto conjunto dé los números números naturales naturales está incluido en el de sitivos; por ejemplo, 2/3, 8/5, 121/17. números racionales racionales positivos. positivos. Esto es, el el número número racional 3/1 3/1 es el número número natural natural 3. los números Números irracionales irracionales positivos. números no racionales racionales como, por ejemplo, 3) Números positivos. Son números


j2, tt. j2, 1t.

2

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS LOS NUMEROS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS

°

Cero.. Se presenta introduce para ampliar el sistema sistema numérico, de forma forma que que 4) Cero presenta por por O y se introduce para ampliar numérico, de operaciones tales tales como como 6 - 6, 10 - 10, etc. etc. El cero cero tiene tiene la propiedad que se puedan puedan realizar realizar operaciones propiedad de que cualquier número multiplicado por da cero. cero. Cero Cero dividido dividido por cualquier número distinto de de cualquier número multiplicado por él da por cualquier número distinto cero (+0) (fO) es igual igual a cero. cero. cero negativos. Son Son los enteros, enteros, racionales irracionales antepuestos antepuestos del signo signo menos 5) Números Números negativos. racionales e irracionales menos de la resta como, por ejemplo, - 3, - 2/3 Y Y -)2. - fi. Se introducen introducen para ampliar el sistema sistema numéde resta como, por ejemplo, para ampliar numérico de forma forma que que se puedan operaciones tales tales como como 2 - 8, ¡¡ ¡¡ - 3¡¡, 2 - 2)2, 2fi, etc. ete. rico de puedan realizar realizar operaciones Cuando a un antepone signo signo alguno, alguno, se sobrentiende sobrentiende que que es positivo. Así, Cuando un número número no no se le antepone positivo . Así, pues, quiere decir decir + 5, )2 fi es +)2. + fi. El cero cero se considera considera como como un carente de de pues, 5 quiere un número número racional racional carente signo. signo. EL CONJUNTO CONJUNTO DE NUMEROS REALES está está formado formado por irracionales, DE NUMEROS REALES por los números números racionales racionales e irracionales, EL tanto positivos como negativos, cero. tanto positivos como negativos, y el número número cero. Nota. emplea para distinguir estos estos números de otros otros que que se caracterizan caracterizan Nota . La palabra palabra real real se emplea para distinguir números de por contener el 'término y que que reciben de imaginarios. imaginarios. Aunque Aunque estos estos últimos apapor contener término reciben el nombre nombre de últimos aparecen con suma suma frecuencia frecuencia en las matemáticas matemáticas y ciencias, ciencias, en general, general, mientras mientras no diga lo conconrecen con no se diga trario, trataremos trataremos con con números trario, números reales. reales.

¡=¡ J=l

REPRESENT ACION ACION GRAFICA GRAFICA DE LOS LOS NUMEROS REALES. Los números REPRESENT DE NUMEROS REALES. Los números reales reales se pueden pueden representar mediante los infinitos infinitos puntos de una Para ello, ello, se elige elige un punto de de la misma misma puntos de una recta. recta. Para un punto representar mediante los que represente cero y que que se toma toma como como origen. Los enteros enteros positivos, ... , se que represente al cero origen. Los positivos, + 1, + 2, + 3, ... asocian con con los los puntos de la recta situados a distancias distancias 1, 1, 2, 3, ... ... , unidades, puntos de recta situados unidades, respectivamente, respectivamente , asocian a la derecha derecha del del origen origen (véase (véase figura), figura), mientras que los enteros enteros negativos negativos - 1, - 2, - 3, ..... . , se mientras que asocian con con los los puntos de la recta situados a 1,2, 1,2,3, 3, ..... . , unidades, asocian puntos de recta situados unidades, respectivamente, respectivamente, a la izquierda izquierda mismo. del mismo. RR PP I i I I II I -4 +3 +5 +3 +2 +2 -2 N-1 +4 o -2 "'-1 -3 -4 -3 -5 o S +1 'M M +

RE(

II

°

esta escala escala, , por equidistante de de los los correscorresEl número número racional racional 1/2 se representa, representa, en esta por un un punto punto P equidistante pondientes situado una número negativo negativo --3/2, 3/2, o --li,1t, se representa representa por por un un punto punto R situado una pondientes al O y + 1. El número unidad media a la izquierda izquierda del origen. origen. unidad y media decir, pues, que a cada corresponde un solo puntq de la recta recta y, reSe puede puede decir, pues, que cada número número real real le corresponde un solo punt~ de re cíprocamente, que que a cada cada punto de la recta corresponde un solo número cíprocamente, punto de recta le corresponde un solo número real. real. LA POSICION POSICION DE DE LOS LOS NUMEROS REALES sobre sobre una establece un orden en en el conjunto conjunto LA NUMEROS REALES una recta recta establece un orden de dichos dichos números. está situado situado a la derecha derecha de de otro otro B de de la recta corresde números. Si un un punto punto A está recta el número númeró correspondiente mayor que que el correspondiente correspondiente a B, o bien, correspondiente menor pondiente a A es mayor bien, el número número correspondiente a B es menor que el correspondiente correspondiente Las expresiones expresiones «mayor «mayor que» que» y «menor «menor que» que» se 'representan 'representan por los a A. A. Las por los que símbolos > > y <, -c , respectivamente, son «signos «signos de desigualdad». símbolos respectivamente, y son de desigualdad». Por ejemplo, ejemplo, como como 5 está está a la derecha derecha de 3, 5 es mayor mayor que que 3, es decir, decir, 5 > > 3; también también se dedePor duce que que 3 es menor menor que que 5, y se escribe escribe 3 < < 5. Análogamente, Análogarnente, como como - 6 está está a la izquierda izquierda de de - 4, 4, duce -6 es más más pequeño que -4, es decir, decir. -6 < --4; también se deduce deduce en este este caso caso que que -4> -4 > -6. -6 pequeño que -6 < 4; también EL VALOR VALOR ABSOLUTO ABSOLUTO de de un número es el el correspondiente correspondiente signo EL un número al número número prescindiendo prescindiendo del signo que le afecte. afecte. El valor valor absoluto absoluto se representa representa encerrando encerrando el número entre dos dos barras verticales. que número entre barras vertica les . Por Por ejemplo, ejemplo, 1-61 = 6, 1+41 1+41 = 4, 1-3/41 = 3/4. íí

PROPIEDADES DE LA LA SUMA SUMA Y DE DE LA MUL MULTlPLlCACION PROPIEDADES DE TIPLICACION Propiedad conmutativa conmutativa suma. . El orden orden de los sumandos sumandos no altera el valor valor de de 1) Propiedad de la suma no altera suma. . la suma Es decir: a + b = b + a, decir: 5 + + 3 == 3 + 5 == 8.


POl

3

OPERACIONES CON OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS NUMEROS

Propiedad asociativa pueden agrupar 2) Propiedad asociativa de de la suma. suma. Se pueden agrupar los sumandos sumandos de de cualquier cualquier forma forma sin modifique el valor valor de sin que que se modifique de la suma. suma. a

+

b

+

e = a

+

(b + e) = ((1 b) + e. (a + b)

3 + 4 + 1 = 3 + (4 (4 + 1) 1) = (3 (3 + 4) + + 1= 8

conmutativa de de la multiplicación. 3) Propiedad Propiedad conmutativa multiplicación . del producto. producto. ( a'l '

El orden orden de los los factores altera el valor factores no no altera valor

2'5=5'2=\0 2· 5 = 5' 2 = 10

b = = b' b : a, a,

Propiedad aso( multiplicación. Se pueden pueden agrupar 4) Propiedad aso. ,ativa .ativa de la multiplicación. agrupar los los factores factores de cualquier cualquier forma modihque el valor valor del producto. producto. forma sin que que se modifique 3' 4· 3(4' 6) = (3' (3 . 4)6 = 72 72 3' 4· 6 = 3(4'

abe abe = = a(be) a(be) = = abre), ab(e),

5) Propiedad Propiedad distributiva multiplicación. El El producto producto de un número número a por por la suma distributiva de la multiplicación. suma de productos ab yac de otros otros dos dos (b + e) es igual igual a la suma suma de de los los productos ab y ac,. a(}:. .¡. e) = ab ab + ae, (I(b

4(3 + 2) = 4' 4' 3 + 4' 4' 2 = 20

Estas propiedades propiedades son una generalización pueden Estas son susceptibles susceptibles de de una generalización. . Quiere Quiere esto esto decir decir que que se pueden sumar los números a, b, e, d, e, agrupándolos en un un orden por ejemplo, sumar los números agrupándolos orden cualquiera cualquiera como, como, por ejemplo, (a + b) (d + e), a + (b + e) + (d Análogamente, en la multiplicación, multiplicación, se puede puede b) + e + (d (d + e), etc. etc. Análogamente, poner (ab)c(de), bien, a(be)(de), resultado independiente realice poner (ab)c(de), o bien, a(bc)(de), siendo siendo el resultado independiente de de la forma forma en en que que se realice el el agrupamiento. agrupamiento. REGLAS DE DE LOS LOS SIGNOS REGLAS SIGNOS 1) Para Para sumar números del mismo mismo signo valores absolutos sumar dos dos números signo se suman suman sus sus valores absolutos y se antepone antepone al resultado resultado dicho Por ejemplo, dicho signo signo común. común. Por ejemplo, 3 + 4 = 7, (-3) (- 3) + ((--4) 4) = -7. - 7. Para sumar números de valores 2) Para sumar dos dos números de signos signos diferentes diferentes se efectúa efectúa la diferencia diferencia entre entre sus sus valores absol utos y se antepone resultado el signo mayor valor valor absoluto. absolutos antepone al resultado signo del del sumando sumando de de mayor absoluto. Ejemplos. Ejemplos.

3)

17 + ((-8)8) = = 9, 17

(-6) (-6)

+

4 == -2, -2,

(-18)+ (-18) + 15=-3 15 = -3

Para restar restar un un número número b de Para de otro otro a, se cambia cambia el signo signo de de b y se le suma suma a.

Ejemplos. Ejemplos.

12 - 7) = 5, 12 - (7) = 12 12 + ((-7)=

((-9) - 9) - (4) = --99 + (13, (-4)4) = --13,

- 8) = 2 + 8 = 10 2 - ((-8) 10

Para multiplicar multiplicar (o dividir) números del mismo mismo signo multiplican (o dividen) 4) Para dividir) dos dos números signo se multiplican dividen) sus sus ltado el signo más (o no no se pone pone signo). valores absolutos valores absolutos y se antepone antepone al resu resultado signo más signo). Ejemplos. Ejemplos.

15, (5)(3) = 15,

(-5)(-3) = 15, 15, (-5)(-3)

-6

-3= 2 -3=

Para multiplicar multiplicar (o dividir) números de multiplican (o dividen) 5) Para dividir) dos dos números de signos signos diferentes, diferentes, se multiplican dividen) sus valores absolutos resultado el signo menos. sus valores absolutos y se antepone antepone al resultado signo menos. Ejemplos. Ejemplos.

= -- 18, 18, ( - 3)(6) =

(3)( (3)( -6) -6) = = -18, -18,

-12 -12 4

-==

-3

POTENCIAS Y EXPONENTES. EXPONENTES. Cuando un número número a se multiplica multiplica consigo mismo n veces, veces, el POTENCIAS Cuando un consigo mismo el producto a . a . a .•. veces) se representa representa por por el símbolo producto ... a (n veces) símbolo a a"n que que se lee «potencia «potencia enésima enésima de de a» a» o bien bien «a elevado potencia n» o todavía todavía «a a la n». elevado a la potencia

Ejemplos. Ejemplos.

(-w (-w

2'2'2'2'2 2'2'2'2'2 = 25 = 32, = (-5)(-5)(-5) (-5)(-5)(-5) = -125 -125 3b 2 , 2' X' X' X' x = 2x a' (a - b)(a 2' X' 2x33, , a' a' a' a' a' b· b· b = a a'b", b)(a - bita b)(a - b) b) = (a - b)3

En la potencia potencia aa",n , el número número a recibe recibe el nombre nombre de número positivo positivo y entero En de base base y el número entero n el de de exponente. exponente.


OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS

4

PROPIEDADES LAS POTENCIAS. PROPIEDADES DE DE LAS POTENCIAS.

son enteros enteros y positivos, Si p Y q son positivos, se verifica: verifica:

1) ú"a" = ap + q

aP 2) -a" = aP -

q

1

= a"--P

3344

si a ..t. -r O

jb = ~ =

1 1 = 322 - 4 = 36-4

1. 1b a b e:

OPERACIONES CON FRACCIONES. OPERACIONES CON FRACCIONES.

efectúan teniendo en cuenta cuenta las las reglas siguientes: : Se efectúan teniendo en reglas siguientes

IT

de una fracción no altera si se multiplican denominador por 1) El valor valor de una fracción no se altera multiplican numerador numerador y denominador por un un mismo distinto de de cero. cero. mismo número número distinto

i

Ejemplos. ~ Ejemplos.

3,2 3,2 4,2 4,2

6

15 18

8'

15 18

-7-7-

3 3

d

5

''66

e

cambia el signo signo del del numerador, denominador, fracción, , ésta ésta cambia cambia 2) Si se cambia numerador, o el del denominador, de una una fracción de signo. signo. de

Ejemplo. Ejemplo.

-3

3 5

5 5

3

-5

La suma suma de de dos dos fracciones fracciones del mismo denominador es igual igual a una fracción que que tiene 3) La mismo denominador una fracción tiene por por numerador suma de los los numeradores denominador dicho denominador denominador común. . numerador la suma numeradores y por por denominador dicho común

Ejemplo. Ejemplo.

3

4

5'5" + 5'5"

x

2.

E a b

3+4 7 = -55" = 5 - == 5'

d

se efectúa una vez que 4) La La suma suma de de dos dos fracciones fracciones de de distinto distinto denominador denominador efectúa como como en 3) una que las fracciones fracciones a un denominador común. . se hayan hayan transformado transformado las un denominador común

l'

a

b

Ejemplo. Ejemplo. de dos dos fracciones fracciones es otra otra fracción fracción cuyo cuyo numerador de 5) El producto producto de numerador es igual igual al producto producto de los numeradores denominador igual al producto los denominadores. denominadores. igual producto di! d~ los los numeradores y el denominador

d e

E··

lI ~empos. ~emp os.

2 4

"3"3'' 5'5"

2, 2'44 3, 5 3,

88

15'

3 8

3, 8 3,

¡¡.9 . 9" = 4 . 9 =

24 24 36 =

2

"3

de una fracción es la fracción fracción cuyos cuyos numerador denominador son, res6) El recíproco recíproco de una fracción numerador y denominador son, respectivamente, denominador y numerador de la fracción fracción dada. dada. Así, de 3 (es pectivamente, el denominador numerador de Así, pues, pues, el recíproco recíproco de decir, 3/ 3/1) 1/3. Análogamente, los recíprocos de 5/8 5/8 y - 4/3 son 8/ 8/55 y - 3/4, 3/4, respectivamente. 1) es 1/3. Análogamente, los recíprocos de 4/ 3 son respectivamente. decir, dividir dos dos fracciones fracciones se multiplica de la la segunda segunda 7) Para Para dividir multiplica la primera primera por por el recíproco recíproco de e a ad d . a c ad 2 4 2 5 10 5 EJemplos. b b -7- d d =b b . = bc' be' "3 -7- 5'5" = "3 •• ¡ 4' = 12 = '6 Ejemplos.

j

h

ee

p

a

expresar como como sigue sigue: : b b El resultado resultado se puede puede expresar

ce

-7-

afb alb . bd ad a/b a/b -¡j= c/d = c/d c/d, , bd = bc be {¡=

k


CON LOS NUMEROS OPERACIONES. FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES OPERACIONES. CON NUMEROS

5

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS I. 1.

Hallar la suma suma S. diferencia diferencia D. producto cociente Q Q de de cada cada uno de los los siguientes siguientes pares de números: números: a) a) 48.12; 48.12; Hallar producto P y cociente uno de pares de b) 8, O: b)

e) O, O, 12; e)

a) a)

= 48 S =

b)

S = 8

+ +

d) 10. 20; 20; d)

O = 8.

e) O, O, O. O. e)

D == 48 - 12 == 36. D

= 60. 60. 12 =

8. D = 8 - O = 8,

P = = 48(12) 48(12) = = 576.

o.

P = 8(0) = O,

48

48 -7 12 12 = -12 = 4 Q = 48.;-

.

.

12 8 Pero. , por definición. O Pero por definición.

8

Q == 8 .;-7 O, 0.0 o bien ~ Q bien O

O

número x (si existe) existe) de forma forma que que x(O) = 8. Ahora número tal no no existe, existe, ya que que todo todo número número es un número x(O) = Ahora bien, bien , un número multiplicado por da cero. cero. multiplicado por O da O O e) S = O + 12 = 12, D -12, P 0(12) = O, O, O e) D = = O - 12 = -12, P = 0(12) Q == -- == O 12 d)

S = 30, S= = 10 + 20 =

e) e)

= O+ O= = O, O, S =

D -10, D = 10 - 20 = -10, D O, D == O - O == O,

P = 10(20) 10(20) = 200, 200,

P 0(0) = O, O, P = 0(0)

10

20 20

-7 20 = Q = 10 .;O O

O es O

Q = O .;-7 O, O, o bien Q bien

1

= "2

por definición un un número número por definición

.

a

x (si existe) existe) tal que que x(O) = O. O. Como Como esto esto ocurre ocurre para Iodos los los números números x, valor del cociente cociente x(O) = para lodos x, el valor

O O

O es O

indeinde-

terminado. terminado. De De

2.

b) y e) e) se deduce deduce que que la división división por cero es una una operación operación que que carece carece de sentido. sentido. b) por cero

Efectuar las siguientes siguientes operaciones operaciones indicadas. indicadas. Efectuar a) 42 + 23. 23, 23 + 42 a) h) 11). (27 + 48) 48) + 12 12 27 + (48 + 12). h) c) c) d) d)

e

e

e)

125 - (38 + 27) 6'8,8, 8·6 8·6 6' 4(7' 6). (4' (4' 7)6 4(7'

+

f)

f)

35·28 35·28

i)

72 -7 24 72.;-

¡r)

-7 21 756 .;21

j) j)

4 -7 2 4.;-

h)

(40 + 21)(72 - 38) (40+21)(72-38) (32 - 15)

k) k)

128 -7 (2'4), (2' 4), (128.;(128 -7 2)'4 2)' 4 128.;-

h)

64 .;-7 16

+ 6 .;-7 3 - 2 -7 .;- 2 + 3 . 4

a) a)

65. Luego Luego 42 + 23 = 23 + 42. 42 + 23 = 65. 23 + 42 = 65. Este es un ejemplo ejemplo de la propiedad conmutativa de la suma. suma. Este propiedad conmutativa

h) h)

87. (27 + 48) + 12 12 = 75 + 12 12 = 87. Luego Luego 27 27 + (48 + 12) = = 27 + 60 = 87, Este es un ejemplo de la propiedad propiedad asociativa asociativa de la suma. suma.' ' Este un ejemplo

e) e)

125 - (38

d) d)

6' 8 = = ?8. 48.. Luego Luego 6 . 8 = = 8 . 6. ejemplo ejemplo de la propiedad conmutativa de la multiplicación. multiplicación. 6' ~8. 8 . 6 == 48 propiedad conmutativa

+

4(7' 6) = 4(42) 4(42) == 168. (4' (4' 7)6 = (28)6 = 168. Luego Luego 4(7' 4(7' 6) = (4' (4' 7)6. 4(7' Este ejemplo de la propiedad asociativa de Es~ es un ejemplo propiedad asociativa de la multiplicación. multiplicación.

/) f)

(35)(28) = 35(20 35(20 (35)(28) plicación. plicación.

¡r)

TI TI

h) h)

= = 36

(48

+

12) = (27

48) + + 48)

12.

= 125 - 65 = = 60. 27) =

e) e)

756

+

+

35(20) 8) = 35(20)

+

35(8) = 700 35(8)

+

distributiva de la multimulti280 = 980 por por la propiedad propiedad distributiva de

Comprobacion : 21 11 . 36 = = 756 Comprohación: 22

21)(72 - 38) = (61)(34) (61)(34) = ~~ 61.2 = 122 (40 + 21)(72 ~~ = 61.2 17 JlI (32 - 15) 17 YI

Los cálculos cálculos aritméticos. aritméticos. por convenio. obedecen obedecen a la siguiente siguiente regla: regla: las operaciones operaciones de multiplicar multiplicar y dividir dividir i) Los por convenio. preceden sumar y restar. restar. preceden a las de sumar Luego 72 .;-7 24 + 64 .;-7 16 = = 3 + 4 = = 7. Luego j) j)

Aplicando la regla regla i) tendremos tendremos 4.;4 -722 + 6 .;-7 3 - 2 .;-7 2 + }..:. 3-.:.4 12 = = 15 15.. Aplicando 4 == 2 + 2 - 1 + 12

k) k)

128 -7 (2'4) (2'4) = 128 -7 8 = -7 2)'4 2)'4 = 64·4 64·4 = 256. 128.;= 128.;= 16. (128 .;escribe 128 .;-7 2 . 4 sin paréntesis, sabría orden de de las operaciones. operaciones. Si se escribe páréntesis. no se sa bría del orden


OPERACIONES

6 3.

FUNDAMENTALES

CON LOS NUMEROS

Clasificar los siguientes números según las categorías: número cional, número irracional, ninguna de las anteriores. - 5,

3/5,

3n,

2,

-1/4,

Entero positivo

Número real -5

.¡

3/5

,¡

37t

,¡

2

,¡

F, 0,3782,

6,3, O, .)5,

Si el número pertenece a una o más categorías,

real, entero positivo, entero negativo,

Entero negativo

Número racional

,¡

,¡

y

-18/7

8.

Ninguno de los anter.

Número irracional

el .¡

.¡

.¡

,¡

,¡

O

.¡

,¡

.¡5

,¡

9.

a) b)

,¡

e)

,¡ ,¡ ,¡

,¡

,¡

-18/7

d)

.¡

,¡

/4

H: b)

r-I 0,3782

E

a bl

.¡

.¡

6,3

ra-

indíquese por medio de una señal.

,¡

-1/4

)4,

número

10.

,¡

Ef, a)

4.

Representar

(aproximadamente)

los números

t-

~

I -6

-5

~ ..•I <,."

~ ..•

."I

I

I

1 -3

I

-4

reales del Problema

I

1

-2

-1

11O,1

3 por medio de puntos sobre una escala gráfica.

~ I

+1

N 00

~

'"
Ñ

'"

b)

'"

1

I

I

I

I

1

I

1

+21

+3

+4

+5

+6

+7

+8

I +9

!

I

e)

+10

~

,.., e--

d)

o

No/a.

3(3,14) = 9,42; por tanto,

3n es, aproximadamente,

el punto

correspondiente

está comprendido

entre +9 y + 10. El valor de .)5 con tres cifras decimales es 2,236 y, por tanto, está comprendido 5.

6.

7.

Colocar correctamente

el signo de desigualdad

a)

2, 5

e(

3, -1

b)

O, 2

d)

-4,

a)

2 < 5 (65)

b)

0<2

e)

3>

d)

-4 < +2 (o +2 > -4)

Ordenar

+2

e)

-4,

J)

n, 3

(o -1

g)

J7, 3

h)

-fi,-1

i)

-3/5,

n.

Ca a)

reales siguientes:

-1/2

b) e)

2), es decir, 2 es menor que 5 (o 5 es mayor que 2)

(o 2> O) -1

o » entre cada uno de los pares de números

« -3

entre 2 y 3.

< 3)

(o -3>

e)

-4

< -3

f)

n > 3 (o 3 < n)

g)

3>

J7

(o

J7

-4)

i)

-3,22/7,.)5,

-3,2, O;

a)

-3,2 < -3 < O <.)5

Escribir el valor absoluto

b)

-.j2, -)3,

< 22/7

-1,

+3,2/5,

-1,6, b)

de los siguientes números

-.j2,

-.j2 < -3/5

-1

< -1/2,

(-1>

d)

-.j2)

ya que -0,6 < -0,5

e)

< 3)

los siguientes grupos de números reales disponiéndolos

a)

h)

i)

de menor a mayor.

-3/2.

-)3

< -1,6 < -3/2

<

j)

-.j2

reales. -3,14,2,83,

-3/8,

-l!,

+5/7

12.

Tn cae a)


77

OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON LOS LOS NUMEROS NUMEROS OPERACIONES CON

Los valores valores absolutos absolutos de de los los números números dados dados se se representan representan por por Los 1-11, 1-11,

31, 12/51, 1+31, 12/51, 1+

I-fil, I-fil·

4 1, 1-3,141, 1-3,1

I-nl, I-nl.

3/ 8 1, 12,831, 11-3/81, 12,831,

5/ 71 1+5/71 1+

su valor valor es es igual igual aa 1, 1, 3, 3, 2/ 2/5, .)2, 3,14, 3,14, 2,83 2,83,, 3/8, 3/8, nn,, 5/7. 5/7, respectivamente. respectivamente. yy su 5, .j2,

8. 8.

Efectuar las las sumas sumas y restas de los los números números reales siguientes siguientes:: Efectuar a) a) b) b) e) e)

9.

(-3) + (-8) (-8) == -11 -11 (-3) (-2)+3=1 (-2)+3=1 (-6) + 33 = = -3 -3 (-6)

S=-2+2=0, S=-2+2=0,

D=(-2)-2=-4, D=(-2)-2=-4,

S=(-3)+6=3, b) S=(-3)+6=3 ,

11)

P=(-2)(2)=-4, P=(-2)(2)=-4,

D=(-3)-6=-9, D=(-3)-6=-9,

a) --2,2; 2, 2;

Q=-2/2=-1 Q=-2/2=-1

P=(-3)(6)=-18, P=(-3)(6)=-18 ,

Q=-3/6=-1/2 Q=-3/6=-1 /2

e) e)

S = O + (- 5) = - 5,, S=0+(-5)=-5

d)

(-5) + 0= 0= -5, -5, D = (-5) (-5) - O = -5, -5, P = (-5)(0) (-5)(0) = O, O, Q = -5/0 -5/0 no está definida definida la operación. operación. S = (-5)

D = O - (- 5) = 5, D=0-(-5)=5,

P = (0)( - 5) = O, P=(0)(-5)=0,

Q = O/ -5=0 - 5 = O Q=0/

Efectuar las siguientes siguientes operaciones: operaciones: Efectuar a) a)

(5)(-3)(-2) (5)(-3)(-2) = = orden de los El orden

b) b)

8(-3)(10) = -240 8(-3)(10) -240

e))

8(-2)+(-4)(-2)=-16+~=4+4=8 8~42) + (-4~-2) = -=-~6+ ~ = 4 + 4 = 8

e

d d))

ll. 11.

50 50 - 23 23 -- 27 27 = O O -3-(-4)=-3+4=1 -3-(-4)=-3+4=1 i)i) -(-14) + (-2) -(-14) (-2) = 14 14 -- 2 = 12 12

g) g)

Hallar la suma S, diferencia diferencia D, producto producto P y cociente cociente Q de los los siguientes siguientes pares pares de números números reales: Hallar -3,6; O, -5; -5; d) d) -5, -5, O. O. b) -3,6; e) O, a)

10.

-2 + 55 == 33 -2 -15+8=-7 -15+8=-7 (-32)+48+(-10)=6 (-32) + 48 + (-JO) = 6

d) d) e) e) f) f)

-4

[(5)(-3)](-2) [(5)(-3)](-2) = (5)[(-3)(-2)] = (5)[(-3)(-2)] factores no altera altera factores

2

-4

(-15)(-2) (-15)(-2) = 30 (5)(6) = 30 el producto. producto.

2

12(-40)(-12) = 12(-40)(-12) 12(-40)(-12) = 12(-40)(-12) 12(-40)(-12) = -960 12(-40)(-12) -960 5(-3) -15 -6 5(-3) _- 3(-3) 3(-3) -15 - (-9) (-9) -6

Calcular: Calcular: 52 . 53

a) a)

233 = 2·2·2 2.2.2= 8

b) b)

5(3)' 5(3)2 = 5' 5' 3 . 3 = 45

e) e)

10 = 1024 2244. . 266 = 24+6 = 22'0 =

d) d)

25s. , 52 = = (32)(25) (32)(25) = 800

e)

- 2- = -

34 . 33

37

55 5s

---s" = 57 5' = 5'

1 57-7 5- S =

lI

25 52 = 25

= 37 - 2 = 3s = 243

i)

3 32 4 2 (3 )3. (3 )4 (-3)'s . 34

j)

JS - 26 +

38

f)f)

4 2 • 24

3'2. 38 320 _3's, 34 = - 3'9 = -3' = -3 ..

3(-2)3 = 33 -

42

22

+ 3(-8) = 27 - 4 - 24 = -1

12. 12. Transformar Transformar las las funciones funciones siguientes siguientes en en otras otras equivalentes equivalentes cuyo cuyo denominador denominador sea sea el el número número que que se se indica indica en en cada cada caso. caso. a) a)

1/3; 1/3; 66

b) b)

3/4; 3/4; 20 20

e) e)

5/8; 5/8; 48 48

d) d)

-3/7; -3/7; 63 63

e) e)

-12/5; -12/5 ; 75 75


8

OPERACIONES

a)

b)

e)

13.

Para obtener el denominador l 1 2 2 Tendremos - = -' - = 3 3 2 6 3

3·5

15

4

4'5

20

5

5·6

30

8

8'6

48

-=-=-

6. multiplicamos

CON LOS NUMEROS

el numerador

d)

de la fracción

1/3 por 2.

3

3'9

27

7

7·9

63

12

e)

IS.

180

12' 15

-T15=

5

16.

75

Calcular la suma S. diferencia D. producto P y cociente Q de cada uno de los pares de números guientes: a) 1/3, 1/6; b) 2/5. 3/4; e) -4/15. -11/24. a)

1/3 se puede sustituir

por la fracción equivalente

1 1 2 1 S=3+6=6+6=6='2 1 1 D=---=---=-

3

b)

2

1

3

D

8

3

= S- 4=

-4/15

15

8 20 -

Y -11/24

D

a)

20 = - 20

11

las siguientes

Q

32 120

expresiones.

+

3x - 2y - 4z

e)

4x2y=4(2)2(-3)=4'4'(-3)=

3(2) - 2(-3)

d) e)

(::)2 _ 3(~)'

(2.)2

- 3

3

2/5 3/4

4

8

=

2

18.

= "5. 3 = 15 120:

87

29

120

40

-4/15

= -32/120.

3. z = 5.

19.

= (- 15)( - 2"4) = 90 20.

Q =

= -

= -55/120.

41111

P

-4/15

2. )'

-11/24

(J

= 1/2. b

-=11/24 = -

4

= 1-15)(

2/3.

-il)

24

32

=

55 21.

+

6 - 20

=

-8

22.

-48

2' + 4( - 3) 2a _ 3b = 2(1/2.) - 3(-2/3)

=

6

a

- 4(5) = 6

x' + 4y

a

=

17.

3

1

b)

y

6

55 23 120 = 120

siendo .r

2x+y=2(2)+(-3)=4-3=

=

g

= (S)(4)= 20 = \O

7

= (- 15) - (- 2"4) = -

Calcular

2 3

P

tienen por mínimo común denominador

4

j

1

2/5 = 8/20. 3/4 = 15/20

20:

23 20

15

si-

= (3)(6) = 18

1/3 1 6 Q=-=-'-=-=2 1/6 3 1

1

6

S + 4 = 20 + 20 = 2

e)

2

1 1

P

666

racionales

2/6.

l

3

2/5 Y 3/4 se pueden expresar con denominador

S=

14.

FUNDAMENTALES

8 -

a

12

4 3

= 1+2' =

_ 3(-2/3)3

1/2

= (_

~)2 _ 3(-

3

b ~)3 = ~ _ 3(3 9

~~) = ~ 27 9

+

~4 = ~ 9 9

23.

C

d

24. 1


OPERACIONES

FUNDAMENTALES

CON LOS NUMEROS

9

PROBLEMAS PROPUESTOS 15.

Hallar

Q de cada uno de los siguientes

la suma S, diferencia D, producto P y cociente b) 4, O; e) 0, 4; d) 12, 24; e) 50, 75.

pares de números:

a) 54, 18;

16.

Efectuar

a)

es si-

b) e) d)

e) f) g)

17.

18.

indicadas

Colocar adecuadamente a)

4, 3

b)

-2,

Ordenar

°

e)

-8,-7

d)

3, -2

f)

1,

-2,

.j6,

-2,8,

Calcular:

o » entre cada uno de los siguientes pares de números reales:

«

J2

+ (-6)

d) 6

4, 7/2

g)

-3,-JII

h)

-1/3,

b)

de los siguientes

e) (-4)

5

b) (-4)

21.

1)

el signo de desigualdad

20.

+

k)

45 -;- 15 + 84 -i- 12 10 -i- 5 - 4 -i- 2 + 15 -r- 3 + 2· 5 112 -i- (4' 7), (112 -i- 4)· 7 15 + 3' 2 9 _ 4 -i- 2

-2/5

de menor a mayor los números de los grupos de números

-)3,

a) 6

i) j)

-1,2

Escribir el valor absoluto -n - 1.

55

(35 - 23)(28 + 17) 43 _ 25

h)

e)

19.

32

siguientes:

38 + 57, 57 + 38 15 + (33 + 8), (15 + 33) + 8 (23 + 64) - (41 + 12) 12· 8, 8· 12 6(4' 8), (6' 4)8 42·68 1296 -;- 36

a)

1120.

las operaciones

+

+ 3 (-4)

e)

f)

números

-8 + 4 -4 + 8

)8,

2n, -6,

reales:

h) 40 -

-3n,

2, -3/2,

+

g) (-18)

reales siguientes:

12

(-3) 4

+

22

+

4,8, 19/3

-.j6,

j4,

+3,14,0,5/3,

i) -12 - (-8) j) -(-16) - (-12)

-0,001,

+ (-5)

Hallar la suma S, diferencia D, producto P y cociente Q de cada uno de los siguientes pares de números 12,4; b) -6, -3; e) -8,4; d) 0, -4; e) 3, -2.

-

15

reales:

a)

22.

Efectuar

las operaciones

indicadas

a) (-3)(2)(-6) b)

23.

e) d)

(6)(-8)(-2)

4(-1)(5)

+ (-3)(2)(-4)

(-4)(6)

(-16)(-9) 12

--=-3 +

e)

(-8)

f)

(-4)(-6)

+

-;- (-4)

(-3)(2)

(-3)(8)(-2) - (2)(-12)

Calcular:

a) 33 b) e)

d) e) 24.

siguientes:

3(4)2 24. 23 42 . 32 56. 53 -5-'-

Transformar a) b)

2/5; -4/7;

f)

34. 38 36. 3'

g)

7' 73. 74

h)

(3')3

i) las fracciones 15 28

e)

d)

siguientes 5/16; -10/3;

(_2)3'(2)3 j)

e) f)

11/12; 17/18;

cuyo denominador 132 90


3(22)2

k)

3(-3)2 + 4(-2)3 23 _ 32

1)

57 210 - + 54 82'(_2)3

sea el indicado

- 4(-3)4

en cada caso.

FUNDAMENTALES

OPERACIONES

10

CON LOS NUMEROS

25.

Hallar la suma S, diferencia D, producto P y cociente Q de cada uno de los pares de números racionales tes: a) 1/4,3/8; b) 1/3, 2/5; e) -4,2/3; d) -2/3, -3/2.

26.

Calcular las expresiones

siguientes, siendo x = - 2. Y = 4, Z = 1/3, a = - 1, b = 1/2:

a) 3.• - 2y + 6z 2xr

e)

4b2x3

d)

Sa:

+ y) + 4y

x2y(x

3)'2 - 4x

+

b)

siguien-

e)

ax + by

3x

f)

(~)3 _ 4(~)2 _ xy

b

x

Z2

o] SOLUCIONES 15.

17.

e) a) b)

95, 95 56-; 56

a)

3 < 4

b)

-2

< O

o

0>-2

e)

- 1< 2

o

2 > -1

18.

a)

19.

2, 3/2,

20,

a)

b) 21.

-2,8

o 4 > 3

< -2 <

)6,

-.j3

3,14, O, 5/3,

11 - \O

f)

192, 192 2856

d)

-2 < 3

e)

-8

f)

1<.J2

e)

34 96, 96

e) d)

<

)6

)4,

+

-1

e)

-4

g)

f)

4

h)

22.

a)

36

b)

96

23.

a)

b)

27 48

e) d)

128 144

24.

a)

6/15

25.

a)

d)

S S S S

a)

-12

b) e)

26.

= = = =

b)

e)

d)

4

o

-7>-8

e)

g)

-fo

h)

-2/5

J8 <

-18

e)

i) j)

1 32

el

< -3 < -1/3

o

-3>-fo

o

-1/3

> -2/5

TERI

-4

8

S = -4, D = 4, P = O, Q =_0 S = 1, D = 5, P = -6, Q = -3/2

BINC TRIJI

e)

20

h)

d)

f)

-4

1/49 36 = 729

g)

20/64

-8

n

4,8 < 2n < 19/3

i) j) e)

-140/42

k) J)

1/2 -4/3 121/132

d)

14

MUl

5 -201 f)

85/90

COEI

I t

5/8, D = - 1/8, P = 3/32, Q = 2/3 11/15, D = -1/15, P = 2/15, Q = 5/6 -10/3, D = -14/3, P = -8/3, Q = -6 - 13/6, D = 5/6, P = 1, Q = 4/9 b)

EXPI

4, 196

1) 3

I < -6 <

-3n

d)

54 = 625 3

-16/28

3 > -2

o

k)

10 15

1

2

f)

h)

b)

e)

e)

i) j)

36 30

g)

o .J2>1

d)

e)

e)

< 7/2 < 4

0,001, n

S = 36, D = -12, P = 288, Q = 1/2 S = 125, D = -25, P = 3750, Q = 2/3

d)

< -7

S = 16, D = 8, P = 48, Q = 3 S = -9, D = -3, P = 18, Q = 2 S= -4, D= -12, P= -32, Q=-2

a)

b)

l'

PROPUESTOS

S = 72, D = 36, P = 972, Q = 3 S = 4, D = 4, P = O, Q no está definido S = 4, D = -4, P = O, Q = O

a)

b)

16.

DE LOS PROBLEMAS

COE

e)

16/5

f)

48

TER

UN"


CAPITULO 2 CAPITULO

Operaciones fundamentales con expresiones expresiones algebraicas algebraicas Operaciones

EXPRESION ALGEBRAICA. EXPRESION ALGEBRAICA. números cualesquiera. cualesquiera. números 2 - 5xy Por 3X2 Por ejemplo, ejemplo, 3x 5xy

Es una combinación de números que representan representan una combinación de números y de de letras letras que

+

2y 4, 2y4,

son expresiones expresiones algebraicas. algebraicas. son

TERMINO. expresión que que solo solo contiene contiene productos cocientes de de números de letras. TERMINO. Es una una expresión productos y cocientes números y de letras. Así, Así, pues, 6X2 6x2 y3, 5x/3 y4, 3x 7,, son son términos de una expresión algebraica. algebraica. pues, y3, 5x/3 y4, - 3x términos de una expresión

Sin embargo, embargo, 6X2 6x2 MONOMIO. MONOMIO.

+ 7xy 7xy

es una una expresión términos. expresión algebraica algebraica que que consta consta de de dos dos términos.

Es una expresión algebraica algebraica de un solo término. Es una expresión un solo término.

Así, pues, pues, 7X33yy4, 3xyz2, 4x 4x22/y/y son son monomios. 4, 3xyz2, monomios. Así, causa de de esta esta definición, definición, los denominan con con frecuencia frecuencia términos simplemente. A causa los monomios monomios se denominan términos simplemente. BINOMIO. BINOMIO.

expresión algebraica algebraica de Es una una expresión de dos dos términos. términos.

Por ejemplo, ejemplo, 2x Por 2x TRINOMIO. TRINOMIO.

+ 4y, 4y,

3x44 - 4xyz3 son binomios. 3x binomios. 4xyz 3 son

expresión algebraica algebraica de de tres Es una una expresión tres términos. términos.

Por ejemplo, ejemplo, 3X2 3x2 - 5x 5x + 2, 2x 3z, x33 - 3xy/z 3xy/z - 2X33Z77 son son trinomios. Por 2x + 6y - 3z, trinomios. MULTINOMIO. Es expresión algebraica algebraica de de más de un MULTINOMIO. Es una una expresión más de un término. término. Por ejemplo, ejemplo, 7x 7x + 6y, 3x 3x33 + 6x 6x22yy - 7xy 7xy + 6, 7x 7x + 5x 5x22/y 3x33/16 son multinomios. /16 son Por /y - 3x multinomios. COEFICIENTE. Cualquier factor factor de de un coeficiente del resto de dicho dicho término. COEFICIENTE. Cualquier un término término se llama llama coeficiente resto de término. Así, Así, pues, en el término término 5x 5X33yy2, 5x33 es el coeficiente coeficiente de de y2, coeficiente de de x33 y 5 es el coeficiencoeficien2, 5x y2, 5y2 es el coeficiente pues, X3y te de X3 y 2.2. COEFICIENTE NUMERICO. de un COEFICIENTE NUMERICO. Si un un término término es el producto producto de un número número por por una una o varias varias letras, letras, dicho número número es el coeficiente coeficiente numérico simplemente coeficiente) coeficiente) del dicho numérico (o simplemente del término. término. Por ejemplo, ejemplo, en el término 5X coeficiente numérico coeficiente es - 5. Por término - 5 numérico o coeficiente x 33yy2,2, el coeficiente TERMINOS SEMEJANTES. TERMINOS SEMEJANTES.

Son aquellos que que solo solo se diferencian diferencian en su coeficiente coeficiente numérico. Son aquellos numérico. 2 2 Por ejemplo, ejemplo, 7xy 7xy yy -2xy -2xy son son términos semejantes; 3x 3x y4 4 4 son son asimismo asimismo términos Por términos semejantes; y4 yy _iX2y _iX2y términos semejantes; sin sin embargo, embargo, - 2a22bb3 3 yy - 3a22bb 7 no son semejantes. semejantes. semejantes; no son pueden reducir dos o más semejantes a uno solo. Por ejemplo 7x 7x22yy - 4x2y 4x2y + 2x2y Se pueden reducir dos más términos términos semejantes uno solo. Por ejemplo 2x2y pueden reducir reducir a 5x 5x22y.y. se pueden

UN TERMINO TERMINO ES con respecto ciertas letras (que representan UN ES ENTERO ENTERO Y RACIONAL RACIONAL con respecto a ciertas letras (que representan a númenúmeros cualesquiera), cualesquiera), si está está formado formado por: por: ros

11


OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES ALGEBRAICAS

12 a) a)

b)

RE

Potencias enteras enteras y positivas de letras multiplicadas multiplicadas por un factor numérico. Potencias Un número.

6, son enteros enteros y racionales racionales con restérminos 6X2y 6X2y3, _5y4,4, 7, -4x, -4x, .)3 .J3 X3y Por ejemplo, los términos 3, _5y X3 },6, embargo, 3); no es racional racional con respecto a pecto a las letras que figuran en ellos. Sin embargo, 4/x no es entero con respecto a x. x y 4/x

3J;

POLINOMIO. Es un monomio, monomio, o un multinomio, multinomio, en el que cada término término es entero entero y racional racional con POLINOMIO. respecto a las letras. 3X2y3 2X44 -- 7x 7x33 + 3X2 3x2 - 5x 5x + 2, 4xy 4xy + ZZ,, 3X2, son polino5x44yy + 2, 2X Por ejemplo, 3X2 y 3 -- 5x embargo, 3X2 3x2 - 4/x, 4/x, 4JY 4.JY mios. Sin embargo,

polinomios. + 3, no son polinomios.

GRADO DE UN MONOMIO. MONOMIO. Es la suma de todos los exponentes exponentes de la parte parte literal del término. término. GRADO Por ejemplo, el grado de 4x 4x33y2z grado de una constante, constante, como por Por y2z es 3 + 2 + 1 == 6. El grado 71:, es cero. .)3, 71:, ejemplo, 6, O, --.J3, GRADO DE UN POLINOMIO. POLINOMIO. GRADO ficiente sea distinto distinto de cero. ficiente

correspondiente al término término de mayor mayor grado cuyo coeEs el correspondiente 2x33yy son 5, 6 y 4, respectivamente; respectivamente; + 2x

grados de los términos términos del polinomio polinomio 7x 7x3y2 4xz5 5 3 y 2 - 4xz Los grados por consiguiente, el grado grado del polinomio polinomio es 6. por

AGRUPAMIENTO. paréntesis ( ),), los corchetes [ ] o las llaves { }; Son los paréntesis SIMBOLOS DE AGRUPAMIENTO. para indicar indicar que los términos términos encerrados encerrados en ellos se consideran consideran como una sola cantidad. cantidad. se emplean para expresiones algebraicas, algebraicas, 5X2 5x2 - 3x 3x + y Y y 2x 2x - 3y, se puede Por ejemplo, la suma de las dos expresiones representar por por (5x (5x22 - 3x 3x + y) (2x - 3y), 3y), su diferencia diferencia por por (5x22 - 3x 3x + y) (2x - 3y), 3y), y su representar y) + (2x y) - (2x producto por por (5x (5x22 - 3x 3x + y)(2x 3y). y)(2x - 3y). producto agrupamiento una barra barra encima de los términos términos Algunas veces se emplea como símbolo de agrupamiento Por ejemplo, 5x 5x - 3y 3y es lo mismo que escribir (5x (5x - 3y). 3y). a asociar. Por SUPRESION DE LOS SIMBOLOS SIMBOLOS DE AGRUPAMIENTO. AGRUPAMIENTO. SUPRESION

por las normas normas siguientes: Está regida por

agrupamiento, dicho símbolo se puede suprimir suprimir sin modi1) Si un signo + precede al símbolo de agrupamiento, términos que contiene. contiene. ficar los términos Por ~or

(3x ejemplo, (3x

7y) + + 7y)

(4xy - 3x 3x33)) = = 3x 3x (4xy

+ 7y + 4 xy xy

3x33.• - 3x

agrupamiento, dicho símbolo se puede suprimir suprimir cambiancambian2) Si un signo - precede al símbolo de agrupamiento, términos que contiene. do el signo de cada uno de los términos (3x Por ejemplo, (3x

7y) + 7y)

(4xy - 3x 3x33)) == 3x 3x + +.7y 4xy - (4xy .7y - 4xy

+

3x33.• 3x

Si en una expresión figura más de un símbolo de agrupamiento, agrupamiento, para para suprimirlos suprimirlos se comien3) Si interiores. za por los interiores.

Por ejemplo, 2x 2x - {4x {4x33 -- (3x (3x22 - 5y)} 5y)} = = 2x 2x - {4x {4x33 -- 3X2 3x2

+

5y} 4x33 5y} = = 2x 2x - 4x

+

3X2 3x2 - 5y.

SJ)MA EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ALGEBRAICAS. Se efectúa agrupando agrupando los términos términos semejantes. Para Para SIi MA DE EXPRESIONES cabo la suma se pueden disponer disponer las expresiones en filas, con los términos términos semejantes en llevar a cabo columna, y, a continuación, continuación, se suman los términos términos de cada columna. columna. la misma columna, Ejemplo. Sumar Sumar 7x 7x + 3y 3y33 -- 4xy, 4xy, Ejemplo. Disponemos el cálculo así: Disponemos

Suma: Suma:

7x 3x 3x -5x -5x 5x 5x

3x - 2y 2y33 3x

3y 3 _2y 3 _6y 3 _5y 3

7xy + 7xy

Y

-4xy -4xy 7xy 7xy 2xy 2xy 5xy. 5xy.


2xy - 5x 5x - 6y 6y3. 2xy 3.

resultado es 5x 5x - 5y 5y33 El resultado

5xy + 5xy

Ml

OPERACIONES U NDAMENTALES CON OPERACIONES F FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS

res-

13

RESTA DE DOS ALGEBRAICAS. Se lleva cabo efectuando RESTA DE DOS EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS. lleva a cabo efectuando la suma suma de la expresión presión minuendo rninuendo con con la opuesta opuesta del sustraendo, sustraendo, la cual cual se obtiene obtiene cambiando cambiando el signo signo de todos todos sus sus términos. términos. Ejemplo. Restar 2. Ejemplo. Restar 2X2 2x2 -- 3xy 3xy + 5y2 de IOx 10x22 -- 2xy 2xy - 3y 3y2.

o a IOx 10x22 -- 2xy 2xy - 3y2 3/

3xy + 51'2 5.1'2 2X2 - 3xy 8X2 8x2 + xy xy - 8.1'2 8.1'2

con

Resta: Resta: lino-

También hacer así: También se puede puede hacer así: (IOx (lOx2 2

-

2xy 5y2) 2xy - 3y2) 3y2) - (2x (2x22 - 3xy 3xy + 5y2) 2xy 2xy - 3y2 - 2X2 + 3xy 3xy - 5y2 == 8X2 8x2

= = IOx2 IOx2 --

ino. por

+

xy xy _ 8y2.

MUL TIPLICACION T1PLICACION DE EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS MUL DE ALGEBRAICAS

1) Multiplicación Multiplicación de dos dos o más más monomios. monomios. Se efectúa efectúa aplicando aplicando las reglas reglas de la potenciapotenciación ción y de los signos signos y las las propiedades propiedades asociativa asociativa y conmutativa conmutativa del del producto. producto. coe-

Ejemplo. Ejemplo.

2y 3z , 2x Multiplicar -3X _4xy4Z2. Multiplicar -3X2y3z, 2x44yy y _4xy4Z2. Escribimos ((- 3X22yy3Z)(2x 4xy4Z2). Escribimos 3Z)(2x44y)( y)( - 4xy4Z2).

nte;

Aplicando las propiedades propiedades conmutativa conmutativa asociativa, tendremos, tendremos, Aplicando y asociativa, {( - 3 )(2)( )(2)( - 4)}{ 4)}{ (x (x22)(x {(Z)(Z2)} {( )(x44)(x)}{ )(x)}{ (y3 )(y)(y4)) )(y)(y4)) {(Z)(Z2)}

{ };

(1)) (1

De acuerdo acuerdo con con las reglas reglas de los signos signos y exponentes exponentes se deduce deduce De

idad.

24x 7y88zz33 24x

uede y su

operación (1) se puede puede realizar realizar mentalmente mentalmente cuando cuando se haya haya adquirido adquirido cierta cierta La operación soltura. soltura. Multiplicación de un un monomio monomio por por un un polinomio. polinomio. Se efectúa efectúa multiplicando multiplicando el monomio monomio 2) Multiplicación por todos todos y cada cada uno uno de los términos términos del polinomio, polinomio, sumando sumando los los productos productos obtenidos. obtenidos. por Ejemplo. Ejemplo.

Multiplicar 3xy 3xy - 4x 4x33 + 2xy 2xy22 por por 5x 5x22y4. Multiplicar y4 . Escribimos Escribimos

(5x22y4)(3xy 4x33 + 2xy2) 2xy2) (5x y4)(3xy - 4x 3) 3) = (5x (5x22y4)(3xy) (5x22y4)(_4x = y4)(3xy) + (5x y4)(_4x = 15 = 15xx33yy5 s -- 20X5 y44 + IOX3 IOx3yy66

+

(5x22y4)(2xy2) (5x y4)(2xy2)

Multiplicación dos polinomios. polinomios. efectúa multiplicando multiplicando todos y cada cada uno uno de los los 3) Multiplicación de dos Se efectúa todos términos de uno uno de ellos ellos por por todos todos y cada cada uno uno de los los términos otro, sumando sumando los los productos términos del otro, productos términos obtenidos. obtenidos. conveniente ordenar ordenar los polinomios polinomios según según las las potencias potencias crecientes crecientes (o decrecientes) decrecientes) de de una una Es conveniente letras. de las letras.

5y. Ejemplo. Ejemplo.

Para es en

2 por Multiplicar 3x + 9 + xX2 por 3 - x x.. Multiplicar - 3x Ordenando según las potencias potencias decrecientes decrecientes de x, Ordenando según

Multiplicando por - x, Multiplicando (2) por x, Multiplicando por 3, Multiplicando (2) por Sumando, Sumando,

2 - 3x xX2 3x + 9x 9x (2) --xx + 3 2 _ x3 3 + 3x 3X2 9 XX _x 3X2 3x2 - 9x 9x + 27 - x33 + 6X2 6x2 - 18x 18x + 27

5xy


14

OPERACIONES OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS

DIVISION DE DE EXPRESIONES DIVISION EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ALGEBRAICAS . División de dos monomios. efectúa hallando cociente de de los los coeficientes coeficientes y el de de 1) División de dos monomios. Se efectúa hallando el cociente factores literales, literales, multiplicando después dichos dichos cocientes. cocientes. los factores multiplicando después

Ejemplo. 24x z3z 3 24 x44 y2 y2 Z3 Z3 24x44y2y2 (-)( )(-)(-) Ponemos Ponemos -_-3=-X"';3'y'4Xl)(-)(-) y4 -_-3=-X--'3'-y-'4-ZZ == ( y4 ZZ --- )3(?

2)

= (-8)(x)( (-8)(x)( =

8xz22 8xz

1

)(Z2) == -7 7 ??)(Z2)

2.

División de de dos dos polinomios. División polinomios.

a) Se ordenan ordenan los de ambos ambos polinomios según las creciena) los términos términos de polinomios según las potencias potencias decrecientes decrecientes (o crecientes) de una de las letras letras comunes comunes a los los dos dos polinomios. tes) una de polinomios.

divide el primer del dividendo dividendo por divisor, con con lo que Se divide primer término término del por el primero primero del divisor, que resulta resulta el priprimer término término del cociente. cociente. mer

b)

e) Se multiplica multiplica el primer del cociente divisor y se resta del dividendo, obteniénprimer término término del cociente por por el divisor resta del dividendo, obteniéndose un un nuevo nuevo dividendo. dividendo. dose d) Con Con el dividendo dividendo de de e), se repiten operaciones b) que se obtenga obtenga un d) repiten las las operaciones b) y e) hasta hasta que un resto resto igual igual a cero o de grado grado menor que el del del dividendo. dividendo. cero menor que

e)

resultado es: es: El resultado

Ejemplo. Ejemplo.

dividendo dividendo . divisor = cocIente cociente divisor =

Dividir xX22 Dividir

+ 22X4 X4 -

3x 3x33

resto resto

divisor' + divisor'

+ XX -- 2 por por

2 -- 3x xX2 3x

+ 2.

ordenan los los polinomios según las decrecientes de de x yy se dispone dispone el Se ordenan polinomios según las potencias potencias decrecientes cálculo de de la forma forma siguiente siguiente: : cálculo 2X4 3x33 X4 -- 3x 2X4 6x33 X4 -- 6x

+ xX22 + 2 + 4x 4X2 2 3x 3X2 + 3x33 -- 3x 2 + 3x 9X2 3x33 -- 9x

xX

+

xX 6x 6x

2

2 -- 3x xX2 3x + 2 2X2 3x + 6 2X2 + 3x

3.

2

6X2 - 5x -- 2 6X2 - 18x 18x + 12 13x - 14 13x Por Por tanto, tanto,

2 + XX -- 2 2 22 X4 -- 3x 2X4 3x33 + xX2 = 2x X 2 = x2 - 3 x+ 3x + 2

+

3

X 3x

6

+6+

I3x - 14 I3x 2 3x + 2 xx - x 4.

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Hallar el valor valor de las siguientes, siendo siendo x = 2, -1, Hallar las expresiones expresiones algebraicas algebraicas siguientes, 2, Y = -1,

a) b)

e)

2X2 2X2

3yz = = 2(2)2 - 3(-1)(3) 3(-1)(3) = = 8 3yz

+

Z Z

= 3, a = O, 1/3. O, bb = 4, e = 1/ 3.

9 == 17

2z + 3 = 2z44 - 3z33 + 4z 4222 -- 2z = 2(3)4 - 3(3)3 + 4(3)2 - 2(3) 2(3) + 3 == 162 - 81 2 2 6c = 4(W 4(W - 3(0)(4) 3(0)(4) + 6(1/3) 4a - 3ab + 6c 6(1 / 3) = O - O O+ 2 = 2


+

36 - 6

+

3= = 114

OPERACIONES d)

e)

5xy 203

+

3z

-

e2

2

3x y 4x2y(z

f)

a

5(2)(-1) + 3(3) 2(o¡J - (1/3)2

=

=

_ ~ x+1

z

+

-

1)

O

+

2. Clasificar las expresiones

+

-lO + 9 -1/9

=

3(2)2 (-1) 3

=

_ 4(1/3) 3

4(2)2 (-1)(3

b - 3e

multinomio,

FUNDAMENTALES

-

1)

CON EXPRESIONES

--=-'- = 9

=

-1/9

-4

=

_ 4/9

-40/9

4(4)(-1)(2)

32

4 - 3(1/3)

4 -

3

algebraicas

siguientes

1

según las categorías:

término

o monomio,

a)

x3

b)

2X2 - 5x

e)

4x2y/z

3y2z

+ 3

+ 3

d)

Y

e)

4z2

+

3z - 2Jz

f)

5x3

+

4/y

g)

la(s) categoria(s)

2%2 - 5%

y 4z2

5%~

1%2

+

+

y2

b3

+

v'

.¡

b)

3x3 - 4. El grado de x2 es 2, el de 3x3 es 3, y el de -4

e)

y3 - 3y2

d)

xz3

e)

x2

El grado de 2x3y es 4, y el de 4xyz4

3X2Z2 - 4x3z

+

x4. Cada término

b)

2(4xy

(y2 _ 4z) ....: (2x - 3y

+

3z)

+

es de grado 6.

es O; luego el grado del polinomio

es de grado 4; luego el polinomio

lOs es de grado 2. (El grado de la constante

+

es 6; luego el polinomio

es 3.

- 2 es de grado 3.

Suprimir los símbolos de aproximadamente reduciendo los términos semejantes:

3x2

.¡

polinomios:

+

a)

.¡

.¡

x2

-

.¡ f

2x3y

+

.¡

.¡

de los siguientes

+ 4y

.¡

.¡

a)

+

.¡

.¡

a~ + b~ + c~ - 3abc

4xyz4.

.¡

.¡

z2

vY+vZ

el grado

Polinomio

Multinomio

.¡

4/y

+

e3 - 3abe

+

.¡

3z - 2vz

+

a3

Z2

.¡

3

+

+

Trinomio

3

+

Jx2 + y2 Jy + Jz

.¡

4%2y/z

4.

trinomio,

a que pertenece cada expresión.

Binomio

+ 3/z

%~

h)

i)

Término o monomio

Hallar

binomio,

polinomio.

Señálese con una indicación

3.

15

ALGEBRAICAS

3(x - 2xy)

e)

x - 3 - 2{2 - 3(x - y)}

d)

4x2 -

+

+

y2 - 4z - 2x

- 4(z - 2xy) = 8xy

=

x - 3 - 2{2 - 3x

{3x2 - 2[y - 3(x2 - y)] = 4x2 -

en cada una de las expresiones

4z) = 3x2

+ 4}

{3x2 - 2y

= 4x2 - 9x2

+

= 4x2 -

+

+

6z

8y - 4

=

+

+

3y}

+

3x - 6xy - 4z

=

+ 4} +

siguientes y simplificar

3y - 4z = 3x2

x - 3 - 4

{3x2 - 2[y - 3x2

6x2 - 6y -5x2

es de grado 4.

lOs es cero.)

= 4x2

-

+

+

+


y2 - 2x

8xy = 10xy

6x - 6y

=

3y] + 4}

{9x2 - 8y

8y - 4

+

+ 4}

+

+ 3x

los resultados

3y - 8z

+

2z

7x - 6y - 7

OPERACIONES

16 5.

Sumar las expresiones

FUNDAMENTALES

algebraicas

+

y2 _

Z2

+

x2 _ y2 _x2

+

_ y2 _

Z2

2xy.

I _ x2 _ y2 _ ;:2

2xy - 2yz

_ x2 + y2 + Z2

Sumando,

e)

Z2 + x2 _ y2 + 2zx -

y2 + Z2 _ x2 + 2yz _ 2zx,

x2

Ordenando,

ALGEBRAICAS

de cada uno de los grupos siguientes:

x2 + y2 _ Z2 + 2xy _ 2yz,

a)

CON EXPRESIONES

+ 2yz - 2zx

+

2xy

-

2;:x

+

;:2

I El resultado

0+0+0+0+0+0+1

de la suma es 1. g)

5x3y - 4ab

Ordenando, -3x2y

+ +

x2y

Restar la segunda expresión

a)

a - b

+

e2

+

3e2

X3y - 3ab _ 4e2

- 2x2y - 3ab + 4e2 + ab2 -4x2y + 6x3y - 8ab + 4e2 + ab2

Sumando,

6.

2ab

+

e - d,

e - a

+

Ponemos

d - b.

a-b+e-

d

-a - b + e + d Restando,

a)

El resultado

2a+0+0-2d

es 2a - 2d.

(a - b + e - d) - (e - a + d - b) = a - b + e - d - e + a - d + b = 2a - 2d.

De otra forma: b)

8. El

de la primera en los siguientes casos:

4.\"2y - 3ab + 2a2

4xy + ab" - 3a2 + 2ab.

xy,

-

b)

e) 2a2 -

Escribimos

4x2y - 3ab

Restando,

2ab - 3a2 + 4xy + ab2 2 4x )' - 5ab + 5a2 - 5.\")' - ab"

De otra forma.

(4x2)' - 3ab + 2a2 - xy) - (4xy + ab2 - 3a2 + 2ab)

+

= 4x2y _ 3ab = 4x2y -

7.

Efectuar

los productos

a)

( -2ab3)(4a2b')

b)

(-3x2y)(4x/)(

indicados

5ab

xy d)

+

2a2 - xy - 4xy - ab"

+

5a2 - 5xy - ab2

+

e)

3a2 - 2ab

en los casos siguientes:

_2X3y4)

el

(x2 - 3x + 9)(x + 3)

f)

(X4 + X3y +

X2)'2

+ xy3 + y4)(X _ y)

e)

(3ab2 )(2ab + b2)

g)

(x2 _ xy + y2)(X2 + xy + y2)

d)

(x2 - 3xy + y2)(4x/)

h)

(2x + y - z)(3x - z

a)

(-2ah3)(4a2b')

b)

(_3x2y)(4xy2)(_2x'y4)

= {(-2)(4)}{(a)(a2)1{(b')(b')}

=

e)

(3ab2)(2ah

el)

(x2 - 3xy +.y2)(4xy2)

+

b2)

=

= -8a'bB

=

{(-3)(4)(-2)}{(X2)(X)(X')}{lJ'llv2)lv4)}

(3ab2)(2ab)

+

(3ab2)(h2)

= (x2)(4xy2)+ = 4X'.1'2 -

=

6a2b'

(-3xy)(4xy2)

12x2y'

+

+ +

3ah· (y2)(4xy2)

4xy·


24x6y7

+ )')

OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS OPERACIONES

e)

x2 - 3x 3x X2

+

9

x 44

f) f)

xx+3 +3 3

3X2 3x2

Xl x --

+

9x 9x

3X2 3x2 - 9x 9x 3

Xl x

+

O O + O O

+ +

X3y xly

+

x2y2

+

xy3 xyl

+ y4

x x-y- y x~ x! + x·y x4y

+

xly2 X3y2

+

x2yl X2y3

+

xy4 xy4

4y _- xly2 _ xx·y X3y2 _ x2yl X2y3 _ xy4 xy· _ y~ y!

27 27

+ O O + O O + O O + O O -

x~ x!

27 27

Sol. Xl x + 27 3

g) g)

+

17 17

y~ y!

Sol. Sol. x~ x! - y~ y!

+ y2 xy + y2 + xy x44 _ X3 xly x2y2 y + x2y2

x2 _ xy xy X2

h)

x2 X2

X3y _ x2y2 x2y2 xly

+y - z 3x + y - ZZ 3x 6X2 6x2 + 3xy 3xy 2x 2x

+ xy3 xyl + y4 + O O + y4

x2y2 x2y2 _ xy3 xyl x44

+ O O + x2y2 x2y2 Sol. x44 + x2y2 Sol. x2y2 + y4

+

6X2 6x2

3xz 3xz

2xy 2xy

+ y2

_- yz yz

- 2xz 2xz 5xy 5xy - 5xz 5xz

+ y2

- yz yz + - 2yz 2yz +

Z2 Z2 Z2 Z2

8. Efectuar Efectuar las las divisiones. divisiones.

a) a)

b) b) e)

24x3ly2z 24 Xl x3 y2 z 6x22yy 24x y2z 24 2 l1 6x 2 == (6)(x = --z2 = = (-)(-)(-)(2) (4)(~)(y)(zZ> (6)(x )(y)(_) )(y)(~) = 4xyz 4 x y z z z xyz 4 4 6 6 l 4 6 4 6 3 4 -16a -16 2a _16ab b - 16 a b 1 2a bb -8ab2e = ( -8 )(~)(b2)(~) = = -e-8ab2e = (-=S)(~)(b2)(-;;-) -e-

--2 4

3y 3x 3xly

+ 16xy2 16xy2 - 12x 12x44yz4 yz4 2x 2x22yz yz

4a 4a3lbb22 d) d)

+ 16ab 16ab - 4a22 -2a2b -2a2b

22X X44

3y 3x 3xly

16xy2 16 2

2x 2x yz yz

2x 2x yz yz

xy (--) + ( = (--) + (--) 22 22

= (--)+

4a 4a3lbb22 = = (-2a2b) (-2a2b)

16ab 16ab

22XX4 4

3 _- xX2 2 _- 1 + 3x 1 3Xl

3 __ + 3x 3Xl

2 xX2

_4a _ 4a2 2

+ (-2a2b) (-2a 2b) + (-2a2b) ( - 2a2b)

8y 8y

+ __ __ 6X22ZZ3l

8 = ~ = -2ab -2ab -- ;

xz XZ

22

+ bb

16y4 1 16y 4 _- 1 f -f) ) 2y-=-t 2y - 1

xX _ _ 2

e) e)

4yz4 4yz4 -12x 3x -12x 3x )= =_ _ 2x 2x22yz yz 2z

--

22Xl X3

-

-1 -1 2y-1 2y-1

1I x-2 x - 2

3 2x 2 X44 _ 4x 4Xl

+ 77xX22 + I3x 13x + 26 26

8y3 8yl

1

+ 4y2 4y2 + 2y 2y + 11

-1

4y2

-1

4y2 4y2 - 2y 2y

Por Por tanto, tanto,

2X4 2X 4

26x 26x -

2y - 11 2y-

26x 26x -- 52 52

2y2y- 11

51

OO

3 - xX2 2 -- 11 + + 3x 3Xl

xX -- 22

= = 2X3 2Xl

51 x -

16y4 16y 4 --

2 + + + 7x 7X2 + I3x 13x + + 26 26 + + --2 --2 Y Y --- --


11

2y 2y -- 11

= = 8y3 8yl

+ 4y2 4y2 + + 2v 2y .•. + 11 .

18 18

OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS OPERACIONES

g) g)

22XX6 6

5x4 4 __ Xl + X3 + ++ 5x 2 + X + +X +

Ordenando Ordenando según según potencias potencias decrecientes decrecientes de de x.x .

2 _X _x

2 2 ++ 11 _x +-+- XX ++ 11 _x

22XX66

4 4 -2x -2x

2x' + + 7x 7x44 2x'

--

x3 Xl

2x' -- 22X4X 4 2x'

--

22X3X3

9x4 9x

++

9x44 9x

--

4

3

--

10.

(

2 -- 10x 9x 9X2 10x -- 19 19

+ + 11 --

2 9X2 9x

IOx 3 + 9X2 IOxJ3 10x

22X3 X3

+ + 11

xx3

9x33 9x

--

--

+

11.

10x IOx22 -- 10x IOx IOx 19x22 + IOx 19x

+ +

19x22 -- 19x 19x -- 19 19 19x 29x 29x 2X6 De donde

+

5x4

_

x3

+

_x2 + x + 1

4 4 -2x -2x

2x 2xJ3

--

12.

20 + 20

--

29x + 20 20 2 - 10x 9x 9X2 10x -- 19 + -~----:---~ _x _x2 2 + XX + 13.

Ordenando Ordenando según según las las potencias potencias decrecientes decrecientes de de una una letra, letra. por por ejemplo ejemplo x.

14. I 2x2y _ 2xy 2x2y 2yy3J xy22 + 2 2x2y 2x2y _ 2xy22 + 2y33

oo 15. 16.

9. 9. Comprobar Comprobar los Problemas Problemas 7h) 7h) y Sg) 8g) con con los valores valores xX = 1, 1, Y Y = -1, -1, Zz = 2. Del Del Problema Problema 7h). 7h),

(2x (2x ++ y -- z)(3x z)(3x -- zz + y) y) == 6X2 6x2 + 5xy 5xy -- 5xz 5xz -- 2yz ++ Z2 Z2 ++ y2.

Sustituyendo Sustituyendo xx == 1, 1, Y.v == -- l1,. zz == 22 obtenemos obtenemos [2(1) [2(1) + + (-1) (-1) -- 2][3(1) 2][3(1) -- (2) (2) -- 1] 1] == 6(1)2 611)2 ++ 5(1)(-1) 5(1)(-1) -- 5(1)(2) 5(1)(2) -- 2(-1)(2) 2(-1)(2) ++ (2)2 (2)2 ++ (_1)2 (-If sea oo sea

Del Del Problema Problema Sg). 8g).

-1][0] == 66 -- 55 -- 10 10 ++ 44 ++ 44 ++ 1, 1, [[ -1][0]

22X 6 + X6 + 5x 5x44 __ xx3J + + _x _x22 + + XX ++ 11

Haciendo xx == 11 obtenemos obtenemos Haciendo

-_2x 2X44

--

2x3J 2x

--

es decir, decir, es

17.

0= O. O. 0=

29x + + 20 20 29x 9x2 -- IOx IOx -- 19 19 + + ---,-----, --=---9X2 + XX ++ __xx22 +

29 ++ 20 20 22 ++ 55 -- 11 ++ 11 29 -2 -- 22 -- 99 -- 10 10 -- 19 19 ++ == -2 -1+1+1 -1+1+1 -1+1+1 -1+1+1

sea oo sea

77 == 7.7.

La comprobación comprobación de de una una operación operación sustituyendo sustituyendo números números por por letras letras no no es es definitiva definitiva; ; se se puede puede utilizar utilizar para para La indicar indicar posibles posibles errores. errores.


OPERACIONES

FUNDAMENTALES

CON

EXPRESIONES

19

ALGEBRAICAS


Calcular

siendo x =

las siguientes expresiones.

a)

4x3y2 - 3xyz2

h)

(x - y)(y - z)(z - .v}

e)

9ab2

+

11.

12.

13.

14.

a)

3x

b)

4xy4

el grado

a)

(x

b)

3(x2 - 2yz

3y - z) - (2y - x

2X2

h)

a2 - ab

e)

2a2bc - 2aeb2

+

X

3xy - 2yz

b)

4x2

e)

r3 - 3r2s

+

+

+ +

5c2ab,

4zx,

3.1'2- 6x

+

+

16.

Efectuar el producto

3zx

+

_3x3y2

b)

3abe2•

_ 2a3h2e4•

r2s

e)

y - 4,

Efectuar

+

x5

+

y5

(4z - 3x

X - x2,

I

Y

z

+

x2

Y

+

Z5 - 5xyz

los resultados

+ 2y) + y2

X

-

+

4b2ae

2y

+

-

4rs

+

3

+

I)(z -

I){h -

1)

1)

e)

-103

f)

y2 _ 3)'5 _ Y

reduciendo

+

términos

+

4y

+

2y3 - 4

semejantes:

e)

3x

d)

3 - {2x - [1 - (x

3{x - 2(y - x) - y}

+

y)]

+

[x - 2y]:

+

ab - 4be

+

e2

a2,

-

a2

4abe2 - 3a2be - 3ab2e,

2e2

+

+

5be - 2ab

b2ae - abc? - 3a2be

de la primera de los grupos siguientes:

+

yz - 2xy

4y - 2, 2s3

2x - y2

+

+

3x2 - 4y

+ 3

3s2r - 2sr2 - 3r3

algebraicas

6a2b2

S3.

I){y (a -

x2 _ 4y2

4bea2 - Tac'b,

3X)'2 - 4xy 3rs3

(x -

11)

b2 - 3hc - 4e2,

de las expresiones

4X2y5,

e)

2z

4xz del doble de la suma de las siguientes expresiones:

a)

d)

x

de cada uno de los grupos siguientes:

2ab

4rs2 - S3,

Restar xy - 3yz

_4x2y,

by

y simplificar

+

3z)

+

3y2

3e2•

2hc

15.

17.

y.

Restar la segunda expresión a)

+

algebraicas

+

a)

)'2 -

+

+

y2) _ 4(x2 _ y2 _ 3yz)

+

Sumar las expresiones

+

I

g) -+-+-

d) .j3 xyz - 5

los símbolos de agrupamiento

+

I

3ab y - x.+ I

siguientes:

e)

3X3y3

_

(x - y)2 ax

de los polinomios

x2 - 5

+

2X3

-

Suprimir

f)

h

Determinar 4

y)

-8T-

e)

xy2 - 3z a

Y = 3. z = 2. a = 1/2. b = -2/3.

+},

+

6ah - 4a2

+

d) ---

z(x

2r2s4

3xy - 4yz

+

2xz y 3yz - 4zx - 2xy.

de los grupos siguientes:

+

f)

y2 - 4y

g)

x

h)

x + 4x + 8.

3

+

x2)'

16.

+

3r - s -

j)

3 - x - y,

+

xy2

2

i)

/2,

+

Y

2

y3,

x

-

2s

+

2x

+

4

r y

X _ Y

4x

+

+

3/2

+

1,

8

x - y

las divisiones:

e)

4ab3 - 3a2 he + l2a3 b2 e4 -2ah2e3

ra


d)

4x3 - 5x2

x+l

+

3x - 2

20 18.

OPERACIONES Efectuar

a) 19.

FUNDAMENTALES

+

2y3 e)

las operaciones

indicadas

y5 - 3y - 2

+

y2 _ 3y

x4

SOLUCIONES

DE LOS b)

PROBLEMAS

+

-1

d)

90

e)

e)

O

f)

f) -8

a)

-24

11.

a)

4

12.

a)

3y - x

13.

a)

2x2+x-y

14.

a)

5xy - 3yz

15.

xy

16.

a)

_12x5y7

f)

y3

b)

_ 36a6b5e6

g)

x4 _ y4

e)

- l2x3y3

h)

x4 + 64

6

e) 5

8y2

+

b)

b)

+

d)

e)

zx

3

6yz

e)

11/5

+ 2x2y2 + + y2

y4

d)

l2x - 5y e)

abc"

x2

+

8y - 5

+

4y2 - 8x

g)

h)

-1/6

-24/5

PRO] n e d

5

a2+b2+2e2 b)

xy3 + X3y xy + x2

PROPUESTOS

10.

b)

-12

1

con los valores x = 1. y = 2:

y comprobarlas

b)

+

ALGEBRAICAS

las divisiones:

27s3 - 64 3s _ 4

Efectuar

CON EXPRESIONES

+

y - 4x

4

4r3 - r2s

e)

+

rs2 - 3s3

yz - 8xz

16x3y2

+

d) 2r4s5 + 6r3s7 e)

y2 _ Y -

17.

a)

-7

18.

a)

9s2

19.

al

x8

_

+

+

2r2s7

12

4X2Z2

+

8r3s5

b)

l2s

+

16

x4y4

+

y8.

b)

9s 2r21

-x

3

e)

- x

Comprobación:

2

+

1 1 _ x

+

64

8rl2 - 2s2 - 5S12 - 314

i)

3r2

j)

y3 _ 2y2 _ 3y

+

2b - -3 . e

+-

e)

y3

21(13) = 273.

5rs

3a

2be2

+

+

-

+

3x

+

5x2 - 3xy - 2X3 - .t2y

+

4x2 - 9x

+ --

2

6a e

3y2

+

b)

x2


d)

lOy

+

+

y2

27

+

68y - 29 ~2~---:---

y

- 3y

+

Comprobación:

1

+

12

2xy2 -14

x+l

d)

x2

35/7 = 5.

+

xy

CAPITULO 3 CAPITULO

Productos de interés práctico PRODUCTOS DE INTERES INTERES PRACTICO. PRACTICO. Las fórmulas fórmulas que que se exponen exponen a continuación continuación son el PRODUCTOS DE Las son resultado de algunos algunos de los productos productos que que con con mayor mayor frecuencia frecuencia se presentan presentan en el cálculo cálculo algebraialgebrairesultado co y con con los que que el alumno alumno debe debe procurar familiarizarse en todo todo lo posible. La comprobación comprobación de co procurar familiarizarse posible. La dichos resultados resultados se puede puede realizar realizar efectuando efectuando las multiplicaciones multiplicaciones correspondientes. dichos correspondientes. I 11 III III IV V VI VII VII

a(c + d) d) == ae ac + ad ad a(e (a + b )(a - b) == a22 - b22 (a + b)(a b)(a + b) == (a + b)2 = a22 + 2ab b)2 = (a - b)(a b)(a - b) == (a - b)2 == a22 - 2ab 2 + (a + b)x a)(x + b) == xX2 b)x + ab (x + a)(x (ax b)(cx + d) d) = acx?2 + (ad (ad + be)x bc)x (ax + b)(ex = aex (a

+

b)(e b)(e

+

d) ac d) = = ae

+

be

+

ad ad

+

+ +

b22 b22

+

bd bd

bd bd

Otros Otros productos productos muy muy utilizados utilizados son: son: 14 +1 xy

VIII VIII IX IX X X XI XI XII XII

(a + b)(a b)(a + b)(a b)(a + b) b) = (a + b)3 = a33 + 3a22bb + 'sab? 3ab 2 + b33 (a - b)(a b)(a - b)(a b)(a - b) b) = = (a - b)3 = = a33 - 3a22bb + 'sab? 3ab 2 - b33 22 22 33 33 (a - b)(a + ab + b ) = a b b)(a )= 3 3 (a + b)(a b )(a22 -- ab + b22) ) = = a3 + b3 22 22 22 (a + b + C)2 e)2 = = a a + b + ee + 2ab 2ab + 2ae + 2bc 2bc

Se puede puede comprobar, comprobar, efectuando efectuando las las multiplicaciones, multiplicaciones, que que (a - b)(a b)(a22 (a - b)(a b)(a33 (a - b)(a b)(a44 (a - b)(a b)(a55

+ ab (X) ab + bb22) ) = = a a33 - bb33 + aa22bb + ab? ab 2 + bb33)) = = a a44 - bb44 + a'b a 3b + aa22bb22 + ab ab33 + bb44) ) = = aS a 5 -- bb55 + aa44bb + aa33bb22 + aa22bb3 3 + ab" ab 4 + bb55) ) = aa66

__

bh66

etc. etc. Generalizando, Generalizando, tendremos tendremos XIII XIII

(a - b)(a b)(ann-1-

I

+ + aann-2-b2b + aann-3-b32 b2 + ... ... + ab abnn-2-

2

+ bnn-1- ) I ) =

siendo siendo nn un un entero entero positivo positivo cualquiera cualquiera (1, 2, 3. 4, 4, ... ... ). Análogamente, Análogamente, se puede puede comprobar comprobar que que (a (a

+ b)(a b)(a2 2 -+ b)(a b)(a44 --

ab (Xl) ab + bb2Z) ) = = a(133 + + bh33 (XI) a+b a 3b + + a'b? a 2 hz - ab? ab 3 + hb44) ) = = aS a 5 -+ hh55

+

21


a" an __ bbnn

22

PRODUCTOS

+

(a

h)(a6

etc. Generalizando

a4h2 - a3b3

+

a5h

-

DE INTERES PRACTICO

a2h4

+

+

ab5

-

b6) = a7

+

w)

b7

x)

tendremos

(a + b)(an-I - an-2b + an-3b2 siendo n un entero positivo impar (1, 3, 5, 7,

XIV

+

- ab"-2 ).

b"-I)

= a"

+ b"

y)

PRODU 2.

PROBLEMAS RESUELTOS

a)

b)

Efectuar

los productos

que se indican. e)

PRODUCTOS 1.

I-VII

+

a)

3x(2x

b)

x2y(3x3

e)

(3x3y2

= (3x)(2x) + (3x)(3y) = 6x2 + 2y + 4) = (x2.1')(3x3) + (x2y)(-2y)

3y) -

+

2xy -

+

(2x (1 -

+

f)

(5x

+

g)

(3x

+

11)

(x

+

=

2)2

(7x2 -

(3X)2

x2

+

+

j)

(ax (x4

1) 111)

6)2 = (X4)2

+

22

=

+

+

n)

(x -

o)

(x

+

p)

(t2

+

q)

(3x

3)(x

+

5)

2)(x

+

8) = x2+

2)(x -

=

x2

8) = x2

+ +

+

(3

+

(2 -

8)x

+

12) = (t2)2

4)(2x

3) = (3)(2)x2

-

=

6x2

-

X

(2x

+

5)(4x

-

1) = (2)(4)x2

s)

(3x

+

y)(4x

-

2y) = (3x)(4x) = 12x2 -

(312s -

u)

(3xy

+

= 6x3y L')

(x

+

y

+

3)(x

+

y -

3) = (x

aplicando

25y2.

2x,

b

=

3y

III con a

=

3x, b

=

i)

5y

(10)( -12)

+

aplicando

+ +

+

+

y)2 -

+

PRODl a)

120

e)

=

3, b ~ 4, e = 8x2

(5)(-1)

+

=

2, d

18x -

=

-3

=

4x,

5

(y)(-2y)

VII con a

+

(I)(2X2)

2xy

5

b) 212 -

=

(-2)(-3s)

+

(I)(-3y)

3.1'

32 = x2

=

3.

6s

2X2 -

3, b'

16

14 -

(312s)(-3s)

(3xy)(-3y)

=

(4)(-3)

+

(3x)(-2y)

V con a

16

VI con a

+

aplicando

6x -

=

+

(5)(4)]x

2y2.

+

4 15.

x2 +

(4)(2)]x

(-2)(4/)

9xy2

=

8x

+

912S2

+ +

12y2

+

+

4axby

k)

4b2y2

36

= x2 - 6x -

+

(y)(4x)

+

=

11 con a

IV con a = 7x2, b = 2"1

+

12x4

aplicando

12. [(2)(-1)

3y) = (3xy)(2x2)

+

30xy

+

12)12

= 1213S _ 81 1)(2x2 -

f)

j)

(-2)(8)

[(3)(-3)

+

+

x2

=

(2)(-8)

2xy -

35) = (3/2s)(4/)

2)(41 -

+

+

e)

h)

+

(3)(5)

+

8)x

-

+

d)

3y

25x2 _ X6y4

(2)2 = 9y4 -

+

(10 -

+

r)

1)

+

(-2

10)(12 -

+

+

5)x

=

=

(211.1')2= a2x2 -

(6)2 = x8

(3y2 _ 2)2 = (3y2)2 _ 2(3y2)(2) (x

2x, d

g)

aplicando

4x2y2.

2(ax)(2I1y)

2(x4)(6)

+

_ 2x2y2

=

4x2y

+ 4x + 4 + (2xy)2

x2

+

28x]r

3x, e

(_5)(X2y3)

aplicando

9y2.

9x2

=

(5y)2

2(7x2)(2xy)

= (7X2)2 -

211y)2 = (ax)2 -

+

+

3x'y

=

25x6

(5X3)2 = 1 -

(5X)2 _ (X3y2)2

+

2(x)(2)

4x2 -

=

(3.1')2

2(3x)(5y)

= 49x4 -

k)

=

_ X3y2)

=

2xy)2

(2X)2 -

5x3) = (1)2 -

X3y2)(5x 5y)2

=

3)')

-

5x3)(1

e)

i)

3y)(2x

+

(2xY)(X2y3)

I con a

=

(x2y)(4)

2X3.1'4 _ 5x2 y3

+

= 3x' y'

d)

+

+

= (3x3y2)(X2y3)

5)(X2y3)

aplicando

9xy.

+

y2 -


9

3x, b

=

y. e

d

=

OTRO! -2y

4.

a)

23

PRODUCTOS DE INTERES INTERES PRACTICO PRACTICO PRODUCTOS

+

w) w)

(2x (2x - y -

1)(2x )(2x - y

x)

2 (x (x'

2 _+ y2)(X y')(x'

yy))

+

2xy 2xy

+2+

(x) (X'

+

xy)(x) - 2 xy)(x'

+ y2 y' _ - 1 1 + .1'2 y' + 2xy)(x 2xy)(x' 2 + .1'2 y' - 2xy) 2xy) 4 + 2x2y2 2 = _ + y4 = (x (x' + y2)2 y')' - (2xy)2 (2xy)' = x x4 + 2x'y' y4 = (x' (x) + xy xy + 2)(x' 2)(x) + xy xy - 2) =

1) 1) == (2x (2x - y)2 y)' - (1 (1)'¡> == 4X2 4x' _ - 4xy 4xy

+ y2) y')

2xy 2xy

xy) x)')

== (x (x'2

+

= (x' (x) =

+

xy)' - 2 2'2 == x66 xy)2

2(x))(xy) 2(x')(xy)

+

__ 4x2y2 4x'y'

(xy)' - 4 = = x66 (xy)2

= x4 x 4

+

__ 2x2y2 2x'y'

+ y4 y4

2y2 - 4 2x44yy +-..r +-..r'y' 2x

PRODUCTOS VIII~XII PRODUCTOS VIII :XII 2. a) a)

+

(x (x

2y)) = = x' x) 2y)' = x' x) =

2)) + 2)3

+ +

3(xf (2y) (2y) 3(X)2 6x'y2y 6x

= (3X)3 (3x)) =

+

+

+

3(x)(2y)' 3(x)(2y)2

8y), aplicando VIII VIII con con a == x, x, b b == 2y 2y + 8y', aplicando 3(3x)(2)' (2)) == 27x3. + 54x2 54x' + 36x 36x + 8 + 3(3x)(2)2 + (2)3 3(2y)(5)' (W + 3(2y)(5)2 - (5)3

(3x (3x

e)

(2y - W 5)) = = (2y)3 (2y)3 - 3(2y)2 3(2y)' (5) (2y

d) d)

(xy - 2)3 2)) = = (xy)' (xy)3 - 3(xy)2 3(xy)' (2) (xy

e)

2y)3 _ 3(X 2y)2 ()'2) (x (x'y2y _ - y2)3 y')3 = = (X (x'y)) 3(x'y)' O.')

1) J)

1l)(x' )(x 2

(x (x

+

x X

+

60y' 60y2

(2y¡J (2y)'

12xy' 12xy2

3(3x)' (2) 3(3x)2

b) b)

= 8y 8y)3 =

+

150y - 125,

aplicando IX con con a aplicando

3(xy)(2)' + 3(xy)(2)2

+ 1) = x -- 1, x)3

+

= 2y, 2y, b = = 5 =

= X3y3 6x'y' - (2)3 = X 3)'3 - 6x2y2

+

12xy - 8 I2xy

2y)(v2)2 _ (v2)3 6 )" 3(x _ y4 3(x'y)(y')' (y')) = = xX6y3 _ 3x 3x44y4

+

3x2ys 3x'y5 _

y6 )'6

aplicando X con con a = x, x, b = 1 aplicando

reconoce la forma, forma, se multiplica multiplica como como sigue: sigue: Si se reconoce

1)(x' )(x 2 +

i)

x(x' 2 + xX + 1) - 1 1 (x (x' 2 + X x + 1) = x33 + X2 x' + X x - X2 x' - X x - 1= x x)3 + 1) = x(x 2 3 (x - 2y)(x' 2xy + 4y2) 4y') = x) aplicando x, b = 2y (x 2y)(x + 2xy x - (2y)) (2)')' = x) x' - 8y3, 8y', aplicando X X con con a = x, 2)' (xy + 2)(x'y' (xy)3 + (2)3 = X3y X3y33 + 8, aplicando con aa = xy, (xy 2)(X 2)'2 - 2xy 2xy + 4) = (xy)' aplicando XI con xy, b = 2 (2x + 1)(4x' 2x + 1) == (2X)3 (2X)3 + 1 = = 8x) (2x )(4x 2 - 2x 8x 3 + 1

j) j)

(2x (2x

k) k)

(u' (u

(x g) g)

h) h)

+

3y 3y

--

v' v2

+

xX

= = 4x' 4X2 j

+

+

z)' Z)2 = = (2x)' (2X)2

(3y)')2 (3y

+ (Z)2 (d +

2(2x)(3y) 2(2x)(3y)

+

2(2x)(z) 2(2x)(z)

+

--

1

2(3y)(z) 2(3y)(z)

+

9y' + 12xy + 4xz 6)'z, aplicando 9y2 t z' Z2 + 12xy 4xz + 6yz, aplicando XII XII con con a = 2x, 2x, b = 2 + ((-v')' V )2 + (2w)' (2W)2 + 2(u))(-v') 2(u 3)( - v2) + 2(u)'(2w) 2(u"(2u:) + 2(-v')(2w) 2( - v2 )(2w) + v44 + 4w' 4w 2 -_ 2u)v' 2U 3V 2 + 4u)w 4u 3u: - 4v'w 4v 2u;

3y, 3)',

e = z

2w)' 2W)2 = = (u))' (U 3)2

= u66 =

PRODUCTOS PRODUCTOS XIII-XIV XIII -XIV 3.

5 s + xx44 + x) 1l)(x )(x x' + x' X2 + xX + 1) = = xx66

a) a)

(x (x --

b) b)

44 (x - 2y)(x (x 2y)(x

e) e)

(3y (3y

+

+

2x)y 2x 3y

+

4x'y' 4x2y2

x)(81y4 x)(81y4 -- 27y)x 27y'x

+

+

8xy) 8xy'

9),'x' 9),2X2 --

3 3yx 3yx'

1, l.

--

+ 16y4)

aplicando aplicando XIII XIII con con a = = x.x, bh = 1, n == 66

= = xx55 -

(2y)5 (2y)s

= = xx5S --

32.1'5, 32y s,

+ x") X4)

aplicando aplicando XIII XIII con con a = = .v, x, bh = = 2y 2y

+ xX5S 243)'s + x5S, , = 243)'5 = = (3.1')5 (3.1')5

aplicando XIV XIV con con a = 3y, 3y, bh = xx aplicando

OTROS OTROS TIPOS TIPOS DE DE PRODUCTOS PRODUCTOS 4. 4.

a) a)

(x (x

+ y)' + z)(x z)(x + yy

-- z)(x z)(x -- yy

(x

+

z)(x z)(x -- yy -- z). z).

+ yy + z)(x z)(x + yy

El producto producto de de los los dos dos primeros primeros factores factores es 2xy 2xy

+ y'y2

-- z' Z2

z)(x -- yy -- z) = = (x (x -- y)' y)2 -- z' Z2 = = x' X2 -_ 2xy 2xy z)(x

+ y'y2

--

-- z) z) = = (x (x

+ y)' y)2

- z' Z2 = = x' X2

+

yY el de de los los dos dos últimos últimos

(x -- yy (x

+

El El resultado resultado es es que que


Z2 z,

PRODUCTOS

24 + )'2

(x2

+

_ =2

+

= X' b)

(x

+

+

y

+

'z

(y2)2

y'

+ z' -

(u -

+

V)3 (u

+ (_ Z2)2 +

+

y)

+

+

y2

2xy

= [(u -

V)3

2x2y2

+ +

(x2 -

d)

X

+

+

I)¿ (x2

+ vJ]3 + 3(U2)(V2)2

v)(u

+

= [(x2

e)

(e'

+

l)(eY

l)(e2y

-

= (e'Y

-

+

+

x'

+

+

2X6

+

l)(éY

-

1

+

+

+

(V2)3

2(y2)( _ Z2) _ 4x2 y2

v)

w)

+

2y

2(x

+

Z2

+

y)(z

+

2z

+ +

3u'v2

= u6 _

+

+

+

1)

+

1

+

3u2v'

X

+

+ 1 ¡>

(z

x) y)

+

2(x')(I)

2X2 = x8

1) = (eS Y -

+

1)(e2y l)(e8y

+

1)]2 = [(x2

1 _ X2]2 = (x"

1) = (e2y -

+ +

I)(esy

u)

+

_ Z2)

V2)3

2X2

+

2x'

2(x2)(

y)2

1 )(x2

2(x')(x2')

I)(esy

+ +

l)(e'Y

+

+

2yz

_

+

X

1)2 _ X2]2 = [x' 12

+

XS

1)2 = [(x2

(X2)2

= (X')2

=

+

X

+

2x

= (u2 -

= (u2)3 _ 3(U2)2V2

+

2y2z2

1)]2 = (x

+

2xz

)'2 _ Z2)2 _ (2xy)2

2(x2 )(y2) 2X2Z2 -

-

+

(z

+

= (x2

y2 _ 2xy)

+

1)2 = [(x

= x2 e)

+

2xy)(x2

= (X2)2

DE INTERES PRACTICO

1 - X)(X2

+

x2

+

1

+

+

+

3x'

l)(e'Y

a)

b)

xJ]2

e)

1)2

2(x2)(1)

2X6

+

+

6.

116

_

d)

+ +

1) = el6y

2X2 I)(esy -

+

e)

1

+

f)

1)

g)

1

h)

7.

a)

b) e)

PROBLEMAS PROPUESTOS Efectuar

s.

los siguientes

2xy(3x2y

b)

3X2y3 (2xy

e)

(2S(3 _ 4rs2

-

(3a

e)

(5xy

+

f)

(2 -

5y2)(2

g)

(3a

+

(y

j)

(z -

m)

+

n)

(x -

o)

(y

p)

(xy

+

(2x

-

r)

(4

+

8xy'

-

5y2)

5a2b)

-

+

= x2

= 4 -

+

8z

12x2

+

-

4x2yz

4 )(x

+

2

+

2

+

4) = x

7) = x

3)lv - 5) = y2 6)(xy

3)( 4x 3r)(2

-

25a'b2

+ +

4z2

8

3x -

28

2y -

15

4) = x2y2

+

1) = 8x2 -

+

16

-

4x'

6x

-

r) = 8

15rs'(3

16

2X2)2 = 9 -

+

+

9x2

_ 2Z)2 = x'y2 2)(x

20r2s3(2

36

+

6x)'

g)

6x2y'

25y'

= 9a2 -

+

12x

+

-

-

25b'

4) = 25x2y2

-

+

9a2 -

=

5b)

4)(5xy

3X3y3

-

= 10rs2(5

3s3()(5rs(2)

5a2b)(3a

+

q)

-

= 6x3y'

2y)

4)2 = Z2 -

(x2y (x

+

3X)2 = y2

k) (3 1)

= 6x3y2

x -

5b)(3a

h) (x + 6 ¡> i)

4y3) -

d)

+

e)

productos:

f)

a)

+

d)

+

2x)'

(5x

+

3y)(2x

-

3y) =

()

(2(2

+

S)(3(2

+

4s) = 6('

24

10x - 3 3r2

2r -

s)

-

IOx

2

+

-

9xy

-

11(2S

+

9y2 4s2


PRODUCTOS

u)

(x2

v)

x(2x - 3)(3x

+

w) (r +

+ +

l)(r

S -

4) = 6x3 -

+

s

+ +

1) = r2

12x

+

2rs

.1'2-

1

a)

(2x

+

1)3 = 8x3

b)

(3x

+

2y)3 = 27x3

e)

(r - 2S)3 = r3 - 6r2s

+

12rs2 _ 8.1'3

d)

(x2 -

+

3x2 -

e)

(ab2 - 2b)3 = a3b6 - 6a2b'

f)

(1 -

g)

(z - X)(x2

a)

+

1)3 = x6 _ 3x4

+

2)(12

2¡

+

+

3y)(x2 - 3xy

(x - 2)'

6x

+

1 )(S3

+

S2

¡2)(1

-

¡2

+ +

+

9y2) = x3

+

+

(s (1

d)

(3x

+

2y)2 (3x - 2)')2 = 81x4 -

e)

(x2

+

2x

f)

(y -

g)

(u

+

1)3 (y

S

¡4 _

1)2 (x2 -

+

1) = S4 -

12ab4 _ 8b3

+

+

27y3

+

+

2zx - 4zy

Z2

1

¡6) = 1 _ ¡8

2x

+

4)(u4

+

+

+

16y4

4x6

+

72x2y2

1)2 = x8 -

1)3 = y6 _ 3y4

2)(u - 2)(u2

8y3

1

4y2

e)

+

+

8

b)

+

1

36xy2

Z2) = Z3 _ x3

Z)2 = x2 - 4xy

+

+

+

4) = ¡3 -

+

xz

+

54x2y

12x2

+

PRACTICO

7X2)'2 _ 4)'3

x2 -

y)

h) (x +

7.

_ y2) = 2x4)'

INTERES

(x - 2y + z)(x - 2y - z) = x2 - 4x)' + 4y2 _ Z2 2 (x + 2x + 4)(x2 - 2x + 4) = x4 + 4x2 + 16

x)

6.

4y)(2x2y

DE

6x4 _ 4x2

+

1

3y2 _ 1

16) = u8 -

256


25

LOS PF A)

Fac

B)

Difi

C)

tw

D)

011

E)

SU!

CAPITULO CAPITULO 4

Descomposición Descomposición en factores FACTORES de una expresión expresión algebraica algebraica dada algebraicas que LOS FACTORES dada son dos o más expresiones algebraicas multiplicadas multiplicadas entre sí sí originan originan la primera. primera. Por ejemplo, la expresión expresión algebraica algebraica xX22 - 7x 7x )(x - 6). dos factores (x (x - 1)(x 6). Análogamente, Análogamente, xX22

+ ,2xy 'f.xy

- 8y2 == (x (x

+ 4yKx4y)(,'i:

+ 6 se puede expresar expresar como producto producto de los - 2y) 2)')

PROCESO DE DESCOMPOSICION DESCOMPOSICION EN FACTORES. FACTORES. Se aplica, generalmente, generalmente, a polinomios polinomios de PROCESO también polinomios polinomios de coeficoeficientes enteros. En este caso, se requiere que los factores sean también Mientras no se advierta advierta lo contrario, contrario, supondremos supondremos estas condiciones. condiciones. cientes enteros. Mientras

(Jx l)(Jx -

Por ejemplo, (x (x -- 1) 1) no lo consideraremos consideraremos descompuesto descompuesto en los factores (Jx + I)(Jx - 1), 1), Por polinomios. Igualmente, Igualmente, (x (x22 - 3y2) 3y2) no' no' lo consideramos consideramos descompuesto descompuesto ya que éstos no son polinomios. (x - j3y)(x polinomios de coeficientes enteros. j3y)(x + j3y), j3y), ya que éstos no son polinomios en los factores (x aunque 3x 3x Asimismo, aunque x

~y + ~y

+

2y se pueda pueda expresar expresar por 3(x 3(x 2y

~y), + ~y),

consideraremos así, porque porque no lo consideraremos

polinomio de coeficientes enteros. no es un polinomio

polinomio de coeficientes enteros enteros es primo cuando no se puede desQOmponer descomponer en factores primo cuando Un polinomio criterios expuestos expuestos anteriormente. anteriormente. Por ejemplo, xX22 - 7x 7x + 6 = = (x (x - l)(x l)(x - 6) está siguiendo los criterios expresado como producto producto de los factores primos primos x - 1 Y x - 6. expresado polinomio se puede descomponer descomponer totalmente totalmente en factores cuan.do cuando se pueda pueda expresar expresar como Un polinomio producto de factores primos. producto Nota descomposición en factores se pueden efectuar efectuar cambios cambios de signo; Por Por ejemNota J. En la descomposición 7x + 6 se puede descomponer descomponer en (x (x - l)(x 1)(x - 6), o bien en (1 (1 - x)(6 x)(6 - x). x). Se demuesplo, xX22 - 7x descomposición en factores primos, prescindiendo prescindiendo de los cambios cambios de signo o del orden orden tra que la descomposición teorema fundamental fundamental de la descomposición descomposición en factores. de los factores, es única. Este es el teorema Nota polinomio es primo cuando cuando no admite admite más factores (o divisores) que él mismo, Nota 2. Un polinomio unidad, ± 1. 1. Esta definición es análoga análoga a la de números números primos, primos, como con signo más o menos, y la unidad, 11, ... ... son 2, 3, 5, 7, 11,

F) Ag

Nota Algunas veces veces se se descomponen descomponen en factores polinomios polinomios de coeficientes racionales; racionales; Nota 3. Algunas (x + 3/2)(x 3/2)(x - 3/2). En estos casos, los factores son también también polinomios polinomios por ejemplo, xX22 - 9/4 == (x de coeficientes racionales.

G)

DESCOMPOSICION EN FACTORES FACTORES son de gran aplicación las fórmulas I-XIV del CaEN LA DESCOMPOSICION pítulo 3. De la misma forma que leídas de izquierda izquierda a derecha dan el el resultado resultado de un producto, producto, cuanpítulo izquierda constituyen constituyen la descomposición descomposición en factores. factores. do se leen de derecha a izquierda 26


Fa

27 27

DESCOMPOSICION FACTORES DESCOMPOSICION EN FACTORES

LOS PROCEDIMIENTOS utilidad en la descomposición descomposición en factores. PROCEDIMIENTOS SIGUIENTES SIGUIENTES son de gran utilidad A)

2)

C)

los

+ ad ad =

+ d) d)

a(c a(c

+

3x 3x22yy = = xy(2x xy(2x2 2 - y

+

3x) 3x)

a22 - b22 = (a

+

b)(a b)(a

Tipo: Tipo:

b) b)

1) donde a = x, x, b = 5 1) X2 x2 - 25 = X2 x2 - 52 52 = (x + 5)(x 5)(x - 5) donde 2 2) donde a = 2x, 2) 4X2 4x - 9y2 = (2X)2 - (3y)2 (3y)2 = (2x (2x + 3y)(2x 3y)(2x - 3y) 3y) donde 2x, b = 3y 3y a22 + 2ab 2ab a a2 a2 _ _ 2ab 2ab

. T T IpOS: IPOS'

Trinomio cuadrado Trinomio cuadrado perfecto. perfecto.

.

+ +

b22 = = (a + b)2 b22 = = (a b)2 b (a -_ b)2

Un trinomio términos son cuadrados cuadrados perfectos perfectos yy el tercero trinomio es un cuadrado cuadrado perfecto si si dos términos es igual al duplo producto de aquéllos. duplo de la raíz cuadrada cuadrada del producto 1) X2 x2

Ejemplos. de oefi-

2)

D) 1), esto ros.

+ 6x 6x + 9 = = (x (x + 12xy 12xy + 4y2 = =

9X2 9x2 -

. T TIpos: IpOS:

Otros Otros trinomios. trinomios.

3)2 (3x (3x - 2y)2 2y)2 X2 b)x + ab ab = a)(x + b) b) x2 + (a + b)x = (x (x + a)(x acx2 bc)x + bd bd = b)(cx acx" + (ad (ad + bc)x = (ax (ax + b)(cx

d + d) )

1) - 4, b = -1 1) X2 x2 - 5x 5x + 4 = (x (x - 4)(x 4)(x - 1) 1) siendo a = -4, -1 su suma es igual a (a + b) b) = -5 ab = 4. -5 Y su producto producto ab

Ejemplos.

X2 4y) siendo a = - 3y, 4y x2 + xy xy - 12y 12y22 = (x (x - 3y)(x 3y)(x + 4y) 3y, b = 4y 3) 3x -5x-2=(x-2)(3x+ 1).Enestecasoac=3,bd= -2,ad+bc= -5 3x22-5x-2=(x-2)(3x+ 1).Enestecasoac=3,bd= -2.ad+bc= -5; ; por tanteos ad + be bc = - 5. tanteos se obtiene que a = 1, 1, ce = 3, b = --2, 2, d = 1 satisface ad

2)

que

4) 4)

5)

ores está . .'.

amo

2x 2x33yy - xy2 xy2

Diferencia de los cuadrados. Diferencia cuadrados.

Ejemplos.

que

ac

(3y - x) 1) 6x 6x22yy - 2X3 2X3 = = 2x 2x22(3y x)

Ejemplos.

B)

Tipo: Tipo:

Factor Factor monomio monomio común. común.

+ XX -- 12 == (3x 3) (3x - 4)(2x 4)(2x + 3) x) 8 - 14x 14x + 5X2 5x2 = = (4 - 5x)(2 5x)(2 - x)

6X2 6x2

.

.

E) Suma, Suma, diferencw diferencia de dos cubos. cubos. •

Ejemplos. jernuesrden

1) 8x 8x33

2) 2)

+

.

TIpos:

a33 + b33 = )(a22 - ab ab + b22)) = (a + b )(a 3 ( b)( 2 b2) b3 b)( b b2) a = a +a+ a- =a- a a+a+

27y33 = = (h)3 (2x)3 + (3y)3 (3y)3 = (2x (2x + 3y)[(2x)2 3y)[(2x)2 - (2x)(3y) (2x)(3y) + (3y)2J (3y)2] = = = (2x (2x + 3y)(4x 3y)(4x2 2 - 6xy 6xy + 9y2) 9y2)

8X33y3 y3 -

1 == (2xy)3 (2xy)3 - 133

= (2xy = (2xy -

\)(4x2y2 1)(4x2y2

+

2xy 2xy

+ 1) 1)

smo, amo

F)

ales;

Ejemplo. 2ax y(a - 2b) = (a - 2b)(2x y) 2ax - 4bx 4bx + ay ay - 2by 2by = = 2x(a 2x(a - 2b) 2b) + y(a 2b) = 2b)(2x + y) G) Factores Capítulo 3. 3. Factores de cl' o" ± b". Aplicamos la fórmulas fórmulas XIII yy XIV del Capítulo

mios

l

ea-

Agrupamiento de términos. Agrupamiento términos.

Ejemplos.

Tipo: Tipo:

1) 32x 32x55 + 1 \)

ac

= (2X)5 =

+ bc be +

+ 155

cuan2)

X7

-

1

= (x -

1)(x6 +

ad ad

+ bd = c(a b) + dia d(a + b) b) = = (a + b)(c b)(c + bd = c(a + b)

= (2x (2x = = = (2x (2x x5

+

1 )[(2X)4 + 1)[(2X)4 + 1)(16x l)(16x44 -x4

+

x.3

+

x2

J

2x + 1 1] (2X)3 + (2X)2 - 2x 2 - 2x 8x 4X2 8x33 + + 4x 2x + + 1)

+


X

+ 1)

d) d)

28

DESCOMPOSICION EN FACTORES FACTORES DESCOMPOSICION

términos. H) Suma y resta de términos. Factor x44 Ejemplo. Factor

DIF

+ 4.

2.

4x2 (doble del producto cuadradas de x44 y 4), Sumando y restando Sumando restando 4X2 producto de las raíces cuadradas obtenemos obtenemos x44

+4

= = (x (x44 = (x (x22 =

+ 4X2 4x2 + 4) - 4X2 4x2 2 2 + 2 + 2x)(x 2x)(x + 2

= = (x (x22 + 2)2 2)2 - (2X)2 2x) = = (x (x22 + 2x 2x + 2)(x 2)(x22 - 2x 2x - 2x)

Combinación de los métodos anteriores. 1) Combinación = (x44 _ xy3) Ejemplo. x44 _ xy3 xy3 _ X3 X3y + y4 = xy3) _ (x33yy _ y4) y4) = x(x3 _ y3) y3) _ y(x3 y(x3 _ y3) y3) = x(x3 = (x (x33 _ y3)(X y3)(X - y) = y) == (x - y)(x y)(x22 2 2 = (x (x - y)2(X y)2(X + xy = xy + y2) y2)

+

+ 2)

+ y2)(X y2)(X

xy xy

- y) y)

MAXIMO COMUN COMUN DIVISOR DIVISOR (M.C.D.)de (M.C.D.)de dos o más polinomios polinomio de mayor mayor EL MAXIMO polinomios es el polinomio grado (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) divisor) de los mayor coeficiente numérico numérico (prescindiendo grado y mayor polinomios polinomios dados. Para hallar M.C.D. de varios polinomios siguiente: a) a) Se descomPara hallar el M.C.D. polinomios se procede procede de la forma siguiente: pone cada cada polinomio M.C.D. es el producto obtenido polinomio en el producto producto de sus factores primos. b) El M.C.D. producto obtenido comunes elevados a la menor potencia entran a formar formar parte al tomar tomar todos todos los factores comunes potencia con la que entran parte en cada uno de los polinomios. polinomios. M.C.D. de Ejemplo. El M.C.D.

TRI 3.

2y)2, 22333(x 233322(x (x _ y)3(X y)3(X + 2y)2, (x - y)2(X y)2(X 2 2y). es 3 (x (x - y)2(X y)2(X + 2y).

+

2y)3, 2y)3,

32(x (x - y)2(X y)2(X

M.C.D. es la unidad Dos o más polinomios polinomios son primos entre sí si su M.C.D. unidad

+

2y) 2y)

±± 1.

MINIMO COMUN COMUN MULTIPLO MULTIPLO (M.C.M.) (M.C.M.) de dos o más polinomios menor EL MINIMO polinomios es el polinomio polinomio de menor grado y menor menor coeficiente (prescindiendo (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada cada uno grado uno de los polinomios polinomios dados. Para hallar M.C.M. de varios polinomios siguiente: a) a) Se descomPara hallar el M.C.M. polinomios se procede procede de la forma siguiente: pone cada cada polinomio b) El M.C.M. M.C.M. es el producto obtenido producto de sus factores primos. primos. b) producto obtenido polinomio en el producto comunes y no comunes, comunes, elevados a la mayor potencia potencia con la que entran entran al tomar tomar todos todos los factores, comunes formar parte cada uno a formar parte en cada uno de los polinomios. polinomios. M.C.M. de Ejemplo. El M.C.M. 2y)2, 22333(x 233322(x (x - y)3(X y)3(X + 2y)2, (x _ y)2(X y)2(X 2y)3. es 233333(x (x - y)3(X y)3(X + 2y)3.

+ 2y)3, 2y)3,

32(x (x - y)2(X y)2(X

+

4.

2y) 2y)

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS FAcrOR BINOMIO BINOMIO COMUN. COMUN. FAcrOR

Tipo: Tipo:

ac

ad = = a(e a(e + d) + ad

6x33 + 12x44 == 3X2 3x2 (1 (1 + 2x 2x + 4x 4x22) ) + 6x 2[3 -- 3S2[2 d) 9s3[[ + 15s 4x + 8y = 4(x 4(x + 2y + 3z) ISs2[3 [2 == 3s22[(3s + 5[2 S[2 -- [) [) b) 4x By + 12z = 4 22 33 44 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 ISa3bb2cc + 30a bb3ec2 == 5a Sa2bb2ce2 (2be2 -- 3ae 3ac2 + 6a2b) e) 10a bb ee - 15a b) 20 = Sa20 = 40"+ 40"+ I (1 - 20"20"- 1) 1) f) 40"+ 40"+ I - 80

1. a) al

2x22

-

3xy x(2x - 3y) 3xy = = x(2x 3yl

e)

3x2 3X2


OT!

DESCOMPOSICION DIFERENCIA 2.

b)

25x2 - 4y2

e descomobtenido ue entran

+

(5x

2y)(5x - 2y)

=

(3xy + 4o)(3xy

+

mn2)(1 - mn2)

e)

3x2 -

f)

x2y2 _ 36y4 = y2 [X2 - (6.d]

= y2 (x

g)

x4 _ y4

+

12 = 3(x2 -

8

=

i)

32a b -

j)

X3y - y3x

3. a)

x2

b)

1

+

xy(x2 - y2)

=

36y2

1)2 -

2y)2 -

+ +

+

8x

4y

e) g)

9x4

11)

2x3y3

i)

16a4

+

4y2 = (1

+

12 -

4 =

+

(x

+

2y)2

/)

4m6n6

+

+

32m4n4

6x

+

e)

x2

2x - 8 = (x

y4

+ +

/)

(x

+

+

= =

+

+

25

=

y)(x _ y)

=

+

x4)(I

(x

+

I)(x - 6y

+

1)

(3x - 7y)]

=

(8x - 5y)(2x

x)(1

-

x)

y)(x _ y)

2y)

=

(6y)]

1) -

+

(3x - 7y)][(5x

a2

+

+

(x

2ab

Tipos: a2 _ 2ab 42

=

+

(x

+

6y

2y) -

+

9y)

b2 = (a + b)2 = (a _ b)2

+

+ b2

4)2

+

+

(x

+

8xy

= 2y

[(2a

+

16y2) = 2xy3 (x

+

d)

x2 -

16xy

e)

25x2

+

f)

16m2 - 40mn

+

60xy

64y2 = (x - 8y)2

+

36y2 = (5x

+

+

6y)2

25n2 = (4m - 5n)2

4y)2

=

3b)(2a - 3b)]2

W

+

+

+

8m2n2

+

(2a

+ 3W

k)

a2x2 - 2abxy

4m2n2 (m2n2

=

16)

x2 - 7xy

+

+

f)

x

g)

16 -

2)

h)

20 - x - x2 = (5

X - 6) = 3x(x - 3)(x

+

4)(x - 2)

+ -

+

2

+

1)

=

+ [(x

=

(Z2 -

xy -

12y2 12y2

+

10x

1) = (m2

+

1)

+

+

2][(x

+

2)(m

+

1)

+

1]

l)(z2 - 9)

=

+

Z4 -

o)

2x6y _ 6X4y3 _ 8x2ys = 2x2Y(X4 _ 3x2y2 _ 4y4)

+

(z

y2)(X2

I)(z - I)(z

_

+

= +

+

x)(4 - x)

1)

(x

+

3)(x

+

2)

+

2y)(x - 2y)

71)

3)(z - 3)

4y2) = 2x2Y(X2

+

b2y2

x2 = (8 - x)(2 - x)

2)

1 )(m -

+

4)2

3)

n)

=2x2Y(X2

+

3W

= (x - 3y)(x - 4y) = (x + 4y)(x - 3y)

(x - 4)(x - 2)

2

+

(20 -

d)

e)

m) S2/2 _ 2S13 _ 63/4 = t2(S2 - 2st - 6312) = 12(S - 91)(s 9

+

2)

+

4)(x

4)(y2

+

x2)(1

+

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) aex2 + (ad + be)x + bd = (ax + b)(ex

2)(m2 -

IOz2

(1

9b2)(402 _ 9b2) 9b2)(2a + 3b)(2a - 3b)

.

+

3(x

+ +

+

4m2n2 (m4n4

+

+

X2)(I - X2)

y2)(X

=

12 = (y2

1)2

+

(x2

22 = (l - 2)2

m2 - 2 = (m2

7y2

+

(402 - 9b2)2

=

18x = 3x(x2

+

+

p

b)

j)

[(5x

Ti os'

+

3x2 -

+

64m2n2

6x

3x3 -

(6y)][(x

+

x2 -

i)

+

2y)

x2

8

xy(x

1)

+

a)

+

=

+

=

2y)2

81b4

+

10(x

8

81b

32xys = 2xy3 (x2

TRINOMIOS.

+

x )(1

-

2(1)(2)

+

16x2y4

j)

+

4

= 2b(4a2 = 2b(402

4)

2(x)(4)

+

6y)(x - 6y)

y2)(X2 _ y2)

+

(1

+

16y2 = (3x2 - 4y)2

+

72a2b2

-

+

- 4a)

2)(x - 2)

PERFECTO. x2

=

16

=

=

(3x - 7y)2

24x2y

--

+

[(x

CUADRADO

12 - 41

OTROS

=

+

(x2

4

162bs = 2b(l6a4

4

(5x

=

lV2)2

x )(1 - x4)

+

(1

= (1

4) = 3(x

(X2)2 _

=

x

1 -

k) m"

-1)

=

d)

(mn2f

-

d) x2 - 2x - 8 = (x - 4)(x

2)

3)(x - 3)

(2y)2

(3xy)2 - (4of

m2n4 = 12

TRINOMIO

4.

=

+

(x

1 -

1)

de menor da uno de

16a2

=

(5X)2 -

9x2y2 -

k) (x +

descomobtenido ar parte

=

e)

11)

y)

x2 - 32

=

29

Tipo: a2 - b2 = (a + b)(a - b)

DE DOS CUADRADOS.

a) x2 - 9

EN FACTORES

y2)(X


=

(ax - by)2

DESCOMPOSICION x2 -

p)

+

2xy

+ 10(x -

y2

+ 9

y)

= (x -

EN FACTORES

+

y)2

lO(x

-

s,

q)

4X8y'0

r)

x2•

s)

x •••+2"

+

7x"'+O

1)

a2(,-I)

-

5a,-1

84x2)'4

= 4X2y4 (X6y6 _

+

30 = (x· - 6)(x"

x· -

-

+

40X5y7

_

+

6 = (a,-I

-

+ 21)

10x'y'

k)

+ 9] =

y)

+

(x -)'

= 4X2y4 (x')"

-

l)(x

-

+ 9)

y

7)(x'y'

3)

-

1)

5)

IOx'" = x"'(x2"

+

+ 9

y)

= [(x - y) + 1][(x

+

-

+ 10) =

7x"

3)(arl

+ 2)(.>.:" + 5)

x"'(x"

2)

-

AG a)

3x2

b)

2X2 -

Tx

e)

2y2 -

y -

6

g)

4z4 -

9z2

+

h)

16x'y

+

+ IOx + 3

+

i)

12(x

j)

6b2"+1

k)

18x4.+'"

1)

+

3

-

+

8(x

5b"+1

O DIFERENCIA

6.

x' + 8 = -

27 =

e)

a6

+

b6

-

3)

e)

6x2 -

3)(y

-

2)

f)

10 -

a'

-

b6 = (a'

e)

aO

+

b9 = (a')'

2x)'(8x2

15 =

=

4x4y"

a'2

+ b'?

g)

64x'

+

(a -

(b2)'

+

+

+

(x

3' =

b')(a'

+

h)

(x

+

= (a4)'

125v'

y)'

i)

(x -

2)' +

j)

x6

7 x3

-

-

8y'

y) -

5][2(x

+

y)

6)

= b(2b"

+

3)(3b" -

_

= 6x"'(3x2p

+

4x4y'

(16x8 _

2xy(4x

+

y2)(4x2

= 4x4y'

(4x2

+

y2)(2x

= (5 -

4y)(2x

-

+

3x)(2

3)

3)')

7.

x)

+ 5)')

3y)(2x

= (6x

+

6y -

5)(2x

+

2y

+ 3)

2)

4y4) = 6x"'(3x2•

+ 2y)(x' + y8) =

y2)(X'

17x4y4

(4x2

-

+ 3]

11.\,2.)'2-

2)(x2

-

y2)(X2•

+

(16x4 _ y4)(X4

y2)(X2

y)(x2

+

)')(2x

+

2)(x2

-

2x + 4)

3)(a2

+

3a

-

+

_

4)'2)

2y)

4x4y'

_ y2)(X2

+

+

+

b2)(a4 _ a2b2

b')

+

(5y)'

+

+ y -

y -

b)(a

+

_ y4)

_ y2)

+

y2)(X

y)(x

-

y)

+

+

5y)[(4x)2

= (4x

+

5y)(16x2

+

y)2

+

2xy

8 = (x' - 8 )(x' )(x'

+

b4)(a8 _ a4h4

z)(x2

+

(x

b2)(a -

+

+

-

y)z

a'h'

-

+

+

ab

+

b6)

(4x)(5y) 20xy

+

(5yf]

+

+

25y2)

+

Z2)

Z2]

.1'2 +

x= +

(2y)3 = (x -

2+

2)')[(x

-

2)2 - (x - 2)(2)') +

= (x -

2+

2y)(x2

-

4x + 4 -

+

+

8.

b2)

b8)

+

-

b)(a2

(h')2]

b2)(a6

= (4x

FA

b4)

a'b'

ab +

+ 9)

(b2)2]

+

+

ab

-

-

z)[(x

2)' +

2'

2

(a -

_ a2b2

h)(a2 -

+

= (a

= (a4

= (x

-

+ 32) =

3a

= (a2

= (x

= (x'

+

(x

b2)[(a2)2

(b4)'

= (x -

+ 22) =

2x

= (a' + h')[(a')2

(b')'

+

-

3)(a2

= (a2

-

= (4x)'

z'

-

+

5b" -

= 4x4y'

= (ti

f)

14xy -

= 6x"'(3x4•

+

= (3x

+

2)(2s

1)

1)(2z -

15)'2) =

12y2

3x2

x -

+

[6(x

+

+

2)(2z

xy -

= (5s -

DE DOS CUBOS.

= (a2)'

a6

1) = (=2 -

_ 24x"'y4

+

-

ti)

=

y) -

+ 2' =

x'

a'

l)(x

6b = b(6b2"

-

_ 68x8y7

b)

10s2+11s-6

30xy'

_ 66x2'+"'y2

64X'2)"

d)

2 = (Z2 - 2)(4z2 -

SUMA a)

+

= (2)'

+

y)2

+ 3)

= (2x -

28x2y2

+

l)(x

+

= (3x

)'Z

2x)'

(2y)2]

+ 4)' + 4)'2)

1)

+ 1) =

(x -

2 )(x2 +

2x -~ 4)(x

+ 1)(x2


-

X

+ 1)

31 31

OESCOMPOSICION EN EN FACTORES FACTORES OESCOMPOSICION

k) k)

X8y 64X2y = xx2y(x· Y(X6 -- 64 64y = xx22Y(X33 X8 6) = y 6) y _- 64X2 y77 =

y(x == xx2y(x

++

2v)(x22 -- 2xy 2xy 2v)(x

++ 88yy3)(X 3)(X33 __

4y2)(X --- 2y)(x 2y)(x22 4y2)(X

++

1) 54 54x·y2 38x3 16y' == 2y2(27 2y2(27x· 19x33 1) x 6 -- 19x x 6 y 2 -- 38 x 3y22 -- 16y'

7. 7.

a) a)

x2 + X2

bx -- ah ab bx

ax = h(x b(x -- a) a) -- ax

3ax -- ay ay -- 3bx 3bx 3ax

e) e)

6x2 - 4ax 4ax -- 9bx 9bx 6X2

d) d)

ax ax

e)

x2 -X2

f) f)

x33

x

g) g)

x7

7

++ ay

x2y + x2y 27x44 + 27x

X3y3 - y3 x)y)

a· (16

+

3 = x44 (x33 x 3 -- 27 =

--

+

+

3))(x 3 )(X22

1)

)(x22 1)(x

= a6

b6 -- a22bb44 -_ a44bb22 b.

27) - (x33 27)

6

+

3

8x3 -_ 8 == y3(X) y3(X3 -_ 8x)

+

+

++ XX ++

1) 1)

== c(a c(a + + b) b) + + d(a dia + + b) b) = = (a (a + + b)(c b)(e + + d) d)

x) = + x)

(x -- a)(x a)(x (x

+

+

b) + b)

27)(x44 - 1) + 27)(x 1) 1) == (x + 3)(x 3)(x22 - 3x + (x3 -_ 1 l)(y3 1) == (x) )(y) + 8)

8(x3 -_ 8(x)

3a22 -

5ab 5ab

+

2b 2b22 -

+

I)(y + 2 )(y2 - 2y 2y + 4) + XX + I)(y + bb·6 __ a44bb22 = a22(a(a44 __ b44)) _

b b22)(a )(a

b = (a (a)3 b33 =

+

h)(a - b)(a b)(a b)(a

3) h b))

(3a (3a22 -

+

= = (a -- b)(a b)(a22 b)(a22

= = (a (a --

FACTORES FACTORES DE DE a" a"

b)(a

+ +

1) 1)

27) = = (x) (x3 27)

l)(x l)(x2 2 -

a22hb44

_ _

= (a22 = a a)

2 -- l)(x l)(x2

2a) -- 3b(3x 3b(3x -- 2a) == (3x (3x -- 2a)(2x 2a)(2x -- 3b) 3b) 2a)

= h22)) = = (a (a'2 )(a2 2 -_ b = (a 4 -_ h44)(a

j)j)

++ 4)(x 4)(x

b(3x -- y) y) == (3 (3x y)(a -- h) b) -- h(3x x -- y)(a

4

3

1) 1)

2 ++ 2)(9x 2)(9x2 -- 6x 6x

= a(x a(x + y) y) + (x (x + y) y) = = (x + y)(a y)(a + 1) 1) +y = = (x + 2y)(x 2y)(x - 2y) 2y) + (x + 2.1') 2.1') = = (x + 2y)(x 2y)(x - 2y + + X + 2y = 2 2 xy2 + y3 = = X2 x (x + y) y) + y2 (x (x + y) y) = = (x + y)(x )')(x 2 + y2) y2) + xy2

= (x (x =

i)

a) = (x (x -- a)(h a)(b -- a)

(2y)3] (2.1')3]

+ x -t-

4y2 4.1'2

= = (x) (x3 11) h)

xIx + xIx

by == a(3x a(3x -- y) y) ++ by 6ab == 2x(3x 2x(3x + 6ah

b) b)

2x)' + + 4y2) 4y2) ++ 2.\)' 8)(x33 -++ 8)(x

Tipo Tipo: : ae ac + + be be + + (Id ad + + bd bd

AGRUPAMIENTO DE TERMINOS. TERMINOS_ AGRUPAMIENTO DE

(2y)3][X3 3 __ ++ (2y)3][X

8) == 2y 2y2 (27x33 8) 2 (27x

--

2233](X ](X33 -- 1) 2 (3x 1) == 2y 2y2 (3x

++

== 2)'2 X)3 2)'2 [(3 [(3X)3

= XX22)'[X )'[X33 88yy3) 3) =

ab ab ab ab

+ +

b b22))

+

b22

b

+

+

h)(a - b) b) = b)(a = (a22

+

+

+

I)(x I)(x

+

I)(x I)(x -

1) 1)

b22 (a44 _ b44))

-- b b 2)(a 2 -b22)(a )(a b2)(a2

5ab 5ab

+

2 9)(x 9)(x2

b)(a - b) b) b)(a

+

b b22)(a )(a

+

b)2 b)2 (a _- b)2 b)'

2b 2b22))

(a - b)(3a b)(3a -

2b) 2b)

3a 3a -- 2b) 2b)

± ± bb"n

8. a" a" + b" b" tiene tiene aa + bb como como factor factor (o (o divisor) divisor) solamente solamente cuando cuando nn es es un un número número entero, entero, impar impar yy positivo. positivo . En En estas estas condiciones, condiciones. 3 aa)

++ bb)3

b) b)

64 64

e) e)

3 xx)

++ y3 y) = = 44) ++ y3y) == (4(4 ++ y)W y)W -- 4y 4y + + y2) y2) = = (4(4 ++ y)(16 y )(16 _++ 88yy6 6 == xx3 3 ++ (2y2)3 (2y 2)) = = (x(x ++ 2y2)[X2 2y2)[X2 __ X(2)'2) X(2 y 2) + + (2y2)2] (2.1'2)2]

d) d)

aS a5

++ bb S = = (a (a + + b)(a b)(a44 --

e) e)

5 11 + )'5 = + XXSys = l'1s

.n

Z5 ZS

a) a)

= = (a (a

++ b)(a b)(a2 2 --

ab ab

+ bb22) )

3

2 -- 2xy2 ++ 2y2)(X 2y2)(X2 2xy2 + + 3 + a'b a)b + + aa22bb22 _- ab ab) + bb44) )

= = (x (x

f)

5

++ 32 32 ==

Z5 ZS

++ (xy)s (xy)s

++ 2'25 ==

= = (1 (\

(z (z

++ xy)(1 xy)(1

__ x)' xy

++ x2y2 X2),2

++ 2)(Z4 2)(Z4 -2z - 32z) + + 22Z2 22Z2 _-

aa1010

= = (z(z + + 2)42 )4 __ ++ xx1010 == (a(a22)5)s ++ (x(x2)'2)s == (a(a22 ++ xx22)[(a )[(a 2 = (a (al =

h) h)

++

i)i) xx

++

11 = (X (x33)3))

=

3 = (x (x)

++ 11) = 3

++

4y4) 4y4)

__ X3 x)y) y3

++ xx44y4) y4)

++ 16) 16)

2 )3 2)2 __ (a 2)3 (a')3x2 (a'»)x 2 + + (a(a22)2)2 (X(X2)2 (a22)(x )(x

2)(a8 __ aa·x 6x2 2 + + aa4x44x 4 __ aa22xx6 6 xX2)((18

3 uu77 + + vv77 == (u(u ++ v)(u· v)(u 6 -- U'¡, uSt' + + UU44V12,2 __ Uu33Vv) 99

++ y2) y2)

23 23ZZ + + 24) 24)

2)(Z4 2)(Z4 -- 2z 2z33 + + 4z 4z22 -- 8z 8z

g) g)

4y 4y

1)(x 1)(x6 6 --

++ UU22VV44 __

xx33 + + 1)1) = (x(x

=

++ (X (X22)4] )4]

++ xx8)8)

uv' uv s + + vv66) )

++ 1)(x 1 )(x2 2 --

3 XX + + 1)(x· 1)(x 6 __ xx)


++ 1)1)

9.

EN FACTORES

DESCOMPOS1C10N

32

a" - b" tiene a - b como factor (o divisor) si

Si

11

+

a2 -

b2 = (a -

b)(a

b)

a3

b3 = (a -

b )(a2

e)

27x3

d)

1-

e)

aS _ 32

y'

-

_ y3 = (3X)3

=

z' =

_

x6 _ a6

h)

u· -

= =

v.

2s

aS -

+

=

(x3

+

(u4

+

+

Ix

X2) = (1 -

+

a3 • 2

= (a - 2)(a4

+

2a3

(a -

+

+ y4z2 +

ySz

a3)(x3

= (x + = (u4 +

_ a3)

V4)(U4

v4)

-

i)

x9 _

I =

j)

x10 _ yl0

Y RESTA

I = (x3 -

(X3)3

_

= (xs

+ yS)(xs + y)(x4 _

= (x

En estas condiciones,

+

b"-I)

+

3xy

b como factor.

(3x)y

x)(l

+

),3Z3

+

a)(x2

+

+

X2)

+

23

a'

y2z4 ax

+

a2)(x

2)(U2

-

+ +

(4)(u2

+

8a

V

+

v2)(u

1) = (x -

+

y2)

MA:li

+ 16) + yzs +

-

¡,4)(U2

+

y2]

a2 . 22

+

4é

x3

x

= (3x - y)(9x2

+

12. ,

24)

Z6)

- a)(x2

ax

+

a2)

I )(x6

+

x3

+

v2) v)(u

-

I )(x2

+

11)

X

+

+

xly

+

1)

_ yS) x3y

+

x2y2

+

_ xy3

_ y)(x4

),4)(X

+

+

xy3

b2 -

ab)

x2y2

+

y4)

DE TERMINOS

= (a4

15x2

+

+

I )(x6

+

4

+

+

2a2b2

(sumando

b4) _ a2b2 = (a2

+

b2)2 -

= (a2

+

b2

+

24x2

= [(6x2

+

2)

+

+

9x

+

+

3x][(6x2

+

2f

y4) _

= (u. -

+

IOu

= (u4 _ 5

+

+

Deseo

3x

+

2)(6x2

-

3x

+

2) 13.

+

+

y2

4xy)(8x2

+

y2 -

e

4xy)

d

25) - 4u4 = (u4 -

2u2)(u·

e

5)2 - (2U2)2

5 - 2u2) = (u·

-

a

b

= (8x2 + y2)2 _ (4xy)2

16x2)'2

4u4)

y restando 4

- (3X)2

= (6x2

2) - 3x]

= (8x2

(sumando

+

16x2y2)

+

16x2y2

ab)(a2

+

)

4) - 9x2 = (6x2

y restando

(sumando

(ab)2

2

y restando

= (36x4

= (64x4

a2b2)

y restando

(sumando

36x4

+

+

+

= (u4

b)

+

ab"-2

b2)

+

ah

2)(a4

(y _ Z)U,6

+ ... +

a"-3b2

b)

+

_ y3 = (3x _ y)[(3X)2

= (1 - x)(12

x3

g)

SUMA

+

a"-2b

es un entero par y positivo. a" - b" también tiene a

a)

f)

es un número entero y positivo.

11

+

h" = (a - b)(a"-1

a" -

+

5)(u4

2u2 -

2u2 -

-

f

5)

g

PROBLEMAS

n.

a)

14.

DIVERSOS

x2 -

4z2

+

9y2 -

6xy

= (x2 - 6xy

+

= (x - 3y)2 b)

1602

e)

x2

+

IObe -

25e2 -

b2 = 16a2 = (4a)2

+

7x

+

y2 -

7y -

2xy

-

-

9y2)

-

b

4:2

(2=)2 = (x (b2 (b -

8 = (x2 = (x -

IObe

+

y)2

+

e 2=)(x

-

3y -

2=)

diJ

25e2)

+ .1'2)

7(x

+

3y

+

5e)2 = (4a 2xy

a

-

+

b -

7(x

y) -

-

5e)(4o y) -

-

+

5e)

15.

8

8 = (x -


b

a)

b) y

+

8)(x

-

y -

1)

e)

DESCOMPOSICION 2

d)

a

e)

m

- 8ab - 2ae

+

16b2

+

15e2 = (a2 - 8ab

8be -

= (a 4

4

m3 - mn" - n3

+

n

-

+

EN FACTORES

+

33

16b2) _ (2ae _ 8be) _ 15e2

4W - 2e(a - 4b) -

15e2 = (a - 4b - 5e)(a - 4b

m3n = (m4 _ mn3)

+

(m3n _ n4)

+

(m3 _ n3)

= m(m3 - n3)

+

n(m3 _ n3)

+

(m3 _ n3)

3

3

= (m

+

- n )(m

n

+

1) = (m - n)(m2

+

+

mn

n2)(m

+

n

+

+

3e)

1)

MAXIMO COMUN DIVISOR y MINIMO COMUN MULTIPLO 12.

a)

32x4y2,

=

9x4y2

=

M.C.D. b)

=

48,3(4

54~(6

=

=

=

6x - 6y

2· 3,2(2

y4 -

16

=

M.C.D. e)

3' 52 (x

+

+

(y2

4)(y

= y -

+

2,

=

=

2· 33,2(6,

36x4y3

=

60,4(2

=

M.C.M.

6,2(2,

=

22• 32x4y3

22• 3 • 5,4(2

24• 33• 5,4(6

22 (x2 _ y2)

=

=

=

22 (x

2160,4(6

+

y)(x _ y)

M.C.M. = 22 • 3(x + y)(x - y) 2)(y - 2),

M.C.M.

3y)2 (2x - y)4,

M.C.D.

=

4x2 - 4y2

2· 3(x - y),

M.C.D. = 2(x - y), d)

22• 3X3y3

M.C.M.

24. 3,3(\

M.C.D. e)

=

12x3y3 3X3y2,

=

y2 - 4

+

= (y2

23. 32 • 5(x

+

4)(y

+

3· 5(x + 3y)2 (2x - y)2,

+

(y

2)(y _ 2),

y2 - 3y

+

2

=

(y _ I)(y _ 2)

2)(y - 2)(y _ 1)

3y)3 (2x _ y)2,

M.C.M.

=

23• 32•

+

22• 3 • 5(x 52

(x

+

3y)4 (2x _ y)5

3y)4 (2x _ y)5

PROBLEMAS PROPUESTOS Descomponer en factores. 13.

a)

3x2y4

+

6X3y3

h)

18x3y - 8xy3

b)

12s2(2

-

6SS(4

+

4S4(

i)

(2x

+

e)

2x2yz - 4xyz2

+

8xy2z3

j)

4(x

+

1 - a4

f)

64x - x3

1)

g) 8x4 - 128 14.

3y2 -

e)

4s4 í

+

4s3(2

e)

X3y3

12

r)

y2 _ 4y - 5

s)

x2 - 8xy

()

2z3

u)

15

i)

36z6

64

j)

_

24s2(3

12(x - y)2

+

+

9y2

+

16

12x2y2

+

3x Ily

+ +

8

1 6

g) 5m3 - 3m2 - 2m 6x2

h)

+

e)

8x4y

f)

m9

_

9xy3

6a2b2

+

+

7x

+

+

3b4

+

+

8(m2 _ n2)

+;

64xy4

IOz2 - 28z 2x - x2

+

I3z4

-

+

+

Z2

7(x - y) -

k) 4x2.+2 _ 4x"+2 _ 3x2

n9

g)

y6

+

1

h)

(x _ 2)3

i)

8x6


+

15y2

5xy - 6y2

d) 8z4 _ 27z7

27

+

x2

+

f)

b)

q)

4x3y

b)

+

3y)2 - 9(2x _ y)2

n)

2X2

x3 _ 1

+

x2y2 - 8xy

e)

y3

p)

(m2 - n2)2

m)

a4 - 20a2

a)

y)2 - (3y _ Z)2

12y

m" - 4m2 - 21

d) x2m+4 + 5x'"+4 _ 50x4 15.

4 -

a)

-

3a4

k) x2 + 4x + 4

d) 4y2 - 100 e)

o)

+

+

(y

+

7x3 _ 1

1)3

12

16

DESCOMPOSICION

34 16.

a)

xy

+

3y -

h)

Lpr - po5 + 6qr -

17.

a)

ZS

18.

a)

z· + 64

b)

+

1

+

4x.

+

3x2y2

+

x'

y4

y el M.C.M.

Hallar el M.C.O. a)

16y2z·,

b)

9r3052(S.

e)

x2 -

d)

6y)

ax -

S

32 -

e)

32y'

+

d)

m2 _ 4p2

-

+

x2

+

y2 _ 4z2

de los polinomios

m'" _

+ 16 + 4mn +

12x4

x'

y3

z7

f)

m3 _ mn2

1

+

+

3xz

-

1-

e)

4n2

2xy

2z6

e)

b

d)

U

e)

g)

19.

bx -

d) x3 _ xy2 _ x2y

3qo5

b)

+

ax'

e)

6

2x -

EN FACTORES

+ Z4 + m2n

2z3

+ m2

_ n.l

-

/l"

Z7

4 - a2 - 9h2

e)

6ab

+

f)

9x2

_ X2)'2

+

+

4y2

12xy

3yz

siguientes:

24y3z2

+

3xy

+

21,s52

12,2S·(3,

4x2 -

2y2,

12y2z.

6y2 -

+

16xy

24z2.

16y2

4y2 -

24z2

4yz -

FI SOLUCIONES 13.

a)

3x2y)

e)

(1

15.

16.

17.

18.

19.

+

(y

+

a2)(1

+

/¡)

2xy(3x

k)

(x

p)

(m2 _ n2

1)

14.

DE LOS

+

PROBLEMAS

2x)

h)

+

a)

a)(1 -

2y)(3x

-

2)2

+

a)

(m2 -

7)(m2

d)

x· (x"

-

q)

¡¡)

m(5m

+

j)

(4x

-

+

2)(m

4y -

3)

i)

(2x

+

h)

e) h)

-

+

3y

(xy

+

3)(x

+

(a

10)

3)(3x

m)

-

+

+

(2x

4)

g) -

2xyz(x 8(x2

+

2y

4)2

4)

2)(a

(2x

-

e)

(y -

2z 4)(x

+

xy(2x

+

5)(y

+

4yz2)

+

j)

z)

n)

r]

-

+

(8x

-

+

3y)(9y

-

o)

3(a2

3y)2

1)

s)

-

(x -

3y)(x

2)(a

+

I)(x

+

4)(a

4)

-

31)(05

+

2()

+

1)(3z -

4S21(5 -

e)

f)

1)

(3y -

2)(y

+

Z2 (22 3)

3y)(3x - 2y) i) x2 (2x· + 1)(2x· -

k)

-

1)(2z -

1)(3z

f)

(m -

h)

(x

+

y -

3y + 9) h) (x - l)(x2 + X + 1) e) (x)' + 2)(X2y2 - 2x)' + 4) + 6z + 9z2) e) 8xy(x - 2y)(x2 + 2x)' + 4y2) + mn + n2)(m6 + m3,,3 + n6) g) (y2 + 1)(y4 - )'2 + 1) 1 )(x2 - xy + y2 - 5x + 4y + 7) i) (2x - 1)(4x2 + 2x + I)(x + 1)(x2 -

a)

(x

+

3)(y

-

e)

z'(z-2)(z+I)(z2-z+l)

a)

(2

e)

(2-u)(16+8u+4//2+2u'+u4)

el

(1 -

a)

(z2+4z+8)(Z2_4z+8)

ti)

(m + 2"

If)

(x

a)

M.C.O. M.C.D. M.C.O. M.C.O. M.C.O.

b) e) ti) e)

5y)

3)

(y

+

u

b2¡I

+

z· (2 -

+

5)

4x)

a)

3)(y2

5)(y -

2)

d)

+

+

4(y

d)

2)(x

+ x)

(5 - x)(3

1)

-

x(8

(x

u)

+

+ 2052) + x)(8 - x) + 4y - z)(2x

353(3

-

f)

(2 - 3y)2

4)2

5)(x"'

2S2((6(

2y)

1)

+ 7l(z - 2)

2z(z

PROPUESTOS

1)

-

3z)(4 n)(m2

2)

hj

+

+

z

+

+

Z2 -

+

+

= 2'/Z2

Z

+

1)

+

Z3

+

2n -

Z4

2p)

Z5

+

(ax

b)(x

-

d)

1)

(x -

.1')2 (x

+

+

1)

y)

(m+n)(m-n)(m+n+l) h)

+

e)

3q)

(x

d)

Z2

2p)(m

y + 4zJ(x

+

+

2y)(x4

2x3y

-

+

4x2y2

-

+

8xy'

16y4)

(m+l)(m4_m3+m2_m+l)(m_l)(m4+m3+m2+m+l)

Z6)

h)

(2x2

el

(2

+ xy + y2)(2x2

+

a -

=

24• 3Y)Z4

3b)(2

- xy

+

-

a

=

48y3=4

+ y2)

e)

f)

3b)

+ 2X2 - 4)(x4 + xy + 2)')(3.\

(x4 (3x

-

2X2

- xy

-

4)

+

2y)

SI

Y - z) = 8),2Z2.

= 3,.2S2. = x -

+ f)

J )(Z4 - z' z)(I

(2, - s)(p

X

2)'.

= 2(y

+

2z),

= xIx

-

1).

M.C.M. M.C.M. M.C.M. M.C.M. M.C.M.

= 252,.5S41' = 4(x -

y)(x

= 12y2 (y = x) (x

+

+

-

2y)2

2z)(y

I)(x

-

-

2z)lv

l)(x2


+

-

3z)

J)(x2

+

X

+

1)

TF

xy

CAPITULO CAPITULO 5

Fracciones Fracciones

FRACCION ALGEBRAICA expresión que que se puede puede escribir escribir como como cociencocienFRACCION ALGEBRAICA RACIONAL. RACIONAL. Es una una expresión te de polinomios PIQ polinomio P es el numerador numerador y Q el denominador denominador de de dos dos polinomios PIQ. . El polinomio de la fracción fracción. .

x

Por ejemplo, Por ejemplo, ~.2 2

5)(y - 5)

3x - 4 x33 + 2y22 x4 _ _ 3xy + 2 33 son fracciones algebraicas racionales. _ 6x-+8' 6x-+8 y x4 y son fracciones algebraicas racionales.

LAS para el cálculo fracciones algebraicas mismas que LAS REGLAS REGLAS para cálculo con con fracciones algebraicas son son las mismas que las correspondientes correspondientes de Una de valor de una fracción no se altera de las las fracciones fracciones en aritmética. aritmética. Una de las fundamentales fundamentales es: es: El valor de una fracción no altera si se multiplican, multiplican, o dividen numerador y el denominador por una una misma misma cantidad, dividen, , el numerador denominador por cantidad, siempre siempre que que ésta ésta sea sea distinta distinta de de cero. cero. En En estas estas condiciones condiciones las las fracciones fracciones se llaman llaman equivalentes. equivalentes. Por ejemplo, multiplica el numerador numerador y denominador de ~ ~~ por por (x - 1), se obtiePor ejemplo, si se multiplica denominador de :: ~ obtie2 ., . Il (x + 2 )(x )(x - 1) ( d xX2 + X - 2 . ne Ila f raccion racclOn eqUlva X2 _ _ 4x 4x + equiva ente ente (x _ 3)(x 3 )(x _ 1) = = x2 + 3 siempre siempre que que x - 1) sea· sea istinto istinto de

cero, es decir, decir, x cero,

1=

1. 1.

=1=

Análogamente, la fracción Análogarnente, fracción 1)

2 + 3x + 2 X2 (x 2)(x + x + +2 (x + + 2)(x + 1) 1) 3 se puede puede expresar por ( 3)( 1) Y dividir, 2 4 expresar por dividir, x+ x+ x + x+ x+ x+ x+

entonces, numerador y denominador por (x entonces, su numerador denominador por bien, bien, x

1=

=1=

1, obteniéndose obteniéndose x

+

x+ x+

+

1), siempre siempre que que (x

+

1) sea sea distinto distinto de de cero, cero, o

23' La por un un factor numerador 23' La operación operación de de dividir dividir por factor común común al numerador

y denominador recibe el nombre nombre de simplificación y se indica tachando el término término común; por denominador recibe de simplificación indica tachando común; por (x+2)(~) (x+2)(~)

. '+m+

1)

-2x'-4) -

x)'

+

2)')

ejemplo, ejemplo, (x (x

(x+2) (x+2) = = (x (x + 3)" 3)'

+ 3)(~) 3)(~)

SIMPLIFICAR una fracción transformarla en otra numerador y denominador SIMPLIFICAR una fracción es transformarla otra equivalente equivalente cuyo cuyo numerador denominador no tengan más más factores comunes que unidad , ± ± 1.l. La resulta es irreducible. no tengan factores comunes que la unidad, La fracción fracción que que resulta irreducible. Esta Esta reducción \leva a cabo en numerador y el denominador, simplificanreducción se lleva cabo descomponiendo descomponiendo en factores factores el numerador denominador, simplificando, los sean distintos do, seguidamente, seguidamente, los factores factores comunes comunes siempre siempre que que sean distintos de de cero. cero. ..

Por Por ejemplo, ejemplo,

xX22 -- 4xy x

2

+

- y

2

3y2 3y2

(x (x

3y)(x.---y) 3y)(x.---y)

+ y)(.x--:r) y )(.x--:r)

x - 3y 3y x +y

siempre y) siempre que que (x - y)

1= O O

=1=

TRES una fracción al numerador, numerador, el del TRES SIGNOS SIGNOS están están asociados asociados a una fracción: : el correspondiente correspondiente del denomidenominador pueden alterar sin nador y el de de la fracción fracción. . Se pueden alterar dos dos cualesquiera cualesquiera de de ellos, ellos, simultáneamente, simultáneamente, sin que que varíe de la fracción fracción. . Si a una fracción no antepone signo signo alguno, alguno, se sobrentiende sobrentiende que que varíe el valor valor de una fracción no se le antepone éste es positivo (más). éste positivo (más). 35


36

FRACCIONES FRACCIONES

-a -a

Ejemplos.

b b =

a -b -b

a

= - b'

-a -a -b -b

a

-a -a -(-b) -(-b)

= b'

=

co

EL

a bb

der

Muchas Muchas veces la simplificación consiste en un cambio cambio de signo. Por Por ejemplo, 2 Xl - ..".-_3_x_+_2 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) _x_ 1) --;;-2--2 2 - xx 2 -- xx

=

(x - 2)(x - 1) -(x 2) - (x -- 2)

= x_-_l x_-_l =

1_ x

-1 -1

LA SUMA SUMA ALGEBRAICA ALGEBRAICA DE FRACCIONES FRACCIONES que tienen el mismo denominador es otra otra fracción cuyo numerador numerador es la suma algebraica algebraica de los numeradores numeradores de las fracciones dadas, dadas, y cuyo denominador minador es el denominador denominador común. común. Ejemplos.

3

4

2

1

5-5-5+5=

2 3x + 4 -x---3 - -x---3-x---3-x---3

3 - 4 - 2 5

+1

-2

UNA F en 1)

2)

2

=T=-5

Xl 2 - (3x + 4) + (Xl x2 + 5 (x2 + 5) + -x---3 -x---3 == ---'.--x----'-----,3~--'--...:. ----''---x---'---;;3:-'-----'-

3x + 3 x-3 x-3

Xl x2 --

PARA PARA SUMAR SUMAR Y RESTAR RESTAR FRACCIONES FRACCIONES de distinto denominador, denominador, se transforman transforman éstas en otras otras equivalentes equivalentes que tengan tengan un denominador denominador común. El denominador denominador común común mínimo mínimo (D.C.M.) (D.C.M.) de varias fracciones es el mínimo mínimo común común múltiplo múltiplo (M.C.M.) de sus denominadores. denominadores. (M.C.M.) Por ejemplo, el D.C.M. D.C.M. de Por

i,~,

~, ~,

77 M.C.M. de 4, 5, 10 10 que es 20, y 10 0es es el M.C.M.

2 3 x el D.C.M. D.C.M. de ?' 2:i 2J( 7 "1 es 14x2l 3

Ejemplos.

2

x

3

?? -- 2x

7"1 ==

-

+1 + 2)

2x x(x x(x

2(14) - 3(7x) - x(2x x(2x22) ) 14x 22

13 13 20

e)

-

f)

-

g)

-

h)

-

28 -- 21x - 2XX33 14x2l

(2x + 1)(x - 1) - 3x x(x + 2)(x - 1) x(x

3 (x+2)(x-l) (x+2)(x-l)

1. a)

b)

15 16 16 14 14 15 15 - 16 16 + 14 14 7 15 10 == 20 - 20 + 20 == 10 20

4

¡¡ -- "55 +

REDUO

2X2 2X2

x(x x(x

+

4x - 11 2)(x - 1)

PRODUCTO de dos o más fracciones es otra otra fracción cuyo numerador numerador es el producto producto de los EL PRODUCTO numeradores, y cuyo denominador denominador es el producto producto de los denominadores. denominadores. numeradores, . Ejemplos.

2

4

~3". "55 . xX22

15 22· . 4 . 15 15 15 16 = 33 .. 55 .. 16 16 16

xX22

-

9

-

6x

+

1

2"2"

x - 5 (x + 3)(x 3 )(x - 3) x - 5 5 . x + 3 == (x - 5)(x - 1) . xx + 33 = =

(x--r3)(x - 3)(~) 3)(~) x - 3 (.v-r3)(x (.x.---5)(x - 11)(..v-rJ) (x---S")(x )(~) == x - 1


i)

j)

-

FRACCIONES

37

EL COCIENTE de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción dividendo (o fracción numerador) por el recíproco de la fracción divisor (o fracción denominador). Ejemplos.

~

7

n

o-

5 - 10

xy

+

x

-t-

+

(x

2 -

7 x + 2 7 2)(x - 2) . -x-y- = xy(x - 2)

UNA FRACCION COMPUESTA es aquella que tiene una o más fracciones en el numerador o en el denominador. Para simplificarla: 1) Se reducen el numerador y denominador a fracciones simples. 2) Se dividen las dos fracciones que resultan. x2

1

xEjemplo.

--=

x

1

-

--xx2 ---=---' x+l x

1 1 +x

1

x2 x+l

X

1

x-l

--=---=

x+l

x

PROBLEMAS RESUELTOS

en lo

5/4 - 8

.

Xl"'=-¡

-1.

3/8 _ ~ . ~

o

-i- ~

REDUCCION

1.

a)

b)

DE FRACCIONES

15x2

3'5'x'x

5x

12xy

3'4'x'Y

4y

4x2y 2'2'x'x'Y 18xy3 = 2·9·x·y·y2

2x =

(x (y -

h)

i)

r3s

+

(8xy 8x3y

X2n+

j)

3r2s + 9/'s 3 r - 27

+

x"+3

4y2)2

+

1 _

y4

X2/1y

_ x"y3

8x -

d)

9j?

3y)(x

-

x)(y

+

(x -

y)

3x(~)

3

2xy(~)

2y

rs(/,2

+

3r

+

rs(r2

9)

r3 _ 33

(4y[2x y(8x3

+ y]J2 + y3)

X2"(X -

(r -

16y2

+

y(2x

x"(X -

Y)(X2

+

-

_ x -

3y = 3y -:-~

y+x

3r

+

9)

+

3r

+

9)

+

y2)

(2.-.: +

y)(4x2

X2"(X -

y)

X"(X3 _ y3)

+

3)(r2

y+x

rs

r -

y)'

3

16y(2x

2xy

x"

+

y2)

X2

+

4x2 _ 2xy

y) xy

8(x..--y)

8y

16(x--rJ

+ x)

y)

-

b

16y

16x -

3y)(x..--y)

(.:L--)')(y

x)

2a

_7a2b4e2

2xy(y - 2x)

3x(2x

os

14a3b3e2

e)

+

xy

+

y2


y)

+

y2

1

2

(siendo x - y

,¡ O)

38 38

. FRACCIONES FRACC IONES

SUMA

MUL T1PLICACION DE DE FRACCIONES FRACCIONES MULTIPLlCACION 99

x,x~ - - 11

(x(x + 11 )(x )(x - - 1)1)

99

=

b)b) 3x + 3'-63(x + 1)' 3x+3'-6-=3(x+I)'

2xy 2x)'

2 - - 44 xX2

e) e)

~2 ' x --:ry2

X2 2 __

+

2)

(x+2)(x-2) (x 2)(x -

4

4x + +4 4x

xy2 xy2

+

6 6

xx - - 11

4.

a)

==-2-2-

b)

+

2) •. (x(x - - 2¡> 2)2 = = y(x y(x -- 2) 2) 2xy 2xy

2(x+2) 2(x

e) 6x -- 12 12 y2 -- 11 6x y2 2 ti) ~y ~y ++ 4x' 4x ' 22 __ 3x 3x + + xX2 ti)

6(x 6(x -- 2) 2) .• (y(y ++ I)(r l)(r -- 1) 1)

4x(y 4x(y + + 1)1) (2(2 -- x)(1 x)(I -- x) x)

g)

ax ax e)) ((

++ ab ab + + ex ex + + be be 2 __ xX2 2 aa2

e

.)(

)( 2

xX2

++ aa22 )p= '= ++ (b(b ++ a)x a)x + + ab ab

2 -- 2ax xX2 2ax

(a (a

(a (a

L

3(y-1) 3(y - 1) = 3(y-1) 3(y 2x(1 2x(l -- x)x) = 2x(x 2x(x --

6(~)(~1)()' 6(~)(.lYV1)()' -- 1) 1)

4x{)l--n)(~)(1 4x()l--Y1)(~)(1 -- x) x)

1

1)1)

h)

++ e)(x (x e)(x + + b)b) . -'-----:--,-, (x -- a)(x a)(x -- a) a) . -:------:-:--------;-; ++ x)x) (x(x ++ a)(x a)(x + + b)b)

i)

(a (a -- x)(a x)(a

+ e)(x e)(x + + b)b) .. (x(x -- a)(x a)(x -- a) a) + + x)x) (x(x ++ a)(x a)(x + + b)b)

(a (a

++ e){x e)(x -- a) a) (x (x

(x (x -- a){a a)(a

(a (a

+ a)2 a)2

++ e)(a e)(a -- x) x) (x (x + + a)2 a)2

j)

k)

1)

DIVISION DE DE FRACCIONES FRACCIONES DIVISION

3. 3. a) a)

5

3

5 11 11

55

3x 3x

¡4 ~~ 11 = ¡4'. "3 = 12 11 = 3 = 12

2 6x 6X2

3x 3x

4

e) e)

2 6x = 2" ~4 ~4 = =2 2"'.6X2 = :; ~

d) d)

IOxy2 . 5xy 5xy IOxy2 10xy2 IO xy 2 ---~-=--'-=4yz -""" - 33 = - - ' 3z 6z 3z 3z 6z

m)

2

6z33 2 6z 2 = 4yz 5xy 5xy

n) x

+ 2xy 2xy

+

2y 2y

11

x

+ 2xy 2xy

6x 6x

e)

--~ -- ----'-_.----'---=---.---=

f) f)

99 -- X2 xx33 -- 2X2 x2 2X2 -- 3x 3x 4 + 6x3 6x3""""" X2 x2 + + 7x 7x + + 66 xx4 +

3X2 3x2

..

6x 6x

-

3X2 3x2

2y 2y

+

11 -

x(l x(1

+ 2y) 6x 2y) 6x · ----2

3X2 3x2

,---=2 (2y (2y + 1) 1) -

X2 x2 + + 7x 7x + + 66 3 3 6x3 • xx 3 -- 2X2 2X2 -- 3x 3x 6x

99 -- X2 x2 xx44

++

FRACC

(3-x)(3+x) (x+l)(x+6) (3 - x)(3 + x) . (x + 1)(x + 6) 33+x +X (x + + 6) 6) • xIx x(x -- 3)(x 3)(x + + 1)1) = -- ~ ~ xx33 (x

5.

g) g)

2X2 2X2 -- 5x 5x 22

X2 x2 -- 5x 5x

h)

++ 22

xx -- JJ 33

x2

+

33

a)

33

2 (2x2 -- 5x 5x (2x -- 1I)(x 2) 3(x -- 2) 2) ==(2x ++ 2)2)'--• - - - ==(2x )(x -- 2) •.-- - ==3(x 2x -- 11 2x -- 11 2.-.: 2x

d)

++ 66

Tx - 8

99-- X2 x2

x2 -- 5x 5x ++ 66 64 64 -- X2 x2 X2 x2 X2

Tx - ++ 7x

(x -- 3)(x 3)(x -- 2) 2) . . (8(8 -- x)(8 x)(8 (x

x2 == (x (x ++ 8)(x 8)(x - - 1) 1) (3(3 -- x)(3 x)(3 88'• 99 - - X2

64 - x2


++ x)x) ++ x)x)

(x -- 2)(8 2)(8 -- x) x) (x (x -- 1)(3 1)(3 (x

++ x)x)

e)

FRACCIONES SUMA

Y RESTA

DE FRACCIONES

x-I

3t2

5x

--4-2--

g)

5 3 2x - 4x2

=

h)

3a be

2b

j)

---= 5 15

e)

-+-=--

5 - 2t

~ __

+

5 - x

+

5 k)

+

3

3x(x

5

-2s+4

+

+

3

9t -

=

1) - 2x2

lO 5(x2 x2 _ 9 = .

s2+3s+2

+

+

3(y

+

= x2 +

3x -

+

6

12x -

16

-

3)

+

lO =

2) - 2(y - 2) - Y y2 - 4

s

= ---

s2-s-2

2x - 5

--6x2 -

(3x -

5

+ 4(x)

3(3y)

+

6

+

3x2 8x2

+

6)(6)(x

+

1) -

+

40x

3

+

(2x -

5(x2 - X x2 - 9

32

5)(4)(x

+ 4)(x

-

4)

lO

=

4

y2 -

s

+ -----,--(s-2)(s+l)

+ s(2)(s +

2) - 3(2)(s - 2)

+

+

2)(s

4(x

l)(s

-

6

3x =

2 1)

+

(s+I)(s+2)

I)(s -

7

+ 4)(x

-

1)

+ 4) + (3x2 + I)(x + 1)

2x - 5

-

---

+

2(s

6(x

+

I)(x

3)(3)(x

-

1)

1)

-

5 3

8

x-y

4

5

6+6

+2 I)(s -

24(x

= --

3

8

-

lO

=

5/6

9

8

= - = -" - = 3 6 3 -

a-b

4

f)

---;;-::¡; =

g)

--

2 a -

6 10" 5

1 b "a -

=

(a -

8

x+y

60

=- = 5

2 b

x

x+y

2a

a

=

x

2a"--

+ a

x+1


1

=

2)

1)

+ x2 - 21x + 35 + 4)(x - I)(x + 1)

9x3

2

9

"6

=3T"x-y=3x(x-y)

x

7s

+

3x2 + 3 + ::-:--~--:-:8(x + 4)(~ +

x+y

3T e)

2)(s

COMPUESTAS

"3+6 d)

7s2 -

2)

2)

e)

2

+ 4x

9y

=hY

3xy

3

-

2(s+2)

24(x

FRACCIONES

xy

+

5x

x2 (x

9) - 5(x x2 _ 9

=

1)

2(s

4x2

y+x

5t + = 30

lO - 4t

30

+

2(x

+

1)

5(s

n)

3

2b2

(5 - 2t)2

x2 (x

3

-

4

3)'

15

3

30

3 2 Y 1) Y _ 2 - Y + 2 - y2 - 4

m)

+

1)3

x2

1

3

x

=-=-

abe

=

+~ =

2_ x

+

3a2 =

(3t -

1

y

-+ -=

f)

10x -

1

x

t2

5t2

4t2 (1)

15

=~

2b(b)

abe

+ -1-5-

x

a)2

+

3a(a)

1

3t -

17x

= 42

- 3(1) 4x2

5(2x)

+ -;;;;=

10

+

5x(2)

6 + 2t =

i)

)(a - x)

+

x(7)

e)

3t2 (3) -

4t2

d)

2

x

39

2(x + 1)

W

12

FRACCIONES

40

+b a -----a - b a + a h)

b b

---;;=Tl+a+b

x+h-3

W -

W

(a -

(x

+

2

+-

l'

~~

=

3y

Y + --Y + --

1---

+b

7

2b = a - b

h - 3)(x - 3)

-2

h

(x

+

h -

3)(x -

3)

2

=

y+2

y-2

+

a b) . ~

-2h

+

(x

h - 3)(x - 3) h

+ --'

k)

4ab (a - b)(a

2(x - 3) - 2(x + h - 3) 3

h

3v -

4ab

(a - b)(a + b) (a - b)(a + b) = ~(a-+--:-b'---) -+---'(-a---b:-:-)2a a s- b a + b

x -

1 j)

+

2

2 i)

(a

3y

Y

+

2 Y - 2

Y

y+2

+ (--)(--)

=

y - 2

+ --

3y

Y

3y2

+y

8.

- 2

= -'-_-c-_ Y

y-2

1

1 1--x+l

x

x

1

1+-

x+l-x

x x + 1

\---

9.

1 =-\-=x+l

x+l

x+l

10. a

1)

a a + b

a-b+--

a

b

b

a

a

a + b a - b + a2 _ b2

b

a-

a

abra + b) (a + b)(a - b)

+

(a-

b)+--

ab a - b

ab a

ara - b)

a

a2-ab+b2

W + ab ----(a -

a-b

m)

\ -

=

----,--

23 __ 2a_-_l

1 - -------,---21 3(2a + 1) - (2a -

2a+l

= 1)

1 1 - ----,,-----,2_2a+l 4a + 4

2a+1

=1-

11.

1 2(4a + 4) - (2a + 1)

=

1 _ 4a + 4 6a + 7

=

6a + 7 - (4a + 4) 6a + 7

=

2a + 3 6a + 7

4a + 4

PROBLEMAS PROPUESTOS Comprobar

que:

d)

e)

e)

5a2 - 10ab a _ 2b = 5a

f)

4x2 - 16 4(x x2 _ 2x = --x-

y2 - 5y 4_y2

+

+

2)

x(x

a(x

6 = 3 - y y+2

(x2 + 4X)2 x2+6x+8

x2 (x

+

4)

x+2


i)

3a2 2b4 4b3· 9a3

b

= ~

+ +

2a) 3a)

41 41

FRACCIONES FRACCIONES

7.

a)

8xyz2 9xy2z 6y 3x3y2Z· 4xzs = X2Z3

b)

xy2 x2 _ y2 X +Y 2x _ 2y· X3y2 = 2x2

e)

X2 x2 + 3x 3x 2x 2x22 + 2x 2x xX22 - 4x 4x 4x2 _ 4· x2 x2 4X2 X2 _ 99· X2

2 -_ 4y2 2y 2 -- 2 xX2 4y2 2y2 • ::--.;---'--------. ----=--=----~ 3xy 2y2 + xy xy - xX22 3xy + 3x 3x 2y2

d)

+3

1 2

e)

y2 _ yy _ 6 y2 + 3y - 4 y2 _ 2y 1· 9y 9y _ y3 2y + 1·

f)

t33 + 3t22 + t + 3 8 - t33 (t 4t2 _ 16t + 16 . t33 + t == 2 _ 4y2 xX2 e)

y2 _ 3y 3y 2

9. 9. a) a) 6X2 6x - x - 22 = = (2x (2x 3x - 2 3x 2 2x + 1 2x

+

1)2

1

x

1

--+-----=-- +x-2 - - -xx2_4 - =xx2-4 22x+2 x-2 x+2 _4 -4 ,

+2

3 8 3 - 16y 22y2-y=~ y 2 -y=~

) g g)

2X2

y2 =-2

x

x+y x+y -1-1 -1 = xy xy 11. a) -1

h)

a -,----:-:--~ .,.--.,-,---:-:+ a)(a - b) b) (e - a)(a

d) d)

x

e)

+ X = X2

2y Yy + -y---2 -y---2 -----.:...-4:-- = = yy e) ----=---4,1+-1 +-y2 _ 4

e) e)

= 3(, 6= 3(,

+ 22

+ xy2 xy2

x-y x-y

x+y x+y

=~ =~

x-y x-y

12 ,2 + 4, + 12 3)(, - 2)(, + 3)(, 2)(, + 1)

b b)(b - e) (a - b)(b

+

x+1 x-1 x+1 x-1 ----x+1 x-1 x-1 11

x+1 11

f) f)

=2 = 2

2 2 = 2x 2 - -----::---= 2X22 21 __ 2_ 1 _ _2_


2. X2 x2

3X2 xy 3x2 + xy + y)(2x y)(2x - y)(x y)(x + y) y)

e

x ---:-1-=x+y 1 =x+y 1--1 --x +1 +y

2-~ 2 -

= (2x (2x

e)(e - a) a) (b - c)(c

x+1+x-1 x+1+x-1

2+1 2X2

3) 7)

x - y + Y xx _ x-y y 3xy + y2 - y2 _ 4X2 4x2 + 2X2 + xy + 3xy xy -_ y2

-+-+y x Y

b)

+ +

1

e)

x

y(x - 2y) 2y) y(x = x(x 3y) = x(x - 3y)

x

e) e)

,r - 1

x-1

+ xy xy

99 _ _ y2

3, ,2 + , _ 6 - ,2 + 4,4, + 3 + 3,

x

4t(2 - t) 4t(2

ry

f)

--+---1 2

3)(t2 + 2t + 3)(r 2t + 4) 4)

ry l)(y (y - 1)(y (y - 2)(y 2)(y

4 5 3x - 4x = 12x

X+y2

y2

+ 2y)(y 2y)(y - 1) 3x(x + y) 3x(x y)

2)(y + 4) (y + 2)(y y(y 1)(y + 3) y(y - 1)(y

2 - xy xy - 6y2 xX2

+ + xy xy +

b)

d)

+ 20) + 3a)

x2 X2

+2

y2 + 4y 4y - 21 21 4 _ 4y 4y + y2

b) b)

2(x 2(x

= =

O O

pon

d

CAPITULO 6 CAPITULO

Potenciación Potenciación y radicación pon

p POTENCIA POTENCIA DE DE EXPONENTE EXPONENTE POSITIVO. POSITIVO. Si nn es un un entero entero positivo, positivo, a" representa representa el producto producto de de n factores factores iguales iguales a a. Así, Así, pues, pues, a44 = = a • a . a • a. En En la la expresión expresión a", a recibe recibe el nombre nombre de de base base y n el de de exponente exponente o índice índice de de la la potencia. potencia. a" se lee «potencia «potencia enésima enésima de de a», a», o bien bien «a a la m). Si n = = 2, a22 se lee «a al cuadrado»; cuadrado»; a33 se lee «a al cubo». cubo».

x33 =

Ejemplos. Ejemplos.

255

X·X·X, X·X·X,

= 2'2'2'2'2 2'2'2'2'2 = =

=

POTENCIA POTENCIA DE DE EXPONENTE EXPONENTE ENTERO ENTERO NEGATIVO. NEGATIVO. finición finición a

22

Ejemplos. Ejemplos.

RADICACION. RADICACION. sima de sima de b. por por

-4 -4

II

= = 24 24 = =

II

16' 16'

_" _"

Si n es un un entero entero positivo, positivo, por por dede-

1

a"

II

POTE suponiendo a 9= O. suponiendo

=-=

-3 -3 = 333 ="7 ="7 - ,,

(-w = (-3)(-3)(-3) (-3)(-3)(-3) = -27 -27 (-w

32, 32,

-4x -4x

-2 -2

-4

= -2' = 2'

son tales Si n es un un entero entero positivo positivo y a y bb son tales que que a"

= = b, por por definición, definición,

solamente hay hay un Si b es positivo, positivo, solamente un número número positivo positivo tal tal que que a" y recibe recibe el nombre nombre de de la la raíz raíz enésima enésima principal principal de de b.

jb fi

Ejemplo Ejemplo 1.

1

(a+b)-¡ (a+b)-l

(a

X

+

b) b)

a es la raíz raíz enéené-

= = b. Dicho Dicho número número se representa representa

116 es un 116 un número número positivo positivo que, que, elevado elevado a la cuarta cuarta potencia, potencia, da da lugar lugar al núnú-

mero 16. Es +2 y, por mero 16. Es evidente evidente que que dicho dicho número número es +2 por tanto, tanto, ~~ == +2. +2. Ejemplo 16.En Ejemplo 2. El número número - 2 elevado elevado a la cuarta cuarta potencia potencia también también da da lugar lugar a 16. En estas estas concondiciones, una raíz raíz cuarta cuarta de de 16, pues pues no no es la raíz raíz cuarta cuarta principal principal de de 16. diciones, - 2 es una

Si bb es negativo, negativo, no no existe existe una una raíz raíz enésima enésima positiva positiva de de b, pero pero sí existe existe una una raíz raíz enésima enésima neganegativa siempre que sea impar. que n sea impar. Este Este número número negativo negativo recibe recibe el nombre nombre de raíz raíz enésima enésima principal principal tiva de de h siempre de representa por por de b y se representa

jb. fi.

1-27 es un -27. 1-27 un número número que, que, elevado elevado al cubo cubo (o tercera tercera potencia), potencia), da da lugar lugar a -27. 27 Se ve fácilmente fácilmente que que dicho dicho número número es - 3 y, por por tanto, tanto, 27 = = - 3 es la raíz raíz cúbica cúbica prinprincipal - 27. cipal de de -27. Ejemplo Ejemplo 3.

1-

Ejemplo Siempre que sea par, 1-16, la raíz Ejemplo 4. Siempre que n sea par, por por ejemplo, ejemplo, 1-16, raíz enésima enésima principal principal no no se puede puede representar representar por por medio medio de de un un número número real. real. Nota. Nota.

a"

= = b, b

En superiores se demuestra En matemáticas matemáticas superiores demuestra que que hay hay exactamente exactamente n valores valores tales tales que que

9= O, siempre siempre que que se introduzcan introduzcan los los números números imaginarios imaginarios (o complejos). complejos). 42


PROP ri

43 43

POTENCIACION yy RADlCACION RADICACION POTENCIACION

Si m m yy nn son son enteros enteros positivos, positivos, por por Si

DE EXPONENTE EXPONENTE FRACCIONARIO POSITIVO. POTENCIA DE POTENCIA FRACCIONARIO POSITIVO. definición definición

.y;;;

ami" =

Ejemplos. Ejemplos.

443/2 =

J43 = J64 = 8,8,

~ ~

(suprimiendo aa (suprimiendo

13 = {/(27)2 (27)2/3 -1(27)2 (27)2

O sisi nn es es par) par) O

= 99

Si m y n son son enteros enteros positivos, positivos, Si

POTENCIA DE EXPONENTE EXPONENTE FRACCIONARIO NEGATIVO. POTENCIA DE FRACCIONARIO NEGATIVO. por definición definición por

o aa Ejemplos.

88-2/3 - 2/3

=

_1_ _1_

8822//33

=

_1_ _1_

.fi2 ,ygz

=

-m/n -mi" _ _l_ 1 m/n -= aami"

_1_ _1_

164 .,y64

!!

=

=

= _1_ _1_ _1_ =

X-5/25 / 2 = X-

4'

P P

552 2 X //

ePOTENCIA DE EXPONENTE EXPONENTE CERO. POTENCIA DE CERO.

Ejemplos Ejemplos

10° = 1,

O Por definición, definición, aaO = 1 si a=l= a4: O. O. Por =

(_3)° (_3)° = 1,1,

(ax)o

=

1 (si ax

PROPIEDADES GENERALES DE LA POTENCIACION. POTENCIACION. PROPIEDADES GENERALES DE rifica rifica

4:

O) =1= O)

son números números reales, reales, se veSi pp Y q son

A) a

Ejemplos.

23'22

25,

5-3'57

=

31/3•• 31/6 = 31/3+1/6 = 31/2 =

)3, J3,

=

23+2

=

5-3+7

=

21/2'25/2

54,

=

23

=

8

39• 3-2. 3-3 = 34 = 81

B) B) Ejemplos. Ejemplos.

(244 )3 )3 = = 212, 2 12 , (X (X55)-4 )-4

3)-3 (511//3)-3

= 5(1/3)(-3) 5(1 /3)(-3) = 55-1 1 = 1/5, 1/ 5, (a2/3)314 )(3/4) (a 2 / 3 )3 /4 = = d0<22/3/3)(3 /4) = = a1/2 al/2

= = X-20, x- 20 ,

a4:0 a =1= O

e) e) ·jempros. l E Ejemplos.

6

2;: -= 14(x (x (x (x

se

e

+ +

2266--4 4 --= 2222 -, -= 44, 13 15)4/3 15)4 15)5/6 = = (x

+

3 -2 3

-4

= 3- 2 - 4 = 3- 6

15)4/3-5/6 15)4/3- 5/6 = = (x (x

+

X

I 2 / _

x-I - X

'

1/2-(-1) _

-x

~ 15)1/2 15)1 /2 = = yX

+ 15 F+15

D) D) (3 a )- ~ --


r

2

a

1 -9(i2

- 2 _

3/2

POTENCIACION

44

y RADICACION

b=l=O

E) 2

eX" )-3

?

=

( 2)- 3 X

(y3)-3

=~

-6

y-9

9

=L X6

E

4.

PROBLEMAS RESUELTOS EXPONENTE

l.

a)

b)

23

=

ENTERO 2' 2 . 2

POSITIVO

=

d) (3y)2 (2y)3 = (3y)(3y)(2y)(2y)(2y)

8

(_3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3)

= 81

= 72y5

(_ 3xy2)3 = (_ 3xy2)( - 3xy2)( - 3xy2) = _27x3y6

e)

E

5. EXPONENTE

ENTERO

NEGATIVO 4 h) __ x-2y-2

e)

-4(4)

d)

-2b-

-2

2

1 = -2(b2)

-2

e)

1 = -4(42)

(-2b)

=

i)

3 -3 1 43 64 (4) = (3/4)3 = (3) = 27

J)

(~)-3 = _1_ = (~)3 = ~ y (X/y)3 X x3

b2

2

k)

(0,02)-1 = (1~)-1

1 4b2

1)

= -

= -

1 (_2b)2

=

= 4x2y2

1

4

ab-4 a' a2 a-2b = b'b4

= 1~ = 50

a3

b5 p

3

1 5 1 = 5(W) = 1000 = 200

f)

5' 10-

g)

_8_ = 8' 102 = 800 10-2

x2"+

m)

__

FRACCIONARIOS

3. a)

ft

(8)2/3 =

=~

=4

= X2n+lyl-311

y3.-1 (x -

EXPONENTES

1

6. 1)-2 (x

+ 3)-1 + 5)-3

n)

(2x - 4) 1 (x

b)

(_8)2/3 = .y(_8)2

(2x - 4)(x - (x -

1)2 (x

POSITIVOS


=~

=4

+ s¡J + 3)

POTENCIACION

d)

IT

=

(~)1/2

4.

a)

e)

1

(_8)-2/3 = --

_(_1)-3/5

V(_~)2=

(_~)213=

8

8

31I=~

~64

4

NEGATIVO

(8)-2/3 = _1- = _1_ = ~ 82/3 j82 4

= __

e)

(_1)-213 = _1_

= __ 1_

.y( _1)2

(-1)2/3

1

= ---

(_8)2/3

g)'

e)

y;

xl/3

b)

4S

1

= _1_

X-1/3

1

~16 = 4

16

EXPONENTE FRACCIONARIO

y RADlCACION

=-

.y(_8)2

1

-(n- 2/3 = --=-11 12/3

f)

4

1_= (_I)3/S

1_= 1(_1)3

__

= 1

1_=

_~= -1

FI

1

EXPONENTE CERO 5.

a)

7° = 1,

b)

(x -

e)

3xo = 3 • 1 = 3, si x

d)

(3x)0 = 1, si 3x

y)o = 1, si x -

i)

(3x)0 (4y)0

j)

-2(3x (5x

k)

(5x

(_3)° = 1,

+

=

*-

1• 1

(-2/3)°

y

*-

= 1

O

*- O

O, es decir,

=

1, si 3x

si x

'f.

+ 3y) 5x + ° = --- I + 3y)

3y

=

5x

+

4'10°

f)

(4' 10)° = (40)° = 1

g)

-(1)0 = -1

h)

(_1)0 = 1

O

O Y 4y

4)° = -2(1) = -2,

2y -

*-

e)

*-

si 3x

. 3y, SI 5x

O, es decir,

+ +

4

2y -

3y

*-

si x

*-

*-

= 4'1

O, Y

= 4

*-

O

O

O

PROPIEDADES GENERALES DE LA POTENCIACION 6.

a)

aP

•

a" = ap+q

g) 10"10-3=

b)

a3

•

aS = a3 + 5 = a8

11)

(4' 10-6)(2' 104) = 8· 104-6 = 8' 10-2

e)

34

•

3' = 39

i)

a": a)'. a-z =

d)

a"+ 1 • a"-2

j)

(Jx"+Y)(x

e)

X1/2

f)

XI/2. X-I/3 = XI/2-1/3 = .'(1/6

• xl/3

=

=

a2,.-1

x112

+

1/3

=

XS/6

10'-3 = 104

tr+Y-Z

+ y)

= (x

+ y)I/2 (x + y)1 =

(x

+ .1')3/2

k) 101.1. 102.6 = 104.3 1)

10-4.1.

103.5. 10-0.1 = 10-4.1+3.5-0.1 = 10-0.1


POTENCIACION

46

(~)-1

n)

=

(_X_)1I2 X+y

X+'Y

(_X_)-1/2 X+y

= (" + Y)I/2

y RADlCACION

= ~x

+

y

x

x

10

7.

8.

a)

(aP)"

=

a

b)

(X3)4

=

X3·4

e)

(a'"+2f

d)

(103)2

e)

(10-3)2

a)

aP - = a"

b)

;:? =

e)

_3 =

= =

7

g)

(r"2)-2

h)

(U-2¡-3

106

i)

(81)3/4

=

j)

(F+Y)5

=

103.2

=

10-3.2

a",·+2.

10-6

2/3

aP-q

5 _

g)

3

a

74-3

2,,+ 3

d)

f) X12

a(",+2f

=

a5

74

=

__ P

r"

1

e)

2 10 105

=

f)

'--

=

= a2

=

71

=

(49)3/2

pq

h)

=

7

~

1'/3

= =

=

=

102-5

=

10-3

pn+2

+ +

y)3.+ 1 y)2.+'

i)

(x (x

j)

8· 10 ___ 2.10-6

9.10-2

k) ___ 4 3.10

= x4

_2X1/3y5/2Z1I2

a)

[(x

=

(ab)" = arb"


=

73

=

=

u6

33

=

+

27

y)I/2]5

=

(x

+

y)5/2

yl/3

Z-114

.-4

=

(x

+

y)

= _8 . 102+ 6 =

4 . 108

2

=

343

3

=

ZI/2 _ .112_ 3/4 = Z3/4 - "

8X2/3yl/4Z-1/2

9.

(34)3/4

y2/3-1/3

x"'+3 ,x"'-1

=

U(-2X-3)

=

2

=

p(2n+3J-
31

72.3/2

=

(72)3/2

9 _.10-2-4 3

=

3.10-6

Ell ll.

POTENCIACION

10. a)

y RADlCACION

a aP (-)"=b bP

b)

24 24 16 (3) =? = 81

e)

3a 3 (3a)3 27a3 (4b) = (4W = 64b3

d)

(-)"=y3 y30

x2

x2"

47

e)

u" + 1 (-b-¡m

am2+m

f)

a2 (a2)3/2 a3 (¡;¡)3/2 = (b4)l/2 = b6 (siendo a ~ 0, b

g)

2 (-)-3 5

h)

(~)-1/3 26

=

¡;.;+-

5 125 = (-)3 =_ 2 8

= (~)1/3 = ~ = ~ 53 5 5

3 8x30 8x30 13 (8x30)1/3 81/3x" 2x" 27y6 = (27y6) / = (27y6)1/3 = 271/3y2 = 3y2

i)

1)

EJEMPLOS DIVERSOS

11.

a)

23

b)

43/2

e)

2-4 = 4(1)(24) = 4· 16 = 64

d)

10

+

+

21

+

2°

+

2-1

41/2

+

4-1/2

+

4-3/2 = 8

22

+

+

2-2

+

+

2-3

2

=

8

+

1

1

2

8

+- +-

4

+

= 10-

2

+

1

1

1

1

2

4

8

+- +- +- =

15-

7

8

5

8

4xO

4

+

3

10

+

102

+

101

+

10°

10-1

+

+

10-2 = 10.000

+

1.000

+

100

= 11.111,11 e)

3· 103

f)

30 2 60 4 = (2 )30 = 2 = 260-0 = 250 20 20 20

+

5 . 102

+

2 • 101

+

4· 10° = 3.524


+

10

+

1

+

0,1

+

0,01

O)

48 48

POTENC1AC10N yy RADICAClON RAD1CAClON POTENCIACION

g) g)

(0,125)1/ (0,125)"3 3(0,25)-1/2 (0,25)-" 2 == .y'O,125 ,yO,125 == 0,5 0,5 == 11 JO,2s jOi5 0,5 0,5

2/3213 + 3 + 12. a) a) Calcular Calcular 4x4X+ 3Xl/ 3x"3 + 2xo 2xo para para xx 12.

13. 13. a) a)

b) b)

Calcular Calcular

88

(-3)' (-2X)-3 (-2X)-3 (-w (x (x

= 8. 8. =

4 4 4 4 8° == --2/3 + 3'3 ' 81/3 8" 3 + + 2'2 ' 8° 8° = = -- ++ 3'3' 22 ++ 2'2' 11 == 99 ++ 2'2' 8° 213 +

213 + 113 4. 88-213 + 3'3 ' 881/3 4'

b) b)

15.

44

9( 9( 11 )3 )3 (-3)' (_4)-3 (_4)-3 -4 -4 -'---'-3--'---=-2-'-= -13- 2 = -1-

(-w

para para xx = = 2. 2.

++ 1)-2 1)- 2

a

_ -2 2

(9) (9) = =

81 81 64 64

32 32

2 21-1/43/41 21-1/2 2°-21-1/2 2 1-1/4 3/4 2°-22 _ 2(2)-2 = 2 2/2 2 --= 22 -- 2/4 2í4 -6/4 -= 2 - 2(2)-2 - 2 -_ 2/22 -= 6/4

1 +ao 2a-'+ao 2a-

l1

== 9( -'¡l' 9('i

22 -+1 -+1 aa

2 + aa --aa

2+a 2+a

11

11

a

22

-- = =-- - = ---' - . a'a 2 =

;;r ~

;;r ~

(2 (2

aja = + aja

2a 2a

+ aa22

16.

o

d d))

(~) - 2 _ (_3)-2 (~)-2 (_3)-2 3

e)

__ _ )-2/3 (_ )-213

1 27

_ (_ (_ ~)2 ~)2 = 9 - ~~ = ~ ~ = (J)' (3)2 _ 3

1 (___)2IS )2/S = + (32

9

9

(_27)2/3 [(_3)3]2/3 )S]2/SS (_27)213 + ((__ _ _1s )2/S )2IS = = [(-3¡J]213 + [( __ _ _1)SJ2' 2 2

= (_ 3) 3)22 +(+ (__-1))22 == -37 _ =(2 4

14. a) b)

213 (-3a)3. 3a(-3a)3. 3a-2/3 l/3 (2a) 2. a' ,3 (2a)-2 • a

(X- 2)-3. (X-'/3)9 (x " 2) 3. (x 312)S 11

++ --r' )'"' (x (x

(y (y

11 1l ++ -)'" -1'" ' (y (y -- -r _1" xx xx

y

X

11 -r yy

(x (x

e) e)

-27a3 3 •. 33'' 4a22 -27a

((- 3a)3 3a)3 •. 3 . (2a)2 (2a)2 ' 3 • a'/3 02 a2/3 al/3

-- -)"

a2/3 +1/3 a2 /3 + 113

x 6 • x- 3 X6 - 3 312 . X 1512 - x-312 'S I2 =

....

l xy -- 1", 1 xy xxyy + 1)," --)(--)" ( --, ((-

(xy (xv

(V (y+ +

(xy (xy

yY

1)," . (V - 1)" I)••.(Y-I)"

(xy (xy

xx

1)'" (xy (xy ++ 1)'"

'2

++

= X

r.

--.!L

1 • ~'(y ~'CJ - ~ 1)'" y. y"

1)".. (xy (x)' ++ 1)'"

1)" -- 1)"

x" X'

lrt xxm

1)" -- 1)"

v

m+n ym+n --~:::----

.

x3 x-9

y" y'"

yY

xx

a

(xy+I)"(xy-I)" (xy + 1)'" (xy -

1)"

m+n• .'('"+"

X

y'"+n y'"+"

Yy

'--- == (-)'"+. (~)"+" == -

x,"+n xm+n

d) d)

2p pq +. 33" 33,q+q

--' - ' --

P'+'+ 2p 33,q+q+"

--- - - = - 3(p·+·+2p,-(pq+p+2.' 3(,q+q+2,)-(pq+,+2q) =- -

pq + p 332q pq + p + 2• 2 • - 33,q+,+2q 33""+'

P-' -- 33,-q --


17.

~9 ~9

POTENCIACION yy RADICACION RADICACION POTENCIACION

(X314)213 (ySI4)2IS Xl12 yl12 _ (X1l4)2 (XIl4)2 (X l /4)2/l _ (y5 /4)2/5 _ Xl /2 _ y1l2 _

b)

(X314)113 (Xl /4)1 /3

e) 1 e)

l /4 + yl (y2/3)318 XiII, yl14/4 /3)3/8 -= X + (y2

1

+ xx.p

q9

e) e)

1

d) d)

48

X

106

-:-::----:-= -,-,--~ 2

1.200 1.200

0,078 0,078 0,00012

(y114)2 (y1 /4)2

12 x 10

78 Xx 1010-33

=4

- 65 = ~-.,.-:-. 12 12 xx 1010 5s -= 6,5 ,

o

+ y114)(X114 y1 /4)(X1 /4 _ XiII, XI /4 + yl14 yl /4

(X1 (X"I, /4

+ yl14 yl /4

~ ~

1

1+1+~ ~

48.000.000 48.000.000

0,00012

XiII, l /4 X

~ -----.;4 = ~ ~ + xx.p + + 1 + ~ p• = ------;p +~

= lOs5 = 36 Xx 10

b) b)

-=

1+-p 1+xx·

~ ~

xx.p

/y"4)14)

~+~ ~+~

~ + xx.p = +~=~

1

3.600.000 3.600.000

X

106--2 2

X X

1O-3+S = 10-3+5

=4

104

X

6,5 = 6,5

X X

o 40.000 40.000

22 10 10 oo

650 650

(80.000.000)2 (80.000.000f (0,000003) (0,000003) (600.000)(0,0002)4 (600.000)(0,0002)4

e)

33 (4 x 1010-' 3)" 3)4 (36

33 (0,004)4 (0,004)4 (0,0036) (0,0036) (120.000)2 (120.000)2

= ,y64 x 10 24 = = ,y64 = 44

17. 17.

33 256(36) 256(36) . 1010-1212. • 10-4 10- 4

10-4) 10- 4 )

X X

~. 144

(12 XX 10")2 lQ4)2 X X

WS 10 8

1010-8 8

Hallar Hallar los valores reales de las letras que figuran en las expresiones siguientes para para las cuales son válidas las operaciones que conduzcan conduzcan a números números reales.

b) b)

e) e)

x-I x-I -~~

---

==

(X-I)I (x-l)1 (x_1)112 (x-l)1 /2

== (x(x --

1)1-1 1)1 -/21/2

== (x(x

--

1)1/2 1)1 /2

Ja Ja

22

+ 2a 2a + I1 = fo+1iI J(a+Ti2 =

~ ==.,¡x VX -- 11

~


aa+ 11

50

POTENCIAClON yy RADICACION POTENCIAClON RADICACION

p p

Suponiendo que .j? y/-¡i == x para todos Siendo x un número real, debe ser positivo o cero. Suponiendo todos los valores de x. si absurdo. Así; si x = - 1 tendríamos tendríamos J<=I)l = - 1, 1, o sea fi = - 1, 1, con lo que 1 = - 1, 1, lo cual es un absurdo. pues.. pues ..J-¡i = x no es cierto para todos los valores de x. Entonces, = x siempre que x ;¡; O. O. Si Si x ~~ O, O. yÍxi = -x. -x. Un resultado válido para ambos casos, x ;¡; OY ~ O, O.es '¡;i OYx ~ es = Ixl (valor absoluto absoluto de x). a)

/;?

h) h)

Ji

J<=I)l

p p

p P

19

Ja2+2-;;-¡J debe ser positivo o cero y, por tanto, Ja2+2-;;:¡:¡tanto, será igual a a + 1 siempre que a + 1 ;¡; O, O, es decir. J a + 2a + 1 == la + 11.

a ;¡; - L Un resultado válido para todos los valores de a viene dado por

22

h-: denominadClr h~: carece de sentido sisi a y bb son ambos iguales a cero. Tampoco Tampoco tiene sentido si el denominador

e) a-: a-: a --.b .b aa-I I

-

bb-' '

= O, O. es decir,

si si aa-I I

= hs:',' , o bien, a = b.

aa--22 Por consiguiente, el resultado resultado

a

_1 I

__

b-2 2 b-

- bh

a - I + hh- I == a1

I 1

1

solo es válido para aa '" '" O, O. bb '" '" b. b. '" O y aa '"

F+

2X2 + 1 debe ser positivo o cero y será igual a xX22 + 1 siempre que xX22 + 1 ;¡; O. O. Como Como xX22 + 1 es #+ mayor que cero para todos los números reales x, el el resultado resultado es válido para todos los valores reales de x.

d) d)

e)

fi-=I no es un número real sisi x F=1

denominador denominador es cero, es decir, si si x

= = 1. l.

O, es decir, si x < 1. 1. Asimismo 1 < O,

20

x x-l- I

~ carece de sentido ~ sentido si el

yx-1 yx-I xx-I- I

Luego, c -t r::-t

~ ~

= = Y Yx -

1 únicamente para x > 1. l.

yx -1 yx-l

18.

Interrogado J(x - 2y)2 para Interrogado un alumno sobre el resultado de la expresión x + 2y + J(x para x siguiente: J(x - 2y)2 = XX + 2y x + 2y 2y + J(x 2y + x - 2y 2y = 2x 2x

== 2, YY == 4,

hizo lo

obteniendo el valor 2x 2x = = 2(2) = = 4. ¿ ¿Es obteniendo Es correcta la respuesta? Haciendo x Haciendo x

+

21

= 2, Y.1' = 4 en la expresión dada se obtiene

2y 2y

+ J(x J(x -

2y)2

2(4) + ~ ~ = 2 + 2(4) = 2 + 8 + .../36 = 2 + 8 + 6 ==

16 16

~ = X - 2y, lo cual es cierto, únicamente, El alumno comete la equivocación de escribir ~ 2y)2 = únicamente, cuando cuando x ;¡; 2y. Si Si x ~ ~ 2}', 2y, J(x 2.1'-- x. En todos los casos, J(x 2yl. La operación J(x - 2y)2 == 2.1' J(x - 2y)2 == jx - 2yl. operación efectuacorrectamente habrá habrá sido .r 2y + 2y 2y - x = 4y, 4y, que es igual a 16 16 para y = 4. da correctamente x + 2y

22


POTENCI¡\CION

51

y RADICACION

PROBLEMAS PROPUESTOS

alores . Así; x

s 0,

Calcular

las siguientes

19.

34

e)

(-4X)-2

h) ( -2x)'

f)

(2y-l )-1

a)

expresiones: i)

S-2/3 (_S)2/3 81/3

decir.

e)

inador

3-1x2r-4

3y,

Ir)

(4"1

d) 4-3

+

(4)-1/2

2

h) (16)1/4

1 es

(x

d) o si el

_3(_1)-1/5

k)

2- ".-3)'3

10·d,·.

I()Y-x.

I()y+

+

yf/3 [(x

(x

+

+

4- 1/2a2/3b-1/6C-

y)-1/6 Ir)

y)2J'/4

1

S2/3a-l/3b-2/3c5/2

h)

b)

(

2- 8 • 34

)-1/4

5-4 31/2. 3-2/3

e)

r1/2.

a)

J27-

i)

31/3

hizo lo

21.

1

h) 4(_·)° + 2

e)

cuando fectua-

+

2/3

r1

+r

82/3

52/3 . 51/3 16-1/2 '4'

-

3°

2 - -~(10)Ú 9

d) 272:3 - 3(3x)0 + 251/2

22.

e)

S213-16-3/4-2°

f)

,y('x

a)

250

- 2)-2

+

1 h) ___ S-2{3

e)

d)

+ X

e)

4x-1 2/3

2 + ?-1 __ -_ +

4

h) y2/3 + 3y- 1 _ 2yo

=

liS

para

i)

64 - 2/3 . 165/4 . 2° . (J3)4

j)

---+

Ja. a-2/3 P

para

+

k) (~.

x = -6

(3a)0

+

+

0.027113

(27)- 1{3_ 13/2

r2 + 5(2)0 3- 4(3)-1 30x

=

y

a-5/6

.;¡ a2

• a-t/2

_ 8-2/3

0.251/2 _ SI/3 - 4-112 3ao

g) x3/2 + 4x- 1 _ 5xO para x

f)

(-So)

9O)(2y"+2)-1

3

•

i)

+

(64)-2/3 _ 3(150)0

g) (O 125)-2/3 + ---

h)

si x = S

/72v2"

2

12(2)-2

3

+ r1

y;;. 25+n

(60.000)'

(0.00002)4

1002 (72.000.000)(0.0002)5

_ 43/2

5


3/2

52

POTENCIACION (x2

23.

+

+

3x

a) (9x2 b)

4)1/3 [ -t(5 - X)-1/2] - (5 - X)1/2 [(X2 (x2 + 3x + 4)2/3

5y)1/4 (2x) - x2 [!(9x2 - 5y)-3/4 (9x2 _ 5y)1/2

J x2

+

+

d)

x -

e)

3x - 2y - J4X2

1

y RADlCACION

+

2x

(18x)]

+

+

3x

4)-2/3 (2x

+

3)/3]

si x = 1

. SI

X

=

2, Y

=

4

1

RAr

SOLUCIONES

19.

DE LOS

- 4xy

+

y2

PROBLEMAS

a)

81

d) 1/64

b)

-8x3

e)

PROPUESTOS

g)

4xS 3y7

h)

2

1

j)

a2b2

m)

(x _ y)2

PRC

e)

20.

a)

21.

a)

22.

a)

23.

a)

b)

e)

27y3

1 16x2

f)

64

29

l/lO

b)

16

0,8

e)

7

b)

3

e)

2

b)

i)

y/2

d) 11

4

e)

46 15

- 2

si

4 3

/)

1/2

d) 1

1

k) 3/2

e)

e)

1 4

d) 34

f)

e)

1

x-6

g) 4

4

13

2

7.200

p)

1

f)

10-4

n)

Sy X

f)

g)

h)

1 16

aJb

h)

8e4

89

i)

4

g)

26 5

18

a1/4bsI6e

4

i)

15

j)

2

a

h)

1 2

d

fi

k)

-:7

i)

150

1

3 7 8

6(x -

d)

2x

e)

x - y

si

7 - x 1 )1/2 (x

+

1 )S/3

x ~ - 1, si

2x ~ y,

x ~ -1

5x - 3y

si

2x ~ Y

Nm


CAPITULO 7 CAPITULO

Radicales Radicales expresión de la forma forma ~ ~ que representa representa la raíz raíz enésima enésima principal principal de a. El RADICAL. una expresión RADICAL. Es una que entero positivo positivo n es el índice índice u orden orden del radical, radical, y el número número a es el subradical. subradical. El índice índice no entero suele escribir escribir si n == 2. 2. se suele

15,

fi+"lO,

Por ejemplo, ejemplo, ~,hX3'' -- 22y2, Por ~hX3 y 2, ~, respectivamente. 5, 7x33 - 2y2, 2y 2, X + 10, respectivamente.

.200

son radicales radicales de índices índices 3, 4, 2, Y subradicales subradicales son

PROPIEDADES DE LOS LOS RADICALES. RADICALES. Son las mismas mismas que que las correspondientes las potenpotenPROPIEDA DES DE Son las correspondientes de las l/ cias, ya que que ~ ~ = a a'!". continuación exponen las las propiedades propiedades utilizadas con con más más frecias, = se exponen utilizadas " . A continuación cuencia. . Nota. Nota. Si n es par, par, se supone supone a, a, b ~ ~ O. cuencia

A) Ejemplos. Ejemplos.

(.y6)3 (~)3

= 6, =

B) B)

j2

7"

Ejemplos. Ejemplos.

150

e) e)

Ejemplos. Ejemplos.

b+ oo fs_.j5_~ fs_ys_~ 32 -- ~ ~ 32 --

3

2 ''

.y

(x + 1)3 _ _ (x (x + 1)3 __ X + 1 (y _ - 2)6 2)6 - ~ .J (y (y _ - 2)6 2)6 - (y _ - 2)2 2)2 (y

D) D) Ejemplo Ejemplo

E) E)

ns 3

Ejemplos. Ejemplos.

= =

NUMERO RACIONAL. NUMERO RACIONAL. enteros. enteros.

,ys, ys,

#>

= =

ifi,

un número número real real que que se puede puede escribir escribir en la forma forma rt«. siendo pp y q Es un p/q. siendo

53


54

RADICAL RADICALES ES

Por 3, 3i 8, 0,36, -2,4, son Por ejemplo, ejemplo, 4, 2/ 2/3, 3/8, -2,4, -/1-6, JTIi, -/36/49, ,/36/49, .(!~27, ~~27, son números números racionales, racionales, puespuesto que que se pueden pueden expresar expresar como como cociente cociente de dos dos enteros enteros de la forma forma siguiente: siguiente: 9 - 24 - 12 4 2 3 36 12 4 6 - 3 l' -5-' l' 7' r 3'3' 8' 8' 100 100 o 25' lo 10 o -5-' 7' --1-1NUMERO IRRACIONAL. NUMERO IRRACIONAL. p y y q enteros. enteros. Por ejemplo, ejemplo, Por

Es un número p/ q, siendo número real real que que no se puede puede escribir escribir en la forma forma rt«. siendo

j2, \/ "Í3, 12, fo, iIS, J2j3, j2i3, )2, 3, 12,

';;=4/5 son .y - 4/5 son

UN

RAD

números irracionales. irracionales. números

raíz cuadrada cuadrada irracional irracional de un número número racional, racional, como, como, por por ejemplo, ejemplo, La raíz nombre de irracional cuadrático. cuadrático. el nombre de irracional

J5 ó JIj6, JIi6, recibe recibe fi ó

FORMA DE DE UN UN RADICAL RADICAL se puede puede modificar modificar con con alguno alguno de los siguientes siguientes métodos: métodos: LA FORMA a) a)

Sacando fuera fuera de la raíz raíz las potencias potencias enésimas enésimas de la cantidad cantidad subradical. subradical. Sacando

PAR. )

132 == .y2 -12 (4)(4) .y32 33

Ejemplos. Ejemplos.

b) b)

= =

ft 2-14 j23 ..,y¡ .y4 == 2.y4 MUl

Reduciendo el índice índice del radical. radical. Reduciendo

-Y64 .y'64

Ejemplos. Ejemplos.

= =

ft == 2

6 44 //

= 2 233pp =

=p = fi, habiéndose =p j8, habiéndose =

~25x6 = = ~(5X3)2 ~(5X3)2 = = (5X33)1/3 = ~25x6 = (5X33)2/6 )2 /6 = )1 /3 = dice de 6 a 3. dice Nota. Nota.

reducido el índice índice de 4 a 2. reducido

ft;? == x-YS, x.y5, habiéndose habiéndose reducido reducido el ín.ys;?

i( -4¡2 -4¡2 = i16 i16 = 2. i(

.i(

14 = escribir 1(_4)2 = (_4)2 (_4)2/4 = ((_4)1/2 = Es incorrecto incorrecto escribir _4)2 = _ 4)1 12 = e)

p. p .

Racionalizando denominador subradical. Racionalizando el denominador en el subradical.

Ejemplo 1.

2.

I

Racionalizar el denominador denominador Racionalizar de .j9ji. multiplica el numerador numerador y y denominador denominador del subradical subradical (9/ (9/2) por un número número que que Se multiplica 2) por transforme al denominador denominador en en una una potencia potencia enésima enésima perfecta perfecta (en este este caso, caso, n == 3) transforme saca dicho dicho denominador denominador fuera fuera de la raíz. raíz. El número, número, en este este caso, caso, es 222. . Así, Así, pues, pues, Y se saca

Racionalizar el denominador denominador Racionalizar de 3 Para transformar transformar 86 8b66x\"3 una cuarta cuarta potencia perfecta, multiplicamos multiplicamos el numeranumeraen una potencia perfecta, Para dor y y el denominador denominador por 2b 2b22x,x , con con lo cual, cual, dor por

4

14a33yy22bb2x2x _ ~ 114a3y2b2x 14a 14a3y2b2x 16b 2b x 16b88xx4 4 2b22:r:


I

DIVI,

55 55

RADICALES RADICALES

pues-

UN cuando : UN RADICAL RADICAL está está en su forma forma más más simple simple cuando: a) a) b) b) e)

iendo

Se han potencias enésimas enésimas perfectas perfectas han sacado sacado fuera fuera de la raíz raíz todas todas las potencias El índice posible. índice de la raíz raíz es el menor menor posible. Se ha racionalizado decir. cuando cuando no no existan existan fracciones fracciones en el subradical. racionalizado el denominador. denominador. es decir. subradical.

RADICALES SEMEJANTES. Dos radicales son cuando. reducidos reducidos a su forma forma RADICALES SEMEJANTES. Dos o más más radicales son semejantes semejantes cuando. más mismo subradical. más simple, simple, tienen tienen el mismo mismo índice índice y el mismo subradical. Por ejemplo. ejemplo, Por

recibe

va: 32, J1ii, v¡-;-;;:. 1/2, J8 fo, J8-

nfi n i' fi ..)2 . "2 f = '1/2 =l 2' fi

= = = ~ ~ =

embargo, ~ ,y32 y Sin embargo,

fi no 12

son semejantes, semejantes. ya que son que

Fv,/32 32 == ,/16:2 JI6 :-2 = = 4)2. 4,/2.

J2J~1

= =

2fi· Todos los subradicales todos los índices índices son 2fi· Todos subradicales son son 2 y todos son 2. son semejantes, semejantes, ya que son que ,y32 ~ == ~ ~4 == 214 214

PARA SUMAR SUMAR ALGEBRAICAMENTE ALGEBRAICAMENTE dos simple PARA dos o más más radicales radicales se reducen reducen a su forma forma más más simple combinan los términos términos con con radicales radicales semejantes. semejantes. y se combinan

Por ejemplo, ejemplo, Por

fo -- J1ii fii2 - fi fi

= =

4fi -4fi

-44- --

2fi 2fi

= (4 =

~

~ -

2)fi 2)fi == ~fi ~fi

MUL TIPLlCACION DE RADICALES RADICALES MUL TlPLlCACION DE

a)

Para multiplicar multiplicar dos dos o más más radicales radicales del índice se aplica Para del mismo mismo índice aplica la propiedad propiedad B:

a 2. el in-

.::/ jb .::/ ~~ .:jb Ejemplos. Ejemplos.

(214)(3116) (214)(3116)

= =

= =

fab yIab

2' 314 314 116 116 = 6164 = 6' 4 = 2' = 6.y64 = 6' = 24

2 3 (3M)(,y'X3y2) 3y 2) = = 3,i(x 3.j(X2Y)(X3y2) 3.jXX5y53y 3 = 3xU (3M)(,ix Y)(X y2) = = 3,i = 3xU

Para multiplicar multiplicar radicales radicales de índices índices distintos b) Para distintos conviene conviene utilizar utilizar exponentes exponentes fraccionarios fraccionarios y aplicar las propiedades propiedades de la potenciación. aplicar potenciación. Ejemplos. Ejemplos.

fi = 51/ 221/2 = 522//6. 15 fi 14 fi fi == fi ft fif i = 222/ 1/3 3• •

1/2

6

2 /33•

ro que

n

•

•

2233/6 /6

=

(52 . 2233)1/6 )1 / 6

21/2 2 1/ 2 = 2244/6/6.

•

(25' = (25'

=

2233/6 /6 = = 2277/6/6 = =

8)1/6 8)1 16

= .y2Oo

.:f2' .:ji'

= = 2,y2 2,y2

DIVISION DE DE RADICALES RADICALES DIVISION

= 3)

, pues,

a)

Para aplica la propiedad propiedad C. C, Para dividir dividir dos dos radicales radicales del mismo mismo índice índice se aplica

plifica a continuación. continuación. plifica

.:.ra .;¡; :¡b :,¡-b =

AA

. . simbba yy se slm-

Ejemplo. Ejemplo.

También se puede puede racionalizar racionalizar directamente También directamente el denominador. denominador. umera-

Para dividir dividir dos dos radicales radicales de índices índices distintos b) Para dislintos conviene conviene utilizar utili zar exponentes exponentes fraccionarios fraccionarios y aplicar propiedades de la potenciación. potenciación. aplicar las propiedades


Ejemplos.

IRRACIONALES CONJUGADOS. Los binomios irracionales cuadráticos se denominan conjugados entre sí. Por ejemplo, 2)3 + y 2)3 -

Jb

J2

Ja + Jb

Ja-

y son conjugados.

J2

TI

2.

Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio irracional cuadrático, se multiplican sus dos términos por el conjugado del denominador. 5

Ejemplo.

2)3 2)3 -

5

J2 _ 5(2)3 - J2) _ 2)3 - J2 J2 -

12- 2

-

2 3.

PROBLEMAS RESUELTOS REDUCCION 1.

DE UNA

a)

fo=~=~=3j2

b)

fo

e)

5J243

= 18-10

g) ~

EXPRESION

= ~

RADICAL

= 2.yJO

= 5;)27' 9 = 5;)Y'

1%

MAS SIMPLE

d)

j648

e)

aJ9b4c3

f) .y343

9 = 1519

= 34/6a2/6 = 32/3al/3 =

= ~

A SU FORMA

= ~

=

= ;)23'33'3

= aJ32b4c2

ft

Obsérvese que a

4.

cJc

. e = 3ab2

= 73/6 = 71/2 =

;¡:; O.

= 6.y3

..fi

Véase k).

s. = (2' 2 )(3' 3 2/5

3/5)

= 2

2•

312

j)

(7.y;¡;;b)2 = 49(4ab)2!3 = 49;)16a2b2

k)

2aJa2

+

6a

+

a

+3 <

1) x - 25 Jx+5

=

(Jx

~

+

= 98;)2a2b2

+

3).

3 solo si a

+

=

la + 31.

= 2a(a = a

O. tendremos

3

+

9 = 2a~

o cero; por tanto. ~

3 = 12.yi08

2•

5)(Jx - 5)

=

Jx

Hay que tener en cuenta que j{a 3

;¡:;

O. Si se quiere hacer extensión

+

3)2 es un positivo

a valores de a tales que

_ 5

fi+5

6. Obsérvese

que esto es cierto si 2.\'2 ;¡:;

3.1'2

Véase k).


RADICALES RADICALES

o)

;¡.j256 = ,yi6 = ~

p) p)

JJ.y¡;;;i} 44

.y6ab 2

=

= [(6ab [(6ab22 )"3]1/4 )"3]1 /4 =

57 57

212 (6ab22)1/12 (6ab )"12

= !,J6cJ} ~

S5

2)1/5 12 /10a33/10 3/2 = (366aa33//2) .;j729aJ/2 3~ ;;729# = .y729a I /S = 312 /10 = 3~

q) ;;729# q)

TRANSFORMACION DE UN UN RADICAL RADICAL TRANSFORMACION DE 2.

3.

Expresar como como radicales radicales de orden orden 12 los siguientes: siguientes: Expresar a)

.j5 = 51/3 = 54 /12 = if54 = if625

b) b)

(ab)"2 fo = (ab)"2

e)

Y7' = X· /6 = X2 /12 = ~

(ab)6/12 !J(ab)6 = ~ !J?h6 = (ab)6 / 12 = 1(ab)6 0

Expresar como como radicales del menor menor orden orden posible siguientes: Expresar radicales del posible los siguientes: a) a)

fi 91/4 = (3 22)1/4 /2 = .)3 .j3 j9 = 9"4 )1 /4 = 311/2

b) b)

~ (2xy2)3/12 = (2XJ?)1 (2xy2)1/4/4 = 12xy2 12xy2 !J8?Y6 = ~~ = (2xy2)3il2

e)

2 :Ya ~a2

+

2ab 2ab

+

b22

= -Y(a :Y(a + b)2 W = (a + b)2 b)2/B/B = (a + b)1 b)I/4/4 = 1a 1a + b

4. Transformar radicales de los siguientes: Transformar en radicales radicales enteros, enteros, es decir, decir, en en fadicales de coeficiente coeficiente 1, los siguientes: a) a)

6.j3 .j36=3 == JtOs 6.)3 = .j36-3 jiOs

d) d)

aa-- b JaJa + b b

a+b a+b

5. S.

(a - b)2 • a + b = j a - b (a + b)2 a - b a + b

b = =

a-b a-b

Determinar Determinar cuál cuál es es el el mayor mayor de de los los siguientes siguientes números números irracionales: irracionales:

b) fi, J5,

13

a) a)

12, fi,

a) a)

1/3 = 12 fi == 22"3 = 2244/12 /12 = = (24)1/12 (2 4 )1/12 = = (16)1/12; (16)1 /12;

b)

Como Como (27)1/12 (27)1 / 12 >> (16)1/12, (16)"12 , b) b)

J5

fi = =

5511/2 /2

= =

5533/6 /6

Como Como 125> 125 > 121, 121, e)

6. 6.

= =

.y1T .yII

e) e)

2,j5, 2,fi, 3Ji 3fi

13 == 3311/4/4 == 3333/12 /12 = = (333)1/12 )1 /12 = = (27)1/12 (27)1 112

13 >> 12 fi

(5 (533)1/6 )1 /6

= = (125)1/6; (125)1 /6;

fo .yII == (11)"3 (11)"3 = = (11)2/6 (11)216 = = (112)1/6 (11 2 )"6 = = (121)1/6 (121)1 /"

J5 fo .yII

fi>>

2fi 2,fi == J2T:5 ~ == fo; fiO; 3Ji 3fi = = .j32:2 ~= = j18. J18. Por Por tanto, tanto, 2fi > 3Ji 3fi

2J5

Racionalizar Racionalizar el denominador denominador de de las las expresiones expresiones siguientes: siguientes:


58 58

RADICALES RADICALES

3 16

b)

-

3 % 16 %

= -16'

MULl

3136=-136 1

= --

62

6

2

8.

2/3 3 ' 622/3 /3 3.y6i 33 33 662/3 3. 3% 11 3 -= -'-= - =--=-fi -=-·-=--=-=-136 221 33

Olro método: mélodo:

.y6 16

011'0

e)

3%

= -'-

3x 3x 4fY 4fy == 3x4 3x 4 bVVh

61/3 6 1/3 66 /

6' 6'

6

h)

22

e) d)

33 y(2x)3 .•,4/ y(8x y(2X)3 == 3 3.\" y(8x ) ) == 3x,j/8x3y ~18x3y == ~18x3y 2x(2.\")3 (2.\")4 2x. 2x(2x)3 VV (2X)4 2x. 22

:1

a)

~180

e)

.fl d) d) g)

4xy2 4xy2.j (2xy2)2 4 xy 2.j(2 xy 2)2 3IA""::D 3¡-;-¡e) - - = - - ' = = 2v4x y = 2yV'4x-y .j2x/ .j2xy2 .j(2 xy2)2 2.\")'2

f¡)

i)

SUMA Y Y RESTA RESTA DE DE RADICALES RADICALES SEMEJANTES SEMEJANTES SUMA

7. a)a) Ji8 7, ji8 + J50fi - fo fo ==

~~ +

%2 S,,/2 -- 6.fi 6fi == %2 - )36' )36'22 = = 3fi 3.fi + s.fi

(3

+ S 5 --

6) fi == 2,/2 6).fi 2J2 j)

by 8)3 = -2J'1 b} 2J27 2J'ii - 4J12 = 2,,/9'-3 2.)9,-5 - 4,,/4-3 4J4-3 = 2' 2' 3J3 3)3 - 4' 4· 2J3 2j j = 6J3 6j'3 - 8)3 -2/ i

J~.~-

e)

r4") 4fo 4' S)3 4J7s + 3J4j3 3J 4/3 -- 2fo = 4' 5)3 + 3 1/-' -_. vv 3 3 3 3

d) d)

314)2 --r: V31432 ..

2' 2· 4.j3 4)3 = (20

2

k)

J3

+ 3· 3.~ - - 8) /3 = = 14)3 14)3 33

3'-1--2 S "'- 1 - ;; 11 5 31250 + V 3!jj32 = .j6 1633. , 2 - ,3153:2 (6 - S 3/2 312sO 31J/32 3/ 5" 2 + VV2' I1-,· -5 + --)';;2 = -4" y'/J"2' ' :-2 = (6 4 ) Y3/2 = 11.)"" 4"3.12

y"-JVV v"-J

/)

v

11I)

el )3 )3 + el

fil - fo fo + 5-13 s13 == Ji J3 + -12 jf¡-:} ./9-:'3 S,:,/3 fil 7---:'3 - ,,1 9:'3 + S,Y3

11

= )3 J3 + 3,y3 313-- 3j3 3J3 + 5-13 s13 = = --2J3 = 2j 3 +

813 8.j3 01

f) 2a.j27x 2a127x3y3y + 3h.j8x 3h18x3y3y - 6e.j 6e.j'-x3y 6axj;' + 6bxY; 6bxjY + 6cx~(';; 6ex~/;' = 6x(a + b h + e) .j';; 1-; _ X3 y = 6ax,y'y p)

q)

2 3

1 4

S r: S /6=-.)6 12 \, 4

=(--+4'---)

1')

f¡)

fi fi

+~= JO.I

-

JC6

=

,fiJ. + Ji3 V2

2

, - jiO,16)¡ü¡)

=

1(10

! v'IO + J,/ú5 -

OA"lIo =

3.IJ10

2

9. a G 22 Cl. = -v -vabab = hh

r::í. + -44 Ce 33 C. ' -y·ah ab -- -· y ·ah + - yab ab v ah aa

22 bb

33 aa

(.. -_ -.. + + == (-


1:la -- 3b 3h + 44 C. G 44 r2a Lab == ((-----)yah - ) v ah ---) - ) ¡ah ab v ab

ab"

ab

RADICALES RADie ALES

59 59

MUL T1PLI CACION DE DE RADICALES RADICALES MULTIPLlCACION 8. 8.

F5 == 6J35 6.fi5

a) a)

(2)7)(3/S) (2yÍ7 )(3J'5 ) = = (2' (2' 3).j'l-:s 3)

h) h)

(3,y2)(516)(s.j4) == (3' (3' 55 .. 8) S) ~ == 120j48 1201 48 == 24016 24016 (3.y2)(516)(8j4)

e) e)

3 (.1i8.;>)(j2.) = (fo~ )(~) = = j36x 1 36.\3 =

d) d)

3h'c·1 == ja 2he 4 24 4 2 4 2 2 3h3c1 • .ya .yah1e'- l e5 ·ja .ya = Ja J 2ahc acfi jahh ch c = == acjh

FH

x.y36 x~136

el • .2 /0• . 2 {0 = el fi·.y2 .j3 . ,y2 == 331/21/2 211/313 == 3333/6 222t6 = ,y33 3 •• 2222 == iJ08 ~

,13

f).fl

4) == (74/12. 4/12)(79/12. 2233/12) (.yJ4)(,y686¡ == (~)(~) (~)(.y73. 2) = = (71/3. (7 113 • 211/133)(73/4. )(73/4. 2211//4) (74 /1 2. 224/12)(79/12. /1 2) (j14)(j686) / 12 ) = == 7(71/12. 7(7 11 12 . 2277/12) = 7if7~ 7!j7? == 7'.]8% 7!j8%

g) g)

.y:;:)6

612xx66!3!3 == 5)~2 (-fi (_Js,J'v )6 == 5612 53x2 == 125x22

11) 11) (Fx10-0)(J8,l (J 4 x lO 6)(JS. I xx 103)(JO.0016) 103)(JO.0016) = = (J4 (J 4 x 1O1O - 66)(J81 )(JSI xx W)(JI6---;-¡
= (2 x 1010 -33)(9 )(9 xx 10)(4 xx 1010 -22) ) = = 72 72 xX 1010 -44 = = 0.0072 0.0072 i) i)

(fi (fi

+ fi)(fi + fifi + (fi)(-2fi) .j3 )( fi - 2fi) 2.j3 ) = = fifi f i f i +.j3fi (fi)(-2 .j3 ) + (fi){-2fi) (.j3)(-2 .j3 ) = 6 6 +

fo Jt8 - 2fig 2JlS - 2 2 .. 3 3= =

-

fo Jt8 ==

- 3fi 3fi

j)j)

(v/S + fi)2 (fi)2 + 2(fi)(fi) (fi)2 = 5 + 2..flO (Js fi )2 = (fi)2 2(fi)(fi) + (fi)2 2f o + 2 = 7 + 2fio 2fo

k)

(7 4.j3)2 = = (7 fi)2 - 2(7fi){4fi) 2(7fi)(4.j3 ) + (4.j3 ofifi - 4fi)2 (7fi)2 (4fi)2 )' = 7' 7' . 5 - 2 . 7 . 4j15 4fo + 4'2 •. 3 = 245 - 56)15 56J15 + 48 4S = 293 - 56j15 56 fo

/) ((Ji J~ + 1l)(fi )( J'3 - 1) = (.j3)2 /) (fi)2 111) /11)

(1)' (1)2

= 3 - 1= 2

(2/3 fi )(2.j3 + fi) Js ) = (2 .j3 )2 - (fi 4 ' 3 - 5 = 12 - 5 = 7 (2/3 - fi){2fi (2fi)' (fi)2 )' = 4'

11 11))

(2 Js - 3fiH2fi + 3fi fi )2 - (3 fi )2 = 4' 4' S (2fi 3fi){2fi 3fi) ) = (2 (2fi)2 (3fi)1 5 - 9· 9' 2 = 20 - 18 = 2

o) (J)

(2

q)

(3J:i 4fi)(2fi 3fi) ) = = (3 (3fi)(2,/3) (4fi)(2j3) (3,/2)(3,/6) (4fi)(3,/6) ) (3 J 2 - 4Js )(2.j3 + 3fi fi )(2.j3 ) - (4 Js )(2J3 ) + 13 J 2)(3)6) - (4Js)(3.J6

.f3)(2)(2 - 13) .f3) + 13

= 4 =

·f.j99

==

6J6 8j15 + 9fo 9ft 12ft = 6ft 6ft -- sJls sfo 18y'33 - 12fio 12)30 6J 6 -- sfo -- 12.fiO = + ISJ

r) r)

(J;-¡-Y - Z)(P+Y zH,¡;-:tY + z)z) == x + y (J;--:;Y

ss))

(2/;-:::-1 xfi)(3F--"¡ :"'-'1 + + 2x 2x_,/2) 6(x -(2J';-=:'-¡ - xJ2)(3'¡;-' ..,/2) == 6(x

Z2 z,

1) 1)

61~ -- 1) 1) == 6(y

9. 9.

a) a)

(v12 + + ./,,/3, ++ ,,/ ./5)(,,/2 (vf2 5)(,,/2 ++

3xJ"2(;-:'::1) + + 4xJ 4xJi(x - 1) - 4x' 4x' 3xJ2(;-~ i¡;--::::-¡¡

+ xJi(-~--=-li4.\2' + \ Jii~-"::' Ii - 4.\

,/S) == [([(,/2 Jj) "ts] ,,/,/33 - v'S) J 2 ++ /-,./3) 3) + Js][(.j:i fi ][( J 2 + J 3) -- /5] ==

(J2 (/2

++ /,fl)2 3)'

-

(,,'S)l = 2 + + 2/ 2,/6{; (,,: 5 )2 =


2,~6 + 33 -- S5 == 2,, 6

60

RADICALES

b)

3.Ji +

(2j3 +

1)(2j3 -

3.Ji -

1) = (2,j3 +

(3.Ji +

l)][2j3

= (2J3)2 - (3.Ji + e) (.Ji + ,j3 + J5)2

(.Ji)2 +

=

(,j3)2 +

= 2 + 3 + S+ 06 + 3,j3-)(J6 - 3,j3)

d)

e) (Ja+"b -

=

~)2

=J(6 +

2J6 +

3,j3)(6 - 3,j3) =

J36 -

b)

2fiO=~~=~~ 3.~ís 3 S

3

e)

e)

4x . .{/x2y2 = 4x y fxY y

:f?!-xy

g)

,j3 +

i)

j)

1)

1) = -7 -

6.Ji

De

11.

2J6 +

9·3 =

J9

2Ji5 + 2Jlo = 3

DE DENOMINADORES

d) ~=

h)

6.Ji +

a + b - 2J(a + b)(a - b) + a - b = 2a - 2Ja2 - b2

1OJ6 = 10 ~ = 2j3 s.Ji S 2

A=

J~.~=

A=~J6

~ = ~= 13 3

J~.~=

f!;=~~

3 9

27

3 12.

=

4x fxY y

,j3 +

sJ8

1)]

1)2= 12 - (9·2 +

2jl5 + 2Jlo = 10 +

a)

4.Ji .Ji

(3.Ji +

(J5)2 + 2(.Ji)(,j3) + 2(,j3)(J5) + 2(.Ji)(J5)

DIVISION DE RADICALES. RACIONALIZACION 10.

-

=

f)

~= 2

4.Ji - sJ8.Ji J6 + .Ji . .Ji=

~=~fi

1~·16= 2 16

4·2 - sji6 2

32

2

J6 -

12

2

=

3

J5+.Ji .Ji 1-.Ji

1+

.Ji. 1 + .Ji 1-.Ji 1+.Ji

= 1+

= 1 + 2.j2 + 2 = -(3 + 2.j2)

1-2 +

(x

x -

JX2 - y2

X + JX2 _ y2

-

= (x -

1) -

2J(."{(x -

1 X

+

I)(x

1) - (x

+ +

1)

+

1)

Jx _ x + Jx . 1 + x - Jx _ x2 + Jx _ x2 + Jx Jx + x - 1 + x + Jx 1 + x - Jx - (1 + X)2- X - 1 + x + x2

x+ 1+

13.

P7)

(x - JX2 - y2)(X + JX2 _ y2)

Jx""=l- Jx"+l. Jx""=l- Jx"+l Jx""=l + Jx"+l Jx""=l - Jx"+l

m)

P7) - (x

x2 - xy + y2 x2 _ xy + y2 Y . x2 - xy + y2 = x3 + y3

32/3_ 31/341/3 + 42/3 (31/3)3+ (41/3)3


(x

+

1) =

p--=-t _ x

RADICALES

61

PROBLEMAS PROPUESTOS Demostrar 11.

que:

r;;¡,

a)

,/72

= 6Ji

i)

Rh=L , h

h)

./27

=

3)3

j)

14Jii7

e)

3,/20

k)

3.y213= fo

6./5

=

2 rso;? el) "5\. SOa2= 2a,j2~

e)

(tomando

Fa = Sa2 3a

4 ,----2

,'_o

h

1) -3a ~ 4

--,j7SaJh2

a

a ~ O)

= 2fo

2a

= -3 Yi2a' 12a

8

fzfl"2

m) xyz

=

-2-

2-, yz

1)

--- /98a hJ = 28V2h ab v

n)

60j4¡45

=

g)

Y640 = 4.y¡Ü

o)

314;9 =

fi

JIOyz

8./5

11) ,J'88xJY"Z5 = 2xy2zjil?

J48 - fo

12. a) v!fj +

3JlS

e)

2,/I5Ó - 4-/54 + 6J48

-

y'l6a

J

a)

J%s

e)

f)

(S

(fi

+

(x -

g) (2fi /¡)

(3fi

= 74fi (a ~ O)

10afi

6J8a3/3

k)

(x

1)

= 36,jlo

k)

12-,4

4 + vli8) = 8 - fi)

m)

,jJ)(-, + ,jJ)

3fi)

+

- 2fi)(4,/2

n)

- 2J24ab2

.j%

+

(,/3 +

./5 + .Ji)(fi

6 -

= 2

JI8

= 9fi

3fi)

=

~-A=fi

p)

~+

+ +

2.Ji

fi

= 2 - fi

4J48

= I

+

2fi

8

6 + fi

q)

36 - 2,fi\

=

6 _ 13

6 - fi)2

+

i)

(fi

j)

(2';; + 5~)(';; = 7a -

5b

(fi

+

+

fi)2

= =

= lO

+ ~) 7Ja2 - ab


+

Fa

2~

O

+

,j X2)'2

- 2.Ji.J8

o)

= (7a - 4b)

3 6r.31.3 4x - SY 4r.T3 - 5yY [x = xy

4yxly

4 +2.fi

a~

4x~

-

2-/54 - 6.j2j3 rr:

+

3

= x2 - )'

+

- fi)(3fi

23

=

l

= fi

1),J'16x2

+

1) .J8

=

fi)(S

319 - 2j27

j)

m)

=

z fx1Y

= xy2

.::/x"+ ly2.- 1Zl.

- 2fi

2.fi

.,¡T;s

fi if32

el) fi el

=

8.y;?74 =

(3/8)(6./5)

h) ,/4-8x5

= 24fi

48a2b = 4a~

-

fl 3,j1fu? + g)

i)

3-JsO + 7,/288

-

11)

= fi

s.fi

e)

x

s)3

h)

el) sfi

13.

=

./5 -

= 6

.Ji)

= I

3 ~ yxy

+

2fi5

a. b ~ O

62 62 14.

RADICALES RADICALES

33 a) 2J24x 4xfi 2J24x == 4xfi

(x> O) (x>

J3x J3x

i) i)

ajb ajb

#fo

bJa

bb

b) --=b) -= -

e) e)

.fi + fif i .)3

j) j)

J6 11+ +~ ~ J6

= =

fifi

d) d)

f)

=

112

-2

x

ab

-3

y

=

4xyz2

--fil 2xy2z

3

14

a) a)

2 + .j5 J5 + 5 5 + 2.j5 2J5

b) b)

3.fi + 2J5 3.)3 2.j5 3.fi 2J5 3.)3 2.j5

= =

_1_ _1_ =

m) m)

~= ~ 22 -.)3 -.fi

n)

--

55J5 J5 -

55

~ 145 fo _~ -~ 112 ~

= ~ =

3

2

.fi + 22 3

-4-2.j3 = -42.)3

s.fi s.)3

3s 3s

s.fi s.)3

.fi _ 1 .)3-1

2

-2-

2

2

o) o)

2.fi ¡;; 2.)3 -- 11 = 5....; 3 3 - 8 8 = .fi + .)3 +2

p)

1 - fi+I 1-F+\ 1l+fi+I +F+\

1

-1 Z

120 -- ,y¡s ,yIs ,y2o Yi2 Yi2

3

/) _5_ _ 5_ = ~ (3 - fi) fi) /) = ~ (33 + fif i 7

n)

=2,y4c4 ~=2j4c4

4

15.

3

~

3

h) h)

J5 - J6 J6 .j5

~ ~

fij9 fi.y9 3

.fi-2 .fi-2

a,yls

~3a7b6e5 ~3a7b6e5 g) g)

k) k)

2

J6 - JIO .fi -J6 jIO - .fi2 .fi2 __ .)3 Jl8 -JI8

3~

fif i

13

f)f)

2fi+1 - x - 2 2F+\-x-2 x

¡;; f2:

Jxy(x xx -- y Jxy(x - y) - -"----'--'-----'--' ~---'X3 2x2y2 + xy3 - xy(x - y) X3 yy _ 2x2y2 Nl

e) e)

d) d)

e)

47

+ 12J15 I2fo 77

J6

fif i + .)3 .fi + J6 == 1 + 3fi 3fi -_ 2.fi 2.)3 fi+.fi fi+.)3

ajb - bJa ajb ajb + ajb + bJa

a + bb -a-

2fo 2# bb

g) g)

h) h)

n O

2+.fi+J5 2 + .)3 +.j5

10.fi + 4J5 3fo 6 + 10.)3 4.j5 + 3J15

2+.fi-J5 2+.)3-.j5

11

44 --

11

--

2 +,y2 2+.y2

2,y2 + .y¡ 2.y2+.y4 10 10

3

3

x + y ., ~ JX2 J X2 - 2xy + y2 y2

2y

JY + ---x - -JY JY == ----'2X2 2X2 + 2y --'JY x + JY JY JY xX22 - y

x + JY

33

x -

2x

--

2


~x~y ~x~y

EL si x ~ y

OP

CAPITULO CAPITULO 8

Operaciones Operaciones con números complejos LA UNIDAD NUMEROS IMAGINARIOS UNIDAD DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS es F Fl l y se representa, representa, en general, por propiedades de los números números la letra i. Muchas Muchas de las propiedades números reales son válidas también también en los números imaginarios. imaginarios.

p p

J=l8

Ji8

= )(4)( )(4)( -1) -1) = =2 2Fl 2i, J=l8 = )(18)( -1) -1) = Ji8 F Fl l = 3ft¡ = F l = 2i, Por ejemplo, También ii33 = ii22. • ii = (-I)i = -i, ii44 = (¡Zf También como i = F Fl,l , tenemos ii22 = -1, -i, (i2f = (_1)2 (_1)2 1, para cualquier cualquier potencia 1, ii 55 = ii44•• ii = 1 . i = i,i, Y análogamente análogamente para potencia entera entera de i.i.

Nota. Se debe tener sumo cuidado propiedades de los números Nota. cuidado al aplicar aplicar algunas de las propiedades números reapensar que les. les. Por ejemplo, se puede pensar

p pp p

= = )( )( -4)( -4)( -4) -4) = = Ji6 Ji6 == 4, 4,

lo cual es incorrecto incorrecto

Para ~, siendo m un número Para salvar tales dificultades, expresaremos expresaremos siempre ~, número positivo, por i¡22 == -1. Así, pues,

Jm i;i; siendo

p p p p

= (2i)(2i) 4i22 = --4, 4, (2i)(2i) = 4i

que es correcto correcto

NUMERO COMPLEJO. Es de la forma a + bi, siendo a y b números números reales, e i == F Fl.l . NUMERO COMPLEJO. número complejo complejo a + bi, a recibe el nombre nombre de parte real y bi bi el de parte imaginaria. «Si En el número parte real parte imaginaria. número complejo complejo se llama imaginario imaginario puro.» número complejo complejo se reduce a = = O, el número puro.)) Si b == O, el número número real a. Por consiguiente, consiguiente, en los números números complejos incluidos todos todos los números números al número complejos están incluidos todos los imaginarios imaginarios puros. reales yy todos condición necesaria necesaria y suficiente para números complejos complejos a + bi Y e + di sean La condición para que los números = O O si, y solo si, a = = O, b = o. O. Si e + di = 3, se + bi bi =

iguales es que a = = e y b = d. Así, pues, a iguales tendrá e == 3, d == O. tendrá

CONJUGADO DE UN UN NUMERO COMPLEJO a EL CONJUGADO NUMERO COMPLEJO conjugados. ejemplo, 5 - 3i Y 5 + 3i son conjugados.

+ bi

recíprocamente. Por es a - bi, Y recíprocamente.

OPERACIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS CON CON NUMEROS COMPLEJOS NUMEROS COMPLEJOS OPERACIONES Para sumar números complejos se suman, por otra, 1) Para sumar dos números por una parte, parte, las partes partes reales y, por otra, las imaginarias. imaginarias. Por ejemplo, = (a + e) + (b + d)i (a + bi) + (e + di) = 2)i == 8 + 6i (5 + 4i) + (3 + 2i) = = (5 + 3) + (4 + 2)i (-6 + 2i) + (4 (4 - 5i) 5i)== (-6 (-6 + 4) 4) + (2 (2-- 5)i 5)i== -2 -2 -- 3i 3i (-6

Para restar restar dos números números complejos complejos se restan, restan, por otra, 2) Para por una parte, parte, las partes partes reales y, por por otra, imaginarias. Por Por ejemplo, las imaginarias. (a

+ bi)

- (e

+ di)

= (a =

e)

+

(b - d)i

63


64

OPERACIONES CON CON NUMEROS NUMEROS COMPLEJOS COMPLEJOS OPERACIONES

(5 - 3i) == (3 (3 - 5) + (2 + 3)i == -2 -2 + 5i (3 + 2i) - (5 (- 3 + 2i) == ((- 1 + 3) + (1 (1 - 2)i == 2 - i ( - 11 + i) - (Para multiplicar multiplicar dos dos números números complejos complejos se efectúa efectúa la operación operación como como si se tratase tratase de dos dos 3) Para binomios sustituyendo sustituyendo ii22 por por - l. Por Por ejemplo, ejemplo, binomios 2 bi)(e + di) = = ac + adi + bci + bdi bdi2~= + bi)(c 1 = (ac 2 (5 + 3i)(2 - 2i) = 10 - 10i + 6i - 6~2 6i = 10 (5

(a

bd) - bd)

be)i + (ad + bC)i

-1) = 16 - 4i 4i - 6( -1)

Para dividir dividir dos dos números números complejos complejos se multiplican multiplican el numerador numerador y denominador denominador por el 4) Para por conjugado del denominador denominador sustituye ii2 por por - 1. l. Por Por ejemplo, ejemplo, conjugado y se sustituye

2

+i

2

+i

-3 ---4i - 4i = -33 - -4i 4i .

+ 4i -3-+-4-i 3 + 4i = 3

6

+

11ii 8i + 3i + 4izl 2 + 11 2 2 9 - 16i = --2-52-5- = 25 16;2

3. ( 11 . 11

+ 25 25/1

Capítulo 20 se trata trata de cálculos cálculos más más complicados complicados con con números números complejos. complejos. En el Capítulo

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS 1. l.

Expresar Expresar en función función de de ;.i.

=

a) a)

F25 ) -2S

b) b)

3J"=36 = 3)36 3)=36 = 3)36

e) e)

Dd) - d)

e) e)

= J(25)(-I) )(2S)(-I)

=.fi5p = foP ==

5i S;

P == 3 '. 6' 6 . ;i = = 18; 18i P -4J=8t P == -4,9'; -4·9' i == -36i -4J=8I = = -4J8t -4J81 P -36;

k

R=flp=fi~=~;

R=flp=jt=fi

4 . .2 VVFI6 FI6 F49 25 100== 2' 25 - 3 V V(=i9 100 2· 51 5' --

m

7. 8. 7. 8. 3'10 3'\0 11 = = 51 5'

21.

16.. 16

f)f)

P2 --P P == Ji2 ;i -- j3 Ji i;== 2j3 2Ji;i -- j3 Ji;i == j3 Ji i;

g) g)

3J -50 + 6J -200 3.J=50 + 5J=18 sJ=Ts - 6)

h) h)

--2 2

J=4 == --22 + J4 J4;i == --22 + 2i2;

+ J=4

J50 ;

m)

m)

~ (J32 (ft + J=I28) F-I2s) == ~~ (4.. (4../2"2 +

~

4

4

11 . n

== 15)2 IS)2 ;i + + 15)2 IS)2;i - 60)2 60)2;i = = -30)2i -30 12;

i) ;) 6 - J) - 50 SO = = 6 - J50 i = = 6 - 5)2 s)2 i;

1) 1)

21.

-lo /1 == lo / == -- "2"2/' -\o \o 11 -lo - \o 1

J=8 == J8 fi

j)j)

J8 fi + J=8

k) k)

~(-10 + ~(-IO S

piS) = ~(-IO ~(-IO piS) S

p

s)5 i);) = -2 -2 +)5 +)5;i + 5)5 4.

8)2 i) 8)2;)

al

== )2 )2 + 2)2 2)2 i; b)

y=s + J=8 J=8 == -2 -2 + 2)2 2)2 i; = _1 + )2F. i. R = -1 + ...;21 22

o

+ J8 fi;i == 2)2 2)2 + 2)2 2)2;i

2

e)

2. 2.

Efectuar Efectuar las las operaciones operaciones indicadas indicadas yy simplificar. simplificar. a) a)

(5 (S - 2i) 2;) + (6 (6 + 3i) 3;) = = 11+ 11 + i;

h) h)

(6 + 3i) 3;) - (4 (4 -- 2i) 2;) = = 6 + 3i 3; - 44 + 2i 2; (6


S; == 2 + 5i

65 65

OPERACIONES CON CON NUMEROS NUMEROS COMPLEJOS COMPLEJOS OPERACIONES e) (S (S -- 3i) 3i) -- ((- 22 + + Si) Si) == SS -- 3i 3i + + 22 -- SiSi == 77 -- Si 8i e)

3S S 3

11311 3 1 1

SI I S

S7 7 S

d) d)

(2 + +g 8 i)i) ++ ((- 4 4 ++ 44 i)i) == 22 -- 44 ++ (g (8 ++ 4) 4) ii == 44 ++ g8 ii (2

e) e)

(a (a

bi) + + (a(a -++ bi)

f) f)

(a (a

bi) -++ bi)

g) g)

(S -- J-12S) (4'.- J-20)20) = = (S (S -- syÍS i) i) -- (4 (4 -- 2j5 2yÍS i)i) = = 11 -- 3fi 3yÍS ii (S -12S) -- (4'.-

dos

'"'" bi) == 2a 2a bi)

(a -- bi) bi) = aa (a

J

bi -++ bi

aa

bi = 2bi 2bi ++ bi

J-

sfi

r el 2 = 3. a) a) R~ ,J=2y'=32 = = (J2 (J2 i)(J32 i)(fo i) i) = = J2 J2 J32 fo 3. i¡2 =

J

b) --3J=5J-20= b) 3 P -20

= --3(yÍSi)(foi)= 3(fi i)(J20 i) =

j64 (-1) (-1) = = -S -8 J64

2 2= -3(J5fo)iJ20)i -3(jS

= --3J!OO(-I) 3JiOO (-1) =

30 30

e) e)

(4i)(-3i) = = -12¡2 -12¡2 = = 12 12 (4i)(-3i)

e)

(2p)3 (2P)3 = = (2i)3 (2i)3 = = Si 8i3 = = Si(i2) 8i(i2) = = -Si -8i

d) d)

(6i)2 == 36¡2 36i2 == -- 36 36 (6i)2

f) f)

2 + 6i == -3 3i(i + 2) = 3i 3¡2 -3 + 6i

g) g)

(3 - 2i)(4 + i) = = 3 . 4 + 3 . i - (2i)4 (2i)4 - (2i)i (2i)i = = 12 12 + 3i - Si 8i + 2 = 14 14 - Si Si (3

h) h)

(5 - 3i)(i + 2) = 5i + lO 10 - 3i2 - 6i = = Si 5i + lO 10 + 3 - 6i = = 13 13 - i (S = Si

i)

(5 + 3i)2 3i)2 = 52 + 2(5)3i (3i)2 = = 25 16 + 30i (S = S2 2(S)3i + (3i)2 2S + 30i + 9i2 = = 16

j) j)

(2 - i)(3 i)(3

+

2i)(1 2i)(1 - 4i) = = (6

+ 4i - 3i - 2i2)(I (8 + i)(1 2i2)(1 - 4i) = = (S i)(1 - 4i)

= 8 S - 32i

1) 1) (1 (1 m) m)

+ i)3 i)3 = = 1 + 3i + 3i2 + 3i3 == 1 + 3i - 3 - i == --22 + 2i

(3 - 2i)3 = 33 + + 3p2)(-2i) 3(3 2)(-2i) = = 27 27

n) n)

(3 (3

+ i - 4i2 = 12 12 - 31i

+ + 3(3)(-2i)2 3(3)(-2i)2 + + (-2i)3 (-2i)3

+ + 3(9)( -,2i) - ,2i) + + 3(3)(4i22) - 8i Si3 == 27 27 - S4i - 36 + + 8i Si == -9 -9 - 46i 46i

+ + 2i)3 2i)3 = 333 + + 3(322)(2i) ++ 3(3)(2i)2 3(3)(2i)2 + + (2i)3 == 27 27

2 ++ S4i ++ 36i 36i2 + + 8i Si33 == 27 27 + + S4i S4i -- 36 36 -- 8i Si == -- 99 + + 46i 46i

2)2 == (-3 ++ 2i)4 2i)4 == [(1 [(1 + + 2i)2]2 2i)2]2 == (1 (1 + + 4i 4i + + 4i 4¡2)2 (-3 + + 4i)2 4i)2 == 99 -- 24i 24i + + 16i 16i22 == -7 -7 -- 24i 24i

o) o)

(1 (1

p)

(-1

a) a)

11 + + ii 11 ++ ii 33 ++ ii 33 ++ 3i3i ++ ii ++ ii22 22 ++ 4i4i 11 22 - = --' -+ "5 ii 332 =-- -10=- "5 + 3 _- ii = 33 _- i'i 33 + + ii == 3 2 _- i2 ¡2

b) b)

ii == ii (_ (_i)i) == __i2i2 == T T == -- ii

+

+

i)8 = [(-1

i)2]4 = (1 - 2i

+

¡2)4 = (_2i)4 = 16¡4 = 16

¡Si 4. 4.

---¡o - 5 5

11

e) e)

11 -i-i

2fi ++ J2J2 ii

2.j3

3J2 3J2 -- 4.j3 4.fi ii

5i

-i-i

-i-i

2.j3 2.fi + + J2 J2 ii ., 3J2 3J2 ++ 4.j3 4.fi ii __ (2.j3 (2.fi ++ J2 J2 i)(3J2 i)(3J2 + + 4)3 4fi i)i) 2 3J2 + 4.j3 i (3J2)2 (4.j3)2i 3J2 + 4.fi i (3J2)2 - (4.fi)2i 2

3J2 3J2 -- 4.j3 4.fi ii

__ 6)6 6)6 ++ 8J9 s)9 ii ++ 3J4i 3)4 i ++ 4)4 4)4 ii22-2)6 -2)6 ++ 30 30 ii .)6 ,)6 S.S. -18 = 66 = IS ++ 48 48 = 66 = 33 33 ++ 11' 11'


66

OPERACIONES

CON

NUMEROS

COMPLEJOS

PROBLEMAS PROPUESTOS 5. 'Expresar en función de i. a) 2}"=49

d)

4F1i8

h) -4)-64

e)

3J=2s - 5FtOO

e)

2J=72 +

fl

6FJi9

Efectuar las operaciones

indicadas

4)=81 - 3) - 36 + 4~25

i)

3J - 32

h)

~ ( - 12 - ) - 288 ) 6

3Ji2 - 3F12

j)

y simplificar.

UNA 6.

a) (3 + 4i) + (-

g)

(2i)4

b) (- 2 + 5i) - (3 - 2i)

h)

(íJ':"3)"

11)

(1

i)

5i(2 - i)

o)

(i -

j)

(2 + i)(2 - i)

p)

(2 + 3i)3

k) (- 3 + 4i)( - 3 - 4i)

q)

(1 -

(2 - 5i)(3 + 2i)

r)

(i

3 - fli

i + i1 + i-1 + i· g) ---------~-_.1 + i

e)

2

1

1

(3 - 2 i)

- (-

d) (3 + J=8)

7.

4i)1

(3 -

I - 6i)

e)

P~-12

f)

(-ifi)(ifl)

a)

1

3 + 2 i)

- (2 -

J-32)

1)

2 - 5i

d)

4 + 3i

./2i

e)

e)

2 - 2i 3fl

+ 2)3

i

3fl

-

2)3

i

--+-1 -

2i

5 .fl --+--3 - 4i

1

+ i)(2 + 2i)(3

h)

+ 4i 10

i)

n

i)·

+ 2)5

i -

i I

4-" 1 (____

4 + 3i

- i)

1)'

¡2b _

3

1

-1 h)

m)

1

.

1 )1

+ 2i LAS

SOLUCIONES

5.

6.

DE LOS PROBLEMAS

a)

14i

e)

2i

e)

-35i

h)

-32i

d)

fli

O/)

24fl

a)

2 - 2i

d)

1

h)

-5+7i

e)

-6

c)

1-i

fl

2

a)

-

+

6fl

e e I d

PROPUESTOS

i

-2

11)

-2 - 2fl i

i

g)

16

j)

5

h)

-27/64

k)

25

+

g)

i

m)

+ 20

i)

18i

j)

6)3 - 6)3

-7 - 24i

i

p)

-46 + 9i

1,

t

OPEI

7.

-

7

25 1

h)

-

-

26 i 25

--

1

4 - 4i

i)

1

5

+

10i

1) 16 - 11i

2)-

e)

5+5

d)

3 ¡::, -1 - -v2 i 2

6i

e)

fl

32

26

11

2

Ss - 85 i S-Si


11)

4

+

12i

q)

-4

o)

2

+:

2i

r)

-38 + 41i

g)

O

h)

i

i)

3

+

4i

CAPITULO CAPITULO 9

Ecuaciones Ecuaciones en general

UNA ECUACION ECUACION es una una igualdad igualdad entre entre dos dos expresiones expresiones que que se denominan denominan miembros miembros de la misma. misma. UNA Una ecuación ecuación que que solo solo se verifique verifique para para ciertos ciertos valores letras (o incógnitas) incógnitas) recibe recibe el Una valores de las letras nombre de ecuación ecuación condicional condicional o, simplemente, simplemente, ecuación. ecuación. nombre Una ecuación ecuación que que se verifique para todos todos los valores valores permitidos permitidos de sus letras letras (o incógnitas) incógnitas) Una verifique para recibe el nombre nombre de identidad. identidad. Valores Valores permitidos permitidos son son aquellos aquellos para para los que que están están definidos definidos los recibe miembros de la ecuación. ecuación. miembros Por ejemplo: ejemplo: Por 1) x + 5 = = 8 se verifica verifica solo solo para para x == 3; es una una ecuación ecuación condicional. condicional. 1)

2)

x2 - y2 X2

3)

x _ 2

I

+

(x - y)(x y)(x (x

y) + y)

verifica para para todos todos los valores valores de x e y; y; es una una identidad identidad. . se verifica

l 2x 'fi 2x -- 5 ifi para to d os los valores excepto para los no perx _ 3 = = (x (x _ 2)(x 2)(x _ 3) se .ven ven ca ea para to valores excepto para no per-

mitidos x == 2, x == 3 3;; para para estos estos valores, valores, la operación operación se reduce reduce a una una división división por por cero, cero, lo cual cual mitidos carece de sentido. sentido. Como Como la ecuación ecuación se verifica verifica para para todos todos los valores valores permitidos permitidos de x, es una una carece identidad. identidad. Para representar representar una una identidad identidad se emplea emplea el símbolo símbolo == en lugar lugar del símbolo símbolo = =.. Para

3i

LAS SOLUCIONES SOLUCIONES una ecuación ecuación son son los valores valores de las incógnitas incógnitas que que transforman transforman ecuaLAS de una la ecuación en una una identidad, identidad, es decir, decir, se igualan igualan ambos ambos miembros. miembros. Las Las soluciones soluciones satisfacen satisfacen a la ción ecuación. Si la ecuación ecuación solo solo contiene contiene una una incógnita, incógnita, las las soluciones soluciones se denominan denominan raíces raíces de la ecuación. ecuación. ecuación. Resolver una una ecuación ecuación es hallar hallar todas todas sus sus soluciones. soluciones. Por Por ejemplo, ejemplo, x = = 2 es una una raíz, raíz, o solución, solución, Resolver ecuación 2x + 3 = 7, ya que que sustituyendo sustituyendo x = 2 en ésta, ésta, se obtiene obtiene 2(2) 2(2) + 3 = 7, es decir, decir, de la ecuación dos miembros miembros se hacen hacen iguales iguales y la ecuación ecuación se convierte convierte en una una identidad identidad. . Análogamente, Análogamente, los dos tres soluciones soluciones de la ecuación ecuación 2x 2x + y = 4 son son: : x = O, O, Y = 4; 4; x = 1, Y = 2; 2; x = 5, Y = -6. -6. tres

9i

OPERACIONES APLICADAS EN LA TRANSFORM TRANSFORMACION DE ECUACIONES ECUACIONES OPERACIONES APLICADAS EN ACION DE a) 41i

suman miembro miembro a miembro miembro varias varias igualdades, igualdades, se obtiene obtiene otra otra igualdad. igualdad. Si se suman Por ejemplo ejemplo, , en la igualdad igualdad x - y = = z, podemos podemos sumar sumar y a ambos ambos miembros, miembros, con con 10 lo que que rePor sulta x == y + z. z. sulta

b)

restan miembro miembro a miembro miembro varias igualdades se obtiene igualdad. Si se restan varias igualdades obtiene otra otra igualdad. Por ejemplo, ejemplo, en la igualdad igualdad x Por obtiene x == 3. obtiene

+2

= 5, podemos podemos restar restar 2 a ambos ambos miembros, miembros, con con lo que que se =

Nota. Como consecuencia consecuencia de a) y b) se deduce deduce que que para para trasponer trasponer un un término término de una una ecuaecuaNota. Como ción de un miembro miembro a otro otro no hay hay más más que que cambiarlo cambiarlo de signo. signo. Por ejemplo, ción Por ejemplo,

67 67


68 68

ECUACIONES ECUACIONES EN GENERAL GENERAL

3x si 3x e) c)

+

2y - 5 = x - 3y 3y

+ 2, tendremos tendremos

3x 3x - x

+

2y 2y

+

3y 3y

= 5 + 2 o 2x 2x + 5y = 7.

multiplican miembro Si se multiplican miembro a miembro miembro varias igualdades igualdades se obtiene obtiene otra otra igualdad. igualdad. ejemplo, se se multiplican iY Por ejemplo, multiplican por por 4 los dos miembros miembros de la igualdad igualdad iY

= =

2X2 2X2 se obtiene obtiene

y = = 8X2. 8x2•

e

Análogamente, si los dos miembros Análogamente, miembros de ~C ~C 5 = 9(F 9(F - 32). =

= =

F - 32 se multiplican obtiene multiplican por por ~ ~ se obtiene

miembro a miembro obtiene otra otra igualdad, Si se dividen miembro miembro varias igualdades igualdades se obtiene igualdad, siempre que no se divida por cero.

d)

ma unt de

ori UN TI tiei vo:

+

-4x = = -12 por -4, se obtiePor ejemplo, si se dividen los dos miembros miembros de la igualdad igualdad -4x por -4, ne x == 3. Análogamente, en la igualdad dividir los dos miembros obAnálogamente, igualdad V == RI RI se pueden pueden dividir miembros por por R =1= O, obteniéndose 1I == VI R R.. teniéndose exponente los dos miembros obtiene otra otra igualdad. e) Si se elevan al mismo exponente miembros de una igualdad igualdad se obtiene igualdad. 2 2 (21tJTji)2 = 41t Por ejemplo, si T = 21tJTji, 21t$g, tendremos tendremos ~ ~ = (21t$g)2 41t 11/g /g f) Si se extrae la raíz enésima de los dos miembros miembros de una una igualdad igualdad se obtiene obtiene otra otra igualdad. igualdad. 3V . l1 . J3 3V 1 Por eJemp 41t '' resu ta r == ejemp o, SI r = = 41t

JJ3V

y313V ~. V ~

res

recíprocos de los miembros dan lugar a otra otra igualdad, Los recíprocos miembros de una igualdad igualdad dan igualdad, siempre que cero. no tenga lugar la división por por cero. 11 ejemplo, si xl 3. Análogamente, R22 se verifica tendremos x == 3. Por ejemplo, xl --33 ,, tendremos Análogamente, si II -- R¡ + R R R ¡R2 2 R - R¡R R == R¡R R¡R2 2

g)

R¡

+ R22'

UNA

no po

'

operaciones a) a) a f) Las operaciones f) se llaman axiomas de la igualdad. igualdad. ECUACIONES EQUIVALENTES. EQUIVALENTES. ECUACIONES

Son las que tienen las mismas soluciones.

UNA er

Por ejemplo, x - 22 = O O YY 2x 2x = 44 tienen la solución común x = 22 y, por por tanto, tanto, son equivaequivasolución común 2 embargo, x - 22 = O O YY xX2 2x O no son equivalentes, equivalentes, ya que xX22 - 2x O tiene, lentes. Sin embargo, 2x = O 2x = O solución x = = O. además, la solución operaciones anteriores anteriores aplicadas aplicadas a la transformación dan lugar, en toLas operaciones transformación de ecuaciones no dan ecuaciones equivalentes equivalentes a las primitivas. La aplicación aplicación de estas operaciones operaciones puede dos los casos, a ecuaciones conducir a ecuaciones ecuaciones derivadas derivadas que tengan distintas distintas solucioJ;les soluciones que la ecuación ecuación original. original. conducir Si se llega \lega a una ecuación ecuación con más soluciones que la original, Si original, las soluciones nuevas se denominan extrañas extrañas y la ecuación ecuación derivada original. Si se \lega derivada se \lama llama redundante redundante con respecto a la original. llega minan original, la ecuación ecuación derivada derivada recibe el nombre a una ecuación con menos soluciones que la original, nombre de defeetiva con respecto a la original. defectiva original.

lo, de

Las operaciones operaciones a) a) y b) conducen a ecuaciones ecuaciones equivalentes. equivalentes. Sin embargo, embargo, c) e) y e) pueb) siempre conducen pue~ dar lugar a ecuaciones eeuaciones redundantes extrañas y d) y f)f) a ecuaciones ecuaciones defectivas. den dar redundantes y soluciones extrañas UNA FORMULA ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio. UNA FORMULA es una ecuación principio. fórmula de geometría Por ejemplo, la fórmula geometría A su radio r.

= 1tr 1tr22 =

expresa el área A de un círculo en función de

aceleración de la gravedad aproximaLa fórmula fisica s == Ígt Ígt2,2 , en la que g es la aceleración gravedad y que vale, aproximadamente, 9,81 9,81 metros metros por segundo en cada segundo, expresa la relación que existe entre damente, por segundo cada segundo, entre el espametros, que recorre cuerpo que cae libremente libremente partiendo recorre un cuerpo partiendo del reposo, y el tiempo tiempo t, en cio s, en metros, movimiento. segundos, que emplea en el movimiento.


UNA de

69

ECUACIONES EN GENERAL GENERAL ECUACIONES

Resolver una fórmula con con respecto de las letras letras que que figuran figuran en ella ella es efectuar efectuar las misResolver una fórmula respecto a una una de mismas operaciones operaciones en ambos ambos miembros que aparezca aparezca la letra letra deseada deseada aislada aislada en mas miembros de la misma misma hasta hasta que uno de ellos. ellos. uno tiene tiene

e no btie, ob-

Por ejemplo, ejemplo, si F dividir por obteniéndose a == Flm, con lo cual cual queda queda Por F == ma, ma, se puede puede dividir por m m obteniéndose F/m, con despejada a en función función de de F y de m. Como Como comprobación, comprobación, sustituye a = = Flm ecuación si se sustituye F/m en la ecuación despejada original se obtiene obtiene F que es una identidad. original F == m(F/m), m(F/m), que una identidad. UN TERMINO TERMINO RACIONAL con respecto cierto número de incógnitas, incógnitas, x, y, ... , UN RACIONAL ENTERO ENTERO con respecto a cierto número de y, z, ... enteros y posititiene la forma forma axPyqz' axPyqz' ... ... , en donde donde ,los "los exponentes, exponentes, p, q, q, r, ... ... , son son números tiene números enteros positivos, o cero, cero, y el coeficiente coeficiente a es independiente independiente de de las incógnitas. incógnitas. La La suma suma de los los exponentes, exponentes, p + q vos, denomina grado con respecto incógnitas x, + r + ...... , se denomina grado del término término con respecto a las incógnitas x, y, zz,, Ejemplos. Ejemplos.

3x2 Z3, 3X2 Z3,

t x 4, 4,

son términos enteros. 6 son términos racionales racionales enteros.

grado 2 en x, 3 en zz y 5 en x y ~. es de grado ~.

22 3 3 ZZ

3X 3X

!-X4 es de de cuarto cuarto grado. grado. 6 es de de grado grado cero. cero. !-X4

Idad.

4y 4y -x

Idad.

í.. í.. = no es entero x; 3xy' = 4yx-¡ 4yx-1 no entero en x; 3xy' Y Y

no es racional racional en y. no

Z3 Z3

Si al hablar no se especifica refiere, se sobrentiende hablar del grado grado no especifica a qué qué incógnitas incógnitas se refiere, sobren tiende que que es con con respecto a todas que figuran figuran en el término. término. respecto todas las que e que rifica

UNA EXPRESION EXPRESION RACIONAL de varias incógnitas, consta consta de térmiUNA RACIONAL ENTERA, ENTERA, o polinomio polinomio de varias incógnitas, términos, cada cada uno de los cuales cuales es racional entero. . El grado grado de de la expresión expresión viene dado por corresnos, uno de racional y entero viene dado por el correspondiente al término grado. pondiente término de mayor mayor grado. 3 Ejemplo. 3x3y4z 8x + 3 es una expresión racional entera de grado grado 3 en x, Ejemplo. 3x y4z + xy2z xy2z5 5 - 8x una expreslOn racional entera x, 4 en y, y, 5 en z, 7 en x e y, y, 7 en y y z, 6 en x y Zz y 8 en x, y y z.

UNA ECUACION ECUACION RACIONAL igualdad entre entre dos dos expresiones expresiones racionales UNA RACIONAL ENTERA ENTERA es una una igualdad racionales enteras. El grado grado de de una ecuación es el correspondiente correspondiente de mayor grado. una ecuación al término término de mayor grado. enteras. uivatiene, en topuede

1.

denollega

re de ) pue-

s.

ión de

Ejemplo. xyz2 3xz = = 2x + 3z 3z22 es de de grado grado 3 en x, en y, en)'y y z, Ejemplo. xyz2 + 3xz 2x33yy + x, 1 en y, 2 en z, 4 en xx e y, y, 3 en 3 en x y zz y 4 en x, x, yy yy z. una ecuación ecuación se pueden semejantes. Por ejemplo, 4x 4x3)'3 y En una pueden reducir reducir los términos términos semejantes. Por ejemplo, escribir en la forma forma xx22zz - xy2 + z, se puede puede escribir xy2 == Z. Z.

xZz x 2 z - xy2 xy2

Una ecuación ecuación se llama llama lineal lineal si es de de primer grado, y cuadrática cuadrática si es de de segundo segundo grado. grado. AnáUna primer grado, Análogamente, las de de grados grados 3, 4 Y 5, reciben de ecuaciones ecuaciones de tercero, cuarto y quinto quinto gragrareciben el nombre nombre de tercero, cuarto logamente, do, respectivamente. respectivamente. do, Ejemplos. Ejemplos.

+

3y 3y

xX2

-

4xy 4xy

x33

+

3x2 - 4x 4x - 6 6 3X2

2x 2x 2

= 7z es una ecuación lineal lineal en = una ecuación

+ 5l

aoxn aoxn

x, y y Z.

= 10 es una ecuación cuadrática cuadrática en x e y. = una ecuación y. = O O es una ecuación de tercer grado en = una ecuación tercer grado

UNA ECUACION ECUACION RACIONAL GRADO UNA RACIONAL ENTERA ENTERA DE DE GRADO escribir en la forma forma de escribir

ximaespat, en

+

= 4x 4x33yy =

11

x.

con respecto incógnita x, se puecon respecto a la incógnita pue-

+ a¡x an _ ¡x + aann == O alxn-nI-¡ + a22xxnn-Z- 2 + ... ... + an_Ix O

siendo ao, a al'¡, ..... . ,, a a;n constantes constantes y n un entero entero positivo. siendo positivo.


70 70

ECUAC10NES ECUACIONES EN EN GENERAL GENERAL

d)

Como casos casos particulares particulares tendremos tendremos Como aox ++ a¡ a¡ = = OO oo ax ax ++ bb = = OO aox 2 aox2 + + a¡x a¡x + + aa22 == OO oo ax" ax 2 + + bx bx + + ee == OO aox 3 2 3 2 + a¡x a¡x + + a2x a 2x + + aa33 == OO aaox ox + 4 + a¡x33 + a x22 + a3x + a = O 4 aaox x + a¡x + a x o 22 + a3x + a¿4 = O

es es de de grado grado 1 (ecuación lineal) (ecuación lineal) es cuadrática) (ecuación cuadrática) es de de grado grado 22 (ecuación

cer

es cúbica) (ecuación cúbica) de grado grado 33 (ecuación es de es cuártica) (ecuación cuártica) es de de grado grado 44 (ecuación

tip ect e)

PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS l. 1.

2.

raí

Detenninar cuáles cuáles de de las las expresiones expresiones siguientes siguientes son son ecuaciones ecuaciones yy cuáles cuáles son son identidades: identidades: Determinar

4) = = 2(x 2(x -- 2), 2), ++ 4)

a) a)

3x -- (x (x 3x

b) b)

(x -- 1)(x I)(x (x

e) e)

(y -- 3)' W (y

d) d)

xx

3y -+ 3y

2x 2x -- 44 = = 2x 2x -- 4; 4;

+ 1) 1) = = (x (x -- 1)2, +

y2 __ 6y 6y y2

y, 1) - y,

2y) + 3, 3, + 2y)

xx

+ 3y 3y -

f)

+ 1; 1; ecuación. ecuación. +

2 -- 1I = 2 -- 2x = xX2 2x xX2

3(2y -- 3) 3) = = y(y y(y + + + 3(2y = 2(x 2(x 55 =

identidad. identidad.

6y -_ + 99 + 6y

5 = = 2x 2x

+ 4y 4y + 3; 3;

= y2 y2 99 =

+ YY --

y2 y2 = = y2; y2;

y, y,

identidad identidad

ecuación. ecuación.

g)

Comprobar si la la solución solución o soluciones soluciones indicadas indicadas satisfacen satisfacen las las ecuaciones ecuaciones siguientes: siguientes: Comprobar a)

b)

x

x

"2 + '"33 == 2 xX2

lO;

x

+ 6x 6x +2

==

~ - - = 3x 3x - 2' 2;

x

__12 _12 _ 10,6 2212 + _12 3 __ ro , 6

12.

'

+4 = = lO, Y x = = 12 es es solución. solución.

2222 + + 6(2) 6(2) = = 3(2) 3(2) -_ 22 ' 22 + + 22 '

- 1. x = 2, x = -1.

16' Hí

4 == 4"

..

.. 4, Y Y xx = solución. 4, = 22 es es soluclOn.

a)

( - 1)2 - 5 1)2 + 6( - 1) ---.,------:----:---::--- = 3( -1) = - 55, Y x = - 1) - 2 2, = - I1 es solución. solución. -1 ' 11 ' -1 + 2 2 e)

X2 xy + y2 = x2 - xy = 19;

x = = -2, -2, y = = 3: ;; = = 4, y == 2

x = = -2, -2, y = = 3;

x = fi; = 4, Yy == 2 + fi;

4. D

b)

x = = 2, y = -1. -1.

(_2)2 (_2)2 - (-2)3 (-2)3 + 322 = = 19 19 == 19, Y x == --2,2, y == 3 es solución. solución.

+ fi: fi:

422 - 4(2

(2 + fi)2 = 19, + fi) fi) + (2 fi)2 =

4fi 16 - 8 - 4fi

4fi + (4 + 4fi + 7) == 19,

el

19 19 = = 19 19 Y x = = 4, Y == 2 + fif i es es solución. solución. 2 2 -1: 2( -1) + (_1)2 (_1)2 = = 19, 19. 7 = = 19 19 Y x = = 2, y == -1 -1 no es es solución. solución. x == 2, y == -1: 2 -- 2(-1) 3. 3.

dl

Aplicar Aplicar los axiomas axiomas de de la igualdad igualdad para para resolver resolver las las ecuaciones ecuaciones siguientes siguientes: : a) a) 2(x 2(x + 3) 3) == 3(x 3(x -- 1), 1), 2x + 66 == 3x 3x -- 3. 3.

Transponiendo ténninos: Transponiendo términos: Comprobación: Comprobación: b) b)

xx

xx

"3'3 ++ 66 == 1.1. Comprobación: Comprobación:

e) e)

2x 2x -- 3x 3x == -6 -6 -- 3, 3,

-x -x == -9. -9.

Multiplicando por --1:1 : xx == 9. 9. Multiplicando por

2(9 2(9 + + 3) 3) == 3(9 3(9 -- 1), 1), 24 24 == 24. 24. Multiplicando por por 6: 6: Multiplicando

5. H

2x + + xx == 6,6, 3x 3x == 6. 6. 2x

Dividiendo por por 3: 3: Dividiendo

xx

2. == 2. a

2/3 2/3 + + 2/6 2/6 == 1, 1, 11 == 1.1.

3y 3y -- 2(y 2(y -- 1) 1) == 4(y 4(y + + 2), 2), 3y 3y -- 2y 2y + + 22 == 4y 4y + + ~& Yy ++ 22 == 4y 4y + + 8.8.

== 88 --

2, 2,

-- 3y 3y

== 6.6.

Transponiendo: Transponiendo:

yy -- 4y 4y

Comprobación: Comprobación:

3(-2) 3(-2) -- 2(-2 2(-2 -- 1) 1) == 4(-2 4(-2 + + 2), 2), 0=0. 0=0.

Dividiendo por por -3: - 3 : yy Dividiendo


66

-=3 == -2. - 2. == -3

b

ECUACIONES GENERAL ECUACIONES .EN GENERAL 2x 2x - 3 d) d) x _ 1

4x - 5 4x x - 1

Multiplicando Multiplicando por por x - 1,

2x 2x - 3

= 4x 4x =

71 - 5 o

Comprobación: Sustituyendo x = = 1 en la ecuación ecuación dada dada se obtiene obtiene -1 -1/0 Comprobación: Sustituyendo /0 cero carece carece de de sentido, sentido, la ecuación ecuación dada dada no solución. no tiene tiene solución. cero 2x 2x - 3 Obsérvese que que 1) --- - Obsérvese x - l1

4x - 5 4x

=---- = x - l1

4x = 4x

y 2) 2x 2x - 3

= =

x

= =

1. -1/0. Como la división división por -1 /0. Como por

son ecuaciones ecuaciones equivalentes. equivalentes. Si 1) se mul- 5 no no son mul-

tiplica introduce la solución extraña x = = 1, y la ecuación ecuación 2) es redundante con respecto tiplica por por x - 1 se introduce solución extraña redundante con respecto a la ecuación 1). ecuación

e) x(x x(x - 3) == 2(x 2(x - 3).

Dividiendo ambos miembros obtiene la solución solución x = = 2. Dividiendo ambos miembros por por x - 3 se obtiene

Ahora = O, o x = = 3, 3, también solución de la ecuación ecuación dada dada pero dividir. Las Las Ahora bien, bien, x - 33 = también es solución pero se ha ha perdido perdido al dividir. raíces son x = = 2 y x = = 3. raíces buscadas buscadas son La ecuación ecuación x = = 2 es defectiva con respecto dada. . La defectiva con respecto a la dada

fl f)

F+2 =

cuadrado los los dos dos miembros, sea x = -1. - 1. - 1. Elevando Elevando al cuadrado miembros, x + 2 = 1, o sea

Comprobación: Comprobación: entidad

Sustituyendo x = -1 -1 en en la ecuación ecuación dada, dada, Sustituyendo

fi ji =

-1,, es decir, decir, 1 1 = -1, que es un absurdo. -1 -1 , que un absurdo.

Por consiguiente, x = = --1 extraña. La ecuación dada dada no solución. Por consiguiente, 1 es una una solución solución extraña. La ecuación no tiene tiene solución. g) g)

fo--=4 fo-=4 = 6.6.

Elevando cuadrado los los dos dos miembros, decir, x = 20. Elevando al cuadrado miembros, 2x 2x - 4 = 36, es decir,


sea Si x = 20, J2(20) J2(20) - 4 = 6, o sea

J36 = 6. J36

Por solución. En este caso caso no introducido soluciones soluciones extrañas. extrañas. Por tanto, tanto, x == 20 es una una solución. En este no se han han introducido

4.

Despejar, en las las fórmulas fórmulas siguientes, siguientes, las incógnitas incógnitas que que se indican. indican. Despejar, en a) a)

E

= =

RI. Despejar Despejar R.

Dividiendo los dos dos miembros O, obtenemos obtenemos R Dividiendo los miembros por por 1+ 1+ O,

= E/l. = E/l .

!at2,2, despejar despejar a. b) s = = vot + !at Transponiendo, tat2 Transponiendo, 1at2

= s =

_ 2(s - vol) vol} a= - -----,tt22,---'--

+O

2 ..1.

Dividiendo Dividiendo por por t2 -r O,,

Tomando los los recíprocos, Tomando recíprocos, pp

d)

•

~ q-f - f q fq

= -=

(suponiendo q (suponiendo

+ f).f) . + 41[21

21[.¡¡¡g,

T == 2n.¡¡¡g,

despejar g. despejar

Multiplicando Multiplicando por por g,

S.

at?2 = = 2(sat 2(s - vot). vot).

. 11 11 11 qq-f- f Transponiendo -- - . Transponiendo, - =- - - ='pfq fq' pfq fq

1 1 1 1 .. despejar- p. e) - = - + --, , despejar· ff p p qq

7) = 19,

Multiplicando Multiplicando por por 2,

vot. voto

g'I? g]'1

T2 =--

Elevando cuadrado los los dos dos miembros, Elevando al cuadrado miembros, 2 = 4n 41[2/./. =

2 Dividiendo T2, , Dividiendo por por T

g

g

2 = 4n 41[21/T2. = 1/ T 2 •

Hallar de la incógnita incógnita que que se indica indica conocidos conocidos los los valores Hallar el valor valor de valores de las restantes. restantes.

a)

F =

9

32, "5'5 C + 32,

9

"5~5 CC = = FF

Otro método. Otro método.

11

b)

R == Ji.

11 R, R,

68; hallar F = 68; hallar C.

1

68 =

9

"5'5 C +

9

C, "5'5 c,

5 C = 9 (36) = 20.

55 55. . 55 _ 32 - 32,' C = 9 (F (F - 32) = 9(68 9(68 - 32) = 9 (36) = 20.

hallar R2·2 • 15;; hallar + R ' ' R == 6, R, R, = 15 22

32, 36 =

1 (; (;

=

1

1

15 15 + R2 ' 2

1 1 R = (; 22

1

5- 2

-15 -15 = ~~


=

11

10'

R22 = 10.

72

ECUACIONES

R2

Otro método.

v

e)

= 28811:;

r

6.

Determinar a)

xy - 3 = O:

Grado b)

3V =-, 411:

el grado de las ecuaciones

+

2X2

3

2 en x,

Grado

,.3

~3V _ 411:

= --

15 - 6

=

28811: 411:(3

=

=

9.

10.

216.

D de

r = 6.

V

3(28811:) _ 3f)i(;6 _ 6 - v 21 . 411:

siguientes con respecto a las incógnitas

a

que se indican:

2 en x e y.

5x - 3y = x4

4 en x,

_

r -

6(15)

R, - R

x; y; x e y.

1 en y,

+

3xy2 - 4y2z

RR,

= ---

28811: = ~m·3 3 '

hallar r.

Otro método.

EN GENERAL

1 en z,

+

2:

3 en y y

x; z; y y z; x,

.l'

y •.

10.

r

4 en x, y y z:

Z,

a e)

x

2

= --

y

3

x y z; x, y y z.

x;

+z

b

La ecuación, escrita en esta forma, no es racional entera. Sin embargo, se puede transformar en dicho tipo si se multiplica por y + z, obteniéndose x2(}, + z) = 3, o sea x2y + x2z = 3. Esta ecuación derivada es racional entera de segundo grado en x, de tercero en x y z y de tercero, también, en x, y y z .

e d

d)

Jx+3

= x

+

y:

e y.

x

y;

Igualmente, esta ecuación Así, pues, x + 3 = x2 + 2xy

Hay que tener en cuenta, sin embargo, que las ecuaciones no son equivalentes, incluye tanto

a

Jx+3

=

11.

se puede transformar en racional entera elevando al cuadrado sus dos miembros. y2, que es de segundo grado en y y de segundo, también, en x e y.

e

+

+

x

y como

a

Hallar los valores de x para los cuales a)

x2

-Jx+3

=

x

+

+

ya que x2

2xy

+

y2

= X

+

3

a

y.

b 7.

a)

que considerar

las dos posibilidades.

P = J8l

Ex-

d

p

mientras

que

12. ¡.

-x si x es negativo. En resumen, cuando se escribe debemos considerar que es igual a x (si x> O) (si x < O). Por ejemplo, la ecuación = 9 equivale a x = 9 o a -x = 9 (es decir, x = -9). Las dos

a

un número

de los dos miembros

positivo

de la ecuación

1)2 = 4,

(x -

Encontrar

± (x

p

p

-

el error cometido

1)

=

2

o bien

en el siguiente

(x -

1)

= ± 2,

Sea x = y: Se multiplican los dos miembros por x: Se resta y2 a ambos miembros: Se escribe el resultado en la forma siguiente: Se dividen los dos miembros por x - y: Se sustituye x por su igual, y: De aquí resulta: Dividiendo por y:

e)

f) g) h)

9. Ahora

= x si x es positivo,

No hay nada que objetar a las operaciones

las dos raíces son x

=

3 Yx

= -

1.

razonamiento:

a) e)

p

=

por x = ±9.

b) d)

se obtiene

(o cero) si x es real. Por consiguiente,

=

o -x soluciones se representan

8.

tendremos

bien,

la raíz cuadrada

representa

b)

1)2 = 4.

Como nada se dice sobre si debe ser positivo o negativo,

trayendo

p

= 81, b) (x -

efectuadas

x=y x2 = xy x2 _ y2 = xy _ y2 (x - y)(x

+

y) = y(x - y) x+y=y y+y=y 2y = Y 2 = 1

en .a), b), e), d).

Sin embargo, en e) se divide por x - y y esto no es válido, ya que, por hipótesis, el divisor es igual a cero. Como la división por cero carece de sentido, todo lo que se haga a partir de e) es falso.


13. [

ECUACIONES 9.

Demostrar que yÍ2 es un número irracional, dos enteros.

EN GENERAL

73

es decir, un número que no se puede representar

por el cociente de

Supongamos que yÍ2 = pjq siendo p y q dos números enteros que no tengan más divisores comunes que la unidad, ± 1, es decir,pjq es una fracción irreducible. Elevando al cuadrado los dos miembros se obtienep2jq2 = 2, o sea p2 = 2q2. Como 2q2 es un número par, p2 será par y p también (si p fuera impar, p2 también lo seria); por tanto, p = 2k, siendo k un número entero. Así, pues, p2 = 2q2 también se puede escribir en la forma (2k)2 = 2q2, o sea q2 = 2k2; en consecuencia, q y q2 también son números pares. Pero si p y q son ambos pares, deberán tener el divisor común 2, en contra de la hipótesis hecha de que solo admitían como divisores comunes

± 1.

a la unidad,

Por consiguiente,

yÍ2 es irracional.


icho tipo racional

iembros.

11.

Determinar

cuáles de las expresiones

+

a)

2x

b)

(2y -

1)2

e)

2{x

+4

d)

(x

+ 2y)(x

+

+

(2y

Comprobar y2 _ 4 -y-2

b)

x2 -

=

2y -

3x = 4;

l:

d)

x3 -

6x2

+

+

+ 4y(2y

2 - x

- x)

llx

6

-

=O

indicadas

3

-1,-4

e) Fx-=2 - Fx'+2 ades. Ex-

=

1

3)(x2

x2

x2

4

12

g)

_ +_ =

h)

(x2 _ y2)2

1

x

J)

y3

2x

34, 2

g)

x2 -

=

1, 2, 3

h)

(x

2y

+

+

+ 9) =

3x

3y x3 -

27

x2

+

=

(2xy)2

(x2

+ y2)2

x = 3

x-I

+ y2

= 2x

las ecuaciones.

1 = --;

+-

e)

2y

(x -

satisfacen

= 4;

O;

3x -

J)

6

o soluciones

Y

'

+

3(4 - 3x)

(x - 2y)2

si la solución

a)

(2y)2

=

I)}

- 2y) -

=

e)

1

4x -

1)2

- 3(2x -

y cuáles son identidades:

9x2 _ 4y2

=

3 - (2 - x)

siguientes son ecuaciones

-

5y -

=

3y2;

+ y)2 +

(x -

5 = O; X

=

±j5,-1

4, Y

y)2 = 2(x2

=

2;

x

=

+ y2);

1, Y

=

cualquier

-1 valor de x, y

ien,p ntras que

12.

Aplicar los axiomas de la igualdad para resolver las ecuaciones

(si x > O) ). Las dos

a)

b)

5(x -

13.

+

1) -

7

2y _ ~ = 2

3 e)

4) = 2(x

6

1 3 - = 8 -y y

Despejar PIVI TI

=

b)

t =

~;s

e)

m

al a cero.

1

=-

2

P2V2; T2

J2a2

x-I

x-I

x-2

--=--

e)

3x-2 x+2 x _ 2 = x -

J)

Fx-=2

=

que se indica en las fórmulas T

2

+ 2b2

-

e2; e

las soluciones

g)

fo+l

i)

(y

+

obtenidas.

5 =O

2

+

1)2 = 16

4 j)

la incógnita

a)

x+1

d)

siguientes. Comprobar

(2x

+

1)2

siguientes:

d)

v2

e)

T=

J)

S

=

v~

2n

+ 2as;

a

~'kk'

= ~ [2a +

(n -


l)d];

d

+

(2x -

1)2 = 34

74 14.

Hallar el valor de la incógnita v

=

b)

S

= ~ (a +

Vo

1 1 - = p

que se indica conocidos

=

al; hallar a si v hallar

d);

1

+ -;

I

=

d si S

q si

hallar

q

20, Vo

1=

=

570, n

30,

=

I

=

20, a

los valores de las restantes.

5.

=

40.

30, p = lO.

=

d)

Fs

e)

1=

imv2; hallar v si F = 100, s= 5, m = 2,5. 1 rr;;; hallar C con cuatro cifras decimales 21tvLC

Determinar a) b) e) d)

16.

+

a)

e)

15.

EN GENERAL

ECUACIONES

el grado de las ecuaciones

si

1=

1000,

L = 4· 10-6.

siguientes con respecto a las incógnitas

que se indican:

x3 - 3x + 2 = O : x x2 + xy + 3y4 = 6: x; y; x e y 2xy3 - 3x2y2 + 4xy = 2X3 : x; y; x e y xy + yz + xz + z2x = y4: x; y; z ; x y z; y y z; x, y y z

UNA

Clasificar las ecuaciones siguientes (transformándolas si es preciso) según sean lineales, cuadráticas, cuarto o quinto grado con respecto a todas las incógnitas que figuran en ellas. a)

+

2X4

3x3

-

b)

x - 2y = 4

e)

2X2

d)

X2y3

+

3xy

+

17.

La ecuación

18.

Demostrar

+

J(x que

JX2

g)

2x+Y=4 x - 3y 3),.2 - 4y

h)

(z

y2 = lO

+

y5

4)2 =

J3 es

DE LOS

X

+

+ y2

e)

1)

5 = O

-

2xyz = 4

-

SOLUCIONES

X

4, ¿es una identidad?

+

-

1 = x

+2

=

+

de tercero, las

y

FUNCII entr este

W

2lv -

1)2 (z - 2) = O

Razónese

\ tan;

la respuesta. tom

un número

PROBLEMAS

irracional.

sión

PROPUESTOS

te, . 10.

11.

1)

y = 3 es solución

e)

x = 3 es solución

x = -1 es solución, x = -4 no lo es x = 34 es solución, x = 2 no lo es x = 1, 2, 3 son todas soluciones

1)

y =

g) h)

x = 4, Y = 2; x = 1, Y = -1 son soluciones

b) a)

b) e) d)

e)

Ecuación Identidad

Ecuación Ecuación

a)

d)

Identidad Identidad

e)

12.

13.

a)

x = 5

e)

b)

Y = 4

d)

a)

T2

=

y = 1/2 x = 3

La ecuación

no tiene solución .v = 6

e)

1)

P2V2T,

= ---

e)

P,V,

e

=

±J2a2

+

11)

± j5, -

lores

de g)

11)

!gt2

S

14.

a)

a=

15.

a)

3

b) 2, 4, 4

16.

a)

cuarto

grado

b) d=

-2

17

q=

e)

-15

t'

=

1 son todas

e y

soluciones

son

luego todos los va-

soluciones

no tiene solución x = I

2b2 - 4m2

d)

repr

es una identidad; x

['2 - V5 d) a=--2.1

b)

Ecuación Identidad

g)

e)

k=--

f)

d=

±20

e)

C

i)

j)

y=3,-5 x = ±2

[ort.

41t2m T2 2S - 2an n(n -

=

cad

ciór

l)

0,0063

por

si -

b) lineal 17,

el e)

d)

3, 3, 4

cuadrática de quinto

d)

1, 4. 2. 3, 4, 4 e)

f)

grado

J(x + 4)2 = X + 4 solo si x + 4 ~ O; J(x La ecuación dada no es una identidad.

+

cuadrática lineal

4)2 = - (x

+

4) si x


g) cuadrática 11)

+

de tercer grado

4 ;::¡; O.

VARIA res den Del

10

CAPITULO

Funciones y gráficas

UNA

VARIABLE es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto tante es un símbolo al que solo se le puede asignar un valor.

Para representar las variables se emplean las letras finales del alfabeto, las constantes se emplean las primeras, a, b, c.

de valores.

Una cons-

x, y, z, u, v,

W,

y para

FUNCION DE UNA VARIABLE. Una variable y es función de otra x si existe una relación entre ambas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponda uno, o más, de y. En este capítulo, solo consideramos números y funciones reales. Ejemplo 1. )' = x2 - 5x + 2 establece una relación entre las variables x e y. Cuando x toma los valores x = O, 1, 2, - 1, los correspondientes de y son y = 2, - 2, - 4, 8, respectivamente. Ejemplo 2. La longitud sión e = Znr. Las longitudes te, 2n, 6n, IOn (metros).

e de la circunferencia de las circunferencias

es una función del radio r dada por la exprede radios 1, 3, 5 (metros) son, respectivamen-

Ejemplo 3. La población y de una nación es función del año x. En el cuadro siguiente se representa la población de los Estados Unidos con intervalos de diez años entre 1880-1950.

forme

Año x

1880

1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

Población y en millones

50,2

62,9

76,0

92,0

105,7

122,8

131,7

150,7

Cuando a cada valor de x le corresponde un solo valor de y, se dice que y es una función unide x; en caso contrario, y es una función multiforme de x.

Por consiguiente, en los Ejemplos 1 y 3 anteriores, y es una función uniforme de x, ya que a cada valor de x le corresponde uno, y solo uno, de y. Análogamente, en el Ejemplo 2, e es una función uniforme de r, Sin embargo, y = ±Jx es una función multiforme de x, ya que a cada valor de x le corresponden dos valores de y (excepto para la solución trivial x = O). Por ejemplo, si x = 4, Y = ± 2; si x = 5, y =

± fi,

etc.

VARIABLES INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. La variable a la que se asignan valores (x en los ejemplos anteriores) se denomina variable independiente; la.variable cuyo valor viene determinado por el que toma aquélla (ven los ejemplos) se llama cariable dependiente o función. Decir que y es función de x equivale a decir que y depende de x. 75


FUNCIONES

76

Y GRAFICAS

El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente recibe el nombre de campo de variación de la variable. En el Ejemplo 1, x puede ser cualquier número real. En el Ejemplo 2, la variable independiente es el radio r de la circunferencia. El campo de variación de r es el conjunto de todos los números positivos y el cero. En el Ejemplo 3, el campo de variación de x está formado por los años 1880, ... , 1950. En la función y = ±Jx, si se quiere que y sea siempre real, los valores que se pueden asignar a la variable independiente x es el conjunto de todos los números mayores o igual a cero, lo cual se representa por x ;?; O. En la función y

= (x _ l~x

+ 2) la variable

x puede tomar cualquier valor real excepto

x = 1 y x = - 2, para los cuales la función y no está definida. Por consiguiente, el campo de variación está constituido por el conjunto de los números reales excepto 1 y - 2. LA NOTACION FUNCIONAL y = f(x), que se lee «y igual a f de x», es la que se utiliza para representar que y es una función de x. Según esta notación, f(a) significa el valor de la variable dependiente y cuando x = a (siempre que dicho valor exista). Así, pues, y = x2 - 5x el valordef(x) o y cuando x - 5(-1) + 2 =8.

+ 2 se puede escribir f(x) = x2 - 5x + 2. Por tanto, f(2), que es = 2, esf(2) = 22 - 5(2) + 2 = -4. Análogamente,J( -1) = (_1)2

En la notación funcional se puede emplear una letra cualquiera; esto es, g(x), h(x), F(x), etc., representan, asimismo, funciones de x.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES. te, una relación entre dos variables.

LA

FUN

Se utiliza para representar, gráficamenj

y 1

11 2

--------,P(3.2) I I

1

I I I

-2

X'

-~ -~ -5

¡

-1

O

I I I I I

1

2

X

~

-1

GRA d

-2

I

Q(-2.-3)L-----

-5

nI

-~

IV

y' Sean X'X e Y'Y dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en el punto O, como indica la figura. La recta X'X, denominada eje x, se sitúa normalmente en posición horizontal. La recta Y' Y, denominada eje y, se sitúa normalmente en posición vertical. El punto O recibe el nombre de origen del sistema. Empleando una unidad de longitud adecuada se pueden situar sobre el eje x, a la derecha e


1. E:

el al bl el

FUNCIONES Y GRAFICAS GRAFICAS FUNCIONES

77 77

O. los puntos puntos 1, 1,2,3.4, ... ,,yy --1,1, --2,2, -3, izquierda del origen O, 2, 3, 4, ... - 3, -4, - 4, ...... , sin más que ir tomanlongitud.. En la figura hemos tomado OX como tomado arbitrariamente arbitrariamente OX do, sucesivamente, dicha unidad de longitud semieje positivo; positivo; esto es lo más corriente, corriente, aunque aunque no obligatorio. obligatorio.

va-

tomado O Y como semieje positivo. Es también Asimismo, hemos tomado también normal utilizar la misma unidad de longitud sobre ambos ejes, aunque aunque tampoco tampoco es obligatorio. obligatorio. cuadrantes, denominados 1, 1I, I1, 11I III YIV, Los ejes x e y dividen al plano en 4 regiones o cuadrantes, denominados 1, Y IV, como se indica en la figura.

cualquiera del plano xy xy. . Trazando Trazando desde P Sea P un punto punto cualquiera P las perpendiculares perpendiculares a los ejes x puntos de intersección de dichas perpendiculares e y, y, los valores de x e y de los puntos perpendiculares con los ejes determinan, respectivamente, respectivamente, la coordenada coordenada x (abscisa) y la coordenada coordenada y (ordenada) P.. Estas (ordenada) del punto punto P coordenadas se representan representan por el símbolo (x, (x, y). y). coordenadas

va-

Recíprocamente, dadas dadas las coordenadas coordenadas de un punto, punto, se puede situar éste en el plano xy. Recíprocamente, xy. coordenadas del punto punto P de la figura son (3, Por ejemplo, las coordenadas (3 , 2). El punto punto cuyas coordenacoordena2, --3) 3) es Q. das son ((-2, Q.

ara ría-

LA GRAFICA GRAFICA DE UNA FUNCION FUNCION y LA f(x).. satisfacen a la ecuación y == f(x)

= f(x) = f(x)

-que es el lugar geométrico de los puntos puntos (x, y) y) ·que

., reFUNCION DE DOS VARIABLES. VARIABLES. Se Se dice que una variable z es función de las variables x e y FUNCION si existe una relación tal que a cada par de valores de x e y le corresponde si corresponde uno, o más, valores de z. En este caso caso,, x e y son variables independientes, independientes, y z es la variable z. variable dependiente dependiente o función. ennotación funcional que se utiliza es z == f(x, af de x e y». Entonces, f(x, y), que se lee «z igual af La notación fia, representa el el valor de z cuando cuando x == a e y == b, siempre que la función esté definida para f(a, b) representa para dichos valores. f(x, y) Por ejemplo, ejemplo, ,si si f(x, y) = x 33

+

xy2 f(2 , 3) xy2 - 2x, 2x, tendremos tendremos f(2,

= 23 + 22'- 32

2'- 3 2

-

20. = 20.

De igual forma se definirían las funciones de más de dos variables.

GRAFICOS ESTADISTICOS. ESTADISTICOS. Son aquellos que representan representan una relación entre datos GRAFICOS datos obtenidos obtenidos observaciones efectuadas efectuadas en experimentos experimentos científicos, censos, operaciones de observaciones operaciones comerciales, etc.

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS l. 1.

Expresar el área área A de de un un cuadrado cuadrado en función función de su a) lado lado x, b) Expresar b) perímetro perímetro P, P, diagonal D D.. e) diagonal

,,

a) a)

A == X2 A x2

b) b)

4-, o sea x == P == 4.\"

2 e) D X2 D == ';X2 ';X2 + x

,, ,,

P P

4'

Por Por tanto, tanto, A A

= xfi o sea x == = xfi

D D

¡;:" ¡;:"

y2 y2

p2

P 4

% %

= = = X2 x2 == (_ (4)2)2 o bien bien A A =

Por A Por tanto. tanto. A

\6

',D ,

,-,

16

D D

~ ~

",2 ..,;2

22

2 = X2 = bien AA = =x = (( ¡;:,)2 ¡;:,)2 o bien =- -


"

-, ,

,,

78

FUNCIONES

2. Expresar a) el área A, b) el perímetro P y Véase Figura (a). A = xy,

a)

b)

P = 2x

+

e)

2y,

Y GRAFICAS

la diagonal D de un rectángulo en función de sus lados

e)

x

e y.

NOl

7.

+

D = JX2

y2

y

!s

r Fig. (a)

3. Expresar

a)

la altura

h

y

b)

Fig. (b)

Probo 2

el área

de un triángulo equilátero en función de su lado

A

4. El área de una superficie esférica es S a) r

=

= 4nr2,

y su volumen, V

en función de S y de V, b) Ven función de S y

4nr2 se obtiene r

rs -_ '2 y-;. rs

= .y¡;

e)

De S

b)

· d o r = -2 1 ~ -n en V -_ -3 4nr3 resulta V = -n(4 1 Sustituyen

De V

3

e)

Sustituyendo

r

Véase Figura

8. (b).

= -inr3.

S en función de V.

4

a)

1 •

S.

A = ~hs = ~Fj3)s= s2j3 2 2 2 4

b)

Expresar

Probo 3

2

/f; -)

. n

~ [3v

se deduce r

= 3nr3

=

y ¡; 9.

3

= ,3f3V en S = 4nr2 se deduce S = 4n V(3V)2 ¡; 4n

= -S ~ 6 n

= 4n

V

3

90

16n2

. 4n = .,y36nV2 4n

5. Dada la función y = 3.'(2- 4x + 1, hallar los valores de y correspondientes a x = -2, -1, O, 1,2. Para ~ = -2, Y = 3(-2)2 - 4(-2) + 1 = 21; para x = -1, Y = 3(-lf - 4(-1) + 1 = 8; para x = O, y=3(W-4(0)+I=I; para x=l, y=3(1)2-4(1)+I=,0; para x=2, y=3(2)2-4(2)+1=5. Estos valores de x e y figuran en la tabla siguiente: x

-2

-1

O

1

2

Y

21

8

1

O

5

6. Ampliar la tabla de valores del Problema 5 calculando los valores de y correspondientes a x = - 3/2, -1/2, 1/2, 3/2,

'

Para x = - 3/2, Y = 3( - 3/2)2 - 4(- 3/2) + 1 = 13i, etc. En la tabla siguiente se resumen los resultados,

x

Y

-2 21

-~ 2

13~

-1 8

_!. 2

3~ 4

O

1

!. 2

_14


1

'!.

O

1:!

2

4

2 5

10.

FUNCIONES NOTACION

y.

7.

Y GRAFICAS

79

FUNCIONAL

Siendo f(x)

=

x' - 5x - 2, hallar f( - 2), f( - 3/2), f( -1), feO), f(I),

=

f(-2) f(-3/2) f( -1)

(_2)'

- 5(-2)

= (-3/2)'

=

(-1)'

=

- 2

- 5(-3/2)

O

f(O) = O' - 5(0) - 2 = -2

- 2 = 17/8

- 5(- 1) - 2

=

f(2).

2

f(l)

= 13

f(2)

=

5(1) - 2 = -6

-

23 - 5(2) - 2

=

-4

Los valores se pueden disponer en forma de tabla:

%

-2

-3/2

O

17/8

f(%)

(b).

8.

Siendo F(t) =

t3

+ 2t

--¡-=-¡,

hallar F(-2),

O

2

-2

1

2

-6

-4

F(x), F(-x).

=

F(-2)

-1

(-2)3+2(-2)

-2 - 1

-8-4 =--=4

-3

F(x)

=

F(-x)

9.

3x - 1 Dada la función R(x) = 4x + 2'

a)

R(x x+2

b)

1) =

x-l 3(--) - 1 x +2

-x

_x3

-

2x

-x

-

1

x - 1 R(x + 2)'

a)

hallar

=

b)

x3 =-x

R(x

+

2x

+

1

+ h)

- R(x)

e)

h

R[R(x)].

+2

x

2x - 5

x+2 + h) _ R(x)} = ~{3(x + h) - 1 _ 3x - 1} h 4(x + h) + 2 4x + 2

R(x + h) - R(x) = ~{R(x h h

+ h) -

1][4x + 2] - [3x -

h

R[R(x)]

1

2x-5

= ~P(x

e)

2(-x)

-

=~=~

4(x-l)+2 x+2

O, 5.

+

(_X)3

1][4(x + h) + 21} =

[4(x + h) + 2][4x + 2]

3x - 1 3x - 1 3(4x + 2) = R(4x + 2) = 3x _ 1

1

5x - 5

5 2(2x + 2h + 1)(2x + 1)

x - 1

~=---¡;-

+ 2) + 2

4(4x 1/2,

dos.

10.

Siendo F(x, y) = x3

-

3xy

a)

F(2, 3) = 2' - 3(2)(3)

b)

F(-3,

e)

+ y2, +

hallar a) F(2, 3), b) F(-3,

O), e)

F(x, y

+

k) - F(x, y) k .

32 = -1

O) = (_3)3 - 3(-3)(0)

F(x, y + k) - F(x, y) x k =

3

+ -

02

=

-27

3x(y + k) + (y + k¡Z - [x' - 3xy + y2] 3 k =-x+y:+


2

k

80

FUNCIONES

COORDENADAS

RECTANGULARES

Y GRAFICAS

Y GRAFICAS

m~ 11.

Representar (-4,

en un sistema de coordenadas

-2), (-5/2, -9/2), (4, -3), (2,

rectangulares

-)2).

los puntos

Véase la Figura

y

.(-4.2)

~ 5

(e).

.(4.3) (2.1)

1 -l

_ll

5

2

Fig. (e)

-H~r-HfH+++X

~

.(4.-3)

-~ -~

(-5/2.-9/2).

~

(2.:12)

-2

-5

12.

Fig. (d)

Probo 11

Siendo y = 2x - 1, calcular puntos (x, y) obtenidos.

Probo 12

a x

los valores de y correspondientes

Fig. (e)

= -

3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 Y representar

los valores de y correspondientes

a los valores dados de

x

-3

-2

-1

O

1

2

3

y

-7

-5

-3

-1

1

3

5

Obsérvese que todos los puntos que satisfacen a la ecuación y = ecuación de una recta, en general, viene dada por y = ax + b, siendo a o f(x) = ax + b, recibe el nombre de función lineal. Como una recta que situar dos puntos y unidos entre sí para obtener la representación gráficamente

la función definida por y

=

x2

En la tabla siguiente figuran los valores de y o f(x)

Los puntos representados

los

I I en la Figura (d).

ha)

2x - 1 están situados sobre una recta. La y b constantes; por esta razón, y = ax + b, queda definida por dos puntos, solo habrá de aquélla.

res el,

2x - 8 o f(x)

-

=

16.

x2

para varios valores de

-

Re

2x - 8.

X.

tar

-2

-1

O

5

6

o

-5

-8

7

16

en la gráfica son: (- 4, 16), (- 3, 7), (- 2, O), (- 1, - 5), etc.

Para representar estos puntos es conveniente utilizar escalas diferentes sobre los ejes x e y, como aparece en la Fig. (e). Los puntos señalados con una cruz, x , se han añadido a los ya calculados con objeto de obtener una representación más precisa. La curva obtenida es una parábola. Su punto más bajo, P. que es un mínimo de la función, recibe el nombre de vértice de la parábola.

14,

Re

X.

Los puntos (-3, -7), (-2, -5), (-1, -3), (0, -1), (1, 1),(2,3), (3,5) se han representado

Representar

Probo 13

15.

La tabla siguiente contiene

13,

qu mi

2

~-+~--+-~~~--~+-~-+x -~ -~ -5 -2 .(-4.-2)

(-4, 2),

y

,

.(-2.4)

(2,1), (4, 3), (-2.4).

siguientes:

(-

rac

Dibujar la función definida por y = 3 - 2x - x2• cin x

-5

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

Y

-12

-5

O

3

4

3

O

-5

-12

-21


un: res

FUNCIONES

Y GRAFICAS

81

La curva obtenida es una parábola, como indica la Fig. if). El punto Q( -1,4), vértice de la parábola, es un máximo. En general, y = ax" + bx + e representa una parábola cuyo vértice es un máximo o un mínimo según que el coeficiente a sea negativo o positivo, respectivamente. La función ¡(x) = ax2 + bx + e se llama trinomio de segundo grado o función cuadrática. y

Fig. (f)

y

Fig. (g)

Probo 14

15. Representar la función y

=

x3 +

2X2

7x - 3.

-

x

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

Y

-7

9

11

5

-3

-7

-1

21

La gráfica se representa en la Fig. (g). Los puntos señalados con una cruz, x, no figuran en la tabla; se han añadido a aquéllos para conseguir una representación más precisa. El punto A se denomina máximo relativo; no es el punto más alto de toda la curva, pero sí lo es con respecto a los puntos situados a ambos lados de él. El punto B recibe el nombre de mínimo relativo. Mediante el cálculo diferencial se pueden determinar los máximos y mínimos relativos de una función.

b,

rá

16. Representar gráficamente la función x2 +

y2

Se puede escribir y2 = 36 - X2, de donde tar comprendidos entre - 6 Y + 6.

e

x

-6

Y

O

-5

-4

= 36. y

-2

-3

± m ±120 ± /27

±132

fo),

-fo),

±J36 -

-1

O

±V35

±6

Los puntos a representar son (-6, O), (-5, (-4, (-4, etc.

-fo),

=

x2. Para que

1

y

2

(-5,

re

La figura adjunta representa una circunferencia de radio 6.

4

3

±V35 ±132 =/27

fo),

de

sea real, los valores de x deben es-

En general, la ecuación x2 + y2 = a2 es la de una circunferencia de centro el origen y radio a. Se debe tener en cuenta que, si no se toma la misma unidad de longitud sobre los ejes x e y, la gráfica que resulta no es la correspondiente a una circunferencia.


±120

y

5

±m

6 O

82

FUNCIONES

Y GRAFICAS

ALGUNAS APLICACIONES DE LAS REPRESENTACIONES GRAFICAS 17. Un hombre dispone de 40 m de alambrada para cercar un jardín rectangular. Sabiendo que solo debe colocarla sobre tres lados, porque el cuarto limita con su casa, determinar el área máxima que puede proteger.

Sea x

=

longitud de dos de los lados del rectángulo; la longitud del tercero será 40 - 2x.

El área A del jardín es A = x(40 - 2x) = 40x - 2X2. Se trata de hallar el valor máximo de A. Se hace una tabla de valores y se representa, gráficamente, la función. Es fácil de ver que los valores de x deben estar comprendidos entre O y 20 m para que A sea positivo.

19.

A '00

Casa

p

40-2%

Las coordenadas del máximo P de la curva son (lO, 2(0), con lo cual las dimensiones del jardín han de ser lO m y 20 m y su área resulta de 200 ml.

18.

Las dimensiones de una placa rectangular de estaño son 12 por 18 cm. Con ella se desea construir un cajón sin tapa cortando en sus esquinas unos cuadrados y doblando los lados. Calcular el lado de los cuadrados que se deben cortar para que el cajón que resulte sea de volumen máximo. Sea x el lado del cuadrado que se ha de cortar en cada esquina. El volumen V del cajón que así resulta es V = x(l2 - 2x)(18 - 2x). Es fácil de ver que x debe estar comprendido entre O y 6 cm para que se pueda realizar.

x

_o,

D

:

%:

O

1

2

O

160

224

-

V

21'z 2271'z

3 216

31'z 1921'z

. \.

. ,

.•• -

4

10-18 -

5

6

160

80

O

V

x '}12-2%

,

4

2.&-oj


20.

FUNCIONES

83

Y GRAFICAS

De la gráfica se deduce que el valor de x que corresponde al máximo valor de V está comprendido Dibujando más puntos, se ve que es, aproximadamente, 2,4 cm.

entre 2

y 2,5 cm.

rla

una

Todos los problemas de este tipo y los análogos acudiendo al cálculo diferencial.

19.

al 17 se pueden resolver más fácilmente,

Se quiere fabricar un bote cilíndrico de 200 cm" de volumen. Calcular las dimensiones la menor cantidad posible de material.

y de forma exacta,

que debe tener para emplear

ITI-

Sean x e y el radio y la altura, respectivamente, El área de las bases superior total es S = 21tx2 + 21txy. El volumen

e inferior es

del cilindro.

1tX2,

es 1tX2y, luego 1tX2y

del cilindro

.

S = 21tx

2

+

y el de la superficie lateral, 21txy; por consiguiente,

=

200 e y

200 21tx (-2) 1tX

Se hace una labia de valores y se representa,

=

200

Por tanto,

-2'

1tX

S = 21tx2

o

el área

400

+X

gráficamente,

la función S. Se ha tomado

x

1

2

3

3,2

3,5

4

4,5

5

6

S

406

225

190

189

191

200

216

237

293

1t = 3,14.

7 I 8 I 365 I 452

S 5~0 500 2~0 200

y

1~0

,,

--------

100

,,

~O

ta es

----~~----~---L----~--~----~----~--~----~--x O

ueda

1

De la gráfica se deduce que el mínimo de S = 189 cm? se obtiene para x .. 200 la expresion y = 1tX2 se deduce el valor y = 6,2 cm, aproximadamente.

20.

Hallar,

aproximadamente,

Consideremos

de x para los cuales x3

los valores

la función y

=

x3 +

2X2

-

+

2X2

-

=

3,2 cm, aproximadamente;

de

7x - 3 = O.

7x - 3. Se deben hallar los valores de x para los cuales y

=

O.

De la gráfica de y = x3 + 2X2 - 7x - 3, que es la del Problema 15, se deduce que existen tres valores reales de x para los cuales y = O (los valores de x correspondientes a la intersección con el eje x). Estos valores son x = -3,7, x = -0,4, x = 2,1, aproximadamente. Se puede obtener un resultado más exacto mediante el cálculo diferencial.


84

FUNCIONES

Y GRAFICAS

GRAFICOS ESTADISTICOS 21. La tabla siguiente representa la población (en millones de habitantes) de los EE. UU. en los años 1840, 1850, ... , 1950. Representar estos datos gráficamente.

23.

La a)

Años

1840

1850

1860

1870

1880

1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

Población (millones)

17,1

23,2

31,4

39,8

50,2

62,9

76,0

92.0

105.7

122.8

131.7

150,7

24. 25.

E~ Ex Y

26.

160

La

S·

'"c:

,g"

140

g

120

:i

~ ¡¡j

100

¡¡.¡

80

"c:

-e

27.

Do

28.

Al

29.

Do

30.

Do

31.

D,

32.

Do

60

'0

'ü

:o'o" e,

.•. o

~

Años 33.

22. El tiempo T (segundos) empleado por un péndulo de longitud 1 (centímetros) en efectuar una oscilación completa viene dado por las siguientes observaciones obtenidas en un laboratorio de fisica experimental. Representar gráficamente T en función de l. 1

16,2

22,2

33,8

42,0

53,4

66,7

74,5

86,6

100,0

T

0,81

0,95

1,17

1,30

1,47

1,65

1,74

1,87

2,01

R,

al 34.

Si pt

35. R

Los puntos se han unido por medio de una línea a sentimiento, como, normalmente, se hace en ciencias e ingeniería.

36.

R

37.

R.

38.

S, F lo

T

39.

2,0

1.5

1,0

0,5

o

10

20

30

40

50

60

70


80

90

100

H V

85

FUNCIONES FUNCIONES Y GRAFICAS GRAFICAS

PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS 23.

Las del rectángulo rectángulo en función función de de Las longitudes longitudes de los lados lados de un rectángulo rectángulo son son x y 2x. 2x. Expresar Expresar el área área AA del a) el lado lado x, b) el perímetro perímetro P, e) la diagonal diagonal D.

24.

Expresar perímetro P. P. Expresar el área área S de un círculo círculo en función función de a) a) el radio radio rr,, b) b) el diámetro diámetro d, e) el perímetro

25.

Expresar longitud de de los los lados lados iguales iguales e Expresar el área área A de un un triángulo triángulo isósceles isósceles en función función de x e yy,, siendo siendo x la longitud y la del tercer tercer lado lado. .

26.

longitud de la arista arista de un cubo cubo es x. x. Expresar a) x en función función dei del volumen volumen V del La longitud Expresar a) del cubo, cubo, b) b) la superficie superficie cubo en función función de x, e) el volumen volumen Ven Ven función función de la superficie superficie S. S. S del cubo

27, 27.

Dada la función función y == 5 + 3x - 2x' 2x2, , hallar hallar los valores valores de de y correspondientes correspondientes a xx = Dada = -3, -3, -2, -2, -1, -1, 0.1,2.3. O. l. 2. 3.

28.

Ampliar la tabla tabla de valores valores del Problema Problema 27 hallando hallando los valores valores de y correspondientes correspondientes a x = Ampliar = -- 5/2. - 3/2, 3/2. - lli2, i 2, 1/2, 3/2, 5/2.

29.

Dada f(x) 2X2 + 6x 6x - 1, 1, hallar hallar f(-3), Dada f(x) == 2x' f(-3) , f(-2), f(-2) , f(O), feO), f(l/2), f(l/2), f(3). f(3).

30. JO.

Dada F(u) F(a) == ----,Dada

31.

x.v - I1 xx G(x ,2 G(x + h) h) - G(x) G(x) Dada G(x) G(x) = = x + l' ¡' hallar hallar a) G(x G(x + 1)' b) G(x + 1). Dada h ' e) G(x

32.

Dada F(x, F(x, yy)) == 2x' 2X2 + 4xr 4x.I' - )", ),2, hallar hallar a) a) F(I. F(I, 2), b) b) F(-2 F(-2, , -3), -3), e) F(x F(x + 1, )' - 1). 1). Dada

33.

I1

hallar a) F(I), F(I), b) b) F(2) F(2), , e) F(x) F(x), , d) d) F(-x). F(-x). - , hallar

+ ua

Representar, en un sistema sistema de coordenadas coordenadas rectangulares, los puntos siguientes: Representar, rectangulares, puntos siguientes: (1,3), b) (-2.1), (-2,1), (-1/2,/2. -2), -2), (-3,2/3), 3), (-fi,3). (1,3), b) e) (-1 d) (-3.2/ e) (-)3,3).

a) a)

er

a2 - 2u 2a u'

34.

Siendo)' = 3x 3x + 2. a) a) obtener obtener los valores valores de yy correspondientes correspondientes -2, -1t , O. Siendo)' a x = -2, O. 1, 2 Y b) b) representar representar los los puntos puntos (x (x,, y) y) obtenidos. obtenidos.

35.

Representar las funciones funciones a) a) f(x) 2x, b) b) f(x) x2 - 4x 4x + 3. e) f(x) Representar f(x) = 1 - 2x, f(x) = x' f(x) = 4 - 3x 3x -

36, 36.

Representar y == x33 Representar

37, 37.

2 + y2 Representar a) a) xx' 4)'2 = = 16. Representar y' == 16, b) xx'2 + 4)"

38. 38.

dispone de 120 120 m de alambrada alambrada para para cercar cercar dos dos jardines rectangulares iguales, iguales, A y B, Se dispone jardines rectangulares B . como como se indica indica en en la Fig. (a) (a).. Sabiendo Sabiendo que que no no es necesario necesario proteger proteger los lados lados que que limitan limitan con con la casa, máxima de casa. determinar determinar el área área máxima de Fig. que se puede puede cercar. cercar. los jardines jardines que

39.

Hallar el área área del rectángulo rectángulo más más largo largo que que se puede puede inscribir inscribir en un triángulo triángulo rectángulo rectángulo de de catetos catetos 6 y 8 cm. cm. Hallar Véase Figura Figura (h). (h). Véase

=

--

6x2 6x'

+

2 xX2

l l.v - 6. Ilx

Casa /

%

A A

B

Fig. la) lal Fig.

Probo 38 Probo


Fig . Ibl lb) Fig.

39 Prob o 39 Prob.

86

FUNCIONES y mínimos

40.

Hallar

41.

De la gráfica de la función y = x3

los máximos

relativos

de la función f(x)

7x

-

Y GRAFICAS

+

6, obtener

= 2X3

15x2

-

+

42.

Demostrar

que la ecuación

x

-

x

+

2x - 3 = O solo tiene una raíz real.

43.

Demostrar

que la ecuación

x4

-

x2

+

1 = O no tiene raíces reales.

44.

El porcentaje de trabajadores agrícolas en EE. UU., en los años 1860, 1870, ... siguiente. Representar estos datos gráficamente. Años

2

1860 1870 1880

Porcentaje de trabajadores agrícolas 45.

3

36x - 23. x3

las raíces de la ecuación

+

7x

-

6 = O.

, 1950, viene dado en la tabla

1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950

58,9 53,0 49,4 42,6 37,5 31,0

27,0 21,4

18,0 12,8

El tiempo total empleado en detener un automóvil desde el momento en que el conductor se da cuenta de un peligro, se compone delliempo de reacción (tiempo transcurrido desde el apercibimiento hasta que acciona el pedal del freno) y delliempo de frenado (tiempo que tarda el coche en detenerse desde que se presiona el pedal correspondiente). La tabla que figura a continuación relaciona la distancia d (metros) que recorre hasta detenerse un automóvil que marcha a una velocidad v (kilómetros por hora) en el instante en que se da cuenta del peligro. Representar gráficamente d en función de v. Velocidad v (kmjh) Distancia

d (m)

30

45

60

75

90

105

18

30

46

68

97

132

ECU

1. R 46.

Los tiempos 1 que tarda un objeto en caer libremente en la tabla siguiente.

a) b)

e)

del reposo desde distintas alturas h vienen dados

a

Tiempo t (seg)

1

2

3

4

5

6

Altura h (m)

5

20

45

80

125

180

b

Representar gráficamente h en función de l. Hallar el tiempo que tardará un objeto en caer libremente, partiendo del reposo, desde una altura de 25 m y de 150 m. Hallar la distancia que recorre un objeto que cae libremente, partiendo del reposo, durante un tiempo de 3,6 seg.

SOLUCIONES 23.

partiendo

DE LOS p2 A =18'

A = 2x2,

x

27.

PROBLEMAS

Y

-3

-2 -1 O O

1

2

3

25.

A = !'..Jx2 2

26.

x

28.

=.y¡;, x

6 3 -4

5

<,

d

e

f

PROPUESTOS

2D2 A =5

-22 -9

e

Y

- y2/4 = !'..J4x2 4 3

S = 6x2,

V = ~

-4

216

S

=-.j6S 36

h

1/2 3/2 5/2

-5/2 -3/2 -1/2 -15

e.

_ y2

6

3

5

O

I 29.

f(-3)

30.

a)

-1/2,

31.

a)

2x

32.

a) 6,

= -1,

f(-2) b)

-1

+

= -5,

O,

e)

b)

1'

(x

b) 23,

e) 2X2

de f(x)

+

+

f(O) = -1,

x2

-

--1

2x

+ x' +

4xy - y2

d)

= 5/2,

f(3) = 35

x2 + 2x -x

k

x2

2 I)(x

f(I/2)

h

+ 1)' + 6y -

40.

El máximo

41.

Las raíces son x = -3, x = 1, x = 2.

e) 3

es 5 (en x = 2); el mínimo

x2

+ 38.

2 1200 m2

de f(x)

es 4 (en x = 3).

46.

b) 2,24 s, 5,48 s;


39.

12 cm"

e) 64,80 m

CAPITULO 11 11 CAPITULO

a tabla

una incógnita Ecuaciones lineales con una

un peIpedal correserse un o. Re-

ECUACION LINEAL LINEAL CON UNA INCOGNITA. INCOGNITA. ECUACION constante. Su sOlución soiución viene viene dada por x b constante.

==

Es de de la la.. forma ax Es b a

+b

== O,

siendo a

=F =1=

O Y O

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS l. Resolver Resolver las ecuaciones ecuaciones siguientes siguientes: : 1. n dados

de 25

ID

a)

x + 1 == 5, x == 5 - 1, x == 4. Comprobación: Haciendo x == 4 en la ecuación ecuación dada dada se obtiene obtiene 4 + + 1 == 5, Comprobación: Haciendo 3x == 14 + + 7, 3x

b) b)

3x - 7 == 14, 3x

e)

3x + 2 == 6x 6x - 4, 3x +

d)

x + 3(x 3(x - 2) = = 2x 2x - 4,

e)

3x 3x - 2 = = 7 - 2x, 2x,

3x == 21 21,, 3x

3x 3x

x + 3x 3x - 6 = = 2x 2x - 4,

+

2x 2x = = 7

h) h)

+

2,


-3x -3x = = -6,

3x - 6x 6x == -4 -4 - 2, 3x

J) 2(/ 2(t + 3) = = 5(/ 5(1 - 1) - 7(1 7(t - 3), g)

x == 7.

5x 5x = = 9,

3(7) - 7 == 14, 3(7)

2x 2x

+4

4x - 2x 2x == 6 - 4, 4x 4,

2x 2x = = 2,

+ 4), 4),

x = = 1.

x = = 9/5. 9/ 5.

2/ 21 + 6 = = 5/ 51 - 5 - 7/ 71 + 21, 21 ,

5(x 5(x - 3) 3) = = 2(2x 2(2x

5

4/ 41 = = 10,

5x 5x - 15 = = 4x 4x

+ 8,

1/ = = 10/4 = = 5/2. 5/2. 7x 7x - 8 = = 7x 7x - 8. 8.

xx = = 23.

i) i)

3 + 2[y 2[y -- (2y (2y + 2)] 2)] = = 2[y 2[y + (3y (3y - 1)), 1)], 3 + 2[y 2[y -- 2y 2y -- 2] 2] = = 2[y 2[y + 31. 3y -- 1], 1]. 33 + 2y -2y -lOy 2y -- 4y 4y -- 44 = = 2y 2y + 6y 6y - 2, 2, - 2y - 11 = = 8y 8y -- 2, 2, -10y = = -1, -1, YY = = 1/10. 1/ 10.

j)j)

(s + 3)2 = = (s -- 2)2 -- 5,

k) k)

x-2 x-2

x-4 x-4

x+2=x+4' x x+2

+

1) /)

3x 3x

+ 11

(x (x - 2)(x 2)(x

4'


S2 S2

+ 6s + 99 = = S2 S2 -- 4s 4s + 44 -- 5, + + 4)4) =

0-2 0-2 0-4 0-4 - + -2 = = O - + -4 ', O

0+2

3x 3x -- 22

x + 2 = -:;-:¡:-¡

,

0+4

(x (x - 4)(x 4)(x

14 == 14.

x = = 2.

3x 3x 6x - 3, 3x + 4(x 4(x - 2) = = xx - 5 5 + 3(2x 3(2x - 1), 3x + 4x 4x - 8 = = xx - 5 + 6x Esta Esta es es una una identidad identidad yy se verifica verifica para para todos todos los los valores valores de de x. x.

x - 3 22

5 == 5.

+ 2), 2),

2 xX2

6s 6s + 4s 4s = = -9 -9 -- 1,

2 -- 2x + 2x 2x -- 88 = = xX2 2x -- 8, 8, +

ss = = -1. -1.

4x = = O, 4x

= O. xx =

-1=-1. - 1 = - 1.

(x (x + + 1)(3x 1)(3x + 1) = (x (x + 2)(3x 2)(3x -- 2), 2).

2 2 3x + 4x + 4x 3X2 4x + 11 = 3x 3X2 4x -- 44 oo

No No hay hay ningún ningún valor valor de de xx que que satisfaga satisfaga esta esta ecuación. ecuación.

87 87


11 = 4. = --4.

88

ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES CON CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA

5

o) o)

xx

d)

5

+ -2x == 6. 6.

n) n) -; x

Multiplicando Multiplicando por por 2x, 2x,

2x

55

11

+ xx __ 1 = = "2' "2'

= x(x

1

(y

Multiplicando Multiplicando por por (x (x - 3)(x 3)(x

+ 2)(y 2)(y + 5)

2x 2x

YY

5' + 5'

+ 3), 3),

= y(y y(y

+ 6 - 4x 4x + 12 = = 16, (}'+3)-y (¡., + 3) - Y

1

Yy -- y + 3 -= YY + 2 -

= X2

x2+2x-3+IOx=x2-x. X2 + 2x - 3 + IOx

- 1),

+ 3) - 4(x 4(x - 3) = = 16, 1

q) q)

12x 12x == 15,

xx == 5/4. 5/4.

Multiplicando Multiplicando por por 2x(x 2x(x - 1), 1), que que es es el denominador denominador común común mínimo mínimo de de las las fracciones. fracciones ,

2 4 16 -x _ 3 - -x + 3 -= -X2 _ 9' x-3 x+3-x2-9' 2(x 2(x

+ + 5 == 12x, 12x,

e)

+ 33

~ 2:;-

(x+3)(x-1)+5(2x)=x(x-1), (x + 3)(x - 1) + 5(2x)

p) p)

5(2) 5(2)

y(y y (y /y2

+

3)

+ 7y 7y + 10

I3x=3, I3x = 3.

- x,

-2x -2x = = -2, -2,

+ 3y, 3y,

f)

2 -- 9, xX2 9,

+ 3) 3) oo

(y+5)-(y+2) (y + 5) - (y + 2) Lv (y + 2)(}' 2)(¡.' + 5) 5) ,

= y2

x=3/13. x = 3/ 13.

g)

xx = = 1. 3

h)

3

-y(y-+ =-2)(1' - -YÚ' 3) t~, + 5)' (1' + 2)t1' 5)'

4y 4} = -lO, -10,

Y)' = = -5/2. - 5/2. i)

r) r)

3 22 x2 X2 _ 4x 4x - 2X2 _ 5x 5x _- 12

9 2X2

+ 3x 3x

o

3 x(x x(x - 4) - (2x (2x

+

2 3)(x 3)(x - 4)

9 x(2x x(2x

+

3)' 3)

Multiplicando Multiplicando por por x(x x(x - 4)(2x 4)(2x + + 3), 3), que que es es el denominador denominador común común mínimo mínimo de de las las fracciones. fracciones, 3(2x 3(2x

+ 3) - 2x 2x = = 9(x 9(x - 4),

6x 6x

+ 9 - 2x 2x = = 9x 9x - 36,

45 = = 5x, 5x,

j)

x = = 9.

ECUACIONES LITERALES ECUACIONES LITERALES k)

2.

Despejar x. Despejar a)

2x - 4p = = 3x 2x 3x

b)

ax ax

+

a = = bx bx

+

+

2x - 3x 3x = 2x = 2p

2p, 2p,

b,

+

4p, 4p,

ax - bx bx = = b - a, ax

-x = = 6p 6p,, -x

x = = -6p. -6p.

x(a = b b - a, a, x(a - b) =

1)

b - a x == aa __ b == -- l siempre x' siempre que que a a

-J '" b.

ecuación es una una identidad identidad y se verifica verifica para todo valor valor de de x, Si a == b la ecuación para todo x.

e)

2ex 2ex

+

4d 4d = = 3ax 3ax - 4b,

2ex - 3ax 3ax = = --4b4b - 4d, 2ex

x

=

-4b-4d -4b-4d 2 _ 3a 3 2c e -

a

m)

4b+4d 4b+4d siempre que que 3a -J '" 2c. 2e. 2e siempre

= --23a _ 3a -

e

= 2e no no hay hay solución solución a menos menos que que d = = -b, =b, en cuyo cuyo caso caso la ecuación ecuación dada dada es una una identidad identidad. . Si 3a = d)

3x 4x 3x + a 4x + b b- = --b-= ---a-'-a - '

3ax 3ax

+

2

a 2 = 4bx 4bx

+

2

bb,2,

2 2 3ax 3ax - 4bx 4bx = b2 - a2,

n)

b22 -- a22 x = ---b --h (siempre (siempre que que 3a -J '" 4b). 4 3a - 4

o)

REPRESENTACION DE REPRESENTACION DE PALABRAS PALABRAS POR POR SIMBOLOS SIMBOLOS 3.

Expresar por por medio medio de símbolos símbolos algebraicos. algebraicos. Expre.s¡¡r a)

doble de un número número más más uno. uno. El doble número. Entonces Entonces 2x 2x == doble doble del número, número, y el doble doble del número número más más uno uno es == 2." 2.'" + 1. l. Sea x == el número. PROBL

b)

El quíntuplo quíntuplo de un número número menos menos tres tres.. número. . El quíntuplo quíntuplo del número número menos inenos tres tres es == 5x - 3. Sea x == el número

e)

Dos números números cuya cuya suma suma es 100. Dos uno de los números, números. entonces entonces 100 - x == al otro otro número. número. Si x == uno


4.

Hal

89 89

ECUACIONES LINEALES LINEALES CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA ECUACIONES

d)

Tres enteros enteros consecutivos consecutivos (por (por ejemplo, ejemplo, 5, 6, 7). Tres menor de los los enteros, enteros, entonces entonces (x + 1) Y (x + 2) serán serán los otros otros dos. dos. Si x es el menor

e)

es.

Dos números números cuya cuya diferencia diferencia sea sea 10. lO. Dos Sea x Sea

número menor; menor; = el número

tendremos (x + 10) lO) ten4remos

número mayor. mayor. = el número

exceso de 100 sobre sobre el triplo triplo de de un un número. número. f) El exceso número dado. dado. El · exceso exceso de 100 sobre sobre 3x es (100 - 3x). Sea x == al número g) g)

Un entero entero impar. impar. Un Sea x = = un un entero entero ·cualquiera. ·cualquiera. Entonces siempre un número número par, entero impar. impar. Sea Entonces 2x es siempre par, y (2x + 1) es un entero

h)

Cuatro enteros enteros impares impares consecutivos consecutivos (por (por ejemplo, ejemplo, 1, 3, 5, 7; 17, 19, 21, 23). Cuatro La diferencia entre entre dos dos enteros enteros impares impares consecutivos consecutivos es 2. La diferencia Sea 2x + 1 = = el entero entero impar impar más números pedidos serán 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5, 2x + 7. Sea más pequeño. pequeño. Los Los números pedidos serán

i)

Los céntimos que que hay Los céntimos hay en x pesetas. pesetas. Como 1 peseta céntimos, x pesetas 100x céntimos. céntimos. Como peseta == 100 céntimos, pesetas == lOOx

j) j)

La edad de de Juan doble que que la de de Leticia de ésta ésta el triple que la de de Fernando. cada una La edad Juan es el doble Leticia y la de triple que Fernando. Expresar Expresar cada una de de estas edades edades en en función función de de una ellas. estas una de ellas. Sea x = = edad edad de de Leticia será 3x y la de Juan 2(3x) = = 6x. de Fernando. Fernando. La La de Leticia será Juan 2(3x) Sea I 1 I 1 Otro Sea y = = edad de Juan; de Fernando, ~(~y) Otro método. método. Sea edad de Juan; la de de Leticia Leticia será será ~y, 2Y' y la de Fernando, 3(2 = ~y. '(/. Y) =

k) k)

Los de un sabiendo que que A es igual doble de Los tres tres ángulos ángulos A, A , B, B, C de un triángulo triángulo sabiendo igual al al doble de C más más 10°. 10°. Sea Sea C

1)

= = x"; x O; entonces entonces

=

(2x

+ 10)". IOt. Como Como

A

+

B

+ C = 180°, 180°,

B

= = 180° -

(A

+ C) C) = = (170 (170 -

3xt. 3x )".

El tiempo tiempo invertido invertido por por un un móvil móvil en en recorrer recorrer una una distancia distancia de de x kilómetros kilómetros a una una velocidad velocidad de de 20 km/h. km/h. Distancia Distancia

m) m)

A

distancia distancia velocl a

xx km km

xx

= 20 h. = velocidad velocidad x tiempo. tiempo. Por Por tanto, tanto, tiempo tiempo = = veloci 'd'da d == -20 -20 k h = h. mi =

mi

El perímetro perímetro yy el área área de de un un rectángulo rectángulo uno uno de de cuyos cuyos lados lados es es 4 m m más más largo largo que que el otro. otro. Sea Sea x = = longitud longitud del del lado lado menor, menor, entonces entonces (2x + 4) 4) = = longitud longitud del del lado lado mayor. mayor. El perímetro = 2(x) 2(x) + 2(2x + 4) 4) = = (6x + 8), 8), Y y el área área = = x(2x x(2x + 4). 4). perímetro =

n) n)

La La fracción fracción cuyo cuyo numerador numerador es es igual igual aa 4 veces veces el denominador denominador menos menos tres tres unidades. unidades.

4b). Sea Sea xx o) o)

== denominador; denominador;

el el. numerador numerador será será

== 4x 4x

4x 4x - 3 - 3. La La fracción fracción es es ---o -xx -o

El número número de de litros litros de de alcohol alcohol de de un un recipiente recipiente que que contiene contiene xx litros litros de de una una mezcla mezcla al al 40 40 % % de de alcohol alcohol en en volumen. volumen. En litros de de mezcla mezcla habrá habrá 0,40x 0,40x litros litros de de alcohol. alcohol. En xx litros

PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE NUMEROS NUMEROS 4. 4.

Hallar Hallar dos dos números números sabiendo sabiendo que que su su suma suma es es igual igual aa 21 21 yy que que uno uno de de ellos ellos es es igual igual al al doble doble del del otro. otro. Sean Sean xx yy 2x 2x los los dos dos números números pedidos. pedidos. En En estas estas condiciones, condiciones. xx + 2x 2x = = 21, 21 , oo sea sea xx Comprobación. Comprobación.

77

= = 7;7 ; por por tanto, tanto, los los números números pedidos pedidos son son xx = = 77 YY2x= 2x=

+ 14 = = 21 21 Y Y 14 = = 2(7). 2(7).


14. 14.

90 90 S.

ECUACIONES LINEALES LINEALES CON UNA UNA INCOGNITA ECUACIONES INCOGNITA

PROBL

Hallar un número número sabiendo sabiendo que que si se multiplica multiplica por cuatro y se le resta diez se obtiene obtiene 14. Hallar por cuatro resta diez Sea x = el número número buscado. Tendremos 4x - 10 = 14, 4x = 24, 24, Y Y x = 6. Sea buscado. Tendremos Comprobación. Comprobación.

6.

12.

Ha uni

13.

Hal es i

Cuatro veces veces 6 menos menos diez diez es 4(6) 4(6) - 10 = 14. Cuatro

Hallar tres tres números números enteros enteros consecutivos consecutivos cuya cuya suma suma sea 24. Hallar Sean los los tres tres números números consecutivos consecutivos x, x + 1, x + 2. Sean Tendremos x + (x + 1) + (x (x + 2) = 24, o sea x = 7: 7: por tanto. los los números números son son 7, 8. 8.9. Tendremos por tanto. 9.

7.

Hallar dos dos números números sabiendo sabiendo que que su suma suma es 37 y que que si se divide divide el mayor mayor por menor, el cociente cociente vale Hallar por el menor, vale 3 y el resto resto 5. Sea x el número número menor, menor. 37 - .r número mayor. mayor. Sea x = el número

Tendremos Tendremos

número mayor mayor número 5 . = 3 + ,.---------numero menor menor número menor menor numero número

37 - x 55 o sea ---=3+osea --=3+x x

Resolviendo, 37 - xx = 3x + 5, 4x 4x = 32, 32, x = 8. Los Los números números buscados son 8, 29. Resolviendo. buscados son

Res PROBLEMAS DE EDADES EDADES PROBLEMAS DE

8.

La edad edad de de una una persona años y la de de su hijo hijo es 9. Hallar Hallar al cabo cabo de de cuántos cuántos años años la edad edad del del padre La persona es 41 años padre triplica la del hijo. hijo. triplica

14. Un aee une

Sea x = el número número de de años años buscado. buscado. Sea

La edad padre después edad del del padre después de x años años = 3(edad 3(edad del del hijo hijo después después de de x años) años) 41+x=3(91-x) 41+x=3(9-¡-x)

9.

PROBLI

yx=7años yx=7años

Hace diez diez años. años. la edad edad de de Carlos Carlos era era cuatro cuatro veces veces mayor mayor que que la de Javier y. hoy hoy en día. día. es solamente solamente del del doble. doble. Hace de Javier Hallar las edades edades actuales actuales de ambos. ambos. Hallar

Res

Sea x'= edad actual actual de de Javier Javier; ; será será 2" 2x = edad edad actual actual de de Carlos. Carlos. x '= la edad Sea Edad de de Carlos hace diez diez años años = 4(edad 4(edad de de Javier Javier hace hace diez diez años) años) Edad Carlos hace 2x - 10 = = 4(x 4(x - 10) 2x

años y .r x = 15 años

15.

Hal del

16.

Hal con ven

Luego la edad edad actual actual de de Javier Javier x = 15 años años y la edad edad actual actual de de Carlos CarlosZx2x..= años. Luego .=. 30 años. Comprobación. Comprobación. que la de Javier. Javier. que

Hace diez diez años años Javier Javier tenía tenía 5 y Carlos Carlos 20, 20, es decir, decir, la edad edad de de Carlos Carlos era era cuatro cuatro veces veces mayor mayor Hace

PROBLEMAS DE MONEDAS MONEDAS PROBLEMAS DE

10.

Pablo tiene tiene 350 pts monedas de de 5 y 25 pts. Sabiendo que que posee monedas. calcular calcular el número número de de ellas ellas Pablo pts en monedas pts. Sabiendo posee 50 monedas, de 5 pts. pts. Sea x = número número de de monedas monedas de de 5 pts: número de de monedas pts : 50 - x = número monedas de 25 pts. pts. Sea Pesetas en monedas monedas de 5 + pesetas monedas de 25 = = 350 pts Pesetas pesetas en monedas pts 5x pts 25(50 - .x) de donde donde .v monedas de de 5 pts. 5x pts + 25(50 x) pts pts = 350 pts, pts. de x = 45 monedas pts.

11.

hay 230 pts monedas de 5. 25 y 50 pts. Sabiendo que que el número número de de monedas monedas de 25 es igual igual al En una una bolsa bolsa hay pts en monedas pts. Sabiendo doble doble del de 50, 50. y que que el número número de monedas monedas de 5 es igual igual al doble doble del de 25 menos menos 2, hallar hallar las monedas monedas que que existen de cada cada clase. clase. existen

PROBLl

número de monedas monedas de de 50. 2x 2x = = número número de monedas monedas de de 25 y 2(2x) 2(2x) - 2 = 4x 4x - 2 = número número de Sea x == número monedas de 5. monedas

17.

Pesetas en monedas monedas de 50 + pesetas monedas de 25 + pesetas monedas de de 5 = 230 pts Pesetas pesetas en monedas pesetas en monedas pts 50(x) pts 25(2x) pts 5(4x - 2) pts donde x = 2. 50(x) pIS + 25(2x) pts + 5(4x pts = 230 pts, pts, de donde Por tanto tanto. . hay hay x = 2 monedas monedas de 50. 50, 2x 2x = 4 de 25 y 4x 4x - 2 = 6 de de 5 pts. Por pts. Comprobacián, . Comprobaciún

monedas de 50 = 100 pts, de 25 = 100 pts, de 5 = 30 pts, pts, y su suma suma = 230 230 pts. pts. 4 de pts. 6 de pts. 2 monedas


Hal en

ECUACIONES LINEALES LINEALES CON CON UNA INCOGNITA ECUACIONES UNA INCOGNITA

91

PROBLEMAS DE DIGITOS DIGITOS PROBLEMAS DE

12.

Hallar de dos dos cifras cifras sabiendo sabiendo que que la correspondiente correspondiente las decenas decenas excede excede en en 4 a la cifra cifra de de las las Hallar un un número número de a las unidades otra parte, igual al doble doble de de ésta ésta menos unidades y, por por otra parte, es igual menos 1. Sea x = = cifra cifra de de las las unidades; + 4 = = cifra cifra de de las las decenas. decenas. Sea unidades; x + Como la cifra cifra de de las las decenas decenas = = 2(cifra 2(cifra de de unidades) + 4 = = 2(x) 2(x) - 1, o sea sea x = = 5. Como unidades) - 1, tendremos tendremos x + Por = 5, x + + 4 = = 9, Y el número Por tanto, tanto, x = número pedido pedido es 95.

le 3

13.

Hallar un de dos dos cifras cifras sabiendo sabiendo que que la suma suma de de éstas éstas es 12 y que que si se invierten invierten el número que resulta resulta número de número que Hallar un número igual a 4/7 4/7 del del primitivo. es igual primitivo. Sea x = = cifra cifra de de las unidades; = cifra cifra de de las las decenas. decenas. Sea unidades ; 12 - x = Número original = = 10(12 + x; invirtiendo el orden orden de de las cifras cifras resulta = 10x + + (12 - x). Número original \0(12 - x) x) + x; invirtiendo resulta el número número = x). Ahora como Ahora bien, bien, como número = número nuevo nuevo =

4 4

(número '"17 (número

original), tendremos IOx + + (12 - x) = original), tendremos \Ox x) =

4 4

[10(12 '"17 [\0(12

- x) + x] x) + x]

Resolviendo esta ecuación ecuación resulta = 8 Y el número Resolviendo esta resulta x = 4, 12 - x = número pedido pedido es 84.

dre

PROBLEMAS COMERCIALES PROBLEMAS COMERCIALES

14.

Una invierte 300 300 000 000 pts acciones y recibe, anualmente, 10 000 pts de intereses. intereses. Sabiendo Sabiendo que que unas Una persona persona invierte pts en acciones recibe, anualmente, \O 000 pts de unas acciones le producen % y las las restantes interés simple, simple, hallar dinero que que ha invertido en cada cada producen el 5 % restantes el 3 %, a interés hallar el dinero ha invertido acciones uno de los los dos dos tipos de acciones. acciones. uno de tipos de Sea x = = cantidad cantidad invertida invertida al 5 %; %; 300 000 000 - x = = cantidad cantidad invertida invertida al 3 %. %. Sea

os

Intereses al 5 % %+ + intereses intereses al 3 % % == 10 000 Intereses \O 000 0,05x 0,03(300 000 000 - x) = 10 000 + 0,03(300 x) = \O 000 0,05x

ble.

Resolviendo esta ecuación ecuación resulta 50 000 pts 000 - x = = 250 000 000 pts pts al 5 lo, 300 000 pts al 3 %. Resolviendo esta resulta x = 50000

años

15.

Hallar el sueldo sueldo de de un empleado sabiendo sabiendo que que después después de de deducido deducido el 14 % % de impuestos sobre el rendimiento Hallar un empleado impuestos sobre rendimiento del trabajo cantidad que que percibe de 26 800 pts del trabajo personal personal la cantidad percibe es de pts mensuales. mensuales. Sea x = sueldo. Según Según el enunciado, enunciado, sueldo sueldo - impuestos impuestos = = 26 800 800 pts, pts, Sea = suelc;lo. sea x 0,14 = 26800 26800 pts, de donde donde x = = 30000 30000 pts. pts. de pts. o sea 0,14 =

ayor

16.

ellas

Hallar el precio que un debe poner articulo que que a él le cuesta cuesta 12 000 000 pts, ofrecerlo pts, para para poder poder ofrecerlo Hallar el precio que un vendedor vendedor debe poner a un un artículo con un descuento del del 20 % % sobre sobre el precio señalado y. ganar en la operación operación un % sobre sobre el precio de precio señalado y, todavía. todavía, ganar un 25 % precio de con un descuento venta. venta. Sea x = = precio del artículo; articulo; el precio = x - 0.20x 0.20x = = 0.80x. 0.80x. precio marcado marcado del precio de venta venta = Sea Como la ganancia ganancia = = 25 % % del del precio de venta. de coste coste será será = = 75 % % del del precio de venta. Como precio de venta. el precio precio de precio de venta. Por Por tanto. tanto. coste = = O,75(precio 0,75(precio de de venta) coste venta) 12000 = = 0,75(O,8x), 12000 O,75(0.8x).

pts.

12 000 = 0.6x. 0.6x. de de donde donde x = = 20000 20000 pts. 12000= pts.

al al que PROBLEMAS DE MEDIDAS PROBLEMAS DE MEDIDAS ro de

= 2.

17.

Hallar longitud del lado lado de de un cuadrado sabiendo sabiendo que que si se aumenta aumenta ésta ésta en 4 m. su área área se incrementa incrementa Hallar la longitud un cuadrado en 64 m'm2 . Sea x = lado lado del cuadrado; cuadrado; x + + 4 = lado lado del nuevo cuadrado. Sea nuevo cuadrado. Area área primitiva Area nueva nueva = área primitiva + 64 (X+4)2 =.~2+64 (x+4)2 = .,2+64

dedondex=6m. dedondex=6m.

pis.


92 92

ECUACIONES LINEALES LINEALES CON CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA ECUACIONES

18. Un Un cateto cateto de de un un triángulo triángulo rectángulo rectángulo mide mide 20 cm cm y la hipotenusa hipotenusa es 10 cm cm mayor mayor que que-el otro cateto. cateto. Hallar Hallar el otro las longitudes longitudes de de los los lados lados desconocidos. desconocidos. las Sea Sea x

longitud == longitud

del cateto cateto desconocido; desconocido; x del

+

10

longitud == longitud

de la hipotenusa. hipotenusa. de

Cuadrado de de la la hipotenusa hipotenusa = de los los cuadrados cuadrados de de los los catetos catetos Cuadrado = suma suma de 2 + (20)2 (x + 10)2 = X2 de donde donde x == 15 cm. cm . = x de Los son x = = 15 cm Los lados lados pedidos pedidos son cm y x

+

10 == 25 cm. cm.

19. Hallar Hallar la la temperatura temperatura a la que que coinciden coinciden las las indicaciones indicaciones de de dos dos termómetros termómetros graduados, graduados, uno uno en en la escala escala cencen9 tígrada sabe que: otro en en la fahrenheit. fahrenheit. Se sabe que: Temperatura Temperatura fahrenheit fahrenheit == "5 (temperatura (temperatura centígrada) centígrada) + 32. tígrada y otro Sea x Sea

== temperatura temperatura

9 Tendremos Tendremos x = = "5x

buscada buscada

+

== temperatura temperatura

fahrenheit fahrenheit

==

PRO 25.

temperatura temperatura centígrada. centígrada.

32; 32; de de donde donde x = = _40°. _40°. Por Por tanto, tanto , _40° _40° F = = _40° _40° C. C.

PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE MEZCLAS MEZCLAS 20. 20.

Hallar son 45 y 85 pts/kg, Hallar el número número de de kilogramos kilogramos (kg) (kg) que que se deben deben tomar tomar de de dos dos ingredientes ingredientes cuyos cuyos precios precios son pts/kg, respectivamente, 40 kg kg a un un precio precio de de 60 pts/kg, pts/kg. respectivamente, para para obtener obtener un un producto producto de de 40 Sea x Sea

== masa masa

== masa masa del del de 85 pts. pts. + valor valor del ingrediente ingrediente de de 85(40 - x) + 85(40 x)

26.

del del de de 45 pts; pts; 40 - x

Valor ptsjkg Valor del del ingrediente ingrediente de de 45 ptsjkg es decir, 45x decir,

= valor 86 pts/kg pts/kg = valor de de la mezcla mezcla 60 x 40 40

Resolviendo Resolviendo esta esta ecuación ecuación resulta resulta x == 25 kg kg del del de de 45 pts/kg ptsfkg;; 40 40 - x == 15 kg kg del de de 85 pts/kg. pts/kg.

21. 21.

Un % de alcohol Un depósito depósito contiene contiene 20 litros litros de de una una mezcla mezcla de de alcohol alcohol yagua yagua al al 40 40 % alcohol en en volumen. volumen . Hallar Hallar el número número de solución que sea de mezcla mezcla que que se deben deben sustituir sustituir por por un un volumen volumen igual igual de de agua agua para para que que la solución que resulte resulte sea de litros litros de del % de de alcohol alcohol en en volumen. volumen. del 25 % Sea x = = volumen solución al 40 %. %. volumen que que se extrae extrae de de la solución Sea Volumen solución final solución al 25 % % Volumen de de alcohol alcohol en en la solución final == volumen volumen de de alcohol alcohol en en 20 litros litros de de solución Es decir, 0,40(20 = 0,25(20) de decir, 0,40(20 - x) x) = 0,25(20) de donde donde x == 7.5 7.5 litros. litros.

22. 22.

27.

Hallar de agua agua que que se debe debe evaporar evaporar de de 40 40 kg kg de de una una solución solución salina salina al 20 %, para para que que resulte resulte una una Hallar la la masa masa de solución al 50 %. Los son en Los porcentajes porcentajes son en masa. masa. solución Sea xx = = masa agua que masa de de agua que se debe debe evaporar. evaporar. Sea es decir, decir,

23. 23.

Masa sal en solución al % == masa sal en solución al 50 % % masa de de sal en la solución Masa de de sal en la solución al 20 % 0,20(40 de 0,20(40 kg] kg) == 0.50(40 0.50(40 kg kg - x] x) de donde donde xx == 24 kg. kg.

Calcular solución de alcohol % que Calcular el número número de litros litros de de una una solución alcohol al 60 % que se deben deben añadir añadir a 40 litros litros de de otra otra solución de % para son en para obtener obtener una una mezcla mezcla al 30 I~. I~. Los Los porcentajes porcentajes son en volumen. volumen. solución de alcohol alcohol al 20 % Sea x = = número solución al 60 % % que Sea número de de litros litros de de solución que se deben deben añadir. añadir. Alcohol solución al 60 Alcohol en en la solución es decir, 0,60x decir. 0,60x

% + alcohol solución al 20 % % == alcohol solución al 30 % % % alcohol en en la solución alcohol en en la solución 0,20(0,40) 0,30(x + 40) + 0,20(0,40) 0,30(x 40) de donde donde x ==

24.

11 . 13"3 litros. 13"3 lItros.

Dos metal, respectivamente. Dos minerales minerales de de manganeso manganeso [Mn] (Mn) contienen contienen el 4O:%; 4O:%; y el 25/~ 25 /~ de de dicho dicho metal, respectivamente. Calcular Calcular las las toneladas %. deben mezclar mezclar para para obtener obtener 100 ton ton de de mineral mineral con con una una riqueza riqueza del del 35 %. toneladas de de cada cada uno uno de de ellos ellos que que se deben Todos son en Todos los los porcentajes porcentajes son en peso. peso.


28

ECUACIONES Hallar

Sea x = peso necesario

de mineral

Mn del 40 0,4Ox

LINEALES CON UNA lNCOGNITA del 40

%+ +

%;

100 - x = peso necesario

de mineral

del 25

%.

Mn del 25 % = Mn total en las 100 ton 0,25(100 - x) = 0,35(100)

resulta x = 67 ton de mineral

De esta ecuación

93

del 40

%

y 100 - x = 33 ton de mineral del 25

%.

5 cm.

a ceno

PROBLEMAS 25.

DE MOVILES

Dos automóviles, A y B, cuyas. velocidades medias son de 30 y 40 km/h, respectivamente, distan 280 km. Hallar a qué hora se encontrarán sabiendo que a las tres de la tarde empiezan a moverse el uno hacia el otro. Sea

I

=

tiempo,

en horas, Distancia

que tardan recorrida

en encontrarse.

por A

~

=

Distancia

+ distancia +

recorrida

velocidad

x tiempo.

por B = 280 km

=~

.~

de donde

Se encuentran a las 7 de la tarde a una distancia 301 = 120 km de la posición distancia de 401 = 160 km de la correspondiente a B. pts/kg,

26.

I

=4 h

inicial de A, o bien a una

Dos automóviles, A y B, parten de un mismo punto y recorren un trayecto rectilíneo con velocidades medias de 30 y 50 km/h, respectivamente. Sabiendo que B parte 3 h después que A, hallar a) el tiempo y b) la distancia recorrida, hasta que se encuentran. Sean I y (1 - 3) el tiempo, en horas, que A y B viajan hasta que se encuentran. a)

Distancia

(km) = velocidad

media

distancia

(krn/h] x tiempo

recorrida

es decir, Por tanto,

úmero he sea

b)

27. litros.

Distancia

I

I

Distancia

b)

'3 litros.

28.

I = 7!/, h.

= 50(1 - 3) = 50(4!/,) = 225 km.

A recorra 1 km más que B. Las velocidades de la expresión espacio = velocidad x tiempo

recorrida

por A - distancia

recorrida

por B=I

1 -1 10

recorrida 1 -1 6

por A

+

distancia

+

recorrida 1 -1 lO

de A y B son 1/6 y l/lO km/m resulta: km

=1

de donde

1=15

de donde

1=

mino

por B = 1 km = 1

15/4 mino

La velocidad, en aguas de reposo, de una motora es de 25 km/h. Sabiendo que cuando avanza contra corriente recorre 4,2 km en el mismo tiempo que recorre a favor de ella 5,8 km, calcular la velocidad de la corriente. Sea v = velocidad

de la corriente. Tiempo

ular las 135 %.

de donde

= el tiempo pedido en minutos.

a) Se encontrarán cuando respectivamente. Por tanto,

1 -1 6

1.

por B

= 7!/, h y B viaja (1 - 3) = 4!/, h.

= 301 = 30(7!/,) = 225 km, o bien distancia

Distancia

%

se encuentran:

Dos automóviles, A y B, recorren una pista circular de 1 km de longitud en 6 'j lO minutos, respectivamente. Suponiendo que parten en el mismo instante y lugar, hallar al cabo de cuánto tiempo se encontrarán si se mueven alrededor de la pista a) en la misma dirección, b) en direcciones opuestas. Sea

he una

A viaja durante

(h). Cuando

por A = distancia recorrida 301 = 50(1 - 3)

es decir,

contra

Tiempo la corriente

= espacio/velocidad. = tiempo

5,8 km

4,2 km (25 -v) km/h

a favor de la corriente

(25

+

v) krn/h


de donde

v = 4 krn,1l,

94 94

-

ECUACIONES LINEALES CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA ECUACIONES LINEALES CON

PROBLEMAS DE TIEMPOS TIEMPOS DE DE TRABAJO TRABAJO PROBLEMAS DE

29.

Un obrero obrero A puede puede realizar realizar un trabajo trabajo en 3 días días y otro otro B lo puede puede hacer hacer en 6 días. días. Hallar Hallar el tiempo tiempo que que Un .tardarán realizar dicho dicho trabajo trabajo los dos dos juntos. juntos. tardarán en realizar 34.

Sea n11 == número número de días días que que tardan tardan trabajando trabajando A y B. B. Sea día,, A realiza realiza 1/ 1/33 del trabajo trabajo y B hace hace 1/6 1/6 del mismo mismo. . Trabajando Trabajando juntos juntos realizarán realizarán I1/11 día. En 1l día /n en l día.

1l

1

1l

}+6=;; 3+(;=;; Otro mélodo. método. aIrO

donde n11 == 2 días. días. de donde

días, A y B realizan realizan el trabajo trabajo completo. completo. En n11 días,

1l II(} n(3

1l

6) + (;)

De aqu aquí.í. resulta resulta n11 = = 2 días. días. De

= l (trabajo (trabajo completo). completo). =

j

30.

Tres grifos grifos llenan llenan un depósito depósito en 20, 20, 30 Y 60 minutos, minutos, respectivamente. respectivamente. Calcular Calcular el tiempo tiempo que que tarda Tres tarda en llenarse llenarse dicho depósito depósito cuando cuando se utilizan utilizan los tres tres tubos tubos simultáneamente. simultáneamente. dicho

g

Sea 11 == el tiempo tiempo (min) (min) necesario. necesario. Sea

1l

En 1l minuto, minuto, los tres tres grifos grifos juntos llenarán (20 (20 En juntos llenarán

1l

1l

1l

1(20 + 30 + 60) ==

1(20

31. 31.

1l

1l

+ 30 + 60)

(depósito completo). completo). 1l (depósito

depósito. Por Por tanto, tanto, en 11 minutos llenarán del depósito. minutos llenarán

35.

De aquí aquí resulta resulta 1 == 10 mino De

Actuando juntos operarios A y B realizan un un trabajo trabajo en 6 días. días. El operario trabaja dos Actuando juntos los los operarios B realizan operario A trabaja dos veces veces más más de de prisa que tardarán tardarán en trabajo trabajando cada uno uno por prisa que que B. Hallar Hallar los días días que en realizar realizar dicho dicho trabajo trabajando cada por separado. separado. Sea 211 = que necesitan respectivamente, trabajando Sea 11. n, 2n = número número de de días días que necesitan A y B. B, respectivamente, trabajando por por separado. separado. En día,, A realiza del trabajo 1/211 del del mismo. completan el trabajo trabajo. , tendremos: En 1l día realiza l/n I /n del trabajo y B hace hace 1/211 mismo. Como Como en en 6 días días completan tendremos:

1 1 6(- + -) 6(- )= = l (trabajando (trabajando completo). completo). 11 211 11 211 32. 32.

36.

De De aquí aquí resulta resulta 11 11 = = 9 días. días, 211 211 = = 18 días. días.

La trabaja A A es tres tres veces veces mayor mayor que que la de de B. B. Los Los operarios operarios A A y B B empiezan empiezan a trabajar trabajar juntos juntos La velocidad velocidad a que q ue trabaja durante durante 4 h, al a l cabo cabo de de las las cuales cua les A A se retira retira y continúa continúa solo solo B. B, que que termina termina el trabajo trabajo en en 2 h. Hallar Hallar el tiempo tiempo que que tardará tardará B en en realizar rea lizar todo todo el el trabajo trabajo si actuara actuara él él solo. so lo. Sean l. 31 Sean 1, 31 = = tiempos. tiempos. en horas, horas. que que tardarían tardarían A y B, respectivamente. respectivamente, trabajando trabajando solos. solos.

J

En En 1l h, AA realiza realiza 1/1 1/1 del del trabajo trabajo y BB hace hace 1/31 1/ 31 del del mismo. mismo . Por Por tanto. tanto,

1l

l

lI

+ -) + 2(-) = 1 3/) 31 2(/) 1 =

4(4(/

33. 33.

l (trabajo (trabajo completo). completo).

De De aquí aquí resulta resu lta 31 = = 22 22 h. h.

Un Un empleado empleado cobra cobra l 200 200 pts pts diarias diarias cuando cuando acude acude al trabajo trabajo y cuando cuando no no lo hace hace sufre sufre una una penalización penali zación de de 400 400 pts. pts. Sabiendo Sabiendo que que al cabo cabo de de 40 40 días días la cantidad cantidad que que percibió percibió fue fue de de 32000 32000 pts, pts, hallar hallar el número número de de días días que que faltó faltó al trabajo. trabajo . Sea Sea xx = = número número de de días día s que que faltó faltó al trabajo; trabajo: 40 - xx = = número número de de días días que que trabajó. trabajó . o sea. sea,

Cantidad Cantidad ganada ganada - cantidad cantidad descontada descontada = = 32 32 000 000 pts pts l 200(40 400 = 32000 32000 200(40 - x) xl 400

de de donde donde .v x

= 10 l O días días faltó fa ltó al a l trabajo. trabajo .

37.


95

LINEALES CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA ECUACIONES LINEALES ECUACIONES

PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS PROBLEMAS 34. 34.

Resolver las ecuaciones ecuaciones siguientes: siguientes: Resolver a) a)

3x - 2

b) Y Y b)

+

1)2 h) (2x + 1)2

= 7 =

4) = = 4 3(y - 4)

e)

= 5 - 2x 4x - 3 =

d) d)

x - 3 - 2(6 2(6 - 2x)

i)

35. 35.

f)f)

--=2x-4- 4 2x

g) g)

(x (x

j) j)

2)

2x++ 1 1 x-4 2x x-4 --x-+x+I=3 x-+x+I=3 ---

5

522 5 22 y-2 y+3 y -2 y+3

-

- -- - = =-- - ---- -

y-I y-I

x+1 x+1

y+1 y+1

7

3)' + (x + 1)2 1)2 = = (x (x - 2)2 + (x (x + 3)' 3)2 3)'

= 3(6p 2(x - p) = 3(6p - x) :: x

b) 2by - 2a

= ay - 4b : y =

2x-a 2x-a e) b--b-

2x-b 2x-b ---a-a- ::xx

1) /)

xX22

-_

4

+ xX22

-_

2 4 3x + 2 = = xX22 + X

-

2

= =

d)

x-a x-e x-a x-e x _ b == x _ d: d: x

e)) e

-

1

ay

1

+-

by

1

= -:y -:y =

e

Representar las expresiones expresiones siguientes siguientes por por medio medio de de símbolos símbolos algebraicos. algebraicos. Representar a) a)

Cinco veces veces un cierto cierto número número más más dos dos. . Cinco

b) b)

Dos veces veces un cierto cierto número número menos menos seis. Dos

e)

Dos números números cuya cuya diferencia diferencia sea 25. 25. Dos

d) d)

Los cuadrados cuadrados de de tres tres enteros enteros consecutivos. consecutivos. Los

e)) e

exceso del del quíntuplo quíntuplo de de un un cierto cierto número número sobre sobre 40. El exceso

f) f)

cuadrado de de un un entero entero impar impar cualquiera. cualquiera. El cuadrado

g) g)

El exceso exceso del del cuadrado cuadrado de de un un número número sobre sobre el doble doble del del mismo. mismo.

/¡) 11)

El número número de de centímetros centímetros cúbicos cúbicos correspondientes correspondientes litros. a x litros.

i)

La diferencia diferencia entre entre los cuadrados cuadrados de de dos dos enteros enteros pares pares consecutivos. consecutivos. La

j) j)

Carlos es seis seis años años mayor mayor que que Javier, Javier, y éste éste tiene tiene la mitad mitad de de años años que que Pablo. Pablo. Expresar Expresar sus sus edades edades en en función función Carlos de una una sola sola de de ellas. ellas. de

k) k)

Los tres tres ángulos, ángulos, A, de un un triángulo triángulo ABC ángulo A excede excede en en 20 al doble doble del del ángulo ángulo B. Los A, B, B, C, de ABC si el ángulo

1)

área de un un rectángulo rectángulo si uno uno de de los los lados lados es 3 m más más pequeño triple del otro. El perímetro perímetro y el área pequeño que que el triple del otro.

m) m)

n)

37. 37.

k) k)

x-I x-I

3x(x + + 3x(x

Despejar la incógnita incógnita indicada. indicada. Despejar a) a)

36. 36.

2x+3 2x +3

1)' 1)2

3 4 1 - - - =z 5z 10

= 2(2x - 5) =

21 - 9 31 + 4 2/ 3/ e) --3-=-2e) 3- = - 2-

= (x =

La fracción fracción cuyo cuyo denominador denominador es igual igual al cuadrado cuadrado del del numerador numerador más más cuatro. cuatro. La La cantidad cantidad de sal en un un depósito depósito que que contiene contiene x litros litros de de agua agua si la concentración concentración es de de 2 kg de de sal por La por litro. litro.

Problemas de de números. números. Problemas a) a)

Hallar un un número número sabiendo sabiendo que que su mitad mitad es igual igual a su sexta sexta parte parte más más 10. Hallar

b) b)

Hallar dos dos números números cuya cuya diferencia diferencia es 20 y su suma suma 48. Hallar


96

ECUACIONES

LINEALES CON UNA INCOGNITA

e) Hallar dos enteros pares consecutivos sabiendo que el doble del menor excede al mayor en 18.

42.

Pn

d)

Hallar dos números sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor por el menor el cociente es 2 y el resto 3.

a)

e)

Hallar los enteros impares consecutivos sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es igual a 64.

b}

f) Hallar tres números cuya suma es 54 sabiendo que el primero es igual al doble del segundo más 4 y que el tercero es igual al doble del primero.

e}

38. Problema de edades. a)

Un padre tiene 24 años más que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8 años la edad del padre es el doble que la del hijo.

b)

Leticia tiene quince años más que su hermana Begoña. Hace seis años la edad de Leticia era seis veces la de Begoña. Hallar sus edades actuales.

d}

e}

e) La edad actual de Juan es el doble de la de Fernando. Hace cinco años Juan era tres veces mayor que Fernando. Hallar sus edades actuales. 43.

Pn a}

39. Problemas de monedas. a)

Una bolsa contiene 215 pts en monedas de 5 y 25. Sabiendo que hay 19 monedas más de 5 que de 25, hallar el número de monedas de cada clase.

b)

Un muchacho tiene 500 pts en monedas de 25 y de 50 pts. Sabiendo que el número de las de 25 es igual al doble de las de 50, hallar el número de monedas de cada clase.

b}

e) Las entradas de un teatro valen 50 pts para los adultos y 20 pts para los niños. Sabiendo que asistieron 280 personas y que la recaudación fue de 8 000 pts, hallar el número de niños que asistieron a la función.

e}

d}

40. Problemas de dígitos.

41.

a)

Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de éstas es igual a 1/7 del número y que la cifra de las decenas excede en 3 a la correspondiente de las unidades.

e}

b)

Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de éstas es igual a 10 y que, si se invierten, el número que resulta es una unidad menor que el número original.

fl

e) Hallar un número de dos cifras sabiendo que' la de las decenas es igual a 1/3 de la correspondiente de las unidades y que, si se invierten, el número que resulta es igual al doble del primitivo más la suma de las cifras de éste más 2 unidades.

g)

Problemas comerciales.

h)

a)

Un comerciante adquiere una mercancía a un precio de 72 pts. Hallar el precio a que la debe poner en venta para que, haciendo un descuento del lO % sobre éste, gane en la operación un 20 % sobre el precio de venta.

b)

Un empleado cobra 200 pts diarias cuando acude al trabajo y cuando no lo hace le descuentan 50 pts. Sabiendo que al cabo de 25 días la cantidad de dinero que recibe es de 4 500 pts, hallar el número de días que acudió al trabajo.

e) En cierta factoría trabajan 400 empleados entre hombres y mujeres. Cada hombre percibe, diariamente, 160 pts, y cada mujer, 120 pts. Calcular el número de mujeres empleadas sabiendo que la nómina diaria del personal asciende a 57 200 pts. d)

e)

i)

j)

k)

Una persona tiene invertidas 45000 pts, una parte al 2 % y la otra al 3 % de interés simple. Sabiendo que los intereses que percibe anualmente ascienden a 1 100 pts, hallar las cantidades que tiene colocadas a los referidos tipos de interés. Una persona ha invertido 20 000 pts al 7 % y 50 ooo pts al 4 % de interés simple. Hallar la cantidad que debe colocar al 6 % para que el total invertido le resulte a un interés del 5 %.


1}

ECUACIONES LINEALES LINEALES CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA ECUACIONES

42. es

Problemas medidas. Problemas de medidas. a) a)

Hallar las dimensio"nes dimensiones de un sabiendo que Hallar un rectángulo rectángulo sabiendo que su perímetro perímetro es igual igual a 110 cm cm y que que su longitud longitud es 5 cm cm más más pequeña pequeña, . que que el doble doble de su altura. altura.

b) b)

Hallar las dimensiones dimensiones de una sabiendo que anchura y Hallar una puerta puerta rectangular rectangular sabiendo que su altura altura es 80 cm cm mayor mayor que que su anchura que, si se aumentan aumentan sus sus dimensiones área se incrementa 6000 cm cm"2 . dimensiones en en 20 cm, cm, el área incrementa en 6000 que,

e) e)

área de un cuadrado cuadrado excede excede a la de sabiendo que El área de un un rectángulo rectángulo en 3 cm" cm 2 Hallar Hallar el lado lado del cuadrado cuadrado sabiendo que anchura del rectángulo cm más más pequeña pequeña que que el lado lado del del cuadrado, cuadrado, y que que la altura altura de de aquél aquél es 4 cm cm la anchura rectángulo es 3 cm mayor que que éste. éste. mayor

d) d)

perímetro de un triángulo triángulo rectángulo Sabiendo que catetos mide El perímetro rectángulo es igual igual a 40 cm. cm. Sabiendo que uno uno de de los los catetos mide 15 cm, cm, hahallar la longitud longitud de los otros otros dos dos lados. lados. llar

e) e)

longitud de una una piscina piscina es igual anchura. Determinar sus dimensiones sabiendo que sus La longitud igual al doble doble de su anchura. Determinar sus dimensiones sabiendo que sus paredes tienen tienen 4 m de altura área de paredes altura y un un área de 720 m'. m2

que

s la lade

97

que

43.

Problemas de mezclas. mezclas. Problemas a) a)

Para limpiar limpiar manchas manchas de grasa emplear un disolvente % Para grasa en tejidos tejidos de de lana lana o de cuero cuero se puede puede emplear disolvente a base base de 80 % tetracloruro de carbono carbono (en volumen), % de ligroin % de alcohol. Calcular de tetracloruro volumen), 16 % ligroin y 4 % de alcohol. Calcular los los litros litros que que se deben deben tomar de cada cada componente componente para formar 75 litros para formar litros de de disolvente. disolvente. tomar

b) b)

Mezclando un aceite aceite de 28 pts obtener 45 litros Mezclando pts el litro litro con con otro otro de de 33 pts pts el litro litro se quieren quieren obtener litros de de un un producto producto precio de 30 pts pts el litro. Calcular las al precio litro. Calcular las cantidades cantidades que que se deben deben tomar tomar de de cada cada uno uno de los los tipos tipos de aceite. aceite .

e)

Hallar la masa masa de agua agua que solución de ácido sulfúrico sulfúrico al 36 % % para Hallar que se debe debe añadir añadir a 50 kg kg de una una solución de ácido para obtener una una solución solución al 20 %. %. Los son en masa. obtener Los tantos tantos por por ciento ciento son masa.

d) d)

Hallar el número número de litros alcohol puro añadir a 10 litros solución al 15 % % para Hallar litros de alcohol puro que que se deben deben añadir litros de de una una solución para obtener una una solución solución de alcohol alcohol al 25 %. %. Los son en volumen. Los tantos tantos por por ciento ciento son volumen. obtener

e)

dispone de 60 litros litros de una solución de agua que Se dispone una solución de glicerina glicerina yagua yagua al 50 %. Hallar Hallar el volumen volumen de de agua que se debe añadir añadir para para reducir reducir la concentración son en volumen. debe concentración de de glicerina glicerina al 12 %. Los Los tantos tantos por por ciento ciento son volumen.

nú-

f)f)

e las le las

dispone de 4 litros litros de una solución anticongelante Se dispone una solución anticongelante de de agua agua y glicerina glicerina al \O lO %. Hallar Hallar el número número de de litros litros solución que que se deben deben remplazar glicerina para solución resultante sea del de solución remplazar por por igual igual de de glicerina para que que la solución resultante sea del 25 ~;.;.Los ~;.;. Los tantos volumen. tantos por por ciento ciento son son en volumen.

g) g)

litros de % de nata. Se tienen tienen 1I 000 litros de leche leche con con un un 4 % nata. Determinar Determinar cuántos cuántos litros litros de de leche, leche, con con un un contenido contenido en en nata de un 23 %, se deben deben separar separar de los los anteriores anteriores para para obtener obtener una una leche leche cuyo cuyo porcentaje porcentaje de nata nata sea de de nata %. Los Los tantos tantos por por ciento son en volumen. ciento son volumen. un 3 %.

h) h)

dispone de 10 ton ton de un con un azufre del Se dispone un carbón carbón con un contenido contenido en azufre del 2,5 2,5 %, y de de otros otros dos dos tipos tipos de de carbón carbón cuyos contenidos contenidos en azufre azufre son son 0,8 :~~y estos últimos cuyos :~~ y 1,10 %' respectivamente. respectivamente. Hallar Hallar las las cantidades cantidades de de estos últimos que que deben mezclar mezclar con con las 10 ton %. se deben ton del del primero primero para para obtener obtener 20 ton ton de de carbón carbón con con un un contenido contenido en en azufre azufre del del 1,7 %.

i)

Una arcilla arcilla contiene contiene un un 45 % sílice y un % de sílice en en una arcilla Una ~~ de de sílice un 10 lO % de agua. agua. Hallar Hallar el tanto tanto por por ciento ciento de de sílice una arcilla seca (sin agua). agua). Los Los tantos tantos por son en peso seca por ciento ciento son peso..

j) j)

Un mineral mineral de oro oro y cuarzo 19,3,, la del Un cuarzo tiene tiene una una masa masa de de 100 g. La densidad densidad del del oro oro es 19,3 del cuarzo cuarzo 2,6 2,6 y la del del mineral 6,4 (gramos (gramos por por centímetro de oro oro que que contiene contiene el mineral. centímetro cúbico). cúbico). Hallar Hallar la masa masa de mineral. mineral = masa masa de de oro Ind. Sea x = oro en el mineral; mineral ; (100 - x) x) = = masa masa de de cuarzo cuarzo en el mineral. mineral. Volumen del minera mineral l = = volumen el mineral Volumen volumen de oro oro en en el mineral + volumen volumen de de cuarzo cuarzo en el mineral. mineral.

k) k)

toma una una muestra muestra de 8.41 g de aceite y se la calienta 1\00 C evaporándose evaporándose Se toma de 8,41 de un un aceite calienta hasta hasta una una temperatura temperatura de de 110° agua. Disolviendo Disolviendo en agua agua y evaporando evaporando después, después, se separaron separaron 1,27 g de era aceite. aceite. de glicerina glicerina y el resto resto era 5,83 g de agua. Hallar la composición composición de Hallar de la muestra. muestra.

1)

Un carbón carbón contiene contiene un 2,4 agua. Una seco, el contenido Un 2,4 ~,~de ~,~ de agua. Una vez vez seco, contenido en en carbón carbón del del residuo residuo fue del del 71,0 71,0 ~;.;.Ha~;.;. Hallar el tanto tanto por por ciento ciento de carbón. Calcular el tanto ciento de carbón llar carbón. Calcular tanto por por ciento carbón en la muestra muestra húmeda. húmeda. Todos Todos los los porcentajes son son en peso peso. . porcentajes

25, gual 280

'a de

enta

o de . Saque ente, a del que a los debe


98 44.

ECUAClONES

Problemas a)

b)

LINEALES

CON UNA

INCOGNITA

de móviles.

36.

d)

Un motorista parte de una ciudad A a las 2 h de la tarde y viaja hacia la ciudad de 30 km/h. Después de permanecer en B durante l h. regresa por el mismo camino 40 km/h y llega a A a las 6 h 30' de la tarde. Hallar la distancia entre A y B.

B a una velocidad a una velocidad de

Un automovilista recorre una distancia de 265 km. Durante la primera parte del viaje marcha a una velocidad de 40 km/h y el resto lo hace a 35 km/h. Sabiendo que la duración del viaje fue de 7 h. hallar el tiempo que estuvo marchando a la velocidad de 40 km/h.

f)

La velocidad de una canoa. en aguas en reposo. es de 8 km/h. Sabiendo que recorre 20 km a favor de la corriente en el mismo tiempo que recorre 12 km en contra de ella. hallar la velocidad de la corriente.

i)

e)

f) g)

h)

a una velocidad

e)

h)

e) d)

Dos. aviones parten del mismo lugar y a la misma hora volando en direcciones opuestas. La velocidad de uno de ellos es 40 km/h mayor que la del otro. Sabiendo que al cabo de 5 h se encuentran a 2 000 km de distancia. hallar sus velocidades medias. Hallar la velocidad a que debe viajar un motorista A para alcanzar a otro B. que marcha de 20 km/h. sabiendo que A. partiendo 2 h después que B. desea alcanzarlo en 4 h.

g)

h)

Dos motoristas. a una distancia uno del otro de 225 km. empiezan a moverse a las 4 h 30' de la tarde en sentido contrario. Sabiendo que sus velocidades medias son de 40 y 45 km/h. hallar a qué hora se encontrarán.

e)

La velocidad de un avión. en aire en reposo. es de 120 km/h. Cuando marcha a favor del viento recorre una cierta distancia en 4 h. pero cuando va en contra de él recorre solamente los 3/5 de la misma en igual tiempo. Hallar la velocidad del viento. Una columna de soldados marcha a una velocidad de 5 km/h. Un enlace a caballo va desde la cabeza de la columna hasta el final de la misma y regresa inmediatamente. empleando un tiempo total de lO minutos. Suponiendo que la velocidad del enlace es de 10 km/h. hallar la longitud de la columna. Un tren recorre una distancia en h horas a una velocidad de l' kilómetros por hora. Hallar en cuántos metros debe incrementar su velocidad para efectuar el rnjsmo recorrido en l h menos.

a)

i)

37.

a)

38.

a)

39.

a)

40.

a)

41.

a)

42.

a) h) e)

43.

a) h) e)

kiló-

d)

el f)

45.

Problemas

de tiempos de trabajo.

Un granjero puede trabajar un cierto terreno a una velocidad tres veces mayor que la de su hijo. Trabajando juntos invierten 6 h en realizar la labor. Hallar el tiempo que tardarían en realizarlo trabajando por separado.

b)

Un pintor puede realizar un trabajo en 6 h y su ayudante puede hacerlo en lO h. El pintor comienza a trabajar y al cabo de 2 h se incorpora al trabajo su ayudante. Hallar el tiempo que tardarán en completar el trabajo en cuestión.

e)

Un grupo de operarios puede realizar un trabajo en 8 días. Después de que este grupo ha estado trabajando 3 días. se incorpora un segundo grupo y. juntos. terminan el trabajo en otros 3 días más. Hallar el tiempo que tardaría en realizar dicho trabajo el segundo grupo trabajando por sí solo.

d)

Dos grifos llenan un depósito en 10 y 15 minutos. tuando todos simultáneamente. llenan el depósito el depósito empleando solamente el tercer grifo.

SOLUCIONES

34.

35.

44.

a)

DE LOS

a)

x = 3

dI'

b)

Y = 4

e)

e)

x = 4/3

fl

a)

x = 4p

b) Y = -2 si

PROBLEMAS

x

= 5 1=-6 x = 1/11

e) 1I

respectivamente. Los 2 grifos anteriores y un tercero. acen 4 minutos. Hallar el tiempo que tardaría en llenarse

PROPUESTOS

x) /¡) i)

a

x = -1/2 todos los valores de x (identidad) z = 22

+

b

x = -2-

si

1I

4= b

d)

,J, 2b


x =

he - ad h+e-a-d

x = 1/4 Y = 5 1) x = -1

j)

k)

a) b)

45.

a)

99

ECUACIONES ECUAClONES LINEALES LINEALES CON UNA UNA INC()(jNITA INC()(jNITA

36.

a) a)

Sx 5x

+

2

h) 2x 2x - 6 h)

e e))

x

+

25. x.v 25.

d¡ X2, x2• (x + 1)2, 1)2. (x + 2)2 d) 5x - 40 el Sx fl (2x (2x + 1)2 1)2 siendo siendo x.v = entero entero fl g) /?) X2 x2 -- 2x 2x /¡) 1000x 1000x h)

+

i) i)

(2x (2x

2)2 - (2X)2. (2X)2.

37.

a) a)

30

38.

a) al

Padre 40. hijo hijo 16 Padre

h) 34. 14 h)

X '.,.'

entero entero

e)

20. 22

j)j) k) k) 1)

Edad de Javier Javier x. x. Edad Edad 2x Edad de Carlos Carlos xx + 6. Edad Edad de Pablo Pablo 2x B = x. (2x + 20)'. 3x) = (160 - 3x) B= x. A = = (2x 20r. C = Un lado lado es .v, x . el lado lado adyacente adyacente es 3x - 3 Un Area = = 3X2 Perímetro = = 8x Perímetro 8x - 6. Area 3x2 -- 3x

m)

m)

2.\'2

n) n)

kg de de sal 2 x kg

d) d)

25. 11 I1

x

+

4

,

Leticia 24. 24. Begoña Begoña 9 Leticia

h) h)

15. 17

e) el

e) e)

f)f)

16. 6. 32

Juan 20. 20. Fernando Fernando 10 Juan

'1

locidad po que

5 de de 50. 10 de 25

h) h)

39.

a) a)

4 de 25. 23 de 5

40.

a) 63 al

41.

a) al

42.

al a) ancho ancho 20 cm. cm. altura altura 35 cm cm

h) hl

37

e)

200 niños. niños. 80 adultos adultos 200

e) e]

26 26

r de la re una n igual

h) hl e) el

a de la inutos.

43.

44. 44.

45.

f

pts 100 pts

h) h)

23 días días

e)

170 mujeres mujeres

20 000 pts pts al 3 '.•.••. '\ , 2255000 000 pts pts al 2 ".~ ~',~ 20000

d) d)

d) d)

el el

ancho 100 cm. cm. altura altura 180 cm ancho cm 9 cm

18 I1 del de 33 pts. pts. 27 Il del del de 28 pts 18 pts 40 kg 4/3 4/3 Il 1901I 190 2.'31

(/l a) hl h)

7 h 3D' 30' de la tarde tarde 180, 180. 220 kmfh kmfh

a) a)

Padre Padre 8 h. hijo hijo 24 h

e) d) dI h) hl

otro cateto cateto 8 cm. cm. hipotenusa hipotenusa 17 cm cm otro 30 m por por 60 m

50 lI 6.7 3.3 ton 1.1O ~ 6.7 ton ton de 0.80 0.80 ";.;. '::',3.3 ton de de 1,10 ~....~ ~ i) il 50 '~~sílice '~~ sílice j) JI 69 g de de oro oro k) 69.3 69,3 ~~~ ~~~ humedad. humedad. 15.1 ~\ glicerina. glicerina, 15.6:';~ 15,6 :'t~ aceite aceite k) 1) 69.3 % carbón 1) 69.3 :%; carbón

e) el f) fl

kmfh 60 kmfh 60 km km 2~ 2~ h

\O 000 000 pts pts

gl /?) /¡) hl

al 60. 12. 3 litros a) litros h) hl c) el d) d) el f)f)

<'l el

el e)

12 días días

4 h 2 kmfh kmfh d) d)

/?) gl /¡) /¡)

12 minutos minutos

+ he ah


30 krn/h km/ h 5i8 5i8 km km

i) il h=I 7l=I

de in: =4

Por¡ dica evide

CAPITULO 12 CAPITULO

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas

... CON DOS DOS INCOGNITAS forma UNA ECUACION ECUACION LINEAL UNA LINEAL CON INCOGNITAS (o variables) variables) x e y es de la forma ax + by == c, en donde donde a, b, son constantes constantes y a, distintos de cero. cero. Dos ecuaciones de este este tipo tipo ax b, ce son a, b distintos Dos ecuaciones

a¡x alx a2xx a2

b¡y + bly + hb22yy

= C¡ = CI = C22 = a)

constituyen un sistema de de ecuaciones lineales, en este este caso caso de dos dos ecuaciones ecuaciones con con dos dos incógnitas. incógnitas. constituyen un sistema ecuaciones lineales, Todo par de valores de x e y que que satisfagan satisfagan ambas ambas ecuaciones, ecuaciones, simultáneamente, simultáneamente, recibe Todo par de valores de recibe el nombre nombre solución del sistema. sistema. de solución Por ejemplo, ejemplo, la solución solución del del sistema 5, YY = 2. Por sistema x + y = 7 yY x - y = 3 es x = 5. SISTEMA DE AS.. SISTEMA DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES CON CON DOS DOS INCOGNIT INCOGNITAS ponen lineales. ponen tres tres métodos métodos para para resolver resolver un un sistema sistema de de ecuaciones ecuaciones lineales.

A) A) Método Método de reducción. reducción . Cuando Cuando sea sea necesario, necesario, se pueden pueden multiplicar multiplicar las las ecuaciones ecuaciones dadas dadas por ambas ecuaciones por números, números, de de manera manera que que los los coeficientes coeficientes de de una una de de las las incógnitas incógnitas en en ambas ecuaciones sea sea el mismo. son distintos, distintos, se suman mismo. Si los los signos sIgnos de de los los términos términos de de igual igual coeficiente coeficiente son suman las las ecuaciones ecuaciones;; en caso caso contrario, contrario, se restan. restan. Consideremos Consideremos (1) (1)

(2)

los¡ nes. si se

A continuación continuación, , se ex-

2x 2x - y = = 4 x + 2y 2y = = -3. - 3.

SISTEM min: incó

Para Para eliminar eliminar y, y, se multiplica multiplica (1) por por 2 y se suma suma con con (2), (2), obteniendo obteniendo 2 x (1): (1): (2): (2):

Suma: Suma:

'+

4x 4x"+ 2y 2v = = 8 8 x + 2y 2y = = - 3 5x = 5x = 5

o sea sea xx = = 1.

Sustituyendo Sustituyendo xx = 1I en en (1), (1), se obtiene obtiene 2 - Yy = 4, o sea sea yy = - 2. Por 2. Por tanto, tanto, la la solución solución del del sistema sistema formado formado por por (1) y (2) es es x = = 1, yy = = --2. Comprobación: Comprobación: Sustituyendo Sustituyendo xx = 1, Yy = -2 -2 en en (2)se (2) se obtiene obtiene 1 + 2( -2) -2) = -3, -3 , -3 -3

SISTEMP Resolver

= -3. - 3.

B) Método Método de de sustitución. sustitución. Consiste Consiste en en despejar despejar una una incógnita incógnita en en una una de de las las ecuaciones ecuaciones y sustisustituir tuir su su valor valor en en la la otra. otra. Por Por ejemplo, ejemplo, consideremos consideremos el sistema sistema formado formado por por las las ecuaciones ecuaciones (1) (l) yy (2) (2) anteriores. anteriores. De De (1) (1) se obtiene obtiene yy = = 2x 2x -4 -4 yy sustituyendo sustituyendo este este valor valor en en (2) resulta resulta xx + 2(2x 2(2x -4) -4) = = -3, -3 , de de la la que que se se deduce Sustituyendo x = I1 en en (1), oo en en (2), (2), se se obtiene obtiene yy = - 2. deduce la la solución solución xx = 1. Sustituyendo C) C) Método Método gráfico. gráfico. Consiste Consiste en en trazar, trazar, en en un un sistema sistema de de coordenadas coordenadas dado, dado , las las dos dos rectas rectas qUe: qUe: representan representan las las ecuaciones. ecuaciones. La La solución solución del del sistema sistema viene viene dada dada por por las las coordenadas coordenadas (x, (x, y) y ) del del punto punto 100


1.

s S

e x +;

101 \0\

SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES SISTEMAS

ambas. De la Fig. (a) (a) se deduce que la solución del sistema formado formado por (\) (1) 2x 2x - y de intersección de ambas. = 4 Y (2) (2) x + 2y 2y = = -3 -3 es x = = 1, = -2, -2, o bien (\, (1, -2). -2). = \, Y = ecuaciones es incompatible, incompatible, es decir, no tiene solución. Si las rectas son paralelas, paralelas, el sistema de ecuaciones formado por (3) x + y == 2 Y (4) (4) 2x 2x + 2y 2y = = 8 es incompatible, incompatible, como inPor ejemplo, el sistema formado por (3) obtiene 2x 2x + 2y 2y = = 4 que, multiplica la ecuación (3) por 2 se obtiene dica la Fig. (b). Obsérvese que si se multiplica evidentemente, es incompatible incompatible con (4). evidentemente,

a)

itas. bre

b)

2x-y=4 (1) 2x-y=4 (2) x+2y=-3 x+2y=-3

Ecuaciones incompatibles Ecuaciones incompatibles (3) (4)

e)

Ecuaciones Ecuaciones dependientes dependientes

x + y == 1t (6) 4x + 4y = = 4 (6)

x + y = = 2 2x = 8 2x + 2y 2y =

(5) (5)

dependientes están representadas Por consiguiente, consiguiente, todos Las ecuaciones dependientes representadas por una misma recta. Por todos puntos de la recta constituyen constituyen una solución y, en definitiva, el sistema tendrá tendrá infinitas soluciolos puntos 4y = 4 son ecuaciones dependientes; obsérvese que ecuaciones dependientes; nes. Por ejemplo, (5) x + y = 1\ y (6) 4x + 4y si se multiplica (6). si multiplica por 4 la ecuación (5) se obtiene la ecuación (6).

exadas ea el nes;

Ecuaciones Ecuaciones compatibles compatibles

SISTEMA DE TRES TRES ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES CON CON TRES TRES INCOGNITAS. INCOGNITAS. SISTEMA Se resuelve eliminando una incógnita incógnita en dos cualesquiera cualesquiera de las ecuaciones ecuaciones y a continuación continuación eliminando eliminando la misma minando incógnita en otras otras dos. incógnita

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS SISTEMAS DE DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES CON CON DOS DOS INCOGNITAS INCOGNITAS SISTEMAS LINEALES Resolver los los sistemas sistemas siguientes: siguientes: Resolver

-3. usti-

l. l.

(1) (2) (2)

2x-y=4 2x-y=4 x + yy = = 5 5

Sumando (1) Y (2) se obtiene obtiene 3x Sumando Sustituyendo x Sustituyendo

= 9, x = = 3. =

= 3 en (1) o en (2) se obtiene obtiene yy = = 2. La La solución solución es x = = 3, Y = = 2 o (3, 2). =

Otro método. método. De (1) se obtiene obtiene y = = 2x sustituyendo este valor ecuación (2) se llega Olro De 2x - 4 Y sustituyendo este valor en la ecuación llega a 2x - 4 = = 5, 3x 3x = = 9, x = = 3. Sustituyendo Sustituyendo x = = 3 en (1) o en (2) se obtiene obtiene yy = = 2. x + 2x

Comprobación: Comprobación: Solución gráfica. Solución gráfica.

2x - y == 2(3) 2x 2(3) - 2 = = 4 Yx

+y

= = 3

+2

= = 5.

La representación de una ecuación lineal lineal es una línea recta. Como una queda dedeLa representación de una ecuación una línea recta. Como una recta recta queda


102

SISTEMAS DE ECUACIONES ECUAC IONES LINEALES LINEALES SISTEMAS DE

6.

terminada por por dos dos puntos. puntos. basta basta con con representar representar dos dos puntos puntos de terminada cada ecuación. ecuación. Sin embargo, embargo, para para obtener obtener una una precisión precisión mayor mayor se cada pueden representar representar tres tres puntos puntos de de cada cada recta. recta . pueden

Para Para

2x 2x -- yy == 4: 4:

Para Para

.\.v

+)' + )'

1: I=; 1_: I-21 ~ ~

1; 1-6 I ~ I 1

~

= S: = S:

7.

4 1

~

La solución solución del sistema sistema es el punto punto de de intersección intersección (3, (3 , 2) de las las rectas. rectas.

2.

(1) (1) (2)

Sx 2x 2x

+

+

8.

2)' 2)'

= 3 = 3y 3y == -- 1I

Para restan los Para eliminar eliminar y, y, se multiplica multiplica (1) por por 3 y (2) por por 2 y se restan los resultados. resultados. (1): 3 x (1): 2 x (2):

ISx ISx 4x 4x

Resta: Resta:

IIx Ilx

+ 6y 6y + 6y

= = = =

9

-2 11 11

o sea x = = 1.

Sustituyendo xx = solución del sistema sistema es (1, - 1). 1). Sustituyendo = 1 en en (1) o en en (2) se obtiene obtiene y = = -- 1.l. La solución (1) (2)

3.

2x+3)'=3 2x+3y=3 6x = = 1 6y - 6x

(1) (1)

Reordenando (2), Reordenando (2),

(2)

2x 2x -6x -6x

+ +

3.1' 3.1' 6y

= 3 = = 1 =

Para suma el resultado Para eliminar eliminar x, se multiplica multiplica (1) por por 3 y se suma resultado con con (2) obteniéndose obteniéndose 3 x (1): (2):

9.

6x + 9y 6x 9y == 99 -6x 6.1' = = I -6x + 6y

ISy == 10 ISy

o sea sea y = = 2/3. 2/ 3.

Sustituyendo y = 2/3 en solución es (1/2, 2/3). Sustituyendo en (1) o en en (2) se obtiene obtiene x = 1/2. La La solución 4.

(1) (2)

Sy = 3 - 2x Sy=3-2x 3x = = 2)' 2.1' + II

Aplicamos sustitución Aplicamos el método método de sustitución 10.

3-h 3-2x 11 3-2x di ' 3-2x 11 ' De --S-' . S Sustituyendo sea x = 19' De (1), y)' = --S-o ustltuyen o este este valor va or en (2) se obtiene obtiene 3x 3x = 2(--S-) 2(--S-) + 1 o sea Luego Luego

s.s,

l'

.,

2.

= 3 - 2x = 3 - 2(11/19) y 2(11 / 19) = 19 S S la solución solución es

11 11

7

(19 (19'' 19)'

x-2 y+1 x-2 y+1 -3-+-6-=2 - 6-=2 (1) -3-+ 11.

x + 3 2y 2)' - 1 (2)-4--2(2) - 4 - -- 2- = = Para simplificando se obtiene Para quitar quitar denominadores, denominadores, se multiplica multiplica (1) por por 6 y (2) por por 4 y simplificando obtiene (I¡) (1 tl (2¡) (2tl

2x+y= 2x + y = IS x - 4y 4y == -- 1


S9 17 . Resolviendo, Resolviendo, se obtiene obtiene x == 9' y == 9'

SISTEMAS SISTEMAS DE DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES

6. 6.

(1) (i) (2)

103

3y = = 2a 2a xx - 3y 2x + + yy = = 5a 5a 2x

Para Para eliminar eliminar x, x, se se multiplica multiplica (1) (1) por por 22 yy se resta resta (2); (2); se se obtiene obtiene yy = = af]: a/7. Para y , se se multiplica multiplica (2) (2) por por 33 yy se se suma suma con con (1); (1); se se obtiene obtiene xx = = 17a/7. l7a/7. Para eliminar eliminar y, La solución solución es es xX'= 17aj7, yy = = afl a/7.. La '= 17a/7,

7.

(1) (1) (2) (2)

3u + 2v= 2v= 7r+ 7r+ ss 3u 2u -- vv = = 3s 2u

Se Se despeja despeja uu yy vv en en función función de de rr yy s.

Para Para eliminar eliminar u, v, se multiplica multiplica (2) por por 2 yy se suma suma con con (1); luego luego Tu 7u = = 7r7r + Ts 7s oo sea sea uu = = r + s.s. Para Para eliminar eliminar u, u, se se multiplica multiplica (1) (1) por por 2, 2, (2) por por -- 3, Y Y se suman suman los los resultados; resultados; luego luego v = = 2r 21' - s. La solución solución es es u = = r + s,s, v == 2r 2r - s. La

8.

2 2 (1 ) ax+by=2a ax + by 2=-3b2a 3b 2 (1) 2y = = 2a 2a - 6b 6b (2) x + 2y

Se multiplica multiplica (2) por por a y se resta resta de de (1); (1) ; tendremos tendremos by - 2ay 2ay = = 6ab 6ab - 3b22, , yib y(b - 2a) 2a) = = 3b(2a 3b(2a - b), b), -3b(b - 2a) 2a) 3b(2a - b) b) 3b(2a -3b(b e y = b _ 2a = b _ 2a = 3b siempre que b 2a O. = 2a = = siempre que O.

*

+

Análogamente, Análogamente. se obtiene obtiene x = = 2a siempre siempre que que b - 2a

Comprobación: Comprobación: Nota. No/a.

(1) (1)

Si b - 2a

a(2a) a(2a)

b( - 3b) + b(-3b)

=

22 --

= 2a =

22,

3b

+*O. (2)

,

2a + 2(-3b) = 2a - 6b. 2a+2(-3b)=2a-6b.

=

O, o sea sea b = 2a, las las ecuaciones ecuaciones dadas dadas se transforman transforman en en = O, (1.) (1,)

+ 2a)' x + 2y 2y

ax ax

(2.) (2¡)

= lOa22 = --lOa = lOa = --lOa

que que son son dependientes, dependientes, ya ya que que (1.) (1 ¡) se deduce deduce de de (2.) (2¡) multiplicándola multiplicándola por por a. Por Por tanto. tanto. si b = = 2a. el sistema sistema tiene tiene infinitas y satisfacen infinitas soluciones. soluciones. es decir. decir, todos todos los los valores valores de de x ee)' satisfacen a .r x + 2y 2y = = -lOa. -lOa. 9.

Hallar dos dos números cuya suma suma es 28 y su diferencia diferencia 12. Hallar números cuya Sean x e y los Sean los dos dos números números pedidos. pedidos. Tendremos Tendremos (1) x + y = = 28 y Y (2) .r x - y = = 12. Sumando (1) (I) yY (2) se obtiene obtiene 2x 2x = obtiene 2y 16. rY = = 8. Sumando = 40. 40, x:r: = = 20. 20. Restando Restando (2) de de (1) se obtiene 2.1' = = 16, No/a. Este empleando solo solo una Sean los números números n y Nota. Este problema problema también también se puede puede resolver resolver empleando una incógnita. incógnita. Sean 28 - n. Tendremos = 20 yY 28 - n = = 8. Tendremos n - (28 - n) = = 12, 12. o sea n =

10.

Hallar una una fracción fracción sabiendo sabiendo que que si el numerador numerador se aumenta aumenta en 2 y el denominador Hallar denc;>minador en 1I se obtiene obtiene 1/2. y que si el numerador numerador se aumenta aumenta en 1 I y el denominador denominador se disminuye disminuye en 2. se obtiene obtiene 3/5. 3/ 5. que numerador. Sea x = = numerador.

y = denominador denominador )'

1 x +2 (1) -- - == -- o sea r+ 1 I Y 2

2x-y 2x - y = = -3 -3

sistema formado formado por por (1) Y y (2) resulta resulta xu Del sistema

11. 11.

fracción pedida. pedida. Tendremos Tendremos y xx/y /y = la fracción

xx+1 + 1 3 (2) - - - -5 o sea Yy -- 2 2 - 5

y

= 2,

Y

= 7.

5x 5x - 3y

-11 -11

fracción pedida pedida es 2/7. 217· La fracción

Hace 2 años años un padre padre era era 6 veces veces mayor mayor que que su hijo. hijo. Hallar Hallar sus edades edades actuales actuales sabiendo sabiendo que que dentro dentro de 18 18 años años Hace la edad edad del padre padre será será el doble doble que que la del hijo. hijo.

Sea x == edad edad actual actual del padre. padre. y == edad edad actual actual del hijo. hijo. Ecuación Ecuación para para la condición condición de hace hace 2 años: años: Ecuación Ecuación para para la condición condición de dentro dentro de 18 18 años: años:

( 1) (1) (2)

(x (x(x (x

2) = 6(y 2)=6(y-

18)) = = + 18

2(y

+

Resolviendo el sistema sistema formado formado por por (1) Y y (2) se obtiene obtiene :r: x = = 32. Y = = 7. Resolviendo


2). IS). Ul).

104 12.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Hallar un número de 2 cifras que satisfaga las 2 condiciones siguientes: (1) el cuádruplo de la cifra de las unidades es igual al doble de la correspondiente a las decenas menos 6, (2) el número es igual al triplo del que se obtiene invirtiendo sus cifras menos 9. Sea t

=

la cifra de las decenas,

El número pedido = 10t (1) Resolviendo

13.

+

u; invirtiendo

Un 10 de de

=

+

IOt 7, u

=

= lOu

+

u = 3(lOu

+

t. Luego

t) - 9

2, el número pedido es 72.

y 5 lapiceros

y

3x

(2)

por (1) y (2) se obtiene x

=

+

10

3s +

el sistema formado

15 pts, y

=

invertida (1)

Resolviendo

al 4

O,04x

+

Dos de 1 cruz segu

t = número de gomas vendidas. Tendremos

y

2t = 1 000 por (1) Y (2),

s

%,

y = cantidad

O,05y = 1 100

el sistema formado

=

120, t

=

300.

al 5 y

%. (2)

un inHallar

20.

O,05x

+

a)

O,04y = 1 150

por (1) y (2), x = 15000 pts, y = 10 000 pts, y su suma es 25000 pts.

En 8 litros de la solución que se quiere obtener habrá 0,25(8) = 2 litros de alcohol. Sean x, y = volúmenes extraídos de los depósitos A y B, respectivamente; en estas condiciones tendremos una primera ecuación de la forma (1) x + y = 8. 5 1 3 Fracción de alcohol en el depósito A = 10 + 5 = "3' y en el B = 12 + 3 = "5 . Por tanto, en x litros de A habrá x/3 litros de alcohol, y en y litros de B habrá y/5 litros de alcohol; luego (2) x/3 Resolviendo el sistema formado por (1) y (2) resulta x = 3 litros, y = 5 litros.

La

sien y el tem

Tendremos

Un depósito A contiene 10 litros de agua y 5 litros de alcohol puro. Otro depósito B contiene 12 litros de agua y 3 litros de alcohol. Hallar el número de litros que se deben extraer de cada depósito para conseguir una solución de 8 litros que contenga un 25 %, en volumen, de alcohol.

Otro método utilizando

19.

5 pts.

Un inversionista ha colocado un cierto capital al 4 % una parte y al 5 % la otra recibiendo, anualmente, terés de 1 100 pts. Si las hubiera invertido al revés, recibiría al año 50 pts más en concepto de intereses. la cantidad de dinero que ha invertido. Sea x = cantidad

Hall 2h

5y = 70 pts

comerciante liquida sus existencias de lapiceros y gomas por 1 000 pts; los primeros los vende a razón de pts el conjunto de 3 lapiceros, y las segundas, a 2 pts cada una. Sabiendo que vendió solamente la mitad los lapiceros y las 2 terceras partes de las gomas recaudando en total 600 pts, hallar las unidades que vendió cada uno de los artículos citados.

Resolviendo

18. cuestan 70 pts. Hallar el precio de cada

y = precio de un lapicero. Tendremos

5x+8y=115pts

el sistema formado

(1)

16.

(2)

115 pts; 3 cuadernos

Sea s = número de lapiceros vendidos,

15.

las cifras, el nuevo número y

por (1) y (2), t

Cinco cuadernos y 8 lapiceros cuestan cuaderno y de cada lapicero.

Resolviendo

la cifra de las unidades.

4u = 2t - 6

el sistema formado

(1)

=

u

Sea x = precio de un cuaderno,

14.

LINEALES

+

y/5 = 2.

b)

SISTEM Resolver

21.

solo una incógnita.

Sea x = volumen extraído del depósito A; 8 - x = volumen extraído del B. Entonces,

17.

1 -x 3

+

1 - x) -(8 5

=

2, de donde

x

=

. 3 htros,

8 - x

=

5 liitros,

Cierta aleación contiene un 20 % de cobre y un 5 % de estaño. Hallar el número de kilogramos que se deben mezclar con 100 kg de la aleación dada para obtener una aleación que contenga y un 10 % de estaño. Los tantos por ciento son en masa. Sean x, y = número de kilogramos

de cobre y estaño un 30 % de cobre

de cobre y de estaño que se han de alear, respectivamente.


de

SISTEMAS ECUACIONES LINEALES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES

unidaque se

105

En hay 20 kp kp de cobre cobre y 5 kp kp de de estaño. estaño. Luego, Luego, en en la nueva nueva aleación, aleación, En 100 kp kp de la aleación aleación dada dada hay kilos de cobre cobre kilos

fracción fracción de cobre cobre

kilos de aleación aleación kilos

kilos de estaño estaño fracción fracción de estaño estaño = = kilos kilos de aleación aleación kilos

o sea sea

(1 ) (1)

20 + x O 30 == -:-::-::----20 + x 0,30 , 100 + x + y

oo sea sea

(2)

y 0,10 +_ Y__ 0,10 == -:-::-:::_55_+ 100 + x + y

La solución por (1) y (2) es x == 17,5 kp kp de de cobre, cobre, y == 7,5 kp kp de estaño. estaño. solución del sistema sistema formado formado por 18. e cada

Hallar en aguas aguas en en reposo, reposo, y la velocidad velocidad de la corriente corriente del del río, río, sabiendo que emplea Hallar la velocidad velocidad de una una barca, barca, en sabiendo que emplea 2 h en navegar corriente y 6 h en recorrer recorrer dicha dicha distancia distancia en en sentido contrario. navegar 9 km km a favor favor de de la corriente sentido contrario. Sea x == velocidad en reposo, reposo, yy == velocidad velocidad de de la corriente. corriente. velocidad en agua agua en (x + y) y) krn/h km/h == 9 km km 2 h x (x 6 h x (x y) krn/h km/h == 9 km km (x - y)

favor de la corriente: corriente: A favor En En contra contra de la corriente corriente: :

o sea sea o sea sea

(1) (2) (2)

2x + 2y 2y == 9. 2x 6x 9. 6x - 6y 6y = = 9.

Resolviendo por (1) y (2), x ~. ~. 3 krn/h, km/h, yy == 3/2 3/2 km/h. km/h. Resolviendo el sistema sistema formado formado por

ón de mitad vendió

19. 19.

Dos partículas se mueven velocidades, pero pero constantes, constantes, alrededor alrededor de una una circunferencia circunferencia de de 276 276 m Dos partículas mueven a diferentes diferentes velocidades, de longitud. que si parten parten del del mismo mismo punto punto e instante instante en sentido contrario se longitud. Hallar Hallar sus sus velocidades velocidades sabiendo sabiendo que sentido contrario hacen en en las las mismas mismas condiciones condiciones pero pero en en el mismo mismo sentido, cruzan cada cada 23 cruzan cruzan cada cada 6 segundos, segundos, y si lo hacen sentido, se cruzan segundos. segundos. Sean x, x, y = = sus sus velocidades velocidades respectivas respectivas en en mis. Sean Sentido opuesto opuesto: : Sentido 6 s xx (x + y) y) mis mis == 276 276 Mismo sentido: sentido: 23 s x (x - y) y) mis mis == 276 276 Mismo

o sea sea o sea sea

(1) (2)

6y = = 276. 6x + 6y 23x .: 23x - 23y 23y == 276 276 ..

Resolviendo el sistema sistema formado formado por Resolviendo por (1) y (2), x == 29 mis, yy == 17 mis. ,un in. Hallar

20.

pts.

temperatura en la escala escala fahrenheit fahrenheit = m(temperatura La temperatura m(temperatura en en la escala escala centígrada) centígrada) + n, es decir, decir, FF = me mC + n, siendo m y n constantes. constantes. A la presión siendo presión de 1 atm, atm, la temperatura temperatura de ebullición ebullición del del agua agua es 212° 212° F, o bien bien 100° e, C, punto de congelación congelación del del agua y el punto agua es 3ZC 3ZC F, o bien bien 0° OC C. a) Deducir Deducir los los valores valores de de m y n. n. b) Hallar Hallar la temperatura de la escala escala fahrenheit fahrenheit que a-273° C (la menor temperatura que corresponde corresponde a-273° menor temperatura temperatura que que se puede puede conseguir). conseguir). m(100) + n 212 == m(100)

y

(2)

32 = = m(O) m(O)

+

(1)

b)

99 22 .. ddeel. 1°. ° -(-273) -491,4 + 32 = = -459° -45 90' F F,, con F == -=C C + 32 == -( - 273) + 32 == -491,4 con aproxrmacion aproximación 5 5

n. n.

Resolviendo, Resolviendo,

m = 9/ 915, = 32. m = 5, n =

a) a)

de agua na soluSISTEMAS DE DE TRES TRES ECUACIONES ECUACIONES LINEALES SISTEMAS LINEALES CON CON TRES TRES INCOGNITAS INCOGNITAS dremos

Resolver los sistemas sistemas siguientes: siguientes: Resolver

litros de 21. 21.

(1) (1) (2) (2) (3) (3)

2xy+ z= 2xy+ z= 33 II x + 3y - 2z == II 3x - 2y + 4z = = I 3x

Para eliminar eliminar .r entre entre (1) (1) Y (2) se multiplica suma con (2) obteniendo Para multiplica (1) por por 3 y se suma con (2) obteniendo (1.) 7.'( (1.J 7x + z

= 20 =

Para eliminar}' eliminar}' entre entre (2) y (3) se multiplica suman los resultados Para multiplica (2) por por 2, (3) por por 3, y se suman resultados

y estaño e cobre

(2.) (2,)

Ilx + 8z = 25 \\x+8z=25

Resolviendo el sistema sistema formado formado por (1, ) Y (2,) (2, ) se obtiene - l. Sustituyendo Sustituyendo estos Resolviendo por (\,) obtiene x = 3, zZ = -1. estos valores valores en una una ccuaciones dadas dadas se obtiene obtiene y = = 2. de las ecuaciones pues. la solución solución es x = = 3, Y = = 2. z = -l. -l .. Así. pues, Z =


SISTEMAS

106 x 22.

LINEALES

= 2.

Para quitar denominadores.

multipliquemos

x entre

(ltl

las ecuaciones

por 12, obteniendo

el sistema SISTEMP

4x + 6y - 3z = 24 3x + 4y - 6z = 2 6x - 3y + 4z = 46

(1 tl (2tl (3tl Para eliminar teniendo

ECUAClONES

z

y

"3 + "2 - 4

(1 )

DE

y (2tl multiplicamos

Para eliminar x entre (2 tl y (3 tl multiplicamos (22)

26.

(1,) por 3, (2tl por -4,

(2 tl por 2 y restamos

Ily -

y sumamos

ob-

a)

(3,) obteniendo

h)

por las tres ecuaciones

estos valores de y y z en una

e)

dadas es x = 6, Y = 2, z = 4. 27.

122

(1) -----=0 x y z

23.

Haciendo

231

(2)

'

1

I

I

x

y

2

- = u. - = v, - =

+- +-

-

x

w

y

= 1,

(3)

2

las ecuaciones

( 1 tl

dadas

313

- -

x

Reso

- = 3.

- -

z

y

se transforman

u - 2v - 2w = O 2u + 3v + w = I 3uv -3w=3

(2tl (3,)

,

16z = -42

La solución del sistema formado por (12) Y (22) es y = 2, z = 4. Sustituyendo de las ecuaciones dadas, se obtiene x = 6. Así, pues, la solución del sistema formado

los resultados

Reso

a)

'en

h)

del que se obtiene u = -2,v=3.w=

-4. e)

I - = -2 x

Por tanto.

I - = 3 o y = 1/3. y

o x = -1/2.

1 - = -4

o

2

= -1/4.

Comprobación: d)

24.

3x

(1)

+y

-

2

= 4,

(2)

x

+

y

+

42 = 3,

Restando (2) de (1). se obtiene (1 tl 2x - 52 = 1. Multiplicando (2) por 5 y restando (3) se obtiene (2tl

(3)

9x

+

-4x

+

10z = 7.

5y

+

•

10z = 8.

28.

Ahora bien. (1,) y (2tlson incompatibles, ya que al multiplicar (1,) por -2 resulta -4 x + 10z = -2 que es incompatible con (2,). Ello significa que el sistema dado es incompatible y que, por consiguiente, no tiene solución.

Indic

a)

I

e

b)

25.

Los obreros A y B trabajando juntos pueden realizar una tarea en 4 días; B y e juntos pueden hacerlo en 3 días. y A Y e en 2.4 días. Hallar el tiempo que tardaría cada obrero en realizar dicha tarea actuando independientemente. Sean

{l.

h. e = los días que precisan cada uno para efectuar solos el trabajo.

Tendremos

~. ~. ~ = fracción del trabajo completo (I h e

a)

respectivamente.

que cada uno realiza en I día. respectivamente.

29. Probl

Luego

b)

~ 2

I

(2)

b

I

+ -;:=

l

"3'

(3)

I a

-

I I =e 2.4

+-

e)

\

el)

Resolviendo

el sistema formado

por (1). (2) y (3). se obtiene

II


= 6. h = 12. e = 4 días.

F

SISTEMAS

DE

ECUACIONES

107

LINEALES

PROBLEMAS PROPUESTOS SISTEMAS 26.

27.

DE ECUACIONES

Resolver

los siguientes

LINEALES

sistemas

CON

de ecuaciones

DOS INCOGNITAS por los métodos

que se indican.

a)

{2X -3y = 7 3x+ .1'=5

Resolver (1) por el método de reducción.

b)

{3X - y = -6 2x + 3y = 7

Resolver (1) gráficamente.

(2) por el método de reducción.

e)

{4X + 2y = 5 Sx - 3.1' = -2

Resolver (1) gráficamente.

(2) por el método de reducción.

Resolver

los siguientes

a)

{ 2x - Sy = 10 4x + 3y = 7

b)

{2Y - x = I 2x+y=8

r

sistemas

de ecuaciones

y-,

3 +"5-

e)

x

y

"6 - "2

{"'-= 3

= -4

(2) por el de sustitución.

(3) por el de sustitución.

por uno de los métodos.

e)

{ 2x - 3y = 91 4x - y = 81

f)

{2X + y 3x - 2y

g)

{2U - v = -Ss 3u + 21> = 7,. - 4s

h)

{s/x -+

i)

{ax - by = al + b Zb x - ay = 2h1 + 3ab - al

2/x

+ +

1=0 5 = O Hallar u y r en función de r y s.

3/y = I l/y = 7 1

1+

Lk.-'~ 4 4

Hallar x e y en función de

ti

y b.

d) x+3_x-y=3 2

28.

Indicar cuáles de los sistemas siguientes son (1) compatibles.

a)

b)

29.

3

+

X {

2x-

3y = 4 y= I

2X - y = 5 { 2y = 7 + 4x

Problemas

(2) indeterminados.

3X = 2y + 3 x - 2y/3 = I

e)

{

d)

{

(x

+

3 )/4 = (2y -

3x - 4y

=

1)/6

2

(3) incompatibles.

el

2X - y = I { 2y - .v = I

.f)

(x + 2)/4 -.(y - 2)/12 = Sl4 { y = 3x - 7

dé números.

a)

Hallar dos números sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21. y que si este último se suma con el doble del primero resulta 18.

b)

Hallar una fracción sabiendo que si se aumentan el numerador 2/3. y que si ambos se disminuyen en 2 unidades resulta 1/2.

e)

Hallar dos números sabiendo que el doble de su suma es igual al triple de su diferencia semisuma es igual a su diferencia más l.

d)

Hallar dos números sabiendo que si se divide el mayor por el menor da un cociente 6 y un resto también 6. '1 que si se divide el quintuplo del me-vor por el mayor. el cociente es 2 y el resto 3.

y el denominador


en 3 unidades

se obtiene

más 8. y que su

108

SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES SISTEMAS DE

.30. Problemas de edades. .30. Problemas de edades.

31. 31.

32. 32.

a) a)

Hace 6 años, Agustín era veces mayor mayor que Pablo. Hallar Hallar sus sabiendo que Hace años. Agustín era 4 veces que Pablo. sus edades edades actuales actuales sabiendo que dentro dentro de 4 años años solo será será dos dos veces que Pablo. solo veces mayor mayor que Pablo.

b)

veces mayor mayor que Dentro de veces mayor A es 11 11 veces que B. Dentro de cierto cierto número número de de años. años. A será será 5 veces mayor que que B y, 5 años años Hallar sus más tarde tarde será veces mayor mayor que más será 3 veces que B. Hallar sus edades edades actuales. actuales.

SIS1 35.

Problemas de Problemas de dígitos. dígitos. a) a)

Hallar un un número número de triple de de la cifra Hallar de 2 cifras cifras sabiendo sabiendo que que el triple cifra de de las decena decenas s es igual igual al cuádruplo cuádruplo de número dado dado y el obtenido la correspondiente a las unidades más más 2, y que correspondiente las unidades que la diferencia diferencia entre entre el número obtenido al invertir invertir sus menos 2. sus cifras cifras es igual igual al doble doble de la suma suma de de éstas éstas menos

b) b)

Hallar de 2cifras sabiendo sabiendo que divide por obtenido al invertir invertir sus sus cifras cifras el cocoHallar un un número número de 2"cifras que si se divide por el número número obtenido resto 7, y si se divide por la suma resto 6. ciente ciente es 2 y el resto divide por suma de de sus sus cifras cifras el cociente cociente es 7 y el resto

36.

Problemas comerciales. Problemas comerciales. a) a)

b) b)

e) e)

Dos café y 3 kg de mantequilla cuestan 420 cabo de de 1 mes, café ha suDos kilogramos kilogramos de café kg de mantequilla cuestan 420 pts. pts. Al cabo mes, el precio precio del café ha subido un un 10 mantequilla un un 20 % productos anteriores bido lO % % y el de de la mantequilla % de de forma forma que que la adquisición adquisición de los productos anteriores cuesta cuesta ahora 486 primitivo de de cada cada uno los productos. ahora 486 pts. pts. Hallar Hallar el precio precio primitivo uno de los productos.

Si se mezclan mezclan 3 litros tipo A con tipo B el precio precio de mezcla es de 43 pts pts el litro. litros de de aceite aceite del del tipo con 7 litros litros del tipo de la mezcla litro. mezclan 3 litros precio de mezcla es de pts el Sin embargo. embargo. si se mezclan litros del del aceite aceite A con con 2 litros litros de B el precio de la mezcla de 46 pts litro. Hallar el precio precio del uno de tipos de litro. Hallar del litro litro de de cada cada uno de los los tipos de aceite. aceite.

37.

38.

~<,.

Un inversionista tiene colocado parte de ~..;; y el resto resto al 5 ~I" . de interés percibiendo Un inversionista tiene colocado parte de su capital capital al 3 ~;,;y interés simple, simple. percibiendo anualmente anualmente 11 11 600 pts intereses. Si aumenta aumenta en un % el dinero dinero que que tiene que pts de intereses. un 25 % tiene al 3 %. y en un un 40 /:" /:" el que pts. Hallar Hallar el dinero tiene invertido uno de tiene al 5 %, tiene %. sus sus intereses intereses anuales anuales aumentan aumentan en 4 100 pts. dinero que que tiene invertido a cada cada uno los tipos de los tipos de interés. interés.

SOL

26. 33. 33.

Problemas de mezclas. Problemas de mezclas.

27.

a) a)

Un depósito A contiene contiene 32 litros litros de de una solución de de alcohol alcohol al 25 % Otro depósito depósito B contiene contiene Un depósito una solución /:" en volumen. volumen. Otro litros de de solución solución de alcohol alcohol al 40 '1~ que se extrae extrae de cada cada uno de ellos ellos 50 litros '1~ en volumen. volumen . Hallar Hallar el volumen volumen que uno de para formar ~"~ en volumen. volumen . para formar 40 litros litros de de solución solución de de alcohol alcohol al 30 ~~

28.

b) b)

Un depósito una solución una cantidad kg . Otro depósito B Un depósito A contiene contiene 40 litros litros de de una solución salina salina con con una cantidad de de sal de 80 kg. Otro depósito tiene 120 litros UDa solución Hallar el volumen volumen que tiene litros de UDa solución con con 60 kg de sal disuelta. disuelta. Hallar que se debe debe extraer extraer de cada cada uno de ellos ellos para formar 30 litros litros de de solución solución cuya cuya concentración concentración sea sea de de 1,5 1.5 kg/litro. uno de para formar kg/litro.

30.

e) e)

Una aleación de cinc ~~ de cobre. Hallar el número número de kilogramos kilogramos de cinc Una aleación contiene contiene un 10 o/~ '~~de cinc y un 20 ~~ cobre. Hallar cinc y cobre cobre kg de la aleación para obtener un 20 ''."0 ...., de cinc un que que se deben deben alear alear con con 100 kg aleación dada, dada. para obtener otra otra aleación aleación con con un cinc y un Los tantos tantos por por ciento masa. 24 % % de de cobre. cobre. Los ciento son son en masa.

d)

Una aleación. masa es de kg. está por 100 kg kg de kg de estaño. Una aleación. cuya cuya masa de 600 600 kg. está compuesta compuesta por de cobre cobre y 50 kg estaño. Otra Otra Hallar las masas masas de aleación, kg, está kg de aleación. de de 1 000 kg. está compuesta compuesta de 300 kg de cobre cobre y 150 kg de estaño. estaño. Hallar de cobre cobre mezclar con para obtener una tercera tercera aleación un y de de estaño estaño que que se deben deben mezclar con las dos dos aleaciones aleaciones dadas dadas para obtener una aleación con con un 32 % un 28 ~';'; ~''';; de Los tantos tantos por por ciento masa. % de de cobre cobre y un de estaño. estaño. Los ciento son son en masa.

29.

32. 33. 34. 35. 36.

34.

Problemas de móviles. móviles. Problemas

37.

a) a)

Hallar de la corriente corriente de un río. sabiendo que que Hallar la velocidad velocidad de una una motora. motora. en aguas aguas en reposo. reposo. y la velocidad velocidad de río. sabiendo tarda distancia de 45 km aguas arriba. arriba. y 2 h en recorrer aguas abajo. abajo. km aguas recorrer 50 km km aguas tarda 3 h en recorrer recorrer una una distancia

b¡ h)

Hallar automóviles sabiendo sabiendo que que se mueven. Hallar las velocidades. velocidades. en kilómetros kilómetros por por hora. hora. de 2 automóviles mueven. partiendo partiendo en el mismo instante yy del mismo lugar. alrededor alrededor de una circular de 1 km longitud. yy que que cuando cuando se muemismo instante mismo lugar. una pista pista circular km de longitud. mueven en direcciones direcciones opuestas cruzan cada cada 18 s. mientras que cuando cuando lo hacen dirección se cruzan cruzan opuestas se cruzan mientras que hacen en la misma mi sma dirección cada 90 s. cada

e) e)

Un situado en la cabeza cabeza de un tren observa que que otro otro tren de 110 m de de longitud longitud tarda lIs s Un pasajero. pasajero. situado tren A. observa tren B de tarda 11


38.

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

109

en pasar por delante de él cuando ambos trenes marchan en la misma dirección, mientras que cuando lo hacen en direcciones contrarias tarda solamente 1 s. Calcular las velocidades de ambos trenes. 4 años SISTEMAS

5 años

35.

DE ECUACIONES

LINEALES

Resolver los sistemas de ecuaciones a)

CON TRES

siguientes:

2X-Y+2Z= -8 x + 2y - 3z = 9 { 3x - y - 4z = 3

x y 3+2-z=7

b)

.!+.!+.!=5 x y z

x 3y 4-2"+2=

e)

plo de nvertir

INCOGNITAS

X=Y-2Z 2y = x + 3z + 1 { z = 2y - 2x - 3

y x '6-4-3

z

-6

2 x

d)

- -3 --4

-

z

y

z

321 -+---= y x

z

-11 -6

el co36.

Indicar cuáles de los sistemas siguientes son (1) compatibles,

a)

ha sucuesta I litro. pts el

X+Y-Z=2 x - 3y + 2z = 1 3x - 5y + 3z = 4

2X b)

{

{

y

+ z

x + 2y - 3z 3x - 4y

(2) indeterminados,

= 1 = -2

+ 5z

(3) incompatibies.

x+ y+2z=3 3x '- y + z = 1 { 2x + 3y - 4z = 8

e)

= 1

37.

Hallar 3 números sabiendo que el primero es igual al segundo más la mitad del tercero, que la suma del segundo y el tercero es igual al primero más 1, Y que si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero el resultado es 5.

38.

Hallar un número de 3 cifras sabiendo que si se divide por el número que resulta al invertir sus cifras el cociente es igual a 2 y el resto 25, que la cifra de las decenas es igual a la suma de la cifra de las centenas y la correspondiente a las unidades menos 1, Y que si se resta la cifra de las unidades de la cifra de las decenas se obtiene el doble de la cifra de las centenas.

biendo el que uno de

SOLUCIONES

DE LOS PROBLEMAS

PROPUESTOS

26.

a)

x = 2, y = -1

b)

x = -1, Y = 3

e)

x = 1(2, Y = 3(2

27.

a)

d)

x

e)

x = 31(2, Y = -21

f)

x

g) h) i)

x = 1(2, Y = 1(3

e)

x = 5(2, Y = -1 x = 3, Y = 2 x = 6, y = 10

28.

a)

Compatible,

'sito B e cada

29.

a)

5, 8

30.

a)

Pablo

y cobre e y un

32.

a)

b) Café 90 pts/kg, mantequilla 80 pts(kg 120000 pts al 3 %, 160000 pts al 5 %

b)

ontiene e ellos

. Otra cobre con un

do que

e)

b)

= 5, Y = 2 = -1, Y = 1

b) Incompatible,

7(12

e)

11 años, Agustín

a)

26 2(3 1 de A 13 1(3 1 de B

34.

a)

Motora

35.

a) b)

x = -1, Y = 2, z = - 2 x == O, y = 2, z = 1

36.

a)

Indeterminado

37.

4, 2, 3

38.

371

20 km/h,

e)

=

r - 2s, v

+

a

b, y

= =

+

2r a -

s

b

si

e) Compatible,

d) Incompatible,

A tiene 22 años,

e)

+-

a2

f)

2b2 Indeterminado

150 kg cinc 100 kg cobre

d)

a)

400 kg cobre 500 kg estaño

120 krn/h, 80 km/h

x = 6, y = 4, z = - 3 x = 1/2, Y = -1(3, z = 1(6

Incompatible

31.

B tiene 2 años

Tipo A 50 pts(l, Tipo B 40 pts/l

b)

5 km/h

d)

x

=

16,7 b)

20 1 de A 10 1 de B

corriente

b)

d)

7, 3 26 años

33.

b)

e) Indeterminado,

u

e)

Compatible

o en el e muecruzan


e)

60 mis, 50 mIs

64

b)

83

CAPITULO CAPITULO 13

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Ecuaciones

GRADO en x es de la forma forma ax ax?2 UNA ECUACION ECUACION DE SEGUNDO SEGUNDO UNA DE GRADO constantes y a 4= =F O. y ce constantes

+

bx bx

+ ce

= =

siendo a, b, O, siendo

2 -- 6x Por X -- 6 = Por ejemplo, ejemplo, xX2 6x + 5 == O, 2X2 2X2 + X = O O Y Y 3X2 3x2 -- 5 == O, son son ecuaciones ecuaciones de segundo segundo pueden dividir grado últimas ecuaciones grado con con una una incógnita. incógnita. Las Las dos dos últimas ecuaciones se pueden dividir por por 2 y y 3, respectivamente, respectivamente, 2 obteniéndose obteniéndose xX2

+ ~x ~x

2 -- ~ 2 igual - 3 ~ == O, siendo 3 == O OY Y xX2 siendo en en ambos ambos casos casos el coeficiente coeficiente de xX2 igual a l. l.

Una pura es aquella x; por por ejemplo, Una ecuación ecuación cuadrática cuadrática pura aquella que que carece carece de término término en x; ejemplo, 4X2 4x2

-

55

= =

O.

RESOLVER UNA ECUACION ECUACION DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO ax?2 + bx bx + ce == O O es hallar hallar los los valovaloRESOLVER UNA DE GRADO ax que la satisfagan. satisfagan. Estos Estos valores valores reciben reciben el nombre nombre de soluciones raíces de la ecuación ecuación dada. dada. soluciones o raíces res de x que Por ejemplo, ejemplo, xX22 -- 5x 5x + 6 == O O se satisface satisface para Y x == 3. Por Por tanto, tanto, x == 2 2 Y Yx = son Por para x == 22 Y = 3 son soluciones o raíces citada ecuación. ecuación. soluciones raíces de la citada

1)

METODOS DE DE RESOLUCION RESOLUCION DE LAS ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO. DE LAS DE GRADO. METODOS A)

Ecuaciones cuadráticas puras. Ecuaciones cuadráticas puras. Ejemplo 1. Ejemplo

2.

2 == 4, x == ±2, xX22 -- 4 == O. O. Tendremos Tendremos xX2 ±2, Y las raíces raíces son son x == 2, -2. -2.

3. 3. X2 x2 + 9 9 == O. Tendremos Tendremos xX22 == -- 9 9 Y Y las raíces raíces son son x == B)

J2lii == ± !fo. ±P P == ± 3i. 3i.

2 == 21 = O. O. Tendremos Tendremos xX2 21/2 Y las raíces raíces son son x == ± ± 2X2 - 21 = /2 Y

Por descomposición en factores. Por descomposición factores. Ejemplo 4. Ejemplo

2 - 5x xX2 5x + 6 == O se puede escribir en la forma forma (x - 3) (x - 2) == O. O. El producto pue~e escribir producto dos factores factores será será Qero cero cuando cuando lo sea sea uno cualquiera de ellos ellos o ambos ambos a la uno cualquiera de los dos 3; si x - 22 == O, x == 2. Por Por consiguiente, consiguiente, las las soluciones soluciones vez. Si x - 33 == O, x == 3; son x = 3, x = 2. son

E)

5. 3X2 3x2 + 2x 2x - 5 = = O O se puede escribir en la forma forma (3x (3x + 5) 5) (x - 1) = O. Por Por tanto, tanto, 5. puede escribir 3x + 5 5 == O OY Y x, O se obtienen obtienen las soluciones soluciones x == -5/3 -5/3 Y Y x == l. l. x , 1 == O de 3x 6.

C)

xX22 - 4x 4x + 4 == O O se puede escribir en la forma forma (x - 2) 2) (x - 2) 2) == O. O. puede escribir Por tanto, tanto, la ecuación ecuación tiene tiene la raíz raíz doble doble x == 2. Por

Formando cuadrado perfecto. Formando un cuadrado perfecto. Ejemplo 7. Ejemplo

Resolver xX22 -- 6x 6x - 2 Resolver

= O. O. =

110


LA SU!

111 111

ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO CON UN UNAA INCOGNITA ECUACIONES DE GRADO CON INCOGNITA

miembro los términos con la incógnita Se escribe en un miembro incógnita y se pasa el término término independiente dependiente al otro miembro miembro.. x22-6x=2 -6x = 2 Sumando cuadrado perfecto, perfecto, Sumando 9 a ambos miembros miembros el primero se transforma transforma en un cuadrado es decir, x2 - 6x 6x + 9 = 2 + 9 11 X2 o (x - 3)2 3)2 = 11 De donde Y donde x - 3 3 == Y las raíces son x == 33 ±fo.

±fo

±fo.

Nota. Para número que hay Nota. Para aplicar aplicar este método método (1) el coeficiente de X2 x2 debe ser 1 y (2) el número que sumar sumar a los dos miembros miembros ha de ser el cuadrado cuadrado de la mitad mitad del coeficiente de x. x.

Ejemplo 8.

a, b,

3x2 -- 5x 5x Resolver 3X2

+

2 5x x - - ==

Dividiendo por 3, Dividiendo ndo ente,

Sumando Sumando

1a 1.

O. 1 == O.

1 (_ _ 5)J2 _ 25 [_1 [_ 2 __ 35)J2 __ 36 2 2

3·

3

5

25

Id· b rmem ros, a Id' os os mlem ros, 1

25

13

5

=

o. 5 xx--= - - = 6

valoada. son

.) 1)

¡!}

± 6 ±~

2

(x - 6') (x 6) = =

x - "3 3' x + 36 == -- "33' + 36 == 36 '

13

36'

y

Aplicando general. Aplicando la fórmula fórmula general.

Las soluciones de la ecuación de segundo grado ax ax:2

x

= = -- b

+

+

bx bx

+ ± J b22

-

= O Ovienen dadas dadas por fórmula c = por la fórmula

4ac 4ac

2a

en la que b22

-

4ac recibe el nombre nombre de discriminante discriminante de la ecuación 4ac ecuación cuadrática. cuadrática.

Para deducir deducir esta fórmula, véase el Problema Problema 5. Para

42.

Ejemplo Ejemplo 9. Resolver 3X2 3x2 -- 5x 5x xx== ucto a la ones

nto,

E)

- ((-5) - 5)

+

1 = O. En este caso a = 3, b = - 5, ec = 1 por por tanto tanto

+ J( ± J (--W W2(3)

4(3)(1) _ 5 4(3)(1) -

± fo ¡!} ±

como en el Ejemplo 8.

6

Gráficamente Gráficamente

ax:2 + bx bx + ce == O O son los valores de x que corresponden Las. raíces, o soluciones, reales de ax corresponden a y == O soluciones son las abscisas O en la gráfica de la parábola parábola y == ax ax"2 + bx bx + c. Esto es, las soluciones corta al eje x, las raíces son de los puntos puntos en los que la parábola parábola corta corta al ej· ejee x. Si Si la curva curva no corta imaginarias. imaginarias. SUMA Y EL PRODUCTO PRODUCTO DE LAS RAICES RAICES de la ecuación ecuación cuadrática cuadrática ax ax22 LA SUMA dados por S dados

b

+ bx bx +

ec = = O O vienen

ce a

= p == --.. = - -- y p

a

Por ejemplo, en 2X2 + 7x 7x - 6 = O Otenemos 7,c = -6 -6 con lo que S = -7/2y Por tenemos a = 2,b 2,b = 7,c - 7/2y P == --6/2 6/2 == -3.


112

ECUACIONES

DE SEGUNDO

GRADO CON UNA INCOGNITA

Se deduce, pues, que una ecuación de segundo grado cuyas raíces son r¡ Y r2 presenta la forma Sx + p = O, siendo S = r¡ + r2 Y P = r¡r2' Por tanto, la ecuación de segundo grado cuyas raíces son x = 2 y x = - 5 es x2 - (2 - 5)x + 2( - 5) = O, es decir, x2 + 3x - 10 = O.

x2

-

EL CARACTER DE LAS RAICES de la ecuación de segundo grado ax" minado por su discriminante b2 - 4ac.

+

bx

+

e = O viene deter-

ECUA( l.

Suponiendo que a, b, e, son números reales, se tiene: 1) Si b2 2) Si b2 3) Si b2

-

a)

4ac > O, las raíces son reales y distintas. 4ac = O, las raíces son reales e iguales. 4ac < O, las raíces son imaginarias conjugadas.

b) e)

En el caso de que los coeficientes a, b, c, sean números racionales, se tiene: 1) 2) 3) 4)

Si Si Si Si

2

b b2 b2 b2

-

4ac es un 4ac = O, 4ac > O, 4ac < O,

Res

d)

cuadrado perfecto =f O, las raíces son reales, racionales y distintas. las raíces son reales, racionales e iguales. pero no es un cuadrado perfecto, las raíces son reales, irracionales y distintas. las raíces son imaginarias conjugadas.

Por ejemplo, 2X2 + 7x - 6 = O, cuyo discriminante es b2 tiene raíces reales, irracionales y distintas.

-

4ac

= 72

-

4(2)( -6) = 97,

e)

x'

no esn

ECUACION IRRACIONAL. Es aquella que tiene una, o más incógnitas, bajo el signo de una raíz (radical). POR O

Por ejemplo

Fx+3" - Jx

=

1Y

;yy = JY-=-4

son ecuaciones irracional es.

2.

Para resolver una ecuación irracional, se despeja uno de los radicales, aislándolo en un miembro de la ecuación, y se pasan todos los demás términos al otro miembro. Elevando ambos miembros de la ecuación a una potencia igual al índice del radical, desaparecerá dicha raíz. Este proceso se continúa hasta que se hayan eliminado todos los radicales presentes.

Res a) b) e)

Ejemplo 10.

Resolver

Fx+3 - Jx

Transponiendo términos Elevando al cuadrado,

=

d)

1.

Fx+3" = Jx

e)

+ 1.

x + 3 = x + 2Jx

+ 1 o sea

Finalmente, elevando al cuadrado los dos miembros de Comprobación.

J1+3 - Jl

=

1, 2 -

1

=

Jx

Jx

= l. f)

= 1 se obtiene x = l.

1.

Es muy importante comprobar los valores obtenidos ya que al aplicar este método se introducen, frecuentemente, soluciones extrañas a la ecuación que habrá que rechazar.

FORMi 3.

Hall

al

UNA ECUACION DE TIPO CUADRA TlCO es de la forma az " + bz" + e = O, siendo a =f O, b, e, y n =f O, constantes y z una función de x. Haciendo el cambio de variable z" = u, la ecuación se transforma en au2 + bu + e = O, que es una ecuación de segundo grado en la variable u. Con los valores obtenidos de u se pueden obtener los correspondientes de z y, de estos, hallar los de x. 2

b)

el d)


ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA

rma yas

113 113

PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS ECUACIONES CUADRATICAS PURAS ECUACIONES CUADRATICAS PURAS

ter-

l. l.

Resolver. Resolver.

x' - 16 = x' = O. O.

b) b)

41' - 9 == O. 4t' O.

e)

= 2x' + 1. 3 - x' x' = 2x' +

d) d)

4x' + = O. 4x' + 99 =

e)

~ = ~ = x

x' x'

= = 9,

2x' - 1 2x'-1

taso 97,

Luego x' = Luego x' = 16,

a) a)

Yx Y

x = ±4. = ±4.

De donde 4t' = 9, De donde 41' =

+

3

17 xx _ 3 .

= ± 3/2. 1t = ± 3/ 2.

9/4, 9/4,

11 x = = ± J2i3 == ±3 ±J2i3 ±"3 fi. fi.

x' = 2/ 2/3, x' = 3,

Luego 3x' 3x' = = 2, Luego

Luego x' = Luego x' = -9/4, -9/4,

+

= lt'' =

x = =

±J -9/4 -9/4 = = ±i ±i3

Tendremos2x' 3)(x - 3) + Tendremos2x' - 1= = (x (x + + 3)(x + 17,

2x' - 1 = x' - 9 ++ 17, 2x' = x'

= = ± 3.

Comprobación tendremos que por cero, Comprobación: : Si x = = 3 se sustituye sustituye en la ecuación ecuación dada, dada, tendremos que dividir dividir por cero, operación operación que que no está Luego no es solución. no está definida. definida. Luego x = = 3 no solución.

2(-W 2(-W - 1 1 _ 3 _ 3 -3 - 3

Si xx == -3, - 3,

- 3

+

17 sea 3 + --_ 3 _ 3 o sea

17

17

6

6

-3 - 3

raíz

y x = = -- 3 es solución solución. .

POR DESCOMPOSICION DESCOMPOSICION EN FACTORES POR EN FACTORES

2.

iembros o se

Resolver aplicando el método descomposición factores. Resolver aplicando método de la descomposición en factores.

a)

x' + 5x 5x - 6

b)

t' = = 4t, l' 41.

c)

x' x'

d) d)

5x - 2x' 2x' = = 2, 5x

+

= O. 0, =

l' t' -

3x == 28,

l 1

el el

+

(x (x

41 = O, 4t 0, x' x'

+

1(1 - 4) = = O. 0, 1(1 3x - 28 = = O. 0, 3x

2X2 - 5x 2x'

l 5 1 5 1=1 + 11 -_ 44 =4' = 4' 1=1+

+2

= =

n

Il yy 1.

2p

6y 6y

3p 3p

-s¡,' -Si"

1 = =

(x (x

O 0,,

+

0,4. 0,4.

7)(x - 4) = = O. 0, 7)(x

(2x-1)(x-2)=0, (2x-l)(x-2)=0.

.v = -7. -7, 4. x = 4.

x= x= 1/2, 1/2.22..

Multiplicando por por 4(1 - 1)(1 Multiplicando 1)(1 - 4). 51'2 - 331 + + 40 == O. O. 51

4(1 - 4) + + 4(1 ~~ 1) == 5(1 5(1 - 1)(1 1)(1 - 4). 41.

=

x = = -6, 1. -6, 1.

6)(x - 1) = = O. 0, 6)(x

6.1" - 5py 5py - 6p2 6p' = = O. O. 61"

(t - 5)(51 5)(5t - 8) = = O, 0, (1

(~.r 0, (~r + 2p)(2y 2p)(2y - 3p) == O.

= 5. 8/5. 1 =

.r 3p/2. y == -- 2p/3. 2p/3. 3p/2.

FORMANDO CUADRADO FORMANDO UN UN CUA DRADO PERFECTO PERFECTO

odu-

3.

Hallar que se debe debe sumar sumar a las siguientes siguientes expresiones expresiones para para transformarlas cuadrado perfecto. Hallar el término término que transformarlas en un cuadrado perfecto. Sumar [t(coeficiente [j.( - 2)]2 2)]' = = l. Sumar U(coeficiente de x)]' xl]2 == [1.(

Comprobocion : x' Comprohación: X2 - 2x 2x

4x 4x..

Sumar [!(coeficiente [t(coeficiente de de x)]' [1(4)]' Sumar x)]' == [1(41]2

Comprobacion . Comprohación:

5 2". 4

15 5, 2 25 Sumar [-([-(-)] )] = = --- .. Sumar 24 24 64

a) x' al x' - 2x. 2x.

b, e,

b) b)

X2 x'

n se los

c) cl

2 u,,' + 4u.

d¡ d)

x' x4

+

Sumar [!(p)]' + ppxx".2 Sumar [!(p)]'

= p'l4. = p 2 /4.

= 4.

+ 1 ==

X2 + x' + 4x 4x + + 4 == (x ++ 2)2. 2)'.

5 25 5 + _ )2 + --uu ++ -_ == (u (u + + _)2 4648 6 4 8 4 Comprobacion + px' + p'/4 = (x (x'2 + + p/2)2 Comprohación:: x' x' + px' + p2 !4 = p:"21 2


u ,,'2


(x -_ 1)2

114 114

ECUACIONES ECUA C IONES DE DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON CON UNA UNA INCOGNITA I NCOGN ITA

Resolver formando formando un un cuadrado. cuadrado. 4.4. Resolver 2 2 Tenemos - - 6x Tenemos xX2 - 6x 6x == -8. -8, xX2 6x ++ 99 == -8 -8 ++ 9.9, (x (x -- 3)2 3)2 == 1. 1.

2 _- 6x a) a) xX2 6x ++ 88 == O.O.

Luego .\'.\: -- 33 == ±± l.1, x.\: == 33 ±± 1, 1, las las raíces raíces son son x.\: == 44 YY xx == 2. 2. Luego Para Para xx == 2, 2, 2222 -- 6(2) 6(2) ++ 88 = = O, O,

Comprohación:: Para Para xx == 4. 4, 4422 -- 6(4) 6(4) ++ 88 == O.O, 0=0. 0=0. Comprobacion 31. 1/ 22 == 44 -- 31.

h) h)

Luego 1/ ++ Luego e) e)

2 3X2 3x

Tenemos Tenemos

33

2 1/2

(~)2

55

33

55

±2' 1/ == -z -2 ±± z·2' Z2 == ±z'

~)2

~.

88 44 2 55 442 2 xx2 ++ -x = --3 + (-3)'2 3x ++ (_)2 (3) 3 3 = -3 + (3)'

44 2 I1 (x -9'. (x ++ -3)2 3) =="9'

44 I1 44 I1 Luego w + Luego.\: + 33 == ±3' ±3 ' .v.\: == -3-3 ±± 3'3' las las raíces raíces son son xx == -1, - 1, -5/3. -5/3.

Tenemosx -1 , xx2 2 ++4x+4=3, Tenemos x22 ++4x= 4x = -1, 4x + 4 = 3,

2 + xX2 + 4.\' 4.\: ++ I1 == O. O.

d) d)

Luego x.\: ++ 22 == ±)3. ± fi, Luegc Comprohación: Comprohación:

(X+2)2=3. (x + 2)2 = 3.

las raíces raíces son son xx == -2 - 2 ± ± )3. fi · las

Para x = -2 + )3. (-2 + )3)2 + 4(-2 +)3) + I = (4 - 4)3 + 3) - 8 + 4)3 + 1 = O. Para.\:= - 2+fi, (-2+fi)2+4(-2+fi)+I=(4-4fi+3)-8+4fi+1=0. Para x = -2 Para.\: - 2 -)3, - fi, (-2 (-2 - )3)2 fi)2 + 4(-2 4(-2 -)3)+ - fi)+ 1 = (4 + 4)3 4fi + 3) - 8 - 4)3 4fi + 1 == O. O.

e)

2 5X2 -6x+5=0. - 6x + 5 = O. 5x

22 Tenemos 5x -6x=-5, - 6x = -5, Tenemos5x

±J-16/25, -16/25 ,

3/5 = ±) Luego x.\: - 3/5

5. S.

6x 3 2 3 22 1'=-I+(5)' + (s) = -1 + (S), xX22-'5+(5

3 2

5

(x - S)2 =-25 = (x-S)

3 4 . las raíces 5 ± ralces son x = S ± Si. Si.

Resolver ax22 + bx por el método método de formar cuadrado. Resolver la ecuacíón ecuación ax bx + c = O O,, a # -+ O, por formar un cuadrado. 2 b . . . . Dividiendo DIvidiendo los dos dos miembros miembros por por a, a, x + + --xx + + a 1 hb b 22 Sumando (- ))' == ----, Sumando [[-(-)y -, a los dos miembros, miembros, X2 x2 22aa 4a

b Luego Luego (x (x + + __)2)2 2a

==

b 22

--

4ac

4a 22

b 2 e = X2 + --xx = = = O O o sea x a a b b 22 e b22 + -x - + -4a22 = -x + --, 2 == --; + = a 4a a 40

--e

) b2 - 4ac b ~ X + = + + 2a x+Zc;= 2a ,,yy

-b ± Jb )b -b 2a 2a

22

x = x=

2a

e a 4ac b22 -- 4ae ---¡r -2 4a --

4ac 4ac

APLICANDO APLICANDO LA LA FORMULA FORMULA GENERAL GENERAL 6. 6. Resolver Resolver aplicando aplicando la la fórmula fórmula general. general. a) a)

X2 En x2 -- 3x 3x ++ 22 == O. O. En este este caso caso aa == 1, 1, hh == -- 3, 3, ee == 2. 2. Luego Luego 2 2 b -- 4(1(' -(-3) ±± J(33 ± . -b -b ± + J)b 4ac -(-3) )(-31' 3)2 -- 4(1)(2) 4(1)(2) ± 11 = -- - oo sea sea xx = = 1, 1, 2. 2. xx = == == 2a 2(\) 22 2a 2(1)

b) h) 4/ 4122 ++ 12/ 121++ 99 == O. O. Tenemos Tenemos aa == 4, 4, bb == 12, 12. ee == 9. 9. Luego Luego

/1==

--12 12 :t:t J)(12)2 (12)2 -- 4(4)(9) -12 4(4)(9) -12 ± ±O O 2(4) --8-2(4) == 8==

e) e) 9X2 9x2 ++ 18.\: 18.\'-- 17 17 == O. O.

33

--22

yy

/1==

3

3 -2 -'2 eses una una

. ralz raíz doble. doble.

Tenemos 17. Luego Tenemos aa == 9, 9, hb == 18. 18. cc == --17. Luego

-18 ± ± J(18)2 )(18)2 -- 4(9)( 4(9)(-17) -18 - 17) x=--=--"--'---"-:-::--':"":':"'---"-: x=--=-..!.......---'---'.-----' 2(9) 2(9)

-18 ± + j936 j936 -18 18 18

±6 6j26 --18 18 ± fi 18 18


-3 ± ± j26 -3 fi 33

GR, 7.

3 2 25 (1 ++ Z) == 4' (r

las raíces raíces son son 1/ == 1. 1. -4. -4. las

88 55 2 2 Tenemos 3x == --- 3" 3' Tenemos xx ++ -x 3'

8x + + 55 == O.O. ++ 8x

(~)l,

2 3 2 3 3/ == 4. 4, 1/2 ++ 31 3/ ++ (z) == 44 ++ (Z)2, ++ 31

0=0. 0=0.

.

'

16

25

EClJACIONES

611(2 - 11) = 7.

d)

± Ji-~2)2'=-

-(-12) 11

=

o.

Luego 611' -

= --_.

DE SEGUNDO

GRADO

CON UNA

115

INCOGNITA

1211+ 7 = O Y

4(6)(7)

=

2(6)

± ¡-=--i;¡

12

12

± 2fii

12

= -----

=

12

+ fi

-

i.

6

GRAFICAMENTE 7.

Resolver

gráficamente:

a)

2x'

+

3x - 5 = O.

4x' - 12x

h)

+

9 = O.

e)

y

y

+

4x' - 4x

5 = O.

y

-~+-+-+-~~~-x

=0.

1

-~ -2 -1

-8

2

-~ -2 -1

1

2

=0.

a)

Raíces reales distintas

Raíces reales iguales

(a)

(h)

y = 2x'

+

3x - 5

+

La gráfica de)' = 2x' son x = 1, -2,5.

h)

Y = 4x' - 12x

+

e)

y

=

4x'

- 4x

12x

+

9

=

-3

-2

-1

y

4

-3

-6 -5

1

12 I

O

19

I

+

x

-1

O

1

2

3

4

Y

25

9

1

1

9

25

9 es tangente

+

general,

+

3x - 5 = O

al eje x en x = 1.5. es decir, cuando y = O, x = 1,5.

=

1.5.

x

-2

-1

O

1

2

3

Y

29

13 5

5

13

29

-

Luego las raíces de 4x' - 4x la fórmula

O

O tiene dos raíces iguales x

5

La gráfica de y = 4x' - 4x

(Aplicando

x

9

+

(e)

3x - 5 indica que cuando y = O.x = 1, Y - 2.5. Luego las raíces de 2x'

La gráfica de}' = 4x' - 12x Luego 4x' -

Raíces imaginarias

5 no corta al eje .v, es decir, no hay un valor real de x para el cual y = O.

+

5 = O son imaginarias.

las raíces son x =

1

"2 ±

i.)


116

ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA

SUMA PRODUCTO DE SUMA Y PRODUCTO DE RAICES RAICES 8.

Demostrar que que la suma suma S y el producto producto P de las raíces raíces de de la ecuación ecuación cuadrática cuadrática ax' ax? + bx bx + ce = = O son son Demostrar b e S == --- y P == -.-.

a

a

Aplicando la fórmula Aplicando fórmula general. general. las raíces raíces son son -2b -2h suma de las raíces raíces es S -- - = La suma S = 2a P={ P=(

-h + -b

b

a

J

--b b + Jh2h' -- 4ac 4ac 2a

y

J

e)

--b b - Jh2h' -- 4ae 4ac 2a

d)

El producto producto de las raíces raíces es

2 - 4ae 2 - 4ac Jh 4ac -h -b -- Jb 4ac (_h)2 - (b' (b2 - 4ae) 4ae) Jh' Jb' (-h)' e )( )= = - . )( )= =-. ~ ~

~ ~

~2 a ~'a

9. Sin resolver resolver las ecuaciones. ecuaciones. hallar la suma suma S S y el producto P de de las raíces. raíces. 9. hallar producto P a) a)

b) 2x' 2X2 + 6x - 3 b)

e)

3X2 + 5 5 + 3x'

x

d) 3.\'2 - 5x 5x d) 3x'

= =

e)

e

b

x2 -- 7x 7x + 6 == O. O. x'

Aquí Aquí a == 1. l. b == -7. -7. e == 6; luego luego S == --- -a == 7. P == -a == 6 . '

66 2

-3 -3 . 2

este caso caso a == 2. b == 6, e == -3 -3; ; luego luego S == --- - == -3. -3. P == --. En este

= O. O. =

Ordenando 3x' 3x2 + .v Luego S == Ordenando x + 5 = O. Luego

= O. =

O. O.

I1

-"3' -"3'

Tenemos Tenemos a == 3, b == -5. -5. e == O; O; luego luego S ==

5

3"'

P =

P == O. O.

e) e)

2x2 + 33 == O. 2x'

3 Tenemos a = 2. b == O, O, e = 3; luego luego S == O. O. P == "2 .. Tenemos

f)f)

mnx? + + (m + ,,')x ,,2).\ + + mn mn = O. O. mnx' (m'2 +

m' mn m2 + n' n2 mn Luego S = ----.-- - . P P == = 1. 1. Luego =

g) g)

0.3x2 -- O,Olx O.Ol.v + 4 4 == O. 0.3x'

-0.01 -0.01 I 4 40 Luego S == ----- = -. . p P = Luego = = --. . 0,3 30 0.3 3

mn IJln

5

3". 3"' n,

Ha

al

mn

b)

10.

Hallar el discriminante discriminante b' b2 -- 4ac de las ecuaciones ecuaciones siguientes siguientes y determinar determinar el carácter carácter de sus raíces. raíces. Hallar 8x + 12 12 == O. O. -- 8x

b2 -- 4ac = ((_8)2 raíces son son reales. reales. racionales, racionales. distintas. distintas. b' _ 8)' - 4(1)(12) = 16; las raíces

a)

2 xx'

b)

3y2 3y'

e)

2X2 - x + 4 4 == O. O. 2x'

d) d)

4~2 4~'

e)

2x - 4x' 4x == 1 o 2x

f)f)

)2 x' X2 - 4)3 x + 4)2 == O. )2

+

2y - 4 4 == O. 2y

h2 -b'

h2 -- 4ac 4ae == 52; 52; la lass raíces raíces son son reales. reales. irracionales. irracionales. distintas. distintas. b' h2 -- 4ac 4ac = - 31 31;; las raíces raíces son son imaginarias imaginarias conjugadas. conjugadas. h'

12~ + 9 == O. O. 12~ 2

e)

h2 -- 4ac 4ac == O; las raíces raíces son son reales. reales. racionales. racionales, iguales. iguales. b'

4x 2x + + 1 == O. O. 4.. ' -- 2x 2

h2 -- 4ae 4ac == --12 12;; las raíces raíces son son imaginarias imaginarias conjugadas. conjugadas. b'

d)

Los coeficientes coeficientes son son reales reales pero pero no no racionales. racionales. Los

4ac = = 16; las raíces raíces son son reales reales y distintas. distintas. 4ae

y, 11.

Hallar la ecuación ecuación cuadrática cuadrática de coeficientes coeficientes ente enteros cuyas raíces raíces son son las indicada indicadas.s. Hallar ros cuyas (S = = suma suma de raíces, raíces, P P == producto producto de raíces.) raíces.) (5

el de

a) a)

1, l. 2 Método Método l.

S== 1 + +2=3. P=2; luegox2-3x+2=0. S 2 = 3. P = 2; luego x ' - 3x

Método Método 2.

Y (x - 2) deben deben ser factores factores de de la expresión expresión cuadrática. cuadrática. (x - 1) Y

Luego (x Luego

I)(x - 2) == O O o sea I)(x

+2

2 xx' 3x - 3x

=

O.

+2

= O. =

13. H b) b)

a)

--3. 3. 22


117

ECUACIONES DE DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA INCOGNITA ECUACIONES SEGUNDO GRADO CON UNA

S s

Método 1. Método l. Método Método 2.

P

= = -1 -1, ,

3

S

11

e)

3' 3"'

d) d)

2+.j2,2-.j2 2+.Ji,2-.Ji

5

S

Método Método 2.

Método Método 3.

== 15'

= O. = O.

+ P

2 xX2

3)(x 3)(x - 2) = = O o sea sea 4. 4

== -5'5'

luego luego

+x

O. - 6 = = O.

~

sea = O o sea

X2_.!..!.X-~=0 X2 _ .!..!.X _

15 15

5

15x22-11x-12=0. 15x 11x - 12 = O. -

=

= 4, P =

xx

Como Como

2 ± .Ji, .j2, x - 2

= =

= ± ±.j2. = .Ji. Elevando Elevando al cuadrado cuadrado (x -

2)2 4x + 2 = = O. 2)2 == 2 o xX22 - 4x O.

-3 + 2i, -3 - 2i -3 2i, -3 2i

Método 1. Método l.

S

= = -6, -6, P = =

2 + 6x (-3 2i)(-3 - 2i) 2i) == 13; luego xX2 O. (-3 + 2i)(-3 13; luego 6x + 13 13 == O.

[x - (2i)] Y [x [x - (2i)] son de la expresión cuadrática. [x (- 3 + 2i)] (- 3 - 2i)] son factores factores de expresión cuadrática.

Método 2. Método

+ 3) 3) -

Luego [(x [(x Luego

12.

6

= (2 (2 + .Ji)(2 .j2)(2 - .Ji) .j2) == 2; luego 4x + 2 = = O. luego xX22 - 4x O. [x - (2 (2 + .Ji)] .j2)] y [x (2 - .Ji)] .j2)] son son factores factores de expresión cuadrática. [x [x - (2 de la expresión cuadrática. Luego (2 + .Ji)][x .j2)][x - (2 (2 - .Ji)] .j2)] == [(x .j2][(x - 2) .j2] == O, Luego [x [x - (2 [(x - 2) 2) - .Ji][(x 2) + .Ji] O, 2 - 4x (x 2)2 - 2 == O o sea O. (x - 2)2 sea xX2 4x + 2 = = O.

Método l. Método 1.

e)

+x -

[x - (de la expresión cuadrática. [x (-3)]3)] Y (x - 2) son son factores factores de expresión cuadrática.

Luego (x Luego (x 4

= luego xX22 = -6; -6; luego

2i][(x 2i][(x

+ 3) 2i] == 3) + 2i]

O, O,

(x (x +

W + 4 == O W

bien o bien

2 xX2

+ 6x ~ O. O. 6x + 13 13 ~

Hallar valor de de la constante constante p en las ecuaciones ecuaciones siguientes para que que se satisfaga condición que que se indica. indica. Hallar el valor en las siguientes para satisfaga la condición a) a)

2X2 - px px

Como Como x

+

tenga una una raíz raíz igual igual a -3 4 = = O tenga -3. . .

= - 3 es una una raíz, raíz, debe debe satisfacer ecuación dada. dada. = satisfacer a la ecuación

Luego 2(-W - p(-3) Luego 2(-W p(-3) b)

+4

= O Y P = P ==

(p + 2)x producto de de sus raíces sea igual a 2/3. 2/ 3. 2)x22 + 5x 5x + 2p = = O el producto sus raíces sea igual 2p 2p 2 El producto producto de de las las raíces raíces es --2; luego luego ---2 -2 = = -3 -3 Y PP = = 1. p+ p+

e)

-22/3. -22/3.

2px 2px22

+ px px +

2 2x 2x = = xX2

+

7p

+

p+ p+

1 la suma raíces sea igual a -4/3. suma de sus sus raíces sea igual -4/3.

Escribiendo forma (2p - l)x Escribiendo la ecuación ecuación en en la forma l)x22 + (p p + 2 4 = --- - y p == 2. La suma raíces es ----- - = La suma de las raíces 2p - 1 3

d) d)

3X2 3x2

+

+

2)x - (7p 2)x

+

= O. 1) = O.

(p + l)x I)x + 24 == O una una de las las raíces raíces sea doble de de la otra. otra. Sean las raíces raíces "r, 2r. 2,. sea el doble Sean las

producto de de las las raíces raíces es ,(2,) luego ,2 El producto r(2r) = = 8; luego r2 = = 4 Y ,r = = ±2. . p + 1 La suma de las las raíces raíces es 3, - -3 - ..Sustituyendo Susl1tuyendo,r == 2 yy,r == -- 2 en esta ecuación se obtiene obtiene p = = -- 19 La suma de 3r = = -3esta ecuación YP P

= respectivamente. = 17, respectivamente.

e)

12x 2X2 - 12x

+p +

2 = = O la diferencia entre sus sus raíces sea igual diferencia entre raíces sea igual a 2.

Sean las suma de las Sean las raíces raíces "r, s; tendremos tendremos (1) ,r - s = = 2. La La suma las raíces raíces es 6; luego luego (2) ,r y (2) es ,r == 4, s == 2. por (1) Y del sistema sistema formado formado por

Sustituyendo Sustituyendo x

13.

+ s == 6.

La solución solución

= dada , se obtiene obtiene pp == 1'+. 1,+. = 2 o x = = 4 en la ecuación ecuación dada,

Hallar las las raíces raíces de de las las ecuaciones ecuaciones cuadráticas cuadráticas siguientes que se cumpla cumpla la condición condición que que se indica. indica. Hallar siguientes de forma forma que a)

(2k 2)xl + (4 - 4k)x una de de las las raíces raíces sea recíproco de de la otra. otra. (2k + 2)x2 4k)x + k - 2 = = O una sea el recíproco


118

ECUACIONES ECUACIONES DE DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA

Sean rr yy I/r ll r las las raíces, raíces, su su producto producto será será 1. l. Sean kk - 22 producto de de las las raíces raíces es es ----- = = 11, de de donde donde kk = = -4. -4. El producto 2k + 2 2k 2 -- IOx Hacemos Hacemos k = = -4 -4 en en la la ecuación ecuación dada; dada ; con con 10 lo cual cual 3x 3X2 IOx

b) b)

(1 kX2 - (1

+ 33 == OO YY las las raíces raíces son son 1/3, 1/ 3, 3. 3.

1+ k 3k 3k + 22 Suma de de raíces raíces = = 2(producto 2(producto de de raíces); raíces); tendremos tendremos -k- k- = = 2(--k-) 2(--k-) YY kk = = Suma 2 Sustituimos kk = = -3/5 -3/5 en en la ecuación ecuación dada; dada; con con 10 lo cual cual 3x 3X2 Sustituimos e)

(x (x

k)2 + k)2

e) ,

k)x + 3k 3k + 22 = = OO la la suma suma de de sus sus raíces raíces sea sea igual igual al al doble doble de de su su producto. producto. + k)x 33

-5· 5

2x - 1 = = OO YY las las raíces raíces son son -1, -1, 1/3. 1/3. + 2x 16.

= 2 - 3k 3k tenga tenga raíces raíces iguales. iguales. =

2 + 2kx Haciendo operaciones operaciones xX2 2kx + (k (k22 + 3k 3k - 2) 2) = OO siendo siendo a = = 1, b = = 2k, 2k, e = = k22 Haciendo 4ac) = discriminante (b22 - 4ae) = O. ces son son iguales iguales si el discriminante ces Luego Luego de de b22 - 4ae 4ac = (2k)2 - 4(I)(k 4(I)(k2 2

3k - 2. 2. Las Las raíraí+ 3k

Resc a)

+ 3k 3k - 2) 2) = OO se se obtiene obtiene k = = 2/3. 2/ 3.

Sustituyendo k = = 2/'3 2/3 en en la ecuación ecuación dada dada y resolviendo, resolviendo, se obtiene obtiene la la raíz raíz doble doble --2/3. Sustituyendo 2/3.

b)

ECUACIONES IRRACIONALES IRRACIONALES ECUACIONES 14.

Resolver. Resolver. a)

fo+l == 3.

Elevando Elevando al cuadrado cuadrado los los dos dos miembros, miembros, 2x 2x

~

J2(4f+I == J2(4l+l

Comprobación: Comprobación: b)

~ = J5+2x = x +

1= =9 y x = = 4.

1. Elevando Elevando al cuadrado los dos miembros, 5 + 2x = xX22 cuadrado los dos miembros, 2x = Para x = Para = 2,


+

3, 3 = = 3.

J5+2(2) = J5+2(2) = 2 +

+

2 = 2.x = 4 Yy x = ±2 . 2x + 1, xX2 = ±2.

17.

Resc

1 o sea 3 = = 3. 3.

J5

Para x = -2, -2, J5 + 2( 2(-2) -2 + 1 o sea .JI ji = -1 -1 que no es cierto ya que ji = 1. Para -2) = -2 quenoesciertoyaque.JI

Así, pues, pues, x == 2 es la única única solución; una raíz raíz extraña. Así, solución; x = = -- 2 es una extraña. e)

fo-=5 = ~ = x

2 - 2x - 1. Elevando 2x Elevando al cuadrado, cuadrado, 3x 3x - 5 = = xX2


Para x = 3, Para

J3(3)=5 = 3 J3i3)=5

+

1, xX22 - 5x 5x

+6=O O y

x

= 3, 2.

2. Para Para x = 2, J3(2)=5 J3(2) - 5 = 2 - 1 o sea 1 = 1. 1 o sea 2 = 2.

Así, pues, pues, x == 3 y x == 2 son Así, son soluciones soluciones de de la ecuación ecuación dada. dada. d)

';;X2 1X2 - X X

+6-


mien

2 - X 2 = O. Tendremos X22 - X 2 = Tendremos ';;X2 1X2 - x + 6 = 2, xX2 X + 6 = 8, x X = OY y x = = 2, -1. -1. Para x = = 2, ';;2 122 2 -- 2 + 6 6 - 2= = O O o sea 2 - 2 = = O. Para Para x = --1,1, .;; 1 ((_1)2 Para - 1¡z --

(-1) 1) + 6 (-

O o sea 2 - 2 = O. O. 2= O

18,

15.

Reso

Resolver. Resolver.

a)

Jh+! j27'+1 -

Jx + 1. fo+l == Jx

Jx == l. 1. Transponiendo Transponiendo términos, (1) ~ Jx términos,

Elevando al cuadrado cuadrado los dos dos miembros miembros de (1), 2x 2x + 1 Elevando

= x + =

2Jx 2Jx

+

1 o sea (2) x

y x

= 2.Jx. 2Jx. =

Elevando al cuadrado cuadrado (2), X2 x2 = = 4x; 4x; luego luego x(x x(x - 4) 4) = = O OY yx = = 0,4. 0,4. Elevando Comprobación: Comprobación:

b)

Para x = O, Para

.J2(O)+1J2(Of+l

fo-=! + JJ2x2x + 3 == 1.1. Transponiendo Transponiendo ¡.¡:;-=I

1, 1 = 1. 1. Para Para x = = 4, JJO-= O- = 1, términos, (1) términos,

J2(4l+l - J4 .J4 = J2(4)+1

ECUACII 1. 1, 1 = 1.

Fx-=t == 1 - Ja fo+3. + 3. Fx'=l

Elevando al cuadrado cuadrado (1), 4x 4x - 1 == 1 - 2~ 2f0+3 2x + 3 o sea (2) 2~ 2f0+3 Elevando + 2x

Resc a)

2x. == 5 - 2x.

Elevando al cuadrado cuadrado (2), 4(2x 4(2x + 3) = = 25 - 20x 20x + 4X2, 4x2, 4X2 4x2 - 28x 28x + 13 13 = O O Y y x = 1/2, 13/2. Elevando


19.

119 119

ECUACIONES DE DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON CON UNA UNA INCOGNITA INCOGNITA ECUACIONES

Para xx = = 1/2, 1/2, J4(1/2) J 4(1 /2) -- 1 Para


J 2(1 /2) + 33 = = 11 oo sea sea 33 = = 1I que que no no es es cierto. cierto. + J2(1/2)

Para Para xx = = 13/2, 13/2, J4(13/2) J 4(13/2) -- 11 + J2(13/2) J 2(13/2)

+ 33 = = 1 oo sea sea 99 = = 11 que que no no es es cierto. cierto.

= 1/2 1/2 YY x = = 13/2 13/2 son son raíces raíces extrañas; extrañas ; la ecuación ecuación no no tiene tiene solución. solución. Luego xx = Luego e) e)

.JFx+16 Jx+16 -- Jx Jx = 2. 2. Elevando Elevando al al cuadrado, cuadrado, Fx+16 Jx+16 -- Jx Jx = 4 oo sea sea (1) Fx+16 Jx+16 = fifi + 4.

.J

=

= 4

Elevando Elevando al al cuadrado cuadrado (1), x

16. raí-

(1)

=

4.

+ 16 = = x + 8fi 8fi + 16, 8Jx 8Jx = = O,O, YY x = = OO es es una una solución. solución.

Resolver. Resolver. a) a)

fo.

JX2 6x = x + Jx 2 + +6x=x+fo. 2 Elevando al al cuadrado, cuadrado, xX2 Elevando Luego Luego x = = O; O; Y Y de de

6x = = + 6x

2 xX2

2xfo + 2x, 2x, 2xfo 2xfo = = 4x, 4x, x(fo x(fo - 2) = = O. O. + 2xfo

fo - 2 == O,O, fo fo == 2, 2x2x == 4,4, xx == 2.

Tanto x = OO YY x = 2 satisfacen satisfacen a las las ecuaciones ecuaciones dadas. dadas . Tanto b) b)

22 Jx f i - fiJx

=

Jx f i se obtiene obtiene (1) x - 2

= 1. Multiplicando Mu ltiplicando por por

2 - 4x Elevando Elevando al cuadrado cuadrado (1), xX2 4x

+4= = x, x,

2 - 5x xX2 5x

= p.

= fi·

+4= = O, O, (x - l)(x I)(x - 4) = = O. O, yY xx = 1, 4.

Solamente x = = 4 satisface satisface a la ecuación dada ; x = = 1 es extraña. extraña. Solamente ecuación dada;

±2.

17.

2 -- 6x 2 -- 6x Resolver la ecuación 6x - 3 = = 5. Resolver ecuación xX2 6x - J xX2 2 Hacemos xX2 Hacemos

= 1.

-

6x luego u - ~ sea (1) (1) ~ 6x = uu;; luego ~= = 5 o sea ~ = u - 5. 25, u22 - Ilu Ilu + 28 = O. y u = 7, 7, 4. 4. + 25, 2 = - 6x = 7 satisface satisface (1), sustituyendo sustituyendo u = = 7 en xX2 6x = = u se obtiene obtiene 2 -- 6x xX2 6x - 7 = O, O, 7)(x + 1) = O, O, Y x = 7, -1 -1 (x - 7)(x

2 Elevando cuadrado (1), u - 3 = u2 Elevando al cuadrado (1),

Como Como solamente solamente u

-

10u

Tanto x == 7 Y y x = = -- 1 satisfacen satisfacen a la ecuación ecuación dada dada y, por son soluciones. soluciones. Tanto por tanto, tanto, son

=1.

J

2 - 6x - 5 y hubiéramos Nota. 6x - 3 = = xX2 elevado al al cuadrado cuadrado los dos dos Nota. Si hubiésemos hubiésemos puesto puesto J xX22 - 6x hubiéramos elevado miembros. llegado a una ecuación de cuarto cuarto grado grado difícil difícil de resolver. miembros, habríamos habríamos llegado una ecuación resolver.

-1.

18.

4-x 4 - x

Resolver Resolver la ecuación ecuación ,=7==:===:= ,=:===== JX2 JX2 -- 8x 8x + 32

3 5

16 - 8x 9 8x + X2 x2 2 luego 25(16 25(16 - 8x 8x + X2) X2) = 9(x 9(x2 -- 8x 8x + 32), 32). X2 x2 -- 8x 8x + 7 7 = O. 2 8 = -25;• luego 25 x - 8x x + 32 1. La única única solución solución es x == =' 1; se rechaza rechaza x == 7, solución solución extraña. extraña. 7, 1.

Elevando al al cuad cuadrado. Elevando rado,

y x ==

ECUACIONES DE ECUACIONES DE TIPO TIPO CUADRATICO CUADRATICO 1.

19.

Resolver. Resolver.

a)

Hacemos X2 x2 = = u u;; tendremos tendremos u22 -- 10u + 9 = O O y u = = 1, 1, 9. + 9 == O. Hacemos Para u = = 1, 1, X2 x2 = 1 Y x = = ± 1; para para u '" = 9, 9. X2 x2 = = 9 y x '" = ± 3. Para Las Las cuatro cuatro soluciones soluciones son son x == ± l. ± 3: 3; que que satisfacen satisfacen a la ecuación ecuación dada dada. .

IOx2 2 xx'4 -- IOx


120

SEGUNDO GRADO GRADO CON UNA INCOGNITA INCOGNITA ECUACIONES DE SEGUNDO ECUACIONES b)

x2 - 11 = O. O. Hacemos Hacemos X2 x2 = u; tendremos tendremos 2u22 + u - 1 = O O Y Y u = t, -1. -1. + X2 t, X2 x2 = t y x = ±tJ2; ±tj2; si u = -1, -1, X2 x2 = -1 -1 Y x = ±i. ±i. Si u = t, Las cuatro cuatro soluciones soluciones son son x = = ±tJ2, ±tj2, ±i. ±i. Las

2X4

22.

H¡

23.

H,

e) Jx - .y-; fx - 2 == O.O. Hacemos Hacemos .y-; fx = u; tendremos tendremos u2 - u - 2 = O Y u = 2, -1. -1. 4 fx == 2 Y x == 2 == 16. 16. Como Como .y-; fx es positivo, positivo, no no puede puede ser igual igual -1. -1. Si u == 2, .y-;

e)

Luego x = 16 es la única única solución solución de la ecuación ecuación dada. dada. Luego

1 1 1 2(x +_)2 + x_)2 - 7(x 7(x + + x-) -) ++ 5 = O.O. Hacemos Hacemos x + + --x == u; tendremos tendremos 2u22 - 7u + + 55 = O O Y Y u = 5/2, 1. d) 2(x 5/2,1. 515 1 5 5 Para u = -, -, x + - = -, -, 2X2 2X2 - 5x 5x + 2 = O Y x = 2, 1t. Para 22 x 22 1 Para u = 1, x + + - = 1, xX22 - X ++ 1 = O O Y Y x = t ± tJ3 t.)3 i.i. Para x Las cuatro cuatro soluciones soluciones son son x == 2, Las

t.)3 i.i. l,t, l! ± tJ3

e) 9(x + 2)-2 2)-2 == u; tendremos tendremos 9u22 + = O OY Yu = = 1/9, 9(x + + 2)-4 2)-4 + + 17(x 17(x + + 2)-2 2)-2 - 2 == O. Hacemos Hacemos (x + + 17u - 2 = 1/9, -2. -2.

+ 2)-2 2)-2 = 1/9, 1/9, (x + + 2)2 = 9, (x ++ 2) = ±3 Si (x + ±3 yy x = 1, -5. -5. Hj2 i Yy x = ±tJ2i = ± tj2 tJ2 i.i,

+ 2)-2 2)-2 = -2, -2, (x + + 2)2 = -1, -t, (x ++ 2) = Si (x + = Las cuatro cuatro soluciones soluciones son son x = = 1, -5, -5, -2 -2 Las

20.

-2 - 2

± tj2 tJ2i.t.

Hallar los que satisfacen las ecuaciones Hallar los valores valores de de x que satisfacen a las ecuaciones siguientes. siguientes. a) a)

16(_x_)4 1,9/16. 16(_x_)4 - 25(_x_)2 25(_x_ )2 + + 9 = o. O. Hacemos Hacemos (_X_)2 (_X_)2 = = u; u; tendremos tendremos 16u22 - 25u 25u + + 9 = O OY Y u = 1,9/ 16. x+1 x+1

x+1 x+l

x+1 x+1

(_X_)2 = 1 o sea 1. La x Si u == 11, (_X_)2 sea _x_ _x_ = + l. La ecuación ecuación _x_ _x_ = 1l no no tiene tiene solución; solución; la ecuación ecuación _x_ x+1 x+1 x+1 x+1 'x +1 x+1 x+1 x+1 = = -1 - 1 tiene tiene

. S 1·

U U

solución solución x = = - 1/2.

x 22 9 x 3 / = (--)- - ) = - 6 oo sea = 9/16, 9/1 6 , ( sea -- - = ±-4 ±-4 por por tanto tanto x = 3, 3, -37. - 3 7. x

+

1l

16 l

x

+

1l

Las = -1/2, -1 /2, - 3/7, 3/7, 3. 3. Las soluciones soluciones son son x = b) b)

2 + 3x (x22 + + 3x 3x + + 2)2 - 8(x 8(x22 + + 3x) 3x) = 4. Hacemos Hacemos xX2 3x = u; u; tendremos tendremos (u + 2)2 - 8u 8u = 44 Y Y uu = O, 4. 4. 2 Si u = O, O, xX2

2 + 3x + 3x -3; si u = 4, 3x = OO Y Y x = O, O, -3; 4, xX2 3x = 44 Y Y xx = = -4, -4, 1.

Las Las soluciones soluciones son son x = = -4, - 4, -3, - 3, O, O, 1.

25. L t<

PROBLEMAS PROBLEMAS DIVERSOS DIVERSOS 21. 21.

a

Hallar Hallar 22 números números positivos positivos sabiendo sabiendo que que uno uno de de ellos ellos es es igual igual al al triple triple del del otro otro más más 55 yy que que el el producto producto de de ambos ambos es es igual igual a 68. 68. Sea Sea x = = número númerO menor; menor; será será 3x 3x

+ 55 = = número número mayor. mayor.

2 + x(3x + 5) = 68, 68, 3x 3X2 + 5x 5x - 68 Luego x(3x Luego

(3x + 17)(x 17)(x -- 4) 4) = = O,O, YY xx == 4,4, -17/3. -17/3. = O,O, (3x

Se Se rechaza rechaza - 17/3 17/3 ya ya que que el enunciado enunciado establece establece que que los los números números sean sean positivos. positivos. Los Los números números buscados buscados son son xx = = 44 Y Y 3x 3x

+ + 55 = = 17. 17.


b

121 121

ECUACIONES ECUACIONES DE DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON CON UNA UNA INCOGNITA INCOGN ITA

22. 22.

Hallar un un número número sabiendo sabiendo que que lala suma suma del del triplo triplo del del mismo mismo con con elel doble doble de de su su recíproco recíproco es es igual igual aa 5. 5. Hallar Sea xx = = elel número número yy l/x l/x = = susu recíproco. recíproco. Sea 3x Tendremos 3x Tendremos

2(I /x) = = 5,5, ++ 2(I/x)

O, ++ 22 == O,

(3x -- 2)(x 2)(x -(3x

1) = = O, O, YY xx = = 1,1, 2/3. 2/ 3. 1)

Para Para xx = = 1,3(1) 1,3(1) + + 2(1/1) 2(1 / 1) = = 5;5; para para xx = = 2/3,3(2/3) 2/ 3, 3(2/ 3)

Comprobación. Comprobación.

23. 23.

2 3x' 5x 3x -- 5x

++ 2(3/2) 2(3/ 2) = = 5.5.

Hallar las las dimensiones dimensiones de de un un rectángulo rectángulo cuyo cuyo perímetro perímetro es es 50 50 m m yy su su área área es es 150 150 m". m'. Hallar Suma de de los los 44 lados lados Suma

50 == 50

m; luego luego suma suma de de dos dos lados lados adyacentes adyacentes m;

25 == 25

m. m.

Sean xx yy 25 25 -- xx las las longitudes longi tudes de de 22 lados lados adyacentes. adyacentes. Sean 2 -- 25x El El área área es es x(25 x(25 -- x) x) = = 150; 150; luego luego xx' 25x

+ 150 150 = = O, O,

(x (x --

lO)(x lO)(x -- 15) = = O, O, yy xx = = lO, lO, 15. 15 .

Por tanto, tanto, 25 25 -- xx = = 15, 10; 10; yy las las dimensiones dimensiones del del rectángulo rectángulo son son 10 m m por por 15 15 m. m. Por

-2.

15

•

25-% 25-%

% %

D D

%!. % ...

Problema 23 Problema

116.

12

Problema Problema 25

Problema 24 Problema

x

+

I

24.

hipotenusa de de un un triángulo triángu lo rectángulo rectángulo es igual igual a 34 cm. cm. Hallar Hallar las las longitudes longitudes de los los catetos catetos sabiendo que uno un o La hipotenusa sabiendo que de ellos mayor que que el otro. otro. ellos es 14 cm mayor los catetos. Sean Sean x y x + 14 las las longitudes longitudes de los catetos. Tendremos xx'2 + (x + 14)' (4)' = (34)', (34)2, x' x2 + 14x - 480 480 = O. (x + 30)(x 30)(x - (6) 16) = -30, 16. = O, = O, y x = = -30. Tendremos

Como co. tenemos Como x = -30 - 30 no tiene tiene sentido sentido físi físico, tenemos x = 16 cm y x + 14 = 30 cm. cm.

25.

Las Las dimensiones dimensiones exteriores exteriores de un marco marco de fotografía fotografía son son 12 por por 15 cm. cm. Sabiendo Sabiendo que que su ancho ancho permanece permanece consconsle 100 cm'. tante, tante, hallar hallar su valor valor a) a) cuando cuando la superficie superficie de la fotografía fotografía es de 88 cm', cm", bb¡) cuando cuando dicha dicha superficie superficie va vale cm '. Sea x

cto

= = anchura anchura del cuadro: cuadro: las dimensiones dimensiones del cuadro cuadro son son (15 - 2x), 2x), (12 - 2x). 2x).

a) 12 - 2x) a) Area Area del cuadro cuadro = = (15 - 2x)( 2.':)(12 2x) = = 88 88;; luego luego 2x' 2X2 - 27x 27x + 46 = = O O.. (x (x -- 2)(2.\" 2)(2x - 23) = = O, O. y.\" y .v = = 2, 2. 111. evidente que que la anchura anchura no puede puede ser li II! Luego la anchura anchura del marco marco es 2 cm. li t. Es evidente t cm. Luego

Comprohación. Comprohación. bh))

x = =

El área área del cuadro cuadro es (15 (15 - 4)(12 4)( 12 - 4)

caso (15 (15 - 2.\")(12 2x)(12 - 2x) 2x) En este caso

-b + ± ~l b' - 4ac

- v 2a 2a

Se aza .\"x Se rech rechaza

=

=

100, 2x' 2.\"2 -- 27.\" 27x + 40 lOO,

+ ± J409 J4Ü9 o sea == ~--4--sea x = = 27

== 88 88 cm'. cm".

=

aplicando la fórmul fórmulaa general. general. = O y. aplicando

11.8, l lB, 1,7 1,7 (aproximadamente). (aproximadamente).

== 11 ,8 cm, 11,8 cm, que que no no puede puede ser ser la la anchura. anchura. La anchura anchura cs. cs. pues. pues. 1,7 1,7 cm cm..


122 26.

ECUACIONES

DE SEGUNDO

GRADO

Un piloto realiza un vuelo de 600 km. Sabiendo distancia empleando 30 minutos menos, hallar Sea' x = velocidad Tiempo

media

que si aumenta su velocidad.

real en km/h.

Tiempo

para volar 600 km a x krn/h - tiempo

600 600 Luego - --x x+40

1

= -. 2

Resolviendo,

CON

UNA

INCOGNITA

la velocidad

en 40 km/h podría recorrer

distancia en km en horas = velocidad en krn/h

para volar 600 km a (x

se obtiene

dicha

la velocidad

=

x

+

40) krn/h =

t

30. h.

Res a)

200 km/h.

b) e)

27.

Un comerciante compra determinado número de lapiceros por 180 pts y los vende todos menos 6 con una ganancia de 2 pts en cada lapicero. Sabiendo que con el dinero recaudado en la venta podría haber comprado 30 lapiceros más que antes, calcular el precio de cada lapicero.

31.

Res a)

Sea x = coste de un lapicero

en pesetas;

180/x = número

de lapiceros

que compró. b)

180 180 (- 6)(x + 2) = x(-

Luego

x

x

+

Resolviendo

30).

e)

x = 3 pts cada lapicero.

32. 28.

Dos operarios A y B, juntos, realizan una tarea en lO días. Trabajando por separado, A tardaría 5 días más que B. Hallar el número de días que tardarían en hacer la tarea trabajando cada uno por sí solo.

Res a)

b) A y B, respectivamente,

Sean n, n - 5 = número de días que tardarían vidualmente. En 1 día, A realiza

I/n

y B hace I/(n 1 10(n

Luego

10(2n - 5)

Despreciando

=

n(n - 5), n2

n

=

-

= 1 trabajo

n - 5

+

es n

50

=

Por tanto,

en \O días trabajando

indi-

juntos,

33.

completo b)

=

O, Y n

=

25

+

-

22,8 días, n - 5

,)625 2

=

- 200

=

e)

22,8. 2,2.

17,8 días. 34.

29.

Se lanza verticalmente hacia arriba al punto de lanzamiento Suponiendo que el objeto se lanza a una distancia de 35 m del punto

s (metros)

s

=

2

5/ ,

Vol -

35

=

40/ - 5/ ,

51

2

-

401

+

35

=

O,

40 1 =

+

foO lO

Res a)

un objeto con una velocidad inicial de Vo (metros por segundo) y su distancia viene dada, en función del tiempo / (segundos), por la fórmula s = Vol - 512 con una velocidad inicial de 40 mis, hallar el tiempo que tardará en hallarse de lanzamiento. (En la fórmula se ha tomado g = 10 mis en cada segundo.)

2

Res a)

1

+ --)

25n

2,2. la solución

5) de la tarea.

en efectuar la tarea trabajando

b)

35.

Cah

al

= 7 Y l

b) Para / = 1 s, s Se puede comprobar,

=

35 m y el objeto está ascendiendo; para / = 7 s, s = 35 m y el objeto está descendiendo. además, gráficamente en la representación de la ley del movimiento s en función de 1.

e)

36.

Hal a)

b)

80

El

...,

64 48

37.

32

Hal a)

16

4

/ seg


b) e)

ECUACIONES

DE SEGUNDO


123

ha


Resolver a)

a30

31.

las ecuaciones

siguientes.

x2 - 40 = 9

d)

b)

2X2 - 400 = O

e)

x2 + 36 = 9 - 2X2

Resolver a)

las ecuaciones

x

4

16 y2

x y2

-=-+2

e)

3

siguientes

x2 - 7x = -12

f)

por el método

+

x-2

3 - x 1

3x - 1 1

1

2x + 1

4

-------=

g)

6

1 - 2x

2x -

de la descomposición

2 = 5x

d)

2X2

e)

9x2 = 9x - 2

x

f)

4x - 5x2 = -12

g)

32. B.

+

2

b)

x

e)

x2 = 5x

Resolver

+

24

las ecuaciones

+

2

= 6

X

siguientes

4x - 5 = O

a)

x

b)

xix - 3) = 4

completando

e)

2X2 = x

d)

3x2

2

-

+

1

4a

un cuadrado

= 5x

-

2x - 1 i) . x + 2 1

j)

+

x + 2 10 2x - 1 = "3

2e - 3y ~-

4

Y 2y-e=")

2

perfecto.

e)

4x2

f)

6y2 = 19y -

1

x + 1

en factores.

2a=x+2a 1 1 4 _ x - 2 + x

h)

5

2x x---=-x+1

h)

= 12x -

+

7

g)

2X2

15

h)

12x - 9x2 = 5

3a2 = 7ax

di33.

34.

Resolver a)

x2

b)

x

2

e)

3x2

¡'.

b)

2

4x

aplicando

2x = 8

-

gráficamente

+

x - 3 = O

-

8x

+

las ecuaciones

4 = O

la fórmula

16x2 - 8x

d)

6 =x

-

2X2

siguientes

5x = 6

-

Resolver a)

cia

las ecuaciones

+

general. 1 = O

e)

x(5x - 4) = 2

f)

9x2

+

2

5x

g)

2p2 =

-

l?

x

h)

3 2x + 3 3x - 2 4x _ 1 = 3x + 2

e)

6x2

f)

2x2+8x+3=0

6x = -4

siguientes. e)

x2 - 2x = 2

d)

2X2

+

2 = 3x

7x - 5 = O

-

rse o.)

35.

o.

36.

37.

Calcular,

sin resolver

las ecuaciones,

la suma S y el producto

a)

2X2 + 3x + 1 = O

d) 2X2 + 6x - 5 = O

b)

x-x2=2

e)

3X2-4=0

e)

2x(x + 3) = 1

f)

4x2 + 3x = O

Hallar

el discriminante

+

b2

4ae y determinar

-

4 = O

a)

2X2 - 7x

b)

3x2 = 5x - 2

Hallar una ecuación cuadrática a)

2, -3

h)

-3,

e)

8, -4

e)

f)

-1/3, 2 +

h) 0,2x2 - O,lx + 0.03 = O

el carácter

-

fix

+ 1= O

de las raíces.

e)

e)

2X2 = 5

x(4x

+

f)

4xfi

3) = 5

Jix2

i)

d)

+

3x

= 4x2

+

3

+

/?)

1

h)

3x

+

2x

+

2X2 = O

25/3x = 10

de coeficientes enteros (si es posible) cuyas raíces sean las indicadas.

g) -1 + i, -1 - i h) -2 -

1/2

fi,

siguientes.

2X2 + 5kx + 3k2 = O

g)

3x - x2 = 4

d) -2, -5 O

P de las raíces de las ecuaciones

2-

fi

i)

fi,

-2 +

3 3 2 + "2i, 2 -"2i

fi

j)

fi - fi, fi

k)

a

1)

+ bi.

m+


a -

fi 2

+

fi a, b enteros

bi r-:

m -

";11

2

m, n enteros

124 38.

ECUACIONES

Hallar el valor de la constante . a)

39.

px"

+ 5 -

x

-

DE SEGUNDO

GRADO

p en las ecuaciones

3p = O

CON

siguientes

UNA

INCOGNITA

para que se satisfaga

la condición

b)

(2p + 1)x2 + px + p = 4(px + 2) la suma de sus raíces sea igual a su producto.

e)

3x2

+ p(x

d)

4x

-

e)

4x2 - 20x

f)

x2 = 5x - 3p

2

Hallar

+

8x

+

- 2)

1 = O

I

2p -

+ p2

=

2px2 - 4px

b¡

x2

e)

p(x2

+

O una de las raíces sea igual al triple de la otra.

- 4 = O una raíz sea igual a la otra más 2.

+

3

5p = 3x2

+

+

siguientes

X - 8

de forma

el producto

que se cumpla

la condición

que se indica.

de sus raíces sea igual al doble de su suma.

una raíz sea igual al doble de la otra menos

3x - 9) = x - x2

3. 45.

las raíces sean iguales y de signo contrario.

d)

(m + 3~X2 + 2m(x + 1) + 3 = O

e)

(2m

I )x2 - 4mx = 1 - 3m

+

44.

entre sus raíces sea igual a 11.

la diferencia

3(x - p) - 2 = O

-

d

una de sus raíces sea el recíproco de la otra.

las raíces de las ecuaciones

a)

que se indica .

tenga una raíz igual a 2.

una raíz sea igual a la mitad del recíproco

de la otra.

las raíces sean iguales.

40. Resolver las ecuaciones. + 7 = Jx

a)

Jx2-x+2=2

e)

J2x

b)

fo=-2=x-1

f)

J2X2

e)

~=3-3x

g) ~-4+~=0

d) 2 - .JX2 + 2x = O

h)

+ 2

i) VX2

- 7 - x = 3

I

2Jx-~= J4x

41.

Resolver a)

x4

b)

x

4

e)

4x-4

d)

42.

a)

43.

13x2 + 36 = O

-

3x2

Problemas

$+s

+

.J2x-1

=~

.j2x+s

= 2 = J8x

+ 25

46.

- 3

-

-

10 = O

17x-2 5x-2/3

+

4 = O

+

e)

(x2 - 6X)2 - 2(x2 - 6x) = 35

h) Jx"+2-.yx+2=6

f)

x2 +

i)

x3

j)

x2 + 2 --+--=6

X

= 7J.'(2

+ X + 2 - 12

I 2 7 1 g) (x + -) - -(x + -) = 2 x 2 x

4 =O

-

X

7 X3/2 - 8 = O 8x x2 + 2

47.

de números.

Hallar dos números sabiendo que la suma de sus cuadrados menos l.

b)

Hallar

e)

Hallar dos números es 1/2.

d)

Hallar

Problemas

k) 1)

-

10 + Jx-:;=9

J2x

las ecuaciones.

-

.'(-4/3

= 2- x

- ~

j)

tres números

un número

enteros positivos sabiendo

consecutivos sabiendo

sabiendo

es 34 y que uno de ellos es igual al doble del otro

que la suma de sus cuadrados

que su diferencia

es igual a 110.

es igual a 3 y que la suma de sus recíprocos

que es igual al doble de su raíz cuadrada

más 3.

geométricos.

a)

Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su longitud es igual al triplo de su altura, disminuye en I m la altura y se aumenta en 3 m la longitud, el área vale 72 m2.

b)

El perímetro de un triángulo otros dos lados.

rectángulo

es 60 cm y su hipotenusa


y que si se

vale 25 cm. Hallar las longitudes

de los

48.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA UNA INCOGNITA lNCOGNITA ECUACIONES SEGUNDO GRADO

ndica.

44. 44.

45_

..

+ 2S

46. 46_

47. 47_

125

e)

Un cuadro cuadro de 8 por por 12 cm se coloca coloca en sabiendo que Un en un un marco marco de de ancho ancho constante. constante. Hallar Hallar dicha dicha anchura anchura sabiendo que área del cuadro cuadro es igual igual a la del el área del marco. marco.

d)

Para formar formar una una caja caja abierta abierta de de 60 cm Para cm cuadrados cuadrados de de base base a partir partir de una una placa placa rectangular rectangular de de estaño estaño de de cortan de sus esquinas esquinas unas unas piezas piezas cuadradas cuadradas y se doblan doblan después después las las aristas. aristas. Hallar Hallar la longilongi9 x 12 cm se cortan tud del lado lado del cuadrado cuadrado que que se corta corta en cada cada esquina. esquina. tud

Problemas digitos. Problemas de dígitos. a) a)

Hallar un número número de dos dos cifras cifras sabiendo sabiendo que Hallar que la cifra cifra de de las las decenas decenas es igual igual al doble doble de de la cifra cifra de de las las uniunidades. y que que si se multiplica multiplica dicho dicho número suma de sus sus cifras número por por la suma cifras se obtiene obtiene 63. dades,

h) h)

Hallar un número número de dos dos cifras cifras sabiendo sabiendo que Hallar que la cifra cifra de las decenas decenas excede excede en en 3 a la cifra cifra de las unidades. unidades, y que el número número es igua iguall a la suma suma de los sus cifras que los cuadrados cuadrados de de sus cifras menos menos 4.

Problemas de móviles. móviles. Problemas a) a)

Dos personas personas parten parten del mismo mismo punto Dos punto y al mismo mismo tiempo tiempo dirigiéndose dirigiéndose por por dos dos caminos caminos perpendiculares. perpendiculares. Sabiendo que que la velocidad velocidad de una una de ellas ellas es de de 44 km/h km/h más más que que la de de la otra, otra, y que que al cabo cabo de 2 h Sabiendo distan 40 km km,, hallar hallar sus velocidades. velocidades . distan

h)

Hallar la velocidad velocidad de un motorista motorista sabiendo sabiendo que Hallar que si la aumenta aumenta en en 10 krn/h km/h recorrería recorrería 120 km km en en 36 minutos. minutos.

e) e)

velocidad de una una canoa, canoa, en aguas aguas en reposo. Sabiendo que La velocidad reposo. es de 12 km/h. km/h. Sabiendo que recorre recorre 36 km km aguas aguas abajo abajo y regresa al punto punto de partida partida en un un tiempo regresa tiempo de de 8 h, h, hallar hallar la velocidad velocidad de la corriente corriente del río. río.

Problemas comerciales. comerciales. Problemas a)

comerciante compra compra cierto cierto número Un comerciante número de unidades unidades de de un un articulo artículo por por un un total total de 720 720 pts. pts. Hallar Hallar el número número unidades que que compró compró sabiendo sabiendo que de unidades que al venderlas venderlas a 40 pts pts cada cada una una obtiene obtiene una una ganancia ganancia igual igual al dinero" dinero > que le costaron costaron 8 de ellas. ellas. que

h) h)

Un comerciante comerciante compró compró cierto cierto número número de unidades 14,40 pts. Un unidades de de un un artículo artículo por por 14.40 pts. Posteriormente, Posteriormente, el precio precio dicho articulo articulo sufre sufre un aumento aumento de 2 céntimos por el mismo mismo dinero dinero le dan dan 24 de dicho céntimos cada cada unidad, unidad , con con lo cual. cual, por unidades menos menos que que la vez anterior. anterior. Hallar unidades Hallar las las unidades unidades que que inicialmente inicialmente compró compró y el precio precio de de cada cada una una ellas. de ellas.

Problemas de tiempos tiempos de trabajo. trabajo. Problemas a) a)

operario B B tarda tarda 6 h más más que que el AA en trabajo. Hallar El operario en efectuar efectuar un un trabajo. Hallar cuánto cuánto tiempo tiempo tardarían tardarían en en realizarlo realizarlo cada uno uno de ellos ellos sa sabiendo que. juntos. cada biendo que, juntos. invierten invierten 4 h en terminarlo. terminarlo.

h) h)

Por medio medio de un grifo grifo A se llena llena un Por un depósito depósito en en 4 h. Por Por medio medio de de otro otro B se llena llena en en 3 h más más que que empleando los dos dos grifos grifos A y B simultáneamente. simultáneamente. Hallar empleando Hallar en en cuánto cuánto tiempo tiempo se llena llena utilizando utilizando solo solo el grifo grifo B. B.

el otro

íprocos

48. 48_

lanza objeto verticalmente verticalmente hacia hacia arriba. Se lan za un objeto arriba. La La distancia distancia s (metros) (metros) del del punto punto de de partida partida en en función función del tiemtiempo, mis en en cada 20, - 5,2 po, (segundos) (segundos) viene viene dada dada por por (tomando!{ (tomando K = = 10 lO mis cada segundo) segundo) s = = 20, 5,2 a) a) h) h)

el el

Hallar los instantes instantes en los cua cuales Hallar les el objeto objeto está está a una una distancia distancia de 15 m. Determinar si el objeto objeto llega a alcanzar alcanzar una Determinar una altura altura de 25 25 m. Hallar máxima altura altura que que alcanza. alcanza. Ha ll ar la máxima

ue si se de los


". ",

126 SOLUCIONES 30.

a) b)

31.

a) b)

ECUACIONES

DE SEGUNDO

PROBLEMAS

PROPUESTOS

DE LOS

x = +7 x=±lOfi

e)

x

d) x e)

3, 4 2, -3

8, -3

a)

6, -1

e)

b)

3, -2

d) 1/4, 1/4

a)

S= -3/2,

b)

S

e)

S= -3, P=

a)

e) d)

17; 1; - 7; 89;

a)

x2

b)

2

e) d)

x

2

38.

a)

p = -3

39.

a)

3, 6 Si m

36.

b)

37.

e)

40.

a) b)

41.

=

y

f)

x

el 1, -1/2 d) 2, -1/3

1, -5 4, -1

35.

e)

±8

P=

=

1, P

±2.)3

g) 2a, -4a h) 2, -8 f)

2

2 -1/2

1, -7 2e/5, 4e/5

j)

2 i 3 - 3

3/2, 5/3

-1

f)

5

1/2

i)

±3/2 ±2

h) -+-

g) 3a, a/2

2±fo

e)

= =

g) x h) x

±I

3 ± fi

e)

2, -4/3

= =

1/3, 2/3 2. -6/5

e)

b)

33.

±3i

f)

d) 2, 1/2

a)

32.

= =


± i.)3

g)

3

2p

3p

3'

5

d)

S = - 3, P = - 5/2

g)

S = -5k/2,

e)

S = O, P = -4/3

h)

S

f)

S

= -

=

3/4, P

reales, irracional es, distintas reales, racionales, distintas imaginarias reales, irracional es, distintas

e)

.f) g) h)

O

i)

49; O; - 4; O;

6±j42

h)

=

P = 3k2/2

= 0,15 t)6, P = tfi

0,5, P

S =

reales, racionales, reales, iguales imaginarias reales, racionales,

distintas

iguales

+

x - 6 = O

x

+ +

3x = O

f)

x

-

4x

+

1 = O

j)

no es posible

x2

-

4x - 32 = O

g)

x2

+

2x

+

2 = O

k)

x2

h)

2

+

4x - 2

/)

4x2

+

+

7x

10 = O b)

e)

2

x

x -

-

p = -1

d)

l

=

=

O

i)

O

e)

a)

±2,

b)

±J5,

±ifi

e)

±2,

± 1/2

42.

a)

5, 3 o -27/5,

43.

a)

5, 15 m

44.

al

21

45.

a) 12, 16 kmfh

46.

a)

24

47.

a)

A, 6 h : B, 12 h

9, I 8, -2

e)

4/9

d) -4,2

f)

e)p=±5

P = 2

g) ±2 h) I

i) j)

16x

-

2ax

-

-

+

a2

+

4mx

25 = O

+ m2

b2 = O -

n =

O

f)p=-7

-11/5

b)

b)

15, 20 cm

7, 5, ± l

f)

1, -2.

(-1

± fo)/2

-7,

-6.

-5

e)

3. 6

d) 1.3 cm

2 cm

e)

b) 85 b)

40 krn/h

e)

6 krn/h

144, 10 céntimos h)

5,3 h aproximadamente

48. a) 1 y 3 segundos después de lanzado

b)

No

/)

g) 2 ±.)3,

e)

5,6.70

k)

3/2 no tiene solución

d) ± 1, ± 1/8

±3

h)

4x2

tn

-1,

2, -1 1, 3

p = -4

6x2

1,,2 e) ±3f2 d) 1/2 ± las raíces son 2, 2; si m = 1/2, las raíces son 1/2, 1/2

b)

=

e)

LA

3

e)

20 m


hl

79

i)

4

dl

-2 5/4 -1/4 j)

9

± ij!5/4

SOL

I ± i, 2 ± fi

SOL


Ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas

DE UNA UNA ECUACION ECUACION DE DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO con con dos dos incógnitas incógnitas (o vaFORMA GENERAL GENERAL DE LA FORMA riables), x e y, es riables). ax?2 ax

bxy + + bxy

cy2 cy2

+ dx +

ey

+ ff

= =

O O

(1)

siendo a, b, c, e, d, e, ff constante constante y a, b, ce distintas distintas de cero. cero. siendo 2 - xy Por ejemplo, ejemplo, 3X2 3x2 + 5xy 5xy = = 2, xX2 2x + 3y = O, y2 = 4x, 4x, xy son ecuacioecuacioxy + y2 y2 + 2x y2 = xy = 4 son Por cuadráticas en x e y. nes cuadráticas

LA ECUACION (1), siendo siendo a, b, c, d, e y freales, freales, depende del valor discrimiLA GRAFICA GRAFICA DE DE LA ECUACION depende del valor del discriminante b22 - 4ac. nante 4ac < gráfica es, en general, una elipse. Sin embargo, 1) Si b21 - 4ac < O, la gráfica general, una elipse. Sin embargo, si b puede ser ser una una circunferencia, circunferencia, un punto, punto, o no no existir. existir. puede 2)

Si b22

3)

22

Si b

= gráfica = O OY Ya = = ec la gráfica

-

4ac == O, O, la gráfica una parábola, parábola, dos dos rectas rectas paralelas no existe. 4ac gráfica es una paralelas coincidentes, coincidentes, o no existe.

-

4ac > > O, la gráfica una hipérbola hipérbola, , o dos que se cortan. 4ac gráfica es una dos rectas rectas que cortan.

Estas cual reciEstas figuras figuras resultan resultan al seccionar seccionar un un cono cono recto recto circular circular por por un un plano, plano, razón razón por por la cual reciben nombre de de secciones secciones cónicas. cónicas. ben el nombre SISTEMA SISTEMA DE DE ECUACIONES ECUACIONES CUADRATICAS CUADRATICAS

fi

SOLUCION SOLUCION GRAFICA. GRAFICA. Las Las soluciones soluciones reales reales de de un un sistema sistema de de dos dos ecuaciones ecuaciones de de segundo segundo grado grado en en x e y son son los los valores valores de de x e y correspondientes correspondientes a los los puntos puntos de de intersección intersección de de las las curvas curvas oo gráficas gráficas de no se cortan, cortan, las las soluciones soluciones del del sistema sistema son son imaginarias. imaginarias. de ambas ambas ecuaciones. ecuaciones. Si no SOLUCION SOLUCION ALGEBRAICA ALGEBRAICA A) A)

Una ecuación ecuación lineal lineal yy una una cuadrática cuadrática Se despeja despeja una una de de las las incógnitas incógnitas de de la ecuación ecuación lineal lineal yy se sustituye sustituye en en la la de de segundo segundo grado. grado. Ejemplo Ejemplo

Resolver Resolver el sistema sistema

1)

x

2 xX2

2) 2)

+ yy = = 7 7 + y2 y2 = = 25

Despejando Despejando yy en en 1), yY = = 77 -- x. Sustituyendo Sustituyendo en en 2) 2) se se obtiene obtiene 2 xX2

+ (7 - x)1 x¡Z = = 25, 25,

2 xX2

--

7x

+ 12 = (x - 4) = O, O, (x - 3) 3)(x 4) = = O,

yy x = = 3,4. 3,4.

Para Para x = 3, 3, yY = 77 -- x = 4; 4; para para x = 4, 4, yY = 77 -- x = 3. Las Las soluciones soluciones del del sissistema tema son son x = 3, yY = 44 Y y x = 4, yY = 3.

127


ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON DOS INCOGNITAS INCOGNITAS

128 B)

Dos ecuaciones de la forma ax?2 Dos ecuaciones forma ax

+

by2 == c.

aplica el método método de reducción. reducción. Se aplica 1.

Ejemplo. Ejemplo.

Resolver el sistema sistema Resolver

Traza

1) 2X2 - y2 == 7 2)

3X2 3x2

+

2y 2y22 = = 14

al

4.'

Para Para eliminar eliminar y, se multiplica multiplica 1) por por 2 y y se suma suma a 2); 2); así, pues, pues, 7X2 7x2 = = 28,

xX22 = = 4

Y x = =

±

2

Haciendo Haciendo x = = 2 o x = = -2 -2 en 1) se obtiene obtiene y == ± 1 Las cuatro cuatro soluciones soluciones son: son: Las = 2, Y = = 1; x = = - 2, Y = = 2, Y = = - 1; x = = - 2, Y = = - 1 x = = 1; x =

e)

-t-

Dos ecuaciones forma ax Dos ecuaciones de la forma ax' 2 + bxy bxy + cy2 == d.

Ejemplo. Ejemplo.

1) xX22 + xy xy == 6 2) xX22 + Sxy Sxy - 4y2 == 10 lO Eliminar Eliminar el término término independiente independiente entre entre las las dos dos ecuaciones. ecuaciones.

Resolver Resolver el sistema sistema Método l. Método

Multiplicando 1) por Multiplicando por S, 2) por por 3, y restando, restando, tendremos tendremos

+

xX22 - Sxy Sxy

6y2 = = O, (x - 2y) 2y) (x - 3y) 3y) = = O, x = = 2y Y Y x = = 3y

Haciendo Haciendo x = 2y en en 1) o 2) se obtiene obtiene y2 = 1, Y = ± 1

a)

Para y = 1, 1, x = 2y 2y == 2; 2; para para y = -1 -1,, x == 2y = -2 -2. . Para Luego dos dos soluciones soluciones son: son: x = = 2, 2, Y = = 1; 1; x = = -2, -2, Y = -1 -1 Luego .

Haciendo Haciendo x == 3y en 1) o 2) se obtIene obtiene y

0.

Para y = = Para

2

= =

1 2' 2'

30.

y ==

±

.Ji li 2

0.

4.1

o los va

30.

0. 30. 0. 30. x = 3y = T; T; para T T' para y = - T' x = - T =

=

= -

= -

Luego las las cuatro cuatro soluciones son: x = = 2, Y = = 1; x = = - 2, Y = = - 1; Luego soluciones son:

_~ _.Ji. __ ~ -__ _ .Ji _~ -li. __ ~ li2 2'x-' x 2'y-' y 2 ,y,y- 2 2

xxMétodo Método 2.

Hacer y == mx mx en ambas ambas ecuaciones. ecuaciones. Hacer 6 2 22 De 1): xX2 + mx mx = 6, xX22 = ---- 1+ m

De De 2):

2 xX2

Luego Luego

6 1+ +m m 1

+

2 Smx Smx22 - 4m22xx2 == 10, lO,

10

+ Sm -

4

m

2

4,x

01

lO 10 - S-m---4;;?" xX22 == -+ -+-cc Sm---4n12

de donde donde

1 1 m == -2 ' -3; -3; por por tanto, tanto,

x / 2, y == xf). x / 3. A partir aquí se procede y == x/2, partir de aquí procede como como en el Método Método 1. D)

b)

e)

4,)

Otros métodos métodos Otros Algunos sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones se pueden pueden resolver resolver mediante mediante otros otros equivalentes equivalentes más más sensen1) Algunos cillos (véase (véase Problemas Problemas 10-12). cillos

2)

Una ecuación ecuación es simétrica simétrica con con respecto respecto a x e y cuando cuando al permutar permutar x por por y no no se altera. altera. Una 2 + .1'2 Por ejemplo, ejemplo, xX2 .1'2-- 3xy 3xy + 4x 4x + 4y 4y == 8, es simétrica simétrica con con respecto respecto a x e y. Los sistesistePor y. Los mas mas de ecuaciones ecuaciones simétricas simétricas se pueden pueden resolver, resolver, en general general, , efectuando efectuando los cambios cambios de variable x = u + v, )' = = u - v. u. (Véase (Véase Problemas Problemas 13-14.) 13-14.) variable


01

L,

ECUACIONES

DE SEGUNDO

GRADO

CON

DOS

129

INCOGNITAS

PROBLEMAS RESUELTOS l.

Trazar a)

4x2

la gráfica de las ecuaciones

+

9y2 = 36,

bl

siguientes:

4x2 - 9y2 = 36,

el

y

al

4x2

+

(a)

Elipse

9)'2

= 36,

+

4x

9y2 = 36.

y

y

Hipérbola

(b)

(e)

2

y=±3~

Obsérvese que)' es real cuando 9 - x2 ;¡; O, es decir, cuando los valores de x mayores que 3 y menores que - 3.

bl

-3

-2

-1

O

Y

O

±1,49

±1,89

±2

- 3 ~ x ~ 3. Por tanto, hay que prescindir

2

3

±1,49

O

1 ±1,89

La gráfica es una elipse con centro en el origen. 4 2 9y2 = 36, y2 = 9'(x2 - 9), Y = ±

3p-=9

que para que y sea real, x no puede tomar

La gráfica consta

1. el

x

4,\'2

Obsérvese

4x

+

9,,2 = 36,

Obsérvese

Parábola

x

6

5

4

3

-3

Y

±3,46

±2,67

±1,76

O

O

de dos ramas

y se denomina

4 - xl .',,2 -- -(9 9 "

que si x es mayor

valores entre

- 3 y 3.

-4

-5

-6

±1,76

±2,67

±3,46

hipérbola.

2 ~ - .\ .v=+-- 3"""

que 9, )' es imaginario.

x

-1

O

Y

±2,11

±2

1 ±1,89

5

8

9

±1,33

±O,67

O

La gráfica es una parábola.


de

130 2.

ECUACIONES Trazar a)

DE SEGUNDO

la gráfica de las ecuaciones

+

2X2 - 3xy

b)

xy = 8,

GRADO CON DOS INCOGNITAS

siguientes:

+

y2

4. I

X - 2y - 3 = O,

x2

e)

+

y2 - 4x

+

8y

+

25 = O,

y

Hipérbola

(a)

a) xy = 8, Y hipérbola,

b)

=

+

2X2 - 3xy

viéndola

8/x,

Obsérvese que si x es un número real cualquiera

+

y2

general

excepto cero, y es real. La gráfica es una

x

4

2

1

! -!

-1

-2

-4

Y

2

4

8

16 -16

-8

-4

-2

X - 2y - 3 = O, Ordenando

por la fórmula

Dos rectas que se cortan

(b)

se obtiene y =

3x

la ecuación

y2 - (3x

+

+

2

+

JX2 2

8x

+

5. 1

+ 16

+

2)y =

(3x

(2x2

+

X - 3) = O Y resol-

+

+

(x

2)

2

+

4)

O sea y

2x + 3, Y = x - 1, La ecuación dada es equivalente a dos ecuaciones lineales, como se puede ver expresando ecuación dada por (2x - y + 3) (x - y - 1) = O. La gráfica está formada por dos rectas que se cortan.

e)

Ordenando,

y2

+

8y

+

(x2 - 4x

+

25) = O; resolviendo,

y =

-4

+

-

J-4(x2

2

-

4x

+

=

la

6. 1

9)

Como x2 - 4x + 9 = x2 - 4x + 4 + 5 = (x - 2)2 + 5 es siempre positivo, la cantidad subradical es negativa. Por consiguiente, y es imaginario para todos los valores reales de x y no se puede trazar la gráfica correspondiente. 3.

Resolver

gráficamente

los sistemas

siguientes:

x2 + y2 = 25 a) x + 2y = 10'

x2

+

4y2 = 16

b) xy = 4

,e)

x2 + 2y = 9 2X2 _ 3y2 =

7. l y

•• l' :1

(a)

x' + y' = 25 circunferencia

x

+

2y = 10 recta

(b)

x' +

4y' = 16 elipse

xy = 4 hipérbola


(e)

x2

+ 2y

= 9 parábola

2X2 - 3y2 = 1 hipérbola

8. F

131 131

ECUACIONES DE DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON CON DOS DOS INCOGNITAS INCOGNITAS ECUACIONES · .. . + 2v 2v == 44 · . xx + Reso , _ .:"(.\'= 7'-7 eso Ilver ver llos os sistemas sistemas siguientes siguientes: : a a) )y2 44., R Y - xy = a) a)

Despejando xx en en la ecuación ecuación lineal, lineal, xx Despejando y2 -_ yy(4 2y)) == 7. 7, y' (4 -- 2y

2y == O O ++ 2y ++ 44 == OO

b) 3x 3x -- II b)

3x2 -_),2 3x' )"

2y.. Sustituyendo Sustituyendo en en la la ecuación ecuación cuadrática. cuadrática. == 44 -- 2y

lvv ++ L

3y2 -- 4y 4y -- 77 == O, O, 3y'

1) (3y (3y -- 7) 7) == O O 1)

y)' == -1 -1, ,

ee

7/3 7/3

Si YY = = -1 -1, , x = 44 _. - 2y = 6; 6; si si y = 7/3, 7/3, x = 44 -- 2y = -2/3. -2/3. Si soluciones son son x = 6, 6, y = -1 -1 y x = -2/3, -2/3, YY = 7/ 7/3. Las soluciones 3. b) b)

Despejando y en la ecuación ecuación lineal, lineal, y Despejando

'W -

3x). sustituyendo sustituyendo en en la ecuación ecuación cuadrática, cuadrática, 3x).

== i(1 -

x2 + 2x 2x + 55 == O O x'

3x2 - U(1 [W -- 3x)]' 3X)]2 + 4 == O, O, 3x'

y

xx

=

=

4(1) (5) = J2' -- 4(1)(5) =

-2 ± ± J22 -2

2(1) 2(1)

--11 ± ± 2; 2;

-1 + 2;, y = t(1 Í(l - 3x) 3x) = t[t t[l - 3( - II + 2i)] 2;)] = t(4 í(4 - 6i) 6;) = 2 - 3i. 3;. Si x = -1 3x) = t[t t[l - 3( -1 - I - 2i)] 2;)] = Í(4 t(4 + 6i) 6;) = 2 + 3i. 3;. Yy = it(l(1 - 3x)

2;, Si x = -- 1I - 2i, na

soluciones son son x = - II + 2i, 2;, Y y = 2 - 3i 3; Y y x = - II - 2i, 2;, Y y = 2 + 3i. 3;. Las soluciones S, 5.

Resolver el sistema: sistema: Resolver

2X2' - 3y' 3y2 (1) 2x

= 6,

3x2 + 2y' 2y2 (2) 3x'

= 35.

Para eliminar eliminar y, se multiplica multiplica (1) por por 2, (2) por por 3 y se suman; suman; luego luego 13x' I3x2 Para

= 117, 1l7, x' x2 = 9, x = ±3 ±3. .

Sustituyendo x = 3 o x = --3 3 en (1) obtenemos obtenemos yy = ± ±2.2. Sustituyendo

1,

Las soluciones soluciones son: son: x = 3, Yy = 2; x = ''-3,3, Yy = 2 2;; x = 3, YY = -2 -2; ; x = --3,3, Yy = -2. -2. Las la

6.

Resolver Resolver el sistema: sistema:

8 3 (1)---=5 (1) -x2 - y2 - = 5' x' y' '

5 2 (2) (2)"2- + +"2xx' yy'

= = 38.

1I 11. 1 1 Las Las ecuaciones ecuaciones son son cuadráticas cuadráticas en en - y -.- . Sustituyendo Sustituyendo uu = = -- y vv = = -, - , se obtiene obtiene xx yy xx yY

8u 8u'2 - 3v 3v'2

neo

La La solución solución de de este este sistema sistema es, es, uu'2 Las Las soluciones soluciones son: son : x 77.

=

4, 4, vv'2

== 5

=

5.u 5)1'2

y

2 9 o xx'

+ 2v 2v'2 = = 38

= 1/4, y2 1/9;; luego 1/3. y' = 1/9 luego xx = ± ± 1/2, yy = ± 1/ 3.

= 1/2 1/2,, YY = 1/3; xx = -1/2, 1/3;; xx = 1/2, YY = -1/3; -1 /2, Yy = 1/3 -1 /3 ; xx = -1/2, -1 /2, Yy = -1/3. -1 /3.

2 l si· (1) 5x 4y2 do té " . .. dd di 5x'++2xy 4y' == = 48 48 l" l" d iIos termmos d' R Reso esolver ver eel sistema sistema (2) (2) X2 x' 2xy = 16 ee munan Imman oo os os termmos m m epen epen lentes. lentes. Multiplicamos (2) por por 33 yy se se resta resta de de (1) (1) con con lo lo cual cual Multiplicamos (2) 2X2 2x' -- 6xy 6xy

.

+ 4y2 4y' = O,

2 - 3xy xx' - 3xy

+ 2y2 2y' = O, O,

(x (x -- y) y ) (x (x -- 2y) 2y ) = OO

16 ,16

yy

xx

= y,y , xx = 2)' 2y

44 ¡;;

Sustituyendo SustItuyendo xx

= yy en en (1) (1) oo (2), (2), -tenemos ·tenemos y2 y = "3 3' ee yy = ±± 3)3. 3'; 3.

Sustituyendo Sustituyendo xx

== 2y 2y en en (1) (1) oo (2), (2), tenemos tenemos y2 y' = 22 ee yy = ±)2. ±fi.

Las Las cuatro cuatro soluciones soluciones son: son :

x =

ifi, ifi; y =

x = -

ifi,

y = -

ifi;

x = 2fi,

y = fi;

2 (1) 3x 3x' - 4xy 4xy = = 4 8. Resolver Resolver el el sistema sistema (1) (2) xx' _- 2y 2y' = 24 aplicando aplicando la la sustitución sustitución yy = = mx. mx. 2 (2) 2 = 2

8.


x = -2 f i , yY =-)2 = - fi

DE SEGUNDO

ECUACIONES

132

GRADO

Sustituimos

r = »r.v en (1):

luego

3x' - 41>1x' =4

Sustituimos

v

luego

x2 -

=

en (2):

ni.\"

4

2

3-=-4-;;;

Por tanto Sustituyendo

=

ahora

.--=-W . = mx

.1'

4m' -

2n:!.x2

4

x2 =

Y

= 2

+ I

4/11

CON DOS INCOGNITAS

.\"2

Y

= O.

2

=

(2m -

= j-x en (1) o (2) se obtiene

3 - 4m

-

I

2m'

1)' =

x' = 4.

°

y

x =

=

ni

j'.

t·

son

± 2. x=

Las soluciones 9.

Resolver

son x = 2.

De (2) • .r = 12/x;

±6 .

Las cuatro No/a.

=

.l'

-, 40.

=

-Z

x

=

Para x

=

y'

sustituyendo

144

+

x'

+

(1) x'

el sistema:

= 1 Y .v = -2 • .1' = -l.

.l·

La ecuación

(2)

Xl'

=

14.

12.

+

x' - 40.\'

=

son: x

para x

144

=

= O.

=

°

2. )'

=

(x' - 36) (x' - 4)

y

x

=

11 -

± 6. ± 2

±2 . .r = ±6.

6. )' = 2:

=

.v

(2) indica que aquellas

-6 ..

=

1'

-2;

=

x

soluciones en las que el producto

6;

Xl'

x = -2 . .r = -6. sea negativo

(por ejemplo .

.\"= 2. Y = - 6) son extrañas.

10.

Resolver

el sistema:

(1) x'

Res,

en (1). tenemos

12/x = ±2:

soluciones

40.

ti

+

y'

.v

+

+

2x - y = 14.

+

(2) x'

+

y'

=

x - 21' = 9. x=

Restando

(2) de (I):

Las soluciones

Resolver

o

y = 5 - x en (1) o (2):

Sustituyendo

11.

y = 5

x = 3/2.

son

(l) x3

el sistema:

+

.l'

2x' - 7x

.r = 7/2

y3 = 35.

= 5 -

y

(2) x

x.

+

x = 2.

+

=

6

O.

(2x - 3) (x - 2)

=

°

y

x

=

3/2. 2.

15.

Hall

r = 3.

= 5.

.1'

pedi x3 Dividiendo

(1) por

(2).

+ y3

35

-

De (2). y = 5 - .v ; sustituyendo x'

-

x(5 -

Las soluciones 12.

Resolver

De

x .v

Resolver

(1) x'

+y + 3)"

el sistema:

1

"5'

=

(1) x'

7.

x'

3x\'

+

2.1" = 3.

x'

+ +

3xy

+ 21" + 6y'

.\' = -2x.

son x

=

+

x'

5x)"

y'

+

2x

+

5x

.1'

= 3.

y' = 7. Hall

.1'

3l (x - 2) =

(x -

+

5xy

+

6\"

+ y) (x + 2\') + 3r) (x + 2\') = -2x

-1, Y

2y = 32.

6 = O.

°

Y

x = 3. 2.

(pos

(2) x'

(x

=

+

-

(x

Sustituyendo

1, Y = -2 y x

+

+

16.

= 2 Y .v = 2 .

.1'

(3) x' - xy

en (3). tenemos

(5 - x)'

(l) por (2).

Las soluciones 13.

+

son .v = 3 .

el sistema:

Dividiendo

.r]

y

5

x+y

=

= 15.

= X X

+V + 3y

17.

Hall

18.

La

= ~

5

en (1) o (2). x' = 1 Y .v

±l.

2.

(2) x

Las ecuaciones son simétricas en x e y, ya que cambiando x = u + 1'• .\' = !I -.l' en (1) y (2). se obtiene

+

y

+

2xr = 22,."

x por y se obtiene la misma ecuación. Sustituyendo


dos

133

ECUACIONES COGN ITAS ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON DOS IN INCOGNITAS

(3) u' u' + u' u2 + 2u 2u = = 16 Sumando Sumando (3) Y (4), (4). se obtiene obtiene Para Para

1I u

Y

(4) u' u' -

2u' 2u2 + 3u - 27 = O, O.

¡¡' 11'

+

= = II

1I U

(u - 3)(2u 3)(2u + 9) = O

Y

u = 3, 3. -9/2. -9/2.

= 3,1" = II Y '4 Y 3.1" Y v = ± 1; para para u = -9/2, -9/2. r' ¡-' = 19 19'4 Y rl' = ±fo ±fo,'2.:2. Luego Luego la lass soluciones soluciones de (3) (3) y (4) 11 = 1; u = 3, 3. v = -1; -1; 1I u = -9/2. -9/2. v = fo12; -9/2. r,. = -foI2. ¡¡ f o /2; u = -9/2. f o/2.

son: : u = 3, 3. son

Luego, x = u + r, .l' 1'. las y (2) Luego. como como .v l' = U U-l'. las cuatro cuatro soluciones soluciones de de (1) (1) Y (2) son: son: /2. x = 4,.1' 4. .1' = 2;x = 2 2.. .1'.1' = 44;x -9/2 + fo/2.y -9/2 -fo/2;x -)19/2 . .1'.1' = -9/2 -9,12+ ;x = -9/2 f o /2.y = -9/2 f o/2;x = -912 -)19/2 + ./19 j19/2.

14.

Resolver el sistema: sistema: Resolver

(1) x' x'

+ y' y'

180. = 180,

II

II

II

(2) - + - = = --. . (2) x yy 4

De (2) (2) se obt obtiene (3) 4x 4x + 4.1' 4.1' - xy xy = = O. O. Como Como (1) (1) y Y (3) (3) son son simétricas simétricas en x.v e .\', .1'. sustituimos sustituimos x = = u + v. y == De iene (3) (1) Y Y (3) (3) obteniendo u11 - r,. en (1) obteniendo (4) 11' + v2 = 90 (4)u'+v'=90

(5) 811 - u2 + ,.2 = O (S)811-u'+r'=0

yY

Restando (5) de de (4). tenemos tenemos u' u' - 4u - 45 = O. O. (u - 9) (u + 5) = O O Y Y u = 9. -5. -5. Restando plo.

Para u u = 9, 9. v = ±3; ±3; para para u u = -5. -5. rl' = ±.)65. ±.)65. Luego las soluciones soluciones de (4) y (5) son: son: Para Luego -3; -5. rl' =.)65; =.)65; -5. rl' = -.)65. -.)65. uti = 9. v = 3; uu = 9. rl' = -3; uu = -5. uU = -5. Luego las cuatro cuatro so soluciones (1) Y Y (2) (2) so son: Luego luciones de (1) n: x= 12.y=6; x = 12. Y = 6;

15.

x=6.y= 12;; x = 6 . .1'= 12

x= -5-.)65; x = -5+.)65 -5 + .)65 . .1'.1'== -5 -.)65 ;

x= -5-.)65. l' x = -5 - .)65,.l'

-5 + .)65. .)65.

Hallar dos dos números números sabiendo sabiendo que que su suma suma es 25 y su producto producto 144. Hallar Sean los números x, y. y. Sean los números

(1) x + + (1)

Tendremos Tendremos

.ry ==

25

Y (2) X.l· xr = = 144. Y

Lass soluciones soluciones del sistema sistema formado formado por por (1) Y Y (2) son son x = 9. 9 . .1'= Y x = 16. Y = 9. Luego Luego los los números números y = 16 Y La

pedidos son 9. 16. pedidos son

16.

Hallar dos dos números números positivos positivos sabiendo sabiendo que que su diferencia diferencia es 3 y que que la suma suma de sus sus cuadrados cuadrados es 65. Hallar Sean los números números p. p. q. Sean

(1) pP - q == 3

Tendremos Tendremos

Y Y (2) p2 p'

q' + q'

= 65. =

Lass soluciones soluciones del sistema sistema formado formado por por (1) Y Y (2 (2)) son son p = 7. q = 4 Y Y PP = --4.4. q = -7. -7. Luego Luego los los números números La (positivos) pedidos pedidos son son 7. 4. 4. (positivos)

17.

Hallar las dimensiones dimensiones de un rectángulo rectángulo cuyo cuyo perímetro perímetro es 60 cm y su área área 216 216 cm' cm? Hallar Sean las longitudes longitudes de los lados lados .v, Sean x.

1'. 1'.

Tendremos (1) 2x 2x + 2y = 60 Tendremos

Y (2) Y

XI'· .Y\

= 216.

Resolviendo el sistema sistema formado formado por por (1) (1) Y Y (2) obtenemos obtenemos los los lados lados de 12 y 18 cm. cm. Resolviendo

18.

ndo

hipotenusa de de un triángulo triángulo rectángulo rectángulo mide mide 41 cm y su área área es 180 cm'. cm". Hallar Hallar las longi longitudes los tudes de los La hipotenusa dos catetos. catetos. dos Sean las longitudes longitudes d dee los los catetos catetos x. x. yy.. Sean

Tendremos Tendremos

y' = (41)' (41)2 (1) x' x' + y'

Y (2) j-(xy í(xY) ) = 180. Y

Resolviendo sistema formado formado por por (1) y (2) obtenemos obtenemos los los catetos catetos de 9 y 40 cm. cm. Reso lviendo el sistema


134

ECl.:¡\CIONFS

DE SEGUNDO

GRADO

CON DOS INCOGNITAS


Representar al

21.

22.

23.

= -4

<')

y' = 4x

f)

x' + 3y' -

4X' + y' = 16

g) x' + 3xy + y' = 16

x' - 4y' = 36

h)

Resolver

gráficamente

+

a)

x'

y'

b)

x' + 4y'

Resolver

=

20.

los sistemas

los sistemas

a)

2X2 - v' = 14.

b)

xy + x' = 24. Y - 3x + 4 = O

e)

3xy -

ti)

4x

+

2 - Y

+

x = O

+

4/

e)

2X2 - y2 = 5,

f)

9/X2

+

.Ir)

x2

xy = 12. xy - y' = 3

-

16/y2 = 5,

18/x2

= 57

y'

=

x.

d)

x2

+

1 = 4y.

+

x'

=

21"

24

LA RA:

3x - 2y = 2

h)

x'

+

3xy = 18, x' - 5.1'2 = 4

i)

x2

+

2xy = 16,

j)

x2

_

xy

k)

x2 - 3y2 + 10)'

1)

12/y' = -1

-

e)

Así,

xy = -2 3x2

2X' - xy - y' - 7x - 2y + 3 = O

siguientes:

x.!.. Y = 1

10x = y. 5y = 6.

j)

siguientes:

x' - y' = 5

algebraicamente

x' + y' - 2x + 2y + 2 = O

x' + 4y = 4

3..- - Y = 2

= 25.

i)

I =0

e)

m) n)

Hallar dos números sabiendo que el cuadrado cuadrados es 208.

+

=

x3 -

y3

x3

y3 = 19.'

-

l/x3

+

3x2

9,

4xy

-

+

x2

y' = 7,

2}'2

= 6

x' - 3y' + 5x

= 19,

x - y

+

y' = 10

=

= 9

3

PROPOI

x2y - xy2 = 6

l/y3 = 35,

l/x2

-

I/xy

+

l/y2 = 7

b)

DE LOS

circunferencia hipérbola

PROBLEMAS

cion

a) (2.4). b) (3.2),

(-0.8. (-3.2).

a) (3,2), b) (3.5).

(-5.

-6)

(-2.

-10)

e)

(2.4),

(-1/3.

e)

f)

parábola elipse

-4.4) (-3,

(2,3). (-2, (1,3). (-1, k) (-12. -5), (2, 1) (1, -2),

5/3)

(j?

.Ir)

h)

(3,1).

(-3. -1).

..

r-:

-7ifi

(31y'5.~-5-)'

i)

j)

-3) -3), (4,3)

2)

PROPO 1) (3. 1), (-3.

-1)

-1)

m) (-2, -3). (3. 2) n) (1/2, 1/3), (1/3, 1/2)

-3)

un solo punto (1, -1) dos rectas que se cortan

(4, -2) (5, 6.5)

i)

(3,2), (4.1),

3).

(4,2),

hipérbola parábola

j)

-3). (-,/1.3). (-j? (3. -2). (-3.2). 1-3. -2) (-4. -1)

f)

(j?

h)

d) (1, 0,5),

-2)

d) (-1. 2). (5í2. -4/5) e)

g)

e)

(3. -2),

LEYES 1)

PROPUESTOS

elipse hipérbola

e) d)

térn a, b

de uno de ellos excede en 16 al doble del otro, y que la suma de sus

La diagonal de un rectángulo mide 85 centímetros. Sabiendo que si el lado menor se aumenta en 11 y el mayor se disminuye en 7. centímetros, la longitud de la diagonal no varía, hallar las dimensiones del rectángulo original.

19. a)

21.

siguientes:

ti)

SOLUCIONES

20.

las ecuaciones

x' + y' = 9

b) xy

20.

gráficumcnte

2) 3)

v

.Íc 7ifi

(-3i 5.

5-)

4) 5)

22.

12.8; -12. -8;

23.

40 cm. 75 cm

12. -8;

-12.8 6)


CAPITULO =

15

o

Razón, proporción y proporcionalidad LA RAZON

de dos números

Así, pues, a : b

= ~,

Ejemplos. 1)

PROPORCION.

=

b =F O. Si a

La razón de 4 a 6 2

2)

a y b se escribe a : b, y es el cociente o fracción ~ con b

4

"3'"5

2/3 4/5

Es una igualdad

b =F O, la razón es 1 : 1 o

=

4 :6

+- O.

+ = l.

= ~ = ~.

5 6

3y 5x:-4

3)

entre dos razones.

=

Por ejemplo,

5x 3y/4

=

a :b

20x

3Y

=

e : d. ~ bien, ~

= ~.

términos a y d reciben el nombre de extremos y b Y e el de medios; d es la cuarta proporcional a, b y c. de sus

ayor iginal.

En la proporción cional entre a y c. LEYES 1)

1)

ortan

2)

DE UNA

d

a

e

entre

a : b = b : e, e es la tercera proporcional entre a y b, Y b es la media propor-

PROPORCIONo

ad = be b

Los

3)

Si

e

b

d'

se verifica

b d

a e

+

a

4)

a

b

b

5) c+d d

6)

a - b b

=r:

a + b a _ b

c+d c-d

c-d

PROPORCIONALIDAD 1)

Si x varía directamente con y, o bien, si .v es proporcional

a y (se escribe .vco y), se puede escribir

x = k y; o lo que es igual, ~ = k, siendo k la constante

de proporcionalidad.

y

2)

Si .v varía directamente

con

3)

· SI

. k con .1', se nene x = y- .

X

,. vana mversamente

4 ) S·I X vana,. mversamente

se tiene

)"2,

XCI:: y2

k

2'

con y , se tiene x = 2 Y

5)

Si x varía simultáneamente

6)

Si x varía directamente

con

Y x

=

ky",

.

con y y z, se tiene x = kvz. .

\,2 .

k y!

e inccrsamcntc con z. se tiene x = - Z 135


.

\.)6

RAZON.

La constante

PROPORCION

k está determinada

y PROPORCIONALIDAD

si se conoce un conjunto

de valores correspondientes

de las

6.

¡.

variables.

PROBLEMAS RESUELTOS

n

y PROPORCION

RAZON 1.

Expresar

las razones

siguientes

96

a)

96: 128 =

d)

(xy'

por medio de una fracción

Hallar

-

x'y)

2 3 3' 4

3

12s

4

=

h)

xy'

2.

7. U

: (x _ y)'

-

x'y

- (x -

y)'

la razón entre las cantidades

2/3

8

3/4

9

xy(y

-

-

(x -

simplificada: e)

x)

xy"

,

.

xv"

X"y = x"y

y

= x

8. L

xy

y)'

y - x

siguientes:

a)

6 kilogramos a 30 gramos. Se suelen expresar las cantidades en las mismas unidades. La razón entre 6 000 gramos y 30 gramos es 6 000 : 30 = 200 : l.

b)

3 centimetros cúbicos a 2 litros. La razón entre 3 centímetros cúbicos

y 2 000 centímetros

9. D

cúbicos

es 3 : 2000.

10. Si 3 metros cuadrados a 6 centímetros cuadrados. La razón entre 30000 centimetros cuadrados y 6 centímetros

e)

3.

4.

Hallar

el valor de

a)

(3 -

b)

(x

e)

(.c -

Hallar

x) : (x

+

.Y

en las proporciones

1) = 2:

1.

x

1): (x

+

la cuarta

1) = (2x -4):

proporcional

(x

2. 3. 6.

h)

4. -5.

y

3 PROP'

+

+

x

x = 2.

y

x-I 4).

1

11. E a

2x -4

+

de los conjuntos

Sea. en cada caso. x la cuarta

a)

1

2

+

3 3x - 2 -10-=-8-

x

3): 10 = (3x - 2): 8.

es 30000 cm" : 6 cm' = 5000:

siguientes:

3 - x

+

cuadrados

x'

x + 4

5x = O. xIx

-

5) = O Y x = 0.5. b

de números

a

siguientes:

proporcional.

Tendremos

2: 3 = 6: .v,

Tendremos

4: -5

Tendremos

a': ab = 2: x .

2

6

3

x

Y

.v

=

9.

d di te

25 lO.

-

.v

y

= 10: x

=

a'x = Lab

2

y

2h

.\"= _....

a

f 5.

Hallar

la tercera

proporcional

de los pares de números

Sea. en cada caso. x la tercera Tendremos

a) 2. 3.

siguientes:

proporcional.

2: 3 = 3: x

g a

.v = 92.

y

s,

h]

h) -2.

8 3

Tendremos

-2

8 3

8 -:x 3

y

32 x=


9

pl

137

RAZON. RAZON. PROPORCION PROPORCION y PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD

e las

6.

Hallar entre Hallar la media media proporcional proporcional entre 2 y 8. Sea x la medida medida proporcional. proporcional.

7.

Tendremos Tendremos

2: 2: x == x : 8, 8.

= = ±4. ±4.

Un están en la razón Un segmento segmento de 30 centímetros centímetros se divide divide en dos dos partes partes cuyas cuyas longitudes longitudes están razón 2 : 3. Hallar Hallar las las longilongitudes tudes de ambas ambas partes. partes. Sean Sean las longitudes longitudes pedidas pedidas x y 30 - x.r.. Tendremos Tendremos

8.

16 Y x

X2 x2

x .v 30 - .Yx

2 3

y

x.r = = 12 cm, cm,

30 - x

Las Las edades edades actuales actuales de dos dos hermanos hermanos son son S y 8 años años respectivamente. respectivamente. ¿Al cabo cabo de cuántos cuántos años años estarán estarán en la razón razón 3 : 4? 4?

= = 18 cm. cm. (x) (x) sus edades edades

Las Las edades edades al cabo cabo de x años años son son S + x y 8 + x . Por Por tanto., tanto. f-S ¡'S + x): x): (8 + x) x) = = 3: 3: 4; 4; 9.

4(S + x) == 3(8 + x); x);

de donde donde

x = = 4.

Dividir a 2, Dividir 2S3 en cuatro cuatro partes partes proporcionales proporcionales 2. S, S. 7, 7. 9. 9. Sean las cuatro cuatro partes partes 2k, Lk ; Sk, 7k, 7k, 9k. 9k. Sean Tendremos 2k + Sk + 7k + 9k Tendremos

10.

Si .v: x: y : ~z

= 2 2: : - S : 4 y .v = x -

3y

= 2S3

y k

=

Luego las cuatro cuatro partes partes son son 22, SS, SS. 77. 99. 11. Luego

z == 63, hallar hallar x, +=

y, y, z .

Seann x == 2k 2k.. Y == -- Sk, Sk ; z == 4k 4k. . Sea Sustituyendo estos estos valores valores en x - 3y + z == 63 se obtiene obtiene 2k 2k - 3( - Sk) Sk) + 4k 4k == 63 de donde donde k == 3. Sustituyendo

Luego Luego x == 2k 2k == 6, Y == -5k -5k == -IS, z == 4k 4k == 12. PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD

11.

Expresar mediante mediante una una ecuación ecuación en la que que intervenga intervenga una una constante constante de proporcionalidad proporcionalidad enunciados siguientes: siguientes: Expresar k los enunciados al a)

longitud de una una circunferencia circunferencia La longitud

directamente proporcional proporcional a e es directamente

diámetro. su diámetro.

Sol.

kd. e == kd.

5. El periodo oscilación de un péndulo péndulo simple simple en un un lugar lugar determinado determinado es directamente directamente proporcional proporcional h) El periodo T de la oscilación cuadrada de su longitud. longitud. = kkJl raíz cuadrada Sol. T = Jl a la raíz energía radiante radiante E E em' em' da da en la unidad unidad de tiempo tiempo y por por unidad unidad de área área por por un un radiador radiador perfecto perfecto es direcdirecLa energía tamente proporcional proporcional cuarta potencia potencia de su temperatura temperatura absoluta T. Sol. E == k'T' kT' tamente a l' cuarta absoluta Sol.

e)

d) calor Q Q (calorí (calorí ) que que se genera genera en un un conductor conductor de resistencia resistencia R (ohmios) (ohmios) por por el que que circula circula una una corriente corriente d) El calor intensidad 1 1 (amplrios) (arn rios) es directamente directamente proporcional proporcional al cuadrado cuadrado de la intensidad, intensidad, a la resistencia resistencia del conducconducde intensidad tor y al tiempo tiempo j ( durante durante el cual cual pasa pasa la corriente. corriente. Q == kR12¡ kR12{ Sol. Q tor e) La La intensidad intensidad 1 1de una onda onda sonora sonora es directamente directamente proporcional proporcional al cuadrado cuadrado de la frecuencia frecuencia n n,, al cuadrado cuadrado e) de una amplitud r, a la velocidad velocidad del sonido sonido v y a la densidad densidad del medio medio en el que que se propaga. propaga. Sol. 1 == kn22,2vd de su amplitud ,2vd

f)f)

fuerza de atracción atracción F F entre entre dos dos masas masas m, m, Ym22 es directamente directamente proporcional proporcional al producto ambas e inverinverLa fuerza producto de ambas m,m . . . m,m2 2 samente proporcional proporcional cuadrado de la distancia distancia ,r entre entre ellas. ellas. ~ samente al cuadrado Sol. F == k ~ temperatura constante, volumen V de una una masa masa dada dada de un un gas gas perfecto perfecto es inversamente inversamente proporciona proporcional l g) A temperatura constante, el volumen presión pp a la cual cual está está sometida. klp o bien bien ppV V == k sometida. Sol. V == k/p a la presión

resultante F de un sistema sistema de fuerzas fuerzas aplicadas aplicadas a un un sólido sólido le comunica comunica una una aceleración aceleración a directamente directamente La resultante F proporcional a dicha dicha resultante resultante e inversamente inversamente proporcional proporcional a la masa masa m del sólido sólido en cuestión cuestión. . k- proporcional Sol. a == k m

h) h)


RAZON. PROPORCION

138 12.

y PROPORCIONALIDAD

La energía cinética E de un cuerpo es directamente proporcional a su masa m y al cuadrado de su velocidad v. Un cuerpo de 8 kilogramos animado de una velocidad de 4 metros por segundo posee una energía cinética de 2 julios. Hallar IfIenergía cinética de un móvil de 6 000 kilogramos de masa a una velocidad de 88 metros por segundo. Para hallar

E = k Wv2

k:

o

19.

a)

20.

k = ~ 2 = _2_ = ~ Wv 8(42) 64 .

Halla

Halla 3

al

Luego la energía 13.

cinética

del móvil es

E =

64

6ooo(8W = 64

= 726 000 rn-kp.

La presión p de una masa dada de un gas perfecto es inversamente proporcional al volumen V que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A qué presión se deben someter 100 metros cúbicos de helio a 1 atmósfera de presión y 253 grados absolutos de temperatura para que se reduzcan a 50 metros cúbicos a una temperatura de 313 grados absolutos? T

Para hallar

Luego

p = k

k:

la presión

Otro método.

14.

Wv2

V

k __ pV __ 1(100) __ 100. T 253 253

o

100 T 100 313 es p = - = -(-) = 2.47 atmósferas. 253 V 253 50

pedida

Designemos

por 1 y 2 las condiciones

Sabiendo que 8 hombres tardan 15 hombres en poner a punto El número hombres (z).

de días (x) varía directamente

ky x = --'- siendo

Luego

El número

de días que se precisan

16 máquinas.

(y) e inversamente

Expresar a)

16.

b)

17.

siguientes

x = ~ = 6(50) = 20 días. z 15

b)

la razón

por medio de una fracción

entre las siguientes

20 metros a 40 centímetros 8 litros a 4 centímetros cúbicos

b)

(x (x

Hallar a) b)

+ +

d)

1 = (2 -

la cuarta

3. 4, 12 -2, 5, 6

x):

e)

2

proporcional

d)

de los siguientes

e)

a, b, e

d)

m

+

2 metros 6 litros

cua rados a 50 centímetros centímetros cúbicos

yo

siguientes:

3) : (x - 2) = 3: 2 4):

simplificada:

cantidades. e)

23.

Un se núme

24.

Si x:

25.

a) e)

+ 1): 4 = (x + 6) : 2x (2x + 1): (x + 1) = 5x : (x + (x

conjuntos

de números:

2, m - 2, 3


S S S

26.

La di cuadr censo

27.

La fUi drado cidad fuera

28.

Sabie que s

SOLUCIO

4/5: 8/3

Hallar el valor de x en las proporciones a).

18.

40: 64

Hallar a)

las razones

Halla

con el número de


22.

hallar el número de días que emplearán

con el número de máquinas

es

Si (x

b)

k = ~ = 12(8) = 6. Y 16

z

21.

inicial y final del gas respectivamente.

12 días en poner a punto 50 máquinas.

3

4)

cuadrados.

15.

a)

5,

16.

a)

51

17.

a)

1:

18.

a)

l'

19.

a)

2.

20.

al

:!

21.

7/3

22.

12, 11

23.

30, 4(

24.

-8,

25.

a)

26.

1600

27.

180 k

28.

3 han

I

1:

RAZON, PROPORCION

d v. judo.

19.

Hallar a)

20.

3, 5

Hallar a)

recelio una

la tercera

proporcional

la media

3, 27

de los pares de números

3.fi

e)

-4,-8 y) = 5: 2, hallar

Y

siguientes:

siguientes:

6.fi

d)

m + 2

21.

Si (x

22.

Hallar dos números sabiendo que están en la razón 3 : 4 y que sumándoles

23.

Un Segmento de 120 centímetros se divide en tres partes cuyas longitudes números 3, 4, 5. Hallar las longitudes de cada una de ellas.

24.

Si x: y : z

25.

a)

b) e)

: (x -

=

4 : - 3 : 2 y 2x

Si x es directamente Si x es directamente Si x es directamente

+ 4y

139

ab,.¡;;b

d)

a, b

e)

proporcional b)

+ y)

de los' pares' de números

-2,4

b)

y PROPORCIONALIDAD

m + I

Y

x: y.

- 3z

=

4 unidades su razón se convierte en 4 : 5. son directamente

proporcionales

a los

20, hallar x, y, z.

a y y para x = 8, Y = 5, hallar y cuando x = 20. a y2 y para x = 4, Y = 3, hallar x cuando y = 6. a y y para x = 8, Y = 3 hallar y cuando x = 2.

proporcional proporcional proporcional

26.

La distancia recorrida por un cuerpo que cae libremente, partiendo del reposo, es directamente proporcional al cuadrado del tiempo de descenso. Sabiendo que un cuerpo que cae desde 144 metros emplea 3 segundos en el descenso, hallar el espacio que recorrerá en 10 segundos.

27.

La fuerza drado de cidad del fuera de

28,

Sabiendo que 2 hombres pueden transportar 6 metros cúbicos de tierra en 4 horas, hallar el número de hombres que se necesitan para transportar 18 metros cúbicos en 8 horas.

rán

de

ejercida por el viento sobre la vela de un barco es directamente proporcional al área de la vela y al cuala velocidad del viento. Sabiendo que la fuerza ejercida sobre 1 metro cuadrado de vela cuando la veloviento es de 15 kilómetros por hora vale un kilopondio, hallar la que se ejercerá cuando la velocidad 45 kilómetros por hora y el área de la vela de 20 metros cuadrados.

SOLUCIONES

DE LOS

PROBLEMAS

15.

a)

5/8

b)

16.

a)

50: 1

b)

17.

al

12

b)

27 -2

18.

a)

16

b)

-1

19.

a)

25/3

b)

20.

al

±9

b)

±

21.

7/3

22,

12, 16

23.

30,40,

50 cm

24.

-8,6,

-4

25.

a)

b)

16

26.

1600 m

12 !

27.

180 kp

28.

3 hombres

3/10

8

4.fi

PROPUESTOS e)

x/3y

d)

e)

400: 1

d) 200: 1

el

4, -3

d) 2, -2/3

I/ab

e)

befa

d) 3(m - 2)/(m + 2l

el

b2/a

d) 1

e)

±6

d) ± Jm2

el

12

+

3m

+

2


B]


Progresiones Progresiones 20 SUCESION. un conjunto conjunto ordenado ordenado de números números que SUCESION. Es un que se deducen deducen unos unos de de otros otros mediante mediante una una regla regla definida. Los Los números números de la sucesión sucesión reciben reciben el nombre nombre de definida. de términos. términos.

10

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS aritmética (p. a.) a.) es una sucesión en A) Una progresión progresión aritmética una sucesión en la cual cual todos todos los los términos, términos, posteriores posteriores al primero, se deducen deducen del del anterior anterior añadiendo añadiendo un un número número constante llama razón razón de de la progresión. progresión. primero, constante que que se llama

PROG

Por ejemplo, ejemplo, 3, 7, 11, 15, 19, ... ... , es una una progresión progresión aritmética, Por aritmética, ya que que cada cada término término se obtiene obtiene sumando 4 unidades unidades al anterior. anterior. En En la progresión progresión aritmética, aritmética, 50, 45, ... , la razón sumando 45, 40, ... razón es 45 - 50 = = -5. -5. = 40 - 45 =

ab

B)

Fórmulas de las progresiones aritméticas. Fórmulas progresiones aritméticas.

11 == a

término enésimo, enésimo, o el último último: : 1) El término 2)

La suma suma de los los n primeros primeros términos: términos: La

S

+

(n -

n

i(a + = i(a

1)

I)d l)d n i2a

= i[2a + (n (n -

1)dJ 1 )dJ

Cl'

siendo a = = primer primer término; término; d == razón; razón; siendo n == número último término; término ; número de de términos; términos; 1 == término término enésimo enésimo o último S == suma suma de los los n primeros primeros términos. términos. S

Ejemplo. Consideremos Consideremos progresión aritmética aritmética 3, 7, 11, ... ... siendo Ejemplo. la progresión siendo ael 11 - 7 = 4. El sexto sexto término término es t1 = a + (n - l)d l)d = 33 + (6 - 1)4 = 23. 11 23. La suma suma de los los seis seis primeros primeros términos términos es La

6 i(3 + 23) = 78 "2(a + t)1) = "2(3

n S = i(a

23)

78

PROC

=

3 y d

= 7- 3

II

in 7a (n -

6 i2(3) + (6 -

o S = i72Cl + (n - l)dJ l)dJ = i2(3)

(6 -

ar

I)4J = 78. I)4J

PROGRESIONES GEOMETRICAS PROGRESIONES GEOMETRICAS

un

M E DI. die

geométrica (p. g.) g.) es una una sucesión sucesión en A) Una progresión progresión geométrica en la cual cual todos todos los los términos, términos, posteriores posteriores al primero, se deducen deducen del anterior anterior multiplicándolo multiplicándolo por una por una constante constante que que se llama llama razón razón de de la proproprimero, gresión. gresión. Por ejemplo, ejemplo, 5, 10, 20, 40, 80 80,.... ... , es una una progresión progresión geornétrica, Por geométrica, ya que que cada cada término término se obob1 1

es

1 1

tiene multiplicando multiplicando por por 2 el anterior. anterior. En la progresión progresión geométrica, -3, , 1, 1, -3' tiene geométrica, 9, 9. -3 - 3 ' "9' "9 ' ...... , la rara-

. - 3 1l - 1/3 1/9 1 zon es 9 9 = _ 3 = --) )- = -) - 1/3 3.. zoo /3 = - 3

mi

140


141

PROGRESIONES PROG RESION ES

B) B)

Fórmulas de las progresiones geométricas Fórmulas progresiones geométricas

1= 1= ar"-l ar :'

término enésimo enésimo o último último término: término: 1) El término

2)

ss == a(r" -

La suma suma de los n primeros primeros términos: términos: La

r -

1) rl - a 1 1 = -~' -;--=-¡

,

,.,. =F =F 1

siendo a = primer primer término; término; r = razón; razón; n = número número de términos; términos; siendo = término término enésimo enésimo o último último término; término; S = = suma suma de de los los n primeros primeros términos. I = términos.

Ejemplo.;~ Consideremos Consideremos Ejemplo. a regla

~~ = ~~

0 progresión geométrica geométrica 5, 10, 10, 20, 20, ... ... siendo siendo a = 5 Y r = 15 150= la progresión

2. El séptimo séptimo término término es I = ar" 2.

1I

5(277= 5(2

1) 1)

5(266) = 320. 320. = 5(2

.. . 1) 5(277 - 1) 1) . S a(r" - 1) 5(2 . . L a suma suma de l os siete siete pnmeros pnmeros termmos termlnos es = = 2 = 63,. 63,. r- 1 - 1 iores al gresión. obtiene 5 - 50

PROGRESIONES GEOMETRICAS INDEFINIDAS PROGRESIONES GEOMETRICAS INDEFINIDAS La suma los términos términos de una una progresión progresión geométrica geométrica indefinida indefinida de La suma (S",) de los de razón razón r, en en valor valor absoluto menor menor que que la unidad, unidad, viene viene dada dada por por absoluto

a

S",= -1--' S"'=-I--' - r · 1lo. E·Jemp Jemp a = = 1 Yr = =

siendo siendo

Irl < 1.

C ' d eremos . . geometnca . . d efi'd Consid ..., finid onsi progresion geometnca ni a 1 - 2 21 + "41 -- "81 + onsl eremos la progreslOn In ni 1

-2'

Su suma suma es S",

a 1- r

1 (-1/2) 1 - (-1/2)

1 3/2

...

. do sien sien

2

T

PROGRESIONES ARMONICAS PROGRESIONES ARMONICAS 7 - 3

Una progresión armónica es una una sucesión sucesión de números números cuyos cuyos recíprocos recíprocos forman Una progresión armónica forman una una progresión progresión aritmética. aritmética.

. l111111 1 "4' 1 "6' 1 "8' 1 10' 1 ... ..,. armomca, ... . 2 4 6 8 10, .. P' 246810 P or eJemp ejemp o, 2' 2' 10' ... es una una progreslOn progresion armOnlca, ya que que , , , , ... . es or ya una progresión progresión aritmética aritmética una MEDIAS. . términos de una una progresión progresión comprendidos comprendidos entre entre dos dos dados dados reciben reciben el nombre MEDIAS os términos nombre de de memedias de aquéllos. aquéllos. dias iores al la proo se ob. , la ra-

Por ejemplo, ejemplo, en la progresión progresión aritmética, aritmética, 3, 5, 7, 9, 11, ..... . , la media media aritmética Por aritmética entre entre 3 y 7 cuatro medias medias entre entre 3 y 13 son son 5, 7, 9, 11. es 5 y cuatro En la progresión progresión geométrica geométrica 2, 2, -4, -4, 8, 8, -16, -16, ... ... , dos medias medias entre entre 2 y -16 En -16 son son -4,8. -4,8.

.... .,. . 1 1 E n la progreslOn progresión armonlca armornca 2 2 ' "3 ' ¡"4 ,' 5 "5 ' di d'

me me las las entre entre

l

di d'

... .

1

1

1

"6' tres "6' ... ... , a me me la armonlca armomca entre entre 22 y "4 es "3 ' y tres

1 1 1 1 1 2 2 y "6 son son "3 ' ¡"4 ,' 5 "5 .


142 142

PROGRESIONES PROGRESIONES

PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS

6. ¿(

PROGRESIONES ARITMETlCAS ARITMETlCAS PROGRESIONES 7. H

Detenninar cuáles cuáles de de las las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones son son progresiones progresiones aritméticas: aritméticas: l.1. Determinar

a) a)

I1

es una una p. p. a. a. ya ya que que es

55 77

b)

b)

3' 3'

e) e)

-1 , -6, - 6, -11, -11, 4, -1, 4,

d) d)

9, 12, 12, 16, 16, 9,

e)

e)

2' 3' 4' ' 2'3'4

J)

7, 9 + + 3p, 3p, 11 11 + + 6p, 6p, 7.

f)

2.

1, 6, 6, 11, 11 , 16.... 16, 1,

I

1, 1,

3' 3' 3' 3' ...

I1

1

Deducir Deducir la la fórmula fórmula

66 -- 11 = = 11 11 -- 66 == 16 16 -- 1I 11 == 5. 5. 11

55 77 55 22 = 3 - 11 ==3-3=3' 3 - 3 = 3' =3-

11- 3 3

es es una una p. p. a. a. ya ya que que

-1-4= -1 - 4 = -6- 6 - (-1)= (-1)= -11-11 - (-6)= (-6)= -5. -5 . (d (d = = -5) -5 )

no no es es una una p. p. a. a. ya ya que que

3 - 2 j 4 - 3. 3-2+4-3'

es es una una p. p. a. a. con con

3)

(d = W=~

+

12 -- 99 j 16 - 12.

+

22

es una p. p. a. a. ya ya que que es una

no es es una una p. p. a. a. ya ya que que no

n S = = ~(a 2(a

(d (d = = 5) 5)

I1

dd = = 22

11

I1

8. H

11

+ 3p. 3p.

1) de de la la suma suma de de los los nn primeros primeros términos términos de de una una progresión progresión aritmética. aritmética.

La primeros términos términos de de una una progresión progresión aritmética aritmética se puede puede escribir: escribir: La suma suma de de los los n primeros

o

S= = aa + (a + d) d) + (a + 2d) 2d) + .. . + 11

(n términos) términos)

S= +a S= 1+(I-d)+(I-2d)+ 1+(I-d)+(I-2d)+ .. . +a

(n términos) términos)

n'

en en la que que se ha ha escrito escrito la suma suma en en orden orden inverso. inverso. 2S = = (a + 1) 1) + .. ... . + (a + 1) 2S 1) + (a + 1) 1) + (a + 1) 1) n y 2S = n(a n(a + 1) 1) 2S = S = = 2(a 2(a + 1)

Sumando, Sumando,

3.

Hallar el dieciseisavo dieciseisavo término término de la p. a.: Hallar p . a.: Tenemos Tenemos

4.

9. H el

10.

¿(

11.

e

12.

e

para para n términos términos

4. 7. 7, 10, 10. . ....

4. n = 16, 16. d = 7 --44 = 10 - 7 = 3, 3. a = 4,

Hallar suma de los 12 12 primeros primeros términos términos de la p. p. a.: a.: Ha llar la suma

l)d = 4 + (16 - 1)3 1)3 = 49 49.. y 1 = a + (n - l)d

8. 13, 3. 8,

Tenemos 13 - 8 = 5. n = 12, 12. Y Tenemos {/(J = 3, d = 8 - 3 = 13

n 12 -[20 + (n (n - I)a'] I)d] = --[2(3) (12 - 11)5] S = -[2a [2(3) + (12 )5J = 366.

22

aIro Otro mélodo: método:

22

(12-1)5=5~

I=a+ (n-l(d=3+ I=a+ (n-I(d= 3 + (12-1)5=~

12 n 12 2(3 + 58) 58) = 366. SS = 2(a + 1)1) = "2(3

5. S.

Hallar el el cuarentavo cuarentavo término término y la suma suma de de los 40 40 primeros primeros térmi términos de la p. a.: a.: Hallar nos de Tenemos Tenemos Luego Luego

l O, 8. 8. 6, ... ... 10.

14. H

10 = = 66 -- 88 = = -2, -2. aa = = lO. 10. nn = = 40. 40. dd == 88 -- 10

+ (n(n -- 1)d l)d == 10 10 + + (40 (40 -- 1)( 1)(-2) 11 == aa + - 2) == --68 68 40 nn 40 S = -(a + 1) = -(10 68) = 1 160. S = 2«/ + /) = "2( 10 - 68) = - 1 160. 2

2


13. H p

yy


6.

¿Qué término de la progresión progresión ¿Qué término I = {/a

7.

+

es

239 = 5 + (/1 (11 - 11)9. )9.

sd, 1l Id,

(n -

5. 14, 23, 23,

143

239'! 239'!

9/1 911 = 243

11/1 = 27.

es el término término

Hallar positivos múltiplos múltiplos de 7. Hallar la suma suma de los primeros primeros enteros enteros positivos La sucesión sucesión es

7. 14. 21 21.. ..... .

11 11 S == 2[2{/ 2[2a

Luego Luego

+

{/a = = 7. d = 7. 11 11 = = 100.

una p. p. a. en la cual cual una

100 (11 2[2(7) + (100 (100 - 1)7] == 35350. 35350. (/1 - I)d) I)d] = = 2[2(7)

-5)

8.

Ha llar cuántos partir de de 10 se deben deben tomar tomar para para que que su suma valga 2035. 2035. Hallar cuántos enteros enteros consecutivos consecutivos a partir suma valga La sucesión sucesión es Aplicando Aplicando 2

n2

9,

+

11 11

se obtiene obtiene

55) (n + 74) 74) == O, O, n == 55, 55. -74. -74.

(n -

n 11 S == 2[2a

z[2a + (n -

+

se obtiene obtiene

I)d], I)d),

(11 -

+

(n -

Para Para n == 10: lO: Para Pa ra 11/1 == 15:

n22 -

25n 25n

+

150 = O,

19),

11 11

(n -

1)2], 1)2],

880 880

== 24n 24n +

2

n2, ,

La salda en La deuda deuda se salda en 20 meses. meses.

(n -

10)(n(n - 15) = O, 10) O,

n

= 10,15. 10,15.

22, 20, 18. 16, 14, 12, lO, 8, 6. 24, 22, 6. 24, 22, 20. 18, 16. 16, 14, 12, 10,8, lO, 8, 6, 4, 2, -4. 24.22.20. 6,4, 2, O, O. -:-2, -:-2. -4.

Determinar la p. a. en lo que que la suma suma de los Determinar los n primeros primeros términos términos es n22 + 2n. 2n. Término enésimo enésimo = = suma suma de n términos Término términos ==

n22

+

2n -

[In [In -

I1f

+

suma de suma de n - 1 términos términos 2(n 2(n

1)] == 2n + 1.

Luego Luego la p. a. a . es

3, 5, 7, 9, ... ...

Demostrar que que la suma suma de n enteros enteros impares Demostrar impares consecutivos consecutivos a partir partir del del 1I es igual igual a n22 Tenemos que que hallar hallar la suma suma de los n primeros Tenemos primeros términos términos de de la p. p. a. a. Tenemos a == 1, d = 2, 2. 11 /1 = n Tenemos

y

n

1, 3, 5,

n

'2[2a + (n - 1}d] S = 2[2a I)d) = '2[2(1) 2[2(1) + (n - 1)2] 1)2] = n22• •

Hallar tres números números en p. a. sabiendo sabiendo que suma del primero 12, y que Hallar tres que la suma primero y el tercero tercero es 12. que el producto producto del primero primero por el segundo segundo es 24. 24. por Sean los números números en p. p. aa.. Sean Por tanto, Por tanto.

14.

+

¿Cuántos términos términos de la p. a. 24, 22, 22, 20, ... se necesitan suma sea sea 150 150?? Escribir ¿Cuántos 20, ... necesitan para para que que su suma Escribir los los términos. términos.

n

13.

n 2035 == 2(n 2035

1)1], 1)1],

Luego hay hay que que tomar tomar 55 enteros. enteros. Luego

== 2[2(25) 2[2(25) +

880 880

24/1 - 880 = O, O, (n - 20) (n + 44) -44. 2411 44) = O, O, n = 20, -44.

2[48 + (n - 1)(-2)], 1)(-2)], 150 = 2[48

12.

n 2035 == 2[20 2[20 2035

Hallar el tiempo tiempo que que se empleará empleará en saldar saldar una una deuda 880 pesetas pagando 25 pesetas Hallar deuda de 880 pesetas pagando pesetas el primer primer mes, mes, 27 pesetas pesetas segundo. 29 pesetas pesetas el tercero, tercero, etc. etc. el segundo.

n22

11.

2035. a = 10, lü, d = 1, S = 2035.

una p. a. en la cual cual una

2[2a + (n - I)d), I}d], S == 2[2a

19n - 4070 4070 == O, O,

De De

10.

10, 11, 11. 12. ... ...

dja = = 24. (a - dja

(a - dI, d), a, (a

+ dI. di.

Luego L~ (a - d)

(6~~d¡;-~ (6~¡;-ctOnde

d == 2.

+

(a

+

d) = = 12

de de donde donde

Luego son Luego los los números números son

a = = 6.

4, 6, 8.

Hallar tres cuya suma suma es 21 y cuyo Hallar tres números números en p. a. cuya cuyo producto producto es 280. 280. Sean los números números Sean Por otra otra parte parte Por

di, aa,, (a (a - dI,

(a - d) (a) (a

Los números son Los números son

+

4, 7, 10 o

+

d). dI.

Tendremos Tendremos

d) = 280. 280.

a(a a(a22 -

(a - d)

d2))

+a +

(a

+

d)

== 21

o sea sea

a

== 7.

= 7(49 3. 7(49 - d') J2) = 280 280 y d = ± ±3.

10. 7, 11. 11. 10,


''1

I~..

144


15. Tres Tres números números están están en la relación relación 2: 2: 5 : 7. Hallar Hallar dichos dichos números, números, sabiendo sabiendo que que si se resta resta 7 del segundo segundo los nú· núIS. meros meros forman forman una una p. a. a.

Sean Sean los números números Por tanto tanto Por

2x, 5x, 7x.

Los Los números números formando formando una una p. a. son son

(5x - 7) - 2x = 7x - (5x - 7)

donde de donde

x = 14.

23.

Situ,

24.

Situ tant

2x, (5x - 7), 7x.

Luego los números números son son Luego

28. 70. 98.

16. Hallar entre múltiplos de 3. Hallar la suma suma de todos todos los los enteros enteros comprendidos comprendidos entre 100 y 800 que que sean sean múltiples La La p. p. a. es 102, 105, 108, ...... , 798. Luego Luego 1 1 = a + (n - 1)d, l)d, 798 = 102 + (n - 1)3. n = 233 233,, n 233 233 = 2(a + 1) 1) = = 2(\02 2(102 798) = = 104 850. y S = + 798) 17.

Sobre Sobre una una superficie superficie horizontal horizontal se levanta levanta una una rampa rampa de pendiente pendiente uniforme uniforme por por medio medio de 10 soportes soportes igualmente igualmente espaciados. Hallar espaciados. Las Las alturas alturas de los soportes soportes mayor mayor y menor menor son son 42.5 42.5 y 2 metros metros respectivamente. respectivamente. Hallar la altura altura de cada cada uno uno de los los soportes. soportes. PROGRI

De De I=a+(n I=a+(n-I)d - I)d tenemos tenemos 42t=2+(I0-1)d d=4tm. 421=2+(\0-1)d y d=41m. Luego las alturas son son Luego las alturas

18.

2,

61, 61,

11,, 151. 15t. 20. 20. 241. 24t. 29. 3Jj-, 3J!, 38, 421 42t metros metros respectivamente. respectivamente. 11

25.

Un cuerpo cuerpo cae cae libremente. libremente. partiendo partiendo del reposo, reposo, y recorre recorre 16 metros metros durante durante el primer primer segundo, segundo, 48 metros metros en el Un segundo, segundo, 80 metros metros en el tercero. tercero. etc. etc. Hallar Hallar la distancia distancia que que recorre recorre durante durante el quinceavo quinceavo segundo segundo y la distancia distancia total que que recorre recorre en 15 segundos, segundos, partiendo partiendo del reposo reposo. . total

Det(

a)

b)

d = = 48 - 16 = = 80 - 48 = = 32.

Tenemos Tenemos

e)

Durante 1 )32 = Durante el quinceavo quinceavo segundo segundo recorre recorre una una distancia distancia 1= = a + (n - l)d l)d = = 16 + (\5 (15 - 1 1)32 = 464 464 m. . . . n 15 ... La ita + 1)1) = 2(16 La distanCia distancia total total recornda recornda en 15 segundos segundos es S = 2(a 2(16 + 464) 464) = 3600 3600 m.

d)

19.

Se colocan colocan 8 bolas bolas en línea línea recta recta separadas separadas entre entre sí una una distancia distancia de 6 metros. metros. A 6 metros metros de de la primera, primera, al otro otro lado lado de las las bolas, bolas, está está situada situada una una persona persona con con una una cesta cesta que que va andando andando por por la fila recogiéndolas recogiéndolas de una una en una una e introduciéndolas en en la misma. misma. Sabiendo Sabiendo que que empieza empieza a recogerlas recogerlas partiendo partiendo de la posición posición en que que inicialmente inicialmente se introduciéndolas encuentra, hallar hallar la distancia distancia total total que que recorrerá recorrerá hasta hasta que que termine termine la operación operación encuentra,

e)

f) Tenemos 2· 6 = 12 m y 1 1 = = 2(6' 2(6' 8) = = 96 m. Tenemos a = 2·

Il 11

8

Luego S = = 2(a 2(a + 1) /) = 2(12 + 96) 96) = = 432 m. Luego 2(12 + 26.

20.

Ded

Demostrar Demostrar que que si los lados lados de un un triángulo triángulo rectángulo rectángulo están están en p. p. a. su relación relación es 3 : 4 : 5. Sean los lados lados Sean

(a - dI. di. a, (a (a + + d), di, (a

siendo la hipotenusa hipotenusa siendo

(a + + dI. di. (a

Tendremos Luego (a - d) : a : (a + d) = Tendremos (a + d)2 = = a2 + + (a (a - d)2 d)2 o sea a = = 4d. Luego = 3d 3d:: 4d 4d: : Sd = = 3 : 4 : 5.

1) 2)

MEDIAS ARITMETlCAS MEDIAS ARITMETICAS 21.

Deducir Deducir la fórmula fórmula de la media media aritmética aritmética Como Como p. p, x, q están están en p. p. a., a., tenemos tenemos

22.

(x) (x) entre entre dos dos números números p y q.

x - p = q - x

x = 1(P t(P + + q).

o seá

27.

Hall

28.

Hal

Hallar la media media aritmética aritmética de los pares pares de números números siguientes: siguientes: Hallar

a) a)

4

y

b) y b) 3fi 3fi e)

,. . .. 4 + 56 Media antmellca antmetica = ---2--2- = 30. Media

56.

a II + 5d

--6fi. 6fi . y

a - 3d. 3d.

.. 3fi + (-6fi) (-6fi) . .. 3fi Media antmetlca antmenca = Media 2 Media Media aritmética aritmética = =

(a

+

5d)

+ 2

---------------------------

(a (a - 3d)


3fii 3f 2

= ----=

= = a + + d. d.

PROGRESIONES nú-

23.

Situar

5 medias

aritméticas

entre 8 y 26.

Tenemos que hallar una p. a. de la forma 8, -,

=

I

Luego

98.

+

a

24.

233,

+ /),

in(a

=

I

ente a de

a

+

PROGRESIONES Determinar

3, 6. 12,

b)

16, 12, 9,

f)

1

1

2)

1

+

36),

-,26;

por tanto,

a

=

8,

1=26

Y n

=

7.

3.

+

(8 -

296

7d

1Id,

es

de tal forma que la suma de la progresión

=

37n

Y

=

=

n

35

resul-

8.

=

d

Y

aritmética

5.

1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.

son progresiones

1

1/

a(r" -

1)

términos

ar :'

ar2

+

ar'

+

+

rS =

al'

+

ar'

+

ar3

+

+ ar">' +

Restando

1) de 2),

=

Tenemos

a

El octavo

término

4.

r

Hallar el séptimo

término

a = 9

3

-9

-1

3

4

9

1

4

8/4

=

(1'

=;¡-)

(1'

=

(1'

= 3)

2)

-3)

1/3

2/9

2

1/2

1/3

3

I/h

1/2/¡3

2h

I//¡

2

1 2/¡2 .

(1'

1 2h2)

.

termmos

geométrica

(n términos).

=

de una progresión

geométrica.

se puede escribir:

Multiplicando

1) por 1', se obtiene

(n términos).

(1' -

l)S

=

a(,ft

= 2. n = 8. = 4(2)8-' = 4(27) =

1)

-

términos

air" - 1) S=---.

Y

r -

de la progresión

1

4. 8, 16.

16/8

1= ar"-'

términos

es

S

=

-6

4

2

9

-6

3

4(128)

a(r" -

1)

-;=-I

y la suma de los siete primeros

r=~-=~·=

=

3

-3.

y la suma de los ocho primeros

=

(1'

- =fo-.

ar"

rS - S = ar" - a.

es

4

de una progresión

+

término

3

12

de la suma de los n pnmeros

al'

el octavo

9

16

..

--;:--=-1"

primeros

2.

12

-=-=

es una p. g. ya que

S =

aritméticas:

12

3 ="6 =

es una p. g. ya que

la fórmula

Tenemos

6

no es una p. g. ya que

¡;. 2/¡3'

+

siguientes

es una p. g. ya que

...

2

S = a

Hallar

=

d

l)d,

es una p. g. ya que

...

1

2/¡.

=

La suma de los ocho primeros

28.

(7 -

-,

11, 14, 17, 20, 23.

completa

...

2' 3' 9'

Deducir

1)

27.

+

es una p. g. ya que

La suma de los 4: S.

36

aritmética

...

a)

e)

in(1

cuáles de las sucesiones

d) 1. 4. 9.

26.

8

son

-,

GEOMETRICAS

e) -l. 3. -9,

otro na e te se

=

148 1Id,

(n -

La progresión

n el , ncia

=

26

aritméticas

-,

Situar entre 1 y 36 un número de medias aritméticas tante sea 148

s=

25.

l)d,

(n -

Las cinco medias

145

= =

4(28 - 1) 2 _ 1

términos

luego el séptimo

512.

=

4(256 - 1) --1 --

de la-progresién

término

es

1=

{/Ift-'

=

1 020.

. - ~. = 9(-

2 __)7-' 3

64 =

81' t :

,.~ http://carlos2524.jimdo.com/

'

..

146

PROGRESIONES 9[1 - (-2/3)7]

a(r" - 1) a(1 - r") S=---=---= r-l I-r

29.

El segundo

término

de una p. g. es 3 y el quinto

Quinto

término

=

Por tanto,

30.

9[1 - (-128/2187)] = . 5/3

1-(-2/3)

Hallar

el octavo

tres números

Por otra parte

=

r

Segundo

=

término

=

ar?

es 81/8. Hallar

=

término

(ar4)r3

=

ar

3.

81 27

+

alr

1/3,

a

+

ar

los números

=

26,

son

+

6/r

6

18, 6, 2;

Se ( tanl

de t 81/8

3

-3-'

ar

r

27

=8

y

3 r=2'

37.

Del se e:

en 1

2187

= 8(8) = M'

alr, a, aro Se tiene

en p. g.

36.

el octavo.

Luego

en p. g. cuya suma es 26 y cuyo producto

Sean los números

Para

81

=8'

ar"

463 =81

+

es 216.

=

(a/r) (a) (ar)

=

6r

r

para

6r2

26,

=

3,

20r

-

a3

216,

+

6

= 216 = O de

los números

son

y

a

=

donde

6. r

=

1/3, 3.

2, 6, 18. con

31.

El primer término de una p. g. es 375 y el cuarto es 192. Hallar la razón y la suma de los cuatro primeros términos.

=

Primer término

=

a

La suma de los cuatro

32.

primeros

términos

=

ar3

S

es

192. Luego 375r3

=

a(l - r") 1 - r

=

=

192, r3

=

375[1 - (4/5)4] 1 - 4/5

El primer término de una p. g. es 160 y la razón es 3/2. Hallar los términos consecutivos que su suma sea 2 110. S

=

1) 1 '

a(r" -

r -

=

2110

Los cinco términos

33.

=

375, cuarto término

160[(3/2' 3/2 -

consecutivos

=~

- 1] (~, _ 1 1 '2 son

(~ =

32'

2'

243 32

=

(~)S 2'

64/125 de donde r

=

=

38. Se it teré

4/5.

1 107.

que se deben tomar para

n

=

5.

a)

160, 240, 360, 540, 810.

b)

Una progresión geométrica de razón positiva consta de cuatro términos. Sabiendo que la suma de los dos primeros es 8 y que la correspondiente de los dos últimos es 72, determinar dicha progresión. Los cuatro términos son a, ar, ar", ar". Se tiene a + ar = 8 Y ar2 + ar3 = 72. ar2

Luego

a

Como

+ ar3 = + ar

+

a

+ r) = + r)

ar2 (1 a(1

ar = 8,

a = 2

r

2

72

=- = 8'

y la progresión

9

de donde

es

=

r

3.

e)

39.

Hall fom

2, 6, 18, 54. por

34.

Demostrar Si

que x, x

x, x

+

3. x

+

3. x

+

6

Como esta igualdad

+

6 no pueden

forman nunca

formar

p. g. se tiene

puede ser cierta,

una progresión

r

x+3

= --

x, x

x

+

geométrica.

x+6

= --,

x + 3

3, x

+

6

x2

+ 6x + 9 =

no pueden

x2

+ 6x

o sea 9

=

O.

estar en p. g.

MEDIAS 40.

35.

Un muchacho gana una peseta el primer día, dos pesetas el segundo, cuatro el tercero, ocho el cuarto, etc. Hallar el número de pesetas que ganará al cabo de 12 días. Tenemos S

a(r" -

= ---

r -

=

a

1) 1

1,

=

r

212

=

2,

-

1 = 4096 -

n

=

12. 1

=

4095

cént

=

40,95 pts.


Ded

147


estima que que la población población de una una cierta cierta ciudad ciudad se incrementará incrementará en un 10% anual anual durante durante cuatro cuatro años. años. ¿En qué qué 36. Se estima tanto por por ciento ciento aumentará aumentará la población población después después de los cuatro cuatro años años?? tanto Sea p la población población inicial. inicial. Después Después de un año año la población población es 1,lOp 1,IOp;; después después de dos dos años, años, (l,1O) (l,10)2p; después 2p ; después tres años, años, (1 (I,1O)3 p; ; y después después de cuatro cuatro años, años, (l (I,1O)4 p = = 1,46p. 1,46p. Por Por tanto, tanto, la población población aumentará aumentará en un 46 %. de tres ,1O)3p ,1O)4p

37.

De un depósito, depósito, que que contiene contiene 240 litros litros de alcohol. alcohol, se extraen extraen 60 litros litros y se sustituyen sustituyen por por agua. agua. A continuación continuación De extraen 60 litros litros de la mezcla mezcla y se les remplazan remplazan por por agua, agua, etc. etc. Hallar Hallar el número número de de litros litros de alcohol alcohol que que habrá habrá se extraen depósito después después de haber haber efectuado efectuado 5 extracciones extracciones de 60 litros. litros. en el depósito Después de la primera primera extracción extracción quedan quedan en el depósito depósito 240 - 60 = = 180 litros litros de de alcohol. alcohol. Después Después de la segunda segunda quedan quedan Después

180(

3 . 240 - 60 3 180(4) litros litros de alcohol, alcohol. etc. 240 ) == 180(4)

número de de litros litros de de alcohol alcohol que que quedan quedan en el depósito depósito después después de cada cada extracción extracción forman forman una una p. p. g., g., 180, El número 32, 3 3 . 3 180(4)' 180(4)"" . .. SIendo SIendo a = = 180 Y y r = = 4 '. 180(4)' 180(4)2, ,3. Después de de la quinta quinta extracción extracción (n = 5): 5): Después

1= ar" ar""- 1 = 180(4) htros de de alcohol, alcohol, que que son son los que que 1= 180(~)44 = 57 litros 3

1

.

contiene el depósito. depósito. contiene inos.

38, Se invierten invierten 400 400 000 000 pesetas anual. Calcular Calcular el capital capital que que se habrá habrá formado formado al cabo cabo de de cinco cinco años años si el inpesetas a un un 6% anual. 38. terés es compuesto compuesto a) a) anual, anual, b) b) semestral, semestral. e) trimestral. trimestral. terés

4/5.

Sea P = = capital capital inicial, inicial, i = = rédito, rédito, en tantos tantos por ciento, por de tiempo. tiempo. Sea por ciento, por periodo periodo de

S= Capital acumulado acumulado al cabo cabo de de n periodos. S = Capital periodos.

=. capital = P + Pi = P(I P(I + i). =. Pi, capital Al final del del segundo segundo periodo: Interés = P(1 P(I + ili, i)i, capital capital = P(I Al final periodo : Interés P(I + i) + Al final final del Al del primer primer periodo: periodo :

Interés Interés

P(I P(I

+

i)i

=

P(I P(I

+

i)2. i)I.

r para El capital acumulado al cabo cabo de de n periodos será, capital acumulado periodos será, a) a)

Como año, Como se cobran cobran los los intereses intereses una una vez vez por por año,

b) b)

Como Como se cobran cobran los los intereses intereses dos dos veces veces por por año, año,

S P(I + ir ir. . S == P(1

=

n = 5

i = = 0,06. 0,06.

e

S P(I + ir S = P(I ir = 400 400 000(1 000(1 + 0,06)5 0,06)5 = 400 400 000(1,3382) 000(1 ,3382) = 535280 535280 pts. pts.

meros

e) e)

39. 39.

= lO e i = !(0,06) í(O,06) = 0,03. 0,03. S = P(I P(I + ir ir = 400 400 000(1 000(1 + 0,03)10 0,03)10 = 400 400 000(1,3439) 000(1,3439) = 537560 537560 pts. pts. Como Como se cobran cobran los los intereses intereses cuatro cuatro veces veces por por año, año, n = 4(5) 4(5) = 20 20 e i = *(0,06) *(0,06) = 0,015. 0,015. S S = P(I P(1 + ir ir = 400 400 000(1 000(1 + 0,015)20 0,015)20 = 400 400 000(1,3469) 000(1,3469) = 538760 538760 pts. pts. n

=

2(5) 2(5)

Hallar el capital capital (P) (P) que que se se debe debe invertir invertir al al 4% 4% de de interés interés compuesto compuesto semestral semestral para para que que al al cabo cabo de de 3,5 3,5 años años se se transtransHallar el forme forme en en un un capital capital (S) (S) de de 500 500 000 000 pesetas. pesetas. Como Como se se cobran cobran intereses intereses dos dos veces veces por por año, año, nn = = 2(3,5) 2(3,5) = = 7 (periodos) (periodos) yy el rédito, rédito, en en tantos tantos por por ciento ciento yy por por periodo, periodo, es es i = = í(O,04) !(0,04) = = 0,02. 0,02. Por Por tanto, tanto, SS = = P(I P(1

+ i)n, i)", de de donde donde P = S(I S(I + ¡¡-n ¡¡-o = 500 500 000(1 000(1 + 0,02)-7 0,02) - 7 = 500 500 000(0,87056) 000(0,87056) = 435 435 280 280 pts. pts.

9 = o. MEDIAS MEDIAS GEOMETRICAS GEOMETRICAS 40. 40.

Deducir Deducir la la fórmula fórmula de de la la media media geométrica, geométrica, G, entre entre dos dos números números pp yy q. q.

aliar Como Como p, p, G, qq están están en en progresión progresión geométrica, geométrica, se se tiene tiene

Se Se suele suele tomar tomar yy

¡pq .¡¡;q G ¡pq = --.¡¡;q G= G G= =

G qq pGp = = G' G'

si si pp yy qq son son positivos positivos si si pp yy qq son son negativos. negativos.


G G22 = = pq pq

YG= ~


148 41. 41.

Hallar la la media media geométrica geométrica de de los los pares pares de de números números siguientes: siguientes: Hallar

b) b)

Y. Y. 9. 9. -2 Y -8. -8. -2

e) e)

j7 J7 ++ j3 j3

a) a)

42. 42.

G=j4(9)=6 G=J4(9)=6

44

G= G = -)(-2)(-8)= - )( -2)(-8)

yy

j7 J7 -- j3. j3.

-4 -4

=J(j7 =.J(J7 ++ j3)(j7 j3)(J7 -- j3) == ~~ ==

G G

22

Demostrar Demostrar que que la la media media aritmética aritmética AA de de los los números números positivos positivos pp yy q es es mayor mayor que que oo igual igual aa su su media media geométrica geométrica G.

A

t(P ++ q). q).

La La media media aritmética aritmética de de pp yy qq es es A = t(P

La La media media geométrica geométrica de de pp yy qq es es G G=

t(P + q)q) - .¡¡;q ¡¡;q == t(P t(P -- 2.¡¡;q 2jPq + q)q) == t(JP t(Jp -

AA --

G G == t(P

Ahora bien bien Ahora

t(Jp ttJP

Luego Luego

43.

=

Jq)2 Jq)2

.¡¡;q. ¡¡;q.

47.

Jq)2. Jq)2.

es siempre siempre positivo positivo oo cero; cero; luego luego AA ?; ~ G. es

(A (A

=

G si Y Y solo solo si pp = q.) q.) G

Situar dos dos medias medias geométricas geométricas entre entre 686 yy 2. Situar Tenemos Tenemos que que completar completar la la p. p. g.

Como Como

l=a,.. - I, l=a,..-I,

Luego Luego la p. p. g. g. es

3, 2=686,3, 2=686r

48.

686, 686, -, -, -, -, 2 3=1/343343 r,3=1/

686, 686, 98, 98, 14, 2

a a == 686,

siendo siendo

n n = 4.

11 = 2,

yy,=1 r=I/7. /7.

Y Y las las medias medias son son 98, 14.

Nota. Nota. Realmentev Realmente , r,3' = 1/343 se satisface satisface para para tres tres valores valores diferentes diferentes de de r, " uno uno de de ellos ellos real real yy los los otros otros dos dos complejos. p. g. con con términos términos complejos. complejos. complejos. Aquí Aquí prescindimos prescindimos de de las las p. 44.

Situar cinco medias medías geométricas geométricas entre entre 9 y 576. Situar cinco Tenemos Tenemos que que formar formar la p. p. g. g.

Como Como

1 = a,..-I, a,..-I,

9, -, - , -, -,

9,6, 576 = 9,6,

,6 = 64,

-, -, 576 - , -,

±8 r,3 = ±8 3

yy

siendo siendo

a = 9,

11 = 576,

n = 7.

,r = ±2. ±2.

Luego Luego las las progresiones progresiones son son 9, 18, 36, 72, 144, 288, 576 Y Y 9, -18, -18, 36, -72, -72, 144, -288, -288, 576; 576 ; medias 18.36,72, 144,288 medias correspondientes correspondientes son son 18, 36,72, 144, 288 Y Y -18,36, -18, 36, -72, -72, 144, -288. -288 .

Y Y las las

PROGRESIONES INDEFINIDAS PROGRESIONES GEOMETRICAS GEOMETRICAS INDEFINIDAS

PRO<

45.

49.

Hallar la suma suma de las las series series geométricas geométricas siguientes: siguientes: Hallar 1

a = __ 2_ 2 S¿ = _a_ S"" = - = --- = = 44 1 - 1/2 1- ,r

1

2:"2 + 44 + ... ...

a) a)

2 + 1+

b) b)

"3"3 - 9"9' + 27 -- 81 8í + ..... .

1

2

4

a = 1/ 3 S = _a_ 1/3 = ~1 -= =S = 1 - - r, 1 1- -( (- 2/3) 2/3 ) "" 1 55

8

1

00

1

S = _a_ _a _ = S

c) 1,04 + (1,04)2 (1,04)' + ... el 1 + 1,04

46.

00 ""

_ rr I1 -

~ 1 = ~ = 104 = 26 1 - 1/1,04 1,04 - 1 1-1 / 1,04 ' 1,04-1 4

Expresar los números números periódicos periódicos siguientes siguientes por por medio medio de una una fracción fracción racíonal. racional. Ellpresar 0.4:!72727... 0,4272727 ...

e e))

6,305305 ... 6,305305...

(1) '1)

0,444.... 0,444

a)

0.4 + 0,04 + 0.004 + .. ... . , siendo siendo 0,444 ..... . = 0,4

b) b)

S S 00 oc,

b)

a = = _a_ = - = 11 -_ rr

0,78367836 ... ..

0,'1. r = 0:1.

_~0,4- = -0,4 0.4 = -4 4 -0,1 = 0.9 0,9 = 9' 11 -- 0,1 9

0.4 + 0.0272727 ...... 0,4272727 .. . = 0,4 0.0272727 . .. = 0.027 + 0.00027 + 0,0000027 + . . .. S~ = 0,4 0.4 + S~

d) d)

0.4, a = 0,4.

a

T-=-; = "1-=-;:

SI.

siendo a = 0,027. siendo

r = 0.01.

0,027 27 4 3 47 ¡--=-O,Q¡ == 0,4 0.4 + 990 = = 10 + liO TiO == liO TiO 0,4 + ¡-=-0,01


PROGRESIONES e)

6,305305... 0,305305. . .

= 6 + 0,305305 ... = 0,305 + 0,000305 + ...

S co

d)

0,78367836 ...

ec

47.

0,305

S eo

,

Hallar

el menor

=

Sea S",

número

de términos

305 999

r = 0.0001.

2612 3333

suma de la progresión,

os dos

ar"

-< -1-,1000'

Se desea que

Para

;

1

1

1

s'

7'

b) 2, 4, 6, 2

1-,

1-,

a = 1/3,

1

1

3(2")

2000'

--<--

r = 1/2. 2">666-.

3(2") > 2 000,

2

3,

2" > 666

2 3

Luego se deben tomar por lo menos 10 términos.

siguientes

son progresiones

armónicas:

armónica

ya que

3, 5, 7,

no es una progresión

armónica

ya que

2'4'6'

es una progresión

armónica

ya que

12,

1

1

el término

número

15 de la progresión

La p. a. correspondiente Luego el término la fórmula

Como

p, H, q

Luego

H -

1

número

forman 1

=

q-

1

H'

una progresión

1

1

'2 1

no es una p. a.

3. ... 1

15 es , = a + (n 1 armónica es 46'

H, entre dos números

armónica.

2 1 1 P + q -=-+-=-H p q pq

es una p. a.

4' 7' 10'

armónica

; su término

15 de la progresión

de la media armónica,

1

P

es 4, 7, 10, ...

es una p. a.

15

1

Deducir

para que su suma

Luego

es una progresión

12' 15' 3'

SO, Calcular

...

ar"

para n = 10,

3

1

12 +

1 en menos de 1 000 .

términos

suma de n términos.

r")

siendo

cuáles de las sucesiones

3'

1

, cen-

ARMONICAS

Determinar

e)

2

2" < 666

n = 9,

PROGRESIONES

a)

1

.:..( 1",--/3-'..) ..:..{I.:..-/2..:...)"< _1_ 1 - 1/2 1000'

Luego y las

1-,

"

=

S"

a(1 -

S -S=-----=-co

. 1 1 de la sene 3 + 6 +

que se deben tomar

a los infinitos

a

51.

0,001.

a = 0,7836,

siendo

7836 9999

,=

= _a_ = _1_6_ = ~ = 64 centímetros 1 -, 1 - 3/4 1/4

difiera de la suma correspondiente

49.

305 =6+-=6-999

1 - 0,001

= _a_ = 0,7836 1 -, 1 - 0,0001

a = 0,305,

Las amplitudes de las sucesivas oscilaciones de un periodo forman la progresión geométrica. 16, 12, 9, ... tímetros. Hallar la distancia total recorrida por la esferilla del péndulo hasta alcanzar el reposo.

q.)

48.

siendo

= 0,7836 + 0,00007836 + ...

S ica C.

a =6+--=6+ 1- r

,

149

1

p

H y

1ld = 4 + (15 -

P y q. -

es una progresión

q 2p'l

H =----. fi

+

q


aritmética.

1)3 = 46.

PROGRESIONES

150 Otro método:

entre P y q = recíproco

Media armónica

l l 11 entre - y - = _(_o n '1 2 P

Media aritmética

. .

Luego la media armoruca

52.

Hallar

la media armónica

l l entre - y -- . p q

de la media aritmética l

56.

p+q

+ _.)= '1

PROGRES

o.

2p'l

a)

Lpq

entre"

Hallar el vale

y q = --_.- . P + q 57.

entre 3/8 y 4:

Hallar a)

Media armónica

8

3

entre

... También aplicando

l

y

4

. la formula

l 8

=

2pq

= ._-

+

=

24'

Luego la media armónica

2(3/8) (4)

= ---

3/8

q

+

4

Hallar

as cuatro

l .. me las en a progresión

las medias armónicas

y

4 = 24/35.

entre

1

Las tres medias aritméticas

entre

entre

l

10 y 20 :

l

10 y 20

7

son

entre

6

80' 80'

I = a

Determinar

si la sucesión

Como

-4

- (-1)

Como

=I +-

Como

=I'

-4

l

entre

10 y 20 son

- 1, - 4, 2 es una progresión 2 - (-4).

j


geométrica.

l -4'

1 2

aritmética.

es una progresión

El prin hallar

59.

El últir hallar

60.

Hallar

61.

Hallar

62.

Hallar

63.

Hallar

64.

Una pe metros centirm

65.

Un mu cibirá ¡

66.

Hallar meros

(6 - l)d,

1 l 1 1 l 4l y 64 son 16' 2s' 40' 52'

+

l

1)d,

(n -

1

20 = 10 +

(5 -

1)d,

d = -

l

80'

40

'7' 3' aritmética,


2 -4'

dada es una progresión

+

5 80' 80

Luego las tres medias armónicas

58.

24

35

10 y 20.

armónicas

l.

= -

. . arrnomca

1

Para hallar tres medias

55.

entre

3 8

Situar cuatro medias armónicas entre 1/4 y 1/64. Para hallar cuatro medias en la progresión armónica entre 4 y 64 tenemos : I = a + (n - 1)d, 64 = 4 d = 12. Así. pues. las cuatro medias en la progresión aritmética entre 4 y 64 son, 16, 28, 40, 52. LId' uego

54.

35

2(3 + 4)

p

53.

l

1,

h) 2,

16.

geométrica

o armónica.

aritmética.

ya que

armónica.

1 1 1 - (-1) = - - (--). -4 2-4

la sucesión

67.

Hallar

68.

Hallar

69.

a)

I

Ha

h) Ha

e) Ha

d) En PROGRESI 70.

Hallar que se a)

2,

h) 6. e)


1.

PROGRESIONES

151

PROBLEMAS PROPUESTOS PROGRESIONES 56.

24/35.

ARITMETICAS

Hallar el término enésimo y la suma de los n primeros el valor de n que se indica: a)

1. 7. 13.

h)

2. 5t. 9.

n = 100 n = 23

r) ti)

-26. 2.6.

-24. 10....

términos de las progresiones

-22.

11

= 40

n = 16

de las progresiones e) 11. 5. 8i,

aritrncticas

e)

3. 4!. 6.

/)

.\' - y. x, x

aritméticas

siguientes para

11

+

y.

11

= 37 = 30

57.

Hallar la suma de los n primeros términos a) 1, 2. 3. .. h) 2, 8, 14, ..

siguientes:

58.

El primer término de una progresión aritmética hallar el número de términos y la razón.

59.

El último término de una progresión aritmética, que consta de 49 términos. hallar el primer término y la suma de todos ellos.

60.

Hallar la suma de todos los enteros pares comprendidos

61.

Hallar

62.

Hallar el número

63.

Hallar

64.

Una pelota rueda por un plano inclinado. partiendo del reposo. de forma que en el primer segundo recorre 3 centímetros. en el segundo 5 centímetros. en el tercero 7 centímetros. etc. Hallar el tiempo que tardará en recorrer 120 centímetros.

65.

Un muchacho cobra 1 peseta el primer día. 2 pesetas el segundo. 3 pesetas el tercero. etc. Hallar el dinero que percibirá al cabo de 365 días.

66.

Hallar el término enésirno meros es 945.

de una p. a. sabiendo que la suma de los 40 primeros es 430 y que la suma de los 60 pri-

67.

Hallar una p. a. sabiendo

que la suma de sus n primeros

68.

Hallar la media aritmética

es 4 y el último 34. Sabiendo que la suma de sus términos es 247.

es 28. Sabiendo

que la razón es 1/2.

(6 - l)d,

1

la suma de todos los enteros de términos

tres números

comprendidos

entre 17 y 99.

entre 84 y 719 que sean múltiplos

que se deben tomar

de la p. a .. 3. 7. 11.....

en p. a. cuya suma sea 4g y la correspondiente

de 5.

para que su suma sea 1275.

a sus cuadrados

800.

80

sucesión

69.

a) h) e) d)

al 15 y 41.

Hallar cuatro medias en una Hallar dos medias en una p. Hallar 3 medias en una p. a. Entre los términos 5 y 26 de una

PROGRESIONES 70.

entre

p. a. entre a. entre entre x + p. a .. hallar

Y 23.

e) 2 -

J3-Y

4 + :.J'1..

d sv

- 3y Y 5.\' + 2y.

9 y 24. 1 Y 11. 2y Y x + 10y. un número de medias tal que la suma de la p. a. resultante sea 124.

GEOMETRICAS

Hallar el término enésimo y la suma de los que se indica. a) 2. 3. 9¡2. b) 6. -12. 24. .. e)

h) -16

términos es igual a 2n1 + 3n.

l. 1/2. Ij4. ..

11

primeros

:.. ••

términos de las sucesiones siguientes y para el valor de

11

= 5

d) 1.

11

= 9

e)

8.

11

= 10

f)

/3. 3.

n = R n = 12

9. 2.

3Ji

n = S


11

152 71.

PROGRESIONES

Hallar a)

72.

73.

la suma de los

11

primeros

términos

de las progresiones el

hl 4/3. 2. 3....

1. 1/3. 1/9.

geométricas

siguientes.

El primer término de una progresión geométrica es 3 y el último 48. Sabiendo anterior. hallar el número de términos y la suma de todos ellos. Demostrar dada por

88.

Hall; sienc

89.

Hall

1. -2.4. que cada término es el doble dei

que la suma S de los términos de una p. g. cuyo primer término es a. el último es / y la razón r, viene 1'/ - a S = -;:-=-¡- .

PROGRE 90.

74.

En una p. g. el segundo término excede al primero en 4 unidades y la suma del segundo y el tercero es 24. Demostrar que es posible encontrar dos p. p. g. g. que satisfagan estas condiciones y hallar la suma de los cinco primeros términos de cada una de ellas.

Hall a) b)

75.

76.

Determinar una p. g. de cuatro términos sabiendo que la razón es positiva, que la suma de los dos primeros minos es 10 y que la suma de los dos últimos es 22~. Los dos primeros . . termmos

términos de una p. g. son b/( I

d e esta progresión ..

. d a di" viene a por

la s~ma de los n primeros

términos

+

+

e) y b/(I

de la p. g.,

Demostrar

C)2.

91.

La SI nos

92.

La ~ tres

93.

Las que

que la suma de los n primeros

+ e)-"] .

S -_ b[1 - (1

a expresion

tér-

e a - Zb.

ah2

2b3,

ab" - 2hs ....

77.

Hallar

78.

El tercer término de una p. g. es 6 y el quinto es 81 veces mayor que el primero. Escribir los cinco primeros términos de la progresión suponiendo que los términos son positivos.

79.

Hallar

80.

El tercer término de una p. g. es 144 y el sexto 486. Hallar I
81.

Un depósito contiene una solución de sal en agua siendo la masa de sal disuelta igual 972 kilogramos. Se extrae un tercio de la solución y se remplaza por agua pura. Una vez agitada la mezcla hasta conseguir su uniformidad. se extrae un tercio de la solución y se remplaza de nuevo por agua. Hallar la cantidad de sal que queda en la solución después de la cuarta extracción.

-

94. tres números

en p. g. sabiendo

que su suma es 42 y su producto

512.

Expl a)

I

b)

I

de la progresión. PROGRE

82.

83.

84.

La suma de los tres primeros términos de una p. g. es 26 y la suma de los seis primeros término enésimo de dicha progresión.

términos

728. Hallar el

95.

b) e)

96.

97.

Determinar

98.

entre: -4 Y -16.

d)

a

+

h

Y

4a

+

a)

2 Y 18.

a)

Hallar

h) <:)

Hallar cuatro medias, en una p. g., entre fi y 8. La media geornétrica de dos números es 8. Si uno de los números

b)

e)

4 Y 6.

Hall a)

La suma de tres términos en p. g. es 14. Sabiendo que si se incrementan los dos primeros términos en una unidad y se disminuye en la misma cantidad el tercero. los números que resultan forman una p. a .. establecer la p. g. la media geornétrica

a)

a) b)

4h.

Un la v arm

85.

dos medias. en una p. g.. entre 3 y 192. es 6. hallar el otro.

SOLVel 56.

PROBLEMAS 86.

87.

DIVERSOS

SOBRE

PROGRESIONES

El primer término de una p. a. es 2. y el primero, primeros términos de la p. a.

a)

bl

A. 'Y G. 57.

a)

58.

n=

63.

12.

67.

5. ~

tercero y séptimo forman una p. g. Hallar la suma de los siete

Hallar el número de términos que se deben sumar de la p. a., 9, 11, 13, ... los nueve primeros términos de la p. g., 3. -6, 12. -24, ...


, para que la suma sea igual a la de

153

PROGRESIONES 88_

Hallar cuatro números sabiendo que los tres primeros siendo el primer número igual al cuarto.

89.

Hallar dos números

están en p. g. y los tres últimos en p. a. de razón 6,

ble dei cuya diferencia

es 32 y cuya media aritmética

excede a la geométrica

en 4.

+

16/9 -

+

0,01

r, viene PROGRESIONES 90. Demosrimeros

Hallar

GEOMETRICAS

INDEFINIDAS

la suma de las series geométricas

a)

3

+

1

+

1/3

b)

4

+

2

+

1

+

.

+

.

indefinidas

+

e)

1

d)

6 - 2

siguientes:

+

1/22

+

+ ...

1/24

2/3 - ...

e)

4 - 8/3

f)

1

+

0,1

+

.

.

ros tér91.

La suma de los dos primeros términos de una p. g. decreciente es 5/4, y la correspondiente nos es 9/4. Escribir los tres primeros términos de la progresión.

92_

La suma de los infinitos términos de una p. g. decreciente tres primeros términos de la progresión.

93.

Las amplitudes sucesivas (en centímetros) que recorrerá la esferilla hasta alcanzar

a sus infinitos térmi-

rirneros es 3 y la de sus cuadrados

de la oscilación de un péndulo el reposo.

es también 3. Escribir los

son 36, 24, 16, ...

Hallar la distancia

érminos 94.

Expresar los números periódicos siguientes 0,121212... e) 0,270270... b) 0,090909... d) 1,424242...

mediante una fracción racional. e) 0,1363636 ... f) 0,428571428571428 ...

a)

gresión. PROGRESIONES e extrae rmidad, la solu-

95.

a) b) e)

aliar el

unidad . g.

96.

97.

98.

Hallar Hallar Hallar

Hallar

el octavo término de la progresión armónica 2/3, 1/2, 2/5, el décimo término de la progresión armónica 5, 30/7, 15/4, el término enésimo de la progresión armónica 10/3, 2, 10/7,

la media armónica

a)

3 y 6

a)

Hallar Hallar

b)

ARMONICAS

b)

la velocidad

b. Demostrar

constante

entre a y b. Calcular

SOLUCIONES

Ia la de

fi

constante

d)

.

siguientes: a

+

b y a - b

+

1)

a)

58.

n = 13, d",

b)

2

63.

12, 16, 20

67.

5, 9. 13. 17,

n(3n 59.

5/2 64.

media en el supuesto de que a

n(7n -

1)

e)

65, 11

=

30 y b

=

60 metros por segundo.

PROPUESTOS 1= 57, S= 1110 1 = x + 28y, S = 30x

+

405y

1)

60.

68.

2378 66.

·667,95 pts

= 4n + 1

e)

f)

4

a = 4, S = 784

10 s

término

que la velocidad

A y B y, acto seguido, va desde B hasta A a 2ab media del recorrido total viene dada por a + b' media

e) 1 = 52, S = 520 d) 1 = 62, S = 512

a) 1 = 595, S = 29 800 1 = 79, S = 931~

57,

a entre los puntos

la velocidad

DE LOS PROBLEMAS

b)

los siete

y

.

dos medias, en una progresión armónica, entre 5 y 10. cuatro medias, en una progresión armónica, entre 3/2 y 3/7 . a velocidad

n(n

fi

e)

Un móvil se desplaza

armónica

56.

entre los pares de números

1/2 Y 1/3

.

a)

28,

61.

50800

7/2.

e)

62.

25

n+ 2 b)


3

+ fi,

d)

3x - y/2

154


69. a) a)

70.

xx + + 4y, 4y, xx + + 6y, 6y, xx + + 8y 8y La La p. p. a. a. es es 5, 8, 11, 14, 17, 20, 20, 23, 23, 26 26

b) b)

12, 15, 18, 21 3, 7

a) a)

1 =81/8, = ·81/8, S == 211/8 211/8

d) d)

1 1 = 22 187, 187, S = 3280 3280

b) b)

1= = 1 536, 536, S == 11 062 062

e)

11 = = 1/256, 1/256, S == 4095/256 4095/256

e)

1/ 512, S = 11023/ 512 11 = 1/512, 023/512

f)J)

11 = 81, S = 120

71. a) a) 71.

3

1

("3f] "2 [1 - (3f]

72.

n = = 5, S = = 93

75. 7S.

4, 4, 6, 6, 9, 27/2 27/ 2

80. so.

844

84.

a)

b) b)

Ó Ó 22

a) 9/2 9/2 90. a)

b)

91. 91.

1/33 3/4, 1/2, 1/

94.

a) a)

a) 1/5 95. a) 1/ 5

96. a) 4

2b )(b202 • -2b)(b b2 _ 1

82. 82. -8 -8

e) e)

2,

2.fi, 2j2, 19

e)

4/3 4/3 92. 92.

e)

1/11 1/ 11

e) 88. 88.

d)

9/2 9/2

10/37

d) d)

2/3, 2/3, 2, 6, 18, 54

83.

79. 79.

2, 8, 32

NOTACIC escritc

2, 4, 8

2

+ 2b

5

32/3 32/3 89.

8, -4, -4, 2, 8

f)

12/5

e) e)

f)

93. 93. 47/33 47/33

e) e)

18, 50

DESARR( A

10/9

108 cm cm 3/22 3/22

f) J)

3/7 3/7

10

e) e)

2n 2n

b) 2/5

e)

6.Ji -- 4j3 6)2 4J3

97. a) 6, 15/2

78. 78.

3/2, 3/4, 3/8 3/8

2

b)

1) 1)

2.3.2' 3"-11

2a 2a

d) d)

4, 4.Ji 4)2

87. 8

b)

4/33 4/ 33

(a --

192 kg kg

2J6 2.j6

b)

e) e)

2, 6, 18, ... . .. yy S == 242; 242; 4, 8, 8, 16, ... . .. yy S == 124

74. 74.

81. 81.

6

3 [(-f [(-f - 1] 3 2

--

+ 4Oj3 40J3

11 -- (-2f (-2f 33

8

b) b)

77. 77.

85. a) a) 12, 48 85. 86. 187

e) e) d) d)

+ +

11

3/5, b) 1, 3/4, 3/ 5, 1/2

a2

d)

_

b2

a

98. 40 mis mis

B

si ]\

1.

Calcula,

a)

7' 4!

e) (m·



Teorema del binomio de Newton NOTACION FACTORIAL. NOTACION FACTORIAL. escrito n!, n!, o bien escrito bien ~. ~.

2! = 1 . 2 = 2,

siguientes indican indican el significado significado de «factorial «factorial de de n» ni> Las identidades identidades siguientes Las

3! = 1 . 2 . 3 = 6,

5!=1'2'3'4'5=120, 5! = 1 ' 2'3'4'5 = 120,

•

4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24

n!=1·2·3 ... . n n,, n! = 1·2·3 ..

'"

(r-I)!=1·2·3 (r - 1)! =

(r-l)- 1) 1 ' 2'3 ..... . (r

DESARROLLO DE (a + xl" DESARROLLO DE A) A)

Para valores valores de n enteros enteros y positivos. Para positivos. (a

+

xx)" l"

= a a"n =

+ nann-I-

I

x

+ n(n 2!-

... + + ...

1)

n(n -

«:>2 xX2 + n(n

an -

2

-

2)

I)(n 1)(n 3!3!

1)(n - 2) 2) ... ... (n I)! (r _ 1)!

rr

+ 2) 2)

ann-3-

3

xx:33

-

n - r+1 ••.r-1 .,-1 n-r+1

a

A Á

+ ..... . +

JI -" A A

Este desarrollo desarrollo constituye constituye el teorema teorema del binomio, fórmula del binomio Este binomio, o fórmula binomio de Newton. Newton. El término término r del del desarrollo desarrollo de (a ..'

.

+

x)" es xl"

_n(n-I)(n-2) (n-r+2) _ n(n - 1)(n - 2) ..... . (n - r I)! (r _ 1)!

termmo r termmo

E) E)

+

2)

n-r+1 -1 n-r+1 ••..•. ...-1

a

A A

Para valores valores de n negativos fraccionarios. Para negativos y fraccionarios.

teorema del del binomio válido también también para valores de El teorema binomio es válido para valores siempre que que el binomio sea de la forma forma (a + x)", siendo el valor valor binomio sea xl", siendo siempre No obstante, cuando cuando n es un fraccionario el No obstante, un número número negativo negativo o fraccionario

fraccionarios n negativos negativos y fraccionarios absoluto de x menor menor que que a. a. absoluto desarrollo es ilimitado. ilimitado. desarrollo

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS l.

Calcular: Calcular:

a)

e) e)

7!

1'2·3'4'5'6'7 1'2·3'4'5 ' 6' 7

4!

2' ' 3 3' ' 4 ll' ' 2

=5'6'7=210 =5 ' 6 '7 =210

b ) ~~ 5' 5'

m ! I)m m! I1 . 2 . 3 ..... . (m - 22)(m )(m - I)m ---- -- - = = -- m 1)!! l . 2 ·. 3 ... ... (m - 2j(m 2)(m - I)· 1)- (m - l) 1·2

= (1(1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6)(1 11·2·3'4'5 · 2 · 3'4'5

15' Por ejemplo. ejemplo. _: _: == 15 Por 14!

155 155


. 2 . 3)

= 36

156 156

TEOREMA TEOREMA DEL DEL BINOMIO BINOMIO DE DE NEWTON NEWTON

18!1 . 18 Por ejemplo, ejemplo, -16! --.: == 18' 18· 17 17 == 306 306 Por

(n -- 33)(n l)n n! 11. .22. . 33...... (n )(n - - 22)(n )(n - - l)n n! n(n -- 1). 1). d) = -----:-----=-----=-'----:-~_:_:_:---'..:_::.,_____'- = n(n d) --3)(n - - 2) 2) (n - - 2)! 2)! (n 11.· 22 .· 33 .... . . (n(n -- 3)(n

=

16!

·2' 3 .... . . (p - 4)(P - 3)(P - 2) _ _-3 3 _-2 2 (p-4)(p-3)(p-2)_ e) (p (p -- 2)! 2)! _= 11·2·3 (p 11..22.. 33 ... -- (p )(p )) . . . (p (p -- 4) 4) (p )(p (p _- 4)! 4)! -

6.

e)

+

alta alfa + bb -- 2)! 2)!

f)f)

+

(a _- 2)!(a 2)!(a + b)! b)! (a

+

[ata -- l)(a I)(a -- 2)!](a 2)!](a + bb -- 2)' 2)! [ata (a (a -- 2)![(a 2)![(a

ata -- 1) 1) ata

++ b)(a b)(a + + bb -- l)(a I)(a ++ bb -- 2)!] 2)!]

(a (a

++ b)(a b)(a + + bb --

1) 1)

7.

(

8.

(

9.

(

10.

(

DESARROLLO DEL DEL BINOMIO BINOMIO CON CON EXPONENTE EXPONENTE ENTERO ENTERO YY POSITIVO POSITIVO DESARROLLO Desarrollar por por lala fórmula fórmula del del binomio: binomio: Desarrollar

Obsérvese que que en en el desarrollo desarrollo de de (a Obsérvese

+ xf: x r:

exponente de 1) El exponente exponente de de a + el exponente de xx

= grado de de cada n). = n (es decir, decir, el grado cada término término es n).

,El número número de términos cuando n es un un número número entero entero y positivo. 2) .El términos es n + 1, cuando positivo.

. •

"

Hay dos términos términos medios medios cuando cuando n es un un número número entero, entero, impar impar y positivo. positivo . 3) Hay Hay un término término medio medio cuando cuando n es un un número número entero, entero, par par y positivo. positivo . 4) Hay Los coeficientes coeficientes de los términos términos que que equidistan equidistan de los extremos extremos son son iguales. iguales. Dichos Dichos coeficientes coeficientes se pueden pueden disdis5) Los poner poner de la forma forma siguiente: siguiente:

+ x)o x)o (a + x)' x)' (a (a + x¡Z X)2 (a (a (a + X)3 X)3 (a + + X)4 X)4 (a (a (a + + x)~ x)s (a (a + + X)6 x)~

u. (

(a (a

22 ,,1 } .

1

33 44

33 66

44

1

10 10 10 55 11 11 55 10

12.

,

13.

I

15 20 20 15 15 66 66 15

etc etc ...... Esta disposición disposición de de números números re,cibe recibe el el nombre nombre de de triángulo triángulo de de Pascal. Paseal. El El primero primero yy el el último último término término son son iguaiguaEsta les aa 11 yy los los demás demás se se obtienen obtienen sumando sumando los los dos dos números números aa su su derecha derecha ee izquierda izquierda de de la la fila fila anterior. anterior. les


157 157

TEOREMA DEL DEL BINOMIO BINOMIO DE DE NEWTON NEWTON TEOREMA

En el el desarrollo desarrollo de de un un binomio binomio de de la la form formaa (a (a -- bj" b)"., siendo siendo nn un un número número entero entero yy positivo, positivo, los los términos términos son son En alternativamente positivos yy negativos negativos. . alternativamente positivos

44·3 ,3 4,3,2 4·3·2 6. (3a' (3a3 -- 2b)4 2b)4 == (3a')4 (30')4 + + 4(3a')'(-2b) 4(3a3)3(-2b) (3a3)2(-2W -- - (3a')(-2b)' (3a3)(-2b)3 (-2b)4 6, ++ - (3a'f(-2b)2 ++ ++ (-2b)4 I .. 2 II .·2·3 2·3 216a9b

= 81a'2 -

+

216a6b2

96a3b3

-

+

16b4

7·6 5 7·6·5 7·6·5·4 7'6 7'6'5 7. (x - 1)7 1)7 == x77 + + 7x66 (-I) (-I) + +_ _x5x (_1)2( _1)2 + +_ __ _ x 44 (_1)3 + 7 ' 6'5'4 x'(_1)4 x3(_1)4 7. (_ I )' + 1·22 1·2·3 1·2·3·4 1' 1·2'3 1·2·3'4 7·6·5·4·3

7'6'5'4·3·2

1·2·3'4'5 1·2·3'4'5

1·2'3'4'5'6 1·2'3'4'5·6

7'6'5'4'3'2 x(_1)6 + (_1)7 (_1)7 + 7'6'5'4'3 x 2(_1)5 (_1)5 + x(_1)6 77 == x

8.

--

+ 221x5 1x 5 --

35x44 35x

35x3 + 35x'

21x2 - 21x2

Tx -+ 7x

II

5'4 5'4·3 ' 3 5'4'3'2·3'2 5'4 5'4 5'4 (1 - 2X)5 = I + 5(-2x) 5(-2x) + - (-2X)2 (-2X)2 + --- - ((-2X)3 (-2X)5 (1 - 2x)' + ((-2X)4 -2X)4 + (-2X)5 1·2 1·2·3 1'2'3'4 1'2 1·2·3 1·2 ' 3'4 = I =

9. 9.

7x66 7x

IOx 10x

+

2

3

40x - 80x' 80x 40X2

+

80x44 80x

32x55 32x

xx 4'3x 4'3'2x x + _)4 2 x 2 + 4_(-)2(-)2 '3x 2 4·3·2x 2 2 (-)4 + 4(4(_)3(-) __-o. _(-)(-)' _(-)(-)3 + (-)4 (-)4 _ )4 = (-)4 )'(-) _(-)2(-)2 + _ 1'2'33 Y 3 3 Y 11'23 '23 Y 1·2·33 Y Y

(_ (_ 3

4

2

8x3 8x'

x x·

8x 8X2

32x 32x

16

=-+-+-+-+= -8811 + -27y +3y2 - +3y' - + .1'4 27y 3v3 y4

en dis-

n. 11.

I (Jc - ..¡X~)4 r:-t == (x(X 1/2 -

(fi -

'/2

_

1/2)4 xx1/2)4

..¡X

= = (X'/2)4 (X 1/2 )4

+

4(XI/ )3( _X-1/2) 4(X12/2)'(_X-1/2)

4'3 4·3 (x'/2)'( 1/2 )2 +_ _x-1/2)2 (X 1/2 )2(_XII •·2 2

+ 4·3·2 _ _ (X 1/2 )( _X- 1/2 )' + 1 · 2 ·3

(_X-1/2)4

=

x 2 _ 4x

+

6 _ 4x - 1

n igua-

oro

13.

(eX (e' -- ee-X)7x )7

=

(e (eXX)7)7

7'6 7'6'5 7·6 (e')5( _e-x)2 X + __ 7'6 ' 5 (e')4( _e-x)3 x)6()6( _e-X) + 7(e 7(e' _ e-X ) + _ (e')5 ( _e- )2 _ _ (e')4( _e - X)' l'1 ·2 2

I1 .. 2·3 2' 3

7'6'5'4 7'6'5'4'3 7'6·5'4·3 xX x)5 x )5 + (e + 7'6'5'4 (e')3( (e' )'( _e_eX)4 - X)4 + + (e )2()2( _e_ e1·2'3'4 1'2'3'4

1\2'3'4'5 1 ¡ 2'3'4'5

7'6'5'4'3'2 7'6'5'4·3·2 X x x ++ (e )(_e(e')( - )6 e- )6 1'2·3'4'5'6 1'2 ·3 ·4'5'6

+ + (-e-Xf (_e- x )7


+

x- 2

"


158 14. 14.

(a (a

+ bb --

=

e)3 e)3 = [(a [(a

== 15.

(x (x22

+

xx --

aa33

W W=

+ + b)b) +

[X2 [X2

2 3a2b

3a b

+

= = xx66 = =

=

-- e]3 e]3 = (a (a

+ xx66 +

+ +

3ab22

3ab

+ +

+W W+ b33 -

(3x (3x5 S -- 9x 9x4)4 ) 3x 3x5S -- 6x 6x44 --

+ +

3'2

+ + W(-e) b)'(-e) +

3a 3a22ee -- 6abe 6abe --

b -

3)]3 3)]3 = (X (X22)3)3

(x (x --

3(a 3(a

3(X 3(X22)2(X )2(X --

3) 3)

N(a M(a

2 3b2e

3b e

+

b)(-e)2 b)(-e)2

+

+ +

3be 3be22 --

33

3ae22

+

3ae

3·2 3'2

+N M (x(x22)(x)(x

2 (3x (3x4 4 -- 18x 18x33 + 27x2) 27x 2) + (x (x33 -- 9x 9X2 17x 18x22 + 27x 27x -- 27 27 17x33 + 18x

+ +

+

+ +

+

(_e)3 ( _ e)3

ee

+

--

3f 3)2

+

27x 27x -- 27) 27)

(x (x --

3)3

24 En En los los Problemas Problemas 16·21 16-21 escribir escribir el término término indicado indicado de de cada cada desarrollo desarrollo aplicando aplicando la la fórmula fórmula término término,r de de (a (a

16.

Sexto Sexto término término de de (x (x + + y)15. y)IS.

nn

6.0 6.0 término término = =

+ x)" xf = =

n(n n(n --

l)(n - 2) ... + 2) l)(n-2) . .. (n -- r,+2) (r (, --

1) 1)

.

+1

d'-dlx,-I d" x'

'1

= 15, r, = 6, nn -- r, + 22 = 11, 11 , r, -- 1 = 5, nn - r, + 1 = 10 15' 15 ' 14' 14 ' 13 .• 12' 12' 11 11

1 ·2·3·4· · 2·3·4·55

xlOy5 s ys xl0yS = = 3003x 3003lOxy10

25.

17. Quinto Quinto término término de de (a - fi)9. Jb)9 . nn = 9, r, = 5, nn - r, + 2 = 6, r, -- 1 = 4, nn - r, + 1 = 5 9·8·7·6 9' 8' 7' 6 5 22 5.0 término aa>(-Jb)4 (-fi)4 = 126a5sbb término = = = 126a 1·2' l' 2' 3·4 3' 4 Cuarto término término de de (x y2)11 18. Cuarto (x22 -- y2)11.

n = 11, 11 , r, = 4, 4, n - r,

+ 2 = 9, r, -- 1 = 3,

n - ,r

+ 1= 8

11' 10·9

16y6 4.0 término (X2)8( _ y2)3 = -165x _165x16y6 término = 11 . 10· 9 (X2)8(_y2)3 1 ·2· 3 1·2·3

19.

x Nuevo término de de (Nuevo término

2

1 12 + --) )12 .

x

n = 12, ,r = 9, n - ,r

+ 2 = 5, ,r - 1 = 8,

n n -

,r

+ 1= 4 26.

12 . 11 . 10' 10' 9 . 8 . 7 . 6 . 5 x 1 495 12' 495 9.0 término = l' 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 .. (_ )4(_ )8 = __ 9.° término = 1 16x44 . 2 . 3 . 4 ' 5 . 6 . 7 . 8 ("22f(';l X = 16x

.

I

20.

11 Decimoctavo término Decimoctavo término de (1 (1 - _)20. _)20 x 18.0 término = 18 ,o término=

21.

n = 20, 20, ,r = 18, n - ,r

+ 2 = 4, ,r - 1 = 17,

20 . 1·9. ~9 . 18 . 17 ... 1 17 ... 4 17 (--) = 1'2'3'4 ... = 1·2'3·4 ... 17 17 (-:;) x 1 1

2)6. 1/3 -- -- X2)6. Término X' Término medio medio (4.°) (4.0) de (X (X1/3 2

n = 6, ,r = 4, n - ,r

20 20' . 19 19·. 18 l7 1'2 l : 2' '3x 3X17

+

n - ,r

+ 1= 3

11140 140

-~ -'71

2 = 4, ,r - 1 = 3, n - ,r + 1 = 3

DE En

22.

Hallar Hallar el término término en X2 x2 del desarrollo desarrollo de (x {x33 + ~)10 ~)IO

27.

X

I )"1 l 3)10'<+I(X' De (X = x22 se obtiene (x3 )IO-dl{x-Ir obtiene 3(10 3{1O - ,r + 1) - 1(, I{r - 1) = 2 de donde, donde r = 8 Para el 8.0 término: término: Para

n = 10, ,r = 8, n - ,r

8.0 término =

23.

+ 2 = 4, ,r - 1 = 7,

10'9'8 ·7'6'5'4

1'2'3'4 · 5·6'7

n - ,r

a (X 3)3(_)7 = 120a 7x 2

x

Hallar el término término independiente independiente de x en el desarrollo desarrollo de (x {x22 Hallar

1

__ _ )9 _ X


+ 1= 3

28.

159 159

TEOREMA DEL BINOMIO BINOMIO DE NEWTON NEWTON TEOREMA DEL DE Iy-1 De (X (X2)9-dl(X= xx", se obtiene obtiene 2(9 2(9 -- rr + + 1)1) -- I(r I(r -- 1) 1) = = O; O; de de donde donde rr = = 77 De )9-dl(X - I )' - 1 = o, se

Para el el 7.° 7.° término término: : nn = = 9, 9, rr = = 7, 7, nn -- rr + + 22 == 4, 4, rr -- 11 = 6, 6. nn -- rr + + 11 == 33 Para

7.0 término

=

9· 8 '7· 6' 5'4 1'2·3'4·5 · 6

(X 2 )3 ( _ X - I )6

= 84

24. Calcular Calcular (1 (1,03)1 con cinco cinco cifras cifras significativas. significativas. 24. ,03)10° con (1,03)10 (1,03)10

10·9 10 ·9 \1'2'2

10'9·8 10'9'8'7 10'9·8 10·9'8'7 - - (0,03)3 ++ (0,03)4 + ... 11'2'3 '2'3 1)'2·3'4 ' 2·3'4

(1 + + 0,03)'° 0,03)10 == 11 + + 10(0,03) 10(0,03) + + -- - (0,03)2 (0,03)2 + + ---== (\

=

0,3 + 0,0405 0,0405 + + 0,00324 0,00324 + 0,00017 0,00017 + .. ... . 11 + 0,3

=

1,3439 1,3439

Obsérvese que que el desarrollo desarrollo de (1 (1 + 0,03)1 °° consta consta de \\ 11 términos. términos. Obsérvese

25.

Calcular (0,99)1 (0,99)155 con con cuatro cuatro cifras cifras decimales. decimales. Calcular

(0,99)15

= (1 (1 =

15'1414 15'14·13 15' 15 ' 14 ' 13 0,01)155 == 1 + 15( 15(-0,01) (-0.01)2 + (-0,01)3 0,01)1 - 0,01) + --- - (-0,01)2 (-0,01)3 1. 2 11·2' ·2' 3

+ +

15' . 14' 14' 13 . 12 15 2 . 3'4 4 (-0,0\)4+ (-0,01)4+ 1'2 ..... . l' .3.

= 1 - 0,15 + 0,0105 0,0105 - 0,000455 0,000455 + 0,000014 0,000014 - ..... . = = 0,8601 0,8601 =

26.

Hallar suma de los los coeficientes coeficientes del desarrollo desarrollo de a a)) (1 (1 Hallar la suma a) a)

Si \1,, C" c I , c22' '

•.• • . • , c ClO IO

+ XX)IO, )I O,

b) (1 -_ X) X)lo. b ) (1 I O.

son son los los coeficientes, coeficientes, tenemos tenemos la identidad identidad

Entonces ... + Entonces (1 (1 + 1)10 \)1 0 = 1 + el el + e2 C2 + ... + cIO suma de de los los coeficientes coeficientes = 21o 2 1o = = 1024 1024 IO = suma b) b)

Hagamos Hagamos x = = 1. Entonces Entonces (1 (1 -

X)IO X)IO

°

= = (1 (1 - 1)10 = = O == suma suma de de los los coeficientes. coeficientes.

DESARROLLO FRACCIONARIO Y Y NEGATIVO NEGATIVO DESARROLLO CON CON EXPONENTE EXPONENTE FRACCIONARIO En En los los Problemas Problemas 27-28 27-28 escribir escribir los los cuatro cuatro primeros primeros términos términos del del desarrollo. desarrollo.

27. 27

"

(a (a -_ x)1/3 ~)1 /3 = = al/3 al /3 + + ~a-2/3(_x) ~a - 2/3( _

33

x

)

++ (1/3)(-2/3) (1 /3)( - 2/3) a-S/3(-xf - 5/ 3(_ )2 + + (1/3)(-2/3)(-5/3) (1 /3)(-2/ 3)(-5/3) a-S/3(_x)3 -8/3 (_ )3 ++ ... a x 1.2 . 3 a x ... r-1.22 1·2·3

Ixl < lal

28. 28.

(1 ++ x) .X) (1

3/2 33 (3/2)(1/2) (3/2)(1/2)( -1/2)/2) 33 + 3/2 = 1 (3/2)(1 /2) 22 (3/ 2)(1 /2)(-1 = 1 + 11 .2. xx + ..... + '2 xx ++ -1-'-2- 1- '- 2- xx ++ . 2 . 33

'2

Ixl Ixl <


11

160 29.

TEOREMA

j26

Calcular

j26

l1

=

1 1

2(5) - 8(5"3)

5 +

= 5 + 0,1 -

30.

(1/2)(-1/2)(-3/2) 1·2· 3

Calcular.y998

1

16("5') -

+

=

calcular

j26

l

10 -

5 +

Escribir

37.

Ese

38.

Ese

39.

Call

(52)-3/2

52 -5/2 ()

+ ...

1 1 1000 + 50000 -

...

= 5,09902

(1 + 52)1/2. ¿Por qué?

desarrollando

con seis cifras significativas.

= (W _ 2)1/3 = (103)1/3 + ~ (W)-l/3(_2) 3

= 31.

l

0,001 + 0,00002 -

Es incorrecto

fo8

DE NEWTON

(52)1/2 + -21(52)-1/2 + (1/2)(-1/2) l ·2

+

No/a.

BINOMIO

con seis ciíras significativas.

= (52 + 1)1/2

=

DEL

2 1 4 1 iw) - 9(W)

lO -

el sexto término

- ... =

del desarrollo

(103)-5/3(_2)2

+ (1/3)(-2/3) 1.2

=

lO - 0,006667 - 0,000004 - ...

+

9,99333

2)1/2.

de (1 -

X

a)

n

=

1/2. r

=

6.0 término

6, n - r + 2 = -7/2,

r -

=

1

=

5, n - r + 1

= (1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)(-7/2)

(_X2)5

=

-9/2 40.

_~XIO

1. 2 . 3 . 4 . 5

Des

256 a)

En los Problemas 32.

(a + X)-I

i¡

32-36 escribir _

-a

-1 + (

-

los cuatro

1)0-2

primeros

+ (-1)(-2) x 1.2

términos

-3.2 a x

del desarrollo.

+ (-1)(-2)(-3) 1'2'3 válido para

33.

(1 _ X)-2

= 1

+

(-2)(-)

= 1 + 2x + 3x2

34.

(1 _ X)-4

(2 .

)-3

= 1 + (-4)(-x)

= 2-3

1

3

16

36.

3

-x 16

+ (-4)(-5)(-6) 1 . 2' 3

(_X)2

41.

)3 ,

x,

(_X)3

+ (-3)(-4)(2-5)X2 1.2 2

+ (-3)(-4)(-5) 1.2'3

5

- _x3 + .

...

b)

Ixl < 1

e)

+

d)

(9 + X)-1/2 = 9-1/2 + (-1/2)(9-312)X

(-1/2)(-3/2){-5j2) + I .2 . 3

+

(-1'2)(-]'7)

.

-7/2 (9)x

(2-6)X3

válido para

32

1. 2

/-

I

+...

+ .

=

válido para

X

'3 - 54


42.

Hal

43.

Hal

44.

Cal.

45.

Cal,

46.

Ese

Ixl < 2

(9-';2).\"2

3

Esel

a)

+ 20--.-3+ ...

+ (-3)(2-4)X

8

(_

...

Ixl < lal

válido para

+ (-4){-5) 1 ·2

+x

= - - -x +

(_ .)2 (-2)(-3)(-4) .\ + 1.2.3

+ 4x3 + ...

= l + 4x + IOx2

35

(-2)(-3) 1.2

x+

b)

-43+ a x

x2 5x3 + 648 - 34 992 +

Ixl < 9

a)

b)

161

TEOREMA DEL BINOMIO BINOMIO DE NEWTON NEWTON TEOREMA DEL DE

37.

Escribir el quinto quinto término término del desarrollo desarrollo de Escribir n

=

-4, r = 5, n - r + 2 = -7, -7, r - 1I = 4, n - r + 1I = -8 -8 -4,

5 0o t' té . (-4)(-5)(-6)(-7) __ (-4)( - 5)( -6)( -7) 5.. ermmo ermmo -1I .. 22 •. 33 .. 44

38.

(.j;¡y _ - .jYf;:¡-4. $x)-4 (..¡;¡y

1I -r. -ro n

Escribir los cuatro cuatro primeros primeros términos términos del desarrollo desarrollo de (1 (1 + Escribir

(1

(1) + -n1)"_1 - +n+n(n-I)(1)2 -1·2 - - -n + n 1 = =

1

i",

I

(12)_0 ( y y1/2)4 35 -6 -6 66 ,x1/2)_0 /2)4 _ 35 \-- =xX yY y'/2/2 - X' x'/2 y' /2

n(n - 1) 1I n(n

n(n-l)(n-2)1 Hn 1 ,2 ,3

n(n - I)(n I)(n - 2) 2) 1I n(n

+ 1 + --2,--22 , - - 2 - + -3 -3'1 . n .

n

33

3

+ ...

+ .. ....


Calcular los los cocientes cocientes siguientes: siguientes: Calcular

6!

a) a)

40. 40.

b) b)

8!

~ 5! 5!

e)

lO! 6! 4!

12! 7' 3! 2! 7!

d) d)

e)

(2n

+

(2n -

n!

1)! 1)! I)!

f)f)

g) g)

(n - 3)! 3!

Desarrollar Desarrollar por por la la fórmula fórmula del del binomio. binomio. a) a) b) b)

41. 41.

3!

I 1 (x +, 2)6 (x 2)6 (x - 2)' 2)5 (x

e) d) d)

+

3)4 3)4

+

11 X)5

(y (y (x (x

g) g)

(~+ (~+ ~)4 ~)4

Y (y1l2 (y' /2 + y-1/2)6 y-1 /2)6 2 2

x)'

f) f)

2W

(a -

h) h)

Escribir Escribir el término término indicado indicado en en los los siguientes siguientes desarrollos. desarrollos. I ~)IO .;;/0

a) a)

Quinto Quinto término término de de (a - b)7 b)7

e) e)

Séptimo término término de de (a __ Séptimo

b) b)

I 1 Séptimo (x22 __ __ )9 Séptimo término término de de (x X x

f)f)

Decimosexto Decimosexto término término de de (2 - I/X)'B l /x) '8

g) g)

Sexto Sexto término término de de (x (x22 -- 2y)" 2y)'1

h) h)

Onceavo término término de de (x (x Onceavo

e) e)

d) d)

I I Término Término medio medio de de (y (y __ _ _ )B )8 YY 2 xX2 Octavo Octavo término término de de (- -- 2y)'6 2y)'6 22

42. 42.

Hallar Hallar el término término independiente independiente del del desarrollo desarrollo de de

43. 43.

Hallar Hallar el término término en en xx3 3 del del desarrollo desarrollo de de (x (x2 2

+

I ~)14 ;;/4

I 1 (Jx + -3-3 2)'0 2)'0 xx

I 1

+ _)12. _ )'2 X X

44. 44.

Calcular Calcular (0,98)6 (0,98)6 con con cinco cinco cifras cifras decimales. decimales.

45. 45.

Calcular Calcular (1,1)' (1,1)'0o con con una una aproximación aproximación de de una una centésima. centésima.

46. 46.

Escribir Escribir los los cuatro cuatro primeros primeros términos términos de de los los desarrollos desarrollos siguientes: siguientes:

+ + 2X)-1 2X) - 1

al a)

(1 (1

b) b)

(1 (1 __ y)-3 y) - 3

e) e)

(a (a

+ x¡-"2 X) - 1/2

e) (1 + Xl" X)' 3/ 3 el

d) d)

(1

+ r)-6 r)-6

f) f)

(1 - 3y)-1/3 3y) - I/3

g) g)

(4 (4

+ + X)'/2 X)' /2

h) h)

(1 (1

I + _)-2/3 ~)-2/l

s

S


(n -

(n

1)! 4! 4!

+ 2)! 2)!

162 162


47. Calcular Calcular con con lala aproximación aproximación indicada: indicada: 47. a) a)

fo; con con cuatro cuatro cifras cifras significativas significativas fo;

e) e)

,y34 ~ ;; con con aproximación aproximación de de una una centésima centésima

b) b)

,y2s; 128; con con tres tres cifras cifras decimales decimales

d) d)

1l.Oi; ,yi,Oi; con con cinco cinco cifras cifras decimales decimales

22 48. Escribir Escribir elel decimosexto decimosexto término término del del desarrollo desarrollo de de (x (x + + _)-s. -)-'. 48.

xx

SOLUCIONES DE DE LOS LOS PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS SOLUCIONES 39. a) a) 120 120 39.

40. 40.

6

b) 336 336 b)

e) 210 210 e)

15 15

55

44

22

d) d)

7920 7920

e) e)

2n(2n 2n(2n

15 15

33

11

16 16

16 16

64 64

++

1) 1)

f)' f)'

24 24 g)----g) - - - - n(n n(n + + I)(n 1)(n + + 2) 2)

n(n n(n -- I)(n 1)(n -- 2) 2)

55

EL P p d

3 2 + 3x' + + -- xx44 ++ -- xx) + -- XX ++ -++ 3x' ++ -- xX2

a) a)

xx6

b) b)

3 2 S -- IOx 10x44 + + 4Ox 4Ox) 80X2 Xx' -- 80x

e) e)

y4 y4

1 11

80x -- 32 32 ++ 80x

+ 12y 12y) + 54y2 54y2 + + 108y 108y + + 81 81 + 3 +

2

S,

)3 10 lO 55 11 d) d) xx + + 5x 5x + + IOx 10x + + --; ++ -?3 ++ -:;s S x

X

t;

X

h)

b) b)

84

792x) 792x3

+ 6y2 + 15y + 20 + 15y- 1 + 6y-2 + y-) g) g)

2100 2100 6528 6528

_2860XI8y7.

d)

43. 43.

e)

70

e) e)

y)

f)f)

-7"' -7>

h) h)

12yS12 y S -14784x -14784x

Pr

5

46.

a) a)

1 - 2x 2x + 4X2 4x2 - 8x) 8x3 + ... ...

Ixl < ~

e)

1+

b)

1 + 3y + 6y2 + 10y) lOy3 + ... ...

Iyl << 1

f)f)

2y + 1 + Y + 2y

e)

2 S2 2 a-1/2 __ 1 a-3/2x + _a/ x

g) g)

X X2 x) X x2 x3 + ¡-4 -- 64 - + + -22 + 512 - ......

d) d)

1 - 6r 6r + 21,2 21,2 - 56,) 56,3 + .. ... .

h)

2 3ss + 11 - -3

2

8

0,88584 0,88584

__

5 a-7/2x3 16

45. 45.

+

2,59 2,59

...

DI

x

42. 42.

44. 44.

l.

1001 1001

X X

2 xX2

5x) 5x3

Se.

9 + 81 81 - ... ... "3"3-- 9" 2

14 3 14) 3 y + ... ... 3"

5 40 9s22 -- 81s ... -9 83) + ... s Is

qu

Isl > 11 Isl>

n . ZÓI

47.

48.

a) a)

4,123

b) b)

3,037

e) e)

2,02

d) d)

1,00199 1,00199

4032 4032

-7"' -7>

2. DI mi

Pr



matemático de inducción completa Principio matemático 24 1)(n+ 2)

PRINCIPIO MATEMATICO MATEMATICO DE INDUCCION INDUCCION COMPLETA COMPLETA es un procedimiento procedimiento que sirve EL PRINCIPIO para teorema general, general, o una fórmula, a partir partir de casos particulares. particulares. Para Para hacer una para demostrar demostrar un teorema demostración por por este método método se procede procede de la forma siguiente siguiente:: demostración 1) Se Se comprueba, comprueba, por simple sustitución, sustitución, que el teorema teorema propuesto, propuesto, o fórmula, fórmula, se verifica para 1) primeros valores de n, enteros enteros yy positivos, por ejemplo, n == 1, 1, n == 2, etc. los primeros Se supone supone que el teorema, teorema, o fórmula, es cierto para n == k y, a continuación, continuación, se demuestra demuestra que 2) Se también se verifica para para el siguiente n == k + 1. l. también

-)


Demostrar, por el principio del delinducción completa, que para para todos los valores de n, entero y positivo, se verifica: Demostrar, inducción completa, n(n

+ 1) +

1+2+3+ ... +n=--2+n=--21+2+3+ ... 1(1 + 1) 1(1 1, ya que 1 == --2-1, -2--

Primero. Primero.

,,. . para n La formula se venfica para

Segundo. Segundo.

Supongamos que la fórmula es cierta para para n Supongamos

= =

... + k + (k + 1) 1) == 11 + 2 + 3 + ... n(n n(n

+

= k. =

1. 1.

sumando (k + 1) 1) a los dos miembros, Entonces, sumando

k(k+l) (k+l)(k+2) k(k+l) (k+l)(k+2) --21) == 2+ (k + 1) 2

1)

--4-cuando se sustituye n por (k que es el valor de -4-- cuando

\s\ >

= =

+

1). 1).

tanto, si la fórmula es cierta para n == k, k, hemos demostrado demostrado que también verifica para el siguiente, Por tanto, también se verifica 1. Como la fórmula se verifica verifica para n == 1, 1, también se se verificará para para n == 1 + 1 == 2 y, por la misma ran == k + 1. verifica para todos los valores de n, n, entero y positivo. positivo. zón, para n == 2 + 1 == 3, y así sucesivamente. Es decir, se verifica

1

2.

Demostrar, por por el principio de inducción completa, completa, que la suma de los n primeros primeros términos de una progresión aritDemostrar, n d, a + 2d, ...... , es i2a + (n (n - I)d], I)d], es decir, mética, a, a + d,

i2a

a

+

(a

+

d)

+

(a

+

2d)

... + + ...

= =

verifica para para n La fórmula se verifica

Segundo. Segundo.

Supongamos que es cierta para para n Supongamos

+

(a (a

+

d)

+

(a

+

2d)

+

(n (n

l)d] Ild]

n

= 2{2a Z{2a =

i2a 1

+

1, ya que a == 2"[20 + (1 (1 - 1!)d] 1, ld]

Primero. Primero.

a

[a

= k. = k.

+ ..... . +

(n (n

l)d] Ild]

= a. =

Entonces, [a

+

(k -

!)d] == ~[2a ~[2a + (k - l)d] !)ti] I)d]

163


164

PRINCIPIO

MATEMATICO

DE INDUCCION

COMPLETA

+

Sumando a los dos miembros de la última ecuación el término que ocupa el lugar (k se tiene

a

+

El segundo

(a

+

d)

+

miembro

(a

+

+ ... +

2d)

de esta ecuación

[a

+

es = ka =

que es el valor de i[2a

+

1)d] cuando

(n -

(k -

k2d

+2 +

kd(k

+

1)d]

k kd) = i2a

+

(a

+

1)

2

+

2a(k

se sustituye

n por

1)d]

+

kd

+

+

kd)

2

=

+

(k

(k -

+

2ka

(a

+

+

Demostrar,

por el principio

de inducción

2a

sustitu p(

1).

lafóm = 3, Y

2

que para todos los valores de n, entero y positivo,

completa,

2

2

1+2+3+

...

+n=

n(n

2

La fórmula

Segundo.

Supongamos

1)

1)(2 6

+

1)

1)(2k 6

+

1)

6

s,

se verifica

Prime

= 1.

para n = k. Entonces,

que es cierta 2

2

2

1+2+3+

...

+k=

se d

+

k(k

2

Demo quiera

Segun,

+

1 )(2n

+

1(1

se verifica para n = 1, ya que 12 =

Primero.

+

+

kd)

Por tanto, si la fórmula es cierta para n = k, hemos demostrado que también se verifica para n = k + l. Como la fórmula se verifica para n = 1, también se verificará para n = 1 + 1 = 2 y, por-la misma razón, para n = 2 + 1 = 3, y así sucesivamente. Es decir, se verifica para todos los valores de n, entero y positivo. 3.

Surnai

El segi

k + I = -2-(2a

1)

+ kd),

(2k

.

+ k2d

kd

- 2 + a + kd

1), que es igual a (a

P Sumando

a ambos miembros

"

12 El segundo

miembro I

+

22

de esta ecuación el término que ocupa el lugar (k

+

32

+ ... +

de esta ecuación

+

k2

es =

(k

+

k(k (k

+

+

1 j2 =

+

k(k

1)[(2k2

1)

+

6

+ 61) +

1)(2k

+

1)(2k

+

k)

+

(k

+

que es el valor de

+

1)(2n 6

+

6)]

+

(k

1)(k

+

2)(2k

+

Demostrar,

por el principio

Demo (a

3)

6 para t

1)

cuando

se sustituye

+

n por (k

1).

Prime

Por tanto, si la fórmula es cierta para n = k, hemos demostrado que también se verifica para n = k + 1. Como la fórmula se verifica para n = 1, también se verificará para n = 1 + 1 = 2 y, por la misma razón, para n = 2 + 1 = 3, y así sucesivamente. Es decir, se verifica para todos los valores de n; entero y positivo. 4.

la fórn y así:

1)2,

1)2

6 n(n

+

1)2

+

(6k

1), que es igual a (k

6.

+

6(k

+

de inducción

completa,

Segun,

que para todos los valores de n, entero y positivo, se verifica Multi¡

1

1

--+--+--+ 1.3

Primero.

La fórmula

Segundo.

Supongamos

3.5

1 5.7

... +

1 (2n -

se verifica para n = 1, ya que

n

+

1)(2n

1)

2n

+

1 1

1

+

1)

(2k - 1)(2k

+

(2 -

=---

1)(2

= 2 +1 1 = -3 .

que es cierta para n = k. Entonces 1

1

1

1.3

3.5

5.7

--+--+--+

... +

k

1


1)

=---

2k

+

1

165 165

PRINCIPIO MATEMATICO MATEMATICO DE DE INDUCCI INDUCCION COMPLETA PRINCIPIO ON COMPLETA Sumando aa los los dos dos miembros miembros de de la la ecuación ecuación anterior anterior el el término término que que ocupa ocupa el el lugar lugar (k (k Sumando

kel),

++

1), que que es es igual igual aa 1),

(2k + + 1)(2k 1)(2k + + 3) 3) (2k

11

11

11

--1 '-3 ++ --3 '-5 ++ --5 '-7 ++ ... ... + + 1.3 3.5 5.7

11 1l kk 1l = -- + - ___)-::(2C:-k-+~3) c:-:--.,(2k -- 11)(2k + 1) 1) + + (2k (2k + + 1l )(2k )(2k + + 3) 3) = 2k -2k-+-1 (2k-+--:-:1 (2k )(2k + + 1 + (2k + 1 )(2k + 3)

k(2k + + 3) 3) + + 11 + 11 . ., k(2k kk + nn El segundo segundo miembro miembro de de esta esta ecuaClOn ecuación es es == ---- - ,, que que es es el el valor valor de de ._ ._--- - cuando cuando se se El == (2k + + 11)(2k + + 3) 3) 2k 2k + + 33 2n + + 1l (2k 2n sustituye nn por por (k (k + + 1), 1). sustituye Por tanto, tanto, si si la fórmula fórmula es es cierta cierta para para n = kk,, hemos hemos demostrado demostrado que que también también se se verifica verifica para para nn = kk + 1, l. Como Como Por fórmula se verifica verifica para para n = = 1, 1, también también se verificará verificará para para n = = 11 + 1 = = 2 y, por por la misma misma razón razón, , para para n = = 2 + 1 la fórmula Y así sucesivamente. sucesivamente. Es decir, decir, se verifica verifica para para todos todos los los valores valores de n, entero entero y positivo. positivo. == 3, Y

1. ara 5. S.

ifica

Demostrar, por por el principio principio de inducción inducción completa, completa, que que a 22n" -- b 22n" es divisible divisible por por a Demostrar, quiera entero entero y positivo. positivo. quiera Primero. , Primero

teorema se cumple cumple para para n == 1, ya que que a 22 - b 22 == (a (a El teorema

Segundo. Segundo,

Supongamos que que es cierto cierto para para n == k, k. Entonces, Entonces, Supongamos

a22k"

-

+ b)(a

--

b). - b),

divisible por por a + b b22k" es divisible

2k+2 Tenemos que que demostrar demostrar que que a 2k +2 - b2k+2 divisible por por a Tenemos k+2 es divisible

se deduce deduce que que a2k+ k+ 22

siendo n un número número cualcual+ b, siendo

b22k+ divisible por por a k+ 22 es divisible

+

+

identidad b. De la identidad

2k . b si lo es a2k _ bb":

Por tanto, tanto, si la fórmula cierta para para n == k k,, hemos hemos demostrado demostrado que también se verifica para n == k + 1, l. Como Como Por fórmula es cierta que también verifica para la fórmula fórmula se verifica paran = 1, también verificará para 2y, por misma razón, verifica paran ta mbién se verificará para n = = 1+ 1= = 2y, por la lamisma razón , paran paran = 2 + 1 = 3, sucesivamente. Es decir, 'Se 'Se verifica Y así así sucesivamente. Es decir, verifica para para todos todos los los valores valores de de n, entero entero y positivo. positivo,

6.

Demostrar Demostrar la fórmula fórmula del del binomio. binomio. n(n-I) n(n - 1) n 2 (a + + na"-Ix + -___ __ a"-2 2 + ... + x)" x)n = = a" an + nan-lx + a - xx2 2!

+ n(n-I) n(n - 1) ..... . (n-r+2) (n - r + (r (r -

+

1)! 1)'

2)an - ,+lr . .. ++ x" x" a"-'+l + ... x'-1 - 1 +

para para todos todos los los valores valores de de n entero entero y positivo. positivo. Primero. Primero,

La La fórmula fórmula se verifica verifica para para n = = l. 1,

Segundo. Segundo.

Supongamos Supongamos que que es cierta cierta para para n = = k. k. Entonces, Entonces,

1. ara

fica

"k "k .1<-1 k(k - 1) "-2 2 k(k ... (k - r + 2) ak,,-,+1 ... + x" -'< - ' k(k-l)k_22 k(k - 1) I)."(k-r +2) ' +lx',-1- I + +,,.+xk (a + x) = a + ka xx+ ... + (1 _ 1)1 a x (a+x) =a +ku +--2-!-a - --!-a xx + +".+ (1-1)' 2

Multiplicando Multiplicando ambos ambos miembros miembros por por aa

+ + x,x, el segundo segundo miembro miembro se hace hace igual igual aa

k(k -- l}a"-l 1) k(k -- 1) 1) ... ... (k (k -- rr + + 2)a"-d2 2) '-,+2-l ak+l ka:» + k(k l2 2 + .. + k(k xr ak.+ 1 + + ka'x+ - --, - a k -x x + " . + (r-1)' a 2! (r - 1 )1 2 kx + kd - IX2 +a'x+ka<-lx2+ + a

ya ya que que

+ ... ++ k(k k(k ...

-- 1) 1) ... . . . (k (k -- rr + + 3)n"-'+2 3) k-.+2 xr-l (r-2)! u (r _ 2)! -a

k(k k(k -- 1) ... ... (k (k -- rr + + 2)a<-d2 2)d - , +2-l Xr (r(r __ I)! I)!

-1

+ - ' +.

-'

.,,

..k + ... + ax" +.,,+ ax

++ x"+1 ~+l

++ k(k k(k -- 1) 1),.... . (k (k -- rr + + 3)a"-d2 3)ak - ' +2, x-l'(' - 1 (r(r -- 2)! 2)!


166

PRINCIPIO MATEMATICO MATEMATICO DE PRINCIPIO DE INDUCCION INDUCCION COMPLETA COMPLETA = = k(k k(k -

1) ... ... (k - r (r - 2)!

+ + 3)tf-'+2 3)tf-'+2 '-1 '-1 X X

{k {k - r + +2 r - 1

+ I)k(k + 1} 1} = = (k + + I)k(k

- 1) ... ... (k - r (r - I)! (r I)!

+ 3)tf- H2 x'-1 + 3)tf-,+2x'-1 '

luego luego (a

H1 + + x¡HI = atf+1 + (k + + l)akX l)akX + + .. .... + + (k + + I)k(k + X¡>+1 = I)k(k

- 1) ... ... (k - rr I)! (r - 1)!

+ 3)tf-d2x'-1 + ... + + x"+1 + 3)tf-H2x'-1 + x"+1

que es la fórmula fórmula del binomio binomio cuando cuando se sustituye que sustituye n por por k + 1. Por tanto, tanto, si la fórmula fórmula es cierta cierta para Por para n = = k, también también se verifica verifica para para n = = k + 1. Como Como la fórmula fórmula se veriveripara n = = 1, también también se verificará verificará para para n = =1 + +1 = = 2, y así fica para así sucesivamente. sucesivamente. Es Es decir, decir, se verifica verifica para para todos todos los los valores de n, entero entero y positivo. positivo. valores

DEFINIC

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS Demostrar, por por el prillcipio principio de inducción inducción completa, Demostrar, completa, que que se verifican verifican las las siguientes siguientes expresiones, expresiones, siendo siendo n un un número número entero y positivo. positivo. entero

+3 + +5 + + ... ... + + (2n - 1) = =n 1+

8.

+3 + + 322 + + ... ... + + 3"-1 3"-1 = =-1+ -2-

q

A 1)

a

2) a

22

7.

nor

3" - 1 2

3)

a

4)

a

5)

O

6)

T..

10. 10. a

.

2

+ + ar ar + + ar ar + + ... ... + + ar" ar"

_ 1

a(r" a(r"

1)

= = --;:-=¡-, --;:--=-¡,

r

i=

ir y b, Y que

1

T.

n 1 1 1 1 11. -+-+-+ +---=-11. + - + - + .... ..+ ---=-l :2 l'

2·3 2·3

3' 4 3·

n(n n(n

+ 1)

n

letras.

+1

(2n - 1)3"+1 + 3 12. l' l' 3 + + 2 . 322 + + 3 . 33 + + ... + + n • 3" = =---'-.,.---'---'--- 12. 4

1

1

1

13. -+-+--+ + 13. + - + - - + .... .. + 2' '55 55·8 11 2 · 8 8 '8' 11

14.

1

1

1

1

--+--+--+ ... + + - + - - + - - + ... 1'2·32'3'43'4'5 1 '2·32'3'43'4 ' 5

n

(3n - 1)(3n + 2) (3n-I)(3n+2)

TEOREM

=--- = 6n + 4 6n+4

1 n(n+I)(n+2) n(n+I)(n+2)

= =

1) E n(n n(n

+ 3)

4(n+l)(n+2) 4(n+l)(n+2)

sus de

dad n

F b" es divisible divisible por por a - b, para para n 15. a" - b" 16.

= = entero entero y positivo. positivo.

"-1 es divisible divisible por por a + b, para a22"-1 + b22 "-1 para n = = entero entero y positivo. positivo.

2)

E

real s

3) E negat

4)


S

-1

+1


Desigualdades Desigualdades

se veritodos los

Una desigualdad desigualdad expresa expresa que que una una cantidad cantidad real, real, o una una expresión, expresión, es mayor mayor o memeDEFINICIONES. DEFINICIONES. Una que otra. otra. nor que nor continuación se indica indica el significado significado de los signos signos de desigualdad. desigualdad. A continuación

número

1)

significa que que «a es mayor mayor que que b» (o bien bien que que a - b es un un número número positivo). positivo). aa>> b significa

2)

< b significa significa que que «a es menor menor que que b» (o bien bien que que a - b es un un número número negativo). negativo). a <

3)

~ b significa significa que que «a es mayor mayor o igual igual que que b». b», a ~

4)

a ~ b significa significa que que «a es menor menor o igual igual que que b». a:::;;

5)

significa que que «a es mayor mayor que que cero, cero, pero pero menor menor que que 2». O < a < 2 significa

6)

-2 ~ x < < 2 significa significa que que «x «x es mayor mayor o igual igual que que -2, -2, pero pero menor menor que que 2». -2:::;;

Una desigualdad desigualdad absoluta absoluta es aquella aquella que que se verifica verifica para para todos todos los valores valores reales reales de las letras letras Una que intervienen intervienen en ella. ella. Por Por ejemplo, ejemplo, (a - b)2 b)2 > -1 -1 es cierta cierta para para todos todos los los valores valores reales reales de a que que el cuadrado cuadrado de todo todo número número real real es un un número número positivo positivo o cero. cero. y b, ya que Una desigualdad desigualdad condicional condicional es aquella aquella que que solo solo es cierta cierta para para determinados determinados valores de las Una valores letras. Por Por ejemplo, ejemplo, x - 5 > > 3 solo solo es verdad verdad para para x mayor mayor que que 8. letras. Las desigualdades a > > b y ce > > d son son del del mismo mismo sentido. sentido. Las Las desigualdades desigualdades a > >b y x < < yy Las desigualdades son son de sentido sentido contrario. contrario.

TEOREMAS DE LAS LAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES TEOREMAS DE sentido de una una desigualdad desigualdad no no se modifica modifica si se suma, suma, o se resta, resta, un un mismo mismo número número real real a 1) El sentido dos miembros. miembros. Por Por consiguiente, consiguiente, para para pasar pasar un un término término de un un miembro miembro a otro otro de una una desigualdesigualsus dos dad no no hay hay más más que que cambiarle cambiarle de signo. signo. dad Por ejemplo, ejemplo, si a > > b, se tiene tiene a + ce > > b + c, e, y a - ec > > b - c, y a - b > > O. Por sentido de una una desigualdad desigualdad no no se altera altera si se multiplica, multiplica, o divide, divide, por por un mismo mismo número número 2) El sentido real sus dos dos miembros. miembros. real Por ejemplo, ejemplo, si a > >byk > > O, se tiene tiene ka ka > > kb kb y Por

I >> ~~ .

sentido de una una desigualdad desigualdad se invierte invierte cuando cuando se multiplica, multiplica, o divide, divide, por por un mismo mismo número número 3) El sentido negativo sus dos dos miembros. miembros. negativo Por ejemplo, ejemplo, si a > >byk < < O, se tiene tiene ka ka < < kb kb y Por

4)

I << ~~ .

> b y a, b, n son son positivos, positivos, se tiene tiene a" > > b", pero pero a-o a-n < h-". h-n. Si a > < 167


DESIGUALDADES

168

1 1 5 > 4; se tiene 53 > 43 o 125 > 64, pero 5-3 < 4-3 o 125 < 64 .

Ejemplos.

16>

9,' se tiene 161/2>

5)

Si a > b Y e > d, se tiene (a

6)

Si a > b >

°

y

C

+

c) > (b

+

< 9-1/2

3, pero 16-1/2

91/2 04>

o

1

dr

1

4 < }.

se

di·

qi

> d > 0, se tiene ac > bd. S. D

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Si a > b Y e > d, demostrar Como

b) Y (e -

(a -

Luego (a - b)

2.

+

+

que a

e > b

d) son ambos

(e - d) > O,

(a

+

d.

positivos,

+

e) - (b

(a -

+

b)

+

d) > O

Y

+

(a

e) > (b

6.

+

D

d).

Encontrar a)

b) e) d) e)

1)

el error en el siguiente razonamiento: a Sean a = 3, b = 5, es decir, a2 Multiplicando por a, a2 _ b2 Restando b2, (a + b)(a - b) Descomponiendo en factores, a+b
(e - d) es positivo.

7. Si

< 5

Los pasos a), b), e), d) son correctos. El error se comete en e), ya que la desigualdad es un número negativo y, por tanto, hay que invertir el sentido de la desigualdad.

se divide por a - b que

8.

DI

sit 3.

Hallar a) b)

los valores de x para los cuales se verifican

4x

+

5 > 2x 1

x

+

Tenemos

9. 1

2x

3x - 2 e)

x2

<

<

2x>

4x - 2x > 9 - 5,

Multiplicando

2-3<3+2'

las desigualdades y

x>

2.

se

por 6 se obtiene

+

4x

4

siguientes:

3x - 4x

3,

<

2

+

-x

3,

<

x>

5,

M

-5

16.

9.

Método J. x2 - 16 < O, (x - 4)(x vo. Son posibles dos casos:

+

4) < O. El producto

1) x - 4 > O Y x + 4 < O simultáneamente. Es decir, x> ser, al mismo tiempo, mayor que 4 y menor que -4. 2) x - 4 < O y x + 4 > O simultáneamente. - 4 < x < 4. Luego Método

2.

< (16)1/2

(X2)1/2

Ahora

bien

(X2)1/2

(X2)1/2

<

(16)1/2 se puede escribir x

Si x ~ O,

(X2)1/2

<

(16)1/2 se puede escribir

<

4 Y -4

<

4 y x < -4.

+

O

4) es negati-

ya que x no puede

E:

= x si x;;;

<

(x - 4) por (x

Esto es imposible,

Es decir, x < 4 y x > -4.

Si x ;;; O,

Así, pues, O:;;; x

de los factores

O, Y

(X2)1/2

4. Luego O :;;; x

<

-x

<

4 o bien x>

-4.

x ~ O, o sea -4

<

x

<

Esto es posible únicamente

= -x

si x ~ O.

cuando

10.

DI

4. Luego

-4

<

x ~ O.

4.

Si du 4.

Demostrar

que a2

+

b2 > 2ab si a y b son números

reales.


DESIGUALDADES DESIGUALDADES

169

2ab, se tiene, O, o sea sea (a - b)2 > O. Esto Esto siempre siempre es cierto, cierto, ya que que el cuacuaSi a22 + b22 > 2ab, tiene, a22 + b22 - 2ab > O, drado de de un cualquiera, distinto distinto de cero, cero, es positivo. drado un número número real real cualquiera, positivo. anterior sugiere sugiere un de hacer demostración. Partiendo de de (a - b)2 > O O,, que que El razonamiento razonamiento anterior un método método de hacer una una demostración. Partiendo siempre que que a + b, se obtiene obtiene a22 - 2ab + b22 > O, o sea sea a22 + b22 > 2ab. se verifica verifica siempre

+

Obsérvese que que esta esta demostración demostración es, es, esencialmente, esencialmente, la misma que la del del primer Obsérvese misma que primer párrafo, párrafo, pues pues no no hay hay más más que invertir invertir el orden orden de los los sucesiwos sucesivos pasos de que que consta. consta. que pasos de

S.

Demostrar que que la suma suma de de un cualquiera con con su recíproco que 2. Demostrar un número número positivo positivo cualquiera recíproco nunca nunca es menor menor que Tendremos que que demostrar demostrar que que (a + ll/a) ;::;2 2 si a > O. /a) ;:::; Tendremos 2 2 2 2 ;::;2, ;::; 2a, a - 20 20 + 1 1 ;:::; ;::; O O Y 1)2 ;:::; ;::; O, lo cual cual es cierto. cierto. Si (a + ll/a) /a) ;:::; 2, se tiene tiene a + 11 ;:::; Y (a - 1)2 Para demostrar demostrar el teorema, de (a - 1)2 1)2 ;:::; ;::; O, que que sabemos sabemos es verdad. Para teorema, partimos partimos de verdad. Por tanto, ;::; O, a22 + 1 ;:::; ;::; lo, 20, y dividiendo dividiendo por Por tanto, a22 - 2a + 1 ;:::; por a, a + ll/a;::; /a;:::; 2.

6.

Demostrar que que a22 + b22 + e22 > ab + be + ea para los valores de a, a, b, e salvo salvo para =b = = e. Demostrar para todos todos los valores reales reales de para a = Como a22 + b22>> 2ab, 2ab, b22 + e22 > 2be, 2be, e22 + a22 > 2ea (véase (véase Problema Problema 4), sumando sumando tendremos tendremos Como 2(ab + be + ea) 2(a22 + b22 + e22)) > 2(ab o a22 + b22 + e22 > ab + be + ea será a22 + b22 + e22 = = ab + be + ca). ea). (Si a == b == e, será

7.

demostrar que que ae + bd bd < < 1. Si a22 + b22 == 1l Y e22 + d22 == 1, demostrar 2 2 2 2 2 2 2 2 > 2ae 2ae y b + d > > 2bd; 2bd; luego, luego, sumando sumando a + e > 2ae + 2bd. Zbd , (a 22 + b22)) + (e 22 + d22)) > 2ae

- b que

8.

o

2> loe 2ae + 2bd, 2bd, es decir, decir, 1 > ae + bd 2> bd

2x, si x e y son Demostrar que que x33 + y3 > > x2y son números distintos. x2y + yy2x, números reales reales positivos positivos y distintos. Demostrar Dividiendo por que es poSi x33 + y3 > x2y x2y + y2x y2x se tiene tiene (x + y)(x y)(x22 - xy xy + y2) y2) > xy(x xy(x + y). y). Dividiendo por x + y, y, que po_ sitivo, sitivo, 2 - xy xX2 xy

+ y2

> xy xy

o

2 - 2xy xX2 2xy

+ y2

O, es decir, decir, (x - y)2 que es cierto cierto si x > O, y)2 > O que

+ yy +

La demostración demostración se puede llevar a cabo cabo razonando en sentido sentido inverso. inverso. Partiendo de (x - y)2 > O, X La puede llevar razonando en Partiendo de obtiene se obtiene 2 _ xy xX2 xy

+ y2 >

xy xy

Multiplicando ambos y , tenemos tenemos (x + y)(x y)(x - xy xy + y2) y2) > xy(x xy(x + y) y) Multiplicando ambos miembros miembros por por x + y,

9. negati-

+ y,y, +

o

x33 + y3 > x2y x2y + y22x. x.

Demostrar que que ti' b" > an-Ib a"-Ib + ab,-I ab":", , siempre siempre que que a y b sean sean positivos distintos, y n > 1. Demostrar e/' + b' positivos y distintos, ti' + b' b" > e/' ti'-Ib ab">, , será será (e/' (ti' - e/'-Ib) ti'-Ib) - (ab,-I (ab":! -bol O Si e/' - Ib + ab,-I - b') > O

a,-I(a - I(a - b) > a"-I(a - b) - b, b"-I(a > O,

es decir, decir,

o

(a,-I (a"-I - bn-I)(a b"-I)(a - b) > >O O

o puede Esto es cierto, cierto, ya que ambos ambos factores factores son son positivos Esto ya que positivos o negativos. negativos. También se puede demostrar razonando en orden orden inverso inverso al expuesto. expuesto. También puede demostrar razonando en

cuando

10.

1 1 Demostrar que que a33 + 3" 3" > a22 + 2" 2" Demostrar a a

O Ya si a > O

+ 1. +

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad desigualdad por (que es positivo, que a > O), tenemos Multiplicando ambos miembros de por a33 (que positivo, ya que tenemos (aS - 1 1 )(a - 1) 1) > O a66 -- aS - a + 11 > O y (aS a66 + 11 > aS + a, ambos factores factores son son positivos, mientras que que si O O < a < 1 ambos ambos son son negativos. En cualquier cualquier caso caso el proSi a > 1 ambos positivos, mientras negativos. En producto es positivo. cero.) ducto positivo. (Si a == 1, el producto producto es cero.) También se puede. demostrar razonando orden inverso. También puede. demostrar razonando en orden inverso.


DESIGUALDADES

170 11

.

S' b I a, ,e,

d

Método

(a

+

e)d>

. numeros

,son

e(b

+ +

S·I ab

l.

+

d), ad

. . a e d POSItiVOS y b > d' emostrar

»: d' e

el"

+

mu tiplicando

cd > be

+

+

por d(b

+ +

a que b

15. Deter

e e d > d'

d), se obtiene a e por bd resulta, b > d' que se verifica por hipó-

cd, ad > be; dividiendo

1 Y

tesis. También Método

12.

Demostrar

a)

se demuestra a Como b>

2.

razonando e

en orden

. a se tiene b

d'

+

inverso.

e e b > d

+

e

a

+

'i: -b-

e

x2 - y2 >

X -

Y

si

x

+

y >

y x > y

b)

x2 - y2 <

X

Y

si

x

+

y >

y x
Como x > y, x - y > O. (x

Multiplicando

+

ambos

miembros

y)(x - y) > (x - y)

(x

+

y)(x - y) < (x - y)

+

de x

b) Como x < y, x - y < O. Multiplicando ambos miembros se invierte el sentido de la desigualdad; luego

y >

por el número

positivo

x - y,

y > 1 por el número

negativo

x - y,

X -

+

de x

x2 - /

o

d)

bd

x2 - y2 >

o

+

e(b

>

que a)

-

=;

16.

Si a

17.

Si a

18.

Halla

Y

y

al 2 13 .

Demostrar

a v b r: 2ab que -> y ab > -2 a + b

a)

b >

Si a;

fo, se

tiene

(a - b)2 > Oque es cierto b)

(a

si a

el razonamiento,

a De a) y b), --

+

+ b.

si a y b son positivos

+

b

2

Invirtiendo

tenemos

eL.

> yab

a2

b)2 > (2fo)2,

4a2b2 se tiene ab > -(---2' a + b)

eL. 2ab Si yab > --b' a +

Invirtiendo

. . es yCb ao, y l a me dila armoruca

d e dos a + bId' a me la geometnca .. os ni numeros a y b es -2-'

L a me d'la antmetica . ..

+

es a 2ab +b.

y distintos. 2ab

el razonamiento,

+

¿par¡

cuam

b2 > 4ab,

tenemos

19.

20. Dem

a+b

-2--

a2 - 2ab

+

b2 > O

Y

21.

Dem

eL. > yab.

22. Dem (a

+

b)2 > 4ab

y

(a - bl

> O

+

queesciertosia

b.

23. Dem

eL. 2ab yab > --b' a+

24. Si a

2ab

25. Dem

> --b' a +

26. Dete 14.

Hallar los valores de x para los cuales a) x2 - 7x a)

x2 - 7x

+

12 = (x - 3)(x - 4) = O

+

12 = O, b) x2 - 7x

para x = 3

12 > O, e) x2 - 7x

+

12 < O.

(x - 3) > O Y (x - 4) > O simultáneamente,

(x - 3) > O Y (x - 4) > O simultáneamente

cuando

x > 3 Y x > 4, es decir, cuando

x > 4

(x - 3) < O Y (x - 4) < O simultáneamente

cuando

x < 3 Y x < 4, es decir, cuando

x < 3,

Luego x2

-

7x

+

12 > O

se verifica cuando

x > 4

x2 - 7x + 12 < O o (x - 3)(x - 4) < O cuando cuando (x - 3) < O Y (x - 4) > O simultáneamente.

(x - 3) > O

Y (x - 4) < O

3) > O

Y

(x -

4) < O

simultáneamente

cuando

x

(x -

3) < O

Y

(x - 4) > O

simultáneamente

cuando

x < 3 Y x> 4,

Luego x

-

7x

+

12 < O

se verifica cuando

o para SOLUC](

18.

a)

19.

a>

x < 3.

o

(x -

2

a)

;

4.

ó

27. Dete

x2 - 7x + 12> O o (x - 3)(x - 4) > O para (x - 3) < O Y (x - 4) < O simultáneamente.

b)

e)

+

simultáneamente,

> 3 Y x < 4, es decir, cuando

3 < x < 4.


que es absurdo.

o

3 < x < 4.

26. a) 27. a)

DESIGUALDADES DESIGUALDADES

15. 15.

171

Determinar gráficamente gráficamente el el campo campo de de variación variación de de xx definido definido por por Determinar 2x -+ 2x 2x + 2x + 2x 2x -+

a) a)

2 xX2 2 xX2 2 e) xX2 e)

b) b)

33 ;,O O 33 > OO O 33 < O

La figura figura representa representa la la gráfica gráfica de de la la función función definida definida por por La 2 + 2x = xX2 2x - 3. 3. De De ella ella se se deduce deduce que que yy = = O O para para yy =

a) a)

= 1, xx = = -3 -3 xx =

x> 1 oo xx < -3 -3 x> -=3 < xx < 11 --=3

b) y> y> O O para para b) e) yy < OO para para e)


b, demostrar demostrar que que a - e > b - e siendo siendo e un un número número real real cualquiera. cualquiera. Si a > b,

17. 17.

O demostrar demostrar que que ka ka > kb. Si aa > b YY k > O

18. 18.

Hallar los los valores valores de de x para para los los cuales cuales se verifican verifican las las desigualdades desigualdades siguientes: siguientes: Hallar a) a)

y

2(x 2(x

+ 3) >

3(x 3(x - 1) + 6

19. 19.

¿Para qué qué valores valores de de aa será ¿Para será (a

20. 20.

Demostrar i(a + b Demostrar que que -Ha = b. cuando cuando a = b. 22

22)

)

x

b) b)

+

-

4

2

2x 2x

1

3

3

6

-+ - < - --

2(2a 3) < 2(2a

+

e) e)

1

3

7

+ -4x >+ 4x > 8 8

:; x

d) d)

I)? 1)?

!1; ~ ab ab para para todos todos los los valores valores reales reales de de aa y b, YY que que la igualdad igualdad solo solo se verifica verifica

21. 21.

1 Demostrar Demostrar que que x

22. 22.

X2 + y2 y2 x2 Demostrar que que Demostrar --- -- < x x+y x+y

23.

Demostrar que xy Demostrar que xy

24. 24.

1 1 n un entero entero positivo, demostrar que que a e: an+ 1 > a" Si a > O, a =F 1 Y n es un positivo, demostrar + 1 + --... a" + -;n .-

25.

Demostrar que Demostrar que

26.

Determinar los valores verifican las desigualdades Determinar valores de x para para los cuales cuales se verifican desigualdades siguientes: siguientes:

b.

2

x+y x+y

._ SI XX

+y

_. son pOSitiVOS e y son positivos y x =F y. y.

*"

si x> x > O, Y y>> O.

1 !1; ~ x + y

si x !1; ~ 1 e y !1; ~ 1 o si x ~ ~ 1 e y ~ ~ 1.

*"

a) a)

27.

1

y

+ - > ---

+

Xl x2

+

a"

j2 j2 + j6 j6

2x 2x - 24 24 > >O O

2 xX2 >9

< <

a"

J3 j3 + .¡s. fi· x

b) b)

2 -X2

6 < x

e)

3X2 3x2 --

2x 2x < < 1

Determinar por a) Determinar gráficamente gráficamente el campo campo de de variación variación de x definido definido por a)

X2 x2 -

d) d)

1l 7 3x 3x + - > x 2

3x 3x - 4 > >O O,, b)

2Xl 2X2 -

5x 5x + 2 < O.

SOLUCIONES DE PROPUESTOS SOLUCIONES DE LOS LOS PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS 18. 18. a)

x < <3

b)

x>2 x> 2

e)

0O
d) d)

x<-30x>3 x < -3 o x> 3

e) e)

--3 3

1

19. 19.

a> a> -'3 3

26.

a) x>4 x> 4 o x < < -6 -6

27. 27. a) x>4 x > 4 o x x < < -1 -1

b)

-2 <
1

< xx < < <

1

b) 2

d) d)

> x.r >

2

'3 3

O <
1

2 2

MULT

me

CAPITULO 20

Forma polar de los números complejos DIVISI gur UN NUMERO COMPLEJO es una expresión de la forma a + bi en la que a y b son números reales e i= La suma, resta, multiplicación y división de números complejos se ha expuesto en el Capítulo 8.

p.

REPRESENTACION GRAFICA NUMEROS COMPLEJOS

DE LOS

y 3 + 4i

Empleando un sistema de coordenadas rectangular, el número complejo x + yi se representa por, o se corresponde con, el punto cuyas coordenadas son (x, y). Por ejemplo: Para representar el número complejo 3 + 4i, se llevan 3 unidades sobre el eje X' X hacia la derecha de O y, acto seguido, 4 unidades hacia arriba.

-2 + 3i

FORMI 2i

x

I

-3

4

O

x

Est plo

-2i

Para representar el número - 2 + 3i, se llevan 2 unidades sobre el eje X' X hacia la izquierda de O y, luego, 3 unidades hacia arriba. Para representar el número - 1 - 4i, se lleva unidad sobre el eje X' X hacia la izquierda de O y, a continuación, 4 unidades hacia abajo. Para representar el número 2 - 4i, se llevan 2 unidades 4 unidades hacia abajo.

2-4i

-1-4i

RAICE:

yl

Lm

sobre el eje X' X hacia la derecha

de

O y, luego,

Los números imaginarios puros (como son 2i, - 2i) vienen representados eje Y' Y. Los números reales (como son 4, - 3) son los puntos del eje X' X.

por los puntos del

Las FORMA

POLAR

DE LOS NUMEROS

eey r(cos O +

En la figura, x = r cos x

+ yi

=

COMPLEJOS

= r sen

e.

y

ak

Por tanto,

i sen O) %

La expresión r(cos e + i sen e) es la forma polar, y x + yi es la forma binómica del mismo número complejo.

J

La longitud r = x2 + y2 es siempre positiva y se llama módulo o valor absoluto, del número complejo. El ángulo O se denomina amplitud o argumento. 172


+ yi

y

--~~~---%-----L-----X

FORMA POLAR DE NUMEROS COMPLEJOS FORMA POLAR DE LOS LOS NUMEROS COMPLEJOS

173

MUL DE NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS MUL TIPLICACION TIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS EN EN FORMA FORMA POLAR POLAR El módulo producto de dos producto de sus módulo del producto dos números números complejos complejos es el producto sus módulos módulos y y el arguargumento mento es la suma suma de sus sus argumentos. argumentos.

Por Por ejemplo, ejemplo, 4(cos 4(cos 45° 45°

+ ¡sen i sen 45°) 45°) 7(cos 7(cos 30° + ¡sen i sen 30°) 30°) == 28(cos 28(cos 75° + ii sen sen 75°).

DIVISION NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS DIVISION DE DE NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS EN EN FORMA FORMA POLAR POLAR El módulo módulo del del cociente cociente de los los números números complejos complejos es igual igual al cociente cociente de los los módulos módulos y el arargumento igual a la diferencia gumento es igual diferencia de los argumentos argumentos del dividendo dividendo y y divisor. divisor. reales lo en

6(cos 82° 82° + . 6(cos Por 500 Por ejemplo, ejemplo, 2( 500 cos + cos

sen 82°) 82°) ii sen oo. . 500) == 3(cos 3(cos 32 + sen sen

1

FORMULA DE La potencia enésima FORMULA DE MOIVRE. MOIVRE. La potencia enésima r(cos r(cos {} (J [r(cos [r(cos {} (J

x

+ ii sen

{})J" (J)J"

° sen 32 ).

. . I1 sen

+ ii sen (}) (J) es

= = r"(cos r"(cos n{} n(J

+ ¡sen i sen n{}) n(J)

Esta para todo Por ejemEsta relación relación es la fórmula fórmula de Moivre Moivre y se verifica verifica para todo valor valor real real del exponente. exponente. Por ejemplo, si el exponente Iln, plo, exponente es una una fracción fracción lln, [r(cos {} (J [r(cos

sen (})Jl (J)Jl/" /" + ii sen

= r1 r1/"(cos ~ = /"(cos f!..

n

i sen f!..) ~) + ¡sen

n

RAICES DE DE UN UN NUMERO COMPLEJO EN EN FORMA FORMA POLAR. POLAR. RAICES NUMERO COMPLEJO

cos cos {}(J Luego (x (x Luego

+ yi)l/" yi) l /"

= cos = cos ({} «(J

= [r(cos [r(cos {} (J =

+ k 360°) 360°)

Y

sen sen {}(J

entero cualquiera, cualquiera, Si k es un un entero

= = sen sen ({} «(J

+ k 360° 360°) )

sen {})J (J)Jl/"1/" + ii sen

= {{r[cos «(J = r[cos ({} = r1/"[ r1/"[ cos cos {}(J =

360°) + ii sen ({} «(J + k 360 360 )W + k 360°) )W1" 1" 00

sen _(J _+_k_3_60_o + k 360° + ii sen _{}_+_k_3_60_ o]

n

n

Un número número cualquiera cualquiera (real (real o complejo), complejo), excepto excepto el cero, cero, tiene tiene n raíces raíces enésimas enésimas distintas. distintas. Un Las n raíces raíces enésimas enésimas de un número complejo complejo x + yi, (cos {}(J + ii sen (}), (J), se obtienen obtienen dando dando un número yi, o bien bien r (cos Las los valores valores sucesivos sucesivos O, 1,2, 1,2, 3, ...... , n - 1, en en la fórmula fórmula anterior. anterior. a k los

yi

x


174 174

FORMA COMPLEJOS FORMA POLAR POLAR DE LOS NUMEROS NUMEROS COMPLEJOS

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS

3.

)-

SUMA Y RESTA GRAFICAS GRAFICAS DE NUMEROS COMPLEJOS SUMA Y RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS 1. Efectuar Efectuar algebraica algebraica y gráficamente gráficamente las las operaciones operaciones indicadas: indicadas: l. a) 3i), b) a) (2 + 6i) + (5 + 3i), b) ((-4 - 4 + 2i) - (3 + 5i).

PP

yy

..

yy

7+9t 7+9t

4. -3

---------T--------~~---x ----------+---------~~---x

S.

-)

6.

J:

7.

Ha

--~---------------------x --~---------------------x (a) (a)

a) a)

Algebraicarnente, Algebraicamente, (2

+ 6i) + (5 + 3i)

= 7 =

9i. + 9i.

Gráficamente. Representemos los dos dos números complejos por p¡ y P22, , respectivamente, Gráficamente. Representemos los números complejos por los puntos puntos PI respectivamente, como indica indica la Figura Figura (a). (a). Uniendo P, y P22 con con el origen origen O y completando completando el paralelogramo de lados lados adyacenadyacenUniendo PI paralelogramo de como tes OP OP¡I y OP OP22, , el vértice (punto 7 + 90 9i) representa suma de de los los números complejos dados. dados. vértice P (punto representa la suma números complejos

b)

Algebraicamente. Algebraicamente. Gráficamente. Gráficamente.

= -- 7 - 3i. ( - 4 + 2i) - (3 + 5i) =

( - 4 + 2i) - (3 + 5i)

= ((= - 4

+

2i)

(- 3 + + (-

Sumemos ahora ahora ( - 4 5i). Sumemos

+

con ( - 3 - 5i). 5i). 2i) con

Representemos los los dos dos números complejos (-4 (-4 + 2i) Y (-3 (-3 - 5i) por los puntos P, y P22, , respectivamente, respectivamente, Representemos números complejos por los puntos PI como indica indica la Figura (b). Uniendo con el origen origen O y completando completando el paralelogramo lados adyacenadyacenUniendo P; PI y P22 con paralelogramo de lados como Figura (b). tes OP OP¡I Y el vértice (punto -7 -7 - 3i) representa diferencia (-4 (-4 + 2i) - (3 + 5i). . y OP22, , el vértice P (punto representa la diferencia Si).

al bl el

FORMA DE LOS LOS NUMEROS COMPLEJOS FORMA POLAR POLAR DE NUMEROS COMPLEJOS

ifl

y Hallar la forma forma polar de los los números complejos siguientes: siguientes: Hallar polar de números complejos

2. 2 + 2i

2+ 2i 2i 2+

Amplitud argumento, Amplitud o argumento,

ef) =

Módulo absoluto, Módulo o valor valor absoluto,

tg-¡ tg- I

= r =

2

2: ==

tg -" 11 ¡) = = 45°. 45°.

.J22+22 == J8 == .J22+22

2fi· 2fi·

Luego 2 + 2i = = ricos O + i sen sen O) O) Luego ricos O = 2fi 2fi (cos (cos 45 =

00

+ i sen sen 45") + 45")


--~--~--~----~---- x ~~--~~----~---x

FORMA POLAR DE LOS NUMEROS

3.

1 + J3i

1+

O = cos _,160° 2" =

Amplitud o argumento, Módulo o valor absoluto, Luego

4.

1 + fii

r== J3+I

/3" i

.

= 2.

= ,(cos O + i sen O) = 2(cos 60° + i sen 60°)

--~--L---~---------X

-3 + 3i 0= 180° - 45°

5.

175

COMPLEJOS

=

135°,

-1 - J3i 0= 180° + 60°

6. J3

=

J9+9

,=

=

240°, r

=

=

J3+I

luego -3 + 3i

3)2;

=

=

2; luego -1 - J3i

(cos 135° + i sen 135°)

3)2

2(cos 240° +

i

..

sen 240°)

- i 0= 360° - 30°

=

330°, r

=

J3+I

=

2; luego J3

y

y

Problema 4

Problema 5

=

5.

0=0°,

b)

2i.

O

e)

-4.

0= 180°, r

d) -4i.

O

=

=

r

90°, r

270

0 ,

5; luego 5

=

r

=

2; luego 2i

i

=

a)

5,

b)

2i, e) -4,

d)

-4i.

5(cos 0° + i sen 0°).

=

2(cos 90° + i sen 90°).

=

4; luego -4

=

4(cos 180° + i sen 180

=

4; luego -4i

=

4(cos 270 + i sen 270°).

0 ).

0

y

y

2(cos 330° + i sen 330°)

Problema 6

7. Hallar la forma polar de los números complejos siguientes: a)

-

y

y

2i

X

°

v'0'"

2

-O:;:-l--~5-~-X

x (a)

-4 90°

5

X

O (b)

4

O

(e)


X

4 -4i

(d)

..

I

176 176

FORMA FORMA POLAR POLAR DE DE LOS LOS NUMEROS NUMEROS COMPLEJOS COMPLEJOS

. "Escribir los los números números complejos complejos siguientes siguientes en en lala forma forma rectangular rectangular (a(a ++bi). bi). 8_8.- "Escribir 2(cos 30° 30°++ i i sen sen 30°) 30°) a)a) 2(cos c + 6(cos 60 60° + i i sen sen 60°) 60°) b)b) 6(cos

e) 10(cos 10(cos 45° 45° ++ ;i sen sen 45°) 45°) e) d)d)

3(cos 90° 90° ++ i i sen sen 90°) 90°) 3(cos

b)

2(1J3 ++ti) íi) == J3 J3 ++ i i == 2(1J3 6(í ++ tJ3i) tJ3i) ==33++ 3J3; 3J3i ==6(1= 10(í12 10(1.)2 ++ íJ2i) í.)2i) == 512 5.)2 ++ 5J2; 5.)2i =

==

2

A

3(0 +-+- i)i) == 3i3i 3(0

2(cos 150° 150° ++ i i sen sen 150°) 150°) == 2(-tJ3 2( -íJ3 ++ ti) Íil == -J3 -J3 ++ i i e)e) 2(cos

G

8(cos 240° 240° ++ i i sen sen 240°) 240°) == 8(-t 8( -í -- íJ3i) ífti) == -4 - 4 -- 4J3; 4fti f)f) 8(cos g) 6(cos 6(cos 315° 315° ++ ii sen sen 315°) 315°) == 6(íJ2 6(1.)2 -- tJ2i) íJ2i) == 312 3.)2 -- 312; 3.)2i g) h) 4(cos 4(cos 720° 720° ++ ii sen sen 720°) 720°) == 4(cos 4(cos 0° 0° ++ ii sen sen 0°) 0°) == 4(1 4(1 h)

O) = = 44 ++ O)

PRODUCTOS yY COCIENTES COCIENTES EN EN FORMA FORMA POLAR POLAR PRODUcrOS

POTENCli

9. Efectuar Efectuar las las operaciones operaciones indicadas indicadas expresando expresando los los resultados resultados en en forma forma rectangular. rectangular. 9. ll. a) a)

[4(cos 20° 20° + + ii sen sen 200)][3(cos 200)][3(cos 25° 25° + + ii cos cos 25°)] 25°)] = = 12(cos 12(cos 45° 45° + + ii sen sen 45°) 45°) [4(cos

== b) b)

12(í12 12(1.)2 + + íJ2;) íJ2i) = = 612 6.)2 + + 6J2; 6J2i

18° + + ii sen 18°)][5(cos 18°)][5(cos 42° + + ii sen 42°)] 42°)] = = 10(cos 10(cos 60° + + ;i sen 60°) 60°) [2(cos 18°

==

10(1 10(1 + tJ3i) ífti)

==

5 + 5J3; 5fti

[3(cos 80° 80° + i sen sen 800)][6(cos 800)][6(cos 130° 130° + ;i sen 130°)] 130°)] = = 18(cos 210° + ii sen 210°) 210°) e) [3(cos 18(cos 210° = =

d) d)

e) e)

Hallar tangul

18(-íJ3 - ti) 18(-íft íi)

= =

a)

[4

b)

[3

e)

[2

d)

(el

e)

(1

f)

(1

g)

(t.

-9J3 -9J3 - 9; 9i

12(cos ¡;; ¡;; 12(cos 54° 54° + i sen sen 54°) 54°) lo lo = 4(cos 4(cos 30° 30° + i sen sen 30°) 30°) = = 4(í", 4(1", 3 + íi) ti) = = 2", 3 + 2i 2; = 3(cos 3(cos 24° 24° + i; sen sen 24°) 24°) ¡;; 4J2(cOS 4J2(cos 45° 45° + + i; sen sen 45°) 45°) ¡;; 2 3 50 .-270° + i; sen sen -270°) _270°) 2( 3150 33 ° == 2",2(cos -270° cos I + 11 sen (cos sen 15) 15°)

2J2(cos 90° 90° + ii sen sen 90°) 90°) = = 2J2(0 2J2(0 + i);) = = 2J2i 2J2; == 2J2(cos 10. 10. Determinar Determinar analítica analítica yy gráficamente gráficamente los los productos productos yy cocientes cocientes indicados. indicados. a) a)

(J3 (J3 + + i)(-J3 ;)(-J3 ++ 3i) 3i)

++ 3i) Analíticamente : (J3 Analíticamente: (J3 + + i)(-J3 i)(-J3 3;) == -3 -3 ++ 3fti 3J3i -- fti J3i -- 33 == -6 -6 + + 2fti 2J3; Gráficamente : Gráficamente:

12. Halla

P, P, == J3 J3 ++ i i == 2(cos 2(cos 30° 30°++ ii sen sen 30°), 30°),

-J3 PP22 == -J3

2J3(cos 120° 120°++ i ; sen sen 120°), 120°), ++ 3i3;== 2J3(cos

PP = = P, P, . . PP22

PP

-6 -6 ++ 2/3 211'3i i

== 4J3lcos 4J3lcos

RAICES [

yy

150° 150°++ ii sen sen 150°) 150°)

a)

.J

-¡

yy -2

______________________ ~~~---------------------x

----------------------~~~---------------------x


177

FORMA POLAR DE NUMEROS COMPLEJOS FORMA POLAR DE LOS LOS NUMEROS COMPLEJOS

b) b)

yy

2j3i 2 - 2fii 11++ ii Analíticamente: Analíticamente:

22 - 2fi; 2j3i 11++;i

1I - i 11-- ii

2i 2 - 2;

2

j3) fi) -

= (I (I =

Gráficamente: Gráficamente:

PI p¡

=2

-

2fii 2j3i = 4(cos 4(cos

PI r,

M r: = 2...; 2...;2 255° = 2 (cos 255°

P P22

(I

+ j3)i fi)i

300° + i sen 300°),

P22 == fi(cos fi(cos 45° + i sen 45°), P == --

2j3i - 2fi 2.}3 2fii

yy

255°) + i sen 255°)

POTENCIAS NUMEROS COMPLEJOS POTENCIAS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

ll. Hallar Hallar las potencias indicadas de los números complejos siguientes, siguientes, expresando expresando los resultados forma rec11. potencias indicadas números complejos resultados en forma tangular: tangular:

a) a)

b) b)

e)

[4(CbS 15° + i sen 15°)]2 = = 422(cos 30° + i sen 30°) 30°) = = 16(í}3 16H.}3 + tn ti) = = 8}3 8.}3 + 8i [4(CbS 4 [3(cos [3(cos 45° + ;i sen 45°)]4 45°)]4 = = 3 (cos 180° + i sen 180°) == 81(-1 81(-1 + Oi) Oi) = = -81 -81 6(cos 480° [2(cos 80° + i sen 80°)]6 = = 26 480° + i sen 480°) [2(cos = 64(cos 120° = 64(cos

+ ;i sen 120°)

d) d)

64(-t + tfin tj3i) -32 + 32fi; 32j3i = 64(-t = -32 (cos 30° + i sen 30°)3 == 13(cos 90° + i sen 90°) 90°) = = 1(0 + i) == i

e) e)

(I

f)f)

(I 315° (I - ;)4 i)4 = [fi(cos [fi(cos

g) g)

lOO (t.}3 + tn ti)IOO = [I(cos [I(cos 30° + i sen 30°)]'00 30°)]'00 (t}3 =

+ ;)3 i)3

= =

[j2(cos [fi(cos 45° 45° + ;i sen 45°)]3 45°)]3

= 135° = 2j2(cos 2fi(cos = =

+ ;i sen 135°)

2j2( + tfin 2fi( -tj2 -tfi tfii)

= -2 = -2

+ 2i

+ i sen 315°)]4 315°)]4 = 4(cos 4(cos 1260° 1260° + i sen 1260°) 1260°) = -1 + Oí) = 4(cos 4(cos 180° + i sen 180°) = = 4( 4(-1 Oi) = = -4 -4 = = cos 120°

= cos 3000° 3000° =

3000° + i sen 3000°

+ ;i sen 120° == -t -t + tfii tj3i

RAICES DE LOS NUMEROS NUMEROS COMPLEJOS COMPLEJOS

12.

Hallar todas todas las las raíces indicadas (~I' etc.) y representarlas gráficamente: Hallar raíces indicadas (~I ' Z2' ' 2' etc.) representa rlas gráficamente:

a) a)

Jl6 (cos 60° + i sen 60°) Jl6(cos 60°)

= = 4(cos 4(cos

60° + k 360 60° + k 360 360' 2 + i sen 2

yy

30°) + i sen 30°) = 4(!-}3 4(!-.}3 + ti) ti) = = 2}3 2.}3 + 2i =

-_11

(k = = O) O) = = 4(cos 4(cos 30° (k

~2 ~2

(k

4(cos 210° + i sen 210°) 210°) = 1) = 4(cos

z,

________-+__~~~,-~-----x ________-+__

= 4( -!-}3 -!-.}3 - ti) ti) = = -2}3 -2.}3 - 2i =


~~~,_~-----x

178 178

FORMA FORMA POLAR POLAR DE DE LOS LOS NUMEROS NUMEROS COMPLEJOS COMPLEJOS

50° 50" 50°++ kk 360 360 50"++kk 360" 360' sen 55 ++ i ¡ sen 55 )) n0

h)h)

1 32(cos 50 50 ++ i ¡ sen sen 50°) 50°)== 2(cos 2(cos ~h2(cos 0

n

yy

O) == 2(cos 2(cos 10° 10° ++ i ¡ sen sen 10°) 10°) = O)

;:,: , (k(k =

/

I

:3 (k(k = = ;:)

I

2) == 2(cos 2(cos 154° 154° ++ i¡ sen sen 154°) 154°) 2)

(k (k

"

- ... . . . .... ,

\ Z1

~' ++__~~~~L-~~X ~'----~--~~~~L,~~X

2(cos 298° 298° ++ i¡ sen sen 298°) 298°) == 4)4) == 2(cos

\

\

0° 0° 0° + + kk 360° 360° 0° + + kk 360° 360° ,ys == 8'/) 8"3 == [8(cos [8(cos 0° 0° + + í¡ sen sen 0°)]'/) 0°))"3 == 2(cos 2(cos sen ys ++ í¡ sen )) 33 33

O) == 2(cos 2(cos 0° 0° + + í¡ sen 0°) 0°) == 2(1 2(1 + + Oí) O¡) == 2 == O) ;:2 =2 (k(k == 1) == 2(cos 120° ++ í¡ sen 120°) == 2(-,-í 2(-,-í + + íflí) íJ3'¡) == -1 -1 + + flí J3'¡ :;:)3 (k (k = = 2) == 2(cos 240° + i¡ sen 240°) == 2( -í-í - ífli) íJ3'i) == -1 -1 - flí J3'¡

(k "'z , (k

yy

y

______+-_.Jo:,:~...L.......:2:..._ +-_~~~~2~__.• .Z1~X _____ Z;...1- X

(d) (d)

(e) (e)

d)

P

= (_1)' /3 = [I(cos

180° + ¡ sen 180°)]' /3 = cos

180° + k 360° 180° + k 360° 3 + ¡ sen 3

=,=, (k(k ===' O)O)== cos cos 60° 60° ++ ¡í sen sen 60° 60° == íí ++ íJ3'¡ íflí == 1)1) == cos cos 180° 180°++ ¡i sen sen 180° 180°= = -1 -1 =3=) (k(k == 2)2) == cos cos 300° 300° ++ ¡í sen sen 300° 300° == íí --

, \

Z2. Z), Z). Z., Z4' z" Zs. esesObsérvese que que las las raíces raíces z"z,. Z2' Obsérvese tán situadas situadas sobre sobre una una circunferencia circunferencia cuyo cuyo radio radio (2) (2) tán es el el módulo módulode de cada cada una una de de ellas, ellas.yyque que el el ángulo ángulo forfores 360° 360° mado por por dos dos raíces raíces consecutivas consecutivas es es -5-5- = = Tl", 72°, mado

e) e)

,,

\

II I I:

=4 (k(k == 3)3) == 2(cos 2(cos 226° 226° ++ i¡ sen sen 226°) 226°) z,

//

Z3 23I I

_. Z5

//

-

.> .....

/ "'

=2 (k(k == 1)1) == 2(cos 2(cos 82° 82° ++ i ¡ sen sen 82°) 82°)

;:2

:2 ;:2 (k (k

íJ3'¡ íflí

13. 13. Hallar Hallar las las raíces raíces siguientes siguientes:: a) a) Raíces Raíces cuartas cuartas de de 1.1. b) b) Raíces Raíces cúbicas cúbicas de de 11-- ¡í e) e) Raíees Raíces cúbicas cúbicas de de -8¡ - 8í d) d) Ralees Ralces cuartas cuartas de de 22 ++ 2J3'¡ 2ftí



a)

,

11/4

=

[I(cos

0°

+ ;

=

sen 0°)]'/4

O"

+

COS

k 360"

4

+ ;

b)

\ \

4

(k

= O) = cos 0° + ; sen 0° = 1 + O; = 1

:3 (k = 2) = cos 180" +; sen 1800 = -1

=2

(k

= 1) = cos 90° + ; sen 90° = O + ; = ;

Z4 (k = 3) = cos 270"

(1 - ;)'/3

=

[J2(cos

+ ;

315°

\ 2,

ie'' I

O" + k 360° sen --,---

=, \

\

179

COMPLEJOS

sen 315°)]'/3

=

,i2(cos

=3

I

k 360° 3

+ ;

sen 105°)

,i2(cos

225°

+ ;

sen 225°)

(k = 2) = ,i2(cos

345°

+ ;

sen 345°)

270°

+

=

Z2 (k

I

+

105°

z, (k = O) = ,i2(cos

X

I

315°

1)

=

+ ;

+ ;

sen 270° = =i

315°

sen

+

k 360° 3 )

I I /

e)

(- 8i)'!3

=

[8(cos 270°

+;

:,

(k

= O) = 2(cos 90° + ; sen 90°) = 2(0 + ;) = 2;

"2

(k

= 1) = 2(cos 210° + ; sen 210°) = 2(-!)3

Z3 (k = 2) = 2(cos 330°

d)

sen 270°)) 1/3 = 2(cos

(2

+

2J3i)1/4

=

+ ;

[4(cos 60° 15°

=2

105°

= 1) = J2(cos

+ ;

+;

z, (k = O) = J2(cos (k

sen 330°) = 2(!)3 sen 60°)]'/4

sen 15°)

+ ;

sen 105°)

=

3

k 360°

+ ;

- !;) = -)3 - !i) = )3 J2(cos

60°

sen

270°

+

k 360° 3 )

- ;

- ;

+

k 360° 4

./

+ ;

60°

sen

+

k 360° 4 )

Z3 (k = 2) = J2(cos

195°

+ ;

sen 195°)

Z4 (k = 3) = J2(cos

285°

+ ;

sen 285°)

y

2,

Y

2,

23

X

X

X

O

23

22

2.

(b)

(a)

y

22

Y

2,

2

X

X

2.

22

2.

(d)

(e)


180


COMPLEJOS


Efectuar a) b)

analítica

y gráficamente

las operaciones

(3 + 4i) + (4 + 3i) (2-i)+(-4+5i)

SOLVe

indicadas:

(4 - 3i) - (-2 + i) ( - 2 + 2i) - (- 2 - i)

e) d)

14.

a)

15.

a)

b) 15.

Escribir

los siguientes

números

complejos

en forma

polar: e)

a)

3 - 3i

b)

-J3

+

i

e)

4 -

d)

-5

4J3i

e)

6J3

+

f)

-4

- 4i

g) 2

6i

i)-2i

iJ3

h)

j)

d) -1

+

i e)

16.

Escribir

los números

complejos

siguientes

en la forma

rectangular

(a + biv.

, 16.

17.

a) 4(cos 45° + i sen 45°)

f)

b) 12(cos 30° + i sen 30°)

g) 2(cos 300° + i sen 300°)

6(cos 120° + i sen 120°)

h)

d)

8(cos 180° + i sen 180°)

i)

8(cos 90° + i sen 90°)

e)

3(cos 270° + i sen 270°)

j)

16(cos 210° + i sen 210°)

las operaciones

indicadas.

a)

[3(cos

b)

[4(cos 40° + i sen 400)J[5(cos

e)

[2(cos

d)

15° + i sen 15°)J[2(cos

100°

+

expresando

los resultados

1,

5(cos 230 + i sen 23°)

g)

[2(cos

h)

290° + i sen 290 )J

a)

19.

a)

20. a) 40° + i sen 40°) b)

3(cos 190° + i sen 190°)

84° + i sen 84°)J[5(cos

24' + i sen 24°)J

12(cos 16° + i sen 16°) [3(cos 44° + i sen 44°)J[2(cos

18.

b)

0

6J3(cos

12° + i sen 12°)J[3(cos

rectangular:

0

f)

a)

b)

50° + i sen 50 )J

20(cos 83° + i sen 83°) e)

en forma

17.

75° + i sen 75°)J 20° + i sen 200)J

i sen 1000)J[4(cos

[6(cos 25° + i sen 25°)J[3(cos

b)

5(cos 360° + i sen 360°)

e)

Efectuar

a)

225° + i ser 225°)

10J2(cos

e)

62° + i sen 62°)J d)

. 18.

Hallar

a)

19.

y gráficamente

analítica

(-1

+

J3i)(2J3

y cociente

el producto

indicados: 4 - 4i

e)

J3

f)

b)

-2i)

- i

Hallar las potencias indicadas de los números complejos siguientes, expresando

b) [5(cos 30° + i sen 30°)]3

d)

0

0

e)

[J2(COS 36°

+ i sen 36°)J5

j)

g)

[4(cos 200 + i sen 20°)]3 (_1

e)

b) [5(cos 30 + i sen 30 )J3

los resultados en forma rectangular.

+ i)6

g)

(tJ3

- ti)'0

h)

(tJ2

+

h)

tJ2i)30

(1 + J3i)7 i)

20.

Hallar

todas

las raíces indicadas

y representarlas

gráficamente: j)

a) J4(cos b) .j'81(cos e)

,y8(cos

d) ,y'32(cos

120° + i sen 120°) 1800 + i sen 1800) 60° + i sen 60°) 200° + i sen 200°)

e)

ft+i

f)

N2

g)

YI

h)

.yí6i

i)

1J3-i

j)

~2


-

2J3i

FORMA POLAR DE LOS NUMERaS SOLUCIONES

DE LOS

+

PROBLEMAS

+

PROPUESTOS

. 14.

a)

7

15.

a)

3)2(cos

f)

4)2(cos

225°

b)

2(cas 150°

+

i sen 150°)

g)

2(cos 0°

+

-2

b)

7i

+

3W

e)

4i

6 - 4i

d)

i sen 315°)

3i

e)

S(cos 300°

h)

J3(cos

5(cos ISO°

+ +

i sen 300°)

d)

i sen ISOO)

i)

2(cos 270°

e)

12(cos 30°

+

i sen 30°)

j)

)2(cos

a)

2)2

+

2)2i

e)

b)

6J3

+

6i

d) -S

a)

6i

b)

10

18.

a)

Si

19.

a)

-2J3

b)

125i

a)

2(cos 60°

+

i sen 60°),

b)

3(cos 45°

+

i sen 45°),

, 16.

17.

20.

+

-3

e)

+

b)

+

3fii

-4J3

d) 9)2

lOJ3i J3

+

1

+

e)

2i

+

e)

-3i

f)

-10

+

- 9)2i

2(cos 240°

+

64

2fii

g)

-15

- fii

h)

-2i

g)

t+

h)

-i

+

Si

j)

-sJ3

- Si

15J3i

+

64fii

tfii

3(cos 225°

+

i sen 225°),

i sen 140°),

2(cos 260°

+

i sen 260°)

i sen 112°),

2(cos IS4°

+

i sen IS4°),

2(cos 40°

+

i sen 40°),

2(cos 112°

+

+

2(cos 32So

i sen 256°),

+

+

f)

5

i)

i sen 135°),

d)

2(cos 252°

Si

h)

fii

+

+

2(cos 36°

e)

1-

3(cos 135°

2(cos 140°

f)

-3

g)

i sen 135°)

i sen 315°)

i sen 20°),

15°

f)

+

i sen 240°)

+

fi(cos

+

2

i sen 225°)

+ i sen 90°) + i sen 270°)

135°

10i

e)

-4)2

2(cos 20°

e)

90°

+

i sen 0°)

(1 - J3)i

e)

2(cos 256°

-

4i

d) 32 + 32fii

3(cos 3150

181

COMPLEJOS

i sen 15°),

2(cos

i sen 36°),

+

fi(cos

135°

10So

+

2(cos 3240

i sen 252°),

+

i sen 32S0)

+

i sen 135°),

i sen 10SO),

+

fi(cos 2(cos ISO°

255°

+

+

i sen 255°)

i sen ISOO),

i sen 324°)

ngular.

+

g)

cos 0°

i sen 0°,

h)

2(cos 22,5°

+

i)

fi(cos

j)

.,y4( cos 60°

110°

.,y4(cos 276°

i sen 22,5°),

+

2(cos 292,5°

cos 120°

cos 240°

i sen 120°,

2(cos 112,5°

+

i sen 112,5°),

+

i sen 240", 2(cos 202,5°

+

i sen 202,5°),

i sen 292Y)

+

+

+

i sen 110°), i sen 60°),

+

i sen 276°),

fi(cos

2300

+

i sen 230°),

.,y4(COs 132" + i sen 132"), .,y4(COS 34So

+

fi(cos

350°

.,y4( cos 204°

i sen 34S0)


+

+

i sen 350°)

i sen 204°),

TEORE (x -

raíz ya I de;


Teoría de ecuaciones

REGLA sien la d

TEOREi al n:

UNA ECUACION ECUACION ENTERA ENTERA RACIONAL RACIONAL de grado grado n en la variable x es de la forma

entero y positivo y ao, al al' ' a22 ,, ••. ... ,, aa._¡, a.n constantes. constantes. La ecuación ecuación anterior anterior siendo n un número número entero n - I, a también se puede escribir así: x" x"

+ p¡x"-¡ Plx"-I + P22x"-2 x"-2 + .... .. + P._¡x Pn-IX + P. Pn

= =

Con

O O

al dividir por aoo =F mayor potencia potencia de x siempre es 1. '" O, con lo que la mayor 1.

.x:

4x33 - 2X2 + 3x 3x - 5 = = O, xX22 - J2x O Y x44 + px O son Las ecuaciones 4x J2x + ~ == O p x - 8 == O racionales enteras enteras en x de grados 3, 2 y 4, respectivamente. cada una respectivamente. Obsérvese que en cada una de estas exponentes de x son números enteros y positivos números enteros positivos y los coeficientes de la variable ecuaciones los exponentes constantes (números reales o complejos). son constantes

TEORB al rr

(x -

capítulo trataremos En este capítulo trataremos únicamente únicamente de las ecuaciones racionales enteras.

las ~

UN POLINOMIO POLINOMIO de grado grado n en la variable x es una función de x de la forma ao =F O ao '" O

entero y positivo, al' a22 , .. ... • ,, a a._¡, a.,n , constantes. constantes. Entonces,f(x) siendo n un número entero positivo, y aoo,, al' Entonces,f(x) n- I, a grado n en x. es una ecuación racional racional entera entera de grado x. Sif(x) = = 3x 3x33 Sif(x) Sif(x) = = xX22 Sif(x)

+

2 xX2

2x + 2x

= =

O O

+ 5x 5x - 6, se tienef(-2) 3(-2)3 + (_2)2 (_2)2 + 5(-2) 5(-2) - 6 == -36. -36. tienef(-2) == 3(-2)3 tienef(fi) = 5 - 8, se tienef(fi) =

IDENTI misr x so si A

2)5 -- 3. + 2j5 - 8 == 2)5

Todo valor de x que anule af(x af(x) ) recibe el nombre raíz de la ecuaciónf(x) ecuaciónf(x) == O. Por ejemTodo nombre de raíz f(x) == 3x f(2) == 24 - 8 plo, una raíz de la ecuación f(x) 3x33 - 2X2 - 5x 5x - 6 = = O O es 2, ya que f(2) lO - 6 6 = = O. lO

RAICES

,r TEOREMA TEOREMA DEL RESTO. esf(r). que se obtiene esf(r).

constante y se divide el polinomio Si r es una constante polinomio f(x) f(x) por por (x - r), el resto

mite

= 2X 2X33 - 3X2 3x2 - X Por ejemplo, en la división de f(x) f(x) = tanto, resto == f(f( - 1) 1) == -- 2 - 3 + 1 + 8 == 4. Por tanto,

2X33

2

-

3X2 3x - X x+l x+l

+ 8 == P(x) P(x) + _4_ _4_

x+l' x+l'

+ 8 por

x

= -1 -1 y + 1, se tiene r =

siendo P(x) P(x) un polinomio polinomio en x. x.

182


mal

183

TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES TEORIA DE

TEOREMA DEL ecuación f(x) = O, es decir, decir, f(r) = O, el binomio TEOREMA DEL DIVISOR. DIVISOR. Si r es una una raíz raíz de la ecuación f(x) = f(r) = binomio divisor def(x). divisor def(x), (x - r) es un un divisor def(x). Recíprocamente, Recíprocamente, si (x - r) es un un divisor def(x), el número número r es una una raíz de la ecuaciónf(x) ecuaciónf(x) = O, esto esto es,!(r) es,f(r) = O. raíz de 2 Por ejemplo, 2, - 3 son tres raíces raíces de la ecuación f(x) = x33 + 4x 4X2 + XX - 6 = O, Por ejemplo, 1, - 2, son las las tres ecuación f(x) ya =f(-2) =f(-3) = O. O. Por consiguiente, (x - 1), (x + 2) 2) y (x + 3) son son divisores divisores ya que que f(l) f(l) =f(-2) =f(-3) = Por consiguiente, 2 de 4X2 + XX - 6. de x33 + 4x

REGLA sencillo para dividir un REGLA DE DE RUFINI. RUFINI. Proporciona Proporciona un un método método sencillo para dividir un polinomio polinomio f(x) f(x) por por (x ± r), r), siendo r un dado. Por este método determinan los los coeficientes coeficientes del cociente cociente y el resto siendo un número número dado. Por este método se determinan resto de división. la división.

TEOREMA FUNDAMENTAL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL DEL ALGEBRA. ALGEBRA . compleja. al menos menos una una raíz raíz real real o compleja.

+ 22 tiene tiene = Jx + 33 no = no

Por ejemplo, x' 3x55 Por ejemplo, x 7 -- 3x erior

son estas iable

Toda ecuación ecuación racional entera f(x) O admite admite Toda racional entera f(x) = = O

por por lo menos menos una una raíz. raíz.

embargo,f(x) tiene que no existe un quej{r) O.. f(x) tiene raíces, raíces, ya que no existe un número número r tal tal que j{r) == O Sin embargo, Como esta esta ecuación ecuación no cumple el teorema fundamental del del álgebra. álgebra. Como no es racional, racional, no no cumple teorema fundamental

TEOREMA FUNDAMENTAL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL DEL ALGEBRA. ALGEBRA. compleja. una raíz raíz real real o compleja. al menos menos una Por ejemplo, 2X3 Por ejemplo, X3

+

5x2 5X2

Toda ecuación ecuación racional entera f(x) = O O admite admite Toda racional entera f(x) =

14x -- 8 = = O tiene que son son 2, - ~ -4. 14x tiene 3 raíces raíces que ~ y -4.

Algunas de las las raíces ser iguales. iguales. Por ejemplo, la ecuación ecuación de de sexto sexto grado grado raíces pueden pueden ser Por ejemplo, Algunas de 2)3 (x + 4) O tiene doble 5 5 y la raíz simple -4 -4; ; es decir, decir, 2)3 (x - 5)2 (x 4) == O tiene la raíz raíz triple triple 2, la raíz raíz doble raíz simple las seis raíces son 2, 2, 2, 5, 5, -4. -4. las seis raíces son (x -

=0

IDENTIDAD dos polinomios de grado grado n en los IDENTIDAD DE DE POLINOMIOS. POLINOMIOS. Si dos polinomios de en la misma misma variable variable x toman toman los mismos de n valores los coeficientes coeficientes de las las mismas de mismos valores valores numéricos numéricos para para más más de valores de x, x, los mismas potencias potencias de x son son iguales, iguales, y ambos ambos polinomios son idénticos. idénticos. polinomios son

Por ejemplo, 2x + 3 == Por ejemplo, la ecuación ecuación 5X2 5x2 - 2x 7(B - e) = = 3. si A == 5, B B + e == -- 22 Y Y 7(B

jem-

8-

AX2 AX2

+

(B (B

+

e)x Cjx

+

7(B una identidad 7(B - e) es una identidad

RAICES COMPLEJAS E IRRACIONALES RAICES COMPLEJAS IRRACIONALES complejo, a + bi, es una ecuación racional entera, , f(x) 1) Si un número número complejo, una raíz raíz de una una ecuación racional entera f(x) = = O, complejo conjugado, conjugado, a - bi, es también dicha ecuación ecuación., ., de coeficientes coeficientes reales, reales, el complejo también raíz raíz de dicha

resto

1Y

deduce, pues, que toda ecuación racional entera de grado grado impar impar con con coeficientes coeficientes reales adSe deduce, pues, que toda ecuación racional entera reales admite por lo menos menos una una raíz raíz real. real. mite por 2) ma ma a

ecuación racional entera j{x) = O O de coeficientes coeficientes racionales forSi la ecuación racional entera j{x) = racionales tiene tiene una una raíz raíz de la forsiendo a y b racionales irracional, , (f (/ -otra raíz ecuación. siendo racionales yy irracional es otra raíz de la ecuación.

+ fi, jb,

Jh Jh

Jh Jb


184

TEORIA ION ES TEORIA DE ECUAC ECUACIONES

RAICES RAICES RACIONALES RACIONALES 1) Sea h/c ecuación de coeficientes coeficientes enteros enteros bic una una fracción fracción racional racional irreducible irreducible que que sea raíz raíz dela dela ecuación

ci<

de

tre

Entonces. Entonces, b b es un divisor divisor de (In Un Y e lo es de ao. ao. Por = O, O. los valores valo res posibles posibles Por ejemplo. ejemplo, si b/ blcc es una una raíz raíz racional racional de 6x~ 6x~ + 5X2 5x2 - 3x 3x - 2 = de b son de 6, 6. que que son son ± 1, l. ± 2, ± 3, son los divisores divisores de 2. 2, que que son son ± 1, ± 2. 2, y los de e son son los divisores divisores de Por tanto. tanto, las posibles posibles raíces raíces racionales racionales son son ± 1, 1, ± 2, ± 1/ 1/2, 1/6, ± 2/3. ± 6. Por 2, ± 1/6. 2/ 3. 2) En estas I(x) = enter ·) s se escribe escribe con con el estas condiciones. condiciones. si una una ecuación ecuación f(x) = O O de coeficientes coeficientes enteros coeficiente x igual coeficiente de la mayor mayor potencia potencia de .v igual a l. 1, .v"

+

las raíces I(x) raíces racionales racionales de f(x)

r.s" + P2Xn-2 + ... + Pn Pn-IX P« - lX + Pn 1

= =

= =

OO

O O son son divisores divisores de Pn Pn''

pa pr la

ra

TRAN

ve pe es

Por ejemplo, ejemplo, si la ecuación ecuación x33 + 2X2 2X2 - Ilx Ilx - 12 = = O O tiene tiene raíces Por raíces racionales, racionales, éstas éstas deben deben ±2, ±3, ±3, ±4, ±4, ±6, ±6, ±±12. ser divisores divisores de 12; por por consiguiente. consiguiente, las únicas únicas posibles posibles son son ±I, ± 1, ±2, 12.

no últi METODO GRAFICO GRAFICO PARA PARA HALLAR HALLAR LAS RAICES REALES. REALES. METODO LAS RAICES Si f(x) f(x) = = O O es una una ecuación ecuación rarasus raíces raíces reales reales cional cional entera entera de coeficientes coeficientes reales, reales, se pueden pueden obtener obtener unos unos valores valores aproximados aproximados de sus trazando trazando la curva curva y = f(x) hallando los valores valores de x que que corresponden corresponden a los puntos f(x) y hallando puntos de de intersección intersección con el eje x (y == O). Un Un hecho hecho fundamental fundamental en este este método método es que que sif(a) con sif(a) y f(b) f(b) son son de de signo signo concontrario,f(x) = O O tiene, tiene, por por lo menos. menos, una una raíz raíz comprendida comprendida entre entre x = trario,f(x) = = aa y x = = b. Se justifica justifica por por la f(x) cuando f(x) es un polinomio coeficientes reales. reales. continu idad de la función continuidad función y == f(x) cuando f(x) polinomio de de coeficientes

son

de de es

de ACOTACION DE RAICES. RAICES. Un número número a se llama llama co cota superior de las ACOTACION DE Un ta superior las raíces raíces reales reales de de la ecuación ecuación f(x) ninguna de las raíces raíces es mayor mayor que que a. Se dice dice que que un número número b es cota f(x) == O, si ninguna cota inferior inferior de de las f(x) = O menor que determinar las las cotas cotas supesuperaíces reales de f(x) raíces reales O si ninguna ninguna de sus raíces raíces es menor que b. Para Para determinar rior las raíces. rior e inferior inferior de las raíces, se aplica aplica el teorema teorema siguiente: siguiente: n 1 Sea el polinomio f(x) == aoxn (In = que aoo,• al' al' .. son reales reales polinomio f(x) aoxn + alX alxn-I- + ... ... + pn = O, en el que ... . , ann son yao o > O ' ya O.. Luego: Luego: dividir f(x) por (x (x - a), a), siendo siendo a ~ ~ O, mediante mediante la regla regla de 1) Si al dividir f(x) por de Rufini, Rufini , todos todos los los coeficientes coeficientes polinomio cociente cociente (números (números obtenidos obtenidos en la tercera tercera fila) son son positivos del polinomio positivos o cero, cero , entonces entonces a es f(x) = una una cota cota superior superior de las raíces raíces reales reales de f(x) = O.

2) Si al dividir f(x) por de Rufini, Rufini, todos todos los los coeficientes coeficientes dividir fix¡ por (x - b), siendo siendo b ;2; 2 O, O, mediante mediante la regla regla de del polinomio positivos cero), entonces entonces b es una una cota cota polinomio cociente cociente son son alternativamente alternativamente positivos y negativos negativos (o cero), inferior j{x) = O. inferior de las raíces raíces reales reales de j{x) O.

METO irr,

RELA(

gu

exi 1)

REGLA DE DE LOS LOS SIGNOS SIGNOS DE DE DESCARTES DESCARTES REGLA Ordenando los términos términos de un polinomio polinomio f(x) coeficientes reales Ordenando f(x) de coeficientes reales según según las las potencias potencias dedecrecientes de x, diremos que que se produce produce una una variación variación de signo signo cuando cuando dos crecientes x, diremos dos términos términos consecutivos consecutivos Por variaciones de de signo, signo, y son son de signo signo contrario. contrario. Por ejemplo ejemplo, . x33 - 2X2 2X2 + 3x 3x - 12 tiene tiene 3 variaciones 7 5 4 2 2x 2x + 4 tiene 2x - 6x 6x5 - 4x 4x4 + xX2 - - 2x tiene 4 variaciones variaciones de signo. signo.


2) 3) 4)

tiei

¡SS IS5

TEORIA TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES

ros

La regla regla de Descartes Descartes de los signos signos establece establece que: que: El número número de raíces raíces positivas positivas de la ecuaecuación f(x) = f(x), o bien ción f(x) = O es igual igual al número número de variaciones variaciones de signo signo del polinomio polinomio f(x), bien a este este número número menos f(x) = menos un entero entero par. par. El número número de raíces raíces negativas negativas de f(x) = O es igual igual al número número de variaciones variaciones de signos bien a este signos de f(f( - x), .x), o bien este número número menos menos un entero entero par. par.

°

°

Por Por ejemplo, ejemplo, en la ecuaciónf(x) ecuación fix¡ == x99 - 2X5 2X5 + 2X2 2X2 - 3x 3x + 12 == O, 0, como como el polinomio/L,) polinomiof'(x) tiene f(x) = tiene 4 variaciones variaciones de signo, signo, el' número número de raíces raíces de ftx¡ = O son son 4, 4, (4 - 2) o (4 - 4). Por Por otra otra parte, f( -x) = 2( _X)5 + 2( _X)2 - 3( -x) + 12 = _x9 9 + 2X parte,f(-x) = (_X)9 (_X)9 - 2(_X)5 2(_X)2 3(-x) = _x 2x55 + 2X2 2x2 + 3x 3x + 12 = = O presenta variación de signo, f(x) = presenta una una variación signo, con con lo que que f(x) = O posee posee una una sola sola raíz raíz negativa negativa. . En resumen resumen, , la ecuación ecuación dada dada podrá podrá tener tener 4, 2 ó O raíces raíces positivas, positivas, 1 raíz raíz negativa negativa y, al menos, menos, 9 - (4 + 1) == 4 raíces complejas. complejas. (Hay (Hay 4,6 4,6 u 8 raíces raíces complejas. complejas. ¿Por ¿Por qué) qué) raíces

°

bles ±3,

el

°

°

°

TRANSFORMACION DE ECUACIONES TRANSFORMACION DE ECUACIONES Multiplicando Para Multiplicando cada cada raí:: rai: pOI' pOI' una constante. constante. Para obtener obtener una una ecuación ecuación cuyas cuyas raíces raíces sean sean k veces veces las correspondientes correspondientes a otra otra dada, dada, se multiplica multiplica el segundo segundo término término de ésta ésta por por kk,, el tercero tercero 3 por k22, , el cuarto cuarto por por kk.", etc.,, teniendo teniendo en cuenta cuenta los los términos términos de coeficiente coeficiente nulo nulo si los hay. hay. por , etc.

°

Por Por ejemplo, ejemplo, la ecuación ecuación cuyas cuyas raíces raíces sean sean dobles dobles de las raíces raíces de x33 - 3X2 3x2 -- 10x + 24 == O 2 3 es x33 - 3x (2) - IOx(2 3x22(2) 10x(22) ) + 24(2 24(23) ) = O, 0, es decir, decir, x33 - 6X2 6x2 - 40x 40x + 192 = O. ben

ecuación cuyas Cambiando Cambiando el signo signo de cada raí::. raiz, Para Para obtener obtener una una ecuación cuyas raíces raíces sean sean iguales iguales y de signo no contrario contrario a las de otra otra dada, dada, se cambia cambia el signo signo de los términos términos de grado grado impar impar de esta esta última. última.

raales ión

°

Por Por ejemplo, ejemplo, las raíces raíces de 2X 2X33 + 3X2 3x2 -- 3x 3x - 2 = = O son son 1, - ~~ y - 22;; entonces, entonces, - 1, ~ ~ y 2 son raíces raíces de la ecuación ecuación -2x -2x3 3 + 3X2 3x2 + 3x 3x - 2 = O, 0, es decir, decir, 2X33 - 3X2 3x2 -- 3x son 3x + 2 = O.

onr la

ión las pe-

Disminuyendo cada raí:: rai: en una constante. constante. Para obtener obtener una una ecuación ecuación cuyas cuyas raíces raíces sean Disminuyendo Para sean las otra dada, dada, fix¡ = O, 0, menos menos un número número 11, h, se divide divide ftx¡ por (x - 11), Iz), y el resto resto es el coeficiente coeficiente de otra f(x) = f(x) por último término término de la ecuación ecuación buscada. buscada. Dividiendo Dividiendo el cociente cociente obtenido obtenido por por (x - 11), Iz), el resto resto del último penúltimo término término de la ecuación, ecuación, etc etc.. Esta Esta operación operación se realiza realiza fácilmente fácilmente aplicando aplicando la regla regla es el penúltimo Rufini. (Véase (Véase Problema Problema 48.) 48.) de Rufini.

METODO DE DE HORNER. HORNER. Permite obtener, obtener, con con una una aproximación aproximación prefijada prefijada de antemano, antemano, las raíces raíces METODO Permite irracionales de una una ecuación ecuación racional racional entera entera. . (Véanse (Véanse Problemas Problemas 57-59.) 57-59.) irracionales

ales RELACIONES ENTRE LAS RAICES yy LOS LOS COEFICIENTES. COEFICIENTES. RELACIONES ENTRE LAS RAICES que el coeficiente coeficiente de la mayor mayor potencia potencia de x sea 1, 1, que

una ecuación, ecuación, escrita escrita de forma forma En una

existen las siguientes siguientes relaciones relaciones entre entre los coeficientes coeficientes y las raíces: raíces: existen 1) 2) 2)

devos , y

P 1 == suma suma de las las raíces; raíces; - PI P2 == suma suma de los productos productos de las rakes raíces tomadas tomadas dos dos a dos; dos; P2

3)

suma de los los productos productos de las raíces raíces tomadas tomadas tres tres a tres; tres; etc.; etc.; - P3 == suma

4)

(- 1t», producto de todas todas las raíces. raíces. ()"Pn == producto

Por ejemplo, llamamos XI' XI' X 2 Y x 3 a las raíces raíces de la ecuación ecuación x33 - 6X2 6x2 - 7x 'lx - 8 = = O 0,, se Por ejemplo, si llamamos tiene XI Xl = -(-6) -(-6) = 6, X X1IX2 X,;¡X3 + -"3XI X3X1 = -7, -7, X1X2X3 = -(-8) -(-8) = 8. tiene + X2 X2 + X33 = = X2 + -"lX3 = XIX2X3 = =


TEORIA DE ECUACIONES

186

PROBLEMAS RESUELTOS TEOREMA l.

DEL RESTO

Y DEL

el teorema

del resto:

Demostrar

Por definición, f(x)

=

=

r, f(r)

Dernc

7.

a)

DIVISOR Si un polinomio

En la división de [ix¡ por (x - r), sea Q(x)

x

6.

= (x -

+

r)Q(x)

se divide por (x - r), el resto es f(r).

f(x)

el cociente y R una constante,

R es una identidad

h)

el resto

para todos los valores de x. En particular.

a)

para

(

h)

2.

Hallar

el resto de las divisiones

+

a)

(2x'

b)

(x' - 3x' + 5x + 8)

e)

(4x

d)

(x' - 2x'

,

8,

e)

(27x

f)

(x8

3x'

-7

+

- 9x

x - 4)

+

x' - x'

x -

+

2).

(x -

-7

-7

"2)

R =f(--)

1 2

1 ,

= 4(--)

2

X.

R =f(O)

-7

3 83, R =f(-) = -(-) 2 272

1) -7 (x

(2x -

+

8. Demr

R = f(2) = 2(2') + 3(2') - 18(2) - 4 = -12 R = f( - 1) = (- 1)4 - 3( - 1)' + 5( - 1) + 8 = 1 + 3 - 5 + 8 = 7

1

3

3).

F)·

R

+

1 z

5(--)

2

-

1 = --

cuam

1 4

= -4

43, - -(-) 92

= (_i)8 - (-i)' =1+i-i+I=2

=f(-il

3

3

2

2

+- - -

cuan, = O (

sible

+ 1 = i8 + ¡' + ¡' + 1

- (-i)'

9. 3.

f

siguientes:

(x + 1).

. -1)~(x+"2)'

4,

-

18x - 4)

-

z

+5x

f

R.

Hall,

Demostrar el teorema del divisor: Si r es una raíz de la ecuación jtx) = O, se verifica que (x - r) es un divisor de f(x); recíprocamente, si (x - r) es un divisor de f(xl, r es una raíz de f(x) = O. a)

En la división de f(x) por (x - r}, sea Q(x) el cociente y R, una constante, el resto. En estas condiciones, [ix¡ = (x - r)Q(x) + R, o sea f(x) = (x - r)Q(x) + f(r), según el teorema del resto. Sea r una raíz de f(x) sor de f(x). Recíprocamente, = O, es decir,

f(r)

= O, esto es, f(r)

= O. Entonces, f(x)

si (x - r) es un divisor de f(x), r es una raíz de f(x) = o.

= (x - r)Q(x),

h)

con lo cual (x - r) es un divi-

el resto de la división de f(x)

por (x - r) es cero. Por tanto,

REGLA

1

Hall, 4.

Demostrar

que (x - 3) es un divisor

del polinomio

= 81 - 108 - 63 + 66 + 24 = O. Como (x o bien 3 es una raíz de la ecuación [ix¡ = O.

f(3) f(x).

S.

b)

¿Es 2 una r~íz de la ecuación f(x)

= y' -

e)

¿Es 2i una raíz de la ecuación f(~)

= 2~' + 3z' + 8: + 12 = O'>

a)

f( - 1) = -1

h)

f(2)

+

7 - 6 = O.

= 16 _ 8 - 2

+

7

Por tanto,

-1

+

22x

3) es un divisor de f(x),

¿Es -1

del polinomio

= x'

- 4x' - Tx?

a)

es un divisor

una raíz de la ecuación j{x)

= x'

f(x)

+

24.

10. (3x'

3 es un cero del polinomio

- Tx - 6 = O? 2y' - Y

+

7 = O'>

en 1, de s

es una raíz de la ecuación f\x)

= O, Y

[x

-

(-1)]

= x

+

1

f(x).

=

13.

Por tanto.

2 no es una raíz de f(y)

= O, e (y -

2) no es un divisor

de

2i es una raíz de [iz¡ =

o.

y' - 2.1" - Y + 7. el fl2i) = 2(2i)' + 3(2i)' + 8(2i) + 12 = -16i y (: - 2i) es un divisor del polinomio f\:)·

-

12 + 16i + 12 = O.


Por tanto.

el di 2. q: 4 se men

TEORIA DE DE ECUAC ECUACIONES TEORIA IONES

6.

Demostrar que que x - a es un divisor divisor de x" .v" - u". si Demostrar a" . si

1/

187

es un número número entero entero y positivo. positivo .

ftx¡ = x" x" - a" o":; luego luego I(a) [ia¡ == a" a" - a" a" = = O. /Ia) ) = = O. divisor de x" .I(x) = O. Como Como .I(a O. xx - aa es un divisor x" - a" a"

7. a) 7. h) h)

,,5

Demostrar que que xx'5 + aS es divisible divisible por por x + a. Demostrar a. ¿Cuál y O + o" aO por po r y + a' a') ¿Cuál es el resto resto de la división división de y" luego .n-a) .f(-a) = ((_a)' = _a' + a 55; ; luego = _a )5 + a55 = - a' Como /( /(-a) O, x 55 + aS a5 es divisible divisible por Como - a) == O. por x + a.

.f(x) = = x55 a) .f(x)

ar. para

h) b)

8.

+8=7

/(1') =)'6 =)'6 + /ll')

a 66••

Resto =/(-a) =/(-,,) = ((_a)6 Resto = _ a)"

= + ,,0 ah =

+

ar. af>

a' = = O. a'

+

o" = 2a 2a"-6 ah =

Demostrar que que x + a es un di divisor .v" - a" siempre siempre que Demostrar visor de x" que 111/ sea un número número entero. entero. positivo posi tivo y par. par. pero pero no no lo es cuandoo 11 sea un entero entero positivo positivo e impar. impar. Se supone supone que = O. cuand que a = O.

.fh) == x" x" - a". /(x) n n Cuando n es par. par, /( -a) == ((-al" = a" = O. Cua nd o 11 f( -a) - al" - aa" = a -- a" = O. cuando 11n es par. par. cuando

Luego /( -a) = O. Luego .n -a) = O. x

Cuando impar, . .f(-a) .j"(-a) = = ((-a)" = -a" = -2a". +La". C uando n es impar -a)" - o" a" = - a" - a" = sible por por x.v + (Ju cuando cuando n es impar impar (el resto resto es - 2a"). 2a"). sible

ivisor de

9.

a es un ,1(" _ - u" un factor factor de ;e" a"

Como j(-a) Como .I( - a) = O, O. .v" x" - u" (J" no no es dividivi-

Hallar los valores valores de l' l' para para los cuales cuales al a) 2x.1 2x.1 - px' 6x - 31' es divisible x + 2. Hallar px 2 + 6x divi sible por por.\' h) (x· (x· - p'x 1') -i(x - 3) tiene b) p 2X + 3 - ,,) -7- (x tiene de resto resto 4.

+ 6(-2) 3" == -16 - 16 - 41' 4" -- 12 3" == -28 6(-2) - 31' 12 - 31' -28 -

a) a)

El resto resto es 2(-2)' 2(-2)-' - 1'(_2)2 1'(_2)'

b) h)

El resto resto es 3· 34 -- 1'2(3) 1"(3) + 3 - p P = 84 - 31" - l'P = 4. Luego 6/3. Luego 31'2 31" + l' P - 80 == O. O, (p - 5)(3" 5)(31' + 16) = = O Y Pl' == 5. -1 - J6i3.

diciones, un divior tanto,

+

71' = O. = O.

Luego l'l' = Luego = -4. -4.

REGLA DE DE RUFINI RUFINI REGLA Hallar el cocien cocientete y el resto resto de las divi divisiones Hallar siones siguientes. siguientes. aplicando aplicando ..Ia Ia regla regla ' de Rufini. Rufini . 10. 10.

(3x55 (3x

-

4x' - 5x 5x33 4x'

-

8x + 25) 8x

-i-7-

(x - 2)

linomio

~I

~I

4 - 5 + O O - 8 + 25 25 3 - 4 6 + 4 - 2 - 4 - 24 I - 2 - 12 + 1 3 + 2 - 1

Cociente: Cociente:

3x· 3x· + 2X3 X3

--

x' 2x X2 - 2x

12

Resto: Resto:

Los números números que que aparecen aparecen en la primera primera fila son Los son los coeficientes coeficientes del dividendo. d ividendo. habiéndose habiéndose puesto puesto un cero cero potencia de x que que falta falta (OX2) (Ox'). . El núm número segunda fila es el segundo segundo término en la potencia ero 2 de la segunda término del divisor di visor cambiando cambiando signo (ya que que el coeficiente coeficiente de x en el divisor 1). de signo divisor es 1).

]=x+1

divisor de

primer coeficiente coeficiente de la primera primera fifila El primer la se escribe escr ibe en en el primer primer lugar lugar de la tercera tercera y se le multiplica multiplica por por divisor 2. El prod producto coloca en el primer segunda fila y se sum sumaa con el divisor ucto 6 se coloca primer lugar lugar de la segunda con - 4 obteniéndose obteniéndose 2, que que se pone pone en el segundo segundo lugar lugar de la tercera 2. tercera fila. Este Este 2 se multiplica multiplica por po r el 2 del divisor divisor y el producto producto coloca en la segunda segunda fifila suma con 4 se coloca la y se suma con - 5, 5. dando dando lugar lugar a - I en la tercera tercera fila, fil a. etc. etc. El último último núnúmero de la tercera tercera fila es el resto resto y tod todos mero os los números números a su izquierda izquierda son son los coeficientes coeficientes del cociente. cociente. Como el dividendo dividendo es de 5. 5.°0 grado grado y el divisor Como divisor de 1.0. el cociente cociente es de 4.° 4. ° grado. grado .

1(z) = O.

soluciónn se escribe escribe: : La solució

3x' + 2X3 3x' X3

-

x' 12 + x' - 2x - 12

xx -- 22 .


188 11.

TEORfA

(x4

2X3

-

24x2 + 15x + 50)

-

DE ECUACfONES

(x + 4)

-7

ESCRII

I - 2 - 24 + 15 + 50

~I

-

4 + 24 -

1-6+ 12.

(24

I7x2

-

-

4)

0+

+

(x

-7

O -

Solución:

60

x3

+

6x2

-

17.

10 f 5 - -x+4

Ha a)

15-10

b) e)

3)

d) 2 ~

+

O-

- 6

+

+

17

O- 4

18 - 3

2-6+

+

2X3

Solución:

9

+

6x2

-

X

3

-

+ -x

1-3+5

e)

5

+

J)

3

18. 13.

(4x3

IOx2 +

-

X

1)

-

-7

Ese

1/2)

(x -

a)

10 + f -

4 -

~

+

Dado f(x)

= x3

-

4x2

Solución:

2 - 4 - 3/2

4 -

14.

1 8x _ 3 __

_

8 - 3 - 5/2

6x2

2x

-

+

a)

5_

2x - 1

bl de

40. calcular

a) f( - 5) Y b) f(4)

aplicando

la regla de Rufini.

el a)

~

1 -

6 - 2 + 40 5 + 55 - 265

1-

11 + 53 - 225

f(-5)

b) ~

2 + 40 8-40

1 - 6 +41- 2 -

10 +

dl

O

f(4) = O

= ~225

19. SOLUCION

15.

DE ECUACIONES

Sabiendo

que una raíz de x3

CONOCIENDO

+ 2,,2 -

ALGUNAS

al

DE SUS RAICES

23x - 60 = O es 5. resolver

Ese

la ecuación.

al b)

~I

1 + 2 - 23 - 60 + 5 + 35 + 60 1 + 7 + 12 +

O

. Dividiendo -v

.Se obtiene

x3

+

2X2 - 23x - 60 por x - 5.

la ecuación

+

x3

7x

+

12 = O cuyas

el raíces son

- 3.

Las tres raíces son 5. - 3. - 4. d)

16.

Dos raíces de x· - 2X2 - 3x - 2 = O son - 1 Y 2. Resolver

la ecuación. POLlNC

-=-U

~

1+0-2-3-2 -1+1+1+2

Dividiendo

x

4

-

2X2 - 3x - 2 por x

1-1-1-2+0

Se obtiene

la ecuación

1-1 - I - 2 +2+2+2

Dividiendo

x3

1+

I + 1+ O

Se obtiene

-

x2

-

la ecuación

x

x

3 -

X

-

2 -

X -

raíces son -1, 2, -~

l.

lO,

Ha

2 = O.

2 por x - 2. 21.

x + x + I = O cuyas raíces son 2

I I -+-il3 1-2

Las cuatro

+

± ~ iJ3.

Ha es

v= ./

o si,


TEORIA TEORJA DE DE ECUACIONES ECUACJONES

189

ESCRIBIR ECUACION CONOCIENDO SUS ESCRIBIR UNA UNA ECUACION CONOCIENDO SUS RAICES RAICES 17.

18.

Hallar Hallar las raíces raíces de las ecuaciones ecuaciones siguientes: siguientes: a)

(x )2(x+2)(x+4)=0 (x - I 1)2(x + 2)(x + 4) = O..

b) b)

(2x (2x

+

e) e)

3 22 (X X3(X

d) d)

(x (x

e) e)

[(x [(x

J)

3(x 3(x

+

Sol. Sol.

IJ corno como raíz raíz doble, doble, -2, -2, -4 -4

1)(3x 1)(3x - 2)3(2x 2)3(2x - 5) 5) == O.

1I

O O corno como raíz raíz triple, triple, 5, - 3

15) = = O. O.

2x 2x -

+

+

J3)(x )3)(x

+ m)4(5x m)4(5x

)3), ((- 1I + J3), )3), 66 J3), ± ii corno corno raíz raíz doble doble como raíces raíces triples, triples, - 1 I como

(- I -

1 - 6) I - J3)(x )3)(x 6) == O.

I¡z + o]l(x il]l(x + 1)2

O(x il(x

- 1/2, 2/ 5/2 2/33 corno como raíz raíz triple, triple, 5/2

= =

o. O.

- n)2 = = O.

-m n/5 como corno raíz raíz doble doble -m corno como raíz raíz cuádruples, cuádruples, n/5

Escribir Escribir las ecuaciones ecuaciones cuyas cuyas raíces raíces son son las que que se indican: indican:

a) 5, 1, -3; a) b) b)

(x (x -

2, --1/4, 1/4, --1/2; 1/2 ;

b) b)

±2, 22 ±±)3; J3; d) O,O, II ±± 2 3X2 3x - 13x 13x + 15 = = O. O.

= = O O

o

¡)(x + 2") 2) = O O + ¡)(x

o

x3 _ 5X2 5x _ _

I)(x I)(x + 3) 3)

5)(x 5)(x -

II

(x - 2)(x 2)(x (x

e) x33 -

II

~ ~

2

~~

_ _

= = O O

o

484 8 4 4

5i.

8x33 - 10x IOx22 8x

Ilx lIx - 2 = = OO

que que es

coeficientes enteros. enteros. de coeficientes e)

d) d)

19.

J3)]

J3]

(x - 2)(x 2)(x + 2)[x 2)[x - (2 - )3)][x = (x (x22 - 4)[(x )3][(x - 2) - )3] (x J3)][x - (2 + )3)] = 4)[(x - 2) + J3][(x 3 2 + 16x = 3X2 = (x (x22 _ - 4)[(x 4)[(x - 2)2 2f - 3] = (x (x22 - 4)(x 4)(x22 - 4x 4x + 1) = O, O, o x44 - 4x 4x3 - 3x 16x - 4 x[x - (1 (1 + 5i)][x 5i)][x (1 - 5il] 50] = x[(x x[(x - 1) - 5i][(x 5i][(x x[x - (J = x(x x(x22 - 2x 2x + 26) 26) = = O, o x33 - 2X2 + 26x 26x = =O O =

5i] 1) + 5i]

x[(x = xCIx

-

=O

1)2 + 25] 1)2 25]

Escribir la ecuación ecuación de coeficientes coeficientes enteros enteros cuyas cuyas raíces raíces son son las las que que se indican: indican: Escribir

1I

1,

a) a)

(x (x -

b) b)

x(4x x(4x

e)

(x (x

o d) d)

3 2 0'3'3,-1; O, 3' 3 ' -1;

I1

22'' - 3;

a) a)

b) b)

I1)(2x )(2x - I1)(3x )(3x + 1) 1) 3)(3x - 2)(x 2)(x 3){3x

3i)(x 3i)(x 2X4 2 X4

+

(x - 2)3(X 2)3(X (x

+

3 6x 6x3 -

o

o

1) == O O 1)

I

-

77xX22 + II

12x44 12x

I

-)2) == 2)2){X + 2)2) 2. 2

3i)(x - -)2)(x 3i)(x

17x22 17x

+

+

= = O O

d)

--

(x22 (x

5x33 5x

como raíz raíz triple, triple, - 1. 2 corno

= = O O lIX2 + 6x 6x = = O O IIx2

I

9)(x22 - 2) -) + 9)(x

2

= O, =

(x22 (x

9)(2x2 2 -- 1) 1) = O, + 9)(2x

9 = =O O 9

1) == O O 1)

x44 -

o

5x33 5x

6x2 + 4x 4x + 6X2

-

8 == O O 8

POLINOMIOS IDENTICOS POLINOMIOS IDENTICOS

20.

Hallar los valores valores de A y B para para los cuales cuales la ecuación ecuación A(2x A(2x + 3) + B(x B(x - 4) = = 3x Hallar 3x + 10 es una una identidad. identidad. Ordenando ecuación (2A (2A + B)x B)x + 3A 3A - 4B 4B = = 3x 3x + 10. Ordenando la ecuación Esto es una una identidad identídad si, y solo solo si, 2A 2A + B = 3, 3A 3A - 4B 4B Esto

21.

=

Resolviendo, A 10. Resolviendo,

=2

y B

= -

1.

Hallar los los valores valores de A, A, B, B, C para para los cuales cuales A(x A(x - 3)(x 3)(x - 1) + B(x I)(x - 1) + C(x C(x + I)(x 6x - 10 Hallar B(x + I)(x I)(x - 3) = = 6x una identidad. identidad. es una Ordenando ecuación A(x A(x2 2 -- 4x 4x + 3) + B(x B(x2 2 -- 1) + C(x C(x22 - 2x 2x - 3) = 6x 6x - 10 Ordenando la ecuación

o solo si, A + B + C si, y solo

(A

O, = O,

+

B

+

C)x2 C)x2

-4A 2C -4A - 2C

+

= 6,

(-4A (-4A 3A 3A

2C)x 2C)x

B -

3C 3C

3A - B - 3C 3C = 6x - 10. Es una + 3A = 6x una -10. Resolviendo,· Resolviendo, A = -2, = -10. -2, B = =

identidad identidad 1, C

=

1. \\


190

TEORIA TEORIA DE ECUACI'pNES ECUAqPNES ~ ~

RAICES E IRRACIONALES RAICES COMPLEJAS COMPLEJAS IRRACIONALES 22.

d o

Sabiendo números indicados raíces de una ecúación hallar otra raíz de Sabiendo que que los números indicados son son raíces de una ecuación de de coeficientes coeficientes reales, reales, hallar otra raíz de dicha dicha ecuación. ecuación. o) a) 2i, Zi, b) - 3 + 2i. e) e) - 3 - ifi. ifi. -2i, -2i, h) -3 -3 - 2i, 2i,

a) a)

if i + ifi

e) -3 -3

30.

23.

cha cha ecuación. ecuación.

a) a)

a) j7, o),Ji,

24.

~fi.

--j7, ,Ji. b) b) -4 -4 + 2fi, 2)3,

b) b)

-4 - 2fi. 2)3. -4

e) 5 - ~fi.

a

2

I1

2fif i 5+2

e)

Estudiar los los razonamientos siguientes: Estudiar razonamientos siguientes: a) a) b) b)

e)

3 x Xl

b

'lx - 6i = O tiene tiene una raíz .v i ; por tanto. .v otra raíz. + 7x una raíz x = i; por tanto. x = - i es otra raíz. 2)3)x tiene una igual a )3 ifi; por tanto . + (5 - 2fi)x + 5 == O tiene una raíz raíz igual f i -- ifi; por tanto

3 xXl 2)3)x22 + (1(1 - 2fi otra raíz. raíz. otra

x44

+

(1 - 2fi)x 2fi)x3 l (1

.j3 + .)3

ifif i es i 31.

2fi)x2 2 + (3 - 4fi)x 4fi)x + I1 = O tiene tiene una raíz x = + (4 - 2fi)x una raíz =

--1 1

tanto. + fi; fi; por por tanto.

26.

27.

b;

a)

x = = -- ii no son reales reales todos todos los los coeficientes coeficientes de la ecuación ecuación dada. no es necesariamente necesariamente una una raíz, raíz, porque porque no no son dada.

b) b)

conclusión es válida coeficientes de la ecuación ecuación dada dada son son reales. La conclusión válida porque porque los coeficientes reales.

e) e)

x = = - I1 -- fi son raciono racionales todos los los coeficientes coeficientes de de la ecua ecua-f i no no es necesariamente necesariamente una una raíz. raíz. porque porque no no son les todos ción dada dada. . Se puede comprobar. por sustitución. que que x = = -- I1 - fi puede comprobar. por sustitución. f i no no es una una raíz. raíz . ción

Escribir la ecuación ecuación de menor grado, de coeficientes co~ficientes racionales. racionales. que que tenga tenga dos dos raíces iguales a - I1 + J5 J5 y - 6. Escribir menor gr;:¡do. raíces iguales

+ J5)][x J5 )][x -

(-1 (-1 - J5)](x J5)](x

2 2x - 4)(x + 6) bien 6) = (x (x2 + 2x 4)(x + 6) = O o bien

+ 8X2 8x2 + 8x 8x - 24 24 =

Escribir la ecuación ecuación de cuarto cuarto grado, grado, con con coeficientes coeficientes racionales. que tenga dos raíces iguales a Escribir racionales. que tenga dos raíces iguales

}6, )6,

b) 22 b)

+

Y I1 ii Y

5i)(x - 5i)(x 5i)(x - }6)(x (x + 5i)(x )6)(x +

h) h)

[x [x - (2

i)][x - (2 - i)][x i)][x + i)][x

}6) = )6)

(x22

25)(x2 2 -- 6) 6) = + 25)(x

(1 - .)3 .j3)][x (1 (1 )][x - (1

x -- 6Xl x· 6x3

2X2 2X2

+ I1 =

32.

H

al

a) - 5i Y a)

)3)] + .)3)]

O o bien bien = (x22 -=

+ II 11 xX22 -- 2x 2x - 10

x· + 19x22 ...

-

150 = O

4x + 5)(x 5)(x22 -- 2x 2x - 2) = = O 4x

o bien bien

= = O

Hallar raíces de Hallar las cuatro cuatro raíces de ... x· + 2X2 2X2 + I = = O. O.

+

RAlCE

b)

a)

4 x· x

bl

O

)3. fi·

4

28.

3 xXl

e a;

Escribir la ecuación ecuación de menor grado. de coeficientes coeficientes reales. que tenga dos raíces iguales a 2 yy I1 - 3i. Escribir menor grado. reales. que tenga dos raíces iguales 3 - 4X2 2)[x - (1 (1 - 3i)][x 3i)][x - (1 (1 + 3i)] 3i)] = = (x (v - 2)(x 2)(x22 -- 2x lO) = = O xXl 4x2 + 14x 14x - 20 = = O (x - 2)[x 2x + 10) o bien bien

[x - (-1 [x (-1

ti:

y

x ;= otra raíz. ~ -- I1 - fif i es otra raíz.

25.

E ti

Sabiendo números indicados raíces de una una ecuación hallar otra raíz de Sabiendo que que los los números indicados son son raíces ecuación de coeficientes coeficientes racionales, racionales, hallar otra raíz de didi-

2 (x2

+

1)2 = [(x 1)2 [(x

e)

i)(x - iJ]2 = O. O. Las Las raíces son + i)(x raíces son

-i. i. i. -i. --i i

± 29.

4 Resolver la ecuación ecuación xx' 3x3 + 5X2 5x2 -- 27x 27x - 36 = = O sabiendo sabiendo que que una número imaginaResolver -- 3Xl una de sus raíces raíces es un número imaginano forma hi. bi, siendo siendo h 6 un número número real. no puro puro de la forma real.

Sustituyendo hi bi por por x. x. Sustituyendo

27hi - 36 = = O. O. h64 + 3b3lii - 5h22 -- 27hi

d)

Igualando a cero las partes imaginarias: Igualando cero las partes reales reales e imaginarias:

h644

-

O. (h 22 -- 9)W 9 )(h2 + 4) 4) = O Y Y h b = ±3 5h22 -- 36 = O.

3h3l-276=O, -27h=O.

3h(622-9)=0 3h(h -9)=O

y

6=0. ±3. h=O. ±3.


ya que que h b es real; real;

ra

191 191

TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES TEORIA

;2

solución común común es ~b ==.. ± 3; por por tanto. tanto. dos dos raíces raíces son ± 3i. y Ix (x - 3i)(x 3i)(x + 3i) == + 9 es un divisor divisor La solución + 4 x -- 3x33 + 5X2 5x2 -- 27x 27x ::.. ::.. 3 . El otro otro factor. factor. obtenido obtenido por por si simple división. es X2 x2 - 3x - 4 == (x - 4)(x 4)(x + 1). de x· mple división. que las otras otras dos dos raíces raíces son 4 y - l. con lo que

J"f

e dicha

Las cuatro cuatro raíces raíces son ± 3i. 4. 4, - l. Las 30, JO.

íz de di-

Escribir la ecuación ecuación de menor menor grado. grado, de co(j/ril'l1les coeficientes racionoles. racionales, que que tenga tenga una una raíz raíz igual igual a: Escribir a) o)

-)2, J3 -.fi.

a) ti)

Hacemos x Hacemos

h))2.fi + ,,0. R·

h) = =

)2. J3 - .fi.

Elevando al cuadrado cuadrado los dos dos miembros. miembros, Elevando Elevando al cuadrado. cuadrado, de nuevo, Elevando nuevo. h)

ifi

x4 -- 10x' IOx1 x'

R. .fi p.

Hacemos x == )2 + Hacemos Elevando aall cuadrado cuadrado los los dos Elevando dos miembros, miembros. xX22 Elevando al cuadrado cuadrado de nuevo, Elevando nuevo. xx· -4

es 31.

tanto.

x2 == X2

2X2 2X2

33 --

2../66 + 2 2 == 55 -- 2 2,)6 Y 2,/ fi Y

+ 25 = = 24 YY

x44

2,)=2 -2+ 2P

=-

= - 8

IOx22

1I == l1 +

= 2 =

+ 1I

-

yY xx· -4

2X2 2X2

x2 X2

55

= -- 2 2,)6. fi.

=

+ 1I = = O.O.

2F-2 2P

Y X2 x2 Y

--

lI

= =

2,)=2. 2P.

+ 9 = = O.O.

a) Escribir la ecuación ecuación de menor menor grado, coeficientes constantes (reales o complejos), que tenga tenga las a) Escribir grado, de coeficientes cons/anles (reales complejos). que las raíces raíces 22 Compárese con con el Problema Problema 25. y 1I - 3i. Compárese 25 .

Escribir la ecuación ecuación de menor -6 y -1 + .)5. b) . Escribir menor grado, grado. de coeficientes coeficientes reales. reales. que que tenga tenga las las raíces raíces -6 fi. Compárese con Problema 26. Compárese con el Problema

da.

a) a)

(x (x

2)[x 2)[x

(1 -

3i)] == O O

o

b) (x + 6)[x 6)[x - (-1 (-1 + .)5)] b) f i J] == O O

a ecua-

x22

o

3(1 3( l -- i)x i)x

-

+ 22 -- 6i

= O = O

xX2 + (7 - .)5)x O Js)x - 6(.)5 6(fi - 1) == O 2

RAICES RACIONALES RAICES RACIONALES

32.

=0

Hallar las siguientes: existen de de las las ecuaciones ecuaciones siguientes: Hallar las raíces raíces reales, reales. si existen a) a)

4 xx· -

2X2 2X2 -

3x - 22 = = O O 3x

5 Y -6. Las Las raíces raíces racionales racionales posibles posibles son son los los divisores divisores enteros enteros de de 2, 2. que que son son

-s.

Y

± l.1, ± 2.

Ensayando Ensayando estos estos valores, valores, en en el orden orden + l.1, - l.1, + 2, 2. - 2, mediante mediante la regla regla de de Rufini, Ruf'ini. o por por sustitución. sustitución, se deduce deduce que que las las únicas únicas raíces raíces racionales racionales son son - 1 Y y 2. b) h)

xx33

--

X X

--

66 = = O O

Las Las raíces raíces racionales racionales posibles posibles son son los los divisores divisores enteros enteros de de 6, 6. que que son son ±± l.1, ±± 2, 2. ±± 3. 3. ±± 6.

o bien

Ensayando Ensayando estos estos valores, valores. en en el orden orden cional cional es es 2. e)

2x' 2x J

+ xX22

--

+ 1, -- l.1, + 2, 2, -- 2. 2, + 3, 3. -- 3, 3. + 6. 6, -- 6, 6. se deduce deduce que que la única única raíz raíz rara-

7x 7x - 66 = = O O

Si blc b/c (en forma forma irreducible) irreducible) es es una una raíz raíz racional, racional. los los valores valores posibles posibles de de bh son son ±± 1, ±± 2, 2. ±± 3, 3. ±± 6, 6. yy los los de de e, e. ± ± 1, l. ±± 2. Por Por tanto, tanto. las las raíces raíces racionales racionales posibles posibles son son ±± 1, 1. ±± 2, 2. ±± 3, 3. ±± 6, 6. ±± 1;'2, 1/2. ±± 3/2. 3/2. Ensayando Ensayando todos todos estos estos valores valores se deduce deduce que que las las raíces raíces racionales racionales -- 1, 22 yy -- 3/2. 3/2. d) d)

22x· X4

+ xX22 + 2x 2x - 44

= = O O

Si btc b/c es es una una raíz raíz racional. racional. los los valores valores posibles posibles de de bb son son ±± 1, 1. ±2, ±2. ±4, ±4. yy los los de de e,. e, . ±± l.1, ±2. ±2. Por Por tanto tanto las las raíces ±2. ±4, ±4. ±± 1/2. 1/2. raíces racionales racionales posibles posibles son son ±± l.1, ±2, Ensayando Ensayando todos todos estos estos valores valores se se deduce. deduce. que que no no existen existen raíces raíces racionales. rac ionales.


192


33. Resolver la ecuación

x3

Las raíces racionales

+ 20 = O.

2X2 - 31x

-

posibles

son los divisores

enteros

de ,~(). que son.

± 1, ± 2. ± 4. ± 5. ± 10. ± 20.

Ensayando todos estos valores. mediante la regla de Ruflni. se obtiene la raíz racional - 5. La ecuación que resulta, x' - 7x + 4 = O. tiene las raíces irracionales 7/2 ±

1 - 2 - 31 + 20 - 5 + 35 - 20

~

1-7+

J33/2.

Por tanto.

las tres raíces de la ecuación

34. Resolver la ecuación

2x'

- 3x3

7X' - 8x

-

dada

son

- 5. 7/2 ±

4+

raíz' de 1, punt su v, se d,

O

j33/2.

+ 6 = O.

Si b/c es una raíz racional. los valores posibles de b son ± l. ± 2. ± 3. ± 6. y los de c. ± 1, ± 2. Por tanto. las raíces racionales posibles son ±1. ±2. ±3, ±6. ±1/2. ±3/2. Ensayando todos tiene la raíz 3. La ecuación raíz 1/2. La ecuación raíces complejas Las cuatro

35.

Demostrar

estos valores,

que

resulta,

J3

+

3X'

2x - 2 = O.

tiene

la

=

J3 + fi es un J3 + fi; entonces

número

x'

+ fi

es un número

=

be e

2+3+2-2+0

!EJ

raíces son 3, 1/2, -1 ± i.

Elevando de nuevo al cuadrado. cionales posibles de esta ecuación son x =

+

2X3

o se

2-3-7-8+6 ~ +6+9+6-6

la regla de Rufini, se ob-

2X2 + 4x + 4 = O. o bien x2 + 2x + 2 = O. tiene las - 1 + i.

que

Sea x

mediante

2+3+2-2 +1+2+2 2+4+4+0

irracional.

(J3 + fi)' 10x' +

x' -

± 1. Ensayando

= 3 + 2}6 + 2 = 25 = 24, o bien x' -

5 + 2}6 Y x' - 5

=

o se,

2}6.

IOx' + 1 = O. Las únicas raíces raambas se deduce que no existen raíces racionales. Por tanto.

irracional. COTAS:

METODO 36.

GRAFlCO

PARA

HALLAR

RAICES

37.

REALES

Representar la función f(x) = x3 + X - 3. De la gráfica deducir: a) El número de raíces positivas. negativas o complejas de x3 + x - 3 = O. b) Una raíz real de x3 + x - 3 = O aproximada con dos cifras decimales.

I x I -3 1 -2 I f(x) I -331-13

-1

O

1

2

3

4

-5

-3

-1

7

27

65

Hall a) COII

supe

Col' a)

De la curva tiva.

se deduce

que

hay

Por tanto. las otras dos raíces-son

una

raíz

complejas

real

posi-

conjugadas.

El valor aproximado de la raíz real es 1 +. Obsérvese que f(x) cambia de signo entre x = 1 Y x = 2.

h)

-+-+--I--t-~L+---j-I---X

b) COI,

Se puede apreciar que la raíz se aproxima más a 1,0 que a 2.0. Para lograr mayor .aproximación, se dibuja la curva con más detalle para los valores de x comprendidos entre 1 y 2.


193


B ±20.

=

Como f(x) cambia de signo entre x 1,2 Y x = 1,3, la raíz estará comprendida entre estos dos valores. La recta AB de la figura es. una aproximación de la curva real entre los puntos A y B. La raíz está situada, aproximadamente, en R y su valor es 1,2 + k,. De los triángulos semejantes ABC y ARD se deduce, 0,072 0,072 k, 0,072 + 0,497 = 0,569 = 0,1 + 0,1

tanto,

o sea, k, = 0,01+.

Luego la raíz es 1,21+.

Este procedimiento de localización de la raíz suponiendo be el nombre de interpolación lineal.

Laraíz

es ratanto,

1,21 -0,0184

es aproximadamente

k2 0,01 o sea.x,

x f(x)

0,0184 0,0184 + 0,0358

= 0,003+.

1,22

que A y B están unidos por una línea recta reci-

I

+0,03581

1,21 + k2. Por interpolación,

=

=

0,0184 0,0542

0,3 +

Luego la raíz es 1,21 +0,OO3,osea

1,213+.

Así, pues, la raíz con dos cifras decimales es 1,21.

COTAS SUPERIOR 37.

E INFERIOR

DE RAICES

REALES

Hallar las cotas superior e inferior de las raíces reales de a) x3 a)


posibles son ± 1, ±2,

-

3x2 + 5x + 4

=

O, b) x3 + x2

-

6

=

O.

±4.

Cota superior.

.!J

1-3+5+4 +1-2+3

~

1-3+5+ +2-2+

4 6

~

1 + O + 5 + 19

1-1+3+10

1-2+3+7

1-3+5+ 4 + 3 + 0+15

Como todos los números de la tercera fila de la división de f(x) por x - 3 son positivos (o cero), una cota superior de las raíces es 3, es decir, no hay raíces mayores que 3. Cola inferior.

~I b)

1 - 3 + 5 -1+4-9 1-4+9-5

+4


Como los números de la tercera fila son alternativamente positivos y negativos, -1 es una cota inferior de las raíces, es decir, no hay raíces menores que -1.

posibles son ± 1, ±2,

±3,

±6.

COla superior.

.!J

1+1+0-6 +1+2+2 1+2+2-4

~

1+1+06 + 2 + 6 + 12

Luego 2 es una cota superior de las raíces.

1+3+6+.6


DE ECUACIONES

TEORIA

194

.~ .

Cola inferior.

d)

son Como todos los números de la primera 'fila son alternativamente y negativos (o cero). una cota inferior de las raíces es - l.

1+1+0-6 1-0+0

--------

positivos e)

1+0+0-6

38.

Hallar las raíces racionales

de 4x'

+

15.\ - 36 = O y. a continuación.

resolver completamente

la ecuación.

f)

Las raíces racionales posibles son ± l. ±2. ±3. ±4. ±6. ±9. ± 12. ± 18. ±36. ± 1/2. ±3/2. ±9/2. ± 1/4. ±3f4. ±9!4. Para evitamos el ensayo de todas estas posibilidades, hallamos las cotas superior e inferior de las raíces.

g)

Cola superior.

-=-!J

4 + O + 15 - 36 + 4 + 4 + 19 4+4+

4 ~

+

O + 15 - 36 + 8 + 16 + 62

Luego no hay raíces (reales) mayores les a. 2.

que. o igua-

!tI

+ 4

4 + 8 + 31 + 26

19-17

Cola inferior. 4

+

-=-!J -

O 4

4 - 4

+ + +

15 - 36 4 - 19

Luego no hay raíces reales menores

que. o iguales a. - l. 40.

19 - 55

Det b) /

Las únicas raíces racionales posibles mayores que -1 y menores que 2 son + 1. ± 1/2. ± 3/2. ± 1/4. ± 3/4. Ensayando estos valores se obtiene que 3/2 es la única raíz racional. 4

+

+

15 - 36

+ 6 +

9 + 36

O

-------

4 + 6 + 24 +

REGLA 39.

DE LOS SIGNOS

a)

Las otras raíces son soluciones de 4.\·2+ 6x + 24 = O, o bien 2.\2 + 3'\ + 12 = O. es decir, x = -

O

3

'4 ±

j87.

-4- /.

h)

DE DESCARTES

Estudiar el número de raíces positivas, los signos de Descartes.

41.

negativas

y complejas

de las ecuaciones

siguientes. aplicando

la regla de

Hall al

a)

al

2.\' + 3.\2 _ 13.\ + 6 = O

b)

,\4

el

x2-2.\+7=0

al

+

_

d) 2X4 + 7x2 + 6 = O

2.\2 - 3.\ - 2 = O

e)

f)

x4

-

3x2 - 4 = O

x' + 3x -

+

Hay una variación de signo en f(x) = x4 3x - 2. Por tanto, existen. como máximo, Las raíces pueden

ser: (1) (2)

e)

!t)

x6

-

3X2 - 4x + 1 =0

14 = O

Hay 2 variaciones de signo enf(x) = 2x' + 3x2 - I3x + 6. Hay 1 variación de signo enf(-x) 3x2 + 13.\ + 6. Por tanto, existen. como máximo, 2 raíces positivas y 1 negativa.

Las raíces pueden ser: (1) 2 positivas, 1 negativa, raíces complejas son conjugadas dos a dos). b)

g) x. + x' - 1 =0

Hay 2 variaciones

positiva, positiva.

de signo enf(x)

-

O complejas;

(2) O positivas,

1 negativa.

= -2.\'

2 complejas

2X2 - 3x - 2 y 3 variaciones de signo en f( -x) 1 raíz positiva y 3 raíces negativas.

=

.\4

-

(las

2.\2

3 negativas. O complejas 1 negativa. 2 complejas

= x2 - 2x + 7 y ninguna variación

Por tanto. las raíces pueden ser: (1) 2 positivas, O negativas, O complejas (2) O positivas. O negativas. 2 complejas


de signo enf(-x)

h)

= x2 + 2.\ + 7.

e)

raci: Las

d) V3m

195

TEORIA DE TEORIA DE ECUACIONES ECLJACIONES

Como ¡(x) = = 2x· presentan variaciones va riaciones de signos. raices Como ni ¡(x) = 2x' 2x' + 7X2 Ix? + 6 ni ¡I ti --x)x) = 2x· + 7x' 7x' + ó presentan signos. las 4 raíces son complejas, que .1(0) .1(0) ofo O''"' compleja~. ya que ~ O . son

J) d)

positivos

e)

Hay I1 variacíón de signo x4 Hay variación de signo en .n.~') .((.~.) = .\4

-

3x' - 4 3x'

OY Y I1 variación variación de signo signo en .n I( --xlxl = x" 3x' - 4. = O x' - 3x'

Por raíces son: positiva, I1 negativa. negativa, 22 complejas Por tanto tanto, , las raíces son: I1 positiva. complejas. . ción.

..fl fl

2. ±9/2. e inferior

Hay variación de signo x 3 + h - 14 Y ninguna Hay I1 variación signo en ¡(x) f(x) = = x' ninguna en .fl-xl .fi -xl = =

X" -X"

-

h

- 14.

Por raíces se 1: I1 positiva. positiva, 2 complejas. Por tanto tanto, , las raíces complejas. g) g)

x" + X' x3 Hay Hay I1 variación variación de signo signo en .I(x) fix¡ = = .\.6

-

I Y

variación x" - X" x·, variación en cnfl.11 -xl -xl = = .v''

1. 1.

Por positiva. I negativa. negati va, 4 complejas. Por tanto tanto, , las raíces raíces son: son: I positiva. complejas . . o igua-

h) 11)

+

Hay variaciones de x" - 3X2 Hay 2 variaciones de signo signo en ¡(x) [ix¡ = = x" 3x' - 4x 4x 4.\ 4x + ll.. Por tanto, tanto, las raíces ser: Por raíces pueden pueden ser: (1) 2 positivas, positivas, 2 negativas, negativas, 2 complejas complejas (2) 2 positivas, positivas, O negativas. negativas, 4 complejas complejas

40.

+

(3) (4)

1 Y 2 variaciones variacio nes de signo -x) = XO - 3x' signo en I( f1-xl = .v'' 3x'

O positivas. positivas. 2 negativas. negativa s. 4 complejas complejas O positivas. positivas, O negativas. negativas. 6 complejas complejas

Determinar la naturaleza naturaleza de las raíces raíces de la ecuación positivo y a) par. Determinar ecuación .\" .v" - 1 I = = O, O. siendo siendo n entero entero y positivo a) n par. b) impar. b) n impar.

/4. ±3/4 = x" a) .I(x) .1(.\) =

tiene I variación variación de signo signo y .l1-x) .I( -x) = I también también presenta I1 tiene = x" - 1 presenta

Por raíces son: positiva, I1 negativa. Por tanto. tanto. las raíces son: I1 positiva. negativa.

+ 12 = O. h) h)

Frx) ((x) = = .\JO .v" --

(n -

variación signo. variación de signo.

2) complejas. complejas.

1I tiene variación de signo. I( -x) presen ta variaciones tiene I variación signo, y f( -x) = = --x"x" - I no presenta variaciones de signo. signo.

Por raíces son: positiva. O negativas. negativas. (n - 1) complejas. Por tanto. tanto. las raíces son: I1 positiva. complejas. 41. 41.

a regla de

Hallar racionales. si existen. las ecuaciones regla de Hallar la lass raíces raíces racionales. existen. de las ecuaciones siguientes. siguientes. aplicando aplicando la regla de los los signos signos de de Descartes. Descartes.

+ 3x -- 27 = O.

2X5 + x - 66 X5 66 = O, O.

4

+ 7X2 7x' + 6 6 = O O

x33

a) a)

Aplicando los signos signos de de Descartes, Descartes, la ecuación ecuación tiene tiene 3 ó I1 raíces Por Aplicando la regla regla de los raíces positivas positivas y ninguna ninguna negativa. negativa. Por tanto, posibles raíces raíces racionales racionales son positivos de 27. tanto, las posibles son los divisores divisores positivos 27. es decir. decir. 1, 3. 3.9,9. 27.

o

-

X2 x'

h) hl

x33

+ 2.\ 2x + 12 = O. O,

a)

e)

d)

3x 3x'

ó

valores de x, x. la única única raíz Ensayando Ensayando todos todos estos estos valores raíz racional racional es 3.

) = -2.\"

h) h)

lejas (las

Aplicando la regla regla de los signos positivas y tiene negativa. Por Aplicando signos de Descartes, Descartes. la ecuación ecuación carece carece de raíces raíces positivas tiene I negativa. Por posibles raíces raíces racionales racionales son negativos de 12. es decir. tanto, las tanto. las posibles son los divisores divisores enteros enteros y negativos decir. - 1, - 2. - 3, 3. --4. 4, -6, -6. -12. -12. Ensayando x . la única única raíz Ensayando todos todos estos estos valores valores de .v, raíz racional racional es - 2.

Aplicando la regla raíz positiva positiva y ninguna ninguna negativa. negativa. Por raices Aplicando regla de de los signos. signos. la ecuación ecuación tiene tiene I raíz Por tanto. tanto. las las raíces racionales posibles posibles son números de la forma visor entero uno de racionales son números forma b/l'. bic, en donce donce h es un di divisor entero de de 66 y el' uno de 2. Las raíces posibles posibles son. 66. I '2. 3:2. '2. 332. Las raíces son. l. 2. 3, 3. 6, 6. 11, 11. 22, 21. 33. 66. 3:2. II 11'2. 33 '2. e) e)

Ensayando valores de .v x se obtiene raíz racional Ensayando todos todos estos estos valores obtiene la raíz racional 2. 2.\'

+

7.

no tiene tiene raíces raíces reales. reales. ya que X2 La ecuación ecuación no que ni .flx .flx I1 == 3x' 3x" + 7 7x' variaciones de signo signo y .110 .flO Il +- O. O. variaciones de

d)

+

+ 6 ni I( f( -- xx)l

Por raíces son Por tanto tanto. , todas todas las raíces son complejas. complejas.


= = 3.\.4 3.\.4

+ 77x' X2 + 6 presentan presentan

196

TEORIA TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES

ESCRIBIR CUY POR UNA ESCRIBIR UNA UNA ECUACION ECUACION CUY AS RAICES RAICES SEAN SEAN LAS LAS DE DE OTRA OTRA DADA DADA MULTIPLICADAS MULTIPLICADAS POR UNA CONSTANTE CONSTANTE 42.

Escribir Escribir una una ecuación, ecuación, en la variable variable o incógnita incógnita y, cuyas cuyas raí«es raíces sea_ seann el doble doble de las raíces raíces de x33 -- 6X2 6x2 + Ilx Ilx - 6 =

..,,

oo.. 45.

R,

Toda Toda raíz raíz y de la ecuación ecuación pedida pedida debe debe ser ser el doble doble de la correspondiente correspondiente x de la ecuación ecuación dada. dada. Por Por tanto, tanto, y = /2, y la ecuación = 2x, 2x, o bien bien x = = yy/2, ecuación pedida pedida es

(~)3 (~)3

_ 6(~)2 6(~)2

+ II(~) II(~)

2 22 222


43.

o

_ 6 = = O O

y3 - 2(6y)2) y3 2(6y)2)

233(6) (6) = O O

+ 22(1ly) 22(1ly) -

o

y3 y3

12 12y2 y2

+ 44y 44y -

48 = = O.

Las Ix - 6 = O son Las raíces raíces de x33 -- 6X2 6x2 + I1Ix O son 1,2,3. Las raíces raíces de y3 12y22 + 44y 44y - 48 = O O son son 2,4,6. 2,4,6. Las y3 - 12y

±

Escribir en y cuyas Escribir las ecuaciones ecuaciones en cuyas raíces raíces sean sean iguales iguales a las las raíces raíces de las ecuaciones ecuaciones dadas dadas multiplicadas multiplicadas por por los números números que que figuran figuran entre entre paréntesis. paréntesis. d) 32x 32x44 - 2x 2x - 1I = = O O d)

x + 3 = a) x33 -- xX22 -- 7 7x = O (2) b) b)

e)

x33 --

4

xX4 + +

O 19x - 30 = O

3X2 3x2

55

44 -25 = O -2"5=0

3X2 3x2

re

(4) (4)

(3)

e)

2x' 2x' +

+ I1 == O O

(5)

f)

f)

3 xx3 -- 12x2 12x2 -- 16x 16x + 192 = O O

(-3)

ra

(1/4) (1/4)

y3 _- 2(y2) (3) = OO o y3 _- 22y2 2(y2) _ - 22(7y) 22(7y) + 233(3) y3 28y + 24 = O O y 2 - 28y a) y3 2 2 3 b) y3 y3 + 3(Oy2) (19y) - 3 (30) (30) = O o y3 - I7ly 3(Oy2) - 3 (19y) O y3 I71y - 810 = O O

46.

R

3y2 3y2 44 e) y4 y4 + S(Oy3) (2"5) = O y4 + ISy2 5(Oy3) + 52(5) + S3(Oy) 53(Oy) - 544(25) O o y4 15y2 - 100 = O O d)

32y4 - 433(2y) (2y) - 44 = OO 32y4

e)

2y'+ (-W(3y2) (-3)'(1)=0 2y'+ (-W(3y2) + (-3)'(1)=0

f)f)

12y2 192 33 12y2 16y 192 Y - -44 -- 42 42 + 41 41

32y44 - 128y - 256 = O O 32y

o

=O O

o

y4 4y - 8 = O O y4 - 4y

o

2y'-8Iy2-243=0 2y'-8Iy2-243=0

o y3 y3 - 3y 3y22 - Y + 3 3= O O er

44. 44.

es

Hallar las las ecuaciones ecuaciones en y cuyas cuyas raíces raíces sean sean iguales iguales a las las raíces raíces de las ecuaciones ecuaciones dadas dadas multiplicadas multiplicadas por por el HaBar menor número número entero entero y positivo positivo necesario necesario para para que que las las ecuaciones ecuaciones pedidas pedidas tengan tengan todos todos sus sus coeficientes coeficientes enteros enteros menor coeficiente de la mayor mayor potencia potencia sea igual igual a la unidad. unidad. y el coeficiente

se 33

- x

22

3x 3x

9

- 2 +8 8 == O, -"2

b) b)

x

44

33

- 3x 3x -

X X

11

27 + 9" == O,

8x33 + 18x22 + X 8x

e)

a)

x

a) a)

Las raices raices de la ecuación ecuación en y deben deben ser ser el doble doble de las raíces raíces de dada. Las de la dada. 3y 2 2 3y 3399 - 2(y ) - 2 (-) +2 H = O Y 33 -2(y)-2(-)+·2(-)=0 2 8

b) b)

y

33

= O, 6=

5x3 3 5x

di

+ 33 == OO

2 - 6y + 9 = O - 2y -6y+9=0 -2y ESCRI

34(~) = O + 34(~) =O

9

o sea

y4 y4 - 9yy33 - Y

= O O +9=

Dividiendo los términos términos de la ecuación ecuación dada dada por por 8: Dividiendo

y3 y3

9

2

4(~) 42(~) + 4(~) + 42(~)

4

8

3

= O O _ 433(_) (-) = 4

47.

E Q

x

33

9x2 9x2

X

X

3

4 + 88-- ¡¡= o.O. +4

Las raíces raíces de la ecuación ecuación en y deben deben ser el cuádruplo cuádruplo de las raíces raíces de la dada. dada. Las

d) d)

d)

Las raíces raíces de la ecuación ecuación en y deben deben ser ser el triple triple de las raíces raíces de la dada. dada. Las y4 3(3yy3)3) _ 333(1'..) y4 _ 3(3 (1:'.) 27

e)

o sea osea

-

o sea

Dividiendo los términos términos de la ecuación ecuación dada dada por por 5: Dividiendo

y3 y3

x33

9)/ 2 + 2y 2y + 9y

O. + ~~ == O.


5

a

= O O 48 = b

TEORIA TEORIA DE DE ECUACIONES ECUACIONES

NA

197 197

Las Las raíces raíces de de la ecuación ecuación en en yy deben deben ser ser el el quíntuplo quíntuplo de de las las raíces raíces de de la la dada. dada.

y3 ++ 533(3/5) (3/ 5) = = O O y3

oo

sea sea

)'3 )'3

= OO ++ 75 =

=0. 45. 45.

Resolver la ecuación ecuación 54x 54x33 Resolver

12x - 44 = = O. 12x

9X2 -9x'

-

nto, di d b 3 D'IVI'd' Divi iendo tiene la ecuación len o por por 54, 54, se se oobtiene ecuación x· x --

2x 2 2x ti = 6 -9 9 - n 27 = o. O. X' X2

Para Para obtener obtener una una ecuación ecuación en en yy de de coeficientes coeficientes enteros, enteros, multiplicamos múltiplicamos por por 66 las las raíces. raíces.

= O.

y2 622y 3 y' 6,2y 3 2 YY -- 6(-) (-) -- 6 (-) = 6(6) (9) (27) = O 6 9 27

y3 y3 -- y'y2 -- 8y 8.1' -- 16 = = OO

oo sea sea

Las Las posibles posibles raíces raíces racionales racionales de de la la ecuación ecuación en en yy son son los los divisores di visores enteros decir. ±± l.1, enteros de de 16, es decir. ±2, ± 2, ±4, ± 4. ±8, ± 8, ±± 16. Ensayando Ensayando todos todos estos estos valores valores de de yy mediante mediante la 1 - 11 - 8 - 16 deduce la la raíz raíz 4. La La ecuación ecuación que que resulta resulta de de la la división, división , regla de de Rufini Rufini se deduce regla

r los

i.Ji

z O' I . 33 i.j'i tiene las raíces - 2" ±± -2-2- .' Yy2 + + 3y + + 4 = = O,,tiene as raices

-2

~~

+ + 44 ++ 12 ++ 16 1+3+ 1+3 +

4+ 4+

OO

Las de la ecuación divididas por por 6 son son iguales iguales a las las Las raíces raíces de ecuación en en y divididas raíces x , esto esto es, es, x = = y/6. y/6. raíces de de la ecuación ecuación en en x, 1 i.j'i i.Ji . 41 U

2 2

Luego . Luego las las raíces raíces pedidas pedidas son son -:3 ' -- - +± -3' 4 - 12

46. 46.

Resolver ecuación 64x· 64x· - 32x' Resolver la ecuación 32x 3 ++ 4x' 4 X2 - 8x - 3 = = O O.. X2 ..•, •4 x33 x' Dividiendo 64, se obtiene Dividiendo pur pur 64, obtiene la ecuacion ecuaclOn x - '2 ++ 16

'2

3

xX

- 8' g -- 64 == o.

Para obtener una una ecuación ecuación en y)' de enteros, multiplicamos Para obtener de coeficientes coeficientes enteros, multiplicamos por por 4 las las raíces. raíces. y3 z2 y' ,J YY •• 3 •• )'3 y2 y - 4('2) 4(-) + 4 (16) (-) -- 4 (g) (-) - 4 (64) (-) = = O O Y 2 16 8 64

r el teros

=0

o sea

•

3

2

y. y' - 8)' 8y - 12 = = O O y - 2y' 2y + Y

8 - 12 + 12 12 + O O 1 - 3 + 4 - 12 +

1- 2 + 1+ 3 3 -11 +

Las posibles raíces ecuación en y son son los divisores Las posibles raíces racionales racionales de la ecuación los divisores enteros de 12, es decir, decir, ±I, ±I. ±2, ±2, ±3. ±3, ±4, ±4, ±6, ±6, ±12. ±12. Ensayando Ensayando todos todos enteros estos valores valores de x mediante mediante la regla deduce la raíz estos regla de Rufini Rufini se deduce raíz --1.l .

.=:..!J -=-U --

Las raíces raíces de la primera ecuación obtenida obtenida al efectuar efectuar el cociente, Las primera ecuación cociente, según la regla regla de los signos, signos, son son todas son los los las racionales racionales son según todas positivas, positivas, y las divisores enteros enteros de 12, es decir. decir. 1, 2, 12.. Ensayando divisores 2. 3, 4, 4, 6, 12 Ensayando todos todos estos valores valores se deduce deduce la raíz raíces de la segunda segunda ecuación ecuación son son ± ± 2i. estos raíz 3. Las Las raíces

3 I ~

1- 3

+

44

4 - 12

+ 3 + O O + 12

O 11+0+4+ +0+4+ O Las raíces raíces de la ecuación ecuación en y, transformada, son - 1, 3. ± ± 2i. 2i. Por raíces de la ecuación ecuación en x son Las transformada , son Por tanto. tan to. las raíces que x = = y/4. --1/4, 1/4, 3/4. ± i/2, ya que y/4.

ESCRIBIR UNA UNA ECUACION ECUACION CUYAS RAICES RAICES SEAN SEAN OPUESTAS OPUESTAS A LAS LAS DE DE OTRA OTRA DADA DADA ESCRIBIR CUYAS

47.

Escribir las ecuaciones ecuaciones en y cuyas cuyas raíces raíces sea seann opuestas opuestas a las raíces raíces de las ecuaciones ecuaciones siguientes. siguientes. Escribir a)

Tx? + 11x + 5 == xx'3 + 7X2

O.

b).'(· + 3X2 3x' - Xx -- 27 == O O.. b)."(·

e)) e

,IOx· - 3,\ 3x + 15 15 == O O 2xX5s - .10x·

Las ecuaciones ecuaciones en yy se obtienen obtienen cambi cambiando signo de los términos términos de grado grado impar impar de las las ecuaciones ecuaciones dadas dadas and o el signo sustituyendo x por por y, bien efectu efectuando sustitución x == --y.y. y sustituyendo y, o bien ando la sustitución a)

_-y' ),3

+ 7y2 7y' _ - 11)' Ily + 5

= = O O

o

)'3 )" --

raíces de xx'3 + 7x' + Ilx Ilx + 5 Las raíces b) b)

yy.. + + 3.1'2 3y' + + r.\'-- 27 == O O

e)

_2y5 s -- 10y· IOy· + 3y + 15 15 _2y

= O,

7)" 7)" + 11)' - 5

= O O son son =

bien o bien

= = O O

-5. -1, -1, -1 -1; ; de )'3 y' -- 7)" 7)" + + 11 11)' -5. )' - 5

IOy· - 31' 3r - 15 2y5s + 10y·

= OO


= O O son 5. 1. 1. 1. 1. =

TEORIA

198 ESCR!BIR UNA ECUACION EN UNA CONSTANTE 48.

CUYAS

RAICES

DE ECUACIONES

SEAN IGUALES

A LAS DE OTRA

DADA

Escribir las ecuaciones en y cuyas raíces sean iguales a las raíces de las dadas disminuidas ran entre paréntesis. 17.\"2 + 26x

a)

2.\"' -

h)

.\"'-x2-17x-15=0

a)

~

+

45 = O

e) . .\". -

(3) (-3)

2 - 17 + 26 + 45 + 6 - 33 - 21

12x -

.~'+8.\"2_2=0

d)

15

5 - 22 + 6

1- 7 - 3

+

1-10

+

6 -

22

I

La ecuación

pedida

2.1" + .1'2 -

La ecuación

es

)"

22.1' + 24 = O

1

e)

~

O + O +2+4+8-8

12 -

-

5

1

d)

1

+ 6 + 24

1+8 La ecuación

pedida

y' + 8.1" + 24y2

ENTRE

pedida

+

dida más dada.

es

16y = O

L

52.

Hall:

53. Dos

+

8 + O - 2 + 0,4 + 3,36 + 1,344

+ + +

8,8 0,4

+

ecuar

6,88

I 9,2 La ecuación

+2

RELACIONES

I poter

16

1 + 8,4 + 3,36 - 0,656 + 0,4 + 3,52

13

1 + 4 + 12 + 20 + 2 + 12 1

Tran cer ~

raíce

10.1'2

~

4 - 4 8 + 24

1 + 2 + + 2 +

51.

Obsérvese que disminuir las raíces en - 3 es lo mismo que incrementarlas en 3.

Haciendo y = x - 3 o x = y + 3 se obtiene el mismo resultado

+

+ +

O

5+ 21

Las raíces de la ecuación en x son -3, -1,5. Las raíces de la ecuación en y son O, 2, 8.

Las raíces de la ecuación en x son 5, 9/2, - 1. Las raíces de la ecuación en y son 2, 3/2, - 4. Otra forma:

-

Dad, de o

5 = O (2) (0,4)

-=2J -

1-4- 3

SO.

en los números que figu-

1-1-17-15 3 + 12 + 15

b)

7 + 24

1 - 11 -

DISMINUIDAS

pedida

y' + 9,2y2

es + 20y -

LAS RAICES

es

+ 6,88y

- 0,656 = O Otro La e

13 = O

54.

Y LOS COEFICIENTES

Dad, a)

49.

Escribir

las ecuaciones

La ecuación p, = -(suma

e)

será de la forma x' + p,x' + P2X2 + p,x + P. = O. de raíces) = -(1

P2 = + (suma de productos = (1)(3) + (1)(-2)

= -[(1)(3)(-2) P. = +(producto

+ (3)(-2)

+ (1)(-2)(-4)

pedida

es x' + 2.\"' -

I3x

-

+ (-2)(-4)

a)

= -13.

tres a tres)

+ (3)(-2)(-4)J

de las raíces) = (1)(3)(-2)(-4) 2

e)

dos a dos)

+ (3)(-4)

de las raíces tomadas

+ (1)(3)(-4)

d)

+ 3 - 2 - 4) = 2.

de las raíces tomadas

+ (1)(-4)

Ps = - (suma de productos

La ecuación

b)

cuyas raíces sean 1, 3 - 2, - 4.

= 24.

14x + 24 = O.


= -14.

h)

199

TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES TEORIA

Dada la ecuación ecuación x33 SO. so. Dada otra. de otra.

-

8x2 + 9x 9x + k = O, O, hallar hallar el valor valor entero entero de k para para que que una una de las raíces raices sea el doble doble 8X2

Sean las raíces raíces a. 2a, 2a, b. Sean

ros que figu-

Sumaderaíces=-(-8)=8=a+2a+b (l)b=8-3a. Sumaderaíces=-(-8)=8=a+2a+b o (l)b=8-3a . Suma de productos productos de las raíces raíces tomadas tomadas dos dos a dos dos = 9 = a(2a) a(2a) + a(b) a(b) + 2a(b) 2a(b) Suma Producto de las raíces raíces = --.k a(2a)(b) -2a2b.2b. Producto .k = a(2a)(b) o (3) k = -2a solución de (1) y (2~ (2~ es a =:' = 3, b = -1. -1. Sustituyendo Sustituyendo en (3), k = 18. La solución

o

3ab = 9. (2) 2a22 + 3ab

51. 51.

Transformar Transformar la ecuación ecuación 2x' 2x' + 8x 8x33 + 5X2 5x2 -- 3x 3x + 6 = O O en una una ecuación ecuación en y que que carezca carezca de término término de tertercer grado. grado. cer + 8 + + 5 - 3 + + 6 2+ Escribamos la ecuaciÓn, ecuaciÓn, en primer primer lugar, lugar, con con el coeficiente coeficiente de la mayor mayor Escribamos -=-!J -2-6+1+2 ~ 2 6 + l + 2 potencia igual igual a la unidad unidad y apliquemos, apliquemos, a continuación, continuación, relaciones entre entre las potencia las relaciones 2+6-1-2+8 2+6-1-2+8 raíces y los coeficientes. coeficientes. raíces -2-4+5 -2-4+5 Suma de raíces raíces = - 8/2 8/2 = - 4. La suma suma de las raíces raíces de la ecuación ecuación peSuma 2+4-5+3 2+4-5+3 dida en y debe debe ser cero, cero, esto esto es, la suma suma de las raíces raíces de la ecuación ecuación dada dada dida - 2- 2 más 4. Ello Ello se consigue consigue aumentando aumentando las cuatro cuatro raíces raíces de la ecuación ecuación más en 1 las 2 + 2- 7 dada, , es decir, decir, y = x + 1. dada - 2 O 2+O ecuación pedida pedida es 2y' 2y' - 7y2 + 3y + 8 = O. La ecuación

52. 52.

Hallar la suma suma de los cuadrados cuadrados de las raíces raíces de x 33 - 2X2 - 23x 23x + k = O. O. Hallar 2 2 2 2 2 2 Sean las raíces raíces a, b, e. Como Como (a + b + e)2 = a + b + e + 2(ab 2(ab + be + ca), ea), tendremos tendremos a22 + b22 + e22 Sean 2(ab + be be + ca) ea) = 222 - 2( - 23) = 50. = (a + b + e)2 - 2(ab

53. 53.

Dos raíces raíces de la ecuación ecuación incompleta incompleta 3x 3x33 Dos ecuación. ecuación.

o mismo

ecuación 3x 3x33 Sea la ecuación

-

-

17x22 + ... ... = O O son son 2,4. Hallar la tercera tercera raíz raíz y completar 17x 2,4. Hallar completar la

hx + k = O O y sus sus raíces raíces 2,4,r. 2.4." 17x22 + hx

Suma de raíces raíces = 17/3 17/3 = 2 + 4 + r; r ; de donde donde, r = --1/3. Suma 1/3. Suma de productos productos de las raíces raíces tomadas tomadas dos dos a dos dos = h/ h/33 = 2(4) 2(4) + 2( - 1/ 1/3) -1/3) 18/3; donSuma 3) + 4( -1 /3) = 18/ 3; de donde h == 18. Producto de raíces raíces = -k/3 -k/3 = 2(4)(-1/3) 2(4)(-1/3) -8/3; ; de donde donde k = 8. Producto = -8/3 pues. r = -1 -1/3./ 3, Y la ecuación ecuación completa completa es 3x 3x33 Así. pues,

-

O. 17x22 + 18x + 8 = O.

Otro método. método. Suma Suma de raíces raíces = 17/3 = 2 + 4 + r, de donde donde, r = -1 -1/3./3. Por tanto. las raíces raíces son son 2, 2.4,4, --1/3. Otro Por tanto, 1/3. ecuación cuyas cuyas raíces raices son son estas estas tres tres es (x (x - 2)(x 2)(x - 4)(3x 4)(3x + 1) = O, O. o bien, bien, 3,,3 3:'(3 - 17x22 + 18x + 8 = O. O. La ecuación

54.

Dada la ecuación ecuación x33 -- 9x + k = O, O. hallar hallar el valor valor de la constante constante k para para que: que: Dada Dos raíces raíces sean sean opuestas. opuestas. Dos Exista una una raíz raíz doble doble. . Exista Las tres raíces estén estén en progresión progresión geométrica. geométrica. Las tres raíces Las tres tres raíces raíces estén estén en progresión progresión aritmética. aritmética. Las Una raíz sea ,y3. e) U na raíz + .,j3.

a) a) b) b) e) d) d)

19

a)

Sean las raíces raíces a, a. - a, a. b. Sean Tendremos, -a ) + b = O. Tendremos. aa + ((-a) O. ya que que no hay hay término término de segundo segundo grado. grado. Por Por tant tanto.o. b = O. O. Producto de raíces raíces = a( a(-a)(b) Luego k = O. O. Producto - a)(b) = O = --k.k. Luego

b)

Sean las raíces raices a, a. a. a. b. Sean Suma de raíces raices = a + a + b = O (1). Suma Producto Producto de raíces raices tomadas tomadas dos dos a dos dos = 2ab 2ab + l/2 a2 2 Producto ele de las tres raíces raíces = l/,,2b (3 l. Proelucto las tres h = - k (3).

-9 (2). (2). -9


200

TEORIA

DE ECUACIONES

Resolviendo el sistema formado por (1) Y (2) se deduce a

=

±.)3,

b

=

+2.)3.

Sustituyendo

en (3), k

=

±6.)3.

el Sean las raíces alr, a, aro 3 Tendremos. alr + a + ar = a(l/r + I + r) = O, a2/r + a2 + a2r = a2(I/r + I + r) = -9, a = -k. Ahora bien. ni a ni (I/r + 1 + r) puede ser cero. ¿Por qué? En consecuencia, no existe valor alguno de k para el cúal las raíces están en progresión geométrica. d)

Sean las raíces a - d, a, a + d. Suma de raíces = a - d + a + a

e)

Sustituyendo Desarrollando,

55.

+

=

d

3a

=

=

O, es decir, a

O. Luego k

= -

(a - d)(a)(a

(19 + j3)3 - 9(.y9.. + j3) + k = O 9 + 919 + 9j3 + 3 - 9(19 + .j3i + k = o, de donde k =

en la ecuación

+

d)

=

5x2 + 6x - 1

-

f,

,

d)

-12.

gati

O, escribir la ecuación cuyas raíces sean 1.. , 1.. , 1.. . a b e

ecu

Sustituyendo y = l/x se tiene, 2(1/y)3 - 5(1/y)2 + 6(1/y) - 1 = O, o bien y3 - 6y2 + 5y - 2 = O, cuyas raíces son los recíprocos de las correspondientes de la ecuación dada. (Comparar los coeficientes de la ecuación dada con los de la pedida.)

56.

Las raíces de x3

+

+

e

be

+

2X2

-

+

3x - 4 = O son a, b, e. Hallar los valores de las relaciones

al

a

b)

ab

a)

2 (suma de raíces) 3 (suma de productos de raíces tomadas dos a dos) 4 (prod ucto de raíces) a2 + b2 + e2 = (a + b + e)2 - 2(ab + be + ea) = 22 - 2(3) a3 - 2a2 + 3a - 4 = O, b3 - 2b2 + 3b - 4 = O Y e3 Sumando, a3 + b3 + e3 - 2(a2 + b2 + e2) + 3(a + b + e) Luego a3 + b3 + e3 = 2(-2) - 3(2) + 12 = 2

b)

e) d) e)

f)

b

+

1 1 abe(- + abe

ea

1

+ -) =

be

+

ae

e)

abe

d)

a2

+

ab.

+

+

b2

e2

1 1 Se tiene 4(- + abe

rab

O.

dada,

Si a, b, e, son las raíces de la ecuación 2X3

nui

1

+ -) =

3

+

3

e)

a

b

f)

-+-+-

e)

siguientes.

3

+

e

1

1

1

a

b

e ciór don de

=

-2 2 - 2e + 3e - 4 12 = O

3

y

1 1 - + abe4

=

O f)

1

3

+ - = -. y s

4y3

Otro método. 3y2 + 2y -

-

La ecuación 1 = O.

cuyas

raíces

La suma de las raíces de esta ecuación

METODO DE IRRACIONALES 57.

HORNER

PARA

HALLAR

son dos

recíprocas

3 . 1 es -4' Luego a

de las raíces

1

1

b

e

+- +-

de la ecuación

dada

es

16,1

3 =- . 4

Es" es :

RAICES g)

Hallar las raíces positivas de x3 - 2X2 - 2x - 7 = O con tres cifras decimales exactas.

f(%) %

a) Aplicando la regla de los signos de Descartes deduce que esta ecuación tiene una raíz positiva. b) Se representa la funciónf(x) desde x = O hasta x = 4.

= x3 -

f(%)

se

12 O

-7

1

-10

2X2 - 2x - 7

Como f(x) cambia de signo entre x = 3 y x = 4, existe una raíz entre estos dos valores y su primera cifra es 3, como se puede comprobar gráficamente.

lb

2

-11

3

-4

4

17


Y

SI

-----d-------------l-----x 16,1

exa

201

TEORIA ECUACIONES TEORIA DE ECUACIONES

Se escribe la ecuación cuyas raíces sean las de la anterior anterior disminuidas en 3, es decir, se hace X, == x - 3. = -k. e k para

=

Se obtiene la ecuación x~ x~ + \3x , - 4 + 7x 7x~f + + 13x, raíz comprendida comprendida entre O y 1. 1.

°

tl

~ ~

que tiene una

= = ()

O. d) Por tanteos tanteos se deduce que I,(xd f, (x d = x~ + xf + d) = x~ + 77x~ + \3x 13x,I -- 4 es nex, = x, = gativo para X, = 0,2 (-1,112), (-1,112), y positivo para X, = 0,3 (0,557). (0,557).

l l

,¡;,~.

°

1+7 +\3 -4 1+7 +13 -4 + 0,2 + 1,44 1,44 + 2,888 2,888 1 + 7,2 + 14,44 14,44 - 1,112 1,112

~ ~

Por tanto, 0,2+ (y (y la raíz de la tanto, la raíz positiva de It!xd.= fdxd .= O es 0,2+ ecuación dada dada es 3,2 + + ).).

I ------------------~ ------------------~

O, cuyas ecuación e)

1-22-7 1-22-7 +3+ 3+3 +3+ 3+3 1+ 1+ 1- 4 + 3 + 12 12 1+4+13 1+4+\3 +3 1 + 77

0,3

Se disminuyen en 0,2 las raíces de I,(xd, f,(xd , (x X, -- 0,2). (x22 = = X, transformada es La segunda ecuación transformada

0,2 ~I

°

12(x2) = x~ 15,92x2 - 1,112 1,112 = = O f2(X2) = x~ + 7,6x~ 7,6x~ + 15,92x2

°

y su raíz positiva está comprendida comprendida entre O y 0,1.

1+7 +13 -4 1+7 +\3 -4 + 0,3 + 2,19 + 4,557 1 + 7,3 + 15,19 15,19 + 0,557 1+7 +\3 -4 1+7 +13 -4 + 0,2 + 1,44 1,44 + 2,888 2,888 I1 + 7,2 + 14,44 14,44 + 1,112 1,112 + 0,2 + 1,48 1,48 15,92 1 + 7,4 + 15,92 + 0,2 1 + 7,6

Para aproximar Para aproximar esta raíz hasta la centésima, resolvemos la ecuación que resulta al prescindir prescindir de los términos términos anteriores anteriores al de primer grado. Es decir, 15,92x2 15,92x2 - 1,112 1,112 = 0, O, de donde cual indica que la raíz positiva de 12(x2) f2(X2) == O está comprendida donde XX22 = 0,06+, 0,06+, 10 10cual comprendida entre entre 0,06 y 0,07 (y (y la raíz dada es 3,26+). 3,26+). de la ecuación dada

°

1) f)

o. Se disminuye en 0,06 las raíces de 12(x2) f2(X2) == O. 0,06

I

La tercera ecuación transformada transformada es

°

13(x 16,8428x33 - 0,129224 0,129224 = O f3(X33) ) = x~ x~ + 7,78x~ 7,78x~ + 16,8428x

°

y su raíz positiva está comprendida comprendida entre O y 0,01. dada es

1+ + 1+ + 1+ + 1+

7,6 0,06 7,66 0,06 7,72 0,06 7,78

+ + + + +

15,92 - 1,112 1,112 15,92 0,982776 0,4596 + 0,982776 16,3796 - 0,129224 0,129224 16,3796 0,4632 16,8428 16,8428

Resolviendo la parte parte lineal, 16,8428x3 - 0,129224 = 0, O, se deduce XX33 = = 0,007 0,007+. 16,8428x3 0,129224 = +.

°

Esto indica que la raíz positiva de/3(x3) comprendida entre 0,007 y 0,008 0,008 (y (y la raíz de la ecuación dada dada def3(x3) == Oestá está comprendida 3,267+). es 3,267 +).

g) g)

0,007 las raíces de 13(x3) o. Se disminuye en 0,007 f3(X3) = O. 0,007

La cuarta cuarta ecuación transformada transformada es 14(x f4(X44) ) == x¡ x¡

7,801x¡ + 16,951867x 16,951867x44 + 7,801x¡

°

0,010942837 = O - 0,010942837

°

y su raíz positiva está comprendida comprendida entre O y 0,001. r

I

1+ + 1+ + 1+ + 1+

7,78 7,78 0,007 0,007 7,787 7,787 0,007 7,794 0,007 7,801 7,801

+ + + + +

16,8428 - 0,129224 0,129224 16,8428 0,054509 + 0,118281163 0,118281163 0,054509 16,897309 - 0,010942837 0,010942837 16,897309 0,054558 0,054558 16,951867 16,951867

Resolvíendo Resolviendo la parte lineal, 16,951867x4 4 - 0,010942837 0,010942837 == 0, O,se 0,0006+. 16,951867x se deduce XX44 == 0,0006+.

Por tanto, J,2676 +, +", o bien, tomando tanto, la raíz pedida de la ecuación 'dada es :1,2676 tomando tres cifras decimales 3,268. exactas, 3,268.


TEORIA

202 58.

Hallar

x3

una raíz real de la ecuación

Sea f(x)

=

x3 + 3x + 8;

+

se tiene

3x

DE ECUACIONES

+

8 = O con dos cifras decimales

=

f(-x)

_x3

-

exactas.

59.

3x + 8

Hallar SI SI

Aplicando la regla de los signos de Descartes, f(x) = O tiene 1 raíz real que es negativa, y f( - x) = O tiene 1 raíz real que es

a)

e

positiva. ----;;I--"!""""+-~-~- r La raíz positiva de -f(-x) = x3 + 3x - 8 contrario a la raíz negativa de [tx¡ = O.

b)

x

O

g(x)

-8

=

O es de signo

1 12 -4\6

Sea g(x) = x3 + 3x - 8. La raíz igual a la raíz positiva de g(x) = O.

positiva

e)

= O es

de f(-x)

Como g(x) cambia de signo entre x = 1 Y x = 2, la primera Se disminuye

d)

0,4

cifra de la raíz de g(x) = O es 1.

en 1 las raíces de g(x).

.!J Se obtiene la ecuación comprendida entre O y l.

4 = O que tiene una raíz

-

Por tanto,

ecuación g2(X2)

y su raíz positiva

1+ 4 - 4 +1+2

de gtlxtl

= O es 0,5+

T+3

(y la raíz de g(x) = O es 1,5+).

transformada

= x~ + 4,5xi

es

+ 9,75x2

está comprendida

~

-

0,125 = O

1+3 +6 -4 + 0,5 + 1,75 + 3,875 1 + 3,5 + 7,75 - 0,125 + 0,5 + 2 1 + 4 + 9,75 + 0,5

entre O y O, l.

1

+

4,5

Para aproximar esta raíz hasta la centésima. resolvemos la parte lineal, 9,75x2 - 0,125 = O, con lo cual X2 = 0,01 +. indica que la raíz positiva de g2(X2) = O está comprendida entre 0,01 y 0.02 (y la raíz de g(x) = O es 1,51 +).

g)

Se disminuye

en 0.01 las raíces de g2(X2)

= O.

O,Olj La tercera g3(X3)

ecuación

transformada

es

= x~ + 4,53x~ + 9.8403x3 -

y su raíz positiva

está comprendida

0.027049 = O

la raíz de x3

+

3x + 8 = O con dos cifras decimales


l + + 1 + +

4,5 0,01 4,51 0,01

+ + + +

9.75 - 0,125 0,0451 + 0,097951 9,7951 - 0,027049 0,0452

1+4.52 + 9,8403 + 0.01 1 + 4,.53

entre O y 0.01.

Resolviendo la parte lineal, 9,8403.\3 - 0.027049 = O. se deduce X3 = 0.002+. Esto indica que la raíz de g3(X3) = O es 0,002 + y la raíz de g(x) = O es 1,5 12 + . Por tanto.

0.04

1+2+6 + 1

en 0,5 las raíces de g 1 (x 1)'

La segunda

+

---

la raíz positiva

Se disminuye

+1+1+4 1

gtlxtl = xl + 3xf + 6x1 - 4 para las sucesivas deceque es negativa para XI = 0,5 y positiva para XI = 0,6.

e) Calculando nas, se obtiene

f)

x~ + 3x~ + 6x 1

1+ O + 3 - 8

exactas

es - 1,51.

Luego

203 203

TEORIA DE DE ECUACIONES ECUACIONES TEORIA

59. 59.

Hallar13 con tres tres cifras cifras decimales decimales exactas. exactas. Hallar13 con Sea xx == 13. 13. Tendremos Tendremos xx)3 == 33 Y YI(x) [ix¡ == xx)3 Sea

--

O. 33 == O.

Según la la regla regla de de los los signos signos de de Descartes. Descartes . f(x) .lix) == O O tiene tiene una una raíz raíz positiva positiva (13) (13) yy dos dos raíces raíces imaginarias. imaginarias. Según Como f(l) .lil) es es -- yy j12) 1(2) es es +. +", lala primera primera cifra cifra de de la la raíz raíz es es 1.l. Como %

1+0+0-3 1+0+0 - 3

Disminuimos las las raíces raíces de de /lx) fix) == xx)3 -- 33 == O O en en l\.. Disminuimos

1 + 1+ 1- 2 1+1+1-2 +1+2 +1+2 + 22 ++ 33 11 + +1 +1 +3 11 +

Entonces. f, f.
.!J ~.2:_L.:~:-..!. !J~~

1+3 1+3 0,4 ++ 0,4 1 + 3,4 + 0,4 0,4 + 1 + 3.8 + 0,4 0.4 + 4.2 11 + 4,2

~ ~

8 4 4

0.04

0.002 0,002

I

II

1+ + 1+ + 1+ + 1 + 1+

+3 +3 1,36 ++ 1,36 + 4,36 + 1,52 1,52 + + 5,88

4,2 0.04 0,04 4,24 4.24 0.04 0.04 4.28 0.04 0,04 4.32 4.32

+ + + + +

-2 -2 1,744 ++ 1,744 - 0.256

5.88 0.1696 0,1696 6.0496 6,0496 0.1712 0,1712 6.2208

+ -

0.256 0.256 0,2420 0,2420 0.0140 0.0140

1+ + 4.32 4.32 + 6.2208 6,2208 - 0.0140 0,0140 + + 0.002 0.002 + 0.0086 0,0086 + 0.0125 0.0125 11 + + 4.322 4.322 ++ 6.2294 6.2294 -- 0.0015 0,0015 ++ 0.002 0.002 ++ 0.0086 0.0086 1+-4,324 ¡-:¡:--4.324 -:; 6.2380 6.2380

x~ == xt

3xf + 3x, 3x, + 3xr

O. - 2 == O.

(0,4) es - y f, Como Como 1, 1.<0,4) f, (0,5) (0.5) es +. +. disminuimos disminuimos las raí0.4. ces en 0,4.

5.88x2 2 5,88x

-

Luego x2 Luego X2

0.256 = = O. O. aproximadamente. aproximadamente. 0.256 = 0.04, aproximadamente. = 0.04. aproximadamente.

6.2208.\') 6.2208x3 - 0.0140 0,0140 = = O. O. aproximadamente. aproximadamente. X3 = = 0.002. 0.002. aproximadamente. aproximadamente. Luego x) Luego

"+

++ 0.002 0.002

----

I1 ++ 4.326 4.326

0.0015 .. 0.0015 (- = 0.0002. 0.0002. aproximadamente). aprox,madamente). (-= 6.2380 6.2380

Luego Luego 13 13 = = 1,442. 1,442. con con tres tres cifras cifras decimales decimales exactas. exactas.

- 0,125 + 0,09795 I - 0,027049


TEORIA

204

DE, ECUACIONES


Si f(x)

= 2X3

x2

-

-

+

X

2. hallar a) f(O). h) f(2).

e)

J( -

78.

Re a)

1). d) /l/i). e) f(.}2).

b) 61.

Hallar el resto de las divisiones a)

(2x' - 7)

-i-

b)

(x3

+

-

e)

(3x3

siguientes:

1)

4x

+

2) -i- (x -

4x - 4)

-i-

(x -

3x2

+

+

(x

2)

t)

+

+

d)

(4y3

Y

e)

(xl2+x6+1)+(x-.J=1)

/)

(2xJJ

+

35)

+

27) -i- (2y

b)

1) SO.

62.

Demostrar

+

x3 63.

64.

6S.

+

7x2

Determinar b)

-4.

Hallar

+

que x

3 es un divisor

+

7x2

10x - 6 Y que x = - 3 es una

raíz de la ecuación

cuáles

b)

de los números

siguientes

la regla de Rufini,

a)

+

3x2

b)

(3x'

+

x3

son raíces de la ecuación

+

y'

+

3y3

12)' -

16 = O: a) 2.

e)

1, e) 2i.

los valores de k para los cuales

(2x3

Re a)

10x - 6 = O.

e) 3, d)

Aplicando

+

de x3

Ha a)

+

(x

-i-

79.

3)

4x - 2)

~

+

3x3

el cociente

hallar (x

-i-

4) -i- (x -

-

+

4x3 + 3x2 - kx + 6k x' + 4kx - 4k2 = O

a) h)

y el resto de las divisiones

1)

2)

66.

Si fix¡ = 2x' -

67.

Sabiendo

68.

Demostrar

69.

Hallar

las raíces de las ecuaciones

a)

+

e)

(y6 -

d)

(4x3

81.

Del

82.

Re¡ ro ( te i

siguientes:

3y' + 4y - 5) -i- (y + 2) + 6x2 - 2x + 3) -i- (2x + 1)

y /(-3) aplicando

4x - 4. calcular /(2)

es divisible por x + 3. tiene la raíz .r = 2.

83.

Sin la

84.

la regla de Rufini.

1

Hal a)

b)

70.

(x

/i

que 3 y -

3)2(X

+

'4x'(x

Hallar a)

que una raíz de x3

-

2)3(X

2)4(X

-

las ecuaciones

2, -3,

7x - 6 = O es -1, hallar

-

son raíces de 2x' - x3

+ 1) = O 1) = O

O, -4,

b)

-

e)

(x2

d)

(y2

enteros

±.}2. -

73.

Hallar

los valores de A. B y

A(x

l)(x

74.

Escribir a)

la ecuación

l. O. i

+

B(x

e

2)(x -

2

+

i

e)

+

-1

1

86.

Apl de 1 a)

b)

A(2x - 3)

posible con coeficientes

+ fi.

Hal tod,

5) = O

d)

- 1

±

2i, 2

±

i

+

Bix - 2) = x es una identidad.

para los cuales la ecuación siguiente es una identidad: 2) + e(x + 2)(x - 1) = x2 - 5x - 2.

de menor grado

b)

3x + 2)(x2 - 4x 4)2lv + 1)2 = O

8S. la otra raíz.

1/3

d)

87.

Dad núrr

88.

Dad

89.

Dell plej:

90.

a)

± ifi·

Hallar los valores de A y B para los cuales la ecuación

+

+ +

raíz doble 2

72.

2)

cuyas raíces sean

±3i.

e)

2/3, 1

Hallar

-

15 = O. Hallar

31x -

cuyas raíces sean:

71.

-

una ecuación

3x2

siguientes:

de coeficientes

-/i

-

las otras dos.

-2.

enteros.

cuyas raíces sean las dadas.

iJ3

e).}2.

i

/)

tn. 6/5

b) e)

7S.

76.

En la ecuación x3 llar a y b. Escribir

+

la ecuación

ax?

+

+

bx

a = O. a y b son números

reales. Si x = 2

+

i es una raiz de la ecuación.

d)

ha91.

de menor

grado

posible

con coeficientes

enteros

que tenga

.}2 -

1 como

Iral oper

raíz doble. a)

77.

Escribir la ecuación

de menor grado posible con coeficientes

enteros que tenga una raíz igual a


J3 +

2i.

b)

205

TEORIA DE ECUACIONES 78.

79.

Resolver

las ecuaciones

+

4

al

x

bl

6:.:4

Hallar

al b)

3

x

12x2

-

+

11x3

-

x2

siguientes,

+ 3

4x

2X3 3x

-

a) x3

al 2.

di

4

33x - 45 = O; 1

-

+

si existen, de las ecuaciones

b)

2X3

-

3x2 -

e)

3x3

+

2X2

+

6 = O; 3 -

+

6x2 -

j3 +

16x

8 = O; 2i

siguientes:

d) 3x

+

-

x3

+

x2 -

2X2 - 2x - 4 = O 12x - 4 = O

siguientes:

+

6 = O 1 = O

2x -

-

5x2 - 2x

3x

+

8x2

2X4

-

d) 4x4 + 8x3

9 = O

Ilx

+

-

4:.:3

2X4

e)

1 = O

+

x

5x2

3

fi - fi

.y2

+ +

4

e)

5x

f)

3x5

3

+ 3

15x

+

1 = O

6x - 4 = O IOx2

-

+

12x

+

8 = O

Demostrar

82.

Representar gráficamente la función f(x) = 2X3 - 3x2 + 12x - 16. A partir de ella, determinar a) el número de raíces positivas, negativas y complejas de 2X3 - 3x2 + 12x - 16 = O, b) un valor aproximado, mediante interpolación, de algún cero real de f(x) con dos cifras decimales exactas.

83.

Situar gráficamente entre dos enteros consecutivos las raíces reales de la ecuación x4 - 3x2 - 6x - 2 = O. Hallar la menor raíz positiva de la ecuación, aproximada con dos cifras decimales exactas.

que a)

Hallar las cotas superior 3 2 x - 3x + 2x - 4

a)

y b)

e inferior O

5x2

+

Hallar las raíces racionales todas sus soluciones.

86.

Aplicando la regla de los signos de Descartes, de las ecuaciones siguientes: a)

2X3

b)

3

3x

+

3x2

-

x2

+ +

-

4x

+

MI

24 = O y, a continuación,

determinar

7 = O 2x -

irracionales.

de las raíces reales de las ecuaciones siguientes. b) 2X4 + 5x2 - 6x - 14 = O

=

de 2X3

son números

85.

1 = O

resolver la ecuación

el número de raíces positivas,

3x2 - X

e)

x5

+

4x3

d)

x5

-

3x - 2 = O

-

+ 12

negativas

para calcular

y complejas

=O

87.

Dada la ecuación 3x4 - x3 + x2 - 5 = O, determinar a) el máximo número de raíces positivas, b) el mínimo número de raíces positivas, e) el número exacto de raíces negativas, d) el máximo número de raíces complejas.

88.

Dada

89.

Determinar si la ecuación x6 + 4x4 + 3x2 plejas, e) 6 complejas, d) 6 raíces reales.

la ecuación

5x3

+

2x - 4 = O, hallar el número

+

Determinar

el número

de raíces positivas

'b)

Determinar

el número

de raíces complejas

e)

Demostrar

que x6

+

2X3

d)

Demostrar

que x4

+

x3

91.

Transformar las ecuaciones operación que se indica. a)

2X3

-

x2

b)

2X4

-

5 = O; divididas

+

+ 3x -

x2 -

siguientes

de raíces a) negativas,

b) reales.

16 = O tiene a) 4 raíces complejas

90. a)

ión, ha-

2i.

+ ifi

+

-

81.

84.

doble.

x3

4x2 - 5x - 6 = O

x2 - 9x

-

el

32x - 40 = O; 1 -

SO. Resolver las ecuaciones uación

ij3

+

las raíces racionales,

x4

una de cuyas raíces es la indicada:

de la ecuación de la ecuación

- 4 = O tiene, exactamente,

x6 x

7

7x2

+

x

4

y 2 reales, b) 4 reales y 2 com-

-

11 = O.

-

x2

-

3

= O.

4 raíces complejas.

1 = O solo tiene una raíz negativa. en otras cuyas raíces sean las raíces de las dadas,

6x - 3 = O; multiplicadas

por 2

por 3


teniendo

en cuenta la

206


+

+

el

x3

dl

x

el

3x'

fl

x3

+

3x2

-

2x

+

5 = O; disminuidas

en 2

gl

x3

+

3x2

-

2x

+

1 = O; aumentadas

en 2

h)

3

x3

-

2X2

-

20x

+

+

2X3

3x2

5x

7 = O; multiplicadas

+

500x - 4000=

'-

5x2

2

+

+

O; divididas

107.

H

por lO al

4x - 2 = O; con signo contrario

bl e) dl

+

3x

por -2

2 = O; aumentadas

en 1 e)

92.

93.

Demostrar que la ecuación ax3 + bx? + ex + d = O se puede transformar en otra que carezca de término en x2 aumentando las raíces en btsa. Como aplicación, transformar x3 + 6x2 + 3x + 8 = O en otra ecuación que carezca de término en x2. Transformar 'Ias ecuaciones siguientes en otras de coeficientes de mayor grado sea igual a la unidad. al

94.

b)

3x" -

-

Resolver a)

95.

2X3

8x3

1= O

las ecuaciones 20x2

-

14x3

8x' -

Dada la ecuación de los productos

+

108. El

+

del término 109.

e)

2x' -

lIO.

O

=

+

e)

4x3

d)

2x' - x

+

5x2 3

-

u Sa

1= O

siguientes:

+ llx - 2

9x

en las cuales el coeficiente

2x - 4 = O

14x - 3 = O 2

-

+

5x3

b)

enteros

fl

H¡

2x - 6 = O

+

23x2

18x

+

5x3 + 2x - 4 = O, hallar a) la suma de sus raíces, b) el producto de sus raíces tomadas dos a dos.

SOLVO

18 = O

de las mismas, e) la suma

60.

al

61.

a)

63.

96.

Dada la ecuación 3x6 suma de los productos

97.

Hallar

98.

Hallar las constantes 3 y su producto 6.

99.

-

x2 - 6 = O, hallar a) la suma de los productos de sus raíces tomadas de sus raíces tomadas cuatro a cuatro, e) el producto de las raíces.

la suma y el producto

de las raíces de la ecuación

a y b en la ecuación

Dada la ecuación x3 + 3x2 - 16x otra y que las tres son enteras.

+

ax3

6x2

-

+

2X3

+

3x2

-

tres a tres, b) la

bx - 6 = O.

64.

al

65.

al b)

2ax - 3b = O sabiendo

k = O. hallar el valor de k sabiendo

que la suma de sus raíces es

que una de las raíces es doble de la

66.

12,

67.

3,

68.

+

100.

Hallar el valor de k en la ecuación

x3

101.

Hallar las tres raíces de la ecuación

2X3

102.

Hallar el valor de k en la ecuación mética.

x3 -

+

kx

16 = O sabiendo

69.

que tiene dos raíces iguales.

a) b)

103.

Hallar el valor de k en la ecuación

x3

-

104.

Hallar las raíces de la ecuación

2X3

+

(k

lOS.

Trañsforrnar cer grado.

106.

Las raíces de la ecuación

x2 + ex + 4

-

3X2 -

+

3x

6x

+

= O sabiendo

que dos de ellas son opuestas.

k = O para que sus raíces estén en progresión

70.

a)

71.

:e'

b)

a-rit-

72. 'A,

k = O para que dos de sus raíces sean iguales.

73.

+

2lx2

+

(2k - 2lx + 1 - k = O sabiendo

74.

+

al

a

b)

ab

b

+

la ecuación

+

3:e' -

+

2X3

e

e)

ahe

be + ea

d)

a2

12x3

3x2

+

+

Tx

+

4x el

+

b2

+

5 = O en otra. en la incógnita y, que carezca de término

+

2 = O son a. b. e. Hallar (/3

+

h3

+

e3

f)

e2


A,

que su suma es 1/2. a)

bl

de ter-

e)

15.

a =

76.

x,

78.

al

el valor de:

1

1

1

(/

b

e

-+-+-

gl

1

1

1

ab

be

ea

-+-+-.

207

TEOR1A ECUAC10NES TEORIA DE ECUACIONES

107.

Hallar, método de Horner, la raíz raíz que indica con con la aproximación Hallar, por por el método de Horner, que se indica aproximación especificada: especificada:

+ 3X2 - 9x 9x - 7 = raíz positiva, positiva, con una cifra = O; raíz con una cifra decimal decimal exacta exacta 2 b) + 9X2 27x - 50 raíz positiva, positiva, con b) 9x + 27x 50 = = O; raíz con dos dos cifras cifras decimales decimales exactas exactas 3x2 - 3x 3x + 18 = = O; raíz e) x33 -- 3X2 raíz negativa, negativa, con con una una cifra cifra decimal decimal exacta exacta d) 9x + 17 = raíz negativa, negativa, con con una una cifra decimal exacta d) x33 + 6X2 6x2 + 9x = O; raíz cifra decimal exacta e) X 27x33 - 83x2 raíz comprendida XS + x44 - 27x 83x2 + 50x 50x + 162 = = O; raíz comprendida entre entre 5 y 6, con con dos dos cifras cifras decimales decimales exactas exactas 4 3 4 3 f)f) x - 3x 3x + Xl 7x + 12 = = O; raíz comprendida entre 1 y 2 con con dos dos cifras cifras decimales decimales exactas. exactas. x' - 7x raíz comprendida entre a) a)

2X 2X33

x33

o n

108.

En una viga viga cargada longitud es necesario necesario resolver resolver la ecuación En el cálculo cálculo de de la flecha flecha de de una cargada de de cierta cierta longitud ecuación 4x 4x33 -- 150x 150x22 + 1 500x Hallar la raíz raíz de dicha una cifra 500x - 22871 871 = = O. Hallar dicha ecuación ecuación comprendida comprendida entre entre 2 y 3 con con una cifra decimal decimal exacta. exacta.

109.

longitud de de una caja paralelepipédica doble de de su espesor espesor y su altura altura es un anchura. La longitud una caja paralelepipédica es doble un metro metro mayor mayor que que su anchura. volumen de caja en cuestión vale 64 m", m 3 , hallar hallar su ancho una cifra Sabiendo Sabiendo que que el volumen de la caja cuestión vale ancho con con una cifra decimal decimal exacta. exacta.

110.

Hallar,y20 Hallar

no

con dos dos cifras cifras decimales decimales exactas. exactas. fiO con

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS SOLUCIONES DE LOS

60.

63. la

b) b)

22

a) a)

61. a) a) 61.

-9 -9

12

d)

O

e) e)

14

b) b)

3/2 3/2

-13/8 -13/8

e) e)

e) e) d) d)

12

3fi 3fi

-4, 11 y 2i raíces u son son raíces

64. a) a) k

b)

= = 9

k = = 4, -2 4, -2

3

2

2x + x - 5 + x _ 1 l 65. al 2x

la

100 100 44 3 3x + 6x 6x3 + 13x2 13x2 + 26x 3x 26x + 52 + xx __ 2

b) b)

es

33

f)f)

e) e)

66.

12, 227

67.

3,-2-2 3,

147

+ 10)'3 20y2 + 40y 10.1'3 - 20y2 40y - 76 + Y-+2 . y +2

e)

y' - 5y4 yS 5y4

d) d)

2x 2x

e) e)

d)

-1, -1, -2,2 -2,2 ± i raíces dobles raíces dobles ± 2i, raíz raíz doble doble - 1

e) d) d)

xx44 - 4x 4x33 2X 3 xx44 - 2X3

d) e) f)f)

xx33 + 2X2 + 3x 3x + 6 6 = = O O 4 2 -- 22 = = O x4 - xX2 O 20x33 - 24x 24x22 + 5x 20x 5x - 6 6 = = O O

5+ 2x -- 22 + + 2x +2x + 1 2x + 1

2

68. 68. -1 ± 2i u 69. a)

raíz raíz triple triple 2, -1 raíz doble doble -3, -3, raíz -1 raíz O, raíz raíz cuádruple raíz cuádruple cuádruple O, cuádruple -2, 1

b) b)

70. a) X 3 + 3X2 a) 2 2X3 3x2 - 11x 11x - 6 6 = = O O b) b) 3x 3x44 + 7x 7x33 - 18x 18x22 + 8x 8x = =O O x2 71. x44 -- X2

r-

-

10x - 44 = = O O 10x

72.

A";' 2, B = = A";' - 3

73.

A == 1, B = 2, C = = 2, = -- 2

74. a) xx44 -- x33 + xX22 -- XX == O O b l X2 x2 -- 4x 4x + 5 5 == O O e) 3x 3x33 + 5X2 5x2 - 8x 8x + 22 = =O O

=

== 9

15. 75.

a

76.

4x33 + 2X2 - 4x x44 + 4x 4x + 1I

a) 78. a)

-5, b -5,

11 ±

13x2 -- 36x 36x + 36 = = O + 13x2 + 2X2 - 10x 10x + 25 = = O

i.j3, ¡fi,

-5, 2 -5,

b) b)

= =

1I

xx44

77.

O O i.j2, -5/3, - 5/3, 3/2 3/2 ± ifi,

e) el

+ 2X2 +

3

±.j3, ±.j3,

49 = 49 =O O -1


d) d)

±2i. ±2i. 2

.j2 ± .Ji


208

e) no tiene raíces racionales

1/2, 1/2, -1

b)

79.

a)

-3, 2

SO.

a)·

1, ±3

e)

1/3,

-t ± tft

b)

3, -2, 1/2

d)

H,

-1

± fl

-1/3, ±2

d)

±fli

e)

-1,2/5,

f)

±1, ±2, -2/3

82. 1,37 83. Raíz positiva comprendida entre 2 y 3; raíz negativa comprendida entre -1 y O; raíz positiva 84.

a)

Cota superior 3, cota inferior -1

=

2,41 aprox.

Cota superior 2, cota inferior - 2

b)

85. -3/2, 2 ± 2i 1 negativa, 2 complejas 3 positivas o 1 positiva, 2 complejas e) 1 negativa, 2 positivas, 2 complejas o 1 negativa, 4 complejas d) 1 positiva, 2 negativas, 2 complejas o 1 positiva, 4 complejas 88. a) ninguna 87. a) 3 b) 1 e) 1 d) 2

86.

a) b)

90.

a)

una

91.

a)

x3 -

b)

162x4

e)

33

92.

x3

93.

a)

+

9x

-

x3

-

-

+ 12x - 12 = O

d)

x3

5 =O

e)

3x4

f)..

x3

4x2

+

20x - 56 = O

distir

Es di

2X2

-

+

+

5x - 4 = O

2X3 - 5x2 - 4x - 2 = O 9x2 + 22x + 21 = O

3x2 - 2x

g)

x3

h)

x + 1 3

-

=

+

9 = O

O

+ 18 = O 3x2 - 4

94.

a)

1/2, 1/2, 3/2

95.

a)

O

97.

a)

Suma

=

=

106. a) -3/2

3/2, producto

b) b)

2 1,25

+

b)

x3

b)

2, -1,

10x -

=

100 = O

1/4, 1/2

2/5

e)

4/5

b)

O

3

96.

a)

98.

a

e)

-1

e)

-2,2

d) -7/4 d) -4,9

e)

x2-2=O

e)

3/4, -1 ± i

O

b)

2, b

=

=

e)

21/8 e)

5,77

e)

-1/3

f)

108. 2,5

-2 99.

104.

f)

d) 3, 3/2, -2 ±

4

103. ±2

102. 8

101. ±2, 1/2 100. -12 105. 3y4 - 18y2 - 17y + 3 = O

107. a) 1,9

una

b)

e)

cuatro o seis

b) x2

DEFINIC 89.

-2

g)

±2, 1/2

12

fl

1 x =1 rresp

PROPIEr 1.

3/2

1,38 11.

109. 2,9 m 110. 2,71

IlI.


CAPITULO 22 22 CAPITULO

prox.

Logaritmos

DEL LOGARITMO. LOGARITMO. logaritmo de un número número positivo positivo N en base base b, positivo POSItiVOY DEFINICION DEFINICION DEL El logaritmo y distinto de la unidad unidad, , es el exponente exponente x a que que hay hay que que elevar elevar la base base para para obtener obtener dicho dicho número. número. distinto decir b" == N, o bien bien x == 10g log,b N. Es decir Como 322 = 9, el logaritmo logaritmo de 9 en base base 3 es 2, es decir, decir, 2 = log3 log, 9. Ejemplo 1. Como

=0

2.

log, 8 es un número número x al que que se debe debe elevar elevar la base base 2 para para obtener obtener 8, es decir, decir, log2 2 = = 8, x = = 3. Por Por tanto, tanto, log2 log, 8 = = 3. 2" X

Las relaciones relaciones b" = = N Yx = = 10g log,b N son son equivalentes; equivalentes; b" = = N es la forma exponencial, y Las forma exponencial, x = = 10g log,b N la forma logaritmica. Como Como consecuencia, consecuencia, a cada cada propiedad propiedad de la potenciacion, coforma logarítmica. potenciación, le corresponde una una propiedad logaritmación. propiedad de la logaritmacióll. rresponde PROPIEDADES PROPIEDADES DE DE LA LA LOGARITMACION LOGARITMACION 1.

El logaritmo logaritmo del del producto producto de de dos dos números números positivos positivos M y N es igual igual a la suma suma de de los los logaritlogaritmos mos de de ambos, ambos, es es decir, decir,

11. 11.

El El logaritmo logaritmo del del cociente cociente de de dos dos números números positivos positivos M yy N es es igual igual aa la la diferencia diferencia de de los los 10logaritmos es decir, decir, garitmos de de ambos, ambos, es

III. III .

El El logaritmo logaritmo de de la la potencia potencia pp de de un un número número positivo positivo M M es es igual igual al al producto producto del del exponente exponente pp por por el el logaritmo logaritmo de de la la base, base, es es decir, decir,

Ejemplo Ejemplo 1. 1.

log, log2 3(5) 3(5) == log, log2 33 + + log log2, 55

2. 2.

17 17 loglo 10g1o 24 24

3.

log7 53

= =

=

-J3h

log.¿ 10g1o 17 17 -- loglo 10g1o 24 24

3 log7 5

10glO 2 = 10glo.y2 = log.¿ 10g1o 22 1/3 = = 1/3

3"~1 log.¿ 10g1o 22 209 209


..

LO(j¡\RITMOS

210 LOGARITMOS

DECIMALES

O VULGARES

LOGARITMOS DECIMALES O VULGARES. El sistema de logaritmos cuya base es 10 recibe el nombre de sistema decimal, vulgar o de Briggs. Cuando no se escriba la base, se sobrentiende que ésta es igual a 10. Por ejemplo, log 25 = logia 25. Consideremos

la tabla siguiente.

pr

0,0001

0,001

0,01

0,1

Forma exponencial de N

10-4

10-3

10-2

10-1

100

log N

-4

-3

-2

-1

O

Número

N

10 101

100

1000

10 000

102

103

104

2

3

4

Es evidente que 101.5377 será un número mayor que 10 (que es 101), pero menor que 100 (que es 102). Realmente, 101.5377 = 34,49; por tanto, log 34,49 = 1,5377. La parte entera de un logaritmo se denomina característica del mismo y la parte decimal mantisa. En el ejemplo anterior la característica del logaritmo es 1 y la mantisa 0,5377. re La mantisa del logaritmo de un número se encuentra en tablas en donde aparece sin la coma decimal. Ha de entenderse, sin embargo, que dicha mantisa es la parte decimal, siempre positiva, de un número cuya parte entera (característica) no figura en las tablas, por deducirse de forma inmediata como vamos a ver.

LA CARACTERISTICA de un logaritmo de acuerdo con las reglas siguientes: 1)

Si el número es mayor que 1, la característica disminuido en una unidad. Por ejemplo: Número Característica

2)

se determina

en función

del número

de que se trate,

es positiva y es igual al número de cifras enteras

5297

348

900

34,8

3

2

2

1

60

5,764

3

O

O

Si el número es menor que 1, la característica es negativa y es igual al número de ceros que haya inmediatamente después de la coma aumentado en una unidad. El signo negativo de la característica se puede escribir de dos maneras: a) encima de la característica, como, por ejemplo, I, 2, etc., b) en la forma 9 -10,8 -lO, etc. Más concretamente, la característica dellogaritmo del número 0,3485 es 1, o bien 9 - 10; la correspondiente a 0,0513 es 2, o bien 8 - 10; la de 0,0024 es l o bien 7 - 10.

HALLAR EL LOGARITMO DECIMAL DE UN NUMERO de logaritmos que figura en uno de los Apéndices.

POSITIVO.

Emplearemos

la tabla

Supongamos que se necesita conocer el logaritmo del número 728. Se busca en la tabla de 10garitmos el número 72 en la columna N y siguiendo la horizontal, debajo de la columna 8, aparece el número 8621. que es la mantisa del logaritmo en cuestión. Como la característica es 2, podremos escribir, log 728 = 2,8621. (Quiere decir que 102.8621 = 28.) La mantisa de log 72,8, log 7,28, log 0,728, log 0,0728, etc., es la misma e igual a 0,8621, pero sus características son diferentes. Por ejemplo:


ANTli qt re

211

LOGARITMOS LOGARITMOS

lag 728 == 2,8621 lag lag lag 72,8 == 1,8621 lag 7,28 == 0,8621 lag

ibe nde

lag lag lag lag lag lag

0,728 = 1,8621 0,728 = 0,0728 == 2,8621 0,0728 0,00728 == 3.8621 0,00728

o u o

9,8621-10 9,8621-10 8,8621-10 8,8621-10 7,8621-10 7,8621 - 10

número tiene tiene cuatro cuatro cifras, cifras, la mantisa mantisa se obtiene obtiene interpolando interpolando por por el método método de las las partes partes Si el número proporcionales. proporcionales. Ejemplo. Ejemplo.

Hallar lag lag 4,638. 4,638. Hallar La característica característica es O. La La mantisa mantisa se halla halla como como sigue sigue. . La Mantisa de lag lag 4640 4640 == 0,6665 0,6665 Mantisa Mantisa de lag lag 4630 4630 == 0,6656 0,6656 Mantisa Diferencia tabular tabular == 0.0009 0.0009 Diferencia

(que

an-

0,8 x diferencia diferencia tabular tabular == 0.00072. 0,00072, o bien bien 0,0007 0,0007 con con cuatro cuatro cifras cifras decimales. decimales. 0.8 Mantisa de lag lag 4638 4638 == 0,6656 0,6656 + 0,0007 0,0007 == 0,6663. 0,6663. Mantisa Luego lag lag 4,638 4,638 == 0,6663. 0,6663. Luego mantisa de lag lag 4638, 4638, lag lag 463.8, 463,8, lag lag 46,38. 46,38, etc., etc., es 6663, 6663, pero pero las las características características son son difedifeLa mantisa rentes. Por Por ejemplo ejemplo, , . rentes.

oma tiva,

a in-

lag 4638 4638 == 3.6663 3,6663 lag

lag 0,4638 0,4638 lag

= 1,6663 1,6663 =

bien o bien

9,6663-10 9,6663-10

lag 463,8 463,8 == 2,6663 2,6663 lag

lag 0,04638 0,04638 lag

= 2,6663 2,6663 =

bien o bien

8,6663-10 8,6663-10

lag 46.38 46,38 == 1,6663 lag

lag 0,004638 0,004638 lag

= ~~,6663 = ,6663

bien o bien

7,6663-10 7,6663-10

bien o bien

6,6663-10 6,6663-10

lag 4,638 4,638 == 0,6663 0,6663 lag

lag 0.0004638 0,0004638 == 4,6663 4,6663 lag

rate,

teras

ANTILOGARITMO. número correspondiente correspondiente logaritmo dado dado. . «El antilogaritmo antilogaritmo ANTlLOGARITMO. Es el número a un logaritmo de 3» quiere decir decir «el número número cuyo cuyo logaritmo logaritmo es 3»; 3»; en este este caso, caso, es fácil fácil deducir deducir que que se trata trata del númenúmequiere ro 1 000. Ejemplo 1. Ejemplo

haya aracplo,

2.

ritmo

Dado lag lag N Dado

= =

7,8657-10, hallar N. 7,865710, hallar

tabla, la mantisa mantisa 8657 8657 corresponde corresponde al número número 734. 734. Como Como la característica característica En la tabla, número tendrá tendrá dos dos ceros ceros inmediatamente inmediatamente después de la coma coma; ; por por es 7-10, 7-10, el número después tanto, N == 0,00734 0,00734 (es decir. decir, antilog antilog 7,8657-10 7,8657-10 == 0,00734). 0,00734). tanto,

la de

tabla

Dado lag lag N == 1,9058, 1,9058, hallar hallar N. Dado En la tabla tabla, , la mantisa mantisa 9058 9058 corresponde corresponde al número número 805. Como Como la característica característica En lag N es 1, el número número tendrá tendrá dos cifras enteras; enteras; por por tanto, tanto, N == 80,5. 80,5. (Escri(Escride lag dos cifras biremos este este resultado resultado así así: : anti)og anti¡og 1,9058 1,9058 == 80,5 80,5 ) biremos

3.

Dado lag lag N == 9,3842-10, 9,3842-10, hallar hallar N. Dado Como la mantisa mantisa 3842 3842 no no aparece aparece en las tablas, tablas, tendremos tendremos que que hacer hacer la interinterComo polación correspondiente correspondiente. . polación

de 10arece

odre-

, pero

Mantisa de lag lag 2430 == 0,3856 0,3856 Mantisa Mantisa de lag lag 2420 2420 == 0,3838 0,3838 Mantisa Diferencia tabular tabular == 0.0018 0,0018 Diferencia

Mantisa dada dada == 0.3842 0,3842 Mantisa Mantisa más más próxima próxima menor menor == 0,3838 0,3838 Mantisa Diferencia = = 0,0004 0,0004 Diferencia

Luego 2420 2420 + 1~ I~ (2430 (2430 - 2420) 2422 con con cuatro cifras, y N == 0.2422 0,2422. . Luego 2420) == 2422 cuatro cifras,


,.,

212

LOGARITMOS

EL COLOGARITMO

de un número positivo es el logaritmo de su recíproco.

Así, pues, colog N

=

1

IV

log

=

log 1 - log N

ya que log 1

log N,

= -

PROPIEI = O.

S. Demc

s Los cologaritmos se utilizan con mucha frecuencia en todos los cálculos en los que intervienen divisiones, o cocientes, ya que en lugar de restar el logaritmo del divisor, se puede sumar su cologaritrno. 56 Por ejemplo, log 73

= log 56 - log 73 = log 56 + colog 73.

PROBLEMAS RESUELTOS 6. FORMAS

Expre

y LOGARITMICA

EXPONENCIAL

a) h 1.

2.

3.

Expresar

las siguientes

a)

p' = r;

a)

q = log, r,

Expresar

log, 25 = 2,

a)

52 = 25,

en forma

42 = 16,

e)

formas

d)

logarítmicas

26 = 64,

e)

~I valor de los logaritmos

logarítmica:

r

2

2 = lo~

e)

9 '

16,

en forma

e)

= ~

log'l.

e)

I1 I (4) = 16'

8-2/3 = ~ 4

- 2 = log,

d)

16 = 2, d)

4' = 64 = 43 Y

64 = x ; tendremos

3' = 81 = 34 Y x = 4.

el

Sea log'12 8 = x; tendremos

(1)' = 8, (2-'r

e)

log; 125.)5

Resolver a)

las ecuaciones

log, x = 2,

jiO

= 10'13,

5' = 125.)5

= x,

d)

log,

e)

log (3x'

9

4

+

'3 . 2x -

d)

1,

I = O

e) 1,

= I

X

f)

l.

= 23, 2-'

= 23 Y

X

g)

1,

h)

1

= -3.

x = 7/2

x=9

= 25,

X'

2 = -

log,

x = 1/3

= 53. 5'12 = 57/2,

y=log, 25 = 2,

e)

siguientes:

32 = x,

e)

h

= 3.

Sea log, 81 = x; tendremos

10' =

e)

siguientes:

h) log, 81.

= .v,

,-0

e)

a3 = a3,

Sea log;

jiO

I

1

9"

log., a3 = 3,

d)

a) log, 64.

log'12 8.

b)

exponencial: I

log, 64 = 6,

b)

b)

exponenciales

3 = log, 8,

b)

las siguientes

d) log

4.

23 = 8,

b)

a)

Hallar

formas

y

x =

_ 2'3 9 , = 4'

4) = O,

7.

1

Sabie tro el

8

± 5.

Como

1'213 = ~ . 9' 10° = 3X'

+

la base es positiva, 4 8 r = (_)3/2 = . 9 27

la solución

a)

l.

b)

l.

es x = 5

es la solución e)

2x - 4,

3X'

+

2x - 5 = O.


x = 1, -5/3


213

PROPIEDADES DE LOGARITMOS PROPIEDADES DE LOS LOS LOGARITMOS S.

Demostrar propiedades de Demostrar las las propiedades de los los logaritmos. logaritmos. Sea M y N tendremos x = lo&, log, M log, N M = bIr Y N = bY; b"; tendremos M e y = lo&, N ... . Sea X

nen

1. Como Como MN será lo&, log, MN log, M log, N. 1. MN = bbíX ': bY b" = ~+Y, Ir+Y, será MN = x + y = lo&, M + lo&, N.

co-

~ M Ir M 11. Como Como N = bY bY = b":", será lo&, log, N = x - yy = lo&, log, M - lo&, log, N. 11. Ir-Y, será III. III.

6.

P\ , será Como MP (~)" = bPx será lo&, log, MP log,b M. Como MP = (Ir)" MP = px px = P P 10g M.

Expresar los los logaritmos logaritmos siguientes siguientes como como una suma algebraica algebraica de de logaritmos, logaritmos, aplicando aplicando las las propiedades 11, IlI: 111: Expresar una suma propiedades 1, Il, a) a)

log, VVW UVW = 10g log,b (VV)W (UV)W = 10g Iog,b VV UV + 10g log,b W = lo&, log, V U + 10g log,b V + lo&, log, W lo&,

b)

log, lo&,

e)

XYZ XYZ log -- - = = log log XYZ log PQ = log log X log Y + log log Z - (Iog P + log log Q) log XYZ - log PQ = X + log PQ = log X + log log Y + log log Z - log log P - log log Q PQ =

d) d)

log V33 = = log log V U2 log

e)

log log

f)f)

log log -- 2 V /3 V2/3

g)

log, -- log. -

VV IV log, IV = lo&, UV

U2 V

UV - 10g log¡,b W VV

= log log

V U11/2/2

P P = log. log. V V

-

-

log, W V - lo&,

log ~ = log log V U22 + log log V33 - log log W44 log ~ = = 2 log log V U + 3 log log V - 4 log log W =

log log V22/3/3

1

=2

log, X /2 = log. x33/2

1 = -{2 log log .ya2b-3/4el/3 ~a2b-3/4el/3 = 4 I

-

2 log log V U - - log log V 3

log, log.

3 log log 4

a -

-

3

3 3 log, x - - log. log, Y Y = - log.

y3/4 y3 / 4

2

log "2 log a a -- -16 16 2

= = -

7.

log, + lo&,

3/2

X x 3/2

y3/4/4 y3

h)

U V

log V33 = = 2 log log V U - 3 log log V log

-

33 U22VV V log V U22VV3 3 W44 == log

I/2 Vl~ U

log,b = 10g

b

1 +-

log log b b + +

1

3

I

-12 12

4

log e}

log log ee

Sabiendo que que log log 2 = 0,3010, 0,3010, log 3 = 0,4771, 0,4771, log log 5 = 0,6990, 0,6990, log log 7 = = 0,8451 0,8451 (todos (todos en base hallar con con cuacuaSabiendo base 10), hallar tro cifras cifras decimales decimales los los logaritmos logaritmos siguientes: siguientes: tro a) a)

log 105 = log log (3' (3' 5· 5· 7) = log log 3 + log log 5 + log log 7 = 0,4771 + 0,6990 0,6990 + 0,8451 0,8451 = 2,0212 2,0212 log

b) b)

log 108 = log (2 22• • 333) ) = 2 log 2 + 3 log 3 = 2(0,3010) 2(0,3010) + 3(0,4771) 3(0,4771) = 2,0333 2,0333 log

e)

log log

log ':;3 .;}3 yn. = log

22 •

2/3• log (3 233 = log p2/1 . 2) =

2

3"

log 3 + log log 2 = 0,6191 log


LOGARITMOS

214 24

lo

log 2.4 = log

d)

3' 23

10

= log

= log 3 + 3 log 2 - log 10 = 0,4771

+

3(0,3010) -

LOGAR!"

10.

1 = 0,3801

Hall, a)

e)

81 4 log 0.0081 = log 104 = log 81 - log 104 = log 3

log 10

-

,

b)

4

= 4 log 3 - 4 log lO = 4(0,4771) - 4 = -2,0916,

o bien 7,9084-10

a) b)

Nota.

8.

Expresar

a)

b)

En forma exponencial

las siguientes

log 2 - log 3

+

relaciones

será 10-2.0916 = 0,0081.

por un solo logaritmo 2

"3 +

log 5 = log

3 log 2 - 4 log 3 = log 23

-

(mientras

no se diga lo contrario,

la base es 10):

11.

a)

2 10 log 5 = log 3(5) = log 3 23

?=

log 34 = log

b) e) d)

8

8t

log

Hall,

,

e)

f) e)

1

1 - log 25 - - log 64 233

2

+-

1/2

log 27 = log 25

113

log 64

-

+

g)

2/3

log 27

5

5

45

= log 5 - log 4 + log 9 = log - + log 9 = log -(9) = log 444

d)

log 5 -

1 = log 5 - log lO = log

2 log 3

4 log 2 - 3 = log 32

5

lo

= log

12.

Hall. al

1

2"

b) e)

e)

+

+

4

log 2

-

3 log lO = log 9

+

d)

3

log 16 - log 10

el j)

9' 16

= log (9' 16) - log J03 = log ----¡Q3 = log 0,144

g)

13. Expi a)

9.

En

las ecuaciones

a)

log2 x = y

b)

log a = 2 log b

el

log, 1 = log, lo -

+

siguientes,

despejar

la incógnita

que

se indica: b)

x.

e

a.

I

:

log. 1

l.

=

log, lo - t

log, e

=

log, lo

+

Efec log, e:'

14. P = d)

2 log x

+

Despejando

3 log Y = 4 log z - 2 log y.

log (x

+

3) = log x

y.

3 log Y = 4 log z - 2 - 2 log x

4 2 2 log Y = - log z - - - - log 3 3 3

e)

:

+

log 3

x

= log Z4/3

x.

+

y

log 10-2/3

log (x

+

3)

=

+

log

x-2/3

log 3x,


= log z4t310-2/3x-2t3.

x + 3

=

3x,

x

=

3/2

215

LOGARITMOS

LOGARITMOS 10.

Hallar

VULGARES

la característica

a) 57 b)

11.

d) e)

b)

d)

Hallar

b) e) d) e)

f) g)

a) e) d) e)

I) g)

87,2 37300 753 9,21 0,382 0,00159 0,0256

b)

f)

°

f)

Antilog Antilog Antilog Antilog Antilog Antilog Antilog

e)

e)

I

de los números i)

11)

j) 0,0325

2 3

g) 5

0,71

il

9 -

h)

10

= 1,9405

11)

= 4,5717 = 2,8768

i) j)

= 0,9643

k)

= 9,5821 -

0,7314

9 -

10

k) 0,0071 1)

= 8,4082 -

m) n)

1)

= 7130

Antilog Antilog j) Antilog k) Antilog 1) Antilog m) Antilog n) Antilog 11)

i)

10 = 0,671 10 = 0,00555 = 1,54 = 0,0247 = 86300

siguientes

cor-o

Hallamos

x de forma que 10"

6,753 183,2 43,15 876400 0,2548 0,04372 0,009848

= 0,8295 = 2,2630 = 1,6350 = 5,9427 = 9,4062 -

8.6407 = 7,9933 -

=

10 10 10

con logaritmos

potencias

de 10:

2,6715 4,1853 0,9245 f,6089 8,8907 1.2000 7,2409 -

a) 893,

= 469,3 = 15320 = 8,404 = 0,4064 10 = 0,07775 = 15.85 10 = 0.001742

(8293 (2625 (6345 (9425 (4048 (6405 (9930

+ 2) + 5) + 5) + 2) + 14) + 2) + 3)

10 = -0,4461

las operaciones

Y 0,358 = 10-0.446'.

siguientes:

14. P = 3,81 x 43,4

+

(3/9 x 10 = 3 aprox.) (6/28 x 10 = 2 aprox.) (2/5 x 10 = 41 (4/11 x 10 = 4 aprox.) (3/6 x 10 = 51 (13/27 x 10 = 5 aprox.) (4/25 x 10 = 2 aprox.)

b) 0.358.

= 0,358.

Luego x = log 0,358 = 9,5539 -

log 43,4

log 3,81 = 0.5809 log 43,4 = 1.6375 log P = 2.2184

Obsérvese

10

que 10" = 893. Luego x = log 893 = 2,9509 Y 893 = 102.9509

x de forma

(+)

6 -

siguientes:

= 31,6

los números

log P = log 3,81

0,0003

k) 7 - 10

j) 8 - 10

log log log log log log log

1)

10 10 10

= 7,2014 -

3,8531 1,4997 9,8267 7,7443 0,1875 2,3927 4,9360

siguientes:

g) 186000

Hallamos

Efectuar

vulgares

982,5 7824

siguientes:

los antilogaritmos

Expresar a)

de los logaritmos

5,63 35,63

los logaritmos

log log log log log log log

Hallar

b)

13.

57,4

a)

a)

12.

e)

el significado

exponencial

Luego P = antilog

del cálculo.

2,2184 = 165.3

Es decir,

3.81 x 43,4 = 10°.5800 x 101.6)75 100.'800+ 1.6)7S

=

102.2184

=

165.3


216


. 73,4;1 <

15.

...• Iog P P= = log log 73.42 73.42 + log log 0,00462 0,00462 + log log 0,5143 0,5143

P = = 73,4~ x 0.00462 0.00462 x 0.5143 0.5143

20. P<

log 73,42 1,8658 log 73,42 log log 0,00462 0,00462 = = 7,6646 7,6646 - 10 log log 0.5143 0.5143 = = 9,7112 9,7112 - 10

(+) (+) (+) (+)

log log P

==

19,2416 - 20 19,2416

lag

== 9,2416 9,2416

Luego Luego PP = = 0.1744 0.1744

- 10.

21.

16. 16.

784,6 784,6 xx 0,0431 P= P = ----c:-c:--::-c:--28,23 28,23

log log P = = log log 784,6 784,6

+

r

P =-

log log 0,0431 0,0431 - log log 28,23 28,23

(+ (+) (+)

log log 784,6 784,6 = = 2,8947 2,8947 log 8,6345 - 10 \O log 0,0431 0,0431 = = 8,6345

(-) (-)

log log 28,23 28,23

11,5292 11 ,5292 - 10 = =

1,4507 1,4507

log \0,0785 - 10 = = 10,0785 = 0,0785 0,0785 log PP = P = =

1,198 22.

17.

0,4932 0,4932 x 653,7 653,7 P = = -::-'::-=-:-::--::-:-=-:: --'-------,---'-0,072 \3 x 8456 8456 0,07213 Denominador Denominador D D

Numerador Numerador N (+) (+)

log = 9,6930 9,6930 - 10 log 0,4932 0,4932 = log log 653,7 653,7 = = 2,8154 2,8154 (-) (-)

El per siendo cada s

(+) ( +)

log 8,8581 - 10 \O log 0,07213 0,07213 = = 8,8581 log 8456 = log 8456 = 3,9272 3,9272

log 12,5084 - 10 = 12,5084 log N = log log D D= = 2,7853 2,7853

.,.-::-c=-::-=---:-:~=-:c:---:-::

log 12,7853 - 10 log D = = 12,7853 = = 2,7853 2,7853

log \O = 9,7231 9,7231 - 10 log P = P P = = 0,5286 0,5286

18. P = 18. = (7,284)' (7,284)' log = 5 log log 7,284 7,284 = = 5(0,8623) 5(0,8623) =e '" 4,3115 4,3115 log P =

yY

PP = = 20490 20490 COLOGAI< 23.

19. 19.

(63,28)3 (63,28)3 (0,00843 (0,00843 )2(0,4623) )2(0,4623) P = = -'-------:-:-:~c::-:-:-:-:-;-------:-:-:-:-=-:::-=--:-7'-(412,3)(2,184)' (412,3)(2,184)' 10g log 63,28 63,28 log P == 3 log

+

2 10g log 0,00843 0,00843

+

log log 0,4623 0,4623 - (Iog (log 412,3 412,3

3 log == 3(1,8013) == 5,4039 log 63,28 63,28 3(1,8013) 5,4039 2 log 15,8516 - 20 log 0,00843 0,00843 = = 2(7,9258 2(7,9258 - 10) = = 15,8516 log = log 0,4623 0,4623 = 9,6649 9,6649 - 10 (-) (-)

(+) (+)

log log 412,3 412,3 = = 2,6152 2,6152 5 log 1,6965 log 2,184 2,184 = = 1,6965

log log N = = 30,9204 30,9204 - 30 log log D = = 4,3117 4,3117 log \O = 26,6087 26,6087 - 30 = = 6,6087 6,6087 - 10 log P = P = \0-4)4 ) = 0,0004062 0,0004062 (o bien, bien, 4,062 4,062 x 10-


a)

col

b)

col

5 log log 2,184) 2,184)

Denominador Denominador D D

Numerador Numerador N

(+) (+) (+) (+)

+

Hallar

log D= = 4,3117 4,3117 log D


20. 20.

217 217

P == 10,8532 10,8532 P

1I 1I 1I log P P = 55 log log 0,8532 0,8532 = 5(9,9310 5(9,9310 - 10) 10) = 5(49,9310 5(49,9310 -- 50) 50) = 9,9862 9,9862 -- 10 10 log

21.

.

(78 ,41)3 J 142,3

P = --=====--

log P

10,1562

== 3 log 78,41 78,41

Numerador N N Numerador (+) (+)

3 log 78,41 142,3 tt log 142.3

= =

= = 1,0766 = 6,7598 6,7598 = = =

i*

log.D 10g. D

log D

9,7984 == 9,7984

40)

10

9,7984 - 10 == 9,7984 6,9614 log P == 6,9614 bien o bien

T

9,15 xX 1066

1

T 2nJ/¡g

periodo T de la oscilación oscilación de un péndulo péndulo simple simple de longitud longitud I viene viene dado dado por por la fórmula fórmula T = = 2nJlii El periodo siendo g la aceleración aceleración de la gravedad. gravedad. Hallar Hallar T (en segundos) segundos) si 1= 1 = 281,3 281,3 cm cm y g == 981,0 981,0 cm cm por por segundo segundo en siendo cada segundo. segundo. El valor valor 2n = = 6,283. 6,283. cada

2n

T

A

= 2n 2n j!g- == 6,283 6,283 = g

281,3 81,3 -981,0 981,0

~

log T = = log log 6,283 6,283 + t(log 281,3 - log log 981,0) t(log 281,3 981,0) log

(+) (+)

log 6,283 = = = 0,7982 = 0,7982 log 6,283 t log 281,3 = = t(2,4492) 1,2246 log 281,3 t(2,4492) = = 1,2246

(-) (-)

t log 981,0 log 981 ,0 = = t(2,9917) t(2,9917) = = 1,4959 1,4959

2,0228 2,0228

log log T = = 0,5269 0,5269 T = = 3,365 3,365 segundos segundos

COLOGARITMOS COLOGARITMOS 23. 23.

11

== i{39,1937 :t(39,1937 -

16,7598 -- 10 10 16,7598

150 000 P == 9 150000

22.

11

++ -- log 142,3 142,3 -- - log 0,1562 0,1562 22 44

log 0,1562 0,1562 == *(9,1937 *(9,1937 - 10)

-!-(2,1532) = = W,1532)

(-) (-)

P = 0,9688 0,9688 P

Denominador D Denominador

3(1,8944) 5,6832 = 3(1 ,8944) = 5,6832 log N N log

Y Y

Hallar a) colog colog 42,36, 42,36, Hallar a)

a) a)

colog colog 42,36 42,36

== log log

b) b) colog colog 0,8536. 0,8536.

11 42,36 42,36

== log log

1 -- log log 42,36 42,36

(-) (-)

log = log 11 = 10,0000 10,0000 -- 10 10 log log 42,36 42,36 = = 1,6270 1,6270

colog colog 42,36 42,36 = =

b) b)

8,3730 8,3730 -- 10

11 colog colog 0,8536 0,8536 = = log log 0,8536 0,8536 = = log log 11 -- log log 0,8536 0,8536

(-) (-)

log = log 11 = 10,0000 10,0000 -- 10 10 log log 0,8536 0,8536 = = 9,9313 9,9313 -- 10 10

colog colog 0,8536 0,8536 = = 0,0687 0,0687


218 24.

LOGARITMOS Demostrar

MN

que a) colog

M + colog N

= colog

a)

l colog MN = log MN = log

1

b)

1 1 colog MP = log MP = P log M = P colog M

M+

1

N = colog

log

b) colog MP

y

= p colog

M, siendo M,N>

M + colog N

O.

28.

H

29.

R, a) b)

25.

Calcular,

empleando

(372,1)(0,0862) P = (4,315)(0,7460)'

cologaritmos,

log P = log 372,1

+

log 0,0862 - log 4,315 - log 0,7460

log 372,1 = 2,5706 (+ ) log 0,0862 = 8,9355 (+) colog 4,315 = 9,3650 (+) colog 0,7460 = 0,1273

26.

Calcular,

empleando

30.

log P

=

P

=

P =

cologaritmos,

!- log 0,8730 = !-(9,9410 (+) * colog 37,31 = *(8,4282 (+) 3 colog 4,863 = 3(9,3\31 -

(log 4,315 = 0,6350) (log 0,7460 = 9,8727 -

=

20,9984 - 20

a)

31.

10 10

b)

9,963

32.

o,

33.

D

34.

H

•

~ 37,31 (4,863)3 10) = 1(19,9410 - 20) = 9,9705 - 10 10) = *<38,4282 - 40) = 9,6071 - 10 10) = 27,9393 - 30 7,9393 - 10 log P = 27,5169 - 30 = 7,5169 P =

ECUACIONES

D a)

10)

0,9984

4~

El

0,003288

o

a:

b) 10

35.

H al b)

3,288 x 10- 3

36. H

EXPONENCIALES

a)

27.

Calcular

x en:

Tomando Luego

52%+2

= 35.-

logaritmos,

b)

i

(2x

+

2) log 5 = (5x -

1) log 3

37.

5x log 3 = -Iog

3- 2 log 5,

log 5 - 5 log 3) = -Iog

3 - 2 log 5,

2x log 5 -

H a' j

x(2

y

x=

log 3

+

2 log 5

5 log 3 - 2 log 5

(-)

=

0,4771

+

2(0,6990)

5(0,4771) - 2(0,6990)

log 1,875 = 10,2730 - 10 log 0,9875 = 9,9946 - 10

h: 1,8751

=--.

38.

0,9875

H a

b 39.

E

40.

e

log x = 0,2784

x

=

1,898

a

b

d


LOGARITMOS

o.

219


Hallar:

a) log,

29.

Resolver

las ecuaciones

30.

32,

110,

b) log

e) log,

1/9,

log, x = 3

e)

log, 8 = -3

b)

log Y = -2

d)

log,

como

16.

suma algebraica

(2x

+

1) = 1

Despejar a)

b)

la incógnita

que se indica en las ecuaciones

2 log x = log 16; x

+

3 log Y

2 log 2 = log 32; Y

32.

Demostrar

que si a y b son positivos

33.

Demostrar

que 10108

34.

Hallar

35.

36.

0,024

b)

2,48

d)

0,162

237

e)

1,26

b)

28,7

d)

0,263

Hallar

b)

Hallar. a) h)

38.

el antilogaritmo

2,8802 1,6590

b)

39.

Expresar

40.

Calcular: a)

6000

e) f)

1)

10400

i)

0,000000728

j)

6000000

el antilogaritmo

2453

(67,2)(8,55)

146,203

k) 1)

8,3160 7,8549 -

7000000 0,000007

23,70

m)

6,03

n)

0,6041 0,04622

g)

r,9484 9,8344 -

i)

460,3

i)

5608

g)

i)

2,2500

a) 45,4,

h)

i)

g) 3,14) 11,65/32

b) 0,005278.

906 (3.142)(14.6) y(l600)(310M 7290 (5,52)(2610)

j)

(7,36)(3.142)


r.ooo

j) 1,2925

h) 0,8003

10

(3,92)3(72,16)

j6s4

j) 0,003001

siguientes:

de 10:

(0,4536)(11000)

1,006

h) 300,6

3,7045 8,9266 -

como potencias

j)

siguientes:

de los números

f)

,g) 4,6618 h) 0,4216

lO lO

(2,87)(1,88) ---

m) n)

237,63

1 1000

siguientes:

e)

f)

k)

40,60

0,00607

e)

284

4

h)

f)

1,6600 d) r,9840

siguientes:

i) j)

g)

de los números

e)

d)

30 - 21; U

a) = 1.

0,007

e)

(0,148 )(47,6)

e)

U) = log,

0,086

86,27

siguientes

siguientes:

siguientes:

f)

e)

(1,86 )(86, 7)

4) = 2

.JXI/2y-1/2

de los números

h)

(42,8 )(3,26 )(8,10)

b)

vulgares

d) 8,106

los números

(4x -

log, F = log, 4 - 2 log, x; F

18,36

el logaritmo

interpolando,

2.9060 r,4860

log¡,_l}

log, (30 -

1,06

de los números

e)

f)

d)

g)

0.6946 d) 2,9042

1463 810,6

log, x3 = 3/2

e)

0,0006

e)

interpolando,

Hallar, a)

e) f)

vulgar de los números

a)

e)

log e

y j 1, (log, b)(log¡,

de los logaritmos

e)

a)

37.

la característica

248

el logaritmo

10gB 4.

N > O.

= N siendo

N

a)

Hallar

f)

de logaritmos: e)

31.

e) log, e".

siguientes:

a)

Expresar

d) logl/4

lO

LOGARITMOS

220 20.0 0.0613 1 32 = (--) .. 14.7 x

41.

Resolver

la ecuación:

42.

La fórmula

W se utiliza para calcular el diámetro que debe tener un globo esférico para 0.5236(A - G) elevar un peso W. Hallar D si A = 0,0807, G = 0.0056 Y W = 1250.

43.

Dada

44.

Hallar x en las ecuaciones:

D = :;

T =

la fórmula

27[JIfg.

a)

3' = 243

e)

2,+2 = 64

b)

5' = 1/125

d)

x-2

45.

Resolver

46.

Hallar

a) colog

= 16

a) 42'-1

las ecuaciones:

b) colog

58,3,

1 si T = 2.75.

hallar

1[

= 3.142 Y 11 = 9,81.

e)

X-3/4

= 8

g) t«: 1/2 = 4

i)

f)

x-2/3

= 1/9

11) 3' = 1

j) 22,+3 = l

= 5'+2,

P(

0,07312

la

Calcular.

empleando

SOLUCIONES

(4,36)(2,143)3

5

b)

29.

a)

8

h) 0,01

a)

3 log U

+

b)

1 - log 2 2

+-

31.

a)

4

h) 2

34.

a)

2 O

d) f

35.

a) b)

36.

a) b)

37.

a) b)

e)

3 2

2

e)

2,3747 1,4579 759 45,6

2'

F = 4/x

e)

4

f)

1

f)

e)

e)

f)

5

1,9359

e)

f)

a)

101.6571

40.

al b)

1130 0,0248

a) b)

5 -3

45.

a)

3,958

46.

a)

8,2343 -

\O

47.

a)

76,93

b)

45,71

e]

fJ

d) 0,9638 b)

29,9 d) 4,27

log Y

+

3 log z - 2 log a

+

INTEI fn

4 log b

ur

d) U = 30(1 - e-2/) O

k) 2

j) 1

1) 2

i)

2,9345 7,8451-10

m) 6 n) tí

i)

k) 1,3747

7,8621

j) 6,7782

/)

0,7803

m) 0.0000 n) 3,0000

0,888

al de

j) 0.683

g) 0.0026 11) 2,4780

f,7811 8,6648-10 5064 0,08445

i)

11) 4,0170 11) 5,7832 11) 45900 11) 2,64

y

11) 177.8 11) 6,314

i)

2.6631

j) 7,4773-10

INTEI pr

i)

0,2951 j) 19,61

m fa

1,124 860

e)

f)

4

e)

d) ± 1/4

f)

b)

2

3

2

\0- 2,2776

e)

e)

2C 1 I (; log, x - (; log, Y

d) log x -

log ~

0,0207 0,00716

e)

f)

d) 0,9088 e)

-

%

2/3

e)

11) O h) 3

4,95

e)

J' -

2

e)

d) 0,0802

3,1653 2,9088

2

e)

7

log

0,1004

e)

b)

44.

+-

x

d) T,4200

39.

a)

1

log

dE

f)

x

e)

d)

1/2

REOI' de

(0,0258)2

PROPUESTOS

2 log V - 5 log W

805,4 0,3062

38.

,

1/4

b)

a) (55,21 )(3,142)'

d) -2

-2

e)

a)

b)

cologaritmos,

J>E LOS PROBLEMAS

28.

30.

INTEI de

= 4' 51-h

b) 3'-1

(28,3)(471,5) 47.

5'- 2 = 1

1/16 ±27

11) 1,90 11) 4,44 11) 49/16 11) O

145,5 j) 8,54 i)

i)

2

j) -3/2

0,0486

42.

31,7

43.

1,88

a es el in ig

al

0,6907 b)

41.

1,1360

lo

254,0


para


Intereses Intereses y anualidades anualidades

INTERES pagado por por un un individuo por el uso uso yy disfrute una cantidad INTERES es el dinero dinero pagado individuo u organización organización por disfrute de de una cantidad de paga, normalmente, normalmente, al final periodos de tiempo iguales, de dinero dinero llamada llamada capital. capital. El interés interés se paga, final de periodos de tiempo iguales, por ejemplo, trimestre. La por ejemplo, al año, año, al semestre semestre o al trimestre. La suma suma del capital capital inicial inicial y su interés interés es el capital final. final . tal REDITO Es la relación relación entre un capital una unidad unidad REDITO O TIPO TIPO DE DE INTERES. INTERES. entre el interés interés de de un capital en una unidad de tiempo, mientras mientras no no se advierta de tiempo y dicho de tiempo dicho capital. capital. La La unidad de tiempo, advierta otra otra cosa, cosa, se considera considera de un año. rédito se expresa, por ciento por uno igual de un año. El rédito expresa, generalmente, generalmente, en tantos tantos por ciento (%) (%) o en tantos tantos por igual al % por 100. % dividido dividido por Por pesetas yy el interés pesetas al año, rédito es Por ejemplo, ejemplo, si el capital capital es de de 10000 10000 pesetas interés es de de 200 pesetas año, el rédito tanto por por ciento tanto por por uno uno 0,02. 200/ 10000 == 0,02 200/10000 0,02 = = 2 %. El tanto ciento es 2 y el tanto 0,02. INTERES SIMPLE. SIMPLE. interés calculado calculado sobre sobre el capital capital inicial inicial durante durante el tiempo que se disdisINTERES Es el interés tiempo que fruta. El interés interés simple, simple, 1, de de un capital, C, e, colocado colocado durante durante t/ años años a un anual, r (tanto (tanto por un capital, un rédito rédito anual, por fruta. uno %/100), viene dado dado por uno == %/ 100), viene por 1= Crt 1=

y el capital capital final (capital inicial inicial C e más más el interés interés final A (capital A e(l A = C(I

+

1) viene viene dado dado por por

rt)

Por ejemplo, ejemplo, si se solicita solicita un de 80 000 pesetas devolver en 2,5 años, años, el interés interés Por un préstamo préstamo de pesetas para para devolver 000(0,04 )2,5 = = 8 000 pesetas, con lo que que el dinero dinero que que se debe debe devolver devolver al cabo cabo a pagar pagar es Il == 80 000(0,04 pesetas, con esos 2,5 años años es A = = 88 000 pesetas. de esos pesetas.

1,88

INTERES COMPUESTO. COMPUESTO. Supongamos que el interés interés correspondiente correspondiente capital al final del INTERES Supongamos que a un capital primer (número dado dado de intervalos intervalos iguales) iguales) se suma suma al capital capital inicial inicial yy que esta que esta primer periodo periodo de tiempo tiempo (número nueva cantidad se considera considera como como capital capital inicial inicial para segundo periodo, sucesivamente dudunueva cantidad para el segundo periodo, yy así sucesivamente rante tiempo determinado. determinado. En este este caso, caso, el interés interés se convierte convierte en capital, capital, esto esto es, se acumula acumula rante un tiempo suma en que que se incrementa incrementa el capital capital inicial inicial en un cierto cierto número intervalos de tiempo tiempo a él. La suma número de intervalos interés compuesto compuesto en ese tiempo. suma del interés interés compuesto compuesto yy del capital capital inicial inicial recibe tiempo. La suma recibe es el interés capital compuesto. compuesto. Los Los sucesivos sucesivos intervalos intervalos de tiempo tiempo iguales iguales durante durante los cuales cuales el el nombre nombre de capital interés se va acumulando acumulando el capital capital recibe concersion y, normalmente, interés recibe el nombre nombre de periodo periodo de conrersión normalmente, es igual a tres meses o un año; el interés interés se acumula acumula trimestral, semestral. o anualmente, anualmente, igual tres meses, meses, seis meses un año; trimestral, semestraL capital. al capital. Los réditos de un año aun aun cuando cuando el interés interés compuescompuesLos réditos se refieren, refieren, normalmente, normalmente, a un un periodo periodo de un año to calcule para cada periodo de conversión conversión. . El rédito anual se llama llama rédito rédito nominal. nominal. to se calcule para cada periodo de rédito anual Por ejemplo, ejemplo, si el rédito % y se acumulan acumulan los intereses intereses cada cada tres Por rédito nominal nominal es el 4 % tres meses, meses, el periodo periodo conversión es de de 3 meses meses y el rédito 1/4 (4 %) == 1 % % para cada periodo conversión. de conversión rédito es 1/4 para cada periodo de conversión. 221 221


222

INTERESES

Y ANUALIDADES

e

Sea el capital inicial. i el rédito por periodo de conversión (tanto por uno) y n el número de periodos de conversión; el capital final A al cabo de los n periodos de conversión viene dado por A

El interés compuesto

es 1

= A -

= C(l +

i)"

C.

Ejemplo. Un individuo invierte 100000 pesetas al 6 %, acumulándose seis meses. Hallar el capital final A y el interés 1 al cabo de 2 años.

e = 100000 pts, i = 1/2 (6 %) = 3 % = 0,03, n = 4 (ya que cada es medio año y hay 4 periodos en 2 años).

los intereses

periodo

cada

de conversión

VALOR pago seta

Por tanto,

e

= 100 000(\ + 0,03)4 = 100 000(1,03)4 = 1 125,50 pts 1 = A = I 125,50 pts - 100000 pts = 125,50 pts

e

VALOR ACTUAL de una determinada cantidad al cabo de un periodo de tiempo dado es el capital que, invertido a cierto rédito, durante dicho intervalo se transforma en la citada cantidad. Si la suma de dinero que se desea obtener, al cabo de n periodos de conversión, es A y el rédito por periodo es i (tanto por uno), el valor actual e viene dado por

e

= (1 :

+

i)" = A(1

¡¡-n INTERES

Ejemplo. Hallar el valor actual de una deuda de 100000 pts que se debe saldar en 3 años a interés compuesto del 6 %, acumulándose los intereses al capital cada trimestre.

A

= lO 000 pts,

i = 1/4(6 ~/(;)= 1.5

100000 0,015)12

e = (\ +

=

100000(1.015)

0,;.

1.

Interi = 0.015.11 = 3(4)

-12

= 12. Por tanto, 2.

= 83639 pts,

Descontar de una cantidad de dinero A de una deuda que se debe saldar al cabo de n periodos de conversión a un rédito i por periodo es determinar el capital inicial e de A un tiempo igual a n periodos antes de saldarse la deuda. La diferencia A - e recibe el nombre de descuento de A. En el ejemplo

anterior

el descuento

es A -

e

Una pe debe p

= 100000 - 83639

=

16361

pesetas.

ANUALIDADES. Es una sucesión de pagos iguales que se realizan periódicamente. El tiempo que transcurre entre dos pagos sucesivos se denomina periodo de pago. El tiempo transcurrido entre el principio del primer periodo y el final del último recibe el nombre de término de la anualidad. La cantidad de dinero pagada en un año es la renta anual. Supondremos que los pagos se efectúan al final de cada periodo de pago.

3.

Una anualidad en la cual se pagase una peseta al final de cada uno de los y cuyo rédito por periodo sea i, da lugar a un capital

11

periodos

iguales

a)

1=

b)

1=

Calcula

A

El 120 ()()(

4.

Por ejemplo, en una anualidad de 20000 pts que se paga semestralmente durante diez años, el intervalo o periodo de pago es de seis meses. el término es diez años y la renta anual de 40 000 pesetas.

EL CAPITAL DE LA ANUALIDAD es la suma que se obtendría si se colocasen cada uno de los pagos a interés compuesto desde el momento en que se imponen hasta el final del tiempo especificado.

Hallar

Hallar

A,

5.

Una pe 5 ~;.;.pe Calcula El


223

INTERESES INTERESES Y Y ANU.'\L1DADES ANU.'\LIDADES i)" - l (1 + i)" s""ñl, --i- s"""ñ]. = = ---i--

Si la cantidad R (peselas). cantidad que que se paga paga periódicamente periódicamente es R (pese.as). el capital capital de la anualidad anualidad es

VALOR VALOR ACTUAL ACTUAL DE DE UNA UNA ANUALIDAD ANUALIDAD. . Es la suma suma de los valores valores actuales actuales de todos todos los pagos. pagos. Una Una anualidad anualidad en la cual cual los pagos pagos periódicos periódicos al final de 11 periodos periodos iguales iguales es de una una pepeseta y cuyo cuyo rédito rédito por periodo es i. i, tiene tiene un valor valor actual actual seta por periodo I __ (1

+ ¡¡-n

(//il ;i = =

valor actual actual de de una una anualidad anualidad en la cual cual el pago pago periódico periódico es R (pesetas), (pesetas). viene viene dado dado por por El valor AIil

i

= Ra'n¡

i

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS INTERES SIMPLE SIMPLE INTERES

1.

Una persona persona pide pide un préstamo préstamo de 40 000 000 pts pts para para pagar pagar en 2 años años a interés interés simple simple del 3 ~;.; ~;.;.Hallar cantidad que que Una . Hallar la cantidad debe pagar pagar al cabo cabo de de los 2 años. años. debe Interés 1 1= Interés

2.

Capital final A Capital

= capital inicial = capital inicial

interés 1 == 42400 pts e + interés 42400 pts

Hallar el interés interés 1I y el capital capital final AA en los casos casos siguientes: siguientes: a) a) 60000 60000 pts pts durante durante 8 meses meses (2/ (2/33 año) año) al 4 ~/~. ~/~. Hallar h) 156 260 pts pts durante durante 3 años. años. 4 meses meses (10/3 (10/3 años) años) h) 156260 3,5 %. al 3,5 a) a)

h)

3.

r 1 = 40000(0.03)(2) 40000(0.03)(2) = 2400 2400 pts. pts. e rl

1= 1 1=

r 1 = 60000(0,04)(2/3) 60000(0,04)(2/3) = 1600 1600 pts. pts. e rl 156260(0,035)(10/3) 18230 pts. pts. e r 1 = 156260(0,035)(10/3) = 18230

A

600 pts. pts. = e + 1 = 61 600

A = =

490 pts. pts. e + 1 == 174 490

Calcular el capital capital que que se debe debe imponer imponer al 4 4~;'; para formar formar, , al cabo cabo de 5 años. años. una una suma suma de 120 GOOpts. Calcular ~;'; para (j00 pts.

A = e(1 e(1 A =

+

rr) rr)

o sea

A 120000 120000 120000 120000 ee == --11 ++ rlrt == .,-----:-::-::-:-=_:_ 1+ -2- = + (0,04)(5) (0,04)(5) = - 1, 1,2

100 000 pts pts 100000

El capital capital inicial inicial de de 100000 100000 pts pts se denomina denomina valor valor actual actual de de las 120000 120000 pts. pts. Dicho Dicho de otra otra manera. manera. devolver devolver 120 000 pts pts denlro dentro de 5 años años al 4 ~~ ~~ de de interés interés simple simple equivale equivale a pagar pagar 100 000 pts pts hoy. hoy. 120000

4.

Hallar el rédito rédito a que que se deben deben invertir invertir 80000 80000 pts pts para para tener, tener, al cabo cabo de 5 años, años. 100 000 000 pts. pts. Hallar

A = A = e(1 e(1

5.

+

rl), rl).

o sea

A-e A-e

r=--= r= -

Ct

=

000 100 000 - 80 000 80000(5) 80000(5)

= = 0,05, 0,05,

decir, es decir,

5 ~;.;.

Una persona persona solicita solicita un un préstamo préstamo de de 20000 20000 pts. pts. Para Para ello ello se dirige dirige al banco banco y allí allí le dicen dicen que que el rédito rédito es del Una pero que que los los intereses intereses los tiene tiene que que pagar pagar por por anticipado anticipado y al cabo cabo de de un año año ha ha de de devolver devolver las 20 000 000 pts. pts. 5 :%;, pero Calcular el rédito rédito al que que en realidad realidad efectuó efectuó la operación. operación. Calcular interés simple simple de de 20000 20000 pts pts en en 1 l añ'O año al 5 ~,~ ~,~ es 1 1= = 20000(0,05)(1) 20000(0,05)(1) = = 1000 1000 pts. pts. Entonces Entonces recibe recibe El interés


224 224

INTERESES YY ANUALIDADES ANUALIDADES INTERESES

e

20 000 - 11000= 000 = 19 000 pts. 000 ptas, 000 pts, 2000019000 pts. Como Comodebe debedevolver devolver 20 20000 000pts ptsdentro dentrode de un un año, año, e == 19 19000 ptas, AA == 20 20000 pts, 20000 -- 19000 19000 AA -- e 20000 II = = == 0,0526, = 11 año. año. Luego Luego rr ~== --0.0526, eses decir, decir. elel rédito rédito efectivo erectivo eses del del 5,26 5.26%. %. el 19000(1) Ct 19000(1)

e

INTERES 9.

Halla lándo Méto.

Un comerciante comerciante pide pide un un préstamo préstamo de de 400 400 000 000 pts pts aa pagar pagar 20000 20000 pts pts alal final final de de cada cada periodo periodo de de 33 meses meses con con elel inin6.6. Un terés %del del capital capital que que adeuda adeuda en en cada cada momento. momento. Hallar Hallar lala cantidad cantidad total total que que ha ha de de devolver. devolver. terés simple simple alal 66% Como Como tiene tiene que que devolver devolver 400 400 000 000 pts pts (sin (sin tener tener en en cuenta cuenta los los intereses) intereses) aa razón razón de de 20 20 000 000 pts pts cada cada 33 meses, meses, 400000 . 400000 = 5 años, es decir. ha de erectuar 20 pagos. tardará tardará --= 5 años, es decir, ha de efectuar 20 pagos. 20000(4) 20000(4) Interés Interés que que paga paga en en lala 1l.aa entrega entrega (por (por los los 33 primeros primeros meses) meses) == 400 400 000(0.06)(./:;) 000(0.06 H,Y. ) = = 66 000 000 pts. pts. Interés = entrega = 380 380 000(0,06)(./:;) OOO(0,06H,Y.) = = 5700 5700 pts. pts. Interés que que paga paga en en lala 2.2.aa entrega Interés == 360 3' entrega entrega 360 000(0.06)(./:;) 000(0.06H,Y.) == 5400 5400 pts. pts. Interés que que paga paga en en lala ]a

20 a entrega entrega Interés que que paga paga en en lala 20" Interés El El interés interés total total es es 6000 6000

= =

20000(0,06 )(./:;) = 20000(0,06H,Y.) =

Méto.

300 300 pts. pts.

++ 55 700 700 + + 5400 5400 + + ... ... ++ 900 900 + + 600 600 + + 300, 300, que que representa represent a la la suma suma de de los los térmitérmi-

nn nos nos de de una una progresión progresión aritmética aritmética cuyo cuyo valor valor es es S S= = 2(a 2(a

+ + 1), 1). siendo siendo aa = = primer primer término, término. 11= = último últimu término, término.

= número número de de términos. términos. nn =

20 20 Por Por tanto. tanto. SS = 2(6000 2(6000

+ 300) 3(0) = = 6300 6300 pts, pts. con con lo lo que que la la cantidad cantidad total total que que ha ha de de devolver devolver es es de de

463000 pts. pts. 463000 7. 7.

Una Una persona persona necesita necesita inmediatamente inmediatamente 80000 80000 pts pts para para devolverlas devolverlas al cabo cabo de de I1 año. año . El banco banco le cobra. cobra. por por antianticipado, presta aa un un 6 % % de de interés interés simple. simple. Deducir Deducir el dinero dinero que que debe debe pedir pedir presprescipado, los los intereses intereses de de la cantidad cantidad que que le presta

11.

Halla pital

12.

Calcu leal n

tado al al banco. banco. tado pesetas = = cantidad cantidad que que pide pide prestada. prestada. Sean Sean x pesetas durante 1 año año = = .\"(0.06HI) = 0,06x. Interés de de x pesetas pesetas alal - 6 % Interés % durante x(O,06)(1) = 0,06x. El banco entrega xx - 0.06x 0,06x = = 0,94x 0,94x = 80000, de 80000/0,94 = banco le entrega = 80000. de donde donde x == 80000/0.94 = 85 106 pts. pts. 8.

Una deuda D pesetas pesetas se salda salda erectuando efectuando k pagos pagos al año año en cada cada uno uno de los cua cuales entregan pp pesetas pesetas má máss Una deuda de D les se entregan simple, a un rédito rédito r, r, del capital capital que que adeuda adeuda en cada cada momento. momento. Deducir Deducir la rórmu fórmulala de la cantidad cantidad total total el interés interés simple. de dinero dinero que que debe debe pagar. pagar.

Como Como erectúa efectúa k pagos pagos al año. año. interés que que paga paga en la 1." 1" entrega entrega == D(r)( D(r)(l/k) = Drj Drlkk l/k) = interés interés que que paga paga en la 2." entrega entrega == (D (D -- p)(r)(l/k) p)(r)(l/k) = (D -- p)r/k p)r/k interés = interés que que paga paga en la 3." entrega entrega == (D (D -- 2p)(rHI 2p)(r)(l/k)/k) = = (D (D -- 2p)r/k 2p)r/k interés

(

capits interés que que paga paga en en la na n.a (última) (última) entrega entrega = = [D [D -- (11 (11 -I )p](r)(l/k)/k) == [D [D -- (11 (11 -I )p]r/k. . interés l)pJ(r)(l l)pJr/k nomin

Número idad pagada Número de de pagos pagos xx cant cantidad pagada en en cada cada uno uno == total total prestado. prestado.

en el, tralrm

D D

Por Por tanto, tanto. IIp "1' == DD,. oo sea sea nn == -- (se (se supone supone que que este este cociente cociente es es entero). entero). pl'

. total = Dr Interés Interes total = kDr k

(D - p)r (D - p)r

[D (D - 2p)r [D ++ - -k- - ++ (D -k 2p)r ++ ... ++ k

(11 --- (11

k

k

k

I)p]r l)pJr

suma de de los los términos términos de de una una propro.. suma

13.

Dedu

gresión gresión aritmética aritmética cuyo cuyo valor valor es es IIDr [D-(n-I)p]r Dr(D+I') IIDr [D - (n-l)pJr Dr(D+I') DD ya quclI= que 11 = --. . (a+I)=-{-+ }= . ya -2(a+I)="2{T+ }= 2pk' 2 2 k kk 2pk pp

1111

La ca cantidad totall aa pagar. pagar. en en pesetas. pesetas. es es == D D La ntid ad tota

Dr(D + +1') . Dr(D p)

+'1-

--'----'-'2pk 2pk

(

= e(

.

El Probletna Problema 66 es es un un caso caso parti particular en el el que que DD == 400000. 400000. kk == 4. 4. "l' == 20000 20000 Yy rr == 0.06. 0.06. El cular en


I

225

INTERESES Y ANUALIDADES ANUALIDADES INTERESES

INTERES COMPUESTO COMPUESTO INTERES

9.

Hallar el capital capital que que se formará formará al cabo cabo de 2 años años imponiendo imponiendo 50000 50000 pts interés compuesto compuesto del del 2 % % acumuacumuHallar pts a interés lándose los los intereses intereses al capital capital cada cada seis meses. lándose meses. Método Método l. Interés Interés Interés Interés Interés Interés Interés Interés

aplicar la fórmula. fórmula. Sin aplicar

al al al al

final final final final final

del del del del del del

1.0 10 2.° 3.° 4.° 4.°

medio medio medio medio medio medio medio medio

año año año año año año año año

= 50 000(0,02)(y,:) 000(0,02)(Yz) =

500 pts pts 505 pts pts = 51 005(0,02)(y,:l 005(0,02)(Yz) = = = 510 pts pts = 51 515(0,02)(y,:) 515(0,02)(Yz) = = = 515 pts pts = 50 500(0,02)(y,:) 500(0,02)(Yz) = = =

Interés total 030 pts pts Interés total == 2 030 Método Método 2.

Capital final final = = 52030 52030 pts pts Capital

Aplicando fórmula. Aplicando la fórmula.

50000 pts, 0,02/2 = 0,01, C = 50000 pts, i = rédito rédito por por periodo periodo = 0,02/2 0,01 , n = número número de periodos periodos = 4. A A

C(I + i)" = 50 OOO( OOO( 1,01)4 = 50 OOO( OOO( 1 1,0406) 030 pts. = C(I ,0406) = 52 030 pts.

Nota. cálculo de la potencia (1,01)4 fórmula del binornio, logaritmos o por Nota. El cálculo potencia (1 ,01)4 se puede puede hacer hacer por por la fórmula binomio, por por logaritmos por medio de tablas. medio de tablas.

1-

10. 10,

Hallar el capital capital final final y el interés interés que que resultan imponen 280000 280000 pts durante 8 años años a interés interés compuesto compuesto del del Hallar resultan si se imponen pts durante acumulándose los intereses intereses al capital capital cada cada tres meses. X. acumulándose los tres meses. 55 'X. A C(I A = C(1

i)" = 280000(1 280000(1 + 0,05/4)32 0,05/4)32 = 280000(1,0125)32 280000(1,0125)32 = 280000(1,4881) 280000(1,4881) = 416668 416668 pts. + il" pts.

Interés = A 416668 - 280000 280000 = 136668 136668 pts. Interés A - C = 416668 pts. 1-

11.

s-

Hallar la cantidad cantidad de de dinero dinero que que se debe debe imponer imponer a interés interés compuesto compuesto al 6 %, acumulándose acumulándose los intereses intereses al cacaHallar pital cada tres tres meses, obtener 200000 200000 pts dentro de 10 años. años. ¿Cuál ¿Cuál es el descuento? descuento? para obtener pts dentro pital cada meses, para Tendremos que que calcular calcular el capital capital C que que al cabo cabo de 10 años años se transforme en A = = 200 000 pts. transforme en pts. Tendremos

C(I + il", i)", C(I

A A ás

sea o sea

A 200000 A 200000 --- -- = --- -- = 110252 110252 pts. pts. C = (1 + i)" (1,015)40 (1 (1,015)40

descuento es 200000 200000 - 110252 110252 = = 89748 89748 pts. El descuento pts.

al 12. 12,

Calcular el rédito interés compuesto, compuesto, en el que que se acumulan acumulan los Intereses Intereses al capital capital anualmente anualmente, , que que equivaequivaCalcular rédito en interés interés compuesto compuesto del6 del6 ~%; que los intereses, intereses, sin embargo, embargo, se acumulan acumulan al capital capital cada cada seis meses. le al rédito rédito en interés ~%; en el que meses. Cantidad formada formada a partir capital C en 1 año año a un rédito r = = C(1 C(I + r). r). Cantidad partir de un un capital un rédito Cantidad formada formada a partir capital C en 1 año año al 6 % % acumulándose acumulándose los intereses cada cada seis meses Cantidad partir de un un capital los intereses meses al capital = C(1 C(I + 0,03)2. 0,03)2. capital Igualando ambas cantidades, cantidades, C(1 C(I + r) r) = C(I,03l C(I,03)2,2, 1 I + r = (1,03)2, (1,03)2, r = 0,0609, 0,0609, o sea 6,09 6,09 ~~. ~~ . Igualando ambas año cuando cuando los intereses intereses se acumulan acumulan un de veces año recibe recibe el nombre rédito El rédito rédito por por año un número número de veces por por año nombre de rédito nominal. El rédito cuando los intereses intereses se acumulan acumulan una año y que que dé lugar lugar a los los mismos intereses que que nominal. rédito r cuando una vez al año mismos intereses caso anterior, anterior, recibe rédito electil'O. efectivo, En este este ejemplo, ejemplo, el 6 ~~ acumulándose los intereses intereses semesen el caso recibe el nombre nombre de rédito ~,~ acumulándose semestralmente 6,09 '\ o,~ es el rédito efectivo. rédito nominal nominal y el 6,09 rédito efectivo. tralmente es el rédito

13. )3,

Deducir la fórmula fórmula que que expresa expresa el valor efectivo en función función del rédito Deducir valor del rédito rédito efectivo rédito nominal. nominal.

0-

Sea r = = rédito efectivo. Sea rédito efectivo. i = rédito anual. cuando cuando los intereses intereses se acumulan acumulan k veces año, es decir, decir, el rédito rédito anual, veces al año, rédito nominal. nominal. Cantidad formada formada a partir capital C en I año año a un un rédito rédito Cantidad partir de un capital

= C( I r =

+ r). rl.

Cantidad formada formada a partir capital C en I año año a un rédito acumulándose los intereses intereses k k veces año veces al año Cantidad partir de un capital rédito i, acumulúndose C(I C (l

+

i!k)'. i/kl'.

Igualando amba ambas s cantidades, cantidades, C(I + Igualando Por tanto, tanto, r,. Por

= =

r) = = C(I e(l r)

ik)'. + ik)'.

(1 + i/k)' ilk)' - l. (1


r

Y ANUALIDADES

INTERESES

226

IS. H¡ mI

ANUALIDADES 14.

Hallar el capital

que se forma al cabo de 5 años imponiendo

al final de cada año una anualidad

de 10000

I~

pesetas al 3 ~:'~. añ

Método

l.

Sin aplicar

Cantidad Cantidad Cantidad Cantidad Cantidad

la fórmula.

formada formada formada formada formada

a a a a a

partir de la La partir de la 2.a partir de la 3.a partir de la 4a partir de la 5.a

anualidad anualidad anualidad anualidad anualidad

al al al al al

cabo cabo cabo cabo cabo

de de de de de

4 3 2 I O

años años años año años

= 10000(1.03)4

= II 255 pts

= 10 OOO(l ,03)'

= 10 927 pts

= 10 OOO(1.03)2 = 10 609 pts = 10000(1.03)' = 10300 pts = 10000

Capital Método

2.

Aplicando

}

=

Hallar el capital actual de una anualidad terés compuesto del 3 %.

Método

l.

Sin aplicar

Valor Valor Valor Valor Valor

pts

final = 53091

pts

19. Ur añ,

en

la fórmula

,(I+if-I S"ñ]i = S'5]0.03 = R\ i

15.

= 10000

lO 000:

(1+0,03)'-1 0,03

} = 10000(5.3091)

=

80 53091 pts (tablas).

de lO 000 pts por año pagadas al final de cada año durante

5 años a in-

80

la fórmula

= = = = =

actual del 1.0 pago actual del 2.0 pago actual del 3.° pago actual del 4.° pago actual del 5.° pago

lO 000/(1.03)' 10000/(1,03)2 10000/(1,03)3 10 000/(1,03)4 10000/(I,OW

10000(1.03)'1 10000(1,03)'2 10000(1.03)" lO 000(1.03)'4 10000(1.03)"

= = = =

Valor actual

= = = = =

9709 9426 9 151 8885 8626

pts pts pts pts pts

20. Se

ea do

total = 45 797 pts COI

Método

2.

A"ñ]i=

16.

Aplicando A'5]0.03

la fórmula

+

1 - (1

=

R{

i)"n

i

}

=

1 - (1 10 000 {

+ 0,03)'5 0.03 } 10000(4.5797)

=

45797

pts

Hallar el capital final y el valor actual de una anualidad de 12000 pts pagadas al final de cada 3 meses durante 12 años, al 6/~. acumulándose los intereses trimestralmente.

21. R

=

n

12000 pts,

=

4(12)

Capita 1 fi nal S"1o.o"

=

48.

i

=

1/4(6

12 000 S"10.015

=

=

~%:)=

1.5

% =

0.015

(1,015¡48 0.015

1,

12000 {

J

12000(69.5652)

= 834782

pts

Ha pri do R(l

Valor actual

17.

AnnOOl5 ~o, .

=

12 ooOtlnno ~u,. 01'.

=

1 - (1015)'48 \2 000 { . -} 0,015

=

12000(34.0426)

Deducir la cantidad que ha de imponer una persona al final de cada año para constituir pesetas en 20 años a un interés del 3 Y". Sea R (pts) = cantidad anualidad,

en la cual S-nli

ir -

(1 + 1 S"ñ]i = R{----.--} I

=

408511 -

pts

un capital de 2000000

que se impone al final de cada año. Los pagos anuales de R pesetas constituyen

=

2000000

= RS"ñ]i'

pts, n

=

de donde

20. i

= 3% = R

=

0.03.

S"ñ]i = 2000000 S"ñ]i Sl1ll0.03


=

2000 000 26,8704

=

74431

pts

una

el

22. Ap pa¡

227

INTERESES INTERESES Y ANUALIDADES ANUALIDADES

0000

18_ Hallar Hallar la cantidad cantidad que que ha ha de imponer imponer una una empresa empresa cada cada 6 meses meses a un interés interés del 6 /~, acumulándose semestral semestral- 18. /~ , acumulándose mente los los intereses intereses al capital, capital, con con objeto objeto de de poder disponer al final final de de un periodo periodo de de 15 años años de capital de de mente poder disponer de un capital lI 200000 200000 pts pts para para renovar renovar parte parte de su equipo equipo. .

Sea periodo de capital constituido Sea R (pts) (pts) = = cantidad cantidad depositada depositada al final de de cada cada periodo de 6 meses. meses. El capital constituido al cabo cabo de 15 años a una años es el correspondiente correspondiente una anualidad anualidad de de 30 imposiciones. imposiciones.

Sii]; = = 1200 1200 000 pts, = 30, 30, i = = )-i(0,04) = 0,02, 0,02, Y R S¡,,; pts, n = ji(O,04) =

19.

= S¡,,; Sii]; = = =

l1200000 200 000

sii];

S:nll 00.02 S:nll .0 2

1200 1200 000 000 40,5681 40,5681 = 29 580 pts pts

Una Una deuda deuda de 800000 800000 pts pts se debe debe amortizar amortizar en 6 años años mediante mediante imposiciones imposiciones iguales iguales realizadas realizadas al final final de cada cada año a un un interés interés compuesto compuesto del del 5 %. Hallar Hallar la cantidad cantidad que que se debe debe imponer imponer anualmente anualmente y la cantidad cantidad pagada año pagada en concepto concepto de de intereses. intereses. Los pagos pagos constituyen A¡;¡; Sea R (pts) (pts) = = cantidad cantidad impuesta impuesta al año. año. Los constituyen una una anualidad anualidad cuyo cuyo valor valor actual actual es Añl; Sea 800000 pts, pts, n = = 6, i = = 5% % = 0,05 0,05.. 800000

Aii];

a in-

=

,1-(1+¡¡-", R\ i

i

=

R

aii];,

es decir,

= =

Añ!; = 800000 800000 R = -Aii]; = 800000 = 157614 157614 pts R = = -800000 -- = -- = pts añ! a~O , 05 5,0757 aii]; ; a~o,os 5,0757

La cantidad pagada es de 800000 pts más cantidad total total pagada 800000 pts más 6(157614) 6(157614) = 945 684. 684. Los Los intereses intereses importan importan 945 684 800000 = 145684 145684 pts. 800000 pts.

20,

compra una una finca finca pagando pagando al contado contado 100 000 000 pts pts y 30000 30000 pts pts al al final final de de cada cada trimestre trimestre durante durante 10 años. años. Se compra pagaCalcular el precio precio a que que se debería deberia vender vender la casa casa al contado, contado, suponiendo suponiendo que que en en caso caso contrario contrario el dinero dinero pagaCalcular do periódicamente habia colocado colocado a un interés interés compuesto compuesto del del 4 % % acumulándose acumulándose los intereses intereses por trimestres. do periódicamente se había por trimestres. valor actual actual de de una una anualidad anualidad da da 30 30000 de cada cada trimestre trimestre durante durante 10 años años al 4 % % de de interés interés El valor 000 pts pts al final de compuesto acumulable acumulable trimestralmente trimestralmente compuesto es

A¡¡¡¡¡o,OI = A41J]o.ol = 30000 30000 a¡¡¡¡¡O,OI a41J]o.ol = = 30000(32,8347) 30000(32,8347) = = 985041 985041 pts pts Por tanto, tanto, el precio será 100000 100000 + 985041 985041 = I1 085041 085041 pts. pts. Por precio pedido pedido será urante

21.

Ha llar el capital pagos de pesetas cada Hallar capital final final y el valor valor actual actual de de una una anualidad anualidad en la que que se efectúan efectúan n pagos de R pesetas cada uno uno al principio de periodo de pago pago a un por periodo. principio de cada cada periodo un rédito rédito ii por periodo. El pagos al principio principio de cada El capital capital final y el valor valor actual actual de de una una anualidad anualidad en la que que se efectúan efectúan n pagos cada perioperiodo son, son, respectivamente, iguales al capital capital final final y valor valor actual actual de una una anualidad anualidad en la que que se realizan realizan n pagos do respectivamente, iguales pagos de . .. . (1 + i)" - I1\,\, . . R(I pesetas al final penodo. Por 1-.}, y R( 1 + i) pesetas final de de cada cada periodo. Por tanto, tanto, el capital capital de de la anuahdad anuahdad es = = R(I R(I + ¡)( I){

ts valor actua actual l el valor

= R(I R(I =

en una

+ ¡¡-"}. ¡¡-"}. + i){ 1 - (1(1 + ¡I

000

22. Apl Aplicar las fórmulas fórmulas del del Problema Problema 21 para hallar el capital capital final final y el valor valor actual actual de de una una anualidad en la que que se 22. icar las para hallar anualidad en pagan 000 pts pts al principio principio de de cada cada semestre semestre durante durante 20 años años acumulándose acumulándose cada 6 meses. meses. pagan 20 000 los intereses intereses cada

R=20000, R = 20000,

nn=2(20)=40, = 2(20) = 40,

ii=)-i(2%)=I%=0,01. = ji(2 %) = 1 % = 0,01.

Capital Capital final final = = 20000(1 20000(1 + 0,01 )S¡¡¡¡¡O,OI )S41J]O.Ol = = 20200(48,8864) 20200(48,8864) = = 987505 987505 pts. pts. Valor )a¡¡¡¡¡o.ol =:' Valor actual actual = 20000(1 20000(1 + 0,01 )a41J]o.ol =: 20200(32,8347) 20200(32,8347) = 663261 663261 pts. pts.


228

INTERESES Y ANUALIDADES ANUALIDADES INTERESES

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 23.

Hallar a) 120000 pts durante durante 4 meses meses al 3 %, b) b) 180000 pts Hallar el interés interés simple simple y el capital capital en los los casos casos siguientes: siguientes: a) 120000 pts 180000 pts durante años y 8 meses meses al 4 %. %. durante 16 meses meses al 2,5 %, %, e) 61 61 230 pts pts durante durante 2 años

24.

Una ello, se dirige dirige al banco banco y allí allí le dicen dicen que que el rédito rédito es r Una persona persona solicita solicita un un préstamo préstamo de D pesetas. pesetas. Para Para ello, (tanto pagar por por adelantado adelantado y que que al cabo cabo de un un año año ha ha de de devoldevol(tanto por por uno), uno), pero pero que que los intereses intereses los tiene tiene que que pagar lOOr lOOr ver las D pesetas. pesetas. Demostrar Demostrar que que el rédito rédito efectivo efectivo es --ver - - - (%) y hallar hallar su valor valor en en el caso caso de de que que r = = 6. 100 - rr

·25.

Una deuda deuda de 300000 300000 pts pts se ha ha de saldar saldar efectuando efectuando dos dos pagos Una pagos al año año en en cada cada uno uno de de los los cuales cuales se entregan entregan 50000 pts pts más más el interés interés simple, simple, con con un un rédito rédito del 5,5 % % del del capital capital que que se adeuda adeuda en en cada cada momento. momento. Hallar Hallar la 50000 cantidad de dinero dinero que que hay hay que que devolver. devolver. cantidad

26.

Una persona persona necesita necesita D pesetas pesetas inmediatamente, inmediatamente, para devolverlas Una para devolverlas al cabo cabo de de 1I año. año. El banco banco cobra, cobra, por por anticianticipado, los intereses intereses de la cantidad cantidad que que le presta un rédito pado, presta a un rédito r a interés interés simple. simple. Demostrar Demostrar que que la cantidad cantidad que que 100D debe pedir pedir prestada prestada al banco banco es 100 _ r pesetas. pesetas. debe

27.

28.

Hallar el interés interés compuesto compuesto y el capital capital final en los casos casos siguientes: Hallar siguientes: a) a) 250 250 000 000 pts pts durante durante 3 años años al4 al4 %' acumuacumulándose los intereses intereses al capital capital trimestralmente, trimestralmente, b) 480 480 000 lándose b) 000 pts pts durante durante 6 años años al 5 %, %, acumulándose acumulándose los los intereses intereses anualmente, e) e) 735000 735000 pts pts durante durante 10 años años al 3 %, %, acumulándose acumulándose los los intereses intereses semestralmente. semestralmente. anualmente,

TEOREM cuand ambo: p

3' 5 ' UNA

p he, cc UNA

Hallar el valor valor actual actual de una una deuda deuda de 500000 500000 pts pts que que se debe % acumulánHallar debe saldar saldar en en 8 años años si el rédito rédito es del del 4 % acumulándose los los intereses intereses cada, cada, a) a) tres tres meses, meses, b) b) seis meses, meses, e) e) doce doce meses. meses. Hallar Hallar los los descuentos descuentos correspondientes. correspondientes. dose

30.

Hallar el valor actual de a) a) una una deuda deuda de 150000 150000 pts pts a saldar % acumulándose saldar en en 3 años años si el rédito rédito es del del 6 % acumulándose los los Hallar valor actual intereses cada cada tres tres meses, meses, b) b) 545 020 pts pts a saldar saldar en en 10 años % acumulándose años con con un un rédito rédito del del 5 % acumulándose los los intereses intereses cada cada intereses seis meses. meses.

31. 31.

Hallar el rédito rédito efectivo efectivo que que corresponde corresponde a un un rédito rédito nominal % a) Hallar nominal del del 4 % a) acumulándose acumulándose los intereses intereses cada cada seis seis memeb) acumulándose acumulándose intereses cada cada tres tres meses. meses. los intereses ses, b)

32.

Hallar el capital capital final y el valor valor actual actual de las anualidades anualidades siguientes: Hallar siguientes: a) 40000 40000 pts pts al final de cada cada 6 meses durante 8 años años a un un rédito a) meses durante rédito del4 del4 %, acumulándose acumulándose los los intereses intereses cada cada seis seis meses. meses. b) 100000 pts pts al final de cada cada año año durante durante 20 años años al 5 %, acumulándose b) 100000 acumulándose los intereses intereses cada cada año. año . 25000 pts pts al final de de cada cada 3 meses meses durante durante 12 años años al 6 %, e) 25000 %, acumulándose acumulándose los intereses intereses cada cada tres tres meses. meses.

PEI ellos

I

p

Hallar el dinero dinero que que se debe debe depositar depositar en un un banco banco para 000 pts Hallar para constituir constituir un un capital capital de de 200 200000 pts al al cabo cabo de de 6 años, años, sabiendo que que dicho dicho banco banco paga paga el el66 % % de interés interés compuesto compuesto acumulándose a) tres sabiendo acumulándose los intereses intereses cada cada a) tres meses, meses, h) b) seis seis meses. meses.

29.

VA un or

Cualq (

los er UNA

ea diendi p ab, be (

e consti

33.

Una persona persona desea desea imponer imponer cierta cantidad de dinero dinero al final Una cierta cantidad final de de cada cada trimestre trimestre para para constituir constituir al cabo cabo de de 10 años años un capital de 500 000 pts. pts. Hallar Hallar la cantidad cantidad que que debe debe pagar % acumupagar periódicamente periódicamente a un un interés interés compuesto compuesto del del44 % acumuun capital lándose los intereses intereses cada cada tres tres meses. meses. lándose

NOTACIC escritc

34.

Una persona persona debe debe 100 000 pts pts y desea desea saldar saldar esta esta deuda deuda en Una en 10 años años mediante mediante entregas entregas de de cantidades cantidades de de dinero dinero iguales, efectuadas efectuadas al final de cada cada semestre semestre con con un un rédito rédito del 6 %, acumulándose acumulándose los intereses intereses cada cada seis seis meses. meses. iguales, Hallar, a) a) los pagos pagos semestrales, semestrales, b) b) la cantidad cantidad de dinero dinero total total que que paga paga al cabo cabo de de los los 10 años. años. Hallar,

2

35.

adquiere una una máquina máquina pagando pagando al contado contado 150000 150000 pts Se adquiere pts y 50000 50000 pts pts al al final final de de cada cada semestre semestre durante durante 5 años. años. Hallar el precio precio a que que se debería debería vender vender dicha dicha máquina, máquina, al contado, contado, suponiendo suponiendo que, que, en en caso caso contrario, contrario, el dinero dinero Hallar pagado periódicamente periódicamente se habría habría colocado colocado a un interés interés compuesto compuesto del del 5 %, acumulándose acumulándose los los intereses intereses cada cada seis seis pagado meses. meses.

SOLUCIONES DE LOS LOS PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS SOLUCIONES DE PROPUESTOS e) e) 6531 6531 pts pIs 67761 67761 pts pIS 25, 3288,75 3288,75 pts pIS a) 1200 pts, pts, 121200 121200 pts pts b) 6000 6000 pts, pts, 186000 186000 pts 23. a) 1200 b) pts e) e) 254 254 972 972 pts, pIS, 989 989 972 972 pts pIS a) 31700 31 700 pts, pts, 281700 281 700 pts pts 163248 pIS, pts. 643248 27. a) h) 163248 643248 pts pts a) 139908 pts, pts, 140276 pts pts 28. a) 139908 b) 140276 134655 pts pIS e) e) 365 345 pis. pIS. 134655 29. a) a) 363650 pts, pts, 136350 136350 pts 364 225 pts, 135775 pts 29. 363650 pts b) 364225 pIS, 135775 pts a) pts h) 332 609 pIS pts 30. a) 125 459 pts h) a) 4,04 4,04 % % 4,06 % % 31, a) b) 4,06 8511 065 pIS, 85 065 pts pIS e ) 1 739 130 pts, pIS 246220 pts h) pts, 1 246220 el h) 3 306 600 pts, 32, a) a) 745 572 pIS, pts, 543 108 pIS pts 32. pts 33. 10 228 pIS h) pts. h) 1 344 320 pIS. a) 67216 pIS pts 34. a) 67216 587605' ' pIS pts 35. 587605


5 1\

EL SIMB partic /l es el

VARIACI


Combinatoria Combinatoria

ts

TEOREMA FUNDAMENTAL. suceso puede tener lugar lugar de m maneras maneras distintas distintas y TEOREMA FUNDAMENTAL. Si un suceso puede tener cuando una de de ellas puede realizar realizar otro cuando ocurre ocurre una ellas se puede otro suceso suceso independiente independiente de m formas formas diferentes, diferentes, ambos pueden tener tener lugar ambos sucesos, sucesos, sucesivamente, sucesivamente, pueden lugar de de mn mn maneras maneras distintas. distintas. Por para la presidencia presidencia y 5 para para la vicepresidencia, vicepresidencia, existen Por ejemplo, ejemplo, si existen existen 3 candidatos candidatos para existen 3 . 5 == 15 parejas distintas presidente y vicepresidente. 15 parejas distintas de presidente vicepresidente.

UNA VARIACION de un cierto número de entes una disposición una parte parte de ellos UNA VARIACION cierto número entes es una disposición de una ellos en un orden un orden determinado. determinado. Por Por ejemplo, ejemplo, las variaciones variaciones de las tres tres letras, letras, a. a, b y e, tomadas tomadas de dos dos en dos, dos, son son ah. ab, ae, ac, ha, be, ca una variación ea y eb. cb. Cualquiera Cualquiera de estas estas disposiciones disposiciones es una variación. . ues

UNA PERMUT ACION de número de entes todos UNA PERMUTACION de un cierto cierto número entes es una una disposición disposición en la que que entran entran todos ellos un orden ellos en un orden determinado. determinado.

s,

Por ejemplo ejemplo, , las permutaciones tres letras letras a, b y e son son abe, abc, aeb, acb, hea, bca, bae, bac, eba cba y cah. cabo Por permutaciones de las tres Cualquiera una permutación. permutación. Cualquiera de estas estas disposiciones disposiciones es una

IS

n-

Obsérvese permutaciones son particular de las variaciones Obsérvese que que las permutaciones son un caso caso particular variaciones en que que entran entran todos todos los entes una parte parte de ellos entes en lugar lugar de una ellos. .

os da

UNA COMBINACION de un un número número de entes una disposición una parte parte de ellos prescinUNA COMBINACION entes es una disposición de una ellos prescindiendo del orden, orden, a diferencia diferencia de de una variación. diendo una variación.

e-

Por ejemplo. ejemplo, las combinaciones combinaciones tres letras, letras, a, b y e, tomadas tomadas de dos dos en dos, dos, son son Por de las tres be y ae. ab, he Cualquiera de de estas estas disposiciones disposiciones es una combinación. Cualquiera una combinación.

s.

os u-

Obsérvese que ab y ba son son una misma combinación combinación (se prescinde orden), mientras que Obsérvese que una misma prescinde del orden), mientras que constituyen dos dos variaciones variaciones distintas distintas (interesa (interesa el orden), orden), de las letras letras a y b. constituyen NOT ACION FACTORIAL. F ACTORIAL. NOT ACION escrito 11! Il! escrito

Las identidades identidades siguientes siguientes expresan expresan el significado significado de factorial Las facroria! de n

21 = 1 . 2 = 2, 3! = 1 . 2 . 3 = 6. 41 = 1 . 2 . 3 . 4 = 24 2' 4' 51= 1'2'3 1'2'3'4'5='4 '5 = 120. 11!= 1'2'3 ... 1111,, (r-I)I= 1·2·3 ... ... (r-l) (r-l) 5'= 11!= 1 '2'3 ... ( r - I ) ' = 1·2·3 Nora. 01 == 1 por definición. Nota. O' por definición. EL SIMBOLO SIMBOLO "V, "V, representa variaciones de 11n·elementos tomados de r en r. Como Como caso caso representa el número número de variaciones elementos tomados EL particular, "V"' es el número de 11n elementos elementos y se escribe, escribe, normalmente. particular, "V"' número de permutaciones permutaciones de normalmente, P". p". Así, V 33 representa el número variaciones de 8 elementos elementos tomados tomados de 3 en 3. y Ps Así , pues. pues. 8sV representa el número de variaciones Ps el número elementos. es el número de permutaciones permutaciones de 5 elementos. Nora. Nafa.

Los símbolos símbolos V(I1. V(n, r). r), V"., V"., Y V;' V;' tienen tienen el mismo mismo significado significado que" que" V,. Los

VARIACIONES DE n ELEMENTOS ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r VARIACIONES DE TOMADOS DE V, "V,

"

Para r = Para

11,, "V, "V, 11

=

11(1/ 11(11 -

1)(1/ 1)(11 -

= "V" = P" 11(11 = "V" p" = 1/(1/

2) (11 2) ... ... (11 1)(/1 1)(/1

r +

1) 1) = =

... . 11 = 2) ..

111 1/' (11 -(1/

111 11'

229


,1 r). rJ.

230

COM 111NATORI¡\

s VI = 5,

Por ejemplo,

sV5

=

P5

= 5' 4 = 20, = 5' = 5'4'3'2'1 5

= 5' 4 . 3 = 60, 5 V4 = 5' 4 . 3 . 2 = 120, = 120, 101'7 = 10'9'8'7'6'5'4 = 604800.

V2

V3

5

Por ejemplo, el número de maneras distintas en que 4 personas de seis plazas es 6 V4 = 6 . 5 . 4 . 3 = 360. PERMUTACIONES de n elementos

NUMEI bins

se pueden sentar en un coche

dn tida

CON REPETICION DE n ELEMENTOS. El número P de permutaciones repitiéndose uno de ellos nI veces, otro n2 veces, etc., viene dado por siendo nI

+

112

+

113

+ ...

= n

Por ejemplo, el número de maneras en que se pueden distribuir 3 monedas de veinticinco pesetas y 7 monedas de cinco entre 10 muchachos de forma que a cada uno de ellos le corresponda una 10' 10'9'8 es 3! 7! = ~-:-}

sola moneda

= 120.

PERMU

PERMUTACIONES CIRCULARES. El número de maneras en que se pueden tos diferentes a lo largo de una circunferencia es igual a (/1 - I)! Por ejemplo, 10 personas maneras distintas. EL SIMBOLO

ner representa

Así. pues, Nota.

9C4

el número

representa

Los símbolos

se pueden sentar alrededor

e(n,

de combinaciones

de n elementos

el número de combinaciones r), en. r Y

e~tienen

de una mesa redonda

colocar de (10 -

tomados

Calcl

1)'

=

2.

Halla

9!

de r en r,

de 9 elementos tomados

el mismo significado

1.

n elernen-

a)

de 4 en 4.

e

que nCr' b)

COMBINACIONES

DE n ELEMENTOS

.c. =-1nVr r.

TOMADOS n(/1 -

n! r!(n - r)'

DE r EN r. 1)(/1 -

2) ...

(n -

r

+

1)

r'

Lueg.

Por ejemplo, el número de saludos que se pueden intercambiar uno solo saluda una vez a los otros. es 12' 12! 12· 11 C 12 2 = 2!(12 _ 2)! = 2!10! = ~ = 66. Una propiedad

e

entre sí 12 estudiantes,

muy útil que simplifica los cálculos en que intervienen

combinaciones

si cada

3.

Un e: fonm

4.

¿De e den e

es,

E tir de p a)

La fórmula indica que el número de combinaciones al de combinaciones de n elementos tomados de /1 -

de n elementos tomados r en n-r.

de r en r es igual

E conce F h)

Ejemplos. 9'8

~ En cada uno de los casos, el numerador

36,

25

, e = 25 . 24 . 23 = 2 300 C 22 = _5 J 1.2 .3

y el denominador


tienen el mismo número de factores.

5.

¿De ,

231

COMBINATORIA COMB INATORI A

20, OO.

NUMERO TOTAL DE DE COMBINACIONES COMBINACIONES DE n ELEMENTOS ELEMENTOS. . El número total NUMERO TOTAL DE número total binaciones elementos distintos distintos tomados tomados de 1, 2, 3, ... ... , n, viene viene dado dado por binaciones de n elementos por

e ==

he

e

comde com-

22"n -- 1I

Por ejemplo, ejemplo, una tiene en su bolsillo moneda de una una peseta, otra de cinco, cinco, otra otra Por una persona persona tiene bolsillo una una moneda peseta, otra veinticinco yy otra otra de cincuenta. cincuenta. El número total de formas formas en que que puede sacar de su bolsillo cande veinticinco número total puede sacar bolsillo cantidades de dinero dinero diferentes diferentes es 244 - 1 == 15. tidades

nes

pe-

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS

una

PERMUTACIONES y VARIACIONES VARIACIONES PERMUTACIONES Y

1.

Calcular 20V2' 20V2, Calcular

V " P7 sV" 77V" sV"

20 V2 = 20V2 = 20, 20'1919 = = 380 380

s Vs5 S

2.

6' 5 . 4 = 6720 6720 = 88·· 7 . 6'

Hallar n si a) 7' n V 3 a) a)

7n(n 7n(n

3n(n 3n(n

= 6 · .+ I V 3 ,

I)(n - 2) = = 6(n 6(n l)(n

Como n Como b) b)

77

+ 0,1 +

+

P P77 = 7! = 7' 7' 6 . 5 . 4 . 3 ·2· ·2· 1 = 5040 5040

b) 3·.V.

I)(n)(n l)(n)(n

= .-IV"

1). 1).

dividir por n(n - 1), con con lo cual cual 7(n - 2) = = 6(n 6(n se puede puede dividir por n(n

I)(n - 2)(n 2)(n - 3) 3) = = (n I)(n

Como n Como

7 . 6 . 5 . 44'. 3 = 2520 2520 V, = 7,

+ 1, 2, +

+

1),

20. n = 20.

I)(n - 2)(n 2)(n - 3)(n 3)(n - 4)(n 4)(n - 5). 5). I)(n

dividir por I)(n - 2)(n 2)(n - 3) con con lo cual cual 3, se puede puede dividir por (n - I)(n

3n = = (n - 4)(n 4)(n -

5),

n22

-

-<- 20 = O, 12n +

(n -

1O)(n lO)(n

O 2) == O

Luego n = = lO. 10. Luego cada

3.

Un estudiante tiene tiene que que elegir elegir un idioma idioma y una asignatura entre entre 5 idiomas idiomas y 4 asignaturas. asignaturas. Hallar Hallar el número Un estudiante una asignatura número de formas distintas distintas en que que puede hacerlo. formas puede hacerlo. Puede elegir elegir el idioma idioma de 5 maneras maneras y, por cada una ellas, hay formas de elegir elegir la asignatura. asignatura. Puede por cada una de ellas, hay 4 formas Por tanto tanto, , puede Por puede hacerlo hacerlo de 5 . 4 == 20 maneras. maneras.

4.

¿De cuántas cuántas formas formas se pueden repartir dos dos premios entre lO 10 personas sabiendo que que ambos ambos premios, a) no pueden repartir premios entre personas sabiendo premios. a) no se puepue¿De den conceder conceder a una b) se pueden conceder a la misma den una misma misma persona, persona , b) pueden conceder misma persona? persona? repartir de de 10 formas formas diferentes diferentes y, concedido, el segundo segundo se puede reparEl primer primer premio premio se puede puede repartir y, una una vez concedido, puede repartir de 9 formas, formas, ya que que ambos ambos no conceder a la misma no se pueden pueden conceder misma persona. persona. tir Por tanto, tanto, se puede 10· 9 = = 90 formas formas distintas. distintas. Por puede hacer hacer de 10·

a) a)

igual

h) El primer 10 formas formas diferentes diferentes yyel el segu segundo otras lO, 10, ya que que ambos h) primer premio premio se puede puede repartir repartir de lO ndo de otras ambos se pueden pueden conceder a la misma misma persona. conceder persona. Por tanto, tanto, se puede hacer de 10· 10· 10 = = 100 formas formas distintas. distintas. Por puede hacer

5.

tores.

¿De introducir 5 cartas cartas en 3 buzones? cuántas maneras maneras se pueden pueden introducir buzones? ¿De cuántas Cada una de las 5 cartas cartas se pueden introducir en cualquiera cualquiera de los tres tres buzones. Cada una de pueden introducir buzones. consecuencia, se puede efectuar de 33·. 3 . 3 . 3 . 3 = = 355 = = 243 maneras. En consecuencia, puede efectuar maneras .


232 6.

COMBINATORIA

Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente pueden ocupar estos tres puestos? Un presidente En consecuencia,

7.

¿De cuántas

se puede elegir de 4, un vicepresidente se podrán

maneras

ocupar

distintas

ordenar

5 personas

¿De cuántas

maneras

se

1

ellos.

de 6 y un secretario

de 4· 6 . 2 = 48 formas

se pueden

y 2 para secretario.

de 2 formas distintas.

distintas.

13. ¿De I no o

!

en una fila?

2 de

La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc. Por tanto. se podrán colocar de 5' 4 . 3 . 2' I = 120 maneras distintas. Otro método.

8.

¿De cuántas Número

9.

Número

maneras

de formas = número de permutaciones de 5 personas = 1'5 = 5! = 5'4'3'2'1 = 120.

se pueden

colocar

l 2 del

14.

1

7 libros sobre una estantería?

los d

de formas = número de permutaciones de 7 libros = 1'7 = 7! = 7' 6' 5' 4' 3' 2· 1 = 5040.

Hallar el número 12 cuadros.

de formas en que se pueden colocar en fila 4 cuadros

de una colección

que se compone

Por tanto,

el número

Otro método.

de

15.

de formas

Número

a)

=

de variaciones 12'11'10·9

de 12 elementos = 11880

tomados

b)

de 4 en 4

16. maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que éstas ocupen los lugares

Los hombres se pueden situar de 1'5 maneras y las mujeres de 1'4 formas. Cada una de las colocaciones los hombres se puede asociar con una de las mujeres. Luego se podrá

11.

efectuar

de 1'5 • 1'4 = 5! 4! = 120· 24 = 2 880 maneras.

Como el cuadro en cuestíón debe situarse en el centro. solo quedan 6 cuadros para colocarlos tanto. se puede hacer de 1'6 = 6! = 720 maneras.

a)

12.

Una vez colocado En consecuencia.

el cuadro en uno de los dos extremos. los otros 6 se pueden disponer se puede hacer de 2' P 6 = 1 440 maneras.

¿De cuántas maneras se pueden colocar 9 libros diferentes sobre una estantería siempre juntos. b) 3 de ellos no estén nunca todos juntos.

17.

e)

(

d)

(

Halla plea

r

L puede 8 díg 1

b)

Los 3 libros en cuestión se pueden colocar. entre ellos. de 1'3 formas. Como estos libros han de estar siempre juntos. se pueden considerar como lino solo. Así. pues. es como si tuviéramos 7 libros. el anterior más los 6 restantes. y éstos se pueden colocar de 1'7 formas. Por tanto. se puede hacer de 1'3 . 1'7 = 3! 7! = 6' 5 040 = 30240 formas.

a)


~ ~

a) L quien

de forma que, a) 3 de ellos estén

b 1 El número de maneras en que se pueden colocar 9 libros sobre una estantería, sin poner condición alguna. es 9' = 362880. El número de formas en que se pueden colocar 9 libros de modo que 3 de ellos. determinados. estén todos juntos es. según (/l. 3' 7' = 30 240.

b)

dos I 1

en la fila. Por

de 1'6 maneras.

r

Hall¡ cada formó a)

de

¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe de estar. a) en el centro, b) en uno de los extremos?

b)

I

signií

de los 11, el

es 12' 11 . 10 . 9 = 11 880.

de formas = número = 12V4

¿De cuántas pares?

Halla a) si

El primer lugar lo puede ocupar uno cualquiera de los 12 cuadros. el segundo uno cualquiera tercero uno cualquiera de los 10 y el cuarto uno cualquiera de los 9 restantes.

10.

Sobn los d

18.

a)'Ha petirs

233

COMBINATORIA

Por tanto, el número de maneras en que se pueden colocar 9 libros sobre una estantería ellos, determinados, no estén todos juntos será 362 880 - 30 240 = 332 640.

13.

¿De cuántas maneras se pueden disponer no ocupen posiciones contiguas?

en una fila n hombres con la condición

de forma que 3 de

de que 2 determinados

de ellos

El número de maneras en que se puede colocar n hombres en una fila, sin poner condición alguna, es p•. Si 2 de los n hombres deben ocupar siempre posiciones contiguas, el número de formas será = 2! (P.- d. Por tanto, el número de maneras en que se pueden colocar n hombres en una fila, con la condición de que 2 determinados de ellos no estén juntos es p. - 2!P.-1 = n(n - I)! - 2(n - I)! = (n - 2)' (n - I)!

14.

Sobre una estantería los de cada materia

se tienen que colocar 6 libros distintos de biología, 5 de química y 2 de física, de forma que estén juntos. Hallar el número de formas en que se puede hacer.

Los libros de biología se pueden disponer los de tres grupos de 3! maneras. Por tanto,

15.

se pueden

colocar

Hallar el número de palabras a) si cada letra no se emplea

entre sí de 6! maneras,

los de química de 5!, los de física de 2! Y

de 6! 5! 2! 3! = 1 036 800 maneras.

diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la palabra empujado, más de una vez, b) si cada letra se puede repetir. (Estas palabras no necesitan tener

significado. )

el

a)

Número

de palabras

= variaciones =

h)

16.

Número

de 8 elementos tomados de 5 en 5 Vs = 8 . 7 . 6 ' 5 . 4 = 6720 palabras

= 8, 8 . 8 . 8 . 8 = 8s = 32768

palabras.

Hallar los números que se pueden formar con 4 de los 5 dígitos 1,2, 3, 4, 5, a) si éstos no se pueden repetir en cada número, b) sí se pueden repetir. Si los dígitos no se pueden repetir, ¿cuántos números de 4 cifras se pueden formar, e) empezando por 2, terminando en 25? a)

Números

formados

= s V4 = 5' 4' 3 . 2 = 120 números.

b)

Números

formados

= 5' 5 . 5 . 5 = 54 = 625 números.

e)

Como la primera cifra de cada número es una determinada, Números

r.

de palabras

B

formados

= 4V3 = 4·3·2

quedan 4 dígitos para colocar en 3 lugares.

= 24 números.

Como las dos últimas cifras de cada número son dos determinadas, dos lugares. Números formados = 3 V2 = 3 . 2 = 6 números.

d)

or

17.

quedan

Hallar cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los 10 dígitos, O, 1,2,3, plea una vez. ¿Cuántos de estos números son impares?

...

3 dígitos

para colocar

en

, 9, si cada uno solo se em-

a) La primera cifra puede ser ocupada por uno cualquiera de los lO dígitos excepto el O, es decir, por uno cualquiera de 9 dígitos. Los 9 dígitos restantes, se pueden colocar en los otros 3 lugares de 9 V 3 maneras. Números formados = 9· 9 V3 = 9(9' 8 . 7) = 4536 números.

én

La última cifra puede ser ocupada por uno cualquiera de los 5 dígitos impares, 1, 3, 5, 7, 9. La primera cifra puede ser uno cualquiera de los 8 digitos, es decir, los 4 dígitos impares restantes y los dígitos pares 2, 4, 6, 8. Los 8 dígitos restantes se pueden colocar en las 2 posiciones centrales de B V2 maneras. Números formados = 5'.8' BV2 = 5·8' 8· 7 = 2240 números impares.

b) ffiS

6

a. os

18.

a) Hallar

los números de 5 cifras que se pueden formar con los lO dígitos, O, 1, 2, 3, .... 9, pudiendo petirse. ¿Cuántos de estos números b) empiezan por 40, e) son pares, d) son divisibles por 5?


éstos re-

234

COMBINATORIA

e)

La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos (todos, excepto O). Cada una de las otras cifras pueden ser uno cualquiera de los lO dígitos. Números formados = 9· 10' 10' 10' lO = 9· 104 = 90000 números.

a)

Las dos primeras gitos.

b)

Números

cifras están formadas

formados

=

1 . 10 . 10' 10

por el número 40. Las otras tres pueden ser cualquiera

=

=

lO'

La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos, las otras 3 cifras uno cualquiera de los 10 dígitos.

d)

divisibles

por 5

=

9· 10·10·

=

10·2

18000

y la última

pueden

O, 1,2,3,4,5,6,

Como los números están comprendidos entre 3 000 Y 5 000, constarán de 4 cifras. La primera 3 o el 4. Los seis dígitos restantes se pueden colocar en los otros tres lugares de 6 V, maneras. Números formados = 2· 6 V, = 2(6' 5 . 4) = 240 números.

20.

de seleccionar

son 3 y el número de variaciones

un diccionario

a)

de 11 novelas tomadas

b)

26.

se puede

hacer de 3·

V;'

11

= 3(11 . 10' 9· 8) = 23760

señales se pueden hacer con 5 banderolas

Las señales se pueden hacer sacando de señales es sV1

22.

de 4 en

+

sV2

+

+

sV,

sV4

+

diferentes

las banderolas

+

sVs = 5

20

sacando

1,2,3,4

+

60

+

formas.

un número cualquiera

de ellas a la vez?

Y 5 al mismo tiempo. Luego el número

120

+

que se pueden

formar

son V4

=

4!

=

4' 3' 2' 1

+

10(6' 18)

+

100(6' 18)

+

1000(6'

1 tad s

=

COMBIN,

24. 28.

La palabra Número

cooperador consta de 10 letras:

de palabras

10'

= --

3'2!

=

Considerando Número

8'

= 21 =

.'

b)

.'

3 «o», 2 «r» y 5 letras diferentes.

10·9·8'7'6'5'4'3'2'1

=

(I'2'3){1'2)

las tres «o» como una sola letra. tendremos

de palabras

a)

e)

302400. 29.

b)

Halla

18) = 119998

a) Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra cooperador tomadas todas a la vez. ¿Cuántas de estas palabras. b) tienen juntas' las tres «o». e) empiezan por las dos «r»? (Las palabras no necesitan tener significado.) a)

¿Cuá

que

La suma de los dígitos = 2 + 5 + 3 + 8 = 18. Y cada uno de ellos estará 24/4 = 6 veces ocupando el lugar de las unidades. decenas, centenas y millares. En consecuencia, la suma de los números formados es 1(6' 18)

27.

total

120 = 325 señales

Hallar la suma de los números de 4 cifras que se pueden formar con los cuatro dígitos 2, 5, 3 Y 8. sabiendo cada dígito no puede figurar más de una vez en cada número. Los números

23.

¿De, cada y las

Por tanto.

¿Cuántas

(

sonar = 2·

4es11V4·

21.

~

4! fo

puede ser el

de forma

I b) ¿ estén a)

si cada

Entre 11 novelas y 3 diccionarios se seleccionan 4 novelas y 1 diccionario y se colocan en una estantería que el diccionario esté en el medio. Hallar el número de formas en que esto se puede llevar a cabo. Las posibilidades

25.

el O y el 5, y

números.

entre 3 000 Y 5 000 se pueden formar con los 7 digitos, en cada número?

repetir

Se di

O, 2, 4, 6, 8. Cada

ser 2 números,

19. ¿Cuántos números comprendidos uno no se puede

24. 1 000 números.

e) La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos y la última uno de los 5 números, una de las otras tres cifras pueden ser cualquiera de los 10 dígitos. Números pares = 9' 10' 10· 10· 5 = 45000 números.

Números

de los 10 di-

8 letras. de las cuales dos son «r».

20 160.


Siend

235

COMBINATORIA COMBINATORIA

e)

en

El número de las las cuales cuales hay hay tres tres «o», «o», es número de palabras palabras que que se pueden pueden formar formar con con las 8 letras letras restantes, restantes, de 8!j3! == 6 720. 8!j3'

í·

24.

Se dispone pueden colocar colocar en en una una estantería? estantería? dispone de 3 ejemplares ejemplares de 4 libros libros diferentes. diferentes. ¿De ¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden Hay 3 . 4 == 12 libros, Hay libros, de los cuales cuales cada cada uno uno está está repetido repetido 3 veces. veces.

da

Número formas == Número de formas

(3' = (3' 4)! == ~ ~ = 369600. 369600. 3! 3! 3! 3! (3!)4

, y

25.

a) De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden sentar sentar 5 personas personas alrededor alrededor de una una mesa a) De mesa redonda? redonda? ¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden sentar sentar 8 personas personas alrededor alrededor de una una mesa mesa redonda b) ¿De redonda de de forma forma que que dos dos de de ellas ellas estén siempre siempre juntas? estén juntas? a) Supongamos Supongamos que que una una de ellas ellas se sienta sienta en un lugar cualquiera. cualquiera. Las Las 4 personas a) un lugar personas restantes restantes se pueden pueden sentar sentar de de formas. Por Por tanto, tanto, hay hay 4! = = 24 maneras maneras de disponer disponer a 5 personas personas alrededor alrededor de de una una mesa mesa circular. circular. 4! formas.

da

b) Consideremos Consideremos a las dos dos personas personas determinadas determinadas como como una una sola. sola. Como Como hay b) hay 2! maneras maneras de de disponer disponer a 2 pero personas entre entre sí y 6! formas formas de colocar colocar a 7 personas personas alrededor alrededor de una una mesa mesa circular, circular, el número número pedido pedido será será = = 2! 6! sonas = 2 . 720 720 == 1 440. 440. =

el

26.

¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden colocar colocar 4 hombres hombres y 4 mujeres mujeres alrededor alrededor de ¿De de una una mesa mesa redonda redonda de de manera manera que que cada mujer mujer esté esté entre entre dos dos hombres? hombres? cada Supongamos, en en primer primer lugar, lugar, que que se sientan sientan los hombres. hombres. Estos Estos se pueden Supongamos, pueden colocar colocar de de 3! maneras maneras distintas distintas mujeres de 4! formas. formas. y las mujeres

en

Por tanto, tanto, el número número pedido pedido es Por

ez?

27. 27.

= 3!

=

4!

144.

¿Cuántas pulseras pulseras se pueden pueden hacer hacer ensartando ensartando en un un hilo hilo 9 cuentas cuentas de de colores ¿Cuántas colores diferentes? diferentes? El número número de formas formas en que que se pueden pueden disponer disponer las las cuentas cuentas en la pulsera pulsera es igual igual a 8!; 8!; sin sin embargo, embargo, la mimitad se deduce deduce de la otra otra mitad mitad girando girando la pulsera. pulsera. tad

tal

Por tanto, tanto, se pueden pueden formar formar 1(8!) i(8!) == 20160 20160 pulseras pulseras diferentes. diferentes. Por

que COMBINACIONES COMBINACIONES 28. 28.

Hallar n n en en: : a) a) .C. nen-2 Hallar _ 2 == 10,

gar

b) .C ne15 = .C nel!> b) 15 = ll ,

a) a)

1) n22 - n .C.-2-'- == ---2-2- == 10 nen-22 == .C ne22 == ---2-'-

b) b)

ne, == .C. nen-,' .C, _"

e)

30' 30' C e = 30(·V 30(nVs)5 ) S • 5 55!!

n(n n(n

a la ece-

n2

=

n

Siendo .V, nV, Siendo

=

3024 3024

nV, = = r!(.C,), r!(ne,), .V,

-

nV44 .V

n

120

r'

.

=

= O, O, =

n = = 55

26

30' 30' .V nV44 • (n - 4) 5! 30(n - 4) 30(n

Y

e

= 30 30·n' .C = s. 5 •

n - 20

15 == n - 11,

Luego Luego

29.

e)

ne, .C,

=

hallar rr.. 126, hallar

= •n V, V, = = 3 024 = = 24 =

ne, .C,

n == 8.

126

'

rr

= 4 =


236 30.

COMBINATORIA

¿Cuántos grupos de 4 alumnos se pueden formar con 17 alumnos un concurso de preguntas de matemáticas? Número

de grupos = número

=

de combinaciones 17' 16' 15' 14 1.2 . 3 . 4

=

C4

17

aventajados

de 17 alumnos

=

2 380 grupos

para representar

tomados

a un colegio en

de 4 en 4

¿D

38.

de 4 alumnos.

a)

b)

31.

¿De cuántas

maneras

se pueden

elegir 5 idiomas

de formas = número

Número

= sCs

de entre 8?

de combinaciones

=

sC3

8' 7' 6

= ---

I . 2' 3

=

e)

de 8 idiomas

tomados

de 5 en 5

al

56 formas. b)

32.

¿De cuántas al otro 3?

formas se pueden repartir

En cada una de las divisiones y B recibe 9. Por tanto,

33.

el número

e)

es

=

2'

12C9

=

2·

12C3

=

2(

12· 11 . lO l : 2' 3

)

=

Un

39.

440 formas.

bro

Determinar el número de triángulos diferentes que se pueden formar uniendo los seis vértices de un exágono. Número de triángulos = número de combinaciones de 6 puntos tomados de 3 en 3 6'5'4

= ---

=

1·2·3

rner

20 triángulos.

¿Cuántos ángulos menores de 1800 forman 12 semirrectas que se cortan en un punto sabiendo ellas puede estar en prolongación de cualquiera de las otras? Número

de ángulos

= número

de combinaciones 12' II

12C2

35.

9 y

de los 12 libros en 9 y 3, A recibe 9 y B recibe 3, o bien A recibe 3

de formas

= 6C3

34.

A y B, de manera que a uno le toquen

12 libros entre dos personas,

¿Cuántas

diagonales

Número

=~

=

de 12 elementos

tomados

que ninguna

de

=

número

¿Cu encr

de 2 en 2

66 ángulos. 41.

tiene un octógono?

de rectas

40.

de combinaciones

de 8 puntos

tomados

de 2 en 2

=

sC2

=

8·7

N=

¿Cu: de,

28. tinta

Como 36.

8 de estas 28 rectas son los lados del octógono,

¿Cuántos paralelogramos tas paralelas?

el número

de diagonales

se pueden formar al cortar un sistema de 7 rectas paralelas

= 20.

por otro sistema de 4 rec42.

Cada una de las combinaciones de 4 rectas tomadas de 2 en 2 forman un paralelogramo de las combinaciones de 7 rectas tomadas de 2 en 2. Número 37.

=

de paralelogramos

4C2 • 7C2

=

6· 21

=

al cortar a cada una

¿Cu. cada

renn

126 paralelogramos.

En un plano están situados 10 puntos de forma que 4 de ellos están sobre una recta y entre los restantes tres en prolongación. Hallar el número de rectas que se pueden formar uniendo los lO puntos.

no hay a) h)

Número

de rectas suponiendo

que de los lO puntos

no hay tres colineales

=

lOC2

=

10' 9 -2-

e)

=

45. Cad:

Número

de rectas formadas

por 4 puntos

de los que no hay 3 colineales


=

4C2

=

4'3 -2-

=

6.

.

I

237


Como los 4 puntos son colineales. colineales. forman forman una una recta recta en lugar lugar de 6. Como puntos son

n

número de rectas rectas pedido pedido es 45 - 6 + I == 40. El número

¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden elegir elegir 3 hombres hombres de de entre entre un grupo grupo de' de' 15. de forma forma que que 38. ¿De a) a) b) b) e) e)

uno de ellos ellos debe debe figurar figurar en cada cada grupo grupo seleccionado. seleccionado. uno dos de ellos ellos no no deben deben figurar figurar en cada cada grupo grupo seleccionado. seleccionado. dos uno de de ellos ellos debe, debe, y otros otros 2 no no deben, deben, figurar figurar en cada cada grupo? grupo? uno

a) a)

Como uno uno debe debe figurar figurar siempre. siempre, tendremos tendremos que que elegir elegir 2 de de entre entre 14. Como 14·13 14·13 número de de formas formas en que que se puede puede hacer hacer es = '4 14e El número C22 = --22= 91.

h) h)

Como hay hay 2 que que no no deben deben figurar. figurar. tendremos tendremos que que elegir elegir 3 de de entre entre 13. Como 13' 12' 12' 11 11 13' número de formas formas es = "C) l3e3 = 3' El número 3! = 286.

e)) e

Número de formas formas == 'S-'-2C) IS-I-2e3-1 Número

y

39.

C2 = '2 12e2 =

,

12· 12' 11 11

= -2 -2= 66. = =

Un equipo equipo científico consta de de 25 miembros, miembros, de de los cuales cuales 4 son son doctores. doctores. Hallar Hallar el número número de de grupos grupos de de 3 miemmiemUn científico consta bros que que se pueden pueden formar. formar. de manera manera que que en cada cada grupo grupo haya haya por por lo menos menos un doctor. doctor. bros

Número grupos de 3 que Número total total de de grupos que se pueden pueden formar formar

COIl COII

25 miembros miembros == 2SC), 2Se3'

Número de de grupos grupos de 3 que que se pueden pueden formar formar de de manera manera que que no no figure figure en ellos ellos un doctor doctor = 2S-4C) 2S-4e3 = 2'C), 21e3• Número

o.

Por tanto. tanto. el número número de grupos grupos de 3 miembros miembros que que se pueden pueden formar formar de manera manera que que en ellos ellos exista exista por por lo Por 25 . 24 . 23 21 . 20 . 19 C) menos C)3 = 3! 3! = 970 menos un doctor doctor = 2S 2Se 3 - 21 21e 970 grupos. grupos.

de

40.

¿Cuántos grupos grupos de 7 miembros miembros se pueden pueden formar formar con con 6 químicos químicos y 5 biólogos biólogos de manera manera que que en cada cada uno uno se ¿Cuántos encuentren 4 químicos? químicos? encuentren Cada grupo grupo de 4 químicos químicos de los 6 se puede puede asociar asociar con con cada cada uno uno de 3 biólogos biólogos de los 5. 5. Cada Por tanto. tanto. el número número de grupos grupos es = Por

41.

6e4 •• sC) se3 6C4

15' 10 = 150. = 15'

¿Cuántas palabras palabras de de 5 letras letras se pueden pueden formar formar con con 8 consonantes consonantes y 4 vocales, vocales, de de manera manera que que cada cada una una conste conste ¿Cuántas consonantes diferentes diferentes y 2 vocales vocales distintas? distintas? de 3 consonantes Las 3 consonantes consonantes distintas pueden elegir elegir de sC) se3 maneras, maneras, las 2 vocales vocales de de 4C2 4e2 formas formas y las 5 letras letras disdisLas distintas se pueden tintas (3 consonantes consonantes y 2 vocales) vocales) se pueden pueden disponer disponer entre entre ellas ellas de P Pss == 5! formas. formas. tintas Por tanto. tanto. el número número de palabras palabras es = sC) se3• . 4C2 4e2' • 5! = 56· 56· 6' 6' 120 = 40320. 40320. Por

42.

Cuántas palabras palabras de 4 letras letras se pueden pueden formar formar con con 7 mayúsculas, mayúsculas, 3 vocales vocales y 5 consonantes, de manera manera que que consonantes, de ¿ Cuántas cada una una empiece empiece por por una una mayúscula mayúscula y tenga tenga al menos menos una una vocal. vocal. siendo siendo todas todas las las letras letras de de cada cada palabra palabra difedifecada rentes? rentes?

primera letra. mayúscula, , se puede puede elegir elegir de 7 formas. formas. La primera letra. mayúscula Las 3 letras letras restantes, restantes, pueden pueden ser: ser: Las hay a) a)

h) h) e)) e

vocal y 2 consonantes. consonantes. que se pueden pueden tomar tomar de 3el se22 maneras. 1 vocal que )C, . sC maneras. 2 vocales )C 2 • sC, vocales y I consonante. consonante. que que se pueden pueden tomar tomar de de 3e2' se, maneras. maneras. y Y vocales, que que se pueden pueden tomar tomar de 3e, = I forma. forma. 3 vocales, )C) =

Cada maneras. Cada una una de de las 3 letras letras de estos estos grupos grupos se pueden pueden disponer disponer entre entre sí de de p) P, == 3! maneras. Por tanto, tanto, el número número de palabras palabras == 7' 7' 3 !()C, !(3el . sC se22 + 3C2 3e2 .• sC, se, + 1) Por = 7 . 6(3 . 10 + 3 . 5 + 1) = = I 932. =


238 43.

COMBINATORIA

Un niño A tiene 3 cromos y otro B tiene 9. ¿De cuántas maneras se los pueden intercambiar pre el número inicial de cromos? A puede cambiar

I cromo

A puede cambiar

2 cromos

con B

A puede cambiar

3 cromos

con B

N úmero

+

total = 27

108

si cada uno tiene siem-

,e, . ge,' = 3 . 9 = 27 maneras. de ,e2 . ge2 = 3 . 36 = 108 maneras. de ,e, . ge, = I .84 = 84 maneras.

con B de

+

VARIA,

84 = 219 maneras.

Otro método. Supongamos que A y B juntan sus cromos. El problema se reduce a hallar de cuántas maneras A puede elegir 3 cromos, de entre los 12, excluyendo sus tres cromos originales. Este número viene 12' II . 10 dado por I= - I = 219 maneras. I ·2·3

'2e, -

44.

a) b) a)

¿De cuántas maneras se pueden repartir 12 libros entre 3 alumnos de forma que cada uno reciba 4 libros? ¿De cuántas maneras se pueden dividir 12 libros en 3 grupos de 4 libros cada uno?

'2e4

El primer alumno puede elegir 4 libros. de entre los 12, de maneras. 'EI segundo puede elegir 4 libros, de entre los 8 restantes, de se4 maneras. El tercer alumno puede elegir 4 libros, de entre los 4 restantes, de 1 forma.

h)

Los 3 grupos Por tanto,

45.

Se dispone

'2e4'

pedido =

Número

se •• 1 = 495·70·

I = 34650

distribuir entre los alumnos de 3' = 6 maneras. 34650 pedido = -3-'= 5 775 grupos.

de 4 objetos

diferentes.

¿De cuántas

maneras

se puede

escoger

uno o más de dichos

objetos?

Cada objeto se puede considerar de dos formas, que se elija o que no se elija. Ahora bien, cada una de estas dos formas se puede asociar con las dos correspondientes a cada uno de los otros objetos; por tanto, el número de formas relativo a los 4 objetos es = 2 . 2 . 2 . 2 = 24. Pero en 2· está incluido el caso en que no se elija ninguno de los objetos. En consecuencia. Otro método.

+ 4e, 46.

= 4

es = 24

-

1 = 16 -

1 = 15.

Los objetos que se pueden elegir son uno. dos. etc. Luego el número pedido es = = 15 maneras.

4e,

+

4e2

+ 6 + 4 + 1

de sumas = 26

¿De cuántas

maneras

Una o más corbatas dido es = 2s - 1 - 8 O,}'O método, se2 + se,

48.

pedido

¿Cuántas sumas de dinero distintas se pueden sacar de una caja que contiene cinco monedas de 1, 5, 25, 50 y 100 pesetas, una de cada clase? Número

47.

.e.

+

el número

-

I = 63.

se pueden

=

elegir dos o más corbatas

se pueden elegir de 12" 247.

+ seo + se, + ses

de entre una colección

de 8?

"e2 +

se pueden

Número

grises se pueden

elegir de 12' -

de selecciones = 12' -

1)(24

-

¿DI

52.

Ha do

53.

Hal tres

54.

¿D¡ rrue

55.

¿De tos

56.

En en I

57.

Ha\'

58.

Hall

59.

Hall

60. Hall 61.

Hall 6, 7

62.

Hall. 2, 3,

63.

Hall

64.

Hall:

65.

Hall:

66.

Hall: mar

67.

Hall< dígin

68.

Hall< ra qi

69.

¿Cuá nen I

70.

En ci signa do qi

71.

¿De e niños

se,

Se dispone de telas de 5 lonas diferentes de color gris. 4 tonos diferentes de color azul y 3 tonos diferentes de color rojo. Hallar el número de selecciones de tonos que se puede efectuar con la condición de tomar siempre un tono gris y un tono azu 1. Los tonos 2' formas.

51.

hacer de

+ se. + se, + se2 + se, + I = 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + I = 247 maneras. =

Ha

1) formas. Pero como hay que elegir dos o más, el número pe-

Elegir 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. corbatas

+ se. + se,

Cal

maneras.

se pueden

el número

49. SO.

1) formas.

los azules de (2· -

1)12') = 31 . 15' 8 = 3720.


1) formas

y los rojos

de

COM BI NA TOR lA COMBINATORIA

239

PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS PROBLEMAS VARIACIONES PERMUTACIONES VARIACIONES Y PERMUTACIONES

49.

Calcular 16V3' 16V3' 7V4' 7V4' ,V" ,V" Calcular

.12 V" .12

SO. Hallar Hallar n en las ecuaciones ecuaciones a) a) 10· 10· .V .V22 SO. ane

= n.++ IIV", = V4,

3' 2n+4V3 2.+4V3 == 2' 2' n.+4V", h) 3' + 4V4'

51.

¿De cuántas cuántas maneras pueden sentar sentar seis personas personas en un banco banco? ? ¿De maneras se pueden

52.

Hallar el número número de señales señales distintas distintas que que se pueden pueden hacer hacer con con cuatro cuatro banderas banderas de colores colores diferentes diferentes desplegandespleganHallar do dos dos banderas banderas una una encima encima de la otra. otra. do

53.

Hallar el número número de señales señales distintas distintas que que se pueden pueden realizar realizar con con seis banderas banderas de colores colores diferentes diferen tes desplegando desplegando Hallar tres banderas banderas una una encima encima de la otra. otra. tres

54.

¿De cuántas cuántas maneras puede elegir elegir un presidente, presidente, un secretario secretario y y un tesorero tesorero en ¿De maneras se puede en un un club club formado formado por por 12 miembros? ? miembros

55.

¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden colocar colocar 2 libros libros distintos distintos encuadernados encuadernados rojo, 3 distintos ¿De en rojo, distintos en gris gris y 4 distindistintos en azul azul sobre sobre una una estantería estantería de manera manera que que todos todos los libros un mismo mismo color color estén tos libros de un estén juntos? juntos?

56.

En una una pared pared están están clavadas clavadas 4 perchas. perchas. ¿De ¿De cuántas cuántas maneras maneras distintas distintas se pueden pueden colgar colgar de de ellas ellas 3 chaquetas, chaquetas, una una En cada percha? percha? en cada

57.

Hallar cuántos cuántos números números de dos dos cifras cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos dígitos O, Hallar O, 3, 5, 7.

s7

58.

Hallar cuántos cuántos números números pares pares de dos dos cifras cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos Hallar dígitos 3, 4, 5, 6, 8. 8.

tas ro in-

59.

Hallar cuántos cuántos números números de tres tres cifras cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los los dígitos dígitos 1, 2, 3, 4, 5. Hallar

60.

Hallar cuántos cuántos números números de tres tres cifras cifras se pueden pueden formar formar con con los dígitos dígitos 1, 1, 2, ... ... , 9. Hallar

61.

Hallar cuántos cuántos números números de tres tres cifras, cifras, iguales iguales o distintas, distintas, se pueden pueden formar formar con Hallar con los los dígitos dígitos 3, 4, '5, 6, 7.

62. 62.

Hallar cuántos cuántos números números impares impares de tres tres cifras, cifras, dos dos iguales iguales y otra otra distinta, distinta, se pueden pueden formar Hallar formar con con los los dígitos dígitos a) a) 1, b) 1, 2, 4, 6, 8. 2, 3, 4, b)

63.

Hallar cuántos cuántos números números de cuatro cuatro cifras cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos dígitos 3, 5, 6, 7, 9. Hallar

64.

Hallar cuántos cuántos números números de cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos dígitos 2, 3, 5, 7, 9. Hallar de 5 cifras

65.

Hallar cuántos cuántos números números enteros enteros comprendidos comprendidos tienen todas todas sus cifras Hallar 100 y 1 000 tienen cifras distintas. distintas.

66.

Hallar cuántos cuántos números números enteros enteros mayores mayores de 300 y menores menores de 1 000, 000, con con todas todas sus sus cifras Hallar cifras distintas, distintas, se pueden pueden forformar con mar con los digitos dígitos 1, 2, 3, 4, 5.

67.

Hallar cuántos cuántos números números comprendidos comprendidos entre entre 100 y 1 000, con con todas todas sus sus cifras cifras distintas, distintas, se pueden Hallar pueden formar formar con con los los dígitos O O,, 1, 2, 3, 4. dígitos

68.

Hallar cuántos cuántosnúmeros cuatro cifras cifras mayores mayores que que 2000 2000 se pueden pueden formar formar con con los 1,2,3,4 Hallar 'números de cuatro los dígitos dígitos 1, 2, 3, 4 de de manemaneque las las cifras cifras a) no no se puedan puedan repetir, repetir, b) b) se puedan puedan repetir. repetir. ra que

69.

¿Cuántas palabras palabras se pueden pueden formar formar con con las letras letras de problemas manera que que empiecen empiecen por ¿Cuántas problemas de manera por una una vocal vocal y termiterminen por por una una consonante? consonante? (Las palabras palabras no no necesitan necesitan tener tener significado.) significado.) nen (Las

70.

En cierto cierto sistema sistema telefónico telefónico se utilizan utilizan cuatro cuatro letras letras diferentes diferentes P, R, S, T y Y los cuatro cuatro dígitos dígitos 3, 5, 7, 8 para para dedeEn signar a los abonados. abonados. Hallar Hallar el máximo máximo de <
71.

¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden colocar colocar en una una fila 3 niñas niñas y 3 niños niños de manera manera que ¿De que no no haya haya ni dos dos niñas niñas ni dos dos niños ocupando ocupando lugares lugares contiguos? contiguos? . niños

s?

100

pe-

lar ano de


240

COMBINATORIA

72.

¿Cuántos

caracteres

73.

¿Cuántas

jugadas

74.

¿Cuántas

palabras

75. 76.

telegráficos distintas

se pueden formar con 3 puntos y 2 rayas en cada uno de ellos?

se pueden

presentar

de tres letras distintas

96.

se pueden

¿Cuántas señales se pueden realizar con 8 banderas se izan de una vez sobre un asta vertical?

formar

con las letras del alfabeto

97.

griego?

de las cuales 2 son rojas, 3 blancas y 3 azules, sabiendo

¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 hombres y 4 mujeres alrededor haya dos hombres juntos?

Un fon

al lanzar tres dados?

que

de una mesa redonda de madera que no

En cua

98.

¿Cl

99.

En rea' H¡

100. 77.

¿De cuántas

maneras

distintas

se pueden

disponer

los factores

del producto

a a b b b b e e c?

78.

¿De cuántas el otro 6?

maneras se pueden repartir 9 premios diferentes entre 2 estudiantes

79.

¿ Cuántas estaciones de radio se pueden denominar con 3 letras diferentes del alfabeto? ¿ Cuántas se pueden denominar con 4 letras diferentes del alfabeto ocupando la w el primer lugar?

de

de manera que uno reciba 3 y

COMBINACIONES Hallar n en:

81.

Si 5' .P3 = 24' .C4, hallar n.

82.

Calcular

a) 7C7,

83.

¿Cuántas

rectas determinan,

84.

¿Cuántas

cuerdas

85.

Un alumno

86.

a) 4' .C2

=

SO.

.+2C3,

b) sC3,

b) .+2C.

e) 7C2,

d) 7CS'

a) 6 puntos,

determinan

=

siete puntos

tiene que escoger 5 preguntas

45,

e) .C12

e) 7C6,

b) n puntos,

1) sC

7,

sabiendo

g) sCs,

h) 100C9S'

que no hay tres colineales?

de entre 9. ¿De cuántas

se pueden

formar

maneras

dos monedas de entre las siguientes:

con las monedas

49.

33

SO.

a)

51.

72(

52.

12

53.

12(

54.

13

55.

17

56.

24

57.

9

puede hacerlo?

del Problema

I pta, 5 pts,

87.

¿Cuántas

88.

En una competición de tenis intervienen 6 parejas. Hallar el número de partidos que se han de jugar sabiendo que cada pareja tiene que enfrentarse con cada una de las otras a) dos veces, b) tres veces.

89.

de dinero

.Ca.

de una circunferencia?

¿Cuántas sumas diferentes de dinero se pueden formar tomando 25 pts, 50 pts y 100 pts? sumas diferentes

=

saLve

58.

12

59.

60

SO.

a)

81.

8

82.

a)

86?

¿Cuántos grupos diferentes de dos hombres y una mujer se pueden formar con a) 7 hombres y 4 mujeres, b) 5 hombres y 3 mujeres?

d) g)

90.

91.

92.

¿ De cuántas maneras se pueden elegir 5 colores de entre 8 diferentes, 3 de los cuales son el rojo, el azul y el verde, sabiendo que a) el azul y el verde se elijan siempre, b) no se elija el rojo e) el rojo y el azul se elijan siempre y no se elija el verde? ¿Cuántos grupos de investigación de 6 miembros se pueden formar con 5 flsicos, 4 químicos de manera que en cada grupo haya 3 fisicos, 2 químicos y 1 matemático? Con los datos del Problema 91, hallar el número de grupos de 6 miembros 2 miembros sean matemáticos, b) por lo menos 3 miembros sean fisicos.

y 3 matemáticos,

que se pueden elegir de forma que

a)

93.

¿Cuántas

palabras

de 2 vocales

y 3 consonantes

se pueden

formar

con

las letras

de a) stenographic .

b) facetious't

94.

¿De cuántas

95.

¿Cuántos nos 3'1

maneras

se puede colorear

un cuadro

con 7 colores diferentes?

grupos se pueden formar con 8 mujeres sabiendo

que en cada uno de ellos debe haber por lo me-


83. 84.

a)

21

85.

12t

86.

10


ue no

241

96.

Una caja rojas, 6 blancas blancas y 4 azules. pueden elegir tarjetas de Una caja contiene contiene 7 tarjetas tarjetas rojas, azules. ¿De ¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden elegir tres tres tarjetas forma ninguna sea roja? forma que que a) a) todas todas sean sean rojas, rojas, b) b) ninguna roja?

. 97.

En un campeonato partidos de En campeonato de tenis, tenis, ¿cuántos ¿cuántos partidos de dobles dobles se pueden organizar con con 13 jugadores sabiendo que que pueden organizar jugadores sabiendo pueden fonnar parejas entre cuatro cuatro de ellos, ellos, A, B, B, C y D, solo solo pueden formar parejas entre sí? sí?

98.

¿Cuántos grupos grupos de 3 demócratas demócratas y 2 republicanos formar con con 8 republicanos demócratas? republicanos se pueden pueden fonnar republicanos y 10 demócratas? ¿Cuántos

99. 99.

En una uno de una sola uno de restantes, se una reunión, reunión, después después de de que que cada cada uno de los los asistentes asistentes saludó saludó una sola vez a cada cada uno de los los restantes, realizaron 45 número de las personas realizaron 45 salutaciones. salutaciones. Hallar Hallar el número personas que que componían componían la reunión reunión. .

100. 100.

Hallar el número de a) a) combinaciones combinaciones b) variaciones de 4 en 4 que que se pueden formar con con las las letras letras Hallar número de y b) variaciones de pueden fonnar de la palabra palabra T ENNESSEE. TENNESSEE.

y 0-

SOLUCION ES DE DE LOS LOS PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS SOLUCIONES 49. 49.

3360, 840, 840, 120, 12 3360,

60. 504 60.

SO.

a) a) 4, 4,

61. 61.

51.

720

52. 53.

10

62. a) a) 12, b) 12 62.

73.

216

12

63. 24 63.

74.

12144 12144

120

64.

120

75. 560 75.

54.

1320 1320

65. 65.

648

76.

144

55.

1728 1728

66. 36

77.

1260 1260

24

67. 67.

48

78.

168

79.

15600; 15600;

95. 95.

219

56.

pIS.

do

125

57. 9 57.

68.

a) 18, a)

90, 720 90,

1024 1024

58.

12

69.

59.

60

70.

80. SO.

a) 2, 7 a)

b) 8 e) 20

81. 88 81. 82.

om-

rde,

71. 72

72. 72.

b) 6

a)) a

d) d) 21 g g)) 56 56

b) b) 10

e) 21

e f)8 e)) 7 f) 8 h) 4950 4950 h)

84.

1) a) al 15 b) -2b)-221

85. 85.

126

86.

10

83. 83.

n(n n(n

87. 87.

31 31

88.

a) a) 30,

b) 192

b) 45

96. a) a) 35 35,, b) b) 120 96.

89.

a) 84, 84, a)

b) 30

97.

216

90.

a) a) 20, 20,

b) 21 21,, e) 10

91. 91.

180

98. 98. 99.

3360 3360 10

378,, b) 462 92. aa)) 378

93.

a) 40320, 40320, a)

94. 94.

127

13 800

a) 17, b) b) 163 100. a)

b) 44800 800

icos,

que

lúe,

me-


tr te

SUCE si

CAPITULO 25

Probabilidades

te

ESPEI dt

DEFINICION. Supongamos que un suceso se puede realizar de h maneras (casos favorables) y que no ocurre de/formas (casos no favorables), teniendo el conjunto de las h + /maneras (casos posibles) la misma posibilidad de producirse. La probabilidad de que este suceso ocurra es p d h : /

= ~,

y la de que no ocurra es q

=

h~ /

= ~, siendo

n

=

h

+f

te

INTEl q te:

Se deduce, pues, p + q = 1, p = 1 - q y q = 1 - p. Las posibilidades a favor de la ocurrencia del suceso son hff, y las posibilidades en conue ftt«. Llamando p a la probabilidad de que se produzca un suceso, las posibilidades en favor de que ocurra son rt«. o bien, p/(l - p), y las posibilidades en contra, qlp, o bien, 1 - pjq. SUCESOS INDEPENDIENTES. Dos o más sucesos son independientes si la realización, o no realización, de uno cualquiera de ellos no afecta a la probabilidad de que ocurran, o no, cualquiera de los restantes. Por ejemplo, si se lanza una moneda al aire cuatro veces y se obtiene cara en todas ellas, al lanzarla la quinta vez puede salir cara o cruz, con independencia del resultado de las pruebas anteriores. La probabilidad de que se produzcan dos o más sucesos independientes es igual al producto de las probabilidades que tienen cada uno de ellos.

l.

Por ejemplo, la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda la quinta y sexta vez, en las dos tiradas, es

1 1

2 (2)

=

De de

al

1

4. bl

SUCESOS DEPENDIENTES. Dos o más sucesos son dependientes cuando la realización, o no realización, de uno de ellos afecta a la probabilidad de que se produzca uno cualquiera de los restantes. Consideremos dos o más sucesos dependientes. Sea p¡ la probabilidad del primer suceso, P2 la probabilidad del segundo después de ocurrir el primero, P3 la probabilidad de que se produzca el tercero después de haberse presentado el primero y el segundo, etc.; la probabilidad de que se produzcan todos los sucesos, en el orden citado, es igual al producto p¡ . P2 . P3 ... Por ejemplo, una caja contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Si se extrae una bola al azar, la probabilidad de que sea negra es 3

!

2 = ~. Si esta bola no se vuelve a introducir en la caja y se ex242


2.

Un: de I blat

al el

243

PROBABILIDADES

trae una segunda,

la probabilidad

to, la probabilidad

de que esta última sea también

de que ambas

sean negras es

2 l

negra es 3 ~ l

= ~.

Por tan-

l

5(4)

=

\O.

SUCESOS QUE SE EXCLUYEN MUTUAMENTE. Dos o más sucesos se excluyen si la realización de uno de ellos implica la no realización de los otros.

mutuamente

La probabilidad de que se produzca uno de entre dos o más sucesos que se excluyen mutuamente es la suma de las probabilidades de los mismos. ESPERANZA de dinero

Sea p la probabilidad es p . m.

MA TEMATICA.

Por ejemplo, si la probabilidad temática

de que una persona

reciba

una cantidad

m; el valor de su esperanza

i(1

es

de conseguir

un premio de 1 000 pts es 1/5, la esperanza

ma-

000 pts) = 200 pesetas.

INTENTOS REPETIDOS. Sea p la probabilidad de que se produzca un suceso en un intento y q = 1 - p la probabilidad contraria; la probabilidad de que suceda exactamente r veces en n intentos es nC,p'qn-,. (Véanse Problemas 22-23.) La probabilidad

que

de que un suceso se produzca

Esta expresión es la suma de los n - r + 1 primeros (Véanse Problemas 24-26.)

por /0 menos r veces en n intentos

es

términos del desarrollo

(p

del binomio

+

q)".

no iera

, al an-

eto

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

, en

De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules se extrae una bola al azar. Hallar la probabilidad de que a) sea roja, b) no sea roja, e) sea blanca, d) sea roja o azul. a)

p =

b)

p =

casos favorables casos posibles

1-3"

I

(3

(3 bolas rojas)

+

2

+

4 bolas)

=

2

=

3"

3 3

+

2

+

4

3

I

9

3

= - =-

2

e)

p =

9"

p

d)

3 + 4 7 p = -9- = 9"

no

de

2.

Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probabilidad p de que a) las dos sean blancas, b) las dos sean negras, e) una sea blanca y otra negra.

e)

Probabilidad

de que la primera

bola sea blanca

y la segunda

. .. Probabilidad

de que la pnmera

bola sea negra y la segunda

45 5 negra = -(-) = -. 68 12

blanca


2 3

1

= 6(g) = g'

244

PROBABILIDADES PROBABILIDADES

Estos luego probabilidad pedida pedida p Estos sucesos sucesos se excluyen excluyen mutuamente; mutuamente; luego la probabilidad Otro método. método. p Otro

3.

= 1 1 =

5

1

13 24 .

"8 == == 12 12 + "8

a)

I 13 55 ----=4

24

24

b)

Hallar la probabilidad probabilidad de obtener obtener 8 puntos puntos tirando tirando 2 dados dados al aire una sola Hallar aire una sola vez vez sabiendo sabiendo que que las las caras caras de de éstos éstos van van numerados del 1 I al 6. numerados Cada una una de las caras caras de un un dado dado se puede puede asociar asociar con Cada con una una cualquiera cualquiera del del otro; otro ; luego luego el total total de de casos casos poposibles es 6' 6' 6 == 36. 36. sibles

d)

Hay 5 posibilidades posibilidades de obtener obtener 8 puntos: puntos: 2,6; 2,6; 3,5 3,5;; 4,4; Hay 4,4 ; 5,3; 5,3; 6,2. 6,2.

Por es Por tanto, tanto, la probabilidad probabilidad

4.

= =

casos favorables favorables casos 'b 'bl casos pOSI post les es casos

5 36

probabilidad no obtener obtener un un La probabilidad de no

una tirada tirada es 1 Ien una - 1/6

probabilidad no obtener obtener un un La probabilidad de no

dos tiradas tiradas es (5/6)(5/6) en dos (5/6)(5/6)

= = 5/6. 5/6.

==

11/36. I1 - 25/36 25/ 36 = = 11 /36.

probabilidad que que tiene tiene A de ganar ganar a B una una partida partida de ajedrez 1/3. ¿Cuál La probabilidad ajedrez es igual igual a 1/3. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad que que tiene tiene A ganar por por lo menos menos una una de tres tres partidas? partidas? A de ganar probabilidad de A de perder perder una una partida partida es 1 - 1/ 1/33 La probabilidad tidas es (2/W (2/W == 8/27. 8/27. tidas

10.

a) = 19/27. = 19/27.

De una una baraja baraja de 52 cartas cartas se sacan sacan tres tres naipes naipes de uno uno en uno De uno y se vuelven vuelven a introducir introducir en en el mazo mazo después después de de cada cada extracción. Hallar Hallar la probabilidad probabilidad p de que que todos todos sean sean a) a) tréboles, tréboles, b) b) ases, ases, e) corazones corazones o tréboles. tréboles. extracción. b)

En una una baraja baraja de 52 cartas cartas hay hay 13 tréboles, tréboles, 4 ases ases y 26 entre entre corazones corazones y tréboles. tréboles. En

a)

7.

13

3

p = ("52) =

1

64

b) b)

case

4 3 1 p =!:s2) 197 = <52) = = 2 2197

e)

Las posibilidades posibilidades que que tiene tiene una una persona persona de que que le toque toque un Las un premio premio de de 50000 50000 pts pts son son de de 23 contra contra 2. 2. Hallar Hallar su su esperanza matemática. matemática. peranza 22 Esperanza = probabilidad probabilidad que le toque toque x valor valor del de que del premio premio = (---)(50000) (---)(50000) = 4000 4000 pts. pts. Esperanza 23 + 2

8.

De el a: e) r

= = 2/3, 2/3, Y Y la probabilidad probabilidad de de que que pierda pierda las las tres tres parpar-

Luego la probabilidad probabilidad que por por lo menos menos gane gane una 8/27 Luego de que una partida partida es 1I - 8/27

6.

f)

= = 25/36. 25/36.

Luego la probabilidad probabilidad sacar por por lo menos menos un un I1 en Luego de sacar en dos dos tiradas tiradas

S.

e)

Hallar la probabilidad probabilidad por lo menos menos 1 tirando tirando dos Hallar de obtener obtener por dos veces veces un un dado dado al aire. aire.

d)

En una una caja caja hay hay 9 bolas bolas numeradas numeradas del I al 9. Si se extraen extraen dos dos al azar, azar, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad probabilidad p de de obobEn tener a) a) dos dos números números impares, impares, b) b) dos números pares, pares, e) dos números e) un un número número par par y otro otro impar, impar, d) d) los los números números 2 y 5? 5? tener e)

Hay 5 números números impares impares y 4 números números pares. pares. Hay casos favorables favorables ,e2 5 casos sC casos posibles posibles = 9ge casos 18 C22 = 18

a) a)

pp =

b)

4e2 l 4C2 1 --- = =-p == ge2 9C2 6

. 5'4 36

5 5 9

1l

2e2 2C2

d) d)

p = =

eC

g9 22

= =

36 36 .. 11.

¿Cu cuei

9.

Una bolsa bolsa contiene contiene 6 bolas bolas rojas, rojas, 4 blancas blancas y 8 azules. azules. Si se extraen extraen 3 bolas bolas al azar. azar, hallar hallar la probabilidad probabilidad de de sasaUna car, a) a) tres tres rojas, rojas, b) b) tres tres azules. azules. e) e) dos dos blancas blancas y una una roja. roja. d) d) por por lo menos menos una una roja, roja, e) e ) una una de de cada cada color, color. f)f) una una car, roja, una una blanca blanca y una una azul, azul, en este este orden. orden. roja,


rey¡

245

PROBABILIDADES

a)

b)

d)

p=

casos favorables

6e3

casos posibles

lSe3

se3

7

lSe3

102

p=-=-

Probabilidad

5 204 . 3

4e2 • 6el

p=---=-

e)

68

lSe3

.

(4+S)e3

sea roja = ---

de que ninguna

Luego la probabilidad

e)

6·4'8 p = --

de que por lo menos

6'4·8

18' 17' 16/6

204

una sea roja = 1

55

149

204

204

17 o

lO.

= -

lSe3

4

= -----,----

lSe3

55

12e3

= --

lSe3

6·4·8 p=--= lSP3

6·4·8 18'17'1651

=-

2

De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. Determinar la probabilidad p de que a) sean todos ases, b) sean el as de tréboles, el de corazones y el de picas, en este orden, e) sean todos tréboles, d) sean todos del mismo palo, e) no haya dos del mismo palo. a)

Hay

52e3

formas de sacar 3 cartas del mazo de 52, y

4e3

de sacar 3 ases de entre los 4.

a Hay 52 V3 formas de sacar 3 naipes del mazo de 52, teniendo en cuenta el orden establecido, caso favorable. b)

Luego p = --

1

1

= c:c:--:c-:--:-::-

52V3

e)

Hay

[3e3

formas

52'51'50

7 132600

de sacar 3 tréboles

de entre

13e3

13. Luego p = --

e3

22

= -

425

52e3

Hay 4e3 = 4el = 4 formas de sacar 3 de los cuatro de cada uno de los 3 palos dados. Luego p

11.

a

.

850

Hay 4 palos cada uno formado por 13 naipes. Por tanto, hay 4 formas de que el naipe sea de uno de ellos, y 13e3 maneras de obtener 3 naipes de un palo dado. 4·13 Luego p = ---

e)

11

= -

52e3

d)

y solo existe un

4'13·13·13

169

= ----::---52e3

425

¿Cuál es la probabilidad cuenta el palo?

palos y 13 . 13 . 13 maneras

de que dos naipes, distintos y cualesquiera,

de seleccionar

un naipe

de una baraja de 52 estén juntos sin tener en

Consideremos, por ejemplo, la probabilidad de que un as y un rey estén juntos. En la baraja hay 4 ases y 4 reyes. Por tanto, un as se puede escoger de 4 formas y, una vez realizado, se puede elegir un rey de otras 4 ma-


246

PROBABILIDADES

neras. Luego, un as y después un rey se puede obtener de 4·4 = 16 maneras. Análogamente, un rey y luego un as se puede obtener de 16 maneras. Un as y un rey pueden estar juntos de 2' 16 = 32 maneras. Por cada una de las combinaciones (as, rey), el resto de los 50 naipes y la propia combinación se pueden permutar de 51' formas. El número de casos posibles es, pues, 32(51 !). Como el número total de posiciones de todos los naipes en la baraja es 52!, la probabilidad

12.

pedida

es 32(51 !) = ~ = ~ . 52! 52 13

El número total de papeletas de una rifa es 20. Sabiendo que hay 2 premios, hallar la probabilidad que tiene un individuo que adquiere 2 papeletas de que le toque a) los dos premios, b) ninguno de ellos, e) uno de los dos. a)

El número

de casos posibles


es

14.

respe

lOCl·

de que le toquen

. los dos premIOs es

= --

1

=-

1

190

lOCl

.

Otro método. La probabilidad de que le toque el primer premio es 2/20 = l/lO. Después de haber salido el primer premio (él tiene una papeleta y hay 19 papeletas entre las que debe salir el segundo) la probabilidad de que le toque el segundo premio es 1/9.

tres

IS. Luego la probabilidad b)

Hay 20 papeletas

de que le toquen

Las 1 inten

los dos premios

es ~(~) = ~. 10 19 190

La p más e) vi

de las cuales 18 no tienen premio. . de que no le toque premio


¡sCl es --

a)

1

b)

1

153

= -

190

lOCl

Otro método. La probabilidad de que no le toque el primer premio es 1 - 2/20 = 9/10. Si no le toca el primero (él tiene 2 papeletas) la probabilidad de que no le toque el segundo premio es 1 - 2/19 = 17/19. 9 17


de que no le toque premio

es

10(19)

153 = 190 e)

e)

Probabilidad

de que .le toque - probabilidad -

Otro méto d o.

153 190 -

uno de los dos premios de que no le toque premio - probabilidad

de que le toquen los dos premios

1 36 18 190 = 190 = 95

16.

nri 2 18 = -. 9 que le touue toque el primer premio, pero no el segundo, -(-) P robabili. id a d dee oue 20 19 95

.. 18 2 = -9 . Pro b a b·111id a d d e que no le toque el primer premio, pero sí el segundo, -(-) 20 19 95

..


13.

9

de que le toque uno de los dos es 95

9

+-

95

95

la probabilidad

1a pro b a biilidad . . 4 3 3 = -. 6 en el primer caso es -(-)(-) 76 5 35

para los dos casos es

= ~ +~ = ~. 35

35


b)

1

3 papeletas,

La probabilidad de que la primera sea par es (3/7), de que la segunda sea impar (4/6) Y de que la tercera sea .. 34 2 4 par (2/5): luego la probabilidad en el segundo caso es -(-)(-) = -. 76 5 35 Por tanto.

1

.

de que la primera sea impar es (4/7), de que la segunda sea par (3/6) y de que la tercera sea

. (3/5 ): en consecuencia,. Impar

a)

18 = -

Una caja contiene 7 papeletas numeradas del 1 al 7, ambos inclusive. Si se extraen, sucesivamente, determinar la probabilidad de que sean impar, par, impar o par, impar, par. La probabilidad

Para de B favor

7

17.

Una peset cincc

peset gund será


247

Otro método. Variaciones Variaciones de tomados de 3 en 3 = Otro método, de 7 elementos elementos tomados

un

7V3 7V3

= 7·6· 7·6· 5 S = 210.

Número de par, impar 4, 3 . 3 == 36. Número de ellas ellas de la forma forma impar, impar. par. impar = = 4· r-

Número de ellas par, impar, par = = 3.4.2 = = 24. Número ellas de la forma forma par. impar. par

os

un

36 + 24 60 2 Probabilidad pedida pedida = Probabilidad --- - - = = - . 210 210 7

14.

Las probabilidades probabilidades que tienen A, A, By By C de resolver un un mismo mismo problema problema son 4/ 5. 2/3 2/3 yY 3/ 7, respectivamente. respectivamente. Si Las que tienen de resolver son 4/S. 3/7. intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de que que se resuelva intentan hacerlo los tres, determinar probabilidad de resuelva el problema. problema. Las probabilidades probabilidades que tienen A, A, By By C de no no resolverlo resolverlo son 4/5 = = 1/5. 2/3 = = 1/3 YY I1 - 317 = 417 Las que tienen son I - 4/S l/S. I - 2/3 3/7 = 417.. respectivamente. respectivamente. .. 11 .. 1 1 4 La probabIlIdad de no no hacerlo hacerlo los tres tres es -(-JIprobabilidad de resuelvall entre La probabilidad -(-)(-). l. Luego Luego la probabilidad de que que lo resuelvan entre los 5S 3 7 101 1 1 4 4 101 tres tres es 1 - S(3)(7) S(3)(7) = = 1 - 105 lOS = = 105 lOS· .

lido de

15. 15.

probabilidad de persona viva viva 2S 25 años más es 3/7 y la probabilidad probabilidad de viva su esposa 25 años La probabilidad La de que que cierta cierta persona años más de que que viva esposa 2S años Hallar la probabilidad probabilidad de que, 25 años, vivan los viva por por lo menos menos uno uno de ellos. más es 4/S. 4/5. Hallar más que. dentro dentro de 2S años. a) a) vivan los dos, dos. h) h) viva ellos. e) viva viva solamente marido. solamente el marido. a) a)

34 12 .. . 34 La que vivan dos es --(-) ~.. La probabilidad probabilidad de de que vivan los dos (- ) == 3S 7 5S 35

b) b)

4 4 I 4 33 La que hayan los dos dos es (1 (1 - 7)(1 7)(1 -- S) = = 7(S) 7(S) = = 35' 35· La probabilidad probabilidad de que hayan muerto muerto los

s)

pri-

4

e)

La que viva 3/7 y la de de que que no esposa es II -- 4/S l/S. La probabilidad probabilidad de que viva el marido marido es 3/7 no viva viva su esposa 4/5 == 1/5.

.. . . 3 I 3 Luego que vIva viva solamente 7(S) = = 35 Luego la probabilidad probabIlIdad de que solamente el mando mando es 7(S)

mios

16.

Para ocupar cierta cierta vacante candidatos, A, son de 7 contra contra 5 S y las Para ocupar vacante se presentan presentan 3 candidatos, A, By By C. Las Las posibilidades posibilidades de A son de B de 1 contra contra 3. a) a) Hallar de que que A o B ocupen ocupen el puesto, ¿cuáles son son las posibilidades de Hallar la probabilidad probabilidad de puesto , b) ¿cuáles posibilidades a favor de de C? C? favor a) a)

Probabilidad de AA = 7 Probabilidad

7

+

5S =

1I 1 probabilidad de B = T+3 4' u:7 y probabilidad T+3 = 4" =

probabilidad de que puesto es Luego la probabilidad Luego que A o B ocupen ocupen el puesto

b) b)

17. 17.

a sea

31 31

35 = 35 .

Luego la probabilidad probabilidad de que que viva viva por por lo menos menos uno uno de ellos Luego ellos es 1 -

La C es 1 La probabilidad probabilidad de Ces

5S 6

u:7 + 4"4'1

5S

= = (; "6

1 "6 . Luego son de 1 contra contra 5. S. (; Luego las posibilidades posibilidades de C son

Una contiene 5 S monedas cinco pesetas, segunda bolsa contiene 1 moneda Una bolsa bolsa contiene monedas de una una peseta peseta y 2 de cinco pesetas, yy una una segunda bolsa contiene moneda de una una peseta cinco pesetas. saca una de ellas ellas al azar, azar, hallar que sea de peseta y 3 de cinco pesetas. Si se saca una moneda moneda de una una de hallar la probabilidad probabilidad de que cinco pesetas. cÍnco pesetas. La sacar la moneda (1/2) sacar de ella ella una cinco La probabilidad probabilidad de sacar moneda de la primera primera bolsa bolsa es (1 / 2) y la de sacar una moneda moneda de cinco pesetas (2/7); por será (1 (1/2)(2/7) sacar una pesetas es (2/7); por tanto. tanto, la probabilidad probabilidad será /2)(2/7) == 1/7. La probabilidad probabilidad de sacar una moneda moneda de la segunda bolsa (1/2) y la de sacar sacar de de ella ella una cinco pesetas (3;4); luego luego la probabilidad gunda bolsa es (1/2) una moneda moneda de cinco pesetas es (3;4); probabilidad será (1 (1/2)(3/4) 3/8. / 2)(3/4) == 3/8. será 29 I1 3 La 7+8 8= La probabilidad probabilidad pedida pedida es 7 = 56 .


248 18.

PROBABILIDADES PROBARI LI DADES

Una bolsa bolsa contiene contiene 2 bolas bolas blancas blancas y 3 negras. negras. Cuatro Cuatro personas. personas. A, B, C, D, en en este este orden, orden, sacan sacan una una sola sola bola bola Una que primero primero saque saque una una bola bola blanca blanca tiene tiene un un premio premio de de 1 000 000 pts. pts. Hallar Hallar las fuera de de la bolsa. bolsa. La que y la dejan dejan fuera cada persona. persona. esperanzas matemáticas matemáticas de de cada esperanzas

2

22.

Ha

2

La probabilidad probabilidad que que tiene tiene AA de de ganar ganar es :5 esperanza matemática matemática 5(1 :5(1 000 000 pts) pts) = = 400 400 pts, pts. La "5 y su esperanza

que

Cálculo La probabilidad probabilidad que que tiene tiene A de de no no acertar acertar es 1I - 2/5 2/5 = = 3/5. 3/5. Si A no no acierta, acierta , Cálculo de de la esperanza espera nza B: La bolsa contiene contiene 2 bolas bolas blancas blancas y 2 negras. negras. Entonces, Entonces, la probabilidad probabilidad que que tiene tiene B, si A falla, falla , es 2/4 2/4 = = 1/2. Luego Luego la bolsa = (3/5)(1/2) (3/5)(1 / 2) = = 3/10 3/ 10 Y su esperanza esperanza matemática matemática de de 300 300 pts, pts. probabilidad de de ganar la probabilidad ganar B es =

Cálculo de de la esperanza esperanza C: La La probabilidad probabilidad que que tiene tiene A de de fallar fallar es 3/5 3/ 5 y la correspondiente correspondiente de de B es Cálculo 1I - 1/2 = 1/2. = 1/ 2. Si A AY YB B fallan. fallan . la bolsa bolsa contiene contiene 2 bolas bolas blancas blancas y 1 bola bola negra. negra . Entonces, Entonces, la probabilidad probabilidad de de C, C, 3 1 2 1 •_ si A y B fallan. 2/3. 5(2)(:3) = fallan . es 2/ 3. Luego Luego la probabilidad probabilidad de de ganar ganar C es :5(2)(:3) = 5 y su esperanza esperanza matemática matemática 23.

1 1 5(1 000 000 pts) pts) = = 200 pts. pts.

Hal

solamente quedan Si A, A, By By C fallan, fallan, solamente quedan en en la bolsa bolsa bolas bolas blancas blancas yy D acertará acertará siempre. siempre. Luego Luego la probabilidad probabilidad 3311 1 1 .. lI 1 .. de 10 y su esperanza 10(1000 pts) ganar D D es = = 5(2)(:3)(1) 5(2)(:3)(1) = = 10 esperanza rnatematica matematlca 10(1000 pts) = = 100 pts. pts. de ganar

Comprobación. Comprobación.

400 pts pts 400

+

pts 300 pts

+

200 pts pts 200

+

2 100 pts pts = = 1000 pts y 5 1000 pts

3

obu

1

1

+ 10 = 10 + 5 + 10 10 =

dos

l. 1.

la ¡ 19. 19.

Once Once libros, libros, de de los cuales cuales 5 son son de de ingeniería, ingeniería, 4 de de matemáticas matemáticas y 2 de de química, química, se colocan colocan al azar azar en una una estanestantería. Hallar la probabilidad probabilidad p de de que que los libros libros de de cada cada materia materia estén estén todos todos juntos. juntos. tería. Hallar Cuando Cuando los los libros libros de de cada cada materia materia estén estén juntos juntos los de de ingeniería ingeniería se pueden pueden disponer disponer de de 5! maneras. maneras, los de de matemáticas matemáticas de de 41'., los de de química química de de 2! YY los tres tres grupos grupos de de 3! maneras maneras distintas. distintas.

p= p=

20.

casos casos favorables favorables casos casos posibles posibles

1 2! 3! 5!4 5!4' 3'

1

11 11'

1 155

----1

24.

Si 1 rrer

25.

Se 1 posi

Cinco Cinco bolas bolas rojas rojas y 4 blancas blancas se colocan colocan al azar azar en una una fila. Hallar Hallar la probabilidad probabilidad de de que que las las bolas bolas de de los extreextremos mos sean sean rojas. rojas.

Número de de formas formas en en que que se puedan puedan colocar colocar 5 bolas bolas rojas rojas y 4 blancas = Número blancas =

(5

+

4)

--:sT4! 5T4!

9 9'1

4' = = 126. = 5! 4!

(9 -- 2)! 2)' 7 (9 7 35. Número Número de de las las anteriores anteriores en en que que los los extremos extremos están están ocupados ocupados por por bolas bolas rojas rojas = = ---'-= - - = 35. 1 (5 - 2)!4! 3!4 2)!4! 3!4!

35 5 35 Por tanto. la probabilidad probabilidad pedida pedida es p = = 126 = = 18 Por tanto. 18 ..

21.

Una Una bolsa bolsa contiene contiene 6 monedas monedas de de cobre cobre y 1 de de plata; plata ; una una segunda segunda bolsa bolsa contiene contiene 4 monedas monedas de de cobre. cobre. Se sacan sacan 5 monedas monedas de de la primera primera y se introducen introducen en la segunda segunda y, a continuación, continuación. se sacan sacan 2 monedas monedas de de la segunda segunda y se introducen Hallar la probabilidad probabilidad de de que que la moneda moneda de de plata plata esté esté a) a) en en la segunda segunda bolsa, bolsa. b) b) en la introducen en en la primera. primera. Hallar primera primera bolsa. bolsa. Inicialmente, sacar de de ella ella 5 e introducirlas introducirlas en en la segunda. segunda. la proproInicialmente. la primera primera bolsa bo lsa contiene contiene 7 monedas. monedas. Al sacar babilidad babilidad de de que que la moneda moneda de de plata plata sea una una de las introducidas introducidas es 5/7 5;7 y la probabilidad probabilidad de de que que continúe continúe en la primera primera bolsa bolsa es 2/7. 2/7. . La bolsa contiene ahora 5 La segunda segunda bolsa contiene ahora

.

+

4 = = 9 monedas. monedas. Al final. final. después después de de que que 2 de de estas estas monedas monedas se hayan hayan

..

57

5

pasado ~(~) = ~ ', y la propasado a la primera pnmera bolsa. bolsa. la probabilidad probab,lIdad de de que que la moneda moneda de plata plata esté esté en en la segunda segunda es 7(9) = 9 pro-

.. . . .. .. 2 habilidad babllldad de de que que este este en la prImera pnmera es 7 .

52 52

+ -(-) - (-) 79 79

4 4. 9

.

5 9

4 9

= = -- (o bien bIen I - - = = -). - ).


tres tarru

249


22.

Hallar él.: 9 dados. Hallar la probabilidad probabilidad de sacar sacar dos dos «unos» «unos» al tirar tirar simultáneamente simultáneamente dados. 11 6 )2.)2. La probabilidatl de La probabilidad de que probabilidad que dos dos de los 9 dados dados den den lugar lugar a dos dos «unos» «unos» es ~(~) ~(~) == ((-6 probabilidad de 66 66 1 5 )7 = )7 Como difeque que los otros otros 7 dados dados no no den den lugar lugar a «unos» «unos» es (1 - _ _)7 = (_ (_)7 Como se pueden pueden formar formar 9C 9C22 pares pares dife66 66 1

2

5

rentes de obtener 1 par 2(6) (6) remes con con los 9 dados, dados, la probabilidad probabilidad obtener exactamente exactamente par de «unos» «unos» es 9C 9C2(6) ·· . Pro Pro ba b¡hdad ilidad

Aplicando la fórmula: fórmula: Aplicando

23.

7

78 125

= 279936' = 279936'

12 5 7 78 125 ) (--. (-) ) == ---. 6 6 279936 279936

= = nC,p'q"-' nC,p'q"-' == 9C 9C2(-) 2 (-

Hallar 3 veces. Hallar la probabilidad probabilidad de obtener obtener una una sola sola vez 9 puntos puntos con con dos dos dados dados tirándolos tirándolos simultáneamente simultáneamente veces. Un 9 se puede puede obtener obtener de 4 maneras: maneras: 3,6; 3,6; 4,5; 4,5; 5,4; 5,4; 6,3. En de obtener En una una tirada, tirada, la probabilidad probabilidad obtener 9 con con los dos dos dados dados es 1

8

9 == 9 9' '

obtener obtener 9 es 1I -

4

1

H H == 9

y la probabilidad de no no probabilidad de

La de obtener las otras otras La probabilidad probabilidad obtener un 9 en una una tirada tirada y de no no conseguirlo conseguirlo en las

1 8 dos dos no, no, dos es (9)(9)2 (9)(9)2 Como Como hay hay 3C¡ 3C¡ == 3 maneras maneras distintas distintas en las cuales cuales una una tirada tirada es un un 9 y las otras otras dos 1 8 2 C¡(9)(9) probabilidad conseguir una una sola puntos en tres tres tiradas tiradas es 3C ¡(9)(9) la probabilidad de conseguir sola vez 9 puntos

64

= 243' 243' =

Aplicando Aplicando la fórmula: fórmula :

24.

probabilidad media media que que tiene tiene un un alumno alumno que que comienza comienza sus sus estudios estudios de no no completar completar los los cuatro cuatro años años de Si la probabilidad de cacarrera es 1/3, hallar hallar la probabilidad probabilidad p de que que de 4 alumnos alumnos que que empiezan empiezan 3 de de ellos ellos adquieran adquieran el título. título. rrera

Aplicando Aplicando la fórmula: fórmula:

.

es decir, deClf,

25. n e

a

a

2

2

44

(3) +

C¡(3) C ¡(3)

4

p == 2 (n - r 33

1

16

32

+

1 == 4 - 3

+

primeros términos términos del desarrollo desarrollo 1) primeros de

2

1

14 (32 + 3) , 4

16

(3) = 81 + 81 = 27' n'

lanza una una moneda moneda al aire aire 6 veces. veces. Hallar Hallar la probabilidad probabilidad de obtener obtener por por lo menos menos tres tres caras. caras. ¿Cuáles ¿Cuáles son Se lanza son las las posibilidades de obtener obtener por por lo menos menos 3 caras? caras? posibilidades La probabilidad probabilidad de obtener obtener cara, cara, en cada cada tirada, tirada, es igual igual a la probabilidad probabilidad de obtener obtener cruz, cruz, esto esto es, es, 1/2. La La probabilidad probabilidad de de obtener obtener 3 caras caras en 6 tiradas tiradas es (1/2)3 La La probabilidad probabilidad de de que que no no salga salga cara cara en en las La las otras otras tres tiradas tiradas es (1/2)3 (1/2)3.. Como Como se pueden pueden formar formar 6C 3 grupos grupos de 3 con con las 6 tiradas, tiradas, la probabilidad probabilidad de obtener obtener exacexactres tamente 3 caras caras es tamente

n Análogamente, probabilidad obtener 4 caras caras Análogamente, probabilidad de obtener

= 6C~(I/2)6 6C~(I/2)6 = = 6C2(l/2)6, 6C2(1/2)6, =

probabilidad obtener 5 caras caras probabilidad de obtener

= 6C5(1/2)6 6C5(1/2)6 == 6C¡(1/2)6, 6C¡ (1/2)6, =

probabilidad obtener 6 caras caras probabilidad de obtener

= (1/2)6 =


250

PROBABILIDADES

41.

Se Ir¡

42.

Las posibilidades

a favor de obtener

Aplicando la fórmula:

p = 4(n - r 16 (2)

26.

+

por lo menos 3 caras es de 21 contra

+

+

1= 6 - 3

1 6C¡(2J

6

+

1

6C2(2)

1) primeros

6

+

1

6C3(2)

términos

6

=

11.

err

del desarrollo

(~

+

son:

2 niños,

3 niñas;

3 niños,

43.

Se se,

44.

Se m¡

45.

Se en

46.

¿C

47.

Se

~)6, esto es,

21

32

Hallar la probabilidad p de que de los 5 hijos de una familia haya por lo menos 2 niños y 1 niña. Se supone que la probabilidad de nacer niño o niña es 1/2. Los tres casos favorables

2 niñas;

4 niños,

DI bie qu

1 niña.

o

SOLVe


Hallar la probabilidad plo de 3.

de que al escoger al azar un dígito de entre 1.2, 3, ...

28.

Se lanza una moneda al aire 3 veces y sea H = cara y T = cruz. Hallar la probabilidad b) THH, e) HHH, en el orden que se indica. al aire. Hallar la probabilidad

Se lanzan tres monedas

30.

Hallar la probabilidad

de obtener

7 puntos

31.


de obtener

8 u 11 puntos

32.

Se lanza un dado al aire dos veces. Hallar la probabilidad de obtener un 4 o un 5 en la primera un 3 en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 1 en las dos tiradas?

33.

Se lanza una moneda

34.

Una bolsa contiene cinco bolas numeradas con los dígitos 1,2,3,4,5. bolas al azar, su suma sea mayor que 10.

al aire seis veces. Hallar

a) tres caras,

de que se obtenga a) HTH,

29.

lanzando,

de obtener

, 9, sea a) impar, b) par, e) múlti-

29.

a)

31.

71'

33.

63,

35.

a)

37.

20

39.

a)

41.

a)

una sola vez, dos dados al aire.

la probabilidad

de obtener

por lo menos


y un 2 o

una cara.

36.

De una baraja de 52 naipes se extraen 4. Hallar la probabilidad de que a) sean todos reyes, b) sean dos reyes y dos ases, e) todos sean del mismo palo, d) todos sean tréboles.

37.

Un hombre ganará 320 pts si lanzando 5 veces una moneda al aire consigue sacar HTHTH, o bien THTHT, siendo H = cara y T = cruz. Hallar su esperanza matemática.

38.

En una discusión ocurrida en una reunión a la que asistían veinte personas, fueron injuriadas tres de ellas. Entre los asistentes había tres periodistas. Hallar la probabilidad de que estos tres periodistas fueran las personas maltratadas.

39.

Entre 5 hombres y 4 mujeres se tiene que formar un grupo de tres miembros. Si la selección se realiza al azar, hallar la probabilidad de que a) las tres sean mujeres, b) dos sean hombres.

40.

Seis personas se sientan alrededor das ocupen lugares contiguos.


45.

47.

Una caja contiene 5 bolas rojas, 8 blancas y 4 negras. Se sacan tres bolas al azar y se pide, a) probabilidad de que las tres sean blancas, b) probabilidad de que dos sean negras y una roja, e) probabilidad de que sean una de cada color.


43.

de que al sacar tres

35.

de una mesa redonda.

a)

b) dos caras y una cruz.

una sola vez, dos dados al aire.

lanzando,

27.

de que dos personas

determina-

7 15 a)

99

121

251

PROBABILIDADES

a

41.

Se escogen al azar cuatro letras de la palabra M1SS1SSIPPI. tras sean «1», b) a lo sumo haya dos consonantes.

42.

Dos personas, A y B, lanzan alternativamente una moneda al aire. El primero que saque cara es el que gana. Sabiendo que cada uno no puede tirar más de cinco veces en cada juego, hallar la probabilidad de que la persona que lance en primer lugar sea la que gane la partida. ¿Cuáles son las posibilidades en contra de A si es él quien empieza a tirar?

43.

Se colocan al azar en una fila seis bolas rojas y 4 blancas. sean del mismo color.

44.

Se lanza 8 veces una moneda al aire. Hallar la probabilidad de que se obtengan menos 2 cruces, e) como máximo 5 caras, d) exactamente 3 cruces.

45.

Se hacen dos tiradas con dos dados a la vez. Determinar en una sola vez, b) 10 puntos en dos veces.

46.

¿Cuál es la probabilidad

47.

Se lanza una moneda al aire 10 veces. Hallar la probabilidad o mayor que 3 e igual o menor que 6.

SOLUCIONES

i-

o

DE LOS

27.

a)

5/9

b)

4/9

1/8

bl

3/8

29.

a)

31.

7/36

33.

63/64 1

35.

a)

37.

20 pts

39.

a)

41.

a)

-

45.

al

47.

1/21 29 330

b)

b) b)

e)

34

10/21 31 66

7

43.

es

170

PROBLEMAS e)

7

de obtener

1/3

4 17

17 162

b)

1 144

la probabilidad


la probabilidad

por lo menos 11 puntos

de que al tres de las le-

de que las dos bolas centrales al exactamente

4 caras, b) por lo

de obtener a) exactamente

11 puntos

en tres tiradas con dos dados?

de que el número de caras que se obtengan sea igual

PROPUESTOS 28.

a)

30.

1/6

32.

1/9,

34.

1/5

36.

a)

e)

1/8

1/8

25/36

1

b)

270725

38.

1/1 140 2/5

42.

32'

46.

b)

1/8

40.

44.

15

Determinar

21

a)

36

e)

270725

44 4165

21 : 11 35 128

b)

247 256

919 5832

99 128

ue a y

n-

re as r, a-


el

219 256

dl

7 32

d)

11 4165

CAPITULO CAPITULO 26 26

Determinantes Determinantes yy sistemas sistemas de de ecuaciones ecuaciones lineales lineales

DETERMINANTES DE DE SEGUNDO SEGUNDO ORDEN. ORDEN. El El símbolo símbolo DETERMINANTES

formado formado por por los los cuatro cuatro números números a¡, al' b¡, b l , a2' a2' bb22,, ordenados ordenados en en una una matriz matriz de de dos dos filas filas yy dos dos columcolumnas determinante de de segundo segundo orden orden oo determinante determinante de de orden orden dos. dos. Los Los cuatro cuatro números números nas representa representa un un determinante anteriores denominan elementos elementos de de la la matriz matriz oo del determinante. determinante. Por Por definición, el determinante determinante anteriores se denominan polinomio una matriz matriz de segundo segundo orden orden es el polinomio de una

Por Por ejemplo,

DETi

1_ f _~ 1= I-f _~ I

-1) = -4 = (2)(-2) (2)(-2) - (3)( (3)(-1) -4 + 3 = -1. -1. Los elementos elementos 2 y 3 cons-

tituyen primera fila y los --11 Y - 2 la segunda fila. elementos 2 y - 11forman tituyen la primera fila . Los elementos forman la primera primera columna y los elementos elementos 3 y - 2 la segunda columna. columna.

Un determinante determinante de primer primer orden es un solo número. número.

~ a

ECUACIONES LINEALES LINEALES con dos incógnitas se se pueden resolver emLOS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES el concepto concepto de determinante determinante de una matriz de segundo orden. orden. Dado Dado el sistema de ecuaciones pleando el a¡x alx

{{ aa2x 2x

b¡y == el e¡ + bly b2Y == e2 e2 + blJ

(1)) (1

aplicando aplicando uno uno de de los los métodos métodos del del Capítulo Capítulo 12, 12, se se obtiene obtiene la la solución solución

p

q

g

Estos valores valores de de xx ee yy se se pueden pueden expresar expresar en en función función de de determinantes determinantes de de segundo segundo orden orden como como Estos sigue: sigue:

IIala¡ yy ==

e¡ el

1:: ~:

I:~ ~~

aa2 2 bb22 252 252


1. (2) (2)

2.

DETERMINANTES Y SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES DETERMINANTES

253 253

regla de aplicación aplicación es: La regla 1. Los denominadores de (2) (2) son el el determinante determinantel:~ 1. l :~

t~II en elel que sus sus elementos elementos son los los

t~

coeficientes de x e y dispuestos como en las ecuaciones ecuaciones dadas (1). (l). Este determinante, que se se coeficientes suele representar por la letra griega griega L\, recibe recibe el nombre de determinante determinante de los coeficientes. coeficientes. suele 2. El El numerador correspondiente a cada una de las incógnitas se se forma a partir del del determinan2. coeficientes, L\, sustituyendo la columna de los coeficientes coeficientesde se desdeste de los coeficientes, de la incógnita que se peja, por la columna de términos independientes, independientes, de las ecuaciones ecuaciones (1), (1), pasados al segundo segundo peja, miembro. Ejemplo. Ejemplo.

Resolver el el sistema sistema Resolver

El denominador de x e y es es L\ El

Luego x Luego s

{2xx - +2y2y3y3y====--383 {2x

= II ii __~ = ~ 1= 2(2(-2) - 2) -

3(1) 3(1)

= --7.7. =

= I-~ I-~ -7-~ -~ 1= 8(8(-2) 3(-3) =1ey= = IIii-7 -~ 1= 2(2(-3) 8(1) = = 2.2. = - 2) - 3( - 3) = -~ 1= - 3) - 8(1) -7-7 -7 - 7

e El método de resolución resolución de sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales lineales mediante determinantes se llama El regla de Cramer. Cramer. regla

DETERMINANTES DE TERCER TERCER ORDEN. ORDEN. El símbolo DETERMINANTES sal al

bl

ccll

a22

b22 b33

cC22

a3

cc3

nueve números ordenados en una matriz de tres filas filas y tres columnas representa el el formado por nueve determinante de una una matriz matriz de tercer tercer orden orden. . Por definición, definición, el valor de este determinante viene viene dado determinante el polinomio por el es 1)

se llama desarrollo del del determinante. que se fácilmente cómo se se obtiene este desarrollo, se se propone la norma sisiCon objeto de recordar fácilmente guiente:: Se Se escriben, escriben, al lado del determinante, las dos primeras columnas del mismo mismo:: guiente

(26-9) (26-9)

o

+ (2)

+

+

1. Se Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de izquierda a derecha y de 1. signo más. arriba abajo, afectando a cada producto del signo 2. Se Se multiplican los elementos de las otras tres diagonales, en el el sentido de derecha a izquierizquier2. producto del signo signo menos. da y de arriba abajo, afectando a cada pmducto


254

DETERMINANTES

Y SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

3. La suma algebraica de los seis productos 1) Y 2) es el desarrollo del determinante.

Ejemplo.

3 6

-2 1

-2

-3

Desarrollar

2 - 21 Se escribe,

I

_6

2

(26-10)

+

+

El valor del determinante es (3)(1)(2) + (-2)(-1)(-2)

+

(2)(6)(-3) - (2)(1)(-2) - (3)(-1)(-3)

- (-2)(6)(2) = -15

REGLA DE CRAMER. Se aplica también en la resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y, z. alX + bly + elz + b2y + e2z a3x + b3y + e3z

¡

a2x

= di

(3)

= d2 = d3

En realidad, es una generalización de la regla de Cramer para los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolviendo el sistema de ecuaciones (3) por uno de los métodos del Capítulo 12, se obtiene

DETER

Esta solución se puede expresar por medio de determinantes como sigue:

1. Calc

x=

siendo ~ =

di

bl

el

al

d2 d3

b2

e2

a2

b3

e3

a3

~

I al I a2 I a3

bl

b2 b3

el e2 e3

I I I

Y=

d2 d2 d3 ~

el

al

bl

di

e2

a2

b2

e3

a3

b3

d2 d3

z=

~

a)

(4)

el determinante de los coeficientes de x, y, z en las ecuaciones (3)

b)

e)

d)

suponiendo que sea distinto de cero. e)

La regla de aplicación práctica es la siguiente: 1. Los denominadores de (4) son el determinante ~ cuyos elementos son los coeficientes de las incógnitas x, y, z dispuestos como en las ecuaciones dadas (3).


2. a)

DETERMINANTES


LINEALES

255

2. El numerador correspondiente a cada una de las incógnitas se forma a partir del determinante de los coeficientes, A, sustituyendo la columna de los coeficientes de la incógnita que se despeja por la columna de términos independientes, del sistema (3), pasados al segundo miembro.

x

Ejemplo.

Resolver el sistema

2 1 -1

x=

I

-11;

3x

+ 2y - z +y +z

= -3 = 4

x-y+2z=6

= 2 + 2 + 3 + 1 + 1 - 12= -3

-111

-3 2 4 1 6 -1 -3

1

2 =-6+12+4+6-3-16=-=2=1 -3

-3

-11

-3

: -3

;

= 8 - 3 - 18+ 4 - 6 + 18= ~ = -1 -3 -3

2 -3 1 4 - 1 6 = 6 + 8 + 9 + 3 + 4 - 36 = - 6 = 2 -3 -3 -3

PROBLEMAS RESUELTOS DETERMINANTES l.

Calcular las determinantes siguientes: a)

b)

2.

DE SEGUNDO ORDEN

li ¡I = I~ -11 =

(3)(4) - (2)(1)

=

12 - 2

-2

(3)(-2)

- (-1)(6)

e)

I~ _;I =

(0)(-5)

- (3)(2)

d)

I~

e)

IX+2

a)

2

=

y2 x1

3x _

1

=

=

=

10

-6

+

6

=

-6

O- 6

=

O

xy2 - x2y

2x+51

x _ 3

= (x

+

2)(x

-

3) -

(2x

+

5)(3x

-

1) = -5x2

-

14x -

1

Demostrar que si en un determinante de segundo orden se intercambian las filas por las colunsuas, no varía.


DETERMINANTES

256

que si los elementos

Demostrar

b)


de una fila (o columna)

tes de la otra, el determinante

LINEALES

son proporcionales

a los elementos

correspondien-

es nulo. b.

a)

a2b

\:;

Si se intercambian

las filas por las columnas.

~: \ = a.b¿ -

\~:

b)

!; I

Sea el determinante

El determinante

= a.b¿ -

i-

el nuevo determinante

es

a2b •.

cuyos

elementos

de una fila son proporcionales

a los de la otra

es 6.

\~~. ~bl\ 3.

= a.kb,

., R eso lver la ecuación

\2X-I x + 1

Como

2X2 - x -

ECUACIONES

LINEALES

4.

Resolver

los sistemas

4X a)

{

+

2X+I\ 4x + 2

=

=

1

(x -

1)(2x

+

1) = O se obtiene

e)

\i -;I

2y = 5

x

3u + 2v = 18 { -5uv= 12

u

t

=

-42

5 2

_-_;_:~_I = 7

v =1'---

-6,

126

1

= 2"

=

18

7

DETE

{5X - 2y = 14 2x + 3y = -3 .

-;\ I -;1 14

-11 -22

7

Se escribe como

-3

=

1

4--2 3 -4

7. 36

y=

19 '

1;

ea

14

-3 19

-43 19 a)

los sistemas:

3X - ~ 5

a)

Y

= 1,

-4

=\ '__:~__ -_i \ =

\

1- -1i = 1 ~

-22 -22

= \-4-2\=

1_; -il

5x - 2y - 14 = O 2x + 3}' + 3 = O

Despejar

1, -1/2.

b)

x=

5.

=

3x - 3 = O

siguientes:

3x - 4y = 1

{

x

-

DE DOS INCOGNITAS

3

b)

a)

O .

2x + 1\ = (2x _ 1)(4x + 2) _ (2x + I)(x + 1) = 6x2 4x + 2

2X - 1 \x + 1

R

- b Jca, = O.

+

+

I = 10

+

(1 )

Multiplicando

(\) por 10:

6x

(2)

Multiplicando

(2) por 6:

3x - 4y = -1.

Tv = 103.

10

~_"!:._~_

2)" - 5 = 3 3

2

Luego

7Y

103 \ -1

.

7\

-4

x= -----=--=9 1

6

3

7\

-405 -45

y = .

6 \ 3

103\ -1 -45

-315

= --

-45

-4


= 7.

b)

e)

DETERMINANTES


n-

LINEALES

Multiplicando

(1) por (x + I)(y + 1):

Multiplicando

(2) por (x -

7)(2y

-

257 2x - 3y = 1.

3): 3x +

4y

= 27.

Luego

6.

Resolver

los sistemas

de ecuaciones

siguientes:

~-~=~ a)

2

3

1

x

y

2

{ -+-=-

. S on ecuaciones

16

1 1/2 /

Luego

b)

x

!-'-+2~] 2x 5y 4 1 ---= 3y x

x

DETERMINANTES Calcular

se puede

3 1 32 1 -1 /

8/51 4/3 8/51 4/3

DE TERCER

los siguientes

1/6 1/2 21

1;

1 y

r

7/6 21

1 -18

x = 6, Y = 18.

o

-(-) + -(-) = 3 81 2x 5y 1 41 -(-)+-(-)= 1 x 3y

poner

1

1

Luego

7.

3 1 2

-6l 3 _ 7/2 _ ~ -~ 1- 21 - 6'

l'ineales en -1 y -1 x y

32 / 1 1 -1 1= 9/2 = ~ - = 18/5 18/5 4 Y

i

12/5 2 = 18/5 ="3'

o sea

3 x=iY=s

ORDEN

determinantes:

Repitiendo

las dos primeras

columnas:

~

(3)(4)(2)+ (-2)(5)(6) + (2)(1)(-1) - (2)(4)(6)- (3)(5)(-1) - (-2)(1)(2) = -67

b)

I-~

e) I ~ -1

2 -3 -1

-3/2 = 29 -3

3 -2 4

~ 1=-15

d)

lae b

e)

I

ba

e

el

b a

(x - 2)

-2 1

= a3 + b3 +

(y

+ 3) 3 -2

(z -

~

e

3 -

2)

I


3abe

= Ilx + 6y +

z -

6

4

258

DETERMINANTES

a) b)

Y SISTEMAS

ECUACIONES

LINEALES

Demostrar que si dos filas (6 dos columnas) de un determinante de tercer orden son proporcionales (elementos correspondientes), el valor del determinante es cero. Demostrar que si los elementos de una fila cualquiera (o columna) se multiplican por una constante y los productos obtenidos se suman a los elementos correspondientes de otra fila (o columna), el valor del determinante no varía. al

a)

DE

Tenemos

que demostrar

que

I

ka,

a,

bl kb, b,

meras filas. Para ello, basta con desarrollar

('1

kc, e,

I

11. ( a

=

O,

siendo proporcionales

los elementos

de las dos pri12.

el determinante. Tenemos

que demostrar

13.

que si k es una constante

a

e,

habiendo multiplicado cada elemento de la segunda fila del determinante dado por k y sumado a estos productos los elementos de la tercera fila. El teorema se demuestra desarrollando ambos determinantes y viendo que son iguales.

14. ECUACIONES

LINEALES

DE TRES

e

INCOGNITAS a

9.

Resolver

a)

los sistemas

r

de ecuaciones

siguientes:

X YZ + - =5 3x - 2y + 2z = - 3 x - 3y - 3z = -2

Se tiene

6=

I~

1 -2

-3

-1\ 2 = 42 -3

15.

16.

x=

5

1

-3

-2 -3

1 -2

-;1

-3

6

42

=42= 1,

y=

I~

5

-3 -2

-; I

84

-3

= 42 = 2,

6

z=

1

5

-2 -3

-3

I~

-2

6

H

Y D

U1

I =-=-1 -42

17.

R

42 a)

b)

X+2Z=7 3x + y = 5 { 2.1' - 3= = -5

X

Tendremos {

9 9 10.

1,

y

Las ecuaciones para hallar las intensidades

=

+ Oy + 2z = 7 + y + Oz = 5 + 2y - 3z = -

3x Ox

li j

I

i

~2 -3~ 1=

9

y

18.

O

a)

JI18

----:-6----'

de corriente

Luego 6 = 5

= <) =

2,

;1' ;2';' en un determinado

SOLU(

circuito eléctrico de tres mallas

U.

a)

13.

a)

b) e)

14.

a)

15. Te


17.

a)

18.

a)

DETERMINANTES

Y SISTEMAS

DE

ECUACIONES

LINEALES

259

n-

PROBLEMAS PROPUESTOS

os r-

11.

Calcular

a)

ri-

los determinantes

4

- 3 I 2 b)

I _ 1

siguientes:

1- 2 - 3

41 7

12

e]

O

d)

I

12x

a - b 1 /) - b

x

-

+

l 2

x + l 1 x - 2

Demostrar que si los eleme tos de una fila (o columna) de un determinante de segundo orden se multiplican un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

13.

Resolver

los sistemas

5X + 2y = 4 2x - y = 7

e)

edo 14.

I

3

+

3r - 5s = -6 4r+2s=5

b)

y;

/)

los determinantes

-2 3 1

Hallar

-4

el valor de k para que

16.

Demostrar un mismo

17.

Resolver a)

18.

+

I

3

3

e)

1

-k

-1 1 3

-~-2 I

= O?

;

-3

que si los elementos de una fila (o columna) de un determinante de tercer orden se multiplican número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. los sistemas

siguientes:

la incógnita

+ 2v - 3w = + w =5 + 2w = 8

U

b)

{

DE LOS

11.

a)

5

13.

a)

e)

x = 2, Y = -3 r = 1/2, s = 3/2 x= -2, y = -4

14.

a)

43

15.

Todos

17.

a)

x

=

-2,

18.

a)

i2

=

0,8

b)

19

b)

los valores Y

= b)

e)

indicada:

PROBLEMAS e)

-2

2X + 3y = -2 5y - 2z = 4 { 3z + 4x = -7

7

2u - v 3u - v

para i2

b)

3 -2 1

I

-21

-2

3X + y - 2z = 1 2x + 3y - z = 2 x - 2y + 2z = -10

SOLUCIONES

{

1=4

2-1

{

Despejar

5X - 4y = 16 2x + 3y = -10

d)

+ 6y - 7 = 2 x+y

5x

~ -~ -; I k

15.

+

{

siguientes:

JI

1 -1 3

¡

3x + 2y x+y

4 = 7

28 + 4x + 5y = O - 3x + 4y + 10 = O

e)

{

x+2_y-~=_3 7 2

Calcular

por

siguientes:

{

X;

las

- 3y 1 e) 1 a + b - y a

1 - 2x 4x

12.

a)

y

-1

4

4

O

para x

PROPUESTOS

d)

14xy

d)

X

e)

_a2

_

b2

f)

8/23, Y = - 28/23 x = 12, Y = 16 x = 5, Y = -2

d)

5x

e)

e)

l/x + 2/y + I/z = 1/2 { 4/x + 2/y - 3/z = 2/3 3/x - 4fy + 4/z = 1/3

b)

x2

/)

=

+

8y -

-

ax

g)

x = 12, Y = 15

h)

u = 2/3, v = 3/5

14z

de k. 1, z

=

-3

b)

u

=

1, v

=

-1,

w

=

2

e)

x=(


x

=

-4,

Y

=

2, z

=

3

por


do

Determinantes de orden nn Determinantes PROPI

INVERSION. En una disposición cualquiera cualquiera de números números en una fila existe una inversión inversión cuando INVERSION. cuando delante de otro otro más pequeño. pequeño. uno de ellos está delante número 4 está delante delante del 3, del 1, 2 ; el 3 Por ejemplo, en la disposición 4, 3, 1, 1, 5, 2, el número 1, Y del 2; delante del 2; por por tanto, tanto, hay 6 inversiones. está delante del 1 y del 2, y el 5 está delante Análogamente, si se trata trata de letras del alfabeto alfabeto en lugar de números, números, existe una inversión inversión cuanAnálogamente, anterior a ella en la ordenación ordenación alfabética. alfabética. Por ejemplo, ejemplo, delante de otra do una letra está delante otra que es anterior bdea, la letra letra b está delante delante de la a, la d está delante delante de las e y a y la e está delanen la disposición bdea, a ; por por tanto, tanto, hay 4 inversiones. te de la a; DETERMINANTES DE ORDEN ORDEN n. El símbolo DETERMINANTES al al a2 a3

bll el b22 e22 b33 e33

kll k22 k3 II

a. a. b; b.

e. e.

... . k. .. k.

formado por (llamados elementos) dispuestos filas y n columnas, formado por n22 números números (llamados dispuestos en n filas columnas, representa representa el determinante símbolo es una forma abreviada expresar el polinodeterminante de una una matriz matriz de orden orden n. Este símbolo abreviada de expresar mio constituido productos posibles, cada por la suma algebraica algebraica de todos todos los productos cada uno uno de n factores, constituido por de manera manera que: que :

1\

solamente un elemento de cada fila y uno solo de cada cada columna. columna. Habrá, Habrá, 1) En cada cada producto producto figura solamente por por tanto, tanto, n! n! productos. productos. 2) El signo de cada cada producto producto es positivo positivo o negativo, negativo, según que el número número de inversiones inversiones de los par o impar, impar, después de haber haber colocado colocado las letras en el orden orden en el que figuran subíndices sea par fila. en la primera primera fila. . La suma algebraica algebraica así obtenida obtenida se denomina denomina desarrollo desarrollo o valor valor del determinante. determinante. Cada Cada producproducto, con su signo, recibe el nombre término del desarrollo nombre de término desarrollo del determinante. determinante. Un determinante determinante de orden orden n se representa representa también también por por a ll all a21 21 a31 31

a12 a12

a22 a32 32

a l3 al3 a 23 a23 a33 33

al. al. a22• a3. a3.

Con esta notación, notación, cada elemento se caracteriza caracteriza por por dos subíndices, el primero primero indica la fila fila y el 260


v

DETERMINANTES DE ORDEN ORDEN n DETERMINANTES

261

segundo las que que pertenece pertenece o en donde donde se encuentra. Así, pues, pues, a2323 es el elemento segundo la columna columna a las encuentra. Así, elemento de la segunda columna; a32 correspondiente de la tercera tercera fila yy segunda columna. segunda fila y tercera tercera columna; segunda columna. 32 es el correspondiente La principal de un un determinante determinante está por los los elementos matriz situaLa diagonal diagonal principal está formada formada por elementos de la matriz situados une el primer primer elemento de la primera primera fila con con el último último de de la última última fila. dos sobre sobre la recta recta que que une elemento de

PROPIEDADES DE DETERMINANTES PROPIEDADES DE LOS LOS DETERMINANTES 1. Si se intercambian intercambian las 1. las filas por por las las columnas columnas en un un determinante, determinante, su valor valor no no se modifica. modifica. Por todo teorema teorema que que se demuestre demuestre para para las las filas, se verificará verificará también también para para Por consiguiente, consiguiente, todo las columnas, recíprocamente. De De aquí con la denominación denominación línea línea significacolumnas, yy recíprocamente. aquí en adelante, adelante, con significauna columna. columna. remos remos una una fila o una al

Ejemplo. Ejemplo.

=

bl

Ic 11.

l

todos los los elementos elementos de son nulos, determinante vale cero. Si todos de una una línea línea (fila o columna) columna) son nulos, el determinante vale cero.

Ejemplo. Ejemplo.

IlI.. IlI

permutan dos signo. . Si se permutan dos líneas líneas (filas o columnas), columnas), el determinante determinante cambia cambia de de signo

Ejemplo. Ejemplo.

IV. IV.

determinante tiene Si un determinante tiene dos dos líneas líneas (filas o columnas) columnas) iguales, iguales, su valor valor es cero. cero.

Ejemplo. Ejemplo.

V.

todos los elementos elementos de Si todos de una una línea línea (fila o columna) columna) de un un determinante determinante se multiplican multiplican por por un mismo mismo número número p, un p , el valor valor del del determinante determinante queda queda multiplicado multiplicado por por p. p.

Ejemplo. Ejemplo.

VI.

Si todos todos los elementos elementos de una columna) de un determinante determinante son son sum sumaa de dos dos una línea línea (fila o columna) más) términos, términos, el determinante determinante es igual suma de de dos dos (o más) (o más) igual a la suma más) determinantes. determinantes. al al

Ejemplo. Ejemplo.

II

al al

a a ,3

al' ' + al + al' a l' + a3' a3 '

b,l b h22 b ,3


262

DETERMINANTES

VII.

DE ORDEN n

Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de un determinante se suman con los elementos correspondientes de otra multiplicados por un número m, el valor del determinante no varía.

q

n

SI al

Ejemplo.

a2 a3

+ +

mb, mb¿ mb ;

+

b, b2 b3

e2

I I a2

e3

a3

el

b, b2 b3

al

=

el

e2

I

LA R e

e3

Estas propiedades se pueden demostrar en los casos particulares de los determinantes de segundo y tercer orden aplicando, simplemente, los desarrollos dados en el Capítulo 26. En los Problemas, se pueden ver las demostraciones de los casos generales. MENOR COMPLEMENTARIO de un elemento de un determinante de orden n es el determinante de orden n - 1 obtenido al suprimir la fila y la columna a las que pertenece el elemento en cuestión. Por ejemplo,

el menor

de b3 en el determinante

de cuarto

orden

L

se obtiene suprimiendo tercer orden

la fila y la columna

a las que pertenece b3, resultando

el determinante

de

R

(¡

S1

El menor complementario plo, el menor correspondiente

de un elemento se representa al elemento b3 se representa

por una letra mayúscula. por E3.

Por ejem-

s DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS obtiene en función de los menores complementarios como sigue:

DE UNA

LINEA.

Se

1)

Se elige una línea (fila o columna)

2)

Se multiplica cada elemento de la línea por su menor complementario precedido del signo más o menos, según que la suma de los números de la fila y columna a que pertenezca el elemento sea par o impar, respectivamente. El menor complementario de un elemento afectado de este signo se llama adjunto de dicho elemento.

3)

Se suman

algebraicamente

Por ejemplo,

desarrollemos

cualquiera.

los productos

S(

obtenidos

en 2). ECW

el determinante al

a2 a3 a4

bl b2 b3 b4

Ir

el e2 e3 e4

di d2 d3 d4

por los elementos de la tercera fila. Los menores complementarios de a3, b3, e3 Y d3 son A3' E3' C3 Y D3' respectivamente. El signo correspondiente al elemento a3 es +, ya que pertenece a la l.a columna y 3.a fila y 1 + 3 = 4 es un número par. Análogamente, los correspondientes a los elementos b3, e3 Y d3 son -, +, -, respectivamente. Por tanto, el valor del determinante es

y

UN S

2


263

DETERMINANTES DE ORDEN ORDEN n DETERMINANTES

La utiliza mucho mucho para para obtener una línea un determinante La propiedad propiedad VII VII se utiliza obtener ceros ceros en una línea de de un determinante cualcualquiera. junto con por los elementos de una una línea línea en de los los quiera. Esta Esta propiedad, propiedad, junto con el desarrollo desarrollo por elementos de en función función de valor de un determinante menores facílita menores complementarios, complementarios, facílita el cálculo cálculo del del valor de un determinante cualquiera cualquiera de de orden orden superior superior al tercero. tercero. LA para la resolución resolución de un un sistema lineales con inLA REGLA REGLA DE DE CRAMER CRAMER para sistema de n ecuaciones ecuaciones lineales con n incógnitas cógnitas es totalmente totalmente análoga análoga a la dada dada en el capítulo capítulo anterior anterior en los casos casos n = = 2 Yn = = 3. incógnitas, Sea Sea el sistema sistema de n ecuaciones ecuaciones lineales lineales con con n incógnitas, a¡¡x¡ a¡¡x¡ a21 21 xII

XI' X22, , X33, , . XI' .... . ,

+ a12x2 + al3x3 a13x3 + ... + al.x. al.x. + a22x2 + a23x3 + ... + a2.x. a 2.x.

x. , x.,

= = r ll = = r2 (1) (1)

Llamemos de los coeficientes de de Llamemos A al determinante determinante de los coeficientes all

all

a21 21

a12 a22 22

al3 al3

a2) an

XI' X22, , X X3, X., XI' .... . , X., 3, .

es decir, decir,

al. .. , a 2•

...

Representando por Al el determinante determinante A en el que que la columna columna k (que (que corresponde corresponde a los coeficiencoeficienRepresentando por A en incógnita Xt) Xt) se ha ha remplazado remplazado por por la la columna columna de de los los términos términos independientes independientes de de (1) papates de la incógnita sados al segundo segundo miembro, miembro, se tiene tiene sados siempre que que A siempre

XI XI

Si A

i= O,

Si A

i= O O

existe solución solución y ésta ésta es única. única. existe = O, el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones puede solución. = puede o no no tener tener solución.

Los sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones que carecen de solución solución se llaman incompatibles; en en caso caso contrario contrario Los que carecen llaman incompatibles; son compatibles. compatibles. Si A A == O O Y por de los determinantes determinantes Al, sisteson por lo menos menos uno uno de Al, A A22,, ..... . , A. A. i= O, el sistema es incompatible. incompatible. Si A sistema puede ser compatible. compatible. A = Al Al = A A22 = ...... = A., A., el sistema puede o no no ser ma Los sistemas sistemas que que tienen tienen un soluciones reciben de indeterminaindeterminaLos un número número infinito infinito de soluciones reciben el nombre nombre de dos. Si un un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones es indeterminado, O Y todos determinantes Al' indeterminado, A A == O todos los determinantes Al ' A A22, , A A33, , ..... . , dos. O. El recíproco, recíproco, sin sin embargo, embargo, no siempre es cierto. cierto. A. == O. no siempre ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS. '1'' '2 '2'' ...... ,, ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS . Si todos todos los términos términos independientes, independientes, '1 r.,de lasecuaciones (l)son sistema se llama llama homogéneo. este caso, caso, Al = A ... = A. O r., de las ecuaciones (1 )son nulos, nulos, el sistema homogéneo. En En este A22 = ... A. = O verifica: Y se verifica: Teorema. . La La condición condición necesaria suficiente para sistema de ecuaciones lineales lineales Teorema necesaria y suficiente para que que un un sistema de n ecuaciones homogéneas con con n incógnitas incógnitas tenga solución distinta distinta de de la trivial (todas las incógnitas homogéneas tenga solución trivial (todas incógnitas iguales iguales a cero) es que que el determinante determinante de de los coeficientes coeficientes sea nulo, decir, A = O. nulo, es decir, cero) UN SISTEMA SISTEMA DE DE m ECUACIONES ECUACIONES CON n INCOGNITAS solución. UN CON INCOGNITAS puede puede o no no tener tener solución.

> n, se puede puede obtener obtener el valor de las estos valores satisfacen 1) Si m > valor de de n de las incógnitas incógnitas dadas. dadas. Si estos valores satisfacen m-n ecuaciones restantes, sistema es compatible, compatible, y en caso caso contrario contrario es incompatible. a las m-n ecuaciones restantes, el sistema incompatible. < n, se pueden pueden determinar determinar m de las función de las n-m n-m restantes. 2) Si m < las incógnitas incógnitas en función de las restantes.


264

DETERMINANTES

DE ORDEN

11

PRO

PROBLEMAS RESUELTOS

5. 1

INVERSIONES l.

2.

Hallar el número

de inversiones

en los casos siguientes:

a)

3, 1, 2

3 precede a l y 2.

Hay 2 inversiones.

b)

4, 2, 3,

4 precede

e)

5, 1, 4, 3, 2

5 precede a 1, 4, 3, 2; 4 precede

d)

b, a, C

b precede

e)

b, a, e, d, C

b precede a a; e precede a d, c; d precede

a)

¿Cuál sería el número fabético?

b)

¿Cuál sería el número tural?

de inversiones

de las letras b¡dJc2a4

a)

Escribiremos

a4blc2d3•

La disposición

de los subíndices

b)

Escribiremos

b¡c2d3a4.

La disposición

de las letras bcda presenta

a 2, 3, 1; 2 precede al;

3 precede

a l.

a 3, 2; 3 precede

Hay 5 inversiones. a 2.

Hay 7 inversiones.

a a. Hay 1 inversión.

de inversiones

de los subíndices

a c.

de b¡d3c2a4

Hay 4 inversiones.

si las letras se colocaran

si los subíndices

4, 1, 2, 3 presenta

se colocaran

en orden al-

en orden

na-

6. I

3 inversiones.

3 inversiones. 7.

El desarrollo consta de términos de la forma abc con todas las permutaciones posibles de los subíndices, siendo mero de inversiones con respecto a los subíndices cuando se colocan las letras en orden alfabético que el de inversiones con respecto a las letras cuando los subíndices se colocan en orden natural.

3.

Desarrollar

el determinante

1:: :: ~:I a3

bJ

haciendo

uso de las inversiones. 8.

CJ

El desarrollo consta de términos de la forma abc con todas las permutaciones posibles de los subíndices, siendo el signo de cada producto positivo o negativo según que el número de inversiones de los subíndices sea par o impar, respectivamente. El desarrollo a¡b2cJ a¡b3c2 a2b¡ C3

4.

Determinar

consta

o

de 6 términos

inversiones, 1 inversión, 1 inversión,

signo signosigno-

los signos de los términos

que son:

+

a2b3c¡ a3b2c¡ a3b¡ c2

d¡a3c2b4

y a3c2d4b¡

a¡ a2 a3 a4

b, b2 b3 b¿

cI c2 e3 C4

del desarrollo

2 inversiones, 3 inversiones, 2 inversiones,

signo + signo signo +

del determinante 9.

d¡ d2 d3 d¿

El término d¡a3c2b4 escrito en la forma a3b4c2d¡ presenta 5 inversiones en los subíndices.

Su signo es -.

El término a3c2d4b¡ escrito en la forma a3blc2d4

Su signo es

presenta 2 inversiones en los subíndices.


+.

DETERMINANTES

PROPIEDADES 5.

Demostrar Caso J.

DE ORDEN

265

n

DE LOS DETERMINANTES la Propiedad

Ill. Si se permutan

dos líneas el determinante

cambia

de signo.

Las líneas son contiguas.

Si se intercambian dos líneas contiguas, también se intercambian dos subíndices en cada uno de los términos del desarrollo. El número de inversiones de los subíndices aumentará o disminuirá en una unidad. Por tanto, los términos cambian de signo y, en consecuencia, cambiará el signo del determinante. Caso 2.

Supongamos que entre las dos líneas que se van a permutar existen k líneas. Para pasar una de las líneas al lugar de la otra habrá que intercambiar dicha línea k veces con las contiguas hasta llegar a la inmediata anterior, una más para permutarla con ésta y, luego, habrá que efectuar k intercambios de la otra línea para llevarla hasta el lugar que ocupaba la primera. Esto significa un total de k + 1 + k = 2k + 1 intercambios. Como 2k + 1 es siempre un número impar, hay un número impar de cambios de signo y, por tanto, el determinante cambia de signo.

al-

na-

Las líneas no son contiguas.

6.

Demostrar

la Propiedad

IV: Si dos líneas son iguales el determinante

Sea D el valor del determinante. y, sin embargo, por la Propiedad

7. ndo ver-

Demostrar terminante

Si se permutan

es nulo.

las dos líneas iguales, el determinante continúa siendo el mismo = -D, es decir, D = O.

Hl, cambia de signo; por tanto, D

los elementos de una línea por un mismo número p, el valor del de-

la Propiedad V: Si se multiplican queda multiplicado por p.

Cada término del desarrollo contiene un solo elemento de la línea que se ha multiplicado por p y, por tanto, en cada término figurará el factor p. Al ser este factor común a todos los términos, el determinante queda multiplicado por p.

8. ndo irn-

Demostrar la Propiedad VI: Si cada elemento de una línea de un determinante nos, el determinante es igual a la suma de dos (o más) determinantes. En el caso de determinantes

de tercer orden,

tendremos

a,

+

a,'

b,

e,

a,

b,

e,

a2

+

a2'

b2

e2

a2

b2

e2

a3

+

a3'

b3

e3

a3

b3

e3

que demostrar

+

son suma de dos (o más) térmi-

que

a,'

b,

e,

a2'

b2

e2

a3'

b3

e3

- Cada término del desarrollo del determinante del primer miembro es igual a la suma de los términos correspondientes de los determinantes del segundo miembro, por ejemplo, (a2 + a2')b3e, = a2b3e, + a2'b3e,. Observamos, pues, que la propiedad se cumple en los determinantes de tercer orden. Este método de demostración se puede aplicar también al caso general.

9.

Demostrar la Propiedad VII: Si todos los elementos de una línea de un determinante se suman con los elementos correspondientes de otra multiplicados por un número m, el valor del determinante no varía. En el caso de un determinante

de tercer orden,

a,

l

a2 a3

+ mb ; + mb2

b, b2

+ mb, b,

tendremos

que demostrar

e, e2 e3


que

266

DETERMINANTES Según la Propiedad

Este último

10.

Demostrar

que

se puede escribir

2

2 4 6 8

5

-3 2

m

que es igual a cero,

= O.

13.

que es igual a cero, ya que la primera

VII, transformar

3

4

-5

7

columnas

son iguales.

-2

I ;

el determinante

-1 3

-2 ga nulos 10s elementos

de la segunda

y tercera

y el 2 de los elementos

1

2

y tercera

columna,

2 -2

-3

4

de la primera

1

2 5

(3)(2) ;

la Propiedad

IV.

7

1

Aplicando

según la Propiedad

1

-2 -5

El número 3 se puede sacar factor común de los elementos de la tercera columna, con lo cual,

11.

n

VI,

determinante

3 6 9 12

DE ORDEN

columnas

pertenecientes

!I

en otro de igual valor que ten-

1 , a la primera

fila.

14. Multiplicando por 2 los elementos da columna se obtiene,

de la primera

(2) (1) - 2 (2) (2) - 1 (2) (-2) + 3

1 2

-2

columna

!1= \ 1

Multiplicando los elementos de la primera columna rrespondientes de la tercera columna se obtiene.

\j El resultado

se podria

O 3 -1

haber

\j

(2) (1) - 2 (2) - I (2) (2)(-2)+3

Se han elegido los números

directamente, (-3) (-3) (-3)

=

de la segun-

o

; -2

\

3 -1

O 3 -1

1 2 -2

por - 3 y sumándoles

los co-

O -2 7

escribiendo

(1)+3\ (2)+ 4 (-2) + 1

2 y - 3 para obtener

los correspondientes

del nuevo determinante

(-3) (1)+3\ (- 3) (2) + 4 (-3) (-2) + 1

obtenido,

y sumándoles

=

\

1 2 -2

O 3 -1

-~

\

los ceros en los lugares deseados. DES! 15.

12.

Aplicando

la Propiedad

VII transformar

tenga tres ceros en la cuarta

el determinante

fila.


en otro de igual valor que

DETERMINANTES DETERMINANTES DE ORDEN ORDEN n

,

267 267

Multiplicando sombreada) por -3, -3, -4, -4, +2, Multiplicando cada elemento de la primera primera columna (la columna columna base es la sombreada) sumándoles, respectivamente, los correspondientes cuarta columnas, Y sumándoles, correspondientes de las segunda, tercera yy cuarta columnas, se obtiene

I1

(-3) (-3)

(3) + 6 (3)+6

~ . (-3) 1 ~"~ (-3) (-2)+ (-2) + 1

(-3) (-3) (-3) (-3)

IV.

(4) - 5 (4) (1) +-3 (1)

(2) (3) + (-2) + (2) (-2) (2) (4) + (2) (1) -

(-4) (3) + 2 (-4) (3) 2 (-4) (-2) - 2 (-4) (-2) 2 (-4) (4) + 1 1 (-4) (4) (-4) (1)+4 (-4) (1)+4

33 -2

3 2 4 2

4 1

-10 99 -3 -JO -2 6 -2 77 -17 -17 -15 -15 O O O O

12 12

O O

Obsérvese que es más conveniente elegir una línea base que contenga contenga al elemento l. l.

13. Obtener Obtener 4 ceros en una línea del determinante 13, determinante de quinto quinto orden tos

3

5

-2 -2

33

4626 2 4 234 2 3 4

:~;IJ.~J.f{~11Iffli~¡~lIllil~!fll :~;IJ.~J.f~\I{~It.~li~1¡I~.il~¡~.1 6 -3

2

4

2 2

55

3-2 3-2

2 2

3

Elegimos como línea base la fila sombreada sombreada y los ceros en la segunda columna. columna. Multiplicando Multiplicando los elemencorrespondientes de la pritos de esta fila base por - 5, - 3, 3, - 2 Ysumándoles, Y sumándoles, respectivamente, los elementos correspondientes mera, segunda, cuarta mera, cuarta yy quinta, quinta, se obtiene -17 -14

O O -11 O O -7

16 16 9 9

17 17 13 13

1i,¡rl~~l,n~tl¡_illl&~G_Ñ .tf@~~ltnf¡_!ltlii_.llí ten-

18 18 -6 -6

O O O O

11 11 -1 -1

-6 4

-2 7

3 4 4 2 3 3 2 -2 2 3 --2 -2 2 3 2 2 -3 -3 4 3

Obtener 3 ceros en una línea del determinante 14. Obtener determinante un-

4

-2

5

sin que se modifique su valor.

-2

Es conveniente Vil para para obtener obtener un elemento igual a 1l en una línea. Por ejemplo. mulconveniente utilizar la Propiedad Propiedad VIl tiplicando cada cada elemento de la columna columna 3, se obtiene columna 2 por - 1 Ysumándoles Y sumándoles los correspondientes correspondientes de la columna tiplicando 3

co-

4

2 -2 2 -3 -3 4 5

3 -2 4

-2

Tomando -2,2, sumándoles, respecTomando la tercera columna columna como base y multiplicando multiplicando sus elementos por 2, -2,2, sumándoles. respectivamente, los de la primera, cuarta columnas, columnas, se obtiene tivamente, primera, segunda y cuarta -1 -2 -1 88 -2 O O O O 1 -15 14 -15 6 -10 -10 19 19 -7 -7

-1 -1 O O

16 16 -16 -16

que es igual al determinante determinante dado.

DESARROLLO DE DETERMINANTES DESARROLLO DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS ELEMENTOS DE UNA LINEA

que

15. Escribir el menor complementario adjunto del elemento de la segunda fila fila y tercera columna complemen~ario y adjunto columna del de15. terminante terminante 2 -- 2 -2 11 -2 2 1

--11 -2 -2


DETERMINANTES

268 Suprimiendo la fila

y

DE ORDEN n

columna que contienen al elemento, el menor complementario es

18,

-2 -2 1 ~

1

Como el elemento pertenece a la segunda fila y tercera columna, y 2 + 3 asociado a él será menos. El adjunto es, pues,

=

5 es un número impar, el signo

-2 -2

-1 ~

1

16. Escribir los menores complementarios y adjuntos de los elementos de la cuarta fila del determinante 3 -2 2

1

1 5 3 -2

4 2 5 -3 -2 2 -4

1

Los elementos de la cuarta fila son - 3, -2, -4, 1.

Menor del elemento -3,=

Menor del elemento - 2

Menor del elemento -4

Menor del elemento J

I-! -1-~

= = =1

I I

3 2 1

3 2

4

5 -2 -2 1

5

1

3 2

-2 1

5

1

Adjunto = - Menor

2 -3 2

Adjunto

= + Menor

-ti

Adjunto

=-

-11

Adjunto

=

Menor

+ Menor

17. Desarrollar el determinante del Problema 16 por los elementos de la cuarta fila. Valor del determinante = suma de los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos

~ (-3)

¡-¡-: _~-ll ¡+ H¡ j -:1¡ ¡-1¡ -¡ -:1 l H¡ -¡ J ¡ (-2)

+

(-4)

(1)

Después de desarrollar cada uno de los determinantes de tercer orden, el resultado obtenido es - 53. El método de cálculo aquí indicado es largo. Se puede, sin embargo, simplificar mucho transformando previamente el determinante dado en otro equivalente que tenga ceros en una línea (fila o columna) aplicando la Propiedad VII, como se hace en el problema siguiente.


19.

DETERMINANTES

18.

DE ORDEN

Desarrollar el determinante del Problema 16 por los elementos otro de igual valor que tenga tres ceros en una línea.

269

n

de una línea, transformándole

previamente

en

2

Eligiendo

la columna

-3

base indicada.

sus elementos

por - 2. - 5. 3

1

o y sumándoles,

respectivamente,

a las correspondientes

de la primera,

7 -2 O 1

Desarrollando

por los elementos

de la segunda

+

(O)(su adjunto)

= Desarrollando

(l)(su

Hallar

a)

3 2

4

3

5 1 3

-2

1-

{

7 -7

-9

5

7 /-10

1 3

-9 -

-21

7

7

1 -10 -44

-

O \ -31

h)

1 -1 -3

37 - 0=-(1) 1 -28

5 1 3 2

-3

1

2 -1

-2

3 -4

2

3

-8

-3

9

+ -~

14 -2~

(O)(su adjunto)

-41 ~~

)

un determinante

en el Problema

16.

de tercer orden en función de deter-

2

-2

O O

¡I

+

Multiplicando los elementos de la base indicada por -2, 1, -3 Y sumándoles, respectivamente, los correspondientes de la segunda, tercera y cuarta filas, se obtiene

1

7 -10

1

(O)(su adjunto)

siguientes

4

-9 O

4

+

se puede desarrollar

el valor de los determinantes

1 -1 3 3 -3

fila se obtiene,

resulta el valor -53, que coincida con el obtenido

este determinante,

2

=

se obtiene

-5

6

adjunto)

(I)(su adjunto)

Obsérvese que por este método minantes de segundo orden. 19.

-2

tercera y cuarta columnas,

-4 O 17

14

O 5 -27

-9 1

preo la

multiplicando

2 •

4 2

{I+

-7

I

=~

-4

2

O -7

1 -3

5 O -3

-3

-2

-8

37 --281

}=

-85

Multiplicando los elementos de la columna base indicada por 3, 2, 1, -4, respectivamente, y sumándoles los correspondientes de la primera, tercera, cuarta y quinta columnas, se obtiene

1 -3 4 -1 1

5

Multiplicando los elementos de la base indicada por -7 y sumándoles los correspondientes de la primera y tercera columnas, se obtiene

•

-6 4 O 1 O

13 - II

O = 1 I1 9 :

¡

-

-8

-4

-6

5

5 -3

4 1 O

-7 -3

-8

13 - 11 11 9


l

=

-

-8 5

-4

-6

5

4

13 -11

fltI.liwllt\lill -3 -8 O 9

270

DETERMINANTES

DE ORD,:lN n

Multiplicando en el último determinante los elementos de la fila base indicada por 6, -4 Ysumándoles, respectivamente, los elementos de la primera y segunda filas, se obtiene -50 33 -7 -3

-22

17 -3 -8

79 -55 = -(1) 11 9

O O 1 O

-22

50

{ 1+

79 -5~

1 }=

17 -8

~;

-

\-SO -22 79\ 33 17 -55 ' %\"'" .".mI

22.

-.MI;¡lI

Multiplicando por 2 los elementos de la fila indicada del último determinante y sumándoles, respectivamente, los de la segunda fila, se obtiene -50

-22

~,:~.

..

79\

- ,Wi"" ~ ~,.H~

,,<,

\ -3

".

-8

9

Multiplicando los elementos de la fila indicada del último determinante por 22 y 8 Y sumándoles, respectivamente, los correspondientes de la primera y tercera filas, se obtiene O

544 27 1 213

735 - -371 -287

1

O

544

= -(1)

{ + 1 213

- 7351 } -287

-427 SIST

20. Descomponer en factores el determinante siguiente. Sacando del determinante los factores x e y de la primera y segunda columnas, respectivamente,

y

= xy x Xl

yl

Sumando los elementos de la tercera columna multiplicados por - 1 con los correspondientes de la primera y segunda columnas,

O

=XYIX~1

y yl

1

Xl -

x - 1

I

_

yl-

I

:I

1)\ x +1 1

_ 1)(y _

= xy(x -

1 1 1 1

y -

=xYxl_l = xy(x

23.

1)(y -

1 y

+

I

Sacando del determinante los factores 1) e (y - 1) de la primera y segunda columnas, respectivamente, (x -

11

24.

1)(y - x).

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. REGLA DE CRAMER

21. Resolver el sistema

2x+ yz+ w = -4 x + 2y + 2z - 3w = 6 3x - y2x + 3y +

1 1 -1 2 2 -3 -1 -1 2 4 3 1

~1=

-4 6 O -5

~3'=

2 1 -4 1 2 6 3 -1 O 2 3 -5

~=

z+2w=0 z+4w=-5

1 -3 2 4

=

86

~l

258

1 2 -1 3

-1 2 -1 1

1 2 -4 -1 2 -3 1 6 O -1 2 4 2 -5 1

= 3

2 =

2 1 3 2

~••=


1

3 2

1 -1 -4 2 2 6 -'-1 O -1 3 1 -5

1 -3 2 4

=

86

-172

25. 1 -86

DETERMINANTES

Luego

22.

= ~, ~ =

x

~2

1 ,

Y

=~ =

DE ORDEN n

~3

-2,

Z

= -¡; =

271

w=~4=_1

3,

~

Las intensidades, en amperios, i" i2, i3, i4, is, i6, de las corrie-i.es en un circuito de seis mallas, satisfacen las ecuaciones siguientes. Hallar el valor de i3. i, - 2i2 + i3 = 3 i2 + 3i4 - is = -5 t, + i2 + i3 - is = 1 2i2 + i3 - 2i4 - 2is = O i, + i3 + 2i4 + is = 3 1 O 1 O l

~3 =

SISTEMAS

y

23.

-2

3 1 l 2 O

O 3 O

-5 1 O 3

-2 2

~=

LINEALES

-2

1 O 1 1 1

1 1 2 O

COMPATIBLES

x - 3y + 2z = 4 2x + y - 3z = -2 4x - 5y + z = 5

el sistema

e,

Como

= 38,

1 O 1 O 1

1

DE ECUACIONES

Determinar

O -1 -1 -2

O 3 O -2 2

O -1 -1 -2

= 19, 1

E INCOMPATIBLES

es compatible.

por lo menos uno de los determinantes,

~"

~2'

~3

-+

O, el sistema es incompatible.

Esto se puede comprobar multiplicando la primera ecuación por 2 y sumándola obtiene 4x - 5y + z = 6 que es incompatible con la última ecuación.

s da

24.

Determinar

~ =

~2

si el sistema

I~

-2 -1 -1 8 5 4

= I~

a la segunda,

con que se

4x - 2y + 6z = 8 2x - y + 3z = 5 es compatible. 2x - y + 3z = 4

~,=I

~ 1=0

~ 1=0

~3 =

~

-2 -1 -1

~ 1= O

I~ ~I -2 -1 -1

= O

Con los resultados obtenidos hasta ahora, nada se puede decir sobre la compatíbilidad del sistema; sin embargo, observando el sistema con más detenimiento, se deduce que las dos últimas ecuaciones son incompatibles. Por tanto, el sistema es incompatible.

25.

Determinar

si el sistema

~ = ~, =

~2

2x+ y-2z=4 x - 2y + z 5x - 5y + z

= ~3 = O.

Nada

= - 2

es compatible.

= -2

se puede decir, por ahora,

sobre la compatibilidad


del sistema.

272

DETERMINANTES DE DE ORDEN 11 DETERMINANTES ORDEN

Despejando x e y en función en las dos primeras ecuaciones, ~(;: + 2), JiY == ~(= ~(= + 2). Despejando función de de z en dos primeras ecuaciones, x = = ~(;: 5 5 Estos valores, sustituidos en la tercera ecuación, la satisfacen. satisfacen. Si no fuera así, así, el sistema sistema sería sería incompatible. incompatible. Estos valores, sustituidos tercera ecuación, no fuera 29. Por los valores Por tanto. tanto. los valores x

3

5(z + = 5(;:

Y 2), Y

=

4 5(z

+

2). satisfacen satisfacen al sistema, sistema, con con lo que que existen existen infinitas infinitas so2),

valores a z: z. Por Por ejemplo, luciones, todas ellas luciones. obtenidas obtenidas todas ellas dando dando valores ejemplo. si z sultan x = = O, Y Y = = O, O. etc. etc. sultan

= 3, se

tiene tiene x

= 3, Y = 4; 4;

si z

=

-2, -2. re-

En este este caso, caso, las ecuaciones ecuaciones dadas dadas son dependientes. Se puede comprobar multiplicando segunda ecuación ecuación puede comprobar multiplicando la segunda En son dependientes. por sumándola a la primera; primera; se obtiene obtiene 5x 5x - 5y + z == -2, que que es la tercera ecuación. tercera ecuación. por 3 y sumándola

30.

31.

32. SISTEMAS DE DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS HOMOGENEAS LINEALES SISTEMAS

26.

Determinar sistema Determinar si el sistema

2x -- 3y 3y + 4z = O O x + y - 2z = O O tiene soluciones dislintas distintas de de la trivial tiene soluciones trivial x 3x + 2y 3z = = O O 3x 2y - 3z

-3 1I 2 Como ~ Como ~

f. +-

O Y ~l O ~1

-~-~ 1= 1= -3 -3

= ~2 ~2 = ~3 ~3 = O,

= y = ;:z = O. 33.

~1

-17 -17

= ~2 = ~3 = O

sistema tiene solamente la solución solución trivial. el sistema tiene solamente trivial. 34.

27. 27.

Resolver sistema Resolver el sistema

x + 3y 3y - 2z = = O O 2x 4y + z = = O O 2x - 4y x+ yz=O x+y-z=O

~l ~1

O = ~2 ~2 = ~3 ~3 = O

35.

Por existen soluciones soluciones distintas distintas de de la trivial. Por tanto, tanto, existen trivial. Para soluciones despejamos despejamos x e y, entre entre las dos dos últimas ecuaciones, en función función de de z (esto (esto no siemPara hallar hallar las soluciones últimas ecuaciones, no siempre obtiene x = = z/2, satisfacen la tercera ecuación, con con lo cual, cual, hay infiniz/2, y == z/2. z/2. Estos Estos valores valores satisfacen tercera ecuación. hay infinipre es posible) posible) y se obtiene tas soluciones que que resultan dar valores z, Por ejemplo, si z = 6, x = 3 e yy = 3; si zz = -4, x = -2 -2 e valores a z. Por ejemplo, tas soluciones resultan al dar y == -2; etc. etc.

28.

Hallar los valores los cuales cuales el sistema sistema Hallar los valores de k para para los

x + 2y 2y + kz kz 2z + ky ky + 2:

2x 2x 3x 3x

+

~

Las soluciones soluciones no = Las no triviales triviales se tienen tienen cuando cuando ~ =

Luego tl Luego ~

=-

3k22 3k

+

3k

+

6

O =O

de donde donde de

k

y

II ii =-

+ ;:z 22 k 1I

36.

= O = O = O O tiene soluciones distintas distintas de = tiene soluciones de la trivial. trivial.

= =

~

O O 37.

~ 1= 1= OO

1, 2. 1,


38.

DETERMINANTES

DE ORDEN

n

273


Hallar el número 4, 3, 1, 2

de inversiones que presentan cada una de las ordenaciones b) 3, 1, 5, 4, 2 e) e, a, d, b, e

a)

30.

Dada la ordenación d3, b4, el número de inversiones b) el número de inversiones

e2' a5, determinar. de los subíndices colocadas las letras en orden alfabético. de las letras colocados los subíndices en orden natural.

el>

a)

b, b2 b3 b¿

al

n

31.

En el desarrollo

32.

a)

Demostrar se modifica.

de

la Propiedad

Demostrar

b)

a2 a3 a4

siguientes:

1:

la Propiedad

d, d2 d3 d¿

el e2 e3 e4

Si se intercambian 11:

Si todos

las filas por las columnas

los elementos

de una

línea

en un determinante, son

nulos,

su valor no

el determinante

vale

cero.

33.

Demostrar

34.

Transformar

1 2

que el determinante

2 4 8

4 3

3 6

es igual a cero.

12 2 16 24 1

3 4

-2

4

1

1 3 4

-2 1

2

3 4

-2

2 -1

el determinante

3

-3

en otro

equivalente

que tenga

tres ceros en la ter-

cera columna. 4

-2 1 3 1 -3 -2 3 4 2 1 1 -3 4 -1 2 -1 2 4

-2 35.

Transformar

la cuarta

el determinante

Dado

el determinante

1-

a) b)

el

3

en otro equivalente

que tenga cuatro

ceros en

-1 2

columna.

-1 36.

1 -2

4 -3

2 -1 1

2

4

-2 2 -1

3

-2 2 -1

3

escribir los menores complementarios y los adjuntos de los elementos desarrollar el determinante por los elementos de una línea, hallar el valor del determinante.

de la tercera

fila.

1. 37.

Transformar

y a continuación

38.

Calcular

2 a)

-1

l

3 1 4

-2 2 3

hallar

2 -3 1 -1

su valor. desarrollándolo

3 2 2 -3

en otro equivalente

por los elementos

que tenga tres ceros en una fila

de dicha fila.

el valor de los determinantes:

-1

-3 l

-2 el determinante

1

3 2

2

-1 -2

-3

2 4 3

-3

h)

3 4 -2

1

-1

2 2 l

O -3

3

-1

1 -3 2 4

el

1 -2 3 -1

2 -1 1 2 -1 3 1 -4 -1 4 -3 2


3

2

-2 d) 1

O

2

-1

-1 3 3 4

-2

-3 4

-1

1 2

2 3

1 O O 1 I O

DETERMINANTES

274

DE ORDEN

n

1 39.

Descomponer

en factores

los determinantes:

a) \

~2

~2

a3

40.

Resolver

los sistemas:

2:::

42.

Determinar

a)

43.

el sistema

{

b)

!

y y2

Z

x3

y3

Z3

Z2

2x ~ y - 3z = - 5 3y + 42 + u: = 5 2= _ w - 4x = O w

+

3x - y = 4

~44+ 2i5 = O

-:-il -3i2

+ 2i4 + 3i5 = 2 11 + 2/3 - 15 = 9 2il + i2 = 5 incompatibles

FRA

o indeterminados

2X-V+==2

los sistemas:

+ 3y - 2:: = 2 3x - y - z = 1 2x + 6y - 42 = 3

X

+

e)

2)' - 4= = 1 { x - 4)' + 6= = 3 3x

b)

x

Resolver

{

si son compatibles.

2x - 3v + z = 1 + 2.1' - z = 1 ,3x - y + 2= = 6

f

e

h3

!

a)

;;: ~ ;;3_Hallar

b)

\

3

x - 2.1" + 2 - 3w = 4 2x + 3~'- z - 2w = -4 3x - 4)' + 2= - 4w = 12 2x - y - 3= + 2w = - 2

t, e i4 en ,,1 sistema

41.

~2

x x2

{

d)

{

2u + v - 3w = 1 u - 2v - w = 2 u + 3v - 2w = -2

FRA

3x - 2;- + 4= = O 2x + y - 3z = O x + 3y - 22 = O

!

2x + ky +

44.

2 + w = O I)y - 2= - w = O x - 2y + 42 + 2w = O 2x + y + Z + 2w = O

3x

Hallar los valores de k para los cuales el sistema tas de la trivial.

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS 29.

a)

30.

a)

31.

36.

5 8 Y

e)

+.

b)

5

b)

8

+

(k -

tiene soluciones

distirÍ-

PROPUESTOS

3

e)

respectivamente

-38

FRAI

37. 28 38.

a)

38

39.

a)

ahe(a -

40.

a)

x

41. il

=

=

-143

b)

b)(b -

2, Y

3. i4

=

=

-1.

z

=

a)

(x -

1

b)

=

3, u'

88

d)

b)

I)(y x

=

1)(z 1. Y

=

l)(x

-1,

Z

y)(}. -

=

2, w

2)(Z "" x)

=

O

-2

42.

a)

43.

solo tiene ·Ia solución

44.

k=-I

compatible

-108

e)

e)le -

b)

indeterminado trivial x

=

y

incompatible

e)

=z =

d)

O


incompatible

TEO]

~


Fracciones simples Fracciones

~~:~ de los polinomios polinomios de xx.. Es el cociente ~~:~

FRACCION POLINOMICA. POLINOMICA. FRACCION ·

Por ejemplo,

2 3X2 -

1

3x

polinómica. 3 7 2 4 es una fracción polinómica. x + x -

FRACCION PROPIA. PROPIA. Es aquella en la que el el grado grado del polinomio polinomio numerador numerador es inferior inferior al FRACCION correspondiente del polinomio polinomio denominador. denominador. correspondiente ·

Por ejemplo, ejemplo, xX22

2 2x - 3 4x 2x 4X2 + 1 5 + 4 Y x44 _ 3x 3 son fracciones propias + 5x propias + x+ x - x

Fracción impropia es aquella en la que el grado grado del polinomio Fracción impropia polinomio numerador numerador es igualo igualo superior superior denominador al correspondiente correspondiente del denominador 2 ·. 1 2XX 3 + 6x 6X2 - 9 f ' ,.. . .. l or eJemp ejemp raCCIOnImpropia Por oo,, x232 _ 3x 3 +- 29 es una fracci raCCIOn Impropia

P

x -

x

+

Efectuando EfectUando la división, toda toda fracción impropia impropia siempre es posible expresarla expresarla como suma de un polinomio propia. polinomio y una fracción propia. 2 P . l 22XX33 + 6x Por eJ'emplo, 6X2 -- 9 9 _ _ 2 2 or eJemp o, x2 X2 _ _ 3x 3x + + 22 -- xX

+ +

12 12 +

32x 32x -- 33 33 x2 X2 _ - 3x 3x + + 22

FRACCIONES FRACCIONES SIMPLES. SIMPLES. Toda Toda fracción propia propia se puede, puede, en general, expresar expresar como suma de otras otras fracciones fracciones (fracciones simples) cuyos polinomios polinomios denominadores denominadores sean de grado grado inferior inferior al del denominador denominador de la fracción dada. dada. ·

3x 3x - 5

Por ejemplo, eJemplo,.2 Por 2 x-x+ .~ - 3x

2= +2

3x 2 1 3x - 5 .' = = = --1 - -x- - 2) xxl)(x 2) x - 1 + --2 x - 2

(x: - --;-:-.,---1)(

x- (x

TEOREMA TEOREMA FUNDAMENTAL. FUNDAMENTAL. Para Para descomponer descomponer una una fracción propia propia en fracciones fracciones simples se procede procede de las formas formas siguientes, según segÚn los casos. casos. 1) 1)

Divisores Divisores lineales lineales distintos. distintos.

A cada cada divisor divisor simple del polinomio polinomio denominador denominador de la fracción fracción dada dada del tipo tipo ax ax

+ b, le co-

rresponde ' siendo A una fracción fracción simple de la forma forma ~b ~b A una una constante constante distinta distinta de cero. cero. rresponde una ax ax + x + 44 A B A B Ejemplo. Ejemplo. (x (x + 7)(2x 7)(2x - 1) = = xx + 77 + 2x 2x - 1 275


276

FRACCIONES SIMPLES SIMPLES FRACCIONES

2)

Divisores lineales lineales múltiples. múltiples. Divisores

cada' ' divisor múltiple múltiple del polinomio polinomio denominador denominador de la fracción dada A cada dada del tipo ax ax potencia pp,, le corresponden corresponden p fracciones simples de la forma vado a la potencia A Az2

Al Al

+

b ele-

1. •

Ap Ap

ax + b + (ax (ax + b)2 b)Z + .. ... . + (ax (ax + bY' ax

siendo Al' Al' A Az,2 , •.... . ,, Ap Ap constante constante y Ap Ap Ejemplos. Ejemplos.

=1= '"

o. O.

3x - 1 A 3x B (x + 4)2 4)Z = = x (x + 4)2 4)Z (x X + 4 + (x

5X2 - 2 A B e D E 3 2=3+2"+-+ 2+ -x +- 1 x (x + 1) x x x (x + 1)

3) 3)

Divisores cuadráticos euadrátieos distintos. distintos. Divisores

polinomio denominador denominador de la fracción dada A cada divisor simple del polinomio dada del tipo ax' ax 2 corresponde una fracción simple de la forma le corresponde Ax Ax

ax?2 ax

+

bx + e, + bx

+

B bx bx + e

constantes que no son nulas simultáneamente. simultáneamente. siendo A Y B constantes Nota. . Se supone supone que ax ax'2 + bx bx + e no se puede descomponer Nota descomponer en producto producto de dos factores enteros lineales reales de coeficientes enteros

Ejemplos. Ejemplos.

2.

X2Z -- 3 A Bx X Bx + e = -- - 2 + + --(x _ X2Z+4+ 4 (x-2)(x22)(x +4) 2 + 4) = x x-2 x A Bx Dx 2X3 A Bx + e' Dx + E E X3 - 6 x(2x2 2 + + 3x 3x + + 8 8)(x2 + X + 1) 1) = = + 2X2 x(2x )(x 2 + X+ + 2X2 ++ 3x 3x ++ 88 ++ -X;:'2 X2 ..:.+~x..:.+=-+ X+

xx

4)

Divisores cuadráticos euadrátieos múltiples. múltiples. Divisores

polinomio denominador denominador de la fracción dada A cada divisor del polinomio dada del tipo ax? ax 2 potencia pp,, le corresponden corresponden p fracciones simples de la forma do a la potencia Alx Alx + BI BI ax ax' 2 + bx bx + e

+ AA2x2 x + BB22 + (ax (axZ 2 + bx + C)2 e)2

+ bx bx + e eleva-

Apx+Bp Apx + Bp + ... . ., + (a.x bx + e)P c)P (a.xz2 + bx 3. -

(

Al' ' BII, , A Az,2 , B Bz, siendo Al 2• Ejemplo. Ejemplo.

.... . . ,,

constante y Ap, Ap, Bp no nulas simultáneamente. simultáneamente. AP, Bp constante

ex

xX22 -- 4x + 1 Axx + B Ex + F A ex + D D -:-(.\~.2¡--+-\:-:)T2 ),,-;(.~\z;--+-.-\-+---;-l) = -x-2-+-x-z-+-\ 1 = = (x (XZ2 + 1)2 \)2 + 77-+-.-\ -:(x1 .2-+ ---CI;-:)" 2)-"(x ~2¡-+-.x -+---:-I)= -+- .-x -+-\ -+- 1

Res


277 277

FRACCIONES SIMPLES FRACCIONES SIMPLES


+2

x x+2

.

Recomponer en en fracciones fracciones 2 22 Recomponer 2x 7x X -7x Tendremos Tendremos

+ 22 +

x

o

15

(2x (2x

+

x + 2

+

A A

B

(2x + 3)(x - 5) (2x+3)(x-5)

2x 2x+3+ 3

x-S x-S

------- - + ----- = -

3)(x 3)(x - 5)

- =

B(2x + 5) + + B(2x + 3)

A(x A(x

(2x + 3)(x - 5) (2x+3)(x-5)

(A (A + + 2B)x 2B)x

+-

3B 3B - 5A 5A

= ~--~----'------~---(2x + 3)(x - 5) (2x+3)(x-5)

Hay que que determinadas determinarlas constantes constantes A y B de de forma forma que que Hay (A + + 2B)x 2B)x + + 3B 3B - 5A 5A (A

xx+2 + 2

+

(2x (2x

(2x (2x

3)(x - 5) 3)(x

+

+

+

+

x + 22 = = (A (A + 2B)x 2B)x + 3B 3B -

o

sea una una identidad identidad

3)(x 3)(x - 5) 5A

Igualando los los coeficientes coeficientes de de las las potencias potencias de x, se obtiene obtiene 1 Igualando / 13 YY B == 7/13 7/ 13.. sistema resulta A == -1 sistema resulta -1/13 Luego

Luego

.\'+2 x + 2 2X2 _- 7x Tx 2X2

Otro método. Otro método.

2.

2X2 2X2

15

== AA + +

2B 2B YY 2

A(x - 5) + B(2x + x + + 2 = = A(x + B(2x + 3)

5 + + 2

Para hallar hallar A, A, hacemos hacemos x Para

= -3/2: -3/2:

-3/2 A(-3/ 2 - 5) + B(O), -3/2 + + 2 = A(-3/2 + B(O),

IOx - 3 2

5A. Resolviendo este este 5A. Resolviendo

-1/13 7/13 -1 7 -1 / 13 7/ 13 _,...,-7_-::+- = 13(2x-1+ 3) + 2x + + 3 + x-S 2x x - 5 = 13(2x + + l3(x l3(x - 5)

=

= 55::

+

-

= --

Para hallar hallar B, B, hacemos hacemos x Para

(x + + I)(x 1)(x - 9) (x

== 3B 3B

A

=

+

+

A(O) + B(IO B(IO + 3). 3), A(O)

7

=

13B, I3B.

B

7/13. = 7/13.

1/2 = -13A -13A/2,/ 2,

A A

/ 13. = -1 -1/13.

e

B

=--+--+-=--+ -- + -x + + 1 xx + + 3 xx -- 3

2X2 + + 10x - 3 = = A(x + B(x + I)(x + e(x + I)(x I)(x + + 3) 2X2 A(x2 2 -- 9) + B(x + I)(x - 3) + e(x +

Para - 1: A, hacemos hacemos x = = -1: Para hallar hallar A,

3.

11/8. 11 /8.

Para - 3: Para hallar hallar B, hacemos hacemos x = -3:

= -5/4. B = -5/4.

18 + + 30 - 3 = = e(3 e(3 + + 1)(3 + + 3). 3),

e ==

15/8.

2X2 + + 10x - 3 11 2X2 1\ 5 15 =--- -- -- --- -- + + --- -= (x+l)(x2-9)2 -9) 8(x+l) 4(x+3) 8(x-3) (x+l)(x 8(x+l) 4(x+3) 8(x-3)

2X2 + 7x + 23 A B 2X2 A B ------ - - - = =-- - + --- - - + --

(x -

A ~ A::

Para hacemos x == 3: Para hallar hallar C. hacemos Luego Luego

\

2 - 10 - 3 = = A(I A(I - 9), 9), 18 - 30 - 3 = B( - 3 + + 1)(-3 1)( - 3 - 3), = B(-3 3),

I)(x + + 3)2 I)(x

X -

1

+ 3)2 (x +

X X

e-

+ +

3

2X2 + + 7x 7.• + + 23 = = A (x + + 3)2 + B( .• 2X2 A (x W+ B(x

e(x 1) + + e(x

= A(x 2 + + 6x 6x + + 9) + + B(x = B(x A(x2

= A.\·2 + 6Ax 6Ax + + 9A 9A + + Bx = Ax 2 + Bx = (A (A + + e)x' = C)x

2

+ +

I)(x + 3) I)(x +

+ e(,,2 e( .• 2 + + 2x 1) +

+

+

B ex2 + 2Cx 2e.>: B + Cx'

= 2. 5. 2, B B = - 5,

e

3e 3C

(6A + + B + 2C).>: + 9A 9A - 88 -- :;C :;e (6A B + 2C)x +

= 2. 6A + + B + 2C 2e = 2, 6A B+ = 7 Y Y 9..1 9..1 - B 2X2 + 7x 2 5 2X2 7x -i-i- 23 = O. Luego ---- - --.. ...----Luego - - == --- - ---(x l)(x (x + 3)2 (x I)(x + 3)2 XX - II (x

Identificando + C e Identificando los coeficientes coeficientes de de potencias potencias x, x. AA + Resolviendo sistema. A Resolviendo el sistema, A

3)


-

3e 3C

= 23. 23.

FRACCIONES SIMPLES SIMPLES FRACCIONES

278 Otro Otro método.

4.

2X2 2X2

BC-' - [) + 7x + 23 = A(x A(x + 3)2 + B(.' 1) + C(x C(x - I)(x I)(x + 3).

Para hallar hallar A, hacemos hacemos x Para

= 1:

Para hallar hallar B, hacemos hacemos x Para

[8 B(-3 - 1), = -3: -3: 18 - 21 + 23 = B(-3

Para hallar hacemos x Para hallar C, e, hacemos

= O: O:

2-6x+2 xx2-6x+2 (x - 2)2 x22(x

2

+ 7 + 23 = A(1 + 3j2, 3)2,

A(x - 2)2 + Bx(x Bx(x - 2)2 + CX2 + 2 = A(x Cx? + DX2 (x - 2)

+

4) 4)

Bx(x22 - 4x + + Bx(x

x2-6x+21 1 3 x2-6x+21 = -- -- -= -2X2 2(x - 2)2 x22 (x - 2)2 2X2 X 2(x

xX22 - 6x

Otro Otro método.

Para hallarA, hallarA, hacemos hacemos x Para

Para Para x

2)

3

2D = 1, -4A + D = O, A - 4B + C e -- 2D -4A + 4B = -1, - 1, C e = -3/2, - 3/2, D = 1.

= =

Deseo 8. -

t- CX2 t ex2

+ DX2 (x - 2).

9. -

Para hallar hallar C, hacemos x = 2:4 = 0:2 0:2 = 4A,A 4A,A = 1/2. Para e, hacemos 2:4 - 12 + 2 = 4C,C 4e,e = -3/2. -3/2.

1- 6

= dos dos valores cualesquiera excepto excepto O y 2 (por (por ejemplo, ejemplo, x = 1, x = - 1). valores cualesquiera + 2 = A(I e + D(I A(1 - 2)2 + B(I B(1 - 2j2 + C D(I - 2)

y Y

Sea y = = x Sea

+

==

-1, D -1,

=

10.

I)B D == -2. -2. 1) B - D

= -1 -1: : 1 + 6 + 2 = A( -1 -1 - 2)2 - B( -1 -1 - 2)2 + C e + D( -1 -1 - 2) Y 2) 9B + 3D = -6. -6.

11. -

1.

SOLú 2; = y - 2. 2; tendremos tendremos x = 8. -

xX22 -- 4x - 15 (x

2) 2)

1 X - 2

La solución del del sistema sistema formado formado por La solución por 1) y 2), B

xX22 - 4x - 15

DX2 (x + CX2 Cx" + DX2

+-- -

+ 2 = A(x A(x - 2)2 + Bx(x Bx(x - 2j2 2)2

Para Para hallar hallar By By D, hacemos hacemos x Para 1: Para x == 1:

4) 4)

+ D)x3 + (A - 4B + C e -- 2D)x2 + (-4A (-4A + 4B)x 4B)x + 4A

Identificando potencias de de x, x, B Identificando los los coeficientes coeficientes de de iguales iguales potencias -6, Resolviendo el sistema 2, B - 6, 4A = 2. Resolviendo sistema se obtiene obtiene A = 1/ 1/2,

+

= -5. -5.

BC B e D D X (x - 2)2 X -- 2 X X

A

xX2

= (B =

(x (x

B

7.

2(3)2 - 5(-[) = 2(W 5( -1) + C(-1)(3), C( -1 )(3), C e = O. o.

23

= A(x22 ~ ~ 4x = A(x

S.

= 2.

=-+ - + - - - + -=-+-+---+-2 xX22 _ 6x

Luego Luego

A

+ 2)3

.\

y2 y2 -_ 8y - 3 y3

4(y - 2) - 15 (y - 2)2 - 4(y y3

9. -

.\

1

- Y-

8 3 y2 - y3 - X

3 (x '1- 2)3

8

+2

- (x

+ 2)2

-

10.

11.

2 -

.\

6.

7X2 Ax + B 7x2 - 25x + 6 Ax (x2 _ 2x _ 1)(3x _ 2) = xX22 - 2x - 1 (x2 2) = 7X2 7x2 - 25x

+

6

+

C e 3x - 2

B)(3x = (Ax (Ax + B)(3x = = (3Ax (3Ax22

= (3A =

+

2) 2)

+ C(x C(x22 - 2x -

3Bx 2Ax - 2B) 3Bx - 2Ax

7.>:2 7;(2 - 25x + 6 6. . x - 5 = 2 (x22 -_ 2x (x 2x _- 1)(3x 1)(3x -- 2) 2) = xx2 -- 2x 2x -- 11

e) C)

= 7, 3B - 2A - 2e e = 6. 2C = - 25, 25, - 2B - C = 1, B = - 5, C e = 4.

4

+ + 3x 3x--- 22


x

13.

x

CX2 2Cx - C ex2 - 2ex e

+ C)x e)x22 + (3B - 2A - 2e)x (-2B 2C)x + (-2B

Identificando los los coeficientes coeficientes de de iguales iguales potencias de x, 3A + C e Identificando potencias de La solución del sistema sistema formado formado por estas tres ecuaciones es A La solución por estas tres ecuaciones

L L uego uego

+

1)

12.

14. -

.\

15. x 16.

-

x

FRACCIONES

7.

4x2

28 .

-

+x2_6

X4

4x2

=

28

-

4x2

+

= (Ax3 = (A

Identificando

La solución

8

los coeficientes A + C = O,

+

8x2

D

x -2

8)(x2

+

+

Cx

+ ---2

x +3

28 = (Ax

-

+

Ax

= ---2

(x2+3)(x2-2)

2)

-

-

+

+

(Cx

+

(Cx3

+

2Ax - 28)

C~\"3 + (8

D)(x2

+

3)

+

DX2

+

de iguales potencias de x, 8 + D = 4. 3C - 2A = O.

+3D)

3Cx

D)x2 + (3C - 2A)x - 28

+

3D

- 28 + 3D = - 28

4x2 - 28 Luego --,-----=-x4 + x2 - 6

es A = O. 8 = 8. C = O. D = -4.

del sistema

279

SIMPLES

8

4

x2+3

-7=2

PROBLEMAS PROPUESTOS Descomponer 8.

9.

10. 11.

en fracciones

x+2 x

2

12.

7x + 12

-

+

12x

11

13.

x2+x-6 8 - X 2X2

+

14.

3x - 2

5x + 4

15.

x2 + 2x

SOLUCIONES

•

6 ----x - 4

9.

7 x _ 2

8

DE LOS

x x2 - 3x -

x2 x3

-

+

3x3 + IOx2 x2 (x

19.

+ +

27x + 27

20.

3)2

x

+

x2

-

6x

18.

x'

5x2 + 8x + 21 2 (x + x + 6)(x + 1)

21.

PR08LEMAS

PROPUESTOS 17.

1

3

2

5

-+-+-----X x2 X + 3 (x +

3)2

3

2

+

18.

2

2x x2

+

+

3

X

+

3

6

+-x +

1

3

+

x

+

11.

~

12.

2/3 x-6+x+3

13.

325 x+l+x-l+x+2

14.

I 2 - - -x x-2

15.

x

16.

3 -x - 2

2 1/3

19.

x2

2x -

1

+

2x

+

7x

+

2

+

2x + 2

2

+

3x

+

I

-2----

x

- x -

1

2

+-x+3

2

+

2

x _ 2 + x

+ ---

+

4

(x - 2)2

2

+ ---

5

(x - 2)'

+

5x'

4x2

+

7x + 3

(x2 + 2x + 2 )(x2 -

X -

3x x' -

1

9x - 6

5

+

2x _ 1 - x

2

17.

3x2-8x+9 (x ,.:.,.2)3

x2 - 4

3

x -

16.

18

IOx2 + 9x - 7 (x + 2)(x2 - 1)

5

3 10.

simples:

21. x2

2>: + + ---------.

I

(x2 + 2x + 2)2


7x' + 16x2 + 20x + 5 (x2 +. 2x + 2)2

1)

w CAPITULO CAPITULO 29

Series infinitas

SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto conjunto de números, números, u¡ U¡, , U2' U2, U3, U3, ... ••. dispuestos en un orden SUCESIONES. Una sucesión ,, dispuestos orden definido y que que guardan guardan una una determinada determinada ley de formación formación. . Cada Cada número número de la sucesión sucesión se llama definido llama término. Si el número número de términos términos es finito, finito, la sucesión sucesión se denomina denomina sucesión sucesión finita caso contérmino. finita y en caso contrario, sucesión sucesión infinita. infinita. trario, Por ejemplo, ejemplo, el conjunto conjunto de números, números, 2, 5, 8, .. ... . , 20, 20, es una una sucesión sucesión finita finita, , mientras mientras que Por que 1, 1/3, una sucesión infinita. sucesión infinita. 1/ 3, 1/5, 1/7, ...... , es una Mientras no no se advierta advierta lo contrario, contrario, en este este capítulo capítulo solo solo trataremos trataremos de las las sucesiones sucesiones infinitas. infinitas. Mientras TERMINO ENESIMO DE DE UNA UNA SUCESION. SUCESION. formación mediante mediante la cual cual se obTERMINO ENESIMO Es la ley de formación obtiene un término término cualquiera cualquiera de la sucesión sucesión en función función de otros otros anteriores. anteriores. Esta Esta ley, en general general, , viene tiene viene dada por por una una expresión expresión en la variable variable n de forma forma que que dándole. dándoleloslos sucesivos sucesivos valores valores 1, 2, 3, ... ..., dada obtienen el primero, primero, segundo, segundo, tercero, tercero, .. ... . , términos. términos. El término término enésimo enésimo es el término término general se obtienen general de la sucesión. sucesión. de Por ejemplo, ejemplo, si el término término enésimo enésimo de una una sucesión sucesión es Un Un Por

Yquinto quinto términos términos son, son, respectivamente, respectivamente, U¡ U¡

1

= n22 =

1

1

primero, segundo segundo + 1 ' el primero,

1

1

1

1

= = 26 . = -¡-r::¡:-¡ tT+1 == 2" ' U2 U2 = = 22 + +1= = "5 ' Us Us = = 52 52 + +1=

SERIE. una suma suma indicada, indicada, U¡ U¡ + + U2 U2 + + U3 U3 + números de una una sucesión. sucesión. Los Los númeSERIE. Es una + ... , de los números números U¡ U¡, , U2, U2, U3' U3' .•••.. ,, se denominan denominan primero, primero, segundo, segundo, tercero, tercero, ... ... , términos términos de la serie; serie; Un Un es el enésiros enésimo término término de la misma. misma. Si la serie serie consta consta de un un número número finito finito de términos, términos, se llama llama serie serie finita, finita, y, mo caso contrario, contrario. serie serie infinita. infinita. en caso Por ejemplo, ejemplo, si el término término enésimo enésimo de una una serie serie es Por

p

El símbolo símbolo

LL Un

Un

representa representa U¡ U¡

n=1 n=1

símbolo El símbolo

f

Un representa representa U¡ U¡ Un

+ .. + + up + uu~2 + + U3 U3 + + .... p

+ U2 U2 + + U3 U3 + + .... + ..

"=1 "=1

co
Por ejemplo, ejemplo, L Por "=1 "=1

1

1

1

1

--=--+--+--+ - = -- + - 22 - + - 22 - + + 1 122 + +1 2 + +1 3 + +1 n22 + 280


1 Un

= l' n.

la sene sene es

1

1

TI + 2! 2I +

TEC

SERIES

281

INFINITAS

DE UNA SUCESION. Un número L es el límite de una sucesion infinita, , si dado un número E, tan pequeño como se quiera, existe un número N tal que n para todos los enteros n > N.

LIMITE

U¡,

IU

U3, ...

. Io, d a daa laa sucesi ,. P or ejemp sucesion d e termino 9/4, ...

genera I

=

Un

2

2n + + -1 = ---, n

n

1

O

LI

U2,

<

E

sea, 3 , 5/2, 7/3,

que su límite L es igual a 2.

, se puede demostrar

Si existe el límite L de una sucesión

U¡,

U2, U3, •..

se escribe Iim

,

Un

= L Y se lee «el límite

n- 00

de Un cuando n tiende a infinito es igual a L. La expresión es cada vez mayor» o de «n crece indefinidamente». En la sucesión

de término

2n

general

+

1

Iim 2n

se escribe

u" = --n-'

IU

«n tiende a infinito» es sinónima

+

n

de «n

1 = 2.

LI

Si no existe un número L tal que < E para todo n > N, la sucesión carece de límin te. Si los sucesivos términos de una sucesión aumentan constantemente, no existe lim Un Y para indicarlo

se emplea

la notación

Iim

Un

= oo.

n-e co

Por ejemplo,

si

Un

=

2n, Iim 2n

= 00, ya que los sucesivos

términos,

2, 4, 6, 8, 10, ...

, de

n-ceo

la sucesión

aumentan

constantemente

sin ninguna

barrera.

Una forma más intuitiva, aunque menos rigurosa que la anterior, de expresar el concepto de límite, es decir, que el límite de la sucesión U¡, U2, U3, .•. es L, si los términos sucesivos se aproximan cada vez más al valor L. Esta manera de interpretar el límite sirve, con frecuencia, para «adivinar» el valor de L, si bien es cierto que para determinar correctamente el valor de un límite, hay que recurrir al concepto primario a pesar de que la demostración resulte a veces muy dificil. . I I ., P or ejernp o, en a sucesion

3 579 ('2' 3 ' 4 ' 5'

...

demostración,

véase el Problema

TEOREMAS

d

) se aproximan

DE LOS LIMITES.

,. e termino

genera

Iim (an

n-e co

2.

±

Iim (an

bn)

=

bn)

=

n-e co

3.

a;

Iim n-e co

TJí

Iim a;

n-eco

2n + 1 n +

= ---1'

Iim a; y Iim b., se verifica: "-'Xl

lim b; e -e co

Iim an

Iim

a-e co

a-e co

b

n

lim a" a-e co

Iim b;

que Iim b; =F O

siempre

e-e eo

n-e ec

Si Iim b;

= O

y Iim a; =F O, Iim ~ no existe e-e co bn a-e co

= O

y Iim an

a-e co

Si Iim b; a-ceo

a-e co

puede

7.

Si existen

±

Un

a 2, con lo que éste número

a-e co

1.

I

= O,

Iim a-e co

an

t; puede

o no existir


I ,. os terminas ser su límite.

. sucesivos Para

la

282 282

SERIES INFINITAS SERIES INFINITAS

4.

(an)P Iim (an)P

(lim = (lim

an)P, an)P,

p

= un un número número real real

CR

SUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS. sucesión está acotada si existe existe un un número número popoSUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS . Una Una sucesión está acotada sitivo M M,, independiente independiente que Iunl :~;: ; M para ... de n, tal tal que para n == 1, 2, 3, ... sitivo Por ejemplo, ejemplo, 3, 5/2, 5/2, 7/ 7/3, 9/4 es una sucesión acotada, acotada, ya que el valor absoluto de de cada cada térmiPor 3, 9/4 una sucesión ya que valor absoluto término excede a 3. La La sucesión sucesión 3/4, 3/4, - 4/ 4/5, 5/6, - 6/7, 6/7, 7/8 7/8 está está acotada, acotada, ya que el valor absoluto 5, 5/6, ya que valor absoluto no nunca nunca excede de cada cada término excede a 1. de término nunca nunca excede La sucesión sucesión 2, 4, 6, 8, ... ... , no está acotada. acotada. La no está U na sucesión es monótona monótona creciente creciente si Un Un + I¡ :?; Un' Y monótona monótona decreciente ~ Un' para na sucesión decreciente si Un + I¡ :;::; para Por ejemplo, ejemplo, la sucesión sucesión 1/2, 3/4,4/5, 3/4, 4/5, 5/6, 5/6, .. ... . , es monótona creciente y la sucesucen == 1, 2, 3, ..... . Por monótona creciente sión 3, 2, 1, O, - 1, - 2, 2, - 3, ..... . , es monótona monótona decreciente. decreciente. sión Toda sucesión sucesión monótona, monótona, creciente creciente o decreciente, decreciente, y acotada acotada tiene tiene límite. límite. Por Por ejemplo, ejemplo, las Toda sucesiones sucesiones 3/4, 4/5, 4/5, 5/6, 5/6, ... . . 1/2, 3/4,

y

1/4, 1/ 1/8, 1/16, 1/32, .. ... . 1/4, 8, 1/ 16, 1/32,

CR

están acotadas acotadas y son son monótonas creciente y decreciente, decreciente, respectivamente. Por tanto, ambas susuestán monótonas creciente respectivamente. Por tanto, ambas cesiones tienen límite. cesiones tienen límite.

Sin embargo, embargo, para que una sucesión tenga límite no que sea sea monótona creciente Sin para que una sucesión tenga límite no es necesario necesario que monótona creciente decreciente. Por Por ejemplo, ejemplo, la sucesión sucesión 2/ 2/3,5/4,3/4,6/5,4/5,7/6,5/6, está acotada acotada y no mo3, 5/4, 3/4, 6/ 5, 4/5, 7/6, 5/6, ..... . , está ho es moo decreciente. nótona creciente ni decreciente. decreciente. Su límite nótona creciente límite es 1.

SEF CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DIVERGENCIA DE SERIES SERIES INFINITAS INFINITAS CONVERGENCIA DE Sea Sn S; == U¡ .... + Un la suma suma de de los los n primeros serie U¡ Sea U I + U2 + U3 + .. primeros términos términos de la serie U I + U2 + Los términos sucesión SI' SI' S2, S3' S3, ... ..• llaman sumas serie Si + ...... Los términos de la sucesión S2, ,, se lI'aman sumas parciales parciales de la serie S; = = S es un finito, la serie serie UU¡I + U2 + U3 + ... ... es convergente convergente y S es la suma Iim Sn un número número finito, suma de la n-+

U3 n-+

(fJ (fJ

serie infinita. infinita. Una serie que que no sea convergente convergente se llama llama divergente. divergente. serie Una serie no sea

1 I ... . .' d · 2" · 11 dIe os dl·e1 alsene P·or or eJemp ejernp o,I a suma SUma dI os n pnmeros terrnmos sene "2 o, pnmeros termmos

1 111+1 + 21 233 + 244 + ... es I1a 22

suma de los n primeros geométrica de primer suma primeros términos términos de una una progresión progresión geométrica primer término término

1

2""2 y

razón razón

1

2""2;;

esta suma suma vale vale Sn S; = 1 - }.. Como lim (1 (1 - }.) serie es convergente convergente y su sumaS = 1. esta ~. Como ~) = 1, la serie a-e co n- oc.

serie 1 - 1 + 1 - 1 + .. .... , la suma suma de los los n primeros O ó 1 según según que que el En la serie primeros términos términos es O número dee términos que se tomen sea par impar. Por Por tanto, tanto, no existe lim lim Sn S; y la serie serie es didinúmero d· términos que tomen sea par o impar. no existe n- ce: vergente. nvergente. ó

serie es convergente convergente el límite límite de su término general cuando cuando n -+ 00 es cero. cero. Sin Sin embarembarSi una una serie término general go, si el límite límite del término general de de una serie, cuando cuando n -+ 00 00,, es igual igual a cero, cero, la serie serie puede go, término general una serie, puede o no no ser convergente. convergente. Una serie es divergente divergente si el límite límite de su término general cuando cuando n -+ 00 es distérmino general ser Una serie tinto de cero cero.. tinto


COI

SERIES INFINITAS SERIES INFINITAS

283

CRITERIOS DE COMPARACION PARA CONVERGENCIA de series series de CRITERIOS DE COMPARACION PARA LA LA CONVERGENCIA de términos términos popositivos. sitivos. Si una serie de ellos, a partir todos los siguienuna serie de términos términos positivos positivos es tal tal que que todos todos ellos, partir de de uno uno y todos los siguientes, son menores o iguales los correspondientes de otra tes, son menores iguales que que los correspondientes de otra serie serie convergente convergente conocida, conocida, la serie serie dada convergente. dada es convergente. siguientes, de serie dada son Si a partir partir de de un un término, término, y todos todos los los siguientes, de una una serie dada de de términos términos positivos positivos son mayores que los correspondientes de serie divergente conocida, la serie serie dada mayores o iguales iguales que los correspondientes de una una serie divergente conocida, dada es didivergente. vergente.

o

Como series conocidas son muy Como series conocidas en en la la aplicación aplicación práctica práctica de de estos estos criterios criterios de de comparación, comparación, son muy útiles siguientes: útiles las las siguientes: serie geométrica, + ar + + ar22 + + ... ... + + ar" - lI + + ... ... , siendo siendo a y r constantes, constantes, es concon1) La La serie geométrica, a + vergente < 1 yY divergente l. < divergente si ~ 1. vergente si

a

Irl

22))

Irl ~

l' L sene..111TP 1 + . d .. > 1 Laa serIe + 221PP + + 331PP + + ... ... + + n1PPd + + ... ... , sIen sien o p una constante, es convergente convergente SI SI p > TP una constante,

· . ~ 1. S'II PP == 1 se o b tiene . ,. d ivergente ' 1+ Ila serIe ,. d' d ivergente yY di SI p ~ sene. armontca +"2'21 + + ''3 + 44'1 + + Ivergente SI tIene armon/ca Ivergente 31 + CRITERIO DEL COCIENTE PARA CONVERGENCIA de series de CRITERIO DEL COCIENTE PARA LA LA CONVERGENCIA de series de términos términos positivos, positivos, negativos negativos o positivos positivos y negativos. negativos. Sea la serie Sea la serie

U¡1 U

+ +

U2

+ U3 + + ...... +

cuyos términos ser positivos cuyos términos pueden pueden ser positivos y negativos negativos y llamemos llamemos lim Iim

te

n- 00 n-

II

Un + 1¡ Un

II == R

0-

En estas condi.;:iones, condiciones, la serie es: En estas la serie es: a) a)

Convergente si R < < 1, b) divergente R>> 1, c) e) nada afirmar si R = = 1. Convergente divergente si R nada se puede puede afirmar

SERIE ALTERNADA. aquella cuyos cuyos términos son, alternativamente, alternativamente, positivos SERIE ALTERNADA. Es Es aquella términos son, positivos y negativos. negativos. . 1 1 1 Por ejemplo, Por ejemplo, 1 - '2 "2 + '3"3 -- ¡4" +

+ Si la

Una serie alternada alternada es convergente convergente si: si: Una serie a) A partir cierto a) partir de de un un cierto ellos del ellos es menor menor que que el del b) El límite límite del del término término lim Iim Un == O.

término, siguientes, el valor absoluto de cada cada uno término, y para para todos todos los los siguientes, valor absoluto uno de de anterior, < y si anterior, es decir, decir, si general, crece indefinidamente, general, cuando cuando n crece indefinidamente, es igual igual a cero, cero, es decir, decir, si

lun+¡111 Iunl, lunl, lun+

n-e n ~ co oo

la CONVERGENCIA ABSOLUTA CONDICIONAL CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL

2' 1.

Una serie es absolutamente absolutamente convergente serie formada formada con abUna serie convergente si es convergente convergente la serie con los los valores valores absolutos de sus términos. serie convergente sea absolutamente absolutamente convergente, se llama Una serie convergente que que no no sea convergente, llama solutos de sus términos. Una condicionalmente ejemplo, condicionalmente convergente. convergente. Por Por ejemplo,

1) 1)

1

-

"2 +

1 22

es convergente. convergente. 1 1 2) 1 - 2' "2 + '3"3

-

1 23

1

+

-- ¡4" +

absolutamente convergente, ya que es absolutamente convergente, que

convergente, pero es convergente, pero no no absolutamente absolutamente convergente, convergente, ya que que 1 +

lid' i d ' l serie alternada Luego la serie alternada es condicionalmente condicionalmente convergente. convergente. 2'1 + + ¡4" + "2 + '3 "3 + + .. .... . ,Iverge. iverge. Luego


284

SERIES

INf=INfTAS

Los términos de una serie absolutamente convergente se pueden ordenar de cualquier forma sin que deje de ser convergente. Sin embargo, si la serie es condicionalmente convergente, ordenando convenientemente sus términos se puede obtener una serie divergente o convergente cuya suma se haya prefijado de antemano.

Una serie de la forma Co + Clx + C2X2 + C3X3 + ... + c"x" + , son constantes, se llama serie de potencias de x.

SERIES DF POTENCIAS. en la que los coeficientes

I

+

x

... ,

Co, Cl, C2' ...

Análogamente, Co + cl(x - a) + c2(x - a)2 tante, es una serie de potencias de (x - a). , ASI, pues,

3.

x2

x3

+ 2' + 3" + . . .

+ ... +

c"(x

-

a)"

es una serie de potencias

+ ... , siendo

a una cons-

4.

de x.

El conjunto de valores de x para los cuales una serie de potencias es convergente y se determina tremo del intervalo.

de convergencia

se llama campo el criterio del cociente junto con otros aplicados al ex-

mediante

PROBLEMAS RESUELTOS TERMINO 1.

GENERAL

Escribir los cuatro primeros

a)

b)

n 2n + 1

I

2n -

, (n + 1)2'

de la sucesión cuyo término general es el que se indica:

son

Los términos

son

Los términos

son

d)

n2 + 1

J2+1'

Los términos

son

1(i+I)'

Los términos

son

2(1) -

xn+ 1 e)

2.

(n + I)!

I

Escribir los cuatro primeros

al

hl

n

2n +'1

2

(-I).-'Jn

el

2(2) -

21

x3

x2

-

-

n + I

4

o sea

2(3) -

I

2(4) -

1

(-If

x·

x'

-

-

5!

(n

4

7

9

10

14

+

o sea

I

2

3

3'

s'

7'9

1

3

5

7

4'

9'

J6'

25'

23

42+

(_1)3

o sea

o sea

x2 -

I

2

2' s'

(_1)·

x3

x·

2 ' 6 . 24'

o sea

4

8

10' 17 1

I

1

-},

6'

I

-12'20'

x' 120 '

1) de las series cuyo término enésimo es el que se indica:

término

(n + 1):

término

(n + 1):

n+1

6. I

3" 2(n + 1) + 1

2n + 3

4(n + 1) -

4n + 2

( - 1r 5

4

5.

22

2(2 + 1)' 3(3 + 1)' 4(4 + 1)

2! ' 3' ' 4!'

1 fififl ---+--2 3 '4

I

22 + 1 ' 32 + 1 '

términos y el término

3 5 -+-+-+2 6

3

I ' 2(3) + I ' 2(4) + I

(2 + 1)2 ' (3 + 1)2 ' (4 + I f

2°

2 I 1+3+3+'27

.f=I'

4h -

I

(T+T¡2'

(_1)1

(-Ir n(n + 1)

+.

2(1) <+ I ' 2(2)

2.-1 -e)

2

l·

Los términos

término


(n + 1):

2

J;;-:¡:-¡-

n + 2

a

SERIES INFINIT¡\S

a

3,

a

Escribir a)

h)

e)

4,

enésimo

de las sucesiones

I

2

2'

)' 4

s'

11+

3

7

2/1 -

I

3

4

-

5

4' -6 s'

2' 2

4

8

s'

16

3'

7'

9

1

1

3+ S

d)

I I

e)

2n

1 h)

d)

e)

5

3

7+ 9+

1

1

1

9

12

1

2

ti

4

6

8

211

3+3'4+3'

(/1

+

11 + 3

1) de las series siguientes: 1

1

,,

211 + l '

2(11 + 1) + 1

1 311'

1

3(11

+

(-Ir-'

I! - 2! + 3! - 4! +

211

+3

1 1) = 3n

+

3

(-Ir

11!

(11

+

I)!

- 14 + 19 - ~/¡6+ ' , , 3'4'5 --I!-

4'5'6 5'6,7 6'7'S + -3-'-, - + -5-,-' - + -7-!-

+ .. ,

(11 + 2)(n

+ 3)(11 + 4)

(2n -

2·- 'n2

(n + 3)(n

+ 4)(n

+ 5)

(2/1 + I)!

I)!

1)(2n + 1)'

(-1)"-'-\"'-'

(2n + 1)(2n

+ 3)

(-Ir,\'" 2· (n

+

1)2

Se pide a dos alumnos que escriban el término enésimo, o general, de la sucesión, 1, 16, SI, 256, ' , , , y luego que escriban el quinto término, Uno de ellos contesta que el término enésimo es u. = /14 yel otro no está de acuerdo con el anterior y responde que es u. = IOn3 - 35/12 + 5011 - 24, ¿Cuál de las respuestas es correcta? 4 Si U. = 11 , se tiene u, = 1, U2 = 24 = 16, U3 = 34 = SI Y U4 = 44 = 256, que coinciden cesión, Por tanto, según el primer alumno, el quinto término es Us = 54 = 625,

3

2

con las de la su-

Si u. = 1011 - 35n + 5011 - 24, se tiene u, = 1. U2 = 16, U3 = 81 Y U4 = 256, que también con los de la sucesión, Por tanto, para el segundo alumno, el quinto término es Us = 601,

coinciden

Ambos alumnos han respondido, pues, correctamente, Dando solamente un número finito de términos de una sucesión o serie, no queda definido su término general. Es decir, son posibles infinitos términos enésimos.

a:

6,

3

+ 3

(11 + 2)(11 + 4)

+ 1

(2n -

S,

7

2· 211

6

1

6

1+3'2+3'

+ - + - + - + ,,,

-

1

,e)

4

M' 4:(;' :5:-7'(;8'

1

I

+

siguientes:

1/

Hallar el término enésimo y el término

a)

o

el término

285

Escribir

las series representadas

por los símbolos

siguientes:

a)

2


286 286

SERIES SERIES INFINITAS INFINITAS

8,

II I1 11 11 11 = +-+ +II -=-+-+-+.=4.Jn . ~ 4 Jn j4 j4 j5 Js J6 .fi J7 .fi 77

d) d)

cc '"

(-I).(x+2f+l (- Ir (X + 2r+ I

(X+2)2 (X+2)3 (X+2)4 (X + 2)2 (X + 2)3 (x + 2)4 --2-2- + + --3--3- - --4- -4- + + ... ...

f) .1;0 .1;0 -'-------'----n'---+-I-'--'-------'---n-'-+- I----'-- = = (X (X ++ 2)2) f) LIMITE DE DE UNA UNA SUCESION SUCESION LIMITE 7.

+ 11 -;;-:¡:¡..

2n 2n Sea la la sucesión sucesión de de término término general general u. = = ~ Sea a) a)

Escribir 1,2, 5, 10, Escribir en en forma forma decimal decimal los los términos términos números números 1,2, lO, 100, lOO, 1000 1000 Y Y 10000 10 000 de de la misma, misma. ¿A ¿A qué qué límite límite parece tender? tender? parece

b)

Aplicando Aplicando la definición definición de de límite, límite, comprobar comprobar que que el límite límite anterior anterior es correcto. correcto.

c) c)

Hallar el límite límite teniendo teniendo en cuenta los teoremas Hallar cuenta los teoremas correspondientes. correspondientes.

a) a)

n n == I1 1,50000 1,50000

n = = 2 2

n == 10 n = = 5 1,83333 1,90909 1,83333 1,90909

1,66667 1,66667

100 n == lOO 1,99010 1,99010

n=IOoo n=IOOO 1,99900 1,99900

n = = lO 10000 000 1,99990 1,99990

El límite límite parece parece ser ser 2. 2, b)

Hay que que demostrar demostrar que que dado dado un número número positivo positivo E, e, tan tan pequeño pequeño como como se quiera quiera, , existe existe un valor valor de n. n. por por Hay ejemplo ejemplo N (función (función de E), de forma forma que que lu. - 21 < < Ee para para todo todo n > >N N..

SUC 9.

Ahora bien. bien, Ahora

2n \2n + l1 _ 22\ < < nn+1 + 1

1

1

1

f E

1__ _ 1

< si \_-1-\ < n+1

f, E,

decir. si _-1- 1_ < < es decir. n+1

f. E.

n

+

~

~

> ~ o sea n > > ~ -- l. 11 > e e E E

Por ejemplo. ejemplo, si si Ee == 0.01 0,01,, nn > > 99. Esto Esto quiere quiere decir decir que que todos todos los los términos términos de de la sucesión sucesión posteriores posteriores al 99 99 Por difieren difieren de de 22 en en menos menos de de 0,01. 0,01. Si Ee == 0,0001 0,0001,. nn > > 9999 9999. . Esto Esto quiere quiere decir decir que que todos todos los los términos términos de de la la sucesión sucesión posteriores posteriores al al 99999 difieren Si 999 difieren de de 22 en en menos menos de de 0.0001. 0,0001.

e) e)

11 22 + + -2n nn 2n + + 11 dividiendo el el numerador numerador yy el el denominador denominador por por nn.. Se --- = - dividiendo Se tiene tiene uu ==----=-•• nn + 1t '' + 11 1+ 1+-nn

22

1

1 lim (2 (2 + + -) ~) lim

++ -~

Luego nn == Luego Iim lim 11. u. == Iim lim _ __ _

.-x .-x

nn 1

+ -l ~ .11m lim (1(1 + + -~) .e-e- '"cc 1I + ) nn nn

lim -22 ++ lim ._" nn + OO 22 + . 1I -1 + ya que que 11m lim -- == O. O. ----'-'--'---.---- '-:- == -O == 22,ya ++ lim 1+ O ' ._0> lim ~~ a-s co nn n-x. "'XI nn

.-oc,


10.

287

SERIES INFINITAS

8.

Hallar

los límites siguientes: . I lirn 2 + lim 11m (2 + -) n-'X., n = lim __ n_ = ..'C:.~ n_ = I ._'" l. I 5 - -, 11m (5 --,) lim 5 - lim -~ n n ...• cc n n2

2n2 + n a)

lim 2

'-00

b)

5n

-

3n2

+

lim

2

+ -

3

4n + 5 7n2 _ 4

4

n

n

e)

+

3

O

+

O

O

2 5

3

7 - O

4

7 --

2n2 11m --'-00 4n3

+

5 --'O

5

+ - +- 2

lim

2

7

n2

2 3 ;; +;¡J O + O = lim --= -= O 1 '-00 4 _ -'-4 - O

+

3

-

n3

d)

e)

1)

+ +

n2 11m --'-00 3n

2 . + ;> 1 = 11m --= - = co , 2 '-00 3 2 O

2

;; +

(n - 2)! 11m ---= n!

11m '-00

es decir, no existe límite

;>

__

::..-(n_-_2~)_! _ I)(n - 2)!

n(n -

1 lim ---=0 ._'"

n(n -

1)

4n - 2 4n - 2 4 - 2/n 4 lirn (__ )4 = (lim __ )4 = (Iirn )4 = (_)4 = 16 2n + 3 '-00 2n + 3 '-00 2 + 3/n 2

'-00

g)

rz=:';

ILm (yn

r:

+ 1 - yn)

~

.00

SUCESIONES 9.

Examinar

r:

= ILm (yn + 1 - yn)

'00

MONOTONAS

+

(yn+l+yn)

Jn) r.: =

lim ~ '-""yn+l+yn

1

r=. =

la tabla siguiente:

2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 1, -1,

1, -1,

1, -1,

Acotada

... ...

1; 1,1; 1,11; 1,111; 1,1111;

...

Monótona creciente

Monótona decreciente

Existe límite

No

Sí

No

No

Sí

No

No

No

Sí

Sí

No

Sí

1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, ...

Sí

No

Sí

Sí

1, 3/4, 1, 4/5, 1, 5/6, 1, 6/7, ...

Sí

No

No

Sí

DI'emostrar consiguiente,

.. que a sucesión. cuyo termmo

+ 1 es a ) acota d a -;+2

genera I es u. = 3n

y b)' monotona

. creciente Y. por

tiene límite.

". 3n + 1 .' Una cota de la sucesion es 3 (o un numero mayor que 3). ya que --~ 3 urncamente n + 2 3n + 6, o sea 1 ~ 6 que es cierto para cualquier valor de n, a)

b)

O

ACOTADAS

Sucesión

10.

(Jn+\ ~

. . La sucesion es monotona

(3n + 1)(n + 3), 3n

2

+ IOn +

.. creciente

8;::;

3n

2

SI U.+1

;::; u n-

3n + 4 Para que ~;::;

+ 101\ + 3. o sea

8 ;::; 3.

3n + l -;+2

+

ha de ser (3n + 4)(n +

que es cierto para cualquier


cuando 3n

valor de n.

~

2);::;

288 288

SERIES INFINITAS I NF I NITAS SERIES

13

CONVERGENCIA YY DIVERGENCIA DIVERGENCIA DE DE SERIES SERIES INFINITAS INFINITAS CONVERGENCIA I J. Sea Sea lala serie serie de de término termino general general "" 11" = = 11. a) a)

I

y_l' y-i'

Escribir los los cuatro cuatro primeros primeros términos terminos de de lala serie. se rie . Escribir

h) h) Llamando Llamando S. S. aa lala suma suma de de los los 1111 primeros primeros términos. términos. hallar. hallar. en en forma forma decimal. decim a l. SI' S,. S2' S 2' S, Sj..... . . ... S•. S• . i.A i,A qué qué lim ite parece parece tender tender lala sucesión sucesión S. S. cuando cuando ti11 ---> ..... x:? x. '? limite

el e)

Comprobar elel limite limite anterior anterior efectuando efect uando lala suma suma de de los los Comprobar

a) al

JO ++ 31 3' ++ J2 3i ++ 33 3l ++ 3"

11

h) h)

11

11

11

primeros términos. términ os, primeros

oo

S, = = "lI,1 == 1.000000 1.000000 SI S2 = = "1/,1 ++ "1/22 == 1.333333 1.333333 S, Sj = = 11 ",1 + + "2"2 + + 11, "j = = 1.444444 1.444444 S. == 1/1/,1 ++ 1/2 ", ++ 1/," j ++ 1/.1/4 == 1.481481 1.48 148 1 Ss = = 1.493827 1.493827 Ss S6 = = 1.497942 1.497942 S6 S7 = = 1.499314 1.499314 S7 S8 Ss = = 1.499771 1.49977 1

= 1.000000 "11, 1 = 1.000000 " 22 = = 0.333333 0.333333 11

S2

II j = =O.1I1I1I ", 0.111111

11. = = 0.037037 0.037037 "4 liS liS

1111

= 0.012346 0.012346 =

"b == 0.004115 0.004 11 5 "6 "7== 0.001372 0.001372 117

"s = = 0.000457 0.000457 "8

CF

14.

El limite limite parece parece ser se r lim lim S. S. = 1.500000 1.500000 = = 3/2. 3/2. El

el e)

La serie serie 1 +

sum sumaa de los

11 11

11

11

1I

"3'3 ++ "9'9 ++ 27 27 ++

una serie serie geométrica geometrica de de primer primer término términ o aa = = 1 YY razón razón r,. es una

1 '3. La

primeros términos términos es primeros (1 / 3)· = ~[I 3 1 1 - ,..) - (1/3)" S. = a( a(1 - ''''.l = ~ _ (~)"] S. = --¡-=-;:= 1 _ 113 = '2 [1 - (3)·J 1- r 1 - 113 2 3

3 lim S. S. = ="2'2

y

Por Por tanto. tanto. el limite limite propuesto propuesto en h) h) es correcto. correcto. 15.

1 1 1 Asi. Así. pues. pues. la serie serie 1 + + -"3 + + -"9 + + - + + .... 3 9 27

3 es convergente convergente y su sum sumaa vale '"22

n

..

11

11

11

11

12. 3 + '"33 -- '3"3 + 12. Sea Sea la la sen seriee '3"3 -- '"3 a) a)

Calcular Calcular SS•. •. suma suma de de sus sus

11 11

primeros primeros terminos. términos.

h) b¡

Ha ll ar lim Hallar lim SS••..

ee))

Determina Determinar r si si la la serie serie es es convergente convergente. .

a) a)

11 11 11 11 11 11 I1 11 I1 11 11 SS,, == -3' "3' S, S2 == -3"3 -- -3"3 == O. O. S3 S, == -"3 -- -"3 + + -"3 == -"3' . S4 S. == -"3 -- -"3 + + -"3 -- -"3 == O. O. etc. etc.

333 3 11 . . Luego 3 si Luego S. S. == --3 SI 11n es es impar Impar yy S. S. == O O si si 1111 es es par. par. bien oo bien

1

3' o.O.

3

3

1 1 no tiene tiene lim limite. O. 3 .. . no 3 O. ite. 3 3

h) h)

. .. La La sucesión sucesión S,. SI' S,. S2' S3' S,. ....

ee))

La rie es iste lim La se serie es divergente divergente ya ya que que no no ex existe lim SS•.•.

3

33

Esto es es evidente. evidente. por por otro otro lado. lado. pues pues el el tetérmino enésimo no no tiende tiende aa cero cero cua cuando ---> xc zc. . Esto rmi no encsimo nd o 11n .....


SERIESINFINITAS 13.

Hallar

a)

el carácter

289

de las series siguientes:

2

3

4

3

5

7

1+-+-+-+

n

... +--+

El límite del término

2n-1

es lim __ n_ = ~ . ._'" 2n - 1 2

enésimo

La serie es divergente,

ya que el término enésimo no tiende a cero cuando n

El límite del término

enésimo

-+ 0Ci.

b)

1 es lim - = O; sin embargo, "-00

En realidad 1

e)

2

2 - 3 La

la serie es divergente,

3

+

. ..

14.

el carácter

b) e) d)

e) f)

15.

Es Es Es Es Es Es

Hallar

ya

que

I 64

...

una serie una serie una serie una serie una serie igual a 5

término

enésimo

no

tiende

a cero

I 1 1 +2"3+"33+43"+'" I

I

d) 1+ + + +

cuando

n

-+ 0Ci.

I 1 I + 2'72 + 31/2 + 41/2 + ...

e)

1

f)

2 3 4

geométrica geométrica en la que en la que en la que veces una

el carácter

JT+l

el

e)

8

1 a)

+ 1 + ...

27 3 9 1+ +4+ +",

2

14d).


1 I a) 1+-+-+-+ 4 16

a)

n

es divergente,

DEL COCIENTE

b)

esto no quiere decir que la serie sea convergente.

en el Problema

(-1r- n

4

CRITERIO Hallar

se demuestra

1

4 - "5 +

serie

n

como

5 5 5 5+22+32+42"+'"

de r = 1/4 < 1, luego es convergente. de r = 3/2 > 1, luego es divergente. p = 3 > 1, luego es convergente. p = 1 (serie armónica), luego es divergente. p = 1/2 < 1, luego es divergente. serie en la que p = 2 > 1, luego es convergente.

de las series siguientes,

aplicando

el criterio

1 1 1 + 22 + 1 + 32 + I + 42 + 1 +

La serie es convergente, 1 1

ya que es término

de comparación.

El término a término

menor

general es u. =

que

I

1

-2--

+

n

1

< -, n

(p = 2

la serie convergente

> 1)

+22+32+ 3

b)

N

4

+

M

5

+

M

6

+

s:7+

La serie dada es divergente,

I

e)

N+

1

I

El término

...

ya que es término

I

2' 22 + 3' 23 + 4' 24 + ...

a término

general es

mayor que la serie divergente

El término

+2

n (n

+

l)(n

+ 3)

1

"5

4

+

I

n

I

+ (; +

I I general es u. = n2' ;¡; 2n


> --

+ 3

290 290

SERIES INFINITAS INFINITAS SERIES

La serie serie dada dada es es término término aa término término menor menor oo igual igual aa lala serie serie geométrica geométrica convergente convergente (r(r = = 1/2 1/2 < < 1) 1) La. 11 11 luego es es convergente. convergente. "22++ '44++ "8"8 ++ .. .... luego 11

El El término término general general es es

Un Un

d

Jn+I 11 Jn+t --Jn Jn = ---.n - = --.¡2

= = ----- > >

nn

nn

1

nn

1

1 + 21 /2 + 3 1/2 + .. .

La serie serie dada dada es es término término aa término término mayor mayor que que la la serie serie divergente divergente (p (p = = 1/2 1/2 < < 1) 1) La

eJ

luego es es divergente. divergente. luego e) e)

11 +

11

11

11

.. .. El El termmo termmo general general es es

10 + ... ... '44 + "7 + 10

Un Un

11 11 > > -3n 3n -- 2 2 3n 3n

= = --- --

La La serie serie dada dada es es término término aa término término mayor mayor que que un 1m tercio tercio de de la la serie serie armónica armónica divergente divergente (p (p = = 1) 1) 11 11 .. luego luego es es divergente. divergente. 11 + "2 + '3 + . ..

2 3'

. . El El termmo termmo general general es es

La La serie serie es es término término a término término menor menor que que la la serie serie convergente convergente (p (p = = 3> 3 > 1) 1

Un

= =

+ 1 1 3 < n - 33 + 2)n 2)n n

nn (n (n

11

es

f)

1 1

+ 233 + 3333 + . .. .. luego luego es es

convergente. convergente.

CRITERIO DEL DEL COCIENTE COCIENTE CRITERIO 16.

Determinar de las siguientes aplicando cociente. Si con este criterio Determinar el carácter carácter de las series series siguientes aplicando el criterio criterio del del cociente. con este criterio se llega llega a un un caso aplicar el criterio caso dudoso, dudoso, aplicar criterio de de comparación. comparación.

3

a)

2I +

4

23 +

5

6

24 + 2S +

n + 2

u"" ==-2"+1 2"+ 1 U

. .. n

o +! uUn+1

''

+

3

= = 2 2n+2 0 +2

Y y

SERIE~

n + 3 . 20+1 2n+ 1 -~ n + 3 uUno++11 _n+3 -;;,:-= 2n+2.·. n + + 2 -= 2(n ++ 2) un - 2n+2

17. H¡

1 111 n+31 n-- +-3 = Luego lim -U'+ --U.+- 11 = -- lim =-1 = = R < < 11 y la serie es convergente. convergente . Luego = o-oc> 2 n_ •_., Uu.o n-.,oc> n ++ 2 2

I

33'0 u" u,. == ;;¡, ;;¡,

o

e) e)

a)

3n+ 3"+ 11 o +11 = U U.+ = (n (n

. IULuego hm lim IU'++-II11 Luego ""-00 ..... 00

lo:

Uu,. II

++

b)

1)4 1)4

. lim == 33 hm

yy

n-)4 (_~)4 (++ 11

"-00 "_a:> n n

1·2 2·3 3·4 4·5 3·4 4'5 1'2 2'3 3 1+ +33 ] 3++Y 7+ 32 +3 Y' ++ ..... .

R> == 33 == R>

1 yy la la serie serie es es divergente. divergente.

n(n + + 1)1) n(n

U"=~' u"=~ '

(n (n

I)(n + + 2) 2) ++ I)(n

U"+l == U"+l

.. Iu. n-Iu'--o++-1111== -l-1.hm n+ +-22 == -1-1 == RR << 11 yy lala serie Luego hm LuegoIim hm serie es es con~ergente. con~ergente. "-a:> ~ 3,,_«> "00 ~ 3"""' 00 nn 33


e)

291 291

SERIES INFINITAS INFINITAS SERIES 22n+2 22n+2 n+ UUn +11 ==

IU'+II == -49-49 == RR << 11 .. IU' 1

Luego 11m hm -- -1 Luego

la serie serie es es convergente. convergente. yy la

Un Un

11-00 n"'ce

e) e)

33211 +3 2"+3

11 11 11 l' 22 + + 22'. 332 42 + + ... ... 1.22 2 ++ 33'. 42 n(n n(n

++ 1)1) =

Luego lim lim ---2 Luego --2 a-e co (n (n + + 2) 2) ._'" Ahora bien, bien, Ahora

=

11

u. Un == n(n n(n nn22

++ nn

1

U.+

++ 1)2' 1)2' +

U. +

l /n

lim -,.2-----,= lim lim 1 + l/n 2 lim a-e co n n2 + + 4n 4n + + 44 ._'" a-e co 1 1+ + 4/n 4/n + + 4/n 4/n ._'"

11

1

1

== (n (n

== 11

u. + 11 U'+

++ I)(n 1)(n + + 2)2 2)2'' --;;,;~

n(n n(n + + 1)1) ++ 2)2· 2f

== (n (n

Y estamos estamos en en caso caso de de duda duda Y

11 11 11 11 11 . ~---2 para todo todo nn ~ ~ 1. 1. Como Como 2" ., + + 2" ., + + 2" ., + + .... converge, la la sene serie dada dada 22:;; - - 2 para . . converge, n(n + + 1) 1) -- (n (n + + 1) 1) n(n -22 33 44

es convergente. convergente. es

1 u. == -;;! ;¡para todo todo nn ~ ~ O O (O! = 1), u. para (O! =

U.+ u.u

11

1

== (n (n

+ I)!

11 == n!. (n n!.(n

+ 1) Y y

II 1 =-U Un++1 =--

u. Un

n

+1

.. 11 Luego 11m hm --- = O Y la serie serie es convergente convergente. . = Luego •n-';' _~ n + 1 La suma suma de de la serie serie dada dada es igual igual al número cuyo valor valor es 2,71828, 2,71828, aproximadamente, aproximadamente, y es la base base de de La número e cuyo los logaritmos logaritmos naturales neperianos. los naturales oo neperianos.

SERIES SERIES ALTERNADAS ALTERNADAS

17. Hallar Hallar el el carácter carácter de de las las series series siguientes: siguientes :

a)

1 1 - 22

+

Como Como

Iu.+ Iu.+ d11 << Iunl lu.1

1

b)

e) e)

1 42

1

. Se tiene

+ ... yy

1

lim lim un u. = = O, O,

11

lu.+ lu.+1111 << lu.1 lu.1

234 234

nn 11 Como 1 = Como lim lim -2n -2n = "2-2

•_'"

++ 1

1 n2

lu.+11 =

y

1

(n

+

Y Y

11 == (n(n ++ 2)(n lu.+11 2)(n + + 3)3) lu.+

1)2

11

Se tiene tiene Se

lu.1 == (n(n ++ 1)(n I)(n + + 2)2) Iunl

11

yy lim lim u. u. = = O, O, lala serie serie es es convergente. convergente.

'3"3 -- '5"5 ++ '1"1 -- 9"9 ++ ... .. .

"-10

lu.1 =

la la serie serie es es convergente. convergente.

1

M - N + M - s:6 + ... Como Como

2

1

32 -

Se Se tiene tiene

++O,O,

nn

lunl lu.1 == -2--2-n + 1 n+l

lala serie serie eses divergente. divergente .


YY

+ 11 nn +

lu.+ 11 == -2n 33 lu.+11 -2n ++

292 292


CONVERGENCIA ABSOLUTA ABSOLUTA YY CONDICIONAL CONDICIONAL CONVERGENCIA 18. Determinar Determinar sisi las las series series siguientes siguientes son son absoluta absoluta oo condicionalmente condicionalmente convergentes. convergentes. 18. 11

Iunl lu.1 == -'/2 -/' 2

Se Se tiene tiene

nn

YY

11

lun+,1 lu.+,1 == ----(n (n

++ 1)'/2 1)'/2

11 La serie serie de de valores valores absolutos absolutos 11 + + .JÍ La

11 11 J2 ++ J3 .j4 ++ ... ... eses divergente, divergente, ya ya que que en en ella ella es es pp = = ~ ~< < 1.l. ++ J4

La serie serie dada dada es es convergente convergente porque porque La

lu.1 Iulu.+ n+ ,111 << Iunl

lim Un u. = = O. O. yy lim

Luego la la serie serie dada dada es es condicionalmente condicionalmente convergente. convergente. Luego e

11 11 11 La La serie serie de de valores valores absolutos absolutos 1 1 + 3' 3" + + 3' 3" + + 3' 3" 234 234

+ + ... .. . es es convergente, convergente, ya ya que que en en ella ella es es p = 3. 3. Luego Luego la la

serie dada dada es absolutamente absolutamente convergente convergente (y, por por tanto, tanto, convergente). convergente). serie e)

..fifi - .j4í3 .j5i4 - J6i5 foi fti3 + .j5i4 .j6j5 + ... .. . .

n

+ 2.

Como lim hm ((n_+_:)' = 1 Como ~'/2/2 = •a-e _ 0) ec n + 1 1

d)

1

1

1

2 - ¡ + "6 - "8 + . . .

Iunl lu.1

Se tiene tiene

nn+2 +2 = = (--1)'/2 (_-1)' /2

n+ n+

SERIE: 21.

divergente . la serie serie es divergente. -J+- O, la

1

Se tiene

lunl = 2n

1

y

lun+,1 = 2n + 2

H.

a)

. 1 1 1 1 1 1 1 1 serie de valores valores absolutos 2 + ¡'4 + "66 + "88' + ... ... = 2(1 + 22 + "3 '3 + ¡'4 + ..... .) es un medio medio de la serie serie La sene absolutos 2 armónica armónica (o sea, sea, un medio medio de la serie serie con con p = = 1) 1) y Y es divergente divergente 11 11 La serie serie dada dada es convergente, convergente, ya que que ---- - - < 2n 2n + 2 2n 2n

1 y lim -~=O.= O. 2n

tarr

._0) 11....• 00

Luego convergente Luego la la serie serie dada dada es condicionalmente condicionalmente convergente. .

.. 1I 1I 11 lI lI l1 19. + -6-622 19. Demostrar Demostrar que que la la serIe sene -1122 + + -2222 - -Y -31 - -4- 22 + -52 52

.....•

es es convergente. convergente.

.. l1 l1 l1 l1 La serIe sene de de valores valores absolutos absolutos 12 12 ++ 2I 22 + + 32 32 ++ ;jI 42 + + .... es convergente, convergente, ya ya que que en en ella ella es es pp La .. es

== 22

>> ll..

Luego Luego la la serie serie dada dada es es absolutamente absolutamente convergente convergente y, y, por por tanto tanto, , convergente. convergente. 20. 20. Hallar Hallar el el carácter carácter de de las las series series siguientes siguientes aplicando aplicando el el criterio criterio del del cociente: cociente: 11

a) a)

22

33

44

22 -- ¡'4 ++ "88' -- 16 .. 16 ++ ....

.. Se tiene tiene Se

nn

lunl == 22n lu.1


yY

+ 11 nn +

lun+ ,1 == y+T 2n+ , lu.+'¡

en d serie en e

293 293

SERIES INFI INFINITAS SERIES NITAS

I

11

n + 1 2 n + l l u--U+n \ = lim n+12· --' - ' - - == r lim 11--+ 1 = I- =RR < I l y y lala serie .+ 1 lim lternada eses convergente. serie a alternada convergente. n-a;> Un ,. ....• n n-oo 2;2n = 2:2= "~"! = "0000 2"2"+ + 11 n 1m < \ I l 22 33 44 Como elelcriterio criterio del del cociente cociente también también demuestra demuestra que que lala serie serie de de valores valores absolutos absolutos "2"2++"4"4++"88"++16 16 ++ Como

r lim

7.

n

convergente, lala serie serie dada dada eses aabsolutamente convergente. eses convergente, bsoluta mente convergente.

3·3

3")n++ t 1

n

Se tiene tiene lu/u I / - - --(2n)! Se • n - - (2n)!

. \Iu.+ Ilu-- +1\1 .hm

~~: n-
.

3(2n)!, 3(2n)!

. = hm

n 1

3(2n)! 3(2n)!

= .hm

yy lu.n+d /U +1/ == (2n (2n ++ 2)! 2)!

3

2 = ~~: a-e co (2n (2n ++ 2)! 2)! = ~~: n-
7. Un

lim

3

= O= = O = R < 1

R < I

Luego lala serie serie es es absolutamente absolutamente convergente. convergente. Luego

Il

e) e)

Il

++ yy/313

22/3 -- 22 /3

Il 42/3 -- 4213

..

++

1l

Se Se tIene tiene lu.1 /un/ == 2/3 2/3 Y Y 11n

/u

+"

n

l = (n

+

1)2/3

\U.+l\

IUn+ll )2/3 = ll -- - == l·u1m 1m ((-- nn- )213 ·1m estamos en en caso caso de de duda duda. . ll· 1m = yy estamos n ....•cc Un "-00 + 11 a:: Un ti ..... ce nn +

ti .....

Pero, como como lu. /un++ 111/ << lu.1 /un/ yy Pero.

lim u. Un == O. O. Iim

la serie serie aalternada dada es es condiciona condicionalmente convergente, la lternada dada lmente convergente.

SERIES POTENCIALES POTENCIALES SERIES 21. 21.

Hallar el ca campo de convergencia convergencia de de las las series series siguientes siguientes: : Ha llar el mpo de

xn x·

tiene Un u. = = --;; Se tiene y n

lim lim n-s n ..... cocc

I~I \u.+ l

un Un

\

==

1

1,·..;1~\ == /x/lim n/x/ Ixllim n n + I

lim ,x"+ .. lim \.\""+1 nn + 1.\ l .~

a-s " ..... co:;0

"-OCI

n- oo

n

+

u. ++ 11 Un

.\""+ ,x" + 11

nn+1 + 1

Ixl

1

La La serie serie es es convergente convergente para para /x/ Ixl < < 1, 1, oo sea sea -1 -1 < < xx < < 1, l. Y Ydivergente divergente para para /x/ Ixl > > ll oo xx > > ll YYxx < < -- l.l . EsEstamos tamos en en caso caso de de duda duda para para /x/ Ix l = = ll oo x= x = lI yY .vx = = _l. - l.

ll lI lI Para Para xx = = l.1, la la serie se rie es es lI ++ "2"2 ++ "3"3 ++ "4"4 ++

Para Para .vx == -- l.l. lala serie serie es es -- ll

lI

lI

que que es es divergente. divergente.

lI

++ "2"2 - - "3"3 ++ "4"4 - - . ..

que que eses convergente. conve rgente.

Luego Luego elel campo campo de de convergencia co nvergencia de de lala serie serie dada dada eses -- l l ~~ .rx << l.l. Se Se representa representa gráficamente gráficamente por po r

---~.~---------------------
1

enendonde dondelalalínea líneagruesa gruesarepresenta representaelelintervalo interva lodedeconvergencia convergenciay ylaladedetrazo trazofino fi nolos losintervalos intcr\"al osenenlos loscuales cualeslala serie el blanco diverge.ElElcírculo circulonegro negroindica indicaque quelalaserie serieesesconvergente convergenteenenelelextremo extremo - - l ly yel hlal!l:oque queesesdivergente divergente seriediverge. enenelelextremo extremo 1.l.



294 294

.

.x"+ I X,,+I

x"X"

Se Se tiene tiene u, u" == 2n Tn Yy

lu

I·x"+ I·~::'~I=

00

IX)

= =

y;+l F'

-0-----0~

IXI1~1=~lxl

lim 1 = lim I -2"1 = lim I lim ~IU"+II= lim ---;;+¡' lim - = -Ixl " ..... 00 Un ,. ..... "-- 00 22 Un n-oo 22 x"X II "-00 22

11 ....•

Un +1 U"+I

-2

22.

2

Ixl << l1 oo -- 22 << xx << 2.2. IiYz Ixl ll + que + I I ++ I que es es divergente. divergente. I1 + + Il ++ l1 ++ l1 ++ ...... que que es es divergente. divergente .

La serie serie es es convergente convergente para para La Para Para xx = = -- 2,2, lala serie serie es es -Para Para xx = = 2,2, lala serie serie es es

23.

Luego lala serie serie dada dada es es convergente convergente en en elel intervalo. intervalo. Luego x"x" - I1 Se Se tiene tiene u" u" = = --- --

e) e)

yy

I)!I)!

(n (n --

24.

x" (n lim Ix(n Ix (n -- I)!I = Ixl Ixllim = O O para para todo todo x. x. lim I~'~~I lim l' -::-¡== lim I = lim -~ = "- a> n. n! x" - 1 "- a> n(n n(n -- 1). I)! "-a> nn x" "_00 "_00

1)!1

"_00

I)!I

1

I

Luego la la serie serie es es convergente convergente para para todos todos los los valores valores de de x, x, oo sea sea -- 00 00 < < xx < < co, oo . Luego

Se tiene lu"1 =

I

x"+ 1

nl1 2/21

lim lim I x"+ 1 1/2 1/2 •. n- / 1 "-a> x" '_00 (n + 1) x"

I~I n 1/2

y

n

IU"+11 =

I I (n

25.

x" +1 + 1)1 /2

....-

~<:~--~<:~---••..

= = Ixllim Ixl lim (_n_)1/2 (_ _ )1 /2 = = IxIIxl . "- a> n + 1 "_00

+

-1 -1

1 1

La serie es convergente para Ixl < 1 o bien bien -1 La serie convergente para -1 < x < 1. Para Para x = = 1,

1 1 1 ... que que es es convergente. convergente. 11 -- ----= + ----= - ----= + ...

fi J3 - J¡

la serie serie es

J2

J3

1

1

Para Para x = = --1,1, la serie serie es --1 l - -

- -

J4

- -

1

fifij4 fifiJ4···

-

26.

que que es divergente. divergente.

· ··

Luego Luego el campo campo de convergencia convergencia es - 1 <
lim lim "-00 "-00 I

I

+

I)Ix"+11 1)1x"+ 11 1I ..

nn.x" .~

......

Se tiene lu"1 = In!x"1

== Ixl Ixl lim lim (n (n + 1) 1) ==

00 00

y

lu"+aI = I(n

+

1)!x"+11

excepto excepto para para x '7' ';= O. O.

11-00 "-00

La La serie serie converge converge solamente solamente para para xx == O. O.

f) f)

(X (x -3)2 - W

(X_3)3 (x - W

(X-3)4 (x - 3)4

(x - 3) - - - 2 - + - - 3 - - - - 4 (x-3)--2-+-3---4-+

lim lim "-a> ._00

(X I(X -

I

3f+1 1

3r+ nn + + 11

27. l

+ ... ...

-I(X-

1Un 1 -

3f

n

l

Y

II

n n __ n_, = IX Ix -_ 31 311im _n_ [x -- 3131 1im .• o = - == IX (x "-a> nn + (x -- 3) 3) + 11 '_00

La La serie serie converge converge para para Ix Ix -- 31 31 << 11 ÓÓ 22 << xx << 4. 4. Para Para xx == 2, 2, la la serie serie es es -- 11 -- 1/2 1/2 -- 1/3 1/3 -- 1/4 1/4 -- .. .. .. que que es es divergente. divergente. Para Para xx == 4, 4, la la serie serie es es 11 -- 1/2 1/2 + + 1/3 1/3 -- 1/4 1/4 + + ...... que que es es convergente. convergente. Luego Luego lala serie serie dada dada es es convergente convergente en en elel intervalo. intervalo.


f + n+ 1

IU,,+ 1 1_I(X-3 -

oo 22

1 1

•44 28.

SERIES INFINITAS

295


Escribir a)

23.

-n

los cuatro

+

2

Escribir los cuatro

n a)

24.

primeros

términos

n

un término

e)

términos

Jn

b)

3" + 1

Hallar

primeros

3n - 2 b) -2"-

2n

+

de la sucesión

cuyo término

(-Ir

--

n 2n2 _ 1

d)

n!

y el término

+

(n

enésimo

3'"5' 1

26.

Hallar

e)

1

un término

1

enésimo

1

(n

+

1 3 5 7 2:+4+8+16+'"

e)

x2 x3 x4 x-2+3--¡+···

e)

2 4 -+--+-+-+ 1·3 3'5

las series representadas

¿ n=1

3

b)

8

¿ ,.=1

f)

...

por los símbolos

1

n=

¿

d)

n

(n -

n=2

general

. de la sucesion

2

8

5

e)

11

3' 4' 5' 6

3n por u" = ~

viene dado

b)

Aplicando

e)

Hallar

la definición de límite, comprobar

que el límite anterior

5n - 2 3n + 1

n e)

n2

+

(_ 1)"-

1

(x -

1)"

n!

1 .

es correcto.

de los límites.

Hallar el límite de las sucesiones siguientes cuando n se indica.

a)

1

1)3

Escribir los términos números 10, 20, 100, I 000, !O 000. ¿A qué límite parece tender cuando n __ co'!

los teoremas

r

n=

a)

este límite aplicando

x3

+ 22'5! + 23'7! + ...

x"-I

co

(-1)"

x2

X

1 + 2'3!

co

1 (2n + 1)2

1

1

3 57

siguientes:

""

¿

e)

2n + 2

El término

2)

1) de las series siguientes:

b)

7'9

+

6

1 1 1- + - +",

6

1)(n

246 8 d) 22-1'23-1'24_1'2'_1'

y el término

5'7

enésimo es el dado.

M'H'~'M'

d)

Escribir

1

+

n(n

a)

s

28.

e)

1 1 1 1+2:+4+8+'"

a)

27.

+

345

7' "9'

b) 2+1'22+1'23+1'24+1' 25.

2n

siguientes:

234 a)

--

x"-I

2n - 1 2n + 1

d)

de las sucesiones

e)

es el que se indica:

x2"

1) de las series cuyo término

(_1)"-1 e)~

1

enésimo

1

--> 00,

d)

siendo el término enésimo (o término general) el que

30n

V;-:;¡


SERIES

296 29.

Determinar límite.

si las sucesiones

siguientes

están acotadas.

3, 3,3, 3,33, 3.333,

h)

1.9. 2.1, 1,99,2,01. 1,999,2,001,

e)

1. -2, 3, -4. 5. -6 ....

El término a)

e)

sus cuatro

primeros

crecientes

o decrecientes.

345

3'"5' -::,' 9' ... 36.

1

y'

términos.

Llamando S. a la suma de sus n primeros términos. hallar. en forma decimal, S" S2, S3, ... rece ser el límite cuando n -+ oo?

, S,o. ¿Cuál pa-

h)

e)

Comprobar

y si tienen

1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 2

general de una serie es u. =

Escribir

son monótonas d)

a)

2n30.

INFINITAS

el límite anterior

efectuando

la suma de los n primeros

términos.

¿Es convergente?

37. 31.

Sea la serie l - 3 + 5 - 7'+ ... a) b)

Hallar S., suma de sus n primeros ¿Cuál es el lim S.?

términos.

.-oc

e)

32.

¿Es convergente')

Determinar

si son correctas o no las conclusiones l l 1 l La serie "3 + "5 + -::,+ 9 + ... es convergente

siguientes:

a)

porque

los términos

sucesivos van disminuyendo

constan38.

temente.

33.

b)

. La sene

l

e)

. l l 1 l La sene 12 + '22 + )"2+ 4"2+ ...

3

2

3

"5 +

+

Hallar el carácter

4

9

-::,+

+ ... es divergente

porque

es convergente

el término

porque

enésimo

el término

enésimo

2 2 2 2+3+9+2"7+'"

d) 12+22+)"2+4"2+

b)

4 42 43 l + - + (-) + (-) + ... 3 3 3

e)

e)

3

tiende a cero.

39.

de las -series

a)

3

no tiende a cero .

3

l

3

f)

2+'22+2'+24+

l

l

l

l

... l

l

-+-+-+-+ ~ 12 l

l

13

l

l

14 l

16+20+30+40+'" SOL

34.

Hallar el carácter 1

l

a)

2+1

h)

1

e)

---

l

+

de las series siguientes

l

3

l

aplicando

l

"5 +

de comparación.

l

l

+ 22 + l + 23 + l + 24 + l + .. +

el criterio

1

22.

l

2' 14 + 4' 24 + 6· 34 + 8· 44 + ...

e)

22--=,,--¡+ 32'::'1

2

l

-::,+ ..

1

d)

3

4

5

+ 42 _ l + 52 _ l + 23.

3

33 + l

35.

+ --

4

43 + l

+ --53

5

+ ---

+ 1

6

+ ...

63 + 1

Hallar el carácter de las series siguientes aplicando el criterio de comparación. a)

1 2 . 3'

l 3.3

---+--+--+--+3

l 4 . 34

l

.n "/¡-'2 ----

+ ---

1

'.IN

+ --

l

l

fr4 + --Fs + ...

el criterio del cociente. Si se llega a un caso dudoso,

l 5 . 35


aplíquese

24.

SERIES

3

4

5

6

52

e) 22 + 32 + 42 + 2

d)

36.

3

1! +

Hallar

4

I

37.

1

+ ...

I

"3 + "5 - "7 + ...

I

I

b)

"3- 9 +

1 27 -

son absoluta

a)

1 I I "3- 32 + 33

b)

4 - S + 12 - T6 + ...

e)

2 - "3 + 4 - "5 + ...

d)

32 - 42 +

1

234

2

3

e)

2 + I - 22 + 1 + 23 + 1 - 24 + 1 + ...

...

...

1

52 -

5

62 + ...

convergentes.

2

345

1

1

d)

-¡-:-¡--¡:S+}:6-¡-:-:¡+'"

e)

3' 22 - 4' 32 + 5 . 42 - 6 . 52 + .. ,

f)

1! -3T + 5! - 7! + .. ,

1

1

4

o condicionalmente

1

- 34 +

1

1

13 132 133 13, 2(2) + 4(2) + 6(2) + S(2) + ...

I

81 + ...

si las series siguientes

1

I

f)

I

I-

1

I

N + M+ N + ¡;:-:¡ +


a)

Determinar

1

e)

5

2T + 3T + 4T + ...

el carácter

297

INFINITAS

1

1

1

1

1

1

I

n-

38.

Determinar si son ciertas o no las siguientes conclusiones: Una serie alternada en la que cada término, en valor absoluto, es menor que el anterior, b) Una serie alternada absolutamente convergente es convergente.

es convergente,

a)

39.

Determinar

el campo

de convergencia

de las series siguientes: d)

2

X

b)

x3

e)

X3

x'

33 . 3

3' . 4

X

-+--+--+--+ 3 . 1 32 . 2

SOLUCIONES

DE LOS

2

6

"3'

"5' "3

23.

a)

4 +

b)

2+-3-+4+-5-'~

2

\O

ese n a)

2n

+

1

7

2'

b)

1,

5

1

s' S

-1,

e)

I

2' -6'

e)

J4 . Jn+I

.fi

I

2

(X + 2)3

.fi

+

b)

I

---

I .2. 3

2"

+

1

3

24

d)

1'"7'

l

l

1

(x

+

I

3 5

5 7

d) -+-+-+-'--

4

17' 3i 1

2T-4T+6T-8T; 3

e)

24.

+ 2)2

.fi.

+

+ ...

PROPUESTOS

4 3 n+1 + 28 + 82 ; 3"+I + I

.fi.

.fi

PROBLEMAS l

a)

l

(x

16x'

-

+ .,,

4

22.

1,

+ 2

.fi

e)

8x3

x7

:es

"3 + 5" - 7'

:e -

:e

...

+

2x - 4x2

(-1)" (2n + 2)!

7 2n + 1 9 ' 2n + 3

x ~ ~ ~ + --+ ---' -------2 . 3 . 4 3 . 4 . 5 4 . 5 . 6' (n + l)(n + 2)(n + 3)

+ ---

n

e) (n

+

+ 3)(n

2

2n

+

4)

d)

2"+I

_


+ 2)'

J4

+ ...

298

SERIES INFINITAS (-Irl

25.

a)

d)

b)

u.

=

2n-1 -2-'-;

e)

u.

=

2n (2n _ 1)(2n + 1);

u.

27.

e)

32

a)

UIO

a)

29.

a)

(-Ir 2n + 1

U.+I

(-lrx"+1 n + 1

x"-I

2n + 2 (2n + 1)(2n + 3)

=

=

f)

e)

= 2'

U.

1)

x"

(2n _ 1)'; u. + I = 2' (2n

I

(x -

1)2

(x -

1)3

(x -

+

1)'

1)4

--1'- - --2-'- + --3-'- - --4-'- + ...

2,4166 ... , U20 = 59/22 = 2,6818 ... , UIOO , UIO 000 = 2,9993. . . Tiende a 3.

=

299/102

=

2,9313 ...

,

= 2,9930 ...

UIOOO

28.

=

29/12

=

Un+1

n

1 1 1 + 52 + 72 + 92 + ...

=

u. + I

2n+1

=~

U.+I

(x -

1

= z;;-=-¡;

b)

5/3

4

°

e)

12

d)

e)

1/2

acotada, monótona creciente, tiene límite. acotada, no es ni monótona creciente ni decreciente, tiene límite. e), d) no está acotada, no es ni monótona creciente ni decreciente, no tiene límite. e) acotada, monótona decreciente, tiene límite.

b)

1

2

4 8 27 + 8J

a)

"3 + "9 +

b)

SI = 0,33333 S6 = 0,91220 Tiende a l.

e)

Suma de n términos,

S. = 1 - (2/3)0.

31.

a)

SI = 1, S2 = -2,

=

32.

a)

No

33.

a)

convergente

b)

34.

a)

convergente

b)

30.

b)

, ,

S2 S7

0,55555 0,94147

=

, ,

S3 S.

= =

0,70370 0,96098

b)

divergente

e)

convergente

divergente

e)

convergente

3, S4

, ,

S4 S9

= =

0,80246 0,97398

0,86831. .. 0,98265 ...

La serie diverge.

d)

convergente

e)

divergente

d)

convergente

e)

divergente

No

convergente

b)

divergente

e)

divergente

d)

convergente

36.

a)

convergente

b)

convergente

e)

divergente

d)

convergente

37.

a)

absolutamente convergente condicionalmente convergente absolutamente convergente

d)

b) e)

condicionalmente convergente absolutamente convergente absolutamente convergente

a)

falsa

a)

-1

:;'i;x:;'i; 1

e)

-1

b)

-3

:;'i;x < 3

d)

--! <

e)

f)

cierta

\

39.

= =

e)

a)

b)

Ss SIO

lim So no existe.

35.

38.

, ,

lim So = 1, la serie converge.

-4,

S3 e)

Sí

= =

:;'i;x ~ 1 x <

t

e)

-3:;'i;x<-1

f)

-oo

e)

convergente

f) f) f)

divergente divergente divergente

APENDICE APENDICE


300

Tabla de logaritmos decimales N

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

0000 0414 0792 1139 1461

0043 0453 0828 1173 1492

0086 0492 0864 1206 1523

0128 0531 0899 1239 1553

0170 0569 0934 1271 1584

0212 0607 0969 1303 1614

0253 0645 1004 1335 1644

0294 0682 1038 1367 1673

0334 0719 1072 1399 1703

0374 0755 1106 1430 1732

15 16 17 18 19

1761 2041 2304 2553 2788

1790 2068 2330 2577 2810

1818 2095 2355 2601 2833

1847 2122 2380 2625 2856

1875 2148 2405 2648 2878

1903 2175 2430 2672 2900

1931 2201 2455 2695 2923

1959 2227 2480 2718 2945

1987 2253 2504 2742 2967

2014 2279 2529 2765 2989

20 21 22 23 24

3010 3222 3424 3617 3802

3032 3243 3444 3636 3820

3054 3263 3464 3655 3838

3075 3284 3483 3674 3856

3096 3304 3502 3692 3874

3118 3324 3522 3711 3892

3139 3345 3541 3729 3909

3160 3365 3560 3747 3927

3181 3385 3579 3766 3945

3201 3404 3598 3784 3962

25 26 27 28 29

3979 4150 4314 4472 4624

3997 4166 4330 4487 46<:9

4014 4183 4346 4502 4654

4031 4200 4362 4518 4669

4048 4216 4378 4533 4683

4065 4232 4393 4548 4698

4082 4249 4409 4564 4713

4099 4265 4425 4579 4728

4116 4281 4440 4594 4742

4133 4298 4456 4609 4757

30 31 32 33 34

4771 4914 5051 5185 5315

4786 4928 5065 5198 5328

4800 4942 5079 5211 5340

4814 4955 5092 5224 5353

4829 4969 5105 5237 5366

4843 4983 5119 5250 5378

4857 4997 5132 5263 5391

4871 5011 5145 5276 .5403

4886 5024 5159 5289 5416

4900 5038 5172 5302 5428

35 36 37 38 39

5441 5563 5682 5798 5911

5453 5575 5694 5809 5922

5465 5587 5705 5821 5933

5478 5599 5717 5832 5944

5490 5611 5729 5843 5955

5502 5623 5740 5855 5966

5514 5635 5752 5866 5977

5527 5647 5763 5877 5988

5539 5658 5775 5888 5999

5551 5670 5786 5899 6010

40 41 42 43 44

6021 6128 6232 6335 6435

6031 6138 6243 6345 6444

6042 6149 6253 6355 6454

6053 6160 6263 6365 6464

6064 6170 6274 6375 6474

6075 6180 6284 6385 6484

6085 6191 6294 6395 6493

6096 6201 6304 6405 6503

6107 6212 6314 6415 6513

6117 6222 6325 6425 6522

45 46 47 48 49

6532 6628 6721 6812 6902

6542 6637 6730 6821 6911

6551 6646 6739 6830 6920

6561 6656 6749 6839 6928

6571 6665 6758 6848 6937

6580 6675 6767 6857 6946

6590 6684 6776 6866 6955

6599 6693 6785 6875 6964

6609 6702 6.794 6884 6972

6618 6712 6803 6893 6981

50 51 52 53 54

6990 7076 7160 7243 7324

6998 7084 7168 7251 7332

7007 7093 7177 7259 7340

7016 7101 7185 7267 7348

7024 7110 7193 7275 7356

7033 7118 7202 7284 7364

7042 7126 7210 7292 7372

7050 7135 7218 7300 7380

7059 7143 7226 7308 7388

7067 7152 7235 7316 7396

N

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

No/a: Por razones tipográficas se ha conservado en estas tablas la notación decimal de la edición en inglés.


301

Tabla de logaritmos decimales N

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

55 56 57 58 59

7404 7482 7559 7634 7709

7412 7490 7566 7642 7716

7419 7497 7574 7649 7723

7427 7505 7582 7657 7731

7435 7513 7589 7664 7738

7443 '1520 7597 7672 7745

7451 7528 7604 7679 7752

7459 7536 7612 7686 7760

7466 7543 7619 7694 7767

7474 7551 7627 7701 7774

60 61 62 63 64

7782 7853 7924 7993 8062

7789 7860 7931 8000 8069

7796 7868 7938 8007 8075

7803 7875 7945 8014 8082

7810 7882 7952 8021 8089

7818 7889 7959 8028 8096

7825 7896 7966 8035 8102

7832 7903 7973 8041 8109

7839 7910 7980 8048 8116

7846 7917 7987 8055 8122

65 66 67 68 69

8129 8195 8261 8325 8388

8136 8202 8267 8331 8395

8142 8209 8274 8338 8401

8149 8215 8280 8344 8407

8156 8222 8287 8351 8414

8162 8228 8293 8357 8420

8169 8235 8299 8363 8426

8176 8241 8306 8370 8432

8182 8248 8312 8376 8439

8189 8254 8319 838? 8445

70 71 72 73 74

8451 8513 8573 8633 8692

8457 8519 8579 8639 8698

8463 8525 8585 8645 8704

8470 8531 8591 8851 8710

8476 8537 8597 8657 '8716

8482 8543 8603 8663 8722

8488 8549 8609 8669 8727

8494 8555 8615 8675 8733

8500 8561 8621 8681 8739

8506 8567 8627 8686 8745

75 76 77 78 79

8751 8808 8865 8921 8976

8756 8814 8871 8927 8982

8762 8820 8876 8932 8987

8768 8825 8882 8938 8993

8774 8831 8887 8943 8998

8779 8837 8893 8949 9004

8785 8842 8899 8954 9009

8791 8848 8904 8960 9015

8797 8854 8910 8965 9020

8802 8859 8915 8971 9025

80 81 82 83 84

9031 9085 9138 9191 9243

9036 9090 9143 9196 9248

9042 9096 9149 9201 9253

9047 9101 9154 9206 9258

9053 9106 9159 9212 9263

9058 9112 9165 9217 9269

9063 9117 9170 9222 9274

9069 9122 9175 9227 9279

9074 9128 9180 9232 9284

9079 9133 9186 9238 9289

85 86 87 88 89

9294 9345 9395 9445 9494

9299 9350 9400 9450 9499

9304 9355 9405 9455 9504

9309 9360 9410 9460 9509

9315 9365 9415 9465 9513

9320 9370 9420 9469 9518

9325 9375 9425 9474 9523

9330 9380 9430 9479 9528

9335 9385 9435 9484 9533

9340 9390 9440 9489 9538

90 91 92 93 94

9542 9590 9638 9685 9731

9547 9595 9643 9689 9736

9552 9600 9647 9694 9741

9557 9605 9652 9699 9745

9562 9609 9657 9703 9750

9566 9614 966} 9708 9754

9571 9619 9666 9713 9759

9576 9624 9671 9717 9763

9581 9628 967;' 9722 9768

9586 9633 9680 9727 9773

95 '96 97 98 99

9777 9823 9868 9912 9956

9782 9827 9872 9917 9961

9786 9832 9877 9921 9965

9791 9836 9881 9926 9969

9795 9841 9886 9930 9974

9800 9845 9890 9934 9978

9805 9850 9894 9939 9983

9809 9854 9899 9943 9987

9814 9859 9903 9948 9991

9818 9863 9908 9952 9996

N

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9


302

Tabla de interés compuesto: (1 +

r-.

1%

1~%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. 0100 1. 0201 1. 0303 1.0406 1. 0510 1. 0615 1.0721 1. 0829 1. 0937

1. 0125 1. 0252 1. 0380 1. 0509 1.0641 1. 0774 1. 0909 1. 1045 1. 1183

10

1. 1046

11 12 13 14

1~%

2%

2~%

3%

1. 0150 1.0302 1. 0457 1. 0614 1. 0773 1. 0934 1. 1098 1. 1265 1. 1434

1. 0200 1. 0404 1. 0612 1. 0824 1. 1041 1.1262 1. 1487 1.1717 1. 1951

1. 0250 1. 0506 1. 0769 1. 1038 1. 1314 1.1597 1. 1887 1. 2184 1. 2489

1. 0300 1. 0609 1. 0927 1. 1255 1. 1593 1. 1941 1. 2299 1. 2668 1. 3048

1. 1323

1. 1605

1. 2190

1. 2801

16 17 18 19

1. 1157 1. 1268 1. 1381 1. 1495 1. 1610 1. 1726 1. 1843 1. 1961 1. 2081

1. 1464 1. 1608 1. 1753 1. 1900 1. 2048 1. 2199 1. 2351 1. 2506 1. 2662

1. 1779 1. 1956 1. 2136 1. 2318 1. 2502 1. 2690 1. 2880 1. 3073 1. 3270

1. 2434 1. 2682 1. 2936 1.3195 1. 3459 1. 3728 1. 4002 1. 4282 1. 4568

20

1. 2202

1. 2820

1. 3469

21 22 23 24 25 26 27 28 29

1. 2324 1. 2447 1. 2572 1. 2697 1. 2824 1.2953 1.3082 1. 3213 1.3345

1. 2981 1.3143 1. 3307 1. 3474 1. 3642 1. 3812 1.3985 1. 4160 1. 4337

30

1. 3478

31 32 33 34 35 36 37 38 39

it 5%

6%

1. 0400 1. 0816 1. 1249 1. 1699 1. 2167 1. 2653 1. 3159 1. 3688 1. 4233

1. 0500 1. 1025 1. 1576 1. 2155 1. 2763 1. 3401 1. 4071 1. 4775 1. 5513

1. 0600 1. 1236 1. 1910 1. 2625 1. 3382 1. 4185 1. 5036 1. 5938 1. 6895

1. 3439

1.4802

1. 6289

1. 7908

1. 3121 1. 3449 1. 3785 1. 4130 1. 4483 1. 4845 1.5216 1. 5597 1. 5987

1. 3842 1. 4258 1. 4685 1. 5126 1. 5580 1. 6047 1. 6528 1. 7024 1. 7535

1. 5395 1. 6010 1. 6651 1. 7317 1. 8009 1.8730 1. 9479 2.0258 2. 1068

1. 7103 1. 7959 1. 8856 1. 9799 2.0789 2.1829 2.2920 2.4066 2.5270

1. 8983 2.0122 2. 1329 2.2609 2.3966 2.5404 2.6928 2.8543 3.0256

1. 4859

1. 6386

1.8061

2.1911

2.6533

3.2071

1. 3671 1. 3876 1. 4084 1. 4295 1.4509 1. 4727 1. 4948 1.5172 1. 5400

1. 5157 1. 5460 1. 5769 1. 6084 1.6406 1.6734 1. 7069 1. 7410 1. 7758

1. 6796 1. 7216 1.7646 1. 8087 1. 8539 1. 9003 1. 9478 1. 9965 2.0464

1. 8603 1. 9161 1. 9736 2.0328 2.0938 2.1566 2.2213 2.2879 2.3566

I 2.2788 ! 2.3699 2.4647 2.5633 2.6658 2.7725 2.8834 2.9987 3.1187

2.7860 2.9253 3.0715 3.2251 3.3864 3.5557 3.7335 3.9201 4.1161

3.3996 3.6035 3.8197 4.0489 4.2919 4.5494 4.8223 5. 1117 5.4184

1.4516

1.5631

1.8114

2.0976

2.4273

3.2434

4.3219

5.7435

1. 3613 1. 3749 1.3887 1. 4026 1. 4166 1. 4308 1. 4451 1. 4595 1. 4741

1. 4698 1. 4881 1. 5067 1. 5256 1. 5446 1. 5639 1. 5835 1. 6033 1. 6233

1. 5865 1. 6103 1. 6345 1. 6590 1. 6839 1. 7091 1. 7348 1. 7603 1. 7872

1. 8476 1.8845 1. 9222 1. 9607 1. 9999 2.0399 2.0807 2. 1223 2.1647

2.1;;)0 2.2038 2.2589 2.3153 2.3732 2.4325 2.4933 2.5557 2.6196

2.5001 2.5751 2.6523 2.7319 2.8139 2.8983 2.9852 3.0748 3. 1670

'3.3731 3.5081 3.6484 3.7943 3.9461 4.1039 4.2681 4.4388 4.6164

4.5380 4.7649 5.0032 5.2533 5.5160 5.7918 6.0814 6.3855 6.7048

6.0881 6.4534 6.8406 7.2510 7.6861 8.1473 8. 6361 9. 1543 9.7035

40

1. 4889

1. 6436

1.8140

2.2080

2.6851

3.2620

4.8010

7.0400

10.2857

41 42 43 44 45 46 47 48 49

1. 5038 1. 5188 1.5340 1. 5493 1. 5648 1. 5805 1. 5963 1. 6122 1. 6283

1. 6642 1. 6850 1. 7060 1. 7274 1. 7489 1.7708 1.7929 1. 8154 1. 8380

1. 8412 1. 8688 1. 8969 1. 9253 1. 9542 1. 9835 2.0133 2.0435 2.0741

2.2522 2.2972 2.3432 2.3901 2.4379 2.4866 2.5363 2.5871 2.6388

2.7522 2.8210 2.8915 2.9638 3.0379 3.1139 3.1917 3.2715 3.3533

3.3599 3.4607 3.5645 3.6715 3.7816 3.8950 II 4.0119 4. 1323 4.2562

4.9931 5.1928 5.4005 5.6165 5.8412 6.0748 6.3178 6.5705 6.8333

7.3920 7.7616 8. 1497 8.5572 8.9850 9.4343 9.9060 10.4013 10.9213

10.9029 11. 5570 12.2505 12.9855 13.7646 14.5905 15.4659 16.3939 17.3775

50

1. 6446

1.8610

2.1052

2.6916

3.4371

4.3839

7. 1067

11. 4674

18.4202

1p

I


4%

303

Valor actual después de n periodos: (1 la

lH;,

i) - n

3%

4%

5%

6%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

.99010 .98030 .97059 .96098 .95147 .94205 .93272 .92348 .91434

.98765 .97546 .96342 .95152 .93978 .92817 .91672 .90540 .89422

.98522 .97066 .95632 .94218 .92826 .91454 .90103 .88771 .87459

.98039 .96117 .94232 .92385 .90573 .88797 .87056 .85349 .83676

.97561 .95181 .92860 .90595 .88385 .86230 .84127 .82075 .80073

.97087 .94260 .91514 .88849 .86261 .83748 .81309 .78941 .76642

.96154 .92456 .88900 .85480 .82193 .79031 .75992 .73069 .70259

.95238 .90703 .86384 .82270 .78353 .74622 .71068 .67684 .64461

.94340 .89000 .83962 .79209 .74726 .70496 .66506 .62741 .59190

10

.90529

.88318

.86167

.82035

.78120

.74409

.67556

.61391

.55839

11 12 13 14 15 16 17 18 19

.89632 .88745 .87866 .86996 .86135 .85282 .84438 .83602 .82774

.87228 .86151 .85087 .84037 .82999 .81975 .80963 .79963 .78976

.84893 .83639 .82403 .81185 .79985 .78803 .77639 .76491 .75361

.80426 .78849 .77303 .75788 .74301 .72845 .71416 .70016 .68643

.76214 .74356 .72542 .70773 .69047 .67362 .65720 .64117 .62553

.72242 .70138 .68095 .66112 .64186 .62317 .60502 .58739 .57029

.64958 .62460 .60057 .57748 .55526 .53391 .51337 .49363 .47464

.58468 .55684 .53032 .50507 .48102 .45811 .43630 .41552 .39573

.52679 .49697 .46884 .44230 .41727 .39365 .37136 .35034 .33051

20

.81954

.78001

.74247

.67297

. 61027

.55368

.45639

.37689

.31180

21 22 23 24 25 26 27 28 29

.81143 .80340 .79544 .78757 .77977 .77205 .76440 .75684 .74934

.77038 .76087 .75147 .74220 .73303 .72398 .71505 .70622 .69750

.73150 .72069 .71004 .69954 .68921 .67902 .66899 .65910 .64936

.65978 .64684 .63416 .62172 .60953 .59758 .58586 .57437 .56311

.59539 .58086 .56670 .55288 .53939 .52623 .51340 .50088 .48866

.53755 .52189 .50669 .49193 .47761 .46369 .45019 .43708 .42435'

.43883 .42196 .40573 .39012 .37512 .36069 .34682 .33348 .32065

.35894 .34185 .32557 .31007 .29530 .28124 .26785 .25509 .24295

.29416 .27751 .26180 .24698 .23300 .21981 .20737 .19563 .18456

30

. 74í92

.68889

.63976

.55207

.47674

.41199

.30832

.23138

.17411

31 32 33 34 35 36 37 38 39

.73458 .72730 .72010 .71297 .70591 .69892 .69200 .68515 .67837

.68038 .67198 .66369 .65549 .64740 .63941 .63152 .62372 .61602

.63031 .62099 .61182 .60277 .59387 .58509 .57644 .56792 .55953

.54125 .46511 .53063 ' .45377 .52023 .44270 .51003 .43191 .511003 .42137 .49022 .41109 .48061 .40107 .47119 .39128 .46195 .38174

.39999 .38834 .37703 .36604 .35538 .34503 .33498 .32523 .31575

.29646 .28506 .27409 .26355 .25342 .24367 .23430 .22529 .21662

.22036 .20987 .19987 .19035 .18129 .17266 .16444 .15661 · 14915

· 16425 · 15496 .14619 .13791 · 13011 .12274 .11579 .10924 · ¡0306

40

.67165

.60841

.55126

.45289

.37243

.30656

.20829

· 14205

.09722

41 42 43 44 45 46 47 48 49

.66500 .65842 .65190 .64545 .63905 .63273 .62646 .62026 .61412

.60090 .59348 .58616 .57892 .57177 .56471 .55774 .55086 .54406

.54312 .53509 .52718 .51939 .51171 .50415 .49670 .48936 .48213

.44401 .43530 .42677 .41840 .41020 .40215 .39427 .38654 .37896

.36335 .35448 .34584 .33740 .32917 .32115 .31331 .30567 .29822

.29763 .28896 .28054 .27237 .26444 .25674 .24926 .24200 .23495

.20028 . H1257 . 18517 .17805 .17120 .16461 .15828 .15219 .14634

· 13528 .12884 · 12270 · 11686 .11130 .106ÓO .10095 .09614 .09156

.09172 .08653 .08163 .07701 .07265 .06854 .06466 .06100 .05755

50

.60804

.53734

.47500

.37153

.29094

.22811

.14071

.08720

.05429

1%

~

2%

+

2~%


304

Capital de una anualidad

rx 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sñ1 i

(l+i)n-1 i

1%

1-4%

1~%

2%

2,%

3%

4%

5%

6%

1. 0000 2.0100 3.0301 4.0604 5.1010 6.1520 7.2135 8.285~ 9.3685

1. 0000 2.0125 3.0377 4.0756 5.1266 6.1907 7.2680 8.3589 9.4634

1. 0000 2.0150 3.0452 4.0909 5.1523 6.2296 7.3230 8.4328 9.5593

1. 0000 2.0,200 3.0604 4. 1216 5.2040 6.3081 7.4343 8.5830 9.7546

1. 0000 2.0250 3.0756 4.1525 5.2563 6.3877 7.5474 8.7361 9.9545

1.0000 2.0300 3.0909 4.1836 5.3091 6.4684 7.6625 8.8923 10. 1591

1. 0000 2.0400 3.1216 4.2465 5.4163 6.6330 7.8983 9.2142 10.5828

1. 0000 2.0500 3. 1525 4.3101 5.5256 6.8019 8.1420 9.5491 11. 0266

1. 0000 2.0600 3.1836 4.3746 5.6371 6.9753 8.3938 9.8975 11. 4913

10

10.4622

10.5817

10.7027

10.9497

11.2034

11. 4639

12.0061

12.5779

13.1808

11 12 13 14 15 16 17 18 19

11.5668 12.6825 13.8093 14.9474 16.0969 17.2579 18.4304 19.6147 20.8109

11. 7139 12.8604 14.0211 15.1964 16.3863 17.5912 18.8111 20.0462 21. 29f:8

11.8633 13.0412 14.2368 15.4504 16.6821 17.9324 19.2014 20.4894 21. 7967

12.1687 13.4121 14.6803 15.9739 17.2934 18.6393 20.0121 21.4123 22.8406

12.4835 13.7956 15. 1404 16.5190 17.9319 19.3802 20.8647 22.3863 23.9460

12.8078 14. 1920 15.6178 17.0863 18.5989 20.1569 21. 7616 23.4144 25.1169

13.4864 15.0258 16. 6268 18.2919 20.0236 21. 8245 23.6975 25.6454 27.6712

14.2068 15.9171 17.7130 19.5986 21. 5786 23.6575 25.8404 28.1324 30.5390

14.9716 16.8699 18.8821 21. 0151 23.2760 25.6725 28.2129 30.9057 33.7600

20

22.0190

22.5630

23. 1237

24.2974

25.5447

26.8704

29.7781

33.0660

36.7856

21 22 23 24 25 26 27 28 29

23.2392 24.4716 25.7163 26.9735 28.2432 29.5256 30.8209 32.1291 33.4504

23.8450 25.1431 26.4574 27.7881 29.1354 30.4996 31. 8809 33.2794 34.6954

24.4705 25.8376 27.2251 28.6335 30.0630 31. 5140 32.9867 34.4815 35.9987

25.7833 27.2990 28.8450 30.4219 32.0303 33.6709 35.3443 37.0512 38.7922

27.1833 28.8629 30.5844 32.3490 34.1578 36.0117 37.9120 39.8598 41.8563

28.6765 30.5368 32.4529 34.4265 36.4593 38.5530 40.7096 42.9309 45.2189

31. 9692 34.2480 36.6179 39.0826 41. b459 44.3117 47.0842 49.9676 52.9663

35.7193 38.5052 41. 4305 H.5020 47.7271 51. 1135 54.6691 58.4026 62.3227

39.9927 43.3923 46.9958 50.8156 54.8E45 59.1564 63.7058 68.5281 73.6398

30

34.7849

36. 1291

37.5387

40.5681

43.9027

47.5754

66.4388

79.0582

31 32 33 34 35 36 37 38 39

36.1327 37.4941 38.8690 40.2577 41. 6603 43.0769 44.5076 45.9527 47.4123

37.5807 39.0504 40.5386 42.0453 43.5709 45.1155 46.6794 48.2629 49.8662

39.1018 40.6883 42.2986 43.9331 45.5921 47.2760 48.9851 50.7199 52.4807

42.3794 44.2270 46.1116 48.0338 49.9945 51. 9944 54.0343 56.1149 58.2372

46.0003 48.1503 50.3540 52.6129 54.9282 57.3014 59.7339 62.2273 64.7830

50.0027 52.5028 55.0778 57.7302 60.4621 63.2759 66. 1742 69. 1594 72.2342

59.3283 62.7015 66.2095 69.8579 73.6522 77.5983 81. 7022 85.9703 90.4091

70.7608 75.2988 80.0638 85.0670 90.3203 95.8363 101. 6281 107.7095 114.0950

84.8017 90.8898 97.3432 104.1838 111. 4348 119.1209 127.2681 135.9042 145.0585

40

48.8864

51. 4896

54.2679

60.4020

67.4026

75.4013

95.0255

120.7998

154.7620

41 42 43 44 45 46 47 48 49

50.3752 51. 8790 53.3978 54.9318 5"6.4811 58.0459 59.6263 61. 2226 62.8348

53.1332 54.7973 56.4823 58.1883 59.9157 6.1.6646 63.4354 65.2284 67.0437

56.0819 62.6100 57.9231 64.8622 59.7920 67. 1595 61.6889 69.5027 63.6142 - 71. 8927 65.5684 74.3306 67.5519 76.8172 69.5652 79.3535 -71. 6087 81. 9406

70.0876 72.8398 75.6608 78.5523 81. 5161 84.5540 87.6679 90.8596 94.1311

78.6633 82.0232 85.4839 89.0484 92.7199 96.5015 100.3965 104.4084 108.5406

99.8265 104.8196 110.0124 115.4129 121. 0294 126.8706 132.9454 139.2632 145.8337

127.8398 165.0477 135.2318 175.9505 142.9933 187.5076 151. 1430 199.7580 159.7002 212.7435 168.6852 226.5081 178.1194 241. 0986 188.0254 256.5645 198.4267 272.9584

50

64.4632

68.8818

97.4843

112.7969

152.6671

209.3480

73.6828

84.5794


. 56.0849

290.3359

305 1 - (1 + i)- n

Valor actual de una anualidad 1%

1-4%

1~%

2%

2~%

3%

4%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.9901 1. 9704 2.9410 3.9020 4.8534 5.7955 6.7282 7.6517 8.5660

0.9877 1. 9631 2.9265 3.8781 4.8178 5.7460 6.6627 7.5681 8.4623

0.9852 1. 9559 2.9122 3.8544 4.7826 5.6972 6.5982 7.4859 8.3605

0.9804 1. 9416 2.8839 3.8077 4.7135 5.6014 6.4720 7.3255 8.1622

0.9756 1. 9274 2.8560 3.7620 4. 6458 5.5081 6.3494 7.1701 7.9709

0.9709 1. 9135 2.8286 3.7171 4.5797 5.4172 6.2303 7.0197 7.7861

0.9615 1. 8861 2.7751 3.6299 4.4518 5.2421 6.0021 6.7327 7.4353

0.9524 1. 8594 2.7232 3.5460 4.3295 5.0757 5.7864 . 6.4632 7.1078

0.9434 1. 8334 2.6730 3.4651 4.2124 4.9173 5.5824 6.2098 6.8017

10

9.4713

9.3455

9.2222

8.9826

8.7521

8.5302

8.1109

7.7217

7.3601

11 12 13 14 15 16 17 18 19

10.3676 11.2551 12.1337 13.0037 13.8651 14.7179 15.5623 16.3983 17.2260

10.2178 11. 0793 11. 9302 12.7706 13.6005 14.4203 15.2299 16.0295 16.8193

10.0711 10.9075 11. 7315 12.5434 13.3432 14.1313 14.9076 15.6726 16.4262

9.7868 10.5753 11. 3484 12. 1062 12.8493 13.5777 14.2919 14.9920 15.6785

9.5142 10.2578 10.9832 11. 6909 12.3814 13.0550 13.7122 14.3534 14.9789

9.2526 9.9540 10.6350 11. 2961 11. 9379 12.5611 13.1661 13.7535 14.3238

8.7605 9.3851 9.9856 10.5631 11. 1184 11. 6523 12.1657 12. 6593 13.1339

8.3064 8.8633 9.3936 9.8986 10.3797 10.8378 11.2741 11.6896 12.0853

7.8869 8.3838 8.8527 9.2950 9.7122 10.1059 10.4773 10.8276 11.1581

~

5%

6%

20

18.0456

17.5993

17.1686

16.3514

15.5892

14.8775

13.5903

12.4622

11.4699

21 22 23 24 25 26 27 28 29

18.8570 19.6604 20.4558 21. 2434 22.0232 22.7952 23.5596 24.3164 25.0658

18.3697 19. 1306 19.8820 20.6242 21. 3573 22.0813 22.7963 23.5025 24.2000

17.9001 18.6208 19.3309 20.0304 20.7196 21. 3986 22.0676 22.7267 23.3761

17.0112 17.6580 18.2922 18.9139 19.5235 20. 1210 20.7069 21.2813 21. 8444

16. 1845 16.7654 17.3321 17.8850 18.4244 18.9506 19.4640 19.9649 20.4535

15.4150 15.9369 16.4436 16.9355 17.4131 17.8768 18.3270 18.7641 19.1885

14.0292 14.4511 14.8568 15.2470 15.6221 15.9828 16.3296 16.6631 16.9837

12.8212 13.1630 13.4886 13.7986 14.0939 14.3752 14.6430 14.8981 15.1411

11.7641 12.0416 12.3034 12.5504 12. 7834 13.0032 13.2105 13.4062 13.5907'

30

25.8077

24.8889

24.01-58

22.3965

20.9303

19.6004

17.2920

15.3725

13.7648

31 32 33 34 35 36 37 38 39

26.5423 27.2696 27.9897 28.7027 29.4086 30. 1075 30.7995 31. 4847 32. 1630

25.5693 26.2413 26.9050 27.5605 28.2079 28.8473 29.4788 30.1025 30.7185

24.6461 25.2671 25.8790 26.4817 27.0756 27.6607 28.2371 28.8051 29.3646

22.9377 23.4683 23.9886 24.4986 24.9986 25.4888 25.9695 26.4406 26.9026

21. 3954 21. 8492 22.2919 22.7238 23.1452 23.5563 23.9573 24.3486 24.7303

20.0004 20.3888 20.7658 21. 1318 21. 4872 21. 8323 22. 1672 22.4925 22. 8082

17.5885 17.8736 18.1476 18.4112 18.6646 18.9083 19. 1426 19.3679 19.5845

15.5928 15.8027 16.0025 16.1929 16.3742 16.5469 16.7113 16.8679 17.0170

13.9291 14.0840 14.2302 14.3681 14.4982 14.6210 14.7368 14.8460 14.9491

40

32.8347

31.32C9

29.9158

27.3555

25. 1028

23.1148

19.7928

17.1591

15.0463

41 42 43 44 45 46 47 48 49

33.4997 34.1581 34.8100 35.4555 36.0945 36.7272 37.3537 37.9740 38.5881

31. 9278 32.5213 33. 1075 33.6864 34.2582 34.8229 35.3806 35.9315 36.4755

30.4590 30.9941 31. 5212 32.0406 32.5523 33.0565 33.5532 3-1.0426 34.5247

27.7995 28.2348 28.6616 29.0800 29.4902 29.8923 30.2866 30.6731 31.0521

25.4661 25.8206 26.1664 26.5038 26.8330 27. 1542 27.4675 27.7732 28.0714

23.4124 23.7014 23.9819 24.2543 24.5187 2.•. 7754 2C,.0247 25.2667 25.5017

19.9931 20.1856 20.3708 20.5488 20.7200 20. 8847 21. 0429 21. 1951 21.3415

17.2944 17.4232 17.5459 17.6628 17.7741 17.8801 17.9810 18.0772 18.1587

15.1380 15.22~5 15.3062 15.3832 15.~558 15.52-14 15.5890 15.6500 15.7076

50

39.1961

37.0129

34.9997

31. 4236

28.3623

25. 7~98

21. ~822

18.2559


1

15.7619

A A A A A A A A A A A A A A A A

A

A A A A

B,

Bi


INDICE INDICE

Cálculo, Cálculo, 81 81,, 83 Campo variación de una variable, variable, 76 Campo de variación de una Características de un logaritmo, 210, 211, 211, 215 215 Características de un logaritmo, 210, Cero, Cero, 1, 2 división por, 1, 5 división por, exponente, 43, 45 exponente, 43, grado, grado, 12 multiplicación por, por, 2 multiplicación 235 Circulares, permutaciones, 230, 230, 235 Circulares, permutaciones, Circunferencia, 81, 127, \30 \30 Circunferencia, División) Cociente, Cociente, 1 (véase (véase también también División) Coeficientes, 11 11 Coeficientes, del binomio, binomio, 156 relaciones con las 198-200 relaciones con las raíces, raíces, 185, 198-200 Cologaritmo, 212, 217, Cologaritmo, 212, 217, 218 218 Combinaciones, 229-231, Combinaciones, 229-231, 235-238 235-238 Comparación, criterio, 283, Comparación, criterio, 283, 289, 289, 290 290 series, 283 series, 283 Compatibles, ecuaciones, 101 101,, 263, Compatibles, ecuaciones, 263, 271 Complejas, fracciones, fracciones, 37, 39, 39, 40 Complejas, raíces de ecuaciones, ecuaciones, 111 111,, 116, 116, 183, 190 raíces de Complejo, número, 63-65, 172-179 172-179 Complejo, número, 63-65, amplitud, 172, 174, 175 amplitud, argumento, argumento, 172, 174, 175 conjugado, 63 conjugado, división en forma forma polar, división polar, 173 forma polar, forma polar, 172, 174, 175 forma rectangular, 172, 176 forma rectangular, 172, igualdad, igualdad, 63 imaginario imaginario puro, puro, 63 módulo, módulo , 172, 174, 175 multiplicación forma polar, multiplicación en forma polar, 173 operaciones algebraicas, algebraicas, 63-65 63-65 operaciones parte parte imaginaria, imaginaria, 63 parte parte real, real, 63 potenciación, potenciación, 63, 65, 173, 177 radicación forma polar, 177-179 radicación en forma polar, 173, 177-179 representación gráfica, 172 representación gráfica, suma y resta suma resta gráficamente, gráficamente, 174 teorema de Moivre, 173 teorema de Moivre, valor absoluto, 172, 174, 175 valor absoluto,

Abscisa, 77 Abscisa, Absoluta, convergencia, 283, 292 292 Absoluta, convergencia, 283, desigualdad desigualdad, , 167 Absoluto, valor, valor, 2, 6, 7 Absoluto, de un número número complejo, complejo, 172, 174 Acotada, sucesión monótona, 282, 282, 287 287 Acotada, sucesión monótona, Actual, valor, valor, 222, 222, 223 223 Actual, de una una anualidad, 223, 226, 226, 227 anualidad, 223, Adición (véase Adición (véase Suma) Suma) Adjunto, 262, 262, 267-269 267-269 Adjunto, Algebra, operaciones Algebra, operaciones fundamentales, fundamentales, teorema fundamental, 183 teorema fundamental, Algebraica, expresión, 11 Algebraica, expresión, Alternadas, series, 283, Alternadas, series, 283, 291 Amortización, Amortización, 227 Antilogaritmo, Antilogaritmo, 211, 211, 215 215 Anual, Anual, renta, renta, 222 222 Anualidad, Anualidad, 222, 222, 223, 223, 226, 226, 227 227 tablas, 304, 305 tablas, 304, Argumento complejo, 172, 174 Argumento de un un número número complejo, Aritmética, Aritmética, media, media, 144, 170 medias, 141,, 144, 145 medias, 141 progresión, 142-145 progresión, 140, 142-145 Armónica, Armónica, media, media, 149, 170 progresión, progresión, 141, 149, 150 serie, 283, serie, 283, 289, 289, 290, 290, 292 Armónicas, Armónicas, medias, medias, 141, 149, 150 Asociación, de términos, factores comunes, comunes, 27, Asociación, de términos, factores 27, 31 símbolos, 12 símbolos, Asociativa, Asociativa, propiedad, propiedad, 3, 5 Axiomas de la igualdad, 67, 68, 68, 70, 70, 71 Axiomas de igualdad, 67,

Base, potencias, 3, 42 Base, de las potencias, de los 209, 210 210 los logaritmos, logaritmos, 209, Binomio, 11 Binomio, coeficientes, 156 coeficientes, demostración, exponentes enteros enteros y positivos, demostración, exponentes positivos, 165, 166 desarrollo, , fórmula fórmula o teorema, desarrollo teorema, 155-161 Briggs, sistema de de logaritmos, logaritmos, 210 Briggs, sistema 210 307 307


308

INDiCE INDiCE

Compuesto, Compuesto, capital, capital, 221, 222, 222, 225 interés, interés, 221 221,, 222, 225 tablas, tablas, 303 Condicional, Condicional, convergencia, convergencia, 283, 292 desigualdad, 167 desigualdad, ecuación ecuación 67, 70 Cónicas, Cónicas, secciones, secciones, 127 Conjugado Conjugado de número número complejo, complejo, 63, 183 Conjugados, Conjugados, irracionales, irracionales, 56 Conmutativa, propiedad, 2, 3, 5 Conmutativa, propiedad, Constante, Constante, 75 de proporcionalidad, 135-138 proporcionalidad, 135-138 Continuidad, 184 Continuidad, Convergencia, 282-284, Convergencia, 282-284, 288, 294 absoluta, absoluta, 283, 283, 292 condicional, 283, 292 condicional, criterio 283, criterio de comparación, comparación, 283, 289 criterio criterio del cociente, cociente, 283, 283, 290 de series series alternadas, alternadas, 283, 283, 291 intervalo, intervalo, 284, 293 Conversión, Conversión, periodo, periodo, 221 Coordenadas cartesianas 76, 80 Coordenadas cartesianas rectangulares, rectangulares, sistema, sistema, 76, 80 Corchetes, Corchetes, 12 Cotas, de sucesiones, sucesiones, 282, 287 Cotas, superior e inferior, inferior, de raíces, raíces, 184, 193 superior Cramer, regla, regla, 253, 254, 256-258, 256-258, 263, 263, 270 Cramer, Criterio de cociente, cociente, 283, 290, 291 Criterio series 294 series de potencias, potencias, 284, 293, 294 Criterios de convergencia, convergencia, 283, 283, 284, 288-294 Criterios 284, 288-294 Cuadrado perfecto, perfecto, trinomio trinomio, , 27, 29 Cuadrado Cuadrantes, 77 Cuadrantes, Cuadrática, carácter carácter de las las raíces, raíces, 112, 116 Cuadrática, dos incógnitas, incógnitas, 110-122 110-122 de dos una incógnita, incógnita, 110-122 110-122 de una discriminante, 111,, 112, 116 discriminante, 111 ecuación, 69, 69,70, 110-122, 127-133 127-133 ecuación, 70, 110-122, formación, , dadas dadas las raíces. raíces. 112. 116 formación función, , 81 función irracional, 54, 56 irracion~l, producto de raíces, raíces, 111 111,, 116-118 116-118 producto sistemas, 127-133 127-133 sistemas, suma de raíces, raíces. 111 111,, 116-11 116-1188 suma tipos, 112, 119, 120 tipos, Cuadráticas, completando completando un cuadrado cuadrado perfecto, perfecto, 110. Cuadráticas. 111. 113 ecuaciones con con una una incógnita, incógnita, soluciones, soluciones, 110-115 110-115 ecuaciones por descomposición descomposición factores, , 110, 113 por en factores por la fórmula, fórmula, 111,114,115 111,114,115 por por métodos métodos gráficos, gráficos, 111, 115 por Cuarta proporcional, proporcional, 135-\36 Cuarta 135-136 Cuarto grado, grado, ecuación, ecuación, 69, 70 Cuarto Cúbica, , ecuación, ecuación, 69, 69. 70 Cúbica Decimales periódicos. periódicos. 148. 149 Decimales Def~tiva, , ecuación. ecuación. 68, 71 71 Def~tiva Denominador, Denominador, ll.. 35 Dependiente. variable. variable. 75 Dependiente. Dependientes, ecuaciones. ecuaciones, 101 101.. 103, 263, 263. 272 Dependientes, sucesos. 242, 242, 243 sucesos,

Descartes, regla regla de de los los signos, signos, 184, 194 Descartes, Descomposición en en factores, factores, teorema, teorema, 26 Descomposición Descuento, 222, 222, 224, 224, 225 225 Descuento, Desigualdades, 2, 6, 167-171 Desigualdades, 167-171 absolutas, 167; condicional, 167 absolutas, 167; condicional, principios, 167, 168 principios, sentidos, 167; signos, signos, 2, 167 sentidos, 167; solución gráfica, gráfica, 171 solución Determinantes, 252-258, 252-258, 260-274 260-274 Determinantes, de orden orden n, 260-274 de 260-274 de segundo segundo orden, orden, 252, 252, 255-257 255-257 de de tercer tercer orden, orden, 253-255, 253-255, 257, 257, 258 258 de desarrollo, 253, 253, 260, 260, 262 262 desarrollo, en la solución de sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales, lineales, en solución de sistemas de 252-254, 256-258, 256-258, 263, 263, 270, 270, 271 252-254, propiedades, 261, 261, 262, 262, 265-267 265-267 propiedades, Diferencia, 1 Diferencia, de cuadrados, cuadrados, 27, 27, 29 de de cubos, cubos, 27, 30, 30, 31 de tabular, 211 tabular, Discriminante, 111, 112, 116 Discriminante, Distributiva, propiedad de de la multiplicación, multiplicación, 3 Distributiva, propiedad Divergencia, 282, 282, 283, 283, 288-294 288-294 Divergencia, 289 criterio de de comparación, comparación, 283, 283, 289 criterio del del cociente, cociente, 283, 283, 290 290 Dividendo, Dividendo, 1, 14 División, División, 1, 3 de de expresiones expresiones algebraicas, algebraicas, 14, 17, 18 de de fracciones, fracciones, 4, 37, 37, 38 de de números números complejos, complejos, 64, 65, 65, 173 de de radicales, radicales, 55, 60 por por cero, cero, 1, 5 regla regla de de Rufini, Rufini, 183, 187, 188 Divisor, Divisor, 1, 14, 26 máximo máximo común, común, 28, 33 primo, primo, 26 teorema, teorema, 183, 186, 187 Doble. Doble, raíz, raíz, 110, 183, 189

e, base base de de los los logaritmos logaritmos neperianos, neperianos, 291 Ecuaciones, 87-94, 100-106, 100-106, 110-122, 110-122, 127-133, 127-133, Ecuaciones, 67-73, 67-73, 87-94, 182-202, 252-258, 182-202, 252-258, 263, 263, 270-272 270-272 cond cond icionales, icionales, 67, 67, 70 cotas cotas de de las las raíces, raíces, 184, 193, 194 cuadráticas (véase Cuadráticas, cuadráticas (véase Cuadráticas, ecuaciones) ecuaciones) cúbicas, 69, 70 cúbicas, 69, de de cuarto cuarto grado, grado, 69, 69, 70 de quinto quinto grado, grado, 69 de de raíces raíces conocidas, conocidas, 112, 116, 117, 189 de de segundo segundo grado, grado, 112, 119, 120 defectivas, defectivas, 69, 70, 70, 72, 182, 183 entera, entera, racional, racional, 69, 182 equivalentes, 68 equivalentes. exponenciales, exponenciales, 218 gráfica (véa.H' Gráficas) gráfica (véa.H' Gráficas) identidad. identidad. 67, 70 irracionales, irracionales, 68. 68. 112, 118, 119 lineales ("éase Lineales, lineales (réase Lineales, ecuaciones) ecuaciones) literales. 88 literales. miembros. miembros. 67


Ecu

re SE

su

si: so tn Elen Elip Ente Ente ra Equi fn Espe Espe Esta Expc Expc Extr: Extn

Fact, Fact, Facu Fóm

de Fórn Frac Frac al¡ co eq im op pn sig sin sin Func de gri lin mt no un

Func

Gen¡ GeOl pn GeOl ser

309 309

INDlCE INDlCE

Ecuaciones, número número de de raíces, raíces, 183 183 Ecuaciones, racionales, enteras, enteras, 69, 69, 182 182 racionales, raíces (véase (véase Raíces) Raíces) raíces raíces complejas, complejas, 183, 183, 190 190 raíces raíces irracionales, irracionales, 183, 183, 190, 190, 191 191 raíces redundantes, 68, 68, 71 71 redundantes, simétricas, 128, 128, 132, 132, 133 133 simétricas, simultáneas (véase (véase Sistemas Sistemas de de ecuaciones) ecuaciones) simultáneas sistemas de de (véase (véase Sistemas Sistemas de de ecuaciones) ecuaciones) sistemas soluciones (véase (véase Soluciones) Soluciones) soluciones transformación, 185, 196, 196, ,198 .198 185, transformación, Elemento de de un un determinante, determinante, 252, 260 260 Elemento Elipse, 127, 127, 129, 129, 130 130 Elipse, Enteras, raíces raíces de de una una ecuación, ecuación, 184 184 Enteras, Entero, número, número, 1, 1, 2 Entero, racional, 11 11,, 12, 69, 182 182 racional, Equivalentes, ecuaciones, ecuaciones, 68 68 Equivalentes, fracciones, 7, 35 fracciones, Especiales, productos, productos, 21-24 21-24 Especiales, Esperanza matemática, matemática, 243, 243, 244, 244, 148 248 Esperanza Estadísticas, gráficas, gráficas, 77, 84 Estadísticas, Exponencial, forma forma, , 209, 209, 212 Exponencial, Exponenciales, ecuaciones, ecuaciones, 21!i 21f> Exponenciales, Extrañas, raíces raíces o soluciones, soluciones, 68, 68, 71 71,, 112, 118 Extrañas, Extremos, 135 135 Extremos,

Factor (véase Divisor) Factor (véase Divisor) Factores, de composición, Factores, de composición, 26-33 26-33 Factorial, 155, 156, 156, 229 Factorial, notación, notación, 155, 229 Fórmula de resolución ecuación cuadrática, Fórmula de resolución de de una una ecuación cuadrática, 111, 111, 114, 114, 115 115 demostración, demostración, 114 114 Fórmulas, Fórmulas, 68-72 68-72 Fraccionarios, Fraccionarios, exponentes, exponentes, 43-45 43-45 Fracciones, Fracciones, 4, 4, 7, 7, 8, 8, 35-40 35-40 algebraicas 35, 275 275 algebraicas racionales, racionales, 35, complejas, complejas, 37, 37, 39, 39, 40 40 equivalentes, 7, 35 35 equivalentes, 7, impropias', impropias', 275 275 operaciones, operaciones, 4, 4, 8, 8, 36-39 36-39 propias, 275 propias. 275 signos, signos, 4, 4, 35, 35, 36 36 simples, simples, 275-279 275-279 simplificadas, 37 simplificadas, 35, 35, 37 Función, Función, 75-81 75-81 de de segundo segundo grado, grado, 81 81 gráfica, gráfica, 77, 77, 80, 80, 81 81 lineal, lineal, 80 80 multiforme, multiforme, 75 75 notación, notación , 76, 76, 79 79 uniforme, uniforme. 75 75 Fundamental. Fundamental. teorema teorema de de álgebra, álgebra, 183 183

General, General. término término enésimo, enésimo, 280, 280, 284, 284. 285 285 Geométrica, Geométrica, medida, medida, 147, 147. 170 170 progresión, progresión, 140, 140, 145-149 145-149 de de infinitos infinitos términos. términos. 141, 141 , 148. 148. 149 149 Geométricas, Geométricas, medias, medills, 141, 141, 147. 147. 148 148 series 141. 148. 148. 283 283 series infinitas, infinitas. 141.

Grado, Grado, 12, 12, 15, 15, 69, 69, 70, 70, 72, 72, 182, 182, 183 183 cero cero oo nulo, nulo, 12 12 de de un un monomio. monomio, 12 12 de de un un polinomio. polinomio, 12, 12, 15. 15, 69, 69, 70, 70, 182 182 de de un un término, término, 69 69 de de una una ecuación ecuación racional racional entera, entera, 69, 69, 72 72 de de una una expresión. expresión. 69 69 Gráfica, Gráfica, solución solución de de ecuaciones, ecuaciones, 83,100-102,111,115. 83,100-102,111, 115, 127, 127, 130, 130, 184, 184, 192, 192, 193 193 Gráficas, Gráficas. 76, 76, 77, 77, 80-84 80-84 de \02. 111 de ecuaciones, ecuaciones, de de funciones, funciones, 81, 81, 83, 83, 100100-102. 111,, 115, 115, 127, 127, 129, 129, 130, 130, 184, 184, 192, 192, 193 193 de ecuaciones ecuaciones de segundo segundo grado grado con con dos dos incógniincógnitas, 127, 127, 129, 129, 130 130 de ecuaciones ecuaciones lineales lineales de dos dos incógnitas, incógnitas, 100 100

Hipérbola, 127, 129, 130 Hipérbola, Homogéneas, Homogéneas, ecuaciones ecuaciones lineales, lineales, 263. 263. 272 Homer, Homer, método, método, 185, 200-203 200-203

p,

i, 63, 63, 172 Identidad, 67, 70 Identidad, polinomio, 183, 189 de polinomio, Imaginaria, parte parte de un un número número complejo. Imaginaria, complejo. 63 unidad, unidad, 63 Imaginarias, raíces raíces (véase raíces) Imaginarias, (véase Complejas Complejas raíces) también Complejos) Imaginarios, números, números, '2,63 Imaginarios, '2,63 (véase (véase también Complejos) Impropia, fracción, , 275 275 Impropia, fracción Incógnitas, 67, 71 , 86, 100, 100, 110, 127 Incógnitas, 67, 71, Incompatibles. ecuaciones, ecuaciones, 101, \01, 106. \06. 263. 263. 271 Incompatibles, Independiente, Independiente, variable, variable, 75 Independientes, Independientes. sucesos, sucesos, 242 242 Indice, Indice, 42, 42, 53 de de una una raíz. raíz. 53 reducción , 54, 54, 57 reducción, Inducción matemática, matemática, 163-166 163-166 Inducción Inferior, Inferior, cota cota oo límite límite de de raíces, raíces, 184, 184, 193 Infinita, progresión progresión geométrica geométrica oo serie, serie, 141, 141. 148, 148. 149, Infinita, 283 283 series, 280-298 280-298 (véase (véase también también Series) Series) series, condicional, 283, 283. 284, 284, convergencia absoluta absoluta yy condicional, convergencia 292, 292, 293 293 convergencia yy divergencia, divergencia, 282-294 282-294 convergencia 283, 284, 284, 288-294 288-294 criterios de de convergencia, convergencia, 283, criterios 141 , 148, 148, 282. 282. 288 288 suma, 141, suma, sumas parciales, parciales, 282, 282, 288 288 sumas sucesión. 280 280 (véase (véase también también Series) Series) sucesión. límite, 281, 281 , 286, 286, 287 287 límite, Infinito. Infinito. 141, 141 , 281 281 Interés, Interés. 221-225 221-225 compuesto. compuesto. 221. 221. 222. 222. 225 225 periodo periodo de de conversión. conversión . 221 221 rédito. rédito. 221. 22\. 225 225 simple. simple. 221. 221. 223. 223. 224 224 Interpelación. 211 Interpolación . de de logarumos, loga rit mos. 211 lineal. lineal. 193 193 Interva lo de de convergencia. convergencia . 284. 284. 293. 293. 294 294 Intervalo Inversiones. In versiones. 260. 260. 264 264 Irracional. Irraci onal. numero. numero . 1.1. 54 54


310

lNDlCE lNDlCE

Irracionales, 54, 56 Irracionales, binomios cuadráticos, cuadráticos. 56 binomios ecuaciones, 68, 112, 118, 119 ecuaciones, Irracionales, Irracionales. raíces, raíces, 183 183,, 184 método método de Horncr. Horncr. 185, 200-203 200-203 obtención obtención gráfica, gráfica, 83, 184, 192, 193 Irracionalidad, demostraciones, Irracionalidad, demostraciones, 73, 192

Límite Límite de una una sucesión, sucesión, 281 281,, 286, 286, 287 Lineal, función función, , 80 Lineal, interpolación, 193 interpolación, Lineales, ecuaciones, ecuaciones, 69, 70, 100-106, 100-106, 252-259, 252-259, 263, Lineales, 270-272 270-272 compatibles, 101, 263, 263, 271. 272 compatibles, de una una incógnita, incógnita, 87-94 87-94 101, 103, 263, dependientes, dependientes, 263, 272 homogéneas, homogéneas, 263, 263, 272 incompatibles, 101 incompatibles, 101,, 106, 263, 271 271,, 272 sistemas, sistemas, 100-106, 100-106, 252-254, 252-254, 256-258, 256-258, 263, 263, 270, 270, 271 solución 252-254, solución de sistemas, sistemas, por por determinantes, determinantes, 252-254, 256-258, 256-258, 263, 270, 271 terales, 1 I1 Li terales, Logaritmos, Logaritmos, 209-218 209-218 base de los neperianos, neperianos, 291 base base base del sistema, sistema, 209, 210 característica característica de los vulgares vulgares o decimales, decimales, 210, 211, 215 decimales decimales o vulgares, vulgares, 210-212, 210-212, 215-218 215-218 mantisa mantisa de los vulgares vulgares o decimales, decimales, 210, 211 propiedades, propiedades, 209, 213, 214 sistema sistema de Briggs, Briggs, 210 Llaves, 12 Llaves,

Mantisa, Mantisa, 210, 210, 211 Matemática, esperanza, esperanza, 243, 243, 244, 244, 248 Matemática, inducción, inducción, 163-166 163-166 Máximo Máximo común común divisor, divisor, 28, 33 Máximos Máximos relativos, relativos, 81 81 aplicaciones, aplicaciones, 82, 83 Mayor Mayor que, que, 2, 167 Media rroporcional, proporcional, 135-137 Media 135-137 Medias, Medias, de una una progresión, progresión, 141 141,, 144, 147-150 147-150 de una 135 una proporción, proporción, Menor que, que, 2, 167 Menor Menores 262, 267-269 Menores complementarios, complementarios, 267-269 Miembros de una una ecuación, ecuación, 67 Miembros Mínimo, común común múltiplo, múltiple, Mínimo, 28, 33, 36 denominador común, denominador común, 8, 36 Mínimos, relativos, relativos, 80, 81 Mínimos, aplicaciones, 83 aplicaciones, Minuendo, 13 13 Minuendo, Módulo de un número número complejo, complejo, 172, 174, 175 Módulo Moivre, teorema. teorema. 173 Moivre, Monomio,io, 11 II (I'éase tamhién también Término) Término] Monom Monomio, Monomio, factor factor común, común, 27, 27, 28 Monótona, sucesión, sucesión, 282, 282. 287 Monótona, Multiforme, Multiforme, función, función, 75

Multinomio, 11, 12 Multinomio, Multiplicación, 1 Multiplicación, conmutativa, conmutativa, 3, 5 de expresiones expresiones algebraicas, algebraicas, 13, 16, 17 de fracciones, fracciones, 4, 4, 36; 36; de' radicales, radicales, 55, 59 de números números complejos, complejos, 64, 64, 65, 173 distributiva, 3, 5 distributiva, por cero, cero, 2 por propiedad asocíativa, asociativa, 3, 5 propíedad regla regla de los signos, signos, 3

Po I Po f

1

POI

Pri Pri

r

Prc

Natural, Natural, número, número, 1 Negativo, número, número, 2 Negativo, Nominal, Nominal, rédito, rédito, 221, 225 Notación Notación de sumación sumación en series, series, 280, 285, 285, 286 Numerador, Numerador, 1, 35 Numérico, coeficiente, coeficiente, 2 Numérico, Número, Número, complejo complejo (véase Complejo) Complejo) imaginario, 2, 63 (véase Complejo) Complejo) imaginario, irracional, irracional, 1, 54 natural, , 1 natural negativo, negativo, 2 operaciones operaciones en el campo campo real, real, 1-8 positivo, 1, 2 positivo, primo, primo, 26 racional, 1, 2 racional, real, real, 1, 2 real gráfica, real representación representación gráfica, 2, 6 valor valor absoluto, absoluto, 2, 6, 7

Operaciones 1-3, 11-18 Operaciones fundamentales, fundamentales, Orden, de Orden, de los números números reales, reales, 2 252, de un determinante, determinante, 252, 260 260 de una una raíz raíz (véase Indice Indice de de una una raíz) raíz) Ordenada, Ordenada, 77 Origen, Origen, 2 de un un sistema sistema cartesiano cartesiano rectangular, rectangular, 76 Pago, periodo periodo o intervalo, intervalo, 222 Pago, Parábola, 80, 80, 81 81,, 127, 129, 130 Pará\Jola, vértice, vértice, 80, 81 Parciales, Parciales, sumas sumas de series, series, 282, 288 Paréntesis, Paréntesis, 1, 12 Pascal, Pascal, triángulo, triángulo, 156 Perfectas, potencias potencias enésimas, enésimas, 54 Perfectas, Periódicos, números, números, 148, 149 Periódicos, Permutaciones, 229-235 Permutaciones, 229-235 Polar, forma forma de un un complejo, complejo, 172, 174, 175 Polar, Polinomios, Polinomios, 12-15, 26, 35, 69, 182, 183 factores o divisores, divisores, 26-33 26-33 factores grado, 12, 15,69,70, 15, 69, 70, ' 182 grado, idénticamente iguales, iguales, 183, 189 idénticamente operaciones, 12, 14, 16-18 operaciones, primos, 26 primos, entre entre sí, 28 Positivos, Positivos, números, números, 1, 2 Potencia, Potencia, 3, 42 -. de un un binomio, binomio, 21 21,, 23, 23, 155-161


e

e

o Prc d d Pro Pro

a

a g Pro Pro Pro PUl PUl PUl

Qui

Ra(

n

Rac Ra( Ra( e e e:

e: Ít n r

Ra Ra

IN DICE INDICE

Potencia, de de un un complejo, complejo, 63, 63, 65, 65, 173, 173, 177 Potencia, logaritmo, 209 209 logaritmo, 45 Potenciación, cero, cero, 43, 43, 45 Potenciación, exponente, 3, 4, 4, 42-50 42-50 exponente, fraccionario, 43-45; 43-45; entero, entero, 42-44 42-44 fraccionario, 43-47 propiedades, 4, 43-47 propiedades, 294 Potencias, serie, serie, 284, 284, 293, 293, 294 Potencias, Primo, factor factor oo divisor, divisor, número, número, polinomio, polinomio, 26 26 Primo, Principal, 221, 221, 223-225 223-225 Principal, raíz, 42 42 raíz, Probabilidad, 242-250 242-250 Probabilidad, 250 de intentos intentos repetidos, repetidos, 243, 243, 249, 249, 250 de de sucesos, sucesos, dependientes, dependientes, 242, 242, 243 243 de independientes, 242 242 independientes, que se excluyen excluyen mutuamente, mutuamente, 243, 243, 244 244 que Producto, 1 Producto, de las las raíces raíces de de una una ecuación, ecuación, 111, 116, 116, 185, 198 de de segundo segundo grado, grado, 111, 116 de Productos especiales, especiales, 21-24 21-24 Productos Progresiones, 140-150 140-150 Progresiones, aritmética, 140, aritmética, 140, 142-145 142-145 armónicas, 141, 149, 150 armónicas, geométricas, 140, 141, 145-149 geométricas, 145-149 Propia, fracción, fracción, 275 Propia, Proporción, 135-138 Proporción, 135-138 Proporcionalidad, constante, constante, 135-138 Proporcionalidad, 135-138 77, 80 Punto, coordenadas, coordenadas, 77, Punto, Pura, ecuación 11 O, 113 Pura, ecuación cuadrática, cuadrática, 11O, Puro, número número imaginario, Puro, imaginario, 63 Quinto Quinto grado, grado, ecuación, ecuación. 69

Racional, Racional, entero, entero, 11 11., 12,69, 12,69, 182 número, número, 53 Racionales, Racionales, raíces, raíces, 184, 191 191,, 192, 194 Racionalización, 54, 60 Racionalización, Radicales, 53-60 Radicales, 53-60 cambio cambio de forma, forma, 54, 54. 57, 58 ecuación ecuación con, con, 68, 112, 118, 119 en su forma forma más más simple, simple, 55-57 55-57 extracción extracción de potencias potencias perfectas, perfectas, 54 índice índice u orden, orden, 53 multiplicación y división, multiplicación división, 55, 59, 59. 60 racionalización, 54, 60 racionalización, reducción reducción del índice, índice, 54, 54. 57 semejantes, semejantes, 55, 58 suma suma algebraica, algebraica, 55, 58 Radicando Radicando (véase (véase Subradical) Subradical) Raíces, Raíces, 42, 67, 182 (véase también también Soluciones) Soluciones) carácter de, de, de una una ecuación ecuación cuadrática, cuadrática, 112 carácter de complejos, complejos, 173, 177-179 177-179 de ecuaciones ticas, 110-122 ecuaciones cuadrá cuadráticas, 110-122 de una una ecuación, ecuación, 67 dobles, dobles, 110, 110. 183, 183, 189 189 enésimas, enésimas, 42 enésimas principales, principales. 42 enésimas enteras, enteras, 184 184 extrañas, extrañas, 68, 68. 112, 112, 118 118,, 119 119 irracionales irracionales (véase Irracionales, Irracionales, raíces) raíces)

311 311

Raíces, número número de, de, 183 Raíces, racionales, racionales, 184, 184, 191, 191 , 192, 192, 194 relación relación entre entre los los coeficientes coeficientes y, 185. 185, 198 transformación transformación de de ecuaciones ecuaciones por por cambio cambio de, de, 185, 196-198 196-198 Razón. Razón, 135-137 135-137 de de una una progresión, progresión, aritmética, aritmética, 140 geométrica, geométrica, 140 Real, Real, número, número, 1, 22 parte, parte, de de un un complejo, complejo, 63 representación representación gráfica, gráfica, 2, 2, 66 Recíproco, Recíproco, 44 Recta, Recta, línea, línea, 80, 100-102 100-102 Rectangulares, Rectangulares, coordenadas, coordenadas, 76, 77. 77, 80, 80, 81 Rédito, Rédito, 221, 221 , 225 225 Redundantes, Redundantes, ecuaciones, ecuaciones, 68, 71 Regla Regla de de Rufini, Rufini, 183, 187, 188 Renta, Renta, anual, anual, 221 Resta, Resta, 1 (véase (véase también también Diferencia) Diferencia) de de complejos, complejos, 63-65 63-65 de 13., 16 de expresiones, expresiones, algebraicas, algebraicas, 13 de de fracciones, fracciones, 4. 4, 36, 39 de de radicales. radicales, 55, 55, 58 Resto, 14. 182, 186-188 186-188 Resto, 14, teorema, teorema, 182, 186, 187 Semejantes. términos, Semejantes, términos, 11 Sentido de una desigualdad, Sentido una desigualdad, 167 Series, 280-298 280-298 Series, alternadas, 283, 283, 291 alternadas, potencias, 284, 293, 294 294 de potencias, finitas, 280 280 finitas, geométricas. 141 141,, 148, 149, 283 geométricas, infinitas (véase (véase Infinita, Infinita, serie) serie) infinitas notación, 280, 280. 285, 286 notación, término enésimo enésimo o general, general, 280, 284, 284, 285 término Signos, 2, 3 Signos, una fracción, fracción, 4, 35, 36 en una regla de Descartes, Descartes, 184, 185, 185. 194, 195 regla reglas, 3 reglas, Símbolos de asociación, asociación, 12 12 Símbolos Simétricas, ecuaciones, ecuaciones, 128, 132, 132. 133 Simétricas, Simple, interés, interés, 221, 223, 223, 224 Simple, Simples, fracciones, fracciones, 275, 279 Simples, Simplificación, 35 Simplificación, Simultáneas, cuadráticas, cuadráticas, ecuaciones, ecuaciones. 127-133 127-133 Simultáneas, ecuaciones (véase Sistema Sistema de ecuaciones) ecuaciones) ecuaciones lineales (véase Sistemas Sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales) lineales) lineales Sistemas de ecuaciones, ecuaciones, 100-106, 100-106, 127-133, 127-133. 252-254. Sistemas 252-254, 256-258. 263, 270-272 270-272 256-258, Sistemas de m ecuacione. ecuacione, con con n incógnitas, incógnitas. 263 Sistemas Soluciones. 67, 67. 68, 70-72 (veiase (véase también también Raíces) Raíces) Soluciones, sistema de ecuaciones ecuaciones (réase Sistemas Sistemas de de ecuaecuade un sistema ciones) ciones) gráficas (réase (l'éase Gráfica. Gráfica. solución solución de ecuaciones) ecuaciones) gráficas extrañas. 68, 68,112.118.119 112, 11 8, 119 extrañas. triviales. no triviales, triviales, 263; 263: 272 triviales, Subradical, . 53 53,, 54 Subradical Sucesión. 140. 140. 280 Sucesión. acotadas, monótonas. monótonas. 282. 282. 287 2M7 acotadas,


312 312

INDICE INDICE

Sucesión. finitas. finitas. 280 280 Sucesión. infinita~. 280 280 (réase (t'éase también tamhién Infinita Infinita sucesión) sucesión) infinitas, 285 monótonas creciente creciente oo decreciente. decreciente. 280. 280. 284, 284. 285 monótonas término enésimo enésimo oo general. general. 280. 280. 284, 284, 285 285 término Sucesos que que se excluyen excluyen mutuamente. mutuamente. 243. 243. 244 244 Sucesos Suma. I Suma. asociativa. 3, 3, 55 asociativa, conmutativa. 2, 2. 5 conmutativa, cuadrática oo de de segundo segundo orden, orden, 111, 111 , 116 cuadrática de dos dos cubos, cubos. 27, 27, 30, 31 de de expresiones expresiones algebraicas, algebraicas, 12, 16 de de fracciones, fracciones. 4, 4, 8, 36, 39 39 de de las las raíces raíces de de una una ecuación, ecuación, 111, 116, 116, 185, 198 de de números números complejos, complejos, 63-65 63-65 de de radicales, radicales, 55, 55, 58 de de series series infinitas, infinitas, 141, 148, 282, 282, 288 288 de de una una progresión progresión aritmética, aritmética, 140, 140, 142-144 142-144 de 145-147 de una una progresión progresión geométrica, geométrica, 141, 145-147 de infinita, 141, 141 , 148 infinita, parcial, .í82, i82, 288 288 parcial, propiedades asociativas, asociativas, 3, 3, 55 propiedades reglas de de los los signos, signos, 3 reglas Sustraendo, 13 Sustraendo,

Tablas, Tablas, de de anualidades, anualidades, 304 304 de de interés interés compuesto, compuesto, 302 302 de de logaritmos logaritmos decimales decimales oo vulgares, vulgares, 300, 300, 301 del del valor valor actual, actual , 303 303 del del valor valor actual actual de de una una anualidad, anualidad , 305 305 Tabular, diferencia. diferencia. 211 Tabular, Término, Término, 1I 11 entero entero yy racional, racional, 11, 11 , 12, 12, 69 grado, grado, 12, 69 69 Términos, de de una una progresión, progresión, 140 Términos, de de una una serie, serie. 280 280 de 280 de una una sucesión, sucesión, 140, 280 semejantes, semejantes. 11 Transposición, Transposición, 67, 67, 68, 68, 167 Trinomio, Trinomio, II 11 cuadrado, cuadrado, 21, 21 , 23 factores factores oo divisores, divisores, 27, 27, 29, 29, 30 30 Trivial Trivial solución, solución, 263, 263, 272 272 Uniforme, Uniforme, función, función , 75 Variable, Variable, 75, 75, 100, 127 Variación, Variación, 135, 137, 138




.


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.. .. . . ..

álgebra constituye constituye la base base sobre sobre la que se apoya apoya la • El álgebra alta matemática matemática y es el lenguaje lenguaje en que se expresan expresan alta ciencia y técnica técnica modernas. modernas. Problemas Problemas de difícil difícil solusolula ciencia partir de un planteamiento planteamiento aritmético aritmético se resuelresuelción a partir mucho más más fácilmente fácilmente si se plantean plantean en términos ven mucho térm inos algebraicos. algebraicos. propósito de este este libro libro es, es, en esencia, proporcionar • El propósito esencia, proporcionar al alumno conocimientos necesarios alumno los conocimientos necesarios para para llegar llegar a dodominar minar este este campo campo fundamental fundamental de la matemática. matemática. AdeAdemas, mas, puede puede ser ser de considerable considerable utilidad utilidad para para aquellos aquellos otros otros que que deseen deseen repasar repasar sus sus principios principios fundamentales fundamentales y aplicaciones aplicaciones como como introducción introducción a ulteriores ulteriores estudios estudios de de matemáticas, matemáticas, ciencias ciencias oo ingeniería. ingeniería. • En este este libro libro el estudio estudio que que se se hace hace de de muchas muchas de de las las materias que materias tratadas tratadas es es más más profundo profundo yy completo completo que que el que se se encuentra encuentra en en la mayoría mayoría de de los los libros libros de de texto; texto ; su su expoexposición sición incluye incluye el el número número complejo, complejo , la la teoría teoría de de ecuaecuaciones, ciones , la la combinatoria, combinatoria, el cálculo cálculo de de probabilidades, probabilidades, las las determinantes determinantes yy las las series series finitas. finitas .

ISBN I S BN 970-10-2172-X 97 0-1 0 - 2172 - X

McGraw-Hill Interamericana Interamericana McGraw-Hill Editores, Editores, S.A. S.A. de de c.v. 9 789701021729

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Álgebra Superior - Murray R Spiegel

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