Movimento Harmônico Simples

Movimento Harmônico Simples     

Quando um corpo oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio, descrevendo uma trajetória retilínea, pode-se dizer que este corpo efetua um movimento harmônico simples linear e este ocorre em razão da ação de uma força restauradora.

Sistema Massa-Mola

No estudo feito do MHS utilizaremos como referência um sistema massa-mola, que pode ser  visualizado na figura a seguir.

O bloco em vermelho ligado a uma mola tendo como posição de equilíbrio do sistema a posição Xo.

Nesse sistema desprezaremos desprezaremos as forças dissipativas (atrito e resistência do ar). O bloco, quando colocado em oscilação, se movimentará sob a ação da força restauradora elástica, que pode ser calculada pela seguinte expressão:

 A força elástica elástica é diretamen diretamente te proporcional proporcional à deforma deformação ção da mola mola [X(m)], [X(m)], sendo K(N/m) a constante elástica da mola. Período

O período de um corpo em MHS é o intervalo de tempo referente a uma oscilação completa e pode ser calculado através da seguinte expressão

O período [T(s)] depende da massa do corpo colocado em oscilação [m(kg)] e da constante elástica da mola [k(N/m)]. Frequência

 A frequência frequência de um um corpo em MHS correspon corresponde de ao número de de oscilações oscilações que esse corpo executa por unidade de tempo e essa grandeza pode ser determinada pela seguinte expressão:

 A unidade unidade associada associada à grandeza grandeza frequência frequência no no s.i é dada dada em hertz hertz (Hz). (Hz). Frequência é inversamente proporcional ao período e pode ser expressa matematicamente pela seguinte relação:

Posição do Móvel em MHS

 A equação equação que represent representa a a posição de um móvel em MHS será será dada a seguir seguir em função função do tempo.

As posições a e -a são deformações máximas que a mola terá quando o bloco de massa m for colocado em oscilação.

O período [T(s)] depende da massa do corpo colocado em oscilação [m(kg)] e da constante elástica da mola [k(N/m)]. Frequência

 A frequência frequência de um um corpo em MHS correspon corresponde de ao número de de oscilações oscilações que esse corpo executa por unidade de tempo e essa grandeza pode ser determinada pela seguinte expressão:

 A unidade unidade associada associada à grandeza grandeza frequência frequência no no s.i é dada dada em hertz hertz (Hz). (Hz). Frequência é inversamente proporcional ao período e pode ser expressa matematicamente pela seguinte relação:

Posição do Móvel em MHS

 A equação equação que represent representa a a posição de um móvel em MHS será será dada a seguir seguir em função função do tempo.

As posições a e -a são deformações máximas que a mola terá quando o bloco de massa m for colocado em oscilação.

 A posição X é dada dada em função função do tempo. a = elongação máxima (m) w = frequência angular (rad/s) O= espaço angular que um ponto projetado pelo bloco sobre uma circunferência realiza (rad). t = intervalo de tempo Por Frederico Borges de Almeida Graduado em Física Equipe Brasil Escola

Força no Movimento Harmônico Simples < Assim como visto anteriormente o valor da aceleração para uma partícula em MHS é dada por:

Então, pela 2ª Lei de Newton, sabemos que a força resultante sobre o sistema é dada pelo produto de sua massa e aceleração, logo:

Como a massa e a pulsação são valores constantes para um determinado MHS, podemos substituir o produto mω² pela constante k, denominada constante de força do MHS. Obtendo:

Com isso concluímos que o valor algébrico da força resultante que atua sobre uma partícula que descreve um MHS é proporcional à elongação, embora tenham sinais opostos. Esta é a característica fundamental que determina se um corpo realiza um movimento harmônico simples. Chama-se a força que atua sobre um corpo que descreve MHS de força restauradora, pois ela atua de modo a garantir o prosseguimento das oscilações, restaurando o movimento anterior. Sempre que a partícula passa pela posição central, a força tem o efeito de retardá-la para depois poder trazê-la de volta.

Ponto de equilíbrio do MHS

No ponto médio da trajetória, a elongação é numericamente igual a zero ( x=0), conseqüentemente a força resultante que atua neste momento também é nula ( F=0). Este ponto onde a força é anulada é denominado  ponto de equilíbrio do movimento.

Ponto de equilíbrio do MHS

No ponto médio da trajetória, a elongação é numericamente igual a zero ( x=0), conseqüentemente a força resultante que atua neste momento também é nula ( F=0). Este ponto onde a força é anulada é denominado  ponto de equilíbrio do movimento.

Período do MHS

Grande parte das utilidades práticas do MHS está relacionado ao conhecimento de seu período (T), já que experimentalmente é fácil de medi-lo med i-lo e partindo dele é possível determinar det erminar outras grandezas. Como definimos anteriormente: k=mω²

A partir daí podemos obter uma equação para a pulsação do MHS:

Mas, sabemos que:

Então, podemos chegar a expressão:

Como sabemos, a frequência é igual ao inverso do período, logo:

Exemplo:

Oscilador massa-mola < Um oscilador massa-mola ideal é um modelo físico composto por uma mola sem massa que possa ser deformada sem perder suas propriedades elásticas, chamada mola de Hooke, e um corpo de massa m que não se deforme sob ação de qualquer força. Este sistema é fisicamente impossível já que uma mola, por mais leve que seja, jamais será considerada um corpo sem massa e após determinada deformação perderá sua elasticidade. Enquanto um corpo de qualquer substância conhecida, quando sofre a aplicação de uma força, é deformado, mesmo que seja de medidas desprezíveis. Mesmo assim, para as condições que desejamos calcular, este é um sistema muito eficiente. E sob determinadas condições, é possível obtermos, com muita proximidade, um oscilador massa-mola. Assim podemos descrever dois sistemas massa-mola básicos, que são:

Oscilador massa-mola horizontal

É composto por uma mola com constante elástica K de massa desprezível e um bloco de massa m, postos sobre uma superfície sem atrito, conforme mostra a figura abaixo:

Como a mola não está deformada, diz-se que o bloco encontra-se em posição de equilíbrio. Ao modificar-se a posição do bloco para um ponto em  x, este sofrerá a ação de uma força restauradora, regida pela lei de Hooke, ou seja:

Como a superfície não tem atrito, esta é a única força que atua sobre o bloco, logo é a força resultante,

caracterizando um MHS. Sendo assim, o período de oscilação do sistema é dado por:

Ao considerar a superfície sem atrito, o sistema passará a oscilar com amplitude igual à posição em que o bloco foi abandonado em x, de modo que:

Assim podemos fazer algumas observações sobre este sistema:   

O bloco preso à mola executa um MHS; A elongação do MHS, é igual à deformação da mola; No ponto de equilíbrio, a força resultante é nula.

Energia do Oscilador 

Analisando a energia mecânica do sistema, tem-se que:

Quando o objeto é abandonado na posição x=A, a energia mecânica do sistema é igual à energia potencial elástica armazenada, pois não há movimento e, consequentemente, energia cinética. Assim:

Ao chegar na posição x=-A, novamente o objeto ficará momentaneamente parado (v=0), tendo sua energia mecânica igual à energia potencial elástica do sistema. No ponto em que x=0, ocorrerá o fenômeno inverso ao da máxima elongação, sendo que:

Assim podemos concluir que na posição x=0, ocorre a velocidade máxima do sistema massa-mola, já que toda a energia mecânica é resultado desta velocidade. Para todos os outros pontos do sistema:

Como não há dissipação de energia neste modelo, toda a energia mecânica é conservada durante o movimento de um oscilador massa-mola horizontal.

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Oscilador massa-mola vertical

Imaginemos o sistema anterior, de uma mola de constante K e um bloco de massa m, que se aproximam das condições de um oscilador massa-mola ideal, com a mola presa verticalmente à um suporte e ao bloco, em um ambiente que não cause resistência ao movimento do sistema:

Podemos observar que o ponto onde o corpo fica em equilíbrio é:

Ou seja, é o ponto onde a força elástica e a força peso se anulam. Apesar da energia potencial elástica não ser nula neste ponto, considerá-se este o ponto inicial do movimento. Partindo do ponto de equilíbrio, ao ser "puxado" o bloco, a força elástica será aumentada, e como esta é uma força restauradora e não estamos considerando as dissipações de energia, o oscilador deve se manter em MHS, oscilando entre os pontos A e -A, já que a força resultante no bloco será:

Mas, como o peso não varia conforme o movimento, este pode ser considerado como uma constante. Assim, a força varia proporcionalmente à elongação do movimento, portanto é um MHS. Tendo seu período expresso por:

Pêndulo Simples Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-no como um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples. Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma:

Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma:

A componente da força Peso que é dado por P.cosθ se anulará com a força de Tensão do fio, sendo assim, a

única causa do movimento oscilatório é a

P.senθ.

Então:

No entanto, o ângulo θ, expresso em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é  x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado

porℓ, assim:

Onde ao substituirmos em F:

Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS, já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, para ângulos pequenos, valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este ângulo.

,o

Então, ao considerarmos os caso de pequenos ângulos de oscilação:

Como P=mg, e m, g e ℓ são constantes neste sistema, podemos considerar que:

Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como:

Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilações, um pêndulo

simples descreve um MHS. Como para qualquer MHS, o período é dado por:

e como

Então o período de um pêndulo simples pode ser expresso por:

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Questão 1 Um móvel executa um movimento harmônico simples segundo a seguinte equação: x = 4.cos(π.t + π) – S.I Determine a amplitude do movimento, a pulsação, a fase inicial, o período e a frequência do movimento. ver resposta

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Questão 2 Determine o período do ponteiro de um relógio e calcule a sua velocidade angular. ver resposta

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Questão 3 Um bloco é comprimido da sua posição de equilíbrio para outra posição e posteriormente é solto. Considere o sistema bloco-mola livre de forças dissipativas e que o bloco entra em m.h.s com período igual a 4s. Determine a frequência do movimento, a pulsação e a fase inicial.

ver resposta

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Questão 4 (UFG) O gráfico mostra a posição, em função do tempo, de uma partícula em movimento harmônico simples no intervalo de tempo entre 0 e 4 segundos. A equação da posição em função do tempo para esse movimento é dada por x = a.cos(w.t + φ 0). A partir do gráfico, encontre os valores das constantes a, w e φ 0.

 Analisando o gráfico percebemos que a posição do móvel que se encontra em mhs oscila entre os pontos 2 e -2. Logo, a amplitude do movimento equivale a 2m.

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Respostas 

Resposta Questão 1 x = a.cos(w.t + φ 0) equação horária da posição.  Amplitude a = 4m Pulsação w = π rad/s Fase Inicial φ0 = π rad Frequência w = 2 .π.f  w = 2 .π.f  π= 2 .π.f  1 = 2.f  f = 1/2 Hz

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Resposta Questão 2  Δt = 1h = 60min = 3600s f = 1/t f = 1/3600 3

f = 0,28.10 Hz

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Resposta Questão 3 Frequência f = 1/T f = 1/4 Hz Pulsação w = 2π.f  w = 2.π.(1/4) w = π/2 rad/s

Fase inicial x = a.cos(w.t + φ0) -3 = 3.cos ([π/2] .0 + φ0) Cosφ0 = -1 φ0 = arcsen(-1) = 180° = π rad

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

Resposta Questão 4 Velocidade angular w = 2.π.f  f = 1/T = 1/4 Hz w = 2.(1/4).π w = π/2 rad/s  A fase inicial é dada por 

X = a.cos(wt + π} X = 2.cos ([π/2].t + π

 Analisando graficamente, temos que: T = 4s w = 2. π.f = 2.π.1/4 = ½]

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Exercícios

1. Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,2 e frequência 6,6 ? Solução:

Vimos que em um Movimento Harmônico Simples (MHS) a posição é dada pela seguinte equação . Derivando duas vezes a equação anterior, temos

Simplificando, temos (1) Sabemos que a frequência angular é dada por: 2! Pelos dados do exercício, temos que

2. Uma partícula de massa 1,0.10 *+, descreve um MHS com período - 1,0.10./ e uma velocidade máxima 0 1,0.101 / . Calcule a) a frequência angular e b) o deslocamento máximo da partícula.

Solução:

 Assim, a velocidade máxima, fica 023 1

(1)

Prof. Flávio F. Ribeiro MHS 2 Da equação (1), temos que amplitude máxima é

3. Determine a energia mecânica de um sistema massa-mola com constante elástica de 1,3N/cm e uma amplitude de oscilação de 2,4cm.

 A energia é dada pela Equação

Que substituindo os valores dados pelo cabeçalho, temos

4. Um oscilador massa-mola possui energia mecânica de 1,09, 10 e 023 1,20 / . Determine, a) a constante elástica; b) a massa do bloco; c) a frequência angular a) A energia de um sistema massa-mola, que é um MHS é dada pela equação

Então, podemos determinar a constante elástica pela energia, isolando a constante k, fica b) O cabeçalho nos dá o valor da velocidade e da energia, então podemos utilizar a equação da energia cinética

Ficando a massa igual a

c) A frequência angular é dada por 

5. Quando o deslocamento em um MHS é de metade da amplitude A, que fração da energia total é a) a energia mecânica e b) energia potencial?

a) A energia total é dada pela soma da energia potencial mais a energia cinética 7>7?7@ (1) Para a metade da amplitude, a energia potencial fica

O termo entre parênteses é igual a energia total(equação 1), ficando

7> 7? 147> Isolando energia cinética

7? C+ 2D 14C+ 2D Os termos entre parênteses são comuns e valem a energia total, ficando

Prof. Flávio F. Ribeiro MHS 3

7? 347> b) A energia potencial, é o restante de energia total que sobrou, logo 7@ 147>

Ondulatória - 1ª Lista Movimento Harmônico Simples 1) Uma partícula material realiza movimento harmônico simples com período 0,10 segundos. A freqüência do movimento é: a) 100 Hz b) 1000 Hz c) 10 Hz d) 20 Hz e) 200 Hz 2) Uma partícula em movimento harmônico simples obedece à equação x = 0,05 cos( /2 + .t/4) com dados no Sistema Internacional a partir do instante t = 0. A velocidade escalar desta partícula no instante t = 6 s é: a) zero b) 0,05 m/s c) 0,05 /4 m/s d)

/4 m/s

e)

/2 m/s

3) Uma partícula realiza um movimento harmônico simples, de acordo com o gráfico abaixo. Qual, em hertz, a freqüência do movimento?

a) 1 b)1/2 c) 4 d) e) 2 4) Em 2 segundos, uma fonte de ondas periódicas determina numa corda tensa o aspecto apresentado na figura abaixo. As ondas se propagam na corda com velocidade de 6 cm/s. Podemos afirmar que:

a) o período da fonte é 2 s. b) a freqüência da fonte é 0,5 Hz. c) o período das ondas é 0,5 s. d) o comprimento de onda das ondas é 6 cm, e) a amplitude das ondas é 2 cm. 5) Um ponto material de massa 2,0 kg executa um MHS, cuja trajetória é o segmento de extremidades A e A', de abcissas - 5,0 m e 5,0 m.

Sendo a)

segundos o seu período, a velocidade máxima atingida pelo ponto material é:

m/s

b) 2 m/s c) 5,0 m/s d) 10 m/s e) 1,0 m/s 6) Na figura abaixo, D é um disco de 0,30 m de diâmetro que executa um MCU de 0, 55 Hz. V é

uma vela de diâmetro desprezível colocada, perpendicularmente, num ponto periférico do disco. A sombra desta vela, projetada na parede, devido à i ncidência de um feixe de luz paralelo, apresenta uma velocidade:

a) constante, aproximadamente igual a 0,52 m/s, b) constante, aproximadamente iguala 1,03 m/s. c) constante, aproximadamente igual a 5,2 m/s. d) máxima, aproximadamente igual a 0,52 m/s. e) máxima, aproximadamente igual a 1,03 m/s. 7) No esquema abaixo, um corpo de 2,56 kg está preso a uma mola de massa desprezível (k = 100 N/m). O referido corpo, em repouso na posição B de equilíbrio do conjunto, é puxado até a posição C e, em seguida, abandonado. O intervalo de tempo necessário para que este corpo passe por B pela primeira vez:

a) é aproximadamente 0,25 s. b) é aproximadamente 0,5 s, c) é aproximadamente 1,0 s. d) depende do comprimento da mola. e) depende da medida L.

8) Um bloco de massa m, preso à extremidade de uma mola, está em equilíbrio no ponto O e sobre uma superfície sem atrito. Puxando-se o bloco até o ponto J, o período de oscilação será de 4 segundos. Assim, se puxarmos o bloco até o ponto K, o período de oscilação será, em segundos, igual a:

a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 9) Um corpo de 2,0 kg estica de 10 cm uma mola à qual está suspenso na vertical e em repouso. O corpo, então, é colocado numa superfície horizontal sem atrito, ligado à mola, conforme mostra a figura. Nestas circunstâncias, o corpo é deslocado de 5,0 cm e abandonado, em repouso. (g = 10 m/s2)

O período de oscilação da mola é de: a) 0,31 s b) 0,50 s c) 0,63 s d) 0,93 s e) n. r. a. Este enunciado se refere às questões de 10 a 12. Uma mola de massa desprezível e de constante elástica k = 50 N/m está suspensa verticalmente. Um corpo de massa m = 2,0 kg é conectado à extremidade inferior da mola e depois é abandonado, a partir do repouso.

10) De quanto é a dissensão máxima da mola (g = 10 m/s2) a) 0,4 m b) 0,8 m c) 0,2 m d) 0,1 m e) 1,0 m 11) Qual é a velocidade máxima do corpo? a) 2 m/s b) 4 m/s c) √2 m/s d) √3 m/s

e) 3 m/s 12) Qual a aceleração do corpo no porto mais baixo? a) 5 m/s2 para cima b) 5 m/s2 para baixo c) 10 m/s2 para cima d) 10 m/s2 para baixo e) nula Este enunciado se refere às questões 13 e 14. Um ponto material, de massa m = 0,1 kg, oscila em tomo da posição 0, animado de M HS (movimento harmônico simples), na ausência de forças dissipativas. A mola tem constante elástica k = 40 N/m. A energia mecânica total do sistema é de 0,2 joule.

13)A amplitude de oscilação é:

a) 0,1 m b) 0,2 m c) 0,4 m d) 0,8 m 14) O valor máximo da velocidade do ponto material, em mód ulo, é: a) 1 m/s b) 2 m/s c) 4 m/s d) 8 m/s 15) A energia cinética de um ponto material que realiza MHS é máxima quando: a) a aceleração é máxima. b) a força é máxima. c) a elongação é máxima. d) a força é nula. e) a energia potencial é máxima. 16) Um corpo está dotado de MHS, oscilando entre os pontos de abscissas – 10 cm e + 10 cm. Tomando como nível zero de energia potencial o ponto de abscissa zero, indique em que pontos é a energia do sistema constituída de duas partes i guais, uma cinética e outra po tencial. a) +10 cm e -10 cm b) + 5√2 cm e - 5√2 cm c) +5 cm e -5 cm d) + 5√2/2 cm e - 5√2/2 cm e) + 5√3 cm e - 5√3 cm 17) Se a duração de uma oscilação simples de um pêndulo é de 7 m/s2, o seu comprimento é de:

s, em um lugar onde g = 10

a) 10 m b) 10 m c) 20 m d) 10 cm e) 20 m 18) Um pêndulo simples oscila entre duas posições M e N. Quando o pêndulo estiver no ponto M, é incorreto afirmar que a:

a) velocidade é nula. b) aceleração é diferente de zero. c) resultante das forças é igual a zero. d) energia cinética é igual a zero. e) tensão na corda é diferente de zero, 19) A figura abaixo representa um pêndulo simples, de comprimento L, oscilando com pequena amplitude em tomo da posição de equilíbrio O.

Nessas condições, desprezando-se todas as formas de atrito, pode-se afi rmar que a freqüência da oscilação: a) diminui com o aumento no comprimento L. b) não depende do comprimento. c) depende da massa m. d) é diretamente proporcional à amplitude. e) é inversamente proporcional à amplitude. 20) Um pêndulo simples de comprimento L gasta 3,0 segundos para uma oscilação completa. Se este comprimento for reduzido a L , o t empo para uma oscilação completa será de: a) 6,0 s b) 4,5 s c) 3,0 s d) 1,5 s e) 0,75 s 21) Observando os quatro pêndulos da figura, podemos afirmar que:

a) o pêndulo A oscila mais devagar que o pên dulo B. b) o pêndulo A oscila mais devagar que o p êndulo C. c) o pêndulo B e o pêndulo D possuem mesma freqüência de oscilação. d) o pêndulo B oscila mais devagar que o p êndulo D. e) o pêndulo C e o pêndulo D possuem mesma freqüência de oscilação. 22) Um relógio defeituoso, embora mantendo um movimento periódico, tem o ponteiro dos segundos realizando uma volta completa em 1,01 min. Nestas condições, podemos afirmar que tal relógio: a) atrasa 14 min e 24 s por dia. b) atrasa 8 min e 64 s por dia. c) adianta 14 min e 24 s por dia. d) adianta 8 min e 64 s por dia. e) não apresenta diferença superior a 1,0 min num dia. Gabarito

Estudo Dirigido de Física On-Line sobre Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) II - Movimento Harmônico Simples (MHS) Um dos comportamentos oscilatórios mais simples de se estender, sendo encontrado em vários sistemas, podendo ser estendido a muitos outros com variações é o Movimento Harmônico Simples (M. H. S).

Muitos comportamentos oscilatórios surgem a partir da existência de forças restauradoras que tendem a trazer ou manter sistemas em certos estados ou posições, sendo essas forças restauradoras basicamente do tipo forças elásticas, obedecendo, portanto, a Lei de Hooke (F = - kX). Um sistema conhecido que se comporta dessa maneira é o sistema massa-mola (veja a figura abaixo). Consiste de uma massa de valor m, presa por uma das extremidades de uma certa mola de fator de restauração k e cuja outra extremidade está ligada a um ponto fixo.

Sistema Massa-Mola

Esse sistema possui um ponto de equilíbrio ao qual chamaremos de ponto 0. Toda vez que tentamos tirar o nosso sistema desse ponto 0, surge uma força restauradora (F = -kX) que tenta trazê-lo de volta a situação inicial.

Sistema Massa-Mola na Posição de Equilíbrio

Sistema Massa-Mola Estendido

Sistema Massa-Mola Comprimido À medida que afastamos o bloco de massa m da posição de equilíbrio, a força restauradora vai aumentando (estamos tomando o valor de X crescendo positivamente à direita do ponto de equilíbrio e vice-versa), se empurramos o bloco de massa m para a esquerda da posição 0, uma força de sentido contrário e proporcional ao deslocamento X surgirá tentando manter o bloco na posição de equilíbrio 0. Uma animação que se comporta como o M.H.S. pode ser visualizada abaixo:

Se dermos um puxão no bloco de massa m e o soltarmos veremos o nosso sistema oscilando. Você teria idéia de por quê o nosso sistema oscila? Se haveria, e se sim, qual a relação da força restauradora e do fato de nosso sistema ficar oscilando? Na tentativa de respondermos a essa pergunta começaremos discutindo o tipo de movimento realizado por nosso sistema massa-mola e a natureza matemática deste tipo de movimento.

Estudo Dirigido de Física On-Line sobre Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) III - Cinemática do M.H.S. O nosso sistema tem um comportamento similar ao que aparece no esquema abaixo:

Perfil de um comportamento tipo M.H.S.

Oscilando em torno de um ponto central, apresentando uma variação de espaço maior nas proximidades do ponto central do que nas extremidades. Você saberia dizer qual o tipo de função representada em nosso esquema? Esse formato característico pertence a que tipo de funções? Uma explicação para esse tipo de gráfico obtido poderia sair de uma análise das forças existentes no sistema massa-mola, mesmo que a compreensão total da mesma somente possa ser entendida a fundo a nível universitário. Sabendo-se que a força aplicada no bloco m do nosso sistema massa-mola na direção do eixo X será igual à força restauradora exercida pela mola sobre o bloco na posição X aonde o mesmo se encontrar (3a. Lei de Newton) podemos escrever a seguinte equação: F (X) = - kX

Passando o segundo termo para o primeiro membro temos: F (x) + kX = 0

Usando da 1a. Lei de Newton sabemos que F(X) = ma(X), tendo nós agora:  ma(X) + kX = 0

Podemos perceber também que X = X(t) já que a posição de X varia com o tempo enquanto o nosso sistema oscila, ficando a nossa equação:  ma(X(t)) + kX(t) = 0

É possível se ver em um curso de Cálculo Diferencial e Integral a nível superior que em sistemas dependentes do tempo como este podemos aplicar uma função de função chamada derivada aonde podemos dizer que a(X(t)) = d^2X(t)/d^2t, ou seja, que a derivada segunda de X em relação ao tempo é igual à aceleração de nosso sistema. Tendo a nossa equação o seguinte aspecto agora:

2 2  m(d  X(t)/d  t) + kX(t) = 0

Onde a solução desta equação sendo chamada de equação diferencial é a função de movimento de nosso sistema massa-mola. Apesar de não termos conhecimentos para resolve-la, comentários podem ser feitos sobre a mesma para termos uma idéia de como se resolve. Primeiro vamos tentar entender melhor o que seja uma derivada. Em uma função você sempre dá um número e a função lhe devolve outro número. A derivada que é uma função de função não é muito diferente, você lhe dar uma função e ela lhe dá outra função. Sendo a derivada segunda de uma função, o resultado depois de ter passado duas vezes uma função por uma derivada. Passado esse ponto vamos tentar entender melhor o que seja resolver uma equação

diferencial. Você sabe resolver uma equação de 2o. Grau não sabe? Pois bem, você deve se lembrar que você tem algo do tipo: aX2 + bX + c2

= 0

E que a idéia de resolver a equação de segundo grau é encontrar valores de X que satisfaçam a equação, ou seja, que se forem substituídos na expressão acima ela será igual a zero. Você se lembra do procedimento do algoritmo, não? delta = b 2 - 4ac X = (-b ± ((delta) 1/2))/2a

Onde você encontra aos valores que satisfazem a equação de 2o. Grau. Pois bem, a idéia de resolver uma equação diferencial não é muito diferente, somente que em vez de valores você deverá encontrar as funções que satisfazem a equação diferencial, funções que quando substituídas na equação diferencial no nosso caso dê uma expressão final igual a zero. Mesmo sem sabermos como resolver à equação, posso dizer que um conjunto de funções que a resolve são funções do tipo seno e coseno, o que corrobora muito bem com o esquema apresentado no começo da seção. Em outras palavras, a nossa função de movimento X(t) terá a forma A cos(wt + ø) ou A sen(wt + ø), ou seja, X(t) = A cos(wt + ø) ou X(t) = A sen(wt + ø). Onde A é amplitude do nosso M.H.S, que seria o deslocamento máximo realizado pelo bloco em relação à posição de equilíbrio, w é a freqüência angular do nosso movimento periódico em radianos por segundo (w = 2* *f, sendo f o número de vezes que o ciclo se repete a cada unidade de tempo), t é a nossa grandeza de tempo, e ø é uma fase ou deslocamento angular acrescida ao nosso M.H.S. Não existe grande diferença entre uma função seno ou coseno se virmos pela questão de que uma função seno ou coseno se transforma na outra ou essa multiplicada por (-1) se deslocarmos 90 graus ou /2 uma em relação à outra. Uma outra forma para se ver que a equação de movimento do M.H.S. é do tipo seno ou coseno é a partir da projeção do Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) sobre o eixo x, onde sabemos que projeções são feitas a partir das funções seno e coseno.

Projeção do M.C.U. sobre o de fase ø. eixo x produzindo um M.H.S.

M.C.U. com uma diferença

A função obtida é do tipo seno ou coseno. O comportamento dessa equação de movimento pode ser mais bem compreendido ao tratarmos também outros parâmetros importantes como a velocidade, a aceleração, a dinâmica e a energia no M.H.S. A partir da projeção do vetor velocidade no M.C.U. (usando de um pouco de conhecimentos de trigonometria) também podemos deduzir que a função velocidade também será do tipo seno ou coseno, sendo somente que v(t) = -wA sen(wt + ø) ou v(t) = wA cos(wt + ø), o que também pode ser escrito v(t) = ±wX(t). Em um curso de Cálculo Diferencial e Integral poderemos ver que a função velocidade é a derivada da função deslocamento em relação ao tempo, ou seja, que dX(t)/dt = v(t). E que disso, poderemos deduzir que v(t) = dX(t)/dt = -wA sen(wt + ø) ou wA cos(wt + ø), considerando que X(t) será igual a A cos(wt + ø) ou a A sen(wt + ø).

Vetores Velocidade e Aceleração do M.C.U. função deslocamento,

Gráficos da função velocidade

e função aceleração do M.H.S. Entretanto, podemos fazer uma análise dimensional e verificar a coerência da forma apresentada. Podemos usar uma análise dimensional para verificar se em termos de unidades a expressão é coerente. Por exemplo, os termos cos(wt + ø) e sen(wt + ø) são termos adimensionais, ou seja, não são representarmos em termos de m/s, m/s 2, kg, N, oC, J ou qualquer unidade física, são apenas números que no caso dessas funções apenas assumem valores que vão de (-1) a 1. A amplitude A no entanto está representando o valor máximo de deslocamento do nosso sistema massa-mola em relação à posição de equilíbrio em unidades de distância, que no nosso caso

usaremos o m. A freqüência angular w, que é igual a 2* *f, onde a freqüência linear f é dada em termos de 1 sobre a nossa unidade de tempo t ,(1/t), já que f dá o número de repetições de ciclos em uma unidade de tempo t, também será dada em termos de 1 sobre a unidade de tempo t já que 2*  também é adimensional. A nossa unidade de tempo no caso será o segundo. A expressão será coerente dimensionalmente se as unidades do primeiro membro forem iguais a do segundo membro. Ou seja, que as unidades do segundo membro dêem a unidade m/s que é correspondente à grandeza velocidade. Tudo isso pode ser escrito da seguinte maneira: 1o. Membro: [v] = m/s 2o. Membro: [A][w] = m * 1/s = m/s

Então dimensionalmente, a expressão é coerente. A análise dimensional não permite definir se existem constantes ou outros termos adimensionais multiplicando as grandezas, mas com certeza é uma ferramenta útil para dirimir discrepâncias e vermos a coerência de expressões. Para a aceleração do M.H.S. também podemos ver que a mesma é do tipo seno ou coseno a partir da projeção do vetor aceleração do M.C.U., somente que a sua expressão é dada por a(t) = -(w 2)A cos(wt + ø) ou -(w 2)A sem(wt + ø). A partir de um curso de Cálculo Diferencial e Integral também podemos ver que a aceleração é a derivada segunda em relação ao tempo da função deslocamento X(t), ou seja, que a(t) = dv(t)/dt = d(dX(t)/dt)/dt = d2X(t)/dt = -(w 2)X(t), de onde podemos deduzir que a(t) = -(w 2)A cos(wt + ø) ou -(w 2)A sen(wt + ø); mas podemos fazer uma análise dimensional para a função aceleração assim como fizemos para a função velocidade. Assim sendo: 1o. Membro: [a] = m/(s 2) 2o. Membro: [A][w 2] = [A][w][w] = m * 1/s * 1/s = m * 1/(s 2) = m/(s 2)

O que comprova que a equação dimensionalmente é coerente. A essa altura você deve estar se perguntando como podemos saber qual é o valor de w? Posso dizer que w, que é a nossa freqüência angular, determinando a variação angular do nosso oscilador no tempo, que está diretamente relacionado a nossa freqüência linear f, que determina o número de ciclos realizados por nosso oscilador em uma unidade de tempo, dependerá do fator de restauração k da mola e do fator de inércia m do bloco, ambas respectivamente com unidades físicas de [k] = N/m e [m] = kg. Como [w] = 1/s, podemos encontrar uma maneira de arranjar as grandezas físicas k e m de maneira a termos uma expressão aproximada para w. De antemão já digo que essa expressão será obtida tirando-se a raiz quadrada da razão de k/m, ficando: (([k]/[m]) 1/2) = (((N/m)/kg) 1/2) = ((((kg * m/(s 2))/m)/kg) 1/2) =

= ((((kg/m)*(m/(s 2)))/kg) 1/2) = (((kg/(s 2))/kg) 1/2) = (((kg/kg)*(1/(s 2)))1/2) = = ((1/(s 2))1/2) = 1/s

onde já poderíamos considerar pela análise dimensional que uma expressão próxima da que determinasse w seria w ~ ((k/m) 1/2), o que não permite sabermos se existiriam termos adimensionais ou constantes, mas experimentalmente já fora comprovado a bastante tempo que realmente w = ((k/m) 1/2). Na próxima seção, compreendermos como se dá o processo de conservação de energia dentro do sistema massa-mola, como se dão as conversões de energia potencial em cinética e vice-versa, antes de chegarmos a Dinâmica do M.H.S., onde poderemos ver algumas variações do nosso sistema massa-mola apresentado.

IV - Energia no M.H.S. De maneira não diferente de todos os demais sistemas físicos, nosso sistema não pode desafiar o Princípio de Conservação da Energia, então a energia total do sistema (Et = cte.) deve sempre ser constante. Isso implica que a soma das energias potencial e cinética do nosso sistema deve ser sempre igual. Você já deve saber que devido ao Princípio de Conservação da Energia uma bolinha descendo uma rampa, independentemente da inclinação da rampa, partindo sempre da mesma altura, sempre terá a mesma velocidade ao final da rampa. Isso se deve ao fato de se partir sempre de uma mesma altura teremos em todos os casos a mesma energia potencial gravitacional, expressa pela relação Epg = mgh. E para o princípio de conservação da energia ser garantido, em h = 0, toda a energia potencial gravitacional terá se transformado durante a descida na rampa em energia cinética, expressa pela relação Ec = ½ m(v^2).

A velocidade da bolinha devido ao Princípio de Conservação de Energia será sempre a mesma no final da rampa, independentemente da inclinação da rampa, desde que parta sempre da mesma altura. Para o nosso sistema massa-mola isso não é diferente, somente que em vez de energia potencial gravitacional, geralmente iremos trabalhar somente com energia potencial elástica, expressa por Epel = ½ k(X ).

O nosso sistema bola-elástico similar ao nosso sistema massa-mola também apresenta Epel. Você deve se lembrar de nosso comentário sobre o fato (que pode ser observado experimentalmente) do bloco de massa m se mover mais rapidamente nas proximidades da posição 0 do que nas extremidades do movimento, o que pode ser observado também a partir dos gráficos da função velocidade em comparação ao da função deslocamento. Isso se deve ao fato de que nas extremidades o valor da Epel é máximo e Ec é nula. Enquanto que na posição de equilíbrio como X = 0, a Epel é nula e a Ec é máxima. Nas posições intermediárias temos Epel e Ec diferentes de zero, se convertendo uma na outra, sendo que nas extremidades temos mais Epel e nas proximidades do ponto de equilíbrio a Ec é maior. Por isso que em um sistema massa-mola ideal a oscilação nunca cessa, pois energia não se perde e sempre haverá energia potencial elástica se convertendo em energia cinética e vice-versa. Em certos sistemas aonde o efeito da gravidade se faz presente sobre o bloco a única diferença é que Et será dado agora pela soma da energia cinética (Ec), da energia potencial elástica (Epel) e da energia potencial gravitacional (Epg), resultando em Et = Ec + Epel + Epg, onde também teremos conversões entre esses tipos de energia de maneira a garantir o Princípio de Conservação da Energia. Qui, 05 de Agosto de 2010 02:08

MOVIMENTOS PERIÓDICOS www.nilsong.com.br

I) RESUMO DE MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS ) ------------------------------------------------------------------------------1) Introdução: É a projeção do movimento circular uniforme(MCU) sobre uma reta que contém o diâmetro

de uma circunferência. Também a projeção do movimento de uma onda, que se propaga horizontalmente, no eixo vertical y é um movimento harmônico simples. ………………………………………………………………………………………………………… figura 1. -A -------------------------------------------O------------------------------------------------- A v=0 v = v máx  v = 0  a = a máx  a=0 a = a máx  ------------------------------------------------------------------------------2   ) Força restauradora  .

(força que torna possível o MHS) 

Grandezas

Unidades

Força elástica

Símbolos / Equação

Kg.m/s (N)

F

N/m

K 

deformação de uma mola

m

x

Equação da força restauradora

**

F = - Kx

Constante elástica

. ---------------------------------------------------------------------------------------------------  3) Associação de molas  -  Um ovel pode realizar um MHS preso  a duas ou mais molas que podem esá em série ou paralelas entre si. . .

Descrição

Equações

Associação em paralelo Associação em série

K  p = K 1 + k 2 1 1 1  —— = —— + ——  k  s k 1 k 2

. --------------------------------------------------------------------------------------------------  . 4) velocidade angular ou pulsação - a denominação pulsação  é mais adequada ao MHS enquanto a velocidade angular é mais  atribuída ao MCU associado  .

Descrição

.

Equações

Velocidade angular em geral

2π ω = ——  T 

Velocidade angular no sistema mola-massa

K  ω² = ——  m

.

T = período  . m = massa  . ω = velocidade angular ou pulsação  . --------------------------------------------------------------------------------  5) Período e frequência -  período é tempo que a partícula leva  ara completar uma oscilação. frequência é o número de oscilações  dadas na unidade de tempo.

Descrição

Equações

Período em geral

2π T = ——  ω

Período no sistema mola-massa

 ___  T = 2π √(m/k)

Período do pêndulo simples

 ___  T = 2π √(L/g)

Frquência em geral

1 n  f = —— = ——  T   Δt 

. ………………………………………………………………………………………………………… ---------------------------------------------------------------------------------------------------  6) Funções horárias (da posição, velocidade e aceleração)

…………………………………………………………………………………………………………

Descrição

Equações

Posição da partícula

x = Acos(ωt + φ)

Velocidade

v = - Aωsen(ωt + φ)

Aceleração

a = - Aω²cos(ωt + φ)

………………………………………………………………………………………………………….  A = amplitude ou elongação máxima x = posição  v = velocidade a = aceleração  φ = constante de fase ou fase inicial  ………………………………………………………………………………………………………… ---------------------------------------------------------------------------------------------------  7) velocidade e aceleração máximas (ocorremm repectivamen-  te na posição de equilíbrio e nos pontos de elongações máximas)  .

Descrição

Velocidade máxima

Equações

vmáx = |Aω|

Aceleração máxima

amáx = |Aω²|

. .. ---------------------------------------------------------------------------------------------------  8) Energia (mecânica, cinética e potencial respectivamente)

………………………………………………………………………………………………………

Descrição

Equações

 KA  E c + E  p = ——  2

Energia total

Ennergia cinética

mv  E c = ——  2

Energia potencial

Kx  E  p = ——  2

………………………………………………………………………………………………………

. 9) Relação entre as velocidades , a amplitude e a posição .

Grandezas

Unidades

Símbolos/Equação

Velocidade

m/s

v

Velocidade angular ou pulsação

rad/s

ω

Amplitude

m

A

Posição

m

x

equação da velocidade

**

v ² = ω ²(A² - x ²)

. -------------------------------------------------------------------------------------------------II) EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E DE REVIÃO  A) SOBRE MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 1.1) Uma partícula no formato de uma letra luminosa H gira com velocidade angular de módulo constante de 5 rad/s descrevendo a circunferência de raio igual a 4 m como mostra a figura. Há uma projeção da luminosidade de H nas retas que contém os pontos A, Q e B (reta r) e n a reta que contém os pontos C, P e D (reta s) e esta oscila entre os pontos A e B e entre os pontos C e D.

Para a luminosidade de H nas restas r ou s, determine a) a velocidade, em m/s, nos pontos de r e s onde a velocidade é máxima; reta r: vQ= 20 m/s reta s: vP = 20 m/s b) a velocidade, em m/s, em A e B e em C e D (resp: v A = 0, vB = 0, vC=0 e vD=0) c) a amplitude do movimento projetado em r e s (resp: a = 4 m) d) a aceleração em P e Q (resp: aP = 0, aQ = 0) e) a aceleração máxima (resp: amáx = 100 m/s2) f) a frequência e o período respectivamente em Hz e em segundos (resp: f = 5/2π Hz, T =2π/5 s) g) a frequência e o período respectivamente em rpm e em minutos (resp: f = 150/ π rpm, T=π /150 min) 1.2) Um corpo de 2kg realiza um MHS, preso a uma mola de constante eléstica k = 50N/m e sujeito a ação apenas da força eléstica da mola. Ele oscila horizontalmente entre as posições -20m e 20m. Calcule: a) a amplitude (resp: A = 20 m); b) o período e a frequência (resp: t =2π/5 S, F = 5/2π HZ); c) a pulsação em rad/s (resp: 5 rad/s); d) a enegia total (resp: E = 10000 J); e) a velocidade máxima (resp: 100 m/s) 2) Para uma partícula que oscila em MHS entre as posições -A e A, pontos simétricos do eixo x em relação a origem 0, podemos afimar corretamente que: a) a velocidade é máxima em -A e A; b) a aceleração é máxima na posição de equilíbrio 0; c) a aceleração é máxima nas estremidades -A e A; ← (resposta) d) a velocidade é constante em tos os ponto entre -A e A 3) Um corpo de massa 2kg, realiza um MHS preso a uma mola segundo o gráfico da função horária y(t) =  Acos(ωt + φ), como mostrado abaixo.

Para o MHS mencionado, determine: a) a pulsação dessa partícula (equivalente à avelocidade angular no MCU) (resp: ω = π/4 rad/s); b) a sua velocidade máxima (resp: 5π/2 m/s); c) a sua velocidade, em m/s, na posição x = 2m (resp: v = π√6 m/s); d) a frequência em Hz e o período em segundos (resp: T = 8s, f = 1/8 Hz) e) a fase inicial (resp: φo = 0º); f) a amplitude (resp: A = 10 m). 4) A posição x de uma partícula que realiza um MHS, varia com o tempo segundo a função x(t) = 10cos(4Πt + Π/3) com as unidades no S.I. Determine:

a) a sua posição em t =40s (resp: 5 m); b) a sua velocidade em t = 50s (resp: - 20π√3 m/s); c) a sua aceleração em t = 30s (resp: a = - 80π2 m/s2); d) a sua pulsação (resp: 4π rad/s); e) a amplitude (resp: A = 10 m); f) a velocidade e a aceleração máximas (resp: 40π m/s e 160π 2 m/s2); g) a frequência e o período (resp; f = 2 Hz, T = 0,5 s) 5) Determine a posição de uma partícula que realiza um MHS presa a uma mola de constante elástica K, no instante que a energia cinética é o dobro da energia potencial, para o caso onde a amplitude é A. resp: x = A/√3

6) Uma massa m presa a um fio ideal de 0,4m oscila realizando um MHS, no plano vertical, em um local onde a aceleração da gravidade é 10 m/s². O movimento assemelha-se a um pêndulo simples. A outra extremidade do fio está fixa no teto de uma sala. Determine: a) o período (resp: T = 2π/5 s); b) a frequência (resp: 5/2π Hz). 6.1) O gráfico abaixo representa o movimento harmônico simples de uma partícula que oscila presa a uma mola de constante elástica k, sendo esta força conservativa e admitindo que não há outra força atuando. Sobre a partícula são feitas as seguintes afirmações:

I) a sua energia mecânica é 18 J; II) a energia total é 9 J; III) em x = - 2m a potencial é 7 J; IV) a energia cinética em x = 1 m é 8 J. Está(ão) correta(s): → c) II e IV a) I b) I e II

d) II e IV

e) todas

7) Seja T o período de um pêndulo simples que realiza um MHS com uma partícula de massa m presa a uma das extremidades livres de um fio de comprmento L e com a extremidade superior fixa. Se essa mesma partícula for presa a um fio de comprimento 2L, determine o seu novo período em função de T. resp: T' = T√2

8) Um pêndulo simples de comprimento L quando oscila em uma região onde a acelaração da gravidade é g ele apresenta período T e frequência f. Se ele for levado para um local onde a aceleração da gravidade for g/2 e sendo mantido as condições climáticas do local anterior, determine em função de T e f, o novo período e a nova frequência que passará a oscilar. resp: T' = T√2 9) Se o pêdndulo da questão anterior fosse um relógio, ele adiantaria ou atrasaria? Explique por que isso ocorre. 9.1) A projeção do MCU de um móvel de 4 kg sobre uma reta vertical que contém o diâmetro de uma circunferência de raio 8m é um MHS como mostrado a seguir. Determine:

a) a fase inicial (resp: π rad); b) a amplitude (A = 8 m); c) o período e frequência (resp: T = 20 s, f = 1/20 Hz); d) a frequência angular (resp: π/10 rad/s); e) a velocidade e acelaração máximas (resp: vmáx= 4π/5 m/s, amáx = 2π/25 m/s2); f) a aceleração centrípetra do movimento circular vinculado. (resp: 2π/25 m/s2) 10) Uma partícula de massa 3 kg realiza um movimento circular uniforme (MCU) com velocidade de módulo constante de 10 m/s, descrevendo uma circunferência de raio 2 m. A sombra desta partícula, projetada na reta horizontal X que contém o diâmetro da circunferência, realiza um movimento harmônico simples (MHS). Determine: a) a velocidade máxima da sombra da partícula (resp: 10 m/s); b) a aceleração máxima da sombra da partícula (resp: 50 m/s2); c) a frequência e o período de oscilação da sombra da partícula (resp: f = 5/2π Hz, T = 2π/5 s); d) a frequência e o período do movimento da partícula (resp: f = 5/2π Hz, T = 2π/5 s); e) a amplitude do movimento da sombra (resp: A = 2m) 11) sobre movimento da partícula e da sua sombra na questão anterior, considere as afirmaçõe abaixo: I- a partícula e a sombra sempre têm a mesma velocidade; II- a partícula e a sua sombra sempre têm a mesma aceleração centrípetra; III -somente no ponto médio da sua trajetória, a velocidade da sombra e da partícila são iguais; IV- a velocidade v da sombra é tal que ela pode ter 0 ≤ v ≤ 10 m/s Estão corretas: → b) III e IV a) I e II c) nenhuma d) somente IV e) somente III 11.2) O disco de raio 30 cm gira no plano vertical apoiado em uma superfície polida com uma frequência angular de π/2 rad/s. Suponha que um ponto fixo da periferia do referido disco projete uma sombra sobre uma reta a qual oscila entre dois pontos A e B como mostra a figura.

--------------------------A----------------------P---------------------B-------------------------------Para a sombra que move-se sobre a reta, determine: a) o período e a frequência (resp: T = 4s, f = 1/4 Hz); b) o número de vezes que partindo de A passa em B durante 100 segundos (resp: 25 vezes); c) o número de vezes que partindo de A passa em P durante 400 segundos (resp: 200 vezes);

d) o número de vezes que partindo de P passa em A durante 120 segundos (resp: 30 vezes); e) o número de vezes que partindo de P passa em B durante 180 segundos (resp: 45 vezes); f) o tempo gasto para, partindo de A, paasar em B 200 vezes (resp: 800 s); g) o tempo gasto para, partindo de P, paasar em A 500 vezes (resp: 2000 s); h) o tempo gasto para, partindo de P, paasar em B 80 vezes (resp: 320 s); i) O(s) pontos onde a velocidade é máxima na reta e este valor (resp: em P, 0,15π m/s);  j) os pontos da reta onde a aceleração é máxima e nula respectivamente (resp: aceleração máxima em A e B, aceleração nula em P) 12) Uma partícula realiza um MHS segundo a função x(t) = 20sen(5πt + π/2) com as unidades no S.I. Determine: a) a sua posição em t =60s (resp: x = 20 m); b) a sua velocidade em t = 60s (v = 0) ; c) a sua aceleração em t = 30s (resp:a = - 500π2 m/s2); d) a sua pulsação (resp: ω =5π rad/s); e) a amplitude (resp: A = 20 m); f) a velocidade e a aceleração máximas (resp:100π m/s, 500π2 m/s2); g) a frequência e o período (resp: f = 2,5 Hz, T = 0,4 s). 13) Uma massa de 2 kg realiza um movimento harmônico simples presa a uma mola de constante elástica 200N/m. A amplitude do movimento é 3 m. Calcule a velocidade máxima, a aceleração máxima, a frequência e o período. Resposta: vmax = 30 m/s , amáx = 300 m/s 2 , f = 5/π Hz e T = π/5 s) 14) A posição de um móvel que realiza um MHS varia com o tempo segundo a função x = 12cos(8πt), com as unidades no S.I. Determine: a) o tempo que o móvel gasta para passar pela posição x = 0 (resp: 1/16 s); b) o período e a frequência (resp: T = 1/4 s, f = 4 Hz); c) a velocidade e aceleração em t = 20 s (resp: v = 0, a = - 768π2 m/s2); d) a velocidade e aceleração máximas (resp: 96π m/s, 768π2 m/s2) 15.1) A energia total de um móvel de 4,0kg que realiza movimento harmônico simples, preso a uma mola de constante elástica k = 100N/m é 5000J. Calcule a amplitude, a fre quência e o período desse movimento. Resposta: A = 10 m, f = 5/2π Hz e T = 2π/5 s)

15.2) Duas partiículas realizam um MHS em relação ao mesmo referencial e trajetória e também mesma direção descritos pelas equações horárias x1 = 20cos(3πt + 7π/2) e x 2 = 20cos(3πt + 4π/2) com as unidades no SI. Estes movimentos estão sempre em: a) oposição de fase; b) fase; c) quadratura; d) interferência construtiva; e) interferência parcialmente destrutiva.

15.3) Nos movimentos da questão do exercício anterior, o tempo necessário para as partículas ficarem em concordância de fase quando se corrigissem as fases iniciais nas equações sem alterar os períodos e as amplitudes, seria: a) 2/3 s b) 1/3 s c) 1/6 s d) 1s e) n.d.r B) SOBRE MOVIMENTOS PERIÓDICOS EM GERAL (MAIS AVANÇADAS) 16) Uma partícula realiza um movimento no plano (xy) e os componentes deste movimento nos eixos x e y são respectivamente x(t) = 4cos(3t) e y = 2cost, com as unidades no S.I. A sua velocidade em t = π/2 segundos é: a) √37 m/s d) 4√37 m/s c) 3√37 m/s e) 5√37 m/s → b) 2√37 m/s 17) Um móvel de massa 0,02 kg realiza um movimento periódico no eixo x segundo a função v(t) = (20π)sen(2πt - π/4), com as unidades no Sistema Internacional. Determine a posição, a aceleração e a intensidade da força que atuou neste móvel em t = 100 segundos. respostas: x = 5√2 m, a = - 20√2π2 m/s2 e F = - 0,4√2π2 N 18) Demonstra-se que x2 /A12 -2(xy/A1 A2) cosΨo2 + y2 /A22 = (senΨo2)2 é a equação geral da trajetória resultante das projeções ortogonais x = A1cos(ωt) e y = A 2cos(ωt + Ψo2) do movimento de uma partícula no plano (xy) para períodos iguais. Se os movimentos descritos por estas projeções apresentaremse em oposição de fase e em quadratura respectivamente, com A1 > A2 e sendo A1 e A2 as amplitudes, a trajetória real da partícula é: a) uma reta e uma elipse com focos no eixo y; b) uma reta e uma elipse com focos no eixo x ← (respsta) c) uma circunferência e uma hipérbole com focos no eixo real; d) uma elipse com focos no eixo y e uma reta; d) uma elipse com focos no eixo x e uma hipérbole com focos no eixo imaginário. 19) Encontrar as equações da trajetória real do movimento da partícula do problema anterior, nas seguintes situações: a) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em concordância de fase; b) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em oposição de fase; c) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em quadratura, com A1 = A2; d) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em quadratura, com A1 < A2; e) quando pelas as equações x e y o movimento encontrar-se em quadratura, com A1 > A2; 20) Uma partícula movimenta-se no espaço e as projeções nos eixos x, y e z são x(t) = 3cos(2t), y(t) = 2cos(4t) e z(t) = - 2sen(8t). Calcule o módulo da velocidade e da aceleração desta partícula em t = π/4 segundos. 20) O período de oscilação de uma barra homogênea de comprimento L e massa m que gira em torno de um eixo afastado do centro de massa da barra é T = 2π(2L/3g) 1/2. Especificamente este período foi calculado para o caso onde o eixo de rotação da barra situa-se: I) no centro de gravidade da barra; II) a uma distância L/3 do centro de massa da barra;