Teorema 1.1 katakan X adalah sebuah random variable dan misalkan a, b, dan c adalah konstanta. Kemudian untuk beberapa fungsi g i(x) dan g 2(x) yang ekspektasinya ada(expectation exist) a.
b.
Jik a
c.
Jik a
untuk semua , mak a
d.
Jik a
untuk semua , mak a
Moments
untuk semua , mak a
dan moment generat ing funct ion
Def inisi 1.1 Untuk setiap n integer, moment k e-n e-n dar i
Moment
sentral k e-n e-n dar i ,
(atau
),
, adalah
, adalah
dimana
Teorema 1.2 var iance dar i sebuah random var iable X adalah moment sentral moment),
. Ak ar ar k uadrat uadrat dar i
edua k edua
(second central
adalah standar dev iasi dar i X.
Teorema 1.3 Jik a X adalah X adalah random var iable dengan var ians tertentu, ma k a untuk k onstanta onstanta a dan b
Var ians dapat dihitung mengguna k an an
Sedangk an an moment sentral k e tiga (3rd central moment) dik etahu etahui sebaga i sk ewness ewness dar i sebuah distr bus i busi dan digunak an an sebaga i uk uran uran asimetr is (measure of asymmetry). meannya
Jik a
sebuah distr bus i busi adalah s imetr is
. Sk ewness ewness a k an an bernilai 0. Jik a nilai sk ewness ewness tidak nol (non-zero),
distr bus i businya asimetr is. Moment
sentral
k e
empat (4 th central moment) adalah
urtosis. k urtos
Digunak an an sebaga i uk uran uran dar i
sebagaimana bobot ek or or dar i sebuah distr bus i busi. Kurtosis dar i distr bus i busi normal adalah
.
1
Moment generating function (mgf), seperti yang digambarkan oleh namanya, mgf dapat digunakan untuk membangkitkan moments (generate moments). Pada prakteknya, hal ini lebih mudah dibeberapa persoalan untuk menghitung moment secara langsung daripada menggunakan mgf. Bagaimanapun kegunaan utama dari mgf adalah bukan untuk membangkitkan moments (generate moments), tetapi untuk membantu dalam mengelompokkan sebuah distribusi. Sifat dari mgf ini dapat menuntun kepada extremely powerful results jika digunakan dengan tepat. The probability density function (variabel kontinyu) atau probability mass function (variable diskrit) dari sebuah random variabel X berisi semua informasi tentang variabel ini. Oleh karena itu, ini terlihat bahwa harus selalu mungkin: y
Untuk menghitung mean, varians, dan order moments yang lebih tinggi dari X dari pdfnya (atau
dari pmfnya untuk yang diskrit) y
Untuk menghitung distribusi dari, katakan penjumlahan dari dua random variable independent
X dan Y yang distribusinya diketahui Namun, pada prakteknya, ternyata bahwa perhitungan dari prinsip-prinsip pertama sering sulit. Mgf kemudian dapat digunakan untuk membantu Sebelum kita menggambarkan MGF, suatu penyimpangan kecil adalah dalam susunan. Kesulitan kita hanya disebutkan tidak khusus untuk Teori Probabilitas. Bahkan, hampir semua disiplin dalam Fisika atau Matematika akan berjalan ke dalam masalah yang sama cepat atau lambat yaitu sebuah sifat tertentu dari fungsi f diperlukan, persamaan ada di sana, tetapi tidak dapat diselesaikan dalam bentuk tertutup. Sebuah ide yang kuat dan sangat umum, yang ada di bawah banyak samaran, terdiri kemudian dalam perubahan fungsi asli f menjadi sebuah fungsi g terpilih secara tepat dan baru,sedemikian rupa termasuk penghitungan sederhana pada g akan membangun hasil yang diinginkan. Kendalanya diolehkarenakan menghindar pada mengorbankan perubahan fungsi asli f (original function) yang tepat. Cara ini digambarkan pada ilustrasi di bawah ini
2
Gambar di sebelah kanan menggambarkan secara eksplisit dasar dari perubahan sebuah fungsi (transformation of a function) yaitu:
y
Pertama, hitung g (function f
function g)
y
Kemudian lakukan penghitungan yang tepat pada g untuk menghasilkan quantity Q yang diinginkan
Mgf dihasilkan dari sebuah transformasi dari pdf (atau pmf). Perubahan ini didefinisikan sebagai berikut: Muncul sebuah parameter baru t Terbentuk Random variabel
. Ekspektasi dari
dihitung. Sebagai contoh, jika X radom variabel berdistribusi kontinyu
Dan untuk variable berdistribusi diskrit
Dimana
adalah pdf dari random variabel X
Pengintegralan dilakukan terhadap x, oleh karena itu x tidak ditemukan pada hasil akhir, yang ada hanya fungsi dari t. sedangkan pada variabel diskrit, indeks berjalan untuk x, sehingga variable x juga tidak akan ditemukan pada penghitungn ekspektasi itu, yang ada hanya fungsi dari t.
Jadi definisi dari moment generating function (mgf) dari variabel X atau dari pdf dengan
atau
akan dinotasikan
adalah
Dengan syarat ekspektasi dari
ada (exist) disekitar 0. Yaitu dimana untuk semua pada
ada (exist). Jika ekspektasinya tidak ada (does not exi st) di sekitar 0, kita dapat katakana
bahwa moment generating functionnya tidak ada (does not exist). 3
Teorema 1.4 Jika X mempunyai MGF
, maka
Dimana didefinisikan
Yaitu moment ke-n adalah sama dengan turunan ke-n dari
pada saat
Bukti, asumsikan bahwa kita dapat menurunkan dibawah integral, kita dapatkan
Jadi,
Maka,
Teorema 1.5 misalkan a.
Jika
dan
jika
dan
adalah cdf yang mgfnya ada (exist)
mempunyai bounded support, maka untuk semua integer
b. Jika mgf ada (exist) dan
untuk semua
untuk semua
disekitar 0, maka
jika dan hanya
untuk
semua .
4
Teorema 1.5 (convergence of mgfs) misalan variable, dengan mgfnya masing-masing
adalah sebuah urutan dari random
. Dapat dikatakan bahwa
, untuk semua disekitar 0
Dan
adalah sebuah mgf, maka ada sebuah cdf yang unik
untuk semua
dimana
yang momentnya dihasilkan oleh
adalah kontinyu, kita dapatkan
Yaitu konvergen untuk
, dari mgfs kepada sebuah mgf menyatakan convergen of cdf
Teorema 1.6 untuk a dan b konstan, mgf dari random variable
adalah sebagai berikut
Bukti
2. Differentiating under an integral sign
Maksud dari bagian ini adalah untuk menggolongkan kondisi di bawah operator logic. Kita juga akan membicarakan mengenai pertukaran order dari penurunan dan penjumlahan. Banyak dari k ondisi ini dapat dibuat menggunakan teorema standar dari kalkulus.
Teorema 2.1 (leibruts rule) jika
Jika
dan
adalah turunan terhadap
maka
adalah konstanta, formula leibnitzs rule menjadi
5
Jadi secara umum jika kita mempunyai integral dari sebuah fungsi turunan terhadap sebuah rank tertentu, jika range dari integral adalah terbatas , bagaimanapun, permasalahan dapat muncul. Pertanyaannya adalah apakah penggantian dari order dari differentiation dan pengintegralan dibenarkan merupakan pertanyaan apakah limit dan pengintegralan dapat saling mengganti, karena
sebuah turunana merupakan sebuah jenis limit yang mungkin. K atakana bahwa jika
dapat
diturunkan (differentiable), maka
jadi kita dapatkan
Sedangkan
Semua teorema berikutnya berhubungan dengan dengan lebesgues dominated convergence theorem. Teorema 2.2 misalkan fungsi
adalah pada
untuk setiap x, dan ada sebuah fungsi
yang
memenuhi
untuk semua
dan
.
Maka
Kondisi kunci pada teorema ini adalah keberadaan dari fungsi
, dengan sebuah integral tertentu,
yang meyakinkan bahwa integralnya tidak berlaku buruk.
Teorema 2.3 misalkan
dapat diturunkan pada
yaitu
6
Ada untuk setiap , dan disana ada sebuah fungsi
dan sebuah konstanta
yaitu
Maka
Penting untuk menyadari bahwa walaupun kita terlihat memperlakukan pernyataan dari teorema itu adalah untuk suatu nilai dari
dapat diturunkan (differentiable) pada
sebagai sebuah variable,
. Yaitu, untuk setiap nilai
dan memenuhi kondisi
dan
yang mana
, urutan dari
integral dan turunan dapat saling mengganti. Formula di atas dapat juga ditulis
Mgf dari beberapa distribusi MGF Distribusi Binomial tx
Mx(t) = E(e ) = =
7
=
MGF Distribusi Bernoulli tx
Mx(t) = E(e ) = = =
= [( =
+ [(
Distribusi poisson
F(x)= x=0,1,... M (t)=E( ) = = x
= =
Distribusi Uniform UNIF(a,b)
F(x)=
a
Mx(t)= E( )
8
=
=
= = =
= =
Distribusi geometrik GEO(p)
F(x)=p
x=1,2,...
Mx(t)= E( )
=
= =
p
= =
Negative Binomial
9
F(x)=
x=k,k=1,...
= =( ) =( =( = =
Mx(t)= E( )
MGF Distribusi Gamma tx
Mx(t) = E(e )
=
=
=
= =
10
Fungsi karakteristik
Diberikan sebuah subset A dari sebuah set yang besar, fungsi karakteristik pada pada
didefinisikan identik satu
dan nol untuk lainnya. Fungsi karakteristik kadang-kadang dinotasikan dengan
menggunakan yang dinamakan Iverson bracket, dan dapat berguna untuk descriptive devices karena hal itu akan mudah untuk diucapkan, contohya, characteristic function of the primes lebih baik dari pada mengulang sebuah definisi yang telah diberikan. Sebuah fungsi karakteristik adalah kasus khusus dari simple function. Istilah fungsi karaktristik digunakan dengan cara berbeda di peluang, dimana dinotasikan dengan
dan didefinisikan sebagai fourier transformation dari pdf menggunakan fourier transform parameters
Dimana
(kadang dinotaasikan dengan
) adalah moment ke n disekitar 0 dan
(Abramowitz
and Stegun 1972, p. 928; Morrison 1995). Sebuah distribusi statistic tidak di golongkan secara unik oleh momentnya, tetapi adalah oleh fungsi karakteristiknya jika semua momentnya terhingga dan series untuk fungsi karakteristiknya secara absolute konvergen didekat origin (Papoulis 1 991, p. 116). Pada kasus ini pdfnya diberikan sebagai berikut
(Papoulis 1991, p. 116).
11
Fungsi karakteristik dapat juga digunakan untuk meng enerate raw moments,
Atau cumulants
.
12
