Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables

Cap. 2 Optimización de varias variables

Moisés Villena Muñoz

2 2.1 2.2

OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIÓN OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

Debe ser tentador y en ocasiones imprescindible para el hombre tratar de optimizar recursos, de querer obtener máximas ganancias o mínimas pérdidas. Matemáticamente existen maneras de dar solución a esta problemática

OBJETIVO: 

Optimizar funciones de dos y tres variables sin restricciones y con restricciones

19



2.1 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIÓN 2.1.1 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Es casi probable que usted haya tratado la optimización de funciones de una variable real empleando el criterio de la primera derivada, trataremos ahora de realizar la optimización empleando el criterio de la segunda derivada para que resulte fácil su generalización para dos, tres o más variables. 2.1.1.1 Definición de Máximo y Mínimo

Sea f una función de una variable definida en un intervalo I  a, b , y sea x0  I . Entonces: 1. f x0  es un valor máximo de intervalo I , si f x0   f ( x); x  I .

f

en el

Es decir, f

toma el mayor valor en x0 .

2. f x0  es un valor mínimo de f en el intervalo I . si f x0   f ( x); x  I . Es decir, f toma el menor valor en x0 .

3. f x0  es un valor extremo de

f

en el

intervalo I , si es un máximo o un mínimo.

2.1.1.2 Punto crítico estacionario

" x0 " es llamado punto crítico estacionario de f si y sólo si f ´x0   0 . Lo anterior quiere decir que en el punto " x0 " de la gráfica de f se puede trazar una recta tangente horizontal.

20



2.1.1.3 Criterio de la segunda derivada para establecer extremos

Sea f una función dos veces derivable en un intervalo I , y sea x0  I un punto crítico estacionario de f . Entonces: 

1. Si

f ( x0 )  0

entonces

f  x0 

es un valor

entonces

f  x0 

es un valor

Mínimo de f . 

2. Si

f ( x0 )  0

Máximo de f . Ejemplo Determinar los extremos para f ( x)  2 x 3  3x 2 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada f ´(x)  6 x  6 x 2

f ´(x)  0 Ahora  6 x  6 x  0 , entonces serían: x  0 y x  1 . 2

6 x(1  x)  0 2. Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:

f ´´(x)  12 x  6 a) f ´´(0)  12(0)  6  6  0 (positivo) por tanto aquí hay un M ÍNIMO. b) f ´´(1)  12(1)  6  6  0 (negativo) por tanto aquí hay un M ÁXIMO.

Observe la gráfica:

21



Las funciones que trataremos, en su mayoría, son derivables; por tanto las definiciones y criterios que se han mencionado bastan para lo que pretendemos proponer. Criterios para otros tipos de puntos no se los considera en este texto.

2.1.2 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 2.1.2.1 Definición de Máximo y Mínimo

Sea f una función de dos variables definida en una región R  2 , y sea x0 , y0  R . Entonces: 1. f x0 , y0  es un valor máximo de f en R , si f x0 , y0   f ( x, y); x, y  R 2. f x0 , y0  es un valor mínimo de f f x0 , y0   f ( x, y); x, y  R

en R . si

3. f x0 , y0  es un valor extremo de f en R , si es un máximo o un mínimo. Note que esta definición es análoga a la que se dio para funciones de una variable. Algo parecido ocurrirá en adelante.

2.1.2.2. Punto crítico estacionario

" x0 , y0 " es llamado punto crítico estacionario

de f si y sólo si:

22

 f  x  x0 , y0   0  f   x0 , y 0   0  y



2.1.2.3 Criterio de la segunda derivada para establecer extremos

Sea f una función dos veces diferenciable en una región R  2 , sea x0 , y0  R un punto crítico estacionario de f . Defínase la Matriz Hessiana de f en el punto

x0 , y0  como:  2 f  x 2 H  2  f  yx

2 f   f xx xy   2  f   f yx 2  y  ( x , y ) 0

f xy  . f yy  ( x , y ) 0

0

0

Además defínanse las matrices: H 1   f xx  x

0 , y0

,

 f xx H2  H    f yx

f xy  f yy   x

0 , y0



Entonces: 1. Si H1  0  H 2  0 , entonces f ( x0 , y0 ) es un mínimo de f en la región R . 2. Si H1  0  H 2  0 , entonces f ( x0 , y0 ) es un máximo de f en la región R . 3. Si H 2  0 , entonces f ( x0 , y0 ) es un punto de silla de f en la región R . 4. Si H 2  0 , no se puede concluir. PREGUNTA: ¿Qué es un punto de silla? (Investíguelo) Ejemplo 1 Hallar los extremos para f ( x, y)  x 2  y 2 SOLUCIÓN: PRIMERO se encuentran los puntos críticos, candidatos a ser extremos.

f  2x x 2 2 Las derivadas parciales para f ( x, y)  x  y son: f  2y y

23



2 x  0 da como resultado x0  0 y y0  0 2 y  0

El sistema 

Por tanto tenemos en este caso un sólo punto crítico x0 , y 0   0,0 SEGUNDO Clasifiquemos el punto crítico:

f xx  2 Las segundas derivadas parciales son: f yy  2

f xy  f yx  0

 2 f  2 La matriz Hessiana en este caso es: H   x2  f   yx Ahora, como H 1  2  0 y H 2  para la función, que sería:

2 f   2 0 xy    2   f  0 2  y 2  (0,0)

2 0  4  0 concluimos que en (0,0) hay un valor mínimo 0 2

f Mín (0,0)  0 2  0 2  0

Ejemplo 2 Hallar los extremos para f ( x, y)  x 3  y 3  6 xy SOLUCIÓN: PRIMERO: Para hallar los puntos críticos, tenemos: Las derivadas parciales son:

f x  3x 2  6 y f y  3 y 2  6 x

 3x 2  6 y  0  3 y 2  6 x  0

Resolviendo el sistema 

En la segunda ecuación se obtiene x 

tenemos: y2 y al reemplazarlo en la primera ecuación encontramos los 2

valores de y 0 , es decir : 2

 y2    6y  0 3  2    y4  6y  0 4  y3  3 y  2  0  4    y  0  y  2 3

Luego; si y 0  0 entonces x 0 

02 0; y, 2

si y 0  2 entonces x 0 

 22 2

2

Es decir, aquí tenemos dos puntos críticos 0,0 y 2,2 . SEGUNDO: Clasificando los puntos críticos

f xx  6 x Las segundas derivadas parciales son: f yy  6 y

f xy  f yx  6

24



 2 f  2 La matriz Hessiana en este caso es: H   x2  f   yx

2 f   6  xy  6 x    2 f   6  6 y  y 2  6  0 6 6(0)  6(0) 6 0  6

1. La matriz Hessiana para el punto (0,0) es: H  

Como H 2 

0 6  36  0 concluimos que (0,0) hay un punto de silla. 6 0 6  12 6  6(2)   6(2)  6 12  6

2. La matriz Hessiana para el punto (2,2) es: H  

Como H1  12  0 y H 2 

12 6  144  36  12  0 entonces en (2,2) hay un valor 6 12

Mínimo para la función, y es: f MIN (2,2)  2  2  6(2)( 2)  8 3

3

Ejemplo 3 Un supermercado vende 2 tipos de cerveza. Una marca local que se obtiene a un costo de c 30 cada lata y una marca nacional que se obtiene a un costo de c 40 por lata. El tendero calcula que si la de marca local se vende a " x" centavos por lata y la de marca nacional a " y" centavos por lata, se venderán cada día aproximadamente 70  5x  4 y latas de la marca local y 80  6 x  7 y latas de la marca nacional. ¿Qué precio debería fijar el tendero a cada marca para maximizar las utilidades? SOLUCIÓN: Con la información proporcionada determinamos la función utilidad U  I C

U  x(70  5 x  4 y )  y (80  6 x  7 y )  30(70  5 x  4 y )  40(80  6 x  7 y ) U  x  30(70  5 x  4 y )   y  40(80  6 x  7 y )

U  5 x 2  10xy  20x  7 y 2  240y  5300 Las derivadas parciales para la función Utilidad son:

U x  10 x  10 y  20  U y  10 x  14 y  240 U x  0  10 x  10 y  20  0 es decir  U y  0  10 x  14 y  240  0 10 x  10 y  20  0  10 x  20  10 y Despejamos x en la primera ecuación: 10 y  20 x 10 x  y2 Para los puntos críticos hacemos 

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10( y  2)  14 y  240  0 20 y  20  14 y  240  0 Reemplazamos x en la segunda ecuación:  4 y  220 220 y 4 y  55 Luego x  y  2  55  2  53 Por tanto, tenemos un sólo punto crítico P(53,55)

U xx U xy   10 10    U U  14 yy  53,55  10  yx

La matriz Hessiana es H  

 10 10  140  100  40  0 10  14 máximas se producirán cuando x  53 y y  55 Como H 1   10  10  0 y H 2 

entonces utilidades

Ejercicios Propuestos 2.1 1. Encuentre los ex tremos para: a) f ( x, y)  x 3  y 2  6 xy  9 x  5 y  2 b) f ( x, y)  x 2  2 y 2

c) f ( x, y)  x  4ln(xy) 2. Sea f ( x, y ) 



 



1 3 x  8 y3  2 x 2  y 2  1 . Encuentre los puntos críticos y clasifíquelos en máx im os, 3

mínimos o punto de silla. 3. Encuentre los puntos críticos para la función f ( x, y)  2 x  y  ln(xy ) . Clasifíquelos en máximo o mínimo relativ o o punto de silla. 2

2

2

4. Una empresa planea introducir dos nuevos productos al mercado . Se calcula que si el primer producto se valora en x cientos de dólares y el segundo producto en y cientos de dólares, aproxim adamente

40  8x  5 y consumidores comprarán el prim er producto y 50  9 x  7 y comprarán el segundo producto. Si el costo de fabricación del primer producto es de $1000 por producto y el costo del segundo producto es $3000 por producto. ¿Qué precio debería fijar la empresa a los producto para generar la máxim a utilidad posible?.

26



2.1.3 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES 2.1.3.1 Definición.

Sea f una función de tres variables definida en una región R  3 , y sea x0 , y0 , z0  R . Entonces: 1. f x0 , y0 , z0  es un valor máximo de f en R , si f x0 , y0 , z0   f ( x, y, z); x, y, z  R

2. f x0 , y0 , z0  es un valor mínimo de f en R . si f x0 , y0 , z0   f ( x, y, z); x, y, z  R

3. f x0 , y0 , z0  es un valor extremo de f en R , si es un máximo o un mínimo. 2.1.3.2. Punto crítico estacionario

llamado punto estacionario de f si y sólo si: " x0 , y0 , z0  "

es

crítico

 f  x  x0 , y 0 , z 0   0   f  x0 , y 0 , z 0   0  y  f  x0 , y 0 , z 0   0  z

2.1.3.3 Criterio de segunda derivada para extremos

Sea f una función dos veces diferenciable en una región R  3 , sea x0 , y0 , z0  R un punto crítico estacionario de f . Sea

27



  f xx H   f yx   f zx 

f xy f yy f zy

 f xz  f yz   f zz   x , y ,z 0

0

0



la Matriz Hessiana de f en el punto x0 , y0 , z0  . Defínanse las matrices:  f xx H1   f xx x , y , z , H 2   0 0 0  f yx

  f xx f xy   , H 3  H   f yx  f yy  x0 , y0 , z0   f zx 

f xy f yy f zy

 f xz   f yz  f zz   x0 , y0 , z0 

Entonces: 1. Si H1  0  H 2  0  H 3  0 , entonces f x0 , y0 , z0  es un mínimo de f en la región R .

2. Si H1  0 

H2  0 

H 3  0 , entonces

f ( x0 , y0 , z0 ) es un máximo de f

en la región

R. Ejemplo 1 Hallar los extremos para f ( x, y, z)  2 x2  xy  4 y 2  xz  z 2  2 SOLUCIÓN: PRIMERO determinamos los puntos críticos estacionarios.

 f   4x  y  z  x  f Las derivadas parciales son:   x  8y  y  f   x  2z  z 4 x  y  z  0  Resolviendo el sistema simultáneo  x  8 y  0 tenemos: x  2z  0 

Despejando " y " en la segunda ecuación resulta y  

x . 8

x . 2 Luego reemplazando " y " y " z " en la primera ecuación, encontramos " x ", es decir:

Despejando " z " en la tercera ecuación resulta z  

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x x  0 8 2 1 1   4   x  0 8 2  x0 x 0 x 0 Por lo tanto y      0 y z      0 8 8 2 2 4x 

Hay un solo punto crítico P(0,0,0) SEGUNDO: Clasificando el punto crítico.  f xx f xy  La matriz Hessiana sería: H   f yx f yy f  zx f zy

f xz  4 1 1     f yz   1 8 0  1 0 2 f zz  0,0,0 

4 1 1   H 3  H  1 8 0 1 0 2

4 1 H2    1 8

De aquí tenemos: H1  4 Calculando los determinantes tenemos:

4 1 1 H 3  H  1 8 0  54  0 1 0 2

4 1 H2   31  0 1 8

H1  4  4  0

Por lo tanto, se concluye que en el punto P(0,0,0) se produce un mínimo, cuyo valor es: f (0,0,0)  202  00  402  0  02  2 f min  2

Ejercicios Propuestos 2.2 2 2 2 1. Hallar los valores ex tremos de: f ( x, y, z )  x  xz  y  y  yz  3z

2. Determine los valores de x ,

y , z (si es que exis ten) que maxim icen o minim ic en la función

f ( x, y, z)   x  y  z  2 y  xz . 2

2

2

 P1  63  4Q1  3. Los precios de tres productos están dados por  P2  105  5Q 2 , y el costo total de la producción de los  P  75  6Q 3  3 2 productos está dado por C  20  15Q  Q donde Q  Q1  Q2  Q3 es la cantidad total demandada

de los productos. Determine los niv eles de demanda que hagan máx im a la utilidad. 4. Para

los

productos

A,

y

B

C

de

una

empresa

el

costo

está

dada

por

C ( p A , p B , pC )  p A  2 p B  pC  p A p B  2 pC  2 p A  12 donde p A , p B , pC son 2

2

3

los precios de los productos. Encuentre los precios que minim icen el costo.

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2.1.4 MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE " n " VARIABLES Sea la Función Objetivo w  f ( x1 , x2 , x3 ,, xn ) , dos veces diferenciable. Suponga que se obtiene el punto crítico estacionario P( x0 , x0 , x0 ,, x0 ) , 1

resolviendo el sistema simultáneo

 f  x  1  f  x 2  f   x 3  f   x 4

2

3

n

0 0 0 0

Sea:  f x1 x1 f  x2 x1  fx x H  31  f x4 x1     f xn x1

f x1 x2 f x2 x2 f x3 x 2 f x4 x2  f xn x2

f x1 x3 f x 2 x3 f x3 x3 f x 4 x3  f x n x3

    

f x1 xn  f x2 xn  f x3 xn   f x4 xn     f xn xn 

( x01 , x0 2 , x0 3 ,, x0 n )

La Matriz Hessiana para f Defínanse las matrices:



H 1  f x1 x1

,

Entonces:

 fx x H2   1 1 f  x2 x1

 fx x f x1x2   11  , H 3   f x2 x1 f x2 x2  f   x3 x1

f x1x2 f x2 x2 f x3 x2

f x1x3   f x2 x3  , , H n  H f x3 x3  

1.- Si H1  0  H 2  0  H 3  0    H n  0 , entonces en ( x01, x02 , x03 ,, x0n ) la función tiene un mínimo.

2.- Si H1  0  H 2  0  H 3  0    (1) n H n  0 , entonces en ( x01, x02 , x03 ,, x0n ) la función tiene un máximo.

30



2.2 OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Hasta aquí se ha determinado extremos de funciones objetivos sin que exista condicionamiento para sus variables. Suponga que sea necesario restringir las variables a ciertas condiciones, entonces habrá que considerar otro aspecto que lo vamos a tratar a continuación.

2.2.1 CRITERIO PARA ESTABLECER EXTREMOS CON UNA RESTRICCION EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES Suponga que se desea optimizar la función de dos variables f , dos veces diferenciable, sujeta a la restricción o ligadura

g ( x, y)  k , donde k es una

constante. Defínase la Función Langragiana

L(, x, y)  f ( x, y)  g ( x, y)  k 

donde  es llamado Multiplicador de Lagrange. Suponga

que

se

obtiene

el

Punto

crítico

 L  0 estacionario x0 , y0 ,   resolviendo el sistema  Lx  0 , L  0  y

 f x  g x  o el sistema  f y  g y  g ( x, y )  k 

Defínase el Hessiano Orlado, como la matriz:  L  H   Lx  L y 

Lx Lxx L yx

Ly   0   Lxy    g x L yy   g y

gx Lxx L yx

gy   Lxy  L yy   x0 , y 0 ,  

Entonces: 1. Si H  0 entonces en ( x0 , y0 ) la función f tiene un Máximo. 2. Si H  0 entonces en ( x0 , y0 ) la función f tiene un Mínimo.

31



Ejemplo Hallar los valores máximos y mínimos de f ( x, y)  xy , sujeto a que x 2  y 2  8 SOLUCIÓN: En este caso g ( x, y)  x 2  y 2 . Por tanto la función Langragiana sería:





L(, x, y)  f ( x, y)  g ( x, y)  k   xy   x 2  y 2  8

 L  0  f  g  y   2 x x x  x   L y  0  f y  g y  x   2 y  2 2   L   0  g ( x, y )  k  x  y  8 Despejando  en las dos primeras ecuaciones, e igualando se obtiene:

y  y x 2 x    y 2  x 2  y  x  x  2x 2 y  2 y  

x2  y2  8 2x 2  8

Reemplazando en la tercera ecuación, resulta:

x  2 x2  4    x  2 y  2 x2  y  2 Por tanto: y  2 x  2    y  2

Es decir, existen cuatros puntos críticos: (2,2) , (2,2) , (2,2) y (2,2) . Hallemos el Hessiano Orlado

0  H  g x g y  0 2x  x x H  2 x  2 Y como   , se tiene  2y 2y  1 2 y

 

gx L xx L yx

gy   0 2x 2y    L xy    2 x  2 1  L yy  2 y 1  2 

2y   1    2 2xy  

 

Ahora clasifiquemos los puntos críticos:

0 4 4    1.- Para (2,2) tenemos: H  4  1 1  4 1  1 Entonces, como H  4(8)  4(8)  64  0 se dice que

f (2,2)  (2)( 2)  4

es un

MÁXIMO.

 0 4  4   2.- Para (2,2) tenemos: H   4 1 1   4 1 1  Ahora, como H  4(8)  4(8)  64  0 se dice que f (2,2)  (2)( 2)  4 es un MÍ NIMO.

 4 4 1 1  4 1 1 Ahora, como H  4(8)  4(8)  64  0 se dice que f (2,2)  (2)( 2)  4 es un 0 

3.- Para (2,2) se tiene: H   4

MÍNIMO.

32



 0  4  4   4.- Para (2,2) se tiene: H   4  1 1    4 1  1 Entonces, como H  4(8)  4(8)  64  0 se dice que f (2,2)  (2)( 2)  4 es un MÁXIMO.

Ejemplo 2 A un editor se le han asignado $60,000 para invertir en el desarrollo y la promoción de un nuevo libro. Se calcula que si se gastan

" x"

miles de dólares en desarrollo y " y" miles en 3

promoción se venderán aproximadamente f ( x, y)  20 x 2 y ejemplares del libro. ¿Cuánto dinero debe asignar el editor a desarrollar y cuánto a promoción para maximizar las ventas? SOLUCIÓN: En este caso la Función objetivo sería f ( x, y)  20 x 2 y sujeta a la restricción x  y  60 3

3

La función Langragiana sería: L(, x, y)  20 x 2 y  ( x  y  60) Para obtener los puntos críticos, hacemos:

 x  y  60  L  0  1  2  3  12  L x  0   (1)  20  x y  0    30 x y 2    3 3 2 2  L  0    ( 1 )  20 x  0    20 x y  1

Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta: 30 x

2

y  20 x

3

2

y

2 x 3

2 x  60 3 Lo último lo reemplazamos en la primera ecuación y se obtiene: 3 x  2 x  120 5 x  120 x  36 x

Por tanto:

2 (36) 3 . Es decir, existe sólo un punto crítico: (36,24) y  24 y

0 1 1  1  1  2 2 El Hessiano Orlado sería: H  1 15x y 30x  1   2 0  1 30x

1  0 1 1 60 180 H  Y para el punto (36,24) es:   1 180 0  Como el determinante es: H  (1)( 180)  1(120)  300  0 , concluimos que el editor debe invertir $36000 en desarrollo y $24000 en promoción para obtener las máximas ventas.

33



Ejercicios Propuestos 2.3 1.

Encuentre los ex tremos de la función f ( x, y)  xy sujeta a que x  y  6

2.

Encuentre los ex tremos de la función f ( x, y)  x 2  y 2 sujeta a que x  4 y  2

3.

Dadas las ecuaciones de utilidad presupuestal de un consumidor

3

U  q1 2 q 2 100  3q1  4q 2

. Determine los v alores

de q1 y q 2 que maximiz an la utilidad del consumidor. 4.

La relación entre las v entas "S" y las cantidades "x " y "y" gastadas en dos medios de publicidad está dada por S 

1 200x 100y . La Utilidad neta es de las ventas menos el gasto en public idad. El  5 5  x 10  y

presupuesto para publicidad es de $25. Determine cómo debe asignarse este presupuesto entre los dos medios para maxim izar la utilidad neta. 5.

Una empresa de computadoras tiene un presupuesto mensual publicitario de $60,000. Su departamento de ventas estim a que si se gastan " x " dólares cada mes en public idad en periódicos y " y " dólares cada mes 1

3

en public idad por telev is ión, las ventas mensuales estarán dadas por S  90x 4 y 4 dólares. Si la utilidad es el 10% de las ventas menos el costo de la public idad, determine cómo asignar el presupuesto publicitario para maximiz ar la utilidad mensual. Compruébelo utilizando el Hessiano Orlado. 6.

Usando

L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P

unidades de su producto, en donde P( L, K )  60 5( L2  K 2 ) . Los costos de la mano de obra y de capital son de $200 y $100 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 4500 unidades. Halle el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con objeto de minim iz ar el costo total. 7.

En un taller de mecánica se reparan 2 tipos de autos

A y B . La función de trabajo conjunto está dado por:

f ( x, y)  x 2  2 y 2  xy , donde x e y representa el números de autos por día del tipo A y B reparados, respectiv amente. Para minim iz ar el trabajo, ¿cuántos autos de cada tipo deben repararse, si diariamente se puede reparar 8 autos? 8.

Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos A y B . Obtiene una utilidad de $4 por unidad de A y de $6 por unidad de B . Los números de unidades de los dos tipos que pueden producir mediante la planta están restringidos por la ecuación del transformación del producto:

x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 Con x y y los números de unidades (en miles de dólares) de A y B respectiv amente, producidos por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximiz ar la utilidad. 9.

Si una empresa gasta " x " miles de dólares en public idad en la ciudad

A , sus v entas potenciales (en miles

300x de dólares) en tal ciudad están dadas por . Si gasta " x " miles de dólares en la ciudad B , sus x  10 500x ventas potenciales (en miles de dólares) en tal ciudad son . Si la utilidad es del 25% de las ventas x  13.5 y la empresa dispone de una restricción del presupuesto de 16500 destinados a publicidad en las dos ciudades. ¿Cuánto deberá gastar en cada ciudad con objeto de max im iz ar la utilidad neta de la empresa? Utilice el Hessiano Orlado para verificar los resultados.

34



2.2.2 INTERPRETACIÓN DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE Suponga que M es el valor máximo (o mínimo) de f ( x, y) sujeta a la restricción g ( x, y)  k que usualmente significa disponibilidad o presupuesto. El multiplicador de Lagrange "" es la razón de cambio de M con respecto a k , dM es decir:   . (Demuéstrelo) dk El valor máximo o mínimo M es función de la disponibilidad k ( M  f (k ) ), entonces:

dM k dk M  (k ) M 

Si k  1 entonces M   . Es decir,  es el cambio de M debido a un incremento de 1 unidad en k . Ejemplo 1 Si al editor del problema anterior se le asigna $60,200 en lugar de $60,000 para invertir en el desarrollo y la promoción del nuevo libro. Calcular de qué manera afectará el nivel máximo de ventas los $200 adicionales. SOLUCIÓN: 3

En el ejemplo anterior teníamos la función objetivo f ( x, y)  20 x 2 y sujeta a que x  y  60 . Ahora

 k

en lugar de $ 60 mil se dispone de $ 60.2 mil es decir que tenemos una variación de la disponibilidad k de $ 0.2 mil; es decir

k  0,2 . 1

Del desarrollo del ejemplo anterior se tiene que   30x 2 y , por lo tanto

  30 36 (24)   4320

Ahora, bien como M  k entonces M  (4320)(0,2)  M  864 unidades Es decir que teniendo una disponibilidad adicional de $200 el editor verá incrementada sus ventas máximas en 864 unidades.

Ejemplo 2 Un consumidor tiene $600 para gastar en 2 artículos, el primero de los cuales tiene un valor de $20 / unidad y el segundo $30 / unidad. Si la utilidad obtenida por el consumidor de " x" unidades del primer artículo y " y" unidades del segundo está dada por f ( x, y)  10x 0.6 y 0.4 . a) ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar su utilidad? SOLUCIÓN: En este caso la función Objetivo es f ( x, y)  10 x La función Langragiana es

0.6 0.4

y

sujeta a que 20 x  30 y  600 .

L(, x, y)  f ( x, y)  ( g ( x, y)  k ) L(, x, y)  10 x 0.6 y 0.4  (20 x  30 y  600)

Obteniendo los puntos críticos tenemos:

35



  L  20x  30 y  600  2 x  3 y  60   6 x  0.4 y 0.4  0.4 0.4 y  20  0     Lx  6 x 20  0.6  0.6  4x y  L y  4 x 0.6 y  0.6  30  0    30  4 x 0.6 y  0.6 6 x  0.4 y 0.4  30 20 (10) 2 x 0.6 y  0.6  15(3 x  0.4 y 0.4 ) 20x  45 y 4 y x 9 Reemplazando en la primera ecuación (la Restricción), tenemos: 4  2 x  3 x   60 9  12 2 x  x  60 9 18x  12x  540 30x  540 x  18 4 x entonces y  8 . 9 Por lo tanto resulta el punto crítico (18,8) . Para clasificar el punto crítico, calculamos el Hessiano Orlado:

Y como y 

20 0  H  20  2.4 x 1.4 y 0.4 30 2.4 x 0.4 y 0.6

30   2.4 x 0.4 y 0.6   2.4 x 0.6 y 1.6 

(18,8)

20 0   20  2.4(18) 1.4 (8)0.4 30 2.4(18) 0.4 (8) 0.6

30   2.4(18) 0.4 (8) 0.6   2.4(18)0.6 (8) 1.6 

Como H  0 entonces el consumidor, para obtener las máximas utilidades, debe comprar 18 unidades del primer artículo y 8 unidades del segundo artículo. b) ¿De qué manera afectará a la utilidad máxima si el consumidor tiene $601 para gastar en los artículos en lugar de los $600 ? Ahora tenemos k  1 . Por tanto: M  k

M 

4 x 0.6 y  0.6 (1) 30

4(18)0.6 (8)  0.6 30 M  (0.21689)  0.22 Las Utilidades máximas se incrementarán en $ 0.22. M 

Ejemplo 3 Un fabricante planea vender un nuevo producto a $350 la unidad y estima que si se invierten " x" miles de dólares en desarrollo y "y" miles en promoción, los consumidores comprarán 250y 100x  unidades del producto, aproximadamente. Los costos de fabricación de este producto y2 x5 son $150 por unidad. a) ¿Cuánto debería invertir el fabricante en desarrollo y cuánto en promoción para generar la m áxima utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados? En este caso habrá que formar la Función Objetivo, que es la Utilidad:

36



U  Ingresos Costos Inversión   250y 100x    250y 100x    150   1000x  1000y  U  350   y  2 x  5 y  2 x  5        250y 100x  U ( x, y )  200    1000x  1000y  y  2 x  5 El punto crítico, sin restricciones, será:  100 x  500  100 x  U x  200    1000  0 ( x  5) 2  

 1( y  2)  y  U y  50000    1000  0 2  ( y  2) 

 500  U x  200    1000  ( x  5) 2  500 5 ( x  5) 2

 250 y  500  250 y  U y  200    1000  0   ( y  2) 2 500 5 ( y  2) 2

500  5( x  5) 2

y

500  5( y  2) 2 100  ( y  2) 2

100  ( x  5) 2

y  2  10 y 8

x  5  10 x5

Compruebe que en el punto crítico (5,8) se produce un máximo (Hessiano). Es decir que el fabricante debería invertir $5000 en desarrollo y $8000 en promoción del nuevo libro para obtener las máximas utilidades. b) Si el fabricante sólo tiene $11,000 para invertir en el desarrollo y la promoción del nuevo producto. ¿Cómo debería distribuirse este dinero para generar la máxima utilidad posible? Para este caso tenemos la misma Función Objetivo  250 y 100 x  U ( x, y)  200    1000 x  1000 y  y  2 x  5 pero ahora sujeta a la restricción de que x  y  11 .

Trabajamos ahora con la función Langragiana  250 y 100 x  L(, x, y)  200    1000 x  1000 y  ( x  y  11)  y  2 x 5

Encontrando los puntos críticos, tenemos:    L  0  x  y  11  100000   1000    Lx  0  ( x  5) 2    L y  0  100000  1000    ( y  2) 2

100000 ( x  5) 2

 1000 

100000 ( y  2) 2

 10000

Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta: ( y  2) 2  ( x  5) 2 y2x5 yx3 x  y  11 x  x  3  11 2 y Reemplazando en la restricción, tenemos: x  3  11 2x  8 x4 x  y  11 Entonces: y  11  x y7

Compruebe que en el punto crítico (4,7) se produce un máximo. (Hessiano Orlado).

37



Por tanto, cuando sólo hay $11000 para inversión, habrá que distribuirlos de la siguiente manera para obtener las máximas utilidades: $4000 en desarrollo y $7000 en la promoción del nuevo libro. c) Si el fabricante decide invertir $12,000, en lugar de $11,000, en el desarrollo y la promoción del nuevo producto, emplear el multiplicador  de Lagrange para estimar ¿de qué m anera afectará este cambio la máxima utilidad? Ahora tenemos k  1 , entonces: M  (k )  100000  M    1000 (k ) 2  ( x  5)   100000  M    1000 (1)  81  M  234.57

Es decir, si el fabricante decide invertir $1000 más en el desarrollo y la promoción, su utilidad Máxima se incrementará en $234.57


2.

La función de producción para un cierto fabricante es f ( x, y)  4 x  xy  2 y a)

Suponga que la máx im a inv ersión posible en trabajo y capital es de $2000 y que las unidades " x " de trabajo y " y " de capital cuestan, respectiv amente $20 y $4. Calc ular el niv el de producción máx im o para ese fabricante.

b)

Estime en cuánto varía la producción máxim a si se tuv iese para invertir $2100 en lugar de los $2000.

La función de producción de una empresa es P( K , L)  800 3L2  1.5K 2 , en donde L y K representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $250 y cada unidad de capital cuesta $50 y la empresa dis pone de $6750 para gastar en producción.

3.

a)

Determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxim a.

b)

Determine el incremento en la producción máxim a si la empresa destinara $6755 a la producción.

Cuando se inv ierten L unidades de trabajo y K unidades de capital, la producción Q de un fabricante está dada por la función

4.

38

1

Q  5L 5 K

4

5 , cada unidad de trabajo cuesta $11 y cada unidad de capital $33.

a)

Si se v an a gastar exactamente $11880 en trabajo y capital, determine las unidades de trabajo y de capital que deben inv ertirse para maxim izar la producción.

b)

Si se pudiera gastar $12500 en vez de los $11880, estime en cuanto variará la producción máxima.

3

1

La función de producción de una empresa es PL, K   80L 4 K 4 , en donde L y K representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $200 y la empresa dispone de $40,000 destinados a producción. a)

Aplicando el método de multiplic adores de Lagrange determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima.

b)

Demuestre que cuando la mano de obra y el capital están en sus niv eles máx im os, la razón de sus productiv idades marginales es igual a la razón de sus costos unitarios.

c)

En este niv el máx im o de producción, determine el incremento en la producción si se dis pone de $1 adicionales destinados a producción. Pruebe que es aprox im adamente igual al multiplicador de Lagrange.



2.2.3 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE 3 VARIABLES SUJETA A UNA RESTRICCIÓN Suponga que se desea optimizar la función de tres variable f , dos veces diferenciable, sujeta a la restricción g ( x, y, z)  k . Defínase la Función Langragiana L(, x, y, z)  f ( x, y, z )  g ( x, y, z)  k )

Suponga que se obtiene el Punto Crítico x0 , y 0 , z 0 ,  resolviendo el sistema

 L   Lx   Ly L  z

0 0 0

o el sistema

0

 g ( x, y )  k  f  g x  x  f y  g y  f  g z  z 

Defínase el Hessiano Orlado, como la matriz: 0 g x H  g y   g z

Sean

0  H 3  g x g y 

gx L xx L yx

gx L xx L yx L zx

gy L xy L yy L zy

gz  L xz  L yz   L zz   x0 , y 0 , z 0 ,  

gy   L xy  y H 4  H L yy 

Entonces

1. Si

H 3  0  H4  0

entonces

en

( x0 , y 0 , z 0 ) la

función f tiene un Máximo. 2. Si

H 3  0  H4  0

entonces en

( x0 , y 0 , z 0 )

la

función f tiene un Mínimo. Ejemplo Encuentre los extremos de f ( x, y, z)  3x  5 y  9 z sujeta a que xyz  25 . SOLUCIÓN: La función Langragiana es: L(, x, y, z)  3x  5 y  z  ( xyz  25) Para el punto crítico obtenemos: L  0  xyz  25 L x  0  3  ( yz )  0 ( x) L y  0  5  ( xz )  0 ( y ) L z  0  9  ( xy )  0 ( z ) Multiplicando por x, y y z respectivamente las tres últimas ecuaciones, y despejando, resulta:

39



3x 5 3x x z z 9 3

3x  xyz   9 z  xyz 3x  5 y  9 z  5 y  xyz 

y

 3 x  x  x    25  5  3  Reemplazando en la restricción: x  5 3

3

x5

y3 5 Por lo tanto hay un solo punto crítico: 5,3, 53 z 3 3 3 Para este caso   2    y el Hessiano Orlado sería: 5 y



De donde :

0  yz H   xz   xy



5 253 15  yz xz xy  0    5 0  1  95  0  z  y   25  z 0  x  x  5  3  1 0  3    y 3   y   x 0  z  5  15  9 5  3 0  

0  H  De aquí tenemos: 3  5 253 250 Los determinantes sería: H 3   0 3

3 3 5

5 253   0  1  1 0  y H 4  H  675  0 

Por tanto en 5,3, 53  la función tiene un mínimo.


Determine el v alor máximo o mínim o de la función

f ( x, y, z)  2 x2  y 2  3z 2

si

2 x  3 y  4 z  49 . Emplee el Hessiano Orlado. 2.

Determine el v alor máx im o o mínim o de la función

f ( x, y, z)   x 2  2 y 2  z 2  xy  z si

x  y  z  35 . Emplee el Hessiano Orlado.

40

3.

Determine el valor máxim o de f ( x, y, z)  xyz si x  y  z  6 . Emplee el Hessiano Orlado.

4.

2 2 2 Encuentre el mínim o para f ( x, y, z )  x  y  z siempre que x  y  z  1



2.2.4 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE n VARIABLES SUJETA A UNA RESTRICCIÓN Para el caso de funciones de n variables tenemos:

Sea la Función Objetivo w  f ( x1 , x2 , x3 ,, xn ) sujeta a la restricción g ( x1 , x2 , x3 ,, xn )  k . Defínase la Función Langragiana L(, x1 , x 2 , x3 , , x n )  f ( x1 , x 2 , x3 , , x n )  g ( x1 , x 2 , x3 , , x n )  k 

Suponga

que

( x01, x02 , x03 , , x0n , )

se obtiene el Punto resolviendo el sistema:

 L  0 L  0  x1  L x  0 2 L  0  x3     L xn  0

Crítico

 g ( x1 , x 2 , x 3 ,  , )  k  f x1  g x1  f x2  g x2  f x3  g x3   f xn  g xn

Defínase el Hessiano Orlado, como la matriz:  0 g  x1 H   g x2    g x  n

Sea

 0  H 3   g x1 g  x2

g x1 L11 L21  Ln1

g x1 L11 L21

g x2 L12 L22  Ln 2

g x3 L13 L23  Ln3

 g xn   L1n   L2 n      Lnn 

 0 g x2  g  x L12  , H 4   1 g x L22   2   g x3

g x1 L11 L21 L31

( x01, x02 , x03 ,, x0 n , )

g x2 L12 L22 L32

g x3  L13  ,…, H n  H L23   L33 

Entonces: 1. Si H 3  0  H 4  0  H 5  0    (1) n H n  0 entonces en Máximo.

( x01, x02 , x03 , , x0n )

la función tiene un

2. Si H 3  0  H 4  0  H 5  0    H n  0 (todos negativos) entonces en tiene un Mínimo.

( x01, x02 , x03 , , x0n )

la función

41



2.2.5 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE 3 VARIABLES SUJETA A DOS RESTRICCIONES. Suponga que se desea

optimizar la Función

Objetivo w  f ( x, y, z) sujeta a que

 g ( x , y , z )  k1 .  h ( x , y , z )  k 2

Defínase la función Langragiana: L(, , x, y, z)  f ( x, y, z)  g ( x, y, z)  k1   h( x, y, z)  k 2 

Entonces el máximo o el mínimo de la función se produce en el Punto Crítico ( x0 , y 0 , z 0 , , ) que se obtiene al resolver el sistema:  L L   Lx L  y  L z

0 0 0 0 0

    

g ( x, y , z )  k 1 h ( x, y , z )  k 2 f x  g x  h x f y  g y  h y f z  g z  h z

Ejemplo Encuentre los puntos críticos de f ( x, y, z)  xy  yz sujeta a que x 2  y 2  8 y

yz  8 SOLUCIÓN: En este caso la función Langragiana es:

L(, u, x, y, z )  f ( x, y, z )  g ( x, y, z )  k1   h( x, y, z )  k 2  L(, u, x, y, z )  xy  yz  ( x 2  y 2  8)  ( yz  8)

Para los puntos críticos tenemos:

 L L   Lx L  y  L z

0 0 0 0 0

De la última ecuación

    

  1.

x 2  y 2  8 g ( x , y , z )  k1  h ( x, y , z )  k 2  yz  8  f x  g x  h x   y  2 x   0  x  z  2 y   z  f y  g y  h y  f z  g z  h z  y  0   y 

x  z  2 y   1z  x De la penúltima ecuación x  2y    2y De la antepenúltima ecuación: y  2x   

y x  Igualando se obtiene 2 y 2 x x2  y2

42

y 2x



x2  y2  8 Reemplazando en la primera ecuación:

x2  x2  8

2x 2  8 x  2 x  2  y  2 8 Por tanto y como z  resultan los siguientes puntos críticos: (2,2,4) , x  2  y  2 y

(2,2,4) , (2,2,4) y (2,2,4)

Ejercicios Propuestos 2.6 1. Encuentre los puntos críticos de f ( x, y, z )  x 2  2 y  z 2 sujeta a que 2 x  y  0 y a que

yz 0. 2. Encuentre los puntos críticos de f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 sujeta a que x  y  z  1 y a que

x  y  z  1. 3. Encuentre los puntos críticos de f ( x, y, z)  xyz sujeta a que x  y  z  12 y a que x  y  z  0 . 4. Encuentre los puntos críticos de f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 sujeta a que x  2 z  4 y a que

x y  8.

Misceláneos 1.

Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones, respectiv amente.

p( x)  20  5x , y el de la leche descremada es q( y)  4  2 y . Suponga que C ( x, y)  2 xy  4 es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuáles deberían ser x e y para maxim izar las utilidades? Suponga que el precio de la leche entera es

2.

Un fabricante planea v ender un nuevo producto al precio de $150 por unidad y estima que si se gastan x y miles de dólares en promoción, los consumidores comprarán miles de dólares en desarrollo e aprox im adamente

320y 160x  unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto y2 x4

son $50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuánto en promoción para generar la may or utilidad posible en la venta de este producto?

3.

Un consumidor tiene $200 para gastar en dos artículos, el prim ero de los cuales cuesta $2 por unidad y el segundo $5 por unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el consumidor de x unidades del primer 0.25 0.75 y artículo e y unidades del segundo es U ( x, y)  100x .

a) ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar las utilidades? b) Calcule la utilidad marginal del dinero e interprete el resultado en términos económic os.

4.

Una empresa emplea dos tipos de materia prim a, A y B en la elaboración de su producto. Usando x UNIDADES de A e y UNIDADES de B , la empresa puede elaborar T UNIDADES de su producto, en donde:

T ( x, y)  70x  240y  3xy  4 x2  5 y 2 a) ¿Cuántas unidades de su materia prim a debería utilizar la empresa a fin de MAXIMIZAR su producción? b) Si le cuesta a la empresa $ 5 por cada unidad de A y $ 7 por cada unidad de B y la empresa puede vender todo lo que produce a $ 10 por unidad. ¿Qué cantidad de A y B MAXIMIZARÁN la utilidad de la empresa?

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c) Si los costos de la materia prim a son los mis mos de la parte b) y si la empresa dispone de $ 250 para materia prima ¿Qué cantidades MAXIMIZARÍAN la producción de la empresa? d) Si lo que se dispone incrementa en $ 3 ¿cómo CAMBIA la producción? 5.

Las funciones de COSTO MARGINAL y de INGRESO MARGINAL de una empresa son:

C´( x)  5  (5  x)2 y

R´( x)  37  4 x

respectiv amente.

En donde " x " denota el número de unidades producidas. Los costos fijos son de 25. a) Encuentre el niv el de producción que MAXIMIZARÁ las utilidades de la empresa. b) Calc ular la UTILIDAD TOTAL de la empresa en este niv el de producción. c) Determine la UTILIDAD si el niv el de producción se INCREMENTA EN 2 UNIDADES más allá del niv el de utilidad máximo. 6.

Suponga que un monopolis ta está practicando dis crim inación del precio en la venta de un producto cobrando diferentes precios en dos mercados separados. En el mercado A la función de demanda es:

p A  100  q A , y en B es: p B  84  qB ; donde q A y q B

vendidas por semana en A y en B y p A y de costo del monopolista es:

pB

son

las

cantidades

son los precios respectiv os por unidad. Si la función

c  600  4(q A  qB ) . Entonces:

a) ¿Cuánto debe venderse en cada mercado para maxim izar la utilidad ? b) ¿Qué precios de v enta dan la utilidad máxim a? c) Encuentre la utilidad máxim a .

7.

Determine el valor mínimo de la función f ( x, y, z )  x2  y 2  z 2 si x  y  z  6 . Emplee el Hessiano Orlado.

8.

Encuentre los puntos críticos de

x  y  z  0.

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f ( x, y, z)  xyz sujeta a que x  y  z  32 y a que

Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables

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