Módulo Revisão - Física I

Revisão EM 22 VOLUMES

FÍSICA Livro do Professor

1

o n r e d a c

Revisão em 22 volumes

A C I S Í F

Caderno 1 Livro do Professor Gloria Martini

Apresentação Caro professor, Há duas concepções comuns quando se trata da revisão para as provas de seleção dos concursos vestibulares nacionais: uma, de que é possível, em um conjunto de aulas, dar conta de revisar todos os conteúdos que compõem a grade curricular do Ensino Médio, atribuindo a eles o mesmo peso e importância; outra, compartilhada pelos autores deste material, defende que uma revisão para vestibular deve priorizar objetivamente os conteúdos mais solicitados nesses exames nos últimos anos. O

Revisão em 22 volumes foi

elaborado por

uma equipe de professores-autores que trabalha com uma eficiente revisão pré-vestibular para garantir a seus alunos a continuidade dos estudos em instituições universitárias de excelência acadêmica. Revisar um conteúdo não é o mesmo que ensiná-lo pela primeira vez. O estudante do 3o ano do Ensino Médio já realizou um percurso de aprendizagem baseado na aquisição de determinadas competências e habilidades próprias do período de desenvolvimento cognitivo de um adolescente, capaz de realizar abstrações mais elaboradas. Nesse sentido, ele já participou de aulas em que coletou e analisou dados a partir de experimentos em Física, Química e Biologia; estudou documentos e mapas de vários tipos em História e Geografia; analisou um conjunto diversificado de textos literários para investigação do estilo de determinados autores em Literatura; e já mergulhou nas diferentes estruturas linguísticas que caracterizam os estudos de Gramática. Dessa forma, já desenvolveu habilidades como comparar, relacionar, relacionar, inferir, justificar,, selecionar, justificar selecionar, explicar, explicar, associar, associar, entre outras.

No

Revisão em 22 volumes –

que contempla as disciplinas de Biologia, Física,

Geografia, Gramática, História, Literatura, Matemática e Química – revisar para o vestibular significa selecionar os principais conteúdos que servem de base para as provas elaboradas pelas principais bancas do país e propor uma série de questões que trabalhem esses mesmos conteúdos, oferecendo um panorama amplo do que o aluno irá encontrar nos exames. Além das respostas e resoluções reso luções no próprio p róprio material, você dispõe de um u m Plano Pla no de de Aulas para cada caderno, com comentários comentários sobre algumas algumas questões selecionadas. selecionadas.

Bom trabalho!

Conheça o livro Tarja indicativa Localiza cada tópico

Teoria ilustrada Quatro páginas com a síntese teórica ilustrada do tema

Questões essenciais Aquelas que o professor priorizará para o estudo em classe

Espaço para a resolução Para registrar a resolução das questões de Exatas ou a resposta das questões dissertativas

Questões de vestibulares Extraídas dos principais exames vestibulares do país ou especialmente elaboradas para o tema

Questões do Enem Questões extraídas do Enem ou especialmente elaboradas segundo os critérios do exame

Habilidade Indicação da(s) habilidade(s) trabalhada(s) na questão

Sumário

Caderno 1

Caderno 2

Movimento retilíneo uniforme (MRU) 2

Refração da luz 146

Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) 14

Lentes esféricas, instrumentos ópticos e visão humana 158

Cinemática vetorial 26

Ondas 170

Leis de Newton e algumas forças especiais 38

Acústica e MHS 182

Aplicações das Leis de Newton e gravitação universal 50

Carga elétrica 194

Estática e hidrostática 62 Trabalho e energia mecânica 74 Princípio da conservação da quantidade de movimento 86 Calor, temperatura e dilatação 98 Calor e mudança de fase 110 Gases e termodinâmica 122 Óptica geométrica e reflexão da luz 134

Potencial elétrico 206 Corrente e resistência elétrica 216 Capacitores, geradores e receptores 228 Magnetismo: campo magnético 240 Magnetismo: força magnética 252 Indução eletromagnética 264 Física moderna 274

Matriz de referência de Ciências da Natureza e suas Tecnologias Tecnologias

EIXOS COGNITIVOS

Competência de área

I. Dominar linguagens

1. Compreender as Ciências da Natureza

H1 – Reconhecer características

e as tecnologias a elas associadas como construções humanas, percebendo seus papéis nos processos de produção e no desenvolvimento econômico e social da humanidade.

ou propriedades de fenômenos ondulatórios ou oscilatórios, relacionando-os a seus usos em diferentes contextos.

2. Identificar a presença e aplicar as

H5 – Dimensionar circuitos ou

tecnologias associadas às ciências naturais em diferentes contextos.

3. Associar intervenções que resultam em

degradação ou conservação ambiental a processos produtivos e sociais e a instrumentos ou ações científico-tecnológicos. 4. Compreender interações entre organismos

e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais. 5. Entender métodos e procedimentos

próprios das ciências naturais e aplicá-los em diferentes contextos.

6. Apropriar-se de conhecimentos da física

para, em situações-problema, s ituações-problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico-tecnológicas.

7. Apropriar-se de conhecimentos da química


8. Apropriar-se de conhecimentos da biologia


II. Compreender fenômenos

dispositivos elétricos de uso cotidiano.

H8 – Identificar etapas em processos

H9 – Compreender a importância

de obtenção, transformação, utilização ou reciclagem de recursos naturais, energéticos ou matérias-primas, considerando processos biológicos, químicos ou físicos neles envolvidos.

dos ciclos biogeoquímicos ou do fluxo de energia para a vida, ou da ação de agentes ou fenômenos que podem causar alterações nesses processos.

H13 – Reconhecer mecanismos

H14 – Identificar padrões em

de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos.

fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, entre outros.

H17 – Relacionar informações

apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou linguagem simbólica. H20 – Caracterizar causas ou efeitos dos

H21 – Utilizar leis físicas e (ou)

movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.

químicas para interpretar processos naturais ou tecnológicos inseridos no contexto da termodinâmica e (ou) do eletromagnetismo.

H24 – Utilizar códigos e nomenclatura

H25 – Caracterizar materiais ou

da química para caracterizar materiais, substâncias ou transformações químicas.

substâncias, identificando etapas, rendimentos ou implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais de sua obtenção ou produção. H28 – Associar características

adaptativas dos organismos com seu modo de vida ou com seus limites de distribuição em diferentes ambientes, em especial em ambientes brasileiros.

EIXOS COGNITIVOS

III. Enfrentar situações-problema

IV. Construir argumentação

V. Elaborar propostas

H2 – Associar a solução de problemas

H3 – Confrontar interpretações

H4 – Avaliar propostas de intervenção

de comunicação, transporte, saúde ou outros, com o correspondente desenvolvimento científico e tecnológico.

científicas com interpretações baseadas no senso comum, ao longo do tempo ou em diferentes culturas.

no ambiente, considerando a qualidade da vida humana ou medidas de conservação, recuperação ou utilização sustentável da biodiversidade.

H6 – Relacionar informações para

H7 – Selecionar testes de controle,

compreender manuais de instalação ou utilização de aparelhos, ou sistemas tecnológicos de uso comum.

parâmetros ou critérios para a comparação de materiais e produtos, tendo em vista a defesa do consumidor, a saúde do trabalhador ou a qualidade de vida.

H10 – Analisar perturbações ambientais,

H11 – Reconhecer benefícios, limitações

H12 – Avaliar impactos em ambientes

identificando fontes, transporte e (ou) destino dos poluentes ou prevendo efeitos em sistemas naturais, produtivos ou sociais.

e aspectos éticos da biotecnologia, considerando estruturas e processos biológicos envolvidos em produtos biotecnológicos.

naturais decorrentes de atividades sociais ou econômicas, considerando interesses contraditórios.

H15 – Interpretar modelos e

H16 – Compreender o papel da

experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.

evolução na produção de padrões, processos biológicos ou na organização taxonômica dos seres vivos.

H18 – Relacionar propriedades físicas,

H19 – Avaliar métodos, processos ou

químicas ou biológicas de produtos, sistemas ou procedimentos tecnológicos às finalidades a que se destinam.

procedimentos das ciências naturais que contribuam para diagnosticar ou solucionar problemas de ordem social, econômica ou ambiental.

H22 – Compreender fenômenos

H23 – Avaliar possibilidades de geração,

decorrentes da interação entre a radiação e a matéria em suas manifestações em processos naturais ou tecnológicos, ou em suas implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais.

uso ou transformação de energia em ambientes específicos, considerando implicações éticas, ambientais, sociais e (ou) econômicas.

H26 – Avaliar implicações sociais,

H27 – Avaliar propostas de intervenção

ambientais e (ou) econômicas na produção ou no consumo de recursos energéticos ou minerais, identificando transformações químicas ou de energia envolvidas nesses processos.

no meio ambiente aplicando conhecimentos químicos, observando riscos ou benefícios.

H29 – Interpretar experimentos ou

H30 – Avaliar propostas de alcance

técnicas que utilizam seres vivos, analisando implicações para o ambiente, a saúde, a produção de alimentos, matérias-primas ou produtos industriais.

individual ou coletivo, identificando aquelas que visam à preservação e à implementação da saúde individual, coletiva ou do ambiente.

O que você deve saber sobre

MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME �MRU� Esse é o movimento mais simples descrito por um objeto. Caracteriza-se pelo movimento unidimensionall com velocidade constante e, portanto, pela ausência de aceleração unidimensiona aceleração..

I. Conceitos fundamentais

M O C . E M I T S M A E R D / V O R O V O G L E V A P

Referencial : quando uma pessoa está dentro de um car-

ro viajando por uma estrada, ela está em repouso ou em movimento? Para responder, é necessário definir o referencial ou o sistema de referência adotado. O movimento é relativo: • Um corpo está parado ou em repouso se s ua posição não varia no decorrer do tempo em relação a um referencial (ou sistema de referência). • Um corpo está em movimento caso sua posição varie no decorrer do tempo em relação a um referencial (ou sistema de referência). Por exemplo, em uma viagem, a pessoa que está dentro de um ônibus encontra-se em repouso em relação ao motorista do veículo, ao passo que, para uma pessoa parada na beira da estrada e que vê o ônibus passar, é o passageiro que se move junto com o ônibus. Os povos antigos acreditavam que o Sol se movia ao redor da Terra. De fato, um observador na Terra, sentindo o chão firme a seus pés, avalia que a Terra está estática e é o Sol que, em movimento, risca o céu todos os dias, nascendo no leste e se pondo a oeste. No entanto, se houvesse um observador no Sol, ele perceberia a Terra em movimento ao redor do Sol. Conclui-se, portanto, que os estados de movimento e de repouso dos corpos são relativos ao referencial adotado. Trajetória : trata-se do caminho descrito pelo corpo em movimento. Na trajetória, é necessário estabelecer uma origem, um ponto de partida do qual começamos a contar as posições do móvel, além de uma orientação para indicar em que sentido as posições aumentam.

O

S

+

P

Figura 1 • Representação de uma trajetória na qual consideramos O a

origem das posições.

Figura 3 • Depois de serem expelidas pelos escapamentos de aviões a jato, as gotas de água congelam-se. Os rastros indicam a trajetória desses aviões no céu e são formados pelo conjunto de gotas congeladas.

Deslocamento escalar ou variação do espaço ( ∆s): é a diferença entre a posição final e a inicial. Existem, porém, infinitas maneiras de irmos de uma posição a outra, todas elas envolvendo diferentes valores para a distância percorrida. Embora pareçam ter o mesmo significado, distância percorrida e deslocamento escalar são conceitos diferentes. Por exemplo, suponha que uma pessoa saia de sua casa, que se encontra no marco 200 m de uma rua, e caminhe em direção à casa de seu vizinho, que está na posição 450 m da mesma rua. Ao chegar a seu destino, resolve voltar e visitar outro vizinho, que se encontra na posição 300 m. O deslocamento escalar da pessoa é: ∆s � ∆sida � � ∆svolta ⇒ ∆s � 250 � ( � 150) � 100 m. Já a distância percorrida é obtida por meio da expressão D � �∆sida � � � �∆svolta� � 250 � 150 � 400 m.

450 m

300 m

Velocidade escalar média (v m): é a razão entre a varia-

ção do espaço e o intervalo de tempo do percurso. v m 5

Orientação da trajetória

Posições Posições “negativas” “positivas” 20

km

50

km

200 m

Figura 4

s 2 s0 Ss ___ _______ 5 t 2 t 0

St

Origem das posições

t 1

t 2

0

0 50

km

20

km

Figura 2 • Representação esquemática de uma trajetória na qual as

posições estão definidas em km.

Ss

s1

=

s2

--

s1

s

s2

Figura 5 • Pela variação da posição do objeto entre os instantes t 1 e t 2

define-se a velocidade média de um movimento.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R

A unidade no SI para a velocidade média é o m/s, ainda que a unidade km/h seja bastante utilizada. No cálculo da velocidade escalar média deve-se levar em conta o tempo total do movimento. Suponha-se, por exemplo, que, em uma viagem ao Rio de Janeiro (∆s � 420 km), um ônibus saia da rodoviária de São Paulo às 10h, faça uma parada de 0,5 hora para que os passageiros tomem lanche e chegue ao seu destino às 17h. O cálculo da velocidade média do ônibus levará em conta o tempo total do trajeto, ou seja, o tempo gasto na parada será incluído; sendo assim, tem-se: v m �

∆s 420 ⇒ v m � ∆t 7

⇒

Caso o móvel se desloque contra a orientação da trajetória, a posição final será menor do que a inicial; sendo assim, tanto seu deslocamento ∆s como sua velocidade serão negativos. É possível classificar os movimentos quanto ao sentido do deslocamento do móvel da seguinte maneira: Movimento do móvel a favor da orientação da trajetória: v  0 movimento progressivo

v m� 60 km/h

Você se lembra?

Conversão entre m/s e km/h: 1 km 1.000 1 3.600 1 m/s � km/h � 3,6 km/h � � 1.000 1 1 h 3.600 . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Classificação dos movimentos quanto ao sentido do deslocamento do móvel: se o móvel se desloca a favor da

orientação da trajetória, seus espaços crescem com o passar do tempo e, portanto, o espaço final será certamente maior do que o inicial. Desse modo, seu deslocamento ∆s será positivo, assim como sua velocidade.

30

locidade de um corpo em movimento, diz-se que ele tem aceleração escalar, que pode ser calculada pela razão entre a variação de sua velocidade instantânea (aquela obtida em um ∆t muito muito pequeno) e o intervalo de tempo gasto no percurso. v 2 v 0 ______ t 2 t 0

v 1

30

30

5

A unidade da aceleração escalar média no SI é o m/s2.

v 2

km/h

km/h

v

(km/h)

v

v

0

Movimento retrógrado v < 0

-30

-30

km/h

s t 2

+

2 km

-30

t 1

6 km

4 km 0 km

Aceleração escalar média : quando varia o valor da ve-

Sv am 5 ___ St

Movimento progressivo v > 0

km/h

Movimento do móvel contra a orientação da trajetória: v  0 movimento retrógrado

km/h

km/h

6 km

4 km 2 km

+

0 km v

Figura 7 • Pela variação da velocidade escalar do objeto entre os instantes t 1 e t 2, define-se a aceleração média do movimento.

A figura a seguir indica como variam os deslocamentos da pessoa em movimento: eles vão ficando cada vez maiores, ainda que o intervalo de tempo seja o mesmo. É possível concluir que existe uma variação de velocidade, ou seja, a pessoa está acelerando. Supondo-se que no instante inicial ela tenha velocidade de 2 m/s e que depois de 20 segundos sua velocidade tenha passado para 7 m/s, a aceleração do seu movimento será calculada por: 7 � 2 2 a� ⇒ a � 0,25 m/s , que representa um aumento 20 de 0,25 m/s a cada segundo do movimento.

(km/h)

t

v

0

v

Figura 6 • O sinal da velocidade não dá informações sobre a rapidez do

móvel, servindo apenas para indicar o sentido do movimento.

Figura 8

t

t

) U R M ( e m r o f i n u o e n í l i t e r o t n e m i v o M

II. Corpos extensos e pontos materiais

III. Movimento retilíneo uniforme

Dependendo das características do movimento, podem-se ou não desprezar as dimensões do corpo que se move. Se elas são desconsideradas no estudo do movimento, esse objeto é denominado ponto material ou partícula. Existem circunstâncias nas quais as dimensões do corpo, quando comparadas ao deslocamento efetuado por ele, são relevantes em certa trajetória. Nesses casos, o móvel é um corpo extenso.

Esse movimento caracteriza-se pelo fato de o objeto em movimento percorrer as mesmas distâncias em linha reta e em intervalos de tempo iguais. Essa característica torna a velocidade do objeto constante.

35 m

A

2s

4s

6s

8s

10 m

20 m

30 m

40 m

s

B

s

s

s

Figura 10 • O deslocamento escalar da pessoa é sempre o mesmo a

cada segundo e vale 5 metros.

A função horária da posição ( s) de um corpo em movimento retilíneo uniforme (MRU) é do tipo:

125 m

Figura 9 • Movimento de travessia de uma ponte de 125 m feito por

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

uma carreta de 35 m. Nesse caso, a carreta é um corpo extenso.

s ∙ s0 � vt

Na figura 9, nenhuma parte da carreta atravessou o ponto A no início da ponte. A travessia só é considerada completa se a carreta inteira passa pelo ponto B. Para isso, o deslocamento da frente da carreta equivale ao comprimento da ponte (como se estivesse sendo analisado um ponto material), acrescido do comprimento do próprio veículo em questão:

em que v é é a velocidade escalar constante desenvolvidaa pelo corpo e s0, a posição inidesenvolvid cial que ele ocupa na trajetória. A função horária da posição é uma função de primeiro grau em t , cujo gráfico é uma reta inclinada em relação ao eixo das abscissas.

∆scarreta ∙ sponto material � Lcarreta ∆scarreta ∙ 125 1 35 ⇒ ∆scarreta ∙ 160 m

IV. Gráficos s � t e e v � t do do MRU Gráficos de funções crescentes representam movimentos progressivos (v > 0) e gráficos de funções decrescentes representam movimentos retrógrados (v < 0). A

B s

v >

0

s v <

s2

Movimento progressivo

t 1

t 1

0

Movimento retrógrado

s2

s1

0

t 2

t

t 1

0 t 2

s1

0

s1

t 2

t

t 2

s2

s

0

t 1

s2

Figura 11 • Gráfico característico da função horária da posição no MRU. A inclinação está relacionada ao valor da velocidade.

s1

s


Como a velocidade do objeto é constante, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta paralela ao eixo do tempo. Velocidade negativa (v < 0)

Velocidade positiva (v > 0) A

B

v

0

0

t

Movimento progressivo

v

s

t

s

Movimento retrógrado

Figura 12 • O gráfico v � t característico característico do MRU é uma reta paralela ao eixo do tempo, indicando velocidade constante. O sinal da velocidade indica movimento progressivo (v > 0) em A e movimento retrógrado (v < 0) em B.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


V. Deslocamento a partir par tir do gráfico v � t O gráfico da velocidade em função do tempo permite determinar o deslocamento escalar do objeto, uma vez que a área A compreendida entre a reta e o eixo das abscissas no intervalo considerado é o produto v � ∆t , que é igual ao deslocamento ∆s entre os instantes t 1 e t 2.

50 km/h

80 km/h

A

B

Figura 14 • O encontro entre os móveis em sentidos contrários se dá quando sA � sB. 80 km/h

100 km/h

B

A t

0



v

v 0

Figura 15 • O carrinho A alcança o B no instante em que as posições de

ambos forem as mesmas.

A

0

t 1

t 2

t

v

Suponha-se, por exemplo, que os carrinhos A e B da figura a seguir se movam um de encontro ao outro com velocidades constantes respectivamente respectivamente iguais a 100 km/h e 60 km/h, e que no início da contagem dos tempos eles se encontrem a 40 km de distância um do outro. B

Ss > 0

A 0 Ss < 0

t

40 km

N

A �∆s Figura 13 • A área sob a reta do gráfico v � t fornece fornece o deslocamento do objeto entre os instantes t 1 e t 2.

VI. Encontro de dois móveis Em diversas ocasiões, dois móveis podem se encontrar na trajetória, seja quando estão se movendo em sentidos contrários (figura 14), seja quando o mais rápido alcança o mais lento (figura 15). Em ambas as circunstâncias, o instante de encontro é aquele para o qual se considera sA � sB.

Figura 16

Podem-se calcular o instante e a posição de encontro igualando as funções horárias dos dois móveis. Assim: Móvel A (movimento progressivo) s0 � 0, v A � 100 km/h s � s0 � v � t ⇒ sA � 0 � 100 � t Móvel B (movimento retrógrado) s0 � 400 km, v B � � 60 km/h s � s0 � v � t ⇒ sB � 400 � 60 � t

No instante de encontro: sA � sB ⇒ 0 � 100 � t � 400 � � 60 � t ⇒ t � 2,5 h Logo, a posição de encontro será s � 0 � 100 � 2,5 ⇒ ⇒ s � 250 km.


ESTUDANDO Movimento retilíneo uniforme (MRU)

Para o VESTIBULAR 1

(Fuvest-SP ) Uma moto de corrida percorre uma pista que tem o formato aproximado de um quadrado com 5 km de lado. O primeiro lado é percorrido a uma velocidade média de 100 km/h, o segundo e o terceiro, a 120 km/h, e o quarto, a 150 km/h. Qual a velocidade média da moto nesse percurso? a) 110 km/h d) 140 km/h b) 120 km/h e) 150 km/h c) 130 km/h

(UEL-PR) Analise a tabela a seguir e responda às questões 3 e 4.

A velocidade média não equivale à média das

3

velocidades. v m

= 150 km/h

4

v m

= 120 km/h

v m

3

= 100 km/h

1

v m

= 120 km/h

2

Ss

Sabe-se que, por definição, v m 5 ___. St

2

Assim, Ss 5 20 km. 5 5 5 _1_ h St 5 ____ 1 2 3 ____ 1 ____ ] St 5 __ 100 120 150 6 20 Logo, v m 5 ___ ] v m 5 120 km/h. _1_ __ 6 (Unimontes-MG) Dois aviões do grupo de acrobacias Esquadrilha da Fumaça são capazes de realizar manobras diversas e deixam para trás um rastro de fumaça. Nessas condições, para que os aviões descrevam duas semirretas paralelas verticais (perpendiculares ao solo, considerado plano), de tal sorte que o desenho fique do mesmo tamanho, os pilotos controlam os aviões para que tenham velocidades constantes e de mesmo módulo. Considerando o mesmo sentido para o movimento dos aviões durante essa acrobacia, pode-se afirmar corretamente que: a) os aviões não se movimentam em relação ao solo. b) os aviões estão parados, um em relação ao outro. solo está acelec) um observador parado em relação ao solo rado em relação aos aviões. outro. d) um avião está acelerado em relação ao outro. Considerando como referencial para o movimento o avião A, que está com a mesma velocidade do avião

Nome da prova

Espaço percorrido (m)

Tempo de prova

Atletismo (corrida)

100

9,6 9 s

Nado livre

50

2 1 ,3 0 s

Atletismo (corrida)

1.5 0 0

4 min 01,63 s

Nado livre

1 .5 0 0

14 min 41,54 s

Volta de classificação (Fórmula 1)

5 .20 0

1 min 29,619 s

De acordo com os dados da tabela e os conhecimentos sobre unidades e escalas de tempo, assinale a alternativa correta. a) A diferença de tempo entre as provas de 1.500 m do nado livre e de 1.500 m do atletismo é de dez minutos, quarenta segundos e novecentos e dez milésimos de segundo. b) O tempo da prova de 50 m do nado livre é de vinte e um segundos e trinta décimos de segundo. de 1.500 m do nado livre é de quac) O tempo da prova de torze minutos, quarenta e um segundos e quinhentos e quarenta centésimos de segundo. d) A diferença de tempo entre as provas de 100 m do atletismo e a de 50 metros do nado livre é de onze segundos e sessenta e um centésimos de segundo. e) A volta de classificação da Fórmula 1 é de um minuto, vinte e nove segundos e seiscentos e dezenove centésimos de segundo. ∆t � 21,30 � 9,69 � 11,61 s

4

Conforme os dados da tabela, assinale a alternativa que apresenta a velocidade média aproximad aproximada, a, em km/h, para a modalidade nado livre 1.500 m. a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 1.500 1.500 ∆s ∙ 14 � 60 � 41,54 ∙ � 3,6 ∙ v m ∙ 881,54 ∆t 5.400 ∙ ∙ 6,13 km/h ≃ 6 km/h 881,54

5

(UFRGS-RS ) A tabela registra dados do deslocamento s em função do tempo t , referentes ao movimento retilíneo uniforme de um móvel. Qual a velocidade desse móvel? 1 (s) t (s) s (m) a) __ m/s d) 9 m/s 9 0 0 1 __ 2 6 m/s b) e) 27 m/s 3 c) 3 m/s

5 9

15 27

Dado que o movimento é uniforme, podem-se escolher

B, pode-se concluir que um está parado em relação ao

quaisquer dois pares ordenados ( t , s) da tabela para obter

outro.

a velocidade do móvel. Escolhendo ( t 0, s0) 5 (0, 0) e (t , s) 5 Ss 27 2 0 ___ 5 (9, 27), tem-se: v 5 5 ______ } v 5 3 m/s. 9 2 0 St

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


6

(UEL-PR) Um ciclista descreve uma volta completa em uma pista que se compõe de duas retas de comprimento L e duas semicircunferências de raio R conforme representado na figura a seguir.

9

(UFF-RJ) Segundo os autores de um artigo publicado recentementee na revista The Physics Teacher *, recentement *, o que faz do corredor Usain Bolt um atleta especial é o tamanho de sua passada.

L R

Para efeito de comparação, Usain Bolt precisa apenas de 41 passadas para completar os 100 m de uma corrida, enquanto outros atletas de elite necessitam de 45 passadas para completar esse percurso em 10 s.

R

L

A volta dá-se de forma que a velocidade escalar média

2 nos trechos retos é . v e nos trechos curvos é . v . 3 O ciclista completa a volta com uma velocidade escalar

4 média em todo o percurso igual a . v . 5

Com base nessas informações, é correto afirmar que o raio dos semicírculos é dado pela expressão: 3πR . πR . a) L � πR. c) L � e) L �

3

b) L �

v ∙ . . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


∙

7

πR .

d) L �

2

∆s1 � ∆s2 ∆t 1 � ∆t 2

2πr � 2L 3πr � 2L

2

πR .

4

2πr � 2L 4 4 ⇒ v ∙ v ∙ . . 2πr 2L 5 5 � 2 v . v . 3 2πr � 2L 4 � . . v ∙ v ⇒ 4 � (3πr � 2L) ∙ 3πr � 2L 5

⇒

⇒

v . � 5 � (2πr � 2L) ⇒ 12πr � 8L ∙ 10πr � 10L ⇒ ⇒ 2L � 2πr ⇒ L � πr (UEA-AM) Embora as unidades das grandezas físicas pertençam ao chamado “Sistema Internacional de Unidades”, ainda são usadas, por conveniência ou tradição, algumas que não integram o sistema; é o caso da velocidade dos navios, medida em “nós” (1 m/s 7 2 nós) e de algumas distâncias, medidas em “milhas” (1 milha 7 1,6 km). Um navio, deslocando-se a 10 nós, cobrirá a distância de 5 milhas no seguinte tempo: a) Entre 26 e 27 minutos b) 32 minutos c) Um pouco mais de 40 minutos d) 2 horas e) Em pouco menos de 3 horas

10 nós 7 5 m/s; 5 milhas 7 8.000 metros. Usando o conceito de velocidade média: 8.000 Ss v 5 ___ ] 5 5 _____ ] St 7 1.600 s 7 26,6 min m

8

St

St

* SHINABARGAR, A.; HELLVICH, M.; BAKER, B. The Physics Teacher, n. 48, v. 385, set. 2010.

Marque a alternativa que apresenta o tempo de Usain Bolt, para os 100 metros rasos, se ele mantivesse o tamanho médio de sua passada, mas desse passadas com a frequência média de um outro atleta, como os referidos anteriormente. a) 9,1 s b) 9,6 s c) 9,8 s d) 10 s e) 11 s A frequência das passadas dos outros atletas é dada por: 45 f ∙ 10 ∙ 4,5 passadas/s O tamanho médio da passada de Usain Bolt é: 100 ∆passada ∙ 41 m Assim, a velocidade média que Usain desenvolveria, em m/s, se mantivesse a mesma frequência que os outros atletas, em m/s, seria de: 100 450 m/s v m ∙ 41 � 4,5 � 41 Assim, sendo a velocidade suposta constante, tem-se: 41 4.100 ∆s ∆t ∙ ∙ 100 � ∙ ∙ 9,1 s Usain 450 450 v m

10 (Unimontes-MG) Um motorista apressado passa em alta velocidade por uma base da Polícia Rodoviária, com velocidade constante de módulo v . Dez segundos depois, uma viatura parte em perseguição desse motorista e o alcança nos próximos 30 segundos. A velocidade escalar média da viatura, em todo o percurso, será de: 5v 4v 2v . . . a) v . b) c) d) 3 3 3 ∆s Sabe-se que: v m ∙ ∆t ⇒ ∆s � v m � ∆t. Do enunciado pode-se concluir que ambos os movimentos terão mesma direção e sentido, pois se

(Uece) O odômetro de um carro marcou 38.692,4 km no início de uma prova de corrida de automóveis em uma pista oval de 3,0 km de comprimento por volta. O carro terminou a prova em 2h38min55s, e no final da prova o odômetro marcou 38.986,4 km. A velocidade escalar média do carro nessa prova foi: a) zero. c) 30,8 m/s. b) 110,0 km/h. d) 399,6 m/s. (38.986,4 � 38.692,4) � 1.000 ∆s ∙ ∙ v m ∙ 2 � 3.600 � 38 � 60 � 55 ∆t 294.000 ∙ 9.535 ∙ 30,8 m/s

trata de uma perseguição. Além disso, sendo a velocidade do motorista constante, pode-se afirmar que a velocidade média do seu movimento é igual à velocidade constante do movimento. Assim, o policial terá alcançado o motorista quando: ∆spol � ∆smot ⇒ v pol � ∆t pol � v mot � ∆t mot ⇒ v pol � 30 � 4 � v mot � 40 ⇒ v pol � v mot 3


11 (UFTM-MG) Sobre uma mesma trajetória, associada ao

14 (Unimontes-MG) Um motorista ultrapassa um comboio

piso de uma rodovia, dois automóveis movimentam-se segundo as funções horárias s1 5 220 2 2 200 3 t e e 10 1 0 10 1 0 , com valores escritos em termos do 1 3 t s2 5 Sistema Internacional. Nessas condições, os dois veículos: a) se encontrarão no instante 1 s. b) se encontrarão no instante 3 s. c) se encontrarão no instante 5 s. d) se encontrarão no instante 10 s. e) não se encontrarão.

de 10 caminhões que se move com velocidade média de 90 km/h. Após a ultrapassagem, o motorista decide que irá fazer um lanche num local a 150 km de distância, onde ficará parado por 12 minutos. Ele não pretende ultrapassar o comboio novamente até chegar ao seu destino final. O valor mínimo da velocidade média que o motorista deveria desenvolver para retomar a viagem, após o lanche, à frente do comboio seria de aproximadamente: aproximadamente: a) 102,3 km/h. c) 116,0 km/h. b) 100,8 km/h. d) 108,0 km/h.

Instante e posição de encontro dos automóveis: s1 5 s2 ]

]

220 2 20t 5 10 1 10 t

30t 5 230

]

Cálculo do deslocamento do comboio, enquanto o

]

t 5 �1 s

Como t , 0, os automóveis não se encontrarão mais.

motorista está parado: ∆s Ss v m 5 ___ ] 90 5 12 ] Ss 5 18 km St 60 Assim, o comboio tem de estar, no mínimo, 18 km atrás

12 (Uece) Um corpo move-se no plano XY , sendo as coordenadas de sua posição dadas pelas funções x (t ) 5 3t e e 3 em segundos. O y (t ) 5 t 2 12 t , em centímetros, com t em módulo do deslocamento entre os instantes t 5 0 e t 5 4 segundos, em centímetros, é: a) 4. c) 38. b) 20. d) 48. Instante inicial t 5 0: (0) 5 3 3 0 x (0)

]

do local de parada do motorista para que este não seja ultrapassado antes de terminar seu lanche. Isso equivale à posição132 km, contada a partir da ultrapassagem. Sscomboio 2 18 ________ _______ ] 90 5 150 5 ] St 7 1,46 h v comboio

St comboio 5 St motorista ]

150 1,46

v motorista 5 ____

]

v motorista 7

7 102,3 km/h

]

(0) 5 0 y (0)

Logo, o corpo está inicialmente na origem do plano XY .

15 (PUC-RS) Um veículo passa pela cidade A, localizada no quilômetro 100, às 10h, e segue rumo à cidade C (localizada no quilômetro 500), passando pela cidade B (localizada no quilômetro 300).

Instante final t 5 4 s: ]

comboio

St comboio comboio

(0) 5 0 x (0)

(0) 5 03 2 12 3 0 y (0)

(4) 5 3 3 4 x (4)

St comboio

600

(4) 5 12 cm x (4)

(4) 5 43 2 12 3 4 y (4)

]

(4) 5 16 cm y (4)

O deslocamento ocorreu entre os pontos (0, 0) e (12, 16). Usando a relação de Pitágoras: (Ss)2 5 122 1 162 5 400

] Ss 5 20 cm

13 (Unicentro-PR) Considere um motoqueiro que percorre uma pista circular, de raio igual a 36,0 m, com velocidade de módulo constante de 20,0 m/s. Admitindo-se que π é igual a 3, o tempo que o motoqueiro gasta para fazer as três primeiras voltas, em s, é igual a: a) 10,8. d) 32,4. b) 22,5. e) 45,0. c) 30,0. 648 ∆smot 3 � 2π � 36 ∆t mot mot ∙ ∙ ∙ ∙ 32,4 s 20 v mot 20

) m k ( o ã ç i s o P

400

200

0 0

1

2

3

4

5

6

Tempo (h) ( h)

Nessas circunstânc ias, é correto afirmar que o veículo passa pela cidade B às: a) 2,5h. d) 12,5h. b) 3,0h. e) 13,0h. c) 11,5h. O gráfico nos mostra que, nas posições relacionadas às cidades A e B, os respectivos instantes são 0,5h e 3h. Portanto, o instante inicial foi escolhido às 9,5h, e a cidade B será alcançada às 12,5h.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


16 (Mackenzie-SP) Um móvel se desloca segundo o diagrama da figura.

18 (UEMG) O gráfico abaixo mostra como a posição de um corpo varia com o tempo. d

s

(m) 80

20

30 0

10

t

A função horária do movimento é: a) s 5 20 2 2t . d) s 5 20 1 2t . 2 b) s 5 20 2 t . e) s 5 22t . 2 c) s 5 2t .

20

40

t (s) (s)

s 5 s0 1 vt .

Isso descarta as alternativas b e c. Do gráfico, tem-se:

a) Correta. Até 10 s, o movimento é progressivo; a

Ss 5 s 2 s0 5 0 2 20 } Ss 5 220

partir de 20 s, é retrógrado.

Ss 220 v 5 ___ 5 ____ 10 St

pois d 5 (80 2 30) + (80 2 0) } d 5 130 m b) Correta, pois

movimento uniforme cuja função horária é do tipo


10

Em relação à situação mostrada nesse gráfico, assinale a alternativa cuja afirmação esteja incorreta. a) Há inversão no sentido do movimento do móvel entre 0 e 40 s. b) A distância percorrida pelo móvel foi de 130 m. c) A velocidade do móvel entre 20 e 40 s foi maior que a velocidade do móvel entre 0 e 10 s. d) A velocidade do corpo foi nula entre 10 e 20 s.

O gráfico s � t é é uma reta, o que caracteriza um

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

0

} v 5 22

St 5 t 2 t 0 5 10 2 0 } St 5 10

Logo, a função horária do movimento é s 5 20 2 2t .

móvel foi de: c) Incorreta. Entre 0 e 10 s, a velocidade do móvel Ss v 5 ___ 5 80230 ] v 5 5 m/s. Entre 20 e 40 s, a 10 St Ss 0 2 80 velocidade foi: v 5 ___ 5 ______ ] v 5 24 m/s 20 St d) Correta. Entre 10 e 20 s, o corpo permaneceu na

17 (UFPE) Num edifício alto com vários pavimentos, um elevador sobe com velocidade constante de 0,4 m/s. Sabe-se que cada pavimento possui 2,5 metros de altura. No instante t 5 0, o piso do elevador em movimento se encontra a 2,2 m do solo. Portanto, em tal altura, o piso do elevador passa pelo andar térreo do prédio. No instante t 5 20 s, o piso do elevador passará pelo: a) terceiro andar. b) quarto andar. c) quinto andar.

posição 80 m.

19 (UFC-CE) Um automóvel move-se numa estrada com velocidade v (km/h) (km/h) conforme o gráfico v � t da da figura abaixo. Determine sua velocidade média, em km/h, após 5 h. v (km/h) (km/h)

90

d) sexto andar. e) sétimo andar.

60

Cálculo da posição final do elevador, em movimento 30

uniforme: s 5 s0 1 v 3 t 5 2,2 1 0,4 3 20

]

s 5 10,2 m

0

1

2

3

4

5

t (h) (h)

Nesse instante, o elevador passará pelo quarto andar

Do gráfico, pode-se escrever: Ss 5 Área.

do prédio, que compreende alturas entre 10,0 metros

Portanto, o deslocamento total do automóvel é:

e 12,5 metros em relação ao solo.

300 1 180 1 120 } Sstotal 5 330 km Sstotal 5 Ss1 1 Ss2 1 Ss3 5 3 Aplicando agora a definição de velocidade média, Sstotal 330 obtém-se: v m 5 _____ 5 ____ } v m 5 66 km/h. 5 St


20 (Uespi) Dois móveis, M e N, deslocam-se numa mesma

21 (Ufla-MG) O gráfico abaixo foi elaborado considerando

reta. Suas posições, em função do tempo, estão registradas no gráfico.

o movimento de um veículo ao longo de uma rodovia. Nos primeiros 15 minutos, o veículo desenvolveu velocidade constante de 80 km/h; nos 15 minutos seguintes, 60 km/h; e na meia hora final, velocidade constante de 100 km/h.

s (m)

M

40 30

(km/h) v (km/h) 100 N 80 0

5

t (s) (s)

60

– 20

Com base nele, o encontro dos móveis M e N se dá no instante: a) 10 s. d) 8 s. b) 5 s. e) 30 s. c) 20 s. Do gráfico, conclui-se que os móveis M e N estão em movimento uniforme cuja função horária é do tipo s 5 s0 1 vt .

15

30

45

60

t (min) (min)

Pode-se afirmar que a velocidade média do veículo durante essa 1 hora de movimento foi de: a) 80 km/h. b) 85 km/h. c) 70 km/h. d) 90 km/h.

Cálculo do deslocamento total do veículo no intervalo

Móvel M

de tempo considerado: Do gráfico: Ss 5 s 2 s0 5 0 2(220) } Ss 5 20 m St 5 t 2 t 0 5 5 2 0 } St 5 5 s

Portanto: v 5

20 Ss ___ ___ 5 5 } v 5 4 m/s St

Logo: sM 5 220 1 4t Móvel N

Do gráfico: Ss 5 s 2 s0 5 30 2 40 ] Ss 5 210 m St 5 t 2 t 0 5 5 2 0 ] St 5 5 s

Portanto: v 5

Ss 10 ___ ___ 5 2 5 ] v 5 22 m/s St

Logo: sN 5 40 2 2t No encontro dos móveis, tem-se: sM 5 sN ] 220 1 4t 5 40 2 2t ] 6t 5 60 } t 5 10 s

Ss1 v 1 5 ___ St 1

]

Ss2 v 2 5 ___ St 2

]

v 3 5

Ss3

___ St 3

]

Ss

80 5 ___1 15 ___ 60 Ss2

60 5 ___ 15 ___ 60 Ss3

100 5 ___ 30 ___ 60

] Ss1 5 20 km

] Ss2 5 15 km

] Ss3 5 50 km

O deslocamento total, nesses 60 min, foi de: Sstotal 5 20 1 15 1 50 5 85

Portanto, a velocidade média do veículo foi de 85 km/h.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


22 (UEL-PR) O gráfico abaixo representa o movimento de uma partícula.

23 (UEPG-PR) Sobre o deslocamento de um móvel que ocorre de acordo com o representado no gráfico abaixo, analise as assertivas a seguir e assinale a alternativa correta.

s (m)

d

6

(m) 200

5 4 100

3 2 1

0 0

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


1 2

3

4 5

6 7

8 9 10

5

10

15

20

25

t

(min)

t (s) (s)

Analise as afirmativas seguintes e assinale a alternativa correta. I. A velocidade escalar média entre t 5 4 s e t 5 6 s é de 21 m/s. II. O módulo do deslocamento entre t 5 4 s e t 5 10 s é de 1 m. III. A distância total percorrida desde t 5 0 até t 5 10 s vale 8 m. a) Somente I é correta. b) Somente I e II são corretas. c) Somente I e III são corretas. d) Somente II e III são corretas. e) I, II e III são corretas.

durante 10 minutos. II. As velocidades de deslocamento tanto para ir como para retornar são constantes. III. A área total do gráfico representa o deslocamento total percorrido pelo móvel. IV. A velocidade de deslocamento da ida é maior que a do retorno. a) Apenas estão corretas as assertivas I, II e III. b) Apenas estão corretas as assertivas II e IV. c) Apenas estão corretas as assertivas II, III e IV. d) Apenas estão corretas as assertivas I e II. e) Apenas estão corretas as assertivas I, II e IV.

I – correta

I – Verdadeiro, pois no ponto mais alto do gráfico o

Do enunciado: St 5 6 2 4 } St 5 2 s

móvel não sai da posição d � 200 m por 10 min (reta

Do gráfico: Ss 5 3 2 5 } Ss 5 22 m Ss 22 Por definição, tem-se: v m 5 ___ 5 ___ 5 21 m/s 2 St

paralela ao eixo dos tempos).

II – correta

movimento do móvel, na ida (de 0 a 5 min.) e na volta

No intervalo de tempo dado, tem-se:

(de 15 a 25 min.) são lineares, o que caracteriza

Ss 5 6 2 5 } Ss 5 1 m

III – correta Analisando o gráfico passo a passo: De 0 a 3 s, d 5 3 m;

gráfico, o móvel móvel ficou parado I. No local máximo do gráfico,

II – Verdadeiro, pois as funções que descrevem o

movimentos de velocidade constante. III – Falso. A área correspondente ao deslocamento do móvel é obtida em um gráfico v � t . IV – Verdadeiro, pois a declividade da reta que representa o movimento de ida – entre 0 e 5 min – é

De 3 s a 4 s, a partícula permaneceu em repouso; bem maior do que a declividade que representa o De 4 s a 6 s, d 5 2 m; De 6 s a 8 s, a partícula permaneceu em repouso; De 8 s a 10 s, d 5 3 m; Portanto, a distância total percorrida é: d 5 3 m 1 2 m 1 3 m 5 8 m

movimento de volta – entre 15 e 25 min.


ESTUDANDO Movimento retilíneo uniforme (MRU)

Para o ENEM 1 H17 H20

distância (D2) entre o veículo e o balão no início do c) a distância

Dois cientistas observam um objeto em movimento e não concordam sobre sua equação horária. Após alguma discussão, eles resolvem escrever cada um sua própria versão da equação. Depois de algumas medições e cálculos, o cientista A escreveu a equação: sA � 100 � 20 � t . Já o outro, o cientista B, defendeu a equação: sB � 114 � 20 � (t � 7). Leia as afirmações. I. As equações são coerentes entre si, desde que os referenciais adotados pelos cientistas tenham sido diferentes. II. As equações são coerentes entre si, desde que um dos cientistas tenha usado um cronômetro e o outro, um relógio. III. Definitivamente, não se pode descrever um estado de movimento de duas ou mais formas diferentes. Está(ão) correta(s): a) I e III. d) nenhuma. b) I e II. e) apenas uma delas. c) II e III.

resgate é de 780 m. d) a velocidade de descida do balão é de 120 m/s. e) a velocidade do veículo de resgate é de 120 m/s.

D 2 H D 1 P

a) Se o resgate demora 1 minuto para alcançar o ponto de encontro, e ambos chegam juntos, é porque o balão

I – Verdadeira: a posição inicial depende do referencial

também leva 1 minuto para cair, na razão de 100 m a

adotado.

cada período de 20 segundos. Portanto, em 1 minuto

II – Verdadeira: quando se usa um cronômetro, o tempo

ele desce 300 m.

inicial é zero, e a variação do tempo fica sendo o próprio

b) O resgate anda 120 m a cada 10 s. Em 1 minuto, ele

tempo final.

se desloca 720 m.

III – Falsa: o movimento depende do referencial

c) Como o resgate se move na horizontal e o balão na

adotado; mudando o referencial, altera-se a forma

vertical, a distância entre eles é a hipotenusa de um

de descrevê-lo.

2 H17 H20

Os balões, quando inflados com ar quente, se tornam tornam memenos densos que o ar e podem subir naturalmente, sem propulsão auxiliar. São guiados pelo vento e oferecem uma vista privilegiada ao viajante. Mas um voo de balão bem-sucedido exige bastante planejamento: o local de subida, o vento, os locais de descida e as formas de resgate do balão e dos tripulantes devem ser estudados. O trabalho da equipe de apoio é fundamental para a segurança de todos: ela segue o balão por terra, monta e desmonta os equipamentos e resgata os balonistas no fim do voo. Suponha que um balão esteja descendo em linha vertical numa razão constante de 100 metros a cada período de 20 segundos. Um veículo de resgate segue em direção ao ponto de pouso do balão em uma pista horizontal, percorrendo, de maneira uniforme, 120 metros a cada período de 10 segundos. O carro leva 1 minuto para alcançar o balão exatamente no momento em que este toca o solo no ponto P . Podemos afirmar que: a) a altura ( H ) do balão, no momento em que o veículo parte para resgatá-lo, é de 100 m. b) a distância ( D1) do veículo em relação ao ponto de encontro (P ) é de 1.200 m.

triângulo formado pelos respectivos deslocamentos em 1 minuto. Usando o teorema de Pitágoras: D22 � D12 � H 2 ⇒ D22 � 7202 � 3002 � 518.400 � 90.000 �

� 608.400 ⇒ D2 � 780 m

d) O balão desce 100 m a cada período de 20 s, ou seja, sua velocidade é 5 m/s. e) O resgate avança 120 m a cada período de 10 s, ou seja, sua velocidade é 12 m/s.

3 H20

Em 2010 aconteceu a 86a edição da corrida de rua mais famosa do Brasil: a Corrida de São Silvestre, tradicionalmente realizada no dia 31 de dezembro. Nela competem corredores do mundo todo, buscando percorrer seus 15 km no menor tempo possível. Seu nome é uma homenagem ao papa Silvestre I, canonizado pela Igreja católica em um dia 31 de dezembro. O percurso da prova é heterogêneo, com descidas, subidas e trechos planos como o da avenida Paulista, onde ficam o ponto de partida e o de chegada. O vencedor da 86a edição foi o brasileiro Marilson Gomes

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


dos Santos, com o tempo de 44min07s. Outro corredor, do pelotão intermediário, realizou a primeira parte da corrida, 6 km de declive, em 10 minutos; fez a segunda parte, 5 km planos, em 15 minutos; e a última parte, 4 km de aclive, em 35 minutos. Assim, das afirmações: I. A velocidade média aproximada de Marilson foi de 20 km/h. II. Na primeira parte da corrida, Marilson esteve mais lento que o corredor do pelotão intermediário. III. Se o corredor do pelotão intermediário mantivesse o mesmo ritmo da primeira parte da corrida, com certeza ganharia a prova. a) as três estão corretas. b) III e II estão corretas. c) III e I estão corretas. d) II e I estão corretas. e) apenas uma delas está correta.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

100 m; parado na padaria, 0 m; da padaria para a banca, 40 m; total: 140 m. c) O deslocamento considera apenas as posições fi nal

espaço percorrido pelo tempo gasto; 44min07s � 44,1 min.

e) No trecho 2, a velocidade é zero (repouso).

5 H20

percurso não foi mencionada; portanto, não há como saber. III – Verdadeira: a velocidade do corredor intermediário será, na primeira parte: distância de 6 km e duração de 10 min. 6 v � 10 � 36 km/h 60 H17 H20

b) O espaço percorrido total foi: da casa para a padaria,

I – Verdadeira: a velocidade é obtida dividindo-se o

II – Falsa: a velocidade de Marilson na primeira parte do

4

a) A sequência correta é: retrógrado, repouso e progressivo.

e inicial: 0 � (� 40) � 40 m. 60 ∆s ∙ ∙ 1,5 d) v m ∙ 40 ∆t

O tempo em horas: 60 min � 1 h 44,1 44,1 min � t , portanto t � h 60 15 km � 20,4 km/h v � 44,1 60


Com base no gráfico, pode-se afirmar que: retardado, uniforme e a) o movimento é, em sequência, retardado, progressivo. movimenb) a distância percorrida nos 40 segundos de movimento foi de 60 m. c) o deslocamento nos 40 segundos de movimento foi de 180 m. d) a velocidade média nos 40 segundos foi de 1,5 m/s. e) a velocidade média no trecho 2 foi 40 m/s negativa.

Um rapaz sai para fazer compras em uma padaria que fica na mesma rua em que mora. Entre sua casa e a padaria há uma banca de frutas. Ele passa pela banca e chega à padaria em 20 segundos, mas sente falta de sua carteira. O rapaz procura a carteira nos bolsos durante 10 segundos, até perceber que a perdeu pelo caminho. O trajeto percorrido pelo rapaz é retilíneo, e a banca de frutas fica a 60 m da sua casa e a 40 m da padaria. Ele volta correndo pelo mesmo trajeto e, passados 10 segundos, encontra a carteira caída diante da barraca de frutas. Sua movimentação é descrita no gráfico posição (s) pelo tempo (t ) a seguir. s

(m)

Casa Trecho 1 Frutas

20

30

40 t

Trecho 3 Padaria

Trecho 2

(s)

Uma reportagem mostrou as últimas novidades sobre carrinhos de bebê: carrinhos que desarmam com um toque em um botão, que controlam a velocidade, que possuem intercomunicador, com alarme que avisa se o bebê chora, carrinho que vira cadeirinha. Uma babá gostou do carrinho que possui um dispositivo que, além de medir a distância percorrida, fornece a velocidade média e o número de calorias consumidas por quem empurra o carrinho; assim, ela mantém a forma enquanto trabalha. Para conseguir uma boa queima calórica, a babá empurra o carrinho de bebê dando 20 passos a cada período de 10 segundos e consegue percorrer um quarteirão de 90 metros em 2 minutos. As passadas são constantes para não perturbar o bebê. Analise as afirmações. I. Cada passo da babá tem 0,75 m. II. A velocidade da babá é 75 cm/s. III. Para percorrer o quarteirão, a babá usou 120 passos. Está(ão) correta(s): a) I e III. d) nenhuma. b) I e II. e) apenas uma delas. c) II e III. I – Falsa: 20 passos a cada período de 10 segundos; 1 quarteirão � 90 m em 2 min � 120 s; para cruzar o 120 quarteirão foram � 20 passos � 240 passos � 90 m ⇒ 10 90 ⇒ 1 passo � � 0,375 m 240 20 passos 0,375 m II – Verdadeira: v � ⇒ v � 20 ⋅ ⇒ 10 segundos 10s ⇒ v � 0,75 m/s � 75 cm/s III – Falsa: 1 quarteirão � 90 m, 1 passo � 0,375 m, 90 � n passos � 90 m; pela regra de 3: n � 0,375 � 240 passos



MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE UNIFORMEMENT E VARIADO VARIADO �MRUV� � MRUV� No movimento retilíneo uniforme uniforme (MRU), a velocidade não varia e a aceleração é nula. A partir de agora, vamos revisar movimentos cuja velocidade varia de maneira uniforme, o que significa que a aceleração do movimento é constante.

I. Características do MRUV

B

O movimento retilíneo uniformemente variado caracteriza-se pelo fato de a variação na velocidade do objeto ser sempre a mesma, no mesmo intervalo de tempo; ou seja, a aceleração do objeto é constante. am 5 a

]

v 2 v 0 a 5 ______ t 2 t 0

+

t

t

1

(–80 km/h)

2

(–120 km/h)

Contra a trajetória

Figura 2 • Representação de movimentos acelerados.

Na figura 1, como a velocidade aumenta, a bola percorre distâncias cada vez maiores em intervalos de tempo iguais.

Figura 1 • A distância entre duas posições sucessivas aumenta com o

passar do tempo.

Valores de aceleração positivos não significam necessariamente movimento acelerado. Para que um movimento seja considerado acelerado, o valor absoluto da velocidade deve aumentar com o passar do tempo. Com base nessa definição, podem ocorrer duas situações, dependendo da orientação da trajetória: 1. O objeto se move no sentido positivo da trajetória, o valor absoluto de sua velocidade aumenta, a aceleração do objeto é positiva ( a > 0) e sua velocidade também é positiva ( v > 0). Tal movimento é chamado acelerado progressivo. 2. O objeto se desloca no sentido contrário ao adotado como positivo e o valor da aceleração é negativo (a < 0), assim como o valor da velocidade ( v < 0). Esse movimento é chamado acelerado retrógrado. A

Acelerado retrógrado

Assim, pode-se concluir que sinais iguais de velocidade e aceleração (v > 0 e a > 0 ou v < 0 e a < 0) indicam movimentos acelerados. No movimento retardado, o valor absoluto da velocidade deve decrescer com o decorrer do tempo. Com base nessa definição, podem ocorrer duas situações, dependendo da orientação da trajetória: 1. O objeto se move no sentido crescente da trajetória, o valor absoluto de sua velocidade diminui e a aceleração do objeto é negativa ( a < 0), mas sua velocidade é positiva (v > 0). Tal movimento é chamado retardado progressivo. adotado 2. O objeto se desloca no sentido contrário ao adotado como positivo e o valor da aceleração se torna positivo ( a > 0), ao passo que o da velocidade permanece negativo (v < 0). Esse movimento é chamado retardado retrógrado. A

Retardado progressivo

t

t

(+120 km/h)

(+80 km/h)

1

B

+

2

Retardado retrógrado

+

t

t

(–120 km/h)

(–80 km/h)

1

2

Acelerado progressivo progressivo Figura 3 • Representação de movimentos retardados. t

t

1

2

(+80 km/h)

(+120 km/h) A favor da trajetória

+

Dessa forma, conclui-se que sinais diferentes de velocidade e aceleração ( v > 0 e a < 0 ou v < 0 e a > 0) indicam movimentos retardados.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


II. Função horária da velocidade e seus gráficos no MRUV

III. Função horária da posição e seus gráficos no MRUV

Partindo da expressão da aceleração média, obtém-se a função horária da velocidade no MRUV:

Cotidianamente é usada a expressão “acelerar” quando se quer aumentar a rapidez com que algo será realizado. Assim, por exemplo, “aceleramos” o banho para não chegar atrasados a um compromisso: significa que devemos ser mais rápidos, devemos aumentar a rapidez do banho em relação à rapidez anterior. E “aceleramos” a fala quando, nervosos, queremos transmitir mais rapidamente e com veemência algo que está nos incomodando. Na física, o conceito de aceleração está diretamente relacionado ao deslocamento. Quanto mais acelerado estiver o móvel, maiores tendem a ser seus deslocamentos a cada sucessivo intervalo de tempo.

v (t ) 5 v 0 1 a 3 t

Essa equação se aplica a qualquer tipo de movimento retilíneo uniformemente variado, seja ele retrógrado ou progressivo, acelerado ou retardado. Como se trata de uma função do 1 o grau em t , o gráfico é uma reta inclinada em relação ao eixo das abscissas.

Mesmo valor de aceleração e dois tipos de movimento

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


) V U R M ( o d a i r a v M e O t C . n E e M I T S m M A e E R m D / N r W o O f R i B E n K I u M o e n í l i t e r o t n e m i v o M M O

Observe, na figura 4, a representação do movimento de um automóvel. Nessa situação, o automóvel desenvolve movimento retrógrado e retardado, com o módulo de sua velocidade diminuindo 2 m/s a cada segundo. Se continuar a decrescer dessa maneira, aos 4 s a velocidade será nula. Daí em diante, o móvel inverterá o sentido de seu movimento, deslocando-se deslocando-se no mesmo sentido da orientação da trajetória. v

0 m/s

v



t

4 s

 

t



8 m/s

0 s



C . E M I T S M A E R D / B V I R E I P

Figura 4 • Diminuindo o módulo de sua velocidade em 2 m/s a cada

segundo, aos 4 s a velocidade será nula.

Supondo que o móvel inverta o sentido de seu movimento mantendo o módulo de sua aceleração, passará a desenvolver em marcha à ré, a partir de t � 4 s, movimento progressivo e acelerado (figura 5). v

0 m/s

v



t

4 s

2 m/s



t



Figura 7 • As imagens demonstram que, quanto maior a aceleração de

5 s



um móvel, maior será a distância percorrida por ele a cada sucessivo intervalo de tempo.

Figura 5 • Decorridos 4 s, o móvel inverterá o sentido de seu

movimento e passará a se deslocar no sentido da orientação da trajetória, acelerando. Assim, após 4 s, ele desenvolverá movimento progressivo e acelerado.

No tópico anterior, foi mostrado que a área do gráfico é numericamente igual ao deslocamento do objeto; v � t é

logo, usando as informações do gráfico, é possível encontrar a função horária da posição para esse movimento:

De maneira geral, tem-se: A

v v 0

Movimento retardado progressivo

t 1

a <

B

v v

v 0 t

0

A t

t 1 a >

0

Movimento acelerado retrógrado

Movimento acelerado progressivo v  0

0

0 v 

v

v 0

0 0

Movimento retardado retrógrado

Figura 6 • Gráficos de funções horárias de velocidade no MRUV.

St

t

t

Figura 8 • A área sob a reta do gráfico v � t é é numericamente igual ao deslocamento ∆s do objeto no intervalo ∆t .

A função horária da posição no MRUV é uma função do 2o grau em t , cujo gráfico característico é uma parábola. O estudo dessas funções mostra que a concavidade da parábola indica o sinal da aceleração do movimento. N

a  t 2

N

A � ∆s, logo: ∆s � v 0  t �

⇒

a  t 2

s(t ) � s0 � v 0  t �

⇒

2

IV. Equação de Torricelli Em certas situações do MRUV, podem-se determinar alguns parâmetros do movimento, como velocidades iniciais ou finais, distância percorrida ou aceleração, sem a necessidade de empregar medidas de tempo. Para isso, deve-se eliminar o tempo na função horária da posição no MRUV:

2 v (t ) 5 v 0 1 a 3 t

s

v 2 v 0 t 5 ______ a 2 a 3 t _____

]

s(t ) 5 s0 1 v 3 t 1

2

]

v 2 5 v 02 1 2 3 a 3 Ss (Equação de Torricelli)

a  0

V. Queda livre e lançamento vertical para cima a  0

Queda dos corpos

t

Objetos soltos no ar são atraídos em direção à Terra, caindo em sua superfície caso nada os impeça. A Terra gera um campo gravitacional capaz de atrair todos os corpos para seu centro. No entanto, percebe-se que, dependendo de alguns fatores como o formato e a área do objeto, o tempo de queda pode variar. Isso ocorre porque o ar oferece resistência à passagem do corpo, aumentando o tempo de descida até o solo. Conta a história que, no século XVI, Galileu Galilei observou que corpos de mesmo formato, soltos do alto da torre de Pisa, na Itália, caíam ao mesmo tempo, ainda que possuíssem massas diferentes. Concluiu, então, que não era a massa o fator que determinava o tempo de queda, percebendo que, se fosse no vácuo, todos os corpos soltos de uma mesma altura chegariam juntos juntos ao solo. De fato, experimentos realizados em tubos de vácuo comprovam que Galileu tinha razão. Dessa forma, desprezando-se a resistência do ar, corpos soltos próximo à superfície da Terra caem em movimento acelerado, denominado queda livre.

0

Figura 9 • A concavidade da parábola depende do sinal da aceleração.

O formato da parábola vai depender das condições do movimento, isto é, de o corpo mover-se a favor ou contra o sentido da orientação da trajetória, de ele estar aumentando ou diminuindo o valor absoluto de sua velocidade inicial etc. Os esquemas seguintes, acompanhados dos gráficos correspondentes, representam algumas dessas situações. A (m/s)

v

(m/s)

v

(m/s)

v

v 0

v 0

v  0 v  0

v 0

v  0

t  0

t  0 t

(s)

(s)

t

t  0

(s)

t

B a

(m/s2)

a

(m/s2)

a

(m/s2)

a  0

t

(s)

a  0

t

(s)

a  0

t

(s)

C s

(m)

s

(m)

s

(m) v

t

(s)

t

0



(s)

t

(s)

Figura 10 • Os gráficos da imagem A representam um móvel em

movimento acelerado, que se move a favor da orientação da trajetória e cuja posição inicial não é a origem dos espaços. O conjunto B representa um movimento retardado com o corpo movendo-se a favor da orientação da trajetória (note que sua velocidade decresce, embora no intervalo de tempo apresentado tenha sinal positivo) e que partiu de uma posição s0 � 0. Já nos gráficos C percebe-se que, após atingir v � 0, o móvel passa a se mover contra a orientação da trajetória, aumentando o valor absoluto de sua velocidade, ou seja, adquirindo movimento acelerado. O vértice da parábola assinala o instante em que houve mudança de sentido.

Figura 11

O movimento de queda livre é uniformemente variado (MRUV), com aceleração igual ao valor da aceleração da gravidade terrestre: g � 9,8 m/s2.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Lançamento vertical para cima

45 m 0

Ao lançar uma bola verticalmente para o alto, tem-se a certeza de que ela retornará. Isso ocorre porque, ao ser lançada com certa velocidade, a bola fica sujeita à mesma aceleração da gravidade do movimento de queda, ainda que seu movimento seja de subida. Dessa maneira, se a resistência do ar puder ser desprezada, a bola vai perdendo velocidade na razão de 9,8 m/s a cada segundo de seu s eu movimento para o alto, executando, portanto, um MRUV retardado. O tempo que ela levará para atingir a altura máxima será o mesmo que gastará para voltar ao ponto de partida e, sendo assim, sua velocidade final terá o mesmo módulo de sua velocidade inicial.

v > 0 g

> 0

45 m

45 m

v < 0 g

< 0

Solo 0

Figura 14

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Figura 12 • Lançamento vertical para cima sem resistência do ar: MRUV

retardado até a altura máxima e MRUV acelerado daí em diante.

• Na altura máxima: v � 0. • a � g, mesmo com o corpo parado na altura máxima. • Tempo de subida = Tempo de descida.

Orientação da trajetória Na resolução de muitos problemas, é preciso escolher uma orientação para os movimentos de queda livre e de lançamento vertical para cima, de modo que os sinais da velocidade e da aceleração garantam que o movimento de descida seja acelerado e o movimento de subida, retardado. A

Imagine que, do alto de um edifício de 45 m de altura, um objeto seja abandonado e comece a cair (figura 14). Desprezando a resistência do ar, o movimento pode ser considerado uma queda livre, de velocidade inicial nula, cuja aceleração tem módulo a � g. Supondo o valor g � 10 m/s2, pode-se determinar o tempo de queda e a velocidade de chegada ao solo. Para isso, o primeiro passo é adotar uma orientação para a trajetória, de tal maneira que seja garantida a condição de acelerado para o movimento de queda. Torna-se necessário, então, escolher o sinal da aceleração. Se o sinal selecionado é g  0, necessariamente deve-se ter v  0, ou seja, o móvel deve se mover no sentido positivo da orientação da trajetória. Para que isso ocorra, como o objeto cai de uma altura de 45 m, é preciso assumir que o alto do edifício representa s0 � 0 e o solo, s � 45 m. Sendo assim, o tempo de queda poderá ser calculado por meio da expressão: s � s0 � v 0  t �

a  t 2

2

B g v > 0 o d a r e l e c A

v < 0

g

e r v i l a d e u Q

o d a d r a t e R

< 0

0

0

o d a r e l e c A

v > 0

g

> 0

a m i c a r a p l a c i t r e v o t n e m a ç n a L

g

< 0

0

0

v < < 0 o d a d r a t e R

g

> 0

Figura 13 • Representação dos movimentos de queda livre (A) e

lançamento vertical para cima (B) segundo os sinais da velocidade e da aceleração da gravidade.

Substituindo os valores, tem-se: 10t 2 45 � 0 � 0  t � t � ⇒ t � 3 s. 2 Pode-se calcular a velocidade de chegada pela expressão: v � v 0 � a  t ⇒ v � 0 � 10  3 ⇒ v � 30 m/s. Note que, se a orientação fosse invertida, ou seja, se fosse considerada a posição inicial do móvel como s0 � 45 m e sua posição final s � 0, o resultado seria o mesmo, desde que fosse considerado o fato de que o móvel, nesse caso, ao cair, desloca-se contra a orientação da trajetória, adquirindo, portanto, v  0. Sendo assim, para que o movimento seja reconhecido como acelerado, deve-se impor o sinal negativo à aceleração da gravidade, ou se ja, g � �10 m/s2. 2 Tem-se, então: 0 � 45 � 0  t � 10t ⇒ t � 3 s. 2 A velocidade final é calculada por meio da equação: v � v 0 � a  t ⇒ v � 0 � 10  3 ⇒ v � �30 m/s. O sinal negativo indica que o objeto se move em sentido contrário à orientação positiva da trajetória, como esperado. Observe, no entanto, que em ambas as escolhas para a resolução do problema a medida da rapidez do móvel na chegada é a mesma, uma vez que o valor do módulo da velocidade se mantém.

) V U R M ( o d a i r a v e t n e m e m r o f i n u o e n í l i t e r o t n e m i v o M

ESTUDANDO Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)

Para o VESTIBULAR 1

(UFMG) Júlia está andando de bicicleta, com velocidade constante, quando deixa cair uma moeda. Tomás está parado na rua e vê a moeda cair. Considere desprezível a resistência do ar. Assinale a alternativa em que as trajetórias da moeda estão mais bem representadas, quando observadas por Júlia e Tomás. a)

Júlia

Tomás

c)

Júlia

3

( PUC-SP ) O diagrama da velocidade de um móvel é dado pelo esquema abaixo. v

E

A D

Tomás B

b)

Júlia

Tomás

d)

Júlia

F

G

C

O movimento é acelerado no(s) trecho(s): a) FG. c) CE . e EF . b) CB. d) BC e

Tomás

t

e) AB e DE .

Analisando o gráfico, os trechos em que o módulo da velocidade do corpo aumenta no tempo são: AB e DE . Júlia verá uma trajetória na direção de seu movimento,

4

com a moeda sofrendo aceleração. Isso descarta as alternativas a e b. Em uma única direção, ela verá uma trajetória retilínea. Tomás verá uma trajetória resultante da combinação de movimentos na horizontal (com velocidade constante) e na vertical (com aceleração constante). Isso descarta a alternativa d.

(PUC-RS) Dizer que um movimento se realiza com uma aceleração escalar constante de 5 m/s 2 significa que: a) em cada segundo o móvel se desloca 5 m. b) em cada segundo a velocidade do móvel aumenta 5 m/s. c) em cada segundo a aceleração do móvel aumenta 5 m/s. d) em cada 5 segundos a velocidade aumenta 1 m/s. e) a velocidade é constante e igual a 5 m/s. A aceleração escalar, por definição, é uma grandeza física que mede a taxa de variação da velocidade

2

(Vunesp) No jogo do Brasil contra a Noruega, o tira-teima mostrou que o atacante brasileiro Roberto Carlos chutou a bola diretamente contra o goleiro do time adversário. A bola atingiu o g oleiro com velocidade de 108 km/h e este conseguiu imobilizá-la em 0,1 s, com um movimento de recuo dos braços. O módulo da aceleração média da bola durante a ação do goleiro foi, em m/s2, igual a: a) 3.000. d) 108. b) 1.080. e) 30. c) 300. A velocidade inicial da bola, em m/s, é dada por: 108 v 0 5 ____ } v 0 5 30 m/s 3,6

escalar instantânea no tempo. Dessa forma, dizer que a aceleração a que um corpo está submetido é constante e igual a 5 m/s 2 equivale a dizer que sua velocidade aumenta 5 m/s a cada segundo.

5

(UCS-RS ) Um móvel descreve um movimento retilíneo, com velocidade variando com o tempo, conforme o gráfico. Pode-se afirmar então que: v (m/s) (m/s)

20

A velocidade final da bola é v 5 0. Portanto: Sv 5 v 2 v 0 5 0 2 30 ] Sv 5 230 m/s

Do enunciado, St 5 0,1 s. Aplicando a definição de

10

aceleração média, tem-se: Sv 230 a 5 ___ 5 ____ ] a 5 2300 m/s2 St 0,1 0

2

t (s) (s)

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


móvel é nula. a) a aceleração do móvel

A telemetria da velocidade versus tempo do carro foi registrada e é apresentada no gráfico a seguir.

b) a velocidade do móvel é constante.

100

móvel é constante e vale 5 m/s2. c) a aceleração do móvel

) s / m ( e d a d i c o l e V

d) o móvel percorre 60 m em 2 s. e) a velocidade média do móvel de 0 a 2 s vale 5 m/s.

Se a velocidade varia no tempo, conclui-se necessariamente que o móvel está submetido a uma

90 80 70 60 50 40

aceleração. Isso descarta as alternativas a e b. Do gráfico, tem-se: Sv 5 v 2 v 0 5 20 2 10 } Sv 5 10 m/s e St 5 t 2 t 0 5 2 2 0 } St 5 2 s

6 . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

(UFRJ) Um trem de brinquedo, com velocidade inicial de 2 cm/s, é acelerado durante 16 s. O comportamento da aceleração nesse intervalo de tempo é mostrado no gráfico a seguir. a


b)

4

c) 6

10

16

t

(s)

3

Calcule, em cm/s, a velocidade do corpo imediatamente após esses 16 s.

10 15 Tempo (s) (s )

) s 40 / m 30 ( o ã 20 ç a 10 r e 0 l e c10 A

2

d)

0

(cm/s2)

0

5

20

25

Qual das alternativas a seguir contém o gráfico que melhor representa a aceleração do carro de F-1 em função desse mesmo intervalo de tempo? a)

Aplicando a definição de aceleração, tem-se: Sv 10 a 5 ___ 5 ___ } a 5 5 m/s2 St 2

0

) 10 s / m 0 ( o 10 ã 20 ç  a r e 30 l e 40 c A50

5 10 15 20 25 Tempo (s) ( s)

e)

2

) 10 2 s / 0 m ( 10  o ã20 ç a30 r e l e40 c A50

0

0

5 10 15 20 25 Tempo (s) ( s)

) 10 s / 0 m ( 10 o ã 20 ç a r 30 e l e 40 c A 50

2

0

5

10 15 20 25 Tempo (s) ( s)

0

5 10 15 20 25 Tempo (s)

) 2 s 40 / m 30 ( o ã 20 ç 10 a r e 0 l e c10 A

5 10 15 20 25 Tempo (s) ( s)

A � ∆v

De 0 a 5 s, o movimento é MRUV acelerado,

∆v � ∆v 1 � ∆v 2 � ∆v 3

com maior valor de aceleração entre 2,5 e 5 s,

∆v 1 � 6  4 � 24 cm/s

como se pode perceber pelo gráfico.

∆v 2 � 4  (–3) � –12 cm/s

A declividade da reta que representa a velocidade

∆v 3 � 6  4 � 24 cm/s

em função do tempo entre esses instantes é

∆v � 24 + (–12) + 24 � 36 cm/s

maior quando comparada com a que representa

∆v � v � v 0 ⇒ 36 � v � 2 ⇒ v � 38 cm/s

o intervalo entre 0 e 2,5 s. Entre os instantes 5 e 22,5 s não há variação de velocidade e, portanto,

7

(UEL-PR) No circuito automobilístico de Spa Francorchamps, na Bélgica, um carro de Fórmula 1 sai da curva Raidillion e, depois de uma longa reta, chega à curva Les Combes. Raidillion Les Combes

a aceleração entre esses instantes será nula. Já após os 22,5 s, a aceleração se torna negativa, enquanto o carro diminui sua velocidade muito mais rapidamente do que aumentou. Portanto, o gráfico que melhor representa esse movimento descrito é o da letra d.

Circuito automobilístico de Spa Francorchamps


8

(UFSC) Uma partícula, efetuando um movimento retilíneo, desloca-se segundo a equação s 5 22 2 4 t 1 1 2t 2, em que s é medido em metros e t , em segundos. Determine o módulo da velocidade média, em m/s, dessa partícula, entre os instantes t 5 0 e t 5 4 s.

deslocamento do motoqueiro motoqueiro entre t 5 0 e 10 Qual é o deslocamento t 5 100 s? a) Ss 5 2.250 m b) Ss 5 1.500 m c) Ss 5 2.000 m

d) Ss 5 750 m e) Ss 5 2.500 m

Substituindo t 0 5 0 na função horária do movimento,

Como os valores de velocidade são positivos em toda

obtém-se: s0 5 22 2 4 3 0 1 2 3 02

a trajetória, tem-se Ss 5 área sob o gráfico, que

Analogamente, para t 5 4 s, obtém-se: s 5 22 2 4 3 4 1 2 3 4

corresponde à área de um trapézio. Assim: (100 1 50) 3 30 Ss 5 _____________ } Ss 5 2.250 m 2

2

Portanto, o deslocamento escalar é de:

11 (UEA-AM) Uma barata corre em linha reta para fugir de

Ss 5 s 2 s0 5 14 2 (22) ] Ss 5 16 m

uma provável chinelada. Se a barata parte do repouso e se desloca com aceleração constante de 0,1 m/s 2, o tempo, em segundos, que ela leva para atravessar um corredor de 3,2 m de comprimento é: a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.

e ocorreu em um intervalo de tempo dado por: St 5 t 2 t 0 5 4 2 0 ] St 5 4 s

Pela definição de velocidade média, tem-se: Ss ___ 16 ___ v m 5 St 5 4 ] v m 5 4 m/s

Da equação horária do movimento (MRUV), tem-se: s � s0 � v 0  t � ⇒

a  t 2

2

2

2

0,05t � 3,2 ⇒ t � 64 ⇒

⇒

t � 8 s

12 (Unicamp-SP ) Os avanços tecnológicos nos meios de (FEI-SP) O enunciado a seguir refere-se às questões 9 e 10. O movimento de um motoqueiro encontra-se registrado no gráfico abaixo. (km/h) v (km/h)

108

20

9

70

100

t (s) (s)

Qual é o módulo da aceleração do motoqueiro durante a frenagem? a) a 5 1,5 m/s 2 d) a 5 3 m/s 2 108 b) a 5 ____ km/h2 e) a 5 1 m/s 2 20 c) a 5 2 m/s 2 Pelo gráfico, verifica-se que a frenagem ocorre entre os instantes t 5 70 s e t 5 100 s.

transporte reduziram de forma significativa o tempo de viagem ao redor do mundo. Em 2008 foram comemorados os 100 anos da chegada em Santos do navio Kasato Maru, que, partindo de Tóquio, trouxe ao Brasil os primeiros imigrantes japoneses. A viagem durou cerca de 50 dias. Atualmente, uma viagem de avião entre São Paulo e Tóquio dura em média 24 h. A velocidade escalar média de um avião comercial no trecho São Paulo-Tóquio -T óquio é de 800 km/h. a) o comprimento da trajetória realizada pelo Kasato Maru é igual a aproximadamente duas vezes o comprimento da trajetória do avião no trecho São Paulo-Tóquio. -T óquio. Calcule a velocidade escalar média do navio em sua viagem ao Brasil. b) a conquista espacial possibilitou uma viagem do homem à Lua realizada em poucos dias e proporcionou a máxima velocidade de deslocamento que um ser humano já experimentou. Considere um foguete subindo com aceleração resultante constante de módulo aR 5 10 m/s2 e calcule o tempo que o foguete leva para percorrer uma distância de 800 km, a partir do repouso. 2 3 Ssavião 2 3 800 3 24 a) v navio 5 ________ 5 __________ ] v navio 5 32 km/h 50 3 24 St navio

Sabendo que 108 km/h 5 30 m/s, tem-se:

b) Hipóteses: aR 5 10 m/s2 e v 0 5 0. Substituindo na

Sv 5 0 2 30 ] Sv 5 230 m/s

equação horária, tem-se:

Aplicando a definição de aceleração: 230 Sv 230 a 5 ___ 5________ 5 ____ } a 5 21 m/s2 100 70 2 30 St Em módulo: OaO 5 1 m/s2

aR 3 t 2 10t 2 Ss 5 v 0 3 t 1 _____ ] 800.000 5 ____ ] t 5 400 s. 2 2

O foguete leva apenas 6min40s para percorrer a distância indicada.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


13 (Ufal) Uma partícula, na posição 12 m no instante t 5 0,

15 (UFJF-MG) Dois carros estão se movendo em uma rodo-

tem a sua velocidade, em função do tempo, dada pelo gráfico a seguir.

via, em pistas distintas. No instante t 5 0 s, a posição do carro 1 é s015 75 m e a do carro 2 é s02 5 50 m. O gráfico da velocidade em função do tempo para cada carro é dado a seguir.

v (m/s) (m/s)

v (m/s) (m/s)

1

Carro 1

20 0

5α

3α

t (s) (s)

5

2α

t (s) (s)

–10

–2

Se a sua posição no instante t 5 5 a é igual a 20 m, o valor de a é igual a: a) 12 s. b) 14 s. c) 16 s. d) 18 s. e) 20 s. O deslocamento é numericamente associado à área entre o gráfico e o eixo horizontal. A área do trecho inicial . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


contará negativamente, e a do trecho final, positivamente. 2 3 2a Ss 5 2 A1 1 A2 5 2_____ 1 2 E(5a 2 2a) 1 (5a 2 3a)R 3 1 ________________________ 1 ] 2 5a _a_ ] a 5 16 s ] Ss 5 22a 1 ___ ] 20 2 12 5 __ 2 2

14 (PUC-Minas ) Estudando-se o movimento de um objeto de massa 2 kg, obteve-se o gráfico velocidade # tempo a seguir. A velocidade está em m/s e o tempo, em segundos.

a) A partir do gráfico, encontre a aceleração de cada carro. b) Escreva a equação horária para cada carro. c) Descreva, a partir da análise do gráfico, o que ocorre no instante t 5 5 s.

2 (210) 0_________ Sv ___ 2 a) Carro 1: a 5 St ] a1 5 5 2 0 ] a1 5 2 m/s . Sv 0 2 20 Carro 2: a 5 ___ ] a2 5 ______ ] a2 5 24 m/s2. St 5 2 0 b) Equação horária do carro 1: a1 3 t 2 s1 5 s01 1 v01 3 t 1 _____ ] s1 5 75 2 10t 1 t 2

2

Equação horária do carro 2: a2 3 t 2 s2 5 s02 1 v02 3 t 1 _____ ] s2 5 50 1 20t 2 2t 2

2

c) Em t 5 5 s, ambos os carros estão com velocidade

1,0 0,8 v (m/s) (m/s)

Carro 2

nula e, logo após, invertem o sentido de seu

0,6

movimento.

0,4 0,2 0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

16 (UEL-PR) Um motorista está diri gindo um automóvel a

a trajetória for retilínea. Além disso, o deslocamento é

uma velocidade de 54 km/h. Ao ver o sinal vermelho, pisa no freio. A aceleração máxima para que o automóvel não derrape tem módulo igual a 5 m/s 2. Qual a menor distância que o automóvel irá percorrer, sem derrapar e até parar, a partir do instante em que o motorista aciona o freio? a) 3,0 m d) 22,5 m b) 10,8 m e) 5,4 m c) 291,6 m

numericamente igual à área sob o gráfico v # t . Seria

Do enunciado, tem-se:

possível calcular as áreas de cada trecho com

a 5 25 m/s2; v 0 5 54 km/h 5 15 m/s; v 5 0

inclinação distinta e somá-las ao final, mas obtém-se

Aplicando a equação de Torricelli, tem-se:

uma boa aproximação com um triângulo retângulo de 3 1 1,4 ______ altura 1 e base 1,4. Ou seja: Ss 7 2 ] Ss 7 0,7 m.

v 2 5 v 02 1 2aSs ] 0 5 15 2 2 2 3 5 3 Ss } Ss 5 22,5 m

(s) t (s)

É correto afirmar que a distância percorrida pelo objeto entre t 5 0 e t 5 1,4 s foi aproximadamente de: a) 0,7 m. b) 1,8 m. c) 0,1 m. d) 1,6 m. Como o movimento é sempre progressivo ( v . 0), a distância percorrida coincidirá com o deslocamento se


17 (Unemat-MT) Um motorista viaja por uma estrada a

19 (UEA-AM) Um ciclista parte do repouso e gasta 100 se -

uma velocidade de 180 km/h, quando em determinado momento vê uma criança na pista a 150 m de distância. O tempo de reação do motorista é de 0,9 s (tempo de reação � tempo decorrido entre o instante em que o motorista vê a criança até o instante em que ele realmente aciona os freios). Os freios aplicam ao carro uma aceleração constante de 10 m/s 2. Assinale a alternativa correta. a) O motorista conseguirá evitar o atropelamento. parar o carro 5 m antes da b) O motorista conseguirá parar criança. da c) O motorista conseguirá parar o carro 10 m antes da criança. somente após d) O motorista conseguirá parar o carro somente atropelar a criança. e) O motorista para o carro após 0,9 s.

gundos para percorrer 600 metros em uma pista retilínea. Se sua bicicleta se desloca com aceleração constante, chegará ao final do percurso com velocidade, em m/s, igual a: a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16.

Da equação horária do movimento antes da reação do motorista: 180 s � s0 � v 0  t �  0,9 � 45 m 3,6 Após o acionamento do freio, por Torricelli: 2.500 � 0 v 2 � v 20 � 2  a  ∆s ⇒ ∆s � � 125 m 2  10 Assim, antes de parar, o motorista percorrerá d � 45 � 125 � 170 m.

Portanto, o motorista só conseguirá parar o carro após atropelar a criança.

Da equação da velocidade para esse movimento (MRUV): s � s0 � v 0  t �

a  t 2

2

600 � a  5.000 ⇒ a � 0,12 m/s2

⇒

Aí, da equação de Torricelli: v 2 � v 20 � 2  a  ∆s � � 0 � 2  0,12  600 � 144 ⇒ v � 12 m/s

20 (Uesb-BA) O caso mais importante de movimento uniformemente acelerado é o movimento vertical sob a ação da gravidade. Desprezando-se a resistência do ar e com relação ao movimento de uma partícula próxima à superfície da Terra, é correto afirmar que essa partícula: (01) realiza um movimento retilíneo uniforme em dire-

ção ao centro da Terra. Terra. (02) é acelerada uniformemente quando é abandonada de uma altura h muito pequena em relação ao raio

da Terra. (03) descreve um movimento circular em torno da

Terra. (04) é atraída pela Terra com uma força denominada de

força normal. (05) fica submetida à atração gravitacional, realizando

uma trajetória parabólica em relação à superfície da Terra. Essa partícula realiza um MRUV acelerado em direção ao centro da Terra quando abandonada de uma altura muito pequena em relação ao raio da Terra, ficando sujeita à força de atração gravitacional denominada

18 (UFRGS-RS) Um trem acelera uniformemente, e sua velocidade varia de 0 a 90 km/h em 20 s. Qual é a distância que ele percorre nesse intervalo de tempo? Do enunciado, tem-se:

força peso. automotivo,, munido de freios que 21 (Uesc-BA) Um veículo automotivo

Aplicando agora a equação de Torricelli, determina-se

reduzem a velocidade de 5,0 m/s, em cada segundo, realiza rea liza movimento retilíneo uniforme com velocidade de módulo igual a 10,0 m/s. Em determinado instante, o motorista avista um obstáculo e os freios são acionados. Considerando-se que o tempo de reação do motorista é de 0,5 s, a distância que o veículo percorre, até parar, parar, é igual, em m, a: (01) 17,0. (02) 15,0. (03) 10,0. (04) 7,0. (05) 5,0.

o deslocamento do trem:

Equação horária do movimento até o acionamento

v 0 5 0; v 5 90 km/h 5 25 m/s; t 0 �0; t � 20 s

Da relação v 5 v 0 1 at , determina-se a aceleração do trem: 25 5 0 1 20a } a 5 1,25 m/s2

2

v 5

v 02

2

1 2aSs ] 25 5 0 1 2 3 1,250 Ss ] 625 ] Ss 5 } Ss 5 250 m 2,5

dos freios: s � s0 � v 0  t � 0 � 10  0,5 � 5 m Equação de Torricelli: v 2 � v 20 � 2  a  ∆s ⇒ ∆s �

(0 � 100) � 10 m [2 ( �5)]

Assim, a distância percorrida será: d � 5 � 10 � 15 m.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


22 (PUC-PR) Uma pedra foi abandonada da borda de um

25 (UFSC) Uma pedra A é lançada para cima com veloci-

poço e levou 5 s para atingir o fundo. Tomando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s 2, podemos afirmar que a profundidade do poço é: a) 25 m. c) 100 m. e) 200 m. b) 50 m. d) 125 m.

dade inicial de 20 m/s. Um segundo antes, outra pedra, B, era largada de uma altura de 35 m em relação ao solo. Supondo o atrito com o ar desprezível, no instante em que elas se encontram, é correto afirmar que: (01) a aceleração da pedra A tem sentido oposto à aceleração da pedra B. (02) o módulo da velocidade da pedra B é de 20 m/s. (04) o módulo da velocidade da pedra A é de 10 m/s. (08) a distância percorrida pela pedra A é de 16 m. (16) a posição da pedra B em relação ao solo é de 20 m.

Do enunciado, v 0 5 0. Tomando como origem da trajetória a borda do poço e a orientação para baixo, tem-se: 10 3 52 at 2 s 5 s0 1 v 0t 1 ___ ] s 5 0 1 0 3 5 1 ______ } s 5 125 m 2 2

As equações horárias dos movimentos serão:

23 (UFPE) A figura mostra a variação, com o tempo, da velocidade de uma bola jogada para o alto no instante t 5 0. Qual é a altura máxima, em metros, atingida pela bola, em relação ao ponto em que é jogada?

s A � 0 � 20  (t � 1) � 5(t � 1) 2 sB � 35 � 5t 2

No encontro:

2

(Considere g 5 10 m/s .)

s A � sB ⇒ 20  (t � 1) � 5( t � 1) 2 � 35 � 5t 2 ⇒ 10t �

� 20 ⇒ t � 2 s

v (m/s) (m/s)

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

30

Sendo a equação da velocidade dos movimentos dada por:


0

+ 1) v A � 20 � 10(t + t (s) (s)

v B � 0 � 10t

Assim, as velocidades no instante do encontro serão: v A = 20 � 10(2 � 1) � �10 ⇒ �v A� � 10 m/s

Do gráfico: v 0 5 30 m/s. Na altura máxima, tem-se v 5 0. Aplicando a equação de Torricelli e lembrando que,

v B � 0 � 10  2 � �20 ⇒ �v B� � 20 m/s

As afirmativas corretas são 2 e 4.

durante a subida da bola, o movimento é retardado e, portanto, terá aceleração a 5 210 m/s2, tem-se: v 2 5 v 02 1 2aSs ] 0 5 302 2 2 3 10 3 Ss } Ss 5 45 m

ras, cortes são feitos na casca do tronco das árvores, por onde o látex escorre até uma cunha, que faz com que o líquido pingue em um recipiente coletor, amarrado ao tronco um pouco abaixo. Suponha que uma gota de látex pingue da cunha com velocidade inicial na direção vertical, de 2 m/s, e caia em queda livre, 60 cm até atingir a tigela coletora. Desprezando a resistência do ar, a velocidade vertical da gota, ao atingir o recipiente, será, em m/s, igual a: Dado: g � 10 m/s2. a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.

mento vertical e ascendente, com velocidade constante de módulo igual a 6,0 m/s, em um local cuja aceleração da gravidade tem intensidade igual a 10,0 m/s 2. Desprezando -se a resistênci a do ar e sabendo-se que um objeto é abandonado no instante em que o balão se encontra a 19,2 m do solo, é correto afirmar que a altura máxima atingida pelo objeto é igual, em m, a: a) 17. b) 18. c) 19. d) 20. e) 21. 0 � 36 v 2 � v 20 � 2  g  ∆h ⇒ ∆h � � 1,8 m �2  10

Da equação de Torricelli: v 2 � v 20 � 2  g  ∆h � 4 �

Assim, a altura máxima que o objeto atingirá será:

� 2  10  0,6 � 16 ⇒ v � 4 m/s

hmáx � ∆h � h0 � 1,8 � 19,2 � 21 m

24 (UEA-AM, adaptada) Na extração de látex das seringuei-

26 (Uesc-BA) Considere um balão que descreve um movi-


ESTUDANDO Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)

Para o ENEM queda livre, Galileu 1 Estudando objetos abandonados em queda H17 H20

Pode-se afirmar a respeito da caminhada ecológica: a) para montar o gráfico, o aluno anotou 4.500 pares ordenados pelo caminho. b) o grupo levou 5 minutos para subir a montanha. todo. c) o grupo caminhou 3 km ao todo. d) a descida demorou menos, pois é mais fácil. e) a velocidade média do grupo foi 3 m/s.

Galilei mostrou que, em intervalos de tempo iguais, os deslocamentos sucessivos são múltiplos da sequência dos números ímpares crescentes, como mostra a figura. Assim, o acúmulo de deslocamentos em uma queda é representado por uma função quadrática s � f (t ).). No esquema ao lado, e pelos cált 0 s 5m t 1 s culos de Galileu, o espaço percorrido entre t � 16 s e t � 18 s será: 15 m a) 256 m. t 2 s b) 324 m. 25 m c) 340 m. d) 1.620 m. t 3 s e) 1.280 m. 



a) Não . Foram 1.500 m na ida e outros 1.500 m na volta.



Total: 3.000 m de caminhada, com uma marca a cada trecho de10 m. Portanto, são 300 pares ordenados, e



não 4.500. b) Não é citada nenhuma montanha na caminhada.

35 m

c) Exato. t

4 s

d) Não há subida nem descida mencionadas



As posições são calculadas em:

nessa caminhada. 3.000 m e) Não. v � 4.500 s

t � 16 s s(16) � 5  16 2

s(16) � 1.280 m

3 H20

t � 18 s s(18) � 5  18 2

18) � 5  324 s( 18) s(18) � 1.620 m

A diferença percorrida será: s(18) � s(16) � � 1.620 � 1.280 � 340 m

H17 H20

Durante uma caminhada ecológica, um dos alunos do grupo participante cronometrou os tempos gastos para passar por marcas fixadas no percurso, distantes 10 metros uma da outra. Sua tarefa após a caminhada foi representar em um gráfico a variação de sua posição na trilha com o passar do tempo. Veja como ficou o gráfico. s

v � 0,67 m/s

Portanto, a alternativa correta é a c.

s(16) � 5  256

2

⇒

(m)

O carrinho de rolimã rolimã é um um brinquedo brinquedo de de rua feito acoplando-se uma prancha de madeira a rodas de rolamentos de aço e é usado para disputar corridas ladeira abaixo. Artesanais, podem ser enfeitados, dotados de assentos estofados, freios de mão e volante. O piloto vai sentado, controlando com os pés a direção do carrinho, desviando das pedras e dos buracos, para chegar à vitória. Uma dessas corridas teve sua largada no alto de uma ladeira íngreme, passando rapidamente por um trecho horizontal, em seguida um leve aclive e, enfim, a linha de chegada. Admitindo que a origem dos espaços foi atribuída ao ponto de chegada, e que o movimento dos carrinhos aconteceu no sentido positivo da trajetória, pode-se dizer que eles tiveram: a) uma descida acelerada e retrógrada. b) um aclive progressivo e acelerado. c) uma descida progressiva e acelerada. d) um aclive retrógrado e acelerado. e) uma descida retrógrada e retardada. Os carrinhos se movendo no sentido positivo da

1.500

trajetória, indo em direção à origem, executam movimento progressivo. Na ladeira, o movimento é acelerado; no vale, é uniforme; e no aclive, é retardado. Portanto, está correta a alternativa c.

0 0

3.000 4.500

t

(s)

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


4 H17 H20

Um salto de paraquedas envolve três tipos de movimento: inicialmente, um movimento acelerado a partir do repouso, muito parecido com uma queda livre; depois, um momento de desaceleração, quando o paraquedas é aberto; e, por fim, a queda até o chão em uma velocidade confortável e constante. O gráfico da velocidade em função do tempo que melhor representa essas três etapas do movimento é: a)

d)

b)

e)

c) . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Queda acelerada representada por uma reta ascendente; queda desacelerada representada por uma curva descendente; velocidade constante representada por uma reta horizontal – portanto, o gráfico correto é o da alternativa a.

5 H6 H18

Existem muitas revistas especial especializadas izadas em carros que publicam informações sobre perform performances ances , acessórios, detalhes técnicos e feiras de automóveis. Por exemplo, em um teste de potência para uma famosa revista, o carro conseguiu acelerar uniformemente de 0 a 108 km/h em 12 segundos. A aceleração e o espaço percorrido pelo carro foram, respectivamente: a) 2,5 m/s2 e 180 m. d) 8 m/s2 e 180 m. b) 8 m/s2 e 108 m. e) 8 m/s2 e 120 m. c) 2,5 m/s 2 e 108 m.

cenas é possível ver um veículo se deslocando em alta velocidade por uma estrada, enquanto logo atrás vem a onda gigante se aproximando e destruindo tudo o que encontra pelo caminho. Suponha que a velocidade de propagação dessa onda estivesse em 36 km/h, com uma desaceleração de 0,02 m/s 2, e que, no momento em que percebeu a gigantesca onda, o motorista estivesse com seu carro parado a 40 metros de distância. Sabendo que esse automóvel acelera de 0 a 108 km/h em 15 segundos e tem velocidade máxima de 216 km/h, e desprezando o tempo de reação do motorista, imaginando que a reação foi imediata e que o carro foi acelerado ao máximo desde o instante inicial, responda às questões. I. Sabendo que a estrada era perpendicular à costa e tinha mais de 10 km de extensão, entrando continente adentro, o motorista conseguiu escapar da onda gigante? II. Qual distância, continente adentro, a onda atingiu, se as condições de seu movimento se mantiveram inalteradas e a região fosse de planície, com altitude média muito próxima do nível do mar? A alternativa que traz as respostas corretas às perguntas formuladas no problema são: a) I – Sim, o motorista escapou. II – A onda avançou sobre o continente cerca de 2,05 km. b) I – Não, o automóvel foi engolido pela onda. II – A onda avançou sobre o continente cerca de 2,05 km. c) I – Sim, o motorista escapou. II – A onda avançou sobre o continente cerca de 2,5 km. d) I – Não, o automóvel foi engolido pela onda. II – A onda avançou sobre o continente cerca de 2,5 km. avançou soe) I – Sim, o motorista escapou. II – A onda avançou bre o continente cerca de 1,95 km. 1 I. A função horária da onda é: s � s0 � v 0t � t 2 ⇒ 2 0,02 2 2 t ⇒ s � 10t � 0,01t ⇒ s � 0 � 10t � 2 1 A função horária do automóvel é: s � s0 � v 0t � t 2 ⇒ 2 2 2 2 t ⇒ s � 40 � t . Igualando as funções ⇒ s � 40 � 2 para verificar se haverá encontro, ou seja, se a onda atinge o automóvel, tem-se: 10 t � 0,01t 2 � 40 � t 2 ⇒ 1,01t 2 � 10t � 40 � 0

⇒

A aceleração é a variação da velocidade pelo intervalo de tempo. No SI, 108 km/h � 30 m/s, então: a �

(30 � 0) � 2,5 m/s2 12

A distância percorrida é: v 2 � v 20 � 2  a  d ⇒ 302 � 02 � 900 � 2  2,5  d ⇒ 900 � 5  d ⇒ � d � 180 m 5

6 H20

Em 11 de de março março de 2011, 2011, a costa japonesa foi atingida por um tsunami , onda gigante que se desloca em águas profundas a grandes velocidades e que pode atingir a marca de 850 km/h. As imagens gravadas no Japão são muito importantes para entender o fenômeno do tsuna e possibilitam produzir ações de prevenção e estrami e tégias de evasão de populações em risco. Em uma das

2 �(�10) + ∙ (�10) � 4(1,01)(40)

∙ 100 100 � 161,6 2(1,01) 2,02 Como ∆ < 0, não há valores reais para t , ou seja, a onda

t �

⇒

t �

não encontra o automóvel. II. Como a onda tem suas condições de movimento

inalteradas, pode-se utilizar a equação de Torricelli Torricelli para calcular o avanço de sua frente até ter sua velocidade zerada. 02 � 102 � 2  (�0,02)  ∆s ⇒ 0,04∆s � 100 ⇒ ⇒

∆s � 100 � 2.500 m

0,04



CINEMÁTICA CINEMÁ TICA VETORIAL VETORIA L Em movimentos mais complexos que o MRU e o MRUV, grandezas como deslocamento, velocidade e aceleração variam não apenas em intensidade, mas também em direção e/ou sentido. Para estudar essas grandezas, é introduzido um novo ente matemático: o vetor.

I. Grandezas escalares e vetoriais

Vetores de direções distintas

• Grandeza escalar escalar: é aquela definida por seu valor numé-

rico acompanhado da unidade de medida. São exemplos de grandezas escalares a temperatura (40 °C), o volume (5 L) e a massa (70 kg). • Grandeza vetorial: é aquela cuja definição envolve seu valor numérico (acompanhado da unidade de medida), sua direção e seu sentido. São exemplos de grandezas vetoriais a força, a velocidade, o deslocamento e a aceleração. A representação gráfica de uma grandeza vetorial é feita por um segmento orientado orientado denominado vetor. vetor. O tamanho da grandeza vetorial é chamado módulo do vetor e é proporcional ao valor numérico da grandeza. Assim, se dois vetores representam, por exemplo, velocidades, e um tem o dobro do tamanho do outro, pode-se afirmar que uma velocidade é o dobro da outra. B

v

A direção e o sentido do vetor resultante são determinados pela regra do paralelogramo; nesse caso, não se pode simplesmente somar nem subtrair algebricamente seus módulos. v s5 v 11 v 2 v D 5 v 1 1 (2v 2) ] v D 5 v 1 2 v 2

A

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

B v D

v s

v 1

v 1

d

a Notação

A

2v 2

v 2

Vetor: v Módulo de vetor:O v O ou

Figura 4 • (A) Regra do paralelogramo para adição de vetores. (B) Regra

v

do paralelogramo para subtração de vetores.

O módulo é determinado pela expressão derivada da Lei dos Cossenos:

Figura 1

Adição

II. Adição vetorial

O v sO2 5 Ov 1O2 1 Ov 2O2 1 2 � Ov 1O � Ov 2O � cos a

Vetores de mesma direção e mesmo sentido B

v 1

Subtração

O v DO2 5 Ov 1O2 1 Ov 2O2 1 2 � Ov 1O � Ov 2O � cos d

v 2

A

C

como cos d 5 2cos α, tem-se:

v S A

C

O v sO2 5 Ov 1O2 1 Ov 2O2 2 2 � Ov 1O � Ov 2O � cos α

O v sO 5 Ov 1O 1 Ov 2O Quando o ângulo é de 90°, cos 90° 5 0, e a Lei dos Cossenos fica reduzida ao Teorema de Pitágoras:

Figura 2

Vetores de mesma direção e sentidos contrários v 1

v 1 D

O v sO2 5 Ov 1O2 1 Ov 2O2

E

v S

v 2

D

E

O v sO 5 Ov 1O 2 Ov 2O Figura 3

v s

v 2 Figura 5 • Para determinar o módulo da soma de dois vetores

perpendiculares entre si, faz-se o cálculo da diagonal de um retângulo. Nesse caso, os valores dos módulos da soma e da diferença de dois vetores são iguais.


Decomposição de vetores

x

Um vetor v de de módulo não nulo, cuja direção não seja vertical nem horizontal, sempre pode ser expresso como resultante da adição de dois vetores ( v x e v y ) denominados componentes retangulares ou projeções ortogonais do vetor v . v

v

0 v 0

B

v y

v 5 v x 1 v y

v x

Figura 6 • O vetor v é é a soma vetorial de suas componentes v x e v y .

A

/ K S C R E O H T C S N R I A T E A S L E R O T O H P / T T O B B A E C I N E R E B

g H

Arco da parábola

Solo x

y

Figura 8 • (A) Foto estroboscópica de esfera lançada horizontalmente.

III. Composição de movimentos Galileu Galilei propôs que, se um corpo c orpo realiza um movimento composto, cada um dos movimentos que o compõem ocorre de maneira independente um do outro e no mesmo intervalo de tempo. Esse enunciado é conhecido como Princípio da Simultaneidade. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


B

v arr

v arr

v el

v rel v res

v res

A

Figura 7 • O movimento resultante do barco, com velocidade v res, é a composição dos movimentos na direção A B com com velocidade v rel e do

(B) Representação comparativa de um lançamento horizontal e uma queda livre. Note que o vetor velocidade na horizontal não se modifica e que as posições verticais dos dois movimentos estão sempre na mesma horizontal a cada instante.

Lançamento oblíquo Um corpo é lançado obliquamente em relação à horizontal quando sua velocidade inicial v 0 faz um ângulo α com a horizontal. Desprezada Desprezada a resistência do ar, verifica-se que a única força que atua sobre o corpo é a força peso; portanto, a aceleração tem sentido vertical para baixo durante todo o tempo em que o objeto permanece no ar. Dessa forma, tem-se uma componente da velocidade inicial no eixo x , constante durante todo o movimento, e uma componente da velocidade inicial no eixo y que que se modifica com o passar do tempo, por causa da aceleração da gravidade. Dessa forma, o movimento é retardado na subida e acelerado na descida. Na altura máxima, a velocidade vertical é nula, mas a horizontal, não. / S M R O E C . D E N U M I A T S S N M A O D E R R D O G

arrastamento que o barco sofre com a correnteza, com velocidade v arr arr.

IV. Lançamentos no vácuo Pode-se aplicar o Princípio da Simultaneidade de Galileu para descrever os movimentos de lançamento horizontal e lançamento oblíquo no vácuo. Nos dois casos, é possível considerá-los como sendo a composição de dois movimentos, um na direção horizontal com velocidade constante (o objeto não sofre aceleração nessa direção) e outro na direção vertical sujeito à aceleração da gravidade (constante, próxima à superfície da Terra).

Lançamento horizontal No lançamento horizontal, o objeto executa, na direção vertical, um movimento de queda livre cuja velocidade inicial é nula, ou seja, v 0 y 5 0. A velocidade de lançamento v 0 é horizontal e se mantém constante até a chegada do ob jeto ao solo. Logo, Logo, para um lançamento lançamento horizontal, em relação aos eixos O x e e O y , tem-se: Horizontal (MRU) x 5 v 0 3 t

Vertical (MRUV) y 5 g 3

Figura 9 • As fagulhas

são lançadas obliquamente e descrevem trajetórias parabólicas.

A máxima distância atingida pelo corpo na horizontal é denominada alcance horizontal. O tempo gasto pelo corpo para completar a parábola é o dobro do que ele leva para subir, ou seja, para atingir v y 5 0. Logo, para um lançamento oblíquo, em relação aos eixos O x e e O y , tem-se: Horizontal (MRU) x 5 x 0 1 v 0 x 3 t

Vertical (MRUV) y 5 y 0 1 v 0y 3 t 1

g 3 t 2

2

t 2

2

v y 5 g 3 t

v x 5 v 0 x 5 constante

v y 5 v 0 y 1 g 3 t v y 2 5 v 0 y 2 1 2 3 g 3 S y

l a i r o t e v a c i t á m e n i C

y

v

v y v 0y

): é a medida da variação de posição • velocidade escalar (v ):

v = v x

do móvel em movimento circular por unidade de tempo; sua unidade no SI é m/s. A relação entre período e frequência frequênci a é dada por:

v x

v 0 v x

v y

v

Q

v x x

v x v y

f 5

v

Figura 10 • Em um lançamento oblíquo, a velocidade não se anula no

ponto de altura máxima; apenas a componente v y da velocidade é zero. A diferença entre o lançamento horizontal e o lançamento oblíquo é que, no primeiro caso, a direção da velocidade inicial do objeto coincide com a direção do eixo x . A velocidade inicial no eixo y é é nula.

v x

v 2 5 v x 2 1 v y 2

T

A velocidade angular ω do MCU pode ser calculada pela expressão: 2s

ω5

Tanto no lançamento horizontal quanto no oblíquo, a velocidade resultante é o vetor v , cujo módulo é dado por:

1

5 2πf

T

A velocidade linear e a velocidade angular também estão relacionadas por meio do raio da trajetória trajetóri a do movimento: v 5 ω 3 R

v y

Figura 11 • Os vetores v x

v

A aceleração centrípeta, em termos termos dos parâmetros parâmetros da trajetória, é dada por:

e v y são as componentes ortogonais do vetor v . O módulo do vetor v é é obtido por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras.

2

v 0 sen 2a g

V. Movimento Circular Uniforme (MCU) Um corpo realiza MCU quando sua trajetória é circular e o módulo do vetor velocidade é constante e não nulo durante todo o movimento. Apesar disso, o MCU é um movimento variado, pois o vetor velocidade modifica sua direção a cada instante e a variação de velocidade, por definição, está associada a uma aceleração que, dirigida para o centro da trajetória, é denominada aceleração centrípeta. P1

O v 1O 5 Ov 2O 5 Ov 3O 5 constante Figura 12 • Trajetória do MCU indicando

a direção e o sentido dos vetores velocidade (em verde) e aceleração centrípeta (em vermelho).

VI. Transmissão Transmissão de MCU O MCU pode ser transmitido por meio de uma associação de engrenagens ou de polias. O funcionamento de uma grande quantidade de máquinas e motores baseia-se nesse tipo de associação. No caso da associação de polias por meio de correias, admitindo-se que não haja escorregamento, a velocidade de qualquer ponto da correia é igual, o que nos leva a uma relação entre a velocidade angular e o raio de cada polia: v A 5 v B ] ω A 3 R A 5 ωB 3 RB h h A B

A

h B

A

B

B

v 1 RA

P2 a0 p

v 5 ω2 3 R R

acp 5

A distância máxima percorrida pelo corpo na direção horizontal é chamada alcance e pode ser obtida por meio da expressão: x máx. 5

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

2

v 2 P3

h A

RB

RB

RA

Figura 13 • Associação de polias por meio de engrenagens ou correias

para a transmissão do MCU. v 3

Algumas grandezas são importantes na descrição dos movimentos periódicos, como o MCU: • período (T ): é o tempo gasto pelo corpo para realizar uma volta completa; sua unidade no Sistema Internacional (SI) é o segundo (s); • frequência (f ): é o número de voltas dadas pelo corpo por unidade de tempo; sua unidade no SI é o hertz (Hz), que equivale a rotações, voltas ou oscilações por segundo; • velocidade angular (ω): é a medida do ângulo descrito pelo objeto em movimento circular por unidade de tempo; sua unidade no SI é rad/s; r ad/s;

No caso de associação de polias por meio de eixos, como as polias estão rigidamente acopladas, todas têm a mesma velocidade angular, ou seja: A

ω A 5 ωB

Eixo P1

P2

P2

P1

R1

Figura 14 •

Associação de polias por meio de eixos para a transmissão do MCU.

R2 R1

R2

Vista de cima

Vista lateral


ESTUDANDO Cinemática vetorial

Para Pa ra o VESTIBULAR VESTIBUL AR 1

(PUC-Minas) Para o diagrama vetorial, a única igualdade correta é: a a) a 1 b 5 c . d) b 1 c 5 2 a . b) b 2 a 5 c . e) c 2 b 5 a . c b c) a 2 b 5 c .

4

Com base no diagrama tem-se: a 1 c 5 b ] a 1 c 1 (2 a ) 5 b 1 (2 a ) ] c 5 b 2 a

( UCSal-BA ) Entre as cidades A e B, existem sempre correntes de ar que vão de A a B com velocidade de 50 km/h. Um avião, voando em linha reta, com velocidade de 150 km/h em relação ao ar, demora 4 horas para ir de B até A. Qual é a distância entre as duas cidades? a) 200 km d) 800 km b) 400 km e) 100 km c) 600 km Considere a legenda:

2

(Unifesp) Na figura são dados os seguintes vetores a , b e e c .

u

a

v Ar/T 5 velocidade do ar em relação à Terra v A/Ar 5 velocidade do avião em relação ao ar

c

b

v A/T 5 velocidade do avião em relação à Terra . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

Então, com base no enunciado, segue a figura:


Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor d 5 a 2 b 1 c tem tem módulo: a) 2 u, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2 u, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4 u, e sua orientação é horizontal, para a direita. ll 2 u, e sua orientação forma 45 w com a horizontal, no d) d sentido horário. ll 2 u, e sua orientação forma 45 w com a horizontal, no e) d sentido anti-horário.

= 50 km/h V Ar / T T

B

De onde se obtém:

A

V A / T A / T

= 150 km/h V A / Ar Ar

v A/T 5 v A/Ar 2 v Ar/T 5 150 2 50

} v A/T 5 100 km/h Dado que a viagem de B a A dura 4 h e supondo v A/T

A partir da figura tem-se que a 5 b . . Logo: a 2 b 5 0

constante, tem-se: Ss Ss ___ ___ v A/T 5 St ] 100 5 4

e d 5 c . Ou seja, o vetor d tem tem módulo 2 u, e sua orientação é vertical e para baixo.

} Ss 5 400 km 3

(UFJF-MG) Um barco percorre a largura de um rio AB igual a 2 km, em meia hora. Sendo a velocidade da correnteza igual a 3 km/h, tem-se para a velocidade do barco em relação à correnteza: a) 5 km/h. c) 10 km/h. e) n.r.a. b) 1,5 km/h. d) 50 km/h. Margem v A/T

5

(Ufac) Qual o período, em segundos, do movimento de um disco que gira realizando 20 rotações por minuto? 2 1 1 a) c) e) 3 20 3 b) 3

d) 1

Adote-se a seguinte legenda:

Primeiramente obtém-se o equivalente da

v B/T 5 velocidade do barco

frequência de 20 rpm em rps. Para tanto, utiliza-se

em relação à Terra

v B/A

v B/T

20 rot.

v B/A 5 velocidade do barco em relação à água

Terra v A/T 5 velocidade das águas em relação à Terra

uma simples regra de três:

Margem

60 s f

1s

Portanto, o triângulo obtido com a soma dos vetores é

De onde se obtém: _1_ __ _1_ __ 60f 5 20 ] f 5 3 rps 5 3 Hz _1_ __ Sabendo que T 5 f , tem-se:

pitagórico; daí v B/ A 5 5 km/h.

T 5

Do enunciado, tem-se que v A/T 5 3 km/h. Ss ___ 2 ___ v B/T 5 St 5 0,5 } v B/T 5 4 km/h

1 1 } t 5 3 s

l a i r o t e v a c i t á m e n i C

6

( UCS-RS ) Uma esfera é lançada horizontalmente do ponto A e passa rente ao degrau no ponto B.

8

v 0 A

(PUC-SP) Este enunciado refere-se às questões A e B. O esquema representa uma polia que gira em torno de seu eixo. A velocidade do ponto A é de 50 cm/s e a do ponto B, de 10 cm/s. A distância AB vale 20 cm.

20 cm O B

B A 30 cm

2

Sendo 10 m/s o valor da aceleração da gravidade local, calcule a velocidade horizontal da esfera em A. a) 1,0 m/s c) 2,0 m/s e) 3,0 m/s b) 1,5 m/s d) 2,5 m/s

A) A velocidade da polia vale: a) 2 rad/s. c) 10 rad/s. b) 5 rad/s. d) 20 rad/s.

Na direção x tem-se tem-se um movimento uniforme regido

Para calcular a velocidade angular da polia, deve-se

pela função horária:

determinar o raio R da polia utilizando a relação v 5 hR.

s x 5 s0 x 1 v 0 x t 5 0 1 v 0t

Admitindo que os pontos A e B sejam fixos, ambos

(1)

possuem mesma velocidade angular, isto é: v B v A ______ __ h A 5 hB ] R 5 R 2 20 ] 50 10 ] ___ 5 ______ } R 5 25 cm R R 2 20

s x 5 v 0t

Na direção y tem-se tem-se um movimento uniformemente variado regido pela função horária: 2 10 t 2 ____ at ___ 5 0 1 0 3 t 1 2 s y 5 s0 y 1 v 0 y t 1 2 } s y 5 5t 2

Logo, a velocidade angular da polia será: v 50 h 5 __ A 5 ___ } h 5 2 rad/s 25 R

(2)

Obtém-se o tempo de queda substituindo s y = 0,2 m

B) O diâmetro da polia vale: a) 20 cm. c) 75 cm. b) 50 cm. d) 100 cm.

na expressão (2): 0,2 = 5t 2 ] t 2 5 0,04

polia será: D 5 2R 5 2 3 25 } D 5 50 cm

Por outro lado, nesse mesmo instante, na direção x , tem-se: sx 5 0,3 m. Finalmente, substituindo na expressão (1): s x 5 v 0t ] 0,3 5 v 0 3 0,2

} v 0 5 1,5 m/s (UFG-GO) Uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio 1,0 m com aceleração 0,25 m/s2. O período do movimento, em segundos, é: _s_. a) 2s. c) 8s. e) __ 4 s _ __ _ b) 4s. d) . 2 2s acp 5 h2R, em que h 5 ___ T llll 4s2 2 2s 2s 2 ____ ___ ___ 4 s R ____ 2 acp 5 ] 5 ] 5 5 R T T 0,25 0,5 T acp

@ #

} T 5 4s s

e) 150 cm.

Com base na questão anterior, o diâmetro D da

} t 5 0,2 s

7

e) 50 rad/s.

d

9

(UFRGS-RS) A figura a seguir representa uma correia transportadora com o seu sistema de acionamento. As duas polias menores têm o mesmo raio R, e a polia maior tem raio 2R. O atrito entre as correias e as polias é suficiente para que não ocorra deslizamento de uma sobre as outras. A polia motriz gira em sentido horário com frequência constante f 1; as outras duas polias são concêntricas, estão unidas rigidamente e giram com frequência constante f 2. Polia motriz

R

2R

R

Esteira

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Considere as seguintes afirmações. I. Os objetos transportados pela esteira deslocam-se para a direita. II. A aceleração centrípeta na periferia da polia motriz é quatro vezes maior do que na periferia da outra polia pequena. III. Os objetos transportados pela correia movimentam-se com velocidade linear menor do que a velocidade tangencial na periferia da polia motriz. Está(ão) correta(s): a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III.

Nos limites de tangência da esteira com a polia, seus vetores de velocidade linear coincidem e, no ramo em que estão os objetos, esse vetor tem sentido da esquerda para a direita.

A 45°

H

A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a rampa a uma distância horizontal D (D 5 H ),), do ponto A, aproximadamente igual a: a) 20 m. c) 10 m. e) 5 m. b) 15 m. d) 7,5 m. l

a Na direção vertical ao movimento, tem-se um MUV com i r a 5 g 5 10 m/s2, orientando a trajetória para baixo.

II. Correta. Indicando por (1) a polia motriz, por (2) a

polia maior e por (3) a outra polia pequena, a aceleração centrípeta de um ponto na periferia da polia (1) será: v 2 __ acp1 5 R

g

D

transmite esse sentido de rotação para as outras duas.


v

d) apenas II e III. e) I, II e III.

I. Correta. A polia motriz gira no sentido horário e

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

10 (Fuvest-SP) Um motociclista de motocross move-se com velocidade v 5 10 m/s, sobre uma superfície plana, até atingir uma rampa (em A), inclinada de 45° com a horizontal, como indicado na figura.

(I)

Adotando a origem dos espaços no ponto A, tem-se: 2 at ___

s y 5 s0 y 1 v 0 y t 1 2 ] H 5 5t 2

Portanto, o tempo gasto pelo motociclista até

d __H

ll

Como as polias (1) e (2) estão unidas por uma correia, tem-se v 2 5 v .

atingir novamente a rampa é t 5 5 . Na direção horizontal ao movimento, tem-se um MU, orientando a trajetória para a direita; assim:

Como as polias (2) e (3) estão rigidamente unidas, tem-se:

s x 5 s0 x 1 v xt ] D 5 10t .

d __H

ll

Substituindo, tem-se t 5 5 5 e H 5 D, de onde resulta:

v 2 v 3 ___ __ h2 5 h3 ] 2R 5 R v 2 __ v __ } v 3 5 2 5 2

D 5 20 m.

Logo, a aceleração centrípeta de um ponto na periferia da polia (3) é: 2

2

v 3 ___ v acp3 5 __ 5 4a R

(II)

Comparando as expressões (I) e (II), obtém-se acp1 5 4acp3.

11 (Fuvest-SP) Um disco de raio r gira gira com velocidade angular h constante. Na borda do disco, está presa uma placa fina de material facilmente perfurável. Um projétil é disparado com velocidade v em em direção ao eixo do disco, conforme mostra a figura, e fura a placa no ponto A. Enquanto o projétil prossegue sua trajetória sobre o disco, a placa gira meia circunferência, de forma que o projétil atravessa, mais uma vez, o mesmo orifício que havia perfurado.

III. Correta. Com base na afirmação I, sabe-se que os

objetos são transportados pela esteira com velocidade linear igual à de um ponto na periferia da polia menor. A

v r A

v

partir da afirmação II, tem-se v 3 5 __ . 2 h

o t e v a c i t á m e n i C

Considere a velocidade do projétil constante, e sua trajetória, retilínea. O módulo da velocidade v do do pro jétilil é: jét é: hr a) ___ . d) hr . s 2hr sh b) ____ e) ____ s . r . hr c) ___ . 2s Dado que a velocidade (v ) do projétil é constante, tem-se: Ss ___ 2r ___ v 5 St 5 St

V V 2 e acp 5 ] acp 5 ω2 R, tem-se: R R = (2ω)2 R ] x 5 4ω2 R, mas como 400 5 ω2 R, vem que x =

Como ω 5

Mas St corresponde corresponde ao intervalo de tempo necessário T __

para que a placa dê meia-volta; logo, St 5 2, em que T é o período de rotação do disco. 2s 2s ___ _s_ __ ___ Agora: h 5 T ] T 5 h ] St 5 h 2hr ____ Retornando à relação inicial: v 5 s . 12 (UEPG-PR ) Sobre o movimento circular que um corpo executa, assinale a alternativa correta. a) Se o movimento for uniforme, o vetor velocidade apresenta módulo, direção e sentido constante. b) Para que um corpo execute um movimento circular uniforme é necessário observar a primeira condição de equilíbrio, isto é, que o somatório das forças que atuam sobre o corpo seja nulo. c) Um corpo que executa executa 1 rpm tem frequência de 60 hertz. d) Sempre que um corpo executa um movimento circular uniforme, o vetor velocidade terá sua direção alterada continuamente, mantendo seu módulo e ficando submetido à ação de uma força chamada centrípeta. e) Num movimento circular circular uniforme a velocidade velocidade angular do corpo é sempre igual à velocidade escalar desse corpo. a) Incorreta. Direção e sentido constantes são

características se movimentos retilíneos. b) Incorreta. Em um MCU sempre existirá uma

força centrípeta, diferente de zero, que será a resultante de forças. c) Incorreta. Como a frequência é o inverso do período,

1 rpm equivale a uma frequência de uma volta por 1 minuto, ou seja, Hz. 60 d) Correta. e) Incorreta. Por definição, ω 5

13 (UEA-AM) Uma máquina de lavar roupa está funcionando na etapa de centrifugação centrifugação.. Instantes após o início dessa etapa, uma pequena peça de roupa, encostada na parede lateral do tambor da máquina, gira sem escorregar, com velocidade angular ω e aceleração centrípeta de 400 m/s2. Quando o tambor atinge a velocidade máxima de rotação, a peça de roupa tem velocidade angular duplicada e a aceleração centrípeta passa a ter módulo, em m/s 2, igual a: a) 800. d) 1.400. b) 1.000. e) 1.600. c) 1.200.

V . R

x 5 4(ω2 R) ] x 5 4 3 400 ] x 5 1.600 m/s2

14 (UEA-AM ) Um garoto sentado no chão lança uma bolinha de gude na direção de um buraco situado a 2 metros de distância, em um terreno horizontal. A bolinha parte do solo em uma direção que faz um ângulo de 45° acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. Para que a bolinha caia dentro do buraco, o módulo da velocidade inicial de lançamento, em m/s, deve ser: ∙ 2 Dados: g 5 10 m/s2 e sen 45° 5 cos 45° 5 . 2 ll l . l ll l . l ll l . l ll l . l ll l . l a) d b) d c) d d) d e) d 10 20 30 40 50

 = 45°

2m

Como o alcance do lançamento é dado por v 2 sen (2 3 45°) v 2 sen 2J , tem-se: 2 5 0 ] A 5 0 10 g

] 2 5

v 02

10

l l ] v 0 5 d ll 20

15 ( Uece ) Um barco pode viajar a uma velocidade de 11 km/h em um lago em que a água está parada. Em um rio, o barco pode manter a mesma velocidade com relação à água. Se esse barco viaja no Rio São Francisco, cuja velocidade da água, em relação à margem, assume-se 0,83 m/s, qual é sua velocidade aproximada em relação a uma árvore plantada na beira do rio quando seu movimento é no sentido da correnteza e contra a correnteza, respectivamente? a) 14 km/h e 8 km/h. b) 10,2 m/s e 11,8 m/s. c) 8 km/h e 14 km/h. d) 11,8 m/s e 10,2 m/s. v b 5 11 km/h

v c 5 (0,83 3 3,6) km/h 5 2,99 km/h

No sentido da correnteza: v b 1 v c 5 11 1 2,99; 14 km/h. Contra a correnteza: v b 2 v c 5 11 2 2,99; 8 km/h.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


16 (UEL-PR) Um sistema mecânico que consiste de um pequeno tubo com uma mola consegue imprimir a uma esfera de massa m uma velocidade fixa v 0. Tal sistema é posto para funcionar impulsionando a massa na direção vertical, a massa atingindo a altura máxima h e voltando a cair. Em seguida o procedimento é efetuado com o eixo do tubo formando um determinado ângulo com a direção horizontal de modo que o alcance R nesta direção seja maximizado. Tais situações estão representadas na figura a seguir.

tal maneira que sua nova velocidade forma um ângulo de 60° com a velocidade inicial. O módulo do deslocamento resultante do pássaro, a partir do ponto inicial, em quilômetros, é: ll ll a) 5. b) 3d c) 5d d) 5d ll e) 10. 5. 2. 3. 5 km

60°

5 km

Ss

Ss ] 5 km 30°

h

60° 5 km

v 0 J

v 0

R

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Pela Lei dos Cossenos: SS 5 ∙ a2 1 2ab cos J 1 b2 ]

Os experime experimentos ntos ocorrem em um local onde a aceleração da gravidade g’ é um pouco menor que seu valor na superfície terrestre g 5 9,8 m/s2. Com base nesses dados e concordando com expressões cinemáticas para os movimentos de queda livre e lançamento oblíquo, é correto afirmar: a) A razão

h g obedecerá a relação h 5 . 2g’ R R

b) A razão

2g h obedecerá a relação h 5 . R g’ R

h g’ obedecerá a relação h 5 . R 2 g R d) A distância R a ser alcançada pela massa será a c) A razão

mesma que se obteria em um experimento na superfície terrestre, porque tal quantidade só depende do valor da componente horizontal da velocidade v 0cos( J). e) R e h serão diferentes de seus valores obtidos em ex-

perimentos realizados na superfície, mas a relação 1 h 5 se manterá porque esta independe do va2 R lor local da aceleração da gravidade. Em um lançamento vertical, tem-se: h 5

v 02 . 2g‘

Na situação de alcance máximo J 5 45°, e o alcance v 0

é dado por: R 5

v 02 g‘

, então:

] SS 5 ∙ 52 1 2 3 5 3 5 cos 60° 1 52 ] ] SS 5 ∙ 52 1 52 1 52 5 ∙ 3(52) 5 5∙ 3 l a i r o t e v a c i t 18 (UCPel-RS ) Um projétil é lançado obliquamente no vá- á m cuo. Nesse caso, pode-se afirmar que: e n a) a distância horizontal percorrida é sempre igual à al- i C

tura máxima atingida. b) a velocidade do projétil é nula na altura máxima. c) a energia cinética do projétil é máxima na altura máxima. d) a aceleração é constante. uniformemente variado. e) o projétil realiza movimento uniformemente a) Incorreta. Tanto a altura máxima quanto o alcance

dependem do ângulo de lançamento e não são iguais. b) Incorreta. Somente a velocidade vertical do projétil

é nula na altura máxima, porém ele possui velocidade não nula na horizontal. c) Incorreta. A energia cinética do projétil é

2

2g’

1 h h 5 ] 5 2 R R v 02 g’

máxima quando sua velocidade é máxima, ou seja, a energia cinética é máxima logo após o lançamento e no retorno do projétil ao nível do lançamento. d) Correta. A aceleração é constante e igual à

17 (Uepa) Ao longo do ano muitos pássaros migram de seus locais de origem para diferentes regiões do planeta. Admita que um pássaro migratório se movimente do sul para o norte com velocidade constante de 20 km/h, durante 15 minutos, em uma trajetória retilínea. Na sequência ele muda de direção e percorre 5 km, de

aceleração da gravidade no local. e) Incorreta. O projétil realiza a combinação de dois

movimentos: MU na horizontal e MUV na vertical.

19 (Uepa) O nascimento da automação industrial se deu em 1788 com o dispositivo mostrado na figura abaixo, conhecido como regulador de Watt em homenagem ao seu inventor. Esse dispositivo era usado nas máquinas a vapor, para regular automaticamente a abertura de válvulas e assim controlar o fluxo de vapor em função da velocidade de rotação da máquina. Se, na situação mostrada, as massas se movem em um plano horizontal, com velocidade linear constante em módulo, executando 120 rpm, então:

em que v 0 é a velocidade escalar inicial (em m/s), J é o ângulo de elevação (em radianos) e h é a altura (em m) da bola a uma distância d (em m), do local do chute, conforme figura abaixo.

h v 0

J d

v

v R

a) ambas têm a mesma frequência de 0,5 Hz. b) ambas possuem velocidades angulares diferentes. c) o módulo da velocidade linear v não não depende do raio da trajetória R. d) suas acelerações não são nulas. e) executam uma volta completa em 2 s. a) Incorreta. f 5 120 rpm 5 2 Hz

• Débito cardíaco (DC ):): está relacionado ao volume sistólico VS (volume de sangue bombeado a cada batimento) e à frequência cardíaca FC pela pela fórmula DC 5 VS 3 FC . Utilize esses modelos para responder às seguintes questões: a) Durante uma partida, um jogador de futebol futebol quer fazer um passe para um companheiro a 32 m de distância. Seu chute produz uma velocidade inicial na bola de 72 km/h. Calcule os valores de tg θ necessários para que o passe caia exatamente nos pés do companheiro. b) Dois jogadores, A e B, correndo moderadamente pelo campo, têm frequência cardíaca de 120 batimentos por minuto. O jogador A tem o volume sistólico igual 4 a do volume sistólico do jogador B. Os dois passam 5 a correr mais rapidamente. A frequência cardíaca do jogador B eleva-se para 150 batimentos por minuto. Para quanto subirá a frequência cardíaca do jogador A se a variação no débito cardíaco (DC final 2 DC inicial ) de ambos for a mesma? a) h 5 d 3 tg J 2 5 3

b) Incorreta. O sistema faz com que as duas esferas

2

[ v d ] 3 (1 1 tg J) ] 0

2

2

estejam ligadas a um mesmo elemento que obriga

] 0 5 32 3 tg J 2 5 3

que elas se movam com velocidades distintas.

2

[ 3220 ] 3 (1 1 tg J) ] 2

2

c) Incorreta. V 5 h 3 R, ou seja, a velocidade linear

] 0 5 tg J 2

depende do raio da trajetória.

[ 160 ] 3 (1 1 tg J) ] 400 2

d) Correta. Toda Toda partícula em movimento circular possui

] 0 5 20,4tg2 θ 1 tg J 2 0,4 ]

aceleração centrípeta. e) Incorreta. De acordo com a frequência calculada

rotações por segundo (2 Hz) e não uma volta a cada 2 s. 20 (Fuvest-SP ) Os modelos permitem-nos fazer previsões sobre situações reais, sendo, em geral, simplificações, válidas em certas condições, de questões complexas. Por exemplo, num jogo de futebol, a trajetória da bola, após o chute, e o débito cardíaco dos jogadores podem ser descritos por modelos. • Trajetória da bola: quando se despreza a resistência do ar, a trajetória da bola chutada, sob a ação da gravidade

(g 5 10 m/s2), é dada por h 5 d 3 tg J 2 5 3

2

[ d v ] 3 (1 1 tg J), 2 0

tg J1 5 2 2 1 ! ∙ 12 2 4 3 (20,4) 3 (20,4) ] 2(20,4) tg J2 5 0,5 4 5 ] b) VS A VS 5 B 4 4 DC A(inicial) 5 VSB 3 120; DC A(final) 5 VSB 3 FC A 5 5 ] DC B(inicial) 5 VSB 3 120; DC B(final) 5 VSB 3 150

] tg J 5

em a, pode-se afirmar que a partícula realiza duas

2

{

{

Como DC A(final) 2 DC A(inicial) 5 DC B(final) 2 DC B(inicial), tem-se: 4 4 VS 3 FC A 2 VSB 3 120 5 VSB 3 150 2 VSB 3 120 ] 5 B 5 4 ] 3 FC A 2 96 5 30 ] FC A 5 157,5 batimentos 5 por minuto.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


ESTUDANDO Cinemática vetorial

Para o ENEM 1 H6

Transmissões Genebra são sistemas que transmitem um movimento circular uniforme de um eixo para uma roda dentada com sulcos que converte o MCU em movimentos “pulsantes” como os do ponteiro de segundos de um relógio mecânico. Para tanto, a transmissão Genebra usa um disco com um pino saliente em sua superfície – denominado interno – e uma roda dentada – denominada disco externo – com sulcos, onde o pino do disco interno se insere de acordo com o movimento do disco interno. O disco interno, associado a um eixo, gira em MCU fazendo seu pino entrar em um dos sulcos da roda dentada. Com o movimento do disco, o pino força a roda dentada a girar enquanto desliza para dentro e para fora do sulco. Após descrever um certo arco, o pino sai do sulco e a roda dentada para de girar, até que, em uma nova volta, o processo se repita e a roda dentada seja novamente obrigada a girar mais um ângulo.

2 H2 H3

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Encaixe

Encaixe

Disco

Disco

Alguns alunos estudavam catapultas, dispositivos que podem lançar grandes objetos a distâncias consideráveis, quando resolveram fazer uso de um modelo em miniatura, disponível no laboratório da escola, para tentar lançar uma bolinha de borracha na janela do apartamento de um deles. A janela está situada a 10 metros de altura, em relação ao local de lançamento da bolinha, e um dos alunos ficará dentro do apartamento, próximo à janela, para identificar o ponto de impacto da bolinha e orientar, se for o caso, seus colegas nos procedimentos de mira. Como o artefato não permite lançamentos a grandes distâncias, eles testaram várias vezes e chegaram às seguintes conclusões: 1. A bolinha sempre deixa a concha perpendicularme perpendicularmennte à base dela. 2. A inclinação do braço de lançamento em relação à ho- l a rizontal é de 60°. i r o 3. A velocidade máxima de lançamento é de 30 m/s. t

e v a c i t á m e n i C

a

Encaixe

Encaixe

Disco

Disco

Disponível em: . Acesso em: 26 nov. 2011. (Adaptado.)

Observando a sequência de figuras, com base no texto e supondo que a velocidade angular da roda denπ tada seja rad/s, é possível interpretar que o arco 2 descrito pelo disco interno, de 5 cm de raio, e o intervalo de tempo para descrevê-lo enquanto a roda dentada dá uma volta completa é, respectivamente: Adote: π 5 3,2 (por aproximação) a) 128 cm e 4 s. c) 64 cm e 2 s. e) 2 cm e 1 s. b) 8 cm e 4 s. d) 160 cm e 1s. Enquanto a roda dentada dá uma volta completa, o disco interno terá girado o equivalente a 4 voltas. Assim, como o raio do disco interno é de 5 cm, tem-se: ΔS

5 4 2sr ] ΔS 5 40s cm ] ΔS 5 40 3,2 5 128 cm �

Qual é a menor distância horizontal que deve existir entre a catapulta e a parede onde está a janela? a) 30 m d) 45 m b) 25,5 m e) 51 m c) 12,7 m Se o ângulo de inclinação do braço da catapulta é 60°, então o ângulo da velocidade de lançamento será 30°. 2 g 3 t 2 ] y 5 v 0 3 sen a 3 t 2 g 3 t y 5 y 0 1 v 0 y t 1 2 2 30 10 5 3 t 2 10 3 t 2 ] 10 5 15t 2 5t 2 ] 2 2 3 ! 1 3 ! ∙ 9 2 8 2 ] t 2 3t 1 2 5 0 ] t 5 5 2 2 t 1 5 1 s e t 2 5 2 s Como se deseja saber a menor distância, será utilizado o tempo de 1 s, que é o tempo, na subida, em que a

�

Como a velocidade da roda dentada é de

π

2 deslocamento angular é de 2 π rad, tem-se: 2π Δt 5 ] Δt 5 4 s. π

Adote: g 5 10 m/s2 e d ll 3 5 1,7

rad/s e o

altura de 10 m é atingida. ∙ 3

x 5 v 0 3 cos a 3 t ] x 5 30 3 2 3 1

Fazendo ∙ 3 7 1,7, tem-se: x 5 25,5 m.

3 H20

Observe a figura e a informação sobre as velocidades orbitais da Terra e da Lua. Sistema Terra–Lua Nova

Sol Nova Nova

Sentido de movimento de translação do sistema Terra–Lua

A Terra gira em torno do Sol a uma velocidade aproximada de 30 km/s, enquanto a Lua orbita a Terra a uma velocidade de 1,022 km/s, aproximadamente. Com base nas informações, pode-se concluir que: a) quando a Lua está entre a Terra Terra e o Sol, sua velocidade de translação, em relação ao Sol, pode ser a metade da velocidade da Terra em torno do Sol. b) quando a Terra está entre a Lua e o Sol, a velocidade de translação da Lua em relação ao Sol pode ser nula. c) a Lua gira em torno do Sol com velocidade linear resultante igual à da Terra. d) em nenhum ponto da trajetória da Lua em torno da Terra ela tem velocidade maior que a da Terra em relação ao Sol. e) em metade do percurso em torno da Terra, a Lua tem velocidade resultante maior que a da Terra em torno do Sol e na outra metade, menor.

4 H18 H20

para cima, mas que garante que o orifício esteja na mira do atirador pelo menos uma vez a cada volta. O formato da bala e a pressão do ar garantem que sua trajetória seja retilínea até uma distância maior do que aquela onde está a placa circular. O atirador tem direito a 30 disparos, que devem ser efetuados em no máximo 1 minuto. Não há necessidade de recarregar a arma e o tempo que a bala leva para ir da arma até o alvo é muito menor que o período do movimento do alvo. O prêmio máximo é obtido por quem conseguir acertar o orifício 5 vezes, lembrando que, ao final de 1 minuto, o disco para de girar, tenAlvo giratório do ou não sido efetuados todos os disparos.

Definindo a velocidade de translação da Terra em

Um atirador opta por manter fixa a direção de tiro. Ele mantém a mira horizontal enquanto a placa gira. Com base no texto, assinale a afirmativa incorreta. a) É impossível ganhar o prêmio, pois o tempo de 1 minuto é insuficiente para, na situação em que o atirador optou posicionar a arma, conseguir mirar 5 vezes no alvo. b) O atirador terá uma chance a cada 2 segundos de acertar o alvo. c) Se ele acertar todos os tiros a cada cada volta, então em 60 segundos terá acertado os 30 tiros. d) Se ele errar os primeiros 10 disparos, fazendo um disparo a cada vez que o alvo estiver na mira, então ainda terá 20 chances em 40 segundos restantes. e) Se ele tiver má pontaria e acertar somente o último tiro, a roda terá girado 30 vezes antes disso.

relação ao Sol como v T e a velocidade da Lua em

Se ela gira s rads/s, isso quer dizer que gira 2s ou uma

relação à Terra como v L, tem-se que a velocidade da

volta a cada 2 segundos. Então, a cada 2 segundos ele

Lua em relação ao Sol será dada pela soma vetorial

tem chance de acertar o orifício, se não errar o tiro e

v T 1 v L 5 v . Analisando a imagem do enunciado, pode-se

mantiver a arma na direção inicial. Em 60 segundos fará

dizer que a metade interna da trajetória da Lua em

30 disparos, podendo acertar todas as balas, o que

torno da Terra, isto é, quando ela está entre a Terra Terra e

não é fácil probabilisticamente.

o Sol, a componente de v L na direção da velocidade

Se ele acertasse todos os tiros, então gastaria toda a

v T tem sentido oposto à v T , o que faz que v tenha tenha o

sua munição – 30 balas –, uma a cada 2 segundos.

módulo menor que v T . Já na parte externa da trajetória,

Se errar os 10 primeiros tiros, ainda tem 20 chances no

quando a Terra está entre a Lua e o Sol, a componente

tempo restante de 40 segundos.

de v L na direção da velocidade v T tem mesmo sentido

E se acertar o último tiro apenas, finda seu tempo logo

que v T , o que faz que v tenha tenha o módulo maior que v T .

após o disparo, e já terá perdido as outras 29 balas.

Em uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões existe um desafio: com uma arma de ar comprimido que dispara balas de borracha, o atirador deve mirar e atirar em um disco que gira e possui um único orifício de formato circular. O objetivo é fazer que as balas passem pelo orifício enquanto o disco gira a uma velocidade angular de π rad/s. A arma é presa em uma forquilha de tal modo que o atirador só pode incliná-la para baixo ou

Se ele dispara aleatoriamente, sem contar o tempo entre os disparos e sem manter a arma na direção inicial, terá menos chance de acertar, pois é mais fácil prever um tiro a cada 2 segundos na direção inicial (fixa) da arma em relação ao orifício.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f



LEIS DE NEWTON NEW TON E ALGUMAS ALGUMAS FORÇAS ESPECIAIS ESPECI AIS Em 1687, Newton publicou Princípios matemáticos da filosofia natural , com as bases teóricas para a descrição dos movimentos dos corpos. As três Leis de Newton possibilitaram a criação dos modelos físicos necessários para explicar muitos dos fenômenos ligados à mecânica do movimento.

I. 1a Lei de Newton ou princípio da inércia A 1 a Lei de Newton explica não só o porquê de os cintos de segurança dos carros serem tão úteis no caso de uma freada brusca como também o fato de pessoas em pé dentro de um ônibus parado precisarem s e segurar firmemente para não cair quando o veículo arranca. Os corpos tendem a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (MRU), a não ser que forças externas atuem sobre eles. No caso do cinto de s egurança, sabe-se que, por inércia, as pessoas tendem a se manter em movimento apesar de o carro ter freado. A força do cinto é o agente que as impede de colidir com o para-brisa. Para a situação do ônibus, também por inércia, a tendência é que os passageiros mantenham o estado de repouso apesar de o movimento se iniciar. O ônibus acelera e os deixa “para trás”, fazendo que se sintam arremessados em sentido oposto ao do movimento. Isso também explica por que Cebolinha, na tira abaixo (figura 1), consegue puxar a toalha sem que os objetos se mexam. . A D T L S E Õ Ç U D O R P A S U O S E D O I C I R U A M ©

das forças, mas pela ação de agentes externos, como o atrito. Se fosse possível eliminar qualquer tipo de ação externa, um corpo em movimento tenderia a permanecer em Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), mesmo com o fim da ação da força que o levou a se mover. Isso é o que estabelece o princípio da inércia: Todo corpo permanece em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar de es tado por forças nele aplicadas. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

A


B

Figura 2 • Pelo princípio da inércia, o cavaleiro (A) tende a manter o

movimento anterior, apesar da parada brusca do cavalo. Na ausência de atrito entre os pneus e o asfalto, o carro (B) seguiria pela linha pontilhada.

O princípio da inércia assegura aos corpos dois estados naturais: o repouso e o MRU. Qualquer outro estado além desses só será possível se uma força externa agir sobre o objeto. Como consequência, afirma-se que um corpo em repouso ou em MRU está em equilíbrio, sendo nula a resultante de forças sobre ele. Pode-se escrever: Equilíbrio ⇒ F R � 0

Dinâmico → MRU

=

Figura 1

Agora, imagine-se tendo de ajudar a empurrar um carro que enguiçou e que, depois de algum esforço, saiu do repouso. Sabe-se que, por maior que seja a intensidade da força exercida sobre ele, o movimento vai cessar após algum tempo. A tendência é imaginar que sem força não há movimento duradouro, mas não é bem assim. Os movimentos cessam não pelo fim da atuação

Estático → repouso

Medida da inércia A massa de um corpo é a medida de sua inércia. É possível comprovar isso quando se considera, por exemplo, que um carro pode frear com muito mais facilidade do que um caminhão, ambos à mesma velocidade, já que a massa do carro é menor e este, portanto, apresenta menor tendência a permanecer em seu estado de movimento. A massa é uma grandeza escalar, cuja unidade de medida no Sistema Internacional (SI) é o quilograma (kg).

II. 3a- Lei de Newton ou princípio de ação e reação

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Toda ação (força) exercida em um corpo como resultado da interação com outro corpo provoca neste uma força, chamada reação, de mesma intensidade e de mesma direção, mas de sentido oposto. Quando um jogador de futebol chuta a bola, inicialmente em repouso, há uma força que o pé exerce sobre a bola (ação) e outra que a bola exerce sobre o pé (reação) (figura 3). Apesar de as intensidades das forças trocadas trocadas serem as mesmas, na bola a deformação é visível, e a força sobre ela faz que entre em movimento, ao passo que, no pé do jogador, a força de reação não produz efeito perceptível. Por que isso se dá dessa maneira? Porque forças iguais aplicadas em corpos diferentes podem produzir efeitos diferentes. O efeito da ação sobre a bola é colocá-la em movimento e provocar uma deformação perceptível. Sobre o pé, a mesma força não causa mais do que uma pequena pressão nos dedos. Vale ressaltar que, como a ação está aplicada na bola e a reação, no pé do jogador, essas forças, ou seja, o par ação e reação, jamais se anulam.

Tipos de interação

de um conjunto de forças cuja resultante não seja nula. No caso de um corpo com massa constante, a aceleração a que ele é submetido será tanto maior quanto maior for a força resultante sobre ele. Essa afirmação se traduz na equação: FR � m � a R

=

=

O vetor força resultante F R tem mesma direção e mesmo sentido da aceleração resultante. Por definição, admite-se que uma força resultante de intensidade 1 N é capaz de imprimir uma aceleração de 1 m/s 2 a um corpo de massa 1 kg. =

Cinco forças em destaque na mecânica Peso (P ) =

É a força de atração gravitacional sofrida por um corpo de massa m que esteja próximo da superfície de um corpo de massa planetária M. Essa força tem a direção da linha que une os centros dos corpos, e o sentido aponta para o centro deste. A força peso P e a aceleração da gravidade g apresentam mesma direção e mesmo sentido. O módulo da força peso é expresso pela 2 a Lei de Newton: =

A interação que ocorre entre dois ou mais corpos pode ser de contato ou de campo. As interações de contato ocorrem quando uma bola é chutada, uma caixa é empurrada etc. Nesses casos, há troca de forças em decorrência do contato entre os corpos. Já no caso das interações de campo, elas acontecem independentemente da existência do contato entre os corpos, como quando a Terra atrai objetos para sua superfície ou um ímã atrai um pedaço de metal que está próximo. K C O T S N I T A L / S R E T U E R / N O S L O H C I N Y C U L

=

P � m � g

em que g é o módulo da aceleração da gravidade que atua nos corpos em queda livre. m P

– P

M

Figura 4 • A Terra atrai o corpo com a força peso P , a qual, por sua vez, =

Figura 3 • O rosto do boxeador atingido imprime uma força de reação

na mão de seu oponente, enquanto as luvas diminuem os efeitos do impacto em ambos.

III. 2a- Lei de Newton ou princípio fundamental da mecânica Quando um corpo não se encontra em repouso nem em MRU, ele não está em equilíbrio, ou seja, sua resultante não é nula. O que essa condição representa? Nessa ocasião, o objeto está em movimento acelerado, retardado ou uniforme (não retilíneo). A 2 a Lei de Newton afirma que, para que um corpo modifique o módulo, a direção ou o sentido de sua velocidade, faz-se neces sária a ação

atrai a Terra com uma força de mesma intensidade e mesma direção, mas de sentido oposto. O efeito da força de ação sobre o corpo de massa m é trazê-lo para a superfície superfície,, ou seja, a Terra o puxa e ele cai acelerado. A Terra, por sua vez, também é puxada em direção ao corpo, com a mesma força, ainda que, por causa de sua grande massa, o efeito sobre ela não chegue a ser perceptível.

É muito importante perceber a distinção entre massa e peso. A massa, por ser a medida da inércia do corpo, tem na mecânica clássica um valor constante que independe da atração gravitacional a que o corpo está sujeito. O peso é grandeza que varia de planeta para planeta, de astro para astro. Além disso, varia também com a distância entre o corpo e o centro do astro que o está atraindo. Isso significa que o peso de um objeto na superfície da Terra terá valor diferente daquele obtido quando ele estiver a 10.000 m de altitude.

s i a i c e p s e s a ç r o f s a m u g l a e n o t w e N e d s i e L

Unidades de medida do peso : N (Newton); gf (grama-força); kgf (quilograma-força). Um corpo de massa 1 kg, na Terra, em um local no qual a aceleração da gravidade é 9,8 m/s 2, tem peso 1 kgf ou 1.000 gf.

essa propriedade, denominada elasticidade, são associadas forças elásticas. Hooke concluiu que o módulo da força elástica (F el) é diretamente proporcional à deformação provocada na mola até o chamado limite elástico, além do qual a mola perde a elasticidade. I

II

III

IV

Reação normal do apoio (N ) =

Quando um corpo se encontra apoiado em uma superfície, exerce força sobre ela; esta, por sua vez, reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. No esquema da figura 6, o corpo empurra o apoio devido à ação da força peso ( P ). O apoio reage, empurrando igualmente o corpo ( N ). Embora esse par de forças pareça ser de ação e reação, a reação à força peso está localizada no centro da Terra. A força que o corpo aplica no apoio é representada pela força ( �N ), que age na mesa.

x 2 x

F

=

=

2F

Figura 7 • Esquema de molas em equilíbrio (I e III) e deformadas (II e IV).

=

A lei que relaciona a força elástica à deformação por ela provocada é chamada Lei de Hooke:

N

F el � k � x

P

A constante de proporcionalidade k , denominada constante elástica da mola, representa uma característica da mola, medida em N/m, e mede sua resistência à deformação. Um valor alto de constante elástica, em N/m, indica que é necessária uma grande força para produzir um metro de deformação; em outras palavras: quanto maior a constante elástica, mais a mola resiste a se deformar.

– N

– P

Forças de atrito (F at) =

Figura 5 • Diagrama de forças de um corpo apoiado sobre uma

superfície.

Quando uma caixa apoiada no solo é empurrada horizontalmente com uma força F, imediatamente se percebe a ação de uma força de resistência, contrária ao sentido do movimento, denominada força de atrito. =

Tensão ou tração em fios (T ) =

É a força que surge quando dois ou mais corpos estão ligados por um fio ou cabo que intermedeia a interação entre os corpos. Se o fio for considerado inextensível e de massa desprezível, sua presença não influencia o movimento, e ele passa a ser apenas um transmissor de forças.

A

N

P

T

B

B

N

T

A

F

Figura 6

F

at

Força elástica (F el) =

A força elástica está associada à compressão/distensão de uma mola. O cientista inglês Robert Hooke estudou o comportamento de corpos que, após sofrerem pequenas deformações temporárias, voltam à sua forma natural. A

P

Figura 8 • A força de atrito só pode ser notada quando um corpo apoiado

sobre um piso é empurrado horizontalmente. Na figura A, o corpo está em repouso e, portanto, P � N e e não há força de atrito. Na figura B, a força de atrito Fat opõe-se ao movimento provocado pela força F. =

=

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Ao empurrar a caixa, a força feita pode não ser suficiente para movimentá-la. Nesse caso, as duas forças estão em equilíbrio, e a de atrito é denominada força de atrito estático ( F ate). Se houver aumento da força usada para empurrar a caixa, e o corpo ainda assim não entrar em movimento, será possível perceber que a força de atrito estático também aumentou de intensidade, de modo a manter o corpo em repouso.

F at ate � μe � N

F at atd � μd � N

μe > μd

F

at

Valor máximo da força de atrito estático F ate

Início do moviment movimento o F F

ate

F

45�

Aproximadamente constante

atd

F

Figura 9 • Enquanto o corpo não se move, o módulo da força de atrito

estático é igual ao da força que tenta colocar o corpo em movimento.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Se a força aplicada na caixa continuar a aumentar, haverá um instante em que ela estará na iminência de se mover. Qualquer acréscimo de força, por menor que se ja, bastará para que ela se movimente. Nesse momento, a força de atrito estático atingirá seu valor máximo, sendo denominada força de atrito estático máxima, cujo módulo é dado pela seguinte expressão:

Figura 11 • Gráfico da força de atrito em função da força aplicada.

Exemplo

Um homem tenta empurrar um caixote de massa 50 kg horizontalmente para a direita. O atrito entre o piso e o caixote tem coeficientes de atrito estático e dinâmico, respectivamente respectivam ente iguais a 0,4 e 0,3.

F ate � μe � N

em que μe é o coeficiente de atrito estático (adimensional). Seu valor depende dos tipos de superfície que estão em contato. Quando tais superfícies são madeira e asfalto, por exemplo, o μe é 0,5 para a borracha e 0,7 para o asfalto. Quando o corpo entra em movimento, a força de atrito continua atuando sobre ele em sentido contrário ao do movimento, mas com valor constante e menor que o da força de atrito estático máxima, indepen dentemente da velocidade do corpo. A partir de então, a força de atrito é denominada força de atrito cinético ou dinâmico ( F atc). Seu módulo, ainda diretamente proporcional ao módulo da força normal, é dado por:

Figura 12

Para determinar a força F que o homem precisa fazer para tirar o caixote do repouso, devem-se representar todas as forças que atuam sobre o objeto. =

N

F at

F at atc � μc � N

em que μc é o coeficiente de atrito cinético. Note que μc < μe. A força de atrito tem direção sempre contrária ao movimento relativo das superfícies de c ontato. Dependendo da natureza dessas superfícies, para vencer a inércia de repouso (atrito estático), é necessária uma força mais intensa que a usada para manter o corpo executando o Movimento Retilíneo Uniforme (atrito dinâmico).

g

F P

Figura 13

Note que a força de atrito Fat, no caso do caixote em repouso, é a força de atrito estático, e s eu valor será máximo quando o caixote estiver na iminência de se mover. Pode-se calcular seu valor pela expressão: =

Fate � μe � N

=

Como N � P , vem: Fate � 0,4 � 500 ⇒ Fate � 200 N, valor que representa a intensidade de força que o homem deve aplicar no caixote para que este fique na iminência de se mover. Ao retirar o caixote do repouso, o homem precisará exercer menos força para manter o objeto em movimento, pois a força de atrito cinético será menor do que a força de atrito estático, uma vez que: Fat c � μc � N ⇒ ⇒ Fat � 0,3 � 500 � 150 N. c =

F at

=

F

=

Figura 10 • Detalhe da região de contato da caixa com o chão,

mostrando as irregularidades das superfícies.

=

=

=


ESTUDANDO Leis de Newton e algumas forças especiais

Para Par a o VEST VESTIBUL IBULAR AR 1

(Ufes) Um carro freia bruscamente e o passageiro bate com a cabeça no vidro do para-brisa. Três pessoas dão as seguintes explicações sobre o fato: 1a O carro foi freado, mas o passageiro continuou em movimento. a 2 O banco do carro impulsionou a pessoa para a frente no instante da freada. a 3 O passageiro só foi jogado para a frente porque a velocidade era alta e o carro freou bruscamente. Podemos concordar com: a) a 1a e a 2 a pessoas. d) apenas a 2 a pessoa. b) apenas a 1 a pessoa. e) as três pessoas. a a c) a 1 e a 3 pessoas.

3

(UFPR) O cabo de um reboque arrebenta se nele for aplicada uma força que exceda 1.800 N. Suponha que o cabo seja usado para rebocar um carro de 900 kg ao longo de uma rua plana e retilínea. Nesse caso, que aceleração máxima o cabo suportaria? a) 0,5 m/s 2 c) 2,0 m/s 2 e) 9,0 m/s 2 b) 1,0 m/s2 d) 4,0 m/s 2 Considere a figura: T máxima

=

1.800 N Cabo

Aplicando a 2a Lei de Newton ao movimento do corpo,

Em relação a um referencial fixo fora do carro,

tem-se: F R 5 T máx ] m 3 amáx 5 T máx } 900amáx 5 1.800

observa-se, antes da frenagem, que o carro e o

} amáx 5 2,0 m/s2

passageiro apresentam a mesma velocidade.

movimento. Assim, no momento da frena frenagem gem do

(Uece ) Ao cair de uma altura próxima à superfície da Terra, uma maçã de massa igual a 100 g causa no planeta uma aceleração aproximadamente igual a: a) zero. c) 10 m/s 2. b) 1 m/s2. d) 1 N.

carro, o passageiro continua em movimento. Logo,

Pelo princípio de ação e reação – 3 a lei –, se a Terra

pode-se concordar apenas com a explicação da 1 a pessoa.

atrai a maçã com a força peso, a maçã também atrai a

Portanto, pelo princípio da inércia, tanto o carro quanto

4

o passageiro tendem a permanecer nesse estado de

Terra com a mesma força em módulo e mesma direção,

2

(Vunesp) A caixa C está está em equilíbrio sobre a mesa. Nela atuam as forças peso e normal.

mas em sentidos opostos. Portanto, a Terra é acelerada em direção ao corpo, mas como a massa da Terra é

C

muito maior que a do corpo, sua aceleração será praticamente nula durante a queda do corpo – 2 a lei.

5 Considerando a lei de ação e reação, pode-se afirmar que: a) a normal é a reação do peso. b) o peso é a reação da normal. c) a reação ao peso está na mesa, enquanto a reação normal está na Terra. Terra. d) a reação ao peso está na Terra, enquanto a reação à normal está na mesa. N e) n.d.a. Caixa Veja o contexto da figura 5 na teoria.

P

–N –P Centro da Terra

(UEA-AM) Uma criança empurra uma caixa de 2 kg sobre um piso horizontal, sem atrito. Ela exerce uma força constante, de intensidade igual a 30 N, para baixo, como mostra a figura, fazendo um ângulo de 30 º com a horizontal, e comprime o bloco contra o piso. Nessa situação, a força normal que o piso exerce sobre o bloco terá módulo, em N, igual a: Dado: g = 10 m/s 2 a) 15. b) 20. c) 25. d) 30. e) 35.

θ � 30° F

Como não há movimento na direção vertical, pode-se escrever: N � P caixa � F � sen 30 � 2 � 10 � 30 � 0,5 � 35 N

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


6

Desprezando-se o atrito, qual o módulo da força resultante sobre o bloco B? a) 1,0 N c) 1,8 N e) 2,6 N b) 1,4 N d) 2,2 N

(UPE) Uma pedra de 2,0 kg está deslizando a 5 m/s da

esquerda para a direita sobre uma superfície horizontal sem atrito, quando é repentinamente atingida por um objeto que exerce uma grande força horizontal sobre ela, na mesma direção e sentido da velocidade, por um curto intervalo de tempo. O gráfico abaixo representa o módulo dessa força em função do tempo. F

Considerando os blocos A, B e C como como um único corpo, o módulo da força resultante sobre ele ( F ) é dado pela 2 a Lei de Newton:

(kN)

F 5 F 5 (mA 1 mB 1 mC) 3 a

Isto é: 4,2 5 (1 1 2 1 3) 3 a } a 5 0,7 m/s2

4

Logo, a força resultante sobre o corpo B será: 16

15

0

t (ms) (ms)

F R 5 mB 3 a 5 2 3 0,7 } F R 5 1,4 N.

Imediatamente após a força cessar, o módulo da velocidade da pedra vale, em m/s: a) 4. b) 5. c) 7. d) 9. e) 3.


9

Da 2 a lei tem-se:

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

4.000 � 2.000 m/s 2 2 1 Assim: v � v 0 � a � t � 5 � 2.000 � 1.000 � 7 m/s F � m � a ⇒ a �

(UFC-CE) No sistema da figura, os fios 1 e 2 têm massas desprezíveis, e o fio 1 está preso ao teto. Os blocos têm massas M � 20 kg e m 5 10 kg. O sistema está em equilíbrio. T T 2

A razão, ___1 , entre as trações

Teto

Fio 1

M

dos fios 1 e 2, é:

7

(Uesc-BA ) Uma esfera de massa igual a 2,0 kg, inicialmente em repouso sobre o solo, é puxada verticalmente para cima por uma força constante de módulo igual a 30,0 N, durante 2,0 s. Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se o módulo da aceleração da gravidade local igual a 10 m/s 2, a intensidade da velocidade da esfera, no final de 2,0 s, é igual, em m/s, a: a) 10,0. b) 8,0. c) 6,0. d) 5,0. e) 4,0. F � P � m � a ⇒ 30 � 2 � 10 � 2 � a ⇒ a � 5 m/s2

Assim, da equação da velocidade para esse movimento

a) 3. b) 2.

Fio 2

1 2 1_ . _ __ e) 3

__ . d) __ m

c) 1.

Observe que as trações nas extremidades do fio 2 são iguais em módulo, já que os fios são ideais. Dado que o sistema está em equilíbrio, tem-se: • Para o corpo de massa M: T 1 5 T 2 1 P M ] T 1 5 T 2 1 Mg (1)

tem-se: v � v 0 � a � t � 0 � 5 � 2 � 10 m/s2

• Para o corpo de massa m: T 2 5 P m ] T 2 5 mg

8

(UFPE ) A figura abaixo mostra três blocos de massa mA 5 1,0 kg, mB 5 2,0 kg e mC 5 3,0 kg. Os blocos se movem em conjunto, sob a ação de uma força F constante e horizontal, de módulo 4,2 N. &

C

B

A

F

(2)

Substituindo (2) em (1) e considerando g 5 10 m/s 2: T 1 5 mg 1 Mg 5 10 3 10 1 20 3 10 } T 1 5 300 N

Substituindo T 1 5 300 N na expressão (1), obtém-se: T 1 5 T 2 1 Mg ] 300 5 T 2 1 20 3 10 } T 2 5 100 N T 1 Logo: __ 5 3. T 2


10 (Uece) Um elevador parte do repouso com uma aceleração constante para cima com relação ao solo. Esse elevador sobe 2,0 m no primeiro segundo. Um morador que se encontra no elevador está segurando um pacote de 3 kg por meio de uma corda vertical. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s 2, a tensão, em Newton, na corda é: a) 0. b) 12. c) 42. d) 88. A equação horária desse movimento será: 2 � 2 a � t 2 � 4 m/s2 ⇒a� s � s0 � v 0 � t � 12 2 Para o equilíbrio tem-se: T � P � m � a ⇒ T � 3 � 10 � 3 � 4 � 42 N

11 (ITA-SP) Na figura temos um bloco de massa igual a 10 kg sobre uma mesa que apresenta coeficientes de atrito estático de 0,3 e cinético de 0,25.

O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície é μc � 0,3, e a velocidade inicial do bloco é de 1 m/s. Pode-se afirmar que: I. a força resultante que atua no bloco é de 16 N. II. a intensidade da força de atrito é de 12 N. III. a aceleração do bloco é de 2 m/s 2. IV.. após percorrer 12 m, a velocidade do bloco é de 7 m/s. IV V.. após percorrer 12 m, sendo retirada a força de 20 N, V o bloco percorrerá 10 m, até parar. f at � μc � N � 0,3 � 4 � 10 � 12 N

20 �12 � 2 m/s2 4 A força resultante será dada por: F R � F � f at � 20 � 12 � 8 N Da 2a Lei, tem-se: F � f at � m � a ⇒ �

Da equação de Torricelli: v 2 � v 20 � 2 � a � ∆s � 1 � 2 � � 2 � 12 � 49 ⇒ v � 7 m/s

Da 2a Lei: f at � m � a ⇒ a �

�12

4

� �3 m/s2

49 Assim: v 2 � v 20 � 2 � a � ∆s � ∆s � 2 � 3 ≃ 8,16 m.

N F

A

13 (PUC-SP) A mola da figura tem constante elástica de mg

20 N/m e encontra-se deformada deformada em 20 cm sob a ação do corpo A, cujo peso é 5 N.

Aplica-se ao bloco uma força F de de 20 N. Utilize a lei fundamental da dinâmica (2 a Lei de Newton) para assinalar abaixo o valor da força de atrito ( A) no sistema indicado (g � 9,8 m/s2). a) 20 N d) 6,0 N b) 24,5 N e) nenhuma das respostas anteriores c) 29,4 N

A

Para que o bloco se mova, a força F � 20 N deve ser superior à força de atrito estático máximo Amáx est , que pode ser calculada como segue: máx Amáx est � μest � N � μest � mg � 0,3 � 10 � 9,8 ∴ A est � 29,4 N

Nesse caso: F  Amáx est ; portanto, o corpo ainda está em repouso e deve-se ter A � F � 20 N.

Nessa situação, a balança graduada em newtons marca: a) 1 N. c) 3 N. e) 5 N. b) 2 N. d) 4 N. Tem-se a seguinte marcação de forças sobre o corpo A: pelo princípio de ação e reação, conclui-se que a reação à força normal sobre o corpo está no prato da

12 (UPE) De acordo com a figura a seguir, uma força de intensi

dade 20 N é aplicada sobre um bloco de massa 4 kg. Dado: g � 10 m/s2 V

0

� 1 m/s

Fel

N

balança. Portanto, determinar a indicação

A

P

da balança significa significa determinar a intensidade da força normal. Supondo que o corpo esteja em equilíbrio sobre a balança, tem-se:

F � 20 N

N � F el � P

∴ N � 1 N

⇒

N � P � kx

⇒

N � 5 � 20 � 0,2 ∴

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


14 (UEPG-PR ) Todo corpo em repouso, que tende a movimentar-se, tem esta ação dificultada pela força de atrito. Sobre essa força, assinale a alternativa correta. a) A força de atrito é proporcional à ação normal que a superfície exerce sobre o corpo. b) A força de atrito depende das áreas em contato. c) A força de atrito é anulada após o corpo entrar em movimento. d) A força de atrito atuante num corpo é igual ao produto de seu peso pelo valor do coeficiente de atrito entre as superfícies em contato, independentemente do ângulo de inclinação das superfícies em contato. para um corpo e) A força de atrito é sempre constante para que desliza sobre uma superfície, independentemente de ele estar em movimento ou em repouso.

de movimento, é correto afirmar que a resultante das forças de contato que a caixa recebe da superfície tem módulo igual a: a) mg. b) μmg. c) (1 � μ)mg. d) mg(1 � μ2)1/2. e) (mg)�1(1� μ2)1/2. Da 1a lei: F � f at � 0 ⇒ F � μ � m � g Somando vetorialmente a força de atrito e a normal (as forças de contato), tem-se: F R2

�

f 2at

2

2

2

� N � (μ � m � g) � (m � g) � m � g ∙ 1 � μ2

A força de atrito é proporcional à normal que a superfície exerce sobre o corpo f at � μ � N, sendo menor quando o corpo está em movimento (atrito . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


dinâmico) do que quando o corpo está parado (atrito estático).

17 (UFMG) Em agosto de 2009, em Berlim, Usain Bolt, atleta jamaic ano, bateu jamaicano, ba teu o recorde da corrida cor rida de 100 1 00 m rasos, com o tempo de 9,58 s. Neste gráfico está representada representada,, de maneira aproximada, a velocidade desenvolvida naquela corrida, por esse atleta, em função do tempo:

15 (Uece) Uma massa A de 4 kg puxa horizontalmente uma massa B de 5 kg por meio de uma mola levemente esticada, conforme ilustrado na figura abaixo. Desconsidere qualquer tipo de atrito. Em um dado instante, a massa B tem uma aceleração de 1,6 m/s2. Nesse instante, a força resultante na massa A e sua aceleração são, respectivamente: a) 6,4 N e 1,3 m/s 2. c) 0,0 N e 1,6 m/s 2. 2,0 m/s2. b) 8,0 N e 2,0 d) 8,0 N e 1,6 m/s2. A 4 kg

15

12 ) s / m (

9,0

v

6,0 3,0

B 5 kg

0,0 0,0

No corpo B, tem-se: F el � mB � aB � 5 � 1,6 � 8 N No corpo A: F � F el � mA � aA ⇒ aA �

F � F el mA

⇒

aA �

F R

4

2,5 2,

5,0 t (s) (s)

7,5

10

Suponha que o calçado usado por Bolt tivesse solado liso. Considerando essas informações, determine o menor valor do coeficiente de atrito estático entre o calçado e o solo para que o atleta não derrape.

Sendo a força resultante:

Sabendo que a inclinação da reta do gráfico representa

F R � F � F el � F � mB � aB � f � 8

a aceleração, quanto mais inclinada, maior a aceleração.

Testando a equação que vincula a aceleração à força resultante em cada uma das alternativas, conclui-se

Assim, conclui-se que a aceleração máxima será: 11 � 0 ∆v � � 2,2 m/s 2 a� 5 ∆t

que o único par que a satisfaz é o da letra b.

A força de atrito será a resultante das forças que atuam sobre o corredor enquanto ele acelera –

16 (Uesc-BA) Considere uma força de intensidade constante sendo aplicada a uma caixa de massa m que se encontra sobre uma superfície plana e horizontal. Sabendo-se que a direção da força é paralela à superfície, o coeficiente de atrito estático entre a caixa e a superfície é igual a μ, o módulo da aceleração da gravidade local é igual a g e que a caixa está na iminência

desconsiderando a resistência do ar. Conclui-se que, para que o corredor não derrape: (f at)mín � m � amáx � (μe)mín � N � (μe)mín � m � g ⇒ a (μe)mín � m � a � � 2,2 � 0,22 g m�g 10

⇒


18 (UnB-DF) Um astronauta, em sua viagem a um planeta

1 cuja gravidade é ____ da gravidade terrestre, foi encarregado

4 de realizar experiências relativas a atrito. Repetindo no planeta uma experiência realizada na Terra, de medir o coeficiente de atrito entre dois materiais, ele encontrou que o coeficiente de atrito medido no planeta era: a) menor do que o medido na Terra. Terra. b) maior do que o medido na Terra. c) igual ao medido na Terra. d) n.d.a.

20 (UEL-PR ) No sistema representado a seguir, o corpo A, de massa 3,0 kg, está em movimento uniforme. A massa do corpo B é de 10 kg. Adote g 5 10,0 m/s2. B

A

O coeficiente de atrito não depende de fatores externos, mas sim da natureza das superfícies em contato. Portanto, ele é o mesmo em ambos os planetas.

O coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo B e o plano sobre o qual ele se apoia vale: a) 0,15. c) 0,50. e) 0,70. b) 0,30. d) 0,60. Como o sistema está em movimento uniforme, para o corpo A tem-se:

19 (UFMG) Nesta figura, está representado um bloco de 2,0 kg sendo pressionado contra a parede por uma força F . O coeficiente de atrito estático entre esses corpos vale 0,5, e o cinético vale 0,3. Considere g 5 10 m/s2.

T � P A � m A 3 g � 3 3 10 } T � 30 N

E, para o corpo B:

&

30 � T � F at � jcin 3 N � jcin 3 mBg � jcin 3 10 3 10 } } jcin � 0,30

F

21 (UFBA) A figura apresenta um bloco A, de peso igual a

A força mínima F que que pode ser aplicada ao bloco para que ele não deslize na parede é: a) 10 N. c) 30 N. e) 50 N. b) 20 N. d) 40 N.

10 N, sobre um plano de inclinação θ em relação à superfície horizontal. A mola ideal se encontra deformada em 20 cm e é ligada ao bloco A por meio do fio ideal que passa pela roldana sem atrito. Sendo 0,2 o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano, sen J 5 0,60, cos J 5 0,80, desprezando-se a resistência do ar e considerando-se que o bloco A está na iminência da descida, determine a constante elástica da mola, em N/m.

Sobre o bloco atuam as seguintes forças: F at

N

A

F J

P

Dado que o corpo está em repouso e na iminência de Para que o bloco não deslize, deve-se ter N � F . Assim:

escorregar, tem-se:

F at � P

F el � F at � P x ⇒ kx � μest � N � P � sen θ

μest � N � mg ⇒ μest � F � mg mg 2_____ � 10 ____ ⇒ F � jest � 0,5 ∴ F � 40 N ⇒

⇒

Mas: N � P y � P � cos θ � 10 � 0,8 ∴ N � 8 N

Logo: 6 � 1,6 k � 0,2 � 0,2 � 8 � 10 � 0,6 ⇒ k � _______ ∴ 0,2

∴ k � 22 N/m

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


22 (Ufal) Dois blocos idênticos, A e B, de massa 2 kg cada,

24 (Ufes) O bloco da figura a seguir está em movimento em

dimensões desprezíveis e feitos do mesmo material, movem-se juntos e em linha reta, com aceleração de 1 m/s 2 sobre uma superfície horizontal com atrito (ver figura). Em um dos blocos está aplicada uma força constante e horizontal de módulo F � 14 N.

uma superfície horizontal, em virtude da aplicação de uma força F paralela à superfície. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a sua superfície é igual a 0,2.

A

&

m

2,0 kg

=

F

=

60,0 N

B

F

g

(dado: g 5 10,0 m/s2) A aceleração do objeto é: a) 20,0 m/s 2. c) 30,0 m/s 2. b) 28,0 m/s 2. d) 32,0 m/s 2.

e) 36,0 m/s 2.

Aplicando a 2a Lei de Newton ao movimento do corpo, Nessa situação, os módulos da força que um bloco exerce sobre o outro e da força de atrito cinético valem, respectivamente: a) 7 N e 5 N. d) 5 N e 20 N. b) 5 N e 14 N. e) 7 N e 20 N. c) 7 N e 14 N. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


tem-se: F F 2 2 F at 5 m 3 a ] F F 2 2 jcin 3 N N 5 5m3a Como N N 5 5 P P 5 5 mg, ou seja, N N 5 5 20 N, tem-se: 60 2 0,2 3 20 5 2 3 a } a 5 28 m/s2

25 (Unemat-MT, adaptada) Na figura dada, o bloco A está em

Aplicando a 2 a Lei de Newton a cada um dos

repouso sob a ação da força horizontal F 1 de módulo igual a 12 N, e da força de atrito entre o bloco e a superfície.

blocos, chega-se ao sistema:

A

14 2 f AB 2 f at 5 2 3 1 x f AB 2 f at 5 2 3 1

F 2 F 1

14 2 2f at 5 4 ] f at 5 5 N Retornando à segunda equação, obtém-se f AB � 7 N.

23 (Mackenzie-SP) Em uma experiência de física, aban-

Caso uma outra força, F 2 � 3 N, horizontal e contrária ao sentido de F 1, seja aplicada no bloco, então a força resultante será: a) 15 N. b) 12 N. c) 3 N. d) 9 N. e) Nula.

donam-se, do alto de uma torre, duas esferas, A e B, de mesmo raio e massas m A 5 2mB. Durante a queda, além da atração gravitacional da Terra, as esferas ficam sujeitas à ação da força de resistência do ar, cujo módulo é é a velocidade de cada uma delas e F 5 F 5 k k 33 v 2, em que v é k , uma constante de igual valor para ambas. Após certo tempo, as esferas adquirem velocidades constantes, resv A pectivamente iguais a v A e v B, cuja relação ___ é: v B ll d 2 ll a) 2. c) d e) ___ . 2. 2 ll b) d d) 1. 3.

Do enunciado pode-se concluir que a força de atrito

As velocidades das esferas tornam-se constantes

aumenta, empurrando-o horizontalmente – suas

quando o módulo da força de resistência do ar em cada

rugosidades contra as rugosidades do piso –, este, pelo

esfera torna-se igual ao módulo da força peso. Nessas m Ag ____

condições, tem-se: F A 5 P A ] kv A2 5 mAg } v A2 5 k Dado que mA 5 2 mB, tem-se: 2_______ mB 3 g lllll 2mBg • v A2 5 k } v A 5 _____, conforme orientação.

d

k

d

m lllll B3g _____

• F B 5 P B ] kv B2 5 mBg ] v B 5 k , conforme k 2mBg v � 5 d ll orientação. Assim: A 5 2. mg v B

∙

k

B

estático é maior que 12 N. Assim: f at � 12  0 ⇒ f at  12 N. F 1 � F 2 � 9 N é menor do que a força necessária

para superar a força de atrito estático e colocar o corpo em movimento; então, ele permanece parado. Como o atrito é uma força passiva, conforme a resultante das forças ativas aplicadas ao corpo

princípio da ação e reação, empurra o corpo de volta com a mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto. Assim, até que a força de atrito estático – dada por – seja superada, a resultante no corpo f ate � μe � N – continua nula e o corpo permanece parado. A partir desse valor, a resultante deixa de ser nula e o corpo entra em movimento.


ESTUDANDO Leis de Newton e algumas forças especiais


Os cintos de segurança dos automóveis são usados para proteger os ocupantes, em caso de acidentes. Alguns modelos de carros dispõem também de air-bags, bolsas plásticas que inflam rapidamente em caso de choque frontal. Esses dispositivos de segurança dos automóveis são tentativas de minimizar os efeitos causados pela inércia, descrita por Newton em sua primeira Lei. Das afirmações a seguir: I. A inércia está relacionada ao estado de equilíbrio de um corpo. II. A massa de um corpo é a medida de sua inércia. III. A tendência de um corpo continuar em seu estado de movimento é o princípio da inércia. São verdadeiras: a) todas. d) apenas I e III. b) apenas I e II. e) apenas uma delas. c) apenas II e III.

3 H18 H19

O encarregado encarregado de logística de uma empresa percebeu que em seu almoxarifado havia uma irregularidade: caixas cujo empilhamento máximo indicado na embalagem era de 5 unidades estavam em pilhas de 10 unidades. Saber o empilhamento máximo é necessário porque, se uma caixa tiver sobre ela mais unidades do que o permitido, será danificada. Cada caixa tem massa de 10 kg. Considerando a aceleração da gravidade 10 m/s2, a carga (força) máxima suportada por cada caixa e o número de caixas danificadas em cada pilha de 10 são, respectivamente:

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

I – Verdadeira: no estado de inércia, tem-se F R � 0 sobre o corpo e, portanto, sua aceleração é nula. Assim, ou o corpo se encontra em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo e uniforme (equilíbrio cinético). II – Verdadeira. III – Verdadeira.

a) 400 N e 5 caixas. b) 50 N e 4 caixas. c) 40 N e 5 caixas.

2 No futebol de campo, quando a bola sai pela linha de H20

fundo tocada por último por um atacante, ela é reposta no jogo pelo tiro de meta. Ao cobrar um desses tiros de meta, um goleiro optou por dar um chute forte e para o alto. Enquanto vai em direção a um atacante, a bola sofre a ação de uma força resultante. Analise as afirmações: I. A força resultante sobre a bola é a soma vetorial da força peso com a resistência do ar. II. A força resultante sobre a bola é a soma vetorial da força peso com a velocidade da bola em cada instante. III. A força resultante sobre a bola é a soma vetorial da força peso com a força de reação da bola ao chute do goleiro. São verdadeiras: a) todas. d) apenas I e III. b) apenas I e II. e) apenas uma delas. c) apenas II e III. I – Verdadeira: se não desprezarmos a resistência do ar, apenas ela e o peso atuam na bola durante o voo. Assim, a resultante é a soma de ambas. II – Falsa: não se soma força com velocidade. III – Falsa: a reação da bola no pé ficou no pé, e não na bola.

d) 400 N e 4 caixas. caixas. e) 50 N e 5 caixas.

Se o empilhamento máximo é de cinco caixas, a última é capaz de suportar apenas a carga das outras quatro sobre si. Se cada caixa tem 10 kg, 4 caixas têm 40 kg, com um peso de 400 N. Na pilha com 10 caixas, serão danificadas as que tiverem mais de 4 caixas sobre si, ou seja, as 5 mais abaixo.

4 H18 H19

Ao completar a instalação elétrica de uma casa, o eletricista se vê diante de um problema prático: ele deverá usar uma mola para fixar um lustre de 2 kg a 2 m de distância do teto. Sem dados técnicos sobre a mola, o eletricista prendeu o lustre em uma ponta da mola e segurou a outra ponta perto do teto, medindo seu tamanho já com c om o lustr lustree pendura pe ndurado, do, ou seja seja,, mediu me diu o tamanho ta manho da mola deformada pelo peso do lustre. Para seu alívio, percebeu que não precisaria cortar parte da mola, pois obteve o comprimento necessário apenas com o peso do lustre. Curioso, soltou a mola do lustre e a mediu em seu tamanho natural. Obteve 1,8 m de comprimento. Supondo a aceleração da gravidade no local igual a 10 m/s2, a constante elástica da mola usada é:


a) 10 N/m. b) 20 N/m. c) 100 N/m.

d) 200 N/m. e) 1.000 N/m.

6

Sem a massa, seu tamanho natural é 1,8 m.

O maquinista de uma composição, formada pela máquina e por dois vagões de carga, tinha uma decisão a tomar: colocar a carga de 1.000 kg no vagão 1 ou no vagão 2. Cada um dos vagões tem massa 500 kg e a máquina os tracionava com uma força de 2.000 N. Para tomar a decisão, o maquinista precisaria saber se, em cada caso, há diferenças na aceleração ( a) e na tração ( T ) entre os vagões.

Portanto, a deformação x � 0,2 m.

A

O tamanho da mola com a massa de 2 kg ( P � 20 N) vale 2 m.

H19 H20

1.000 kg

No equilíbrio, a força elástica deve equilibrar somente

a

vagão 1

vagão 2 F

tração

2000 N



o peso: F elel � P . Então: F el � P k � x � m � g (2 � 10) k �

0,2

k � 100 N/m . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


5 H3 H20

Em uma caravela, bem no meio do convés de 30 m de comprimento, ficava o mastro mais alto, com 20 m de altura. E nele, lá em cima, permanecia um marujo observando os arredores da caravela. Certa vez, com a embarcação a constantes 36 km/h, esse marujo deixou cair de lá uma moeda de ouro. Preocupado em perder sua moeda, ele observou angustiado a queda de seu precioso objeto. Sabendo que o vento não influenciou o movimento da moeda, ou seja, considerando que a moeda caiu em uma queda livre, o angustiado marujo observou, após aproximadamente 2,5 segundos, a moeda cair: a) no convés, à frente alguns metros do ponto do piso determinado pela reta vertical que liga o local do início da queda da moeda ao piso do convés. b) no convés, alguns metros atrás do ponto do piso determinado pela reta vertical que liga o local do início da queda da moeda ao piso do convés. caravela, à frente do mastro em c) a moeda caiu fora da caravela, que estava o marujo. d) a moeda caiu ao pé do mastro, exatamente no ponto determinado pela vertical que liga o local do início da queda da moeda ao piso do convés. e) a moeda caiu fora da caravela, para trás do mastro em que estava o marujo.

a

vagão 1

B

tração

vagão 2 1.000 kg

F

2000 N



Analisando a situação, conclui-se que: a) as acelerações são iguais e as trações também. b) as acelerações são iguais e as trações, diferentes. c) as acelerações são diferentes e as trações também. d) as acelerações são diferentes e as trações, iguais. e) não há dados suficientes para saber. Caso A – carga no vagão 1: Usando a 2 a Lei de Newton no vagão 1: F R � m1 � a T � (500 � 1.000) � a ⇒ T � 1.500 � a (I)

Usando a 2 a Lei de Newton no vagão 2: F R � m2 � a F � T � 500 � a ⇒ 2.000 � T � 500 � a (II)

Resolvendo o sistema das equações I e II, obtém-se a aceleração a � 1 m/s 2. Substituindo a aceleração em uma das equações, obtém-se a tração T � 1.500 N. Caso B – carga no vagão 2: Usando a 2 a Lei de Newton no vagão 1: T � 500 � a (I)

Com velocidade constante, a caravela, o marujo e sua

F R � m1 � a

moeda seguem um sistema com referencial inercial,

Usando a 2 a Lei de Newton no vagão 2:

em que a lei da inércia afirma que um objeto tende a

F R � m2 � a

continuar seu movimento, desde que nenhuma força

F � T � (500 � 1.000) � a ⇒ 2.000 � T � 1.500 � a (II)

interfira.

Resolvendo o sistema das equações I e II, obtém-se a

A moeda tende a acompanhar o mastro, apesar de

aceleração a � 1 m/s 2.

ganhar MUV na vertical devido à queda livre.

Substituindo a aceleração em uma das equações,

Então, a moeda cai ao pé do mastro.

obtém-se a tração T � 500 N.

⇒

Conclusão: a aceleração é a mesma, mas a tração muda.



APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON E GRAVITAÇÃO UNIVERSAL As três Leis de Newton explicam situações envolvendo escalas compatíveis com a métrica humana. O grande triunfo da teoria newtoniana é o estabelecimen estabelecimento to da Lei da Gravitação Universal,, que forneceu às Leis de Kepler uma justificativa fisicamente plausível. Universal

I. Máquinas simples Quando não havia elevadores, guindastes ou tratores, já se construíam grandes edifícios, edifícios , como as pirâmides pirâmid es do Egito ou o Coliseu romano. Pedras enormes eram elevadas até pontos bem acima do chão, em um movimento contrário à ação da gravidade. Algumas maneiras de os povos antigos enfrentarem a gravidade, as denominadas “máquinas simples” – como o plano inclinado e a polia –, são ainda adotadas pelos construtores modernos.

a força peso segundo duas direções, paralela ao plano inclinado e perpendicular a ele, percebe-se que a componente horizontal P x é a responsável por produzir o movimento de descida do corpo ao longo do plano, ao passo que a componente normal P y é responsável por manter o corpo apoiado (figura 2).

=

=

N

v

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

Px J

Py P J

Figura 2 • Esquema de forças atuantes em um bloco apoiado no plano

inclinado.

Na figura 2, se for considerado o triângulo retângulo que tem hipotenusa P e e catetos P x e P y, será possível escrever:

=

= =

P x 5 P P 33 sen J

e

P y 5 P P 33 cos J

Se o plano inclinado apresentar atrito, deverá ser considerado na direção paralela à superfície e sempre contrário ao movimento. É importante ressaltar que, em um plano inclinado, N � P .

N

F

at

v

P

x

Figura 1 • Nas grandiosas construções do Egito antigo já se utilizavam

as máquinas simples. P

y

Plano inclinado a

Em um plano inclinado perfeitamente liso, há apenas duas forças agindo sobre os corpos apoiados: o peso do corpo (P ) e a reação normal do apoio ( N ).). Ao decompor

=

=

Figura 3 • A força de atrito tem sempre sentido contrário ao do

movimento relativo entre as duas superfícies.


Polias ou roldanas As polias ou roldanas são máquinas simples usadas para elevar um corpo que tem grande massa. Para isso, inverte-se o sentido de aplicação da força, ou seja, em vez de exercer força vertical para cima, aplica-se uma força vertical para baixo. Note que a intensidade da força necessária para elevar o corpo não muda se a polia estiver fixa no teto. No entanto, quando as polias são associadas de tal maneira que algumas delas permaneçam móveis, é possível diminuir a intensidade da força. Na maior parte das situações, as polias são consideradas ideais, ou seja, não resistem à passagem dos fios.

o equilíbrio dinâmico, visto que a gota continuará caindo não mais em movimento acelerado, mas sim em movimento retilíneo uniforme. A velocidade máxima que um corpo sob a ação do ar atinge é chamada velocidade limite. Uma gota de chuva em queda livre, desprendendo de uma nuvem situada a 1.500 m de altitude, chegaria ao solo com velocidade aproximada de 600 km/h. Graças ao ar, ela chega com pouco mais de 7 km/h.

P

-

8 P

-

8 P

P

-

8

P

-

-

4

4 -

P

-

2

P

2

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


= = P

Figura 4

Figura 5 • No salto, o paraquedista é acelerado durante um certo

II. Resistência do ar A força de resistência do ar, assim como a de atrito de escorregamento, é uma força contrária ao movimento. Ela é o resultado do choque entre as moléculas do ar e a superfície do corpo em movimento. Quanto maior a velocidade veloci dade do corpo, mais intensa será a interação entre o ar e a superfície do objeto e, portanto, maior será a resistência que o ar oferecerá ao movimento. Além disso, dependendo do formato do corpo e da área ( A) voltada para o movimento, a resistência do ar pode ser maior ou menor. O formato aerodinâmico considerado perfeito é o de uma gota. Nesse caso, o coeficiente aerodinâmico (c x) da gota é muito baixo. Outro fator que influencia a resistência é a densidade ( d ) do ar do local onde está ocorrendo o movimento: maior densidade, maior resistência. Sendo assim, calcula-se a intensidade da força de resistência do ar (Rar) por meio da expressão: 1 Rar 5 c x � d � A � v 2 2 Uma gota de chuva ou um floco de neve sofrem a ação da resistência do ar assim que iniciam seu movimento de queda acelerado. É por isso que se consegue tomar chuva sem se machucar. Ao cair, a gota vai aumentando sua velocidade e, com isso, a intensidade da resi stência do ar também aumenta. Como a massa da gota é pequena, após alguns instantes a intensidade da força de resistência do ar passa a ser igual à da força peso da gota. A partir desse momento, a velocidade da gota não aumenta mais porque a resultante de forças passa a ser nula, garantindo

intervalo de tempo até atingir uma velocidade entre 150 e 200 km/h, dependendo do peso e da área de seu corpo, quando, então, o paraquedas se abre e o conjunto sofre uma força contrária ao movimento, que o faz desacelerar até uma velocidade constante bem menor, da ordem de 5 km/h, permitindo uma aterrissagem tranquila.

v

Velocidade limite sem paraquedas

Velocidade limite com paraquedas Abertura do paraquedas

t

Figura 6 • Gráfico da variação da velocidade de um paraquedista,

incluindo os momentos anteriores e posteriores à abertura do objeto.

III. Resultante centrípeta Qualquer movimento de trajetória curva apresenta uma resultante de forças não nula, denominada resultante centrípeta. Ela garante que o corpo se mantenha na curva, cur va, apesar de, por inércia, tender a seguir uma trajetória retilínea. O módulo da resultante centrípeta, Rcp cp é dado por:

=

Rcp 5 m � acp

⇒

v 2 Rcp � m � R

l a s r e v i n u o ã ç a t i v a r g e n o t w e N e d s i e L s a d s e õ ç a c i l p A

K C O T S N I T A L / K O O L / S E G A M I A G I R D A U Q

IV. Leis de Kepler Johannes Kepler (1571-1630), após passar anos observando os movimentos dos planetas, postulou três leis para descrevê-los: • Primeira lei (Lei das órbitas): as órbitas dos planetas ao redor do Sol são elipses, com o Sol ocupando um dos focos.

F 1

F

Sol

2

Figura 7 • As pessoas que estão no chapéu mexicano se mantêm nele

apesar de o vetor velocidade ter direção tangente à trajetória. Planeta

v

Figura 9 • Esquema da órbita dos planetas segundo Kepler. v

• Segunda lei (Lei (Lei das áreas): a linha imaginária que une o

O

planeta ao Sol (chamada raio vetor) varre áreas proporcionais aos tempos gastos no percurso da órbita.

R

t A

v

1

Figura 8 • O vetor velocidade tem direção perpendicular ao raio da

A

t A2

circunferência.

1

A



2

Sol

=

A direção do vetor R cp cp é sempre radial, e o sentido aponta para o centro da trajetória circular. Planeta

Vale a pena revisar alguns conceitos associados ao movimento circular. São eles: Período (T ): tempo para uma repetição do fenômeno. No SI, é medido em segundos se gundos (s). Frequência ( f ): número de repetições por unidade de tempo. No SI, é medida em hertz (Hz). Relação entre T e f : são inversamente proporcionais, 1 1 T � ou f � . f T Velocidade angular (): indica a rapidez com que o ∆α móvel se desloca angularmente ω � . No SI, é ∆t

[

]

medida em rad/s. Para uma volta completa, o ângulo “varrido” é 2 π, e o tempo é o período, ou seja, T . 2π Então, tem-se: ω � . T Velocidade linear (v ): indica a rapidez com a qual o ∆s móvel percorre um arco de circunferência v v � . ∆t

[

]

No SI, é medida em m/s. Em uma volta completa, o móvel percorre o comprimento do círculo, ou seja, 2 R em um período T . Logo, tem-se: v 2πR . π

�

T

Relação entre v e : comparando as duas expressões

[ v v � 2πT R e ω � 2T π ] , tem-se v � ω � R.

Figura 10 • Se as áreas A1 e A2 são iguais, o tempo gasto para percorrer

os dois trechos também é o mesmo.

A A1 � 2 � constante ∆t 2 ∆t 1

A1 � A2

⇒

∆t 1 � ∆t 2 � t

• Terceira lei (Lei dos períodos): o quadrado do período de

revolução de um planeta ao redor do Sol é proporcional ao cubo do raio médio da respectiva respec tiva órbita. T 21 T 22 � � k r 31 r 32

Na época de Kepler, não se conhecia uma justificativa física para k , mas ele conjecturou que seu valor dependia da massa do Sol. A terceira lei de Kepler estabelece que, quanto mais distante o planeta estiver do Sol, mais tempo ele gastará para dar uma volta ao redor dele.

V. Gravitação universal Isaac Newton percebeu que quaisquer pares de corpos no universo atraem-se com uma força proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Isso quer dizer que há uma força de atração, por exemplo, entre a geladeira e o fogão em uma cozinha, ou entre

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


o passageiro e o ônibus. Então, por que não se sente essa força, ou por que a geladeira e o fogão não se movem um ao encontro do outro como um ímã e um prego? Isso não ocorre porque as intensidades das forças de atração gravitacional entre dois corpos de massas pequenas são insignificantes. No entanto, quando se trata da força entre um corpo de massa elevada, como a Terra, e outra menor, como o fogão, percebe-se que a força é suficiente para deixar o fogão bem firme no chão. Força gravitacional (atração)

Corpos em órbita Para que um corpo execute uma órbita ao redor de outro é necessário que tenha uma velocidade suficiente para executar a trajetória circular, ainda que seja atraído em direção ao centro do corpo ao redor do qual está em movimento. Corpos em órbita são chamados satélites. A força de atração gravitacional sobre os satélites é de natureza centrípeta. Sendo assim, para um corpo de massa m, em uma órbita de raio R, pode-se calcular qual deve ser a velo- l a cidade orbital, supondo ser M a massa central, ao redor da s r e qual ele está em movimento. v

F

F

Rcp � F ⇒

r

m � v 2 M � m �G� R R2

⇒

v �

m M

Figura 11 • A força de atração entre a Terra e o Sol é a principal

componente que mantém o planeta na órbita dessa estrela. Note que as forças de atração gravitacional sempre constituem constituem um par ação-reação.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


F �

G � M � m r 2

2 em que G ≃ 6,67 � 10–11 N � m 2 kg

Tendo como base essa expressão, combinada com suas três leis da dinâmica, Newton pôde demonstrar as Leis de Kepler e determinar o valor da constante k da da lei dos períodos. Conforme imaginado por Kepler, para o Sistema Solar, ela dependia (apenas) da massa do Sol:

k �

4π2 G � MSol

Nota-se que a velocidade não depende da massa do corpo que está em órbita, mas da distância até o centro do gerador do campo e da massa deste. Assim, cada órbita terá uma velocidade característica. Inúmeros satélites com períodos iguais orbitam à mesma distância da Terra e em velocidade idêntica. Lembrando que a velocidade linear em um movimento 2πR circular pode ser calculada por v � , obtém-se a T

expressão para o cálculo do período orbital: T ∙

�

4π2 G � M

Por ter massa, qualquer corpo é capaz de modificar o espaço ao redor de si, gerando um campo gravitacional. Os limites do campo gravitacional são indefinidos e ele tem natureza atrativa. Ao colocar uma massa m na região do campo gravitacional gerado por M, agirá sobre m uma força de atração de módulo P � m � g. A grandeza física que representa o campo gravitacional em um ponto do espaço é o vetor aceleração da gravidade g. Assim, tem-se: P � F

⇒

m�g�

G �M R

� R3

Satélites cujo período orbital é de 24 horas parecem estar “parados” em relação a um observador na Terra e, por isso, são chamados geoestacionários ou geossincrônicos. Esses satélites executam órbitas equatoriais. Satélites usados para telecomunicações são geoestacionários.

Campo gravitacional

=

�

G � M � m , consider 2

Polar

Equatorial

rando r a a distância entre os centros de gravidade dos corpos. Então, tem-se: • Na superfície do planeta de massa massa M e raio R: g�

G � M R2

• Em um ponto com altura altura h em relação à superfície: g�

G � M (R + h )2

Nota-se que o valor de g não depende da massa m, e sim da massa M, ou seja, da massa do corpo que gerou o campo gravitacional que se quer determinar.

Figura 12 • Órbita polar e órbita equatorial. (Imagem fora de proporção.

Cores empregadas para fins didáticos.)

Em órbita, todos os corpos ficam sujeitos à mesma aceleração centrípeta. Isso significa que os satélites estão em constante queda livre em direção ao corpo central. É por isso que, nas imagens de astronautas em órbita ao redor da Terra, eles são vistos flutuando no interior da nave espacial. Os ocupantes da nave têm a mesma sensação que teriam se estivessem no interior de um elevador ou de um avião em queda livre. É por isso que eles se sentem flutuando. Chama-se imponderabilidade o estado no qual não se consegue medir o peso dos objetos por eles não serem sustentados por nada, ainda que continuem a ser atraídos atraí dos gravitacionalmente.

i n u o ã ç a t i v a r g e n o t w e N e d s i e L s a d s e õ ç a c i l p A

ESTUDANDO Aplicações das Leis de Newton e gravitação universal

Paraa o VEST Par VESTIBUL IBULAR AR 1 (UFPel-RS) Um caixote sobe um plano rugoso de inclina-

ção 30° em relação à horizontal, puxado por uma força aplicada por uma corda. Sendo P x a componente da F aplicada força peso tangente ao plano e F c a força de atrito cinético entre o corpo e a superfície e sabendo que ele sobe o plano com movimento uniforme (conforme a figura), analise as afirmativas abaixo.

c) o sistema se deslocará com uma aceleração de 6,0 m/s2. d) o sistema se deslocará com uma aceleração de 9,8 m/s 2. e) o sistema se deslocará com uma aceleração de 10 m/s 2.

Antes de discutir as questões, devem-se marcar as forças que agem sobre cada um dos blocos de massas M1 e M2 e suas componentes: T N

30°

T

M1

I. O módulo de F é é igual à soma de P x 1 F c. II. O módulo de F é é igual à soma de P 3 sen 30° 1 jc 3 P . III. O módulo de F é é igual a P x . IV. O módulo de F é é igual a P 3 sen 30° 1 jc 3 P 3 cos 30°.

Estão corretas as afirmativas: a) I e IV. c) II e IV. b) I e II. d) III e IV.

e) II e III.

P x

P1

M

2

J

P2

Dessa forma, para que o corpo de massa M2 desça em movimento acelerado, deve-se ter:

No plano inclinado, P x 5 P 3 sen 30° e F c 5 jc 3 N 5 5 jc 3 P 3 cos 30°. Como o bloco sobe em MU, a resultante

das forças na direção paralela à rampa deve ser nula. Logo, F 5 P x 1 F c, o que torna corretas as afirmativas I e IV.

2 (FMIt-MG) Temos na figura um plano inclinado que faz um ângulo J com a horizontal e sobre o qual se encontra uma massa M1. Suspensa por uma corda de massa desprezível, ligando-a à massa M1, está a massa M2.

P 2 . P x ] M2 g . P 1 3 sen J ] ] M2 g . M1 g 3 sen J ] M2 . M1 sen J.

Por outro lado, para que o corpo de massa M1 desça em movimento acelerado, deve-se ter P 2 , P x . Finalmente, a condição para que o sistema permaneça em equilíbrio é que P 2 5 P x . Portanto, as respostas da questão I são, respectivamente: M2 . M1 sen J; M1 sen J . M2; e M2 5 M1 sen J.

M

Pelas condições em II, verifica-se que M1 sen J . M2, pois:

1

M1sen J 5 40 3 0,5 5 20 . 10. Logo, o corpo M1 desce o M

plano inclinado em movimento acelerado. Orientando a 2

J

Desprezando os eventuais atritos, responder às questões que se seguem. I. A condição para que o corpo de massa M2 desça em movimento acelerado é que . A condição para que o corpo M1 desça em movimento acelerado é que . Se , o sistema permanece em equilíbrio. II. Na questão anterior, se M1 é igual a 40 kg, M2 5 10 kg e J é igual a 30°, podemos afirmar que: a) o corpo de massa M1 descerá o plano com acele-

ração de 2,5 m/s2. b) o corpo de massa M1 descerá o plano com uma aceleração de 2,0 m/s 2.

trajetória no sentido anti-horário, tem-se: • para o corpo de massa M1: P x . T ] P x 2 T 5 M1 3 a

(1)

• para o corpo de massa M2: P 2 . T ] T 2 P 2 5 M2 3 a

(2)

Somando (1) e (2) membro a membro, tem-se: P x 2 P 2 5 M1 a 1 M2 a ] M1 g sen 30° 2 M2 g 5 5 a(M1 1 M2) ] g(M1 sen 30° 2 M2) 5 a(M1 1 M2) ] ]10(40 3 0,5 2 10) 5 a(40 1 10) ] } a 5 2 m/s 2

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


3

(IFG-GO) O bloco A está na iminência de movimento de descida, quando equilibrado pelo bloco B, como mostra a figura. Os fios e as polias são ideais e o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e a superfície de apoio é 0,2. Considerando a massa do bloco A igual a 50 kg, cos q � 0,6, sen q � 0,8 e g � 10 m/s2, podemos afirmar que a massa do bloco B, em kg, é:

5 (Uneal) Um aluno que precisava de 1,0 (um) ponto para ser aprovado na disciplina de Física dirigiu-se ao seu professor para pedir uma oportunidade de obter este ponto. O professor, que sempre dava oportunidades aos seus alunos para expressar seus conhecimentos, esboçou o seguinte exercício: um móvel é lançado ao longo de um plano inclinado para cima, adquirindo após 2,4 s a velocidade de 8 m/s e após 4 s de movimento o móvel para. Se for necessário, use g � 10 m/s2. Nessas condições, determine a velocidade com que o móvel foi lançado e a inclinação (em graus) do plano inclinado. Passados 15 (quinze) minutos, o aluno entrega o exercício resolvido ao professor que, após analisá-lo,, lhe dá a notícia que conseguiu o ponto necessáanalisá-lo rio para a sua aprovação. Os valores encontrados pelo aluno, para a velocidade de lançamento do móvel e o ângulo de inclinação do plano inclinado são, respectivamente: a) 10 m/s e 45°. d) 30 m/s e 60°. b) 20 m/s e 30°. e) 40 m/s e 30°. c) 25 m/s m/s e 45°.

A B 

a) 18.

b) 32.

c) 68.

d) 100.

e) 82.

Da equação da velocidade para o movimento desse �8 móvel tem-se: v � v 0 � a � t ⇒ a � � �5 m/s2 1,6 Assim: v � v 0 � a � t ⇒ v 0 � 8 � 5 � 2,4 � 20,0 m/s

Sabe-se que: . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


P T � P � sen θ P N � P � cos θ

A inclinação do plano será dada por: 5 a sen θ � g � 10 � 0,5 ⇔ θ � 30°

Assim, da primeira lei aplicada à polia tem-se: P B � 2 � T ⇒ T �

mB � g

2

Agora, da primeira lei aplicada ao corpo A tem-se: P t � f at � T � μ � m A � g � cos θ �

mB � g

� m A � g � sen θ ⇒ 2 2 ⇒ mB � (50 � 10 � 0,8 � 0,2 � 50 � 10 � 0,6) � 68 N 10

6

(Uece ) Duas massas diferentes estão penduradas por uma polia sem atrito dentro de um elevador, permanecendo equilibradas uma em relação à outra, conforme mostrado na figura a seguir.

4 (UEA-AM ) Uma caixa de 60 kg sobe por uma rampa inclinada em 26° com a horizontal, sendo puxada por uma corda paralela à rampa, conforme a figura. Considere a corda inextensível e de massa desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o solo é igual a 0,1. Para que a caixa se desloque com velocidade constante, a tensão na corda deverá ser, em N:

26°

m1

m2

Podemos afirmar corretamente que nessa situação o elevador está: a) descendo com velocidade constante. b) subindo aceleradamente. c) subindo com velocidade constante. d) descendo aceleradamente.

Dados: g � 10 m/s2; cos(26) � 0,9; sen(26) � 0,44. a) 264. b) 300. c) 318. d) 346. e) 382.

Como as massas dos corpos são diferentes, se o

Pela primeira lei tem-se: T � f at � P tan � μc � m � g � cos θ �

não poderiam ficar equilibrados. A única forma de isso

� m � g � sen θ � 0,1 � 60 � 10 � 0,9 � 60 � 10 � 0,44 �

acontecer é se os corpos – e o elevador – estiverem em

� 54 � 264 � 318 N

queda livre. Assim, o movimento será de descida

elevador estivesse com velocidade constante, os corpos

acelerada – pela gravidade.


7 (Fuvest-SP) O sistema indicado na figura a seguir, onde as polias são ideais, permanece em repouso graças à força de atrito entre o corpo de 10 kg e a superfície de apoio.

(08) No instante de parada da roldana, a velocidade da

massa de 200 g é de 9,8 m/s. (16) Após a parada da roldana, a massa de 400 g desce com aceleração igual a 4,9 m/s 2.

10 kg

Soma: 02 � 08 ∙ 10 Chamando as massas de 200 g e 400 g, respectivamente, de A e B, tem-se:

4 kg

6 kg

P B � T � 0 ⇒ T � 3,92 N T � P A � mB � a ⇒ 3,92 � 1,96 � 0,2 � a ⇒ a � 9,8 m/s2

Podemos afirmar que o valor da força de atrito é: a) 20 N. c) 100 N. e) 40 N. b) 10 N. d) 60 N.

Como a roldana tem a metade da aceleração de A, além de se poder afirmar que os deslocamentos

Sejam, respectivamente, T 1 e T 2 as forças de tração no

serão diferentes, pode-se dizer que:

fio que une os corpos de massas 4 kg e 6 kg ao corpo

aA � 2 � aroldana ⇒ v A � 2 � v roldana ⇒ v A � 9,8 m/s

de massa 10 kg. Considerando que o sistema tende a

Após a parada da roldana tem-se:

se movimentar no sentido horário (a inércia favorece o corpo de massa 6 kg), a força de atrito ( F at at) sobre o bloco de 10 kg tem sentido da direita para a esquerda. Nessas condições, dado que o sistema permanece em repouso,

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

P B � T � aB � mB T � P A � a � mA

Assim: P B � P A � a � (mA � mB) ⇒ 1,96 ≅ 3,27 m/s P B � P A m/s2 � ⇒ a� (mA � mB) 0,6


.

tem-se: F at 1 T 1 5 T 2 ] F at 5 T 2 2 T 1

(1)

Para os corpos de massas 4 e 6 kg, pode-se escrever, respectivamente:

8

T 1 5 P 1 5 4 3 10 } T 1 5 40 N

(2)

T 2 5 P 5 6 3 10 } T 2 5 60 N

(3)

9 (PUC-RJ) Considere que, numa montanha-russa de um parque de diversões, os carrinhos do brinquedo, de massa total m, passem pelo ponto mais alto do loop, de tal forma que a intensidade da reação normal nesse instante seja nula. Adotando como r o o raio do loop e g a aceleração da gravidade local, podemos afirmar que a velocidade e a aceleração centrípeta sobre os carrinhos na situação considerada valem, respectivamente:

Substituindo (2) e (3) em (1), resulta:

a) � mrg e mr .

F at at 5 60 2 40 } F at at 5 20 N

b) � rg e mg.

(UEM-PR ) Uma roldana contém uma corda longa e de massa desprezível. Nas extremidades da corda, estão presas massas de 200 g e 400 g. A roldana move-se para cima, de modo que a massa de 400 g permanece estacionária e a corda fica tensa. Quando a velocidade de subida da roldana é de 4,9 m/s, a roldana é freada abruptamente. Desprezando a massa da roldana e considerando a aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s 2, assinale o que for correto. (01) No instante de parada da roldana, a tensão na corda é de 1,96 N. (02) Antes da parada da roldana, a aceleração da massa de 200 g é de 9,8 m/s 2. (04) Se, em um instante de tempo t , a roldana subiu 30 cm, então a massa de 200 g também subiu 30 cm.

c)

�

r

mr g e g

d) � rg e nula. e) � rg e g.

Pela segunda lei tem-se que: F cp � P � N ⇒ P � m � acp � �m�

v 2 � m � g ⇒ v � � r � g r

Como: P � m � acp � m � g ⇒ acp � g

M O C . E M I T S M A E R D / N A N N E R B L U A P

Unicamp-SP,, adaptada ) Um objeto é abandonado com 10 (Unicamp-SP

v 0 5 0 a 2.420 m de altura. a) Considerando a queda livre, ou seja, desprezando o atri-

to com o ar, calcule quanto tempo duraria a queda. b) Devido ao atrito com o ar, após percorrer 200 m em 7,0 s, o objeto atinge a velocidade terminal constante de 60 m/s. Neste caso, quanto tempo dura a queda?

11 (Uepa) Num lugar onde g 5 9,8 m/s2, um aluno gira com a mão um balde cheio de água, num plano vertical, em trajetória circular de raio 5 m. Qual a velocidade mínima que o conjunto deve ter no ponto mais alto da trajetória para que a água não caia do balde? a) 5 m/s. c) 8 m/s. e) 10 m/s. b) 7 m/s. d) 9 m/s. Observe que a normal corresponde

a) Em queda livre, a única força que atua sobre o

à reação da força que a água

Água

objeto durante todo seu movimento é a força peso; aplica sobre o fundo do balde quando portanto: a 5 g. Observe a figura: v 0 =

Origem

0; s0 = 0; t 0 = 0 (0,1)

N

P

Balde

ele se encontra nessa posição. Para obter a velocidade mínima que o conjunto

P

(balde 1 água) deve ter para que a água não caia, deve-se considerar que a água no interior do balde esteja . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


s =

2.420 m

na iminência de cair, ou seja, que N 5 0.

Solo (+)

Substituindo os dados na equação horária do

Nessas condições, como o movimento do conjunto é circular, a resultante centrípeta sobre a água

movimento, tem-se: 10t 2 2.420 5 0 1 0t 1 ____ } t 5 22 s 2

2 v mín ____ corresponde ao seu peso: F cp 5 P ] m � 5mg ] R

lllll lll ll } v mín 5 7 m/s Rg 5 d ] v 2mín 5 Rg ] v mín 5 d lll 5 3 9,8

b) Nesse caso, tem-se a figura: v 0 = 0; s0 = 0; t 0 = 0

Origem F t = =

7 s; s = 200m

Movimento variado

12 (Uema) Uma pequena esfera de massa m 5 0,6 kg oscila num plano vertical e passa pelo ponto mais baixo com velocidade v 5 2 m/s. Determine a intensidade da força de tração no fio nesta posição. O fio tem comprimento 0,3 m e adote g 5 10 m/s2.

P

Movimento uniforme (v = = 60 m/s) s =

Solo

2.420m (+)

0,3 m

Segundo o enunciado, o tempo de queda durante o T

movimento variado é de 7 s. Portanto, falta acrescentar a esse valor o tempo de queda durante o movimento

P

uniforme.

Como o movimento é curvilíneo, a esfera está submetida

O início do movimento uniforme ocorre em s0 5 200 m.

a uma resultante centrípeta.

Assim, da relação s 5 s0 1 vt , tem-se: 2.420 5 200 1 60t ] t 5 37 s Logo, o tempo total de queda será: t total 5 7 1 37 } t total 5 44 s

Para que haja resultante centrípeta sobre a esfera, deve-se ter T . P . Logo: 2 mv ____ F cp 5 T 2 P ] R 5 T 2 mg

em que R é o raio da trajetória, que corresponde, nesse caso, ao comprimento do fio. Substituindo os devidos valores na expressão acima, 0,6 3 22 ______ obtém-se: 0,3 5 T 2 0,6 3 10 ] T 5 14 N.


13 (UFMT) Um motociclista de Globo da Morte, preocupa-

do com seu sucesso no espetáculo, pede a um professor de física para calcular a velocidade mínima que terá que imprimir à sua moto para não cair no momento de passar pelo teto do globo. Considerando o raio do globo igual a 250 cm e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, qual deverá ser a velocidade mínima? a) 2,5 m/s c) 50,0 m/s e) 10,0 m/s b) 25,0 m/s d) 5,0 m/s 3 v 2mín m _______ Na situação-limite, tem-se F cp 5 cp 5 P ; então: R

15 (UFRGS-RS) Um planeta descreve trajetória elíptica em torno de uma estrela que ocupa um dos focos da elipse, conforme indica a figura abaixo. Os pontos A e C estão estão situados sobre o eixo maior da elipse, e os pontos B e D, sobre o eixo menor. men or. B Planeta

C

5 m 3 g ] v 2mín 5 R 3 g ] v 2mín 5 2,5 3 10 ] v mín 5 5 m/s

14 (UFJF-MG) A figura abaixo mostra um ciclista efetuando uma curva de raio R � 100 m. Na figura, são mostrados dois casos diferentes. No caso (I), o ciclista faz a curva, a uma velocidade v , numa superfície horizontal com coeficiente de atrito μ entre a superfície e o pneu da bicicleta. No caso (II), o ciclista faz a curva numa superfície inclinada de ângulo θ, supondo nula a força de atrito entre a superfície e o pneu da bicicleta.

R  100

A

Estrela

D

Se t AB e t BC forem os intervalos de tempo para o planeta percorrer os respectivos arcos de elipse, e se F A e F B forem, respectivamente, as forças resultantes sobre o planeta nos pontos A e B, pode-se afirmar que: a) t AB , t BC e que F A e F B apontam para o centro da estrela. b) t AB , t BC e que F A e F B apontam para o centro da elipse. c) t AB 5 t BC e que F A e F B apontam para o centro da estrela. d) t AB 5 t BC e que F A e F B apontam para o centro da elipse. e) t AB . t BC e que F A e F B apontam para o centro da estrela. É necessário basear-se na segunda Lei de Kepler para

m (I)

determinar a relação entre t AB e t BC , e na Lei da gravitação universal para determinar os sentidos de F A e F B. Consideradas essas condições, observe a figura:

Área AB; t AB

B R  100

(II)

m

Área BC; t BC

F B

C

cicleta, identificando cada uma delas, para ambos os casos (I) e (II). coeficiente de atrito μ entre a superfície e b) Calcule o coeficiente o pneu para que a bicicleta não saia da pista no caso (I), supondo v � 10 m/s . c) Calcule o valor limite da velocidade v para para que a bicicleta não saia da pista no caso (II), supondo J � 45º. a)

deve-se ter t BC . t AB, uma vez que a velocidade de translação do planeta diminui à medida que ele se afasta da estrela, já que AB 7 BC. Como a resultante das forças +

+

é centrípeta, F A e F B apontam para o centro da estrela.

Caso I

16 (Uesc-BA) Considere dois satélites, A e B, que se encontram

N → Força normal P

Caso II v 2 ⇒ μmg �  R N 102 v 2 v 2 ⇒ μ� �m � � 0,1 100 � 10 Rg R 2 v sen θ � m , N y � P ⇒ c) N x � F c ⇒ N sen R P ⇒ N cos cos θ � mg ou, dividindo a primeira equação pela v 2 v 2 � m/ss ⇒ v � 10 10 m/ tg tg 45° � segunda, θ � Rg ⇒ 100 � 10 b) f a � f c ⇒ μN � m

área BC . área AB. Portanto, pela segunda Lei de Kepler,

N

f a

f a → Força de atrito

A

Como a estrela está mais próxima de A, tem-se:

a) Faça os diagramas de forças do sistema ciclista + bi-

P → Peso do ciclista � bicicleta

Estrela D



Descrevendo as forças:

F A

em órbitas circulares de raios R e 6R, respectivamente, em torno de um planeta de massa M. Sendo G a constante de gravitação universal, a razão entre os períodos de translação, T B e T A, dos satélites é igual a: ll ll ll 3. 6. 7. a) 3. b) 8. c) 2d d) 6d e) 3d 2

RB 3 5 __ . R A

@ # @ #

T B Da terceira Lei de Kepler, tem-se __ T A

Substituindo os dados do enunciado, tem-se: 6R 3 T B 2 T B 2 T B ___ __ 5 ] __ 5 216 ] __ 5 6d ll 6 R

@ # @ # @ # T A

T A

T A

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


17 (UEM-PR) Sobre as Leis de Kepler e a Lei da gravitação universal, assinale o que for correto. (01) A Terra exerce uma força de atração sobre a Lua. (02) Existe sempre um par de forças de ação e reação entre dois corpos materiais quaisquer. (04) O período de tempo que um planeta leva para dar uma volta completa em torno do Sol é inversamente proporcional à distância do planeta até o Sol. (08) O segmento de reta traçado de um planeta ao Sol varrerá áreas iguais, em tempos iguais, durante a revolução do planeta em torno do Sol. (16) As órbitas dos planetas em torno do Sol são elípticas, e o Sol ocupa um dos focos da elipse correspondente à órbita de cada planeta. Soma: 01 � 02 � 08 � 16 ∙ 27

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


20 (UFF-RJ ) Os satélites artificiais são utilizados para diversos fins, dentre eles, a comunicação. Nesse caso, adota-se, preferencialmente, preferencialmente, uma órbita geoestacionária, ou seja, o satélite gira ao redor da Terra em um tempo igual ao da rotação da própria Terra, não modificando sua altitude nem se afastando do equador. O Brasilsat B4 é um satélite de telecomunicações que se encontra em uma órbita geoestacionária de raio, aproximadamente, 3,6 3 10 4 km. Nessas condições, os valores aproximados da velocidade e da aceleração centrípeta a que está submetido são, respectivamente: a) 2,6 km/s; 1,9 3 1024 km/s2. b) 5,0 3 108 km/s; 1,4 3 104 km/s2. c) 2,6 km/s; 7,4 3 1023 km/s2. d) 5,0 3 108 km/s; 1,9 3 1024 km/s2. e) 15,0 km/s; 5,4 3 105 km/s2.

A única proposição errada é a 04, pois a terceira Lei de

A velocidade do satélite em órbita geoestacionária pode

Kepler diz que o quadrado do período de tempo que

2s ser obtida pela relação: v 5 h 3 R ] v 5 ___ 3 R,

um planeta leva para dar uma volta completa em

em que T 5 24 h (ou 86.400 s), já que o período de

torno do Sol é proporcional ao cubo do raio médio

rotação do satélite deve ser o mesmo que o da Terra em

da elipse.

18 (PUC-Minas ) Dois corpos celestes de massas m1 e m2 estão separados por uma distância d . O módulo da força de atração gravitacional entre eles é F . Reduzindo-se a d __

distância para 3 , a nova força gravitacional é: F 9F a) __ . b) ___ . c) 4F . d) 9F . e) 3F . 3 4 Pela Lei da gravitação universal, tem-se:

T

torno do seu próprio eixo. 2s 2s Então: v 5 ___ 3 R ] v 5 ______ 3 3,6 3 104. 86.400 T Adotando s 5 3,14, obtém-se: v ≃ 2,6 km/s. Para o cálculo da aceleração centrípeta, utiliza-se a (2,6)2 v 2 _______ __ relação: acp 5 ] acp 5 } acp 7 1,9 3 1 10024 km/s. R 3,6 3 104

m 1 3 m2 _______ d 2 d __

F 5 G

Com 3 , a intensidade da nova força F e será: m G 3 m1 3 m2 1 3 m2 _______ 5 9 3 5 9F F e 5 _________ G d 2 d 2 __

@3#

21 ( Unioeste-PR) Em fevereiro de 2009 foi anunciada

19 (UEL-PR) O planeta Vênus descreve uma trajetória pra-

ticamente circular de raio 1,0 3 10 11 m ao redor do Sol. Sendo a massa de Vênus igual a 5,0 3 1024 kg e seu período de translação 224,7 dias (2,0 3 10 7 segundos), pode-se afirmar que a força exercida pelo Sol sobre Vênus é, em newtons, de aproximadamente: a) 5,0 3 1022. c) 2,5 3 1015. e) 2,5 3 1011. b) 5,0 3 1020. d) 5,0 3 1013. Nas condições do enunciado, a única força que age sobre Vênus é a da atração gravitacional ( F ),), que corresponde à própria resultante centrípeta: F 5 F cp ] F 5 mVênus 3 acp ]

2s @ ___ T #

3R

Substituindo os devidos valores e adotando s 5 3,14, 2 3 3,14 tem-se: F 5 5 3 1024 3 _______ 2 3 107

@

#

2

5 GM G5M GM � 2 ≃ 2 ⇒ gC � 2 ⇒ gC � (1,8 R ) 3,24 R R GM ≃ 1,5 2 , ou seja, gC � 1,54gT R gT �

2

] F 5 mVênus 3 h2R ] F 5 mVênus 3

a descoberta de um pequeno planeta extrassolar, o CoRoT-7b, que orbita a estrela TYC da Constelação de Unicórnio, a 500 anos-luz da Terra. Com base em ob servações indiretas e em cálculos astrofísicos, soube-se que o CoRoT-7b tem uma massa cinco vezes superior à terrestre e seu raio é 80% maior. Se denominarmos por gT e gC as respectivas acelerações gravitacionais nas superfícies da Terra e de CoRoT-7b, é correto afirmar que: a) gC � gT. b) gT é aproximadamente 2,8 vezes maior que gC. c) gT é aproximadamente 1,5 vezes maior que gC. d) gC é aproximadamente 2,8 vezes maior que gT. e) gC é aproximadamente 1,5 vezes maior que gT.

3 1011 } F 7 5 3 1022 N


ESTUDANDO Aplicações das Leis de Newton e gravitação universal

Para o ENEM 1 Os parques aquáticos atraem um público cada vez maior, H20 aliando conforto, segurança e diversão para todas as

idades. Em um desses parques, uma criança decidiu escorregar pelo toboágua de 6 m de altura, que forma um ângulo θ com o chão horizontal. O pai, preocupado, recomenda ao filho que não dê impulso para começar a descida nem tente parar enquanto estiver descendo. Essa criança, de massa 30 kg, receberá uma aceleração de:

III. pela terceira lei, a Lei dos períodos, o período de ro-

tação de um planeta em torno de seu eixo é tanto maior quanto maior for o seu período de translação. Planeta

Sol

Órbita

Estão corretas: a) I e II. b) II e III. c) I e III.

d) todas. e) apenas uma delas.

I – Falsa: as estações do ano estão relacionadas com 

a inclinação do eixo de rotação da Terra, e não com sua proximidade do Sol. II – Verdadeira: áreas iguais são varridas em

Dados: sen θ � 0,6; cos θ � 0,8; g � 10 m/s 2; atrito desprezível. a) 5 m/s 2. d) 12 m/s2. b) 6 m/s 2. e) 15 m/s2. c) 10 m/s2. A força peso sobre a criança é: P � m � g. P � 30 � 10 � 300 N

A resultante sobre a criança é a parte do peso que a faz

tempos iguais, pela reta que liga o Sol ao planeta. Então, quanto mais próximo do Sol mais veloz deve estar o referido planeta. III – Falsa: a terceira Lei de Kepler relaciona o período de translação com o raio médio ( T 2 � k � R3), e não o período de rotação.

descer pelo toboágua. P T é a componente tangente: P T � P � sen (θ) � 300 � 0,6 � 180 N

Assim, aplicando a Lei de Newton, a aceleração fica: F R � m � a

comprimento é solto solto a par3 Um pêndulo de 1 metro de comprimento H20 tir de um ângulo de abertura menor do que 30° des-

crevendo uma trajetória semicircular, como mostra a figura a seguir. Pode-se afirmar que a resultante centrípeta no fio:

180 � 30 � a a � 6 m/s 2

2

O astrônomo alemão J. Kepler foi um dos adeptos do heliocentrismo.. Aperfeiçoou as ideias de Copérnico, conseH3 liocentrismo H20 guindo estabelecer três leis sobre o movimento dos planetas. A figura a seguir está relacionada às Leis de Kepler. Um estudante, ao aprender essas leis, concluiu que: I. p pela ela primeira lei, a Lei das órbitas, é verão quando a Terra está mais perto do Sol e é inverno quando está mais longe. II. pela segunda lei, a Lei das áreas, a velocidade de de um planeta em sua órbita diminui à medida que se afasta do Sol.

A

C B

a) diminui de A para B e diminui de B para C . b) diminui de A para B e aumenta de B para C .

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


zero. c) permanece constante e diferente de zero. d) aumenta de A para B e diminui de B para C . e) é nula, pois a velocidade é perpendicular ao fio. A resultante centrípeta depende da massa e da

a) 6 vezes. b) 5 vezes. c) 16 vezes. d) 15 vezes. e) 32 vezes.

velocidade do corpo, bem como do raio de curvatura da trajetória. A massa e o raio são constantes nas situações A, B e C . Rcp �

m � v 2 R

A componente tangencial do peso age acelerando a massa no caminho AB e desacelerando no caminho BC .

4

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Muitos experimentos sobre queda livre já foram realiH3 zados por diversos cientistas, mas nenhum ficou tão faH20 moso quanto o do astronauta Dave Scott, da nave Apolo 15. Ele estava na Lua, com um martelo na mão direita e uma pena na mão esquerda. A experiência foi registrada em vídeo, no qual o astronauta, antes de deixar cair os objetos, lembra que se deve a Galileu grande parte do conhecimento sobre a ação da gravidade na que da de corpos. Scott menciona, ainda, que não há melhor lugar do que a Lua para realizar esse experimento. Quando esse tipo de experimento é realizado aqui na Terra, Terra, é de suma importância que a resistência do ar seja minimizada, para não interferir nos resultados. Pode-se conseguir isso: I. melhorando o formato aerodinâmico do objeto. II. diminuindo o volume do objeto. III. retirando o ar da região de queda. Estão corretas: a) I e II. d) todas. b) II e III. e) apenas uma delas. c) I e III.

II – Verdadeira: diminuindo o volume do objeto a

força da gravidade, descem atingindo grande velocidade. Algumas pistas têm uma volta de 360 , chamada looping, que deixa os passageiros de cabeça para baixo por alguns segundos. Quando o trem passa pelo looping ele está em movimento circular, sob a ação de uma resultante centrípeta, que no passageiro é a força de contato entre ele e o assento. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s 2, um trem de montanha-russa que pretenda realizar um looping de 20 m de diâmetro precisa ter uma velocidade mínima, em km/h, de: a) 10. b) 20. c) 36. d) 100. e) 360.

resistência do ar encontra menos área de secção

No looping, a situação extrema é quando a posição

reta para agir.

do carrinho for a invertida, de ponta-cabeça. Nela a

III – Verdadeira: quanto mais rarefeito o ar no local

força normal é nula, e a resultante centrípeta é a

da queda, menor será sua interferência.

força peso.

I – Verdadeira: a forma do objeto pode diminuir a resistência do ar.

5

l a s r e v i n A polia fixa só altera a direção da força aplicada, u o ã enquanto a móvel compartilha a carga com o teto, ç a t dividindo-a pela metade. i v a r A primeira polia entrega metade da carga para a g e segunda, que entrega metade da metade para a n o t terceira, e assim sucessivamente, até chegar à fixa, w e N que não altera o valor, apenas a direção. e d Portanto, a vantagem mecânica vale: s i e 5 n L VM = 2 = 2 = 32, em que n é o número de polias s a móveis. d s e õ 6 Atração obrigatória nos grandes parques de diversões, ç a c H20 a montanha-russa funciona basicamente pela conver- i l são de energia potencial em energia cinética. Os va- p gões são içados por uma coluna de elevação e, com a A

Uma polia é uma máquina simples construída com uma H18 roda de material rígido que pode ser acionada por uma H20 corda ou corrente. As polias fixas permitem que se maH21 nipule a direção da força exercida em um corpo. As polias móveis podem também permitir a redução do esforço empregado na movimentação desse corpo. Quando se monta um sistema com seis polias, uma fixa e cinco móveis, obtém-se uma vantagem mecânica reduzindo o esforço para içar um corpo em:

°

Assim: Rcp � P

m � v 2 �m�g R

v 2 = R � g 1

= (R � g) 2 v = 1

Substituindo os valores: v = = (10 � 10) 2 Convertendo para km/h, resulta: 10 m/s � 3,6 � 36 km/h

⇒

= 10 m/s v =


ESTÁTIC ESTÁ TICA A E HID HIDROSTÁ ROSTÁTIC TICA A Estática é a parte da mecânica que trata dos sistemas em repouso. Nos casos em que o objeto analisado é fluido (líquido ou gás), o estudo é conhecido como hidrostática. Neste tópico, tópico, incluem-se conceitos de momento de uma força, pressão e empuxo em aplicações variadas.

I. Equilíbrio do ponto material Quando as dimensões de um corpo não são consideradas significativas para a análise de seu estado de movimento ou de repouso, ele é denominado ponto material, ou seja, não apresenta movimento de rotação sobre si mesmo. Nesse caso, a condição de equilíbrio está basicamente relacionada à translação. Para que não haja translação, a resultante vetorial das forças que agem no corpo deve ser nula.

Nesse caso, ambas as condições são necessárias: equilíbrio de translação e equilíbrio de rotação. Os corpos extensos são, na maioria das vezes, considerados rígidos, ou seja, suas deformações podem ser desconsideradas. S E G A M I Y T T E G / A X I M

representa o vetor nulo. =F � -0, em que -0 representa res res

M O C . E M I T S M A E R D / S E E R T N A V Y N A H T E B

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

A

Figura 2 • A gangorra é considerada um corpo extenso, pois pode

=T

haver movimento de rotação em torno do ponto em que está apoiada, que, nesse caso, coincide com seu centro de massa.

=P =T

Momento de uma força

5

A grandeza física que mede a eficácia de uma força em provocar rotação sobre um corpo rígido é denominada momento ou torque da força, e seu módulo pode ser calculado pela expressão:

=P L I S A R B X I P Y S A E / F R 3 2 1 / I E L U G N A V I

B

=P =T =T =T 5

11

21

MF , O � � F � d

3

A grandeza d é é conhecida como braço do momento e mede a distância entre a reta suporte do vetor F e o ponto O, conhecido como polo ou eixo de rotação do sistema. siste ma. O sinal do momento é indicado com base na seguinte convenção: Se a rotação provocada por F ocorre ocorre no sentido horário, M > 0. Se a rotação provocada por F ocorre ocorre no sentido anti-horário, M < 0. A unidade do momento no SI é N � m, mas outras unidades são também bastante utilizadas: N � cm; kgf � m etc.

=

=T =T =T 1

2

3

=P Figura 1 • Em A, atuam apenas duas forças: peso e tração. São coplanares e, como as forças P e e T se se anulam, o lustre permanece em

equilíbrio estático. Em B, quatro forças atuam: as trações nos fios e a força peso. Esse conjunto forma um sistema de forças não coplanares e o equilíbrio estático acontece, pois a resultante dessas forças é nula.

= =

F

d O

A

II. Equilíbrio do corpo extenso Chamamos de corpo extenso o objeto que tem dimensões consideráveis em relação ao espaço em que se encontra ou às distâncias envolvidas no fenômeno estudado. Sendo assim, quando um corpo pode executar rotações ao redor de um ponto de apoio, ele é considerado extenso.

Figura 3 • A aplicação da força na ponta da tábua provoca uma rotação em torno de O.

Na figura 3, a barra tende a rodar em torno do ponto O, em sentido anti-horário; logo, é usada a convenção, e MF O � F � d.


Condições de equilíbrio do corpo extenso Para que um corpo extenso rígido esteja em equilíbrio, duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente: F res res � 0 e d

d

d

d

d

∑M

d

F i O

i

d

Finalmente, no equilíbrio indiferente, o centro de gravidade não muda de altura quando o objeto é deslocado, isto é, o centro de gravidade não é levantado nem abaixado quando o sólido é deslocado; ele coincide com o ponto de suspensão. Instável

� 0

Estável Indiferente

d

d

d

d

d

Figura 7

III. Pressão média A

B

Figura 4 • A bolinha rola pela prancha sem deslizar. A prancha

começará a tombar quando o somatório dos momentos em relação ao apoio B deixar de ser nulo.

Casos de equilíbrio . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Uma pessoa, ao andar na areia, deixa a marca da sola dos pés, pois exerce sobre a areia uma força equivalente ao seu peso. Se, no entanto, a pessoa caminhar “na ponta dos pés”, é muito provável que afunde mais na areia, ainda que seu peso não tenha mudado. Nesse caso, a grandeza que se alterou foi a área de contato entre os pés e o solo. Dessa maneira, diz-se que a pressão exercida na areia na segunda ocasião foi maior, porque a força peso está sendo aplicada em uma área menor (“ponta dos pés”). A relação entre a força F aplicada aplicada perpendicularmente a uma superfície e a área de contato A sobre a qual F atua atua é denominada pressão média e é dada por:

Existem três tipos de equilíbrio para um corpo rígido: estável, instável e indiferente. Em qualquer um dos casos, considera-se um único ponto do sólido: o centro de gravidade. Um corpo rígido se comporta como se todo o seu peso estivesse concentrado no centro de gravidade. O equilíbrio é considerado estável quando F p � o corpo retorna à posição de equilíbrio, A após ser ligeiramente afastado dela. Nesse caso, verifica-se que sempre A unidade de medida de pressão no SI é o N/m 2, também que o objeto é deslocado da sua conhecida como Pa (pascal), mas outras unidades são freposição inicial, de equilíbrio, quentes, tais como: kgf/cm 2, mm de Hg, atm etc. A relação rel ação seu centro de gravidade 5 2 1 atm � 10 N/m é bastante usual. vai para uma posição mais alta que a M O anterior. Nessas cir C . E cunstâncias, quan M I T S do o objeto é solto, M A E ele tende a voltar à R D / Z posição inicial. U

=

=

L S O L I M

Figura 5 • O brinquedo

conhecido como joão-teimoso caracteriza-se por um equilíbrio estável.

Um corpo rígido estará em equilíbrio instável se, ao ser afastado de sua posição de equilíbrio, as forças que atuam sobre ele tenderem a afastá-lo ainda mais dessa posição. Dessa maneira, se uma força atua tentando tirá-lo do equilíbrio, ele não retorna. Corpos em equilíbrio instável têm o seu centro de gravidade na posição mais alta possível.

Figura 8 • A profundidade da “pegada” depende da maneira como se

pisa na areia.

IV. Pressão em líquidos Princípio de Stevin P

P

P

Figura 6 • Enquanto a perpendicular à superfície de apoio baixada pelo

centro de gravidade interceptar a base do corpo, ele não cairá. Isso explica por que a famosa Torre de Pisa, na Itália, está em equilíbrio, apesar de inclinada.

Os líquidos em equilíbrio estático exercem pressão sobre pontos de seu interior e do recipiente que os contém. Essa pressão não depende do formato nem do tamanho do recipiente, mas da altura da coluna líquida h acima do ponto em relação ao qual se quer conhecer a pressão e, também,

a c i t á t s o r d i h e a c i t á t s E

da densidade do líquido. Quanto maior a altura da coluna, maior o peso do líquido acima do ponto e, portanto, maior a pressão. A pressão sobre um ponto que está imerso no líquido é dada por:

D I C / . R J A T T O D O I G R É S

D I C / . R J A T T O D O I G R É S

p � d � g � h

em que p é a pressão hidrostática, d é é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade local e h, a altura da coluna líquida.

Consequências do Princípio de Stevin Equação fundamental da hidrostátic hidrostática a Para pontos situados na superfície livre do líquido, a pressão é igual àquela exercida pelo gás ou ar sobre ela. Se a superfície livre estiver sujeita ao ar atmosférico, a pressão correspondente será a pressão atmosférica, patm; daí que, para um ponto situado à profundidade h, a pressão total, p, será:

Figura 10 • A altura dos líquidos em relação à horizontal é a mesma,

ainda que os vasos comunicantes sejam inclinados.

Princípio de Pascal e prensa hidráulica Um acréscimo de pressão em um dado fluido é transmitido integralmente a todos os pontos dele. Assim, em uma prensa hidráulica, êmbolos com áreas diferentes suportam a mesma pressão. Logo, as forças exercidas por eles têm de ser diferentes. p1 � p2

p � patm � phidrostática ⇒ p � patm � d � g � h

⇒

F 1 ___ F 2 __ �

A1

A2

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

O gráfico da pressão p em função da profundidade h, em um líquido, será:

= F =

p

1

A1

patm

A2

= F =

2

O

h

Pontos situados em um mesmo líquido e em uma mesma horizontal ficam submetidos à mesma pressão. Uma das aplicações desse princípio são os vasos comunicantes com dois ou mais líquidos imiscíveis.

d A � h A � d B � hB h h A

A

hB

(1)

Figura 11 • Esquema de elevador hidráulico usado em oficinas.

V. Empuxo Quando um corpo é imerso em um fluido, pontos diferentes de sua superfície são submetidos a diferen tes pressões (os que estão em maior profundidade recebem uma pressão maior do que os que estão mais para cima). Dessa maneira, as forças nos diferentes pontos da superfície do corpo também são diferentes. O efeito total desse somatório de forças é uma força vertical para cima, denominada empuxo.

(2)

B

Figura 9 • Tubo em “U”, no qual são colocados dois líquidos imiscíveis.

Observe que os pontos 1 e 2 estão na mesma horizontal e no mesmo líquido e, portanto, sujeitos à mesma pressão.

A superfície livre dos líquidos em equilíbrio é horizontal.

Figura 12 • Esquema

mostrando a diferença nas intensidades das forças em vários pontos do objeto, de acordo com a profundidade.


Princípio de Arquimedes Todo corpo total ou parcialmente imerso em um fluido e que se encontre em equilíbrio equilíbri o estático recebe uma força vertical para cima, cujo módulo equivale ao peso da porção de líquido deslocada pelo corpo. E � d L � V deslocado � g

Então, para um corpo de mesmo volume, mergulhado mergul hado em líquidos de densidades diferentes, teremos: se d 3 > d 2 > d 1, então E 3 > E 2 > E 1 E 1

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


E 2

1

E 3

2

3

d3 > d2 > d1

Figura 13

Para corpos de volumes diferentes, imersos em um mesmo líquido, teremos: se V 3 > V 2 > V 1, então E 3 > E 2 > E 1

Comportamento de um corpo imerso em um fluido em equilíbrio Quando um corpo está imerso em um fluido, certamente duas forças agirão sobre ele: o seu peso P e e o empuxo E . Nesse caso: • se E � P , o corpo permanece em repouso no fluido ou se move em MRU. Para que essa condição se verifique, deve-se ter: d L � d C. Exemplos: um peixe parado imerso em um aquário, um submarino descendo ou subindo em MRU; • se E  P , o corpo realiza um movimento descendente acelerado. A resultante terá módulo igual a F R � P � E , denominada peso aparente do corpo. Para que essa si tuação se verifique, a densidade do corpo deve ser maior do que a do líquido: d C  d L. Exemplo: uma pedra que, lançada em um lago, afunda até atingir atingi r o fundo; • se E  P , o corpo realiza um movimento ascendente acelerado. A resultante terá módulo igual a F R � E � P. Note que em dado momento o corpo atingirá a superfície e apenas parte dele ficará imersa. Nessa condição, o empuxo diminuirá até se igualar ao peso, e o corpo estará, então, em equilíbrio parcialmente submerso. Para que essa situação se verifique, a densidade do corpo deve ser menor que a do líquido: d C  d L. Exemplo: uma bola de pingue-pongue que se mantém no fundo de um balde cheio de água porque uma pessoa a está segurando. Ao ser sol ta, ela sobe, chega a sair completamente da água e, após subir e descer no ar, fica boiando.

=

=

Equilíbrio de corpos flutuantes Nos corpos que flutuam em líquido em equilíbrio vertical, a força de empuxo e a força peso têm módulos iguais. Então, se P � E , tem-se: mcorpo � g � d L � V deslocado deslocado � g. Como

E 3

mcorpo � d corpo corpo � V corpo corpo ⇒

E 2

d líquido líquido � V imerso imerso � d corpo corpo � V corpo corpo

E 1

K C O T S N I T A L / S I B R O C / S I B R O C / A F E Z / A K L U K S A I H T T A M

V 3 > V 2 > V 1

Figura 14

Para dois corpos homogêneos quaisquer, de volumes iguais e imersos totalmente em um mesmo líquido, o empuxo sobre eles será o mesmo, independentemente de suas massas.

E B

E A A

B P A PB

Figura 15

Figura 16 • Representação mostrando que a porção submersa de um iceberg tem volume muito maior que sua parte emersa.


ESTUDANDO Estática e hidrostática

Para Pa ra o VESTI VESTIBULAR BULAR 1

(Fuvest-SP) Um bloco, de peso P , é suspenso por dois fios de massa desprezível, presos a paredes em A e B, como mostra a figura.

2

(Mackenzie-SP) Um quadro pesando 36,0 N é suspenso por um fio ideal preso às suas extremidades. Esse fio se apoia em um prego fixo à parede, como mostra a figura. 40 cm

2L

40 cm

B 30 cm

L L A

Desprezados os atritos, a força de tração no fio tem intensidade de: a) 20,0 N. d) 27,5 N. b) 22,5 N. e) 30,0 N. c) 25,0 N.

P

Pode-se afirmar que o módulo da força que tensiona o fio preso em B vale: P __ a) 2 . ll 2. b) P d

2P. d) d lll

Analisando as forças que atuam no prego em equilíbrio:

e) 2P .

36 N

c) P .

No ponto de cruzamento dos fios, tem-se as forças: T x

T B

T x 



T y

T y

T A

T T

2T y � 36

T

cos θ � __ y

em que T 5 P , já que o bloco se encontra em equilíbrio na direção vertical. Aplicando as condições de equilíbrio, é feita a soma vetorial de T , T A e T B, de modo a obter uma linha poligonal fechada, o que garante que a resultante seja nula.

⇒

T

3

T

T y � 18 N

⇒

30 ___

18

___ 50 � T

⇒

T � 30 N

(UniABC-SP ) Um suporte para vasos é preso a uma parede vertical, como mostra a figura. Ele é fixado na parede por um parafuso colocado no ponto A e fica apenas apoiado na parede no ponto B, na mesma vertical de A. Um vaso de massa total 3 kg é pendurado no ponto C do do suporte e o sistema é mantido em equilíbrio. 30 cm

T A Parede

45° T=P

vertical

T B

45°

A

Do triângulo, tem-se: P T

sen 45° � __

⇒

P ___ d 2 � P T B � d ll 2 ∴ T B � ll ___

20 cm

2 B

C

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Sabe-se que o ângulo entre AC e e AB é é reto e que a massa do suporte é desprezível. Adotando g � 10 m/s2, determine a intensidade da força com que o suporte comprime a parede no ponto B.

5

(UFSJ-MG) Uma corda de um varal sustenta uma esfera metálica pesada, amarrada no varal por meio de uma pequena argola colocada na esfera, conforme mostrado na figura abaixo.

Diagrama de forças: F

F y

C 

Se a corda se encontra na iminência de se romper, é correto afirmar que: a) é mais provável que a corda se rompa no lado mais longo, porque, por ser mais longo, esse é o lado que sustenta a maior parte do peso da esfera. b) é mais provável que a corda se rompa no lado mais longo, uma vez que a tensão na corda é maior nesse ne sse lado. romper do lado mais curto ou do lado c) a corda pode se romper mais longo com igual probabilidade, uma vez que as tensões na corda são iguais em ambos os lados. que a corda se rompa no lado mais curto, curto, d) é mais provável que uma vez que a tensão na corda é maior nesse lado.

P

A

F x

B NB

Para haver equilíbrio no sistema, é necessário que F x � N B e F y � P . Com base na figura, também se pode _2_ __ concluir que: tg a � 3. F � sen a � P

⇒

P N B

tg a � ___

F � cos a � N B . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


⇒

30 _2_ � ___ __ 3

N B

⇒

⇒

N B � 45 N

Sendo θ o ângulo formado pela intersecção da corda 4

(UFPA) Em uma sala de aula um professor de física propôs um problema experimental aos alunos: calcular o valor de uma massa m desconhecida, usando massas de valores conhecidos, uma haste uniforme, um apoio F e e dois pratos iguais. Uma equipe de alunos solucionou o problema equilibrando a massa m, colocada no prato A, com outra massa conhecida m1, colocada no prato B (situação 1). Em seguida, transferiu a massa m para o prato B e a equilibrou com outra massa conhecida m2, colocada no prato A (situação 2), sem alterar a posição de F .

longa com uma horizontal passando pela argola que prende a esfera e α o ângulo formado pela intersecção da corda curta com a mesma horizontal, como o sistema está em equilíbrio, tem-se: ΣF X � 0 ⇒ T longo cos θ � T curto cos α ⇒

cos θ T curto � cos α T longo

Como θ é menor do que α, seu cosseno será menor. Assim, pode-se concluir que a tração na corda curta

Situação 1 m

é maior do que na longa; a possibilidade de ela romper

F

m1

Prato A

Prato B

Situação 2 m2

F

m

Prato A

Prato B

O valor encontrado para m é igual a: m1 � m2 a) ________ .

lllllll m1 3 m2 . d) d

b) (m2 � m1).

m2 � m1 e) _______ .

2

2

m1 � m2 ________

. 3 Situação 1: equilíbrio de rotação c)

m � g � x � m1 � g � y

⇒

y m __ � ___ x m1

(1)

y __ � m ___2 x m (2) m m ___ ___2 Igualando (1) e (2): m1 � m ⇒ m � ∙ m1 � m2 . ⇒

6

(UEL-PR) Quando um juiz de futebol aperta uma bola para testar se ela está com pressão adequada para ser utilizada em um jogo, ele a pressiona com os dois polegares simultaneamente. Tal procedimento é uma avaliação sub jetiva da pressão interna da bola. Com relação à pressão exercida pelos polegares do juiz, é correto afirmar que: a) é diretamente proporcional ao quadrado da área da bola. b) é inversamente proporcional à força aplicada. c) é diretamente proporcional à área dos polegares. d) independe da área dos polegares. proporcional à área dos polegares e) é inversamente proporcional em contato com a bola. Por definição, a pressão ( p) é a razão entre a

Situação 2: equilíbrio de rotação m2 � g � x � m � g � y

é maior do que a da longa.

intensidade de uma força ( F ) aplicada em uma superfície F __

e a área ( A) desta. Em símbolos: p � A. Portanto, pode-se afirmar que a pressão é inversamente proporcional à área.


7

(Uece) Na figura abaixo, o peso P 1 é de 500 N e a corda RS é horizontal.

T1 45°

T3

R

T2

S

9

(UFPE) Qual a força, em newtons, que deve suportar cada mm2 da área da parede de um submarino projetado para trabalhar submerso em um lago a uma profundidade máxima de 100 m, mantendo a pressão interna igual à atmosférica? (Dado: densidade da água �103 kg/m3) A pressão ( p) que a parede externa do submarino deve

30°

suportar corresponde à pressão hidrostática, dada por: P2

p � dgh

P1

⇒

p � 10 3 � 10 � 100 ∴ p � 10 6 N/m 2

Sabendo que 1 mm 2 corresponde a 10 �6 m2, Os valores das tensões T 1 , T 2 e T 3 e o peso P 2 , em newtons, são, respectivamente: a) 500∙ 2 , 500, 1.000 / ∙ 3 e 500 / ∙ 3 . b) 500 / ∙ 2 , 1.000, 1.000 ∙ 3 e 500∙ 3 . c) 500∙ 2 , 1.000, 1.000 / ∙ 3 e 500 / ∙ 3 . d) 500/ ∙ 2 , 500, 1.000 ∙ 3 e 500∙ 3 .

Ou seja, para cada mm 2 da parede do submarino existe uma força de 1 N. 10 (Ufac) A cidade de Rio Branco-AC está aproximadamente a 160 metros de altitude, sendo a pressão atmosférica em torno de 9,9 � 104 Pa. Em épocas de cheias a pressão no fundo do rio Acre triplica esse valor. Qual a profundidade do rio Acre nessa época? Dados: g � 10 m/s2, Gágua � 1 g/cm3. a) 15,50 m d) 25,60 m b) 9,90 m e) 10,8 m c) 19,80 m

Do equilíbrio em P 1 vem: ΣF Y � 0 ⇒ T 1 � sen 45º � P 1 ⇒ T 1 � 500∙ 2 N ΣF x � 0 ⇒ T 2 � T 1 � cos 45º ⇒ T 2 � 500 N

Fazendo o mesmo para o corpo P 2, vem: 1.000 ΣF x � 0 ⇒ T 3 � cos 30º � T 2 ⇒ T 3 � ∙ N 3 500 N ΣF Y � 0 ⇒ P 2 � T 3 � sen 30º ⇒ P 2 � ∙ 3 8

reescreve-se: p � 106 N/m2 � 1 N/mm2.

Pelo princípio de Stevin:

( PUC-RJ ) A imagem representa um experimento de prensa hidráulica. Sabe-se que a área do êmbolo 2 ( A2) é 16 vezes maior que a área do êmbolo 1( A1). Quando o êmbolo 1 sofre um deslocamento vertical para baixo h1, o êmbolo 2 sofre um deslocamento vertical para cima H 2. Podemos, então, afirmar que a razão H 2/h1 vale: S N E G A M I Á R A U G

pfundo � patm � d � g � h

29,7 � 104 � 9,9 � 104 � 103 �

⇒

� 10 � h ⇒ 104 � h � 19,8 � 104 ∴ h � 19,8 m

11 (Uece) A figura mostra um tubo em U, de extremidades abertas, contendo dois líquidos imiscíveis de densidades d 1 e d 2, respectivamente. d2 h h

d1

4

As alturas de suas colunas são indicadas. Portanto, a relação entre as densidades dos dois líquidos é: a) d 1 � d 2. c) d 1 � 4d 2. b) d 1 � 2d 2. d) d 1 � 8d 2. No nível de separação dos dois líquidos, a pressão nos dois ramos do tubo deve ser igual. Pelo teorema de Stevin: a) 16.

1 . b) 16

1 c) . 4

p1 � patm � d) 4.

e) 1.

Sabe-se que: ∆V 1 � ∆V 2 ⇒ A2 � H 2 � A1 � h1 ⇒ 1 H 2 A A � 1 � 1 � ⇒ 16 A1 16 h1 A2

d 1gh

4

e p2 � patm � d 2gh

Como p1 � p2 ] patm � ]

d 1gh

4

d 1gh

4

� d 2gh ] d 1 � 4d 2

� patm � d 2gh ]

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


12 (UEA-AM) Dois tanques cilíndricos, A e B, que têm a parte superior aberta, estão preenchidos com água, ambos até a altura de 2 metros. A área da base do cilindro B é igual ao dobro da área da base do cilindro A. A pressão exercida pela água sobre a base do tanque A é denotada por P A, e a pressão exercida pela água sobre a base do cilindro B é denotada por P B. Considere a pressão atmosférica igual a 1 � 105 Pa. Sobre P A e P B é correto afirmar que: Dados: Densidade da água � 103 kg/m3; g � 10 m/s2 a) P A � 1,2 � 10 5 Pa e P A� P B. b) P A � 1,2 � 10 5 Pa e P A� P B/4. c) P A � 2 � 105 Pa e P A� P B/2. d) P A � 2 � 105 Pa e P A� P B. e) P A � 5 � 105 Pa e P A � P B/2.

14 (Uesc-BA) Considere um recipiente cilíndrico contendo dois líquidos, não miscíveis, em equilíbrio, em um local onde a aceleração da gravidade tem módulo igual a 10,0 m/s 2. Sabendo-se que o volume e a densidade dos dois líquidos são, respectivamente, iguais a 0,5 litro e 2,6 g/cm 3 e a 0,4 litro e 0,8 g/cm 3, o módulo da força total atuante na base do recipiente, devido aos líquidos, é igual, em N, a: a) 16,2. d) 19,5. b) 17,1. e) 20,4. c) 18,3. O peso dos líquidos será: P � P 1 � P 2 � g(d 1 � v 1 � d 2 � v 2) � 10(0,0026 � 500 �

� 0,0008 � 400) � 16,2 N

Por Stevin, tem-se: P A � P B � 100.000 � 1.000 � 10 � 2 � �1,2 � 105 Pa

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


13 (UFMG) Um sistema hidráulico tem três êmbolos móveis L, M e N com áreas A, 2A e 3A, como mostra a figura. L

M

N

A

2 A

3 A

Líquido

Quantidades diferentes de blocos são colocadas sobre cada êmbolo. Todos os blocos têm o mesmo peso. Para que, em equilíbrio, os êmbolos continuem na mesma altura, o número de blocos colocados sobre os êmbolos L, M e N pode ser, respectivamente: a) 1, 2 e 3. c) 3, 2 e 1. b) 1, 4 e 9. d) 9, 4 e 1.

(01) Incorreta. O volume total da esfera B (e, portanto, o

Considere a notação:

volume submerso) é oito vezes maior que o da esfera A.

• P i � Peso dos blocos sobre o êmbolo i

(02) Correta. Pelo argumento anterior.

• Ai � Área do êmbolo i

(04) Correta. Pelo princípio de Arquimedes, no

i � {L, M, N }

equilíbrio tem-se v sub �

Pelo teorema de Pascal, tem-se: P M P N P L ___ __ � � ___ A AM AN

15 (Unifap) Em uma experiência de física, um aluno, utilizando-se de duas esferas maciças e homogêneas, A e B, de densidades iguais ( d A � d B) e com tamanhos diferentes de raios ( RB � 2 RA), e um recipiente de vidro, contendo um líquido homogêneo e incompressível de densidade (d líq) maior do que as densidades das esferas, executou o procedimento experimental de colocar ambas as esferas dentro do recipiente. Após as esferas terem atingido o equilíbrio, flutuando no líquido, o aluno solicita a você que encontre o(s) valor(es) numérico(s) associado(s) à(s) proposição(ões) proposição(õ es) correta(s). (01) O volume submerso da esfera A é igual ao volume submerso da esfera B. (02) O volume de líquido deslocado pela esfera B é igual a 8 vezes o volume de líquido deslocado pela esfera A. (04) O volume submerso da esfera A é inversamente proporcional à densidade do líquido ( d líq). (08) O empuxo sobre a esfera A é maior do que o empuxo sobre a esfera B.

⇒

P L ___ P M P N __ � � ___ A 2 A 3 A

⇒

P M P N P L � ___ � __

2

3

O número de blocos a ser colocado nos êmbolos coincide com os respectivos denominadores denominadores nas frações acima; o trio que satisfaz a essa condição está na alternativa a.

d corpo � V corpo . d líq

(08) Incorreta. O empuxo depende do volume de líquido deslocado, e já foi concluído que o volume deslocado por B é maior que o deslocado por A.


16 (Uece) No elevador mostrado na figura abaixo, o carro no cilindro à esquerda, na posição E, tem uma massa de 900 kg, e a área da secção transversal do cilindro é 2.500 cm2. Considere a massa do pistão desprezível e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2. A área da secção transversal do cilindro, na posição D, é 25 cm 2, e o pistão tem massa desprezível.

18 (Uesc-BA)

Óleo

F

h1

900 kg



8,0 cm

D

h2

4m



2,0 cm

E

Água

Se o elevador for preenchi preenchido do com óleo de densidade 900 kg/m3, a força mínima F , em newtons, necessária para manter o sistema em equilíbrio será: a) 0. b) 10. c) 800. d) 900.

A figura representa um corpo homogêneo de faces re tangulares, flutuando em equilíbrio, parcialmente imerso na água e no óleo. Sabendo-se Sabendo-se que as massas espe cíficas da água e do óleo são, respectivamente, iguais a 1,00 g/cm3 e 0,80 g/cm 3, é correto afirmar que a densidade absoluta do corpo é igual, em g/cm 3, a: a) 0,81. b) 0,82. c) 0,83. d) 0,84. e) 0,85.

Por Stevin, pode-se escrever:

Na situação de equilíbrio: P � E água � E óleo.

F F P atm � E � P atm � D � d � g � h ⇒ F D � SE SD 900 � 10 � SE  900 � 10 � 4 � 0

[ 0,2500

]

d corpo � V corpo � d água � V água � d óleo � V óleo

Como a área da base é a mesma para todo o bloco, os fatores volumétricos serão simplificados, restando

17 (UEL-PR) Analise as figuras a seguir.

apenas as respectivas alturas das colunas: y

h

d corpo � hcorpo � d água � hágua � d óleo � hóleo d � 10 � 1 � 2,0 � 0,80 � 8,0 ⇒

Uma bolinha de isopor é mantida submersa, em um tanque, por um fio preso ao fundo. O tanque contém água de densidade ρ � 1 g/cm3. A bolinha, de volume V � 200 cm3 e massa m � 40 g, tem seu centro mantido a uma distância h � 50 cm da superfície. Cortando o fio, observa-se que a bolinha sobe e salta do líquido, e que seu centro atinge uma altura y acima acima da superfície. Desprezando os atritos do ar e da água e a tensão superficial da água, determine a altura y , acima da superfície, que o centro da bolinha atingirá. a) 100 cm. d) 250 cm. b) 150 cm. e) 300 cm. c) 200 cm.

⇒

10d � 8,4

⇒

d � 0,84 g/cm 3.

19 (Uneal-AL) Um corpo, construído com uma liga de ouro (d 1 � 19,3) e prata ( d 2 � 10,5), pesa 8,77 N. Dentro da água seu peso aparente é 8,27 N. O peso do ouro contido nesse corpo é de: a) 6,57 N. d) 9,00 N. b) 7,72 N. e) 14,9 N. c) 8,52 N. Sendo o empuxo dado por: E � d H2O � V H2O � g � � 8, 77  8,27 ⇒ V H2O � V liga � V Au � V Ag � 0,05 m3

Ao ser solta: E � P � m � a ⇒ g(ρH2O � V esfera � mesfera) � 10(1 � 200 � 40) � 0,04 � a ⇒ a � 40 m/s2 � 1.000

Assim: mliga � mAu � mAg � d Au � V Au � d Ag � V Ag ⇒

Assim: v 2 � v 02 � 2 � a � ∆h � 0 � 2 � 40 � 0,5 � 40 ⇒

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações acima,

⇒

v 2 � 40

Portanto: v 2 � v 02 � 2 � g � ∆h � 4 400 � 2 � 1 100 � ∆h � 0 ⇒ ⇒

∆h � 2 m � 200 cm

19,3V Au � 10,5V Ag � 0,877

⇒

tem-se que: 8,8 V Au � 0,352 ⇒ V Au � 0,04 m3 ⇒ ⇒

P Au � d Au � V Au � g � 19,3 � 0,04 � 10 � 7,72 N

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


20 (Unir-RO) Sobre a movimentação de um balão na atmosfera, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. ( V ) se d ar < d b, tem-se E < P ; nesse caso, o balão descerá. ( V ) se d ar � d b, tem-se E � P ; nesse caso, o balão ficará em equilíbrio. ( V ) se d ar > d b, tem-se E > P ; nesse caso, o balão subirá. ( F ) se d ar < d b, tem-se E > P ; nesse caso, o balão subirá. ( F ) se d ar � d b, tem-se E < P ; nesse caso, o balão descerá. Considere: dar � densidade do ar atmosférico; db � densidade do balão; E � empuxo; P � peso do balão.

Assinale a sequência correta. V, V, V, F V, V a) V, V, d) F, F, F, V, F, F, V b) V, V, V, F, F e) F, F, F, F, V, V, V c) F, F, O movimento de subida ou descida dependerá do . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


sentido da resultante entre o peso do balão e o empuxo. Assim, admitindo-se a partida do repouso, o balão sobe se E > P e e desce se E < P . Por outro lado, a relação E > P só só ocorre quando d ar > d b e E < P implicam d ar < d b.

22 (UFSC) Durante a construção de uma estrutura metálica sobre um rio, um bloco de ferro de 16 � 10 3 kg, com dimensões de 1,0 � 2,0 � 3,0 m, caiu e afundou até uma profundidade de 25 m. Para retirá-lo do fundo do ri o e levá-lo à margem, foi usada uma balsa com um guindaste, cujo cabo suporta no máximo 120 kN. Suponha que a densidade do ferro seja de 8 � 103 kg/m3, e que a densidade da água seja de 1 � 103 kg/m3, patm � 1,0 � 105 Pa e g � 10 m/s 2. Com base na situação exposta, assinale a(s) proposição(ões) correta (s). (01) A densidade do bloco é igual à densidade do ferro. (02) Para não romper o cabo e conseguir mover o bloco até a margem, o guindaste mantém emersos, no máximo, 2 m 3 do bloco. (04) Podemos afirmar que o bloco de ferro em questão é maciço. (08) Sem alterar a massa do bloco, ele passaria a flutuar se o seu volume fosse igual a 16 m 3. (16) A base do bloco no fundo do rio está submetida a uma pressão de 250 kPa. (32) Quanto à balsa que flutua no rio, podemos afirmar que as forças que atuam sobre ela são somente a força peso e o empuxo da água do rio. Soma: 02 A densidade do bloco será dada por: 16.000 m � 1 � 2 � 3 � 2.666,7 kg/m3 d � V Como essa densidade é menor que a do ferro, pode-se

21 (IFSP) Um aluno de engenharia pretende determinar a densidade de um corpo maciço e realiza uma experiência que consiste, inicialmente, em suspender o corpo, em uma das extremidades de uma balança de braços iguais, com uma massa de 100 gramas, conforme a fi gura 1. A seguir, ele coloca o corpo dentro de uma vasilha com água, cuja densidade é de 1,0 g/cm 3, e a equilibra com uma massa de 60 gramas (figura 2). O valor encontrado da densidade do corpo, em g/cm 3, é igual a:

afirmar que as proposições 01 e 04 estão erradas. Mudando o volume do bloco, tem-se: 16.000 m � 1.000 kg/m3 d � V � 16 Assim, como a densidade do bloco e a da água são iguais, não há flutuação. A pressão na base do bloco não será de 250 kPa, pois: P base � P atm � dágua � g � h � 100.000 � 1.000 � 10 � 25 =

Figura 1

� 350 kPa

A proposição 32 não está correta, pois existem outras 100 g

forças atuando, como o atrito entre a água e o casco. O volume do bloco imerso para que o cabo aguente

Figura 2

será dado por: E � P � F máx máx ⇒ d � V � g � 160.000 � 120.000 ⇒

40.000

60 g ⇒

a) 8,75.

b) 7,50.

c) 6,75.

d) 3,50.

e) 2,50.

A massa de água deslocada pelo volume do corpo imerso é de 40 gramas. Assim: 40

� 40 cm3. mH2O � d H2O � v corpo ⇒ v corpo � 1 100 mcorpo 3 Assim: d corpo � v corpo � 40 � 2,50 g/cm .

V � 1.000 � 10 � 4 m3

Portanto, a proposição 02 está correta.


ESTUDANDO Estática e hidrostática

Para o ENEM 1 H18 H20 H21

Estão corretas: a) I e II. b) I e III. c) II e III.

O ponto de ebulição da água depende intimamente da pressão atmosférica do local. No nível do mar, a água ferve a 100 °C. Mas, em localidades de pressão atmosférica menor, ela entra em ebulição a uma temperatura menor. Em São Paulo, no alto da Serra do Mar, a água ferve a 98 °C. Já no Himalaia, no alto do pico Everest, a água ferve a 72 °C. Em uma panela de pressão, a temperatura de ebulição da água também sofre variações. Dentro dela, o vapor gerado pela ebulição da água aumenta a pressão interna até o limite imposto pela válvula reguladora. O vapor passa por um canal até entrar em contato com a válvula e empurrá-la. Quando o vapor vaza, a pressão interna se estabiliza. I. Aumentando a área de contato entre o vapor e a válvula (espessura do canal), a pressão interna da panela ficará estabilizada em um valor menor. II. Aumentando o peso da válvula, a pressão interna será estabilizada em um valor mais alto. válvula, a pressão interna III. Deixando a panela sem a válvula, será estabilizada em zero. Estão corretas: a) I e II. d) todas. b) I e III. e) apenas uma delas. c) II e III.

I – Falsa – a diferença entre as massas do submarino cheio de água e vazio é a massa do volume de água que cabe no tanque de lastro: mlastro � mcheio � mvazio (I) Quando estiver cheio de água, seu volume será a razão entre a massa e a densidade da água: mágua � 18.000 � 12.000 � 6.000 toneladas � 6.000.000 kg mágua 6.000.000 (II) mágua � V lastro � d água 1.000

Usando II: V lastro �

6.000.000 1.000

V lastro � 6.000 m3

Comparando com o volume do submarino, de 15.000 m 3: V lastro é menor que o resto do submarino.

II – Verdadeira – empuxo é o peso da água deslocada pelo volume do objeto, no caso, o submarino:

I – Verdadeira – a pressão ( p) resulta da relação força ( F ) pela área ( A): p �

d) todas. e) apenas uma delas.

E � d água � V sub � g

F . Como a força peso da válvula é A

E � 1.000 � 15.000 � 10 � 150.000.000 N

constante, se a área aumenta, a pressão diminui.

Para equilibrar, o peso da embarcação mais o lastro deve

II – Verdadeira – com a mesma relação, mantendo a área

ser igual ao empuxo: P sub � P lastro � 150.000.000 N

e aumentando a força peso, a pressão de equilíbrio

(msub � mlastro) � g � 150.000.000 N

será maior. III – Falsa – sem a válvula, a pressão

(12.000.000 � mlastro) � 10 � 150.000.000 N

interna se iguala à externa, que vale 1 atm, e não zero.

mlastro � 15.000.000 � 12.000.000 � 3.000.000 kg

2 H18 H20

O submarino é uma embarcação que pode ter sua densidade controlada, e assim imergir, emergir ou estabilizar sua profundidade. Ele tem grandes tanques de lastro que, quando preenchidos com água, deixam sua densidade maior que a do mar, fazendo-o afundar. Preenchendo os tanques com ar, a densidade fica menor que a da água e ele é capaz de subir à tona e boiar. Consideremos um submarino médio, cuja profundi dade máxima suportada seja 500 m, de volume total 15.000 m3, massa massa mínima (lastro vazio) de 12.000 toneladas e massa máxima (lastro cheio) de 18.000 toneladas, considerando sempre a água com densidade 1.000 kg/m 3. Considere as afirmações a seguir. I. O volume do tanque de lastro é maior do que o resto do submarino. II. Quando totalmente submerso, o equilíbrio entre as forças peso e empuxo é alcançado com meio tanque de lastro com água. máxima, poderá reIII. O submarino, na profundidade máxima, ceber uma pressão maior que 30 atm.

mlastro � 3.000 toneladas, que equivalem à metade

da capacidade do tanque de lastro. III – Verdadeira – a pressão exercida por um líquido vale: p � d � g � h � 1.000 � 10 � 500 � 5.000.000 ⇒ ⇒

3 H18 H19 H20

p � 5 � 106 N/m2 ou 50 atm > 30 atm.

Em 2009, um estúdio cinematográfico lançou uma animação na qual um viúvo idoso, prestes a perder seu lar e, com ele, todas as suas recordações da vida inteira, resolve amarrar balões em sua casa e sair voando com ela para o Paraíso das Cachoeiras. O filme não revela, mas, para saber de quantos balões precisaria, o dono da casa encheu de gás hélio o primeiro balão e amarrou nele uma caixinha, a qual foi enchendo de arroz até equilibrar a subida do balão. Mediu a massa do arroz na ba lança de cozinha e pronto: o balãozinho aguentou 100 g

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


de grãos com 5 litros de gás dentro dele. Se a casa já estivesse solta, sem alicerces, e tivesse uma massa de 5.000 kg e volume 1.000 m 3, seria correto afirmar: balões para leI. Seriam necessários mais de 100 mil balões vantar a casa do chão. II. Se os balões fossem embalados em caixas com medidas 5 cm � 10 cm � 20 cm, c m, contendo 100 unidades, o total de caixas necessárias não caberia na casa. III. Todos os balões cheios deveriam caber dentro da casa. Estão corretas: a) I e II. d) todas. b) I e III. e) apenas uma delas. c) II e III.

a) A força gravitacional entre corpo e esfera é muito

I – Falsa – se cada balão suporta 100 g � 0,1 kg, para

menor que o peso da esfera e não influencia o sistema;

suportar a casa toda são necessários n balões: 5.000 mcasa � � 50.000 balões n� 0,1 mbalão

b) O peso da esfera é constante: P � m � g; c) Não há

II – Falsa – o volume das caixas seria:

a ser considerado; d) A esfera no extremo do braço gera

V caixa � comprimento � altura � largura

um momento de giro sobre o ombro, que depende

100–3 m3 V caixa � 5 cm � 10 cm � 20 cm � 1.000 cm3 � 1 litro � 1

da distância da esfera ao ombro; e) O peso é constante.

O número de caixas necessárias será: (no de balões) 50.000 � � 500 caixas C � (balões por caixa) C O volume de 500 caixas será 500 vezes o volume de uma única caixa: V 500 � V caixa � 500 � 500 � 10�3 � � 0,5 m3 � 500 litros. Caberia facilmente. III – Verdadeira –

todos tod os os os balões cheios teriam 50.000 vezes o volume de um único balão: V total � 50.000 � 5 litros � 250.000 litros � �250 m3. É menor que o da casa.

4 Basta segurar um pacote de açúcar com uma das mãos e H14 ir esticando o braço aos poucos para perceber que, quanH15 to mais próximo a carga estiver do corpo, mais fácil será H18 sustentá-la. As figuras mostram duas posições de um braço H20 com uma massa esférica na mão. É mais fácil suportar o peso da esfera quando ela está mais próxima do corpo porque:

a) a massa do corpo atrai a massa esférica e ajuda a

suportá-la. b) o peso da esfera é sempre para baixo, e seu valor diminui quando ela se aproxima do chão. exerce na esfera aumenta conc) o atrito que o corpo exerce forme ela se aproxima do corpo, contribuindo mais para suportar o peso. d) a massa tem um peso constante para baixo e faz surgir uma tendência de girar o braço (no sentido horário) que vai aumentando conforme o braço é esticado. proporcional à distâne) o peso da esfera é diretamente proporcional cia que ela está do apoio (ombro).

contato entre o corpo e a esfera, portanto não há atrito

5 H20

Os icebergs são blocos de gelo que flutuam pelos oceanos, principalmente nas proximidades dos polos. Podem ser pequenos ou atingir mais de 100 m de altura em relação à superfície do oceano. Mas o que se vê do iceberg é uma pequena parcela (entre 10% e 20%) de seu tamanho total. Seu tamanho define sua duração: há icebergs que duram quase 10 anos e chegam a se deslocar até 3.000 km de sua origem. Se um iceberg de volume total 200 m3 estiver em águas de densidade 1,1 g/cm 3 e estiver com 15% de seu volume emerso, ele terá: a) um volume de 60 m3 sob as águas. b) uma densidade de 0,935 g/cm 3. c) um volume de 215 m 3 sob as águas. d) uma densidade de 1,294 g/cm 3. e) um volume de 140 m 3 sobre as águas. O volume do iceberg é V ice � 200 m3 Com 15% emersos, sobram 85% imersos. V fora � 15% de 200 m3 � 30 m 3 V dentro � 85% de 200 m 3 � 170 m3

O

Assim:

d

a) V dentro � 85% de 200 m 3 � 170 m3 (densidade corpo) b) % imersa � (densidade do líquido) 0,85 densidade do corpo � � 0,935 g/cm3 1,1

O

30°

c) V dentro � 85% de 200 m3 � 170 m3 d) A densidade deve ser menor que a da água para o iceberg boiar. d

e) V fora � 15% de 200 m 3 � 30 m 3



TRABALHO E ENERGIA MECÂNICA A Física foi muito influenciada pelas mudanças ocasionadas pela Revolução Industrial. Os novos processos industriais procuravam, sobretudo, sobretudo, incorporar conceitos como os de conservação, eficiência e rendimento. rendimento. Assim nasceram os conceitos físicos de trabalho e energia mecânica.

I. Trabalho O conceito de trabalho, em Física, não está associado a um objeto ou a uma pessoa, e sim a uma força. Quando a força resultante é capaz de modificar o estado de movimento do corpo no qual está sendo aplicada, diz-se que ela realizou trabalho. Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso e a ação da força tirá-lo desse estado, há realização de trabalho; caso ele esteja em movimento, a força resultante realizará trabalho se for capaz de modificar sua velocidade. Em ambas as situações, pode-se associar a aplicação da força a um certo deslocamento do corpo. S E G A M I W O L G / S I B R O C / O M O U D

Se o módulo da força F é é constante ao longo do deslocamento ∆s, o trabalho pode ser calculado por meio da expressão: D � F � Ss � cos 

em que  a é o ângulo entre F e e a direção do deslocamento. F

F a

a

Ss

Figura 3 • Deslocamento de um bloco sobre uma superfície horizontal,

no qual é aplicada uma força constante de módulo F . Figura 1 • Apesar de

o atleta estar fazendo muito esforço para manter os halteres no alto, a força aplicada por ele não está realizando trabalho, pois não há deslocamento.

Trabalho realizado por uma força Trabalho constante Suponha-se que a força aplicada por uma p essoa provoque o deslocamento de uma caixa, como representado na figura 2. Nesse caso, para que o movimento se dê na direção horizontal, a força F , , cuja ação causará o deslocamento ∆s, pode ser aplicada em um ângulo , que varia entre 0° ≤  < 90°. Dessa maneira, a força certamente terá uma componente na direção horizontal, que é a direção do deslocamento. No caso de a aplicação da força se dar com  � 90°, não haverá deslocamento causado por ela na direção horizontal, caracterizando trabalho nulo (figura 1).

Dependendo do valor do ângulo , o valor do trabalho D será positivo ou negativo. Se D > 0, diz-se que a força favorece o deslocamento, realizando um trabalho motor. Se D < 0, diz-se que a força dificulta o deslocamento, reali zando um trabalho resistente. A unidade de medida do trabalho D no no SI é o joule (J).

Trabalho realizado por uma força Trabalho variável Se a força não é constante durante o movimento, a expressão D � F � Ss � cos  não serve para determinar o trabalho, que será numericamente igual à soma algébrica das áreas compreendidas entre o gráfico F � d e e o eixo das abscissas. F

A1

A2

F

d

Figura 4 • O trabalho pode ser calculado com base nas áreas sombreadas A1 e A2.

Como A1 está acima do eixo horizontal, o trabalho desse trecho é positivo. Por outro lado, o trabalho no trecho A2 é negativo, pois a região está abaixo do eixo. Tem-se, então: Figura 2 • A força F aplicada aplicada pela pessoa sobre a caixa realiza

trabalho, pois faz um ângulo menor que 90° com a direção horizontal, provocando o deslocamento do objeto.

N

D � A1 2 A2

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


II. Potência associada ao trabalho de uma força A potência mecânica é uma grandeza que está relacionada ao tempo gasto pela força para a realização de um trabalho. Desse modo, associam-se potências elevadas à grande rapidez com a qual um trabalho é realizado. P �

∙D ∙

St

D � ∆E cin �

v 0

m � v 2

2

�

m � v 20

2 v

F

d Figura 5 • A ação da força F provoca provoca o aumento do módulo da

A unidade de medida da potência, no SI, é o J/s, denominado watt (W). 1 quilowatt (1 kW) � 103 W 1 megawatt (1 MW) � 106 W

Rendimento


⇒

, ou P � F 3 v 3 cos 

se a força F for for constante durante o deslocamento.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

D � E cf � E ci

Caso haja interesse em avaliar se os processos de produção de trabalho de uma máquina são eficientes ou não, calcula-se o rendimento associado a esse dispositivo. Define-se rendimento de uma máquina como a razão entre a potência útil (realmente aproveitada) e a potência total (necessária ao funcionamento). �

P útil P total

O rendimento não tem unidade de medida, sendo, portanto, uma grandeza adimensional.

III. Energia cinética É conhecida como energia cinética a forma de energia associada a um corpo em movimento. Dessa maneira, todo corpo que tem velocidade diferente de zero, em relação a um dado referencial, apresenta energia cinética, que é dada por: E cin �

velocidade do carro, ao passo que o trabalho de F faz faz a energia cinética do veículo aumentar.

IV. Energia potencial A energia que pode ser armazenada em um si stema físico, para posterior utilização ou transformação em ener- a c gia cinética, é chamada energia potencial. No estudo dos i n movimentos, essa forma de energia é aquela que confere â c ao corpo uma possibilidade de movimento. Na Física, são e muitos os tipos de energias potenciais, estabelecidos de m a acordo com a força envolvida. Na Mecânica, estudam-se i g principalmente a energia potencial gravitacional e a ener- r e n gia potencial elástica. e

Energia potencial gravitacional Quando um corpo está próximo de um campo gravitacional e apresenta altura h em relação a um nível de referência arbitrário, é associada a ele certa quantidade de energia potencial gravitacional. Em outras palavras, o fato de o objeto estar a cer ta distância do nível de referência lhe atribui uma possibilidade de movimento que pode se concretizar, bastando para isso que ele se ja solto. s olto. A força for ça resp r esponsá onsável vel por p or deslo d eslocar car o corpo cor po é seu peso; por isso, diz-se que a energia potencial gravitacional é proveniente do trabalho da força peso, que pode ser calculada por:

m � v 2

E pg � m � g � h

2

em que m é a massa do corpo e v , o módulo de sua velocidade.

No SI, a unidade de energia potencial gravitacional é o joule (J).

No SI, a unidade de energia cinética é o joule (J).

m

Teorema da Energia Cinética Para que a energia cinética de um corpo se modifique, é preciso que atue, sobre o objeto, uma força capaz de alterar o seu estado de movimento. Na Física, associa-se o ganho ou a perda de energia de um sistema à quantidade de energia transferida a ele por meio do trabalho de uma força. Quando a força atua favorecendo o deslocamento do corpo, o trabalho realizado por ela aumenta a energia do sistema; caso contrário, ao dificultar o deslocamento, o trabalho realizado por ela diminui a energia do sistema. Assim, pode-se escrever:

g

h

Nível de referência

Figura 6 • A esfera tem energia potencial gravitacional acumulada em

relação ao nível de referência.

e o h l a b a r T

K C O T S R E T T U H S / S U I R O T E R P A D N I L E B

V. Energia mecânica A energia mecânica de um sistema é a soma de todas as energias potenciais, mais a energia cinética em um determinado instante. Em um sistema em que só existem as energias potencial gravitacional e elástica, pode-se escrever: E mec � E cin � E pg � E pel

Figura 7 • Na hidrelétrica, é feita uma barragem para a água acumular

uma energia potencial que sofrerá transformações até que seja convertida em energia elétrica.

A energia potencial gravitacional não depende do formato da trajetória descrita pelo corpo; se a distância h a que o objeto está em relação ao nível de referência (figura 8) for a mesma, ele terá igual energia potencial gravitacional em todas as situações.

A

h

B

C

h

h

Em sistemas ditos conservativos, a energia mecânica tem o mesmo valor em qualquer instante, ainda que ocorram transformações entre as energias potencial e cinética. Como exemplo, basta analisar o comportamento de um carrinho de montanha-russa. Quando está no alto da pista, quase toda a sua energia se apresenta na forma de energia potencial gravitacional. Conforme ele desce pelos trilhos e perde altura, a energia potencial converte-se em energia cinética. A cada alternância entre subidas e descidas, o processo se repete. Se fosse possível lubrificar a pista de modo que não houvesse perda de energia pelo trabalho do atrito, a energia mecânica do início se manteria constante, sendo a mesma da chegada. Na prática, isso não ocorre. Após a primeira descida, o carrinho da montanha-russa não retorna mais à altura da qual partiu, pois a energia mecânica do sistema s istema é transformada em outras formas de energia, tais como a energia térmica, a sonora etc. Nesse caso, a energia mecânica associada ao carrinho se torna cada vez menor, e o sistema é chamado dissipativo. A

Figura 8 • A energia potencial gravitacional dos corpos nas trajetórias A, B e C é é a mesma porque eles estão à mesma altura h em relação ao solo. C

Energia potencial elástica Um sistema elástico, como uma mola, acumula energia quando sofre uma deformação. Dentro dos limites de elasticidade, seu comprimento original tende a ser restituído por meio do trabalho da força elástica. Dessa maneira, ao retornar ao comprimento natural, a mola (ou elástico) pode colocar em movimento objetos ou corpos pres os à sua extremidade livre. Em outras palavras, a distensão ou compressão da mola armazena certa quantidade de energia potencial elástica. Para uma mola de constante elástica k e e deformada x em em relação ao seu comprimento de repouso, a energia potencial elástica é dada por:

E pel �

B

Figura 10 • Em uma montanha-russa ideal, a energia mecânica total se

conserva, apesar de alternar-se entre potencial e cinética.

Em uma montanha-russa em que há loops no trajeto, é preciso considerar que há uma altura mínima da qual o carrinho deve partir para que consiga executar o loop (figura 11), ainda que o sistema seja classificado como conservativo. No caso, tem-se: hmín � 2,5 R

sendo R o raio do loop.

k � x 2

2 A x

B h

F el

R

Posição Posiçã o de equilíbrio ilíbrio

Figura 9 • Se é deslocada da posição de equilíbrio, a mola adquire

energia potencial elástica.

Figura 11 • Se em A o carrinho é abandonado, a altura máxima do loop terá de ser menor que h, ainda que o sistema seja considerado conservativo; caso contrário, o carrinho para em B.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Conservação de energia Transformações de energia estão muito presentes nos fenômenos presenciados no cotidiano. Para que as pessoas se movam em um ônibus, diversas modificações energéticas são necessárias. A primeira delas ocorre quando o motorista, ao dar a partida, espera que a bateria transforme energia química em energia elétrica, para que o motor comece a girar. Daí por diante, a explosão do combustível nos cilindros do motor gerará energia térmica suficiente para mover os pistões, que farão as rodas girarem, associando a elas certa quantidade de energia cinética. O ônibus ônib us se move, e parte de sua energia cinética se transforma em calor por causa do trabalho da força de atrito dos pneus com o solo ou do trabalho da força de resistência do ar. Ao frear, a energia cinética do ônibus se transforma em energia térmica nos freios e, vez por outra, em energia sonora – em uma derrapagem, por exemplo.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


S N E G A M I R A S L U P / A K A T I K O T E R D N A X E L A

Considera-se que uma das consequências do princípio da conservação da energia aos sistemas mecânicos é a ampliação do Teorema da Energia Cinética. Ao se estabelecer que a energia em um sistema não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada de um tipo em outro, admite-se que a energia mecânica somente poderá ser aumentada ou diminuída se uma força realizar trabalho. Dessa maneira, pode-se escrever: D � E M � E M f i

Pode-se analisar o efeito dessa expressão no exemplo a seguir. Em um escorregador inflável, usado em festas infantis, cuja altura varia em torno de 5 m, a superfície por onde as crianças escorregam deve, por uma questão de segurança, apresentar atrito considerável. Supondo que uma criança de 40 kg desça por um desses escorregadores a partir do repouso, qual seria sua velocidade ao atingir a base do escorregador, caso não houvesse atrito? A

Figura 12 • No movimento de um ônibus, é possível reconhecer

diversas transformações de energia.

As pessoas sempre estão em contato com alguma modificação de energia. As quantidad quantidades es de energia transferidas de um sistema para outro, no entanto, são previsíveis, obedecendo a uma lei física denominada Lei da Conservação da Energia, cujo enunciado estabelece que: A energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada em outra, com sua quantidade total permanecendo constante. K C O T S N I T A L / L P S

B

Nível de referência

Figura 14

Nesse caso, sabe-se que a energia mecânica inicial associada à criança é igual à final. Então, supondo que o ponto A seja o da partida e o B o da chegada, pode-se escrever: E M A � E MB ⇒ E pg A � E c A � E pgB � E cB

Sabe-se que em A a criança não possui energia cinética porque vai partir do repouso. Em B, ela não tem energia potencial gravitacional porque não está a nenhuma altura do nível de referência. Sendo assim: 40 � 10 � 5 � 40 �

v0 � 0

v � 0

⇒ 2.000 � 40 � 2 2 Resolvendo a equação, tem-se v � 10 m/s, o que equivale a 36 km/h, valor que não é seguro s eguro para a brincadeira. Com atrito, o valor da velocidade de chegada diminui consideravelmente. Supondo uma força de atrito que realize durante a descida um trabalho de �1.500 J, pode-se escrever:

D � E M � E M f

Figura 13 • Em cada situação, parte da energia mecânica do sistema é

transformada em outras formas de energia. No esquema é representado um garoto em um skate , descendo uma rampa. Por que ele para antes de atingir a mesma altura da qual partiu? Descreva as transformações de energia que ocorreram no sistema menino-rampa.

v 2

v 2

�

40 �

v 2

i

⇒

�2.000 � E c � E pg

� 40 � 10 � 5

B

A

⇒

�2.000 �

2 Resolvendo a equação, tem-se v � 5 m/s, o que equivale a 18 km/h, metade do valor da velocidade calculada sem a presença do atrito e bem mais segura para a criança.

a c i n â c e m a i g r e n e e o h l a b a r T

ESTUDANDO Trabalho e energia mecânica


Considerando-se que a energia consumida pela esteira se deve ao trabalho desempenhado pela força (supostamente constante) que a jovem exerceu sobre a esteira para movimentá-la, a intensidade dessa força, em newtons (N), que a jovem exerce sobre a esteira é: a) 4,0 3 102. c) 5,0 3 102. e) 3,5 3 102. b) 3,0 3 102. d) 6,0 3 102.

(UCS-RS ) Sobre um bloco atuam as forças indicadas na figura, as quais o deslocam 2 m ao longo do plano horizontal. Analise as informações. N

F a

|F |



100

A distância percorrida em meia hora é de 2,7 km. Transformando a energia consumida de quilocalorias para kJ, tem-se 810 kJ. Da definição de trabalho de uma

P

I. O trabalho realizado pela força de atrito F a é positivo. vale 200 J. II. O trabalho realizado pela força F vale diferente de zero. III. O trabalho realizado pela força peso é diferente IV. O trabalho realizado pela força normal N é é nulo.

força constante: D � F 3 d ] F � 300 N.

=

Quais são as corretas? a) Apenas I e II d) Apenas II e IV b) Apenas I e III e) Apenas III e IV c) Apenas II e III

3

(Fuvest-SP ) O gráfico representa a variação da intensidade da força resultante F , que atua sobre um corpo de 2 kg de massa, em função do deslocamento x . =

F (N)

4

O trabalho (D ) de uma força ( F ) é dado pela relação: D �

F 3 Ss 3 cos a. 0

caso, cos 180° � �1. I. Falsa. Nesse caso,

Como F a > 0 e Ss > 0, tem-se: D F

a

< 0.

II. Verdadeira. Nesse caso, a � 0°; logo: D F � 100

3 2 3 1 } D F � 200 J.

III. Falsa. No caso da força peso, a � 90°.

Como cos 90° � 0, tem-se necessariamente: D P � 0. IV. Verdadeira. Para a força normal, a � 90°. ∴ D N � 0.

2

3

x (m)

Sabendo que a força F tem a mesma direção e sentido do deslocamento, determine: a) a aceleração máxima adquirida pelo corpo. força F entre as posib) o trabalho total realizado pela força ções x � 0 e x � 3 m. =

=

a) A aceleração adquirida pelo corpo é máxima

quando a força resultante sobre ele também é máxima. Isto é: F máx � m 3 amáx. Com base no gráfico, F máx � 4 N e, do enunciado, m � 2 kg. Portanto: F máx � m 3 amáx ] 4 � 2amáx } amáx � 2 m/s2. b) Como a força F é variável, o trabalho realizado por =

ela pode ser calculado como segue: 2

(UEPB) A esteira é o aparelho mais usado nas academias. As mais modernas possuem um computador com visor que informa o tempo, a distância, a velocidade, os batimentos cardíacos e as calorias gastas, entre outras funções. Em uma academia de ginástica, uma jovem anda sobre uma esteira rolante horizontal que não dispõe de motor, movimentando-a. O visor da esteira informa que ela andou a uma velocidade constante de 5,4 km/h e que, durante 30 minutos, foram consumidas 202,5 quilocalorias. Adote 1,0 cal � 4,0 J.

D F � área sob o gráfico D F �

base 3 altura ___________ 2

�

3 4 } 3____ 2

D F � 6 J

Segundo o enunciado, a força F atua na mesma =

direção e no mesmo sentido do deslocamento do corpo. Portanto: D F . 0, ou seja, D F � 6 J.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


4

Nessas condições, o trabalho realizado pela força sobre o corpo, após o deslocamento de 6,0 m, é igual, em J, a: a) 150. d) 120. b) 140. e) 110. c) 130.

(Uece) Em um corredor horizontal, um estudante puxa uma mochila de rodinhas de 6 kg pela haste, que faz 60° com o chão. A força aplicada pelo estudante é a mesma necessária para levantar um peso de 1,5 kg, com velocidade constante. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, o trabalho, em joules, realizado para puxar a mochila por uma distância de 30 m é: a) zero. c) 389,7. b) 225,0. d) 900,0.

Calculando a área abaixo do gráfico até o eixo d , tem-se o trabalho realizado pela força. (40 1 20) � x 2 � 40 Área � 20 � 2 � � 2 2

F � P � m � g � 1,5 � 10 � 15 N D ] F � d � cos J ] D 5 15 3 30 3 0,5 5 225

5

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

7

(Uerj) Um homem arrasta uma cadeira sobre um piso plano, percorrendo em linha reta uma distância de 1 m. Durante todo o percurso, a força que ele exerce sobre a cadeira apresenta intensidade igual a 4 N e direção de 60° em relação ao piso. O gráfico que melhor representa o trabalho D , realizado por essa força ao longo de todo o deslocamento d , está indicado em: a)

c)

D (J)

2

� 140 J

(PUC-Minas) Um motor é instalado no alto de um prédio, para elevar pesos, e deve executar as seguintes tarefas: I. Elevar 100 kg a 20 m de altura em 10 s. II. Elevar 200 kg a 10 m de altura em 20 s. III. Elevar 300 kg a 15 m de altura em 30 s.

A ordem crescente das potências que o motor deverá desenvolver para executar as tarefas anteriores é: a) I, II, III. b) I, III, II.

c) II, I, III. d) III, I, II.

e) II, III, I.

Motor

D (J)

2

F motor

O enunciado sugere a figura:

Sentido do deslocamento


P

Supondo que os pesos sejam elevados em movimento 0

b)

1

0

d (m)

d)

D (J)

2

uniforme: F motor � P . 1

d (m)

Nessas condições, a potência do motor será dada por: OF motor 3 Ss 3 cos aO OD motorO P motor � ______ ] P motor � ________________ St St Como a � 0, a força do motor tem o mesmo sentido do

D (J)

2

deslocamento. Logo: Ss P 3 Ss mg _____ _____ P motor � � St St 0 D �

1

d (m)

0

1

d (m)

Calcula-se agora a potência do motor ao realizar cada

F � d � cos θ

uma das tarefas: 3 10 3 20 } P 5 2.000 W 100 ___________ I I. P I � 10 3 10 3 10 200 ___________ } P II 5 1.000 W II. P II � 20 3 10 3 15 300 ___________ } P III � 1.500 W III. P III � 30

Como F � cos θ � constante, tem-se que D é é função de d , que apresenta a forma de uma função afim, ou seja, seu gráfico é uma reta que passa pela origem dos eixos. D �

F � d � cos 60° � 4 � 1 � 0,5 � 2 J

Como o trabalho é proporcional ao deslocamento, d é o gráfico correto. 6

(Uesc-BA) Sobre um corpo inicialmente em repouso em um plano horizontal sem atrito, atri to, atua uma força horizontal de direção e sentido constantes, cuja intensidade varia com a distância percorrida, de acordo com o gráfico. F (N) (N)

40 20 10

8

(UERN) O elevador de um edifício comercial sobe do saguão de entrada até o 15o andar em 20 s, percorrendo uma distância total de 50 m com velocidade constante. A massa total do elevador lotado com 8 pessoas é 700 kg. Sabendo-se que o contrapeso do elevador tem massa de 460 kg e considerando a aceleração da gravidade g � 10 m/s2, a potência desenvolvida pelo motor desse elevador na realização do trabalho foi: a) 8,0 kW. c) 6,0 kW. b) 7,5 kW. d) 4,5 kW. mgh (700 � 460) � 10 � 50 P � � � 6.000 W tempo 20


9

(UEA-AM) Uma turbina eólica converte a energia contida no vento em energia elétrica. O vento empurra as pás da turbina, fazendo-as girar. Um eixo acoplado às pás transmite a rotação dessas ao gerador, que converte energia cinética de rotação em energia elétrica. Suponha que, em uma turbina, a força do vento seja suficiente para produzir 7,2 � 108 joules de energia cinética rotacional em duas horas. Se 40% da energia de rotação é convertida em energia elétrica, a potência dessa turbina é, em kW: a) 10. b) 20. c) 30. d) 40. e) 50. 40% de 7,2 � 108 J � 2,88 � 108 J 2,88 � 108 J 4 P� � 4 � 10 W � 40 kW 2 � 3.600 s

10 (Fuvest-SP) A equação da velocidade de um móvel de 20 quilogramas é dada por v � 3 1 0,2 t , onde a velocidade é dada em m/s. Podemos afirmar que a energia cinética desse móvel, no instante t � 10 s, vale: a) 45 J. c) 200 J. e) 2.000 J. b) 100 J. d) 250 J.

Para determinar a velocidade do móvel no instante t � 10 s, substitui-se esse valor na função horária: v � 3 1 0,2t ] v � 3 1 0,2 3 10 } v � 5 m/s

Logo, a energia cinética associada a esse móvel é dada mv 2 3 52 } E 250 J ______ por: E c � ____ � 20 c� 2 2

11 (Ufac) Um carro se desloca com velocidade de 72 km/h na avenida Ceará. O motorista observa a presença de um radar a 300 m e aciona imediatamente os freios. Ele passa pelo radar com velocidade de 36 km/h. Considere a massa do carro igual a 1.000 kg. O módulo da intensidade do trabalho realizado durante a frenagem, em kJ, vale: a) 50. d) 200. b) 100. e) 250. c) 150.

72 km/h � 20 m/s e 36 km/h � 10 m/s

corresponda à situação real das aeronaves em voo, é preciso que ambos sejam caracterizados por valores similares de uma quantidade conhecida como número de Reynolds ( R). Esse número é definido como R�

VL , onde V é é uma velocidade típica do movimento, L b

é um comprimento característico do corpo que se move e b é uma constante que depende do fluido. a) Faça uma estimativa do comprimento total das asas e da velocidade de um avião e calcule o seu número de Reynolds. Para o ar, bar 7 1,5 3 1025 m2/s. b) Uma situação de importância biotecnológica é o momovimento de um microrganismo num meio aquoso, que determina seu gasto energético e sua capacidade de encontrar alimento. O valor típico do número de Reynolds nesse caso é de cerca de 1,0 3 1025, bastante diferente daquele referente ao movimento de um avião no ar. Sabendo que uma bactéria de 2,0 jm de comprimento tem massa de 6,0 3 10216 kg, encontre a sua energia cinética média. Para a água, bágua 7 7 1,0 3 1026 m2/s. a) V � 250 m/s e L � 50 m. Para essas estimativas, VL 250 3 50 ] R 7 8,3 3 108 tem-se: R � ___ ] R 5 ________ bar 1,5 3 1025

velocidadee média b) Primeiramente, determina-se a velocidad da bactéria com os dados do enunciado. V 3 2,0 3 1026 25 VL ___________ ____ 1,0 10 3 R� ] ] � bágua 1,0 3 1026 } v � 5 3 1026 m/s Então, a energia cinética média vale: 6 3 10216 3 (5 3 1026)2 m 3 V 2 E cin � ______ � _________________ ] 2 2 227 } E cin � 7,50 3 10 J

13 (FMIt-MG ) Um corpo de massa 2,0 kg, inicialmente em repouso, é puxado sobre uma superfície horizontal sem atrito, por uma força constante, também horizontal, de 4,0 N. Qual será sua energia cinética após percorrer 5 m? a) 0 joule c) 10 joules e) n.r.a. b) 20 joules d) 40 joules

Pelo Teorema Teorema da Energia Cinética: 1.000 3 (202 2 102) Ecinicial ] D � ________________ ] 2 D � Ec final 2

Como F é é a única força responsável pelo movimento

] D � 500 3 300 � 150.000 }

resultante, cujo trabalho realizado é:

D �

150 kJ

do corpo, pode-se considerá-la a própria força

D F �

12 ( Unicamp-SP ) O aperfeiçoamento de aeronaves que se deslocam em altas velocidades exigiu o entendimento das forças que atuam sobre um corpo em movimento num fluido. Para isso, projetistas realizam testes aerodinâmicos com protótipos em túneis de vento. Para que o resultado dos testes

F 3 Ss 3 cos a � 4,0 3 5 3 cos 0° }

D F � 20 J

Aplicando o Teorema da Energia Cinética: D F � Ecfinal

2 Ecinicial, em que: Ecinicial � 0, pois v 0 � 0.

Logo, Ecfinal

� D F �

Ecinicial � 20 J

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


14 (Aman-RJ) Com que velocidade o bloco da figura a seguir, partindo do repouso e do ponto A, atingirá o ponto B, supondo todas as superfícies sem atrito? (g � 10 m/s2)? A

16 (UFG-GO) Uma das competições dos X-games são as manobras dos esqueitistas em uma rampa em U. Um atleta parte do repouso do topo da rampa e, pelo movimento do seu corpo, de peso 800 N, consegue ganhar 600 J a cada ida e vinda na rampa, conforme ilustração a seguir.

B

10 m

h

5m

a) 0 m/s b) 5 m/s

c) 10 m/s d) 15 m/s

e) 20 m/s

O bloco, no ponto A, está dotado apenas de energia potencial gravitacional, já que sua velocidade inicial é zero (Ecinicial � 0). No ponto B, entretanto, o bloco possui energia potencial gravitacional e cinética. Logo, . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


por conservação de energia: E pg A � E pgB 1 E cB mv 2B mgh A 2 mghB 1 ____ ] v 2B � 2g(h A 2 hB) ]

2 ] v 2B � 2 3 10 3 (10 2 5) � d llll 100 } Ov BO � 10 m/s

a i g r e n e e o h l a b a r T

E p � mgh � P � h � 800 � 3 � 2.400 J

15 (Uerj) Os esquemas abaixo mostram quatro rampas AB, de mesma altura AC e e perfis distintos, fixadas em mesas idênticas, nas quais uma pequena pedra é abandonada, do ponto A, a partir do repouso. A

Desprezando as perdas de energia e o peso do skate, a c o número mínimo de idas e vindas que o atleta deve i n realizar para atingir uma altura (h) de 3 m acima do topo â c da rampa é: e a) 2. b) 3. c) 4. d) 6. e) 8. m

Se o atleta consegue ganhar 600 J a cada ida e vinda, são necessárias 4 voltas.

A I

C

II B

C

B

Solo

17 (Uece ) A figura abaixo mostra três trajetórias de uma bola de futebol lançada no espaço.

Solo

A

A IV

III C

B

C

2 B

) m (

I

1

II II

III

y

Solo

Solo

0 0

Após deslizar sem atrito pelas rampas I, II, III e IV, a pedra toca o solo, pela primeira vez, a uma distância do ponto B respectivamente igual a d I, d II, d III e d IV. A relação entre essas distâncias está indicada na seguinte alternativa: a) d I > d II � d III > d IV

c) d II > d IV � d I > d III

b) d III > d II > d IV > d I

d) d I � d II � d III � d IV

2

4

6

8

10

12 12

14 14

18 18

20 20

(m) (m)

x

Desconsiderando o atrito viscoso com o ar, assinale o correto. a) A trajetória que exigiu a maior energia foi a I. b) A trajetória que exigiu a maior energia foi a II. c) A trajetória que exigiu a maior energia foi a III. para todas as trajetórias. trajetórias. d) A energia exigida é a mesma para

Como a energia total do sistema é a mesma,

A velocidade horizontal é maior em III. Como a energia

considerando a descida da pedra nas trajetórias, ou

potencial é a mesma nos três casos, a trajetória que

seja, é igual a mgh, todas as pedras sairão das

exigiu a maior energia foi a III.

rampas com a mesma velocidade; logo, o alcance de todos os lançamentos também será igual.

18 (Mackenzie-SP ) Certo garoto, com seu skate, desliza pela rampa, descrevendo o segmento de reta horizontal AB, com movimento uniforme, em 2,0 s. As resistências ao movimento são desprezíveis.

A

B C

20 (UFC-CE ) Uma bola de massa m 5 500 g é lançada do solo, com velocidade v 0 e ângulo de lançamento J me me-nor que 90°. Despreze qualquer movimento de rotação da bola e influência do ar. O módulo da aceleração da gravidade, no local, é g 5 10 m/s2. O gráfico abaixo mostra a energia cinética E c da bola como função do seu deslocamento horizontal x .

d

D

E C

4

d

(J)

120 d

Considerando d igual igual a 20 m e o módulo de g igual a 2 10 m/s , o intervalo de tempo gasto por esse garoto para descrever o segmento CD é de, aproximadamente: a) 1,0 s. c) 1,6 s. e) 2,8 s. b) 1,4 s. d) 2,0 s.

30 0

21

42

(m) x (m)

Inicialmente, determina-se determina-se a velocidade do garoto no d 20 ponto B: v B � ____ � ___ ] v B � 10 m/s. St AB 2

Analisando o gráfico, podemos concluir que a altura máxima atingida pela bola é: a) 60 m. c) 30 m. e) 15 m. b) 48 m. d) 18 m.

Considerando o nível de referência de alturas na reta

Segundo o gráfico, a energia total (mecânica) associada

C D , determina-se a energia mecânica total em B: E me meccB � E pgB 1 E ci cin nB � m 3 10 3 5 1

m 3 102 ______

2

]

} E me meccB � 100 m

ao sistema é de 120 J. No ponto de altura máxima, a energia cinética associada à bola é a mínima possível. Segundo o gráfico: E cmín

Conservação da energia entre B e C : E me meccB � E pgB 1 E ci cin nB ] 100 m � 0 1

m 3 v 2c _____

2

� 30 J, que ocorre a 21

metros do local de lançamento. Por conservação de

]

} v c 7 14,2 m/s

energia, no ponto mais alto da trajetória: E pg 1 E cmín � 120 } E pg 5 90 J

Desprezados os atritos, o movimento no trecho CD também é uniforme. Logo: d 20 v c � ____ ] 14,2 � ____ ] St CD 7 1,4 s St CD St CD

Logo, a altura máxima atingida pela bola pode ser calculada como segue: E pg � 90 } mghmáx � 90 ]

90 ] hmáx � ___ mg

19 (UFSJ-MG ) Num edifício em construção, um pedreiro, que está a uma altura h do chão, deixa cair um tijolo de massa m. Passados alguns dias, o incauto pedreiro, agora a uma altura igual ao dobro da anterior, deixa cair a metade de um tijolo. A energia cinética dessa metade de tijolo em relação à do tijolo inteiro, quando ambos chegam ao solo, desprezando-se o atrito é: a) a metade. c) o dobro. b) a mesma. d) o triplo.

Situação inicial: E � m 3 g 3 h m __

Situação final: E � 2 3 g 3 2h � m 3 g 3 h Assim, as energias cinéticas dos dois objetos são as mesmas ao atingirem o solo.

�

90 _______ } hmáx � 18 m 0,5 3 10

21 (UEPG-PR, adaptada) Um corpo em movimento colide com uma mola, que sofre compressão, passando de um estado A para um estado B, conforme a figura abaixo. v

A

B

x v

0



Nesse contexto, analise as assertiva assertivass a seguir e assinale a alternativa correta. I. Em B a força armazenada na mola é uma força variável.

1

II. Em B a energia armazenada na mola é igual a kx 2. 2 III. A soma da energia do corpo em A e a energia armazenada na mola em B corresponde à energia total

do sistema. IV. Observando as situações A e B conclui-se que o sistema mostrado não é um sistema em que a energia se conserva.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


a) Apenas estão corretas as assertivas I, II e III. b) Apenas estão corretas as assertivas I, II e IV. c) Apenas estão corretas as assertivas II, III e IV. d) Apenas estão corretas as assertivas III e IV. e) Apenas estão corretas as assertivas I e II.

Desprezando as forças de atrito e considerando g a aceleração da gravidade e os ângulos AOB � 90° e AOC � � 120°, determine a distância L da figura. Å

Å

Cálculo da altura h do ponto C , em relação ao nível de referência em B: B OC � 30°

I. Correta. A força em uma mola depende da

Å

O

deformação. Como o corpo está em movimento, B é o momento em que ele inverte seu movimento; a força é

d ll 3R H � R 3 cos 30° ] H � ____

30°

R

H

2

v c

60°

variável, pois x é é variável. II. Correta. A energia armazenada em B é potencial

h B

elástica; de fato, a expressão da assertiva II fornece o valor da energia potencial elástica.

mecânica entre os pontos A e C da da trajetória:

A com a da B.


2 #

d ll 3 h � R 2 H ] h � 1 2 ___ R

30°

C

Agora, avaliando a conservação da energia

III. Incorreta. Não se pode somar a energia da situação

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

@

d

concluir sobre a conservação da energia. 22 (IME-RJ) Um bloco A, cuja massa é 2 kg, desloca-se, como mostra a figura, sobre um plano horizontal sem atrito e choca-se com a mola C , comprimindo-a até o ponto B . V C A

B 20 cm

Sabendo-se que a constante elástica da mola é 0,18 N/m, a velocidade escalar do bloco, no momento em que se chocou com a mola, era: a) 6 cm/s. c) 50 cm/s. e) 10 cm/s. b) 20 cm/s. d) 60 cm/s. f ) n.r.a. Por conservação de energia: E c �E pel ]

2 mv ____

d

2 kx ___

2 lll k kx __ ___ ] v � � m ] Ov O � O x O m 2 2

d

2

llll 0,18 } Ov O � 0,06 m/s Ov O � O0,2O ____ 2

O

R C

D

B L

#

a c i n â c e a é preciso calcular. m d ll 3 1 _ __ _ ___ a d ll 2 3 gR 3 2 3 3 v R i 3 c 3 2sen J 3 cos J ___ 2 2 g _______________ a� � _______________ ] } a � r 2 g e g n A distância L procurada é tal que L 5 d 1 a. e 3R __ R ___ e 3R ] } L 5 2R ___ L 5 R 3 cos 60° 1 � 1 o 2 2 2 h l a b a r T

24 (UFRR) Uma bola de borracha, de massa igual a 1 kg, cai de uma altura de 2 m, em relação ao solo, com uma velocidade inicial nula. Ao tocar o solo, a bola transfere para este 12 J, na forma de calor, e volta a subir verticalmente. Considere a aceleração da gravidade g 5 10 m/s 2. A altura, em cm, atingida pela bola na subida é de: a) 5. c) 60. e) 125. b) 20. d) 80.

Considere a figura:

A

v 0 = 0

B

v = 0

h A = 2 m

23 (Unifap) Em uma feira de Ciências em Macapá, o jogo mecânico, mostrado na figura abaixo, foi bastante visitado. Um bloco de massa m, partindo do repouso do ponto A, desliza sem atrito por uma rampa circular de raio R até o ponto C , quando é lançado para fora da superfície circular, atingindo o ponto D . A

@

2 2 De C a a D, tem-se um lançamento oblíquo, cujo alcance

IV. Incorreta. Nas situações A e B, nada se pode

0

2 d ll 3 1 mv ____C E A � E C ] mgR � mg 1 2 ___ R 2 2 v 2c d ll 3 2 __ ___ gR � ] v c � d ll 3 gR

hB

Por conservação de energia: E Apg � E Bpg 1 12 ] mgh A � mghB 1 12 ] mgh A 2 12 ] hB � __________ mg 3 10 3 2 2 12 1____________ hB � } hB � 0,8 m � 80 cm 1 3 10

Solo

ESTUDANDO Trabalho e energia mecânica


As quatro figuras a seguir mostram situações variadas envolvendo objetos em movimento.

iii.

E c

iv. A

B

E c

I. A

A

0

B

h

II.

t

B

0

t

A sequência de gráficos i, ii, iii e iv corresponde, respectivamente, às situações ilustradas nas figuras: a) III, IV, II, I. d) IV, I, II, III. IV, II. b) II, I, III, IV. e) III, I, IV, c) III, II, I, IV. IV. O gráfico i mostra o aumento contínuo da energia cinética, ou seja, da velocidade do móvel, fato que é

B

observado apenas no móvel III.

A

O gráfico ii ilustra uma energia cinética constante, seguida de diminuição, e volta a ser constante, embora menor. Essa análise qualitativa corresponde à figura I, do skatista, que vem por uma plataforma horizontal com velocidade constante, sobe o aclive III.

perdendo velocidade e segue por outra plataforma,

A

v

0



com velocidade constante. O gráfico iii está relacionado à figura IV, pois a bola é chutada com velocidade máxima, perde velocidade B

enquanto ganha altura e volta a ficar veloz ao cair. v

No ponto de energia cinética mínima, a bola está em sua altura máxima, em que tem apenas velocidade horizontal.

IV.

E o último gráfico ( iv) corresponde ao movimento do pêndulo (II). Ele parte de velocidade nula, aumenta continuamente até passar pelo ponto B

A

de menor altura, em que a velocidade é máxima, e perde velocidade ao subir até atingir sua altura máxima,

Observe os gráficos a seguir, que correspondem à análise qualitativa da energia cinética das situações ilustradas, considerando que não há dissipação de energia em nenhuma delas. i.

ii.

B

E c

E c

B

A 0

A

t

0

t

com velocidade nula, do outro lado.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


2 H17 H20

Nas competições de esqui na neve, é a de “descida livre” (downhill ) a modalidade em que se atingem as maiores velocidades, podendo-se chegar a 150 km/h. Os competidores correm contra o relógio, pois vence aquele que cumprir o percurso em menor tempo. Para testar o trajeto, um esquiador de massa 100 kg desceu, a partir do repouso, em A, um trecho de uma montanha nevada de 45 m de altura, até o nível do chão, em B, aonde chegou com a velocidade de 20 m/s. Durante a descida, o esquiador não deu impulso nem freou. Ele apenas se preocupou com sua postura para obter o melhor aproveitamento aerodinâmico. É correto afirmar:

A

45 m

H20 H23

O saque “jornada nas estrelas” estrelas”,, populariz popularizado ado na década de 1980 pelo jogador Bernard, da seleção brasilei ra de voleibol, fazia a bola subir a mais de 20 m de altura e cair quase que verticalmente na quadra adversária. Um desses saques fez a bola, de massa 300 g, atingir a altura de 25 m e cair na quadra adversária. Sabendo que a gravidade local era 10 m/s 2 e desprezando os efeitos dissipativos de atritos e resistências do ar, é correto afirmar que: bola é a) na altura máxima, a energia gravitacional da bola nula. b) a energia cinética com que a bola atinge o solo é 75 joules. c) a energia cinética com que a bola atinge o solo é nula. d) a energia cinética com que a bola atinge o solo é 75.000 joules. e) na altura máxima, a energia gravitacional da bola é 75.000 joules. Impulsionada pela força do saque, a bola ( m � 300

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


3

gramas � 0,3 kg) sobe a uma altura de 25 m com a B

a) A energia dissipada na descida é nula. esquiador, antes de desb) A energia mecânica total do esquiador,

cer o trecho nevado, era 45 kJ. c) Pelo princípio de de conservação da energia, energia, a energia mecânica total do esquiador, no momento em que atinge o nível do chão, vale 45 kJ. esquiador, antes de descer d) A energia gravitacional do esquiador, o trecho nevado, era 45 J. e) Ao chegar ao nível do solo, a energia cinética do esquiador vale 45.000 J. Em A, a energia cinética (E C) é nula, pois o esquiador está em repouso, e a energia gravitacional (E G) vale: E G � m � g � h � 100 � 10 � 45 ]

] E G � 45.000 joules � 45 kJ Assim, a energia mecânica total em A vale: E M � E C � E G � 0 � 45.000 ] E M � 45.000 J � 45 kJ

Em B, a energia gravitacional se anula, enquanto a 100 � 202 m � v 2 cinética vai valer: E C � � � 2 2 100 � 400 � � 20.000 J ] E C � 20 kJ 2 E a energia mecânica total vale: E M � E C � E G � 20.000 � 0 � 20.000 J ] E M � 20 kJ

A energia dissipada (E diss) na descida foi de: E diss � E MA � E MB � 45.000 � 20.000 ] E diss � 25.000 J

gravidade local valendo 10 m/s 2. A energia potencial gravitacional da bola, na altura máxima, é de: E G � m � g � h � 0,3 � 10 � 25 ] E G � 75 J

A energia cinética é nula na altura máxima, pois não há velocidade na bola. Porém, na descida, toda a energia gravitacional vai se transformando em cinética e, ao tocar a quadra, a energia gravitacional se anula; portanto, a energia cinética é máxima: E C � 75 J.



PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO Para lidar com problemas que envolvam colisões, utilizam-se os conceitos de impulso e quantidade de movimento. A conservação da quantidade de movimento é mais facilmente verificada e mais abrangente do que a conservação da energia mecânica. mecânica.

I. Quantidade de movimento

II. Impulso

Chama-se quantidade de movimento (ou momento linear) a grandeza vetorial q com com as seguintes características:

O impulso é a grandeza física que mede o efeito temporal da força, ou seja, que relaciona a força aplicada a um corpo à duração da interação – intervalo de tempo – entre a força e o corpo.

• Módulo: definido pela expressão

q  m ∙ v .

K C O T S N I T A L / S R E T U E R / R E I G O N N E I T S A B E S

• Direção e sentido: os mesmos do vetor velocidade ins-

tantânea v . A unidade de medida da quantidade de movimento no SI é kg ∙ m/s. Por ser uma grandeza vetorial, a quantidade de movimento admite valores negativos, indicando que o objeto se desloca no sentido contrár io ao adotado como positivo na trajetória. Dessa maneira, ainda que a energia cinética de um corpo de massa 10 kg tenha o mesmo valor tanto para deslocamentos com velocidade de módulo 2 m/s quanto para movimentos retrógrados com velocidade � 2 m/s, as quantidades de movimento associadas a esses deslocamentos não serão as mesmas.

Figura 2 • Para conseguir golpes mais fortes, o tenista procura

manter a bola em contato com a raquete o maior tempo possível, aumentando o impulso.

Impulso da força constante

1 v

 2 m/s

Se o módulo da força F é é constante ao longo do intervalo de tempo ∆t , o módulo do impulso é dado por:

q

I 5 F 3 St

A direção e o sentido do impulso coincidem com os da força F aplicada. aplicada.

2 v

 �2 m/s

I q

F

Figura 1 • O valor da energia cinética das duas caixas é 20 J, mas a quantidade de movimento da caixa 1 vale q1  20 kg ∙ m/s e a da caixa 2, q2  �20 kg ∙ m/s.

Figura 3

A unidade do impulso no SI é N ∙ s.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Impulso da força variável Se a força não é constante durante a interação, o impulso é numericamente igual à soma algébrica das áreas estabelecidas no gráfico F � t , limitadas pelo eixo das abscissas.

Pode-se concluir que as grandezas impulso I e quantidade de movimento q estão estão relacionadas por meio do Teorema do Impulso, que estabelece:

I 5 Sq 5 q final final 2 q inicial inicial

F

A expressão representa uma subtração de vetores. Além disso, fica claro que, para alterar o estado de movimento de um corpo, é necessário aplicar uma força que interaja com ele durante certo intervalo de tempo.

A3

A1

K C O T S N I T A L / S I B R O C / A P E / B U A R T S

t

A2

Figura 4 • Observe que as áreas acima do eixo horizontal contribuem

positivamente, ao passo que as áreas sob o eixo contribuem negativamente para o impulso.

No caso da figura 4, tem-se: . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


N

I  A1 2 A2 1 A3

K C I R T A P

. Figura 6 • No bloqueio, a força exercida pela jogadora, ao receber uma

Teorema do Impulso Para variar a quantidade de movimento de um objeto, é necessário que uma força exerça certo impulso sobre ele. Na tirinha a seguir (figura 5), Cascão joga uma pedra em Mônica, que a rebate. Pode-se analisar a situação utilizando os conceitos físicos aprendidos neste tópico. Ao lançar a pedra com certa velocidade, Cascão está associando a ela certa quantidade de movimento inicial q i. A pedra é rebatida, isto é, uma força atua sobre ela em curto intervalo de tempo, produzindo um impulso que altera o módulo e o sentido de sua velocidade e, consequentemente, modifica sua quantidade de movimento, que passa a ser q f f. O impulso I exercido pela força imposta por Mônica ao coelho Sansão, e por ele à pedra, é o agente que provoca a variação da quantidade de movimento ∆q da pedra, salvando Mônica de receber uma pancada. A D T L S E Õ Ç U D O R P A S U O S E D O I C I R U A M

cortada, altera a quantidade de movimento da bola e muda sua direção. Quanto maior o tempo de contato entre a mão de quem bloqueia e a bola, maior a força com que esta retorna ao outro lado da quadra.

Airbags Tempo em milissegundos 00

85

58

150

68

O tempo de acionamento de um airbag pode ser comparado ao tempo de um piscar de olhos.

Figura 7

Figura 5 • Mônica se livra da pedrada devolvendo-a a Cascão. A força

sobre a pedra exerce impulso sobre ela.

Em uma colisão, os automóveis têm sua velocidade reduzida bruscamente ou, em outras palavras, suas quantidades de movimento se anulam em poucos instantes. Como a força responsável pela redução da velocidade é muito grande, o impulso sobre o carro também será elevado, e o passageiro terá pouquíssimo tempo para anular sua quantidade de movimento. É aí que entram os airbags. Por meio da bolsa inflável que é acionada em uma colisão, eles amortecem o choque, aumentando o tempo de desaceleração. Com isso, reduzem a intensidade das forças trocadas no impacto. O airbag provoca uma desaceleração quase uniforme nos ocupantes do veículo.

o t n e m i v o m e d e d a d i t n a u q a d o ã ç a v r e s n o c a d o i p í c n i r P

III. Conservação da quantidade de movimento Forças internas e externas Considere que, sobre uma mesa de bilhar, entre todas as bolas é estabelecido um sistema de corpos constituído apenas pelas bolas branca e vermelha. Todas as forças trocadas entre elas são denominadas forças internas. As forças trocadas entre as bolas branca e vermelha e corpos fora do sistema são forças externas. Dessa maneira, o peso das b olas é uma força externa, já que a Terra, agente da força peso, não faz parte do sistema. S E G A M I R E H T O / Y M A L A / E G N I G G E D L I H P

Em síntese, em um sistema isolado de forças externas, a quantidade de movimento se conserva e pode ser expressa por:

q f f  q i É importante notar que a conservação conser vação da quantidade de movimento ocorre mesmo que não haja conservação da energia mecânica. Trata-se de um princípio mais geral, usado mesmo em colisões de partículas subatômicas. No lançamento de um foguete, para que ele se mova para cima, é necessário expulsar uma enorme quantidade de gás em sentido oposto. A quantidade de movimento do sistema foguete � gás se conserva.

IV.. Colisões unidimensionais IV

Figura 8 • São forças

externas a força do taco, o peso das duas bolas, as normais e o atrito. As forças trocadas entre as duas bolas durante o choque são forças internas.

Sistema isolado de forças externas Um sistema de corpos é considerado isolado de forças externas se: • não atuam forças externas sobre ele (exemplo: o sistema é uma sonda espacial no espaço es paço longínquo); ou • a resultante das forças externas é nula (exemplo: no sistema bolas branca e vermelha, descrito anteriormente, o peso e a normal são forças externas e se anulam); ou • a intensidade das forças externas é desprezível em relação à intensidade das forças internas (exemplo: no sistema bolas branca e vermelha, o atrito entre as bolas e a mesa pode ser considerado desprezível em relação às forças trocadas no choque entre as duas bolas).

Conservação da quantidade de movimento Se o sistema está isolado de forças externas, é nulo o impulso resultante sobre o sistema e, em consequência, a quantidade de movimento total não sofre alteração. Essa conclusão, que é o princípio da conservação da quantidade de movimento, pode ser descrita algebricamente, como segue: �F ext ext  0 ⇒ I sistema  0 ⇒ ∆q  0 ⇒ q f f � q i  0

Em uma colisão mecânica, supondo-se que a massa dos corpos não se altere, identificam-se identificam-se duas fases: deformação e restituição. Na deformação, a energia cinética dos corpos anterior ao choque se transforma em energia potencial elástica, energia sonora (ruído), energia térmica (calor) etc. Na restituição, toda ou parte da energia transformada retornará na forma de energia cinética. As colisões passam, então, a ser classificadas de acordo com o reaproveitamen reaproveitamen-to da energia mecânica do si stema após a colisão, como descrito a seguir. • Choque perfeitamente elástico: os corpos não sofrem deformações permanentes (situação idealizada); a energia mecânica do sistema de corpos que colidem se conserva, ou seja: E Mi 5 E Mf

• Choque inelástico: a deformação nos corpos provoca-

da pelo choque é permanente, podendo não ser perceptível (por exemplo: uma bola de tênis em seu choque com a raquete); a energia mecânica do sistema de corpos que colidem não se conserva, sendo transformada em outras formas de energia. Assim, tem-se: E Mf < E Mi

• Choque totalmente inelástico : os corpos movem-

se juntos após a colisão, não havendo restituição (por exemplo: uma bola de argila atirada contra um carrinho em movimento). A energia mecânica inicial do sistema sofre uma redução maior do que em um choque inelástico. E Mf < E Mi

Além dessa classificação, podem-se caracterizar os choques como frontais ou como oblíquos. Nas colisões ditas frontais, os choques se dão em uma só dimensão, ou seja, a direção do movimento dos corpos não é modificada com o choque; caso contrário, a colisão é denominada oblíqua, ou em duas dimensões (figuras 9 e 10).

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


K C O T S N I T A L / S I B R O C / A F E Z / A K L U K S A I H T T A

VI. Quantidade de movimento em uma dimensão Por outro lado, o módulo da quantidade de movimento do sistema, no caso de esferas com sentidos opostos, corresponde a uma diferença entre os módulos dos vetores quantidade de movimento de cada corpo. Ainda supondo v A > v B, observe as situações a seguir:

M

Figura 9 • Na colisão da bola de boliche com os pinos, parte da

energia cinética inicial do sistema é transformada em outras formas de energia; a colisão é inelástica.

qA

qB

qB

A

B

Situação 5

M O C . E M I T S M A E R D / I L O S N O C O I G R E S

B

Situação 6

Nas situações 5 e 6, tem-se:

qtotal  mA ∙ v A � mB ∙ v B

.

Para vetores com mesmo sentido, o módulo da resultante equivalerá a uma soma entre os módulos dos vetores.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


qA

A

A

qA

qB

qA

B

Situação 7

A

qB B

Situação 8

Nas situações 7 e 8, tem-se:

qtotal  mA ∙ v A � mB ∙ v B .

Figura 10 • Apesar de choques perfeitamente elásticos não

ocorrerem na realidade, há algumas situações em que, no limite, pode-se admitir que a energia cinética do sistema se conserva por alguns instantes, como nessa situação.

Coeficiente de restituição É a razão entre o módulo da velocidade relativa dos corpos posterior à colisão e o módulo da velocidade relativa dos corpos anterior à colisão.

V. Velocidade relativa em uma dimensão É preciso analisar cuidadosamente todas as possibilidades de sentido dos vetores velocidade entre duas esferas que colidem na mesma direção. Se os sentidos dos movimentos dos corpos são opostos, o módulo da velocidade relativa corresponde à soma dos módulos das velocidades de cada um dos corpos. v

v

v

B

A

A

B

A

Situação 1

v

B

A

B

Situação 2

Para as situações 1 e 2, tem-se:

v rel  v A � v B

.

Se os sentidos dos movimentos coincidem, o módulo da velocidade relativa será a diferença entre os módulos das velocidades de cada um dos corpos. v

v

A

A

B

B

Situação 3

A

B

B

Situação 4

Supondo v A > v B, a velocidade relativa nas situações 3 e 4 será:

v rel  v A � v B

.

v reldepois v relantes

• Se e  1, a energia se conserva, e a colisão é dita perfeitamente elástica. • Se e  0, não ocorre restituição, e os corpos permanecem unidos após a colisão. Essa colisão, na qual ocorre a maior perda de energia, é conhecida como inelástica (ou totalmente inelástica). • Se 0 < e < 1, a restituição da energia é parcial, e a colisão é denominada parcialmente elástica (ou inelástica).

VII. Conservação da quantidade de movimento nas colisões

v

v

A

e

Em um sistema de corpos que colidem entre si, a quantidade de movimento imediatamente antes da colisão, q i, é igual àquela imediatamente após a colisão, q f f:

q i  q f f para qualquer tipo de choque mecânico.


ESTUDANDO Princípio da conservação da quantidade de

movimento

Paraa o VEST Par VESTIBUL IBULAR AR 1 (UFRJ) Em uma aula de física, os alunos relacionam os

3 (UFRGS-RS) Um veículo de massa 500 kg, percorrendo uma

valores da energia cinética de um corpo aos de sua velocidade. O gráfico abaixo indica os resultados encontrados.

estrada horizontal, entra numa curva com velocidade de 50 km/h e sai numa direção que forma um ângulo de 60° com a direção inicial e com a mesma velocidade de 50 km/h. Em unidades do Sistema Internacional, a variação da quantidade de movimento do veículo, ao fazer a curva, em módulo, foi de, aproximadamente: a) 7,0 3 104. c) 3,0 3 104. e) 3,0 3 103. b) 5,0 3 104. d) 7,0 3 103.

(J) E c 9

Depois da curva

Antes da curva

Considere a figura:

y

y

Fazendo a devida conversão,

60°

x

4

x

a velocidade do veículo é de 14 m/s. Assim, a quantidade de movimento do veículo antes da curva era:

1 0

} q0  7.000 kg 3 m q0  mv  500 3 14 14} m/s /s 1

2

3

(m/s) v (m/s)

Determine, em kg ∙ m/s, a quantidade de movimento desse corpo quando atinge a velocidade de 5 m/s. 1 1 E c  mv 2 ⇒ 9  ∙ m ∙ 32 ⇒ m  2 kg 2 2 q  m ∙ v  2 ∙ 5 ⇒ q  10 kg ∙ m/s

Após a curva: qf  mv f ⇒ qf  500 ∙ 14 } qf  7.000 kg Da relação vetorial ∆q  q f f � q 0, tem-se o esquema: Como q  q0 e o ângulo entre

–q

60°

e �q 0 é de 60°, o triângulo da figura q e

q

100 g é arremessada frontalmente contra uma parede. A bolinha atinge a parede perpendicularmente a ela com velocidade de 10 m/s. Após o choque, a bolinha retorna na mesma direção com módulo de velocidade igual a 8 m/s. Considerando positivo o sentido da velocidade da bolinha no instante em que atinge a parede, o impulso da força exercida pela parede sobre a bolinha, em kg ∙ m/s, é: a) �5,0. d) �1,8. b) �3,8. e) �1,0. c) �2,5. O impulso da força exercida sobre a parede é: I  variação da quantidade de movimento 

 m ∙ v final � m ∙ v inicial. I  0,1 ∙ 10 � 0,1 ∙ (�0,8)  1,8 kg ∙ m/s

Logo, o impulso da força exercida pela parede sobre a bolinha é �1,8 kg ∙ m/s.

f

∆q

é equilátero.

2 (UEA-AM) Uma bolinha de borracha de massa igual a

0

60°

Logo: ∆q  7.000 kg ∙ m/s.

4 (Uesc-BA) De acordo com a Infraero, no aeroporto Salgado Filho, em Porto Alegre-RS, 18 acidentes causados por choques de aves com aeronaves foram registrados em 2007 e mais quatro nos cinco primeiros meses de 2008. Considere uma ave com 3,0 kg que se chocou perpendicularmente contra a dianteira de uma aeronave a 540,0 km/h. Sabendo-se que o choque durou 0,001 s e desprezando-se a velocidade da ave antes do choque, a força aplicada na dianteira da aeronave é equivalente ao peso de uma massa, em toneladas, aproximadamente igual a: a) 25. b) 35. c) 40. d) 45. e) 50. 540 km/h  150 m/s. Quantidade de movimento da ave após o choque q  m 3 v  3 3 150 ] q  450 kg 3 m/s

Pelo Teorema Teorema do Impulso: Sq  I  F 3 St ] 450  F 3 0,001 ] } F  450.000 N O peso de 450.000 N equivale a uma massa de 45.000 kg, ou 45 toneladas.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


5 (Mackenzie-SP ) Uma bola de bilhar de 100 g, com ve-

7 (Uerj) Um corpo de massa igual a 6,0 kg move-se com ve-

locidade de 8 m/s, atinge a lateral da mesa, sofrendo um choque perfeitamente elástico, conforme mostra a figura. No choque, a bola permanece em contato com a lateral da mesa durante 0,08 s.

locidade constante de 0,4 m/s, no intervalo de 0 s a 0,5 s. Considere que, a partir de 0,5 s, esse corpo é impulsionado por uma força de módulo constante e de mesmo sentido que a velocidade, durante 1,0 s. O gráfico abaixo ilustra o comportamento da força em função do tempo.

30°

30°

o t n e 12,0 m i v o m e d e d a d i 0 t t (s) 1,5 0,5 n a u Calcule a velocidade do corpo no instante t  1,5 s. q a Como o impulso é na mesma direção e sentido da d o ã velocidade, tem-se: ∆q  I ⇒ ∆q  F ∙ ∆t ⇒ 6 ∙ v f � 6 ∙ ç a v r ∙ 0,4  12 ∙ 1 ⇒ v f  2,4 m/s e s n o c a d (UFC-CE) Na superfície de um lago congelado (consi (consi-- o i dere nulo o atrito), um menino de 40 kg empurra um p í homem de 80 kg. Se este adquirir a velocidade de c n i 0,25 m/s, o menino: r a) escorregará, em sentido contrário, com velocidade P F (N)

A intensidade da força que a bola aplica nessa lateral é de: a) 20 N. c) 16 N. e) 10 N. b) 18 N. d) 15 N. Para determinar a intensidade F da da força, utiliza-se o Teorema OSqO _____ do Impulso: I F  OSqO ] F 3 St  OSqO } F  St Segundo o enunciado: St  0,08 s. Falta determinar Sq. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Como o choque é perfeitamente elástico, pode-se escrever:

OqinicialO  OqfinalO  mv  0,1 kg 3 8 m/s  0,8 kg 3 m/s. Agora: Sq  q final � q inicial. Vetorialmente: qfinal

Sq

8

60°

– qinicial

Como Oq finalO  Oq inicialO e o ângulo entre q final e �q inicial é de 60°, o triângulo da figura é equilátero. Logo: OSqO  0,8 kg 3 m/s. 0,8 Sq Assim: F  ___  ____ } F  10 N. 0,08 St

e u

igual em módulo. b) ficará parado. c) deslizará , em sentido oposto, com velocidade de 0,50 m/s. d) deslizará, para trás, com velocidade de 2 m/s. Considere a seguinte sequência de figuras com respeito à interação entre o homem (H) e o menino (M): v H0 = v M0 =

6 (Unemat-MT) Considere uma bola de 0,75 kg, que se choca perpendicularmente com uma parede a uma velocidade de 10 m/s, e que, após o choque, retorna na mesma direção e mesma velocidade em módulo, ou seja, ocorrendo um choque perfeitamente elástico. Calcule a intensidade da força atuante na bola, provocada pela parede, supondo que a interação do choque tenha durado um tempo de 0,04 s. a) 250 N

c) 300 N

b) 375 N

d) 425 N

e) 500 N

0

F

M H

M H

(+)

Antes da interação M v M =

(+)

Durante a interação H

?

v H =

(+) 0,25 m/s

Depois da interação

Admitindo que o sistema (homem 1 menino) seja mecanicamente isolado, pode-se escrever: (qsist)final  (qsist)inicial ] mMv M 1 mHv H  0

I  F ∙ 0,04, mas I  variação da

40 3 v M 1 80 3 0,25  0 ] 40v M  220 } v M  20,5 m/s.

q  0,75 ∙ 10 � 0,75 (�10)  15 kg ∙ m/s.

Portanto, o menino se desloca em sentido oposto ao do

15  F ∙ 0,04, então F  375 N.

homem com velocidade de 0,5 m/s.

9 (UFU-MG) Um aluno entusiasmado com os conceitos de

10 (UEM-PR) Analise as alternativas abaixo e assinale o que

física que aprendeu em sala de aula decide testar seus conhecimentos. Para isso, ele juntou dois carrinhos de brinquedo de massa m1 e m2, respectivamente, e uma mola de massa desprezível com constante k . Colocou o conjunto em uma superfície plana e comprimiu a mola do seu comprimento de equilíbrio x 0 até o comprimento x , amarrando os carrinhos com uma corda de massa desprezível, deixando o conjunto em repouso, como mostrado na figura abaixo. Em um dado instante a corda é cortada, liberando os carrinhos para se mover livremente, já que a mola não está presa nos carrinhos.

for correto. (01) Em uma colisão perfeitamente elástica, a energia cinética e a quantidade de movimento do sistema físico se conservam. (02) Em uma colisão perfeitamente inelástica, os corpos se mantêm juntos após a colisão. (04) Em uma colisão elástica entre dois corpos A e B, se a massa de A é mA e, antes da colisão, A possui a velocidade v Ai e B está em repouso, a quantidade de movimento de B, após a colisão, será mA (v Ai � v Af ), sendo v Af a velocidade de A após a colisão. (08) Somente nas colisões perfeitamente elásticas, a energia cinética se conserva. (16) Um exemplo real de colisão perfeitamente elástica ocorre quando dois corpos colidem e apresentam deformações após a colisão.

m

m

1

2

Desprezando qualquer atrito no sistema, marque, para as afirmativas abaixo, (V) Verdadeira, (F) Falsa ou (SO) Sem Opção. 1 ( F ) A energia potencial do sistema antes de a corda k (m1 � m2) ( x x � x 0)2 ser cortada é U  .

2

2 ( V ) A força resultante atuando no sistema antes de a

corda ser cortada é nula. 3 ( F ) Após cortar a corda, os carrinhos se movimentarão em sentido oposto e cada um com aceleração k ( x x � x 0) constante e igual a a  � . (m1 � m2) 4 ( V ) As velocidades vetoriais dos carrinhos estão relacionadas por: v 1  �v 2

Soma: 01 � 02 � 04 � 08  15 Como em e m colisões col isões perfeitame perfeitamente nte elásticas elásticas a energia energia se conserva con serva,, não pode pode haver dissipação dissi pação de espécie alguma. Deformações permanentes são indicadores de dissipação de energia, logo a colisão não pode ser perfeitamente elástica.

m2 . m1

1. Falsa. A energia potencial do sistema é a soma das k ( x � x 0)2 . energias potenciais elásticas, ou seja, U 

11 (Uesb-BA) Newton e vários cientistas estavam interes-

volta ao seu normal o valor da força elástica diminui,

sados em analisar as colisões entre corpos, como, por exemplo, as colisões entre bolas de bilhar. Considerando-se um sistema de duas partículas em movimento, é correto afirmar: a) Em qualquer colisão perfeitamente inelástica que ocorra, toda a energia cinética das duas par tículas é perdida. b) O momento linear do sistema pode ser conservado mesmo quando a energia mecânica não se conserva. c) O momento linear total do sistema permanece constante, se a força interna resultante atuando sobre o sistema permanece nula. d) A energia mecânica é conservada em uma colisão elástica entre as partículas. e) O momento linear da partícula mais leve é maior que o da partícula mais pesada, movendo-se com a mesma velocidade.

o que impede que a aceleração seja constante.

A conservação do momento linear do sistema não

4. Pela conservação da quantidade de movimento,

depende da conservação da energia mecânica.

tem-se que, após a liberação da mola, as quantidades

Se, por exemplo, um carro colidir com outro, mesmo

de movimento dos carrinhos deverão ser iguais em

havendo conservação do momento linear, há

módulo e opostas em sentido, daí vem:

dissipação de energia na forma de calor.

2

2. Verdadeira. Como o sistema está em repouso,

pode-se afirmar, pela primeira Lei de Newton, que a resultante de forças que atuam nele é nula. 3. Falsa. Como o problema não afirma que as massas

são iguais e como a quantidade de movimento do sistema se conserva, ou seja, se mantém igual a zero, pode-se dizer que só haveria uma mesma aceleração para os dois corpos se as massas fossem iguais. Além disso, à medida que a mola

m1v 1 � m2v 2  0 ⇒ m1v 1  �m2v 2 ⇒ v 1  �v 2

m2 m1

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


12 (UBC-SP) A força que age em um corpo variou segundo o gráfico dado. F (N) (N)

30

0

10

t (s) (s)

O impulso que a força imprimiu ao corpo foi de: a) 150 N 3 s. c) 40 N 3 s. b) 300 N 3 s. d) 20 N 3 s. O impulso (I ) da força em questão é numericamente

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


(02) A variação da quantidade de movimento de cada

um dos dois corpos é uma grandeza vetorial que tem sempre a direção e o sentido da sua velocidade. (04) O impulso produzido pela força F 1 tem a mesma direção e sentido de F 1. (08) Se a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema constituído pelos dois corpos for nula, a o quantidade de movimento deste sistema também t n e será nula. m (16) Se a resultante das forças externas que atuam sobre i v o sistema constituído pelos dois corpos for nula, o o impulso que age em cada um dos corpos deste sis- m e tema também será nulo. d

igual à área sob o gráfico. b3h 10 3 30 N ____  ______ } I  150 N 3 s. Logo: I  2 2

Soma: 01 � 04  5

De acordo com o gráfico, a projeção F da da força sobre o

(02) Incorreta. A variação da quantidade de movimento

corpo é sempre positiva. Logo, o valor do impulso

tem direção e sentido estabelecidos pela força

também será positivo. Portanto: I  150 N 3 s.

resultante e não pela velocidade.

01 e 04 corretas.

(08) Incorreta. Se a resultante das forças externas

13 (UFSJ-MG) Em um jogo de sinuca ideal, quando uma bola bate em outra que está parada, a bola que estava parada começa a se mover e a bola que bateu nesta fica completamente parada. Com relação a esse choque, é correto afirmar que ele foi: a) elástico, havendo havendo conservação de momento e energia. b) inelástico, havendo conservação conservação de momento e energia. c) elástico, não havendo conservação de momento e energia. d) inelástico, não havendo conservação de momento e energia. Em um jogo de sinuca ideal, há um choque elástico e

que atuam sobre o sistema for nula, a quantidade de movimento do sistema é constante e não necessariamente nula. (16) Incorreta. A somatória dos impulsos é que será nula,

e não o impulso em cada corpo isoladamente. Como o intervalo de tempo (que multiplica a força para se obter o impulso) é uma grandeza escalar, a força determinará a direção e o sentido do impulso.

a bola atingida sai com a mesma velocidade da que chegou. Essa choca-se e para. Nesse caso, há conservação da energia e da quantidade de

15 (Uesc-BA) Um corpo A, de massa mA  6,0 kg e veloci-

movimento.

14 (UFSC) Um corpo de massa m1 e velocidade de módulo v 1 (corpo 1) choca-se com outro de massa m2 e velocidade de módulo v 2 (corpo 2). Durante o choque, o corpo 1

exerce uma força F 2 no corpo 2 e o corpo 2 exerce uma força F 1 no corpo 1.

dade v A  15,0 m/s, colide com um outro corpo B, de massa mB  4,0 kg e velocidade v B  10,0 m/s, que se move na mesma direção e no mesmo sentido. Sabendo-se que a colisão foi perfeitamente inelástica, a velocidade dos corpos, após a colisão, é igual, em m/s, a: a) 15. b) 14. c) 13. d) 12. e) 11. O módulo da quantidade de movimento inicial do sistema é: 6,0 ∙ 15,0 � 4,0 ∙ 10,0  130 kg ∙ m/s.

F 1

1

2

F 2

Na colisão perfeitamente inelástica os corpos ficam juntos. Logo, Logo, na situação final a massa total total será 10,0 kg. kg. Então, 130  10 ∙ v final.

Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). (01) No Sistema Internacional, a unidade da quantidade de movimento dos corpos é kg ∙ m/s.

Logo, a velocidade final do conjunto é 13 m/s.

e d a d i t n a u q a d o ã ç a v r e s n o c a d o i p í c n i r P

16 (UFSC) Uma esfera maciça cuja massa é 2,0 kg desloca-se, com velocidade 10 m/s, no interior de uma canaleta que permite apenas o movimento unidimensional. Ela colide com uma outra esfera, de massa 1 kg, que se movimenta em sentido contrário com o dobro da velocidade. Determine o módulo da velocidade de cada uma das esferas após a colisão, sabendo que o coeficiente de restituição da colisão é 0,5.

10 m/s

v B

0

m A =

B

2 kg

mB =

(+)

1 kg

(+)

Após a colisão B

(+)

Dado que 0 , e , 1, trata-se de um choque parcialmente elástico. Usando a definição, tem-se: v A 2 v B v A 2 v B __________ _______ e  v � v ] 0,5  } v A 2 v B  15 (1) 10 2(220) A B 0

m = A

+

B

2 kg

m = B

A

(+)

B

(+)

3 kg

Pela conservação da quantidade de movimento, tem-se:

] 2v  6(2 1 3) } v  15 m/s

B

A

Depois da colisão = 6 m/s v A B

(qsist)inicial  (qsist)depois ] mAv  v A 1 B(mA 1 mB) ]

Durante a colisão A

considera-se a figura:

A

= – 20 20 m/s

A

admitindo que o sistema seja isolado. Para tanto,

v = v A

Antes da colisão 0

Deve-se determinar a velocidade inicial v do do bloco A,

Antes da colisão v = 0 B

O enunciado sugere a seguinte figura:

= v A

Determine a deformação máxima da mola, em unidades do SI e em notação científica.

0

Usando agora a conservação da quantidade de movimento do sistema, tem-se:

Portanto, a energia cinética associada ao corpo A antes 2

mAv 2 3 152 da colisão é: E C  _____ ] E C  ______ } E C  225 J 2 2 No choque com a mola, para que haja deformação

máxima, toda energia cinética do corpo A deve ser convertida em energia potencial elástica. Portanto, por conservação de energia, tem-se: kx 2 ___ E C  E Pel ] 225  2 ]

2 3 225 x 2  ______5 } O x O  3 3 1022 m 5 3 10

18 (UFPB) Uma bola de massa 500 g e velocidade 72 km/h

(qsist)antes  (qsist)após ] mAv A 1 mBv B  mAv A 1

Substituindo (2) em (1), vem:

choca-se frontal e elasticamente com uma parede. Determinar: a) a intensidade da variação da quantidade quantidade de movimento. b) a intensidade do impulso da força aplicada pela parede sobre a bola durante a colisão.

v A 2(22v A)  15 } Ov AO  5 m/s

Em relação à colisão, tem-se:

0

0

1 mBv B ] 2 3 10 1 1( 220)  2v A 1 v B ] 2v A 1 v B  0 1(2 } v B  22v A (2)

Substituindo v A  5 m/s em (2), resulta:

v 0 =

72 km/h = 20 m/s

m

= 0,5 kg

v B  210 m/s } Ov BO  10 m/s.

F

(+)

(+)

(+)

a) Como o choque é frontal e elástico, a velocidade da

17 (UFBA) Um bloco A, com 2 kg de massa, deslocando-se sem atrito sobre uma superfície horizontal plana, com velocidade de módulo igual a v , atinge, em colisão frontal, um bloco B, com 3 kg de massa, inicialmente em repouso. Após a colisão, A e B deslocam-se unidos, com velocidade igual a 6 m/s. Admita agora que a colisão ocorra, nas mesmas condições da colisão anterior, entre o bloco A e uma mola ideal. A mola tem constante elástica igual 5 3 10 5 N/m e foi colocada no lugar de B, com uma das extremidades fixa.

bola após o choque é de 220 m/s. Logo: OSqO  Oqfinal 2 qinicialO  Omv 2 mv 0O OSqO  O0,5( 220) 2 0,5 3 20 0,5(2 20OO ] } OSqO  20 kg 3 m/s b) Pelo Teorema do Impulso, tem-se: I F  OSqO } I F  20 N 3 s.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


19 (IFSP) Existe um brinquedo de criança que é constituí-

d) responda se a colisão foi ou não perfeitamente elás-

tica. Justifique a sua resposta.

do de um pêndulo de três bolinhas de mesma massa e comprimentos iguais. A brincadeira consiste em abandonar uma bolinha X de uma altura H , acima das outras duas Y e W, que estão em repouso (figura 1). Quando a bolinha X colidir com as duas, todas ficam grudadas e o conjunto atinge uma altura h acima da posição inicial de Y e W (figura 2).

a) Energia potencial da esfera na altura máxima: E pg  m 3 g 3 hB  5 3 10 3 0,2 ] E pg  10 J

Pela conservação de energia da esfera: 5 3 v 2B E cin  E pg ] _____  10 ] v B  2 m/s 2 b) Conservação da quantidade de movimento:

X

h

H Y W

Figura 1

Figura 2

Se desconsiderarmos qualquer tipo de atrito, o valor de h em função de H será será de: a)

H

2

.

b)

H

3

.

c)

H

6

.

d)

H

8

.

e)

H

9

.

A energia inicial é m ∙ g ∙ H ; logo, a velocidade de . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


colisão da bolinha é dada por: mgH 

mv 2

2

] v  � 2gH

Pelo princípio da conservação da quantidade de � 2gH movimento, tem-se: m� 2gH  3mv ’ ] v ’  3 Utilizando novamente a conservação da energia mecânica, vem: � 2gH 3mv ’2 3 3mgh  2 ] gh  2 H ]h 9

�

∙

2

2gH ] gh  9 ] 2

21

o t n e m i v o qantes  qdepois ] 2 3 4  2 3 v eA 1 5 3 2 ] m e d ] v Ae  21 m/s e d O sinal negativo indica o sentido para a esquerda. a d 2 i 2 3 4 t c) E antes  _____ ] E antes  16 J n 2 a 2 2 5_____ 3 2 3 1 2_____ u E depois  1 ] E depois  11 J q 2 2 a d Portanto, SE  5 J. o ã ç d) A colisão não foi perfeitamente elástica, pois o a v r sistema não conservou a energia mecânica inicial de 16 J. e s n o c (UERN) Na figura a seguir, o bloco A de massa 4 M é aban- a d donado de uma altura h na superfície curva sem atrito. o O bloco A desce a superfície sem atrito e atinge o bloco i p í B na parte mais baixa desta. No choque, os dois blocos c n se colam e sobem juntos a superfície pelo seu lado di- i r reito. Sendo M a massa do bloco B, qual a máxima altura P h’ que o conjunto pode atingir?

20 (Ufes) Um bloco A é lançado em um plano horizontal com velocidade de módulo v A  4,0 m/s. O bloco A tem massa mA  2,0 kg e colide frontalmente com uma esfera B de massa mB  5,0 kg. Inicialmente, a esfera encontra-se em repouso e suspensa por um fio ideal de comprimento L, fixo em O, como mostra a figura abaixo. Após a colisão, a esfera atinge uma altura máxima de hB  0,20 m. Os atritos do bloco A e da esfera B com a superfície são desprezíveis. O

A

h B

a) h’  0,32h b) h’  0,40h

h∙

c) h’  0,64h d) h’  0,80h

Cálculo da velocidade imediatamente antes da colisão: Pela conservação da energia mecânica, 4Mgh  A

v A

B

hB

4Mv 2A

2

] v A  � 2gH

Cálculo da velocidade imediatamente após a colisão: Pela conservação da quantidade de movimento do

Com essas informações: a) determine o módulo da velocidade da esfera B, imediatamente após a colisão; b) determine o módulo e o sentido da velocidade do corpo A, após a colisão; c) determine a diferença entre a energia cinética do sistema, antes e após a colisão;

sistema, 4M� 2gH  (4M � M)v ’ Novamente pelo princípio da conservação da 5M(v ’)2  5Mgh’ ] gh’  energia mecânica: 2 2 4� 2gH 32gh 5 ] gh’  ] h’  0,64 h ]

�

∙

ESTUDANDO Princípio da conservação da quantidade de

movimento

Para o ENEM 1 Em uma competição de tiro esportivo, um determinado

Antes do tiro, o sistema arma-bala estava em repouso,

H17 tiro na direção horizontal disparou uma bala de masH20 sa m  50 g a uma velocidade v , em relação ao solo, B B

ou seja, sua quantidade de movimento era nula.

como mostra o gráfico.

Como a propulsão da bala é causada por uma explosão e como nas explosões as forças que agem são internas

v v B

ao sistema, a quantidade de movimento total se manterá em zero, mesmo após o disparo. Isso só é 0 t

antes

durante

possível se bala e arma se deslocarem com quantidades de movimento de mesmo módulo, porém de sentidos

depois

A bala tem velocidade nula antes, mas durante o disparo ela é acelerada até atingir sua velocidade final v B. Se a arma tem massa mA muito maior do que a da bala, o gráfico que ilustra melhor a evolução da velocidade da pistola que disparou o projétil, nos mesmos instantes, também em relação ao solo, é:

contrários.

a)

mA ∙ v A � mB ∙ v B  mA ∙ v A’ � mB ∙ v B’

v v B

0

–v B

t

Usando o princípio da conservação da quantidade de movimento, tem-se: qantes  qdepois

mA ∙ 0 � mB ∙ 0  mA ∙ v A’ � mB ∙ v B’  0 mB v A  � ∙ v mA B

O sinal negativo indica o movimento retrógrado antes

durante

depois

da arma, e, considerando que mA ⪢ mB, conclui-se b)

v

que v A ⪡ v B.

v B

O gráfico que representa melhor tal situação é o da 0

–v B

c)

t

antes

durante

alternativa b.

depois

v v B

0

–v B

d)

t

Texto para as questões 2 e 3. antes

durante

depois

v v B

0

–v B

e)

t

antes

durante

depois

v v B

t

0

–v B

antes

durante

depois

A busca pelo uso de novas tecnologias para evitar erros de arbitragem é um assunto recorrente e polêmico em diversas modalidades esportivas. No futebol, existe o “tira-teima” e já se testou um chip na bola, mas nenhum deles foi oficializado ainda. No tênis, o radar e o Hawk-Eye (olho de águia) já são usados em partidas oficiais, mas de forma comedida, pois é uma tecnologia cara. Agora é a vez do voleibol: o técnico da seleção feminina, José Roberto Guimarães, propôs a introdução de um chip na bola ou o uso da tecnologia Hawk-Eye. A sugestão foi dada dois dias após sua equipe ter sido, segundo ele, vítima de falha de arbitragem na derrota para a Rússia na final do Mundial do Japão em 2010, quando o árbitro afirmou que o ataque de Sheilla havia ido para fora da quadra, enquanto os juízes de linha apontavam que a bola havia caído dentro. O fato é que, às vezes, a bola é tão veloz que fica difícil discernir em que ponto exatamente ela tocou

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


o chão. Nesses casos, a tecnologia do Hawk-Eye seria a mais indicada: acionada, ela mostra as imagens, recuperadas por computador, do momento em que a bola toca o chão, dentro ou fora da quadra.

2 Em uma partida internacional de tênis, o radar e o

II. O impulso recebido pela bola foi de 7,5 N ∙ s, vertical

para cima. aplicada na bola, pela quadra, foi de III. A força média aplicada 7,5 N. Bola

Bola

H20 Hawk-Eye registraram uma rebatida recorde: a boli-

nha viajava horizontalmente a 180 km/h quando foi golpeada e voltou pelo mesmo caminho, com velocidade de 216 km/h. O contato entre a raquete, de 300 g, e a bolinha, de 100 g, foi de 20 milésimos de segundo. Com esses dados, pode-se inferir que: a) a quantidade de movimento da bolinha antes da rebatida era de 18.000 N ∙ s. b) a força média da raquete sobre a bola foi de 1.100 N. c) o impulso dado pela raquete na bolinha foi de 5,5 N ∙ s. d) a variação da quantidade de movimento da bolinha foi de 11 N ∙ s. e) a variação de velocidade da bolinha foi de 36 m/s. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


a) Falsa. A quantidade de movimento movimento da bolinha pode

ser obtida fazendo-se: q  m ∙ v  0,1 ∙ 50  5 N ∙ s b) Falsa. A força média é obtida do impulso: I  F · · ∆t . Comparando com I  ∆q: F ∙ ∆t  m ∙ ∆v F ∙ 0,02  0,1 ∙ [60 � (�50)] 0,1 ∙ 110 m ∙ ∆v F    550 N 0,02 ∆t

30o

30o

Quadra

Estão corretas: a) as afirmações I e III. b) todas elas. c) as afirmações II e III.

d) apenas uma delas. e) as afirmações I e II.

I. Verdadeira. O módulo da quantidade de movimento

da bola antes de tocar o piso pode ser obtido com: qantes  m ∙ v  0,3 ∙ 25  7,5 N ∙ s

II. Verdadeira. O módulo da quantidade de movimento

da bola depois de tocar o piso pode ser obtido com: qdepois  m ∙ v  0,3 ∙ 25  7,5 N ∙ s

Então, o impulso é dado pela diferença vetorial entre as quantidades de movimento final e inicial:

I  ∆q  q depois � q antes  q depois � (�q antes) O impulso será a soma de dois vetores:

c) Falsa. Obtém-se o impulso com:

q

antes

I  m ∙ ∆v qdepois

I  0,1 ∙ [60 � (�50)]  11 N ∙ s

30°

30°

d) Verdad Verdadeira. eira. A variação da quantidade de movimento

da bolinha é o próprio impulso, calculado no item

–qantes

anterior: I  ∆q  11 N ∙ s I

e) Falsa. A variação da velocidade da bolinha precisa

considerar a inversão do sentido. ∆v  v final � v inicial  60 � (�50)  110 m/s

60o

qdepois

30o

Assim, o impulso é vertical e para cima. Pela geometria do triângulo equilátero, o módulo do impulso deve ser o mesmo das quantidades de movimento qA e qD,

3 Vamos admitir, no papel de Hawk-Eye, que a bola H17 atacada por Sheilla e mal marcada pelo juiz atingiu a H20 quadra a 90 km/h, fazendo um ângulo de 30° com a

horizontal, e subiu simetricamente, com mesma velocidade e mesmo ângulo. A massa da bola é 300 g e o tempo de contato entre ela e a quadra foi estimado em 30 milésimos de segundo. Sobre esse ataque, são feitas as seguintes afirmações: I. O módulo da quantidade de movimento da bola ao tocar a quadra era 7,5 N ∙ s.

ou seja, I  7,5 N ∙ s. III. Falsa.

Da expressão do impulso: I  F ∙ ∆t Substituindo os valores conhecidos: 7,5  F ∙ 0,03 Obtém-se: F  250 N.



CALOR, TEMPERA TEMP ERATUR TURA A E DIL DILA ATAÇÃO A maioria dos termômetros usa o fenômeno da dilatação para medir a temperatura. Este tópico trata da transformação das escalas termométricas, da diferença entre os conceitos de calor e temperatura e da dilatação dos sólidos e dos líquidos.

I. Diferença entre calor e temperatura Temperatura é uma grandeza macroscópica, relacionada ao grau de agitação das moléculas de um corpo (grandeza microscópica inobservável). inobservável). Calor é o nome dado à energia transferida de um corpo de maior temperatura a outro, de menor temperatura, quando postos um em presença prese nça do outro, até que ambos atinjam o equilíbrio térmico, estado em que possuem mesma temperatura. K C O T S N I T A L / Y R A R B I L O T O H P E C N E I C S / A N I C L A C E D N Y V R E M & K R A L C Y A R . R D

K C O T S N I T A L / S R E H C A E S O T O H P / R E G N I G G E D . R . E

mero de moléculas no sólido é muito grande, o processo é relativamente lento. Uma característica importante desse processo é que o transporte de energia se realiza sem o transporte de matéria.

Muito agitada

Agit ita ada

Pou ouc co agitada

de máxima e mínima, que indiretamente está medindo o grau de agitação das moléculas do ar ambiente.


Figura 3 • O esquema representa o grau de agitação molecular, que

varia com a distância até a fonte de energia.

Convecção Ocorre em fluidos e envolve o transporte de matéria por meio de correntes de convecção. O processo de convecção é mais rápido que o de condução e tem mais aplicações práticas – por exemplo, em aparelhos de ar-condicionado e geladeiras. O aquecimento da água para a fervura de alimentos em panelas também obedece a esse princípio. M O C . E M I T S M A E R D / M O O Z M O O Z

Figura 2 • Fotografia térmica

Figura 1 • Termômetro

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

de um casal mostrando cores distintas em regiões com diferentess temperatu diferente temperaturas. ras. Haverá transferênciaa de calor das regiões transferênci mais quentes (avermelhadas) para as mais frias (verdes e azuladas). A transferência cessará apenas quando a temperatu temperatura ra de ambos for igual e homogênea por todo o corpo. Figura 4 • As moléculas do líquido na parte de baixo do recipiente

II. Processos de propagação de calor

estão sendo aquecidas por condução. A densidade delas diminui e elas tendem a subir. Quando atingem as porções mais altas do líquido, empurram as moléculas que estão com temperatura menor (e densidade maior) para baixo; forma-se assim uma corrente.

Condução

Irradiação

É o principal processo de propagação de calor em sólidos cristalinos. As moléculas mais próximas da fonte térmica têm temperatura maior, vibrando mais, e essa vibração é transmitida às moléculas vizinhas. Como o nú-

A irradiação é o único processo de transmissão de calor que permite transportar energia no vácuo. Isso se dá por meio de ondas eletromagnéticas, principalmente na faixa de frequência do infravermelho.

K C O T S R E T T U H S / J W O L L E Y

Escalas mais utilizadas Nomes e respectivas temperaturas dos pontos fixos: • Celsius: 0 °C e 100 °C • Fahrenheit: 32 °F e 212 °F • Kelvin: 273 K e 373 K

Equações de conversão entre as escalas Figura 5 • A luz do Sol atinge a Terra após percorrer o vácuo.

Toda a energia vinda do Sol é transmitida por irradiação. Alguns gases na atmosfera da Terra permitem que a radiação solar incidente a atravesse e atinja a superfície do planeta. Ao ser reemitida na faixa do infravermelho, porém, esses gases impedem que a radiação escape novamente para o espaço. O fenômeno é o mesmo que ocorre nas estufas de plantas. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


K C O T S R E T T U H S / N I L O J

Figura 6 • A estufa de plantas impede que a radiação infravermelha

escape para o exterior.

• Celsius e Fahrenheit →

• Celsius e Kelvin →

θC

5

�

θF � 32

9

θC � T K � 273

o ã ç t Uma função termométrica possibilita a medição indireta a a l da temperatura, partindo-se de uma relação linear entre i d ela e outra grandeza física medida diretamente. e a r J u t a r e p m e t , r o l a a C

Funções termométricas

x b

O efeito estufa é essencial para manter a temperatura média da Terra em torno de 15 °C. Do contrário, a média estaria por volta de –10 °C, o que impediria impedir ia a água de permanecer na fase líquida na superfície, comprometendo enormemente a biodiversidade no planeta. O principal gás que regula o efeito estufa é o dióxido de carbono (CO 2). Para que o processo continue estável, a composição e a quantidade dos gases estufa nas altas camadas atmosféricas devem se manter aproximadamente constantes constantes com o passar dos séculos. Mas desde a Revolução Industrial, há duzentos anos, a humanidade passou a emitir uma quantidade crescente de CO2 (além de vários outros poluentes) na atmosfera. O volume de CO 2 emitido hoje é tão grande que percebemos ao nosso redor as consequências da pressão sobre o delicado sistema: aquecimento global, desertificação, aumento do nível dos oceanos, aumento na intensidade e na frequência de furacões etc.

III. Escalas termométricas Pontos fixos Para graduar uma escala termométrica termométrica,, são necessárias duas referências, fáceis de reproduzir, chamadas pontos fixos. As mais comuns são o ponto de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água, ambos à pressão press ão normal.

θ � ax � b

, em que a � tg 

Figura 7 • Reta que associa as grandezas θ (temperatura) e x (outra (outra

grandeza física).

Os diversos tipos de termômetros se diferenciam exatamente pela propriedade utilizada na medição. O termômetro clínico, por exemplo, mede a dilatação de uma coluna de mercúrio no interior de um bulbo de vidro. Já um termômetro de lâmina bimetálica funciona com base na diferença de dilatação entre os dois metais que compõem a lâmina calibrada com o ponteiro, em uma determinada temperatura. S E G A M I Y T T E G / D E T A R T S U L L I S T R O P S / O N O C A I N H O J

Figura 8 • A lâmina bimetálica no interior desse termômetro tem a

forma de uma espiral, cuja ponta está afixada na seta do mostrador. Conforme os dois materiais são aquecidos, dilatam-se de modo diferente, e a lâmina se curva para o lado do que sofre maior dilatação; assim, o ponteiro gira no sentido horário.

IV.. Dilatação dos sólidos IV e dos líquidos

Dilatação de furos

Geralmente os corpos, quando aquecidos, apresentam dilatação térmica decorrente do aumento da vibração de suas moléculas. Para facilitar a compreensão, classifica-se a dilatação dos sólidos em linear, superficial ou volumétrica, ainda que a variação no tamanho dos objetos ocorra simultaneamente nas três dimensões.

Ao aquecer uma chapa furada, o furo também se dilata. A magnitude da dilatação indica que o furo se comporta como se fosse feito do mesmo material que o rodeia.

A0

S > 0

A

Dilatação linear dos sólidos Ocorre quando a expansão de uma das dimensões do corpo (como o comprimento) é muito maior que a das outras. Demonstra-se experimentalmente que a dilatação linear ∆L depende do comprimento inicial L0 do objeto, do material de que ele é feito e da variação de temperatura ∆θ experimentada por ele. Equacionando: ∆L � L0 ∙  ∙ ∆θ

em que α é o coeficiente de dilatação linear do material que constitui o corpo.

Figura 11

Dilatação volumétrica Ocorre quando todas as dimensões do sólido sofrem dilatações mensuráveis após aquecimento. A expressão matemática da dilatação volumétrica é análoga às anteriores, seguindo a lógica do processo, e a mudança no coeficiente pode ser compreendida em termos didáticos se for considerada a independência de cada dimensão em sua respectiva dilatação.

Dilatação linear J0

J

L0

∆V � V 0 ∙ D ∙ ∆θ

L

O coeficiente de dilatação volumétrica do material D é tal que, com boa aproximação, D � 3. SL

Figura 9 • A dilatação representada na ilustração foi exagerada para fins

didáticos. Nos sólidos, no caso de variações na temperatura ambiente, o efeito é quase imperceptível.

0 

Dilatação superficial Ocorre se duas dimensões (o comprimento e a largura) apresentam alterações consideráveis quando o corpo é submetido a variações de temperatura. A expressão matemática da dilatação superficial é análoga à da dilatação linear, com mudança apenas no coeficiente de dilatação do material: ∆ A � A0 ∙ d ∙ ∆θ

Pode-se demonstrar, com razoável precisão, que d � 2. A interpretação física é de que cada dimensão apresenta dilatação independente das outras. A

S A A0

A0

0 

Figura 10

V 0

V

Figura 12

Uma característica importante que distingue os sólidos dos líquidos é que, em geral, os líquidos se dilatam mais que os sólidos. Isso explica por que líquidos que inicialmente ocupam todo o recipiente, ao serem aquecidos, transbordam ao se dilatar. Na tabela, é possível comparar os coeficientes de dilatação de alguns materiais. Material sólido

Coeficiente de dilatação (°C�1)

Material líquido

Coeficiente de dilatação (°C�1)

Chumbo

8,1 ∙ 10�5

Éter

1,6 ∙ 10�3

Zinco

7,8 ∙ 10�5

Gasolina

1,2 ∙ 10�3

Vidro refratário (pirex)

0,9 ∙ 10�5

Glicerina

5,3 ∙ 10�4

Tungstênio

1,3 ∙ 10�5

Mercúrio

1,8 ∙ 10�4

Fonte: LIDE, D. R. (Ed.). CRC Handbook of Chemistry and Physics . Boca Raton: CRC Press, 2006/2007.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Dilatação dos líquidos Os líquidos ocupam um volume delimitado pelo recipiente que os contém; portanto, sua dilatação será sempre volumétrica. Mas, como o recipiente também se dilata, há três dilatações volumétricas simultâneas: a real do líquido, a do recipiente e a aparente, que despreza o aumento do sólido. • Real:

∆V líq � V 0 ∙ Dlíq ∙ ∆θ

• Recipiente:

• Aparente:

Como . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


A causa desse comportamento incomum é a estrutura molecular de água (H 2O) e o modo como as moléculas se agrupam na fase sólida, formando ligações chamadas ligações de hidrogênio (também conhecidas como pontes de hidrogênio) hi drogênio) entre os átomos de oxigênio oxi gênio e os átomos de hidrogênio das moléculas vizinhas. Observe a figura:

∆V rec � V 0 ∙ Drec ∙ ∆θ

∆V ap � V 0 ∙ Dap ∙ ∆θ

, conclui-se que:

∆V líq � ∆V rec � ∆V ap

Dlíq � Drec � Dap 

0

V 0

V

Volume extravasado

Figura 13 • O volume extravasado do pequeno recipiente corresponde

à dilatação aparente do líquido.

Dilatação anômala da água Em geral, as substâncias se dilatam ao serem aquecidas. A água, porém, apresenta comportamento inverso no interinter valo de temperatura entre 0 e 4 °C, sob pressão normal. (L) V (L)

o ã ç a t a l i d e a r Figura 15 • Aspecto da rede cristalina do gelo. As ligações de u hidrogênio estão representadas por hastes brancas, ligando um átomo t a de hidrogênio (em azul) a um átomo de oxigênio (em vermelho) da r molécula vizinha. Como o comprimento da ligação de hidrogênio é e p maior que o de uma ligação covalente comum (haste preta), ocorre um m afastamento entre as camadas, que inexiste na fase líquida. e t , As ligações de hidrogênio da fase sólida provocam gran- r o l des vazios intermoleculares, aumentando o volume exter- a no. Entre 0 e 4 °C, as ligações desse tipo gradativamente C

se rompem, provocando a redução de volume. A partir de 4 °C, a água volta a se expandir com c om o aumento da temperatura, como as demais substâncias. A consequência mais importante do fenômeno é a preservação da vida subaquática em rios e lagos no inverno. Enquanto a temperatura ambiente está acima de 4 °C, toda a água do lago se resfria de modo homogêneo, graças à convecção térmica. A partir dessa temperatura, a água mais fria ficará menos densa e tenderá a se manter próxima da superfície. Com isso, cessam as correntes de convecção, e a troca de calor com as partes mais profundas se torna bem mais lenta (por condução). Ao mesmo tempo, a camada superficial atinge 0 °C e se solidifica. O gelo é um ótimo isolante térmico e acaba protegendo ainda mais o fundo do lago da troca de calor com o ar externo. K C O T S R E T T U H S / R E U A B L E A H C I M

1

0

4



(°C)

Figura 14 • Variação do volume da água em função da temperatura, sob

pressão normal.

Figura 16 • Mesmo sob temperaturas externas rigorosas, apenas as regiões

próximas à superfície do lago congelam, ao passo que as águas profundas se mantêm a 4 °C, ainda hospitaleiras ao ecossistema aquático.

ESTUDANDO Calor, temperatura e dilatação

Paraa o VEST Par VESTIBUL IBULAR AR 1 (UFRN) O calor e suas formas de propagação se manifestam em diversas situações tanto na natureza quanto nas atividades humanas. Assim, fenômenos aparentemente muito diferentes são semelhantes, quando analisados mais detidamente. Veja-se, por exemplo: a energia do Sol que aquece nosso planeta e a energia emitida pelo magnetron do forno de micro-ondas, que aquece os alimentos colocados em seu interior, são fenômenos que envolvem propagação de calor. Pode-se afirmar que as formas de propagação de energia entre o Sol e a Terra e entre o magnetron e os alimentos são, respectivamente: a) convecção e condução. b) convecção e convecção. c) condução e radiação. d) radiação e radiação. Tanto em um caso como no outro, a propagação se dá por ondas eletromagnéticas, ou seja, por radiação.

2 (Vunesp) Quando uma enfermeira coloca um termômetro clínico de mercúrio sob a língua de um paciente, por exemplo, ela sempre aguarda algum tempo antes de fazer a sua leitura. Esse intervalo de tempo é necessário: a) para que o termômetro entre em equilíbrio térmico com o corpo do paciente. b) para que o mercúrio, que é muito pesado, possa subir pelo tubo capilar. c) para que o mercúrio passe pelo estrangulamento do tubo capilar. d) devido à diferença entre os valores do calor específico do mercúrio e do corpo humano. e) porque o coeficiente de dilatação do vidro é diferente do coeficiente de dilatação do mercúrio. O intuito da enfermeira é medir a temperatura do corpo do paciente. Para isso, o termômetro e o corpo precisam entrar em equilíbrio térmico, fenômeno que acontece quando ambos exibem o mesmo valor de temperatura, e que leva certo intervalo de tempo para ocorrer.

3 (UEPB) Numa aula de física, um aluno é convoc convocado ado a explicar fisicamente o que acontece quando um pedaço de ferro quente é colocado dentro de um recipiente de água fria. Ele declara: “O ferro é quente porque contém muito calor. A água é mais fria que o ferro porque contém menos calor que ele. Quando os dois ficam juntos, parte do calor contido no ferro passa para a água, até que eles fiquem com o mesmo nível de calor... e aí eles ficam em equilíbrio”. Tendo como referência as declarações do aluno e considerando os conceitos cientificamente corretos, analise as seguintes proposições:

I. Segundo o conceito atual de calor, a expressão “O fer-

ro é quente porque contém muito calor” está errada. II. Em vez de declarar: “... parte do calor contido no ferro passa para a água”, água”, o aluno deveria dizer di zer que “existe uma transferência de temperatura entre eles”. III. “... até que eles fiquem com o mesmo nível de calor. calor..... e aí eles ficam em equilíbrio” é correto, pois quando dois corpos atingem o equilíbrio térmico seus calores específicos se igualam. Assinale a alternativa correta. a) Todas as proposições são verdadeiras. verdadeiras. b) Apenas a proposição I é verdadeira. c) Apenas a proposição II é verdadeira. d) Apenas a proposição III é verdadeira. e) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. I. Correta. O aluno confunde os conceitos de calor e

temperatura. O calor é energia em trânsito, ou seja, é a energia térmica que se transfere de um corpo para o outro. A temperatura, por outro lado, é uma grandeza associada ao grau de agitação das partículas que constituem o material em estudo. II. Incorreta. A transferência é de energia, o que

provoca uma variação de temperatura. III. Incorreta. Aqui o aluno confunde os conceitos de

energia em trânsito (calor) e calor específico.

4 (UEA-AM) Suponha que você retire dois cubos de gelo idênticos do congelador e coloque-os em cima de uma mesa na cozinha. Um deles você coloca em cima de um prato em contato com o ar, e o outro, coloca dentro de um saquinho feito de lã. Tanto Tanto o prato quanto o saquinho de lã estão à mesma temperatura, não expostos diretamente à luz solar. Qual dos dois cubos de gelo derreterá mais rápido? a) O cubo de gelo dentro do saquinho de lã, porque porque a lã esquenta e aquece o gelo. b) O cubo de gelo em contato com o ar, porque cederá calor ao prato e ao ar. c) Os dois cubos derreterã derreterão o ao mesmo tempo, porque foram colocados sobre a mesma mesa. d) O cubo de gelo exposto ao ar deverá derreter mais rápido, porque a lã é um isolante térmico. e) O cubo de gelo dentro do saquinho de lã deverá derreter mais rápido, porque o ar é um isolante térmico. A lã é um isolante térmico e evita o contato direto do gelo com o ambiente.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


5 (Unitau-SP) Indique a alternativa que associa correta-

7 (FMTM-MG) Normalmente, o corpo humano começa a

mente o tipo predominante de transferência de calor que ocorre nos fenômenos, na seguinte sequência: • Aquecimento de de uma barra de de ferro quando quando sua extremidade é colocada numa chama acesa. • Aquecimento do corpo humano quando exposto ao sol. • Vento que sopra da terra para o mar durante a noite. a) Convecção – condução – radiação b) Convecção – radiação – condução c) Condução – convecção – radiação d) Condução – radiação – convecção e) Radiação – condução – convecção

“sentir calor” quando quando a temperatura ambiente ultrapassa a marca dos 24,0 °C. A partir daí, para manter seu equilíbrio térmico, o organismo passa a eliminar o calor através do suor.. Se a temperatura corporal subir acima de 37,0 °C, é suor caracterizada como hipertermia e abaixo de 35,0 °C, hipotermia. Se a temperatura de uma pessoa com hipertermia variar de 37,3 °C para 39,3 °C, esta variação nas escalas Fahrenheit (°F) e Kelvin (K) será, respectivamente, de: a) 1,8 e 1,8. d) 2,0 e 3,6. b) 1,8 e 2,0. e) 3,6 e 2,0. c) 2,0 e 2,0. t F 1 2 32 ________ 37,3 � 5 9

• Ao aquecer a extremidade de uma barra de ferro, as moléculas que constituem o material nessa região passam

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


39,3 �

@ # t 2 32 ________ # 5 @ 9

]

F 2

5 9

a vibrar mais devido à elevação da temperatura. O choque

__(t 2 32 2 t 1 32) ] ] 39,3 2 37,3 � __ F 2 F 1

entre essas moléculas e as vizinhas transfere parte da

__(St ) } St � 3,6 °F ] 2 � __ F F

energia de vibração, fazendo com que as últimas

37,3 � t K 1 2 273

também vibrem vibrem mais intensamente. O processo se

39,3 � t K 2 2 273

propaga, caracterizando-o cara cterizando-o como transmissão transmissão de

] 39,3 2 37,3 � t k 2 2 273 2 t K 1 1 273 ] St K � 2 K

5 9

]

calor por condução. • O aquecimento do corpo humano pelos pelos raios solares se dá pela transmissão de calor por meio de radiação infravermelha, a qual, por natureza, se propaga no vácuo. Esse processo é denominado irradiação. i rradiação. • O vento sopra da terra para o mar mar durante a noite porque a água ainda está mais quente que a areia. Assim, o ar sobre a água é menos denso e sobe, enquanto o ar sobre a areia é mais denso e desce. A corrente convectiva formada se “fecha” com um fluxo de ar da terra para a água, próximo à superfície.

6

(FMTM-MG) A fim de diminuir o risco de explosão du-

rante um incêndio, os botijões de gás possuem um pequeno pino com aspecto de parafuso, conhecido como plugue fusível. Uma vez que a temperatura do botijão chegue a 172 °F, a liga metálica desse dispositivo de segurança se funde, permitindo que o gás escape. Em termos de nossa escala habitual, o derretimento do plugue ocorre, aproximadamente, a: a) 69 °C. c) 85 °C. e) 101 °C. b) 78 °C. d) 96 °C. Com base no enunciado, t F � 172 °F. Então: t t C 140 2 32 ________ __C � 172 ] __ � ____ ] 5 9 5 9 700 ____ ] t C � } t C 7 78 °C 9

8 (Cefet-GO) Um medidor de temperatura importado dos Estados Unidos da América, utilizado para registrar a temperatura da água em alguns motores próprios para aviões, possui uma escala de temperatura em graus Fahrenheit (ver figura). Nesta escala, a temperatura do gelo fundente é considerada igual a 32 °F e a temperatura da água em ebulição igual a 212 °F. Se uma outra escala em graus Celsius fosse adicionada ao instrumento, quais seriam as novas marcações, com precisão inteira, em ordem crescente, correspondentes às marcações numeradas da escala original? a) 50 °C / 82 °C / 105 °C / 220 260 127 °C / 149 °C 180 b) 60 °C / 82 °C / 104 °C / 140 300 127 °C / 149 °C °F c) 50 °C / 82 °C / 104 °C / 127 °C / 149 °C d) 60 °C / 80 °C / 100 °C / WATER TEMP. 130 °C / 150 °C e) 60 °C / 83 °C / 105 °C / 126 °C / 148 °C Para converter Fahrenheit em Celsius, usa-se a t ______ t F 2 32 C __ . expressão 5 � 9 Substituindo os valores indicados na figura da expressão acima, obtêm-se, respectivamente: 60 °C; 82,2 °C; 104,4 °C; 126,7 °C; 148,9 °C Arredondando para o inteiro mais próximo, obtêm-se os valores indicados na alternativa b.

o ã ç a t a l i d e a r u t a r e p m e t , r o l a C

9 (UFTM-MG)

10 (Uerj) As unidades joule, kelvin, pascal e newton perten-

Cientistas propõem canos no oceano contra aquecimento

Dois dos principais Flutuador ecologistas da Grã-Bretanha acreditam 30 °C que é hora de desenVálvula volver uma solução técnica rápida para mudanças climáticas. Com o uso de tubos verticais gigantescos, as águas da superfície Tubo e das profundezas do mar seriam misturadas para fertilizar algas, que absorveriam CO2 da atmosfera. 3 °C Em meio ao oceano, o tubo vertical oscila verticalmente de tal forma que, em seu movimento descendente, abre-se uma válvula que captura água das profundezas. O fluxo de água é garantido cada vez que o tubo oscila. As águas frias do fundo do mar são ricas em nutrientes. Para promover a mistura da água, os canos flutuariam flutua riam livremente, criando um fluxo de água de 100 a 200 metros de profundidade para a superfície. Uma das formas de vida que podem se beneficiar do uso dos oceanos é o salp salp,, um micro-organismo que excreta carbono em fezes que se depositam no fundo do mar, talvez armazenando carbono lá, por milênios. Outra vantagem de diminuir a temperatura das águas na superfície em regiões como o Golfo do México poderia ser uma redução do número de furacões, que precisam de águas mais aquecidas para se formar. Os canos no oceano podem estimular também o crescimento de micro-organismos que produzem sulfureto de dimetilo, uma substância que contribui para a formação de nuvens sobre o oceano, refletindo a luz do sol para fora da superfície da Terra e ajudando na refrigeração do planeta. BBC Brasil. Brasil . (Adaptado.)

Na reportage reportagem m original da BBC de Londres, o texto trazia os valores de temperatura originalmente escritos na escala Fahrenheit. Nessa escala, a variação de temperatura entre a água próxima à superfície e a água da profundidade que o extremo do cano atinge é, em °F: a) 14,4. c) 45,0. e) 59,0. b) 25,2. d) 48,6. A variação da temperatura em °F se relaciona com a St C

27 ___ 5

�

S t F 243 ___ ] St F � ____ ] St F � 48,6 °F

9

5

Kelvin é unidade de medida de temperatura; pascal, de pressão; e newton, de força.

11 (Fatec-SP) O gráfico abaixo relaciona as escalas termométricas Celsius e Fahrenheit. F (°F)

212

32 100

0

C

(°C)

Um termômetro graduado na escala Celsius indica uma temperatura de 20 °C. A correspondente indicação de um termômetro graduado na escala Fahrenheit é: a) 22 °F. c) 68 °F. e) 222 °F. b) 50 °F. d) 80 °F. Podemos resolver o problema a partir de uma semelhança de triângulos extraída 212 _ 32 t F 2 32 20 _ ____ ________ t F 32 do gráfico. ] � 212 2 32 100 20 100 t ______ F 2 32 180 1 __ ] t � ____ 1 32 ] t � 68 °F ] � __ F F 180 5 5

12 (UFMT) Comparando-se a escala X de um termômetro com a escala Celsius, obtém-se o gráfico abaixo, de correspondência entre as medidas. °X

95

0 –5

60

°C

St F

variação em °C segundo a relação: ___ � ___. 5 9 Para a variação de 27 °C mostrada na figura, tem-se então:

cem ao SI (Sistema Internacional de Unidades). Dentre elas, aquela que expressa a magnitude do calor transferido de um corpo a outro é denominada: a) joule. c) pascal. b) kelvin. d) newton.

Observando o gráfico, concluímos que: I. para a temperatura de fusão de gelo, o termômetro desconhecido marca 25 °X. II. nos vapores de água em ebulição, o termômetro desconhecido marca aproximadamente 162 °X. III. a relação de conversão entre as escalas X e Celsius é JC � 0,6 3 J X 1 3.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


14 (Ufla-MG) Duas barras metálicas A e B de um mesmo

Dessas afirmações: a) todas estão corretas. b) apenas a I e a II estão corretas. c) apenas a I e a III estão corretas. d) apenas a II e a III estão corretas. e) todas estão incorretas.

material e a uma mesma temperatura inicial têm comprimento L0 A e L0B � 3 L0 A. A seguir, varia-se a temperatura da barra A de ∆T A, o que faz a barra A sofrer uma variação de dilatação ∆ L A. Para que a barra B sofra a mesma variação de comprimento da barra A, deve-se variar a temperatura da barra B, ∆T B em: a) 3 ∆T A. c) ∆T A. 1 1 b) ∆ T A. d) ∆ T A. 2 3 A barra B tem um comprimento inicial três vezes

I. Correta. É imediata, com base na leitura do gráfico.

No ponto de fusão do gelo, tem-se JC � 0 °C, que corresponde a 25 °X.

maior que a A. Como são feitas de um mesmo material,

II. Correta. Substituindo-se na equação de conversão

a variação de temperatura deve compensar essa obtida no item III, resulta: 0 � 0,6 3 J X 1 3 } J X � 25 °X.

diferença, ou seja, a variação de temperatura de B

No ponto de vapor da água, JC � 0 °C.

deve ser um terço da de A.

wC

Substituindo novamente, tem-se:

wX

60

100 � 0,6 3 J X 1 3 } J X 7 162 °X . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


III. Correta. J________ JC 2 0 X 2(25) ______

60 2 0

�

95 J x

Jc

–5

0

]

95 2(25) J 1 5 J 60(J X 15) X C ] ___ � ______ ] JC � _________ } JC � 0,6 3 J X 1 3 100 60 100

13 (Uema) Um arame de aço, dobrado conforme a figura, está engastado no teto, no ponto A. Aumentando-se a sua temperatura de maneira homogênea, a extremidade B terá um deslocamento que será mais bem representado por qual dos vetores?

15

o ã ç a t a l i d e a r (UniFEI-SP ) Duas barras, sendo uma de ferro e outra de u t alumínio, de mesmo comprimento L � 1 m a 20 °C, são a r unidas e aquecidas até 320 °C. Sabe-se que o coeficien- e p te de dilatação linear do ferro é de aFe � 12 3 1026 °C21 e m o do alumínio, de aAl � 22 3 1026 °C21. Qual é o compri- e t , r mento final após o aquecimento? o l a Lf C Fe

Al

A

a) Lf � 2,0108 m b) Lf � 2,0202 m c) Lf � 2,0360 m

a

B a

a

São calculados separadamente os comprimentos finais de cada barra:

a

a)

c)

b)

d)

d) Lf � 2,0120 m e) Lf � 2,0102 m

e)

LFe � L0 (1 1 a 3 SJ) � 1 1 12 3 1026 3 300

} LFe � 1,0036 m

Na direção horizontal, o ponto B sofre dilatação na parte

LAl � L0 (1 1 a 3 SJ) � 1 1 22 3 1026 3 300

inferior (comprimento 2a) e na parte superior

} LAl � 1,0066 m

(comprimento a). Como a dilatação depende do

O comprimento total será a soma dos comprimentos de

comprimento inicial, a dilatação resultante será para

cada barra:

a direita. Na vertical, a dilatação para baixo do ramo da

Lf � LAl 1 LFe � 1,0066 1 1,0036 } Lf � 2,0102 m

esquerda é compensada pela dilatação para cima (comprimentos iguais) do ramo da direita; resta a dilatação para baixo do segmento central. Logo, a dilatação total tot al terá componentes para baixo e para a direita. direi ta.

16 (Olimpíada Brasileira de Física ) Em um experimento

18 (UFU-MG) Um sistema utilizado para controle de tempe-

no laboratório, um estudante observa o processo de dilatação linear de uma vara de metal com coeficiente linear de dilatação a. O gráfico obtido no experimento é mostrado abaixo, com o comprimento da vara L em milímetros e a temperatura em graus Celsius.

raturas em aparelhos domésticos e disjuntores elétricos consiste de duas finas lâminas de metais diferentes, (1) e (2), colocadas justapostas. O esquema de funcionamento desse sistema, no caso de um dispositivo de segurança, está ilustrado abaixo, em que as lâminas têm o mesmo comprimento quando à temperatura θ � 0 °C, figura (a). Devido às dilatações desiguais, a lâmina exibe o formato mostrado em (b), quando à temperatura θ > 0 °C. A figura (c) mostra a condição em que a lâmina aciona um dispositivo de segurança (alarme), pois, nessa situação, a temperatura do aparelho a ser protegido alcança a máxima temperatura permitida.

3

L (10

mm)

1,001

1,000 35

45

55

75

65

85



(°C)

Lâmina 1 Lâmina 2

A vara é constituída de que material? a) chumbo ( a � 27 3 1026 °C21) b) zinco (a � 26 3 1026 °C21) c) alumínio (a � 22 3 1026 °C21) d) cobre (a � 17 3 1026 °C21) e) ferro ( a � 12 3 1026 °C21)

(a)

(b)

(c) Alarme

Utilizando as informações do gráfico, é possível calcular o coeficiente de dilatação a: SLf � L0 3 a 3 SJ ] ] 1 � 1.000 3 a 3 (80 2 35) ]

1 _________ ] a � 1.000 3 45 7 22 3 1026 °C21 Dos metais listados, o único com coeficiente próximo do

Com base nas informações dadas, marque, para as afirmativas abaixo, (V) Verdadeira, (F) Falsa ou (SO) Sem Opção. 1 ( F ) Por meio das dilatações, é correto afirmar que os coeficientes de dilatação obedecem à seguinte relação: 1 � 82. 2 ( F ) As curvas de dilatação dos metais (1) e (2), na descrição acima, podem ser caracterizadas pelo gráfico comprimento (l) versus temperatura ( θ ), descrito abaixo:

valor obtido é o alumínio. 1

17 (UFV-MG) Duas barras, 1 e 2, possuem coeficientes de

2

dilatação linear a1 e a2, respectivamente, sendo a1 . a2. A uma certa temperatura T 0, os comprimentos das duas barras são iguais a L0. O gráfico que melhor representa o comprimento das barras em função da temperatura é: a)

c)

1

L

2

L

1

2 Lo

Lo

T o

b)

d)

1

L Lo

T o

T

2

T

L

2. O comprimento inicial das barras é o mesmo, o que

1 T o

T

A inclinação das retas está relacionada ao coeficiente de dilatação. Como a1 . a2, a inclinação da reta 1 deve ser maior que a da reta 2. Elas se interceptam no ponto (T 0, L0). A única alternativa que engloba as três condições mencionadas é a a.

θ � 0 °C até atingir a temperatura θmáx � 60 °C, o coeficiente de dilatação desse metal é 1 � 5 ∙ 10�6 (°C)�1. 4 ( F ) Sendo 2 � 2 ∙ 10�5 (°C)�1, o valor desse coeficien2 ∙ 10�5 te na escala kelvin será 2 � (K) �1. 1 + 273,15

relação entre os coeficientes de dilatação.

Lo

T

3 ( V ) Se a lâmina (1) dilata 0,03%, desde

1. Pelos dados da questão, não há como calcular a 2

T o

θ (°C)

não corresponde ao que está representado no gráfico. 3. 0,03% L0 �  L060 

� 0,000005 (°C)

�1

4. Não se pode converter esse coeficiente dessa forma.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


19 (Ufes) Quer-se encaixar um rolamento cilíndrico, feito

22 (UFRGS-RS) Um recipiente de vidro, cujas paredes são

de aço, em um mancal cilíndrico, feito de liga de alumínio. O coeficiente de dilatação linear da liga de alumínio vale 25,0 3 10 26 °C 21. À temperatura de 22 °C, o rolamento tem o diâmetro externo 0,1% maior que o diâmetro interno do mancal. A temperatura mínima à qual o mancal deve ser aquecido, para que o rolamento se encaixe, é: a) 20 °C. c) 42 °C. e) 62 °C. b) 40 °C. d) 60 °C.

finas, contém glicerina. O conjunto se encontra a 20 °C. O coeficiente coeficiente de dilatação linear do vidro é 27 3 1026 °C21 e o coeficiente coeficiente de dilatação volumétrica de glicerina é 5,0 3 10 24 °C 21. Se a temperatura do conjunto se elevar para 60 °C, pode-se afirmar que o nível da glicerina no recipiente: a) baixa, porque a glicerina sofre sofre um aumento de volume volume menor do que o aumento na capacidade do recipiente. b) se eleva, porque a glicerina aumenta aumenta de volume e a capacidade do recipiente diminui de volume. c) se eleva, porque apenas a glicerina aumenta de volume. d) se eleva, apesar de a capacidade capacidade do recipiente aumentar. e) permanece inalterado, inalterado, pois a capacidade do recipienrecipiente aumenta tanto quanto o volume da glicerina.

SL � L0 3 a 3 SJ ] 0,001 3 L0 � L0 3 25 3 1026 (Jf 2 22) ] ] (Jf 2 22) �

0,001 ________ } Jf � 62 °C 25 3 1026

20 (Mackenzie-SP) Uma placa de aço sofre uma dilatação

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


de 2,4 cm², quando aquecida a 100 °C. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear médio do aço, no intervalo considerado, é 1,2 3 1026 °C21, podemos afirmar que a área da placa, antes desse aquecimento, era: a) 200,0 m². c) 2,0 m². e) 0,010 m². b) 100,0 m². d) 1,0 m². Uma dilatação de 2,4 cm² é igual a 0,00024 m²:

O aumento de temperatura implica dilatação do líquido e do recipiente. Para avaliar as alternativas, é preciso determinar qual se dilata mais. Para tanto, analisa-se o coeficiente de dilatação volumétrica de ambos os materiais: Com base no enunciado: avidro � 27 3 1026 °C21

S A � A0 3 d 3 SJ ]

DGL � 5 3 1024 °C21 � 500 3 1026 °C21. Como D � 3a, temos:

] 0,00024 � A0 3 2 3 1,2 3 1026 3 100 ]

Dvidro � 81 3 1026 °C21. Assim: DGL . Dvidro e, portanto, a

0,00024 ] A0 � _____________ } A0 � 1,0 m 2 26 2,4 3 10 3 100

glicerina se dilata mais que o vidro.

21 (Unifal-MG) Um telescópio registra, sobre um detector quadrado de silício (denominado CCD) de 2,0 cm de lado, a imagem de uma parte de um conjunto de estrelas uniformemente distribuídas. Uma quantidade de 5.000 estrelas é focalizada no detector quando a temperatura deste é de 20 ° C. Para evitar efeitos quânticos indesejáveis, o detector é resfriado para 280 °C. Dado: Considere que o coeficiente de dilatação linear do silício é igual a 5,0 3 1026 °C21. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de estrelas detectado depois do resfriamento é de aproximadamente: a) 5.005 estrelas. c) 4.500 estrelas. b) 5.055 estrelas. d) 4.995 estrelas.

23 ( UEL-PR ) Um recipiente de vidro de capacidade

2,0 3 10 2 cm 3 está completamente cheio de mercúrio, a 0 °C. Os coeficientes de dilatação volumétrica do vidro e do mercúrio são, respectivamente, 4,0 3 10 25 ° °C C21 e 24 21 1,8 3 10 °C . Aquecendo-se o conjunto a 100 °C, o volume de mercúrio que extravasa, em cm 3,vale: a) 2,8 3 1024. c) 2,8 3 1022. e) 2,8. 23 21 b) 2,8 3 10 . d) 2,8 3 10 . O volume que extravasa corresponde à variação de volume aparente dada por: SV ap � V0 3 Dap 3 St , em que, líq.

A área inicial é reduzida com o resfriamento. Como o

com base no do enunciado,

número de estrelas observadas é proporcional à área do

St � 100 °C e V0

CCD, necessariamente esse número será menor a uma

já que o recipiente está completamente cheio che io de

temperatura mais baixa. Isso descarta as alternativas a e b.

mercúrio. Resta-nos ainda o valor do coeficiente de

S A � A0 3 d 3 SJ � 4 3 2 3 5 3 1026 3 (280 2 20)

dilatação aparente (Dap), que pode ser calculado como

} S A � 4 3 1023 cm2

segue: Dlíq � Dap 1 Drec , em que, com base no enunciado:

Fazendo a proporção, tem-se:

Dlíq � 1,8 3 1024 °C21 e Drec � 4 3 1025 °C21.

4 cm cm2

Logo, Dap � 1,4 3 1024 °C21. Portanto:

3,996 cm2

5.000 estrelas n estrelas } n � 4.995 estrelas

líq.

� 2

3 102 cm3,

2 3 V SV ap ap � 0 3 Dap 3 St � 2 3 10 3 1,4 3 100 ] SV ap ap � 2,8 cm líq


ESTUDANDO Calor, temperatura e dilatação

Para o ENEM 1 A natureza natureza do calor já foi motivo de muita muita discussão discussão

2 O objeto mostrado na fotogra-

H20 e debate ao longo da história. A associação do calor a H21 uma substância (calórico) que fluía dos corpos quentes

H3 fia é vendido em algumas lojas H20 como o “amuleto do amor” amor ”. TrataH21 -se de um dispositivo composto

para os corpos frios começou na Antiguidade, com os gregos. Somente por volta de 1850 os cientistas concordaram que o calor está associado às vibrações das partículas que compõem a matéria. As afirmativas abaixo envolvem transferência de calor entre corpos. I. O feijão servido em uma travessa de barro (calor específico: 0,22 cal/g ∙ °C e condutividade térmica: 0,30 ∙ 1 100�7 cal/s ∙ cm ∙ °C) permanece quente por menos tempo do que quando servido em uma travessa de vidro (calor específico: 0,20 cal/g ∙ °C e condutividade térmica: 0,86 ∙ 10 �7 cal/s ∙ cm ∙ °C). Isso ocorre porque o vidro dificulta a troca de energia térmica com o ambiente. quando aqueII. Os trilhos de ferro de um trem dilatam quando cidos porque o calor ocupa espaço entre as partículas do ferro. III. Uma pessoa com temperatura corpórea de aproxima-

damente 36,5 °C pode sentir frio ao segurar a barra de ferro de um corrimão. Essa sensação é devido à perda de calor da mão da pessoa para a barra de ferro. IV. A garrafa térmica mantém o café quente, pois não

deixa o calor escapar. Como o calor não sai do café, ele não esfria. Imagine a energia térmica em trânsito nas situações acima e avalie quais afirmativas são verdadeiras. a) I, III e IV. b) I, II e IV. c) I e III. d) I e IV. e) Todas as afirmativas estão corretas. I. Verdadeira. O barro conduz mais a energia térmica

do que o vidro, por isso é mais propenso a facilitar troca de energia térmica do que o barro. II. Falsa. Essa era uma das justificativas dos

defensores do calórico.

por duas seções ligadas por um tubo, um líquido e um gás, como mostrado na foto. Segundo os vendedores, se um casal apoiar as mãos na base do aparelho e o líquido subir para a câmara superior, borbulhando bastante, a sintonia entre os dois é máxima. A física, sem pretender esfriar o romantismo dos casais, tem outra explicação para o fato de o líquido subir para a câmara superior do dispositivo, ao entrar em contato com as mãos. Leia as afirmativas abaixo. I. Com o contato das mãos do casal, o dispositivo funciona com o calor que flui das mãos, enchendo o compartimento de calor e empurrando o líquido para cima. II. Com o contato das mãos do casal, o dispositivo funciona com o calor que flui das mãos, aumentando a temperatura do gás da câmara. Com a dilatação do gás e o aumento da pressão na câmara inferior do dispositivo, o líquido é empurrado para cima. III. Quanto maior a diferença de temperatura entre as mãos do casal e o dispositivo, mais intensamente o fluxo de líquido que sobe borbulha. A(s) afirmativa(s) que explica(m) fisicamente o fenômeno observado é (são): a) I e II. d) I, II e III. b) II e III. e) apenas II. c) I e III. I. Incorreta. O calor é energia em trânsito, portanto

é inadequado afirmar que o calor preenche um determinado espaço como se tivesse existência material. II. Correta. III. Correta.

III. Verdadeira. Uma pessoa com temperatura

corpórea de aproximadamente 36,5 °C pode sentir frio ao segurar a barra de ferro porque seu corpo

Texto para as questões 3 e 4.

perde calor para a barra. A sensação de frio é

O desenvolvimento do primeiro instrumento de medida de temperatura, chamado inicialmente de termoscópio, em 1592, é atribuído a Galileu Galilei. Esse “termômetro” pode ser reproduzido utilizando-se um tubo de vidro, em que uma das extremidades seja esférica e tenha cerca de metade de seu volume preenchido por água, e uma vasilha também contendo água. Sua montagem consiste no posicionamento do tubo e do recipiente como indicado na figura a seguir.

causada pela perda de calor. IV. Falsa. O café permanece quente por mais tempo

na garrafa térmica porque ela evita a troca de calor entre o café e o ambiente externo à garrafa.

S N E G A M I Á R A U G / I S S O R A N A I L U J

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


L I Para vê-lo funcionar, basta colocar a extreCom relação à afirmativa II, referente à escala termomé S 4 A R midade esférica do tubo em contato com B H6 trica, qual alternativa a seguir considera adequadamen X I P H18 o objeto cuja temperatura se deseja medir. te o que foi essencial para se construir e padronizar as Y S A H21 E A coluna de água no tubo se moverá para / escalas termométricas? K C cima ou para baixo, em consequência da O T a) Explorar, conhecer e definir a substância termomé S O alteração de temperatura do ar em seu in T trica que permite comparar a temperatura de dois O F terior. O movimento se mantém até que o E objetos por meio de sua dilatação. G A ar no interior do tubo atinja o equilíbrio térb) Explorar Explorar,, conhecer e definir o calor específico do vimico com o objeto, quando então a medida dro e da substância termométrica para que as trocas da temperatura pode ser feita por meio de de calor envolvidas não influenciem nas medidas. uma escala colada no tubo. c) Explorar, conhecer e definir fenômenos físicos que Comparando esse primeiro instrumento ocorrem sempre à mesma temperatura quando em com os termômetros de mercúrio utilizacondições idênticas. dos hoje, é possível listar alguns pontos que d) Explorar Explorar,, conhecer e definir as leis dos gases que se precisaram ser aprimorados para que surgisexpandem exatamente do mesmo modo, quando sem os termômetros atuais: submetidos ao aquecimento, e permitem o desenI. A substância termométrica precisou ser avaliada e trocada. volvimento de uma escala absoluta. e) Todas as alternativas anteriores. II. A escala termométrica precisou ter melhores parâmetros de definição, para que houvesse a padronização das medidas. Os conceitos da termodinâmica relacionados III. Foi preciso selar o termômetro. ao desenvolvimento do termômetro devem ser 3 Com relação à afirmativa I, referente à substância termoconhecidos pelo aluno que irá responder a essa H6 métrica, essa alteração foi necessária porque: H18 questão. Apesar de as alternativas a e b serem substância termométrica estava sujeito sujeito a H21 a) o ar como substância quaisquer variações de pressão atmosférica na sucoerentes com o objetivo de um aprimoramento do perfície da água do vasilhame. termômetro como instrumento de medida, somente a b) a água como substância termométrica estava sujeita à alteração de temperatura e evaporava. alternativa c produz impacto direto na definição menos c) a água (calor (calor específico: 1 cal/g ∙ °C) como substânarbitrária e na padronização das escalas termométricas. cia termométrica só apresenta variações ao receber grandes quantidades de calor. A alternativa d determina uma estratégia para a d) o ar (calor específico: 0,24 0,24 cal/g ∙ °C) como substância termométrica apresenta muita variação mesmo configuração de uma das escalas termométricas, ou ao receber pequenas quantidades de calor. seja, a alternativa c contempla a alternativa d, sendo e) o ar e a água, como substâncias termométricas, sofrem variações de pressão atmosférica e temperamais abrangente e, por isso, mais essencial. tura, que tornam o termômetro impreciso.

Para responder a essa questão, o aluno deve ter claro o

5 A maioria dos corpos à nossa volta tem suas dimensões

que é uma substância termométrica, para identificá-la

H18 modificadas com a temperatura. Estudar a variação H21 das dimensões dos corpos em função da temperatura

importante para o funcionamento do termômetro, ou

é importante para as transações comerciais. Por exemplo, um petroleiro brasileiro que recebe uma carga de 1 milhão de barris de petróleo (1,6 ∙ 10 5 m 3) no porto de Santos, a uma temperatura de aproximadamente 30 °C, quando descarregada na costa leste dos Estados Unidos, a uma temperatura de cerca de 3 °C, apresenta uma perda aproximada de volume igual a: Dado: coeficiente de dilatação térmica do petróleo � �4 �1 � 8,99 ∙ 10 °C . a) 5 barris. c) 250 barris. e) 25.000 barris. b) 25 barris. d) 2.500 barris.

seja, quanto menor o calor específico da substância

∆V � Dlíq ∙

termométrica, melhor a precisão do termômetro.

∙ (3 − 30)

no termômetro de Galileu. Deve também raciocinar sobre as imprecisões provenientes de o ar ser a substância termométrica escolhida por Galileu. Como a substância termométrica no instrumento é o ar, as alternativas b, c e e são descartadas e a alternativa d mostra uma característica do ar

V 0 ∙ ∆J ] ∆V � (8,99 3 10−4 3 1 3 106) 3

∆V � (8,99 ∙ 10

2

) ∙ (−27) ] ∆V � 24.273 barris



CALOR E MUDANÇA MUDANÇ A DE FASE O calor sensível eleva a temperatura de um corpo sem provocar mudança de fase. Já o calor latente mantém a temperatura do corpo constante, mas com transição de fase. Além disso, neste tópico serão analisadas as trocas de calor com múltiplos corpos em contato nos sistemas termicamente isolados.

I. Fonte térmica ou de calor Para que ocorram trocas de calor, um corpo deve se comportar como fonte de calor para o outro. A pele humana pode ser uma fonte de calor tanto quanto um forno elétrico. Dessa maneira, dizemos que fonte de calor é todo elemento capaz de produzir aumento na temperatura de um corpo. A rapidez com que a fonte térmica varia a temperatura do objeto está associada à quantidade de energia que é fornecida por unidade de tempo ou, em outras palavras, à potência térmica da fonte. No SI, a unidade de medida de potência é o watt (J/s). Outra unidade bastante utilizada para fontes térmicas é cal/s (caloria por segundo). . E M M I O T C S M A E R D / S E L I M N O R E M A C

Figura 1 • Um queimador

de um fogão a gás é uma fonte de calor cuja potência pode atingir 700 cal/s.

II. Capacidade térmica e calor específico Os corpos absorvem calor de maneira diversa, dependendo de suas massas e do material que os constitui. Dessa maneira, dois corpos formados do mesmo material, sujeitos à mesma fonte de calor durante o mesmo tempo, podem sofrer variações de temperatura diferentes caso suas s uas massas não sejam as mesmas. Para que estejam sujeitos às mesmas variações de temperatura, é necessário que o corpo de maior massa receba maior quantidade de calor. Dizemos que o corpo de massa maior tem sua capacidade térmica mais elevada em relação ao de menor massa, pois maior é a quantidade de calor exigida por ele para variar sua temperatura. A capacidade térmica é uma característica do corpo e não do material que o constitui, e pode ser expressa por: C 5

∆Q ∆θ

A unidade de medida de capacidade térmica no SI é J/°C, mas a unidade mais utilizada é cal/°C. Os recipientes nos quais são realizados experimentos envolvendo trocas de calor são chamados calorímetros. Normalmente, a grandeza relevante em um calorímetro é sua capacidade térmica. Em um calorímetro ideal, o isolamento térmico com o meio externo seria perfeito (paredes adiabáticas) e a capacidade térmica, nula.

S E G A M I R E H T O / Y M A L A / S O T O H P E C N E I C S

Figura 2 •

Calorímetro didático simples. Existem suportes para a fixação de um termômetro e de um agitador, além de contatos para a passagem de corrente elétrica.

O calor específico é a grandeza que explica porque um material esquenta mais que o outro ao receber a mesma quantidade de calor. Ao contrário da capacidade térmica, o calor específico não é característico do corpo, mas sim da substância que o constitui. Assim, quando se coloca sob uma mesma fonte de calor corpos de mesma massa durante o mesmo intervalo de tempo, aqueles de maior calor específico levarão mais tempo para aquecer. Por exemplo, o calor específico da água é igual a 1,0 cal/g � °C. Significa que é necessário fornecer uma quantidade de calor de 1,0 cal para variar 1 °C a temperatura de 1,0 g de água. Já o calor específico do óleo é 0,6 cal/g � °C, o que quer dizer que, ao se analisar massas iguais de óleo e água, submetidos à mesma fonte térmica, verifica-se que o óleo necessita de 60% da quantidade de calor absorvida pela água para a mesma elevação de temperatura. A relação entre a capacidade térmica de um corpo e o c alor específico de uma substância é dada por: C � m � c

A tabela apresenta os valores de calor específico de algumas substâncias. Sub ubsstância

Calor es específico em em ca cal/g °C °C

Água

1,0

Ferro

0,1 1

Cobre

0 ,09 3

Prata

0 ,05 6

Chumbo

0,0 3 1

Mercúrio

0, 03 3

Gelo

0 ,55

Observe na tabela que o valor do calor específico da água no estado líquido e o do gelo são diferentes. De fato, o calor específico de uma substância depende também de seu estado físico.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Conhecer o conceito de calor específico é fundamental para entender e interpretar alguns fenômenos do cotidiano. Por exemplo, o calor específico da água é maior que o da areia. Isso explica por que em regiões litorâneas, pela manhã, a areia está mais quente do que a água e à noite ocorre o inverso: a água necessita de maior quantidade de calor para sofrer a mesma elevação de temperatura da areia durante o dia, e à noite a relação se mantém: a água necessita perder maior quantidade de calor do que a areia para resfriar.

Verifica-se experimentalmente que quando um corpo, sob determinada pressão, atinge a temperatura de mudança de fase, cessa a variação de temperatura. A energia térmica absorvida passa a ser utilizada na reorganização molecular da substância. A temperatura só volta a mudar quando o corpo todo tiver mudado de fase. A quantidade Q de energia necessária para transformar a fase de um corpo de massa m é dada por: Q�m�L

III. Calor sensível A expressão que relaciona a quantidade Q de energia térmica absorvida ou retirada de um corpo com a variação de temperatura sofrida por ele pode ser obtida experimentalmente. Para um corpo de massa m e calor específico c , submetido à variação de temperatura ∆θ, tem-se: Q � m � c � ∆θ

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


,

A constante L, característica da substância, é denominada calor latente. Ainda que no SI a unidade de medida de L seja J/kg, o calor latente é costumeiramente medido em cal/g. Note que a transformação de fase inversa requer a mesma quantidade de energia, em módulo. Assim, se nos é informado que o calor latente de fusão do gelo sob pressão normal é 80 cal/g, sabemos que o calor latente de solidificação da água, na mesma pressão, vale �80 cal/g.

denominada equação fundamental da calorimetria. O sinal de Q depende do sinal de ∆θ.

Calor latente de fusão e ebulição

Aquecimento: ∆θ > 0 ⇒ ⇒ Q > 0 → Energia absorvida pelo corpo Resfriamento: ∆θ < 0 ⇒ ⇒ Q < 0 → Energia cedida pelo corpo O calor sensível calculado pela equação fundamental da calorimetria não envolve mudança de fase, e sim de temperatura .

Calor latente de ebulição (cal/g)

Água

80

540

Álcool etílico

25

20 4

Alumínio

96

2.5 97

Cobre

32

1.2 11

Ferro

59

1.4 95

Ouro

15

377

Tungstênio

46

1 . 071

Fonte: WILSON, Jerry D. et. al. College Physics. New Jersey: Pearson Education, 2008. ebulição e de fusão de uma substância à pressão normal é explicada pelo tipo de reorganização molecular de cada uma das passagens.

As mudanças de estado físico, ou mudanças de fase, de uma substância recebem nomes especiais, dependendo do estado original e final, como se pode observar no diagrama abaixo.

Gás

Calor latente de fusão (cal/g)

Figura 4 • A grande diferença entre os valores do calor latente de

IV. Calor latente

Sublimação (sólido em gás ou gás em sólido)

Substância

Evaporação (líquido em gás)

K C O T S R E T T U H S / V E R A K H C O B

da água não se altera enquanto muda da fase sólida para a líquida. Em condições de pressão ao nível do mar, enquanto a fusão não termina, tem-se água e gelo a 0 °C.

Condensação (gás em líquido)

Sólido

Líquido Solidificação (líquido em sólido)

Fusão (sólido em líquido)

Figura 3 • Nos sólidos, as partículas tendem a se manter unidas devido

à intensidade das forças de coesão entre as moléculas. Nos gases, os choques entre as moléculas são mais frequentes, e assim essas partículas tendem a maior dispersão. Nos líquidos, as forças de coesão são ainda significativas e o grau de liberdade de movimentação das moléculas é limitado. Em materiais nesse estado, as partículas não se separam totalmente, mas não apresentam forma fixa. (Imagem sem escala.)

Figura 5 • A temperatura

Curvas de aquecimento É o diagrama que mostra a temperatura do corpo em função da quantidade de calor absorvida. As curvas de aquecimento de quase todas as substâncias apresentam “patamares”, isto é, intervalos de tempo durante os quais a temperatura permanece constante, apesar de a substância continuar a receber calor. O primeiro patamar apresentado no gráfico indica a fusão do corpo e o segundo, a ebulição.

e s a f e d a ç n a d u m e r o l a C

As temperaturas de fusão e eb ulição dependem do tipo de substância e da pressão a que o corpo está submetido.

O gás é a fase na qual não ocorre mais condensação por compressão isotérmica.

Temperatura

P

CF

PE

L

S

CV CS

PC

PT

PF

V

Gás

Quantidade de calor T

Figura 6 • Os patamares horizontais representam as transições de fase

da substância. As temperaturas indicadas por PF e PE representam, respectivamente, os pontos de fusão e ebulição da substância nessa determinada pressão.

Figura 8 • Diagrama de fase de uma substância típica, como o CO 2,

em que a curva CF sobe se deslocando para a direita. A maioria das substâncias segue um comportamento semelhante. P

Temperaturas de mudanças de fase Substância

Sólido ←→ L Lííqu quid ido o (°C °C))

Líq íqui uido do ←→ Gasoso (°C)

Água

0

1 00

Álcool etílico

−11 4

78

Alumínio

66 0

2.4 50

Cobre

1.0 83

2 .59 5

Ferro

1.5 37

3 .00 0

Ouro

1 .0 64

2. 970

Tungstênio

3. 380

5.9 30

Fonte: WILSON, Jerry D. et. al . College Physics. New Jersey: Pearson Education, 2008. Figura 7 • Valores de temperaturas de mudanças de fase de algumas

substâncias, à pressão constante.

V. Diagramas de fase Os diagramas de fase são gráficos da pressão em função da temperatura absoluta, nos quais é possível analisar as transições de fase da substância. Em geral, cada diagrama mostra o gráfico dividido em três grandes regiões, correspondentes às fases sólida, líquida e de vapor. As linhas coloridas no diagrama representam as fronteiras entre as fases, onde acontecem as transições. • Curva de sublimação sublimação (CS): cruzando essa linha, há a pas-

sagem da fase sólida para a de vapor, e vice-versa. • Curva de fusão (CF): separa as fases sólida e líquida. Se

atravessada da esquerda para a direita, ocorre uma fusão; se a passagem ocorre no sentido contrário, temos uma solidificação. • Curva de vaporização (CV): separa as fases líquida e de

vapor. Se atravessada da esquerda para a direita, ocorre uma vaporização; se a passagem ocorre no sentido contrário, temos uma condensação. • Ponto tríplice (PT): estado da substância no qual coexis-

tem as três fases. • Ponto crítico (PC): ponto na curva CV, com temperatura a

partir da qual o vapor passa a ser chamado de gás.

CV

CF

PC L

S

PT CS

Gás

V

T

Figura 9 • Existem outras substâncias que seguem o comportamento

da água, em que a curva CF sobe invertida.

VI. Trocas Trocas de calor Os recipientes termicamente isolados são construídos com o propósito de restringir as trocas de calor somente aos corpos em seu interior. São exemplos desse tipo de recipiente as caixas térmicas usadas para armazenar bebidas e alimentos e as garrafas térmicas, utilizadas para manter quente café, chá ou leite. Recipientes termicamente isolados, construídos para permitir medidas precisas de variações de temperatura em seu interior, são chamados de calorímetros . Se colocarmos diversos corpos de substâncias diferentes a temperaturas distintas, no interior de um calorímetro, eles trocarão calor até que se atinja o equilíbrio térmico. Em uma situação ideal, todo o calor será trocado apenas entre os corpos e, eventualmente, entre eles e o recipiente. Logo, neste caso, supondo desprezível a interação com o exterior do sistema, podemos escrever: Q1 � Q2 � Q3 � … � Qi � 0

ou, resumidamente,

i

∙Qi � 0

n � 1

A energia Q é a quantidade de calor absorvida ou cedida pelos i corpos corpos no interior do calorímetro, bem como aquelas trocadas entre o próprio recipiente e os corpos em seu interior.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Note que a quantidade de calor absorvida ou cedida c edida pelo recipiente termicamente isolado dependerá de sua capacidade térmica. Um calorímetro ideal tem capacidade térmica nula. Como exemplo, pode-se supor que uma massa de 100 g de água a 80 °C seja colocada em um calorímetro de capacidade térmica conhecida e igual a 10 cal/°C, que estava à temperatura ambiente de 20 °C. Imediatamente depois, um cubo de gelo de 20 g de massa é lançado nesse nes se calorímetro. Ao ser atingido o equilíbrio térmico, observa-se que o interior do calorímetro contém apenas água à temperatura de 50 °C. É possível calcular a temperatura do cubo de gelo ao ser colocado no calorímetro. Para isso, adota-se o calor específico do gelo e da água com valores resp ectivamente iguais a 0,5 e 1 cal/g °C, o calor latente de fusão do gelo igual a 80 cal/g e considera-se que: Qágua � Qcalorímetro � Qgelo1 � Qgelo2 � Qgelo3 � 0 Qágua: quantidade de calor cedida pela água. Q � m � c � ∆t �100 � 1 � (�30) � �3.000 cal . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Qcalorímetro: quantidade de calor absorvida pelo caloríme-

tro

Q � C � ∆t � 10 � 30 � 300 cal Qgelo1: quantidade de calor absorvida pelo gelo para elevar sua temperatura de t 0 para 0 °C. Q � m � c � ∆t � 20 � 0,5 � (0 � t 0) � �10t 0 Qgelo2: quantidade de calor absorvida pelo gelo durante a

passagem do estado sólido ao líquido. Q � m � LF gelo gelo � 20 � 80 � 1.600 cal

Qgelo3: quantidade de calor absorvida para elevar a temperatura da água que se formou a partir da fusão do gelo (20 g) desde 0 °C até a temperatura de equilíbrio térmico, 50 °C. Q � m � c � ∆t � 20 � 1 � 50 � 1.000 cal

Então, como Qágua � Qcalorímetro � Qgelo1 � Qgelo2 � Qgelo3 � 0, pode-se escrever: �3.000 � 300 � 10t 0 � 1.600 � 1.000 � 0 ⇒ ⇒ 10t 0 � −100 ⇒ t 0 � −10 °C Portanto, o cubo de gelo estava à temperatura de �10 °C ao ser colocado no calorímetro.

VII. Equivalente mecânico do calor James Prescott Joule idealizou, em 1843, um aparato experimental para demonstrar que o calor também é uma forma de energia. Para tanto, o experimento se baseava na transformação de energia mecânica da queda de pesos (energia potencial gravitacional) gravitacional) em energia cinética da rotação de pás, que, ao girarem, transformavam a energia do movimento em calor transmitido para certa quantidade de água no interior de um calorímetr calorímetro. o. O efeito dessa transformação podia ser percebido percebi do por meio de um termômetro que media o aumento de temperatura da água. O experimento de Joule foi determinante para a obtenção da razão

de transformação entre calor (medido em caloria) e energia (medido em joule).

Termômetro

Pesos em queda giram o eixo

Pás em rotação elevam a temperatura da Água água Figura 10 • Esquema do aparato experimental de Joule.

A razão de transformação utilizada atualmente é 1 cal ≃ 4,186 J, muito próximo do valor obtido por Joule na época. K C O T S R E T T U H S / V O R O G O M O K V A L S I N A T S

Figura 11 • A broca da furadeira, ao girar, tem parte de sua energia

mecânica transformada em energia térmica, pois a força de resistência da madeira realiza um trabalho contra a perfuração, e por isso a broca se aquece.

A descoberta de Joule representou a confirmação teórica que viabilizou o uso de máquinas a vapor na conversão de energia térmica em energia mecânica. A partir da década de 1840, a industrialização do mundo desenvolvido acelerou, e a física cumpriu o importante papel de embasar melhorias nos dispositivos utilizados. K C O T S N I T A L / S U I T I R U A M / S U I T I R U A M

Figura 12 • A locomotiva a vapor, com as melhorias no rendimento da

conversão de energia térmica em mecânica, é o símbolo da revolução nos transportes de carga e de passageiros, ocorrida na Europa em 1840.


ESTUDANDO Calor e mudança de fase

Para o VESTIBULAR 1

(Fuvest-SP) Um amolador de facas, ao operar um esmeril, é atingido por fagulhas incandescentes, incandescentes, mas não se queima. Isso acontece porque as fagulhas: a) têm calor específico muito grande. b) têm temperatura muito baixa. c) têm capacidade térmica muito pequena. d) estão em mudança de estado. e) não transportam energia.

3

(Fuvest-SP) J

(°C) 40

20

As fagulhas têm capacidades térmicas muito pequenas, 0

por isso, mesmo que ocorra rápida troca de calor entre

10

t (min) (min)

O gráfico representa a variação da temperatura de um corpo sólido, em função do tempo, ao ser aquecido por uma fonte que libera energia a uma potência constante de 150 cal/min. Como a massa do corpo é de 100 g, o seu calor específico, em cal/g wC, será de: a) 0,75. d) 0,80. b) 3,75. e) 1,50. c) 7,50.

a pele e o material que compõe a fagulha, fazendo com que sua temperatura caia muito rapidamente, a quantidade de calor envolvida nessa troca é muito pequena para causar queimaduras na pele.

Do gráfico, deduz-se que a variação de temperatura é

2

St 5 20 wC e que o corpo ficou sujeito a esse

(Uerj) A tabela abaixo mostra apenas alguns valores, omitindo outros, para três grandezas associadas a cinco diferentes objetos sólidos: – massa; – calor específico; – energia recebida ao sofrer um aumento de temperatura de 10 °C. c(cal � g�1 � ºC�1)

Q(cal)

I

0,3

30 0

II

0, 2

400

objetos

m(g)

III

150

IV

1 50

0,4

V

100

0, 5

aquecimento durante 10 min. A quantidade de calor total Q recebida pelo corpo pode ser obtida como segue: 150 cal

1 min

Q

10 min

] Q 5 1.500 cal

Da equação fundamental da calorimetria Q 5 mc St , cal Q 1.500 ______ c 5 ____ 5 _______ } c 5 0,75 . 3 wC g mSt 100 3 20

45 0

4

A alternativa que indica, respectivamente, o objeto de maior massa, o de maior calor específico e o que recebeu maior quantidade de calor é: a) I, III e IV. c) II, IV e V. IV. X b) I, II e IV. d) II, V e IV.

(Uesc-BA) É fornecida uma potência de 420,0 W durante 20,0 s a um bloco de cobre de massa igual a 0,50 kg. Sabendo-se que apenas 60% do calor gerado sejam absorvidos pelo bloco, que o calor específico do cobre é igual a 0,1 cal/g � °C e que 1 cal � 4,2 J, o aumento de temperatura do bloco é igual, em °C, a: a) 18. b) 24. c) 32. d) 46. e) 5 50. 0.

I) 300 � m � 0,3 � 10 � m � 100 g

potência � intervalo de tempo � energia

II) 400 � m � 0,2 � 10 � m � 200 g, portanto o objeto (II)

420,0 � 20,0 � 8.400,0 J, que são 2.000 cal.

é o de maior massa.

60% é absorvido � 1.200 cal

III) 450 � 150 � c � 10 � c � 0,3 cal/g �°C, portanto o

∆Q � mc ∆θ ∆θ

objeto (V) é o de maior calor específico.

1.200 � 500 g � 0,1 � ∆θ

Já é possível perceber que a alternativa correta é a d.

∆θ � 24 °C

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


5

(UFMG) O gráfico a seguir mostra como variam as temperaturas de dois corpos A e B, cada um de massa igual a 100 g, em função da quantidade de calor absorvida por eles. Os calores específicos dos corpos A (c A) e B (c B) são, respectivamente: (°C) T (°C) 75

A

B

25 500

1.000

1.500

Placa preta

Q (cal)

7

a) c A 5 0,10 cal/g wC e c B 5 0,30 cal/g wC. b) c A 5 0,067 cal/g wC e c B B 5 0,20 cal/g wC. c) c A 5 0,20 cal/g wC e c B B 5 0,60 cal/g wC. d) c A 5 10 cal/g wC e c B 5 30 cal/g wC. e) c A 5 5,0 cal/g wC e c B 5 1,7 cal/g wC. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

Pelo gráfico, verifica-se que ambos, A e B, sofreram variação de temperatura de St 5 50 wC ao receber Q A 5 500 cal e


Placa branca

Um professor de física construiu um coletor solar rudimentar, colocando duas placas metálicas (uma preta e uma branca) expostas ao sol, fixando previamente um termômetro em cada uma delas, como ilustra a Figura acima (figura extraída de Física2/GREF-São Paulo: Editora da USP, 1998, 4 a ed.), para verificar a variação da temperatura com o tempo, em cada chapa.

50

0

(UEPB) Texto para as questões 7 e 8.

QB 5 1.500 cal, respectivamente. Como m A 5 mB 5 m,

a partir da equação fundamental da calorimetria Q 5 mc St, tem-se: Q A 500 cal _____ _______ ______ 5 } c A 5 0,10 C A 5 g 3 wC m 3 St 100 3 50 Q cal 1.500 B _____ C B 5 ______ 5 _______ } c B 5 0,30 g 3 wC m 3 St 100 3 50

Após a realização de seu experimento, ele concluiu corretamente que, em intervalos de tempo iguais: sol absorve mais a) a placa pintada de preto exposta ao sol temperatura que uma placa de qualquer outra cor, por isso ela atinge maiores temperaturas. b) a placa pintada de preto exposta ao sol absorve mais energia que uma placa de qualquer outra cor, por isso ela atinge maiores temperaturas. e c) a placa pintada de cor branca exposta ao sol absorve s a mais energia que a placa preta, por isso ela atinge f e maiores temperaturas. d d) a placa pintada de cor branca exposta ao sol absorve a mais temperatura que a placa preta, por isso ela atin- ç n a ge maiores temperaturas. d e) a placa pintada de cor branca exposta ao sol, reflete u toda a temperatura que o sol emite, fazendo com que m e ela atinja uma temperatura menor que a placa preta. r A temperatura não é absorvida e nem refletida, mas

■

sim a energia. A placa pintada de preto quando

■

exposta ao sol, absorve mais energia que uma placa de qualquer outra cor.

6

(UEPB) Por ter acabado o gás de cozinha, a dona de casa utilizou um aquecedor de 200 W de potência para aquecer a água do café. Dispondo de 1 litro (1.000 g) de água que se encontrava a 22 wC, e supondo que apenas 80% dessa potência foi usada no aquecimento da água, qual a temperatura atingida pela água após um instante de 30 min? (Adote 1 cal 5 4,0 J e calor específico da água c 5 1 cal/g wC) a) 60 wC c) 30 wC e) 72 wC b) 313 wC d) 94 wC

8

Ao colocar sobre a placa que atinge maiores maiores temperaturas um corpo sólido de 75g, foi detectada uma variação de temperatura em função do tempo conforme se ilustra no gráfico abaixo. Considerando que a placa libera energia a uma potência constante de 150 cal/min, é correto afirmar que o corpo sólido tem calor específico de: T ( ( °C)

45

25

Relacionando os dados do enunciado e lembrando de incluir a conversão de calorias para joules na energia

10

t (min)

térmica, temos: 4 3 1.000 3 1 3 (J 2 22) 3 c 3 SJ m _________ ] 0,80 3 200 5 ___________________] Pot Po t 5 St 30 3 60

a) 1,00 cal/g � °C. b) 0,75 cal/g � °C. c) 1,25 cal/g � °C.

d) 1,50 cal/g � °C. e) 3,75 cal/g � °C.

] J 5 94 wC

150 cal/min em 10 minutos 5 1.500 cal 1.500 5 75 3 c 3 (45 – 25) c 5 1,00 cal/g 3 °C

o l a C

9

(Uerj) O gráfico a seguir assinala a média das temperaturas mínimas e máximas nas capitais de alguns países europeus, medidas em graus Celsius. ) C 40 ° ( 35 a r u t 30 a r e 25 p m20 e T 15

23

23

24

22

c) o tempo que o bloco demora para parar.

A quantidade de energia usada para derreter uma

30 25 20

20

22

5

massa m � 0,5 g de gelo pode ser calculada como segue: Q � m 3 LF ] Q � 0,5 3 80 } Q � 40 cal � 160 J.

10

6

5 0

31

b) a velocidade inicial do bloco.

a)

37 33

força de atrito. a) o trabalho realizado pela força

5 2

–1

–2 –5

–5

1

Portanto, a energia total (E ) envolvida no processo é, por

1

–3 –10

–10

– 10 A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

Adaptado de Factos e números essenciais sobre a Europa e os europeus. Luxemburgo: Serviço das Publicações Oficiais das Comunidades Europeias, 2006.

conservação de energia: E � 2Q ] E � 320 J. Usando o teorema da energia mecânica: final inicial inicial D F � E mec 2 E mec � 2E mec , at

pois a velocidade final

Considere a necessidade de aquecer 500 g de água de 0 °C até a temperatura média máxima de cada uma das capitais.

do bloco é zero. Logo: D F � 2320 J.

Determine em quantas dessas capitais são necessárias mais de 12 kcal para esse aquecimento.

à energia cinética inicial do gelo. Portanto: 2 640 mv ____ � 320 ] v 2 � ____ ] } Ov O � 8 m/s. E cin � E inicial mec 2 10

∆Q � mc ∆t

c)

12 kcal � 500 g � 1 cal/g � °C � ( T máx � 0) Nesse caso, T máx � 0 � 24 °C. Para a quantidade de calor ser maior que 12 kcal, T máx > 24 °C.

Portanto, são cinco as capitais nas quais é necessário fornecer mais de 12 kcal para aquecer 500 g de água. São elas: F, G, H, J e K.

10 (Ufac) O calor de fusão do gelo é de 80 cal/g. Qual o tempo mínimo necessário para fundir 500 g de gelo a 0 °C, se o gelo absorve em média 800 cal/s? a) 5 s c) 20 s e) 50 s b) 10 s d) 40 s Para fundir 500 g de gelo, são necessárias: Q � mL ] Q � 500 3 80 ] Q � 40.000 cal

Usando a informação do fluxo médio dada no enunciado: Q 40.000 ______ ___ ? � St ] 800 � St ] St � 50 s

at at

b)

A energia mecânica inicial do sistema corresponde

Com base em D F atat � 2320 J, tem-se:

F at, Ss cos 180° � 2320 ] F at 3 50 3 (21) � 2320

} F at � 6,4 N que corresponde à força resultante

sobre o bloco de gelo. Logo, pela segunda lei de Newton: F R � F at ] m 3 a � 6,4 } a � 0,64 m/s2. Usando agora a relação v � v 0 1 at : 0 � 8 1 0,64t } t � 12,5 s

12 (Ufal ) Uma substância, inicialmente no estado sólido, absorve certa quantidade de calor. Sabe-se que um por cento desse calor eleva em 50 K a temperatura da substância, desde a temperatura inicial até a sua temperatura de fusão. A quantidade restante do calor absorvido é utilizada para fundir completamente a substância. Após a utilização de todo o calor absorvido, a substância encontra-se na sua temperatura de fusão. Denotando o calor específico e o calor de fusão da substância respectivamente por c e e L, a razão L/c vale: vale: a) 1.540 K. d) 3.460 K. b) 2.230 K. e) 4.950 K. c) 2.320 K. Q1 � 0,01 3 Qtotal ] 0,01 3 Qtotal � mc 3 50

11 (Fuvest-SP) À temperatura ambiente de 0 °C, um bloco de 10 kg de gelo, à mesma temperatura, desliza sobre uma superfície horizontal. Após percorrer 50 m, o bloco para em virtude do atrito com a superfície. Admitindo-se que 50% da energia dissipada foi absorvida pelo bloco, derretendo 0,50 g de gelo, calcule:

Q2 � 0,99 3 Qtotal ] 0,99 3 Qtotal � mL

Dividindo a 2a equação pela 1a: 0,99 ____ L L ____ � ] __c � 4.950 K 0,01 50c

(2)

(1)

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


13 (Udesc) O gráfico a seguir representa a temperatura de uma substância, inicialmente no estado sólido, em função da quantidade de calor recebida. A massa da substância é de 50 gramas. T (°C) (°C)

Os patamares horizontais representam as transições de

100

60

fase das substâncias. Observando os gráficos, é

20

possível concluir que tanto na fusão quanto na

0

100

1.000

2.000

4.000

Q (cal)

4.160

a) O calor específico da substância no estado sólido é b) c) d) e) . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


c) a substância B possui uma temperatura de solidificação mais elevada do que a substância A. d) o calor de vaporização da substância B é maior do que o da substância C . e) a fase final da substância A é sólida.

de 0,2 cal/g °C. O calor latente de fusão da substância é de 20 cal/g. O calor específico da substância no estado líquido é de 0,5 cal/g °C. O calor latente de vaporização da substância substância é de 80 cal/g. O calor específico da substância no estado de vapor é de 0,8 cal/g °C.

Analisando o gráfico, pode-se concluir que são incorretas as alternativas a, b, d e e: Q 100 a) c � ____ � ______ } c � 0,1 cal/g °C mSt 50 3 20 900 Q ____ __ b) LF � m � 50 } LF � 18 cal/g Q 2.000 _____ __ d) Lv � m � 50 } Lv � 40 cal/g Q 160 ____ ______ e) c 5 S � 50 3 40 } c � 0,08 cal/g °C. m t Pelo gráfico, a quantidade de calor recebida pela substância em estado líquido é: Q � 2.000 2 1.000 } Q � 1.000 cal

Isso ocasionou a variação de temperatura St � 40 °C. Portanto, o calor específico da substância no estado Q 1.000 líquido é: c � ____ � ______ } c � 0,5 cal/g °C. mSt 50 3 40

14 (PUC-RS) O diagrama relaciona o comportamento das temperaturas Celsius T e e as quantidades de calor Q recebidas por três substâncias diferentes, A, B e C , todas sujeitas à mesma pressão atmosférica. T (°C)

vaporização as maiores temperaturas correspondem à substância A, depois à B e por último à C . Isso descarta as alternativas a e c. Apesar de sofrer fusão a 0 °C, não podemos garantir que B é água pura apenas por isso.

A fase final de A é uma coexistência entre fase líquida e vapor, ambos à mesma temperatura. Portanto, e é falsa. Finalmente, o calor de vaporização de B é maior que o de C , pois o segundo patamar horizontal (vaporização) de B é mais extenso que o de C .

15 (Uepa) A grande “coqueluche” “coqueluche” dos ecologistas atualmente é a usina elétrica movida a luz do Sol. Ela é composta de uma torre alta com um recipiente, contendo cerca de 100 kg de água (caldeira) na sua parte superior, e centenas de espelhos metálicos móveis, no solo, que refletem a luz solar, concentrando-a sobre a caldeira. O calor absorvido aquece a água produzindo vapor, a alta pressão, a uma temperatura de 440 °C. Este vapor é suficiente para acionar turbinas acopladas a geradores elétricos e produzir alguns megawatts de potência. Se a temperatura inicial da água era 20°C, a quantidade, em Mcal, até que a caldeira atinja sua temperatura de operação é: Use, se necessário. Calor específico da água: 1 cal/g � °C. Calor latente de vaporização da água: 540 cal/g. Calor específico do vapor aquecido: 0,48 cal/g � °C. a) 8. b) 24. c) 54. d) 62. e) 78.

A

Deve-se somar a quantidade de calor para elevar a B

água no estado líquido até 100 °C, vaporizá-la e depois 0

elevar a temperatura do vapor até 440 °C:

C Q (J)

Com base na figura, podemos afirmar que: a) a substância B possui uma temperatura de fusão mais elevada do que a substância A. b) a substância B é necessariamente água pura.

Q �100.000 � 1 � (100 � 20) � 100.000 � 540 � 100.000 � � 0,48 � (440 � 100)

Q � 8.000.000 � 54.000.000 � 16.320.000 � � 78.320.000

cal


16 (UFRN) A existência da água em seus três estados físicos, sólido, líquido e gasoso, torna nosso planeta um local peculiar em relação aos outros planetas do Sistema Solar. Sem tal peculiaridade, a vida em nosso planeta seria possivelmente inviável. Portanto, conhecer as propriedades físicas da água ajuda a melhor utilizá-la e assim contribuir para a preservação do planeta. Na superfície da Terra, Terra, em altitudes próximas ao nível do mar, os estados físicos da água estão diretamente relacionados à sua temperatura conforme mostrado no gráfico ao lado. Esse gráfico representa o comportamento de uma massa de 1,0 g de gelo a uma temperatura inicial de �50 °C, colocada em um calorímetro que, ligado a um computador, permite determinar a temperatura da água em função da quantidade de calor que lhe é cedida. T (°C) (°C)

100

I. O processo de transferência de calor do radiador

para o ar atmosférico se dá por condução. II. Assim como em uma panela de pressão devidamen-

te tampada, a pressão alcança valores maiores que a pressão de 1 atm, razão pela qual a água ali contida ferve a temperaturas maiores que 100 °C. III. Depois que a panela “pega pressão” pode-se dimi-

nuir um pouco a chama do fogão, pois a válvula de controle não permitirá que a pressão suba mais do que o limite pré-estabelecido pelo fabricante. IV. Se o automóvel em questão se deslocasse para re-

giões mais elevadas, em relação ao nível do mar, a temperatura de ebulição do líquido de resfriamento aumentaria. De acordo com as afirmativas acima, a alternativa correta é: a) I e II. d) II e III. b) I e III. e) III e IV. c) II e IV. I) Incorreta. A transferência se dá por irradiação,

50

convecção e também por condução, sendo um 0 25

105

205

Q (cal)

processo complexo em que não se pode estabelecer um único processo de transferência.

–50

Observando-se o gráfico, pode-se concluir que a quantidade de calor necessária para liquefazer a massa de 1,0 g de água e elevar sua temperatura de 0 °C até 100 °C é, respectivamente: a) 105 cal e 80 cal. b) 105 cal e 100 cal. c) 80 cal e 105 cal. d) 100 cal e 105 cal.

II) Correta. Quando se aumenta a pressão na panela, a ebulição da água ocorre a temperaturas maiores que cem graus Celsius. III) Correta. Pode-se economizar gás com este procedimento. IV) Incorreta. A temperatura de ebulição diminuiria.

Observando o gráfico, para elevar a temperatura de �50 °C até zero e depois liquefazê-la, a quantidade

de calor necessária é 105 cal; e para elevar sua temperatura até a próxima mudança de estado, 100 cal.

17 (Uepa) Leia o texto para responder à questão. O Radiador do automóvel tem como função transferir calor do líquido de resfriamento que ali circula para o ar que passa por ele quando o veículo está em movimento. Quando o radiador é tampado, o ponto de ebulição do líquido sofre um aumento de até 25 °C. Além disso, a tampa também funciona como uma válvula de pressão. Quando a pressão interna exercida na tampa atinge um valor pré-determinado, uma válvula se abre, permitindo que o líquido de resfriamento escorra por um tubo conectado a um recipiente coletor. Esse sistema de controle de pressão é também utilizado em outros dispositivos da vida moderna, como nas panelas de pressão. Fonte: http//carros.hsw.uol.com.br/sistemas-dearrefecimento-dos-carros6.htm

Sobre o texto, afirma-se que:

18 (UFF-RJ) Quando se retira uma garrafa de vidro com água de uma geladeira, depois de ela ter ficado lá por algum tempo, veem-se gotas d’água se formando na superfície externa da garrafa. Isso acontece graças, principalmente, à: a) condensação do vapor de água dissolvido no ar ao

encontrar uma superfície à temperatura mais baixa. b) diferença de pressão, que é maior no interior da garrafa e que empurra a água para seu exterior. c) porosidade do vidro, vidro, que permite a passagem de água do interior da garrafa para sua superfície externa. d) diferença de densidade entre a água no interior da garrafa e a água dissolvida no ar, que é provocada pela diferença de temperaturas. através do vidro, facilitada por sua sua e) condução de calor através porosidade. A água não passa do interior da garrafa para o exterior.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


19 (UERN) Durante o processo de ebulição de um líquido, é correto afirmar: a) Sua temperatura permanece constante e o calor absorvido é utilizado apenas na mudança de fase. b) Sua temperatura aumenta lentamente, porque grande parte do calor absorvido é utilizado para mudança de fase. c) Sua temperatura aumenta rapidamente, causando brusca mudança de fase. d) Sua temperatura permanece constante, porque não ocorre absorção de calor pelas partículas.

pode retirar calor de uma fonte e transformá-lo integralmente em trabalho. (08) O ciclo de Carnot descreve o rendimento máximo de uma máquina térmica. (16) O princípio de funcionamento de um refrigerador é baseado nos processos de compressão e expansão de um gás.

Durante as mudanças de estado a temperatura

(02) Correto. É a definição de caloria.

permanece constante e devemos continuar

(04) Incorreto. Para isso a variação de energia interna

fornecendo ou retirando calor para que elas ocorram.

deve ser zero.

20 (UEL-PR) Para se determinar o calor específico de uma

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


(04) Nenhuma máquina térmica, operando em ciclos,

liga metálica, um bloco de massa 500 g dessa liga foi introduzido no interior de um forno a 250 °C. Estabelecido o equilíbrio térmico, o bloco foi retirado do forno e colocado no interior de um calorímetro de capacidade térmica 80 cal/°C, contendo 400 g de água a 20 °C. A temperatura final de equilíbrio foi obtida a 30 °C. Nessas condições, o calor específico da liga, em cal/g °C, vale: a) 0,044. c) 0,030. e) 0,40. b) 0,036. d) 0,36. Dado: Calor específico da água � 1,0 cal/g °C.

(01) Incorreto. Nos processos de transferência de calor há também a convecção.

(08) Incorreto. O ciclo descreve o rendimento teórico de uma máquina térmica. (16) Correto, geralmente costuma ser o fréon. e s a f e d a ç n a d u m e r o l a C

23 (Uesc-BA )

Pelo princípio das trocas de calor, devemos ter: Qbloco 1 Qcal 1 Qágua � 0 ]

] mblococ blocoST bloco 1 C calSt cal 1 máguac águaSt água � 0

m

m

Usando os dados do enunciado, temos: 500 3 c bloco 3 (30 2 250) 1 8 800 3 (30 2 20) 1 400 3 1 3 (30 2 20) � � 0 ] 2110.000 c bloco 1 800 1 4.000 � 0

]

] } c bloco 7 0,044 cal/g°C

21 (Ueal) Deseja-se tomar banho em água à temperatura de 40 °C. Para o preparo desse banho colocam-se dois baldes de água a 100 °C numa banheira. Quantos baldes (de mesma capacidade) a zero graus deve-se colocar na banheira? a) 15. b) 12. c) 6 . d) 3 e) 1,5. 3.. Temperatura de equilíbrio térmico: 40 °C 2 baldes � 1 � (40 � 100) � x baldes baldes � (40 � 0) � 0 �120 � x � 40 � 0

x � 3 baldes

22 (UEM) Assinale o que for correto. (01) Condução térmica e radiação térmica são os únicos

processos de transferência de calor. (02) 1 caloria é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 g de água em 1 °C, no intervalo de 14,5 °C a 15,5 °C a 1 atm.

A figura representa um arranjo experimenta experimentall similar àquele utilizado por Joule para demonstrar que é necessário transformar aproximadamente 4,2 J de energia mecânica para se obter 1 cal. Deixando-se cair um corpo de peso 50,0 N, 20 vezes, de uma determinada altura, um sistema de pás entra em rotação, agitando 1,0 kg de água contida no recipiente isolado termicamente, variando a temperatura da água de 1,5 °C. Desprezando-s Desprezando-see os efeitos de forças dissipatidissipativas, a capacidade térmica do recipiente e sabendo-se que o corpo cai com velocidade praticamente constante e que o calor específico da água é de 1,0 cal/g °C, é correto afirmar que a altura inicial do corpo é igual, em m, a: a) 6,3. c) 10,0. e) 15,0. b) 8,0. d) 13,0. A energia potencial da queda do corpo é convertida em energia térmica para aquecer 1 kg de água: 20mg 4,2 ,2máguac SJ ] 2 mgh h � 4 200 3 5 500 3 h � 4,2 3 1.000 3 1 3 1,5 ] ] h � 6,3 m

ESTUDANDO Calor e mudança de fase

Para o ENEM 1

Uma boa referência para ter noção da quantidade de

H18

energia solar que atinge a superfície de determinada região em dado intervalo de tempo são as car tas de irradiação global, como esta:

H21

II. Durante o processo de evaporação, choques entre as moléculas superficiais da água vão causando variações na energia interna e, gradativamente, algumas moléculas vão escapando da superfície super fície em forma de vapor. III. Sempre que se aquece água até a temperatura de vaporização,, uma parte do vapor obtido advém do vaporização processo de evaporação que se intensifica até a ebulição tomar conta do sistema. IV. A maior parte da água que se perde enquanto uma toalha seca no varal é por evaporação. É por isso que a toalha pode secar sem ter de atingir a temperatura de ebulição da água. V. Quando o ar úmido e aquecido da nossa respiração entra em contato com o ar frio, sua saturação cai bruscamente e parte da umidade se condensa, originando aquela “fumaça branca” que vemos em dias de bastante frio. São verdadeiras: a) todas as afirmações. b) as afirmações I, II, III e IV. V. c) as afirmações I, III e V. d) as afirmações II, III e IV. V. e) apenas as afirmações I e V.

RADIAÇÃO SOLAR GLOBAL DIÁRIA � MÉDIA ANUAL TÍPICA GUI FRANC (FRA)

VENEZUELA

URINAME

COLÔMBIA

OCEANO

GUIANA

RR

ATLÂNTICO

AP

EQUADOR

AM

PA

MA

CE

AC TO

RO

PERU

RN PB PE AL SE

PI

BA MT DF

Média anual (MJ/m2 dia)

GO



BOLÍVIA BO LÍVIA

MG

OCEANO PACÍFICO

MS SP

ARAG AI

PRICÓRNIO AP E C A T RÓPICO D

20 18 14

SC A GENTINA GENTINA

12 10

RS 650 km

22

16

PR

E L I H C

RJ

ES

24

8 6

RUGUAI

50°O

Fonte: Atlas Solarimétrico Solarimétrico do Brasil . Recife: Editora Universitária da UFPE, 2000. (Adaptado.)

De acordo com a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), o consumo diário médio de água quente em uma residência é de 45 litros por pessoa. Assim, considerando que a eficiência dos coletores de energia solar residenciais é de 40%, que o calor específico da água é igual a 4,2 J/g ∙ °C e que o aquecimento da água desejado imponha, no mínimo, uma variação de temperatura de 30 °C, avalie as afirmações a seguir. I. Em qualquer lugar do Brasil é possível aquecer água suficiente para suprir uma família composta de quatro pessoas utilizando menos de 3 m 2 de coletor em média. II. Em território brasileiro, mesmo que sua eficiência pudesse atingir os 100%, a fim de atender às necessidades de água quente de uma família de quatro pessoas, ainda assim haveria locais em que seria necessário um coletor de energia de área superior a 1 m 2. III. A questão não apresenta dados suficientes para avaliar a afirmação II. Pode-se dizer, então, que: a) as afirmações I e II estão corretas. b) as afirmações I e III estão corretas. c) apenas a afirmação II está correta. d) apenas a afirmação I está correta. e) apenas a afirmação III está correta. 2 H21

Analise as afirmações. corI. Durante o processo de aquecimento de um líquido, correntes convectivas conduzem o calor através do volume do fluido que, diante do aumento de sua energia interna, vai elevando a temperatura até entrar em ebulição.

Observe abaixo o diagrama de fases da água para responder às questões 3 e 4. Água

p

1 Sólido

2

Líquido

760 mmHg

4,58 mmHg T

Vapor

3 0 0,01 3 H18 H21

100



(°C)

Liofilização é um processo comumente utilizado, por meio de sublimação, para remover água – além de outros solventes – de um produto a ser congelado. O intuito é retardar sua degradação, preservando-o por muito mais tempo. Carne, ovos, frutas e outros alimentos perecíveis, quando embalados a vácuo depois de liofilizados, podem durar anos sem refrigeração. Além disso, devido às temperaturas envolvidas no processo, as paredes celulares não são destruídas, preservando as propriedades nutritivas e o sabor sabor.. É um tipo de iguaria muito utilizado por astronautas em missões espaciais – menores peso e volume para transporte e maior durabilidade. O processo consiste, basicamente, em congelar a vácuo o alimento e, gradativamente, aumentar sua temperatura – mantendo o vácuo gerado inicialmente para o congelamento. Com base nessas informações, no

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


a) Para conseguir liquefazer 1 kg de gelo, em um recipiente – adiabático e de capacidade térmica desprezível – contendo água líquida a 20 °C, são necessários exatamente 4 litros de água. específico, é um b) A água, com seu alto valor de calor específico, ótimo reservatório térmico na medida em que pode tanto ceder quanto receber calor sem sofrer variação de estado físico. calor latente de fusão da da água é c) O elevado valor do calor muito importante na manutenção da vida sob frio rigoroso, pois permite prolongada exposição a temperaturas significativamente baixas, na medida em que dificulta o congelamento dos líquidos corporais. d) O elevado valor do calor latente de vaporização da água faz dela uma ótima alternativa como ingrediente mais abundante do suor, pois, ao transpirar, tanto animais como vegetais conseguem resfriar de forma bem eficiente o seu corpo. forminha do congelae) Para sublimar 1 kg de gelo na forminha dor da sua casa, bastaria fornecer 670 kcal de energia ao sistema gelo + forminha.

diagrama de fases da água e sabendo que 1 atm corresponde a 760 mmHg, assinale a alternativa correta. alimentos inicialmente sujeitos à presa) Para liofilizar alimentos são atmosférica, basta congelá-los lentamente até temperaturas muito baixas e, em seguida, aquecê-los rapidamente para que a água passe diretamente para o estado de vapor. estágio b) A pressões superiores a 0,006 atm, o segundo estágio da liofilização de alimentos só se dá a temperaturas abaixo de 0,01 °C, pois, em tais condições, a água não cozinhará os alimentos, preservando assim suas membranas protetoras. c) A pressões inferiores a 0,006 atm, o segundo estágio da liofilização de alimentos se dará com o aumento progressivo da temperatura até um máximo definido pelo ponto de ebulição da água. d) Somente à pressão de 0,006 atm e à temperatura de 0,01 °C é possível executar o segundo estágio da liofilização e, por isso, este ponto do gráfico é conhecido como ponto triplo, em que é possível o gelo transformar-se em vapor sem passar pelo estado líquido. e) Somente a pressões e temperaturas superiores às do ponto triplo, correspondentes ao ponto em que coexistem gelo, vapor e água líquida, é possível executar o segundo estágio da liofilização de alimentos.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


4 H8 H21

5 H17

Analisando o diagrama e utilizando seus conhecimentos, leia as afirmativas e assinale a que está errada. a) É impossível sublimar água a temperaturas maiores do que 0,01 °C ou a pressões maiores do que 0,006 atm. b) Fora da Terra, em locais onde praticamente não há atmosfera, como na Lua, em Marte, na cauda de um cometa etc., é praticamente impossível encontrar água no estado líquido, seja qual for a temperatura em questão. c) As curvas presentes no diagrama representam as fronteiras em que coexistem sempre dois estados físicos diferentes da água, sendo o ponto T chamado chamado ponto triplo porque ali se encontram juntos os três estados físicos do líquido. presente no diagrama de fases da água d) O ponto T presente é chamado ponto triplo porque está relacionado ao comportamento anômalo da água líquida que, a temperaturas próximas de zero, pode ser encontrada em três densidades diferentes. e) Pode-se sublimar o gelo em diversas configurações de temperatura e pressão, contanto que elas não ultrapassem os valores indicados no diagrama de fases dado. Com base na tabela e em seus conhecimentos, leia as afirmativas e assinale a que está errada.

H21

Substância Temperatura de fusão (°C) Temperatura de ebulição (°C)

Água 0 100

Densidade (g/cm3)

1

Calor latente de fusão (cal/g)

80

Calor latente de vaporização (cal/g) Calor específico (cal/g ∙ °C)

540 ou 590 1

6 H8 H21

Com base nos dados apresentados abaixo, analise as afirmações a seguir. Dados: • Calor específico da água: 1 cal/g ∙ °C • Fator de conversão caloria/joule: 1 cal ≃ 4,2 J • Calor de fusão da água: 80 cal/g • Temperatura média do corpo humano: 37 °C Ali lim mento / Ati tivvid idaade

Energia médi diaa

Calo lorr esp espeecíf ífic ico o

1 bombom (20 g)

117 kcal

1,6 J/g ∙ °C

1 bala de jujuba (10 g)

4 kcal

1,5 J/g ∙ °C

Assistir 1 hora de aula

759 kJ

_

Jogar uma partida de basquete de 40 minutos

1.915,2 kJ

−

I. Seria preciso assistir a aproximadamente 13 aulas para gastar a energia fornecida ao nosso organismo pela ingestão de uma caixa com 20 bombons de 20 g cada. II. Supondo que o volume aproximado de um gole seja de 20 m ℓ, pode-se dizer que, do ponto de vista energético, um gole de água gelada, a 10 °C, equivale a 10 passos, com 1 metro cada, de uma pessoa de 70 kg caminhando a 5 km/h. III. O consumo calórico de uma pessoa ao jogar uma partida de basquete se assemelha à energia necessária para aquecer 10 litros de água até 10 °C, ou à energia fornecida pela ingestão de 235 balas de jujuba. IV. Do ponto de vista calórico, chupar uma bala de jujuba nos forneceria a mesma energia que tomar meio litro de água morna a 45 °C. Assinale a alternativa correta. a) Apenas as afirmações II e III estão corretas. b) Apenas as afirmações I e IV estão corretas. c) Apenas as afirmações II e IV estão corretas. d) Apenas as afirmações I, II e IV estão corretas. e) Apenas as afirmações II, III e IV estão corretas.



GASES E TERMODINÂMICA O modelo do gás ideal foi fundamental no desenvolvimento científico do século XIX. O estudo das transformações do calor em trabalho em sistemas gasosos configurou a termodinâmica clássica. As máquinas térmicas modernas usam variantes do ciclo de Carnot para maximizar o rendimento rendimento..

I. Gás ideal Gases ideais, ou perfeitos, são substâncias s ubstâncias fluidas em um estado de agregação da matéria no qual suas moléculas podem se mover livremente, ocupando todo o volume do recipiente que as contém. São características dos gases ideais: • Suas moléculas não interagem entre si. • Os choques entre as moléculas e as paredes do recipiente são perfeitamente elásticos (não há perda de energia). • As dimensões das moléculas são desprezíveis em comparação ao volume do recipiente. • O movimento das moléculas é permanente e totalmente aleatório.

Estado de um gás O estado de um gás corresponde a um conjunto de diversas variáveis macroscópicas. Delas, analisaremos apenas três: a pressão P , o volume V e e a temperatura absoluta T .

P

A

P1

P 1 � V 1 � P 2 � V 2 B

P2

0

V 1

V 2

V

Figura 1 • Diagrama P � V de de uma transformação isotérmica. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

Transformação isobárica (Lei de Gay-Lussac) A pressão se mantém constante, e o volume e a temperatura variam proporcionalmente. Isso significa, por exemplo, que em uma transformação isobárica, se a temperatura absoluta (em kelvin) do gás dobrar, o volume ocupado por ele também vai dobrar. P 1

2

V 1

V 2

V 1 V � 2 T 1 T 2

II. Transformações gasosas particulares As transformações gasosas acontecem quando ocorre a alteração de uma ou mais variáveis de estado (pressão, volume ou temperatura) de um sistema que contenha um gás. As transformações podem ser classificadas em: Isotérmica → temperatura constante (T � constante)

Isobárica → pressão constante (P � constante)

Isocórica, isométrica ou isovolumétrica → volume constante (V � constante)

V

Figura 2 • Diagrama P � V de de uma transformação isobárica.

Transformação isovolumétrica, isocórica ou isométrica (Lei de Charles) O volume se mantém constante, e a pres são e a temperatura são diretamente proporcionais. Isso significa, por exemplo, que em uma transformação isométrica, se a pressão do gás dobrar, sua temperatura também vai dobrar. P P2

2

Transformação isotérmica (Lei de Boyle-Mariotte) A temperatura se mantém constante nessa transformação, ao passo que a pressão e o volume são inversamente proporcionais. Isso significa, por exemplo, que em uma transformação isotérmica, se o volume do gás for reduzido à metade, a pressão exercida por ele será duplicada.

P1

P 1 P � 2 T 1 T 2

1

V

de uma transformação isovolumétrica. Figura 3 • Diagrama P � V de


III. Lei Geral dos Gases Ideais

P

cte

=

Quando as três variáveis de estado se modificam simultaneamente, descreve-se seu comportamento usando uma única expressão: P 1 � V 1 P � V � 2 2 T 1 T 2 Figura 4 • Um gás contido em um recipiente fechado quando aquecido

à pressão constante torna-se capaz de deslocar o êmbolo, realizando trabalho.

Equação de Clapeyron O quociente

P � V é constante e depende apenas de n, T

o número de mols do gás presente na amostra. As variáveis de estado, pressão (P ),), volume (V ) e temperatura (T ) de uma massa de gás ideal contendo n mols de gás estão relacionadas pela equação dos gases perfeitos, também conhecida como equação de Clapeyron:

Se a pressão do gás não se mantiver constante, a expressão D � P � ∆V não não poderá ser utilizada. Nesse caso, o trabalho é numericamente igual à área sob o diagrama P � V : Pressão 1

P1

2

P2 . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


P � V � n � R � T

Os valores mais usados para a constante universal dos gases ideais R são: R � 0,082 atm � L/mol � K ou R � 8,31 J/mol � K.

IV. Trabalho em transformações gasosas Quando certa quantidade de gás contido em um recipienrecip iente fechado por um êmbolo (ou pistão) móvel é submetida subme tida a um aquecimento isobárico, as moléculas do gás passarão a se agitar mais, aumentando o número de choques en tre elas e o êmbolo. Se o êmbolo se deslocar, o volume de gás no recipiente sofrerá alteração e, dessa maneira, diz-se que o gás realizou trabalho (figura 4). Pode-se c alcular o trabalho realizado em uma transformação gasosa à pressão constante por meio da expressão: D � P � ∆V

V 1

V 2

Volume

Figura 5 • O trabalho é numericamente igual à área sombreada sob o gráfico.

Energia interna do gás ideal A variação da energia interna do gás ideal depende diretamente da variação de sua temperatura absoluta e pode ser calculada pela expressão: ∆U �

3 n � R � ∆T 2

Nota-se que: • se a temperatura absoluta aumentar, então ∆U > 0; • se a temperatura absoluta diminuir, então ∆U < 0; • se não houver variação da temperatura absoluta, então ∆U � 0, ou seja, não ocorrerá variação da energia interna em uma transformação gasosa.

Sinal do trabalho • Havendo aumento do volume do gás, como em uma expansão isobárica, então ∆V > 0 e, consequentemente, o trabalho será motor ( D > 0), isto é, realizado pelo gás sobre o pistão e sobre o meio externo.

∆V

• Havendo redução no volume ocupado pelo gás no recipiente, como em uma compressão isobárica, então ∆V < 0 e, assim, o trabalho será resistente (D < 0), isto é, realizado sobre o gás, ou, como também se pode dizer, o meio externo realiza trabalho sobre o gás.

0

0

Figura 6

Figura 7

a c i m â n i d o m r e t e s e s a G

Transformação adiabática

VII. Transformação Transformação cíclica

É a transformação na qual o sistema não troca calor com o meio externo. Assim, Q � 0. Uma forma de obter transformações quase adiabáticas é realizar expansões ou compressões bem rápidas; desse modo, não há tempo de ocorrer troca de calor.

Chama-se cíclica a transformação na qual a pressão, a temperatura e o volume finais são iguais aos iniciais. Sendo assim, em qualquer transformação cíclica, ∆T � 0; portanto, ∆U � 0. Então, de acordo com a Primeira Lei da Termodinâmica, tem-se nos ciclos: Q � D . As transformações gasosas cíclicas têm as seguintes características importantes: • Se durante o ciclo o gás realiza trabalho, este deve receber calor de uma fonte. Nesse tipo de ciclo, representado em um diagrama P � V por por uma curva fechada orientada em sentido horário (figura 9), ocorre transformação de calor em trabalho mecânico, como é o caso das máquinas térmicas (máquinas a vapor e motores de combustão).

P P1

B

A 1

P2

2

V 1

V 2

K C O T S R E T T U H S / T U O T R A P S A S

V

Figura 8 • A) Diagrama P � V de de uma transformação adiabática (linha cheia) comparada a uma isoterma (linha tracejada); B) A expansão de

aerossol, por ser rápida, simula bem esse tipo de transformação.

P

V. Primeira Lei da Termodinâmica A Primeira Lei da Termodinâmica é outra forma de escrever o princípio de conservação de energia. Ela estabelece que a quantidade de energia, na forma de calor, recebida (ou retirada) por certa massa gasosa, deverá ser, necessariamente, transformada em trabalho e em variação de energia interna. A repartição das quantidades de energia térmica transformada dependerá do tipo de transformação à qual o gás ideal está sendo submetido. Sendo assim: Q � D � ∆U

V

Figura 9

• Se durante o ciclo for for realizado trabalho trabalho sobre o gás, este cede calor ao meio. Nesse tipo de transformação cíclica, representada em um diagrama P � V por por uma curva fechada orientada em sentido anti-horário (figura 10), ocorre transformação de trabalho mecânico em calor, como nos refrigeradores e aparelhos de ar-condicionado. P

Gás recebe calor: Q > 0 Gás cede calor: Q < 0

VI. Aplicações da Primeira Lei da Termodinâmica às transformações transform ações gasosas Isométrica → ∆V � 0; ∆T � 0 → D � 0 → Q � ∆U

Transformação isobárica → ∆V � 0; ∆T � 0 → D � 0; ∆U � 0 → Q � D � ∆U

Isotérmica → ∆V � 0; ∆T � 0 → D � 0; ∆U � 0 → Q � D

Adiabática → ∆V � 0; ∆T � 0 → D � 0; ∆U � 0; Q � 0 → 0 � D � ∆U → D � �∆U

V

Figura 10

VIII. Segunda Lei da Termodinâmica Essa lei tem diversos enunciados. O que segue é conhecido como enunciado de Kelvin-Planck e interessa particularmente porque envolve o rendimento de máquinas térmicas reais, que são dispositivos capazes de transformar calor em energia mecânica. É impossível construir um dispositivo que, operando em um ciclo termodinâmico, converta totalmente o calor recebido em trabalho. Assim, uma máquina térmica sempre opera com duas fontes térmicas: a fonte quente, de onde recebe energia para realizar o trabalho; e a fonte fria, para onde escapa

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


a energia (na forma de calor) que não foi aproveitada na realização rea lização do trabalho. Q1

Fonte quente

Máquina térmica

Trabalho útil D

Q2

Fonte fria Ambiente

X. Refrigeradores As máquinas frigoríficas são dispositivos que convertem trabalho em calor. O processo envolve a transferência de calor de uma fonte fria para uma fonte quente. Como o fluxo frio para quente não é natural, é necessário um agente externo realizando trabalho. Nas geladeiras e freezers, o compressor é responsável pela realização do trabalho de retirar o calor dos alimentos que estão dentro da geladeira e enviá-lo para o meio exterior, que está a uma temperatura mais alta, utilizando, para tanto, a energia elétrica.

Figura 11 • Esquema de máquina térmica. A Segunda Lei garante que

K C O T S R E T T U H S / N E H C G N O H Z

há perda de calor na realização de trabalho.

Rendimento de máquinas térmicas De acordo com a Segunda Lei da Termodinâmica, máquinas térmicas operando em ciclos convertem parcialmente em trabalho a energia recebida da fonte quente. A efici ência de uma máquina pode ser medida por meio da grandeza denominada rendimento , calculada pela expressão: . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


η�

∙D ∙ ∙Q1∙

ou η � 1 �

Fonte quente

∙Q1∙

Figura 13 • Aparelhagens de ar-condicionado e de produção de gelo

para patinação são máquinas frigoríficas. Todas funcionam com base no balanço energético representado no diagrama: a quantidade de calor cedida à fonte quente (Q 1) equivale à quantidade de calor retirada da fonte fria (Q 2) adicionada ao trabalho realizado na transferência de calor entre essas fontes. Imagem de pista de patinação no gelo em Nova York, EUA, 2006.

XI. Entropia

Em meados do século XIX, o francês Sadi Carnot idealizou o ciclo teórico capaz de fornecer o máximo rendimento para uma máquina máquina térmica. Esse ciclo é reversível, ou seja, pode ser realizado tanto em sentido horári o quanto anti-horário, e é composto de duas transformações isotérmicas (a expansão AB e a compressão CD ) e duas adiabáticas (a expansão BC e e a compressão DA ). Nota-se que as etapas AB e CD se desenvolvem ao longo de curvas isotermas. P

A

B

C

T 2 T 1

T 2 > T 1 V

Figura 12 • O ciclo de Carnot compreende duas transformações

isotérmicas (linhas azuis) e duas transformações adiabáticas (linhas vermelhas).

T 2 T 1

D

Q1

IX. Ciclo de Carnot

η�1�

Q2

∙Q2∙

Como se vê, o rendimento não tem unidade, sendo costumeiramente fornecido em porcentagem. Observa-se também que, para obter rendimento igual a 1 ou de 100%, seria necessário que Q2 fosse nulo, ou seja, que não houvesse calor rejeitado para a fonte fria, o que iria contra a Segunda Lei da Termodinâmica, o que inviabiliza a construção de tal máquina.

D

Fonte fria

, em que T é é a temperatura em kelvin.

Nas diversas transformações pelas quais a energia pas sa, existe um processo contínuo de degradação ou de desordem. Sabe-se que qualquer energia pode ser transformada, porém a razão de transformação não é a mesma em todos os processos. É possível, por exemplo, transformar 100% de energia mecânica em energia en ergia térmica; a Segunda Lei da Termodinâmica garante, porém, que é impossível ocorrer o inverso, ou seja, não é possível a construção de uma máquina térmica que tenha rendimento de 100%, transformando em trabalho mecânico toda a energia térmica consumida. Para conceituar essa diferença entre as várias formas de energia, estabelece-se o conceito de entropia. A entropia (S), característica intrínseca de todo e qualquer sistema, se eleva à medida que aumenta a desordem dos fenômenos. Quanto maior a entropia de uma forma de energia, mais degradada ela está, o que significa que não pode ser totalmente transformada em formas de energia menos degradadas. A energia térmica tem um dos maiores valores de entropia, o que significa que ela é pouco transformável. As formas mais ordenadas de energia no universo são a gravitacional e a cinética, pois podem ser integralmente transformadas em qualquer outra forma de energia. Uma vez que em todos os fenômenos naturais há tendência a se alcançar um estado de menor grau de ordenação, diz-se que existe uma tendência ao aumento na entropia do universo.


ESTUDANDO Gases e termodinâmica


(IFSP ) No alto de uma montanha a 8 °C, um cilindro munido de um êmbolo móvel de peso desprezível tem 1 litro de ar no seu interior. Ao levá-lo ao pé da montanha, cuja pressão é de 1 atmosfera, o volume do cilindro se reduz a 900 cm3 e sua temperatura se eleva em 6 °C. A pressão no alto da montanha é aproximadamente, em atm, de: a) 0,66. b) 0,77. c) 0,88. d) 0,99. e) 1,08.

d) 5% maior que a pressão atmosférica normal. e) 10% maior que a pressão atmosférica normal.

Deve-se escrever a equação PV/T para as duas

Igualando as equações: P � 1,1 atm, ou seja, 10% maior

situações.

que a pressão atmosférica normal.

Inicialmente deve-se colocar as temperaturas em kelvin: 300 K e 290 K 1 � 3,3 PV � 300 T P � 2,9 PV Na situação 2: � 290 T Na situação 1:

A temperatura deve estar em kelvin: P � 1 L 1 atm � 9,9 L � 281 287 P � 0,88 atm

4

2

(Uerj) Um professor realizou com seus alunos o seguinte experimento para observar fenômenos térmicos: – colocou, inicialment e, uma quantidade de gás ideal em um recipiente adiabático; – comprimiu isotermicamente o gás à temperatura de 27 °C, até a pressão de 2,0 atm; – liberou, em seguida, a metade do gás do recipiente; – verificou, mantendo o volume constante, a nova temperatura de equilíbrio, igual a 7 °C. Calcule a pressão do gás no recipiente ao final do experimento.

( UERN ) Uma certa massa de gás ideal no interior de um cilindro recebe calor de uma fonte térmica de potência igual a 480 W, durante um intervalo de 5 min. Durante esse intervalo, a massa gasosa sofre a transformação indicada no gráfico P � V (Pressão (Pressão versus Volume). No início do processo, o gás estava a uma temperatura de 127 °C. Supondo que todo o calor da fonte seja transferido para o gás, determine a variação da energia interna sofrida por ele e sua temperatura ao final do processo processo.. P

(105 Pa)

A

B

20

60

n0, P 0 � 2 atm V 0, T 0 � 300 K n0 n � , P

2

] P 0V 0 � n0RT 0 ] PV � nRT ] PV 0 �

n0

2 RT

V � V 0, T � 280 K T 280 14 P � � 0,93 atm 2 � ] P � T 0 300 15 P 0

3

(Uepa) Uma equipe de cientistas interessada em monitorar as condições barométricas, no fundo de uma mina, realizou um experimento simples com um balão cheio de um gás ideal. O balão foi inserido na mina por meio de uma sonda longa, partindo da superfície (temperatura 27 °C e pressão 1 atm) e chegando ao fundo da mina, que estava a uma temperatura igual a 17 °C. Supondo que, na superfície, o volume do balão era de 3,3 L e que, no fundo da mina, seu volume era de 2,9 L, a pressão calculada pelos cientistas foi, aproximadamente: a) 10% menor que a pressão atmosférica normal. b) 5% menor que a pressão atmosférica normal. c) igual à pressão atmosférica normal.

0

(dm3) V (dm

a) 10,4 � 104 J e 927 °C b) 4,0 � 104 J e 1.200 °C c) 7,2 � 104 J e 381 °C d) 11,2 � 104 J e 654 °C

Para encontrar a temperatura, deve-se igualar a expressão

PV nas situações A e B. T

Como a pressão é constante: 20 60 V � constante ] � ] 400 T T B ] T B � 1.200 K ou T B � (1.200 � 273) °C ] ] T B � 927 °C

Por exclusão, a correta é a alternativa a.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


5

c) d)

(Unicamp-SP) Um mol de gás ideal sofre a transformação A p B p C indicada indicada no diagrama pressão # volume da figura. P

(atm)

A

W I W I

� W II > W III. > W II > W III.

Os valores W I, W II e W III são numericamente iguais às

B

áreas sob os respectivos diagramas. Por comparação

3

direta na figura do enunciado: W I > W II > W III. 7 Isoterma

0

8

C

9

10

V

(L)

a) Qual é a temperatura do gás no estado A? b) Qual é o trabalho realizado pelo gás na expansão A p B? c) Qual é a temperatura do gás no estado C ? Dado: R (Constante dos gases) � 0,082 atm 3 L/mol 3 K � � 8,3 J/mol. a) Aplicando a equação de Clapeyron: P AV A 3 3 8 ________ P AV A � nRT A ] T A � ____ ] T A � 1 3 0,082 nR

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

Na expansão isotérmica, a variação de energia interna é zero, uma vez que a temperatura permanece

} T A 7 93 K.


(UEA-AM) Certa quantidade de um gás ideal está contida em um recipiente fechado que tem um êmbolo móvel e pode deslizar sem atrito. O gás sofre uma expansão isotérmica e tem seu volume duplicado. Tomando Tomando como base o que ocorreu nesse processo, pode-se afirmar que: a) o gás não trocou calor calor durante a expansão isotérmica. b) o trabalho realizado pelo gás é igual ao calor absorvido por ele. c) a variação da energia interna do gás é igual ao calor absorvido por ele. d) a energia interna do gás aumenta durante a expanexpansão isotérmica. e) o gás cede calor durante a expansão isotérmica.

constante. Dessa forma, o trabalho realizado pelo gás é

N

b) Usando a propriedade gráfica de que D � Área, N obtém-se: D � 2 3 1023 3 3 3 105 }

N D �

igual ao calor absorvido por ele.

6 3 102.

Como se trata de uma expansão: D . 0; logo, D � 600 J.

8

c) Pode-se escrever T C C � T A 7 293 K, pois A e C

pertencem à isoterma dada.

(UFPE) Uma máquina térmica executa o ciclo descrito no diagrama P # V a a seguir. O ciclo se inicia no estado A, vai para o B , seguindo a parte superior do diagrama, e retorna para A, passando por C . P B

3P0

2P0

6

(UFMG) Um gás ideal, num estado inicial i , pode ser levado a um estado final f por por meio dos processos I, II e III, representados neste diagrama de pressão versus volume:

P0

P

0 I

i

C

V 0

3V 0

V

Sabendo-se que P 0V 0 � 13 J, calcule o trabalho realizado por essa máquina térmica ao longo de um ciclo, em joules.

III

O trabalho realizado pela máquina é numericamente

II

igual à área interna ao ciclo. Como este está orientado

f V

A

Sejam W I, W II e W III os módulos dos trabalhos realizados pelo gás nos processos I, II e III, respectivamente. Com base nessas informações, é correto afirmar que: a) W I < W II < W III. b) W I � W II � W III.

no sentido horário: D . 0. Logo: D � 2P 0

3

2V 0 � 2P 0 3 V 0 � 2 3 13 J } 2

D � 26 J.


9

(Uece) No diagrama P -V a a seguir, quatro processos termodinâmicos cíclicos executados por um gás, com seus respectivos estados iniciais, estão representados. O processo no qual o trabalho resultante realizado pelo gás é menor é o: 7

i

b)

I

i

3

P i

i

V f f

V f f

V

f

Pf

4

6 3

V ( m

a) I.

V i

i

L

2

V

i

1 0

f

Pf

P

K

2

8

10 10

)

b) J.

c) K .

d) L.

Comparando-se as áreas internas das figuras, percebe-se que K é a menor. Logo, o trabalho resultante também é menor. 10 (Fuvest-SP ) O gráfico a seguir representa duas transformações sofridas por uma determinada massa de gás perfeito: P

P P i

f

V i

4

0

i

P i

Pf

(

P

c)

P

J

5 a P

a)

i

6

)

a seguir representam o com11 (UEL-PR) Os diagramas PV a portamento de um gás:

V i

V f f

V

É correto afirmar: a) O diagrama ( a) representa um processo isotérmico com a temperatura inicial maior que a temperatura final. b) Os diagramas ( a) e (b) resultam no mesmo trabalho realizado pelo sistema após a expansão. c) O diagrama (b) representa um processo adiabático. d) O diagrama (c) representa um processo isobárico. e) O diagrama (c) representa um processo de expansão. O diagrama (c) representa um processo de expansão, pois o volume final é maior que o inicial.

(N/m2)

Não é um processo isobárico, pois a pressão muda A

B

constantemente.

4

Em (a) tem-se um processo isovolumétrico seguido de um isobárico. Em (b) tem-se um processo isobárico seguido de um C

1

isovolumétrico. 0

1

4

V (m3)

a) Qual foi a variação de temperatura do gás entre o es-

tado inicial A e o final C ? b) Qual a quantidade de calor, em joules, recebida pelo gás na sequência de transformações de A a C ? a) Aplicando a Lei Geral dos Gases aos pontos A e C : P A 3 V A ______ P C 3 V C 1 3 4 1 3 4 ______ ] ____ � ____ ] T C � T A } ST � 0. � T A T C T C T A b) Do item a, ST � 0. Partindo-se da relação

3 SU � ____ n 3 R 3 ST , obtém-se: SU � 0. Pela Primeira Lei da 2

Termodinâmica: SU � Q 2 D ] Q � D . O valor numérico do trabalho pode ser obtido pela N Área ] propriedade gráfica: D �

N 3 3 4 D �

}

N 12 J. D �

No trecho AB há uma expansão (D . 0); logo, D � 12 J. Portanto, Q � 12 J.

Os trabalhos em (a) e (b) são diferentes, uma vez que as áreas cinza das figuras são diferentes.

12 (UERN) Segundo o Teorema de Carnot, o rendimento máximo de uma máquina térmica, operando em ciclos

entre duas fontes de calor (fria e quente), seria “1 �

T F ”, T Q

onde T F F e T Q seriam, respectivamente, as temperaturas absolutas da fonte fria e da fonte quente. Sabe-se que os motores a explosão dos automóveis não são verdadeiramente máquinas térmicas que operam em ciclo fechado, como o chamado Ciclo de Carnot. No entanto, considerando válido o cálculo do rendimento de acordo com o Teorema de Carnot, para o motor de um automóvel que trabalha a 97 °C, qual seria seu rendimento máximo num dia em que a temperatura ambiente fosse 23 °C?

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


a) 76,3%

b) 70,0%

c) 23,7%

d) 20,0%

Transformam-se Transf ormam-se as temperaturas em kelvin: 370 K e 296 K. T

O rendimento máximo é dado por: R � 1 � f T q 296 � 1 � 0,8 ] R � 0,2 ou 20% R � 1 � 370

interna do gás nos pontos C e e A: P __ PV V _3_ P V ] U � __ _3_ 3 __ 3 ] U C � ___ U C � __ C C C 6 2 2 3 3 PV 3_ 3_ V _ __ _ __ __ ___ ] U A � U A � P AV A ] U A � 3 P 3 2 2 3 2

]

PV PV PV Q � SU ] Q � U A 2 U C ] Q � ___ � ___ } Q � ___ .

2

13 (UFS-SE) Considere as transformações A p B p C p A de um gás, representadas no diagrama, e analise as afirmações.

6

3

Como Q . 0, o gás absorve calor. (16) Incorreta. Como o ciclo está orientado no sentido

horário, o gás realiza trabalho sobre o ambiente.

Pressão

A P

14 (UFPR) Considere um gás ideal sendo submetido a diversos processos termodinâmicos termodinâmicos a partir par tir de um mesmo estado inicial. Sobre essa situação, é correto afirmar:

P

B

3

0 . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


(01) Se o processo for isovolumétrico (isocórico), o tra-

C

V

V

Volume

3

(01) De A p B, o trabalho realizado pelo gás é nulo. (02) A energia interna do gás é a mesma nos estados A e B.

2

V. (04) De B p C , o trabalho realizado pelo gás vale � P V 9 (08) De C p A, o gás cede calor ao ambiente. (16) No ciclo ABCA, o ambiente realiza trabalho sobre o gás.

Dê como resposta a soma dos números que precedem as afirmações verdadeiras.

Soma: 01 � 02 � 04 � 08 � 15

Soma: 02 � 04 � 6 (01) Incorreta. Com base no gráfico, há variação de

(02) Correta. Em uma transformação isotérmica, o produto

(02) Correta. SU A � SU B se, e apenas se, a

transformação A p B for isotérmica, isto é, se P AV A � 3

PV PV tem-se P AV A � ___ e P BV B � ___ .

3

3

obtém-se SU � 0.

Portanto, a transformação é isotérmica, pois P AV A � P BV B. (04) Correta. Sabe-se que o trabalho é numericamente

igual à área sobre o gráfico, ou seja: Área ]

N

D �

P

3

@

V 2V N P ___ V 2 __ ] D � } 3

3

#

é constante. Dessa forma, se o volume aumenta, PV é a pressão deve diminuir na mesma proporção. _3_nRST , se ST � 0, da relação relação SU � __ (04) Correta. A partir da 2

P V � P BV B. Como P A � P , V A � __, P B � __ e V B � V ,

3

isovolumétri co, o trabalho (01) Correta. Em um processo isovolumétrico, é nulo, pois não há deslocamento da massa gasosa.

volume na transformação A p B . Portanto: D % 0.

N D �

balho realizado pelo gás será nulo. (02) Se o processo for uma expansão isotérmica, haverá uma diminuição da pressão do gás. (04) Se o processo for isotérmico, a energia interna do gás permanecerá constante. (08) A temperatura atingida pelo gás no estado final não depende do processo escolhido. (16) Se o processo for adiabático, o gás trocará calor com o meio externo. (32) Se o volume for diminuído, num processo isobárico, haverá aumento da temperatura do gás.

3

3

N __ _2_ PV. D �

9

Como, nesse trecho, o gás sofre uma compressão, _2_ __ D , 0. Logo: D � 2 PV . 9

(08) Correta. As grandezas cujo valor final não

depende do processo escolhido são a energia interna e a temperatura, e elas são diretamente proporcionais entre si. (16) Incorreta. Por definição, em uma transformação

adiabática não há troca de calor com o meio externo.

(08) Incorreta. Nesse caso, tem-se uma transformação

(32) Incorreta. Em um processo isobárico, a razão V : : T

isovolumétrica e, portanto, D � 0. Assim, pela

permanece constante. Logo, para que o valor da

Primeira Lei da Termodinâmica, tem-se: Q � SU. _3_ PV , calcula-se a energia A partir da relação U � __ 2

razão permaneça constante, se V diminui, diminui, T deve deve diminuir na mesma proporção.


15 (PUC-PR) Um gás perfeito se expande, passando do estado I para o estado II, conforme mostra o diagrama.

Considerar 1 atm � 1 3 105 Pa e 1 cal � 4 J.

16 (UFRR) Um mol de gás ideal realiza o processo cíclico representado a seguir no gráfico de P # V : ABCD representado P

5

( • 10 Pa)

P (atm)

A

9 II

5

2

B

I 1 2

4

C

D

0,06

0,03

6 (m2) V (m

Sabe-se que, na transformação, o gás absorveu 2 3 10 5 cal de calor. Pode-se afirmar que, na transformação do estado I para o estado II: a) o gás realiza trabalho negativo de 14 3 105 J. b) o gás sofre uma perda de 12 3 10 5 J em sua energia interna. c) a energia interna do gás sofre um aumento de 22 3 105 J J.. d) o gás sofre resfriamento e perde 6 3 10 5 J de energia interna. e) o gás realiza trabalho de 8 3 105 J e não sofre variação em sua energia interna.

V

(m3)

O rendimento da máquina que utiliza esse ciclo é de 0,8. O trabalho no ciclo e o calor fornecido ao gás, em quilo joules, valem, respectivamente: respecti vamente: a) 24 e 30. c) 54 e 42. e) 16 e 20. b) 8 e 10. d) 12 e 16. 16. O ciclo está orientado no sentido horário e, portanto, N

D . 0.

Usando a propriedade de que D � Área:

D � 3

3 1022 3 8 3 105 }

D � 24 kJ.

A partir da definição de rendimento de uma máquina

O gás sofre uma expansão; logo, necessariamente,

térmica, pode-se obter a quantidade de calor Q1

tem-se D . 0, o que já invalida a alternativa a.

fornecida ao gás: D

D

g � ___ ] Q1 � __ g ] Q1 � Q1

Quanto ao módulo do trabalho no SI, tem-se: (5 � 105 � 2 � 105) � 4 N D � Área ] D � 2

24 � 103 ] Q1 � 30 kJ. 0,8

} D � 14 3 105 J.

Para avaliar SU , usa-se a Primeira Lei da

17 (UEPB) Leia o texto a seguir, para responder à questão.

Termodinâmica SU � Q 2 D . 5

5

A partir do enunciado: Q � 1 2 3 10 cal � 8 3 10 J e, do argumento anterior, D � 14 3 105 J. Portanto: SU � Q 2 D } SU � 26 3 105 J. Esse valor é diferente do valor numérico proposto nas alternativas b, c e e. A alternativa d está correta, pois, como SU � 26 3 105, 0, deve-se ter ST , 0, o que indica

que o gás sofreu resfriamento.

No século XIX, as máquinas térmicas tornaram-se de grande importância para o desenvolvimento das indústrias de mineração da Inglaterra. Outras indústrias também se beneficiaram da mobilidade da máquina a vapor, pois podiam se instalar em qualquer lugar, não dependendo mais da presença de quedas-d’água ou ventos para mover seu maquinário. A importância das máquinas a vapor foi tal que Carnot disse que a Inglaterra poderia prescindir até de sua esquadra naval, mas não de suas máquinas a vapor. Esse físico ressaltou que, apesar de sua grande importância social, econômica e política, muito pouco se sabia sobre o funcionamento destas máquinas. POLAK, Luiza A. C. et al. Vapor e Movimento. Em: Física – Ensino Médio . Curitiba: SEED-PR, 2006. (Adaptado.)

Acerca do assunto tratado no texto, em relação às máquinas térmicas, analise as proposições abaixo, escrevendo V ou F conforme sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente: ( V ) Nenhuma máquina térmica, operando em ciclos, pode retirar calor de uma fonte e transformá-lo integralmente em trabalho.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


( F ) O rendimento de uma máquina térmica, operando segundo o ciclo de Carnot, pode ser de 100%, isto é, converte todo o calor recebido em trabalho. ( V ) Um refrigerador funciona como uma máquina térmica, operando em sentido inverso, isto é, retira calor da fonte fria e, através de trabalho realizado sobre ele, rejeita para a fonte quente. Após a análise feita, assinale a alternativ alternativaa que corresponde à sequência correta: a) V, F, d) F, F, F, V F, V b) F, V, F e) F, V, V c) V, V, F A primeira proposição é verdadeira, pois sempre há variação de energia interna no gás utilizado. A segunda proposição é falsa, pois o rendimento

19 (Uesc-BA) Um motor de Carnot, cujo reservatório de baixa temperatura está a 27 °C, tem um rendimento de 20%. Variando-se as temperaturas dos reservatórios, é possível aumentá-lo para 25%. Sabendo-se que a temperatura do reservatório de baixa temperatura permanece invariável, a quantidade de graus que deve ser aumentada a temperatura do reservatório de alta temperatura é igual, em graus kelvin, a: a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15. 300 R � 1 � T q

0,2 � 1 �

300 T

] T q �

300 ] T q � 375 K 0,8

Na nova situação: 300 300 ] ] T q � T q � 400 k 0,25 � 1 � T q 0,75

sempre será inferior a 100%. A terceira proposição é verdadeira, pois é por isso . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


que, na parte de trás do refrigerador, sentimos que há passagem de calor para o meio ambiente. 18 (Inatel-MG ) Suponha que um inventor lhe ofereça uma máquina que extrai 25 3 10 6 cal de uma fonte à temperatura de 400 K e rejeita 10 3 10 6 cal para uma fonte a 200 K, entregando um trabalho de 63 3 10 6 J. Com base nos princípios da termodinâmica, podemos afirmar que: a) satisfaz à 1a e à 2 a leis. b) não satisfaz à 1 a e à 2 a leis. c) satisfaz somente à 1a lei. d) satisfaz somente à 2a lei. Considere 1 cal � 4,2 J.

20 (Uesb-BA) Uma propriedade física que se altera com a temperatura é chamada propriedade termométrica. Com base nos conhecimentos sobre termologia e calorimetria, é correto afirmar: a) Dois corpos em equilíbrio térmico entre si devem estar em equilíbrio térmico com um terceiro. b) As escalas Fahrenheit e Celsius de temperatura só diferem pela escolha da temperatura zero. Todos dos os termômetros dão o mesmo resultado ao c) To medir a temperatura de um certo sistema. d) A temperatura absoluta de um gás é uma medida da energia cinética média de translação das moléculas do gás. transfere energia a uma substância substância atrae) Quando se transfere vés do aquecimento, a temperatura da substância sempre aumenta.

Do enunciado:

a) Incorreta. Dois corpos podem estar em equilíbrio

Q1 � 25 3 106 cal � 105 3 106 J; T 1 � 400 K;

térmico e um terceiro pode ser uma fonte de calor com

Q2 � 10 3 106 cal � 42 3 106 J; T 2 � 200 K;

temperatura mais elevada.

D � 63

3 106 J.

Segundo o Princípio de Conservação de Energia: Q1 � D 1 Q2.

De fato, 105 3 106 � 63 3 106 1 42 1 106. Portanto, a máquina não viola a Primeira Lei da Termodinâmica. Com relação ao rendimento: D 63 � 106 g � ___ � } g � 0,6 � 60% , 100%. Q1 105 � 106 Portanto, a máquina também não viola a Segunda Lei da Termodinâmica.

b) Incorreta. 100 graus Celsius correspondem a 212 graus

Fahrenheit. c) Incorreta. O texto não especifica se todos os

termômetros serão graduados em uma mesma escala, portanto dois termômetros com escalas diferentes identificam valores diferentes para uma mesma medida. d) Correta. e) Incorreta. Nas mudanças de estado, isso não é

verdade, pois uma substância pode ser aquecida e sua temperatura permanecer constante.


ESTUDANDO Gases e termodinâmica


O fundo do mar sempre despertou muita muita curiosidade. Corais, peixes, estrelas-do-mar, cavalos-marinhos, até mesmo famosos naufrágios, são algumas das variedades que atraem as pessoas para a prática de mergulho. Mergulhos mais profundos exigem treino devido aos efeitos do aumento da pressão sobre o corpo humano. Considere somente o sistema que envolve esse aumento de pressão e o volume de ar inspirado por um mergulhador com ajuda da bomba de compressão e despreze as possíveis variações de temperatura. Observe a figura abaixo e avalie as afirmações listadas. 0 m 1 atm 760 mmHg Superfície do mar

10 m 2 atm 1.520 1.520 mmHg

2 H20 H21

O cientista Robert Boyle realizou experimentos de transformação gasosa com bombas de compressão e descompressão de gás, utilizadas por mergulhadores, que permitem ter a temperatura como fator fixado. O gráfico que representa melhor a transformação sofrida por esse gás, em um mergulho de 10 m de profundidade, está representado na alternativa: a)

P P1

P0

1 volume V 0

1 volume 2

b)

V 1

V

P P1

20 m 3 atm 2.280 mmHg

1 volume 3

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

P0

30 m 4 atm 3.040 mmHg

40 m 5 atm 3.800 mmHg

1 volume 4

c)

1 volume 5

V 1

V 0

V


P P1

P0

I. Na superfície do mar, o mergulhador mergulhador está sujeito a uma

V 0

pressão de 1 atm. Essa pressão é acrescida de 1 atm a cada 10 m de profundidade sob a superfície da água. II. Como a densidade do líquido é maior que a do ar, com o aumento da pressão o volume do ar no pulmão do mergulhador aumenta proporcionalmente. III. A concentração de O2 em 1 L de ar, sob pressão atmosférica, dobra à medida que a pressão dobra. Dentre as afirmações acima, somente está(ão) correta(s): a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III.

d)



V 1

V

P

P0

V 0

e)

V

P

I. Verdadeira. A água exerce pressão sobre os corpos

P1

submersos, sendo que a cada 10 m de coluna de água

P0

a pressão sobre eles é acrescida de um valor igual a 1 atm.

V 1

V 0

V 1

V

II. Falsa. O volume do gás é inversamente proporcional

Para responder a essa questão, o aluno deve identificar

à pressão por ele sofrida. Sendo assim, com o aumento

que se trata de uma transformação isotérmica, cujo

da pressão o volume diminui.

gráfico está representado na alternativa b.

III. Verdadeira. Com o aumento da pressão, o volume

do gás diminui proporcionalmente. Logo, em um mesmo volume de ar, 1 L, o número de moléculas de O2 aumenta à medida que a concentração do gás aumenta. Como a concentração dos gases dobra com a diminuição de volume, a quantidade de oxigênio inspirada também dobra.

3 H21

Alan Lightman, físico do MIT e poeta, em seu livro livro de realismo fantástico, Os sonhos de Einstein, brinca com a implacável tendência do universo à desordem, tendência essa que permite distinguirmos o passado do futuro. Para isso, Lightman nos convida a imaginar um filme de um ovo quebrando sendo passado de trás para a frente. Uma pessoa desinformada, ao entrar na sala nesse exato momento e ver pedaços de

casca e gema se juntando para formar um ovo, vai entender na hora que a fita está sendo passada de trás para a frente. Isso ocorre porque, quando o filme é apresentado do futuro para o passado, a ordem do “sistema ovo”é: a) maior que no início e, portanto, portanto, durante a reconstituição do ovo, a entropia do sistema diminui. b) maior que no início e, portanto, durante a reconstituição do ovo, a entropia do sistema aumenta. c) menor que no início e, portanto, a reconstituição do ovo é reversível. menor que no início e, portanto, a reconstituição do d) ovo é irreversível.

contribuições permitiram o desenvolvimento da Segunda Lei da Termodinâmica Termodinâmica e uma compreensão melhor das máquinas. Podemos, por exemplo, entender e desenvolver máquinas térmicas que alcançam seu rendimento máximo e saber quanto do calor obtido da queima do combustível pode ser transformado em trabalho. Para isso, é necessário observar o: (A) combustível utilizado. Por exemplo, água, gasolina, óleo diesel , álcool, petróleo, gás natural. (B) rendimento do motor da máquina térmica. Por exemplo, locomotiva, usina termelétrica, automóvel, fábricas. Atentar para esses aspectos em busca de máquinas térmicas mais eficientes envolve: I. escolher o combustível que forneça a maior quantidade de calor da fonte fria, resultando em maior energia total à máquina térmica. II. escolher o combustível de maior densidade energética (kcal/kg), valor intrínseco à constituição da matéria. III. obter trabalho com o menor valor possível de energia e compreender como ocorre a transformação de energia no interior da máquina. IV. obter trabalho a partir de um motor térmico que opera trocando calor com uma única fonte, o que aumenta a quantidade de calor aproveitada. Dentre os aspectos listados, aqueles que apresentam conceitos físicos adequados são: a) I e III. b) I e IV. c) II e III. d) II e IV. e) Nenhum. Porque as observações A e B afirmam que as contribuições de Carnot são válidas para as máquinas térmicas atuais, mas valem somente para as máquinas a vapor utilizadas na época dele.

A pessoa perceberia rapidamente que o filme estaria de trás para a frente porque é algo fisicamente absurdo. A seta do tempo aponta para o aumento da desordem. Como no caso de um ovo se quebrando, o início do fenômeno tem um grau maior de ordem, o . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


ovo intacto; o fenômeno é irreversível.

4 H18 H21

5 H18 H21

A lâmpada incandescente, construída pela primeira vez por Thomas Alva Edison, é composta de um filamento envolto por um bulbo. Para que a lâmpada funcione de forma aceitável, algumas condições devem ser consideradas na escolha do material que a constitui: (A) Seu filamento deve produzir o efeito joule para que ocorra transformação de energia elétrica em energia térmica e luz visível por incandescência. (B) Seu filamento deve resistir às altas temperaturas atingidas em consequência do efeito joule, sem se fundir. sublimar,, para que dure mais (C) O filamento não deve sublimar tempo. (D) O filamento não deve entrar em combustão com o oxigênio, para que não seja inutilizado. (E) O bulbo deve permitir a passagem da luz que irá iluminar o ambiente. Para satisfazer às condições citadas acima, são levantadas algumas sugestões: I. O filamento deve ser feito de material isolante elétrico para satisfazer à condição A. II. O filamento deve apresentar elevada temperatura de fusão para satisfazer à condição B. III. Entre o filamento e o bulbo deve haver um gás inerte para satisfazer à condição D. IV. O bulbo deve ser de um material opaco para satisfazer à condição E. Dentre as sugestões levantadas, aquelas que apresentam soluções físicas aceitáveis são: a) I e II. d) II e IV. b) I e IV. e) II e III. c) III e IV. O engenheiro Sadi Carnot, já no século XVIII, estudou o rendimento das máquinas térmicas e estabeleceu seus limites teóricos inalcançáveis. Suas importantes

6 H21

A importân cia da medida e do controle da temperatura resultou no desenvolvimento do termômetro primitivo de Galileu e dessa técnica. Hoje, temos termômetros que se baseiam na dilatação das substâncias e outros que se baseiam, por exemplo, na medida da voltagem existente nas junções de fios metálicos ou ligas de naturezas diferentes, a qual depende das temperaturas das junções. Independentemente do termômetro utilizado, o que significa medir a temperatura de um corpo? Em relação a essa questão, foram realizadas as seguintes afirmativas: I. Relacionar o grau da amplitude de oscilações das partículas que constituem um corpo com uma determinada temperatura. II. Medir a energia interna da amostra de um gás monoatômico. III. Medir a quantidade de calor em relação a algum padrão de medida. São corretas apenas as afirmativas: a) I e II. d) II e III. b) I e III. e) apenas I. c) I, II e III.



ÓPTICA GEOMÉTRICA E REFLEXÃO DA LUZ A óptica geométrica estuda a propagação da luz sem se preocupar com sua natureza. Essa abordagem possibilita a explicação de diversos fenômenos, como sombra, eclipse, formação de imagens em espelhos etc. Neste tópico serão revisados seus conceitos básicos e a reflexão da luz.

I. Elementos da óptica geométrica

Meios de propagação da luz

Raio luminoso É a representação da trajetória da luz; indica a direção e o sentido em que a luz se propaga.

Transparentes : permitem a propagação regular da luz. Exemplos: o ar, um vidro comum etc. Translúcidos: neles, a propagação da luz se dá de forma irregular. Exemplos: um vidro fosco, o papel-manteiga etc. Opacos: não permitem a passagem da luz. Exemplos: o concreto, a madeira, o couro etc.

II. Princípios da óptica geométrica

Figura 1

Propagação retilínea da luz: em um meio homogêneo e

Feixe de luz É o conjunto de raios de luz que representa uma região do espaço na qual a luz se propaga. Os feixes de luz podem ser convergentes, divergentes ou paralelos.

Fontes luminosas Primárias: são aquelas que têm luz própria. Exemplos: o Sol, uma lâmpada acesa, uma vela acesa etc. Secundárias: não têm luz própria, apenas refletem a luz vinda de outras fontes. Exemplos: uma folha de papel, uma parede, a Lua etc. Pontuais: seu tamanho pode ser desconsiderado, porque a dimensão da fonte é muito menor que a distância entre ela e o observador. Exemplo: a estrela Sirius vista da Terra. Extensas: a dimensão da fonte é da mesma ordem de grandeza que a distância até o observador. Exemplo: lâmpada fluorescente. Feixe divergente Feixe convergente

Fonte primária

transparente, a luz se propaga em linha reta. Independência dos raios luminosos: quando dois raios de luz se cruzam, propagando-se em direções diferentes, um não interfere na trajetória do outro. Reversibilidade dos raios luminosos: se as posições da fonte luminosa e do observador forem invertidas, os raios de luz continuam percorrendo as mesmas trajetórias, mas em sentidos opostos.

III. Aplicações dos princípios de propagação da luz Câmara escura com orifício A câmara escura com orifício comprova o princípio da propagação retilínea da luz. O funcionamento de uma máquina fotográfica é análogo ao da câmara es cura. As relações entre as dimensões do objeto e da imagem podem ser obtidas por meio da semelhança de triângulos, como mostra o esquema a seguir.

o

i

Feixe divergente Exemplos de fontes secundárias

p

Feixe paralelo

p

’

Figura 3 • Em uma câmara escura, a imagem produzida é menor que o

objeto e invertida em relação a ele. p: distância do objeto

i p’ � o p Figura 2 • Representação artística dos feixes de luz estudados na óptica

geométrica. Cada tipo de feixe tem diferentes formas e organização.

p’: distância da imagem até a câmara i : tamanho da imagem o: tamanho do objeto

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Eclipses Os eclipses são fenômenos que ocorrem em consequência da passagem de um corpo celeste pela região de sombra ou de penumbra do outro. Um ecl ipse solar, por exemplo, ocorre quando a Lua se coloca entre o Sol e a Terra, projetando sua sombra sobre a Terra.

Ao contrário da reflexão difusa, na reflexão regular ou es pecular a luz retorna ao meio original de modo ordenado, após incidir sobre uma superfície refletora polida que separa dois meios. A luz muda de direção, porém o feixe refletido propaga-se em uma direção bem definida. Esse fenômeno obedece às seguintes leis: e o raio refletido RR • 1a lei: o raio incidente RI , a normal N e são coplanares.

Sol

N

RR

Cone de penumbra

RI

ˆr r î

Eclipse parcial

P

Terra

Figura 7 • Na reflexão especular, como não há difusão da luz na

superfície, as características trazidas pelos raios luminosos não se alteram – apenas a direção de propagação muda.

Lua

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Cone de sombra

• 2a lei: o ângulo de incidência tem mesma medida que o

Eclipse total

Figura 4 • O tipo de eclipse depende do local em que o observador

ângulo de reflexão: î � î � ˆr r .

está: sob o cone de sombra, ele vê um eclipse total; sob o cone de penumbra, um eclipse parcial.

O eclipse lunar ocorre quando a Terra impede a Lua de receber total ou parcialmente a luz do Sol, interpondo-se entre os dois astros.

Sol

Lua

V. Espelhos planos Nos espelhos planos, as imagens conjugadas são virtuais (formam-se na intersecção dos prolongamentos dos raios refletidos) e têm o mesmo tamanho do objeto. Além disso, a distância entre a imagem e o espelho é igual à distância entre o objeto e o espelho. Espelho plano

Terra

Figura 5 • O eclipse lunar ocorre sempre na fase da Lua cheia, mas, para

que aconteça, o satélite deve estar localizado em um dos pontos nodais de sua órbita (pontos em que a órbita da Lua cruza a órbita da Terra).

Objeto

IV. Reflexão da luz Para enxergar um livro ou uma árvore, por exemplo, é preciso que a luz que emana desses corpos incida na retina, estimulando-a. Nem a árvore nem o livro produzem a luz que emitem, a qual pode ter vindo do Sol ou de uma lâmpada acesa. Por serem corpos opacos, a árvore e o l ivro não permitem a passagem da luz que recebem, mas absorvem parte dessa luz e refletem a outra parte em todas as direções, espalhando-a. A reflexão difusa da luz permite que a árvore e o livro sejam vistos, e ela ocorre porque as superfícies desses corpos são irregulares, rugosas.

Imagem

’

p

p

Figura 8

Simetria objeto-imagem A imagem, em um espelho plano, estabelece com o objeto simetria ponto a ponto em relação ao plano do espelho, configurando uma imagem de mesma dimensão e natureza contrária. B

Reflexão difusa

A

P

p

p

’

A

P

’

B

Figura 6

p � p’

Figura 9

’

’

z u l a d o ã x e l f e r e a c i r t é m o e g a c i t p Ó

Campo visual de um espelho plano O campo visual do espelho é a região do espaço que pode ser vista por um observador, por reflexão, nesse espelho. Para determinar o campo visual de um espelho, deve-se: • localizar a imagem O’ do observador O; • unir as bordas do espelho ao ponto ponto O’; a região na frente do espelho é o campo visual.

Para que uma pessoa de altura H consiga consiga se ver por inteiro em um espelho, o menor tamanho ( d ) que esse espelho pode ter é metade da altura dessa pessoa, independentemente da distância a que ela estiver do espelho. O

I d

H

H

x

x

Campo visual do espelho

� d � d

2

Figura 12

O

’

O

H

VI. Espelhos esféricos Tipos Figura 10 • Todos os pontos que pertencem à região do campo visual

do espelho, ao emitirem luz, apresentam raios que, por reflexão no espelho, atingem o observador.

Espelho esférico é uma calota esférica polida que reflete especularmente a luz. Quando a superfície refletora é a externa, o espelho é convexo. Se a luz é refletida na face interna da calota, o espelho é côncavo. Espelho convexo

Ângulo visual Quando um observador de altura H se se aproxima de um espelho plano, o tamanho de sua imagem não aumenta, permanecendo constante e igual a H . Ele tem a impressão de que o tamanho da imagem aumenta por causa do ângulo visual com o qual ele percebe sua imagem. Quanto mais perto do espelho, maior será o ângulo visual com que o observador enxergará a imagem (γ > β > α ).

Espelho côncavo

Figura 13

Elementos

E

C



H

a

F

V

H

Eixo principal

f R

Figura 14 E

Principais elementos

 H

H

C : centro de curvatura – trata-se do centro da esfera que

deu origem à calota. r aio de curvatura – é o raio da superfície esférica à qual R: raio

E



H

H

pertence a calota. F : foco principal – ponto de convergência (côncavo) ou de divergência (convexo) dos raios incidentes paralel amente ao eixo. V : vértice do espelho – ponto que corresponde ao polo da calota. f : distância focal – a distância entre o foco e o vértice é metade do raio de curvatura:

Figura 11 • Para facilitar a visualização, somente os raios refletidos pelo

espelho e seus respectivos prolongamentos foram representados.

� f f �

R

2

.

: ângulo de abertura � α < 10° para que a imagem seja ní-

tida (condição de Gauss).

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Raios principais Incidência no centro de curvatura : o raio incidente refle-

te e volta sobre si mesmo. V

F

C

C

F

Figura 15

Incidência no foco: o raio refletido tem direção paralela

ao eixo principal.

F

V

V

C

C F

Figura 16

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


Incidência em direção paralela ao eixo principal: o raio

é refletido na direção do foco.

F

V

V

C

C F

Figura 17

Construção de imagens

Imagens fornecidas por espelhos esféricos As imagens de objetos conjugadas por espelhos esféricos são caracterizadas por sua construção geométrica. São propriedades da construção de imagens de objetos colocados em frente ao espelho: • Sempre que a imagem conjugada é real, sua orientação é invertida; sempre que é virtual, é direita. • Espelhos convexos conjugam imagens imagens virtuais apenas direitas e menores que o objeto. • Espelhos côncavos conjugam imagens de natureza real, virtual e imprópria. • Somente imagens reais podem ser projetadas em anteparos como telas, paredes etc. z u l a d o ã x e l f e r e Figura 20 • Espelho a c convexo: imagem i r virtual, direita e menor. t é m o Equação de Gauss e g A posição do objeto p pode ser relacionada à posição da a c i imagem p’ e à distância focal f da da seguinte maneira: t p Ó M O C . E M I T S M A E R D / S N I K L A C D A R B

1

Imagem virtual: se a intersecção dos raios refletidos é ob-

tida pelo encontro dos prolongamentos desses raios, diz-se que a natureza da imagem é virtual (imagem atrás do espelho).

A

f

• • • •

�

1�1

p

p‘

Analisando os sinais das variáveis da equação, tem-se: p e p’ positivos: posições reais (fora do espelho); p e p’ negativos: posições virtuais (dentro do espelho); f f > > 0 para espelhos côncavos; < 0 para espelhos convexos. f f <

A

’

V

B

B

’

F

VII. Aumento linear transversal

C

Figura 18 • Formação de uma imagem virtual em um espelho convexo.

Imagem real : se a intersecção dos raios refletidos ocorre efetivamente, diz-se que a natureza da imagem é real (imaefetivamente, gem na frente do espelho).

A

B

’

B

V

C

F A

’

Figura 19 • Formação de uma imagem real em um espelho côncavo.

Também é possível relacionar p, p’, i (tamanho (tamanho da imagem) e o (tamanho do objeto) a partir da definição de aumento linear transversal ( A): A �

i p’ �� o p

Nota-se que: • a grandeza aumento é adimensional, adimensional, isto é, não tem unidade; unidade; • se � A A�� > 1, o tamanho da imagem é maior que o tamanho do objeto; • se � A A�� < 1, o tamanho da imagem é menor que o tamanho do objeto; • se � A A�� 1, o tamanho do objeto e da imagem são iguais; • se A > 0, a imagem é direita e, portanto, virtual; • se A < 0, a imagem é invertida e, portanto, real.

ESTUDANDO Óptica geométrica e reflexão da luz

Para Par a o VESTIBULAR VESTIBUL AR 1

(Fuvest-SP) Admita que o Sol subitamente “morresse”, “morresse”, ou seja, sua luz deixasse de ser emitida. 24 horas após esse evento, um eventual sobrevivente olhando para o céu, sem nuvens, veria: a) a Lua e as estrelas. b) somente a Lua. c) somente estrelas. d) uma completa escuridão. e) somente os planetas do Sistema Solar.

3

(Fuvest-SP) A ilustração a seguir representa um objeto A colocado a uma distância de 2,0 m de um espelho plano S, e uma lâmpada L colocada a uma distância de 6,0 m do espelho. 2m

S

A

6m

A Lua e os planetas do Sistema Solar são fontes de luz secundárias; portanto, caso o Sol “morresse”, eles não

6m

L

mais seriam vistos pelo sobrevivente. Por outro lado, por

a) Desenhe o raio emitido por L e refletido por S que atinge A. b) Calcule a distância percorrida por esse raio.

serem fontes de luz primárias, as estrelas continuariam

a) Os espelhos planos formam imagens simétricas em

visíveis.

relação aos respectivos objetos.

2

A

2m

S

2m

A

’

(UFRJ) No mundo artístico, as antigas “câmaras escuras” voltaram à moda. Uma câmara escura é uma caixa fechada de paredes opacas que possui um orifício em uma de suas faces. Na face oposta à do orifício fica preso um filme fotográfico, onde se formam as imagens dos objetos localizados no exterior da caixa, como mostra a figura. L

6m

2m

P

b) A partir da figura representada no item a, tem-se, por Orifício

congruência de triângulos, que SA � SA’ . Portanto, determinar a distância x percorrida percorrida pelo raio de luz

3m

h

significa determinar a medida do segmento LA’ . Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo A’LP : x 2 � (6 �2)2 � 62 � 64 � 36 ∴ x � 10 m 6 cm

5m

Suponha que um objeto de 3 m de altura esteja a uma distância de 5 m do orifício, e que a distância entre as faces seja de 6 cm. Calcule a altura h da imagem. Com base na figura, tem-se que os triângulos ABC e e são semelhantes: DEC são 6 cm

D

0,06 m



h

5m

3m

Obser vador

B

Portanto, pode-se escrever: h 0,06 __ � ____ ⇒ 5h � 0,18 5 3 ∴ h � 3,6 � 10�2m � 3,6 cm

(PUC-SP) Um objeto está a 20 cm de um espelho plano. Um observador que se encontra diretamente atrás do objeto e a 50 cm do espelho vê a imagem do objeto distante de si, a: a) 40 cm. c) 90 cm. e) 140 cm. b) 70 cm. d) 100 cm. O enunciado sugere a seguinte figura:

A

C

4

Objeto

Imagem do objeto

20 cm cm 20 cm

E

50 cm

Logo, a distância d do do observador à imagem do objeto será: d � 50 � 20 ∴ d � 70 cm

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


5

Você gostaria de ver seu corpo inteiro refletido no espelho. Para atingir seu objetivo, das ações listadas anteriormente, você pode escolher:

( Ueal) Um lago com águas tranquilas ilustra bem a situação situa ção de um espelho plano. Imagine então que um lago, nesta condição, separa você de um edifício. Seus olhos estão a 10 metros acima da superfície do lago e recebem um raio de luz do ponto mais alto do edifício, fazendo um ângulo de 45° com a horizontal tirada a partir deles. A imagem refletida deste ponto no lago forma, a partir desta mesma horizontal, um ângulo β, de tal forma que tg β � 2. A altura do edifício é, em metros, igual a: a) 20. b) 30. c) 45. d) 57. e) 62.

a) apenas a I.

c) apenas a III.

b) apenas a II.

d) a I ou a III, apenas.

No caso do espelho plano (vertical), aproximar-se ou afastar-se dele não alterará a visualização do corpo, apenas modificará o tamanho da imagem. Nesse caso, as

B

ações I e II são inócuas. Pelo mesmo motivo, se na situação inicial você já conseguir se ver por inteiro, qualquer movimentação em sua posição não prejudicará

H  10 H A

a visualização.

α β

C

D

8

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


H

 10

Do triângulo ABC tem-se: tem-se: H � 10 tg 45° � 1 � ⇒ x � H � 10 x

Do triângulo ACE tem-se: tem-se: E 10 � H tg β � 2 � ⇒ 2H � 20 � H � 10 ⇒ H � 30 H � 10

6

(PUC-Minas) Num relógio de ponteiros, cada número foi substituído por um ponto. Uma pessoa, ao observar a imagem desse relógio refletida num espelho plano, lê 8 horas. Se fizermos a leitura diretamente no relógio, verificaremos que ele está marcando: a) 6h. b) 2h. c) 9h. d) 4h. e) 10h.

(Vunesp) O forno solar de Odeillo, na França, é composto de 9.500 espelhos que concentram os raios solares em uma fornalha. Na verdade, embora todos os espelhos lá utilizados sejam planos, a configuração de suas disposições torna o conjunto um gigantesco espelho esférico côncavo. Sendo o desejo deste forno concentrar os raios de luz e calor em um ponto na fornalha, relativamente à superfície refletora, pode-se dizer que a distância desse ponto da fornalha é, comparado ao raio de curvatura do conjunto de espelhos: a) a quarta parte. d) o dobro. b) a metade. e) o quádruplo. c) igual. Como os raios solares chegam praticamente paralelos ao espelho, são refletidos para o foco. Essa distância focal é metade do raio de curvatura do conjunto de espelhos.

Observe a figura: Imagem

Objeto

9

Portanto, o relógio (objeto) está marcando 4h.

7

(Uece) Você está em pé em uma sala, parado diante de um espelho vertical no qual pode ver apenas dois terços de seu corpo. Considere as ações descritas a seguir: I. Afastar-se do espelho. II. Aproximar-se do espelho. III. Usar um espelho maior, cuja altura lhe permita ver

seu corpo inteiro quando você está na sua posição inicial.

(UFRJ) Um objeto está a uma distância P do do vértice de um espelho esférico de Gauss. A imagem formada é virtual e menor. Neste caso pode-se afirmar que: a) o espelho é convexo. b) a imagem é invertida. do espelho. c) a imagem se forma no centro de curvatura do d) o foco do espelho é positivo, segundo o referencial de Gauss. curvatura.. e) a imagem é formada entre o foco e o centro de curvatura Entre os espelhos esféricos de Gauss, o único que possibilita a formação de uma imagem virtual e menor que o objeto é o espelho convexo.


10 (UFSC) Em um trecho do livro O guarda-roupa alemão, lê-se: Ethel: o rosto ali no espelho. A forma octogonal da transparência furando escombros. O tom escuro do jacarandá: o passaporte. passapo rte. Começava a delinear-se a figura da bisavó. Ela gostava de olhar-se dentro do octógono de cristal. Uma moldura transparente. Tinha um aspecto místico. Os olhos. Os lábios. O cabelo. Aquele dourado na face. Os dois semicírculos negros, como sinais além do mar misterioso e inquieto. LAUS, Lausimar. O guarda-roupa alemão. alemão. 6. ed. rev. Florianópolis: Editora UFSC, 2010. p. 5-6.

regular. a) Defina um octógono regular. b) Determine, apresentando os cálculos, a medida do ângulo central do octógono regular. c) Determine, apresentando os cálculos, a soma das medidas dos ângulos internos do octógono regular. d) A figura abaixo mostra a bisavó Ethel olhando no espelho plano a imagem da comadre Herna, em pé atrás dela. Determine, apresentando os cálculos, a que distância horizontal (em metros) dos olhos da bisavó Ethel fica a imagem da comadre Herna. 0,60 m

0,90 m

E S P E L H O P L A N O

11 (UniFEI-SP) O espelho retrovisor de uma motocicleta é convexo porque: a) reduz o tamanho das imagens e aumenta o campo visual. b) aumenta o tamanho das imagens e aumenta o campo visual. c) reduz o tamanho das imagens e diminui o campo visual. d) aumenta o tamanho das imagens e diminui o campo visual. e) mantém o tamanho das imagens e aumenta o campo visual. Os espelhos convexos são frequentemente usados em retrovisores de motocicletas, nos automóveis mais modernos e também nos cruzamentos de estacionamentos, nos quais, para evitar acidentes, é necessário obter um campo visual mais amplo, não importando o tamanho real do objeto. Esse objetivo é atingido com o uso de espelhos convexos.

12 (Ufac) A parte côncava de uma colher de sopa de aço inox limpa pode ser utilizada como um espelho côncavo. Supondo que esta parte tenha um raio de curvatura de aproximadamente 4,0 cm, qual a distância focal desse espelho, quando um objeto for colocado sobre seu eixo, distante 12 cm do vértice? a) 2,0 cm c) 4,0 cm e) 3,0 cm b) 8,0 cm d) 16,0 cm A distância focal é uma característica geométrica do espelho e independe da posição do objeto em relação ao vértice. Seu valor corresponde à metade da medida do raio de curvatura do espelho. Logo, no caso dessa colher, a distância focal equivale a 2 cm.

a) Octógono regular é um polígono de oito lados iguais

e oito ângulos iguais. 360° � 45° b) Ângulo central � 8 c) Cada ângulo tem 135°, logo a soma será

135° � 8 �1.080° d)

0,60 1 0,90 0,60 m

1 0,90 5

0,90 m

2,40 m

0,90 m E S P E L H O P L A N O

0,60 m

13 (PUC-SP) Uma flor se encontra sobre o eixo principal de um espelho convexo, de distância focal, em módulo, igual a 25 cm, e a 25 cm do vértice do espelho. Sendo válidas as condições de Gauss, a posiç ão e a natureza da imagem formada serão, respectivamente: a) localizada no infinito e imprópria. b) localizada entre o foco e o centro de curvatura, real e invertida. c) localizada entre o vértice e o foco, virtual e direita. d) localizada entre o foco e o centro de curvatura, real e direita. e) localizada entre o vértice e o foco, real e direita. Como o espelho é convexo, a distância focal é negativa. 1 1 1 1 2 � � �� ⇒ �25 25 p’ 25 ⇒ p’ � �12,5 cm p’ p’ � �12,5 cm, logo a imagem se forma entre o vértice e o foco, é virtual e direita.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


14 (PUC-PR) Um objeto real, representado pela seta, é colocado em frente a um espelho, podendo ser plano ou esférico, conforme as figuras. I

IV

C

F

Dado que o raio de curvatura é R � 36 cm, a distância 36 focal f será: será: f � ___ ∴ f � 18 cm 2

V

II

15 (Uece) Um pequeno objeto é colocado perpendicularmente sobre o eixo principal e a 12 cm do vértice de um espelho esférico côncavo, cujo raio de curvatura é 36 cm. A imagem conjugada pelo espelho é: a) real, invertida e maior que o objeto. b) virtual, direita e maior que o objeto. c) virtual, direita e menor que o objeto. d) real, invertida e menor que o objeto.

Se p � 12 cm, o objeto se encontra entre o vértice ( V ) e C

F

C

F

o foco (F ) do espelho, como mostra a figura:

III

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


p

C

R

F

C

A imagem fornecida pelo espelho será virtual: a) apenas no caso I. d) nos casos I, IV e V. b) apenas no caso II. e) nos casos I, II e III. c) apenas nos casos I e II.

12 cm



36 cm



F f

18 cm



Para determinar matematicamente matematicamente se a imagem é

Para resolver essa questão, é preciso lembrar que um maior ou menor que o objeto, bem como sua ponto imagem é virtual se ele é vértice de um pincel de luz que emerge de um sistema óptico de forma

orientação em relação a ele, é preciso calcular o aumento linear transversal ( A). Para isso,

cônica e divergente. Espelhos planos e esféricos convexos sempre fornecem imagens virtuais. Portanto, a alternativa

determina-se p’ usando a equação de Gauss: 1 1 1 1 2 3 1 1 2_____ 1 ___ ___ � � ⇒ ⇒ � � � ’ p ’ p p’ p 18 12 36 f ∴ p’ � �36 cm

correta deve incluir os casos I e IV. Com isso isola-se a alternativa d.

Como p’ < 0, trata-se de uma imagem virtual.

Para desencargo, deve-se checar o caso V.

Calcula-se agora o aumento linear ( A): � p’ 36 � ___ ∴ A � 3 A � p 12 Como A > 0, a imagem é direita em relação ao objeto e,

Objeto Imagem C

F

O pincel de luz que emerge do espelho côncavo tem forma cônica e é divergente. Logo, trata-se de uma imagem virtual.

como � A� > 1, a imagem é maior que o objeto.


16 (Unirio-RJ) Um objeto é colocado diante de um espelho. Considere os seguintes fatos referentes ao objeto e à sua imagem: I. O objeto está a 6 cm do espelho. II. O aumento transversal da imagem é 5. III. A imagem é invertida. A partir destas informações, está correto afirmar que o(a): a) espelho é convexo. b) raio de curvatura do espelho vale 5 cm. c) distância focal do espelho vale 2,5 cm. d) imagem do objeto é virtual. e) imagem está situada a 30 cm do espelho. Uma ressalva: a afirmação II refere-se ao módulo do aumento linear transversal ( A); pela afirmação III, a imagem é invertida e, portanto, tem-se A � �5. Com base na afirmação I, p � 6 cm. � p’ � p’ Como A � p , vem: �5 � ∴ p’ � 30 cm 6

Esse ponto luminoso começa a se aproximar do espelho, de raio de curvatura R, movimentando-se sobre o eixo. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância entre o ponto luminoso e o espelho, para a qual a distância entre o ponto luminoso e sua imagem é igual a R, é dada por: R∙ 2 . R∙ 2 . a) R � b) c) R. d) 2 R. 2 2 _1_ _1_ __ _1_ __ __

p � q � R ⇒ q � p � R ⇒ ⇒

1 _1_ � _____ _2_ � __ __ � R

p

p 2 R

� � ⇒ f p q 2 R 1 p p _________

p( p p 2 R)

⇒

2 p2 � 2 pR � pR � R2 � pR ⇒

⇒

2 p2 � 4Rp � R2 � 0

⇒

Resolvendo a equação de 2 o grau em p: R∙ 2 R∙ e p2 � R � 2 p1 � R � 2 2 O valor de p2 < 0 não serve, pois, nesse caso, a distância do objeto à imagem será negativa.

Uma ressalva: a afirmação II refere-se ao módulo do aumento linear transversal ( A); pela afirmação III, a imagem é invertida e, portanto, A � �5. Com base na afirmação I, p � 6 cm. � p’ � p’ Como A � p , vem: �5 � 6 ∴ p’ � 30 cm

18 (UFJF-MG ) A luz de um feixe paralelo de um objeto distante atinge um grande espelho, de raio de curvatura R � 5,0 m, de um poderoso telescópio, como mostra a figura abaixo. Após atingir o grande espelho, a luz é refletida por um pequeno espelho, também esférico e não plano como parece, que está a 2 m do grande. Sabendo que a luz é focalizad focalizadaa no vértice do grande espelho esférico, faça o que se pede nos itens seguintes.

Um espelho convexo não fornece imagens invertidas

Grande espelho

em relação ao objeto. Isso descarta a alternativa a. Distância focal e raio de curvatura são dados por: 1 1 5 1 1 1 _1_ __ __ _1_ � ___ � __ � � __ � _____ ’ p p 6 30 f 30

Pequeno espelho C

F

∴ f � 5 cm

R � 2f ∴ R � 10 cm 2m

Isso descarta as alternativas b e c. Imagens invertidas são sempre reais. Isso descarta a alternativa d.

17 (Unifenas-MG) Um ponto luminoso está localizado sobre o eixo de um espelho esférico côncavo, como mostra a figura a seguir. Dado: Considere que p é sempre maior que q. Ponto luminoso

a) O objeto no ponto F , para o pequeno espelho, é real

ou virtual? Justifique sua resposta. do pequeno espelho. b) Calcule o raio de curvatura r do convexo? Justic) O pequeno espelho é côncavo ou convexo? fique sua resposta. a) O objeto em F , para o pequeno espelho, é virtual, pois

é formado por prolongamentos de raios. é virtual, s �� 0,5 m. b) Como o objeto em F é Assim, para o pequeno espelho: 1 1 1 1 1 1 � � � � ⇒ � 0,5 2 p p‘ f f

Imagem

q

⇒

f � � 0,667 m;

r � 2f ≃ �1,3 m

p

c) Como r < 0, o pequeno espelho é convexo.

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


19 (UEG-GO) Conforme a ilustração abai xo, um objeto de 10 cm de altura move-se no eixo de um espelho esférico côncavo com raio de curvatura R � 20 cm, aproximando-se dele. O objeto parte de uma distância de 50 cm do vértice do espelho, animado com uma velocidade constante de 5 cm/s.

(02) As distâncias focais dos espelhos côncavo e convexo são, respectivamente, 5 cm e �15 cm. (04) O aumento linear transversal da imagem formada no espelho convexo é 0,5 �. (08) O aumento linear transversal da imagem formada no espelho côncavo é 4 �. (16) A imagem formada no espelho côncavo é real, in-

Objeto

vertida e igual ao objeto. C

F

V

Soma: 01 � 02 � 16 � 19 (01) Nos espelhos convexos, a imagem é sempre virtual,

Responda ao que se pede. a) No instante t � 2 s, quais são as características da imagem formada? Justifique. b) Em qual instante a imagem do objeto se formará no infinito? Justifique. c) No instante t � 7 s, qual é a posição e tamanho da imagem formada? Justifique. a) Em t � 2 s, o objeto percorreu 10 cm. Como sua . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


posição inicial era de 50 cm até o espelho, nesse instante ele se encontra a 40 cm do espelho. 1 1 1 _1_ � 1 ⇒ ___ _1_ � __ __ � ___ � p’ ⇒ ’ p p 10 40 f 1 4 2 1 _____ � ⇒ ⇒ p’≃ 13,3 cm p’ 40 13,3 i p’ i ___ __ � � ____ ⇒ i ≃ �3,3 cm ⇒ �� o 10 p 40 Como p’ > 0 e i < 0, a imagem é real e invertida. Pelo valor do módulo de i , observa-se que é menor que o objeto. b) No instante em que o objeto passar por F , a imagem

se formará no infinito. O objeto está em MRU; assim, pode-se escrever: p � p0 � v � t ⇒ 10 � 50 � 5 � t ⇒ t � 8 s c) Após 7 s, o objeto estará a 15 cm do vértice e terá

7,5 cm de tamanho. p � 50 � 35 ∴ p � 15 cm

1 1 1 1 ___ � ___ � ⇒ ⇒ p’ 15 p’ 10 3 2 2 � _____ ⇒ p’ � 30 cm 30 i 30 p’ ___ � �___ ⇒ i � �20 cm ⇒ 10 15 p

_1_ � __ __ _1_ �

f

⇒

p

1 p’

i __ �� o

20 (UEM-PR) Um objeto real, direito, de 5 cm de altura, está localizado entre dois espelhos esféricos, um côncavo (R � 10 cm) e um convexo ( R � 30 cm), sobre o eixo principal desses espelhos. O objeto está a uma distância de 30 cm do espelho convexo e de 10 cm do espelho côncavo. Com relação às características das imagens formadas nos dois espelhos e ao aumento linear transversal, analise as alternativas abaixo e assinale o que for correto. (01) A imagem formada no espelho convexo é virtual, direita e menor que o objeto.

direita e menor. Afirmativa correta. (02) Como f �

R

2

e adota-se o sinal negativo no foco

z u l a (04) Para calcular o aumento, calcula-se inicialmente a d 1 1 1 o distância da imagem até o espelho: �15 � 30 � p’ ; ã x e 1 1 l f logo, a distância de imagem é 10 cm. Como � � 30 Di e p’ i � 10 1 , a afirmativa é incorreta. r � − p � − � A � e 30 o 3 a 1 1 1 c i � 10 � ’ ⇒ p‘ � 10 cm; logo, (08) r p 5 t 10 p’ é i �− � � 10 � �1. Afirmativa incorreta. A � m p o o e (16) Como o aumento acima foi �1, está correta essa g a c i afirmativa. t p Ó

dos espelhos convexos, a afirmativa está correta.

21 (UFU-MG) Considere o filamento de uma lâmpada, de 0,5 cm de altura, que se encontra a 10 cm de um espelho (em seu eixo). Esse filamento tem sua imagem projetada sobre uma parede a 3 m de distância desse espelho. Determine: a) o tipo da imagem (real, virtual ou imprópria). Explique. b) o tipo do espelho (plano, côncavo ou convexo). Explique. Expli que. c) a altura da imagem. Explique se a imagem é invertida ou não. d) a distância focal do espelho. a) A imagem é real, pois, segundo o enunciado, ela é

projetada em uma parede, e apenas imagens reais podem ser projetadas. b) O espelho é côncavo, pois apenas nele é possível

produzir imagens reais. i 300 p’ i ___ c) __ � � � � ____ ⇒ i � �15 cm ⇒ o 0,5 10 p A imagem é invertida, pois i < 0. Além disso, qualquer imagem real de espelho esférico é invertida. 1 31 1 1 _1_ _1_ � __ � � ___ � ____ � ____ ⇒ f ≃ 9,7 cm d) __ p p’ 10 300 300 f

ESTUDANDO Óptica geométrica e reflexão da luz

Para o ENEM 1 H3

Durante a Segunda Guerra Púnica (218 a.C.-201 a.C.), reza a lenda que o físico e matemático Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.) utilizava espelhos feitos provavelmente de cobre que possuíam a propriedade de concentrar raios solares em determinados pontos e que eram utilizados para incendiar embarcações romanas que tentavam invadir Siracusa. Tal fato seria teoricamente possível e justificado se Arquimedes utilizasse: campo visual suficientemente a) espelhos planos com campo grande para conter pelo menos uma embarcação. b) espelhos convexos, devido a seu grande campo visual. c) espelhos côncavos, devido a seu grande campo visual. d) espelhos côncavos, devido ao fato de poderem concentrar raios paralelos em um ponto de seu plano focal. quale) tal fato é teoricamente impossível, não tendo qualquer fundamento científico.

As equipes se reúnem e, após alguns minutos, apresentam suas respectivas estratégias, baseadas em princípios da óptica geométrica. Todas as equipes optam por seguir a trajetória gerada pelo raio incidente do laser postado na largada e o raio refletido pelo pequeno espelho e direcionado ao ponto de chegada. A estratégia adotada por cada uma das equipes é discriminada na tabela abaixo. Equipe A

Fixar o espelho no ponto do muro mais próximo da largada (P ).).

Equipe B

Fixar o espelho em um ponto equidistante das extremidades do muro.

Equipe C

Fixar o espelho, mantendo-o paralelo ao plano do muro, em um ponto no qual o raio refletido atinja F .

A propriedade indicada no enunciado e utilizada na arma

Fixar o espelho no ponto do muro mais próximo da chegada (Q).

Equipe D

idealizada por Arquimedes seria a capacidade dos espelhos de fazer convergir os raios luminosos em um só ponto, propriedade essa encontrada nos espelhos côncavos.

2 H1 H3

Em uma gincana escolar, quatro equipes – A, B, C e D – recebem a seguinte tarefa: cada uma deve estabelecer a melhor estratégia de trajetória para vencer determinada corrida. O desafio consiste em, partindo do ponto O (largada), chegar pelo caminho mais curto possível ao ponto (chegada) tocando o muro PQ em qualquer ponto. A F (chegada) figura mostra o esquema da competição. F

Q

Dado que t O u OP P > t Q u QF F , qual será a equipe vencedora dessa disputa? a) A b) B c) C d) D entre as quatro equipes. e) A disputa terminará empatada entre Fazendo uma analogia entre essa situação e a reflexão em um espelho plano por meio de uma imagem de F simétrica em relação ao plano do muro, nota-se que os caminhos virtuais têm o mesmo comprimento dos

Chegada

verdadeiros caminhos propostos pelas equipes (ver figura).

F

x

Q

x

F’

o r u M

N

(D) M

(C)

Largada O

(B) P

Cada equipe recebe da comissão organizadora do evento o seguinte material: • um aparelho emissor emissor de laser fixo fixo em um tripé no ponto de largada ( O); • um pequeno espelho plano; • material para fixação do espelho no muro.

(A) O

P

Pelo esquema, nota-se que a trajetória adotada pela equipe C torna-se uma reta e que, portanto, é o caminho mais curto entre O e F .

. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f


3 H3 H17 H18

Com base no esquema, assinale a afirmativa correta. a) O ponto A é um ponto objeto virtual para o espelho E 1. b) O ponto A é um ponto objeto real para o espelho E 1. c) O ponto B é um ponto objeto virtual para o espelho E 2. d) O ponto B é um ponto objeto real para o espelho E 2. e) O ponto B é um ponto imagem real para o espelho E 2.

Alguns automóveis saem de fábrica equipados com espelhos retrovisores retrovisores externos contendo uma tarja na qual se lê a seguinte inscrição: “Atenção: a imagem deste espelho faz com que os objetos aparentem estar mais distantes do que na realidade estão”. Pode-se concluir que: planos e a inscrição é apenas para a) tais espelhos são planos chamar a atenção de condutores imprudentes. b) tais espelhos são côncavos e a inscrição se justifica pela diminuição do campo visual desses espelhos. convexos e a inscrição se justifica c) tais espelhos são convexos pela diminuição do campo visual desses espelhos. convexos e a inscrição se justifica pelo d) tais espelhos são convexos fato de a imagem ser sempre menor que o objeto. e) tais espelhos são convexos e a inscrição se justifica pelo fato de, nesses espelhos, a imagem ser sempre formada a uma distância do espelho maior que a do objeto.

Para analisar um ponto em relação a determinado elemento óptico, é necessário desprezar os outros elementos e identificar como aquele ponto existiria sem os outros elementos. Assim, o ponto A seria ponto imagem real em relação ao espelho E 1 e ponto imagem virtual em relação ao espelho E 2, enquanto o ponto B seria ponto imagem real para o

As características das imagens formadas por espelhos são:

espelho E 2 e ponto objeto real para a lente ocular.

• espelho plano forma imagens simétricas ou de mesmo . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f

tamanho que os objetos; • em espelhos côncavos, as dimensões das imagens


dependem da distância do objeto ao espelho, sendo possível obter imagens maiores, menores ou iguais às do objeto, podendo ainda serem imagens invertidas ou não, o que inviabiliza a utilização desse tipo de espelho em retrovisores; • espelhos convexos formam imagens direitas e menores que os objetos e têm a vantagem de aumentar o campo visual do espelho. Logo, a alternativa correta é a letra d.

4 H17 H18

A figura abaixo esquematiza um telescópio do tipo newtoniano. Tal dispositivo recebe esse nome devido a seu inventor, Isaac Newton (1643-1727), e foi revolucionário à época, pois utilizava espelhos em vez de lentes. Nesse dispositivo se obtinham aumentos muito superiores aos das lunetas astronômicas sem a necessidade de um tubo muito longo.

5 H18

Um jovem fotógrafo fotógrafo,, que iniciou sua carreira com câmeras digitais e softwares de manipulação de imagens, resolveu utilizar técnicas antigas para multiplicar imagens utilizando poucos objetos. Para isso, usou dois grandes espelhos planos e três estatuetas com as quais montou a cena; na foto final, havia doze estatuetas. Como ele pôde obter a imagem de doze estatuetas tirando apenas uma foto? a) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 36º entre si e as três estatuetas entre os espelhos. b) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 90º entre si e duas estatuetas entre os espelhos. c) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 60º entre si e as três estatuetas entre os espelhos. d) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 90º entre si e as três estatuetas entre os espelhos. e) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 45º entre si e as três estatuetas entre os espelhos. O número de imagens de um objeto estabelecidas em 360° uma associação de espelhos é dada por N � �1. α

Então, como o fotógrafo quer ter doze imagens e tem três objetos, cada objeto terá de gerar mais três imagens:

E 1

obj1 � 3 imag (obj1) � obj2 � 3 imag (obj2) � obj3 � A E 2 B

� 3 imag (obj 3) � 3 � 4 � 12 imagens

Para que cada objeto gere três imagens, o ângulo formado entre os espelhos deve ser: 360° 360° 3� � 1 ⇒ 4 � ⇒ α � 90° α

α


Editoras executivas : Ana Luiza Couto, Ana Paula Castellani Edição de texto : Ana Paula Figueiredo (LIT), Andreia Sczypula (QUI), Carlos Roberto Junqueira Yamazaki (HIS), Claudemir de Andrade (GRA, HIS), Inês Mendonça (GEO), Letícia Reys Scarp (BIO, QUI), Ligia Cosmo Cantarelli (HIS), Luci Kiyomi Kasai (FIS, MAT), Marco Antônio Costa Fioravante (FIS), Reginaldo Dias (MAT)

Revisão: Marise Leal Simões (coord.), André Annes Araujo, Carolina Pereira Vicente, Denis Cesar da Silva, Helaine Naira Albuquerque Barboza, Juliana Biscardi, Renata Tavares, Silvia Carvalho de Almeida, Valéria Borsanelli Foto de capa : Jarno Gonzalez Zarraonandia/Shutterstock Produção gráfica: Aderson Oliveira (coord.) Edição de arte e diagramação : Benedito Minotti, Edilson Pauliuk, Edson Ikê, Leandro Hiroshi Kanno, Marina C. Nievas, Raquel Bortoletto, Tyago Bonifácio Iconografia : Pamela de Almeida Rosa (coord.), Ligia Cortez Ilustrações: Paulo Manzi, Selma Caparros Cartografia : Lucinei Normandia, Selma Caparros, Tarcisio Garbellini Bureau :

Américo Jesus (coord.)

Tratamento de imagens : Arleth Rodrigues, Athelier Digital, Fabio N. Precendo, Luiz C. Costa, Pix Art, Rodrigo Fragoso, Rubens M. Rodrigues

Todos os direitos reservados.

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