Pelatihan Pengenalan PLAXIS
MODUL 1 FINITE ELEMENT MODELLING 1.
Sekilas Sejarah Finite Element a. Th 1906 à diajukan suatu konsep “lattice analogy”, dimana media continuum dibagi menjadi pola teratur dari batang-batang elastis. Konsep ini di pertama kali dipakai dalam analisis struktur di Jerman. b. Th 1941 à metode elemen hingga pertama kali diajukan oleh Courant dalam kuliah matematika. Pada tahap ini MEH belum diaplikasikan dalam masalah engineering. c. Th 1953 à para insinyur (terutama industri penerbangan) sudah dapat menemukan persamaan kekakuan matriks dalam bentuk matriks, serta dapat diselesaikan dengan komputer. d. Th 1960 à istilah Finite Element Method mulai diajukan oleh Clough e. Th 1963 à semakin diminati karena dianggap sanggup menyelesaikan masalah2 tegangan. f. Th 1965 à FEM dapat menyelesaikan masalah rambatan panas dan rembesan. g. Th 1960-1970 à diperkenalkan program-program komputer utuk FEM untuk analisis statik, dinamik, dan perambatan panas: ANSYS, ASKS, NASTRAN. h. Th 1980 à diperkenalkan software dan hardware untuk grafik sehingga semakin memudahkan interaksi.
2. Langkah-langkah pada FEM Secara garis besar ada 5 langkah dasar: a. Discretization: pembagian suatu continuum menjadi sistem yang lebih kecil yang disebut sebagai finite element. Pada sistem ini terdapat nodal
Modul Pelatihan. Oleh Yusep Muslih Purwana dan Raden Harya Dananjaya
Pelatihan Pengenalan PLAXIS
line, yang memisahkan elemen-elemen. Pertemuan antara nodal line disebut nodal point (Gambar 1.1). Struktur pondasi
y
node element nodal line
x
Gambar 1. 1 Contoh pembagian continuum menjadi elemen-elemen b. Pemilihan fungsi aproximasi: Langkah ini digunakan untuk menentukan displacement setiap element menggunakan polynomial berderajat n. Semakin tinggi n, semakin tinggi ketelitiannya. Displacement suatu node dituliskan sebagai {u} = [N]{q} Dimana: [N] adalah matriks fungsi interpolasi, {q}= {u1, u2, …, v1,v2, ..)T c. Menentukan hubungan Regangan-Perpindahan dan Tegangan-Regangan d. Penurunan persamaan elemen: Menggunakan metode variational atau residual (misal metode Galerkin).
Persamaan elemen dapat ditulis
sebagai [k]{q} = {Q} Dimana [k] adalah matriks properti elemen, dan {Q} vektor gaya node. e. Assembling properti elemen ke persamaan global
Modul Pelatihan. Oleh Yusep Muslih Purwana dan Raden Harya Dananjaya
Pelatihan Pengenalan PLAXIS
Persamaan-persamaan elemen pada langkah c dikombinasi sehingga menghasilkan stiffness relation untuk seluruh elemen. Langkah ini dibuat untuk mendapatkan kompatibilitas displacement setiap node. Stiffnes relation ditulis: [K] {r} = {R} Dimana [K] adalah global stiffness matriks, {r} adalah global nodal displacement vector, dan {R} adalah global nodal force vector. f.
Menghitung besaran-besaran primer yang tidak diketahui
g. Menghitung besaran-besaran sekunder h. Interpretasi
3. Faktor Penentu Solusi Hasil FEM a. Fisik: idealisasi model, boundary condition b. Numerik: keakuratan, stabilitas, konsistensi c. Human: formulasi, alternatif, interpretasi d. Computer: input, waktu, software
Modul Pelatihan. Oleh Yusep Muslih Purwana dan Raden Harya Dananjaya
Pelatihan Pengenalan PLAXIS KPK A3 JTS FT UNS 2008
MODUL 2 MODEL MATERIAL 1. Pendahuluan Model material adalah sekumpulan persamaan matematika yang menjelaskan hubungan antara tegangan, regangan, (dan waktu). Suatu material harus dimodelkan secara mekanis menggunakan persamaan konstitutif (constitutive law). Penentuan model suatu material dibuat sesuai dengan kondisi material yang ditinjau serta derajat keakuratan yang diinginkan.
2. Prilaku Tegangan-Regangan Gambar 2.1 memperlihatkan contoh beberapa kurva tegangan-regangan
3. Model Material Untuk material tanah dan batuan, beberapa model material yang biasa digunakan diantaranya sotropic 1. Elasticity (Hooke’s law), 2. Mohr-Coulomb (MC) à Elastic Plastic, 3. Jointed Rock (JR), 4. Hardening-Soil (HS), 5. Soft-SoilCreep (SSC), 6. Soft Soil (SS), 7. Cam Clay (Critical State), 8. Modified CamClay (MCC), 9. Nonlinear Elasticity (Hyperbolic), 10. Strain Softening, 11. Slip Surface. Masing-masing model di atas memiliki parameter tersendiri serta memiliki kelebihan dan kekurangan (Tabel 2.1). Keakuratan pemodelan sehingga mendekati keadaan sesungguhnya sangat tergantung pada: 1. Keahlian memodelkan 2. Pemahaman terhadap model serta keterbatasannya 3. Pemilihan parameter 4. Kemampuan menilai hasil komputasi yang reliable
Modul Pelatihan Edisi 2008. Oleh: Yusep Muslih Purwana
Pelatihan Pengenalan PLAXIS KPK A3 JTS FT UNS 2008
Tabel 2.1. Contoh beberapa model material tanah No 1
Model Isotropic Elaticity (linear elastic) Moh-Coulomb, MC (elastic-perfectly plastic)
Parameter E, ν
3
Jointed Rock, JR (anistropic elasticperfectly plastic)
E, ν, G, φ, c , ψ
4
Hardening-Soil (HS)
φ, c , ψ, ν, E50, Eur, Eoed, p, Ko, Rf, σ, ....
2
E, ν (elastic), φ, c (plastic), dan ψ ≈ φ - 30
5
Soft-Soil-Creep (SSC)
φ, c , ψ, κ, λ, µ, ν, M, Ko,
6
Soft Soil (SS) à Cam Clay
φ, c , ψ, κ, λ, ν, M, Ko
Modified (MCC)
ν, κ, λ, M, e
Cam-Clay
Modul Pelatihan Edisi 2008. Oleh: Yusep Muslih Purwana
Kelebihan Relatif cepat dan sederhana Perhitungan masih relatif sederhana. Sudah mengakomodai pengaruh anisotropik material Cocock untuk semua jenis tanah Sudah memasukkan efek viscous dan creep
Kekurangan Kurang akurat Aproksimasi orde 1
Keterangan Masih cocok untuk material masif dan lapisan bedrock Model paling banyak dikenal Digunakan untuk simulasi batuan berlapis
Belum memasukkan viscous Over predict
efek
Tidak cocok untuk analisis penggalian
Model tingkat lanjut untuk simulasi prilaku tanah. Bisa utk soft maupun stiff soil. Relatif baru dan bagus untuk analisis settlement. Pengembangan dari HS. Dipakai untuk soft soil spt NC Clay, dan gambut. Modifikasi dari Cam Clay. Tidak dianjurkan untuk keperluan praktis
Pelatihan Pengenalan PLAXIS KPK A3 JTS FT UNS 2008
4. Tegangan dan Regangan Tegangan adalah sebuah tensor yang dapat dinyatakan dalam koodinat Cartesius sebagai:
⎡σ xx ⎢ σ ij = ⎢σ yx ⎢σ zx ⎣
σ xy σ xz ⎤ ⎥ σ yy σ yz ⎥ σ z y σ zz ⎥⎦
Menurut teori deformasi, tensor tegangan bersifat simetris, dimana σxy=σyx, …,dst, sehingga tegangan dapat ditulis dalam notasi vektor sebagai
{σ }T = [σ xx σ yy σ zz σ xy σ yz σ zx ]
σ2=σ3
⎡σ 1 0 0 ⎤ ⎢0 σ 0 ⎥⎥ 2 ⎢ ⎢⎣ 0 0 σ 3 ⎥⎦
⎡σ 1 0 0⎤ ⎢ 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
⎡σ 0 0 ⎤ ⎢0 σ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 σ ⎥⎦
Gambar 2.3. Beberapa contoh kondisi tegangan beserta tensornya Regangan adalah sebuah tensor yang dapat dinyatakan dalam koordinat Cartesius. Dengan cara yang sama dengan diatas, diperoleh regangan:
⎡ε xx ⎢ ε ij = ⎢ε yx ⎢ε zx ⎣
ε xy ε yy εzy
ε xz ⎤ ⎥ ε yz ⎥ ε zz ⎥⎦
{ε }T = [ε xx ε yy ε zz ε xy ε yz ε zx ] Modul Pelatihan Edisi 2008. Oleh: Yusep Muslih Purwana
Pelatihan Pengenalan PLAXIS KPK A3 JTS FT UNS 2008
Untuk model elastoplastic, regangan merupakan penjumlahan komponen regangan elatic dan plastic, sehingga: ε = εe + εp
5. Hubungan Antar Parameter 1. Young Modulus E:
σxx = Eεxx
2. Poisson Ratio ν:
εyy = εzz = νεxx
3. Shear Modulus:
σxy = 2Gεxy = Gγxy
4. Bulk Modulus K:
σoct = Kεvol
5. Lame’s Constant λ, µ
σxx = λεvol + 2µεxx,
6. Constrained Modulus M:
σxx = Mεxx
σxy = 2µεxy
Hubungan antar parameter dapat dituliskan:
G=µ= ,
K=
E 2(1 + ν )
E 2 =λ+ µ 3(1 − 2ν ) 3
Eoed =
λ=
νE (1 + ν )(1 − 2ν )
M=
E (1 −ν ) (1 + ν )(1 − 2ν )
(1 − ν ) E (1 − 2ν )(1 + ν )
Hubungan tegangan-regangan dapat dinyatakan dalam berbagai cara, akan tetapi yang paling bagus digunakan adalah:
ν ν 0 0 0 ⎤ ⎡1 − ν ⎢ 0 1 −ν ν 0 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 0 0 1 −ν 0 0 0 ⎥ E [C ] = ⎢ ⎥ 0 0 1 − 2ν 0 0 ⎥ (1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 1 − 2ν 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1 − 2ν ⎥⎦ ⎢⎣ 0
Modul Pelatihan Edisi 2008. Oleh: Yusep Muslih Purwana
Pelatihan Pengenalan PLAXIS KPK A3 JTS FT UNS 2008
dan
dan
⎡ ⎢K ⎢ ⎢ ⎢ [C ] = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
4 + G 3
0
0
4 K+ G 3
0
0
0 0 0
0 0 0
⎤ 0⎥ ⎥ 0 0 0 0⎥ ⎥ 4 K+ G 0 0 0 ⎥⎥ 3 0 2G 0 0⎥ ⎥ 0 0 2G 0 ⎥ 0 0 0 2G ⎥⎦ 0
0
0
M − 2G M − 2G 0 0 0⎤ ⎡ M ⎢ M − 2G M M − 2G 0 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢ M − 2G M − 2G M 0 0 0⎥ [C ] = ⎢ ⎥ 0 0 2G 0 0⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 2G 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 2G ⎥⎦ ⎣⎢ 0
Untuk kondisi plane strain, εxx, εxz, εyz adalah 0, sehingga persamaan menjadi: {σ} = [C]{ε} dengan
{σ}T = [σxx σyy σxy]
4 ⎡ ⎢K + 3 G ⎢ 2 [C ] = ⎢ K − G 3 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣
{ε)T = [εxx εyy εxy]
2 ⎤ K− G 0 ⎥ 3 ν 0 ⎤ ⎡1 − ν ⎥ 4 E ⎢ K+ G 0 ⎥= ν 1 −ν 0 ⎥⎥ ⎢ 3 ⎥ (1 − ν )(1 − 2ν ) ⎢⎣ 0 0 1 − 2ν ⎥⎦ 0 2G ⎥ ⎥⎦
dan
⎡M = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0
M − 2G M 0
0⎤ 0 ⎥⎥ 2G ⎥⎦
Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk invers: {ε} =[D](σ} Modul Pelatihan Edisi 2008. Oleh: Yusep Muslih Purwana
Pelatihan Pengenalan PLAXIS KPK A3 JTS FT UNS 2008
Dimana:
0 0 0 ⎤ ⎡ 1 −v −v ⎢− v 1 − v 0 0 0 ⎥⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥ 1 ⎢− v − v 1 [ D] = ⎢ ⎥ 0 0 1 +ν 0 0 ⎥ E⎢0 ⎢0 0 0 0 1 +ν 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1 + ν ⎦⎥ ⎣⎢ 0
6. Plane Strain dan Axisymmetric Dilihat dari geometri, modeling FEM 2 D menggunakan salah satu dari 2 kondisi berikut yaitu: 1. Plane Strain, dan 2. Axisymmetric. (Gambar 2.4) -
Plane strain digunakan untuk kondisi dimana struktur dianggap memiliki panjang tak hingga tegak lurus potongan melintang. Pada kondisi ini εz = 0, uz = 0. Contoh struktur dengan kondisi ini misalnya pondasi menerus, embankment, cofferdam, dll.
-
Axisymmetric digunaka untuk kondisi dimana struktur berbentuk lingkaran, beban mengitari sumbu lingkaran, dan tegangan dan deformasi identik ke segala arah radial. Koordinat x dianggap sumbu radial, koordinat y diangap garis aksial simetri, dengan sumbu x negative tak bisa digunakan. Contoh struktur dengan kondisi ini adalah pondasi plat lingkaran.
a. Plane Strain
b. Axisymmetric
Gambar 2.4 Kondisi plane strain dan axisymmetrik Modul Pelatihan Edisi 2008. Oleh: Yusep Muslih Purwana
Pelatihan Pengenalan PLAXIS 2D
MODUL 3 LATIHAN 1
Berikut adalah contoh untuk latihan. Sebuah tanah pasir timbunan memanjang tegak lurus bidang gambar terletak pada permukaan pasir homogen tebal 10 m. Tentukan deformasi, serta tegangan-tegangan yang terjadi pada lapisan tanah!
5m 5m
25 m Lapisan pasir 3
3
2
o
γ = 17 kN/m , γsat = 20 kN/m c = 1 KN/m , φ = 31 , 2 E = 13000 kN/m , ν = 0.3, kx = ky = 1 m/hari
10 m
Rock layer
Gambar 3.1. Timbunan di atas tanah pasir Langkah langkah: 1. Aktifkan Plaxis Input dengan cara double click icon PLAXIS 2. Craete/Open Project, pilih New project 3. General Setting, tulis sbb: -
Project title: tulis Latihan 1
-
Comment: Penyebaran tegangan pada tanah timbunan
-
General: plane strain, 15 node
-
Acceleration: x, y = 0
-
Dimensions: Unit: panjang = m, gaya = kN, waktu = hari
-
Geometri dimensions: Berturut-turut isi 0.0, 22.5, 5.0, -10.0.
-
Spacing: 1 m, interval: 2
Modul Pelatihan . Oleh Raden Harya Dananjaya dan Yusep Muslih Purwana
Pelatihan Pengenalan PLAXIS 2D
4. Klik OK 5. Model Geometri: Mulai dari titik (0,5), klik mouse kiri, bawa ke (2.5,5), klik mouse kiri, ...., bawa ke (12.5,0), (22.5,0), (22.5,-10), (0,-10), (0,5) klik mouse kanan. Lalu klik (0,0) dan (12.5,0) à klik kanan, sehingga tergambar dua cluster, yaitu atas dan bawah. 6. Boundary Condition: Klik standard fixities. 7. Material Data Set, Klik Material sets button, Klik New: − Pada Material set, tulis Identification: sand, Material Model: MohrCoulomb, Material type: drained. − General properties: γsat = 20 kN/m3, γunsat = 17 kN/m3 − Permeability: kx = ky = 1 m/day Klik
atau Parameter: masukkan data-data E = 13000 kN/m2, µ = 0.3, c = 1 kN/m2, φ = 31o, ψ = 0. Klok Lalu material diseret ke cluster atas dan bawah 8. Mesh Generation Klik Generate Mesh, secara otomatis Plaxis akan me Generate mesh. Sampai disini model finite element sudah sempurna. Langkah selanjutnya adalah Klik . Update dilakukan untuk kembali ke menu input. 9. Initial Condition − Initial condition berisi: kondisi air tanah awal, geometri awal, dan kondisi tegangan efektif awal. Pada kasus ini pasir dianggap kering, sehingga kondisi air tanah diabaikan dan pastikan cluster atas dalam kondisi tidak aktif. Kemudian tegangan efektif harus “digenerate” dengan cara klik Initial Condition. Akan muncul default angka γw = 10 kN/m3. Klok −
Klik initial stress and Geometri configuration. Klik Generate Initial Stress. Akan muncul output berupa initial stress. Klik
Modul Pelatihan . Oleh Raden Harya Dananjaya dan Yusep Muslih Purwana
Pelatihan Pengenalan PLAXIS 2D
− Untuk kembali ke menu input klik 10. Calculation − Klik “Calculate”, dan “save” pada tempat yang diinginkan (dalam hal ini namai Latihan 1). Input program akan tertutup, beralih ke Calculation program. Pada General tabs, pilih plastic. − Klik , dari Loading input box, klik “staged construction”. − Klik , akan muncul konfigurasi yang aktif. Double klik pada cluster atas. − Klik
. Langkah ini menunjukkan Calculation Definition telah
selesai (tapi belum dihitung). − Tentukan salah satu node (dalam hal ini node paling kiri atas), klik . − Klik à proses kalkulasi akan terlihat. 11. Output Output dapat dilihat dengan cara klik 
