Ruang Sampel
Perhatik Perhatikan an pada pelempar pelemparan an sebuah sebuah mata uang, uang, kita tidak tidak dapat dapat memastik memastikan an hasil hasil yang mungkin terjadi terjadi apakah munculnya munculnya Angka atau Gambar. Gambar. Demikian pula jika kita mengambil mengambil secara acak sebuah kelereng dari dalam kotak berisi beberapa kelereng, kita tidak dapat memastikan kelereng mana yang terambil. Kegiatan melempar mata uang, mengambil secara acak kelereng dari dalam kotak dinamakan percobaan atau eksperimen. Percobaan dalam konsep peluang menyatakan menyatakan tiap proses yang mengasilkan mengasilkan data mentah mentah yang hasilnya hasilnya tidak dapat kita pastikan sebelumnya. Perhatikan Perhatikan kembali pada pada pecobaan pelemparan pelemparan sebuah mata mata uang, bila mata uang dilempar berulang-ulang, kita tidak dapat memastikan bahwa pada lemparan tertentu akan diperoleh sisi Gambar Gambar atau Angka, Angka, tetapi tetapi kita mengeta mengetahui hui semua semua kemungkina kemungkinan n hasil untuk untuk setiap perco percobaan baan.. Dalam percobaan percobaan melempar mata uang hasil yang yang mungkin mungkin terjadi bisa muncul muncul sisi Gambar Gambar disingkat G, atau munculnya sisi Angka disingkat A. Bila kita himpun hasil-hasil yang mungkin terjadi pada sebuah percobaan maka kita dapatkan sebuah ruang sampel. Yang secara umum didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1.1
Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, sedangkan anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.
Ruang sampel sampel biasa disimbulkan disimbulkan dengan dengan huruf S, jika banyaknya banyaknya titik sampel berhingga berhingga kita dapat mendaftar mendaftar anggota-angota anggota-angota ruang ruang sampel sampel tersebut menggunak menggunakan an tanda koma koma untuk memisahk memisahkan an masing-masing masing-masing anggota anggota dan menutupnya menutupnya dengan dua kurung kurawal. Contoh 1.1
Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam, ruang sampelnya adalah {A, G}, titik sampelnya adalah A, G. Contoh 1.2
Pada percobaan melempar dua mata uang, diperoleh S = {AA, AG, GA, GG}, dengan AA adalah mata uang pertama muncul angka, dan mata uang kedua muncul angka AG adalah mata uang pertama muncul angka, dan mata uang kedua muncul gambar GA adalah mata uang pertama muncul gambar, dan mata uang kedua muncul angka GG adalah mata uang pertama muncul gambar, dan mata uang kedua muncul gambar.
Contoh 1.3
Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali maka ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6} dengan dengan 1 menyatakan menyatakan banyaknya banyaknya titik dadu (mata dadu) dadu) bagian atas atas ada satu, 2 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada dua, dan seterusnya. Catatan Dalam modul ini jika tidak ada keterangan tertentu maka mata uang, dadu dan sejenisnya adalah seimbang.
Ruang Sampel Baha Bahan n Kuli Kuliah ah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh Oleh:: Rin Rinal aldi di Muni Munir r Sekolah ko lah Te Teknik kn ik Elektro Elekt ro da d an Inf Infor ormati matika ka ITB ITB
1
Ruang Sampel (Sample Space) • Ruang sampel : himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu eksperimen (percobaan). • Setiap hasil dari ruang sampel disebut titik sample (sample point). Notasi: S = {x1, x2, …, xn} • Contoh: melempar dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} melempar koin dua kali S = {GA, GG, AA, AG} G = gambar, A = angka
2
• Ruang sampel yang anggotanya berhingga disebut ruang sampel finit , sedangkan ruang sampe infinit . • Contoh ruang sampe infinit: sebutir debu dijatuhkan ke dalam bidang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 4. Posisi jatuhnya debu di dalam bidang lingkaran dinyatakan koordinat (x, y). Kumpulan semua titik yang mungkin sebagai tempat jatuhnya debu di dalam lingkaran adalah ruang sampel, yaitu S = {(x, y) | x 2 + y2 ≤ 4} • Ruang sampel (finit atau infinit) yang anggotanya dapat dihitung disebut ruang sampel diskrit , jika tidak dapat dihitung disebut ruang sampel kontinu (non-diskrit). 3
Menghitung Titik Sampel Kaidah dasar menghitung titik sampel: 1.
Kaidah perkalian (rule of produc t )
Bila eksperimen 1 mempunyai p hasil, percobaan 2 mempunyai q hasil, maka bila eksperimen 1 dan eksperimen 2 dilakukan, maka terdapat p × q hasil. 2.
Kaidah penjumlahan (rule of sum ) Bila eskperimen 1 mempunyai p hasil, percobaan 2 mempunyai q hasil, maka bila eksperimen 1 atau eksperimen 2 dilakukan, maka terdapat p + q hasil.
4
Contoh 1
Sebuah restoran menyediakan lima jenis makanan, misalnya nasi goreng, roti, soto ayam, sate, dan sop, serta tiga jenis minuman, misalnya susu, kopi, dan teh. Jika setiap orang boleh memesan satu makanan dan satu minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan? Jawaban: Ada 5 cara memilih makanan, yaitu nasi goreng, roti, soto ayam, sate, dan sop. Ada 3 cara memilih minuman, yaitu susu, kopi, dan teh, sehingga dengan menggunakan kaidah perkalian, jumlah kemungkinan pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan adalah 5 × 3 = 15 pasang. 5
Contoh 2 Sekelompok mahasiswa terdiri atas 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil pria dan satu orang wakil wanita? Jawaban: Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil pria, dan 3 kemungkinan memilih satu wakil wanita. Jika dua orang wakil harus dipilih, masing-masing 1 pria dan 1 wanita, maka jumlah kemungkinan perwakilan yang dapat dipilih adalah 4 × 3 = 12.
6
Contoh 3 Sekelompok mahasiswa terdiri atas 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak peduli pria atau wanita)? Jawaban: Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil pria, dan 3 kemungkinan memilih satu wakil wanita. Jika hanya satu orang wakil yang harus dipilih (pria atau wanita), maka jumlah kemungkinan wakil yang dapat dipilih adalah 4 + 3 = 7. 7
Perluasan Kaidah Menghitung Jika n buah eksperimen masing-masing mempunyai p1, p2, …, pn, hasil yang yang dalam hal ini setiap pi tidak bergantung pada pilihan sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah: (a) p1 × p2 × … × pn (kaidah perkalian). (b) p1 + p2 + … + pn (kaidah penjumlahan
8
Contoh 4
Berapa banyak jumlah kata dengan 5 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf a, b, c, d, e jika tidak boleh ada huruf yang berulang di dalam kata? Jawaban: Ada 5 cara mengisi posisi huruf pertama di dalam kata, 4 cara mengisi posisi huruf kedua (karena 1 huruf sudah dipakai untuk kotak pertama), 3 cara untuk mengisi posisi huruf ketiga, 2 cara untuk mengisi posisi huruf keempat, dan 1 cara untuk mengisi posisi huruf kelima. 5 cara 4 cara 3 cara 2 cara 1 cara _____ _____ _____ _____ _____ Karena setiap posisi harus diiisi dengan 1 huruf maka kita menggunakan kaidah perkalian. Jumlah kata yang dapat dibentuk adalah 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 buah. 9
Contoh 5:
Perpustakaan memiliki 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah buku berbahasa Perancis, dan 10 buah buku berbahasa Jerman. Masing-masing buku berbeda judulnya. Berapa jumlah cara memilih (a) 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa berbeda, (b) 1 buah buku (sembarang bahasa). Jawaban: (a) Jumlah cara memilih 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa adalah (6)(8)(10) = 480 cara. (b) Jumlah cara memilih 1 buah buku (sembarang bahasa) = 6 + 8 + 10 = 24 cara 10
Latihan Suatu bilangan dibentuk dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 7, 8, dan 9. Misalkan pengulangan angka tidak dibolehkan. Berapa banyak bilangan 4-angka yang kurang dari 5000 namun habis dibagi 5 yang dapat dibentuk dari angkaangka tersebut? (jawaban ada pada lembar sesudah ini)
11
Jawaban: • Ada 4 angka bilangan yang akan dibentuk: _ _ _ _ • Karena disyaratkan bilangan kelipatan 5, maka angka paling kanan hanya dapat diisi dengan angka 5 saja (satu cara). • Angka posisi ke-1 dapat diisi dengan 3 cara (yaitu 2, 3, dan 4). • Angka posisi ke-2 dapat diisi dengan 5 cara (2 angka lain sudah dipakai untuk posisi ke-1 dan ke-4). • Angka posisi ke-3 dapat diisi dengan 4 cara (3 angka lain sudah dipakai untuk posisi ke-1, ke-2 dan ke-4). • Karena seluruh posisi angka harus terisi, maka kita menggunakan kaidah perkalian untuk menghitung jumlah bilangan bulat yang dapat dibentuk, yaitu 3 × 5 × 4 × 1 = 60 buah. 12
Permutasi • Permutasi adalah susunan berbeda pengaturan bendabenda di dalam kumpulannya yang dapt diambil sebagian atau seluruhnya. • Banyaknya permutasi dari n benda berlainan adalah n! (n! = 1 x 2 x 3 x … x n) Contoh 6: Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari huruf-
huruf kata “BOSAN”? Jawaban: • Cara 1 (kaidah perkalian): (5)(4)(3)(2)(1) = 120 kata • Cara 2 (permutasi): 5! = 120 kata 13
Contoh 7:
Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Jawaban: 25! • Banyaknya permutasi dari n benda berlainan jika diambil r sekaligus adalah P(n, r) = n!/(n – r)! Notasi lain: nPr Contoh 8:
Berapa banyak pasangan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf alfabet jika tidak boleh ada perulangan huruf? Jawaban: P(26, 2) = 26!/24! = 26 x 25 = 650
14
Contoh 9:
Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula? Jawaban: Ada P(26, 4) cara mengisi posisi 4 huruf dan P(10, 3) cara untuk mengisi posisi 3 buah angka. Karena string disusun oleh 4 huruf dan 3 angka, maka jumlah string yang dapat dibuat adalah P(26, 4) × P(10,3) = 258.336.000
15
• Permutasi n buah benda yang mana n1 buah berjenis pertama, n2 buah berjenis kedua, …, nk bola berjenis k adalah: P(n; n1, n2, ..., nk) = n! / (n1! n2! ... nk!) Contoh 10: Berapa banyak string yang dapat dibentuk
dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Jawaban: S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I} huruf M = 1 buah (n1) huruf I = 4 buah (n2) huruf S = 4 buah (n3) huruf P = 2 buah (n4) n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = jumlah elemen S Jumlah string = P(11; 1, 4, 4, 2) = 11! / (1! 4! 4! 2!) = 34650 buah.
16
Conto on toh h 11
12 lembar karton akan diwarnai sehingga 3 diantaranya berwarna hijau, 2 berwarna merah, 2 berwarna kuning, dan sisanya berwarna biru. Berapa jumlah cara pengecatan? Jawaban: Diketahui n1 = 3, n2 = 2, n3 = 2, n4 = 5, dan n1 + n2 + n3 + n4 = 3 + 2 + 2 + 5 = 12 Jumlah cara pengecatan = P(12; 3, 2, 2, 5) = 12! / (3! 2! 2! 5!) = 166320
17
Conto on toh h 12:
12 buah lampu berwarna (4 merah, 3 putih, dan 5 biru) dipasang pada 18 buah soket dalam sebuah baris (sisanya 6 buah soket dibiarkan kosong). Berapa jumlah cara pengaturan lampu? Jawaban: Diketahui, n = 18; n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5, dan n4 = 6 (socket kosong) Jumlah cara pengaturan lampu = P (18; 4, 3, 5, 6) = 18! / (4! 3! 5! 6!) =
cara 18
Contoh 13:
Berapa banyak cara membagikan delapan buah buku berbeda kepada 3 orang mahasiswa, bila Billy mendapat empat buah buku, dan Andi serta Toni masing-masing memperoleh 2 buah buku. Jawaban: Diketahui n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dan n1 + n2 + n3 = 4 + 2 + 2 = 8 Jumlah cara membagi seluruh buku = 8!/(4! 2! 2!) = 420 cara
19
Kombinasi
• Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. • Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r sekaligus adalah C(n, r) C ( n, r )
=
n! r !( n − r )!
⎛ n ⎞ • Notasi lain: ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ r ⎠
20
Contoh 14: Berapa banyak himpunan bagian yang terdiri
dari 2 elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan 3 elemen? Jawaban:
Jadi, jumlah cara memilih 3 dari 4 elemen himpunan adalah C(4, 3) = 4! / (3! 1!) = 4. Misalkan P = {a, b, c, d}, maka himpunan bagian itu adalah {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, dan {b, c, d}.
Urutan di dalam himpunan bagain tidak penting Jadi, {a, b, c} = {c, b, a} 21
Contoh 15: Berapa banyak cara membentuk panitia
(komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orang orang dari sebuah fraksi di DPR yang beranggotakan 25 orang? Jawaban: • Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama. • Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, maka urutan penempatan masing-masingnya di dalam panitia tidak penting (ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya). Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah C(25,5) = 53130 cara. 22
Contoh 16:
Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7 orang mahasiswa jurusan Kimia. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :
(a) tidak ada batasan jurusan C(12, 4) (b) semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika C(5,4) (c) semua anggota panitia harus dari jurusan Kimia C(7,4) (d) semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama C(5,4) + C(7,4) (e) 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili. C(5,2) C(7,2) 23
Latihan Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita?
24
25
26
Dasar‐Dasar Probabilitas
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
1
Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian
Ruang sampel (sample space) atau semesta (universe) merupakan himpunan dari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan (experiment ) Titik sampel (sample point ) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel Kejadian (event ) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel
Contoh Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian (#1)
Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang muncul Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = Kejadian munculnya angka genap A = {2, 4, 6} B = Kejadian munculnya angka 5 atau lebih B = {5, 6}
3
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Ilustrasi Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian pada Percobaan Perlemparan Sebuah Dadu Ruang sampel B 1
3
5
2
4
6
A
Contoh Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian (#2)
Percobaan: Pelemparan dua buah dadu bersamaan dan mencatat angka yang muncul Ruang sampel S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 6)} A = Kejadian munculnya angka yang sama pada kedua dadu A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B = Kejadian munculnya jumlah angka 10 atau lebih B = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Contoh Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian (#3)
Percobaan: Pelemparan tiga koin (uang logam) bersamaan dan mencatat banyaknya muka yang muncul Ruang sampel S = {0, 1, 2, 3} A = Kejadian tidak ada muka yang muncul A = {0} B = Kejadian banyaknya muka yang muncul 2 atau kurang B = {0, 1, 2}
5
Contoh Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian (#4)
Percobaan: Pengamatan terhadap umur (dalam jam) sebuah lampu Ruang sampel S = {t |t > 0} A = Kejadian umur lampu melebihi 10 jam E = {t |t > 10} B = Kejadian umur lampu antara 0 dan 250 jam F = {t |0 ≤ t ≤ 250}
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Operasi‐Operasi dalam Kejadian
Irisan (Intersection)
Gabungan (Union)
Komplemen (Complement )
7
Irisan Dua Kejadian Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, merupakan kejadian yang elemennya termasuk dalam A dan B
A
B
9
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Gabungan Dua Kejadian Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∪ B, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yang termasuk A atau B atau keduanya
A
B
Komplemen Suatu Kejadian Komplemen suatu kejadian A, dinyatakan dengan A’, adalah himpunan semua elemen dalam S yang tidak termasuk dalam A
A
A’
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Contoh Operasi‐Operasi dalam Kejadian Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang muncul Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Kejadian munculnya angka genap, A A = {2, 4, 6} • Kejadian munculnya angka 5 atau lebih, B B = {5, 6} Irisan A dan B A ∩ B = {6} Gabungan A dan B A ∪ B = {2, 4, 5, 6} Komplemen dari A ’ {1, 5}
11
Ilustrasi Operasi‐Operasi Kejadian pada Pelemparan Sebuah Dadu Ruang sampel A’
B 1
3
5
2
4
6
A ∪ B
A
A ∩ B DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Dua Kejadian Saling Terpisah Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah (mutually exclusive) jika kejadian‐kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan
A
B A
∩ B = ∅
Contoh Kejadian‐Kejadian Saling Terpisah
Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang muncul Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Kejadian munculnya angka genap, A A = {2, 4, 6} Kejadian munculnya angka ganjil, B B = {1, 3, 5} Kejadian A dan B saling terpisah A ∩ B = ∅ 15
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Ilustrasi Dua Kejadian Saling Terpisah pada Pelemparan Sebuah Dadu Ruang sampel B 1
3
5
2
4
6
A
Penghitungan Titik Sampel
Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n 1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapat dilakukan dengan n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n 1n2...nk cara
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
17
Contoh Penghitungan Titik Sampel Tiga buah koin (uang logam) dilemparkan sekali. Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel ? Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka (M) atau belakang (B) Untuk tiap hasil, Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B Untuk tiap hasil, Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B Jumlah titik sampel yang dihasilkan = (2)(2)(2) = 8
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Permutasi & Kombinasi
Permutasi (Permutation) Permutasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk yang memperhatikan urutan
Kombinasi (Combination) Kombinasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk tanpa memperhatikan urutan
19
Permutasi (1)
Banyaknya permutasi n obyek berlainan adalah n! Banyaknya permutasi n obyek berlainan bila diambil r sekaligus
P = n r
n!
(n − r )!
Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)! 21
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Permutasi (2)
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n 1 adalah jumlah obyek jenis pertama, n2 adalah jumlah obyek jenis kedua, ..., nk jumlah obyek ke‐k adalah
n! n1! n2!Lnk !
Permutasi (3)
Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r sel bila masing‐masing berisi n 1 obyek pada sel pertama, n2 obyek pada sel kedua, dan seterusnya adalah
n! n1! n2!Lnr ! dengan n 1 + n2 + ... + nr = n DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
23
Kombinasi (1)
Kombinasi berkaitan dengan penentuan banyaknya cara memilih r obyek dari sejumlah n obyek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan (n – r ) obyek sisanya.
Kombinasi (2)
Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainan jika diambil sebanyak r
C = n r
n! r ! (n − r )!
25
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Contoh Kombinasi Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita Banyaknya panita yang dibentuk yang beranggotakan 2 pria dan 1 wanita? Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria =
C 2 =
4!
4
2!2!
Banyaknya cara memilih 1 dari 3 wanita = C 13 =
=6
3! 1!2!
=3
Banyaknya panita yang dapat dibentuk = (6)(3) = 18
Probabilitas Kejadian
Probabilitas suatu kejadian merupakan suatu ukuran kemungkinan kejadian tersebut terjadi Probabilitas kejadian A dinyatakan dengan P( A)
27
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Aksioma‐Aksioma Probabilitas Kejadian
0 ≤ P( A) ≤ 1 P(∅) = 0 P(S) = 1
Probabilitas untuk Hasil Berkemungkinan Sama Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama (equally likely ) dan jika tepat terdapat sebanyak n hasil yang berkaitan dengan kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah
( )=
n
P A
N
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Contoh Probabilitas untuk Hasil Berkemungkinan Sama (#1) Percobaan pelemparan sebuah dadu Misal A kejadian munculnya angka genap Jumlah seluruh hasil yang mungkin N = 6 Jumlah hasil yang mungkin untuk kejadian A, n = 3 Probabilitas kejadian A, P( A) ?
3 1 = P( A) = 6 2
29
Contoh Probabilitas untuk Hasil Berkemungkinan Sama (#2) Percobaan pengambilan selembar kartu dari 52 kartu bridge. Misal B kejadian terpilihnya kartu heart Jumlah seluruh hasil yang mungkin N = 52 Jumlah hasil yang mungkin untuk kejadian B, n = 13 Probabilitas kejadian B, P(B) ?
( )=
P B
13 1 = 52 4
31
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Contoh Probabilitas untuk Hasil Berkemungkinan Sama (#3) Dalam suatu kotak, terdapat 4 bola merah dan 6 bola putih. Jika empat bola diambil secara random, probabilitas terpilih 2 bola merah dan 2 bola putih? A = kejadian terpilih 2 bola merah dan 2 bola putih Jumlah cara memilih 2 dari 4 bola merah = Jumlah cara memilih 2 dari 6 bola putih = Jumlah cara memilih 4 dari 10 bola =
( )
P A
(6)(15) 3
4
C 2 6
C 2
10
C 4
4! =6 2!2! 6! = = 15 2!4! 10! = = 210 4!6!
=
Hukum‐Hukum Probabilitas
Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka P( A ∪ B) = P( A) + P(B) – P( A ∩ B)
Jika A dan B kejadian yang saling terpisah, maka P( A ∪ B) = P( A) + P(B)
Jika A dan A’ adalah kejadian saling berkomplemen, maka P( A’ ) = 1 – P( A) 33
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Probabilitas Bersyarat Probabilitas bersyarat (conditional probability ) B jika diketahui A
P (B| A ) =
P ( A ∩ B ) P ( A)
; jika P ( A) > 0
Kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan
P ( A ∩ B ) = P ( A )P (B| A ) = P (B )P ( A|B )
Contoh Probabilitas Bersyarat (#1) Bekerja Tak Bekerja 460 40 140 260
Pria Wanita
M = pria terpilih E = orang terpilih berstatus bekerja P (E ) =
600 900
=
3 460
P (E ∩ M ) = P (M |E ) =
2
=
23
900 45 23 45 23
=
23
30 35
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Contoh Probabilitas Bersyarat (#2) Diberikan sekumpulan kartu bridge yang terdiri atas 52 kartu. Dua buah kartu diambil satu per satu tanpa pengembalian Probabilitas kartu heart terpilih pada dua pengambilan ? A1 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan I A2 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan II P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A
13 52 12 51
A
= =
1 4 4 17
1 4 ) ⎛ ⎜ ⎞⎟⎛ ⎜ ⎞⎟
1
P ( A2 | A1 ) =
P ( A1 ) =
13 52
=
1
51 Kartu 12 Heart 39 Nonheart
4
A’ 2 P ( A'2 | A1 ) =
A1 52 Kartu, 13 heart 39 Nonheart
A2
12 51
39 51
A’ 1 P ( A'1 ) =
39 52
=
3
P ( A2 | A'1 ) =
4
A2
51 Kartu 13 Heart 38 Nonheart
4
=
=
17
13 17
13 51
A’ 2 38 P ( A'2| A'1 ) =
51
⎛ 1 ⎞⎛ 4 ⎞ 1 P ( A1 ∩ A2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠⎝ 17 ⎠ 17
⎛ 1 ⎞⎛ 13 ⎞ 13 P ( A1 ∩ A'2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠⎝ 17 ⎠ 68
⎛ 3 ⎞⎛ 13 ⎞ 13 P ( A'1 ∩ A2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ 4 ⎠⎝ 51 ⎠ 68
⎛ 3 ⎞⎛ 38 ⎞ 38 P ( A'1 ∩ A'2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ 4 ⎠⎝ 51 ⎠ 68
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
37
Contoh Probabilitas Bersyarat (#3) Kotak pertama terdiri atas 4 bola putih dan 3 bola hitam, dan kotak kedua terdiri atas 3 bola putih dan 5 bola hitam. Sebuah bola diambil dari kotak pertama dan ditempatkan (tanpa terlihat) ke kotak kedua. Probabilitas bahwa sebuah yang diambil dari kotak kedua adalah hitam? H1 = kejadian bola hitam yang terpilih dari kotak I P1 = kejadian bola putih yang terpilih dari kotak I H2 = kejadian bola hitam yang terpilih dari kotak II P2 = kejadian bola putih yang terpilih dari kotak II
P[(H1 ∩ H2 ) ∪ (P1 ∩ H2 )] = P (H1 ∩ H2 ) + P (P1 ∩ H2 )
= P (H1 )P (H2 |H1 ) + P (P1 )P (H2 |P1 ) = ( 37 )(69 ) + ( 47 )( 95 ) = 38 63 P (H2 |H1 ) =
P (H1 ) =
3
Kotak II 3P,6H
7
H2
6 9
P2 3 P (P2 |H1 ) =
H1
⎛ 3 ⎞⎛ 6 ⎞ P (H1 ∩ H2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠⎝ 9 ⎠
9
⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞ P (H1 ∩ P2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠⎝ 9 ⎠
5
⎛ 4 ⎞⎛ 5 ⎞ P (P1 ∩ H2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠⎝ 9 ⎠
Kotak I 4P, 3H
P1 P (P1 ) =
4
P (H2 |P1 ) =
7
H2
Kotak II 4P,5H
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
9
P2 4 P (P2 |P1 ) = 9
⎛ 4 ⎞⎛ 4 ⎞ P (P1 ∩ P2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠⎝ 9 ⎠
Kejadian‐Kejadian Saling Bebas
Kejadian‐kejadian A dan B saling bebas (independent ) jika
P ( A ∩ B ) = P ( A )P (B )
39
Contoh Kejadian‐Kejad Kejadian ian Bebas (#1) Diberikan sekumpulan kartu bridge yang terdiri atas 52 kartu. Dua buah kartu diambil satu per satu dengan pengembalian Probabilitas kartu heart terpilih pada dua pengambilan ? A1 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan I A2 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan II P ( A1 ) = P ( A2 ) =
13 52 13 52
= =
1 4 1 4
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P ( A1 ∩ A2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 16 41
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
P ( A2 | A1 ) =
A2 P ( A1 ) =
13 52
=
1 4
A1
A’ 2
39 52
=
3 4
52
P ( A'2| A1 ) =
39
P ( A2 | A'1 ) =
13
A’ 1 P ( A'1 ) =
13
A2 A’ 2 P ( A'2| A'1 ) =
52
52
39 52
=
1
=
3
4
4
=
1
=
3
4
4
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P ( A1 ∩ A2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 16
⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞ 3 P ( A1 ∩ A'2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 16
⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ 3 P ( A'1 ∩ A2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 16
⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞ 9 P ( A'1 ∩ A'2 ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 16
Contoh Kejadian‐Kejad Kejadian ian Bebas (#2) Sebuah koin (uang logam) yang seimbang dilempar tiga kali. Probabilitas mendapatkan 2 muka (M) dan 1 belakang (B) ? Ruang sampel S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB} A = A = kejadian muncul 2 M dan 1 B A = {MMB, MBM, BMM} P( A) A) = P(MMB) + P(MBM) + P(BMM)
43
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
P (MMB) = P (M ∩ M ∩ B) = P(M )P(M)P(B) = ( 12)( 12)( 12 ) =
1 8
P (MBM ) = P (M ∩ B ∩ M ) = P (M )P(B)P(M) = ( 12)( 12)( 12 ) =
1 8
P (BMM ) = P (B ∩ M ∩ M ) = P (B)P(M)P(M) = ( 12)( 12)( 12 ) =
1 8
P ( A ) = 18 + 18 + 18 =
3 8
1
P(M) = P(M) = P(B) = P(M) =
P(B) =
1
P(B) =
2 1 2
2 1 2
P(M) =
1
P(B) =
2
1
2 1 2
P(M) =
2 P(M) = P(B) =
1
P(B) =
1
1
2 1 2
2 1 2
P(M) =
1 2
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P(MMM) = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 8 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P(MMB) = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 8 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P(MBM) = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 8 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P(MBB) = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 8 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P(BMM) = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 8 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P(BMB) = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 8 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 P(BBM) = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 8
Aturan Bayes (1) P (B| A) =
B’
B
P (B ∩ A) P ( A)
A = (B ∩ A ) ∪ (B'∩ A)
A
P ( A ) = P (B ∩ A ) + P (B'∩ A)
P (B| A) =
=
P (B ∩ A ) P (B ∩ A ) + P (B'∩ A) P (B )P ( A|B) P (B )P ( A|B) + P (B')P( A|B') 45
DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
Aturan Bayes (2)
B2
B1
B5
P (Bi | A) =
)
n
∑ P(B ∩ A) i
A B4
P (Bi ∩
B3
i =1
=
P (Bi )P ( A|Bi ) n
∑ P(B )P( A|B ) i
i =1
i
Contoh Aturan Bayes Dua orang dicalonkan menjadi Bupati. Probabilitas Pak Anu terpilih adalah 0,6; P( A1) = 0,6. Probabilitas Pak Badu terpilih adalah 0,4; P( A2) = 0,4. Jika Pak Anu terpilih, probabilitas kenaikan pajak adalah 0,8; P(B1|A1) = 0,8. Jika Pak Badu terpilih, probabilitas kenaikan pajak adalah 0,1; P(B1|A2) = 0,1. Jika ternyata diketahui terjadi kenaikan pajak, probabilitas bahwa Pak Badu yang terpilih, P( A2|B1)
P ( A2 |B1 ) =
= = DASAR‐DASAR PROBABILITAS Suprayogi
(
P A2 | B1
)=
(
P A2
P ( A2 ∩ B1 ) P ( A1 ∩ B1 ) + P ( A2 ∩ B1 ) P ( A2 )P (B1 | A2 )
P ( A1 )P (B1 | A1 ) + P( A2 )P(B1 | A2 )
(0,4 )(0,1) (0,6 )(0,8) + (0,4 )(0,1)
= 0,0769
47
∩ B1 )
) Contoh( Pohon Probabilitas ( ∩ ) =
P B1
P A2
B
( ∩ B1 ) + P( A2 ∩ B1 )
P A1
0,04 0,48 + 0,04 = 0,0769
=
B1
P( B1| A1)
= 0,8
P( B2| A1)
= 0,2
P( A1 ∩ B1)
= (0,8)(0,6) = 0,48
P( A1 ∩ B2)
= (0,2)(0,6) = 0,12
P( A2 ∩ B1)
= (0,1)(0,4) = 0,04
B2 A1
A2
P( A1)
P( A2)
= 0,6
= 0,4
B1 B2
P( B1| A2)
= 0,1
P( B2| A2)
= 0,9
1.2. Kejadian Dari definisi ruang sampel kita dapat mendefinisikan kejadian sebagai berikut. Definisi 1.2 Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel .
Karena kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel maka biasanya disimbolkan dalam huruf besar. Pada umumnya kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu : 1. Kejadian sederhana; yaitu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. Contoh 1.4
{1}, {4}, {5} adalah kejadian-kejadian sederhana dari percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam. 2. Kejadian majemuk; yaitu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel. Contoh 1.5
{1,2}, {2,4,6}, {2,3,5} adalah kejadian-kejadian majemuk pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam. Dari definisi kejadian juga dapat disimpulkan bahwa S dan juga suatu kejadian, karena SS dan S.
Korespodensi antara himpunan dan kejadian dapat disajikan dalam tabel 1. Tabel 1. Himpunan
Kejadian
Himpuan semesta S
Ruang sampel S
Anggota himpunan
Titik sampel
Himpunan bagian A
Kejadian A
Himpunan bagian yang hanya memiliki
Kejadian sederhana
satu anggota Himpunan bagian yang memiliki lebih Kejadian majemuk. dari satu anggota
2.1.Aturan Perkalian
Misalkan dalam acara syukuran ulang tahun Andi secara sederhana tersedia tiga macam makanan dan dua macam minuman, yakni Nasi Goreng, Bakso, Soto untuk makanan, Es teh, dan Es jeruk untuk minuman. Jika seorang yang hadir dalam acara tersebut hanya memilih satu macam makanan dan satu macam minuman, maka semua pasangan makanan dan minuman yang dapat dipilih dapat ditemukan dengan cara mendaftar atau dengan diagram pohon seperti terlihat pada gambar dibawah ini.
Es teh Nasi goreng Es jeruk Es teh Bakso Es jeruk Es teh Soto Es jeruk
Dari diagram pohon tampak bahwa pasangan makanan dan minuman yang dapat dipilih ada 6 yakni : 1. Nasi goreng – Es teh 2. Nasi goreng – Es jeruk 3. Bakso – Es teh 4. Bakso – Es jeruk 5. Soto – Es the 6. Soto – Es jeruk Dari diagram pohon tersebut ada 3 macam makanan yang dapat dipilih, dan setiap jenis makanan masing-masing ada 2 jenis minuman yang dapat dipilih, sehingga ada 3.2 = 6 pasangan makanan dan minuman yang dapat dipilih. Perhatikan lagi permasalahan berikut.
Misalkan di suatu kelas diadakan pemilihan pengurus kelas. Terdapat 4 calon ketua kelas yakni Ani, Bambang, Cecep, dan Dandi, sedangkan untuk wakil ketua kelas terdapat 2 calon yakni Endang, dan Farid. Ada berapa macam susunan ketua dan wakil ketua kelas yang dapat terpilih ? Penyelesaian. Jabatan ketua dan wakil ketua kelas dapat diisi oleh pasangan 1. Ani – Endang 2. Ani – Farid 3. Bambang – Endang 4. Bambang – Farid 5. Cecep – Endang 6. Cecep – Farid 7. Dandi – Endang 8. Dandi – Farid Jadi ada 8 macam susunan ketua dan wakil ketua kelas yang dapat terpilih. Dari daftar diatas, ada 4 orang yang menduduki jabatan ketua kelas, dan masing-masing ketua kelas ada 2 orang yang dapat menduduki jabatan wakil ketua kelas, sehingga untuk kedua jabatan itu ada 4.2 = 8 pasangan yang dapat mendudukinya. Dari contoh diatas dapat disimpulkan adanya suatu aturan yang disebut aturan perkalian atau juga disebut aturan dasar sebagai berikut.
Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n 1 cara yang berbeda, dan kejadian berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi dengan n 2 cara yang berbeda, dan seterusnya kejadian ke k dengan nk cara yang berbeda maka banyaknya keseluruan kejadian dapat terjadi secara berurutan dalam n1.n2.n3… nk cara yang berbeda.
Contoh 2.1
Sebuah pelat nomor polisi Semarang dimulai dengan buruf H diikuti empat angka dengan angka pertama tidak boleh nol, dan diakhiri dua huruf dengan huruf terakhir huruf A. Setelah mobil keberapa pelat nomor tersebut harus diubah modelnya ? Penyelesaian. Misalkan pelat nomor tersebut terdiri dari 7 kotak, maka :
huruf pertama pada kotak pertama dapat dicetak dalam 1 cara (yaitu huruf H)
angka pertama dalam kotak kedua dapat dicetak dalam 9 cara (yaitu angka 1 sd 9 karena angka 0 tidak diperbolehlkan)
angka kedua dalam kotak ketiga dapat dicetak dalam 10 cara (karena tidak ada aturan pengulangan tidak diperbolehkan dan angka 0 diperbolehkan maka banyaknya angka yang bisa mengisi ada 10 angka yaitu 0 sd 9)
angka ketiga dalam kotak keempat dapat dicetak dalam 10 cara (karena tidak ada aturan pengulangan tidak diperbolehkan maka banyaknya angka yang bisa mengisi ada 10 angka yaitu 0 sd 9)
angka keempat dalam kotak kelima dapat dicetak dalam 10 cara (mengapa ?)
huruf kedua dalam kotak keenam dapat dicetak dalam 26 cara (yaitu huruf A sd Z)
huruf ketiga dalam kotak ketujuh dapat dicetak dalam 1 cara (yaitu hanya huruf A)
Jadi banyaknya pelat nomor yang berbeda yang dapat dicetak adalah 1.9.10.10.10.26.1= 234.000. Karena setiap satu pelat nomor hanya untuk satu mobil maka pelat nomor harus diubah modelnya setelah mobil ke 234.000. Contoh 2.2
Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi bilangan 3 angka yang dibentuk dari angka 1,2,3,4,5,6,7,8,9, jika : a. pengulangan tidak diperbolehkan b. pengulangan diperbolehkan. Penyelesaian.
Misalkan ada tiga kotak untuk mempresentasikan bilangan sebarang. a. kotak pertama dapat diisi dengan 9 cara, karena pengulangan tidak diperbolehkan maka kotak kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi dengan 8 dan 7 cara. Jadi banyaknya bilangan yang dapat terbentuk ada 9.8.7= 504 bilangan. Karena tiap bilangan dituliskan pada sebuah kertas maka banyaknya kertas yang harus disediakan ada 60 kertas. b. Karena pengulangan diperbolehkan maka kotak pertama, kedua dan ketiga dapat diisi dengan 5 cara, sehingga banyaknya bilangan yang terbentuk ada 9.9.9 = 729 bilangan. Jadi banyaknya kertas yang harus disediakan ada 729 lembar.
Contoh 2.3
Didalam pemilihan kepengurusan Himatika, terdapat 25 mahasiswa yang memenuhi syarat untuk dipilih sebagai ketua, sekretaris, bendahara (dengan asumsi tidak boleh ada jabatan rangkap). Ada berapa cara untuk memilih pengurus Himatika tersebut ? Penyelesaian.
Misalkan pemilihan pengurus organisasi dimulai dari ketua, sekretaris, kemudian bendahara.
ketua dapat dipilih dalam 25 cara
sekretaris dapat dipilih dalam 24 cara (karena satu orang sudah menempati posisi pada ketua dan tidak boleh ada jabatan rangkap)
bendahara dapat dipilih dalam 23 cara (karena satu orang sudah menempati posisi sebagai ketua dan satu orang lagi sudah menempati posisi pada sekretaris serta tidak boleh ada jabatan rangkap)
Jadi banyaknya cara untuk memilih pengurus tersebut adalah 25.24.23 = 13.800.
2.1.Permutasi
Misalkan seorang paman ingin membagikan uang kepada 3 keponakannya sebut Arman (A), Budi (B), dan Cicik (C). Agar tidak berebut maka ketiga keponakannya di haruskan antri satu persatu, berapa banyak antrian yang dapat terjadi? Banyaknya antrian dapat dicari sebagai berikut. ABC,
ACB,
BCA,
BAC,
CAB,
CBA.
Sehingga ada 6 susunan antrian yang mungkin. Susunan antrian semacam itu disebut permutasi, sebab urutanya diperhatikan, artinya ABC berbeda dengan ACB berbeda dengan BCA dan seterusnya. Secara umum dikatakan bahwa
Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan
Sedangkan banyaknya permutasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis P(n,r) atau nPr atau
Prn atau Pn,r adalah n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1) yang dapat diperoleh dengan aturan perkalian sebagai berikut. Elemen pertama mempunyai n kemungkinan, elemen kedua mempunyai n-1 kemungkinan, elemen ketiga mempunyai n-2 kemungkinan dan seterusnya sampai elemen ke r mempuyai nr+1 kemungkinan, dengan aturan perkalian maka banyaknya permutasi keseluruhan adalah n(n1)(n-2)(n-3)…(n-r+1). Dengan notasi faktorial banyaknya permutasi r elemen yang diambil dari n elemen dapat ditulis sebagai P(n,r) =
n! (n
r )!
.
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. P(n,r)
= n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1) = n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1).
=
=
(n
n n
(
1)(n
)(n
r
r
n! (n
r )!
2)(n
1)...(n
(n
r)(n
r 1)...3.2.1
(n
r)(n
r 1)...3.2.1
3)...3.2.1
2)(n
3)...3.2.1
Dengan mudah diperoleh P(n,n) =
n!
(n n)!
=
!
n
0!
=n!
Contoh 2.8
Tentukan semua permutasi dari huruf-huruf pada kata TAHU . Penyelesaian.
Susunan huruf-huruf yang berbeda adalah sebagai berikut. TAHU
ATHU
HTAU
UTAH
TAUH
ATUH
HTUA
UTHA
TUAH
AUTH
HUTA
UHTA
TUHA
AUHT
HUAT
UHAT
THUA
AHTU
HAUT
UATH
THAU
AHUT
HATU
UAHT
Jadi banyaknya permutasi ada 24 . Menghitung banyaknya permutasi dapat dilakukan dengan cara r=n=4 maka P(n,r) = P(4,4) = 4! = 4.3.2.1 = 24. Contoh 2.9
Tiga orang guru masuk ruang rapat. Tempat yang masih kosong ada 5 kursi, dalam berapa cara mereka dapat menempati tempat duduk? Penyelesaian.
Tempat duduk yang masing kosong (n) = 5
Guru yang masuk ruangan rapat ( r ) = 3
Sehingga P(5,3) =
5! (5
3)!
5.4.3.2!
2!
= 60
Jadi ada 60 cara menempati tempat duduk yang kosong. Atau dapat dikerjakan dengan prinsip perkalian sebagai berikut. Guru yang pertama bisa menempati sebarang kursi dari 5 kursi yang tersedia, setelah guru pertama duduk guru yang kedua bisa menempati sebarang kursi dari 4 kursi yang tersedia, dan guru yang ketiga dapat menempati sebarang kursi dari 3 kursi yang tersedia. Jadi dengan aturan perkalian ada 5.4.3 = 60 cara untuk menempati kursi yang kosong.
Contoh 2.10
Tentukan banyaknya kata (tidak harus punya arti) yang terdiri dari 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dari kata CINTA a. Apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih dari sekali. b. Apabila setiap huruf bisa diulangi dalam sebarang penyusunan. Penyelesaian.
Pengaturan 5 huruf yang berbeda diambil 3 dengan pengulangan tidak diperbolehkan, maka susunan ini membentuk permutasi sehingga banyaknya kata yang terbentuk = P(5,3) = 60 a. Karena boleh ada pengulangan, maka selalu ada 5 huruf yang bisa terpilih, sehingga banyaknya kata-kata = 5.5.5 = 75. Contoh 2.11
Berapa banyak urutan yang dapat terjadi jika 7 lukisan yang berbeda digantung dalam sebuah baris sehingga lukisan yang spesifik berada pada a. tengah-tengah b. salah satu ujung. Penyelesaian. a. Karena 1 gambar diketahui di tengah-tengah, maka sisanya ada 6 gambar yang diatur dalam sebarang baris, sehingga banyaknya urutan ada P(6,6) = 6! = 720 b. 1 gambar spesifik dipasang pada salah satu ujung, maka ada 2 cara menempatkannya yakni ujung kiri atau ujung kanan, dan sisanya 6 lukisan dapat diatur dalam P(6,6) cara, sehingga banyaknya urutan ada 2. P(6,6) = 1440 urutan. 2.2. Permutasi (Seluruhnya) dengan Beberapa Unsur Yang Sama
Perhatikan contoh berikut. Contoh 2.13
Tentukan semua permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dalam kata a. TAHU b. TAHA c. AAHA Penyelesaian. a.
TAHU
ATHU
HTAU
UTAH
TAUH
ATUH
HTUA
UTHA
TUAH
AUTH
HUTA
UHTA
TUHA
AUHT
HUAT
UHAT
THUA
AHTU
HAUT
UATH
THAU
AHUT
HATU
UAHT
Banyaknya permutasi ada 24. b. Dalam kata TAHA huruf U dalam kata TAHU diganti dengan huruf A. Misalkan 2 huruf A dibedakan menjadi A1 dan A2, sehingga permutasi yang berbeda ada 24. Dari 24 permutasi ada kelompok – kelompok – kelompok kelompok yang jika indeks pada huruf dihilangkan menjadi satu macam permutasi saja. Kelompok-kelompok tersebut adalah : TA1HA2
TA1A2H
THA1A2
A1THA2
TA2HA1
TA2A1H
THA2A1
A2THA1
A1TA2H
A1A2TH
A1A2HT
A1HTA2
A2TA1H
A2A1TH
A2A1HT
A1HTA1
A1HA2T
HTA1A2
HA2TA1
HA2A1T
A2HA1T
HTA2A1
HA1TA2
HA1A2T
Tiap kelompok beranggotakan sebanyak 2, ini disebabkan adanya permutasi dari A1, A2 sebanyak 2! = 2, karena tiap 2 permutasi dari kelompok tadi sebenarnya 1 permutasi saja maka benyaknya permutasi seluruhnya dari kata TAHA adalah
4! 2!
=24:2=12.
c. Dalam kata AAHA AAHA huruf U dan T dalam dalam kata kata TAHU diganti huruf huruf A. Misalkan Misalkan 3 huruf huruf A dibedakan A1, A2, A3, sehingga permutasi yang berbeda ada 24. Dari 24 permutasi ada kelompok – kelompok kelompok yang jika indeks pada huruf dihilangkan menjadi satu macam permutasi saja. Kelompok-kelom Kelompok-kelompok pok tersebut adalah adalah : A3 A1 H A2
A3 A2 A1 H
A3 HA1A2
HA3 A1A2
A3 A2 H A1
A3 A2 A1 H
A3 HA2 A1
HA3 A2 A1
A1 A2 H A3
A1 A3 A2 H
A1 HA3 A2
HA2 A3 A1
A2 A1 H A3
A2 A3 A1 H
A2 HA3 A1
HA1 A3 A2
A1 A3 H A2
A1 A2 A3 H
A1 HA2 A3
HA2 A1 A3
A2 A3 H A1
A2 A1 A3 H
A2 HA1 A3
HA1 A2 A3
Tiap kelompok beranggotakan sebanyak 6, ini disebabkan adanya permutasi dari A1, A2 , A3 sebanyak 3! = 6, karena tiap 6 permutasi dari kelompok tadi sebenarnya 1 permutasi saja maka benyaknya permutasi seluruhnya dari kata AAHA adalah =
4! 3!
=24:6=4.
Dari contoh diatas dapat disimpulkan secara umum sebagai berikut. Teorema 2.1
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n elemen bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, kedua, … ,nk berjenis berjenis ke-k ke-k adalah adalah P(n , (n1,n2,n3,…nk)) =
n! n1!n 2!n3!...nk !
, dimana n1 + n2 + n3 + …+ nk = n
Contoh 2.14
Ada berapa penyusunan kata-kata kata- kata (tidak harus punya arti) yang diambil dari kata “KAKAKKU”. Penyeleaian.
Permutasi dari 7 huruf dimana ada 4 huruf sama yaitu K, dan 2 huruf sama yaitu A adalah P(7, (4,2,1)) =
7! 4! 2! 1!
= 105.
Jadi banyaknya penyusunan kata yang mungkin ada 105 kata. Contoh 2.15
Seorang paman paman ingin membagikan membagikan 5 lembar uang sepuluh ribuan, 3 lembar uang lima ribuan dan 1 uang seribuan seribuan kepada 9 keponakannya. keponakannya. Jika setiap anak hanya hanya menerima menerima satu macam uang, uang, ada berapa cara si paman dapat membagikan uangnya. Penyelesaian. Banyaknya cara ada
9! 5!3!
504 cara.
2.3. Permutasi Melingkar Melingkar (Permutasi (Permutasi Siklis) Siklis)
Misalkan Arum (A), Budi (B), dan Cece (C) duduk mengililingi meja bundar. Ada berapa susunan yang berbeda ketiganya dapat duduk ? Untuk memjelaskan bagaimana susunan ketiganya perhatikan gambar berikut. A C
B B
A
C C
B
A
Gambar 2.1 A B
B C
C
C A
A
B
Gambar 2.2 Pada gambar 2.1 penyusunan unsur A,B,C dalam tiga macam lingkaran dianggap sama, karena urutannya urutannya dianggap sama yaitu setelah setelah A selanjutnya B dan C, demikian pula pada gambar gambar 2.2. setelah A adalah C dan dan B, sehingga sehingga banyaknya banyaknya permutasi permutasi ada 2, yang juga dapat diperoleh diperoleh dari dari ada 3! keseluruhan yang didalamnya ada 3 permutasi yang memghasilkan 1 permutasi dalam urutan melingkar melingkar sama, sehingga dapat ditulis ada
3! 3
2! 2 permutasi yang berlainan.
Secara umum dapat dikatakan Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang disusun melingkar adalah
n! n
(n 1)!
Contoh 2.16
Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang mahasiswa tadi dapat duduk mengelilingi meja tersebut. Penyelesaian.
Keempat Keempat mahasiswa tadi tadi dapat diatur mengeliling mengelilingii meja dalam (4-1)! = 3! = 6
2.1.Kombinasi
Dalam permutasi elemen-elemen yang disusun urutannya diperhatikan, tetapi ada kalanya elemen-elemen yang disusun urutanya tidak diperhatikan. Misalnya dalam suatu panitia studi tour terdiri 4 orang, yakni Andi , Bambang, Cicik dan Dadang, dipilih 3 orang untuk melakukan survei lapangan. Ada berapa macam susunan yang dapat dipilih? Dari permasalahan ini susunan yang terdiri dari Andi, Bambang, Cicik dianggap sama dengan susunan Bambang, Cicik, Andi, sama dengan Cicik, Andi, Bambang, sama dengan Andi, Cicik, Bambang. Urutan pada susunan ini tidak diperhatikan, karena yang diperhatikan adalah orang yang terpilih, tidak urutannya. Susunan semacam ini disebut kombinasi. Definisi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang urutannya tidak diperhatikan.
Kembali pada contoh pemilihan 3 orang dari 4 orang, maka kombinasi yang diperoleh adalah Andi – Bambang – Cicik Andi – Bambang – Dadang Andi – Cicik – Dadang Bambang – Cicik – Dadang Jadi ada 4 kombinasi. Untuk memperjelas bagaimana hasil kombinasi dibanding permutasi, perhatikan tabel berikut. Kombinasi
PERMUTASI
ABC
ABC
ACB
BAC
CAB
BCA
CBA
ABD
ABD
ADB
BAD
BDA
DAB
DBA
ACD
ACD
ADC
CDA
CAD
DAC
DCA
BCD
BCD
BDC
CBD
CDB
DBC
DCB
Dimana A: Andi, B : Bambang, C: Cicik, D : Dadang Terlihat bahwa 6 permutasi menghasilkan 1 kombinasi, sehingga banyaknya kombinasi ada
24 6
4 atau dapat ditulis P(4,3)
P(4,2)
3!
. Hal ini secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
Banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis C(n,r) atau nCr atau
n n! atau C nr adalah dengan r n. r! (n r )! r
Contoh 2.17
Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih darin 10 pemain. Berapa macam susunan dapat dipilih ? Penyelesaian.
Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang = C(10,5) =
10! 5! (10 5)!
10! 5! 5!
252 .
Contoh 2.18
Bila ada 4 wanita dan 3 laki-laki, tentukan banyaknya susunan panitia yang beranggotakan 2 wanita dan 1 laki-laki. Penyelesaian.
Banyaknya cara memilih dua wanita dari empat wanita C(4,2) = 6. Banyaknya cara memilih 1 laki-laki dari 3 laki-laki adalah C(3,1) = 3. Dengan aturan perkalian banyaknya susunan panitia yang dapat dibentuk yang beranggotakan 2 wanita dan 1 laki-laki adalah 6.3 = 18. Contoh 2.20.
20 mahasiswa dikirim ke 5 negara, negara pertama 7 mahasiswa, negara kedua 5 mahasiswa, negara ketiga
4 mahasiswa, sisanya masing-masing 2 mahasiswa, berapa cara pengiriman
mahasiswa tersebut? Penyelesaian Untuk negara yang pertama kita pilih 7 mahasiswa dari 20 mahasiswa, banyaknya cara pemilihan adalah C(20,7)=77520 Untuk negara yang kedua kita pilih 5 mahasiswa dari 13 mahasiswa yang tersisa, sehingga banyaknya cara pemilihan adalah C(13,5)=1287 Untuk negara yang ketiga kita pilih 4 mahasiswa dari 8 mahasiswa yang tersisa, sehingga banyaknya cara pemilihan adalah C(8,4)=70 Untuk negara yang keempat kita pilih 42 mahasiswa dari 4
mahasiswa yang tersiusa,
sehingga banyaknya cara pemilihan adalah C(4,2)=6 Untuk negara yang kelima kita pilih 2 mahasiswa dari 2 mahasiswa yang tersisa, sehingga banyaknya cara pemilihan adalah C(2,2)=1
Dengan menggunakan aturan perkalian didapat total banyak cara pengiriman adalah C(20,7).C(13,5).C(8,4).C(4,2).C(2,2)=77520.1287.70.6.1=41902660800
Peluang Klasik
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, misalnya apakah nanti malam akan hujan, apakah seseorang akan mendapat hadiah dari kupon hadiah belanja dan sebagainya. Pada percobaan penarikan sebuah sebuah jupon dari beberapa kupon yang tersedia, kita tidak tahu apakah akan muncul kupon yang kita miliki atau kupon yang lain. Meskipun kejadian itu tidak pasti tetapi kita dapat menentukan peluang dari kejadian tersebut. Perhatikan sebelum suatu pertandingan sepak bola dimulai. Wasit memanggil kedua kapten kesebelasan untuk melakukan undian dengan cara melempar sekeping mata uang logam. Masing-masing kapten memilih salah satu sisi mata uang, yaitu sisi gambar (G) atau sisi angka (A). Bila undian sesuai dengan pilihannya, kapten kesebelasan yang berhasil menerka dengan tepat dibolehkan memilih bola atau tempat. Kejadian munculnya (G) atau (A) dengan demikian dikaitkan dengan kejadian mendapat hak memilih bola atau tempat. Cara undian itu dianggap adil, baik oleh wasit, maupun oleh kedua kesebelasan beserta penonton pendukungnya. Mengapa? Karena munculnya (G) atau (A) dianggap memiliki kesempatan yang sama, dengan kata lain kedua tim mempunyai peluang yang sama untuk memenangkan undian. Peluang tersebut merupakan salah satu contoh penerapan peluang dengan definisi klasik, yang disajikan sebagai berikut. Definisi 3.1
Jika suatu percobaan menghasilkan n hasil yang tidak mungkin terjadi bersama-sama dan masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu kejadian A ditulis P(A) =
n (A) n
, dimana n(A) adalah banyaknya hasil dalam kejadian A.
Sebagai akibat dari definisi 3.1 ini, setiap hasil dari n hasil yang mungkin muncul dengan kesempatan yang sama itu berpeluang muncul yang sama dengan
1
.
n
Jika kejadian yang diharapkan tidak pernah terjadi, berarti n(A) = 0, maka P(A) =
0 n
0 , sehingga peluangnya = 0.
Jika kejadian A yang diharapkan itu selalu terjadi terus menerus, berarti n(A)=n maka P(A) =
n n
= 1, sehingga peluangnya = 1
Kesimpulannya adalah bahwa nilai P(A) terletak diantara nol dan satu, atau ditulis 0 P(A) 1. Catatan : Pada definisi peluang diatas nilai n adalah banyak hasil mungkin pada percobaan
yang dilakukan sehingga bisa diartikan sebagai banyaknya titik sampel dalam ruang sampel atau ditulis dengan n(S) Contoh 3.1
Sebuah mata uang dilempar dua kali, tentukan peluang munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua. Penyelesaian.
Ruang sampel dari percobaan diatas S= {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} Misalkan D kejadian munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua, maka D = {(G,A)}. Karena semua titik sampel bersempatan sama untuk terjadi maka P(D) = ¼.
Contoh 3.2
Dalam sebuah kantong berisi 3 kelereng merah, 4 kelereng putih dan 2 kelereng biru. Secara acak diambil sebuah kelereng dalam dalam kantong. Berapa peluang a. terambil kelereng merah ? b. terambil kelereng putih ? penyelesaian. Dalam kantong berisi 3 kelereng merah, 4 kelereng putih dan 2 kelereng biru, jadi ada 9 kelereng, Jika diambil sebuah kelereng maka ada 9 kelereng yang mempuyai kesepatan yang sama untuk terambil, maka n = 9 a. Misalkan M kejadian terambil kelereng merah, maka M= {m1,m2,m3 }dengan m1 kelereng merah pertama dan seterusnya sehingga n(M) = 3. Jadi P(M) =
3 9
1 3
b. Misalkan K kejadian terambil kelereng putih, maka P={p1, p2, p3, p4 } sehingga n(K)=4.
Jadi P(K) = Contoh 3.3
4 9
Sebuah kotak berisi 4 bola kecil berwarna merah dan 3 berwarna putih. Dari kotak tersebut dipilih secara acak 4 buah bola. Tentukan peluang terambilnya 1 bola merah dan 3 bola putih. Penyelesaian.
Misalkan A kejadian terambilnya 1 bola merah dan 3 bola putih, maka banyaknya titik sampel dalam A adalah banyaknya cara pengambilan 1 bola merah dari 4 bola merah yang tersedia dan banyaknya cara pengambilan 3 bola merah dari 3 bola putih yang tersedia, sehingga ada 4C 1.3C3 = 4 cara, atau n(A) = 4. Banyaknya titik sampel dalam S adalah banyaknya cara pengambilan 4 bola dari 7 bola yang tersedia, karena pengambilan secara acak 4 sekaligus maka urutan bola yag terambil tidak diperhatikan, artinya kita menggunakan kombinasi. jadi =n(S)=7C 4=35. Karena semua titik sampel berkesempatan sama untuk terjadi , maka P(A) =
Beberapa Hukum Peluang
Sering lebih mudah menghitung peluang suatu kejadian dari peluang kejadian lain yang diketahui. Hal itu terutama sekali benar bila kejadian yang dimaksud dapat dinyatakan sebagai gabungan dua kejadian lain atau komplemen suatu kejadian. Berikut ini diberikan beberapa hukum peluang yang sering dapat menyederhanakan perhitungan peluang. Teorema 3.1
Bila A dan dua kejadian sembarang, maka P(AB) = P(A )+ P(B) – P(AB). Contoh 3.4
Sebuah mata uang dilempar dua kali, berapa peluang munculnya paling sedikit satu sisi angka atau dua sisi angka. Penyelesaian
Banyaknya hasil yang mungkin pada percobaan diatas ada 4 yaitu AA,AG,GA, GG sehingga n=4. Misalkan B kejadian munculnya paling sedikit satu sisi angka maka B={AA, AG, GA}, misalkan C kejadian munculnya dua sisi angka maka C ={AA}, sehingga B C= {AA}. Jadi P(BC) = P(B) + P(C) – P(BC) =
3 4
1
4
1
4
3
4
Akibat 1.
Bila A dan B kejadian yang saling lepas (terpisah), maka P(AB) = P(A) + P(B).
Akibat 1 dapat diturunkan langsung dari teorema 3.1, karena bila A dan B saling lepas maka AB = sehingga P(AB) = P() = 0. Akibat 1 dapat diperluas menjadi : Akibat 2.
Bila A1, A2, A3, ..., An saling lepas, maka P(A1 A2A3 ... An) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+ ...+P(An)
Perhatikan bila A1, A2, A3, ..., An merupakan sekatan dalam ruang sampel S maka P(A1 A2A3 ... An) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+ ...+P(An)
= P(S) = 1 Contoh 3.5
Bila A dan B dua kejadian saling lepas, dengan P(A) = 0,5 dan P(B) = 0,2, tentukan P(AB). Penyeleaian.
Karena A dan B saling lepas, maka P(A B)=P(A) + P(B) =0,5+0,2 = 0,7 Contoh. 3.6
Peluang seorang mahasiswa lulus matematika , dan peluangnya lulus biologi . Bila peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah berapakah peluangnya lulus dalam kedua mata kuliah ? Penyelesaian.
Misalkan M menyatakan kejadian lulus matematika dan B kejadian lulus biologi maka menurut teorema 3.1 P(MB) = P(M )+ P(B) – P(MB) = =
2 3
4
9
4
5
14 45
Teorema 3.2
Bila A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka P(A’) = 1 – P(A).
Bukti. Karena AA’ = S dan A A’ = maka 1 = P(S) = P(AA’) = P(A) + P(A’) sehingga P(A’) = 1 – P(A).
Contoh 3.8 Suatu uang logam dilatunkan berturut-turut sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya paling sedikit
sekali muncul sisi gambar (G)?
Penyelesaian.
Misalkan E kejadian paling sedikit sekali muncul sisi gambar (G). Ruang sampel S mengandung 25 = 32 titik sampel, karena tiap lantunan dapat menghasilkan dua macam hasil (gambar atau angka). Dari teorema 3.2 P(E) = 1- P(E’), dengan E’ adalah kejadian bahwa tidak ada sisi gambar yang muncul. Hal ini hanya akan terjadi dalam satu cara, yaitu bila semua lantunan menghasilkan sisi angka (A). Jadi P(E’) = 1/32 , sehingga P(E) = 1 -
=
.
Peluang Bersyarat
Pada beberapa hal, kejadian B sering dipengaruhi oleh kejadian A. Peluang terjadinya B bila diketahui kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(B A). Lambang P(BA) biasanya dibaca ‘peluang B terjadi bila diketahui A terjadi atau lebih sederhana lagi ‘peluang B, bila A diketahui’ . Definisi
Peluang bersyarat B jika diketahui A ditentukan oleh P(BA) =
P ( A B )
bila P(A) >0
P ( A)
Contoh
Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang tamat SMA di kecamatan Sukamadu. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan Bekerja
Tidak bekerja
Laki-laki
460
40
Wanita
140
260
Kecamatan tersebut akan dijadikan daerah Pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempromosikan ke Luar Negeri. Tentukanlah peluang yang terpilih adalah laki – laki jika diketahui telah bekerja. Penyelesaian.
Misalkan L : kejadian yang terpilih laki-laki B : kejadian yang terpilih dalam status bekerja. Dengan menggunakan ruang sampel B yang diperkecil, maka kita batasi ruang sampel pada orang dewasa yang telah bekerja sehingga yang n(S)=600, dan peluang laki – laki jika diketahui telah bekerja adalah P(L/B) =
=
.
Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat maka P(B) =
n ( B ) n ( S )
P(LB)=
600 900
n ( L B ) n ( S )
2 3
460 900
23 45
, sehingga
P(LB) =
P( L B) P ( B )
23 / 45 23 2 / 3
30
.
Contoh
Diantara 10 orang laki-laki dan 10 orang wanita 2 orang laki-laki dan 3 wanita yang buta warna. Jika dipilih secara acak seorang yang buta warna, tentukan peluang yang terpilih adalah laki-laki. Penyelesian. .
Pertanyaan diatas dapat ditulis kembali dengan kalimat ‘ tentukan peluang terpilih laki -laki dengan syarat buta warna’. Misalkan A adalah kejadian terpilih laki-laki B adalah kejadian terpilih wanita C adalah kejadian terpilih buta warna Maka
P ( A C )
P (C )
n( A C ) n ( S )
n (C ) n ( S )
P(AC) =
5 20
2 20
, sehingga
P ( A C ) P (C )
2 / 20 5 / 20
2 5
Dari definisi peluang bersyarat P(B A) =
. P ( A B) P ( A)
maka didapat akibat berikut.
Akibat
P(AB)=P(A) P(BA) atau P(AB)=P(B) P(AB)
Untuk melukiskan penggunaan akibat 2.1 , misalkan kita mempunyai kotak berisi 20 sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa pengembalian) berapakah peluang kedua sekering itu cacat ? Untuk menjawab pertanyaan ini misalkan A kejadian sekering pertama cacat dan B kejadian yang kedua cacat, kemudian AB sebagai kejadian bahwa A terjadi kemudian B terjadi bila A terjadi. Peluang mengeluarkan sekering yang cacat yang pertama adalah ¼ dan kemudian mengeluarkan sekering kedua yang cacat dari sisa yang tinggal sebanyak 4 adalah 4/19. Jadi P(A B) = ¼ .4/19 = 1/9.
Contoh
Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang pengambilan pertama As dan pengambilan kedua King. Penyelesaian. .
Misalkan A: kejadian pertama (terambil kartu As) B: kejadian kedua (terambil kartu King) Maka P(A) =
dan P(BA)=
Jadi P(AB)=P(A) P(BA) =
(karena satu kartu telah terambil). .
=
.
Kejadian Saling Bebas
Perhatikan kejadian – kejadian pada percobaan melempar sebuah dadu dan melempar sebuah mata uang logam, maka hasil yang terjadi pada dadu tidak dipengaruhi oleh hasil pada mata uang demikian sebaliknya, kejadian – kejadian semacam itu disebut kejadian yang yang bebas. Sehingga dua kejadian dikatakan saling bebas apabila kedua kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dalam bahasa matematik dua kejadian saling bebas ditulis sebagai berikut. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika dan hanya jika P(A).P(B) =P(AB)
Rumus diatas dapat dijelaskan sebagai berikut. Perhatikan akibat P(AB)=P(A).P(B A), jika kejadian A dan B tidak saling mempengaruhi maka nilai peluang B tidak dipengaruhi peluang A sehingga P(BA)=P(B) yang berakibat P(AB)=P(A) P(B) atau P(A).P(B) =P(AB) Kebalikan kejadian yang saling bebas adalah tidak bebas atau saling tergantung, yaitu jika kejadian A dipengaruhi oleh kejadian B dan sebaliknya. Sebagai contoh pada percobaan mengambil dua kartu berturut-turut dari seperangkat kartu bridge ( kartu remi ), yaitu kartu pertama diambil tidak dikembalikan, kemudian mengambil sebuah kartu lagi dari tumpukan kartu tersebut, maka kedua pengambilan tersebut merupakan kejadian yang tidak bebas, sebab hasil pengambilan kedua dipengaruhi oleh pengambilan pertama. Contoh 3.9
Dua duah dadu bersisi enam satu merah dan satu biru dilempar bersama-sama. Jika A kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu merah dan B munculnya mata dadu 4 pada dadu biru, serta C munculnya kedua mata dadu berjumlah 8, periksa pakah A dan B bebas, A dan C bebas. Penyelesaian.
Ruang sampel dari percobaan diatas dapat ditulis S= {(1,1) , (1,2), (1,3), ...(6,6)} Kejadian A = {(5,1) , (5,2) , (5,3),(5,4), (5,5), (5,6) } Kejadian B = {(1.4), (2,4) , (3,4) , (4,4), (5,5) , (6,4) } Kejadian C = {(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3), (6,2)}
P(A) = , P(B) = , P(C) = AB = {(5,4)} ; P(AB) = AC = {(5,3)} ; P(AC) = Ternyata P(AB) = P(A). P(B) dan P(AC) P(A).P(C) , sehingga kejadian A dan B bebas, sedangkan kejadian Adan C tidak bebas (tergantung).
ATURAN BAYES
Perhatikan diagram Venn berikut. E
F
Misal E dan F partisi dalam S Maka A = (EA)(FA) dengan
A
(EA) dan (FA) terpisah/saling asing Sehingga P(A) = P[(EA)(FA)] = P(EA) +P (FA) dari P(FA) = P(FA) =
P( A F ) P( A)
dan P(A) = P(E A) +P (FA), maka
P( A F ) P( E A) P( F A)
dari P(AF) =
P( A F ) P( F )
sehingga P(FA) =
,
maka P(AF)=P(F) P(AF) dan P(EA)=P(E) P(AE) P ( F ) P ( A F )
P ( E ) P ( A E ) P ( F ) P ( A F )
Bentuk terakhir ini yang disebut aturan Bayes yang secara umum dirumuskan dalam teorema berikut. Teorema (Aturan Bayes).
Jika kejadian-kejadian B 1, B2, B3, …, Bk adalah partisi dari ruang sampel S dengan P(BI) 0 , I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap kejadian A dalam S denga P(A) P(BiA) =
P( Bi
A)
k
0 berlaku
P( Bi ).P( A Bi ) k
P( B A) P( B ).P( A B ) i 1
i
i 1
i
i
Ingat B1, B2, B3, …, Bk adalah partisi dari ruang sampel S berarti B 1, B2, B3, …, Bk saling lepas dan B1B2 B3 …Bk =S Contoh
Jurusan matematikaFMIPA UNNES ingin menyewa Bus dari 3 perusahaan, yaitu 60% bus Jawa Indah, 30% Bus Nusantara, dan 10% bus Kramat Jati. Diketahui juga 9% bus Jawa Indah tidak berAC, 20% bus Nusantara tidak berAC, dan 6% bus Kramat Jati tidak berAC. Jika sebuah Bus yang disewa dan ternyata tidak berAC, hitung peluang yang disewa adalah bus Jawa Indah.
Penyelesaian.
Misalkan J : kejadian yang terambil adalah bus Jawa Indah N : kejadian yang terambil adalah bus Nusantara K : kejadian yang terambil adalah bus Kramat Jati Maka P(J)=60%, P(N)= 30%, P(K)=10%, dan P(AJ)=9%, P(AN)= 20%, P(AK)=6% Sehingga
P(JA) =
=
P ( J ) P ( A J ) P ( J ) P ( A J ) P ( N ) P ( A N ) P ( K ) P ( A K )
60%.9% 60 %.9% 30 %.20% 10 %.6%
= 0,45
1
Peluang & Aturan Bayes MA 2081 STATISTIKA DASAR 06 SEPTEMBER2012 Utriweni Mukhaiyar
2
Eksperimen Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik): •
•
•
•
maupun orang lain. Pro orsi keberhasilan da at diketahui dari hasil-hasil sebelumnya. Bisa diukur (diamati). Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya galat/error.
3
Ruang Sampel
Ruan sam el S aitu him unan dari semua kemungkinan hasil dari suatu .
4
banyaknya (number ) anggota pada . Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga. S pada (percobaan) pemeriksan produksi sepatu boot di pabrik AAA. Setiap pasang sepatu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu di olon kan seba ai asan an se atu rusak atau tidak .
5
Ruan Sam el Kontinu anggo a ar
s a aa
ag an
dari suatu interval. S pada percobaan pengukuran tinggi pasang maksimum setiap hari di , = < x < 4}. Jika kita pilih hari-hari secara acak, maka pasang 2,1 m atau 3,5 m atau 2,75 m atau nilai lainnya yang berkisar antara 2 < x < 4.
6
•
•
dari suatu . Notasi untuk even (kejadian) umumnya , , , . Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis , . 1, 2, ......
7
S
•
Ruang Sampel Diskrit Ruang Sampel Kontinu
=
,
, ... ,
e a an
=
,
, 7
8
yang ada di pabrik AAA disebut , sedangkan beberapa pasang sepatu boot yang am se u . uang sampel pada contoh ini adalah semua keadaan asan se atu boot an mun kin, yaitu {rusak, tidak rusak} dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya elemen pada S ini , , = .
9
•
Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas pengeboran. Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi an bersan kutan. Tentukan ruan sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya.
: uang sampe nya a a a = {SS,ST,TS,TT }, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses nominal
Contoh kejadian, mis kejadian E 1 dimana dua aktifitas pengeboran tersebut sukses, maka E 1 ={SS}; dan E 2 minyak, maka E 2 = {ST,TS }.
10
Contoh 4 •
Dilakukan survey dan pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah .
: Misalkan X : tin kat curah hu an (mm), ruang sampel S = { x | 0 x 600, x R} dan E 2 adalah kejadian tingkat curah , E 2 = {x | 200 < x 600, x R} Perhatikan bahwa E S
11
abungan •
n on ua per s wa 1 an 2 u s 1 2 , adalah himpunan semua elemen yang ada 1
2
dalam keduanya jika ada).
Contoh. Perhatikan Contoh 3. Misal E 1 adalah kejadian salah satu lokasi er as menemu an m nya , an 2 a a a kejadian tidak ada lokasi yang berhasil. Maka = , , .
12
Irisan •
Irisan dua peristiwa E 1 dan E 2 , ditulis E 1 ∩E 2 , adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E 1 dan di dalam E 2 . Contoh. Perhatikan Contoh 2. maksimum lebih dari 2,65 m, dan E 2: himpunan tinggi pasang maksimum kurang dari 3,70 m. Maka E 1 ∩ E 2 = {x | 2,65 < x < 3,70}.
13
Komplemen •
Komplemen suatu peristiwa E 1 , ditulis E 1 c , di dalam E 1 .
Contoh. Perhatikan Contoh 4. c = 2
, curah hujan 0 sampai dengan 200.
14
Peluang Suatu Kejadian •
•
Prinsip dasar : frekuensi relatif Jika suatu ruang sampel mempunyai n (S ) elemen, dan suatu event E mempunyai n (E ) ,
P ( E )
n n( S )
15
ontoh 5 •
Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam ar . antor tempat pengusa a terse ut e er a ar a am m nggu. Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?
: n (S ) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : , {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des} P ( E )
n n( S )
12
16
Aksioma Peluang 1. 0 ≤ P (E ) ≤ 1. .
.
3. Jika E 1 dan E 2 adalah dua kejadian yang saling , P (E 1E 2 ) = P (E 1) + P (E 2) .
1,
2,…,
n
mutual, maka berlaku : 1
2…
n
=
1
2
…
n
17
Peluang Bersyarat
•
Peluang bersyarat (conditional probability ) dikatakan bers arat karena eventn a sudah dibatasi. probabilitasnya ingin dihitung adalah B , maka eluan bers aratn a adalah:
P( A B) P ( A)
18
Peluang Bersyarat
•
Dalam P( B| A), event A adalah kejadian yang terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru kemudian B. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling , P( B| A) = P( B)
19
on o Warna pasir
Jenis pasir Halus
Kasar
Hitam
2
3
Abu-abu
2
4
Terang (putih, kuning)
1
2
P(Halus| Hitam) =
P(Halus Hitam)
2
:
5
2
20
Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas •
Dua kejadian E dan F dikatakan saling
.
lepas jika berlaku: P ( EF )
0
21
Contoh 7-•
Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian erp
gam ar a .
un u
an a wa
an
saling bebas. Apakah E dan F saling lepas?
22
--Contoh 7 P( EF ) 1/ 52
:
karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.
karena terdapat 4 As dalam kartu bridge
P ( F ) 13 / 52 karena terdapat 13 kartu bergambar hati
4 13 52 1 . P ( E ).P ( F ) P ( EF ) 52 52 52.52 52 Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.
23
Peluang Bersyarat Banyak kejadian
B5
B1
A
A B5 1
A B4 A B2
B2
A B3
B3
B4
24
Peluang Bersyarat Banyak kejadian
25
Aturan Bayes
26
Contoh 8 Suatu erusahaan besar men unakan ti a hotel seba ai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di , , . Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa, a. Seseorang langganan mendapat kamar yang kamar mandin a tidak baik. b. Seseorang yang mendapat kamar mandi yang tidak baik ditempatkan di Hotel S.
27
Solusi
28
e erens
Dekkin F.M., et.al., A Modern Introduction to Probabilit and Statistics, London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and , , . Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: ener , . Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
Rangkuman
1.
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan. Anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian sederhana yaitu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. Kejadian majemuk yaitu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel. Operasi dasar pada kejadian yaitu gabungan, irisan dan komplemen. Dua kejadian A dan B disebut saling lepas jika A!B=".
2.
Aturan perkalian :Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara yang berbeda, dan kejadian berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi dengan n 2 cara yang berbeda, dan seterusnya sampai kejadian k dapat terjadi dalam nk cara yang berbeda maka banyaknya keseluruan kejadian dapat terjadi secara berurutan dalam n1.n2.n3… nk cara yang berbeda. Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan Banyaknya permutasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis P(n,r) atau nPr atau n
Pr
atau Pn,r adalah n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1)=
n! (n ! r )!
.Banyaknya permutasi yang
berlainan dari n elemen bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, … ,nk berjenis ke-k adalah P(n , (n1,n2,n3,…nk)) =
n! n1! n 2!n 3!...nk !
,dimana n1 + n2 + n3 + …+ nk = n
Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)! Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang urutannya tidak diperhatikan. Banyaknya
& n #
kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis C(n,r) atau nCr atau $$ !! atau r
% "
n
C r adalah
3.
n! r ! (n ! r )!
dengan r # n.
Jika suatu percobaan menghasilkan n hasil yang tidak mungkin terjadi bersama-sama dan masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu kejadian A ditulis P(A) =
n (A) n
, dimana n(A) adalah banyaknya hasil dalam kejadian A.
Bila A dan dua kejadian sembarang, maka P(A$B) = P(A )+ P(B) – P(A !B). Bila A dan B kejadian yang saling lepas (terpisah), maka P(A$B) = P(A) + P(B). Bila A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka P(A’) = 1 – P(A).
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika dan hanya jika P(A).P(B) =P(A!B). Menentukan peluang bersyarat bisa menggunakan ruang yang yang diperkecil sesuai syaratnya. Peluang bersyarat B jika diketahui A ditentukan oleh P(B%A) = 4.
P ( A ! B ) P ( A)
bila P(A) > 0. Akibatnya P(A!B)=P(A) P(B%A)
Aturan Bayes dapat ditulis : Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk adalah partisi dari ruang sampel S dengan P(BI) & 0 , I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap kejadian A dalam S denga P(A) P ( Bi
P(Bi%A) =
=
k
! P ( B
i
i
1
=
P ( Bi ). P ( A Bi )
" A) " A)
k
! P ( B ). P ( A B ) i
i
1
=
i
& 0 berlaku
Tugas
Petunjuk Kerjakan dengan langkah-langkah yang jelas dan tepat, jika perlu lihat petunjuk mengerjakan yang ada di bawah permasahan. 1. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilempar satu kali. Hasil yang mungkin
muncul dapat dituliskan dalam pasangan berurut, misalnya : (G,1) menyatakan munculnya sisi gambar untuk mata uang dan mata dadu 1 untuk dadu,(A,2) menyatakan munculnya sisi angka untuk mata uang dan mata dadu 2 untuk dadu. demikian seterusnya. a. Tulislah ruang sampel percobaan tersebut. b. Tulislah tiap kejadian berikut dengan menggunakan notasi himpunan : 1) Kejadian munculnya sisi gambar dan mata dadu sembarang 2) Kejadian munculnya sembarang sisi mata uang dan mata dadu ganjil. 3) Apakah kejadian pada 1) dan 2) saling lepas? 4) Tentukan gabungan kejadian pada 1) dan 2) 5) Tentukan irisan kejadian 1) dan 2) 6) Tentukan komplemen kejadian 2). (Petunjuk: jika Anda kesulitan menentukan ruang sampel mulailah dengan mendaftar baris kolom, baris berisi sisi A dan sisi G, kolom berisi mata dadu 1,2,3,4,4,6) 2. Sebuah koin dilantunkan berulang-ulang, sehingga muncul sisi angka, tentukan ruang sampel percobaan tersebut. (Petunjuk: jika Anda kesulitan menentukan ruang sampel mulailah dengan mendaftar hasil percobaan lemparan pertama, kedua dan seterusnya) 3. Ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B, dan ada 3 jalur bis antara kota B dan C. a. ada berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan pulang-pergi dari kota A ke kota C melalui kota B? b. ada berapa cara seseorang dapat mengadakan perjalanan pulang-pergi dari kota A ke kota C melalui kota B, jika pulangnya tidak boleh melalui jalur(rute) yang sama dengan saat berangkat? ( petunjuk : jika masih ada kesulitan buatlah diagram pohonnya dengan permasalahan yang lebih sederhana) 4. Sebuah password dapat dibuat dengan karakter angka maupun huruf, huruf besar dan
( petunjuk: buatlak kotak-kotak sebanyak 6 sebagai representasi password 6 karakter, jumlahlah banyaknya angka dan huruf, kemudian gunakan hasilnya untuk mengisi kotakkotak yang dibuat) 5. Ada berapa cara 9 buku buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak buku yang memanjang, jika ada 3 buku yang selalu bersama-sama ada berapa penyusunan yang mungkin? 6. Jika pengulangan tidak diperbolehkan Ada berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat disusun dari angka 0 sampai 9 yang lebih dari 450? 7. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memiliki satu rahasia. Seti ap anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan satu rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah? 8. Sebuah keluarga muda merencanakan mempunyai 3 orang anak. Tentukan peluang keluarga tersebut mempunyai paling banyak satu anak perempuan. 9. Dijual 100 lembar undian, 2 diantaranya berhadiah. Tamara membeli 2 lembar undian. Berapa peluang Tamara mendapa satu hadiah. 10. Suatu perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita. Dari kelompok tersebut dibentuk suatu panitia yang terdiri dari 5 orang secara acak. Tentukan peluang panitia tersebut terdiri dari orang-orang yang berjenis kelamin sama. 11. Lima lampu pijar yang rusak tercampur dengan sepuluh buah lampu yang baik. Karyawan perusahaan diintruksikan mencari kembali lampu yang rusak tersebut. Jika karyawan tersebut secara acak mengambil 3 buah lampu dari kumpulan lampu tersebut, berapa probabilitas tidak satupun dari ketiga lampu yang diambil lampu yang rusak. 12. Jika P(A)=0,6 dan P(B) = 0,4 dan P(A !B)=0,8, periksa apakah A dan B a. saling lepas b. saling bebas.
Daftar Pustaka
Agoestanto A (2017). Pengantar Probabilitas. FMIPA UNNES. Semarang Bain & Engelhardt (1993), Introduction to Probability And Mathematical Statistics, Duxbury Press, California Boediono dan Wayan Koster (2001), Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas,Remaja Rosdakarya, Bandung Frank Aryes (1990), Matematika Dasar, Erlangga, Jakarta Ronald E Walpole & Raymond H Myers (1989), Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Ilmuwan dan Insinyur , ITB, Bandung Soal Seleksi nasional Olimpiade matematika Tingkat Universitas tahun 2005, 2008,2009, 2011 Suryo Guritno (1990), Pengantar Statistik Matematik , FMIPA UGM, Yogyakarta
Peranan Statistika
Disusun oleh Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. Dr. Scolastika Mariani, M.Si.
1. Pengertian Statistika
Statistika banyak dimanfaatkan dalam berbagai aspek dan bidang kehidupan manusia seperti dalam bidang pendidikan, teknik, industri, ekonomi, kedokteran, asuransi, pertanian, pemerintahan, sosiologi, psikologi, farmasi serta berbagai ilmu alam dan sosial yang lainnya. Banyak permasalahan, baik dalam penelitian maupun pengamatan yang memerlukan pelaporan akan menghasilkan kumpulan data yang dinyatakan dan dicatat yang dikenal dengan statistik. Kata statistik digunakan untuk menyatakan kumpulan data yang dapat berupa angka yang dinamakan data kuantitatif maupun non angka yang dinamakan data kualitatif yang disusun dalam bentuk tabel dan atau diagram/grafik, yang menggambarkan dan mempermudah pemahaman akan angka dari masalah yang diamati. Pengamatan, penelitian, maupun riset umumnya bertujuan untuk memperoleh penjelasan atau kesimpulan mengenai persoalan yang diteliti. Sebelum dibuat kesimpulan, data yang diperoleh terlebih dahulu dipelajari, dianalisis dan diolah dengan
teliti
dan
tepat
sesuai
dengan
teori
yang
benar
dan
dapat
dipertanggungjawabkan. Hal ini berkaitan dengan suatu pengetahuan tersendiri yang diberi nama statistika. Statistika diartikan sebagai ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang metode atau prosedur yang berhubungan dengan pengumpulan data, organisasi data, pengujian data, pengolahan data atau penganalisaan dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data tersebut. Statistika dalam pengertian sebagai ilmu dibedakan menjadi dua, yaitu: (1) Statistika Deskriptif yang bertujuan untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran
1
objek yang diteliti sesuai data yang ada tanpa menarik kesimpulan maupun generalisasi. Statistika deskriptif hanya terbatas pada pengumpulan, penyajian dan analisis data. Dalam statistika deskriptif dikemukakan cara penyajian data dalam bentuk tabel maupun diagram, penentuan rata-rata (mean), modus, median, rentang, serta simpangan baku, dan (2) Statistika Inferensial (Induktif) yang bertujuan untuk penarikan kesimpulan. Objek yang diteliti dibahas dengan penekanan pada interprestasi data dan pengambilan kesimpulan. Sebelum menarik kesimpulan dilakukan suatu dugaan yang dapat diperoleh dengan statistika deskriptif.
2. Populasi dan Sampel Populasi adalah himpunan keseluruhan obyek yang diselidiki. Populasi adalah
totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung maupun pengukuran, kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat-sifatnya. Himpunan bagian dari populasi dinamakan sampel. Karakteristik atau konstanta dari suatu populasi disebut parameter. Sedangkan suatu harga yang dihitung dari suatu sampel dinamakan statistik . Pengumpulan data dapat dilakukan dengan cara sensus ataupun sampling.
Apabila pengumpulan data menggunakan sensus, maka seluruh anggota dalam populasi, tiada terkecuali dikenai penelitian (perlakuan). Sedangkan sampling dilakukan apabila hanya sebagian saja anggota popu lasi yang diteliti. Sensus seringkali tidak dapat dilakukan mengingat
populasi yang beranggota sangat banyak atau
berukuran tak hingga (populasi tak hingga). Selain itu sensus dianggap tidak praktis, tidak ekonomis, membutuhkan biaya besar, alokasi waktu yang lama, serta dihindari apabila dilakukan percobaan yang bersifat merusak. Dalam hal ini, maka metode sampling lebih dipilih. Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi. Analisa statistika dilakukan untuk dapat mengambil kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan observasi sampel. Oleh karena itu, sampel yang diperoleh hendaknya dapat memberikan gambaran yang “tepat” untuk populasinya (representatif). Khusus untuk populasi yang 2
tidak terlalu heterogen, salah satu macam sampel yang dianggap “representatif” adalah sampel random, observasi-observasi dalam sampel independen satu dengan yang lain. Data sampel random adalah sampel yang pengambilannya sedemikian hingga setiap
elemen populasinya mempunyai kemungkinan yang sama untuk terambil.
3. Sumber Pengamatan dalam Statistik
Berikut sumber pengamatan dalam statistik 1. Unit Statistik Unit statistik adalah individu objek atau orang yang akan diteliti, disurvey atau didata. Pertama harus diidentifikasikan obyek atau orang yang dapat memberikan informasi lebih banyak terhadap permasalahan yang diteliti. 2. Variabel Variabel adalah suatu karakteristik dari suatu objek yang harganya untuk tiap objek bervariasi dapat diamati atau dibilang, atau diukur.
4. Macam-Macam Data
Statistik dalam prakteknya tidak bisa dilepaskan dari data yang berupa angka, baik itu dalam statistik deskriptif yang menggambarkan data, maupun statistik inferensi yang melakukan analisis terhadap data. Pembagian data dibedakan atas beberapa hal berikut. 1) Menurut cara memperolehnya, data dibedakan atas a. Data primer, yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh peneliti (perorangan/lembaga) langsung dari objeknya. Contoh: sensus yang dilaksanakan oleh BPS. b. Data sekunder, yaitu data yang dikutip atau diperoleh dalam bentuk yang sudah jadi, sudah dikumpulkan dan diolah oleh sumber lain dan umumnya sudah dalam bentuk publikasi. Contoh: perusahaan memperoleh data dari laporan yang ada di BPS. 2) Menurut sumbernya 3
a. Data internal, yaitu data yang menggambarkan kea daan/kegiatan di dalam suatu organisasi. b. Data eksternal, yaitu data yang menggambarkan keadaan/kegiatan di luar suatu organisasi. Data eksternal dimaksudkan untuk menunjukkan faktor-faktor yang mempengaruhi hasil karya suatu organisasi. 3) Menurut sifatnya a. Data Kualitatif, yaitu fakta yang dinyatakan dalam bentuk bukan angka, misalnya, jenis golongan darah, profesi, agama, dan sebagainya. Data kualitatif dapat dikuantitatifkan antara lain dengan cara memberi skor, ranking, variabel boneka (dummy variabel ), dan sebagainya. Data kualitatif mempunyai ciri tidak bisa dilakukan operasi matematika, seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Data kualitatif dibagi menjadi dua: 1. Data Nominal Data bertipe nominal adalah data dengan tingkat paling rendah dalam level pengukuran data. Skala nominal adalah skala pengukuran berupa bilangan atau lambang-lambang untuk mengelompokkan suatu obyek. Jika suatu pengukuran data hanya menghasilkan satu dan hanya satu-satunya kategori, maka data tersebut adalah data nominal (data kategori). Misal proses pendataan Jenis Kelamin, status pendidikan, jenis agama dan sebagainya. Data Nominal dalam praktek statistika biasanya akan dijadikan ‘angka’, yaitu proses yang disebut kategorisasi. Misal dalam pengisian data, jenis kelamin lelaki di kategorikan sebagai ‘1’ dan perempuan sebagai ‘2’. Contoh lain data dari variabel jenis agama (Islam=1, Kristen=2, Katholik=3, Hindu=4, Budha=5). Kategori ini hanya sebagai tanda saja, jadi tidak bisa dilakukan operasi matematika. 2. Data Ordinal Seperti pada data nominal, adalah juga data kualitatif namun dengan level yang lebih tinggi dari data nominal. Jika pada data nominal, semua data kategori dianggap sama, maka pada data ordinal, terdapat tingkatan data 4
dengan urutan lebih tinggi dan lebih rendah. Dengan kata lain skala ordinal adalah skala pengukuran yang mengelompokkan obyek-obyek ke dalam kelas-kelas yang mempunyai hubungan urutan satu dengan yang lain. Hubungan antara kelas-kelas adalah lebih baik, lebih disukai, lebih tinggi, dan sebagainya. Misal data tentang sikap seseorang terhadap produk tertentu. Dalam pengukuran sikap konsumen, ada sikap yang ‘suka’, ‘tidak suka’, sangat
suka’ dan lainnya. Urutan data 1 sampai dengan 5
menyimbolkan kualitas. 5= Sangat suka, 4= Suka, 3= Sedang, 2= Tidak Suka, 1= Sangat tidak suka. Jadi disini ada preferensi atau tingkatan data, dimana data yang satu berstatus lebih tinggi atau lebih rendah dari yang lain. Namun data ordinal juga tidak bisa dilakukan operasi matematika. b. Data kuantitatif, yaitu fakta yang dinyatakan dalam bentuk angka dalam arti sebenarnya. Misalnya tinggi badan, berat badan, hasil belajar mahasiswa, jumlah kelahiran bayi tiap tahun di suatu negara, dan lain sebagainya. Jadi berbagai operasi matematika bisa dilakukan pada data kuantitatif. Seperti pada data kualitatif, data kuantitatif juga bisa dibagi menjadi dua bagian: 1. Interval Data Interval menempati level pengukuran data yang lebih tinggi dari data ordinal, karena selain bisa bertingkat urutannya, juga urutan tersebut bisa dikuantitatifkan.
Skala
interval
adalah
skala
pengukuran
yang
mengelompokkan obyek-obyek ke dalam kelas-kelas yang mempunyai hubungan urutan dan perbedaaan dalam jarak (interval) satu dengan yang lain. Ciri-ciri skala interval : (i)
Unit pengukuran sama dan konstan;
(ii)
Perbandingan antara dua interval sembarang adalah independen dengan unit pengukuran dan titik nolnya;
(iii) Titik nol dan unit pengukuran sembarang (arbitrary). Contohnya antara lain pengukuran temperatur sebuah ruangan. Data temperatur dikatakan data interval, karena data mempunyai interval (jarak) 5
tertentu. Namun data interval tidak mempunyai titik nol yang absolut. Seperti pada pengukuran temperatur, seperti pernyataan bahwa ‘air membeku pada 0 oC ‘. Pernyataan di atas, 0 oC bersifat relatif, karena
0
o
C hanya sebagai tanda saja. Dalam pengukuran oF, air membeku bukan
pada 0 oF, namun pada 32oF. 2. Data Rasio Data Rasio adalah data dengan tingkat pengukuran paling tinggi diantara jenis data lainnya. Data Rasio adalah data bersifat angka dalam arti sesungguhnya dan bisa dioperasikan secara matematika (+, -, x, /). Skala rasio adalah skala pengukuran yang mengelompokkan obyek-obyek ke dalam kelas-kelas yang mempunyai hubungan urutan dan berbeda dalam jarak antara obyek yang satu dengan yang lain. Perbedaan dengan data interval adalah bahwa data rasio mempunyai titik nol dalam arti sesungguhnya. Misal berat badan dan tinggi badan seseorang, pengukuran pengukurannya mempunyai angka nol/0 dalam arti sesungguhnya. Misal berat badan 0 berarti memang tanpa berat. Contoh skala rasio adalah skala untuk mengukur panjang, luas, isi, berat, tinggi, dan sebagainya. 4) Menurut waktu pengumpulannya a. Data Cross Section, yaitu data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu (at a point of time) yang bisa menggambarkan keadaan/kegiatan pada waktu tersebut. b. Data Berkala (Time Series Data), yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk memberikan gambaran tentang perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu. Misalnya, perkembangan harga barang kebutuhan pokok selama 12 bulan terakhir, banyaknya pengunjung tempat wisata selama 5 tahun terakhir, dsb. Data berkala sering disebut data historis, bila digambarkan grafiknya maka akan menunjukkan fluktuasi pergerakan naik turun data. Dari data berkala dapat dibuat garis trend yang menggambarkan perkembangan data. Garis trend tersebut berguna sebagai dasar pembuatan ramalan ( forecasting ) 6
yang bermanfaat untuk dasar perencanaan dan memberikan gambaran data di masa mendatang.
5. Syarat Data yang Baik
Data yang tidak tepat apabila digunakan untuk dasar pengambilan keputusan maka dapat menghasilkan kesimpulan yang keliru serta tidak tepat sasaran. Untuk memperoleh kesimpulan yang tepat dan benar mengenai suatu permasalahan, maka data yang dikumpulkan dalam pengamatan harus nyata dan benar. Syarat data yang baik adalah a. data harus obyektif artinya data sesuai dengan keadaan sebenarnya; b. data harus mewakili (representatif); c. kesalahan baku (standar error) harus kecil. Suatu n ilai estimasi harus memiliki tingkat ketelitian yang tinggi; d. data harus tepat waktu (up to dat e) terutama apabila data digunakan untuk tujuan pengendalian dan evaluasi; e. data harus relevan dengan masalah yang akan dipecahkan artinya data yang dikumpulkan harus berhubungan dengan masalah yang diamati.
6. Pengumpulan Data
Data yang dikumpulkan harus akurat dan relevan dengan permasalahan yang diamati. Data dapat dikumpulkan dengan berbagai cara. Cara pengumpulan data yang sering digunakan diantaranya a. Wawancara (Interview) Wawancara merupakan cara pengumpulan data yang bersifat langsung dari responden. Kelemahan metode wawancara antara lain ada pada segi waktu dan penggunaan data yang cukup besar. Sebelum melakukan wawancara perlu dibuat pedoman agar dapat memperoleh keterangan yang relevan sesuai yang diharapkan. b. Angket (Kuesioner) 7
Angket adalah seperangkat daftar pertanyaan yang diisi oleh responden tanpa pengawasan, kemudian dikembalikan atas kemauan sendiri oleh responden. Angket digunakan bila jumlah responden cukup banyak atau jangkauan lokasi yang jauh dan luas. Menurut jenisnya, angket dibedakan menjadi angket tertutup dan angket terbuka. Angket tertutup apabila angket tersebut telah menyediakan pilihan jawaban yang dapat dipilih responden. Sementara, pada angket terbuka tidak tersedia pilihan jawaban dan responden diberi kebebasan untuk menjawab. c. Pengamatan (Observasi) Observasi dilakukan apabila peneliti merasa perlu melihat, mengamati, atau melakukan sendiri kegiatan untuk memperoleh data. Dalam kegiatan pengamatan juga perlu dibuat pedoman untuk mempermudah pengamat mencatat data yang dikehendaki.
8
Penyajian Data Disusun oleh Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. Dr. Scolastika Mariani, M.Si.
Secara garis besar ada dua cara penyajian data yang sering digunakan yaitu tabel atau daftar dan grafik atau diagram. Penyajian data dengan tabel atau diagram akan lebih menarik, mudah dibaca dan dimengerti. Penyajian data dalam bentuk gambar akan memperjelas masalah secara visual. Tabel merupakan kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategori sehingga memudahkan dalam pembuatan analisis data. Penyajian data dengan tabel yang dikenal antara lain dengan menggunakan daftar baris kolom dan daftar distribusi frekuensi. Grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan secara visual (dapat pula berupa simbol) data berupa angka yang biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang sudah dibuat. Macam-macam penyajian data dengan tabel dan diagram/grafik yang dikenal antara lain diagram lambang atau diagram simbol ( pictogram), diagram garis (line chart ), diagram batang/balok (bar chart / histogram), diagram lingkaran atau diagram pastel ( pie chart ), diagram peta (cartogram), dan diagram pencar atau titik ( scater plot ). Berikut penjelasan masing-masing tabel/daftar dan grafik yang sering digunakan. 1.
Daftar baris kolom
Penyajian data yang dituliskan dalam bentuk matriks baris dan kolom. Contoh daftar ini dapat dijumpai pada data laporan yang ada di BPS, dimana laporan pembukuannya umumnya disajikan dalam bentuk baris dan kolom, misalnya mengenai data penduduk, data pertanian dan sebagainya. Diagram baris kolom mengutamakan keakuratan data yang disajikan sehingga pada tabel ini data yang disajikan sesuai data sebenarnya dan tidak bersifat kira-kira. Ada berbagai bentuk tabel antara lain tabel satu
1
arah (one way table), tabel dua arah (two way table) dan tabel tiga arah (three way table). Tabel satu arah adalah tabel yang hanya memuat keterangan mengenai satu hal atau satu karakteristik saja. Misalnya: data jumlah penduduk menurut umur, data jumlah penduduk menurut daerah, data jumlah penduduk menurut jenis kelamin, dan sebagainya. Tabel 2.1 menunjukkan contoh data jumlah siswa menurut tingkat pendidikan. Tabel 2.1 Jumlah Siswa Menurut Tingkat Sekolah Tingkat Sekolah
Jumlah
SD SMP ST SMA SMK TOTAL
1.562 1.019 432 818 743 4.574
Sumber: http://metodestatistik.blogspot.com
Tabel dua arah adalah tabel yang memuat keterangan mengenai dua hal atau dua karakteristik. Misalnya: data jumlah penduduk menurut umur dan pendidikan, data jumlah penduduk menurut daerah dan jenis kelamin, data jumlah penduduk menurut pendidikan dan pekerjaan, dan sebagainya. Tabel 2.2 adalah contoh tabel dua arah yang berisi informasi mengenai data jumlah siswa menurut tingkat sekolah dan jenis kelamin. Tabel 2.2 Jumlah Siswa Menurut Tingkat Sekolah dan Jenis Kelamin Tingkat Sekolah SD SMP ST SMA SMK TOTAL
Jumlah Siswa Laki-Laki Perempuan 875 687 512 507 347 85 476 342 316 427 2.526 2.048
Sumber: http://metodestatistik.blogspot.com
2
Jumlah
1.562 1.019 432 818 743 4.57
Tabel tiga arah adalah tabel yang memuat keterangan mengenai tiga hal atau tiga karakteristik. Misalnya: data jumlah penduduk menurut umur, jenis kelamin dan pendidikan, data jumlah penduduk menurut daerah, pendidikan dan pekerjaan, dsb.
2.
Daftar Distribusi Frekuensi
Data statistik yang telah dikumpulkan dan akan dianalisis lebih lanjut perlu disusun secara sistematis serta disajikan dalam bentuk yang mudah terbaca agar lebih jelas dan mudah dipahami. Bila dimiliki data pengamatan dalam jumlah yang banyak/besar, maka perlu dibuat distribusi frekuensi atau tabel frekuensi untuk mempermudah analisa data. Berikut langkah menyusun tabel distribusi kuantitatif. (i) Tentukan banyak dan lebar inteval kelas. Hal ini tergantung pada banyak dan besarnya nilai yang akan disusun dalam tabel distribusi. Banyak interval kelas yang efisien umumnya antara 5 dan 15. Pada tahun 1925, H.A Sturges mengajukan rumus untuk menentukan banyak interval kelas, yaitu k = 1 + 3,322 log n. Sedangkan lebar interval kelas ditentukan dengan membagi jangkauan (yaitu selisih antara harga terbesar dan terkecil) dengan banyak interval kelas yang digunakan. (ii) Interval-interval kelas tersebut diletakkan dalam suatu kolom, diurutkan dari interval kelas terendah pada kolom paling atas da n seterusnya. (iii) Data yang ada kemudian dimasukkan ke dalam interval kelas yang sesuai. Banyak data yang masuk dalam suatu interval kelas dinamakan frekuensi interval kelas tersebut. Contoh 1
Berikut disajikan data tinggi badan (cm) dari 50 orang atlet bola voli pantai. 176 167 180 168 171 177 165 169 171 171 176 166 179 181 170 169 175 178 171 168 178 181 172 177 182 167 179 183 179 180 184 170 174 175 176 Berdasarkan data tersebut, diperoleh informasi berikut.
3
176 174 183 185 175
170 167 174 185 182
175 172 166 173 172
Data terbesar : 185 Data terkecil : 165 Jangkauan
= (data terbesar) - (data terkecil) = 185 – 165 = 20
Harga k dengan rumus Sturges: k = 1 + 3,322 log n = 1+3,322(1,699) = 6,644 ≈ 7 Dengan acuan harga k maka dipilih banyak interval kelas 7 dengan lebar kelas =
20 7
= 2,85 ≈ 3. Kemudian disusun dalam tabel distribusi frekuensi berikut. Tabel 2.3 Distribusi frekuensi tinggi badan Interval kelas 164,5 - 167,5 167,5 - 170,5 170,5 - 173,5 173,5 - 176,5 176,5 - 179,5 179,5 - 182,5 182,5 - 185,5 Jumlah
Frekuensi 6 7 8 11 7 6 5 50
Jika ingin mengetahui jumlah orang dengan tinggi badan lebih ataupun kurang dari harga tertentu, maka distribusi frekuensi diubah menjadi distribusi frekuensi kumulatif. Dengan data pada contoh 1 di atas, distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari” dan distribusi frekuensi kumulatif “lebih dari” ditunjukkan pada Tabel 2.4 dan Tabel 2.5. Tabel 2.4 Distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari” Tinggi badan Jumlah Kurang dari 164,5 0 Kurang dari 167,5 6 Kurang dari 170,5 13 Kurang dari 173,5 21 Kurang dari 176,6 32 Kurang dari 179,5 39 Kurang dari 182,5 45 Kurang dari 185,5 50 Tabel 2.5 Distribusi frekuensi kumulatif “lebih dari”
4
Tinggi badan lebih dari 164,5 lebih dari 167,5 lebih dari 170,5 lebih dari 173,5 lebih dari 176,6 lebih dari 179,5 lebih dari 182,5 lebih dari 185,5
Jumlah 50 44 37 29 18 11 5 0
Untuk menghitung berapa persen orang yang tinggi badannya antara harga tertentu, lebih dari harga tertentu ataupun kurang dari harga tertentu, maka distribusi frekuensi diubah menjadi distribusi frekuensi relatif, distribusi frekuensi relatif “lebih dari” atau distribusi frekuensi realtif “kurang dari”. Cara untuk mengubah distribusi frekuensi menjadi distribusi frekuensi relatif adalah: harga frekuensi pada setiap interval kelas dibagi jumlah total frekuensi, kemudian dikalikan 100%. Untuk data pada contoh 2.1, distribusi relatifnya ditunjukkan pada Tabel 2.6. Tabel 2.6 Distribusi frekuensi relatif Tinggi badan Jumlah (dalam %) 164,5 - 167,5 12 167,5 - 170,5 14 170,5 - 173,5 16 173,5 - 176,5 22 176,5 - 179,5 14 179,5 - 182,5 12 182,5 - 185,5 10 100 Jumlah Tabel 2.7 Distribusi frekuensi relatif “lebih dari” Tinggi badan Jumlah lebih dari 164,5 100% lebih dari 167,5 88% lebih dari 170,5 74% lebih dari 173,5 58% lebih dari 176,6 36% lebih dari 179,5 22% lebih dari 182,5 10% lebih dari 185,5 0% Tabel 2.8 Distribusi frekuensi relatif “kurang dari” Tinggi badan Jumlah
5
kurang dari 164,5 kurang dari 167,5 kurang dari 170,5 kurang dari 173,5 kurang dari 176,6 kurang dari 179,5 kurang dari 182,5 kurang dari 185,5
0% 12% 26% 42% 64% 78% 90% 100%
Untuk mempermudah memahami dan menganalisis data, tampilan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat pula digambarkan dalam bentuk grafik yaitu histogram, poligon dan ogive.
a. Histogram Untuk menggambar histogram, interval kelas diletakkan pada sumbu X dan frekuensinya pada sumbu Y. Berikut histogram untuk Tabel 2.3.
Histogram Tinggi Badan Atlet 12 10
i s n 8 e u 6 k e r 4 F
2 0
Interval Kelas
Gambar 2.1 Histogram Distribusi Frekuensi Tinggi Badan
b. Poligon Untuk menggambar poligon, interval kelas diletakkan pada sumbu X dan frekuensinya pada sumbu Y. Hubungkan titik-titik koordinat tersebut dengan garis lurus. Poligon distribusi frekuensi Tabel 2.3 ditunjukkan pada Gambar 2.2.
6
Poligon Tinggi Badan Atlet 12 10
i s 8 n e u 6 k e r 4 F
2 0
Interval Kelas
Gambar 2.2 Poligon Distribusi Frekuensi
c. Ogive Grafik ogive merupakan penghalusan poligon. Untuk menggambar ogive, interval kelas diletakkan pada sumbu X dan frekuensinya pada sumbu Y. Hubungkan titik-titik koordinat tersebut dengan garis lurus. Ogive distribusi frekuensi Tabel 2.3 ditunjukk an pada Gambar 2.3.
Ogive Tinggi Badan Atlet 60 f i t a l u 40 m u k 20 i s n e u 0 k e 160 r F
165
170
175
180
185
190
Tinggi Badan
frek kumulat if kurang dari
frek kumul at if lebih dar i
Gambar 2.3 Ogive Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif
3.
Diagram Lambang (Pictogram)
Diagram lambang dipakai untuk mendapatkan gambaran kasar mengenai suatu hal kepada orang awam. Diagram ini dapat menarik minat pembaca karena umumnya
7
sajian data diberikan dengan menyertakan gambar-gambar sebagai ilustrasi data yang dinamakan pictogram. Sajian pictogram yang dipentingkan utamanya pada menariknya sajian/tampilan. Kesulitan yang dihadapi saat menggunakan diagram lambang adalah ketika menggambarkan bagian simbol untuk satuan yang tidak penuh. Berikut Gambar 2.4 yang merupakan contoh diagram lambang jumlah pegawai.
Gambar 2.4 Diagram Lambang 4.
Diagram Garis
Untuk menggambarkan keadaan yang berkelanjutan atau berkesinambungan, yang umumnya dipengaruhi/dibedakan oleh waktu, misalnya produksi karet tiap tahun, jumlah penduduk tiap tahun, keadaan temperatur badan tiap jam, dibuat diagram garis. Penyajian data dengan diagram garis memerlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling tegak lurus. Sumbu mendatar menyatakan waktu dan sumbu tegak menunjukkan frekuensi data tiap waktu. Terdapat beberapa macam diagram garis yang biasa digunakan diantaranya diagram garis tunggal dan diagram garis berganda. Diagram garis tunggal ( single line chart ) adalah diagram/grafik yang terdiri dari satu garis untuk menggambarkan perkembangan suatu kejadian. Misalnya pertambahan jumlah pengunjung, banyaknya jumlah kendaraan yang melintas, dan sebagainya. Diagram garis berganda (multiple line chart ) yaitu diagram yang terdiri dari beberapa garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa kejadian sekaligus. Misalnya inflasi kelompok bahan pangan, perkembangan hasil belajar mahasiswa berdasarkan program studi, dan sebagainya. Contoh diagram garis disajikan pada Gambar 2.5.
8
Sumber: http://blog.ub.ac.id/aguswahyuprasetyo
(a) (b) Gambar 2.5 (a) Diagram Garis Tunggal, (b) Diagram Garis Berganda
5.
Diagram Batang
Diagram batang sangat tepat digunakan untuk penyajian data yang variabelnya berbentuk kategori atau atribut. Diagram batang adalah suatu diagram dengan menggunakan diagram batang-batang persegi panjang atau balok. Untuk menggambar diagram batang diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak
yang dibagi menjadi
beberapa skala bagian yang sama, dimana sumbu datar menyatakan atribut atau waktu dan sumbu tegak menyatakan nilai data. Diagram batang tepat digunakan menyajikan data untuk kepentingan perbandingan. Seperti diagram garis, diagram batang juga terdiri dari beberapa macam, yaitu diagram batang tunggal, diagram batang berganda, diagram batang komponen berganda, diagram batang persentase komponen berganda dan diagram batang berimbang neto. Berdasarkan data pada Tabel 2.2 akan diberikan beberapa contoh diagram batang pada gambar 2.6 dan 2.7.
9
(a)
(b)
Sumber: http://metodestatistik.blogspot.com
Gambar 2.6 (a) Diagram Batang Tunggal Tegak, (b) Diagram Batang Tunggal
Mendatar Diagram batang berganda digunakan untuk menggambarkan lebih dari satu kegiatan dalam satu diagram sehingga digambarkan diagram batang dua (tiga atau lebih) komponen.
Sumber: http://metodestatistik.blogspot.com
Gambar 2.7 Diagram Batang Berganda
10
Serupa dengan diagram batang tunggal, terdapat diagram batang berganda baik tegak maupun mendatar disusun dengan memberikan informasi yang sama, perbedaannya hanya terletak dalam cara penyajian diagram saja. Diagram batang komponen berganda serupa dengan diagram batang berganda, namun bagian batang teratas/terakhir menggambarkan jumlah (total) dari komponen-komponen yang ada.
6.
Diagram Lingkaran
Diagram ini merupakan suatu bentuk penyajian data yang diwujudkan dalam sektor-sektor lingkaran. Total nilai data ditranformasikan dalam sektor 360O. Tiap sektor menggambarkan kategori data yang sebelumnya dihitung terlebih dahulu berupa sektor-sektor elemen dalam derajat.
(a)
(b)
Sumber: (a) http://media-kreatif.com, (b)http://subandialdi.blogspot.com
Gambar 2.8 Diagram Lingkaran
Diagram
lingkaran
sangat
tepat
menyajikan
data
untuk
kepentingan
“ perbandingan“. Satu diagram hanya dapat menggambarkan satu kegiatan. D apat pula dibuat variasi dari diagram lingkaran yang disebut diagram pastel. Bentuk-bentuk d ari diagram lingkaran, diantaranya adalah diagram lingkaran tunggal ( single pie chart ) yaitu diagram lingkaran yang hanya terdiri dari satu lingkaran dan diagram lingkaran
11
berganda (multiple pie chart ) yaitu diagram lingkaran yang terdiri dari lebih dari satu lingkaran.
7.
Diagram Peta (Kartogram)
Diagram peta adalah suatu sajian data yang menggunakan peta geografis tempat data terjadi. Diagram ini melukiskan keadaan dihubungkan dengan tempat data terjadi. Gambar 2.9 berikut merupakan contoh diagram peta.
(a)
(b)
Sumber : (a) https://windaaseptiana.wordpress.com (b) https://andimanwno.wordpress.com
Gambar 2.9 Diagram Peta
8.
Diagram Pencar
Kumpulan data kuantitatif dari terdiri atas dua variabel, dapat disajikan dalam bentuk diagram yang dibuat dalam sistem sumbu koordinat dan gambarnya akan merupakan kumpulan titik-titik yang terpencar yang disebut diagram pencar.
12
Gambar 2.10 Diagram Pencar (Sumber http://www.slideshare.net/alunand350)
Dalam mempresentasikan data umumnya penyaji menginginkan agar apa yang dipresentasikan dapat dimengerti dan dipahami oleh pembaca. Beraneka macam cara penyajian data dapat dipilih sesuai dengan tujuan, kebutuhan dan kepentingan. Misalkan, suatu kantor biro statistika yang memiliki banyak kumpulan data dalam bentuk angka akan lebih memilih untuk menyajikan datanya dalam bentuk tabel (baris dan kolom) dibandingkan dalam bentuk diagram lingkaran atau yang lain. Hal ini dikarenakan yang diperlukan adalah keakuratan data tersebut dan bukan pada bentuk penyajiannya. Lain halnya apabila penyajian data ditujukan untuk keperluan presentasi atau pameran hasil karya. Untuk tujuan ini maka penyajian data harus dibuat semenarik mungkin selain harus jelas dan mudah dipahami.
13
Ukuran Pusat, Letak, dan Penyimpangan Data
Disusun oleh Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. Dr. Scolastika Mariani, M.Si.
1. Ukuran Pemusatan Data
Data yang telah dikumpulkan dapat dipresentasikan dalam bentuk tabel dan grafik yang bertujuan untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan lebih mudah dipahami dari data kuantitatif. Selain itu, untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas mengenai kumpulan data baik mengenai sampel maupun populasi
masih
diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil dari kumpulan data tersebut. Dalam bagian ini akan dibahas ukuran gejala pemusatan, letak, dan penyimpangan. Ukuran tengah dari sekumpulan data adalah nilai tunggal yang representatif bagi keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya dalam hal letaknya (lokasinya). Nilai tersebut dihitung dari keseluruhan data bersangkutan sehingga cenderung terletak diurutan paling tengah atau pusat setelah data diurutkan menurut besarnya. Oleh karena itu, nilai tunggal tersebut sering dinamakan ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) atau ukuran nilai pusat (measures of central value). a. Rata-Rata dan Rata-Rata Terbobot
Untuk perhitungan selanjutnya akan digunakan simbol. Nilai data kuantitatif dinyatakan dengan simbol x1, x2, ..., xn. untuk menyatakan banyaknya data atau objek yang diteliti dalam sampel (ukuran sampel) digunakan simbol n. Simbol rata-rata untuk sampel adalah x . 1) Data tidak dikelompokkan
1
Rata-rata hitung untuk data kuantitatif diperoleh dengan membagi jumlah nilai data oleh banyaknya data. Rata-rata dari sekumpulan observasi adalah jumlah semua observasi dibagi banyak observasi. Definisi 1
Jika suatu sampel berukuran n dengan elemen x1, x2, ..., xn maka rata-rata
n xi i 1 sampel adalah (x1 + x2 + ... + xn)/n atau x n
Contoh 1
Berikut nilai hasil ujian matematika berturut-turut dari 5 orang siswa SMK 60, 68, 58, 75, 89. Bila data dinyatakan dalam bentuk simbol dapat ditulis x1 = 60, x2 = 68, x3 = 58, x4 = 75, dan x5 = 89. Dalam hal ini n = 5. Sehingga, nilai rata-rata ujian Matematika =
60 68 58 75 89 51
70 .
Saat menghitung rata-rata dari suatu kumpulan data, semua nilai pengamatan dianggap sama penting dan diberi bobot yang sama dalam perhitungan. Dalam situasi di mana nilai data tidak sama penting, dapat diberikan bobot yang proporsional untuk setiap nilai data tersebut tergantung pada derajat kepentingan dan kemudian dapat dihitung rata-rata terbobot. Definisi 2
Misal x1, x2, ..., xk adalah himpunan k buah nilai dan w1, w2, ..., wk adalah bobot yang diberikan pada masing-masing nilai tersebut. Maka rata-rata terbobot (rata-rata terboboti) dapat dihitung dengan persamaan k
x
w1 x1 w1 x 2 ... w1 x k w1 w 2 ...w k
w x i
atau
x
i 1 k
w
i
i 1
2
i
Contoh 2
Seorang mahasiswa mengambil matakuliah
A dengan bobot 2 sks dan
memperoleh nilai D = 1 (w1 = 2, x1 = 1) dan mata kuliah B dengan bobot 3 sks dan memperoleh nilai A = 4 (w2 = 3, x2 = 4) serta mata kuliah C dengan bobot 1 sks dan memperoleh nilai B = 3 (w3 = 1, x3 = 3) maka indeks prestasinya adalah x
( 2 1) ( 3 4 ) (1 3) 23 1
17 6
2 ,83
Perhitungan pembobotan juga dapat digunakan untuk menghitung rata-rata gabungan dari beberapa himpunan data yang dikombinasikan. Misalnya dipunyai 2 himpunan data yang terdiri atas n1 & n2 jumlah data pengamatan dengan rata-rata masing-masing adalah x1 dan x 2 . Rata-rata kombinasi kedua himpunan data ini diperoleh dengan x
n1 x1 n2 x 2 n1 n2
Contoh 3
Dua kelompok sampel masing-masing berukuran 6 dan 4 memiliki rata-rata berturut-turut 78 dan 83. Maka rata-rata gabungan dapat dihitung dengan x
n1 x1 n 2 x 2 n1 n 2
6 78 4 83 10
80
2) Data dikelompokkan
Data yang dikelompokkan dan telah disederhanakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat pula dihitung rata-ratanya. Harga rata-rata yang diperoleh merupakan harga pendekatan, dengan anggapan bahwa nilai yang terletak pada suatu interval kelas sama dengan harga titik tengahnya. Rata-rata yang diperoleh merupakan rata-rata terbobot dengan nilai bobotnya sama dengan nilai frekuensinya. Definisi 3
Rata-rata dari data yang dikelompokkan adalah
3
k
f x i
x
k
f x
i
i 1
i
k
i
i 1
n
f
i
i 1
dengan xi adalah titik tengah interval kelas ke-i, f i merupakan frekuensi interval kelas ke-i, dan n menunjukkan banyaknya data. Contoh 4
Diketahui perolehan nilai ujian Statistika. Empat siswa memperoleh nilai 74, lima orang memperoleh nilai 68, tiga siswa memperoleh nilai 55, satu siswa memperoleh nilai 78 dan dua orang siswa memperoleh nilai 80. Untuk perhitungan rata-rata, dapat dibuat tabel penolong dengan xi menyatakan nilai dan f i menyatakan frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian berikut xi f i xi. f i 74 4 296 68 5 340 55 3 165 78 1 78 80 2 160 Jumlah 15 1039 Dalam kasus ini bobot adalah frekuensi dari masing-masing data. k
f x i
Sehingga diperoleh x
i
i 1 k
f
1039 15
62,3 .
i
i 1
Contoh 5
Diketahui data tinggi badan atlet basket di Universitas Negeri XXX dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Interval kelas 164,5 - 167,5 167,5 - 170,5 170,5 - 173,5 173,5 - 176,5 176,5 - 179,5
x i 166 169 172 175 178
4
f i 6 7 8 11 7
f i x i 996 1183 1376 1925 1246
179,5 - 182,5 182,5 - 185,5 Jumlah
181 184
6 5 50
1086 920 8732
Untuk menghitung rata-rata, dapat digunakan tabel penolong (kolom f i.xi) sehingga dapat dihitung x =
8732 50
174, 64 .
Cara lain untuk menghitung rata-rata data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi adalah dengan cara sandi menggunakan rumus berikut.
k f i c i x x 0 p i k 1 f i i 1 Dimana p adalah panjang kelas interval dan x0 adalah salah satu tanda kelas/nilai tengah dari interval data yang dipilih. Untuk tanda x0 diberi nilai sandi c = 0. Nilai tengah yang lebih kecil dari x0 berturut-turut diberi nilai sandi -1, -2, -3 dan seterusnya. Sedangkan nilai tengah yang lebih besar dari x0 diberi sandi +1, +2, +3 dan seterusnya.
Contoh 6
Perhatikan kembali Contoh 5. Rata-rata tinggi badan atlet basket di Universitas Negeri XXX dengan menggunakan cara sandi dapat dihitung dengan menyusun tabel berikut. Interval kelas 164,5 - 167,5 167,5 - 170,5 170,5 - 173,5 173,5 - 176,5 176,5 - 179,5 179,5 - 182,5
x i 166 169 172 175 178 181
5
ci -3 -2 -1 0 1 2
f i 6 7 8 11 7 6
f i ci -18 -14 -8 0 7 12
182,5 - 185,5 Jumlah
184
3
5 50
15 -6
k f i c i 6 175 3 x x 0 p i k 1 175 3 0,12 174,64 50 f i i 1 Pada kasus ini diambil nilai x0 = 175 dan nilai sandi untuk nilai ini adalah c = 0. Selanjutnya berturut-turut diberikan nilai sandi untuk masing-masing interval kelas dengan nilai tengah kurang dari dan lebih dari x0 . Cara sandi ini hanya berlaku apabila panjang kelas interval semuanya sama. b. Modus
Untuk menyatakan peristiwa yang paling banyak terjadi digunakan ukuran modus atau sering disingkat Mo. Sehingga, modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data tersebut. Modus seringkali dipakai untuk menentukan rata-rata data kualitatif. Misalnya sering didengar: kecelakaan lalu lintas umumnya disebabkan oleh kelalaian pengemudi, kebakaran terjadi kebanyakan karena konsleting arus listrik, hal ini merupakan modus dari masing-masing kejadian. Modus untuk data kuantitatif ditentukan dengan menentukan frekuensi terbanyak dari kumpulan data yang diamati. 1) Data tidak dikelompokkan Contoh 7
Pada Contoh 4, modus nilai ujian Matematika siswa adalah 68 karena nilai 68 muncul paling banyak yaitu 5 kali. 2) Data dikelompokkan
Untuk data yang dikelompokkan dan disusun dalam tabel distribusi frekuensi maka modus dapat dihitung dengan rumus
b1 b b 1 2
Mo b p
6
dengan b : batas bawah interval modus p : panjang interval kelas modus b1 : beda frekuensi antara interval kelas modus dengan interval kelas sebelumnya b2 : beda frekuensi antara interval kelas modus dengan interval kelas sesudahnya. Dimana interval kelas modus adalah interval yang mempunyai frekuensi tertinggi. Contoh 8
Pada Contoh 5, modus tinggi badan atlet bola basket di Universitas Negeri XXX dapat dihitung dengan rumus modus data berkelompok. Pada Contoh 5, interval modus terletak pada interval ke-4 dengan frekuensi sebanyak 11. Sehingga diperoleh b = 173,5
p =3
b1 = 11 – 8 = 3
b2 = 11 – 7 = 4
b1 3 173,5 3 174,79 . b b 3 4 1 2
Jadi modus adalah Mo b p
c. Median
Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah disusun dan diurutkan nilainya. Median sering ditulis dengan Me. Jika nilai median adalah Me, maka 50% dari seluruh data nilainya paling tinggi sama dengan Me sedangkan 50% lagi nilainya paling rendah sama dengan Me. 1) Data tidak dikelompokkan
Untuk data yang tidak dikelompokkan, jika jumlah data ganjil, maka median merupakan data paling tengah. Untuk data dengan jumlah genap, maka setelah
7
data disusun menurut urutan nilainya, median adalah rata-rata hitung dua data tengah. Contoh 9
Untuk data berjumlah ganjil.
Data nilai hasil ujian Matematika dari 5 orang mahasiswa pada Contoh 1 memberikan nilai: 60 68 58 75 89. Median dari data tersebut diperoleh setelah mengurutkan data menjadi 58 60 68 75 89. Jadi Mediannya adalah 68.
Untuk data berjumlah genap.
Data berat badan dari 6 orang siswa sebagai berikut: 35 39 36 42 45 40. Setelah data diurutkan nilainya menjadi: 35 36 39 40 42 45. Jadi Mediannya adalah. Me
1 2
39 40 39,5
.
2) Data dikelompokkan
Untuk menghitung median data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu. Rumus untuk menghitung median data berkelompok adalah
1 n F Me b p 2 f dengan b : batas bawah interval median yaitu kelas di mana median akan terletak n : ukuran sampel atau banyak data p : panjang interval kelas median F : jumlah frekuansi interval kelas sebelum interval median f : frekuensi kelas median
8
Interval median adalah interval dimana median itu berada, diperoleh dengan
cara menghitung nilai data urutan ke-
n 2
menurut urutan frekuensinya dari
urutan atas ke bawah (atau dari bawah ke atas). Contoh 10
Dari Contoh 5, diketahui n = 50 maka
n 2
= 25.
Urutan frekuensi dari atas ke bawah 6 + 7 + 8 + 11 = 32 Sehingga harga median terletak dalam interval kelas yang ke-4, yaitu pada interval 173,5 - 176,5 dengan frekuensi 11. Interval kelas ini yang dinamakan interval median. Sehingga diperoleh b : 173,5
n : 50 p : 3
F : 21
f : 11
1 n F 25 21 173,5 3 Jadi median adalah Me b p 2 174,59 . 11 f 2.
Ukuran Letak Data a. Kuartil
Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data menjadi empat bagian secara sama setelah data tersebut diurutkan menurut urutan nilainya. Ada tiga buah kuartil, yaitu kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga disingkat dengan K 1, K 2, dan K 3. Pemberian nama dimulai dari nilai kuartil yang paling kecil. Langkah menentukan nilai kuartil adalah susun data menurut urutan nilainya, kemudian tentukan letak kuartil dan m enghitung nilai kuartil. 1) Data tidak dikelompokkan
Letak kuartil ke i diberi lambang Ki, ditentukan d engan rumus Letak K i data ke
i n 1
dengan i 1, 2, 3.
4
Contoh 11
9
Data nilai hasil ujian matematika dari 5 orang siswa pada Contoh 1 setelah diurutkan menjadi 58 60 68 75 89. Letak Kuartil I : data ke
15 1
Letak Kuartil II : data ke Letak Kuartil III : data ke
4
= data ke 1
25 1 4 35 1 4
1 2
yaitu K 1
60 68 2
64
= data ke 3 yaitu K 2 = Median = 68 = data ke 4
1 2
yaitu K 3
75 89 2
82
2) Data dikelompokkan
Untuk mengitung Kuartil data yang telah dikelompokkan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi digunakan rumus berikut.
in F K i b p 4 f
dengan i 1, 2, 3.
dengan b : batas bawah kelas Ki yaitu kelas di mana Ki akan terletak n : ukuran sampel atau banyak data p : panjang kelas Ki F : jumlah frekuansi interval kelas sebelum interval kuartil f : frekuensi kelas K i
Contoh 12
Kembali pada Contoh 5. Nilai kuartil dari data tersebut adalah.
Nilai Kuartil I Diketahui n = 50 maka
n 4
= 12,5
Jumlah frekuensi interval ke 1 dan ke 2 adalah 6 + 7 = 13. Sehingga harga Kuartil I terletak dalam interval ke-2, yaitu 167,5 - 170,5 dengan frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil I.
10
maka b = 167,5
F = 6
f = 7
c
= 3
1 n F 12,5 6 167,5 3 Jadi Kuartil I adalah K 1 b p 4 170,29 f 7
Nilai Kuartil II Kuartil II : K 2 = Median =174,59
Nilai Kuartil III Diketahui n = 50 maka
3 4
n = 37,5
Jumlah frekuensi interval ke 1 sampai ke 5 adalah 6 + 7 + 8 + 11 + 7 = 39. Sehingga harga median terletak dalam interval ke-5, yaitu 176,5 - 179,5 dengan frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan in terval Kuartil III. maka
b = 176,5
F = 32
f = 7
Jadi Kuartil III adalah
3n F 37,5 32 176,5 3 K 3 b p 4 177,29 . 7 f
b. Ukuran Penyimpangan Data
Selain ukuran gejala pusat dan ukuran letak, masih ada ukuran lain yaitu ukuran penyimpangan atau ukuran dispersi dan sering disebut ukuran variasi. Ukuran penyimpangan menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif. a. Jangkauan/rentang
Rentang adalah selisih data terbesar dan terkecil. Rentang = data terbesar – data terkecil Contoh 13
Data nilai hasil ujian Matematika dari 5 mahasiswa: 60 68 58 75 89. Maka rentang = 89 - 60 = 29.
11
Rentang antar kuartil dapat dihitung dengan menghitung selisih antara kuartil 3 dan kuartil 1. Rentang Antar Kuartil = RAK = K 3 – K 1 Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut pula rentang semi antar kuartil nilainya setengah dari rentang antar kuartil. 1
Simpangan Kuartil = SK =
2
K 3 -
K 1
b. Rata-Rata Simpangan
Rata-rata simpangan adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap rata-ratanya. Besar perbedaaan antara data dan rata-ratanya adalah harga mutlaknya. 1) Data tidak dikelompokkan
Misalnya diketahui sekumpulan data hasil pengamatan x1, x2, ... , xn dengan rata-rata x . Untuk menghitung rata-rata simpangan sebelumnya ditentukan jarak antar data dengan rata-rata x dan ditulis dengan simbol x i x . Selanjutnya jarak antara xi dengan rata-rata x dijumlahkan lalu dibagi oleh n. Maka rata-rata simpangannya adalah n
x RS =
i
x
i 1
n
Contoh 14
Dari data nilai hasil ujian Matematika dari 5 siswa diperoleh rata-rata 70.
xi 60 68 58 75
| xi - x | 10 2 12 5
x
70
12
89
19 48 n
x Maka rata-rata simpangan adalah RS =
x
i
i 1
n
48 5
9,6 .
2) Data dikelompokkan
Rata-rata simpangan untuk data yang dikelompokkan, dihitung dengan n
f RS =
i 1
xi x
i
k
n
n
f i 1
i
dengan xi adalah titik tengah inteval kelas ke-i, f i merupakan frekuensi interval kelas ke-i, dan n menunjukkan banyak data.
Contoh 15
Dari Contoh 5 diperoleh rata-rata adalah X 174, 64 . Sehingga, n
f x i
Rata-rata simpangan = SR =
i 1
n
Interval kelas
xi
f i
164,5 - 167,5 167,5 - 170,5 170,5 - 173,5 173,5 - 176,5 176,5 - 179,5 179,5 - 182,5 182,5 - 185,5 Jumlah
166 169 172 175 178 181 184
6 7 8 9 8 7 5 50
i
x
233,88
| xi - x | 8,64 5,64 2,64 0,36 3,36 6,36 9,36
50
4,68 .
f i | xi - x | 51,84 39,48 21,12 3,24 26,88 44,52 46,8 233,88
c. Variasi dan Simpangan Baku
Ukuran simpangan yang paling banyak digunakan adalah simpangan baku. Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Variansi sampel
13
didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap rata-rata sampel dibagi dengan n – 1. 1) Data tidak dikelompokkan
Variansi untuk data yang tidak dikelompokkan, dapat dihitung dengan s
1
2
n
x
n 1 i 1
2 s x xi n 1 i 1 n i 1
x atau
2
2
i
1
1 n
n
2 i
Simpangan baku sampel didefinisikan sebagai akar p ositif dari variansi s2 .
sampel, yaitu : s = Contoh 16
Dari data nilai hasil ujian Matematika dari 5 siswa xi 60 68 58 75 89
| xi - x | 10 2 12 5 19 48
x
70
Variansi = s 2
n
1
x n 1
i
x 2
i 1
| xi - x |2 100 4 144 25 361 634 1
5 1
634 158 ,5 .
Jadi, simpangan baku adalah s 2 s 2 2 158 ,5 12 ,59 . 2) Data dikelompokkan
Variansi untuk data yang dikelompokkan, dapat dihitung dengan
s 2
1
k
f x n 1 i
i
x 2
i 1
1
atau s f i x f i xi n 1 i 1 n i 1 2
k
2 i
1 k
2
Simpangan baku sampel didefinisikan sebagai akar p ositif dari variansi sampel, yaitu :
s=
s2 .
Contoh 17
Data tinggi badan atlet bola voli di Universitas Negeri XXX.
14
Interval kelas
xi
f i
f i xi
164,5 - 167,5 167,5 - 170,5 170,5 - 173,5 173,5 - 176,5 176,5 - 179,5 179,5 - 182,5 182,5 - 185,5 Jumlah
166 169 172 175 178 181 184
6 7 8 11 7 6 5 50
996 1183 1376 1925 1246 1086 920
1
x12
27556 28561 29584 30625 31684 32761 33856
Variansi : s f i x f i xi n 1 i 1 n i 1 2
s 2
1 k
k
2 i
2
f i x12 165336 199927 236672 336875 221788 196566 169280 1526444
1 1487,52 2 1 . 526 . 444 8732 30,36 50 1 50 49 1
s 2 = 5,51.
Sehingga simpangan baku data = s =
Rangkuman 1. Ukuran Pemusatan Data a. Rata-Rata dan Rata-Rata Terbobot
n xi i1 Data tidak dikelompokkan (x1 + x2 + ... + xn)/n atau x n
k
f x i
Data dikelompokkan
x
i 1
k
f x
i
i
k
f
i
i 1
n
i
i 1
b. Modus
Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data tersebut. Data tidak dikelompokkan, modus untuk data kuantitatif ditentukan dengan
menentukan frekuensi terbanyak dari kumpulan data yang diamati.
15
b1 b1 b2
Data dikelompokkan Mo b p
c. Median
Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah disusun dan diurutkan nilainya. Data tidak dikelompokkan, jika jumlah data ganjil, maka median merupakan
data paling tengah, data dengan jumlah genap, maka setelah data disusun menurut urutan nilainya, median adalah rata-rata hitung dua data tengah.
1 n F Data dikelompokkan Me b p 2 f 2. Ukuran Letak Data a. Kuartil
Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data menjadi empat bagian secara sama setelah data tersebut diurutkan menurut urutan nilainya. Data tidak dikelompokkan
Letak kuartil ke i : Letak K i data ke
Data dikelompokkan
i n 1 4
in F K i b p 4 f
dengan i 1, 2, 3.
dengan i 1, 2, 3.
3. Ukuran Penyimpangan Data
Ukuran penyimpangan menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif. a. Jangkauan/rentang
Rentang = data terbesar – data terkecil Rentang Antar Kuartil = RAK = K 3 – K 1
16
Simpangan Kuartil = SK =
1 2
K 3 -
K 1
b. Rata-Rata Simpangan
Rata-rata simpangan adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap rataratanya. Besar perbedaaan antara data dan rata-ratanya adalah harga mutlaknya. n
x
i
x
i 1
Data tidak dikelompokkan RS =
n
n
f RS =
Data dikelompokkan
i 1
i
xi x
k
n
n
f i 1
i
c. Variasi dan Simpangan Baku
Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap rata-rata sampel dibagi dengan n – 1. Data tidak dikelompokkan
s 2
1
xi x 2
n 1 i 1
1
n
1
k
s x xi n 1 i 1 n i 1
n
2
atau
1 n
2 i
2
Data dikelompokkan
s 2
1
k
f x n 1 i
i
i 1
Simpangan baku: s =
x 2
atau s f i x f i xi n 1 i 1 n i 1 2
s2 .
17
2 i
1 k
2
Rangkuman
1. Statistik menyatakan kumpulan data yang dapat berupa angka yang dinamakan data kuantitatif maupun non angka yang dinamakan d ata kualitatif yang disusun dalam bentuk tabel dan atau diagram/grafik, yang menggambarkan dan mempermudah pemahaman akan angka dari masalah yang diamati. 2. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang metode atau prosedur yang berhubungan dengan pengumpulan data, organisasi data, pengujian data, pengolahan data atau penganalisaan dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data tersebut. 3. Populasi adalah himpunan keseluruhan obyek yang diselidiki. 4. Himpunan bagian dari populasi dinamakan sampel. 5. Karakteristik atau konstanta dari suatu populasi disebut parameter. 6. Harga yang dihitung dari suatu sampel dinamakan statistik. 7. Unit statistik adalah individu objek atau orang yang akan diteliti, disurvey atau didata. Pertama harus diidentifikasikan obyek atau orang yang dapat memberikan informasi lebih banyak terhadap permasalahan yang diteliti. 8. Variabel adalah suatu karakteristik dari suatu objek yang harganya untuk tiap objek bervariasi dapat diamati atau dibilang, atau diukur. 9. Terdapat beberapa jenis pembagian data. a. Menurut cara memperolehnya, data dibedakan atas data primer dan data sekunder. b. Menurut sumbernya, data dibedakan atas data internal dan data eksternal. c. Menurut sifatnya, data dibedakan atas data kualitatif yang dibagi menjadi data nominal dan ordinal, dan data kuantitatif yang dibagi menjadi data interval dan rasio. d. Menurut waktu pengumpulannya, data dibedakan atas data cross section dan data berkala (Time Series Data). 10. Syarat data yang baik adalah data harus obyektif\sesuai dengan keadaan sebenarnya; data harus mewakili (representatif); memiliki kesalahan baku 1
(standar error) kecil; data harus tepat waktu (up to dat e); dan data harus relevan dengan masalah yang akan dipecahkan. 11. Cara pengumpulan data yang sering digunakan adalah wawancara (interview), angket (kuesioner), dan pengamatan (observasi). 12. Tabel merupakan kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategorikategori sehingga memudahkan dalam pembuatan analisis data. 13. Penyajian data dengan tabel yang dikenal antara lain: a. daftar baris kolom b. daftar distribusi frekuensi 14. Grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan secara visual (dapat pula berupa simbol) data berupa angka yang biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang sudah dibuat. 15. Penyajian data dengan tabel dan diagram/grafik yang dikenal antara lain: a. diagram lambang atau diagram symbol ( pictogram) b. diagram garis (line chart) c. diagram batang/balok (bar chart/ histogram) d. diagram lingkaran atau diagram pastel (pie chart) e. diagram peta (cartogram) f.
diagram pencar atau titik ( scater plot )
16. Untuk mempermudah memahami dan menganalisis data, tampilan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat pula digambarkan dalam bentuk grafik yaitu histogram, poligon dan ogive. 17. Ukuran Pemusatan Data a. Rata-Rata dan Rata-Rata Terbobot
n xi i 1 Data tidak dikelompokkan (x1 + x2 + ... + x n)/n atau x n
2
k
f x i
Data dikelompokkan
x
k
f x
i
i 1
i
k
i
i 1
n
f
i
i 1
b. Modus Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering mu ncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data tersebut. Data tidak dikelompokkan, modus untuk data kuantitatif ditentukan dengan menentukan frekuensi terbanyak dari kumpulan data yang diamati.
b1 b b 1 2
Data dikelompokkan Mo b p c. Median
Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah disusun dan diurutkan nilainya. Data tidak dikelompokkan, jika jumlah data ganjil, maka median merupakan data paling tengah, data dengan jumlah genap, maka setelah data disusun menurut urutan nilainya, median adalah rata-rata hitung dua data tengah.
1 n F Data dikelompokkan Me b p 2 f 18. Ukuran Letak Data a. Kuartil Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data menjadi empat bagian secara sama setelah data tersebut diurutkan menurut urutan nilainya. Data tidak dikelompokkan Letak kuartil ke i : Letak K i data ke
i n 1 4
dengan i 1, 2, 3.
3
in F Data dikelompokkan K i b p 4 f
dengan i 1, 2, 3.
19. Ukuran Penyimpangan Data Ukuran penyimpangan menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif. a. Jangkauan/rentang Rentang = data terbesar – data terkecil Rentang Antar Kuartil = RAK = K 3 – K 1 Simpangan Kuartil = SK =
1 2
K 3 -
K 1
b. Rata-Rata Simpangan Rata-rata simpangan adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap rata-ratanya. Besar perbedaaan antara data dan rata-ratanya adalah harga mutlaknya. n
x Data tidak dikelompokkan RS =
i
x
i 1
n
n
f Data dikelompokkan RS =
i 1
i
xi x
k
n
n
f i 1
i
c. Variasi dan Simpangan Baku Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap ratarata sampel dibagi dengan n – 1. Data tidak dikelompokkan s 2
1
n
xi x 2
n 1 i 1
atau
1
s x xi n 1 i 1 n i 1 2
n
2 i
1 n
2
4
Data dikelompokkan
s 2
1
k
f x n 1 i
i
x 2
i 1
Simpangan baku: s =
1
atau s f i x f i xi n 1 i 1 n i 1 2
k
2 i
1 k
2
s2 .
5
Latihan 1. Soal 1.a. Uji Normalitas
Misalkan pengukuran tinggi mahasiswa tingkat pertama dilakukan dan diambil sebuah sampel acak berukuran 100, dan dicatat dalam daftar distribusi frekuensi berikut. Tinggi (cm) 140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 - 174 Jumlah
f 7 10 16 23 21 17 6 100
Ujilah apakah data dari populasi berdistribusi normal. Jawab
1) H0 : data berdistribusi normal 2)
H1 : data tidak berdistribusi normal
3)
α =0,05
4) Daerah kritis dengan α =0,05 dan dk=k-3 =7-3=4 didapat
2
χ (0,95) (4) =13,3
5) Perhitungan Telah dihitung
=157,8 dengan s=8,09.
Selanjutnya ditentukan batas-batas
kelas interval untuk menghitung luas
dibawah kurva normal. Kelas interval kesatu dibatasi oleh 139,5 dan 144,5 diubah dalan angka standart z yaitu -2,26 dan -1,64 (rumus z=
x i
− x
s
).
Luas dibawah kurva normal untuk interval kesatu= 0,4881 - 0,4495=0,0386, sehingga frekuensi teoritik interval kesatu = 100x0,0386=3,9. Kelas interval yang lain dihitung dengan jalan yang sama, dan didapat tabel berikut.
�
χ χ χ
Batas kelas (X)
Z unutk batas kelas
Luas tiap interval
Frekuensi diharapkan (Ei)
Frekuensi pengamatan(Oi)
139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5 169,5 174,5
-2,26 -1,64 -1,03 -0,41 +0,21 +0,83 +1,45 +2,06
0.,0386 0,1010 1,1894 0,2423 0,2135 0,1298 0,0538
3,9 10,1 18,9 24,2 21,4 13,0 5,4
7 10 16 23 21 17 6
(16 − 18,9) 2
( 23 − 24,2) 2
2
=
=
(7 − 3,9) 2 3,9
+
( 21 − 21,4) 21,4
(10 − 10,1) 2 10,1
2
+
+
(17 − 13,0)
18,9 2
+
13,0
(6 − 5,4) 5,4
+
24,2
2
= 4,27
6) Kesimpulan 2
2
χ hitung = 4,27 kurang dari χ tabel = 13,3 sehingga H0 diterima.
Jadi disimpulkan data berdistribusi normal.
�
Latihan 1.b. Homogenitas Varian
Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di bawah. No
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Nilai Kelas A 5 6 9 8 10 9 8 9 9 10 10 8 10 6 7 9 9 8 9 10 9 10 9 7 8 9 10 5 8 9 10 7 6
Kelas B 5 5 9 6 10 6 9 9 9 10 10 8 10 2 6 10 9 10 9 10 10 10 10 6 10 10 9 3 8 9 10 6 4
�
34 35
8 8
3 8
1) Hipotesis H ∶ � (homogen) H ∶ ≠ (tidak homogen) 2) Menentukan taraf nyata ( α) dan F F ditentukan dengan α = 5%, derajat bebas pembilang n − � � ��, dan derajat penyebut n − � � �� dengan rumus F � Fn
�n
�
F�� � ���� 3) Kriteria pengujian: Ho diterima jika F n < F
Ho
ditolak
jika
�n
F n ≤ F = Fn
�n
atau
Fn ≥ F = Fn
�n
4) Uji statistik F=
��������
��������
�
� ��������
5) Kesimpulan Karena Fhitung = �������� ≥ ���� � maka H0 ditolak. Jadi data tidak berasal dari populasi yang homogeny dalam taraf nyata 0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga kedua sampel tersebut tidak homogen.
�
Bab 3
Peluang Bersyarat dan Kejadian Bebas 3.1
Peluang Bersyarat
Misalkan ruang contoh berpeluang sama dari percobaan melempar sebuah dadu bersisi 6, maka S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dan terdapat dua kejadian, yaitu B adalah kejadian muncul sisi kurang dari 6, maka B = {1, 2, 3, 4, 5}; dan A adalah ke jadian munculnya sisi genap, maka A = {2, 4, 6}. Berdasarkan hal ini, maka P (B ) = 65 , dan p(A) = 63 = 21 . Jika dua kejadian A dan B dilakukan berurutan, yaitu B terjadi terlebih dahulu, kemudian menyusul A, maka A = {2, 4}. Peluang kejadian A setelah kejadian B (A given B ), atau dituliskan sebagai p(A | B ) = 52 .
Definisi 3.1 Kejadian A dan B dalam ruang contoh S dengan P (B )>0. Peluang terjadinya A bila kejadian B sudah diketahui terjadi adalah P (A | B ) =
P (A ∩ B ) P (B )
disebut peluang A dengan syarat B. Dari contoh sebelumnya, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6},
• A = { 1, 2, 3, 4, 5} ⇒ P (A) = 65 B = { 2, 4, 6} ⇒ P (B ) = 63 P (A∩B) 2/6 A ∩ B = { 2, 4} maka P (A | B ) = P (B) = 3/6 = 32 P (A | B ) < P (A), berarti kejadian B memperkecil A, atau B ↓ A • C = { 1, 2, 3, 4} ⇒ P (C ) = 64 = 32 C ∩ B = { 2, 4} maka P (C | B ) = P (C | B ) P (C ), berarti B A
P (B ∩C ) P (B)
=
2/6 3/6
=
2 3
Julio Adisantoso | ILKOM IPB
18
• D = { 2, 3, 4} ⇒ P (D) = 63 = 21 P ( P (B ∩D) 2/6 2 D ∩ B = { 2, 4} maka P (D | B ) = P ( = = P (B ) 3/6 3 P (D | B ) > P (D), berarti kejadian B memperbesar D, B ↑ D Contoh 3.1 Sebuah koin seimbang dilempar dua kali. Berapa peluang muncul dua sisi muka, dengan syarat sisi muka muncul yang pertama. Contoh 3.2 Suatu Suatu kotak kotak berisi b erisi 10 marmer putih, putih, 5 kuning, kuning, dan 10 hitam. hitam. Sebuah Sebuah marmer dipilih secara acak dari kotak dan dicatat, ternyata tidak diperoleh marmer hitam kemudian dikembalikan. Berapa peluang jika selanjutnya diulangi pengambilan satu marmer dan diperoleh marmer kuning. Contoh 3.3 Dalam permainan bridge , 52 kartu dibagi sama ke empat pemain, sebut saja Timur, Timur, Barat Barat,, Utara, Utara, dan dan Selata Selatan. n. Jika Jika Utara Utara dan Selata Selatan n memili memiliki ki total total 8 spades , berapa peluang Timur mendapatkan 3 dari 5 spades sisanya? Contoh 3.4 Kantor tempat bu Budi bekerja melaksanakan pesta makan malam bagi pegawai yang yang sedikitn sedikitnya ya memiliki memiliki satu anak laki-lak laki-laki. i. Jika Jika diketah diketahui ui bu Budi Budi memiliki memiliki dua anak, berapa peluang kedua anaknya adalah laki-laki, dan bu Budi termasuk pegawai yang diundang ke dalam acara makan malam tersebut? Contoh 3.5 Celine belum memutuskan apakah akan mengambil kuliah Bahasa Perancis atau Kimia. Kimia. Dia menduga menduga bahwa bahwa peluangn peluangnya ya mendapatk mendapatkan an nilai nilai A akan akan menjadi menjadi 21 untuk Bahasa Perancis, dan 32 untuk untuk Kimia. Jika Jika dalam memutusk memutuskan an hal ini Celine melempar koin seimbang, berapa peluang dia mengambil kuliah Kimia dan memperoleh nilai A? Contoh 3.6 Anggaplah dalam sebuah kotak terdapat 8 bola merah dan 4 bola putih, kemudian diambil 2 bola dari kotak tanpa pemulihan. Jika diasumsikan bahwa setiap bola memiliki kemungkinan yang sama untuk terpilih, berapa peluang bahwa kedua bola yang terpilih berwarna merah?
Julio Adisantoso | ILKOM IPB
3.2 3.2
19
Kaid Ka idah ah Ba Bay yes
Hukum Penggandaan P (A ∩ B ) ⇒ P (A ∩ B ) = P (B )P (A | B ) P (B ) P (B ∩ A) ⇒ P (B ∩ A) = P (A)P (B | A ) P (B | A ) = P (A) karena P (A ∩ B ) = P (B ∩ A), maka P (A | B ) =
P (A ∩ B ) = P (A)P (B | A ) = P (B )P (A | B )
Contoh 3.7 Anggap terdapat 5 harddisk baik dan 2 harddisk rusak pada satu kemasan. Untuk Untuk mendapa mendapatk tkan an harddisk harddisk yang yang rusak, rusak, dilakuk dilakukan an pengujian pengujian dengan dengan cara mengam mengambil bil dan dan mengu menguji ji satu satu per satu satu secara secara acak tanpa tanpa pemul pemuliha ihan. n. Berapa Berapa peluang diperoleh 2 harddisk rusak pada dua pengujian yang pertama? Jawab : Misal D1 dan D2 adalah kejadian diperoleh harddisk rusak pada pengujian pertama dan kedua. Maka dan P (D2 | D 1 ) = 61 sehingga P (D1 ∩ D2) = P (D1 )P (D2 | D 1) = 72 x 16 = P (D1 ) =
2 7
1 21
Hukum Total Peluang Dua kejadian E dan F dimana P (F ) > 0 dan P (F c) > 0, maka berlaku P (E ) = P (E | F )P (F ) + P (E | F c )P (F c )
Bukti: Ambil dua kejadian E dan F. Kita dapat menuliskan kejadian E sebagai E = (E ∩ ∩ F ) ∪ (E ∩ ∩ F c )
Karena (E ∩ ∩ F ) dan (E ∩ ∩ F c ) merupakan dua kejadian terpisah, maka P (E ) = P (E ∩ ∩ F ) + P (E ∩ ∩ F c)
= P (E | F )P (F ) + P (E | F c )P (F c)
Julio Adisantoso | ILKOM IPB
20
Persamaan ini menunjukkan bahwa peluang kejadian E adalah rata-rata terboboti dari peluang E dengan syarat F, dan peluang E dengan syarat bukan F. Berikut adalah beberapa ilustrasi:
Contoh 3.8 Suatu perusahaan asuransi percaya bahwa orang dapat dibagi ke dalam dua kelompo kelompok, k, yaitu yaitu rawa rawan n kecela kecelak kaan dan tidak. tidak. Statisti Statistik k menunju menunjukk kkan an bahwa bahwa orang yang rawan kecelakaan akan celaka dalam satu tahun ini dengan peluang 0.4, dan turun menjadi 0.2 untuk orang yang bukan rawan kecelakaan. Jika diasumsikan 30 persen populasi adalah rawan kecelakaan, berapa peluang bahwa seseorang polis asuransi akan mengalami kecelakaan dalam satu tahun tertentu? Contoh 3.9 Lanjutan dari Contoh 3.8, anggaplah seseorang polis asuransi mengalami kecelak celakaan pada tahun tahun terten tertentu. tu. Berapa Berapa peluang peluang bahwa bahwa dia adalah adalah orang orang yang yang masuk ke dalam kelompok rawan kecelakaan? Contoh 3.10 Terdapat tiga wadah I, II, dan III. Wadah I berisi 2 bola hitam dan 1 bola kuning, wadah II berisi 1 bola hitam dan 1 bola kuning, sedangkan wadah III berisi 1 bola hitam dan 3 bola kuning. Percobaan memilih secara acak satu wadah lalu mengambil secara acak satu bola dari wadah tersebut. Jika bola yang terambil adalah bola kuning, berapa peluang bahwa wadah yang terpilih adalah wadah I?
Kaidah Bayes Ambil F 1 , F 2, ..., F n adalah kejadian mutually exclusive dan n F i = S i=1
dan kejadian E dapat dapat dituliskan sebagai n E = (E ∩ ∩ F i ) = S i=1
maka
∩ F j ) P (E ∩ P (E ) P (E | F j j )P (F j ) = n i=1 P (E | F i )P (F i )
P (F j | E ) =
Julio Adisantoso | ILKOM IPB
21
Contoh 3.11 Test darah di laboratorium diketahui 95% efektif mendeteksi penyakit tertentu. Walaupun demikian, test juga menghasilkan 1% hasil penyakit padahal seseorang yang ditest adalah sehat (disebut positif salah). Jika 0.5% populasi memiliki penyakit, berapa peluang orang yang ditest memiliki penyakit jika diketahui bahwa hasil test darahnya positif? Contoh 3.12 Juri di pengadilan memiliki keyakinan 65% terdakwa melakukan kejahatan. Selama proses pengadilan, 85% terdakwa yang terbukti bersalah melakukan ke jahatan adalah bertangan kidal. Jika 23% populasi bertangan kidal, berapa peluang juri memutuskan terdakwa yang bertangan kidal adalah terdakwa. Contoh 3.13 Dari suatu pengamatan diketahui 60% terdakwa di pengadilan diputuskan bersalah. Telah diketahui bahwa pelaku kejahatan memiliki ciri-ciri fisik yang khusus. Jika 20% populasi penduduk memiliki ciri-ciri fisik yang khusus, berapa persen populasi demikian yang menjadi terdakwa diputuskan bersalah oleh pengadilan?
Definisi 3.2 (Rasio Odd ) Rasio Odd dari kejadian A didefinisikan sebagai P (A) P (A) P (H | E ) P (H ) P (E | H ) = juga = P (Ac ) 1 − P (A) P (H c | E ) P (H c ) P (E | H c )
Contoh 3.14 Ketika koin A dilempar, peluang sisi muka yang muncul adalah 41 . Sedangkan ketika koin B dilempar, peluang muncul sisi muka adalah 43 . Satu dari kedua koin tersebut diambil dan dilempar dua kali. Jika diperoleh dua sisi muka, berapa peluang bahwa koin yang dilempar adalah B? Dan berapa rasio odd dari kejadian tersebut? Contoh 3.15 Misalkan ada 3 wadah, A berisi 2 bola putih dan 4 bola merah, B berisi 8 bola putih dan 4 bola merah, C berisi 1 bola putih dan 3 bola merah. Jika 1 bola dipilih dari setiap wadah, berapa peluang bola yang terambil dari wadah A adalah bola putih dengan syarat 2 bola lainnya yang terambil adalah bola putih.
Julio Adisantoso | ILKOM IPB
22
Contoh 3.16 Sebuah pesawat hilang, dan diperkirakan jatuh di tiga daerah dengan kemungkinnan yang sama. Misalkan 1 − β i melambangkan peluang bahwa pesawat akan ditemukan setelah pencarian di daerah ke- i, untuk i=1,2,3. Berapa peluang pesawat ditemukan di daerah ke- i setelah pencarian di daerah ke-1 mengalami kegagalan, untuk i=1,2,3. Contoh 3.17 Sebuah keluarga yang baru pindah ke suatu kota diketahui mempunyai dua orang anak. Pada suatu saat sang ibu terlihat berjalan dengan salah satu dari anaknya. Jika anak tersebut adalah perempuan, berapa peluang bahwa kedua anak keluarga tersebut adalah perempuan? 3.3
Kejadian Bebas
Definisi 3.3 Dua kejadian E dan F disebut saling bebas jika P (E ∩ F ) = P (E )P (F )
Contoh 3.18 Sebuah kartu dipilih secara acak dari 52 tumpukan kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu ace , dan F adalah kejadian terpilih kartu spade , tunjukkan bahwa E dan F adalah kejadian saling bebas. Contoh 3.19 Dua koin dilempar dan semua kemunculannya memiliki peluang yang sama. Jika E adalah kejadian muncul sisi muka pada koin pertama, dan F adalah kejadian muncul sisi belakang pada koin kedua, tunjukkan bahwa E dan F adalah kejadian yang saling bebas. Contoh 3.20 Dua dadu seimbang dilempar. Jika E 1 adalah kejadian munculnya jumlah sisi kedua dadu bernilai 6, dan F adalah kejadian munculnya sisi 4 pada dadu pertama, tunjukkan bahwa E 1 dan F adalah kejadian yang tidak bebas. Jika E 2 adalah kejadian muncul jumlah sisi kedua dadu bernilai 7, apakah E 2 dan F saling bebas?
Julio Adisantoso | ILKOM IPB
23
Proposisi Jika E dan F adalah dua kejadian saling bebas, maka E dan F c juga saling bebas
Contoh 3.21 Dua dadu seimbang dilempar. Jika E adalah kejadian muncul jumlah sisi kedua dadi bernilai 7, F adalah kejadian muncul sisi 4 pada dadu pertama, dan G adalah kejadian muncul sisi 3 pada dadu kedua, berapa P (E | F G)? Apakah E dan F G saling bebas?
Definisi 3.4 Tiga kejadian E , F , dan G saling bebas jika P (EF G) = P (E )P (F )P (G) P (EF ) = P (E )P (F ) P (EG) = P (E )P (G) P (F G) = P (F )P (G)
Contoh 3.22 Suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan saling bebas. Setiap percobaan memiliki peluang kejadian sukses sebesar p, dan peluang kejadian gagal sebesar 1 − p. Berapa peluang a) sedikitnya muncul satu kejadian sukses b) muncul tepat k kejadian sukses
Contoh 3.23 Suatu sistem terdiri atas n komponen yang disusun secara paralel, artinya sistem akan berfungsi jika sedikitnya ada satu komponen yang berfungsi. Setiap komponen saling bebas dan dapat berfungsi dengan peluang pi, untuk i=1,2,...,n. Berapa peluang bahwa sistem tersebut berfungsi?
Tugas
1. Telah dilakukan penelitian dengan instrumen tes dan angket untuk mengetahui hubungan antara pengetahuan manajemen dengan kualitas pengambilan keputusan seorang direktur, Instrumen diberikan kepada 30 responden dengan hasil disajikan dalam tabel berikut : a. Ujilah apakah Data Skor Pengetahuan Manajemen berasal dari Pupulasi yang berdistribusi Normal? b. Lakukan juga untuk Data Kualitas Pengambilan Keputusan. c. Apakah kedua Sampel berasal dari populasi yang meniliki varian sama / homogen? Ujilah.
No.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Total Skor Pengetahuan Manajemen (X) 9 10 9 8 10 8 8 6 11 11 3 10 7 9 10 11 8 10 10 11 10 12 7 6 5 7 8 7
Total skor kualitas Pengambilan Keputusan (Y) 63 113 68 86 78 64 94 72 101 105 82 129 119 94 128 110 87 93 71 68 116 107 85 49 114 141 87 124
