UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ciencias Escuela Profesional de Física
Tópicos de Investigación I.
Modos de propagación en una fbra ópica de perf! esca!onado" Aguirre Contreras Eder H. 20080!!" ASESORA# #ra. Car$en %. E&'aguirre ".
$%&&'II P(gina ) !
RESUMEN#
En el presente tra*a+o se ,ace un estudio de las -*ras ópticas ,aciendo pri$ero una revisión $ate$(tica de los diferentes $odos /ue se pueden propagar en sta. 1a teoría predice diferentes tipos de $odos los $odos 1P son deno$inados $odos 1ineal$ente Polari'ados & son un caso particular de stos. 1a parte e3peri$ental de ste tra*a+o $uestra una corro*oración de dic,os $odos 1P para una -*ra convencional de índice de per-l escalonado con un l(ser ro+opara de He4 5e dic,a dise6ada para co$portarse co$o -*ra $ono$odo longitudes de-*ra ondaest( de !700 a !0 n$.
P(gina ) 2
ÍNDICE# I. Introducción... 9999999999999999999999999999999999999999 9999999 !. 1as co$unicaciones ópticas. 9999999999999999999999999999999999 !.! Antecedentes. 999999999999999999999999999999999999. !.2 :usti-cación de las 9999999999999999999.. ; !.2.! 1a lu' co$o 999999999999999999 ;
co$unicaciones soporte
!.2.2 E1 $edio 999999999999999999999999. <
de
de
ópticas.
infor$ación. propagación.
II. Funda$ento teórico. 9999999999999999999999999999999999999999 99... = 2.! #e-nición de -*ra óptica 99999999999999999999999999999999999 = 2.2 >enta+as de la tecnología de 99999999999999999999999 = 2.7 Clasi-cación de las -*ras 99999999999999999999999 !0
la
-*ra
óptica99.
ópticas9999999.
2. Per-l de índice de refracción99999999999999999999999999999999.. !! 2. Teoría de propagación. 999999999999999999999999999999999999 !2 2..! Introducción. 99999999999999999999999999999999999.. !2 2..2
?ngulo
crítico.
99999999999999999999999999999999999 ! 2..7 Apertura 5u$rica @5A99999. 99999999999999999999999.. ! P(gina ) 7
2.. Bodos guiados en 999999999999.99999.. !;
una
guía
de
onda
@-*ra
2.; Bodos de propagación en una -*ra óptica de índice de per-l escalonado99999.. !< 2.;.! Ecuaciones de Ba3ell9999999999999999999999999999999999. != 2.;.2 Ecuaciones de Ba3ell para óptica999999999999999999999.. 20
una
-*ra
2.;.7 %esolución de la ecuación característica999999999999999999999999.. 27 2.;. Bodos 1ineal$ente Polari'ados9999999999999999999999999999.. 2 III. Parte E3peri$ental999999999999999999999999999999999 999999999. 2< 7.! E/uipo e3peri$ental999999999999999999999999999999999 999. 2< 7.2 Parte e3peri$ental999999999999999999999999999999999 9999. 2< 7.7 %esultados9999999999999999999999999999999999 999999999 70 I>. D*servaciones & #iscusiones9999999999999999999999999999999999 999. 72 >. Conclusiones999999999999999999999999999999999 99999999999999 72 >I. Apndice99999999999999999999999999999999999 9999999999999.. 77 A. Propagación en $edio dielctricos 999999999.999999 77
reales
@ondas
planas P(gina )
. Ecuaciones de Ba3ell en una -*ra óptica convencional999999999999999. 7 C. %esolución de las ecuaciones diferenciales de las co$ponentes longitudinales de los ca$pos9999999999999999999999999999999 99999999999.99. 7< #. Hallando las co$ponentes transversales de los ca$pos9999999999999.99... 0 E. Condiciones de contorno999999999999999999999999999999 9999. ! de la ecuación característica F. %esolución Bodos99999999.999. 7
designación
de
>II. i*liografía9999999999999999999999999999999999 9999999999999. ;
P(gina )
I"' IN(RODUCCI)N
&" LAS COMUNICACIONES )*(ICAS &"& AN(ECEDEN(ES
1a idea de trans$itir infor$ación por $edio de la lu' tiene siglos de antigedad. Hacia !88= ell constru&ó4 el fotófono4 ste envia*a se6ales a corta distancia usando co$o $edio de conducción la lu'. El e/uipo disponía de un siste$a de lentes /ue enfoca*an un ra&o de lu' solar $odul(ndolo & $and(ndolo despus al espacio ,acia un receptor. Conceptual$ente era correcto pero pr(ctica$ente no fue posi*le tanto por la falta de fuentes de lu' adecuadas co$o de un $edio de propagación de *a+as prdidas. En !=8 apareció un $todo para la producción de radiaciones electro$agnticas en las longitudes de onda del espectro visi*le utili'ando los estados energticos de los (to$os para así producir $ediante ca$*ios si$ult(neos de sus niveles radiaciones electro$agnticas controladas. El aparato utili'ado se lla$a 1?GE% @lig,t A$pli-cation *& Gti$ulated E$ission of %adiation las fuentes lu$inosas constantes @tungsteno l($paras uorescentes etc. producen un espectro co$puesto por una *anda anc,a de se6ales con distintas frecuencias & fases así co$o diferentes a$plitudes & polari'aciones. El l(ser se caracteri'a por ser un generador de lu' $onocro$(tico constitu&endo su salida un ,a' de lu' co,erente otra característica l(ser en /ueconcentrar las tra&ectorias ra&os e$ergentes paralelas estodelnos per$ite una de altaloscantidad de energíason en super-cies reducidas co$o es el caso de las -*ras de vidrio. Con la invención del l(ser co$o fuente de lu' co,erente se reconsideró la idea de utili'arla co$o soporte de co$unicaciones for$ulando al $is$o tie$po a/uellos conceptos so*re trans$isión por guía ondas de vidrios. 1uego en !=< surgían los pri$eros pro&ectos e3peri$entales. En este $o$ento constitu&e el $edio terrestre de co$unicación de $a&ores prestaciones & $(s alta potencialidad.
&"$ +US(I,ICACI)N DE LAS COMUNICACIONES )*(ICAS
1a necesidad de nuevos lan'a$ientos en co$unicaciones surgió en países telefónica$ente avan'ados stos tenían un gran pro*le$a & era la saturación de las redes & la nica solución era utili'ar $edios de trans$isión de $a&or capacidad de los &a e3istentes. 1as investigaciones reali'adas en la dcada de los a6os sesenta en torno a la -*ra óptica & sus posi*les aplicaciones co$o P(gina ) ;
guía de ondas sirvieron de *ase para el nuevo ca$ino /ue se pretendía e$prender.
&"$"& LA LU- COMO SO*OR(E DE IN,ORMACI)N
Ge puede ad$itir /ue una co$unicación i$plica un interca$*io de energía esta energía se puede clasi-car de $uc,os $odos uno de ellos es el espectral en el /ue dos par($etros relacionados entre sí espacial & te$poral$ente dic,a energía. El par($etro espacial4 longitud de onda4 indica /ue la propagación es espacial$ente periódica el par($etro te$poral se le deno$ina Jfrecuencia4 una representación del espectro de frecuencias la tene$os en la -gura !.!.
Fig. ! Espectro de frecuencias & longitudes de onda
Conceptual$ente un siste$a de trans$isión por -*ra óptica es si$ilar a un siste$a de $icroondas la diferencia es en un caso el $edio de trans$isión en el espacio li*re u otro una guía de onda de vidrio & en /ue la trans$isión tiene P(gina ) <
lugar a frecuencias ópticas en la tecnología de la -*ra óptica se ,a*la en tr$inos de longitud de onda en lugar de ,acerlo en frecuencias encontr(ndose a$*as $agnitudes ligadas por la relaciónK λ=
c f
#onde L es la longitud de onda del ,a' de lu' en el $edio considerado c es la velocidad de la lu' en el $is$o $edio & f es la frecuencia de la onda lu$inosa. 1a utili'ación de la lu' co$o portadora de infor$ación e3ige disponer de una fuente de características & de ,ec,o fue la disponi*ilidad del l(ser co$o fuente de lu' co,erente & $onocro$(tica lo /ue esti$uló la investigación de co$unicaciones ópticas co$o soporte de altos u+os de infor$ación de*ido a la alta frecuencia /ue posee la portadora.
&"$"$ EL MEDIO DE *RO*AGACI)N
Mna ve' vista la posi*ilidad de estos generadores & detectores para la trans$isión de un ,a' de lu' /ueda*a por resolver el pro*le$a del $edio de trans$isión a e$plear. 1os pri$eros e3peri$entos so*re la trans$isión por la at$ósfera a esta frecuencias pusieron de $ani-estos diferentes o*st(culosK escasa -a*ilidad del $ensa+e de*ido a las precipitaciones at$osfricas conta$inación etc. teniendo los valores de atenuación en las se6ales en la at$ósfera ,$eda entre ! & !00 dNO$ dependiendo de la frecuencia de las se6ales & de la intensidad de la precipitación. 1as e3periencias de a6os anteriores so*re trans$isión a grandes distancias $ediantes guías de onda no prosperaron de*ido a la gran distorsión de fase /ue producían & /ue o*liga*a a la inserción periódica de igualadores del tie$po de propagación de grupo. 1a atenuación se $antenía sin e$*argo en lí$ites ra'ona*les al $enos para frecuencias de unos pocos "H' au$entado luego de $odo e3ponencial. 1a aplicación de estas guías de onda /ueda reducida a uniones rígidas entre los e/uipos trans$isores o receptores & las antenas de radio enlaces con longitudes de algunas decenas de $etros. 1as di-cultades /ue presenta*an en trans$itir infor$ación en altas cantidades llevaron a los cientí-cos a pensar nueva$ente en la lu' co$o el portador de infor$ación de $(s alta capacidad del universo. Pero esto los llevaría a unos pro*le$as en la $ateriali'ación o reali'ación de la idea. 1os pro*le$as eran los siguientesK !. Tendrían /ue desarrollar dispositivos /ue transportaran la infor$ación so*re la lu' co$o soporte. P(gina ) 8
2. Tendrían /ue crear dispositivos /ue pudiesen in&ectar lu' en las guías de onda & por otro lado fuesen capaces de ,acer en el e3tre$o opuesto el efecto contrario e3tra&endo de la lu' la infor$ación srcinal. 7. Ge tendrían /ue perfeccionar las guías de onda /ue por entonces presenta*an una atenuación increí*le$ente grande @!000 dNO$ En !=;; se presentó un artículo en el /ue se propuso utili'ar la lu' para trans$itir infor$ación a travs de -*ra de sílice. Poco a poco se redu+o la atenuación de las -*ras de vidrio llegando la Corning "lass a o*tener -*ras con valores de atenuación del orden de los 20 dN$ & en !=80 se ,a*ía alcan'ado se el lí$ite teórico inferior-*ras de atenuación. A partir $o$ento el desarrollo aceleró o*teniendo con aceleración de de 27 este dN$. Ta$*in se ,an ensa&ado con 3ito -*ras dopadas con Er*io /ue atacadas por longitudes de onda de !80 nanó$etros actan co$o a$pli-cadores ópticos. El diodo 1E# @diodo electrolu$iniscente es capa' de generar pulsos lu$inosos /ue podrían servir de onda portadora de una infor$ación elctrica analógica o digital. 1os l(seres de se$iconductores presenta*an pro*le$as de funciona$iento por el calor generado a causa de alta densidad de corriente /ue soporta*an su vida inicial era corta $ientras /ue actual$ente se ,an logrado descensos i$presionantes en los segundos & la vida $edia ,a ascendido a !08 ,oras. Paralela$ente a estos dispositivos e$isores de lu' se desarrolló un dispositivo receptor capa' de reali'ar la operación inversaK convertir la energía lu$inosa en se6ales elctricas aptas para ser procesadas. Tal dispositivo era un fotodiodo. A partir de !=< la tecnología de las -*ras ópticas ,a avan'ado desde todos los puntos de vista. Giendo stas capaces de trans$itir $(s cantidad de infor$ación a velocidades $(s elevadas ,asta $a&ores distancias & reduciendo costos. 1a -*ra óptica se e$pe'ó a utili'ar en los enlaces telefónicos de co$unicaciones donde se espera /ue su futuro sea $(s pro$etedor.
P(gina ) =
II"' ,UNDAMEN(O (E)RICO $"& DE,INICI)N DE ,I.RA )*(ICA
1a Fi*ra óptica es una varilla delgada & e3i*le de vidrio u otro $aterial transparente con un índice de refracción alto constituida de $aterial dielctrico @$aterial /ue no tiene conductividad co$o vidrio o pl(stico es capa' de concentrar guiar & trans$itir la lu' con $u& pocas prdidas incluso cuando est curvada. Est( for$ada por dos cilindros concntricos el interior lla$ado ncleo @se constru&e de elevadísi$a pure'a con el propósito de o*tener una $íni$a atenuación & el e3terior lla$ado revesti$iento /ue cu*re el contorno @se constru&e con re/uisitos $enos rigurosos a$*os tienen diferente índice de refracción. El di($etro e3terior del revesti$iento es de 0.! $$ apro3i$ada$ente & el di($etro del ncleo /ue trans$ite la lu' es pró3i$o a !0 ó 0 $icró$etros. Adicional$ente inclu&e una cu*ierta e3terna adecuada para cada uso lla$ado recu*ri$iento. $"$ VEN(A+AS DE LA (ECNOLOGIA DE LA ,I.RA )*(ICA Baja Atenuación. 1as -*ras ópticas son el $edio físico con $enor atenuación.
Por lo tanto se pueden esta*lecer enlaces directos sin repetidores de !00 a 200 O$. con el consiguiente au$ento de la -a*ilidad & econo$ía en los e/uipa$ientos. Gran ancho de banda. 1a capacidad de trans$isión es $u& elevada ade$(s
pueden propagarse si$ult(nea$ente ondas ópticas de varias longitudes de onda se traduce un $a&orderendi$iento de todas los siste$as. #e ,ec,o 2 -*ras /ue ópticas seríanencapaces transportar las conversaciones telefónicas de un país con e/uipos de trans$isión capaces de $ane+ar tal cantidad de infor$ación @entre !00 BH'NO$ a !0 "H'NO$. P(gina ) !0
Peso y tamaño reducidos . El di($etro de una -*ra óptica es si$ilar al de un
ca*ello ,u$ano. Mn ca*le de ; -*ras ópticas tiene un di($etro total de ! a 20 $$. & un peso $edio de 20 OgN$. Gi co$para$os estos valores con los de un ca*le de =00 pares cali*re 0. @peso 000 OgNO$ & di($etro 0 a 0 $$ se o*servan venta+as de facilidad & costo de instalación siendo venta+oso su uso en siste$as de ductos congestionados cuartos de co$putadoras o el interior de aviones. Gran fexibilidad y recursos disponibles . 1os ca*les de -*ra óptica se
pueden construir total$ente con $ateriales dielctricos la $ateria pri$a utili'ada en laa*undantes fa*ricaciónen eslaelsuper-cie dió3ido de silicio @Gi0 recursos $(s terrestre.
2
/ue es uno de los
terminales. Al no e3istir co$ponentes $et(licos @conductores de electricidad no se producen inducciones de corriente en el ca*le por tanto pueden ser instalados en lugares donde e3isten peligros de cortes elctricos. Aislamiento eléctrico entre
Ausencia de radiación emitida. 1as -*ras ópticas trans$iten lu' & no
e$iten radiaciones electro$agnticas /ue puedan interferir con e/uipos electrónicos ta$poco se ve afectada por radiaciones e$itidas por otros $edios por lo tanto constitu&en el $edio $(s seguro para trans$itir infor$ación de $u& alta calidad sin degradación. Costo y mantenimiento. El costo de los ca*les de -*ra óptica & la tecnología
asociada con su instalación ,a caído dr(stica$ente en los lti$os a6os. Ho& en día el costodedeco*re. construcción planta de -*ra óptica es con una planta Ade$(sde losuna costos de $anteni$iento de co$para*le una planta de -*ra óptica son $u& inferiores a los de una planta de co*re. Gin e$*argo si el re/ueri$iento de capacidad de infor$ación es *a+o la -*ra óptica puede ser de $a&or costo. 1as se6ales se pueden trans$itir a travs de 'onas elctrica$ente ruidosas con $u& *a+o índice de error & sin interferencias elctricas. 1as características de trans$isión son pr(ctica$ente inaltera*les de*ido a los ca$*ios de te$peratura siendo innecesarios &No si$pli-cadas la ecuali'ación & co$pensación de las variaciones en tales propiedades. Ge $antiene esta*le entre 40 & 200 QC. Por tanto dependiendo de los re/ueri$ientos de co$unicación la -*ra óptica puede constituir el $e+or siste$a. $"/ CLASI,ICACI)N DE LAS ,I.RAS )*(ICAS
P(gina ) !!
1as -*ras ópticas utili'adas actual$ente en el (rea de las teleco$unicaciones se clasi-can funda$ental$ente en dos grupos segn el $odo de propagaciónK Fi*ras Bulti$odo & Fi*ras Bono$odo. Fi*ras ópticas Bulti$odo. Gon a/uellas /ue pueden guiar & trans$itir varios ra&os de lu' por sucesivas ree3iones @$odos de propagación. 1os $odos son for$as de ondas ad$isi*les la pala*ra $odo signi-ca tra&ectoria Fi*ras ópticas Bono$odo. Gon a/uellas /ue por su especial dise6o pueden guiar & trans$itir un solo ra&o de lu' @un $odo de propagación & tiene la particularidad de poseer un anc,o de *anda elevadísi$o. En estas -*ras $ono$odo cuando se aplica el e$isor de lu' el aprovec,a$iento es $íni$o ta$*in el costo es $(s elevado la fa*ricación difícil & los acoples de*en ser perfectos.
Figura 2 Fi*ra $ulti$odo $ono$odo
Figura 7 Fi*ra
$"0 *ER,IL DE ÍNDICE DE RE,RACCI)N
Es la variación del índice confor$e nos $ove$os en la sección transversal de la -*ra óptica es decir a lo largo del di($etro Ge tiene el índice escalón & el índice gradual. Fibras de índice escalón o ta$*in lla$adas salto de índice son a/uellas /ue
al $overnos so*re el di($etro A el índice de refracción to$a un valor constante n2 desde el punto A ,asta el punto donde ter$ina el revesti$iento & e$pie'a el ncleo. En ese punto se produce un salto con un valor n ! $a&or /ue n2 donde ta$*in es constante a lo largo de todo el ncleo. Este tipo de per-l es utili'ado en las -*ras $ono$odo. En las -*ras de índice escalón $ulti$odo la dispersión del ,a' de lu' ocasionado por retardo de los distintos ca$inos de los $odos de propagación li$ita en anc,o de *anda Fibras de índice gradual a/uí el índice n
2 es constante en el revesti$iento pero en el ncleo varía gradual$ente @en for$a para*ólica & se tiene un $(3i$o en el centro del ncleo. Este tipo de per-l es utili'ado en las -*ras
P(gina ) !2
$ono$odo pues dis$inu&e la dispersión de las se6ales al variar la velocidad para las distintas longitudes de los ca$inos en el centro & pró3i$os a la frontera.
Fig. Estructura de varios tipos de guías de onda. #ependiendo del ta$a6o del ncleo podr(n propagarse uno o $(s $odos. 1as guías $ono$odo se utili'ar(n para guía de largo alcance $ientras /ue las $ulti$odo @$(s *aratas son $(s utili'adas en redes locales @1A5s. $"1 (EORIA DE *RO*AGACI)N $"1"& IN(RODUCCI)N
1a propagación se reali'a cuando un ra&o de lu' ingresa al ncleo de la -*ra óptica & dentro de l se producen sucesivas ree3iones en la super-cie de separación ncleo revesti$iento.
P(gina ) !7
Figura Gección transversal de una -*ra óptica 1a condición $(s i$portante para /ue la -*ra óptica pueda con-nar la lu' en el ncleo & guiarla esK n1 > n2 ( 2.1 )
Para descri*ir los $ecanis$os de propagación se usar( la óptica geo$trica. Ge *asa en /ue la lu' se considera co$o ra&os angostos donde la ree3ión ocurre en la frontera de dos $ateriales de índices de refracción diferentes. En el vacío las ondas electro$agnticas se propagan con la velocidad de la lu' 2==.<=2.; $Nseg. En el aire se puede apro3i$ar aK c R 700 000$Nseg. Gi se tiene un $aterial con distinto índice de refracción al del aire su velocidad ser( ligera$ente distinta a la de la lu' dependiente de n c v = ( 2.2 ) n
%elación /ue puede escri*irse c n = ( 2.3 ) v
#ondeK c es la velocidad de la lu' @7.000.000.000 $Ns en el aire v es la velocidad de la lu' en un $aterial especí-co n es el índice de refracción. Cuando un ra&o incide en la frontera entre dos $edios con diferentes índices de refracción el ra&o incidente ser( refractado con distinto (ngulo segn la le& de refracción de GnellK senθ1 n = v 1 / v 2= 2 ( 2.4 ) senθ2 n1
#onde n ! índice de refracción del $aterial ! @adi$ensional n 2 índice de refracción del $aterial 2 @adi$ensional S ! es el (ngulo de incidencia @grados S2 es el (ngulo de refracción @grados v ! es la velocidad en el $aterial ! & v 2 es la velocidad en el $aterial 2. 1a representación de la 1e& de Gnell se $uestra en la -gura /ue se encuentra a continuación. P(gina ) !
Figura ; 1e& de Gnell En la frontera el ,a' incidente se refracta ,acia la nor$al o le+os de ella dependiendo si n! es $enor o $a&or /ue n 2. Esto i$plica /ue si un ra&o ingresa de un $edio $enos denso @índice refractivo $(s *a+o a otro $(s denso @índice refractivo $(s alto @n ! n2 el ra&o se refracta con un (ngulo $enor con respecto a la perpendicular de la frontera. En el caso contrario cuando un ra&o incide de un $edio $(s denso ,acia otro $enos denso el ra&o se refracta con un (ngulo $a&or con respecto a la perpendicular de la frontera.
$"1"$ 2NGULO CRÍ(ICO Puesto /ue los ra&os se ale+an de la nor$al cuando entran en un $edio $enos denso el (ngulo de incidencia deno$inado (ngulo crítico resulta cuando el ra&o refractado for$a un (ngulo de =0 con la nor$al @super-cie de separación
P(gina ) !
entre a$*os $edios. Gi el (ngulo de incidencia se ,ace $a&or /ue el (ngulo crítico los ra&os de lu' ser(n total$ente ree+ados.
Figura < ?ngulo crítico Por GnellK n2 senθ2=n1 senθ1 ( 2.5 )
Gi S2 R =0Q S ! R Sc ScR (ngulo crítico. Entonces para S ree3ión total. Vste (ngulo crítico es entoncesK θc = arcsen
!
U Sc se o*tiene la
()
n2 (2.6 ) n1
$"1"/" A*ER(UR NUM3RICA 4NA5
P(gina ) !;
Es un par($etro /ue da la idea de la cantidad de lu' /ue puede ser guiada por una -*ra óptica. Por lo tanto cuanto $a&or es la $agnitud de la apertura nu$rica de una -*ra $a&or es la cantidad de lu' /ue puede guiar o lo /ue es lo $is$o $(s cantidad de lu' es capa' de aceptar en su ncleo.
Fig. 8 Apertura 5u$rica Por Gnell para (ngulo crítico −1
θ1 ≡ θ1 min=sen
θ3
()
n2 ( 2.7 ) n1
co$ple$entario de θ1 es decirK 2
2
sen θ 3+ sen θ1=1 ( 2.8 )
Por consiguienteK senθ 3=
√
2
n 1 −n 2 n1
2
2
( 2.9)
Aplicando Gnell a la entrada
n0 = 1
θemax
(ngulo de aceptación o de
entrada @aceptancia la apertura nu$rica ser( senθ emax=√ n1 − n2 = NA ( 2.10 ) 2
2
Apertura nu$rica se de-ne co$o el $(3i$o seno θe se o*tiene co$oK NA = senθ1= n1 senθ3 ( 2.11)
P(gina ) !<
[ ( )]
NA = n1 1 −
n2 n1
2
1 2
( 2.12 )
#e-niendo a n co$o índice refractivo $edio entre el cora'ón & el *linda+e de ∆n
la -*ra & a
co$o la diferencia de índice refractivo entre ellos se puede
escri*ir /ueK 1
NA = [ 2 n ∆ n ] 2 (2.13 )
$"1"0 MODOS GUIADOS EN UNA GUÍA DE ONDA 4,I.RA5
En esta parte tratar de de$ostrar la condición de $odos guiados /ue de*e cu$plir la constante de propagación W @ver gr(fico en la fi*ra óptica para /ue las ondas planas fuesen guiadas en sta. Ade$(s vo& a ,acer un an(lisis de ra&os donde supondre$os /ue el ra&o se ree+a en la super-cie ncleo revesti$iento a lo largo de la guía varias veces siendo estas ree3iones totales @o sea sin ra&o trans$itido al revesti$iento.
Fig. =K 1a lu' /ue recorre la guía de*e interferir constructiva$ente para propagarse con 3ito. Gi no la interferencia destructiva destruiría la onda.
%ecordando la de-nición de vector de ondaK
P(gina ) !8
k=
2π
λ
ω c
= n r 1 ( 2.14 ) kn
En nuestro caso la lu' se propagar( con un vector de onda nr 1
onda en
r1
@vector de
siendo la dependencia espacial de los ca$pos para $odos
guiados. Ade$(s el ca$po Elctrico segn la -gura = es proporcional aK E ∝e
[− j k
n r1
( ± xcos θ+ zsenθ) ]
( 2.15)
Podre$os definir una constante de propagación efectiva W a lo largo del e+e de v p,β
propagación e+e ' & una velocidad de fase relacionada con ella
dada
por β =k n senθ = r1
ω ( 2.16 ) v p,β
Esto ser( si$ple$ente la co$ponente ' del vector de onda onda en
nr 1
kn
r1
@vector de
& representa la propagación a lo largo del e+e de la guía. Mn
o*servador /ue avance por el e+e ' a la velocidad
v p,β
a la /ue se $ueve el
frente de onda no ver( $(s /ue una onda plana /ue va de arri*a ,acia a*a+o & de a*a+o ,acia arri*a. E3a$ine$os a,ora si ra&os con cual/uier (ngulo S & cual/uier longitud de onda se pueden propagar por la guía o si e3iste algn tipo de restricción en los $odos guiados. Gupondre$os /ue el ca$po elctrico est( a lo largo del e+e & paralelo a la interface & perpendicular a '. El ra&o es guiado en 'ig4'ag a lo largo del e+e ' de la guía. El resultado es una propagación efectiva del ca$po elctrico E a lo largo del e+e '. En la -gura ta$*in se $uestran los frentes de onda de fase constante perpendiculares a la dirección de propagación del ,a'. Este ,a' es ree+ado en & posterior$ente en C. :usto despus de su ree3ión en C el frente de onda en C se solapa al frente de onda en A del ,a' srcinal. A $enos /ue los frentes de onda en A & en C estn en fase los dos interferir(n destructiva$ente destru&ndose el uno al otro. Xnica$ente deter$inados (ngulos S dar(n lugar a una interferencia constructiva & en consecuencia nica$ente deter$inadas ondas podr(n e3istir en la guía. 1a diferencia de fase entre los puntos A & C corresponde a la longitud del ca$ino óptico A Y C. Ade$(s ,a& /ue tener en cuenta /ue las dos P(gina ) !=
ree3iones totales en & C introducen unos ca$*ios de fase adicionales iguales a 2 s dados por la interfase entre el ncleo & el revesti$iento. Para tener una interferencia constructiva co$o es conocido la diferencia de fase entre A & C de*e ser $ltiplo de 2ZK
=0,1,2, ! ( 2.17 ) ∆ ϕ ( AC )= k n ( AB + BC )+ 2 ϕ s=2 νπ ,o ne ν r1
#e la -gura = es f(cil ver la siguiente relaciónK " BC = cosθ # AB = BCcos ( 2 θ ) ( 2.18 )
[
]
AB + BC = BCcos ( 2 θ ) + BC = BC ( 2cos θ−1 ) + 1 =2 "cosθ ( 2.19) 2
Por tanto la propagación de la onda a lo largo de la guía de*er( cu$plir /ueK k n 2 "cosθ + 2 ϕ s =2 νπ , one ν =0,1,2, ! ( 2.20 ) r1
D seaK k n "cosθ + ϕ s = νπ , oneν= 0,1,2, ! ( 2.21 ) r1
kn
(
r1
representa el vector de onda en nr 1 & por tantoK k n =2 π nr 1 / λ . r1
2 π "nr 1
λ
El índice
)
cosθ + ϕ s= νπ, one ν =0,1,2, ! ( 2.22 )
de-ne el n$ero de $odos. Tngase en cuenta /ue
ϕs
dependen
de S por lo /ue ,a*r( /ue resolver la e3presión para cada S de for$a iterativa o gr(fica$ente. 1a e3presión nos da los valores de S per$itidos & por tanto la constante de propagación W co$o función de
ω . Esta es la relación de
dispersión para la guía. Para los $odos guiados dado /ue
θ
es $a&or /ue el
(ngulo crítico se cu$ple /ueK nr 1 senθ> nr 2 ( 2.23)
P(gina ) 20
Ade$(sK nr 1 senθ< nr 1 ( 2.24 )
#e esto se conclu&e /ueK k n $ β$ kn ( 2.25 ) r2
r1
$"6 MODOS DE *RO*AGACI)N EN UNA ,I.RA )*(IC A DE ÍNDICE DE *ER,IL ESCALONADO
A continuación se reali'a un estudio so*re la o*tención de los $odos de propagación en una -*ra óptica de índice de per-l escalonado de $anera teórica @donde la descripción de la propagación característica Bodos fue o*tenida al resolver las ecuaciones de Ba3ell para una guía de onda cilíndrica con condiciones de frontera esta*lecidas por la geo$etría de la -*ra con i$ple$entación e3peri$ental donde o*serva$os los $odos lineal$ente polari'ados en el cual se encontró /ue una -*ra del tipo $encionado puede ser caracteri'ada por el n$ero > @Par($etro característico de la guía de onda o n$ero de onda nor$ali'ado co$o $ono$odo si > 2.0 o $ulti$odo si > U 2.0 & dic,o par($etro > est( en función de la longitud de onda @de ilu$inación de la -*ra delnncleo de la -*ra & la apertura nu$rica @índices de refracción delradio ncleo ! & del revesti$iento n 2 a/ullos índices siguen la condiciónK n! 4 n2 !. Para el caso de la -*ra óptica se presenta una ecuación de onda cilíndrica con condiciones de frontera esta*lecidas por el ncleo & el revesti$iento la cual descri*e la propagación del ca$po electro$agntico dentro del $aterial dielctrico de la -*ra $ostrando los diferentes $odos característicos & lineal$ente polari'ados de propagación.
$"6"& ECUACIONES DE MA78ELL
1as ecuaciones de Ba3ell para $edios dielctricos lineales e isotrópicos son P(gina ) 2!
@sin cargas ni corrientes elctricasK
% & '=
% & E=
() ( 2.26 ) (*
−( B (*
( 2.27 )
% + ' = 0 ( 2.28 ) ∇ + ) = 0 ( 2.29 )
Co$*inando correcta$ente estas relaciones llega$os a las siguientes ecuacionesK
% 2 E( r ,* )− - 0
(2 E(r ,* ) (*
2
=0 ( 2.30 )
2
∇
2
' ( r ,* )− - 0
( ' ( r , *) (*
2
=0 (2.31)
Pode$os o*servar la si$ilitud /ue guarda cada una de estas ecuaciones con la e3presión general de una ecuación de onda /ue reproduci$os a continuaciónK 2
2
% .−
1 ( . 2
v (*
2
c
donde v = n
= 0 ( 2.32 )
c es la vel ocidad de la lu ' en el vac ío & n es el ín dice de
refracción del $edio & v es la velocidad de fase. 1a solución a la ecuación de onda es la siguiente @Para una $a&or infor$ación ver Apndice AK . =. 0 e
j (ω* − βz)
( 2.33 )
P(gina ) 22
con
β=
ω v . Por lo tanto para las ecuaciones de onda de los ca$pos elctrico
& $agnticoK v=
1
( 2.34 )
√ -0
ω β = =ω √ -0 =ω √ -0 0 neff =k 0 neff ( 2.35) v
A,ora considerando la representación de los ca$pos elctrico & $agntico de for$a fasorial esto esK
[
E(r , *)=ℜ E (r , ω) e
[
jω*
' (r , *)=ℜ ' ( r ,ω ) e
] (2.36 )
jω*
] ( 2.37 )
1as ecuaciones 2.70 & 2.7! to$an la for$aK 2
2
2
∇ E( r , ω)−k n( r , ω) E (r , ω) =0 (2.38 ) 2 2 2 ∇ ' ( r ,ω )−k n( r ,ω ) ' (r ,ω )=0 ( 2.39 )
$"6"$ ECUACIONES DE MA78ELL *ARA UNA ,I.RA )*(ICA
Considerando la guía cilíndrica cu&a geo$etría corresponde con una -*ra óptica su estructura es la siguienteK
P(gina ) 27
Fig. !0 "eo$etría de una -*ra óptica En dondeK aRradio del ncleo & *R radio e3terno del revesti$iento. Para si$pli-car el an(lisis de la $is$a la estructura de la guía cilíndrica se reduce al $odelo ideal /ue se $uestra a continuaciónK
Fig. !! %epresentación si$pli-cada de la geo$etría de una -*ra óptica 1a si$etría cilíndrica de una -*ra óptica nos sugiere utili'ar coordenadas cilíndricas para estudiar el pro*le$a lo /ue co$plica a priori un poco los c(lculos dado /ue las relaciones vectoriales son $(s co$ple+as. Gin e$*argo resolver las ecuaciones de Ba3ell para una si$etría cilíndrica en coordenadas cartesianas acoplaría las diferentes co$ponentes de for$a /ue las ecuaciones resultantes serían $uc,ísi$o $(s co$ple+as. Por ser una -*ra de salto de índice va$os a considerar una resolución parcial de las ecuaciones de Ba3ell en cada una de las regiones @ncleo & revesti$iento co$o si fuesen $edios ,o$ogneos para posterior$ente aplicar las condiciones de contorno. #e las ecuaciones transcendentales o*tenidas calculare$os las características de los $odos. Mna de las consecuencias $(s i$portantes de utili'ar la si$etría cilíndrica es /ue las soluciones de las ecuaciones son GEPA%A1EG en cada una de las varia*les dentro de cada una de las regiones de la -*ra @ncleo & revesti$iento. Es decir cada una de las soluciones a las ecuaciones de onda anteriores sería la siguienteK A i=C i / 1( r ) / 2( ϕ ) / 3( z ) / 4 ( *) ( 2.40 )
#onde Ai representa cada una de las incógnitas /ue tene$os /ue resolverK Er , Eϕ , E z , ' z , ' ϕ , ' z ( 2.41 )
5o o*stante solo ,a& /ue resolver dos de ellas por/ue las ecuaciones de Ba3ell per$iten relacionarlas con la de$(s. P(gina ) 2
#e las ecuaciones de Ba3ell en coordenadas cilíndricas se o*tienen las co$ponentes transversales de los ca$pos en tr$inos de las co$ponentes longitudinales @la resolución $ate$(tica se encuentra en Apndice estas sonK
( − = ( − = ( − = (
Er =
Eϕ
'r
'ϕ
) )( )( )(
− j ω- ( ' z + β ( E z ( 2.42) 2 0
r
(ϕ
(r
(' z j β (Ez − ω2.43 ) r ( ϕ (r 0 2
j
0
2
0
2
β
( ' z ω ( E z − 2.44 ) (r r (ϕ
(E j β ('z + ω z 2.45 ) r (ϕ (r
donde el par($etro /2 est( de-nido co$oK 2 2 2 0 =ω - − β ( 2.46 ) #espus de $anipulaciones es posi*le o*tener la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas para las co$ponentes de ca$po longitudinal @la resolución $ate$(tica est( en Apndice K 2
2
( E2z + 1 ( E z + 12 ( E2z + 0 2 E z= 0 ( 2.47 ) r (r r ( ϕ (r 2
2
( 'z 1 ('z 1 ( 'z 2 + + + 0 ' z=0 ( 2.48 ) ( r 2 r (r r 2 ( ϕ2
%ee$pla'ando
E z = C i / 1 ( r ) / 2 ( ϕ) e
j ( ω*− βz)
&
' z = )i 1 1 (r ) 12( ϕ) e
j ( ω*− βz)
en las
ecuaciones anteriores se o*tienen dos ecuaciones para cada ca$po & resolviendo stas @la resolución $ate$(tica se encuentra en apndice C se o*tienen las soluciones para los ca$posK E z=( C 1 2 3( 0r )+ C 2 4 3( 0r) ) e e j3ϕ
j ( ω*− βz)
( 2.49 )
P(gina ) 2
)
(¿¿ 1 2 3( 0r) + )2 4 3( 0r )) e j3ϕ e j ( ω*− βz) ( 2.50 ) ' z=¿ Vsta solución se si$pli-ca con algunos criterios o*tenindose dos tipos de soluciones para cada región con su índice respectivo @la resolución $ate$(tica se encuentra en apndice CK A 2 3(0 r ) e e j ( ω*− βz ) 5c6ano 0 $r$a j3ϕ
E z=
1
{ {
' z=
C 4 3(0 r ) e j3ϕ e j (ω* − βz ) 5c6anoa$r 2
j3
B 2 3 ( 0 r) e ϕ e
j( ω*− βz)
1
j3ϕ
) 4 3( 0 r ) e e
5 c6ano 0 $r$a
j ( ω* − βz)
2
5c6anoa$r
1as co$ponentes transversales se o*tienen entonces de stas co$ponentes longitudinales @la resolución $ate$(tica se encuentra en Apndice #. 1as condiciones de contorno acoplan a$*as co$ponentes en este caso para las co$ponentes tangenciales sonK E z ( 0 $r$a ) ¿ r=a= E z ( r 7 a ) ¿r=a ( 2.51 ) Eϕ ( 0 $r$a ) ¿ r=a= E ϕ ( r 7 a ) ¿ r=a ( 2.52 ) ' z ( 0 $r$a ) ¿r =a= ' z ( r 7 a ) ¿r =a ( 2.53 )
' ϕ ( 0 $r$a ) ¿r = a= ' ϕ ( r 7 a ) ¿r=a ( 2.54 )
Con estas condiciones se o*tiene un siste$a de ecuaciones las cuales al ser resueltas se o*tiene la ecuación característica o condición de $odo @la resolución $ate$(tica se encuentra en apndice EK
(
8
2 3 (0 a ) 1
8
+
4 3 ( 0 a) 2
01 a 2 3(0 a ) 0 2 a 4 3( 0 a) 1
2
)(
2
8
n 1 2 3 ( 0 a) 1
2
+
8
n2 4 3 ( 0 a ) 2
0 1 a 2 3( 0 a ) 02 a 4 3(0 a ) 1
2
)( =
1 2
2
01 a
+
2
)( ) 2
1 2
02 a
2
β3 ( 2.55 ) k0
P(gina ) 2;
$"6"/ RESOLUCI)N DE LA ECUACI)N CARAC(ERÍS(ICA 01
1a ecuación anterior es lla$ada condición de $odo dado los valores de 0 2 la ecuación de condición de $odo es una función trascendental de
& β
para cada 3 . Entonces para un 3 =0,1,2, ! particular & una frecuencia ω sola$ente un n$ero -nito de eigenvalores pueden ser encontrados satisfaciendo la ecuación de $odo conocidos los valores de encontrar proporciones paraK
β se puede
B C ) , , , A A A las cuales deter$inan las seis
co$ponentes de los vectores de ca$po elctrico & $agntico correspondientes β . Estas proporciones est(n dadas porK
para cada constante de propagación C 2 3 (01 a ) = ( 2.56 ) A 4 3 (02a )
B jβ3 1 1 A = ω- 012 a2 + 0 22 a2
(
8
8
2 3 ( 0 a)
4 3 (0 a)
1
)(
2
0 1 a 2 3( 0 a) + 02 a 4 3(0 a ) ( 2.57 ) 1
2
)
) 23 (01 a) B = ( 2.58 ) A 4 3 (02 a ) A
1a cantidad
B A
es de particular inters por /ue es la $edida de la cantidad
Ez
&
'z
relativa 'z
en un $odo @es decir
est(n desfasados en
π 2
B 'z = A Ez
. 5ótese /ue
Ez
&
. Partiendo de la ecuación de $odo @2. se
pueden encontrar dos clases de soluciones al considerar dic,a ecuación co$o
P(gina ) 2<
8
2 3 (0 1 a ) 01 a 2 3 ( 01 a )
una ecuación cuadr(tica en
& cuando se resuelve la ecuación
$encionada para esta cantidad @la resolución $ate$(tica se encuentra en apndice F para la raí' positiva los $odos EH est(n dados por la siguiente ecuaciónK 2 3 + 1 ( 01 a )
2
01 a 2 3 ( 01 a )
4 3 ( 02 ) 8
2
n1 + n2
=
02a 43 (02a )
2
2 n1
+
(
)
3 − 9 ( 2.59 ) 2 2 01 a
Para la raí' negativa los $odos HE sonK 2 3− 1 ( 0 1 a )
=
01 a 2 3 ( 01 a )
−n21+ n22 2n
2 1
8
4 3 (02a ) 02 a 4 3 ( 02 a )
(
+
)
3 −9 ( 2.60) 0 21 a2
#ondeK
[( ) ( 2 2
2
9=
n1− n2 2
2 n1
)( 2
8
43 (02a ) 02 a 4 3 ( 02 a )
+
1 2
01 a
2
+
2
)( )] 2
1 2
02 a
β3 n1 k 0
1 2 2
( 2.61 )
3 =0 . En
Mn caso especial para los $odos ,í*ridos EH & HE se tiene cuando pri$er lugar cuando se ,ace 3= 0 en la ecuación @2.;0 se o*tieneK 2 1 ( 01 a ) 01 a 2 0 ( 01 a )
=
−4 1 ( 0 2 a ) 02 a 4 0 ( 0 2 a )
( 2.62 )
Para el cual los ca$po sola$ente est(n co$puestos por las co$ponentes 'r , ' z , # Eϕ
. Estas soluciones son referidas co$o los $odos TE @Transversal
Elctrico. Gi los eigenvalores son
β m m=1,2,3 !
los $odos TE son
designados co$o TE0$ donde el pri$er su*índice corresponde a segundo su*índice
m= 1,2,3 ! es la ra í'
m
3 =0
& el
de la ecuación @2.;2. En
segundo lugar la ecuación de condición de $odo @2.= con
3=
0
resulta enK
P(gina ) 28
2 1 ( 01 a ) 01 a 2 0 ( 01 a )
=
−n 22 4 1 ( 0 2 a ) 02 a n21 4 0 ( 02 a )
( 2.63 )
#e esta $anera los ca$pos sola$ente est(n dados por las co$ponentes Er , E z , # ' ϕ . Estas soluciones son referidas co$o los $odos TB @Transversal
Bagntico & son designados co$o TB 0$ donde el pri$er su*índice corresponde a 3 =0 & el segundo su*índice m =1,2,3 ! es la raí' m de la ecuación @2.;7. 1as ecuaciones @2.= & @2.;0 pueden ser resueltas gr(-ca$ente di*u+ando a$*os lados de dic,as ecuaciones co$o funciones de
01 a
ree$pla'ando
las siguientes ecuaciones en los $ie$*ros derec,os de las ecuaciones anterior$ente $encionadasK 1
: = a k 0 ( n21− n22 ) 2 =
2 πa
λ0
NA ( 2.64 )
donde 5A es la Apertura 5u$rica la cual es la capacidad /ue tiene la -*ra para aceptar la lu' in&ectada en el ncleo. En la anterior ecuación el n$ero > es directa$ente proporcional al radio del ncleo
( a ) & la apertura nu$rica
de la -*ra óptica e inversa$ente proporcional a la longitud de onda de la ilu$inación in&ectada en la -*ra @onda plana $onocro$(tica polari'ada lineal$ente. El n$ero > es utili'ado en la ecuación condición de $odo para conocer /ue $odos se propagan es decir si la apertura nu$rica es grande @esto depende de la diferencia entre los índices de refracción del ncleo & revesti$iento & si el radio del ncleo es proporcional$ente $a&or a la longitud de onda de ilu$inación /ue es in&ectada en la -*ra se propagaran $uc,os $odos deter$inados por la ecuación @2.;. Este par($etro encontrado puede ser utili'ado para cual/uier -*ra óptica de índice de per-l escalonado para deter$inar si la -*ra estudiada es $ono$odo o $ulti$odo pero una *uena apro3i$ación de las co$ponentes de los ca$pos & la condición de $odo @por lo tanto el n$ero > puede ser o*tenida en $uc,as -*ras /ue tienen un índice en el ncleo ligera$ente $a&or /ue en el revesti$iento n1 − n2 ≪ 1 los $odos a/uí encontrados son lla$ados lineal$ente polari'ados soluciones &apro3i$adas de las ecuaciones de Ba3ell /ue los son cuales ca$posson transversales polari'ados ortogonal$ente uno al otro.
P(gina ) 2=
1as ecuaciones características de los distintos tipos de $odos se resu$en a continuaciónK ;oos <;
;oos
;oos 'E
;oos E'
•
•
•
•
2 1 ( 01 a ) 01 a 20 (01 a ) 2 1 ( 01 a ) 01 a 2 0 ( 01 a )
=
=
2 3− 1 ( 0 1 a ) 01 a 23 (01 a ) 2 3+ 1 ( 0 1 a ) 01a 23 (01a )
=
4 1 ( 02 a )
−n22
n1 02 a 40 (02 a) 2
−4 1 ( 0 2 a )
( 2.66 )
02 a 4 0 (02a )
−n21 +n 22 2n
2
=
2 1
2
n1+ n2
( 2.65)
8
4 3 ( 02 a )
4 3 (02 ) 8
2 n 1 02 a 4 3 ( 02 a ) 2
(
)
+
3 − 9 ( 2.67 ) 2 2 01 a
(
)
02 a 4 3 ( 02 a )
+
3 −9 ( 2.68 ) 0 21 a2
El $odo TB0$ corresponde a H 'R0 por eso se le lla$a $odo transversal $agnticos @pues la parte longitudinal del ca$po $agntico o sea H ' es cero. El $odo TE0$ corresponde a E'R0 por eso se le lla$a $odo transversal elctrico @pues la parte longitudinal del ca$po elctrico o sea E ' es cero. 1os $odos EH deno$inan $odos ,í*ridos & a/uí las co$ponentes E' &oH'HE sonsediferentes de cero a la ve'. En el $odo EH las co$ponentes del ca$po elctrico son las /ue do$inan $ientras /ue en los $odos HE las co$ponentes del ca$po $agntico son las /ue do$inan.
$"6"0 MODOS LINEALMEN(E *OLARI-ADOS
>ea$os /u ocurre en el caso de /ue los índices de refracción del ncleo & el revesti$iento de la -*ra sean $u& pró3i$os es decir /ue
n 1 = n2
caso las const antes de propagación en $edios de índice
n1
&
en este n2
se
pueden escri*ir co$oK k 1= n1 k 0 ( 2.69 ) k 2= n2 k 0 ( 2.70 )
P(gina ) 70
k 1 = k 2 ( 2.71 )
[ teniendo en cuenta la condición i$puesta a la constante de propagación en la -*ra para /ue los $odos sean guiadosK n2 k 0= k 2 $ β$ k 1=n1 k 0 ( 2.72 ) En consecuencia k 1 = β= k 2( 2.73)
Por lo tanto la ecuación característica de la -*ra se transfor$a enK
(
8
2 3 (0 a ) 1
8
+
4 3 (0 a ) 2
01 2 3(0 a ) 0 2 4 3( 0 a) 1
2
)( β2
8
2 3 ( 0 a) 1
8
+
43 (0 a) 2
01 2 3( 0 a ) 02 4 3(0 a ) 1
2
)( =
1
01
2
+
1
0
2 2
)( )( 2
β3 a
2
2.74 )
Anali'ando esta ecuación se puede llegar a las e3presiones de las ecuaciones características de los $odos *a+o la ,ipótesis de guiado d*il /ue se encuentran resu$idas a continuaciónK ;oos
2 1 ( 01 a ) 01 2 0 ( 01 a )
=
−4 1 ( 0 2 a ) 02 4 0 ( 02 a )
( 2.75 )
;oos 'E 2 3−1 ( 0 1 a ) = 4 3− 1 ( 0 2 a ) ( 2.76 ) 0 1 2 3 ( 0 1 a ) 02 4 3 ( 02 a )
;oos E'
2 3+ 1 ( 0 1 a ) 0 1 23 ( 0 1 a )
=
− 4 3 +1 ( 0 2 a ) 0 2 4 3 (0 2 a )
( 2.76 )
D*serva$os /ue varios $odos co$parten la $is$a ecuación característica & de esta for$a serían $odos degenerados. "loge propone para estos $odos una notación especial los deno$ina $odos lineal$ente polari'ados @1P de acuerdo a la siguiente reglaK >?0 m para 3os moos 'E 1 m >?1 m para 3os moos
P(gina ) 7!
>?3m para3os moos 'E(3 +1) m # E' (3−1 )m
Ade$(s la notación propuesta por "loge tiene otro signi-cadoK Mn $odo >?3m m tiene 2 3 $(3i$os de intensidad a lo largo del perí$etro & $(3i$os a lo largo del radio. Ge puede co$pro*ar /ue co$poniendo adecuada$ente estos $odos se puede conseguir una vi*ración del vector ca$po electro$agntico en un plano @lineal$ente polari'ados por eso se lla$an $odos 1P. A continuación $uestro algunas distri*uciones de intensidad del ncleo de una -*ra con designación > ?3m .
Fig. !2 #esignación > ?3m de los $odos de propagación en -*ras ópticas
III"' *AR(E E7*ERIMEN(AL En esta parte trato de reproducir los $odos
> ?3m
para ser co$parados con
los predic,os teórica$ente en la parte del funda$ento. /"& E9UI*O E7*ERIMEN(AL •
Fi*ra óptica convencional $ono$odo @con las siguientes característicasK \ndice de refracción en el ncleo nn6c3eo=1.4681 . P(gina ) 72
\ndice de refracción en el revesti$iento nreves*imien*o=1.4675 . %adio del ncleo a =6 -m . 1a -*ra era $ono$odo para longitudes de onda entre !700 a •
• • • •
!0 n$. 1(ser de Helio4 5eón ( λ =632.8 nm) . Bicroposicionador. Bicroscopio óptico. 1ente o*+etiva de un $icroscopio óptico. Bicroposicionador.
/"$ *ROCEDIMIEN(O E7*ERIMEN(AL
El $onta+e del e3peri$ento se reali'ó de la siguiente $aneraK •
•
•
•
•
•
E1 pri$er paso fue pelar la -*ra en sus dos e3tre$os para de esta for$a poder /uitar el recu*ri$iento /ue protege a la -*ra esto para /ue la lu' pueda ser e-ciente$ente acoplada dentro & fuera de la -*ra. Cortar la -*ra no fue sencillo pues f(cil$ente se /ue*ra*a lo /ue re/uería un corte $u& -no reali'ado con un peda'o de porcelana -luda en un e3tre$o. 1uego se trató de cortar a$*as puntas de los e3tre$os de la -*ra de $anera /ue sean lo $(s rectas posi*les respecto del e+e a3ial de sta. Mna ve' cu$plido los re/ueri$ientos anteriores se procedió a -+ar los e3tre$os de la -*ra de tal $anera /ue en un e3tre$o se logre ,acer incidir el l(ser & en el otro se -+e en una pie'a de vidrio u*icado para su o*servación en el $icroscopio. El siguiente paso fue acoplar una lente o*+etiva de $icroscopio óptico al l(ser para /ue de sta for$a al venir los ra&os de sta de for$a para3ial al pasar por la lente conver+an en el foco de la $is$a & de sta for$a se o*tengan en ste punto ra&os con diferentes (ngulos los cuales luego serían seleccionados para /ue incidan so*re la -*ra. E1 e3tre$o de la -*ra en donde se ,aría incidir los ra&os del l(ser fue u*icado en un $icroposicionador de tal for$a /ue se pueda ,acer un *arrido respecto a los ra&os /ue se encontra*an en el foco de la lente para así poder seleccionar ra&os de diferente (ngulo & poder ver los diferentes $odos @esto de*ido a la dependencia del (ngulo de incidencia de la -*ra & los $odos vistos en el funda$ento teórico. Final$ente se procedió a ,acer los *arridos respectivos de la -*ra $ediante el $icroposicionador para encontrar los diferentes $odos de
propagación & respectiva to$a de fotografía. 1as siguientes i$(genes $uestran el $onta+e del e3peri$entoK
P(gina ) 77
Fig.!7 Bicroscopio óptico con -*ra óptica ad,erida a una pie'a de vidrio
Fig. ! Fi*ra óptica ad,erida a una pie'a de vidrio
P(gina ) 7
Fig. ! Fi*ra óptica u*icada en un $icroposicionador.
Fig. !; 1(ser u*icado para /ue incida so*re la -*ra
P(gina ) 7
/"/ RESUL(ADOS
A continuación se $uestran las fotografías to$adas a los $odos encontrados con su respectiva designaciónK
Esta foto $uestra el ncleo de la -*ra @oscuro & dentro de ella un $odo en particular
Bodo >?01 @$odo funda$ental
Bodo >?11
P(gina ) 7;
Bodo >? 02
Bodo >? 12
P(gina ) 7<
Bodo >? 21 Con los valores dados de índices & radio del ncleo se tiene /ue
: = 2.5 lo
/ue nos /uiere decir segn el criterio visto en el funda$ento teórico /ue la -*ra se co$porta co$o $ulti$odo para el l(ser He4 5e. IV"' O.SERVACIONES : DISCUSIONES •
•
•
•
En la pri$era parte del e3peri$ento se tuvo *astante paciencia de*ido a /ue la -*ra es algo difícil de $anio*rar por ser $u& delgada to$ando un tie$po considera*le para su correcta disposición @pelado del recu*ri$iento & un corte recto en las puntas de sus e3tre$os. Mna ve' dispuesto todas las co$ponentes de $anera correcta se logró o*servar diferentes $odos pero stos eran $u& pe/ue6os & algo difusos lo cual fue un pro*le$a en la captura de sus fotografías. Tal ve' con una $a&or -ne'a al $o$ento cali*rar la -*ra se ,u*iera conseguido una $e+or i$agen @$(s nitida. Ge trató de colocar la -*ra apro3i$ada$ente cerca del foco de la lente o*+etiva interpuesta entre el l(ser & un e3tre$o de la -*ra. Ge tuvo diferentes $odos 1P para la -*ra distinguindose alrededor de $odos aun/ue no tan claros.
V"' CONCLUSIONES •
• •
1as fotos to$adas $ostraron diferentes $odos de propagación para una -*ra óptica de índice de refracción escalón lo cual segn la teoría desarrollada corresponde a una -*ra $ulti$odo algo /ue se pudo corro*orar con la regla para los valores de > @> $a&or /ue 2. es $ulti$odo siendo el valor de > R 2.. #e todo esto se puede concluir entonces /ue la -*ra $ono$odo dependiendo de el ,a' con el /ue se est tra*a+ando puede co$portarse co$o $ulti$odo. Ge logró o*tener ,asta $odos 1P con el l(ser ro+o de He4 5e. Ge pudo co$parar estos $odos encontrados con los predic,os teórica$ente para poder no$*rar a cada uno de stos con su propia designación.
P(gina ) 78
VI"' A*3NDICE A" *RO*AGACI)N EN MEDIOS DIEL3C(RICOS REALES 4ONDAS *LANAS5
1as ecuaciones de Ba3ell en $edios conductores & dielctricos sonK ∇ & ' =2 +
∇ & E=
() ( A 1) (*
−( B (*
(A2)
∇ + ' =0( A 3 ) ∇ + )= @ ( A 4 )
Mna onda /ue se propaga en la dirección del e+e ' positivo tiene la for$aK . =. 0 e jω* e−z ( A 5 ) 2 Giendo =√ ω- −ω -
Es decir la constante de propagación es de la for$aK = + jβ Bediante un c(lculo sencillo es f(cil ver /ue ] & W son de la for$aK =ω
β =ω
√ [√ √ [√ - 2
- 2
2
]
1+
−1 ( A 6) 2 2 ω
1+
2 +1 ( A 7 ) ω2 2
]
P(gina ) 7=
1a @A. resultaK − z
. =. 0 e
e
j( ω* − βz)
.0
#onde
( A 8)
puede ser
E0
o
'0
. Giendo ] la constante de
atenuación & W la constante de fase. Cuando la propagación en $edios es sin prdidas @ osea /ue no e3iste la conductividad en ese $edio o conductividad es cero las condiciones /ue se dan en este $edio son las siguientesK =0 ( A 9) β =ω √ - ( A 10 )
1a velocidad de fase de la onda se vuelveK v=
z ω 1 = = ( A 11) * β √ -
Esta condición se cu$ple en las -*ras estudiadas en el presente infor$e entonces la función de onda estudiada es de la for$aK . =. 0 e
j (ω* − βz)
." ECUACIONES DE MA78ELL EN UNA ,I.RA )*(ICA CONVENCIONAL
#e*ido a la si$etría cilíndrica de la -*ra e3preso las co$ponentes de los ca$pos elctrico & $agntico en coordenadas cilíndricasK E= E r e^ r + Eϕ e^ ϕ + E z e^ z
' = ' r e^ r + ' ϕ e^ ϕ + ' z e^ z
Hallando el rotacional de EK
P(gina ) 0
[
e^ r ( ∇x E = r (r Er 1
] [(
r e^ ϕ ( (ϕ
e^ z ( = 1 e^ ( E z − ( ( r E ϕ ) + r e^ ( E r − ( E z + e^ ( ( r E ϕ ) − ( Er r ϕ z (ϕ (z (z (r (r (ϕ (z r Ez
ℜϕ
) (
) (
)]
%ecordando /ue las co$ponentes de E & H se escri*en de la for$aK A = C i / 1( r ) / 2( ϕ ) e
∇x E
Entonces el 1
∇x E =
r
j( ω*− βz)
[(
se escri*e co$oK
) (
(' = jω ' (*
Ta$*in
) (
( (r Eϕ ) ( Er (Ez (E + jβr E ϕ + r e^ ϕ − jβ E r − z + e^ z − (ϕ (r (r (ϕ
e^ r
)]
entonces ree$pla'ando estos valores o*tenidos en la
ecuación A2 se tiene las siguientes tres igualdades @ B = - ' K 1 ( Ez
r (ϕ
+ jβ E ϕ =− jω- ' r ( B 1)
jβ E r +
(
( Ez = jω- ' ϕ ( B 2 ) (r
1 ( (r Eϕ)
r
(r
−
Hallando el
[
e^ r ( ∇x ' = r (r 'r 1
)
( Er =− jω- ' z ( B 3 ) (ϕ ∇x'
r e^ ϕ ( (ϕ r' ϕ
K
] [(
e^ z ( (r ' ϕ) ( ' r (' z ('z 1 ( = e^ r + jβr ' ϕ −r e^ ϕ jβ ' r + + e^ z − r ( ( r (r (ϕ ϕ (z 'z
) (
) (
)]
P(gina ) !
(E = jωE (*
Ta$*in
ree$pla'ando estos valores en la ecuación A! @
2 =0 # )= E se o*tienen otras tres igualdadesK 1 ('z
r (ϕ
+ jβ ' ϕ= jω E r ( B 4 ) ( 'z
5
jβ ' r + ( r =− jω E ϕ ( B )
(
1 ( (r ' ϕ)
r
(r
−
)
( 'r = jω E z ( B 6 ) (ϕ
El siguiente paso es despe+ar las co$ponentes transversales de a$*os ca$pos en función de las co$ponentes longitudinales para eso vo& a utili'ar las ecuaciones o*tenidasK •
Para Er K
#espe+o ' ϕ de @ & lo ree$pla'o en @2K 1 z z jβ E r + ( E = jω- jω E r − ( ' (r jβ r (ϕ
(
)
2 2 2 Haciendo 0 =ω - − β despe+ando
Er =
•
(
− j ω- ( ' z 0
2
r
(ϕ
+β
( Ez (r
Er
se o*tieneK
)
Para Eϕ K 'r
#espe+o
de @ & lo ree$pla'o en @!K
P(gina ) 2
1 ( Ez
r (ϕ
(
+ jβ E ϕ = − jω- − jω E ϕ− jβ
( 'z (r
)
#espe+ando Eϕ se o*tieneK Eϕ =
(
− j β ( E z − ω- ( ' z 0
2
r (ϕ
(r
)
Para ' r K
•
#espe+o Eϕ de @ & lo ree$pla'o en @!K 1 ( Ez
r (ϕ
−
(
)
( 'z jβ jβ ' r + =− jω- ' r jω (r
#espe+ando ' r se o*tieneK ' r=
(
− j β ( ' z ω ( E z − 2
•
0
(r
r (ϕ
)
Para ' ϕ K
#espe+o Er de @2 & lo ree$pla'o en @ 1 ('z
r (ϕ
+ jβ ' ϕ=
(
jω −( E z + jω- ' ϕ jβ (r
)
#espe+ando ' ϕ se o*tieneK ' ϕ=
(
− j β ( ' z + ω ( E z 0
2
r (ϕ
(r
)
En resu$en las ecuaciones /ue nos per$iten ,allar las co$ponentes transversales de los ca$pos en función de las longitudinales sonK
P(gina ) 7
Er =
(
r
(
r (ϕ
)
− j ω- ( ' z + β ( E z B ( 7) 2
Eϕ =
' r=
0
(ϕ
(r
)
− j β ( E z − ω- ( ' z ( B 8 ) 2 0
−j
' ϕ=
0
2
( (
β
(r
)
( ' z ω ( E z − ( B 9) (r r (ϕ
)
− j β ( ' z + ω ( E z ( B 10 ) 2 0
r (ϕ
(r
Con estos resultados /ueda claro /ue sólo *asta ,allar las co$ponentes longitudinales de los ca$pos las dos ecuaciones /ue nos per$iten ,allar dic,as co$ponentes las encuentro ree$pla'ando stas relaciones ,alladas en las ecuaciones 7 & ; paso /ue $uestro a continuaciónK
Hallando la ecuación para
•
Ez
K
En la ecuación ; ree$pla'o = & !0K
[ {
)} { (
(
(E ( − jr β ( ' z ( − j ( ' z ω ( E z + ω z − − β r (r 02 r ( ϕ (r ( ϕ 02 (r r (ϕ
1
)}]=
jω E z
#erivando parcial$enteK
−j 2
r0
[{
β
} {(
(2 ' z (E (2 E (2 ' z ω ( 2 E z + ω z + rω 2 z − β − (r( ϕ (r (r ( ϕ r ( ϕ 2 (r
)}]
= jω E z
Co$o los ca$pos son continuos si$pli-ca$os tr$inos iguales entonces nos /ueda la ecuación *uscadaK 2
2
( Ez 1 ( Ez 1 ( Ez 2 + + + 0 E z= 0 ( B 11) 2 r ( r r2 ( ϕ2 (r
P(gina )
Hallando la ecuación para
•
'z
K
En la ecuación 7 ree$pla'o < & 8K
[ {
)} { (
(
(' z ( Ez ( − jr β ( E z ( − j ω- ( ' z − ω− +β r (r 02 r ( ϕ (r ( ϕ 02 r ( ϕ (r
1
)}]=−
jω- ' z
#erivando parcial$enteK
−j 2
r0
[{
2
β
2
} {(
2
2
( Ez ('z ( ' ( E z ω- ( ' z − ω−rω- 2 z − β + (r( ϕ (r ( r ( ϕ r ( ϕ2 (r
)}]
= jω E z
1uego si$pli-cando se tiene la ecuación *uscadaK 2
2
( 'z 1 ('z 1 ( 'z 2 + + + 0 ' z= 0 ( B 12 ) 2 r (r r 2 ( ϕ 2 (r
C" RESOLUCI)N DE LAS ECUACIONES DI,ERENCIALES DE LAS COM*ONEN(ES LONGI(UDINALES DE LOS CAM*OS
El siguiente paso ser( ree$pla'ar la for$a general de ecuaciones !! & !2 respectiva$enteK
Ez
&
'z
en las
Para E z K
•
j ( ω*− βz) %ee$pla'ando E z=C i / 1( r) / 2( ϕ) e en la ecuación !!K
2
2
( j( ω*− βz) + 1 ( C i / 1( r) /2 ( ϕ) e j (ω* − βz) + 12 ( 2 C i / 1( r) / 2( ϕ) e j ( ω*− βz) + 02 C i / 1( r) /2 ( ϕ) e j (ω* − βz) Ci /1 (r ) / 2 (ϕ ) e 2 r (r (r r (ϕ
[
]
[
]
[
] [
Gi$pli-cando la parte te$poral & la co$ponente dependiente de la coordenada ' así co$o la constante Ci K 2
/ 2 ( ϕ)
2
1 1 2 / 1 ( r ) ) + / 2 ( ϕ ) ( / 1 ( r ) ) + 2 / 1 ( r ) 2 ( / 2 ( ϕ ) ) + 0 / 1 ( r ) / 2 ( ϕ) = 0 2( r r r r ϕ
P(gina )
]
#ividiendo so*re 2
/1 ( r ) / 2 ( ϕ )
2 & $ultiplicando a todo por r K
2
2
r ( / ) + r ( / )+ 0 2+ /1 2 ( / 2 (ϕ ) )= 0 / 1 (r ) r 2 1 (r ) /1 (r ) r 1 (r ) 2( ϕ ) ϕ
Por ser los 7 pri$eros tr$inos independientes del cuarto tr$ino @diferente dependencia entoncesK 2 1 2 / 2 (ϕ ) ϕ2 ( /2 ( ϕ) ) =−m ( C 1) 2
2
r ( / ) + r ( / ) + 0 2= m 2 ( C 2 ) / 1 (r ) r 2 1 (r ) /1 (r ) r 1 (r ) 2
1a ecuación C!K / 2 ( ϕ) = e
jmϕ
( / 2 (ϕ ) ) =−m2 /2 ( ϕ) ϕ2
tienen co$o soluciónK
,conm en*ero ( p6es / 2 (ϕ )= / 2 ( ϕ +2 π ) ) 0
(¿ ¿ 2− m2 ) / 1 (r )=0 Bientras /ue la ecuación C2K r 2 22 ( / 1 (r ) ) + r ( / 1( r) ) +¿ r
r
@ 0r
,aciendo
=
en
3 =m
la
la ecuación anterior & dividiendo por / 2K
( )
2
2
m 1 ( / 1 ) + @ @ ( /1 ) + 1− 2 ( /1 ) =0 @2 @
%esulta ser la ecuación diferencial ordinaria de esselK de orden solución general es de la for$aK /1 ( 0r)=C 1 2 3( 0r) + C 2 4 3(0r )
#ondeK D
2 3( x)=
s
(−1 ) ∑ = s (3 + s ) s 0
() x
2
3+2 s
3 = x3 −
2
3
x 2
n+ 2
3 +2
(3 + 1 )
+!
P(gina ) ;
& 4 3( x)=
2
j
3 +1
N 3( x)=
Con
•
π
[2 (
3 jx)
+ j N 3( jx) ]
cos ( 3π ) 2 3( x )− 2 −3( x )
sen ( 3π )
=
−( 3 − 1 ) π
( )+ 2
x
3
!
@!
Para ' z K
j ( ω*− βz) %ee$pla'ando ' z = ) i 11 (r ) 1 2( ϕ) e se procede de $anera idntica al caso
de E z o*tenindoseK 11 (0r )= )1 2 3( 0r) + )2 4 3( 0r)
A,ora *ien las funciones 2 3 &
4 3 tienen características tales /ueK
23
es decreciente con r @decae e3ponencial$ente.
43
es singular en el srcen.
Ade$(s ,aciendo las siguientes eti/uetasK #e las condiciones de $odos guiados tene$os /ue el valor de / en el ncleo esK 2
2
2
2
0 =ω - 1− β > 0, en*onces sea 0 = 01
2
[ para el revesti$ientoK
2
2
2
2
0 =ω - 2− β < 0, en*onces sea −0 =0 2
2
Co$o la -*ra es de per-l escalonado @índice constante en el ncleo & ta$*in en el revesti$iento pero de diferente valorK
P(gina ) <
En el ncleo las co$ponentes longitudinales de*en estar *ien de-nidas
•
incluso en cero condición /ue no cu$ple 4 3 por lo tanto C2 & ) 2 son ceros.
En el revesti$iento los ca$pos de*en ser decrecientes o evanescentes tales /ue la se6al propagada est con-nada en el ncleo por esta ra'ón
•
C1
)1
&
son ceros.
El trata$iento detallado de có$o se o*tiene estas soluciones no lo vo& a especi-car por ser un poco largo sin e$*argo se puede consultar el li*ro de Bat,e$atical Bet,ods for P,&sicists Arfen capítulo !! de la se3ta edición. @!
En resu$en las soluciones para las co$ponentes longitudinales de los ca$pos elctrico & $agntico sonK
+ j3
A 2 3 (0 r ) e ϕ e
E z=
j ( ω*− βz )
5c6ano 0 $r$a ( C 3 )
1
j3
e ϕe
C4
{ {
' z=
j (ω* − βz)
5c6anoa$r
3( 02 r )
+ j3ϕ
B 2 3 ( 0 r) e e
j( ω*− βz)
1
j3ϕ
) 4 3( 0 r ) e e
5 c6ano 0 $r$a (C 4 )
j ( ω* − βz)
2
5c6anoa$r
D" ;ALLANDO LAS COM*ONEN(ES (RANSVERSALES DE LOS CAM*OS# En el ncleo @ •
0 $r$a
¿
Hallando Er K
%ee$pla'ando los valores de C7 & C en
P(gina ) 8
Er =
Er =
(
− j ω-j3 01
2
r
(
− jβ jω-3 2
01
βr
)
8
B 2 3( 0 r )+ β A 0 2 3 ( 0 r) e 1
1
)
8
B 2 3(0 r ) + A0 2 3 ( 0 r ) e 1
1
j( 3ϕ+ ω* − βz)
j( 3ϕ+ ω*− βz)
Hallando Eϕ K
•
%ee$pla'ando los valores de C7 & C en 8K
(
)
Eϕ =
− j βj3 A 2 −ω-0 B 2 8 e j ( 3ϕ+ω*− βz) 3( 0 r ) 3 (0 r ) 2
Eϕ =
− jβ j3 A 2 ω-0 B 2 38 (0 r ) e j ( 3ϕ+ ω*− βz) 3 ( 0 r )− 2
01
r
1
1
01
(
•
Hallando ' r K
r
1
β
)
1
%ee$pla'ando los valores de C7 & C en =K ' r=
ω 1 j3 − j β0B 2 8 j 3 ω* βz A 2 3 (0 r ) e ( ϕ + − ) 3 ( 0 r )− 2 1
01
(
1
r
(
) )
ω 1 j3 − jβ 8 j ( 3 ω* βz ) ' r= 2 0B 2 3 ( 0 r) − A 2 3( 0 r ) e ϕ + − 01
•
βr
1
1
Hallando ' ϕ K
%ee$pla'ando los valores de C7 & C en !0K ' ϕ=
(
)
− j j3β B 2 + ω 0A 2 8 j ( 3ϕ + ω* − βz) 3( 0 r ) 1 3 (0 r) e 2 01
r
1
1
ω 1 0 − jβ j3 8 j( 3ϕ +ω*− βz) ' ϕ = 0 2 r B 2 3 (0 r )+ β A 2 3 (0 r ) e 1
(
1
1
)
P(gina ) =
En el revesti$iento ( a $ r )
Hallando Er K
•
%ee$pla'ando los valores de C7 & C en
(
)
Er =
j ω-j3 8 j ( 3ϕ + ω*− βz) ) 4 3( 0 r ) + β 0C 4 3 (0 r ) e 2 r 02
Er =
jβ jω-3 ) 4 3( 0 r) + C0 4 38 (0 r ) e j ( 3ϕ+ ω*− βz) 2 βr 02
2
(
2
2
2
)
Hallando Eϕ K
•
%ee$pla'ando los valores de C7 & C en 8K Eϕ =
(
)
j βj3 8 j (3ϕ + ω*− βz) C 4 3( 0 r) −ω-0 ) 4 3 (0 r ) e 2 02 r 2
jβ j3 E = 02 ϕ
2
(
r C4
2
ω-0 3 (0 2 r )
j ( 3ϕ + ω*− βz )
8
− β ) 4 3 (0 r) e
)
2
Hallando ' r K
•
%ee$pla'ando los valores de C7 & C en =K ' r=
' r=
j 02
2
( (
β0) 4 38 (0 r )− 2
)
ω 2 j3 C 4 3( 0 r ) e j (3ϕ +ω*− βz ) r 2
)
ω j3 jβ 0) 4 38 ( 0 r )− 2 C 4 3(0 r ) e j (3ϕ +ω*− βz) 2 βr 02
•
2
2
Hallando ' ϕ K
%ee$pla'ando los valores de C7 & C en !0K P(gina ) 0
(
)
' ϕ=
j j3β ) 4 3( 0 r) + ω 2 0C 4 38 (0 r ) e j (3ϕ +ω*− βz) 0 22 r
' ϕ=
ω 2 0 jβ j3 8 j ( 3ϕ ω* βz) ) 4 3( 0 r ) + C 4 3 (0 r ) e + − 2 β 02 r
2
(
2
2
2
)
E" CONDICIONES DE CON(ORNO
En la frontera ncleo 4 revesti$iento @rRa al tratarse de dos $ateriales dielctricos de*e ,a*er continuidad para todo ' en la co$ponente tangencial a3ial & en la co$ponente tangencial en la dirección
de los ca$pos E # '
por lo tanto se ree$pla'a r = a en las ecuaciones correspondientes /ue es lo /ue paso a $ostrarK •
Co$ponentes ' del ca$po elctricoK j3
A 2 3 (0 a ) e ϕ e
j ( ω* − βz )
1
=C 4 3(0 a ) e j3ϕ e j( ω*− βz) 2
A 2 3 ( 0 a )= C 4 3 ( 0 a ) 1
2
•
(
Co$ponentes del ca$po elctricoK
)
(
)
ω- 01 ω- 02 − jβ j3 A 2 jβ j3 8 j 3 ω* βz 8 j 3 ω* βz B 2 3 ( 0 a) e ( ϕ+ − ) = 2 C 4 3 ( 0 a) − ) 4 3 (0 a ) e ( ϕ + − ) 3 ( 0 a) − 2 01
a
β
1
1
02
a
2
β
2
Gi$pli-cando & pasando todo a un $is$o $ie$*roK 3β jωβ3 jω8 8 A 2 3( 0 a ) + B 2 3 ( 0 a) + C 4 3 (0 a ) + ) 4 3 ( 0 a )= 0 2 2 β 01 β 02 a 01 a 02 1
•
1
2
2
Co$ponentes ' del ca$po $agnticoK j3ϕ
B 2 3 ( 0 a) e e
j ( ω*− βz)
1
= ) 4 3( 0 a) e j3ϕ e j ( ω*− βz ) 2
B 2 3 ( 0 a) = ) 4 3 ( 0 a ) 1
2
P(gina ) !
Co$ponentes del ca$po $agnticoK
•
(
)
(
)
ω 1 01 ω 0 − jβ j3 8 j ( 3ϕ + ω* − βz ) = jβ2 j3 ) 4 3( 0 a) + 2 2 C 4 38 (0 a ) e j ( 3ϕ+ ω*− βz ) B 2 3 (0 a )+ A 2 3 (0 a ) e 2 01
a
β
1
1
02
a
β
2
2
Gi$pli-candoK
− jω 1 01
8
A 2 3 ( 0 a) + 1
jω 2 β3 β3 8 B 2 3 (0 a )− C 4 3 ( 0 a) + ) 4 3 ( 0 a )= 0 2 2 02 a 01 a 02 1
2
2
#e estas igualdades for$a la siguiente $atri'K
[
2 3(0 a )
0
− 4 3(0 a )
0
3β 2 3( 0 a) 2 a 01
jω- 8 2 β 01 3 (0 a )
β3 4 3 (0 a ) 2 a 02
jω- 8 4 β 0 2 3 ( 0 a)
1
2
1
1
2
2 3(0 a )
0 8
2 3 (0 a )
01
1
2
− jω 2 8 β3 23 4 3 ( 0 a) 02 a 012 ( 0 a) 1
β3 43 a 0 22 (0 a )
2
][] &
4 3( 0 a)
0
1
− jω 1
2
2
A B =0 C )
Para o*tener solución distinta a la trivial el deter$inante de la $atri' 3 de*e ser nula desarrollando esta deter$inante se llega a la ecuación de condición de $odoK
(
8
2 3 (0 a ) 1
8
+
4 3 ( 0 a) 2
01 a 2 3 ( 0 a ) 0 2 a 4 3 ( 0 a ) 1
2
)(
2
8
n 1 2 3 ( 0 a) 1
2
+
8
n2 4 3 ( 0 a ) 2
0 1 a 2 3( 0 a ) 02 a 4 3 (0 a ) 1
2
)( =
1 2
01 a
2
+
2
02 a
)( ) 2
1 2
β3 k0
2
," RESOLUCI)N DE LA ECUACI)N CARAC(ERÍ S(ICA< DESIGNACI)N DE MODOS
El siguiente paso es resolver la ecuación característica la cual nos va a per$itir clasi-car los diferentes $odos de propagación para esto vo& a utili'ar las siguientes relacionesK 2 n − 1 ( x ) − 2 n+ 1 ( x ) = 2
2 n( x ) 2n ( / 1 ) # 2 n −1 ( x )+ 2 n+1 ( x )= 2 n ( x ) ( / 2 ) x x
4 n−1 ( x ) + 4 n +1 ( x )=−2
4 n (x ) n ( / 3 ) # 4 n− 1 ( x )− 4 n+ 1 ( x ) = − 2 4 n ( x ) ( / 4 ) x x
P(gina ) 2
2 3 8 ( 0 a)
~
2=
HaciendoK
4 38( 0 a)
~
#4=
1
0 1 a 2 3( 0 a)
2
0 2 a 4 3(0 a ) la ecuación característica /ueda co$oK
1
( 2~+ 4 ) (n12 ~2 + n22 4 )= ~
~
(
2
1
01
2
02
)( ) 2
1
+
2
2
β3 a2 k 0
#esarrollando el producto entre parntesis agrupando & dividiendo a todo por n1 2
K ~2
2 +
(n
2 1
+ n 22 )
n1
2
n2 2
~
~
4 2+
n1
2
~
2
4 −
{(
1
01
2
+
1 2
02
)(
β3 a n1 k 0 2
)}
2
=0 ~
2
1a cual es una ecuación de segundo grado para
−( n12 + n22 ) ~
2=
n1
√{
~
4±
2
(n
2
1
+ n22 )
n1
2
} [ {( )( )} ] 2
~
cu&a solución esK
2
4 −4
n2
n
2 1
~
1
2
4 −
01
2
+
β3 a n1 k 0
1
02
2
2
2
2
#esarrollando los tr$inos en la raí' & ordenando se tieneK ~
2=
GeaK
−( n 12 + n 22 ) 2 n1
9=
~
4±
2
√{
(n
2
1
√{
(n
2
− n2 2 ) 2
n1
−n 22 )
n1
2 1
} {( )( )} 2
1
~
4 +
+ 2
01
1
02
2
2
} {( )( )} 2
~
β3 2 a n1 k 0
4 +
1
01
+ 2
1
02
2
β3 2 a n1 k 0
2
EntoncesK ~
2=
−( n 12 + n 22 ) 2 n1
2
~
4±9
%ee$pla'ando 2
&
4
en la ecuación anteriorK
P(gina ) 7
8
2 3 ( 0 a) 1
01 a 2 3(0 a )
=
−( n 12 + n 22 ) 4 38( 0 a ) 2
2 n1
1
2
02 a 4 3(0 a )
± 9 ( / 5)
2
1a e3presión @F presenta 2 casos cuando es Y se tiene la condición para los $odos EH & para la negativa los $odos HEK Bodos EH
•
8 %ee$pla'ando 2 3 de @F!K
2 3 −1 ( 0 1 a )− 2 3 +1 ( 01 a ) 2 01 a 2 3 (0 a )
=
8 −( n12+ n22 ) 4 3 (0 a ) 2
2
0 2 a 4 3 ( 0 a)
2n1
1
+9
2
#espe+ando 2 3−1 de @F2 & ree$pla'ando en la ecuación anteriorK
− 2 2 3 + 1 ( 01 a ) +
23 2 (0 a) 01a 3 1
2 01 a 2 3 ( 01 a )
=
− ( n1 2 + n2 2 ) 2 n1
2
8
4 3 ( 0 a) 2
02 a 4 3 ( 0 a )
+9
2
Gi$pli-cando & agrupandoK 2
2
0 a
8
2
4 0
2 n n 3 9 /6 01 a 2(3 ( 01 a) ) = 2+n21 0 2 a 4(3 ( 0)2 a ) + 021 a2 − ( )
3 +1
1
•
1
3
2
(
)
Bodos HE
8 %ee$pla'ando 2 3 de @F!K
2 3 −1 ( 0 1 a )− 2 3 +1 ( 01 a ) 2 01 a 2 3 (0 a )
=
8 −( n12+ n22 ) 4 3 (0 a ) 2
2
2n1
1
0 2 a 4 3 ( 0 a)
−9
2
#espe+ando 2 3+1 de @F2 & ree$pla'ando en la ecuación anteriorK 23 2 3 −1 ( 0 1 a )− 01 a 2 3 −2 3−1
(
2 0 1 a 2 3 ( 0 a) 1
)
=
−( n12+ n22 ) 4 38 (0 a ) 2
2
2n1
0 2 a 4 3 ( 0 a)
−9
2
P(gina )
Gi$pli-cando & agrupandoK 2 3− 1 ( 0 1 a ) 01 a 2 3 ( 01 a ) •
=
4 3 (02a ) 8
−n21+ n22
02 a 4 3 ( 02 a )
2
2 n1
(
+
)
3 −9 ( / 7 ) 2 2 01 a
Bodos TB
1a ecuación @F; con 2 1 ( 01 a ) 01 a 2 0 ( 01 a )
2
=
3=0
se tiene @ 9=
4 80 ( 02 )
2
n1 + n2
2 n1 0 2 a 4 0 ( 0 2 a ) 2
−
(n
2
1
−n 22 )
n1
2
(n
2
1
− n 22 )
n1
2
8
4 3 ( 02 a ) 02 a 4 3 (02 a )
¿ K
4 80 ( 0 2 a ) 02 a 4 0 ( 02 a )
Agrupando tr$inosK 2 1 ( 01 a ) 01 a 2 0 ( 01 a )
2
=
n2
8
4 0 ( 02 )
n21 02 a 4 0 ( 0 2 a )
#e la e3presión @F7 para
3 =0
ree$pla'o el valor de
8
40
en la e3presión
anteriorK 2 1 ( 01 a ) = −n22 ( 4− 1 ( 02 a ) + 4 1 ( 0 2 a )) 01 a 2 0 ( 01 a ) n21 2 02a 4 0 (02a ) 4 − 1 ( 0 2 a ) = 4 1 ( 02 a )
#e la e3presión @F para 3=0 se tiene /ue 2 1 ( 01 a ) 01 a 2 0 ( 01 a ) •
=
−n22
4 1 (02a)
2 n 1 02 a 4 0 ( 0 2 a )
luegoK
(/ 8)
Bodos TE
1a ecuación @F< con 3=0 se tiene @ 9=
(n
1
2
− n 22 )
n1
2
8
4 3 ( 02 a ) 02 a 4 3 (02 a )
¿ K
P(gina )
2 −1 ( 0 1 a ) 01 a 2 0 ( 01 a ) 2 −1 ( 0 1 a ) 01 a 2 0 ( 01 a )
=
=
−n21+ n22 2 1
2n
8
4 0 (02 a) 02 a 4 0 ( 02 a )
−
(n
2 1
−n2 2 )
n
2 1
02 a 43 (02 a)
−4 80 ( 0 2 a ) 02 a 4 0 ( 0 2 a )
#e @F2 se ve /ue 2 −1=−2 1 & de @F7 4 −1= 4 1
8
4 3 ( 02 a )
8
4 0=
−( 4 −1 ( 02 a ) + 4 1 ( 0 2 a ) ) 2
pero de @F
ree$pla'ando estos valores en la e3presión anterior & agrupando
se tieneK 2 1 ( 01 a ) 01 a 2 0 ( 01 a )
=
−4 1 ( / .9 ) 02 a 4 0
VII"' .I.LIOGRA,ÍA • •
Eugene Hecht. Optics. 4th Edition. Addison Wesley. 2002 Chin-Lin Chen “Foundations fo !uided-Wa"e Optics#. $ohn Wiley % &ons. '&A ( 200).
• •
Arfen ^ _e*er. Bat,e$atical Bet,ods for P,&sicists. Gi3t, Edition ,ttpKNN.uv.esNResanc,isNcefNpdfNTe$asN`T!.pdf
P(gina ) ;
