Tema 4: MODELOS DE PROBABILIDAD PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS 1. A un puesto de servicio llegan de manera independiente independiente y estable, una media de 10 clientes/hora. Calcular la probabilidad de que lleguen 8 clientes en la próxima media hora, sabiendo que en la última hora llegaron 14 clientes. SOLUCIÓN: p = p = 0.065 065..
2. La distancia D entre dos vehículos consecutivos en un carril de una autopista sigue una distribución exponencial con media 200 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tramo de 1 Km de dicho carril haya exactamente 5 vehículos?. SOLUCIÓN: p = p = 0.175 175..
3. El número de averías diarias de una máquina sigue una distribución de Poisson de media 0.4 averías. Calcular la probabilidad de que haya tres días sucesivos sin averías. SOLUCIÓN: P = 0.30 30..
4. Un aparcamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada I según una Poisson con 3 coches a la hora y a la entrad entradaa II con 4 coches coches a la hora. hora. Si el número número de coches coches que llega llega a cada entrad entradaa son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que en una hora lleguen 3 coches al aparcamiento? (junio 98) SOLUCIÓN: 0.052
5. Se sabe que ciertas piezas tienen una duración (tiempo hasta que se averían, sin posibilidad de ser arregladas) que se distribuye exponencialmente. Sabemos que la duración esperada de dicho proceso es de 1000 horas. Calcular: (a) El valor de λ. (b) La varianza de la distribución. (c) La probabilidad de que una pieza se estropee antes de 250 horas. (d) La probabilidad de que una pieza que ha durado 1000 horas dure 1250 horas. (e) Comentar los resultados de los apartados 3 y 4.(sep 98) SOLUCIÓN: 1000..(b) 10002 (c) 0.2212 (d) 0.7788 (a) λ = 1/1000 0.7788 (e). El resultado resultado es lógico, pues la exponencial exponencial es una variable sin memoria
6. La probabilida probabilidadd de encont encontrar rar una persona zurda zurda es de 0.1. En una clase de 20 alumnos alumnos hay 3 pupitre pupitress para zurdos. Calcular la probabilidad de que no haya su ficientes pupitres. (junio 97) SOLUCIÓN: 0.1332
7. El proceso de llegadas llegadas de clientes clientes a un puesto puesto de servicio se produce produce de manera manera estable e independi independien ente. te. Por término medio llega un cliente cada minuto. 1
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre dos clientes consecutivos sea inferior a un minuto? (c) El citado puesto de servicio se mantiene abierto durante 8 horas al día. Este puesto de servicio, sin embargo, sólo es rentable si es visitado por al menos 500 personas al día. ¿Qué proporción de días será rentable? SOLUCIÓN: (a) 0.05 (b). 0.63 (c). 0.18 8. (Fiabilidad) La duración en minutos de una transacción electrónica de información puede modelizarse como una variable con distribuciónde Weibull de parámetros β = 0.5 y α = 5. Se pide (a) Duración media de una transacción (b) Calcular la probabilidad de que dure más de 10 minutos (c) Si la transacción lleva ya 10 minutos realizándose, calcula la probabilidad de que dure al menos otros 10 minutos (d) Repite los apartados b y c pero con β = 1.2 y comenta la diferencia respecto al caso anterior SOLUCIÓN: (a) 10 minutos b).0.243 c)0.557. d) 0.10 y 0.05 respectivamente 9. Se tiene un sistema formado por 2 componentes en paralelo como el de la figura
donde los dos componentes tienen características similares. La avería de un componente es independiente del estado del otro componente. El sistema fuciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcionen. (a) Supongamos que la duración de un componente (tiempo transcurrido desde que se conecta hasta que se avería) se puede modelizar con una exponencial y que la duración media de un componente es de 5000 horas. Calcula la probabilidad de que el sistema formado por ambos componentes en paralelo esté más de 10000 horas funcionando ininterrumpidamente. (b) Supongamos ahora que el sistema lleva ya 8000 horas funcionando sin averiarse. ¿Cuál será ahora la probabilidad de que llegue a las 10000 horas sin averiarse (es decir, que funcione al menos 2000 horas más)? SOLUCIÓN: (a) P = 0.2523 2
(b) P = 0.695. 10. Dos amigos de la misma edad comentan sobre sus respectivas estaturas. El más bajo de ellos mide 160 cm, y dice que él siente que es más bajo que la mayoría de su generación, y que sólo 1 de cada 10 chicos es más bajo que él. El más alto mide 175cm y dice que él siente que su estatura no le parece en absoluto extrema, y que encuentra igual número de personas más altas y más bajas que él. Si suponemos que la estatura de los chicos de esa edad se distribuye según una normal, se desea saber: (a) Calcula la media μ y la varianza σ 2 a partir de la información que suministran estos dos chicos (b) ¿Qué proporción de chicos medirá más de 190cm? (c) Si seleccionamos 4 chicos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de ellos mida menos de 160 cm? SOLUCIÓN: (a) μ = 175, σ2 = 137 (b) P = 0.10 (c) P = 0.0037 11. Un servidor de una página web de un ministerio recibe una media de 10 accesos a la hora. Se supone que los usuarios que acceden a dicho servidor lo hacen de forma independiente unos de otros. El técnico que administra los recursos informáticos de dicho ministerio nota que nadie ha intentado acceder en la última media hora ¿Le debe preocupar y revisar si hay algo anómalo en el sistema? SOLUCIÓN: Es un suceso muy poco probable. Hará bien el técnico en revisar el sistema. 12. A continuación se describe un conjunto de variables aleatorias. Especifica para cada una de ellas, qué modelo de probabilidad le corresponde (elige entre: binomial B(n,p), uniforme discreta Ud(a,b), uniforme continua Uc(a,b), Poisson P (λ), exponencial Exp(λ), o ninguna de los anteriores). Especifica el valor de los parámetros que tenga dicho modelo. Ejemplo: X=Número de caras que se obtienen al lanzar una moneda 3 veces....... X ∼B(3,0.5) (a) X=Valor que se obtiene al lanzar un dado; X ∼?
(b) Al vestíbulo de una estación de tren llegan una media de 120 pasajeros a la hora. La llegada de los pasajeros tiene un ritmo medio estable y lo hacen de forma independiente. Las variables aleatorias que nos interesan son i. X=Número de pasajeros que llegan en una hora;X ∼? ii. X=Número de pasajeros que llegan en cuatro horas; X ∼? iii. X=Minutos transcurrido sin que lleguen pasajeros;X ∼? (c) Un edi ficio tiene dos puertas de acceso, una delantera y otra lateral. En ambos accesos se comprueba que el ritmo medio de llegada de personas es estable. Se supone que las personas llegan al edi ficio de forma independiente. Por la puerta delantera llegan una media de tres personas por minuto, mientras que por la lateral llegan una media de una persona cada cinco minutos. Las variables aleatorias que nos interesan son: i. X=Número de personas que acceden por la puerta delantera a la hora; X ∼? ii. X=Número de personas que acceden cada hora por la puerta lateral; X ∼? 3
iii. X=Número total de personas que acceden al edi ficio a la hora:;X ∼? iv. X=Tiempo transcurrido entre dos personas consecutivas que entran por la puerta delantera;X ∼? v. X=Tiempo transcurrido entre dos personas consecutivas que entran por la puerta lateral; X ∼? vi. X=Tiempo (minutos) transcurrido desde que accede una persona por la puerta principal hasta que lo hace otra por la puerta lateral;X ∼? (d) Una máquina produce por término medio un 1% de artículos defectuosos, apareciendo estos de forma fortuita pero a un ritmo medio estable. Las variables aleatorias que nos interesan son: i. X=Número de artículos defectuosos en un lote de 100 artículos; X ∼? ii. X=Número de artículos defectuosos en dos lotes de 100 artículos cada uno; X ∼? iii. X=Número de artículos que hay que producir para tener uno aceptable; X ∼? iv. Número de artículos defectuosos que hay que producir para tener uno aceptable; X ∼? (e) El 30% de las personas llevan teléfono móvil. Nos interesa entonces: i. X=Número de personas que tienen móvil en un aula con 35 personas;X ∼? ii. X=Número de móviles en un aula de 54 personas;X ∼? (f) Un proceso productivo tiene 4 líneas de producción paralelas que funcionan de forma independiente. La probabilidad de que una línea se detenga por algun tipo de avería fortuita es 0.05. Nos interesan las siguientes variables aleatorias: i. X= Número de líneas que funcionan en un momento dado; X ∼? ii. X=Número de líneas que está parada por avería en un instante daoo; X ∼? (g) Un fabricante vende cable telefónico con una media de 1 defecto por kilómetro de cable. Nos interesan las siguientes variables aleatorias: i. X=Número de defectos por metro de cable; X ∼? ii. X=Número de defectos por kilómetro de cable; X ∼? iii. X=Longitud de cable libre de defectos; X ∼? PROBLEMAS RESUELTOS 13. Un servidor que alberga una página web recibe por término medio 10 accesos por minuto, pudiéndose considerar que los accesos son sucesos independientes. Se quiere saber: (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acceda nadie durante 2 minutos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 10 accesos en un minuto? (c) ¿Cuál es al probabilidad de que haya más de 20 accesos en un minuto? (d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, por término medio, entre dos accesos consecutivos? (e) ¿Cuál es la probabilidad de que entre dos accesos consecutivos transcurra menos de un segundo? SOLUCIÓN: (a) Sea X=número de accesos por minuto. Al tener una media constante y ser los accesos independientes, se puede considerar que X ∼Poi(λ = 10). Entonces, la variable aleatoria T = intervalo entre dos accesos consecutivos es una exponencial T ∼Exp(λ = 10)
4
La probabilidad de que no acceda nadie en 2 minutos se puede resolver de dos maneras: utilizando una variable de Poisson o una exponencial. Si definimos Y =número de accesos en 2 minutos, tenemos que Y ∼Poi(λ = 20), y la probabilidad pedida será ∗
(λ )0 P (Y = 0) = e 0! ∗
∗
λ
−
= e
20
= 2 × 10
−
9
−
.
Por otra parte, la probabilidad pedida es equivalente a la probabilidad de que entre dos accesos consecutivos transcurran más de 2 minutos. Es decir 2
P (T > 2) =
Z
λe
λt
−
= e
2×λ
−
= e
20
−
9
= 2 × 10
−
0
(b) Lo que se pide es λ10 P (X = 10) = e 10!
λ
−
= 0.125
(c) La que se pide es ∞
P (X > 20) =
X
i=21
que es igual que
λi e i!
λ
−
20
P (X > 20) = P (X
≤ 20) =
Esta operación puede ser tediosa. Su valor es 20
P (X > 20) = 1
− P (X ≤ 20) = 1
X − i=1
λi e i!
X i=1
λ
−
λi e i!
=1
λ
−
.
− 0.9984 = 0.0016.
Otra forma más cómoda de hacerla es usando la aproximación a la normal, que será buena ya que λ > 5. Por tanto usaremos que, aproximadamente X ∼ N (λ, λ) ≡ N (10, 10). Por tanto
µ
P (X > 20) = P z >
20
√ − 10 10
¶
= P (z > 3.16) = 0.001
que da también un valor muy bajo. (d) El tiempo entre dos accesos consecutivos es una exponencial de parámetros λ = 10 accesos/minuto. Por lo tanto la media es E (T ) =
1 = 0.1 minutos/acceso=6 segundos/acceso λ
(e) La probabilidad que se pide es, tomando que un segundo son 0.0167 minutos 0.0167
P (T < 0.0167) =
Z
λe
λt
−
dt = 1
0
− P (T > 0.0167) = 1 − e
0.0167×λ
−
= 0.154
14. Un sistema está formado por 3 componentes C 1 , C 2 y C 3 conectados en serie. El sistema falla cuando lo hace cualquiera de los componentes. Los componentes electrónicos C 1 y C 2 tienen tiempos de vida útil T 1 y T 2 que se distribuyen como una exponencial de media 28000 horas. La distribución de probabilidad de la vida del componente mecánico C 3, T 3 , es N (3000, 200). Los tiempos de vida de los tres componentes son variables aleatorias independientes. (a) Calcular la probabilidad de que el componente 1 dure más de 3000 horas. (b) Calcular la probabilidad de que el componente 1 dure más de 6000 horas, si ha durado ya 3000 horas. (c) Calcular la probabilidad de que el sistema dure más de 3000 horas. 5
SOLUCION: (a) La función de densidad del tiempo de vida del componente C 1 es f (t) =
1 e 28000
t/28000
−
, t
≥ 0,
por lo que la probabilidad pedida es 3000
P (T 1 > 3000) = 1
Z −
f (t) dt = e
3/28
−
= 0.898.
0
(b) Aplicando la de finición de probabilidad condicionada se tiene que P (T > 6000) P (T 1 > 6000 | T > 3000) = = P (T > 3000)
+∞
R R
f (t) dt
e = e f (t) dt 3000 6000 +∞
6/28
−
3/28
−
= e
3/28
−
= 0.898.
Obsérvese que esta probabilidad coincide exactamente con la probabilidad calculada en el apartado anterior de que un componente dure más de 3000 horas. Como la distribución exponnecial no tiene memoria, la probabilidad de durar T unidades de tiempo adicionales es independiente del tiwmpo que lleva funcionando. (c) Como los tiempos de vida de los tres componentes son independientes, la probabilidad de que la vida del sistema T sea mayor que 3000 horas es P (T > 3000) = P (T 1 > 3000) × P (T 2 > 3000) × P (T 3 > 3000) = 0.898 × 0.898 × 0.5 = 0.4032,
donde se ha utilizado que P (T 3 > 3000) = 0.5, por ser T 3 una distribución normal de media 3000 horas. 15. (Fiabilidad) Se tiene un sistema formado por 2 componentes en paralelo como el de la figura
donde los dos componentes tienen características similares. La avería de un componente es independiente del estado del otro componente. El sistema fuciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcionen. (a) Supongamos que la duración de un componente (tiempo transcurrido desde que se conecta hasta que se avería) se puede modelizar con una distribución Weibull de parámetros α = 1200 y β = 1.7. Calcula la probabilidad de que el componente 1 esté más de 1000 horas funcionando ininterrumpidamente. (b) Supongamos que el componente 1 lleva ya 500 horas funcionando sin averiarse. Calcula la probabilidad de que funcione durante 1000 horas adicionales. (c) Comenta la diferencia entre la probabilidad del apartado (a) y (b), explicándo dicha diferencia en función de los parámetros del modelo Weibull. 6
(d) Calcula la probabilidad de que el sistema formado por ambos componentes en paralelo esté más de 1000 horas funcionando ininterrumpidamente. (e) ¿Cuántos componentes en serie como los de la figura se deberían usar para que la probabilidad de que el sistema dure más de 1000 horas sea mayor que 0.98? SOLUCIÓN: (a) Sea T 1 la duración del primer componente. Entonces, según la función de distribución de la Weibull se tiene que P (T 1 > 1000) = 1 = exp
P (T 1
1000) = 1
F (1000)
= exp
1000 1200
( µ − ¶ ≤) ( µ− ¶ ) − − β
1000 α
1.7
= 0.48
(b) Se desea ahora calcular la probabilidad de que dure 1500 horas si sabemos que ya lleva funcionando 500. Es decir, queremos calcular P (T > 1500|T > 500). Se tiene entonces que P (T 1 > 1500|T 1 > 500) =
P [(T 1 > 1500) (T 1 > 500)] P (T 1 > 500)
∩
exp
P (T 1 > 1500) = = P (T 1 > 500) exp
1500 1200
1.7
500 1200
1.7
n− ¡ ¢ o n− ¡ ¢ o
= 0.29
(c) Se obtiene que P (T 1 > 1500|T 1 > 500) < P (T 1 > 1000), lo cual es lógico dado que β > 1. Si β > 1 el componente envejece, y por lo tanto a medida que está funcionando va aumentando la probabilidad de fallar en la siguiente unidad de tiempo. Por eso, la probabilidad de durar 1000 horas es mayor si el componente es nuevo que si lleva ya 500 horas de vida. (d) Para que funcione el sistema debe funcionar al menos un componente. Por tanto, si llamamos T 2 a la duración del segundo componente se tiene que P (Funcione más de 1000 horas ) = P [(T 1 > 1000)
∪ (T > 1000)] = 1 − P [(T ≤ 1000) ∩ (T ≤ 1000)] = 1 − P (T ≤ 1000) = 1 − (1 − 0.48) 2
1
2
2
1
2
= 0.73
(e) Según la solución de la sección anterior, tenemos que la probabilidad de que un sistema con k componnetes en paralelo funcione será P (Dure más de 1000 horas ) = P (Dure algún componente )
− P (No dure ninguno) = 1 − P (T ≤ 1000)k > 0.98. De la solución de la sección anterior tenemos que P (T ≤ 1000) = 1 − 0.48 = 0.52. Por tanto 1 − 0.52k > 0.98 ⇒ 0.02 > 0.52k ⇒ log(0.02) > k log(0.52) ⇒ −3.91 > k × −0.65 ⇒ k > 3.9/0.65 ≈ 6 componentes =1
1
1
16. Un servidor que gestiona el acceso a una página web está diseñado para manejar un máximo de 100 accesos simultáneos en un mismo minuto. Si los accesos se producen de forma independiente, y con un ritmo medio de 80 accesos por minuto: (a) ¿Qué proporción del tiempo estará el servidor saturado? 7
(b) ¿Qué capacidad máxima de accesos por minuto debería tener el servidor para que la probabilidad de saturarse fuese inferior a 0.001? SOLUCIÓN: (a) Sea X =número de acceos en un minuto. Entonces X ∼Poi(λ = 80) ≈ N (80, 80). El servidor estará saturado si x > 100. Por tanto
µ
P (X > 100) = P z >
100
√ −8080
¶
= P (z > 2.23) = 0.013
(b) Buscamos la capacidad C tal que P (X > C ) < 0.001
y por tanto
µ
P (X > C ) = P z >
C
√ −8080
¶
= P (z > z0 ) < 0.001
⇒ C √ −8080 > 3.1 ⇒ C = 80 + 3.1 ×
⇒ z > 3.1 0
√
80 > 108 accesos
17. (Fiabilidad) El tiempo T en segundos que tarda en conectarse a un servidor durante un día laborable sigue una distribución de Weibull de parámetros α = 0.6 y β = 1/4, mientas que un fin de semana es una Weibull de parametros α = 0.24 y β = 1, donde la densidad de la Weibull se escribe como β f (t) = β tβ α
1
−
exp
β
( µ ¶) − t α
(1)
,
Se quiere saber: (a) Tiempo medio que tardaremos en conectarnos en ambos tipos de día (b) Calcula, para ambos tipos de día, la probabilidad de tardar más de 10 segundos en realizar la conexión (c) Si llevamos ya 5 segundos esperando a que se efectúe la conexión, ¿cuál es la probabilidad de que la conexión se demore aún 10 segundos más? (d) ¿Era de esperar el resultado que se obtiene en c. SOLUCIÓN: (a) La esperanza matemática de una Weibull es μ = αΓ (1 + 1/β ), donde Γ(1 + r) = r! si r es entero. Por tanto μL = 0.6 × Γ(5) = 14.4 sg μF = 0.24 × Γ(2) = 0.24 sg
luego el fin de semana el servicio es más rápido (b) La probabilidad que buscamos es P (T > 3) = 1
− F (10) = exp
( µ ¶) − 10 α
β
Para un día laborable tenemos que P (T > 10) = exp
8
1/4
(µ ¶ ) − 10 0.6
= 0.133
mientras que para el fin de semana P (T > 10) = exp
( µ ¶) − ≈ 10 0.24
1
0
(c) La probabilidad que buscamos es P (T > 15|T > 5). Para el fin de semana, el resultado no cambiaría, pues al ser β = 1 tenemos una exponencial que no tiene memoria. No se acuerda del tiempo que lleva esperando, y la probabilidad de estar 10 segundos adicionales es la misma que antes. Para el caso del día laborable tenemos P (T > 15|T > 5) = exp = exp
n− ¡ n− ¡
15 0.6 5 0.6
P [(T > 15) (T > 5)] P (T > 15) = P (T > 5) P (T > 5)
∩
¢ o ¢ o 1/4
=
1/4
0.1069 = 0.5845, 0.1829
luego la probabilidad de demora aumenta. (d) Este resultado era previsible al ser β < 1, pues entonces la tasa de fallo disminuye con el tiempo. En este ejemplo, el ’fallo’ es precisamente culminar la conexión, o bien terminar la espera, o abandonar la espera. La tasa de fallo puede interpretarse como la velocidad a la que los individuos que aún no se han conectado, lo hacen. Y una tasa decreciente significa que los individuos que aún están esperando, abandonan la espera cada vez en menos proporción 18. (Fiabilidad) Sea X una variable aleatoria de Weibull de parámetro β > 1 que representa la duración de un componente hasta que se averíe. Para montar un circuito, buscamos componentes que nos duren al menos 500 unidades de tiempo. Para seleccionar esos componentes nos dan a elegir entre dos tipos. Los componentes del Tipo 1 están sin estrenar, mientras que los componentes del Tipo 2 no son nuevos. ¿Qué tipo de componentes es el más adecuado para nostros? SOLUCIÓN: Si X es una Weibull de parámetro β > 1, el componente envejece. Cada vez le resulta más difícil sobrevivir; es decir, P (X > t0 + t|X > t0 ) < P (X > t). Por tanto nos interesa el componente sin estrenar. 19. El tiempo T que una impresora de una red local tarda en imprimir un trabajo se puede modelizar como una exponencial de densidad f (t) =
4 e 3
−
4 3
t
; t > 0,
donde t está expresado en minutos. Si a las 14:15 horas se encuentran 35 trabajos en la cola de la impresora, calcular la probabilidad de que a las 14:30 no quede ningún trabajo por imprimir. (sep 05) SOLUCIÓN: La función de densidad corresponde a una variable aleatoria exponencial de λ = 4/3, por lo que E (T ) = 1/λ = 3/4, y Var(T ) = (3/4)2 . Sea X =tiempo en imprimir 35 trabajos. Entonces X = 35 i=1 T i , donde T i es el tiempo en imprimir el trabajo i-ésimo. Por el TCL se tiene que X ∼ N (E (X ),Var(X )), donde, utilizando que los tiempos empleados en la impresión de cada trabajo son independientes entre sí
P
3 = 26.25, 4 2 3 = 19.69. Var(X ) = 35 × 4 E (X ) = 35 ×
µ¶
Por tanto X ∼ N (26.25; 19.69). Entonces, la probabilidad de emplear menos de 15 minutos en la impresión de los 35 trabajos es
µ
P (X < 15) = P z <
15
26.25 √ −19.69
9
¶
= P (z <
−2.54) = 0.0055.
