MAQUINARIA PESADA
LABORATORIO N° 1
“MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA ELÉCTRICO”
PROFESOR: Ing: Berly, Ing: Berly, Silva Vargas
INTEGRANTES:
Polo Ruiz, Jose Luis Quezada Peña, Toni Quiroz Vásquez, Isacar Quiroz Vázquez. Eliseo
ESPECIALIDAD
SISTEMAS DE CONTROL MECATRÓNICO CICLO:
“VI”F
SECCIÓN:
“B”
PROGRAMA DE FORMACIÓN REGULAR
TRUJILLO – PERÚ
MAQUINARIA PESADA
SISTEMAS DE CONTROL MECATRÓNICO
GUÍA DE LABORATORIO Nº 1 “Modelamiento Matemático de un Sistema Eléctrico”
I.
II.
Objetivo: Utilizar la transformada de Laplace para encontrar la función de transferencia de dos circuitos eléctricos. Utilizar el programada computarizado Matlab para encontrar las gráficas del comportamiento de los dos circuitos eléctricos. IMPLEMENTOS DE SEGURIDAD
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III.
IV.
Materiales: Computadora con el Software Matlab.
Marco Teórico: TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace se define de la siguiente forma: Si la integral existe, que es una función temporal se trasforma en que es una función de variable compleja S. En este informe no solo se intentará explicar la herramienta de la transformada para la resolución de las ecuaciones diferenciales, sino también analizaremos los resultados y los expresaremos en el dominio tiempo nuevamente, para así poder apreciar las formas de onda de las distintas variables que se obtienen como respuesta. Esto se logra a través de lo que llamamos Transformada Inversa de Laplace, no ahondaremos más detalles sobre este tema en particular, simplemente para la anti trasformación utilizaremos valores tabulados para no confundir a lector con tanta teoría matemática. La capacidad de obtener aproximaciones lineales de sistemas físicos permite al analista considerar el uso de la transformación de Laplace. El método de la transformada de Laplace sustituye por ecuaciones algebraicas de resolución relativamente fácil las ecuaciones diferenciales, más difíciles. La solución para la respuesta temporal se obtiene mediante las siguientes operaciones: Obtener las ecuaciones diferenciales. Obtener la transformación de Laplace de las ecuaciones diferenciales. Resolver la transformada algebraica resultante para la variable de interés. La transformada de Laplace existe para ecuaciones diferenciales lineales para las que la transformación integral converge. Por lo tanto, a fin de que sea transformable, es suficiente que:
Para algún número real positivo σ1. Si ka magnit ud de f(t) es |f(t)| < Meαt para todo t positivo, la integral convergerá para σ1 < α. Por lo tanto, la región de convergencia viene dada por ∞ > σ1 > α y σ1 se conoce como abscis a de convergencia absoluta.
Las señales que son físicamente realizables siempre tienen una transformada de Laplace. La transformación de Laplace para una función del tiempo, f(t), es:
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CIRCUITOS ELECTRICOS
Supongamos tener un circuito eléctrico tal como se muestra en la figura (1), compuesto por una fuente de tensión, una resistencia y una inductancia conectada en serie entre sí. Si planteamos las ecuaciones del modelo matemático (siempre suponiendo que es un sistema lineal e invariante en el tiempo) de este circuito nos encontramos con la siguiente ecuación diferencial teniendo en cuenta que, es una fuente que entrega al circuito un escalón de voltaje, es la corriente que circula por el circuito, R y C (consideremos que el capacitor se encuentra inicialmente descargado) son los correspondientes valores de las impedancias de la resistencia y el capacitor respectivamente A continuación, aplicaremos la Transformada de Laplace, para transformar tanto derivadas como las integrales de la función en una ecuación lineal:
V.
Procedimientos: Describir que leyes eléctricas gobiernan al siguiente circuito mostrado en la imagen N°1y encontrar la ecuación de voltaje de entrada (Ve (t)) y el voltaje de salida (Vs (t)).
Figura Nª1: Circuito RC.
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Realizar el modelamiento matemático para encontrar la función de () transferencia (()), empleando la transformada de Laplace.
ℓ{I(t)R1
+
ᶴ i(t)d(t)
+ i(t) R2} =
ℓ{Ve(t)} I(t)R1 +
()
() ()
()
()
[
R1
1
()
()
()
R2
1
(+)+
R2
() ()
= =
(,37)() (,37)(6)+ ,37 ,674+
ℓ{Ve(t)} = ℓ{12V} 1 Ve(s) =
= 112 2
1 ]
R2
()
()
1
R1
R1
C = 0,001037 F
R2
R2[
=
+ +
R2 = 100 Ω
=
=
R1 = 550 Ω
=
=
] + i(s) R2 = Ve(s)
R2
()R2
() ()
ℓ {ᶴ i(t)d(t)} = i(s) ()
()
Vs(s) =
Ingresar datos al Matlab
,37 (,674+ )*
Excitar al circuito con una función escalón unitario de 12 VDC. Encontrar la ecuación en el tiempo del sistema, aplicando la transformada inversa de Laplace.
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Grafica del ejercicio número 1
Emplear el simulador Matlab para graficar la ecuación de Transferencia. Repetir los pasos anteriores para el circuito de la imagen N°2 y encontrar la función de transferencia entre ().
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100 Ohm =
= 0,95 Herios
= 12V
V2
0,001Faradios =
Figura Nª2: Circuito RLC.
V1(t)-R1-L1-C1=O -VR1-VL1-VC1=-V1(t)
()
1 = 1 1() (1 ∗ ) ( ∗ ) 1 1 1 = 1() 1 ∗ ∗ 1
()
VR1+VL1-VC1=V1(t) () 1 £i(t )R1 £L £i(t )dt ( ) = £ V1(t) 1 () 1 () I(s)R1 £ [ ] = V1(s) 1 ( ) I(s)R1 () [ ] = V1(s) I(s)R1 ()
()[1 () 1() () 1() () 1()
1 ()
] = 1() ()
= 1
=
() 1 = 1() 1 ∗ ∗ 1 () 1 = 1() 1 ∗ 1
= V1(s)
1
= 1
1 1 = 1() 1 ∗ ∗ 1
()
()
1 = 1() 1 ∗ 1
1
()
1
1()
1 1 1 (1 )( )
=
1 (100 ∗ 0.001) (0.95 ∗ 0.001) 1
()
1 12 = ∗ 1() 0.1 0.000095 1
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()
n=[12)
1() =
d=[0.000095
12
0.1
1
0]
0
0.0000953 0.1 1 0
Impulse (n,d)
Se ordena los exponentes hasta el cero
Datos que se ingresan al Matlab
Grafica del ejercicio número 2
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Conclusiones
VI.
Se logró realizar ejercicios matemáticos para encontrar la transferencia de los circuitos eléctricos aplicando la transformada de Laplace.
Se logró resolver problemas de ingeniería aplicando Matlab para calcular y encontrar las gráficas del comportamiento de los circuitos eléctricos.
Se logró la interpretación de la función resultante I(t) intensidad de la corriente eléctrica representa la cantidad de electricidad que circula por el circuito dadas la condición inicial en cualquier momento al estar en términos de la variable tiempo(t).
VII. Recomendaciones
Se recomienda poner atención al instructor antes de empezar con la actividad, para terminar la actividad satisfactoriamente.
Se recomienda realizar mantenimiento de las computadoras ya que se congelan al momento de realizar nuestro trabajo.
