Modelamiento de la desintegración desintegración radiactiva Santiago de Jesús Cano Agudelo*; David Puerta Restrepo*; Juan Diego Cardona*
Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia Resumen Con el fin de plantear un modelo sencillo que permita asemejar la cantidad cantidad de partículas desintegradas desintegradas en el núcleo de un átomo, se planteó un experimento en el cual se usaron 100 arandelas como partículas, el área de una caja rectangular como núcleo y líneas dibujadas en esta como niveles de energía. Mediante el experimento se encontró un comportamiento similar al encontrado en la desintegración radiactiva en el cual el número de arandelas que restan en la tabla disminuye de forma exponencial, dependiente del número inicial de arandelas, del tiempo y de una constante que se asemeja a la constante de desintegración del fenómeno.Además, fenómeno.Además, fue posible demostrar que los errores se propagan con facilidad y pueden ser medidos a partir de parámetros estadísticos. estadísticos. Desintegración radioactiva, modelo, partículas. Palabras clave: Desintegración 1. Introducción La medición de un objeto permite obtener información de las propiedades que determinan un cuerpo, de tal manera que se conozca suficiente información para dar solución a diferentes interrogantes que surgen en situaciones comunes. En lapráctica se toman de mediciones que permitan describir cada uno de los elementos que intervienen en el sistema, donde se puede evidenciar la propagación de errores, los cuales pueden ser de orden sistemático, aleatorios o de escala; estos en ocasiones son la razón por la cual los datos experimentales presentan desviaciones de acuerdo a lo que se pretendía obtener. Para el cálculo de los errores se usan diferentes análisis estadísticos que permitan verificar modelos, como el de desintegración radioactiva el cual muestra que las partículas radioactivas sufren sufren un proceso de desintegración que puede ser modelado a escala de laboratorio. 2. Marco teórico La desintegración radioactiva se relaciona con el concepto de actividad que es el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo. Un átomo
inestable se va a desintegrar en átomos que a su vez son inestables y así sucesivamente hasta llagar a uno estable. Esta desintegración se manifiesta por medio de la liberación de energía, esto es emitiendo partículas desde el núcleo inestable. i nestable. Según el tipo de partícula emitida se clasifica en: alfa, emitiendo un núcleo de helio; beta, emitiendo un electrón y gamma emitiendo un fotón de alta energía. Con el experimento a realizar se espera deducir una forma aproximada de la ecuación que rige el fenómeno de radioactividad, la cual expresa el número de núcleos que no se han desintegrado en función del número de núcleos iníciales, una constante de desintegración y el tiempo transcurrido. La ecuación se muestra a continuación
= 0− (1) Dónde: N= número de núcleos no desintegrados. desintegrados. No= número número de núcleos iníciales iníciales = constante de desintegración desintegración t= tiempo.
Errores de medida
3. Metodología
En el proceso experimental se pueden tener resultados en las mediciones que no coinciden exactamente con el valor real de la medición del objeto. Esta diferencia el valor medido y el real se define como error de medida.
El experimento consta de 100 arandelas y una caja rectangular de madera con líneas dibujadas en ella. Se debe medir tanto el área de las arandelas como de la caja, con el fin de encontrar la relación entre el área de una arandela con respecto al área de la caja. Si esta relación es pequeña se puede continuar con el experimento dado que se asemeja a la relación de los núcleos respecto a los átomos. Luego de comprobar esto se procede a la desintegración de las arandelas; primero se comienza batiendo la caja con las arandelas y retirando las arandelas que estén tocando las líneas. Luego de repetir este procedimiento para diferentes instantes de tiempo se espera encontrar el comportamiento exponencial visto en la teoría de desintegración radiactiva.
Los errores de medida pueden clasificarse según su origen como: Errores de Escala: es el error que determina la precisión del instrumento de medida. Errores Aleatorios: cuando se tienen instrumentos de alta precisión, al realizar medidas consecutivas de una magnitud se pueden obtener valores diferentes de la medida debido a ciertos factores que, de manera sutil pero perceptible por nuestro instrumento, pueden afectar la medida en forma aleatoria. Errores sistemáticos: son los errores asociados al montaje experimental y a los instrumentos de medida des calibrados, también se tiene en cuenta los errores de modelos teóricos usados de forma indirecta. Elementos de medida
Dado que se deben realizar las medidas tanto de las dimensiones de las arandelas como de la caja se cuenta con tres elementos de medida. En la siguiente tabla se muestran los elementos utilizados con sus respectivas incertidumbres. Tabla 1.Incertidumbre medida.
Elemento Calibrador Flexómetro regla
elementos
Incertidumbre ( ) 0,05mm 0,1 cm 0,1 cm
de
4. Resultados Toma de dimensiones Arandelas
Para la medición tanto del diámetro interno, externo y el espesor se utilizó el calibrador. Para determinación de estos diámetros se tomó inicialmente 5 medidas como muestra para obtener información sobre el número óptimo de mediciones. Esto se encuentra cuando la incertidumbre estadística sea igual o comparable con la incertidumbre nominal. A continuación se muestra las medidas tomadas. Tabla 2. Dimensiones desviacionesestándar de las arandelas
y
Dimensiones (mm) arandela Φinterno Φexterno espesor 1 4,85 16,4 0,8 2 5,1 16,3 0,9 3 5 16,3 0,9 4 4,9 16,1 0,9 5 4,8 16,2 0,8 Sx 0,12042 0,1140 0,05477 Donde Sx es la desviación estándar
Numero óptimo de mediciones
3 4 5 Sx
El número óptimo de mediciones está dado por la siguiente ecuación.
≈ 1 +[] (2)
Tabla 3. Numero optimo de medidas para las arandelas.
(redondeado)
Φinterno Φexterno
7 6 2
espesor
Tabla 4. Resultados de las dimensiones de las arandelas.
Φinterno Φexterno
espesor
4,93 16,3 0,85
Δ(mm)
0,1435 0,1290 0,071
0,054 0,048 0,05
Dimension
(redondeado)
Y X
5 2
Despues de tomar las medidas de la tabla 6 se llego a los siguientes resultados. Tabla 7. Resultados de las dimensiones de la caja.
Y X
Luego de tomar las medidas la cantidad de veces mostradas en la tabla 3, se llego a los siguientes resultados.
x
19,7 19,5 19,7 0,1045
Tabla 6. Numero optimo de medidas para la caja.
Donde es este caso para las tres medias corresponde a la incertidumbre de escala del elemento. Asi el numero optimo de intentos para cada dimension se muestra acontinuacion.
Dimension
39,5 39,7 40 0,1923
0,074 0,069 0,071
Caja
Para medicion tanto del largo como ancho de la caja rectangualr se utilizo el flexometro. El procedimiento fue similiar al de los diametros de las arandelas. Ademas, se tomaron inicialmente 5 medidas como muestra y se calculo el numero optimo de intentos. El procedimento se muestra acontinuacion. Tabla 5. Dimensiones y desviaciones de la caja.
Medida
Y(cm)
X(cm)
1
39,9
19,7
x 39,7 19,6
0,1923 0,1414
Δ(cm)
0,086 0,1
0,132 0,17
Determinacion de las areas
Para llevar acabo el experimento es necesario comprobar que la relacion entre el area de la arandela y el area de la caja sea pequeña,por lo que se calculo el area de cada elemento y se realizo el analisis correspondiente. Arandela
De las tabla 4 se tiene que los diametros con exactitud son: Φinterno= 4,93mm ± 0,074mm Φexterno= 16,3mm ± 0,069mm
Con esto se tiene que el área de la arandela es AA=184,37mm2 ± 1.86mm2 (Ver anexo [3]). Caja
De las tabla 7 se tiene que las longitudes con exactitud son: Y= 397mm ± 1,32mm
X= 196mm ± 1,7 mm Con esto se tiene que el área de la caja es AC=77812mm2 ± 722,79 mm2 (Ver anexo [4]). Así la relación entre el área de la arandela y la tabla es de AA/AC= 2,37x10-3 ± 3,25x10-5 (Ver anexo [5]), comprobando que el área de la arandela es mucho menor en comparación con la de la caja. 5. Análisis experimental Luego de comprobar la relación anterior se procede a agitar la caja con las arandelas durante 10segundos y contar cuántas de ellas tocaba las líneas dibujadas en la caja, donde estas eranlas arandelas que se desintegraban por lo cual para el siguiente tiempo se retiraban del experimento. Antes de retirar las arandelas se debió repetir este proceso varias veces para cada tiempo con el objetivo de obtener un valor más estable sobre dicha medida. Con el fin de determinar el número de mediciones óptimas para cada tiempo se procedió similar a la medición de las dimensiones de las arandelas y la caja, tomando 5 medidas como muestra y se aplica la ecuación 2.Por otro lado, se toma el error nominal ( como una arandela para cada tiempo, este como resultado de la apreciación de la persona que toma la medida. A continuación se muestran los resultados.
)
Tabla 8. Resultados del experimento.
Tiempo 0 1 2 3 4 5
A.D 0 42 22 14 9 5
1 3 4 4 4 2
Sx 0 1,528 1,709 1,826 2,061 0,707
±Δ
0 0,88 0,85 0,91 1,03 0,707
.. = ..− . (3). Donde ..−=arandelas no desintegradas en el tiempo anterior. .=arandelas desintegradas en el tiempo actual . Los errores asociados a las medidas están sujetos a varios factores: uno de ellos se trata de la toma de datos al realizar las medidas, pues están determinados completamente por las apreciaciones que se tomen con respecto a los instrumentos utilizados, además las magnitudes tomadas pueden ser relativas según quien las lleve a cabo. Otro factor tiene que ver con las incertidumbres asociadas a los instrumentos de medida, por lo que nunca se podría dar una medida, por lo que nunca se podría dar una medida completamente exacta de los objetos, más bien podría hablarse de una aproximación cada vez mayor justo cuando las herramientas para determinar las dimensiones posean una incertidumbre cada vez más pequeña. Y finalmente hay dos factores que influyen en la toma de medidas que son el número de repeticiones que se realice una misma medida y el sistema donde se lleve a cabo el proceso, donde estos factores siempre van afectar cualquier medida ya que están siempre en el estudio que se realice. Ahora para la construcción del modelo de desintegración radioactiva se tomaron los datos reportados en el cuaderno de protocolo donde se relacionan las arandelas no desintegradas con el tiempo.
1 1,33 1,31 1,35 1,43 1,22
Donde A.D corresponde al número de arandelas desintegradas. El número de arandelas no desintegradas se rige bajo la
Figura 1. Arandelas no desintegradas en el tiempo
Los puntos de la gráfica fueron ajustados mediante una curva exponencial, cuya
=98,342−0,50
ecuación es , donde y representa las arandelas y x el tiempo. Es posible observar en los resultados que el modelo integrado de la caja-arandela modela de una buena manera el proceso de desintegración radioactiva, puesto que el coeficiente de determinación (R 2=0,9997)es muy cercano a uno, lo que indica que los datos si describen estadísticamente bien el modelo; y para este caso daría una estimación muy precisa hallar cualquier valor de numero de arandelas en un determinado tiempo t. También es apreciable que el No para la curva obtenida es muy cercano al valor inicial de arandelas, lo que indica que la curva exponencial si predice muy bien el comportamiento del modelo.
El modelamiento realizado experimentalmente cumplieron con la ley de desintegración radioactiva, debido a que se obtuvo un ajuste exponencial que describe de manera óptima el comportamiento de partículas desintegradas. •
• Fue de gran importancia tener en cuenta el
reconocimiento de los diferentes tipos de errores (escala, aleatorios, sistemáticos y humanos) en el modelamiento del sistema, ya que permitieron llegar a unos resultados con una mayor exactitud. Se presentaron ciertas variaciones en los cálculos obtenidos debido a que el modelo no siempre tiene presente las mismas condiciones. •
Referencias
Figura 2. Errores para cada tiempo.
Esta grafica muestra los errores calculados en la tabla 8. Para el número de arandelas no desintegradas. 6. Conclusiones • El modelo de desintegración radioactiva
permite de manera simple por medio de una caja de madera y de cierta cantidad de arandelas estudiar el comportamiento y la forma de como los átomos radioactivos se comportan, siendo posible observar de manera experimental todo el fenómeno.
Gil,s.(2016). Experimentos de física. [online] Recuperado de: https://www.researchgate.net/pro file/Salvador_Gil2 [accedido 10 sep.2016] Sc.ehu.es. (2016). la desintegración radioactiva.[online] Recuperado de: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica /cuantica/desintegracion/radio.ht m [accedido 10 sep.2016] Walter Fent,J.(2010).Ley de desintegración radiactiva.[online] Recuperado de: http://www.walterfendt.de/ph14s/lawdecay_s.htm [accedido 10 sep.2016] Mahecha, J. Jaramillo D. (2013). Laboratorio de Física I e Integrado. Medellín. Colombia
Anexo
[1]
[2]
[3]
Δ = √ +
Δ( ) = Δ + Δ
= (2)(Δ) +(2)(Δ) = √ ( Δ) + ( Δ)
[4]
[5]
= + − ( )
