Tugas Pemodelan Matematika
MODEL DALAM BIDANG EKONOMI
Oleh:
AHMAD SAHIDIN (11 24 269) NURYADIN SAHDAN (11 24 265)
PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN YPUP
MAKASSAR 2012
MATK4312 MATERI POKOK 3
MODEL DALAM BIDANG EKONOMI
Drs. B. Susanta
DAFTAR ISI
BMP 3
MODEL MATEMATIK
Halaman
1.
Pengantar
3.1
2.
Tujuan Instruksional Umum
3.1
3.
Tujuan Instruksional Umum
3.1
4.
Ke Kegiatan Belajar
4.1. Kegiatan Belajar 1:
3.2 3.2
PENGGUNAAN GRAFIK DAN BARISAN/DERET DALAM BIDANG EKONOMI
Uraian dan Contoh
3.2
Latihan 1
3.11
Rangkuman
3.14
Tes Formatif
3.14
Umpan Balik dan Tindak Lanjut
3.17
4.2. Kegiatan Belajar 2 : PENGGUNAAN KALKULUS DALAM BIDANG EKONOMI
Uraian dan Contoh
3.18
Latihan 2
3.26
Rangkuman
3.29
Tes Formatif
5.
3.18
2
3.29
Umpan Balik dan Tindak Lanjut
3.32
Kunci Jawaban Tes Formatif
3.33
6.
Referensi
3.34
MODEL DALAM BIDANG EKONOMI
1. Pengantar
Meskipun ekonomi termasuk bidang sosial, tetapi dalam perkembangannya, beberapa seginya menjadi makin kuantitatif, maka banyak model matematika yang diperlukan dalam bidang ekonomi. Analisis kuantitatif menjadi alat penting dalam pengambilan keputusannya. Dalam proses kuantifikasi inibanyak hukum-hukum ekonomi yang dulu disajikan secara verbal, sekarang sudahg menjadi rumus matematika, misalnya pengertian elastisitas, marginal dan sebagainya. Ekonometri adalah contoh penggunaan statistika yang cukup padat dalam bidang ekonomi. Dalam modul ini hanya akan di cukil beberapa model sederhana yang menyangkut pemanfaatan grafik fungsi, barisan atau deret dan penggunaan Kalkulus yang sederhana. Penggunaan Kalkulus Dua Variabel, Persamaan Diffrensial dan Persamaan Differensi, Aljabar Linear, tidak sempat dibeicarakan disini. 2. Tujuan Instruksional Umum
Setelah selesai mempelajari modul ini anda diharapkan dapat mengenal dan menguasai penyusunan model sederhana dalam bidang ekonomi. 3. Tujuan Instruksional Khusus
Setelah selesai mempelajari modul ini anda diharakan dapat: a. Menyusun model-model sederhana dalam bidang ekonomi. b. Menyusun beberapa model dalam bidang Ekonomi dan menafsirkannya kembali.
4. Kegiatan Belajar
4.1.Kegiatan Belajar 1 PENGGUNAAN GRAFIK DAN BARISAN/DERET DALAM BIDANG EKONOMI 4.1.1. Uraian dan Contoh
Dalam terapan Matematika kerapkali bntuk fungsi di bagi dalam dua kelompok besar ialah yang linear dan yang tak linear, meskipun kita tahu bahwa yag tak linear mewakili banyak fungsi, fungsi polinom, fungsi pecahan, fungsi eksponen dan sebagainya. Hal tersebut memang wajar karena fungsi liner adalah fungsi yang paling sederhana, malah bila diperlukan, fungsi-fungsi tal linear akan diusahakan “dilinearkan”, dengan cara di anggap linear (bagian demi bagian) atau dihampiri dengan fungsi linear.
a. Fungsi Permintaan (Demand) dan Fungsi Penawaran (Supply)
Fungsi permintaan adalah hubungan antara jumlah atau banyak barang yang di minta dan harga barang, sedang fungsi penawaran adalah hubungan antara junlah dan banyak barang yang ditawarkan dengan harganya. Hukum permintaan berbunyi: Bila harga naik, permintaan akan turun dan sebaliknya bila harga turun, permintaan akan naik. Tentu saja hal ini berlaku dalam kondisi tertentu. Jadi bila hubungan di atas linear, hukum permintaan akan digambarkan dengan garis lurus dengan gradien negatif. Biasanya untuk banyak barang di pilih lambang x (atau D untuk permintaan) dengan sumbu ke kanan, sedang untuk harga di pilih y (atau P) dengan sumbu ke atas. Dengan sendirinya, daerah negatif tidak di ambil karena x,y negatif tidak mempunyai arti
Contoh 1 y = 200 – 8x ( atau x = 25 –
1 8
y)
Fungsi permintaan di atas mengatakan misalnya, bahwa untuk harga sebesar 100 satuan (y = 100) di peroleh permintaan sebesar 12
1 2
bersesuaian dengan titik T (12
satuan (x = 12 1 2
1 2
) yang
, 100)
Apabila harga dinaikkan dari y = 100 akan di dapat x berkurang dari nilai 12
1 2
(lihat titik Q).
Titik A(25,0) berseuaian dengan kejenuhan permintaan, berarti meskipun tanpa membayar, besar permintaan tidak meleihi 25 satuan, dan dalan hal ini barangnya disebut barang bebas (free goods). Sebaliknya, titik B(0,200) mengatakan bahwa bila barang di beri harga 200 atau lebih, sudah tidak ada orang yang mau membeli, jadi 200 satuan adalah batas harga tertinggi untuk dapat di jangkau oleh pembeli. Gambar di atas adalah model fungsi permintaan linear yang umum, sebab ada pula kejadian khusus sebagai berikut. (Gambar 2). Fungsi permintaan bebentuk y = konstan (gradiennya nol), berarti harga tetap berapapun besar permintaan, misalnya hal ini berlaku untuk bahan-bahan pokok, semen, juga surat kabar, air minum dan sebagainya. Gambar 3). Kejadian khusus yang lain, x = konstan, berarti permintaan tetap, tak tergantung harga, misalnya kebutuhan meinimum untuk potong rambut, atau benda antik yang hanya ada sebuah di dunia. Sebagai imbangan fungsi permintaan, fungsi penawaran adalah hubungan antara besar penawaran atau banyak barang yang ditawarkan dengan harga barang tersebut.
Hukum penawaran berbunyi: Bila harga naik, penawaran akan naik pula, sebaliknya, bila harga turun, penawaranpun akan turun pula. Jadi pada umumnya, fungsi penawaran linear akan berbentuk garis lurus dengan gradien positif, meskipun adapula penyimpangan-penyimpangan. Contoh 2 Fungsi penawaran dengan grafik di samping berbunyi Y =
1 2
x + 8 (atau x = 2y – 16)
Penawaran dinyatakan denhan x (atau S). Misalnya untuk y (harga) sebesar 20 satuan, maka penjual sedia menyediakan (menawarkan) barang sebesar 24 satuan, bila harga naik lagi, penawaran akan bertambah pula. Khususnya, y = 8 adalah batas bawah harga, berarti bila harga sama atau kurang dari 8 maka penjual tak mau lagi menyediakan barang. Contoh 3 Fungsi penawaran berbentuk Y = 2x – 24 Berujung di B(12,0), berarti ujung y = 0 di dapat x = 12, jadi penjual menyediakan 12 satuan barang secara gratis (misalnya untuk promosi). Lebih dari jumlah tersebut, memang harus ada harganya. Catatan: Yang dimaksud dengan besar permintaan adalah permintaan pasar, berarti merupakan gabungan permintaan dari kelompok pembeli dalam wilayah pasar tertentu. Demikian pula penawaran adalah gabungan dari penawaran kelompok penjual dalam wilayah pasar tertentu.
Titik kesetimbangan adalah titik potong grafik-grafik fungsi permintaan dan fungsi penawaran (ingat contoh 1 dalam modul 1). Ini berarti bahwa pada harga yang sesuai dengn titik kesetimbangan, besar penawaran sama dengan besar permintaan (Xs = XD), maka terjadilah kesepakatan untuk transaksi. Terjadinya kesetimbangan untuk satu jenis barang seperti di atas didasarkan atas pengandaian bahwa harga barang tersebut tidak terpengaruh dan tidak mempengaruhi harga barang lain, dan juga bahwa keadaan pasar mengikuti persaingan bebas. Contoh 4 Fungsi permintaan y = 60 – x
(D) Dan fungsi penawaran y = 3x – 100
(S)
Titik E inilah titik kesetimbangan pasar. Bila ada penjual yang menurunkan harga, atau pemerintah menetapkan harga barang tersebut sebesar 18 (lebih rendah dari harga kesetimbangan) maka timbul beda antara permintaan dan penawaran sebab nilai y = 18 di dapat xD = 42 (lihat titik K) sedang xS
1 = 39 (lihat titik L) ini berarti 3
ada sejumlah permintaan (= 2
2
satuan) tidak 3 dapat dipenuhi (misalnya penjual cenderung menyimpan barang), dan sebagai akibat, pembeli yang memang memerlukan cenderung untuk mau membayar lebih dari 18, pokoknya dapat memperoleh barang, sehingga harga akan naik (meski tidak resmi) dan akan kembali ke titik kesetimbangan lagi. Demikian pula yang terjadi bila ada pembeli yang mau mebayar lebih dari 20, kesetimbangan terganggu sebentar, tetapi nanti akan kembali turun lagi ke harga kesetimbangan semula. Contoh 5 Suatu fungsi permintaan diberikan dengan D = 25 – P2 Sedang fungsi penawarannya D = 2P + 1
Dengan P
=
price
=
harga
D
=
demand
=
permintaan
S
=
supply
= penawaran
2 Dengan menyamakan S = D diperoleh p + 2p – 24 = 0, sehingga p1
p 2
= 4 (yang terpakai). Nilai D yang sesuai ialah
= − 6 (tidak terpkai)
D = S = 9. Diperoleh titik kesetimbangan
E(9,4). b. Fungsi Penerimaan (Revenue = Total Revenus)
Penerimaan (R) adalah banyaknya barang terjual (x) kali harganya (y), maka R = xy (atau R = Dp) Dengan y di ambil dari fungsi demand. Contoh 6 Bila fungsi permintaan yang berbentuk y = 6−
Jawab
1 2
x, tentukan fungsi penerimaan yang sesuai
:
dan
R(x)
=
=
x(6 −
xy 1 2
x) = 6x −
1 2
x2
Grafik fungsi R berupa parabola. Untuk x = 0 maka R = 0, juga untuk x = 12 maka y = 0, jadi R = 0.
c. Fungsi Biaya (cost)
Biaya total (TC = Total Cost) dapat di anggap terdiri atas biaya variabel (VC = Variabel Cost) dan biaya tetap (FC = fixed cost = overhead cost). Jadi TC = VC + FC Kemudian biaya rata-rata (AC = Average Cost) adalah biaya total di bagi dengan banyak barang yang di produksi, x. Jadi A =
TC x
(bila tak ada keraguan, TC akan di tulis C saja)
Contoh 7 Diketahui biaya tetap sebesar 5 sedang biaya variabel diberikan dengan VC =
3
x2 .
Tentukan fungsi biaya total dan lukis grafiknya. Tentukan pula fungsi biaya rata-rata. Jawab
:
FC
=
5
;
VC =
3
x2
maka TC = A
3
=
=
x 2 + 5 dan TC x 1 3
x2
+
5 x
Dari gambar 9 terlihat bahwa besar FC tetap, tidak tergantung pada banyak barang yang di produksi, dan bahwa grafik TC diperoleh dari grafik VC dengan menggeser ke atas sejauh besar FC.
Titik Impas (breakeven point) Bila C = kurva biaya total, R = kurva penerimaan total Maka titik potong mereka B, disebut titik impas, artinya untuk x = xB = xc barulah R menyamai C. (untuk produksi sebesar x0, perusahaan tidak untung dan tidak rugi). Bila x di ambil sebesar x1 < x0 maka timbul rugi sebesar yang dinyatakan oleh luas daerah BFG, sedang bila x di ambil sebesar x2 > x0 akan timbul untung sebesar luas daerah BPQ.
d. Fungsi Pertumbuhan
Banyak pertumbuhan yang terkait dengan bidang ekonomi antara lain pertumbuhan penduduk dan pendapatannya, modal yang dibungakan, huku logistik dan sebagainya yang akan menimbulkan bermacam fungsi dan grafiknya. Di bawah ini akan diperlihatkan sebagian. d.1
Bunga Majemuk
Modal Mo dibungakan secara majemuk dengan suku bunga i = r % pertahun. Bila jangka waktu pembungaan 1 tahun maka dalam t tahun orang akan menjadi Mt = Mo (1 + i)
t
Bila jangka waktu di buat adalah
1 n
1 n
tahun (berarti dalam 1 tahun akan berbunga n kali), suku bunga
per jangka waktu dan dalam t tahun, modal menjadi
Mt = Mo (1 +
i tn ) n
Sekarang bila n di bawa ke tak hingga (setiap saat berbunga), Mt akan mencapai limit
Mt
lim M (1 + i )tn o →∞ n
=
x
lim =
Mo =
n →∞ i
n
1
(1 + n/i ) i
. ti
ti
Mo . e
lim (1 + i )z (disini, z = n ) →∞ 1 z
Dengan e =
x
Terdapatlah Mt
merupakan fungsi eksponen dalam t ti
dengan bentuk Mt = Mo e
(gambar 11)
Contoh 8 Ambil modal awal Mo = 4 dan I = 20% =
1 5
t/5
Maka rumus menjadi Mt = 4 e
Dari tabel di samping terbaca beberapa pasangan nilai t dan Mt, sedang gambar 12 memberikan grafik Mt. Guna mempermudah pelukisan dan
10
logMt
penggunaannya misalnya dalam membaca kembali grafik, grafik tersebut dapat dilinearkan (di buat
t
Mt
0
4
0.60
menjadi garis lurus) bila untuk sumbu Mt
1
4.89
0.69
digunakan skala logaritmik (Lihat gambar 13)
2
5.97
0.78
3
7.29
0.86
4
8.90
0.95
5
10.87
1.04
d.2
Distribusi Pareto
lewat cara empiris, Pareto menyusun rumus : N =
A
x
xα
=
besar pendapatan
N = banyak orang yang berpendapatan sebesar x atau lebih A =
tetapan
=
α tetapan dengan α ≈ 1,5
Dalam hal ini N merupakan fungsi pecah dalam x Contoh 9 Dalam suatu populasi tertentu berlaku hukum distribusi pareto :
N =
50 x1,5
dengan
N dalam juta orang x dalam juta rupiah x
N
0,5 0,6 1 2 3 4 6 60 1357,2
141,4 107,5 50 17,7 9,6 6,3 3,4 0,1 0,001
Maka terdapat grafik pada gambar 14. Grafik inipun dapat dilinearkan bila dengan mengambil skala log. Untuk kedua-dua sumbunya. Untuk x = 60 di dapat N = 0,1 berarti ada 100.000 orang yang pendapatannya 60 juta atau lebih per tahun (minimal 5 juta per bulan). Untuk x = 0,6 di dapat N = 107,5 juta. Untuk mengetahui pendapatan terendah kelompok 1000 orang terkaya, masukan N = 0,001 akan di dapat x = 1357,2 juta per tahun.
d.3
Kurva Gompertz
kurva Gompertz mempunyai persamaan N = C
ar t
(Gambar 15)
t
= waktu (tahun)
N
= besar populasi pada saat t
R
= angka pertumbuhan (0 < r < 1)
C
=
batas atas populasi (keadaan jenuh)
a
=
perbandingan populasi awal terhadap keadaan jenuh (jadi 0 < a < 1)
Garis N = N =
d.4
C adalah asimtot mendatar ke kanan sedang O adalah asimtot mendatar ke arah kiri.
Kurva Logisitik
Bentuk sederhana kurva logistik mempunyai persamaan
y=
1 1+ e− x
(fungsi exponen)
Seperti gambar 16, dan kerap timbul untuk memodelkan pertumbuhan produksi, besar konsumsi untuk barang tertentu dan sebagainya.
e. Barisan 1 Deret
e.1
Barisan/Deret Hitung
Contoh 10 Sebuah pabrik tahun ini mulai memproduksi 800 mobil per tahun dan setiap tahun berikutnya kapasitas produksi ditingkatkan sebesar 50 buah. Berapa besar produksi 6 tahun kemudian ((pada tahun ke-7)? Berapa jumlah seluruh produksi pada saat itu. Jawab : masalah di atas kembali ke barisan hitung dengan a = s1 = 800, beda b = 50; produksi pada tahun ke-7 ialah s7 = 800 + 6(50) = 2100. Jumlah seluruh produksi tak lain adalah jumlah 7 suku deret hitung yang bersesuaian : d7 =
n 7 (s1 + s7) = (800 2 2
+ 2100) = 1050. Contoh 11 Modal 2 juta yang dibungakan secara biasa dengan suku bunga 18 % per tahun dan dapat di ambil setiap bulan akan berkembang sebagai barisan hitung dengan a = a1 = 2.000.000 dan beda b = 30.000 (per bulan). Pada akhir 3 tahun (36 bulan) jumlah uang adalah 3.080.000. e.2
Barisan/Deret Ukur
banyak hitungan bunga yang didasarkan pada pembungaan secara majemuk, misalnya hitungan anuitas, diskonto dan sebagainya. Contoh 12
Modal 40 juta yang di bungakan secara majemuk dengan suku bunga 10 % per tahun dan jangka pembungaan 1 bulan akan mengikuti hukum barisan ukur dengan a = s1 = 40 (dalam juta) dan pembanding p = (1 + 24
p
10 121 %) = maka dalam 2 tahun misalnya, modal akan menjadi s25 = 12 120
= 48,2 juta.
Contoh 13 Malthus dalam abad 18 berteori bahwa pertunmbuhan penduduk mengikuti pola barisan ukur sedang produksi bahan makan mengikuti pola barisan hitung, maka pada satu saat (di titik potong ke dua grafik) timbul kesetimbangan yang di susul oleh kritis kurangnya bahan bakar.
4.1.2. Latihan 1
1. Diketahui fungsi permintaan : y =
1 12 dan fungsi penawaran y = x + 1. 2 x
Tentukan harga kesetimbangan pasar beserta banyak barang yang sesuai. Berapa banyak barang dalam permintaan bila barang tersebut berupa barang bebas? 2. Lukis grafik kedua fungsi dalam soal di atas.
3. Diketahui
fungsi
permintaan fungsi dan VC
=
:
biaya fungsi
1 2 x. 4
fungsi fungsi biaya tentukan titik 0≤ x≤ 5 .
1 y = 6− x ; 2 tetap; FC = 9; biaya berubah : Tentukan penerimaan, total, kemudian impas untuk
4. Lukis grafik fungsi penerimaan dan fungsi biaya total beserta titik impas dalam soal nomor 3 di atas. 5. Populasi sejenis ikan dalam daerah tertentu tiap tahun berkembang mengikuti rumus : 1 t 3
Pt =Po e
(t dalam tahun)
Bila populasi sekarang sebesar 600.000, berapakah kira-kira besat populasi 5 tahun yang lalu? 6. Hukum Pareto:
A ternyata berlaku untuk suatu negara tertentu dengan A = 6 (dalam juta). x Berapa banyak warga negara yang berpenghasilan minimal 5 juta rupiah per tahun? N =
α
7. Modal sebesar Mo = 4 juta dibungakan dengan bunga biasa denan sukubunga 24 % per
tahun, jangka waktu pembuangan satu bulan. Sesudah berjalan selama 4 tahun, jumlah uang yang ada di anggap modal baru yang dibungakan dengan cara bunga majemuk, dengan suku bunga dan jangka waktu pembungaan yang sama dan berjalan selama 3 tahun. Berapa jumlah uang tersebut pada akhir 7 tahun tersebut? 8. Pada tahun 1970 sebuah pabrik memulai produksi dengan modal sejumlah mesin. Ternyata setiap tahun p % mesin dari jumlah pada tahun sebelumnya yang rusak dan tidak dapat diperbaiki laigi. Bila pada tahun 1973 ada 103 mesin yang masih baik dan pada tahun 1975 tinggal 93 buah saja yang masih baik. Berapakah p dan berapa jumlah mesin dalam pembelian pertama?
Kunci Jawaban Latihan 1
1. Harga kesetimbangan y = 3, barang dalam kesetimbangan : x = Secara teori, barang tak mengkin
banyak 4.
12 x
menjadi barang bebas, karena y = tidak mungkin menjadi nol. 2. YD =
12 x
1 x +1 2
YS =
Titik E(4,3)
kesetimbangan
3. Fungsi
penerimaan
:
R
= 6x –
1 2 x 2
Fungsi
biaya total : C =
9 +
1 2 x 4
Titik impas B(2,10) 4. 1
5. P =P e3 t o
t
1 t 3
600.000 = P e o
ln600.000 6. N
≈
=
ln Po +
5 3
→
Po = 113.325
65juta
7. Mo = 4.000.000 (i) M1 = 4.000.000 (1 + 48 .
(ii) M2 = 7.840.000 (1 +
2 ) = 7.840.000 100
2 36 ) = 15.992.716 100
Sesudah akhir 7 tahun uang menjadi 15.992.716. 8. P = 5 Jumlah pembelian pertama = 120.
4.1.3. Rangkuman Ternyata banyak jenis fungsi ditemukan dalam model ekonomi, baik fungsi aljabar (linear, kuadrat-lengkap dengan irisan kerucutnya, polinom, pecah, irasional dan sebagainya), maupun fungsi transenden, terutama eksponensial dan logaritmik. Dalam hal ini, anda tidak cukup hanya mengenal hubungan fungsi dengan grafiknya saja, tetapi harus mengetahui pula makna segiseginya, misalnya makna titik potong, makna gradien yang positif dan sebagainya, penerapan barisan /deret hitung dan ukur. Terapan Aljabar linear dan statistika memang tidak di singgung disini.
4.1.4. Tes formatif 1 (pilihlah satu diantara A, B, C) 1)
Grafik fungsi permintaan disamping ini mempunyai makna bahwa :
A.
Harga tidak tergantung banyak barang
B.
Barangnya tersedia secara melimpah
C.
Banyak barang sudah tertentu
Bila fungsi penawaran (kurva S) dan fungsi
2)
permintaan (kurva D) diberikan seperti pada gambar (disamping ini maka tidak terjadi transaksi sebab :
A. Barang terdapat secara melimpah sehingga tidak perlu membayar B. (untuk banyak barang positif) harga yang diinginkan penjual lebih tinggi dari harga yang dapat di bayar oleh konsumen. C. Jumlah barang kurang.
3) Karena air bersih berlimpah maka pelanggan di tarik iuran Rp 5.000 per rumah, per bulan, tidak tergantung pada banyak pemakaian. Grafik fungsi permintaannya akan berbentuk :
(A)
(B) C
4) Fungsi permintaan diberikan dengan (x + 10) (y + 20) = 300 dan fungsi penawaran dengan x = 2y – 8. Grafik mereka beserta titik kesetimbangannya diberikan di bawah ini :
5) Kurva permintaan dalam soal nomor-4 di atas berupoa :: A. Hiperbola ortogonal dengan asimtot x = 0 dan y = 0. B. Hiperbola ortogonal dengan asimtot x = 10 dan y = 20. C. Hiperbola ortogonal dengan asimtot x = -10 dan y = - 20. 6) Dalam rumus Pareto N =
A bila N diketahui maka x ditemukan sebagai x α
A. Pendapatan terkecil dari kelompok N orang yang terkaya B. Pendapatan terbesar dari kelompok N orang yang terkaya C. Besar pendapatan masing-masing N orang yang terkaya 7) Bila fungsi biaya total diberikan dengan hubungan log c = 2 + 2 log x, maka fungsi biaya rata-rata dapat di tulis sebagai :
A. Log A =
1 (2 + 2log x) x
B. A = 2 + x C. A = e2 x
Bila B adalah titik impas maka supaya mendapat laba
8)
produsen akan berusaha mencapai laba produksi x yang memenuhi : A. x > xB B. x = xB C. x < xB
D. 9) perkembangan produksi suatu barang memenuhi hubungan fungsi
y=
1 1+ 3 e− x
Grafik akan berbentuk :
10) populasi suatu daerah transmigran berkembang dengan 2 % per tahun. Mulai tahun ini akan ada tambahan pengiriman 100 orang pemuda per tahun ke daerah tersebut. Bagi pendatang baru ini berlaku peraturan bahwa mereka boleh kawin setelah menetap selama 3 tahun (sehingga mereka di anggap sudah mampu hidup sendiri). Bila di anggap bahwa di antara
pendatang baru ini tidak ada yang meninggal dalam 3 tahun mendatang, sedang besar populasi sekarang adalah 20.000 orang, maka besar populasi 3 tahun lagi akan menjadi kurang lebih : A. 21330 B. 21524 C. 21536
4.1.5. Umpan balik dan tidak lanjut Cocokanlah jawaban anda denan kunci jawaban tes formatif 1 yang ada di bagian akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Rumus : Tingkat penguasaan =
jumlah jawaban anda yang benar x 100 % 10
Arti tingkat penguasaan yang anda capai : 90 % – 100 % = baik sekali 80 % – 89 % = baik 70 % – 79 % = cukup – 69 %
= kurang
Kalau anda mencapai tingak penguasaan 80 % atau lebih anda dapat melanjutkan kegiatan belajar 2. Bagus! Tetapi kalau kurang dari 80 % anda harus mengulangi kegiatan belajar 1, terutama bagian yang belum anda kuasai.
4.2.Kegiatan belajar 2
PENGGUNAAN KALKULUS DALAM BIDANG EKONOMI
4.2.1. Uraian dan contoh Dimana ada perubahan yang kontinu maka di situ kalkulus diperlukan sebagai alat dalam model matematikanya. Sebagian besar analisis dalam Ekonomi merupakan analisis perubahan maka kehadiran kalkulus merupakan keharusan, misalnya untuk menetukan ekstrem suatu besaran. Biaya marginal yang pada waktu lampau di anggap sebagai tambahan biaya untuk memproduksi tambahan satu satuan barang, sekarang dengan mudah diterangkan sebagai derivatif biaya total terhadap besar-produksi, dan sebagainya. Dalam kegiatan belajar 2 ini hanya akan ditampilkan model yang memerlukan hitung differensial, hitung integral dan sedikit persamaan differensial. a. Elastisitas Semula, elastisitas permintaan (D) terhadap harga (P), di tulis η D P , diterangkan sebagai produsen tambahan permintaan di bagi dengan prosenan tambahan harga.
Atau η D P =
VD x 100% D = VDP VP x 100% VP D P
Dengan mengambil limit, elastisitas mendapat definisi baru η D P
= dD P = P 1 dP D D dP
=
d( ln D) d( ln P)
dD Pengertian ini menjadi penting sekali dalam kebijaksanaan produksi atau harga dan biasa di singkat dengan istilah “elastisitas penawaran” saja. Secara umum, elastisitas u terhadap v adalah ηUV
=
v du u dv
(η UV juga serigdi tulis
Eu ) Ev
bila y = harga, dan x = besar permintaan, maka η xy
=
y dx = elastisitas permintaan terhadap harga x dy
Sedang η yx =
jadi
η yx
=
x dy = elastisitas harga terhadap permintaan, y dx 1
η xy
Demikian pula dapat di susun elastisitas penawaran terhadap harga. Secara umum, bila fungsi permintaan berupa fungsi turun, maka gradiennya negatif, η xy <0
(karena x > 0 dan y >0) Juga, bila y = 0 maka
dx dy < 0, sehingga < 0, juga dy dx η xy
= 0.
Contoh 1 Fungsi permintaan diberikan dengan Y = 12 – 3x Elastisitas permintaan dapat ditentukan sebagai berikut
dy = −3 dx η xy
=
y 1 x dy dx
=
12 − 3x 1 x (−3)
=
x−4 x
x− 4 berupa hiperbola x ortogonal dengan asimtot x = 0 dan y = 1. Grafik
η
=
η (x)
=
Untuk x = 3 misalnya, diperoleh η = − y = 3.
1 dan 3
Contoh 2 P
Perlihatkan bahwa fungsi permintaan dengan bentuk xy = b (p > 0) akan mempunyai elastistas yang tetap.
x
=
dx dy η xy
by−p
=
b yp
= b(−p)y−p−1 = −pbp +1 y
=
y dx x dy
=
y . yp b
−bp = − p tetap ( ) yp+1
Khususnya, fungsi permintaan xy = b (hiperbola ortogonal) akan mempunyai elastisitas sebesar -1.
b. Biaya Marginal/Penerimaan Marginal
Bila C = C(x) menyatakan fungsi biaya dengan C = biaya produksi dan x = besar produksi maka Biaya Marginal (Marginal Cost) :
MC
=
dC dx
=
C' ( x)
Bila R = R(x) menyatakan fungsi penawaran dengan R = penawaran dan x = besar permintaan maka
Penawaran Marginal (Marginal Revenue), MR =
dR =R'(x) dx
Contoh 3 Diketahui fungsi biaya total :
C = 3 +12x Maka fungsi biaya marginalnya adalah
C'
=
6 3+ 12x
Untuk x = 0, C( 0)
=
3 dan C'(0)
=
2 3
Untuk x = 2, C( 2)
=3
3 dan C'(0) =
2 3 3
Contoh 4 Diketahui fungsi permintaan 10e− x Maka fungsi penerimaan dapat di tulis R(x) = 10xe− x , dan penerimaan marginal adalah R’(x) = 10((1 – x) e –x . Contoh 5 Biaya marginal diberikan dengan MC = C’(x) = 103 x . Tentukan fungsi biaya total dan fungsi biaya rata-rata, bila diketahui bahwa biaya total mencapai 100 untuk tingkat produksi sebesar 8. Jawab : Biaya total :
Hingga C(x) Biaya rata-rata :
C
=
∫
100
=
C(8)
=
15 3 x x 2
103 x dx =
=
15 3 x x 2
+k
120 + k, jadi k = –20
−
20
15 2
A(x) =
3
x
−
20 x
c. Extrem Fungsi
Dalam ekonomi selalu di jumpai masalah extrem, antara lain meminimalkan biaya rata-rata, memaximalkan keuntungan dan sebagainya. c.1
Biaya rata-rata minimal
Biaya C = C(x), adalah fungsi biaya total maka fungsi biaya rata-rata adalah A = A(x) =
C(x) x
Syarat perlu dan cukup untuk A mencapai minimum ialah
A' =0 dan A" Karena A
=
C maka A' x
=
>0
C'x − C x2
A' = 0 berakibat C'x = atau
C'
=
0 A,
sehingga syarat perlu A' = 0 dapat di ganti dengan C' = A secara gambar ini berarti bahwa titik minimum A tercapai pada titik potong grafik A dengan grafik C'
Contoh 6 Untuk C = 2x – 2x2 + x3 terdapat A = 2 – 2x + x2 A' = –2 + 2x
A" = 2 > 0 Sedang C = 2 – 4x + 3x2 A minimum tercapai pada titik N(1,1) Periksa bahwa N juga dapat diperoleh memotongkan A dengan C'.
c.2
dengan
Keuntungan maximal
dalam situasi monopoli maka keuntungan : P ditemukan sebagai P = R – C sedang R = xy, sehingga syarat perlu dan cukup untuk P maximum dapat di tulis sebagai R' =
C'
R" =
C"
Contoh 7 Diktahui fungsi permintaan y = 15 – x2 dan fungsi biaya C = 6x2 Keuntungan maximal dapat di hitung sebagai berikut. = xy
=
15 – x3
R'
=
15 – 3x2
C'
=
12x
Sedang A
=
c =6x. dan x
P
=
R–C =
R
Dari R' = C'
dan
dan C"
R" = -6x =
12
15x – 6x2 – x3
di peroleh x = 1 (x yang negatif tidak di ambil).
Untuk x = 1, dipenuhi R"(1) < C"(1) maka x = 1 adalah tingkat produksi yang membuat keuntungan maximum. Periksa bahwa luas daerah yang berbayang-bayang dapat di tulis sebagai. (y – A)x =
R – C = Pmax = 8
(terjadi untuk x = 1)
d. Surplus Konsumen/Surplus Produsen
Gambar 7 Misalkan D adalah kurva permintaan dengan persamaan y = D(x) S adalah kurva penawaran dan persamaan kesetimbangannya.
y
=
S(x)
dan
E(xo , Yo)
adalah titik
Apabila transaksi yang terjadi semua mengikuti harga kesetimbangan yo maka luas daerah OAEB gambar (gambar 7-a) adalah sebesar xoyo total uang yang dibayarkan dalam transaksi.
Tetapi bila ada pembeli yang sesuai dengan permintaan x1 mau membayar seharga y1 > yo, juga sesuai dengan x2 mau membayar seharga y2 dan selanjutnya maka luas daerah BEF (gambar 7 b) merupakan kelebihan yang dibayarkan konsumen, disebut surplus konsumen (S.K), maka
S.K =
x 0
∫ D(x) dx − x y
0 0
0
Sebaliknya (gambar 7-c) ada produsen dengan penawaran sebesar x3 mau melepas barang dengan harga y3 > yo , sehingga luas daerah BEG menggambarkan uang kelebihan dari pihak produsen dan disebut Surplus produsen (S.P), maka
S.P
=
xoyo
−
x o
∫ S(x) dx o
Contoh 8 2
4
Tentukan S.K dan S.P untuk fungsi permintaan y = 4 + x dan fungsi penawaran y = 4 + x
Jawab. Dari perhitungan diperoleh E(2,20) Sehingga
S.K
=
2
∫ ( 28− 2x2 )dx − 2( 20) = 0
2
S.P
=
2.( 20)
− ∫ ( 4+ x 4 )dx = 0
25
3 5
10
2 3
e. Terapan Persamaan Differensial
Dalam ekonomi banyak terdapat model-model dinamik yag memuat perubah yang berubah secara kontinu dengan waktu. Model semacam ini dapat kembali ke persamaan differensial dari bermacam tipe. Seperti halnya dengan rumus-rumus yang anda jumpai sebelum ini, rumus-rumus berikutpun kebanyakan terjadi secara empiris. Contoh 9 Bila
T = besar tabungan I = besar investasi y = pendapatan
ketiganya adalah fungsi waktu t.
Dari pengamatan ternyata:
Dan
T
= ay (tabungan sebanding dengan pendapatan)
I
= b
T
= 1, maka timbullah hubungan
ay =
b
dy (investasi sebanding dengan laju ubah pendapatan) dt
dy ( a,b konstan) dt
1 a dy = dt , suatu persamaan differensial dengan perubah terpisah. y b at
Pengintegralan menghasilkan y = y e b o
Contoh 10 Ingin mengetahui pengaruh pengiklanan terhadap angka penjualan suatu barang hasil produksi. (penelitian oleh Vidale dan Woefe). Dengan pengalaman yang cukup memadai diketahui bahwa dalam kurun waktu 4 - 5 tahun angka penjualan (J) akan menurun secara exponensial dengan waktu, bila tidak ada pengiklanan. Jadi
dJ dt
= − aJ ( a konstan) ( atau J
= k e −at )
Kemudian diadakan percobaan mengiklankan produk tersebut selama 1 tahun. Ternyata 6 bulan pertama menghasilkan kenaikan J yang menyolok, kemudian 6 bulan berikutnya ada kenaikan tetapi hanya sedikit. Dengan beberapa anggapan maka disusunlah model pengiklanan sebagai berikut. Misalkan A
= A(t)= M =
tingkat pengiklanan angka jenuh penjualan (besar penjualan maximal yang dapat di capai).
Di duga bahwa laju penjualan berbanding dengan A, dan juga dengan
M− j perbandingan sisa M
yang tidak terjual terhadap angka jenuh. Untuk A(t) ≠ 0 di duga hubungan yung berlaku adalah:
dJ dt
M − J = − aJ +b A . M
dJ dt
bA + a + J = M
atau
bA , suatu persamaan differensial linear.
Sebagai kejadian khusus, bila A di ambil konstan (misalnya seminggu sekali di pasang dalam 3 surat kabar) maka penyelesaian akan berbentuk
J
=
Q P
+ Jo −
Q −Pt e P
dengan
=
a +bA M
Q
=
bA
Jo
=
J(o)
P
Bila A = 0 maka penyelesaiannya J = Jo e –at
4.2.2
Latihan 2
1. Temukan hubungan antara penerimaan marginal dan elastisitas penerimaan (nyatakan R'
dengan y dan
ηxy). 2
2. Diketahui fungsi penerimaan yang berbentuk x = 25 – 5y dan pada saat harga sama dengan
2 ada kenaikan harga sebesar 10%. Gunakan rumus
η xy =
∆x ∆y
y x
Untuk menghampiri elastisitas permintaan di atas. 3. Lukisan “monalisa” yang asli hanya ada satu di dunia. Lukis grafik fungsi permintaannya. 2
3
4. Diketahui fungsi biaya total C = 1000x – 180x + 3x .
Tulis fungsi biaya marginalnya dan tentukan kapan fungsi ini naik dan kapan turun. x
-x
5. Diketahui fungsi biaya rata-rata berbentuk A = e + e
untuk x berapa A akan mencapai
minimum? Perlihatkan pada keadaan tersebut, A = C'. -2x
6. Diketahui fungsi permintaan : y = 10 e
dan fungsi biaya rata-rata: A =
1 . Tentukan x x
supaya keuntungan P mencapai maximum. 7. Bila fungsi permintaan dan fungsi penawaran diberikan dengan
y
=
25− x dan
x = 21y − 21, hitung surplus konsumen dan surplus produsennya. 8. Dari contoh 10 di muka, buat sketsa grafik A = A(t) dan fungsi J = J(t) untuk
A = k ≠ 0 ( k tetap) untuk 0 ≤ t < t1 A = 0 untuk t ≥ t1 9. Dalam manajemen industri timbul pertanyaan menyangkut pemeliharaan mesin, apakah keadaan mesin masih menguntungkan atau harus beli baru lagi. Misalkan P = P(t) = biaya perawatan dan pengoperasian mesin. J = J(t) = nilai jual mesin (bila di anggap sudah harus di buang) t
= waktu
Diketahui ada hubungan-hubungan :
dP dT dJ dT P(o)
=
a +b J
= − mJ =
Po dan J(o)
(a, b, konstan) (m konstan)
=
Jo
Tentukan hubungan P = P(t) dan J = J(t) 10. Diketahui C adalah biaya total dan x tingkat produksi. Laj8u ubah C terhadap x berbanding langsung dengan x yang di tambah suatu tatapan, tetapi berbanding terbalik dengan C. Tentukan persamaan differensial yang sesuai dan selesaikan.
Kunci Jawaban Latihan 2
R' = y(1 +
1.
2; Vy
=
0,2
x1 = 5; x2
=
25 − 5y22
2. y1
=
ηxy =
y ∆x ⋅ x ∆y
=
→
y2
= 2,2
= 0,8 → V x = −4,
5 −4,2 ⋅ 2 2,2
= − 4,8
3.
4. Untuk 0
Untuk
≤
x
<
20 , C"
<
0 jadi C' turun
x
>
20 , C"
>
0 jadi C' naik .
5. A minimum untuk x = 0.
1
ηxy )
6. x =
1 2
7. E(21,2) ; S.K. = 36 ; S.P. = 10
1 2
8.
dJ = −mJ dt
9.
menghasilkan J(t) = Joe−mt , dimasukkan ke dalam hubungan P. Di peroleh persamaan differensial
J(0)
dP
=
Jo
= a emt + b dt J o
Penyelesaian khususnya: P(t) = Po
10.
dC dx
=
+
a (emt − 1) + bt . mJo
x− a ; penyelesaiannya C = C
(x+ a)2+ b a,b, tetap
4.2.3
Rangkuman
Beberapa bentuk penggunaan derivatif anda jumpai dalam kegiatan belajar 2 ini. Elastisitas
y du . Biaya marginal tak lain u dv adalah turunan (derivatif) dari biaya total. Syarat-syarat ekstrem menggunakan turunan pertama dan kedua dapat digunakan untuk mencari ekstrem fungsi biaya rata-rata, fungsi keuntungan dan yan g lain-lain. Demikian pula turunan pertama diperlukan untuk menentukan naik/turun bermacam fungsi. Integral tak tentudiperlukan bila yang diketahui adalah fungsi-fungsi marginal. Surplus konsumen dan surplus produsen merupakan contoh-contoh terapan Integral tentu. Akhirnya banyak masalah ekonomi/industri/manajemen yang kembali ke model matematika berbentuk persamaan differensial dengan bermacam tipenya. besaran u terhadap v, yang semula dihampiri dengan
ηuv =
Harap anda ketahui, karena fungsi lebih dari satu perubah bebas tidak dibicarakan maka terapanterapannya tidak terungak disini, termasuk ekstremnya dan integral-integral lepasnya. Demikian pula terapan aljabar linear tidak sempat di bahas.
4.2.4
Tes Formatif 2
(pilih salah satu diantara A, B. C) -kx
1. Elastisitas permintaan terhadap harga bagi fungsi permintaan y = ae
adalah
A. –kx B.
C.
−1 kx
−a2ke−2kx x
2. Bila fungsi permintaan diberikan dengan y = D(x) dan pada nilai x = x1 ada kenaikan
barang sebesar P, maka rumus penghampiran
P D(x1) Px A. 100 D x1 + 1 − D(x1) 100 B.
P D(x1) D(x1 + Px1) − D(x1)
ηxy
dapat di tulis sebagai berikut.
C.
Px1 − D(x1) 100 P D(x1)
100 D x1 +
3. Elastisitas permintaan pada umumnya bernilai negatif karena pada umumnya: A. Bila harga turun, permintaan turun. B. Bila harga naik, permintaan naik. C. Bila harga turun permintaan naik. 3
4
4. Diketahui fungsi biaya C = 220 + 55x – 2x + x . Fungsi biaya marginal akan naik untuk: A. Semua nilai x
≥
0
B. x < 20 C. x > 20 2
5. diketahui fungsi biaya total C = x + x lnx. Biaya rata-rata akan mencapai minimum untuk
A. e B.
1 e
C. –e 6. Bila fuingsi rata-rata diberikan dengan A = 1 + x lnx maka fungsi biaya marginalnya adalah A. 1 + 2 lnx B. 1 + x + 2x lnx C.
1 1 − x x2
7. Tingkat produksi yang memberikan keuntungan (P) maximum bagi monopolis terjadi pada saat R' = C'. Sebab::
A. Pada saat R' = C' maka P" < 0 B. Untuk R' = C' maka permintaan akan maximum C. Syarat perlu P maximum ialah P' = 0 sedang P = R – C.
8. Bila diketahui bahwa untuk barang-baranbg tertentu, misalnya semen, bensin dan sebagainya harga sudah ditentukan oleh pemerintah tetapi ternyata fungsi permintaan tidak konsisten, maka untuk barang-barang tersebut: A. Surplus konsumennya nol B. Surplus produsennya nol C. Surplus konsumen = surplus produsen 9. Surplus konsumen timbul karena: A. Ada beda antara harga pada fungsi permintaan dengan harga kesetimbangan pasar. B. Ada beda antara harga pada fungsi permintaan dengan harga pada fungsi penawaran. C. Harga kesetimbangan lebih tinggi dari harga pada fungsi penawaran. 10. Diketahui bahwa laju ubah J (J = tingkat penjualan) terhadap harga jual (h) berbanding langsung dengan penurunan J tetapi berbanding terbalik dengan h, maka persamaan differensial yang sesuai ialah: A.
dJ dh
= −k
B.
dJ dh
= − k(J − h)
C.
dJ dh
=
4.2.5
J h
k h
−
(k> 0)
J
(k> 0) (k> 0)
umpan Balik dan Tindak Lanjut
Cocokanlah jawaban anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang ada di bagian akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Rumus:
Tingkat penguasaan =
Jumlah jawaban anda yang benar x 100% 10
Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90% – 100% = baik sekali
80% – 89%
= baik
70% – 79%
= cukup
– 69%
= kurang
Kalau anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih anda dapat melanjutkan ke modul berikutnya. Bagus! Tetapi kalau kurang dari 80% anda harus mengulang Kegiatan Belajar 2, terutama yang belum anda kuasai.
5.
5.1
Kunci Jawaban Tes Formatif
Kunci Jawaban Tes Formatif 1 1.
C
2.
B
3.
B
4.
B
5.
C
6.
A
7.
C
8.
A
9.
A
10. B 5.2
Kunci Jawaban Tes Formatif 2 1.
B
2.
A
3.
C
4.
C
5.
B
6.
B
7.
C
8.
B
9.
A
10. A
