44. Resuelve los problemas del 17 al 29; utilizando la instrucción TRACE de su calculadora para construir una tabla de valores de y cerca del número al qye se acerca. 45. La siguiente gráfica representa una función que oscila entre 1 y -1 más y más frecuentemente cuando se acerca a 0 por la derecha o por la izquierda. ¿Existe ? ¿Si es así, cuál es su valor?
À
46. Si se invierten $1 000 al 5% de interés compuesto
veces al año, el saldo después de 1 , donde es la longitud del periodo de capitalización. año será Por ejemplo, si , el periodo de capitalización es de año. Pata el llamado interés , el saldo después de 1 año está por el límite Calcule el valor de este límite completando el segundo reglón de la siguiente tabla: 1 0.1 0.01 0.001 0.0001
compuesto continuamente
47. Evalúe el límite
para las constantes a) b) c)
y
en cada uno de los casos siguientes:
SECCIÓN 1.6 Límites laterales y continuidad El diccionario define continuidad como una sucesión continua o ininterrumpida. El comportamiento continuo es indudablemente una parte importante de nuestras vidas. Por ejemplo, el crecimiento crecimiento de un árbol es continuo, continuo, como lo son el movimiento de un cohete y el volumen de agua que circula por una tubería. En esta sección, se analizará lo que significa función continua y se examinará algunas propiedades importantes de tales funciones.
Límites laterales
Informalmente, una función continua es aquella cuya gráfica se dibuja sin levantar la pluma del papel (figura 1.4a). No todas las funciones tienen esta propiedad, pero
19. 20.
21. 22.
23.
24.
25.
26.
En los problemas del 27 a 40, liste todos los valores de es continua.
27.
28. 29. 30. 31. 32. 33.
34.
35.
36.
37.
38.
para los cuales la función dad no
39.
40.
41. CLIMA Suponga que la temperatura del aire en un día dado es . Entonces, la temperatura equivalente (en ), que se siente por efecto del viento sopla con una velocidad , en millas por hora (mph), dada por 7
a) ¿Cuál es la temperatura que se siente cuando ? ¿Y cuándo ? b) ¿Cuál es la velocidad del viento que produce una temperatura equivalente a ? c) ¿Es la función de temperatura equivalente continua en ? ¿Y en ? 42. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO Si una esfera hueca de radio se carga con una unidad de electricidad estática, entonces la intensidad de campo en el punto situado a unidades del centro de la esfera satisface:
Dibuje la gráfica de
. ¿Es continua
43. POSTAL La función postal
para x>0?
se puede describir como:
donde es el peso en onzas de una carta y es el correspondiente costo postal en centavos. Trace la gráfica de para . ¿Para qué valores de es discontinua para ? 44. CONTAMINACIÓN DEL AGUA Un tubo roto en la plataforma petrolera del mar del Norte produce una mancha circular que tiene un espesor de metros a una distancia de metros de la ruptura. La turbulencia hace difícil medir directamente el espesor de la mancha en la fuente (donde ); sin embargo, para se encuentra que
Suponiendo que la mancha está distribuida continuamente, ¿qué espesor se supone que tiene en la fuente? 45. CONSUMO DE ENERGÍA La gráfica muestra la cantidad de gasolina en el tanque del automóvil de Sue en un periodo de 30 días. ¿Dónde es discontinua la gráfica?¿Qué crees usted que sucede en esos momentos? 46. INVENTARIO La gráfica muestra el número de unidades en el inventario de cierto negocio en un periodo de 2 años. ¿Dónde es discontinua la gráfica? ¿Qué cree que sucede en esos momentos?
E n
los problemas 47 y 48 halle los valores de la constante de manera que la función sea continua para toda .
47.
48.
49. Analice la continuidad de la función
y en el intervalo cerrado 50. Analice la continuidad de la función
en el intervalo abierto
en el intervalo abierto
51. Demuestre que la ecuación intervalo
52. Demuestre que la ecuación
el intervalo
y en el intervalo cerrado
tiene al menos una solución en el
tiene al menos una solución en
53. Analice el comportamiento
cuando
está cerca de
y
.
¿ES continua la función en estos valores de ? 54. Explique por qué debe haber habido algún momento en su vida en el que su peso en libras fue igual a su estatura en pulgadas. 55. Explique por qué hay un instante en cada hora en el que el horario y el minutero de un reloj coinciden. 56. A la edad de 15 años Nan mide el doble que su hermano Dan, de 5 años; pero, cuando Dan cumple 21 años, ambos descubren que ese último mide 6 pulgadas más que Nan. Explique por qué hubo un momento en el que ambos tuvieron exactamente la misma estatura. RESUMEN DEL CAPÍTULO 5. Encuentre cada uno de estos límites. Si el límite es infinito, indique si éste es o a)
.
b) c) d)
6. Determine si esta función
es continua en
:
7. PRECIO DE LA GASOLINA Desde el inicio del año, el precio de la gasolina sin plomo ha ido aumentando mensualmente a una tasa constante de 2 centavos por galón. Para el primero de junio, el precio ha llegado a $1.80 por galón. a) Exprese el precio de la gasolina sin plomo como una función del tiempo y dibuje la gráfica. b) ¿Cuál era el precio a principios del año? c) ¿Cuál será el precio el primero de octubre? 8. OFERTA Y DEMANDA Supongo que sabe que los productores ofertan unidades de un determinado producto al mercado cuando el precio es dólares por unidad; a la vez que el mismo número de unidades será demandado (comprado) por los productores y cuando el precio sea dólares por unidad, donde para las constantes y . También sabe que se ofertarán unidades hasta que el precio unitario sea de al menos $3, y que el equilibrio de mercado ocurre cuando unidades. a) Utilice esta información para encontrar y , así como el precio de equilibrio por unidad. b) Dibuje las curvas de oferta y demanda en la misma gráfica. c) ¿Cuál es la diferencia entre el precio de oferta y el precio de demanda cuando se producen 5 unidades? ¿Y cuándo se producen 10 unidades? 9. POBLACION BACTERIA La población (en miles) de una colonia de bacterias minutos después de la introducción de una toxina está dada por la función
a) ¿Cuándo muere la colonia? y b) Explique por qué la población debe ser de 10 000 en algún tiempo entre . 10. MUTACIÓN En un estudio de mutación en moscas de fruta, los investigadores radiaron las moscas con rayos X y determinaron que el porcentaje de mutación aumenta linealmente con la dosis de rayos X, medidos en kilo-Roentgens (kR). Cuando se utiliza , el porcentaje de mutaciones es de 7.7%, mientras que una dosis una dosis de de 5kR da como resultado un porcentaje de mutación de 12.7%. exprese como uan función de . ¿Qué porcentaje de las moscas mutarán aun sin utilizar la radiación?
PROBLEMAS DE REPASO 1. Especifique el dominio de cada una de las siguientes funciones: a) b) c)
2. El avance de la tecnología da como resultado la producción de calculadoras cada vez más potentes y compactas; actualmente el precio de las calculadoras en el mercado está disminuyendo. Suponga que meses después de el día de hoy, el precio de cierto modelo será de
dólares.
a) ¿Cuál será el precio 5 meses después de hoy? b) ¿Cuánto disminuirá el precio durante el quinto mes? c) ¿Cuándo será el precio igual a $43? d) ¿Qué le sucede al precio a largo plazo (a medida que se hace muy grande)? 3. Encuentre la función compuesta . a) b) c)
