Microeconomía III 15/05/2016 Respuestas sección III: ejercicios y problemas:
1.
Sea la función de utilidad a.
√
Profra.: E.Ilana Méndez Castrejón :
Obtenga la ecuación de la curva de indiferencia que pasa por (4, 4) y represéntela gráficamente.
Recuerde la propiedad multiplicativa de las curvas de indiferencia Coob-Douglas ; la utilidad en este punto se calcula de la siguiente manera:
√ √
Sustituyendo y despejando x2:
Graficando en Excel la función quedaría representada de la siguiente manera:
Representació Representación n gráfica gráfica de la ecuación ecuación de la la curva de indiferen indiferencia cia 9 8 7 6 5 2
x
4 3 2 1 0 Series2
a.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8
6
5
4
4
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
Calcule la relación marginal de sustitución.
√ √ √[ ] []
Derivando la función del inciso anterior, obtenemos RMS:
1
b.
¿Qué valor toma el punto (4,4)?
√
RMS (4,4)= 0.5 El consumidor valora una unidad uni dad del bien 1 como 0.5 unidades del bien 2. 2. Considere un campo de prisioneros de guerra con dos individuos y funciones de 1/3
utilidad tipo Cobb-Douglas como a.
1/ 2
1/ 2
1/3
u 1 x 11 x 12 ; u 2 x 21 x 22
.
Establezca la curva de contrato de intercambio.
La curva de contrato (CC) recoge el conjunto de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto. La cual indica si, siendo factible, no es posible mejorar a un individuo si no es a costa de empeorar a otro. En el caso de una economía de intercambio puro, sin producción, con dos consumidores la condición de equilibrio es:
La Relación Marginal de Sustitución es el cociente de utilidades marginales del agente 1 respecto al bien 1 y 2; se establece de la siguiente manera:
UMG11= U UMG12= U UMG21= U UMG22= U
= La utilidad del primer agente con respecto al bien 1. = La utilidad del primer agente con respecto al bien 2. = La utilidad del segundo agente con respecto del bien 1. = La utilidad del segundo agente con respecto del bien 2.
11 12 21 22
El ejercicio propone dos funciones de utilidad: y asociada a cada agente (1 y 2) con respecto al bien 1 y 2 se obtiene:
Aplicando la condición de equilibrio:
2
; derivando cada una
b.
¿Qué valor toma el punto (4,4)?
√
RMS (4,4)= 0.5 El consumidor valora una unidad uni dad del bien 1 como 0.5 unidades del bien 2. 2. Considere un campo de prisioneros de guerra con dos individuos y funciones de 1/3
utilidad tipo Cobb-Douglas como a.
1/ 2
1/ 2
1/3
u 1 x 11 x 12 ; u 2 x 21 x 22
.
Establezca la curva de contrato de intercambio.
La curva de contrato (CC) recoge el conjunto de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto. La cual indica si, siendo factible, no es posible mejorar a un individuo si no es a costa de empeorar a otro. En el caso de una economía de intercambio puro, sin producción, con dos consumidores la condición de equilibrio es:
La Relación Marginal de Sustitución es el cociente de utilidades marginales del agente 1 respecto al bien 1 y 2; se establece de la siguiente manera:
UMG11= U UMG12= U UMG21= U UMG22= U
= La utilidad del primer agente con respecto al bien 1. = La utilidad del primer agente con respecto al bien 2. = La utilidad del segundo agente con respecto del bien 1. = La utilidad del segundo agente con respecto del bien 2.
11 12 21 22
El ejercicio propone dos funciones de utilidad: y asociada a cada agente (1 y 2) con respecto al bien 1 y 2 se obtiene:
Aplicando la condición de equilibrio:
2
; derivando cada una
( ) ( ) ( ) ( ) { }
3. Sea una economía de intercambio puro formada por dos individuos, A y B, con dotaciones y . Así como unas preferencias: y : a.
Represente dos gráficos, uno para cada individuo, en cada uno señale la dotación inicial, la curva de indiferencia que pasa por la dotación inicial.
A g en t e " A "
A g en te " B "
x2
x2
10
10
8
8
6
6
4
(2,4)
b.
(3,6)
4
2
A
2
2
4
B
x1
2
4
x1
En un tercer gráfico una los dos anteriores formando la caja de Edgeworth. ¿Qué dimensiones tendrá la caja? Señale el área de intercambio voluntario.
3
El tam añ o de la caj a es: (5 , 10 ) x2
3
10
.
Área d e interc ambio voluntario
8
2
6
4
4
W
6
2
A
c.
8
2
4
x1
( )
( )
Señale en el gráfico el punto X en el que los individuos tienen y . ¿Qué prefiere el individuo A, el punto A o quedarse con su dotación inicial? ¿Y el individuo B?
Para dar respuesta a que prefiere el individuo A, hay que calcular su utilidad y la RMS, para la dotación inicial y la nueva cesta establecida en el punto b.
Para el punto
Sustituyendo y despejando
:
Derivando la función del inciso anterior, obtenemos RMS:
Para el punto
Sustituyendo y despejando
:
Derivando la función del inciso anterior, obtenemos RMS:
4
En este caso, la segunda dotación (1.5, 6.5) el agente A obtiene una mayor utilidad, lo que implica que se encuentra en una curva de indiferencia mayor, teóricamente el agente prefiere más a menos. En el caso del Agente B, sus preferencias son de bienes complementarios, no se sustituye como el caso anterior aquí requiere consumir ambos de manera proporcional, entonces para las dos cestas podemos observar.
Para el punto
Para el punto
Mejora la proporción antes era 1 a 2, ahora es 1 a 1; por lo tanto, el Agente B estaría mejor que en su dotación inicial.
) ( ( )
(( ) )
4. Los consumidores A y B tienen unas dotaciones iniciales , y sus funciones de utilidad son: , responda:
y y
a.
Represente dos gráficos, uno para cada individuo, en cada uno señale la dotación inicial, la curva de indiferencia que pasa por la dotación inicial. b. En un tercer gráfico una los dos anteriores formando la caja de Edgeworth. ¿Qué dimensiones tendrá la caja? c. ¿Pertenecen los puntos (9,5) y (8,9) al área de intercambio voluntario? d. Calcule el punto Pareto óptimo y la curva de contrato. Las funciones de utilidad son:
b y c ) Caja de Edgeworth
( ) ( ) y
B
3
9
12
Para calcular el punto Pareto óptimo planteamos el problema que busca maximizar la utilidad de A sujeto a la restricción de no perjudicar a B, por lo tanto:
(8,9)
5 (9,5) 3
(3,9)
9
(12,3)
A
8
9
12
15 Los puntos indicados, al graficar pertenecen al área de intercambio voluntario.
5
A partir de lo anterior el problema de optimización se puede plantear en una función Lagrangea na de la siguiente
manera:
[( )( )] ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( () √ ( ) ( )
Las condiciones de primer orden:
Resolviendo el sistema:
Sustituyendo en ( ):
Ordenar y expresar en una ecuación de segundo grado:
Multiplicando por (12/15):
Resolviendo por el método de ecuaciones de segundo grado:
Realizando los cálculos obtenemos:
Se elige el segundo resultado dado que no excede a la dotación total del bien, sustituyendo 7.35 en la ecuación ( ) tenemos:
6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Evaluando para el agente B:
Por lo tanto, la solución o punto Pareto óptimo está dada por:
Mientras que la curva de contrato habrá que calcular las relaciones marginales de sustitución para ambos agentes: y
y
En todos los puntos de la curva de contrato ha de darse la igualdad entre ambas relaciones marginales de sustitución:
Dado que las cantidades del bien 1 han de sumar 15, y las del bien 2 un total de 12, podemos reescribir la ecuación y despejar :
La curva de contrato es una línea recta dada por:
5. (Método # 2: cálculo de vectores de precios de equilibrio) Suponga una economía de intercambio puro formada por dos individuos con las siguientes preferencias y dotaciones:
;
;
y
a.
Calcular el vector de precios de equilibrio y la asignación competitiva.
Para este caso, cada uno de los individuos maximizará su función de utilidad dada su restricción presupuestaria. Consumidor A:
7
Mediante la condición de equilibrio:
Aplicando la condición, derivando y simplificando (los estudiantes tendrán que poner todo el procedimiento) obtenemos:
Sustituyendo en la restricción expresada con las dotaciones iniciales:
Realizando las operaciones pertinentes la primera función de demanda del agente A asociada al bien 2 es:
Sustituyendo en:
Consumidor B:
Mediante la condición de equilibrio:
Utilizando la restricción presupuestaria:
Esto quiere decir que la primera función de demanda será:
Utilizando este resultado y sustituyendo, obtenemos la segunda función, recuerde:
La función de demanda excedente para el mercado 1:
8
El vector de precios de equilibrio:
La asignación competitiva:
b. Obtener la expresión de la curva de contrato.
Esta parte puede ser representado mediante el cálculo de la curva de contrato, en la cual, cada punto es un óptimo de Pareto, es decir, en cada punto se cumple:
9
Como en equilibrio, la suma de las demandas de los bienes de cada agente debe ser igual a la existencia en el mercado, tenemos:
Sustituyendo en la condición de equilibrio:
Desarrollando:
esta ecuación nos da la curva de contrato óptimo de Pareto.
c. ¿Es la dotación inicial eficiente? d. Representar gráficamente el equilibrio. e. Compruebe que la asignación de equilibrio competitivo cumple con la Ley de Walras
La ley de Walras implica que la suma de los valores de las demandas excedentes de cada uno de los tipos de bien sea igual a cero:
6. Considere una economía de intercambio puro con dos bienes (1 y 2) y dos consumidores (A y B), los consumidores tienen respectivamente, las siguientes funciones de utilidad: u
A
A
A
x 1 x 2
y
u
B
min x 1 , x 2 B
B
El consumidor A posee una dotación inicial de tres unidades del bien 1 y una unidad del bien 2; la dotación del consumidor B es de una unidad del bien 1 y tres del bien 2. f. g. h.
Obtenga gráfica y analíticamente la expresión de las asignaciones eficientes de bienes Pareto-eficientes de esta economía. Obtenga el precio y la asignación de equilibrio walrasiano. (Considere al bien 2 como numerario, estos es, p2=1) Suponga que se establece que la mejor asignación para esta economía es: xˆ
A
(1 ,1 ); xˆ
B
( 3 ,3 )
Determine una distribución inicial de los bienes entre los individuos que conduzca a que tal asignación pueda alcanzarse como equilibrio walrasiano de esta economía.
Las funciones de utilidad están dadas por:
10
Mientras que las dotaciones iniciales:
a.
Obtenga gráfica y analíticamente la expresión de las asignaciones eficientes de bienes Pareto-eficientes de esta economía.
El tamaño de la caja es de 4 por 4:
A, B, C, D. Son asignaciones eficientes en el sentido de Pareto. w
En este caso para establecer los puntos de tangencia se estableció la siguiente condición:
Pero dicha condición se puede establecer si ambas preferencias son de tipo Cobb-Douglas; en este caso el agente B tiene preferencias tipo complementarios perfectos, no sustituye bienes, o deja de consumir un bien por una unidad adicional del otro, en este caso va en términos de proporciones, lo que podemos establecer es que exista tangencia entre la curva de indiferencia y el vértice como condición de equilibrio. b.
Obtenga el precio y la asignación de equilibrio walrasiano. (Considere al bien 2 como numerario, estos es, p2=1)
En este inciso lo que se pide es el cálculo del vector de precios de equilibrio en este sentido recuerde que son tres pasos: a) el cálculo de las funciones de demanda marshalliana para ambos agentes; b) para el mercado asociado al bien 1 se construye la función de demanda excedente y c) se simplifica calculando los precios relativos. Teóricamente, para hallar el vector de precios de equilibrio es necesario que todos los mercados se vacíen simultáneamente. Como se señaló en clase, la Ley de Walras garantiza que si todos los mercados menos uno están en equilibrio, el mercado restante también lo estará. En consecuencia basta con hallar el precio relativo que vacía a uno de los mercados, y el mercado del otro bien también estará en equilibrio.
Funciones de demanda Marshallianas
El problema del agente A; es maximizar la siguiente función de utilidad: 11
(1)
Sujeto a la siguiente restricción (lo que tiene con respecto a lo que quiere):
(2)
Estableciendo la función lagrangiana y las C.P.O se obtiene:
(3)
(4)
(5)
Despejando y dividiendo (4) y (5):
(6)
Sustituyendo (6) en la restricción:
Sustituyendo (7) en la restricción:
12
Se obtienen las funciones de demanda marshalliana del agent e “A” asociadas al bien 1 y 2; se sustituyen las dotaciones iniciales y el numerario, obteniendo:
El problema del agente B; es maximizar la siguiente función de utilidad:
En el caso de preferencias de complementarios perfectos, NO ESTABLECEMOS UNA FUNCIÖN LAGRANGIANA, ya que son proporciones, por lo tanto, basta con igualar los elementos de la función, de tal manera que:
Al Sustituir (13) en (12):
Se vuelve a establecer la igualdad ahora utilizando el bien 2 y se sustituye nuevamente en la restricción:
Por lo tanto, las funciones de demanda marshallianas del agente “b” asociadas al bien 1 y 2:
13
Sustituyendo las dotaciones iniciales y el numerario:
La función de demanda neta individual o de exceso de demanda para el mercado 1:
Dado que el ejercicio ya está estableciendo el precio relativo para P1, basta con sustituir en (16) :
El inciso c, no se resuelve, para el caso de esta guía.
7. Sean dos consumidores, A y B, que tienen preferencias por los bienes x e y representadas por las funciones de utilidad y . Si las cantidades existentes en la economía son , que están repartidas inicialmente entre los consumidores en forma de dotaciones iniciales, ( y ( .
a. b. c. d.
Obtenga la expresión de la curva de contrato y represéntela gráficamente. ¿Es la dotación inicial una asignación eficiente en sentido de Pareto? Determine los precios de equilibrio de esta economía de int ercambio puro. Compruebe que la asignación de equilibrio competitivo verifica la Ley de Walras.
Dotaciones Iniciales:
a.
Obtenga la expresión de la curva de contrato y represéntela gráficamente.
14
b.
¿Es la dotación inicial una asignación eficiente en sentido de Pareto?
c.
Determine los precios de equilibrio en esta economía de i ntercambio puro.
Las restricciones de los Agentes:
El problema del agente A:
̅̅ ̅ 15
Sustituyendo (4) en la restricción:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Sustituyendo (5) en la restricción:
El problema del agente B:
Dividiendo (8) y (9):
16
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Sustituyendo (11) en la restricción…
En Equilibrio general tenemos: (5) y (6), (11) y (12) Utilizando el mercado 1:
17
̅ d.
Compruebe que la asignación de equilibrio competitivo verifica la Ley de Walras.
La ley de Walras establece que el valor total de los excesos de demanda de los bienes debe sumar cero a cualquier conjunto de precios.
̅ ̅ ̅
8.
Considere una economía de intercambio puro con dos bienes y dos agentes, cuyas dotaciones iniciales y funciones de utilidad son: U(X 11,X 21 ) = X 11 X 21+ 12X 11+3X 21 U(X 12 ,X 22 ) = X 12 X 22 + 8X 12 +9X 22
8 10 , W 2 30 10
,…
W 1
a. Determine los precios de equilibrio. b. Encuentre la asignación Óptima de Pareto Recuerde: calcular las funciones de demanda marshallianas, después la función de demanda excedente y el vector de precios de equilibrio.
Las funciones de utilidad y las restricciones están dadas por:
Mientras que las dotaciones iniciales:
18
a.
Determine los precios de equilibrio.
El problema del agente “A”
Dividiendo (2) y (3):
Sustituyendo (4) en la restricción:
Sustituyendo (5) en la restricción:
19
El problema del agente “B”
(7)
Dividiendo (8) y (9):
Sustituyendo (10) en la restricción:
Sustituyendo (11) en la restricción:
20
En equilibrio general se tienen a las ecuaciones: (5), (6), (11) y (10). Por ley de Walras se analiza uno de los dos mercados; cuidado con el nivel de ingreso hay que expresarlo en términos de precios dadas las restricciones para cada agente. Por ejemplo:
La función de demanda excedente y el vector de precios relativos para el primer mercado:
b. Encuentre la asignación óptima
21
9. En la figura se observa la caja de Edgeworth de la producción en el caso de los bienes,
e.
y
. Para producir cada bien se utilizan dos factores: trabajo y capital.
Interprete el significado del punto A ¿Qué valores numéricos le corresponden?
A diferencia de los casos anteriores, este ejercicio está asociado a una economía de intercambio puro con producción, aquí introducimos el termino de eficiencia económica, la cual busca hacer el mejor uso posible de los recursos productivos, compuestos por ciertas cantidades de dos factores trabajo, L y capital, K. El uso de dichos factores permite producir dos bienes diferentes, el bien 1 y el bien 2, lo que permite establecer sus respectivas funciones de producción. Dependiendo de cómo se distribuyan los factores es posible obtener diferentes combinaciones de bienes. El objetivo es encontrar la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP), cada punto de la curva de contrato de la producción corresponde a un punto de la FPP. Cabe señalar, que la FPP muestra las distintas combinaciones de bienes que se podrían obtener dados los recursos o cantidad de factores disponibles. Al igual que el caso anterior existe una condición de eficiencia: RMST1=RMST2 (RMST: Relación Marginal de Sustitución Técnica del bien 1 es tangente a la Relación Marginal de Sustitución Técnica del bien 2). Es decir, se establece la pendiente de las isocuantas que no es otra cosa que el cociente de la productividad marginal del trabajo con respecto a la productividad marginal del capital. Por lo anterior, en el punto A no se cumple la condición de eficiencia (RMST1 ≠RMST2), podría moverse hacia otros puntos, por ejemplo C o D, para mejorar su utilidad, lo que implica que es posible aumentar su producción de ambos bienes mediante una reasignación de los factores de producción. Por lo tanto, una
22
asignación es eficiente en el uso de los factores sino es posible producir más de un bien sin reducir la producción de otro. ¿Qué valores numéricos le corresponden?
Al observar la gráfica se tiene:
.
Las condiciones de factibilidad están dadas por:
f.
Si las funciones de producción son: la figura.
y
, calcule el valor de
en
El objetivo es en apariencia sencillo encontrar la FPP, para ello considere tres pasos: a) a partir de la condición de equilibrio se obtiene la función de curva de contrato; b) al inciso anterior le incorporamos las condiciones de factibilidad y se obtiene la pendiente de la curva de contrato de la producción y c) se calcula la FPP. La condición es: RMST1 = RMST2
Despejando y dividiendo para establecer la condición:
23
La curva de contrato de la producción:
Retomando las condiciones de factibilidad:
Despejando para L2 y K2: Si:
Sustituyendo en la curva de contrato:
Si:
Realizando lo anterior para K2 y L2:
⁄
Derivando para obtener la pendiente de la CCP:
Por último, para calcular la FPP o los puntos
Sustituyendo K 1 en x1:
:
Sustituyendo K 2 en x2:
Despejando L1 y L2:
24
La FPP:
Para encontrar la pendiente de la FPP, que es RMT (Relación Marginal de Transformación) que indica cuantas unidades del bien 2 podría transformarse en una unidad del bien 1, despejando X 2:
⁄ ⁄
La ecuación de la FPP:
Derivando la ecuación de la FPP, obtenemos la pendiente que es la RMT, dada por:
Al graficar los resultados anteriores:
25
x2 19,683
FPP:
x2 = 0
x1 = 19,683
x1 = 0
x2 = 19,683
RMT=-1
19,683
x1
Por lo tanto:
g. ¿Es eficiente el uso de factores en A? ¿Por qué? No, por los argumentos señalados en el inciso a, de esta pregunta. 10. Si en una economía operan dos tipos de personas que producen y consumen dos tipos de bienes X1 y X2 de acuerdo con las siguientes funciones de producción (un solo factor):
y
La cantidad total de horas de trabajo disponible es de 100, mientras que los precios iniciales de los bienes son P1 = 15 y P2 = 10; mientras que sus funciones de utilidad son:
;
;
Calcule la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP). b. Las cantidades producidas de ambos bienes. c. Los precios correspondientes al equilibrio general competitivo. d. ¿Es el equilibrio general competitivo un óptimo de Pareto? a.
a) La frontera de posibilidades de producción (FPP).
26
Por lo tanto:
; esto quiere decir que:
Esta ecuación nos dará la FPP.
b) Las cantidades producidas de ambos bienes. Cada persona maximiza su ganancia en términos de su producción y de su restricción tecnológica. Individuo 1:
Sustituyendo los valores. Aplicando Condición de Primer Orden para maximizar (CPO) y resolviendo para L1:
Individuo 2:
Sustituyendo los valores. Aplicando Condición de Primer Orden para maximizar (CPO) y resolviendo para L2:
Ahora, sustituyendo estos resultados:
Dada la cantidad total de trabajo disponible: Resolviendo: Por lo tanto:
Así, las cantidades óptimas a producir son:
c) Los precios correspondientes al equilibrio general competitivo. Dado el resultado del anterior inciso, tenemos que:
Por lo que cada individuo maximizará su función de utilidad de acuerdo con sus restricciones. Individuo 1:
Dado la condición de equilibrio:
Sustituyendo:
27
De acuerdo a esto, Individuo 2:
;
Dado la condición de equilibrio:
Sustituyendo:
De acuerdo a esto, Por lo tanto:
Para el mercado del bien 1:
Para el mercado del bien 2:
d) ¿Es el equilibrio general competitivo un óptimo de Pareto?
No, pues el nivel de precios iniciales de los dos bienes, a partir del cual se han calculado las producciones óptimas (maximización de beneficios), no coincide con los precios relativos de equilibrio que vacían el mercado. 11. (Resuelto en clase ) En una economía se producen dos bienes, x e y, mediante la utilización de los factores productivos trabajo y capital, L y K, de acuerdo con las siguientes funciones de producción:
( )
La dotación total de factores está limitada, disponiéndose de 25 unidades de trabajo y 25 unidades de capital (
=25). El único consumidor que opera en esta economía tiene
unas preferencias representadas por la función de utilidad
28
. Determine:
a. La curva de contrato y grafique. b. La Frontera de Posibilidades de Producción o curva de transformación. Interprete la pendiente. c. Los niveles de producción y precios correspondientes al equilibrio general competitivo de esta economía. ¿Es óptimo de Pareto? Complementando la explicación del ejercicio anterior
A diferencia de lo que sucedía en una economía de intercambio puro, donde la oferta de los bienes era exógena y venia
dada por las dotaciones iniciales de los mismos, en una economía con producción existen diversas combinaciones posibles de los bienes (x, y) en función de cómo se asigne la oferta total de factores
en la producción de ambos bienes.
La curva de contrato en producción (CCP) recoge el conjunto de asignaciones eficientes desde el punto de vista de la producción, esto es, asignaciones factibles de factores de modo que no sea posible aumentar la producción de uno de los bienes si no es a costa de reducir la del otro.
La CCP recoge situaciones donde cada empresa alcanza la máxima producción dado el nivel de producción de la otra empresa y el reparto resultante de la dotación inicial de ambos factores es factible, es decir, verifica las condiciones de
viabilidad:
Si las tecnologías de ambas empresas son regulares (las curvas de isocuantas son estrictamente convexas), las condiciones de primer orden del problema anterior establecen que para que una asignación sea eficiente desde el punto de vista de la producción:
Solución:
Economía con producción dada por:
Se tiene un consumidor que opera en esta economía, tiene preferencias x, y representadas por la siguiente función de utilidad: 29
En el caso de una economía con dos bienes y dos factores, puede deducirse analíticamente la CCP mediante:
Las condiciones de viabilidad:
Por lo tanto, tomando (3) y los datos del ejercicio:
(1)
Si
Despejando
Si
Despejando
Si
Sustituyendo (2) y (3) en (1)
30
Gráficamente, la representación de la CCP en la caja de Edgeworth sería:
2.- La expresión de la frontera de posibilidades de producción o curva de transformación.
Teniendo:
Sustituyendo:
Elevando (1) al cuadrado:
31
Con la restricción de factibilidad, se tiene:
De donde se obtiene la expresión analítica de la FPP:
Pendiente:
3.- La asignación correspondiente al óptimo de Pareto: Gráficamente se verifica:
32
Y
Matemáticamente:
Dividiendo (2) y (3)
Sustituyendo en la restricción:
Sustituyendo (5) en (4)
El equilibrio se encontrará en el punto de tangencia de la curva de indiferencia y FPP. ¿Se cumple la condición? RMS=RMT
-5.8=-5.8
Se verifica la condición en el resultado que obtuvimos en clase Y=16.82 33
12. En una economía se producen dos bienes, x e y, de acuerdo con las siguientes funciones de producción: x
L x
y L y
2
1/ 2
Donde Lx y L y son las cantidades utilizadas en la producción de cada uno de los bienes del factor trabajo, cuya dotación total de la economía está limitada a 100 unidades.
d. Determine y grafique la FPP. e. Obtenga la Relación Marginal de Transformación.
En una economía se producen dos bienes, x e y; De acuerdo a las siguientes funciones de producción:
Dónde:
1.- Determine la expresión analítica de la FPP o curva de transformación y represéntela gráficamente:
Despejando Lx de la ecuación: (1):
Despejando Ly de la ecuación: (2):
Sustituyendo (4) y (5) en (3)
√
2.- Obtenga la relación marginal de transformación: Tomando FPP:
34
Despejando en términos de y:
Si
√
…Entonces:
13. Suponga una economía perfectamente competitiva, 2x2, dos bienes dos factores, en las que las funciones de producción respectivas para los dos bienes son, 0 .6
0 .4
0 .3
0 .7
x 1 K 1 L 1 ; x 2 K 2 L 2 , y donde la función de utilidad de los agentes de consumo es, 0 .5
u x 1
0 .5
,(todas ellas de tipo Cobb-Douglas) si la dotación total del capital de la economía es 1200 unidades y del trabajo 2200 trabajadores, el precio del bien 1 es 100, determinar el precio del bien 2, el salario y la remuneración del capital. (ANEXO RESPUESTA A MANO) x2
14. Sea una economía con dos empresas que producen dos bienes, siguientes funciones de producción: x
L x
y
8
donde
L x
1 5
x
e y , de acuerdo con las
( L y 2 x )
y L y son , respectivamente, las cantidades utilizadas en la producción de los bienes
x
e y del factor existente en la economía del que hay unas dotaciones iniciales de 600 unidades. El único consumidor de esta economía tiene unas preferencias representadas por la siguiente función de utilidad:
a.
2
U x y
:
Calcule las cantidades óptimo paretianas (OP) de esta economía.
Para calcular el OP es preciso obtener previamente la expresión de la frontera de posibilidades de producción (FPP ). Cuando únicamente existe un factor productivo, la determinación analítica de la FPP se reduce a despejar en cada una de las funciones de producción la cantidad de factor en función de la cantidad de producción y sustituir en la condición de factibilidad; tenemos:
(1) (2) (3)
35
( )
Despejando (4)
de (1):
Despejando (5)
de (2):
Sustituyendo (4) y (5) en (3) que es la condición de factibilidad: (6)
Despejando de (6) y para tener la ecuación de la FPP: (7)
Por lo tanto, la FPP:
La pendiente de la FPP es la Relación Marginal de Transformación (RMT), derivando la ecuación (7), tenemos:
(8)
Como se observa en la gráfica, las cantidades máximas que pueden producirse de cada uno de los bienes son ;
, y en este caso, se obtiene la directamente de la expresión de la FPP. Una vez
determinada la expresión analítica de la FPP, el problema de optimización restringida que permite obtener el Óptimo de Pareto; estará dado por la función de utilidad propuesta para el ejercicio, la cual estará restringida a la ecuación de la FPP; ya que en equilibrio se tiene que cumplir la condición: (9) RMT=RMS El problema de optimización está dado por: (10)
(11) Estableciendo el Lagrangiano y aplicando las C.P.O; tenemos: (12) (13)
36
(14)
Despejando y dividiendo (13) y (14):
(15)
Sustituyendo el resultado de (15) en (11): (16)
Sustituyendo nuevamente en la restricción, aunque no es necesario ya que en (15) se obtuvo y=x , pero para que no haya dudas: (17)
No olvidemos la condición: RMT=RMS, ya obtuvimos la pendiente de la FPP ahora nos falta la pendiente de la RMS: (18)
Recuerde que la RMS es el cociente de las utilidades marginales asociadas a x,y; entonces derivando la función de utilidad: (19) (20)
Estableciendo la relación, dividiendo (19) y (20) (21)
La condición es que RMT=RMS, por lo tanto: (22)
En el siguiente grafico se resumen los resultados obtenidos:
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y 10x + 5y = 600 x = 0 5y=600 → y = 0 10x = 600→
120 FPP:
40
y = 600/5 → x = 600/10
→
y = 120 x = 60
OP: RMT=RMS=-2
40
60
x
a. Calcule las cantidades de Equilibrio General Competitivo (ECG). En el EGC todos los agentes, consumidores y empresas, están tomando decisiones óptimas actuando de manera independiente, y dichas decisiones son compatibles. Para plantear las condiciones de maximización del beneficio por parte de las empresas, es preciso obtener las funciones de costos. No olvide en clase establecimos que la condición de equilibrio de competencia perfecta es que el P=CMg. Entonces retomando las funciones de producción: x
L x
y
8
1 5
( L y 2 x )
De las funciones de producción se despeja Lx y Ly; que son las cantidades del factor trabajo utilizadas en la producción de los bienes x e y. Ahora el precio del factor trabajo es el salario (w); el cual puede establecerse como una proporción de Lx y Ly, es decir:
Ahora con lo planteado con anterioridad las funciones de costos totales son:
)
Si tenemos que:
Sustituyendo los costos totales son: Los costos marginales:
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Con lo anterior y los resultados de los incisos anteriores se pueden plantear las condiciones de primer orden que tiene debe cumplir la asignación correspondiente al EGC en el caso de una economía con un consumidor, dos empresas y un factor de producción:
(1) (2) (3) (4) (5)
b. ¿Coinciden las cantidades OP y ECG de esta economía? ¿Por qué? Si, se verifican las condiciones de tangencia.
Recuerde que en el Equilibrio General Competitivo, las empresas, consumidores y la producción están en equilibrio; en el inciso anterior se concluye con las condiciones de equilibrio en distintos niveles: I.
En los modelos de intercambio suponemos un modelo de competencia perfecta; recuerde la condición de equilibrio: , en el caso del ejercicio tenemos dos bienes por lo tanto la condición la podemos reescribir: i. ii.
Tome en cuenta que con anterioridad calculamos los salarios; por lo que establecemos: i. ii. II.
En el equilibrio del consumidor la Relación Marginal de Sustitución (RMS) igual a los precios relativos ; en cálculos anteriores obtuvimos la RMS e igualando a los precios relativos:
III.
i. El equilibrio de intercambio con producción, calculamos la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) y encontramos la ecuación dada por: i.
IV.
El ejercicio nos indica que:
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