Mét odogr áficoder esol uci óndesi st ema mas
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. ay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas !entre sí"# se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes !la misma recta". $i las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado . $i las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no %ay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la ve&, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. 'or último, si ambas rectas son coincidentes, %ay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica indica que %ay infinitas soluciones soluciones del sistema !todos los puntos de las rectas", luego éste será compatible indeterminado. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases# i.
$e de despeja la la incógnita y en ambas ecuaciones.
ii.
$e cons constru truye, ye, para para cada cada una una de de las las dos dos funci funcione oness de primer primer grado grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
iii. iii.
$e repre represen sentan tan gráfic gráficame amente nte ambas ambas rect rectas as en en los los ejes ejes coo coorde rdenad nados. os.
iv. iv.
En este este últi último mo paso paso %ay %ay tres tres pos posib ibil ilid idad ades es##
a.
$i ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
b.
$i ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
c.
$i ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
(eamos, por última ve&, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado# Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros ue Ana! "#uánto dinero tiene cada uno$!
)lamemos x al número de euros de *na e y al de $ergio. (amos a e+presar las condiciones del problema mediante ecuaciones# $i los dos tienen -- euros, esto nos proporciona la ecuación x % y & 600. $i $ergio tiene el doble de euros que *na, tendremos que y & 'x. *mbas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema# x + y = 600 2x - y = 0
'ara resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos# y = -x + 600 y = 2x
(amos a%ora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores#
y = -x + 600 x ---
y /--
y = 2x x y 0-- --- /--
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes y * , podemos ya representar gráficamente#
1233 td2334 $i observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto ('00, +00), luego la solución del sistema es x & '00 e y & +00. 'or tanto, la respuesta al problema planteado es que *na tiene 200 euros y $ergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que %abíamos obtenido con los tres métodos analíticos.
MÉTODO D S!ST"T!#"
%$ ¿Por qué se llama método de sustitución? Porque este método consiste en despejar una incógnita de una de las dos ecuaciones y sustituir ese valor hallado (es decir el segundo miembro de ese despeje), en la otra ecuación. Puedes comenzar eligiendo la incógnita que quieras en la ecuación que quieras. onviene mirar con atención y elegir bien, es decir aquella incógnita que tenga un despeje m!s sencillo. "e este modo queda una ecuación de primer grado con una sola incógnita que debes resolver, hallando la incógnita. #uego debes sustituir ese valor en las dos ecuaciones originales y despejando la otra incógnita, resolver!s el sistema inicial. $echa esta primera descripción general del método de sustitución, te propongo resolver el sistema anterior por este método, describiendo un %paso a paso& que ilustre mejor lo que implica cada uno de ellos. ') ira con atención el sistema y elige cuál de las incógnitas te conviene despejar de cu!l de las ecuaciones. n este caso, en mi opinión, est! m!s sencilla de despejar la incógnita %*& de la primera de las ecuaciones del sistema. +uedar! as-
/) Sustituye el segundo miembro de esa igualdad, en el lugar donde est! la %*& en la segunda ecuación, dado que esa e*presión es igual a %*&. +uedara e*presado de este modo
0) Trabaja sobre esta ecuación hasta resolverla, vale decir hasta que halles cu!nto vale la incógnita %y&.
1 '2 y 3 4'2 y=1
5) Sustituye el valor hallado de “y” (es decir el ' en este caso), en la otra ecuación (es decir en la que habamos despejado %*&. 6esuelve esa ecuación y hallar!s la otra incógnita. +uedar! as 0* 7 / (') 3 8 0* 7 /
38 0* 39 *39:0
x= ;) carse las dos igualdades. ?amos paso a paso como en el tem anterior. Primera veri>cación a)
0 * 7 / (') 3 8
0 (/) 7 / (') 3 8 9 7 8
/
38
3 8
567898 9E :;<*)*C:=>
Es el primero de los métodos algebraicos que estudiaremos y que se usan para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas. En este caso, %ablamos de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ?'or qué se llama m&todo de i'ualaci(n). Este método consiste en despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones y posteriormente igualar !de a%í su nombre" los segundos miembros de esos despejes, vale decir las dos e+presiones algebraicas resultantes.
9e este modo queda una ecuación de primer grado con una sola incógnita que debes resolver, %allando la incógnita. $ustituyendo ese valor en las dos ecuaciones originales y despejando la otra incógnita, resolverás el sistema inicial. 7e propongo un paso a paso bien claro y conciso. 0" 9espejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones. En este caso elegimos despejar la incógnita +, de ambas ecuaciones obteniendo los despejes siguientes#
" :gualamos los dos segundos miembros de ambas igualdades
@" Aesolvemos esta ecuación %asta %allar el valor de By
@ D y 2 0F G H y D0I y 2 D@ G 0F J 0I y 2 D0I y2 D0I K J 0I y20 /" $ustuimos el valor de By %allado en las dos ecuaciones simultáneas originales. a"
@ + G !0" 2
b"
/ + J @ !0" 2 F
F" Aesolvemos las ecuaciones, el valor de B+ que nos dé en ambos casos debería ser el mismo. (eamos los casos uno por uno#
a" @+ G 2 @+ 2 J @+ 2 + 2 K@
x=2 b" /+ J @ 2 F /+ 2 F G @ +2K/
x=2 " Con ambos resultados se procede a la verificación de las dos ecuaciones simultánea. $i todo está correcto, deben verificarse las dos igualdades. (amos paso a paso como en el ítem anterior a" @ + G !0" 2 @ !" G !0" 2 G
2
2
b" / + J @ !0" 2 F / !" J @ !0" 2 F J
@ 2 F F 2 F
Como puedes comprobar, el método es sencillo ya que puedes resolver las ecuaciones simultáneas en unos pocos pasos y dado que cuentas con la posibilidad de verificar los resultados, podrás comprobar con total certe&a si los valores que %as %allado en cada caso para cada incógnita son los correctos. E+isten varios métodos algebraicos másL de ellos veremos el método de sustitución, el método de reducción y el método de matrices o determinantes. * ellos sumaremos posteriormente el método gráfico.
MÉTODO D *D!##"
%$ n lneas generales, lo que buscamos al poner en marcha este método, es que mediante la multiplicación de cada ecuación, por un "actor elegido convenientemente, los coe>cientes de una misma incógnita sean n@meros opuestos, es decir que al sumarlos, se anulen entre s. "e este modo obtendremos una ecuación en una sola incógnita que resolveremos como lo hacemos habitualmente. uando tengamos ese valor, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones para hallar la otra incógnita. Posteriormente veri>camos los resultados obtenidos y ambas ecuaciones deber!n probar que son igualdades. omo habitualmente hacemos, te propongo resolver el sistema de ecuaciones simult!nea que hemos tomado como modelo, esta vez aplicando el método de reducción. Paso a paso, como siempre. l sistema de ecuaciones simult!neas elegido es
') Abservamos los coe>cientes de una de las incógnitas con suma atención y elegiremos la pareja que nos parezca m!s sencilla para el propósito que perseguimos., supongamos la %*&. #a manera m!s sencilla de lograr que tengan el mismo coe>ciente es cru#arlos entre ellos, pero cuidando de que uno de los dos productos >nales quede negativo. n este caso, nos conviene multiplicar la primera ecuación por 5 y la segunda por 40B el coe>ciente en ambos casos tendr! un valor absoluto de '/, pero como elegimos 40 en vez de 0, la segunda ecuación quedar! con coe>ciente negativo en el término en *. Abserva
/) l siguiente paso, en realidad, ya lo has observado en la imagen anterior una vez que logras que los coe>cientes de una misma incógnita sean dos n$meros o%uestos (en este caso 7'/ y 4'/), debes sumar ambas ecuaciones miembro a miembro. "e este modo, los términos en %*& se reducen (por eso el método se llama método de reducción) y sólo nos queda una
ecuación en %y&. #a resolvemos y se llega a hallar su valor, en este caso, '. 0) Sustituye el valor hallado de “y” (es decir el ' en este caso), en cualquiera de las ecuaciones del sistemaB quedar! una ecuación sólo en %*&. 6esuelve esa ecuación y hallar!s la otra incógnita. Por ejemplo yo elijo hacer este procedimiento en la primera de ellas y quedar! as 0* 7 / (') 3 8 0* 7 /
38
0* 39
567898 '8A 9E7EA5:>*>7E$ Uso del Método de Determinantes para Resolver un Sistema de Ecuaciones. La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como
Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones son horiontales y las columnas, verticales). ! cada número del determinante se le llama elemento del propio determinante. En general, podemos simboliar un determinante de segundo orden de la manera siguiente"
donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generaliación de los determinantes de orden superior. El primer número del sub#ndice indica el renglón en que est$ el elemento% y el segundo número, la columna. !s#, a&' es el elemento situado en el segundo renglón y primera columna.
ada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la siguiente formula" alor de un determinante & * &
+i a, b,.c y d son números, el determinante de la matri
es
El determinante de una matri & * & es el número que se obtiene con el producto de los números de la diagonal principal.
menos el producto de los números de la otra diagonal
PROCEDIMIE!O Soluci"n de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden#
ara resolver el sistema son números reales.
donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s ,
1.
onsideramos el arreglo variables.
2.
-btenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior iquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que est$n en las esquinas inferior iquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. !unque pareca complicado, es f$cil de recordar si usamos s#mbolos
que consta de los coeficientes de las
Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos sealados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia aba/o un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.
3.
on la notación observamos que la solución del sistema es
onviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los t0rminos independientes.
