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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica - Zacatenco Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica
Comunicaciones Digitales Profesor: DE LA CRUZ OLIVA ALLAN A!E"#I$
Realiación de !ltros digitales" Método de Reme #Par$s-McClellan% #Par$s-McClellan%
Uri%e Arellano Carlos Antonio
&ru'o: (C)11
Introducción &iltrado digital de se'ales
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Un *ltro +igital es un algoritmo im'lementa+o en ,ar+-are ./o soft-are 0ue o'era so%re una seal +e entra+a +igital 2+iscreta en tiem'o . cuanti3a+a en am'litu+4 . genera una seal +igital +e sali+a con la *nali+a+ +e efectuar un me6oramiento +e la cali+a+ +e la seal 'or e6em'lo remo7ien+o o atenuan+o el ni7el +e rui+o e8tra.en+o informaci9n +e +os o ms seale$ En la ;ig$ 1 se muestra un +iagrama %lo0ue sim'li*ca+o +e un *ltro +igital 0ue o'era en tiem'o real con entra+as . sali+as anal9gicas$
Fig. 1: diagrama a bloques simplifcado de un fltro digital
La seal +e entra+a limita+a en %an+a se muestrea 'eri9+icamente . se con7ierte en una serie +e muestras x [ n ] ; n= 0,1,2,3. .. El 'rocesa+or +igital con7ierte la sucesi9n +e entra+a 8anal9gico con7ierte la sali+a +igital .
•
•
Los *ltros +igitales 'ue+en tener caractersticas 0ue son im'osi%les +e conseguir con *ltros anal9gicos como 'or e6em'lo una res'uesta +e fase e8actamente lineal$ El +esem'eo +e los *ltros +igitales no 7ara con las con+iciones am%ientales 2tem'eratura ,ume+a+ etc$4 como s ocurre con los *ltros anal9gicos lo 0ue elimina la necesi+a+ +e cali%rarlos 'eri9+icamente$ "i el *ltro se im'lementa utili3an+o un 'rocesa+or 'rograma%le la res'uesta en frecuencia +e un *ltro +igital 'ue+e a6ustarse a 7olunta+
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•
•
2*ltra+o a+a'ti7o4$ El mismo *ltro 'ue+e 'rocesar 7arias seales o canales +e entra+a sin necesi+a+ +e re'licar el ,ar+-are$ La 'recisi9n con 0ue un *ltro +igital 7eri*ca las es'eci*caciones +e +iseo est limita+a solamente 'or la longitu+ +e 'ala%ra 2%its4 utili3a+a 'ara re'resentar los coe*cientes +el *ltro . e6ecutar las o'eraciones aritm@ticasB con los *ltros anal9gicos es +ifcil lograr atenuaciones 0ue e8ce+an los o ( + en la %an+a +e rec,a3o 2utili3an+o com'onentes con7encionales4$ El +esem'eo +e los *ltros +igitales es re'eti%le +e uni+a+ a uni+a+$ Los *ltros +igitales 'ue+en utili3arse a mu. %a6as frecuencias como las 0ue se encuentran en a'licaciones %iom@+icas +on+e el em'leo +e *ltros anal9gicos es 'oco 'rctico 'or los 7alores mu. ele7a+os +e los com'onentes 'asi7os in7olucra+os 2ca'acitores in+uctancias4$ A+ems los *ltros +igitales 'ue+en tra%a6ar so%re un am'lio rango +e frecuencias sim'lemente cam%ian+o la frecuencia +e muestreo$
"in em%argo los *ltros +igitales tam%i@n 'resentan una serie +e +es7enta6as res'ecto a los *ltros anal9gicos: •
•
•
Limitaci9n +e frecuencia$ La frecuencia +e N.0uist 20ue *6a el anc,o +e %an+a ?til 0ue el *ltro 'ue+e 'rocesar4 0ue+a +e*ni+a 'or el 'roceso +e con7ersi9n 2tiem'os +e con7ersi9n +el con7ersor A/D . D/A4 7eloci+a+ +el 'rocesa+or canti+a+ +e o'eraciones a e6ecutar 'or uni+a+ +e tiem'o etc$ Efectos +e longitu+ *nita +e 'ala%ra$ En general los coe*cientes +el *ltro im'lementa+o sern +istintos +e los calcula+os te9ricamente si la re'resentaci9n num@rica 0ue se utili3a 'ara im'lementar el *ltro no es +e 'recisi9n in*nita$ No s9lo inFu.e la cuanti3aci9n +e los coe*cientes +el *ltro sino tam%i@n el re+on+eo +e las o'eraciones num@ricas la cuanti3aci9n +el con7ersor A/D . D/A la truncaci9n 0ue ocurre al almacenar los conteni+os +el acumula+or en memoria etc$ Estos efectos 0ue se mo+elan como fuentes +e rui+o +e +istri%uci9n uniforme 'ue+en limitar seriamente el +esem'eo +e los *ltros +igitales: 7ariaciones +e ganancia en la %an+a +e 'aso menor atenuaci9n en la %an+a +e rec,a3o . ,asta 'ue+en con+ucir a la inesta%ili+a+ en *ltros recursi7os +e or+en ele7a+o$ iem'os +e +iseo . +esarrollo 'rolonga+os$ Los tiem'os +e +iseo . +esarrollo +e un *ltro +igital en es'ecial el +iseo +el ,ar+-are 'ue+e ser mu. su'erior al necesario 'ara el +iseo +e un *ltro anal9gico$ "in em%argo una 7e3 0ue se +is'one +el ,ar+-are o el soft-are necesario la misma 'lataforma 'ue+e utili3arse 'ara muc,as otras tareas +e *ltra+o o 'rocesamiento +igital +e seales con 'oca o ninguna mo+i*caci9n$ A+ems el +esarrollo +e ,erramientas +e CAD a7an3a+as
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,acen 0ue el +iseo +e *ltros sea una tarea agra+a%le . sencilla aun0ue a?n as es necesaria cierta e8'eriencia 'ara a'ro7ec,arlas ntegramente$
(ise'o de !ltros digitales) El +iseo +e un *ltro +igital in7olucra los siguientes 'asos: 1$ Es'eci*caci9n +e los re0uerimientos +el *ltroB G$ Elecci9n +e una a'ro8imaci9n con7eniente . clculo +e los coe*cientesB H$ Re'resentaci9n +el *ltro utili3an+o una estructura a+ecua+a 2reali3aci9n4B $ Anlisis +e los efectos +e la longitu+ *nita +e 'ala%ra en el +esem'eoB 5$ Im'lementaci9n en ,ar+-are o soft-are$ Estos cinco 'asos no son necesariamente in+e'en+ientes ni necesitan seguirse en el or+en +escritoB actualmente las t@cnicas +e +iseo +is'oni%les com%inan el segun+o . 'arte +el tercero . cuarto$ Para lograr un *ltro e*ciente es necesario iterar entre las +istintas eta'as es'ecialmente si como es ,a%itual las es'eci*caciones +e +iseo +e6an cierto gra+o +e li%erta+ al +isea+or o si se +esean e8'lorar otras alternati7as +e +iseo$
Especi!caciones de dise'o
Los re0uerimientos inclu.en la es'eci*caci9n +eB 1$ Las caractersticas +e las seales: ti'o +e fuente +e seal interfa3 +e entra+a>sali+a 7eloci+a+ +e 'rocesamiento anc,o +e 'ala%ra la ma.or frecuencia +e inter@s$ G$ Las caractersticas +el *ltro: la res'uesta en m9+ulo ./o fase +esea+as . sus tolerancias la 7eloci+a+ +e o'eraci9n el mo+o +e *ltra+o 2en lnea o fuera +e lnea4$ H$ La forma +e im'lementaci9n: como una rutina +e alto ni7el en una com'uta+ora o un 'rograma es'ec*co 'ara un D"P$ $ Otras restricciones al +iseo como 'or e6em'lo el costo +el *ltro$ Es 'osi%le 0ue inicialmente el +isea+or no cuente con to+a la informaci9n necesaria 'ara es'eci*car com'letamente el *ltro 'ero cuanto ms +etalles se cono3can ms sencillo ser el 'roceso +e +iseo$
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;recuentemente los re0uisitos +el *ltro +igital se es'eci*can en el +ominio +e la frecuencia . 'ara el caso +e los *ltros selecti7os en frecuencia estas es'eci*caciones toman la forma +e %an+as +e tolerancia$ En la %an+a +e 'aso el m9+ulo +e la res'uesta a+mite una 7ariaci9n m8ima +e J' . en la %an+a +e rec,a3o se 'reten+e 0ue la ganancia no e8ce+a Js $ Es frecuente es'eci*car estas cotas en +$ El anc,o +e la 3ona +e transici9n +etermina 0u@ tan a%ru'to es el *ltro$ En esta regi9n se es'era 0ue el m9+ulo +e la res'uesta en frecuencia +ecre3ca mon9tonamente +es+e la %an+a +e 'aso a la %an+a +e rec,a3o$
Fig2: Bandas de tolerancia para un fltro pasa bajas.
Los 'rinci'ales 'armetros +e inter@s son • • • • • •
Des7iaci9n en la %an+a +e 'aso: J' Des7iaci9n en la %an+a +e rec,a3o: Js ;recuencia +e corte +e la %an+a +e 'aso: K' ;recuencia +e corte +e la %an+a +e rec,a3o: Ks $ As 2atenuaci9n en la %an+a +e rec,a3o4: G log1 Js A' 2on+ulaci9n en la %an+a +e 'aso4: G log 1 21 J'4
Realiación
Con7ertir una funci9n +e sistema #234 en un con6unto +e ecuaciones a +iferencias 0ue se e6ecutarn como un algoritmo en un 'rocesa+or$ El con6unto +e ecuaciones tam%i@n se conoce como la estructura +el *ltro$
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)atemticamente las +istintas reali3aciones 'ro+ucen el mismo resulta+o so%re la seal a *ltrarB sin em%argo en el momento +e la im'lementaci9n la sensi%ili+a+ a la 7ariaci9n +e los coe*cientes 'ro'agaci9n +el rui+o +e re+on+eo o +e truncaci9n organi3aci9n ./o re0uerimientos +e memoria en un 'rocesa+or en 'articular etc$ suelen +eci+ir la elecci9n +e una estructura 'articular$
Implementación
Una 7e3 0ue se ,an calcula+o los coe*cientes +el *ltro elegi+o una estructura a+ecua+a . 7eri*ca+o 0ue las es'eci*caciones se satisfacen +es'u@s +e consi+erar la +egra+aci9n causa+a 'or la cuanti3aci9n +e coe*cientes . +e las 7aria%les a la longitu+ +e 'ala%ra elegi+a2M o 1 %its4 la ecuaci9n a +iferencias +e%e im'lementarse como una rutina +e soft-are o en ,ar+-are$ Cual0uiera sea el m@to+o +e im'lementaci9n ca+a muestra +e la sali+a .
•
•
)emoria 2RO) o RA)4 'ara almacenar los coe*cientes +el *ltro )emoria RA) 'ara almacenar las muestras actuales . 'asa+as +e la entra+a 8l9gica$
;ig$H$ Re'resentaci9n en +iagrama a %lo0ues +e un *ltro ;IR$ En el 'rocesamiento en tiem'o real se re0uiere 0ue el *ltro genere una muestra +e la seal +e sali+a ante ca+a muestra +e la seal +e entra+a lo 0ue im'lica 0ue el c9m'uto com'leto +e la ecuaci9n a +iferencias +e%e
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com'letarse en el inter7alo +e tiem'o entre una . otra muestra +e la seal +e entra+a$
El 'rocesamiento en tiem'o real necesita +e ,ar+-are 0ue en la actuali+a+ es 'ro+uci+o 'or 7arios fa%ricantes como )otorola e8as Instruments Analog De7ices urr ro-n etc$ Ca+a D"P inclu.e memoria RA) . RO) o ;LA"# multi'lica+ores r'i+os uni+a+es aritm@ticas l9gicas Fe8i%les m@to+os +e +ireccionamiento 'o+erosos etc$ . algunas uni+a+es inclu.en los con7ersores A/D . D/A necesarios 'ara 'rocesar seales +el mun+o e8terior
)ientras 0ue los m@to+os +e las 7entanas . muestreo en frecuencia son sim'les . 'o+erosos 'ero tienen +es7enta6as .a 0ue no se 'ue+en es'eci*car K' . Ks +e forma 'recisa$ Los 7alores +e J1 . JG no se 'ue+en elegir in+e'en+ientemente$ 2En el m@to+o +e las 7entanas J1JG . en el m@to+o +el muestreo en frecuencia en el me6or +e los casos e8isten m@to+os 'ara o'timi3ar res'ecto +e JG4 a+ems el ri3a+o no se +istri%u.e uniformemente en las %an+as$ Esto lo 'o+emos o%ser7ar en la *g$ $
Fig.4. Resultado de fltros por método de muestreo en recuencia.
Varias t@cnicas +e +iseo en com'uta+ora e8isten . 0ue 'ermiten control 9'timo +e to+as las %an+as . ri3os$
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Realiación de !ltros digitales por *Método de Reme+ $ "i el error se +istri%u.e uniformemente 'o+emos +isear *ltros 0ue 7eri*can las es'eci*caciones con menor or+en$ El m@to+o 0ue lle7a a ca%o esta +istri%uci9n +el error se +enomina )@to+o +e +iseo +e *ltros 9'timos +e ri3a+o constante o )@to+o +e reme3$ Es un algoritmo 0ue ,ace uso +e 0ue siem're es 'osi%le tener una funci9n +e error: r− 1
E ( f ) = D ( f )−
∑= c k
k cos
( 2 πkf )
0
Don+e: E ( f ) : Minimo de error D ( f ) : Maximode error C k sonlos coeficientes del filtro multiplicada poruna señal armónica.
"e 'lantea el +iseo +el *ltro como un 'ro%lema +e a'ro8imaci9n +e c,e%.s,e7 'ara ello se 'ro'one un criterio +e +iseo 9'timo en el senti+o +e 0ue el error +e a'ro8imaci9n entre la res'uesta en frecuencia i+eal . la real se re'arte uniformemente en ca+a %an+a 'asante . atenua+a minimi3an+o el error m8imo en ca+a una +e ellas$
Fig. 5. aracteristicas del fltro a reali!ar por método de Reme!.
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El *ltro resultante 'resenta 'ues ri3a+o en am%as %an+as$ Para su +iseo consi+eramos 5 caractersticas:
•
N el or+en +el *ltro$ ω ': lmite su'erior +e la %an+a 'asante$
•
ω s: lmite inferior +e la %an+a atenua+a$
•
• •
J1: m8imo ri3a+o +e la %an+a 'asante$ JG: mnima atenuaci9n +e la %an+a atenua+a$
La 'arici9n so%re los 7alores QJ 'ara cual0uier con6unto +e termina+o +e r1 f m 'untos +e frecuencia m1GHr1 en otras 'ala%ras el con6unto +e ecuaciones lineales 0ue+a: r−1
D ( f )=
∑= c
k cos
( 2 πk f m)+(−1 )m δ
k 0
ienen la soluci9n ?nica 'ara los coe*cientes C k S1GHr1 . la am'litu+ J +e la oscilaci9n so%re las frecuencias +etermina+as
f m
$
En la a'licaci9n +el algoritmo +e reme3 fue +esarrolla+o 'or ParSs . )cClellan el con6unto ; +e frecuencias so%re el cual la a'ro8imaci9n est ,ec,a es una re6illa +e igual +e igual es'aciamiento con un n?mero +e frecuencias a'ro8ima+amente igual a 1 7eces la longitu+ +el *ltro$
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Fig. ". Filtro pasa bajas especifcaciones del método de reme!.
"i ; consiste consiste ?nicamente +e la r1 frecuencias
f m
en la ecuaci9n
anterior entonces el 'ro%lema +e a'ro8imaci9n se resol7iera en un solo 'aso$ C k Los coe*cientes en la ecuaci9n anterior seran los coe*cientes +el me6or acercamiento . el error m8imo so%re ; seria 27alor a%soluto +e J4$ Esta conclusi9n sigue +irectamente +es+e el teorema +e alternancia +on+e f m son las frecuencias e8tremas . J es la am'litu+ +e la oscilaci9n$ El error so%re una frecuencia e8trema seria J . el error so%re la 'r98ima frecuencia e8trema seria T J$ A+ems cuan+o ; contiene r1 frecuencias$
|
r −1
c ∑ =
max D ( f )−
k cos
k 0
|
(2 πkf ) =|δ |
Estas son las con+iciones 'ara 0ue
f m
sean frecuencias e8tremas$
En la ma.ora +e las a'licaciones 'rcticas ; contiene ms +e r1 frecuencias$ El 'ro%lema en este caso est en encontrar cual su%con6unto +e r1 frecuencias e8tremas$ El algoritmo +e reme3 comien3a con un con6unto +e 'rue%as +e frecuencias . sistemticamente cam%ia frecuencias ,asta 0ue el con6unto +e frecuencias e8tremas se encuentre$ Las frecuencias usa+as en el 'r98imo con6unto +e 'rue%as son r1 frecuencias +on+e el 'eso +e error E ( f ) tiene la magnitu+ ms gran+e$ Da+o un con6unto +e 'rue%as +e frecuencias T ={ f 1, f 2, … f r+1 }
El algoritmo +e reme3 se %asa en los siguientes cuatro c9m'utos %sicos: fm 1$ Resuel7a las ecuaciones lineales D ¿ 4$ Esta soluci9n tiene un error 0ue
oscila con la am'litu+ 'ara
k n
δ k
so%re el con6unto +e frecuencias +e 'rue%a
ite>raci9n$
G$ Inter'olaci9n 'ara encontrar la res'uesta en frecuencia so%re la re6illa entera +e frecuencias$
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H$ ?s0ue+a so%re la re6illa entera +e frecuencias 'ara 7er si 2. +on+e4 la magnitu+ +el error es ms gran+e 0ue la magnitu+ +e δ k encontra+a en el 'aso 1$ $ "i el 7alor m8imo +el error +e la magnitu+ encontra+o en el 'aso H es igual a δ k se +etiene si no toma r1 frecuencias +on+e el error logra su m8ima como el nue7o con6unto +e 'rue%as +e frecuencias e8tremas e iniciar +e nue7o con el 'aso 1$
r −1
Donde ! ( ω )=
c ∑ =
k cos
(2 πkf )
k 0
Fig. #. $iagrama de %ujo para un fltro pasa banda.
Es frecuentemente ms fcil 'ensar en el 'ro%lema +e acercamiento +es+e un 'unto +e 7ista +e 'olinomios$ El 'ro%lema +e acercamiento al +ominio +e la frecuencia . el 'ro%lema +el 'olinomio 'ue+e mostrarse 0ue es e0ui7alente 'or usar el cam%io +e 7aria%les:
x =cos ( 2 πf )
f =
−1 cos
( x )
2 π
Con este cam%io +e 7aria%leB
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r −1
" ( f ) =# ( f )
∑= c k
Llega a ser con
"
(
−1 cos x
( )
2 π
k cos
( 2 πkf )
0
)
# ( f )= 1 r−1
= $ ( f )=∑ c k cos ( k cos− ( x )) 1
k =0
r−1
∑= d
$ ( f ) =
k
k
k 0
−1
La funci9n
cos ( k cos
C,e%.s,e7
c k
( x )) es +es+e luego un 'olinomio . los 'olinomios +e
284 tiene la forma: −1
c k =cos ( k cos
( x ) )
En resumen el m@to+o +e reme3 se encarga +e +es'legar los coe*cientes 0ue se necesitan 'ara el +iseo +e un *ltro$ El 'roce+imiento +el m@to+o es mu. com'le6o 'ero mu. e*ciente 'or lo 0ue ,an genera+o formas +e c9m'uto 'ara la %?s0ue+a +e estos coe*cientes a tra7@s +el m@to+o +e reme3 en +on+e se re0uiere: • •
•
Un 7ector +e frecuencias el cual in+ican el inicio . el *nal +el *ltro$ Un 7ector +e am'litu+ +on+e se in+ica el ti'o +e *ltro 0ue se +esea 2'asa %a6as 'asa altas etc$4$ Un 7ector +e 'eso 0ue sir7e 'ara los ri3os 0ue se +esea tener 'or %an+as$
El m@to+o anali3a+o en este a'arta+o se 7e como un criterio +e +iseo 9'timo en el senti+o +e 0ue el error +e a'ro8imaci9n 'on+era+o entre la res'uesta en frecuencia +esea+a . la o%teni+a se +istri%u.e en forma e0uitati7a a lo largo +e la %an+a +e 'aso . la %an+a +e rec,a3o +el *ltro$ Este m@to+o minimi3a el error m8imo$
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Estos *ltros se +isean en )atla% me+iante la instrucci9n reme324$ Como 'aso 're7io a su utili3aci9n es necesario ,acer una estimaci9n +el or+en +el *ltro 0ue 7eri*ca estos re0uisitos me+iante la instrucci9n reme3or+24$
Fig. &. Filtro reali!ado en 'atlab por método de reme!.
Veamos el resulta+o +e +isear un *ltro ;IR 'asa>%a6a +e fase lineal . ri3a+o constante con las siguientes es'eci*caciones: %p=200 &' %s = 250 &' %m=1000 &' δ 1= 0.1 ( δ 2 =0.01
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E6em'lo > Diseo +e *ltros ;IR usan+o el algoritmo +e ParSs )cClellan clear close all Nin'ut2Por fa7or intro+u3ca el or+en +el *ltro: 4B
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intente N 1 5 1 f < $H $ $ $( 1=B a < 1 1 =B % *r'm2Nfa4B <,-= fre032%151G4B 'lot2fa-/'ia%s2,44 gri+ title2<Diseo +e *ltros ;IR usan+o el algoritmo +e ParSs )cClellan N numGstr2N4=4 8la%el2;recuencia Normali3a+a4 legen+2I+ealDiseo *r'm4
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Conclusiones) El m@to+o +e reme3 nos ofrece gran+es 'osi%ili+a+es .a 0ue nos 'ermite controlar el com'ortamiento +el *ltro esto es algo +esea+o 'ues los *ltros +igitales suelen tener com'ortamientos ms a+ecua+os 0ue los *ltros anal9gicos . este m@to+o nos 'ro'orciona un com'ortamiento ms cercano a las caractersticas 0ue nos 'ro'onemos 'ara ca+a una +e las a'licaciones +esea+as sin em%argo 'er+emos cali+a+ en la res'uesta +el *ltro en las frecuencias 0ue +e6amos 'asar .a 0ue el ri3a+o en la %an+a +e 'aso 'o+ra mo+i*car gra7emente la am'litu+ +e ca+a muestra 'ro7ocan+o +istorsi9n como en el caso +e 'rocesamiento +e la 7o3$ &racias a la a'licaci9n +e este m@to+o 'or me+io +e soft-are 'o+emos ensa.ar ca+a una +e los resulta+os arro6a+os 'or el sistema . mo+i*car si es 'osi%le ciertas caractersticas 0ue 'o+ran me6orar el +iseo e im'lementaci9n +el *ltro$ Para el caso en 0ue no sea +e im'ortancia el ri3a+o en la %an+a +e 'aso el m@to+o 9'timo nos asegura una %uena transici9n %uen rec,a3o . una canti+a+ +e coe*cientes relati7amente %a6a$
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En caso 0ue no +e%a e8istir ri3a+o en la %an+a +e 'aso el m@to+o 'or 7entanas o frecuencia 'ue+e ser 'referi+o siem're tenien+o en cuenta 0ue el or+en +el *ltro se incrementar . 0ue la atenuaci9n en la %an+a +e rec,a3o no ser tan gran+e$ Concluimos entonces 0ue este m@to+o es a+ecua+o +e'en+ien+o +e lo 0ue se 'reten+a lograr con el *ltro . +e los recursos con 0ue se +is'onga$ Permite un control total +e las caractersticas +el *ltro en cuanto a frecuencias ganancias . longitu+$
Sugerencias para la clase)
Da+o 0ue en clases nos 'resentaron 7arias formas +e reali3ar el mo+ela+o +e *ltros como lo fueron *ltros con res'uesta al im'ulso res'uesta al escal9n 0uisi@ramos moti7ar a nuestros com'aeros a in7estigar ms a fon+o so%re to+o los re0uerimientos 0ue necesitamos anali3ar antes +e +isear un *ltro$ Pues 'resentamos una 'e0uea in7estigaci9n en clase so%re los m@to+os 0ue 'o+emos utili3ar . ca+a una +e sus caractersticas sin em%argo creemos 0ue +e%imos anali3ar ms a fon+o . relacionar esta in7estigaci9n con lo a'ren+i+o en la materia . otras en 'articular 'ues se nos 'resentaron las formulas . algoritmos 0ue +e%emos usar 'ero 'ara 'ara 'o+er anali3ar +e forma ms
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+etalla+a tenemos 0ue tener en cuenta ciertos criterios criterios 0ue no se lograron mostrar a lo largo +e nuestras 'resentaciones . 'or lo tanto no logramos inter'retar +e manera correcta el 'or0u@ +e estos estos m@to+os . cual m@to+o elegiramos . 'or lo tanto nuestra 6usti*caci9n so%re el m@to+o selecciona+o$ As 0ue 'ara moti7ar el inter@s +e la clase les 'resentamos el siguiente linS el cual contiene informaci9n %sica so%re el +iseo +e *ltros +igitales re0uerimientos e im'lementaci9n as como e6em'los +e +on+e se efect?an estos +iseos$ ,tt'://---$ingelec$uns$e+u$ar/'+sGMH/)ateriales/Ca'(/(>Ca'($'+f
Re,erancias) ,tt'://catarina$u+la'$m8/uW+lWa/tales/+ocumentos/lem/6aureguiW7W66/ca'ituloG$' +f ,tt'://oc-$u7$es/ingenieria>.>ar0uitectura/*ltros> +igitales/temaWH$W+isenoW+eW*ltrosW*r$'+f ,tt'://+s'ace$u's$e+u$ec/%itstream/1GH5(MX/1M/15/UP">C1M(M$'+f ,tt'://---$*mee$ugto$m8/'rofesores/arturog'/+ocumentos/;iltra+o GDigital/LecturaGHW;iltra+oWDigital$'+f
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,tt'://re'ositorio$uis$e+u$co/6s'ui/%itstream/1GH5(MX/H1/G/11(X$'+f
