METODO DE RELAJACIÓN
I.
RESEÑA HISTORICA:
Hay un método de iteración que converge más rápido que el de GaussSeidel y que puede usase para facilitar los cálculos manuales. Desafortunadamente, no está bien adaptado a aplicaciones en computadora. El método se debe a un ingeniero británico Richard Southwell, y se ha aplicado a una amplia gama de problemas. El método se analiza debido a su importancia histórica y por qué conduce a una técnica de aceleración fundamental denominada s obrerelajaci obr erelajación. ón.
II.
MARCO TEORICO:
Como la razón de convergencia de un procedimiento depende del radio espectral de la matriz asociada con el método, una manera de seleccionar un procedimiento que nos lleve a una convergencia acelerada consiste en escoger un método m étodo cuya matriz asociada tenga un radio espectral mínimo. Estos procedimientos nos llevan a los métodos de relajación. Pero antes de formular la teoría de los métodos de relajación, veamos las ideas fundamentales de la forma más simple. Supongamos que se dispone de un sistema de ecuaciones lineales.
,,… = 1
Condiciones iniciales.
El algoritmo a utilizar es:
Su equivalente:
= 1 − − − ⋯ − = 1 − − ⋯ − = 1 − ⋯ − . . .
= 1 − ⋯ Consideraciones: i) ii) iii)
iv)
v)
El criterio de convergencia para este método es similar al método de Gauss-Seidel (que sea diagonalmente dominante) Los valores iniciales se pueden asumir en forma diferente a cero. Cuando el sistema de ecuaciones lineales es convergente al método de Gauss- Seidel se asume un parámetro 1
Lógicamente nuestro problema sería ver como se selecciona el parámetro w. aunque no hay una regla específica para hallar este parámetro, podemos llegar a una mejor aproximación teniendo en cuenta, lo siguiente:
TEOREMA DE KAHAN:
ρT ≥ |w 1|
aii ≠ 0
Si para i=1,2,…,n, entonces SOR puede converger solo si 0
. Esto significa que el método
TEOREMA DE OSTROWSKI-REICH:
A = [aij]nn x = x,x,x …,xn A =[aij]nn [ρ(Tj)] Si
para
es definida positiva y si 0
cualquier
elección
del
vector
inicial
aproximado
.
TEOREMA: Si
es definida positiva y tridiagonal, entonces el espectro
<1, y la elección optima de w para el método SOR es:
con esta elección de w, tenemos:
ρT = |w 1|
ρ(T g) =
= +√ −[()]
Ejercicio Aplicativo: 1. Obtenga las dos primeras iteraciones del Método de SOR con w=1.1, para el siguiente sistema lineal usando
3 = 1 {33 63 27 == 04 III.
= 0
BIBLIOGRAFIA Gerald;Wheatley; ANALISIS NUMERICO CON APLICACIONES,6°edicion;PEARSON EDUCACION, Mexico, 2000. Richard L, Burden; J. Douglas, Faires; ANALISIS NUMERICO,7°edicion, 2001 Brooks/Cole, Cengage Learning.
