MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA O MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN 1. Nosotros conocemos que la curvatura de la viga recta, cuando se somete a un momento flexionante, el material de la viga se deforma, dando como resultado una curvatura de la viga , verificándose bajo ciertas condiciones supuestas establecidas:
CURVATURA:
FORMULA DE LA ESCUADRÍA: Obtención de los esfuerzos flexiónantes en
…(I)
vigas.
a) Los planos transversales antes de la flexión permanecen transversales después de la flexión, esto es, no hay torcedura. b) El material de la viga es homogéneo homogéneo e isótropo isótropo y obedece la ley de Hooke. Aquí suponemos que “E” es la misma para tracción que para compresión. c) La viga es recta y tiene una sección transversal constante prismática. d) Las cargas no ocasionarán ni tracción ni pandeo de la viga. Esta condición se cumple, si el plano de las cargas contiene al eje de simetría de la sección transversal y si las cargas están en este plano. e) La carga aplicada es un momento flexionante puro. 2. Debido a que “M” varía a lo largo del claro de la viga, la curvatura obviamente tendería a variar. En consecuencia, sería bastante difícil y pesado determinar la forma completa de la curva elástica en todas las circunstancias. Por lo tanto así es necesario expresar la forma de la curva
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
1
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA elástica en términos de sus coordenadas c oordenadas rectangulares las condiciones de pendiente y flexión.
, si vamos a usar
Consideremos la curva de la figura, que se supone representa un segmento de la línea elástica de la viga. A una distancia de un punto de referencia, digamos el punto el soporte, un incremento de , tendrá un cambio de pendiente de un extremo al otro de . Así,
De la cual obtenemos: …(II)
Para ángulos pequeños (esto es flexiones fl exiones pequeñas):
y
≈
Analizando estas últimas expresiones en ( II), tendremos:
…(α )
…(III)
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
2
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
…(A)
Ordenando:
Expresión del cortante
ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA DE LA VIGA
: Derivando la expresión
Tomando extremos:
…( a) a)
Expresión de la carga
: Derivando la expresión
Tomando extremos:
…( b) b)
3.
CONVENCIÓN DE SIGNOS:
ANTIHORARIO (+)
HORARIO (-)
(+) POSITIVO (-) NEGATIVO RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
3
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
EJERCICIO 01.
/ 3 × 2 / 2 /
Si una fuerza de se aplica en el extremo de la viga ¿Qué parte de esta carga soportará el resorte?
SOLUCIÓN
Estructuras hiperestáticas de 1° grado
Estructura Primaria o Isostatizada, es conjugada como superabundante o redundante , la misma que será igual a:
2 / ∙ 2∙
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
⟶ 7 /
Por estática determinamos: d eterminamos:
y
MOMENTO GENÉRICO
7 2 7 + 1 77 2 + 1 +
…(1)
…(2)
Cálculos de las constantes de integración: de acuerdo a las condiciones de frontera.
⟶⟶ ⟶⟶ 2 ∶∶ 7 ⟶ ⟶ 2 2 7 72 2 2 7 + 77 + 3× 2 +2287 287 72 2 +22 3 2 3 22
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
29 23 23
EJERCICIO 02
Calcular la viga hiperestática y construir los diagramas de momentos flexionantes y fuerzas cortantes. Considere que “P”, “a”, “E” y “I” son conocidos.
SOLUCIÓN Estructura hiperestática de 2° grado Libero las restricciones restricciones debido al apoyo A que es un empotramiento empotramiento perfecto.
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Momentos genéricos en las secciones
Sección
2
- 2
3
- 3
2 2 + ……………… 3 2 + + ………
3 - 3
Por simetría físico (geométrica) y asimetría de cargas
∑
y
2 + 1 ……………… 2 + 1 + ………2
Sección
2 - 2
1 - 1
Sección
1 - 1,
0
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
+ 0
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA Además:
+ 2 + + ……………… + 2 + + ……
Cálculo de las constantes de integración de acuerdo a las condiciones de frontera para:
: 2 :
1
1 + +
Remplazando los valores de las constantes en las expresiones tendremos:
2 ………………………… 2 ………………………… 2 2 ………… 2 …………
2 3
Estas expresiones por sí solas no resuelven el problema, porque si bien nos brindan las ecuaciones de giros y flechas, se encuentran en función de
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
; por lo que resulta necesario emplear las expresiones el valor de las constantes .
, y calcular
⟶ 4 ⟶ 0 ⟶ 5 ⟶ 4 ⟶ 0 ⟶ 6
Reemplazando el valor de
en la expresión anterior, obtenemos: obt enemos:
Remplazando esos últimos valores de las constantes en considerando las expresiones anteriores (I), (II), (III), (IV) tendremos:
y
2 …………………………………………… 2 …………………………………………… 2 2 …………………………… 2 …………………………… 2 + ………………………… + 2 + 8 …………
y
Cálculo de las reacciones:
(IV):
//
α
(III) y (IV) respectivamente r espectivamente
β
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA Resolviendo simultáneamente simultáneamente (α) y (β):
3
EJERCICICO 03.
Calcular la flecha en la sección “C” y el giro en la sección “B” de la viga. Considere que que “q”, “a”, “E”, e “I” son conocidos.
CARGA TRIANGULAR
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA CARGA PARABÓLICA
′ ′
;
Donde debemos determinar el valor de la constante “k”; por las condiciones de frontera: Para el punto “B” que pertenece a la curva, tiene como coordenadas
′ ′
(1)
Luego la ecuación de la parábola, para los ejes
Para:
y
será:
′ + ⟶ + ′⟶ → 2 i)
ii)
ESTRUCTURA ISOSTÁTICA
⟶
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
1 + 21 2+3
1
∆
á
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+ ∑ → 1 ( ) (+( + ) + 22 ( ) ( )( ) (+ ) + ( ) ) 22 3 23 8 + + 73 3 2 + 73 2 2 Aplicación de la ecuación diferencial de la línea estática
≤≤ 2 ( ) (3) ; 32 32
Sección 1 – 1
Sección 2 – 2
≤≤ 2 23 2 38 2
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Donde
2 2 + 2 + 8 2 2 + 2 3 + 8 2 + 2 2 + 3 + 2 3 + 8 2 + +
2 2 3 2 38 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 + 2 + 2 + + 8 8 + 2 2 22 + + 8
Ordenada:
CONDICIÓN DE BORDE:
→ → → 2 → → :
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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3 + 3 3232 + + 3 8+2 + 3 + 9 + 323 + 2 + +2888+23 +2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 8 + 2 +
→ /
/ ℎ
2 2 + 32 + + 2 + 2 2 + + 3 2 2 + + 32 7 32 2 + 72 + 3 22 2 + 3 2+39 2 23 27
; PERO:
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
⟶8 : 7 8 72 + 7 3 7
→ 7 ∶ 3 7 3 3 + + 3 + 3 37 2 +93+ +93+ + 7 3 37 82 + 7 3 3 7+7222 7+7222 3 9 9
→ 3232 3 7 + 2 32 + + 32 +232++ 7 32 +8+ 7 32+ 32+ 7 +
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
82 + 7 32+ 32+ 7 + 2+7 2+7
CONDICIONES DE FRONTERA O DE BORDE
Apoyo móvil
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
Apoyo fijo
Apoyo Empotrado
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EJEMPLOS DE APLICACIÓN EJEMPLO 01: Calcular el giro y la flecha en el extremo libre de la viga mostrada. Giros
Horario = (-) Antihorario= (+)
1) Trabajando por la derecha
2) De
2 2
MEI
derivada segunda de “y” con respecto a “x”
2 2
+ + 1 +
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
3) Cálculo de la constante de integración: de acuerdo a la condición de frontera.
En apoyo “ ”
+ 1 + 1 ⟶ 2 +
δ
En (2)
4) Sustituyendo las constantes en (1) y (2) se tiene:
dEI W … W EIy W 2 + 2 …
5) 5.1) Giro en “B”:
En (1)
⟶
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
Deformada = línea elástica.
→
Ecuacion del giro
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
5.2) Flecha en “B”:
En (2)
⟶ y + 2
δ
Ejemplo (2) determinar la deflexión máxima de la viga mostrada.
1) Trabajando por la izquierda: 1.1)
≤ ≤ ≤≤
1.2)
2.1)
2 ≤ ≤ ⟶ MEI 2 EI
2)
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA 2.2)
2 MEI
≤≤ ⟶
EI
2
3) Cálculo de las constantes de integración de acuerdo a las condiciones de frontera. Para
∶
∶ ∶ ⟶ ⇝ 2 ++ ⟶ … ⟶ ⇝ … + c + ⟶ ⟶ ⇝ 2 + c1 + +c + … ⟶ ⇝ 3 … 2 + c1 2 +c ⟶
Sustituyendo:
)
)
)
)
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA Resolviendo simultáneamente el sistema:
1 ⟶ c c c1
De
Nuevo resumen
Resumido:
≤≤
4) Ecuaciones finales de las deformaciones d eformaciones Angulares y lineales 4.1)
… … ≤ ≤ 2 2 + … + … á ⟶ á
4.2)
+ 2 +
5) Deflexión Máxima (
)
2 +
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
2 3
…
⇝ 3 3 + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 22 3 3 3
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Ejemplo (3): En la viga mostrada, calcular el ángulo de giro de la sección sobre el apoyo A.
Solución tipo A
+
1. Conocemos:
2. 2.1
+ + ( ) + ( ) + +
2.2
+3 + 1 + 3 + 1
…
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
…2 23
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA 2.3
+ 1 + 2ℓ
…3 …
3) Cálculo de las constantes de integración: de acuerdo a condiciones de frontera:
→ → → →
2 → → ∴ → → ∴ → → ∴ 3 31 + 3 1
→ → ∴ 2 +
Resolviendo simultáneamente
Sustituyendo en (3) el valor de los constantes tendremos:
(I) ecuación final de la deformación Angular
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA 4) Calculo de giro en “A”
: → + 2
SOLUCIÓN TIPO B
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
+ ( ) 3 + 2
+ 2
…
Ecuación diferencial de la elástica:
+ 2 + 2 + + 1 2 2
… …
Condiciones de frontera
→ … → …… → ⟶ ∶ +++ ⟶ ⟶ ∶ + 3 + 1 + ⟶
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
⟶ ⟶ : 2 + + 1 ⟶
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones tendremos:
Remplazando las expresiones anteriores en (II) tendremos:
Ecuación final final de las deformaciones angulares o giros.
Ordenando y simplificando:
Cálculo del giro en A: Para
⟶ ∕ = 2
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
Rpta
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