METODO DE GOMORY Gomory fue el primer creador del algoritmo para resolver métodos de programación entera, el algoritmo de gomory consiste en resolver el problema sin considerar las restricciones del carácter entero de las variables y si la solución no es entera añade restricciones que reduce el conjunto de soluciones del problema lineal continuo asociado, sin excluir ninguna solución enter a En matemática, y más en concreto en optimización, el método de los planos de corte es un procedimiento para encontrar soluciones enteras de un problema lineal. Fue introducido por Gomory. Funciona resolviendo un programa lineal no entero, después comprobando si la optimización encontrada es también una solución entera. Si no es así, es añadida una nueva restricción que corta la solución no entera pero no corta ningún otro punto de la región factible. Esto se repite hasta que se encuentra la solución entera óptima. Interpretación geométrica, una restricción es equivalente a un hiperplano, permitiendo solo soluciones en uno de los lados del plano.
Método fraccional de Gomory Este método solo resuelve modelos enteros puros y consta de los siguientes pasos: 1.- Resolver el modelo relajado, es decir, que las variables sean continuas. 2.- Si el resultado es entero, entonces ya se tiene la solución optima, si no seguir con el método. 3.- Seleccionar el max ( XBi – XBi – [XBi] ) incluyendo al renglon Zj - Cj , fraccionario y generar un nuevo corte o nueva restricción: ∑ (aij – [aij])xj ≥ (xBi – [xBi]) añadir este corte como una nueva restricción y resolver utilizando el método Dual Simplex; ir al paso 2.
Nota: Z es entero si y solo si los coeficientes de la función objetivo son enteros y asi utilizar al renglon Zj - Cj en la tabla simplex.
MÉTODO PURO DE GOMORY
El algoritmo puro de Gomory es una variación del método fraccional de Gomory, al igual que este método la matriz A debe ser entera. Además debe cumplir las condiciones para aplicar el método dual simplex (optimalidad inicial y al menos un negativo en la solución):
Condición de optimalidad
Valor de variable básica < 0. Definición: Un vector es lexicográficamente positivo si el primer componente diferente de cero es positivo. Cuando un vector X es lexicográficamente positivo se escribe X}0.
Ejemplo: X= (0. 3, -2, 9) X = 0 X = (0,0,-3,12) X no es 0 Definición: un vector X es lexicográficamente mayor que otro vector Y si X Y =0 Ejemplo: X = (0, 3, -2) Y = (1, 2, 2) X – Y = (-1, 1, -4) X no es lexicográficamente mayor que Y X - Y = 0, por tanto Y es lexicográficamente mayor que X. Y – X = (1, -1, 4) Los pasos del método son: 1) Elige la XBi más negativa. Se designa a esa fila con r. Si el método dual simplex genera un pivote -1, aplicar el método dual simplex. Si no continuar con el método. 2) Elige aquella columna no-básica con arj<0 que sea lexicográficamente la menor. Se designa una columna por k. Al primer elemento distinto de cero de dicha columna se le designa por apk(>0) siendo su fila correspondiente la p. 3) Para la columna arj<0 se calcula el índice uij = [akj/apk] si es que apj es el primer elemento diferente de cero en la columna j. De otra manera uj=∞. 4) Se calcula λ=max [ !arj! / uj ]para arj<0 y uj≠∞. 5) Se deriva el corte: 6) Se anexa este a la tabla junto con su variable de holgura correspondiente y se aplica el método dual simplex sobre el entero. Si el resultado es XB≥0 entonces se tiene la solución óptima, si no ir al paso 1.
