Método para distancia euclidiana Por distribución se comprende manera de asignar espacio físico a los diversos componentes de una instalación: *Maquinas y herramientas en una planta *Comercios en un centro comercial
Las coordenadas en un plano bidimensional nos auxilian en la localización de dichas instalaciones.
Para localizar nuevas instalaciones, en todos los modelos de optimización se considera una función objetivo de costo, la cual se minimiza. Dicha función es representativa de la distancia y/o el tiempo necesario para hacer fluir bienes o servicios de las nuevas instalaciones a las ya existentes y/o a los clientes.
Método para distancia euclidiana Considera que la distancia mas corta entre dos puntos es la recta que los une; se utiliza en problemas de localización de zonas rurales y urbanas de trazo irregular (como es el caso de la mayoría de las ciudades de México). Los problemas de localización se presentan cuando los encargados de tomar decisiones deben seleccionar el sitio en que ubicaran una o varias instalaciones, como podrían ser:
•Industrias •Bodegas •Comercios •Escuelas •Hospitales •Mercados •Aeropuertos
•Plantas de tratamiento de agua •Plantas de generación de electricidad (hidroeléctricas, térmicas, nucleares) •Plantas de tratamientos de basura •Estadios deportivos •Estaciones de bomberos •Estaciones de gasolina
Este tipo de problemas se presenta también en la distribución de maquinaria en un área dada. Las decisiones anteriores se toman bajo una serie de criterios preestablecidos. Para medir distancias se puede utilizar una norma rectilínea, o bien una euclidiana.
La primera tiene mayor aplicación en grandes ciudades, con trazos rectos perpendiculares y paralelos de calles y avenidas (por ejemplo Nueva York) y donde la distancia entre dos puntos no puede medirse como la recta que los une, sino como el mínimo numero de calles que exista entre ambos.
En contrapartida, la norma Euclidiana dice que la distancia entre dos puntos es la recta que los une. Esta norma tiene sentido en zonas rurales y urbanas con trazo irregular de calles (como la gran mayoría de las ciudades de México).
Norma rectilínea d AB = | XA – XB | + | YA - YB | 2
2 1/2
Norma euclidiana d AB = [ (XA – XB ) + (YA - YB ) ]
La distancia Euclidiana está dada por la fórmula de la distancia de dos puntos:
Entonces la función completa queda:
Para encontrar el mínimo de esta función se puede derivar la función e igualar a cero, para despejar las variables. Aquí las variables obviamente son X y Y. Como la función es de varias variables la derivada debe ser parcial y no total. Primero tomemos la derivada con respecto a X igualando a cero:
Como una raíz cuadrada es igual a una potencia con exponente 1/2, se baja a multiplicar el 1/2 (bueno, el lector matemáticamente riguroso sabrá que está mal dicho, pero es la forma más fácil de explicar la derivada) y se le resta 1 al exponente: 1/2-1= -1/2, luego se multiplica por la derivada interna, como la Y se toma como constante al derivar con respecto a X, da cero la derivada de ese paréntesis, pero la del otro da: -2*(Ai-x). Es decir:
Se cancela el 2 en el numerador y el 2 en el denominador, se pasa el termino con exponente negativo al denominador con exponente positivo, el signo menos (que a la final es un -1 multiplicando todo) se puede sacar de la sumatoria y pasar a divir el cero con lo que se cancela (ya se, ya se, que no es ortodoxo decirlo con esas palabras, pero es para entender) y queda expresado:
La idea aquí es poder despejar la X ( y obviamente la Y) en función de Wi,Ai, y Bi. Como se puede observar la X está en el numerador y en el denominador está como parte de un binomio y para acabar de rematar dentro de un radical!
Pues ya mucha gente le dedico horas y horas a tratar de despejarla infructuosamente. Como no se puede despejar significa que no tendremos respuesta directa, pero no nos desanimemos, los mismos que le dedicaron horas y horas a intentar despejarla pues encontraron una forma iterativa que converge al óptimo, para eso hicieron lo siguiente, con base en la expresión anterior:
El numerador se puede escribir como: WiAi - WiX, al multiplicar Wi por cada uno de los elementos del paréntesis, ahora el denominador se puede repartir en cada termino del numerador y queda de la siguiente forma: Para escribir menos, llamemos di a lo siguiente:
Entonces:
Tal vez se pregunte: cómo se saco la X de la sumatoria si X es una variable? Pues mientras se hizo la derivación parcial la X representaba una variable, pero luego que se hizo la derivada parcial la X representa un valor conocido, es decir una constante. Por eso se puede factorizar dentro de la sumatoria y sacarla de ella. Bueno, la anterior expresión, es una fórmula recursiva, es decir dado un valor de x, se puede encontrar uno nuevo que será mejor que el anterior. Como di está en función de X, hay que partir de un valor inicial de X.
Y con qué valor se empieza? Con cualquiera, pero observando las ecuaciones se puede pensar que es mejor el siguiente: Xo=sumatoria WiAi / sumatoria Wi y Yo = sumatoria WiBi/ Sumatoria Wi Ejemplo: (Introducción a la Investigación de Operaciones. Jaime Varela, Fondo Educativo Interamericano, pag 225) Encontrar las coordenas de la instalación de la planta de producción que minimice el costo total de transporte a los siguientes almacenes de distribución:
Para encontrar el Xo, Yo es necesario hacer tablas de WiAi, WiBi
Xo=1964/162=12.1234 Yo=1582/162=9.76
Ahora con los valores de Xo,Yo se calcula cada uno de las distancias di, y se fabrica la siguiente tabla:
Ai
Bi
0
0
=
raiz(0-12.1234)2+(0-9.76)2
=15.56
2
16
=
raiz(2-12.1234)2+(16-9.76)2
=11..05
18
2
=
raiz(18-12.1234)2+(2-9.76)2
=9.734
8
18
=
raiz(8-12.1234)2+(18-9.76)2
=9.214
20
2
=
raiz(20-12.1234)2+(2-9.76)2
=11.06
X1=195.380478 / 16.1103405 = 12.1276
Y1=163.631218 / 16.1103405 = 10.1569 El procedimiento debe continuar hasta que el nuevo valor de X y de Y sea suficientemente cerca del anterior. El suficientemente cerca, lo decide ud.
