Método de Bisección Pablo Sebastián Saltos Torres Daniel Manolo Cárdenas Serrano Departamento de Ciencias de la Energía y Mecánica, Universidad De Las Fuerzas Armadas-ESPE Sangolquí-Ecuador
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Abstract—This article has a study about one of several numerical methods, the Bisection Method. This method will help you solving linear equations. Este artículo artículo tiene tiene un estudio estudio acerca de uno de Resumen— Este varios métodos numéricos, el método de bisección. Este método le ayudará a resolver ecuaciones lineales.
—Iteraciones, Index Terms—Iteraciones,
método numérico, numérico, intervalo, intervalo, fun-
ciones.
I. I NTRODUCCION En el siguiente documento se ha hecho una investigación acerca acerca del método método de la bisecc bisección ión para para la aproxi aproxima mació ción n de ecuaciones de primer orden.
II. D ESARROLLO DE C ONTENIDOS Los métodos iterativos se basan en aproximaciones sucesivas a la solución de un determinado problema. Para lograr esto se han desarrollado algunos métodos que nos facilitan y nos dan una solución muy aproximada a lo real; de los métodos numéricos existentes para resolver problemas vamos a estudiar el Método de Bisección.
Como f( x1 ) > 0, entonces la raíz se encuentra entre a y x1 (si f(x1 ) < 0 la raíz se encuentra entre x 1 y b). Ahora elegimos:
x2 =
1 (a + x + x1 ) 2
(2)
Como f(x2 ) > 0, conservamos el intervalo [ x1 , x2 ] porque contiene la raíz. Después elegimos:
x3 =
1 (x1 + x + x2 ) 2
(3)
Continuam Continuamos os este procesos procesos conserva conservando ndo el interva intervalo lo que contiene la solución. Fig 1 ilustra lo que sucede con cada iteración que se realiza con este método.
A. Definición También se lo conoce como corte binario, de partición en dos interv intervalo aloss iguale igualess o método método de Bolzan Bolzano. o. El Método Método de Bisección es uno de los métodos mas sencillos para resolver ecuaciones de una sola variable, basado en el Teorema de Valor Intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Entonc Entonces es todo todo valor valor entre entre f(a) y f(b) es la imag imagen en de al meno menoss un valo valorr en el inte interv rval alo o [a,b [a,b]. ]. Si esqu esquee f(a) y f(b) tuviese tuviesen n signos signos opuest opuestos, os, el valor valor cero cero seria seria un valor valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo existe un valor p dentro del intervalo que cumple la condición f(p)=0. Por lo tanto se asegura que haya al menos una solución de la ecuacion f(a)=0.
B. Análisis Supongamos que f(a) < 0, f(b) > 0 y f’(x) > 0. Entonces elegimos:
x1 =
1 (a + b + b)) 2
(1)
Fig 1. Representación general del método de bisección.
Evidentemente, cada paso del método de bisección reduce la longitud del intervalo que contiene a x , por el factor 2. Por lo tanto, después de n pasos, dicha longitud será (b-a) 2-n , y este da la estimación del error en la aproximación:
|xn − x | ≤ 2
−n
|b − a|
(4)
Si observamos Fig 2 podemos tener una mejor noción de las sucesi sucesione oness en el punto punto medio medio para para cada cada interv intervalo alo que intervenga duratne el metodo de bisección. Además podemos ver que en Fig 1 y Fig 2 mientras más iteraciones se realizan mas cerca se encuentra el punto medio a la solución.
1) Eficiencia : Se puede predecir el número de iteraciones que se deben realizar con el método de la Bisección para obtener la respuesta con una precisión requerida E: En la iteración i:
d 2i
(5)
Se desea terminar cuando d i < E entonces se debe cumplir que:
d < E 2i
(6)
De donde obtenemos:
log(d/E ) log(2)
i>
(7)
D. Ejemplos Fig 2. Representación gráfica del método de bisección.
C. Convergencia Sean ai , bi , ci los valores de a , b , c en cada iteración i=1,2,3... respectivamente. El método de la Bisección genera una sucesión de intervalos [a,b], [a1 , b1 ], [a2 , b2 ], ... [ai , bi ] tales que a ≤ a1 ≤ a2 ... ≤ ai , constituyen una sucesión creciente y b ≥ b 1 ≥ b 2 ... ≥ b i una sucesión decreciente con ai ≤ bi . Además por definición del método: ci , r [ai , bi ] en cada iteración i. En Fig 3 se muestra el espacio correspondiente para ai , bi , ci y r. Sean: d i = bi - ai longitud del intervalo [ai , bi ] en la iteración i=1,2,3... d = b - a longitud del intervalo inicial. Entonces en la tabla 1 generalizaremos el recorrido de las iteraciones: T ABLA 1
1) Ejercicio 1 : Calcular una raíz real de f (x) = xe x − π = 0 en el intervalo [0,2] con precisión 0.01. Solución: La función f es continua y además f(0) < 0, f(2) > 0, por lo tanto la ecuación f(x) = 0 debe contener alguna raíz real en el intervalo [0,2]. Utilizando el programa Microsoft Office Excel 2013 realizamos los cálculos para cada una de las iteraciones y las anotamos en la tabla 2, utilizando el método de bisección. T ABLA 2 D ATOS DE I TERACIONES
Iteración
a
b
c
sign(f(a))
sign(f(c))
Inicio
0
2
1
-
-
1
1
2
1.5
-
+
2
1
1.5
1.25
-
+
3
1
1.25
1.125
-
+
4
1
1.125
1.0625
-
-
5
1.0625
1.125
1.0938
-
+
6
1.0625
1.0938
1.0781
-
+
7
1.0625
1.0781
1.0703
-
-
8
1.0703
1.0781
1.0742
R ECORRIDO DE LAS I TERACIONES
Iteración 1
d1
2
d2
=
3
d3
=
4
d4
=
... i
En la última iteración se observa que el intervalo que contiene a la raíz se ha reducido a [1.0703, 1,0781], por lo tanto el último valor calculado de c=1.0742 debe estar cerca de r con una distancia no mayor a 0.01. 2) Ejercicio 2 : Con los mismo datos del ejercicio 1, determinar el número de iteraciones que deben realizarse con el método de la bisección para obtener un resultado con una precisión de 0.0001. Solución: Aplicamos la relación (7) y obtenemos:
Longitud del intervalo =
d1 2 d2 2 d3 2
d 2 =
=
=
d 22 d 23 d 24
... di
=
d 2i
Entonces: d 2i i→∞
→ 0 ⇒ di → 0 ⇒ ai → bi ⇒ ci i→∞
i→∞
→ r ⇒
i→∞
∃ i > 0 |ci − r| < ε Para cualquier valor positivo ε . Suponiendo que queremos que el último valor calculado ci tenga precisión E=0.001, entonces si el algoritmo termina cuando bi - ai < E , se cumplirá que |ci − r|< E y ci será una aproximación para r con un error menor que 0.0001.
i>
log(2/0.0001) ⇒ i > 14.287 log(2) i > 15
Por lo tanto necesitamos hacer 15 iteraciones para obtener una precisión de 0.0001.
III. C ONCLUSIONES El método de Bisección es el método más sencillo en los métodos numéricos. • Si no se toman las consideraciones de frontera para los intervalos en una función determinada se puede tener errores en los resultados. • Para una respuesta con mayor precisión se deben realizar más iteraciones, es decir que el número de iteraciones es directamente proporcional a la precisión. • La principal desventaja de este método es su lentitud en cuanto a la convergencia, ya que necesita un alto valor de iteraciones para alcanzar una exactitud mayor. •
REFERENCIAS 1) Y. Skiba, Métodos y Esquemas numéricos; un análisis computacional, Primera Edición , Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial, México, D.F, 2005. 2) (2007) Pontificia Universidad JAVERIANA-Cali. [Online]. Available: http://portales.puj.edu.co/objetos deaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.htm 3) E. Hurtado Oconitrillo, Cálculo Numérico Fundamental , Primera Edición, Editorial EUNED, Costa Rica, San José, 2007.
