METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL
ERICK MATEO PATIÑO GOMEZ RICARDO ANDRES LOZANO MOLINA
UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE SISTEMAS GIRARDOT 2014
METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL .
ERICK MATEO PATIÑO GOMEZ RICARDO ANDRES LOZANO MOLINA
Trabajo presentado para optar como nota para el segundo corte de la asignatura INVESTIGACION OPERACIONAL
JOSÉ RAFAEL RINCÓN ARDILA Ingeniero Industrial
UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE SISTEMAS GIRARDOT 2014
CONTENIDO
INTRODUCCION .............................................................................................................................. 4 METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL .......................................................................... 5 1. PROCEDIMIENTO....................................................................................................................... 5 2. EJEMPLO ..................................................................................................................................... 6 3. EJERCICIO ................................................................................................................................. 18 CONCLUSIONES........................................................................................................................... 23 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 24
INTRODUCCION
El siguiente trabajo tiene como fin familiarizarnos con otro más de los métodos de programación lineal para la solución inicial de los problemas de transporte, el método de Russell. La característica principal del trabajo es conocer bien el procedimiento, paso a paso para poder desarrollar el método de manera adecuada para al final obtener la solución óptima. A medida que se va entendiendo el procedimiento de método de Russell, se observa que la cantidad de cálculos que toca realizar hace que la solución final sea muy cercana a la esperada, pero debido a esto, no lo hace el método más utilizado para la solución de problemas de transporte, ya que muchas veces se prefiere la simplicidad, a cambio de un poco de cercanía con la solución óptima.
4
METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL
Para cada renglón de origen mayor costo unitario
que queda bajo consideración, debe determinarse ̅ el
de los que quedan en ese renglón. Para cada columna de destino
que todavía está bajo consideración, se determina ̅ , el mayor costo unitario de los que hay en esa columna. Para cada variable renglones o columnas, se calcula negativo de
que no haya sido seleccionada en estos ̅
̅ se elige la variable con el mayor
.
1. PROCEDIMIENTO A continuación se indicara el procedimiento que se debe seguir para encontrar una solución inicial básica factible, para un problema de transporte, por el método de Russell. Paso 1: determinar para cada una de las filas de la tabla, el valor
, para
en donde
en la fila
representa el valor máximo que toma el coeficiente
Paso 2: determinar para cada una de las filas de la tabla, el valor en donde
representa el valor máximo que toma el coeficiente
,
para en la columna
Paso 3: determinar para cada una de las celdas de la tabla, el siguiente índice:
Representa un indicador que nos dice que tan buena es la celda
si se hiciera
una asignación sobre ella.
5
Paso 4: seleccionar la celda con el mayor celda con el subíndice
Identificar la fila a la que pertenece esa
y la columna con el subíndice
. Sobre esta celda se hará la
asignación. Sea
, la cantidad de producto a asignar en la celda (
Por tanto: ¿Es el valor
?
Si la respuesta es si: recalcular el requerimiento que queda por satisfacer en el destino , de la siguiente forma:
y elimine la fila
Si la respuesta es no: recalcular la oferta disponible del origen
, de la siguiente forma:
y elimine la columna Paso 5: ¿se tiene ya (
celdas asignadas (variables básicas)?
Si la respuesta es sí : pare el procedimiento. Ya se encontró una solución inicial básica factible Si la respuesta es no: vaya al paso 1, y repita el procedimiento. En el paso 1 no se toman en cuenta las filas o columnas que han sido eliminadas. 2. EJEMPLO Se tienen tres distribuidores mayoristas que surten de bicicletas a tres comerciantes detallistas. Las distancias recorridas entre cada uno de los proveedores y cada uno de los comerciantes, así como las capacidades de los almacenes y los consumos de los comerciantes, expresados en lotes de 10 bicicletas cada uno, se detallan en la siguiente tabla. 6
COMERCIANTES DISTRIBUIDORES
DISPONIBILIDAD LOTES/BICI
1
2
3
1
2
5
6
35
2
5
10
7
55
3
9
6
4
20
30
45
35
110
DEMANDA EN LOTES DE BICICLETA
Tabla 1. Capacidades de los almacenes y consumos de los comerciantes
El problema a resolver consiste en encontrar el numero óptimo de lotes de bicicletas que cada distribuidor debe de suplir a cada uno de los comerciantes, de tal manera que se minimice la distancia total recorrida entre distribuidores y comerciantes. La solución a este problema se inicia disponiendo la información de la siguiente forma: COMERCIANTES DISTRIBUIDORES
1
2 5
2
OFERTA
3 6
1
35 10
5
7
2
55 6
9
4
3
20
REQUERIMIENTO 30
45
35
110
Tabla 2. Asignación inicial del problema
Paso 1. Cálculo de valores
para las filas 7
Paso 2. Calculo de los valores
para las columnas
Paso 3. Calculo de los indicadores de bondad
para las celdas
CELDA
(1 , 1)
(1 , 2)
(1 , 3)
(2 , 1)
8
CELDA (2 , 2)
(2 , 3)
(3 , 1)
(3 , 2)
(3 , 3)
Paso 4. Seleccionar la celda con el mayor Observando los indicadores (2, 1) tiene el mayor
calculados en el paso anterior, se determina que la celda
. Por lo tanto, esta celda se convierte en la celda de asignación.
La máxima cantidad de lotes de bicicletas que se pueden transportar del distribuidor No. 2 al comerciante No. 1 es la siguiente:
9
Como
, es necesario recalcular la oferta del distribuidor No. 2 de la manera
siguiente:
Por lo tanto, se elimina la columna 1, esto quiere decir que está satisfecha toda la demanda del comerciante No. 1 la tabla de asignaciones anterior, se modifica de la siguiente manera:
COMERCIANTES DISTRIBUIDORES
1
2 5
2
OFERTA
3 6
1
35 10
5
2
7
30
25 6
9
4
3
20
REQUERIMIENTO --------------
45
35
Paso 5. Como el número de casillas asignadas hasta el momento es 1, y este número es menor que
, se sigue el proceso de asignación, repitiendo el procedimiento
anterior. 10
Paso 6. Calculo de los valores
para las filas
Paso 7. Calculo de los valores
para las columnas.
Paso 8. Calculo de los indicadores de bondad
para las celdas
CELDA
(1 , 2)
(1 , 3)
(2 , 2)
(2 , 3)
11
(3 , 2)
(3 , 3)
Paso 9. Seleccionar la celda con el mayor celda (1, 2) tiene el mayor
calculados en el paso anterior, se determina que la . Por lo tanto, esta celda se convierte en la celda de
asignación. La máxima cantidad de lotes de bicicletas que se pueden transportar del distribuidor No 1 al comerciante No. 2 es la siguiente:
Como
, es necesario recalcular el requerimiento del comerciante No. 2 de la
manera siguiente:
Por lo tanto se elimina la fila 1. Esto quiere decir que ya el distribuidor No 1. Dispuso de toda su oferta. La tabla de asignaciones anterior, se modifica de la siguiente manera:
12
COMERCIANTES DISTRIBUIDORES
1
2 5
2
1
OFERTA
3 6
35 10
5
2
--------------7
30
25 6
9
4
3
20
REQUERIMIENTO --------------
10
35
Paso 10. Como las casillas asignadas hasta el momento son 2, y este número es menor que , se sigue el proceso de asignación.
Paso 11. Calculo de los valores
para las filas
Paso 12. Calculo de los valores
para las columnas
13
Paso 13. Calculo de los indicadores de bondad
para las celdas
CELDA
(2 , 2)
(2 , 3)
(3 , 2)
(3 , 3)
Paso 14. Seleccionar la celda con el mayor Observando los indicadores
calculados en el paso anterior se determina que existen
tres (3) celdas con el mismo valor
de 10. Por tanto, si seleccionamos la celda (2, 2)
como la celda de asignación, la máxima cantidad de lotes de bicicletas que se pueden transportar del distribuidor No. 2 al comerciante No. 2, es la siguiente:
14
Como
, es necesario recalcular la oferta del distribuidor No. 2 de la manera
siguiente:
Se debe eliminar la columna correspondiente al requerimiento del comerciante No. 2 esto indica que toda la demanda del comerciante No. 2 ha sido satisfecha. La tabla de asignaciones anterior, se modifica de la siguiente manera: COMERCIANTES DISTRIBUIDORES
1
2 5
2
1
6
35 30
--------------10
5
2
OFERTA
3
7
10 9
15 6
4
3
20
REQUERIMIENTO --------------
---------------
35
Paso 15. Como las casillas asignadas son 3, y este número es menor que
, es
necesario seguir el proceso de asignación.
15
Paso 16. Calculo de los valores
para las filas
Observando la tabla de asignaciones generada en el paso No. 14, se ve que ya no hace falta recalcular los valores
, ni los valores
, pues solo queda por satisfacer la
demanda del comerciante No.3 Esto se logra asignando 15 lotes de bicicletas que le quedan disponibles al distribuidor No. 2 y 20 lotes que le quedan disponibles al distribuidor No. 3 La tabla de asignaciones generada en el paso 14 se modifica de la siguiente forma: COMERCIANTES DISTRIBUIDORES
1
2 5
2
1
6
35 30
--------------10
5
2
OFERTA
3
10 9
7
15 6
3
--------------4
20
---------------
REQUERIMIENTO --------------
---------------
-------------
Paso 17. Como las casillas asignadas son 5, y este número es igual a
, ya se
encontró una solución inicial básica factible. Obsérvese en la tabla de asignaciones generada en el paso No. 16, que todas las demandas están satisfechas, y todas las ofertas están asignadas.
16
Por tanto la solución inicial básica factible que se obtiene por el método de RUSSELL es la siguiente: COMERCIANTES DISTRIBUIDORES
1
2 5
2
1
6
35 30
35 10
5
2
OFERTA
3
10
7
15 6
9
3
55 4
20
20
REQUERIMIENTO 30
45
35
110
La interpretación de esta solución inicial es la siguiente:
El distribuidor No. 1 debe proveer 35 lotes de bicicletas al comerciante No.2
El distribuidor No. 2 debe proveer 30 lotes al comerciante No. 1, 10 lotes al comerciante No. 2 y 15 lotes al comerciante No. 3
El distribuidor No. 3 debe proveer toda su oferta disponible al comerciante No. 3
Con este programa de transporte, la distancia total que se recorre entre distribuidores y comerciantes es la siguiente: Distancia Total recorrida = (35 * 5) + (30 * 5) + (10 * 10) + (15 * 7) + (20 * 4) Distancia Total recorrida = 175 + 150 + 100 + 105 + 80 Distancia Total recorrida = 610 Kilómetros
17
3. EJERCICIO PROTAC tiene cuatro plantas ensambladoras en Europa. Están ubicadas en Leipzig, Alemania oriental (1); Nancy, Francia (2); Lieja, Bélgica (3); Tilburgo, Holanda (4). Las maquinas ensambladoras usadas en esas plantas se producen en estados unidos y se embarcan a Europa. Llegaron a los puertos de Ámsterdam (A), Amberes (B), Havre (C). Los planes de producción del tercer trimestre (julio a septiembre) ya han sido formulados. Los requerimientos (la demanda en destinos) de motores diésel E-4 son los siguientes:
PLANTA
CANTIDAD DE MOTORES
LEIPZING
400
NANCY
900
LIEJA
200
TIBURGO
500
La cantidad disponible de máquinas E-4 en los puertos a tiempo para usarse en el tercer trimestre se muestra enseguida: AMSTERDAM
500
AMBERES
700
EL HAVRE
800
18
La meta de PROTAC es de minimizar los costos de transporte de los motores E-4, de los puertos a las plantas. Costo de transporte de un motor de un origen a un destino: AL DESTINO DESDE EL 1
2
3
4
A
12
13
4
6
B
6
4
10
11
C
10
9
12
4
ORIGEN
ASIGNACIÓN INICIAL.
DESDE ORIGEN
AL DESTINO 1
2
3
4
Suministros
A
12
13
4
6
500
13
B
6
4
10
11
700
11
C
10
9
12
4
800
12
Requerimiento
13 17 14
400
900
200
500
12
13
12
11
0 20 16
21 13 12
2000
18 11 19
19
PRIMERA ITERACIÓN DESDE ORIGEN
AL DESTINO 1
A
2 12
3 13
4
Suministros
4
6
500
13
200 B
6
4
10
11
700
11
C
10
9
12
4
800
12
Requerimiento
400
900
200
500
12
13
12
11
13 17 14
2000
0 20 16
18 11 19
SEGUNDA ITERACION DESDE ORIGEN
AL DESTINO 1
A
2 12
3
4
Suministros
4
6
300
13
4
10
11
700
11
9
12
4
800
12
13
200 B
6
700 C
Requerimiento
10
400
900
12
13
500
2000
12
13
0
18
14
16
19
20
TERCERA ITERACION DESDE ORIGEN
AL DESTINO 1
2
A
3
12
4
Suministros
4
6
300
13
4
10
11
700
11
9
12
4
800
12
13
200 B
6
700 C
10
500 Requerimiento
400
200
12
13
13
0
14
16
500
2000
12
CUARTA ITERACION DESDE ORIGEN
AL DESTINO 1
A
2 12
3
4
Suministros
4
6
300
13
4
10
11
700
11
9
12
4
300
12
13
200 B
6
700 C
10
200 Requerimiento
400
200
12
13
500 2000 12
13 14
21
QUINTA ITERACION DESDE ORIGEN
AL DESTINO 1
A
2 12
3
4
Suministros
4
6
300
13
4
10
11
700
11
9
12
4
100
12
13
200 B
6
700 C
10
100 Requerimiento
200
500
400
2000
12
13
12
13
SEXTA ITERACION DESDE ORIGEN
AL DESTINO 1
A
2 12
3
Suministros
4
6
300
13
4
10
11
700
11
9
12
4
100
12
13
300 B
4
200 6
700 C
10
100 Requerimiento
200
500
300 12
2000 13
12
22
CONCLUSIONES
El tema de programación lineal expone una gran variedad de tipos de problemas, el método de aproximación de Russell, en comparación con otros métodos produce una solución inicial mejor debido a que la solución obtenida por este método está más cercana a la óptima , ya que la distancia total recorrida aun es menor. En general se puede afirmar que el método de Russell, produce mejores soluciones que otros métodos, pero con más cantidad de cálculos. Debido a esto, es que el método que más se utiliza para la solución inicial de los problemas de transporte es el método de Vogel, ya que requiere de menos cálculos para encontrar una solución óptima.
23
BIBLIOGRAFIA
MOYA NAVARRO, Marcos Javier. Investigación de operaciones, transporte y asignación. Primera edición. San José, C.R. Editorial EUNED. 1998. 276 paginas. ISBN-9977-64-5442 HILLER, Frederick S. LIEBERMAN, Gerald J. Introducción a la investigación de operaciones. Séptima edición. México D F. Editorial McGraw – Hill. 1998. 998 paginas. ISBN-0-07-841447-4 EPPEN, G.D. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. 5a Edición. México D F. Editorial Prentice-Hall. 2000. 792 paginas. ISBN: 970-17-0270-0
24
