PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS CÁLCULO NUMÉRICO PROF.: PRO F.: PATRÍC PATRÍCIA IA TAV TAVARES ___________________________________________________________ MÉTODO DAS CORDAS Seja a função f ( x ) contínua que tenha derivada segunda com sinais constante no intervalo [ a, b ] , sendo que f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 e que existe somente um número ε ∈ [ a, b ] tal que f ( ε ) = 0 . f ( a ) No mtodo das cordas, o intervalo dividido em !artes !ro!orcionais " ra#ão − . f ( b ) $raficamente temos%
&igando'se os !ontos ( a, f ( a ) ) e ( b, f ( b ) ) atravs de um segmento de reta, determina'se so(re o eixo eixo dos
x o
!ont !onto o
x
)
. *e!eti *e!etindo ndo'se 'se este !rocedime !rocedimento nto em relação relação aos !ontos !ontos ( x) , f ( x) ) ) e
( b, f ( b ) ) , determinamos x+ e assim sucessivamente at que xr ) tender !ara +
ε
.
Equação geral: geral: -odemos utili#ar a equação
xn
+)
=
xn
−
f ( xn ) f ( xn ) f ( c )
⋅
−
( xn c ) −
Sendo c o !onto !onto extremo fixo/ do intervalo intervalo [ a, b ] onde a função f ( x ) a!resenta o mesmo sinal da sua segunda derivada f ( x ) , ou seja, f ( c ) ⋅ f ( c ) > 0 . ' 1 !onto fixo a ou b / aquele que satisfa# f ( x ) ⋅ f ( x ) > 0 . ' 2 a!roximação a!roximação sucessiva sucess iva x se fa# do lado da rai# ε , onde o sinal da função f ( x ) o!osto ao sinal da derivada segunda f ( x ) . n
Exemplo
3alcular a rai# da equação f ( x ) = + x + sen ( x ) − )0 com casas decimais fa#endo arredondamento quando necessrio. +
f ( +) = −),090:0 f ( a) ⋅ f ( b) < 0 f ( 4) = 8,)7))+
f ( x ) f ( x )
=
7 x + cos( x )
=
7 − sen( x )
∈≤ )0
−4
no intervalo [ +,4] . 5tili#e 6
f ( +) = 4,090:0
manteve o sin al f ( 4) = 4,86888
-onto fixo c
=
c % f ( 4) ⋅ f ( 4) > 0
4
f ( c )
= f
x0
+
=
( 4)
=
8,)7))+
k
f ( xn )
x
n
0 ) + 4 7
+ +,))8)6 +,)4;60 +,)4940 +,)49,:4
'),090:0 '0,):+98 '0,0+;6+ '7,0846+ × )0 ';,46)47 × )0
∈
−4 −7
' 0,))8)6 0,0)846 0,00+80 0,00074
Exercícios
3alcular a rai# das equaç
=
x +
−
)0 ln ( x )
4 + 4. f ( x ) = x − e x
7. f ( x )
=
6. f ( x )
= sen
;.
+ x
4
+
x+
+
−
−
∈≤ )0
6 com
4 com + com
∈≤ )0
∈≤ )0
−4
∈≤ )0
( x ) − ln( x) com
−+
no intervalo [).7,+.+] .
−4
no intervalo [ 7,6] .
no intervalo [ 0,)] .
−4
∈≤ )0
no intervalo [ 0,)] . −4
no intervalo [).6, +.6] .
2 !ressão mxima, P , em Kg = mm + que um ca(o metlico su!orta dada !or P ( d )
=
+6 d +
+
ln ( d )
em que d o di>metro em mm . ?etermine o valor do di>metro necessrio !ara su!ortar uma 7 + !ressão de ),6 × )0 Kg = mm sa(endo que esse di>metro !ertence ao intervalo [ 0.+,0.4] com 4 . 5tili#e ; casas decimais fa#endo arredondamento quando necessrio. ∈≤ )0 −
−
:. 2 função a( x ) = +,0+ x 6 − ),+8 x 7 + 4,0; x 4 − +,9+ x + − 6,;; x + ;,08 utili#ada num estudo do com!ortamento mec>nico dos materiais, re!resentando a( x ) o com!rimento da fissura e x( > 0 ) uma fração do número de ciclos de !ro!agação.
-retende'se sa(er !ara que valores de x a velocidade de !ro!agação nula. 5tili#e ; casas decimais fa#endo arredondamento quando necessrio e ∈≤ )0 4 . −
