Metode Invers Operator (2) Beserta Contoh Soal

METODE INVERS OPERATOR 

Persamaan diferensial linier orde tinggi non homogen dengan koefisien konstan adalah, (an D n

+ ... + a1 D + a%  y = r ( x  L( D y = r ( x

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial diatas adalah y = yh + yp. Dengan metode invers operator solusi yp diberiken oleh :  y p

=

1

r ( x 

 L ( D 

Kasus n=1

Untuk n = 1, penyelesaian khusus PD (D – y = r(!, diberikan oleh :  y p

=

1  D − λ 

∫ 

r ( x = e λ  x e − λ x r ( x dx

Kasus n=2

Untuk n = ", penyelesaian khusus PD (D –

(D –

2

y = r(!,

1

diberikan oleh :  y p

= =

1 r ( x  ( D − λ " ( D − λ 1  1  D − λ "

=e

λ " x

∫ 

e λ 1 x e − λ 1 x r ( x  dx

∫ e [e ∫ e − λ " x

λ 1 x

− λ 1 x

]

r ( x  dx dx

#e$ara umum penyelesaian khusus dari PD berbentuk, '( D − λ n ( D − λ n

− 1...( D − λ " ( D − λ 1 & y = r ( x  L ( D  y = r ( x 

adalah,  y p

= = =

1 r ( x  ( D − λ n ( D − λ n − 1...( D − λ " ( D − λ 1  1 ( D − λ n ( D − λ n

− 1...( D − λ " 

1 ( D − λ n ( D − λ n

− 1...( D − λ  

∫ 

e λ 1 x e − λ 1 x r ( x  dx

∫ 

(

e λ " x e − λ " x e

λ 1 x

∫ e

− λ 1 x

)

r ( x  dx dx

Dengan mengintegralkan sebagian demi sebagian, fungsi penyelesaian khusus yp diberikan oleh,

 y p = e

λ n x

∫ 

e

− λ n x

... e λ "

 x

∫ 

e

− λ " x

e λ 1

 x

∫ 

e

− λ 1 x

r ( x dx dx ...dx

)ontoh : )arilah penyelesaian umum PD, y″ – *y’ + *y = e 2x ln! tau, (D2 – *D + *y = e 2x ln! -aab #olusi homogen PD/ : y ″ – *y + *y = % (D2 – *D + *y = % P0

:  2 – * + * = %, D2 – *D + * = % (D – "(D – " = %

P0 : D1 = D2 = " Penyelesaian #olusi y h  yh

= c1e " x + c" xe" x

#olusi yp  y p

= = = =

1 ( D − "( D − " 1  D − " 1  D − " 1  D − "

∫  e ∫ ln  xdx

e " x e e " x

e " x ln  x

− " x

" x

ln  xdx

e " x ( x ln  x −  x

= e " x ∫ e − " x 'e " x ( x ln  x −  x& dx = e " x ∫ ( x ln  x −  x dx   = e " x     x " ln  x −  x "   *  "   1



-adi, solusi PD  y

1    = c1e " x + c" xe " x + e " x     x " ln  x −  x "   *  "  

)ontoh : )arilah penyelesaian umum PD, (D2 – D + "y = e 2x $os "! -aab #olusi homogen PD/ : (D2 – *D + *y = % : D2 – D + " = %

P0

(D – 1(D – " = % P0 : D1 = 1, D2 = " #olusi y h  y h

= c1e x + c" e " x

#olusi yp  y p

= =

 y p

= = = = = =

1 ( D

"

−  D + "

e " x $os " x

1 e " x $os " x ( D − 1( D − "

1  D − 1 1  D − 1 1  D − 1 1 " 1 " 1 "

∫  ∫ $os " xdx

e " x e −" x e " x $os " xdx e " x

 1 sin " x      "  

e " x 

∫  ∫ e

e x e − x (e " x sin " x  dx e x

 x

sin " x dx

 1 e x (−" $os " x + sin " x      2  

e x 

-adi, solusi PD  y

= c1e x + c"e " x +

1 1%

e " x (sin " x − " $os " x 

)ontoh )arilah penyelesaian umum PD, (D! – 2D2 + 3D – *y= (13+1"!e 2x -aab S"lusi yh

PD /, (D! – 2D2 + 3D – *y= % D! – 2D2 + 3D – * = %

P0

P0, (D – 1(D – "(D – " = % D1 =1, D2=D2 = " #olusi yh  y h

= c1e x + c" e " x + c xe " x

#olusi yp  y p

= =

1 ( D − " ( D − 1 "

1 ( D − "

"

(13 + 1" x e " x

∫ 

e x e − x (13 + 1" x e " x dx

#olusi yp  y p =

= = =

1 ( D − "

 x

1 ( D − " 1 ( D − "

 x

(13 + 1" x dx

e

"

e x '(4 + 1" xe x &

1 ( D − "

∫ e

"

∫ 

e " x e − " x e " x (4 + 1" x  dx e " x (4 x + 4 x " 

= e " x ∫ e −" x e " x (4 x + 4 x "  dx = e " x ( x " + " x   #olusi umum PD  x "  " x  y = c1e + (c" + c x +  x + " x e