UNIVERSITETI UNIVERS ITETI I PRISHTINES FAKULTETI I INXHINIERISE MEKANIKE
Prof. Dr. Januz Bunjaku
z 1
p1
2
c1
2 g
z 2
p2
2
c1
2 g
H
PËRMBAJTJA 2. VETITË FIZIKE TË FLUIDEVE 2.1. Densiteti dhe pesha specifike 2.2 Shtypshmëria 2.3 Bymimi 2.4. Viskoziteti 2.5. Tensioni sipërfaqësor 2.6 Forcat që veprojnë në fluid 2.7. Kuptimi mbi fluidin real dhe ideal 3. STATIKA E FLUIDEVE 3.1. Presioni i fluidit dhe njësitë e matjës së tij 3.2. Vetitë e presionit 3.3. Ekuacionet diferenciale të ekuilibrit të lëngjeve ( Ekuacionet e Eulerit) 3.4 Ekuacioni themelor i hidrostatikës 3.5.Presioni i plotë (absolut), presioni i tepërt ( manometrik dhe vakumetrik) 3.6.Aparatet për matjen e presionit 3.7. Ligji i Paskalit dhe enët komunikuese 3. 8. Presa hidraulike. 3.9. Forca e presionit në sipërfaqen plane( të rafshta) 3.10. Forca e presionit në sipërfaqe të kurbëzuar 3.11.Rezervuari cilindrik që i nështrohen veprimit të forcës së presionit 3.12. Ligji arkimedit dhe notimi i trupave. 3.12.1 Stabiliteti i notimit të trupave
3.13. Qetësia relative e lëngut 3.13.1. Lëngu zhvendoset së bashku me enën në një rrafsh horizontal me shpejtim konstant 3.13.2. Lëngu zhvendoset së bashku me enën në një rrafsh të pjerrët me me shpejtim konstant 3.13.3. Lëngu së bashku me enën bën rrotullime të njëtrajtshëm
4.KINEMATIKA E FLUIDEVE 4.1 Shpejtësia e lëvizjës së grimcës fluidale. 4.2 Metodat e trajtimit të lëvizjës së fluidit 4.2.1 Metoda e Lagrazhit 1
Prof.Dr. Januz Bunjaku _ Mekanika Mekanika e Fluideve
4.2.2 Metoda e Eulerit
4.3.Lëvizja stacionare ( e qendrueshme) dhe jostacionare ( e paqendrueshme) 4.4. Rrjedhja e njëtrajshme dhe jo e njëtrajshme 4.5 Vija e rrymës 4.6 Rrjedhja e lëngut dhe elementet e saj 4.6.1 Rrjedhja elementare 4.6.2 Rrjedhja e plotë . 4.6.3. Seksioni i gjallë, prurja, shpejtësia mesatare e rrjedhjes, perimetri i lagur dhe rrezja hidraulike .
4.7. Ekuacionei i vazhdueshmerisë ( kontinuitetit) 4.8. Forma e thjeshtë e ekuacionit të vazhdueshmerisë 5. DINAMIKA E FLUIDEVE 5.1 Ekuacionet diferenciale të lëvizjës së fluidit ideal 5.2. Ekuacioni I Bernulit ( ekuacioni i energjisë) 5.2.1. Kuptimi energjik i ekuacionit të Bernulit 5.2.2 Ekuacioni i Bernulit për Ekuacioni I Bernulit për rrjedhjen elementare të lëngut real 5.2.3. Ekuacioni I Bernuelit për rrjedhjen e plotë
6. REGJIMET E LËVIZJES SË LËNGJËVE 6.1. Numri i Reinoldsit dhe vlefta e tij kritike 6.2. Karakteristikat e regjimit laminar. 6.2.1 Shpërndarja e shpejtësisë sipas seksionit të gjallë 6.2.2 Shpërndarja e tensionit tangjencial sipas seksionit të gjallë 6.2.3 Koeficienti i energjisë kinetike 6.2.4. Humbja e ngarkesës
6.3 . Karakteristika e rregjimit turbulent 6.3.1 Shpejtësia dhe presioni mesatar i pikës 6.3.2 .Tensioni tangjencial në regjimin turbulent 6.3.3 Shpërndarja e shpejtësive në regjimin turbulent
7. HUMBJET HUMBJET E ENERGJISË ENERGJISË SË LËNGUT 7.1 Humbjet hidraulike gjatësore
2
Prof.Dr. Januz Bunjaku _ Mekanika Mekanika e Fluideve
7.1.1 Klasifikimi I sipërfaqes nga pikëpamja hidraulike 7.1.2 Përcaktimi koeficientit të humbjeve gjatësore 7.1.3 Formula e Shezi ( chezy)
7.2 Humbjet lokale hidraulike 7.2.1 Kuptime të përgjithshme 7.2.2 Zgjerimi i menjëhershëm i rrjedhjes 7.2.3 Ngushtimi i menjëhershëm menjëhershëm i rrjedhjes 7.2.4 Ndryshimi i drejtimit drejtimit të rrjedhjes 7.2.5 Degëzimet e rrjedhjes
8. RRJEDHJA E QËNDRUESHME E LËNGJEVE NËPËR TUBA 8.1. Rrjedhja me presion 8.2 Tubat e shkurter 8.3. Tubi i thjeshtë 8.4 Zbatime të tubave të thjeshtë 8.4.1. Tubi ne formë sifoni 8.4.2. Tubi thithës i pompës
8.5. Tuba të përbërë 8.5.1. Lidhja e tubave në seri 8.5.2. Lidhja e tubave në paralele
8.6. Humbjet e ngarkesës në tubin me prurje të ndryshuar 8.7 Rrjedhja me kavitacion 9. RRJEDHJA E PAQËNDRUESHME-GODITJA HIDRAULIKE 9.1. Goditja hidraulike nëpër tuba të thjeshtë 9.2.Shpejtësia e përhapjes së goditjes hidraulike 9.3. Mënjanimi i goditjes hidraulike 10.RRYMAT HIDRAULIKE 10.1 Njohuri të përgjithshme 10.2 Rryma e qëndrueshme . Trajektorja e rrymës së lirë 10.2.2. Struktura e rrymës 10.2.1
10.3 Pajisjet për formimin e rrymës hidraulike 10.3.1 Rrjedhja e lëngut nëpër vrima
3
Prof.Dr. Januz Bunjaku _ Mekanika Mekanika e Fluideve
10.4. Llogaritja hidraulike vrimave të vogla. 10.5 Llogaritja hidraulike vrimave të mëdha 10.6 Rrjedhja e lëngut me nivel të ndryshuar 10.6.1 Rrjedhja në atmosferë me furnizim me prurje të pandryshuar
10.7 Rrjedhja nëpër vrima të zhytura 10.8 Rrjedhja e lëngut nëpër hundëza 10.9 Llogaria hidraulike e hundëzave 10.10 Kufizimi I përdorimit të hundëzës cilindrike. cilindrike. Kavitacioni 11.VEPRIMI DINAMI I RRYMAVE 11.1 Teorema e sasisë së lëvizjes 11.2 Forca dinamike e rrymës 11.3.Fuqia e rrymës në turbinën aktive 12. TEORIA E NGJASHMËRISË DHE ANALIZA DIMENSIONALE 12.1 Elementet të analizës dimensionale 12.2 Ngjashmëria e sistemeve hidraulike 12.3 Kriteret e ngjashmerisë dhe bazat e modelimit
4
Prof.Dr. Januz Bunjaku _ Mekanika Mekanika e Fluideve
1. HYRJE
Mekanika e fluideve është disiplinë e rëndësishme e fizikës, e cila ka gjetur zbatim të gjërë në shkencë dhe teknikë. Fenomenët që kanë të bëjnë me fluidin e qetë dhe rrymimin e tij janë dukuri mjaft të përbëra. Për këtë arsye edhe qasjet e studimit të tyre janë të ndryshme. Gjërsa disa qasje mbështetën në shkemën klasike të mekanikës në përgjithesi, që nënkupton ndarjen në statikë, kinematikë dhe dinamikë, qasjet tjera janë ma të diferencuara, me çrast veças studiohen dukuritë predominuese fluido-dinamike. Ndryshe nga lëndet tjera të cilat zhvillohen në vitet e para të studimeve si matematika, fizika, fizika, kimia, në të cilat cilat studentet mësojnë ekuacionet me të cilat “ lodrojnë” lodrojnë” në kompjuterat, në mekanikën e fluideve duhet ndjekur një analizë e saktë dhe logjike për zgjidhjen e një problemi. Shpesh studentet duhen të njihen me problemin, të bëjnë supozime dhe arsyetime ose përafrime, të përdorin ligjet e njohura në formën e duhur, dhe në përfundim të zgjedhin ekuacionet përpara se të vendosin numr at at dhe t’I ekzekutojnë ekzekutojn ë ato në kompjutera. Disa probleme të mekanikës së fluideve kërkojnë që një student të ketë njohuri në disa lëndë, por ai duhet të ketë një intuitë të zhvilluar dhe eksperiencë. Termi “fluid” paraqet një emer të përgjithshëm për lëngjet dhe gazërat, të cilët nga aspekti I mekanikës së fluidëve kanë veti të ngjashme mekanike. Fluidet mund të definohen si materie që deformohen, që d.m.th.rrjedhë apo rrymon nën ndikimin e forcës ma të vogël tangjenciale. Megjithate, të gjitha fluidet nuk kanë këtë veti të theksuar në të njejtën masë; disa e kanë me shumë e disa më pak. Fluidet ( uji-ajri) janë materiali më I përhapur në natyrë. Cdo qenie e gjallë, trup dhe çdo objekt teknik, gjithnjë janë në kontakt me fluidet. Interaksioni I fluideve në objektet objektet hidroteknike paraqet një fushë të gjërë të praktikës inxhinjerike. Mekanika e fluidëve është subjekt më randësi edhe në lëmin lëmin e astrfizikës, meteorologjisë , kimisë, biologjisë dhe biomedicinës.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
5
2. VETITË FIZIKE TË FLUIDEVE Çdo fluid kur krahasohet me fluide tjera, dallohet nga dendësia, shtypshmëria, bymimi bymimi dhe viskoziteti të cilat karakterizonin vetitë fizike të tij.
2.1. Densiteti dhe pesha specifike Densiteti i fluidit quhet masa në njësinë e vëllimit: m
ku:
V
(2.1)
-është
densiteti m-është masa V-është vëllimi i fluidit Në sistemin Ndërkombëtar të njësive është përcaktuar si njësi matëse e densitetit, kg/m 3. Në rast kur kemi përzierje të fluideve, që nuk veprojnë kimikisht, kemi:
p
ku:
V i i V i
p -është
densiteti i përzierjes
i V i -është ,
(2.2)
densiteti dhe vëllimi i fluideve të veçantë.
Densiteti i fluidit varet nga lloji i fluidit dhe nga temperatura. Me rritjen e temperaturës densiteti i lëngut zvogëlohet. Përjashtim bën uji , i cili ka densitet maksimal në temperaturën 4 0C, kurse të gjitha gjitha lëngjet tjera e kanë dendësinë ma të madhe në temperaturën e ngrirjes. Po japim tani disa vlera të dendësisë së ujit për temperatura të ndryshme :
T( C) 3 (kg/m )
0 889.9
4 1000
10 999.7
20 998.2
30 995.7
50 988.1
80 971.8
100 958.4
Kurse dendësia e disa lëngjeve në temperaturën 20 0C është është si ma poshtë:
Lloji I lëngut Ujë Ujë i detit Alkool Benzinë Naftë Vaj motorësh Mërkur
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
Dendësia (kg/m 3) 998.2 1025 790 725 - 760 860 - 890 916 -921 13546.2
6
Pesha specifike quhet pesha në njësinë e vëllimit: G
V
(2.3)
ku: -është pesha specifike, G-është forca e rëndesës V-është vëllimi I lëngut. Duke ditur që G=mg dhe duke zbatuar shprehjen (1.1)dhe (1.3) del:
G
V
mg
V
g
(2.4)
Në Sistemin Ndërkombëtar pesha shprehet me N/m 3. Për ujin kemi : uj
g
1000 kg / m
3
9.81m / s
2
9810 N / m
3
(2.5)
Në temperaturën normale, për disa lëngje pesha specifike kanë vlerat:
Lloji i lëngut
Pesha Pesha speci specifik fike e (N/m (N/m )
Ujë Uji i detit Glicerinë Mërkuri Benzinë Naftë
9810 10006 -10104 12400 133416 7260 7455 - 8830
2.2 Shtypshmeria Vetia e fluidit që të ndërrojë vëllimin nën veprimin e forcave normale sipërfaqësore quhet shtypshmeri . Shtypshmeria e lëngjeve është shumë e vogël për dallim nga shtypshmeria e gazrave e cila është e madhe. Kur ushtrimi i presionit ndërpritet fluidi i shtypur përsëri kthehet në vëllimin vëllimin e mëparshëm.
Fig 2.1
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
7
Nën ndikimin e presionit elementar le të zvogëlohet vëllimi V për dV (fig.2.1). Raporti dV/V paraqet ndryshimin relativ vëllimor. Ky ndryshim i llogaritur për njësi presioni jep koeficientin e shtypshmerisë s: dV V (2.6) dp Shenja minus tregon se zvogëlimit të presionit i përgjigjet rritja e vëllimit dhe anasjelltas. Vlera reciproke e koeficientit të shtypshmerisë quhet moduli i shtypshmerisë dhe shënohet me . Masa e fluidit që shqyrtohet është konstante dhe e barabartë me m V kons tan t .Kështu me diferencimin e saj fitojmë : s
dm dV Vd 0
(2.7)
prej nga del dV
d
V
(2.8)
Rrjedhimisht moduli i shtypshmerisë ( moduli vëllimor i elasticitetit) del: 1
dp
(2.9) s d Koeficientet e shtypshmerisë së lëngjeve kanë vlera të vogla dhe në shumë fenomene hidraulike janë të pandikim. Një gjë e tillë i lehtëson llogaritjet, sepse dendësia nuk varet nga presioni. Lëngjet në rastet e rralla merren si të shtypshme, p.sh kur bëhet fjalë për goditjen hidraulike ..
2.3 Bymimi Fluidet si edhe trupat e ngurtë me ndryshimin e temperaturës ndryshojnë vëllimin dhe densitetin e tyre. Marrë në tërësi dendësia është funksion i temperaturës . Për fluidin e pashtypshëm vlen ligji i Gej-Lisakut V T
V 0
[1 (T T 0 )]
(2.10)
ku V T dhe V0 janë vëllimet e masës së njëjtë fluide në temperaturat përkatëse T dhe T0, e është koeficienti i zgjerimit termik. Prej barazimit të sipërm e duke pasur parasyshë se vëllimet V T dhe V 0 kanë të të bëjnë me të të njëjtat masë, pra janë janë V T=m/ përkatësisht V 0=m/0, fitojmë shprehjen për dendësinë T në temperaturën T: T
0 1 (T T 0 )
(2.11)
Për diferenca të vogla temperature mund te merret se nuk varet prej temperaturës. Lëngjet e kanë shumë të vogël , prandaj në zgjidhjen e problemeve praktike në fushën e furnizimit me ujë, kanalizimit dhe objekteve Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
8
hidroteknike, ndryshimi i vëllimit të lëngut për efekt të temperaturës nuk merret parasysh. Shprehja karakteristike e gjendjes fizike të lëngjeve si trupa të pashtypshëm do të jetë : =0=konstant Kjo nuk vlen për fluidet e shtypshëm përkatësisht për gazrat. Gazrat u nënshtrohen ekuacioneve të tjera.
2.4. Viskoziteti Aftësia që kanë fluidet të kundërshtojnë lëvizjen quhet viskozitet. Kjo veti kushtëzohet nga ndërtimi dhe lëvizja molekulare e fluidit. Kjo veti në faktin se për lëvizje relative të një shtresë lëngu kundrejt shtresës fqinje me të, lind një forcë fërkimi që quhet edhe forcë viskoziteti. Viskoziteti është shfaqja e forcës së fërkimit të brendshëm të lëngut. Viskoziteti mund të vihet re me lehtësi po të kryhet një provë me një aparat. Si në fig.2.2, fig.2.2, ku ndërmjet dy enëve cilindrike bashkëqendrore e të palidhura palidhura midis tyre, vendose lëng. Duke rrotulluar cilindrin e jashtëm me një shpejtësi këndore konstante , shikohet se cilindri i brendshëm brend shëm përpiqet të rrotullohet me të njëjtën kahje dhe, për të mbajtur të palëvizshëm atë, duhet të zbatohet në të një moment M, në kah të kundërt. Kjo provon së në enën e brendshme vepron një forcë, e cila është forca e fërkimit në brendësi të lëngut, d.m.th. forca e viskozitetit.
Fig.2.2 Lidhur me viskozitetin, Njutoni ngriti i pari hipotezën se forca e fërkimit të brendshëm ndërmjet shtresave të lëngut varet nga lloji i lëngut, nga sipërfaqja e takimit ndërmjet shtresave dhe nga gradienti i shpejtësisë së rrëshqitjes së tyre. Kjo hipotezë, e cila është vërtetuar edhe eksperimentalisht përbën ligjin themelor të fërkimit të brendshëm të lëngjeve. Në figurën 2.3 paraqitet prerja gjatësore e një rrjedhjeje me ndryshim shpejtësie sipas lakores AC, për seksionin AB të rrjedhjes.
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
9
Dy shtresa fqinje ( I dhe II) në largësi “dy” ndërmjet tyre, duke rrëshqitur me shpejtësi v 1 dhe v2, shkaktojnë lindjen e një forcë fërkimit F I në sipërfaqen S të takimit të tyre.
Fig. 2.3 Në formë analitike ligji themelor i fërkimit të brendshëm paraqitet kështu:
F f
S
dv
dy
(2.12)
ku: është koeficient përpjesëtimi, që varët nga lloji I fluidit dhe quhet viskoziteti dv dinamik dhe është gradienti i shpejtësisë. dy Duke pjesëtuar me S kemi: F f S
ku
dv dy
(2.13)
F f
është tensioni tangjencial i fërkimit ndërmjet shtresave të fluidit. S Le të nxjerrim njësitë e matjes së viskozitetit sipas Sistemit Ndërkombëtar të njësive. Nga 2.12 kemi:
[ F f ][dy
N m N s (2.14) [ S ][dv] m2 2 m m s Në mekanikën e fluideve përdoret edhe kuptimi i viskozitetit kinematikë, i cili është raporti : [ ]
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
10
(2.15)
Kështu që, për viskozitetin kinematikë, në SI kemi: N s kg m s 2 2 2 [ ] m2 m s m [ ] kg kg [ ] s
(2.16)
m3 m3 Në varësi të simboleve themelore të përmasave (L,T dhe M) për viskozitetin dinamik dhe atë kinematikë , përkatësisht kemi: M
[ ]
L T
2
L
M
2
L T
L
(2.17)
dhe
M L
[ ]
T M
2
L
T
(2.18)
3
L
Në temperaturën 20 0C, vlera e viskozitetit dinamik dhe kinematikë në SI, për disa lëngje janë: Lëngu
106 [N s/m 2]
104[m2/s]
Ujë glicerinë merkur alkool vajgur naftë
1006 799.189 1.566 590 1.867 1.053000
0.01008 6.35 0.00115 0.00746 0.0233 11.2
Sikur duket nga të dhënat e mësipërme, viskoziteti varet shumë nga lloji i lëngut. Ai varet, gjithashtu nga temperatura, rritja e të cilës zvogëlon viskozitetin. 2 Për ujin, viskoziteti kinematikë në cm /s, në në varësi të temperaturës , mund të përcaktohet me formulën: 0.0178
1 0.0337 t 0.00022t
2
(2.19)
Lëngjet me viskozitet të zakonshëm që i nënshtrohen ligjit të Njutonit mbi fërkimin e brendshëm, të shprehur me marrëdhëniet (2.11) dhe (2.12), quhen
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
11
“lëngje Njutonianë”. Por në natyrë dhe në teknik, ka edhe lëngje që nuk i përgjigjën ligjit të të Njutonit mbi viskozitetin. viskozitetin. Këto quhen “ lëngje lëngje jo Njutoniane”
2.5. Tensioni sipërfaqësor Të gjitha lëngjet i nënshtrohen efektit të kohezionit (d.m.th. forcës së tërheqjes reciproke midis molekulave të njëjtit lëng) dhe adezionit ( d.m.th. i forcës së tërheqjes reciproke midis molekulave të lëngjeve të ndryshme, ose molekulave te lëngut dhe trupit të ngurtë me të cilin lëngu është në kontakt). Efekti koheziv (lidhës, ngjitës) siguron sipërfaqen e ndarjes midis dy lëngjeve të pa përzishëm njeri me tjetrin tjetrin si dhe sipërfaqen e lirë midis lëngut dhe gazit. Një molekulë në brendësin e lëngut është e rrethuar prej shumë molekulave të tjera dhe nga pikëpamja e madhësisë mesatare, forca e tërheqjes molekulare është e njëtrajtshme në të gjitha drejtimet, d.m.th. forcat e tërheqjes reciproke ekuilibrojnë njëra tjetrën (fig.2.4a). Në sipërfaqen e ndarjes (p.sh. midis lëngut dhe gazit), nuk kemi tërheqje të jashtme për të balancuar tërheqjen e brendshme, pasi nga jashtë ka shumë pak molekula fig.2.4b. Kështu pra molekulat e lëngut në sipërfaqen e ndarjes janë objekt i tërheqjes së brendshme me anë të forcës F m. Kjo forcë është normale me sipërfaqen e ndarjes dhe ka prirje të deformoi atë, p.sh., pika e ujit në atmosferë tentojnë tentojnë të shtypën dhe marrin formën sferike, meqenëse ndër të gjitha figurat, sfera është ajo që ka sipërfaqen ma të vogël për vëllimin e dhënë.
Fig 2.4a dhe b Kur lëngu është në kontakt me sipërfaqe të ngurta, forma e sipërfaqes së ndarjes së lëngut (ose më konkretisht e sipërfaqes së lirë të lëngut) që është gjithashtu në në kontakt me gazin, varet nga madhësia relative e forcave të të Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
12
kohezionit midis molekulave të lëngut dhe forcave të adezionit ndërmjet molekulave të lëngut dhe trupit të ngurtë. -kur kur tërheqja reciproke e dy molekulave të lëngut është është më e madhe se tërheqja ndërmjet molekulës së lëngut dhe trupit të ngurtë, kemi rastin e murit të palagur, fig.2.5a. -kur tërheqja reciproke e dy molekulave të lëngut është më e vogël se tërheqja ndërmjet molekulave të lëngut dhe trupit të ngurtë , kemi rastin e murit të lagur fig.2.5b.
Fig 2.5a dhe b 2.6 Forcat që veprojnë në fluid
Le të mendojmë se për një moment kohe të dhanë nga masa e fluidit veçojmë një sipërfaqe të mbyllur çfarëdo S ( fig 2.6). Dihet së brenda kësaj sipërfaqeje ndodhen një numër i madh grimcash fluidale. Këto grimca ushtrojnë kundrejt njëra tjetrës forca, që do t’i quajmë forca të brendshme (forca molekulare), të cilat janë dy nga dy të barabarta në madhësi dhe të kundërta në drejtim (pra që anulojnë reciprokisht njëra tjetrën dhe që
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
13
formojnë kështu një sistem forcash të barabarta me zero ( ligji veprimit dhe kundërveprimit)
Fig.2.6 Grimcat fluidale që ndodhen jashtë sipërfaqes së veçuar S ushtrojnë mbi grimcat e fluidit që ndodhen brenda kësaj sipërfaqeje, sipërfaqeje, forca që do t’i quajmë forca të jashtme. Këto jashtme. Këto forca janë si të tilla vetëm përkundrejt sipërfaqes se veçuar S, ndërsa kundrejt gjithë masës fluidit nga e cila është veçuar kjo sipërfaqe, ato duhet të pranohen si forca të brendshme që anulojnë njëra tjetrën. Sipas natyrës, ose karakterit të veprimit të tyre, te gjitha gjitha forcat që veprojnë në fluid mund të ndahen në dy grupe themelore. -. F orca sip si për faqë faqësor sor e Fs, të cilat veprojnë vetëm mbi sipërfaqen sipërfaqen e veçuar të vëllimit të dhanë të fluidit. Kur këto forca shpërndahen njëtrajtësisht mbi sipërfaqen e dhënë, vlefta e tyre është në përpjesëtim të drejt me sipërfaqen ku ato veprojnë . Zakonisht forcat sipërfaqësore ndahen në dy grupe kryesore: -forca sipërfaqësore P që kanë drejtim normal me sipërfaqen e veçuar; -forca sipërfaqësore T që kanë drejtim sipas tangjentes me këtë sipërfaqe.
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
14
Fig.2.7 Këto forca përcaktohen duke veçuar një sipërfaqe çfarëdo S fig2.7 në rrjedhjen e fluidit real. Mbi sipërfaqen e veçuar rrjedhja ushtron veprimin e saj nëpërmjet forcës forcës sipërfaqësore Fs që ka një drejtim çfarëdo kundrejt sipërfaqes S. Forca Fs mund të ndahet në dy komponentët e saj: në forcën normale P dhe në forcën tangjenciale T. Forca tangjenciale T gjithashtu mund të ndahet në dy komponentë: në Ta dhe ne T b sipas dy drejtimeve të sistemit të koordinatave që shtrihen në planin e sipërfaqes S. Raportin P/S do ta quajmë sforcim normal mesatar mesatar në sipërfaqen sipërfaqen S. Në qoftë se sipërfaqja S zvogëlohet në madhësinë S, atëherë kundrejt këtij zvogëlimi do të kemi edhe zvogëlimin e forcës normale në madhësinë P. Raportin e dhëne me anë të shprehjes: lim lim S 0
P S
p
(2.20)
do ta quajmë sforcim normal ose presion në piken e dhëne të sipërfaqes. Në mënyrë të ngjashme edhe për forcën tangjenciale T do të shkruajmë:
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
15
lim S 0
T S
(2.21)
ku është sforcimi tangjencial në pikën e dhëne te po kësaj sipërfaqe.
cat vë vëllim lli mor e ose forcat e masës Fv, të cilat veprojnë në të gjitha grimcat -F or cat fluidale që formojnë vëllimin e lëngut brenda sipërfaqes së mbyllur. Vlera e tyre është në përpjesëtim të drejtë me masën e fluidit. Kur kemi të bëjmë me fluidin homogjen, sikurse është uji i cili ka densitetin e njëjtë kudo, vlera e forcave të masës është gjithashtu gjithashtu në përpjesëtim të drejtë më vëllimin e fluidit. Në këtë grup forcash hyjnë forca e rëndesës, forca e inercisë, forca centrifugale si dhe forca nga fusha magnetike dhe fusha elektrike.
2.7. Kuptimi mbi fluidin real dhe ideal
Kur fluidi gjatë lëvizjes së tij shoqërohet me një rezistencë, atë do ta quajmë fluid real (viskoz), kur ai nuk shoqërohet me në rezistencë të tillë ,do ta quajmë ideal(jo viskoz). Pra fluidin ideal do ta quajmë fluidin e imagjinuar që nuk ekziston në të vërtetë. Për sa i përket studimit të fluidit në qetësi, nuk është e nevojshme të bëhet dallimi ndërmjet fluidit real dhe ideal, ndërsa gjatë studimit te fluidit në lëvizje ky dallim duhet të bëhet dhe është i nevojshëm të merret parasysh, sidomos, viskoziteti i fluidit. fluidit.
Prof.Dr. Januz Bunjaku - Mekanika e Fluideve
16
3. STATIKA E FLUIDEVE
Statika e fluideve është shkenca e cila i trajton kushtet e ekuilibrit të fluideve në qetësi. Ekuilibri i fluidit do të jetë absolut, kur nga forcat vëllimore vepron vetëm forca e gravitetit, dhe relative kur në fluid përveç forcës së gravitetit vepron edhe forca e inercisë (qetësia relative). 3.1. Presioni i fluidit dhe njësit e matjës së tij
Presioni paraqet madhësinë themelore fizike të fluidit. Le të shqyrtojmë një pjesë lëngu që ndodhet në qetësi. Supozojmë që ky lëngë ndahet me një plan në pjesët I dhe II (fig.3.1). Në planin e prerjes ndajmë konturin e mbyllur me sipërfaqen elementare S. |Në sipërfaqën AB do të veprojë forca e presionit nga ana pjesës I mbi II, atëherë veprimi i saj mbi pjesën tjetër të zëvendësohet me një forcë P . Një pjesë e kësaj force e shënuar me P i përket sipërfaqes S. Raportin P/S do ta quajmë presioni hidrostatik mesatarë në sipërfaqen S. Në qoftë se sipërfaqja S zvogëlohet në madhësin S, atëherë kundrejt këtij zvogëlimi do të kemi edhe zvogëlimin e forcës normale në madhësinë P. Raportin e dhënë me anë të shprehjes: lim S 0
P S
p
(3.1)
Fig.3.1 Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
17
do ta quajmë presionin e vërtete të pikës ose presioni hidrostatik. Për lëngjet në prehje, presioni hidrostatik ka po atë kuptim sikurse sikurse presioni në shtypje për trupa të ngurtë. Në Sistemin Ndërkombëtar të Njësive ( SI) presioni ka njësinë në paskal (Pa): 1 Pa
N
(3.2) m2 Duke qenë se kjo njësi është shumë e vogël, përdoren edhe shumëfisha të saja, si 1
kN 3 N 1 10 1kPa , 2 2 m m N MN megaNjuton për metër katror 1 2 1 10 6 2 . Bar quhet presioni i barabartë me 1 10 m m kiloNjuton për metër katror 1
5
N m
2
.
Në praktikë përdoren edhe këto njësi të presionit: kilogramë-forcë për metër kgf katror 2 , m
kgf 1at . 2 cm
kilogramforcë për centimetër katror të cilat quhen atmosferë teknike 1 Lidhja ndërmjet këtyre njësive të presionit është: kgf 4 kgf 5 N 5 1at 1 10 0.981 10 0.981 10 Pa 2 2 2 cm m m
0.981bar (3.2)
3.2 Vetitë e presionit:
si oni stati stati k është është gj i thnjë thnj ë normal normal me me sipë si përr faqen faqen mbi të cilë ci lën n ushtrohe ushtr ohet t . a) P r esioni Kjo veti vërtetohet vërtetohet lehtë duke u nisur nga e kundërta. Në qoftë se në masën masën fluidale (fig.3.2.) e paramendojmë të tërhequr tërhequr një sipërfaqe S dhe supozojmë se në pikën “A “forca e presionit statik vepron jo sipas normales. normales. Ky presion do të zbërthehet në dy komponentë : në komponentin normal dhe në atë tangjencial. Mirëpo tensionet tangjenciale mund të ekzistojnë vetëm në lëvizjen e lëngut real dhe jo kur ai ndodhet në qetësi.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
18
Fig.3.2 Fig.3.3 Le të mendojmë tani se në pikën “B” presioni vepron sipas pingules, sipas pingules, por i drejtuar nga ana e jashtme e pjesës së marr në studim. Mirëpo një vendosje e tillë e vektorit të presionit do të shkaktonte tërheqjen e masës së fluidit, gjë që q ë nuk është e mundur sepse në fluid ka vend të mendohet vetëm për veprim shtypës sikurse është vektori i presionit në pikën “C”dhe jo tërheqës të tij.
b ) P r esioni si oni stati statikk në një nj ë pikë pik ë të flui dit është i barabar barabar të nga ng a të g j i tha drejtim drejti met Këtë veti duhet vërtetuar. Për të provuar këtë veçori nga masa e fluidit që ndodhet në enë shkëpusim një tetraeder elementar MABC me brinjë dx, dy, dhe dz fig3.3) Tetraedri ndodhet në qetësi dhe pra mund të shkruhen shkruhen kushtet e ekuilibrit nën veprimin e forcave normale të presionit statik statik Fx, Fy Fz dhe Fn . Meqenëse pesha është shumë e vogël në krahasim me forcat e presionit ajo nuk përfillet. Prej kushteve që shuma e projeksioneve të forcave forcave në drejtimin e secilit secilit aks të jetë e barabartë me zero fitohen barazimet F x
F n cos( n, x )
F y
F n cos( n, y )
F z
F n cos( n, z )
(3.3)
Në qoftë qo ftë se barazimet e sipërme i pjesëtojmë me projeksionet e sipërfaqes ABC (Sn) në rafshet kordinative Sx, Sy dhe Sz fitojmë: F x S x
F n S x
F y
cos( n, x);
S y
Meqenëse janë S x
F n S Y
cos( n, y );
Sn cos(n, x);
S y
F z S z
F n S z
cos( n, z ) (3.4)
S n cos(n, y);
S z
S n cos(n, z ) , pas
zëvendësimit në ekuacionet (3.4) fitojmë F x
S x
F n S n
F y
;
S y
F n S n
;
F z S z
F n S n
(3.5)
Prej nga del se F x S x
F y S y
F z S z
F n S n
(3.6)
pn
(3.7)
përkatësisht p x
p y
p z
Kjo tregon se presioni statik në ndonjë pikë është i barabartë nga të gjitha drejtimet.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
19
3.3 Ekuacionet diferenciale te ekuilibrit të lëngjeve ( Ekuacionet e Eulerit)
Nga masa e lëngut që ndodhet në qetësi veçojmë një paralelepiped elementar me brinjë dx, dy dhe dz (fig3.4)
Fig3.4 Presioni hidrostati në pika të ndryshme ndryshme të masës së së lëngut në ekuilibër është i ndryshëm. Duke pranuar =konstant, presioni presioni mund mund ta shprehim shprehim si një funksion i vazhdueshëm të koordinatave të pikës . Pra : p=f(x,y,z). p=f(x,y,z). Le të gjejmë varësinë ndërmjet presionit në një pikë A ( qendra e paralelepipedit) dhe koordinatave të saj. Presioni hidristatik në këtë pikë le të jetë p. Presioni si një funksion i vazhdueshëm në pikat M dhe N mund ta shprehim shprehim me anën e derivatit parcial p / x . Kështu mund ta shkruajmë p M
p
p
x
dx 2
dhe p N
ku
p x
dx 2
p
p x
(3.8)
dx 2
, shpreh ndryshimin e presionit sipas aksit Ox për largësinë
dx 2
.
Masa e lëngut e marrë në studim do të jetë në ekuilibër nën veprimin e forcave sipërfaqësore (forcat e presionit dhe të fërkimit) dhe vëllimore ose të masës (forcat e Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
20
gravitetit dhe inercisë). Si forca sipërfaqësore në këtë rast paraqiten forcat e presionit të cilat shprehen:
p dx dy dz ; x 2 p dx për sipërfaqen a’b’c’d’ : dP M p dy dz 2 x dP N p
për sipërfaqen abcd:
(3.9) (3.10)
Forcat e masës i marrim parasysh duke shënuar me Fv forcën e përgjithshme vëllimore në njësinë e masës dhe me X, Y dhe Z komponentët e kësaj force sipas akseve. Pra, forca vëllimore sipas aksit Ox do të jetë dF vx
X
dV X
dx dy dz
(3.11)
Për ta ruajtur kushtin e ekuilibrit të paralelepipedit elementar, shuma e të gjitha projeksioneve te të gjitha forcave të jashtme në boshtin e koordinatave duhet të jetë dP N dP M
dF VX
0
(3.12)
p dx p dx p dy dz p dy dz X dx dy dz 0 (3.13) x 2 x 2 Pas thjeshtimeve del që p (3.14) dx dy dz X dx dy dz 0 x ose 1 p X (3.15) 0 x Duke përsëritur këto arsyetime edhe për dy akset e tjera del sistemi i ekuacioneve: X
1
x
Y
1
1
p y
Z
p
(3.16)
p z
i cili paraqet ekuacione uacionett dif difer enciale nci ale të stati statikkes së flui f luide deve ve, të dhëna nga Euleri. 3.4 Ekuacioni themelor i hidrostatikës
Prej ekuacioneve të Eulerit (3.16) shihet se madhësitë p dhe diktojnë ekuilibrin e lëngut. Ekuacioni karakteristik i cili jep lidhjen ndërmjet ndërmjet këtyre dy madhësive fitohet duke i shumëzuar ekuacionet e sistemit sistemit (3.16) përkatësisht me dx, dy, dhe dz dhe duke i mbledhur anë për anë:
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
21
X dx Y dy Z dz
p p p dx dy dz 0 (3.17) x y z 1
Shprehja në kllapa paraqet diferencialin e plotë të presionit p kështu që këtë ekuacion mund ta shkruajmë 1
dp X dx Y dy Z dz
(3.18)
Ky është ekuacioni themelor i hidrostatikës në hidrostatikës në formën e përgjithshme. Meqenëse ana e majtë e ekuacionit (3.18) përmban diferencialin e plotë të presionit p( =konstant) për t’u kënaqur barazimi edhe ana e djathtë duhet të jetë diferencial i një funksioni me të njëjtat variabla. E shënojmë këtë funksion me F dhe ekuacioni (3.18) do të shkruhet 1
dp dF
(3.19)
ku dF X dx Y dy Z dz
(3.20)
Diferencialin e plotë mund ta shkruajmë shkruajmë edhe si shumë e diferencialeve diferencialeve të pjesshme F F F dF dz (3.21) dx dy x y z Nga krahasimi i formulave (3.20) dhe (3.21) del F F F (3.22) X ; Y ; Z x y z Pra derivatet e pjesshme të funksionit të zgjedhur F , janë komponentët e forcave vëllimore për njësinë e masës, d.m.th. shpejtimit sipas akseve Ox, Oy, Oz. Rasti më i shpeshti i shqyrtimit shqyrtimit të ekuilibrit ekuilibrit të lëngut është kur në të vepron vetëm forca e gravitetit. Në fig.3.5, paraqitet një enë , në të cilën lëngu ndodhet në gjendje ekuilibri.
Fig3.5 Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
22
Këtu janë : p0 – presioni në sipërfaqen e lirë të lëngut pA, pB – presioni hidrostatik në pikat A dhe B Në enën e paraqitur në fig.3.5. shqyrtohet pika M rreth së cilës paraqitet një vëllim lëngu i barabartë me njësinë e masës. Për rastin që studiohet, d.m.th kur vepron vetëm forca e gravitetit si projeksioni i forcës për njësinë e masës do të kemi: X=0, X=0, Y=0, Z=-g, ku g është shpejtimi i forcës së gravitetit. Duke zëvendësuar në ekuacionin (3.18), kemi
Meqenëse
dp ( g dz ) g dz g , ky ekuacion mund të shkruhet
(3.23)
dz
dp
0
(3.24)
Duke integruar nxjerrim p
(3.25) konst Ekuacioni (3.25) është ekuacioni themelor i hidrostatikës . Sipas këtij ekuacioni del që shuma e dy termave z dhe p/ p/ për të gjitha pikat e masës së lëngut në qetësi është konstant. I aplikuar për dy pika A dhe B të çfarëdoshëm të lëngut në enë në lartësinë përkatëse zA dhe zB, ku ekuacioni shkruhet z
z A
p A
z B
p B
(3.26)
Prej nga del p A
p B ( z B z A )
(3.27)
Kjo formulë shpreh lidhjen e presionit në dy pika. Duke marrë pikën B në sipërfaqen e lëngut lëngut në të cilën presioni është p0, ekuacioni (3.27) merr formën p p0
h
(3.28)
Formula (3.28) jep presionin hidrostatik në një pikë të lëngut në thellësinë h Për të gjetur presionin hidrostatik, në një pikë të çfarëdoshme të lëngut në qetësi, mjafton të dihet presioni në një pikë tjetër të lëngut, si dhe ndryshimi i thellësisë midis dy pikave. Po të shqyrtohet ena e hapur, ku ndodhet lëng në qetësi (Fig.3.6), do të dallojmë pikën 1 të sipërfaqes ku vepron presioni atmosferik . E shënojmë këtë presion në pikën 1me p0. Meqë sipërfaqja e lëngut është në kontakt me atmosferën, presioni i jashtëm është i barabartë me presionin atmosferik, pra p pra p0 =patm .
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
23
Presioni në pikën 2 brenda lëngut është presioni i ushtruar mbi të nga sipër, nga pesha e shtyllës së lëngut dhe nga presioni p presioni p0 në sipërfaqen e lirë, pra: p2
p0 g (h1 h2 )
(3.29)
ku me h1 dhe h2 kemi shënuar lartësitë e pikave 1 dhe 2 nga fundi i enës.
Fig.3.6 – Fig.3.6 – Presioni Presioni hidrostatik në çdo pikë të lëngut
Në rastin e përgjithshëm ekuacioni (3.29) mund të shkruhet:
p2
p0
g h
(3.30)
ku me h kemi shënuar lartësinë e shtyllës së lëngut mbi pikën e shqyrtuar. Ekuacioni (3.30) bënë të mundur llogaritjen e presionit në lëngun në qetësi, prej nga edhe kuptojmë se presioni i pikës varet nga presioni në sipërfaqen e lirë dhe nga thellësia e zhytjes së saj në lëng. Dihet se ne sipërfaqen e lirë te enës vepron i njëjti presion, ai atmosferik dhe meqë presioni në çdo pikë të lëngut në qetësi varet vetëm nga lartësia e shtyllës mbi pikën e marrë, atëherë sipërfaqet me presion të njëjtë janë horizontale. ,
Në qoftë se mbi sipërfaqen e lirë të lëngut ushtrohet një presion shtesë p shtesë p mbi presionin ,
p0, atëherë, presioni i përgjithshëm në këtë sipërfaqen është p është p +p0 . Nga ekuacioni (3.29) del se presioni
,
p 2 në
pikën 2, në këtë rast, është: p2'
'
p0 p
g (h1 h2 )
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
(3.31)
24
3.5.Presioni i plotë (absolut), presioni i tepërt ( manometrik dhe vakumetrik)
Presioni p i njëhsuar sipas shprehjes (3.28) jep presionin e plotë e plotë ose ose absolut . Në këtë formulë p0 është presioni në sipërfaqen e lirë l irë të lëngut i cili është i barabartë me presionin atmosferik pa kur ena është e hapur. Presioni i tepërt quhet ndryshimi i presionit të plotë me atë atmosferik. Dallojmë dy lloje presionesh të tepërta (fig.3.7)
Fig3.7
Fig3.8
-presion të tepërt pozitiv (mbipresion) ose presioni manometrik, kur presioni absolut është më i madh se presioni p resioni atmosferik (pmB). -presion të tepërt negativ (nënpresion) ose presioni vakuumetrik, kur presioni absolut është më i vogël se presioni atmosferik (pvA). 1.Presioni manometrik dhe lartësia piezometrike. piezometrike. Vlera e presionit manometrik nxirret nga formula e presionit absolut në një pikë të lagur. Për enët e mbyllura presioni manometrik është: pm
p p a ( p0
pm
p h
h) pa
(3.32)
prej nga nxjerrim ku p p0
pa
(3.33)
, është presioni i tepërt në sipërfaqen e lirë të lëngut.
Për enët e hapura pm
p p a h
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
(3.34)
25
Lartësi piezometrike quajmë presionin në një pikë, të shprehur në kolonë lëngu. lëngu. Lartësia piezometrike mund t’i përgjigjet presionit absolut ose presionit manometrik. Në një pikë A të enës sipas fig.3.8 vendosim një tub të mbyllur në të cilin është krijuar vakum i plotë. Nën veprimin e presionit pa të pikës A lëngu do të ngjitet në tub deri në një lartësi ha mbi pikën A. Për pikën A mund të shkruajmë : a) presioni absolut nga ana e lëngut që ndodhet në enë p A p0 h (3.35) b) presioni absolut nga ana e lëngut që ndodhet në tub p A 0 h A (3.36) Meqenëse plani MN është një sipërfaqe me presion të barabartë, presioni në tubë paraqet presionin absolut të pikës A, pra p A h A p0 h (3.37) prej ku nxjerrim h A
p A
p 0
h h p
(3.38)
Lartësia h p quhet lartësi piezometrike e presionit absolut të lëngut . Në rastin e (fig.3.8), hA është lartësia piezometrike e presionit absolut për të gjitha pikat e planit MN. Në një pikë B të planit MN (fig.3.8) vendosim v endosim një tub të hapur. Nën veprimin e presionit pB=pA lëngu do të ngjitet në tub deri në një lartësi hB
h p a h B
(3.41)
dhe nxjerrim h B
p0
h pa
p A
pa
h A
pa
pm
hm
(3.42)
Lartësia hm quhet lartësi piezometrike e presionit të tepërt ose e presionit manometrik të lëngut. Lartësia hB është lartësia piezometrike e presionit manometrik për planin MN. Ndryshimi midis dy lartësive la rtësive piezometrike që u përmendën ( presioni absolut dhe presioni manometrik) paraqet lartësinë lartësinë piezometrike të presionit atmosferik, d.m.th.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
26
h p
hm
p a
ha
(3.43)
Kjo lartësi për ujin është e barabartë me 10 m kolonë uji e për zhivën me 0,735 m kolonë zhivë. 1.Presioni vakuumetrik dhe lartësia vakuumetrike. Presion vakuumetrik kemi në ato raste kur presioni absolut është më i vogël se presioni atmosferik. Për enë të mbyllura ky presion është
pv
pa
pv
pa
p0
(3.44)
e për enët e hapura pa
0
(3.45)
Në lëngun që ndodhet në një enë të mb yllur, në sipërfaqen e lirë të së cilës vepron presioni p0
Fig.3.9 Në pikën C vendosim v endosim një tub të përkulur në formë të shkronjës U, i cili quhet piezometër i përmbysur ose vakumetër dhe që shërben për të matur presionin e vakumit. Meqenëse presioni që vepron në pikën pikën C është më i vogël se presioni atmosferik, lëngu do të qëndrojë për distancën hv nën pikën C Për pikën C mund të shkruajmë : a) presioni absolut nga ana e lëngut në enë është pC
p0 h
(3.46)
b) presioni absolut nga ana e lëngut në tubë është pC
pa hV
(3.47)
Barazojmë dhe nxjerrim: Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
27
p a ( p0
h)
pV
(3.48) Lartësia hV quhet lartësi vakumetrike vakumetrike dhe matet me kolonë lëngu, njëlloj si lartësia piezometrike. Vlera maksimale maksimale e lartësisë lartësisë vakumetrike është e barabartë me lartësinë piezometrike të presionit atmosferik (ha ). hV
3.6. Aparatet për matjen e presionit
Në praktikë, për matjen e presionit, përdoren dy lloje aparatesh që ndryshojnë ndërmjet tyre nga ana konstruktive. Ato ndahen në aparate me lëng dhe aparate mekanike . Aparatet me lëng përdoren për matjen e presioneve të vogla, kurse aparatet mekanike matin presione me vlera të mëdha. Le të shikojmë disa aparate me lëng:
a. Piezometri përbëhet nga një tub i hollë qelqi i shkallëzuar, me diametër më të vogël se 0.5 cm (Fig.3.10). cm (Fig.3.10). Presioni i pikës A mund të shprehet si nëpërmjet shtyllës së lëngut h p ashtu edhe shtyllës h A: p A
p a
g h p
p A
p 0
g h A
(3.49)
Fig.3.10 – Fig.3.10 – Matja Matja e presionit manometrik me piezometër Ne piezometra lartësia e shtyllës së lëngut h p është në përpjestim të drejte me presionin manometrik në pikën A sepse p A
pa
g h p .
Në piezometër maten presione me vlera të vogla, vo gla, deri
0.5 10
5
Pa . Për vlera më të mëdha
duhet të rritet lartësia e shtyllës së lëngut, që praktikisht është jo e përshtatshme.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
28
(a)
(b)
Fig.3.11 – Fig.3.11 – Manometri Manometri me mërkur: a. presion manometrik ( p A vakumetrik ( p A
pa ); b. presion
pa ).
b. Manometri me mërkur . Ky aparat ndryshon nga piezometri vetëm se në të përdoret merkuri. Mërkuri është një metal, i cili në kushtet e temperaturës së ambientit është gjendje të lëngët. Në këto kushte ai është një lëng me dendësi shumë të madhe dhe mund të mat presione manometrike të mëdha me lartësi të pranueshme të shtyllës së lëngut. Një manometër me merkur është treguar në figurën 3.11. Në Fig.3.11a është paraqitur aparati në rastin e matjes së një presioni manometrik ( p A
pa ), kurse në Fig.3.11b është
paraqitur aparati në rastin e matjes së një presioni një presioni vakumetrik ( ( p A
pa ). Në të dy figurat
lartësitë e shtyllave të merkurit hm dhe hv janë në përpjesëtim të drejtë me presionin manometrik dhe vakumetrik.
Fig.3.12 – Fig.3.12 – Paraqitja Paraqitja skematike e manometrit Bourdon
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
29
c. Manometri Bourdon. Për matjen e presioneve manometrike të mëdha, përdoret
manometri me sustë tubolare prej tunxhi ose manometri Bourdon (prej emrit të shpikësit francez Eugne Bourdon). Skematikisht ky manometër është paraqitur në Fig.3.12. Skaji i mbyllur i tubit lidhet me anë të një suste me mekanizmin e dhëmbëzuar të treguesit të presionit në qendër të aparatit. Skaji tjetër i tubit lidhet me enën që do t’i t’i matim presionin. Lëngu duke u futur në tub, në varësi të madhësisë së presionit, synon të hapi tubin, i cili nëpërmjet sustës lëviz shigjetën treguese të manometrit. Për regjistrimin me shpejtësi të ndryshimeve të presionit përdoren përgjithësisht sensorët piezoelektrik ose elektrostatik.
3.7. Ligji i Paskalit dhe enët komunikuese .
Ligji i Paskalit përcakton madhësinë e presionit në çdo pikë të lëngut, kur ai ndodhet nën veprimin ngjeshës të forcave të jashtme.
Fig. 3.13 - Ndryshimi i presionit të ushtruar në një pikë të sipërfaqes së lëngut shpërndahet në të gjitha pikat e tij me të njëjtën madhësi Marrim në studim një enë të mbushur me lëng (Fig.3.13). Në sipërfaqen e lirë të lëngut është vendosur një piston, peshën e të cilit nuk e marrim parasysh. Kur mbi piston nuk ushtrohet forcë, atëherë presioni në pikën 1 është i barabartë me presionin atmosferik, pra p1
pa ,
kurse në një pikë çfarëdo 2 presioni llogaritet me formulën:
p2
p a
g h
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
(3.50) 30
Në rast se mbi piston ushtrojmë forcën F forcën F , atëherë në çdo pikë të sipërfaqes se lirë (pra edhe pika 1) ushtrohet një presion shtesë (mbi atë atmosferik) me madhësi: p F
F
S
(3.51)
ku me S kemi kemi shënuar sipërfaqen e pistonit. Në këtë rast presioni i plotë në pikën 1 do të jetë:
'
p1
p a
p F
(3.52)
Presioni në pikën 2 tani do të llogaritej: p2'
p1' g h pa
p F g h p2
p F
(3.53)
Pra rritja e presionit në pikën 1 shkakton rritjen me te njëjtën vlerë të presionit në pikën 2. Kështu arrijmë në përfundimin se ndryshimi i presionit të ushtruar në një pikë të sipërfaqes së lëngut shpërndahet në të gjitha pikat e tij me të njëjtën madhësi, në qoftë se lëngu nuk del nga gjendja e qetësisë . Ky është edhe ligji i Paskalit, P askalit, mbi të cilën
janë bazuar mjaft makina hidraulike, si: presat dhe ngritësit hidraulik, sistemi i frenimit të automjeteve etj.
Fig.3.14 – Fig.3.14 – Enë Enë komunikuese Dy ose më shumë enë të mbushura me lëng të lidhura midis tyre formojnë enë komunikuese. Enë komunikuese është edhe tubi i përkulur në formën e shkronjës U. Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
31
Në rast se në enët komunikuese te figurës 3.14 hidhet i njëjti lëng dhe mbi sipërfaqen e tyre vepron i njëjti presion, atëherë sipërfaqet e lira të lëngut në të gjitha enët do të jenë në të njëjtin nivel. Kemi shprehur kështu parimin e enëve komunikuese .
3. 8. Presa hidraulike .
Ligji i Paskalit dhe parimi i enëve komunikuese ka gjetur zbatim të drejtpërdrejtë në presat hidraulike. Presat hidraulike janë makina në të cilat, duke duk e ushtruar forca të vogla, marrim forca të mëdha. Me këto presa realizohen procese të ndryshme pune, si: presim, stampim, prova materialesh etj. Presa hidraulike formohet nga dy cilindra, në të cilët rrëshqasin pistona me diametër të ndryshëm. Nëse ushtrojmë një forcë të caktuar F 1 në pistonin më të vogël me seksion tërthor S 1, atëherë mbi lëng do të ushtrohet presioni p=F 1 /S 1. Ky presion nëpërmjet një tubacioni mund të transmetohet në cilindrin më të madh me seksion S 2.
Fig.3.15 – Fig.3.15 – Skema Skema funksionale e një prese
Forca rezultante që do të veprojë në pistonin e cilindrit më të madh shprehet : 2
Q=p∙S 2=F 1∙S 2 /S 1=F∙b/a∙ (D2 /D1 ) ∙ p
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
(3.54)
32
Me qenë se raporti i syprinave të seksioneve është i barabartë me raportin e katrorëve të diametrave, nëse diametri i pistonit më të madh është 10 herë më i madh se ai i pistonit më të vogël, atëherë raporti i syprinave respektive është 100 dhe forca Q, e ushtruar në cilindrin më të madh është 100 herë më e madhe se ajo e ushtruar në cilindrin udhëzues S1.
Shem Shembull Të llogaritet madhësia e forcës së presimit që ushtron presa për ngjeshjen e një detali fig.11 nqs në levën e dorës vepron forca F=147N dhe D1=0.05m, D2=0.4m, b=1m, a=0.1m, rendimenti i presës η p=0.85. 2
2
Zgjidhje: Q=F∙ Q=F b/a∙ ∙ b/a∙ (D2/D1) ∙η p=147∙ =147∙1/0.1∙ 1/0.1∙ (0.4/0.05) ∙0.85 Q=80050(N)
3.9. Forca e presionit në sipërfaqen plane( të rafshta)
Nga pikëpamja teknike interes i nteres të veçantë paraqet shqyrtimi i forcës së presionit të lëngut në sipërfaqe dhe pozita e veprimit të kësaj force në të. Në fig.3.16. është paraqitur ena e hapur. Në murin e pjerrtë në të cilin vepron lëngu merret si sipërfaqe S e kufizuar në mënyrë të çfarëdoshme. E supozojmë të 0 rrotulluar për 90 këtë sipërfaqe dhe e shënojmë me C qendrën e gravitetit të saj, ndërsa me K një pikë të çfarëdoshme të saj. Duke mos marrë parasysh presionin atmosferik (sepse nga të dy anët e pllakës njësoj), presioni në cilindo vend të sipërfaqes është p h . Në elementin e sipërfaqes dS vepron forca dF (normal në n ë sipërfaqe):
dF p dS h dS
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
(3.55)
33
Fig.3.16. Forca rezultuese është F
h dS
(3.56)
S
ku
h dS h
c
S ,
S
hc – distanca distanca vertikale e qendrës së gravitetit të sipërfaqes S nga skji i sipërm Prandaj kemi F hc S
(3.57)
Fig.3.17.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
34
Komponenti horizontal i kësaj force është hc S sin F H
(3.58)
Komponenti vertikal është F V hc S cos cos
(3.59)
Meqenëse S cos cos paraqet projeksionin e sipërfaqes S në nivelin e sipërm (fig.3.17) nga (3.59) del se komponenti vertikal i forcës Fv është i barabartë me peshën e vëllimit cilindrik të lëngut mbi sipërfaqen bazë S cos cos Pra, meqenëse është (3.60) cos h V S cos c
del F v
V
(3.61)
Vijë veprimi i forcës F (edhe pse kjo është F hc S ) nuk kalon nëpër qendrën
e gravitetit C të sipërfaqes S, por kalon nën të, nëpër pikën K. Duke i aprovuar koordinatat x dhe y si në fig.3.16. koordinatat e pikës K i gjejmë nga ekuacionet e momentit të forcës F ndaj akseve x dhe y:
dF x
M x F y k dF y
(3.62)
M y F xk
(3.63)
Duke bërë zëvendësimet përkatëse për F dhe dF mund të shkruajmë: hc
S y k h dS y
(3.64)
hc
S xk h dS x
(3.65)
dhe Por meqenëse janë hc yc sin dhe h
y
sin nga
(3.64), dhe (3.65) fitojmë
(3.66)
(3.67)
S yc y k y 2 dS dhe S yc xk x y dS
Ana e djathtë e barazimit (3.66) paraqet momentin e inercisë Ix të sipërfaqes S ndaj aksit Ox, ndërsa ana e djathtë e barazimit (3.67) paraqet momentin centrifugal Ixy . Për momentin e inercisë dimë se është I x
I c
S yc2
(3.68)
ku Ic është momenti i inercisë i sipërfaqes S ndaj aksit, i cili është paralel me aksin Ox dhe kalon nëpër qendrën e gravitetit të sipërfaqes S. Prandaj do të kemi
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
35
y k
I x
S y c
I c
S y c2
S y c
I c S y c
yc
(3.69)
Në mënyrë analoge, me anë të momentit centrifugal gjendet edhe xk . Nga barazimi (3.69) del se pikë veprimi K i forcës së presionit, gjithnjë gjendet më thellë se qendra e gravitetit C të sipërfaqes.
3.10. Forca e presionit në sipërfaqe të kurbëzuar
Në sipërfaqet e kurbëzuara forcat elementare të presionit dF, të cilat veprojnë normalisht në sipërfaqet elementare dS nuk mund të mblidhen si shumë algjebrike (si në rastin e mëparshëm), por si përbërje (shumë) vektoriale. Prandaj, duhet kërkuar komponentët e forcës rezultuese në drejtim të akseve.
Fig.3.18. Forca e presionit, e cila vepron në drejtim të normales n në sipërfaqen elementare dS është dF
z dS
Në qoftë se me dhe komponentët e dF do të jenë: ,
(3.70)
shënojmë këndet që mbyll dF me akset x,y dhe z,
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
36
dF x
z dS
cos
dF y
z dS
cos
dF z
z dS
cos
(3.71)
dF v
Produktet dS cos cos , cos dhe dS cos paraqesin projeksionet e dS cos sipërfaqes dS në rrafshet përkatëse: në rrafshin yOz-dSx, në rrafshin xOz-dSy dhe në rrafshin xOy-dSz. Rrjedhimisht kemi dF x
z dS x
dF y
z dS y
dF z
z dS z
(3.72)
Pas integrimit, nxjerrim
F x z dS x Sx
F y z dS y
(3.73)
Sy
F z z dS z Sz
Integralet në anën e djathtë të dy ekuacionet të para të (3.78) paraqesin momentet statike të projeksioneve të sipërfaqeve ndaj sipërfaqes së lirë, dhe mund të shprehen:
z dS z x
cx
S x
Sx
z dS y z cy S y
(3.74)
Sy
ku zcx dhe zcy paraqesin distancat e sipërfaqes së lirë nga qendrat e gravitetit të projeksioneve të sipërfaqes S në planet përkatëse Kështu fitojmë F x
z cx S x
F y
z cy S y
(3.75)
Nga ekuacionet (3.75) del se forca horizontale e presionit të lëngut të qetë në sipërfaqen e kurbëzuar, në çfarëdo drejtimi, është e barabartë me forcën e presionit që duron projeksioni i kësaj sipërfaqeje në rrafshin normal me drejtimin e forcës së presionit. Projeksioni i forcës së presionit Fx e takon planin zy në pikën K x ( x , x ) Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
37
Duke shprehur momentin e kësaj force ndaj akseve fitojmë
F x x z dF x Sx
F x x y dF x
(3.76)
Sx
prej nga del x
I y
z c x S x
x
I yz
(3.77)
z c x S x
ku Iy paraqet momentin e inercisë së sipërfaqes Sx ndaj aksit y, ndërsa Iyz momentin centrifugal rreth akseve y dhe z. Produkti z dS z në shprehjen e tretë të (3.73) paraqet p araqet vëllimin e lëngut, i cili shtyp sipërfaqen elementare dSz. Prandaj,
dS jep vëllimin e cilindrit vertikal të z
Sz
formuar ndërmjet sipërfaqes S dhe sipërfaqes së lire. Pra kemi
z dS
z
V
(3.78)
Sz
përkatësisht F z
V
(3.79)
Pra, projeksioni vertikal i forcës së presionit është i barabartë me p eshën e lëngut, i cili shtyp sipërfaqen S. 3.11.Rezervuari cilindrik që i nështrohen veprimit të forcës së presionit
Rezervuari i mbushur më lëng me peshë specifike , ka diametrin d dhe trashësinë e mureve (fig3.19) Në qoftë se p është presion i brendshëm atëherë , rezervuari nën veprimin e këtij presioni do të pritet sipas planit AB. AB. Që të llogarisim llogarisim trashësinë të mureve të rezervuarit është e domosdoshme qe më parë të përcaktojmë forcën e presionit P që ushtrohet në sipërfaqen cilindrike abc ose acd. Për këtë, në thellësinë h le të veçojmë elementin unazor me lartësi h .Projeksioni i elementit unazor cilindrik në planin vertikal është një sipërfaqe katërkëndësh këndrejt S h d
ndërsa forca e presionit në këtë sipërfaqe plane është
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
38
P h S h h d
Fig.3.19 Forca e presionit P ( forca e jashtme shkatërruese ) tenton që rezervuarin ta pres sipas planit AB në pikat a dhe c. Këtë forca do ta kundërshtojë forca e brendshme e materialit ( fig.3.19 ) me të cilin janë ndërtuar muret e rezervuarit. Kjo forcë është forca e kohezionit të molekulave të vetë materialit dhe është e barabartë me P 0
2 h
Ku është sforcim i lejuar në prerje për materialin e dhënë të mureve . Trashësinë e murit duhet zgjedhur ashtu që forca e presionit të jetë më e vogël ose e barabartë më qendrushmrëin e tubit ( ΔP0 ΔP). Pra
h d 2
p d 2
(3.80)
3.12. Ligji arkimedit dhe notimi i trupave.
Ligji i Arkimedit është një nga ligjet kryesore të hidraulikës së lën gjeve në qetësi. Nëpërmjet tij përcaktohen kushtet e notimit ose zhytjes së trupave trupave në lëngje. Ligji i Arkimedit thotë se: mbi një trup të zhytur në një lëng në qetësi vepron një forcë e drejtuar nga poshtë-lart, me madhësi të barabartë me peshën e lëngut të zhvendosur nga trupi .
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
39
Duke ju referuar rastit (1) te Fig.3.20, pesha e trupit prej alumini në ujë është më e vogël se ajo e matur në ajër, diferenca është sa pesha e ujit të zhvendosur. Me qenë se dendësia e drurit është më e vogël se ajo e ujit, një kuboid prej druri , i zhytur plotësisht, pëson një shtytje më të madhe se pesha e tij e për rrjedhojë noton duke nxjerr në sipërfaqe një pjesë të tillë që pesha e ujit të zhvendosur z hvendosur të jetë e barabartë me peshën e tërë kuboidit (rasti 2).
Fig.3. 20 – 20 – Ilustrimi Ilustrimi i ligjit të Arkimedit
Fig.3.21 – c. c. Trupi noton; b. trupi qëndron pezull; a. trupi fundoset. Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
40
.
Si konkluzion, po të shënojmë me G peshën e trupit, V volumin volumin e tij dhe d dendësinë dendësinë e lëngut (Fig.3.21), atëherë: . .
c)kur, G<ρ g V trupi noton në sipërfaqen sipërfaqen e lirë të lëngut; . .
b)kur, G=ρ g V trupi qëndron pezull në çfarëdo thellësie ta ta vendosim; . .
a)kur, G>ρ g V trupi i ngurtë fundoset në lëng.
Shembull Për konkretizim po shqyrtojmë tani rastin e një trupi prej druri në formë paralelepipedi që noton në ujë (Fig.3.22) . Përmasat e trupit janë: b=30 cm, h= 40 cm, cm, l=50 cm. cm. Nga Fig.3.20 rezulton se, raporti i dëndësisë se drurit dhe ujit është: d d d u
0.6
Ne duam të përcaktojmë lartësinë h1 të pjesës së zhytur të trupit. Llogaritim në fillim peshën e trupit si produkt të dendësisë së drurit, nxitimit gravitacional dhe volumit të tij: G
d
g V d
d
g (b l h)
Forca shtytëse e Arkimedit është e barabartë në madhësi me peshën e ujit të çvendosur:
Fig.3.22 – Fig.3.22 – Përcaktimi Përcaktimi i lartësisë h1 të pjesës së zhytur të trupit prej druri.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
41
Trupi qëndron i palëvizur, për rrjedhojë forcat F forcat F dhe dhe G janë barazuar, pra:
u g (b l h1 ) d g (b l h)
nga ku nëpërmjet thjeshtimit të g, të g, b, l në në të dy anët e barazimit, fitojmë:
h1
d u
h 0.6 40 24cm
3.12.1 Stabiliteti i notimit të trupave Në fig.3.23 Paraqitet një trup duke notuar në sipërfaqen e lëngut, nga veprimi i peshës së tij, zhytet deri në njëfarë thellësie. Në skemën b me C është treguar qendra e gravitetit të trupit dhe me D qendra e ujëzhvendosjes. Vija Vija që bashkon këto pika quhet aks i notimit. Tek trupi i cili noton forca shtytëse është e barabartë me peshën e trupit
F v
V zh
G
Fig.3.23. ku Vzh është vëllimi i pjesës së zhytur ( i lëngut të zhvendosur), që në këtë k ëtë rast është i ndryshëm nga vëllimi i tërë trupit. Në qoftë se pika C është nën pikën D, notimi do të jetë stabil. Kjo shpjegohet me faktin se edhe pas daljes të trupit nga pozita stabile, çifti i forcave që fitohet fitohet me atë rast rast ( pesha dhe forca shtytëse), e kthen atë në pozitën stabile të notimit. Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
42
3.13. Qetësia relative e lëngut
Përveç forcave të gravitetit në lëngje mund të veprojnë edhe forca të tjera vëllimore, siç janë forcat e inercisë, forcat centrifugale, forcat e fushës elektrike dhe magnetike. Më lart janë shqyrtuar rastet e ekuilibrit të lëngjeve në qetësi nën veprimin vetëm të forcave të gravitetit. Në këtë pjesë të lëndës do të trajtohen raste të hidrostatikës në fushën e forcave të inercisë dhe forcave centrifugal, të cilat përdoren gjegjësisht në praktikë e që emërtohen me shprehjen qetësi relative e lëngut. Lëngu mund të jetë i qetë ndaj enës në të cilën gjendet, por të lëvizë në hapësirë së bashku me enën. Një gjendje e tillë quhet qetësi ose ekuilibër relativ i lëngut. Në të gjitha rastet e studimit të qetësisë relative të lëngjeve shtrohen dy çështje: formulimi i ligjit të shpërndarjes së presionit brenda lëngut dhe ndërtimi i sipërfaqeve me presion të barabartë. Do të shqyrtohen disa raste karakteristike të qetësisë relative. Ekuacioni themelor i hidrostatikës dhe ekuacioni i sipërfaqeve me presion të barabartë mbeten edhe më tutje aktuale.
3.13.1. Lëngu zhvendoset së bashku me enën në një rrafsh horizontal me shpejtim konstant Në këtë rast përveç peshën së lëngut m.g vepron edhe forca e inercisë - m a . Kjo forcë sikurse edhe pesha është forcë vëllimore. v ëllimore. Përbërja e këtyre dy forcave jep rezultanten m a ’ (fig.3.24).
Fig. 3.24.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
43
Projeksionet e forcës njësi të vëllimit (të rezultantes) do të jenë: X=0, Y=-a dhe Z=-g. Pas zëvendësimit të tyre në ekuacionin themelor të hidrostatikës (3.18), fitojmë ekuacionin dp (a dy g dz )
(3.81)
p (a y g z ) C
(3.82)
integrojmë
Vlera e konstantes C del duke zëvendësuar në formulën e mësipërme parametrat e pikës A:p=pa, y=0, z=h: C pa
g h pa
h
(3.83)
Kështu pas zëvendësimit të (3.83) në (3.82) formula e presionit në çfarëdo pike të lëngut merr formën: p p a
(h z )
g
a y
(3.84)
Duke marrë në ekuacionin themelor dp=0 nxjerrim ekuacionin e sipërfaqeve me presion të barabartë. Pra a dy g dz 0 pas integrimit nxjerrim
a y g z C 1
(3.85)
Vlerën e C1 e gjejmë duke zëvendësuar për pikën A:y=0, z=h. Kështu fitojmë C 1 g h , zëvendësojmë këtë në (3.85) dhe del z
h
a
g
y
(3.86)
Barazimi i fundit paraqet ekuacionin e sipërfaqeve me presion të barabartë. Ky ekuacion tregon se këto sipërfaqe janë plane të pjerrtë që kalojnë nëpër pikën A. Për rastin kur kemi lëvizje njëtrajtësisht të ngadalësuar vlejnë formulat e njëjta dhe ecuria e njëjtë, por merret me shenjë të kundërt. 3.13.2. Lëngu zhvendoset së bashku me enën në një rrafsh të pjerrët me shpejtim konstant Në rastin e përgjithshëm, ena lëviz me shpejtim të çfarëdoshëm a. Sipërfaqja e lirë zhvendoset si në fig.3.25.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
44
Projeksionet e forcës njësi të vëllimit janë: cos . I zëvendësojmë këto vlera në ekuacionin X 0, Y g sin a dh dhe e Z g cos themelor (3.87) cos dz dp g sin a dy g cos
integrojmë dhe kemi p ( sin a) y z cos cos C
(3.88)
Fig.3.25 Konstantja e integrimit fitohet duke zëvendësuar për pikën A: p=pa, y=0 dhe z=h: cos C pa h cos (3.89)
Presioni në një pikë të çfarëdoshme të lëngut del p pa
cos (h ( sin a) y cos
z )
(3.90)
Ekuacionin e sipërfaqes së lirë e fitojmë duke ma rrë p-pa=0 ( g sin
a) dy g cos cos dz 0
(3.91)
E integrojmë ekuacionin e sipërm ( g sin a) y g z cos cos C 1
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
(3.92)
45
Duke zëvendësuar në formulën e sipërme parametrat e pikës A, gjejmë konstanten C1 C 1 g h cos cos Zëvendësojmë konstanten C1 në ekuacionin (3.92) dhe fitojmë
z y tg
h g cos a
(3.93)
(3.94)
përkatësisht z y tg h ku tg
(3.95)
a
cakton pjerrësinë e sipërfaqes së lirë ndaj ho rizontales. Barazimi (3.95) paraqet ekuacionin e sipërfaqes së lirë për këtë rast të qetësisë relative të lëngut.
tg
g
cos
Rast i veçantë. Ena rrëshqet nga veprimi i forcës së gravitetit. Në këtë rast a g sin . Me zëvendësimin e vlerës për a në barazimin (3.90) fitojmë ligjin e shpërndarjes së presioneve.
p pa
cos cos (h z )
(3.96)
Fig.3.26. Po qe se në ekuacionin (3.94) zëvendësojmë a g me presion të barabartë.
z=h= konstant
sin fitojmë
formulën e sipërfaqeve
(3.97)
Shprehja (3.97) tregon se sipërfaqet me presion të barabartë (ekuipotencial) janë paralele me planin në të cilin rrëshqet ena (fig. 3.26).
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
46
3.13.3. Lëngu së bashku me enën bën rrotullime të njëtrajtshëm Ena cilindrike në të cilën gjendet lëngu rrotullohet rreth aksit vertikal me shpejtësi këndore konstante (fig.3.27). Për shkak të fërkimit të lëngut me muret e enës, pas një kohe lëngu do të rrotullohet së bashku me enën dhe është në qetësi relative ndaj enës.
Fig. 3.27. Në këtë rast peshës duhet shtuar forcën centrifugale. Për sistemin e aprovuar të koordinatave, projeksionet e forcës njësi të vëllimit janë X x 2 , Y y 2 dhe Z g . Pas zëvendësimit të këtyre në ekuacionin themelor të hidrostatikës (3.14), ai merr formën dp ( 2 x dx 2 y dy g dz )
(3.98)
Me integrimin e këtij ekuacioni fitojmë shpërndarjen e presioneve n ë lëng në formën p p a
2
x 2
2
y 2 2 g z
(3.99)
ku konstantja integruese është caktuar prej kushtit që në pikën 0 presioni p të jetë i barabartë me atë atmosferik pa. Ekuacioni i sipërfaqes së lirë të lëngut fitohet duke marrë p=pa në ekuacionin e fundit. Kështu fitojmë
z
2 2 g
x
2
y 2
(3.100)
që gjeometrikisht paraqet ekuacionin e paraboloidit rrotullues.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
47
Në qoftë se shënojmë me H lartësinë e nivelit para rrotullimit, me h0 lartësinë e kulmit të paraboloidit dhe me hR lartësinë e ngritjes së lëngut në muret e enës, mund të gjejmë pikat e skajshme të lëngut gjatë rrotullimit. 2 2 2 Për pikat e lëngut në mure vlen x +y =R , kështu që pas zëvendësimit në shprehjen (3.100) del 2 2 2 g h R R (3.101) Duke pasur parasysh se edhe pas p as rrotullimit vëllimi i lëngut do të mbetet i njëjtë mund të shkruhet V
R
2
H
R
2
(h R
h0 )
1 2
R
2
h R
(3.102)
prej nga del 2 H
h R
2 h0
(3.103)
Nga ekuacionet (3.101) dhe (3.103) del 2
h0
H
R 2
4 g
(3.104)
Në qoftë se barazimit të fundit nga të dy anët i shtojmë hR , e duke inkorporuar këtu edhe ekuacionin (3.101), fitojmë 2
h R
h0
H
R 2
4 g
(3.105)
Dy barazimet e fundit tregojnë se lëngu në mesin e enës (R=0) lëshohet për aq sa ngritët në muret e saj. 2
Formula (3.98) gjen aplikim të gjerë në teknikë. Termi
2
x
2
y
2
në këtë
ekuacion shpreh rritjen e presionit që vepron në lëng gjatë rrotullimit të enës nën ndikimin e forcës centrifugale ndaj presionit hidrostatik gjatë qetësisë absolute. Kjo rritje në një thellësi të njëjtë z është në përpjesëtim të drejtë me largësinë në katror nga aksi i rrotullimit dhe me shpejtësinë këndore në katrorë. Siç shihet nga shprehja e përmendur, kjo rritje mund të jetë e madhe. Kjo njohuri shfrytëzohet me të madhe në teknikë, p.sh. tek pompat centrifugale, gjatë fonderimit të hekurit në kallëpe etj. Po kështu veprohet edhe për ndarjen e dy lëngjeve të përziera. Në qoftë se në enë janë të përziera dy d y lëngje, ato për shkak të peshave specifike të ndryshme kanë tendenca të ndahen. Kur viskoziteti i lëngjeve të përziera është i madh e dallimi i peshave specifike i vogël, për shkak të forcës së madhe të fërkimit, ndarja e lëngjeve zgjat shumë. Me rrotullimin e lëngjeve rriten forcat vëllimore, të cilat veprojnë në grimca të lëngjeve. Sipas shprehjes (3.99) në të njëjtën thellësi këto forca, përkatësisht presione, janë të ndryshme për grimca lëngjesh të ndryshme. Si pasojë e kësaj shpejtohet ndarja e lëngjeve.
Prof.Dr.Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
48
4.KINEMATIKA E FLUIDEVE Ajo pjesë e mekanikës së fluideve, e cila trajton trajton vetit e përgjithshme përgjithshme të lëvizës pa shpjeguar shkaqet e lëvizjes së saj, quhet kinematikë. Në kinematikë trajtohet shtrirja e grimcave fluidale në hapësirë në varësi te kohës. ko hës. Kinematika është gjeometria e lëvizjes. Ndryshe nga mekanika teorike, e cila studion lëvizjen e trupit absolutisht të ngurtë dhe lëvizjen e pikave të veçanta ose të sistemit sistemit të pikave të fiksuar larg njëra tjetrës, kinematika e fluideve studion lëvizjen e trupit të deformuar. Deformueshmeria është veçori themelore themelore e kinematikës së së lëngut dhe e gazeve në veçanti. Gjatë trajtimit të ligjeve të të lëvizjes është e domosdoshme të kihet parasysh dy kuptime.: pika në hapësirë dhe grimca fluidale. fluidale. Pika në hapësirë është madhësi pa përmasa dhe shtrirja e saj në hapësirë h apësirë përcaktohet me anën e ordinatave o rdinatave Karteziane x,y,z ose të ordinatave polare r,. Grimca fluidale si madhësi fizike paraqitet si grimcë më masë pambarimisht të vogël që zë gjithashtu një vëllim pambarimisht të vogël. Pra grimca fluidale shikohet si pikë në hapësirë hapësirë që zotëron vetitë fizike që ka fluidi. fluidi. 4.1 Shpejtësia e lëvizjes së grimcës fluidale.
Ashtu sikurse grimcat fluidale në fushën e rrjedhjes në hapësirë paraqitet me anën e një sistemi të dhënë koordinatash, edhe shpejtësia e lëvizjes mund të paraqitet në mënyrë të përshtatshme me anën e sistemit të koordinatave Karteziane sipas drejtimeve x,y,z. Komponentët e shpejtësisë në këto drejtime janë përkatësisht ux, uy, uz (Fig.4.1). Në këtë rast shpejtësia rezultante u do të jetë: u
2
u x
2
u y
2
u z
(4.1)
Fig.4.1.
49 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
Kur rrjedhja e fluidit në disa pjesë të saja k a formë të lakuara simetrike është më e përshtatshme të përdorët sistemi i koordinatave cilindrike ose sferike. sferike. 4.2 Metodat e trajtimit të lëvizjes së fluidit
Në themel të trajtimit të kinematikës së rrjedhjes së fluidit qëndron qënd ron hipoteza mbi vazhdueshmërin e ndryshimit të parametrave kinematikë ( shpejtësia dhe nxitimi). Me fjalë të tjera shpejtësia e lëvizjes së fluidit pranohet si një funksion i pandërprerë në lidhje me koordinatat. Gjithashtu do të pranojmë që funksionet e shpejtësisë ose të nxitimit jo vetëm që janë të vazhdueshëm, por janë edhe të diferencueshëm; një gjë e tillë lejon që në trajtimin e lëvizjes së fluidit të përdorim me sukses aparatin matematik të teorisë së funksioneve të vazhdueshëm. Në mekanik dallojmë dy metoda të trajtimit të lëvizjes së fluidit. 4.2.1 Metoda e Lagrazhit . Sipas kësaj metode, ndiqet rruga e lëvizjes së grimcave të veçanta të fluidit. Le të jetë p.sh.ne momentin fillestar të kohës t0 grimca e lëngut M (fig.4.2) e fiksuar me koordinatat fillestare a,b,c. Pas intervalit të kohës dt nga momenti fillestari kohës t0, d.m.th. në kohen t=t0+dt, grimca e fluidit do të kalojë në një pozicion tjetër. Pozicioni i grimcave M në çfarëdo momenti te kohës përcaktohet nga sistemi i ekuacioneve.
Fig.4.2 x
f 1 (a, b, c, t )
y
f 2 (a, b, c, t )
(4.2)
z f 3 (a, b, c, t )
Këto ekuacione përcaktojnë trajektoren e lëvizjes së grimcave të veçanta të fluidit në hapësirë, pra trajektorja e një grimce fluidi është rruga që ndjek vetë grimca e fluidit.
50 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
Këtu x,y,z quhen variabilet e Lagrazhit dhe janë koordinata të lëvizshme në bazë të cilave arsyetohet rrjedhja. 4.2.2 Metoda e Eulerit . Sipas kësaj metode, karakteristikat e rrjedhjes në pikën e fiksuar të hapësirës përfitohen kur në ketë pikë kalojnë grimcat e fluidit të veçanta. Lëvizja e fluidit siç e kemi përmendur, karakterizohet nga shpejtësia e lëvizjes së grimcave të saj. Në çdo moment të kohës, çdo grimcë ka shpejtësinë të përcaktuar sipas madhësisë dhe drejtimit. Tabloja e shpejtësisë në çdo moment kohe të çastit të dhanë, quhet fushë shpejtësisë. Fusha e shpejtësisë sipas kësaj metode jepet në formën: v x f 1 ( x, y, z , t )
v y
f 2 ( x, y, z , t )
(4.3)
v z f 3 ( x, y, z , t ) ku vx, vy, vz janë komponentët e shpejtësisë v e që quhen variabilet e Eulerit Mënyra e Eulerit pranohet si më e përshtatshme dhe shërben si mënyrë themelore e studimit Me metodën e Eulerit është lidhur ngushtë n gushtë kuptimi mbi vijën e rrymës.
4.3. Lëvizja paqëndrueshme)
stacionare
(
e
qëndrueshme)
dhe
jostacionare
(
e
Në qoftë se me kalimin e kohës parametrat presioni dhe shpejtësia në një pikë të caktuar M, në një hapësirë të mbushur më lëngë (Fig.4.3) nuk ndryshojnë, lëvizja do të jetë stacionare ( e qëndrueshme).
Fig.4.3. Pra, mund të shkruhet
v
f 1 ( x, y, z )
p
(4.4)
f 2 ( x, y, z )
51 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
Në qoftë se me kalimin e kohës presioni dhe shpejtësia e fluidit ne këtë pikë pik ë do të ndryshojnë, atëherë lëvizja e lëngut do të jetë jostacionare ( e paqëndrueshme), Në ketë rast mund të shkruajmë
v
f 1 ( x, y, z , t )
(4.5) p f 2 ( x, y, z , t ) Edhe pse lëvizja e qëndrueshme takohet edhe në praktikë në zgjidhjen e shumë problemeve bazohemi pikërisht në ketë lëvizje, duke studiuar atë në intervale të caktuar kohe, për të cilat cilat ndryshimi i niveleve është i pandjeshëm.. Një shembull i rrjedhjes së paqendrushme është ai i daljes së lëngut nga rezervuari, kur niveli i tij ndryshon nga pozicioni I-I në pozicionin II-II (fig 4.4a). Rrjedhja e ujit nëpër lumenj dhe kanale në përgjithësi është e paqëndrueshme. Rrjedhja e ujit nëpër tubat e ujësjellësit ujësjellësit , kur bëhen hapje the mbyllje të rubintave, është gjithashtu rast i rrjedhjes rrjedhjes së paqëndrueshme. paqëndrueshme. Si shembull i rrjedhjes rrjedhjes së qëndrueshme mund të marrim atë të daljes së lëngut lëngut nga rezervuari (fig 4.4b).
Fig 4.4 4.4. Rrjedhja e njëtrajtshme dhe jo e njëtrajtshme
Rrjedhja e lëngut është e njëtrajtshme kur ajo karakterizohet prej vijave të rrymës të cilat janë paralele ndërmjet tyre dhe sipërfaqja e gjallë qëndron e pandryshuar p andryshuar gjatë rrjedhjes. Për këtë arsye në rastin e rrjedhjes së njëtrajtshme shpejtësia nuk ndryshon sipas të njëjtës vijë rryme. Në fig. 4.6 paraqitet një rrjedhje e njëtrajtshme ku u1=u2=u3=konst . Meqenëse gjatë rrjedhjes shpejtësia sipas çdo vije nuk ndryshon (u (u1=u2=u3), atëherë dhe shpejtësia mesatare nuk ndryshon:
52 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
Fig.4.5
Fig.4.6
u1=u2=u3=konst Rrjedhja quhet jo e njëtrajtshme kur shpejtësia në pikat përkatëse të së njëjtës vijë rryme (fig. 4.5) është e ndryshme. Kështu për rrjedhjen e paraqitur në Këtë figurë kemi: u1 u 2 u3 . Prandaj edhe për shpejtësinë mesatare të rrjedhjes kemi: u1
u2
u3
konst
Rrjedhja jo e njëtrajtshme mund të ndryshohet ndr yshohet gradualisht ose shpejt. Rrjedhja quhet gradualisht e ndryshueshme kur rrezja e lakimit e vijave të rrymës është shumë e madhe dhe kur këndi i formuar ndërmjet vijave të rrymës është shumë më i vogël. Në fig.4.7 paraqiten dy rrjedhje të tilla. Kur këto dy kushte nuk plotësohen, domethënë kur rrezja r është e vogël, kurse këndi është i madh, kemi rrjedhje jo të njëtrajtshme, rrjedhje që ndryshon shpejt.
Fig. 4.7
4.5 Vija e rrymës Në qoftë se me anë an ë të një serë pikash paraqesim një kurbë, k urbë, tek e cila vektorët e shpejtësive të grimcave në pikat e dhëna do të jenë tangjentë (fig.4.8), atëherë kjo kurbë që pasqyron pozitat e njëpasnjëshëm të grimcave të lëngut në momentin e caktuare të kohës quhet vijë e rrymës. 53 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
Fig.4.8. Vija e rrymës nuk përputhet me trajektoren e grimcës, sepse vijën rrymore e përbejnë grimca të ndryshme, ndërsa trajektorja është varg i pozitave të njëpasnjëshme të një grimce të lëngut gjatë gjatë lëvizjes lëvizjes së saj në hapësirë. Vija rrymore dhe trajektorja përputhen vetëm kur rrymimi është stacionar. Në rastin e përgjithshëm, në çaste të ndryshme, vijat e rrymës janë kurba të ndryshme. nd ryshme.
4.6 Rrjedhja e lëngut dhe elementet e saj
Duke u mbështetur në kuptimin mbi vilën e rrymës gradualisht kuptimet mbi rrjedhjen e fluidit dhe elementet e saj:
mund të formojmë
4.6.1 Rrjedhja elementare. Në qoftë se në fushën e rrymës tërhiqen vijat e rrymës nëpër të gjitha pikat e një konturi L i cili formon sipërfaqen elementare dS, do të formohet tubi elementar. Lëngu që rrjedh nëpër këtë hapësirë të kufizuar nga tubi elementar quhet rrjedhje elementare ( fig.4.9).
Fig.4.9 Në lëvizjen stacionare rrjedhja elementare ka këto veti: 54 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
1. Meqenëse me kalimin e kohës vijat e rrymës nuk ndryshojnë trajtën, forma e rrjedhjes elementare mbetet e pandryshuar. 2. Për dS shumë të vogël përkatësisht për rrjedhjen elementare shumë të vogël vlera e shpejtësive v dhe të presionit p për të gjitha pikat e kësaj sipërfaqe do të jenë të barabarta. Në mënyrë vizuale, rrjedhjen elementare mund ta dallojmë gjatë lëvizjes së lëngut ku në një hapësirë të vogël hidhet p.sh, ngjyrë dhe po të jetë së lëvizja e lëngut ka karakter shtresor, lëvizja në formë filli e ngjyrës na tregon një rrjedhje elementare të lëngut. 4.6.2 Rrjedhja e plotë . Bashkësia e rrjedhjeve elementare brenda një hapësire të caktuar , p.sh. brenda sipërfaqes S (fig.4.10), quhet rrjedhje e plotë. Rrjedhje të plotë kemi rrjedhjet nëpër tubat tubat e furnizimit me ujë ujë , nëpër kanale si dhe nëpër një shtrat lumi në natyrë.
Fig.4.10 Në varësi të llojit të sipërfaqeve që kufizojnë rrjedhjen e plotë, dallojmë: a) rrjedhje me presion, presion, gjatë rrjedhjes lëngu kufizohet nga të gjitha anët me sipërfaqe të ngurtë. Në rrjedhje e tillë është rrjedhja nëpër tërë seksionin e tubit. b) rrjedhje pa presion, presion, gjatë rrjedhjes lëngu përveç me sipërfaqe të ngurta kufizohet edhe me sipërfaqe të lira, p.sh. rrjedhja nëpër lumenj, kanale dhe tuba që nuk e kanë të mbushur plotësisht seksionin e tyre. c) rryma hidraulike hidraulike paraqet rrjedhje të kufizuar prej ambientit të lëngshëm lëngshëm ose të gaztë, psh. Rrjedhja e lëngut nëpër vrimat e rezervuarëve, rrjedhja e lëngut nëpër hundëza etj. 4.6.3. Seksioni i gjallë, prurja, shpejtësia mesatare e rrjedhjes, perimetri i lagur dhe rrezja hidraulike. -Seksioni i gjallë quhet quhet sipërfaqja e rrjedhjes që del nga prerja e vijave të rrymës me një plan normal me to (fig.4.11). Në qoftë se dS paraqet seksionin e gjallë elementar, rrjedhja do të jetë 55 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
S
dS
(4.6)
Fig.4.11 - Prurja quhet Prurja quhet vëllimi që për një njësi kohe rrjedh nëpër seksionin e gjallë -Shpejtësia mesatare. mesatare. Në qoftë qoftë se c është është shpejtësia e rrjedhjes rrjedhjes elementare me seksion të gjallë dS atëherë vëllimi elementar do të jetë dV dL dS c dt dS ku dL c dt është rruga që do të bëjë lëngu. Duke e pjesëtuar dV me kohën do të gjejmë : dV c dS dQ (4.7) dt ku dQ paraqet prurjen elementare Prurja e plotë është
Q dQ c dS
(4.8)
S
Duke pjesëtuar barazimin (4.8) me seksionin e gjallë S, fitojmë
Q
c dS
v S S ku v është shpejtësia është shpejtësia mesatare e rrjedhjes S
(4.9)
- Perimetri Perimetri i lagur i rrjedhjes p rrjedhjes pl, quhet gjatësia e perimetrit të seksionit të gjallë e cila është në kontakt me sipërfaqen sipërfaqen e ngurtë. Kështu p.sh. perimetri perimetri i lagur lagur i rrjedhjes së plotë me presion në një tub me sipërfaqe rrethore (fig.4.12a) është pl d .Për
rastin e rrjedhjes pa presion
perimetri lagur varet nga diametri
(fig.4.12b), për rastin rastin e kanalit në formë trapezi ( fig4.12.c) është pl
dhe nga këndi
b 2h
1 m
2
,
, ku m=a/h. m=a/h. Rreze hidraulike quhet raporti i sipërfaqes së gjallë të rrjedhjes me perimetrin e lagur:
56 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
R
S
pl
(4.10)
Pra rrezja hidraulike është është një faktor që karakterizon karakterizon formën e sipërfaqes tërthore të rrjedhjes, rrjedhjes, mbasi ajo jep madhësinë e sipërfaqes sipërfaqes së gjallë gjallë të rrjedhjes në njësinë e perimetrit të lagur. Duke pasur parasysh që perimetri i lagur karakterizon fërkimin e rrjedhjes me sipërfaqen sipërfaqen e brendshme të të gypit ose të kanalit, rasti rasti i rrezes së madhe hidraulike tregon rrjedhjen me forcë fërkimi të vogël. Për tubin me sipërfaqe sipërfaqe të të brendshme në formë formë rrethi, rrezja hidraulike është: është:
R
S
pl
d 2 d
4
d
4
r
2
(4.11)
Fig.4.12
4.7. Ekuacioni i vazhdueshmërisë ( kontinuitetit)
Rrjedhje e vazhduar (e pandërprerë) quhet rrjedhja tek e cila lëngu plotëson një hapësirë të caktuar dhe të pashkëputur. Në hapësirën e mbushur me lëng në lëvizje, le të përfytyrojmë një paralelepiped elementar me brinjë dx, dy dhe dz (fig.4.13.), nëpër të cilën kalon një rrjedhje e vazhduar.
57 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
Fig.4.13. Le të jetë cx komponenti i shpejtësisë sipas aksit Ox në faqen ABCD dhe c x
c x x
dx në
faqen A1, B1, C1, D1.
Masa e lëngut që do të hyjë në faqen ABCD është dy dz c x dt
ndërsa ajo që do të dalë nga faqja A1B1C1D1 do të jetë:
c x dx dt x
dy dz c x
(4.12)
Ndryshimi i masës së lëngut në lëvizje në vëllimin e paralelepipedit sipas aksit Ox do të jetë
dm x dy dz c x dt dy dz c x
c x dx dt x
(4.13)
prej nga del dm x
dx dy dz dt
c x x
(4.14)
Ndryshimet përkatëse të masave të lëngjeve sipas boshteve Oy dhe Oz janë
58 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
dm y
dx dy dz dt
dm z
dx dy dz dt
c y y c z z
(4.15)
(4.16)
Sipas ligjit të ruajtjes së masës, ndryshimi i masës duhet të jetë i barabartë me zero
dm 0 ose
c x c y cz 0 (4.17) x y z
dm x dm y dm z dx dy dz
Prej nga nxjerrim ekuacionin e vazhdueshmërisë së lëngut c x x
c y y
c z z
0
, dx, dy, dz 0 : (4.18)
4.8. Forma e thjeshtë e ekuacionit të vazhdueshmërisë
Në hidraulikë gjithashtu përdoret ekuacioni i vazhdueshmërisë, i cili nxirret në bazë të arsyetimeve të thjeshta, qoftë për rrjedhjen elementare qoftë për atë të plotë.
Fig.4.14.
59 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
Vështrojmë rrjedhjen elementare në seksionet 1 dhe 2 (fig.4.14.). Në intervalet e kohës dt në seksionin 1 futet masa dm1 1 dQ1 dt , ndërsa nga seksioni 2 do të dalë masa dm2
2
dQ2 dt ku dQ1 dhe dQ2 janë prurjet në seksionet 1 dhe 2.
Duke pasur parasysh se lëngu është i pandrydhshëm konst dhe rrjedh si masë e plotë, e vazhdu vazhduar ar dhe e pandërprerë (gjatë intervalit dt nuk n uk ka as shtim as pakësim të masës së lëngut) mund të shkruajmë
dm1
dm2
(4.19)
përkatësisht 1
dQ1 dt
2
dQ2 dt
(4.20)
prej nga del dQ1
dQ2
(4.21)
ose c1 dS 1
c2 dS 2
(4.22)
Për rastin e prurjes së plotë, në mënyrë të ngjashme, do të kemi Q1
Q2
Q
konst
(4.23)
që do të thotë se në lëvizjen e qëndrueshme (stacionare) prurja Q për të gjitha seksionet e rrjedhjes është e barabartë. Për prurjen vëllimore mund të shkruajmë
Q
c S
konst .
(4.24)
Përkatësisht për prurjen masore dhe prurjen peshore kemi Qm
dhe
Qg
Meqenëse Q1 c1 S 1
c S
konst
g c S
konst
c1 S 1 dhe Q2
c2
(4.25)
(4.26) c2 S 2 nxjerrim që
S 2
(4.27)
nga ku del c1 c2
S 2 S 1
(4.28)
d.m.th. shpejtësitë janë në përpjesëtim të zhdrejtë me seksionet e gjalla të rrjedhjes. Marrim në shqyrtim një lëng i cili rrjedh në një tubacion (Fig.4.15). E zëmë se muret e tubit janë absolutisht të ngurta dhe hermetike, pra ato nuk deformohen dhe nuk lejojnë
60 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
futjen ose daljen e lëngut nëpër to. Po ashtu lëngun e supozojmë absolutisht të pashtypshëm. Duke ju referuar Fig.4.15 shtrohet problemi: sa do të jenë prurjet Q1 dhe Q2 në seksionet 1-1 dhe 1-1 dhe 2-2 të 2-2 të këtij tubacioni?
Fig.4.15 – Vazhdueshmëria Vazhdueshmëria e rrjedhjes
E zëmë se Q1>Q2. Kjo do të thotë se në vëllimin e kufizuar nga këto seksione futet më shumë lëng sesa del nga ai. Kjo shtesë lëngu do të shkaktonte ngjeshjen e lëngut midis këtyre seksioneve, gjë qe bie në kundërshtim me atë çka u tha më lart, se lëngu është i pashtypshëm. Pra kjo hamendje nuk qëndron. E zëmë se Q1
S1 v1
S2 v2
(4.29.)
ku: indekset 1 dhe 2 tregojnë seksionet përkatëse. Pra për të gjitha seksionet e rrjedhjes mund të shkruajmë:
Q
S v
Konstante
(4.30)
61 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
Ekuacioni (4.30) quhet ekuacioni i vazhdueshmërisë . Ai ka një përdorim shumë të gjerë në llogaritjet hidraulike. Me anë të tij mund të përcaktohen shpejtësitë e rrjedhjes në seksione të ndryshme, kur njihet prurja dhe përmasat e seksioneve. Kështu duke bërë veprimet në ekuacionin (4.29), kemi: v2
v 1
S1
2
v
S2
1
D D 1
(14.31)
2
Arsyetimet e mësipërme janë të përgjithshme, për të gjitha rrjedhjet në një tubacion, në degëzime tubacionesh, në kanale të hapura ose rrjedhje të mbyllura etj. Kështu po të marrim në shqyrtim një degëzim tubacioni (Fig.4.16), ekuacioni i vazhdueshmërisë do të shkruhet:
Q1
Q2 Q3
(4.32)
Fig.4.16 – Përdorimi Përdorimi i ekuacionit të vazhdueshmërisë në degëzimet e tubacioneve.
Sqarojmë se, ekuacioni është formuluar duke iu iu referuar seksionit të takimit takimit të tre degëve të tubacionit. Në krahun e majtë të ekuacionit (4.32) vihen prurjet që futen në seksionin O, kurse në krahun e djathtë dj athtë vihen prurjet që dalin nga seksioni O.
62 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e fluideve
`
5. DINAMIKA E FLUIDEVE 5.1 Ekuacionet diferenciale të lëvizjës së fluidit ideal
Dinamika trajton lëvizjen e fluidit dhe shkaqet e krijimit të saj. saj. Në krahasim me kinematikën, dinamika ka si karakteristikë karakteristikë kryesore veprimin e forcave në masën e fluidit që lëviz. Nga të gjitha modelet e fluideve që trajton dinamika, më i thjeshti është modeli i fluidit ideal. Si dinamika, më i thjeshti është modeli i fluidit ideal . Siç dihet, fluidi ideal quhet fluidi në të cilën mungon fërkimi fërkimi i brendshëm. Në këtë menyrë gjatë lëvizjës së së fluidit fluidit ideal mungojnë sforcimet sforcimet tangjenciale të forcave forcave të fërkimit, domethënë nga forcat sipërfaqësore vepron vetëm forcat që janë normal me sipërfaqen e vëllimit të dhanë të fluidit. Sikur në statik, ashtu edhe në dinamikë, madhsinë e sforcimit normal në pikën e dhanë të rrjedhjes së lëngut ideal do ta quajmë presion. Meqenëse në rrjedhjen e fluidit ideal mungojnë sforcimet tangjenciale, tangjenciale, presioni në një pikë çfardo të kësaj rrjedhje gëzon vetitë e presionit statik. Në fluidin ideal, si në gjendjen e lëvizjës, ashtu edhe në ate të qetësisë, prersioni është i drejtuar sipas sipas normalës së brendshme brendshme me sipërfaqën dhe nuk varet nga orjentimi saj, por përcaktohet si funksion i kordinatave të pikës ku vepron. Gjatë trajtimit të rrjedhjes, presionin dhe shpejtësinë do t’i shohim si funksione të vazhdueshme dhe të diferencueshme në lidhje me kordinatat, kurse vetë rrjedhja duhet të kenaqë kushtin e vazhdueshmerisë. Për të përpiluar ekuacionet diferenciale diferenciale të lëvizjës së fluidit ideal, nga hapësira e mbushur me rrjedhje veçojmë paralelopipedin paralelopipedin elementar me brinje dx, dy, dz ( (fig5.1). Për thjeshtim le të përcaktojmë forcat e jashtme që veprojnë në të vetëm sipas drejtimit x. Këto forca do të jenë: - forcat forcat sipërfaqësore të presionit dinamik d inamik P PM dhe P N që veprojnë përkatësisht në sipërfaqët 1234 dhe 5678 të paralelopipedit elementar, madhësia e të cilave jepet nga ekuacioni(3.8);
Fig.5.1 63 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
-
forca vellimore e gravitetit G, që shpreh peshën e paralelopipedit elementar 12345678 dhe që zbatohet në pika A të qendrës së gravitetit të ketij paralelopipedi. Në drejtimin x, komponentja e kësaj force Gx jepet me anën e ekuacionit (3.11).
- forca vëllimore e inercisë i që zbatohet gjithashtu në pikën A të qendrës së gravitetit të paralelopipedit, Komponentja e kësaj force në drejtimin të x-it do të jetë: I x
ku;
dc x dt
m a x
dx dy dz
d cx
`
dt
(5.1)
-nxitimi në drejtimin e x-it
- projeksioni i shpejtësisë v në pikën A në d rejtim të x-it Projeksionet e forcave të inercisë sipas drejtimeve x, y, z kundrejt njesisë së masës së fluidit, janë: c
x
I x
dc x
dt
; I y
dc y dt
; I z
dc z dt
(5.2)
Ne ekuacionet (5.2) shenja minus tregon qe forca e inercisë ka drejtim të kundert me ate të lëvizjës së fluidit. Duke futur në ekuacionin (3.15) projeksionin e forcës së inercisë të paralelopipedit elementar të dhanë , sipas drejtimit të x-it (3.16), dhe duke shkruar ekuacionet tjera për drejtimet y, z në ngjajshmëri me drejtimin x, do të fitojmë ekuacionet diferenciale të lëvizjës së fluidit ideal kundrejt njësis së masës: X Y Z
1 p
x 1 p
dt
y 1 p
dc x dc y dt
(5.3)
dc z
z
dt Ekuacionet (5.3) quhen ekuacione diferenciale të levizjës së fluidit ideal, ose ekuacione diferenciale të Eulerit. Në Eulerit. Në formën vektoriale ato mund të paraqiten në formën.
1
F V
grad p
d c dt
(5.4)
Meqenëse c=f(x,y,z,t) është funksion i katër variablave, diferenciali i plotë i tij do të jetë: dc x
c x x
dx
c x y
dy
c x z
dz
cx t
dt
(5.5)
Pas pjestimit me dt, nxjerrim 64 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
dc x
Dihet se
c x
dt dx
dx
x
dt dy
c x
dy
y
dt
c x
dz
c x
z
dt dz
t
(5.6)
c x , c y dhe c z dt dt dt Zavendësojmë në ekuacionin (5.3) dhe kemi
X
1 p
c x
x
x
(5.7)
c x
c x y
c y
c x z
c z
c x t
pwrkatwsisht Y Z
1 p
c y
y 1 p
x
c z
z
x
c x
c x
c y y c z y
c y
c y
c y z c z z
c z c z
c y
(5.8)
t
c z t
Ekuacionet e Euler-it, përbajnë në vehte (5) të panjohura edhe atë: projeksionet e shpejtësisë cx, cy, dhe cz, presionin (p) dhe densitetin ().Që të mund të caktohen të gjitha madhsitë në funksion të pozitës në hapsirë dhe kohës, janë të nevojshme edhe dy ekuacione dhe atë ekuacioni i vazhdushmerisë si dhe ekuacioni i gjendjes së fluidit siç është p / p0 / 0 ose p / p0 ( / 0 ) .
5.2. Ekuacioni I Bernulit ( ekuacioni i energjisë)
Kur nxjerrim ekuacionin e Bernulit që më parë duhet theksuar se lëngu duhet të jetë i pandryshueshëm ( konst ) dhe rrjedhja e tij të jetë e qëndrueshme. Le ti shumëzojmë ekuacionet e Eulerit (5.8) përkatësisht me dx, dy dhe dz dhe t’i mbledhim anë për anë:
X dx Y dy Z dz
shprehjet
dx dy ,
dt dt
dc x dt
dx
dhe
dz dt
dc y dt
dy
p p p dx dy dz x y z 1
dc z dt
(5.9)
dz
i zëvendësojmë me cx, cy dhe cz.
Shprehja në kllapa e ekuacionit (5.9) paraqet diferencialin e plotë të presionit hidrodinamik p (për rastin kur lëvizja është e qënd rueshme dhe p=f(t). Tani mund të shkruajmë 65 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
X dx Y dy Z dz
1
dp c x dc x
c y dc y
c z dc z
(5.10)
Ana e djathtë e ekuacionit (5.10) mund të shkruhet 1 2
d c x2
c y2
c z 2
1 2
dc 2
(5.11)
Polinomi i anës së majtë të ekuacionit (5.10) paraqet diferencialin e plotë të funksionit F (shih paraqrafin 3.4) Rrjedhimisht ekuacioni (5.10) shprehet: dF
1
dp
1
2
dc 2
(5.12)
integrojmë dhe nxjerrim p c 2 F C
(5.13)
2
Shprehja (5.13) paraqet formën e përgjithshme të ekuacionit të Bernulit. Për rastin kur lëngu ndodhet në lëvizje vetëm nën veprimin e forcës së gravitetit kemi F
X dx Y dy Z dz g dz g z C 1
(5.14)
Pas zëvendësimit në (5.13) nxjerrim
g z C 1
c2
p
2
C
(5.15)
përkatësisht z
p
c2 2 g
konst
(5.16)
Ekuacioni (5.16) quhet ekuacioni i Daniel Bernuelit dhe siç shihet jep lidhjen ndërmjet presionit, shpejtësisë dhe lartësisë. Secili term i ekuacionit (5.16) ka paramasën e gjatësisë. Le të shprehim p në 2 3 2 N/m , në N/m , z në m, c në m/s dhe g në m/s , pas zëvendësimit në secilin term fitojmë përmasën m (metër) Kështu çdo term paraqet z – lartësinë lartësinë gjeodete (të pozicionit) p - lartësinë e presionit (piezometrike)
c
2
2 g
- lartësinë e shpejtësisë
Sipas ekuacionit të Bernulit shuma e lartësive të përmendura përgjatë vijës së rrymës duhet të jetë konstante. Pra, për çfardo dy seksione të rrjedhjes elementare ekuacioni mund të shkruhet në këtë formë: p1 c12 p 2 c12 z 1 (5.17) z 2 H 2 g 2 g 66 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig. 5.2 Në qoftë se në një rrjedhje lëngu, sikurse tregohet në (fig5.2), në pikat 1 dhe 2 (të të njejtës vijë rryme) vendosim tubat piezometrik (piezometrat), lëngu do të ngritet në lartësi që u përgjigjen lartësive të presioneve të pi kave përkatëse. Kur këtyre lartësive u shtohen edhe lartësitë e shpejtësive fitohet vija horizontale e larguar nga plani i krahasimit për një vlerë të pandryshueshme H e cila quhet kanstantja e ekuacionit të Bernulit. 5.2.1. Kuptimi energjik i ekuacionit të Bernulit Secili nga tre termat e ekuacionit (5.16) paraqet një lloj energjie specifike. Kështu z paraqet enegjinë specifike të pozicionit, p / energjinë specifike të presionit, ndërsa 2 shuma e tyre z p / enegjinë specifike potenciale, dhe c /2g enegjijnë specifike kinetike. Siç shihet, çdo term në ekuacionin e Bernulit shpreh një pjesë të enegjisë mekanike të njësisë së peshës së lëngut. Energjia që i përket njësisë së peshës së lëngut e llogaritur kundrejt një plani arbitrar horizontal quhet energji specifike. Nga sa u tha më sipër mund të shkruhet: p c 2 z (5.18) E p E k konst 2 g Rrjedhimisht kuptimi energjetik i ekuacionit të Bernulit për lëvizjen e qëndrueshme të lëngut joviskoz është i tillë: energjia specifike e lëngut ideal në lëvizje, e përbërë prej energjisë specifike potenciale dhe enetgjisë specifike kinetike, qëndron e pandryshuar. Nga kjo shihet se ekuacioni i Bernulit shpreh ligjin e ruajtjes së enegjisë sepse gjatë rrjedhjes së lëngut energjitë specifike (kinetike dhe potenciale) mund të ndryshojnë, por shuma e tyre mbetet konstante.
67 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
5.2.2 Ekuacioni i Bernulit Bernulit për rrjedhjen elementare elementare të lëngut real Siç u pa në paragrafin e mëparshme, ekuacioni i Bernulit shpreh kushtin që rezerva e përgjithshme e energjisë mekanike në cilindo seksion të rrjedhjen elementare të lëngut ideal qëndron e pandryshuar dhe gjatë kalimit nga një seksion në tjetrin bëhet vetëm shëndrimi i energjisë potenciale në energji kinetike dhe anasjelltas. Eksperimentet kanë treguar se shumë vlera të fituara me ekuacioni e Bernulit nuk përputhen me vlerat e vërteta. Kjo do të thotë se energjia mekanike e rrjedhjes elementare gjatë kalimit të lëngut nga një seksion në tjetrin nuk mbetet konstante por pakësohet. Ky pakësim lind si pasojë e rezistencave të fërkimit të lëngut dhe energjia e humbur mekanike kalon në forma të tjera të energjisë p.sh. në nxehtësi.
Fig. 5.3. Kështu pra, ekuacioni i Bernulit pëson ndryshim ndr yshim dhe merr formën 2 2 p c p c z 1 1 1 z 2 2 2 hw' 2 g 2 g Termi i fundit
'
hw ,
(5.19)
nga pikëpamja energjetike, paraqet punën e të gjitha forcave të
rezistencës në njësinë e peshës d.m.th. humbjet hum bjet mekanike specifike gjatë lëvizjes së lëngut real nga njëri seksion i rrjedhjes në tjetrin. Vija horizontale në fig.5.2, për shkak të humbjeve të energjisë mekanike do të ulet gjatë rrjedhjes. Në pikën 2 kjo ulje u lje do të jetë hw' (fig.5.3) Sipërfaqja e hijëzuar (fig.5.3.) paraqet ndryshimin e energjisë mekanike të plotë të rrjedhjes. 68 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
5.2.3. Ekuacioni I Bernuelit për rrjedhjen e plotë Ekuacioni i Bernulit për rrjedhjen e plotë është shuma e energjive të plota dhe dh e të humbjeve të rrjedhjeve elementare që përbëjnë. Energjia e plotë, për dy seksione të një rrjedhjeje elementare, do të jetë
p c p c z dQ z hw dQ 2 g 2 g 2
1
2
1
2
1
S1
'
2
(5.20)
2
Po qe se integrojmë këtë ekuacion do të nxjerrim energjinë e rrjedhjes së plotë p1 c12 p2 c 22 z 1 dQ dQ z 2 dQ dQ hw' dQ 2 g 2 g S S S S
2
2
2
2
(5.21) Në integralet
p z S dQ dhe 1
1
1
p z S dQ energjia potenciale 2
2
2
është e njëllojtë në tërë seksionin e gjallë – gjallë – presioni presioni shpërndahet njësoj si në hidrostatikë (fig.5.4)
Fig. 5.4. Pra: z 1
p1
z 2
p 2
dhe
konst
(5.22)
konst
Prandaj, integralet e mësipërme marrin formën 69 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
p z dQ S
dhe z 2
p z Q
dhe z 2
1
1
1
p 2
p 2
dQ
(5.23)
S 2
përkatësisht 1
1
2
Integralet
c1
2 g
Q
2
c2
2 g dQ në ekuacionin (5.21) paraqesin shumën
dQ dhe
S 1
S 2
e energjive kinetike të rrjedhjeve elementare. Duke ditur se dQ formë të përgjithshme mund të shkruhen c12
2 g
S 1
(5.24)
dQ
c 2 g
3
1
c ds , këto integrale, në
dS
1
S 1
dhe
(5.25) 2
c2
2 g dQ 2 g c
S 2
3 2
dS 2
S 2
Fig. 5.5. Duke marrë në vend të c1 dhe c2 shpejtësinë mesatare v1 dhe v2 të seksioneve të gjalla (fig.4.10), pas zgjidhjes së integraleve (5.25) nxjerrim: c12 dQ v12 Q 2 g 2 g S
1
70 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
dhe
(5.26) c22
2 g
dQ
S 2
v Q 2
2
2 g
Meqenëse integralet (5.25) nuk japin energjitë e vërteta kinetike të rrjedhjes, por energjitë mesatare që u përgjigjen shpejtësive mesatare, vlerat e t yre i shumëzojmë me koeficientët përkatës 1 dhe 2 , të cilët marrin parasysh ndryshimet e energjive të vërteta kinetike dhe energjive kinetike mesatare sipas shprehjeve
1
c13 dS v12 Q
dhe
2
c 23 dS v 22 Q
(5.27)
Koeficientët 1 , 2 , … përcaktohen eksperimentalisht dhe quhen koeficientë të shpërndarjes së shpejtësive në seksionet tërthore të rrjedhjes. Do të pranojmë që humbjet në n ë rrjedhjet elementare janë të barabarta midis tyre, ndërsa humbjet hidraulike të rrjedhjes së plotë janë të barabarta me shumën e tyre
h
'
w
dQ hW dQ h QW
S
(5.28)
S
ku hw janë humbjet hidraulike për rrjedhjen e plotë Pas zëvendësimit të ekuacioneve (5.24), (5.25), (5.26) dhe (5.27) në ekuacionin (5.21) fitojmë ekuacionin e Bernulit në formën Q v Q v p p z Q z Q Q hw (5.29) g g 2 2 2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
Pas thjeshtimeve ai do të marrë formën përfundimtare z 1
p1
1
v12
2 g
z 2
p 2
2
v 22
2 g
hw1 2
(5.30)
ku hw1-2 paraqet humbjet e energjisë mekanike për p ër përballimin e forcave të rezistencës gjatë rrjedhjes së lëngut nga seksioni 1 – 1 – 1 1 në 2 – 2 – 2. 2. 5.2.4 Zbatime të ekuacionit të Bernulit Ekuacioni i Bernulit është ekuacion themelor i hidromekanikës, me ndihmën e të cilit nxirren formulat llogaritëse të rasteve të ndryshme të lëvizjes së lëngjeve dhe zgjidhen shumë probleme praktike. Më poshtë do të japim disa raste të zbatimit të ekuacionit të Bernulit a) Prurjematësi i Venturit . Ky paraqet një ngushtim që i bëhet tubit me anën e dy pjesëve konike dhe një pjese cilindrike (fig.5.6)
71 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig. 5.6. Duke pranuar lëngun ideal, le të shkruajmë ekuacionin e Bernulit për seksionet 1 – 1 1 dhe 2 – 2 – 2 2 ndaj planit të krahasimit, i cili kalon nëpër aksin e tubit
z 1
2
p1
1 v1
z 2
2 g
p 2
2
2 v2
Duke qenë se z1=z2 dhe duke pranuar 2
p1
v1
2 g
p 2
2 g
1
2
(5.31)
ekuacioni
(4.51) merr formën
2
v2 2 g
(5.32)
(5.33)
ose p1
p 2
2
v2
2 g
2
v1 2 g
Ana e majtë e këtij ekuacioni paraqet disnivelin z të dy piezometrave. Prandaj kemi z
2 g
2
v2
2
v1
(5.34)
Duke zbatuar edhe ekuacionin e vazhdueshmërisë caktojmë dy të panjohurat, v1 dhe v2 S 1 v1
S 2 v2
(5.35)
Prej nga nxjerrim raportin D 2 v2 v1
S 1 S 2
4
d 2
D 2 d 2
(5.36)
4
ose v2
v1
D 2
d 2
(5.37) 72
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Zëvendësojmë vlerën e v2 në ekuacionin (5.34) dhe kemi
D z 1 2 g d 4
v1
2
(5.38)
prej nga del v1
2 g z
D 1 d 4
(5.39)
dhe prurja Q S 1 v1
D 4
2
2 g z
D 1 d 4
(5.40)
Humbjet e energjisë ndërmjet seksioneve 1 – 1 – 1 1 dhe 2 – 2 – 2 2 i marrim parasysh duke futur koeficientin e prurjes m që ka vlerë 0,96 – 0,96 – 0,98. 0,98. Pra, përfundimisht kemi Q m
D 4
2
2 g z
D 1 d 4
(5.41)
b). Tubi Pito Në qoftë se prurja nuk njihet, atëher shpejtësia e rrjedhjes duhet të matet në mënyrë direkte me anë të aparateve matës, njëri prej të cilëve është edhe tubi Pito. Skema hidraulike e një tubi Pito është treguar në Fig. 24. Ai është një tub me seksion çfardo, fundi i të cilit është i kthyer me kënd 90 në drejtim të kundërt me rrjedhjen (tubi
2 ). Për matjen e shpejtësisë së rrjedhjes, tubi Pito duhet gjithmonë të kombinohet me një piezometër (tubi 1). Shënojmë me H me H s lartësinë e shtyllës së lëngut në piezometër dhe me H me H d d lartësinë e shtyllës në tubin Pito, kurse diferencën ndërmjet tyre me H v. Me këto lartësi të matura, shpejtësia e rrjedhjes, për lëngun ideal, llogaritet:
73 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig.24 – Fig.24 – Tubi Tubi Pito. v
2g
Hd
Hs
2g
H v
(29)
Në fakt shpejtësia e vërtetë do të jetë pak më e vogël, sepse për nxjerjen e formulës (29) nuk janë marrë para sysh humbjet në fërkim ndërmjet lëngut dhe pareteve të tubacionit dhe vetë shtresave të lëngut. Në praktikë gjenden tuba Pito me diametra nga disa milimetra deri në disa d isa centimetra, që përdoren për matjen e shpejtësive nga më të voglat deri në disa m/s. m/s. Megjithëse në ditët e sotme, në përdorim janë edhe aparate elektronikë për matjen e shpejtësisë me paraqitje shifrore, tubi Pito nuk e ka humbur vlerën e tij, sepse është i thjeshtë dhe i lehtë për tu përdorur.
c) Përcaktimi i lartësisë së thithjes së pompës
Zbatojmë ekuacionin e Bernulit për sipërfaqën e lirë të ujit në pus ( seksioni 0-0) 0 -0)
Fig.25 74 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
dhe për seksionin 1-1 të tubit para para hyrjes në pompë (fig.25)
pa
0
2
v0
z p
2 g
p1
2
v1
2 g
hw
(30)
Lartësia e thithjes del z p
p a
p1
v02
2 g
2
Meqenëse shpejtësia
hw
(31)
është e vogël energjia energjia kinetike
v0
v02
2 g
mund të mos
mirret parasysh. Termi hw shpreh të gjitha të gjitha humbjet e energjis për menjanimin e reziztencave hidraulike gjatë rrjedhjes rrjedhjes nga seksioni 0-0 deri në seksionin 1-1. Diferenca p a
p1
paraqet lartësin vakumetrike
p v
( vakumin e krijuar para pompes) në seksionin
1-1. Pas arsytimeve të të sipërme shprehja shprehja (31) merr formen formen z p
pv
2
v1
2 g
hw
(32)
Kjo është formula themelore për llogaritjen e lartësisë së pozitës të pompës centrifugale.
5.2.5.Interpretimi i ekuacionit të Bernoulit në kuptimin e energjisë dhe presionit Ekuacioni i Bernulit është përshkruar në formë të energjisë specifike (J/kg), në kuptimin fizik definon energjinë totale konstante gjatë linjës rrjedhëse. p g
v2 2 g
z const .
Me supozimin stacionar, jo viskoz, jo shtypës, rrymimi mund të pranohet në kuptimin e shëndrimit të energjisë së presionit
p
, energjisë kinetike
g
v
2
2 g
dhe energjisë potenciale
z, nga njëra formë në njërën prej dy formave tjera të energjisë, siç është treguar ne fig..., e cila tregon tri pika të rrymores gjatë rrymimit vertikal.
75 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Pika
Llojet e energjisë Kinetike 2 V /2g
Potenciale z
Presionit pm/g
1
E vogël
Zero
E madhe
2
E madhe
E vogël
Zero
3
Zero
E madhe
Zero
Fig.26.. Interpretimi i ekuacionit të Bernulit në kuptimin e shpërndarjes të energjisë totale. Ekuacioni i Bernulit mund të shkruhet edhe në formën 1
p
2
v
2
g z const .
Ku dimensionet e ekuacionit janë të presionit. Ekuacioni në ketë formë mund të interpretohet në formë që presioni total është konstantë gjate rrymores. Presioni total përbëhet prej këtyre komponentëve: presioni statik (presioni termodinamik) p 1 2
v
2
g z
( vlera për të cilën rritet presioni në pikën e ngecjes.) presioni dinamik ( presioni hidrostatik ( tregon variacionin e energjisë potenciale për shkak të ndryshimit të thellësisë.)
76 Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
6. REGJIMET E LËVIZJES SË LËNGJËVE Regjimi i lëvizjes se lëngut quhet tërësia e karakteristikave të rrjedhjes, e kushtëzuar nga marrëdhëniet midis forcave të inercisë dhe forcave të viskozitetit. Reinoldsi vërtetoi se ekzistojnë dy regjime të lëvizjes lëvizjes së lëngjeve: regjimi laminar dhe ai turbulent. Regjimi është laminar kur forcat e viskozitetit janë më të mëdha se forcat e inercisë. Në këtë regjim vijat e rrjedhjes janë paralele dhe nuk përzihen mes vete. Regjimi laminar i rrjedhjes karakterizohet me koeficient kinematikë të veshtullisë, kur shpejtësia e rrjedhjes ose prurja e lëngut është relativisht e vogël. Regjimi është turbulent kur forcat e inercisë janë shumë më të mëdha se forcat e viskozitetit. Në ketë rast krahas rrjedhjes rrjedhjes në drejtimin gjatësor ndodhin edhe zhvendosja tërthore të grimcave të lëngut. Vijat e rrjedhjes përzihen dhe drejtimi i lëvizjes është i paqartë, por në tersi ato kanë një drejtim mesatar të lëvizjes e ky është drejtimi i rrjedhjes së gjithë masës së lëngut. I pari që provoi eksperimentalisht regjimin e lëvizjes është fizikani Reinolds (fig. 6.1) Duke hapur më pak ose më shumë rubinetin ndryshohet vlera e shpejtësisë mesatare v përkatësisht e prurjes. Kur prurja e ujit është e vogël, ngjyra rrjedh paralel me tubin, pa u përzier me lëngun. Rrjedhja në këtë rast është laminare (fig. 6.1.a) Kur prurja e ujit rritet shtresa e ngjyrosur luhatet e shpërndahet në tub. Pra, ka një formë të çrregullt. Rrjedhja në këtë rast është turbulente turbulente (Fig. 6.2.b)
Fig. 6.1 Fig.6.2 Shpejtësia e rrjedhjes së lëngut, në të cilën bëhet kalimi nga njëri regjim në tjetrin quhet shpejtësi kritike. kritike. Kufirin e ndërrimit të regjimit Reinoldsi e ka shprehur shprehur përmes një numri pa përmasa përmasa që quhet numri i Reinoldsit dhe dhe i cili shprehet. Re
v L
(6.1)
Formula (6.1) shpreh rastin e përgjithshëm të njësimit të numrit të Rejnoldsit. Në këtë shprehje simboli L shpreh parametrin karakteristik të rrjedhjes . Për tuba 77
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
L=D, për kanale të hapura ( për rrjedhje pa presion) L=R, ku D është diametri i tubit e R rrezja hidraulike e seksionit të gjallë. Pra, për tuba të kemi
Re
v D
Ndërsa për kanale të hapura
Re
(6.2) v R
(6.3)
Në qoftë se shpejtësinë v e zëvendësojmë me shpejtësinë kritike, atëherë nxjerrim vlerën kritike të numrit të Reinoldsit. Re
v k D
përkatësisht
Re
v k R
(6.4)
Eksperimente të shumta më lëngje të ndryshme dhe me tuba me diametër të ndryshëm, kanë treguar se vlera e numrit kritik të Rejnoldsit është 2300. Gjithashtu eksperimentalisht është vertetu se për kanale të hapura Rek është rreth 300. Kur Re
Rek, rrjedhja është turbulente. Në praktikë kalimi nga një regjim në tjetrin kryhet përnjëherë. Regjimi turbulent vendoset plotësisht në tub, kur numri i Reinoldsit arrin vlerën 4000. Pra, për Re=2300-4000 ekziston një zonë ku regjimi i rrjedhjes është i papërcaktuar, e cila quhet zona e regjimit kalimtar.
Shpejtësia kritike vk ndan të dy regjimet, prandaj njohja e saj do të thotë përcaktimi i regjimit të rrjedhjes së lëngut. Shpejtësia kritike varët nga densiteti I lëngut , viskoziteti dinamik dhe nga diametri i tubit d. Në mënyrë matematikore kjo lidhje mund të shprehet kështu: vk K x y d z (6.5)
Ku K është koeficient përpjesëtimi. Gjetja e këtij funksioni analitik mund të bëhet me mënyrën e barazimit të përmasave, mënyrë e cila qëndron në shprehjen e përmasave të çdo faktori në ekuacionin (6.5) dhe në kushtin e barazimit të tyre për të dy anët e ekuacionit. Për këtë qellim duke shënuar me L,T dhe M simbolet e matjes së gjatësisë, kohës dhe masës, shprehim përmasat e madhësive fizike të ekuacionit(6.5).
v k
L T
;
M L T
;
M 3
L
; d L
(6.6)
Duke zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (6.6) kemi: 78
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
x
y
M M z 3 L T L L T
L
(6.7)
Duke vendosur në anën e djathtë edhe termin M0 ky ekuacion sillet në formë: M 0 L T
1
M x
y
L 3 x
y z
T y
(6.8)
Që ky ekuacion të ketë kuptim, fuqitë e simboleve M, L dhe T në anën e djathtë dhe të majtë duhet të jenë të barabarta. Prandaj: x
y
0
3 x y z 1
(6.9)
y 1
Nga ky del: x
1;
y
1;
z
1
Pasi i vendosim këto vlera në ekuacionin (6.5) gjendet: vk
K
d
Duke ditur që
(6.10)
dhe
duke shënuar koeficientin e përpjestushmerisë K me
Rek ,
kemi: v k
Rek
d
,
(6.11)
,
(6.12)
dhe Rek
ku
v k d
Rek është një numër pa përmasa dhe, quhet numri kritik I Reinoldsit.
Eksperimente të shumta, me lëngje të ndryshme dhe me tuba me diametër të ndryshëm, kanë treguar se vlera e numrit kritik të Reinoldsit është 2300. a)Në qoftë se në raportin (6.12) vendoset jo vlera e v k, por ajo e shpejtësisë v që ka rrjedhja, atëherë ky raport quhet numri ose kriter i Reinoldsit: Reinoldsit: Re
v d
(6.13)
79
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Rrjedhimisht, Rek përfaqëson kriterin e njohjes së regjimit të lëvizjes së lëngut real. Në qoftë se në rrjedhje ReRek=2300, regjimi i lëvizjes së lëngut l ëngut është turbulent. Në rrjedhjen pa presion për llogaritjen e numrit të Renoldsit si parametër linear i rrjedhjes merret rrezja hidraulike R. Prandaj në këtë rast: v R
Re ( R )
(6.14)
Meqenëse për tubat rrethor rrezja hidraulike është në (6.14), kemi: v k 4 R 2300 Rek
Re( R ) k
vk R
2300 4
d
4
, duke zëvendësuar
(6.15)
dhe
R
575
(6.16)
Në kushtet laboratorike, duke bërë rritjen graduale të shpejtësisë së rrjedhjes me presion në tuba me seksion rrethi mund të ruhet ruhet regjimi laminar në vlera shumë më të mëdha se 2300. Me mënjanimin e dridhjeve te aparatit dhe të lëkundjeve fillestare dhe duke e bërë shumë të butë pjesën e hyrjes së lëngut në tub është arritur një vlerë e Rek=12000. Në qoftë se veprohet në të kundërtën, domethënë nga regjimi regjimi turbulent me anë të zvogëlimit të shpejtësisë, kalohet në regjimin laminar, vihet re se regjimi turbulent qëndron më gjatë duke bërë që Rek të jetë më e vogël. Kështu në të vërtet , ka dy vlera të numrit kritik të Reinoldsit: vlera e sipërme dhe vlera e poshtme, të cilat formojnë kështu një zonë kalimtare , që në përgjithësi nuk është e qëndrueshme. Numri 2300, që paraqet pikërisht vlerën e poshtme të numrit kritik të Reinoldsit, pranohet si kriter përcaktimi i regjimit të lëvizjes. Përgjithsishtë uji nëpër tuba lëviz sipas regjimit turbulent. Në qoftë se temperatura e ujit është 150 C, viskoziteti është =0.0114cm2 /s, prandaj sipas formulës (6.11) v k
2300 0.0114
26.4
d
d
cm / s
(6.17)
Duke marrë d=1cm dhe 10cm kemi përkatësisht: vk=26.4 cm/s dhe 2.64 cm/s, të cilat janë shumë më të vogla së ato që takohen në praktikë në rrjedhjen e ujit nëpër tuba. Përkundrazi, për lëngje me viskozitet të madh, si p.sh., vajrat lubrifikante, nafta etj. Lëvizja e lëngut bëhet përgjithësisht sipas regji mit laminar. 80
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
6.2.1 Shpërndarja e shpejtësisë sipas seksionit të gjallë . Le studiojmë rrjedhjen e lëngut që lëviz sipas regjimit laminar në një tub cilindrik (fig. 6.3). Brenda kësaj rrjedhjeje le të shq yrtojmë masën qendrore me rreze r. Meqenëse lëngu lëviz sipas regjimit laminar, masa qendrore e marrë në studim mund të pranohet sikur rrjedh brenda konturit të palëvizshëm me rreze r+dr, kundrejt të cilit ka shpejtësinë relative dc.
Fig 6.3 Prandaj , tensioni tangjencial i fërkimit sipas sipërfaqes anësore të rrjedhjes qendrore mund të shprehet duke u nisur nga: -ekuacioni themelor i lëvizjes së njëtrajtshme
Fig.6.3.1 Le te ndajmë ndërmjet seksioneve 1 she 2 te tubit cilindrin e lëngut me rreze r (fig.3.6.1). Në seksionin 1 presioni është p1, ndërsa në seksionin 2 ,p2. Në cilindrin e lëngut vepron forca e presionit. 2 (p1-p2)r 81
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Këtë forcë e kundërshton forca e fërkimit në sipërfaqet anësore të cilindrit, madhësia e së cilës në njësinë e sipërfaqes jep sforcimin tangjencial . Në sipërfaqen anësore të cilindrit vepron forca e fërkimit. 2rl rl Duke bazuar në dy forcat që veprojnë në cilindër, kemi p1 p2 r p1 p 2 r p1 p 2 respektivisht hw l 2 2l hw r i ; i R i (6.18)
Ku
R
2
2
r
r
2
r
2
l
është rrezja hidraulike e rrjedhjes qendrore, dhe
-ligji I fërkimit të brendshëm
dc dr
(6.19)
Shenja minus vendoset për shkak se me rritjen e rrezes r shpejtësia zvogëlohet Pas barazimit të ekuacioneve (6.18) dhe (6.19) nxjerrim dc
r 2
i
Pas integrimit
2
c
i
dc dr
(6.20)
r dr
(6.21)
i 4
2 r
C 1
(6.22)
Nga kushti që për r=r 0 shpejtësia c=0 gjejmë konstanten e integrimit C1 C 1
i 4
2 0
r
(6.23)
Pas zëvendësimit të C1 në ekuacionin (6.22) gjejmë shprehjen analitike të shpejtësisë i 2 c (r 0 r 2 ) (6.24) 4 Nga ekuacioni (6.2.4) del se shpërndarja e shpejtësisë në seksionin e gjallë për regjimin laminar bëhet sipas formës së parabolës (fig. 6.3). Vlerën maksimale shpejtësia e ka për r=0 d.m.th. në aksin e rrjedhjes cmax max
i 4
2 0
r
(6.25) 82
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Nga ekuacioni i prurjes elementare për seksionin e gjallë elementar në formë unaze (fig. 6.3) nxjerrim vlerën e shpejtësisë mesatare mesatare të seksionit të tubit: dQ
c dS
r 0
Prej nga Q
i
4
4 (r
2 0
i
(r 02
r 2 ) 2
r )2 r dr 2
0
Atëherë shpejtësia mesatare do të jetë: i r 04 i 2 Q 8 v r 0 8 S r 02
r dr
(6.26)
i
2
r 04 4
(6.27)
c max max
2
(6.28)
D.m.th. në regjimin laminar shpejtësia mesatare është sa gj ysma e shpejtësisë maksimale (fig. 6.3).
83
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
6.2.2 Shpërndarja e tensionit tangjencial sipas seksionit të gjallë Duke u bazuar në formulën (6.19) e me njohjen e vlerës së shpejtësisë mund të caktojmë lehtë ligjin e shpërndarjes së tensionit tagjencial të fërkimit :
dc dr
d i
r
2
dr 4
0
r 2
(6.29)
Pas kryerjes se veprimeve del: i
2
r
(6.30)
Siç shihet nga formula (6.30) tensioni tagjencial ka shpërndarje lineare. Në aksin e tubit 0 , ndërsa vlerën maksimale e ka në faqen e brendshme të i tubit 0 r 0. Kjo tregohet në (fig. 6.3). 2
6.2.3 Koeficienti i energjisë kinetike Gjejmë vlerën e koeficientit të energjisë kinetike për tubin me seksion rrethor. Në bazë të shprehjeve (5.27) e duke du ke zëvendësuar vlerat e shpejtësisë nga formulat (6.24) dhe (6.25) mund të shkruajmë: 3
i r r 4 2 r dr c dS c dS v Q v S i r r 8 ro
2
3
3
2
0
0
2
3
3
2
0
Pas integrimit dhe thjeshtimeve del
(6.31)
2
0
2
6.2.4. Humbja e ngarkesës Duke zëvendësuar pjerrësinë hidraulike ,,I” me raportin
hw / l dhe
r
0
me d/2 në
Shprehjen për shpejtësinë mesatare v (shih formulën 6.28) kemi
v
hw d 2 8 l 4
(6.32)
prej nga del
84
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
hw
v
32
2
l
d
(6.33)
Duke analizuar këtë formulë mund të nxjerrim përfundimin se humbjet gjatësore të ngarkesës në regjimin laminar: -varen nga lloji i lëngut, gjë që q ë merret parasysh me koeficientin e viskozitetit dhe me peshën specifike . -janë në përpjesëtim të drejtë me shpejtësinë mesatare v -nuk varen nga vrazhdësia e brendshme e faqeve të tubit. Formula (6.33) mund të zhvillohet më tej në këtë mënyrë: hw
32
l v
g d 2 v
2 2
v
64
l v 2
vd d 2 g v
64
l v 2
Re d 2 g
(6.34)
prej nga përfundimisht del hw
64
l v 2
Re d 2 g
Nga (6.35) shihet se koeficienti i fërkimit shprehet
64
Re
(6.35)
,
për regjimin laminar, mund të
(6.36)
85
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
6.3 . Karakteristika Karakteristika e rrëgjimit turbulent 6.3.1 Shpejtësia dhe presioni mesatar i pikës Sikurse u pa më sipër, çdo rrjedhje lëngu karakterizohet nga regjimi turbulent ku numri i Reinildsit Re Re . Karakteristikë e dukshme e regjimit turbulent është k
çrregullsia e vijave të rrymës. Ato përveç lëvizjes kryesore gjatësore bëjnë edhe lëvizjen tërthore (fig. 6.4)
Fig. 6.4 Si pasojë e karakterit të lëvizjes lëv izjes madhësia dhe drejtimi i shpejtësisë së grimcave të lëngut ndryshon në varësi të kohës dhe mund të zbërthehet në tre komponentë c x , c y dhe c
. Komponenti
z
c
z
dhe
Komponenti horizontal
c
,me kalimin e kohës ndryshojnë intensitetin dhe drejtimin.
c y
me kalimin e kohës e ndryshon intensitetin, por drejtimi i saj
x
mbetet i pa ndryshueshëm dhe përputhet me drejtimin e rrjedhjes së lëngut (fig. 6.5). Meqenëse ky komponent luan rrolin kryesor në lëvizje në krahasim me dy të tjerat në vazhdim do të marrim parasysh vetëm atë. Fenomeni i ndryshimit të projeksionit të shpejtësisë së çastit c y quhet pulsim i shpejtësisë. Kurba
A1 B1
shpreh c y
f (t ) dhe sipërfaqja
OA1 B1C përcaktohet
prej
integralit T
f (t )T
(6.37)
0
Ku T është një interval i caktuar kohe.
86
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig .6.5 Duke marrë sipërfaqen OA1 B1C të barabartë më katërkëndëshin OABC (fig. 6.5), gjejmë që lartësia e tij do të jetë
c
1
T
f t dt
(6.38)
T 0
Kështu vlera e projeksionit të shpejtësisë lokale
c y
në një çast të caktuar mund të
shprehet
c y
c
'
c y
(6.39)
Ku c quhet shpejtësia mesatare e pikës, që mund të jetë pozitive ose negative, quhet shpejtësia e pulsit. Për një interval kohe të gjatë kemi c y' dt 0. Eksperimantalisht është treguar se pulsimi i shpejtësisë shoqërohet me pulsimin e presionit, d.m.th me ndryshimin ne lidhje me kohën të parametrit p në n ë pikë pi kë të caktuar caktu ar të hapësirës. Në mënyrë të ngjashme me shpejtësinë mesatare të pikës c, edhe presionet mesatare lokale p. Duke pasur parasysh se shpejtësia mesatare lokale c dhe shpejtësia mesatare v kanë dallim. Shpejtësia c paraqet mesataren e projeksionit të shpejtësisë së rrjedhjes ne Q një pikë të caktuar të seksionit të gjallë, ndërsa shpejtësia v është raporti (shih S paragrafin 6.2.1). 6.3.2 .Tensioni tangjencial në regjimin turbulent Me qëllim studimi të ligjshmërisë së rrjedhjes turbulente, nga ana e Prandtlit dhe Karmanit u bënë përpjekje të shumta teorike. Esenca e punës së tyre në gjetjen e ligjit të shpërndarjes së tensioneve do të jepet më poshtë.
87
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Në fig.6.6 . paraqiten shtresat fqinje të t ë lëngut I dhe II me sipërfaqen e puthitjes S dhe me shpejtësinë relative të lëvizjes c ndërmjet, tyre. Përveç shpejtësisë c paraqitet edhe shpejtësia v e lëvizjes tërthore të grimcave (shpejtësia e pulsimit). '
'
'
Fig.6.6 Masa e lëngut që kalon nga shtresa I në shtresën II do të jetë S v ' , ndërsa sasia e lëvizjes, e marrë sipas drejtimit të lëvizjes, është S v ' c ' . Duke përdorur teoremën e mekanikës teorike të ndryshimit të sasisë së lëvizjes, impulsin e forcës do ta jepe forca e fërkimit T. Prandaj T
S c
'
v
'
(6.40)
Tensioni tagjencial do të jetë
T
'
S
c
Sipas teorisë së Prandtlit madhësitë c
Ku
k 1 dhe k 2 janë l 1 është
'
k 1l 1
dc dy
'
c
v
'
'
(6.41)
dhe
dhe v ' k 2 l 1
v
'
janë:
dc dy
(6.42)
koeficientet e proporconalitetit
largësia ndërmjet shtresave
dc
është gradienti i shpejtësisë dy Pas zëvendësimit në ekuacionin (6.41), nxjerrim 2
Duke shënuar
dc k 1 k 2 l 1 dy
'
2
2
k 1 k 2 l 1
2
l , ekuacioni
(6.43)
(6.43) merr formën
2
dc l dy 2
(6.44)
88
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Madhësinë l Prandtli e quajti ,,gjatësi të rrugës së përzierjes” përzierjes ” dhe merret se është në përpjesëtim të drejtë me y nga faqja e brendshme e tubit, d.m.th. l y ku është një koeficient që, sipas autorëve të lartpërmendur, është i barabartë me 0,36 deri 0,435. Ekuacioni (6.44) shpreh tensionin tagjencial të shkaktuar nga turbulence e rrjedhjes. Duke pasur parasysh edhe fërkimin e zakonshëm ndërmjet shtresave të lëngut tensioni tagjencial i përgjithshëm i rrjedhjes turbulente mund të shkruhet.
,
2
dc l dy dy dc
2
(6.45)
Për regjimin turbulent termi i dytë i ekuacionit (6.45) është shumë më i madh sesa i pari. Andaj, për rrjedhje rrjedhje me përzierje të theksuar të lëngut termi i parë nuk merret parasysh dhe ekuacioni I fundit merr pamjen 2
dc l dy 2
(6.46)
6.3.3 Shpërndarja e shpejtësive në regjimin turbulent Duke vendosur në formulën (6.44) shprehjen e dhënë nga Prandtli l y ,
gjejmë dc
1
dy
y
(6.47)
Duke integruar, nxjerrim c
1
ln y
C 1
(6.48)
Ose c
c
ln y
C 1
Këtu me c shënojmë raportin
(6.49)
i cili jep përmasat të shpejtësisë dhe quhet shpejtësi dinamike e rrjedhjes ose shpejtësi e tensionit tangjencial tek muri. Sipas ekuacionit (6.33) del që, në bazë të teorisë së Prandtlit, në regjimin turbulent , shpejtësia shpërndahet sipas ligjit ligjit logaritmik. Kjo Kjo formulë nuk vlen për cipën laminare( fig.6.7). Siç dihet ajo ka formën e parabolës. parabolës. Konstantja e integrimit C1 gjendet në rrugë eksperimentale. Pas futjes së disa koeficientëve empirik të gjetur prej Nikuradzes, formula e fundit merr pamjen -Për tubat të lëmuar
89
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
c c
5.75 log
r 0
r
5.5
-Për tubat të vrazhdë r 0 r c 5 . 75 log 8.5 c
(6.50)
(6.51)
Ku viskoziteti kinematikë dhe lartësia e dhëmbëzimeve të vrazhdësisë. Përveç formulave të formës logaritmike për shpërndarjen e shpejtësisë në tuba përdoren edhe formula të formës k
y c cmax r 0
(6.52)
Ku y është largësia nga faqja e brendshme e tubit k koeficienti që ndryshon nga 0.1 për tuba të lëmuar deri të në 0.25 për tuba të vrazhdë. Në fig. 6.7, paraqiten shpërndarja e shpejtësisë sipas seksionit të gjallë për regjimin turbulent.
Fig. 6.7 Nga kurba e shpejtësisë duket qartë se ndryshimi midis shpejtësisë maksimale cmax dhe shpejtësisë mesatare është shumë ma i vogël se në regjimin laminar. Atje raporti v/cmax. është 0.5 ndërsa në regjimin turbulent është v/cmax=0.75-0.9. Ky raport varet prej numrit të Reinoldsit Re. Për Re shumë të madh kemi vlera më të mëdha të raportit v/cmax përkatësisht kurba e shpejtësisë në regjimin turbulent vjen më e shtypur. Meqenëse në regjimin turbulent shpejtësia në seksionin e gjallë është më e njëtrajtshëm, koeficienti i energjisë kinetike merret 1.01-1.1. Shpeshherë në tubat industrialë nuk merret parasysh.
90
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
7. HUMBJET E ENERGJISË SË LËNGUT Humbjet e energjisë së lëngut , të shkaktuar nga fërkimi i lëngut me mjedisin nëpër të cilin rrjedh, në një interval të caktuar te rrjedhjes janë të barabarta me ndryshimin e energjisë midis prerjes së fillimit dhe prerjes së mbarimit të intervalit që studiohet. Humbjet e tilla quhen humbje hidraulike dhe ndahen në humbje gjatësore dhe humbje hidraulike lokale.
7.1 Humbjet hidraulike gjatësore Në kapitullin e 6 është nxjerrë përfundimi se humbjet hidraulike gjatësore në tubat e rrumbullakët për të dy regjimet e lëvizjes, njësohen në të njëjtën formulë (6.33 dhe 6.34) l v 2 hwgj (7.1) d 2 g
Duke ditur se d=4R kjo formulë mund të përgjithësohet për forma të çfarëdoshme të shtratit. l v 2 hwgj (7.2) 4 R 2 g Për njësimin e humbjeve hidraulike gjatësore problemi kryesor është përcaktimi i koeficientit të humbjeve gjatësore ; madhësitë e tjera zakonisht janë të dhëna ose njehsohen lehtë nga kushtet fillestare.
7.1.1 Klasifikimi i sipërfaqes nga pikëpamja hidraulike Vrazhdësia që ka fuqia e brendshme e tubit ndikon në humbjen e ngarkesë (energjisë) së lëngut. Nga pikëpamja hidraulike mund të bëhet ky klasifikim i sipërfaqes: 1) kur l ( trashësia e cipës laminare)është më e madhe se ( lartësia e thepisjeve të vrazhdësisë konstruktive te faqes së brendshme të tubit) (fig 7.1a) shtresa laminare e mbulon vrazhdësinë konstruktive duke bërë që rrjedhja rrjedhja qendrore turbulente të mos takojë më thepisjet e materialit të tubit. Në këtë rast sipërfaqja quhet e lëmuar.
Fig. 7.1
91
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
2) kur >l>0 (fig. 7.1b), cipa laminare laminare nuk e mbulon plotësisht vrazhdësinë e brendshme të tubit, pasi një pjesë e thepisjeve bashkëveprojnë me zonën qendrore turbulente. Kjo quhet sipërfaqe jo e lëmuar. 3) kur l=0, cipa laminare zbulohet dhe të gjitha thepisjet konstruktive te faqes së brendshëm të tubit bien në kontakt me rrjedhjen turbulente. Në këtë rast sipërfaqja quhet e vrazhdë. Trashësia e shtresës laminare ose shtresës viskoze te regjimit turbulent për vlera Re<100000, mund të llogaritet me formulën: l
d
62.8
Re
0.875
Rritja e numrit Renoldsit Re jep zvogëlimin e trashësisë së shtresës laminare. Kuptimet e lartpërmendur janë relative, pasi me rritjen e Re trashësia e shtresës laminare zvogëlohet. Prandaj, e njëjta sipërfaqe që karakterizohet me një vrazhdësi konstruktive të caktuar, e cila mund të paraqitet si e lëmuar në një interval të numrit të Reinoldsit, në një interval tjetër, cilësohet si e vrazhdë. 7.1.2 Përcaktimi koeficientit të humbjeve gjatësore Për te dy regjimet e rrjedhjes së lëngjeve me sipër është gjetur formula e humbjeve gjatësore të ngarkesës. h gj
l v 2 d
2 g
(7.3)
I vetmi faktor tek i cili ndikon regjimi i rrjedhjes është koeficienti i fërkimit . Në lëvizjen e njëtrajtshme me presion te lëngjeve, për regjimin laminar, është nxjerrë formula.
64
Re
(7.4)
Porsa i përket regjimit turbulent, koeficienti i fërkimit përcaktohet me formula empirike ose gjysmë empirike. Ky koeficient varet nga regjimi i rrjedhjes së lëngut dhe sipas rastit edhe nga ashpërsia e faqes së brendshme të tubit. Në bazë të formulave empirike të disa autoreve, për tubat e lëmuar si në regjimin laminar ashtu edhe në atë turbulent, varet vetëm nga Re dhe në mënyrë të përgjithshme shprehet: f 1 (Re) (7.5)
Për tuba jot ë lëmuar, koeficienti mund të shprehet
f 2 (Re, )
(7.6)
92
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Ku
shpreh
raportin e ashpërsisë të faqes së brendshme b rendshme të tubit me diametrin e tij
d
(7.8)
Për tuba të vrazhdë paraqitet
f 3 ()
(7.9)
d.m.th. me shprehje të cilat përmbajnë vetëm v etëm vrazhdësinë relative Formulat që e përcaktojnë koeficientin e fërkimit janë të shumta, shumta, por ky koeficient përcaktohet me anë të eksperimentit. Nikuradze studioi luhatjen e koeficientit në varësi të numrit të Reinoldsit e të vrazhdësitë së tubit dhe këtë paraqitje grafike në koordinatat logaritmike (fig. 7.2).
Fig. 7.2
Autori eksperimentoi tuba me vrazhdësi të ndryshme relative të krijuar në mënyrë artificiale, duke ngjitur në faqet e brendshme të tubit kokrra rëre të fraksionuara që më parë,. Duke matur disnivelin ndërmjet dy piezometrave të vendosur në një hapësirë l dhe duke llogaritur shpejtësinë v në tub, nga formula e Darsi (7.3) janë nxjerrë, për tuba të ndryshëm grafikët e koeficientit në varësi nga Re. Në grafik dallohen këto zona: Zona I paraqet regjimin laminar ( Re<2300). Koeficienti në këtë zonë varet nga Re dhe gjendet me formulën
64 Re
93
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Pra, për të gjithë tubat e marrë në studim pikat eksperimentale bien mbi vijën e drejtë ab. Zona II është zonë e regjimit turbulent të tubave të lëmuar. Koeficienti vazhdon të varet vetëm nga Re, gjendet me formulën e Blaziusit 0.316
1/ 4
Re
(7.10)
dhe grafikisht paraqitet me një drejtëz të pjerrët. 5 Formula e Blaziusit jep rezultate të kënaqshme për vlerat Re<10 . Mbi këto vlera përdoret formula e Kraman-Prandtlit: 1
2 log(Re )
0.8
(7.11)
Zona III paraqet fushën e kalimit nga sipërfaqja e lëmuar në sipërfaqe të vrazhdë.
Siç shihet nga grafiku varet nga Re dhe vrazhdësia relative . Zona IV paraqet fushën e sipërfaqes së vrazhdë. Siç shihet nga grafiku nuk
varet nga Re, por vetëm nga e faqes së brendshëm të tubit. Humbjet e ngarkesës janë në përpjesëtim të drejtë me shpejtësinë në katror dhe prandaj ajo quhet fusha e rezistencave kuadratike duke pasur si kufi të majtë vijën A-A. 7.1.3 Formula e Shezi ( chezy) Në hidraulikë për rrjedhjen e ujit nëpër tuba e sidomos nëpër kanale kemi të bëjmë zakonisht me zonën kuadratike të rezistencave pasi numri i Reinoldsit Re del I madh dhe i tillë që Re>(Re)kuf2. Prandaj interes të vaqantë paraqet studimi i fushës kuadratike të rezistencës hidraulike. Nga formula e përgjithshme e humbjeve gjatësore, duke zëvendësuar 1 v2 d=4R, kemi. h gj (7.12) 4 R 2 g Prej nga nxjerrim shpejtësinë mesatare v
v
8
g
R
hgj l
C R I ,
(7.13) (7.14)
Ku R dhe I janë përkatësisht p ërkatësisht rrezja dhe pjerrësia hidraulike. Formula (7.14) quhet formula e Shezit dhe koeficienti C që hyn në te quhet gjithashtu koeficienti Shezi. Sipas ekuacionit (7.13) ai ka këtë shprehje: C
8 g
(7.15)
94
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Duke qenë se është numër pa përmasa koeficienti Shezi ka përmasat e rrënjës 0.5 katrore të nxitimit m /s. Pra, nga formula (7.15) mund të nxjerrim nxjerrim
8 g
C 2
(7.16)
Në fushën kuadratike të rezistencave, koeficienti i rezistencës hidraulike varet nga ashpërsia e mureve dhe jo nga numri i Reinoldsit. Prandaj, edhe koeficienti Shezi C varet nga ashpërsia e faqes së brendshme të tubit ose të kanalit. Në teknikë vlera e koeficientit C nuk përcaktohet nga shprehja (7.15), por me formula empirike të bazuara në studime të gjëra eksperimentale, të kryera në natyrë dhe në laboratorë. Disa nga më të rekomanduarat janë: Formula e Maningut: C
1
n
R
1/ 6
,
(7.17)
Ku n është koeficienti I ashpërsisë që varet nga karakteri i sipërfaqes së kanalit dhe materialit të tij. Formula e Agroskinit : C
1 n
17.72 log R ,
(7.18)
y
(7.19)
Formula Pavllovski C
1
n
R
Ku y=f(R,n) Në këto formula n është koeficienti i vrazhdësisë, vrazhd ësisë, vlera e të cilit merret në bazë të sipërfaqes dhe të materialit, ndërsa R rezja hidraulike.
95
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
7.2 Humbjet lokale hidraulike 7.2.1 Kuptime të përgjithshme Përveç humbjeve hidraulike të shkaktuara gjithë rrjedhjes së lëngut, të studiuara deri këtu, rrjedhin rrjedhin edhe humbje të tjera për arsye të kalimit kalimit nëpër rezistenca të veçanta hidraulike. Të tilla janë kthesat, ndryshimet e seksionit, degëzimet, valvolat, filtrat etj. Humbja e energjisë mekanike qe shkaktohen nëpër këto lloj rezistencash quhet humbje lokale. Gjatë kalimit të rrjedhjes nëpër këto rezistenca vihen re dukurit të tilla:ndryshimi i shpejtë i formës së vijave të rrymës, zvogëlimi ose zmadhimi i seksionit të gjallë të rrjedhjes dhe shkëputje të rrymës shoqëruar me shfaqjen e zonave shtjellore. Në kufijtë e zonave të tilla të rrjedhjes, madje edhe pas një farë largësie prej tyre, vrojtohet një deformim i diagramit të shpejtësisë, rritje rritje e pulsimit të shpejtësisë dhe të presionit që e kushtëzon edhe rritjen e tensioneve tagjenciale duke shkaktuar kështu rritjen e humbjeve të energjisë. Humbjet lokale të energjisë mund të llogariten në varësi të koeficientit lok të rezistencës lokale dhe të energjisë kinetike v 2 / 2 g :
hw.lok
lok
v2 2 g
(7.20)
Në disa lloj rezistencash lokale ndodh që shpejtësia shp ejtësia në pjesën e hyrjes dhe në atë të daljes së saj të jetë e ndryshme sikurse është, p.sh., zgjerimi i mëtejshëm i rrjedhjes. Në raste të tilla humbjet lokale mund të shprehen në varësi të njërës ose tjetrës shpejtësi në këtë mënyrë: hw.lok
1
v12 2 g
2
v22 2 g
(7.21)
ku secili koeficient i rezistencës lokale hidraulike karakterizohet nga shprehja e vet. Koeficientet e rezistencës lokale, përgjithësisht përcaktohen me rrugë eksperimentale nga formulat (7.20) dhe (7.21). Megjithatë, për një numër të kufizuar rastesh, mund të gjenden edhe në rrugë teorike. Porsa i takon regjimeve të rrjedhjes, rrjedhjes, më zonën e rezistencës lokale provohet se ndikimi i numrit të Reinoldsit është i vogël dhe, duke qenë se ky ndikim, vecanarishtë në regjimin turbulent është shumë i vogël, do të kufizohemi vetëm në përcaktimin e koeficienteve të rezistencës si varësi e llojit të rezistencës lokale.
7.2.2 Zgjerimi i menjëhershëm i rrjedhjes Humbjet hidraulike në zgjerimin e rrjedhjes nga tubi cilindrik me seksionin (fig. 7.3) në atë me seksion
S 2 mund
S 1
të përcaktohen teorikisht. 96
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Eksperimenti tregon se se në këtë rast lëngu nuk e merr përnjëherësh seksionin seksionin S 2 , por e arrin atë në njëfarë largësie l duke u zgjeruar në mënyrë të shpejtë. Në hapësirën ndërmjet rrjedhjes së lëngut dhe faqes së brendshme të tubit krijohet një zonë e mbushur me lëng që, në formë unazore bën lëvizje shtjellore. Krijimi i kësaj zone, e cila karakterizohet me pulsim të madh të presionit dhe shpejtësisë shoqërohet me humbje të konsiderueshme hidraulike. Këto humbje mund t’i t’i logaritim duke u bazuar në ligjin e ndryshimit të sasisë së lëvizjes, i cili për një drejtim të caktuar x -x, shkruhet:
Qv2 x
v1 x F 1 x
R x
F 2 x
Gx
(7.22)
Si forca që veprojnë në vëllimin e lëngut, ndërmjet seksioneve 1-1 dhe 2-2 me lartësi nga plani 0-0 përkatësisht z 1 dhe z 2, janë: forcat F 1 e presionit në sipërfaqen ab forca R në sipërfaqen unazore Aa-bB, forca F 2 e presionit në sipërfaqen DC dhe forca G e rëndësisë së së lëngut, e cila me drejtimin e pranuar x-x bën këndin . Sipas figurës (7.3), kemi: cos cos
z 1 z 2 l
Duke pranuar që në seksionet 1-1 dhe 2-2 presioni shpërndahet sipas ligjit themelor të hidrostatikës, kemi këto shprehje të forcave: F 1 x
F 1
R x
p1 S 1 ;
G x
G
R
cos
p1 S 2
S 1 ;
S 2 l g
F 2 x
F 2
p2 S 2 ;
z 1 z 2
l
Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (7.22) dhe duke pasur parasysh që projeksionet e shpejtësisë së rrjedhjes sipas sipas drejtimit x-x janë v2 x v2 dhe v1 v 1
x
kemi:
Qv 2
v1 p1 S 1 p1 S 2
S 1 p2 S 2
z z 2 S 2 l g 1 l
(7.23)
97
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig . 7.3 Pasi bëjmë thjeshtimet e nevojshme dhe pjesëtojmë të gjitha gjymtyrët me g S 2 del: v2
v
g
2
v1
p1
p 2
g g
z 1 z 2
(7.24)
Le të përdorim, për rrjedhjen në seksionet 1-1 dhe 2-2, ekuacionin e Bernulit: z 1
2
p1 g
1v1
2 g
z 2
2
p2 g
2 v 2
2 g
hw. zgj
(7.25)
Duke pranuar 1 2 1 dhe duke i sistemuar gjymtyrët e këtij ekuacioni në përshtatje me ekuacionin (7.24) kemi:
z 1
p1 g
z 2
p2 g
v 22 2 g
v12 2 g
hwzgj
(7.26)
Sikurse duket, ekuacionet (7.24) dhe (7.26) kanë nga një anë të barabartë prandaj: v22 2 g
v12 2 g
hwzgj
v2 g
v
2
v1
(7.28)
Nga ky ekuacion nxjerrim:
98
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
hwzgj
v22 g
v1v2 g
v22 2 g
v12 2 g
v12
2v1v 2
2 g
v 22
v
1
v2
2
2 g
(7.29)
Domethënë humbjet hidraulike në rastin e zgjerimit të menjëhershëm janë të barabarta me energjinë kinetike të ndryshimit të shpejtësisë. Duke lidhur shpejtësitë v1 dhe v 2 me anë të ekuacionit të vazhdueshmërisë v1 S 1
v2 S 2 dhe
duket zëvendësuar në formulën (7.29) kemi: 2
2
S S v v 1 v S S v S 1 2 g 2 g S 2 g 1
1
hwzgj
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
(7.30)
2
dhe 2
S v v S 2
2
hwzgj
2
2 g
2
S 1 v S v S 1 S g 2 g 2 2
2
2
2
1
2
2
2
(7.31)
1
Nga ekuacionet (7.30) dhe (7.31) del që koeficientet e rezistencës së s ë zgjerimit të menjëhershëm përkatësisht për shpejtësitë v1 dhe v 2 janë:
1 1
S 1
S 2
2
dhe
S 2 2 1 S 1
2
(7.32)
Si rast i veçantë i zgjerimit të menjëhershëm paraqitet ai i daljes së rrjedhjes nga një tub në një rezervuar (fig. 7.4)
Fig. 7.4
99
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Meqenëse seksioni raporti
S 1 S 2
S 2
i rezervuarit është shumë më i madhe se seksioni
S 1 i
tubit
0, kështu, koeficienti i rezistencës do të jetë: dalje
1
(7.33)
7.2.3 Ngushtimi i menjëhershëm i rrjedhjes Në këtë rast, gjatë lëvizjes së lëngut, në seksionin n-n ndodh një ngushtim i seksionit të rrjedhjes, e cila më poshtë zgjerohet dhe merr madhësinë e seksionit S 2 (fig. 7.5). Humbjet e energjisë nga prerja n-n në atë 2-2 janë shumë më të mëdha se ato nga seksioni 1-1 në seksionin n-n. Duke shprehur vetëm humbjet e energjisë nga seksioni n-n në atë 2-2 kemi: 2
hwng
Duke shënuar
S n S 2
, ku
S v 1 S g 2 n
është
2
2
2
(7.34)
koeficienti i kontrakcionit, nxjerrim
2
v2 1 v2 hw 1 2 C 2 2 g 2 g
(7.35)
Fig. 7.5. Koeficienti i kontrakcionit si rrjedhim edhe koeficienti i rezistencës hidraulike ,
në ngushtimin e seksionit, varet nga raporti raporti koeficientit të rezistencës
ng
S 2 S 1
. Më
në varësi të raportit
poshtë paraqiten disa vlera të S 2 S 1
, të nxjerra në mënyrë
eksperimentale: S2/S1 ng
0.01 0.5
0.1 0.5
0.2 0.42
0.4 0.33
0.6 0.25
0.8 0.15
1 0 100
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Në qoftë se kalimi nga S 1 dhe energjisë llogariten në formulën: hwng
Ku
1
ng
1
S 2 bëhen
v22 2 g
,
në formë konike (fig. 7.6) humbjet e
(7.36)
sin
Fig. 7.6 Si rast i veçantë i ngushtimit të menjëhershëm është ai i kalimit nga një rezervuar në një tub me seksion S 2 (fig. 7.7). Meqenëse seksioni i rezervuarit është shumë më i madh se ai i tubit raporti S 2 S 1
0 dhe
në bazë të pasqyrës së mësipërme, koeficienti i humbjeve lokale në hyrje do
të jetë: hyrje
0,5
Fig. 7.7
(4.123)
Fig. 7.8
Kur hyrja në tub bëhet në kushte të buta, si ato të figurës (7.8), koeficienti i rezistencës në hyrje zvogëlohet dhe mund të bëhet: 0,2 0,1
7.2.4 Ndryshimi i drejtimit të rrjedhjes Ndryshimi i drejtimit të rrjedhjes mund mun d të jetë: i menjëhershëm dhe në formë të lakuar. Në rastin e parë (fig. 7.9) rrjedhja kërkon të shkëputet nga ana e brendshme (zona A ) duke krijuar një ngushtim në seksionin n-n. Ky ngushtim dhe zona A në formë shtjelle janë aq më të theksuara sa më i madh të jetë këndi , i ndryshimit të drejtimit të 101
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
rrjedhjes. Pas ngushtimit, rrjedhja rrjedhja zgjerohet përsëri duke shkaktuar humbje lokale të energjisë. Koeficienti i rezistencës në këtë rast, për bërryl me seksion tërthor dhe me diametër jo të madh, mund të llogaritet me formulën: sin 2
2
2 sin
4
2
(7.38)
Fig. 7.9 Vlerat e koeficientit të rezistencës të llogaritura me formulën (7.28) janë këto:
0
20 0.045
40 0.14
60 0.36
80 0.74
90 0.98
100 1.26
120 1.86
Formula (7.38) jep rezultate të mira për këndin të ndryshëm nga
90
140 2.43 0
. Studimet
eksperimentale tregojnë se për një bërryl të mprehtë me këndin 900 koeficienti i rezistencës është 1,1 1,3. Në qoftë se vendosen drejtues të rrjedhjes (fig. 7.10) humbjet hidraulike zvogëlohen, sepse shtjellat pas kthesës pakësohen. Vlera e koeficientit në këtë rast arrin
0,3 0,2.
Kur ndryshimi i rrjedhjes bëhet në formë të lakuar (fig.7.11), koeficienti i rezistencave varet nga këndi i kthesës dhe raporti
d Ro
. Ai mund të përcaktohet me
formulën: 3.5 d 0 0.131 0.131 R 0 90
Fig. 7.10
(7.39)
Fig. 7.11
102
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
0
Për bërrylin me kënd =90 vlerat e koeficientit , të llogaritura me formulën(7.39), janë këto: d/R 0
0.2 0.13
0.4 0. 4 0.14
0.6 0.16
0.8 0.21
1.0 0.29
1.2 0.44
1.4 0.66
1.6 0.98
1.8 1. 8 1.41
2.0 1.98
7.2.5 Degëzimet e rrjedhjes Në figurën 7.12 paraqiten disa raste skematike të degëzimeve të ndryshme. Humbjet lokale në to, si edhe në rastet e mëparshme, llogariten në formulën (7.2). v2 , hl 0 k 2 g Ku në rastin e degëzimit simetrik nga magjistrali (7.12a) dhe të atij të mbledhjes në magjistral( fig.7.31b), koeficienti i rezistencës është =1.4, ndërsa në degzimin e njëanshëm (fig. 7.12c), për magjistralin me shpejtësi v1 ai është =0 dhe për degëzimin me shpejtësi v2 ka këto vlera në varësi të këndit : 0 15 30 45 60 90 0.1 0.3 0.5 0.7 1.3 2
Fig. 7.12 Për raste më të ndërlikuara nga të paraqitura në figurën 7.12,a,b, dhe c koeficienti i rezistencës lokale gjendet në literaturë të veçantë të hidraulikës, në varësi të seksioneve dhe të prurjeve që kalojnë nëpër degëzimet.. 7.2.6 Kalimi i rrjedhjes rrjedhjes nëpër saraçineska, saraçineska, rubinete, valvola dhe filtra Në saraçineska (fig. 7.13), humbjet lokale varen nga shkalla e mbylljes së saj, domethënë nga raporti a/d. Vlerat e koeficientit janë të tilla. a/d 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 0 0.07 0.26 0.81 2.06 2.52 17 97.8 Në rubinet (fig 7.14), koeficienti i rezistencës lokale varet nga lloji I konstruksionit të të tyre dhe ka vlerën =2-8. Në valvola më shaniere (fig. 7.15) koeficienti ko eficienti i rezistencës varet nga këndi k ëndi dhe ka këto vlera:
0
20 62
30 30
40 14
50 6.6
60 3.2
70 1.7 103
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig. 7.13
Fig 7.14
Fig. 7.15
Fig. 7.16
Në filtra të pajisur edhe me valvola të kundërta (fig. 7.16) koeficienti i rezistencës është =8-10, ndërsa për rastin pa valvola =5-6.
104
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
8. RRJEDHJA E QËNDRUESHME E LËNGJEVE NËPËR TUBA Lëvizja e qëndrueshme e njëtrajtshme me presion në tuba me seksion rrethor është rasti më i përgjithshëm e rrjedhjes së lëngjeve në inxhinierinë mekanike. Le të analizojmë këtë rast.
8.1. Rrjedhja me presion Kur presioni absolut i lëngut në fillim dhe gjatë rrjedhjes është më i madh se presioni atmosferik, thuhet që rrjedhja është me presion. Është ky rast që ndeshet në rrjedhjen e lëngut nëpër tuba. Llogaritja hidraulike e kësaj lëvizje bazohet në zgjedhjen e ekuacionit të vazhdueshmërisë, ekuacionit të Bernulit, formulës Vahsbah Darsi për humbjet gjatësore dhe formulave Shezi për shpejtësinë dhe prurjen. Formula Shezi për prurjen kishte pamje: Q S C R i. Për një tub me seksion konstant dhe me material të caktuar, seksioni i gjallë S, koeficienti Shezi C dhe rrezja hidraulike R kanë vlera që varen vetëm nga diametri i tubit. Prandaj duke shënuar
S C
R
K
(8.1)
formula Shezi për prurjen shkruhet Q
K
i
(8.2)
ku K quhet modul i prurjes Duke zëvendësuar
i
hw
l
në ekuacionin (8.2), nxjerrim
Q
K
hw
(8.3)
l Q 2
(8.4)
l
nga ku del 1
hw
Po që se shënojmë
1 K
2
K
A, e
hw
2
që A paraqet rezistencën specifike, atëherë nxjerrim
A l Q 2
(8.5)
105
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Kjo është formulë themelore për llogaritjen e tubave të gjatë me rrjedhje turbulente në zonën kuadratike të rezistencës. Siç dihet koeficienti Shezi është f ku ,
C
8 g
shprehet
.
d
. Për zonën kuadratike të rezistencave kemi
. Nga kjo del se koeficienti Shezi është
d
(8.6)
C f f
Po qe se analizohet shprehja (8.1), duke marrë parasysh edhe shprehjen e fundit për koeficientin C rezulton se moduli i prurjes është funksion i vrazhdësisë dhe i diametrit të tubit. Po të marrim, p.sh., tuba prej gize që kanë një vrazhdësi të caktuar atëherë del se moduli prurjes K varet vetëm nga diametri d. Duke pasur këtë parasysh, është dhënë si shembull tabela 8.1. Duke ditur diametrin gjendet moduli i prurjes dhe kundërta kur njihet K përcaktohet d. ,
Tabela 8.1
Vlerat e dhëna në tabelën 8.1 kanë të bëjnë me tubat prej gize të përdorur 1 1,5mm në fushën kuadratike të rezistencave. Llogaritja hidraulike e tubave që punojnë jashtë zonës kuadratike të rezistencave ndryshon nga llogaritja e mësipërme për faktin se ajo duhet të bazohet në formulën Vajzbah Darsi, duke përcaktuar koeficientin e fërkimit ashtu sikurse është treguar në paragrafin (7). Këtu janë studiuar tubat për të cilët, siç është përmendur, humbjet lokale të ngarkesës janë shumë të vogla dhe si të tilla ato ose nuk merren parasysh ose shtohen ne fund të llogaritjes në formën e një shtese prej 3-5% të humbjeve gjatësore. Të tillë janë tubat me gjatësi mbi 200 m. ,
106
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
8.2 Tubat e shkurtër Problemet që shtrohen për t’u zgjedhur në tubat e shkurtër janë të njëjta me të tubave të gjatë. Në rast se gjatë rrjedhjes humbjet lokale janë më të mëdha se s e (5-10)% të gjitha humbjeve, themi se kemi të bëjmë me tuba të shkurtër. Humbjet e ngarkesës në tubat e shkurtër përbëhen nga dy gjymtyrë: nga humbjet gjatësore dhe nga humbjet lokale. Në rastin e përgjithshëm llogaritja e tubave të shkurtër mund të tregoh et, duke zbatuar ekuacionin e Bernulit për dy rezervuarë të hapur e të lidhur me një tub të shkurtë, i cili përmban edhe rezistenca lokale (bërryla, saraçineska etj.) (fig. 8.1.) H
p a
2
v1 2 g
p a
2
v 2
2 g
hw
(8.7)
Duke qenë presionet e barabarta dhe duke mos marrë parasysh shpejtësitë e ndryshimeve të niveleve, nxjerrim H
hw
(8.8)
Që do të thotë se disniveli ndërmjet dy rezervuarëve paraqet ngarkesën H të nevojshme për kapërcimin e rezistencave hidraulike gjatë lëvizjes lëviz jes së lëngut nga rezervuari A në rezervuarin B.
Fig. 8.1. Duke shprehur analikisht humbjet gjatësore dhe humbjet lokale të ngarkesës kemi H hw
l v 2 d
2 g
v2 2 g
(8.9)
Nga shprehja (8.9) nxjerrim:
107
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
1
v
l d
2 g H
(8.10)
Le të shënojmë 1
l d
(8.11)
(8.12)
s
s
2
Atëherë shpejtësia do të jetë v
g H
Rrjedhimisht dhe prurja Q
v S
s
S
2
g H
(8.13)
ku quhet koeficienti i prurjes i sistemit, i cili merr parasysh si humbjet gjatësore ashtu edhe ato lokale. Formula (8.13) është e formës së përgjithshme dhe me anën e saj bëhen llogaritjet hidraulike të tubave të shkurtër. Duke ditur vlerën e koeficientit (llogaritet duke u bazuar në paragrafin 6. dhe 7.), në qoftë se është dhënë prurja Q, me anë të formulës (8.13), përcaktohet disniveli H. s
s
8.3. Tubi i thjeshtë Tubi quhet i thjeshtë kur ai ruan të njëjtin diametër, nuk ka degëzime dhe ka prurje të pandryshuar. Tubi në fig. 8.1. paraqet p araqet një tub të thjeshtë. Në tubat e gjatë e të thjeshtë shtrohen tri probleme për tu zgjedhur: a) përcaktimi i ngarkesës së nevojshme H (ose h ) për kalimin e prurjes Q nëpër tubin me diametër d, gjatësi l dhe me material të njohur b) përcaktimi i prurjes së lëngut kur njihen diametri i tubit d, ngarkesa H, gjatësia l dhe lloji i materialit c) përcaktimi i diametrit të tubit d për kalimin e prurjes pr urjes së dhënë Q nëpër rrugën r rugën l me ngarkesë të njohur H. Zgjidhja e këtyre problemeve kryesisht bazohet në ekuacionet e nxjerra në paragrafin 8.1. w
108
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
8.4 Zbatime të tubave të thjeshtë 8.4.1. Tubi ne formë sifoni
Tubi që lidh dy rezervuarë të disnivelizuar, një pjesë e të cilit ndodhet mbi nivelin e rezervuarit të sipërm quhet sifon. Që të vihet në veprim sifoni atij paraprakisht duhet t’i hiqet ajri e të mbushet me lëng. Arsyetimi mbi shkakun e lëvizjes së lëngut nëpër sifon jepet përmes fig. 8.2.
Fig. 8.2. E parafytyrojmë tubin të mbushur më lëng në gjendje të qetë. Shkruajmë ekuacionin për presionin në pikën A (që ndodhet në seksionin sek sionin më të lartë K-K) nga të dy anët: - nga ana e majtë e pikës: p Am
pa
pa
h Am
(8.14)
h Ad
(8.15)
-nga ana e djathtë: p Ad
Siç shihet nga fig. 8.2. h h rrjedhimisht p Ad p Am . Meqenëse është kështu lëngu nuk mund të qëndrojë në qetësi, por do të lëvizë në drejtim të presionit më të vogël d.m.th. nga majta në të djathtë. Duke zbatuar ekuacionin e Bernulit për nivelet e lëngut në rezervuarë do të arrihet deri te formula (8.8) e rrjedhimisht edhe (8.9). Kjo do të thotë se edhe për sifonin mbetet e vlefshme formula e përgjithshme për llogaritjen e tubave. Rrjedha e lëngut nëpër sifon ka një veçori, analiza e së cilës bëhet duke shkruar ekuacionin e Bernulit për seksionet 1-1 dhe K-K. Am
H
pa
Ad
v12 2 g
,
h Ad H
p A
v A2 2 g
hW 1
A
(8.16)
109
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Duke mos marrë parasysh termin
v12
2 g
, dhe
duke zëvendësuar
h Ad
H
h Am
,
gjejmë pa
2
p A
h Am
v A
2 g
hW 1
A
(8.17)
Ana e majtë në ekuacionin (8.17) jep presionin vakumetrik të shprehur në lartësi p a
p A
hV
(8.18)
Duke përfshirë shprehjen (8.18) në ekuacionin (8.17), gjejmë lartësinë e sifonit mbi nivelin e rezervuarit të lartë h Am
hv
v2
2 g
hW
1 A
(8.19)
Vlera maksimale e h është e barabartë me ekuivalentin e presionit atmosferik, d.m.th. me kolonën e lëngut që i përgjigjet presionit atmosferik v
hVmaks
p a
(8.20)
Duke pasur këtë parasysh, nga shprehja (8.19), rrjedh: h Amaks Amaks
hVmaks
(8.21)
Pra, për sifonin, si karakteristikë e rrjedhjes së lëngut nëpër të është vakumi. Për ujin hVmaks sillet 6-7 m kolonë kolonë uji. Kjo do të thotë se mundësia përdorimit të tij është e kufizuar h Amaks Amaks 6 7m. Përveç kësaj lartësinë e sifonit e pengon edhe fenomeni i kavitacionit dhe grumbullimi i ajrit në pjesën më të lartë të tij.
8.4.2. Tubi thithës i pompës
Tubi që bashkon pompën me rezervuarin nga i cili thithet lëngu quhet tub thithës. Rrjedhja e lëngut nëpër tubin thithës të pompës realizohet me anë të vakumit. Pra, kemi ngjashmëri midis sifonit dhe tubit thithës. Duke zbatuar ekuacionin e Bernulit për seksionet 1-1 dhe 2-2, fitojmë një ekuacion identik me atë (8.19), me ç’rast h do të jetë v
110
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
hv
pa
p2
(8.22)
Fig. 8.3. Vlera maksimale e vakumit arrihet në hyrje të pompës, seksioni 2-2. Nga shprehja e sipërme del se sa më i madh të jetë vakumi p2 0, aq më e madhe do të jetë lartësia e thithjes. Pra, edhe te pompa, lartësia e thithjes kufizohet nga faktorë të njëjtë sikurse te sifoni. Zakonisht vakumi para rrotës së punës të pompës duhet të jetë: hV 4 6m kolonë uji 39,25 58,88kPa. Duke njohur madhësinë e vakumit të lejuar hVlej lartësia maksimale e thithjes ,
hthmaks
,
gjendet duke përdorur shprehjen (8.19) hthmaks
hvlej
v2
2 g
hWt
(8.23)
Ku hWt Paraqet humbjet e ngarkesës në tubin thithës
8.5. Tubat e përbërë Sistemi i tubave të thjeshtë të lidhur ndërmjet vete formon tuba të përbërë. Në këtë paragraf do të shqyrtojmë tuba të lidhur në seri dhe në paralel me prurje të pandryshuar. 8.5.1. Lidhja e tubave në seri
Sistemi i tubave të thjeshtë, të vendosur njëri pas tjetrit, formon lidhjen në seri të tubave (fig. 8.4), Veçoritë e lidhjes në seri janë: - prurja mbetet e pandryshuar gjatë gjithë tubit, 111
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Q Q1
-
Q2
Q3
(8.24)
humbja e plotë hidraulike (ngarkesa ) H është e barabartë me shumën e humbjeve të secilit tub H
hW 1
hW 2
hW 3
(8.25)
Duke i shprehur humbjet e ngarkesës për tub të thjeshtë sipas formulës (6.4) dhe duke pasur parasysh se prurja mbetet e pandryshuar, nga ekuacioni (8.25) nxjerrim: H
l 1 2 1
K
2
Q
l 2 2 2
K
2
Q
l 3 2 3
K
n
2
Q Q
2
l K i i 1
2 1
(8.26)
Fig. 8.4. Për rastin e prurjes transit ( pa dhënie – marrje të lëngut) për lidhje në seri të tubave, ngarkesa është e barabartë me shumëzimin e prurjes në katror me shumën e rezistencave të gjithë tubave të thjeshtë. Nga ekuacioni (8.26) nxjerrim prurjen
Q
H n l i
(8.27)
K
2
i 1
1
112
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
8.5.2. Lidhja e tubave në paralele
Sistemi i tubave me përmasa të ndryshme, të vendosur paralel me njeri tjetrin dhe që lidhin dy pika të tubi të thjeshtë formojnë lidhjen e tubave në paralel. Veçoritë e lidhjes në paralele janë: - prurja e sistemit është e barabartë me shumën e prurjeve pr urjeve të tubave të thjeshtë Q Q1
-
Q2
Q3
(8.28)
humbjet e ngarkesës janë të barabarta për të gjithë tubat e thjeshtë hW 1
hW 2
hW 3
H A
H B
H
(8.29)
ku H dhe H janë ngarkesat hidrodinamike në pikat A dhe B të tubit (fig. 8.5) veçoria e dytë shpjegohet me faktin se pikat A dhe B janë të përbashkëta për secilin tubë të thjeshtë. Me këtë rast pjerrësitë hidraulike janë të ndryshme dhe shprehen: A
B
ii
H
l i
(8.30)
Ku i është treguesi që u përket tubave të caktuar.
Fig. 8.5. Forma e përgjithshme e të shprehurit të prurjes për secilin tub që lidh pikat A dhe B është Qi
K i
ii
K i
H l i
(8.31)
Për n tuba të thjeshtë do të kemi n ekuacione, e duke ua shtruar edhe ekuacionin (8.28) (por në formë të përgjithshme ) formohen n+1 ekuacione me n+1 të panjohura (n prurje të veçanta dhe ngarkesa H). Të panjohura caktohen me zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve. 113
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
114
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
8.6. Humbjet e ngarkesës në tubin me prurje të ndryshuar Do të trajtohet rasti i tubit me diametër konstant, i cili një pjesë të prurjes e shkarkon njëtrajtësisht gjatë rrugës. Në hyrje futet prurja QT Q sh ndërsa në dalje të tij largohet prurja QT (fig. 8.6.). Ku mënyra transite në tub (prurja që del në fund të tubit), ndërsa Q sh prurja që ,
shkarkohet. Në këtë rast gjatë rrugës shpërndahet prurja specifike q
Qsh l
Fig.8.6 Në një seksion me lartësi x nga fillimi i tubit prurja do të jetë Q x
Q sh QT q x Q sh QT
Qsh l
x
(8.32)
Ndërsa pjerrësia hidraulike 2
i x
Qx
K 2
(8.33)
Zëvendësojmë (8.32) në (8.33) dhe gjejmë 2
Q sh QT Q sh l x i x K 2
(8.34)
Humbjet e ngarkesës për gjatësinë elementare dx do të jetë Q Q 2 T sh
dH i x dx
K 2
2 Q sh
l K 2
QT Q sh x
x 2 dx l 2 K 2 Qsh
2
(8.35)
Pas integrimit në kufijtë prej o deri në l nxjerrim
115
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
QT Q sh
2
H
K 2
x
2 Q sh
QT Q sh
l K 2
x 2 2
Q sh2
x3
l 2 K 2
3
l
(8.36)
0
Përfundimisht kemi H
1 2 l 2 Q T QT Q sh Q sh 2 3 K
Kur prurja transiter është zero, kemi 1 l H Q sh
(8.38)
2
3
2
(8.37)
K
Krahasimi i formulës së fundit me formulën (8.4) tregon se gjatë shpërndarjes së njëtrajtshme të prurjes humbjet e ngarkesës janë tri herë me të vogla se gjatë kalimit transit të kësaj prurjes. Shprehja brenda kllapave në ekuacionin (8.37) mund të shkruhet QT 0,55Q sh 2 Duke futur kuptimin mbi prurjen llogaritëse Ql log
QT
0,55Q sh
(8.39)
Në vend të formulës (8.37), përdoren përdor en formulën e përgjithshme H
l
2
K
Ql 2log
(8.40)
Si për prurjen transite, prurja e shpërndarë në ,mënyrë të njëtrajtshme, ashtu edhe për rastin ë përbërë të kalimit dhe të prurjes transite edhe të asaj të shpërndarë gjatë rrugës.
8.7 Rrjedhja me kavitacion Ulja e presionit, e cila ndodh kur lëngu në zona të ngushtuara ose të kurmëzuara të një tubi me presion, shkakton fenomenin që quhet kavitacion. Kavitacioni paraqitet si pasojë e ndryshimit të shpejtë të gjendjes së fluidit – nga nga ajo e lëngut në të gazet. Kjo do të thotë se një pjesë e lëngut që rrjedh në tub shndërrohet në avull. Nga lëngu gjithashtu shkëputen grimcat e gazrave të tretur që ndikojnë në paraqitjen e kavitacionit.
Fig. 8.7
116
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Për të shpjeguar dukurinë e kavitacionit le t’i referohemi fig. 8.7. Lëngu me presion vjen në ventilin A dhe pastaj rrjedh në tubin prej xhami i cili në fillim ngushtohet menjëherë e më tutje zgjerohet gradualisht dhe më në fund derdhet në atmosferë. Varësisht nga hapja e ventilit do të rritet edhe shpejtësia e rrjedhës së lëngut e si pasojë e kësaj presioni do të bjerë. Kur presioni në pjesën e ngushtuar të tubit arrin një vlerë të caktuar lind fenomeni i kavitacionit. Së pari veçohen gazrat e pastaj krijohen avujt e lëngut. Zona e kavitacionit rritet me rritjen e shpejtësisë përkatësisht prurjes. Pasoja të kavitacionit janë gërryerja e materialit në vendin ku shfaqet, rritja e humbjeve të ngarkesës edhe ulja e aftësisë transportuese të tubit. Kavitacioni mund të shfaqet në të gjitha pajisjet që kanë zona me presion të ulët. Rast më i shpeshtë i shfaqjes së kavitacionit janë tubat thithës të pompave. Gati e tërë gjatësia e tubave të tillë është e përshkuar me fenomenin e kavitacionit. Rrjedhja nëpër këta tuba përbëhet nga dy gjendje: nga lëngu dhe nga avulli. Fazat e krijimit të këtyre gjendjeve janë treguar në fig. 8.8.
Fig. 8.8. Në fazën e parë avujt shpërndahen njësoj në të gjitha vëllimin v ëllimin e lëngut, më vonë ndodh bashkimi i flluskave në xhepa avulli, të cilat në tubat horizontalë grumbullohen në pjesën e sipërme, e më vonë, në fazën e fundit, formohen dy rryma të veçanta: sipër rryma e avujve dhe e gazit e poshtë rryma e lëngut. Në tuba me diametër të vogël mund të krijohen tapa avulli dhe rrjedhja të ndërpritet (fig. 8.9.)
Fig. 8.9. Paraqitja e avullit dhe e gazit në tub zvogëlon prurjen. Shkatërrimi i materialit të tubit vjen si pasojë e kondensimit shumë të shpejtë të flluskave të gazit dhe avullit. Në përgjithësi kavitacioni është një fenomen i dëmshëm, prandaj synohen të kufizohet efekti shkatërrues i tij ose të mënjanohet krejtësisht.
117
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
9. RRJEDHJA E PAQËNDRUESHME-GODITJA HIDRAULIKE Sikur është përcaktuar ma parë, rrjedhja rrjedhja quhet e paqendrueshme kur në çdo pikë të caktuar të hapsirës së mbushur me lëng, shpejtësia dhe presioni varen nga kordinatat e saja dhe koha. Në rrjedhjen nëpër tuba, lëvizje të paqendrueshme kemi atëher kur, për shkak të mbylljës ose hapjes së saraçineskave ose pajisjeve të tjera hidraulike, ndryshon ndryshon shpejtësia e lëvizjes së lëngut. Me ndryshimin e prurjes, ndryshojnë edhe parametrat hidraulikë (shpejtësia, presioni etj). Ky ndryshim i shpejtë i parametrave n ë tuba shkakton veprimin dinamik që në mekanikën e lëngjeve njihet me emrin goditje hidraulike.
9.1. Goditja hidraulike nëpër tuba të thjeshtë Në këtë kapitull trajtohet goditja hidraulike nëpër tuba të thjeshtë, e cila lind si rezultat I lëvizjes së paqëndrueshme me presion.
Fig. 9.1.
Fig. 9.2.
Prej rezervuarit A (fig. 9.1.) rrjedh lëngu nëpër tubin me diametër d, gjatësi l dhe trashësi të murit . Ta zëmë se përmasat e rezervuarit A janë të tilla që niveli I tij nuk ndikohet nga ndryshimi i prurjes në tub. Në pikën B të tubit është vendosur ndonjë saraçineskë, valvulë apo ndonjë aparat drejtues i turbinës. Meqë konsiderohet se në tërë gjatësinë l të tubit diametri d dhe trasësia e murit janë të pandryshuara del se prurja e lëngut dhe shpejtësia mesatare e rrjedhjes janë ko nstante. Në fillim le të supozojmë supozo jmë se saraçineska në pikën B është mbyllur menjëherë. Si pasojë pasoj ë e kësaj mbylljeje lëngu që ka lëvizur me shpejtësi mesatare v, do të frenohet, më ç’rast shkaktohen forca të mëdha inercie. Këto forca shkaktojnë rritjen e presionit për p. Ky ndryshim presioni mund të jetë aq i madh mad h sa të tejkalojë atë fillestar p. Ndryshimi i presionit p do të gjendet me ndihmën e teoremës së ndryshimit të sasisë së lëvizjes. Në qoftë se para mbylljes së saraçineskës ka vepruar presioni p dhe lëngu ka rrjedhur me shpejtësi v, atëherë pas mbylljes, në sipërfaqen e seksionit I-I do të kemi presionin p p (fig. 9.2) dhe shpejtësinë zero, ndërsa në sipërfaqen e seksionit IIII, presioni dhe shpejtësia do të ruajnë vlerat e tyre fillestare p dhe v.
118
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Le të zbatojmë teoremën e ndryshimit të sasisë së lëvizjes për masën elementare të lëngut Brenda prerjeve I-I dhe II-II për intervalin t kohës nga çasti i mbylljes të saraçineskës:
S l 0 v p S t
p p S t
(9.1)
Pas thjeshtimit nxjerrim l v p t
(9.2)
prej nga del ndryshimi I presionit p
l t
v
(9.3)
Ku paraqet dendësinë e lëngut, ndërsa raporti përhapjes së ndryshimit të presionit dhe shënohet me c. Pra kemi: p c v Në qoftë se barazimin (9.4) zëvendësojmë
,
t shpreh
shpejtësinë e (9.4)
atëherë ndryshimin e presionit
g
p mund
ta shprehim në varësi të lartësisë së kolonës, në formën p
h
cv g
(9.5)
Ashtu sikurse u ndrydh masa e lëngut në afërsi të saraçineskës, do të ndrydhen njëra pas tjetrës edhe masat e tjera të lëngut, duke transmetuar kështu shtresën e presionit nga pika B drejt pikës M. Për kohën l/c shtesa e presionit p do të përhapet në tërë gjatësinë e tubit, kështu që i gjithë lëngu në tub ndodhet i qetë në gjendje të ndrydhur. Kjo gjendje mund të jetë e qëndrueshme pasi niveli i rezervuarit A nuk ndryshon nga sa u tha më lart dhe, si rrjedhojë, në shtresën fundit të lëngut, në anën e djathtë të pikës M (në tub) vepron presioni p p , ndërsa në anën e majtë të kësaj pike (në rezervuar), vepron vetëm presioni p. Nën ndikimin e këtij ndryshimi të presionit lëngu fillon të zhvendoset për në rezervuar më shpejtësinë v0 por me kahje të kundërt. Në të njëjtën kohë shtesa e presionit fillon të zhduket. zhd uket. Shtesa e presionit zhduket me shpejtësinë c dhe në momentin 2 l / / c e gjithë masa e lëngut në tub çlirohet nga shtesa e presionit dhe duke u gjendur kështu nën presionin fillestar do të ndodhet n ë lëvizje me shpejtësi v 0 drejt rezervuarit A.
Duke përsëritur arsyetimet vijnë në përfundim se ne fund të kohës 2 l / / c presioni në saraçineskë duhet të zbresë në vlerën - p c v. Kjo rënie e presionit do të përhapet në tub dhe në kohën 3 l / / c arrin në pikën M në rezervuarin A. Në këtë kohë është krijuar një gjendje e qetësisë së lëngut në tub. Nga shkaqet e përmendura më sipër kjo gjendje nuk mund të qëndrojë dhe përsëri lëngu fillon të lëvizë nga
119
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
rezervuari për në tub, me shpejtësi
v
0
dhe ne çastin
4 l / / c i
gjithë lëngu do të ndodhet në
kushtet e fillimit. Në qoftë se e pranojmë mbylljen e menjëhershme të saraçineskës atëherë diagrami i luhatjeve të presionit në faqen e brendshme të saraçineskës ka formën e treguar në fig. 9.3.a. Në fig. 9.3.b. paraqitet gjendja e presionit në një seksion të çfarëdoshëm në largësinë x nga saraçineska. Në këtë diagram, t 0 është çasti i mbylljes së saraçineskës B. Ndryshimi ndërmjet tyre është se ndërsa në seksionin I-I shtesa shtesa e presionit p është e menjëhershme dhe përsëri në mënyrë të menjëhershme pas kohës 2 l / / c presioni ulet në - p në një seksion të çfarëdoshëm në gjatësinë x, si rritja e presionit ashtu edhe ulja e tij, vonohen për një kohë x/c.
,
Fig. 9.3. Periudhat e përmendura më sipër dhe të paraqitura në fig. 9.3. vlejnë për lëngun ideal. Në lëngun real, për shkak të viskozitetit, vala e goditjes hidraulike vjen duke u shuar dhe i gjithë fenomeni do të ketë formën e një sinusoide zvogëluese (fig. 9.4.)
120
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig. 9.4.
9.2.Shpejtësia e përhapjes së goditjes hidraulike Duhet përcaktuar shprehjen e shpejtësisë c t ë përhapjes së goditjes hidraulike. Në çastin t, presioni i rritur p p , dendësia e rritur dhe seksioni i zgjeruar S+ S le të shtrihen prej saraçineskës deri të seksioni MM’ (fig. 9.5). Për kohën t kjo shtrirje le të zgjatet për l c t dhe në momentin t t do të vijë në seksionin M 1 M 1 .
Fig . 9.5. Në vëllimin e zmadhuar, ndërmjet ndërmjet seksioneve MM’ dhe lëngut
S S c t .
Ndryshimi
I
kësaj
'
M 1 M 1 ,
mase
do të zërë vend masa e dhe
masës
fillestare
S c t është
S S c t S c t S S c t Në këtë shprehje nuk është
përfillur prodhimi I madhësive të vogla
ndryshim e plotëson lëngu që për kohën
t është
(9.6) S . Këtë
future nëpër seksionin M 1 M 1' , në sasinë 121
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Q t S v t
(9.7)
Duke barazuar anët e djathta të dy ekuacioneve të sipërme (është këtu fjala për masë të njëjtë lëngu), nxjerrim v
S c S
(9.8)
Le të përcaktojmë termin e fundit të këtij ekuacioni
S
S
D
D 4
2
D
D
2
2 D
2
D
(9.9)
4
Raporti D / D shpreh zgjatjen relative Sipas Hukut kemi
E
D D
të perimetrit të rrethit me diametër D.
E
(9.10)
Ku është shtesa e tensionit e shkaktuar nga goditja hidraulike në muret e tubit, ndërsa E është moduli I elasticitetit të materialit të tubit. Produkti I raportit V / / V ose / / me modulin e elasticitetit të lëngut (sipas ligjit të Hukut) është I barabartë me ndryshimin e presionit
E lwng p
(9.11)
Nga kjo nxjerrim
p
E leng
(9.12)
Duke u bazuar në formulën (3.80), kemi
p D 2
(9.13)
Duke barazuar anët e djathta të ekuacioneve (9.13) mund të shkruajmë D
D
E
p D
2
(9.14) 122
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Prej nga nxjerrim 2 D
D
p D
E
S
S
(9.15)
Zëvendësojmë këtë në ekuacionin (9.8) dhe gjejmë
1 D E leng E
v c p
Në shprehjen e fundit duke zëvendësuar përkatëse kemi v c 2 v
p sipas
(9.16)
formulës (9.4) dhe duke bërë veprimet
D E leng 1 E leng E 1
(90.17)
Prej nga nxjerrim shpejtësinë e përhapjes së goditjes hidraulike E leng
c 1
Për ujin kemi E leng
D E leng
(9.18)
E
8
20 10
N / m 2 dhe
1000kg / m
3
. Rrjedhimisht vlera e
numëruesit në shprehjen (9.18) del rreth 1425m/s e cila, sikurse dihet nga fizika, është shpejtësia e përhapjes së tingullit në ujë. Kështu, shpejtësia e përhapjes së goditjes hidraulike nëpër tuba që punojnë me ujë llogaritet me formulën c
1425 1
D E leng
(9.19)
E
Për mure jo elastike të tubit shpejtësia e përhapjes së goditjes hidraulike është e barabartë me shpejtësinë e përhapjes së tingullit në ambientin e pakufizuar me lëng. Shembull 9.1. Të caktohet shpejtësia e përhapjes së goditjes hidraulike dhe shtesa e presionit për mbylljen e menjëhershëm të tubit prej gize me D=400mm, me trashësi të murit 10 mm dhe me shpejtësi shpejtësi të lëvizjes së ujit v=2m/s. Moduli i elasticitetit për gizën është E 10 106 N / m 2 Shpejtësia e përhapjës së goditjës hidraulike llogritet sipas formulës (9.19)
123
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
1425
c
1
0,4
4
1059m / s
20 10
0,01 10 106
Për tubin me mure absolutisht të ngurtë
c
0
1425m / s.
Pra, sic shihet, në saje të
elasticitetit të materialit të tubit shpejtësia e përhapjës së goditjës zvogëlohet duk shëm. Shtesa e presionit është
p c v 1000
kg m
3
1059,5
m s
2
m s
5
21,19 10 Pa
9.3. Mënjanimi i goditjes hidraulike Në teknikë përgjithësisht shkohet drejt mënjanimit ose të paktën drejt zvogëlimit z vogëlimit të efektit të goditjes hidraulike. Kjo realizohet me disa mënyra e në radhë të parë me hapjen e ngadalshme të saraçineskës ose të ndonjë pajisjeje tjetër. Për zvogëlimin e pasojave nga fenomeni i goditjes hidraulike nëpër hidrocentrale ndërtohen objekte të posaçme qe quhen kulla ekuilibri (fig. 9.6)
Fig. 9.6. Roli i kullës së ekuilibrit është që të lokalizojmë zonën e përhapjes së goditjes hidraulike në tubin e turbinave dhe të pengojë ndryshimet e mëdha të presionit të tunel. Për zvogëlimin e goditjes hidraulike në teknikë përdoren edhe pajisje të tjera si p.sh. dhomat e ajrit (fig. 9.7). Dhoma e ajrit pranon oscilimet e lëngut gjatë mbylljes së aparatit drejtues në tubin me diametër D dhe me gjatësi l. Zvogëlimi i presionit në dhomën e ajrit përcaktohet sipas formulës eksperimentale p' p / n, ku n llogaritet:
124
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
n c
V
p l S H g
(9.20)
Fig. 9.7. ku H është lartësia e ngarkesës hidrostatike, V është vëllimi i ajrit ajrit në dhomën e ajrit, S seksioni i tubit dhe c shpejtësia e përhapjes pë rhapjes së goditjes hidraulike.
125
Prof.Dr. Januz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
10 .RRYMAT HIDRAULIKE 10.1 Njohuri të përgjithshme
Rrymat hidraulike ( ose curril hidraulike ) quhet lëvizja e masës së lëngut, e pakufizuar nga shtrati i ngurtë, pra rryma hidraulike ka prerje të gjallë, por nuk ka perimetër të lagur. Rrymat hidraulike ndahen në rryma të lira dhe në rryma të mbytura. Rrymat e lira rrjedhin në mjedis gazi, zakonisht në mjedisin e ajrit atmosferik. Të tilla janë: rrymat e shadervaneve, të pompave zjarrfikëse, të turbinave aktive, të hidromonitorëve, të ujitësve ujitësve në formë shiu, etj. Rryma e mbytura rrjedhin në mjedis lëngu. Të tilla janë : rrymat për pastrimin e aluvion eve, rrymat detare etj. Rrymat hidraulike mund të jenë laminare ose turbulente, sipas regjimit të cilin ndodhen lëngu në aparatin e krijimit të rrymës. Interes praktik paraqesin kryesisht rrymat turbulente prandaj më poshtë do të flitet vetëm për to. Aparatet për formimin e rrymave janë vrimat dhe hundëzat. Rrymat hidraulike që formohen nga vrimat nuk paraqesin ndonjë interes ë veçantë, prandaj edhe studimi I tyre është kufizuar vetëm në përcaktimin e trajektores të lëvizjes së lëngut. Rendësi të madhe praktike paraqesin rrymat hidraulik, të formuara në hundëzat, sidomos në hundëzat konike me ngushtim. Rryma hidraulike që del nga hundëza ka shpejtësinë shumë të madhe dhe zotëron veti të afërta me vetitë e trupave të ngurtë. Kështu p.sh. për presion 8 10 Pa, rryma e ujit prêt një pllakë çeliku, çeliku, për presion rreth rreth 5.107 Pa, prêt granitin për presion 2.107 Pa, shkatërron qymyrguret. Rryma hidraulike ndahet në të qëndrueshme, kur presioni dhe shpejtësia nuk varen nga koha dhe në të paqëndrueshme, kur presioni dhe shpejtësia varen nga koha. 10.2 Rryma e qëndrueshme .
10.2.1 Trajektorja e rrymës së lirë Rrymat e lira karakterizohen nga presioni i tepërt zero në çdo pikë. E gjithë sipërfaqja e jashtme, si edhe pjesa e brendshme ndodhen nën veprimin e presionit atmosferik. Mos marrja parasysh e forcës së fërkimit, bazuar në faktin se forca tërheqëse e gazit ndaj rrymës është shumë e vogël, jep një mbivlerësim të trajektores së rrymës. Me këto kushte fillestare, për rrymën e treguar në figurën 10.1, që ka shpejtësi fillestare mesatare Vo dhe pjerrësi 0, ekuacioni i Bernullit, midis prerjes në orgjinë 0(0,0) dhe prerjes në A(x,y) do të shkruhet: V 02 2 g
y
V 2 2 g
(10.1)
126 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig .10.1 Shpejtësia fillestare zbërthehet në drejtimet x dhe y:
Vox Vocos dhe Voy Vosin
Pra : Vox
2
Voy Voy
2
Vo
2
Ose: Vo
2
2 g
Vox
2
2 g
Voy
2
2 g
(10.2)
Në të njëjtën mënyrë, mën yrë, në çdo prerje gjatë trajektores, shpejtësia mesatare V mund të shprehet me përbërëset e saja Vx dhe Vy: 2
V
Vx
2 g
2
2 g
Vy
2
2 g
(10.3)
Nxitimi në drejtimet x dhe y do të jetë: a x
a y
dVx
dT
dVy
dT
0
g
(10.3a)
(10.3b)
Integrojmë shprehjen 10.3a: Vx
C 1
dhe përderisa përbërja e shpejtësisë në drejtimin x është konstante , do të kemi:
C 1
Vo x
Nga integrimi i shprehjes 10.3 b, nxjerrim: 127 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Vy
gT C 2
Për T=0 kemi Vy=Voy dhe C 2 Vo Voy y. Në qoftë se x dhe y janë rrugët e përshkruara në drejtim të boshteve gjatë kohës T, mund të shkruajmë:
Vx
dx
(10.4 a)
dT
dy
Vy
(10.4 b).
dT
dhe duke integruar, nxjerrim: X VoxT C 3
Ku : C 3
0, dhe
Y
gT 2 2
VoyT C 4
në te cilën C 4 duhet të zhduket. Përfundimisht, koordinatat e trajektores, në gjymtyrë të shpejtësisë fillestare dhe të kohës, janë: X
Y
1
2
(10.5 a )
V oxT
2
gT
(10.5 b )
VoyT
Duke mënjanuar kohën në këto dy ekuacione nxjerrim ekuacionin e trajektores së bushtit të rrymës:
Voy g 2 x 2 x Vox Vox 2V ox
y
(10.6)
Zëvendësojmë vlerat e Vox dhe Voy dhe formulojmë ekuacionin e trajektores me parametra të kushteve fillestare:
y
xtg xtg
gx
2
2
2v o cos cos
2
(10.7)
i cili është ekuacioni i një parabole. 128 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Në rrymën që përfundon në nivelin e origjinës ( në boshtin 0X) koordinatat maksimale do të jenë ( duke zëvendësuar në 10.7 ): 2
Për
Për
y=0
x
xmax max
xm
2
v02 2 g
sin 2
y max
v0
g
sin 2
v02
sin
2 g
2
(10.8 a )
(10.8 b )
Siç është treguar në figurën 10.1 në kulmin e parabolës v y Pra energjia kinetike në kulm është
2
vox / 2 g
0, pra
v
v
x
v
ox
.
d.m.th. është e barabartë me energjinë
kinetike të përbërëses horizontale të shpejtësisë fillestare, ndërsa nga (10.8 b ) vërejmë se mbilartësimi është i barabartë me energjinë kinetike të përbërës vertikales të shpejtësisë fillestare. Në qoftë se rryma zbret më poshtë se niveli i origjinës kemi y=-h dhe largësia maksimale x (figura 10.1) është: '
m
x m '
v02 2 g
sin 201
1
h
y m
(10.9)
10.2.2. Struktura e rrymës Në figurën 10.2 është treguar struktura e një rryme të lirë turbulente, e cila përbëhet nga tri zona karakteristike: Zona kompakte, kompakte, në të cilën ruhet forma cilindrike dhe rryma lëviz si një masë e vetme me parametra hidraulik e gjeometrikë të barabartë me parametrat fillestarë. fillestarë. Zona copëtuar në në të cilën rryma fillon të prishe strukturën, prerja tërthore zgjerohet doradorës dhe masa e lëngut copëtohet. Zona e tharmuar , në të cilën rryma është shkatërruar plotësisht dhe është shndërruar në një përzierje grimcash lëngu dhe ajri.
Fig.10.2 Shkatrimi I rrymës vjen nga pesha vetjake e lëngut dhe nga rezistenca e ajrit, si pasojë e së cilës shtresat kufitare të lëngut përzihen me ajrin dhe humbin energjinë e tyre. 129 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Në figurën 10.3 është treguar struktura e një rryme të mbytur turbulente. Rryma, duke lëvizur në mjedisin e lëngut, zgjerohet dora-dorës deri sa përzihet me lëngun përqark. Kufijtë e rrymës pranohen drejtëza që divergjojnë kundrejt kund rejt pikës 0 që quhet poli I rrymës. Rryma e mbytur përbëhet nga dy zona: Zona e hyrjes, hyrjes, e cila ka një bërthamë qendrore dhe shtresën kufitare përqark saj. Në bërthamën qendrore, e cila vjen duke u ngushtuar, shpejtësia është e njëllojtë në gjithë prerjen tërthore. Në shtresën kufitare, që vjen duke u zgjeruar, shpejtësia ndryshon duke u zvogëluar nga boshti në skajet. Zona themelore themelore e cila përbëhet vetëm nga shtresa kufitare me diagrame shpejtësish të ndryshueshme.
Fig. 10.3 8.2.3. Elementet e rrymës së lirë . Rrymat hidraulike, në vartësi të këndit 0 mund të jenë vertikale 0 90o , të pjerrtë 0 900 ose horizontale ( (=0) si është treguar në figurën 10.4.
Fig .10.4 Rrymat vertikale. vertikale. Drejtimi i lëvizjes së lëngut do të jetë vertikalisht përpjetë. Kushtet fillestare janë: Vox
0:
Voy Voy
Vo
Pra lartësia teorike e kërcimit të rrymës h
90
o:
x
0:
ymaks (figura 10.1) ose: 130
Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
2
h
V 0
2 g
Për shkak të humbjeve, në fërkim me ajrin, lartësia e plotë reale është : h pl
h 1 b
(10.10)
0.00025 3
d 1000d
Ku d është diametri i rrymës në orgjinë. Lartësia e pjesës kompakte të rrymës: hko
0.70
hpl
0.85
Rrymat horizontale. horizontale. Drejtimi i lëvizjes së lëngut (fig.10.4) fillimisht është horizontal dhe pastaj formon një trajektore që shtrihet p oshtë nivelit të origjinës. Kushtet fillestare janë: Voy = 0 : Vox = VO
0
0
Duke zëvendësuar në ek 10.3 a dhe 10.3 b, koordinatat e çdo pike të trajektores do të jenë: X=VoT 2 T Y g
2
(10.11)
Dhe duke zëvendësuar në ek 10.7, ekuacioni I trajektores është Y
gx
2
2
2V 0
(10.12)
Rrymat e pjerrtë. Në rrymat e pjerrtë ( fig.10.4) lartësia dhe largësia ndryshon në varësi të këndit , , Quajmë rreze të plotë, largësinë e skajeve të rrymës si tregohet në figurën 10.4 dhe e njehsojmë me formulën: r pl
b pl
- është koeficient që varët nga këndi dhe jepet në pasqyrën e mëposhtme h p - lartësia e plotë e rrymës vertikale.
131 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
0 1.4
15 1.3
30 1.12
45 1.12
Rrezja e zonës kompakte të rrymës
r ko ,
60 1.06
75 1.02
90 1
afërsisht (sidomos për hundëzat vogla e
mesatare) është e barabartë me lartësinë e zonës k ompakte të rrymës vertikale. r ko
hko
10.3 Pajisjet për formimin e rrymës hidraulike
Rrymat hidraulike formohen gjatë rrjedhjes së qëndrueshme të lëngut nëpër vrima dhe hundëza.
10.3.1 Rrjedhja e lëngut nëpër vrima Vrimë quhet një hapësirë në faqet ose në fundin e një ene të mbushur me lëng, me formë gjeometrike të çfarëdoshme, por me trashësi të barabartë ose më të vogël se trashësia e faqes së enës nëpër të cilën rrjedh lëngu, duke formuar një rrymë.
K lasif lasifii kim ki mi i vr i mave: 1. Klasifikimi sipas formës. formës. Format më të zakonshme janë ato në formë rrethi, pastaj drejtëkëndshi e katrori, trekëndëshi barabrinjës e dybrinjës. Forma të tjera përdoren rrallë. 2. Klasifikimi sipas madhësisë. Vrimat quhet e vogël kur përmasa vertikale e saj është më e vogël se 0.1h0 ku h 0 ngarkesa në hyrje të vrimës. Vrima quhet e madhe kur përmasa vertikale e saj është më e madhe se 0.1 h0. 3. Klasifikimi sipas trashësisë së faqes (fig. 10.5). Vrima quhet me mur të hollë kur rryma e lëngut shkëputet nga perimetri i saj menjëherë pasi ka hyrë në vrimë( fig.10.5 a,b,c) Ky kusht plotësohet kur faqes i jepet formë e mprehtë ose kur trashësia e saj në perimetrin e vrimës kënaq mosbarazimin . t (2 2.5) , përmasa vertikale e vrimës. Vrima quhet me mur të trash kur rryma lëngut shkëputet në fillim të vrimës, takohet përsëri në perimetrin e saj në dalje d.m.th. në të gjithë rastet kur nuk kënaqet mosbarazimi i mësipërm ( fig.10.5 ç). Trashësia e faqes luan rolë rrjedhjen ë lëngut. 4. Klasifikimi sipas kushteve të hyrjes. Rryma Rryma ë lëngut që shkarkohet nga një vrimë, prek buzën e murit në hyrje dhe pastaj shkëputet. Trajektorja e lëvizjes së vrimave të lëngut vijnë duke u afruar më njëra – tjetrën tjetrën dhe në një prerje të caktuar n. e cila quhet prerje e ndrydhur, ato bëhen paralele ( fig.10.6). Kjo dukuri quhet ndrydhje e rrymës. Shkalla e ndrydhjes së rrymës vlerësohet nga koeficienti i ndrydhjes , i cili është i barabartë me:
S n
S
132 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig.10.5 Sipas vendndodhjes, në lidhje me faqet e enës (fig.10.7) ndahen në: a) Vrima me ndrydhje të plotë (vendosja I dhe II) ku ndrydhja e rrymës ndodh në të gjithë perimetrin e saj. Ndrydhja e plotë ndahet në: -ndrydhje të përsosur ( vendosja I) ku faqet anësore nuk ndikojnë në ndrydhjen -ndrydhje te papërsosur ( vendodhjaII) ku faqet anësore ndikojnë në ndrydhjen. b) Vrima me ndrydhje të pjesshme ( vendosja III dhe IV) kur ato mbështeten në faqet e enës dhe ndrydhja e rrymës ndodh vetëm në një pjesë të perimetrit. Koeficienti varet nga vendndodhja e vrimës sipas rendit. I II III IV III
Fig.10.6 Ndrydhja e rrymës
Fig.10.7 Pozicioni i vrimës
5. Klasifikimi sipas kushteve të daljes. Rryma e lëngut që del nga një vrimë mund të shkarkohet në atmosferë ose në një midis lëngu. Në rastin e parë quhet e lirë, ndërsa në rastin e dytë e mbytur. 10.4. Llogaritja hidraulike e vrimave të vogla.
Do të trajtonim vetëm vrimat me mure të hollë. Vrimat me mure të trasha llogariten njëlloj si hundëzat. Në figurën 10.8 është treguar një ene e pajisur me një vrimë v rimë të vogël, me mur të hollë, nëpër të cilën rrjedh një prurje lëngu Q. Niveli I lëngut në enë është I pandryshueshëm ( lëvizja e qëndrueshme). 133 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig.10.8 Shkruajmë ekuacionin e Bernulit për prerje O-O ( niveli i lëngut) dhe n-n ( prerja e ndrydhur). h
po g
o
v02
2 g
pn g
n
v n2
2 g
H 0 n
(10.13)
Zëvendësojmë h0
h
p0 pn g
0 v02 2 g
(10.14)
Simboli h0 quhet ngarkesë dinamike në hyrje të vrimës. Humbjet hidraulike H0-n janë të barabarta me humbjet hidraulike të vendit, në hyrje të vrimës: H o
n
v n2 2 g
(10.15)
Zëvendësojmë 10.14 dhe 10.15 ne 10.13 h0
vn2
2 g
vn2 2 g
Dhe nxjerrim shpejtësinë mesatare në prerjen e ndrydhur. vn
1
1
Zavëndesojmë
2 gh0
n
n
,
ku quhet koeficienti i shpejtësisë dhe nxjerrim formulën e
shpejtësisë: vn
2 gh0
(10.16) 134
Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Koeficienti i shpejtësisë shpreh raportin midis shpejtësisë reale dhe shpejtësisë teorike teorike të lëvizjes së lëngut, pra gjithmonë <1. Prurja e lëngut që kalon nëpër vrimë është: Q
S n vn
S
2 gh0
Produktin e koeficienteve dhe e zëvendësojmë me koeficientin , i cili quhet koeficienti i prurjes. Përfundimisht prurja llogaritet me formulën Q S
2 gh0
(10.17)
Koeficienti I prurjes prurjes shpreh raportin midis prurjes reale dhe teorike të lëngut, pra është gjithmonë <1. Për rrjedhjes rrjedhjes uji në vrima të vogla, me prerje rrethore ose drejtkëndëshe, koeficientet mesatar merren: =0.63-0.64; =0.97; =0.60-0.62 Këto vlera i përkasin zonës kuadratike të rezistencave domethënë, kur numri i Reinoldsit është shumë i madh edhe ato janë të pavarura prej tij tij . Por kur numri i Reinoldsit është i vogël , sikur tregojnë studimet (fig.10.9), vlerat ndryshojnë , ( zona pas 5 vlerës Re=10 ) Në praktikë rrjedhja e ujit nëpër vrimë i përgjigjet më shumë zonës kuadratike. Për këtë arsye pranohen vlerat e koeficientëve , dhe të dhëna më sipër.
Fig. 10.9 Formula e rrjedhjes që del nga vrima, me përjashtim të rastit kur ajo ndodhet në fundin e enës, është parabolë. Le të gjejmë ekuacionin e saj, kur vrima është hapur në faqen vertikale të enës (fig.10.10).
135 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig. 10.10 Marrim sistemin kordinativ me origjinë në seksionin e shtypur dhe konsiderojmë në qendër të rrymës pikën M, koordinata e së cilës , pa marrë parasysh rezistencën e ajrit gjatë lëvizjes së lëngut në të, shprehen kështu. x
y
vn t
1 2
(10.18)
2
g t
Duke zgjedhur këtë sistem, nxjerrim: g x
y
2
2 vn
(10.19)
Sipas formulës (8.16) shprehim shpejtësinë vn në varësi nga thellësia h0 dhe ekuacioni i rrjedhjes që del nga vrima do të jetë përfundimisht: y
g x2
x 2
2
2
2
g h0
2
4
h0
(10.20)
Me anën e këtu ekuacioni në kushte laboratorike për x dhe y të njohura, mund të gjendet koeficienti i shpejtësisë . Nga ana tjetër, për vlerën e dhanë të y0, nëpërmjet ekuacionit (10.20), i cili shpreh formën parabolike të rrymës së lëngut që del nga vrima, mund të llogarisim largësinë e hedhjes x0. 10.5 Llogaritja hidraulike e vrimave të mëdha
Në këtë rast, për arsye të përmasave të vrimës, shpejtësia e rrjedhjes do të ndryshon gjatë lartësisë së saj. Prandaj përdorimi i formules ( 10.17) jep rezultate të gabuara. Le të shohim rastin e përgjithshëm të vrimave të mëdha, ku gjerësia e vrimës është funksion i lartësisë, x=f(z),( fig 10.11).
136 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig. 10.11
Fig.10.12
Fig. 10.13
Thellësia kufitare kufitare e vrimës, nga niveli i lëngut janë H1 dhe H2. Veçojmë një sipërfaqe elementare dS me thellësi z nga niveli i lëngut. Duke e pranuar sipërfaqen elementare si vrimë të vogël, prurja elementare q ë kalon nëpër të llogaritet me formulën dQ x 2 g z dz (10.21)
Duke supozuar që koeficienti i prurjes nuk varet nga z, prurja e plotë që kalon nëpër vrima do të jetë H 2
Q 2 g x z dz
(10.22)
H 1
Për ta zgjedhur këtë integral duhet të njihet funksioni x=f(z) Forma më e përhapur e vrimave të mëdha është katërkëndëshi kënddrejtë dhe rrethi. Në rastin e katërkëndëshit këndrejt ku x=b=konst. (fig.10.12), prurja është H 2
Q
b
2 g
z dz
(10.23)
H 1
Pas integrimit nxjerrim Q
2
3
b
2 g ( H 23 / 2
H 13 / 2 )
(10.24)
Për vrimën në formë rrethi me rreze R (fig.10.13), do të kemi 2R=H2-H1 dhe x
( ) 2 R 2 ( H 1 R z ) 2 . 2 Formula e prurjes do të bëhet
137 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
H 1 2 R
Q 2 2 g
2 2 z [ R ( H 1 R z ) ]dz
(10.25)
H 1
10.6 Rrjedhja e lëngut me nivel të ndryshuar
Me rrjedhje me nivel të ndryshuar kemi të bëjmë gjithherë kur furnizimi më lëng i rezervuarit nuk i përgjigjet shkarkimit të tij. Në ketë rast me ndryshimin e lartësisë së nivelit në varësi të kohës ndryshon shpejtësia shpejtësia e rrjedhjes dhe prurja. Lëvizja e lëngut është e paqëndrueshme. 10.6.1 Rrjedhja në atmosferë me furnizim me pru rje të pandryshuar Në vrima me seksion S shkarkohet lëngu me prurje Q0 (fig.10.14) . Lëvizja e lëngut do të jetë e paqëndrueshme derisa nga vrima të shkarkohet po aq lëng sa vjen në rezervuar, pra kur Q=Q0. Që të plotësohet ky kusht në enë duhet të krijohet një ngarkesë ( lartësi) H0 e cila përcaktohet nga shprehja Q0
H 0
Q02
S
2 g 2 S 2
2 gH 0
dhe është
(10.26)
Në qoftë se në enë ngarkesa n garkesa është H1>H0 shkarkimi Q i vrimës vrimës është më I madh se prurja Q0 dhe niveli i lëngut do të ulet derisa të barazohet me ngarkesën H0 ndërsa kur H1
S
2
g z dt
(10.27)
Fig. 10.14
138 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Për të njëjtën kohë futet vëllimi dV 2
Q0 dt
S
2
g H 0 dt
(10.28)
Ndryshimi i vëllimit për këtë interval kohe do të jetë: dV
2 gz dt
Q0 dt S
(10.29)
Ky ndryshim mund të jetë pozitiv ose negative negative dhe varet nga ndryshimi ( rritja apo zvogëlimi) i lartësisë z Në qoftë se S r paraqet seksionin e rezervuarit i cili në rastin e përgjithshëm është funksion i z, për ndryshimin ndryshimin e vëllimit mund të zbatojmë edhe këtë shprehje: dV
S r dz
(10.30)
Ky ndryshim vëllimi paraqet uljen e nivelit për dz (fig.10.14, pjesa e vizatuar). vizatu ar). Duke barazuar anët e djathta të dy ekuacioneve të sipërme fitojmë ekuacionin diferencial Q0 dt S
2
g z dt
S r dz
(10.31)
Prej nga del dt
S r Q0 S 2 g z
dz
(10.32)
Duke integruar këtë ekuacion në kufijtë nga H1 në H2 gjejmë kohën t: H 2
t
Q
H 1
0
H 1
S r
S 2 g z
dz
S r
S
2 g z Q0
H 2
dz
(10.33)
Shprehja (10.33), i përgjigjet rastit të përgjithshëm të uljes së nivelit. Për rastin e veçantë, kur Q0=0 ( prurje në rezervuar nuk ka) dhe Sr =konst, ekuacioni i fundit merr pamjen: t
H 1
S r
dz
S 2 g H 2 z
2
S r S 2 g
( H 1 H 2 )
(10.34)
Për zbrazjen e plotë të rezervuarit rez ervuarit ( H2=0), kemi t
2
Ku janë :
S r H 1
S
2
g
2
S
S r H 1
2
2
g H 1
S r H 1
Q1
2
t 1
(10.35)
Q1-prurja nëpër vrimë më ngarkesë konstante H1 139
Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
S r H 1 -vëllimi t 1
-koha
i lëngut në enë
për të cilën do të shkarkohej ky vëllim lëngu po të mbahej
niveli H1=constant. Rrjedhimisht, koha për zbrazjen e plotë të rezervuarit, kur mungon furnizimi nga sipër, është e barabartë me dyfishin e kohës që duhet për të zbrazur po këtë vëllim në qoftë se niveli në enë mbahet i pandryshuar. pandryshuar.
10.7 Rrjedhja nëpër vrima të zhytura
Vrima quhet e zhytur kur rryma prej saj rrjedh në ambient lëngu e jo në ambient të gaztë (fig.10.15), d.m.th. presioni në dalje të rrymës është i ndryshëm nga presioni atmosferik.
Fig.10.15 Për gjetjen e shprehjes të shpejtësisë së rrjedhjes dhe të prurjes zbatohet ekuacioni i Bernulit kundrejt planit O-O’ për seksionin 1-1’ dhe 2-2’. Meqenëse nivelet e lëngut në rezervuarë janë të pandryshuara dhe enët e hapura, kemi H 1
H 2
hw
H 1 H 2 H hw
(10.36) (10.37)
Humbja e ngarkesës nga seksioni 1-1’ deri në seksionin 2-2 ’, që paraqiten në anën e djathtë të ekuacionit (10.37), përbëhet prej: ’ a) humbjeve nga niveli 1-1 deri në seksionin e ndrydhur n-n, njësoj si rastin e vrimës së lirë me mure të holla: hw1 mh
vn2 2 g
(10.38)
b) humbjeve në zgjerimin e menjëhershëm të rrymës nga seksioni i ngushtuar n-n ’ deri në sipërfaqen 2-2 të rezervuarit: vn2 v n2 hw 2 zgj (10.39) 1 2 g 2 g 140 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
E zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin (10.37) dhe kemi
H mh
v n2 2 g
1
v n2 2 g
vn2 2 g
(1 mh )
(10.40)
Prej nga del shpejtësia shpejtësia e rrjedhjes rrjedhjes vn
1
2 g H
1 mh
(10.41)
Ku H është disniveli në të dy anët e vrimës Duke zëvendësuar, si edhe më parë,
vn
1 1 mh
, përfundimisht del
2 g H
(10.42)
Duke ditur që Sn=S, përcaktojmë prurjen Q
vn S n
S
2
g H
' S
2
g H
(10.43)
Koeficienti i prurjes është shënuar me ’ sepse numerikisht ndryshon pak prej koeficientit i cili ka të bëjë me rrjedhjen e lëngut në atmosferë. Eksperimentet kanë treguar se mund të merret ’=0.98 =0.98. Nga kjo del se ndryshimi ndërmjet formulës (10.42) dhe asaj (10.17) qëndron vetëm në marrje jo të ngarkesës së plotë h0, por të disnivelit H të lëngut net ë dy anët e vrimës.
Fig. 10.16 Në qoftë se vrima është pjesërisht e zhytur( zh ytur( fig.10.16), prurja ndahet në dy d y pjesë: në Q1- e cila i përgjigjet përgjigjet rrjedhjes nëpër pjesën e pa zhytur të vrimës dhe në Q2-e cila i përgjigjet rrjedhjes nëpër pjesën e poshtme të zhytur të vrimës. Për Q1 vlen, sipas ekuacionit (10.24), shprehja
141 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Q1
2
3
3/ 2
b 2 g ( H 2
H 13 / 2 )
(10.44)
Për Q2, kur në (10.24) H2 zëvendësohet me H2-H e H1=0, nxjerrim shprehjen
Q2
2
' b
2 g ( H 2
H ) 3 / 2
3 ’ Zakonisht merret që = =0.62. Kështu shprehja për prurjen merr formën Q Q1
Q2
2 3
0.62b 2 g [( H 3 / 2
H 13 / 2 ) ( H 2
(10.45)
H ) 3 / 2 ] (10.46)
e cila si e tillë edhe përdoret në praktikë. Diskutimi i ngarkesës dinamike. Kthehemi në shprehjen (10.14) h0 h
p0 p n g
v02 2 g
>0
Shprehja v0 në sipërfaqet e lëngut në rezervuar zakonisht është shumë e vogël , prandaj ajo nuk merret parasysh dhe ngarkesa dinamike , pranohet: h0
h
p0
p n
g
>0
(10.47)
Pra ngarkesa dinamike në hyrje të vrimës nga thellësia e zhytjes së saj kundrejt nivelit të lëngut dhe nga presionet në hyrje ( në nivelin e rezervuarit) dhe në dalje ( në pjesën e ndrydhur). Në vrimat e lira pn=pa , pra ngarkesa do të jetë: h0
h
p0
pa
g
(10.48)
Rastin më të shpeshtë të vrimave të lira e përbejnë vrimat në rezervuarët e hapura ku p0 =pa. Në këtë rast, ngarkesa dinamike do të jetë e barabartë me thellësinë e zhytjes së bushtit të vrimës: h0 h (11.49) 10.8 Rrjedhja e lëngut nëpër hundëza
Hundëza quhet një vrimë e pajisur me një tub tub të shkurtë me gjatësi gjatësi l=(3-4)d, i cili runë aftësinë shkarkuese të vrimës ose rritë shpejtësinë e rrymës rrymës së lëngut . Veçori e hundëzave është që lëngu, pasi ndrydhet në hyrje, me tej zgjerohet dhe në dalje të 142 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
hundëzës ai mbush plotësisht hapësirën gjeometrike. Sipas kushteve të daljes, daljes, hundëzat mund të jenë të lira ose të mbytura. Në grupin e hundëzave hyjnë edhe vrimat me mure të trasha. Llojet kryesore të hundëzave. Hundëza ndahen ne dy grupe: në hundëza cilindrike , me diametër të pandryshueshëm ( fig.10.17a,b,c) dhe në hundëza konike, me diametër të ndryshueshëm (fig.10.17 ç,d,dh,e) Hundëzat cilindrike përdorën për të rritur prurjen që shkarkon vrima. Ato janë: janë: Hundëza cilindrike të jashtme ( figura 10.17a). Gjatë lëvizjes së lëngut nëpër hundëze formohet një prerje prerje e ndrydhur dhe presioni në këtë zonë bije më poshtë nga presioni atmosferik ( krijohet vakum). Si rrjedhojë e vakumit të krijuar, rritet aftësia shkarkuese. Në krahasim më m ë vrimën që q ë ka të njëjtin diametër, prurja që q ë kalon në këtë hundëz është rreth 32% më e madhe dhe shpejtësia më e vogël. Hundëza cilindrike të brendshme ( figura 10.17b). Quhen edhe hundëza Borda. Kushtet e hyrjes së lëngut janë pak më të këqija se në hundëzën e jashtme, pra edhe prurja që shkarkon është 15% më e madhe, në krahasim më të njëjtën vrimë. Përdorën për zbrazjen e rezervuarëve
Fig. 10.17 Hundëza cilindrike të pjerrtë ( fig.10.17c). Janë hundëza të jashtme në të cilat humbjet në hyrje janë ma të mëdha sesa në hundëzat e drejta. Prurja varet nga këndi i pjerrësisë . Hundëza konike ndahen në dy lloje: Hundëza konike zmadhuese zmadhuese ( fig.10.17 ç). Këto hundëza përdoren për të shkarkuar prurje të mëdha me shpejtësi të vogël si p.sh. në ezhektor në tubat aerodinamik, në aparatet drejtuese të pompave centrifugale, në tubat thithjes të turbinave 0 0 reaktive etj. Këndi optimal i hapjes këshillohet të merret =7 -8 . Për të zvogëluar humbjet e energjisë dhe mundësisë e shkëputjes së rrymës përdorën hundëzat difuzore ( fig.10.17 d) të cilat e rritin prurjen deri në 2.5 herë në krahasim me ato konike, por janë ma të ndjeshme ndaj dukurisë së kavitacionit. Hundëzat konike zvogëluese (fig.10.17 zvogëluese (fig.10.17 dh). Këto hundëza përdorën për të krijuar rryma pune, që zotërojnë energji kinetike të madhe si p.sh. në turbinat hidraulike aktive, 143 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
në aparatet zjarrfikëse, në hidromonitorët etj. Këndi optimal i ngushtimit këshillohet 0 <13 . Hundëzat konfuzore (fig.10.17e) janë një lloj i hundëzave konike zvogëluese, të cilat kanë formën e rrymës së ndrydhur. Ato sigurojnë rrjedhje të pashkëputura gjatë hundëzës dhe rrjedhja rrjedhja paralele në dalje. Nuk paraqesin rrezik kavitacioni dhe humbjet e energjisë i kanë pothuajse të barabarta me zero.
10.9 Llogaria hidraulike e hundëzave
Hundëza është një tub i shkurtër me gjatësi tre deri pesë herë diametrin e tij, i vendosur në vrimë me anë të mprehta. Kur hundëza, me seksion rrethor të pandryshueshëm në gjatësinë e saj, vendoset në anën e jashtme të enës me lëng (fig.10.18) kemi hundëz të jashtme cilindrike. Rrjedha nëpër të , deri në seksionin2-2 është e njëllojtë me atë të rrjedhjes nëpër vrima, duke bërë kalimin nga seksioni seksioni AB=S në seksionin e shtypur CD=Ssh. Më tej rrjedha zgjerohet dhe , duke marrë seksionin e plotë S del në seksionin 3-3 3 -3 me shpejtësinë v. v . Në zonën e seksionin të shtypur për rreth rrjedhjes formohet një shtjellë në formë unazore. Presioni në këtë zonë është më i vogël se presioni atmosferik dhe, për pasojë, lëngu në këtë zonë është me presion vakumetrik. Për të gjetur shpejtësinë dhe prurjen zbatojmë ekuacionin e Bernulit për seksionin 1-1, niveli MN, i të cilit është i pandryshueshëm, dhe për seksionin 3-3 kundrejt planit të krahasimit OO1: pa p a v12 v 2 H (10.50) hw g g 2 g 2 g
Fig. 10.18 2
Shënojmë H
v1 2 g
H 0 . Humbjet e energjisë hw përbëhen nga humbjet si
vrimë, nga ato të zgjerimit të rrjedhjes dhe humbje t gjatësore: hw hw.vr hw. zgj hw. gj vr
v 22 2 g
zgj
v2 2 g
l v 2 d 2 g
(10.51) 144
Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Duke ditur që, në rrjedhjen nëpër vrima raporti
S sh S
, koeficienti zgj do te
jetë: 2
zg j
S 1 1 1 S sh 2
Nga ekuacioni i vazhdueshmërisë v2 S sh
v2
v
S S sh
v
(10.52)
v S del:
,
(10.53)
prandaj , duke zëvendësuar në ekuacionin (10.51) kemi: l v v vr 1 l 1 v hw 1 1 2 g d 2 d 2 g 2 g 2
vr v 2
2
2
2
2
2
Këtë shprehje të
2
hw e
(10.54)
zëvendësojmë në ekuacionin (10.50):
2 2 vr 1 l v 2 l 1 H 0 2 1 2 1 ( 8.55) 2 g 2 g d 2 g d
v 2
v 2 vr
nga ku del shprehja: 1
v
2
h
2 gH 0
l 1 1 d 2 v
Duke marrë 1, v koeficientit të shpejtësisë
h
0.06,
0.63,
2 gH 0
0.02 dhe
(10.56)
l d
4,
gjendet vlera e
0.82.
Prurja Q do të jetë: Q
v S
h
S
2 gH 0
0.82
S
2 gH 0
(10.57)
Në qoftë se bëhet krahasimi me rrjedhjen nëpër vrima kemi këtë gjendje: -
si hundëz: v
-
si vrimë: v
0.82 2 gH 0
0.97 2 gH 0
dhe Q dhe Q
0.82
0.62
S
S
2 gH 0 2 gH 0
145 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Rrjedhimisht, për të njëjtën vlerë të H dhe S, kemi: vh v r
0.82 0.97
0.85 dhe
Qh
0.82
Qvr
0.62
1.32
Pra, në hundëzën e jashtme cilindrike kemi zvogëlim të shpejtësisë dhe zmadhim të prurjes. Zvogëlimi i shpejtësisë shkaktohet nga zmadhimi i seksionit në dalje dhe nga humbjet hidraulike në zonën ku rrjedhja zgjerohet, kurse zmadhimi i prurjes shkaktohet nga lindja e presionit vakuumetrik në zonën e seksionit të shtypur dhe dalja e rrjedhjes me seksionin e plotë të hundëzës Ashtu si edhe tek vrimat, në varësi të nivelit të lëngut në anën e jashtme, rrjedhja nëpër hundëza mund të jetë e lirë ( sikurse u trajtua deri këtu) dhe e mbytur. Në rastin e rrjedhjes së mbyllur (fig.10.19) shpejtësia dhe prurja shprehet përkatësisht me: v
h
2 gz ,
(10.58)
Fig. 10.19 Q
h S
2 gz
(10.59)
pra, me të njëjtat formula si tek rrjedhja e lirë, por në varësi të disnivelit z të lëngut në të dy anët e hundëzës. 10.10 Kufizimi i përdorimit të hundëzës cilindrike. Kavitacioni
Në zonën e seksionit të shtypur 2-2 (fig.10.20), për shkak të zmadhimit të shpejtësisë, presioni zvogëlohet. Kjo gjë kushtëzon lidhjen e presionit vakumetrik dhe kufizimin e përdorimit të hundëzës cilindrike. Për këtë, zbatojmë ekuacionin e Bernulit për seksionin 1-1 dhe 2-2: H
p a g
2
v1 2 g
p 2 g
2
v 2 2 g
hw
(10.60)
146 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Fig.10.20 v
Duke ditur që
v
2
, dhe se deri në seksionin 2-2 kemi të bëjmë me humbjen si
rrjedhje nëpër vrimë: hw1
2
v
v 22 2 g
v
v
2
2 g ,
(10.61)
Ekuacioni (10.60) shkruhet kështu: pa p 2
g
v 2 2 g
2
v
v
2
2 g
2
H 0
2 v v
2 g
H 0
2
(10.62)
Por nga formula (10.56) del: v2 2 (10.63) h H 0 2 g Prandaj, duke zëvendësuar këtë shprehje në ekuacionin (10.62) si edhe vlerat e koeficientit përkatës ( (=1; v=0.06; =0.63 dhe h=0.82) si edhe duke ditur që ndryshimi I presioneve pa-p2=pvak , kemi: pa
p2
g
hvak
H o ( 2 h
v 2
1) 0.80H 0
(10.64)
Në figurën (10.20), paraqitet vija piezometrike e rrjedhjes nëpër hund ëz me lartësi më të madhe të vakumit në seksionin e shtypur 2-2. Nga ekuacioni (10.62) mund të gjendet vlera maksimale e ngarkesës H para hundëzës cilindrike, duke pranuar presionin p2=0: H 0
pa 0.8
g
12.5m
kolonë ujë
147 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve
Por në praktikë presioni p2 nuk mund të jetë zero. Vlera më e vogël e tij, e pranuar për ujin , është
p2
H 0
3m
, prandaj del:
g
pa
p2
0.8 g
10 3
0.8
8.75m
Nëse ngarkesa n garkesa dinamike d inamike e kapërcen këtë vlerë, do të ndodhë shkëputja e rrymës, hundëza do të filloj të punojë si vrimë. Provat eksperimentale eksperimentale kanë treguar se shkëputja e rrymës, për shkak të të thithjes së ajrit, ndodh për vlera të vakumit më të vogla sesa hvak. Në rrjedhjen me vakum, kur presioni i plotë në të zvogëlohet shumë, shkaktohet kavitacioni i rrjedhjes. Kavitacioni është ajo dukuri që ka të bëjë me krijimin e hapësirave të mbushura me gaz ose avull Brenda masës së lëngut në lëvizje. Sikur dihet, lëngjet përbëjnë të tretur në to gaze, të cilët gjatë zvogëlimit të presionit fillojnë e çlirohen duke formuar flluska ajri. ajri. Përveç kësaj, sikur dihet nga fizika kur presioni i rrjedhjes ulet nën presionin e avullit të ngopur fillon kthimi i lëngut në avull. Në këto raste, së bashku me rrjedhjen e lëngut, bëhet edhe kalimi i gazit dhe i avullit duke krijuar kështu një rrjedhjes, e cila në hidraulikë quhet rrjedhjes dyfazore ( lëng dhe gaz). Në pjesën e zgjeruar të rrjedhjes, atje ku shpejtësia zvogëlohet, presioni zmadhohet, kështu që veçimi i gazit dhe i avujve ndërpritet, avujt që ishin çliruar më parë kondensohen, kurse gazet gradualisht treten.
148 Prof.Dr. Jonuz Bunjaku – Mekanika e Fluideve