Medida de Probabilidad Katia Larissa Jáuregui Hernández Teoría de la Medida En este documento se explica la relación que existe entre la Teoría de la Medida con la Teoría Teoría de Probabilidad, Probabilidad, la cual es una relación relación directa en la mayoría de los l os conceptos probabilísticos. Ahora bien, definiremos algunos conceptos necesarios para entender mejor esta relación. En la teoría la teoría de la probabilidad, un probabilidad, un evento es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados posibles resultados que se pueden dar en un experimento un experimento aleatorio. A cada evento aleatorio se le puede asignar una medida de probabilidad y el conjunto de todos los eventos aleatorios constituye una σ-álgebra de eventos, sin embargo esto se vera mas adelante. En Teoría de la Medida existen familias de conjuntos ,por ello ahora se define una familia de eventos: Si un evento A contiene otros eventos del espacio maestral podemos decir que A es una familia de eventos del espacio muestral.
Algebra de Eventos Cuando una familia A de eventos de es es cerrada con respecto a las tres operaciones fundamentales: unión, intersección y complemento, se dice que A es una algebra de eventos. Sigma-Algebra de Eventos ́ Una σ-a lgebra es una colección no vacía de eventos del espacio muestral cerrada cerrada bajo las operaciones de complemento y de uniones numerables, donde los elementos de A son eventos de interés del experimento aleatorio. ́ Entonces, una σ -a lgebra es una estructura que permite agrupar, de manera selectiva, aquellos eventos cuya probabilidad interesa obtener.
Como en Teoría de la Medida , una sigma-algebra de eventos es también una algebra de eventos , pero no cumple de modo contrario ya que la diferencia entre sigma-algebra y algebra es que la sigma-algebra es generada por familias numerables de eventos y el algebra son eventos finitos.
Sigma-Algebra Generada Si tenemos un evento que nos interesa analizar, se puedo generar una sigma-algebra para reducir los elementos de nuestro conjunto y poder trabajar mas fácilmente, esto decir : Sea C una colección no vacía de elementos de , la sigma-algebra generada por C es dentada por σ(C), y es la sigma -algebra mas pequeña que contiene a C. ́ La sigma-a lgebra minima contiene al menos a la colecci ó n C, a su complemento CC , al espacio muestral y al conjunto vac í o ∅.
Ejemplo: Considere el experimento consistente en observar si las Chivas gana, ́ empata o pierde su próximo partido; determine la sigma- a lgebra asociada a esa colección de tres resultados. El espacio muestral es:
={gana,empata,pierde}
Los eventos de interés son: {g}, {e} y { p} ́ La sigma-a lgebra generada por esta colección de eventos es: σ ({g}, {e} , { p} )= {
∅,
{g} ,{e} , {p} , {g,e} , {g,p} ,{e,p} , {g,e,p} }
Ya que se entendió como generar una sigma-algebra, existe también la sigma-algebra de Borel.
Sigma-Algebra de Borel Si tenemos un espacio de probabilidad cuyo espacio muestral es el conjunto ́ de números reales R, parece natural que la σ−a lgebra contenga los conjuntos de la forma (−∞, x]. Esto permitir á calcular la probabilidad de que el resultado del experimento ́ aleatorio correspondiente sea menor o igual que x. ́ ́ La σ−a lgebra de Borel sobre R, que denotaremos por B, es la σ−a lgebra sobre R generada por los conjuntos de la forma Ax = (−∞, x], para todo x ∈ R.
Ya definidas las sigmas-algebras de eventos, pasamos a la definición esencial: Medida de Probabilidad.
Medida de Probabilidad La probabilidad es una función de conjunto que asigna un número real entre 0 y 1, a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral , pertenecientes a la -álgebra A. Es una medida que parte de una -álgebra A de eventos de un espacio muestral y llega al intervalo real [ 0,1]. La medida probabilidad debe cumplir tres condiciones, denominados axiomas de probabilidad. Si A1,A2,…,Ai,.. son subconjuntos del espacio mues tral . •
P () = 1
•
Si A⊂, entonces P(A) ≥ 0
•
Si A1,A2,...,An,..., Es una colección numerable de eventos disjuntos dos a dos, entonces, () P(A1 U A2 U … U An U…) = ∑∞ =1
Lamentablemente no siempre es posible construir una medida de probabilidad que satisfaga los axiomas y permita medir todos los subconjuntos de Ω. Un ejemplo son los conjuntos de Vitali. Algunos resultados que se derivan de lo anterior, son los siguientes: Sea P una medida de probabilidad. -P(∅)=0 -Si A1, A2, · · · , An, es una colección FINITA de eventos disjuntos dos a dos, entonces, P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) = P(A1)+P(A2)+···+P(An) -Para cualquier evento A
⊂
Ω , P(Ac) = 1 − P(A).
- Sean A, B
⊂
Ω, eventos.
Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B) - (Ley de adición) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Espacio Probabilizable Un espacio probabilizable es una pareja ( , A), donde es el espacio ́ muestral ligado al experimento aleatorio y A es una sigma- a lgebra sobre que constituye un sistema de subconjuntos de . De manera más general, un espacio probabilizable es un espacio medible, sobre el que se va a medir probabilidad, y los eventos del espacio muestral , pertenecientes a la familia A, son los conjuntos medibles.
Medida de Conjunto Una medida de conjunto es una función : m : A→ R tal que i) m (∅)=O ii) m es sigma-aditiva
Espacio de Probabilidad Un espacio probabilístico es una terna ( , A, P) donde es el espacio muestral ligado al experimento aleatorio, A es -álgebra, y P es una función, denominada medida de probabilidad, definida de la -álgebra A al conjunto de los números reales en el intervalo [ 0,1]. Para que una medida de conjunto sea una probabilidad, lo único que se necesita es que la medida del conjunto completo sea uno. Ahora bien creo que No hay duda alguna de que el desarroll ó la teoría de la probabilidad tomando como base la teoría de la medida, a partir de esto, podemos definir un concepto mas muy importante para la Teoría de Probabilidad ya que de aquí se trabaja con la probabilidad de una forma diferente y el concepto es : Variable Aleatoria.
Variable Aleatoria Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad.
Una variable aleatoria es una función X :A→R tal que para todo x ∈R
X−1((−∞, x]) ∈ A De modo que :
P ({ω : X(ω) ≤ x}) = P (X−1((−∞, x])) El concepto de variable aleatoria es esencialmente el mismo que el de función medible en teoría de la medida. Si (Ω, A, μ) es un espacio de medida. F:A→R se dice medible si para todo x en R f−1 ((−∞,x])) ∈ A
En otras palabras una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto, Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores A partir de las variables aleatorias se definen las distribuciones de probabilidad :una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores. En términos formales una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio de probabilidad.
Un teorema importante es el siguiente:
Teorema: Sea X una variable aleatoria sobre un espacio de probabilidad (Ω,A,P). Entonces X−1 (B) ∈ A para todo B ∈ B’. (B’ es el conjunto de borelianos en R)
Espacio de Probabilidad Asociado a una Variable Aleatoria Sea un espacio de probabilidad (Ω, A, P ) y sea X : Ω → R una variable aleatoria. Asociada a esta variable podemos definir un nuevo espacio de probabilidad (R, B’, P X) donde para todo B ∈ B’ se define PX (B) = P (X −1 (B))
́ ́ Sabemos que P (X −1 (B)) esta definido ya que X −1 (B) esta en A.
La función PX se denomina probabilidad inducida por X o distribución de X.
Medibles de Borel Una función g : R → R, se dice medible Borel si para todo X∈R g−1 ((−∞, x])
∈
B’.
Si a uno le interesa solo el resultado de la variable aleatoria, esto permite trabajar en un espacio de probabilidad donde el espacio muestral es R y la ́ ́ σ−a lgebra es B ’, la σ−a lgebra de Borel .
Conclusión Para concluir , podemos darnos cuenta de la relación tan cercana que existe entre la Probabilidad y la Teoría de la Medida, prácticamente al hablar de Probabilidad estamos hablando de Medida, ya que las bases de la Teoría de la Probabilidad están inspiradas en la Teoría de la Medida. Lo que se presentó en este documento fueron las bases para seguir trabajando con diferentes conceptos de Probabilidad, diferentes tipos de variables y sus distribuciones, funciones generadoras, etc. Ahora ya sabemos la conexión directa que existe entre estas dos áreas de las Matemáticas.
Referencias Universidad Nacional Autónoma de México. Medida de Probabilidad. Recuperado de : http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE14.pdf Yohai J.Victor (2008).Notas de Probabilidad y Estadística. Recuperado de : http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2016/probabilidades_ y_estadistica_M/apunte2.pdf
CIMAT. Espacios de Medida (Capitulo 2) . Recuperado de : http://www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/myp09/Cap2v1.1.pdf
