La finalidad de nuestro experimento es medir la constante dieléctrica del vacío y de un medio, lo cual está relacionado con la perdida de intensidad del campo eléctrico en un medio debido a que parte de esa intensidad se emplea para polarizar el medio. Además está también relacionada con la velocidad de propagación de las ondas eléctricas, de hecho existe una dependencia relacionada con la velocidad de la luz en el medio:
= √
En la ecuación anterior representa la velocidad de la luz en el medio. El método que emplearemos para medir la constante dieléctrica será el uso de condensadores, condensadores, dada la relación entre la capacidad de estos y dicha constante la cual veremos más adelante. Un condensador es un elemento pasivo de un circuito eléctrico que consiste, fundamentalmente, fundamentalmente, en un par de superficies conductoras separadas una cierta distancia, ocupada por un material dieléctrico en el vacío. Cuando las placas se someten a una diferencia de potencial adquieren una determinada carga. Así los condensadores condensadores almacenan una carga hasta que una vez cargado deja pasar la corriente. Así mientras se carga adquiere parte de la diferencia de potencial que genera el circuito y viceversa. En un circuito alimentado por una corriente alterna, el condensador se carga y descarga continuamente, originando un desfase entre el potencial suministrado por el generador y la intensidad transmitida al circuito. Habitualmente se escogen relaciones entre las placas tales que el campo eléctrico que sale de una placa y de origina en la otra es constante y va en una dirección concreta. Así se usan habitualmente habitualmente los condensadores condensadores de placas planas y perpendiculares. Definimos la capacidad como la relación entre la carga almacenada por el condensador a una diferencia de potencial dada:
=
Que en un condensador de placas paralelas, teniendo en cuenta que despreciamos el efecto de bordes:
= = ·· = ·· =
Esta expresión es válida para todos los medios teniendo en cuenta que que en el vacío .
=1
= ·
y
Así si medimos las capacidades para un medio material y para el vacío, realizando su división podemos calcular la permitividad relativa del medio a partir de su división:
=
Existen una serie de dificultades a la hora de medir la capacidad del vacío en un condensador de dimensiones reales. Para conseguir una carga apreciable son precisas diferencias de potencial muy elevadas, lo cual implica además de tener en cuenta el efecto de ese campo dieléctrico en el aire, que lo electriza y ya no se puede aproximar el vacío por aire. Dada la dificultad de medir la carga en un solo condensador, utilizaremos una asociación de dos. Uno, el cual queremos medir, y otro que utilizaremos exclusivamente para medir la carga. Este condensador de prueba tendrá una alta capacidad, lo cual le permitirá absorber toda la carga del condensador que queremos analizar y la cual podremos determinar midiendo la diferencia de potencial que se genera entre sus placas. Comprobamos Comprobamos lo siguiente. 1. Conectamos el condensador a medir (de capacidad ) a un circuito con diferencia de + potencial V, hasta que se carga completamente ( ). 2. A continuación lo desconectamos de la fuente de voltaje y lo conectamos en paralelo con el condensador de prueba (de capacidad mucho mayor que la anterior). Por estar en paralelo los dos estarán sometidos a la misma diferencia de potencial y la capacidad total del sistema será la suma de las capacidades de ambos condensadores. Así:
= = · = · ≫ ⇒ ≫
CP Lo cual indica que la carga total del Cm V circuito queda prácticamente almacenada en el condensador de prueba. Dado que la carga total del circuito es la carga que quedó almacenada en el condensador a medir en el paso anterior , acabamos de comprobar que la carga que adquiere el condensador de prueba se puede tomar como la carga que recibe el condensador que queremos medir. Midiendo la caída del potencial en el condensador prueba y multiplicándola por su capacidad obtendremos la carga adquirida en el condensador a medir.
En el laboratorio disponemos del siguiente material para la realización de la práctica: -
-
-
Condensador Condensador de medida formado por dos placas planas y paralelas de capacidad y radio 130 mm. Tiene una rosca en la parte trasera que nos permite regular la distancia entre las placas la cual medimos con un sistema parecido a un calibre con una precisión de 0,01cm. Condensador Condensador de prueba con una capacidad de 220 nF (lo cual es muy superior al anterior) el cual estará aislado en una cajita para evitar interferencias con el medio. Una fuente de voltaje continuo que varía de 0 a 5 kV con una precisión de 0,1 kV. Una resistencia de 10M , para evitar intensidades demasiado altas. Amplificador que ralentiza la descarga del condensador de prueba permitiendo realizar la medida. Polímetro utilizado para medir la diferencia de potencial en el condensador de prueba teniendo una precisión de 0,01V. Para la medida de la constante dieléctrica necesitaremos dos montajes para el circuito ci rcuito al que nos referimos. Primero necesitaremos cargar el condensador que vamos a analizar, conectándolo a la fuente de voltaje, para después cambiar los cables y + conectarlo en paralelo al condensador de prueba, para tomar un valor de la carga de nuestro condensador a analizar. Dado que sabemos la diferencia de potencial suministrada, tenemos todos los datos necesarios para hallar la capacidad del condensador a analizar.
Ω
Así en el primer paso el condensador se cargará, transmitiendo toda esa carga en el segundo paso, así que la calcularemos a partir de la diferencia de potencial y la capacidad del condensador prueba. Una vez hallada la carga inicial y sabiendo además la diferencia de potencial subministrada, calcularemos la capacidad del condensador inicial. A la hora de realizar el procedimiento se deben tener en cuenta una serie de factores una vez calibrado el montaje con las condiciones concretas de la medida: -
Antes de tomar una medida de la diferencia de potencial del condensador de prueba se debe descargar previamente mediante el uso del amplificador. Al cambiar el circuito de configuración, el proceso debe ser rápido para evitarnos pérdidas de la carga del condensador.
El procedimiento que hemos de seguir para la realización de la práctica es el siguiente: 1. En primer lugar sin introducir ningún material dieléctrico entre las placas, tomaremos datos de las diferencias de potencial registrada en el condensador prueba variando la distancia entre placas y manteniendo constante la diferencia de potencial subministrada. Teniendo en cuenta que
= ·
Si representamos nuestros valores obtenidos de C frente a 1/d podremos obtener la constante dieléctrica de la pendiente. 2. A continuación mantendremos constante la distancia entre placas e iremos variando la potencia subministrada por la fuente. A partir de los valores tomados extraemos valores para la carga del condensador. Representando valores valores de carga frente a diferencia de potencial suministrado obtenemos un valor para la pendiente. Dado que ahora A/d es constante, del valor de la capacidad podemos extraer el valor de la constante dieléctrica. 3. Tras estos dos pasos introducimos un material dieléctrico entre las placas. El material ocupa la distancia entre las placas de 0,98cm. Tomaremos medidas con la distancia fija y variando la diferencia de potencial suministrada. Con estas mismas condiciones pero sin dieléctrico, repetiremos el experimento. Así de estos dos experimentos extraemos extraemos dos valores para las capacidades. Como se explicó previamente el cociente de estas capacidades nos dará del material en cuestión.
Comenzamos Comenzamos presentando la tabla de valores obtenidos para las medidas sin dieléctrico variando la distancia y manteniendo un voltaje V0 constante de 1,5 kV. d(cm)±0,01 V M(V)±0,01 1/d(cm -1)
Q0(C)
s(Q0) (C)
CP(F)
s(CP) (F)
0,20
1,45
5,000
0,00000031900 2,12667·10 -12
2,12667·10 -10
1,41778·10 -10
0,22
1,39
4,545
0,00000030580 2,03867·10 -12
2,03867·10 -10
1,35911·10 -10
0,24
1,37
4,167
0,00000030140 2,00933·10 -12
2,00933·10 -10
1,33956·10 -10
0,26
1,30
3,846
0,00000028600 1,90667·10 -12
1,90667·10 -10
1,27111·10 -10
0,28
1,20
3,571
0,00000026400 1,76000·10 -12
1,76000·10 -10
1,17333·10 -10
0,30
1,16
3,333
0,00000025520 1,70133·10 -12
1,70133·10 -10
1,13422·10 -10
= · + ·
Para el cálculo de las incertidumbres de de incertidumbres.
y
empleamos el método de variación
Que debido a que s(V) es mucho mayor que s(C) podemos escribir la formula como:
= · Y con ello podemos calcular la incertidumbre de C:
1 = () · + () ·
Para el cálculo de la constante ajustamos los valores valores de la tabla a una gráfica, la capacidad frente al inverso de la distancia.
2,3E-10 2,2E-10 2,1E-10 2E-10 ) F ( P 1,9E-10 C
1,8E-10 1,7E-10 1,6E-10 1,5E-10 245 245,00 ,000
295,0 95,000 00
345, 45,000 000
395,0 95,00 00
445,0 45,00 00
495 495,00 ,000
545,0 45,000 00
1/d(m)
Del ajuste obtenemos que la pendiente es
= 46,8±1,4 · 10− ·· = 0,998 = · − 4 6 , 8 · 1 0 = = ·0,0169 = 8,15 · 10− 1 = ( ) · + ( ) ·
Y su coeficiente de regresión lineal
Recordando que el valor de la pendiente es placas, podemos despejar de la ecuación:
donde A es el área de las
Y su incertidumbre será
Como el radio de las placas viene dado por el guion de la práctica consideraremos consideraremos que el r carece de incertidumbre y por tanto también lo hará s(A).
1 = ( ) · = ( 1) · = ·0,· 0,10161699 ·1, 4 ·10− = 2,2,6363699 · 10− − = 81,5±2,6·10
A continuación repetiremos el mismo proceso a una distancia constante de 2,5 mm y variando la diferencia de potencial suministrada. Presentamos la tabla con los valores que obtuvimos.
V0(V)±0,1 V M(V)±0,01
Q0(C)
s(Q0) (C)
0,5
0,46
1,012·10-07
2,024·10 -12
1,0
0,95
2,09·10 -07
2,09·10-12
1,5
1,38
3,036·10-07
2,024·10-12
2,0
1,77
3,894·10-07
1,947·10-12
2,5
1,94
4,268·10-07
1,707·10-12
3,0
2,30
5,0600·10 -07 1,6867·10 -12
Ajustamos los valores de carga y del voltaje fuente en una gráfica en la que aparecerá la carga frente al voltaje.
0,0000006 0,0000005 0,0000004 ) C ( 0 0,0000003 Q
0,0000002 0,0000001 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Vm(kV)
Haciendo el ajuste hemos obtenido que la pendiente es
= 2,2 · 10− = 2,2,2 · 10− = 5,5,9 · 10− =1 = · = · = 2,2,2 · 10− · 0,·00,0250169 = 1,1,0353599 · 10−
Recordando que el valor de la pendiente es placas, podemos despejar de la ecuación
donde A es el área de las
= ( ) · + ( ) · = 4,1436 143688 · 10− = 110,3 ± 4,1 · 10− − − − 8,85418 54187818 7818 ·10· 10 81,5±2,6·10 10,3±4,1·10
Una vez obtenidos los dos experimentales en el vacío los comparamos con el valor experimental. Teórica
Primer
Experimental
Segundo
Experimental
Como podemos ver el primer que obtuvimos se aproxima al valor teórico de en el vacío aunque está un poco alejado de ese valor. Sin embargo el segundo valor se aleja bastante de él. Esto demuestra la falta de precisión del experimento ya sea por culpa nuestra al tomar las mediciones o por culpa del aparato el cual ya nos había dado algunos problemas al principio de la practica pero tras recibir la ayuda de los profesores el aparato funcionó sin problemas. Ahora para la última parte de la práctica colocaremos las placas a una distancia de 9,8 mm y mediremos la capacidad del condensador con un dieléctrico entre ellas y después repetiremos el proceso retirando el dieléctrico. Con estos valores que obtendremos calcularemos calcularemos la constante dieléctrica relativa de ese medio. Con el dieléctrico los valores que hemos medido son los presentados en la siguiente tabla. V0(V)±0,1 V m(V)±0,01
Q 0(C)
s(Q)
1,0
0,88
1,936·10 -7
1,29·10 -12
2,0
1,90
4,18·10 -7
2,79·10-12
3,0
2,80
6,16·10 -7
4,11·10-12
4,0
3,79
8,338·10 -7
5,56·10-12
5,0
4,24
9,328·10 -7
6,22·10-12
Ajustamos los valores obtenidos en una gráfica en la que aparecerá la carga frente al voltaje igual que en la gráfica anterior.
0,0000012 0,000001 0,0000008 ) C ( 0 0,0000006 Q
0,0000004 0,0000002 0 0
1
2
3
4
5
6
Vm(kV)
Los datos que hemos obtenido haciendo el ajuste son los siguientes:
= 19,8±8,910− = 0,9990 = 19,8±8,910−
Obtenemos el valor de la capacidad en faradios
A continuación repetimos el mismo proceso sin el dieléctrico entre las placas y presentamos los resultados obtenidos. V0(V)±0,1 V m(V)±0,01 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
0,34 0,71 1,02 1,31 1,57
Q 0(C)
s(Q)
7,4800·10 -8 1,5620·10 -7 2,2440·10 -7 2,8820·10 -7 3,4540·10 -7
4,9867·10-13 1,0413·10 -12 1,496·10 -12 1,9213·10 -12 2,3027·10 -12
Ajustamos los valores obtenidos en una gráfica en la que aparecerá la carga frente al voltaje igual que en la gráfica anterior.
4,5E-07 0,0000004 3,5E-07 0,0000003 ) 2,5E-07 C ( 0 Q0,0000002
1,5E-07 0,0000001 5E-08 0 0
1
2
3
4
5
6
Vm(kV)
Los datos que hemos obtenido haciendo el ajuste son los siguientes:
= 71,6±1,410− = 0,9992 = 71,6±1,410−
Obtenemos el valor de la capacidad en faradios
Con los valores de ambas capacidades obtenemos el valor de la permitividad eléctrica relativa del medio:
− 1 , 9 8 · 1 0 = = 7,16·10− = 2,77 1 = () · + () · = 0,44 = 2,2,77 ± 0,4444
Hemos calculado el valor de la permitividad en el vacío de forma experimental. Para ello hemos utilizado un condensador de placas planas y paralelas y midiendo la diferencia de potencial subministrado y la carga que estas generaban utilizábamos estos datos para calcular .
En el cálculo de los resultados experimentales no concuerdan muy bien con los teóricos, sobre todo el valor que obtuvimos mediante el segundo procedimiento. Desconocemos el motivo de estos resultados y de si el fallo ha sido humano o de los aparatos de medida. De todas formas el resultado de la segunda parte de esta práctica parece mejor a pesar de que no tenemos el valor teórico de la permitividad relativa del material dieléctrico los resultados parecen buenos.
