Unidad 5
Mecanismos de Leva
5.1 Introducción Los mecanismos de leva tienen particular aplicación en cualquier tipo de maquinaria en donde sea necesario inyectar o extraer fluidos en forma intermitente o simplemente obtener cambios de movimiento. Todos los mecanismos de leva se componen de al menos tres elementos que son: a) La bancada o bastidor que es el elemento de soporte de la leva y sirve de guía a la varilla o seguidor. b) La leva, que es el elemento cuya superficie de contacto es curva o recta y que produce el movimiento del seguidor. c) El seguidor o varilla que es el elemento de salida del mecanismo y su movimiento intermitente es el que permite diversas aplicaciones.
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En el mecanismo ilustrado, podemos observar que la leva y la bancada forman un par cinemático giratorio, el seguidor y la bancada forman un par cinemático de traslación mientras que la leva y el seguidor forman un par cinemático de dos movimientos por lo que es un mecanismos de un grado de libertad. Si a la leva se le da un movimiento especifico el seguidor también se desplazara de acuerdo a tal ley de movimiento, es decir, acorde al contorno o perfil que tenga la leva, de allí que la ventaja principal de estos mecanismos sea precisamente la facilidad que se tiene para generar y/u obtener casi cualquier tipo de movimiento. Los dos métodos más empleados para diseñar una leva son: 1. Conociendo el movimiento requerido en el seguidor, se obtiene el contorno o perfil de la leva, la desventaja reside en el hecho de que en ocasiones es difícil fabricar en serie la leva. 2. Conociendo el perfil de la leva, se establecen las características cinemáticas del seguidor y de ser necesario, se modifica el contorno en lo posible para que el movimiento sea el requerido.
5.2 Tipos de leva y seguidor Las levas pueden clasificarse de acuerdo a su forma básica, es decir, de acuerdo a sus características geométricas; entre las más comunes se tienen las siguientes:
Leva de disco
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Leva de cuña
Leva cilíndrica
Leva de yugo
Leva de movimiento forzado o retorno positivo
La leva cilindrica de la figura hace la función de embrague para la caja de velocidades de motocicleta que se muestra
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La leva cilíndrica que se muestra controla las características de la “puntada” en una máquina de coser “inteligente”.
La imagen muestra una máquina de envasado, los frascos viajan sobre levas excéntricas mientras que los seguidores colocan la tapa y la etiqueta, al final se coloca el código de fabricación.
Aunque los arboles de levas para motores de combustión interna tienden a desaparecer todavía se emplean en motores de automóvil y de motocicleta
En máquinas herramienta se empelan en los platos divisores
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Los seguidores se clasifican de acuerdo a su tipo de movimiento en seguidor de traslación o seguidores oscilantes y es importante señalar que de acuerdo a la trayectoria que siguen con respecto al centro de la leva los seguidores son variables o centrados y/o transversales o descentrados.
Seguidor de traslación
Seguidor descentrado y seguidor oscilante Otro criterio empleado para clasificar a los seguidores es el de la configuración geométrica y podemos encontrar seguidores de cara plana (o pie plano o plato), de rodillo (rodaja o carretilla) y seguidores de cuchilla o cilíndricos cuyo contacto es puntual o esférico.
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5.3 Diseño gráfico de una leva Para efectuar el diseño gráfico del perfil de una leva consideraremos antes que nada la nomenclatura que se emplea para designar o describir los elementos o componentes empleados en la concepción gráfica de tales sistemas. La figura siguiente nos muestra los elementos básicos.
De todos ellos podemos destacar los siguientes: 1. Punto de trazo. Es un punto del seguidor que corresponde al punto de contacto de un seguidor de cuchilla ficticio con la leva, y en el caso del seguidor de rodillo coincide con la curva de paso. 2. La curva de paso corresponde a la trayectoria del punto de trazo con respecto a la leva 3. El círculo primario es el círculo de menor radio que puede trazarse con centro en el eje de rotación de la leva y tangente a la curva de paso. 4. El círculo de base se traza con centro en el eje de rotación de la leva y es tangente a su perfil. 5. El ángulo de presión se forma entre la línea de dirección del movimiento del punto de trazo y la línea de acción, es decir, la línea normal a la superficie de contacto de la leva y el seguidor. En este caso, el ángulo de presión es una medida de la capacidad del mecanismo para transmitir en forma instantánea una fuerza por lo que se recomienda que su valor numérico no exceda de 30º. 6. La carrera es la distancia entre las dos posiciones extremas del seguidor, se define como alzada a la sección del perfil de la leva (expresada en grados de rotación de la leva) durante la cual el seguidor se mueve alejándose del centro de rotación de la leva, siendo entonces la caída, la sección del perfil en la que el seguidor se mueve hacia el centro de rotación de la leva. A las etapas en que no es manifiesto un cambio en el movimiento del seguidor, se les denomina reposo. Notas Unidad 5 Prof. Ing. Jorge Díaz V. M en I. / MIA
Obtención del perfil
El método general para el diseño gráfico de una leva con seguidor radial centrado se basa en el principio de inversión cinemática: a) Suponga que la leva es estacionaria y el seguidor gira alrededor del centro de la leva en dirección opuesta a la de rotación de la leva. b) Mueva el seguidor radialmente hacia fuera del centro de la leva la distancia que corresponda a cada posición del seguidor considerada. c) Dibuje el perfil de la leva tangente a todas las posiciones del seguidor. Para efectos de diseño se selecciona el tipo de leva de acuerdo a la necesidad a satisfacer y en base a su facilidad de construcción, se debe conocer el tipo de movimiento que tendrá el seguidor así como algunos datos generales como diámetros, tipo de seguidor y características geométricas, velocidad de la leva, etc. Ejemplo Se requiere que una leva de disco mueva un seguidor de acuerdo al desplazamiento indicado en el cuadro siguiente, el círculo base de la leva es de 90 mm y gira en sentido horario. 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 leva 2 5 9 15 18 21 18 15 9 5 2 0 ΔR seguidor 0 Solución: Seguidor de cuña
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Seguidor de rodillo, r = 20 mm
Seguidor descentrado, e = 18 mm
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5.4 Cinemática de levas y seguidores La generación del perfil de una leva se realiza en lo general basándose en alguno de los denominados movimientos básicos del seguidor y entre ellos tenemos los siguientes: A) Movimiento Uniforme
El diagrama de desplazamiento de este tipo de movimiento es una línea recta lo cual significa que la velocidad del seguidor durante el movimiento de la leva es constante, este tipo de movimiento se emplea en muy pocas ocasiones en su forma simple porque produce un choque al inicio y al final del ciclo de movimiento acelerando el proceso de fatiga de los componentes del sistema. s
L
L = alzada, β = ángulo de rotación de la leva para L y = posicón angular especifica de la leva para el seguidor
Las características cinemáticas fundamentales son simples, la velocidad angular de la leva () es constante al igual que la velocidad del seguidor (v = k = s/t ) lo cual implica aceleración nula. En el diagrama es fácil observar que en las ordenadas se marca el movimiento del seguidor mientras que en el eje de las abscisas se indica el movimiento de la leva de tal manera que el contorno se define mediante la ecuación s = C tomando como condiciones de frontera s = L y = se establece que
Lo cual nos lleva a concluir que
Las curvas características son las siguientes:
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v
0 a
t
a=+
8
t a=-
8
En el gráfico de aceleración se debe observar que los valores infinitos en los puntos inicial y final del ciclo se traducen en elevadas fuerzas de inercia que además de producir vibraciones, ruido, concentración de esfuerzos y desgaste impiden aplicaciones de alta velocidad. Para eliminar los puntos criticos de aceleración se recomienda intercalar el movimiento uniforme entre dos curvas cuyo radio sea inferior al valor total de la alzada ya que de esta forma se reducen las desventajas mencionadas. B) Movimiento Parabólico
La característica principal de este movimiento es que tanto la aceleración como la desaceleración permanecen constantes lo cual nos lleva a obtener un movimiento suave al inicio y al final del ciclo, esta particularidad permite generar una infinidad de perfiles que sin embargo, pueden tener pocas aplicaciones debido a la baja velocidad de operación. El movimiento parabólico puede o no tener intervalos diferentes de aceleración o desaceleración de acuerdo a una necesidad especifica y en algunos casos, es necesario utilizar entre estos intervalos una velocidad constante. s
s1 A
L s2 1
2
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√ 2
De forma similar al movimiento uniforme, la velocidad angular de la leva () es constante, como la aceleración para el seguidor es constante (a = k ) se cumple que De acuerdo al diagrama de desplazamiento se cumple que
y
y
.
2 2
por lo que de acuerdo a las ecuaciones cinemáticas se establece
O bien
Para realizar el gráfico de desplazamiento de este tipo de movimiento se debe observar que el desplazamiento es proporcional al cuadrado del tiempo empleado, entonces, para el trazo de la curva parabólica se toman intervalos de desplazamiento de la leva de 1, 2, 3,…, n unidades de tiempo o desplazamiento angular siendo el desplazamiento del seguidor al final de cada intervalo 2 2 2 2 proporcional a 1 , 2 , 3 ,…,n . Para este movimiento se define el contorno de la superficie de la leva mediante la ecuación general
2 2
De tal manera que entonces, el seguidor tiene las características de movimiento siguientes:
Y
Veamos cómo se determinan las constantes, supongamos que la leva parte del reposo, entonces, para la fase de aceleración en el ascenso se tiene que en s = 0, = 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0
Dado que el sistema parte del reposo
y en la ecuación de velocidad se tiene
Al termino de la etapa de aceleración la posición del seguidor es , por ello
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y el giro de la leva es
2 á 0 0 2 2 2 2 2 2 2 21 2 4 Y puesto que
y
Lo cual nos lleva a concluir que
En el punto de inflexión A, se tiene que la pendiente es máxima de tal manera que para :
,
á
Para la fase de desaceleración en el ascenso tenemos que la posición que alcanza el seguidor es y la posición del seguidor relativa al giro de la leva es por lo que se verifica que
Como
,
Recordando que al inicio,
y
La sustitución de las constantes nos permite concluir que
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Las curvas características para el movimiento parabólico con etapas de aceleración y desaceleración en relación 1:1 son las siguientes
v v máx
t a
t j 8
8
t -
8
De este gráfico es posible establecer que en situaciones en las que vibraciones, ruido y/o desgaste es indeseable, se recomienda no emplear este tipo de movimiento a menos que se combine con otro diferente, además la fase de desaceleración es deseable que sea mayor en o para reducir el impacto del seguidor sobre la leva por el desbalance instantáneo que produce la fuerza de inercia.
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C) Movimiento Armónico Simple
Este tipo de perfil es el más empleado debido a que es muy sencillo de fabricar, por ejemplo, para un seguidor de cara plana centrado se tiene que el perfil corresponde a una placa circular descentrada. La construcción gráfica del perfil se ilustra en la figura siguiente. s
L
Para establecer la ecuación que define el contorno de la leva consideramos un fasor complejo pivotado en el centro de nuestro semi-círculo, conociendo el desplazamiento, obtendremos la velocidad y la aceleración del seguidor derivando con respecto al tiempo la primera ecuación.
im
Z
L/2
De acuerdo al diagrama podemos observar que
Como
Se establece que
Por lo que
y
re
2 2 2 · 2 · 2 · 2 2 · ·
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De tal manera que la velocidad es:
La aceleración es
El jerk (sobre aceleración) es
2 1 2 · 2·
Las curvas cinemáticas del sistema son:
v
L
a
L
j 8
8
- L Notas Unidad 5 Prof. Ing. Jorge Díaz V. M en I. / MIA
D) Movimiento Cicloidal
Este es el perfil más adecuado para aplicaciones de alta velocidad ya que las curvas cinemáticas presentan valores máximos en valores finitos que se definen por el desplazamiento y la velocidad angular de la leva. Gráficamente el perfil se genera en la forma siguiente
s
r = L/2
L
Para establecer la ecuación que define el contorno de la leva en el ascenso del seguidor tenemos:
im r = L Z
P
s = L
y
re De acuerdo al gráfico, podemos observar que el desplazamiento del seguidor está dado por:
Pero
Por lo que tenemos
2 2
De tal manera que nuestras ecuaciones son: Notas Unidad 5 Prof. Ing. Jorge Díaz V. M en I. / MIA
Como
Con
2 2 · 12 2 · 12
Las curvas cinemáticas del sistema son: v
2L
a
L
j
4L
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E) Movimiento Polinomial
Dado que un polinomio se puede emplear para aproximar una función arbitraria cualquiera, es lógico que se emplee para obtener casi cualquier perfil requerido, aunque en determinados casos el cálculo analítico es en cierta forma engorroso. La ecuación general que gobierna este perfil es:
En donde s es la carrera del seguidor, es el ángulo de rotación de la leva y ai son las constantes características que se puede obtener atendiendo a las condiciones de frontera y por ello las características de velocidad y aceleración las obtendremos al sustituir cada una de las constantes en las ecuaciones establecidas al derivar con respecto al tiempo la ecuación de desplazamiento que se determine con los datos iniciales por lo que tal ecuación el valor numérico de nuestro mayor exponente será en general n -1, donde n = número de condiciones de frontera. Supongamos que
0 0 0 0 0 5 4 3 2 20 12 6 2
En = 0:
En = :
Con estas condiciones la ecuación es
Entonces
Sustituyendo las condiciones de frontera establecidas
: : :
0 00 2 3 4 5
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00 22 6 12 20 0 0 3 4 5 0 6 12 20 0 10 15 6 110 15 6 2 30 3 2 60
Se tiene que
Sustituyendo estas tres constantes se obtiene el sistema de ecuac iones siguiente
Cuya solución nos conduce a
Que finalmente nos permite concluir
Que son las ecuaciones específicas para las condiciones de frontera previamente definidas. Para cada uno de los casos que hemos presentado debemos tener presente que para los movimientos de descenso del seguidor se debe seguir un procedimiento similar para obtener las ecuaciones correspondientes.
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