Mécanique Pour Ingénieurs Vol2

Mécanlque pour Ingénieurs Volwne 2: DynamJque

Source de...photos

Ferdinand P. Beer Traduction de Vector Mechanics for EngineeIS.' Dynamics. C 1999, 1990, t981 McGraw-Hili Ryersoo Umited, a Subsldiary of the McGraw-Htil Companles. (ISBN 0-07-5604.21-3) le> 1996, 1938, 1984, 19n, 1972,1962 McGraw-HiIl. Ine.

Chapnre Il : [onarhnn Nourouk/Photc Edit Chapitre 12: Phyllis Picc.trdllPlcturL> Cube

Chnpttre 13: TOlO ~tcCarthylViChJrC Cube Chapitre 14 : ~ASA Chapitre 15! üra-Faltnpr/Stock Market Chnpltre 16: Halle" E, Di)t'rnlnnchrrouy

toue

Chaflll re 17: Dflvicl ~ladiwn

102005 Les ~ditl-ons de la Chenelière inc.

Chapitre 1S; Caterpillar Eogtlle DhlÏsion

Éditeur.' Michel Pounn Cootdinatfon,' FréOérique GrambÎI'I Révision IInguÎstique,' June Beaulieu Correcffon d·épreuves.' Nicole Derners

Chapitre 19: Ct.·orge \Vhitc Locution Photogfl1phy

Infographfe: Intoscan Collette Couverture,' Michel Bérard M8quette intérieure: Merril Haber

CataloQage

avant publication de Bibliothèque et Archives Canada

Beer, Ferdinand P., 1915Mécanique PQur ingénieurs Comprend des index. Traducllon de la 3- éd. de: Vectcr mechanics for englneers Sommaire: (1) Statique - [2J Dynamique.

ISBN 2-7651-0151-4 ISBN 2-7651-0158-2

Cv. 1) Cv. 2)

t. Mécanique appliquéo. 2. Analyse vectorielle. 3. Statique. 4. Dynamique, 5. Mécanique appliquée - Problèmes et exercices. 1. JOhnston, E. Russell (EI\vood Russell), 1925- • IL Bsenberg, Eniot A. J Il. Titre. TA350,B3714

2003

620.,'05

C2003-941 232~6

F" Chenelière 1-.. McGraw-Hill CHENEU~A.E éOUCATION

7001. boul. Saint-Laurent Montréal (Québec) Canada H2S 3E3 Téléphone: (514) 273-1066 Télécopieur: (514) 276-0324 [email protected] Tous droits réservés. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque forme et par quelque procédé que ce soit, est interdlle sans "autorisation écrite préalable de l'Éditeur. ISBN 2-7651'()158-2

Dépôt légal: 1'" lrimestre 2005 Bibliothèque nationale du Québec Bibliothèque nationale du Canada Imprimé au Canada

2345

ITIB 11 1009 OB

Nous reœnnelseons l'aide financière du gouvernemenl du Canada par l'entremise du Programme d'aide au développement de l'industrie de l'édition (PADIÊ) pour nos activités d'édition. Goovernemenl du Québec - Programme J'édition de livres - Gestion SODEe

de crédit d'impôt pour

t.: Éditeur a fait toul ce Qui élall en seo pouvoir pou r retrouver les copyrights. On peut lui signaler tout renseignement menant il la correction d'erreurs ou d'omissions.

LE

PHOTO COPILLAGE TUE LE liVRE Copynghted matenal

Table des matières Préface III Avant-propos

V-VI

11 CINÉMATIQUE DES PARTICULES 583 Introduction à la dynamique

11.1

584

Mouvement rectiligne de particules 585 Position. vitesse et accélération 585 Détermination du mouvement d'une particule Mouvement rectiligne uniforme 597 Mouvement rectiligne uniformément accéléré Mouvement de plusieurs partioules 599 Résolution graphique des problèmes sur le mouvement rectiligne 610 Autres méthodes graphiques 611

, 1.2 11.3 11.4 11.5 11.6 ·11.7 ·11.8

588 598

Mouvement curvülçne de particules 621 Vecteurs position, vitesse et accélération 621 Dérl\!ées des fonctions \!eCIOrielles 623 Composantes rectangulair9s des vecteurs vitesse et accélération Mouvement par rapport à un repère en translation 626 Composantes tangentielle et normale 642 Composantes radiale et transversale 645

11.9 11.10

11.11 11.12 11.13 11.14 Résume

658

Problemes supplémentaires

662

12

CINÉTIQUE DES PARTICULES; DEUXIÈME LOI DE NEWTON 667 12.' 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

Introduclion 668 Deuxième loi de Newton 668 Quantité de mouvement d'une particule. Taux de variation de la quantité de mouvement Systèmes d'unités 670 Équations du mouvement 671 Équllibre dynamique 673 Moment clnétfque d'une particule. Taux de variation du moment cinétique 692

670

625

viii

'3010

ces

"'atll,l!es

12.8

12.9 12.10 ·12.11

"12.12 "12.13

Équations du mouvement en fonction des composantes radiale et transversale 693 Mouvement sous l'action d'une force centrale. Conservation du moment cinétique 694 Loi de la gravitation de Newton 695 Trajectoire d'une particule soumise à une torce centrale Aeplication à la mécanique spatiale 704 Lois de Kepler du mouvement planétaire 707

Résumé

703

717

Problèmes

supplémentaires

721

13 CINETIQUE DES PARTICULES; MÉTHOPES DE L'ÉNERGIE ET DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

725 13.1 13,2

13.4

13,5 13,6

"13,7

13.8 13,9

13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13.15

IntrodlJcllon

726

Travail d'une force 726 Énergie cinétique d'une particule. Principe du travail et de l'énergie 729 Applications du principe du travall el de l'énergie 730 Puissance et rendement 732 Énergie potentielle 749 Forces cooservatlves 751 Conservation de l'énergie 752 Mouvemenl sous l'action d'une force centrale conservalive. Application à la mécanique spatiale 753 Principe de l'impulsion et de la quanllté de mouvement Mouvement impulsif 773 Choc 785 Choc oentral direct 785 Choc cenlral oblique 788 Problèmes incluant l'énergie et la quantité de mouvement

Résumé Probl,èmes

804 supplémentaires

n1

790'

809

14 SYSTÈME DE PARTICULES 813 14.1 '4.2 14.3

14.4 14.5 14.6 14.1 14.8 14.9 "14.10 '14.11 ·14.12

Introduction 814 Appllcatlon des lois de Newton au mouvement d'un système de particules; forces effectives 614 Quantité de mouvement el moment cinétique d'un système de parucetes 617 Mouvement du centre de masse d'un système de particules Moment cinétique d'un système de particules par rapport à son centre de masse 819 Conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétlgue d'un système de particules 821 Énergie cinétique d'un sYS1èmede particules 829 Principe du travail et de "énergie, conservation de l'énergie pour un système de particules 830 Principe de l'impulsion et de la quantité de mouvement pour un système de particules 831 Systèmes de particules variables 840 Courant permanent de particules 841 Systèmes gui acquièrent ou qui perdent de la masse 843

Résumé

857

Problèmes supplémentaires

861

818

•

15

IX

CINÉMATIOUE DES CORPS AIGIOES

865 15.1

15.2 15.3

15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 '15.9 15.10 15.11 ·15.12 ·15.13 '15.14 '15.15

Introduction 666 Translation 868 Rotation autour d'un axe fixe SM Équations définissant la rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe 870 Mouvement général dans le plan 879 VItesse absolue et vitesse relative pour le mouvement dans le plan 881 Centre de rotation instantané pour le mouvement dans le plan 892 Accélérations absolue et relative d'un mouvement dans le plan 901 Analyse d'un mouvement plan en fonction d'un paramètre 903 Taux de variation d'un vecteur par rapport â un référentiel eo rotallon 914 Mouvement dans le plan d'une particule par rapport à un référentiel en rotalion. Accélération de Coriolis 915 Mouvement autour d'un point fixe 926 Mouvement général 928 Mouvement dans l'espace d'une particule relativement à un référentiel en rolation. Accélération de Coriolis 938 Référentiel pour le mouvement général 939

Résumé

~~o


956

16 MOUVEMENT O'UN CORPS RIGIDE DANS lJN Pl AN: •

•

FORCES ET ACCELERATIONS 960 16,1

16.2

16.3 16.4 ·16.5 16.6 16.7 16.8

IntroducUon 961 , Equations du mouvement d'un corps rigide 962 Moment cinétique d'un corps rigide en mouvement dans un plan Mouvement d'un corps rigide dans un pian. Principe de O'Alembert 963 Remarque sur les axiomes de la mécanique des corps ngides Résolution de problèmes portant sur le mouvement d'un corps rigide 965 Systèmes de corps rigides 967 Mouvement dans un plan en présence de contraintes 985

Résumé 100Z Problèmes supplémentaires

962

965

1009

17 MOUVEMENT O'UN CORPS RIGIDE DANS LE PLAN MÉTHODES DE L'ÉNERGIE ET DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT 1012 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7

17.8 , 7.9

Introduction 1013 Principe du travail et de J'énergie appLiqué à un corps rigide 1013 Travail d'une force agissant sur un corps rigide 1014 Énergie cinétique d'un corps rigide en mouvement dans le plan 1015 Système de oorps rigides 1016 Conservation de l'énergie 1016 Pujssaoce 1038 Principe de l'impulsion et de la quantité de mouvement appliqué au mouvement d'un corps rigide dans le plan 1033 Système de corps rigides 1036

x

17.10 17.11 17.12

1036

Conservation du moment cinétique Mouvement impulsif 1049 Collision excentrique 1049

Résumé

Problèmes

lQ62

supplémentaires

1066

18 CINÉTIQUE DES CORPS RIGIDES DANS L·ESPACE

1071 ·18.1 ·18.2 '18.3 ·18.4 ·18.5 '18.6 ·18.7 '18.8

'18.9

'18.10 ·18.11

Introduction 1071 Moment cinétique d'un corps rigide en mouvement dans "espace 1072 Application du principe de l'impulsion el de la quantité de mouvement au mouvement d'un corps rigide dans l'espace 1075 • Energie cinétique d'un corps rigide en mO\,ivement dans "espace 1076 Mouvement d'un corps rigide dans l'espace 1089 Équations du mouvement d'Euler, généralisation du principe de D'Alembert au mouvement d'un corps rigide dans l'espace 1090 Mouvement d'un corps rigide par rapport à un point fixe 1091 Rotation du corps rigide par rapport à un axe fixe 1092 Mouvement gyroscopique. angles d'Euler 1105 Précession stable d'un gyroscope 1107 1108 Mouvement d'un corps axisymétrique en "absence de torce

Résumé

1121


1126

19

VIBRATIONS MÉCANIQUES 1131 19.1

Introduction

1132

Vjbrahaos sans amortissement 19.2 19.3 '19.4

19.5 19.6 19.7

Vibrations nbres d'une particule, mouvement harmonique simple Pendule simple (SOlutionapproximative) 1135 Pendule simple (solution exacte) 1136 Vibration libre d'un corps rigide 1146 Application du principe de la conservation de l'énergie 1157 Vibralion forcée 1167 Vibrahoo amortie

"19.8 ·19,9

1132

1175

Vibration libre amodie Vibration forcée amortie Analogies électriques

Résumé

1175 11TI

1179

1'189


1193

Annexe 1197 A.l A.2

A.3

Système de mesures impériales 1197 Conversion des poids el mesures 1198 Propriétés des profilés à charpente en acier laminé

llste des symboles

1201

Tableaux et figures utiles Lexique anglals--françals

Réponses aux problèmes Index 1223

1205 1208 1210

1200

1132

Cinématique des particules

Les mouvements des IJOlsvéhiwles Illustrés som respe<;eivemenl caraC'lérlsés par le WlCtBU/' position, le vecteur vitesse et le vecteur BQ;6Idration de cnaCUl1 de COlJx-cl, AulTe mouvement Intél1l$SMl: le moéJwm1fHllreJslll cl"u(lIlét1lcule·j)8J rapport Il un 8U1tft. Ce cllnpltre li poUl objet l'élude du mouwmoot OIJ la c'n4ml1tiqlJ6,

C p n

11.1 INTRODUCTION À LA DYNAMIQUE Les chapitres 1à 10 portaient sur la statique, c'est-à-dire l'analyse des corps au repos. Nous abordons maintenant l'étude de la dyllarnique, la partie de la mécanique qui étudie les corps en mouvement. L'étude de la statique remonte à l'Antiquité, mais Galilée (1564-1642) a été le premier à contnbuer d'importante façon à l'étude Je la dynamique. Ses expériences sur les corps uniformément accélérés Out conduit Newton (1642-1727) à fonlluler ses lois fondamentales du mouvement. La dynamique comprend : 1) la cinématique, qui est J'étude de la géométrie des mouvements. Elle lie le déplacement, le vecteur vite 'se, le vecteur accélëranon et le ten1ps, indépendamment des causes des mouvements. 2) la cinétique, qui est l'étude de la relation entre les forces agissant sur un c.'Orps, la masse du (.'()rps et le mouvement du corps. Elle permet de prédire le mouvement causé par des force données ou de déterminer les forces nécessaires pour produire un mouvement donné, Les chapitres Il à 14 sont consacrés à la dyllo111ique des particules. Le chapitre Il traite de la clnënuuique (les particules, Lutilisatiou du mot parti-

cules ne sigulle pas que nous limiterons notre étude aux corpu cules; elle indique plutôt que, dam; ces premiers chapitres, nous considérerons le mouvement de corps aussi volumineux que des voitures, des fusées ou des avions sans tenir compte de leurs dimensions. En disant que nous assimilerons les cOlps à de' particules. nous entendons que nous considérerons seulement leur mouvement en bloc et que nous négligerons toute rotation autour de leur propre centre de masse. Cependant, on ne peut pas toujours négliger la rotation; et on ne pourra pas alors considérer les corps comme des particules. Les derniers chapitres, qui traitent de dyl10nlique (les corps rigides, analysent de tels mouvements. Dans III première partie du chapitre ] l, nous analyserons le mouvement rectiligne
Copynght d ma nal

MOUVEMENT RECTIUGNE

DE PARTICULES-

Î

l ,2 PoSlt,on vuesse el aC;i;"pferatlOO

585

11.2 POSITION, VlTESSE ET ACCÉLÉRATION Le mouvement d'une particule sur une droite est appelé nlOUUClllent rectiligne. À tout moment donné t,la particule occupe une certaine position sur la droite, Pour définir la position P de la particule, choisissons une origine fixe 0 sur la droite et un sens positif le long de la droite. Mesurons la distance r de 0 à P et notons-la avec un signe po ntif ou négatif, selon qu'on atteint P à partir de 0 en se déplaçant sur la droite dans le sens positif ou clans le sens négatif. La distance x. avec le signe approprié, définIt entièrement la position de la particule: elle est appelée cooulon liée (le posuio» de la particule considérée. La coordonnée de position d-e P de la figllTe Ll.Is. Ilar exemple, est r = +5 rn , celle de P' de la ,figure u.is est "" = -2 rn. On connaît le mouvement d'une particule lorsqu'on connaît la coordonnée de position x à chaque instant t _ Le mouvement peut être décrit par une équation en x et t telle que x = G~ - ll, ou sous la lorme d'une courbe de x en fonction de 1. comme dans le cas représenté à la figure j 1.6 (voir p. 581). On exprime le plus souvent la coordonnée de position x en mètres (rn) ou en millimètres (mm) selon le système d'unités SIL et celle de temps t en secondes (s). Considérons la position P de la particule à l'instant t et hl coordonnée x correspondante (figure 11.2). Considérons aussi la position P' de la particule à l'instant ultérieur t + tlJ. ; on obtient la coordonnée de position de P' en ajoutant à la coordonnée x de P te petit déplacement A.t. Le déplacement tJ.x est positif ou négatif selon que P' est à droite ou à gauche de P. Pur définition, la ouesse 11loyellriB de la particule durant l'intervalle (le temps 6t est le rapport du déplacement Âx à l'intervalle {Je temps 6.t:

p

0 1 1 1 i 1

(1

1 1 1 1 • 1 1 1 1 •x 1

~

~I

lm

(a)

P'

H

0

III.I~I

111111

W

1 1

•

r

H

1

1 III (h)

Figure 11.1

01

1

(1)

(1. ât)

Figure 11.2

fil'

vitesse moyenne =

ru

Dans le système d'unités SI, Ax s'exprime en mètres. 6.t en secondes, et la vitesse moyenne en mètres par seconde (nus), La oltesse instantanée v de la particule ù l'Instant i s'obtient à partir de la vitesse 1l1oyen.ne en prenant des intervalles cl€:' temps ~t et des déplacements àx de plus en plus petits:

Ax

vitesse instantanée = v = lirn _\ ..).1-11 ut

La vitesse instantanée s'exprime aussi en mis. Remarquons que let limite (1" quotient est égale, par définition, à la dérivée de x p
dx v=dt

(11.1)

La vitesse 0 est représentée par un nombre algébrique positif 011 nég
1. Voir hl secüon [,3. it 'rel que pr'é,~enté 1\ ln section 11.9, la vitesse est en r(...wté une gnmdC'ur vectorielle, Tcutefots. comme OOUS conadëroos ici 1.. monvement rectiligne d'une particule, dans Iequel la direcnon de La vitesse dt' L. particule est connue et the, il IlQlLS slJITlt de spéctâer III direcuon et la gnmdcur d la vnesse. ce 'lui se fuit en utilisnnt une quantitê scalaire cl le signe plus ou molas. Tout CèII1

est \'l"ai aussi pour 1'M'C'élérntionde la particu)c animée d'un mouvement rcctihguc.

Copynght d ma nal

586

le sens positif (figure Il.3a) : si la vitesse li est négative. x décroît, c'est-à-dire que la particule se déplace dans le sens négatif (figure Il.3b). La grandeur de [)est appelée vitesse absolue de la particule. Considérons la vitesse li de la particule à l'instant t et sa vitesse li + àv à l'instant ultérieur t + dt (Ilgure 1J .4). Par définition. l'accélération II1Qyel11le de la particule durant l'intervalle de ternps 6.t est le rclpport de av à 6t:

CII'lemlll;qoe des ~"Hllcules

p

['>0

•

1 x

(0 )

41<0

•

accélération

movenne '

r

(b)

~c = At

FIgure 11.3

1

Dans le système d'unltés SI, do s'exprime en m/s, ru en secondes, et l'necélération moyenne en mls2. Laccélération instantanée a de la particule à j'instant l s'obtient à partir de l'accélération moyenne en prenant des valeurs de dl et de do de plus en plus petites :

-

P

L

t-

(I)

P•

r-

1; '"

Dol

(t + At)

accélération

Flgure 11.4

do

= a = ~t-O lim Â t

instantanée

L'accélération instantanée s'exprime en rn/s2• La limite du quotient. qui est par déflnition la dérivée de li par rappc)rt à t, donne le-taux (le variation de la vitesse. On a

di:

(11.2)

a=-

(It

En remplaçant

1)

selon l'équation Il.1, on obtient

(11.3)

L'accélération a est représentée par un nombre algébrique positif ou négatif3. Si l'accélération a est positive. la vitesse (le nombre algébrique v) croit. Cela signiAe (lue hl particule se déplace plus rapidement dans le sens positif

(ûgure 11.5<1) ou plus lentement daJ1Sle sens négatif (figure Il.5b); dans les deux cas, 6.0 est positive. Si l'accélération (1 est négative. la vitesse dnninue: dOIlC, la particule se déplace plus lentement dans le sens positif (figure Il.Sc) ou plus rapidement dans le sens négatif (figure 11.5(1).

,

t

1

pl

p·1

--;1

~

x ~

~

u>o (b>

(a)

,.

pl

•

(J>O

l

P'I

,

1•

•

1'·1

x

~

iI
~

..0<0_.~ (dl

(c)

Rgure 11.5

3. Votr la Ilote au blL~de 1..1page' 585.

Copynght d ma nal

Si la grandeur de li diminue, l'accélération est parfois appelée dëcëlëraiion ; dans ce cas, ta particule se déplace plus lentement. Par exemple, la particule correspondant à la figure 11.5 décélère aux parties h et c et accélère (c'est-à-dire se déplace plus rapidement) aux parties a et (1.

On obtient une autre expression de l'accélération en éliminant la différentielle ,11 dans [es équations 11.1 et 11.2. La THise en facteur de dt dans l'équation l I.I donne dt = dxi». Le remplacement de dt dans l'équation 11.2 par cette expression donne d»

(11.4)

a=t-

(lx

Exemple.

Considérons

une particule se déplaçant sur une droite. Supposons

XlIII)

qUE"SU position est définie par l'équation x = où

6f1- -

('3

t est en secondes et-x en mètres. On ohrient la vitf'S5e v à tout instant t en dérivant

x par rapport à. t , soit:

dx

1)

=-

=

(il

Pour obtenir l'accélération

..

12t - 3t-

a, dérivons de nouveau par rapport il t. Nous obtenons

(J

dv = -:;;; dt

J2 t Cs)

12 - St

-12

La flgu..rc 11.6 l'('pl'(-~f'ntC' la coordonnée de position, la vitesse pl l'accélération en Iouction de 1. Ces courbes sont appelées courbes (le InOIlt'tJltU~/lt. Soulignons et'pelldant que la particule ne se déplace sur aucune d'elles, mais sur une droite. Comme

Ia dérivée d'une fonction est égalt: à la pente de la courbe corre sspomlanto, 1(1pente cie la courbe x-t est à tout instant égale à la valeur de u fi l'et instant et lu pente de la courbe 1)-( est egale à hl valeur de (1. Puisque (1 = ()h ( :;;;2 s, la pente d(" ln courbe v-t doi! être nulle à ( = 2 s car Lavitesse passe par un maximum à cet instant. De même, puisque v = 0 = 0 ct à ( = 4 s. la tangente à la courbe x-! doie être hortzontale pour ces deux valeurs de t.

-24 -36

-----------

Il(uvs!)

.2

o.l

elon les trois courbes de mouvement représentées à la figure" 11.6, If' veillent de la particule de t = 0 à t = 'XI œuiprend quatre phases :

4

6 , (s)

-12

ITIO\.)-

Figure 11.6

1. À l'origine, x = O.la vitesse
=

=

2.• t... t = 2 s, l'accélération est nulle et la vitesse passe par UH maximum. De t = 2 s ft t :;;;4 s. v e-st positive, mais (/ est 11~gati\'f'. La parnell!" SI"déplace" encore dans le sens positif. mais de plus en plus lentement: ~·1Il'd('1.·élèrt~. ~l, À, = 4 s, la vlt(·SSC est nulle ct la coordennéc maximum.

Après cela,

ti

et a sont négatives;

de position X p~st par un la particule accélère et se

déplace dans Il' sens n~gatirà une vitesse croissante . •

revient au point de départ et sa coordonnée x est nulle, tandis que la distance totale parcou.rue depuis Il' COlllJ11CI1C('IHCllt du 1110llvernant est de 64 m. Pour les valeurs de t supérieures à 6 s, toutes les grandeurs:r, 0 ct (l seront négntives. La particule continue il se déplacer dans

4. A t

le

= 6 s, la particule

S('IlS

négatif et s'éloigne de plus en plus vite de O.

Copynghted matenal

588

Clr~r:-'atlqul! de!! par 1culUf>

11.3 DÉTERMINATION OU MOUVEMENT D'UNE PARTICULE Selon la section précédente, on connaît le mouvement d'une particule si 011 connaît la position de cette particule à tout instant t. Dans lu pratique toutefois. un mouvement est rarement dé.Ani par une relation entre x et t. Les

conditions du mouvement sont le plus souvent spécifiées par le type d'accélération de Laparticule. Par exemple, un corps en chute libre aura une accélération constante, (lirigée vers le bas et égalp à g = 9. l mls2. Une masse attachée à un ressort tendu aura une accélérauon proportionnelle à l'alleugernent instantané du ressort mesuré à partir de la position d'équilibre ; etc. EH général, l'accélération d'une particule est Lille fonction
do == a di dt) == fit) clt En intégrant chaque membre, nous obtenons l'équation

J do =- Jfit) dt qui définit 0 en fonction de t. Remarquons toutefois que l'intégration introduit une constante arbitraire parce que de nombreux lUOUVements différents correspondent à l'accélération donnée a = fit). Pour définir de façon unique le mouvement de la particule. il faut spécifier les conditions initiales du mouvement. c'est-à-dire la vitesse Va et la coordonnée de position x.o à t = O. Remplaçons le! intégrale indéfinies par des intégrales d(JfiniefJ' à bornes Îl1férieures correspondant aux conditions initiales t = 0 et '1) = tic) et à bornes supérieures correspondant à t == t et à !} = o. Nous obtenons

fI} (Iv == ft fit) dt 0

L'f, t) -

(;41

= ft fit) dt e

qui donne en fonction de t. Isolons maintenant d..r. dans "équation 11.1. soit

dx

= 0 dt

et remplaçons D par l'expression que nous venons juste d'obtenir, Il suffit alors d'intégrer les cleux membres, le premier par rapport à x de x = Xo il x = x, et le deuxième pêlf rapport à t de t == 0 fi t == f. Ainsi, I~coordonnée de position x est une fonction de t et le Ill0UVement est complètement déterminé, Nous détaillerons davantage deux. cas particuliers importants aux sections 11.4 et 11.5: celui dans lequel a = 0, correspondant au mouaCt/tellt u/tifonlle, et celui dans lequel a = une constante, correspondant au nlou.œment ullifomW1rent accéléré.

Copynghted ma nal

2. a =f(x). L'ol:CélérofJon C8t

IUle fon{,.-tlon

(le. x_ Rérlrr<.mgeons l'équation Il.lI

et remplaçons a pu):'fix) pour obtenir

11.3 Dlll&rmll\QIIOn du tnOu\lM1ent d'une panICule

589

(.)do = 0 dx u do = f(x) dx ou pouvons intégrer cette équation. puisque chaque membre ne contient qu'une variable. EJ1 notant de nouveau la vtte f' initiale 0 et hl coordonnée de 1>0ition initiale x{), nous obtenons

°

fC1 {) dl) = IX ft.«) d: "
- :(0

!02 - lva = L f(x) T

(lx

X(I

ClllÏ, donne

t}

en fonction de x. Isolons dt duns l'équation Il.1. NOlis

obtenons

dx dt=D

et remplaçons D par l'exprès ion: que nou venons ju 'te d'obtenir. r_;intégraôol) cl deux membres denn la relation désirée entre x et i. Cependant, chin hl plupart des cos, j'intégratioll nnalytique est ilop(x... sibl ~ et Û fitlltlnl alors J intégrer numériquement. 3. a = fi!'). IJ'flccéT~(r(ltiQI1est une fOllction de ,~ous pouvon J'11:\h1tenant rernplac or fi par fiv) dans l'équation 11.2 ou l'équation 11.-{ et ain ~ obtenlr une cl rels tion uivantes :

cio

j(v) = dt

ftu)

do

_1.

j

(ft ...

f(o)

du

= '0 di v cIo

as == .flu)

t:intégroliol\ de la première érllk'ltiou donnera une relation entre 1.) et t , l'iJltégrati.o'l} de la deuziëme ëquaaon donnera une relation entre v et x. L:Htilis~tionde r'une de ces telatiol1$ oonjoillt~r'lC~t)tuvee l'équatïon 1].1 donnera ln relaëon entre ret t qui caractérn e le 1l1()1lvement ,Ip. hl particule.

Copynghted matena

. PROBLEME

,

RESOLU PR-11.1

position d'une particule se déplaçant sur une droite èS1: définie par la relation :;; 13 - 6t2 - 15t + 40, où r est exprimé en mètres et t en secondes. Déterminez : Cl} l'instant auquel la vitesse sera nulle : 1)) la position de la particule et la distsnœ parcourue par elle à cet in.stant; c) l'accélération de la particule à cet instant; d) la di tance parcourue par la particule de l = 4 s à 1 = G s.

La "

SOLUTION

Les équations du mouvemeut sont

x(rn)

;r

1

1 1

40

= {l - &2 (lx

15(

+ 40

(1)

.,

v = di = 3(....- 12f - 15

1

(2)

1

dv

1+5 1

0

a=-=6t-12 tif

1 (s)

1 1 1

(1) 1"!llallt aurlncl

1

-50

-_._----

Jtl -

1 1 1

1 1

Il) Po ..ili()I\ el di.,tan\·(· remplace 1 par +5 s. Ou Il

1

1 1

1

X:;

1 1

0

t (SI)

,

at

=

1

,

18

l,):lt"C()unl~

-

+4()

-1 s

1 = f- ,'j .\

el

~

c) ,\(,,(·t~lt'ratio"lor",.ue r

1

lorsque

l'

+ 40

m. Comme

= U. Dans l'équation J. .\~ =

1)

()O lH

'* 0 durant l'intervalle

1

OTl

~

=0

-60 m - 40 rn = -100 m 1).11 '011111('- 11)0 III d.lH 1 ~ Il~

= :1::\ - Xo = dU,I.Hl(;'

1 1

1

1 =-

o s. on a

1

___L___

0 dans l'équation 2 pour obtenir

= (5)3 - 6(5):: - 15(5)

c:lli..tance parcourue

1

a (lllls2)

!::=

12t - [5 e 0

.f.. 1 = 0, la position inltiale ét.aît:ro = +5

1 1 1 1 1

li

Seule la racine t = +5 s correspond au temps ultérieur À celui du début du mouvement; pour t < 5 s, v < 0, la parrtcule se déplace dans le sens négatif; pour' > 5 s, v > 0, elle se déplace dans le sens positif.

1 o{mI~)

O. On pose

t' ::

(3) :

= (). Dans l't')'l,ttttion

Il,~~.Ihr·

3, on rernplaee

f

~

plU' +5~.

Ona

J 1 1 1 1

OIS ;;

(1) Distance Sl:IlS

1

négatif d • t

Q

,

6(5) - 12

fi , -

l'; Il s-

~

ptu'C'()urue de t = '!o:" = 6 s et dans le S<-I)S positif de t => 5 s à , = 6 s ; on calcule

donc séparément la distance p'd.rcourue durant chacun de ces Intervalles de tenlps. 0

LIs)

Oc ( = 4 s ù t = 5 s : %4

:.\'5

= - 60 m

= (4)3 - 6(4)2 - 15{4)

+ 40 = -52 III

Distance parcourue;;;;: .tG - X., "" -60 nl - (-52 = 8 m dans le sens négatif De f = 5 s à t = 6 s : :1:6 ;;;;:

Xs

Ill)

= -8

III

= -60 m

(6)3 - 6(6)2 - 15(6)

Distance parcourue = X6

-

;[5

=

+ 40 = -50 rn

-50 m - (-60 m)

= + 10 m

= 10 m dans le sens positif l.u tliüanc« (oln/.·

590

])(11'11111111

de t = 4 s ~, = 6$ est de 8 m

+

10 m

- 1"

III

PROBLÈME RÉSOLU PR-11.2 D'une fenêtre située à 20 rn au-dessus du sol, on lance une balle avec une vitesse dt' 10 nvs ve rticalement vers le haut. Sachant que l'accélération Of' la balle est constante et égale à 9,81 mis'!- vers le bas, calculez: a) la vitesse l'et là hauteur Ij de la balle au-dessus du sol à tout Instant l ; '1) la hauteur maxirnale de la balle et la valeur correspondante de 1; c) l'instant auquel 1.1 balle heurte le sol et Tracez les courbes v = fit) et!J = ftt).

la vites,se correspondante.

SOLUTION a) Vitesse et hauteur, Ou choisit t'axe y de mesure dt' la coordonnée de position (la hauteur) de sorte que son origiOt'l 0 soit Sur If' sol et que son sens positif soit orienté vers le haut. L'accélération et les valeurs initiales respecth'es de u et de y

sont indiquées sur la 1)0 =

+ 10 ln/S.

En remplaçant a par rio/dt et

ngUf't·,

notant

('0

([Il 'à 1 ;:;

0,

on obtient

dt: dt

'10 = +201'1'1

-=(1=

[

-981In/s-

'

dv=-lt9,Sldt

l',,-IU

U

[v]~(1 = - [9,SI1

lh

10 = -9.8Ie

u-

n{rn 1..)

.,

10

q~11

(1)

10

On remplace c pa,r (l'llrll et en sachant que, à 1 ;:; O.'1u = 20 :3,25

t (5)

~ = (It

J

J J J

-"" ...2.

[

J

---------

(I.,=W

Courbe \it~\P,telnp~ II = fil))

l/Y =

li

on obnent

Ill,

= 10 - 9. J t

i' (10 - 9.81t) dt ()

[y J~,= llOt - -I,905tj11l)

!I - 2{) = 101 - 4.905t2 !I - 211 Il) Huuteur'

lUI

.:j.

Ensuite,

00

porte cette valeur dans 1'~f1llalion 2 y = 20

2.'5,1 20

•

,"

::;-~

c}

t"! ____ ~

'"' ( :our! h'

III I~Ltlvil-It'IUp~ Il -

Ji t

1

1.019

+

1 -

pOlir

1.011-1,

....

obtenir

y

10(1,019) - 4.005(1.019)t\

= 2'5,1

III

d,UIS

20

1'(~.ilJatioli 2, On obtlr-nt

+

101 - 4.90sf

=0

t=-I.243li

~t

:.J

\j

, '"

Seule la racine t = +3,28 s correspond

3.21l

à un instant ultérieur

à celui du début du

mouvement. En portant cette valeur de t dans "équation L. on a

7T

1

0

p011f'

Là bnll« hcurtl' 1(· ~()1. Lorsque la hallf' heurte le sol, on a!J = 0, On portf'

cette valeur \\

•

(2)

1 pour obtenir

10 - 9,81t ~ () y (Ill)

lJ(J:}f- •

À la hauteur maximale de la balte, v ;:::O. On

maximale,

cette valeur dans l'équation

+

t (sJ

c = LO - 9.81t3,28) = -22,2nlls

l

=

~.2 Ill"

i ....

591

PROBLÈME RÉSOLU PR-11.3 mëcantsmc de froin.ag , utilisé pour amortir le recul de œrtains types de canons consiste essentiellement en un piston attaché au canon et se déplaçant clans un C) Lindre rue rempli d'huile. Lorsque le canon recule à une vitesse inltiale Co, le IJC

;;:.!foL 1:' "

..

J 1""" ,:JIoJ

piston se déplace et COTee J'hune à traverser les ortflces. obligeant If"piston ct le canon ù décélérer il un taux proportionnel à leur vite.sse; autrement dit, a = -ka . Exprimez: a) v en fonction de t; b) X eu fonction de t ;

c)

1)

en fonction de .r,

Tracez les courbes de mouvement correspondantes,

SOLUTION

a) c en fonction de t, En remplaçant a par -kv dans la formule fondamentale de définition d€' l'accélérauon, (J = (lu/d" on obuem

do -k .. ::;; -

"f -do = -k i' lit

do - == -k di

dt

[;

0

li)

l --

o

t

b} r en fonction de t. En remplaçant

0

41

l- I~,

par dxid: dans l'expresston ci-dessus,

on a

x t

,1 k

-------------

[ dx = VI) o

if e

kt

(Ir

t)

:.:= -~[e-kt][, k

= -2.2.(e-kt k

-

1) \

1

r ['u

e} v en (onctiun dl:

}C,

_ 1"

--:-1.

1

k

On n.."nplacl.' (1 par -kv dans l' 'gttlité

-

1

(1 -

., 1)

cIo/cu

ponr obtenir

-kv

(/1)

= ur-:--

ch.-

tlo = -k lb.:

[ (It>:= +k [ (lx 1"

1) -

~

00

, _. " - "r ...

= =kx

Vérification. On aurait pu résoudre la partie C' en élïrnlnant 1 dans les répouses obtenues 1.'1.1 (J et b. Cette méthode permet de vGriller la réponse. Oc (). on obtient e k1 = vIvo. En portant cette valeur dans la. réponse de b. on obtient X

592

= -L'O (I k

,Vo

l' -"')

=k

(

J - -v ) 1)0

t>

= Vi)

-

Jo:

(vériÎlé)

P.~.~-~-.,r""'''''':''·.:;~'''I,'','''',

r,

"

-

,

':',

,

.~~_. ';'~ ;."' ; .' R E CAP 1T U LAT ION . . .

,

. ':''''

", .' .. .

.

.

'.0 ,..

.. liI'·_'~, .... )I,.~

_. _

.__

.

-

.... -_.

•.••

'

.

S,,EC T ION S 1 1 . 1 À 1 1 . 3·,:'

.... :

--

~~14.

III.

-_

_

.

Dans ces sections, on a vu comment calculer la position, la vitesse ou l'accélération d'une particule arumée d'un mOltvement rectiligne. En lisant l'énoncé d'un problème, on doit être capable d'identifier la variable indépendante (t ou x) et la variable dépendante ou recherchée (par exemple, v en fonction de x). On commence en écrivant les informations données et un énoncé simple des grandeurs cherchées. connainsant .'1:(1 J. Comme nous l'avons expliqué il la section 11.2, la première dérivée et la deuxième dérivée de x par rapport à t sont respectivement égales à la vitesse et à J'accélération de la particule (équations Il.1 et Il.2). Si la vitesse et l'accélération sont de signe contraire, la particule peut s'arrêter puis se déplacer clans le sens opposé (PR-ll.1). Donc, pour calculer la distance totale parcourue par une particule, ou doit d'abord déterminer si la particule s'arrêtera durant l'intervalle de temps spécifié. La construction d'un dtagramme semblable à celui du problème résolu PR-II.] qui 111011tre la position et la vitesse
:,.,

t!

('f

'{('

(III)

.. 1'

1

(1

,1,' x! 1) cunnuiseunt

J.

avons discuté la résolution des problèmes de ce genre dans la première partie de la section Il.3. Nous avons utilisé les conditions initiales t = 0 et v = Vo comme bomes inférieures des intégrales en t et v, mais nous aurions pu utiliser tout autre état C.'OflJ11J (par exemple t = fI, t; = UL)' Par ailleurs, Si la fonction donnée a(t) contient une constante inconnue (par exemple. la constante k si a = kt), on doit commencer par calculer cette constante en portant u.11 ensemble de valeurs connues de t et de a dans l'équation définissant o(t) . 1 il

•1

CI(

1

NOlIS

,J(, xtt ) ('(JllnO;RNflnl ,,(-'"J. C'est le deuxième cas considéré à la section Il,3. Remarquons que les bornes inférieures d'intégration peuvent être n'importe quel état connu (par exemple, x = XI> 0 = Vi)' De plus, puisque o = VrllM lorsque a = 0, les positions auxquelles les vitesses sont maximales (ou minimales) sc calculent facilement en posant a(l') = 0 ct cn isolant x. f

rlll'i

(l" ,.(r) cl de ",(1) COIIUll;I{Stlll' ,,(t'), C'est le demter cas traité il la section Il.3. Le problème résolu PR-ll.3 illustre les méthodes de résolution des problèmes de ce genre. Tous les commentaires généraux des cas précédents s'appliquent ici aussi. On reillarque que le problème résolu PR-ll.3 résume comment et quand utiliser les équations D = dot/cft, (J = dv/clt et a = 1) dvldx. , ./,'

,:

,i\

"

593 Copynghted ma nal

11.1 Le mouvement d'une particule est défini par la fonction x = -1/4 - 6/3 + 2l - 1. dans laquelle x est eu mètres et t en secondes. Calculez la position, la vitesse et J'accélération de la particule à 1 = 2 s. 11.2 Le mouvement d'une particule est défllli par la fOUCtiOLL x = 3t"' + 413 - 7[1-- St + 8, dans laquelle .r est en millimètres et f en secondes. CaJclllf~ la position. la vitesse ct l'accélération de la particule à t = 3 s. Le mouveme-nt d'une particule est déflnl pt\r la Ioucdou x = 612 - 8 + 40 cos 7TI. où x est eu mètres et t en secondes. Calculez la position, la vitesse et l'aecélérahon à 1 = 6 s. 11.3

Le mouvement d'une particule est défini ~r la fonction x = 3 - ~f! - 30f + 8, où :'(est en mètres et 1 en secondes. Calculez If' temps. la position et l'accélération lorsque o = O.

11.4

;t

11.5 Le mouvement d'une particule est d6f1JlJ par la fOHCUOt! x = 61"- 213 - 12,z + li + 3, dans laquelle x est en mètres et f en secondes. Calculez le temps. la position et la vitesse lorsque (1 = o. 11.6 Le mouvement d'une particule est défini par la fonction x = 3t.3 - 6.12 - 12r + 5. dans laquelle x e t eu mètres et t en secondes. Calculez: fi) l'instant auquel la vitesse est nulle; b] la positlon. l'aceélératiou t'lia distante totale parL"()urue à t "'" 4 s. 11.7

x "'" (3 -

Le IlIOUVCnll'lIt d'un ' parueuh- c:.t dCflnl par la fonction 9f1 + Mt - , dans laquelle x est en mètres el t en secondes. Calcule«.

li J

11)

11.8 x = t:l

l'instant auquel la \ uessc est nulle; la position et la distance totale parcourue lorsque l'accélération est nulle. Le mouvement d'une particule est détuli

pM ta Iouctlou

61! - 36t - 40. dans laquelle x est en mètres et t en secondes. Calculez: a} l'instant auquel la vitesse est nulle , b) la vitesse, l'accélératiou et la distance totale parcourue lorsque x = 0,

-

11.9 Laecélération d'unf' [l,micule est définie par a = 6 nvs2. Suclrant I.{ue x = -32 ln lorsque' := 0 et I.{uev = -6 m/s lorsque t = 2. s. calculez la vitesse. la position et la distance totale parcounlE' à t ;:; 5 s, 11.10 Laecélératiou Ù·uue particuje est directement proportionnelJe au telnps t. À t = 0, la vitesse de la particule est l' =0 16 nl/s. achant que 1) = 15 nvs et que x ~ 20 ln à ( = L S, calculez la vitesse, la position et la distanc totale parcourue ~ , = i s.

594

11.11 Laccélération d'une 'particule est définie pat' la relation (1 = A - 6l!, dans laquelle A est une constante. A 1 = O. 13ptuticuJe démarre Il x = ru 3\'eC C = O. Sachant qu'à t = l s, 0 = 30 mis, déterminez: (.I) les Instants auxquels la vitesse est nulle: fI) la distance totale parcourue par la particule à 1 = 5 s.

Copynghted ma nal

11.12

L'accélération d'une particule est directenwnt propordonnelle nu carré du temps t. t '= 0, ltl particule l~l :c = Mm. achant qu'à 1 ;; 65, X ::: 9ô 01 ct o = l mis. exprimez x 4."1 0 en fonction de t.

Ploblèmes

595

11.13 De t - 2 s ~ , ... LO • l'nccéljSration d'file particule est ÎIl\f'r ement propo rtiouue Il , au cube du lèlnp> 1. Àl ~ 25. ti ~ -15 fn!set.~1t= lOs, (j = 0,36 na/s. Sechant qll'à t - 2 ~ la p
a) la posilton <1,(' la particule li t = 2 et R' ;;;; 10 : b) la distanee totale parcourue ptil' la particule de 1 -- 2 s à t = 10 s. l:at:célGration d'une particule est définie par la relation a = -' I1l1s2. lichant que x ;;;;20 m , t = " S et que x = 4 1111 Lorsque t) = 16 mis. calculez: a) l'Instanr uU
11,15 Uno particule oscille entre les points x t3 40 mm et x lGO U)II1 aV(~C une accélération tt ... k( iO() - x}. dans lac]lJclle k est one constante. La vitesse de lu CI

ptuûetùe est de 1 rnnvs lorsque x - 100 rnrn et es1 nulle (;J!J8J1dx ,.. 40 mrn et :r = 160 mm. Calculez : a) III valeur de k, b} la vitesse lorsque 1" ..: L20 mm. Une particule part du rcpo à l'origine avec HOC accélératton + 4}2. dans laquelle CI est en mis l, x eu mètres, el k est uue constautc.

11,16

a

kI(x achant que la vitesse de la particule a) ln, leur de k; :0:

b) c)

(lm de- 4 mis lorsqu

x;;;;

Ill,

ealculez:

la position ÙL' ta particule lorsque tj = "",5 nlls: la vitesse masirnnle de ta particule.

11.17 Laceélération d'une particule est défUlie par la relation 0 = 6r - l·l, dans laquelle II est en n"~ et x en mètres, Sachant que v "'"" mis lorsque x ... 0, calcul a. : a) la valeur maximale de x;

b) la vitesse tic la particule quand elle aura parcourll une distance ()truc' de I nt,

Une pnrtl(!It! ' part du repos à x ::;:;I met aecélëre de telle façon fille la gtatldeur {le sn vitess .. double entre x = 2 met J: = . rn. Sachant que l'accélération de III parttcnle t"5t d~nfljl!pllT "équntion (1 = k[x - ( . x)J. calculez les constantes et k t la vitesse
l;nccvlvmUC)TId'Iille po.rticule est définie par la (OtlCtiOIl(J = I.() - p '). dans laquelle k est une constante. Sachant que la vitesse de la particule e t 1) "" ':"6 mis lorsque x = - 210 et que lia particule arrive nu repos au point d'origine, calculez: a) la \ aleu r de k ; h) ln vitesse de la particule lcrsque r = - [ m. 11.19

11.20

,·lon dr-sobservation expérunentale .I'aœélératiou d'une parbcule est déllnle par l'équation zr = -(0.1 + sin r./b), dans laquelle (1 est en Intr pt l' en mètres, 3ch3nl que I.J = O,~ ln

ta vitesse rnadmale. Partant de! = 0 avec; une vitesse initiale nulle, une particule r€'~()itune

aooéléJ'ation (f - 0,. V fT + ~~9. dOQS'laquelle a se en nl/s2 et a) ta POSiti()1l de lUl?articule lorsq_ne t) e :U mis; b) la vites'~e {le lu particule lorsque ,'( ~ 40 m.

tl

en

IlVS,

Cnlcu h"l.:

Copynghted matena

-kv;,.

11.22 L'accélération d'une particule est définie par la relanon o ;:: dans laquelle k est une constante. Sachant q\lt' x = 0 et v = 1 1l1/S à r = 0 ct que o = 36 11115 lorsque x = 18 m, calculez: u) la vitesse de la particule lorsque x = 2.0 m ; b) l'instant auquel la particule est' au repos.

11,23 Laccéléraëon d'une particule est définie par la relation a = -kv2•S• dans laquelle k est (me constante, La particule part de x = 0 avec une vitesse de 16 11115. Lorsque x = 6 m, la vitesse observée est de 4 rn/s. Calculez: a) la vitesse de la particule lorsque x = 5 ln; b] l'instant auquel la vitesse de la particule est de 9 m/s, 11.24 À t = 0, une particule part de x = 0 avec une vitesso Vtl et une accélération définie par l'espression a :;:: -5/(200 - 0), dans laquelle (1 est en mI~ et li en mis, Sachant que 0 = 0,,1500 à t :;::2 ,calcul~: (1! la vitesse initiale de la particule; b) le temps mis par la particule pour arriver au repos i c J la posiüon lorsque la vitesse est de l rn/s. 11.25 L'accélération d'une particule est définie par la relation (l = O,4( 1 - kv). dans laquelle k: est une constante, Sachant que, à t = O. la particule part du repos à x = 4 ln et que, à t ",. 15 s, u = <1 ulis, calculez: a] la constante k; b) la position de la particule lorsque 0 = 6 mis; c la vitesse rnaximale de ln particule. 11.26 De la position x = 0, une particule est projetée vers la droite avec UI1f" vitesse initiale de 9 nvs. Laccélération de la particule est dëûnte par la relation a = -0.6: ~, dans laquelle a est Cil nvsz et v en UVS, Calculez: 0) la distance parcourue par la particule IOI"SCjue sa vitesse est de 4 mis ~ b) l'instan t auquel o = l mis; c} le temps nécessaire à la particlIlf.' polir parcourir une distance de 6 rn, 11.27 Selon des observations. lu vitesse d'un coureur à pied peut être décrite par la relation u = 12( 1 - O,02,sxf,3, dans laquelle 1) est en Ion/h et x en kilomètres. Sachant que x ::: 0 à r 0, calculez. a) la distance parcourue après 1 heure, Il) l'accélération du coureur en rnlr à t = 0; c} le temps nécessaire ou coureur pour parcourir 61011. !::l

FIgure P1'.27

11,28 Selon des données expérimentales, Lavitesse de l'air émis par la partie aval d'un évent d'allmentanon à claire-voie est dénnit' par la relanon :: O,ISvolx, dans laquelle v est en IrlIS et x en mètres, et [Joest la vitesse d'écoulement initiale de l'air.

POUT

d)

b)

Vo = 3,6 mis, calculez:

J'accélération de J'air à :f ",. 2 m , le tefl1ps 0,15 par l'air pour se déplacer de x

=

1 ln à x

=

3 m.

FIgure Pl t .28

Copynghted matenal

Laccélérntion due à 10 ~l"avitaëon terrestre à une hauteur 1) au-dessus de la surface terrestre est donnée par l'expression -9,81 a = [J -'- (1)16,3ï X 1()6) J:!

597

11,29

0" a est en 1l1ls~('1 1) en

111 ètres.

Terre i

Col

À l'aidr- dl' cette expre sion, calculez la hauteur atteinte par un projectile lancé vertiealeurent vers le haut à partir de là surface de la Il'

ne {' iniualc

de :

550 1I1Is; Il) 900 rn/s : c} 1 1 1ro mis. (1 )

11.30 Luce..élérutiun dut· à la ~ra\; ...dion terrestre Ù'II11P particule tombant vers la Terre est a = -(!.Jr~lr2,où r est la distance à partir du centre de ln Terre à la particule, Relit le m) on de ln Terre ct fI. est l'accélération duc à la gravitation terrestre ù la surface dt' la Terre, Sachant {lue R ~ 6370 lm" calculez III vitesse de libération de ln particule, c'est-à-dire III 'vitesse minlmale à laquelle il faut la projeter verticnlement vers le: haut fi partir de la surface terrestre puur fjU 'elle nt' revienne plus sur 1"Terrr-. SUpp05<'1, (Ille v = 0 pour r = oc, 11.31 La vitesse d'une particule est v "" co[ 1 - in (mIT,]. Sachant 'lue cette particule purt Ù<' l'OrigiHt> ur ù 1 = 0, et sachant qllE' lE'déplac<'1l1f'nt maomal du glisseur est 2x1h démontrez que': Il J (J' = (rd + x~w..~)/2r()wfl;

/,) la \;1(' c est

1l1ll..\ltnalt.'

lorsque x = xo[3 - (lo/xow,,):l]/2.

11.4 MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME

Ce type de mouvement

rectiligne est fréquent dan!' les applicanons pra· tiques, Dans te mouvement. l'accélération a d'une particule est nulle à tout

instant t. Ln vitesse v est donc constante et l'équation 11,1 devient (Ix - = (It

0

= constante

La coordonnée de position x 'obtient par intégration de cette équation, En notant XC) la valeur initiale de x, nous obtenons

LX dx = v [ di 0

.rll

,\' -

Xu

= .:i (11.5)

On utilise cette équation

.culcmont si la citessc (le la particule e

1 COll

tante.

PCf

PCf

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

'1

r

1

Figure P11.29

Figure P11,30

598

Cinémalique des parbculas

.. .. .. .. 11.5 MOUVEMENT RECTIUGNE UNIFORMEMENT ACCELERE Ce type de mouvement est commun lui aussi. Dans ce mouvement, l'accélération a de la particule est constante et l'équation 11.2 devient

do - = (ff La vitesse

0

a = constante

de la particule s'obtient par intégration de cette équation. soit

J

e

il

=a

do

cil

0

t.~)

0- Vo = at ( Il.6) Dans celte équation. 00 est la vitesse initiale. En remplaçant v dans l'équation Il.1 par le deuxième membre de l'équation Il.6, on écrit

dx

cit =

En (lésignant par

Xo

u(J

+ ai

la valeur initiale de x et par intégr.ltion. on obtient

LX (lx:: rrl

l'

+ at) ds

(00

0

x - x() = Got

+ -;tar2 (ll.7)

Nous pouvons aussi utiliser l'équation 11.4 et écrire (lu

v- = 0 = constante dx

v do = fi cLt L'intégration, des deux membres donne v do = a

[ Cu

L"f

(Ix

>r41

~(t;2 - (5)

= (I(X

-

x())

(Il.8)

Dès qu'on remplace

(1. Do

et

Xo

par les valeurs appropriées. les trois

équations ombrées ci-dessus fournissent des relations utiles entre la coordonnée de position, la vitesse et le temps dans le cas d'un mouvement uniformément accéléré. Il faut d'abord définir l'origine 0 sur l'axe (les x et choisir UJI sens positif sur l'axe; ce sens servira ~tdéterminer les signes de a. DO et x(). L'équation Il.6 lie v et t et sera ut.ilL s ée pour calculer la vitesse 0 à un instant t donné, ou inversement. Léquation Il.1 lie x et 1 ; l'équation 11. lie 0 et x. Le mouvement d'un corps en chute Libre est un cas important du mouvement uniformément accéléré, L'accélération d'un ('Orps en chute libre (habituellement désignée par g) est égale à 9. 1 In/S2• Rappelons que ces trois équations ne peuvent être utilisées que si l'accëlération de la particule est constante. Si l'accélération de la particule varie. son mouvement sera déterminé par les équations fondamentales 11.1 à 11.4 et selon les méthodes exposées à la section Il.3.

Copynght d ma nal

11.6 MOUVEMENT DE PLUSIEURS PARTICULES

11 Cl t..~01JIISm8nlcIe plusieurs parlJC'JI~

599

Si plusieurs particules se déplacent indépendamment sur la même ligne. on écrit les équations indépendantes du mouvement de chaque particule. Si c'est possible, on mesure tous LestenlpS à plirtir du même instant initia! ()Our toutes les particules et tous le' dépluceme-uts 11partir de la même origine et

dans le même sens. Autrement dit. on ne devrait utiliser

qU'Ul1

chronomètre

et qu'un mètre ruban.

Mouvement relatif de deux particules.

Considérons deux particules

A et B se déplaçant sur la même droite (figure 11.7). ï le coordonnées de position x,\ et Xa sont mesurées à partir (Je la In~n1Porigine, 1" tllFférence ''("B - Xr\ définit la coordonnée (le 110s100" relative de B pnr rapport à A et est désignée par XBIA' Donc, ou

o

B

-'~-~I/t

1---

\__j

1/1---1

Flgure 11.7

(11.9)

Quelles qllC soient la posinon de A et la position de B peU' rapport à lorigine, si le signe de X/J/A est positif. B est à droite de f\ et, si le sigtle est négatif. B est il gauche de ~\. Le t..l1IX (If' variation de X81.\ est appelé vitl''''''/! relatioe de B ])Of rappon à A et est désigné par 0BI.\' La dé.rivée des ~CJ:uations 11.9 donne

ou

(Il.10)

Un sih'Tle posittf signifie que. ou cie ~\, lJ se rléphu .-e daus le s('>ns positif: un signe négatif signifie (lue B se déplace (lans le sens né~êttif. Le taux (le variation (Je VB/~\ est appelé (/ccélératioll relatit;(1 de B par rapport li A et est désigné par (/B/.'\' La dérivée des équations Il.10 donne ou

(11.11)

Tl est à noter que le produit des indices A et B/I-\ utilisés dans le deuxième membre des équations Il.9. ] 1.10 et Il.11 est É'gaJ~ l'indice B utilisé dans le premier membre, Mouvements dépendants. La position d'une particule dépend parfois de la position d'une autre particule ou (lé plusieurs autres particules. Dans ce cas. les mouvements sont dits dépendant. . Par exemple, la position du bloc B de la figure 11.8 dépend de La position du bloc A. La longueur de la corde ACDEFC étant constante et la longueur de chaque portion de corde CD et EF enroulée sur les poulies demeurant constante. la somme des longueurs des segments AC, DE et f~G est constante. Remarquons que la longueur du segment AC diffère de x.o\ par une constante ct que, de la même façon, la longueur c1f' chaque segment DE et I-~Gcliffère de sn pitr une constante. Donc, x~\+

~\'8 =

,

\

constante

Comme nous pouvons seulement choi ir arbitrairement une des deux coordonnées X.-\ et XB, Je système représenté il hl 6b'tITe 11. H lin clegré (le liberté. La relation entre les coordonnées (le position l'A et.\'8 montre que. si .rA S'UL'Cf()Ît de .6..1:.\. c'est-à-dire si l~ liloc A descenù
Flgu.re 11.8

Copynghted matenal

Dans le cas des trois blocs représentés lila figure Il.9, on peut observer de nouveau que la IO'ngueur de la ecrde qui passe sur les poulies est ecnstanre. Donc. les ceordonnées de l)osition des: trois blocs doivenl satisfaire à la. relation

SI:Jfvrulte: 2.\A

+ 2x,8 + Xc

"'"

constante

\ \

1

Puisque

f1C)US

pouvons dloisir ttroitrairemel'lt deux eoerdonnées. le système

représenté à la figure 11.9 a cku."C {Jegri$ de liberté. Si ta relation entre les coordcnaées de position de plusieurs particules est linéaire, la reladon entre les vitesses et la relation entre les accélérations des partteules sont linéaires elles aussi. Par. esemple, dans le cas ,les blocs de la figure 11.9, ri. nous dérivons deux fois l'équation obtenue, il en résulte dt + 2d.1:'J dt + d:tc clt

n d.'tA

:Figure 11.9

iW

nd'D,;.\ z;""""'::';:_

-dt

+ 2 ,loB + dvc di

dt

= ,0 0

6. '

ou

() ....OA + 2vn +

ou

20.1\

Oc; :::

0

+ 2as + Oc = 0

Copyrighted material

PROBLÈME RÉSOLU PR-l1.4 Du niveau 12 m d'une cage d'ascenseur. on lance une halle verticalement

vers li!

haut avec une vitesse initiale de 18 mis. Au même instant, un ascenseur 1't cicl ouvert

atteint le niveau 5 111 et lit' déplace "ers le haut à une vitesse constante de 2 Calculez, : a} à quel in.s tant et à quelle hauteur la balle heurtera l'ascenseur: b) la vitesse relative Je la balle I>ar rapport à l'ascenseur il ccl instant.

11115,

SOLUTION

~1o\l"em~nt (le 1:\ balle. La balle ayunt une accélération constante, son 1

t

On place l'oligint'' 0 de l'axe des '.J au niveau du sol et 00 considère le sens positif vers le haut. Alors, la position initiale est Yo = + 12 Ill. la vitesse initiale est L'o = + l nv ct l'accélération ('st ft = -9.151 nllSl. On porte ces valeurs dans les équations du mouvement uniformément accéléré. IJ mouvement est

tlrlf[onIlKI1Uf'1J1 fl(r.!it?I"!.

en découle VIJ

= u

+

nf

Vn ""

18 - 9.S1!

(1)

!J/J =

12 + 1& - 4,,90SF

(2)

~I()uvt'nt\'nt (1(· J'~('C~"t.·UI"Lascenseur ayant une vll~ss(' con tante, son mouvement est Itllifor'l11c. En plaçant de nouveau l'origine a au 11ÎVf'aU du sol et en prenant le sens positif ver- le haut, OH rcnlarquc que Yo "" +5 Ill, d'où

o

1=t

+2 m/s

VA

=

!JA

= 'Ju

(3.)

+ t>A.(

0

(4)

La balle heurte J'ascenseur. 00 renlurque d'abord que le même telllpS 1 et la 111(-me origjn(' 0 001 été- ulilisés dans l'ôcriturc des équation du 1110tlVCIlICnl de la balle et de l'ascenseur, Selon la figure, lorsque hl balle heurte l'ascenseur; 'lA

t

'lA = 5 + 2t

Dans J'équation 5. on remplace

Ij,,-'5nl

5

= IjlJ

(5)

et IjB selon les équations" et 2, d'où

IjA

+ 21 = 12 + 1& - 4.,905r t

=

-0,39

S

et

Seule la racine t = 3.65 s correspond à un instant ap~ mouvement.

1 = 3,65 ~

le commeucornent

-4 du

On polie cette valeur dan s l'équatton 4 pour obtenir

!lA = 5 + 2(3,65) = J2,30 ln l lauteur au-dessus du sol '" 12.30 III 1111

La vitesse relative d~la balle par rapport à l'ascenseur est lill/"

= vn -

VA ee

(18 - 9,81/) - 2 = 16 - 9.S1t

Lorsque la balle heurte l'ascenseur à l'instant t = 3,65 s, (ln a VOlA

Lé signe

flégatif

= J6 - 9.1:l1(3.6.5)

t Ii'.\

= -t9.SI tn/s

~

Indique que. vue de· l'usL"C.'II!>...-ur, III baU" SL' déplaCe: duns 1....~èllS

négatif (vers le bas),

601

PROBLÈME RÉSOLU PR-11.5 E

Un manchon A et un bloc B sont reliés par un câble passant sur Lestrois poulies C. D er E (voir figure). Les poultes Cet E sont tandis que la poulie D est attachée

mes,

à un manchon qui est tiré vers le bas à une vitesse constante de 75 mrn/s. Au temps t "'" O. le manchon A commence à sc déplacer vers le bas à partir de la position K. avec une accélération constante et sans vitesse initiale. Sachant que la vitesse du manchon A est de 300 mm/s lorsqu'il franchit le point L. calculez la variation de hauteur.Ia vitesse et l'accélération du bloc B quand le manchon A franchit le palot L.

900 mm

SOLUTION

o du mnnchon A, On place l'origine 0 à ln surface horizontale supérieure et ou choisit le SéIlS vers le bas comme sens posiuf. On remarque que. à l'Instant t = ü.Ie manchon A est à la position K et que { I,)Q = (J. Or UA = 300 mmls et x" - (Xi\)o = 200 11lITl lorsque le manchon passe par L. Donc,

, 1 • 1

Mouvement

• 1 ,

\ "

1

K+--

u~ = (VA)~ + 2a ....[x" - (x.-\)nl a,.. = 2.25 mml!!

200 mm

L 1

il" \=

1 1 1 1

(300)2 "'" 0 .... 2{tA(200)

Pour calculer l'in stan 1 auquelle manchon r\ atteint le point L. on a successivement 300 = 0 + 225t

:3CJO [nmls

1

~I()uyt!meot

de la pculle [J.

(/v ;;;;;0

Lorsque

Vu

Je manchon

i\

Le sens positif étant vers le bas,

= 75 rnrn/s

Xl) = (Xt)o

+ upi

= (XI))CI

On

a

+ 751

atteint L, à 1 = 1,333 s. on a

XI) 1 iJ

, ;;;;;1,333 s

= (x,,)o

+ 15(1,333)

= {.1:,,)o

+ 100

x" - (x,,)o = 100 alun

Donc,

Mouvement du bloc B, IJ est à remarquer que la loùgueur totale du câble ACDEB Ile diJThre de la quantité (.t....+ 2xD + ..l'a) que d'une constante. Ln longueur rlu c!,h1p ~t:-.nt constante durant le mouvement, certc quauttté

doit elle aussi

demeurer constante. Donc, aux instants t ;;;;;0 et t ;;;;;1.333 s. on peut écrire ..l'A

c

[..l'A -

Or x"' -

(XA)O ""

+ 2x" + XIJ = (x,,)o + 2(x,,)o + {xoJo (:tA)O} + 2[x" - (x,,)o] + [Xli - (XI1)o] = 0

200

0\11}

et

x" -

(xv}o

(1) (2,)

= 100 mm, on porte ces valeurs dans

l'équation 2 pour obtenir 200

+ 2( LOO) + [XB

-

In - (X8)(I = -400 111rn

(x/l)ol = 0

\.ui.ilion dl' liante-ur

Donc,

dt· B

=

tno

IllHI

l

En dérivant dC'tL'I: fois l'équation 1. on obtient les équations reliant les vitesses et les

accélén.... tiens de A. B et D. Eu remplaçant les vitesses ct les seeélérauons de A et de D par leurs \ leurs à t = 1,333 s, on li liA

+ 20" + 1)8 = 0:

3()() + 2(75} f)>>

.fIA

+ 20" + (/11 = 0:

29.5

:::: 0

== -450 mnvs

+ 2(0) + 08 = 0 a8

602

+ OB

=

-225 mm/si!

fi,. -

Z2.5

111111 ,'!.

Î

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.





608

CII"emallqlie des panicules

11.46

Ou place d~lL~blocs A et H sur lin plan Incliné (voir figurE' J. À 1 ,.. 0, on

proj{'ttr 1\ vors le haut du plan, la VilCSSl' lnitralc dt, 9 Il''!> et l~part du ît!pos. Les blocs SI! croisent l s plus tard. et 8 atteint If' bas du plan à t = 3.4 5. Sachant que la distance maximale parcolu-ue par le bloc A à partïr du bas du plan {'st ete 7 Ill, et que l'ueeélérution de A et celle de 8 (dues il: la gravitation el au frottement) sont constantes et orientées vers le bas du plan. "lllcHI(>~: a) l'accélération de A et celle de B: b) 1 a distance ri ~ c)

la vitesse de A lorsque les blocs se croisent.

,

(r..I~1 9 '!Ys

.\

Figure P11.46

Le bloc coulissant A se déplace vers la gauche à une vitesse constante cl e 6 rn/s. Déterm inez: a) III vitesse du bloc B: b] la vitesse di" la partie D du câhle , c) lu vitesse relaU\'l' de lu partie C du câble par rapport à la parti!" D. 11.47

1)

constante. Sachant qu'aprè~ avotr parcouru -l00 mm le bloc A a attoint LIlle vitesse de .{ in/s, détcrnuuez : 11.48

a)

h)

Le bloc B part du repos et descend avec une accélération

l'accélération

de A

(.("1If'd(· 8; la vitesse et lu vunation de position de B après 2 s. l't

a)

Un bloc: B descend à UDf' vitesse constante de 0.6 nl/s. Déterminez.: la \ iles~f' dl! bloc A;

b}

la vitesse du bloc C;

11.49

la vitesse cl," ln part if' D rlu c.:iihlt'; (1) la vitf!~!i('rt>làH\'l' dt· III partit· D el.. cUbl(· pur rapport au LIIK B. c]

Figure Pl1.47 - Pll.48

l

!

1

•

~

l'>,

(.::. 115

J

VI

(

D

,...---

\

_fi R.

...

Figure P11.49 - P11.SQ 11.50 Après 12 s. CI) h)

Le bloc C; démarre du repos et descend avec une aocélératton constante. la vitesse rlu hl oc ,\ l'si dt' O.S m/s. Détermlncz . l'accëlératiou dt' .1\. celle Je B et celle dl" C; la vitesse et la variation cie position du bloc 8 a[lri's S

C p n

11.51 Un manchon f\ démarre du rE'pO!i et 111011tt' avec UI1(' accélération constante. Sachant qu'après ~ s la vit{'ssC' rclatlvc du manehou B par rapport au manchon A est de 0,6 mis, déterminez: li) l'accélérauon de A et celle de B; IJ) la vitesse et la variation de position de 13 après 6 s. 11.52 Dans la position illustré " lin manchon B descend Déterminez ; u) ln vitesse du manchon A;

Problemos

tt la \'it.t ise de 0,3 uvs.

c

h) la viles-se de la partie C du cible; c)

la vitesse relative dt' lu partie C du câhlr- par

mppol1

:111manchon

B,

11.53 Le bloc coulissant B se déplace vers la droite à une \~tf'S$("constante de 300 mm/s. Détennînez : a) la vitesse du bloc coulissant A ~ b) la vitesse de la partie C du câble : c] la vitesse de la partie D
-

-

l"~

C , ,

~

t\

D

_E

1)

t

FIgure P11.51 - Pll.52

."

Figure P11.53 • P11.54

11.54 À l'instant illuS1n'\ Il' bloc coulissaut 8 Sl' tléplacl' ;tVt'c Hill' t1(Jcl~lératioll constante et sa vitesse est de 150 mm/s. Sachant que, lorsque le bloc coulissant A s'est dé-placé de 240 min VCTS ln droite, sa vitesse était dl" 60 111111/1', détr-rmlnez ; «) l'accélération de A et celle de B; b) l'accélération de ln partie' D du cftblC'; c) la vitesse et la variation de position du bloc B après -i s. 11,55 Le bloc B descend à une vitesse constant!' de 20 mm/s. A l'instant t = O. le bloc A monte uvee une uceélérution constante et sa vitesse est de 30 mm/s. Sachant qUf', à i = 3 s, If' bloc ooulis-

c

sant C s'est déplacé de 57 mm "crs la ùroite, d('h..·rlilirll~(': Il) la vitesse du bloc: coulissant L' à 1 = (); b) e)

l'accélération de A et celle de C; la van ario n de rosi lion <1" hloc A après 15s.

11.56 1Â,' bloc B dpmarr<" du r<"pos, I~ hloc,...\ sC'd~placC' A.\'("C une accélération coustante elle bloc coulissant C se cJ~phll't>vers la droite avec une accélération constante de 15 1l1n'llr. Sachant f[1IC',à t "'" 2 s, la vitesse de 8 est de 480 rUilais vers le bas et celle de C; t'st de 280 uun/s vers la drolte, ùé term Înc."Z: If) l'accélérauon de A el celle de B: 1)) la vitesse initiale de ,-\ el celle dt" C ; (.) la variation de p
Figure Pl1.55 - Pl1.56

609

610

1

nmallq.> des pa IlCOlEs

11.57 Le manchon 1'\ démarre du repos à. t = 0 et descend avec une aceélération constante de 7 1I111l1':.-2. Le muuehou B monte uvee une aceélératîon constante pt sn vitesse initiale est de B mm/s. Sachant Clltt' If' manchon B parcourt 20 Ulm entre 1 = 0 et t = 2 s. déterminez: ",

l'accélération du manchon 8 et celle du bloc C; l'hl,'Ilanl auquel la Vitl'SSC d'LI bloc Cf' 1 nulle;

c}

la distance parcourut> par le bloc C :\ cet instant.

CI)

Figure P11.S7 - P11.58

Les manchons A et B partent du repos . Le manchon A monte avec une accélérarion de 3 f2 mmlr. Sachant que le manchon B descend avec une acoélémncn constante et (I"e sa vitesse est de rnm/s après un déplacement de 32 mm, calculez: Il) l'accélératlon du bloc C; Il) kt. distance part:oul1Jc' par Je bloc C ULL bout
11.59 Le système Illustré prut d.. repos et chaque composant se déplace avec une uccélération constante. Si l'accélératioo relative dl! bloc C par rapport au manchon B est de 60 mmJs2 vers le haur et que l'accélération relative du bIC)(;D par rapport au bloc i\ est de 110 IOmlS2 vers le bas, calculez: fi) la vitesse du bloc C au bout de 3 s ; 1)) la variation de position du bloc 0 au bout dé 5 S•

.-\ B

Le sy:,tèlllEl représenté part du repos pt la longueur clf' la corde supérieure est réglée de manière llue A, H et C soient i.rùtialement au même niveau. Chaque ('UIUPOSaut st> déplace 6\'(:>C UIIl' aceêlératiou coustante tt. après 2 s. lu variation relative de la position du bloc C par rdpport au bloc 1''\ est de 200 mm vers 11.60

I~ haut. achain que. lorsque' la vitesse relative du manchon 8 par rapport au bloc A est de 0 mmls vers le bas, Je déplacement de A est de 160 mm vers le bas et celui <[c' B de 320 mm vers le bn • détermtnex:

> lO nllrlls~; 1,} lu variation dl' position du bloc 0 lorsque la vitesse du bloc C est de fi)

Figure P11.59 - P11.60

l'accélération de A et celle de 8 si

fl8

600 mrn/s vers le haut.

-11.7 RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES PROBLÈMES SUR LE MOUVEMENT RECTILIGNE NOliS

avons ob servé Ala section 11,2 que les formules fondamentales dx

r;:;;;; -

(If

ont une siguiftcuti()11 g~olltétric[ue.

et

d

0:;;;;-

La première

dt

[annulé exprime

'-lue la

vitesse est kt tout instant ~ga]e à la pente de la courbe x-t'au même instant (figure 11.l()). La deuxième Iormul e rprime que J'accélération est égaie il. la pente de la courbe o-t, C~Sdeux propriétés permettent de déterminer












622

C.n&maliquè Cfes patliculèS

vecteur ri s'obtient par l'addition des vecteurs r et llr selon la règle du triangle. Remarquons que Iir représente une variation de la direction et une variation de la grandeur du vecteur position r. Par définition, la vitesse 1}10yell'/le de la particule durant l'Intervalle de temps III est égale au quotient de ~ et !::J, Or dl" est un vecteur et dt un scalaire; donc, le quottent dr/ru est un vecteur lié à P, de même direction que L\.r et (Je grandeur égale à la gr.tnclellr de Ar divisée par dt (f1gtlre Il.1411). La vitesse instantanée de la particule à l'instant t s'obtient en choisissant des intervalles de tenlpS 6t de plus en plus petits donnant des accroisscments âr correspondants de plus en plus petits eLLX aussi. Donc, la vitesse instantanée est représentée par le vecteur

Ij

r

(h) .:::

.6.r v = lim M-O dt

v

(1J .14)

Lorsque .6.t et ~

deviennent de plus en plus petits, les points P et ,P' deviennent de plus en plus proches. À la limite, le vecteur v obtenu doit donc être Ulllgent à la trajectoire de lu particule (figure J 1.14<-). Pujsrfue le vecteur position r dépend du telnps t ; nous pouvons (lire qu'il est une [on ction »ectorielle de la variable scalaire t et le désigner par r(t) , En étendant la notion de dérivée d'une fonction scalaire présentée dans le calcul différentiel et intégral élémentaire, nous appellerons la limite du quotient ô,r/Ilt la clérlt,,'ée
Po (cl Flgura 11.14

~,

(1J.15) v'

La grUl1Jellr v du vecteur v est appelée oiiesse absolue de la particule. On l'obtient en remplaçant le vecteur âr dans la formule 11.1·1 par L1.grandeur de ce vecteur représentée par le se~nent rectiligne PP'. Cependant, la longuetLr du seglnellt PP' tend vers la longueur ÂY de l'arc pp' lorsque Ôt décroît (Ilgure 11.14a). Donc,

PP' 60s v = lim = lim ~I Il t:J ÂL-Cl 6..1

x

(a)

fJ

•

Q

La vitesse scalaire v s'obtient donc en dérivant par rapport à t la longueur s ele l'arc décrit par la particule, Considérons maintenant le vecteur vitesse v de ta particule à l'instant t et son vecteur vitesse v' à l'instant ultérieur t + Ilt (figure 11.150). Traçons les deux vecteurs \i et v' à partir de 1..1 même origine 0' (figure Il.15b). Le vecteur 6v joignant Q et Q' représente la variation
x'

(hl Figure 11.15

(11.16)

= ,lt.-o lim

Av ,,\ u.t

(J 1.17)

Le vecteur vitesse v étant une fonction vectorielle v(t) du temps t, nous POU\10llS appeler la limite (lu quotient ûv/At la dérivée de v par mpport à t. D'où

Copynght d ma nal

',1 10 DeTT'ises C€S 'oocbà"s

cl"

a=-

!J'

Remarquons flut' le vecteur accélération a est langent à la courbe décrite par l'extrémité Q (lu vecteur v lorsque celui-ci est tracé à partir d'une origille flxt-l 0' (Rgure J 1.15e) t't (1"(>, en g(slIéral, le vecteur aecélération a ,,'est 1)as tàJlgent à hl trajectoire ÙE' la particule (figure 11.15cl). La courbe décrite par l'extrémité de v (fi~'Ure 11.15c) est appelée Iro(/(lgrll}J/,e du mouvement.

DÉRrVÉES DES FONCTIONS

Q

VECTORIELLES

A la

section précédente, nous avons vu <{U'CIl) peut représenter le vecteur vitesse v d'une particule animée d'un mouvement curviligne IJtlr la dérivée de la fonction vectorielle 1'(1) carartérisant 1...position tlt> ('~ttpparticule. De même, on peut représenter le vecteur accélération a JE' la particule p
M> = P("

T

623

les

(11.1 )

(II

11.10

',eclu,,!:!

x'

-.

le)

1)

r: .t,,·~tnlfl'

6.11) - P(u) x

dP

-du

-

(d)

Figure 11.15

,b)

•

Agure 11.16

--

Divisons J~$cl us: membres de çette équatton pêU' 6[1 et faisons tendre Âu vers 7..éro. Par (lpnnit-ion, la (l1:rll)((C (le 1(1 !01lc;ti(}'1 cectorirlle P('l) est

dP = lirn AP (fil

..lJ,_1I

ilu

= lim .l,,_()

P(II

+ ÂU) du

-

P(u)

(11.19)

Lorsque .!lu tend vers zéro, la ligne d'action de 6P devient tangente il la courbe représentée à la fi~,re Il. 16(/, Donc, la (lprivée (/P/(I" (le la fonction vectorielle P(u) est If/Ilgelllc' li /(1 (;(IUrl)(1 décrite })(lr l'ex: rétlJlté (/.1' P(II) (figure Il.16b),

Copynghted ma rial

624

Cinématique des pa'ucUJ<9s

Les règles habituelles de dérivation de sommes ct ti(>IISscalaires s'appliquent aux fonctions vectorielles. la somme (Le (]()Il," ftJI1CtUJtlS vectorielles P(u) et Q(lJ) scalaire u. Selon la tl~finitioll donnée Ù l'équation

de produits des foneConsidérons cl'abord (le la même variable 11.19, la dérivée du

vec-teur P + Q est

+ Q) = lirn d(P + Q) = iim (~

d(P

(lu OU~

À,,_U

Â1J

~J_()

Ô.',

+ AQ) !\U

puisque la limite d'u ne somme est égale à la somme des limites de ses

termes,

d(P

+ Q) du

et

+ lim 6.Q

__ lim 6.P ~u-() /lu

(I(P + QI

dP

,lu

(III

__;_-__..:~=

~u_()

/lu

(IQ

+ -"-

(11.20)

d'J

Considérons maintenant le produit d'une [oncüon scalaire j{u) et d'une [one: ion ceaoriclle P(u) de la même variable scalaire Il. La dérivée du vecteuJ'!P est

difP) du ()U,

Cf + Jlf)(P + ÂP) - iP

__ Iim

= Lin,

/lu

..hi .....(J

Àu-O

(.M. P +f Ill) LUt 6.u

eu se souvenant
clifP) = d( p + dP (lu (Ill f (fu

(11.21)

La dérivée du produit scalaire et celle du produit vectoriel de deux fonction vectorielles P(Lt) et Q(u) s'obtiennent (Je la même façon.

dtP . Q) == dp . Q + P' c/Q tlu (lu ri" d(P x

Qt =

tlu Les propriétés

+ Px

(IP x Q du

(11.22) (/Q du

(11.23.1)

de déterminer les ronlposantes orthogpnales ciela (léri~'ée d'une jonction vectorielle P(Lt). La décomposition de P en ses composantes sur les axes orthogonaux fixes x. y et ;;

établies ci-dessus permettent

donne (11.24)

Pr, P et P:;; sont les composantes scalaires rectangulaires du vecteur P. et i, jet k Yesvecteurs unitaires correspondant respectivement aux axes x, Ij et .: (section 2.12). Selon l'équation 11.20, la dérivée de P est égale il la somme des dértvées des termes du deuxième membre. Chacun cie ces terrnes étant le produit {J'un scalaire et d'une fonction vectorielle, utilisons l'équation I 1.21. Cependant, les vecteurs unitaires i, jet k ont une gr..tndeur constante (égale à 1) el des directions flxes, Leurs dérivées SOllL donc nulles. Alors,

OÙ

dP _(lu

(.IPx riJ"t i+ (/~I

.+ ar.-k

du J

(lu

(11.25)

-1. Le produit vectoriel n'étant pas commutatif (section 3...(l. il faut coaserver J'ordre de.~fa('tpurs dlUl~l'équati()I\

Il.23.

Copynghted ma nal

Remarquons {lue les coefficients des vecteurs unitaires sont, l>ar dé finition , les cornposantës scalaires du vecteur clP/du_ DOJlc.lc.~CO'IL1)OSaTlt~8C(JI(Ji,.e~ rf'ctaTlgllloires (le la rlfl-tT;(:e dP/(]tl (](' 10 JoncHo" vectorielle P(lI) s'obtie-nDent en dérivant les composantes scalaires correspondantes de P.

1 1 1- Corl1~"'~lInlCSI(:ClJOt! ,Iflores

625

(tes. '1ect'l~rs \'1'~5e et a'"'Csl~aliOl1

Taux de variation d'un vecteur. Si le vecteur P est une fOIlCtiC)11 1.111 temps t', sa dérivée (IP/rit représente le taux (le cariatiou (le P par J"'c:lpportau

repère Ox:y::.. La décomposition (le P en composantes rectangulaires est, selon l'équation 11.25,

(IP;r.

dP dt -

dl

J

ar,

(Jp'J.

+

(Jt j

+ dt k

En utilisant des points pour indiquer la dérivation par rapport à t, on obtient ,

(11.25')

Comme nous le verrons il la section 15.10, le taux de variation d'un vecteur vu à partir d'tin ssjstèmc d'axes ou repère en 'liouvelnellt est, en général, différent de son taux de variation vu d'un repère fixe. Toutefois, si le repère en mouvement Qlx'y':::;' se translate, c'est-à-dire si ses axes demeurent parallèles aux axes correspondants du repère Bxe OXI):' (ngure 11.17), les mêmes vecteurs unitaires i, j et k sont utilisés dans I(;!scieux repères et le vecteur P a à tout instant les mêmes composantes px. Py et Pz dans les deux repères. Donc, selon l'équation 11.25', le UllLX de variation lie P est le même T)aTrapport aux repères OXI}::' et O'x'y':::;'. Donc, le taux de cariation (J'un vecteur est le 11lê111C par rapport à un repère ft'Cc ou par rapport à tllL repère en translation. Cette propriété nous simplifiera gJëU1CIf':11'1E'nt la tâche pllisclue nous traiterons pnndpalernent de repères en translation.

'1.

y

x'

1:

•

•

Figure 11.17

!J v

11.11 COMPOSANTES RECTANGULAIRES DES VECTEURS VITESSE ET ACCÉLÉRATION

x.1}

et

z

------71

/

sont des fonctions de t. En dérivant cieux fois,

---v

r:P

1

\' ..l ______t

...Y'1 / 91

1

/ ..

:t

40)

(J 1_27)

dt

fla,

:~'1

/

f-

I

x, y, .:; et _t,

ij,

(11_28)

1

1 1 1

z

vx = i-

li!! (/y

=-

•

1}

= !J

V-:_ (.1.

•

= ;;• _

lJ

-

..

1

1

1

représentent respectivement la première dérivée et la deuxième dérivée de X, lJ et z I)fit rapport à t. Selon les équations Il.27 et 11.28, les composantes scalaires respectives des vecteurs vitesse et accélération sont 01"

1

1

y

k

/

.

1

• .. a= dv =fl+YJ+i:

1

1

1

•

dr ~.+'1J "+'k Z V=-a;=A.1

//

/ /

Si .1<1 position d'une particule Pest définie à tout instant pal' ses coordonnées orthogonales x, !I et z, la décomposition des vecteurs vitesse v et accélération a en composantes rectangulaires d vient très pratique (figure 11.18). Décompo ons le vecteur po. ilion r de la particule en composantes orthogonales, U en découle (11.26) r = xi + !/J + z.k où les coordonnée on obtient

~

1

1

1

J

t 1

P

..,

::---y/ •

J

(11.29) 1

(Il.30)

Si o, est positif. la composante vectorielle "A est orientée vers la droite ; s'il est négatif, la composante vectorielle est orientée vers la gallcht'. Le sens de chaque autre composante vectorielle se détermine égalernenl à partir du

•

Cb)

Figure 11.18

Copynght d ma nal

626

1 ~ " "1 • I~

", t .,., r :

signe de la composante scalaire correspondante, On peut aussi déduire la

r,

grandeur et la direction des vecteurs vitesse et accélération de leurs colnposantes scalaires selon les méthodes vues aux sections 2.7 et 2,12,

L'utilisation des composantes rectangulaires pOUTdécrire la position, la vitesse et l'accélération (l'une particule est particulièrement efficace lorsque la composante tl.r du vecteur accélération dépend seulement de t, de x et/ou de oz, et lorsque, de même, olJ dépend seulement de t, de y et/ou de Dy, et 0: de t,t: et/ou de v~. Alors, les équations l l .30 et 11.29 s'intègrent iudépend..unment. Autrement dit, on peut considérer éparéinent le déplacement de la particule dans le sens des r, dans Je sens des y et dans le sens des z. Dans le cas du rn,OIlDcnlcllt (l'lin projectile, par exemple. on constate (section 12.5) que les composantes du vecteur accélération sont (1,

-=z= 0

=X=0

(1.

si l'otllléglige la résistance de l'air. Désignons pwx(h Ijll et z.,les coordonnées d'un canon et par (o~)o, (0 )'1 et (0=)0 les composantes du vecteur vitesse initiale Vo du projectile (un boulet), et intégrons deux fois par rapport à t, Il en découle

I-----.r

---...J

ta) Mcuvement d'un projootile

Vy

.1

X

Y, "

(b) ~fouV'6meuts rectilignes éqnivelents FIgUT8 11.19

I)~

Si le projectile est lancé duns le plan XI) à partir de l'engin 0, Xi) = Yo = Zo = 0 pt (1)::)0 = O. et les équation du mouvement se réduisent à 1)",

y

= z = «(j~)o ,;= ~J + (0:)4.t

= rj = (vy)o - gt y = yu + (u.,)uf - 2 g t2

= t "" (u )u X = Xu + (O.l'}ot

li.\

=

(liK)c1 = (v~)ut

r.:y

= (vy}(I - g t

Y = (Dy)ul -

t g~

=0 -;:=0

1)-

Ces équations montrent C]lle le projectile reste dans le plan .t:y, que son 1110UVement dans la direction horizontale est uniforme et tlue son mouvement dans la direction verticale est uruformément accéléré. Ou peut donc remplacer le mouvement d'un projectile par deux mouvements rectillgnes indépendants (l'J'on peut làcilelnent représenter si 1'011Supp{)se que le projeetile est lancé verticalement avec lin vecteur vitesse initiale (01/)0 à partir d'une plate-forme se déplaçant avec un vecteur vitesse horizontale constante (Vl')o (ûgur 11.19). La coordonnée x du projectile est ég~ùe à tout instant à la distance parcourue par la piate-forme , sa coordonnée y se cule comme si le projectile se déplaçait sur une verticale.

cru-

Remarquons (l"f' les équations définissant les coordonnées x et y (l'un projectile à tout instant sont les équation paramétriques d'une parabole, La trajectoire d'un projectile est donc paraùoliqt,e, Ce résultat ne tient plus lorsqu'on prend en considérution la résistance de l'air ou la variation de l'accélération clue à la gravitation en fonction de la hauteur.

11.12 MOUVEMENT PAR RAPPORT À UN REPÈRE EN TRANSLATION Dans la section précédente, nous avons déerit le mouvement d'une particule ù l'aide d'un seul repère. Dans la plupart (les cas, ce repère était lié à la Terre et considéré comme fixe, Analvsons maintenant les situations dans 1e5, quelles il est C01l11l10de d'utiliser simultanément plusieurs repères, Si un des

repères est li~ à la Terre, nous l'appellerons repère fixE' et appellerons les autres ropi'lrf>s mobiles. li faut toutefois hien comprendre que le choix d'un repère fixe pst purement arhitraire. On peut prendre n'importe quel repère comme repère « fixe .. ; alors, tous les autre. repères (lui ne lui sont pa.'i liés rigidement seront dits ,. mobiles ».

Copynght d ma nal

11 12 "'{)uvemenl pax rappo
Considérons deux particules 1'\ et B se déplaçant dans j'espace (figure 11.20) : les vecteurs rA et r8 définissent leurs positions à tout instant

a un repère en traneiaüon

par rapport HII repère fixe Oxy::.. Considérons maintenant lin système d'axes x'. y' centré en A et parallèle au système d'axes r, y. z. Bien que l'origine de ces a.XE"S SE" déplace, leur orientation reste la rnême , le repère f\J.·'y';:;' est en translation l)~trrapllort à Oxyz. Le vecteur rJJ/Ajoignant A el B déflnit la posinon de B l)(lr rapport 011 repère 1nol,i!,c A'r'Ij'::: (ou, brièvement, la posltion (le B par rapport. il A). • t\ la figure 11.20, refllarquons que le vecteur position rn de la particule B est la emme (lu vE"cteur posiuon rt\ de la particule A el du vecteur position rB"", de B l)at l"'.lllI>ort à A, soit

627

t ::

x'

Figure 11.2.0

(11.31) Dans le repère fixe, dérivons l'équation 11.31 par nlpport à t et utilisons des points pOUTindiquer les dérivées par rapport au temps. On obtient (11.32)

Les dérivées rL\ et t'l représentent respectivement les vecteurs vitesse V,\ et Vs des particules A et B, Puisque At'y'z' est en translation, 13 dérivée tBIA représente le taux de variation cle rB/Apar rapport au repère Ar'y'z' et par rapport au repère fixe (section Il.10). Cette dérivée définit donc le vecteur oi/esse "fJ/,\ de B petr rapport au repère A1;'y';::;' (ou, brièvement, le vecteur vitesse VBII\ de B par rapport à i\). D'où (11.33) Dérivons l'équation 11.33 par rapport à t et utilisons la dérivée vBIA pour définir le vecteur accélération aMIAde B par rapport au repère Ar'y'::;' (ou, brièvement.Ie vecteur accélération UBIA (le B pa?' rapport à A). D'où (11.34)

Le mouvement de B par rapport au repère fixe Oxy:. est appelé 'JU)UOO"Ilent absolu (le B. Les équations obtenues tIans cel-te . ection montrent que le ?nOUOO'11ent absolu de B s'obtient en comblnani le moucemetü de A et le l1louvenle1lt relatif de B par rapport ou repère Ifu,biÙt lIt: fi A. L'é([uatiuli ll.33, par exemple, exprime le fait qu'on obtient le vecteur vitesse absolue V8 de la particule B en additionnant vectoriellernent le vecteur vitesse de A et le vecteur vitesse de B I}ar rapport au repère Ax' y'z'. L'équation Il.3-1 exprime une propriété semblable en fonction des vecteurs accélérations. Souvenonsl'lOUS cependant que le repère A\·'y';;.' est en translation, c'est-à-dire qu'il conserve IH même orientation bien qll'Û se déplace avec A. Comme nous le verrons plus loin (section 15.14), la rotation d'un repère nécessite l'usage d'autres relations.

5. Il est il noter rlue le pmduit des inrliees A et BlA dans le membre de dr
Copynghted ma nal

PROBLÈME RÉSOLU PA-11.7

l~ rn/s

Du bord d'une falaise ete 150 rn, on lire un projectile uvee une vitesse initiale de

En négligeant la résistance Je l'air,

180 n'lis à un angle de 300 av ac l'horizontnle. calculez:

.1

polnt où Je projectile" touche 1("sol;

a} la distance nori1.ontale du canon au

11) la hauteur maximale du projectile au-dessus du sol.

•

SOLUTION

';1 = -9 /\i'

- ----

00 considère séparément le mouvement vertical ct le mouvement horizontal. 1mfl'z 11111 lnl~

'1"

~1ouvement .... ertieal. C'c81 un ",aucell1Cllt unijùrnaé,nellt (lccé/éré. En choislssant le sens positif de l'axe des y vers le haut et en plaçant J'origine 0 au canon, on peut écrire (UlI)O

a

= (180

=

m/s) sin 300 -981 , In/s9

=

+90 nlls

En portant ces valeurs dans les équations du mouvement 011 obtient lJy

=

(Oy)O

+at

accéléré,

Cl)

v!J = 90 - 981t •

y = (U!f}ot + ia~

= $lOt - 4t90~

Ij

J; -= 8100 -

u; = (vi/)â + 2a Y

1.1;() mis

uniformément

(2)

(3)

19.62y

horizontal, C'e~tuu 1JIOUt·t!IJU~llt uniforJuv. On choisit le sens positif ele l'axe des x vers la droite, Alors, A-IOU\ClnèUl

(0.)0 = (180 fuis) cos 30" =

Eu portlll1t cette valeur dans l'équation du x = (v ..)o t

+ 155,9 m/s

1IlOUV(lU1811t

unlforme, on obtient

x = 155.9 t

(-1)

0) ni~Wn('('hori,,ontalt'. Lorsque le projectile touche te sol. On a

y = -150 ln En portant cette valeur dans l'équation 2 du mouvement vertical, on a -150 = QOt - 4,90t2

1'2 -

18,37t - 30,6 -= 0

l "" 19.91 S

El! portant t = 19.9l s dalls l'équation 4 du mouvement horizontal, on obttent

x = 155,9(19.9l) b) Hauteur

madmalo,

t)1I

maximnle (apogée).

\ - 3100

III

Lorsque le projectile atteint sa hauteur

= O.En portant cette valeur (tans l'équation 3 du mouvement vertical,

on il

o = 8100 Hauteur uiaxirnale ou upugt:t'

628

•

~

y = 413111

- 19,621)

J" sol = 150 m +413

HU·Jt':'Sll~

ln -

56;)

III

'240 luIs

PROBLÈME RÉSOLU PR-11.8 ru

1----3600 ru ---..j

On tire un projectile avec une vitesse initiale dl" 240 titis vers une cible B située à 600 m au-dessus du canon A ct à une distance horizontale de 3600 111. En négligeant ln résistance de l'air; calculez ["angle de tir Cl (élévation).

SOLUT10N On considêre séparément le n'IOU\'("IHent horizontal

<:'1

Je mouvement vertical.

~1ou"cn)ent horlzontal, Eu plaçant l'ortzine des axes de coordonnées

au

canon , on écrit

(I).}O = 240 cos cr 1----3600 in ---o-f

En remplaçant cette valeur dans l'équation du mouvement honzontal untforme, on a x = (v~)o t

x = (2.40 cos Cl)t

On obtient le temps mis par Je projectile pour franchir une distance horizontale cie 3600 m en posant x égal à.3600 m. Ainsi, 3600 = (240 cos a)t t=

[-

"1ouvement

-_----.__ -

"II -

240

rn/s

ru

3600 240 cos cr

-

15 cos llt

vCI1.ÏClll

En substituant ces valeurs dans l'équation accéléré • on obtient

Y

= (l')v )(1 t

+

1" il. a

r:

du mouvement

vertical uniformément

IJ = (240 sin a)t - 4,90f

Le projectile frappe La cible. Lorsque x :::::3600 Ill, on doit avoir IJ = 600 m. En remplaçant y par celte valeur et en posant t égal à la valeur trouvée ci-dessus, Of) obtien t

600 = 240 sin a

15 _ 4,90 ( 15 COS cr COS a

)2

Or lIéOSi!. a ::::: .s,.cc2-a ::::: l + t,U12 o. Doue, 600 = 240( 15) tan a - 4,90( 152)( l

1 J03 tan::! cr - 3GOO tan

En résolvant celte équation quadratique> en tan a = 0,574

llt

+

tan

+ tan~ a)

170.1 = 0

a. on a tan cr = 2,69

a - 29,91)

1le pmjectile figure).

Cl

= 69,6°

~

atteindra la cihlF. s'il est tir~ sous l'un ou l'autre de Cf'S ang:)f'S (votr

629

PROBLÈME RÉSOLU PR·11.9

;36 km/h

Une automobile A roule vers l'est à une vitesse constante de 36 krn/b. Lorsqu'elle traverse l'intersection illustrée, une automobile 13part du repos à 35 m au nord de l'intersection et roule vers le sud avec une accélération constante de 1.2 ln/52. Calculez le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération de B. par rapport à j\, 5 s après que A cut traversé l'intersection.

SOLUTION On place l'origine des axes r et fj à l'intersection des deux rues et on les oriente pcsltivëincnt respectivement ...ers l'est et le nord.

IJ

1 35

Mouvement

·IB

ID

~~.~----... 'J[1

1\

de J'automobile A. On exprime d'abord la vttesse en m/s: VA

= (.36km)( 1000 h

----

1--.r.I~

On remarque (Ille le mouvement

In)(

1 km

1h ) 3600 s

= 10 nus

de A ('St uniforme. AJoT'S, à tout instant t,

flA

=0

VA

= +10 mis

.rA = (X.I\)o

+ 1),,1

=0

+

lOt

Àt=5s, liA

=0

!lA

v....= + 10 Itv'S :lA

=0

VA = 10 lu/s-

= +(10 ntls)(5 s) = +50

ln

rA

= 50

Ill-

Mouvement de l'automobile B. On remarque que le mouvement de B est uniformément accéléré. Donc,

.

At=;,)!;

OH

= -1.2

roJsZ

UH

= (011)0

+ ai

= 0 - ],2 t

!In = (yn)o + (l'B)ol + tllB~ = 35 + ()- ~(1,2)t.2

... •

an = -1,2 lnJ~

20 rn

"

\

fi rn/s

L

1\n = 1,2mJ~

= -(1,.2 nllsz}(S S) = -6 uVS 'lB => 3.5 - t< 1,2 01/s2)(5 s):i!. = +20 OB

"Il

III

r/j

= 6111/S ! .., 20 III 1

Mouvement de B par rapport à A. On trace le triangle correspondant à l'équation vectorielle r8 = rJl + rn/A el on en lire la grandeur et la direction du vecteur position de B par rapport li A. Donc, a = 21,8°

On procède de la même façon pour calculer le vecteur vitesse et le vecteur accélérntiOJl de B par rapport à A. D'où

"IJ/A

= 1 h,66

nvs

f3 = 31,0°

VII/.\

= Il,66 al1l \

630

:31,0°

•

1.2 rn/sz ~

•

!l'VS"?

=

,

RE CAP 1TU L AT'I 0 N " SECTIONS 11.9 A 11.12

Dans ces sections, nous avons analysé le mmlvelnent à deux et à trois l/irllensioliS (l'une particule. Bien que les interprétations physiques de la vitesse et de l'accélérabon soient les mêmes depuis le début du chapitre. rappelons 'lue ces qU
AJlalyRc l1l1 1110Ul'crnl.'l" el'utt lJroje<:tile. Un gral'ld nombre des problèmes qui suivront portent sur le mouvement à deux dimensions d'un projectile. où la résistance de l'air est négligeable. A la section Il.11. nous avons développé les équations qui décrivent ce type de mouvement, et nous avons remarqué que la colnposante horizontale du vecteur vitesse demeurait constante (mouvement uniforme) tandis ({ue la composante verticale du vecteur accélération était constante (mouvement uniformément accéléré). Nous avons pu considérer séparément les mouvements horizontal et vertical de la particule, Si le projectile est tiré de l'origine, nous avons J~ deux équations

A.

1.

Si la

initiale el l'tlllgie (le tir Houl ('OUUlI". la valeur de Ij correspondant à toute valeur donnée de x (ou la valeur de x pour toute valeur de y) s'obtient par résolution d'une des équations ci-dessus pollr t et remplacement de t dans J'autre équation (PR-ll.7). 1"'CIRC

Si la c;tesse 'tlitiale et ft" coordnnnées d'un /Jo;"1 dc!« 'raj(.·j·/IJ;"(· s01l1 et qU'OD souhaite calculerZ'angle de tir Œ, 2.

('(jJlIII/('~

a) on commence par exprimer les composantes (D~)()el ( y)n de la vitesse initiale sous forme de fonctions de l'angle 0';

b) on remplace ensuite ces expressions et les valeurs connues de x et y dans les équtIDOns ci-dessus; e} on résout la première équation pour t i d) on porte cette valeur de t

da11S

la deuxième équation.

On obtient une fonction trigouométnque en

0'

qu'on peut résoudre pour celte inconnue

(PR-ll.8).

631

C p n

B, RfHolu/iQII tic problème» ""r 1(· ItIU/I("Cll)<'''' rclati] CI (It'I/,\" ,/iU'('llH;fJU" t'Jl trunslation. A la section 11.12, on a obtenu le mouvement absolu d'une particule B en combinant Le mouvement d'une particule A et le mouvement relatif de B par rapport à un repère lié à A qui est en translation. Le vecteur vitesse et le vecteur accélération de B sont exprimés respectivement par les équations 11.33 et 11.34,

1. \''itotutl/il$(;'r le ,nO"t'e,neul relatl] (ft· I~I,ar ''''l'I,(,rl li \, On imagine être lié à la particule A lorsqu'on observe le mouvement de la particule B. Par exemple, pour un passager de l'automobile A du problème résolu PR-Il.9, l'automobile B semble se diriger vers le sud-ouest (le sud semble évident, l'ouest est dû au fait que l'automobile A se déplace vers l'est - et donc B semble rouler vers l'ouest). Notons que cette conclusion est cohérente avec la direction de VB/A'

2. Pour résoudre un problème sur le mouvement relatif, on écrit d'abord les équations vectorielles 11.31,11.33 et 11.34, qui lient le mouvement des particules A et B. On applique ensuite une des méthodes suivantes: fi) 0"

trace ICN fril'tJj!lcH recusrle!» (·()rrf'HlfUlltltltl/H. puis on les résout vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération désirés (PR-ll,9).

P()IU

le

'l) ()u itleutifie

tou» If:H recteurw 1:'11 !flIlCI;uu clc' leur» ('fJII'/Ju,"fautt'." rertaugu/aires et on solutionne les deux ensembles indépendants d'équations ealaires obtenus de cette façon. Si on choisit cette III éthode , on prendra le même sens positif pour Je vecteur déplacement, le vecteur vitesse et le vecteur accélération de chaque particule,

632 Copynght d ma nal

y(nl)

11.89 Le mouvement d'une particule est défini par les équations x = 4t4 - 6t cl IJ = 6t~ - 212, dans lesquelles X ct y sont en lllillirll~'lrf'S Cl ( l'st en secondes. Calculez 1('vecteur vitesse et le vecteur accélération IOl'sC!\lP: Cl) (=15; l,) '=25; c) t = 4 s.

2 1 1 1

1~',90 Le 1110uvt'111l'nt d'une particule est délim plu-les équations x = :2 cos TTI et 'J = 1 - 4 cos 217t, claus lesquelles x et !J sont eu mètres et f est en secondes. Démontrez flUE' If' trajet de la particule est une partie de la parabole illustrée et calculez le vecteur vitesse et Il' vecteur accélération aux instunts , (1) 1=0;

b)

1=

1,5 s.

-3 ----

t,. ()

Figure P11.90

L..e mouvement d'une particule est défini par les r:quations x = [(1 - 2fl/12] - t'!. et !I = (f'1/12} - (1 - 1)2./2, dam; lesquelles x et y sont eu urètres et r est cu secondes. Calculez: (1) la grandeur du plus PPtlt vecteur vitesse de la parucule : b) l'instant, la position et la direoticn du vecteur vitesse correspondants. 11.91

!J

11.92 Le' mouvement d'Ilne particule est rl~flni (lHf les équntions :r = 41 - 2 siu 1 et y - -! - 2 cos " dans lesquclles r l't y sont r-n mètres ...11 e 'f en

secondes. Représentez la trajectoin- de la particule et calculez : a) la grandeur du plus petit vecteur vitesse et celui du plus grand vecteur vitesse de la particule; b) les instants, les positions et les directions des vecteurs vitesse

o 1-+-_ i\ -lI'

x

(1

correspondants. 11.93

[.R mouvement

d' un" particule

pst défini par le vecteur

position

FIgure P11.93

r = i\(COS 1 + t sin t)j + i\(sin t - 1 cos t)j, Où t est Cil secondes. Calculez les valeurs cie 1 auxquelles If' vecte-ur positton f't II"vecteur accélérarion sont: a)

b)

11.94 position

r

perpendiculaires: pa rallè les-

Le 1110UYf"1'l1ent amorti d'une particule vibrante est déÎlnÎ par le vecteur

= .\'.[1

1/(1 -1

1)]; 1 (YI{'-."I'}'

COS

2(.,., t)j,

011

1 l'~1 r-n l>('t:oll(I('_~.Si

= 30 mm et yi = 20 mm, calculez le \ ecteur posltion. 1",vecteur vitess(' et le vecteur a(.,.'(."e!lforHtiolldt· la particule lorsque : a) t = 0; h] t = 1,5 s.

1.0 r-....._

Xl

0,5

0 1----~----i--F--~-:;;7~~ ....

X/xI

-0.5 11.95

Le 1I10Ll\'l'J1ll'utcu trois dhueusions d'une particule est défini par le vecteur position r = (Rt cos w"/)i + ctj + (R 1 siri Wh t)k Calculez la grillldeur du vecteur vitesse- ct celle du vecu-ur aeeélérat ion de Itl particule. (1..3courbe gauche décrite par la particule est WJ r héliœ conïquc.)

J,O

Flgure Pl1.94

633

634

Ctne~hque

des paruculas

JI

~ Y -----

r-il t\~ Al

z-.,

BJ

1

·11.96 Le mouvement en trois dimensions d'une particule est dél111ipar le vecteur position r = (/\1 (.'05/)i + (i\W+l)j + (BllSUI t)k. où r et t sont respeetivement en mètres et en secondes. Démontrez que la courbe' décrite par lu particule repose sur l'hyperboloïde (!lli\)Z - (x1/\)2 - (;.(Br = I. SOIt t\ = 3 et B = l. Calculez: CI) IR gn11ldéur lili vecteur vitess(' (:'1 <:(:U('du vecteur uccélération lorsque 1 = 0: b)

l'instant 1 minimal Don nul auquel It' vecteur posinon el It' vecteur vitesse sont perpcudlculalres l'un à l'autre.

de l'cali sur des feux de forêt eu volant hanzontalement en ligot" droite' à 315 knvh ('1 1\ une hauteur dl' 1-)0tll Calculez la distance li à laquelle le pilote doit verser l'eau pour qu'f'Ut' attei~lf' JI" ff'u en B, 11.97

--

·Un avion POlllpil'r

V('!"St'

x

Figure P11,96

..

VII

A

Trois enfants S~ lancent oC'q houles cl" n('igr, r:('"fflill r\ Innee' une boule selon un vecteur vitesse horizontal "0' E:Uepasse ju....te au-dessus de la t@tede 1'<"11 fanl B el ~tlt'int l'enfant C, Calculez . a) la valeur de tic); b) la dlstanec rI. 11.98

• A. 1 ni 2m

j

Figure P11.97

Figure Pl1,98

Une livreuse dl' Journau.x j(.·fu· Ul1 journal avec un vecteur vitesse horizontal vu' Calculez la ~anlnlC des valeurs de Co pour que Il' journal utterrisse 11.99

entre les points B et C,

.0,35

III

1-/-t-\-'.....'1--- 0,9

III

Vn

=i _ .. 1 1 ~

c 111

Il :!

1

li ~III

•

1------

1I~1---t-"'~

1'~III~

2,1

111-----1-1

Figure Pl1,99

-A---------12

Ul------------j

%

II 1

"

" Figure Pll.1oo

C P •

1

Problèmes

1~.100 U rll' machine dt' laneerneut de balles dl' base-bail lance des bnllcs .1V('(' un \ cctcur \ itc.'s\(· horizontul "o. Sachant que.: lu hauteur " \ arie entn- ii5 111111 et 1050 111rn. ca 1Cil Il''?. : 0) la ~alnnl(;, des valeurs de' (1,,; b} Il·., allgl(·s cc correspoudant 775 mUI t'l :, Il = 1050 '11111.

635

à" -

11.101 Un JO'I\'III dl' \ollc·)·-h.tll '1('11la hallt· avee UII \l'('h'lIr\,lh'''(' ÎIIÎlhtl(· \'" d'II ne ~rancl"lIr Of' 1:l.-10 m/s ('1 fi lin nnglt" de 20° avec l'honzonrak- Déu-ruunev : a) i 1,1 balle p.h~l'r,luu-de us du Illet: b} 11'1111.11\.di~hllll:(' cl" filf'1 IR ha lit' allt"rrira.

"fJ

c

.t

,.

2.43 rn

2,1 III •

Figura Pl 1.101

11.102 On \1· .... '· cl.. I.ul dan .. 1111 \,'rri' rl 111le' hautr-ur clc' I.JO mm l't d'un diamètre Intérieur de 66 111111 La vitesse initiale du lait est de 1,2 "v~Ù UII .illgll' dt, 40° 11\PC l'horizontale Calcllipl la galllnl(' des valeurs de la huutr-ur pour 1{'sCfIlC"IIt's le lait tombera dans Il' verre ù

,

Il 8

. ~

-

1

1 1 •

C' \t,)

,

......8 J

111111

Agure P11.103

Figure P11.102

UIll' balle dt· golf 9\,('(.' IIIlC' \1(C'"",' iniuale cil' ,:;0 ntls fOI à un augll' dt: 2.5° :1\ ec l'honzontalc Sachant qUl' Ic.,~ parties du palcollr~ 01'11'11.<,hc' C'st r-nt n-Ienuc descendent à UII
1~.103

Il ~olfl'lIr

fr"ppc.'

1.';

v,

Jill

11.104 ))c' l't'au s'écoule du bec d'un drain avec une \'iti'''~1'inlt lnle de 0,75 ntls fit UII ilnglr dl' 15° 11\t'C l'hnl'iJ'J,ntlt]c', CnJc·ul(,7.la gaII1O)C' des valeur .. df' la di~lll'I(.'l· ff pour I..SqUl·Ut'S 1'C.·8U entrera dans (C' bassin BC:.

Il Il.30 m

I--tI Figure P11.1 04

,1·0,6 ,1 m

so

636

ClnemattQ:;e d;;s

part :-wles

11.105

U n propdétalre uliJl c une souffleuse pour clégagcr

Or)

allée.

achant que la neige est souillée à un angle de 40° avec l'hortzontale, caleuk-z la

vitesse initiale

VI}

de la neige,

~"'.-t--_-(,---

5m

B

1

\ Ill'

Ir

3.04~m

lIïm

~m

,

Hlm

~s111-------

1--------

!

• ..;1

Figure P11.105

Figure P11.106

11,106 UIl(' hask(,tt(,US(' IAn(.,\, Il' ballon lorsqu'elk- t'si t 5 111du pauli ',lU, Sachant 4ue le ballon U un vecteur vitesse initiale \'0 à un angle de 30° Q\'CC l'horizontal .., calculez PH lorç({U("(J t'st de : a) 220 mm : 1))

400 mm,

11.107 Des eufauts lancent des balles à travers un pneu d'un dlumètre Intérieur de 0,72 III suspendu à un arbre. 1:un d'('IJ)( lance une halle 8\("C un vecteur vitesse iuitiale "et à un .mgl" de 3.<> avec l'horizontale Calculez la gaulllle des valeurs de la vitesse 1'0 pour lesquelles la halle traversera le pneu.

1.5'TI

1------- 6 m -------1

0.2.'> m

Figure P11,107 20 Innl -

.... 1--

l~ bee t'Il ,\ proj('tt., dt' 1'C'l\lI d(' rcfroldlsscmcnt tiV('C un \/t'cl('ur vitesse initiale l'v à un aJ1~le de 6° avec l'horizontale sur une meule d'un diamètre dt' 350 mm. Calcule? ln gammc~des valeurs de la vitesse initiale pOUf lesquelles l'eau atterrira l'ntn' les points B ct C J(. la meule. 11.1 08

10·

SO \

205 mm

20(l,nnl

FIgure P11.108

C p n

11.109 U Il bûcheron lance WI rouleau Je corde au-dessus de la brunche inférieure d'lm arbre en tenant une des extrémités du rouleau. Sachant gll 'il lance la corde avec un vecteur vitesse initiale vI) à un angle de 65° 3Ve
Problfitrnl"i

637

5.7 m

r

65°

\

~

lZ"

02m ,

YB

1

.8

S4 mis Flgure Pl1.110

Figure Pl1.109

11.110 Une balle tombe au point A d'une marche et rebondît avec un vecteur vitesse Vo à un angle de 15° avec la vertical!", CHlculf>!7.vtlsachant qllf', juste> avâlll ({uC' la balle rebondisse au point 8, SOT) vecteur vitesse V8 Ionnalt un angle de 12° avec la verticale, 11.111 On Janet' une rusée modèle réduit, d'un point A avec un vecteur vitesse initiale Vo Ut! '5 ni/s. Supposez que le parachute de lu fusée De s'ouvre pas et qUf' la fusée atterrit à 100 ln i\. Calculez: a) l'angle ex que Conlie VII avec la verticale ; b) la hauteur Ir maximale atteinte par la f'L<;t"t", c) ln d"r('{' du vol.

ne

11.112 1.a grandeul' du vecteur vttesse initiait" vlI d'une rondelle de hockey est dé 170 km/h, Calculez: a) le plus grand angle Ct (inférieur il. .15°) polir lequel la rondelle t'nt 1'('(<1 duns le filet: h) le tf'lnps correspondant qne mettra ln rondelle' pour nttr-indre le filet.

C

B

D

E

1---------- 5,5 ln -------0+1-· o:mtn --loi Figure Pl1.112

1· Figure Pl1,111

IOOm---tol

11.113 Le lanceur du jeu de halle molle lance une balle avec un vecteur vïtcsse ittitialc Vo de grandeur 72 kllllh ù un angle ex avec l'horizontale. La. hauteur de la balle au point B est de 0,68 m. Calculez: Cl) l'angle Cl: J'angle 8 fJue le vecteur vüesse dt' J:I balle au point B Ionue avec l'horizontale.

il'

A

B

O,6m ~

a\

.L

" Il

&J

~----------~??---14m-----------------Figure P11.113

-1.8m

11 "'114 Un alpiniste s'apprête à sauter cie A à B ali-dl' Sus d\II1.' Cr -vasse. Calculez ln plus petite grandeur du vecteur vitesse initiale Va et l'angle excorrespondant de manière que l'alpiniste atterri. sse en B.

-

,

1 a

1,4 m

8

B 1--- 1,5

Figure P11.114

m-l

Figure Pl1.115

11.115

vitesse irûtiale

On utilise un arroseur oscillant qui projette de l'cau

"I:) de grtuldcur

vecteur n\/s pour irriguer ua potager. Calculez la distance d I}V4;'l' UII

jusqu'au point le plus éloigtu5 B qui sern arrosé E>t l'angle a correspondant lor~<]nf': Il) les légunles commencent juste à pousse!' i l" Lahauteur lA du maïs atteint 1,S ru. 11.116

Un ouvrier utilise de l'eau sous haute pression pour nettoyer l'inté-

rieur d'une longue conduite. Si l'eau est projf't~(' avr-e un vecteur vitesse initiale Vu d'une grand~"r do ll,5 ni/s. caloulez : u) Ladistance d jusqu'au point le plus éloigné B, sur le haut de la conduite. que l'ouvrier peut laver de sa position en A : 1,) "angle excorrespondant,

11-----,,------18 1

1.1

III

1

('

Figura P11.116

65" 1

11,"7 Ua bloc coulissant A descend à une vitesse de 0,,5 .Ill/ .., 1.(' V('ct('ur vit('~ sse par l''llpport l\ 1\ de la partie lle lu Courroie B entre les poulies foUes C et D est "'CDlÀ = 2 In/s d. 0, Déterminez le vecteur vitesse de la partie CD cie la courroie

lorsque: u)

Figure P11.117

b)

() =

45" ;

e = 60",

11.118 Lu ngurl' l' J 1.1 LI)donne les vecteurs vitesse respr-eti Is d('Ii ski('IJ~ A ct B. Déterminez la vitessr- de 1\ par rapp()rt à B,

Po

•

, IH"

Figure P1',11a

Un radar côtier Inwl.1L1(· qu'un transbordeur qulth: sun IIllluilla"t· avec un vecteur vitesse v - 9.S nCl'llcL'i;P 10", [.l''' instrume-nt-; d.· borel indiqur-nt une vitesse de 10 nœuds et UII cap Ùl' 34)°sud-ouest par rapport tll.1 rivière Calculez le vecteur ,itf' cil" la rivière (1 nœud = l,Ro=)2km/h). 11.119

Figure Pl'.119

11.120 D('II'( a\ion~ A .'1 B volent ~ la même hauteur t'I 'uÎ\c'lIll n-il C d'IIII ouragan. Le \ eeteur ,itf..~!>l'relutn t' de C par rdpport à A est \'('1 \ = JiO km/h ;-p ï5 er Ie vecteur ,ilt's"t' 1\,llIli\(' d" C pi'r rapport i\ B l'~t"c H 11:' 520 kilt/li "'Ç 4()·. Déterrninez : Il) 1('\ t'('IC'ur \;1 ('S'i(' relative dl' 8 par mpport ~I,\ : 1)) 1(>vecteur vitesse de A "i le radar côtier incliqllP 'III€' rnllra~lIn ~I' déplace à 1I1l(" \it{·!>~(' dl' ..~ knllh plein nord: c) la varianon du vecteur position de C par rappol1 il B duraru lin i"tl'r\'~ùll' Ut· 15 "lin. 11.121 banheue A et

Lu figure Pll.121 donne 1(>5\ ecteurs vitesse respcculs des tralns dt' B, Snl'IHult '1"(' ,·htUIIII· train (nlll~~ à 1111[' "itt·"\t, con..tnnh- l't (111(' R

atteint Il' croisement dl' voies 10 JlUll après que i\ l't'ut traversé, calculez: li) It>vecteur vttessc re-lative de B par rapport à 1\; IJ)

j'lItn.' k''i 3\'a11t 1ra\,prs(o Il' croisement, III

distance

des

lOCOIl10li\'('s

3

mtn UpfL'S '1l1l' ,\ cul Figure Pl1,120

66 Llnfh

•

FIgure Pll.'21

Sachant '1111> If' vecteur \'itcoss(' dl, bloc B pAr rapport uu bloc ,\ r.l 5.6 uv!. Lf.. 70°, U(oll'!'Ulilll'z les \",(,'leur!> vitesse respectifs dl' ~\ et dt' H.

11.122 V8fA ::=

Figur-e P11.122

me

639

11.123 Sachant qu'à l'instant IULL\lr~à la figurt' PlI 123 le bloc A a une \ itt'~~l' dl' 200 [lIlJII~ l'tuile ,1c:t:l~l('nllioll dc..:l50 1I1I1a/si. toutes
i 1

Figure P11.123

Figura P1'.124

c •

~

Lne broche J' ~pdéplace à une vitesse constante de 200 IllTII/l- en sens .lIllihol'aih' d.ms 1,1(("IUf' circulaire t..rt'IISi·(' du bloc A (lIgtll'p PlI J 21) Sachant que It, bloc rl'IIIOlllc' 1111pl,1I1 hl('lilll' :\ 1111('\ 11~)sSt' l'
1~·n ~

\

1

.

{ \

r 1

B

Figure Pl1.12S 8

, .sO" 1

Uu f'tlsC!lllhll' constitué d'une ti~t'1'\ et d'uue cale d'appui fi part du Il'pO<; l·t ~p r!tjpluc'p \ ers la droih> avec une accélération coushlnl,' dr 2 1111n/sl!, Détcruunt-z u) 1(' ,toC u-ur ,1( i'1\1(~rnti()n du bloc C; bJ It' vecteur vitesse cl" bloc C tl 1instant t = lOs, 11.125

11.126 1,.nt~rlll(·h· <.IIHlolI t(1)It~st'lItt~cnmrncnce rt r~t:ul('r uve-e une accé11~laLif)11cnustnnh: de t ,2 1J1I~:!,la sr-rticn .·xtl~lit"lIre B dt, sa nh-h" 1"001111('11('('J\ ~(' rérructer

a\ 1'<. une

Clll('1I1 t 'Z

fi' b]

Figure Pl1.126

accélérahon

t'OIl~tal1tf' dt'

n.5

mI~ par

rapport

au

camion.

l" ve-cteur .1ll'{Olt~r .. hou cIl' lu \C'l'oun B Il' veen-ur vitesse de lu section B à l'instant t = 2 s.

11.127 Un 11111\0)1'llr .\. '1111 101111('1111all~I('dl' 20° B\t'l' l'hor1/.oulall" ~. déplace il une vitesse constante Je 1,6 Itl/S, Le convo)'Pur sert il charger un avion.

Sac·lllltll 1

rll/~

à

rapport

'111'1111

l'II1Plo,(\ jc'ttt· vur Il'

11I1 angle .IU

1111

sac B

iI\I'L 1111('

\it('~~(' initiale'

l'horizontale, calculez le vecteur vitesse- du convu ...eur lor!l411il utlt'mt sur celui-ci Ùl·

30°

('Oll\n}l'lIr

U\'('C

1

1

Figure P11127

C P

SaC

de par






646

Pour obtenir le vecteur vitesse v de la particule P, exprimons le vecteur position r de P comme étant le produit du scalaire r et (lu vecteur unitaire en et dérivons par rapport à t :

C,nemaltCl ua des partreules

d v = -, (re,.) == rel + ré, ,r ()U,

en nous souvenant de la première des relations 11.42. (LJ.43)

Dérivons de nouveau par rapport à t pour obtenir Je vecteur accélération. ~()US avons 1:1

=

(Lv

....

dt ;:;fer

+ ré, + tees + rOcs + rOée

ou en remplaçant ér et ée selon les éCluatiolls Il.42 et eu mettant en fHctf'UfS e,_ et eo. (11.44)

Les composantes scalaires du vecteur vitesse et du vecteur accélération selon les directions radiale et transversale sont donc Ur

=r

a" ==

r-

00

= 1"9 ••

{/e == r8

r8'J.

(11.45) •

+ 2/'8

(11.46)

11 est important de rClnarqucr que al' Il'est pas égale à la dérivée par rapport au temps de 0,.. et qlle ae n'est pas égale à la dérivée par rapport au temps de De, Dans le cas d'une particule se déplaçant sur un cercle de centre O. on a r = constante et f = f = 0, et les formules 11.43 et 11.44 se réduisent respectivement à

-•

(11.47)

p

IJ

Extension du mouvement d'une partfcute dans ~'espace: coordonnées cylindriques. On définit parfois la position d'une particule P dans l'espace à raide de ses coordonnées cylindriques R, et z (figure 11.2&). JI est alors pratique d'utiliser les vecteurs unitaires 011. Co et k représentés à la figure 11.26b, Décornpo ons le \' cteur position T de la particule P en composantes ruivant les vecteurs unitaires. Alors,

e

(11.4 ) k

En remarquant que cret et) définissent respectivement

les directions radiale et transversale dans le plan horizontal xy, et que le vecteur k qui définit la direction axiale est constant en direction et en grandeur. on vérifie facllen'lent que y

dr·

v =-

(It

(b)

Figure 11,26

.

== ReR + R6ce + :tic

dv ... .., . 2 a == -1 = (R - R( )eR + (R8 + 2,R8}eo + 3;k tt

(ll.49)

(11.50)

1

Copynghted matenal

PROBLÈME RÉSOLU PR-11.10 rouit' Sur un tronçon courbe d'une autoroute de 750 m de rayon à une vitesse de 100 km/h, Il Ireine brusquement et la voiture ralentit tl un tau; constant, Sachant qu'au bout de 8 s la vitesse de la voiture est réduit ft 75 km/h, déterminez le vecteur accélération de la voiture au début du rreinage. Vu automobiliste

750m

--

SOLUTION Compovnnu-

du vccteur

l;ulgt·nIÎt'tJ(·

accélérntiou.

On commence par

exprimer les vucsscs en ru/s.

100 kl11/11 (100 k;)ll)( J~:n )(;'~ s):::27,8 nws =

75 km/h = 20,8 La voiture ralentit à

lIll

Laux constant, donc

âv 20,8 nVs - 2;,8 nlfs a, ;::moyenne a,= ~ = b li Compo ....l1tl' uorm.il« du \ ecteur vitesse est encore de 2" ln/S. D'où

acceleration.

,~ (1"

~Jouvem4l~

Crandeur

ne

mis

= ~ = (27.~ 750 p

"

= -0,875 nvs:"

Au début du freinage, la

nvs) ;:: 103 ml . s

:2

tU

el direction

du \ ccte ur accélération. la résultante a des composantes a, et a, sont

La grandf"ur et la direction

1,03 nll!o.2

fi"

tao • a = -a, = ~--~ 0 .01;) u-- llu:".,"

a"

fI=

,

SUI

a

-

1,03 1111s2 (1

= 1,,')5

ov~

PROBLÈM,E RÉSOLU PR-11.11 Cafculez JE' rayon de courbure mtnimal considéré au problème

C)('

la trajectoire décrite par If:'projectile

résolu Pl\-11.7,

SOLUTION Comme a" = v2/p, on a p = 1;2/a", Le rayon est petit lorsque c est petit ou IO!"StIU(' (1.. est grand, La vitesse C est miuimalc au sommet de la trajectoire puisque à ce point t'y = 0; a" est maximale au même point. puisque la normale est verticale

~n n = il••

Ct'

point. I~rayon de- courbure est doue nnuimal au sommet dé la trajectoire.

A ce point, ç = ()~=

155.9 rn/s li.:?

p ;::;:-

a;

=

(155.9 mis):!

9, 'lIH/.}

647

,

~

PROBLEM'E RESOLU PR-11.12 La rotation du bras OA de 0,9 III autour de 0 est définie par la relation 9 = 0,15 ~, où 0 est en radians et t en secondes. Le manchon B glisse le long du bras de telle sorte 'Ille sa distance l\ partir de 0 est r = 0,9 - 0,12 t2, où r est en mètres et 1 en secondes. En suppcsant que le bras a tourné de 30°, calculez: 0) ta vitesse totale du manchon ; b} l'accélération totale du manchon: c} l'accélération relative du manchon par rapport au bras.

SOlunON t auclucl () de 0, on obtient [""liant

fJ =

= 3()o. En portant

(}= 30" ::::0,524 rad dans l'expression

.

0524 = 0 ,isfl

O,J5r

t=I.69s

Équation du meuvement. En remplaçant 1 = J. 69 s dans les expressions de r. e et leurs première et deuxième dérivées respectives, on aura r ;; 0.9 - O.l2t2

0.481 ln f = -0,241 = -0,449 nlfs

v;:; c,.c, + oqeS

.neee

a=ll,.c(

l' :;::: -0,24

0, 15t2 = 0,524 rad = 0,3Ot = 0,561 rndls

(J ;;

;;

•

e..

~

:;:::-0,2-40 mis·

(J:;:::

~

0,30 :;:::0.300 racVs-

a) "itesse de B. Les équatioas l1.<15donnent les ...... aleurs respectives de de 1)0 lorsque t :;:::l, 69 s. soit

./"

8 \

e, ;; " •= -0.-149 n'lis

\ \

VI')

=

r8 = 0,48](0.561)

=

0,

et

0.270 mis

La résolution du triangle rrctangle représeuré donne la grandeur rt la direction du vecteur vitesse, soit

p-

31.0"

..

b) Accélération de 8. IA's ~(llItltion ll.46 donnent II r

IIr=(-0.391 m/s2)er

= i'

= (I@

-

rO?

-0,240 - 0,481(0,561)2

..

.

=

-0,391 uvs2

= rO + 21'0 = 0,4.81(0.300) + 2{-0.449){0.561)

=

-0,359 0'1Is~

(1 -

()

,531 n1J'~

a A

c) Accélération de B par rapport au bras OA. LIest à remarquer que le mouvement du manchon par rdpport au bras est rectillgne et qu'il est défini par la coordonnée r. D'où (11J1O .... :;::: ;'

= - 0.240 n1l52 (111,0"

-

O.2--l0 In/s2 vers ()



11.133

Calculez la grandeur de la composante normale du vecteur

lération d'un avion modèle réduit qui vole à urie vitesse constante de lS ulis

trajectoire circulaire et horizontale 11.134

d'UD

rayon de )4

aCL~-

Sur

une

Ill,

U Il pilote d'essai condult une automobile sur diamètre d. Calculez:

UII('

••-_

,t,

pi tt' circulaire de

(1)

ft: tliaul stre ri si. pour la vitesse dé 72 knvh, la grandeur dc la cOinpo-

b,

sante normale du "00('111' accélération de l'automobile est de 3,2 rn/S2; la vites.se de l'automobile !Ii d = 180 rn et que la grandeur de la compo-

FLgure Pl1.133

sante normale du vecteur accélération est de O,61!,. Calculez la vitesse maxlmale qUl' [es voitures de s montagnes ru.'>SCS atteignenl sur III partie" cireulaire AB de IR voie si la gralldC'lIr de la composante normale JE' leur vecteur uœélératiou Ile peut excéder ;) 11.' 11.135

11.136 Lorsqu'une carne ii tourne. un galet à rouleau B roule sans glisser S1.Lr la surface de la came. Sachant que les gr.mdew·s des ootl\posaJltes normales des vecteurs accélération des points de contact à C de la carne A et du galet B sont

respectivement de 0.65

1l1/S~cl

dt' 6.67 rn/s", calculez If.' dia,nètl"(' du galet

su bordonné, Flgur. P11.135

B

--

Figure Pl1.136

11.137 Um- goupilli' A, attacll(if' à 110(' bic·JI" osclllunu- ..\8, doit sc' déplacer dans une rainure circulaire CD. Sachant qu'à t = 0 la goupille démarre du repos

et Sf' déplace de manière que sa vüesse augmente au taux constant cie 20 n11l1ls2, calculez la grandeur de son vecteur accélération totale lorsque:

\

(1) (=0; b) 1 = 2 5, .\

11.138

La vttesse pénphénque

diamètre de 250

00 rnrn

d'une dent d'une lame de scie circulaire d'un

est de 45 lills lorsqu'on <:oupe l'allmentation de la scie. La vitesse de la dent diminue à un taux constant, et la lame s'arrête en 9 s. Calculez l'instant auquel l'accélération totale tic la dent est de -lO nlls2, HUll

8

11.139 U Of' pÎltt(· extérieure dl' course à pied a un rllamèrre de 12.filn. Une coureuse 8ugnlrJlre sn vitesse à Ull taux COIL.'Otantd . 4,2 ulis à 7.2 uvs sur une

Figure Pl1.137

distance de 28,5111. Dërermtncs l'accélératlon totale de la coureuse 2 s après qu'elle eut commencé

à uugtHenter tic vitesse.

651

C p n

652

•

11.140 .0\ un instant donné cl 'une course d'avions, l'avion A vole horizontalemeut sur une droit" et son accélération est de oJ/sf!. L'avion 8 vole li lu même rutitl,ldr que 1.·f\VÎon.r'\ct, lorsqu'il eoruourno U11 pylône, il suit une trajectoire circulaire d'un rayon de 300 ln, Sachant qu'à L'et instant la décélération de B est de 3 mls2, calculez. pour les positions représentées: a} If' vecteur vitesse de B par ..apport à A; b) le vecteur accélération de B par rdpport à A.

ClOemd tJque des particules

1--- -100 ---1 III

-1501.:11\111

8 300m

11.141 Un automobiliste roulant sur un tronçon r("ctiligne> d'une autoroute décélère à UB taux constant avant dé sortir de l'autoroute pttr une nUIlpt! de sortie 1 circulaire d'un rayon de 170 Dl, Il continue à décélérer au même taux dt" sorte que. 1 540 Icrnili 1 10 s après l'aœè à la.rampe, a \'it(·ss 'attt'lnt 32 kl1'11ll. vitcss . qu'il conserve ensuite. 1 Sachant qu'à cette vitesse constante l'accélération totale de l'automobile est ~ale au 1 1 quart de sa valeur avant l'accès à la raJllpe. calculez l'accélératiou totale maximale de l'Hllton10hil(' .

(4 :\ Figure P11.140

IOU

III

\ 171)

UI

•

-----

Figure P11.141

711(,

111

-----1

Figure Pl 1.142

11.142 Des voitures de course r\ et B roulent sur des tronçons circulaires d'U11 circuit. À l'instant représenté, la vitesse de A diminue au taux de ï mls2 et la vitesse de> B augmente au hHL'( de 2. nlls2_ Calculez pour les positions représentées: a) le vecteur vitesse dé B par rapport à ,\; I,) If' vecteur aeeélération de B par rapport li A, 11.143

Un golfeur sitllt' au point .A.. frappe une balle avec une vitesse initiale dt! 50 nlls et selon UJl Illlglt.' de 25a avec l'hortzonude. Calculez Je nt) 00 de courbure de lu traj eetoirc décrite pur la balle : a) au point ",,\; b) au potnt le plus élevé de la trajectoire.

_-

Figure Pl1.144

FIgure P11.143

•

1

1

\ \

1 v\

\

11 .144 À partir (le la pt.utogr..lplùe d'un propriétaire utilisant une souflleuse, on détermine que le rayon de courbure ; 1)) le rayon de courbure de la trajectoire à sa hauteur maximale. 11.145

.0\

Figure Pl1.145

Un ballon de basket-bali rebondit sur le sol à un pOlllt A et ricoche avec un vecteur vitf'Ssf" ",\ d'lInf' gron
11.146 Un cumion déchar~(' du charbon par sa l~lrtC' :II'rii',,· J\ ;1\1'(.' 1111 vecteur \ltt''ISt' initiale> v, = 2 IIVS ;:p 50°, Déterminez If' ruvon de courbure dt' la

Problemes

"

traJ 'ctoin' décrite par 1(.·churbou : a) au point J\ • b) • 1 ln :I11-r1f'SSOUS du point :\,

V ne conduite horizontale déeharae au point A UII eourunt d'eau duu un réservnlr F.\priIlH·7, 1(' ra~on de courbure du courant ail point 8 en Ioncnon de' la ~ndl'ur c!P'I \ ecteurs '1Ie....e v \ pI "Il11.147

.-\

Figure P11.146

Figure Pll,147

11.148 Un enfant lance 1111.' halle d'un point A avec une vitesse lmtiale \'\ de 20 In/~ II un an~I(· dt' 25° uvee I'horlzontale. Calculez la \llt'~~p d(' la hallt- aux points de lu lnIJl·çlnj", d('(·rilt· pi.lr la hallc- où 1(· l'nyon cie>cnurlurn- \·,1 l~gl\l.lIl\Iroi, quarts dl' !ta \ aleur

t'II ,\,

Figure P11.148

11,149

al b)

Un projectile psi lancé cl'IIB point A H\'t'C un vecteur \lh's~4' mlnale v", PJ'OU\l'Z (IUl' Il' ra~'on dt: courbure dl' la lraJ('clojn. du Pl'oJl'(.'lilt, uttelnt sa vuleur Ininiolnlf' 311point B 1(>pins pll"vé cil' ln IrLlJ('cloirl', Si 0 (.',t l'angle lè)nlll? par 1:1trnjectoln- 1.'1 l'honzoutale II lill point donll~ C. proll\C'l fJur 1(' ra)OI) dl' courbure d~· la lr.lj('( loin' ('1) C ,':-.1 p =

8"11,,/(,"0\

1

e,

8

Pu

'0

1

III

/

Figure P11.149 • P1 1,150

11.150

Uu projeclill' est lancé d'un point A avec un vecteur \1t('~"t' Iltitiale

sr-lon un nnglt' a ll\ ('C' l'horizontale. Exprimez If' rayon (l<' eourhun- cI(· ln jectotrr- du projectile au point C Cil fOllction dl' x. t 1). cr ct g. ('t

"II

II'H-

653

654

·'11.151 Déterminez le rayon de courbure de la trajectoire décrite par La particule du problème Il,95 lorsque t = O.

C.nemalique des particules

·11.52

le rayon cie courbure de la 111ljectoirc décrite par 19 particule du problème 11,96 lorsque 1 = 0, A = 3 et B = 1. Déterminez

11.153 à 11,155 Un satellite voyagera in,détlllw1ént sur une orbite circulaire autour d'une planète si la colnposante normale du vecteur accélération du satellite est égale à g (Rlr)2, où g est l'accélération gravitatiOJlJlelle à la surface de hi planète, R If' rayon de la planète, ct r la distance du centre de la plnnêtf>au satellite, Calculez la vitesse d'un satellite par rupIM'lt à la planète indiquée ci-dessous s'il orbite indéûulment à 160 km au-dessus de ln surface de cette planète, 11.153 Vénus: g = 8,53 ln/S2, R ~ 6161 km 11.1 54 ~lars: g = 3,83 ln/s2, R ~ 3332 km 11,155 Jupiter: g = 26.0 nlls~, R = 69893 1.'111 11,156 et 11.157 Sachant 'lut' le diamètre du Soleil ost cl J,39 GlU et que l'aocélération gravitationnelle à la surface du Soleil est de 274 m/~,calculez le rayon de l'orbite dt" la planète indiquée ci-dessous autour du Soleil en supposant que l'orbite est circulaire. (\toyez les inIonnations données au.'{problèmes 11.153 Ù Il.155.~ 11,156 Terre: (1)If,~..nn,,)urbile = l07 Mn'llh (107 X 1 ()3 km/h) 11.157 Saturne: (o'''CI)'
11.158 Sachant que le rayon de la Terre est de 6370 h11, calculez le temps qllf' ruet Ir télescope spanal Hubble pour parcourir une fois son orbite circnlair , située 1'1590 km au-dessus de la surface de la Terre. (VOyll'L les informations données aux problèmes Il.153 à 11.155.)

B

•

11.159 Un satellîte orbite autour de Mars à une altitude de 2.90 l'ln et selon une orhitl> circulaire, Une fols l'altitude du satellite réglée. 011 trouve que le temps mis pour parcourir une rois l'orbite u augrnen té de 10 %. Sachant que le rayon de Mars ost de 33.33 km. calculez la nouvelle altitude du satclltte. (Voyez les lnformatlons données

QU.'!:

problèmes 11.153 à 11.155.)

11.160

Deux satellites A et B voyagent clans le même plan sur des orbites circulaires autour de la Terre il des ultitudes respectives de 190 km et dl' 320 km, aehant qu'à t = 0 les siltenites sont alignés comme le montre la figure Pll.l60 et yue le rayon de la Terre est l( = 6370 km, déterminez l'testant du prochain alignement radial des satcllü es. (VO)'ez les informations données aux problèmes Figure P11.160

11.153 à 11.155.)

11.161 Le mouvement planaire d'une particule est défuù pur les relations r -- 3 (2 - e-r) et 0;; "(t + 2c-'), OÏ) l'est en mètres, t en secondes, et Den radians. Déterminez les vecteurs vitesse el accélération respectifs de la particule: a) lorsque t "" 0: b) lorsque t tend vers l'infini. Quelle conclusion en lirt..z-vous à propos de la trajectoire finale de la particule? 11.162 La trajectoire d'une particule P est un limaçon. Le mouvement de la particule est dtAlü par les relations r = b(2 + ClOS 'trI) ct 0 = '1Tt, où 1 ~t et) seeoudes et 0 en radians. calculez: (1) les vecteurs vitesse et aceëlérauon respectifs de la particule lorsque f = 2 S; FIgure P11.162

IJ J

les valeurs de D auxquelles ln grandeur du vecteur vitesse est rnanmale.

Copynght d ma nal




Cocrdonnée (je position d une particule

arnmee d un mouvement rectiligne

o

p

IIIIIQIIII+IIII'

l

,-1

l

Figure 11.27

Vitesse et accétératlon dans un mouvernent recltligne

Dans la première muitié de Ct! chapitre, nous a\'Or15 anul)'Sl- le Ul(JUf:CIIlCIlI rccnlign: d'une particule. c'est-à-dire le mouvement d'une particule sur tint' droire. POUf définir 1.1 position P dl> la particule sur cett -.droite nous avons choisi une OrigillL 11.\l'0 et 'me direction positi\t~ (figure l L.2ï), Ut distance x de 0 à P. avec le "igne approprié, déflnit complètement la position de 1... particule SUI 1,1 droite : elle L'sI appelée c()Ur(IU/lfIt1C cil' lu,siiioll d.. Il particule tscction 11,2). l\ o ilS .l\ tlllS \ Il r J'I~ III cites C V cie 1.1partloule est ég.tiH il la dériv ée de lu coortlounée dl' posiüon .\' l'lat rUI)I')url au temps, SCJil II\"

u=,It et qlle 1'(/(·('('lérfltitJlI

fi

(11.J)

,'pllnent t'Il dérivant r

pftf

r,lpp<)rl :, t, 'oit

(It

a=-

(11.2)

tlt

ou (1

=

fi;

(11.3)

/2

({

Lacœl~ruUOll peul aussi être déterminé

. par

(/u

{/ = u-

(J 1.·1)

1/:';

1 et l',lt'('él~ratiull(1 sont r ·llré.'t!l\tl~(·s ,XlI' lie: numhres itl~~l)1i(l',e!>.(lon~' des numhres positif... ou lIé~alif.,. UIU~vitesse positive indique que la particulr- S.l' déplue. dans le SCllS positif et 1111' ..iteso;· nl>gati...t' Indique Ctue la particule se déplace daus le sen .. nég'ltif. Par contre, 1111(' accélération positi\'{:' ,i~nj (lut> hl particule accélère réellement (ct està-dire (l'l'eUe se dl~l)hll't' plus r.tplc.JPllIelll) duns le Sens positil ou qU'l'Ue (ltS(.-t!I~r(-'(c'est-à-dire qU't'lIe SI.! t1L'I').icl plus lentement) dans 1 > sens nég.dlf. U Ile accélémtlon Jll~gati\c s'cvpllquc dL 1u même façon (l'R-ll.l). La

"ltf-'~Sl

ne

CalCul d~ la vitesse et de l'accélèraüon

par Intégration

Mouvement rectihqne un lorme

-

1),ll1S la plupart c!1':\ llrc'hlèlnt· s, il>... (''tlnchholls
On rencontre fré(l'll'IJI,ne.nt dt'lI\: I)-pes
,..=

\0 T 1

t

( 11.5)

658 C p n

et le

rcctili1!,1w u'1if'é1nllélllf'ut (lct'éli!n' (section 11.5), oÎ't I'aceé(1 de la parttcule est constante. d'oü

tllOt.tCOI1Wtlt

léi ,lti()n

= V(J + at :\'= Xo + oot + !at2 v2 = I~ + ~1(X - xo)

( 1] .7)

(l] .S)

Lorsque deu..'1( particules ,\ et B se déplacent SUl la même droite, nous POU\'OIIS considérer le mouvement relatif de B pat r.ap])Ort à /\ (secticn 11,6).

Mouvement relatif de deux particules

B

A

~ ,,-1 1-

Mouvement rectiligne uniformément accéléré

(11 .6)

v

o

659

R~umé- C~pl!ral'

,-1 --1

~II

Lr

Figure 11.28

En tl~igr\IUll11al1'8"\ Jal oonlonuëe de J't),\iN()u relatit e (le B I)ar rapport à A ,{&gure 11.28), nous nvous Xli = X.\ + XBI,\ (11.9) En dérivant deux t'ois l'équation 11.9 par rapport à t, nous obtenons suceessivernent

t'n

=

08

= (JA

+ l'g/;\ + aB/.-\

(ll.IO)

I)~\

(11.11)

où t:)jJJ\ l't (J HIA représentent respectivement la uite.'ise ,-elatic:eet l'ocœlératioll rein/IGe de 8 p<~rTè111I1Ort ilA. "..6L..lli flle des blocs sont ",ditfs par (Ic,s cordes '1011exten ...il}b~. il existe une rëiatio» linéaire entre leurs coordonnées de posltion. Il esiste de.s reJxlHotlS fllùlaire . entre lt~llTh vitesses et entre leurs aecélérattons , ces relattons j:>er. DI'tt"llt d'analvser le mouvement (.lece"!blocs (PR·l1.5) . •

Il

I)Urfclispratique de rés()udre grlJpliie{U(,'IIlI'ut des problèmes sur le UI()\I\ entent recti1igru~d'une particule (sections ] l.iet 11.9 , La solution grapluqut! à l'aida des courbes x-t, o-t et 0-1 est la plus utilisée (section Il,7; RH.J Lê]. NOtlS avons montré rll1'à toul instant t e.1lit

Blocs rellés par des cordes non extensibles

Solutions graphiques

= la pente (le lu courbe x-:t a == la pente de la courbe o-c li

l't (Ille, pour tout intervalle cie tenl11s donné

cie f, il t~.

')2 -

1)1

= l'aire

SOI1~ ta

Xli. -

Xl

= l'aire

SUIlS

courbe n-t la courbe o-i

•

Dans la seconde Illoitié (lu chapitre, nous avons anulysé le moucemen: l'ufcl1igllt; d'une pertieule, e'est-à-dire Il:' mouvement d'une particule sur Illt- traiec.:tuire courbe, La posüion P (l~la pnrticule à un ÎflSb'\lll donné (._ .....etton 1] J» a été définle pflr le cecteur 1)ositloll r joigt\ant l'ori~ne 0 du

•

'" nt) (l·tl,.,,:: 1é

·c' "",. ~

t' t 11-'})(liJit

défi.li par la relation

Vecteur position et vecteur vitesse dans un mouvement curviligne

P (fî.glll'i' Il 20). 1..0 occt "If r r 11#' sc v clQ III p. trlil~ul4'!

dr ,"=(It

(11.15)

Nous uvons trouvé tlne c'est un C~·(;t(~~ir tllllgcnt (1 la IrOJtrctt)jrt (le ta }i Ifii(111~ et ql1e sa grandeur tJ (appelée vuesse a.h.'>111llC de la particule) est ~l!"'€!à la cl~rjv!e pllr rallpnTt au telnp~ de 1u longueur fi de l'arc dé.crit par la n.i1 ücule, soit ds r =(11.16) Jt

r

o

x

Figure 11.29

Copyng te

1

anal

660

C lneml'II'qu€ das oarticu flS

Vecteur acceleration dans

un mouvement curviligne

(11.18)

r~Jnûr(I"~ Il"C, en géJ)t!r.1l. le ccctcur acc4f1ércTiiotl u'e« pa:; trajccfoir"lJtJ ln par'llolile,

~t nous nVUI1-'

wngcullJ./li Derrvée d'une fonction vectonelle

:\.\'fI.nl (h! considérer les t'(lltlT)O".l.Ilt~ (Ill vect mr vitesse li (lu vecteur accél ':1 lt ion, lI(JUS il''on s rc\ u la .(l 'fi ultiou {j.nnellc de ln d~ml t~cl' une fi mctiou \l'('lfJl1eUe et ét.lhli qll,t~J4ues rel,les rérriss.lflt la t[é,iV'o.ltÎolL d~ la suunue pl ch1 produît de fnllC'tioll<; vectorielles. Nous a\ O!}S alors montré fl'le le 1I\\Ill\ de \ ,uiatiol~ d'un vecteur l'ill' r,tpp
Composantes orthogonales des vecteurs vitesse et accélératlon

En {.Il~gi~afllpar f,!1 cl z Ies coordonnée orthol!Qual('~d'une pttl tieule l', nous avons trouvé C ItI~ Il, (~)}lJI1O.snlllc. .. orthogOtl.dt's (li....... vecteu " vjt .", et :.1,ccél'tatinl\ de r I\{)llt égrue.'i IT$pt"t'ij\'erfleUl u 1.1 première déri, ée et à 111 ÙCU:I.;ÙIDUdérivée par r.tpp<)lt li t cl ·s coordonn ~es cvrre ..pondunt s, soit '>.

r.\ ;;;;;; \:

r Il -

ri.

«. - 9

=x

'l'

,

•

,1('(·~lt:r.ltiou {l(~rt'lul"elllel11
tÂ)rsqll~ 1(\ (,1111Irnllo.'Tlb~ fi,
Mouvements sur les composantes

=~ ,.

ri ~

(11,2~») (ll,301 1

(le t, lle~' et/ou IIp-I}s. 'lut' 'ÎJ1Iil.lÎreo rent 11" (jépel1(1 .... ~uleln(·nt R-ll.7 et PB,J 1.8). Mouvement

relatif de deux particules 9'

purtieules ..\ c~ R se (}él)lfl\'I'lllt
I~ CIJS de

a,,· !J P Il rapport

cft'U"

il A (fJglll'C 11.:')(Jj,

llt~lI'",1~'Ot,l"()l)tf'!1Jtl

(11.,31) l~ll cl ....ij!III\lI(

-

--

le

ul

par "Irl

[l'Cff Ifr (J('cé/~f'(lrfUII

cttvemeut, IH! ecu IIr vlte'b 11,!..utce et (te 111)arrapport i1.{, 11(}US 11' OJ1S montré (lUU

aul. . resp

tClfltit:jJ

~

Figure 11.30

Composantes tangentielle et normale

(1] .:ll)

TI ~t J',l1iilis c.:Ollulu.)cle cle

déct'IIII')().IIer les \e<'teIlTS vii S'i ~ et Il( c'é\ératiull Ù'urle lY.U1i(·lllt P l]es ('(HTlpo,... ilut~s différt'Jtl('s da.. ('())fJi)OSrultC. ... ortlll~t!on.11~sr, !I cl Z. l),lus le ca .. (1'1111(" p.ulicllle P 'c Lléphll,'l1llt suu ulle l(.~C(l(lit .. l'OHtt."JtlH.' cli_tlJo; 1111l11.Ul. IlutlS ,\tHI!; lié h 11 It· \ecteul WÙ!J1U',,: C., lanl;!el1t fl Ll tr,~t!(.'tl}lrt'., et l~ \et:leUf unil.ûrt! Cil' llorm.J à la li.ljPctnir • et orietll~ '\ l~1'Sle cpntre cie (4)~lfl)lJTe dt' la Lnljr.['hJÎTe (~cr.lion 11. J3), Puis nt lll:i .1VQIlS l'xl)rillU~ J{.·s \-..:clctn \ it )s~l'cl ;l(;:célll.r,iLioll (ll~Iii l l.Ulici Llc Cll Illrlctiou (Il=:<;(;nlJ\pOSa{lt~,·s trill!!l·nti\·llt, et I11lflnalt, dr- Cb;lr.lllt (l\" r.cs \'1l:cte1ll' N01'~ U\'"()IIS (]ht~nll (11.,i6) \' = vêr J

t',.

.

1 J!

dl)

1l -

-""

dt

""i

+-c P

JI

( Il.39)

Copynghted matenal


..

PROBLEMES , SUPPLEMENTAIRES

11.182 Le mouvement d'une particule est d~rlDipar la relation x = 2' 'l - 15 (1 + 24 1 + 4. dans laquelle x est l'Il mètres I!l t on secondes. Déœrminez : li) b)

les instants Hllxqut'ls là \ Il~ss(' t'st uullo : la position

et la distanee

totale parcourue

lorsque

l'accélérutiou

est nulle. 11.183

Laccélérauon d'une particule {'sl définie par la relenon

{I -

-60 x

1.5,

dans laquelle a et x sont respectivement en mJs':!.et en mètres. Sachant que la particule démarre du rep()s à r = 4 Ill, calculez la vitesse de la particule lorsque:

{il

(' = 2 ln;

b)

r=llJ1;

c)

x """

100 mm

Un projectile pénètre dans un milleu résistant a x = 0 avec une vitesse initiale 00 = 270 mis et parcourt 100 mm avant de s'urrêter En SUppOSIDJt

11.184

que la vitesse du projectile est définie par la relation u = ('()- kx, dans laquelle t'est en rn/s et ;c en mètres. calculezIl) l'accélération initiale du projectile; b]

le ttolnps ulis par 1",projel:ti.le pour pén{oln.·r dl' 97,5 mm dans 1.. milieu résistant.

11.185

Un ascenseur dt'

monte

.I\'t'C

de 2 nvs ct double un ascenseur de personnes qui est

ruï('l('.

nlUTCUtUldJ) ...·

une

\'it~SM'

constante

Quatre secondes plus

tard, l'ascenseur de personnes commence II monter avec une accélération

constante

d ...O. In/slt, Détermnu-z(}) b)

l'instant et "endroit auxquels les ascenseurs seront à la même hauteur: la vitesse dl' l'ascenseur de per OUIiIJS ~ l'(·t Instant.

11.186 Dans la position représentée, le manchon B se déplace vers la gauche à une vttcsse Je 150 movs. Détermlnez: a}

'J) c]

la vitesse du manchon r\ ; ln vitesse de la pnrhe C du clihk' ; la vitesse relative de la partie G du câble par rclpport au manchon 8.

Figure P11.186

11.187

Les trois blocs représentés se déplacent à des \1teSSE:'Sconstantes. Trouvez la vitesse de chaque bloc, sachant que la vitesse relative de .-\ par rapport à C ("SI dt:' 300 111111/S \ ers le haut pt 'lUf' la vitesse l'elRtÎ\ e de B par rapport ~ A pst Figure P11.187

662

du 200 nnn/s vers I~ bus.

C p n

U Il nrrosoir oscillant situé ail point .-\ repose sur un plan incliné formant ml angll' a uvee l'horizontale, Larrosolr projette l'cau ielon 1111('vilt':>st In;tiale Vo cl 1111angle tP Q\(,C la vr-rttcalc \lnril\llt de -q"o à T(PO. Sachant qul' t Il - 10 rn/s. c/>o = 40° et a = 10°. calculez la distance horizontale entre l'arrosoir et les peints B et C qui définissent la ZOUt' arrosée. 11.188

1---

fi (

li II ----1

---11-+--

Agure Pl1,188

11.189 En observant un bateau se déplaçant plein est ~l UII(' vitesse ùt.! km/h, on li déduit que le vent !>QUmait du sud. Cependant, apri: . I,U(' Il, htltl'BII l'Ill

changé de cap

l't

sr fut dirigr plein nord à une vitesse de- H I.,nlh. If' vent a semblé

souffler ùu sud-ouest, En supposant que la vites 'C ÙU \ eut tI été constante dur ...nt l'observation. déterminez la grandc.·ur et la direction de la \ile\.'il· r~('lIl' du vent. 11.190

La conductrice d'une automobile diminue sa ,itt>sSt-' à un taux cons-

tant de 72 klll/b à 4S km/h ur une distanee de 2.30 III 1(' I(}II~ d'une courbe d'un rayon de .J60 Ill, Calculez la grandeur dt' l'accélération totale de l'automobile après un parcours de 150 m sur la courbe 11.191 Sachant qu'un con\o)f'lIr transportant du sahk- se déplace' à une vitesse constante de ro = 9 nl/s .....ulculez l'angle ex auquel 1(' able t' 1 dr-po,c: sur l'amoncellement situé en B,

...

~.<., ~ ~~

'('~ (jlll

1

.J.

..:

~

.:l'lS';.

8

f--IOlll--! Agure Pl1.191

11,192 À partir tir nl('~lIrt· s ('1TC"ctlltt.'s sur une pholoWtlphit>. on li t~tnhli qu'en ortant du bec situé à 1\ le jet d'eau représenté d la ligurE.' Pli J92 avait tllI

ravon , de courbure de 25

111, C31('1I1("'1.:

CI)

la vitesse rrutiule

b)

le rayon dt' courbure du jet à a huuteur

VA

du jet:

maximule r-n 8, B

•

Figure P11.192

Cop

664

Clnemattquo ces parhevlos

11.193

La trajectoire de vol de l'avinn B est une horîzontale qui pass directe-

ment nu-dessus d'un poste de radar en A. Sachant que l'avion se déplace vers la gauche avec une vitesse constante

V(h

calculez dOldl. et Q'2(}jdP en [onction de Do. de l, et de 8.

--------

lB 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

/,

1

1

8

,1

J\ ~, --'---------'-

Figure P11.193

ab~ vu.ci

11.Cl Le mécanisme représenté la est appelé mécanlsme à coulisse. La tigf' AP tourne à un taux constant cf> el la gouptll P glisse ltbrement dun la rainure de ln ~gc sortante BD. Écrivez ml progrrunlll 'pènllettant de tracer 0 en [onction de 4J et 0 en fonction de 4J pour une révolution de la tige M. Supposez f-lUC'cP = l rad/s. que- 1 = 40 InU) et que: à

a)

Il) c}

b = 2,5 rnm : b==301nm; b = 35 111ln.

v

Figure P11.C1

11.C2

On laisse tomber une bille avec une vitesse Vo à un angle a avec la verticale sur la marche supérieure d'un escalier comprenant 8 marches. La balle

rebondit ct descend 1<.'marches en rebondissaut oormno le représente la 6gure 1>11.02. Chaque fois que la balle rebondit de sa vitesse reste constant!' et de k %. Héùigez ULLprugrnJllllle a) si la balle descend

aux points A, B. C, ... , la composante horizontale la grandeu.r dt' la oonlposantl" \ erticale diminue

permettant de déterruiner : les marches en whondissant sans sauter 1111CUne

marche: b}

si la hall!" descend les marches san' rebondir deux fois

Sur

la même

marche,

c)

la premtère marche sur laquelle la balle rebondit deux [ois.

Utilisez des valeurs dt> Vo allant de 1,8 mis à 3,0 m/s par incréments de 0.6 mis, des valeurs de a allant de 18" à 26" par Incréments de 4° ct des valeurs do k égales à 40 el 50.

Copynghted matenal


666

Clnémallque des particules

11.C5

initiale

"0

Un arrosoir oscillant de jardin projette

de l'eau avec une vitesse

de 10 mis.

a}

Sachant que les côtés mais pas le sommet d'une tonnelle BeDE sont ouverts. écrivez lin progralnlne permettant de calculer la distance d jusqu'au point F qui sera arrosée pou_rdes valeurs de exvariant de 20° à 80° par incréments de 5°.

b)

En utilisant de plus petite; incréments, calculez là distance ruaximale (1 et J'angle cr correspondant.

~1:~~___~_f_lI~~~~~.~I·~~~~~-d_3_~_LU_-_-_-_-_-_-___~.I ~.I Figur. P11.CS

Copynght d ma nal

Cinétique des particules: deuxième loi de Newton

cnequ. eycbte

qui roule sut la partJe courbe c:fune piste est soumIS à une OCIOII6ratlon orientée vera le c:entre de courbure cie sa trajectoire. La Iorce qui produil cette KCéIénIllon est la résuhante du poids du cycIi$te el de la force exercêe par la piste sur les roues du ,,~. Dans ce chapitre. nous étudierons la relaIlon entre la force.

la masse et raccélérabon .

•

..

'"

668

Cinetique des parliC1JJes deuxième 10 de Nawlon

12..1 lNTROOUCTtON Nous avons largement utilisé en statique la première et la troisième lois de Newton pour étudier les corps au repos et les forces agissant sur eux. Ces deux lois servent aussi en dynamique; en fait. elles suffisent pour étudier le mouvement des corps sans accélération. Mais lorsque les corps sont accélérés, c'est-à-dire lorsque la grandeur ou la direction de leur vitesse change, il faut utiliser la deuxième loi de Newton pour relier le mouvement du corps aux forces agissant su r lui. Dans ce chapitre, Il(JUS discuterons de la deuxième loi de Newton et l'appliquerons à l'analyse du mouvernent des particules. Corumë nous l'établissons à la section 12.2, si la résultante la résultante et orientée clans ln même direction (lUt' ce-lle-ci. De plus. le rapport des grandeurs de la résultante et de l'accélération définit la niasse de la particule. , A la section 12_3, nous déflllÎSSOI1S la quaunt« cie mouvement d'une particule comme le produit L = I1IV de la massa 171 el de la vitesse v de la particule et nous démontrons q\le la deuxième loi de Newton peut s'exprimer p,lr une relation entre le taux de variation de la quantité de mouvement et la résultante des furces élgissant sur la particule. La ection 12.4 mute de la nécessité d'avoir des unités cohérentes dans la résolution de problèmes de dynamique et donne un rappel du système international d'unités (SI). L'annexe donne les unités de mesure impériales. AlLX sections 12.5 et 12.6 et dans les problèmes résolus qui suivent. nous appliquons la deuxième loi de Newton pOUf résoudre des problèmes d'ingénierie en utilisant les composantes orthogonales ou les composantes tangentielle et normale des forces et des accélérations en jeu. Rappelons qu'on peut considérer un corps réel- aussi volumineux qu'une voiture. une fusée ou un avion - comme une particule pour analyser son mouvement tant qu'on peut négliger reflet de la rotation du corps autour de son centre de masse. La deuxième partie du chapitre est consacrée à la résolution fo·rce pur rapport ~ 0 est nu]. le In0111ent cinétique de la parti(.'ul~ par rapport 0 est conservé. Cette propriété simplifie grandement l' analyse du mouvement d'une particule soumise il une force eentrale , à la section 12.10, nous l'appliquons à la résoluticn {le problèmes sur le mouvement orbital de corps soumis à l'attraction grnvitationoeUe. Les section.'; 12. L1 à l2.13 sont complémentaires. :".rC)I1S )' dlscurons plus largement du mouvement orbital et y présentons un gran(1 nombre de problèmes de mécanique spatiale, à

122 DEUXIÈME LOI DE NEWTON Selon la deuxième Loidu mouvement de 1\ ewton : Si la résultante des forces appliquées li une particule est (lifférentc cie zëro, la r)(lrti('(~/e (J une accélération proportîonnelle à /0 gran(/cur cie la résultante ('1 miertfée ({(/11~ la même dtrectton (Ille cellP-ci.

Copynghted matenal

La deuxième loi de Newton se comprend mieux en imaginanr l'expérience suivante: une particule est SOUlMe ~ une force FI Je direction et de grandeur FI constantes. Sous l'action de cette force. la particule st> déplace sur une droite dans la direction de laforce (figure J 2.10). Après détermination de la position de la particule à divers instants. on constate que on accélération a une grandeur constante al. Si l'on recommence l'expérience avec des forees F 2, F 3, ... , de grandeurs ou de directions différentes (figures 12.J/J et c), on constate chaque fois que la particule se déplace dans la direction de la force qui lui est appliquée et que la grandeur des accélérations ab 02. 03, ... , est proportionnelle ~tla grandeur des forces FI. F 2, F 3, .... correspondantes : FI

Ffi

P3

01

(12

(13

~2 2 DeuxIème 101de Newton

o

• (0)

(b)

- = --=- = - = ... = constante La valeur de la constante obtenue en faisant le rapport de la grandeur des forces appliquées à J'accélération produite est une caractéristique de la particule considérée. Cette valeur est appelée masse de la particule et est notée nI. La force F uppliquée à une particule. la masse 111 de la particule et l'accélération a de la particule sont liées par la reJation

le)

Flgure 12.1

F=1na

(12.1)

Cette relation énonce complètement la deuxième loi de Newton. EUe exprime que la grandeur de F et la grandeur de a sont proportionnelles et que (puisque ,n est un scalaire positif) les vecteurs F et a sont de même direction (figure 12.2). Remarquons que l'équation 12.1 est encore valide lorsque F n'est pas constante mals qu'elle varie en grandeur on en direction dans le temps. La grandeur de F et la grandeur de a demeurent proportionnelles et les deux vecteurs ont la même orientation à tout in tant. Cependant, en général. ces vecteurs ne sont pas tangents à la trajectoire (le la particule. Si une particule est soumise simultanément à plusieurs forces, il faut remplacer l'équation 12.1 par

IF::::: tna

(12.2)

où I.F représente la 50111n1C, ou résultante, de toutes les forces appliquées à la particule. Le système d'axes par rapport auquel l'accélération a est déterminée n'est pas arbitraire. Ces axes doivent avoir une orientation constante par rapport aux étoiles et leur origine doit être liée au Soleil 1 ou se déplacer à vitesse constante pur rapport au Soleil. Un tel système est appelé repère IlewtonLe,,2. Un système d'axes lié à la Terre ne constitue pas un repère newtonien puisque la Terre tourne par rapport aux étoiles et est accélérée par rapport au Soleil. Cependant, dans la plupart (les applications en ingénierie, on peut déterminer l'accélération a par rdpp<)rt à Jes axes liés à

la Terre et on peut utiliser les équations

12.1 et 12.2 'ans commettre

valides si Il repré ente une accélération relative mesurée par rapport à des axes mobiles, tels que de: axes liés à une voiture accélérée ou à une pièce tournante d'une machine. Remarquons que, si la résultante :iF des forces appliquées à la particule est nulle, l'équation 12,2 montre que l'accélération a de la particule est nulle d'erreur appréciable.

Pur ailleurs,

(-'CS

~quations

Il •

sont

p:L'>

1. PIII.~prt'oc"j_j:4Snlt-nl.::III C't"ntw dE' masse du sysl~me solaire. 2. Commp LPs(StQiles ne ~Ol)t pl\~rIXes. une d~finjtJon plus rigoureuse du repère newtonien nppclë repère r/'IIICI1Ic) es! ('c/uIIJOurlr'lucll'équfflIOII 12.2 est l)(llldl'.

(dU

1

ln

Figure 12.2

669

670

CI"e:lq ue aes partiCul~s

d"u~ onl\- 101ce lI:ewc04'l

elle aussi, Si la particule est initialement au repos (vo = 0) par rapport au repère newtonien utilisé, elle restera donc au re()()s (v = 0). Si la particule se déplace initialement avec une vitesse v(J. elle conservera une vitesse constante v = vo, c'est-à-dire qu'elle se déplacera sur une droite à la vitesse constante 00 conforrnérnent, rappelons-le, à la première loi (le Newton (section 2.10). Ainsi, la première loi de Newton est un cas particulier de la deuxième loi de Newton et n'est donc pas une loi fondamentale de la mécanique.

12.3 QUANTITÉ DE MOUVEMENT D;UNE PARTICULE. TAUX DE VARlAnON DE LA QUANTITÉ DE ·MOUVEMENT Dans l'équation 12.2, remplaçons l'accélération découle

a par la dérivée dvklt . Il en

dv

I.F = nl-

dt

ou, puis(l'Je la masse rn de la particule est constante, d ~F= d't(I/IV)

Figule 12.3

(12.3)

Le vecteur mv est appelé la quantité de mouvement de la particule. 11 est de même direction (lue la.vitesse {le la particule et sa grandeur est égale au produit de la masse 'Tl et de la vitesse v de la particule (nguTt' 12.3). Selon l'équation 12.3, la réSILltoute de...forces tlppllq!l(fes à la particule (h\'1 égale au taux de cartauon de la quantité de ItIOUtlCrtl€lIt (Lela particule. C'est sous cette fom1e (lue Newton a énoncé sa deuxième loi du mouvement. En (Jésignant par L la quantité de mouvement de la particule.

L=mv

(12.4)

~

et par

L sa dérivée

par rapport à t, l'équation 12.3 devient

IF=L

(12.5)

Remarquons que, dans les équations 12.3 il 12.5, la masse m de la particule est constante par hypothèse. Donc, on Ile peut pas utiliser les équations 12.3 Ou 12.5 pour résoudre des problèmes sur le mouvement de corps, tels (lue des fusées, dont la masse augmente ou diminue au C()UTS du mouvement. Nous considérerons ce genre de problèmes à la section 14.123. Selon l'équation 12.3, le taux de variation de la quantité de mouvement mv est nul lorsque IF = O.Donc. si la rësuùante (lesforce appliquées sur une particule est nulle, la quantite rie 11lQUt,vmJrllt (le lei particule demeure constante en grandeur et Ct} direction. C'est la loi de la consercotton de 14 qIJ(lntilf! (Je 1i10UL"Cnl€lIt d'une particule, une autre forme de la première loi de Newton (seetioa 2.l0).

12A SYSTÈMES D'UNITÉS Dans l'équation fondamentale F = »ra, on ne peut. choisir arbitrairemeut les unités de force, de masse, de longueur et de tenlps. Si on le faisait, la grandeur de la forc-e F nécessaire pour donner une ~lc(;pléralioll a 11la masse 111 ne serait pas numériquement égale au produit n,a: elle lui serait seulement proportionnelle. NOliS pouvons donc choisir arbitrairement trois 3. D'autre part. les éc.tunllOllS ]2.3 el l2.5 sont vahdes en Hlt.fcanlquc n:lativlatc où la musse III de la pllrucuJe vane ,l\l'OCIII vitesse de la partleule

Copynghted matenal

des quatre unités, mais nous devons choisir la quatrième cie manière que l'équation F = m a soit satisfaite. 011 dit alors clue les unités Iorment 1111 ensemble cohérent d'unités cinétiques. Le Svstème international d'unités (SI) est lin svstèrne d'unités cohérent.

Nous

•

"<1\'011$ \11

brièvement

en détail

•

~l

la section 1.3 et nous ne le décrivons que

clan.; cette section-ci.

Système international d'unités (unités SI), D:U1S ce svstème. le unités dp hase de longueur, de 1l1aSSe et de ternp .. ont respectivement Ip mètre (Ill), Ip kilogrannne (kg) el la seconde (s). Ce, trois unités sont définie arbitrairement (section L.3). L'unité de Iorce est une unité dérivée. EII~ est appelée le rlcu:lc)tI (N), Par définition, c'est la force qui donne une accélération de 1 nv!>2 à une 1l1..iSSe de 1 kg (figure 12.•l}. Selun l'équation 12,1.

-

Flgure 12.4

l i\ = (1 kg)(l m/s'') = l kg' m/s" Les unités SI de hase S(),,! toutes choisies et définies pour tltre indépendantes du lieu oü l'on efl'ectue les 111es ures, Le mètre le kilogramme et la seconde peuvent donc être utilisés n'importe où sur la Terre; un peut même les utiliser SIII' une nut re planète, ris auront toujours lu 1l1ê111 ) • i~lification. Le T)(I/(}'<;\V d'un corps, ou force d'attraction terrestre exercée SIII' ce corps, doit, comme toute autre force. être exprimé en newtons. Puisqu'un corps SOUllÙS à son propre poids acquiert une accélération é~;ù('rl l'accélération gr.avitationnplle g, il s'ensuit de la deuxième loi de Newton que la grandeu r \" du poids d'un corp!; de masse r11est t

(12,6)

\\' = JIll!,

En nous souvenant que I!. = 9,81 nvs2, nous trOU\OIlS que le poids d'un corps de mas e de 1 kg (figure 12,5) est

\\' = (1 kg)(9. '1 ulls2) = 9.Sl

.

1-9"'1111~

Dans la pratique, les ingénieurs utilisent fréquemment des multiples ct des sous-multiples des unités de longueur. de masse ct de foree. Cc sont r spectivcment le kilomètre (1-..111) et le tllillitHètre (mm): Je 11léga{!.rnllllllc (Mg), ou tonne (t), cl le g,"a,nHIC (g): ct le kiio'lCtvlOIl (kl\), Pal' définition.

l km = JOOO III 1 N(g = ] ()Oo kg l k - 1()()() N

=

J

1t

Figure 12,5

mrn = 0,001 III ] g = 0,001 kg

La conversion de ces unités en III ètres, kilogrammes el newtons. respectivement, s'effectue simplement n déplaçant la virgule décimale de trois rangs vers la droite ou "crs la gauche. Toutes les unités cinétiques autre que les unités de Illas .e. de longueur et de temps s'expriment t'Il fonction de ces trois unités r1~hase. Par t'xCII1IJ!e, l'unité de quantité de mouvement s'obtient à partir de sa définition .•Ainsi, uu.:

= (1\(7)( m/s) = k(7 . m/s ~

~

12.5 ÉaUATIONS DU MOUVEMENT

Considérons

une particule

section 12.2, nous avons

\'U

•

de masse m sounuse à plu ieurs forces, t\ la que la deuxième loi de Newton s'exprime pélr

l'équation

, l, l

-

I-F = "la

"1.1 '

( l2.2)

-

qui relie les forces appliquées il la particule et le vecteur rn u (figure J 2,(j), Mais il est plus commode dt' résoudre I~s prohlènu-s sur le mouveme-nt

d'une particule en rempluçant l'équation J2.2 par des équation..'\ équivalentes comprenant des quantités scalaires.

rll

rll

Figure 12,6

c

672

Cinétique dGs oattlcules ~

deuxIème '01 de Nl!W'lon

Composantes

l'accélération

il en

orthogonales.

Décomposons

chaque

force F et

leurs composantes orthogonales, soit

:i(Fri

+ F~j + F;:k)

= 111{aJ

+ nJ + o;:k)

l' •

t 011

(12,7)

IF-r = 111 a;

Comme DOUS l'avons vu à la section Il.11, les composantes de l'accélération sont les deuxièmes dérivées dps coordonnées de la particule. Donc, (12,8) ,

A titre d'exemple, considérons le mouvement d'un projectile. Si nous négligeons la résistance de l'air, la seule force agissant SUT le projectile après son lancement est son poids \V = - \Vj. Les équations définissant le mouvement du projectile sont donc l1IX

=0

Illy

= - \\'

ct les composantes de l'accélération du projectile sont

.r = 0

\V

y=

--=-g

?n

--

...... 0

dans lesquelles g vaut 9, 1 rn/52. Comme nou s l'avons vu à la section 11.11, on peut intégrer indépendamment les équations obtenues pour obtenir la vitesse et le déplacement du projectile à tout instant. Si un problème comporte plusieurs corps, nous écrivons les équations du mouvement p01Lr chaque c:orps (voir PR-12.3 et FR- i2.4). Rappelons, ('''l)1111l1(:! n()US l'avons vu à la ection 12.2, (lue toutes les accéléraüons doivent être mesurées par rapport 1\ un repère newtonien, Dans la plupart des applications en ingénierie, on peut calculer les accélérations par rapport à des axes lié... à la Terre. 111aÏS on ne peut l)as remplacer a dans les équations du mouvement par les accélGrations relatives mesurées par rapport à des axes mobiles, tels Clue les axes liés à un corps accéléré.

La décomposition des forces et
et normale.

n\ !.F"

"\

/,

tll ail

Figure 12.7

l'intérieur de la trajectolre) (figure 12.7) et l'insertion de ces composantes dans l'équation 12.2 donnent les deux équations scalaires

'i,/:" = 111 a,

(12.9)

Selon les équations 11.40, on aura

do

'2.F, = tH dt

(12,9')

Ces équations peuvent se résoudre pOlir deux inconnues.

Copynghted matenal





PROBLÈME RÉSOLU PR~12.5 La lentille d'un pendule de 2. III décrit un arc de cercle dans un plan vertical. Eu sUPllOsant qut· la tC'Hsiofl dons le fat t~stt
1

.........

1 1

, ----

SOLUTION' Le poids dl' la lentille est \\! tllg; ln tenston dans 1(· ni l'sI donc ck- 2,,15"' g, En se rappelant que l'aceélération a'l est oneruée vers O. on suppose Clue l'aocélération ai est dtUIS la direction représentée et on applique la deuxième loi de Newton, =:1

1

On obucnt +.,(

+,

\V::: IPIg

!F, -

IU(/, :

o, _Fil =

Illa,,:

=

30° = 111 a, Il. sin 30" = +4,f.10 lll/s2 lit {!, sin

2.,5 IItg - IlIg cos 30° = '~laJJ fi" = 1,634 g;::; + 16,03 nv!'-

Or, a" = 1)2/p. Donc, 02

,

ft"

= 16.03 11l/s- or,

= pli" = (2 Ill)( 16,03 rn/sz) 1)

= :!:5,f16

v - 5,66 titis

InlS

(ver lt' haut ou

\o('1"S

.?'

le ha,~1

PROBLÈME RÉSOLU PR·12.6 Calculez la vitesse nominale d'une courbe d'nutoroote, cie> royon p :; ) 215 IYI, r('lev(oc' d'un angle (1 = 18°, La L'ile....'SL' nVl11;nale lfll"nllalérule Ile s • exerce sur ses roues.

SOLUTION

Ij

La voiture roule sur une trajectoire etrculaire horizon tale dl:'rayon p. \Vc:mg

r JI composante

normale a, de l'accélération est orieutée vers 1(:'centre Je la trajectoire: sa gnmdeur est a" = 02/p, où 1) est ln vitesse dc' IR, oit Urt' ("1 nV5. T.H masse III O{'la voihll'(' (' t 'V/g, où \" est le 1oids J(. Ja volturo. PuislJue àUCUIll:' [orœ de rrotteruent latérule Ile s'exerce sur la voiture, la l'faction R de III route est représentée perpendiculalrcment à la surface de la chaussée. On fI'U qu'à appliquer la deuxième loi de Newton. il eu résulte R QOS

() -

Ihl!, ::

l(

-

nUl"

SUI

R = rng

0

0=

cos 9

Or () = 125

III

(J

=

(2)

ilIa"

On reporte la valeur dt" R de 1 dans 2 et, se. H~g sin

(1)

cos (}

01 1\ cnant

que

{I"

= r;'1/p, ou obuenr

"

')I~

p

et 0 == 18°, Donc, cette équation donne 02

Ilv'r)(] 25 ln) tan ) BD 20,0 "Ils

= (9,81

t.. ""

v = ïl,9knl/b

677

,

RECAPITULATION ... SECTIONS 12.1 A 12.6

1 Dans les problèmes de ces sections, nous avons présenté la deuxième loi du tUOUOOnlent de Newton, IF = ma, pour lier les forces appliquées à une particule au mouvement de celle-ci,

équation« du IIaour;enJenl. Lorsqu'on applique la deuxième loi de Newton aux types de mouvement étudiés dans ces sections, il est plus pratique d'exprimer

1.

Écriture

des

les vecteurs F et a en fonction de leurs composantes orthogonales ou de leurs composantes

tangentielle et normale, Lor« lie l'utiliBatioll des conJposa'Jles Orlilogoualell. en se souvenant des eAl?ressiens de Gy et a=. vues à la section li.ll, on écrira a)

fl;r{l

IF", ""'" rnx

IF"

= my

IF:, "'"rn.;;

de l'utili8utiofl des compo,,,anlell ttf,..gen1;elle et normale; en se souvenant des expressions de al et an vues à la section 11.13. on écrira 11) Lor»

u2

IF" = 711P

2. 1.R traçage d'Utl diagralnme du corp» libre (DeL) montrant les forces appliquées et d'un magnnnme éqtlioolent montrant le vecteur m a ou ses composantes fournira une représentation graphique de la deuxième loi de Newton (PR-12.1 à PR-12.6). Ces diagrammes aideront grandement à écrire les équations du mouvement. Si un problème comprend plusieurs oorps, il est habituellement préférable de considérer chaque corps séparément. 3. .~pplication de la deuxième 10; de Nescton, Comme nous l'avons vu à Lasection 12.2, l'accélération utilisée dans l'équation IF = ma devrait toujours être l'accélération absolue de la particule (c'est-à-dire qu'elle devrait être mesurée par rapport à un repère newtonien). Aussi, si le sens de l'accélération a est inconnu ou ne se déduit pas facilement, on donne un sens arbitraire à a (habituellement Lesens positif d'un axe de coordonnées), puis on vérine l'hypothèse avec le signe du résultat. Finalement, remarquons comment nous avons divisé les PR-12.3 et PR-12.4 en une partie cmëmauque et une partie cinétique et comment, au PR-12.4, nous avons utilisé deux systèmes d'axes de coordonnées pour simplifier les équations du mouvement. 4. Si Ut. problème compre,uI. t"l [rottemetu sec, nous suggérons de revoir les sections 8.1 à 8.3 de Statique avant d'essayer de le résoudre. Il est particulièrement important de se rappeler les équations F:= ~N et F = #-tieN. Si Je mouvement d'un système n'est pas précisé, on doit toujours supposer un sens possible et vérifier la validité de l'hypothèse.

678

5.

Ré801utio'1 de problème. comprenant un 1nOUa;e"lenl reltltij: Lorsqu'un corps B se déplace par rapport à un corps A (PR-12.4), il est souvent pratique d'exprimer }'accélération de B sous la forme aB

= aA + aS/A

où aB/A est I'accëlératton de B par rapport à A. c'est-à-dire l'accélération de B vue d'un repère lié à A et en translation. Si B semble se déplacer Sur une droite. aBIA sera orientée le long de celle-ci. Par ailleurs, si B semble se déplacer sur une trajectoire circulaire, l'accélération relative BBIA doit être décomposée en ses coluposantes tangentielle et normale à œtte trajectoire. 6, Fiooleme'lt. il faut toujoun comidérer les i,nplicati-O,lli rieN IIYPQt/lèHes I)01«!f?H. Donc, dans un problème comprenant deux cordes. si on suppose que la tension dans rune d'elles est égale à sa valeur maximale admissible, on vérifie si toutes les exigences de l'autre corde sont satisfaites. Par exemple, est-ce que la tension T dans cette corde satisfait la relatïon 0 :S T :S T'Du? Autrement dit, cette corde restera-t-elle tendue et sa tension sera-t-elle inférieure à sa valeur maximale admissible?

679

Copynghted ma nal


12.9 i la distance de fr(·jl1agr d'une automobile à partir de la \'it('s~e de 00 kmlh est de 50 ln sur UDe route horizontale, étahlissez sa
Problèmes

681

UII paquet cil" 2() kg est au œpos sur 1111 plan incliné lorsqu'une lorce P lu.i est 3PPÜC.lué~ t('1 qu'illu tré, Calculez la grt\nù(!u r cl .. P :.i 1('pnllllét Illl'I lOs pour franchir 5 rn vers le haut du plan. Les coefflcicnts de Irottement statique ('t cinétique entre le paquet et le plan incliné sont respectivement de 0.4 et U,3, 12.10

Figure P12. 10

12.11 Les ÙClL\ blocs représentés sont i.nilialclIlt'lIl tlll ":ptlS. El! ,,(o~l.ig(,HI)tla masse des poulies et l'effet du frottement dans les poulies et entr-e If"bloc r'\ et la surface horizontale, a)

ealeulez : J'accélération de chaque bloc:

IJ)

la teusion dans le câble,

12.12

Les

tJ(.lLL~blocs

repré entés sont lnitialcm 'nt nu fl'pOS. En I)C-g:Iigcimt ln masse des poulies et l'e!Tet de frottement dans les poulies. et sachant que les coelllcients de frott~lfll'lLt tutil{lIl' pt çill(,tiq"~ entre le bloc 1\ e-t la sudàt'(' Ilnriz,olllalt' sont J.L. = 0.2.5 ct /.LIe = 0.2.0. calculez: a)

l'accélération

de chaque bloc:

bJ

la tension dans le c3blc,

Figure P12.11 • P12,12

12.13 Un ensembh- tracteur c't S unl-remorque rouit, il la vit<,ssc' dl' 90 km/h lorsque le conducteur se met à freiIl er, Sachant que les forees de freinage du tracteur Cl de: la senti-remorque sont ~Sp('c1i\'~'I)l('nt dt" tG k1\ f'l 60 kN, calculez . a) la distance parcounJe par l'ensemble jusqu'à l'arrêt; b) la t'onlposante horizontale de la force clans le disposltif d'attelage entre le tracteur et ln seml-remorque lorsqu'il: ralentissent.

Figure P12.13

12.14

Résolvez

If" problème

12,13 en SUppOsêlHt (ju·une deuxième

serni-

reulorqull avec diabolo convertisseur, d'une masse combinée lie Il 300 kg. est attachée à l'nrrii-re ô.. l'ensemble tracteur (·t sf'lni-I'f'Hlorfjllf'. La force dé' frf'inagf' de la deuxième souri-remorque l' t de Si k1\, 12.15 Les blocs A el B représentés onl respectivement une masse de -lO k;~ el S kg, Les t:oefficient<; de Irottement entre toutes les surfaces de contact sont fJ.. = 0,20

et J.LI< = 0.15, Si 1) = O. déternunez . a) l'aecéléranon du bloc B; b] IH tension dans la corde.

\

..

p

12.16 Les blocs ,\ et B représentés ont respectivement une masse de .JO kg et 8 kg, Les t:o('mcit~lIt1i dt, frottement ('lit n- toutes h-s sllrfa(.'('s dt:' contact sont f.L. = 0,20 et Jil; = 0,15. Si P = 40 N -, déterminez :

du bloc B;

(1)

l'accélératton

b]

la tension dans la corde,

Figure P12.15·

P12.,16

C p n

682

12.17

Clnôt'QUIl Il parl.ctll 5 u u·,érnc 101Ile !Il wlon

Les boîtes A et B l't'prl~sl'nt~(~s sont au repos sur un convoyeur qui

est Illitiaieulf:llt LIllrepos. On démarre

brusquement

le cOllvoyeur vers Je baut et

on observe un glissf'rl1f'nt entre la courroie C't les bottes, Sachant que les eocfficleuts Je frottement cinétique entre le (.'on\'oyeur et les boîtes sont (~JJA= 0.30 et (J.t,,)/J = 0,32, calculez l'nooélérntion initiale de chaque boite.

Figure P12.17

3.'5 kg

qJ~l ~t 60kg , urs rn

Figure P12.18

12.18 u-s coefûctents dt, rro~lt;'111(,llt (flguJ'\: P J 2.1 R) entre 1(;· puquet A et le plan Iucllué sont IJ.. = 0,35 et IJ.k = 0,30. Sachant que le système est mltialement au repos c:t que le bloc B vient au tl'pos sur lé bloc C. détermlucza 1 la vitesse maximale du paquet A ; li) la distance vers le haut du plan incliné parcourut' par le paquet.t\ avant (111 'il s'arrête. 12.19 Chacun des sysrèmes représentés est initiruC'Jll('nt au repos. En négUgeàllt le frottement des paliers et ln 1l1USSe des poulies, calculez pour chaque système: a) l'accélération ou bloc A ; h) la vitesse du bloc A uprës UIIparcours de 3111; c') 1(' temps mis par le bloc ,\ pour attrindre la \ih'ss(~ ùe' 6 rtl/s.

1 kN

100 l-g

200 L:~

:!200 kg

.200k~

( 1)

2100 lIg

(21

(31

Figure P12.19

12.20 Un homme dC'OOLlt dans lin ascenseur (OID,lrc' P12.20l, qui St' déplace avec une accélérution constante, tient un bloc 8 de 3 kg entre deux autres blocs de sone quI' le mouvement de B par rapport à ,\ el ù C soit imminent. Sachant que les coefficieuts (le rrotteruent entre toutes les surfaces sont J.L. = O,~) et 14 = 0,25. détermmez : a) l'u{.'<.'élératiol1 de l'ascenseur s'ü monte, chacune des forees exercées pAr l'h0l11111f' sur les blocs f\ cl C t\)'lllll lit)!' COITIpOS8 Il le hortzontale ~~alt.' deux fois le poids de B • 11) les conlposantes horizontales des forces exercées par l'homme sur les blocs J\ el C si l'accélératiou (lI: l'ascenseur est de 2,0 1I1/s2 \ ers le bas. à

12.21 Un paquf't (n~tre P 12.2l) est au repos sur un convoyeur qui est initialemenr ail T'f'pos. LR convoyeur démarre et se déplace \ CI'S la dmitf' durant 1,3 s avec une aecélëratiou coustaute tlé 2 nv's! L(' t.,()lI\'oyt'llr se déplace ensuite 3\'eC une décélérutîon constante a.2 et s'arrête après un déplacement total de' 2.2 m. Sachant l'}1I('1(,5 (.'()('fficil"'nt.s dt, fn-lllC'n1C"1I1 ("nI rI"' 1(' paq1u'II'! 1(· ('OIIV()YC'lIr ~()1Ï1u; lOI 0,3.5 et /).'"= 0.25, déterruinez :

Figure P12.20

.. ~._4~!-:,:' _~ Figure P12.21

,

't;J! el

~;p~

al h)

la décélération

.

a, du eonvoveur ; Il' ù<'plaC('lIll"llt du paquet par rapport

-

au collvoyeur lorsque celui-ci

s'arrête,

C p n

12.22 Pour transporter des paquets de bardeaus 11 jusqu'au toit d'une maison (figuré PI2.,22), U1l entrepreneur l'tU! e un monte-charge motorisé consistant eu une plate-forme horizontale BC sc déplaçant sur des rails sttaehés aux côtés d'une échelle, Le monte-charge part du repos et st' déplace initialement avec une accélération constante al comme le montre la figure. Puis l ' monte-charge décélère II lin tau.'< constant a2 et s'arrête en D, près du sommet de l'échelle, Sachant que le coefficient de rrotternent statique entre un paquet de bardeaux et la plate-forme hortzontale e~i de 0.30. calculez la plus grclnde aceélératton a, admissible C't la plus grande décélération n2 admissible pour empêcher le paquet de glisser sur la plate-forme,

Prabl€lmcs

683

4,4 m

O,S U)

Agure P12.22

Pour dreharger LlD paquet ficelé de panneau.'I: de contreplaqué d'un camion, le conducteur incliue d'abord la benne du camion puis accélère ~ partir du repos. Sachant 'lue les coefficients dt" frottement entre le panneau de contreplaqué du bas et le plancher cl ~ la benne sont u; = 0.40 et Mie = 0,30. calculez: a) la pilis petite accélération du camion 'lui fel1l glisser le paquet de panneau.x ; b) l'accélération qui r.,.ra atteindre ail coin j\ du paquet l'extrémité de la 12.23

benne

Cil

0.9 s.

12.24 Les hélices d'un navire Je pokls \\1 produisent une fort-e de propulsion F o- Elles produisent une force de même grandeur mais de sens opposé lorsqu'on inverse les moteurs. Sachant que le navire était en marche avant à sa vitesse maximale t.'o quand les 11'IotC'ul'S ont ~témversës, déterminez la distance CJIIf' le navire franchit avant de s'arrêter, Supposez. qUE' la résistance de frottement de l'eau varie proportiormellement au carré de la vitesse. 12.25 tutal"

tri

Figure P12.23

Figure Pl2.25

Une foree constante Pest appliquée à un piston et à une tige de masse punr les cJt-pla.e.'f dtUlS un t."}'lîndr(' l'\!lnpli dhullc. l.OriUluc 1(, pistou sc

déplace, l'huile est forcée de passer par des orifices du piston et exerce sur celui-ci une force de grandeur k» ct dt, sens opposé au déplacement dLJ piston. Sachant que le piston part du repos à 1 := 0 et à x == O. montrez
t1

l

1:l.26

FIgure P12.26

C p n






vnessc dt' HSkill/Ii d'un rH~'011 flr .jO rn, Sachant ~l' IP le (,I()f'n'icic'nl dt> fmlte'lllc'nl 12.52

Une voiture roulant

à

une

li

et la route est de 0.70, calculez de combien le conrluetr-ur rlolt dimlrnu r puur frflJ'l'llir la cOllrhl' ('11 101.111' ~(oclllit{t!.i l'nll~lc' cil' 11011\"('1111,,,1 ('~t: n} 8 = 10°; b) o = -5° , en

Prob emes

~it\itl'S.'Ii'

1,1 route.

8 Figure P12,52

12.53 Lt,~trains if1('linllhles SOllt COIIÇ'lI\ (leliif ('ill,,,I"f C'" trlllLv '''l'('llIite .1 grande vitesse dans les courbes Ul'S voies ferrées eoustruln« pOlir 1(':-,1nn Il , nrrlinaires. plus lent: s. Chaque voiture qui amorce une courbe t'st Inellné« pur dr·s \ énns bydnluliqu._., "\()I1I{~sur \C's 1.lC)git's, l:ïn(·linnisoll de-s ,()illll'I'~ ,Jllgll1t'ull' cll"si It"

confort des pJSslIg('rs l'Il élhuinant

ou ('JI dimtnuuut fOr'!('III\'nt 1.1 fCII'l'l' 1,llc~I,jh'F (parallëk- au pla'I(.'I!C'r d(O la voiture) r\\ssc'Illif> par 1",:0,pa.<;<;agf'rs. Suit 11111rail 1 1I11I1.. 1I1 à 160 IalaJh sur une courbe de voie ferrée relevée U'WI ,lu~Jt 0 - (i l't;1 UIII' ,itt'~'I'

nominale de 100 km/h, Calculez: a) lagrnnclE'urde la force latérale ressentie par un pclSsa~l'rtle l}llld~\\ dau'i voiture urdinain- non inelinuble t

h]

l:tt{o rule, (Pour la d,'\nniIiQI1 (II" ln \'itNi~('nominale,

vOyl"i'.

aUl'UII('

lor t'l'

If' PI1-12.n.l

plohli'llll' 12.5:3 révëlent que 1('$passagers o;ourTrelll d'lin malaise IONC)lI'U'i \Olt'Ilt pur k-s \ itrr« 'llIt' le train roule à granclf' vitesse sur une courue. bil'IJ qllïl~11('ressculcnl (1II(:IIIII'li'H'" latérale. Les concepteurs pl"f('I'~nt donc: diminuer t'pltl' lorce latéral(· ~allS tOllh"rni\

12.54

l'éliminer,

Des essais efli.-t'luC:S ut les t,.ail)~ ill('lill,II)lj'~111:l'tÎt~..lI

If' train tin problème 12..531:'1 calculez l'angle' d'incllnulsou IP pour llue les passa~(.'I"l>l"i's'it'nh'IIt 11111' fon'.' h..t(·nlll· ('!!;.llc' :. JO l,; Il.,

Consrdérez

nécessaire

leur poids.

Figure P12.53 • P12.54

Un manchon D de' 3()(l g pput gIiSSt>T sur la portion \B cl unv lJ~t' courbée (Ggure P12.55), Sachant qlle (l' "" -II)" (,t IPH' III tigl' tounu- _"111"" II. In verttcale f\C au taux constant dt' 5 l'HCl/S, calculez 1., ravon ,. alllJlI('1 le 1I1,1I1( hon rlf> gl.i.sst'ru pm. sur lu. ti~e ~i l'effet du frotlelu mt vntn- lu tj~L' 1'1k' Il l,111(:lIu Il 1,,1 Il l"gli!;(,('. 12,55

12,56 Un manchon D dl' 200 ~ pr-ut ~Iisst'r sur 1:1 pori iOIl I\IJ cl'uiu- II~t courbée (lîgurt' P12.56), Sachant ([UI;' la tigt' tourne autour clt' 111\·c·rtllulr' $: Il 1111 taux constant. que 0 :;; :)()" ('t Cjllf' r - ·600 nun, ('HI~'IlIf""J. ln J!;ttllllH' ch~~\II.'",,(,S 1 auxquelles le manchon ne g~ssera pas sur la ti~f> si le eoefflcreut dt, Irotn-uu-ut statiqup

potl"P

la

tiil;P

ct h- manchon

I?"!I dl~

0 10

o

cl,· 2ï2 g pP1I1 gliss~'1 sni la portiou f\B rl'une- tigr' courbée selon la I1gurc .PJ2.5ï. Sucltant que r = 2():3 IIlllll't (IUt'I••ti~('lullnH'ltUI()tll 12.57

Un manchon

de la vertical!" AC au bllJX ronstallt de

stflti4ut> adnùssiblt:' pa.. lorsque' : frutterllt'Ilt

a) IJ)

entre

j0

racLls, calculez 1(' plus petit "-"t}(,ffi('i{'nl

1(.·1\1:UI(.'''01Il'I ln tig(' ~i 1.,

11l,Illeltnll

III'

lit

gli\,.·

=

15°; a = 45°. ct

Pour chaqur cas, Îl1di'l"C'7 le Sens dl!

I110Il\o'I'nl('111

ill)ll1io'Anl.

Figura Pl2.55, P12.56 et P12.57

C p n

689

690

Cinefillue

des partICule!> deu~l$m~ 1<')1 do NUW10l'l

12.58 Une rainure seml-clrculaire d'un rayon de 254 mm est découpée dans une plaque plate 'iw tourne autour d'une verticale AD au taux constant de 14 rad/s.

Un bloc E dl" 363 g e t conçu pour glisser dans la rainure lorsque la plaque tourne. Sachant que les coeflicients de frottement sont J1., = 0,:15 et J1.k = 0,25, déterminez si le bloc gli.ssera dans ln rainure s'il est lâché dans la position correspondant à: a)

0=

b}

() = 1()o.

,()o:

Calculez là grtmdeur pt la direction de la force (le frottement exercée sur le bloc

immédiatement

après qu'il eut ~t~ lâché rt,fi4l

111111

t------~-...,C

\

,..----------'IJ

Figure P12.58

12.59 Trois secondes aprk 1(·dpI11amlge d'une polisseuse à partir du repos, de petites touffes de lainage le long de la circonférence de 225 mm du tampon de la polissouse quittent ~hr(,1l1tllll(' tampon. Si on (1~1l1Rrr('((1 polisseuse
de 4 ull

:l. calculez:

if)

Il)

1.. \'ite~sf' " cl'''ll'' tourr,. IOl""olJII'('lIC' 'lilittf' le- lalllpon ; III grand!,III' dl' ln foret' HH.'C'SSlÙrepour [ibérer une t01l[(' " lllo)'enne- d'une touffe est de 1,6 Ing.

la masse

Figure P12.59

Figure P12.60

Une plaque tournante A construite dans une scène sert pOlir une pièce th(ii}1ralr-, Durant 1I11(' rép~lition, 011 "('lllarcJue 'lu'ull coITr(' B commence 1'1 glisser 12.60

c;llr

la plaque tournarue

lû s llp~S k· cl(ohul d..· ln rotation di' celle-ci

nchant flue 1('

('Offre a une aecélémuon t~Ulgentif:'Ue constante de 0.24 In/!;2. calculez le eoefâcient de frottement statique entre If' coffre et la plaque tournante.

12,61 Un mécanisme à barres parallèles AB CD sert à trwlsporter un composent J entre les postes de fabric.atiouE. F et G eu Il' prenant Î) un poste lorsque 0 = 0 ct t'Il le déposant au poste suivant lorsque 8 -= 1 BO°. Sachant que la membrure BC demeure horizontale durant le mouvement et que les barres AB et CD tournent à un taux constant dans un plan vertical de sorte que Ùl' = 0.7 rn/s.

Problemes

0

déterminez :

a) b}

llo:coefllcicnt de Irottcmcut st-.ltlque mlnlmal entre le composant et BC si 1(' composant ne glisse pas sur BC lors du transport; les angles (1 poer 'lesquels le glisscu1ent est imminent,

Cl,!! m

0,4

III

0.'1 '11

0,2 m

Figure P12.61

12.62 Sachant que le- coefflci mts de frOUelTIf"nl entre le composant 1 et ln membrure BC du mécanisme du problème 12.61 sont p.. = 0,35 et 14. = 0,25, détermin ez : Il) la vitesse constante maximale OH admissible si le composant ne glisse pas sur Be lors de sou transport: b) les angles () pOUf lesquels If' glissenlent est imminent. 12.63 Dans le tube à rayon.~cathcxLiques représenté, les électrons émis par la cathode et attirés par l'anode traversent uu petit trou dans l'anode puis sc déplacent sur une droue ~ 1I11f' vitesse V(I JUSqU'l1ll moment où ils bombardent l'écran en A. Cependant. si une diflérence de pcteutiel V est appliquée entre Il~Sdeux plaques psrallëlcs. les électrons seront soumis à une force F perpendiculaire au,'( plaques lorsqu'ils St! déplaceront entre celles-ci et bombarderont l'écran au point B, ~ UDf' distance S de A. La grandeur de la force F pst F = e V/d, où t: est ln charge d'un électron, et ri la distance entre les plaques. Trouvez l'expression dl" la déllexlon l) en foocuon de V. de !Jo, cl" la chal'gf' r-e et de la masse 111 d'un électron, et des dimensions (1. , et L. +

12.64 Consnlérez Ir' prohlërn« 12.63 et calculez le plus petit rapport dlf admissible en fonction de e. tll, v() et V si à x "" I la distance minimale acceptable entre la trejeetolrc des électrons ct la plaque positive est 0,05.1, 12.65 Un tube à l'Oyons cathodiques courant doit fitrf> modifié de manière que sa longueur et l'espace entre les plaques soient respectiveruent réduits de 40 % et de 20 %, Si Lesdimeustous uv l'écran demeurent los Il,(1111(>$, <,\-'nJU('7'. ln nouve-lle longueur I' des plaques en supposant qlle toutes les autres caractéristiques du tube demeurent inchangées, (Voyez, la description d'un tube à rayons cathodiques au problërne

1.2.63).

Figure Pl2.63

691




1210 lOI

12.10 LOI DE LA GRAVITATION DE NEWTON

Comme nous l'avons VlI ~l IH section précédente, la [oree gnlvitatir)JllleUe exercée par le Soleil sur une planète ou par IH Terre sur un satellite orbital est un exemple important d'une force centrale, Dans cette section. nous apprendrons à calculer la grandeur d'une foree gra\italionncUe. Dans sa lo! de la groououo» unicerselle, Nf',,,IJ>n stipule que deux particules de masses "'1 et rn à une distance l' l'une Je l'autre s'attirent l'une l'autre avec (les forces ég"le!'i et opposées F et - F, orientées suivant la droite joignant les particules (fîgllrp 12.16). La gntncleur commune F des deux forces et Mm F=C ,-2

ct"

la oravrtairon 00 Newlon

695

PlI

F

,\1

Agure 12.16

(12.28)

où G est une constante universelle appelée constante '/(' gr(lvitaH()l1. Selon les expériences, G vaut (66,73 ... 0,03) X 10-12 rn3/kg ·s;!. Des forces gravi.rationnelles appréciable

existent entre toute paire de corps, mais leur effet n'est qu si l'un des corps a une très zrande masse. L'effet
autour du Soleil, de satellites en orbite autour de la Terre ou de c0I1>s tombant sur la surface de la Terre, Comme la force exercée par la Terre SUl' un corps de 111
ou

cu

0

{'>

= Rf!

(12.29)

où 1\1 est la masse de la Terre, Comme la Terre n'est pas tout à fait sphpric!ue, la distance R à partir du centre cie la Terre dépend (III point choisi sur sa surface, et les valeurs de ,~, et g varieront avec l'ctltituclp. f't la latitude (lu point considéré. Autre raison de la variation de ~Vet (le g avec la latitude ~ un repère lié il la 'ferre n'est pas Ul1 repère d'inertie (settin!i 12.2). Une
CAif = gR2.

(12.30)

où g et le rayon R
g = 9,81 rrllSJ-et R

6,37 X lOf) n1,5 On raconte (ple N ewton Cldécouvert la loi de la gravitation universelle en observant une ponl me tombant d'un I)OIl1Inicr,11 en a déduit que la l'erre doit alors attirer la Lune ('011.1tl1C elle attire une }JOll1I11e. Bien qu'Il soit incertain que l'incident de la pOtlllne ait effectivement eu lieu, on peut affirmer que Newton n'aurait pas formulé sa loi s'il n'avait pas d'abord compris tlue l'accélération d'un corps qui tombe doit avoir la même cause
4. Le problème 12.1 doone une formule t>~IiIi'Ullll' ~ ('0 fonenon de la laritud e t/J. 5. Ln valeur de H se calcule ais~ment quand on SI' ~OIl...il'fI\ fJ 11(' hl C'iT<'Ollféronec de la Terre est 2wR = 40 X lW!J1.

Copynghted matenal

\

PROBLÈME RÉSOLU PR-12.7 VII bloc B de masse IOUll1f'

peut glisser librement sur. un bras OA sans frottement qui dans un plan horizontal;' un taux constant Ou. Sachant quI" B e~t hbéré à une

dis tan CP rtl dl' O. a)

III

~~nlllE.'Z 1:'11fUllcbon

dt' r'

la composante e, de' IR.vitesse de B le long de Ott ;

b) la grandeur de la forct' horizontnle F exercée sur B par le bras OA.

SOLUTlON 'routes [es autres forees étant perpt.'ndiculairt's

au plan de la figure, la seule force connue appliquée à B est la foree F perpendiculaire à 0/\ . • Equations du mouvement, En utilisant les composantes radiale t't trans-

'I.'(,1'S ..1~ .. nit a

-

-e-

l' ~J.·r= "'(/,:

+

ss; = 'tian:

o = rn(r..-

l'r

dt' lu 'I.ites~e.

(1)

.

+ 2fO)

F = /I.(rl}

1') (:()mpu'iltnte

,.(J~)

(2)

PUiS'!Uè e, -

t. OH obtient

de, rio, dr do, --0--'- ,. - dt - dr dt - r dr

i'-tl-

On reporte la valeur de f dans l'équation 1 et, se ouvenant que It'5

. (J.:;:,.

. ft, ou sépare

variables. 11en ré$ultt-

'" (Ir v,.tlv,. "" Oôr On mulbphe par 2 ct ou intl.~rl'dl:' 0 à lr et de

"0

à r. Alors,

. .. 8 =x tb. e = 0 et r = t>, "

Fol'(!4.'horizontale F. On post et on remplace lir par l'expressson obtenue à lu partie h)

---

~-

li,

dans l'équation 2

U en découle

PROBLÈME RÉSOLU PR-12.8 \

011 lano- un satellite dans une direction parallèle à la surface de ln Terre avec tint' \"il'-':5S(' de 30.3 ~llIlIh l·t ;, une altitude dl' 390 kJH. CalcuJ(·z la vite c du satellite InrSf!I,ïl :lttt-Îni lion altitude maximale de 3770 1-."111. Rappelez-vous

III Terre est

qllf" 1(' rnyon de

tl,· 63ïO km.

:~..Mlkru

SOLUTION

t-------~--------··- - A '-SI

()

-_._----~

Pnlsque If' salt'Ilit€' se déplace sous l'action d'une force centrale orientée vers le (\'IIt1t' 0 dt' LaT,·l'Y(, son moment cin~tjCJll(' Hu ('st constant. 1:(oquatioll 12.13 donne

,., /

rnll"

sin 41 = lIa

Il ,'f'OSIIÏI '1IIt· 1 l''i( mlntmak- en 8. nù I1IU1Jlt.'Ut cinétique entre A et B donne

P"('1

r,,\trIC,\ rA Vil

=

IJ..\

rlj

=

=:

constante

sin ri> sont maximaux. 1...'\ (.'011 crvation du rlllllOn

6370 kl1l + 390 knl (3{).3 ]\(11\/11) 6370 km + 3710 km ,

=

1 Il -

696

:20.2 ~1rlllh

,

RECAPITULATION " SECTIONS 12.7 A 12.10

Dans ces sections, nou avons continué l'é-tude de la deuxiêrne loi de Newton en exprimant la force et l'accélération eu fonction de leurs composante« radtale ct irans» rsale, où les équations correspondantes du mouvement sont IF,. = TnO,.: IFr = In(" ..- r (}2) , IFo = 11l(lo: IFo = ",(r8+ 2;-9) Nous avons introduil If' Inomcnl cinétique He d'une particule par rapport à 0 :

.H.o = T X 1nv et nous

(12.]2)

avons trouvé que Ho pst constant lorsque la particule se déplace sous l'action d'une force

centrale oyant

SOli

centre

Cil

O.

(.tit; "ti'"1 dc-; (Olll/'O(ltllltc',., riullulc cl transeereale. Nous avons introduit les composantes radiale et tran versale dans la dernière section du chapitre Il (section 11.14), La révision de ces notions est importante pour ce qui suit Les commentaires sur l'application de la dcunème loi de ewton (traçage d'un dlagramme du corps libre et d'un diagramme m a, etc.) s'appliquent encore (PR-12.7), Ftnaleœent, remarquons que ce problème a été résolu à l'aide de techniques vues au chapitre 11. Ces techniques sont utiles dans cette seceon aussi. l,

2. R, ~fll,,/julItI( I,rulllc/llr" \ur l" IIIOUt'CIIWfll d'une parücul« "Olllllist Ù "lit' force centrale, Dans les problèmes de ce type, le moment cinétique 110 de la psrucul par rapport. nu centre de force 0 est conservé. Il est commode d'introduire la constante " = 1101,,, représentant le moment cinétique par unité de masse. Alors.Ia conservation du moment cinétique de la particule P par rapport à 0 s'exprime par l'une ou l'autre des équations suivantes rI:) sin

4> = h

r'J.(j = Il

ou

dans lesquelles r et 0 sont les coordonnées polaires de p, ct tf> est l'angle flue la vitesse v de la particule forme avec la droite OP (figure 12.14). La constaute J. se détermlne à partir des conditions initiAles et on tire lino inconnue de l'une ou de l'autre des équations ci-dessus. :J Duu« te ~ l,r"I,lc'",c" tic' IIIt'C'""itl"t" Itl'(ltil,le sur le mouvement orbital d'une planète autour du Soleil ou d'un satellite autour de LaTerre. de la Lune ou d'une autre planète, la force centrale F est la force d'attraction gravitationllellf'; elle est orientée OO~ le centre de la fore' 0 et sa grandeur est (12.28)

U est à remarquer que, dans te cas particulier de la force gravnauonnclle exercée par la Terre. le produit C~Idevient gR!!, 011R est te rayon de la Terre (équation 12.30), Les deux cas suivants du mouvement orbital d'un satellite se rencontrent fréquemment: a) ,; 1',,,-1,;/, du ~("t:II,tc ('~, e:irculaire.la force Fest normale à l'orbite et on écrira F = /110,,: eo remplaçant F selon l'équation 12.28 et en remarquant que a; = v!!.lp = o!/r. on obtient

AI nI C ,-9- :::;

rf 111--;-

ou

"

11- =

GJI r

lli!« c,,/ t:llip,i
cl"

Ifll/e

r Atn'VA

= rllf1l.!)1:1

697



700

Ctlle1lQtlE' ces Pi'lrtlr..u:{l~. OCu X urOC "J1 d(' NIN. ton

12.n a) b)

Soit la particule du problème 12,76. Démontrez que: La vitesse de la particule cl la foree centrale F sout proportionnelles à la distance r de la particule au centre de force 0; le rayon de courbure de la trajectoire est proportionnel à ,.-3.

Le rayol) de l'orbite du satellite d'une planète donuée est égal au double du rayon de cette planète. Eu désignant par p la densité moyenne de la planète. démontrez que le temps mis par le satellite pour effectuer une révolution autour de la planète est {241T/Cp)m, où C est la constante de gravitution. 12.78

12.79 Démontrez (lu'nt) peut déterminer le rayon ,. de l'orbite du satellite d'une planète donnée à partir du rayon I{ de cette planète. de l'accélération due à Ln pesanteur à la surface de la planète et du telnps 7' mis par le satellite pOlir , effectuer une révolution autour cie la planète. Evaluez l'accéléranon gravitattonnelle à la surface de la planète Jupltcr sachant que R ::: 71 -192 1011, l' = 3,551 jours ct r = 670,9 x lQ3 km pour son satellite Europa, de télécommunication sout placés sur une orbite géostaüonnaire, c'est-à-dire sur une orbite circulaire de façon qu'ils effectuent une révolution autour de la Terre en un jour sidéral (23,934 h), et semblent donc station12.80

Des satellites

naires par l'apport au sol. Détermlnez: li) IJ)

l'altitude de ces satellites au-dessus de la surface dt" la Terre; la viteSse ù LaqueUe Us décrivent leur orbite.

12.81 Calculez la masse de la l'erre sachant que le rayon moyen de l'orbite de la I ..une autour de la Terre est de 384,5 Mm et que la I..une met 27,32 jours pour effectuer une révolution autour de la Terre. 12.82 Un vai ...seau spatial e.s t placé sur une orbite polaire autour d", la plallr-tc Murs à une altitude de 380 km, Sachant que la densité Illoyelule de Murs est de 3,94 X ] ct' kg/Ill' t"t que le rayon df> Mars est de 3397 km, calculez: (1) le télnps T mis par le vaisseau spatial pour effectuer une révolution autour de Mars: b} la vitesse à laquelle U décrit son orbite. 12.83 Un satellite est placé sur une orbite circulaire autour de la planète Saturne li une altitude de 3400 km. Le satellite dëent SOu orbite à la vitesse de 24,45 km/s. Sachant que le rayon de l'orbite autour de Saturne et que la ~ériodt" d'Atlas. un des satellites de Saturne, sont respectlvement de 137,64 X le) 1011 et de 0,60 19 jour. évaluez: (1)

le rayon de Saturne

i

la masse de Saturne. (La ,ufrlode d'un satellite est If>temps qu'il met pour accomplir autuur (le la planëte.) b)

unr- révolution

12.84 Les périodes (voir le problème 12. 3), obtenues par ohse rvation, des satellites Juliette et ûmnia de la planète Uranus sont respectivement dl' 0,4931 [our et (le 8,706 jours. Sachant que le rayon de l'orbite de Juliette est de 64 Mra. calculez: li) Lamasse d'U ranus ; J» le rayon de l'orbite de 1Jtauia. 12.85 Un vaisseau spatial de 540 kg est d'abord placé sur une orbite circulaire autour de la Terre à une altitude de 4500 km, puis transféré sur une orbite circulaire autour de la. LW\ê. Sachant que la masse de la Lune est de 0.01230 foi.s celle dt: la Terre et que le rayon de la Lune est de J 740 Ion, évaluez: (1) la Iorce gravitationJl 'Ue exercée sur 1(>vaisseau spatial lorsqu'il orbitait autour de la Terre; b) k· rayon requis de "orbite du vaisseau spatial autour de lt1.Lune si les périodes des deux orbites doivent être égales (voir le problème 12.83) : c] l'accélération gru\;l:atiorlnel1e à la surface de la Lune.

Copynghted matenal

12.86 Pour placer un satellite de télëcommunication sur une orbite géostationnaire (voir le problème 12.80) à une altitude de 35,8 X IfrJ km au- dessus de la surface de la Terre, on le libère d'abord d'une navette spatiale qui se déplace sur une orbite circulaire à une altitude de 300 km, puis on le lance par un propulseur à deux étages vers son altitude finale. Lorsque le satellite passe par A, le moteur du propulseur est allumé pour permettre au satellite de se placer sur une orbite de transfert elliptique, Le propulseur est de nouveau allumé en B pour pennettre au satellite de se placer sur une orbite géostationnaire, Sachant que le deuxième allumage élligmente la vitesse du satellite de 1470 mis. calculez: a) la vitesse du satellite lorsqu'il s'approche de B sur l'orbite de transfert elliptique; b] "augmentation de vitesse résultant du premier allumage en A,

Proolç,mes

701

35,8 x 1~1km

/

\

300 km

Y\ A

\

B

R

= 63iO

km

\ Figure P12.86

12.87 Un véhicule spatial se déplace autour de la Lune sur une orbite crrculaire d'un rayon de 2200 km, Pour le transférer sur une orbite circulaire d'un rayon de 2080 km, on le place d'abord sur une orbite elliptique AB en diminuant sa vitesse de 26.=>mis lorsqu'il passe par A, Sachant que la masse de la Lune est de 73,49 X 1()11 kg, calculez: (l J la vitesse du vélneule lorsqu'il s'approche de B sur la trajectoire elliptique; bJ la dlminution de vitesse qu'on doit lui imposer lorsqu'il s'approche de B pour le placer sur l'orbite circulaire d'un rayon de 2080 Ion, Figure P12.87

12,88 Une sonde spatiale doit être installée sur une orbite circulaire d'un ruyon de 6420 km pour se déplacer autour de la planète Vénus. Lorsqu!' la sonde s'approche de Vénus, sa vitesse est diminuée de manière à ce que lorsqu'elle arrive nu point A sa vitesse p..t !>Of! altitude au-dessus dfl la $llrface de la planète soient respecuvement de 7420 n'lis et de 2S8 km. La trajectoire de la sonde de A à B est elliptique et, lorsque la sonde s'approche de B, sa vitesse est augmentée de Âtl8 = 24,5 mis pour loi permettre de se placer sur l'orbite de transfert elliptique BC. Finalement, lorsque la sonde passe par C, sa vitesse est diminuée de A.vc = - 264 mis pour luj permettre de s'insérer sur l'orbite circulaire voulue, Sachant que la masse et le rayon de la planète Vénus sont respectivement de 4,869 X 1()2'1kg et de 6052 km, déœrrnWI!'L: a) la vitesse de la sonde lorsqu'elle s'approche de B sur la trajectoire

elliptique; 1») l'altitude de la sonde au-dessus de La surface de la planète en B.

-+------------B

-

-- C

A

Orbite circulaire FIgure P12.88

Copynghted ma rial

702

1 Z.89

Une navette spatiale S et un atellîte A sont sur les orbites circulaires représentées. Pour pemlett:re i'l. la navette de récupérer le satellite. on la place d'abord sur une trajectoire elliptique Be en augmentant sa vitesse de AVII = 85 mis lorsqu'elle passe par B, Lorsque la navette s'approche de C, sa vitesse est augmentée de avc = 79 mis pour lui permettre de se placer sur une deuxième orbite de tnmsfert elliptique CD. Sachant que la distance de 0 à C est de 6900 Ion, calculez l'augmentation de vitesse qu'û faut imposer à la navette lorsqu'elle s'approche de D pour lui permettre de se placer sur l'orbite circulaire du satellite.

Clrt61oqlJ" dOS parl!r.t.,Jn:; de", If ème 01 de N~.'o'1on

-

C

12.90 Un manchon de 3 kg peut glisser sur une tige borizontale qui est libre de tourner autour d'un arbre vertical. Le manchon est initialement maintenu en A par une corde attachée à l'arbre. Un ressort de constante 60 t\:/m est attaché au manchon et à "arbre et n'est pas déformé lorsque le manchon est en A. Lorsque la tige tourne au taux é = 16 rad/s, la corde est coupée et le manchon se déplace le

long de 11\tige, En négligeant le frottement ct la n'tasse de la tige. calculez: a}

les composantes

radiale et transversale de l'accélération

du manchon

enA;

Flgure P12.a9

b) c)

J'accélération du manchon par rapport à la tige en A ; la colnpOSal1te transversale

de là vitesse du manchon en B. mm-----!

FIgure P12..90

Considérez le manchon du problème 12.00 et supposez que 1" tige initialement au taux 0:;::; 12 ,'acVs. Pour la position B du manchon, calculez:

12,91

tourne

r-- O,4m 1

r-o,25

(1)

la composante transversale de la vitesse du manchon:

h]

les composantes

c}

l'accélération du

radiale et transversale de son accélération ; manchon par rapport à la tige.

12.92 U ne balle A du 2()() ~ et une balle B de 400 g sont montées sur UHe tige horizontale qui tourne librement autour d'un arbre vertical. Les halles sont malntenues dans les positions représentées pRr des chevilles. La cheville retenant B est soudainement enlevée et ln balle se déplace vers la position C lorsque la tige tourne. En llégUgèllJ'lt I~ Irottement et la masse de la tige et en SUppOSiltit que la vïtesse initiale de A est VA = 2,5 mis, ealculez : les composantes radiale et transversale de l'accélération de la balle B

m--+--u.~

fi'

lmmédieternent après le retrait de la chevill ; b) l'accélération de la balle B par rapport à ln tige à tout instant; c..) la vitesse de la balle A après que la balle B eut atteint la butée en C.

FIgure Pl ~92

12.93 Une balle se balance sur un cercle horizontal à l'extrérnlté d'une corde de longueur / l qui forme lin angle 81 avec la verticale. La corde est alors lentement tirée à travers If' support en 0 jusqu'à cc que la longueur de l'extrémité libre soit u) Trouvez une relation entre' 1. lz, 9l et 92. b} Si, li la mise en mouvement dr la balle, 11 "'" 0,8 III ct ()l = 3.5°, calcule? l'angle 82 lorsque L2 = 0,6 m.

'2·

-_ ------- _ ....

/

Figure P12.93

Copynghted ma rial

*12.11' TRAJECTOIRE D'UNE PARTICULE SOUMISE À UNE FORCE CENTRALE

1? 1t Tril1f'ctol,e

ct iJ'fle panICale SoumlC;1l il ur.~ lorCll cernrnl..!

703

uno particule P sc déplaçant sous l'action d'une force centrale F et essayons d'écrire l'équation clifférentieUe qui définit sa trajectoire. Supposons que la force F est orientée vers le centre de force O. On relllarque que IFr et IF 0 se réduisent respectivement à -F et à zéro dans les équations 12.21 et 12.22. D'où Considérons

tu(r - riF) = -F In(r8 + 2;-8) = 0

(12.31) (12.32)

Ces équations définissent le mouvement de ,P. En remplaçant l'équation 12.32 par l'équation 12.27, d'usage plus commode et qui lui est équivalente comme le montre facilement sa dértvation par rapport à r, il en résulte q'

r-O = li

ou

e

(1()

t": -

rft

== Il

(12.33)

Léquation J2.3~ permet d'éliminer la variuhle Indépendante 1 de l'équation 12.3J. Isolons ou (/0/(1", dans l'équation 12,33. Nous obtenons

e,

lJ = !!!!_ = .!!_2 dt r

(12.34)

D'où

r= ~ = dr dO dt d8 dt

=.!!_ clr

,_2. (10

(.!.) dlJ r

= +l: d

(12.35)

dr di" dO It dr r-----=-dt dO dt ,.2 dO .,

Remplaçons

i: selon 12.35.

Nous obtenons

(12.36)

Dans J'équation 12.31, remplaçons ()et f selon respectivement 12.34 et 12.36 et introduisons la fonction II lJr. Nous obtenons, après réduction,

=

(J2tJ l\~

cl fr

+ 1i

""

F ., () ln 11- u:

(12.37)

Pour en arriver à l'équation 12.37, nous avons supposé que la force F était' orientée vers O. La grandeur F sera donc positive si la force F est orientée vers 0 (force d'attraction) et négative si la force F est orientée en s'éloignant de 0 (force de répulsion). Si ,F est une fonction connue de r et donc de u, l'équation 12.37 est une équation différentielle en lt et en 8. Cette équation différentielle définit la trajectoire suivie par la particule soumise à La force centrale F. On obtient l'équation de la trajectoire en résolvant l'équation différentielle 12.37 pour li en fonction de (J et en déterminant les constantes d'intégratjon à parti r de conditions initiales.

Copynghted matenal

704

*12.12 APPUCATION À LA MÉCANIQUE SPATIALE

Cj~bque

de$ pMticu4es; dauxièma loi du N9WfOin

Une fois les derniers étages de ses fusées de lancement consumés, tout satellite terrestre ou autre vaisseau spatial est soumis seulement à l'attraction de la planète Terre. Son mouvement peut donc être déterminé par les équations 12.33 et 12.37, qui régissent le mouvement d'une particule soumise à une force centrale, une fois la force F remplacée par l'expression obtenue pour la force gravitettcnuelie''. Dans l'équation 12.37, posons C A[ li.

F..

r

2

1')

;:;

C~1mll-

où /II = ma..ese de la Terre rn = 111élSSe du véhicule spatial r = distance du centre de la Terre au véhicule u. = lIr Nous obtenons l'équation différentielle

d2u Cl\1 --:-2 + li = ---,2 l/8

A

(12,38)

11

Où la partie de droite est constante. La solution de cette équation difTérentielle s'obtient en additlonnant la solution particulière fi = CM/112 à la solution générale Il = C cos (8 - Do) de l'équation, homogène correspondante (c'est-à-dire l'équation obtenue en posant le membre de droite égal à zéro). En choisissant l'axe polaire de façon à ce 4'Jlle eu = 0, nous écrivons

FIgure 12.17

( l2.39) \ \

\

L'équation l2.39 est l'équarion (l'une sectton C(lui(/ue (ellipse. parabole 011 h)'perl)olf') (Ians les coordonnées polaires r et 8. Lorigine 0 de coordonnées, (JIù est située au centre de la Terre, est un foyer de cette section conique, et l'axe polaire est \UI de. PS axes de symétrie (figurp 12.17). Le rapport des constantes C et G 1\1/,,2 défiuit Z'(,'Xcelltrl(:ité e
\ \ \ \ \ \ \ \

\

conique. Posons \

Cll2 e = C/!"[11}2 = C At

\

C

\

\ \

Alors, l'équation

l2.39 devient

l CAf - = (1 r

A

(12.40)

,2

+ e cos

(12.39')

8)

1

Cette équation représente trois trajectoires possibles. 1

1 1

1 1

1

1 1

1 1

1. e

> 1, Ou C > CM 1/12: lieux valeurs, 0) et -

(le l'angle polaire, définies par cos 01 = -c Atlle Il2-, annulent le membre de droite de l'équation 12.39. Ces deux valeurs rendent Lerayon vecteur r Infini: la section conique est une hyperbole (Agtlre 12.18). 2. e = l , ou C = CM Ih 2: le rayon vecteur devient Înnni pour () ~ 1801;>; la section conique est une flamboie. (Jh

/ 1

1 J 1

1

1 1

FIgure 12.18

n, Nous supposons que les \~tlrl!uJeS $p'atJ(\~ eonadërës soœ seulemeat
Copynghted ma nal

3.

1. ut! C < C 1\11/12: le rayon vecteur restt' fini p()llr toul 8; la section conique t'st une (.,1111).\'('. Dans le ("41$ particulier où e = C = O. la longueur du rayon vecteur est constante ~la section ('()niqllt' est lin cercle. F;

<

Calculons maintenant le constantes C et C AIl h~.(lui caractérisent la trajecLoire d'un vai eau spatial à partir de sa position et de sa vitewe .UI délmt de son vol libre Supposons. comme c'est généralement le cas, (l'It' 1,1 !'>I!.lst' pn)pulsée de son \'01 a été prozrammée de sorte (l'le. lorsque It' dpnlit>r tstagt' de la fusée dt' lancement st>COnS11111t>, la vitesse du véhicule t'st parallèle à la surface de lu Terre (r.~llre12.19). Autrement dit. suppo!>on (l'Il' le véhicule spatial commem ..'e ~tvoler llhremeut au ommet J\ de sa trajectoirl?i Appelons l'Ille rayon \ ecteur el vola vitesse du véhicule au début de son vol libre. On relnarcLuc que la vitesse e réduit à sa composante t ransversale eLdonc 'lue Cn = ru8o. NOliS souvenant de l'équation 12,2ï, !leUI" exprimons comme suit le moment cinétique par unité de masse h :

1212 Avpllcaltoo il ta mécanique spat.ale

\'ol hbw \

l'ui de b propuI.S1DD

Llna.·llll 'fit

Figure 12.19

( 12,41 )

Cette valeur de Il permet de calculer la constante C!l1 /112, Le calcul de cette constante se simplifie par l'usage de la relation obtenue à la 't'ttion J 2.10: C.'I = gR~

( l2,30)

est le r,lyon de la Terre (R = 6.3ïX 106 Ill) et g e ( l'accélération Wa\;tationnelle à la urface de la Terre. La con tante C s'obtient t'Il po. ant 8 = 0°. r = rll dans 12,:39,

011 R

c = .];__ ru

C.\I .., 1,-

(12 42)

Le remplacement de Ir selon l'équation 12.-41 donne faciJenl ent C l'Il fèH1C· tion de 1'(1 el de Cu. Calculons maintenant les condltions initiales COITe rpondant à (·hHC111l(> des trois trajectoires fondamentales indiquées ci-dessus, Considérous (l'ah()rcl la trajectoire purubolique. Dans 1'6quution 12.-12. I)osons C égal à (; AIl j,2 et substituons Ir donné J)UJ' l'équation 12.41 dans l'équation 12,-42. Isolons Oc, pour obtenir

2G.\1

Nou pouvons vérifier facilement qu'une valeur plus grandt> (It> la \ itesse initiale correspond ~,une trajectoire hyperbolique et qu'une valeur plu!I petite correspond ;1 une 1 rajt'(,t!lirt> elliptique. (:0111111t> 1.1 valeur elt' L·.. , obtenue I>our la trajectoire parabolique, est la plus petite valeur l)our laquelle 1<.> véhicule spatial ne revient pas à SOIl point de départ. elle est appelée iitessc de libération, Donc. n utilisant l'équation 12.30. nous obtenons 2Gf./

( 12..t:J)

IIU

Bernarquons que la trajectoire sera 1) hyperbolique lique si Vu = VIlt. et 3) elliptique si ru < f'U!'"

ï.

tl:OU!l

étudrerous II."LUK'('Ult'1I1 ()bllqllt'

:1 III secuou

si

t'II

> VIII" 2) paruho-

13.9.

Cop

705


12 13 LoIS de t
Par aiUeul'S, CO = (1 - ro_ Delle, I)l

= (BC)2

= (BO)'il

planetaire

- (COr = aS

-

(Cl -

707

ro~

l,! = ro(211 - ro) = rart et b=~

(12.47)

Les formules 12.46 et 12.47 indiquent que le demi-grand axe ct Ledemipetit axe de J'orbite ont respectivement égaux à la nlo)'-enne arithmétique el il la Lnuyenn(> géonlétrique des valeurs maximale et minimale du royoll vecteur. U Ile fol$ 1'0et ,-. déten niné , on calcule les longueurs des demi-axes

et

011

porte ce. valeurs dans la formule 1:2.45.

*12.13 lOfS DE KEPLER DU MO"UVEMENTPLANÉTAIRE Les éqlU\(jOll$ régissant. le mouvement d'un stlteiUte terrestre permettent de d-écrlro le mouvement de la LUlle autour de la Terre. Dans ce cas, (''ependant, la litasse de la I..une n'est pas llégUt,reable comparativement il. la masse de la Terre, el le résultats obtenus ne sont pflS précis. Ln théorie développée dans te seebons précédentes s'applique aus i à l'étude du 1110UVCt11cnt des planètes autour du Soleil, Bien qu'on introduise une autre erreur en négligeant les forces qu 'exerc nt les planète J'un sur l'autre. l' IPI)roxÎl11atioo obtenue est excellente, En fait. avant même que Newton formule 'U théorie fo0 dam entale, l'astronome allemand [obenn Kepler (157J-16.10) avait découvert les propriété exprimées par l'équation 12.39, dan laquelle A-l représente la masse du oleil, el par l'équation 12.3.'3.en observant le mouvement des planètes. Les trois lois de Keplt'"r (1" moucement }Jlaffétatre sont:

1, Chuque planètf" décrit une ellipse, avec le Soleil.à l'un des fa)' rs. 2. Le veel eur l'oyon t racé (lu Soleil à une planète balale des aIre. égales en

d(\

ti~ull).s égaux,

3. Le carré de J:\ période d'une planète est propornonnel (.lelni.gt~uIÙ ~\Xede son orbite.

al!

cube du.

La l)r mière loi énonce un cas partic:tÙier du. résultat élal,.li 1\ la section. 12.12. 1..'1 deuxtème loi exprime le fait que la \.itesse nrt-olaJre de (:ll~lq'le p]anèt'e est eon: tante (voir ta secdou 12.9). La troistème loi démootre les résultats obtenus ù la section 12.1~.

Voir le preolëm ~ 12.123.

Copynghted matena

PROBLÈME RÉSOLU PR"'12.9 Altitude madmalc

On lance un satellite dans une dirccüon parallèle à la urfsce de la Terre avec une vitesse de 36 900 kmIh à une altitude de 500 km. Calculez: a) l'altitude madmala du satellite; b) la période du satellite.

SOLUTION Altitude mredmale. Une fois lancé, le satellite est seulement soumis à la force gravitation.ncne de la, Terre; son mouvement est donc régi par "équation 12.39. 1 Gj\J -; = h2 + C cos 0 (l) a)

Comme la composante radiale de' la vitesse est nulle au point de lancement j\, Il :;;: r()o(). Le rayon R de If!Terre étant de 6370 km, On u ro = 6310 km + 500 km = 6810 km = 6,87 X lOS Il) 36,9 X ]OB m _ t>o = 36900 kmIh = 3,6 X l(fl s "" 10,25 X 1()3mis " = rouo = (6,87 X lW m)(lO,25 X ](fl mis) = 70.4 X 109 m:.!/s

,

\ J\ '

112 = 4.96 X )Q21 m4/s2 Or Gj\'/ = gR!!, où R est le rayOll de la Terre. Donc, C3f

C 1\1

= gR2 = {9,81 mls2}(6,37 398 X 10~

X 106 ln)2 = 398 X lOl2 m'/s2

11'.3/51- _

1

9

Jr2 - 4,96 X lQ2I tn4/sZ -

0,3 X 10

m

Ou reporte cette valeur dans l'équation 1 et on obtient 1

-= 0,3XI0-unl-1+CooSO r Au point A, on a 0

= 0"

et r = r(l = 6, 7 X 106 m. Donc,

1

6.81 X 106

(2)

1)1 :;;;;;80,3

X 10-9

1

111-

C = 65.3 X 10-0

+ C cos 0"

I

In-

Au point A'. le point le plus éloigné de la Terre, () :;;;1 0". Léquariou 2. permet de calculer la distance correspondante rI, soit 1

- = 80,3

X

10-9 m-I

+ (65,3

X

10-9

In-I) COS

180°

ri

ri"" 66,7 X I()II m = 66 700 ku) Allitude maxunale = 66 700 1<11'1 - 6370 km ::::: B

" J l'(~ri(ldl·. l\ ct il' étant respectivement

elliptique. on calcule le derni-grnnd

Q,X(?

Ii(I

4 lil t 111

~

le périgée ct l'apogée de l'orbite

et le derni-petit a;~e ù raid" des 6(lua-

tions 12.46 et 12.41, On obtient

a = t(r() + "j) = i(s.s7

b=

~

+ 66.1)(101'1)ln = 36.8

= YfS.87)(66.7)

X J{)II ln

= 21.4

2'1Tnb 2,"(36. X 1()6œ)(21,4 X lOS ln) '7'= Il 70.4 X 109 m~/s '7' == 70,3 X I
708

X

X 106,1)

lO~ru

Il) " .~

1

111111

...




712

Clnëflque des particules: dewuèmg 101 de New10n

On ft observé que, durant 011 deuxième passage rapide à proximité de la Terre, là sonde spatiale Calilée avait une vitesse de 14,1 km/s lorsqu'elle était à sou altitudc uunhnale Je 303 km au-dessus dl' hi surface de la l'erre, Calculez "excentricité de la b"ajectoÎI"f' dl" la sonde durant cette partit> de son \ 01. 12.100

12.101 On a observé que, lorsque la sonde spatiale Galilée était au point de sn trajectoire le plus proche d" 10, un des satelllres de la planète' Jllpir('r, elle ftait lt lille distance de 2820 km du centre Jt' 10 t't avait une vitesse de l5 km/s. Sachant (IUf' la

de Io est égale il 0,014 96 foie; la masse di' la Terre, déterminez l'excentricité cie la trajectoire de la sonde lorsqu'elle s'approchait cie lo. I1Hl'''~(",

B

A

Un satellite> décrit une orbüe elliptique autour d'une planète de En désignant n:specth emeut par fo et ri Jell valeurs minimale et maximale

12.102

masse JI, de 18 dJStlU1CC r du satellltt:' au centre dl' la planète. démontrez fJue 1 ro--!-----

r,

~ +

~

Figure P12.102

OÙ

1

;'-:::0

2C.\1

112

Il est le moment cinétique par unité de masse du satellite . •

12.103 A la coupure du moteur prineipal lors de S0l1lrClZièH1C vol. la navotte spatiale Disoovery était sur une orbite elliptique d'altitude minimale de 64,~ km ct d'altilude maxtmsle de ,541 km au-dessus de la surface de la Terre. achant qu'au point A la navette avait une vitesse Vu parallèle à la surface de la Terre et quc la navette il été transférée sur une orbite circulaire lors de son passage au point B.

calcule? : a)

la vitesse Vo de la

b)

l'nccrotssernent de

navette \ileSSt'

en A; nécessaire en

B [}Our placer 1:1 nuvette sur

l'orbln- ctreulain-,

64,b

Juil _'

L

Flg.ure P12.103

Ullt: sonde spatiale décrtr une orbuc circulaire uIIlOllr d'ullt! planëtc de rayon l~, L'altitude de la sonde au-dessus de la surface de la planète est crl{ et su 1.2.104

i---325

A'

x IO"lun----l148x IWkln

Jo-

B

A'

vitesse est Co' Pour placer la and sur une orbite <>IUptiCJl1(, qui la rapprochera de la planète, sa vitesse est rt'lclnite de no il f3t)(h où f3 < l, par l'allumage de son moteur durant lin bref intervalle de temps, Déterminez la plus petit, valeur dû {3 admtssible sÎ la sonde ne doit pa,> s'écraser sur la surface cie la planète. co

12.105 Lorsqu'il décrit unr- orbite elhptique autour du Soleil. un vaisseau spatial atteint une distance maximale de 325 x 106 km du centre du Soleil au point A (appelé apside supérieure) et une distance rniaimale cie 148 X 106 km au point B (appelé apside inferieur('), Pour permettre au vaisseau dt" se placer Sur une orbite f'lIiptiqllf' plu." petite' avec npslde supérieure en r\' et apside inférieure en B', où Ar et B' sont respecnvemeut à 2&J,ï )( 106 km el li 137,6)( 1061011 du centre du Soleil, sa vitf se ('St d'abord réduite lorsqu'tl passe par ,4, puis réduite de nouv eau lorsqu'il

passe par B'. Sachant que la masse du Soleil vaut 332,8 X 103 fois celle de la Terre, calculez: 1-+--2G-1.ï x 1ofllun --+------1 l3i,!) x IO"km

Figure P12.10S

a)

la vitesse du vaisseau spatial en 1-\ ;

b)

les diminutions rpspectivf's de vitesse dl' vaisseau spatial en A et

1'11 B'

nécessaires pour qu'il se place sur l'orbite elliptique désirée,

Copynght d ma nal

12.106 Une sonde spanele doit être plneée sur une orbite circulab'l' autour de la planète Ma rs. Lorbit:e doit avoir un myon de 4000 Ion et être située dans un plan spC~6 di1f6rcul du plan de la tro.Jectoire d'approche. Lorsqu' la sonde ull lut 1\, 10 point de SR trajeetolre origi.nale 1 plus proche de ~f l'S. on ln place ur tint' premip~ orbite de transfert elliptique Cil diminuant S".J. vitesse de Au" C"ttl" tH blte l'amène au point B avec une vitesse n enement réduite. Là, on la place sur une deuxième orbite dt' transfert située dan le plan désiré en changeant ~Jdir clion drsa vitesse et en réduisant de nouveau sa vitesse de Âvs. Flnalement, 10'-';(111(,la sonde atteint )e point C, 011 lu place sur J'orbite circulaire désirée en diminuant a vit S'i" de II le. Sachant que la 11l4lSSC dt> ~Iars vaut 0,1074 fob œlle de 1.. Terre, <"ni n- : a) en i\, b) 011 8 ; c) ("'11 C.

ProbMmes

713

Tmjecto.lte d'o(lprot:"hl'

Deuxl.è.ne orbite (Je trm,"sfe:rl

PI'

llllt'I\:

orutt<' de lmosfl'rt Fig ure P12. 106

12.107

sonde spatiale du problème 12. 106. aehant 'IU(> rA "'" 9 X l@ km el qu'on diminue ln vitesse de la sonde de 440 rnl~ lON/IUt· corre dernt èr pas....• par f\. ùt: tf'l'tTI inez: a) la distance clu centre de ~lars 3.\J potn t B ; b) les dtrninuûons d('! vitesse de la ronde respectives nécessaires en B ct en C. OÎI

tfl

12.108 F.valU!;t; le l.ül1'1p· mis par la sonde sp3t1ale du problème ],2.100 pour nl1er cl ~ 1"\, it B sur Sil J>'\l!'lnièrfl orbite de transfert, 12.109

Le vaisseau s-patiaJ Clemeudne

décrivait

d' ltiLlIcl _.minlmnle hA ... ..,00 km et d'rutit\ldc madrnale IlB

tlll€'

orbite elliptique

2940 k,,, all-dp~su:, de le surface de ln LIUIl'. uehant que le rayon de ln Lune est dl' 1137 kin ct f1UC' 10 masse de lu l..une vaut 0,01230 fois celle de la Terre. calculez la P tinde dl! vaisseau spatial. sa

Agure P12..109

Copynghted matena

714

l;lnitIIQIJ@ "je:; p3.rtICl,loS oOU;oleOlij ICM0(;

Nu.' ton

12.110

Une sonde spatiale sur une basse orbite terrestre est placée sur une orbite de transfert elliptique à la planète Vénus. En sachant 'lue la masse du Soleil vaut 332, X Idl fois la 1l1QSsede la Terre et en supposant que la sonde ne soit

soumise qu'à la force gravitationnelle du Soleil, déterminez la valeur de tP qui définit la position relative de Vénus par rapport à la Terre à l'instant du plaecmeut de la sonde sur l'orbite de transfert. Vénus

Vénus au placement TCITll

nu

fllaœnwnt

Flgure Pl2.110

12.111 Des observations relevées durant l'apparition en 1996 de la comète Hyakutake ont permis de conclure que la trajectoire Je la comète est une ellipse très allongée d'excentricité e = 0.999 8ï approximativement. Sachant que, lors de ['apparition de 1996, ln distance minimale entre la comète et le Soleil était

de O,230Re. où Re est Ifldistanc€> moyenne du Soletl à la Terre, calculez la période de la comète. 12.112 Selon des observations efl'ec.:tué-esdurant Sou premier passage rapide à proximité de III Terre. le véhicule spatial Calilée avait une vitesse de 10,42 km/s lorsqu'tl a atteint sa dis tao ce minimale de 1330 km du centre de la Terre. En sup-

posant que la trajectoire du véhicule spatial était parabolique, par le véhicule spatial pour aller de B à C sur sa trajectoire.

calculez 1('temps mis

7.'330 kil'

Figure P12,112

12.113 pOUT

Déterminez

le Lemps mis par la sonde spatiale du problème 12.99

aller de B à C. 12.114

Une sonde spatiale décrit une orbite circulaire dt>l'ayon

'1 R

avec une

vttcsse 1>0 autour d'une planète de rayon R et de centre O. Lorsque la sonde passe par le point A, on réduir sa vitesse de 00 à f3 v(). nil f3 < l, pollf lui permettre de se placer sur une trajectoire d'écrasement. Exprimez.en fonction de net fJ l'angle AOB, où B désigne le point de chute de la sonde sur la planète.

Copynghted matenal

[lI'( blèrnes

12.115

Avant la mission A[)QUo"crs la LUlle, plusieurs véhicules spansux Lunar Orbiter ont été utilisés polir photographier la surface lunaire atm de se renseigner sur des sites d'alunissage possible s. La trajectoire était ajustée à la rUl de chaque missiou afin que Il' véhicule spatial s'écrase sur la Lune pour étudier plus profondément les caractéristiques de la surface lunaire. La fig\l',(" P12.115 représente l'orbite clliptitlue dl: Lunar Orbiter 2, Sachant que la masse de la Lune vaut 0,012 30 fois la 1l1a5Sede la Terre, calculez la réduction de la vitesse de l'orbiteur

au point B de sorte qu'i) touche la surface lunaire au point C, (Sllgg~"i()11: Considérez que le point B est )'apog~e de la trajectorre de chut!" elliptique.) 12.116

Lorsqu'il s'approche de la planète Jupiter,

lUI

vaisseau spatial libère

une sonde qui doit entrer dans l'atmosphère de la planète ail point B à une altitude de 450 kin au-dessus de la surface Je la planète. La trajectoire de la sonde est une

hyperbole d'excentricité e == 1,031. Sachant que le rato" ct la Tl1<1S c de ]upitf'r sont respecüvemcnt de 71,492 x 1cf} Ion et
1700 km

J6()U km

Figure P12.115

ïO,8 x 1(}I km

FIgure P12.116

Une navette spatiale décrit une orbite circulaire à une altitude de 563 Ion au-dessus de la surface de la Terre. Lorsqu'elle passe par le point A, elle allume son moteur durant un petit intervalle de terllps pour dimlnuer Sa vitesse de 152 I1VS et commence à descendre vers la Terre. Déterminez l'angle I\OB pour que l'altitude clf' la navette au point B soit de 121 J.'IlI. (Sllggl'~vtion : Considérez qUE:! le point A est l'apogée de la trojectoirr dl' descente vlliptiquc.) 12.117

563 km

\

R = 6.170 km Figure P12.117

C p n

715

716

CfnéCJque des panlCtlles. deuxième 101 de Newtol'l

12..'18 Un w.ell._ite décrit Wl0 orbite ellipUqtlG attl'Our d'une planète. En tlé.,>ignaut. par ro et rI les dishulces oonesptln(lant respectivenlellt (Ill périgée et il l'apogée de l'orbite, ,d~JIlOn:tNt.que r'~rœsion de la oo\lrbure de ('orbite il chacun de ces dou,,\:points «:st ~=

!(t~+~)

A,'

Figure P12.118 - Pt2.119

12.119

&prime2.l't·.:n:e-nt.rieit0 S de l'oibite eUipti.qu~ décrite par un satellite autour d'une planète en fout.'ti.ondes distances ro et r1 correspondant respect:ivoolem au périgée et à l'apogée de l'owite. h) Utilisez le réstillat obtenu A la. partie a et les données fuunùe.<; au proolàme l2.111, où 14: ... 149,6 X lot' km, pollf calculer à quelle dist.'l.uce ma.'Ù'male appro:dtn.."ltive du Soleil pMSe la œmëte

a)

Hyabltruœ. 12., 20 D~ln(}uttln 'Iut! l'~prussiôfl du illoment einé'tique par unité de masse I~d'un ~œllii;e déc;rivru:ltune orbit-e eDq>tiq\l:e de demi-grand a,w ('l et d'e.1l:centricité s r~utou'f d'une planète de tuasse i\{ est

112.121 Déduisez lu trclsdèn1e loi de Kepk>r du mouvement pkrnémtre à plmir dGS équations 12.39 et 12..45.

Copyrighted rnaterial

Ce chapitre traitail de La deuxième loi de Newton et de son application à

l'analyse

dt!

mouvement des particules.

En désigtlant l,ar tll la masse d'une particule, Ilar l:F la somme, ou la ré ultante, (les forces appliquées à la particule. el par a l'accélération de la pruti(.'Ule relativement à un repèr« d'inertie ou galiléen (section 12.2), nous <'''''011 obtenu

IF = ma

Df!uxleme

101de Newton

( l2.2)

En introduisant ln quantité de mouvement d'une particule (section 12.3), nous avons \'\1 que la deuxième loi de Newton s'écrit au si sous Laforme

IF = L

Ouantnâ de mouvement

(12.5)

qtû exprime que la ré.~t~Jfa"tetl('~'forr:e-8tIT'pliqutt'..s (l urte purncul« aIl tfJIU de c(J.rlntil,n de la Cjllat.tttA cl,' rrulUve'l1wnt dt> la poninll('.

C$t

égale

Léquution 12.2 n'est valide que si l'on utilise un syslèrrle d'unités cohérent. Avec les unités SI. les forces doivent être exprimées en newtons, les masses en Idlognl.mmes et les accéléradons en m1~(section 12.4).

Systeme d'unités cohérent

Pour résoudre un problème sur Je mouvement (J'une particule, l'équation .L2.2doit être remplacée par des équations contenant des quantités scal...dres (section 12.5). Lutilisatiou des côfnposn11tf!S n'ctarlg(~lnires de F et de a nous a permis d'écrire

Equations du mouvement d'une parucute

~F ~ , = ma ~

IFy = rtla y

IF = '/IQ_-

L'ut:ilisat:iou de composante» tangctlNeUe et do

IF, = lr1dt

nO/lMlt: 1)2

!F = lU-P

•

(12.7)

a donné ( 12.9')

It

00 peut remplacer (voir section 12.6) les équations du mouvement d'une particule par des équations semblables aux équations d'k]uilibre utilisées cn statique si lm vecteur -'lIa de grandeur Til0, mats de sens opposé l celui de l'accélération, est ajouté aux forces appliqué-es à la particule. On dit alors que la particule est en équilibre dyl1(lfniqilc. fais. pour des raisons d'lmifonnité. nous avons OlutiOllIlé tous les problèmes résolus en utilisant les équations (lu mouvement, d'abord avec des composantes orthogonales (PR-12.1 à PR-12.4). puis avec des composantes tangentielle et normale

Equilibre dynamique

(PR-12.5 et 1)1~-12.6).

Dans 10 deuxième prune du chapitre. nous avons ùéfinj le nlQf/lent cit,t!tlt/Ué IJo d'une particule par rapport à un peint 0 comme étant le mement 1,ar rapport à 0 de la quantité de mouvement m ,r de la particule

Moment emetique

(section 12.7), soit Ho=rxnlv

(12.12)

717

Copynght d ma nal

1

718

Cinétique déS patl ICUlés deuxième

el nous avons remarqué que D(} est un vecteur perpendiculaire contenant r et IIlV (flgtlre 12.22) et de grundC'ul'

101de Newton

IJ

H(J '11 \

= r nI

.1U

plun

( l2.l~)

sin t!J

En décomposant les vecteurs r et fil' en leurs t'o,nposllntt>~ rectangulaires. nous avons exprimé h~ moment cinétique He) par le dét erminnnt •

1

JIo =

A

tl! u,

•

Figure 12.22

•

J Y

k

"I •vy

"Il:

--

1

12. l ')

1.. cas d'une particule 5" eléplaçant d.uis le plan x!J. nous avons : = lI,; = O. Le moment cinétique est perperulrculaire au plan \y et ext complètement défini par sa gnmdeur. D'Ott DiUlS

lio = 11: = Taux de variation

du moment cinétlque

"1(tVy -

(12.16)

yu,)

Le calcul du tUlLX de vartatîou H() du moment cinétique Hr) et l'applieulien de la deuxième loi de ~c\\'lou ont douné l'ég~ité (12,1~) elui stipule qlle la ,(/01111/1(: des moments par rapport à 0 J('S forcefj a"l,1itltlt{c~ à ulle particule est égale au II1U\' de uariation dit t110Tlfellt c;rrétiCI"C dl' '(1 plzrtiCLt/(' par rapport à O.

Composantes radiale et transversale

Dans de nombreux problèmes sur le mouvement duns le !>11111 d'un" particule. u est commode d'utiliser les composantes radiale l·t Ir(111'( ersale ~!> ectian 12.~.PR-l2.7) et d'écrire les équations ,~

~F,= '11(" - r 0:') •• • = 111(r8+ 21'0)

(12.21) (12.22)

s», Mouvement sous l'action

d'une force centrale mv

Si la seule force appliquée à une punlcule i' est une l'lIl'Ce F uri antée vers le point Iixe 0 ou dans le sens contraire on dit (PIC 1,1 particule se déplace sous l'aaion (1 '0 Ile !flrce Ct·"t~nlLl (section 1.2.9), Comme (~1()= (l à tout instant, l'équation 12.l9 donne H() = (}pnllr tonte valeur rle t et
no = constante

(12,23)

Nous al,ons conclu <{ue 1· "IOlltcut cinétiou« d'une panicule ~e ({épJf1çout SOIl~l'action d'une [oree ('1 utral« est constatü Cil {!.rUllt/('ltr i t "u tlirectifnl et 'lI,e ln particule se déplace duns un phltl perpendiculaire au vecteur lIa,

L'équation 12.13

1I0US d

donné la relation ( 12.2'5)

Figure 12.23

duns le cu.s (lu mouvernent d'une p.u tieule SO\l~ l'uctiuu cl' LIne force centrale (figt!fl' 12.2.3) Lutlllsaëon des coordonnées polaires et de l'équation 12.J6 tl aussi donné

,.z iJ = f,

(12,27)

1. est une constante représentant le moment cinétique !)ur unité dl' masse, JI nIt/l, (le lu purticule. l\rCULo; avons uhservé (figun' 1.1_~4)(lue l'njr~·

OÙ

Figure 12.24

inllnitésirnale

cf~\l)al.~\'éepar Je ru)'on \ ecteur

or lorsqu 'il tourne

C p n

de (10 est

Re~U'T\é• Cnapflre 12

égale il ~r2 ,jO et donc que le membre lle gauche de J'équation 12,27 représente le double de ln citcssc aréolatre (LNdt de la particule. Donc, la vitesse arëolatre d'une 1)orlicule se dé/llaçant SOU$ l'ad lot! d'une force celltrlllc: ('st constante,

Le mouvement orbital de t'Orps SOIlIlLÎ!i à une force ~rêlvitatiollnt!lle est une application importante du mouvement sous l'action d'une force centrale [sectton 12.l(»)' Selon la !t,i cie III glllvitation uniccrselle de Neunon, deux particules à une distance r l'une de l'autre et de masses respectives ~1 et 'TI s'attirent l'une l'autre avec des forees égales et opposées, F pt - F, orientées le Jong de la droite qui joint les p'Uucules (fig\lrE" 12.25). Là grandeur commune F de ces deux forces est donnée par la r -Iation

F= G

l\I",

,

r-

= gR2

de Newton

( 12.28) /01

(lans laquelle C est la constante de gr(lvilati~)IJ. Dans le cas d'un corps de luas. e lIt SOIUllÎS à Iil force gravitllti()llnell(.~ (le 1a Terre. l'ex'Pression du produit Cl't, ()l'l .\1 est [a l'liasse (le la Terre. est G.\f

LOI de la gravilatlon universelle

Figure 12.25

(12.30)

où g ;:: 9,81 ml;' et R est le rayon de la Terre.

Nous avons démontré à la section 12.11 qu'une particule se déplaçant sous l'action d'une force centrale décrit une trajectoire d(\flnie par l'équation

Mouvement orbitai

différentielle (Pli

n2 17

d

+ Il =

F tu J""t" 11"

(.12.37)

dans laquelle F > 0 correspond à une foree d'attraction et ft = Vr. Dans le cas d'une particule se déplaçant SOIIS l'action d'une force gmvitationnelle (section 12.12), nous a'vons remplacé F par l'expression donnée à. l'équation 12.28. Eu mesurant (i à partir de l'an- 0,\ Joign8flt le foyer 0 au point A de la trajectoire If>plus proche de 0 (figure 12.26), nous avons trouvé que la solution de l'équution 12.37 e..st

-+----

Figure 12.26

1 -=ft= r

CAl " +C('os8

J,-

(12.39)

C'est l'équation d'une conique (l'excentricité e = Cl,2/C.\f. 1.a conique est ,m~ ellij>sc si B < 1. une parfll){){C si $ "'" 1, et une I11J1Jcrnolc si & > 1. Les eonstantes C et lê se déterminent il partir des conditions initiales. Si la particule est rrojt:!t~e (In poin] ,\ (8 = 0°, r = rI)) avec une vitesse initiale v() perpendiculaire il 01\. U(lUS a\'OIlS" = "01)( (PR-J2.9). Nous avons aussi (lénloutré clue If!s expressions de Lavitesse initiale correspondant respectivement à une trajectoire l"ll"'
(12,43)

= GAf

(12.44)

et clue ln première de ces valeurs, uppelée ciiessc (le lil,ératlon. est la plus t)~titevaleur de tio lx)ur laquelle la particule ne reviendra pas :\ son point de départ.

VItesse de liberahon

719

720

etHel/que des piiItlcu1es deloXJème Qf de Ne-...ton

Période

lOUS a\1>OS appelé péniXie Ta'Une ptaJlète ou
.

et t)Ù a et b rei)re;entent respeetivemerit le (elui-gz:anù axe et le demi-petit axe de l'orbite. NOliS avuns de plus dérnontié ~ue ces demiaxes SOl1t respectivement ~gallXà la Inoyt"nne arithlnétique e ~ la Inoyenne ~éométrique des valeurs maxinli:Üe et minimale du ravon vecteur r. (~Îll. = "'OCtl

Lois de Kepler

Dans la dernière section ûu èhapitre (section 12.13), tlOUS uvons nié.Sent~ léS lotS de K.ef.,Ùtr,1,1 IUOtIVl'TIle1lt plnJWtaire t~tnous aVI.)IIS1l1onf-œ (lUI;' ces trots It>isempiriques, obtenues par (les observations astron()Il"llqut's a.nt~rieure$. (.'onnnnent les lois du mouvernent et la loi de la gra\>itafi()h (le Nt'\\-1
~",.,...~

MOTS CLÉS

Con~tant~d~ J;ra\.itation Deuxième loi dt.' Nrwton • E\"luilihre d>11alluqut' ExœllmCltti d'une, seetton (:("lniqU(' focr(.'e ("('utratt' Force (j'inrrtif'

Force gra\1tationnelleLoi dt- Kepler Loi de la conservation d<>la quantitéJt. mouvement L()i c::ir( nIai 1'('

~ant:il~ de mou vornent

R('p(-}"(' dïnf·rtie, f!âlilA'rl

4"""": de surfaCt' ou \ltesse

d(.'ibaJayagt' dl.' surface \rlh's~(,dt' IilWratton

Copynght d ma nal

...


Une voitnre de 1360 kg descend '1I1~'(."t)h'd'luit, ilit'Iillllisoll ..Il:' 5° li une ,~tc'SSf'cie ~) ~'111ll) quand 1(' conducteur commence il frl'hlf'l', t'v ll"i app11cluc une foree de freu1uge totale de 5 kN à la voiture. Déterminez ta distance parcounlf' J>Hr la v()i~Ilr(' jllsCJII'à l',\rr(ll.

12.122

Le bloc ...\ Il une 1I1US!i(.' dt 30 kg. ct le bloc B L111(.' IHaSSe.' dL' 1.5 k~. Les coellldents dé lrottemeut entre toutes les surfaces planes dt> contact sont J.L, = 0,15 el }.LI. -= 0.10. Sachant quI" (J = 30° ('1 qUI' hl ~ralldcur dl' lu force P UI>pliCjllél' au bloc 1-\ est de 2.50 N, calculez: a) l'accélération du bloc 1\ ; b) la tension dans ta corde.

12.123

Figure P12.123

12.124 1..('bloc r\ a unr- masse dr- 10 kg l't les hloc'" B l·t C (1111 chacun 1111(.' masse de 5 kg. Sachant (lue- 1(>8blocs sont Initialement au rpros el (jlll' IJ SI' déplace de 3 ni en 2 s, d(tt .rmtm-z : a)

la ~rJ.ncJelir (le la force P:

b) la tensîou dans la corde .4.0 Négligez la masse des poulies ('1 If' Irottement des axes.

12.125

Un bloc B de 6 kg est an r<,po:., C0I111Jlt'1(· montre- lu

n~lln'

PI2 12.=5,

Sur la surface supérieure d'un eoin A dl' 15 kg. Eu uégligeaut le Irottcmeut, calculez quels sont, Immédiatement après la lihératlon du sysli'rnf' clll r('pos: a) l'acc~16nltloll dt.' i\ : b] l'accéléranon cie' B par rapport n .\.

montagnes russes r(:!prés(.'ulél' à la flgur' P l2.126 élit contenue dans un plan vertical. 1.(' tronçon fil'" voie ('Ill FC' A l·t B ('st r('('lili~l1f'f·t 12.126

La voie:

Jt.'S

horizontal, tandis 4U4:' Il' tronçon fi gauc:t.1:' dt:' f\ t>t celui ù droite de B ont les rdyons de courbure respectifs indiqués. Une \ nimre l'oule à 72 knll1l lorsqllC' 1(> frpins SOIlI appliqués brusquement, CC quJ fail glisser les [OUl'S lIt' la volture sur la voie (J.Lj. = 0,25), E\'a1uE.'7.là décélératien initiaIt' de la \ oit urt' si les frC'ins sont rippliCJIl~S 10rsQLII..· la vouure. a)

b] c)

Il

c

Figure P12.12A

15 kg

_-\

a prf'sclllt' atteint t\; roule ent rt" A ct B; est juste nu-delà dl" B. Figure P12.125 p

:10 ln

fi'

Figure P12.126

1:; III

/ 721




Cinétique des particules: méthodes de l'énergie et de la quantité de mouvement

La boule blanct\O du joueur de billard vient IUilO de frappef une autre boute el la plupart de

601'1

énerg,e el de sa quatlblé de mouvement a lité transtétée a cel)e.d. Considérer "énergl8, la q\J8IItlté de mouvement ou ces det."c grandeurs d'une particule pérmel souvent Cfétudler elflcaoernenl

son mouvement

726

C,I'Ot'QJO (le- car1JQJlQl; mOlhooes OCtllinètl; Il ot co la q'~û~lJ.t~ou f' Cl' .t;lne~

13.1 INTRODUCTION Au chapitre précédent, nous avons résolu la plupart des problèmes sur le mouvement de particules à l'aide de l'équation fondamentale F = 111 a. La connaissance de la force F appliquée à une particule nous permettait de déterminer l'accélëration a, Il partir de quoi nous étiOJ1S en mesure de calculer la vitesse et la position de la particule à tout instant en appliquant les lois de la cinématique. Lutilisafion de l'équation F = frl fi et des lois de la cinématique nous donne deux autres méthodes d'analyse, la Illéthode (Ill travail et (le l'éllergic et la nlétlUJde de l'impulsion et (le 1.,/ quatltiti rie mOUOO171eTlt. Lctlr avantage est d'éliminer le calcul de "accélération puisque la méthode du travail et de l'ëner rie relie directernent la force, la masse, la vitesse f"t le déplacement et que la méthode de l'impulsion et de la quantité cle mouvement relie la force, là Il1a5Se, la vitesse et le temps. Nous considérons d'abord la méthode du travail et de l'énergie. Aux sections 13.2 à 13.4, nous traitons du troooiJ d'une force et de l'/llergie

cinétique d'une "articule et nous appliquons le principe c.lu travail et de l'énergie à la résolution de problèmes d'ingénierie. Les notions de puissance et de rendement d'une machine sont introduites à la section 13.5. Les sections 13.6 à 13.8 sont consacrées à la notion d'énergie potentielle d'une force conservative et à l'application de la loi de la conservation de l'énergie à divers problèmes pratiques. À la section 13.9, nous utilisons conjointement la loi de la conservation de l'énergie et la loi de la conservation du moment cinétique pour résoudre des problèmes de mécanique spatiale. La seconde partie de ce chapitre est consacrée au principe de Timpulsion et de la quantitë de mouoement et à son application à l'étude du mouvement d'une particule. Comme nous le verrons à la section 13.11, ce principe est particulièrement efficace dans l'étude du 1110UOC111elltill1pulsif d'une particule, où de très grandes forees sont appliquées durant un très petit intervalle de temps, Aux sections 13.12 à 13.14, nous considérons le choc central de deux corps. Nous montrons qu'il existe une certaine relation entre les vitesses relatives des (leux corps entrant en collision, aWlot et après le choc. Cette relation et la loi de la conservation de la quantité de mouvement totale des deux corps permettent de résoudre un grand nombre de problèmes pratiques. Finalement. à la section 13.15, nous verrons, pannl les trois méthodes fondamentales présentées aux chapitres 12 et 13, celle qui convient le mieux pour résoudre un problème donné. Nous analyserons comment combiner la loi de la conservation de l'énergie et la méthode de l'impulsion et de la quantité de mouvement pour résoudre des problèmes ne comprenant que des forces conservatives, à l'exception près d'une collision très rapide durant laquelle il faut aussi tenir compte des forces d'impulsion. F

1'3.2 TRAVAJl D'UNE FORCE dr

Définissons d'abord les termes déplacement et travail tels qu'employés en mécanique'. Considérons une particule qui se déplace d'un point A à un point voisin A' (figure 13.1). Soit r le vecteur position correspondant au point A, et la différentielle dr le petit vecteur joignant A el A'. Le vecteur dr est appelé déplaceflle11t de la particule. Supposons maintenant qu'une force F agisse sur la particule. Par définition, le travail de laforce F correspondant au déplacement dr est la grandeur dU, de sorte que

(13.1) J. Nous avons défini Il' tmvt\U ~ 10section 10..2 et nous ;lVCln$~ les pl'Qpriélé$ fondnmentales du 1:rn.....uJ d'une force nm sections 10.2 l't 10.6. Pour des misons pratiqltt's. nous reprMlons Îcllfo_, Figure 13.1

porties cie Qf'tte matière reliée.~ à 1<1cinétique de.~parlicule$.

Copynght d ma nal

Cette quantité est égale au produit scalaire de la force F et du déplacement dr. Désignons respectivement par F et ds les grandeurs de Laforce et du déplacement, et par (li l'angle formé par F et tlt, Selon la définltion du produit scalaire de deux vecteurs (section 3.9). nous avons d V = F lis cos cr

(13.1 ')

La formule 3.30 IIOUS permet au 'si d'exprimer le travail (IL' en fonction des composantes orthogonales de la force et du déplacement. soit (13.1") ,

Etant une quantuâ scalatrc.te travail se définit par une grandeur et un signe, mais n'a pas de dlrecüon. Remarquons (!llf' l'unité de travail e. t Pg.~eau produit de J'unité de force par l'unité de longueur. Dans le système d'unités SI, l'unité dt>travail est donc N . ln E't t'Ue se mesure enj()fAle.ç2 (J). Selon l'équaüon 13.1', le travail dtl est positif si l'anglf! cr esl tùgu el négatif si l'angle ex est obtus. Trois cas particuliers sont intéressants. Si la force F et dr ont lall1P111Pdirection, le travail dV se réduit à JI' ds. Si F ct dr sont de sens contruires, nous avons dU = - F tls. Finalement, si Fest perpendiculaire à dr, It>travail dll est 11111. Le travail de F durant un déplacement fiui de la particule de ,\ 1 Ù .t'\;! (figure 13.20) s'obtient en intégrant l'équation 13.1 le long de la trajectoire décrite par la particule. Ce travail , noté U 1-1. est donné par l'équation (13.2) (a)

Utilison l'expression 13.1' représente

la composante

(Ill

travail élëmentalre (IV et r~n)ar(lll()ns (Ille ex

tan tentielle F, de la force .. Alors,

(,11_2

peut ~trt' F,

exprimé comme suit :

u1_!!

=

f

i,

- (F cos a) ds =

f" - F, (Lv

~I

( l3.2')

SI

où la variable cl'intégratiol\.\

t'st la distance parcourue par la purticule le loug de la trajeetoire, Le travail U l-2 est représenté par l'ai re SCHIS la courbe obtenue en traçant Ft = F cos ex en fonction de s (fi~lu'e13,21). Si la Ïorce- Fest (I.sfinip par ses coordonnées ort}logollales, on peut utiliser l'expression 13.1" l>our exprimer le travail élémentaire. Alors, Ut_2 =

fA v, (Ix + FI) (II) + F:. (/::.)

(b)

Figure 13.2

(13.2")

'\1

où l'on intègre le long de la trajectoire décrite par IH particule. Travail d'une force constante dans le cas d'un mouvement rectiligne. Si une particule e déplace sur IU1e droite Ole l'action d'une force F de grandeur et de direction constantes (figure 13.3), la formule 13.2' donne VI

2 =

(F cos a) ~.\

(l3.3)

où cr = allgle que la force forme avec la direction {lu mouvement et 6x = déplacement {le Al à A2

2. I.R joule

(J 1 l'st

l'lInit~ SI CI',llIc~jl'~OUNfonn(> 111tscaniqut> (tmvai], ~nprgi(> poh'nnC'IIj', ~n('rgtf' cint!>ticjlle), rhimlquf'. ,slt'C'lnque 011thermique Hernarquons que, hien
formed'éllt'r~t',

o FIgure 13.3

728

Clt'lO:lqu& des parlJCVles nlÛlhooc:> do l'énergie el de la q ..anhle de

mouvement

Travail de la force de gravité. Le travail (lu poids W d'un C0t})S, c'està-dire de la force de gravité appliquée à ce corps, s'obtient en portant les composantes de "" Œ1l1S les équations 13.1/ et 13.2". Avec l'axe des !/ orienté vers le haut (figure 13.4). nous nVOI1S F" = 0, Fy = -'V cl F: = O. Donc,

dU = -\\' (Ly ( L3.4)

Yz. r\'-'1

_

ou

(13.4') où ~y ·t le déplacement vertical d A, il A2. Le travail du poids '\' e 't donc

L

égal au produl: (le "" ct (kt déplacement vertical du centre lie grouité du corps. Le travail est positif lorsque Ay < 0, c'est-à-dire lorsque le corps descend.

Figure 13.4

Hf'~q')n
\~~~~'t~~'m~'{ :(j) :Au 1

8

MW1VWI'M', ~

L~ 11\) )-1

Travail de la force exercée par un ressort. Considérons un corps A attaché à un point axp B par IIJl ressort. et SltppO, ()lIS fI' L~ le res ort ne soit pas déformé lorsque le corps est en .t\o (figure 13.50). Il a ~lé démontré empiriquernent que la grandeur de la force F exercée l'ar le ressort sur Je corp Act proportionnelle à la déformation x du ressort mesurée à partir de ta position Ac). Nous avons

1

: 1

F~

x

F = '/:0:

_lA

1 1

8

l'/'NVVV'VV 1 -1""1 1-1---(~---'~'\2

(Ji'!

(J

k est la constante du ressort, exprimée en Nzrn

011

3.5)

eu kN/m . i l'on utilise

le. unités SI3. Le travail de hl force F exercée par le ressort durant un déplacement Ïlni du COl1lS de 1\ I(X = Xl) tl A2(x = x:J s'obtient ptlr la relation ([(}= =F dx = -kx

U 1-2

= -['

(Ix

k" " (tA: .J., = lk ..2 2·\ 1

lk~·2 !!.\ 1

(13.6)

11

'\

t·",

--------

Remarquons cllie le travail de la force F exercée par le ressort sur Je corps (',~trO,fûtif IOl'~()lIP "z < '\'1. (" C'st-ô.-dire larst/ut' lé ressort raclent l'ers sa

position

(lIJ

repos.

Comme l'équation 13.5 est celle d'une droite de pente k passant par J' origine. If> travai] U 1-1. de F durant le déplacement
(13.6')

La fOrJtlule 13.6' mule 13.6. Figure 13.5

Travail d'une force gravitationnelle. ous avons \"\1 à la section 12.10 (lue deux particules (le 1l1ilS5eS respectives ~fet rI) situées n une distance r l'une Je l'autre 'atti rent l'une l'au: re avec des forces ég~ùe el oppo ées F et -}", orientées le long de la droite qui joint les particules. et de grandeur

F = C_\4,rt

.,

.

"

-

des ~lhliltion~ 8tatlquès. Dans des SlrulltlOllS d~'I1I\lIl1quCS, li ftlut InodJ1ier 1.a [onnule 13.5 pour tt:mr compte de l'Inertie du ressort. Cependant. l'erreur

3, La n:l11ÜOIlF

k.'

Il'est vrule

(tU.é

dllllS

lutrodune p.lr l'uüllsation li...1:1relation F k t clans. lu résolution tk problëmes de ciD~tiqua est r.pjbl~~t1'1IIIru.seJu ro~ùrl dl pl'tjt~ coiupanurvement aux alltrL'), massr-s 4'Jl IlIOU'''·IlI('nl.

Copynghted ma nal

Supposons que la particule M occupe une position Axe 0 et que la particule IfI se déplace le long de la trajectoire représentée à la Hgure 13.6. Le travail de la force F exercée sur la particule nl durant un déplacement infinitésimal de la particule de A à A' s'obtient en multipliant hl grandeur F de la force par la composante radiale dr du déplacement, La force F étant orientée vers 0, le travail est négatif et alors

133 EnS'llle ClnûllQu8 Il Ur\OI)ilfllc(ile PriJ'lOlpe du travail et de l'energ (l

1 1 1

1

NJ'lf1 . dU = -Fd,. = -C dr rLe travail de la force gravitationnelle F durant un déplacement AI (r = rI) à Az(r = 1"2)est donc

1

1

<)

_[2

-

U 1-2 -

l'.

~

r«,

/

rn

1

Ilni de

1

1

dB 1 /

GMtll d _ GA/ri. r-

729

-

r2

Cj\ITtl

(13.7)

r}

où M est la masse de la Terre. Cette formule donne le travail de la force exercée par la Terre sur un corps de masse nt à une distance r du centre de la Terre lorsque r est supérieur au rayon R de la. Terre, La prenlière des relations 12.29 permet de remplacer G 1\4.1n de l'équation ] 3.7 par \V R2, où R est le rayon de la Terre (R = 637'0 km) et lV est le poids du cOll:'s à la surface de la Terre. Plusieurs types de forces fréquernment rencontrées clans les problèmes de cinétique ne produisent aucun travail. Ce sont des forces appliquées à des points fIXes (ds = 0) ou agissant dans une direction perpendiculaire au déplacement (cos 0/ = 0). Parmi les forces qui ne produisent pas de travail, citons la réaction d'une cbeville sans frottement lorsque le corps supporté tourne autour de cette cheville; la réaction à une surface lisse lorsque le corps en contact se déplace SUI cette surface ~la réaction d'un rouleau se déplaçant ur sa voie; et le poids d'un oorps dont le centre de gravité se déplace horizontalement.

.\1 .

o

Flgure 13.6

13.3 'ÉNER.GIE CINÉ f IQU.E D'UNE PARTICULE. PRINCIPE DU TRAVAIL ET DE L:ÉNERGIE

, \

Considérons une particule de l'nasse 111 soumise à une force F et st' déplaçant sur une droite ou une courbe (figure 13.1). La deuxième loi cie Newton en fonction des coordonnées tangentielles de la force et de l'accélération (section 12.5) donne

,, \

,,

dv

F1 = 111(It

ou

où v est Lavitesse de la particule. Selon la section 11.9,

1)

= ds/clt.

DOT1C.

Figure 13.7

do ds do - = 1)10 tls dt ds

FI = 1n -

Ft ds Intégrons de

où

Al.

1

S

==

50.2

..,

F, ds

SI

et

Il

IL,! = 111

=

1111)

du

= 'VI, à A1, où V

do = t,n

S

= S2 et v = Oz. NOlL'i avons

1- trll

UT

(13.R)

"1

Le membre de gauche de l'équation 13.8 représente le travail UI_2

de la force F exercée SUT la particule durant le déplacement de AJ à Az. Comme nous l'avons indiqué à la section 13.2, le travail U.L_Z est une quantité scalaire. Lexpression 1t1t1)2est aussi une quantité scalaire; c'est. par définition, j'énergie cinétique de la particule, identifiée par T. Donc, (13.9)

Copynght d ma nal


du plomb illustrant toutes les forces réelles (lui lui sont appliquées, c'està-dire le poids W et la force P exercée par la corde (nbrure 13.8b), (Un vecteur d'inertie n'est pas IUle force réelle et ne doit pas être inclus dans le diagramme du corps libre.) Remarquons que la force P n'accomplit aucun travail, puisqu'elle est normale à la trajectoire. La seule force qui accomplit un travail est donc le poids W. On obtient le travail de W en multipliant sa grandeur \IV par le déplacement vertical] (section 13.2); le déplacement se faisant vers le bas, le travail est positif, Donc, UI_2 = Wl, 'Considérons maintenant j'énergie cinétique du plomb. Nous aVOI\5 TI = 0 en AI. ct T2 = t(W/g)vi en Az. Appliquons à cette situation le principe du travail et de l'énergie; la formule 13.11 permet d'écrire

134 Applications du pnnclpe du travail

el cie l'énergie

731

o + \V 1 = -l -'\'o ~ 2 g

-

Nous avons 02 = v'2gi. La vitesse obtenue est celle d'un C()rps chutant librement d'une hauteur l. Lexemple considéré illustre les avantages suivants (le la méthode du travail el de l'énergie: Isolons

02'

1. Pour calculer la vitesse en A2' il n'est pas nécessaire de déterminer l'accélération en une position intermédiaire A et d'intégrer l'exprèssion obtenue de Al à A2. 2. Toutes les quantités en jeu sont scalaires et peuvent être additionnées directement, sans utilisation de composantes en x et en y. 3. Les forces qui ne produisent pas de travail sont éliminées de la solution du problème. Cependant, ce qui constitue un aV'dnt;;lge dans un problème peut être un inconvénient dans un autre. Par exemple, il est évident qu'on ne peut pas utiliser directement la méthode du travail et de l'énergie l'X)urcalculer une accélération. li est aussi évident que, pour calculer une force qui est normale à la trajectoire d'une particule, une force qui n'accomplit aucun travail, ilfaut ajouter l'application directe de la deuxième loi de Newton à la méthode du travail et de l'énergie. Supposons que nous désirions calculer la tension dans la corde du pendule représenté à la figure 13.80 lorsque le plomb passe par Al2. Traçons un diagramme du corps libre du. !)10Jll1} dans cette position (figure 13.9) et exprimons la deuxième loi de Newton en fonction des composantes tangentieUes et normales. Les équations IF, = Ina, et IF" = ln a" donnent respectivement at = 0 et

p

\\1 Figure 13.9

\\' o~ P - \V =nlfl =-" g l Mais la vitesse en A2 a été calculée précédemment pélr la méthode du travail et de l'énergie, Portons v~= 2g1 et isolons P. Nous avons \l' 2g1 p = \,V + g 1

= 3\V

Si un problème comprend deux particules 011 plus, le principe du travail et de l'énergie peut s'appliquer séparément à chaque particule. L'addition des énergies cinétiques des diverses particules et la prise en considération du travail de toutes les forces appliquées aux particules permettent d'écrire une seule équation du travail et de l'énergie pour toutes les particules impliquées. Nous obtenons (13.11)

Copynghted matenal

732

Clnellqup df'~ particule:,; Il'flthOClec d lanu'v1e et du a Ql'4nt,Ilt de nlOU"'(l1i r nI

où T représente la somme arithmétique des énergies cinétiques de toutes les particules en jeu (tous les termes ont positifs) et U 1_"2 est le travail de toutes les forces appliquées aux particules y compris le .forces d'action et de réaction exercées par les particules l'une sur l'autre. Cependant, dans les situations où les corps sont reliés par des cordes ine:l1etlS"ibles ou des barres articulées, le travail des forces exercées par une corde ou une barre donnée sur les deux corps qu'elle relie s'annule, puisque les déplacements des points d'application de ces forces sont égaux4 (PR-13,2). Les forces de frottement étant de sens opposé à celui du déplacement du corps auquel elles sont appliquées. le tracail (les forces (le [ronemen: est toujours négatif. Ce travail représente l'énergie dissipée en chaleur et contribue toujours à diminuer l'énergie cinétique du corps en jeu (PR-13.3).

13~5PUISSANCE ET RENDEMENT Par définition, la pUÎ.SSQtlCe est le taux d'accomplissement d'un travail, ou le rythme auquel s'effectue un travail Lors du choix d'un moteur, la puis sance est un critère beaucoup plus important que la quantité de travail qu'il peut effectuer. On peut utiliser un petit moteur ou une grande unité de puissance pour effectuer une quantité de travail donnée. Or. le petit moteur mettra peut-être Wl mois pOllf effectuer un travail que l'unité de puissance effectuera peut-être eu quelques minutes. Si AU est le travail effectué durant l'intervalle de temps dt. la puissance moyenne durant cet intervalle de temps est AU Puissance moyenne = ilt

Si Âi tend vers zéro, nous obtenons à Lalimite

Puissance =

liU .r ot

(13.12)

En remplaçant cLU par le produit scalaire F· dr. nous pouvons écrire Puissance

.n: F· dr = = -dt

dt

et. en nous souvenant que dr/dt représente la vitesse v du poinl d'application clt' F, nous avons

Puissance

= F .v

(13,13)

Puisque, par définltion, la puissance est le taux auquel s'effectue le travail, elle s'exprime en unités obtenues par la division de l'unité de travail par "unité de temps. D~ULSle système 51, la puissance s'exprime en J/s ou uiatts rw), d'où

l \"

=

1 J/s

=

IN· m/s

Selon la section 10.5, le rendement mécanique d'une machine est P}lr' ùéfinition le rapport: du travail Iourni au travail reçu. soit 1}~

4. L:dpplicaUou

travail fourni travail reçu

(13.14)

üt- ln rnéthooe du travail el de l'jSnergje 11un ~~èmPde p;;tl'ÛclIk.,. Sf'ra dj,,~(',u~ e-n

détail au eh..pitre 1-1.

Copynghted matenal

Cette définition repose sur l'hypothèse que le travail est accompli ~Itin taux constant. Le rapport du travail fourni au travail reçu est égal (l11 rapport des taux auxquels le travail fourni et le travail reçu sont accomplis. DOl1c, 11=

puis allee foume puissance reçue

135 Pu !ôS8'1œ et rendement

(13.15)

En raison des pertes d'énergie dues au frottement, le travail fourni est toujours inférieur au travail reçu et, par conséquent, la puissance fournie est toujours inférieure à la puissance reçue. Le rendement mécanique d'une machine est donc toujours inférieur à 1. La formule 13.15 donne le rendement total ou IIet d'une machine utilisée pour transformer de l'énergie mécanique en énergie électrique, ou de l'énergie thermique en énergie mécanique. Le rendement total d'une machine est donc toujours inférieur à 1; il fournit une mesure {le toutes les diverses pertes d'énergie en jeu (pertes d'énergie électrique ou thermique, et pertes d'énergie dues au frottement). Remarquons qu'il faut exprimer la puissance fournie et la puissance reçue dans les mêmes unités avant d'utiliser la formule 13.15.

c

733

PROBLÈME RÉSOLU PR-13.1 Une automobtle de 2000 kg descend un plan incliné de 5° à la vitesse de \ 5°

'1 - iJ()

knv'h \. =tI

9()

knllh

quand le chauffeur commence à Ireiner, créant une force cie freinage totale constante (appliqu~e par Laroute Sut le pneus) de 1 kN. Calculez la distance franchie par l'automobile jusqu'à l'arrêt,

SOLunON

Polds de J'automobile \V =

IItg

kl

= (2000 kg)(9.81 nlls!l) = 19.62

Énergie cinétique

o. -- 90 km/h -- 2.5 mis

Position 1 : 1Il,62 kN

TI = ~Inv7 = !(2000 kg)(25 InlS)2 = 625 000

-= 0

rJl~2::= -(7 kN)x

Travail

...

1

a

= 62.5 k]

Tt> = 0

-

v"

POBÙiofI2:

J

+ (19,62 kN sin

5°)x:::: -(,5.29 kN)x

Principe du travail et de l'énergie

ikN

1'.+U1 :!=T2 , =

625 k] - (5,29 kN)x -- 0

N

II~ ln

....

PROBLÈME RÉSOLU PR-13.2 Deux blocs sont reliés par un câble nuit élastique, tel qu'illustré. En supposant que

le système parte du repos, calculez la vitesse du bloc

B 300

kg

'il eut pal'COUnl 2 m. On suppose que le coefficient de frottement cinétique entre le bloc .t\ et le plan soit P-It -- 0,25 et que la poulie est dt" poids négligeahle et sans frottenlent. A

après

qll

SOLUTION \\' \

Fe ,~".:, \'

,,-

-.,.

:... _---":

\.

... _---'" N~,

1---1m---I

Travail et énergie pour le bloc A. En désignant par FA la force de frottement et par Fe 13 force exercée par le câble, OL1 obtient : rnA

ln... = 200

kg

+ UI_2

--

T2:

= (200

kg)(9,81 mls2)

=

196.2 N

0.2.5(1962 N) = 400 N 0 + Fc(2 rn) - FA(2 m) = !,nAU2 Fc(2 m) - (490 1'1)(201) "" !(200 kg)v2

FA = IJ4.N",

Tl

\-V...

= P-k'VA;;;;;

(J)

Tra,-ail et énergie pour Ie bloc B. On écrit TI

+ VI

,2

InH = 300 kg \VIl = (300 kg)(9.81 mls2-) = 2.940 N = 1':J: 0 + \Vn(2 Ill) - Fc{2 Ill) = ~fTIBt·2 (2940 N)(2 m) - Fc{2 01) :;;;;t(300 kg)v:!

(2)

L'addition des parties de gauche et des parties de droite des équations 1 et 2 montre que le travail des forces exercées par le câble sur A et B s'annule

(2940 N)(2

01) -

(490 N)(2 m) = }(2oo kg 4900

734

J = !(500

+ 300

kg) v!

kg)C;2 t

=

1,43 1Il/.s

~

PROBLÈME RÉSOLU PR·13.3 On utilise WI ressort pour arrêter un paquet de 60 kg qui glisse sur une surface honzontale. Le ressort il une constante k = 20 kN/ln et est retenu par des câble qui le compriment initialement de 120 Inn •. Sachant qu'à Laposition représentée la vitesse du paquet est Je 2,5 m/s ct que la déformation supplémentaire maximale du ressort est de 40 mm, calculee: a) le coefâcient de Irottement cinétique entre le paquet et la surface; b} la vttcssc du paquet lorsqu'il repasse par la position représentée.

S'OLUTION \'1= l)

-"

J

"..

';;(1 1

(1) ~tOll' ernent dt· la pu"ilioll 1

TI = ill/V! =

600 nlnl-1~-40mm \V

01

= 2,5 ulis

~(60 kg)(Z,5 nlls):! == 187,5 N, m = 187,5 J

o~= 0

POtli"on 2 (déformation maximale du ressort): Trut:uil Force de [rottcment F. On il F

u: travail

= Il ...

= Ilk \V = ILklllg

=

12,; 0

ILk(OO kg)(9,81 ull~.2) = (.588.6 N)/kk

de F l'st lI~galifct est égal à

(U 1~2)t ==

N

la positton 2

Pos:ilio,~l:

Éurrgie c:iné/;'/ue.

t

Ù

- Fx "'" -(588,6 N).uk

(0,600 111

+ 0,040 rn) = -(371 J)J..4.-

Force du ressort P. La force variable P exercée par le ressort accomplit un travail négatif égal à l'aire sous la courbe force-déformation du ressort. Alors,

= 2400 N p ..,,,~ = Plnlr) + k Ax = 2400 N + (20 kN/ln){40 nun) = 3200 N (UI_2) .. = -~(P"'lll + Pif.... ') lix == -~(2400 N + 3200 N)(0.040 Ill) = -112,0 PII,I.. = kx~) = (20 k:-J/m)(L20 mm) "'" (20000 N/o1)(O,J20 ln)

J

I-Â~travail total est donc U'_2 ;; (Ul-~)J+ (Ut-il)",;;:- -(377 J)IL~ - 112,0 J

Principe (lu tracall ct cie l'éllergie 187,5 J

-

(377 J)Pt - 112,0 J

.ut.. = 0.20

= 0

~

b) Mouvement do la !lo..ition 2 li 10 llO'iition .1 \

ro"c

-,;_li t)

d

l ~-

Position 2:

Étll'rgie cinëtique.

,

I-~I(I

Position 3;

"-

nllll-'"'1

d l:

~ p

;;

=0

!,n o~= !(60 I-:g)v-~

Trarail, Les distances en jeu étant les 1l1(\JnCS, les valeurs absolues respectives du travail dt' la force dt"' Irouement F el dt> la force du ressort P sont les mêmes que ci-dessus. Le travail de la force F est encore négatif. 11HÛS celui de ln force P est malnrenant positif. On il

\V r

T3

1)2

UZ_,,j

= -{37ï

J).ul.

112.0J == -i5,5

J+

112,0J

=

+36,5

J

Principe (lu tracatl ct de "énergie T'J + U~J = Ta:

0

+ 36,5 J = t

(60 kg)L,~

v ;J = 1103,n/s ,

735



RÉCAPITULATION ... SECTIONS 13.1 A 13.5

Au chapitre 12, nous avons étudié I.e mouvement d'une particule à l'aide de l'équation fondamentale F = ma en calculant l'accélération a. Lapplicadon des principes de la cinématique nous a permis, connaissant a, de calculer la vitesse et Ledéplacement à tout instant. Daru; ces sections, nous avons combiné l'équation fondamentale F = 111 a et les principes de la cinématique pour obtenir une autre méthode d'analyse appelée méthode dtl trolXlil et de ['énergie. Cette méthode élimine le calcul de l'accélération et permet de relier les vitesses de la particule en deux points de la trajectoire de son mouvement, Pour résoudre un problème par la méthode du travail et de l'énergie, nous suggérons les étapes suivantes;

ni! (1(, ('lla/ful' [oree. Par définition, le travail Ul_2. d'une rome donnée F durant le déplacement fini de la particule de AI à A! est J

\

!III.'

,!o

U1--42

=

"III

1F . (Ir

ou

U1_2 =

f (F cos ex)

(13.2, 13.2')

(]S

où a est l'angle entre F et le déplacement dr. Le travail U 1-2 est une quantité scalaire et est exprimé en joules (J) dans le système SI. Notons qu'une force perpendiculaire au déplacement (a = 90°) accomplit un travail nul. Si 00° < Cl < 180°,le travail effectué est négatif. C'est le cas pour une force de frottement, qui est toujours de sens opposé au déplacement (a = 180°). Le travail U 1-2 se c-alcule aisément dans les cas suivants;

UI_,2 =

CF (,,'05 a) 6x

(13.3)

où a = angle (lue la force forme avec la direction du mouvement 6x = déplacement de AI à A.z (figtlre 13.3)

(13.4·') où AI) est le déplacement vertical du centre de gravité (lu corps de poids "'. Notons que le travail est positif lorsque Ay e.s t négatif, c'est-à-dire lorsque le corps descend (figure 13.4). 2 U 1-2 -- J.kx i! )

-

.lk,...2 2"" 2

où k est la constante du ressort, et 1'1etx2 sont les allongements respectivement aux positions AJ et Al! (figure 13.5).

(13.6) du ressort correspondant

(13.7)

738

Copynght d ma nal




742

Cinétique 005 parncuies mêlnOOES Of' 81'1ErgiP el dF la QtJl\ntlrfl ~je mou","ment

13.15 Un camion semt-rcmorquo commence à descendre une côte de 2 % à Lavitesse de 100 k.-mIb et doit ralentir jusqu'à 65 km/h sur 300 ln. La masse du tracteur est Je 2000 kg, ct celle de La relllurqUl' de 6000 kg. Détermiuez i a) la force de fl'einage moyenne qui doit être appliquée: b] la forœ moyenne exercée SUJ' le couplage entre le tracteur et La.renlorque si 70 % de la force de freinage est fournie par la renlorque et 30 % pur le tracteur,

291> pente descendante

(1)

kmih Il

Figure P13.15

13.16 Un camion scnu-remorque commence à t;ravir une côte de 2 % à la vitesse de 65 km/h et atteint 100 lanIb sur 300 m. La masse du tracteur est de 2
..

100 kaulb 2~pente ascendante

Figure P13.16

est Canné d'un tracteur de 2000 kg et d'une remorque de 8000 kg, II roule sur un tcrraia plat l'\ la vitesse de 90 km/h ~tdoit 13.17

Un camion semi-remorque

ralentir pour s'urrfitcI" sur 1200 m. Dëteruunez il)

IJ}

Figure P13.l7 - P13.l8

:

la force de Iremage moyenne qui doit être appliquée ; la force moyenne dans le couplage si 60% de la force de freinage est fournie par la renlorqlll" et 40 % par le t racleur.

13.18 Un camion semi-remorque est formé d'un tracteur de 2000 kg et d'une remorque de SOOOkg, Sachant qu'il roule sur un terrain plat il la vitesse de 90 kmJh et qu'une forœ dé frcitlage moyenae de 3000 N est appliquée, calculez: (1) la distance que J'ensemble parcourra avant de s'arrêter; bl la force de couplage moyenne entre le tracteur et la renlorque si les freins de la remorque cèdent et que toute la force de freinage doit être Iourule par le tracteur, 13.19 Deux blocs identiques sont lâchés du repos. En négligeant la masse des poulies <>1 l'effet du frottement, calculez: a) la vitesse du bloc B après qu'i) eut pareouru 2 m ; JJ J la tension dans le câble,

1

Flgur. Pt3.19 - P13.20

13.20 Deux blocs identiques sont tâchés du repos, Négligez la masse des poulies. Supposez que les ooefûctents de' lrottement statique el cinénque oient respectivement J.L. = 0,30 et Jl.k = 0,20, Calcules: u} la vitesse du bloc B après qu'il eut parcounl 2 01; li) 1Il tension dans le câble,

C P

1




746

C.nttllqu. des oartlcu ~5 méthodes de 1'91191gleet de la quantité de mou.... ement

13.37 U 0 bloc de laiton (uon magnétique) i\ de 300 g ct lUI aimant d'acier B de 200 g sont en équilibre dans un tube de laiton sous la force de répulsion magnétique d'un autre aimant d'ader C situé à une distance l = 4 mm de B. La force est inversement proportionnelle HU <.1Irr(5 de III distance entre B ct C. En retiraut

soudainement If' bloc A, calculez: a) la vitesse maximale de B: h) l'accélération maxirnale de B. La résistunce tic l'air ct le rrottenH~lIt sont n1gligeabJl!s.

1

1111' •

1

J. X

1

lt , 1l ,

f1

c Figure P13.38

Figure P13.37

13.38

U II aimant d'acier B de 180 g est eu équilibre dans un tube de laiton

la rorcf' de r~pllision d'un autre aimant d'acier C situé à une distance x = 4 mm de B. Cette force est tnvcrscment proportionnelle au carré de la distance entre B el C. En supposant qu'un bloc de laiton (non Inagrlétique) A dl:' 270 g :suit délicatement SOIIS

amené en contact avec l'aimant B puis enlevé, calculez: (1)

la vitesse maximale de A et de 8;

J») la dévindoa maxirnale de 1\ et de B. La résistance de l'air et le frottement sont négligeables. 13.39

Une sphère en A reçolr un€>vitesse

If' has

"~IIolientp,(> vrl'S

pt

!'il'

balance

suivant un cercle vertical de rayon 1 et de centre O. Déterminez la vitesse "0 minimalo pOlir Itll']lI(·IIC'ln sphi'l'~ atteindra le point 8 si: (1) AD est une corde: b) AO est LInt' Ont' tige de masise négligeable. B---

........

.... <,

.....

, \ \

, \

A

, ,

1

1 1

1

1

~

1

\

Vo \

1 1

\ \

.....

1

... ........

/

-------

/

..." "

Figure P13.39 - P13.40

orientée vers 1(, ba.s de 5 mis. Elle se balance dans un plan vertical à l'extrémité d'une corde de longueur 1 = 2 rn attachée à un support en O. Déterminez l'angle 0 auquel la corde cassera sachant qu'elle résiste à une tension maximale égale au double du poids de la sphère. 13.40

Une sphère en A reçoit

U!}f'

vitessr-

VI)

C p n




750

Cinétique des particules mé!hod~s d'a lI'éne~le et d. la quantité de mOuvelr.eITl

potentielle

"g qu'il faut utiliser lorsque

Lavariation de la force de gravité ne

peut être négligée est (13.17) La première des relations 12.29 permet d'écrire V~SOus la forme

Bessort au repos B

2

V = _ 'VR ~

INNWNlW'M(j]

:Ao 1

B

N"Mfo'IU'\I\.oIP'\I\',

(jJ

L-.r l ' :

-lA] F~

...._-x--JA B

(J3.17')

r

oü R est le rayon de IH Terre et W le poids du corps à la surface de la Terre. Lorsqu'on exprime Vg à l'aide de la relation 13.17 ou de la relation 13.17'. III distance r doit bien sûr être mesurée il partir du centre de la Terre". Il est à remar'lller que l'énergie potentielle est toujours négative et qu'elle tend vers zéro pour les très grandes valeurs de r.

"g

Considérons maintenant un corps attaché à un ressort et se déplaçant d'une position A, correspondant à une déformation XI du ressort à une position Az correspondant à une déformation x~ du ressort (figure 13.5). Le travail de la force F exercée par le ressort sur le corps est (section 13.2) ( l3.6)

Figure 13.5 (reprise)

On obtient donc le travail de la force élastique en soustrayant Lavaleur de la fonction tkx2 correspondant à la deuxième position du corps de la valeur correspondant à la première position. Cette fonction, désignée par ",.. est appelée énergie potentielle du corps due à lafo'roe é/.astiql/C F, d'où 1

•

. .Ul~Z-::(Vf_l)i ....

-

- (Ve)!

.

-

(13.18)

Remarquons que, durant le déplacement considéré, le travail
augmente. L'expression obtenue pour Ve n'est valide que si la déformation du ressort est mesurée à partir de sa longueur libre. Par ailleur , ou peut ausst utiliser la formule 13.18 lorsque le ressort a été tourné autour de son extrémité fixe (flgure 13.10a). Le travail de la force élastique dépend . eulement de la déformation initiale et de la déformation finale du ressort (figure 13.1Ob). F Longueur non défonnée

F=kx

!kx7 (V~):1.. * k:r~ (V,), =

x !---lZ----I

(0)

(b'

FIgure 13.10

6. 1--t."!I expres'ions (if. \'.0: dIIns les éq\latiOllS 13.17 et 13.17' ne s.ont valjdes (lue SI r si le c.'Orpsconstdéré e-st au-dessus de L'Isurface de la Terre.

2=

R. c'est-à-dire

Copynghted matenal




1----200 mm--

PROBLÈME RÉSOLU PR-13,6 1

150 mm

Un manchon de 10 kg glisse sans frottement le long d'une tige verticale, tel qu'illustré. Le ressort attaché au manchon a une longueur au repos de 100 mm et sa constante est de 500 Nzm. Le manchon est lâché du repos à la position 1. Calculez sa vitesse après qu'il eut franchi la distance de 150 mm jusqu'à la position 2,

2

SOLUTION Le poids du manchon est W = lng "" (10 kg)(9, l

Positinn

1.

Éllcrgj(' ptltenticlle. XI

1-1,--200 mm -----11 RéJérE'nce

et on

InJs2) = 98,1 N

Lallcngement

du ressort est

= 2()() mm - 100 mm = 100 mm

tl

v.. = !kxr

=:

1(500 N/ln)(O,l [n)~ = 2,5 J

En choisissant la référence représentée, on a Vg = O. Donc, VI I1tlcrgif: einétiqu«, Pocition 2.

= V .. + VI( = 2,5 J

La vitesse étant nulle à la position 1. TI = O.

Energie !JotclIlirllt'. X2

L'allongement du ressort est

= 250 mm - 100 Ina}

=:

150

mUI

el on Il

F

v" "'" ~k:ti = }(500 N/m)(O,15 m)2 = 5,6 J VI(= '\'y = (98,1 )(-0,15001) = -14,7 J Donc, V2 = V" l-,-,

+ Vg = 5,6 J - 14,7 J

= 1(l('"nll'-1

i.---Xl·150mm

T;: = t'1IV~=

=

-9,1

J

-i (lO)vŒ ;;;;5v~

Con ervation de l'èuergie. En appliquant la lot de la eonservauon de l'énergie entre les positions I et 2, on a TJ + Vl = T2 + "2 o + 2,5 J = 5 o~- 9, L J ....1l);t -- _ ,i:> Ill/.1S Y2

754

=

l,::; uvs

!






13,55

U ne force Pest

ressorts causant

lentement

appliquée

11IUlE' plaque attuchée à deux

dëformauon 1'0'Dan" les deux cru; représentés, tr(HI\~Z "C'\:l)n:'Ssion dt' Laconstante k•., en lonctlon dt> k 1 et de k~, du ressort unique équivalent au ~'Yst{'n'l' 11(lIlnt:, c'('st-à-dirl' du ressort (llIi produirait 1.. rlu':.nlf> déCornuuion XII S()IIS l'nc'lion dr- 11'1même forer- P. une

p

p

r(1 ) Figura P13.55

Un bloc dt' IIH15SI:' III est attaehé ù deux ressorts st'Ioll hl fi~url' 1)13,56, Sachant ltU(>, dans chaque cas, le bloc est tiré sur une distance XII à partir de sa position d'équillbre plUS lâché. détermlnez Lu vitesse IIltLXilllaJ., du bloc t,ltlllS Il' 13,56

mouvoruent subséquent.

-1

kl

J.: ......... . ......... '"' .. -,,~ '"' .

6

1-

~ ~ 1

FIgure P13.57

Flgure 'P13.56

13,57 U Il bloc: de 1(i kg l'l'ut ~ss(.'r SdJLS Imttemeut uau.il nUL' f(.'lItt, et (.'st attaché u deux ressorts d .. constant ..s kt = 12 kN/,n et k:l = ') k1\'/m. Les ressorts sont IlIitiilll'rtlt'lIt LIli repos lorsque 1(>bloc ('st tir<- sur um- di\laIH.'t' dl"'300 mm vers la droite puis lâche? Calculez : il ) 1a vi 1f'~Sf'fnaxi male cl u bloc: l" la vitesse du bloc lorsqu'il est à 120 mru de su positieu luitiale 3kg

13.58 U Il bloc d.> 1 k~ p"r Il glis~ef sans Irottr-ment attaché, '_'0t11ITlC' l'indique la ligure, ii trois ressorts de mf-ttl('

laHtc:~kt = 1 k~/lll, kz = 2 k. Figure P13,5B

760

dans

lU1('

Il'n Il' rI l'st

IOllgtlc·ur et cil" eons-

k.l = 4 k~/rll, Les ressorts !i()Jrt flliti,'!.·II'l,,\t au repos lorsqu!;' 1....bloc e t poussé vers la gauche cie 45 11l1t! puis làt'lté. Déterminez : (J) la \ ilc's.s.: maximale cl u hloc , h] la vuessr- dit bloc lorsqu'il r-st ~ 18 mm dt, sa position inilialc, IllIl't

C p n




764

Cmotlqur

JI?~P
J.. l'Elne",

!l el

Il,,, la qllElnhHl Of'

mou.enl{lrll

ra D

13.76 Sachant que les lrois blocs roprë entés ont le mërne poids et qu'Us partent du ropos lorsque 0 == 0°, détermiaez: a} l'angle () In8XÎJ1lal; b) la tension correspondante dans la corde, 13.n Un bloc A a une masse de 2 kg. Les blocs B et C ont chacun une masse de 3 kg. Sachant que les trois blocs partent du repos lorsque (J = 0°, calculez: a) l'angle (1 maxtmal , b} la tension correspondante dans la corde.

*13.78 Des paquets se déplacent d'I1R point A d'un ~tage d'un entff'pôt à un point B de l'étage inférieur, directement à 3 rn eu dessous de A, au Illoyen d'une glissière dont l'axe décrit une hélice d'axe vertical y et de rayon R = 2 ln. La section transversale de la glissi~re doit être relevée de manière que chaque paq~et, une fois lâché en. A sans vitesse, glisse sur l'axe de la glissière sans jamais toucher les bords de celle-ci. En négligeant le frottenient: a) exprime?'... en fonction de la hauteur y d'un point donné P de l'axe, I·angle q, formé par la normale à la surface de la glissière en P et la normale principale de l'axe en cc point; b) calculez la grandeur et la direction de la force exercée par la glissière sur UJj paquet de 10 kg lorsqu'il attelnt le point 8. Suggestion: La normale principale à l'héliœ en tout point P est horizontale el orientée vers l'a,xf' des 1), et le rayon de courbure de l'hélice est p = R[l + (ltl21TR)\l).

Figure P13.76 - P13.n

Ij

Figure P13.78

'13.79 Prouvez qu'urie force F{x,Ij, z) est conservabve si, et seulement si.Jes relations sulvanœs sont satisfaites: éJF\ _ âF'J O!/ iix

-

13.80 La foret: F :::0 (yzi + :xj + xykl/xyz agit Sur la particule ll(x, y, c), qui se déplace dans l'espace. CI) J\ raide des relations données au problème 13.79, démontrez que cette fOI"Cr' est eonservative. b) Déterminez la fonction potentieUe associée à F.

B

A~ Figure P13.al

C~ __ -

·13.81 Une force F agit sur une particule P(x, y) qut se déplace claus le plan xy. Déterminez si F est une force conservative et calculez le travail de F lorsque P décrit, dans.,le sens horaire. la trajectoire ABCA délimitant un quadrant du cercle x2 + ri = ü"; si : (lJ F=kyi; lJ) F = k(yi + xj).

Copynghted matenal




768

C "1' lJque des p;)rIlCU~S rn 1"'001)"

13.103 Un véhicule !\patial s'approchant de la planète Saturne atteint le point ,1 avec une \ ite se vA de 21 knvs, 11doit être placé sur WIC orbite elliptique autour de Saturne" de manière à pmlvoir examiner pénodiquernent Téthys, une des lunes de Saturne. Téthys v'Oyage sur une orbite circulaire d'un r.tyon de 295 Mm autour du centre de Saturne, à lu \litt' Sf' de .11,3 kn'Vs. Détermlnez: a} la diminution de la vitesse du véhicule spatial requise en A pour atteindre- l'orhitl'' désirr(' : l" la vitesse du véhicule sputiaJ lorsqu'Il atteint l'orbite dt' Téthys cn B,

de l'enelg,e el do la Quanlilli de rm UyamOill

185 [1.110

2.95 l\tm

Figure P13.103

UII vélueule spatial décrit une orbite elliptique d'uldtude minimale litt = 2400 km et d'altitude maximale ho = 9600 km au-dessus de la surface de la Terre. Calculez Luvitesse du véhicule spatial en A.

13.104

~Il

13.105 UII véhlcule spatial décrivant une orbite elliptique autour de la Tern- li unr- vitesse nltLXÜiHtJc L'A = 26,3 X lO:l kflllll en A et une vites e mlnimale 3 VII = J ,5 X 10 km/h en B, Calculez l'altitude du véhicule spatial en B. Durant le retour du I.EM vers II"module de commande, II"véhicule ~pnti"J Apollo dll pmhll-ulP 13.101 !I c1tr.t()unl(~ dl' 1l1lirllère Ù prëseruer l'arriëre du véhicul« au Lf:M. Le LE~Ia alors été largu6 avec: une vitesse de 200 n'Vs par 13.106

, 1

rapport au module dt' commande. Figure P13.104·

P13.105

fonnt~
Cil'

Calculez la grandeur

et la direction

(l'angle

4>

la vil ':, (:' \le d .. LE~tjuste avant qu'il s'écrase en C

'-,

...

\

,

\

li

\

~(I km

IJ

\

-()

1

\

Figure P13.106

FIgure P13,107

13.107 Vn slIo·Hitl· ('sl prujet(o dans l'espace avec ui .. • vitesse "0 à une distance ru du ceutrc de la l'erre par le dernier étage de sa fusée de lancement La vitesse ~'tla êtCo calculée polJr envoyer le Salf'!lite S\Jr une orbtte ctrculalre de rayon ro. À la suite d'une mauvaise commande.Ie satelhte n'a pa.~ ~téprojeté horizontalement IIlais à un angl(' (1~LVl'C I'bortzontal« rI se retrouve sur une orbite elliptique. Calculez III distance Il Ht.'(hIUÙ L' et IH dl!>taJicC;! mlnlmule ÙU centre de la 'ferre au satellite.

C p n









,

RECAPITULATION SECTIONS 13.10 ET

13.11

Dans ces sections, nous avons intégré la deuxième loi cie Newton pour en tirer le principe de l"impulsion, et de la quantité de nWl,vmnent pour une particule. En nous souvenant que la quantitë de mOlIVenl€'lt d'une particule est par définition le produit de sa masse 111 par sa vitesse v (section 12.3), nous avons écrit nlvl

+ l ImPI __!! = mV2

(13.32)

Cette expression énonce qu'on obtient la quantité de mouvement t11VZ d'une particule à l'instant t2 en additionnant à sa quantité de mouvement 111VI à J'instant t1 les impulsions des forces exercées sur la particule durant l'intervalle de temps allant de t 1 à t2• Pour effectuer les calculs, on exprime les quantités de mouvement et les impulsions en fonction de leurs composantes rectangulaires et on remplace l'équation 13.32 par les équations scalaires équivalentes. L'unité sr de ra quantité de mouvement et de l'impulsion est le . s. Les étapes suivantes simplifieront 1~1résolution de ce type de situation. 1. ()jj i rur» Il li ,Ii".!tll''''!'' montrant la particule. sa quantité de mouvement à tl et à t2. et les impulsions des [orees exercées sur la particule Jurant l'intervalle de temps allant de t 1 à t2'

,,1,· {ï,lIl"ri"llllll

,{c· ('/"u/", .Il1t (.,'. en l'exprimant en fonction cie ses ·composantes orthogonales si plusieurs directions sont en jeu. On rencontrera les cas suivants: 2.

()I! ('1111

il)

JJ}

J.ï/,/,'/I·I,IJ"

I:,:t,:. l''ai,,

,(f' (('111/':-;

,il

i('III}I,o,;

( ....,

(.""

[ln] ("

1:, };J""('

ImPt--Z

= F(f2

[i«

,:

III

c«! -

.li,l'(·(·

runstunt«,

fi) ('",1

,J'le ;11l/1'I;Oll ,le l,

,f" 1(''''/'''' ('S, Irc"h /,c";1 c', ''''/l,,('' ('If/ tri» gr·l,tlfle. La force est appelée force d'impulsion et son impulsion SUT l'intervalle de temps t2 - ft = At est c)

I,";II(,""(IJI"

lmpl_~= FAt

Remarquons que cette impulsion est nulle pour des forces il"n impulsioes telles que le poids d'un cO.rps, la force exercée par un ressort ou toute autre force que l'on sait être petite comparativement aux forces d'impulsion. On rie peut T'as supposer cependant que les réactions inconnues sont non impulsives: il faut donc tenir compte de leurs impulsions.

:t ()JI /)111'1" /,,/'00 1"'/(""'''' "llle'II;"~ '/t'I<: Î'''/II,/:o<;t",1'4 iluw« "('(I(I(I(;UII 13,:~2ou dans les équations scalaires équivalentes. Lac; forces et les vitesses (les problèmes de ces sections sont contenues dans un plan. On écrira donc deux équations scalaires et on les résoudra pour deux l'nconnues. Ces inconnues peuvent être un temps (PR-13.10), une vitesse et une tmpulstot: (PR-13.12) ou une force d'impulsion Inoyenne (PR-13.11).

III

C p r













790

CinétJqve dès partia.tles: mêthodes de l'él'IeI'gte et de la quantî1é de mowem~n!

où l'intégrale couvre la période de déformation et où u représente la vitesse du bloc A à la fin
l'intégrale couvre la période de restitution. Selon la définition vue à la section 13.13 (lu coefflctent de restitution, nous avons Otl

e=

fRdt

(13.40)

J p dr

La résolution des équations 13.52 et 13.53 pour les intégrales et le report dans l'équation 13.40 donnent, après réduction, , li - I)A e= La multiplication de toutes les vitesses par S\lT la ligne de choc; donne

1.'OS

J P dt et J .R cft

0 pour obtenir leurs projections (13,54)

On remarque que l'équation. 13.54 est identique il l'équation 13.41 de ta section 13.13, à l'exception près des indices Il, utilisés ici pcniT indiquer qu'()n considère les composantes des vitesses suivant la ligne de choc. Le mouvement de la boule B étant libre, on peut compléter la I)reuve de l'équation 13.49 de la Olê111C façon qu'on a complété celle de l'équation 13.43 à La section 13.13. Nous concluons donc que la relation 13.49 entre les composantes suivant la ligne de choc des vitesses relatives de deux particules qui entrent en collision reste valide lorsque le mouvement (l'une (les particules est restraint. La validité de cette relation s'étend facilert~ent au cas du mouvement contraint de deux pnrticules.

13.15 PROBLÈMES INCLUANT C~NERG1E ET LA QUAN III Ê DE MOUVEMENT Nous disposons maintenant de trois méthodes différentes pour résoudre les problèmes de cinétique; l'application directe cie la deuxième loi de Newton, IF = 1118; la méthode du travail et de l'énergie; la méthode de l'impulsion et de la quantité de mouvement. POlir tirer le maximum dt' ces trois méthodes, on doit être capable de choisir œlle qui convient le mieux pour résoudre lin problème donné. Au besoin, 011 doit aussi être capable d'utiliser différentes méthodes pour résoudre diverses parties d'un problème. Dans de nombreux cas, la méthode du travail. et de l'énergie est plus directe que I'application de la deuxième loi de Newton. Or. tel que sign~ùé à la section l3.4. la méthode du travail et de l'énergie u ses limites et il fnul parfois la compléter par l'utilisation de IF = nI a. Tel est le cas, par exemple, lorsqu'on désire calculer une accélération ou une force normale, Lutilisation de la formule .lF = 111 a pour résoudre des problèmes sans forces d'impulsion est habituellement aussi rapide que l'utilisation de la méthode de l'impulsion et de la quantité de mouvement. Cependant. l'utilisation de la méthode du travail et de J'énergie. si elle s'applique. est plus rapide et plus commode. Les problèmes de choc ne se résolvent qlle par la méthode de l'impulsion et de III quantité (le mouvement, Une résolution p(lr l'application directe de la formule IF = tlta serait difficile et l'on ne peut utiliser la méthode du travail et de l'énergie parce que le choc (sauf s'il est parfaitement élastique} entraîne une perte d'énergie mécanique,

Copynght d ma nal





30 l.:g

PROBLÈME R.ÉSOLU PR-13.17 __._ 2 m

Un bloc de 30 kg tombe d'une hauteur de il ln sur le plateau dl' 10 kg d'une balance à ressort. En supposant que le choc soit parfaitement plastique, calculez le déplacement madmal du plateau. La constante du ressort' est k = 2.0 kN/nl,

SOLUTION Le choc entre le bloc et te' plateau doit être traité séparément ; divisons donc la solution

en trois parties, Cboc. quanttté de mouvement totale conservée

Conservation

de l'fSnl'rgil'

de l'énergie.

Conservation

BLoc: \\'"

=

Conservation dl' 1'~nprgJl'

(30 kg)(9,RI

2 ln1S }

=

294 N

J

Tl = ~'ll",(t)A)l = 0

VI = 'VAY = (294 N)(2 m) = 58 T'2 = ~-nll,(IiA~ = !(30 kg)(OA)~ V2 :;::;0 TL + "1 = 1'2 + V2:

+ 588 J = ~(30kg){v,,)~+ 0

0

(VA)2 = +6.26 In/s

(VA)2 = 6,2611115

!

Choc: conservation de la quantité de mouvement. Le choc étant parfairement plastique, e = 0: le bloc et le plateau se déplacent ensemble après le choc, Donc,

+ "'S(VU)2 kg)(6.26 nV5) + 0

IfIA(tlA)a.

(30

Il,' =

+4.70 nvs

V3

= (II~A + 'liS) D3 = (30 kg + lO kg)V.l ;;;; 4,70 mis l

Conservation dl' l'~nergie. Initialement, le ressort supporte le poids \\' n du plateau; donc, la déformation initiale du ressort est _ 'VII _ (10 kgH9,81 01ls2) _

k -

x;) -

20 X I(f Nlrn

98.1 t'\

_ - 20 X 10-';1N/ln - 4,91 X 10

:J

rn

En dé-signanl par x.. hl déformatlon totale maximale du re....sort, on obtient

+ IIIS) 05 = !(30 kg + 10 .kg)(4,70 mlS)2 = 4421 + v, = 0 + ikx~ = t(20 X 103)(4.9] X 10-,')2;;;; 0,241 J

Ta;;;:: t('UA

"a = v, T.. :;;:0 \1..

'\'g

+ ""

Le déplacement

<'VI'

+

\VH)(-},)

+ ~kx~= -(392)11 + ~(20 X

du plateau étant Il = X.j

-

X.:),

]()'l).\'1

on écrit

T3 + V3 = T" + V4: 442

+ O.24J ;;;::0 - 392(X4 x~ = 0.230 III

- 4,91 X 10-3)

+ ~(20 X

IfrJ)J\'5

Il = x .. - x.:) = 0.230 m - 4,9J. Il = 0,225 ln

X

lO-J

Jll

Il = 225

111111

795


















Système de particules

Les partbJl~

de

do leur aIu~e

gaz éJeclées J)a1lèS moteunrfU$ée:s O'une navette lofs IoIJfnÎSSentla pcxjssée nécessaire nu décQlage Le calcul do

,'acoélMtllon de la n8lJ'8D.t1Il un Instant dOnné f8poso StJrl'nna)yse crun s~Slème de particules variable constitué

de la navette. des moteurs-Iusâes et du carburent

non oonsommé.

Co








La propriété (lue l'on vient d'étahlir nous permet de simplifier notre notation en laissant tomber le signe « prime» (') dans l'équation 14.20 et donc cl' écri re

~6 CQIl_servat

Ivernon' 1 cl m me t crU"

syst"

a

(14.23) où il est entendu qu'on peut calculer le moment cinétique He en formant les moments par rapport l\ C des quantités de mouvement de particules dans leur mouvement par rapport au référentiel d'inertie Oxy:. 011 par rapport au référentiel central Gx'y':.', soit n

Ilc: =

--

">~ (r:

,-1

'1

x

V" = ') ir; X

111,

__, '-1

'II,

V;)

(14.24)

14.6 CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET OU MOMENT CINÉTIQUE D'UN SYSTÈME DE PARTICULES Si aucune force externe n'agit SUI les particules d'un système, les membres de gauche des équations 14.10 et 14.11 sont nuls et ces équations se réduisent à L = 0 et~) = O. Donc,

L = constante

110 = constante

(14.25)

Ces équations expriment la conservation de La quantité de mouvement du système de particules et de son moment cinétique par rapport au point fixe O. Dans certaines applications, telles que Les problèmes comprenant des forces centrales, le moment par rapport à un point ûxe 0 de chaque force externe peut être nul sans qu'aucune des forces ne soit nulle. Dans de tels cas, la deuxième des équations 14.25 reste valide; le moment cinétique du système de particule. s par rapport à 0 est conservé. Les lois (Je la conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétique s'appliquent aussi lors de l'analyse du mouvement du centre de masse G d'un S). tème de particules et lors de l'analyse du mouvement du systèn'le par rapport à C. Par exemple, si la somme des forces externes est nulle, la première des équations 14.25 s'applique. Donc, selon l'équation 14.14,

v = constante

( 14.26)

Le centre de masse G du système se déplace donc à une vitesse constante sur une droite. Par ailleurs, si La somme des moments par rapport à G des force externes est nulle, alors, selon l'équation 14.23, le moment cinétique du système par rapport à son centre de masse est conservé:

He = constant

qU
ri ~

(14.27)

c

C::néll !}al....ùlt:

821




Prob èmes

14.5 Trois voitures ldenttques son t en cours de déchargenlli'lIl d'un porte-autos. Les voitures B et C viennent juste d'être déchargées et sout au r(:'pos tous freins desserrés lorsque la voiture 1\ quitte la rampe dr déchargement à ln vitesse de 1,92 mis et heurte la voiture B qui à son tour heurte la voiture C. Puis, 10 voiture A heurte dt>nouveau la voiture B. La vitesse de la voiture B ('si de' I,ô\j 1111~ après la première collision, dl" 0.21 nv's après la deuxième collision et de 0.2.36 2.5 mis après ln troisième

a) b}

collision. Déterminez:

le vitesse« ûnales des voitures A et C; le coeffleient de restitution entre deux de ces trois voitures.

III

FIgure P14.5 • P14.6

14.6

Trois voltures identiques sont en L'OUrs de déchargement d'un porteautos. Les voitures 8 et C viennent juste d'Ctl"(' déchargées ri sont au rrpos tOIlS freins des errés lorsque la volrure A quitte la rampe de déchargement ;l lu vitesse de 2,00 mis et heurte la voiture B qui il SOli tour heurte la \OitllN' C. Puls, III voiture r\ heurte de nouveau la voiture B. La vitesse de La voiture A est de 0.40 nv!. après sa première collision avec la voiture 8 et dt' 0.336 uv' .lpn~ sa d('II\i('nll' colltston a\PC la voiture B. et la \;te's~f' de ln voiture C est de L.28 rn/s après qu'elle t'ut étt" heurtée par La voiture B. Déterminez: tl) la \;trsse- de la voiture B, après chacune des trois colhsious : 1)) le coefllcieut dt:' restitution entre deux de ces troi" \ Ilit un-s. 14.7 UnE' halle de fusil, tirée avec une vitesse borizontak. d{'500 nal .truvcrse un bloc A de 3 kg avant d(' sr loger dans un bloc B d(>2.5 kg. Sachant (Ill(> les blocs A et B commencent à se déplacer avec des vitesses respectives de 3 111/S el de' 5 ln/s,

1 ~)() InlS

III

dét irmtnez . a)

la masse de la bulle:

J))

la vitesse de la balle

14,8

lorsqu'elle sc déplace du bloc i\ nu bloc B.

4.'5 tonnes se déplace dans uru- 7'.011(' dC' Irill.gen Lavitesse de 9 knllh vers les \\'agolls 8 et C quj SOlLt au repos tous [relus dC'ss('rN'-lI ct à petite di tance l'lin de l'alllœ. 1R \vagon B est un ,vagon plat dt' 2.5 tonnes et supporte un COllteneur de 30 tenues, et le wagon C est UII \\'ugull couvert dl' ..0 10nl)(·S. Lorsque les \vagons S(, heurtent, un rnéeanlsrne IE"saccroche automatiquement J'un à J'autre de fU~'01lseme. Déterminez la vitesse du \\'tlgoù J\ Immédlatemcnt après chacun des deux accrochages en supposant que le conteneur: a) Ill! glisse pas sur le \\'ëlgot\ plat, b) gUs e après Ir premier accrochage- mais heurte une hulfe avant qUf' le deuxième accrochage survienne: c) gliss(' Cl heurte ln butée seulement après que It' dPll"ii>nH' accrochage UII \Vag.OII CO\III{:rl

1\ d.·

eut survenu.

A

Figure P14.8

8

c

Figure P14.7

1\

l

l

825




14.28 Démontrez que J'équation 14.2J peut être déduite directement cie l'équation ] ".11 el) remplaçant 110 par l'expression donnée au problème 14.27,

14 7 (II

rg',

829

Qf ellQ cd UII ''1s1(Jm Oà ~ ri ,1

Soit un référentiel Ax'y':.' en translation par rapport au référentiel inltial d'inertie Oxy::., Par définition, le moment cinétique H~ d'un ~) tème de n particules par rapport à A est égal à la somme des moments par rapport à A des quantité dé mouvement ,n,vi des particules dans leur mouvement relativement au référentiel Ax'y'z.'. D'où 14,29

H'A -Notez HA la somme

HA =

" r' ,

'-1

y'

(1)

X '11.,v'

" r; X m,v, 2: ... ,

'JJ

r\

(2)

des moments par rapport à A des quantités de mouvement ,n,v, des particules dans leur mouvement relutivement au référentiel d'inertie Oxy::. et démontrez qUè HA = HÂ à un instant donné si, et seulement si. une des conditions suivantes est

{'

satislalte 11 cet instant: a} h]

A a une vitesse nulle pnr rapport au référentiel Oxy::.;

c)

la vitesse

A coïncide avec le centre de masse C du système; VA

relativement à Oxy;; est orientée suivant la droite AC,

F1gure P14.29

14,30 Démontrez que la relation I.~iA= H~, dans laquelle HA est déflni par l'équation 1 du problème 14.29 ct où I~fA représente la somme des moments par rapport à A des forces externes agissant sur le système de particules. est valide si, et seulement si, une des conditions suivantes est satisfaite: (1) le référentiel /\x'y';;' est un référentiel d'inertie; bJ A coïncide avec le centre de masse

c;

c)

l'accélération droite AC.

de A relativement

3"

à Oraj:' est orientée

uivant la

14.7 ÉNERGIE CINÉTIQUE D'UN SYSTÈME DE PARTICULES

Par définition, l'énergie cinétique T d'un système de particules est la SOIUlne des énergies cinétiques des particules du système, Donc, selon Lasection 13.3, l Il l' =. "ni v2 2 ,L.1 "

(14.28)

"', !J'

IJ p. \

Utilisation d'un référentiel central. Il est souvent commode lorsqu'on calcule l'énergie cinétique d'un système comprenant un grdnù nombre de particules (comme dans le cas d'un (:orps rigide) de considérer séparément le mouvement du centre de masse G du système et le mouvement du svstème relativement à un référentiel mobile attaché à G. , Soit P, une particule du système, V, sa vitesse relativement au référentiel d'inertie Ory::. et v; sa vitesse relativement au référentiel mobile Gx''1'::: qui est en translation par rapport à On)::. (figure 14.7). Selon la section précédente,

v, = v + vi

(14.22)

où v représente la vitesse du centre de masse G relativement au repère d'inertie Ox'1z. En remarquant que v'f est égal au produit scalaire Vf' Vf. l'expression de l'énergie cinétique T du système relativement au référentiel d'inertie Ox'1= est

1"

T =2

l

'-1

,,1"

1U,t>j

= -2 l

;=l

("l,V,'

v,)

c:k:::=_--, r

-. OP--------------- ,t

Agu,.

14,7






PROB.LÈME RÉSOLU PR-14.5 A' 2Am

Sur une table de billard, La boule i\ reçoit une vitesse initiale

._0--

li

V(I :;:;

1

VAt

0.9 m

D

----

0.6 ml

06111 •

;l

.. -~ 'il

,.r'"

,

vr,

C

B

t::

:1.1 :; "'"',_ ...

1

puis la heule C, qui sont au repos. Les boules A et C frappent à angle droit les côtés oc la table aux points A' ct C', rcspccüvcmcnr, La boule B rrap~ ohllquement le côté en B'. En supposant que les surfaces soient Lisses et que les chocs soient parfai-

O.q rn tement élastiques, calculez les vitesses \'A. 'l/Ii et \le atL'
\\8

1

C'

de grandf'ur 3 m/s suivent la druitE!D,,\ parallèle 11l'axe de la table. Elle frappe la boule B, "il

·18·

se dpplaçanl hbrement clan un plan horizontal plutôt 'lut" des sphères qui roulent et qui glissent.)

SOLUTION

D

Conservation de la quantité de mouvement. Comme il n'y a J)a.<;
J\

r ----ca_...~ Ilh'(J

§

III (3 III(S)

0,6 m

l_~

~

o

11-·---2...IlJ---i·1

Composantes

~l

COIlII>os.Ultt>S

+ty:

Moments

+~par

:

10(3

mis) --

'III(O~), + IflVr.

0 ~ rTl VA - nl( n}.,

rapport à 0: -(0,6 n1),11 (3 n'lis) = (2,4 m)tnVA -(2,1 rn)I1I(Vn)y - (0.9 In)ul e

(1) (2)

(3)

DC' ces trois fqllatîons, on obtient VA. (vo) .. ct (Vlj)y en fonction de oc' On Cl

-

B

c

1" 0.1l

{/J(vII).

_l

CA

ln

°1:'=====-2-J-m-_~_~_~_·_.~I--~

=(

IJ)!I

= 3vc - 6

(on).r

=3-

(4)

Vc

Conservatîon de J'énergie. Comme les surfaces sont sans frottement et que les chocs sont parfailCtn('nt éla.sH(llICS, l'éut'rgit' cinétique initiale J I/lli5 est égaJé à "lIuergie cinétique IlItaJE> du ~) tème .. D'où

(5) EII remplaçant

duns lu relation 5 les expressions de

D.,\,

(UB) .. et (!.l[j}yselon les équa-

tions 4, on obtient

+ cf. = 9 20v~ - ï lie + 72 = 0

2{31ic - 6)2

+ (3 -

t:ç)5!

En isolant c, on trouve Uc = ',5 Ill/S et Oc = 2,4 n'lis. Seule la deuxième racine donne une valeur <14' L'A positive après substitution dans les équations 4. Donc, lic, =

24

IniS

el, (08)% = 3 - 2,4 = 0,6 nlls \te: - 2," ln/s -.

835












1 ,

~

PROBLEME RESOLU PR-14.8 Une fusée de masse llliti,ùe trio (en incluant J'enveloppe et If' carburant)

verticalement nu temps

est lancée

= O. Le carburant est consommé au taux con stan t Cf = dm/di et est expulsé il la vitesse constante u par rapport à la fusée. Trouvez l'expression de la grandeur de la vitesse de la fusée en fonction du tenlpS i , la résistance de l'air étant né~li~('able. t

SOLUTION

la masse de renveloppe de la fusée et du carburant restant est lU = ,no - (/1 cl la vitesse est v, Durant l'intervalle de temps At, une masse dt' carburant a,n = Cf ru est expulsée avec une vitesse 1/ par l'apport li La fusée. En désignant par ,.~ ln viles c' ahsohu' du carburant expulsé, on applique le principe (le l'Impulsion pt clf' la quantité de mouvement entre les temps t et f + At. Au telnps t ,

-

+

LAnu:,.

+'l!IqAt(1I -

0»

11Cil découle (1110- ql)U

En divisant par

at et

- q ~(II

- D)

en faisant tendre Ilf vers zéro, on obtient -g(111(l- qt) ;;;;;;{nln -

d»

'1') -, (t

Séparons les variables et i_ntégrons de t = 0,

de - ( qu - Ino l'

+ Au)

- g(If'O - Cft) .lI ~ (ilia -
qt

l'

- g~ t

= [-" ln (u'o - ql) -

0

=

di: -

-

fJII

.

. l' (qU

0 à t = t , v = v (J'où

n

,n(l - Cf'

~t.I:J

! -

"

)

- g dl

III

HI"

nln-'/'

-;!.l

~

f,

que tout le carburant t'ut été consommé, est égale à la 111a.'iSede l'enveloppe de la fusée 111, = 'Il" - li et la vitesse masimale de la fu ée t'st t", = II ln (/llo/ru.) - glf. Si le carburant est expulsé Hernacque.

durant

La IHa5Se restante

au temps If. après

gl{

un laps dt' tl'n'[1$ 1'f'lativt'n't'nl pC'tit, II' terme sera prtit et on aura 0,,, .... fi ln ("'0/111,) . Pour échapper au champ gravit:llionne dt' la Terre, une fusée doit atteindre une vitesse cie 11,18 I<-I1l/S. En SlJPl}().sant que 1/ = 2200 11115et V,n = Il,18 brus, on obtient "'o/1I1~ = J61. Donc, pour projeter chaque kilogramme

d'une enveloppe de fusée dans l'espace, ll fau. oonsom Ille r plus de 16 Lkg de carburant si on utlllse lIO oombusüble donnant Il "" 2200 n'lis.

847




ProbWlmes

14.61 D, l'l'au s'écoule en UII Jet continu entre deux plaques j\ et B avec une vitesse "dl' 30 n'Vs, ) ,e courant est divisé en deux parties par un ' plaque horizontale lisse C. Sachant '1"(' les débit des deux courant résultants sont respectivement QI = 100 Lznun et Q'l. = 500 Lzmin, calculez: a) l'ungle 0: b) III forer totale ('\('rc(oe p.lr Ir courant sur la p1ufllH: horizontah-.

.,

-

;

14.62 Dl' l'eau s'écoule en un jet continu entre deux plaques A t't B à une vitesse \' cie 40 n'V'I,1.(' courant t'st clj\i~ en deux parties par une plaque honznntale Usse C. Calculez les débits respectifs QI et Q:'! des deux courants ré ultants achant que (J - 30° (,t (I"f' ln foret' tntale exercée par 1(' courant sur la plaque honzontale est une foree verticale de 500 ~.

1

.....

--

c Agure P14.61 - P14.62 1--375mm-l

14.63

La buse représentée déverse de l'eau avec un débit de 1.2 Il,lflllin, En A cl Cil B. 1.·courant d'l'au SC' déplace à une vitesse de 2.5 IIVS. En Il.~glig('nnl If' poids de l'aube, déterminez les composantes des réactions en C et en 1).

14.64

Sachant

14.65

Le

l'uube AB du problème

rn

75 IUllI

cl., cercle, pmU\'('7. qllt' ln résultante F exercée p:11'l'aube sur le courant est appllquée 'UI point milieu C de l'ure 1'\8, (Sul!J!.l'stiot!: Prouvez d'abord que la ligne d'action d(· F dolt pruiser par le centre 0 du cerclc.) qU('

PR-14.7

psi

tlrt'

d't'au représenté s'écoule 3\CC un débit d . 600 L/nlin f't se déplace avec une vitesse dl' 20 Il''.s en i\ et en B. L'aube est nrpportée p.lr une ~()lIrllll' d'articulunon en C pt par une cellule dl' charge en D qui pt>ut S('lJCIII('ut vwreer une force honzontule. Eu n(Sgligeant le poids de l'aube. déterminez les COlllpOswltl'S des réactions en C et en D jt'I

60

Inlll

120 111111 4{)O

.......,1{

3(1 01111

00 ln

1 300 m

r 1.20

mm

j_ Figure P14.66

Figure P14.65

14.66 La buse représentée dé\ erse de l't'au avec Ull débit de: 00 L'min. En B et t'Il C. le couruut d'eau c déplace une vitesse de 30 nl!: , En n(-gligPllnt 1('poids dl' l'aube, évaluez le !I) tëme force-couple qUI doit être uppliqu6 l'II ,\ pour 11IaÎnt("IIir l'aube eu plal't' à

14.67 Un J('I d't'.111 dont lu l'ct ion transx -rsalc a une nil'Y'cI(· (-,()() nllu'l. 'il' déplace 3\'(>C' une vitesse cie 20 mis en A et en B. et est dévié par deux aube qui, selon là rcpré eutation, ont soudées à une- pl que \ erncale. En achnnt qlle' ln 111:1$<;f' combinée cie la plaque et des aubes est de 5 kg, calculez les réactions en C et en D,

A

•

• •

200mm

B ll.,Onlm G

D

1.501om 250 mm

Flgure P14.67

Agura P14.63

851





14.97

Vu véhicule spatial de 540 kg est monté sur le sommet d'une fusée

de 19 t, dont l7. t de carburant. Si le carburant est consommé au l'aux de 225 kgls et qu'i) est éjecté à la vitesse relative de 3600 mis, calculez la vitesse maximale transmise an véhicule spatial si la fusée ost lancée verticalement à partir du sol.

B

14.98 La fusée utilisée pour lancer lé véhicule spatial de 540 kg du problème l4.97 El été modifiée et on y trouve maintenant deux étages A et B. chacun d'une masse de 9.5 t, dont ,9 t de carburant. Le carburant est encore consommé au taux de 22.5 kg! ct éjecté à la vite se relative de 3600 Ln/S, Sachant que. lorsqu J'étage A expulse sa dernière particule de carburant, son enveloppe est lâchée et larguée. détcrmlnez : al la vitesse de la fusée à cet instant; b} la vitesse madmale atteinte par le véhicule spatial.

.1\

14.99 Évalue'l. l'altitude atteinte par [e véhicule spatial du problème 14.91 lorsque tout II:'carburant dr sa fusée de lancement a été consommé. Soit le véhicule spatial ct la fusée d lancement à deux étages du problërue 14.98, Évaluez l'altitude à laquelle: tl) l'étage A de la fusé .. est lâché; 14.100

Figure P14.97

Figure P14.9a

b)

le carburant des deux étages est consommé.

14.101 Estimez la distance qui sépare le satellite de téléccrnmunlcations du problème 14.95 de la navette spatiale 60 s après l'allumage du moteur, sachant que le taux de consommation du carburant est de 17 kg/s, 14.102 a)

b] 14.103

Soit la fusée du problème 14,93. Calculez: l'altitude à laquelle tout le carburant ft été cousommé . [a vitesse de la fusée à cet instant-là. Dans un avion à réaction,

l'énergif>. cinétique transférée

aux gll7.

d'k:hapl)cmCI1I est P 'l'due ea cc qui concerne la propulsion de l'avion, La puissance utile est égalf' an produit de la force dlsponible pour prop\llst'f l'avion par la vitesse de l'avion, Si est la vitesse de I'evsou et Il Lavite~"(.' relative des gaz. d'échappemeut, démontrez que le rendement mécanique de l'avion est T'J = 2v/{1I + v), E.~liqllez pourquoi 1'1 = 1 lorsque 11 = U. 14.104

Dans LIlle fusé!:'. l'énergie cinétique transférée au earburent consommé et éjecté est perdue en ce qui concerne la propulsion de la fusée. La

pulssauoe utile est l'gale au produit dl' la [oree disponible pour propulser [a fusée par la vitesse de la fusée, Si v est la vitesse de la nlsée et Il la vitI" se relative du carburant exeuJsé, démontrez que le rendement mécanique de lu fusée est YI = 2uo/(u2 + if). Expliquez POlll'quoi TI = l lorsque Il :; D.

Copynghted matenal




860

Système de partICules

tJurant It> même l'Ii, n'ulll' ~ (figt.lrt> J-1.10). }I:T1 ~~Illant tes eomposnnres en r, les j'olilposanll's II 11 et le.. moments pitr rapport à un {lui Ilt fixe des

1

r

1

-

+ / ;' ,/

/

'"

/

/

;' ;'

/

'"

/

'" (b)

(a'

(c)

Figure 14.16

vecteurs en jeu, nOl111obtenons trois équntions, que I1C)US pouvons résoudre pour obtenir lex inconuues dé.,,;rëes (PR-14.ô et PR·14 ï) Ce résultat clonn€:' nussi l'expression suivante pOlir la résultante IF (les forcps exercées SUTS

dur

(1 1.39)

lF = c1t ("'B - v._\)

où \'n - \~\ représente la cillTél'enCl' entre les 1eC{t:IJf'S VII et v \ et 0\1 tJIII/clt est If:!débii massique (lu courant (voir la note 6). Systèmes qui acquièrenl ou qui perdent de la masse

EIJ considérant ensuite un système de particules qw acquiert de la musse par absorption cuutiru telle de particules nu qui perd dt> la musxe pur expulsion continuelle de particules (sectîon l-l.Lâ), roU1IDC dans le cas d'une fusée, nous avons appliqué le principe de l'impulsion et lie la quaruité de t1IClU\ emeut HU ")OStèltkt.' durant uu Iuterv al ft? dl' tCIJ\IJ:' ~ eu ]lrellllILt soin d'inclure les particules acquises ou perdues durant cet Intervalle de temps

(PR-14.8), Nous avons remarqué tll.le l'action sur un nhsorluics PlU· S équivulait :1 UUe poussée p=

Il,11 tft

l.}t

tème S II s particules

u

(11.41)

dn,/dJ est le taux d'absorption de la masse, et u la vitesse des particules IJ(1f" f'''pro,t fi S 1)'10" le ClIS des particules ex/",t.<çtm de S le taux (In,/(It est négatjf ·t la poUSSP.l· P est exercé dans le sens oppose à celui
MOTS CLÉS Centre do gr.L\ ilé d'un systême

Débit

lllUSS"lul'

dp. particules Débit vohunique

Centre de IIJ(I~S~ d'un

système de particules Coefflc! 'lit de restttution COtiront en régllnt>

permanent

Foree efleclfve d'nue particul e 1nt('II~lIé

~1011lCllt ("uu"otlqll •

Ré(érentit"1 ou rf!pèn'

c'CIl tral Réf~rt'nllf!1

rl'pt\r~

()U

d'inertie ucwlüuien

C P

1
















876

15.10 Lenscmble représenté comprend deux tiges ct une plaque re-ctangulaire BCDE qui sont soudées ensemble. Lensernble tourne autour de taxe L'\B à une vitesse angulaire constante de 7,5 rad/s. Vue Je 8, la rotation est dans le sens antihoraire.

Calculez la vitesse et l'accélération

du coin E.

y

Figure P15.10 !J

15.11 Soit le problème 15.10. Calculez la vitesse et l'accélération du coin C en supposant qtlf' la vitesse angulaire f"st de 7,5 radis et qu'elle décroît 1111 taux de 30 raclls2. Une tige pliée A8CDE tourne autour de la droite joignant les points A el E Il une vitesse angulaire constante de 9 rad/s. Vile dt' E, la roratton est dans le '5.12

sens horaire. Déterminez

c

la vitesse et l'accélération

du coin C.

Soit le problème 15.l2. Celculez la vitesse et l'accélération du coin B en supposant que la vitesse angulaire est de 9 radis et qu'elle croît au taux de 45 radllo.2. 5 13

o

150 mm

') 150mlo

15 1\ Un plaque tnangulaire et deux plaques rectangulaires sont oudées l'une tl l'autre pt i\ IInf' tigc:' cl mit l" J\B. Tout I'eusurnble soudé lOUJ'Oe autour de ,

1'Q.'(cAB à une vitesse angulaire constante de 5 mcVs. A l'instant considéré, ln vitess du coin E est orientée vers le bas. ÉVIiJU€tZ ln vitesse ct l'accélératlon du coin D.

15.15 Soit le problème 15.14. Calculez l'accélération du coin D en supposant que la vitesse angulaire est de 5 radis et qu'elle décroît au taux de 20 racVr.

Figure P15.12

1516 La Terre tourne d'un tour autour de SOI) axe en 23 h 56 mln, Le rayon IDoyen de lu Terre est de 6370 km. Déterminez la vitesse et l'accélération (l'WI point sur la surface de la Terre : fi) à l'équateur; J,) à Philadelphie, de latitude ..J00 nord • (.) au pôle Nord.

y

c

1

15 17

Supposez que l'orbue de la Terre est circulatrc ct qu'elle

400 mm

o

La Terre effectue une révolution autour du Soleil en 365,24 jours.

Calculez la vitesse et l'accélération

tl Yl1

rsyon

cl . ISO x 1Cf km.

cie la Terre.

D

JOOmln 350

Figure P15.14

rl~

JJl11J-l

La plaque circulaire représentée est initialement au repos. Sachant que le rayon r = 200 film et 'lut! la plaque a une accélération angulaire constante dl" 0,3 radlr. calculez la grandelLr de J'accélération totale du point B lorsque: (f) t=O: h, t=2s; (" t = 4 s. 15.18

x








D

v,

ee

J.2 mIs La roue à deux t!llgrellaglls coaxiaux représentée

~~~--I~

rieure stationnaire; Calculons:

la

roule sur une crémaillère infévitesse de son œntre A est de 1,2 mis orientée vers la droite.

a) la vitesse allgulairc de la roue denté ; b) les vitesses de la crémaillère supérieure ft et du point D de la roue dentée.

SOLUTION a) Vitesse angulaire de la roue dentée. Comme la roue dentée roule sur la crémaillère inférieure, son centre A se déplace d'une distanœ égale à la eireenfërenœ extérieure 2""1'1 pour chaque tour de la roue. Sachant qu.e l r= 211"rad et que lorsque Ji se déplace vers la droite (XA > 0). la roue dentée tourne dans le sens horaire (() < 0), on peut écrire 8

27T En dérivant par rapport au temps t et en substituant les valeurs connues et ,-. :=: 150 nu" = O.[50 m, 01' obtient 1,21nfs = -(0.150 m)w

w w

0A

= 1.2 mis

= -8 radis = wk -

-lb r.ttV~)k

•

où k est le vecteur unitaire sortant de la Ieullle. b) Vitesses. Le roulement sc décompose el) deux mouvements: une translation avec le centre A et une rotation autour du centre A. Dans la translation, tous les points de III roue se déplacent avec la même vitesse vA- Dans la rotation, chaque point P de la roue Stl déplace autour de A avec une vitesse relative "l'fA = wJc x rplA. OÙ r"/A est le vecteur position de P relativement à A.

+

=

D

D

\ 1

Translatïeu

roulement

rotlltion

Vitease ch la crémaUlère supérieure.

La vitesse de la crémo.illère SUpérieure

est égale à ln vitesse du point B. Donc, VA =

----- ,1) " 1 1 1 1

_-

884

....

1

vs = VA + VOlA = V.I\+w&c x

TBtA

"'" (1,2 mfs)i - (8 radls)k x (0,100 m)j -- (L,2 m/s) i + (0,8 mls)i :;;; (2 mis) 1 Vu - 2 ru/s ~

Vi/ease du point D = VA + wk x rD/A = (1,2 ,,'1I5)i - (15radJs)k X (-0,150 m)j = (l,2nll's)i + (J,2 nvs)j

V,) ;:: VA

+

lIl){A








892

15.70

Une automobile roule vers la droite à une vitesse constante de 80 km/h. Le diamètre des roues est de 560 U11J1. Calculez les vitesses des points /J, C. D ct E du pourtour des pneus.

CinSmaIJQuB des corps rigides

8

La roue de SO mm de ruyon illustrée roule vers la gauche à WiC vitesse cie 900 mm/s. La distance AD est de 50 mm. Calculez la ...itesse du manchon et la vitesse nngulatre de la ti~t'I-\B lorsque. a) 13=0; b) 13:: 90°. 15.71

560 mm

15.12 a) Il)

Soluticunez le problème 15.71 pour: f3 = 180°; (3:: 270°.

Figur. P15.70 8

1

250 nun

../

(i()

mm

15.7 CENTRE DE ROTATION INSTANTANÉ POUR lE MOUVEMENT DANS LE PLAN

Considérons le mouvement gélléraJ dans le plan d'une plaque. Démontrons qu'à tout instant donné les diverses particules de ta plaque onl les mêmes vitesses que si la plaque tournait autour d'un certain axe perpendiculaire au plan de la plat}up, 'lppelé axe de rotation instantanâ. Cet axe coupe le plan de lu pluque en un point e appelé centre de rotation instantanë (le lu plaque. Souvenons-nous d'ahord (lU'OIl peut toujours remplacer If' mouvement

Agur. P15.71

dans le plan d'une plaque IJur une translation définie par II:'mouvement d'un point de référence A arbitraire et par une rotation autour de A. En ce qui concerne les vitesses, la translation est caractérisée par la vitesse VA du point de référence A el la rotation est caractérisée par la vitesse angulaire co de la plaque (lttù est indépendante du choix de 1\). Donc, la vitesse v,\ du point A et la vite. se angulaire co de la plaque définissent complètement les vitesses de toutes les autres particules de la plaque (figure 15.1&). Supposons maintenant que nous connaissions les vitesses VA el (Al et. qu'elles soient non nulles. (Si vi\ = O.le point A correspond au centre de rotation instantané et, si w = 0, toutes les particules ont la même vitesse v On poli rrait obtenir ces vitesses cn faisant tourner la plaque avec la vitesse angulaire w autour d'un point C situé sur la perpendiculaire à à une distance r = DJ\lw de A (figl1Tt" 15.IRh). On peut vérifier (1111" la vitesse de A serait perpendiculaire à ,te et que sa gra.neJeur serait rt» = (D/\/W)W = v",. Donc, les vitesses de loules les autres particules de la plaque seraient les mêmes qu'initiaiement T\.)

"A

définies. Par conséquent, en cc qui concerne les vitesses, la plaque setllble tou nler autour du centre de rotation instantané C à l'instant considéré,

\f)t~ C

1

11 r-t A Iw J 1 1

(a)

(bl

Agur.15.18

C p n




B. l',le fO;t! le centre de rotation ;,UlIOll/",lé et I" l,ite8fle Otlguklire du corps déterminé», on peut calculer la vitesse VI' de tout point P du solide de la façon suivante.

l'"

1. ()tl 1 race schëmo (lu et la vitesse angulaire 6).

2.

COrp8

montrant le point P, le centre de rotation instantané C

",te

trace droite aliant (le P at! ("(""re (le alors mesurer ou calculer la distance de P à C. ()JI

rite""e ",. e81 "'l xecteur IJerpetlc!ic'ultlire sens que (IJ et de grandeur Vp = (PC)w.

:1.

[,(1

rntal;f)'l

;uKta,,'n'lé (:. On peut

al4 t(eg,netll de drf,ite

P(:, de même

Finalement; on n'utilisera le centre de rotation instantané que pour calculer des vitesses. On ne peut pas l'utiliser pour calculer des accélérations.

896

Copynghted matenal





15.99

Décrivez la eentrode spatiale et la centrode ùu corps de la tige IlBD

15 f' Acce c>r
du problème 15.84. (Suggestion : Sllpposez que la ccntrod du corp n' rc!)os{'pas forcément sur "lit> portion dt' la tige.)

OBI'l$ 1;>pQl'l

15.1 00 Décrivez la centrode patiale et la centrode du corps de la roue dentée du problème PH-15.2 lorsqu' la roue' dentée roui S'ur ln crémuillèrv IIO",.olîl.lle stationnaire. 15.101 Refaites le problème section 15.7.

15.62 à l'aide de la méthode prfS('nt~f' à la

15.1 02 R(.·fait(>~ le problèm ~ 15.EH à l'aide de la méthode pré entée à la section 15.7, 15.103 Rc{'ol\'(·... 1(' problèm«

15.65 à l'aide dt" la mëthode

prf-~('nt~e à la

secuon 15.7. 15.104 Rfo"oh'l'Z 1(· prohll'lll(' 15.70 il l'alde de la méthode présentée à ln section 15.7.

15.8 ACCÉLÉRATIONS ABSOLUE ET RELATIVE D'UN MOUVEMENT DANS LE PLAN À la ection 15.5, nous avons vu qu'on peut remplacer tout mouvement dans le plan J>ar une translation définie par le InOUVCll1Cnt d'un point de référence arbitraire A et une rotation simultanée autour de j\. Celte propriété à été utili: ée à la section 15.6 pour calculer la vitesse de divers points d'une plaque mobile. La même propriété era maintenant utilisée pour caJculer l'accélération de points de la plaque. Rappelons d'abord que l'accélération absolue aB d'une particule de la plaque s'obtient à partir de la formule de l'accélération relative trouvée à la section 11.12, à savoir (15.21 ) où le membre de droite est une somme vectorielle. Laccélération nA eorrcspond à la translation df' la plaque avec A, tandis que l'accélération relative aSIA est associée à la rotation de la plaque autour de A et mesurée par 11l1)I)Ortà des axes centrés en A et d'orientation fixe. Nous avons vu à la section 15.3 que l'accélération relative UBIA 'e décompose en une C()1I11){)SOlife tOllgetl. 1 telle (aBII\), perpendiculaire à la droite AB, et en une CQt1l1JO.'lOtl/C normale (OBII')n orientée vers A (figure 15.22). Soit TB/A le vecteur p~ ition de B (>'lf J'apport à A et r pectivement wk el ak la vitesse angulaire et l'accélération angulaire de la plaque par rapport à des axes d'orientation fixe. Il en résulte que (UBI.\),

(aBI,\)n

= ak x TBIA = -cJlr8/.-\

(08/.\), = ra

(15.22)

(08IA)" = rol 1)'

-

+

=

trans lad on uvee A

+

n"

r01111l011llutou r de A

Figure 15.22

c

901




PROBLÈME RÉSOLU PR-15.8

i5 r:nffi

350

·125 mm Les éléments du mécanisme articulé ABDE se déplacent dans un plan vertical.

11'110

Dans la position représentée, la manïvelle AB a une vitesse angulaire constante

Wl

de 20 radis dans le sens antihoraire. Calculons les vitesses angltlaires et les accélé-

rations augulaires respectives de la bielle BD et de la inaruvelle DE. 1---+300 IDR1-t-425 InRl--l

200

mm

SOLUTION y

D

Cf' problème pourrait être résolu par la méthode lItilisée Rtl problème PR- 15.7, mals ici l'approche vectorielle sera employée. 1..'1 Agme représente les vecteurs positions

r; Il

t'8, rvet r!)f8 choisis.

\'itt'Io~c."s. Conune le mouvement de chaque élément du 1uécanisrne articulé se E

rll=WOi+350j rv=-t25I+425j rOOj" 300i + 75j

fait dans le plan de la figure. (J)AlJ ""

CùA1Jk = (20 rad/s)k

(J)H.D =

w8vk

(J)UE;;;;

wvek

où k est un vecteur unitaire pointant bors de la feuille. On peut donc écrire

vo

= vB

+ "0'8

WAtfk X rH + wBok X rDlB WnF. k X (-425i + 425j) = 20k X (200i + 350j) + wltl,k X (300i + 75j) -42..5w[)l~j - 425 win:! i = 4000j - 7000i + 3OOw8Dj - 75wBUÎ wvEk

X ru""

En égalant les coefficients des vecteurs unitaires i et j. on obtient I~ deux équations scalaires suivante.s : -425wOE = -7000 - 75woo -425woe::: +4000 + 3OOW80 Will! 129 .l1 fJlt, k WJlJ . .\.ccélt!ratioo~.

On remarque qu'à l'instant considéré la manivelle AB a une

vitesse anguJaire constante. Donc, anD = anDk ao

=

aB

+ IlDf8

(1)

On calcule chaque terme de l'ëquanon l séparément. On O·bUCJlt (X}JE;kX r,) - w.BF.ro = (XOF.k x (-42.5i + 425j) - (ll.2,9)2.(-.I25j + 425j) = -425aoej - 425aOEi + 54.2 X lCfj - 54,2 X 100j aB = ClAUk X rB - W~lJrB :::::0 - (20)2{200i + 350j) = -80 X l()3i - 140 x l()3j

3D

tl'J/B

=

= annk X r1}{1J - W~r)rl>llJ = lr.81Jk x (300i + 75j) - (29,33)2(300i + 75j) = 300aBoj - 75alJJ)i - 257.5 x lO'lj - 64,4 X ICf j

En IIbstttuant ces valeurs (lans l'équation 1 C't pn égalant les coefficient." de i et j, 011 obtient -425aOF -425al)E

+ ISaRD

= -391,7 X 1~

- 300all/J = -150,2 X lCf «HII -

906

\

rH.:J 1 ad s- k




15.135 ct 15.136

RcfailC's le problème indiqué en utilisant pleinement

la

méthode vectorielle connue dans la résolutiou du problème PJ\-l5.8.

15.135 15.136

\ 1

Problème 15.133. Problème 15.134.

15.137 Soit rA If' vecteur position d'un point A d'un ....plaque rieide animée d'ml mouvement d.L11 le plan. Drnlont(r7. (lur "'

le vecteur position

TC

du centre de rotation Instantané est Figure P15.137

oü west la vitesse ungulaire de la plaque rigide. et v,\ la vttessc du point 1\ : b ) "accélératlOII du eentre C!(' roeauon tnstantnné {·~tnuite si, et seule-

ment si,

cr

a,\ = - v....+

(1)

X "A

W

où a = ak est l'accélération

wlKllhlÎt"(,

de' lu plllfJu{'.

·15.138

us roulettes attachées ,-\8 roulent sur les surfaces représentées. En utilisant la méthode de la section 15.9, exprimez la \itf'ss<" angulaire de la tjge en fonction df' Vu, 8,1 et {J. ·15.139 Les roulettes attachées aux extrérnüés d'une li~f',1\8 roule-nt ~1I1' les surfaces représentées. En utilisant la méthode pré-sentée li la seetion 15.9 {·t sachant que l'aceéiératlou Je la roulette B est Huile. C\priIl1l'Z 1'1Icc·p)é-I':llion
\'B

Figure P15:138 - P15.139

B

'15.140 Le disque d'eutraînemeut du mécanlsme à coullssc représenté a une vitesse ângulairr. w ('1 une accélération anguJaire a. toutes deux orientées dans le sens antlhoralre. À raide de la méthode présentée à 1:, section 1:1.9, 1 roll\ r-z 1'( '~rl'( -ssion de la vitesse et celle de l'accélération

8

du point B.

\

-15.141 Une tigf' AB .!lI" déplace sur une roulette eu C. , taHùb <.jue l'extrémité r\ se déplace vers la droite avec une vitesse eonstaute A' A l'aide dl' Iii In('thodr présentée à la section 15.9, troux e7. l'expresslon dt' la. vitesse unzulaire et celle de l'accélération angulaire de la tige.

"15.142 Une ti(!f' AB se déplace sur une roulette t'Il C. taudis ()lIt' l'extrérruté A se déplace "ers la droite avec une vitess _.eonstante .". /\ 1'aÎ
/"

li

( Figure P15.140

1 Il

_j

*15.144

n:pr(~Sl'lIt(o,lfI tig" t\B tourne
-15.145 À lïnstant <,,1111)(' ucc(.l(>ratioll

méthode présentée à la seetion 15.9. trouvez les expressions des Irorizont~ll(' <'t ve-rticale cl" la vit('Ssf' f't de l'llcc(-Ictrillion elu point D. 1)

Flgu~ P15.144 - P15.145

COI Il L)()santes

~I--------Xl--------~ Figure P15.141 • P15.142




15 11 IMouvement dans le plan Il une partICule pa' rapport a un rèferenllel

où sr = accélération absolue de la particule P s,.. = accélération du point pl du référentiel mohile '?Ji coïncidant avec P SI'f.l' = accélération de P I)ar rapport au référentiel mohile 9Ji Be

= 2n x

917

en rolal,on Accelernlion de COriolis

= 2n x VPf;i'

(r)oxy

= accélération de Coriolis''

Remarquons que, puisque le point P' se déplace sur un cercle autour de l'origine O. son accélération IIp' a, en général. deux composantes; une composante (1\p')' tangente au cercle et une composante (sP')n orientée

a, = 2 Q X ''l'I'J

vers O. De même, l'accélératiou al'f:Y a générale1nent deux composantes: une composante (arf~)' tangente à La trajectoire (l'le P décrit sur la plaque tournante et une composante (apI")" orientée vers le centre
cette trajectoire. Remarquons de plus que, puisque le vecteur fi est pe'1:>endiculaire au piaf) (lu mouvement, et donc à Vp/:J, la grandellr de l'accélération de Coriolis Be = 2n· X Vpr;!i est égale à 2nlipf..F et sa direction s'obtient en faisant tourner le vecteur ver» de 90<>dans le sens de rotation du référentiel mobile (ngt.lre 15.29). L'accélération de Coriolis est nulle si.o ou VPI'-:J

x Figure 15.29

est nulle. L'exemple suivant facilite la ccmpréhension de la signification physique de l'accélération de Coriolis. Considérons un manchon P qui glisse à une vitesse relative constante u. suivant une tige OB tournant à une vitesse angulaire constante w autour de 0 (tlgure 15.30a). Selon la formule 15.36, l'accélération absolue (Je P s'obtient en additionnant vectonellernent l'accélération aA du pointA de la tige coïncidant avec Pi l'aecélération relative al'lOi:l de P par rapport à la tige et l'accélération de Coriolis a.:. Comme 1.. vitesse angulaire w de la tige est constante. l'accélération RA se réduit à sa composante normale (aA)r, de grandeur rtJl. Puisque la vitesse LI est constante,

J'accélération relative aplOB est nulle. Selon la définition donnée prëcëdemment, "accélération de Coriolis est perpendiculaire à OB, de grandeur 2w u et est orientée tel qUf" montré. Laccélëmëon du manchon P se cotnpose donc des deux vecteurs représentés à lu figure 15.300. Remarquons que le résultat obtenu se vérille par l'application de la relation ll.44.

B li

R' R Il

n\ -

rw~

O· (a)

(b)

(t')

Figura 15.30

3. Il tmporlc de remarquer

la diA'éren(.'e entre l'équation 15.36 ('tl'~CJlI(ltion 15.21 rie la secnon 15.R.

Lorsque nous 11\'01lS écrit

r 15.21) à L'\$êctÎon 15.s.. nous avons m'Primé l'aecélërauoa

absolee du pomt B comme la som me de son oooélémtion 31\1'"par rapport au nifb't"lltiel e1l rrrJllsltJIr()lt et dt: l'aecélératlou 1Ii1d'un point
Copynght d ma nal




RÉCAPITULATION SECTIONS 15.10 ET

15.11

Dans ces deux sections, nous avons étudié le taux de variation d'un vecteur par rapport à un référentiel en rotation, puis nous avons appliqué ces connaissances à l'analyse du mouvement plan d'une particule par rapport à un référentiel en rotation. 1. Ta"x de variation (l'un vecteur par rtll'1!(Jrl li ftll rë/tir('"I;el Ji.TC· et 1'(lr I""/'IJorl cl un référen'iel en rotation. En appelant (Q)OXlZ le taux (Je variation d'un vecteur Q par rapport à un référentiel Sxe OÀ'YZ et {Q)Onj: son taux de variation par nlpport à un référentiel en rotation Oxyz, nous avons obtenu la relation fondamentale (Q)OXl"Z == (Q)Q:.r-

+nx

Q

(15.31)

dans laquelle {} est la vitesse angulaire du référentiel en rotation, Cette relation fondamentale sera maintenant appliquée il la résolution de problèmes en deux dimensions, 2. ~to"çemen' plan d'une particule 11ar rl'1111urt (t 1111 ,.cf(.·rc·,,';(·/ ('II r(IIIII"II'. En utilisant la relation fondamentale ci-dessus et en désignant par t§ Je référentiel en rotation, nous avons obtenu les expressions suivantes de la vitesse et de l'accélération d'une particule P: (15.33) Vp == Vp' + VplfJ (15.36) 8p = 8p' + 8p~ + a.,. Dans ces équations: a) L'indice P réfère au mouvement absolu de la particule Pt c'est-à-dire mouvement par rapport à un référentiel fixe OXY.

à son

b) L'indice P' réfère au mouvement du point P' du référentiel en rotation t§ qui coïncide avec P à l'instant considéré. e) l1indice Pf.lJo réfère au mouvement de la particule P par rapport au référentiel en rotation ~. d) Le terme 'le: représent« l'accélération de (·CJr;(J/iH (1" I)(J,ul P. Sa grandeur est 20vPI7. et on obtient sa direction en faisant tourner VP/:i de 90° dans le sens de rotation du référentiel ~.

On tiendra compte de l'accélération de Coriolis chaque fois qu'une partie du mécanisme analysé se déplacera par rapport à une autre qui tourne. Les problèmes rencontrés dans cette section comprennent des manchons qui glissent SUT des tiges en rotation, des flèches de grues en rotation dans un plan vertical. etc. Lorsqu'on résout un problème comprenant un référentiel en rotation, il est pratique de tracer des diagrammes vectoriel'! représentant respectivement les équaëons 15.33 et 15.36 et d'utiliser ces diagrammes pour obtenir une solution analytique ou une solution graphique.

921






Laccélérutiou dt' la particule s'obtient par dérivation dt' l'équulion rctpport }l t. Comme à la section 1.5.3, on a a

= cr X r +

X

(JI

«(JI

J5.3ï 11ar

lS 12 Mou\'ement autour d'un po,nllix8

927

( 1.5.3b)

x r)

où. par définition. l'accélération tilt)

cr=

( 15.39)

JI

est la dé ri , Ge dt> la vitesse angulaire w. Dans le C~lSdu 1110U' emeut d'un (_'()rpsrigide avec un point fixe. la direclion de w de l'axe cl > rotation instantané varie d'un instant ~II'alltT(:, Lil<.'célèration angulaire ct' reflète clone la variation lIe direction de w t" "irl vuriution dt' grandeur et. en ~énéraJ. Il'est !)O.ç oncutëe uicant l'axe (le rotation lnstantaut'. Bien ({IIf> Ip., particules du COr')IS situées sur l'axe de rotation Instantané aient une vitesse nulle à l'instant considéré, elles n'ont peu. une accélérution nulle, De pl us, on Ile peut !JOScalculer les accélérations des diverses particule .. du corps comme si celui-ci Iournuit en permanence ..urtour de l'axe de rotation instantané. À partir de la déflniuon cie la vitesse d'une particule cl,\'lIf" fl'l\~XJ')Till1ét> dan l'équation 15.39. représente la vite se de l'extrén dtto dl! vecteur w. Cette propriété peut être utile pour calculer l'accélération ;1I1~lIlajrt' d'un corp rigide, l'ar exemple. il S'CllSLLit que le vecteur a est tan[:!;t'Ilt ft la courludécrite dans l'espace par l'extrémité du vecteur t». Remarquons que le vecteur w e déplace à lct I()i~à l'intérieur 1111 ("Or')1'" et dans l'espac . 11~ ênèrc donc deux cônes appel~ respectiveme-nt ('(;IU' du corp' et cône SI}(Ili(l/ (fi~\lre 15.335). On IWlIt démontrer (lll'~1 tout instant donné les deux côn s sont tangent s suivant l'axe de rotation instantané f"t Ijllt'. lorsque le solide se déplace, le cône du solide seu,hlf" rouler ...ur le l·tlllP .,paliaJ, AV(Int de conclure notre allal~'sf-' ÙU mouvement d'un (.'\)'1)1>rigidE" avec un point fLXt', I1UU' devons prnll\,pr qlle le!'>vitesses ,ulgllla,ireo; sont hien des vecteurs. Couuue nous l'avons indiqué à la s ctiou 2.3, C ertuincs quantités. telles (litt' les rote! il>u'\'jillies d'un cUI'J')s rigiclc, onl une grtuldellr ct lute direclion mais n'obéissent piL'\ à la r~gle d'uddînon du parH.1Ic?lo~"ri~de avec un point Iixe 0 qui, à un instant donné. tourne simultunérnent autour de axes 01\ el OB avec des vitesses angulaires WI pt WJ, (flgurt' 15.31(1), N(1I1S sa\'()IIS <-l'JI:" Cf:' mouvemenl doit être équivalent, 111"1tant considéré. une seule rotation de vitesse angulaire w. Démontrons que' ( 15.40) à

(:ôor~Ilial

()

Figure 15.33

\

B

à

c'e t-à-dire 'Iut' la vitesse all~llhlirè résultante 'obtient t'Il uddiuonnunt w, et Wz selon la rè~lp du parallélogramme (figure 15,3-lIJ). Considérons une particule P du COl1)S. définie pë:u'le vecteur position r. En désignant respectivement I)at "l, "'2. el la vites c de P lorsque le solide tourne seulement autour cie 0/"\ •. 'Plllf'll1enl autour (It' ()/3 f"t ,llllClllr dt's deux Llxe~Silllllltan~lllt""t, (In ohtient

((1

c 1 1 1

/ 1

'" = W X r VI = (t)l X l' "2 = W1 X r (1.5.41) Or, le caractère vectoriel dt>s ";t("~se,, lillt~(Jir(',~ t>st l)it>ll ~tahJi (plli1>CJ"'('I1~s represPllt t'lit l('Osclt'>ri\'t>ps cIt>s V('O(:tf"llrs pusit1ol1), 0011(:, V

=

VI

+

V2

(h) 5.

RappctuJl30 cI Ut'. IMr (t.~nlli hUII. 1111(',;111' 1~ilm" ~ 1rfllCl' ~t.'l1~r':l' pM 11LI" IlruII(' 1lS,1J11 )01r 1111 JlOlI1I

fut" Eu K':nt1rnl. les

CÛIIC~',"'CJ'blllérc:

il, 11('

~('nlll'

JXU

Ih 1 ('l'irlt·y Il /J,I.\C cl'f'u/uill'

Figure 15,34




Probleml7S

15.196 UII canon de lon~ul'ur 01) = ..J III ''lnloolé ur une tourelle. Pour garder le canon pointé sur une cible mobile. l'anglf' azimutal f3 est :luglnf'nté au taux dfJ/dt = 300/s et l'angle d'élévation 'Y est aug1l1f'nté au taux lly/(/t : lOO/s, l'our 1.1 position f3 = 9()O ct 'Y = 30°, calculee: Il) la vitesse angulaire du (''MOO ; b l'accélération angulaire du (';lIIOIi ; c') la vit('ss(" et l'accélération du point P. 'J

935

l'

160 mIn y

Il

~- Figure P15.196

Figure P15.197

15.197 Dans 1(' tr-ain d'en~enage représenté, IE-sE"ngrPllages A et B tournent en bloc autour de l'arbre FC. Les engrenages C ct D tourueut avec: des vitesses angulatres constantes respectives de 15 nuVs pl rie 30 rad/s. toutes deux dans le sens antthoraire lorsqu'on les observe de lu droite En cholsrssaut l'an- des z polntant hors du plan dl" 1a fLgu re. cal cillez : (1) la "j(.e<;8'" ;IJlguIIlJl'e OOnU1IUÔl' des f'ngJ'('nag{'s A cl R; ,,) l'aecélératton nnglllaire commune des f'ngrenng,c>s i\ et B; c) l'accélération de la dent de lengreuuge 13 'lui est l'II contact avec 1'('ngrcu8g~D au point 2. 15.198 longueur dt'

Une roue de 30

100 01111. Ul

est perpendiculaire

une vitesse constante

u,

l))

(.)

11'1111

y

..c

de ravou esl moutée sur un axe OB d'une ,

roue rouit' sans

~Iissel' SIlI' lin

plancher horizontal

el 1'[L'(e

\

au plan de la roue. Si le système tourne uutour de l'axe des Ij à

2.-4 rad/s. d(Strnl1inf'7.: la vitesse angulaire de la roue ; l'aœéléranon an gllini re dt" la ro ut' ; l'accélération du point C: 1...plu haut sur la junte de la roue. (cil;;

Figure P1S.198

15.199 l'rois tig{'S sont soudées ensemble pour fonn ..r la cornière représentée qui est attllch~(' l'\ une rotule frx:f'en O. r~'(')(:tI'é'l1it(.rk- ln li~e 0.-\ !>f' c1êpla<.J(,sur If' plan Incliné D qui est perpendieululre au plan xy. L'l'xtr~lrltté dl' la tigl:' 08 Sr.' déplace SUI' le plan horizontal F.. Sachant qu'à l'[nxtant 1T1')rkf"l1h~ = - (150 ll11n1S) k, calculez: a] la vitesse anguJaiJ'e de la comiërc : 1)) la ,~JCSSf'du point C. y

"u

.

-Figure P15.199 15.200 Soit If' problème 15,199. On sail que la vitesse du point B est constante. Pour la positlon représentée, calculez: Il) l'Acœl':l'stion Angulaire de la eoml '1"('; l,) l'aœélérutiou du point (;.

C P

1




PROBLÈME RÉSOLU PR·15.15 U Il disque D, de rayon R, l'sI relié par un pivot il l'extrémité A du urus OA de longueur L situé dans Je plan du disque. Le bras tourne autour d'un à.'(~vertical qui passe prll' 0 à une vitesse constante Wl et It' lliS4llt· tourne autour de r\ à Ilne vite.sC'

constante (~. Calculorus : la vltr-ss« du point 1> '1it,l': directement 1

l'accélération de P; III vitesse angulaire pt l'accélérutlon

au-dessus dl" A;

ulIgulllire {lu disque.

SOLUTION y

le référentiel mobile AXIj:' O.\,,)·Z est donc fi = WI j. mobtle Axy:. (011 ~. plus P relativement à () est R j et son vecteur position relativement à A est r//1I = R j,

référentiel 0.\'12 est the, On associe Il l'arbre OA. Sa vttesse angulaire par f'clpport au référentiel vitesse angulaire du disque D relnttvement au repère brièvement) t':.t WUf.:} == w~k. Le vecteur position d ... IlLe

ri

ut

P'

r:

f'

,

r = Li

+

On d('sl~t(, p!lr P' 1('point 011 r~rér('utl('1 Illubf)(' {{lllcoïllcid('

n 1

avec P.

DOliC,

selon réquation 15,016,

1

"l' - \,/,. + Où

/

\'1'

= fi x r.: wlj X {Li

"1'1... = W,N"

Rn substituant

X

_J_

( 1)

V"I r

Rj) = -w.Lk

= w.,!k x Rj = - (A).!R i

r"l

ItIS valeurs obtenues pour

et

"1"

",'1,.,. dans

l'équation l , on obtient •

\( 1 (·1

Il

"

~ h

L'~quation 15.48 donne

1.111"11

a" = s" + apI., + a.Or, il Cl

W/),,,

sont toutes deux

Ur' =

fi x (0 x r)

a"/.,, =

taures,

DOliC.

X (-w.l~k) = -uTjl_i

= wlj

w_!k x (-w~Ri);;;;: 2w,j x (-W!lti)=2(~tw2Rk

X (W/JI,1- )( 1'1",,">;;;;

W/>I./

a..""'2fl

COll

(2)

x

"PI

.=

En substituant les valeurs oluenues clans

2,

l'~lllllatjoH

, , ,1.·.....· .11Il!,ul.1I1 (

,.,

Q=

W

OH II

1 •

. "1

1

, (1)

L'équation 15,31 avec

(I~Rj

=

fi + WiJr.f

, J

donne

œ = (w)OX)'Z = {CÏ»At:!I= "=

+ fi x

0 + w.j X (Wlj

W

+ ~k) Il

,

943







DUIts ce chapitre traitant (le la cinématique

des t'orp" rigid es, l'étude a été

subdivisée en trois parties. Corps rigide en translation

Dans la première partie. nous Il\ UIlS d'abord consirléré La lranslatiou d'un l'tJrpS rigi(]~ (sectiou 15.2) et nous .1\OIlS r~l1l:lTcl\lé llue dan: 1111 tel mouvement, ifJI4 \ le.>; tir' (")'7'·~ ont lu ",.?Ille i1~""t~ et flU'tUll' fll'célf. mt iOIl li tout instant.

A)

'fI

,,(Ji"t~

Corps rigide en rotation autour d'un axe fixe

Puis nous a$IIIS considéré ln rotniun; (.]'1111<.'orps rigidL .uII<1l1f d'un axe fixe Isection 15 ;)) La posmon (Ill l'orps est (léfillie P;lf 1.ul~le 0 (l'Jt~ I~. egment dt> droite BP. trac' ~(I~ laxe de rntation :t 1111point P (Ill eurp!', lilit .k\ ec un plan fixe r fit,l'\l~ 15.39) ~C)lIS avons trouv é 'ltl~ lu ~r1lncleordt>la vitesse

de Pest t

(/.') . = - = rfJ~in (Il

cfi

15.4)

•

où 8 est la dérivée l>ar rapport au temps de 8. Nous avons alors exprimé la vites -.de l' l'W' la relntion

dl' v=-=wXr (lt

Figure 15.39

= wk

w

= iJk

( lS.C)

est orienté suivant l'axe de rotatiun fixe et représente la , ttes (' angl41alre du corps, En appelant cr la dérivée l/(l)/cli de la vitesse angulaire. nous avons

'1

Qlk)(

r

exprimé l'accélération de P par la relation a

l'

=

exX r

Figure 15.40

Rotation d'une plaque représentative

+W

X

«(1)

Le vecteur cr représente

Cl'

( 15.t$

X rl

En dérivuut l'équatmn 15.fi l..t en fJlH1S 'Ic)u'..enaut deur et en direction, II(Hl" avons Ir()I1\~ que ex=

CIUt ..

k est constnut

k = wk = 9 k

l'acc(q~rr(lltnll a'lJ!.uia" e du

j'II gr,lu

(J5.U) ('U1

ps et est orienté

suivant l'axe {le rotation Iixe. Puis IlO\.l.Savons considéré le IIIOU\ eruent (l'un ~ plaque représentative située dans un plon perpendiculaire à l'axe de rotation du c.'C)q>S (figure 15.4IJ). Comme la vitesse ltngldllire est perpendiculaire il lu plaque. nous ,1\011" exprimé 1.. \;tess~ d'lin point P de 1,1 plaque p.lr la relution 'V

950

(15.5)

= wk

X T

(15,10)




954

mécanlsmes (ILIIcontiennent

des pièces glisstmt l'une sur l'autre (1)R-15.9

et PR-t5. J U).

C) La trolstèure et dernière partie du chapitre H étt! consacrée à l'étude de la cinématique des (.'0Ills rigid~s en trois dimeusions. Nous 1\VOI1." c)'Ul!OTÙ considéré 1(.'mouvement d'un corps rigide J\ ec un point Ilxe (section 15 12' Après avoir prouvé
OP

tlr "=-=
tA)

X r

(15.3ï)

En dérivant celte expression nous avons obtenu " =ax r .\lais. eonuno la direction de

+

Cd

ll)

x (w x r)

change d'un Instant à l'autre. l'uccêlérutiou

.mguluire exn'est pas, en général. orientée suivant l axe de rotation instantané lPR-1511) •

1\ lu M'f'tinn 15.13, nous avons démontré (Ille I~ IlIc)t/rl'''Jl:llt

r

Ir ,Jiu .. ~fllf:rnl

d'un t'()IP'\ rigide dans /'C'I'PlJCi.' ëqutcmu, fi tou! ill.,-;llJut. Ii 1(/ .'$)I1I11'é d'nne 1 ranslat 1011 ri d'uue rotation, En considérant deux particules t\ el B (lu solide, nous avons trouvé que>

l.

(is... (2)

est lu vitesse de B relativement à un référentiel ..LY') 'Zr L~ à t\ et d'orteutaüon fL\L' (f1gUl e 15.48), En dé"igllaut p.u- TB/JI le vecteur position de 13 par rapport a &1. nous avons écrit l'cspresslon ()Ù

H \'

"81.\

la \itt''\st' ~lllglllaire du c0'1)'\ il l'instan: considéré (PR-15 ) 21 Ll·\llJt·",joll de l'nccélérunon de B ,.t. ét S obtenue par 1111raisonnement allaltlg11t' 1'\ (HIS pOl1vons d'uhord écrire .)ù west

/' Z

ct, nous souvenant de l'équation 15.3~, nous obtenons

Figure 15.48 RR

r

1

n

lm 11 r

l

A""

'1

il

$

ur Il n

\lp

rn/I\

+

CI.)

X Ill) X rnl,\)

(15.+t)

= vr

'1" "1'

( 15,·t6)

= vitesse

ahsolue Je 1" particule P ",,' = vitesse du point P' du référentiel moblle '!} coïncidant avec P ""/, = vitesse dt, P relativ eurent au référentiel mobile "

ni1

VI'

Puis de P est Figure 15.49

+a x

Dans les deux dernières sections de ce ch npitre , nous ,l\'OIlS t'(lfl~idéré le mouvement en trois dimensions d'une particule P relativement il 1111 référentiel Oxy::. tournant avec une vitesse angulaire fi par rapport ù un référentiel fixe ()\)'Z (A~lre15 I~),.\ là section 15.14, nous
OP ~

Z

= a,

r10US

H\,,(1I1S

trouv é

([llf:>

1e\l>rt's.sion de l'accélération ahsolue Ur (15,48)




958

Clnémollque des corps rlg1(jes

Les problèmes suivants sont

COlt~'USpour

fltr~ soludounës ù l'Lude dt' l'ordinateur,

15.C1 Le disque représenté a une vitesse angulaire constante de"500 rfmifl dans le sens autihoraire. La IOTJgtJuur d~ la tige BD est de 250 rrun. Écrivez un pmgmnllne permettant de calculer, pour des valeurs de 8 allant de 0° à 360° par incréments de 3O°,la vitesse du manchon D et la vitesse angulaire de la tige BD. En utilisant de plus petits incréments, calculez les deux valeurs de () pour lesquelles lu vitesse et1l n,nnchOH D l'st nulle. 15.C2 Deux tiges en rotation sont raccordée par uu bloc coulissant p tel que montré. La tige HP tourne avec une vitesse angulaire' constante de 6 radis dans If' sens anrihcralre. Écrivf"Z un programme permcttsn] cl" calculer, pour des valeurs de ()allant de 0° à 180° par incréments de L5 la vitesse angularre l''t l'accélérsuon angulaire de la tige AE, En utilisant de plus petits incréments, calculezl'ungle 9 pour lequel l'accélération angulaire (l'AI': de la tige AE est maximale pt la valeur de cette accélératicn angulaire maximal ,

D

Q ,

Agure P15.Cl

1

mm

1

762 mm

FIgure P1S.C3

Figure P15.C2

15.C3

Dans le S)"stèlllé moteur représenté, i = LOOnun et b = GOmm, La

manivelle AH tourne avec une vitesse angulaire constante de 1000 r/nun dans 1(>St'l1S

horaire. Écrivez UlI progr.unlne permettant de calculer. pour des valeurs de 0 allant de 0° à 180° par incréments de 10°, la vitesse angulaire et l'accélération angulairt' de la tige BD ainsi que la vit0S e ct l'accélération du piston P.

15,C4 Une tigCJ\B se déplace sur une roulette tin C taudis que l'extrémi té A se déplace vers la droite à une vitesse constante de 180 mm/s. Écri\'ez un progranlme permettant de calculer, pour des valeurs de 6 allrolt de 20° à 001' par incréments de 5°, la vitesse du point H et l'accélération llngulaire de la tige, Eu utilisant de plus petits incréments, calculez l'angle 0 pour lequel l'aœëlérutïcn angulaire a de lu tige est maximale et la valeur de cette accélération angulaire maximale.

8

rmn

FlgUl'e P15.C4






966

Mou\ emiilnl 0\ .., recs fil accafernllOns

G o

-

(11)

(h)

Figure 16,7 (reprise)

-

Figure 16.10

,0

forces FI. F2' F3..... agissant sur Le corps, l'accélération il du centre de masse du corps et l'accéléraüon angulaire a du corps. On se sert de cette relation, représentée ~ la figure 16.1 sous la forme d'une équatlon scllmllatique d'équilibre, pour déterminer l'accélération il et l'accélération angulaire Q- produites par un système donné de forces agissant sur un corps rigide ou, inversement, pour déterminer les forces qui produisent lUl mouvement donné du corps rigide. On peut utiliser les trois équations ulgébri(llles 16.6 pour résoudre des problèmes de mouvement dans un plan", Cependant, l'étude de la statique suggère qu'il est possible de simplifier la résolution de nombreux problèmes portant sur des corps rigides en choisissant judicieusement le point par rapport auquel on calcule les moments des forces. 1:1 est donc préférable de retenir la relation entre les forces et les accélérations sous la forme schématique (le la figure 16.7 et de déduire de cette relation fondamentale les équations des composantes ou des moments qui conviennent le mieux pour le problème à résoudre. La relation fondamentale schématisée à la figure 16.7 peut se présenter sous une forme différente en ajoutant aux forces externes un vecteur inertie -,71 a, dont le sens est opposé à celui de il et dont l'origine est eu 9, el un couple d'inertie -[a. dont le moment est dt" même gr.tndeur (Ille l Qet dont le sens est opposé à celui de a (6gtlre 16.10). Le système ainsi obtenu est équiv..alent à zéro et l'on dit que le corps rigide est en équilibre dspiamique. Qu'on applique directement Je principe d'équivalence des forces externes, comme à la figure 16.7, ou qu'on utili e le concept d'équilibre dynamique, comme à la figure 16.10. l'emploi d'équations schématiques d'équilibre. représentant sous forme vectorielle 1.. relation entre les forces qui s'exercent sur le C~)rp$rigide et les accélérations linéaire et angulaire résultantes, offre de nombreux avantages comparativement à l'application automatique des formules 16.6. En bref, on peut énumérer les ',lV'c:lntages suivants. 1. L'utilisation d'une représentation schématique permet de mieux comprendre l'effet des forces sur le mouvement du corps. 2, La résolution d'lm problème de dynamique peut se faire en deux étulJes : premièrement, UI) analyse les caractéristlques cinématiques et cinétiques du problème, puis on trace un diagramme du corps libre, (voir figure 16,7 ou 16.10); deuxièmement, on se sert du diagramme pour analyser les forees et les vecteurs en cause à l'aide des méthodes décrites au ehapirr» 3. 3, On dispose d'une même méthode pour analyser tout t)1_)8 de 1110Uvernent dans un plan d'un oorps rigide. Bien que la. cinématique des mouvements étudiés puisse varier d'un cas il l'autre. l'étude de la cinétique du mouvement demeure tOlljOUT.S la même. Dans tous les cas. OD trace un schéma représentant les Forces externes, le vecteur associé au mouvement de C et le couple la associé à la rotation du COTS par rapport à C . .~, La décomposition du mou .... ement d'un corps rigide dans W1 plan en U11C translation et en une rotation centrale est un concept fondamental dont l'application donne de bons résultats dans l'étude de la mécanique, Nous aurons de nouveau recours à. ce procédé au chapitre 17, lorsqu'il sera question de la méthode ml travail et de l'énergie, et de la I1léthodc de l'lmpulsion et de la quantitë de

"la

lilOU l1(?1r1cut.

5. Il ne faut pas oublier que la dernière des équations 16.6 s'apphque umqucment IIU mouvement dans UD plHJI J'UJl corps rigide ~}'1nétnque)Mr rapport nu plan ÙC ré{érellc..'C. Dans tom k$ autres

eas, il faut employer

)~Sméthodes

décrues uu cl:w.p!trc 18.

Copynghted matenal




•r

PROBLÈME RÉSOLU PA-16.4

T

,"

0,'" III

Cf)'

OII enroule une corde autour d'un disque homogène de rayun r = 0.5 rn et dl' mass« "1 = 15 kg, On tire vers le haut sur la corde avec une force T de 1801\. Déterminez: a) l'accélération du centre' du disque; b} l'accélération :\nglllair~ du disque; c) l'accélémtiou de lu corde.

SOLUTION Équntions du mouvement, On suppose (llle les composantes a. et iy de l'accélération du ccntro du disque sont orientées respectivement vers la drotte et vers le haut, et que l'accélération angulaire du disque est dans le sens uutihoralrc. I.('s forces externes agissant sur le disque ecmprenneat son poids W et la foree T exercée par la corde. Ce système est équivalent au système des forces effectives, qui consiste en \III \'ccte~r t1yUllt SOli origtne en C ct dont les composantes S01lt nI ll;r et ,niy, et un couple la. Donc,

:4 "iFx = !(Fr)

il, = 0

0= /lla T - \V = 1l1fly

e IT:

L

+t~F!I = I.tFy)•.rr:

~

a.,_ = T - 'l' III

Puisque T = 180 N, -

T

III "'"

15 kg, et \,V = (15 kg)(9,8J (n/!>~)= 147.1 N. ou

_ l, 0 ~ - 1...7.1 N _

lll) -

15 kg

2 9

,I.~

a,

- + ,1. nvs

z::

2,lg

{I

IIJ1S~

-T,' = la

c.

-

+Tr = (ll1t,-2)a

2r

2(J80 N)

a = - ,nr = - (l5 kg)(O,5

" Ill) =

-48,0 radislX

= 4~.()raN~~ J

Accélération de ln corde. COnl1l1C l'aocélérauon d~ III corde est ég.'ll(· à la t:olllpooante tangentielle de J'accélération du point A du disque, alors

a.....nJ.. = (aA)' = a + (aNC), "'"[2.19 n'lls2 tJ + [(0.5 n1)(48

racVs2) tl < ..

ni.. -

26.2

titi!! Z

t

971







Prob ornes

16,29 Un tambour de frein avant un ravon de 150 nl111 t'si rt,li\~ à lin volant , , (uon Wu tré) dont Il, rayon est supérieur il celui du tambour. IR moment d'inertie

SOmm

dl' masse total clu tambour <,t cl u volant est de i5 kg . ln~. On contrôle le IIl0U\'(;,IIICII1 du système i\ l'aidE' d'un fr("in i\ bande. Le coefficient dé frottl'Ineut cinétique entre lu courroie pt 1(>tambour est dt' 0,25. On applique une fof'('{' P dp 100, lorsque la vitessr- angtllnirl' ri u l\) 'llt\tlll' r. t dt· 24() r/min dan' le eus horaire. Déterminez Il' temps que met Il' s~·tèrnc pour s'arrêter, Démontrez qu'on obtient le même résultat ~iln \;t('~~('anl!lIl,lIn~ jUili,llc' du s~ tl,,,I(' est de 240 r/lnin Ù.ulS Il' Wl\S unuhoraire 16,30 Un t.unbour (k' fr\'ln H)LUlt un rayon d' 0.2 m est relié à un volant (11011 illustré) dont le ruvon est supérieur à celui du tambour. Li> moment r1ïnrrtil' de' masse total du tnmbour ('1 du volsn; est dl' 19 kg . lU:l ct le è(X'Bléiellt de fmUl'llIl'nl cinétique entre II' tambour r-t la s('lnl~lI(' cie' fN'in est cie 0.3.:;, La \ill·S..I· all~lliltin.' du volant est dr 360 r/lIlùl duns Il' sens antihoruire quand 011applique une force P de 33-J :\J sur la pédale C. Détonntnez le nombre oC' tours l'}U'plTcctJlC' 1r- volant avunl dC' s'l1rr(·!('r.

A ~mm 150 rum

E 320 uuu

I...,__ FIgure P1S.29 t-0.15rn

16.31 R('sol,·(''1. 1" problème L6.30 en supposant que lu "ite~sl' ul1~lllli re initiull" du volant pst dc' ,1('i()l-/nlin dans le sens horaire. 16.32 IR volnnt fllustr~ n 1111 rayon de 500 mm. une masse df' 120 k~ ft 1111 rayoll de gyr~ltiull de 315 111111.On a attaché un bloc A de 15 kg à un câble pnroulf> autour du volant. II:' systt-nlt' est iultlalenu-nt ail r<,pos_ En 1I1lppo ..nllt I[UI' l'I·liC·1 du

0.25

III

Ïrottement est lICoglig(·[\ulc. déternünez-

a)

l'accélération du bloc

b)

la vitesse ÙU bloc f\ après qu'il a parcouru une distance dl> L.5 ln

1\:

16.33 Afln dl' détermlner le moment d'inertie de masse d'un \ olant de 600 mm de rayon, on attache lin bloc cff' 1:2kg à lin cah)(· enroulé autour du volunt On lih~'rl' 1(.'bloc et on 1I0t(.' qu'U tombe 'ur une distance de 3 ru en 4.6 s. Pour éliminer des calculs le froucmcnt des roulcmcots, on utilise un second bloc dt' 24 kg. On obsc 1'\ c qu'if tombe sur une distance de 3 IIIen 3.1 s. En supposant que le moment du couple associé RU froltl'JlH'llt demeure constant, déterminez Il' moment d'inertie dt' masse du volant

D l'

C I-O.3i5m

-.1

Figure PtS,30

16.34 Chacune des poulies doubles illustrées il lin moment d'ill('rt ir de masse dl' 20 I..-g • III.! et l'loi Iuiuulemeut au repos, Les poulies ont un rayon extérieur de 0,4 m cl un rayon intérieur dl' 0,2 III. Détemuncz: a} l'uccélérution anglllLLire dl' chaque poulie; b] IR vi!f'sSC' angllinire de chaque poultv après qu(' te pClflll ,\ de chaque corde a ptlrCt)11 ru 3 Ill.

Figure Pt6,32 - P16.33

\

7S5N (l'

230 lIg 150 kg (3l

(4 )

Figure P16.34

16.35 t.ti 11Itl1lS(.' t'l Il' rayoll du disque A sont respecticement UlÀ = 5 kg cl rA = 90 mm, tandis quI' la 1I1U."S"l· et le rd)'01l du disque B sont respectivement IIiU = 2 kg ('ll'" - 60 111Jl1. [..t'~ disques sont ail rC'[lOS. qualld on nppliqul' au disque A UII couple ~I dont le moment est de 0,6 N ' m. En ~'llpposant clut' Ips dis(llies ne gjjssellt pas l'ulI sur )'untr<>, t}fotenllinf>z: a) l't\c(.'(ol~rlltioll 'ln~ulturl' dl' l'InIque disqUl\: b) la force de frotteillent que le c1i'ique A exerce l.ur le dl'ique B.

Figure PtS,as

p

979




16.72 111lnCC

Solutionnez le problème

16.71 eu supposant qu'on 1wH.'(· plutôt un

'6.8 "40uveme.nt dam

Ou pince une sphère uniforme de rayon r et de

Inti

se

"1.

985

plat!

." Pf'éHnce de coolnlmtes

anneau uniforme clf' raycn r C't dE' masse ni.

16.73

UiI1

la vitesse

initiale étant nulle, sur une courroie qui sc déplace vers la droite à une vitesse constante Vl. On désigne par J.L4 If' coefflcient de frottement cinétique entre la sphère et la courroie. Déterminez: a) l'instant t 1 Où la sph;'rl' commence fi. roul<-r saes glissC'r; b) tes vitesses linéaire et angulaire de la sphère il l'instant t l'

Figure P16.73

UnI' sphère de rll}'on r et dl' masse In a une vitesse linéaire v()vers la gauche ct une vitesse- angulaire nulle quand on la Illet sur une courrote se dfplaçant vers la droite à une vitesse constante "1' La sphère glîsse d'abord sur la courroie, mais on souhaite qu'elle ait une vitesse Linéaire nulle pnr rnpport au sol lorsqu'elle commence à rouler sans gLisser. Déterminez en Ionction de VI et du coefficient dl' frottement cinétique fJ.k entre la sphère (·t ln courroie: a) la valeur que cloit avoir (;0; b) l'instuut t l Où la sphère (..-0011"('11(.)(' à rouler sur IH eourmio ; c) la distance, par rapport au sot, parcounle par la sphère li l'Instant fi'

Figure P16.74

16.74

16.8 MOUVEMENT DANS UN PLAN EN PRÉSENCE DE CONTRAINTES La majorité des applications en génie porte-nt sur des corps r1gicle.o;(lui se déplacent en pré enoe de contraintes données. Par exemple, les manivelles doivent tourner par rapport à un axe fixe, Jes roues doivent" tourner SéU1S glisser et les bielles doivent décrire des mouvements déterminés. Dans tous les cas (le ce l)1le, il existe une relation bien déflnie entre les composantes de l'accélération (lu centre de masse G du corps étudié et J'accélération angulrure a de celui-ci; le mouvement correspondant est appelé ,nOIlvet11cnt

a

présence de c01l1 raintes. La première étape de la ré olution d'un problème portant sur un mouvement dans un plan en présence de contraintes est J'(lfl(Jlyse cinémntlque. , en

A titre d'exemple, considérons une mince tige AB cie longueur 1 et de masse 111. dont les extrémités sont reliées à deux blocs, de masse lIég!ige-ilLle, qui glissent sur des rai}... lisses. dont "un est horizontal el' l'autre vertical. , On tire sur la tige en appliquant une force P en A (figure 16.11). A I;·t section 15.8, nous avons \,\1 qu'il est possible de déterminer l'accélération du centre (le masse G de la tige à n'importe quel instant, et ce, il l'aide de la position de la tige, (le sa vitesse angulaire et dt' son accélération ang'llaire il

a

l'instant donné. Supposons maintenanr
• 1

il,.

1

....L

(1.t4.«)

p

_

1

Figure 16.11

~

SUppOSOllS maintenant qu'on connnît

la

-

•

ma~

ma,

w p

FIgure 16.12

Copynghted matenal




100 1l1l11

60

PROBLÈME RÉSOLU PR-16.9

mm

On enroule une corde autour du tambour intérieur d'une roue, puis on tire horizon-

talernent sur la corde avec une force de 200 N. La masse de la rolle est de 50 kg et son rayon de gyration est de 70 mm. Sachant que les coefficients de frottement sont respectivement J.L$ = 0,20 et J.LI< "" 0,15. détemlincz l'accélération de C ct l'aceélé-

200~

ration angulaire de Laroue.

SOLUTION (1) Roulement

S[ 00 suppose que la roue tourne sans glisser,

sam glissc,ncnt.

alors li

::2

ra = (0.100

lU)Û

On vérifie si l'hypothèse est exacte en comparant la valeur calculée de la force de frottement avec sa valeur maximale, Le mornent d'inertie de la roue 'st

1 = mk: 2 = (50 kg)(O.070 In)!! "'" 0,245 kg , m2 ÊqtlationlJ du mOlll'cff,erll

+JI.\lc"'" I(t\-Cc)..rr:

w

8,00

(200

)(0,040 ln) = ,na(O,lOO ln)

-

+ 101

'. m = (50 l..'g)(O,l00 rn) a(O,lOO m) + (0,245 kg' m2)a a = +10,14 radl~ li;;;; r œ s= (0,100 n1)(10,74 radls2) = 1,074 nlfs2

O.lOOm

F

+ 200 N = tna

F

+ 200 N = (50 kg)(l,074 mJs2)

F = -1463 , N

o 1~ICI m +i~Fy

N

F"" 146,3N-

= l;(F!()('IT:

N-\V=O

N - \V;; IIlg ;:; (50 kg}(9,81 nlfs2) = 490,5 N

N

= 490,5

N

t

Valeur tna.n,nale de la force de frottement Ffi,"', = jJ..,tV = 0,20(490,5 N) ;;;;98,1 N Comme F

> Fm""", l'hypothèse relauve au mouvement est Inexacte.

b) Roulernent

avec glissement. fois. on trace un autre diagramme, où

Les calculs effectués

a et

exsont indépendantes

Fr.: = J.LI..N = 0,15(490,5 N)

F;;;;

,\

Puisqu'en fait la roue tourne el glisse à la

= 73,6 N

(1) Indiquent que F est orientée vers la gauche. Les équations du mouvement sont les suivantes: QI)

200 N - 73,6 N = (50 (l ;;

(1

992

et où

l(lI) m

kg)ti

+ 2,53 rn/52

+JI ..\1c = I(l\[c)"rr: (73,6 N)(O,I 00 m) - (200 N)(O,06O m) ;;;; (0,245 kg' n,2)û Cl' "" - 18,94 radls2 ex = l "1,94radl~ ~




Uu disque de turbine ayant une ruasse de 26 kg tourne à une vitesse constante de 9600 r/llUn. Le centre de masse du disque coïncide avec le centre de

rotation O. Détemuncz la réacnon en 0 immédiatement après une 111f1SSf' de"45 kg et située en A, SI" détache du disque.

qu'une

aube. ayant

Figure P18.83

Figure P16.82

fi,briqu(' l'obturateur jllllslrc~ en enlevant un quart d"111 disque de 15 UIlIl de' rflyoll. On tltilise l'obturateur, qui ft 11111' masse de 57 kg et une vitesse constante cil' 1500 r/lllill. pour illttrcc:pt('I' 1Ir1falseeau lumlneux provenant de la 1('J)ti)J('Cil C, Délenuinez la grnndC"lIl'dt" la force que l'obturateur exerce sur l'arbre au point il. 16.83

011

997

P oblêmes

16.82

M

16.84 et 16.85 Uue tige uniforme de IUlIgllcur L et de masse 111 est suspendue tt'I qu'illustré, Le câble retenant I·ûxtr(-nlitf. B se rompt sondalnemcnt. Opte rmt n e70: (1' l'uecélérution de l'extréruité B; l,) la [,;action à la cheville de support.

rh: ';-j c

B

•

I~

I-

.1

li

L

Figur. P16.8S - P16.86

Figure P16.84

1686 Une lige uniforme dé loozucur L I~l dt:' masse UI est suspendue tel qulUustré. Le câble retenant l'extrémité B st> rOlllpt soudaluement. Déte rmi nez : Il) 1.1 distance b pour laquelle l'accélérauon de l'extrémité A est maximale: l" l'accélération correspondante à l'extrémité A et la réaction en C.

16.87 Un mince cône uniforme de masse 111 tourne libre nient autour de la tige horizontale 1\.13. Lu CÛIll! est iultiulemeut au repos. dans la position iJJustrtc. Détermlnez : Il)

l'tl<:<:ulénatioll du sommet

il)

la réaction cn C.

D;

A

L

Flgu:ra P16.87

C P

j




AB de IDiISSl' III est suspendue lL LIli p('lLt chariot de même masse. tel qu'illustré. Leflet du frottement étant né~Ii~(·abJ(:'. déterminez l'accélération du point A et celle du point B immédiatement après qu'une foree horizontale P u été appliquée au point B. ·16.144

P,QbI

Une ruinee barn' uulfonu«

• •

L

1.

1

,

p

4

B

If

Figure pte.144

*16.145

Une mince barre'

Figure P16.14S

uniforme AB de masse 111 est suspendue à un disqur:

uniforme dt' même masse, tel qu'illustré. Déterminez l'uœélération du pclut ,\ ct celle du point B immédiatement après qu'une foree lrorizontule P .l ét~nppliqllrr

au point B. I.a minee tige AB de 5 J.:g es:t rivée à un disque unlforme de li k~. rom me l'indique la fi&,ture. Déterminez, à l'instant où Il' S) tëmc e n1rl en 1110U\iCIllrnt l partir du rcpo . l'accélération: -16.146

"} l"

du point A ; du point B.

250

,

11H11

100 111111 8

Figure P16.146

Le cylindre 8 de 2,; kg ('1 1(' coin A de l,S kg sont maintenus au repu!>. dans la position illustrée. par Lacorde C. On UpPOS(' quC' 1(· *16 147 et '16.148

cylindre roule. ur le coin sans gltsser cl que le frotlement entre le coin C't1('sol ('si négligeable. Détermtnez, unmédlaternent après qu'on a L'OUpé la L'Ortie C I,) l·a(.·(.~I~n"'tiorldu coin; b] l'accélération allb'ltlaire du c:yliudre.

Figure P16.147

Agu,. P16.148

4

J1

mes

1005




...


16.153 011 iusère l'axe d'un disque dont If' l"èlyon f'~l cie' 127111111 dans Ul1(> rainure' qui forInt' lin flnglt· (J "" 10° 1l\'{'Cla vertica]e. Le disqu ....est tHI rl'pos quand on le Illet en contact avec la courroie d'un COI1Vo)'f'llr qui 'If' rlt~placC' h \;t('o;Sf> COUShUlh ..-. Le cot·tncicut de frott(.·nl~lIt cinétique l'litre le disque et la courroie t.>~t de 0,20 et le frottement de roulement est négligt'ahl(·. Déterminez l'nC(~lprfltion

angulaire du disque alors qu'il glisse.

IÔ.l5.'3 ('11 supposant Ilu'on iu\'f"I"lf' Il'

Soluttonuez 1("problème du mouvement df' la courroie. 16.154

~{'II,

16.155

Des bras J noblles eutraîucnt des cylindres idcutiqucs dl' ruasse 'II t..t dl' rayon 1: Le coefficient cil' frottement entre toutes les surfaces est Il < 1 et on d(~signe

par

(1

Figure P16.153

la grandC'ur do l'accélératlon des bras, Trouvez une ('xprc':isinll rc'PI'(oSf'Olant : (1) la' alcur IllaxUlluic dl' a lorsque chaque cylindre roule sans ~llSSt'r; b) lu valeur nlinitllal(' de (1 lo(s(lu(! chaque. t:yli Il cl re ~l' d.~plal,(· \'(>1'$ 1.1 droite sauli rouler.

Figure P1'6.1S5

Un cycliste l'Oule li une vitess« cl . :32 knv'h sur une route horizoutule. La distance entre les moveux des roues du vélo est dt' 1000 n1111 et If' centre de n13SSf' . du système formé par I~ (·yclis'lt:·et lu bicyclette est situé à 660 111111d~·rril:rt·l(! rtlO)'f'U avant et il 1020 mm au-dessus du sol. En supposant tlUE' le cycliste serre les frf"ins uniquement sur la l'Out' avant, t!(>tl\ruÙJH:'z la distuncc mininrule d'arrêt pour que II" 16.156

conducteur ne soit pas projeté par-dessus le guidon, 16.157 Lu lig<' UJ1[fol'111(' l'B. dont Il' poids ('SL lorsque f3 = 70°. On considère (111ela force de frottement

slIrfaœ est

aS$('?

tigt' se mer

('11

(JuiLLl' l'état dl' repos entre l'extrémité A el la 1(' gliss('nlï'nl, Déterminez, rl l'instant ail ln

grand" pour empêcher

\\'.

mouvement:

a)

l'accélérauou wlglllJirt' de la tige;

b]

la réaction normale en A;

e)

la 1'01\.'C de Ïrotteurent

t'II

Figure P16.157 - P1'6.158

i\

16.158

Ln tige uniforme 1\8 de poids \\' quitte l'étal de l't'pus lorsque f3 = 70°. En lIégligt'ant touu: foref' ch- frotll·[lIt·lIt. clt~t('nllil1l';r_ li lïll.~tallt où la ti~c se met en mouvement:

fi)

1'lt'irHtiuH HlIguJaire dL' la tige;

b)

I'accélération du centre dt' la rc"aclion en Il.

(')

1l11iSSf'

dl" IR tigf';

16.159 La IllQSSt· totale J'un baril pletu et de On sait que Ji,. = 0.40 pt que Ill. = 0,35. On appltque l'indique la Îlglll'f:'. Détermlnez .

910lnnl

est de 91 kg 1111(" fol'C(' de' 400 r (.'001111\" ~'OII contenu

a)

l'accélération

b}

la ganlllle des valeurs de h pOLlr lesquelles le baril

f

4('l()Ulm

du baril; lit'

bascule pas.

Figure P16.159

1009

C P




1016

'''OUl(sm&ol d'un COrpS (Ig'OO dam. lu plan t.~èmodes de l'ènerg's êl de la quanlllf!

de mouvemern

d'exprimer plus directement l'énergie cinétique en se servant du fait (lue la vitesse v, de la particule PI est égale au produit r/û) de la distance ri entre PI et l'axe fixe et de la grau(Jeur (J) de la vitesse angulaire du corp.~ à l'instant considéré. En remplaçant la gralldeur de la vitesse Je P, I)a,r cette expression dans l'équation 17_2, on obtient

1"

l(rI)

T = - ..__. Ürn Il (r w}2 = -OLII\',.2 Z 1-1 - '~l

c.Jl

~'1l

ou, puisque la SOU1Jne du membre de droite représente le 1I10meJIt d'inertie 10 du corps par rapport à l'axe axe passant par 0,

T= !tloc,}-

(17.10)

JI est à noter (11te !ps résultats obtenus ne se vérifient pa.' uniquement duns le cas du mouvement d'une plaque plane 011 d'un corps symétrique par rapport au plan de référence. Ils s'appliquent en fait à l'étude du mouvement dans le plan de tout corps rigide, quelle qu'en soit la forme. Cependant, comme l'équation 17.9 est valide pour n'importe quel mouvement dans le plan, [nais que l'équation 17.10 s'applique uniquement ail cas d'une rotation non centrale, on utilise la première dans tous les problèmes résolus. 17.5 SYSTÈME DE CORPS RIGIDES

Si

un

problème porte sur plusieurs

C(lrpS

rigicles, il

pst

possible (le eonsi-

dérer chaque (.,'()rpsséparément et cl'uppli(IUer le principe du travail et de l'énergie ~ chacun. En additionnant les énergies cinétiques respectives de toutes les particules et en prenant en compte le travail de toutes les forces en jeu, on peut aussi écrire l'équation du travail et cie l'énergie pour la totalité du svstème : • (17.11) où l' représente la somme arithmétique (tous les termes sont positifs) des énergies cinétiques respectives des corps rigides qui constituent le système et UI .....2 reprPsente le travail de toutes les forces agissant SUT les corps. qu'elles soient internes ou externes relativement au système considéré comme lm tout. La méthode du travail et de l'énergie s'avère particulièrement utile pOlir résoudre des problèmes portant sur des membres reliés au nloyen cIe chevilles, de' blocs et des poulies reliés par des cordes inextensibles et des engrenages. Dans tous tes cas. les forces internes forment des paire de forces (le même grandeur et de sens opposé et, dans chaque l)uire, les points d'apphcation des forces parcourent des {1i.\ÙJ/l('~' égale(j pendant que te sy~;tèJne effectue un petit déplacement. Il s'ensuit que le travail des forces internes est nul et qlle U I-Z se réduit au travail des forces externe 011 systèrne.

17.6 CONSERVATION DE l::ÉNERGIE ts avons \'"0, à la section 13,6, c1ue le travail de forces conservattves, tels le poids d'un corps et la force exercée par un ressort. s'exprime sous la forme d'une variation d'énergie potentielle. Si un corps ligide. ou un système de corps rigides, se déplace sous l'effet de forces conservatives, le principe du travail et cIe l'énergie, énoncé à la section 17.2. 'ex-prime sous une NOl

forme dlfféreure. En remplaçant U1_l? (Jans l'équation (Ion née }! l'équation 13.19', on obtient

1.7.J par l'expression

(17.12)

Copynghted matenal




PROBLÈiME RÉSOLU PR·17.5 Lés deux tiges minees illustrées ont chacune une longueur ùe 0,75 Il) et une ruasse de 6 kg. Le système quitte l'état de repos IOnique f3 "'- 60°. Déterminee: a)

la \itesse angulaire de la tige AB lorsque f3 = 20°;

h) la vitesse du point D

Ali

même instant

SOLUTION ,

Cinématique du mouvement à f3 = 20~.. Etant donné que le vecteur VIJ est pcrpcndlculaire tt la tige J\B et que VD ~sthorizontal, le centre de rotation instantané de ta tige BD se trouve en C. Lanalvse géolnélriquf> dr la figure pf'rm~t d'écrire

BC = O.ï.5 III

co == 2(0,;5

ln) sin 20° "'" 0,513 III

appliquant la loi des cnslnus au Iliangle CDE, où E coïncide avec If' centre de masse de la tige BD, 011 obtient EC = 0,522 ln. Si w désigne Lavitesse angulaire de En

la tige I\B,

UII

a (O,3ï5 In)w

PAB = "II

O.375w \j = 0,75w ":w

VAB ;:

= (0.75 m)w

\'1$

Comme la tige BD semble tourner par rappcril _______

K_

VH;;;

(l~C)w1Jl)

(O,75111)W = (0,75 LU)WUD Vnl) = (EC) W,JI) = (0,522 ru) w

(1)80

VOl)

== w~ = 0,522 w ':..

Position

1. Éllergie potentlelle, Si on choisit l'axe {le référence comme l'indique la f1gurl' , étant donné que \V = (6 kg)(9,81 1111s2) = 58,1:16:-.J, on a

B

v, Ént'rgie

= 2 \VYI = 2(58,1)6 N)(O.32.5 m) = 38,26

Ci'lftiqllC"

CU1I111ll'

J

le système est au repos, TI = O.

Po..ilion 2. Éncrl!ie potentlel!«

A

D

A-~f' tic: réfén:II(''C

Posillou 1

"2"'" 2\VY2 "" 2(58,86 N)(O.12S3 ln)

J

Énergie cillétiquc kg)(0.75 Ill)!! "" 0,281 kg' Il.2 -Ol .. 1 ~ 1 -1 ., TIl = . III CÀB + >1 1.\JIWAB + JUI V wn + ! /JI} "'Bu = !(6)(O.3ï5w)2 + ~(0.28)w2 + ~(6)(O,522w)2 + t(O.281}w='

TAB 5S,9 ~

= 15,10

11

;:;: 18t};;;

i! '11/2 = r1(6

= 1.520w2 A

T-r--y; Ay ~

de rélérenee

Positioo 2

0,12&1;-

Conservation

de I' éUt'rgic.·

D

1'1 + \'1 = T2

o +.3

+ \J~

.26 J == 1.520cd- + 15,10 J w = 3,90 radis

"itt.'s~t.' du point 1) t:1) =

«(;D)w = (0.513 m)(3,90 rad/s) = 2,00 n'lis "'1) -

:1 011 ru~-

1023




1030

'.iou\l1!moflt d un eoœs IIglOO dM$ le plan Méthodes de rél"lergle el de la quanute

de mouvement

17.26 U 11 câble est enroulé autour d'un cylindre de rayon r et de masse 'li, COOln1e l'indique la ngllre. Sachant que le cylindre est relâché à partir de l'état au repos. déterminez la vitesse Ou centre du eylindre après l[ue celui-ci Il parcouru WH! distance s vers le bas. 17.27 Solutionnez le problème 17.26 en supposant qu'on ait remplacé Il' cyiindre pur un tube à paroi minee de rd)'on r et de masse IPl. 17.28 Vil manchon D. (le masse ", et de dimensions négligeables. est fL'{~à une jante de masse identique ,ri et de rayon r, qui l'oule sans glisser sur une surface horizontale. Déterminez la vitesse angulaire WI de la jante en Ionction de g et de r lorsque B se trouve directement au-dessus du centre A. 011 sait que la vitesse angulaire de la jante est égale à 3wI lorsque B se trouve directement sous le centre A.

Figure P17.26

Figure P17.29

FIgure P1728

17,29

Une deml-seetion

d'un hlbe a une masse

1Jl

et un rayon

1:

Elle est ini-

tialemcnt au repos dans la position Indiquée, puis elle roule sans glisser. Détertmnez . a) sa vitesse angulaire après qu'ene a effectué 1I0f' rotation de 00° • h) la réaction Il la surface horizontale au même instant. {/lIclice: CO = 2rl'iT ~ el, selon If' théorème des axes parallèles, r = Illr-~ - IntCO)-l.

-

17.30 Deux cylindres uniformes, ayant chacun une n'lasse de 6,35 kg et un rayon r = 121 mm, sont reliés par une courroie comme J'indique la figure. Sachant que la vitesse anglllair<' initiale fin cylindre B pst oc 30 radis dans le S('IIS antihornire, détenninez:

(1)

la distance fi laquelle s'élève Je cylindre A avant que la vüesse angulaire du cylindre B ne soit réduite i\ 5 racVs ~

b}

Figure P17.30 - P17,31

la tension clans 1"partie de la courroie situé, entre les deux cylindres.

17,31 D"':1Ixcyllndres uruforme • nyaut chacuu m'le musse de 6,35 kg et un rayon r = 121 mm, sont reliés par une courroie comme J'indique la 6gure. Si Je s)'sti'me quitte l'état cie repos, déterminez: a) la vitesse du centre du <.-yfinclre A après que celui-ci a pan.:ouru 915 mm : h} la tension dans la partie de la courroie située entre les deux c>~illdres. 17.32

La tige BC, dont la masse est de 5 kg, est reliée

n

deux disques uniformes au moyen dt' chevilles COnl111t' J'indique la figurt'. La masse du disqllf' ayant un ra>ron de 150 mm est de 6 I.:get celle du disque ayant un rayon de 15 mm est de 1.5 kg. Sachant que le systërne quitte l'état de repos dans lu position Indiquée, détenulnez la vitesse (le la tige après que le disque A fi errectué une rotation de 00°. 15 mm

Figure P17.32

C p n




Si on remplace respectivement les systèmes des quantités de mouvements des diagrammes a et c de la figure 17.6 par le vecteur quantité de mouvement et le couple moment cinétique équivalents, on obuent les trois diagrrunules de la Ggure 17 .B,laqueUe ex'f)rinle. sous la forme d'une équation schématique d'équihbre, la relation fondamentale (équation J7.14) dans le cas du mouvement dans le plan d'une plaque rigide ou d'un cOI})S rigide sytnétriflue [):lJ' rapl)ort au plan de référence. y

y

1Î 8 PIIr>C pli!

ce rlmpu SIOn et De 'a

1035

quaf'111éda 'l"OUlJ~rnilfit apç4ique au mOU"'9':11!1'!1d':ln corps

ilgtdl.l rJilOS

le pld:'1

-

-

,uv_

[Fdt

+ o

o (0)

x

o (b)

(c)

Figure 17.8

On peut tirer de la figure 17. trois équations du mouvement. Deux équations sont obtenues en additionnant les C011lpOS0l1lesen x et en lj des quantités de mouvement et des impulsions, puis en posant l'égalité entre les sommes; on obtient la troisième en additionnant les mOfllents de ces vecteurs par rapport à n'importe quel point, puis en posant l'égalité entre les sommes. On peut choisir des axes de coordonnées fu.es dans l'espace ou encore un repère qui se déplace avec le centre de masse du corps tout en conservant une direction fixe. Dans les deux cas, le point par rapport auquel on calcule les moments ne doit pas changer de position relativement aux axes de coordonnées durant l'intervalle de temps considéré. Lorsqu'on écrit les trois équations du mouvement d'un corps rigide, il faut prendre garde de ne pas additionner indifféremment les quantités de mouvement et les moments cinétiques. On évite de commettre des erreurs en se rappelant (lue rn Vx et III Î3y représentent les (X)lflTl.()Santes tl'un cecteur, soit le vecteur quantité de mouvement 111 V, tandis qu~ 1w représente la gran·· deur d'un C
Dans ce cas particulier

de mouvement dans le plan. la grru'Idellr de la vitesse du centre de masse du <.'orpsest V = rw où représente la distance entre le centre cie masse et l'axe de rotation flxe. et Cd représente la vitesse angulaire du c'Otps à l'instant considéré. La grandeur du vecteur quantité de mouvement ayant son origine en G est donc rn v = 1nrw, En additionnant les moments pat rapI)()rt à 0 du vecteur quantité de mouvement et du couple moment cinëuque (fiuure 17,9) et en appliquant le théorème des axes parallèles pour les moments d'inertie, on constate que la grandeur du moment cinétique Ho du corps plir rapport à 0 est'

r

Figure 17.9

(17,15) 1. 1] est à noter qut' lB somme H.\ des moments, par mpport i\ un point arbitraire A,

des quantit4s

de mOI1~""Cmcnl des particules d'une pla'l1JE" rigiclt> n'('.$1gé[}~mleownl pa..f égal", fi l 'I(U (voir le problème li.67).

Copynght d ma nal




PROBLÈME RÉSOLU PR..17.7 On

hUI ce

une sphère uniforme, de masse

et de rnyou r, sur une surface hori-

III

zontale rugueuse, La vitesse linéaire initiale de la sphère est VI et a vitesse an~lIlaiFl' initiale est nulle ,

dl" frottement cinétique entre la sphère et la surface

If' coefflclent

est 14. Calculons:

a) l'Instant '2 oü la sphère commence Il rouler sans gli!i$f'l'; b) les vitesses linéaire et angulalre de la sphère à J'instant t'l.

SOLUTION Lorsque la sphère glisse sur la surface, elle est soumise ù la furL'c nonualc N, à la

fore' de frottement F el ~ son propre poids \V, dont la grandeur est \V = 111g. Principe de I'tmpulsion et de la quantité de mouvement. Ollapplj[ltI(· 14' principe de l'impulslou et de la quantité de mouvement à lu sphère pour l'Intervalle de tenlps allant dt' O.soit l'instant où la sphère uitre en contact avec la surface. à l'l ;:: " l'instnnt où la sphère COIl)I))f'IlCr (i rouler SflOS glisser.

'1 ~

+ c

c

S)'1"'t. qté. mvmt. + Syst. imp. exl'I 2 = Syst. qté. m".ntz

+ Î composantes rn y :

1\11 - ", f = 0

( l)

-4 composantes en 1" : +J moments !>H.rrapport à G:

(2) (3)

DE' l'équation l, on tire N ;; \" = ln g. Durant la torltUté de l'întervalle de temps considéré, le glissE.'lllent se fait en C. et F = J.4~7 cette exprcsslon dans l'équatioo 2, 011 obi je'ul n,cI

Jo' = J.4 "'g et 1 =

-

i'" r2

1l*"lgt

= 1I1tJe

=

C2 = ('1 -

(4)

jJ.kgt

donnent, par suhstttution dnns l'équation 3,

5 J.Lkg

w~=2

La sphère

En remplaçant F pal'

J.LkUlf!"

t

(5)

"

à rouler S.Ul$ gli'isf'r IOI'!\'Iue la vitesse C du point de contact est nulle, ..\ cet jt1~-tn,lll,le point C devient It' centre de rotation instantané et v!! - rWJ!. Donc. en f'n'echlant des substitutions dans les fClualions " pt5, 011Il commence

-2

= rW2

('1 -

=r

}.1J..g'

(2. J.4.g t) 2

,.

t =~

tl

, JJ.~I!.

~

Enfin, en substituant l'expression ci-dessus clan' l'équation 5, on obtient _ 5 JLkl!. (2 li1 ) w., - - 2 ,.. 7 }.11;1!.

-c-. = l'w.,-

w.. _- -5 -CI ~ ï r

V2 = r (-:;-; -

;)

5 II w, = - 1

)

-

Vz

-;

.-

1

= - lOt

J

__.

1039




1044

\iou"emenl d'un corps ngtde dans 'a plan ~.!ethode5 de l'énergie el de La quanll1é

ce mou...emem

17.67 Démontrez que la somme RA des moments par rapport à un point 1\ des quantités de mouv ment respectives des particules d'une plaque rigide en mouvement clans un plan est égale à IAw, où west la vitess(' angulaire de la plaque à l'instant considéré et lA est le moment d'inertie de la plaque par rapport à A si, et seulement si, l'une des conditions sruvantes est sad faite: a) Lepoint.4 est le centre de masse de la plaque . b) le point A est le centre de rotation Instantané: c) la vitesse de A est orientée le long du segment qui joint le polnt A Cl le centre de masse C. 17.68

Soit une plaque rigide initialeolellt au .repos et soumise à une force impulsive F contenue dans If' plan de la plaque. Par définition, le centre lie percussion 1) est le poiut d'intersection de la ligne d'action de F et de la perpendiculaire à cette ligne passant par C. Démontrez que: a) le centre de rotation tastantané C de la plaque ~ trouve sur le prolongement du segment CP li une distance GC = 1f2/cp; b) si Je centre de percussion sc trouvait en C, le centre de rotation instantané serait situé en P.

,

F.lgure P17.88

FlgUT. P17.69

p

B

c

Figure P17.70

17.69 À l'instant t = 0, OII pluee sur le plan incliné illustré une roue, inLtialement au repos, dont le rayon est r ct dont le royon de giratioo central est k. En supposant que la roue roule sans gllsser; déterminez: a) quelle es! la vitesse du centre df' la roue à l'instant t , b) quelle doit être la valeur du coefficient de frottement statique pour que la roue ne glisse pas. 17.70 Un volant est fixé de façon rigide à un arbre de 38 mm de rayon. qui roule sans glisser sur des rails parallèles. Sachant qu'en partant de j'étal dc repos le système met 30 s il atteindre une vitesse de 152 mm/s, déterminez le rayon de

giration central du système.

Figure P17.71

17.71 La poulie double Illustrée a LIllO masse de 3 kg cl un rayon do giration de 100 mm, On applique une force P de 24 N à la corde B alors que la poulie est au repos. Calculez: a) la vitesse du centre de la poulie après 1.5 S; b) la tension dans la corde C. 17.72 DeLL'\: cylindres uniformes, ayant chacun une masse "1 = 6,35 kg et un rayon r = 127 111111, sont reliés par une courroie comme 1'Ù)clique la 6gure. Si le système quitte l'état de repos à t = 0, déterminez: a) la vitesse du centre du eyliudre R ù l'instant 1 ::: 3 S; b) la tension dans la partie de la courroie située entre les deux cylindres. 17.73

FIgure P17.72 • P17.73

Deux cylindres uniformes, ayant chacun une masse nI :; 6.3.5 kg et un rayon r - 127 mm, sont reliés piArune courroie comme l'indjque 10 ngure. ,\ !'lllStant où le système e.st dans la position illustrée. la vitesse angulaire du cylindre A est de 30 (!leV dans le sens antJhorairc. Calculez: a) le temps requis pOUTque la vitesse angulaire du cylindre j\ soit réduite li 5 m'Vs; b} la tension dans la partie de la courroie située entre les deux cylindres.

c

p











































































En la C01l1p~1l(U'ltavec J'équc tion 19.21, on e rend oolll1)te fJll~ l'équation 19.23 représente un mouvemeet harmonique sim~le et que la fréquence natu-

19 5 Vlbralloo Iibr@ d'un corps rÇ'd.

1147

rell w" des oscillations est égale à (3g/5b)li , En r mplaçant Wi) par cette valeur dans l'équation 19.13, un obtient la valeur de la péri
=

217" WI1

Sb -3g

(19.24)

ruU1S

le ca d'osetllatlons de faible

= 2'11"

Ce résultat est valable seulement

ampli tude On obtient une de ription plu - précise du mouvement de la plaque e11compftnlnt les équnfions )9.16 et 19.22. TI est à noter que ces dernières sont identiques 'i 011 pose 1 5bfJ. ce qui signifie que la plaque oscille comme un pendule simple de longu ur l;:;; 5b/3 et qu'on peut utiliser les résultat obtenus tt [a action 19.4 [luur oortiger la valeur de la p êriode fournie par J'équation 19.2<.1. Le pùint .4. de la plaque situé 5\-11" la droite OG il une distance 1 = 51)13 de 0 (':;t par (léftnition le ecu/re (!'osclll(tti011 correspondent à 0 (liglll'e 19.5a).

=

Copynghted malena




5. (hl dêtermine lJaJ11plillUle et I~Q,tlg1f'Ire 1,/illti(! ch en remplaçant Wu par la valeur oalcnlêe, ('le même que la œordonaée et na dél"î'Véepremière par leurs \'''Meu:rsinitiales dans téquâtioft 19.10 et dans l~équation obtenue en d,ér.i:\~t cette dernière par rspport l t: On est en mesure de détennmer la posiâon, la vitesse et I'aœélératirm de n'inlp01"te quel point du ootps à t,IDinstant t quelconque à l'aide de J'éqlllilion 19.10, (les (leux équatians obtenues €ladérivant eelle-et deux fois et des l"elatiollS cinél'l\ati-ques élaborées en J.

6. D4ttS lel$ IJroblèmes Of, intc'''';Ctll "Jll' r'il,t'(,l;rtil ,1,· J~If·"it'h. on exprime la t'o.nstante de rappel eu torsion K en fl;e\;vtoos~nlètl'es l'ru- ntdian (N· nllrad). Le produit de K et de l>angle de torsion e (expruné en radians) (lonne le '1J101T'lent du couple de rappel; on pose )'éb"iÙité 6lltre ce cle:mier et la somme ,les moments des f~ 010t(les CQtlp[es e.fketifs pnr rnpport à l'axe rl:e rotation (Pl:\-19,3).

1151

Copynghted matenal








2. 0,.

/·éllf·r::.;(' c;uét;t/fte T~ dn H!/,ottc!IUe lorsl/u{' celui-ci est dans la l'(J.otit;fJII où Htl ,-;11'''''1' (1)11 masimnle. 11 est à noter que cette position est également la position d'équilibre du système, CCl/Ctl/C'

a) !i; II! "!lNI('tll(' {'iii f'UIIKtitrlé (l'"" ~PII{ (·(JI.,}/( rigide. son énergie cinétique Tf est égale à la somme de l'énergie cinétique associée au mouvement du centre de masse G du corps et de l'énergie cinétique associée à la rotation du corps par rapport à C: T:2

_'_-2

-

2111 O,n

2 + .1-[!! Wm

v

Dans le cas où la position du t'orps est définie à J'aide d'un angle 8, on exprime m et Will en fonction du taux de variation 8". de 8 à l'instant où le corps passe par sa position d'équilibre. On ~~rime ensuite l'énergie cinétique du corps comme Le produit d'une constante et de 8~. 11est à noter que si 8 mesure la rotation du corps par rapport à ~on centre de masse. comme dans le cas (le la plaque représentée à la figure 19.6, W'1l = 8rn• Sinon, il faut employer la cinématique du mouvement pour établir une relation entre (J)m et Dm (PR-19.4). b} Si Il' SyNlf'Iue , ""1''''(,11,1 I,III ...icurH ('/~rJJN riJ.!;,lcH. on répète les calculs décrits précédemment pour chaque corps en utilisant toujours la rnême coordonnée 8, puis on

additionne les résultats obtenus. 3.

()II

ciuétioue

,JOS('

/'é:!_(llill'

entre /·,:I1(,,.cie "(lIt'tI/ieTte

'',

du Hysfènle

el

SC),) énergie

l'~;

Vl

= T2

On remplace ensuite, dans le membre de droite de la première

des équations 19.15, la dérivée 8,n par ]e produit de J'amplitude 8,'11et de la fré~ence angulaire W". Les deux membres de l'équation résultante contiennent le facteur 8r" et, en éliminant celui-ci, on obtient une équation résoluble par rapport à la.fréquence angulaire wn•

1161

Copynghted matenal




Une tige uniforme CD dt' 5 kcr est soudée en C à lin arhrf' clf' masse lJégljg~abl~. 11ui est lui-même soudé aux t'entres respectif; de cleux ùj'-;(Iue uniformes A et B de 10 kg chacun, Sachant CJIIf' les df'IL"< di~ques roulent SfUIS glisser, déterminez la période de petites oscillations du système. 19.88

1)

-..t..

F'lgure P19.89

Agure P19.88

19.89

1165

PrQtllemas

Quatre barres. ayant une même masse 111 et une même longueur l, sont

reliées 1.'11/\,B, C ct D au nlorell de pivots et sont lihre de sc déplacer dans lin plnn horizontal EJI~,ssont attachées ~,quatre ressorts, ayant mie nié lue constante k, et sont l'II c:qlliü[>n' dans la positlon illustrée Sur la ngul'(' (correspondant Il 0 = 45°), Si on drpluce I(~g('reln("nt les sommets A el C l'un "PIOS l'autre, SI Ir unr- IlIPIl)f' distance, puis 'lU 'on les relâche. calculez la période de vibration. 19.90 Deux demi-disques uniformes. ayant chacun une 1I1.f.S.!>e cie 3 "-g, sonl attachés il lIO.' Uge l\B dé 2 kg. couuuc l'tndtque la ûgurc, Sachant ljUl' les <'!l'Jllidisques roulent sans glisser, déterminez lu période de petites oscillations du système. Un pendule inversé, formé d'une sphère cie masse III el d'une burre rigide J\BC Ùl' longueur let de IlltLSSE! llégligeable, l'st appuyé l'II C par un pivot Un ressort de constante k est attaché à lu barre en D, el il est au repos lorsque la barre est dans la posirton \ erucalc iHlIstrec, DCllcnnÏJ1C'Z: a) lu fréquence de petites oscillanons ; b) Iiivaleur minimale de 0 pour laquelle il S • produit de petites oscillatlons.

R •

•

•

1-----100 ... mm

120 nun

--j_1

__

Figure P19.90

19.91

B 1

19.92 Dans Ie cru. du peudule inversé décrit au problème 19.91. pour des valeurs donné...... s d~' k, dt' a ('1 dr l, on n observé (111(> f = 1,5 Hz si III - 0.9 kg ("1 que.r = O,R Hz ~i lU = l, kg, Déterminez la plus grande' valeur dl" III pOlir laquelle il sc produit dl' petltes oscillations, 19.93 Une section Ù'UII tuyau UILUOnJ1(! est suspendue au uioven dE' deux câbles verttonux. attacla('($ en ,\ ('[ en B. On fail tourner l('(gi'rf"nlC'nt If' ltlJ'UIi par rapport à l'axe central 00', puis on le r(,I;~ehl'. Détcnnincz 1:1rr(.qul'Il(;(;' d'oscillatiou.

j--"IJ

0

'1

,

l

'1'

LI

FIgure P19.91 - P19.92

l'-j "-

1

•

11 1 1 ()'

Figure P19.93

C P

1




c) Si la force appliquée P est attribuable à Ut. balourd du rotor d'lill ,noleur, sa valeur maximale est Pm = mrwj. où nI est la IIIasse du rotor, r est la distance entre son centre de masse et l'axe de rotation, et CûJ est égale à sa vitesse angulaire ta, exprimée en radians par seconde (PR-19.5). 2. Si la vibration forcée est attribuable du mOUl-emc"t harmonique ,_irulJle d'un appui ayant une amplitude S", et une fréquence angulaire Wj. l'amplitude de la vibration est Xm

=

~

l - (Wj/w,,)2

(19.33' )

où w,. = ~ est la fréquence angulaire naturelle du système. Il est: à noter que, dans ce cas également. la fréquence angulaire de la vibration est Wj et l'amplitude x"' ne dépend pas des conditions initiales. a) Il ut trè« importa ••t de lire leI conlmenta;relJ des pClragrapl,eJl 1, ICI e li), car ils s'appliquent également dans le cas d'une vibration attribuable au mouvement

d'un appui. b) Si on donne la valeur maxifMle de l'accéléralio.r a". (le /'apl)(Ii, plutôt que son déplaœment maximal 8'B' étant donné
1171

Copynghted ma nal




OÙ W.I est déf nit' par 1" relation

(C)2

., k Wd=--

2m

111

1

À l'nide dE'. relations kilt. = ~ ~tde l'équation 19.·' 1. par substitution, on obti nl W,/

= w..

1_

(;(")1

(19.45)

où la constante cler C t appelée [odeur d'amortissement, Même si le n'lOU"CI11cnt ne se répète pas réellement, on appelle couramment la constante [rëquencc (Jugulairc de la vibration amortie. Une substitution semblable à celle qui Cl été effectuée il hl section 19.2 permet d'écrire la solution génfr,llt' JE' l'équatiou 19.38 sous la forme

w"

(J 9.46) Cette pCjllation décrit un mouvement vibratoire dont l'amplitude est décrois ante (figure 19.11), ct l'intervalle de temps 'T'd = 27r1Wd entre deux points successifs où la courbe définie ))or l'équation 19.46 touche l'une des courbes limites représentées;' la figure 19.11 est couramment appelé période de la cibrotion amortie. Selon l'équation 19.45, on a Wd < wn el, par conséquent. Tt{ est plus grande que

la période de vihration

Til

du système non amorti correspondant.

\

/

/

/ / / /

/

-.ro

/

F1gur. 19.11

~ 9.9 VIBRATION FORCÉE AMORTIE Si le ~t~ln(-' ptuclié:'1 la s(..r-tion pr~'é(lt>llt('" pst soumis à une fur('f' pério-

dique P dp ~rantlt"11r P = Pli' si" wf', l'équation du mouvement

devient (J 9.4 7)

On obtient la .olution générale de cette équation en additionnant rune de ses solutions particulières à la fonction complémentaire, c'est-à-dire il la solution




1185

19.134 On laisse tomber un bloc A.de 4 kg, depuis une hauteur de"800 mm, sur un bloc B Je 9 kg ljlÛ est au repos. Ce dernler est supporté llar 110 ressort de constante k = 1500 N/m f't il est relié à un amortlsseur à fluide dont le (.."Ocfficimt

230 N ,sin). En supposant qu'il n'y ait 1i1iCUTI rebond, déterminez la distance maximale parcourue par les blocs après la collision,

d'amortissement

est c

=

19.135 Solutionnez Il' problème 19.J34 en supposant d'amortissement dt, l'amortisseur à l1uiclf' est C = 300 ~ . sin).

~t

que le coefficient

I:lO(l m III

19.136 On remet le tube d'un canon, dont la 1113'>Sf' pst rll' 700 kg, on position de tir après II;"recul d'lin récupérateur dt" constante c = 16 kN . sim. Déterminez: u] la constante k du récupérateur nécessaire pour que le tub ~ revienne tl la position de tir dans un temps nunimal. et cela, sans oscillation : I,) le temps que met le tube Ji parcourir les deux tiers de la distance entre sa position cl ' recul mazlmal et sa. position de tir. 19,137 Une tige uniforme, de masse tri, est soutenue t'Il A ail moyen d'un pivot et en B au I))c>yen d'un ressort dt! constante k. EUe e t aussi reliée ~n 0 il UIJ emortisscur (1 Iluidc dont le coefficient d'amortissement est c. Dans Je l."3S Je petites oscillations, déterminez, en fonction de 111, k et c: fi) l'équation dillérentlellc du mouvement: Il) le coefficient d'amornssement critique Ct.

B

c

Figure Pl9,l34

k

111------0-1.'

"""o_O_;_'1_5_m_'+1 ~---O,45

~----~~~~-B k =;3 N/m 1----

l __ -+-__ 2

l. --.., 2

Figure P19.137

FIgure P19,l38

19.138 Une tige uniforme de 1,8 kg est soutenue en 0 au moyen d'un pivot ct en A au movcn , d'un ressort; elle est aussi reliée en B à un amortisseur à fluide. Trouvez: (j J l'équation ÙilTérl'nticUe du mouvement dans le cas de petites oscillations; " J l'angle que forme lu tige avec l'horizontale, 5 s après le relâchement

de l'extrémité B qu'on a poussée de 23 mm vers le bas. 19.139 Une machine de 500 kg est supporté-e par deux ressorts. ayant chacun une constante de 4.4 kN/nl. On applique à la machine une' force périodique, dont l'amplitude est de 135 N. avec une fréquence de 2.,8 Hz, Sachant que le coefficient d'amortissement est de 1.6 kN . s/rn, calculez l'amplitude de: lu vtbrauon r-n régitne permanent de la machine. 19.140

En

au problème 19.139, déterminez la valeur de la constante de chaque ressort dans le ~IS où l'amplltude de la vibratiou en régillle permanent est de l,3 mm. 19.141

Déterminez ...dans le cas de la vib...atton forcée d'un système, l'intervalle

\"OIlS

reportant

des valeurs du facteur d'amortissement

etc.c pour lesquelles le facteur d'ampliflcatiou

décroît toujours lorsque le rapport de fréquences 19.142

Wj'/w" auglnente.

Montrez que, si la valeur du facteur d'amortissement

l'amplitude d'une vibration forcée est masnnale lorsque

=r:

respondante du facteur d'amplification est égale à 1{rl"lc}.

(1)"

cie; est petite,

et que la valeur cor-




1192

I;"(.falons mecan Que.

En divisaltt l'amplitude X,rtde la vtbrution de régiltle tabilisé par P rn1k, (lans le cas (l'une force pérlooi<}ue, et pur B,.. dan le cas
P,,,/k où

""rI

_-

l

X".

8 1'1

Wf/wu

1

(19.53)

= Vkïm = la fréquence

angulaire naturelle du système non amorti. Je coeffit.:ient d'umornssement critique.

2"t COti == c/cc = 1e facteur d'amortissement. c(:

:r

Nous avons vu également que le dlJTJhasolle '" entre la force uJ>plic(utie. 0\1 le mouvement de J'appui. et la vibration en régiJ11epermanent résultante du système amorti est d~nJtipar la relation _ 2(c!cc)(lJJj!wlI)

tan Analogue electrique

tp _

(19.5<1)

1 - (w/w,.)'l

Le chapitre se termine par l'examen des Qllalo~leç rflertriqllt>-S (sec-

tion 19.10). 011S avons montré que les vlbrations (l'un système mécentque et les osciJlatiolls d'tin cireutt électrique sont définies par les mêmes équations difTérentielJes. On peut donc se servir d'un analogue électrique d un systërne méeamqne pou r étudier ou prédire Tecomportement de ce dernier.

MOTS CLÉS Amortissement,

\~sque1l.tx.critiquo. coefficient d' Constante de rappel (OntorsIon Facteur de t:ransm.ission.

d'amortissemene

Fréquence: angulaire, forcée, propre ou naturelle, do \ihmtion

~1ou\"enlt>nt harmoruc,{Ue

stmple Pendule composé Période de vibration

Régime permanent

Réscnance S\ stèrlle a un degré de [iberté Vibration. amortie, forcée, libre

Copyng tOOmatanal




1202

LISt.

oes s)'TOOOI8S

lit

1

~lassc Iinéique ou par unité de longueur

M

Couple, moment Moment par rapport au point 0 .l\-lû ~I~ Moment résultant par rapport au point 0 !\-I Grandeur du couple ou du moment, masse de la Terre Moment par rapport à l'axe OL J1()l1/ Direction normale N Composante normale o Origine des coordonnées p Pression p Force, vecteur j> Taux de variation
d'orientation axe Taux de variation du vecteur OnJz r

Vecteur

Q' par rapport à un référentiel

position

11

Vecteur position de B par rapport à A I-tayon, distance, eoordonnée polaire Force résultante, vecteur résultant, réaction Rayon de la terre, résistance Vecteur position Longueur d'are, lungueur d'un câble Force, vecteur Temps, épaisseur, direction t
U

Travail

s S 1

T

r

U

\,V

l'

Vecteur vitesse Vitesse

du centre de masse Vecteur vitesse de B par rapport à un référentiel en

Vitesse

translation avec A Vecteur vitesse de P par rapport à un référentiel !IF en rotation

V \' tV

w

\V.

x, y, :. • • • x, 'J. :;;

-r, Ij . .:~

Produit vectoriel Volume, énergie potentielle Charge par unité de longuel'T

Poids, charge Coordonnées. distances Dérivées par rapport au temps des coordonnées x, !J et z Coordonnées du centroïde. du centre de gravité ou du

centre de masse (l,

a.Ct

Accélération angulaire

13.

'Y

Angles

'Y

Poins spécifique ~ Etirement

5 Or
À

Déplacement virtuel Travail virtuel Excentricité d'une conique ou d'une ellipse Vecteur unitaire selon une droite

Copynghted matenal




Lexique anglais-français

Angular acceleration Anguhlr n roment An rular momenturn Apogee Areal velocity

Belt Bad)' cane

Central impact Centrilugal force CC11b'OidaJ frame of reference Centroidal moment of inertia Centroidal rotation Circular, angular Irequency Coefficient of restitution Compound pendulum Conservative forces Constrained motion

Danlping Dens it), 0 f stream Direct irnpact

Displacement Efficiencv, Escape veloci ty

Follower wheel Free-body-diagrarn equation Cear Ceosvnchronous orbit • Cravitational force

Accélération angulaire Moment cinétique Moment cinétique

Apogée Taux de variation de surface ou vitesse de balayage de surface Courroie Cône du corps

Choc central Force centrifuge Référentiel central Moment d'inertie central Rotation centrale

Fréquence al1gulaire ou pulsation Coefficient de restitution Pendule composé Forces conservatives Mouvement sous contraintes ou restraint Amortissement Densité du courant

Choc direct Déplacement Rendement

Vitesse de libération Galet à rouleau

Équation du diagramme du corps libre. 011 du diagra,or'ne des forces Engrenage ou roue dentée Orbite géostationnaire Force gravitationnelle

Hodograph J-Iydraulic jump

Hodographe

Impact

Choc Force Impulsive Tenseur d'inertie Vecteur d'inertie Système (l'inertie

Impulsive force Inertia tensor Inertia vector

Inertial svstem ,

Ressaut hydraulique

Copynght d ma nal




12.43 12.44 12.45 12.46 12.47 12.50 12.51 12.52 12.63 12.55 12.56 12.57

n,j.'li m/s $ c :$ 4,22 Ill/S. !JVII,. chacune des ({P(lX cordes, (a) 131.7 N. Ch) ~,4 N. (a) 553 X (b) 659 ". (0) 201 ln. (u) 515;-J l. (0) 2.0~ In/s..! "<'; 20.0" lb) 2.72 IlVS~~ 20,0°. -53.2° s () ~53,2°. v gl tan (0 - tb.J :s 1, ::s \ ~rtan (8 + ifJ.). (a) 23.; km/l» (u) 40.S km/h, (n) 0.163\\'. (11l 9,00". J6h mm.

2.36 ,"ls $ l' $ ~,99 ,ni . (al O,I9O-t: 1· déplacement est imminent vers l~ bas. (b) 0,349; le déplacement

12.58 12.61

12.62 12.64 12.65 12.66 12.67 12.68

est imminent vers le haut.

~lissepas: R,f)7 t'\ ~ 80". tb J Cli ....e vers le bas: S,(IC):--J ~ .JO°. (a' 0,25~. (b) 14,-16°,165,.5°. lll) O.b05 nvs. 11) 19,29°, t60,7°. j ,054 e""lll'~,. , ,3.>''31 (fi)

l'

1'. = -31.6

t,

E, = '5.76 N) tan:!. 9 SPC 8. F" - l5.76 ~) tan 8 sec (). (b) P = (5.76 :-.J) tan 8 ~"(;'l o'\l O. Q = (5,76 :-.J) tan:2 () set'lZ O~. la)

in 201\/(,'0529. l'J - lo y(.'Os 20. ,~rRlllr}I'l.24" In/s-'!. (n) 3,3.77 X 10J km. (h) :3070 ln/s. 6,()..I X 1()2-1k~ 11I\ 1 Il 57 rniu (h) mo 11V ... la) 6(),3 X 101 km. (b) 570 X 1er' k~. (fi) 1.60 X lI)' rn/s. (h) 2.40 X 103 rn/s. (fi) J,551I1'11~. (b) - 15,') nifs (n) '3560 ml .. (U) ïlîO km. (n) (Ir -' 0(1 = O. (l,) 3b,4 Ill/s:! (Cl 0,8 IIVlt. ((1) 0,6 rn/s. (b) {Ir = -6 nvs2, "0 - O. (e'

= lu

.'5.2

IIJ!S~

12.98 10,42 km/s. 12.99 (a) 10,13 km/s. lb) 2,97 "n\ll> 12.103 «(1) ~.OOkm/s. (/)) ) 40,5 rn/s. 12.104 ,'2/<2 + ~). 12.107 «(1l24.9 X 1011.11) (b) I~t,Ifl - 265 ulis: l.lc( 1- 102.:3 "lis. 12.108 122 Il .36 min. 2.t s. 12.109 4 h 5ï min 3ï s. 12.1105:3,C," 12,112 1 h 2 Inin32~. 12.114 ('0\ 1 [(1 - tl{3~)/( 1 - fJ1)]. 12.115 SJ.O Ill/S. 12.116 la) '.t.37". lb) 59,S km/s. 12.119 «(1) (t"'1 - t"'11)/(I'1 + t"'o). lb) 609 X IOl.lln. 12.122 S7,5 ,n

12.124 (,,) -4.7.3 N (b) 92.r, :--.. 12.125

1212

(c) 2,~0 m/~.l.

12.132 1,1.J7. 12.C1 )J. = o· nA = 1,888 nvs2, (113/.0\ = 7..35l1l1s2; Ji. -::::OJ2: 0, = O,031nlls-Z. nlJ!'", = ~,90 rws-Z: Ji. = 0,20: nA = 0, aBI ..\ - 4.31I1vs! . Ji. 0.80: a", = 0, (lBt,' - 0.059 n'lis:!. 12.C2 po -0: 8=29.()0;,u=0.20: 8-31,3°; po = 0,.10: 8"'" :).1.1°. 12.C3 «(/) rI) = 1 III klm = 158-2 v = 2,74 In/s 7 6,19°: kim = 20,'1-2• V := 2,98 In/~ !b. 0,93° ; knn = 25 s -;]. " - 3,19 "VS ~ 4,62°.

=

(b) 19,1s

2.

CHAPITRE 13

12.76

12.86 12.81 12.88 12.90 12.91

If>ha.s.

12.128 (a) F, = -55,51':, Fo = 9,32 N (b) .P = 30.6 N !b. 70°, Q = 62,2 i\ ï? 40~. 12.129 V, = 2vu SUj 20, V() - OH cos 2 O. 12.131 (0) 0.400 mis. (b) (Ir = 2."0 In/";'. n(l = O.

fr = - 1,70 ~. Fo = 0.96 ~. (b) F, - -2.39~, Fo = -0.24 L\. 2,()() s.

12.83

vers

(11)

12.70 12.71

12.82

est imminent

12.C4 (n) ïï,6° <: 0 S 116°. (b) 0 s il ~ 4.680; 149° S ()S ISO°. 12.C5 (a) 1 h 18 uun 29 s. (b) 3.3 min 30 \.

12.69

12.81

(cl 0.218; le mouvemeut

N. FI) = -3,4f) ~'. (/J)F,.-12,93N,Fo-2,01 1\. F, = - 2,S6 . f'o = 0,503 N. (a)

(a) ,nc!!(ru - kf)t2. (b) IlIc(ru - 3k1).

12.79 12.80

12.127 (0) 0,4.54; le mouvement est imminent vers le haut. (b) 0,1796; Ir mouvement est imminent vers If>haut.

t(l)

6.2-4

I1v.;1;r

30". (/J) '5,-l1

IIvs2......

13.1 13.2 13.5 13.8 13.9 13.10

13.11 13.12 13.13 13.14 13.15 13.16 13.18

13.19 13.22

13.23 13.24 13.25 13.26 13.27 13.29

30.3 cj. 1,ll~IJ. (a) Il',21.'lVh. (h) 95,7 I.'Tnl1). (a) JJ... = 0, 99. (b) 58,6 knv11. (a) 8,57 nvs 7-. (b) 5,30 rn/s «. (fi) S,70 m. (bl 4,9-lnvs. ·j.36 mis j(". 3J,7 m/s Il'.

4.(~5 rn/s. 2.99 m. (n) 7,51 ki'\. (b) 376.

C.

(a) 7,51 kN. (b) 5,63 kN T. (n) l042

ln. (1) 2,40 kN

c.

(0)3,69n-1ls .(b)10.19N. (n) 45,; (h) 7'" ::::;83.2 l. T8 = 6(),3 (a) J ,S2 rn/s. (b) 6,00 J. (fi) 3.9B rn/s. (b) 5.61 IIlIs. 1.190 n'lis.

J.

(a)

0.6il nlls (b) 0,70

x

,u/s

13.31

«(1) 0.0704 m. (1) Oui. le bloc reviendra vers la droite. (n) 3,2.9 nv's. (b) 1,-172 III au-dessus de ln position initiale. (a) l06lnnl (h) 2.36nvs.

13.33

fI::::;

13.35

Ir ï:

O,759Y paAll1l il

= I/[ 1 - (co - v2,)/2~II.R".1

" km. 1.36

13.36 13.37

«(,) 0,1628 ovs. (h)

13.39

(a)

13.40 13.41 13.42 13.44 13.46 13.48

14,0°. 1\' = 731 :--J. I\',n,n = ï3J N à B: I\'mol. = 5.52 kN à D. «(1) 13,5°. (IJ) 1.37 111. (n) 39.-4 \'V. (b) '7.'5 ,.\'.

v3gl.

(u)

14,72 'n/s2.

\I2iil.

«(1) 77.1 k\\'. (h) 21:>.5 k\\·.




15.215 15.216 15.217 15.218 15.220 15.221

15.222

15.223

15.226 15.227 15.228 15.229 15.230

15.234

15,.235

15.236

15.237 15.240 15.241

15.242

15.-244

15.245 15.247 15.248

15.249 15.250 15.252

15.254 15.256 15.257 15.259

-{151.111nnvs2)k. -(450 tnnv's2)j.

15.C2

(8151nnvf)j.

15.C3

-(9,51 Illnl/~2)j.

«(1) (1,:142111/S)i - (0,5 rnls)j + (O.67J Ilvs)k. (li) -{G,7l ntl.s!)j - (2,5 nvs2)k (0) "e = (3 n'lls)i - (1.6n'lls)j - (1,6 m/slk: • = -(4, J1vs2)j + {9,6 n'lls2)k. (b) Vc = (3 nvs)i - (1.6 nv'r)j; ac = (9,6nll's.:?)k. «(1) (150 mm/s)! + (260 mnvs)j + (240 111nlfs)k. th) -(1300 lIurlfs2)i - (1 L70 nllll/s2)j + {4160 Il'llnls2)k. <0) -{150 olln1S)i + (260 11101/!,)j + (720 Inl1vslk. (b) -(1300 I1lnals2)i - (6510 111nlls~lj ...... (4160 ITIU'lls2)k. VIJ = -{ 1,215 nvs)i + (1,620 nl/s)le; 2 ail = -(30,4 111/s )k. Vo"" -(1,080 nVs)k: av = (19,-14 mls2}i - {12,9ô Inls2)k. "'ç = -(1,215 nvs)i - (1,050 nlls)j + (1,62111/5)1.: ac = (19,44 mlsz)i - (30,4 nv'sZ)j - (12,96 ln1.,.2)k. "c; == -(1,215nlls)i - (1.030nlls)j + (1.62nlls)k; :le = {2,.S,5 In/s2li - (2,5,0 nlfsZ)j - {2J, 1 In/~2)k. (0) Vc "'" (3 n1ls)i - (1,6 m/s)j - (1,6 nvs)k; ae = -(7,5 ntls}i - (O. a nvs~}j + (3,2IU/!>...2)k. (b) Vc = (3 rnls)i - (1,6 nlls)j; :le = - (7,5 111/S2). + (4 01ls2)j + (9,6 nlls2)k. "1) = (2.'34 mrn/s)] - {416 ,nnlls)j - (240 mm/slk: al) = -(1920 11l1n/S2); + (720 Inll)./~)j (21 0 nllnls2)k. "c = (600 rnm/s)j - (585 mm/slk; ne = - (4.76 Inls2)i. "v = (600 mrn/s)! - (225 lllIlVS)k; 2 af) = -(0,675 nvs )i + (3,00 nllr)j - (3,60 nllr)k. "II "" (1,30 IrJs)i - (1,85 nvs)j + (1,59 1I1Is)k; aB ." (0,795 nJ#)i - (0.792 IIl1s2)j - (0,976 nvs2)k. VA = -(5,04 nvs)i - (1,200 In/s)k; nA = -(9.60 mls2)i - (2.5,9 mls2)j + (57,6 nv~)k. VB = -(0,72 rll/s)i - (1.200 nlls)k; 2 2 "1} "" -(9,60 IIvs )i + (25,9 ni/s )j - {11.52Iws2)k. "A ;;; (30 mln/s)i - (18 1l1rn/s}j; nA = -(135 mtlllil)i + (gO I1l1n/S2)j + (86,4 lnut.l~)k. 2 VA = -(0,12 Il1/s)k; IlA :::: -{7.SS 1111s )1 (5,04 m1s:2)j. vo = -(0,72 tnls)k: aB = -(7,68 Il'tlS2)j - (1,440 nlls~}j. (a) -(32111nllll2)i + (135Innv~)j. (h) (256 111m1S:l)i + (154 mnals2)k. ((1) .5,13111152 L. (L) 18.5 ulis::!.~ 16,1°. (a) -1,824radls!l. (11) 103,3s. (n) VI) = (O,';S lIlIs)k; au "" (4.05 nJ:fl)i. (b) ",.. = -( 1.3.'5 nlfs)k; ail::: -(6.7511)/S2)i. (a) 3,75 I1vs-. (h) 18,75 m!s~j. 49,4 n'lls2 ~ 26.0"'. (0,784 lnls)k. (il) 0,1749 radis'. (u) 66,2lnnvs ~ 2,')0. "n = (0,325 nlls}l2 + (0,1875 InlS~~- (0,313 Dl/s)k. ail -(2,13 nvs )i + (0,974 nVs:")j - (3,2.'5Ilvs)k. 0 = 60°: VD = 2,89 n'lis J.; WHO = 5.79 radis ~: 0 VI) = 0 qlland (} = 150,0 tll311.4°. ;0

15.C1

15.C4

15. CS

()= (j()0; W~\e;; l ,ïl4 radIs ~; O'.\/~ = 3,S2 ra(V~..!1: (a"ld .._ = 4.",6 radls2 ) CIU
15.C6

CHAPITRE 16.1 16.2 16.3 16.5

16

((/) 15,7 nvs:! . ~h) A :;:;0.1.16 N 21,6 N +-; 15.,1 lu/s2 -. (fi)

16.16 16.17 16.20 16.22 16.25 16.~7 16.28 16.29 16.30 16.34

= 13.9 :--:['.

3,4.'3 :-.J d. 20D• (bl 2~,4 ~ s, 73,4".

(Il) 1,85 11lfs!l ....... lb) 3,,4 11a1~-. (e} -1,06 1I1/s:.!

16.6 16.7 16.8 16.11 16.12 16.13 16.14

!; B

«(1)

1~.9m.

->.

(a) 5 nll'52_.

((1) 2,55

15.1

(li)

Il).

(b) 0.:311 m

lb) "

Illls;l_.

« t, <

< J .047

1,.lb9

Hl.

III.

(Il) (},337g. (b) 4. ~(l) O,252g. (11) .l_ (0) 0 "'" 26.6°; (fI) 4,91 n)/s':?'

18:3;..J. (b) O)j l ' 111I:.~ il" 30°. (b) TJ\V = 31 ,0 ~;

TSE = Il,43

1.

[J -

(al 2.54 Il)/S2;;V 1.5°. (b) FAC = fi,O 1 i\ T; l'DR = 22," l\ 1'. Fl1E = 52.7 N C; Fel: = 14.9:-J c. (a) 9,29 Ill/S2 ~ Cj..'3,!.j0. {b) A = 2,6-1 ;-.;.c :10"; 8 = 6,63 N ~ :30°. JI/sir li J!.fl'4(·hr de B. \' = -39,0 N; Au centre, ,\1 = +.t,93 N . rn. II~)()N·I)I.

20,4

",cV; J.

=> 3:".1

.1/" 1\: rdUls-' l'

59.4 s. 95,0 r, (1) 7.85

2

16.36

15.35 ratIJs \. (2) 6.77 radfs! ~; 14.2 racVs~. (3) .:j ,46 l''acVs:'l~; Il,6 rad/s ,. (4) 5,95 rdd/~ ~; 9,44 rad/s ~. (a) 0'.<\ = .31.7 rtldlS2~. â.11 = ·r:.n n\(Vs.l ,J.

16.37

(a) 0,3&) luis:! ~. (h) 0,2»5 IIJ~ [.

16.38

(0) 0,603 111/gZ tb) 0.603 nlfs:! . (a) ai\ = 12,5 rad/s2 ~; œil = 33.3 racL's:!,. (b) (AJA = 2-40 r/Illill J; (I)B = 320 rhnin î. (fi) al' = 12.5 rad/sil ~; ail = 33,3 ratVsJ.1. (h) WA = 00 l'inlin i; (I,}IJ = 120 rhliill J.

, 6.39

16.40

rddls

~;

(Il) 7, L4 :\1 t

i.

a..\ = 26.2 F~d/<;2J: ail = 19,6 ralVi!~.

16.41 16.42 16.48 16.49 16.50 16.51

(a)

16.55

nA -

15.56 106.57 16.58

aA = O,2ï3 luis::! T.\ = J 7.51 t\; Til = 1fi27 N. 7'" = 13-,12 :\' ; T/j = 1ï6ï J •

(a) (0) (a) (n) (n)

13,1 rad/s'" J ; an = 2·1,0 nld/sl ~. (lO,O nvs2)i. (11) -(5,00 Infs.:!)i.. 0,3:33 ln. Du poillt 1\. (h) (5.00Ilv,.,...2)i. (2,5 111/s:!)i. (iJ) O. 0',\

=

(3.75 lll/s!l)i. (û) - ( 1.2.5 IlIfs:!)i.

- 0 ,1 S1 .')

_1 2 IIII~

!; au I:! r . - 'J _, GO lY1S !'; an = 2,01 111/"'.:!t. 1217

Copynghted matenal



Accélération, 584, 613, 622-623 absolue, 90]-903 ang\ùaire. 869, 927 composantes de 1': normale, 642~644 radiale, 645-646 rectangulaire. 625.626 tangentielle, 642-644 transversale, 645~646 dans le mouvement général des corps rigides. 928 de Coriolis pour le mouvemënt dans le plan, 915-918 d'un mouvement dans le plan, 901-90;3 pour le mouvement dans l'espace. 938-940 de deux particules, 626M627 de la gravité, 695 de mouvement (l'un corps rigicle autour d'un point fixe, 927 en rotation, 870, 938-940 relative: d'une particule: mouvement général 928 d'un mouvement dans le plan, 9Cll-903 par rapport à un référentiel pour le mouvement général. 939-940 par rapport à un repère en translation, 629, 915,

938-940 Ajustage rentrant de Borda. Amortissement. coefficienl d', 1176 critique. 1176 léger 1176 prononcé, J 176 visqueux, 1176

54

Amplitude, 1132, 1134 Analogres électriques, 1179-1181 Angle de phase, 1134-1135 Ap<>gée,711 Arbres en rotation, 1092 Axe: de précession, 1149-1150 de rotation, 866, 1072 instantané, 892. 93R MOUles de la mécanique, 965

Binormale, 645 Canon, recul de, 1185

CC11tre:

d'oscillation. 1146 dl:' percussion, 998, 1043 de rotation instantané, tl92-S93 Centre de masse des eorps rigides, 9~J. d'un système de particules, . '18-S-t1, 1033-1036 Centrode, 89:3 (lu (;0'1)$, 8~)3 spatiale, t}93 Cercle de référence, 1134 Ch()C, 785-790 central : direct. 785-787 oblique, 785-787, 788-700 ~hL"ticlllf'. 787-7 excentrique, 1049-1051 ligne de, 7 5 pl:L'\t1((11P, 787 Cinérnatique : des corps rigides; mouvement général, 928 en mouvement autour d'lin point Ilxe, 92(}-927, 928 en mouvement dans le plan, 79-903 en rotation autour d'un axe fixe, 868, 870 en translation, 68 des particules, .584·657 dans un mouvement curviligne, 623-(:;60 danx un mouvement rectiligne, 585-621 dans un mouvement relatif, 599. 915-918, 938-940 Cinétique, 584 des C()rps rigides. 961-1163 des particules, 668-X()4 des systèmes de particules. ] 4-860 Coefficient : d'amortissement, 1176 d'amortissement critique. 1176 d'amortissement vis(lllellx. 1176 de restitution, 785.786, 1049. 1051 Collision excentrique, 1049-1051 Composantes : de la dérivée d'une fonction vectorielle, 624 de .la vitesse, 62,5.626

du moment cinétique; d'un corps rigide, 1072-1074 d'une particule, 692·69.<1. normale de l'accélération. 6-12-643

radiait> de l'accélération, 645-646 de la vitesse, 645-{)46

122!1

Inde·

rectanzuluires (orthogonales}: dl' l'uccéléraüon, 62.5-62(i tanuentielle dt-' l'accélération. &12-64:3 transversale; (1.... l'a{'(vl~ratiun, 645-646 dl' la vitesse-, 64,5-6~6 Conditions initiales, .5b~) Cône; du corpc;. 927 1150 ...patial, U2ï, 1150 Constante dt:' rappel (ou con ...tante du re sort), ï2S Coordonnées: liIl ~1I);Ù res. 868-,Q6U cylindriques, ûJfi

de posüion, 5,1).5, 5B6 relatives, 5.00. ch ute libre. 5.9.H (;urp\ ri~idf'(s) : cinétique lie ... 961-116:1 vihrations d'un. 11-16-11-17. 1157 Couple ...: lie quantité de mouvement, 1()3-I. 1035-1036, L07·l-1075 inertie. ~66 Courant (It" particule. 8·11-S'l3 C0'l)S t'Il

Courbe:

accélération-temps. 611 dt" 1l101l"t'IIIf'nl. 5'-,7, 61 n-fil 1 vite ...se-temps, 610-611 Courhun-. ruvcn de. &11 •

D'Alembert, Jean, 963-96-L Décélerution, 557 Décrément I()garithnliqut:', II~I

Déformarton. période de, ;1:>5,;<)fi, 1n49 Deml-grand axe. iflS Dt' IIlÏ-[)t'ti l axe, ma Déphasage. 117~ Dérivées d(~...[onctions vectorielles. 623-62.5 produit d'une fiHlction scalaire et
•

Energie: cinétique: d'une particule, 729-730 d'un C{Jrps rigide en mouvement dans le plan. 1015-1016 dans l'espace. 1075-l076 en rotation, 1016-1017 d'un système de particules, 829.830 mécanique, 753 potentielle. 749-751, 752

Engrenage : ~uuilvse ùe l', 8R4, 9().1 planétaire, 8 Entraînement par croix de Malte, 9 L9, 920 Équationts) : de mouvement d'un corps axlsymétrique. 1 J08-ll09 d'un système dc particules, 81 - 19, 820, ~26 d'une particule, 671-672. 693-694 pour un corps dans l'espace en cas général de mouvement, 1071, 101>9 en rotation par rapport à Ul1 point axe, 1092 par rapport il un point fixe, 1091-1092 par rapport au centre de mas se, 1089-1090 pollr un gyroscope. Ll()5-1106 , schématique d'équilibre. 9fi6. Equilibrage d'arbres en rotation, 1092 Équilibre dynamique, 1093 : d'un corps rigide; dans une rotation non centrale, 9 '6 dans le mouvement dans le plan. 9.6fi . d'une particule, 673 Equinoxes, préces: ion des, 1155 Equipollence de la force efTecH\'e el de la force externe, an. 962, J 071 Équivalence de la force externe et de la foret:' t>fft'ctive (J'un Ç()I"}JS rigidt", 964, IOb9-L090 Eu ler, Leonhard, ] 090

angles. 1105-1106 équations du mouvement, théorème d'. 926 Excentricité, 7o.t. 1175

lOOO

(III

Dial!rallllllt' :

accélération-temps,

5~6-.'5'lï, 611

lllopl.lt('Il\t:'nl-t(.'1l1P . 5<';,3 \ itesse-temps, 5R5. 613 J)i ...tance, 5&5

Dynumique,

déflnlëon

de ta ..51'>4

Ellipsoïde (Il' Poinsot, III ~ Elliptique, lrajectoire, iO.;

t'acteur; d'amortissement. 1 17i d'amplification, 116R, 1L7H Fluide en circulation, 8<&0-8"'3 Fonctionts] : dérivée des. 62.1-625 dérivée d'une. 62.3 potentielle. 751 scalaire, 6.2d vectorielle, 622, fi2d Forceï .) : centrale. 694. 753 centrifuge. 673. 9R7 eonservative, 751-752, 752, 753

l'Iti

d'inertie, 6i3 effectives, 814,

mouvement s rigjcle

(]UIlS

un plan. 963, 964

impulsive, 773-774 interne, 814 non conservative, 752 qui n'est pas une force d'irupulsiou. 774 Fréquence, ll32 angulaire naturelle, 1133

1167, 1168 naturelle, 1135 forcée,

Frouernent, nuj<1t-, l J 7.5

Fusée,844 Cravitation : accélération clue à la. 597, fill5 constante cle-, fi9.5. loi de Np\"tol1. 695 Gyroscope, li 05-1101) Fléllcoptère, 843, 8.5~~,J 046 Hertz, ) 135 Hexlo tTaphe. 625 Hyperholique. trajectoire. 705 Impulsicn.Yî.l cinétique, 831, 831 et mouvement, I)rinéillé (Il:'(voir Principe de l'impulsion et de la (1Iu'rltité de mouvement) quantité de mouvement t:t, ii 1-772

Missiles balistiques, 706 Moment cinétique : conservation du. (i94. S21, 1U73 cl'un eorp_" righ]p, 9fi2-96:3, 10:3-:l:-1(l[36,11)1;2-10ï5 (1'1111 s~'St~nlt'<1<> particules. ~l--~18,1>19-t>21 (l'I Ille particule, nÇ}2-ô94 taux variation tllI, 692-n9~3. 18. 20,963. I089-10.g0 Mote-ur ~lréaction. S42 :\lnll\'Pln~lIt(s) : ahsolu, 62i Conservation du, 821-822 curviligne, 6f')1)-724 dépendants, 599-600 d'Ill) L'orps en l'ahsenoe de frlr('e, 110&-1111 d'un CiHpS rigide. 1033-1036, l072-10i5 d'un système de particules, SI-1 60 d'un' particule. fi1Q des corps rigide" h66-1163 des particules, ,5H4-SC14
lO~9-l090 par ra}l[l(ui au repère central. S20. 821, 962. 1072, 1075-]076 rccuhgne. 585-621

roulement du, 987-988

Inertie, force d', 67:3

soumis à une Forte centrale, 70 Mouvement clirviligl1P de particules :

Kepler, Johann, 707

cinématique du, 621-657 cinétique (Ill. 67J~72A Mouvement clans Ip plan, Bon

Kilogramme, fi1l

ru Kilonewton, ru Kilomètre,

accélération

Loi de Newton: de la gravitation, 695 du mouvement

cinématique du, 879-903 en présence de contraintes, 985-988 énergie cinétique en, 1015-1016 équatioas du. 9ô-l équilibre dynamique, 9fifi forces effectives dans le. W-t-. 96.5 quantité de mouvement dans le, l03.1-J03n

deuxième, 668·670 Loi de Kepler, :ID1

Mécanique- : principes lIe, 997-998 rendement, 7.32

spatiale, 704-707, 75:3, 757 :\'{égilgr.lllline. 611 Méthode d'aire des moments, 612

1225

(It' résolution gral)hi4ne des problèmes sur If> mouvement rectiligne 610. 611

mouvement clans l'espace, 109J exterl\e, 14 gravitati()nlle)]~, 695, 728-729. 749-750. 75:3

lois de, 707

<

de Coriolis

poli r If', 9 J 5~9 1t)

Mouvement rectilignf' (les I}LtrtiCI11p,.S, 5&1)-62] problèmes avec le, analytiques 594,-591 J ' résolution gruphlque du, (ilO-fill nllifonlle, 597 unilortnémeut accéléré, 598. ~,f()11\'l~1I1('>lIt n-lati f : de deux particules, 599, 626-627

Copynghted matenal

Mécanique Pour Ingénieurs Vol2

Recommend Documents