Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Mécanlque pour Ingénieurs

Volume 1: Statique Ferdinand P. Beer Traduchon de Vector Mech81lics for Engineers: Statfes. © 1998. 1988. 1964, 19n. 1972. 1962 McGraw-Hili Ryers.on LimltOO. a Subsidiary of the McGraw·Hili comcames. (ISBN 0-07-560076-5) e 1996.1988,1984,1977,1972, 1962 McGraw-Hill, Inc. ~ 2004 Les Ëditions de la Chenelière IOC. Éditeur: Michel Poulin Coordination: Monique Pratte Révision lingufstique: Julie Beauheu Correction d'épreuves: NIcole Demers Infographfe : Intoscan Collette Couverture: Michel Bérard Maquette intérieure: Merril Haber Ilfustrallons: FineLine Illustrations, Inc. CataJogage avant publication

de la Bibliothèque nationale du Canada Beer. Ferdinand p,. 1915' Mécanique pour Ingénieurs Traduction de la 3· édition de: Vector MechanicS for Englneers. Third SI Metric êdmon. Comprend des index. Sommaire: (1) Statique - [2] Dynamique. ISBN 2-7651-0157·4 (v. 1) ISBN 2-7651-0158-2 (v. 2) 1. Mécanique appliquée. 2. Analyse vectorielle. 3. 4. Dynamique. 5. Mécanique appliquée - Problèmes exercices. 1. Johnston, E. Russell (Elwood Russell), II. Eisenberg, Elliot R. III. Benedetti, Claudlo,l949-.

Statique. et 1925- . IV. Youssef.

Youssef AMou, V. Tltre. TA350.B37142003

620.1 '0

C2003-941232-6

ChenellèrelMcGraw-H1I1

7001, bout. Salnl·Laurent Montréal (QuébeC) Canada H2S 3E3 Téléphone: (514) 273-1066 Télécopieur: (514) 276·0324 [email protected] Tous droits réservés. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque rorme et par quelque procédé que ce soit, est InterdIte sans l'autorisation écrrt9 préalable de l'Ëdlteur. ISBN 2-1651-0157-4

Dépôt légal: 1er trimestre 2004 Bibliothèque nationale du Ouébec Bibliothèque nationale du Canada Imprimé au Canada 3 4 5 ITIB 11 10 09 08

Nous reoonnaissons l'aide financière du gouvernement du Canada par l'entremise du Programme d'aide au développement de l'industrie de l'édition (PADIÉ) pour nos activités d'édition. Gouvernement du Québec - Programme de crédit d'impôt pour l'édition de livres - Gostion SODEC

LE

L'Éditeur a lait tout ce qui était en son pouvoir pour retrouver les copyrights. On peut lui signaler tout renseignement menant à la correction d'erreurs ou d'omissions.

PHOTOCOPILLAGE TUE LE LIVRE

Table des matières Avant-propos

III

1 INTRODUCTION 1 1.1 1.2

1.3 1.4 1.5

Qu'est-ce que la mécanique? 2 Concepts et principes fondamentaux. Systèmes d'unités 5 Méthode de résolution de problèmes Précision des yaleurs 9

2

8

2 LA STATIQUE DES PARTICULES 1.1 2.1

Introduction

12

Forces coplanaires 12 2.2 Résultante de deux forces agissant sur la même patlicule 12 2.3 Vecteurs 13 2.4 Addition vectorielle 13 2.5 Résultante de forces concourantes 15 2.6 Déoomposition d'un vecteur force 16 2.7 Composantes rectangulaires d'une force et vecteurs unitaires 22 2.8 Somme des forces par la méthode des composantes 24 2.9 Équilibre d'une particule 30 2.1 0 Première loi de Newton 31 2.11 Problèmes sur l'équilibre d'une particule: diagrammes des forces 31 2.12

2.13 2.14 2.15

Fort;es dans l'espace (30) 39 Composantes rectangulaires dans "espace 39 Force définie par sa grandeur et deux points sur sa ligne d'action 42 Addition de forces concourantes dans l'espace 43 51 Équilibre d'une particule dans "espace (3D)

Résumé

58

Problèmes supplémentaires

61

v

a

CORPS RIGIDES - SYSTÈMES DE FORCES ÉaUIVALENTS .6.5 3.1 32 3.3 3.4

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3 1Q 3.11

Introduclion 66 Forces Internes el forces externes 66 Principes d:e transmissibilité - Forces équivalentes Produit vectoriel de deux vecteurs 68 Composantes rectangulajres des produits vectoriels Moment d'une torce par rapport à un point 71

67

70

Théorème de Varignon 73 Composantes rectangulaires d'un moment de force produit scalaire de deux vecteurs 83 produit mixte de Icols vecteurs 85 Moment d'une force par rapport à un axe 86 3.12 Moment d'un couple 97 3.13 Couples équivalents 98 3.14 Addition des couples 100 3.15 Représentation vectorielle des oouples 100 3.16 Décomposition d'une force en une force et un couple 3.17 Réduction d'un système de forces à une force

73

101

et un couple 3.18 Systèmes 3.19 Systèmes 3.20 Réduction ·3.21 Réduction Resume Problèmes

112 de forces équivalents 113 équipollents de vecteurs 114 supplémentaire d'un système de forces 114 d'un système de forces a un torseur 117

136 supplémentaires

141

4 EQUILIBRE DES CORPS RIGIDES 145 4.1

4.2 4.3 4.4

4.5 4.6 4,7

Introduction 146 Diagramme du corps libre

146

Equilibre dans un plan 147 Réactions des appuis et des üalsons de structures planes (bidimensionnelles) 147 Ëquilibre d'un corps rigide bidimensionnel 148 Réactions statiquement indéterminées - Liaisons partielles Équilibre d'un corps soumis à deux forces 166 , Equilibre d'un corps soumis à trois forces 167

.

4.8 4.9

Equilibre dans un espace tridimensionnel Équilibre d'un corps rigide en trois dimensions Réactions d'appui et de liaison dans l'espace

Résyme Problemes

150

173 173 174

190

supplementaires

192

5 FORCES RÉPARTIES: CENTROïoES ET CENTRE DE GRAVITÉ 197 5.1

1 ntroduction

198

Surfaces et courbes

5.2 5.3 5.4

1~.R

Centre de gravité d'un corps plan 198 Centroides des surfaces et des courbes 199 Moments statiques des surfaces el des courbes

200

5.5 5.6 5.7 '5.8 '5.9

Tab4e dos maueres

Figures composées 203 Détermination des centroides par intégration 213 Théorèmes de Pappus-Guldlnus 214 Charges réparties sur des poutres 224 Forces sur des surfaces hydrost.atiques 225 volymes

234 5.10 Centre de gravité d'un solide - CentroYde d'un volume 5.11 Sotides composés 235 5.12 Détermination du cenlroïde d'un volume par intégration Résumé 248 Problèmes sup,plémentarre.s

234 237

252

6 a'UDE

DES STRUCTURES

a56. 6.1

6.2 6.3

6.4 "6.5 "6.6

6.7 "6.8

Introduction

257

Les trelllis

258

Définitiond'un treillis

258

TreIllis simples 259 Analyse d'un treillis par la méthode des nœuds Nœuds sous conditions particulières de charges Treillis tridimensionnels (Triangulation spatiale) Analysa d'un treiHis par la méthode des sections Treillis composés 275

260

262 263 274

Charpentes et mécanismes 285 6.9 Structures comportant des membres à ettort multiple 6.10 Analysa des structures 285 6.11 Charpentes hyporigides (non rigides) 286 6.12 Mécanismes 300 Résumé

285

313

Problèmes supplémentaires

316

1 LES POUTRES ET LE.S CÂBLES ~

"7.1 *7.2

Introduction 322 Forces Internes dans un élément de struclure

322

les poutres

*7.3 *7.4 *7.5

'7.6

329 Types de charges et d'appuis 329 Effort tranchant et moment 1Iêchlssant 330 Diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant Charge, effort tranchant et moment fléchissant 340 Les câbles

"7.7

351

Câbles avec charges concentrées

~7.8 Câbles avec charges réparties '7.9 Câble parabolique 353 *].10 CharnelleS 362 Résumé

370

Problèmes supplémentaires

373

351 352

332

VII

VIII

Table des matières

8 EROTIEM'ENI 376 8.1 8.2 8.3

Introduction a77 Lois et coefficients du frottement sec Angles de frottement 379

8.4 8.5 8.6

Problèmes impliquant le frottement sec Coins 395 Vis à filetage carré 395

377

380

•

·S.8

Butées 405 ""8.9 Roues et résistance au roulement '8.10 Courroies 413 Résumé 423 Problèmes supplémentaires

406

426

9 FORces RÉPARTIES; MOMENTS D"INERTIE

Ul 9.1

Introduction

432

Moments d'Inertie

des surfaces

432

432

9.2

Deuxième moment 011 moment d'inertie d'une surface

9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Détermination du moment d'Inertie d'une surface par Intégration Moment d'inertie polaire 435 Rayon de giration de surfaces 435 Théorème des axes parallèles 442 Moments d'inertie des surfaces composées 444

'9.8

Prodllit d'jnertie

434

456

"9.9 Axes principaux el moments principaux d'inertie "9.10 Cercle de Mohr 465 Moments d'Inertie des maSSes 9.11 Moment d'inertie d'Ilne masse

456

471 471

9.12 Théorème des ax&s parallèles 472 9.13 Moments d'inertie de plaques minces 473 9.14 Détermlnation du moment d'Inertie d'un solide paf' Intégration 475 9.15 Moments d'jnert~ des solides composés 475 ·9.16 Moments d'inertie d'un solide par rapport à un axe passant par I"origine. Produit d'inertie d'une masse 490 *9.17 Ellipsoïde d'InertIe. Axes principaux d'inertie 491 ·9.18 Axes princlpaux 'et moments principaux d'inertie d'un solide

de forme quelconque Résumé

492

504

Problèmessupplémentaires

510

Table des materes

10 MÉTHODE DU TRAVAIL VIRTUEL

515 ·10.1 Introduction 516 ·10.2 Travail produit par une force 516 ·10.3 Principe du travail virtuel 518 '10.4 Application du principe du travail virtueJ 519 ·10.5 Machines et rendement mécanique 521 ·10.6 Travail d'une force lors d'un déplacement fini ., 0.7 Énergie potentielle 534 ·10.8 Énergie potentielle et équilibre 535 *10,9 Ëtats d'équilibre 536 Résumé Probl~es

533

546

supplémentaire.

549

Annexe 553 A.l

Systèmede mesures Impérlales

A,2 A.3

Conversion des

553

poidS el mesures 554 Propriétés des profilés à charpente en acier laminé

556

Uete des 8ymbole. 557 Tableaux et figures utJles 559 lexique anglale-françal8 562 Index 565 Source. de. photos 570 Réponses aux problfjmes 571

•

c

IX

1ntrod ucti on

t:lngé"ne moderne repose en grando parUe sur les lois fondamentales do la mécanique. énoncées par Sil Isaac Newton à la tin du dix-septième siècle.

C P

1.1 QU'EST-CE QUE LA MÉCANIQUE? La mécanique est la science quj étudie les états de repos et de mouvement des corps soumis à l'action de forces; elle décrit ces états et les prédit. EUe se divise en trois branches principales: la mécanique des corps rigides, la mécanique des corps (léfor/Tuibles et la mécanj(lue desfluides. La mécanique des corps rigides comprend la statique, qui traite des corps au repos, et la dqnanüque, qu.i considère tes corps en mouvement Dans les deux cas, elle fait l'hypothèse que les corps sont parfaitement rigides. Cependant. les structures et les machines réelles ne sont jamais tout à fait rigides : elles se déforment sous les charges appliquées. Ces déformations, plutôt faibles, ont habituellement peu d'incidence sur l'équilibre ou le mouvement d'une structure. EUes prennent cependant toute leur importance lorsque vient le temps d'analyser la résistance à la rupture. Elles entrent en ligne de compte dans l'étude des matériaux, qui constitue une division de la mécanique des corps déformables, La troisième branche de la mécanique est la mécanique des fluides, qui aborde l'étude des fluides compressibles et des fluides incompressibles. 'LhYllr{Juliquc, science flui étudié l'écoulement de l'eau l, occupe une place privilégiée dans l'analyse des fluides tnccmpressibles, La mécanique est UDe branche de la physique puisqu 'elle traite de phénomènes physiques. Cependant, on l'associe parfuis davantage à l'ingénierie ou aux mathématiques, et œs points de vue se défendent. En effet, la mécanique s'avère un préalable tndispeusable à J'étude de l'ingénierie, qui repose en grande partie sur elle. La mécanique n'a cependant pas le caractère empirique de l'ingénierie, c'est-à-dire que ses théories ne s'appuient pas uniquement sur l'expérimentation ou l'observation. En ce sens, elle ressemble davantage aux mathématiques par sa ri&rueur et par l'Importance accordée au raisonnement déductif. On ne peut cependant pas non plus la classer comme une science abstraite Di comme une science pllre. La mécanique est en réalité une science appliquée: elle il pour but d'expliquer des phénomènes physiques et de les prédire, et elle établit, par le fait même, tes bases de l'ingénierie. 1.2 CONCEPTS ET PRINCIPES FONDAMENTAUX Bien que les débuts de la mécanique remontent à une époque fort lointaine, avec les travaux d'Aristote (384-322 av. J.• C.) et d'Archimède (287-212 av. J.-C.). il a fallu attendre les trav-aux de Newton (l642-1727) pour en énoncer clairement les principes de base, Ces derniers seront plus tard reformulés par d'Alembert, Lagrange et Hamilton, mais leur validité ne sera remise en cause qu'au vingtième siècle. avec l'arrivée de la théorie de la re1ativiti d'Etnstein (1905). Les limite.') de la mécanique newtonienne sont aujourd'hui bien connues, mais l'ingénierie moderne repose toujours Sur ses principes fondatnentaux, énoncés il ya plus de trois siècles, La mécanique s'appuie sur les concepts fondamentaux d'espace. de temps, de masse et de force, que l'on ne peut pas véritablement définir, Lexpénenœ personnelle et l'intuition en donnent une compréhension qui servira de cadre de référence à notre étude. On associe le concept ,l'espace à la position d'un point P. Cette position est définie par trois longueurs mesurées dans trois directions différentes, à partir d'un même point de référence appelé origine. Ces trois longueurs portent le nom de coordonnées ÙU point P. Pour décrire un événement, il ne suffit pas d'en donner la position; il faut ëgslement prendre en compte la notion de temps, Le concept de masse caractérise les corps et permet de comparer leur comportement dans certaines expériences fondamentales. Par exemple, deux 1. t:bydmuliquc trnite des liquides on g~nérnl: pour des raisons évidentes, l'eau rep~lIie

le Cl1S

le plus répafldu. (NdT)

Copynghted ma rial

corps de même nH1SS~sont également attirés par la terre; ils offrent aussi la même résistance au changement dans un mouvement de translation. Une force représente l'action d'un corps sur un autre çorps. Elle s'exerce à leur contact ou encore à distance comme dans le cas de la gravitation et des

1,2 Concepl.!l el pnllClpes londamentaux

forces magnétiques. On caractérise une force par son point d'application, sa grandeur et sa dtreaton, et 00 la représente par un cecteur (section 2.3). En mécanique newtonienne, l'espace, le temps et la masse sont des concepts absolus, indépendants les uns des autres. (La situation diffère en mécanique relattoiste . Je ten ..ps associé à un événement dépend alors de sa position et la masse d'un corps est fonction de sa vïresse.J Par contre. le concept de force est dépendant des trois autres; en effet, l'un des principes fondamentaux de la mécanique newtonienne statue que la force résultante agissant sur un corps dépend de sa masse el de son accélération, c'està-dire de la façon dont sa vitesse varie dans le temps. Ce livre porte sur les états de mouvement et dc repos de particules et (le corps ri!,l'iùes. en fonction des lfuatre concepts introduits précédemment. Une particule correspond à une très petite quantité de matière qui occuperait un seul point dans l'espace. Un corps rigide résulte r(> de particules en positions fixes les unes par rapport aux autres. L'étude des particules est cn conséquence préalable à celle des corps rigides. De plus, on peut souvent utiliser les résultats obtenus avec une particule pour traiter de problèmes relatifs à l'état de mouvement ou de repos d'un corps réel. L'étude de la mécanique repose sur six principes fondamentaux établis expérimentalement. de« [orcr Inr/hl)C/t' (Ill 1>0rnl'f;/o!!,rfl 111I1U' Deux forees agissant sur une particule peuvent être remplacées par une force unique équivalente appelée résultante, obtenue en dessinant la diagonale du parallélogramme dont le côtés correspondent aux forces de départ (section 2.2). L'{/l/flitlt:,f{

Le principe {Ir Ir(/nçnlÏ\sibi/ité. Léquilibre ou le mouvement d'un corps rigide n'est pas rnodiûé si l'on remplace une force agissant sur un point donné du corps par une autre force de même grandeur et de même direc-

tion appliquée à 'ln autre point du corps, à condition que les forces soient situées sur la même ligne d'action (section 3.3). Les 1rot« fois de 1\'('((:1011. Énoncées pa.r Sir Isaac Newton vers la An du dix-septième siëclc, ces lois sc résument ainsi: est nulle, cette particule reste au repos si elle était initialement au repos, alors qu'elle poursuivra son mouvement à vitesse constante suivant une ligne droite si eUe était initialement en mouvement (section 2.10). Première

101. Lorsque la force résultante agissant sur une particule

la force résultante agissant sur une particule n'est pas nulle, cette particule subira une accélération proportionnelle à la grandeur de la force et selon la même direction qu'elle. Cette loi peut s'écrire (section 12.2): Deuxiéme

101. Lorsque

F=ma

(1.1)

où F, '11 et a représentent respectivement la force résultante agissant sur la particule. la masse de la particule et son accélération, exprimées dans un système d'unités eohérenr. Troisième 101.Les forces d'action et de réaction agissallt sur deux corps tJui se touchent sont de même grandeur mais de sens opposé; de plus. elles agissent selon la même ligne d'action (section 6.1).

c

3

4

u/lirers~llt) (le NC,v1()n. Deux particules de masses respectives ,\1 et III s'attirent mutuellement s "Ion des [orees égales J'nais opposées, notées F et - F (ligure 1.1), dont la gl'ancJeur F ("st donnée par

lotfoduc:tion

LA

loi lU' la

grfll'iil:

la relation

(1.2)

111

où r correspond à la distance qui sépare les particules et G est la constante grovitntinn n elle.

!If FIgure 1.1

La loi de la zravité universelle introduit l'Idée d'action à distance: plie élargit également le domaine d'application de la troisième loi de Newton: l'action F et la réaction -F de la figure 1.1 sont égales et ClPP<> ées, et elles ont la même ligne cl' action. L'attraction exercée par la terre sur les particules localisées à. sa urface décrit Url cas particulier mais j mportant de la lot de la gravité universelle. La force F exercée par la terre sur La particule d6fmit le poids W de la particule. Si wl correspond à lainasse de la terre, r est égale au rayon terrestre R. el si nous posons CAl ( 1.,1) Il, = R2 la grHndeuf \\; (Ill poids d'une particule de masse ,n s'écrit2 (1.4)

La valeur exacte de R dans l'équation

1.3 dépend de l'altitude du point considéré, Je même QUf1 de sa latitude, puisque la terre n'est ras parfaitement sphérique, Ainsi, la valeur de g varie légèrement selon le lieu où nous nous trouvons. Cependant. les applications courantes sur l'ensemble de la surface (lu globe ue requièrent L'lasune telle précision et IIOUS utilisons le plus souvent g :; 9, I rn/s2 {valeur exacte: (!, :; 9, 0665 mI~). Nous introduirons les principes énoncés précédemment à 1l1eSLIre qu'ils seront nécessaires à la compréhension de notre étude. Ainsi, le chapitre 2. aborde la statique ries particules en s'appuyant sur l'additivité des forces et sur la première loi d(~Newton. LR chapitre 3 applique le principe de la transmissibilité il la statique des COlpS rigides, ct le chapitre 6 fail appel à la troisième loi de Newton dans l'analyse des forces qu'exercent l'un sur l'autre les éléments d'une même sI ructure. La (lE'luièrne loi de Newton et la lui de la gravitation universelle entrent en jeu dans l'érud de la dynamique, II sera alors démontré llue la preuiière loi {If>Newton correspond à LIll C"prinCipf' (Je transmissibilité, sllffisent à couvrir tout le domaine de la statique incluant les particules, les corps rigides et les systèmes de corp rigides. Ainsi qu'il il été indiqué précédemment, les six principes fondamentaux sont établis sur (les bases expérimentales. À l'exceptton cie la première loi de Newton et du principe de transmissibilité, ÛS sont indépendants, c'est-à-dire que nO~IS ne pouvons les déduire mathématiquement les uns des autres. ni à partir d'autres principes physiques élémentaires. L'ensemble de la mécanique newtonlenne repose Sur L"eS six principes. Depuis plus de trois siècles. leur application a pf>nnis de résoudre un nombre impressionnant de pl"(). blèmes relatif s à j'état dl:' fPP0:-: ou
UIIf' déf1nitiou plus rré('L~e dt: \V dc.",·rnittenir compte du mouvemen; de rotarien .Ie la terre.

Copynghted ma rial

corps déformables et des fluides. Bon nombre des solutions ohtenuex ont pu être vérifiée exprérimcntnlcment. cc qui a confirmé la validité des principes utilisés. Au vingtiènlc siècle. 01\ a dû faire appel;) la tltéorit' (le là relutivité pOli r expliquer le mouvements 1\ l'échelle atornique et If>mouvement cl(_' C(Jrt.ÙIlPS planètes, rcmcnont ainsi en cause l'universalité de la mécanique newtonienne. Il reste cependant
On associe les quatre

concepts

fondamentaux pré entés il la s(:ct ion précédente à des "'lif(~ç cluétlqur«, soit les unités dt" fOIlf!.III'/lr, dt' temp», d(, litasse el dc force. Ces unités doivent appartenir il un système cohérent afin que l'équation 1.1 soit valide. On définit arbitrairement trois d'entre elles ct on les nomme unlf(("follclfll/U'lllfllt,.'i. I.:é(luatioll 1.1 détt'rlllin(~ la qnatrièm«. qui est appelée IInilé dëricëc. Les unités cinétiques ain i étahlic Iorment un .s1j~1&l1le cohërent (]'""llé",.

u'

Sy\t.·'UII· 1II/"/'I!nlit1Ila{ (l'ltllit(:~ 1 Uniil:" SIl. Dans cc système, la lungut'lIr, la musse et le temps donnent les unités fOlltlallu'lll.ù(,:" soit

respectivement le mètre (n'\), 1(1kilo{!,rolUl1le (kg) t la seconde (s), déflnles arbitrairement. La durée de la seconde a été ûxée initiulcmcnt la rmction 118ô 400 d'lin jour solaire moyen: on la décrit aujourd'hui plus précisément comme étant ln durée de 9 192631 770 périodes d'une radiation émise par l'atome de césium 133, qui corre pond à la transition entre les deux niveaux hyperfin de son état fondamental. On Il d'abord défini le mètre COn)J11C le dix millionième de la distunee éparant l'équateur de l'un des pôles; plus précisément, il correspond il la longueur du trajet I)urc()unl par la lumière dans le vide, dans lin iutr-rvulhde temps de 11299 792458 de seconde. Le kilogramme, pratiquement ('~tll à la masse de 0,00 1 n,3 (l'eau, est maintenant défhli pnr la 111tlSSP d'un étulon en platine iridié, slligrH'llSf"111t'ut conservé au Bureau internutional dc>spoids el mesures, il Sèvres. près de Paris, en France. L'unité de foree. dérivée des trois autres. s'appelle 1(.'newton (N): î

J newton correspond l'lIa foree qui dorme une accélérutiou

lll'

1

lit/52 Ù

lin!'

masse de 1 kg (figure J .2). L:(\'luation 1.] pemlct d'écrue; 1 N = (1 kg)(l

nt/s2)

=

1 kg'ln/s2

(].5)

Les unités SI constituent un système absolu d'unités. c'est-à-dire 'llIC les trois unités fondamentales restent indépendantes du lieu Olt les mesures sont prises. Autrement (lit, le 111ètTe. le kilogramme et la seconde ont la même signiflcatioll t't la même ~ralldeur partout sur la tPITt> ou mêuu- 'IIr une au tre planète. Le potd« d'un corps, ou lnforee gracilatiollllelle exercée sur lui, s'exprime en newtons comme toute le autres forces. Nous nu us !>enons d", l'équution 1.4 polir calculer If' poids d'un corps: pour une masse de 1 kg (figure 1.:3), nous obtenons

'"g

\V = = (1 kg)(9. 1 = 9. IN

.1.lll'~

"'_lkg

--

....-

..

F~I~

FIgure 1.2

",.Jkg

w " 9.81 N

Il)/52)

FIgure 1.3

Nous emplo 'uns aussi des multiples et des sous-multiples des unités SI. nommés à l'aide des préfixes listés dans le tableau 1.1. En in~~nierie. nous utilisons couramment le kilomètre (km) el" le IIlillilllèlrc> (mm] pour la longueur: le gr(/111IJIl' (g), le kilogrlll1lnlc (kg) et la tonne métrique

c

pOlIr la masse; et le kilCl'netQtol~ (kN) pour la foree. Le t·.ilileau, 1.1 donne les éqlwlliences Slûvantes: l km

= 1000 m

l kg = lOOOg l b\l

Nous

<=

=

l mm 0,001 ftl 1 g ~ 0,001 kg

1000 N

en mètres, eu kilogrammes ou en newtons selon le CMt SÏDlpiement en déplaçant: la virgule décinlaie de trois places vers la gtluche ou vers la droite. Par œempl.e. '110US convertis ..sons 3,8:2 km eu mètres en dépluçaat la virgule \rers Ia droite. '. OUS obeenons. COfl\'êttiSSO'!lS

ces

l1rutés

3. .2 km = 3820

0'1

}'i:Dverse.pour exprimer en mètres la mesure de 47~ mu'}, l'lOUS. déplaçcns la wg_lùe vers la g~\llche. Ainsi, À

·47..21nm

=- 0.0472

rn

La rlôt'.fltion scientifique permet également d'éc.rlre: 3,82 km = 3.8.2 X l()i3lfl 47,2 n11l1 ::% 47,2 X 10-311} Tableau 1.1 Prêftxe$ SI

= 1011\ = 1(}9 = l()fi

1 000 000 000 000 1 000 000 000

1 000 000 1000=

1()3

100== l~ 10 = 101

0.1 ;;;;10-1 0,0110 lO-~ 0,001 t:!I IO-" 0.000 001 "" 10,-6 0,000 000 001 = lO-~ O.(lOO000 000 001 c:> 10-1: 0,000 00000.0000 001 = 10-11> 0,000000 000 000 000 001 = IO-ta 1é\~r

oeli

tech!\[cflJ#

preftws ~uJ


!)GUI

Préti)OOt

SymbOle

téta

T G

gigot} Illéga

kilo

k

hoclr>t (lécat

Il da

dkii

d

œntit

e

milli ,

m

1ll1Cl'O

P.

lHU!O

Tl

pioo felnto

f

att'Q

il

les meseres d'mm cl de '\clUIl~

,,"lises pi"

)\,f

ou

CIlOOl"e pour

w,'elnple pour ffteSUIW les paru "!il du ~

l'usage !lan

01].d'llU vêœmelrt.

Ltuùté SI du temps est la seconde (s); flOUS en espnmens les multiples et les sous-multiples à )'aide de . pr 'fixes donnés dtUlS fe tabl.G1lU1.1. t:usage de la minuta (min), de l'heure (11), du jour (j) et de J'année (a) est égale-

ment accepté. Les angles plats. se mesurent en radians (md) et. encore tlll:ê fois~ les préûxes du tableau 1.1 s'nppliquet\t pour les tnw.ttples et 168 5OU$multtples, Lusage du degré (0), de la tninute ('). de la seœade (") et de la

révolution3 {r} est ét-,raJement accepté, L'enlploi npproprié des multiples et des sOW>&iÏlultiples pennet d'éviter d'éertre des nombres réOllfb-.:ttUs {tl"ès f,t;l1lJ\ds ou très petits"). Par exemple, flOUS choisirons d'écrite 427.2 km Rtl Ueu de 427 2{)Om, ou encore 2,16 mm ou 2..16 x 10'~m plutêt que 0.002 16 m. 3. La nl01

toUT (tr) eiW tI.uS,fl t:!anployé.

4. I..ot!:qu·un nombre œcprimant une qUfi.lllité SI (.'(lnlpre1ld IJIu.sde quatre ehlffres d'uu c6t6 {lud:e t'atrtl'e de la virgula dédm'iJe. un ~Xtœ ~p.'lre des gtOUJ?(tsde b,(lis clùlfn."lI; noult 6criwns. par Cltcl'lt[lle. (27 000 tn ct o,oœ 16 ni.

Copyrighted rnaterial

LRs tlnité d'aire et de coùnne. U!S aires se mesurent enlllPtre\ ('(Irrt~ (1112), dont l'unité correspond ik J'aire d'un carré de l III de côté. Les volumes s'expriment eu mètres tubes (rn''), dont l'unité équivaut au volume d'un cube de l ln Je côté, Afin d'éviter l'usage excessif de petites \'a]CIII"S, nous utilisons les sous-multiples du mètre, soit le décimètre (dm), Je centimètre (cm) et le milltmèt re (mm). Par définition, nous avons 1 dm t = 0.1 ln == 10-1 111 1 cm = 0.01 m = 10-2 m l mm = 0,001 III = 10-3 rn Les unités (le surface deviennent

alors:

1 ÙI1l2t = (1 dJlI)2 = (.10-1 l CII12 == (1 1 mm!! = (J

= (10-2 111111)2= (10-3

cnl)Z

111)2

In)Z In)2

== 10-2 1112 = lO-~1l1Z = 10-6 ln..!

et les unités de volume s'écrivent: J dm" = (1 dm)" = (10 1 ru)" = 10 :1 rn" 1cm" = (l (111)3 = (10-2In)3 = lO-4'lTl3 1 Innl!! = (1 n1Tl1)!!= (10-3 m)3 ;;;;;:10-U Il,3 Par ailleurs. le volume d'un Liquide s'exprime souvent en litre (L). autre non) donné au décimètre cube (1 L = 1 d013 = 10:lcn\' = 10-·1n):'I), Tableau 1.2

Principales unités SI utilisées en mécanique

Quantité

Nom de l'unité

Symbole

Détail de l'unité

Accélération

mètre par seconde carrée

...

lu/s2

Angle

radian

rad

l

Aecéléraëon tlnglliairt'

radian

Vitesse angulaire

par seconde carrée radian par seconde

Aire

mètre carré

Densité

kilogrol)\JllC par mètre Cilbr joule 11(.>\\1on hl'rty.

Énergie

Force

Fréquence Impulsion Longueur Masse

r.ldfsl

... ...

radis ., nl-

kgfn)"l N'III

k~'Ill/S.! S

1

newton -sccoude

...

mètre

III

kg .,.

Pu i.ss3J1Cl'

kilogralllll1e newton-mètre \\'utl

w

** Jf.

Pression Contrainte

pascal pascal

J'a

N",,::

Pa

N/IlI:::

Temps

l>l'C'()lIdl'

S

Vitesse

mètre par seconde mètre cube litre-

...

*""<;

L

10

jouir

J

Moment

de foree

Volume, solides

liquides Tmvail

k~'""~ N'ln

111'1

1111)

• III

t Trà rarement uuhsëe,

:t Ul1ltjS d(lrh'jS.- (1 r(:\olillion

*

= 21T rad = J60·).

Unité de base,

Nous employons des unité dérivées pour les moments de force. It> travail et plusie-urs autres quantités physiques: les principales sont indiquées au tableau 1.2, Nous introduirons ces unités au moment opportun dons les chapitres subséquents, mais précisons dès 11présent une règle lmportante : lorsqu'on obtient une unité dérivée en divisant une unité fondamentale par une autre, le nu mérnteur peut contenir lUI préfixe mais pas le dénomtnatcur.

1 3. Systèmes d·unl1é&

7

Par exemple. la constante k d'un ressort qui s'allonge de 20 mm charge d-e 100 s'esprlme comme suit: lOON 100 k = î'-O ... rnm == .•0 O·20

fil

. = 5000 N!ru

ou

k

=5k

SOllS

une

lm

1.4 MéTHODE DE RÉSOLUTION DE PROSl:ÈMES aborderons les problèmes de méeanlque comme si t10115 étions devant (les Situatiol'lS réelles. En faisant appel à l'expërtence personnelle et à 1'111tuition, il sem plus facile de comprendre le problème et de le poser correetement, Une fOls les données clairement esposées, il n'y ti cepelldant plus de place l)Ollr la ftmtrusie personnelle dans l'élaboration de la solutton, Celle·cl doit 8'appuye-r .tU.1" la sb: lJrincipa ftm(loment(JllX tmonc,"(!s à Ùl secuo« 1.2 ou encor« sur de$ théfJl'èTMS qltî en tlkouJ.ent. Ces principes doivent justifier chaque étape de la, solution, qUE! nous obtenons de façon quasi automattque en suivant des règles strictes, sans référence à une approclie intuitive ou personnelle. Une fois 1'1réponse trouvée, ilest essentie] de la vérillêt> ft cette éblpe. nous pouvons (le nouveau fnlre appel au bons SCtU ou à l'expérience. Si te résultat n'est pas satisfnisaût, OO~lS devons nous assurer que fe problème a été pesé eOllforn1émellt aux données de départ, que les méthodes ertlployées sont V'.al.ideset q\JI.eles calculs sont exaets, J:ltrp()$é d'un problème doit être cla.u· et précis: nOuS devons y meatJoïltl.e)' eoutes les données et rua s les autres t'ensmgncD1entç nécessaires à la résolution. Nous accotnpagnou' d'un Scll(~rrllî cmtlplet illusb"m..t la sttuatîôn d'ensemble, sur lequel nous inscrivons routes les deaaées. Nou$ traçons ensuite un magrnmIl1e séparé pOtlf chacun des corps impliq\lés. qui regroupe les forces auxquelle le .corps est $()UITÛS. Les sections 2.11 et 4.2 donnent une desertption détaillée de ce type de dJagrarnrnes. apllel~ diagl'lJul1ne des forces ou diagmmlne du corps libre (DCL). Une fois les diagraxnmes. complétés, flOl18 uUliSD/l.'1les prlnci1}0;S j01ldllrnenJ;aux décrits il III section 1.2 pOt/f' gcrlre les éqttfJ:.ti/)r~ correspeadaat à l'état de repos ou de mouvement des corps considérés. chaque équation étant associée à J'un des diagrammes
~[ """ Fd = (50 )(0,60 m) = 30 N . m L'unité N· m r~sultaut de la ,nulli.plication des newtons par les mètres eorrespond bien à. l'unité d'un moment de foree t si nQUS avions obtC11U une unité différ-ente, nOlIS aurions su ÎDlnléd:iatement que la solndon cornptir· t.Qit une

erreur,

Nous trouvons facilement une erretif' de clilc~J.len substituant les vrueUJ."S numériques obtenues clans une équation q1:.1i 0'9 pas été utilisée J?O'llf $olu· tionner le problème. Les valeurs <ÎeVl'aiellt normalement vérifier f'équat.iOt'l. Nous n'insisterons jamais asses sur l'impor'mo.ce de l'exaetaude des résultats pOUT un ingénieur.

Copyrighted rnaterial

•

1.5 Précision des

1.5 PRECISION OES VAL'EURS

wJl!lXS

9

L9 précision dt' ln réponse à un probl me dépend li ln fois dp la précision des données de dépr rt ct de celle (les calculs effectués. La réponse ne peut être plus précise cluC le moins précis de ces deux facteur. Considérons par exemple If' C3 d'un 110nt qui supporte une charge de 40 000 kg. déterminée ft 50 kg près: l'erreur relative indi(lue 1:1précision de cette donnée.

50 kg -_....!..:..._ .j0 000 kg

".,

0,00 125 = 0.1,).5 pour cent

Si nou caleulons Ifi réaction d'appui de l'un des pilier: du pont, il devient incohérent d'iuscrtre 253,42 k J car une telle précision ne peut être g'arantie. La précision ùe la sclution ne peut dépasser celle de la donnée de départ. soit O.]25 %. quel tjll(' soit le nombre de décimales obtenues par calcul. En réalité, l'erreur pt:\ II, (>lre aussi grande que (0,125/100)(253.42 k ) = 0,10 kN. La rëpon 'e Jevriut donc être inscrite comme suit: (2-53,4 ~ 0,3) kl , L'ingélljE'ur (1~spo.."erarement (le données de précision supérieure à 0,2 pour cent. En eonséquenee. nous devnons noter les réponses alt.Mpro. blêmes avec une l)n~(:isi(Jnsi111ilaire. Pour simpliûer, OOI1S conservons en gén6ral quatre chilfJ1 S dans l'écriture des nombres commençant par ,( 1. », et trois chiffres dans tous les autres cas. Par ailleurs, à moins d'indlenriou contraire. nous altribuons la même préci ion aux donnée de départ d'un problème. Pur exemple, 'Jl procédant comme précédemment, tille force de 40 l s'écrirait 4-0.(1 i et une force de 15 N deviendrait 15,00 . Les illg61,if'ur:. (,t les étudiants utilisent aujourd'hui couramment les calculettes. La \ itesse d'cxécutfon el 1:' précision des calculettes facililèolln résolution numérique (le bon nombre de problèmes. Cependant. les utilisateurs ne doivent pa .. retenir tous les chiffres affichés mais plutôt choisir le nombre app ..oprié df' chiffre sig,uAcatifs. Ainsi qu'il a (léjà été indiqué, une précision supérieure à 0,2 pour cent est rarement nécessaire ni même significative dans les problèmes pratiques rencontrés en ingénierie. A

•

•

\

Copynghted rnatena

La statique des particules

On peut résoudre bon nombra de .problèmes concrets en coNidéranl l'équilibre CSesIol'Cft en un poInl d'une stNCIut8 que 1'0f'I ASSimile à une ..plltloule .., La phoCo monlte le chargement d'lM COf'Itenoorsur un navire. 1:analyse· de l'équilibre fll'emplacemenl du C1OChe1 qui retlén' les cAblés sutlit pour obtenir une relation mathématique entre les tenslOf'ls CSetous Ie$ cAbI. utiliSés.

2.1 INTRODUCT10N

Ce chapitre traite de l'effet prodoü par (les forces exercées sur des particules. D'abord, nous apprendrons à remplacer un. ensemble de d.eu.'tou plusieurs forces appliquées fi une particule par une force unique équi~./3jellte. appelée résul.tlU~te. Puis, nous dériverons les espressions lllath"éu'lutiqll€S reliant les forces agissant !lItt une partlcule en &pt/libre; nous les utiliserons par la ~'11Îtepour détenniner quelques-unes des forces en cause. Bien qu'il soit quesdon de «particuJe 1>. notre éttl(ie '0,ese Jjnrite pas eux corpuscules ou aux trës petits objets, Simplement, elle examine des cas ob la :t:3illeet 1n forme des corps tl'influencent pM les résultats et où les forces s'a:ppliqu.ent il un même point. On rencontre ces ronditiOflS dans hon nombre

de sjtuations concrètes. La madère œntenue dans ce chapitre permettra donc de résoudre de réels problèmes, <)1ngétûerie. En première partie, nous analys.erorn des cas où toutes les forœs se situent dans U11 même plan, la secoede partie portera sur des ensembles de forces aglssru1t dans IUl ~œ triflirnensl(lnneJ.

FORCES COPlANA1RES 2.2 RItsULTANTE De caux FOA;CESAGlSSANT SUR LA MI!Me PARTICULE Une force rei?:~'ënte l'a;ction .d'l.Ul oorp~ "" un autre corps et est gén~ement caractérisée par 80.0 po-mt d'appllmtloo. sa grandeur et sa direct1on. Cepenclant, les. forces ~lgissant 'ur url€: fllirtieule dOlluée ont le même lXJint d'application. soit la particule elle-même. Ce chulJitre ét."Ult consacré am

particules, nOlISdéfulirons complètement les forces en donnant leur grandeur et leur direction.

La grandeur d'une farce s'exprim.e à !'a}(le d'un nombre et de ses lJnités. Nous avons vu au premier clllipitre ç}tteles ingénieurs clnll1oiOOlt les unités SI, It.. mesurent cloue les forces en newtons (N) ou en kilone\.vtons (kN), lm ldloncVY1:on étant égal à 1000 .. Pour compléter la description de ta force. on denue sa clirectioll en indiquant sa.lig'le d'uction et le Sfm8 d'appJiœtion. La li{,rned' action correspond à ia Ugne droite tnftnie le Jong de laquelle la foree agit: on la caractérise à: l'aide de t'angle qu'clle forme avec u:n axe préaJablement déterminé (figure 2.1). On desstne un segment de cette droite porur représenter ta force; la longueur du segrnent, fol:letion de l'éche:lle choisle,. correspond à la grandeur de ln force. Finalement, une flèc.he indique le sens d'application (011 orientation), précision essentielle dUXlS l.a des(..'tiptiOJl d'W1C force. En rénltté, deux forces de même grandeur exercëes sur la même ligne d'accon, m.ais (le sens opposé (figures 2.la et 2.lb). ont un effet contraire sur la perdeule.

(6)

(1))

Agure 2.1

qtl.ê nous pouvons remplacer deux forces f et Q agL..sant sur une particule A (Bgur:e 2.2<1) par u:tI,eforce uelqne B produisant le même effet (figure 2.2c). On nomme cette ferce éqW\'tlLente r&ultttJf.te des forees P et Q. NOliS pO'uvons déténniner ft en construisant un parellëIQgramme dont les côtés oojnœnt:s correspondent à P et Q (figure 2.2b). I.,[J L'expérience dt:mol~

Copyrighted rnaterial

passe par le lJO;/l1 A représente la rësultante. Cc procédé décrit l'application de la rè{!.le du p(/ralle1()gr1l1n11lI à l'addition de deux forces. Fondée sur des résultats expérimentaux. cette règle ne peut f>tre IIi prouvée ni d~ri\'ée mathématiquement. (liogollll!e

(III IJ(lrallfl(){!.rnlll1lll'

qui

2.4 Addlion ~rc·rle'IB

J

2.3 VECTEURS

L'addition géométrique de la figure 2.2 indique clairement s force de 4 1 et 3 • faisant un angle droit entre elles donnent une résultante clt' 5 :X, et lIon pas de ï 1 • L'application de la règle du parallélogramme ne C limit . pas aux forces; elle permet d'additionner d'autres quantités physiques. également caractérisées par une grandeur et une direction, tel, les déplacements. le citesse . les accélérations et les moments (leforce. On représente toutes ces quantités pur des cecteurs. Par ailleurs, nous appelons scalaires Ics quantités sans direction, parfaitement J~flnies par 1111 nombre et ses unités, tels le colume, la masse ou l'énergie. 011 dl'finit los vecteurs comme des expressions IIlllthé,I1(JfiqllCS caractérisées lJ(lr ""e grall(/clI,. ct une direction, qui s'oddiuonneut en Ilppliqllll"t III règle (III lJflr,II'It/ogrll,nlllt'. Sur 1111 schéma, on repré-sente un vecteur par UDe flèche ct, dans le texte. on les distingue des scalaires en utilisant les caractères gras (P). O.U1S l'écriture manuscrite, on identifie génél''éll~nlcnt un vecteur en traçant une (>élit(, f1('c...he au-dessus <)(' son symbole (P) ou en le soulignant (f). Cette demièr ' notation est sans doute préférable car on peut la reproduire plus facilement sur une machine à écrire ou un ordinateur. La grandeur d'un vecteur détermine la 10llgueur de la nèchf> qui le repré ente. Dans ce texte, on exprime cette grandeur en utilisant un caractèr .."> italique; ainsi. P repré cnte la grandeur du vecteur P. Le point d'application d'une force agissant sur une particule est la particule elle-même. Nous parlons alors d'un vecteur lié que nou ne pouvons déplacer san modifier les conditions du problème. Par contre, nous pou· vons déplacer librement dans l'espace les vecteurs de certaines quantités physiques, les couples (chapitre 3) par exernple : nous parlons alors de vecteurs libre ,Dan d'autres cas, comme les forces agissant sur un corps rigide (chapitre 3), nous pouvons glisser les vecteurs le long de leur Ligne

i\ (a)

"

H " A

" "

Q

" " "

(hl

A (cl

Figure 2.2

d'uction : nous les uonuuons vecteurs {!.ii.'iSIII.fs'.

Deux vecteurs sont équtpollent« s'Us ont la même grandeur et la même direction, quel (lue soit leur point J'application (fi 'ure 2.4). On peut identifier des vecteurs équipollents par le même symbole. Le cecteur n]J]José à p. noté - P, a la même grandeur (lUf' P mais il est Je sens opposé (fig" re 2.5). Nous disons alors 'llle les vecteurs P ct - P sont opposés. Leur S0l11meest nulle: P

+ (-P)

Figure 2..4

=0

2.4 ADDITION VECTORIELLE Dans la section précédente, nous avons Vl.I que. par définition, la règle du llarallélogranlllle s'applique polir additionner les vecteurs: nous obtenons la S0I111ne dt' vecteur P et Q en joignant leur origine à un point i\ et en construisant tin parallélogramme dont les vecteurs constituent d ux des côtés (figure 2.6). La dingonelc passant par le point A détermine ln somme des vecteurs P et Q, notée P + Q. L'utilisation {lu signt' + à la fois pour les

-p

Agure 2.5

_-

1 1

1 1 1

1. Cert.ùut'!. '1lllllllUés '(,':\pnllll'Ill tlr,dûe d'une grllutl :ur et d'une din."t.1ion Slins loutt.'fois s',Kkli·

l' -

tiullilcr ~t'Iulllij ri'Jtll' du 1)'IJ1JJ~lo~I'UlI11IlC. ~OWi utilisous aussi des OècJIC'SpoliT les représenter IIUIIs (!C$

n~dc IIlUbtrClIt ce gt'tll'C de COLS.À titre d'e·",..,IIJJlt·. plueez Ull livre fcnl1~sur une' tahle' dr'v\lnt vous,
o

Il /

quantités ne ~O,,111(1·~des vecteurs.

Le) rocatlo,,~Illlit'~d'un

1

Q Figure 2.6

13

14

La SlllliQuc dus plI! tlCU:C$

scalaires et les vecteurs ne pose pas de problème à condition de distinguer clairement J'écriture des vecteurs de celle des scalaires. Il est à noter que la grandeur du vecteur P + Q Ile correspond généraJement pas à la somme des grandeurs des vecteurs individuels P + Q. Le purallélogramme construit à partir des vecteurs P et Q reste le même si nous plaçons les vecteurs dans J'ordre inverse. L'addition de deux vecteurs est dune rommutatioe et f101lS pouvons écrire

P+Q=Q+P

(2.1)

La règle du parallélogramme permet de dériver une autre façon d'additionner deux vecteurs, que nous appelons la 11t1!thodedu triangle. La figure 2.6 montre la somme des vecteurs P et Q obtenue par la règle du parallélograolrnc. Considérant la symétrie de la figure. les côtés opposés étant égaux et parallèles, il suffit de dessiner la moitié du parallélogramme (Bgure 2.7a) l)our trouver la somme : Orl place bout à bout les oecteurs P et Q, l'origine de Qjointe à l'earëmuë de P; on trace ensuite la résultante en reliant ['origine de P il l'extrémité (le Q. La flgure 2.7b illustre la même addition en consi(térant l'autre moitié du parallélogramme. On obtient la même résultante, ce qui confirme la commutativité de l'addition vectorielle. La soustraction (l'UII vecteur équivaut à l'addition de son vecteur opposé. Ainsi, nous obtenons P - Q. la différence entre les vecteurs P et Q, en additionnant P et -Q (figure 2.8). Nous écrivons

Q

P - Q = P + (-Q) A

(2.2)

lei encore, il f'lut éviter toute confusion entre les soustractions scalaires et vectorielles en distinguant clairement récriture des vecteurs de celle des

(0 )

scalaires.

A

Considérons maintenant l'addition de trois vecteurs ou pius, Par définition, nous obtenons la somme de P, Q et S en additionnant d'abord les vecteurs P et Q, el en ajoutant ensuite S au vecteur P + Q. Nous écrivons

(b) Figure 2.7

P + Q + S ~ (P + Q) + S

(2,3)

L'addition de quatre vecteurs se fait de même, c'est-à-dire en ajoutant le quatrième vecteur lu somme des trois premiers. Il s'ensuit que la somme à

..Q 2

(0 )

Apre 2.8

(b)

gIlucb{!.Tournez-le de IbO" autour d'un axe panillèlc au bord rellé (Agurc 2.30);

011

représente

eeue "lt.\tll)H 1)lU' une fift:ht' dl.' IOllg\lellr ~lUI\".t1clllei'l LOO umtés ct orieutëo œmme sur la lignw, PrPIIf>ZInrulltpnalllip livre dans ct>Ut>position et tcuruez-le dt' L8O", eeue foh autour d'Url ru:e horiZlOlllml1Prpendiculnire au bord ",titi (ligUA> 2.3/1): 'LfW nk!lu' de 180 HOUés dJrlgéu \'erS

la droite désigne cette seconde rotation. Or. le Livreauralt pu lJa.S.krde la position de départ à III posilloli Ii""lc- en un.' <;eul" rutlll10n dt- It-IO" OIlillIlIr d'un LW: \~rhall (îlgUTC 2,3c). Nous »OU\'Ol15 Cil dtduirl" que la somme Je·s rlc'ux rllrle flèches orientées le long des ~>$ ;; et x correspoud il. une rotlltiO(l de l O~autour de l'aw des y {tlgure 2.3d). La ~Ie du pamllé. logmnllne ne ll':lpplique ptl.S Ici. eu eouséqeeuce. nous ne pouoons représenter la rotation d'un C()rp~rigide

par un vecteur,

(n)

FIgure 2.3

(]J)

Botauons finies d'un corps rigide

Copynghted ma rial

d'un nombre donné de vecteurs s'obtient en appliquant la règle du purallélogramme il répétition, ajoutant un vecteur chaque fois, jllS'1I1'~1 ce (Ju'un seul vecteur remplace l'ensemble des vecteurs à additionner. Si les vecteurs sont coplonaires, c'e t-à-dire s'ils se situent tous dans le même plan, on trouve facilement leur somme par une méthode gr.1pltiquc. La méthode du triangle 'avère alors plus imple d'utilisation lJUC la règle du parallélogramme. La fibrure 2,9 illustre l'addition de' vecteurs P, Q et S pRr la méthode clu triangle. Il suffit d'additionner les vecteurs P pt Q en première étape, C't de répéter la méthode pOllf les vecteurs P + Q et S. L'examen de la figure 2,10 révèle qu'il n'est cependant pas nécessaire de déterminer le vecteur P + Q po11r obtenir le résultat fînnl. Tl suffit de placer les vecteurs bout à bout. joignant l'origine du deuxième à l'extrémité du premier et ainsi de suite, el de tracer la résultante en reliant l'o0l-,titl(-'du premier vecteur à l'extrémité du dernier: c'e t la méthode dit J)O/Yf!.Olll'. Le résultat re te le même -i nous changeons l'ordre des vecteurs, tel qlle montré sur la figllre 2.11, oi) les vecteurs Q et S ont {-té rf>lllplactSs par leur somme Q + S, NOLIS pouvons donc écrire

P

+ Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S)

2.5 Rést..ltanll? de '·:lrces conc;owant.M

A

Figure 2.9

1\

Figure 2.10

(2,4)

Cette équation montre que l'addition vectorielle est a ociaticc, CI): plus d'être commutative comme IIOIIS l'avons vu précédemme-nt. l'\ous avons P

+ Q + S = (P + Q) + S = S + (P + Q) = S + (Q + P) = S + Q + P

(2,5) A

Cette expression et les relations équivalentes que nous po\l\-ons déduire de la même manière montrent tfllE> l'ordre d'addition des veete Il rs est sans importance (figure 2.12), Produit d'fIn scalaire e! d'utl recteur. Pour simplifier la notation, nous écrivons souvent 2P pour repré enter la somme P + P. ou 3P au lieu de p + P + P, En fait, nous remplaçons g~n~ralellient la SOIIlIlI(;' de n vecteurs P égaux par 1(>produit "P, où Il est lin entier positif. U" vecteur Il P est de grondeur PlP et orienté dans )0 même direction Clue P. 'ous l)ouvons élargir cette défi nition L'a tous les scaluire-s et, reprenant lu notion de vecteur opposé vue il la section 2.3. le produit kP d'un scalaire k ct d'un vecteur P donne un vecteur de même direction que P si k est p()Sitif, t"t un vecteur de sens opposé CI.P si k est n6gatif. La grandeur du vecteur kP correspond nu produit de P par la valeur absolue d k (figure 2.1.3),

Agu,. 2.11

,,\

Agure 2.12

2.5 RÉSULTANTE DE FORCES CONCOURANTES Considérons une particule A . oumise à plusieurs forces coplannin-s, c'("stà-dire situées dans un même plan (figure 2,1-10), Étant donné que toutes ces forces passent par le point A. nou dirons qu'elles sont concourantes. Nous les addition nons ('11 utilisant la méthode du r()ly~()nt> (flg1lrf' 2,1":1/).

!II

-

-

1S0.

1

l'

1

(,. )

tri)

Agure 2.13

15

16

équivalente à des applications successives de la règle du parallélogramme. La résultante R des forces concourantes produit le même effet sur la particule A que l'ensemble des forces concourantes appliquées. Rappelons que l'ordre d'addition des vecteurs P. Q et S est sans importance.

La slallQuo dos palUeu es

;' ;'

s

;' ;' ;' ;'

p A (II)

;'

;'

rb'

ln)

(h)

Flgur. 2.14

'\ '\ \ \

'\ \

\ '\

,

1 (')

FIgure 2.15

2.6 DÉCOMPOSITION D'UN VECTEUR FORC'E

ous avons vu qu'il est possible de remplacer deux ou plusieurs forces agissant sur une particule par leur résultante, une force unique produisant Je même effet qlle l'ensemble. À l'inverse, 11011S P(}\lVO)l$ remplacer une force F appliquée à une particule 1lar deux ou plusieurs forces dont l'action globale produira le même effet que F sur la particule. ous parlons alors des composantes de tél force initiale F et nous les obtenons en (lt!co,n1JOSn"t le vecteur F. Un vecteur F donné peut être> décomposé de mille pt une façons. En pratique. les ensembles (le deux composantes P (.1. Q sont les plus intéressants mais Je nombre de possibilités reste illinlité (flgtu'f' 2.J 5). NOliS retiendrons ici deux cas intéressants ;

A Figure 2.16

\ ... .......

... .....

()

Figure 2.17

' ..............

1. L'une des composantes, P, est COll 1111('. NOliS devons déterminer la seconde c"Olnpo '
En pratique, nous rencontrons toutes sortes de situations; par exemple, nous connaissons la direction de l'une des composantes E"t IlOUS cherchons une seconde composante aUS3i petite que possible (problème résolu PR-2.2). Dans tous les cas. nous traçons le triangle ou le parallélogramme qui satisfait les conditions données.

Copynghted matenal

PROBLÈME RÉS'OLU 2.1 Calculez la résultante des forces P et Q appliquées au boulon A,

SOLUTION

JI

Solution graphique, On choisit une échelle de forces et 011 ooastruit le parallélogralllnle qui a P et Q comme côtés. La grandeur et l'onentation de la résultante 1{ sont mesurées li l'échelle sur le tracé; on trouve

La ri-gle du tri~mgl€' peut aussi être utilisée: on place alors les vecteurs P et Q bout 11bout et on mesure sur le dessin la grandeur et l'orientation de la résultante R. A

a= 3,50

Solutîon trigOtll)lnél.'i(!\.le. La règle dl! triangle est utilisée: dans ce triangle. on connan les deux côté cl l'angle qu'ils déterminent. On applique la loi des cosinus loi

on oLt ien t

R2

:;;:;p2

+ Q2 - 2PQ cos B

R"J. :: (40 N)z + (60 N)2 - 2(40 N)(60 N) cos 1550 Il = 97,73 N En utilisant la loi du inus.

in A Q (\ll(:'u];llri< C'

-

peul maintenant écrire

011

sin B R

sin A

sin 155°

60N

97,73N

(1)

(·Ic·tlrnllÎqlll' Si on résout l'équation l en fonction du sin A. on trouve .

(60 N) sin 155°

sUlA =

9773 , N

En calculant d'abord le quotient du membre de droite et ensuite on obtient

Rt(!le- li ('ak'lll

SOD

arcsin,

En posant sin 1550 = sin 25" et en ajustant la règle suivant

le schéma ci-contre, on peut lire A :;; 150,0 ct obtenir les mêmes réponses que précédemment. R = !Ji i J\ d,)5,O ,\lItl'(' \"luNon.

On construit le triangle rectangle

-4

BCD ct on a

CD = (60 N) sin 25° "" 25,36 N

BD = (60 N) cos 250 = 54,38 N )\Ior:o, par It' lri(lnglc' I\CD, A

QI)

obtient

25.36 N tan A ::: 9-1.38 N R = 25,36 sin 1\

R ." 97,73 N f~= Hi,ï N .~.'}5.(I°

17

PROBLÈME RÉSOLU 2.2 Un chaland est tiré par deux remorqueurs. Si la résultante des deux forces exercées par les remorqueurs est de 5000 N et d[l;gée parallèlement à l'axe du chaland,

~. IIIJ 8 ~. ..........,._.......""""""~i'!

déterrninez : Il J la tension dans chaque câble pour cr = 4,50 ; /,' Lnvaleur de cr pour laquelle la tension dans le câble 2 est minimale.

SOLUTION

Ten ...ion pOUl o = ..:; , "10/111;(" :!rflj)],itl"f _ Si on utilise la règle du parall~logrtlllllll(" la diagonale (résultante) doit l!lrf' égale li 5000 N ct dirigée vers la droite (voir lu figure ci-contre). Les côtés sont tracés parallèlement au.x câbles. Si le dcsstn CS! rait à l'échelle, on trouve a'

\. \.

-..."'1:-"

30· ;,CI(lO ,

\.

\.

fj

Il

1

En utilisant la méthode du triangle, on reDlarque

"'0/111101 Il'f{oIlOlllcr'I'I"f.

que celui-ci représente

37!HI ~

la molné du paraIl6Iogmm'TI(' précédent

(voir la figure ci-

contre). Par tngonométrie, on a T..

-

sin 45°

5000N

sin 105°

fi 1111

5llOO t\

(t

pour 1 HIlll'II(' 1. ,·,t JIIIIIII Hile. La méthode du tria.ngle est utilisée pour calculer la valeur de cr. Le schéma ci-contre rnontre que la droite 1-1' correspond à la direction connue de TI' De.s directions possibles dl' T2 sont indiquées par les droites 2-2'. On remarque que T~a une valeur mialmale lorsqu'elle est perpendlculaire 1'1 TI, On a alors ,,'

\

Ill'UI-

rI(·

H

Tz

Les valeurs correspondantes

n

"

t

:!

-

\ 1

',II

")()OO :-.

, ~I

\

1l ,

1 \ 1

-

1

1

,

>, \

1

,

/

l '" 4/

'"

,

'-<._/

»"

\

1

1/ 1

/

\

/

,

):/

\

,

/""

-,

.,

\

-

" •

,'jIMM)

18

N

..

., " /"

'"

"

""l'

=

(5000 N) sin 30°

= 2500

de TI et cr sont:

TI = (5000 N) COS 30° = 4330 N cr = 90° - 30"

N

,

RECAPITULATION " SECTIONS 2.1 A 2.6

Nous avons étudié aux sections précédentes la règle du parallélogramme appliquée à l'addition de vecteurs. Pour cela, deux problèmes résolus ont été présentés: PR-2.1 et PR-2.2. Le premier traitait la manière de calculer la résultante R de deux forces connues en direction et en magnitude. Le deuxième traitait la façon de décomposer une force F en deux composantes selon des directions désirées, Nous allons maintenant résoudre des problèmes ayant comme point commun l'appllcation directe de la règle du parallélogramme. Nous suivrons les étapes suivantes: Identifier 1('1f[ore ('II 1II','litIUé(' ....el 1" "t'IIII/Iall/( 11 est souvent utile d'écrire l'équation vectorielle identifiant la relation entre les forces. Ainsi, au problème résolu PR-2.1, nous avions L,

R=P+Q

n est

important de garder cette relation à l'esprit lors de la formulation de la deuxième

partie de la solution. 2,

TTUC('r un l'Clrallrlflj!rt'/III1I(' U!/U/I' ("'/1111/(' el (raCCT la ,.('""lllllll( (/1 (/U/!.!/IIIIIIC' ({r!!.""(' :?

('(lII'N

(1(1'(1('('/1''1

1(·

f Ire C',. (11",//(1""('"

:? J. En utilisant la méthode du triangle, nous pouvons tracer bout à bout les deux forces appliquées, Nous pouvons ensuite tracer la résultante en reliant l'origine de la première force et l'extrémité de la dernière force appliquée (figure 2,7). 3, ',I,lill,tllr 1"'IIHI',II/,I" (les J'l' ,.OUI(o/ ",'H, Si 'nous utilisons un des triangles du paralJélogramJne ou encore le triangle tracé selon la méthode du triangle. 110US devons indiquer toutes les dimensions connues, incluant les côtés et les angles. Ensuite, nous devons

déterminer les valeurs manquantes, soit la grandeur et la direction de chaque force, par la méthode graphique ou par trigonométrie. Si nous utilisons la trigonométrie et que nous connaissons deux côtés adjacents et l'angle compris entre ces deux côtés, nous devons d'abord appliquer la loi des cosinus (PR-2.1). Par contre, si nous connaissons tous les angles du triangle et W1 seul côté, nous appliquons alors la loi des sinus (PR-2.2). Certaines personnes ayant déjà été introduites à des notions de mécanique préféreront ignorer les techniques de résolution présentées dans cette section au profit d'une approche utilisant la décomposition rectangulai:re des forces. Bien que cette dernière approche soit importante et qu'elle sera présentée à la prochaine section, il est important à ce stade de l'étude de bien maîtriser la règle du parallélogramme, car eUe simplifie la solution d'un grand nombre de problèmes.

19

B

2kN Figure P2.1

D eux forces sont apphquées HU point 8 de la poutre AB ci-contre. (1) En utilisant la règle du parallélogramme. déterminez la grandeur clin direction de leur résultante. 2.1

Déterminez les mêmes paramètres (grandf'llf et direction) en utilisarlt la méthode du triùngl(". IJ}

2.2 Dcuxforces (P ct Q) sont appliquées au point 11 du crochet ci-contre. Sachant que P = 75 N f>t Q = 12,5N. déterminez graphiquement la grandeur

et la direction de leur résultante en utili 'ont u) la règle du parallélogramme ct b) la méthode du triangle, Deux forees (P et Q) sont Uilplic fllée,~ail point A du crochet ci-contre. Sachant que P = 60:'l et Q = 25 N, déterminez graphiquement la grandeur alla direction de leur résultante en utili ant a) hl règle du parallélogramme et b) la méthode du triangle. 2.3

Q l'

Rgure P2.2 - P2.3 et P2.10

2.4 Les câbles L\B et Jill soutiennent la poutre ,le'. Sachant que les tensions dans les câbles sont respectivement Je 1200 N pour AB et Je ·400 N pour AD, dérenninez graphicl'lenlent la gt:'dndt"lIr et la direction de leur résultante au point L\, en utilisant a) la l"èglc du parallélogramme el b) la méthode du triurlgle. ,

/

a 10111 2,jl0N

8 1t-.--8In---f--ôm-.l

Agure P2.4 fi'

Figure P2.S - P2.6

2.5 On veut décomposer une force de 200 N en deux composantes ayant les directions déâIlie!> a-a' et /1-/1'. a} CalCIlIe7. par trigonométrtc l'angle Q, sachant {ille la (;(>Iuposante selon l'axe a-a' est de 150 N, b) Quelle Serait lu valeur correspondante se-lon l'axo 1)-1-,' r 011 veut décomposer une fore de Z<)O N Cil Jeux composante ayant les directions définies a-a' et b-b', a) Calculez par trigonométrie l'angle a, sachant que la composante selon l'axe b-b' est de 120 N, b) Quelle serait la valeur correspondante selon l'axe (1-0' ? 2.6

20

2.7 Un câble téléphonique e -t attaché au point A du poteau AB. Sachant que la l msion au côté gauche du câble est (J~Tl = 00 N, déterminez par tngouométrtc. CI) la tension T2 requise au t'Ôté droit si la résultante R des f()rct'~ exercées sur le <.:âblt'UII poillt A doit être verticale: Il) ln grandeur co rrespondante de R.

21

Problèmes

....t...... ."..-.-.TI

2.8 n câble téléphonique est attaché au poinl ,\ du poteau ,\B. Sachant que la tension au côté droit du câble est d T2 = 1(>00 :'\1. déterminez

-

T.

par trigollolnélril';

la tension TI requi ..(' (1\1 côté gauche si la résultante R
On Ilppli(lllC' sur un crochet deux forces distinctes, Sachant (lue la grandeur de la force P 'st de 3.5 1\, déterminez par tngono III étrie : a) la valeur de l'angle cr si la résultante R des deux forces doit être 2.9

horizontale: b} la wallc!(:'lIr eorresponrlante

Figure P2.7 - P2.8

de R.

50N

p Figure P2.9

2.10 En' ous référant à la situation décrite au problème 2.2 ('1 sachant que la force P exercée pst de ï5 ~, déterminez par tri~nnom(>trif': a] la gr.llldt'ur de la forCi:> Q l)i la résultante R Ùf>S deux forees al)pIiCJ11~t>Sau point A doit être verticale: b)

la grandeur correspondante

de R.

2.11 On dtssire déposer un ré .ervoir en acier quI" a = zoo, calculez par trigollonlétric: a)

la gJ"lInUl'l1r (1(·la force Pila

dtU1S

un fossé. Sachant

résultante R de deux

forces

appli-

p

quées au point A doit être verticale : 1,) la grandeur correspondante de R. 2.12

On c.l~~ir(>déposer

III)

réservoir

("Il

acier dans un [ossP. Sachant

(]lIe la Iorce P (·~tdt:>5()() 1 • calculez paf tngonométrie : a) la valeur de l'angle a si la résultante R de deux forces appliquées au poi nt i\ doit être \ crticale : b) la grancl(~lIr correspondante dt' R. 2.13 On désire déposer un réservoir en acier (lans un rossé. Calculez par lrigonolnétrie: (1) la grandeur et la direction de la force P minimale !>our laquelle la rë ultante R dt·~ deux forces applrquëes au point .-\ l' l \ erticule :

,))

la gr~ul(l(!lIr correspondante

2.14 En vous rrf('ranl trigonométrie:

:lILX

de R.

donnée

du problème 2.9, évaluez par

la grandeur ct la direction de la force P rninlrnalc I)our laquelle la résultuntc R des deux forces appliquées sur le crochet est horizon laie ; h) la ~raJlt1ellr correspondante de R. a)

2.15

R6solvC'z trigonolnétri(luCTllent

le problème 2.3,

Figure P2.11 - P2.13

22

La statique des particutes

2.16

Résolvez trigonométriquement

Je problème 2.4.

2.17 En vous référant à la situation décrite au problème 2.9 et sachant (lue P = 15 N et a ;:;5O évaluez par trigonométrie la &rrandeur et la direction de la résultante des deux forces appliquées sur le crochet. D

,

2.18

40" -

Résolvez trigouométriquerncnt

le problème 2.1.

2.19 Les barre' A et B d'uné structure métallique sont boulonnées au gousset tel qu'illustré. Sachant qu'elles sont soumlses à des forces en eornpresslon de 15 kN l)Our la barre A ct de 10 lu,," pour la barre B. calculez par trigono,nétrle la grandeur et la direction de La résultante B des forœs appliquées sur le gousset.

;" . 20', 1

1 1 1

Les barres /\ et B d'une structure métallique sont boulonnée.') au ~ouSSPl tPI qu'illustré. Sachant qu'elles sont soumises à des forces en compression df' 10 kN (XUlr la barre A et lie 15 k pour la barre B, calculez par trigonométrte la grandeur et la direction de la résultante R des forces appliquées sur le gousset. 2.20

Agur.

P2.19 - P2.20

2.7 COMPOSANTES RECTANGULAIRES D'UNE FORCE ET VECTEURS UNJTAIRES2 Là résolution (le plusieurs problèmes est hahltuellement simplifiée si on décompose les forces en deux composantes perpendiculaires entre elles, La ngure 2.18 montre la décomposition d'un vecteur F en ses composantes Fx. le Joug de l'axe clet; x, el' FIl' orientée selon l'axe des y. Le parallélogramme devient alors un rectangle et les composantes F.\' et F!I sont appelées composantes recfangulaires,

----------

'J

_ __-

_ _

- --

,, \ \~

.Fy

01

0\

r

F1

Figure 2.18

Figure 2.19

IJ

.,'

~GI";mdeUr ~ 1 1

Flgu,", 2.20

F,

.r

LQ.'I':edes x correspond généralement à une direction horizontale, et l'axe cJe~ .. y à une direction verticale (Agure 2.18), mais il est aussi possible de choisir des directions perpendiculaires quelconques (figure 2.19). Pour déterminer tes composantes rectangulaires d'une force (figures 2.18 et 2.J.9), il s'avère plus prudent do I)enscl' à tracer des lîgne.s parallèle» aux axes x et Ij plutôt ljUt" de songer à abaisser des 7)I;U7JelLdi"111(Jires à ces axes. Les risques d'erreurs sont ainsl diminués lorsque vient le temps de définir des composantes obliques, te] (lue nous l'avons vu 3 la section 2.6. Considérons maintenant dCLLx vecteurs de grandeur unitaire dirigés respectivement selon le sens des x et des Ij positifs. Ces vecteurs sont appelés oecteurs unitaires et représentés par les symboles i et j (figure 2..20). Eu utilisant ln définition du produit (l'un scalaire par un vecteur (section 2.4), nous

2

dp!1llltion c1~ oomposaares rf'tt.llîgl d3il'('~ donnée s'applique é~~Cluëntà toute autre quantité vectorielle, L:l

pOlit

les Iorees

,lUX sections

2.7 ct 2.8

Copynghted matenal

23

~ 7 Cornposantèa rocl
pouvons écrire les composantes rectangulaires F.\ et Fy d'une force F en multipliant les vecteurs unitaires i et j par les scalaires appropriés {figure 2.21). Nous avons

[,l'unI' fon:p el >teçteur~ unl1alres

Ij

F r = Fi

(2.6)

T

et

--------(2.7) J

Les scalaires Fr et F" sont positifs ou négatifs scion le sens de Fx et Fy; leur valeur absolue correspond à la grande1lr des composantes. F, et Fy sont les composantes scalaires de la force F alors que F;.: et Fy en sont les CO'l~posantes vectorielles. Lorsqu'il n')' a aucun risque de confusion. les cornposantes du vecteur F désignent les unes 011 les autres. Il est il noter que la composante scalaire FIC est positive lorsque Ft est dans le même sens que le vecteur unitaire i (sens des x positifs) et qu'elle prend une valeur négative lorsque FK va dans le sens opposé à i. De même, le ~ignc de F; dépend du sens de Fy par rapport au vecteur unitaire j. Si nous connaissons la grandeur de la foret' F et l'angle 0 (lU 'elle forme avec "axe des x positifs, mesuré dans le sens antihoraire (figure 2.21), nous pouvons expritner les COlll[X>srultes scalaires de F comme suit:

F!

= /: • 1

Figure 2.21

(n)

(2.8)

P =Fcos8 li:

!J

Ces relations, valables pOlir tout angle 0 compris entre 0° et 360°, définissent à la fois le signe et la valeur absolue des composantes Fr et F'J' Exemple 1. Une foree de 800 N est appliquée à un boulon A tel qu'Illustré à la figure 2.220. Nou... devons déterminer les composantes horizontale et verticale

de la force. Pour attribuer le bon signé" ,111.'( composantes F, f't F 'J~ nous pouvons utiliser (J.= 1800 - 3.'5°"" 145<>dans les équations 2.8. Nous pouvons aussi détermmer les signes de Fr et F!J en regardant le schéma (figure 2.22b) et appliquer simplement les fonctions trigonométriques à l'angle (1 = 35°. Nous avons

a =350 F1

A (b)

Flgure 2.22

E, = -F cos ct = -(800 N) cos 35° = -655 i\ F'I .,. +F sin cr = +(800 N) sin 35 = +459 N D

Les composantes

1----8 m----I

de F donnent alors

For = -(655

N)i

Fy = +(459 N}j

ct nous pouvons écrire

6 rll

F::; -(655 ~)i+ (459 N)j

l

Une personne tire sur une corde attachée ail mur d'un édifice avec une force de 300 N (figure 2.23c,). OIIS devons déterminer les composantes horizontale et verticale de la force exercée par lu corde au point A. La figure 2.23b montre que Exemple 2.

PI( = +(300 N) cos cr Sachant que t\B = 10111 ct en référant à la

cos

Cl

8m = B Il

8m --=10111 D

-

Fy

='

flgllft_' • SnI

(n)

-(300 N) sin cr 2.230. cr =

IIOtiS

1) Il'1

AB

trTU!\'Ul1S

=

3 5

JI

Nous obtenons alors

FIC = +(300 ~)~ "" +240 N

Fy - -(300

~)i= -180

N

('t nous écrivons (b)

F "'" (2-tO ~)i- (180 N)j

Rgure 2.23

Copynghted ma nal

Une force F définie par ses composantes rectangulaires Fr et FIj (fîgure 2.21) a pour direction l'angle (J dont la valeur est donnée par l' tan 9 = .:J_ F,.

(2.9)

Nous trouvons la grandeur F de la force en appliquant le théorème de Pythagore;

l1()US

avons

F = VF:~ + FZ'.J

(2.10)

Nous pouvons aussi isoler F de rune des équations 2.8. Exemple 3. Une force F = (700 N)i + (1500 N)j est appliquée sur un boulon A. Nous devons déterminer la grandeur de la foree et indiquer sa direction en donnant l'angle 0 qu'elle forme avec l'horizontale.

Dessinons d'abord un schéma pour illustrer les composantes rectangulaires et l'angle 0 (flgllre 2.24), t:tcllIùlioll (2.9) donllC tan

e

. =:

F'I..::I 1500 N

Px

ïOO

1

À l'airlr d'une calcu lat ricc-3• il nous reste à diviser 1500 N par 700 N; l'arc tangf'nte clu quotient donne 0 = 65,0°. En isolantF de la seconde équation 2.8, nous F, = t 700 l") i Agure 2.24

:r

obtenons

F

=

Fy "'" 1500 N "'" 1655 N sin 0 sin 65,0°

Nous pouvons fü('iliter la dl..rnlère étape de calcul en plaçant la valeur de Fy co mémoire sur la calculatrice la première fois que nous l'utilisons ; il suffit ensuite de faire un rappel de mémoire et de diviser la valeur par sin O.

2.8 SOMME DES FORCES PAR LA MÉTHODE DES COMPOSAN 1ES

Nous avons vu que les forces s'additionnent selon la règle du parallélogramnlt? (section 2.2). Nous avons dérivé de cette règle deux autres méthodes plus pratiques pour la résolution {!.raphiqup des problèmes: la méthode du triangle pour l'addition de deux forces et la méthode du polygone pour l'addition cie trois forces ou plus (sections 2,4 et 2.5), Le triangle déterrninan t la résultante de deux forces permettait aussi une solution t lig0710'IIéf'rÎ(I"i'. Par contre, le polygone obtenu avec trois forces ou plus ne donne pas de solution trigonnrrJébique simple. NOLIS pouvons toutefois trouver une solution analytique en utilisant les composantes rectangulaires des forces. Considé-

rons, par exemple, les trois forces p. Q et S
3. La mJt:ulillrict: llolt pUUVCIIJ'effectuer

(2.11)

les fOlll..1iol1StrigonouuStriques de base

cl lenr inverse.

(".('t1Jù.nesc:lI(""l~llrk'{'.sc,_'CI')\'t:rt~l1t(11""'~lerH~lll1~scoordoueées rm:tangulaires en coordonnées polaires, ('1 vi~ \'l'~I: $i c'est 1("cas, il Il '(',~tpltlS uëœssaire de passer par la trigolloulétrie (.'OO'IIl'1C lionS le fru.s(lll~tldllS les exemples 1. 2, 3 et dans 1(.'5problèmes du même gpnr('_

Copynght d ma nal

En décomposant

2,8 Somme des torces par

les [otees, nous avons

Rlii + Ryj = Pxi + Pyj = (Px

la memooe des cOlT'posan:es

25

+ Qxj + Qyj + S~j + S!lj

+ Q'f + S,,)i + (Py + Qy +

Sy)j

II s'ensuit que (2.12)

I~lus simplement, (2.13)

Nous pouvons en déduire que le calcul des composantes scalaires R",et R!!de la rësultoot» R d'un ensemble (le [orees agiss({ltf S1t1' l/ue même particule 1)(!1I1 être effectué eu acùJitioflnar&t algébriqll€Iu('!llt les COlljl,oS/alltes scalaires des

forces eu cllu.~e4. Nous obtenons la résultante en SUÎVaIlt les trois étapes montrées à la figure 2.25. Nous commençons par décomposer les forces selon les axes r et '1

(figtlres 2.25a et b). Ensuite, nous additionnons les composantes pour obtenir celles de la résultante R (flgure 2.25c). Finillenlent, nous appliquons la règle du paraUélograrnnle au vecteur R = ~i + RJ (flgu(@ 2.25d). Pour faciliter ces étapes, nous pouvons inscrire tous les résultats dans un tableau (problème résolu PR-2.3). La méthode analytique, pratique pot.lr udditionner trois vecteurs ou plus. est égalernent souvent préférée il la méthode trigononlétrique pour faire la somme de deux vecteurs.

(II)

P' yJ Il

r..i

(d)

Figure 2.25

4. Cette C
Copynghted matenal

y

PROBLÈME RÉSOLU 2.3 Calculez la résultante des quatre forces appliquées au boulon de la figure illustrée ci-contre.

F~.. lIlON

SOLUTION

----------:;;'1 J J

1 1

(FI ("Q!Ç3rfli

..... ..,_

~

1

de chaque force sont obtenues par projection sur les axes choisis et leurs valeurs sont eooslgn Ses dans le tableau cl-dessous, D'après la convention adoptée à la section 2,7, seront positives les composantes orientées vers la droite et les composantes orientées vers le haut . Les composantes x et

Ij

(F.. <'O.15")1

"-(Fi sln J5"'j

Force

Grandeur N

Composante

xN

-

Composa nIe y N

-

FI F ..F3

150 80 110

+ 129.9

F..

100

+96,6

+75;0 +75.2 -110.0 -259,

-274• 0

ll..J

R.r'" + 199.1

::0

+ 14,3

La résultante R est donc

'i

On peut maintenant calculer la grandeur et l'orientation de la résultante. Du

triangle ci-contre, on peut tirer

tan a ==

!!u.:I Rx

14,3 N 199,1 N 14,3 N S1n

a

=

199',6 N

It

11

Le dernier calcul peut être simplifié si la valeur de Ry est D1ÎSeen mémoire au commencement des calculs; elle sera rappelée pour être divisée par sin a (voir note 4. P: 25),

26

,

RECAPITULATION SECTIONS 2.7 ET

2.8

Nous avons vu aux sections précédentes que la résultante de deux forces peut être déterminée soit graphiquement. soit par la trigonométrie d'un triangle oblique. De plus:

\)

1 (In'/"C' troi« [orcc« I)~I /"" ... UU, j1l'I,/i,/II('( ~ leur résultante R sera trouvée plus facilement en décomposant chaque force en composantes rectangulaires. Deux situations peuvent alors se présenter:

,,(, [ore» l' e 1 tle[tll" l' Ir !;(I t!rttll,[t, , " 1 l'l« rr-nutul«, Les composantes Fr et Fy de la force (exemple 1) sont obtenues en multipliant la grandeur F de la force par oos a et sin a, respectivement. Cu« 1.

(:tlN;1,

lAI

[uree

Jo'

('S'

tlr[rIl;('IJtlr

rç(l

~r(lllf/('lIï,:

l'O;ulN \ et Il NI,r 1In li#.lIl' (1'(11'1;"" (fi!!.lIrc :2 2:~).

:

Il

Langle

"

'"

,/.

,1""

a formé par F et l'axe x est

évalué par trigonométrie. Néanmoins, les composantes de F peuvent aussi être évaluées directement en proportionnant les différentes dimensions présentes, sans avoir recours au calcul de a (exemple 2).

/11 (( n'I'(I untc« T( ('lttut!"/',;rc de 1" ,.(,,,,,1 ( 11 Les composantes RIC et Ry de la résultante peuvent être obtenues par la somme algébrique des composantes rectangulaires de toutes les forces impliquées (PR-2,3)

La résuJtante peut être exprimée sous [orme oectortelle en utilisant les vecteurs unitaires i et j, orientés selon les axes des l'et des y. d'où

R=Rri+RJ Finalement, la grandeur et la direction de la résultante R peuvent être obtenues en résolvant le triangle rectangle dont les côtés sont RIC et Rv' la grandeur de R étant déterminée par la longueur de l'hypoténuse et sa direction par l'angle formé entre l'hypoténuse et l'axe horizontal.

27

2.21 et 2.22 présentes,

Détenuincz lits composantes

.I

et !J de chacune des forces

y Ij

611 N

x

51' N Figure P2.22

FIgure P2.21

2.23 et 2.24

Déterminez

les composantes x ct !J de chacune des forees

présente .. 'J 'J

35

2B

2~

'1

\

CJ

·i5

1

°t30 ;'

o

\

11

lI2,.;

Dimensions

_L

r-n mm

\

Danensioas

~40

en

Figure P2.23

111111

,

1-60 Figure P2.25

Figure P2.24

B

2.25 Lélément CB d'un étau exerce une foree P en compression SUT le billot B, dirigé(' ~il-.lolll'axe CV (Rgure 'P'2.25). Sachant que P doit avoir une composante horizontale de 1200 !,\, déterminez: IlJ

b]

la grandeur cie ln foret' P; sa colnposanlc~ \ t'rtic':lJe.

2.26

Agure P2.26

28

Un cylindre "rdmuliqllC' f'\('rC(' IJr l'élément i\B une force P selon l'axe BC. Sachant que' P doit avoir uue composante de 600 N perpendiculaire i\ l'él(ll11cnl AB. dl'tf.'nllillcz: a) lu t.lilJt' de la force P; h} sn composante selon l'axf' AB.

C P

2.27 Considérez la structure cie' la figtH'<' P2,2ï, L'élélnelll BD exerce sur l'élément ABC 11t1f' force P diligée selon J'axe' BD, Sachant qlle P doit avoir une composante hori'l,outa)<' de :300 N, dC-If'rn'1tlC'?': a) b]

Prot;lonlOS

la grandeur de la force P; sa composante

verticale.

1\

D

q=:::::::::.J

Flgure P2.27

2.28 Considérez la structure d(' lu flgurr' P2.M. L'(>IC:nlr'nt BD CX{'!'Cf' sur l'élémcut ,\B(; 1111!.: f()f(..'(' P (Iirig(oc 5,,101' ru.'((" IJD. Sachant
Iii foree Ina.'(hlluIII dt, P;

sa composante horizontale.

Q

A

c

8

Figure P2.28

2.29 Le câble 80 applique sur le poteau de tél~pltolle ..-\C 1111(' force en étirement P selon l'axe BD. Sachant qlle P doit avoir une ()otllposante perpendlculalr<, Ou poteau t\C de" l20 N, J~t('rlllillll'l.: (1)

la talll l' dl' 1u Iorce P:

b)

sa colnpos:ulte orientée selon l'axe ..\C.

,\

2.30 Le câble BD applique sur le poteau cie téléphone t\C une force P selon l'axe BD. Sachant que P a une composante orientée scion l'axe AC de 180 N,

déterminez : a) la taille dt.' ln lorce P: b! sa composante orientée selon

l'axe perpendiculaire

à AC.

2.31

Déterminez la résultante

des trois forces du problèrue 2.2.1.

2.32

Déterminez

des trois forces du problème 2..21.

2.33

Déterminez la résultante des trois fort:(?sdu problème 2.22,

2.34

la résultante

Déterminez la résultuntc des trois

2.35 En VOH,Çrér~l(lntEt la ftgurr' la résultante des trois forces illllsl rées.

P2.35

fOTCt'S <>(

du problème 2.2.'3.

Flgure P2.29 • P2,3.0

sachant fJlIr' Il :::: :!5°, rI~tf'nllinf"/

la fj~Uri' P2.36 C't SAchant
En

\'OuSr(of~r;\nt à

--

S1()

""11--

L = 1100

lion

lU III

Il 1111

A

IHO t\ 'j(ltl N

Figure P2.35

FIgure P2.36

C P

1

29

2.37

En

flgur't' P2.3ï - P2.38 (" sachant IlIill("l. hl r('slIltnnt<, cll's trois forces ilh I~tr(i('s. V()\IS

r~"f(~rJlIllIla

qUI'

ex"'"40°, déter-

2.38 En vous référant à la figure P'2.3ï - P2.38 el sachant que ex= i5°. déterminez la résultante des trois forces illustrées. 2.39

En

VOliS

référant ;, la figure P2.35, détenrrinez .

a)

l'angle a pt)ur lequel la resultante des trois forces est verticule;

J,)

lu groHclt'l1r correspondante d" la résultante.

En vous référant à la figure P2.36. déterminez: a) la tension dans le câble BC pour laquelle la résultante des troll) [orees :.ppJjquées au point B est verticale: b) la grandeur dl' cette résultante. 2.40

a

Figure P2.37 • P2.38

2.41 En vous rérér
ln gnlndeuf

h' 2.42

tension r('(luise dans k· câble AC. de cette résu Itnllt€.'.

En vous référant à la flgllre 1'2.37 - 1'2,38, détcrmlnez : l'angle ex pour [l'quel la résultante des trois forces est parallèle 11

lI,I l'inclinaison; h)

la grandeur correspondante

dl' la résultante.

2.9 ÉQUIUBRE D'UNE PAR I.CULE Figure P2.41

100 "

IOO~

FIgure 2.26

Nous savons maintenant comment déterminer la résultante d'un ensemble (le forces agissant sur une particule. Bien que nous n'ayons pas encore rencontré Ce cas, il peut arriver (lue la résultante soit nulle. I.:effet global des forces en présence est alors nul et nous disons (lue la particule est en équi-

libre. Une particule est en équilibre lorsque l'ensemble (lesforces agissant sur elle donne une résultante nulle. Ainsi, une particule soumise à deux forces sera en équilibre si les deux forces ont la même ligne d'action, sont de même grandeur mais de sens opposé. La résultante des deux forees est alors nulle (figure 2.26). La Hgure 2.27 illustre un autre cas d'~quilibre, où la particule A est soumise il l'action de quatre forces. Pour appliquer la méthode du polygone (figure 2.28), nous devons placer l'origine de FJ au point 0 et aligner les autres forces bout à bout; nous pouvons alors constater que l'extrémité de F 4 coïncide exactement avec le point de départ O. La résultante est donc nulle et la particule ost Cil équilibre. Le polygone fermé (le la fi 'ure 2.28 donne une représentation grnphù/,.te de l'équilibre de la particule A, D'un point de vue nlgébrique, les conditions d'équilibre s'expriment à l'aide de "équation

FlgunI 2.27

R=IF=O

(2.14)

La décomposluon rectàIlglllaire des forces permet d'écrire I{F..i + Fyj)

=0

ou

(~Fx}i+ (IFy)j = 0

1\ (lUS pouvons en dédui re les conditions nécessaires et sulllsantcs à l'équilibre d'une particule. soit

~X'=o

IFy--0

(2.15)

Copynghted matenal

Reprenons la particule de 1" figuIe 2.2; et vérifions si les conditions d'équilibre sont bien respectées. Nous a\'OJlS

2 11 Ptob.ém!Hi sur rèqull bre o une parhcvhl, UliJgtamrn"s dOi:' t..,rcas

lFr = 300 N - (200 N) sin :30° - (400 N) sin 30° = 300 N - 100 N - 20() N = 0 !.Fy = -lï3,2 N - (200 N) cos 30° + (400 N) ~)S 3()O ",. -173.2 N - 173,2 N + 346,4 N = () 2.10 PREMIÈRE LOI DE NEWTON La science de la mécanique repose sur les trois lois fondamentales

énoncées siècle. La première de ces

par Sir Isaac Newton vers la fin du dix-septième lois peut être formulée COITIlnC suit: Lorsqur la force r!s,,11"flnfefllYJJlicflll:e li UIIC particule est nulle, {(I particule demeure au repos si elle érail initialement immoblle ; }Jllr coutre, elle poursuivra son mouvement à vitesse constante cf CIl liglle droite sl elle était înitinlemeni (;1'11 moueement. ri découle dt' cette loi et de la tléflnilion tl'é4uilil}ré vue à lu section 2.9 qu'une particule CD équilibre est soit au repos, soit en mouvement "Il ligne droite et ù vitesse constante. 'La section suivante présente des problèmes divers relatifs à l'équilibre d'une particule. 2,.11 PROBLÈMES SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE PARTICULE; DIAGRAMMES DES FORCES

En pratique, les problèmes d~ mécanique appliqupt> s'inspirent
schéma d'ensemble. Les méthodes d'analyse élaborées dans les sections précédentes s'appliquent il des systè,nes cie forces agissant sur nue particule. BOil nombre de problèmes mettant eo cause (les structures réelles peuvent être ramenés à l'équilibre d'une particule localisée en un point de la structure, Nous devons choisir un point stratégique et. sur un schéma séparé, illustrer la particule correspondante avec l'ensemble des f()r(.:esimpliquées. Nous obtenons ainsi un difil!.rfllltiiU' du l'(J17).~'liure (DC L), appelé aussi schéma (lu corps libre. À titre d'exemple, considérons la caisse de 4.5 kg illustrée à ta ûgurc 2,290, Initialement posée sur le sol entre deux édifices, cette caisse est soulevée et chargée sur un camion pour être transportée, POlLf l'opérnuon. uu câble vertical supporte la caisse. Le point A est attaché tl deux cordes passées dans des poulies fixées (le part et (l'autre, aUI( points B et C des édifices. NOLIS voulons connaître la tension dans les cordes AB et j-\C. Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord tracer un diagrarnrnc du corps libre (DeL) appliqué à une particule en équilibre. Le diagramme don inclure au motus l'une des tensions cherchées et, idéulement, les deux. Le point A. assimilé à une particule. s'avère ici un bon choix. La figure 2,29b montre le DeL des forces exercées sur ce point; nous )' vo)rons les forces appliquées par le câble vertieul et l'lar les deux cordes, Le câble produit une force vers le bas. de grandeur égale au poids '" de la caisse, L'équation 1.4 permet d'écrire \'V -

"LI!. - (75 kg)(9,Bl ulis:!!)

=

(b) 11i"gt:'1 ru Il If' clu ('(ll'PS lihre

ï:15N

Agure 2.29

736 N

Nous inscrivons cette valeur sur le DeL. Les deux autres forCt::s Sont inconnues 111..IIS nous savons qu'elles ccrrespondent aux tensions dans les cordes .l''\.B C't AC; nous les nommons (JOIlC Tr\JI ct TAC ct les traçons à partir du p0Ï11t il dans les directions illustrées sur le schéma d'ensemble (figure 2.290), Le DeL ne contient pas d'autre détail. Puisque I(~ point A est t!11 équilllrre, les vecteurs des force$ placés bout à bout doivent dessiner un triangle fermé, appelé 1ricillgle des forces (figure 2.29c). NOLIS pouvons déterminer grHphiquenlcnllcs grandeurs TA/j

C P

1

31

et 'l~,c si le dessin est 11 l'échelle ou encore udlfser ln loi des sinus: nous avons alors

.t'aire appel

à la trigonomé'trie et

1',Ul 736 N _=_ == J'AC = --sin 60° sin. 40° sin. 80" 1~\lJ = 64i N

TJ.\c = 480 N

Lorsqu'une particule en dqullibre est SOll(ln/se Il, t1'tH8 f()r:~. flOUS potl. vons résoudre le problème graphiquement eu dessmant un. triangle des forces. Lorsque plus Je trO'Î$ force» sont en présence, '(JOlIS devons tracer 'un polyg.one des forces. Pour obtenir une solution aualytique. MUS paU'\tOfiS tracer le' éqt:t.ati{J(1S d'éqttf/{bro données à la section 2.9. (2.15)

Ces équations peuvetlt être résolues si elles ne conttennent pas p1us{I(~cieux itlC()r~nues.Il en va de même pour Le triangle des forees repres'0otant tlll équiifbre entre trois forces; 18 solution existe li condiëon (lu'i1o'y ait pa" plus (le deux U1C01IDU,e5. Dans les problèmes courants, les deux lnconnues sont le plus souvent (1) les deux
Copyrighted

material

PROBLÈME RÉSOLU 2.4 Lors dl! c!pchargenlent d'lin cargo, on soulève une automobile de 1530 kg à l'aide d'un càble 'Ile corde. attachée au potnt 1\, est tirée dc' ra~otlil centrer la voltur sur un point précis, L:iluglC'entre le câble et la verticale est de 2", tandis Gue celui formé par la corde (>1la lignf' horizontale est dl" 3Of', Déterminez l'effort de tension dans la corde,

If

r

1 ri J )

SOLUTION

.,.

-

Lnutomobile

;t

un polds dr- 1530 kg X 9,8 L :-Jlkg = 15 kN,

1Jial!I'tlI11111\. du t'o'1"

1 -; I..\.

Till

puis

L2c)"

-....

libre

~DCL),

On commence

par

isoler II" point A.

QI) traec-

k- ,\('/l/inUlt/rl 1)(;14: 1~A" $t'rlt la t('IISIOrl d!:u,~ 1(· c.lbl(· 1\8, c·t TAt: 1" tension dall~ lA corde :\e, C nnditic," d', c!uilihrl' Puisqu'ou n'a qlle' trois forces Hppliqllé(,'$ en ,\, 011 doit tracer Il' tri;lnglc de forees pour exprimer son équilibre, UI loi du sinus donne alors

;;J"

15kN sin 58°

li ~ \

une calculatrice. on calcule h· dernier quonent et on l'e-nvok- en In~1I10il'C, En multipliant SUL"l't'SSÎ\ol?JlIClIt ct' quotient par sin 1200 et SUl 2°, ou obtient I\\C'C

1'IR

= 15,3 k;\l

1 \C = f,17 \1

~

PROBLÈME RÉSOLU 2.5 Calculez là ~ndtLur ,·t la direcuou de lu plus 1)('liLI' rOrèt· F (lui [lc)llrnc lIiainh'lIlr 1ri CHi sse 11111 1r~~' ('Î-C'Ol\tre ("1 éq U ilib 1'<.' ( la réaction des rou lcaux est perpcndiculai (<-

IS·

:.111

plun iucllué).

SOLU'nON

1 Il, t~I,lIn'IlC du c'n'11' libre (DC:l), point IH:"rri('II" 1racr-r Il' I)CI~.

F

,

~.

\.

1

-

On peut imrnédiaternent tracer le triangle de forces qui traduit léquilibre de la caisse. La droite 1-11 représente la direction connue dt:"P

la plus pcUtt> valeur 0(' F, S;I ligne d'nctiou doit être perpendtculaire à P. Ensuite, on obtient du trinnt!;le de forces ( 'li grUlld('lIF ('SI illCOIlIII'IC),

Si

on \(~1I1obtenir

F; (29" N) sin 15D 1

Il'

un

( IIltl,liulI cl '·lluilihl't·.

l5" l'

On cloil considérer la CHissr comme

::.

76.1 N

a = 1500 1; = 76..1 '~15°

~

1

33

•

•

PROBLEME RESOLU 2.6 L'équipe responsable de ~'lconception d'un nouveau type de voilier veut connaître la force cie traînée à une certaine vitesse, Pour cela, WI prototype de la coque proposée est placé dans un bassin, L'équipe simule la situation en urihsant trois câbles pour stabiliser le bateau au centre <.111 bassin , De' dynamomètres indiquent Il une certaine vitesse Ics lectures suïvantes: câble AB, 400 N; câble AE, 600 N, Déterminez la force de tnûnéc appllquée sur la coque et la tension dans le câble AC,

Cournnl

SOLUTlON tI ., lC1114h·", 00 doit commencer pa.r déterminer les angles exet A qui indiquent les directions des câbles AB et AC, respectivement. On peut écrire l " hu.1

T,IC

Cil.

tan ex::::;

l m

,8= 20.56"

411)

= l ';5

IL:'

1111111('

fJ

= l.5

donc

fJ

= 20,56°

ID

4m

,

donc ex=< 60,26° li

tan

= 0 375

'

du C.:HI p" lilu ( 1Dt' LI. On doit d'abord choisir la coque comme

d'équilibre et tracer le diagranune des forces te) qu'illustré. On doit ensuite y inscrire les forces appliquées par les trois câbles ainsi que la force de traînée Fv exercée par l'eau, « l ,,,"Ijull tl"'lullilu c' Léquation suivante exprime la condition d'équilibre de la coque du navire: point

''',u:- = (11)(1 N

R = T.... s + T,le

+ T.-\t:+ FD

=0

(1)

Étant donné qu'il y a plus de trois forces en présence, on doit les décomposer selon leu rs (..'oOrdOT) I\N:S x ct '1:

!J T 1.... (·(0102O,:;t;0

t-1lr
.'U.\

r.o2l;"

J

.,./.,.

J

Fp = F,:)i

'L-lH- 2tI,SC;.

6O.26°·--r"......,__., -(400 Ni ~'" 6(1ffi" i

T,Ill = -(400 N) sin 6O.2.60j + (400 N) cos 60,26°j -= -(347,3 N)i + (198,4 N)j TAC == TAC sin 20.56°j + TAC cos 20,56°j = O.3512T ACi + O,9363T,\c;j TAt; == -(600 N)j

En snbstituant ces expressions dans l'équation 1 et en mettant en facteur les vecteurs unüarres i el j, on aura A. -tflll() ,\1J

(-347,3 N

+ O.3512TAc + Fo)i + (198,4 N + O,9363T"c -

600 N)j ::::;0

Cette équation sera satisfaite si, et seulement si, les coefficients des vecteurs i et j sont nuls, On a donc deux conditions d'équilibre exprimées chacune par une équation (une pour chaque axe, x el y), La condition d'équilibre exige que les deux

composantes soient nulles,

-34;,3 N + O.3512T"c + F 0 == 0 198,~ N + O.9363T ....c - 600 N = 0

(1FT = 0:) (IF!! = 0:) fa = 196,6 N

La

solution de l'équation 3 donne

En substituant

13= 20,;56"

En

cette valeur dans l'équation 2, on aura

t \f /'0 -

= +-t2!J ~

+ 1tlii

fi ~

04 ..

le diagraulfYlt:: des forces, on a attribué arbitrairement une direction pour chacune des forces recherchées, Une valeur positive dans la réponse indique que le sens est correct selon l'hypothè,se de départ. Le traç...age du polygone des forces traçant

presentes permettra

34

(2) (3)

de valider les résultats,

,

RECAPITULATION " SECTIONS 2.9 A 2.11

Quand une particule est en équilibre, la résultante des forces qui lui sont appliquées est nulle. Si nous appliquons ce principe dans le cas de forces coplanaires. deux équations exprimeront les relations entre ces forces. Tel que présenté dans les problèmes résolus précédents, nous pouvons alors déterminer soit la grandeur et la direction d'une force, soit la grandeur de deux forces. Nous pouvons suivre la démarche suivante pour solutionner ce type de problème. I.H:

ff

•

Ce diagramme représente la particule ainsi que l'ensemble des forces auxquelles eUe est soumise. NOlIS devons y indiquer la grandeur des forces connues en prenant soin d'identifier tout angle ou toute dimension permettant de déduire la direction d'une force. Les grandeurs et les angles inconnus sont indiqués par des symboles appropriés. Aucune autre information n'apparaît dans le diagramme du corps libre. Un diagramme du corps libre clair et précis est de grande importance pour la solution de ce type de problème: son omission conduit directement à des conclusions erronées. f

dans le diagramme du corps libre, la meilleure solution au problème consiste à tracer les forces bout à bout pour former un triangle des forces. Ce triangle peut être solutionné graphiquement ou trigonométriquement lorsqu'il n'y a pas plus de deux inconnues. tel que présenté aux problèmes résolus PR-2.4 et PR-2.5. ( Il.'< :

la solution analytique est préconisée. Les forces sont exprimées selon leurs composantes (axes des x et des !I)' Nous obtiendrons alors deux équations, une pour chaque axe. La somme algébrique des composantes doit être égal.e à zéro en situation {l'équilibre. On peut solutionner les deux équations lorsqu'il n'y a pas plus de deux inconnues (problème résolu PR.2.6). 1

1

Il est fortement recommandé de suivre la démarche préconisée par les équations 2 et 3 telles qu'elles sont appliquées au problème PR-2.6. Toute autre approche, bien que mathématiquement valable, peut nous induire en erreur lors de l'interprétation de la direction des forces. Concluons que, dans le cas de corps en équilibre dans un plan, les solutions présentées jusqu'à maintenant concernaient des problèmes à deux inconnues. Si nous sommes en présence de plus de clULL'\: ineonuues, nous devons trouver au mein ...une autre équation décrivant la situation poUT pouvoir trouver la solution.

35

C P

2.43 i\

Deux câbles sont reliés l'un à l'autre tcl qu'illustré à la 6gure P'2.43.

Déterminez; la

b]

la tension dans le câble BC.

2.44

c

tension dan" le câble AC;

a)

DeLL\ cibles

Sachant que 0)

b) 2.45

ct

sont reliés l'un à l'autre tel qu'illustré

à la figure F-2.44.

= 20°, dérerminez :

la tension dans lé câble /\(:; Lntension dans le câble BC. En

YOUS

référant

à

la figure P2.45 et sachant que cr = 20°, détermlnez :

il)

la tension dans le câble AC,

'))

la tension dans la corde BC.

8 Figure P2.A3

B Figure P2.45

2.46 En vous référant 11. la figure P2 ..t6 et sachant que ct = 55° et que la poutre AC applique sur la cheville C une foree orientée selon l'axe AC, déterminez: a) la grandeur de celte force: 1,) 1:1 tpnsÎon flarl5 le câble- Be 200 kg Figure P2.44

Un télési~ge a été arrêté nia position illustrée li la figure P2.47 - P2.48. Sachant qU(' chuque ~i i\gc du télC-siègr pese 2.50 N ct (lue k. personne assise dans le siêge E pèse 765 N. déterminez lé poids de la personne assise dans le siège F. 2.47

En \1'()US référant à la ngtlre P2.4ï - P2.48. sachant pèse 250 N et que la pel'sonnf' assise dans le si~g F pèse 926 poids <1('la personne assise dan. le i~c E2.48

1--- 1'"1 --)----

fi

:1~III ---

qUi'

chaque siège

r, déterminez

III

b..1S

ni

20" III

fil

<:

-

if

Agure P2.46

36

Figure P2.47 - P2.4a

D

1

1 If) III

1

ProOlemes

2.49 Deux fore 'S de valeur FA = 8 kN et Fa = 16 kN sont appliqoées au gousset d'assemblage soudé tel qu'ilIustré li Lafigure 1'"2.-19- P2.50. Sachant que l'assemblage est en état d'équilibre, évaluez la valeur des deux autres forces BII

37

présence.

Deux forces de valeur F" = 5 kN et F'D = 6 kN sont :lppliqllffLS ail gousset d'assemblage SOli dé tel que présenté à 1" figure P2.49 - P2.50. Stl("~ltlJlt que: l'assemblage est en état d'équlhbre, évaluez les deux autres forces en présence. 2.50

Fil

c

B

Q p

Figure P2,49 • P2.SO

2.51

Les forces P et

Q sont

Figure P2.S1 - P2.5.2

appliquées au gousset d'assemblage d'un aéronef

i\

à la Agure P2.51 • P2.52. Sachant que l'assemblnge est eu état d'équilibre et C)11e P = 500 N et Q = 650 ~. calculez la grandeur des for'Çc's appliquées sur les barres A et B. tel

(lU 'illustré

2.52 Les forces P et Q salit appllquées eu gousset d'u,,ssclllblagc J'lIII aéronef tel que présenté il la figure PZ.51 - P2.52. Sachant qu(' l'assrmblagr est l'ft (Slnl o'cXtuilibre Cl que les forces apphquées Sur le barres ,\ C't B sont respcetivemcrn de FI. "" 750 N et de Fa = 400 N. évaluez la gnuldeur des forces P et Q. Un téléphérique est supporté par le câble-porteur ACB ct est n16 à une vitesse constante par 1<-câble-tracteur DE tt·1 C]lIïllllsln'" à lu Ogun.' 1'2.53 - P2.S....

2.53

Sachant que le poids cl la cabtne. passagers ct mécani que a"" 45° ct t3.", 40°. (.'1 en négJigeable, déterminez : 0) ù)

1I"Upposant

ln tension dans le câble-porteur

qllc

inclus. est dt' 22,5 kN, 1.. tension dans le câble DFest II)~

r\CB ;

ln force d~ traction du câble-tracteur DE,

2-54 Un téléphérique est supporte< par II' câble-porteur ACB et ('-sl n1(1 à une vitesse constante par le câble-tracteur DE tel qu'illustré t~la figure P2.53 - P2.54. Sachant que la tension dans Je câble-tracteur DE est de 18 k~, qlJC 0: = 48 el t3 "'" 38°, ct en supposant quo 1.. tension dans 1('câble J)F est nt_'l.gligcable,détcrmlncz : Il) le poids de la cabine, passagers et mécanisme inclus : b} la tension appliquée dans le câble-porteur ACB. D

Figure P2.53 • P2.54

A

2.55 Deux câbles sont reliés ensemble un point C tel quïllllstr~ il la figure PZ.55 - P2.56. Sachant que Q = 60 N. calculcz ; Il) la tension dans le câble AC; J.I) ln tension dans le câble BC.

2.56 Deux câbles sont reliés ensemble au point C tel qu'illustré à la figure P2.55 - P2.56. Évaluez l'étendue des valeurs possibles nC' la force Q afln que la tension appliquée sur chacun des câbles AC et BC Ile dépasse pas 60 ~. 2.57 Deux câbles sont reliés ensemble au point C tel qu'illustré à la figure P2.57 - .PZ.58. Sachant que la tenston rlHl'\:inlaJc sdmtssiblc duos chaClln dos clbl(>s AC et BC nt:' doit pas dépasser 800 N. détcrnuucz: (1) la gr.mdeur maximale de la force P à appliquer au point C; IJ) la valeur de l'angle a correspondant.

B

Q Figure P2,55 - P2.56

C p n

38

La sIal-que etes par1lcules

2.58 Deux câbles sont reliés ensemble au point C t....l qu'Illustré à hl AgHre P2,57 - P2.58. Sachant que la tension maximale admissible dans le cûble AC est de 1.200 N et celle admisslble dans le' câble BC est de 600 N, détenninez: CI) la force P à appliquer au point C; b) ta valeur de l'angle a correspondant. 2.59

En VOllS référant à la situation décrite au problème 2.46. détërminez: a) la valeur que doit avoir l'angle a pour que la tension appliquée SUT le câble BC soit minimale ; la valeur dt' celte tension.

l,,,

2.60

En VOliS ref~ranl à la situation décrite au problème 2.45, déterminez: a} la valeur que doit avoir l'angle a pour que la tension appliquée sur la corde BC soit minimale ; Il) ta valeur de cette tension.

FIgure P2.57 • P2.58

2.61

2.44. déterminez: la valeur qllc don avoir l'angle â polir 'Ille la tf>llSion dans If' câble BC En

\QIIS

œl~rnnl à la situation décrite au problème

a) soit minirnale ; b)

ln v-aleur dt> celte tension.

2.62 Une force de 1200 N est appliquée au point C exactement au centre du câble I\C8 (figUf<' P"2.62). Déterminez la longueur minimale du câble, sachant que la force uiadmale
f---x

c

400 mm

Figure P2.62

2.63 Le manchon A, glissant sur une tige horizontale tel qu'illustré à la figure P2,6J - P2.64, est relié 11une charge de 25 kg. Évaluez la force P nécessaire pour garder le montage Cil équilibre si: 0) on désire une distance s = 00 mm ; I" 00 désire une distance x = 300 11H11.

J\

FIgure P2.63 - P2.64

2.64 Le' manchon .1\, glissant sur une tige horizontale tel qu'illustré à la 6gure P2,63 - P2.6-J, ("si ff'lif à une charge de 25 kg. Si P ;; 200 N, évaluez la distance x p(:~rlllt'ttsnt dt, garder 1(' !llOnlage en équilibre. 2.65 C0l1sid61"C'Z le montage Illustré à la n.~,lIrc P2.65 - P2.66. constitué d'un S}~1ème de poulies et de rordage-s. Déterminez la grnndeur de la force P et l'angle a, sachant que f3 = 20" et que le montage en situation d'équilibre supporte une charge de 160 kg. (Suggestion: pour cette situation, supposez que la tension dans la corde est la même de chaque côté de la poulie, comme on If>verra au chapitre 4.) 2.66 Considérez le montage illustré à 1a agure P2.65 - P2.56" constitué d'un système de poulies ct dt' cordages. SlichAnt que (l "" 400 ct que le montage en situation d'équillbre supporte une t:lLargede 160 kg, déterminez: a) l'anglE"f3 (suggestion; pOllr cette situation, supposez que la tension dans la corde est la même de chaque côté de ta poulie, comme on le verra au chapitre 4) ; J)) la grondeur de la force P. 160 kg

Figure P2.5S • P2.66

2.67 Une caisse de 61.2 kg doit être soulevée, Divers mootnges sont sug~ gl'rés tel qu'illustré ;1 la f1!(Ure P2.67. Déterminez la tension Tpour chacune de ces

Copynghted ma nal

2.12 COll'poc.an·o'1 rectanqulùlrf!S dans re:;.paœ

l'

T

39

T

'r

A

(

-.= (li ~

(il)

)

(t')

{dl

D

Figure P2.67

p

configurations (0 à c). (Suggestion; pour cette situation. supposez que la tension dans la corde est la même de chaque côté de la poulie. comme on 1(' \'t'mt Ilu chapnre .J.)

Q Figure P2.69 - P2.70

Trouvez la solution pour I~ IHuutugl:S b cl
y

Constdérez ln figure P2.69 - P2.iO. La poulie C, se déplaçant sur le

2.69

câble ,1GB. supporte une charge Q. Un second câble

CAO, pa

8

sant p.1r la poulie A,

tient en position la poulie C. Une eharge P de ï50 N est appliquée à l'extrémité D.

Calculez

!

a)

h}

Latension appliquée sur le <.:;lble AClJ ; la valeur de la charge Q.

o

Considérez ln Ilgure P2.G9 - P2.ïO. La poulie C, se d6phlÇO'iltl sur le 01h10 AC8, supporte "11(: charg(' Q de 1800 r\. Un second cûll'e CAO, passant pttr la poulie A. tient en position la poulie C.· ne charge P est appliqué • à l'cxtréuiité D.

;r

2.70

Déterrnlnez , (1)

lr)

--

la tension dans le câble ,.\C B ; la valeur de la charge P.

(a)

y

FORCES DANS L:ESPACE (30) 2.12 COMPOSANTES RECTANGULAIRES DANS L:ESPACE

A

Tous les cas étudiés jUStju'iCi se résolvaient dtULS un plan faisant appel à deux dimensions seulement. NOliS abordons maintenant des problèmes situés dans un e.''-pace tridirnensionnel (3D).

force F appliquée à l'origine a d'un système de coordonnées rectangulaires x,!Jt z. Pour définir sa direction. nous traçons un plan vertical OB/I.e contenant le vecteur F (figure 2.30a). Ce plan passe par l'axe vertical If et son orientation est donnée par l'angle lb qu'il forme avec le plan xy. Langle O!!, situé entre F et l'axe des y. définit la direction de F clans ce plan. Si nous décomposons la force F en une composante verticale F!I et une composante horizontale Fil (nh'tITe 2.30b), nous travaillons dans le Considérons

UJ1C

(b)

8

plan OBAC selon les règles établies pour les forces coplanaires en premtëre partie (lu chapitre. Les composentes scalaires correspondantes s'écrivent

l''1

(2.16) D

F,.

Nous pouvons ensuite décomposer en deux composantes rectangulaires FK et F= dans le plan x;;. dirigées respectivement selon les axes x et z (figure 2.3Oc}. Nous obtenons F", = Fil cos lb = F sin 0!l (;OS ri> F:. = FI, Si11 ch = F sin (}!I sitl <1>

(2.17)

jF.

-

x

c

-

Figure 2.30

Copynghted ma nal

40

La stauquo d·

s parncu

Nous avons donc trois composantes vectorielles rectangulaires F x , Fy, F::. dirigées selon les trois axes du système de coordonnées. En appliquant le théorème de Pythagore aux triangles OAB et OCD de 1.1 6gure 2.30, nous trouvons

015

'1

FZ = (OA)2 = (OB}2

+ (Bi\)2 = F~+ Fl

F?t '"" (OC)2 = (ODr~

+ (DC)2

= F.~+ F~

En éliminant Fr. de ces équations et en isolant F, nous obtenons une expression de la grandeur du vecteur F en fonction de la grandeur des composantes rectangulaires. (2.18) Nous visualisons plus facilement la relation entre la force F et ses composantes en représentant une boite dont les côtés correspondent à FX> F'I et F;: (flg1lre 2.~31).Le vecte-ur F devient alors la (liagonale OA de cette b()Îtf>.La fj~'t1rc2.31b montre le triangle rectangle Or1B ayant servi li dériver la première des équations (2.16), soit Fy = F cos 9v' Sur les figures 2.3la et c, les triangles 01\0 ct Oi\E occupent des positions comparables à celle du triangle OAB. Si nous notons el et 8: les angles formés par F avec les axes x et ;; respectivement, nous l)O·I1VOI1S dériver des expressions similaires à F" = F cos 9" pour les autres directions. Nous obtenons

c (ri ~

(2.19)

c

Les trois angles 0x, 8y el 8=.définissent la direction de la force F: nous les utilisons plus couramment que les angles O!J et c/J définis au début de cette section. Les cosinus des angles OT' 8y ct 8; sont les cosinus dlrecüonnels de la force F. Avec l'utilisation des vecteurs unitaires i,j et le orientés respectivement selon les axes x.y et z {figure 2.32). le vecteur F peut s'écrire:

Ibl

(2.20)

oü les composantes scalaires F~, F!fet F:. sont données par les équations 2.19. Exetnple 1 Une force dl' 500 N forme d(~ angl s do 60'>,45° ct )20° avec les axes x. y ct .;;resrpectivemcnt. Déterminons les <''ôlllposanles l'x. l'y ct P; de la force, En substituant les valeurs f' = 500 N. 9x = 00°. (JI) = 45°. 9.. = 1200 dans les

-

w

Figure 2.31

équations 2.19, nous trouvons cos 60° = +250 ['\ Fu '" (500 N) (,'OS 45° ~ +3.54 ~ F= = (500 N) L'OS 120° = -250 N

Ft

= (500 N)

En insérant ces valeurs clans l'équation 2.20, l'expression de F devient Il

F ~ {250 t\')i + (354 N)j-(250

')k

La convention de signes reste la même que pour les problèmes en deux dimensions : It!.sig1ll' positif défiuit une composante orientée dans III sens pôsitif de l'axe et le signe négatif indique le sens inverse.

j 1

/ --

FIg.ure 2.32

x

Nous mesurons l'angle entre la force F et chacun des axes à partir du côté positif de l'axe et la valeur sc situe toujours entre 0° ct 180°. Un a.ngle ex; inférieur à 90° (aigu) signil!e [l'le F, appliquée à J'origine O. se trouve du même côté du plan. yz que l'axe des x positifs; cos 8r et Fr sont alors positifs. Par contre, ~il'angle 8x est supérieur à 90° (O}>tlIS). F est {le l'autre côté du

Copynghted ma nal

plan yz; OOS (}l. el Fl. sont alors négatils. Dans t'exemple 1, 08 et 0,:/ ont aigus alors que e% est obtus; en couséqnenee, Fx et Fy sont positifs et F:. est négatif. En substituant dans l'équanon 2.20 les expressions de Fll' F" ct F:

212 Composantes 'ectBflgu:9ire~ clans rescaea

41

obtenues en 2.19, nous trouvons (2.21) 1\ ous en déduisons le vècteur suivant:

qUf' la force F œrrëspond au prorlu_ït du scalaire F p:lr (2.22) g

Le veeteu r A est de btrulldcur égale à l'unité. il est orienté clans la direction de F (figure 2.33}. Le vecteur A ttst donc le vecteur u~ttl(lf.roori mté selon la ligne d'action d . F, 1: 'C)ufltion 2.22 indique que les composantes du vecteur unitaire A correspondent aux cosinus directeurs cie la ligne d'action cio F, soit (2,23)

_ À..w = cos (J~

,tt""'J'

'1

Il est à. rClnarquer que les valeurs des angl~sBr, 8y 1!!t 8= ne sont pas indé-

pendantes. En nous rappelant que la. emme des carrés des composantes d'un vecteur ('tgal€:!Il' carré
+

A; +

llOUS pollVOl1S

À~ =

:t

1 F.k ,"'--

plus haut pour

En mbstituant le valeur' obtenue

écrire

F.i,

1

À.... Ày

et À:;, nous trouvons (2.24)

_'

/~

Figure 2.33

Revenons au cas de l'exemple 1: une fois que les valeurs ex = 600 ct Dy = 45° 0111 rlXé • l'rulgtf' 0: doit absolument être égnI à 60° Ou il l20° pour satisfaire à l'équation 2.24. Lorsque les composante F!I.' FI) et Fz. de la force F'scnt connues.I'ëquetion 2.] détermine P, 1;1 grandeur du vecteu~. ' eus commençons par calculer .lt"S cosinus clirectioonels à l'aide des équations 2.19. cos

elJ

Fu

=---F

Nous trouvons ensuite Ic~ f1.llg)<: OK'

@y

(2,25)

et 9:;, quI caractérisent la dÜ"ElCliC>l\

de F.

'oret:

UnrF fi pour composantes [t~ c 20 ',FI) c::: -30 1 et F::r.... 60 N. OuS voulons déterminer sa gmtldew' F ainsi que tes angles 0... 0" et 8= qu'elle forme uvee les a.1C.CS du système de coordonnées. eus ntlltsons d'nbolYl )'c{CilllltiQn 2. J ' G: Exemplfl

2

V F2• + -Fitj + F2 = V(20 N)~+ {-30 - V4900 X ... 70 ~

F =

%

N}!.:

+ (00 X}!

En insérunt 1 ·S vaJ('II......"('~ composantes et dt' la graJ)(léur dp ln fore- dall) les

.

équ ulons 2.2.5, nOH!) lrouvonli L)

co 5. Si vous 111'11»<:11 une (; LlclIl.llriœ liées 'OOI(lIl~lllrtll

':,>

Cil (;,Kln]O'(I,nées

v"

=
prog1tunrn':e

10

1

1=~=_60_ cos l,;; li' 70 N

pour convertir directement

polaires. IlOUS vous ~'rons

les coordcn-

de procéder comme

Mult;

dél~rml!l(,v. d'al)(lId 1~ Il prt11ir ,Ii' If, et F. (flt,.'lll'e 2..3Ot'). tro~ 8nwite F' i\ (lart1v de P",l't F!t (figllre 2.3(lb). Nolt~~fille l'VIdre d'entrée de F.., Ffi et F. est SIW$ hnpo.rtanoe.

a

Ibid.

Copynghted malena

42

La statique d8$ particules

calculons les quotients et nous appliquons ensuite la fonction ure cosinus pour obtenir les angles: NOliS

La calculstrice perlnet d'effectuer facilement ces opérations, 2.13 FORCE DÉFINIE PAR SA GRANDEUR ET DEUX POINTS SUR SA UGNE D'ACTION

Dans bien des applications. la direction d'une force F est définie par les coordonnées de deux points situés sur sa ligrle d'action, nommés i\t[(XI, '11, :;1) et l-J(Xl? 'ln. Z2). tel que montré à la flgure 2,34. Considérons le vecteur !YIN

y

x

.. •

Agure 2.34

joignant M et N, dans le même sens que F, dont les composantes scalaires sont notées d,,!:,dy et d.; Nous pouvons écrire

AIN = d~i+ dyj + d:k

(2.26)

Nous déterminons le vecteur unitaire À, orienté selon la ligne d'action commune à F et l\.1N, en divisant le vecteur l',.IN par sa gra.ndeur i\IN. Sachant que MN correspond à la distance d qui sépare Nl et N, nous remplaçons l-ifN par l'expression de l'équation 2.26 et nous obtenons (2.27) F étant égal au produit de F et

À,

nous avons (2.28)

Les composantes scalaires de F s'écrivent alors (2.29) Les équations 2.29 simplifient beaucoup le calcul des composantes d'une force F lorsque sa lib>'nc J'àcti.on est défl.nie par deux points M et N, Nous obtenons les composantes du vecteur AIN en soustrayant les coordonnées de hl de celles de N et nous trouvons ensuite d, [a distance qui sépare ces deux points : li,... = X2 - Xl

lly

= 1.12 - !Jl

li

-

~

--

-

._-

,N-:)

-1

Copynghted matenal

En substituant ensuite F. (lx. dy• d;:. et d dans les équations 2.29. n011S pouvons déterminer facilement les composantes F,;. Fy, el F~ de la force. Les équations 2.25 donnent les angles 8:n 9y et 8~formés par le vecteur F avec les axes du système. En comparant les équations 2.22 ct 2.2ï, nous pou~vons également écrire (.'0..

d.JI 9 =-

2.14 Addiuon de forces

clans fe.paoe

(2.30)

d

et déterminer les angles 6.x.8y et 8: directement vecteur Ml\' et de sa grande1lr 'ft"fll/.

à partir des cornposantcs du

2.14 AODmON DE FORCES CONCOURANIES DANS l'ESPACE

Nous obtenons la résultante R de deux ou plusieurs forces dans l'espace cn additionnant leurs composante.') rectangulaires. Les métlloc!é"$ gruphifllle:; et trigonométriques s'avèrent peu pratiques en trois dimensions, Pour additionner les forces, nous procédons cornille il est indiqué li la section 2.8, c'est-à-dire avec les forces coplanaires. Nous avons

R=IF En décomposant les forces en composantes rectanzulaires, R:ri

110llS

avon .

+ Ryj + ~k = !(F.ri + Fyj + F~k) = (!F.r}i + (!Fy)j + (IF:)k

Il s'ensuit que (2.31 )

Nous déterminons la grandeur de la résultante et les angles Or, 8y ct 0; qu'elle forme avec les axes en procédant comme à la section 2.12. NOliS écrivons

R = v'R~ -1 R~+ R~

R,

ces 8 =R '"U.

1

cos 0y = &

R

(2.32)

cos O. = R~

•

R

concourante.

(2.33)

c

43

PROBLÈME RÉSOLU 2.7 Un hauban d'une tour est ancré au point A. La tension dans le hauban a été évaluée à 2500 N. Calculez: Il J 8C)IJI

les composantes FA' F)' et Fz de la force transmise

b" les Wlgles

IIU

boulon d'ancrage;

9y et 8~qui définissent la direction de cette force.

(J/t,

SOlunON u) <:ulnp() ...antes de la force. La ligne d'action do la foret' trunsmise au boulon d'ancrage passe par les points A et B et la force est orientée de A vers B.

AB

Les composantes du vecteur

ont ln même direction que la force, Elles sont donc:

d.,,= -40 ru

La

d, = +30 ln

dr; = +80 m

distance entre A ct B est

AB = d = Oln

Vrl~+ d1 + di = 94,3 m

-.

En e-Xprimant le vecteur AB à l'aide des vecteurs unitaires i, j et le, on a ---.

AB

x

En introduisant

= -(40 In)j

+ (80

In)j

+ (30In)k

_,. le vecteur unitaire A = AB/AB, on écrit ----t

2500NF = FA = F = AB AB 94,3 III AB

-

En substituant l'expression du vecteur AB, on obtient F =

2500 N 1\.4

::1"2,3 m

(-(40 ut)i + (80 l)))J

F = -(1060 N)i

+ (30 nl)l<]

+ (2120 N)j + (795 N)k

'J

d'où les ccmpcsantes de la force F: ,,'t--Jo(14)~

1;,,-..L212(1N

J_-+79Si\

b) Direction

de la force. En résolvant les cqueuoos 2.25 par rapport cosinus dlreeteurs de là droite AB, 01) obtient CO!)

F6

-1060 N

Fr;

= = ---• F 2500N

8

cos O!' =

F.

F;;:;

.... 3U,,'(

+2120 N

2500 N

+795 N

cos 8:, ;;: -; = 2500 r\ x

d'où 0,

=

115,'~

(}·'!ote. Ce résultat aurait aussi bien pu être obtenu à l'aide des composantes et de la z

44

grandeur de la force F.)

~(_

PROBLÈME RÉSOLU 2.8

J

2ÎUl

~ III

Une section de IHUT est temporairement retenue par des câbles, tel qu'illustré li ln Agure ci-contre. Sachant que ln tension dans le câble r\B est de 8,4 kN et celle dans If' câble' AC de 12 kt'\, calculez IIIgrandeur et la direction de la résultante des forces au piquet situé au point A.

,)Il

SOLUTlON

I_(·~ Ciull!l(), unl(·" de .. foreev.

La force' 3j)pIÎ'l1l~c par chaque cable' sur le piquet i\ peul (lue décomposée en ses cOluposantcs selon les axes des .T, y et .:. Ou commence par calculer les composantes et les valeurs des vecteurs AB et AC. en les mesurant du piquet A vers la section du mur, En utilisant les vecteurs unitaire. i j et k, OH a -.

rVJ

AC

-- --

+ (8 m)j + (11 rnlk + (81n)j - (16 11I)k

= -( l6 Dl)i = -(16 [n)i

AB = 21 ru r\C = 24 m

En idennfiant 1" vecteur unitnirc selon AB par lo symbole __,

.. T.-\8 = 1,w.\'\8

=

AB TAB AB

=

Â,IH.

alors

8,4 kN _. 21 m ;\8

('

-+

En substituant dans l'équation l'expression du vecteur i\B, on obtient !J

Till: = (12 Il:'\'' "AI'

8 1 kN

).u ./

\-y 11

,/

m)k]

T.~B= -(6.4 kN)i + (3.2 k.\i)j + (",4 kN)k

./

/'

+ (8 rn)j + (II

T.\8 = ." 1 1-(16lîl)i 21 III

,._

110

III

'Oc la

Ill(lll)~fl\ç-on,en

Identifiant par le )'lobofc

on obtiellt

t\C

III

T,\(' = 7':\c.\,,(' ;:;

.r

T \('

:::a

TAC

le vecteur unitaire selon AC.

Â.\C

12 kN ---+

AC = 24

111

AC

-CR kN)i + {4 kN)j - (8 kN)k

la ré ..ultante des fOI'CC". [...1 résultante R des forees exercées par les deux câbles t' t

+ T,,(' = -( 14,4 kN)i + (7,2 kN)j - {3.6 k.\i)k On calcule ensuite la gr.\ndeul' ct la direction de la résultante; R = TAS

R

=::

V R~ + Re + R~ "" V( -l4,4}Z + (7,2)Œ + (-3.6)lÎ /~

1\ partir des équations 2.33. on obtient R. - 14,4 k1'\

_.& _

cos O;c == fi = 16.5 kN

cos

cos 0'1 R..

n -

16.5 I.N

~

+7,2 kN 16.5 kN

-36 kN -16.5 kN

(J~:;;;;...:. .. -~.

•

R

d'où

0, = l50.~

n,,=6LlO

(J.•

=

J 0:2.6"

45

,

RECAPITULATION ... SECTIONS 2.12 A 2.14

Dans ces sections, nous avons vu que les forces dans l'espace peuvent être déflnles soit par leur grru1deur et leur direction, soit par leurs composantes rectangulaires Fll' Fr et F7,.' ..\)

Q'itlllll

,,,.(' !ur',·t! elll

(/ifillic

l'tir

rectangulaires peuvent être déterminées

g"(lu(lC'ur o lUI (1;,,('('/;011. ses composantes de trois façons différentes, dëpendamment des

Hil

données dont nous disposons: C:tlH 1. Si la direction d'une force est déterminée selon les angles Byet q, (figure 2.30), nous la décomposons à l'aide des équations 2.17. Ainsl, nous commençons par décom-

poser la force F sur le plan verticallj (F!I) et sur le plan horizontal (F,,). Ensuite, nous décomposons Fil en ses composantes F%et F: (figure 2.3Oc). Si la direction de la foree F est définie par les angles Bn 8!1et B:, la grandeur des composantes selon les trois axes est obtenue par la multiplication de la grandeur de (:01(

2.

la force F par le

COSU1US

de l'angle correspondant (exemple 1):

Si la direction de la foree F est définie par deux points dans l'espace (M et lt.') situés dans sa ligne d'action (figuré 2.34), nous devons d'abord exprimer le vecteur MN par ses composantes dx• dy, d; et par les vecteurs unitaires i, j et k, d'où (;01(

J.

~fN= dri

+ dyj + ~k

un vecteur unitaire A orienté selon la ligne d'action de F. Ceci se fait en divisant le vecteur MN par sa gr'cirl
Il est important d'utiliser un système d'annotation cohérent et significatif quand vient Je temps (le décomposer une force selon ses coordonnées rectangulai res. La méthode préconisée dans ce livre est illustrée uu problème résolu PR-2.8 où, à titre d'exemple, TAB agit du piquet A vers le point B. Il est à noter que l'ordre des lettres indique la direction de ln force. Il est recommandé d'utillser cette notation, puisqu'elle permettra de distinguer clairement le point l, identifié par le premier indice et représentant l'origine de la force, et le point 2. identifié par le second indice et représentant l'extrémité de la force. Finalement, rappelons l'importance d'utiliser les bons signes pour indiquer la direction de chacune des composantes d'une force.

46

H} Q"/uul",'H.'

fort'e e.ïBI t:léflRie 8ëron ses compmttmle8 f'ectangulaif"efl F1!l)Ft! el F$'

la grandeur de la forœ F est obtenue comme suit: Il ;;;v'F~+ F! +

F!

Les cosinus directe\ll'S de la ligne d'action de F s'obbennent par les tn:presslol1S mathématiques suivantes: cos

.il. V,

~

F:t.

::1_

fi

F cos 9.y =....!L Ir

F.'" F

~~-'~

,,""'.,

tJ

_

Itt riilit,llante de deux fo1!"C"eS 0" pltlS dans 1't!-spAoo,[lOUS rlevons d'aoon) découlposer les forees selon leurs composantes J:ectangulaires. En additionnant aIgébriquenlent ces composaates selon chaque ase, nom oJ.,tiendrons les œmposantes Ru Ry et.~ de la force résultante. La gnmJeur et la directioo de ltï résU.hûote ~ont cal.culées (')

Pflflr !/(Ît('rJJliuer

comme expliqué précédemment (problème résolu PR·2.8).

Copynghted matenal

1)

GOON

2.71 a) b)

s

Rgure

2.72

P2.71 - P2.72

En vous référant la flgtlf P2.ïl - P2_Î2. dérernunez . les composantes selon les axes x. y et .; cl, la fore' de 600 N; les angles Or, 0" et 0;; que cette foree Ionne avec les axes des x, y at .;. à

En vous référant à la flgt,n~ P2_ïl - P2_72, déterminez:

les composaotcs S('IOll les nxes x, y et ~ OC la force dt:' 450 N; b) les angles 0%, 0" et 0;; que cette foree forme avec les axes des x. y et z. a)

v

2.73

L'('l\tréfllil~ du câble cO
1.1)

b)

dl' 120 N. évuluez : les composantes de la force exercée par le hauban AC sur le poteau; les angles (J~, 0'1et 8~que cette force forme avec les axes des x, y et z.

2.74 L'c:xtrénlil': du cflblt· coa~irtlI\E est attachée au bout du poteau AB. lequel est soutenu par les haubans AC et 1\D. Sachant que le hauban AD supporte une tension cl!' 85 :\, évaluez: a) les annposantes de la force exercée par te hauban AD sur le poteau; b) les angles Or. 8" et 0;; que cette force forme avec les AXesdes .1:, 'J ct z.

36" B :r

Figure P2.73 - P2.74

2.75 Ua disque C,!Sl suspendu au support D pnr les trois cibles AD. 80 et CD. Langle que ces trois câbles forment U\'C,!C III verticale ((lXC des Ij) est do 300. Sachant gne la. composante selon l'axe des x de la foree exercée par le câble AD sur le disque est dt' 110.3 r'\. détenllillez: a) la tension dans le câble rill; b} les angles (l~.0'1 et 0: qUE' la force appliquée uu point i\ forme avec J JS trots axes, Un disque est suspendu au support D par les trois câbles AD, BD et CD_ T__;angl('quI" ces trois câbles forment avec la verticale (axe des !J) est de 300_Sachant

2.76

que la composante selon l'sxe des z dl' la force CXCrC(lc par 1\ câble BD ur le disqu est cl • - 32,1-4 N. d(~t('n1Iitl 'Z: li) la tension dans le câble 1~/J; b) les ungl('s Oc. Oy ct O~<.jue la lorce appliquée al! point B [orme avec les trois

IL'(C •

2.77 Un disque est suspendu au support D par les trois câbles AD, BD et CD_ Langle que ces trois câbles forment uvee Laverticale (axe de-s y) est de 300. Sachant

flue la tension dans If' eâhle CD pst de 60 N, déterrninez: a} les composantes de Laforce exercée par ce câble sur le disque; b) les angles 0,-<.0y et 0= que La force forme avec les trois axes. FIgure P2.75 • P2.78

48

Un disque est suspendu au support D pnr les trois câbles AD, BD et CD_ L'angle que ces trots câbles forment avec la verticale' (axe des y) est de 300. Sachant (lllC' la cornpo. antr- scion l'Axe des x dr la rorœ ('xcrc(i(' par le câble Cl) sur le disque est de -20,0 N. détermmez: il) la t{'usioll dllllS If' ciiltl(· Cl); b] les angles 8•. 0'1 el 0,,- que la force appliquée au point C fonne avec les trois axes. 2.78

2.79

Déterminez

la grandeur et la direction de la force

F = (260 ~)i- (320 N)j

2.80

Déterminez

+ (800

P,oblèmos

N)k.

la gnuldcur et la direction de la force

F = (320 l\')i + (400 N)j - (250.

)It.

2.81 Une force agit à partir des origines d'un système de coordonnées (x, IJ. z) et selon IIn(' direction d~finic pllr le angles Olt "" 69.3° et 0: = 57,9°, Sachant que la composante 'J dt· cette force est de -174.0 ~. évaluez: a] l'angle 0,,: b) les autres composante cl ln grondeur de la force. VII(' force agit à partir des origines d'un système de coordonnées (x. 'J. z) et selon une direction définie par les angles 0, := 70,9" ('1 0" .. 144.9". SUCh(Ult que la colnpo.sallt(':. de c('ttf' forcf' est de -52,0 N. évaluez: 2.82

(1)

l'anglr 8~;

b}

I('~ deux autres eomposautes

et la valeur de la force.

2.83 Une force F de' 230 N agil aux origines d'un système de coordonnées (x. 'J, z). Sachant "lue O. - 32.5°, Fy = -60 N cl F; > O. déterminez: a) les composantes F. et F!; /,) l 's angles 011 t'I 0;.

'1

2.84 Um- (01'(;(.' F de 210 N (lgit aux origines d'un système de coordonnées (x.y • z), Sachant que J:. = 80 N. O~ = 151,2" et F!J < O. déterminez: a) les composantes F'I et F:.; 1)) les angles O. et 8y. .....

/"

2.85 Un plateau rectangulaire est supporté par trois câbles II"I qu'illl'str~ h 18 figure P2.85 - P2..86. achant que la tension dans le câble 1\.8 est de 408 N. déter-

3GO

minez les composantes di;' cette force uu point B. 2.86 Un plateau fl'ctanguhllre est supporté par trois câbles II'I qu'Illustré à la figure P2.85 - P2.86, Sachant que la tension dans le câble I\D est de 429 N. déterminez les composnntes
les composantes

(jUP

cc>tte force applique

(Ill

point d'ancrage B,

2.88

Une tour de transrnissiou est tenue par trois haubans ancrés à l'aide des boulons 8. C et D. Sachant que la tension dans le cible AD est dc' 1260 N. évalu Z les composantes quI' cette force applique 811 point d'ancrage D. Ij

20111

~

Figure P2.87 - P2.88

Dtmenstons en mm

Figure P2.85 • P2.86

49

50

LI

alatiqu. ~

Larmature ABC est supportée par le cable DBE tel qu'illustré à la Ilgllrr P2.89. 1.....cable DBE pa.~se dans l'anneau B. dans lequel on suppose une force dl' riction tlulle. Sacharu que' la tension dans le câble est de 385 N. déterminez les composantes dl! la force' exereéc prir 1('câble sur le point D.

panICuleS

2.89

r

IJ

510 mm

-•

600 mm

FIgure P2.39

2.90 l'our lu situation décrite au problème 2.89. déterrninez de lu force exercée par 1(' câble sur le point E.

les composantes

2.91 Évaluez la grtmdeur et la direction de la résultante des deus forces illustrées l't la figure P2.91 - P2.92, sachant que P = 300 N et que Q = 400 N. !J Q

!J

Je

lJilllf'11sions 4()(1

&:11 111111

. •

Figura P2.91 • P2.92

É\I",ùucz la grllolk'ur Cl la direetlo« de IIIrésultante des deux forces illustrées à La ligure P2.SJ] - P2.92. sachant que P = 400 N et que Q = 300 f',1. 2.92

2.93 Sachant que la tension est de 425 N dans le câble AB et de 510 l dans le cable AC. déterminez la grandeur et la direction de leur résultante au point A.

D

8

/ • ~

.r

2.94 Sachant tlue lu tension est de 510 N dans le câble AB et de 425 N dans le câble AC. déterminez la grandeur et la direction de leur résultante au point A.

C' /'

/"" Figure P2.93 • P2.94

2.95

En vous référant aux données du problème 2.89 et sachant que la tension

dans le câble est dt> 385 N, déterminez la grandeur el la direction de la résultante d\"s forees exercées par 1('câble sur Je point B.

C p n

2.96

L'extrémité du câble coaxial AE est attachée au bout du poteau r'\B.

lequel est soutenu par les deux haubans AC et AD_ Sachant que le hauban AC supporte une t<>nsiondt" 1500 N et que la résultante des forces appliquées au point A par les câbles AC et AD doit se situer dans Je plan xy, évaluez: a) la tension dans le câble AD; b) la grandeur ct la direction cie la résultante des deux forces.

2. , 5 Êquitbre d'une parUcl,lle danr.I'npace

(30)

51

2.97 I-,-e;
la tension dans le câble AC;

b)

la grandeur ct la direction de la résultante des deux forces, IJ A

Figure P2.96 - P2_97

référant aux données du problème 2.85. évaluez Les tensions dans les câbles r'lB et AD sachant que' la tension dans le câble AC es!' de 54 N et que la résultante des forces nppüttuées par les trois câbles au poiut A doit être verticale. 2.98

En

VOLIS

2.15 É.QUILIBRE O'UNE PARTICULE DANS l'ESPACE (3D)

NO'lS avons vu à la section 2.9 qu'une particule A est en équilibre si la résultante de toutes les forc.:es agissant sur elle est nulle. Or, les relations 2.31 définissent les composantes R'I(,Ry et R; de la résultante; en les annulant. nous pouvons écrire (2.34)

Ces équations expriment les conditions nécessaires et suffisantes à l'équilibre d'une particule dans l'espace. Elles permettent de résoudre les situations d'équilibre d'une particule lorsqu'il n'y a pas plus de trois inconnues en cause. NOliS procédons en traçant d'abord le diagramme du corps libre. sur lequel ngu l'en 1 la particule en équllihr • î},11I81 que toutes les forces auxquell ,-. elle est soumise, Nous écrivons ensuite les équations d'équilibre 2_34 et nous les solutionnons, déterminant ainsi les trois inconnues. Dans la plupart des cas. ces inconnues correspondent (1.) aux trois composantes d'une force unique ou (2) à la grandeur de trois forces dont l'orientation est déjà connue.

Copynght d ma nal

lOm

/"1 C

PROBLÈME RÉSOLU 2..9 Un cylindre de 200 kg est soutenu par dE'lLX câbles AB et AC attachés à la partie supérieure d'un mur vertical, Sous l'action d'une force horizontale P perpendiculaire Su mur, le cylindre prend lu position indiqllk'. C.ttlculC"'tlu vulrllr de P Cl 1ft

tension dans chaque câble. P

20]

SOlunON

/l C lO ln

Di(lgs'(I'u"" du (IIrp~ Iihr« (1)( 1 ) (le" forl f\. En choisissant le point j\ comme point d'équilibre, on note qu'il est soumis li quatre forces. dont trois sont dé grandeur inconnue, En utilisant J'approche vectorielle, avec les vecteurs unitaires i,j et le, on décompose chacune des forces selon ses composantes rechmg111ai.res, d'où

8m

Bt'::

--f l

T

. ,\If

Il

..

1.2 m \V

-•

P = Pi \V;;;; -mgj = -(200 kg)(Q,81 mls2)j :r

= -(1962 N}j

( 1)

Dans le cas des forces TAB cd TAc. on dérenniuo les C()lnpOS311ICS et les grandeurs -, des vecteurs .4..8 et I\C, En identifiant par À;4.8 lé vecteur unnaire selo .. le sens AB, on peut écrire

-

_.+ (10 m)j + (8 nl)1<

m)j

AB .... -(1,2 À'l8 ;;;;

TAO

= -0,0933Oi + 0,7775j + 0.62201<

::

12, 2m == TII.8ÀA8 = -0,0933OT,lIli + O,7775TAn.Î + O,G220T"nk

On procède de la même manière pour d'où

AB = 12,862 m

-

-. l ~~

À,\C,

le vecteur unitaire selon le sens AC,

AC'= -(1.2 111)i + (10 tn)j - {LO01)1< ÀAC

Tj\c; ""

=

T"CÀf\C

4,

== -O,0845.'5j + O,-046j - 0,7046k (3)

O,7046TACk

Étant donné Cjue1'\ est en équilibre, alors

T..\IJ + T.... c +P

IF = 0;

.AC:: 14,l93 ln

= -O.08455TAcl .; O.7046T,\cj

cl'l·ljuilnllt.

('olldil;OIl

m

(2)

+W=0

En remplaçant les expressions des forces par les équations I, 2 et 3 et on mettant on facteurs les vecteurs unltaires l. j et k:

(-O.09330TAB

-

O,084S51'Ac + P)i

+ (O.77751~\B + O.704.6T,\c

- 1962 N)j + (O,62.20TAB

-

O.70.l6T,\c)k = 0

En flxant les coefûctents de i,j et k à zéro, on écrit les équatlons scalaires suivantes,

qui exprtment que la somme des composantes selon les trois axes des

l',

!I et =- des

forces sont nulles : (kF~=O:)

(IF" = 0:) (!F: = 0:)

-O,00330TAll - O,08455T,\C + P = 0 +O,7775TAB + O,7046T,lc - 1962.''1/ = 0 +0.62.201:\B - O.7046TAC = 0 1 \1

52

'1 le -

12'3) ~

Nous avons vu dans le cas des forces coplanaires (lue la résultante des forces agissant sur une particule en équilibre doit nécessairement être égale à zéro. En appliquant ce principe d'équilibre dans le cas d'une particule dans lin espace tridimensionnel, nous nous retrouvons devant trois relation.s exprimées à l'équation 2.34. Nous procédons alors selon les étapes suivantes. Tracer tlU diagranune du C(J'1)H llhre (1)(:1.'. Ce diagramme illustre toutes les forces agissant sur la particule en équilibre. Nous devons indiquer sur le diagramme la grandeur et la direction des forces connues ainsi que tout angle et toute dimension permettant de les déduire. Les forces inconnues (soit en grandeur et/ou en direction) sont identifiées à l'aide de symboles appropriés. Aucune autre information ne doit apparaître sur le DeL. 1.

2. Dëcompoeer ICH Jorc(·,. en romposante« '·(·(·ltllll!lIl"irt·s. POlIr chacune des forces en présence F. nous devons identifier le vecteur unitaire A définissant la direction de la force et exprimer cette force comme le produit de sa grandeur F par Je vecteur unitaire A:

F

=

FA = ; (dJ

+ clyj + (}.:k)

où d, dx. dy et cl:. sont obtenus par le
résolu PR-2.9).

53

C p n

y

2.99

On utilise trois câbles

figure P2.99 - P2.102. Déterminez

pOlir

ancrer lin ballon

la force verticale P

311 sol Ici

qu'illustré à la

Cl(~rcét) par

le ballcn (lu

point A, sachant que la tension dans I~ câble AB est de 259 N.

à la figure 1"2.99 - P'2.I02. Détcrmtncz h. forcf' \lC?rtiC1lI.~ P e~('rc~(" par 1(' hallon au point A. sacl.llUll que ln tenslon dans te câble ,\C est de -141 . 5.60

III

2.100

On utilise trois câbles pour ancrer tin ballon au sol tel qu'rllustré

2.101

On utilise trois câbles pour ancrer 1Jn ballon ail sol tel qu'illustré à la

figure P2.99 - 1"2.102. 1)~t('nnin("1, la forCt' verticale P exercée par le' ballon au point A, sachant Clue la tension dans If:'câble AD est de 481 N. 2.102 On utilise trois cibles pour ancrer un ballon au sol tel qu'illustré à ln figure P2.99 • P2.102. Sachant que la force verticale P exercée par le ballon au point A est de 800 N, déterminez Latension dans chaque câble de rétention. Une caisse est supportée par trois câbles tel qu'illustré la 6gure 1>'2.103· P2.106. Déterminez le poids de la. caisse, sachant que la tension clans le cable AB est de 750 . 2.103

à

Agure P2.99 • P2.102

v

._

B ........... ....

320

/

r./ •

,,-u

.-'

_1

x

1)1f 1.1t"ll.~Cln~ fOU ".".

Figure P2.103 - P2.106

Une caisse est supportée par trois câbles te>l(III'ilIustré Ala OgllfC P2.103P2.106. Déterminez le poids de la caisse. suchant que III tension dans le câble AD 2.104

est de 616 N. 2.105 Une caisse t'st supportée par tn)is clil,lt's ('1 qu'illustré à la Bgure 1~2.103P2.106. Déterminez le poids de la caisse. sachant que la tension clans le câble AC est de 54-4 N.

54

2.106 Unc caisse de 163 kg est supportée pnr trois câbles tel qu'illustré à ln flgur P2.103 -1)2.106. Déterminez la tension dans chacun des câbles.

2.107 Trois câbles SOIlI 1'(·li\~sli·1 C'l'lïllllstrf à la f1~lrf' P2.IOï - PZ.lOB. Les forces P et Q sont appliquées ail point .4. Si Q = O. déterminez P sechant qlle la tension clans le câble AD est de 305 N.

Prob ('meO

55

'1

220

111111

câbles sont reliés tpl CJII'iJJlL~tréà la figure P2.107 - P2.10S. Les forces P et Q sont appliquées au point A. Si P = 1200 N, estimez l'étcndur- des valeurs possibles do Q sachant CJIIC If' câhle f\D est sous tension. 2.108

Trois

2.109

Une plaque rectangulaire est supportée par trois câbles tel

C)IJ 'lllustré

à la Ilg1lrf' P2.1 09 - P2.110. Sachant que la tension dans le câble 1"\(; est tic'

fi()

960 mm

•

évaluez le poids de lu pleque.

. 320

1 \

111111

2.110 Une plaque rectangulalrc est Stlpportèe' p'\r trois câbles tel qu'illustré à Lafigure PZ.log - P2.110. Sachant que la tension dans 1(·('fible ,\1) ('sl de' 520 N. évalnf"z le poids de la plaque.

\

\

C y

Q

OC)!) mm

Figure P2.107 - P2.108

l)illll'r.~iOIlSl'n

n'Ill

Figure P2.109 - P2,110 Une tour de transmission est tenue par trois haubans au point A ct est ancrée aux points B. C et D à l'aide de boulons. Sachant qlle la tension dans I~ câble i\B est de 840 N, déterminez kt lorce verticale P appliquée par la tour au point A. 2.111

2.112 Une tour de transmission est tenue par trois haubans (III point A ct est ancré!' aux points H, C et D à raide de boulons. Sachant que la tension dans le câble AC ost de 590 N, déterminez la force verticale P appliqué ' p~u' la tour au point t\.

i\

20 ln

-x Figure P2.111 - P2.113 2.113 Une tour de transmission est ltlllllr par trots haubans ail point A. Elle est ancrée aIL'\: points B, C et D ;1 l'aide de boulons. Sachant (111(' la tour al}pliqul' UIIl' force P verticale vers le haut au point r'\ de I800 " déterminez la tension dans chacun des câbles,

Copynghted ma rial

56

la statlquo des panlcu-es

2.114 Un disque horizontal dont le poids est de 6()(} N est suspendu au point D à l'aide' de tmis câbles (n(!llf'f' P2.114). Chaque eâhle form(' avec l'axe vcrncal y lin angle de 31.r. Évaluez la tcuslou dans chaque câble. y

Figure P2.114

rt:r~rlll1l ft la plaque rc·ctangulairY' des problèmes 2.109 et 2.1141, ~vf,tllll'/ la tension cie' C'hIl(jIJ(' ('ilhll!, sachant '111e' la plaque pè'Sf' 792 i . 2.115

F:n

"OI1S

Pour le sysl<'nlf' dl' câbles des problèmes 2.107 el 2.108, évaluez lu tension dan (·haqllC' câble, sacharu que P :; 2880 N et Q ;: O. 2.116

2.117 Pour Il' Sy'tl'Illl' de (..'âbl(·sdes problèmes 2.10ï et 2.108. évaluez la tension dans c.:t.
raidI" d'lin d·U.lIL·

C'I cil' deux câble-s, deux opérateurs procèdent fVIIW de ~ l,5 kg (ngu,'1:' P2_ L19). Dëternunez la

C'\lllVO_Vf'1I1'

pivt.'(.·

t'II

dans chaque câble. sachant que.': à ce moment précis I~ pièce est en équilibre;

les peints 1\, B ct C; sont respectivement aux coordonnées (0; -0.5 rn , J m) pour A, (-1 III ; 1,25 m : 0) pou,' 8, (1.125 rn; 1 1.1'1; 0) pour C; et que les forces dues nu frottf'n1t'nt sont nulles. (S"gg",stion: pour ('Ptt(' slruation, SllpposFl!]ur la force ap[lliquéc par Il' CUI1\oy('ur sur lu pièce est perpendiculnlre IlU convoyeur.)

2

III

Flgur'e P2.119

C p n

Problèmes

2.120 Résolvez le problème 2.11 9 en supposant qu'un troisiême opérateur applique une foree P = -(160 N)i sur là pièce. 2.121 Considérez la figure 1'2.121. Le conteneur pèse \" "" 1000~. 1,(' câble AC est attaché au plafond au point C et au conteneur par l',U11I(.\I\I A. Le eâhle i\E est attaché au plufnnd .111 point E t'I pusse p:tr l'anneau A. Un troisième câble AD est attaché au plafond au point D; il passe aussi par l'anneau A. ensuite par la poulie B et une force P lui (' t appliquée ail point F. Déterminez la grandeur dt:' P. (SlIggestion: pour cette situation. supposez que la tension dans chaque l'clion du câble FBf\D est la mêrne.)

0,-10 rn

-•

0.-10 rn 1.(",0 III

'" Figure P2.121

En vous référant à la situation décrite au problème 2.12J. ~iln h..nsion au câble AC est Je- l50 N. évaluez: (1) la grandeur de la force P; b) le poids \V du conteneur. 2.122

Un conteneur est suspendu par l'anneau !\ tel qu'lllustré il la IIgun.' P2.123. Il est soutenu par 1(' câble BAC, passant par l'anneau A ct ancré aux poilltl> B et C. Dellx forees P = J'j ct Q = Qk sont appliqué€'$ pour garÔf'r 1(' conteneur dans sn position. Si J(' poids du conteneur est \V = 270 N. détenuinez P t't Q. (Sllggl;~tjOll: pour cette situation, supposez que la tension est identique d.IIIS les dClL'I; sections du câble BAC.)

720 Dlmen ,101\\ ('11

nuu

2.123

En "OIlS r~r~r.mtà la situation décrite au problème minez \ v ct sachant que Q = 36 N. 2.124

r.

Figure P2.123

Ij

2.123, dérer-

Les deux manchons t\ et B sont reliés À un Ill métallique d'une longueur de 52.5 mm Les deux manchons gliS5l'lIt librement tt·1qUt· pn~,l'Illt~ à la figure P'2.125. Si IIllE' force P = (34 1 N)j est appliquée sur le manchon /\. ('V::tllll~(: a) la tension sur le fil si 'J = 155 0101; b) la grandeur de la force Q II~S ajl'(' polir gardC'r 1('système en t~qllilibre. 2.125

2.126

SollitiollJ)("'1.1(' problèrne 2.19.5 en supposant

Ij =

275 mm.

Figure P2.125

c

57

nous U\'OIl~ c!hllHé t'.-flet dl: f()rt.'t's appliqnl~l-s il (les particules. c'est-à-dire il des (.'{)rps dont la [onJ1C pt la laille Sf' raPI)l1lCh('1I1 cie celles d'une particule , les forces agiss.al1t sur ces <:orp'i peuv eut donc €-Ire considérées comme avant le même point d'application. DWkS (:(.. chapitre,

Résullante de deux rorces

LA's forces SOIlI des IJo/t!'1 (/'(I}JJJJiclifirltl,

A

FIgure 2.35

\ Composantes d'une force

.... .....

.....

selon la "èg/t' lJ~1paralll..tiogra,unu' (l1gurL 2.3.3), Lu grlllldL'llr ct la direction Ùl' ln résultante Il dr- dt'IIX forces P et Q appliquees à une particule PCII"Cllt être déterminées Wdpluljucllu.'l.lt ou par trig()1I01l1étri(!. avec l'utilisation SUL'eessive {I~fa Ini dl.......inus et dt' la Ini df''i cosinus (problème résolu PR-2.1).

Touffe! r('r<'~.11'pli'luée à 1111,..particule lipnt (ltrf' dé('~lIJIP()sét' selon dt'll\ CtnU})().4!flntl·.'/ 011 plus. c'est-à-duc ([llj ~1It' peut (\t'rl' rt'fuplul'C'(" par (Iellx lorcr-s 011 pl us aytlnt If' 1nême eflet sur III purüculc Nous PUU\OIUi représeuter 1I1l{' force F pur Ùf->ILX composantes P et Q en traçant lin parallëlo$<1111m(:>t1~71llt .... ' cnrnnu- ôlagol1
............ ........

ite.. crctnrielle«; E"1I...s se ('ari1ctél;s~l1t par lin une ~rlH,dtur ct une dtrectlou. Ell!!., s aùd.itiOlllll'lIt (lili/III

....

Figure 2.36

Composantes rectangulaires Vecteurs unitaires

Une force F peut être décomposée eu deux co/uPos(/u(es "f!ctatlf!.tJlnlr!!.S F, f" F" st-Ion les axev des coordonnées perpendiculuircs (figure 2.3ï) En intrcdulsant les cccteurs rltlfl";'l~ i el j selon les axes x (.'t Y le:o.r,~){·li\lment, nous ~t'ri\OTl" (sf'{.·lion 2. ï) Ft = l:~i

'1

}'"j

F"

(;2,6)

F = F~j+ F"j

et

où F;( et FI)

sout

les

(·OIlI/J().\(/lfte.\

(2,ï) sculaùv«

de F. Ces

cruuposanres,

poSiti\ es ou négati' es. sont déllnics par 1('5 relations

F'1 = F sin

j i

F1 =J' 1 i

x

(2 ~)

(J

Si nous t'OWIai.SS(lIl~ Il S t'()UlpOS:lnt{. ~ rt'ctangl1lair("s ''", l't ""( d'une forer- F IIUII<:obtenons l'un~IL' 0 qui cll'fillit sa direcliuJl Cil écrivant

Figure 2.37

tan

fo'

1:)

= :....!L

(2.9)

F,

1-:1 grandeur (le la UJI't.'l'F s'obtient t.'1L isolant F dan.s "UIH' des équntirms :2.5 ou ( Il appliquant le théorè"lllt .. (It> P)'thagort:' /: = \. ~, + F'Il Résultante de plusieurs forces coplanaires

(2, l ()

Quand trots force.'! coplanaires 011 'Ji!J' a~s'S(.'nt sur une particule, nous ol)lt 'rlon' Ips coruposaute-s rt>('hkllJ..fl.llaifl.'S de leur résultante R l'fi additionnant algébriquement leurs composante-s r{·t.:lwl~lIl:li.n-, corresporuluntes (section 2,h) d ou ,. L R t -- _rI 12.]3)

58

C P

1

Rés.umé • Chapitre 2

La grandeur ct la direction de ln résultante R }lt'u\.cnl ensuite être déterminées à l'aide de relations shnllmres aux éfjuatlous 29 (;>t 2.JO tpreblèmo résolu 1'1,-2,:3),

U ne force F <\gis..,ant clans l'espaCi. Sf>lOI)

~I~"CUnlp!lS;1l1tf'1i Tt'Chu)~lIlairl""Joi

Î1nut par 0,.

o., f'r

Il' • F'I

et

0;; les all~lc>s f()l"ll1('!i pHf F donnée .. x, y et z 1flgll re 2.3K), llOUS UVOllS 1~ = F cos ().Y '1

F,t - Ji' cos 0,

peut

t,-id,.II,ru,I,/vlltud

F

Forces dans l'espace

2_121. Eu i(lellti)ps trnis ;1\+'S dE'~ coor-

(!)c<-tion

<1"('('

F~::::F

y

8Utl cLécoU1PO..,î!C

59

(..'1JS

Or.

~2.1~)}

'l

l'

V

x

l~ 1

c

--

••

Figure 2,38

(a)

•

Les ooslnus dl' f4:. OU('J O~SOfÜ arl)cl~ It> ....rfl~~/I'/~tliTt:('t4"I"'> (1(, la J(,((,("' l'. Eu iutroduisuut les ,('ewur.:. Huit~ùrt"s Î_ j e-t k "t']{}Jl Jt>s uxes (1f'('fxJrcluIlllét"\_ ,

rcl

Cosinus directeurs

,

'J

nous eenvnns F=Fi+FJ'+Pk \ '1

.fi' =

ou

p(<.,'()s

l2.2UI

..<

8 i T cos O"j + cos e.k)

1221)

t

Ct'tte denUPTI.:: ~41latioll dpJllolltre ({J~ln'e2.:1~)}(11l~F eorrespond HU prrxlutt de sa grtIlldf'tlf F par Il' 't'Ct4 ILt unitaire J

Puisque la gnu.Hlclu· dt-' À est (·~.tll' 11l'unité. I\"l)ress\(lu tligolullnphitlllC suivante doit Ctrt' rcsp~'ClA~t': "'Il "Il. "l l'OS~ Il, 1- l'tJS- u - èOSt,.

=l

"

$i nou-, COl1lltUSS()rlS lt'"s N)lll!)()!';LlIll'"'i Il'('litl\)..'1Ùttin-" F; Foree F. la gnu):d,cur F dt, J,. lorce ]lt'ut f.lrt.' eulrulée l)'U'

J", ct

,,- + F" ...... J' = '\ 'F"~-+ F" IJ .t

ltss (.'u:;inu.s (liJ'~(.t""f1ITh
P,lI"

(-·tls

IJ

=-

Il

C{lS {J

Figure 2.39 y

(2,18)

-1

<;>t

ï--

i'~<)'1I"lle

les

--

('(11Jatioo" 2.19.

\OllS

r. F

Quaud une lorce 10" a~bsant duns }'CS-P,lCC trtdtmr-usionnel est (lé6'1,1t· J')ur Sol gr.llIÙt'llr Ii' ~·tr)ar Ùl'Il.\ puitll'i 1.1 l't .\' \llf "~I li~lH'd ,u't1{lrl (section 2,13), 1)0US obtenons '''''\ l'CJU1!X)SHUll'<; 1'("Ct~ul~llJtlil C\ (;OUHue suit. , NOIl" e Trilnoll~ (l'ftl)of(llc~ vecteur JI,\' .iOi~Uitlltles llohlt-. .\1 et .\ plO' "es composantes (l ... d!! ,t (1_ 1 fig11TC 2.-10). ù'où

-

-.., "rlo\' =

(J\

i + (1!Jj + (,-,k

o

(2,26)

-

Figure 2.40

Copyng ted n atenal

60

la s[aull·HJ (lu l'il.!

1 \J

'

ensuite le \t·t'tt'lIr unitain- A selon 1<1ligJll' (l'action cie F en ùh isant .\1.\' raI' \u grall(lt'ur J/,\' = d.. ~OI1S c}étt'nninolls

À

=

.\1.\' .\[l\

1

= -, (tIti t

+ (/11j + (I.k)

Sachant (Pit' F est fgalt' au pf()(lliit (lt' f: par F = [,'A

11

=

À

~2.2ï) nous avons

F -(cl i Î ,1 J' + ri k 1 (2.28) d "" l' rc~,,()llIs PI{.2, -;- pt P Il-2,~) les composantes

(prohlèuie-s scalair ..: de F sont, rcspccüveuu-nt, "'1:11SlIÎI '(lit>

F..::; '/

1<' = F'(/T

\ Resultante de lorces dans l'espace

(1

F',/y

cl

F.. =

F(l_ (1·

Quand (leux [oree» 011 plll\ agis~L'nl sur une particule dans l't'Spacf' trltlilll('/I-oSftlttt·\ CUITt'~I>()Il(LU"Ites (section 2.14), d'où R .'f

-

"L

-

R- -'\F' - ....

_r).

--

l2.31)

La ,~TaIlJI'\lrpt hl direction df' R sont ensuite !lhtt·nlH:·S par tirs équations semblables aux ~4Ilati()n~2,) ') et :2,:15 ipl''f)hl~rllt' résolu P R-2.A), Equtbore c:fune parùcule

D aoramn

Il;.!

du COI ps fibre

Une particule pst en (:(l'liliIJre quand ln résultante

dt' toutes les forces a~sant sur elle est nulle (section 2,8) Dans Cl' cas, la l)artieule Jt'IIl('urt' au Tt'P()\ SI e-Ile fta,t inltialerueut au repos ou "l~déplace à vitesse constante el en li~lIt' droite 11; elle ptait lnltialeuu-nt e-n mouvement tsecticn 2,)0), Pour résoudre un l)[oblèulc iinpliquunt une particule t'ri équilibre, nous commençons toujon ,....par tracer le (liflf!_rflOlllu (Ir, corps llbrc pour la particule en incluanl toutf'S les for('t's a~jss coplanaire» a~issl'Ilt sur lu particule, nous P()ll\'UTL~ trace-r 1111 triflllglc (11'<;fi)rrl"~ pour exprimer 1"'~cII1Jhbr{'dl." la particule Ct' triangle peut être résolu par la méthode gr"d.rhiqlJ~ ()11 par triJ!;Clnornétrie. en autant qu'il n')' ait pas plus dL'deux inC'()I1HUeS lproblèrllt' rés(111I PR-2.4), Si ),Ius d,' t,.Ol.\ forr," cOJl/nlltlirl"\ sont l'li l)ré~t"II('1• rmus IItiiisons les (.\(111<1lions d'équilfbre

1.1-' = ()

(215)

\

Ct'S ~(IIl:.tLions Pf'lI'·f"ut êtn- ré 0;01Iles IlOllr clf'll" tnconnues (problème résolu PR-2,6,1 Équilibre dans 1espace

ou 1110ins

une particule t'Il éq« iltbrc (/(111\ 1'(!\JlrlCC t ric!il1lellsiollTlE'l (section .2,15l, nous nli,!J'\()lIs It's l'Cltl:ltic)ns d'équilibre suivantes Pour

_"1'y -

0

(J'lt~ l'on pelll résoudre il condition (problème résolu PR-2J)),

(2,34)

d'avoir trois inconnues

ou J110ins

MOTS CLÉS CompO"lIl1té n.'t.:bul~ul..ire

CUlld.l1Ull d'equrhbrc l)iu~allllne ou schéma du corps libre DeL) Dia~ranllni'

011setH"nra

, de point isolé Equation vectorh-lh-

Résultante

Forces concourantes Foret-s coplannm-s Forces spatiale-s

Trinnzle d" forc'('s

Lois de Newton ~",tlllldl' du poIYl!ulI('

\ vct 'UN opposés Vecteurs unitaires

Méthode d .. 1riall~I[, , I{è'gll' llil pilr.Jh;l~~r"IHII!l'

\ ('l'tl'lIrs

t-qlupoUonts

...

PROBLEMES , SUPPLEMENTAIRES ,---...

600

111111

----1-1 8

2.127 Deux câbles sont liés ail point C. où une chaJ"~f' Q de>480 N ('st a11pllquée. Sachant 'lu~ P = 360 N Il ce point, d~l('rlnin.'7.:

,\e ;

a)

la tension da.lls lr- l'âbll'

l,)

la tension dans le câble Be.

c

Deux câbles sont li~s nu poillt (:, Il,1 cJoïllllslr(o à lu figllr(' 1'2.127 P2.12.8, oit une charge Q cl!" 480 N est appliquée. Déterminez l'étendue des valeurs de P afln dl' tenir les deux câbles sous tC'J)!liCII1.

·1

2.128

Q

480 N

Figure P2.127 - P2.128

li'

Figure P2.129

2.129 Cousidérez la llgurt' P2.121J. Sachant {Ill{' l'tulgle entre les deux Iorces de 75 N est toujours rlf· 50" mais qllt" l':luglr a pp"t varier, déterminez IR ",,1(,111'de cr pour laquelle IH résl11tautl' dl' l'euscruble des forees agissallt sur J\ l'si orientée

horizontalement

vers la gallchf'.

Une force est appliquée l'origine d'un Systèllll' de coordonnées (x.!J.;;;) dans tille di!1.'(."l:{on correspondant auv tlnglC's ~'1= 551) ('1 (J. = 15". nchnnt que ln composante selon l'axe des x de la force est de! -5()() N, déterminez : tI J les autres composantes et 1.1 grandeur df' lu force; b) la \'lIll'lI r dr fl~.

2.130

à

Un conteneur de poids \\' = Ll65 ~ est soutenu par trois câbles tel qu'Illustré à la flgurl" P2.l31. Déterminez la tr-nsion (Lans chaque clihl('.

2.131

y

(,OU

111111

Figure P2.131

extrait un pieu ('llfoll('t~ dans k· svl il I\tid.· dl' clc'"x conk-s 1('1 qu'illustré Il la fj~lIre P2.132. Disposant des informations sur rune des forces. évaluez la gralldeur et la direction que dcvmit avoir ln Iorce r pour qU(' la résultante des 2.132

011

deux forees soit de 160 N verticalement

vers le haut.

Figure P2.132

61

C P

1

62

L~ stet que nes

rlln cules

2.133 IOllgu('"r

'.1

En VOliS réfC:rëlnl .) ln I1glltl' P2:.133 ('1 sachant que le câble 1\8 li une

dc' 13 ru R\('(: 1111(' lC'llsÎolI dl' 3900 • dt"'lC'rnliu("/': a) les composantes selon x.!J et z de la lorce exercée par If' cible au potnt

d'ancrage B;

b)

la direchou cil'

('('Ut· [Of('('

exprimée par les aIl~les

(J'Z.

Og et Oz'

2.134 Deus câbles sont attachés au point C où une charge de 396 'N est appliquée. Déterminez : l1.201

Cl)

la tension dans le câble .-\(;;

b}

ln renslon dans Ir çâblc~ BC.

8

.\

l

9 Ul

c

~.5 III 5

1-

121n

III

--+-

t..')

n1-l

FIgure P2.134

.t

Figure P2. 133

2.135

011 veut d~pJat'(_'r1111camion accidenté tel qu 'illustré il la figure P2.135. Deux carnlons à R'1110rqUC (8 et C) sont mis à l'épreuve. achant que les tensions appliquées sont respecttvernr-nt nf' 10 kN dans Il' Cljbl(> AB C'l (1(' 7,5 kl\ dans 1(,· ('!iblc· I\r.. dc~t('nl1illcv, hl ~rulldl'lJr ('1 lu din'ctiOll appliquées sur Il' camion (t'Il.\)

do la résultante

des fOrL'8S

l'llli

.K

!J

8 III

Figure P2.135 l

;5 ~

!J Figure P2.136

2.136

ch' 400

IIIIU

(·lIat'III1(·

2.137

En

V()II~ n:ft"rant

à la f1gllrl' P2.136. déterminez clc'~ rorc('~"~II présence.

Les deux manchons

J\ ('1 B sont 1'('1i~~pa r

les composantes x et Ij

un CHIII~talliyut> d'une lon-

guellr de 500 mm. Les dC'lI.A1I1nnc!tOJlSgli.:.St'lIl llbrcrucnt tel que présenté à la figure P2.137 - P2.13R. Si une forœ Q dl' 60 est appliquée sur le manchon B. évaluez:

-Figure -

r

P2. 137 - P2.138

Il)

I,)

lM h.·USIOII sur le III si x = 180 mm ; la grnndeur de lu force P nN.'t"'ssnirr pour Knrtl('r Il' système en équilibre.

2.138 Les d('ll\ 11I1In('hol1~ ,\ (·t B sont reliés par tITI fil IllélaJliquf' d'IU'lC longllC'lIr cI(, SOUnun, Les deux manchons ~lissf'nt librement tel 'lue: présenté à la f1gul'(' f12.137 - 1"2.138. Si P = 120:-J et Q = 60 N. d('lc'nlIÎllcz les distances x et z nft.'CsslIirc·$ pour conserver l'équilibre dl! ,,)'~tènlC.

pOliT fotn' ,()llltllllllll;~

L'~ plohlj'"I1'~ SIlÎ\.lIlt~ \0111VOIl\II\ 1111 d'lllll

il

Prob'èmes sJpplllmen~3.lIl<;

1·:1td,·cil' l'nnlinuk-ur

63

(',l)('ulatnl'\' pr()~rdllllll.lhlr'

2,C1 Concevez lin pmgranlnl(, pouvanl calculer la gr:lndC'ur et la direction de la résultante de n forees coplanalre appllquéos au poiut A. Appliquez I:'ns111[", CC programrne pour résoudre les problèmes 2.32, 2.33, 2.,3.') et 2,38. 2.C2

Une charg~ ,) est soutenu!' par

d~'IL~ clhl("S lei

«llïllustré

à la ft~lrl' 1)2.02.

Concevez un programnle pouvant calculer la tension dans chaque (:âhlé pour dilTérC'llteJ;\'UIl'l1fS dl? P et dl' 0, l'anglp 0 variant entre 01 = /3 - 00° et 8il = 90" - a. avec des incréments dl" ûO. Utilisf'z

Cf'

progmllllllf' pour évaluer, clans les cas (1), (2)

et (3): (1)

ls) rninhualc ; c'}

la tension dans chaque ~Îhl(.' pour des valeurs dt> 0 variant de 01 à O~; ln valeur f}IlP doir avoir 8 pour qllf' la tension dans chaque câble soit la valeur dé ln tension corresponduntc ( 1) a ::;:).1)0.

f3 = 75°.

F" Figure P2.Cl

P ::; 400 N, ~ (J ;:: 5°

a .. 50°. f3 .. :3()o. f' = (100 N. ~ fi - J 0" (3) â'" 40", {3 ,.. 60°, f ""250 N. 110 = 50 (2)

B

i\

I~

p

Figure P2.C2

2.C3

'rel qu'illustré

~lla

figure 1l2.C3. un fun::utlblllE.'

marche sur une corde

raide d'une longucur L = 20,1 ln, laquelle est attachée aux points A et B distants

cie 20,0 rn. LA' poids dt> l'acrobate incluant sa perche est dt> 1)00 1(.'poids di' lu cord"

(·t

tou((' clf.fonllnl

1.

En négligl';;uil

ion ctl,Il>licjllr. C'I)lll'C'V(':t, 1111 prIJgnHlIlI1(' el la tcnslou duns les Sl:('UCJlIl> AC l't Be de

permettant <1(' calculer la défonnaüon 'J 1~ corde, cl CC. ponr tirs valeurs dt' x de' 0,5

III

li 10,0

III

\'l1rhllll

par Inluc:h,:s

de 0,5 Ill. À partir des valeurs OÙICIiUE.'!), détermincz : (1) la déformation (la Ilêche) maximale de la corde; LJ) ln rcnston maximale dans la eorde : c) les valeurs mintmules de tCI1sl01l dans Il'S sectlons :\C c'l Be dl' la corde.

incrëmentielles

A ('

• f---X~

Agure P2.C3

Copynght d ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

montre les [orees externes appliquées au camion. Considérons tout d';ll,of{1

le poids du camion; bien qu'il englobe l'attraction exercée par la terre sur toutes les parties (111 véhicule, on 1(>représente par une ["l'Col' unique W. dont le point d'applicanon, celui où la foree agit, est le centre lie graL'ilé du camion. IOUS verrons au chapitre 5 comment procéder pOUl' situer le centre de !:.'T<1vitéd'un corps. U> pouls W tire If' carnkm vers le 11<1s et il entraînerait sa chute verticale si le sol ne le retenait I)as en exerçant tes forees c]E> réaction RI et B2 sur les points ùe contact. Ces forces, appliquées }Iar Il:' sol sur Je camion, font partie dcs [orees externes agissant SW' le véhicule. En tirant sur le cable, les hommes produisent une {oree {le traction F sur le pare-chocs, qui tend ~ldéplacer le camion en lign(" droite vers l'avant, Le véhicule sc met effectivement CH nlOUVCI111?lll puisque aucune foret: externe ne S')' oppose. (Pour simpli Her, nous lléglig~oll~ iCi les force de résistance au roulcment.) On appelle' ranslotto» le InOUVC1H'nt vers l'avant. ail cours duquel toutes les parties ÙU camion restent parallèles à leur position de départ, le plancher demeurant horizontal ct les parois verticales. D'autres forces p(">lIventtransformer le mouvement: par exemple, la force exercée par un cric placé sous l'essieu avant ferait pivoter le ean11011 autour de l'essieu arrière. entraînant ainsi 1I1lt' rotation. Ainsi, chaque force externe agissant

sur

3.3 Prll'lC1Jle de Inmsnussibillé -

67

Forces équivalentes

Figure 3.1

Figure 3.2

rigiri(' peut, si elle n'e 't pas contrée, prO<:III'(>r au ('0'1)S une translation. une rotation ou une cernbinaison de ces deux mouvements. 1'"

('()'7)S

3.3 PRINCIPE DE TRANSMISSIBILITE

,

.

- FORCES EQUIVALENTES

Conlorrnérnent
1

(}at

F

lorce sur sa ligne (J'action, sans conséquence

sur t'effet produit. On

il

1

-

partir des propriétés établies jU$tl.ll 'ici rlaus ce texte et, 1'11 conséquence, on l'accepte comme une loi empirique. Nous verrons cependant à la section 16.5. lorsque nous aborderons la dynamique des <,:u'l)$ rigi(I~., cplP l'on pt'Ilt

déduire le principe de transmissibilité en faisant appel à (les notions il venir, incluant les deuxième pt troisième lois de Newton. Pour l'instant. notre étude dl" la t:lli(llIe des 0011')$ligides sappuiera sur les trois principes établis jusqu'ici, soit la loi d'additivité des forces (règle du parallélogramme). la première loi de Newton et le principe de transrni sibilité. Au chapitre 2, nous avons représenté par ùt>s vecteurs It"'s lèu'(.:es tlgtSSUlit 511J·LIlle particule. Le peint d'upplicatiou, la particule elle-même, restant fixe, les vecteurs sont liés. Dans I~ cas de' corps rigides. ()11 pf'ut déplacer la

1 1

1 1 1

1 1 1

1

Figure 3.3

dont

affaire à des cecteurs (!,[iSSO'lls, différents des vecteurs lié . 11est à noter Clue les propriétés dérivées dans les prochaines sections 1)011)" les fortes exercées sur les corps rigides 'ont valables pour t-oul systèrue de \'fActeurs gljs~ants. Afin de conserver le caractère intuitif de cette P" êsentaticn, nOLIspréférons (.'CIJPndant traiter le sujet dès le départ dans Il' contexte physique des forces plutôt que d'adopter d'abord le point de vue mathéiuattque des vecteurs gli'isants, Revenons il l'exemple du camion: ln ligne d'action horizontale (le la force F passe par les rleux pure-chocs (ngll re 3.4). T-Jf' principe de trunsrrussibilité permet de remplacer F par une force ëqutoalente F' appliquée nu pare-chocs arrière {lu véhicule. Autrement dit, le mouvement reste I~ même et les autres forees externes ("V, B,. R2) de Ille ure Ilt \\' inchangées. que les hommes poussent sur Je pare-chocs arrière ou (lU 'ils li rent su r le pare-chocs avant. Figura 3.4

1 1 1 1

1 1

une force Ft de même grandeur ct de même direction, mai' appliquée à tin antre point du corps. n condition que les (/(fIL\' forces aient la même llglle (l'action (figtuE.> 3.3), Les forces F et F' sont dites equtoalonte« parce (lU 'elles produisent Je même effet sur Je corps rigide, Ce principe. selon lequel une force peut être transmise sur sa ligne d'action, repose sur des preuves expérimentale -. On Ile peut le démontrer il sur un point donné du corps,

1

1

F

R,

-

.. -

F'

..

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

72

Corps rig!Ôes - Sy-!>tèmesda torees équi\rdJen1S

variante de la règle de la main droite: on ferme la main droite en enroulant les doigts dans le sens de rotation qlle F imprimerait au t.'Orps rigide par rapport à un axe fixe orienté selon la libtne
Mo=,.-FSÎJn9=Fd

(3.12)

Où d représente lü distance qui relie 0 perpendiculairement à la ligue d'action de F, Sachant qlle la tendance d'une force F à faire tourner un C()'1)S ngrde par rappurt à un axe qui lui est perpendiculaire est fouctlon de sa gntncleur F ct de la distance qui sépare F de cet axe, on })eul dire flue la grandeur de Mo me~~{j re 10 tendance de laforce F à entraîner la rotation (Ill C()l7)~' ri{!.j(le})or rapport à UTI fixe fi·xl' daos ln diret'tiau lie 1\10, Dans le système métrique. où III force se mesure en newtons (N) et la rustance en mètres (III), le moment de foree s'exprime en newtons-mètres (N, m). Bien yuc le moment ~10d'une force par rapport à un point dépende à

la fois de la grandeur. du sens de la force et de sa ligne d'action. il reste indépetulanr du point d'application de la forte le long de sa ligne d'action, Réciproquement. le moment ~fo d'une foree F ne détermine pas la position (lu point d'application de F, Par contre, le moment ~10d'une force F de gratldcur et direction données (Iéjlll!f complètement la Ligne d'action (le F. En fait. la ligne d'action de 1" doit se trouver dans un plan l),L'isallt pHr 0 et perpendiculaire à ~fo; la distance (1 qui sépare cette lib'Tle du point 0 correspond au quotient entre les grandeurs de ~1() et F, soit ~1(}/F i ûnalement. le sens de M() détermine de quel tâté de 0 se situe la ligne d'action de F. Selon le principe de transmissibilité (section 3.3), deux forces F et F'sont équivalentes, c'est-il-dire qu'elles produisent le même effet sur un (.'()tps rigide. si ,elles ont la même grandeur. la même direction el la même ligne d'action, A lu lumière de ct>(lue nous Vt'lIOIIS de voir, on peut reformuler ce principe comme suit: lieux forces F ct F' sont ëquioalentes si, el seulement ,~i,elles sont éqttlJ)olletlte... (même grandeur et même direction) et ont le mëme ,n0I1I('11l par: rapport (t un point 0 (1011 né. Les conditions nécessaires et suffisantes il l'équivulence entre df'ILX forces F et F' s'écrivent alors (3.13)

On ("0 dér'cnons le cas des structures définies par une longueur et une largeur, mais dont J'épaisseur est négligeable, ct SUpPOs.uus que les forces s'exercent (laus le plan Je la structure. On représente facilement ces situations sur une page ou sur un tableau. Leur analyse s'avère beaucoup plus sitrlple que celle des problèmes impliquant trois dimensions. Considérons pur exemple une plaque ligide SOUIll1.Se à une force F (figure 3.13). Le moment dt! F p.tr rapport à 111.1 point 0 situé dans Je plan de ta figure correspond au vecteur ~10,de grandeur Fd et (wrpen(liclllaire à ce plan. Sur la figure 3,l3a, le vecteur 1\10 ~'f),1(If" la page et la force F tend à faire tourner la plaque dans le sens antihoraire ; à l'inverse. sur la figure 3.13b, 1(;>ve-cteur (1/1t1'(' dans la page et la lorce tend à engendrer une rotation dans le sens horaire, U devient donc naturel cle préciser le sens du moment de F pu.r rapport ft 0 en utilisant les termes anrihorairc ~ dans le premier cas (figure 3.130) et horaire J dans le second (figure 3.131)).

Copynghted matenal ,

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

PROBLÈME RÉSOLU PR·3.2 lIll€' [orco dc800N a~l sur le support tri qu'illustré p.lr rapport au point B,

Calculez le 1I10111cntdt" ln force

IhO ulm

l

8

• ~

.!OC1111111 -

...

SOLUTION lA' '!lOHII'nt ~ftl clc' la forci" F au pOllit B est ~\!,\III~p.ar Mo= où r vH r~l )(' \C<,If'Uf 1racé rt't'taliguldirL'~. 011a

1'.\18

xF

clC' B à i\. En décomposant r VII

rA 'LI = -(0,2n1

f't F en composantes

i + (O,16111)j

fi = ROO ~}('OSCXl"i (~OO Xl sin 60 j - (400 'li 1 13~:3N Jj D

fifI·

Ch i\ part il d~<;prcxll1its vectortels cI~~ vecteurs unitaires présentés

3,7

dl' t, ~{'l bou 3.5. 011 obtil'1I1

.\

•

UI~ équations

~tR

,

xl'

r

IO.2rll1i

(O,I(jIIl)j)

X

11400Nli

(693i'.)j]

- -(1:38.6:\ . III ... - (j.l,O~°lll}k t202.6:\ III k

'1

°

"', ~~§~§By~lt

:!uc:_

rA Ji

1

\11 \:

....'

1 "

".

Le moment ~11lest un \ ecteur pf'rpl"ndiculaire ail plan Ù~la figure et 11~ntr!! dans 1;1 PH~('

PROBLÈME RÉSOLU PR-3.3 l 'nf> 101Y't' (~t'30:\ agi 1 à l'extrémité d'un levier ayant une longueur dl" 1,5 m tel 'J1l·illu:.lll~° E\ aluez 1(' moment dt'

hl force

pfll'

r3pport au point O.

SOLUTION ()n décompose la lorce dt" 30 X en deux (_'(nnpruantes, P suivant l'axe OA et Q per()('lItliclIlairc à 0,-\, Etant donné Qllt· Ir point 0 ~f' trouve sur la li~e d'action ciE" liil forC'IJ P, 1.. moment dt, P par rapport li. 0 est nul. el le moment de la force Ùl' 30 l\ ~l' réduit nu utomeut de Q. qui l':,t orienté Cil SCIl~ horaire lot donc n~gati[

en représcntauon

scalaire. \I()-

Q-(30Nl:o,III2.0° IO,26N Q 1,,)11))- (1026~)(I,5111)= -15,4N'l1J

1o':t:101doun ..• '111(' I~ r(,sultul :>C'ruair('I\I() l'~1 nl~g,atJf, ho moment P,It!l' pl s'(>crit

\1

76

~10 entre dans la

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

80

Corp& r!g1CH!S - S~Ii'emes né tcrc~ eqwva ems

Il il 111 - -

-

Il Il III

1

3.7 Une caisse ayant une suasse de 80 kg est tenue eu équilibre tel qu'illustré. Évaluez : (I) le moment crér- par 1" poids \l' pnr rapport au point E: Il) la force mlnlmale à appliquer ~I" point 8 qui crëera UTl moment de la même grandf'tir mais dans le sens opposé par rdpport au point E,

1 Cl !i 111

3.8 Une caisse ayant une masse de 0 kg est tenue en éqtliljb~, tel (~u11111str~. Évaluez : fi) le moment créé par le poids \V par rapport au point E: /1) la force minlrnale à appliquer au point A qui créera lin moment de la 111élll(' ~"'llr1('ur mats dans If' sens opposé par rapport au point E. c ) lu grandeur, la direction et Il' point d'applicatiou au bas dl: la caisse de la plll$ petite foret" verticale nécessaire pour créer un moment de la même b'TaDdeur Illfll s en S(,I1.~opposé par rapport à E.

('

3.9 et 3.10

U" haillon arrière .t\B d'une auto est supporté par un levier hydraulique Be. Si Je levier créé II1It' force de 125 N selon Sou axe Sur la chanuëre 8, déternunez le moment de cette lorce par rapport à la charnière 1\.

Figure P3,7 - P3.8

3.11 U" tr('lliIIIUtIlLIC'I,\13 rst uülisé pour redresser If' plquet d'une clôture tel qu'illustré à la f1~re P3.11 - P3.13, Sachant que la tension dans le cable BC csr de lWO ~ et que li = 1,90 ni, déterminez: (1) 1(' 1I10111f'nL par rapport à 0 de Lnforce apphquée au point C. et ce. par déccurposition de 1<"1 force St'IOII de 8,X(':. hori'l.olltal ct vertical au point C: Il) le moment p
;2·111

011 vous infonne

force créant un 1110111enlde 9f)() N'm par rap!>ort ù D est suffisante pour redresser le piquet CD. Si cl = 2,80 01, déterminee 3.12

411'UlIl'

la tension nécessaire dans le câble' ABC, Figure P3.9

313 0., vous informe qu'une force créant un moment de 960 Nom par rapport à 0 est suffisante pour redresser le piquet CD, Sachant que la capacité du 1(l'"il,\B t'sI dt" 2400 N, déterminez lu distance mlnlmale d nécessaire pour créer

,IIU

Il'

1

H10II)('llt

3,14

dé iré par rapport à D. Un mécanicien utilise lin hollt de tuyau AB en guise de levier pour serrer

1.. oourrolc d'un altcruateur,

Eu ~Ippuyalttsur le lll).

li

nu point A vers le bas, il crée

dl' ·185:\ sur l'alternateur au point B. SI hl ligue d'uttiorl de cette force passe par O. évaluez le maillent créé p'Lr rapport au boulon C, IIDt-' [Of(.'C

1)11111Il,ions

3,15

Formez If'S pr()(juils \'('Ctoripls B résultats pour prouver l'équation sin œcos

Figure Pl.10

J3 = 1sin

X

(0'+,9)

C pt B'

xe. O"B::;::

+ ~sin (a -

B'

f't

IJtilisczlcs

(3).

3 16 UnE' droite passe par les points (20 Ill, 16 rn] et (-1 minez ln distance perpendiculaire cl entre la droite el l'ortgtne coordonnées,

ln,

-4

0 du

m). Détersystème de

120 111m

O,bj,')

Figure P3,11 - P3.13

o.~III

"1

A 65 FIgure P3.14

mlll

C P

1

90

mJT1

72

UJJlJ

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

84

Corps

lflm('<,do

tvlC.1i

~q'.V;tll!tlt~

Puisque Q est la somme de QI et Q!1.. sa composante en !I doit correspondre à la somme
~"à~

vecteurs; on a

P'Q = (P,i + Pyj + f';;k) '(QyÎ + Qyj + Q;;k) permet d'écrire p. Q comme une somme de produits scalaires. tels cJue P,..i·Q, i cl P~i' Qyj, Or. le produit scalaire de deux vecteurs unitaires dorme t(llljnllrs 'l-Grt, 011lin. conséquence directe {le la définition (lu produit scalaire. La distrlbutlvité

J"'1 =

1 ., 0 J'J = L'expression de P'Q~t'

k'k= J k'i =0

j'j = 1 j'k=O

(3.29)

réduit alors à (3,30)

Dans le eus particulier

011

P el Q sont égnu....:.011 obtient

P: P ==

P; + Pj + P; = pZ

(3.31)

Applications ,

1. Angle entre deux vecteurs donnés. Ecrivons deux vecteurs en foucriou dt-' 1t'111"S ('()I nposantes. P = Pzi + Pyj + f.:k Q = Q,.i + Q!Jj + Q~k On détermine J'angle entre tes deux vecteurs en égalisant les expressions du produit scalaire 3.24 et 3.30, On a

!J

PQc.'ù O=I)t:Q. t-PyQy+P=Q= En isolant co (),on trouve

cos 8=

PxQx + Pl/Q,' PQ

(3.32)

2. Projection d'un vecteur sur un axe. .onstdérons un vecteur P formant un angle 8 avec un axe, ou ügne directrice, OL (flguf'e 3.21). On définit la projection de P sur l'axe OL par le scalaire

Figure 3.21

POL

La projection

f.l/L

p

Agura 3.22

.....P:Q;

= Peas 0

(3.33)

est égale, <;>11 valeur absolue, à la longueur du segnlent O.r\; elle prend une valeur positive si OJ\ va dans le même sens tlue l'axe OL. c'est-à-dire si fJ est aigu. et une valeur négative si ()est obtus. Si P et OL forment 1111 auglp droit, la projection de P l'tir OT~est égale i\ zéro. Cotlsiclpl'OIlS maintenant 1111 vecteur Q (lingé le long de OL et dans le même sens qut> cet ax« (fi).{url> 3.22), Le produit scalaire de P et Q s'écrit POl-

P'Q = PQcos8= P01.Q

(3.34)

Copynghted matenal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

·88

CorpariWd!;la

-

5ystitrr.œ dB loIœa~en1s

les cosinus directeurs de t'axe HL; XA/8 ~ :1:;\ - ro YIVlJ = '1/\ - YB ZNiJ ""' ZA et F.'hFv etF:representent les composantes de la force F. oi)

A",.

Ày et ~ sont

ZlJ

li est à note!!' que Terésultat eî:'t indéllendant de la posftion du pOitlt 13 chaisi sur l'axe donné. De fait, si on écrit lcL pour wl130int C différer.lt de 8, oa obtient

AlcL --

À' [(l'A - rc)

x F]

,..,A '[(l'A - r8) X F]

Or, puisque les vecteurs A et rD -

+ A, [(r8 - rel x Fl

se trouvent sur 1'1même ligne. le volume du parallélépipède dont les côtés correspondent à A. fs - l'C et F est nul; et le produit mixte de ces trois vecteurs est aussi nul (SectiOTI 3.10)'. Lexpression de Mel. se reduit alors à son premter terme et l'équaticu devient identique à: celle qui définit "'191•• De plus. tel que vu il, la section 3.6, lorsqu' on calcule le moment de F par rapport à un axe, A peut (..orrespondre rt n'importe quel potnt te long de la ligne d'actio'n de Il. l'c

Copynghted matenal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

-Ij '" :3j

- 2k, Q'"

3.35

Soit les vc'(.1t~nrs "

3.36

Formez les produits scalaires B'C

c&

calculez les produits scalai res p. Q, p. S. et Q' s.

-i,.. -lj -

et B'
Olt

5k, et S = i + 4j + 3k,

B=B' cl utilisez les

r(oslIlIats obtenus pOUf prouver l'Identité 8

(.'OS

3 37

l'angle

œcos f3 = 1cos(a

+ f3) + le05 (a - f3).

Considérez le filet de volley-bali de la figure P.3.37 • P3.38, Déterminez

fOfll1épllr

I(Os haubans .t\B el r\e.

B' Figure P3,36

'J 2,4

,

rn

F

'J

lE 1

1 1 1

Figure P3.37 • PS.38

1 1 1

-

Figure PS.39 • P3.40

3.38 Con.~icl~n·I..I(,nl(·1 lh- voile-v-hall de la Iî~ul'(, P3.3ï - P3.38. Déterminez • l'llnglt· rorlll(' par k-s hUllhtllls r \C ('. :\D.

La section .·\B d'un oléoduc se trouve dans le plan '.JZ et forme un angle d" :370 avec l'axe ::. r RS sections CD el EF sont connectées 11AB 1,,1qu'illustré. Détvrmlncz r{llIgl ' forInt pllr I('~ lll)'llll't ,\8 l·t (;D. 3.39

92

3.40 La section ,\B d'un oléod uo s" trouve dans le>plan IJ= et forme lin anglt' do 37" avec l'nxo :;. LRs sections CD et EF' sont connectées à A8 1('1qu'illustré. 1)('tC'fII\ÏI""", l'angle ronn~ pi,lt h'$ tuyaux r\B (" EF.

Copynghted ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Les é
R=IF

M~=IMo=I(rxF)

(3.52)

3.18 Systèmes de forces équivalents

R

On obtient donc la force R en additionnant toutes Ips forces du 'i\'StpI11E'. Le • moment du vecteur-couple ré ultant ~f~,appelé 111011IC'11 rësultant du système, est obtenu en additionnant les moments par rapport à cie tontes les forces du système. Après avoir réduit lin système de forces à une force et un couple au point 0, on peut facilement le remplacer par une force et un couple appliqués à un autre point 0'. Lu résultante R demeur inchangée alors que le nouveau moment résultant ~1~ est égal à la somme de ~f~ cl du moment ptlr rapport ù 0' de la force R appliquée à 0 (figure 3.42). On a

°

-

FIgure 3.42

(3.53) En pratique, on passe par les composantes pour réduire un système de forees à sa ré ultante R au point 0 et au vecteur-couple ~{~. Les l.'Otnpo-

.

santes rectangulaire , . s ëcnvent

de vecteurs po ition r et des forces F du système r = xi + yj + .:k F= F{i + FJ + F~k

(3.S.j) (3.55)

Après avoir introduit ces expressions de r et F dans l'équation 3.52. on met en facteur les vecteurs unitaires i, j et le. pt on obtie-nt, p<)ur R et ~,(~:

Les composantes R\, fi!! el R~ représentent respectivement la somme cl cs composantes en x, y el z des forces données; elles mesurent la tendance du systêrne à transmettre au corps rigi(le un mouvement (le translation selon x, IJ ou z. De même, les composantes !\·1:. j"f~i.et ~f~ correspondent respectivement r. hl somme des moments des forces données par rapport aux axes x, Ij et z, el elles expriment ta tendance du système à procurer au corps rigide un mouvement de rotation autour des axes x, Ij ou .:. Pour connaître la grandeur et la direction de la force R Il partir des composantes R\. R./ ct R;. on utilise les équations 2.1 cl 2.19 vues à lu section 2.12: on calcule de la même façon la grandeur et la direction du vecteur-couple ~f~. 3.18 SYSTÈMES DE FORCES ÉaUIVALENTS

Nous avons \'\1 à la section précédente que l'on peut réduire tout système de forees agis ant sur 1111 corps rigide il un système force-couple uppllqué à un point donné 0, qui rend parfaitement compte dt' l'effet des forces sur le corps. Deux systpl11e,fI de forces sont donc équivalellts s'ils peuvent être rt'dutt« nu 11111111' systènll' [oree-couple 0IJpliqué il lin point O. Sachant 'lue le Systl>II1P [oree-couple au point 0 est défini par les équations 3.52. on peut dire que deux Systèl1lR· rieforces, FI. F2• F31 .... et F{. Fif, (11'l,llqu,Js (JII 'UPI/U: c0'7)s rif!./l/e sont ëqutoalents si, et seulement si. les SOIUHU!S des forces el les sommes des 11l0tllents des force. par rapport à un point 0

Fa.....

sont

r('SI)('rtil;(~111(,11' r{!,fll(·s

pOlir

lrs

fJ(·UX .~yStèI71(~".Mathématiquement,

113

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Ces expressions indiquent que les J110J11enls de R par l'3Pfort axesr et z doivent correspondre respectivement à 1I1~{et ,~fe :

cUL'\:

:l 2' R!!o!lUdlOl1 (j'un systeme de torees

a un torseur

·3.21 RÉDUCTION D'UNI SYSTÈME DE FORCES À UN TORSEUR

La majorité des systèmes de forces dans l'espace donnent lin système for('e-('ou~le équivalent au }X>intO. composé (l'une force R et d'un vecteurcouple Mo non nuls et non perpendiculaires entre eux (figure 3,~(0), On ne peut pas alors ramener le système à une force unique ou à un couple eul. On peut toutefois remplacer le vecteur-couple par deux autres vecteurscouples obtenus en décomposant l\1~: les composantes ~Il' orientée selon R. et M2• située dans un plan perpendiculaire à ft (figure 3.4ô1J). On remplace alors le vecteur couple J\>12 pt la force R par une force unique R flrpli((l1~e selon une nouvelle ligne d'action. Le système d'origine se transforme nin i en une force .R et un vecteur-couple ~fl(figure 3.4&). c'est-à-dire en une force R et lin couple agissant dans Je plan perpendiculaire à R. On appelle torseur cc système force-couple particulier pan.:c que la eombluaison résultante de:" poussée et de rotation correspond à une torsion. La ligne le l'(/S du torseur. Un torseur se COlllpose donc de deux vecteurs colinéaires. soit une force R et un vecteur-couple que l'on écrit (3,61)

-

o

lb)

(II )

(r~

Figure 3,46

Or, l'équation 3.35 de la S(>CtiOIl 3.9 permet de projt'ter un vecteur sur la ligne d'action d'un autre vecteur. La projection de l\f~sur la ligll(> d'action de R donne

Le pas dt! torseur s'exprime alors comme suit": (3.62)

5. Les expressions obtenues en projetant le vecteur ....-ouple sur la ligne I1·Q(.1ioodl: R l1 pour le: p.u du torseur sont ind(!pend.mte5 (lu point 0 choisi. La relation 3.53 dl' la scctioo 3.17 permet d'ëcnn- p<)lIr 1111point 0' dl(f(l"'nt de 0, Il' 1IL1II1(onÙ('ur de "ffIIUl!iutI 3.62 c,,,nnll' sult :

R'l\ll!, =R·([\(g+s x R)= R'l\(~+R'(li xll) IR prod IIlt luildl' H· (s X K) est ~1l1 A 1"-;rol'~ l'on a R·M~.=R·l\(~

L'ég;dité prou,'_' (lue le produu 5<.'\IIlÛn:R' ~~

l~

IIl~pcndallldu

() ~

('''(}L~du poiltt 0

117

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

•

Ij

F

PROBLEME RESOLU PR-3.10 Trois câbles sont unacbës à une cornière tel qu'illustré. l\enlphlcC'L les forces des cÎthlt"s par un systè,ne force-couple équivalent ou point A.

HM} mrn

1 ...L_~~-

~----/\ 100

1

""11

1 ~

E( 150 rnrn, -50 ITIro. 100 mm)

SOLUT10N On commence par déterminer les vecteurs position trucés du point A vers les points d'application des différentes feroes. On clrcon1posr ensuite ces [orees scion 1('1111' composautos f('ctanglliairl's. Ayant noté lJuc' F 8 = (700 1'\).\81:.011

_ Bè

"";5i-150j +SOk li5

AIJ~- BE on

:1.

= AB = 0,075i

fCI:\

= t\C: = O,O,Si - 0,0501.

t",

<\d(~li()llnant

OOOj+ 20nk

F (' = ,Oïi

,\V ""-O.lOOi - O.lOOj

F,) = 600i

les (.'()1I1 pesantes

des forees

x.1) et c

- 707k

+ l039j

en présence:

~ F' - • J ('1( 17\

R

-(5u....~)J.. Le calcul de ~l~ 5f'1"'''facilité si l'on pxprinll' déterrntnnnts [section 3_8) :

tIJJol,~ N'II,I k

RJ

Fil = 300i -

Le s)'slènlf' force-couple au point A, éq1livalent Ù l'ensemble des fOfC('S, est consntué de la force R = îF ('1 du couple ~f~~::: !(r X F). La force 1\ est obteuu« ('II

!II (43!l ~)j

+ O,050k

f/Jl,\

rL'IA -

(1;.6'> N '1(1) j

-

en mètres ('l en newtons,

(:10

•

• 1

"111) i

ru", X FI!-

•

O.Oï5 300

Fe

=

O,C).50

-600

200

•

k -().O50 -707

J

(l.Oi5 T07

() ()

,

,

,

/ -

rD!.\ X 1;0=

-

La

S0111111e'

-0,100 1039

k

~

-.j5k

=30i

-

IT.6Bj

l63,9k

dt" ces e 'Pre' sions donne' alor ~ rX

Les

.}II- ~

moments des forces SOIISfarole' dl'

k 0 0

J

0.100 600

1

k

J 0

• 1 rC/11 X

1('5

i ~1 -4'1< J \; lj

F

COlTIIX)Slult('S rectangulaires de croquis ci-contre,

III \

13

•

III 1

foree R et du t'Ouple

1 ) "i l) ~

I\f!: sont

• rn

k

Illustrées 311

121

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

déplaçant Il de sorte que son moment IJH rapport au poil1t A soit égal à ~I~ (voir la section précédente). On peut ceaclure que le vecteur postnon 1\ tracé du po:i~'1t.1\ li un point qùe}oonque situé sur la ligne d'action de la force umque Il, doit satisfaire l·équ.at1t>u rXR=M~

Ce prin.ctf1e a été al>PUquéaux problèmes résolus PR..J.", PIl-J.9 et PR-3.11. i j'ou se tro'uve de~ul't une sitLJati()n où les forces en présence. ne sont ni concourantes, ni coplaaatees, ni parallèles, 10 il)'5:tème

force-couple équivalent au point 1\ eonstste en urne force R et un vecteur-couple M~ qui, 00 génêrnI~ ne sont 110S perpendiculaires entre eux. (POlU" vérifier ln perp.endicularlté entre Il. et ~t~. ou calcule leur produit scalaire: si cehn-cï est ,égal' à zéro, ils sont

pelpeildicuJai'res; si tel n'est pas le cas, R et ~1~ ne sont pas perpendiClÙaires,) Ell.cas de llon-perpendicularit0 enb:e Il et. M~t le s)'Sfème foree-couple (-et donc J • SYJiotèOlf) de forees initial.) f:l8 pourr» pas être redutt fl tUle force uniqtJe. Cependant, on pourrait le l'édu.ire à un torseur, c'est-à-dire à Jo. combtnaïson d'une force R et d'un vecteur-couple 1\-11• dirigés trelon une t:igne d'action eommune appelée l'axe du torseur (figure 3.47). Le pas du torseur se ealcuie par p .s AI lm. POlIr réduire un systènle de forces à un torseur, Ot1suit les étapes su1:\lanl'es;

Réduire le syst'ême de forces il un système force-couple éqUi'V'.d.ell.t (Ut~)à

l'origine O. Déterminer le pas du torseur p il l'aide de !'éqlUltiorl 3.62

Ml _ R'~I~ p= a R

(3,62)

R

&primer 10. reiedon entre le moment du torseur par rapport l'nOll'U:!'ntré!.--ultaot ~t:~ du système force-couple au point 0 par

3;1..1

point 0 et le (3,63)

Cette relation petinet d'id.èntiRer le point o.ù la Ug'li\ed'action du torseur crolse un l'Jao donné, puisque le vecteur IX)SÎtionr est orienté de 0 vers ce point. Ces étapes sont déedtes au problème résolu PR-3.12. Bien que J'identification d'un torseur et dl) point où son axe croise un pbll) puisse pnraitl"c difficile. li}proeédere ceasiste li appliqu-er piusieurs principes et teclutiques présentés tout au lQr~gde ce chapitre. Il est tmportant de bicll vtsualtser et d'assimiler le principe du torseur pour une parfaite comprëheoston du chapitre 3.

•

125

Copynghted matenal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Problerr

'3.133 Une feullle de tôle pliée est soumise à trois lorces. t e t qu 'illustré. Sachunt clllc' Ic's 1l'ni... fè,r()t'~ uni la 111/'111('gnulCtc'nr P, r(·"lpl.ll'('I.-tC·~ p,lr 1111tur't'ur

équivalcut ri détcrmincz : 1) la gTtmdellr el la direction de La force résultante R. 1,' le pa.\ du torseur: (" l'axe- cllI 1C)r,.('lIr. !J

...1 H

A

( J

'/

...

~

(/

/--

--

n

1,

'l _n

1

..."

'.À._. l

-

Il

... /1'

p

,

Figure P3,133

Figure P3.134

dt' ~rand(,lIr p sont appliquées IIr 1111bloc d'ahunimum tel qu'illustré. nl'lIlplu<:(.'L-I,· par lIlI torseur équivalent et détennme>: CI J la grJJldt.·ur et la direction de ta foree résultante R:

'3 134

Troi. forces

,)

le pas du torseur:

1)

l'axe du torseur.

'1

l

,I

~'III

(J~)

o

-Agur.

P3.135 1 2u~ r IIIU

Agure P3.136 UnI" ft'uillfi' df' métal est nx~('il lin bloc dl~bols à l'aicJ(' dc' dru vis [('1 fju'lIll1strr. H~clllis(~1. les lor('(~~ l'I Il'li couple-s C'II pr(osc·tlc·l' ÎI Iifi IOJ':\c'ur équlvalent l't caleulcz : II J ln force résultante R: 'I) 1(' prL'l clu torseur: ,'J Ic' [l
et

3.136

11H11

133

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Proolnmes supplernen la Tes

143

. lU :-; 10 Ï\

1---120

n1n1--,",

60·

~) mrn

~I

/ -

1501llni

-l_

•

.J'i N

,.....,(_. .... ,i....

FIGure P3.156

Figure P3.157

UnE' dalle hf:>xagonale en hétc)ll de 12 m dt> ('{)tt' supporte six colounes, tel qu'ijlustré, Détenuinez la gl'üodc,u' des churgc·s sllppl('III(·flIILirt·~ il llpplicl'u'r en 8 et en F si la résultante de l'ensemble des charges doit passl"t"par If' centre de

y

3.158

!20 tx 1

15 k:-.

la dalle.

~Ik

Ir,k~

r 3.C1 La poutre AB est soumise il. plusieurs forces verticales tt"1 '1111111151((\, Concevez lin programrlle permettant de calculer ln grandr-iu dr la 1'1.; "hante:' des forces et la distance x; du point C, oit 1;1lih"l1f' c1'actioll cI(· ln fort-" r(-sultllllh' croisv la droite t-\B. Utilisez ensuite ce programme pour résoudre: le problème Pll-3.&; Il J le problème 3.1 ()6a.

o( !)

Il'

IJ

rIO f' •

C

12 rn

~I

Figure P3.158

r 1

F

-

FI

~.fl~

1

C

•

A

--

FIgure P3.C1

Figure P3.C2

Concevez lin pr'Dgfüllllne permettant de déterminer Il' grand,'ur l't If' point d'application dt" 1.. résultante df's forcf's verticak-s PI, P2.... , Pli agissllllt nllX points AI. 1\2•... , Ali silH(oS sur 1(·plall sz, tilisez ensuite ce programme polIr 3.C2

résoudre (1)

1)) c)

If' problërne PR-3.l] : 1(:'problè Ille 3.12i ; Il' problème 3.129.

3.C3 Un ami "''OIIS demande dl' l'aider à COIlCt·\ oit dr-s potx dt· rlt'lIf:' dl' différentes formes, ayant 4~ 5. 6 011 S eôtés, Les (,lôl(ts cloh'l'I'l c"lri' int·li"é:. pllr rapport ~l l'uxE' vertical df' 10°, 20° ou 30°. Ét'ovez un prognlllllne permettant dl> calculer l'angle a du biseau pOUf chacun de." douze IJl()(]c'If's pos~iblc'!> cl" pol cil'

Ileurs. (Sllgg(\~tion: SlIppoSf'7. qll<" l'onglc- du biseau cI(· l'h,llIUl' planche du pot ('!il ég,ù à la moitié de l'angle formé entre les droites normales il deux côtés adjacents).

Figure P3.C3

C p n

\

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

PROBLÈME RÉSOLU PR..4.1 •

2400 kg

"--

On utilise une gnle stationnaire ayant une 1I1~~' Je l()OO k~ IJOII1'soulever 11111.' caisse 240(lkg. I~I gril€' (''Ii t('IIIIf' en sililatioll (r~qllilihn' par 1111t' rotule lIU point A et un appui il hnscul€' au point B. Son (!enITC cie gra\ ile' est situé au point C. Déter-

oc'

minez I\;'s('('1I1pI)Santes des réuctions aux points 1\

B.

l'l

'"--1---'111,---1

SOLUTION
1(' diagrallllllP du corps libre. On calcule ('I\Sllit~· 1(,poids d,'I;\ gnu' ('1 cvltli c11'hl cais:-v ('1"1IHlIltipliallt IC'lIr 111:1.S$(' rcspecnvc par la constante gnl\ilaliwnl1t'Ilt'. g = ~.81 1l1ls-1,Ainsi. 011 ohlil'utl:.lISIO :\ ou 9,81 kx pour la ~rll('. et ~3 500 N 0112.3,5k~ p01l1' la caisse. La réaction il la rotule A ('st 'UlP force cie> dirpction incunnue, n'pfi~~('ntC:l~ par se' composantes AI et Av. La réaction il l'appui ~,bascule B est perpendiculaire ~llu surface de COlitact, donc horizontale. On supposc' qlle' l\.,-, 1\'1 et B a~ssellt dans les IJillt{ranlllll'

9,8] k."\

......O ..... 1iB 2

111-1-

-1 [n---I

directions illustrées li. In

lihr«'. On trace d'abord

n~II(1'ci-conlrt-.

( alcul de.' li. Léquilibre exige que la souune des moments dos fortes externes au point A soit nulle. Léquation np contient ni _\r ni. '9' puisque les 111011101115 de Al ('1 Au par rnp[lort ;111f)I)inL •\ ~nlll nuls. En multipliant la gralldc'lIr d.· ('II:I(.'IIIll' d.,s autres fOrli'S par IC'Hr distance ail point /\. on (-crit

-s: 1.5 Ill)

T~~l\/t\= 0:

-

{{l,BI ki'\)(2 IId - (23.5 kN)(6

u-

B -- + JOi,J I-N Éhllll douué

q1l(' 1(, résultat

Ill}

=0

1(1-11..'\

....

('.-;1 poS'itif. l'Ia)l)utll(\~e de l'orir-ntation dl' la foree au

poillt B est valide, C'ulcu] (It· \,. La grandl"lIr de la eorllposnntp A, est calculée en exprimaut CJUI' la som 111<>des con"ros~uli es honzom ales (11'l> fc)ret'S t'"\ l"nlf'), ('~t111111(,. ~!.F. = ();

.4., + B "" () ,\ ... ..l..

107.1 kN = 1)

A, = -107.1 k:\

"\,

111--;- Il'\

-

...

,

clan né CJlle le résultnt est !u'gatif, l'hypolhi'ç(· de l'orientation de 1:1 composante A, n'est pas validc : celle-ci t"~tdl' l>1·lllo fJppOM" (\('~ la ~.ll1C'lh·). Etant

C:Hl...ul

fil: .\",

EII suivun! le même ruisonnement ti"E' précédemment,

qUE.'la sonuue des l'oluposanlt"s

011 sait

verticales est III Ille.

A" - ~),S1 kN - 23,5 k . = 0

~\I= -r33,3 10i,1 k;X

lOi 1 ix

En addlnonnant 112.2kN ~1 ï.3Q•

1(>5

k_\l

vecteurs A, et

\ ~I" 011

trouv ('

'IUf'

la réaction i\ l'appui .4 ('si

•

\'(·riflt·utiolt. On l't'III \'i1li
+1l:.1\18 == -tU,SI kN)(2111) - (2:J,5 k~)(6

ln)

+ (IOï,l

k:\)( 1,.511\) = 0

153

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

PIobIBmes

Résolvez le problème 4.7 si a = 400•

4.8

159

4.9 La poutre 1\8. ayaJlt une lungueur de 10 111. est déposée sur deux supports C et D. En négJigc>ant I~ poids dl" la p<)lItre, déterminez l'étendue des valeurs possibles de la force P nécessaire pOUf garder l'ensemble Cil équilibre.

La valeur maximale adrnlssible pour chacune des rëacuons ('st de 50 kN ortentëe vers If' haut. En n('gligc8111 Ir poids d.. la p01ltre', cl~l('nlül'('i'. l'étendue des valeurs possibles de." la force P néecsssjrc pour garc!t'r la poutre en sltullUut'l sécuritaire (sans basculer). 4.10

2

ln

3

3

III

III

2

III

Ftg\lre P4.9 - P4.10

4.11

POlir la situation décrite an pmhlf>1l1f' réosolll Pl'-4.2, détermiaez l'étendue des valeurs possibles de la fOI"(;~P pou r que la poutre soit en situation sécuritaire, sachant que la valeur maximale permise pu ur chacune des réaction. s est de 30 kl:\ et que la reaction au point 1"\ est orientée vers le haut. 4.12 En vous référant au levier de la figure P4.12, déterminez l'étendue des valeurs possibles de la distance a pour que la réaction d'appui au point B ne dépasse

pas 100 N dirigée vers le bas ou 200 N dirigée vers le haut.

r-

III -,

1OC1 '\ a --I-Il

1110 x

1.)11 N

JINI " rt1rn-

~

,\t:====~~~.~~~==========~~8 l' 1-

c

fJ

50 N

I·--I2. .. mm

I---S "un -_. ~·__

B

~

.....

111111

_J

1----450 mm -~-4.')() mm ---t

Figure P4.12

Figure P4.13

4.13 En ,"OIL'\' référant à la figure P-!_13, c1~t('rlnin("'L. l'étendue des \'all"llrS possihlps dt' 10dish\n~f' fi pOlir quI" la poul no soit ('11 ('lai sécuritnire, sachant tille hl

valeur maximal .. udmtssible dt· chacune des réactions est dt, 180 N ('1 que le poids de la poutre est négligeable. 4.14 Résolvez le problème ....13 en remplaçant la charge de 50 N par une autre de 80 N. 4 15 Le levier BCD est fixé à un rible en les charges tel qu'illustré, calculez : CI) la tension dans le câble AB ; IJ la reaction au pivot C.

B et pivote au point C. En appliquant

t

Il =0.l8111

L

A

~

0,24

111

1.-0.,

m-+-O.4 m--I

Figure P4.15 IJ

4.15, sachant que a = 0,32

4.16

Résolvez le problème

4.17

Sachant que ln teusion dans le câble I\B est mainteuuc la foree verticale P à appliquer sur la pédale: la valeur de la réaction correspondant au point C.

t/

J

1)1

4 18

Déterminez la tension maximale applicahle

In'lI---~

• ..j1

111.

à 2(lO N, calculcz .

au câble .-\B si la valeur de

lu réaction maximule admlsslbh- Ou point C est de· 250 r\.

1------).:;0

t\

Figure P4.17 • P4.18

Copynghted ma rial

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

4.36

deux

Résolvez 1<>problème

".37, sachant que le câble BE est pnrallële aux

163

tig('~(Ir.: 3()D).

U Ile console est tenue au repos par un câble

"Jq

point E el par les Fe eçt I~gèrenlf'nt

rL\~au

rouleaux san frottement A. B. Cet D. La largeur de la tringle

inférieure li la distance séparant les rouleaux, Evaluez là foree qu'applique clla(ju" rouleau sur le montant, sachant que a = 20°.

,1,)(""11'--

IOOmm

F·~a

«t: -lU mm

..JO 111111

iO mm

20 mm

:1011 , (;

Figure P4.39 l'

...

30 '"1"

[)

t

Figure P4.41 t1(t~()h('1 1(' probll'I)l(' 4.39, achant que

4,40

o = 3()~.

" 41 Une console est tenue pM des chevilles placées aux points A et 8. achant qllf' If' coefficient de rnenon entre les chevilles et les rainures est nul et qllt> P = 15 1'\. calculcz : III la force exercée par chacune des chevilles sur la plaque: l,) la réaction d'appui ail point F. En se référunt tl la plaque du problème 4.41. on souhaite que la réaction maximale ail point F soit dt' 20 N pt orientée vers le bas. En nrgligC'anl 1(' Ïmtternent 4

2

aux chevilles. déterminez l'étendue des valeurs po. stbles dt· P. .. 43

Une masse

qu'illustré

Î\

c!(th'nllitl("l.lu

1•

de 8 kg pellt être supportée de trois façons différentes. tel

lu ngur'" P4.-l3. Sachant (Jue Ir l'ayon dl' ln poulie B t'st de' 100 mm, rénetiou nu poinl J\ pour

I,h 'n----I

chacnnr- d 5 sitUilliolls prcts,·nt('('s.

'"'1,--1,6 'n----I

4,5ln ,n

1--1.1l nl----I il

1-1.5ln~ Agure P4.44

fn 1

Ir)

30

Figure P4.43

III m

301nln--j C

•

UII pou-au dr 1;5 kg 501llil'Ill rt SOI1l~~lrtJ),itt' C lin fil (l1C'Clriqllf'. Ln tension dans le fil est de 600 N et celui-ci forme au point C un an~lt' de 15° avec

r

. 4

l'horizontale. Déterminez les tensions maximale et minimale perrnlses hauban BD si ln gl':lnot"lIr du couple en 1\ Ile peut dépasser 500 ~ . Ill.

18

I~

duns lE' L

4 45 UII(' tension t'OILSI1UltE" de 5 N est malotenue sur un nib ail mu..~nétilluf:' passant par deux poulies, A et B. tel qu'illustré, Sachant que chaque poulie a un rayon do ..j mm, dl-ll'rlllillcL hl réuetlcn d'appui 1111 point C.

• .\

Ir., \ Figure P4.45

• B

j~

Il1111

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

4.71 fi}

b) 4.72

En vous référant à la barre illustrée à la IIgllr<' P4.; t, la tension dans la corde BD; la réaction au point C.

PrOb€rTJBS

d~t('nl1jn(,7.:

Une caisse de 50 kg est attachée à la poutre. tel qu'illustré. Sachant que

a ... 1,5 Ill, déterminez : CI' la tension dans le câble CD: b J la réaction au point 8.

U.&

,-1\

0.3

4.73

ln

B

III

Résolvez le problème 4.72 avec a = 3 m.

4.74 En vous référant à la ûgure P4.74 - P-I.75, évaluez Ics réactions points A et B, sachant que fj = 50".

0.4 ~l11X

O.b III

III

Agure P4.71

l

....,,-0

1.4

)

V5()

Figure P4.74 • P4.75

111

1

\1'

mm

1:-·

-tl-"'I

Agure P4.72

4.75 En vous référant il la figure P4.74 - P4.75, évaluez les réactions aux points A et B, sachant que f3 ;;;; 800. 4.76

171

~

Une roulette de 4,1 kg, ayant un diamètre de 200 mm, est au repos entre

deux tuiles d'un plancher, tel qu'illustré à la fi~lre P4.Î6. Sachant. que l'épaisseur des tuiles est de 7.5 Il111'. évaluez la foree P nécessaire pOllf plaCf"r la roulette sur les tuiles si n la roulette est poussée vers la gauche; b, la roulette est tirée vers la droite. La barre ABC est supportée par un pivot en B l·t par 1I11e:.: corde tnextensible fixée en A et en C et passant par la poulie sans frottement D. En supposant que la tension est la même dans les ceuons AD et Cf) de la corde el en négligeant le diamètre de la poulie, déterminez la tension dans la corde et la réaction d'appui au point B.

FIgure P4.76

4.77 et 4.78

V ,160

III

-1C

fa

2.5f)

IIAnl

L10

111111

ft 1

iO rnrn A

-- ..

R

1-0 = 1-----2AO Figure P4.n

Ulm

, J .'

120 mm

------1

4.79

Solutionnez le problème 4,22 en utilisant I~(méthode de 11<\ SI.:ctiO,1 4, i,

4.80

Solutionnez le problème 4.2; en utilisant la méthode de la section ·1.i.

Figure P4.78

Copynght d ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

184

Equ lore des eoros ngu:Jos

4. ~10

Résolvez le problème .t.l09. si

li

=

1,5

Ill.

Vue hampe dl' 9ô() mm cie long est retenue pttr une rotule en C ct par deux câbles, DF et DM. Le câble V,\E passe par une poulie sans frottement fixée à l'extrémité A. Une charge de 1280 N est appliquée au point B. Évaluez la tension 4.111

,L'lOS chaque câble et la réaction en C. li 400

!J

DIIlIt'IlSIOtl,

en mil)

250

,.1111

x

1 1

FigUTe P4.111

-4.112

RC:$OI\'l'~Il' problème ..t. III si la churge dl" 12 0 N est déplacée au

poiut A.

50 111111

4.113

Figure P4.113

La barn' dt' llu"lal.ABEF ('1'1soutenu€' pat Ics palipf. C et D et par un

<..able I\JI. Ln section IVJ de la barre mesure 250 mm. Une charge de 400 N agit au point P. ELl supposant que le palier 0 Il'exerc . aucune poussée axiale, calculez: tJ) 1:1 tension tians le câble ,\11 ; /,) les réactions aux points C ('t D. 'l 0.6

III . ..n--,

-

0.9 __ 111

4.114 Le panneau cl une ouverture de toit de 20 kg pivote sur deux charnières t\ el B. Ln pente (lu toit est de 30° par rapport à l'horizontale. Le couvercle est

maintenu en position horœontale à l'aide de la barre CE. En supposant que la charnière .\ n'exerce aucune poussée axiale. évaluez: tl) la gr:llld('u r de' lu roree upplïq uée par la barre: Il) les réacnons aux charnières. 4.115 III:li"(('IIII('

"O,!) III

U"'" pl:HIIIC' n'<.'tHllglilalrl· dl' :100:-" Ilxée aux C'tI po),itioll pur .111(·âhh· t!,r'.

11lll'1I1IC'poll,~fi(l("

fi)

Il)

nxlale,

En .supposant

CIU('

chumières

la charnlèr . B n'exerce

l'i.VBIII(·~:

la tensiou d.uIl> le cûble : les réactions aux points A et /J.

Figure P4.114

y

r< Di mcnslons Pli

mil'

120

1;

/'

.".-

-

Figure P4.1 15

1\ et 8 est

11

..

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

188

4.133 Une trappe de 50 kg el de densité unifonne est supportée par deux charnières sur SOI) côté ,\8 el par nn câble CE. Déterminez la tension clans le câble.

équlI.tlre
y 2>111

IUIlI

2.:l0

1l1n1

~

"'00 IIIUI

i\

Dr:'~

A:

.N

: 200 IlltnL

<'-

nnlx

<,

·IKtl mm

' ....

y

Figure P4.133

4.134 R~:s()lvt'zIl· pmbli'IIH" 4.133 r-n remplaçant le câble CE par un câble reliant les points D et E. 4.135 Une barre de métal ABDE est soutenue par deux joints à rotule en A ct E. cl par Ir câble DF. Si la barre est sollicitée par IUle charge de 600 N nu point C. évaluez la tension dans le t'âble. 4.136

Résolvez le problème 4.135

("TI

remplaçant Je câble OF pnr un câbla

reliant les points B <.>1F.

Dimensions Cil 1""1

SON

1

!

Figure P4.135

80

111111

Figure P4.137

4.137 Deux plaques recrangulntrcs sont soudées ensemble, le] qu'illustré il ln ligure P·lI37. Ll' montage est supporté aux points B ct D par de.s rotules cl appuyé

au point C sur une bille dëposëc sur une surface: horizontale. Calculez la réaction d'appui au potnt C. sachant qu'une force de 80 N est appliqué

ail point A,

C p n

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

198

Foreos rëparlWS conuoioes el centres da gral/llê

5.1 INTRODUCTION Nous avons supposé jusqu'ici que l'attraction terrestre exercée sur un corps rigide correspondait à une force unique W. appelée force cie gnlvité ou poids. NOLIsaVOIl$ appliqué cette force' <1\1 rentre (If! grfll;;tf {ln corps (section 3.2). En réalité, la terre attire séparément chaque particule du corps; son action correspond donc à un très ~rand n011lhre de petites forces réparties sur l'en crnblc du oorps rigide. Nous verrons toutefois dans ce chnpitre qu'une force unique équivalente \V peut effectivement remplacer la multitude de petites forces. et qu'elle s'applique au centre de gravité du corps. Nous upprendrons à situer ce centre pour rons les objets plans tels les plaques et les fils dunt le parcours se siluc dans un plan, Afin de localiser le centre de gravité (le ces <''OTpS, nCJU$ ferons appel à deux nouvelles notions : It' centroïde d'une aire ou d'une courbe ct le ,nOluent statique (aussi appelé le premier moment ou tout simplement Je 111011lcr,t) d'une aire ou d'une courbe par rapport à un axe donné. Nous verrons ens ulte que le Ca.)ClÙ de l'aire d'une surface de révolution ou celui du volume d'un solide dc révolution dépend direct nnent de centroïdc de la courbe ou de l'aire qui engendre kt surface ou le solide de révolution (théorèmes dt' Pappus-Culdinns). Déterminer le centroïde d'une surface slrnplifiera J'etude des poutres S()1I111isesà
celles des vannes hydrauliques OLI
SURFAC.ES ET COURBES 5.2 CENTRE DE GRAVITÉ D'UN CORPS PLAN

Considérons d'abord une plaque horizontale (figure 5,1) que l'on divise en 11

l)(."tlL~élérneuts.

L·· coordonnées

On attribue

.r!! et y'J. au deuxième. etc .. et

XI

cl

yl

IlU premier élément •

nomme â\V[. â\\1Z, .... âW,. lps forces exercées par Laterre SUT (''CS éléments. Ces forces. ou poids. On

correspondantes convergent vers le centre de la terre : cependant, pour des raisons pratiques. un peut considérer qu'elles sont parallèles, Leur résultante devient doue une force unique clans la même direction qu'elles, dont la grandeur correspond à la somme des gr,lndcuTs des poids des éléments.

"'1

\\'= ~'VI

+

~\,f" + -

... + a\v

•

ri

•

•

w

\V ,

/

X ~;\/~

!:lI,

/

l 1

X \~'

"'!f 6 \.1'

!i \\' ~ Iy il\1'

Figure 5.1 Contre cie gravJte d'une ptaque

Copynghted ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

210

5.10 à 5.16

r6parlJOS: cenHoides III contres de grav10 Forces

Situez 1(>oenmiîd<> des sIIrfi-tC'es planes

iIlIJSlr'{oCS.

!I &)

!J

6<)

III n,

47 mm

fil n 1

Demi-ellipse 1 ..........----'1

60mm

1

~/7 /

/

90

r

iOrnm

\.... Figure PS.l0

r L

rU11l

lC

Figure P5.11

Figure P5.12

!I

y Somme!

r~

'1 Parabole

60 mm

li

,) = 4

III

T'

a = Sn) Figure P5.13

!I =kx3

6n Ullll

L I-r5nun~

20

r-

I 20

•

111111

\

1--

:}O III m

Figure P5.15

Figure PS.14

11H11

l

kllZ

x

30 Figure P5.16

5.17 Déterminez l'ordonnée du oentroïde de la surface onlbragée en fonction de r" r~ pt a.

Il

'1

n ," Figure P5.11 • P5.18

Figure P5.19

rend vers r2, ln position du centroïde tend vers celle du oentroïde d'un arc de cercle de rayon (rI + r2Jl2. 5.18

Prouvez

qllP

si

rI

5.19 Dét<·fIlÜnc.'Z l'ordonnée dt! ecntroïdc du trapèze ci-dessus Cu fonction de b r- b2 et Il. 5.20 sorte que

En

\"OI1S

Ii = 3,../4.

rapportant à la figure P5.10, déterminez Je rapport rz!r •. de

C P

1

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

214

Forces reoorues: ceonotoes

Une fois l'aire calculée ct après avoir évalué les intégrales 5.9. la résolution (les équations donne les coordonnées E et y du centrnïde df" l'aire.

01001111&5 cl" glrrv,l~

P{:....!I)

IJ

'1

('lt

!J)

rly

1

T l{rl ~

o

de

'1

11 1

l

1

•

-n

()

a

-

x,/=:t

:t,,=

dA=ydx

r

·1

:C

()

x,,-l 9,.

Il..,.:C

T

.r,1 =

-v, =!I

'i;Il =

dA = (0 -xldy

d.-\

(Il) Cerrtroido et airs des olémonts dltferenucls

l'lie!> /)

>1)1'

7f ~IIIIl

(cl

HI~éh1"ifl"e. on son eentroïdc en évaluant les intégrales 5." de la section 5.3:

Lorsqu'une courbe

détermin

:1

=!- r~dO

(CI)

Figure 5.128

l'

LI

ti. =

Hile forme déflnje par une ~'1"ation

J x (IL

yL ==

J y dl:

(5.4)

remplace l'élément de longueur {IL par l'UJ1C des expressions suivantes, choisie selon la variable indépendante, x. y ou 8. utilisée dans l'équation qui définit hl courbe (on clélive ces relations à l'aide du théorème de Pythagore): 00

dL - JI +

(J;)' dx (IL =

1+

dL -

(~~)' dy

\1 2 + (~~)2rlfl r

1\près avoir utilisé l'équation de lu courbe pour écrire "une (les coonlouuées en [onction de l'autre. on procède à l'intégration: finalement, la résolution des équations 5.4 donne les coordonnées et y du centroïde de la courbe.

x

5.7 THÉORÈMES DE PAPPUS·GUlDINUS Ces théorèmes concernant les surface et les volumes de révolutiou ont été formulés pour la première fo1.(ôau troisième siècle êlp. J.-C. p_tT If' gpomèh-e gTe<:Pappus, et énoncés de nouveau plusieurs siècles plus Lard plU le mathématicien suisse GuJdinus, ou Culdin (1.577-1643). Une ~lIrface (le r(J~)ll1ti(}n est 1l11f' surface f;'ngendrée- par la rotation d'une courbe plane autour d'un axe>flX('. Par exemple, on obtient la surface d'une sphère en faisant tourner l'arc semi-elrculalre i\BC de la figure 5.13 •

B

Spht·rt'

o

Cône

Figure 5.13

C P

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Dkillis('/.

5.141

cr une

coquille

par int{'&'l'alie'l1 dirN.'l(' la position

11IiJl(.'Vhémisphérique

dl'

unifonue

I_.('~({Il(-~

Si ,

« R (.'1 Il

= 250

l"

Problèmes

nl)'OIl /{.

Figure P5,141

5.142

du cc-ntroïde dl' la nloiti~

FIgure P5.142

la h~(, (l'un 1.0111 plnlt'h

0111 1111('

('pui~'\'lIr ttllifonllt"

"

111111. ~ilUl~LIL' ('(·"ln.' dl' grnvité:

Il'

du bol;

b]

du punch.

ro"r

5.143 Un entrr-pn-neur f'l! construction place quatre> pieux déltrnlter les foudatious cl 'II Il l' IIllIi-;OIl, Pour solidlflcr et mettre à niveau Il' sul. il a déposé une épaisseur vnrinble dt>$.,'l'n\;C'rd'lin minimum de 60 mm pt d'lin Inl\.\;11111111 clf' 160111111 sur toute la surface. Déterminez 1(,volume de gravit'r néeessain- ('1 la eoonlonnéc. de son centrorde.

(SIII!J!.t·'111oll:

décrit par l'équnüon 'J -

(1

SUPPOS('Z

(jllf'

1" IÇr:lVÎC'rrt'poSf'

sur 1111plnu ohliqm-

+ bx + c:..)

y

'1

IlI.,1l

III

Figure P5.143

Figure PS.l44

5.144

Loculisez pur inl{>~rlllioll directe le ocntroldc du volume compris entre le plan x:: el la partie illustrée de la surface déflnie p:tr 1'(~(ll1UUOll 2 Ij - 16II(nx - x )(/I:' - :.2)la2Iil• Localisez lc ccntroïde de la section illustrée. coupée circulaire mince par deux plans obliques, 5.145

à

partir d'un tuyau 'J

Ij

!

3.11 "

Ftgure P5.145

.5.146 clljpti(1'

1('

Localisez Il' eentroïde

paJ' un plan ohlkJlIP

tilt

volume illnstré. coupé à partir d'un (.·ylitldrt,

Figure PS.146

247

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

')0

1000 ;-.J/ui

III ,-\ 12(MJ \l

III

Il 1

rn

Figure P5.154

La poutre ,\8 supporte deux charges concentrées. Le sol appltqne sur

La poutre une charge Déterminez :

verticale

répartie

«)

lu Ùi:s-tUllll('

l,)

la valeur correspondante

5,155

B

,

l,h

Figure P5.153

5.154

t

k\ 0.3 Il

Situez lu

(1

linéairement

el orientée

~'C"S If'

haut.

= 20 kN/I1I; cie IV n,

polir lacl"l'llt'

1('

du centre de gra\'ité Je l'élément

coort!UIIII('C' ;:

de

IIlacllilll'

il1u$tr(l. '1

40 .j(l ,t.'

,l',

2(1

'1

.~

...:c

hH

1 )illlf' n~i()II~

.1~

t'II 111111

...

150111111

15

~

25"

4U FIgura PS.1 S5

5.156

IIIIU

111111

..

x

Figure P5.156

Sunez If' centre de grl1\'it~ de la piè't'C' en lôk· iI1I1StT~("

5.157

Lot'alistrL Il' centroïde du volume obtenu ombragée autour dl." l'axe des x.

pdT

lu rotation de lu Sl1rf'al'(.·

y

(1

1, f----/I---

Figure P5.158

FIgure P5.157

5.156 La porte" <''U1Tér'AB à bascule est soutenue par des charnières le loug du côté supérieur l\ ct par \111(' cheville (le cisalllcrucnt 0111 point B. i la hauteur dl' l'eau retenue à gauche est 1/ = 3.5 m. calculez la force de retenue exercée sur la porte par lu cheville. l..è"llIlIlllt'IlH·:'\ "tlIH'

l ,d'II),lllIll'

'111\:1111' '11111 ('tIlIl,lIS pll"!I.llIllll

jlollr

l'In '1III(tl(lIlH'~"

:11',11<11 d,·llIrclill,tll'llf

4111

.1111'

5.C1 UUe' poutre doit '_;tJ'l' capable' cie supporter des char~,·s rt.1partie's uniformes ct des f'hargC's réparties (lui \"anC'ot lin~ai"l·nl('nl. 1('1 qu'illustré :1 la Agun! P5.Cla, En vous inspirnnt du problème résolu PI{-.5J). dé(''UlILPOSt L la slIrfllt't' V

c

p

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

6 l Introduct;on

6,1 INTRODUCTION Dans les chapitres précédents, nous avons étudié l'équlllbre de corps rigides simples, soumis à des forces externes seulement. ~OIlS allons maintenant examiner (les structures comprenant plusieurs éléments. qui subissent à la fois des forces externes agissant sur l'ensemble, et des forces internes, c'està-dire des forces que les divers éléments exercent les uns sur les autres et qui assurent la eohé ion de la structure. Prenons par exemple la potence illustrée à la figure 6.10, qui supporte une charge \v. Elle est constituée de trois éléments. ou membres. AD. CF f't BE. assemhlés à l'aide (le chevilles 011 de rivets san frorternent. La structure e l flxée à un pivot (\11 point A et maintenue en place au moyen du câble DG. Le urchacune de se parties constituantes. les forces qui s'exercent entre les trois membres devront figurer sur les diagrammes car elles agissent extérieurement n chaque partie isolée (ligure 6,le). D

0 E

1·

- -

T F

E

C

8'

8

F

10'

cf?

C

w

B

\\'

\l'

.\, .\

~ ~

A

(ul

tA.,

,\ 1\

(1,)

Figure 6.1

II PS t à note r q IIf' la furc:p exercée t> Il B par la poutre BE su r )' élé Il. (en t AD est ég:lJ~ ct opposée à la foree produite au même point par AD sur BE. De mème. la force exercée en E par BE sur CF est égale et opposée à la force développée par CF sur BE. Finalement, les composantes de la force exercée cn C par CF sur AD ont égales ct opposées aux composantes produites par AD sur CF. Ces considérations expriment la troisième loi de Ne vvton, qui stipule 'Ille les [orees tl'nctlon et (le réaction entre (lé.'>(;017)$ qui se touchent sont cie même (!,ralldetll~de sens opposé, el ont la même liglle d'acuon. Cette loi empirique fait partie des six principes fondamentaux de la mécanique énoncés àU chapitre t et il t'lit essentiel d'y référer I>OlIrrésoudre les problèmes traitant des corps liés. Dans ce chapitre. nous anal) eron lrois grandes catégories de structures:

us 1retltts, egalement

appelés [enlies ou puull1:S f ritJ'l(!,ulé~, conçus polir soutenir des charges. ont habituellement stationnaires ct complètement liés. Ils sont constitués exclusivement de poutres droites jointes par leurs extrémités. En conséquence.Ia structure se colllpose uniquement de membres bi/oree. • c'est-à-dire soumis n deux forces égales et opposées orientées selon l'axe {J~l'élément considéré. 2. Les charpentes, égaJenlcnt conçues pOIlI supporter des charges. sont elles aussi habituellement stationnaires et complètement liées. Cepeudant. tout comme la potence de lu figure 6.1. les charpentes 1.

E

A.t (c)

257

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

réaction'

aux appuis. La t"Onfigun\tioll des membres et des nœuds «('1111 treillis simple est tellf' AD tire sur If' nœud A (Il' sorte qu'il est en tension. DUll!mJlllnC

du corps libre

roly~on(.'des

rOR.'{'S

Xœud .\

l'

l'

Xœud C

F~ll

Figure 6.8

6.4 Ar.AI)'se à un lreluls par la mélhode

ees nœuds

261

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

!?AJO(} N

PROBLÈME RÉSOLU PR-6.l

1000 N

l-l2In--I--.112

'll-(

En utilisant la méthode des nœuds, déterminez la force interne dans les éléments du treillis illustré.

6 UI

6 nI

SOLUTION Diu~rarnme du Ci)rr~ libre de l'ensemble du treillis, On trace d'abord tl! Del de l'ensemble du treillis i les forces externes qui agisSt!nt SUT Ia structure sont les deux charges et les réactions Bl,IX points d'appui Cet E. Il en résulte les équations d'équilibre suivantes:

+~~Alc= 0:

(2000 N)(24

Ill)

+ (JOOON)(12

ln) - &(6

E = +10000 N

=0 E ~ 10000 Ni

Ill)

Cl' = 0

+i~F~= 0:

12f1OO N

3 'FAt)

N

+ 10000

N

+ c, = 0 Cy

;; iOOON~

(lu nœud Iihre ..\., Ce nœud est soumis à deux forces inconnues appliquées par les membres 1\8 et AD, On trace un triangle des forces pour Diagramme

I~---F.\8


-2.000 ~ -1000 Cy = -7000 N

2!)OI) N

calculer F AB et F AD' 00 observe que la barre AB tire sur le nœud , cette barre est donc SOlL~ tension (elle st en traction). D'autre part. la barre ,ill pousse sur le nœud et se trouve ainsi en compression. Les gnlndellrs do ces deux forces sont obtenues par la relation suivante: 2000 N

--"" 435

FAS

"'"

FIIl) __;;,;;;;;...

I,()I):-" [

~

f' J"ll =- 2.500 \ ('

~

[0' 1/1 ;;:

Uia~r:lnllnl' elu no-ud libre D. Puisque la force appliquée par l'élément AD est connue. il ne reste que deux inconnues dans le diagramme du nœud libre (DNL) D. Encore une (oiS, on trace un triangle dos forces pOlir (."Ult."ulcrIl'~ effurts aux barres ou éléments structurels DB et DE,

FDB

= FDI\ F De = 2{i}F DA

2,')UII:\ T l~/I1 = 3U(l0 :'\ (: "/lU

-

~ ~

265

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

6.9 POlir chaque élément dl" la lel'Tlle cie toiture Howe tllustrée, évaluez la force interne et indiquez .s'! l'élément est Cil tcnslon ou Cil compression.

Problèmes

269

6ltN

61eN

6kN

6kN

6kN

D

2.3.'3 m

1

3 kN

3 kN 5 III

B

1)

1

F

F

1 5 III A

0

~8

0

0

6uI

l

[1

o

CI

1n118 InJ- ~ln~\·

III

o

S

Figure P6.9

C

E

fis Il,--t-S

_j_

o ll~

m-+4--& 1111-+11-8 Il>--l

Figure P6.10

6.10 Pour chaque élément de la ferme Garnbre] illustrée. calculez la Iorec interne et précisez si l'élément est en tension 011 en compression. 6.11 Pour chaque élément de la renne Fink illustrée. évaluez ln force interne et indiquez si l'élément est en tension ou en compression.

2.25

2.2..5 ni

III

:3 kN

3kN

3kN

Do

i.s ~N

J

-

C

FIgure P6.11

t;;i

kN

=2

1,5 III

ln

ix "' ~k."\ 2k:-;

E

1 fil

C

F

U

B

J

3nl

ln

2kN

III

1

0

1)

1--3

1.5 k:-;

F

J~ A

1.5 ni 1.5111 1.5111 1.5 III J ,5

1-,

A

-3111

0

0

(;

G

1 liN

--r2

III

Li

Fi9ure P6.12

6.12 POLIrchaque élément ou tr:f'illis lllusrré, évaluez lu force interne et précisez si 1'l'lc"lîlC'nl ost en tension OH {'il compression. 6.13

Pour chaque élément du treillis illustré. évaluez

la force interne et spé-

cillez si l'clément est en tcn ion ou en eomprcssion. 6 LU -+--- 6 III--t--

6 n1-1

4 III

3 n1

·l III

1210tN 1 •--r.")

2.4k~

lF

1,5 kN

2kN

D 7'.6

Flgure P6,13

k~

D

0,75 kN

fil

J

o 9 ITI---I·

F

1

Il

1-

L:r\

:! kN

o:"""'-r

2.4 kN

3 Hl

oC

li 0-

C

1'1"

o

e

(.;,'1.

..... _-!l

rn ~

~

6 111--+-0- 6 111---1-<- 6 !l1-

Fi9ure P6.14

Pour chaque élément du treiJlis à pt'ntf' double illllst~, détermlnez la force intente et indlquez si l'élément est co tension ou t'1) compression. 6.14

Copynght d ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Probèmelt

Ij

273

1 lU m

-

•

Figure P6.37

·6.37 Un tl"('illi~est constltué de sb: éléments. LIest supporté par 1I11t· barre articulée en J\. par dl'lI>: hurn:~.lrti('lIll'I·S ('11 8 l'I p:lr 1111" rultllt' ail point D. Le' treillis étant soumis Il lu chargt' Illustrée. déterminez la fort,(' dau!I Ch:lqIU: 1I1t'lnhr('

cie l'armature. Un Irt'illis est constüué de neuf éléments, Il pst supporté par une rotule au point A. par deux barres artl(,\ll(o{'l> Cil B ct par une harre nr1i('III(o(' HII point C. -6.38

I,A' trelllis étant soumis

Ù

la charge illustrée,

déterminez

la force Ù.IlI~chaque

membre de l'armaturr-, y p

., III

'llil

(l,fi

x Figure P6.38

Figure P6.39

Un treillis est constitué de' neuf éléments. 11e t supporté par 1111(' rotule ail point B. par c!C"IIX narres articulées en D et par une barre articulée au polut C. (1) \'(-riO,,/. ~i1(, tretllis est de t)1'f' simple. s'il est isostatique et si les réactions aux appuis sont complète . ,) 'acltallt (Iu<' P = (-1200 !'\)j el Q = 0, déterminez la force dans chaque *6.39

'1

9f)()

membre dt' l'armature. (11lXl '\ 1 i

·6.40 ·6.41 au point

ollliionnt'I'.

r\,

aJ déterminé) h]

It" problème 6.39. sachant que P

= 0 et

Q = (-900

x 1k

/'

N1k

Un treillis ('st constitué de lb éléments. II est supporté par 1I11(' rotulepar deux barres articulées en B et P.'lf une h.ITTl· urticnlée ail point C. Vénûez si 1(' trcilhs est de I)pt' simple, s'il est isostatlque (~tatJ(llI(\IIlI'1I1 et si les réactions à Sf'S appuis sont statiquemeut ùét(.'nllill(·(:~. POlir ln situation indiquée. déterrmnez la force dans chacun des .si'(

éléments joints

:111

nœud

(1)0"'11

E, l

·6.42 Un tretllts est constitué de l ' éléments, II c rt supporté par tint' rotnlc ail point .1'\, par deux barres articulées <.'11 LJ ·t par une hurre tlrti('ul('t~ "" point C. fi) VtSlinpz si 1(' treillis est de I)rpe simple. s'il est Isostatique (statiq,lIt'IlH'1I1 d('tt'rnliot') ('t si 1(':0;réacttons à 51'S points d'appui sont complètes, /,)

Pour la situutlon

éléments joints

titi 11(1'l1d (;

illustrée,

rt~ll'rlnille7.la fol'C(' dans chacun

des six Figure P6.41 - P6.42

Cap

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

2li kN

28k~

PROBLÈME RÉSOLU PR·6.2 1 kN Détorrntnez la [oro- dall~ 1('$~l(>ln('nts EF cl CI de la structure

m

8111

28kN

8 III

111

SOLUTION

28kN

~1 -=~=C::::;;E tf'"

illustrée.

,.;;..G::::;;:::;;;!~' =i~K~l -

fl~kN

Diagrfllnlllt'

du oorp" lihre (lu trt'iUi",. On trace le diagramme du corps

libre dl:'l'ensemble cie la srmcrure : les forces externes agissant sur elle sont les deux

10 l'TI

<"harg('sappllquées aux points Cet G, la force de tension au nœud K et tes réactions d'appui aux points B et J. Les équation s d'équilibre sont

B

D

.B. lJy

S,n

P

8 "'

Il

8 IJI

:;,III

8 IT'

+1~,\fB= (): -(28 kN)(8 ln) - (28 kl''oi)(24m) - (16 kN)(lO m)

+ J(32

J=+33kN 28kN

B, fi

+ l6 kN

ru) = 0

J=33kNj

=0

8" "" -16 kN

'"

A~~~C='~E~=/~G~'I~'==~K __ 16~k~ +,!~IJ 0: !:::

2.'3 kN

(28 kN)(24 m)

F

DI

lôkN

"

+ (28 kN)(8

33kN 2SkN

ln) - (16 kN)(lO m) - By(32 rn) = 0 +23 kN Dy "'""2.'3 kN

e, ""

l

Foree dan .. 1·~léllll.'l1t EF. On fait passer la section Ill. à travers le treillis afln de couper la barn" EF et au plus cieux autres éléments de la structura. En retil1\ot les barres sectionnées (EC, 'EF et DF), on considère la partie de gauche du treillis initial comme corps libre. On observe sur le DeL qu'il )' a trois inconnues. Pour éliminer les deux forces horizontales. on écrit

+jlFy

= 0:

161 \

+23 k~ - 281:cN - F B/~ = 0 FE.F == -5 kN

Le sens de F E.F a été choisi en supposant que le membre EF était en tension; le signe

2.1kN

négatir obtenu indique que EF est en compression, F'el

1

Jou = .5 kN C

K

~~=::;9--'

1. l~~ .....

10 III

IGk~

FUI /

I ...... oO

Ifl

~

FU}

I-f> 1.'

de I'élément (;/. On trace la section mnl à travers le treillis afin de couper la harre CI ct deux antres éléments de la structure. En retirant les barres sectiounées {Cl. Ill et 1IJ). 011 considère la portion de droite du treillis comme L'OrpS libre. On identifie trois ineonnues ; pour éliminer les deux forces Force interne

pnssant par 1(" nrr-ud H. on écrit

+i~AJII

=

0:

(3.3 kN)(8In)

- (16 kN){lO m)

+ Fc/(lO ln)

Fc/=-lO,4kN

=0

J'(;r=IO.-ik

C

~

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

4.

Une ferme de toiture Mansart est soumise aIL" chilr~esillustrées. Calculez

l'effort dans les memhres Dr',

oc et

EG.

6 14

Une Ierme de toiture Mansart est soumise l'effort dons les barr 'S cr, 111 c:t Hl.

aIL\:

charges illustrées. Calculez

f

]

,{

D

H

.3 IIi

L

o

treillis de pont Warren t'sI soumis aux charges illustrées, Calculez l'effort duns Il'S membres C";. DE c't Dl', l'Un

1------4 "'11 ,1 III·

2.25 fj,2,ij III

nlJ~

IrI-f-,'

2.25 m

IIi

Figure P6.43 • P6.44

, K

12,5

III . t 2..5111

fil) ~ '\

l2.:'5 m 12,:') m 12,5 m

ti(1

k:\

Figure P6.45 • P6.46

f a

Un treillis de pont \V'arren pst soumis aLIX charges illustrées. Calculez

J'cfTort clans k-s barres EC, FC et FR.

r:: ~'

L: 1(('lllIs d'ulle' pa.<;St' relie est soumis ln force dans les barres CF. EF ct EG.

3lL'C

charges illustrées. Déterminez :l k:\ 11..'\ 1 k:\ 3 ~I\ :l k:-' 21.N 1 kN Ù.8 rn O,oS III O.Sm 0.& rn 0.8 ru a.S.ll

5. q" Lé treillis d'une passerelle est soumis aux charges illusrrées. Déterminez la force>dans les éléments FI, III et [11,

1

fi

D,

t;

o

{, 44

minez

la

Une> femle à écharpes Howe est soumise aux charges force dans les (51~rnf'nts DF, DG et EC.

!

Illustrées. Déter-

Il'

C

l:

o

F

]

L 1

0

o {

Figure P6.47 • P6.48

1 il k:-' 1 Il 1,:,\

I.n k:\ jl.h

k'\

~ 0

,

C

8111

F

..

.. E

Bo "\a

~ Dv

1 (; k:-'

0

0

G

fi ln

- .. 1

L

.1.5

III

K ~

Snl

Bnt

SIn

8111

Sin

Figure P6.49 - P6..50

Une Ierme HOINe est soumise uux cllargt·s illustrées . .I)~I('nl1int'7..la force dans los ~~Iélll('nts CI, IiI et IIJ.}(j

Une ferme de toit supporte des charges, tel qu'Illustré. Calculoz I'cfforr 1(:5 membres CE, DE el DF.

6 c

dans

5;:;; Une ferme tic toit supporte des charges, tel qu'illustré. calculez l'effort dans les membres EG, Cff ct H].

Figure P6.51 • P6.52

281

Copynghted matenal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Les poutres et les câbles

On a construit des ponts suspendus pour enjamber des lIeuves el des estuaires; leur lBbIier est soutenu par des cAbles. le Vemuano-Narrows. qui relie Staten IsIa!1del Brooklyn. à New Yor1l. esl le pont ayanl la plus longue portée aux Etats-Unis.

C

p

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

328

En vous référant 3U,'( données du problème 7.19. détemnnez la gr.lndeur et l'emplacement du moment fléchtssanr maximal dans l'élément Be.

L@!;poutres (lI les câbles

7.20

7.21 Une force P est appliquée sur une tige pliée en fonne cie coude. soutenue pat un rouleau ct lin pivot. DtltCl'll1Înft7, les forces int mes àl! point] pour chacune des configuratioos

illustrées.

p

p

r

r-

/J

B

r a

ara

n

ta

c

r'

c

(J

f-

+-, (1

a

1.

r' (lo )

(0)

C

+1\

..l-

p

(e)

Figure P7.21

7.22

Une force P est appliquée sur uue tige pliée en forme de coude,

soutenue par UI'l rouleau et un pivot. Déterminez chacune des configurations illustrées,

J

pour

p 11--11-

p

B

les forces internes au point

B

B

r

c

r

(a)

(hl

A

(c)

Figure P7.23 - P7 .24

F1gure P7.22

7.23 En considérant le Inontage de la figure P7.23 - P1.24. calculez le moment fléchissant au point], sachant que f) = 600• La tige semi-eirculaire a un poids \V ct une section uniforme, 7.24 En considérant le montage de la figure P7.23 - P7.24. calculez le moment fléchissant au point J. sachant que () = 1500• La tige semi-circulaire a un poids \'" ct une section uniforme. Figure P7..25

7.25

En considérant le montage de la Hgure P7.25. calculez le moment

fléchissant
(J = 3(}0.

La tigt' forme un quart de cercle.

Il

un

7.26 .En COI1$id';nln·l· J(. IJloutage de la figure P7.26, calculez le moment fléchissant au point J, sachant que (J = 300• La tig!' forme 'ln quart de cercle, a lin poids \V et une section uniforme. 7.27 En considérant la tigt' du problème ;.26. calculez la gr.mdeur et l'emplacernent du moment n~chjssullt maximal. 7.28 Flgure P7.26

la tigt' du problème 7.2,5, calculez ta valeur et l'ernplaIlëchlssaet ruœdmal,

En considérant

cernent du moment

Copynghted ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

332

A

Les pouues et 1...., C
1

'7.5 DIAGRAMMES DE t:EFFORT TRANCHANT ET OU MOMENT flÉCHISSANT

&S

-

P

t: 2-

1.

-1

2

o (0)

p

c '.

i\

~.

i

l' R~:. 1

1

•

A

E

D

tloL'

H

l' '

R",,-~

-

(bl

ir----j \''')''l' r

C

1)

R

~r \..

l' R~ ~

r

à

-

(c) \.

(el 1 V

P '>

:::0

L

_-

-L2

f'

( ...) .If

PL 4

---------

-2 (fl Figure 7.10

Maintenant que nous avons clairement défini la graIldeur et-le sens de l'effort tranchant et du moment Iléchissant, on peut facilement présenter les résultats obtenus SUT toute la longueur de la poutre en mettant en graphique ces valeurs en fonction (Je la distance x mesurée à partir (le l'une des extrémités de la poutre. On appellera diagramme (le ['effo,-t tronc/tant et diagramme d'fi moment fléchissant les graphlclues ainsi élaborés. Considérons, par exemple, une poutre simplement appuyée AB, de portée L, SOUTIÙseà une seule charge concentrée P appliquée au point milieu D (figure ï.l Û(l). On détermine les réactions aux appuis en analysant le diagramme du corps libre de la poutre complète (figure 7.10b) ct l'on trouve que ln grandeur de chaque réaction est égale à P/2. On sectionne ensuite la poutre au point C, entre A et D. et l'on trace les diagralt)lnes ffort tranchant est constant, \1 = P/2, et le moment Iléchissant augmente linéairement de At == 0 pour x == O. à 1\1 = PU4 pow· x = UZ. Coupons maintenant la poutre au point E, entre D et B. et considérons le corps libre EH (figure 7.10d): la somme des composantes et la somme des moments par rapport à E des forces appliquées sur le corps libre sonl égales ù zéro. Il en découle (lue " P/2 et lI'f = P( L - x)/2. Leffi)rt tranchant est négatif alors que Je moment fléchissant est positif: on peut le vérifier en observant que la ré..action en 8 plie 1,,1 poutre en Etel qu'illustré à la hhl'ure 7.9(' et qu'elle t~J\J il la cisailler dans le sens contraire à celui qui est montré à la figure 7.9b. On est maintenant en mesure de compléter les diagrammes des figures 7.1Oe et .f; l'effort tranchant est constant entre D et B. soit \' = -P/2, alors qllt> If' mome-nt fléchissant suit une décroissance Linéaire, évoluant de 1'1 = PU-! à x = U2 vers AI = 0 à x = L. Lorsqu'une poutre est sournlse uniquement à des charges concentrées, J'effort tranchant est constant entre les charges alors que le moment Iléchissant varie linéairement sur le 111ênlC segment. Par contre. lorsqu'une pout.re soutient des charges réparties, l'effort tranchant et le moment fléchissant se comportent très différemment (PR-7.3).

2

x

-

Copynghted ma rial

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

7.63 Résolvez le problème ï.29 section 7.6.

l'II

utilisant la méthode

présentée

à la

(~J)

utilisant III méthode présentée

tl 13

7.64 Résolvez I~ problème section 7.6,

7.30

7.65 Résolvez If' problème section 7,6,

7.31 en utilisant la méthode

7.66

présentée

à la

Résolvez If' problème 7.32 en utilisant la. méthode présentée

à la

section ;,6, utilisant la méthode

présentée

à la

7.::>4 en utilisant la méthode

présentée

à la

7.67 Résolvez le problème 7.3.3 section 7,6, 12 kN/ln

c

At--,--_-.----.------"

ln

Eu considérant la poutre et la t'harge' illu:.tr(-('S li la figuI"C Pi.69, a} tracez le' tliagraJlllues dt· l'errurt tranchant ct du moment lléchissant. J)) déterminez la valeur absolue maximale dt, l'(;'1fo rt tranchant t.'t celle du moment Iléchlssant, 7.69

1----1---1---'1--- l ,S rn

0.6 m in Figure P7.69

Résolvez le problème

section 7,6,

E

D

7.68

l'II

---l

7 70

1)

(1 J

En considérant la poutre et la chargE' illustrées à la figure Pï,ïO, tracez les diagramlnes de l'effort tranchant et du moment Iléchissnnt : détermtnez la valeur ubsolue masimale de l'effort tranchant et celle dn

b) moment fléchissant

c ~

0.4

UI

-'011-0---

Figure P7.70

0.8

III ---j

7.71 Hc:soh'cz le problème ; ...(1 section 7,6,

('II

lItjlis~lllt hl méthode présentée

à la

7. 72 Résolvez le problème section 1,6.

7.-[2

t'II

utilisant la méthode

présentée

ù la

7.73 Hésolvez le problème section i,6.

1.39 Cil lItilisant la méthode présentée

à la

7.74 R{osolv('z If.' prohlèlllC' section j,6.

ï.-lO

/\

7.75 fi

J

1))

t'II

Iltili~Jult la III(othodc· pr(> (·t\té(·

It,

En considérant Lapoutre et la charge illustrées à la Agllre P1.75, tracez les diagrall'llllf'S ri...l'effort 1ranchant f't du moment Iléchlssant , détcnninez la valeur absolue maxlmale de "effort tranchant et celle du

moment Iléchissant.

(.'

/)

A

B

1..-51111511115111-1 348

Figure P7.7S

Copynghted ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Les relations ;.5 indiquent que la composante horizontale de Iii tension T

7.9 CAble l1ari\t:.'lIi~lJfIl

353

est la même PH tout point du câble et c1ue la (_'Olnposallte verticale Je T e-st égale à la grandeur ,v de la charge mesurée à partir du point le plus bas. Les équations 7,6 montrent que la tension 1'est minimale au point le plus bas et maximale à l'une des attaches.

"7.9 CÂBLE PARABOUQUE Supposons

maintenant

que le câble r\B soit soumis à une charge tl1lifor-

,.né,ru'lIt ré})(lrtie selou "axe horiZOl/t,,1 (figure 7.lôa). On peut supposer (l'le les câbles (les ponts suspendus sont sollicités (le cette manière étant donné qlle le poids des câbles est faible relativement au poids du tablier, La charge par unité de longueur LV, mesurëa ho ri;:'()111 ale.IU:'I 1, s'exprime en Nzm. On place l'origine du système de coordonnées ail point le plus bas C; la

c /(

grandeur \V de la charge totale portée par le segment compris entre C et le point D, (le coordonnées x et 1), devient alors \\' = 10X. Les relations 7.6. qui donne la grandeur ct l'orientation de la ten ion en D. deviennent alors IV.\'

tan (J=-

IV (a)

(7.7)

t;

De plus. la distance entre D el la ligne (l'action (le la résultante ~f est égale à la moitit: de la distance horizontale entre Cet D (fi~ure 7.16b). En additionnant les moments par rapport à D, on trouve x +~IAIn = {): ,.... x- - 'foU = 0 2 On isole !I pOUf obtenir

.,

C

T.~

/(

x

-

~~

1)

\\' = .. \

(b) Figure 7.16

w.r 1) == 2T o

(7.8)

IJ L

Il s'agit de l'équation d'une parabole d'axe vertic ..ù dont le creux coïncide avec l'origine du système de coordonnées, Un câble dont la charge est répartie uniformérnent selon l'horizontale aura donc une forme parabolique''. Si les points d'attache A ct B sont à la même hautcur. la distance L entre ces points correspond à la portée du câble, et la distance verticale Il (lui les sépare du point le plus bas s'appelle la jlèch(1 (figur(> 7.] l(l). Si l'on connaît la portée cl la Dèche d'un câble, ct si la charge LV l')tlt unité de longueur horizontale est donnée, on. trouve IH tension minimale T« en substituant x = L/2 et y = 11 clans l'équation 7.8. Les relations 7. ï donnent alors la tension et la pente en tout point (lu câble. et l'équation 7.8 tlénnit la forme

(a)

y

du câble. Lorsque les attaches sont à des nrvcaux différents, ln position du point le plus IJtlS du câble reste inconnue (C) et il lillit détermiuer les coordonnées XA, YA. ct X/1, YII des points d'attache. POUl' cc' faire. on pose que les coordonnées de A et H satisfont il. l'équation 7.8 et (fut! X(J - X,.\ = L pt 1)" - '1.'\ = d, ail L et d correspondent respectivement ft la distance horizontale et à la distance verticale entre les attaches (figures ",l7b cl c). L'équation suivante donne la longueur du câble entre son point le plus bas C et SOli extrémité B : 1 + ((II) - )"- dx (Ix

x

C

-t--

YB

cl

_l-

Y.~

e

-

\,\

tB

1:

ail y

(7.9)

'lB

Y... 3. Un cÎlùlt.'tl'lldll sous sou propre 1)C'ltis lit' de slue

l'''lI IIrl('

IX,nîoolf>

(,If

la clHIl~e Il'('SI pas

e

rép;lrtip

selon la clirc>ctionhorizontale. Cependant. si le câble est lissez tendu. l'erreur ('ngI'11~ en supposant une fonnc parabolique est fiuble. La prochaine: section présente UIlO analyse détaillée: de Ct: problème IIllifonnérllf'nt

•

(c) Figure 7.17

Copynghted ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

7 120 a 7 123

En vous appuyunt sur la relation établie au problèuie 7.119. solutionof'7. les problèmes indiqués en commençant par résoudre 1(>problème cff' poutre correspondant.

7.120

Problème 7.9-Jn.

1.121

Problême 7.97c.

7.1 2"

Problème 7.991J.

7. Î 2... Problème ï.10OJ,. 7.124 f)(-,nCllllrc'l. qlu' la courbe fOTllléc par un c.îblc supportant une charge répartie lV(X) obéit à l'équation dlITérelllit>llc (r2y/c[xl! =: u.;(x)/l·o, où To est la tension au point If' plus bas du câble. 7 121:' En uûlisalllin relation (.ttlhlit· au problëme 7,J 24 ... J('tcr"litl~~z la courbe formée [lUT un câble de portée L el de Ilèclie Il, supportant ,une charg' répartie Il' ;;;: tVu CCRoit"

'7 126

Si le poids linéaire d'un c-âble 1\8 est

ln courbe formée par le câble est lin arc obtr-nue (\11 problème ï.124.)

('

FIgure P7.126

= l&tl/<:OS2 O. démontrez (lue dt" cercle. (SII!!J!f'sllotl: uniisez la relalion tL'

*7.10 CHAINETTES Considérons maintenant un câble AB soumis à une charge répartie unifor. menu-ut le IOIlI!. du câlJI:t:(ft~ure 7.1&). Les câbles tendus sous leur prt)pre poids correspondent à cc cas. La charge par unité de longueur, notée tV et mesurée le long dll cable. s'exprime en N/m. La grandeur \\' de la charge totale portée par un SE.'glllt"lIt du câble de louguellr.'i, qui s'étend du point le plus bas C il LLO point quelconque D. devient alors ,v = t1..'8. On trouve la tension au point D en substituant cette valeur nt' \V clans l'équation 7.6:

r

'J

_,

C

\\

l'

0

- ft·'

r,

\\'-11\ X

((1 )

{t'l

Figure 7.18

Afln de ·inlpliOer les calculs subséquents, on introduit la constante c = 1'ul(l.;. On peut alors écrire Tt) := tcc

\\f

= teS

(7.11)

I...l. fibturf' 7.1 Rb montre le diagranln1e du corps du câble. On ne peul cependant l'utiliser pOlir obtenir de la courbe des -inéf" par le c...âble puisqu'on ignore séparant D cl . la ligne J'action Je lu résultnnte \V de

libre de ln portion CD directement l'équation

la distance horizontale la clat~e, Pour obtenir cette équation, 011 considère d'abord la projection horizontale dx d.'UD petit élément du câble cie longueur ds, soit dl' = ds L'US o. La figuT't!7.18(.' montre (lue cos 1) = Torr; l'équation 7.ll permet d'écrire (Ix = ds cos

'[0

(J

=-

'('

(I.~=

lt;C

ds

UlVe? + S2

d.."

= -....,...--~~ vi + S2/C2

Copynghted matenal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

368

les po!..o1JBSet les câbles

7.134

Un

ni de

90

III

('st suspendu entre deux potnts liÎlué." ail

et séparés par une distance dt>60 Ill. La tension Il,a:drnale calculez : a) la Ili'eh(· dll 111; b) la niasse totale du III

7.135

Êvaluez la flèche d'une chaîne de 30

III

<1'\05

In(3111C

niveau

le fil étant de 300 N.

de longueur attachée à
points de même niveau et distants de 20 m.

7.136 Calculez:

Une cord dl' 10 III est attachée à

Cl) b)

ÙL'UX

supports ..\ et B. tel qu'illustré.

la portée de la corde pour laquelle la portée- est égale à la flèche; l'angle OB correspondant.

7.137 Un câble de masse linéaire 3 kg/n.. est suspendu ft deux points de même niveau séparés de -lS ln. Déterminez la flèche minhuale permise si la tension maximale dans If' câble doit €>tl'f' inférieure à 1800 N.

F1gure P7.136

7.138 Une corde de 50 ni axée:au point A pusse autour d'une poulie en B. En négligeant le frottement, calculez la plus petite des deux valeurs de " de faÇ()n qUf' la

corde soit en état d'équilibre,

sachant que L ... 20

Ill.

Fïgure P7.138 7.139 Un utilise un moteur !Il pour enrouler doucement un câble. tel qu'illustré. Sachant que la masse linéaire du câble est de 0,4 kg/In, évrullf'z la tension maximale dans le câble lorsque ft = 5 m.

~--IOIlI---t

011 utilise un moteur Al pour enrouler doucement un câble, tel qu'illustré, Sachant que la masse linéaire du câble est de 0.4 kg/nl, évaluez la tension maximale clans le câble lorsque. Tt = 3 ln. 7.140

,

Figure P7.139 - P7.140

A gêluclll' du poiut 8, le câble AnDE repose sur une surface rugueuse.

7.141

I.tl 1I1;'1$~f>linp:lln' du câble ptaot dl' 2 kg/ol. estimez la grandeur de la force F lorsque

a

= 3,6

m.

1---0---1

Figure P7.141 - P7.142 7.142 À gauche du point B. II! câble ABDE repose sur une surface nlgueIL'ie. Ut rnass e linéaire du câble étant Je 2 kg/ln. déterminez la grandeur de la force F

lorsque

li

= 6

111.

7.143 U Il câble unifonue UC ruasse llnéalre 0.306 kg/rn est tenu dans la position illustrée à l'aide d'une force P appliquée ail point B, Si P = 180 N cl 8....== 60°,

déterminez : A

a) J,) b

_____

t----a---i.! Figure P7.143 - P7.144

8....:1_' ....

la position du point B: la longueur du câble.

1

7.144 Un càhl(· IInilonl1c (I(~masse linéaire 0.306 kg/m est tenu dans la posilion illustrée à 1';1ldt· d'tille force P appliquée au point B. Si P = 150 N et 8,\ = 60°,

dc,;tc·nui1Î('z. a)

b)

la position du point B; la longueur du câble.

Copynghted ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

A.\e

l.ll'ltPUr 1)t~~I~U,ttlIJl' c'

1 en

x

X

II..,;liI~

-l,

'"ln-

Hnu

.UUI

H,n lnlll~

,

14 .jU~J

~

10~ll(l

46:l I! J

W1fl!) x '17

.210

1.")'1

._ ,-"

W2HII:< 16.1

5~~J(J

211:1

:2l~1

J().ll,M1

'-').

1!'i2

S'JIll X 47,3 S2!';}(t X :1', S

fin3::!

305

., 1"-

.j'1116

.2.'1.•

Ils

SI50)( 1~,6

2.162-

152

s.t

C311) x :14.1,1)' C9,'lOx 22 ~

,j!t'29 ~l!~)ï

3tl5

i'_OY'_ ,

fi')

C201l X 17.J C l,50 x 1:2.2

.:!1"'1 1~~"

2().1

aï

15:1

~"l

WtlOX

1

Huuteur

11:1'

W,I6!')

Profilés

\il"

X

Axr )'.)'

X·,'\

k.

y

.,IlIl

UJJl1

-1'1 H~UIIII4

-k!f 111111

2M1

').;'1

196..1

63,3

66,3

IlS!

,JI6

1,0,';'

1':-.9-1

o4H,6

([102

1 II). 1

Il Il

JbI.4

,",S,1

la.4'

51.3

4' "

l'

nllll

r S.H~J X ~I ..I i

}'

Pnulrelll',_ r~i4'res 1standards ,un{>nClUn~J

,l.l3

179,6

~,fi6

HO;

179,7

3,90

es ,,1

51ft

10,1,4 62.2

2,~1 0,756

24 ,'7

!17.1 !)'j3

1,615

W:W

I~ l ,-'l •,

tl Uoc19

11i,II

is.io

j'9,O

(1",.,9

14 !JO

5H,-t

O.2&'i

l.'ï ~ 1:1.64

1 :J.Ck)

456

-17,2

9.2

2U.O

17,9]

,\

X

"

.-r

Pr()O Its.. l'Il (; l~t.II1(lard,

.ullllnC"iljll~Ji

v

71

5.1.:2S.I l,l'lÎ 5. ~

X

-1. -~ t--.

)

l

4x'

U 5:1)( 152 x 25.-1 l

7100

l·t7~

lH}l x 10'-2x 12,7 Liti x 76x 6,4

2420

2,:}1 0,516

Ll.J2x ICr2x 12:ll2TX76X 12.r

( '()mii>re~

li6x

X

y-

1

'lI X64

tr2!) ,~)60

2-tZO

'fiS

X

,:,.-'-

r Figure 9.13

Proor etes des prof res 3 chlrperre

t} [auteur Ol;uninako an millimètre:ç

t Haulellr.largcur

el

cm kiJOgTalnmes p'lr mètre.

f5p:üsseur en nlilli.uèlrE'$.

2. A/tlt!rlc611 St.D,UÜlrrl SIUlpt!lJ, 3. A"lerlcoll Standard CJI(IIlIlPl~.

446

~tmasse

El'l scier l,rHI€s SI)

.,2..1 3,93 0,454

45.6 30,9 2:1,6

'~.6

4"1,_"

14.rs

.10.0

;2.31

ao .9

3H,O

21,4 .50,5

0,516

2.1,6

21.4

2 fi) 1.074 0.16.'1

21.)2

2';,1

21.1

19.0')

14,58

12,52

40,.1

4-1,5

243 ,

~.2

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

9.59 et ·9.60 Les figures suivantes montrent lin des pannpaux d'une auge reiuplle d'eau jusqu'au niveau AA'. Eu vous référant à la section ~.2. évaluez la profondeur du poinl d'application C!(' la résultante des forees h~rostali('I"('s agissant sur le prullle:lu (centre de pression).

Problèmos

A--r~~~--~~~-,...-A'

--n---+--II--J j\ __

"'

~...; I_-.--_A'

~

1

Il

li

~ b-I-

Parahole

b

Figure P9.59

j

--

FIgure P9,60

Le couvercle du trou d'accès d'un réservoir d't'au a WI diamètre de 0,5 111. li est fixé au réservoir à l'aide de quatre boulons équidistants. Déterminez la force additionnelle du(' à la pression d't'ail sur chaque boulon lorsqu!" le C!':lItrt' du COllvl:'rclt: ('S( sitllé ù 1.4 HI {'II (It·s~ou· du ilh'C'1I11 d'eau. 9.61

Figure P9.61

11ne trappe tr'1~5.?.oycla le \'CI"1icul" S('r1 dt' SOt'PilPC dl" sO,'el « Elle est ganlée eu POSitiOl1 fermée à l'alde de deux ressorts tel qu'illustré. Sachant qut' chaque ressort exerce lm couple de 1470 N· In, déterminez le niveau d'eau ri nécessaire pour qUE' la trappe S·OIl\Tt". 9.62

·9.63

Déterminez

la coordonnée

x du centroïde

du volume illustrp. (Sugf!l'stinns:

Figure P9.62

a) la hauteur !/ du volume est proportionnelle à la coordonnée x; b) envisagez une antllogje entre cette hauteur ct la pression d'eau sur une surface subillergée.) Calculez la coordonnée> x du centroïde dit \lO)'H11.,. illt usrré. CC' \'011l111t' il étt obtenu (.n c.:ollpunt un C)tlindrC' cllipliqllt' pnr url pla" ohliqll(' (r(or('r('z-volls à lû suggL'stioll du JJToolèlllt· 9.G:3). ·9.64

'1

,.-- --1 "

Ij

....

/

7

111111

6·.

--

FIgure· P9.63

rurn

Figure P9.64

"9,65 Démontrez yUl' Il' système Je fO'r<:éS hydre tatlques agissant sur une surface plane' submergée d'aire A peut être réd1lit à la force P appliquée au t'entraide C de la surface et à deux couples. La foree P est pcrpcndtculatre À la surface' C'I vaut P -_'Y••\'ij sin O. où y est le poids VOIUH.iqll<.' <1" liquide. Les couples sont ~t.r'= (rI;r' sin 0)1. et l\'~.= (yI:r'y' sin O)j. où/x'!!' = f x'y' tlA (section 9.8). Notez que les c(}lI[)IC"s sont ind~p('l)rlanlS c!t' ln (lrofOlldf'llr à laquelle se trouve la surface.

!J Figure P9.65

455

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

,~ moins qu'il apparaisse évident que l'un des axes correspond à lm.....et l'autre à lmint on mbsntue une valeur de O~II dans I'ëquanon 9.1 pour déterminer lequel des deux donne le moment d'inertie maximal de la surface par rapport il. O. Par ailleurs. ~i une surface possède un axe de symétrie passant par 0 (section 9'.8), il :il'agjt forcément d'un axe prtncipal de cette surface par 1'81J:pOltil. 0; cependant, un axe lJI'inclpru 'n'est I)US toujours un axe de symétrie, l\vec ou sans ase de symétrie, une surface a toujours deux axes principaux (l'inertie par rapport à un point quelconque 0, Les propriétés établies valent pour tO~btpoint 0 situé à l'intérieur ou ~.. l'extérieur d'une surface donnée. Si le point. 0 coïncide avec le eentroïde de la surface, tout ~1.'Xe passant par ·0 devient un axe central. 011 nomme axes

cerareux ]Jrin.:ciplfUX «([·in.ertie)de /(1 SlJ..Jj:aœ les dellX axes principaux cie l'aire <1é.6ni par rapport à son centroïde,

Copyrighted rnaterial

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

466

f~

rllpartlo::>: rr...t>tmJllti d'ane:tlo

Vi

!I 11-----

I,,----i

If-----lt, ---->01

.--=---.~r~_--r

r'

-o:::t-.-,...--1----_,.~-.::--r-.-~ 1•• lg -1'1/

-l.-y. Il

(g}

~--------1 .. --------~ (bl

que l'angle XCX' (ligure 9.19b) est deux .fois plus grand que xOx' (ligure e.l9a). Pal- ailleurs, le diamètre X'Y' défir.dt les moments IJt" 1!J0' et le produit d'inertîe ir,u' d'une surface donnée pal' rapport aux axes perpendiculaires Xi et y' fonnant un, angle f} avec les axes x et y. Oô o15tient Je diflll1èb.'e Xi Y' en faisant tourner (l'un angle 2fJ le diamètre 'A'Y, ElSSocié aux moments Ir. l, . et au f>tOO\l:Jt d'inertie l~.La rotation qui ramène le diauilètre cr sur rf/y' (fl9'lï~9.19b) est de même SCJ1Sqlle ("'elfe qui déplace les axes x et 11 sur x' et y (figure 9.19a). Le cercle de Mohr n'est [JaS réservé aux solutions gtn{)bique:s. c'es..tà~dite celles où l'on mesure les paramètres sur des diagrammes précis. Une ébauche du cercle de l'\flohrcornbinée à ]'utilis.ttion judIcieuse dë la trigODO. métrie permet de dériver les relations nécessaires à la solution algébrique d'un problèfite donné {PR·O.e ).

Copyrighted rnaterial

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

470

Force-s reparues

fY'.omel'fts d

valeur minimale du moment d'lnertÎt' dl' la surft\Cc'è par rapport à lout axe pa....sant par C est Im.in = 0.300 x lOf; mm", À l'aide du cercle de Mohr; calculez:

nE!ltlfl

l'!i dl' III $urfac·(';

(1)

le produit d'inertie

b)

l'orientation ~~ axes prinei palLX; la valeur de 1.1\....,.'

c)

9.104 et 9.105 ,\ J'aldo du cercle d," Mohr, déterminez J'orientation des axes centraux principaux et les valeurs correspondantes des moments d'inertie dt' là section des cornières illustrées ci-dessous. (Les propriétés de la section des cornières sont données à la figure 9.13.)

!II

tft

mm-i

19,05 12,7 tllllfi

11 6, 1.

.~ .,

-

~

r

- L 121 x 76 x 12.1

25.2

Iii III

(

.:' . _:ar.:- .

111111

.:

C

:~I

Li6x51)( 5,4-

...

•

x

C

J

t

,~

51 lIl"l

L271 min

]2 ..52 Illlll

••

44.5 mm

7r. "lin

. 112.1 n'Ill

--1

-6.41f1nl

Figure P9.104

~761nm--l Figure P9.105

·9.106 Les moments et If' produit d'lnerne d'une surface do~ée par rapport li deux axes centraux orthogouuux :r: ('t IJ sont respecûvement 1( ... 1200 mm" et 1'.1 = 300 mm", Sachant qu'après la rotation (1(-'$ axes de 30° (l,,\I)$lc 5('IISulltihorairc autour du centroïde le 11101l1ent d'inertie rek,Uf à J'a.\;t· des r est de 1450 Il)111'', déterminez à l'aide du cercle de Mohr:

l'orientation des R,.Xt'$ princtpaux , les moments centraux prîncipaux d'inertie.

a]

J) J

1ue.

_ 9.107 On sait pour tint' surface donnée. I!I ;;;; 48 X 1Cf mm' et LIlI = -20 x lOU mm , x et !I étant des axes centraux orthogonuux, L'lI.X(' œrrespondant au produit d'inertie' maximal est obtenu en faisant pivoter l'axe des r autour de C do 67,5° da os le ens antihorurrc. )\ l'aide du cercle de Mohr, déterminez:

-

le moment dlnc>rtil" 1" dt' la :oIlIrfa('('; les rnornents centraux principaux c!'i,\('r!ic.

a)

,,) 9.108

À raide du cercle dl' Mohr, démontrez <4ue pour Lout polygouc

(telle pentagone): u) le moment d'inertie est identique Cf: ntroïdc IJ}

roguUcr

par rapport à tout axe passant par le

;

le produit d'inertie est nul par rapport

11 tOlll s)'strn)<, d'H.:Ct'S

orthogonau

(x. y) passant par le centroïde.

À l'aide du ce rel" (1(' Mohr, P"""'CZ qu(' l'exprcsslon l.r,l~/ - 12x''J'' où Ir" l'J' et 1.''J' représentent les moments et le produit d'inertie d'une surface cfonnne par rapport à des axes orthogonaux x' et 'J' centrés sur 0, est indépendante d(' l'oriclItltliOTl des a.~('Sx' et y'. Démorurez ('lIsuitl' {lue cette ospression est ~g31e au carré de lu longueur de la tangt'nte tracée entre l'origine du système do <-'00[données et lé (,'(;'1"(;1 ... dt, Mohr, 9.109

En IltilL sant la propriété démontrée ail problème précédent, exprimez le produit d'inertie T,y d'une sllrf~ICI' .rI. par rapport l\ des A.,XCS orthogonaux (x ct y) 9.110

O. en fonction des moment d'lnerlie'. ct rI) de A ct des moments principaux d'inertie ',nbl et I,n.u dt.' .t\ par nlpport à 0, Finalement, appliquez cette formule pour calculer Je produit d'inertie 1,,&de la section de la cornière

pa.ssant rar Je

point

de 76 mm X 51 mm X 6,4 tl1111 illustrée à la figure 9.13, sachant que son moment d'inertie maximal est de 0.52.1 X 1()6 10014•

Copynghted matenal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

par (A.t)h {J\y}. et (A:)l les termes des trots équations av-.mt de les additionner. On obtient

Eu comparant avec 9.46. on \-tQit que le membre de gauche de l'éqtlaü"On représente le moment d'inertie du corps par rapport àl'axe principal associé il KIl; il diclit donc le moment principal cl'inertie eotrespondan,t à cette racine. Par a.illffilrs. l' équsnon 9.51 permet de str:nplifrer le membre de (troite. qui devient égnl à Kl' 01. Ct) déduit qlte KI est le moment pnnctpsl d'inertië. 'En appliqu.ant le même (aisOnl1e~e~~011d>~mol~tre fuci1~nlentque ~ et 1<., sont les deux autres moments pnJlClpatlX cl mertie tltl

solide.

Copyrighted material

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

PROBLÈME RÉSOLU PR·10.3

J--d--t~\V

• ~

L

·~II_.

~.I

~ __

2

!

Une table dl." levage- hydraulique' CSI utilisée polir SOIIJ ver des caisses de 1000 kg. Ut lullie est eonstltuée d'une plate-forme et de deux mécanismes identiques, disposés de chaque côt~de la plate-Iorrue. Sur lesquels des vérins hydraullques appliquent des forees égales (mit' seule moitié de l'ensemble est illustrée). Les membrures EDB et CC mesurent 2n et la membrure AD est articulée au point milieu de EDB. La caisse est placée sur la table de sorte que le systèmE' illustré supporte exactement la moitié de son poids. Sachant que e :;: 60°, a = 0,70 m et L :: 3,20 11\, d~t(.'flnilll~lla forte développée par clluquu cylulc.lre pour soulever les crusses. (Ce mécanisme a déjà été traité au problème résolu PR-6.7.)

SOLUTION

LI" machiuc (.~ttldiéoeest constituée de Iii plate-forme et du mécauisme, avec uue force à l'intrant F DU créée par le vérin et une force à la sortie égruf' el opposée à !W. Principe du lra\'uil virtuel. Dans un premier tCl1l1}S, on observe que les r(oaclions aux points F. t't C 11(; produiS 'nl pas de lmvail. Si 'J -;;; hauteur rtl' la plaie-l'Orme par rapport à la base, s = lougueur Dl! de l'ensemble cylindre-piston. ou écrit

E.

f>U

-"'!

0:

(1)

Le déplacement vertical. ôt} de Laplate-forme,

exprimé en fonc-

tion du déplacement <\nglllrurc 58 de la membrure EDB, est 'J -;;; (EB) sin () = 2n si" () ~ =

_ _-

-----------, .....

By

Pour exprimer 8.~en fonction de SO, on ulilis(' la loi des cosinus : SZ

. _.,

-.;-

.

.

211 ('O!> 0 50

==

+ L2

02

-

~/L CoS 8

~

00 dérive l'éqna.LÎon C't on obtient 0) 50

2v 86 = -2aL(-sin '1

al: sin 8

œ=

Il

.,

59

En substituant les expressions obtenues pour Sf) et 65dans l'ëquation 1. on écrit fiL sin 0 {-t\V)211 cos () SO + F VII 80 = 0 li

F Off des données

Liusertion

s :::; '{f.- oot fJ L

ou problème

lV = tilg = (1000 kg)(9,81 y2 ",. a2 + L2 - 2nL cos (} Il

:;; (0.;0)2

=:

9810 N = 9,81 k r

- 2(0.70)(3,20) cos 60°

= 8.49

s = 2.91 ln F

VII

524

+ (3,2.Q}.2

rn/52)

dans ces équations donne

,

= \V-L

t'CIl

0 :::.(9 81 kN) '3,20

9,91 ln

oot 60°

m Fou = 5.1') kl\:

~

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

On choisit lm s)'stèlne de référellœ dont on place l'origine en il.. Sachant qlle l'allongemerIt du ressort nlesure ft partir de sa position neutre est AB :;;::ta, on écrit

On e.\-prime les coordonnées X8 :;;:

21sin

X8

e

et Yc eu fonction de 8; on a

!le -l cos 6 \'g ". "t'{l cos 6)

Vl! = ik(21 sin 0)2 V = V.. + 2k1}! sirli

"Il: ""

(J

+ 'W''1' cos

e

(10.22)

,00 trouve les pas.itions d'équilibre du s~'ième en faisant éf,raler à zéro la dérivée de J'énergie potentielle V. Ou écrit

d\' l

(,f)

.

= '1/;::[2 sin 8 cos e -

\iVl .'>.Ï.ll 0' "'" 0

On met en évidenœ 1 sin .()et l'expression devient

av = 1stn O(ti/cl cos (J (lf)

'~V)=

0

Il. Y 1) donc
aux valeurs 0;;;; 0

~10.9 ÉTATS D·ÉaUIL.JSRE

Considérons les tiges uniformes de longueur 2ft et de poids W illustrées à.la figu.re 10.14., Les trois tiges sont en équilibre mais

Ulla

(lifférence importante

les distingue. Dépleçons lëgërement chaque tige de sa position d'éqtlilwIe et relâchons-la ensuite: ta. tige a reviendra à 'a position irutiale, la tige b continuera de s'éloigner (lu point d'éq'uÙibrê et la tige c eoaservera sa nou-

velle position, On
(J

est mble. que œJ.ui de la

B

» (lI) Équilihre staWe

B (e)

&tuiJIbre neutre

Figure 10.14

RappelollS que l'énergie potentielle t,rravitatioJUleUeVg est égale à '!VYt où y représente lu hauteur du point d>application de W, mesurée à l'mir d'un nlveau de référence aibitmite (secl'iott 10.7). On en déduit 'Ill'à L':iposi.don d'équilibre con ...idérée l'énergie potentielle de hl tige li, est mirlÎJJlaie, celle de la tig", b est iJlàA:irl1aJe a}<.))'s que celle de la tige e demeure oon.stmlte. Léquilibre sem donc stable, instable ou neutre selonque la... ral:e\u·00 l'éne~ potentielle est mÜlimale, maldflilale Ou eonstante (Ggtll"tl 10.15).

Copyrighted material

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

10.59 Solutionnez le problème section 10.8.

10.29 à l'aide de ln méthode présentée

10.60 Solutionner. le problème section 10.8.

10.30 à l'nlde do la méthode présentée à la

10.61

À l'aide de III flléù)(xle présentée

à la

il 13 section 10,8, solutionnez lÉ'

problème 10.33. 10.62 À l'aide de la méthode présentée à la section 10.8. solutionnez le problème 10.34. 10.63

Solutiunnez 1" problème

10,35 à l'aide de la méthode présentée à lu

section 10,8, 10.64 Solutionnez le problème 10.36 à l'aide de la méthode pré entée à la section 10.8, B 10.65 À l'aide de ln méthode présentée problème 10.31.

à la section 10.8, solutionnez le

10.66 À l'aide de la méthode présentée problème 10.38.

à ln section 10.8, solutionnez le

10.67

Démontrez que le mécanisme

décrit au problème 10.1 est en ëqut-

libre neutre.

10.68

Démontrez que le mécanisme décrit au problème 10.2 est eu équi-

tJbre neutre.

Figu:re Pl 0.69

10.69 Deux barres uniformes, chseune de masse fil et de longueur l, sont fixées i\ des poulies reliées par une courroie (6hrlU'(~ PIO.69). Aucun glissclncnl ne survient entre la courroie ct les poulies, Détermlnoz les positions d'équilibre du système et, pour chacune de ces positions. établissez l'état d'équilibre (stable. instable ou neutre),

ro

10.70 Deux barres uni rm es, chacune de masse III ct de longueur " sunt ûxées à des engreoages tel qu'Illustré, Pour des angles () compris entre 00 et 180°, déterminez les positions d'équilibre du s)'stètl1e et. pour chacune de ces positions, dites si l'équilibre est stable, instable ou neutre. D

540

FIgure P10,70

C P

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Travail d'une force

Dans ln première partit> dt' t't' (·IH'J,itrp.. non-, 0.1\ ons pt~t'I1(( le principe tlu tmcatl t irtue ct sex applicauons l>uur résoudre des problèmes d'(o((1uLiurc, ~O1l5 avons d'abord d~jlIl11(,trnvni! d'unrjorc: Ji' corrcspondau: fi lin clépl(lc...·,lll"nt in.fiuitésillUll (section 10,2) Je sorte que

ur

llU - F' (Ir

(10.1i

c'est-à-dire (ln,~IICI est obn-un l,ur l,.>produit scalalre (le la force F ct du dé-plilt'('HI('nt (Ir (f1Wlrt' t(',16 i\(lIIS avons nlors litT - F ils cos cr

(10.1' J

1\

Figure 10.16

F,•

011

(/(1 - travail Je ta force F: F - gl .UIÙl'llJ' Lit' la forcl' F, ils = grandeur du déplacement : ct = angle {uriné l'nt ri: F ('l (Ir.

Alors,

au» (lU

Cl

= Il

si

Q'

<

9()~;

sl Cr = SOu;

clU < () si

ct

> 90':).

Le tri/t,;aU r/'ull COUplL'(/1.' montent ~1 tlgiS!it1ul sur un corps rigidl' se calcule par ,lU - .\1,10 oü dO = angle lllfillitt!!iÎlnaJ <1(,rotation Figure 10.17

Déplacement virtuel

546

du c:orp ...l'\11!illlé en radians,

une particule srtuéc an pulut .\ cl qui subit l'l'tli.:l Ul'S forees F,. F~, ....Fil (section 10,3) !lUIIS avons llnag'lnf> (11It' lu pnrncule se déplaçait au point •\ r ln~tln.'10 17) PUiS
h· trav'llil correspondnut p.tr St. (l'oil

qU('

Principe du travail vlrtuel

(] 0.21

IlIIX

Iorce

c;

est appelé traunil cutuel et d<~sign~

Princip« rh, trllle/i! t lrtucl : 'îl Ullt' particul« (','if t fi (.1(/,,#1/111 C, le tracall otrtue! lota! 8l} (l('~ [orco« flgi.\stluf sur la partlcul« est 11,,1pour tout (lé,,1(/('Cllwllt cirtuc! dt la particule. Ce principe pellt ...appliquer par t'\it"IISifJl1 aux ('orp rigtde~ et. dt·.; assemblages de COI]>S ri~itll".\.Etant (tonné (lU Il n'Implique I"t'('h:lngt" il l'unhsatron tics équations d'équllibrc. Le principe du travail vtrtuel t1st très t,ffit';)(:e In1"; (le l'unulvs(.. dt' ,nt>('111I1S1nl''\et dt:' machines ccnstitues d'éléments rigides reliés entre ('U'. Dans dl ll·l.. ("US. Il' truv a.il llt>~ réuctions tUl' HPl>lIis esl 11111 et le travail
Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

550

10.108 Une tige mince de masse 111 et de longueur lest attachée au manchon 1\ ('1 s'appui(' s,Ir un c)'lind~~ <1(' l'nY(1) r, En n~lig('anl l'cff('! du Ironement, calculee la valeur de l'angle 0 qui correspond à l'équilibre du système, sachant que 1 = 180 mm et r = 120 ium .

Méthode du IntV"dll vir1ust

..\

Figure Pl0.l08

10.109 Le manchon B illustré gUsst' sans frottement sur 10 barre AC. 1J est attaché ù l'aide d'un pivot à un bloc sc déplaçant dans un guide. Écrivez une formule

pour calculer ln grandeur du couple ~fnécessaire' pour matntenîr

mathématique r('qllilibrc~. p

!I

c p

t\

l,v figure P10.l09

Figure Pl0.110

10.110

Deux manchons .... \ et B sont reliés pur un câble ,,'\B. lis se déplacent

frottement sur des barres tel (IU'illllstr(i. La longueur du câble est de 440 mm ct Il' potds dll lnancboll/\ est w ...90 '. Calculez 10grandeur de la foree l' néœssake ~lU1S

pour assurer l'équilibre (Ill système lorsque: Cll r"'; 80 IIlIH; ,))

C'

= 280 mm.

La bnrre ./\8. dl' poids lI~glig(·<)bl(.',peut gli ''l'r IibrelH\!llt sur 1~ sol l't ltur la surface in('IiIlN'. r)6dlllsf"Z Hill' I"orllllll(' Il'Ialhç.tl1:ltj(jLl~pour calculer la gr.,ndeur de la [oree Q nécessaire pour maintenir l'équilibre. 10.111

Q

Figure Pl0.111 - Pl0.112

10.112 La barre IVJ de musse ln = 2,55 kg pE'ut gLisser liurClllellt sur le sol ct sur la surface inclinée. Sachant que P = N, {J = 500 et 6 = 20", calculez la grandeur de la force Q nécessaire pour maintenir l'équilibre.

~o

Copynght d ma nal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

554

AnnellO

Dans Ip système impérial, l'utilisatlon des poid:s en livres force au lieu del>masses el! slugs simplifie l'étude de la statique. Par contre, en dynamique, (Il', on t;'lit aI)LJeI aux forees, aux masses et aux accélérations, on utillsera les slllgs pour les l'nasses, et les livres f()rc.-cpour les poids, où \V ~ lu.g (\\rr ~ poids, III IIla$S(~,et g = accélération terrestre). Voici d'autres unités de mesure souvent utilisées dans le système impérial: - J(! ruille (ml). qui égale 5280 pieds (I)i): :::0

-

Je i)Ull(,:e (pu), (!IIi ~gale 1/1:2 de pied (pi): la tonne (T), qui égale 2000 livres (lb).

On peut imaginer la complexité df's calculs une vitesse de 30 JJlilh en pi/s.

pOlir

convertir.

I1HI'exemple,

A.2 CONVERSION DES POIDS ET MESURES Pour siruplif 'r les calculs nécessaires au passaue du système métrique ou internaticual (Sr) au système impérial, nous présentons à ln page suivante une table de conversion des III esures les plus communes,

EXEMPLES DE CONVERSION

Les exemples ci-des ous illustrent la procédure à adopter

pOlir

convertir des

" Clt'autre . moments ( l'un S\'SteI11P •

Exemple 1 On veut convertir un moment de 40 N: rn du système métrique (SI) au sj'sti'II)t'

impérial.

Solution ~I = -10 N'Ill = (N'Il))

.

(1))(

II f

.

4,448 N

1 1)1 ) = 29.5 lbf'- pi 0,3048 m

Exemple 2 011 \'E-'111

convertir

1111

moment de 47 lhf': po en svstème international (ST).

SO/t,tÎ07l

~1 = 47 lbf'- po = -t7(4.-141'3N)(25,-t

n1111)

= ;:>310N '111m = 5.31 N

'ln

Copynghted matenal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Tatllnaux et ligures u111es

Moments d'Inertie de formes

Moments d'inertie (masse) de formes

géométriques courantes

géométriques courantes

I(

Rt>t",,~

• /1 /.1/, , ~. 1 • J..loh'

r

-

Il

.

f'

r-

1tI(" "'UIU'

,~..l, -

~

1

'1

f7 \ 11

Jr•

A",""f . ha) 1• = -mr l ">-. I!

C

\

.'

li,

l'IW:I"' rl"'Ci",,!!:,o.1.l ...

' . "",

-

I-IJ-l

••

C.'rcll~

Y

l&

\

l, ,.,"',.:

0

t

P.lr.olll'l(.pil"\ot. • Ir ,~

,pn'lrn'

,,-

If

I.

ri

",.

fl·"t''''~I!.aI1"I''1

../'f-

J U ,...Lofr' !

=

-

_

J,:'~..,..IL'r-1

l)i)l~UL'",Ull.,

'1

·C

o ~,--i

1/

'1

mr-

-

C\ hJt,-ln' nrl'ul.u:n·

de l"'tek

',l,

1• = ., 1 ma«•

,_, • 116s:

+

'

: 1 Il rf J ,~,

" - "

1. 11111,1

t=

,~ ... , '" :'",: 1 ::

1

1 11111)1. ,..::,

I~

1 I~'" ~ • nl,

1,

1

i: mll~

• 1:

r:-

.' 1

l~

l, '"

f __ 1 bl,l

r

,

rel •

1 = -1 ,,~, , ...

minee

1

.~

QilJlJ1

I

0: onl.'

'•• ~I,JI,

~

1.

I!

1,

1 TrifU'gl,;

-1, .1I,!.1 ,:

li'

561

r·

,~= t. = I~ ",1:ltlJ

+

L!'

J " - !.o:~ k '1 1

t, = 111",1.1"

'1

<, F.lllpw

0

../ r--"-

-li ....",,/,' ,

"

1/

('l "

, . ,l,,, ,1"1.• 112\

1 • 1 -

r./M li ,01,,11""lf'"

'I·!·'II'/, J ! "IJla' - /,J)

1 '"

JI

'1

~pJ."r..

' .•

Iv

:II:

1:. - .. lua.1

C p n

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

566

Index

Compression,

Concourantes,

Embrayages à disques. 405 Encastrements, J48-149, 174, ]7,1)

68, 322

forces. 1.5

Éner~e potentielle. 536 •.5.17 Entrée. 300 , Equation d'équilibre pOUT un corps rigide. 146 pour une particule 31·.32, 51 f~qllilihTe

Constante du ressort. 534 Contreventcrnënt, 283

Corps soumis à

(Jeux forces, 166-167 trois forces. ]67 Corps rigide(s), ;t 66 équilibre d'url clans l'espace, 174

d'lin corps rigi(lc JaJ\S l'espace, 174

(lans un plan, 146-174

dans lin plan, 146-175 dtagrammc du corps libre d'un, 1-l6

instables, 151 Cosinus directionnel. 4..l COIlI)le, s, 9R-) 01 additiou de, 100 équivalents, 98-100 Courroies, 413-4 J 4 Cric, 395-396

D'Alembert. Décimètre.

Ff'n ne, 259 Flèche, 354, 36--1

Jean, 2 1.

Forœ(s),3

Décomposition d'une force

concourantes, 15

dans l'espace. 39.43 dans Ill) plan, J 6, 22-9,3 cn une torce ct un couple, 101-102

conservative-,

hydrostatiques, 225, 433 interne, 66 dans un élément {le structure, 257, 322-323 (III membre, 260

virtuel, 518~522 Deuxième moment, 432-434

Diazrarnme l"> de l'effort tranchant, 332 de MèL't\VeU, 262

réparties, 19B sur des corps ligidcs, 65-135 SUj' une particule duns l'espace, :19..51

du corps libre, 3L 146 équilibre d'une particule et. 31 =.12 (lu 1I101ltf!lIt fléchissant, 332 Direction d'un vecteur, 1.3 Distributif, produit scalaire, 83-84 Dynamique, défirtition cie la, 2

ÉJétnt>nts différentiels ct centroïdo

d'un volume, 237 d'IIIlé surface, 213 pOlIr moments d'inertie

(les solides. .. 75 des surfaces, 434 Ellipsoïde d'inertie. 491-49.2

.5..15

coplanaires. 15 dc contraintes. 141 érlulvalt'utt's, 61.68 externe. 66.68

Degrés de liberté, 535, 537 Densité, 234 Déplacement, 516, .517

EITc)rt nul, 263 Effort tranchant, 322. 330-342 Jiagnunnle de t 332 , Élément à effort multiple (mulülorce),

d'une particule dans l'espace, 51 dans un plan,,30-:31 éqnarion {t:(Jir Equation d'équilibre) instable, 536-5.17 ne utrc. 5,16-5~7 stable, ,5.16~')37 Espacc,2

d~lJ1Sun

plan, 13-2.5

Forme du déterminant pour les produits vectoriels, ï()

momeut de l'Oree pl)llT UII

28.5

Frottement.

37ï -414

angle de, :179 cinétique, 378

anglE' de, :379 (,.,()t'f6Cient

riE", 377-319

courroie et, 413-4]-l: d'un axe, -tt)3-40,)

(le Coulomb, :377 cie disque, 405

,

Copynghted matenal

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Sources des photos

Couverture:

Derek Croucher/First

Ligllt

Chapitre 1: Bill Sanderson/Science Photo Library/Photo Researcher Chapitre 2: d'Arazien/Image

Bank

Cliapitre 3: John Coletti/Stock, Boston Chapitre :1:: l', Zimmerrnann/Fl'C Chapitre 5: Bruce Hands/Stock, Boston Chapitre 6..: JelT Gna rs/Stock Market Chapitre 1: Brian Yarvin/Photo Researchers

Chapitre B: Wayne Hoy/Picture Cube Chapitre 9: Paul Steel/Stock Market

Chapitre 10: \VolfVon Dern Bussche/Image

Block

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.

Vou have either reached a page that is unavai lable for vi ewi ng or reached your vi ewi ng limit for thi s book.