Mecánica para Ingeniería Dinámica [Anthony Bedford, Wallace Fowler]

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MECÁNICA MECÁNICA PARA PARA INGENIERiA~~~~ INGENIERiA'~~~~:1~1

lea Anthony Bedford Bedford Anthony y

Wallace Fowler Fowler The University University 01 Texas (Austin) Versión Versión en español español de José José E. E. de de la Cera Cera Alonso Alonso

Universidad Universidad Autónoma Autónoma Metropolitana Metropolitana Unidad Unidad Azcapotzalco, Azcapotza/co, México México Con Con la la colaboración colaboración de de Antonio Antonio Martín-Lunas Martín-Lunas Universidad Universidad Autónoma Autónoma Metropolitana Metropolitana Unidad Unidad Azcapotzalco, A zcapotza/co, México México

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Versión español de de la obra obra titulada Versión en español titulada Engineering Engineering Mechanics: Mechanics: Dynamics, Dynamics, de A. Bedford Bedford y W. L. Fowler, originalmente en en inglés inglés por Company, Fowler, publicada publicada originalmente por Addison-Wesley Addison-Wesley Publishing Publishing Company, Reading, 1995 por Company, Inc. Inc. Reading, Massachusetts, Massachusetts, E.U.A. E.U.A. © 1995 por Addison-Wesley Addison-Wesley Publishing Publishing Company,

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1996 por Iberoamericana, S.A. S.A. © 1996 por Addison Addison Wesley Wesley Iberoamericana, DR de México, S.A. de de D.R. © 2000 2000 por por Addison Addison Wesley Wesley Longman Longman de México, S.A. Calle 4 No. Calle No. 25-2do. 25-2do. piso piso Fracc. Industrial Alce Alce Blanco Fracc. Industrial Blanco 53370 Naucalpan de Juárez, de México 53370 Naucalpan de Juárez, Estado Estado de México

c.v.

Cámara Nacional de la Cámara Nacional de la Industria Industria Editorial Editorial Mexicana, Mexicana, Registro Registro No. No. 1031 Reservados los derechos. derechos. Ni de esta esta publicación Reservados todos todos los Ni la la totalidad totalidad ni parte parte de publicación pueden pueden reproducirse, reproducirse, registrarse sistema de recuperación de información, información, en ninguna forma ni por registrarse o transrnitirse, transmitirse, por por un un sistema recuperación de ninguna forma por ningún sea electrónico, electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético electroóptico, por fotocopia, ningún medio, medio, sea mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación cualquier otro, escrito del del editor. editor. grabación o cualquier otro, sin permiso permiso previo previo por por escrito El préstamo, alquiler o cualquier cualquier otra otra forma forma de cesión cesión de de uso este ejemplar ejemplar requerirá préstamo, alquiler uso de de este requerirá también también la la autorización del editor o de sus representantes. autorización del editor de representantes.

ISBN 968-444-471-0 ISBN 968-444-471-0 Impreso en en México/Printed Impreso México/Printed in Mexico Mexico 03 02 02 01 00 00 99 99 12 34 5 6 7 8 9 O 03

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GRAFICAS MONTE MONTE ALBAN GRAFICAS ALBAN S.A. DE C.v. LA CRUZ FRAC. AGRO-INDUSTRIAL AGRO-INDUSTRI AL LA OUERETARO, aUERETARO, ORO. aRO.

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SOBRE LOS LOS AUTORES

Sobre los los autores autores

Anfhony Bedford profesor de ingeniería Anfhony Bedford es profesor ingeniería aeroespacial aeroespacial e ingeniería ingeniería mecánica mecánica en la University University of Texas Texas en Austin. Austin. Obtuvo Obtuvo su licenciatura licenciatura en la University University of of Texas en Austin, Austin, su grado grado de maestría maestría en el California California InstiInstitute niversity en 1967. Adquirió tute of of Technology, Technology, y su doctorado doctorado en la Rice U University Adquirió experiencia experiencia industrial industrial en la Douglas Douglas Aircraft Aircraft Company Company y en TRW TRW Systems, y ha sido profesor University of of Texas en Austin Austin desde 1968. profesor en la University La principal principal actividad profesional del doctor actividad profesional doctor Bedford Bedford ha sido la educaeducación y la investigación investigación en ingeniería ingeniería mecánica. mecánica. Es autor autor y coautor coautor de muchos artículos artículos científicos científicos sobre sobre mecánica mecánica de materiales materiales compuestos compuestos y de dos libros, Hamilton's Principie Principie in Continuum Mechanics e Introduction Introduction libros, Hamilton's Continuum Mechanics to Elastic Elastic Wave Propagation. Propagation. Ha para estudiantes Ha desarrollado desarrollado cursos cursos para estudiantes de licenciatura premió con el General licenciatura y de pos grado grado en mecánica, mecánica, y se le premió General Dynamics Dynamics Teaching Teaching Excellence Excellence Award. Award. El doctor profesional y miembro doctor Bedford Bedford es ingeniero ingeniero profesional miembro de la Acoustical Acoustical of America, America, de la American American Society for Engineering Engineering Education, Education, Society of de la American Natural PhiloAmerican Academy Academy of of Mechanics Mechanics y de la Society for Natural Philosophy. sophy. Wallace L. L.Fowler ingeniería en el departamento departamento de inWallace Fowler es profesor profesor de ingeniería geniería aeroespacial aeroespacial e ingeniería ingeniería mecánica mecánica de la University University of of Texas en geniería Austin. El doctor doctor Fowler Fowler obtuvo obtuvo sus grados grados de licenciatura, licenciatura, maestría maestría y Austin. doctorado en la University University of of Texas en Austin, Austin, en donde donde ha sido profesor doctorado profesor Durante 1976 fue miembro miembro del personal académico de la Unidesde 1966. Durante personal académico States Air Force Force Pilot Pilot School, School, Edwards Edwards Air Force Force Base, California, California, ted States profesor visitante visitante en la United United States States Air Force Force Acayyen en 1981-1982 fue profesor Aca1991 ha sido director director del Texas Space Grant Grant Consortium. Consortium. demy. Desde 1991 enseñanza e investigación investigación del doctor Fowler son la dinámidinámiLas áreas de enseñanza doctor Fowler mecánica orbital orbital y el diseño diseño de vehículos vehículos para misiones espaciaespaciaca, la mecánica para misiones autor y coautor coautor de muchos muchos artículos artículos técnicos técnicos sobre sobre optimación optimación de les. Es autor trayectorias y sobre sobre dinámica dinámica de posición; también muchos muchos trayectorias posición; ha publicado publicado también teoría y práctica enseñanza de la ingeniería. Ha Ha recibido artículos sobre teoría práctica de la enseñanza numerosos premios enseñanza, entre entre los que se cuentan cuentan el Chancellor~-~ numerosos premios de enseñanza, Chancellor ~-~ Outstanding Teaching Teaching Award, Award, el General General Dynamics Dynamics Teaching Teaching ExCouncil Outstanding Award, el Halliburton Halliburton Education Education Foundation Foundation Award Award of Excellencellence Award, AIAA-ASEE Distinguished Distinguished Aerospace Aerospace Educator Educator Award. Award. ce y el AIAA-ASEE doctor Fowler Fowler es ingeniero ingeniero profesional, miembro de muchas muchas sociedaEl doctor profesional, miembro Institute of of Aeronautics Aeronautics and Astronautics Astronautics y des técnicas y del American American Institute American Society for Engineering Engineering Education. Education. de la American


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PREFACIO

Prefacio Prefacio ~~~~ Durante veinticinco veinticinco años hemos impartido el curso curso introductorio introductorio de dos Durante hemos impartido semestres de ingeniería ingeniería mecánica. mecánica. Durante Durante ese tiempo, tiempo, los estudiantes estudiantes nos semestres han manifestado con frecuencia frecuencia que pueden entender la exposición exposición de la han manifestado pueden entender materia en clase, pero tienen dificultad dificultad para comprender el libro de para comprender materia pero que tienen texto. Este comentario comentario nos indujo indujo a examinar examinar lo que hace el profesor texto. profesor en aula que difiere difiere de la presentación tradicional de los libros libros de texto, texto, el aula presentación tradicional y la conclusión conclusión obtenida obtenida fue la redacción libro. Nuestro redacción de este libro. Nuestro procediprocedimiento es presentar material como como lo hacemos miento presentar el material hacemos en clase, utilizando utilizando más énfasis en la importancia importancia del análisis análisis visual minucioso minucioso figuras y haciendo haciendo énfasis y la comprensión comprensión de los conceptos. conceptos. A lo largo largo del libro libro consideramos consideramos que estudiantes son nuestro auditorio. los estudiantes nuestro auditorio. Figura 7.16

Objetivos y temas temas Objetivos yy

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Resolución de de problemas Aquí destacamos destacamos la importancia importancia crítica crítica Resolución problemas Aquí adquirir destreza destreza en la resolución resolución de problemas. ejemplos resuelde adquirir problemas. En los ejemplos enseñamos a los estudiantes estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que tos enseñamos pensar sobre problemas antes empiecen a resolverlos. aplicables? ¿Qué ¿Qué se debe deempiecen resolverlos. ¿Qué principios principios son aplicables? terminar y en qué orden? orden? Las secciones llamadas llamadas Estrategia terminar Estrategia que preceden preceden todos los ejemplos ejemplos son para ilustrar este análisis análisis preliminar. para ilustrar preliminar. Luego a casi todos damos descripción cuidadosa cuidadosa y completa completa de la solución, solución, mostrando mostrando damos una una descripción meriudo métodos métodos alternativos. alternativos. Finalmente, Finalmente, muchos muchos ejemplos ejemplos concluyen concluyen a menudo Comentarios que señalan señalan características características de la solución, solución, con una una sección de Comentarios analizan o comparan comparan métodos métodos alternativos alternativos de solución, solución, o bien muestran muestran analizan maneras de verificar verificar las respuestas respuestas (véase el Ej. 3.2, págs. 106-107). Nuesmaneras tro objetivo objetivo es enseñar enseñar a los estudiantes estudiantes cómo cómo abordar abordar los problemas tro problemas y evaluar críticamente críticamente los resultados. Además, para aquellos estudiantes estudiantes evaluar resultados. Además, para aquellos entienden el material material de clase pero saben cómo cómo que nos dicen que entienden pero que no saben empezar a resolver resolver los problemas tarea, les proporcionamos también empezar problemas de tarea, proporcionamos también breves secciones de Estrategia Estrategia en algunos algunos problemas seleccionados. problemas seleccionados.

Diagrama de cuerpo cuerpo libre de la (a) Diagrama rueda. rueda. yy

Aceleración del centro centro de masa masa G (b) Aceleración función de la aceleración aceleración del en función centro A. A. centro

Visualización Uno elementos esenciales para tener éxito en la Visualización Uno de los elementos para tener resolución visualización, en especial el uso de diagramas diagramas resolución de problemas problemas es la visualización, cuerpo libre. En el aula, aula, el profesor dibujar un diagrama diagrama paso de cuerpo profesor puede puede dibujar paso describiendo cada cada uno desarrollando la solución solución en paraa paso, paso, describiendo uno de éstos y desarrollando paradiagrama. Hemos Hemos hecho mismo en este libro, libro, es decir, hemos lelo con el diagrama. hecho lo mismo hemos mostrado secuencia de diagramas diagramas que usamos indicando mostrado la misma misma secuencia usamos en clase, indicando claridad las relaciones entre ellos. Por Por ejemplo, ejemplo, en vez de simplemente simplemente con claridad relaciones entre mostrar un diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre, libre, repetimos figura inicial con la mostrar repetimos la figura parte aislada resaltada demás con una imagen menos menos intensa intensa (véase una imagen parte aislada resaltada y lo demás estudiante exactaexactael Ej. 8.2, págs. 378-379). De esta manera manera mostramos mostramos al estudiante mente cómo aislar la parte convertirá en el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo mente cómo parte que se convertirá imagen tenue tenue paa indicar el libre. En el Ej. 9.8, pág. 456, usamos usamos una una imagen paa indicar movimiento de un cuerpo cuerpo rígido alrededor alrededor de un eje. Esto Esto ayuda ayuda a los movimiento estudiantes a visualizar visualizar el verdadero movimiento del cuerpo. cuerpo. estudiantes verdadero movimiento Utilizamos colores colores para ayudar a los estudiantes estudiantes a distinguir distinguir y entender entender Utilizamos para ayudar diversos elementos elementos de las figuras. figuras. Usando Usando de manera manera consistente consistente los los diversos mismos colores colores para elementos particulares, 'como el azul para vectores mismos para elementos particulares,como para los vectores fuerza y el verde para aceleraciones, hemos tratado de hacer de fuerza para las aceleraciones, hemos tratado hacer que el


PREFACIO PREFACIO

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libro sea más fácil de leer y entender libro entender para para los estudiantes estudiantes (véase p. ej., ej., la Fig. 7.16 aalala izquierda). izquierda). Además, Además, el realismo realismo de las ilustraciones ilustraciones motiva motiva a los estudiantes estudiantes (véanse las Figs. 3.7 de la pág. 117 117 Y 5.13 de la pág. 202, ilustraciones de los problemas problemas a lo largo largo del libro). libro). Y las ilustraciones

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Énfasis en los principios Énfasisen principios básicos básicos Nuestro Nuestro objetivo objetivo principal principal en este libro libro es enseñar enseñar a los estudiantes estudiantes los conceptos conceptos y métodos métodos fundamentales. fundamentales. En vez de presentar presentar la dinámica dinámica como una una secuencia secuencia de métodos métodos indepenindependientes, dientes, subrayamos subrayamos su coherencia coherencia al demostrar demostrar que las técnicas técnicas de energía energía y de cantidad cantidad de movimiento movimiento se pueden pueden derivar derivar de la segunda segunda ley de Newton. partículas para ton. Aplicamos Aplicamos el mismo mismo enfoque enfoque a un sistema sistema de partículas para obtener obtener las ecuaciones ecuaciones que describen describen la dinámica dinámica de los cuerpos cuerpos rígidos, rígidos, y al expliempleamos de manera car el movimiento movimiento de estos cuerpos cuerpos empleamos manera consistente consistente el vector vector de la velocidad velocidad angular angular y las ecuaciones ecuaciones vectoriales vectoriales que describen describen los movimientos movimientos relativos relativos de los puntos. puntos. Por Por tradición, tradición, los textos de dinádinámica tratan antes de mostrar tratan los cuerpos cuerpos rígidos antes mostrar que la suma suma de las fuerzas externas externas que actúan actúan sobre sobre un cuerpo cuerpo es igual al producto producto de su masa masa por por la aceleración aceleración de su centro centro de masa. masa. Aquí Aquí presentamos presentamos este sencillo resultaresultado inmediatamente inmediatamente después después de explicar la segunda segunda ley de Newton, Newton, en el Cap. Cap. 3, porque porque hemos comprobado comprobado que nuestros nuestros alumnos alumnos adquieren adquieren confianza fianza en sus soluciones soluciones cuando cuando no necesitan necesitan decidir si un cuerpo cuerpo dado dado puede puede modelarse modelarse como como partícula partícula o no; saben saben que deben determinar determinar el movimiento de su centro centro de masa. masa. Para Para ayudar ayudar a los estudiantes estudiantes a identificar identificar vimiento resultados importantes, destacan las ecuaciones ecuaciones clave (p (p.. ej., véase la resultados importantes, se destacan conceptos analizados analizados en cada cada capítulo capítulo se refuerzan refuerzan volviénvolviénpág. 18), y los conceptos presentar en un resumen resumen al final de cada cada capítulo capítulo. . dolos a presentar Mentalidad de de ingenieros ingenieros La ingeniería una disciplina disciplina apasioapasioMentalidad ingeniería es una nante que requiere requiere creatividad creatividad e imaginación, imaginación, así como como conocimientos conocimientos y nante una manera manera de pensar pensar sistemática. sistemática. En este libro libro tratamos tratamos de mostrar mostrar el una papel que desempeña desempeña la mecánica mecánica dentro dentro del contexto contexto más amplio amplio de la papel práctica de la ingeniería. ingeniería. Los ingenieros ingenieros de la industria industria y la Junta Junta para para práctica Acreditación de la Ingeniería Ingeniería y la Tecnología Tecnología (ABET, (ABET, Accrediting Board la Acreditación Accrediting Board for Engineering Engineering and Technology) fomentan profesores la inclusión inclusión and Technology) fomentan en los profesores del diseño en las primeras primeras etapas etapas del currículo currículo de ingeniería. ingeniería. En muchos muchos ejemplos y problemas problemas incluimos incluimos ideas sencillas sobre sobre diseño y seguride los ejemplos sacrificar el énfasis énfasis en la mecánica mecánica fundamental. fundamental. Muchos Muchos probleprobledad sin sacrificar plantean en función función de consideraciones consideraciones de diseño y seguridad seguridad (p. mas se plantean Probs. 3.101 y 3.102, pág. 136); 136); en algunos ej., véanse los Probs. algunos casos se pide estudiantes que escojan escojan un parámetro parámetro de diseño de entre entre un conjunto conjunto a los estudiantes valores posibles posibles con base en un criterio criterio especificado especificado (p. ej., ej., véanse los de valores Probs. 4.118, pág. 180, y 4.125, pág. 181). 181). Nuestros Nuestros estudiantes estudiantes han han resProbs. pondido positivamente positivamente a estos elementos elementos motivantes motivantes y han han desarrollado desarrollado pondido una conciencia conciencia de cómo cómo se aplican aplican esas ideas esenciales en la ingeniería. ingeniería. una

Características pedagógicas pedagógicas Características Con base en nuestra nuestra experiencia experiencia docente docente y en consejos consejos de muchos muchos colegas, Con hemos incluido incluido varios aspectos aspectos pedagógicos pedagógicos para para ayudar estudiantes ayudar a los estudiantes aprender y a ampliar ampliar su perspectiva perspectiva de la mecánica. mecánica. a aprender http://carlos2524.jimdo.com/

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PREFACIO

Estrategia para para la resolución resolución de de problemas problemas Los ejemplos ejemplos reEstrategia sueltos y los problemas problemas de tarea tarea constituyen constituyen la piedra piedra angular angular de un curso sueltos mecánica. A lo largo largo del libro proporcionamos proporcionamos descripciones descripciones de los de mecánica. métodos métodos usados usados en los ejemplos, ejemplos, que los estudiantes estudiantes encontrarán encontrarán de utilidad al plantear plantear y resolver resolver los problemas. problemas. No damos damos recetas recetas para para que los dad estudiantes las sigan rígidamente, rígidamente, más bien, bien, describimos describimos líneas generales estudiantes de análisis aplicables aplicables a una una amplia gama de problemas, problemas, damos damos consejos consejos amplia gama sobre dificultades dificultades comunes, comunes, que equivalen equivalen a la información útiles y avisos sobre información dada a nuestros nuestros estudiantes estudiantes durante durante las horas horas de consulta consulta (p. ej., ej., véanse dada las págs. 33, 242, 262 y 311). Aplicaciones Muchos de nuestros nuestros ejemplos problemas son tomados tomados Aplicaciones Muchos ejemplos y problemas práctica de la ingeniería ingeniería y comprenden comprenden desde artículos artículos caseros caseros famide la práctica hasta aplicaciones aplicaciones bastante bastante exóticas exóticas de la ingeniería. ingeniería. Además, Además, los liares hasta ejemplos titulados" titulados" Aplicaciones Aplicaciones a la ingeniería" ingeniería" proporcionan proporcionan estudios estudios ejemplos detallados de diferentes diferentes ramas ramas de la ingeniería. ingeniería. Estos Estos ejemde casos más detallados muestran cómo cómo los principios principios aprendidos aprendidos en el texto texto son directamente directamente plos muestran aplicables a problemas problemas actuales actuales y futuros futuros de la ingeniería. ingeniería. Nuestra Nuestra meta aplicables meta ayudar a los estudiantes estudiantes a ver la importancia importancia de la mecánica mecánica en esas es ayudar aplicaciones aplicaciones y motivarlos motivarlos para para que la aprendan aprendan (véanse, p. ej., ej., las págs. 118 y 218). 79, 118 Problemas con con computador computador encuestas indican indican que la mayor mayor Problemas Las encuestas parte de los profesores profesores hace algún uso de los computadores, computadores, pero no hay parte consenso consenso sobre sobre la manera manera en que deberían deberían hacerlo. hacerlo. Nosotros Nosotros damos damos al profesor la oportunidad oportunidad de iniciar iniciar a los estudiantes estudiantes en las aplicaciones aplicaciones de la profesor computación a la dinámica dinámica (incluido (incluido el empleo empleo de las diferencias diferencias finitas computación para integrar integrar las ecuaciones ecuaciones del movimiento) movimiento) sin imponer imponer una una metodología metodología para particular. Las secciones llamadas' llamadas' 'Ejemplo 'Ejemplo con computador" computador" contienen contienen particular. ejemplos y problemas problemas adecuados adecuados al uso de una una calculadora calculadora programable programable ejemplos computador (véanse, p. ej., ej., las págs. 128 128y profesor puede o de un computador y 174). El profesor puede estudiantes esos problemas: problemas: usando usando un lenescoger cómo deben resolver los estudiantes guaje de programación, programación, una una hoja hoja de cálculo o un ambiente ambiente de alto nivel para para resolución de problemas. problemas. Esas secciones son independientes independientes y completas. completas. la resolución de capítulos capítulos Comenzamos Comenzamos cada cada capítulo capítulo con una una ilustrailustraPrincipio de muestra una aplicación de las ideas estudiadas estudiadas en el capítulo, capítulo, ción que muestra una aplicación menudo escogiendo escogiendo objetos objetos familiares familiares a los estudiantes. estudiantes. Al mostrar mostrar a a menudo los estudiantes estudiantes cómo cómo los conceptos conceptos de este curso curso se relacionan relacionan con el diseño funcionamiento de objetos objetos familiares, familiares, ellos pueden pueden empezar empezar aapreciar aapreciar y funcionamiento importancia y lo atractivo atractivo de la ingeniería ingeniería como como carrera carrera (véanse las págs. págs. la importancia 98, 230 y 302).

Compromiso con con los estudiantes estudiantes y profesores profesores Compromiso Hemos tomado tomado precauciones precauciones para para asegurar asegurar la exactitud exactitud de este libro. libro. Los Hemos examinaron cada cada parte parte del manuscrito manuscrito tratando tratando de detectar detectar posirevisores examinaron errores. Cada Cada uno uno de nosotros nosotros resolvió resolvió los problemas problemas para para asegurarasegurarbles errores. respuestas fuesen correctas correctas y que los problemas problemas tuvieran tuvieran nos de que sus respuestas apropiado de dificultad. dificultad. James James Whitenton Whitenton examinó examinó el texto texto comun nivel apropiado pleto en busca busca de errores errores que se pudieran pudieran haber haber introducido introducido durante durante el proceso tipográfico. tipográfico. proceso http://carlos2524.jimdo.com/

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Cualesquiera de los los autores. autores. Damos Damos la la Cualesquiera errores errores son son responsabilidad responsabilidad bienvenida respecto a erroerrobienvenida a los los comunicados comunicados de estudiantes estudiantes y profesores profesores respecto res o partes Department partes que que puedan puedan ser ser mejoradas. mejoradas. Nuestra Nuestra dirección dirección es Department of Aerospace Aerospace Engineering Engineering and and Engineering Engineering Mechanics, Mechanics, University of University of of TeTexas Nuestra dirección electrónica es xas . at at Austin, Austin, Austin, Austin, Texas Texas 78712. 78712. Nuestra dirección electrónica [email protected]. [email protected].

Suplementos Suplementos de de software software

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Edición para Workpara estudiantes estudiantes de de Working Model® Model® El El software software Working programa de de modelado modelado ing Model® Model'" (Knowledge (Knowledge Revolution, Revolution, Inc.) Inc.) es un un programa simulación que que permite permite al estudiante estudiante visualizar visualizar problemas problemas de y simulación de ingeniería. ingeniería. El programa un cuerpo cuerpo (o cuerpos), cuerpos), programa calcula calcula la interacción interacción de fuerzas fuerzas sobre sobre un anima como fuerza, fuerza, momenmomenanima los resultados resultados y proporciona proporciona datos datos de salida salida como to, gráfica. La La edición edición estuto, velocidad, velocidad, aceleración, aceleración, etc. etc. en forma forma digital digital o gráfica. estudiantil diantil de este este potente potente programa programa lo hace hace accesible accesible a estudiantes estudiantes de de los los primeros como para para MaMaprimeros semestres. semestres. Está Está disponible disponible tanto tanto para para Windows Windows como cintosh. de su ciudad ciudad para para cintosh. Contacte Contacte al representante representante de Addison-Wesley Addison-Wesley de mayor información información (véase (véase pág. pág. ii). mayor Simulaciones un disquete disquete con con aproxiaproxiSimulaciones con con Working Model® Model® Existe Existe un madamente para trabajar trabajar con con madamente 100 problemas problemas y ejemplos ejemplos del texto texto listos listos para ellos han elaborado elaborado para para perperellos en en Working Working Model® Model" . Estas Estas simulaciones simulaciones se han mitir El estudiante mitir al estudiante estudiante cambiar cambiar variables variables y ver ver los resultados. resultados. El estudiante explora la duda duda de de "qué pasaexplora diferentes diferentes situaciones situaciones físicas físicas motivado motivado por por la "qué pasamás profunda profunda que que la la ría si ... ... " y, así, así, desarrolla desarrolla una una agudeza agudeza conceptual conceptual más ría adquirida problemas. Para Para obteobteadquirida con con la sola sola resolución resolución cuantitativa cuantitativa de los los problemas. ner Addison-Wesley IberoIberoner una una copia copia gratuita gratuita de este este disquete, disquete, escriba escriba a Addison-Wesley americana (véase (véase pág. pág. ii). americana

Reconocimientos Reconocimientos

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, Agradecemos hemos Agradecemos a nuestros nuestros profesores, profesores, colegas colegas y estudiantes estudiantes lo que que hemos aprendido revisaron aprendido sobre sobre la mecánica mecánica y su enseñanza. enseñanza. Muchos Muchos colegas colegas revisaron el manuscrito conocimientos y expeexpemanuscrito y compartieron compartieron generosamente generosamente sus sus conocimientos riencia riencia para para mejorar mejorar nuestro nuestro libro libro. . Ellos Ellos son: son:

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Nick Altiero Altiero Nick Michigan State State University University

James J ames G. G. Andrews Andrews University University al 01 Iowa Gautam Gautam Batra Batra University University al 01 Nebraska Nebraska Rathi Rathi Bhatacharya Bhatacharya Bradley University University Clarence Calder Clarence Calder Oregon Slate State Universily University

Mark Mark Frisina Frisina Wentworth Wentworth Institute Institute

v . J. Lopardo Lopardo V.

Robert W W.. Fuessle Fuessle Robert Bradley Bradley University University

Frank K. K. Lu Lu Frank

John John Giger Giger Rose Rose Sta te College Robert A. Howland Howland Robert University al 01 Notre Notre Dame Dame

David David B. Johnson Johnson Soulhern Southern Melhodisl Methodist Universily University

U.S. Naval Naval Academy Academy

University al Texas, University 01 Arlington Arlington Donald L. Margolis Donald L. Margolis

University al California, University 01 California, Davis Davis George Mase Mase George

Michigan State State Michigan University UniversilY William W. W. Seto William Seto

Jase Universily San Jose University


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Anthony Anthony DeLuzio DeLuzio Merrimack College Merrimack

Charles Charles M. Krousgrill Krousgrill Purdue University Purdue University

Francis Francis M. Thomas Thomas University University 01 o/ Kansas

Richard Richard Lewis Louisiana Technological Louisiana Technological University University

Mark Mark R. Virkler University Missouri, University 01 o/ Missouri, Columbia Columbia

James James Dent Montana Sta te Montana University University

Brad S. Liebst University Minnesota University 01 o/ Minnesota

Walston, Jr. Jr. William H. Walston, University Maryland University 01 o/ Maryland

Robert W. Fitzgerald Fitzgerald Robert Worcester Polytechnic Polytechnic lnstirute lnstitute

Bertram Bertram Long Northeastern University Northeastern University

Julius Julius P. Wong Wong University Louisville University 01 o/ Louisville

Xiaomin Xiaomin Deng University 01 o/ South South Carolina

Agradecemos particularmente particularmente a Eugene Eugene Davis, Serope Serope Kalpakjian Kalpakjian y Eric Agradecemos Sandgren la sugerencia sugerencia de incluir incluir muchos muchos problemas problemas basados basados en su amplio amplio Sandgren conocimiento de aplicaciones aplicaciones de la mecánica mecánica a la ingeniería. ingeniería. Agradecemos Agradecemos conocimiento al personal personal de Addison-Wesley Addison- Wesley su amistad amistad y generosa generosa ayuda, ayuda, especialmenespecialmenAaronson, Jennifer Jennifer Duggan, Duggan, Don Don Fowley, J oyce Grandy, Grandy, Stuart Stuart te a Bette Aaronson, Johnson, Laurie Laurie McGuire McGuire y Jim Rigney. Estamos Estamos muy agradecidos agradecidos con Johnson, nuestro editor editor David David Chelton Chelton y con el artista artista James J ames Bryant Bryant por por haber haber llevanuestro trabajo más allá de nuestra nuestra modesta modesta concepción. concepción. Agradecemos Agradecemos do este trabajo nuestro presidente presidente Richard Richard Miksad Miksad su continuo continuo apoyo, apoyo, que hizo posible posible a nuestro proyecto. Por Por supuesto, supuesto, agradecemos agradecemos también también a nuestras nuestras familias familias su el proyecto. apoyo en todo todo momento. momento. valioso apoyo Anthony Wallace L. Fowler Anthqny Bedford Bedford y Wal/ace Fow/er Julio Julio de 1994 Austin, Austin, Texas

acerca de la edición edición en español español Nota acerca mecánica, así como como la meta meta más elevada elevada de la ingeniería ingeniería La ciencia de la mecánica, -la aplicación aplicación de la tecnología tecnología para para beneficio beneficio de la humanidad-, humanidad-, es uni-la trasciende los idiomas idiomas y las fronteras. fronteras. Así, nuestro nuestro libro libro va dirigido dirigido versal y trasciende todos los estudiantes estudiantes de ingeniería, ingeniería, aunque aunque algunas algunas aplicaciones aplicaciones y enfoenfoa todos ques de la ingeniería ingeniería sean característicos característicos de diferentes diferentes regiones. regiones. En el sisteUniversity of of Texas tenemos tenemos la fortuna fortuna de contar contar con muchos muchos ma de la University estudiantes de ingeniería ingeniería provenientes provenientes de México, América América Central Central y SudaSudaestudiantes mérica, procurado tener presentes sus enfoques enfoques e intereses intereses al escrimérica, y hemos procurado tener presentes texto. Nuestro Nuestro traductor, traductor, Ing. José de la Cera, Cera, yel yel revisor técnico, técnico, bir este texto. Antonio Martín-Lunas, Martín-Lunas, ambos ambos de la Universidad Universidad Autónoma Autónoma MetroMetroIng. Antonio politana, Unidad AzcapotzaIco, México, México, han han efectuado efectuado adaptaciones adaptaciones a politana, Unidad Azcapotzalco, mejorar el libro libro en este aspecto. aspecto. Agradecemos Agradecemos mucho mucho sus contribucontribufin de mejorar sentimos complacidos complacidos y honrados honrados por por la traducción traducción de nuestro nuestro ciones y nos sentimos lengua española. española. libro a la lengua Anthony Wallace Fowler Anthony Bedford Bedford y Wal/ace Fow/er Septiembre de 1995 Septiembre Austin, Austin, Texas http://carlos2524.jimdo.com/

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PREFACIO PREFACIO

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Reconocimientos Reconocimientos a los colaboradores colaboradores de de la edición edición en español español Addison-Wesley Iberoamericana Iberoamericana desea agradecer agradecer las valiosas valiosas aportacioAddison-Wesley aportacioprofesores que evaluaron evaluaron esta obra obra durante durante la preparación nes de los profesores preparación de versión en español. español. Ellos fueron: fueron: Ing. Jaime Jaime Martínez Martínez Martínez Martínez (Univerla versión sidad Nacional Nacional Autónoma Autónoma de México), Ing. Antonio Antonio Martín-Lunas Martín-Lunas (Universidad Azcapotzalco, México), versidad Autónoma Autónoma Metropolitana, Metropolitana, unidad unidad Azcapotzalco, México), Fís. Manuel Manuel B. Tienza Tienza Caballero Caballero (Universidad (Universidad Iberoamericana, Iberoamericana, México), México), Ing. Javier Javier Arjona Arjona Báez (Instituto (Instituto Tecnológico Tecnológico y de Estudios Estudios Superiores Superiores de Monterrey, campus Monterrey, Monterrey, México) y Dr. Luis Neri Vitela Vitela (Instituto Monterrey, campus (Instituto Estudios Superiores de Monterrey, Monterrey, campus Ciudad Ciudad de MéTecnológico y de Estudios agradecemos a los siguientes profesores profesores sus comentarios: comentarios: xico). Así mismo, agradecemos Luis Eduardo Eduardo Benítez Benítez H. H. Luis Universidad Nacional Nacional de Universidad Colombia Colombia

Máximo Fioravanti Fioravanti Máximo Universidad Nacional Nacional de Universidad Buenos Aires Buenos A ires

Tomás Alberto del Tomás Alberto del Carril Carril

Carlos E. Muñoz Muñoz R. Carlos Pontificia Universidad Universidad Pontificia Javeriana Santafé Bogotá, Santafé de Bogotá, Colombia Colombia

Universidad Nacional Universidad Nacional de Buenos Aires Buenos Aires Sergio Díaz Díaz B. Sergio Universidad Simón Simón Bolivar Bolivar Universidad Caracas, Venezuela

José Navarro Navarro Solé Solé José Superior Escuela Técnica Superior

Ingenieros Industriales de Ingenieros Industriales Barcelona, España España Lanzier Efraín Efraín Torres Lanzier Torres Ortiz Ortiz Universidad Un iversidad Nacional Nacional Autónoma Autónoma de México México Alfredo Zata Zatarain Alfredo rain T. T. Universidad Autónoma Universidad Autónoma de Chapingo Chapingo Chapingo, México México Chapingo,

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íNDICE GENERAL

indice indice general general

1 1 Introducción Introducción 1, 1 Ingeniería y mecánica 2 1,2 El aprendizaje aprendizaje de la mecánica 2 Resolución de problemas problemas 3 / Calculadoras Calculadoras y computadores computadores 3 / Resolución Aplicaciones a la ingeniería ingeniería 3 Aplicaciones

1,3 Conceptos fundamentales 4 Espacio tiempo 4 / Leyes de Newton Newton 4 / Espacio y tiempo La gravitación Newton 5 / Números gravitación de Newton Números 6

1,4 Unidades 7 Sistema Internacional Internacional de Unidades Unidades 7 / Sistema Sistema inglés de unidaunidaSistema des 8 / Unidades Unidades angulares angulares 8 / Conversión Conversión de unidades unidades 9

Movimiento de de un punto punto 2 Movimiento

15

2,1 Posición, Posición, velocidad y aceleración

16

2,2 2,2 Movimiento en línea recta recta 17 17 Descripción Descripción del movimiento movimiento 17 17 / Análisis Análisis del movimiento movimiento 18 18

2,3 2,3 Movimiento curvilíneo 40 40 Coordenadas Coordenadas cartesianas cartesianas 40 / Movimiento Movimiento angular angular 49 / Componentes normal normal y tangencial tangencial 55 55 / Coordenadas Coordenadas polares polares y Componentes cilíndricas 66 cilíndricas


íNDICE GENERAL

2.4 Mecánica de órbitas 74 APLICACIÓN SATÉLITES DE COMUNICACIONES COMUNICACIONES APLICACIÓN A LA INGENIERÍA INGENIERÍA:: SATÉLITES

79 79

2.5 Movimiento relativo 82 82 EJEMPLO EJEMPLO CON COMPUTADOR COMPUTADOR

91

Resumen Resumen del capítulo capítulo 93 Problemas Problemas de repaso repaso

96

3 Fuerza, masa masa yaceleración yaceleración 3.1 Segunda ley de Newton

99

100 100··

100 3.2 Marcos de referencia inerciales 100 3.3 Ecuación de movimiento para el centro de masa 101 101 3.3

103 3.4 Aplicaciones 103 Coordenadas movimiento en línea recta recta 103 Coordenadas cartesianas cartesianas y movimiento 103 / Componentes normal normal y tangencial 115 / Coordenadas Componentes tangencial 115 Coordenadas polares polares 124 APLICACIÓN A LA INGENIERÍA: INGENIERÍA: DINÁMICA DINÁMICA DE VEHÍCULOS VEHÍCULOS APLICACIÓN

Coordenadas Coordenadas polares polares 124 124 EJEMPLO EJEMPLO CON COMPUTADOR COMPUTADOR

Resumen Resumen del capítulo capítulo 134 Problemas Problemas de repaso repaso 134


128 128

118

xi

xii

íNDICE GENERAL íNDICE

Métodos energéticos energéticos 4 Métodos

139 139

energía cinética cinética Trabajo y energía

140

4.1 Principio del trabajo y la energía 140 140 4.2 Trabajo y potencia 141 141 4.2

Evaluación Evaluación del trabajo trabajo 141 141// Trabajo Trabajo realizado realizado por por varias varias fuerzas 147 147// Potencia 149 149 Potencia

Energía potencial potencial

160

4.3 Conservación de la energía 160 4.4 4.4 Fuerzas conservativas 161 161 Energías potenciales de varias varias fuerzas Energías potenciales fuerzas 162 / Relaciones Relaciones entre entre la fuerza potencial 167 fuerza y la energía energía potencial 167 EJEMPLO EJEMPLO CON COMPUTADOR COMPUTADOR

174

Resumen del capítulo capítulo 174 Resumen

Problemas repaso 179 Problemas de repaso

Métodos de de la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento 5 Métodos

185

5 .1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 5.1 5.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal 5.2

186 195

5.3 Impactos 198 Impactos centrales centrales directos directos 199 / Impactos Impactos centrales centrales oblicuos oblicuos 200 Impactos

5.4 5 .4 Momento Momento angular 209 Principio del impulso impulso angular angular y del momento momento angular angular 209 / Principio una fuerza fuerza central central 210 Movimiento bajo bajo una Movimiento

5.5 Flujos de masa 215 5.5 APLICACIÓN APLICACIÓN A A LA LA INGENIERÍA: INGENIERÍA: MOTORES DE DE REACCIÓN

Resumen Resumen del capítulo capítulo 267 Problemas Problemas de repaso repaso

268


218

íNDICE íNDICE GENERAL GENERAL

6 Cinemática Cinemática plana plana de de cuerpos cuerpos rígidos 6.1 6 .1 Cuerpos Cuerpos rígidos rígidos y tipos tipos de de movimiento movimiento 6.2 6. 2 Rotación Rotación respecto respecto aa un un eje eje fijo fijo

xiii

231 231

232

235

6.3 6 .3 Movimientos Movimientos generales: generales: velocidades velocidades 239 Velocidades Velocidades relativas relativas 239 / Vector Vector de velocidad velocidad angular angular 240 / Centros Centros instantáneos instantáneos 254

6.4 6 .4 Movimientos Movimientos generales: generales: aceleraciones aceleraciones 260 6 .5 Contactos Contactos deslizante deslizantess 271 6.5 6.6 6. 6 Sistemas Sistemas coordenados coordenados en en rotación rotación

281

Movimiento Movimiento de un punto punto respecto respecto a un sistema sistema coordenado coordenado en rotación 281 / Marcos Marcos de referencia referencia inerciales inerciales 286 rotación 281 Resumen capítulo Resumen del capítulo

296

Problemas Problemas de repaso repaso

298

Dinámica bidimensional bidimensional de de cuerpos cuerpos 7 Dinámica rígidos 303 ecuaciones de movimiento movimiento 304 7. 1 Revisión Revisión previa previa de las ecuaciones

7.22 Principios Principios de la cantidad cantidad de movimiento movimiento para un sistema sistema 7. 305 de partículas partículas 305 Principio fuerza y cantidad cantidad del movimiento 305 / Principio de la fuerza movimiento lineal 305 Principios del momento momento y momento Principios momento angular angular 306 7.3 Deducción Deducción de las ecuaciones ecuaciones de equilibrio equilibrio 7.3

309

Rotación alrededor alrededor de un eje fijo 309 / Movimiento plano general Rotación Movimiento plano 310

7.4 Aplicaciones 311 Aplicaciones Traslación 312 312/ / Rotación Rotación alrededor alrededor de un eje fijo 314 314 / Traslación Movimiento plano plano general 318 318 Movimiento APLICACIÓN INGENIERÍA: FUERZ FUERZAS MOMENTOS IINTERNOS APLI C A C IÓN A LLA A INGENIERÍA: AS Y MOMENTOS NTERNOS EN

VIGAS VIGAS

324 324

7.5 Principio Principio de D' Alembert Alembcrt 7.5

327 327

EJEMPLO CON COMPUTADOR COMPUTADOR EJEMPLO

341

Apéndice: Momentos Momentos de inercia inercia 344 344 Apéndice: Cuerpos simples 345 345 / Teorema Teorema de los ejes paralelos paralelos 350 350 Cuerpos capítulo Resumen del capítulo

360 360

Problemas de repaso Problemas

362 362


xiv

íNDICE GENERAL

Energía y cantidad cantidad dfl_ movimiento en la 8 Energía d~_ movimiento dinámica plana de cuerpos cuerpos rígidos 367 plana de dináinica 8.11 Principio Principio del trabajo trabajo y la energía energía 368 8. Sistema de partículas Cuerpo rígido plano 369 Sistema partículas 368 / Cuerpo rígido en movimiento movimiento plano Trabajo y energía energía potencial potencial 372 8.2 Trabajo 8.3 Potencia Potencia 8.3 374 Principios del impulso impulso y la cantidad cantidad de movimiento movimiento 8.4 Principios 389 Cantidad de movimiento angular 390 Cantidad movimiento lineal 389 / Momento Momento angular Impactos 8.5 Impactos 397 Conservación de la cantidad cantidad de movimiento Coeficiente de Conservación movimiento 397 / Coeficiente restitución restitución 398 Resumen capítulo Resumen del capítulo

412


415

Cinemática y dinámica dinámica tridimensionales tridimensionales de de 9 Cinemática cuerpos rígidos 421 421 cuerpos Cinemática 422 9.1 Cinemática Momento angular angular 430 9.2 Momento Rotación alrededor de un punto Movimiento general general Rotación alrededor punto fijo 430 / Movimiento 432 Momentos 99.3 .3 Momentos

y productos productos de inercia inercia

433

Cuerpos simples 433 / Teoremas Teoremas de los ejes paralelos Cuerpos paralelos 436 / Momento inercia respecto arbitrario 437 / Ejes Momento de inercia respecto a un eje arbitrario principales principales 438 Ecuaciones de Euler Euler 9.4 Ecuaciones

448

Rotación general 450 Rotación respecto respecto a un punto punto fijo 448 / Movimiento Movimiento general Euler 464 9.5 Ángulos Ángulos de Euler Cuerpos con un eje de simetría simetría 464 / Cuerpos Cuerpos arbitrarios arbitrarios 468 Cuerpos Resumen del capítulo capítulo

476


480


íNDICE GENERAL GENERAL íNDICE

10 10 Vibraciones Vibraciones

483

10.1 Sistemas 484 Sistemas conservativos conservativos Ejemplos 484 / Soluciones Soluciones 486 Ejemplos

10.2 499 10.2 Vibraciones Vibraciones amortiguadas amortiguadas Amortiguamiento crítico 500 / Amortiguamientos Amortiguamiento sub subcrítico Amortiguamientos crítico crítico y supercrítico supercrítico 501 501

1 0.3 Vibraciones 10.3 Vibraciones forzadas forzadas 508 Función de excitación excitación oscilatoria oscilatoria 509 / Función Función de excitación excitación Función polinomial polinomial 510 APLICACIÓN APLICACIÓN A LA INGENIERÍA: TRANSDUCTORES DE DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO

516

EJEMPLOS CON COMPUTADOR

521 521

Resumen del capítulo capítulo 524 Resumen Problemas de repaso repaso 527 527 Problemas

Apéndices Apéndices A

Repaso de matemáticas matemáticas Repaso 529

B B

Propiedades de áreas áreas y líneas líneas 532 Propiedades

e

Propiedades de volúmenes volúmenes y cuerpos cuerpos homogéneos homogéneos Propiedades 534

D D

Coordenadas esféricas esféricas 536 Coordenadas

Respuestas Respuestas aa los problemas problemas pares pares índice de de materias materias índice


546

537

XV

~

r..'. 1;

~..•

E

l primer vuelo de un transbordador espacial fue el12 de abril de de 1981. El transbordador espacial Columbia entró en órbita a 271 km sobre la Tierra. Para entrar en órbita tuvo que alcanzar una velocidad relativa al centro de la Tierra de aproximadamente 8 km/s. Después de dos días de vuelo, con el comandante John Young en los controles, aterrizó en la base Edwards de la Fuerza Aérea en California. .:.. ,'.

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•


I

Capítulo Capítulo 1 I

Introducción Introducción

L transbordador espacial se concibió concibió como como un métométotransbordador espacial económico para órbita personal equipo. do económico para poner poner en órbita personal y equipo. Durante su desarrollo, desarrollo, los ingenieros ingenieros usaron Durante usaron principios principios dinámica para movimiento durante durante el despara predecir predecir su movimiento de dinámica pegue, órbita y al aterrizar. aterrizar. Estas Estas predicciones fueron predicciones fueron pegue, en órbita diseño de su configuración configuración aerodinámiaerodinámipara el diseño esenciales para

E E

ea y estructura, estructura, así como como de los motores motores y del sistema sistema de ca control. dinámica es una basa una de las ciencias en que se basa control. La dinámica el diseño de todos vehículos y máquinas. máquinas . todos los vehículos

...


2

CAPíTULO 1 CAPíTULO

INTRODUCCiÓN INTRODUCCiÓN

1.. 1 1 Ingeniería Ingeniería y mecánica mecánica 1 ¿Cómo se diseñan diseñan los sistemas sistemas para características antes antes de ¿Cómo para predecir predecir sus características construirlos? Los ingenieros ingenieros confían confían en su conocimiento conocimiento y experiencia, experiencia, construirlos? experimentos, el ingenio ingenio y la creatividad creatividad para diseños. en experimentos, para producir producir nuevos nuevos diseños. Los ingenieros ingenieros modernos cuentan con una desarrollan modernos cuentan una poderosa poderosa técnica: desarrollan ecuaciones matemáticas características físicas de los objeobjeecuaciones matemáticas basadas basadas en las características tos que diseñan. diseñan. Con Con estos modelos modelos matemáticos, comportamatemáticos, predicen predicen el comportamiento diseños, los modifican antes de construirlos. construirlos. miento de sus diseños, modifican y los prueban prueban antes Los ingenieros ingenieros civiles usaron analizar la usaron modelos modelos matemáticos matemáticos para para analizar respuestas cargas de la estructura estructura de acero de la Torre Torre Sears. Sears. y respuestas a cargas y los ingenieros aeroespaciales aeroespaciales usan nieros usan modelos modelos matemáticos matemáticos para para predecir predecir las trayectrayectorias espaciales seguirán seguirán en su vuelo. torias que los transbordadores transbordadores espaciales vuelo. Los ingenieros ingenieros son responsables responsables de diseñar, diseñar, construir construir y probar probar los objetos jetos que usamos, usamos, desde sillas y afiladores afiladores de lápices hasta hasta presas, presas, autoautomóviles y aeronaves. aeronaves. Deben Deben tener tener un profundo profundo conocimiento conocimiento de la física que sustenta sustenta tales sistemas sistemas y deben deben poder poder usar usar modelos modelos matemáticos matemáticos para para predecir comportamiento de estos sistemas. sistemas. Los estudiantes estudiantes de ingeniepredecir el comportamiento ría aprenden a analizar analizar y predecir comportamiento de los sistemas ría aprenden predecir el comportamiento estudio de la mecánica. físicos mediante mediante el estudio mecánica. En su nivel más elemental, elemental, la mecánica estudio de las fuerzas y mecánica es el estudio efectos. La mecánica elemental se divide en estática, estática, que es el estudio estudio mecánica elemental sus efectos. equilibrio, y dinámica, dinámica, que estudia estudia los objetos objetos en movide los objetos objetos en equilibrio, miento. obtenidos en la mecánica elemental se aplican aplican dimiento. Los resultados resultados obtenidos mecánica elemental rectamente campos de la ingeniería. rectamente a muchos muchos campos ingeniería. Los ingenieros ingenieros civiles y mecánicos diseñan estructuras estructuras usan ecuaciones de equilibrio equilibrio obteniobtenimecánicos que diseñan usan ecuaciones estática. Los ingenieros ingenieros civiles que analizan analizan las resdas por por medio medio de la estática. puestas edificios frente frente a sismos sismo s y los ingenieros aeroespaciales que puestas de edificios ingenieros aeroespaciales determinan las trayectorias satélites, usan ecuaciones de movideterminan trayectorias de satélites, usan las ecuaciones miento contenidas en la dinámica. dinámica. miento contenidas La mecánica ciencia analítica; analítica; por conceptos mecáruca fue la primera primera ciencia por ello los conceptos fundamentales, los métodos analíticos y las analogías analogías de la mecánica fundamentales, métodos analíticos mecánica se encuentran virtualmente Por ejemencuentran virtualmente en todas todas las ramas ramas de la ingeniería. ingeniería. Por plo, estudiantes de ingeniería ingeniería química química y eléctrica eléctrica comprenden comprenden mejor plo, los estudiantes mejor conceptos básicos como el equilibrio, equilibrio, la energía energía y la estabiliestabililos conceptos básicos de temas temas como dad aprendiéndolos en sus contextos originales; al estudiar estudiar dad aprendiéndolos contextos mecánicos mecánicos originales; mecánica desarrollo histórico mecánica vuelven a trazar trazar el desarrollo histórico de esas ideas. ideas.

1.2 Aprendizaje mecánica 1.2 Aprendizaje de la mecánica La mecánica consiste en principios amplios que rigen el comportamiento comportamiento mecánica consiste principios amplios cuerpos. En este libro describimos esos principios damos ejemde los cuerpos. libro describimos principios y damos algunas de sus aplicaciones. aplicaciones. Aunque plos que muestran muestran algunas Aunque es esencial que similares a esos ejemplos, ejemplos, nuestro objetivo es se resuelvan resuelvan problemas problemas similares nuestro objetivo ayudar a entender entender estos principios suficientemente bien para aplicarlos ayudar principios suficientemente para aplicarlos situaciones que se presenten. Cada generación a las nuevas nuevas situaciones presenten. Cada generación de ingenieros ingenieros enfrenta a nuevos se enfrenta nuevos problemas. problemas. http://carlos2524.jimdo.com/

1.2

Resolución de problemas de problemas

,.

En el estudio mecánica se aprenden procedimientos para para resolver resolver estudio de la mecánica aprenden procedimientos problemas cursos posteriores largo de la carrera. carrera. problemas que se usarán usarán en cursos posteriores y a lo largo Aunque diferentes tipos de problemas problemas requieren requieren distintos métodos, los Aunque diferentes tipos distintos métodos, muchos de ellos: siguientes pasos pasos se aplican aplican a muchos respuesta, que • Identifique Identifique la información información dada dada y la información, información, o respuesta, se debe determinar. reformule el problema problema determinar. Suele ser útil que .usted reformule en sus propias propias palabras. palabras. Cuando Cuando sea apropiado, apropiado, asegúrese asegúrese de que entiende el sistema sistema físico o el modelo implícito. modelo implícito. entiende • Desarrolle una estrategia para el problema. problema. Esto Desarrolle una estrategia para Esto es, identifique identifique los principios y ecuaciones usará. Si es posiprincipios ecuaciones aplicables aplicables y diga cómo cómo los usará. para visualizar visualizar el problema. problema. ble, dibuje dibuje diagramas diagramas para • Siempre pueda, trate trate de predecir predecir la respuesta. respuesta. Esto Siempre que pueda, Esto desarrollará desarrollará su intuición reconocer una una respuesta respuesta incorrecta. intuición y lo ayudará ayudará a reconocer incorrecta. Resuelva las ecuaciones ecuaciones y, cuando cuando sea posible, interprete sus resulta• Resuelva posible, interprete resultados y compárelos predicción. El último último paso paso se llama compárelos con su predicción. llama verificación realista. realista. ¿Es razonable razonable su respuesta? respuesta?

y

io

Calculadoras Calculadoras y computadores computadores libro la mayoría diseñaron para conduzEn este libro mayoría de los problemas problemas se diseñaron para que conduzrespuesta en funcan a una una expresión expresión algebraica algebraica con con la cual se calcule la respuesta ción de cantidades Una calculadora trigonométricantidades dadas. dadas. Una calculadora con funciones funciones trigonométricas y logarítmicas logarítmicas es suficiente suficiente para para determinar determinar el valor valor numérico numérico de tales respuestas. conveniente contar contar con una calculadora programable respuestas. Es conveniente una calculadora programable o un para .resolver problemas, problemas, como Mathcad computador programas para computador con con programas como el Mathcad o el TK! Solver, Solver, pero pero no confíe herramientas de las que confíe demasiado demasiado en herramientas no dispondrá dispondrá en los exámenes. exámenes. computador hay ejemplos y problemas En las secciones Ejemplos Ejemplos con computador hay ejemplos problemas para resolverse resolverse con programable o computador. adecuados adecuados para con calculadora calculadora programable computador.

Aplicaciones Aplicaciones

a la la ingeniería ingeniería

Si bien los problemas problemas están principalmente para para apoyar están diseñados diseñados principalmente apoyar el aprendizaje mecánica, muchos muchos de ellos ilustran aprendizaje de la mecánica, ilustran el uso de esta ciencia ciencia en la ingeniería. Aplicación a la ingeniería descriingeniería. Las secciones llamadas llamadas Aplicación mecánica en varios varios campos ben cómo cómo se aplica aplica la mecánica campos de la ingeniería. ingeniería. Algunos problemas problemas destacan Algunos destacan dos aspectos aspectos esenciales de la ingeniería: ingeniería: • Diseño. Diseño. En algunos problemas se pide escoger valores valores de parámeparámealgunos problemas tros satisfagan criterios criterios específicos específicos de diseño. diseño. tros que satisfagan proble~as se pide evaluar evaluar la seguridad • Seguridad. Seguridad. En algunos algunos problemas seguridad de dispositivos valores de parámetros parámetros que satisfagan requisidispositivos y escoger escoger valores satisfagan requisitos específicos específicos de seguridad. seguridad.


APRENDIZAJE DE APRENDIZAJE DE LA MECÁNICA

3

4

CAPíTULO CAPíTULO 1 INTRODUCCiÓN INTRODUCCiÓN

1.3 1.3 Conceptos Conceptos fundamentales fundamentales Algunos temas de la mecánica mecánica le serán serán familiares familiares debido debido a la experiencia experiencia Algunos diaria o por por haberlos haberlos estudiado estudiado en cursos previos diaria previos de física. En esta sección repasamos repasamos brevemente brevemente los fundamentos fundamentos de la mecánica mecánica elemental. elemental.

a r

1;

Espacio y tiempo tiempo espacio se refiere refiere simplemente simplemente al universo universo tridimensional tridimensional en que viviEl espacio mos. Nuestras Nuestras experiencias experiencias diarias diarias nos dan dan una una noción noción intuitiva intuitiva del espaposiciones de los puntos puntos en él. La distancia distancia entre entre dos puntos puntos cio y de las posiciones en el espacio espacio es la longitud longitud de la línea recta recta que los une. Para medir medir la distancia distancia entre entre puntos puntos en el espacio espacio se requiere requiere una Para una unidad de longitud. longitud. Usaremos Usaremos tanto tanto el Sistema Sistema Internacional Internacional de Unidades Unidades (SI) como como el sistema sistema inglés. En unidades unidades SI, la unidad unidad de longitud longitud es el metro metro (m); en el sistema sistema inglés es el pie. El tiempo tiempo nos es muy familiar, familiar, pues nuestra nuestra vida se mide por por él. Los diarios de luz y oscuridad oscuridad y las horas, horas, minutos minutos y segundos segundos medidos medidos ciclos diarios por por un reloj nos dan dan una una noción noción intuitiva intuitiva del tiempo. tiempo. Éste se mide por por los intervalos intervalos entre entre eventos eventos repetidos, repetidos, como como las oscilaciones oscilaciones del péndulo péndulo de un reloj o las vibraciones vibraciones en un reloj de cristal cristal de cuarzo. cuarzo. En los dos sistemas sistemas que usaremos usaremos la unidad unidad de tiempo tiempo es el segundo segundo (s). Los minutos minutos (min), las horas horas (h) y los días también también son de uso común. común. posición de un punto punto en el espacio espacio en relación relación con algún algún punto punto Si la posición cambia con el tiempo, tiempo, la razón razón del cambio cambio de su posición posición de referencia referencia cambia llama velocidad, velocidad, y la razón razón del cambio cambio de su velocidad denomina se llama velocidad se denomina unidades SI, la velocidad velocidad se expresa expresa en metros metros por por segunaceleración. En unidades 2 (m/s) y la aceleración metros por segundo cuadrado cuadrado (m/s (m/s-). do (m/s) aceleración en metros por segundo ). En unidades del sistema sistema inglés, la velocidad velocidad se expresa expresa en pies por por segunlas unidades 2 (pie/s) y la aceleración aceleración en pies por por segundo segundo cuadrado cuadrado (pie/s (pie/s-). do (pie/s) ).

de Newton Newton Leyes de

LEX 1 Corpus omne perseverare perseverare in statu statu suo quiescendi vel movendi uniformiter uniformiter in quiescendi directum, nisi quatenus quatenus iIIud a viribus directum, viribus impressis cogitur cogitur statum statum suum suum mutare. mutare. impressis 11 LEX 11 Mutationem motis proportionalem proportionalem esse vi Mutationem motrici impressae impressae et fieri fieri secondum secondum motrici Iineam rectam qua qua vis iIIa imprimitur. imprimitur. Iineam rectam III LEX III contrariam semper semper et aequalem aequalem Actioni contrariam reactionem: sive corporum corporum duorum duorum esse reactionem: actiones in se mutuo mutuo semper semper esse esse actiones aequales et in partes partes contrarias contrarias dirigi. dirigi. aequales

mecánica elemental elemental se estableció estableció sobre sobre una una base sólida sólida con la publicapublicaLa mecánica ción, en 1687, 1687, de Philosophiae naturalis principia mathematica de Isaac ción, Philosophiae naturalis principia mathematica Newton. Aunque sumamente sumamente original, original, este trabajo trabajo se basó basó en conceptos conceptos Newton. Aunque fundamentales desarrollados desarrollados durante durante una una larga larga y difícil lucha lucha por por entenentenfundamentales naturaleza. Newton estableció tres "leyes" "leyes" del movimiento movimiento que, der la naturaleza. Newton estableció expresadas en términos términos modernos, modernos, son: expresadas 1. Cuando Cuando la suma suma de las fuerzas sobre una particula 1. fuerzas que actúan sobre part[cula es velocidad es constante. constante. En particular, inicialmenigual a cero, su velocidad particular, si inicialmenpartícula se halla en reposo, permanecerá permanecerá en reposo. te la partícula

s a n p

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Cuando la suma suma de las fuerzas actúan sobre 2. Cuando fuerzas que actúan sobre una partícula partícula no suma de las fuerzas cambio fuerzas es igual a la razón de cambio es igual a cero, la suma cantidad de movimiento constanmovimiento de la partícula. partícula. Si la masa es constande la cantidad suma de las lasfuerzas fuerzas es igual al producto producto de la masa de la partípartíte, la suma cula y su aceleración. ejercidas por entre sí síson 3. Las Las fuerzas fuerzas ejercidas por dos partículas partículas entre son iguales en magnitud y opuestas opuestas en dirección. nitud

pe ce me de

Observe que no definimos definimos fuerza fuerza ni masa masa antes de enunciar enunciar las leyes Observe concepción moderna moderna es que estos términos términos se definen definen con de Newton. Newton. La concepción

Tic


do

cié

1.3

os os or lo

la segunda demostrarlo, supongamos segunda ley. Para Para demostrarlo, supongamos que escogemos escogemos un cuerpo cuerpo arbitrario arbitrario y especificamos especificamos que tiene masa masa unitaria. unitaria. Luego Luego definimos definimos una unidad unidad de fuerza como la fuerza fuerza que imparte imparte a esta masa unitaria unitaria una una aceleración de magnitud magnitud unitaria. unitaria. En principio, principio, podemos podemos determinar determinar la aceleración masa de cualquier cualquier cuerpo: cuerpo: le aplicamos aplicamos una una fuerza fuerza unitaria, unitaria, medimos medimos la aceleración aceleración resultante resultante y usamos usamos la segunda segunda ley para para determinar determinar la masa. Podemos Podemos también también determinar determinar la magnitud magnitud de cualquier cualquier fuerza: fuerza: la aplicamos a la masa masa unitaria, unitaria, medimos medimos la aceleración aceleración resultante resultante y usausamos la segunda segunda ley para para determinar determinar la fuerza. fuerza. De esta manera, manera, la segunda segunda ley de Newton Newton proporciona proporciona significados significados precisos a los términos términos masa y fuerza. En unidades unidades SI, la unidad unidad de masa masa es es el kilogramo kilogramo (kg). La unidad unidad de fuerza fuerza es el newton newton (N), que es la fuerrequerida para para impartir impartir a una una masa masa de un kilogramo kilogramo una una aceleración aceleración za requerida 2 de un metro ). En las unidades metro por por segundo segundo cada cada segundo segundo (m/s (m/s-). unidades del sistema inglés, la unidad unidad de fuerza fuerza es la libra libra (lb). La unidad unidad de masa masa es el slug, que es la cantidad cantidad de masa masa acelerada acelerada a un pie por por segundo segundo cuadrado cuadrado por por una una fuerza fuerza de una una libra. libra. Aunque libro son aplicables Aunque los resultados resultados que analizamos analizamos en este libro aplicables a muchos de los problemas problemas que surgen surgen en la práctica práctica de la ingeniería, ingeniería, hay límites para para la validez de las leyes de Newton. Newton. Por Por ejemplo, ejemplo, éstas no dan dan resultados resultados precisos precisos si un problema problema implica implica velocidades velocidades que no son pequepequeñas comparadas comparadas con la velocidad velocidad de la luz (3 (3 x 1088 mis). mis). La teoría teoría de la relatividad relatividad especial de Einstein Einstein se aplica aplica a tales problemas. problemas. La mecánimecánica elemental elemental también también falla en problemas problemas que implican implican dimensiones dimensiones que no son grandes grandes comparadas comparadas con las dimensiones dimensiones atómicas. atómicas. Para Para describir describir los fenómenos fenómenos en la escala atómica atómica se debe usar usar la mecánica mecánica cuántica. cuántica. ~

CONCEPTOS ENTALES CONCEPTOS FUNDAM FUNDAMENTALES

F

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5

..... F F

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1-1.1-' --r--'I r-·'I

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Gravitación Gravitación de de Newton Newton Otra de las contribuciones contribuciones fundamentales fundamentales de Newton Newton a la mecánica mecánica es su postulado partículas en función postulado sobre sobre la fuerza fuerza gravitatoria gravitatoria entre entre dos partículas función de mi Y m22 Y Yde distancia r entre entre ellas (Fig. 1.1). Su expresión expresión sus masas mi de la distancia para la magnitud magnitud de la fuerza fuerza es (1.1 )

no bio

tanartímag-

leyes con

donde G es la constante de la gravitación universal. Newton calculó calculó la fuerza fuerza gravitatoria gravitatoria entre entre una una partícula partícula de masa masa mi mi y una esfera esfera homogénea homogénea de masa masa m22 Y encontró encontró que también también está dada dada por la ecuación ecuación (1.1), en la que r denota denota la distancia distancia de la partícula partícula al centro de la esfera. esfera. Aunque Aunque la Tierra Tierra no es una una esfera esfera homogénea, homogénea, podepodemos usar este resultado para obtener resultado para obtener el peso aproximado aproximado de un cuerpo cuerpo de masa m debido debido a la atracción atracción gravitatoria gravitatoria de la Tierra, Tierra, ( 1.2)

donde mE mE es la masa masa de la Tierra Tierra y r es la distancia distancia del centro centro de la Tierra al objeto. objeto. Observe Observe que el peso de un cuerpo cuerpo depende depende de su posición con respecto Tierra, mientras respecto al centro centro de la Tierra, mientras que la masa masa del cuerpo cuerpo http://carlos2524.jimdo.com/

Figura 1.1 1.1 Las fuerzas gravitatorias gravitatorias entre entre dos partículas son iguales en magnitud magnitud y partículas dirigidas dirigidas a lo largo largo de la línea entre entre ellas.

6

CAPíTULO CAPíTULO 1


es una una medida medida de la cantidad cantidad de materia materia que contiene contiene y no depende depende de su posición. posición. Cuando Cuando el peso de un cuerpo cuerpo es la única única fuerza fuerza que actúa actúa sobre sobre él, la aceleración resultante resultante se denomina denomina aceleración aceleración debida debida a la gravedad. gravedad. En aceleración este caso la segunda Newton establece segunda ley de Newton establece que W == ma, y de la ecuación (1.2) vemos que la aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad es (1.3)

La aceleración nivel del mar aceleración d~bida d~bida a la gravedad gravedad al nivel mar se denota denota con la letra letra denotamos con RE el radio radio de la Tierra, Tierra, vemos de la ecuación ecuación (1.3) g. Si denotamos que Gm EE == gR~. gR~. Sustituyendo Sustituyendo este resultado resultado en la ecuación ecuación (1.3), obteobtenemos una una expresión expresión para para la aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad a una una disnemos tancia r del centro centro de la Tierra Tierra en función función de la aceleración aceleración debida debida a la tancia gravedad al nivel del mar: gravedad mar:

R~ R~

(l.4)

I

Como Como el peso del cuerpo cuerpo es W == ma, el peso de un cuerpo cuerpo a una una distandistancentro de la Tierra Tierra será cia r del centro

e e

a = =

g--;:2.

R2 R~ W=mg~. W=mg-2• 2

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(1.5)

S

Al nivel del mar, mar, el peso de un cuerpo cuerpo está dado dado en función función de su masa masa por relación por la simple relación

E

r

n rr

(1.6) (1.6)

SI

El valor valor de g varía varía de lugar lugar en lugar lugar sobre sobre la superficie superficie de la Tierra. Tierra. usaremos en los ejemplos y problemas problemas son g == 9.81 9.81 m/s m/s-2 Los valores que usaremos 2 en unidades unidades SI y g = = 32.2 pie/s pie/s- en unidades unidades del sistema sistema inglés.

I\ ui

= mg. mg. W =

Números Números ingeniería las mediciones, mediciones, cálculos cálculos y resultados resultados se expresan expresan en númenúmeEn ingeniería ros. Es necesario que sepa cómo expresamos expresamos los números números en los ejemplos y problemas, problemas, y cómo deberá deberá expresar expresar los resultados resultados de sus propios propios cálculos.

R

C

se te 1.

Cifras significativas significativas Este término término se refiere refiere al número número de dígitos dígitos sig- . nificativos nificativos (o sea, exactos) exactos) en un número, número, contando contando hacia hacia la derecha derecha a partir partir del primer primer dígito no nulo. nulo. Los números números 7.630 7.630 y 0.007630 0.007630 están están expresados primeros presados con cuatro cuatro cifras cifras significativas. significativas. Si se sabe que sólo los primeros cuatro cuatro dígitos dígitos del número número 7 630000 630000 son exactos, exactos, esto se puede puede indicar indicar escribiendo el número número en notación notación científica científica como como 7.630 7.630 X 106 • escribiendo Si un número número es el resultado resultado de una una medición, medición, los dígitos dígitos significativos significativos que contiene contiene están están limitados limitados por por la exactitud exactitud de la medición. medición. Si el resultaresultauna medición medición es 2.43, esto significa significa que el valor valor real estará estará más do de una cercano a 2.43 que a 2.42 o a 2.44. cercano Los números números se pueden pueden redondear redondear a cierta cierta cantidad cantidad de dígitos dígitos significativos. cativos. Por Por ejemplo, ejemplo, el valor valor de 11" 7r se puede puede expresar expresar con tres dígitos dígitos significativos, nificativos, 3.14, o con seis dígitos dígitos significativos, significativos, 3.14159. En una una calculadora ladora o un computador, computador, el número número de dígitos dígitos significativos significativos está limitado limitado máquina. según el diseño de la máquina. http://carlos2524.jimdo.com/

pl y

m

1.4

.3)

tra

El uso de números en este libro Los números dados en los problemas deben tratarse como valores exactos sin preocuparse de cuántas cifras significativas contienen. Si un problema especifica que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponerque su valor es 32.200 ... Se utilizarán pqr lo menos tres cifras significativas para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejemplos, así como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados deben tener esa exactitud. Asegúrese de evitar los errores de redondeo que ocurren si redondea resultados intermedios. En vez de esto, efectúe sus cálculos con la exactitud posible, conservando los valores en su calculadora.

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1.4

ümdaae«

El sistema SI de unidades se ha estandarizado casi en todo el mundo (aunque en algunos países también se usa el sistema inglés). En esta sección resumiremos estos dos sistemas de unidades y explicaremos cómo convertir unidades de un sistema a otro.

Sistema internacional

de unidades

En unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). El tiempo se mide en segundos (s), aunque también se usan el minuto (min), la hora (h), y el día. Los metros, kilogramos y segundos se denominan unidades básicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde que esas unidades están relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es la fuerza requerida para imprimir a un cuerpo de un kilogramo masa una aceleración de un metro por segundo cuadrado, 1N

=

(1 kg)(1 m/s-)

=

1 kg-m/s-,

Como el newton se puede expresar en función de las unidades básicas, se le llama unidad derivada. Para expresar cantidades por medio de números de tamaño conveniente, los múltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 1.1 se muestran los prefijos más comunes, sus abreviaturas y los múltiplos que representan. Por ejemplo, 1 km es 1 kilómetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que son 106 g o 1000 kg. Con frecuencia usamos kilonewtons (kN).

Tabla 1.1 Prefijos comunes usados en las unidades SI y los múltiplos que representan Prefijo

Abreviatura

Múltiplo

nanomicromilikilomegagiga-

n

10-9 10-6 10-3 103 106 109

Jl

m k M G


UNIDADES

7

8


Sistema inglés de de unidades unidades En las unidades longitud se mide en pies, la fuerza fuerza unidades del sistema sistema inglés la longitud libras (lb) y el tiempo tiempo en segundos segundos (s). Éstas en libras Éstas son las unidades unidades básicas básicas de este sistema. unidades la masa masa es una una unidad unidad derisistema. En este sistema sistema de unidades vada. masa de material material acelerado acelerado vada. La unidad unidad de masa masa es el slug, que es la masa a un pie por por una una fuerza fuerza de una una libra. libra. La segunda por segundo segundo cuadrado cuadrado por segunda ley de Newton Newton establece establece que (1 slug)(l slug)(1 pie/s-). 1 lb == (1 pie/s2).

De esta expresión expresión obtenemos obtenemos 2 lb-sv'pie. /pie. 1 slug == 1 lb-s

r r

s a r

"o r s

Usaremos unidades como como la milla milla (1 (1 mi = = 5280 pies) y Usaremos también también otras otras unidades la pulgada pulg), así como como la kilolibra kilolibra (1 = 1000 pulgada (1 (1 pie == 12 12 pulg), (1 klb = 1000 lb). En algunas ingeniería se usa una una unidad unidad alternativa alternativa de algunas aplicaciones aplicaciones de ingeniería masa (lbm), que es la masa masa de un material material cuyo peso masa llamada llamada libra libra masa masa (lbm), es de una mar. El peso al nivel del mar mar de un cuerpo cuerpo una libra libra al nivel del mar. que tiene una masa de un slug es una masa

s n

e

W = mg pie/s 2) = 32.2 lb. mg = (1 (1 slug)(32.2 slug)(32.2 pie/s-)

por lo que 1 lbm == (1132.2) (1/32.2) slug. Cuando por Cuando se usa usa la libra libra masa, masa, una una libra libra fuerza suele denotarse denotarse con de fuerza con la abreviatura abreviatura lbf.

Unidades angulares angulares Unidades ambos sistemas de unidades unidades los ángulos En ambos ángulos se expresan expresan por por lo general general en radianes (rad). En la figura figura 1.2 mostramos radianes (rad). mostramos el valor valor de un ángulo ángulo (J en rasustentadianes; se define como la razón razón entre la parte parte de la circunferencia circunferencia sustentaradio del círculo. Los ángulos da por (J y el radio ángulos también también se expresan expresan en grados. grados. Como hay 360 grados grados (360°) en un círculo totalidad de la Como círculo completo completo y la totalidad circunferencia del círculo círculo es 27rR, entonces entonces 360° equivalen circunferencia equivalen a 27rradianes. 27r radianes. ecuaciones que contienen contienen ángulos siempre se obtienen supoLas ecuaciones ángulos casi siempre obtienen suponiendo que los ángulos se expresan niendo expresan en radianes. radianes. Por Por consiguiente, consiguiente, cuando cuando sustituir el valor valor de un ángulo se desee sustituir ángulo expresado expresado en grados grados en una una ecuaprimero deberá deberá convertirse convertirse a radianes. ción, primero radianes. Una Una excepción notable notable a esta esta muchas calculadoras, calculadoras, cuando regla es que muchas cuando se usan usan para para evaluar evaluar funciones funciones como sen (J, (J, aceptan aceptan ángulos ángulos expresados como expresados ya sea en grados grados o en radianes. radianes. Figura 1.2 Figura Definición de un ángulo en radianes.


E

1.4

Conversión de unidades La práctica de ingeniería con frecuencia requiere convertir valores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Si algunos datos de un problema están dados en unidades SI y otros en unidades del sistema inglés, todos ellos se deben expresar en términos de un solo sistema de unidades. En los problemas expresados en unidades SI, ocasionalmente se darán datos en unidades diferentes de las unidades básicas: segundos, metros, kilogramos y newtons. Estos datos se deben convertir a unidades básicas antes de resolver el problema. Así mismo, en problemas planteados en unidades del sistema inglés, los valores se deben convertir a las unidades básicas de segundo, pie, slug y libra. Cuando adquiera cierta experiencia, reconocerá situaciones en que esas reglas se pueden relajar, pero por ahora éstas representan el procedimiento más seguro para resolver problemas. La conversión de unidades es sencilla pero debe hacerse con cuidado. Suponga que se quiere expresar 1 milla/h en función de pie/s. Como 1 milla equivale a 5280 pies y una hora a 3600 s, podemos considerar las expresiones 5280Pi~S)

(

1 mi

y

(3~~s)

como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta manera obtenemos 1 milh

=

1 milh x (5280p~eS) x (~) 1 nu 3600 s

=

1.47 pie/s.

En la tabla 1.2 se incluyen algunas conversiones útiles entre unidades.

Tabla 1.2

Conversión de unidades

Tiempo

l minuto 1 hora 1 día

60 segundos 60 minutos 24 horas

Longitud

1 pie 1 milla 1 pulgada 1 pie

12 pulgadas 5280 pies 25.4 milímetros 0.3048 metros

Ángulo

211'radianes

360 grados

Masa

1 slug

14.59 kilogramos

Fuerza

1 libra

4.448 newtons


UNIDADES

9

10


Ejemplo 1.1 1.1 Si un corredor corredor olímpico olímpico (Fig. 1.3) corre corre 100 100 m en 10 segundos, segundos, su velocidad velocidad media hora? media es de 10 mis. mis. ¿Cuál ¿Cuál es su velocidad velocidad media media en millas/ millas/hora?

Figura 1.3 SOLUCiÓN SOLUCiÓN 10 mis mis 10 22.4 milh 22.4 milh

...------------1

Ejemplo Ejemplo 1.2 1.2

1------------------

Suponga que en la ecuación ecuación de Einstein Einstein Suponga E

= me?, m¿', =

está en kg y la velocidad velocidad de la luz ce en mi mis.s. la masa masa m está ¿Cuál es el valor valor de E en unidades (a) ¿Cuál unidades SI? valor de E en unidades (b) Si el valor unidades SI es igual a 20, ¿cuál es su valor valor en las unidaunidasistema inglés? des básicas básicas del sistema

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como conocemos conocemos las unidades términos m yy c, e, podemos deducir las (a) Como unidades de los términos podemos deducir unidades ecuación dada. dada. unidades de E de la ecuación Podemos usar las conversiones conversiones de unidades longitud dadas dadas (b) Podemos unidades para para la masa y la longitud tabla 1.2 para convertir E E de unidades sistema inglés. en la tabla para convertir unidades SI a unidades unidades del sistema

SOLUCiÓN SOLUCiÓN ecuación para (a) De la ecuación para E, E

= (m (m =

m/s)2, kg)(c m/ s)2,

/ s2. las· unidades de E son kg_m las unidades kg_m22/s2.


1.4 1.4

(b) De De la la tabla tabla 1.2, 1.2, 1 slug slug

=

14.59 14.59 kg Y 1 pie pie

1 kg_m kg_m22/s/s2 2 = 1 k

=

UNIDADES UNIDADES

11 11

0.3048 metros. Por Por tanto, tanto, 0.3048 metros.

2/ (1 pie )2 2/ 2 (1 slug slug ) x ( 1 pie g-m ss x 14.59 0.3048 m 14.59 kg 0.3048

2 2 0.738 slug-píeé/s-. /s • 0.738 slug-pie

El El valor valor de de E en unidades unidades del del sistema sistema inglés inglés es 2 /s 2 . E = = (20)(0.738) (20)(0.738) = = 14.8 14.8 slug-pie slug-piet/s"

_._--_._._-----_._------.

__ ..-..

_...,...---------------....,

Ejemplo 1.3 El Rockel locomotoras Rocket (Fig. (Fig. 1.4) 1.4) de de George George Stephenson, Stephenson, una una de de las las primeras primeras locomotoras de 7 ton ton = 2000 2000 de vapor, vapor, pesaba pesaba aproximadamente aproximadamente ton con con su carbonera. carbonera. (l ton su masa lb.) lb.) ¿Cuál ¿Cuál era era aproximadamente aproximadamente masa en kilogramos? kilogramos?

Figura 1.4 ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos usar usar la ecuación ecuación (1 (1.6) para obtener obtener la masa masa en slugs y luego Podemos .6) para en slugs luego la la conversión dada dada en la tabla tabla 1.2 para para determinar determinar la masa masa en kilogramos. en kilogramos. conversión

SOLUCiÓN SOLUCiÓN masa en slugs slugs es La masa

m= m=

W w

g

14000 lb 14000 434.8 slugs. slugs. . / 2 = 434.8 32 . 2 pie s

tabla 1.2, 1.2, 1 slug slug es igual igual a 14.59 14.59 kg, kg, por por 10 lo que que la la masa masa en De la tabla en kilogramos kilogramos (con tres tres cifras cifras significativas) significativas) es (con 6340 kg. kg. m = (434.8)(14.59) (434.8)(14.59) = 6340


12

CAPíTULO 1 CAPíTULO


________________

---I

----1

Problemas 1--_ ¡L . . . - - - - - - - - - -_ _ _""""-I Problemas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _----..1

valor 7f 71" es 3.141592654 ... ¿Cuál ¿Cuál es su valor valor con 4 ci1.1 El valor significativas? fras significativas? 1.2 ¿Cuál ¿Cuál es el valor valor e (la base de los logaritmos logaritmos naturales) naturales) 1.2 cifras significativas? significativas? con 5 cifras Determine el valor valor de la expresión expresión l/(2 1/(2 1.3 Determine significativas. significativas.

71") 7f)

estadio (jurlong (jurlong = l/8 1/8 de milla) por 1.11 Un estadio por quincena quincena es una unidad unidad chusca chusca de velocidad, velocidad, inventada inventada tal vez por una por un estudiante como como comentario comentario satírico satírico sobre sobre la enredada enredada variedad diante variedad de unidades con que los ingenieros ingenieros tienen tienen que tratar. tratar. Si usted unidades usted camina 5 pie/s, pie/s, ¿cuál es su velocidad velocidad en estadios estadios por por quincena quincena mina cifras significativas? significativas? con tres cifras

cifras con 3 cifras área de la sección transversal transversal de una una viga es igual a 11.. 12 El área pulg-.2 • ¿Cuál ¿Cuál es el área área de su sección sección transversal transversal en m22?? 480 pulg

1.4 Si x = 3, ¿cuál es el valor valor de la expresión 1.4 expresión 1 - e-x con significativas? 3 cifras cifras significativas? Suponga que acaba comprar un Ferrari Ferrari Dino Dino 246GT 1.5 Suponga acaba de comprar quiere saber saber si puede puede usar (unidades usar su juego juego de llaves SAE (unidades y quiere sistema inglés) para para trabajar trabajar en él. Usted Usted tiene llaves con del sistema anchos w w == l/4 1/4 pulg, 1/2 1/2 pulg, 3/4 3/4 pulg y 1 pulg, y el auto auto anchos tuercas con dimensiones dimensiones n == 5 mm, mm, 10 10 mm, 15 15 mm, 20 tiene tuercas 25 milímetros. milímetros. Si definimos definimos que una llave ajusta ajusta si w w no mm y 25 2070 mayor mayor que n, ¿cuál de sus llaves puede puede usar? usar? es 2070

1.13 Un camión camión puede puede cargar cargar 15 15 yardas yardas cúbicas cúbicas de grava. 1.13 grava. (1 (l yarda == 3 pies). ¿Cuántos ¿Cuántos metros metros cúbicos cúbicos puede puede cargar? yarda cargar? 1.14 Un transductor transductor de presión presión mide un valor valor de 300 1.14 lb/pulg-,2 • Determine Determine el valor valor de la presión presión en pascales. pascales. Un Ib/pulg pascal (Pa) es igual a 1 N/m N/m2•2 • pascal 1.15 Un caballo caballo de fuerza fuerza equivale equivale a 550 lb-pie/s. lb-pie/s. Un watt 1.15 watt equivale a 1 N-m/s. N-m/s. Determine Determine el número número de watts watts generados generados equivale por (a) el avión hermanos Wright Wright (1903), que tenía por avión de los hermanos tenía un motor de 12 caballos fuerza; (b) un avión jet motor caballos de fuerza; jet con potencia potencia 100 000 caballos caballos de fuerza fuerza a velocidad velocidad de crucero. crucero. de 100 Boeing 747 Boeing 747

~I

[(O) P1.5 g. .

1829, mostrado mostrado en el ejemplo ejemplo 1.3, podía podía 1.6 El Rocket Rocket de 1829, jalar carro con 30 pasajeros pasajeros a 25 mi/hora. mi/hora. Determine Determine su vejalar un carro cifras significativas, significativas, (a) en pie/s, pie/s, (b) en km/h. km/h. locidad con tres cifras Pl.15 P1.15 "trenes bala" bala" de alta alta velocidad velocidad comenzaron comenzaron a correr correr 1.7 Los "trenes Tokyo y Osaka Osaka en 1964. 1964. Si un tren bala bala viaja viaja a 240 km/h, km/h, entre Tokyo velocidad en mi/h mi/h con tres cifras cifras significativas? significativas? ¿cuál es su velocidad ingenieros que estudian estudian ondas ondas de choque choque suelen ex1.8 Los ingenieros presar la velocidad velocidad en milímetros milímetros por por microsegundo microsegundo (mm/ (mm/ p.s). ¡.t.s). presar Suponga que la velocidad velocidad de un frente de onda onda es de 5 mm/p.s. mm/us. Suponga Determine esta velocidad: velocidad: (a) en mis, mis, (b) en mi/s. mi/s. Determine

1.16 En unidades unidades del sistema sistema SI, la constante constante de la gravita1.16 gravitauniversal es G == 6.67 X 1010-\\11 N_m N_m22/kg /kg22. • Determine Determine el ción universal valor de G en unidades unidades del sistema sistema inglés. valor 1.17 Si la Tierra Tierra se modela modela como como una una esfera esfera homogénea, homogénea, la 1.17 velocidad de un satélite órbita circular circular es velocidad satélite en órbita

1.9 Un geofísico mide el movimiento movimiento de un glacial y descubre 1.9 se está moviendo 80 mm/año. mm/año. ¿Cuál es es su velocidad en mis? mis? que se aceleración debida debida a la gravedad gravedad al nivel del mar en 1.10 La aceleración unidades SI es g == 9.81 m/s rri/s-.2 . Convirtiendo Convirtiendo unidades, unidades, use esunidades para determinar determinar la aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad te valor para unidades del sistema sistema inglés. al -nivel -nivel del mar en unidades

donde RE radio de la Tierra Tierra y r es el radio radio de la donde RE es el radio la órbita. órbita. m/s-2 y RE RE Y r en metros, metros, ¿cuáles ¿cuáles son las uni(a) Si G está en m/s dades de 1''1 1'') dades (b) Si RE == 6370 km y r == 6670 km, ¿cuál es el valor valor de v cifras significativas? significativas? con tres cifras


PROBlEMAS PROBlEMAS

13

(c) (e) Para Para la la órbita órbita descrita descrita en la parte parte (b), (b), ¿cuál ¿cuál es el valor valor de de v en mi/s mi/s con con tres tres cifras cifras significativas? significativas?

(b) La La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad en en la superficü:: superficie de de la la LuLu(b) 2 ¿Cuál sería na es de 1.62 1.62 m/s m/s-, peso de la la persona persona en Luna? • ¿Cuál sería el peso na en la Luna?

1.18

La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad al nivel nivel del del mar mar es 1.23 La g = 9.81 9.81 m/s rri/s-.2 • El radio radio de de la la Tierra Tierra es de de 6370 6370 km. km. La La conscons2 /kg 2• 2 • tante gravitatoria gravitatoria universal 6.67 por por 1010-1111 N-m N-m2/kg tante universal es G == 6.67 Use esta esta información información para determinar determinar la masa masa de de la la Tierra. Tierra. Use para

En la la ecuación ecuación En 1

= -[vi -[w2 T = 2 '

está en en kg-m kg-m- 2 y w w está está en S-l S-l.. el término término [ está (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son son las las unidades unidades SI de de T? (a) (b) Si el valor valor de de Tes T es 100 cuando cuando [está [está en kg-m kg-m?2 y w está está en (b) S-I, '¿cuál valor de de T cuando cuando se expresa expresa en en unidades unidades del del S-I, ¿cuál es el valor sistema inglés? inglés? sistema "El tractor" tractor" construido construido para para transportar transportar Saturno V 1.19 "El al Saturno del edificio edificio de de montaje la plataforma lanzamiento es el del montaje' la plataforma de lanzamiento vehículo terrestre terrestre más más grande grande jamás construido; pesa 4.9 4.9 x x vehículo jamás construido; pesa 6 lb al nivel 106 nivel del del mar. mar. 10 (a) ¿Cuál ¿Cuál es su masa masa en en slugs? slugs? (a) (b) ¿Cuál ¿Cuál es su masa masa en en kilogramos? kilogramos? (b) (e) Un Un automóvil automóvil ordinario ordinario tiene tiene una una masa masa de aproximadaaproximada(c) mente 1000 1000 kilogramos. kilogramos. ¿Cuántos ¿Cuántos automóviles automóviles se deberían deberían tetemente ner para para obtener obtener un un peso peso igual igual al del del tractor tractor al nivel nivel del del mar? mar? ner

aa

La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad es de de 13.2 13.2 pie/s pie/s?2 1.20 La 2 Marte y de 32.2 32.2 pie/s pie/s? en la Tierra. Tierra. Si una una mujer mujer pesa pesa 125 en Marte sobre la Tierra, Tierra, ¿cuánto ¿cuánto pesará pesará en en Marte? Marte? lb sobre La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad es de de 13.2 13.2 pie/s píe/s? 2 1.21 La 2 sobre la superficie de de Marte Marte y de 32.2 32.2 pie/s pie/s? sobre sobre la superfisuperfisobre la superficie Tierra. Una Una mujer mujer pesa pesa 125 lb en la la Tierra. Tierra. Para Para sosocie de la Tierra. brevivir y trabajar trabajar en la la superfice superfice de de Marte, Marte, debe debe portar portar un un brevivir traje y un un equipo equipo especiales especiales, , así así como como herramientas. herramientas. ¿Cuál es traje ¿Cuál peso máximo máximo admisible admisible en la Tierra Tierra de de la ropa, el equipo equipo y el peso la ropa, herramientas de de la astronauta astronauta si los los ingenieros ingenieros no no quieren quieren las herramientas que en Marte Marte el peso peso total total rebase rebase las las 125 libras? libras? que 1.22 Una Una persona persona tiene tiene una una masa masa de de 50 kg. kg. 1.22 (a) La La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad al nivel nivel del del mar mar es gg = 9.81 9.81 m/ m/s-. ¿Cuál es el peso peso de de la persona persona al nivel nivel del del mar? = s2 • ¿Cuál mar?

Una persona persona pesa pesa 180 lb al nivel nivel del del mar. mar. El El radio radio de 1.24 Una Tierra es de de 3960 3960 millas. millas. ¿Qué ¿Qué fuerza fuerza ejerce ejerce la atracción atracción gragrala Tierra vitatoria de de la Tierra Tierra sobre sobre la persona persona si ésta ésta se encuentra encuentra en en vitatoria una estación estación espacial espacial en en órbita órbita a 200 200 millas millas de la la Tierra? Tierra? una La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad en en la superficie superficie de de 1.25 La 2 la Luna es de 1.62 1.62 m/s m/s-, radio de la la Luna Luna es RM RM = = 1738 la Luna • El radio km. Determine Determine la la aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad en en la la Luna Luna km. en un un punto punto ubicado ubicado 1738 km km arriba arriba de de su superficie. superficie. en Estrategia: Escriba una una ecuación ecuación equivalente equivalente a la la ecuación Estrategia: Escriba ecuación (1.4) para para la la aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad en la Luna. Luna. (l.4) un cuerpo cuerpo está está cerca cerca de de la superficie superficie de la Tierra, Tierra, 1.26 Si un variación de de su peso peso con con la la distancia distancia desde desde el centro centro de la la variación Tierra con con frecuencia frecuencia puede puede despreciarse. despreciarse. La La aceleración aceleración debidebiTierra da a la la gravedad gravedad al nivel nivel del del mar mar es g = 9.81 9.81 m/s m/s-.2 • El radio radio da Tierra es de de 6370 6370 km. km. El El peso peso de de un un cuerpo cuerpo al nivel nivel del del de la Tierra mar es mg, mg, donde donde m es su masa. masa. ¿A ¿A qué qué altura altura sobre sobre la supersupermar ficie de la Tierra Tierra el peso peso del del cuerpo cuerpo se reduce reduce a 0.99 0.99 mg? ficie Los centros centros de de dos dos naranjas naranjas se encuentran encuentran a un un metro metro 1.27 Los de distancia. distancia. La La masa masa de de cada cada naranja naranja es de 0.2 0.2 kg. kg. ¿Qué ¿Qué fuerfuerde za gravitatoria gravitatoria ejercen ejercen entre entre sí las las naranjas? naranjas? (La (La constante constante gragraza 2.) 2 .) vitatoria universal universal es G = = 6.67 6.67 X 1010-1111 N_m vitatoria N_m22/kg / kg 1.28 Una Una pulgada pulgada es igual igual a 25.4 25.4 milímetros. milímetros. La La masa masa de un un 1.28 metro cúbico cúbico de de agua agua es de 1000 1000 kilogramos. kilogramos. La La aceleración aceleración metro 2 • El pedebida a la gravedad gravedad al nivel nivel del del mar mar es g = = 9.81 9.81 m/s m/s-, pedebida de un un pie pie cúbico cúbico de de agua agua al nivel nivel del del mar mar es aproximadaaproximadaso de mente igual igual a 62.4 62.4 lb. lb. Usando Usando esta información, determine a mente esta información, determine cuántos newtons newtons equivale equivale una una libra. libra. cuántos

PI.19 PJ.l9


ll

posición y la velocidad velocidad de la aa posición sonda espacial espacial Voyager Voyager 2, al sonda despegar de la Tierra, Tierra, deterdeterdespegar minó la trayectoria trayectoria que siguió para para minó .llegar a Júpiter. Júpiter. El campo campo gravitagravita,llegar torio de Júpiter Júpiter alteró alteró la trayectotrayectotorio Voyager 2 para para que pasara pasara ria del Voyager Saturno, que a su vez cerca de Saturno, alteró de nuevo dicha dicha trayectoria trayectoria alteró para hacerlo hacerlo pasar pasar cerca de Urano, Urano, para hasta Neptuno. Neptuno. En este capícapíy así hasta podrán determinar determinar trayectrayectulo se podrán torias de cuerpos cuerpos y analizar analizar sus torias posiciones, velocidades velocidades y aceleraaceleraposiciones, usando diferentes diferentes tipos de ciones usando sistemas coordenados. coordenados. sistemas


Capítulo II Capítulo

2

II

Movimiento Movimiento de punto de un punto LL diseñar diseñar un vehículo, vehículo, sea éste una una bicicleta bicicleta o una una espacial, los ingenieros ingenieros deben deben ser capaces capaces de nave espacial, analizar y predecir diseñar un moanalizar predecir su movimiento. movimiento. Para Para diseñar

A

tor, deben deben analizar analizar los movimientos cada una una de sus tor, movimientos de cada partes/móviles. diseñar estructuras estructuras "estáticas" "estáticas" partes /móviles. Aun Aun al diseñar como edificios, edificios, puentes deben analianalicomo puentes y presas, presas, a menudo menudo deben movimientos que provocan eventuales cargas cargas zar los movimientos provocan las eventuales viento y los sismos. de viento capítulo comenzamos comenzamos el estudio estudio del moviEn este capítulo miento. No nos interesan interesan aquí aquí las propiedades miento. propiedades de los cuerpos ni las causas causas de sus movimientos; queremos cuerpos movimientos; sólo queremos describir y analizar analizar el movimiento describir movimiento de un punto punto en el espaembargo, tenga cio. Sin embargo, tenga presente presente que una una partícula partícula puede puede representar algún algún punto centro de masa) masa) de un representar punto (como el centro cuerpo en movimiento. definir la posición, cuerpo movimiento. Después Después de definir posición, velocidad, y aceleración aceleración de un punto, consideramos el punto, consideramos velocidad, ejemplo más sencillo: el movimiento largo de una ejemplo movimiento a lo largo una recta. Luego cómo el movimiento línea recta. Luego mostramos mostramos cómo movimiento de un punto a lo largo largo de una cualquiera se expresa expresa punto una trayectoria trayectoria cualquiera analiza en varios sistemas coordenados. coordenados. y analiza varios sistemas

15


16

CAPíTULO CAPíTULO 2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE UN PUNTO

2.1 2.1 Posición, velocidad velocidad y aceleración aceleración Podemos posición de un punto punto P escogiendo Podemos describir describir la posición escogiendo un punto punto de referencia presentando el vector vector de posición posición r de O a P (Fig. 2.1a). Suponrencia O y presentando Supongamos movimiento respecto respecto a O, de manera manera que r es una una gamos que P está en movimiento función tiempo t (Fig. 2.1b). 2.1 b). Expresamos Expresamos esto con notación función del tiempo con la notación rr = r(t). = r(t).

La velocidad velocidad de P respecto respecto a O en el tiempo tiempo t se define como define como dr r(t + Ilt) dr , r(t f::...t) - r(t) r(t) vv= = - == hm hm -----dt 61-->0 Ilt dt Ó-t-->O f::...t '

(2.1)

donde vector r(t r(t + M) r(t) es el cambio posición, o desplazamiento donde el vector Ál) - r(t) cambio de posición, desplazamiento de P, durante tiempo Ál At (Fig. 2.1c). Así, la Velocidad véTocidad es durante el intervalo intervalo de tiempo la razón razón de cambio cambio de la posición posición de P respecto respecto a O. p

p p

o

o

o

(a)

(b)

(e)

Figura Figura 2.1

(a) (a) Vector de posición r de P respecto a O. (b) Movimiento de P respecto a O. (c) (e) Cambio en la posición de P entre t y tt + D.t. M.

una derivada tratara de una una Las dimensiones dimensiones de una derivada se determinan determinan como si se tratara proporción, dimensiones de v son (distancia)/(tiernpo). proporción, por por lo que las dimensiones (distancia)/(tiernpo). El punto referencia usado usado suele ser obvio, llamamos v a la punto de referencia obvio, y simplemente simplemente llamamos velocidad de P. Sin embargo, recordar que la posición posición y la velocidad velocidad embargo, se debe recordar de un punto punto se pueden especificar sólo con respecto a un punto punto de referencia. Observe vector con respecto respecto al Observe en la Ec. (2.1) que la derivada derivada de un vector tiempo derivada de una una función tiempo se define define exactamente exactamente igual que la derivada función escalar. escalar. Por comparte algunas algunas propiedades propiedades de la derivada una función Por ello, comparte derivada de una función escalar. Usaremos dos de esas propiedades: propiedades: La derivada respecto al tiempo tiempo escalar. Usaremos derivada respecto suma de dos funciones funciones vectoriales vectoriales u más w es de la suma d du dw du dw -(u+w) = - + -, = +-, dt dt dt dt dt dt y la derivada derivada respecto respecto al tiempo tiempo del producto producto de una una función función escalar escalar ff

por una función función vectorial vectorial u es por una d(fu) = = d¡ d¡ u+ u+ ¡duo ¡duo dUu) dt dt dt dt dt dt


..J 2.2 MOVIMIENTO EN EN LíNEA LíNEA RECTA RECTA 17 ./

aceleración de P respecto respecto a O en un tiempo tiempo I se define La aceleración define como como

a

=

dv dv dt dt

= lím

v(t v(t

M-+O M~O

+ M) -

v(t) , v(t)

!1t

(2.2) -

donde v(t + M) - v(t) es el cambio cambio en la velocidad durante el intervalo donde velocidad de P durante intervalo de tiempo tiempo M razón de cambio M (Fig. 2.2). La aceleración aceleración es la razón cambio de la velocidad tiempo I (la segunda respecto al tiempo tiempo del despladad de P en el tiempo segunda derivada derivada respecto desplazamiento), dimensiones son (distancia)/(tiempo)2. (distancia)/(tiempo)2. zamiento), y sus dimensiones

2.2 Movimiento Movimiento en línea línea recta recta

v(t)

Ilt) - v(t) v~v(t + M)

V~V(t

v(t) v(t)

Figura Figura 2.2 Cambio en la entre t y Cambio la velocidad velocidad de de P entre t + M. M.

Analizamos este tipo tipo simple de movimiento movimiento para para que usted usted obtenga Analizamos obtenga experiencia riencia antes de pasar pasar al caso general general del movimiento movimiento de un punto. punto. Sin embargo, muchos casos prácticos prácticos los ingenieros ingenieros deben embargo, en muchos deben analizar analizar movimientos como el movimiento sobre un camicamimientos en línea recta, recta, como movimiento de un vehículo vehículo sobre recto o el movimiento movimiento del pistón pistón de un motor motor de combustión interna. no recto combustión interna.

Descripción Descripción del del movimiento movimiento Podemos especificar posición de un punto punto P sobre una línea línea recta recta respecPodemos especificar la posición sobre una punto de referencia referencia O por por medio medio de la coordenada medida a to a un punto coordenada s medida largo de la línea que va de O a P (Fig. 2.3a). 2.3a). En este caso definimos lo largo definimos s como positiva hacia hacia la derecha, por lo que s es positiva positiva cuando como positiva derecha, por cuando P está a la derecha negativa cuando izquierda de O. El desplazaderecha de O y negativa cuando P está a la izquierda desplazamiento /1s Lls respecto respecto a O durante intervalo de tiempo tiempo de lo a I es el camdurante un intervalo bio de posición, = s(t) s(t) - s(to)' s(to)' posición, !1s ~ = Incluyendo un vector vector unitario unitario e paralelo paralelo a la línea línea y que apunta Incluyendo apunta en la dirección positiva 2.3b), podemos podemos escribir vector de posición posición de positiva s (Fig. 2.3b), escribir el vector P respecto respecto a O como como

o p --~.-----~.~----s --~ .----~.~---- s

f--S---1 f-- S---1 (a)

o

p

--~I-----r--~)H.~----s --~I----~r~--·~·~---- s ~ ~ (b)

Figura Figura 2.3

rr = = se. se.

Si la línea no gira, vector unitario unitario e es constante gira, el vector constante y la velocidad velocidad de P respecto a O es ds = = -e. -e. dt dt dt dt

(a) s de de O a P. (a) Coordenada Coordenada (b) Vector unitario unitario e y vector vector de de posición posición r. r. (b) Vector

dr dr

v = -v=

s

Podemos escribir vector velocidad velocidad como Podemos escribir el vector como v = = ve y obtener obtener la ecuación ecuación escalar ds ds - dt

v -v-- dt'

f

velocidad v de un punto punto P a lo largo largo de la línea recta razón de La velocidad recta es la razón cambio de su posición posición s. Observe v es igual a la pendiente pendiente en un tiempo tiempo Observe que ves función del tiempo tI de la tangente tangente a la gráfica gráfica de s en función tiempo (Fig. 2.4). respecto a O es La aceleración aceleración de P respecto

L----------------'------t

Figura Figura 2.4 La pendiente pendiente de de la línea línea recta recta tangente tangente a la La velocidad en el gráfica de de s contra gráfica contra t es la velocidad tiempo t. t. tiempo

dv dv dv d dv a= -- = = -(ve) -(ve) = = -e. -e. dt dt dt dt dt dt


18

CAPíTULO CAPíTULO 2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE UN PUNTO PUNTO

Escribir Escribir el vector vector de aceleración aceleración como como a dv dv

d22ss

dt dt

dt2

da la ecuación ecuación escalar escalar ae da

a =-=. a=-=-. 2

aceleración a es igual a la pendiente pendiente en el tiempo La aceleración tiempo t de la recta recta tangente tangente gráfica de v en función función del tiempo tiempo (Fig. 2.5). a la gráfica Figura 2.5

v

La pendiente de la línea recta tangente a la gráfica de v contra t es es la aceleración en el tiempo t. t.

Con el vector vector unitario unitario e obtuvimos obtuvimos ecuaciones ecuaciones escalares Con escalares que describen describen el movimiento movimiento de P. posición queda queda especificada P. La posición especificada por por la coordenada coordenada velocidad y la aceleración aceleración están están regidas s, y la velocidad regidas por por las ecuaciones ecuaciones ds ds dt

(2.3)

dv dv dt dt

(2.4)

v=-, v= - ,

a=-. a =-.

p

del movimiento movimiento Análisis del algunos casos se conoce conoce la posición posición s En algunos s de algún algún punto punto de un cuerpo cuerpo como función función del tiempo. tiempo. Los ingenieros ingenieros usan como usan métodos Olétodos como como el radar radar y interferometría de láser para para medir medir posiciones la interferometría posiciones en función función del tiempo. tiempo. por diferenciación En este caso, con las Ecs. (2.3) y (2.4) se pueden pueden obtener obtener por diferenciación velocidad y la aceleración aceleración como como funciones tiempo. Por la velocidad funciones del tiempo. Por ejemplo, ejemplo, posición del camión camión de la Fig. 2.6 durante si la posición durante el intervalo intervalo de tiempo tiempo de dada por por la ecuación t = 2 s a t = 4 s está dada ecuación

d

~ p

e

Figura 2.6 coordenada s mide la posición del La coordenada centro de masa del camión respecto a un referencia.. punto de referencia


E la

o

2.2 2.2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LíNEA RECTA

su velocidad velocidad y aceleración aceleración durante durante ese intervalo intervalo de tiempo tiempo son V

te

ds 2 = -- = = t mis, = dt

dv = -- = = 2t mls22. . a= dt

Sin embargo, embargo, es más común común conocer conocer la aceleración aceleración de un cuerpo cuerpo que su posición, posición, porque porque la aceleración aceleración de un cuerpo cuerpo se puede puede determinar determinar con la segunda segunda ley de Newton Newton cuando cuando se conocen conocen las fuerzas fuerzas que actúan actúan sobre sobre Una vez conocida conocida la aceleración, aceleración, con las Ecs. Ecs. (2.3) y (2.4) se pueden pueden él. Una determinar determinar por por integración integración la velocidad velocidad y la posición. posición. En las siguientes siguientes secciones analizaremos analizaremos tres casos importantes. importantes.

Aceleración Aceleración especificada especificada como como función función del del tiempo tiempo Si la aceleración leración es una una función función conocida conocida del tiempo tiempo a(t), podemos podemos integrar integrar la relación dv

--

dt dt

n

da

= = a(t) a(t)

(2.5)

con respecto tiempo para respecto al tiempo para determinar determinar la velocidad velocidad en función función del tiempo, tiempo,

f

v= = f a(t) a(t) dt .3)

.4)

+ A, A,

(2.6)

donde A es una constante constante de integración. Luego podemos integrar la relación ds -=v -=v dt dt

(2.7) (2.7)

para función del tiempo, para determinar determinar la posición posición en función tiempo,

f

(2.8) (2.8)

ss=fVdt+B, = vdt+B,

rpo ar y

po. ión plo, de

donde B es otra integración. Para otra constante constante de integración. Para determinar determinar las constantes constantes A y B se necesita necesita información información adicional adicional acerca acerca del movimiento, movimiento, por por ejemplo los valores valores de v y ss en un tiempo tiempo dado. dado.

En vez de usar usar integrales integrales indefinidas, indefinidas, la Ec. (2.5) se puede puede escribir escribir como como dv dv = = a(t) a(t) dt

e integrar integrar en términos términos de integrales integrales definidas: definidas:

irl

--r ¡V dvdv == t a(t) a(t) dt. dt. i; Vo

tlo o

inferior Vo es la velocidad velocidad en el tiempo tiempo lo Y Yel superior es El límite inferior el límite superior velocidad en un tiempo tiempo lt cualquiera. cualquiera. Evaluando Evaluando la integral integral izquierda izquierda la velocidad obtenemos una una expresión expresión para para la velocidad velocidad en función función del tiempo: tiempo: obtenemos v=vo+ ta(t)dt. v=vo+ ta(t)dt.

llo i:

(2.9)


19

20

CAPíTULO 2 MOVIM MOVIMIENTO PUNTO CAPíTULO IENTO DE UN PUNTO

Podemos escribir la Ec. (2.7) como como Podemos escribir ds = ds = vvdt dt

integrar en términos e integrar términos de integrales integrales definidas, definidas, = tI' ds ds =

lso i.

tt vdt, vdt,

lto 110

donde el límite inferior superior donde inferior So es la posición posición en el tiempo tiempo lo Yel Yel límite superior la posición posición en un tiempo tiempo 1 arbitrario. arbitrario. Evaluando Evaluando la integral integral izquierda, izquierda, obtenemos la posición obtenemos posición en función función del tiempo: tiempo:

s es S

sS = =S Soo +

tr vdt. vdt.

(2.10) (2.10)

l110o t

Aunque hemos Aunque hemos mostrado mostrado cómo cómo determinar determinar la velocidad velocidad y la posición posición cuando se conoce cuando conoce la aceleración aceleración en función función del tiempo, tiempo, no deberían deberían memomemorizarse resultados rizarse resultados como como las Ecs. (2.9) y (2.10). Como Como demostraremos demostraremos en ejemplos, recomendamos los ejemplos, recomendamos que los problemas problemas de movimiento movimiento en línea línea recta se resuelvan (2.4). recta resuelvan empezando empezando con las Ecs. (2.3) y (2.4). Algunas observaciones útiles sobre las Ecs. (2.9) y (2.10) son las siguientes: P en función • El área área definida definida por por la gráfica gráfica de la aceleración aceleración de P función del tiempo de lo a 1 es igual al cambio al (Fig. 2.7a). tiempo cambio en la velocidad velocidad de lo al 2.7a).

• El área área definida definida por por la gráfica gráfica de la velocidad velocidad de P en función función del tiempo de lo a 1 es igual al desplazamiento, tiempo desplazamiento, o cambio cambio de posición, posición, de lo a 1 (Fig. 2.7b). 2. 7b).

v

a

(b)

(a)

Figura 2.7 Relaciones entre áreas definidas por las gráficas de la aceleración y la velocidad P, y y cambios en su velocidad y y de P, posición. posición.

A menudo pueden usar usar esas relaciones relaciones para para obtener obtener una una apreciación apreciación menudo se pueden cualitativa del movimiento cualitativa movimiento de un cuerpo, cuerpo, y en algunos algunos casos incluso incluso se pueden usar pueden usar para para determinar determinar su movimiento. movimiento. En algunas situaciones, la aceleración En algunas situaciones, aceleración de un cuerpo cuerpo es constante, constante, o casi constante. Por constante. Por ejemplo, ejemplo, si se lanza lanza un cuerpo cuerpo denso, denso, como como una una pelota pelota de golf o una golf una roca, roca, y éste no cae muy lejos, lejos, se puede puede ignorar ignorar la resistencia resistencia suponer que su aceleración del aire y suponer aceleración es igual a la aceleración aceleración de la gravedad gravedad al nivel del mar. mar. http://carlos2524.jimdo.com/

RECTA 21 2.2 MOVIMIENTO EN EN LíNEA LíNEA RECTA

Sea la aceleración aceleración una Bcs . (2.9) y una constante constante conocida conocida aaoo.. De las Ecs. (2.10), la velocidad velocidad y la posición posición como como funciones funciones del tiempo tiempo son

v == Vo va + ao(t - to), lo),

(2.11)

1 2 = So So + vo(t vo(t - lo) 2ao(t - to) lo) , S= to) + 2ao(t

(2.12)

donde donde So Y Uo son la posición posición y la velocidad, velocidad, respectivamente, respectivamente, en el tiempo too to. Observe Observe que si la aceleración es constante, constante, la velocidad velocidad es una función lineal del tiempo. función tiempo. Podemos Podemos usar usar la regla de la cadena cadena para para expresar expresar la aceleración aceleración en tértérminos de una una derivada derivada respecto respecto a s:

dv dv

dv dv ds ds

dv dv

= -dt =-- - = --v. v. ds ds dt ds dt dt ds

ao

Escribiendo Escribiendo esta expresión expresión como como udu

¡¡

UV

va

aods e integrando, integrando,

1t Jso

s

vdv vdv = =

aods, aods,

So

obtenemos una una ecuación ecuación para para la velocidad velocidad en función función de la pósición: posición: obtenemos (2.13)

e

Probablemente lector se encuentra familiarizado con las Bcs. Probablemente el lector encuentra familiarizado Ecs. (2.11) cuando se sabe a (2.13). Aunque Aunque esos resultados resultados pueden pueden ser de utilidad utilidad cuando sabe que la aceleración es constante, constante, hay que tener tener cuidado cuidado de no usarlas usarlas cuancuando esto no sea así.

'n

se

si de ia ad

Los siguientes ejemplos ejemplos ilustran ilustran cómo cómo usar las Ecs. (2.3) y (2.4) para obteLos siguientes para obteinformación sobre sobre movimientos movimientos de cuerpos cuerpos en línea recta. Quizá Quizá sea ner información referencia y la dirección dirección positiva Cuando necesario elegir el punto punto de referencia positiva de s. Cuando conoce la aceleración como como función tiempo, se puede integrar la se conoce función del tiempo, puede integrar determinar la velocidad velocidad y luego integrar integrar la Ec. (2.3) para Ec. (2.4) para para determinar para determinar la posición. determinar posición. http://carlos2524.jimdo.com/

22


Ejemplo 2.1 2.1 Durante lanzado por calcula Durante la prueba prueba de un vehículo vehículo que va a ser lanzado por paracaídas paracaídas se calcula que su velocidad velocidad al tocar tocar el suelo será de 20 pie/s. pie/s. Si se suelta vehículo desde suelta el vehículo desde el bastidor bastidor de prueba prueba de la Fig. 2.8, ¿a qué altura para simular altura h se debe soltar soltar para simular la caída paracaídas? caída con paracaídas?

Figura 2.8

h

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Suponemos que la aceleración aceleración del vehículo durante su corta corta caída caída es gg = 32.2 Suponemos vehículo durante pie/s-. determinar la altura altura h de dos maneras: pie/ s2 • Podemos Podemos determinar maneras: Integrar las Ecs. (2.3) y (2.4) para determinar el movi• Primer Primer método. método. Integrar para determinar miento miento del vehículo. vehículo. • Segundo método. Usar Segundo método. Usar la Ec. (2.13), que relaciona relaciona la velocidad velocidad y la posición cuando la aceleración aceleración es constante. constante. posición cuando

SOLUCiÓN SOLUCiÓN fondo de la plataforma soporta al vehículo Sea ss la posición posición del fondo plataforma que soporta vehículo respecto respecto aceleración del vehículo a su posición posición inicial (Fig. a). La aceleración vehículo es a = 32.2 pie/s-. pie/s 2 • método Primer método

De la Ec. Ec. (2.4),

dv dv

- = a = 32.2 dt dt

pie/5 pie/s22

Integrando, obtenemos obtenemos Integrando, +A, v = 32.2t +A,

constante de integración. Si t donde A es una constante


= =

Oes O es el instante en que el vehículo se

2.2 MIENTO EN LíNEA 2.2 MOVI MOVIMIENTO LíNEA RECTA

(a) La coordenada posición del fondo plataforma coordenada s mide la posición fondo de la plataforma

respecto respecto a su posición posición inicial.

suelta, v

= =

Ocuando O cuando t v

= 32.2t 32.2t

= O. O.por = por lo que A ==

OYla O Yla velocidad en función del tiempo es

pie/s. pie/s.

Integrando la Ec. (2.3), Integrando ds ds dt

32.2t, - = v = 32.2t,

obtenemos obtenemos s

16.1t22 + B, = 16.1t B,

donde B B es una segunda constante constante de integración. integración. La posición cuando donde una segunda posición s == O cuando O, por función del tiempo t = O, por lo que B = O Y la posición posición en función tiempo es s

=

2 16.1t2. . 16.1t

ecuación para caída necesario De la ecuación para la velocidad, velocidad, el tiempo tiempo de caída necesario para para que el vehíalcance 20 pie/s 20/32.2 = 0.621 s. Sustituyendo Sustituyendo este tiempo pie/s es t = 20/32.2 tiempo en culo alcance ecuación para altura h necesaria simular la caída caída en parala ecuación para la posición, posición, la altura necesaria para para simular paracaídas es h

= 16.1(0.621)2 = 6.21 pie. pie.

Segundo método método Como Como la aceleración aceleración es constante, constante, podemos Segundo podemos usar usar la Ec. determinar la distancia distancia necesaria alcance para que la velocidad velocidad alcance (2.13) a fin de determinar necesaria para el valor valor de 20 pie/s: pie/s: v22 = v~ v~ + 2ao(s 2ao(s - so), (2W 2(32.2)(s - O). (2W = =O 0++ 2(32.2)(s

Resolviendo obtenemos h = 6.21 pie. Resolviendo para para s obtenemos


23

24

CAPíTULO 2 MOVIM MOVIMIENTO DE UN PUNTO CAPíTULO IENTO DE

Ejemplo 2.2 Un guepardo, jubatus, (Fig. 2.9) puede guepardo, Acinonyx jubatus, puede correr correr a 75 75 mi/h.Si milh.Si se supone supone aceleración del animal animal es constante constante yy que alcanza alcanza su velocidad velocidad máxima máxima en que la aceleración distancia recorrerá recorrerá en 10 1Qs? 4 s, ¿qué distancia s?

Figura 2.9

ESTRATEGIA ESTRATEGIA constante durante primeros 4 s y luego es cero. La aceleración aceleración tiene un valor valor constante durante los primeros cero. Podemos distancia recorrida recorrida durante "fases" Podemos determinar determinar la distancia durante cada cada una una de esas "fases" del movimiento movimiento y sumarlas para obtener obtener la distancia distancia total total recorrida. recorrida. Lo hareharesumarias para mos analítica analítica y gráficamente. gráficamente.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La velocidad velocidad máxima máxima en términos términos de pie/s pie/ s es . ( 5280mipie ) (13600hhs)) = 110 110' 75 milh pie/s. mI'/ h = = 75 mi/h mI'/ h x 1 Pie) x (1 pIe / s.

método Primer método la Ec. (2.4),

aceleración durante durante los primeros primeros 4 s. Integramos Integramos Sea ao la aceleración

l' 1"1 = 1 1

V

dv dv

=

aodt, aodt ,

obteniendo la velocidad velocidad en función función del tiempo tiempo durante durante los primeros primeros 4 s: obteniendo

v= = aot pie/s. pie/s.

e e d S g p


2.2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LíNEA RECTA 2.2

Cuando t = 4 s, u = 110 110 pie/ pie/s,s, por por lo que ao = 110/ 110/44 = 27 27.5 pie/s-, Ahora Cuando .5 pie/ s2. Ahora integramos la Ec. (2.3), integramos

L'1 = l'1/ s

ds ds

=

27.5tdt, 27.5tdt,

obtenemos la posición posición como como función función del tiempo tiempo durante durante los primeros primeros 4 s: y obtenemos s

13.75t 2 = 13.75t 2

m.

posición es ss = 13.75(4)2 13.75(4)2 = 220 pie. En t = 4 s la posición 10 s la velocidad velocidad es constante. constante. La distancia recorrida es distancia recorrida De t = 4 a t = 10 (110 pie/s)(6 pie/s)(6 s) == 660 pie. distancia total total que el animal animal recorre recorre en 10 10 s es 220 + 660 La distancia yardas. 293.3 yardas.

880 pie, o

Segundo método método En la Fig. (a) dibujamos dibujamos la gráfica gráfica de la velocidad velocidad del Segundo animal en función función del tiempo. tiempo. La aceleración aceleración es constante constante durante durante los primeros primeros animal movimiento, por por lo que su velocidad velocidad es una una función función lineal del tiempo tiempo 4 s de su movimiento, Oen Oaa u = 110 110 pie/s pie/s en t = 4 s. La velocidad velocidad es constante constante durante durante en t = O de u = O últimos 6 s. La distancia distancia total total recorrida recorrida es la suma suma de las áreas áreas durante durante las los últimos movimiento: dos fases del movimiento: ~(4S)(110pie/S)S) + (6s)(llOpie/s) 880pie. i(4S)(110pie/ (6s)(llOpie/ s) = 220 pie + 660 pie = 880pie. eÁrea igual igual a la la distancia distancia Área recorrida de de t = = O a t == 10 s. recorrida 110 ------ - - - - --\- - - - '" 110 U)

<, "-

'"'" 's. '0. ¡::)

'"

4

10

segundos t, segundos

os

Velocidad del guepardo guepardo en función función del tiempo tiempo. . (a) Velocidad

COMENTARIO COMENTARIO primer método método usamos usamos integrales integrales definidas definidas en vez de indefiniindefiniObserve que en el primer para determinar determinar la velocidad velocidad y posición posición del guepardo guepardo en función función del tiempo. tiempo. das para Se sugiere resolver resolver este ejemplo ejemplo usando usando integrales integrales indefinidas indefinidas y comparar comparar los Se resultados de ambos métodos. Es un asunto asunto de preferencia preferencia personal personal usar interesultados ambos métodos. definidas o indefinidas, indefinidas, pero pero es necesario necesario estar estar familiarizado familiarizado con ambos ambos grales definidas procedimientos. procedimientos.


25

26

CAPíTULO 2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN PUNTO PUNTO CAPíTULO

Ejemplo 2.3 Suponga que la Fig. Fig. 2.10 2.10 la la aceleración aceleración del del tren tren durante durante el intervalo intervalo de de tiempo tiempo Suponga que en la de = 2t m/s de t = = 2sat = = 4 s es aa -= m/s-,2 , y que que en t = = 2 s su velocidad velocidad es u u == J.80 km/h km/h. . ¿Cuál ¿Cuál es la la velocidad velocidad del del tren tren en en t = 4 s y cuál cuál su desplazamiento desplazamiento ~O (cambio (cambio de de posición) posición) entre entre t = 2 s y t = 4 s?

,'";

I

I

'1'1

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos integrar integrar las las Ecs. Ecs. (2 (2.3) (2.4) para para determinar determinar la la velocidad velocidad y posición posición Podemos .3) y (2.4) del del tren tren como como funciones funciones del del tiempo. tiempo.

Figura 2.10

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La velocidad velocidad en en t = 2 s en en términos términos de de mis m/ s es La

180 kmJh kmJh 180

180 kmJh = 180 kmJh x

hh )) mIs.s. m)" x (1 (1 3600 s = 50 mI 3600

1000 1000 km ( 1 km

Escribimos la ecuación ecuación (2.4) (2.4) como como Escribimos

= a dt dt = 2t dt dt

dv dv

e integramos, integramos, con con la condición condición de de que que u u

r

dv dv

150 150

50 mis mis en t = = 2 s:

[' 2tdt. 2tdt. = ['

1212

Evaluando Evaluando las las integrales integrales obtenemos obtenemos v

= t22 + +4646

mI s. mIs.

Ahora que que conocemos conocemos la la velocidad velocidad en en función función del tiempo, escribimos escribimos la la Ec. Ec. Ahora del tiempo, (2.3) .(2.3) como como

= v dt dt = (t22 + 46) 46) dt dt

ds

e integramos, integramos, definiendo definiendo la la posición posición del del tren tren en en t = = 2 s como como s = = O: O:

11 l' ss

ds

=

22

(t

+ 46) 46) dt. dt.

La posición posición en función función del del tiempo tiempo es La

1

s= = "3t3 "3t3

+ 46t 46t -

94.7 94.7 m. m.

Usando Usando las las ecuaciones ecuaciones para para la la velocidad velocidad y la la posición, posición, la la velocidad velocidad en en t = 4 s es vu = (4)2

+ 46 = 62 mIs,

y el desplazamiento entre desplazamiento entre t = 2 s y t = 4 s es

6.s

=

[~(4)3 + 46(4) 46(4) [~(4)3


94.7] - O = 110.7 110.7 m. 94.7]

<..

EN LíNEA LíNEA RECTA RECTA 27 2.2 MOVIMIENTO EN

COMENTARIO COMENTARIO ejemplo la aceleración aceleración no es constante. constante. No se debe debe tratar tratar de resolver resolver En este ejemplo tales problemas problemas usando usando ecuaciones ecuaciones que son válidas sólo cuando cuando la aceleración aceleración es constante. constante. Para Para ver esto con mayor mayor claridad, claridad, aplique aplique la Ec. (2.11) (2.11) a este ejemplo: ejemplo: haga haga ao ao = 21 m/s ru/s-,2 , lo = 2 s y Vo Vo = 50 mis, mis, y encuentre encuentre la velocidad velocidad en I = 44s.s.

Los Los siguientes siguientes problemas problemas implican implican movimiento movimiento en línea tiempo t está en segundos línea recta. recta. El Eltiempo segundos a menos menos que que se indique indique otra otra cosa. cosa. 2.1 La gráfica gráfica de la posición posición s de un punto punto en función función del tiempo es una una línea recta. recta. Cuando Cuando I = 4 s, s = 24 m, y cuando cuando I = = 20 s, ss = = 72 m. (a) Determine Determine la velocidad velocidad del punto punto calculando calculando la pendiente pendiente de la línea recta. recta. (b) Obtenga Obtenga la ecuación ecuación para para s en función función del tiempo tiempo y úsela para para determinar determinar la velocidad velocidad del punto punto. .

2.4 La posición posición de un punto punto está dada dada por por s = 2/ 2/22 - 10 10 pie. (a) ¿Cuál Y I == 4 s? ¿Cuál es el desplazamiento desplazamiento del punto punto entre entre I == O OY (b) ¿Cuáles O? ¿Cuáles son la velocidad velocidad y la aceleración aceleración en II == O? (e) ¿Cuáles ¿Cuáles son la velocidad velocidad y la aceleración aceleración en t1 == 4 s? (c)

2.5 2.5 Un cohete cohete parte parte del reposo reposo y viaja viaja hacia hacia arriba arriba en línea recta. recta. Su altura altura sobre sobre el suelo se mide con un radar radar desde t1 == O hasta t1 = 4 s, y se puede Ohasta puede expresar expresar de manera manera aproximada aproximada por por medio de la función función s = lOt 1012 m. medio (a) ¿Cuál ¿Cuál es el desplazamiento desplazamiento durante durante este intervalo intervalo de tiempo? tiempo? ¿Cuál es la velocidad (b) ¿Cuál velocidad en t1 = 4 s? (c) (e) ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración durante durante los primeros primeros 4 s?

2.2 2.2 La gráfica gráfica de la posición posición s de un punto punto de una una fresadora fresadora en función tiempo es una función del tiempo una línea recta. recta. Cuando Cuando I == 0.2 s, s = 90 mm. Durante Durante el intervalo intervalo de tiempo tiempo de I = 0.6 s a = 1.2 1.2 s, el desplazamiento desplazamiento del punto punto es tJ.s M = = -180 I = -180 mm. (a) Determine tiempo. Determine la ecuación ecuación para para s en función función del tiempo. (b) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad del punto? punto?

s P2.2 P2.5

2.3 La gráfica gráfica de la velocidad velocidad v de un punto punto en función función del tiempo es una una línea recta. recta. Cuando Cuando II = 2 s, v = 4 pie/s, pie/s, y cuando cuando pie/s. I = 4 s, v = -10 -10 pie/s. (a) Determine Determine la aceleración aceleración del punto punto calculando calculando la pendiente pendiente de la línea recta. recta. (b) Obtenga Obtenga la ecuación ecuación para para v en función función del tiempo tiempo y úsela para determinar determinar la aceleración aceleración del punto punto. .

22.6 .6 La posición posición de un punto punto durante durante el intervalo intervalo de tiempo de t1 = O a t1 = 6 s es s = - 33 + 6t 6/22 + 4t 41 m. (a) ¿Cuál ¿Cuál es el desplazamiento desplazamiento del punto punto durante durante este intervalo intervalo tiempo? de tiempo? (b) ¿Cuál J.ma durante ¿Cuál es la velocidad velocidad máx máxima durante este intervalo intervalo de tiempo, po, y en qué momento momento ocurre? ocurre? (c) máxima? (e) ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración cuando cuando la velocidad velocidad es máxima?


!/

28 28

CAPíTULO CAPíTULO 2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN PUNTO PUNTO

2.7 posición de un un punto punto durante 2.7 La La posición durante el intervalo intervalo de de tiempo tiempo pie. de t == O a t == 3 s es s == 12 + 5t22 - t33 pie. (a) ¿Cuál intervalo de tiem¿Cuál es la la velocidad velocidad máxima máxima durante durante este este intervalo tiempo, y en po, en qué qué momento momento ocurre? ocurre? ¿Cuál es la aceleración aceleración cuando cuando la la velocidad velocidad es máxima? máxima? (b) ¿Cuál

°

~1 1,

2.8 U n sismógrafo horizontal del 2.8 U sismógrafo mide mide el movimiento movimiento horizontal del terreno terreno durante un sismo. un ingeniero durante un sismo. Al Al analizar analizar los los datos, datos, un ingeniero determina determina que para un un intervalo de 10 segundos que para intervalo de segundos comenzando comenzando en en t = O, 0, expresar aproximadamente aproximadamente con s = 100 la posición posición se puede puede expresar con cos(27ft) máxima y (b) cos(27ft) mm. mm. ¿Cuáles ¿Cuáles son son (a) (a) la la velocidad velocidad máxima (b) la aceleaceleración máxima máxima del terreno durante ración del terreno durante el intervalo intervalo de de 10 segundos? segundos? 2.9 una operación brazo de un ro2.9 Durante Durante una operación de de ensamblaje, ensamblaje, el brazo de un robot se mueve una línea un intervalo bot mueve a lo largo largo de una línea recta. recta. Durante Durante un intervalo de tiempo posición está por s == tiempo de t == O a t == 1 s, su posición está dada dada por 3t22 - 2t33 en pulgadas. Determine, en pulgadas. Determine, durante durante ese ese intervalo intervalo de de 1 sesegundo: del brazo; (b) gundo: (a) (a) el desplazamiento desplazamiento del brazo; (b) los los valores valores máximo máximo y mínimo mínimo de de la la velocidad; velocidad; (c) (e) los los valores valores máximo máximo y mínimo mínimo de la aceleración. aceleración.

°

2.11 que se quiere posición de un vehívehí2.11 Suponga Suponga que quiere representar representar la la posición de un culo probado por por medio potencias culo que que está está siendo siendo probado medio de la la serie serie de potencias A + Bt Bt + Ct Dt33, , donde A, B, B, e y D D son s = A Ct22 + Dt donde A, son constantes. constantes. en t == O Y El parte del reposo en El vehículo vehículo parte del reposo y s == o. O. En En t == 4 s, s = pies, y en pies. = 176 pies, en t == 8 s, s == 448 448 pies. (a) (a) Determine Determine A, B, e y D. (b) ¿Cuáles del ¿Cuáles son son la la velocidad velocidad y la la aceleración aceleración aproximadas aproximadas del vehículo en en t = 8 s? vehículo

°

2.12 un punto punto es a == 20t 2.12 La La aceleración aceleración de de un 20t m/s m/s-.2 • Cuando Cuando t == O, 10 mis. posición y 0, s == 40 40 m y u == --10 mis. ¿Cuáles ¿Cuáles son son la la posición la velocidad velocidad en en t = 3 s? la 2.13 un punto punto es a = 60t pie/s 2 • 2.13 La La aceleración aceleración de de un 60t - 36t 36t22 pie/s-, Cuando pie/s. ¿Cuáles posición ' Cuando t == O, 0, s == O Y y u u == 20 pie/s. ¿Cuáles son son la posición' y la la velocidad velocidad en en función función del del tiempo? tiempo?

°

2.14 preliminar de un un automó2.14 Suponga Suponga que que durante durante el diseño diseño preliminar automóvil, considera que vil, se considera que su su aceleración aceleración máxima máxima es aproximadamenaproximadamente necesaria si se quiete constante. constante. ¿Qué ¿Qué aceleración aceleración constante constante es necesaria quiere que que el automóvil alcance desde reposo una una velocidad velocidad de re automóvil alcance desde el reposo mi/h en en 10 s? ¿Qué ¿Qué distancia distancia recorrería recorrería el automóvil automóvil en en ese ese 55 mi/h tiempo? tiempo? una pulga pulga de 1 mm 2.15 Un entomólogo 2.15 Un entomólogo calcula calcula que que una mm de de longilongitud saltar una una velocidad una distancia tud alcanza alcanza al al saltar velocidad de de 1.3 mi m/ s en en una distancia igual igual a la la longitud longitud de su su cuerpo. cuerpo. ¿Qué ¿Qué aceleración aceleración constante constante se necesita necesita para para alcanzar alcanzar esa esa velocidad? velocidad?

P2.9 P2.9

2.10 Durante la prueba de un un vehículo, parte 2.10 Durante la prueba vehículo, el conductor conductor parte del reposo en del reposo en t = = O, 0, acelera acelera y luego luego aplica aplica los los frenos. frenos. Los Los ingeingenieros que miden la posición del vehículo encuentran nieros que miden la posición del vehículo encuentran que que de de t = O a t = 18 s, la posición posición se puede puede representar representar por por medio medio de la relación 5t22 + tt tt33 - -loti. de relación s = 5t (a) (a) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad máxima máxima y en en qué qué momento momento ocurre? ocurre? (b) (b) ¿Cuál ¿Cuál es la la aceleración aceleración máxima máxima y en en qué qué momento momento ocurre? ocurre?

°

-kti.

r---------s--------~·I ~-------- S --------~'I P2.10 P2.10


P2.15 P2.15

2.2 2.2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN EN LíNEA LíNEA RECTA RECTA 29 29 Í-

s s. s

2.16 Los Los cohetes cohetes diseñados diseñados como como defensa defensa contra contra los los cohetes cohetes 2.16 100 g, g, es es decir, decir, balísticos alcanzan álcanzan aceleraciones aceleraciones superiores superiores aa 100 balísticos un cohecohemayores que que 100veces 100 veces la laaceleración aceleración de dela lagravedad. gravedad. Si Si un mayores una aceleración aceleración constante constante de de 100 100g, g, ¿cuánto ¿cuánto tiempo tiempo tartarte tiene tiene una te una velocidad velocidad de de 60 60 mi/h mi/h aa partir partir del del reposo? reposo? da en en alcanzar alcanzar una da ¿Cuál es es su su desplazamiento desplazamiento durante durante ese ese tiempo? tiempo? ¿Cuál

2.19 En 1960 1960 R.C. R.C. Owens, Owens, jugador jugador de de los los Baltimore Baltimore Colts, Colts, 2.19 En

atajó atajó un un gol gol de de campo campo de de los los Washington Washington Redskins Redskins saltando saltando yy desviando frente aa la desviando la la pelota pelotaJrente la meta meta aa 11 11 pies pies sobre sobre el el terreno. terreno. Si él medía medía 66 pies pies 33 pulg pulg yy podía podía alcanzar alcanzar 11 pie pie 11 11 pulg pulg sobre sobre Si él su su cabeza, cabeza, ¿qué ¿qué velocidad velocidad vertical vertical tenía tenía al al saltar? saltar? La La velocidad velocidad de de un un trineo trineo es es vu == 101pie/s. 101 pie/ s. Si Si 11 == 22 s,s, .. su su posición posición es es ss = 25 25 pie. pie. ¿Cuál ¿Cuál es es su su posición posición si si 11 == 10 s? s?

2.20 2.20

el

o y

P2.20 P2.20

La La aceleración aceleración de un cuerpo cuerpo es a = 30 - 61 6t píe/s-. pie/ s2 • Cuando Cuando 1t = O, O, s = = OO Y vu == O. ¿Cuál ¿Cuál es su velocidad velocidad máxima máxima durante = O O a 1t = = 10 s? durante el intervalo intervalo de tiempo tiempo de 1t =

2.21 2.21

te

La velocidad mis. Cuanvelocidad de un cuerpo cuerpo es vu == 200 - 21 2t22 mis. Cuando t1 = = 3 s, su posición posición es s = posición = 600 m. ¿Cuáles ¿Cuáles son la posición aceleración del cuerpo cuerpo en 1 = y la aceleración = 6 s? 2.22 2.22

1-

ia

P2.16 P2.16

2.17 juego de llaves a un amigo 2.17 Debe lanzar lanzar un juego amigo que está en el balcón de un segundo segundo piso. Si suelta suelta las llaves a 1.5 m del suelo, ¿qué velocidad velocidad vertical vertical se necesita necesita para para que lleguen a la mano de su amigo, amigo, que se halla halla a 6 m sobre sobre el suelo? 2.18 El módulo módulo lunar lunar mostrado mostrado desciende hacia la superficie superficie de de la luna a 1 mis mis cuando cuando sus sensores de aterrizaje, aterrizaje, que se extienden 2 m por debajo debajo del módulo, módulo, tocan tocan la superficie superficie y apagan apagan automáticamente automáticamente los motores motores.. Determine Determine la velocidad velocidad con la que que el el tren de aterrizaje aterrizaje toca la superficie superficie lunar lunar (la aceleración aceleración 2 debida ). debida a la gravedad en la superficie de la luna es es de 1.62 1.62 m/s m/s-).

2.23 aceleración de una una pieza sometida sometida a una una ope2.23 Se mide la aceieración ración de maquinado maquinado y se obtiene obtiene que á = = 12 12 - 6t 61 mm/ mm/s-. s2 . ración Cuando 1 = O, uv = o. O. Para Para el intervalo intervalo de tiempo tiempo de t1 = O O Cuando al = 4 s, determine: determine: (a) la velocidad velocidad máxima; máxima; (b) el desplazadesplazaal miento. miento. 2.24 El cohete del Prob. Probo 2.16 parte parte del 'reposo reposo yy acelera hacia 2.24 arriba durante durante 3 s a 100 100g. resistencia g. Después de 3 s, su peso yy la resistencia arriba aerodinámica le le ocasionan ocasionan una una desaceleración desaceleración casi constante constante de aerodinámica ¿Cuánto tarda tarda el el cohete en alcanzar alcanzar una altura altura de 50 50 000 000 4 g. ¿Cuánto el suelo? pies desde el 2.25 Un Un automóvil automóvil viaja a 30 30 milh mi/h cuando cuando se se enciende la la luz luz 2.25 amarilla de de un semáforo semáforo que que se se encuentra encuentra 295 295 pies pies adelante. adelante. amarilla luz amarilla amarilla permanecerá permanecerá 55 ss antes antes de de que que se se encienda encienda la la roja. roja. La luz (a) ¿Qué ¿Qué aceleración aceleración constante constante permitirá permitirá que que el el automóvil automóvil alal(a) cance la la luz luz en en el el instante instante en en que que cambie cambie aa la la roja, roja, yy cuál cuál será será cance la velocidad velocidad del del automóvil automóvil cuando cuando llegue llegue al al semáforo? semáforo? la (b) Si Si el el conductor conductor decide decide no no alcanzar alcanzar la la luz luz aa tiempo, tiempo, ¿qué ¿qué aceace(b) leración constante constante permitirá permitirá que que el el automóvil automóvil se se detenga detenga justo justo leración antes de de llegar llegar al al semáforo? semáforo? antes

.15

30 milh mi/h 30

Visto por-por"""'-Visto

conductor elel conductor

P2.18 P2.1 8

295 pies pies -----------1~ ------~~ 1-,1-.------ ----- 295 P2.25


P2.25

30


2.26 En It == O, un conductor viaja a 100 km/h km/h ve un venaconductor que viaja do en el camino, Después de un tiempo tiempo de reaccamino, 100 m adelante. adelante. Después una razón razón constante ción de 0.3 0.3 s, aplica-los aplica los frenos y desacelera desacelera a una constante de 4 m/s venado tarda tarda 5 s desde t == O para reaccionar reaccionar m/s-.2 • Si el venado O para y abandonar abandonar el camino, camino, ¿podrá ¿podrá el conductor conductor esquivarlo? esquivarlo?

2.32 Suponga una persona persona conduce automóvil a 75 Suponga que una conduce su automóvil mi/h zona de 55 mi/h mi/h en una una zona mi/h y rebasa rebasa a una una patrulla patrulla de policía policía dirección. Si la patrulla acelera mi/h en la misma misma dirección. patrulla acelera que va a 55 mi/h hasta 80 mi/h mi/h en 4 s con aceleración momenhasta aceleración constante constante desde desde el momenrebasada, ¿cuánto tardará en alcanzar to en que es rebasada, ¿cuánto tardará alcanzar al auto? auto?

alta velocidad 2.27 Un tren de alta velocidad tiene una una velocidad velocidad máxima máxima mis. Para Para comodidad comodidad de los pasajeros, de 100 mis. pasajeros, la magnitud magnitud de aceleración y desaceleración desaceleración se limita limita a 2 m/s-. m/s 2 • Determine Determine la aceleración tiempo mínimo mínimo requerido el tiempo requerido para para un viaje de 100 km. Estrategia: Un procedimiento gráfico puede ayudar a resolEstrategia: procedimiento gráfico puede ayudar problema. Recuerde cambio de posición ver este problema. Recuerde que el cambio posición de un tiempo inicial to área definida definida por tiempo tiempo t es igual al área por la o a un tiempo gráfica de la velocidad velocidad en función función del tiempo gráfica tiempo de too a t.

O = 1 rad dO/dt = 1 rad/s, 2.33 Si O rad y dO/dt rad/s, ¿cuál es la velocidad velocidad de P respecto respecto a O? Estrategia: puede escribir escribir la posición Estrategia: Se puede posición de P respecto respecto a O como como

P2.27

estrella más cercana cercana a nosotros 2.28 La estrella nosotros después del Sol es Próxima Centauri, Centauri, que está años luz de la Tierra. IgnoPróxima está a 4.22 años Tierra. Ignorando el movimiento movimiento relativo entre el sistema sistema solar solar y Próxima rando relativo entre Próxima Centauri, suponga suponga que una espacial acelera acelera desde la vecinCentauri, una nave espacial Tierra a 0.01 g (0.01 veces la aceleración aceleración debida debida a dad de la Tierra gravedad al nivel del mar) alcanza un décimo décimo de la hasta que alcanza la gravedad mar) hasta velocidad de la luz, viaja inercia hasta por inercia hasta que llega el momento momento velocidad viaja por desacelerar , luego desacelera desacelera a razón de desacelerar, razón de 0.01 g hasta hasta que llega reposo cerca de Próxima Centauri. ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo dura el Próxima Centauri. tiempo dura al reposo viaja a 3 x 1088 mis. año solar solar es igual a mis. Un año viaje? (La luz viaja solares.) 365.2422 días solares.)

O + (2 pie) cos O, s == (2 pie) cos O

y luego calcular calcular la derivada derivada de esta expresión expresión con respecto respecto al tiempo determinar la velocidad. velocidad. para determinar tiempo para

I------':-~-s-------I·I

p

P2.33 P2.33

2.34 En el problema problema 2.33, si O O = 1 rad, dO/dt = -2 -2 rad/s 2.34 rad, dO/dt rad/s y d10/ ~O/ dt dt22 = O, ¿cuáles son la velocidad aceleración de PP velocidad y la aceleración respecto respecto a O? 2.35 Si O O = 1 rad dO/ dt = 1 rad/s, 2.35 rad y dO/dI rad/s, ¿cuál es la velocidad velocidad relativa a O? de P relativa

A

auto de carreras carreras parte reposo y acelera acelera a a 2.29 Un auto parte del reposo 2t pie/ pie/s-s2 durante durante 10 10 S. s. Se aplican aplican los frenos auto ad5 + 2t frenos y el auto una aceleración aceleración constante constante a = -30 -30 píe/s? pie/s 2 hasta hasta que se quiere una detiene. Determine: Determine: (a) la velocidad distancia detiene. velocidad máxima; máxima; (b) la distancia total recorrida; tiempo total total recorrida; (c) el tiempo total del recorrido. recorrido. Cuando t = O, la posición 2.30 Cuando posición de un punto punto es s = 6 m y velocidad es v = 2 mis. O a t = 6 s, su aceleración aceleración mis. De t = O su velocidad 2t22 m/s m/s-.2 • De t = 6 s hasta alcanza el reposo, es a = 2 + 2t hasta que alcanza reposo, aceleración es a = -4 m/s-. m/s 2 • su aceleración ¿Cuál es el tiempo tiempo total (a) ¿Cuál total de viaje? distancia total cubre el desplazamiento? desplazamiento? (b) ¿Qué distancia total cubre

u

d

I-------s---------¡·I ~-------------s----------------·IP

2.31 Zoólogos Zoólogos que estudian estudian la llanura llanura Serengeti Serengeti calculan calculan que, 2.31 promedio, un guepardo guepardo adulto adulto puede correr a 100 km/h puede correr km/h y en promedio, promedio, puede correr a 65 km/h. animales la gacela, en promedio, puede correr km/h. Si los animales corren a lo largo de la misma comenzando al mismo corren misma línea recta, recta, comenzando mismo tiempo, y ambos ambos tienen aceleración constante constante y alcanzan alcanzan su vetienen aceleración tiempo, locidad máxima máxima en 4 s, ¿cuán ¿cuán cerca debe estar guepardo locidad estar un guepardo cuando la caza comienza comienza para dar alcance alcance a la gacela gacela en 15 15 s? para dar cuando


p

P2.35 P2.35

2.2 2 .2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN EN LíNEA LíNEA RECTA RECTA

75 da

era eno?

ad

o

Aceleración especificada especificada como como función función de de la la velocidad velocidad Las Las Aceleración fuerzas aerodinámicas aerodinámicas e hidrodinámicas hidrodinámicas ocasionan ocasionan que que la la aceleración aceleración de de fuerzas un cuerpo cuerpo dependa dependa de su velocidad velocidad (Fig. (Fig. 2.11). 2.11). Suponga Suponga que que la la aceleración aceleración un una función función conocida conocida de la la velocidad velocidad a(v): a(v): es una dv dv = a(v). a(v) . - = dt

(2.14)

Figura 2.11 Las fuerzas aerodinámicas aerodinámicas e hidrodinámicas hidrodinámicas dependen dependen de la velocidad del cuerpo. cuerpo. Cuanto Cuanto más rápido rápido se mueve el cuerpo cuerpo respecto al fluido, fluido, mayor mayor es la fuerza fuerza que resiste su movimiento movimiento..

al

.33

d/s

eP

dad

No podemos podemos integrar respecto al tiempo tiempo para para determinar determinar integrar esta ecuación ecuación con respecto tiempo . Sin emla velocidad, velocidad, porque porque a(v) a(v) no se conoce conoce como como función función del tiempo. bargo, podemos términos que contengan contengan podemos separar separar variables variables poniendo poniendo los términos ven u en un lado de la ecuación ecuación y los términos términos que contengan contengan t en el otro otro lado: lado: dv dv =dt. -=dt.

(2.15)

a(v) a(v)

Ahora podemos podemos integrar, integrar,

1 ¡r ~=lldt, Jvo V

t'o

dv --a(v) a(v)

1

(2.16)

dt

lo lo

'

donde Vo Uo es es la velocidad velocidad en el el tiempo tiempo too lo. En principio, principio, podemos podemos resolver esta ecuación para para. la velocidad velocidad en función función del tiempo, tiempo, yy luego integrar integrar la relación ds =v -=v dt dt P2.35

para para determinar determinar la posición posición en en función función del tiempo. tiempo.


31 31

32 CAPíTULO CAPíTULO 22 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN UN PUNTO PUNTO 32

Usando Usando la la regla regla de dela lacadena cadena podemos podemos determinar determinar también también la la velocidad velocidad en en función función de de la la posición. posición. Escribiendo Escribiendo la la aceleración aceleración como como dv dv dv dv dv ds ds dv = - - =-v -=--=-v dt ds ds dt ds dt dt ds ,

.,

yy sustituyéndola sustituyéndola en en la la ecuación ecuación (2.14) (2.14) obtenemos obtenemos dv dv --v v == a(v) a(v).. ds ds

Separando variables, variables, Separando vdv vdv --- - = ds, =ds, a(v) a(v)

e integrando, integrando,

f1 v

Vo Vo

vdv -- - = a(v) -

v vdv

¡S1

s

ds ds,

So So

'

podemos podemos obtener obtener una relación relación entre entre la velocioad velocidad y la posición. posición.

Aceleración Aceleración especificada especificada como como función función de de la posición posición

Las fuerzas gravitatorias gravitatorias y las fuerzas ejercidas ejercidas por por resortes resortes pueden pueden hacer hacer que aceleración de un cuerpo posición. Si la aceleración aceleración es la aceleración cuerpo dependa dependa de su posición. una una función función conocida conocida de la posición, posición, dv -dt = = a(s), a(s),

(2.17)

dt

podemos integrar integrar con con respecto respecto al tiempo tiempo para para determinar determinar la velocidad velocidad no podemos porque s no se conoce conoce como como función función del tiempo. tiempo. Además, Además, no podemos podemos porque separar variables variables porque porque la la ecuación ecuación contiene contiene tres tres variables, variables, v, v, t y s. s. Sin Sin separar embargo, embargo, usando usando la la regla regla de de la la cadena, cadena, dv dv dv dv dv ds ds dv - = - - = -v, -=--=-v, dt ds ds dt ds dt dt ds

podemos podemos escribir escribir la la ecuación ecuación (2.17) (2.17) como como dv dv -v - v= = a(s). a(s) . ds ds

Ahora Ahora podemos podemos separar separar variables, variables, vdv = a(s)ds , vdv=a(s)ds,

(2.18) (2.18)

1Jvor vdv = 1Jsta(s)ds. o

(2.19) (2.19)

ee integrar: integrar: s

vvdv

Vo

=

a(s)ds.

So


RECTA 33 2.2 MOVIMIENTO EN EN LíNEA LíNEA RECTA 33

d

En principio, principio, podemos podemos resolver resolver esta ecuación para la velocidad velocidad en función función ecuación para posición: de la posición: v

ds ds dt dt

v(s). = - = v(s).

(2.20) (2.20)

podemos separar separar variables variables en esta esta ecuación ecuación e integrar integrar para para determidetermiLuego podemos posición en función función del tiempo: tiempo: nar la posición

¡r lso S

So

ds --ds

v(s) v(s) = -

ir 110 t

to

dt

dt.•

Los siguientes dos ejemplos ejemplos muestran muestran cómo cómo se sepuede movimienLos siguientes puede analizar analizar el movimiento de un cuerpo cuerpo cuando cuando su aceleración es una función velocidad o función de la velocidad resumen en la tabla 2.1. de la posición. posición. Los Los pasos pasos iniciales se resumen Tabla 2.1 Determinación de la velocidad cuando se conoce la aceleración en función de la velocidad o de la posición. Si se conoce a == a(v): a(v): Si

separe las variables, dv dv dt

a(v), = a(v),

dv dv - = dt, -=dt, a(v)

o aplique la regla de la cadena, dv

dv ds

dv

-- - = -vv = =a(v), -dt = a(v), ds dt ds luego separe las variables,

os

vdv vdv -- - = =ds. ds. a(v)

in Si se conoce a Si

= a(s): a(s):

/

aplique la regla de la cadena, dv dt

dv ds ds dt

-- - = - =-

dv =a(s), --v v = a(s), ds

luego separe las variables, vdv vdv

a(s)ds. = a(s)ds.

8)

9)


34

CAPíTU LO 2 MOVIM IENTO DE CAPíTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO PUNTO

Ejemplo 2.4 Después de desplegar su paracaídas paracaídas de frenaje, el avión de la Fig. 2.12 tiene 2• 0.004v22 m/s una aceleración a == --0.004v m/s-, (a) Determine el tiempo requerido requerido para para que la velocidad disminuya de 80 mis mis a 10 i s. 10 m mis. (b) ¿Qué distancia recorre el avión en ese tiempo? Figura 2.12

ESTRATEGIA ESTRATEGIA En la parte parte (b) usaremos la regla de la cadena para para expresar la aceleración en obtener términos de una derivada respecto a la posición, e integraremos para para obtener una relación entre la velocidad y la posición.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN (a) La aceleración es

= -dv = -0.004v2 . dt

a

Separamos variables, . dv 2" = --0.004dt, 2' 0.004dt, v

e integramos, definiendo t == O como el tiempo tiempo en que vv

1 l' v

v2' dv 2"

80

v

=

oo

-0.004dt.. -O.004dt

Evaluando las integrales y despejando despejando t obtenemos obtenemos Evaluando t

= 250 (~ (~ v

~) . 80

- ~)


80 m mis: i s: 80

2.2

MOVIMIENTO

EN LíNEA RECTA

El tiempo requerido por el avión para llegar a v = 10 mis es 21.9 s. En la Fig. 2.13 fllostramos la velocidad del avión en función del tiempo. 80

Figura 2.13

70 \

Gráfica de la velocidad del avión en función del tiempo.

\ 60

\ \

50 ~

40 30

-, <,

20 10

O O

5

r--- --

, ,

20'

15

10

,, 21.9

25

30

t, segundos

(b) Escribimos la aceleración como dv

a=

dv ds

-dt = -ds -dt =

dv -v ds

=

2

-O 004v . ,

separamos variables, dv

- = -0.004ds, v

e integramos, definiendo s = O como la posición en que v

1" 1s d = ....!:.

80

v

80 mis:

-0.004ds.

o

Evaluando las integrales y despejando s, obtenemos

La distancia requerida por el avión para alcanzar una v = 10mis es de 519.9 m.

COMENTARIO Observe que los resultados predicen que el tiempo transcurrido y la distancia recorrida continúan aumentando sin límite conforme la velocidad del avión disminuye. La razón es que el modelado es incompleto. La ecuación para la aceleración sólo incluye la resistencia aerodinámica y no toma en cuenta otras fuerzas, como la fricción en las ruedas del avión.


35

36 36

CAPíTULO IENTO DE CAPíTULO 2 MOVIM MOVIMIENTO DE UN PUNTO PUNTO

Ejemplo 2.5 términos de la distancia magnitud de la En términos distancia s desde el centro centro de la Tierra, Tierra, la magnitud aceleración debida debida a la gravedad gravedad es gRVs2, donde RE es el radio Tierra gRVs2, donde radio de la Tierra aceleración una nave espacial (véase en la Seco Seco 1.3 el comentario comentario sobre sobre la gravedad). gravedad). Si una espacial está a una una distancia velocidad vo distancia So So del centro centro de la Tierra Tierra (Fig. 2.14), ¿qué ¿qué velocidad uo hacia afuera para que recorra recorra una una distancia hacia afuera se le debe dar dar para distancia especificada especificada h desde el centro centro de la Tierra? Tierra?· '

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Figura 2.14

La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad es hacia centro de la Tierra: Tierra: hacia el centro

Aplicando cadena, Aplicando la regla de la cadena, dv a= a= dt

dv ds

dv

=-- = --v=--v= ds dt ds

gR~ gR~

- --

S2 '

y separando separando variables obtenemos variables obtenemos

Integramos ecuación usando condición inicial, uv = uo cuando s = so, Integramos esta ecuación usando la condición vo cuando como los límites inferiores, inferiores, y la condición condición final, uv = O cuando cuando s = como como =O = h, como superiores: los límites superiores:

¡¡ O

O

vdv=vdv =-

Vo Vo

lh

2

R2 gs2Eds.

So So

Evaluando integrales y despejando despejando voinicial uo Evaluando las integrales vo, obtenemos obtenemos la velocidad velocidad inicial vo necesaria para espacial recorra cesaria para que la nave espacial recorra una una distancia distancia h: Vo

=

2gR 2gR 2

E E

(1 1)

- - - . So h So

COMENTARIOS COMENTARIOS Podemos importante observación observación relacionada resultado de Podemos hacer hacer una una importante relacionada con el resultado ejemplo. Observe Observe que conforme conforme la distancia distancia h aumenta, aumenta, la velocidad este ejemplo. velocidad inicial inicial uo límite finito finito.. Este límite, vo necesaria necesaria tiende tiende a un límite Este límite, V Vese esc

J2gR~ J2gR~ . Vo = lIm Iím --, - , Vo = h-:+oo So h-:+oo

So

llama velocidad escape. En ausencia de otros otros efectos, efectos, un cuerpo cuerpo con esta esta se llama velocidad de escape. En ausencia velocidad inicial continuará continuará moviéndose afuera. La exisvelocidad inicial moviéndose indefinidamente indefinidamente hacia hacia afuera. tencia escape hace factible enviar enviar sondas sondas y personas otros una velocidad velocidad de escape hace factible personas a otros tencia de una planetas. alcanza la velocidad planetas. Una Una vez que se alcanza velocidad de escape, ya no es necesario necesario consumir combustible combustible adicional adicional para consumir para mantener mantener el movimiento. movimiento .


2.2 2 .2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LíNEA LíNEA RECTA RECTA

37 37

~----------~------------~ Problemas ~~~~~~~~~~~~~~ 2.36 La aceleración aceleración de un un cuerpo cuerpo es a = -2v -2u m/s-. m/s 2 • Cuando Cuando 2.36 = O, s == OO Y vu == 2 mis. mis. Determine Determine la velocidad velocidad del cuerpo cuerpo t = función del tiempo. tiempo . en función 2.37 2.37

2.36, determine posición del cuerpo cuerpo en En el Probo 2.36, determine la posición función tiempo. función del tiempo.

2.42 2.42

La La mayor mayor profundidad profundidad oceánica oceánica descubierta descubierta hasta hasta ahoahora ra se halla halla en las islas Marianas, Marianas, en el Océano Océano Pacífico Pacífico occidenoccidental. Una bola bola de acero acero que que se libere libere en la superficie superficie requiere requiere tal. Una 64 minutos minutos para para llegar llegar al fondo. fondo. La La aceleración aceleración de la bola bola hacia hacia abajo abajo es a = = 0.9g 0.9g - cv, Cu, donde donde g es la aceleración aceleración debida debida a la gravedad mar y la constante constante ec = 3.02 S-l. ¿Cuál ¿Cuál gravedad al nivel del mar es la profundidad profundidad en millas? millas?

2.38 2.38

figura se va moviendo moviendo a 20 pie/s pie/s cuando cuando La lancha lancha de la figura su motor motor se apaga. Debido a la resistencia resistencia aerodinámica, aerodinámica, su aceaceapaga. Debido leración es a == -0.1 pie/s 2 • ¿Cuál velocidad de la lanlanleración -0.1 vu22 píe/s". ¿Cuál es la velocidad cha 2 s después? después?

2.43 2.43

Para Para estudiar estudiar los efectos efectos de los impactos impactos de meteoros meteoros sobre sobre los satélites, satélites, se usa usa un un cañón cañón que que acelera acelera una una bola bola de plásplástico tico a una una alta alta velocidad. velocidad. Se determina defermina que que cuando cuando la bola bola ha ha recorrido recorrirecorrido 1 m su velocidad velocidad es de 2.25 km/s km/s y cuando cuando ha harecorrido 2 m, su velocidad velocidad es de 1.00 km/s. km/s . Suponga Suponga que la aceleraaceleración ción de la bola bola cuando cuando sale del cañón cañón está está dada dada por por a = = -cv -cv2,2 , donde donde ec es una una constante. constante. valor de ec y cuáles cuáles son sus unidades unidades SI? (a) ¿Cuál ¿Cuál es el valor (b) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad cañón? velocidad de la bola bola al salir del cañón?

P2.38 P2.38

2.39 recorre la lancha 2.39 En el Prob Proboo2.38, ¿qué distancia distancia recorre lancha en 2 s después de que se apaga apaga el motor? motor? 2.40 reposo en un un recipiente recipiente 2.40 Una Una bola bola de acero se libera libera del reposo de acero = 0.9g - Cu, acero.. Su aceleración aceleración hacia hacia abajo abajo es a = Cv, donde donde es la aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad al nivel del mar g es mar y ce es una constante. bola en función constante. ¿Cuál es la velocidad velocidad de la bola función del tiempo?

P2.43

P2.40

2.41 En el el Probo 2.40, determine determine la posición posición de la bola bola respecposición inicial en función función del tiempo. tiempo. to a su posición

2.44 toma en cuenta cuenta la resistencia resistencia aerodinámica, aerodinámica, la ace2.44 Si se toma leración de un cuerpo cuerpo al caer se puede puede aproximar aproximar con a == g leración donde g es la aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad al nivel - cv22,, donde del mar y ce es una una constante. constante. cuerpo se libera libera del reposo, reposo, ¿cuál es su velocidad velocidad en (a) Si un cuerpo función de la distancia distancia s desde el punto punto en que se libera? función Determine el límite de su respuesta respuesta a la parte parte (a) cuando cuando (b) Determine -+ O, Y demuestre demuestre que concuerda concuerda con la solución solución que se obce ...... suponer su aceleración aceleración es aproximadamente aproximadamente a = = g. tiene al suponer


38

MOVIMIENTO DE DE UN PUNTO PUNTO CAPíTULO 2 MOVIMIENTO CAPíTULO

paracaidista salta salta de un helicóptero helicóptero y va cayendo cayendo en 2.45 Un paracaidista miss cuando cuando se abre su paracaídas. paracaídas. A partir partir de línea recta a 30 mi momento su aceleración aceleración es aproximadamente aproximadamente a == g - cv22,, ese momento donde g = 9.81 m/s m/s-2 y e es una una constante. constante. Después de un pedonde riodo inicial de "transición" "transición", , desciende desciende a una velocidad velocidad de 5 riodo miss casi constante. constante. mi unidades SI? (a) ¿Cuál es el valor de e y cuáles son sus unidades desaceleración máxima máxima está sometido? sometido? (b) ¿A qué desaceleración (e) ¿Cuál es su velocidad velocidad cuando cuando ha caído 2 m desde el punto punto (c) paracaídas? en que se abre su paracaídas?

2.48 La velocidad velocidad de un cuerpo cuerpo sometido sometido al campo campo gravitatogravitatoTierra está dada dada por rio de la Tierra

f2 ,

1 I)J1/2 R~ (~ ; vv = [v~ ( :;--- ~) [ v~ + 2g R~

donde Vo Vo es la velocidad posición so' so, y R REE es el radio radio de donde velocidad en la posición Tierra. Usando Usando esta ecuación, ecuación, demuestre demuestre que la aceleración aceleración la Tierra. cuerpo es a = gREE2/s2. 2/ s2. del cuerpo 2.49 El análisis del movimiento mecanismo indica movimiento de un mecanismo indica que punto de conexión por v = A + la velocidad velocidad de un punto conexión está dada dada por 4s2 pie/ pie/s,s, donde donde A es una una constante. constante. Cuando Cuando s == 2 pies, su aceleración pie/ s2 • ¿Cuál velocidad cuando aceleración es a a = 320 pie/s", ¿Cuál es su velocidad cuando s == 2 pies? aceleración de un cuerpo cuerpo está dada dada por función 2.50 La aceleración por la función pie/s 2 . Cuando pie/s. Halle velocidad aa = 2s pie/s-, Cuando t1 = O, v = 1 pie/s. Halle la velocidad cuando el cuerpo cuerpo se ha movido inicial. cuando movido 2 pie de su posición posición inicial. 2.51 La aceleración cuerpo está está dada por a == 3s2 aceleración de un cuerpo dada por pie/ s2 • En s = O, velocidad es vv = 10 pie/s. pie/ s. ¿Cuál pie/s", O, su velocidad ¿Cuál es su velocidad cuando velocidad cuando ss == 4 pie? 2.52 2.52 La velocidad velocidad de un cuerpo cuerpo está dada dada por por v22 = k/s, k / s, donde una constante. constante. Si vv = 4 mis mis y s = = 4 m en 1t == O, donde k es una determine la constante constante k y la velocidad velocidad en 1t = 2 s. determine

P2.45 P2.45

2.46

Un trineo trineo de retroimpulso retroimpulso parte parte del reposo reposo y acelera acelera con hasta hasta que su velocidad velocidad es de 1000 1000 mis. mi s. En En ese momento momento encuentra encuentra un freno freno de agua agua y su aceleración aceleración es a = - 0.001 0.001 vv22 hasta hasta que que su velocidad velocidad disminuye disminuye a 500 500 mis. mi s. ¿Qué ¿Qué distancia trineo? distancia total total recorre recorre el trineo?

a a = = 31 3t22 m/s? m/s 2

2.53 Un oscilador oscilador consiste consiste en una una masa masa y un resorte resorte conectaconecta2.53 como se muestra. muestra. La La coordenada coordenada s mide el desplazamiento desplazamiento dos como de la masa masa respecto respecto a su posición posición cuando cuando el resorte resorte no está está estiraestirado. Si el resorte resorte es lineal, lineal, la masa masa está está sometida sometida a una una desaceleradesaceleración = -4s -4s m/sm/ s2 y que que la ción proporcional proporcional a s. Suponga Suponga que a = masa masa tiene tiene una una velocidad velocidad v = = 11 mis mis en la posición posición s = = O. o. (a) ¿Qué ¿Qué distancia distancia se moverá moverá la masa masa hacia hacia la derecha derecha antes antes de que que el resorte resorte la detenga? detenga? (b) ¿Qué ¿Qué velocidad velocidad tendrá tendrá la masa masa cuando cuando regrese regrese a la posición posición s = O?

P2.46 P2.46

2.47 2.47

La La velocidad velocidad de un un punto punto está está dada dada por por la ecuación ecuación vv = = (24 -- 2S2)1/2 2s2) 1/ 2 rnls. mJs.

¿Cuál ¿Cuál es es su aceleración aceleración cuando cuando s

P2.53 P2.53

2 m?


~ d

li ¿ 1<

2 d

39

2.2 MOVIMIENTO 2.2 MOVIMIENTO EN LíNEA LíNEA RECTA

2.54 En el Probo 2.53 suponga la masa suponga que en t == O Ola masa se libera libera desde el reposo reposo en la posición posición s = 1 m. Determine Determine la velocidad velocidad de la masa moverse de su posición masa en función función de s al moverse posición inicial inicial a s = O. 2.55 En el Probo 2.53 suponga la masa suponga que en t == O Ola masa se libera libera desde el reposo reposo en la posición posición s == 1 m. Determine Determine la posición posición masa en función función del tiempo tiempo al moverse moverse de su posición posición inide la masa cial a s = O. O.

2.59 Suponga puede taladrar taladrar un túnel túnel recto recto a través través 2.59 Suponga que se puede Tierra, del polo polo norte norte al polo polo sur, y evacuar evacuar el aire. Un de la Tierra, cuerpo liberado liberado desde desde la superficie caería con aceleración aceleración a = cuerpo superficie caería -gs/RE' donde g es la aceleración aceleración de la gravedad gravedad al nivel del -gs/ RE' donde mar, RE radio de la Tierra Tierra y s es la distancia distancia del cuerpo cuerpo mar, RE es el radio respecto al centro centro de la Tierra. Tierra. (La aceleración aceleración gravitatoría gravitatoria es respecto centro de la Tierra Tierra y se incrementa incrementa linealmente linealmente igual a cero en el centro distancia desde desde el centro.) centro.) ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de la con la distancia velocidad velocidad del cuerpo cuerpo cuando cuando éste alcanza alcanza el centro centro de la Tierra? Tierra?

2.56 Si una una nave espacial espacial está a 100 mi sobre sobre la superficie superficie de Tierra, ¿qué velocidad velocidad inicial Vo requeriría requeriría para para alcanzar alcanzar la la Tierra, órbita órbita de la Luna, Luna, a 238 000 mi del centro centro de la Tierra? Tierra? El radio radio de la Tierra Tierra es de 3960 mi. Ignore Ignore el efecto de la gravedad gravedad de la Luna. Luna. (Véase el Ej. 2.5.)

N

Túnel Túnel

t

s

~ ~

su

s

P2.59 P2.59

ls, 0, P2.56 P2.56

tato

rarala O.

radio de la Luna Luna es RLL = 1738 km. La aceleración aceleración 2.57 El radio = 1738 gravedad en su superficie superficie es 1.62 m/s m/s-.2 • Si un cuerpo cuerpo se de la gravedad reposo a 1738 1738 km sobre sobre la superficie superficie de la Luna, libera desde el reposo Luna, magnitud de su velocidad velocidad justo antes de chocar chocar con ¿cuál es la magnitud justo antes con superficie? la superficie?

de

ión

Usando los datos datos del Probo 2.57, determine determine la velocidad velocidad 2.58 Usando superficie de la Luna. Luna. (Véase el Ej. 2.5.) de escape desde la superficie 2.5.)

2.60 2.60 La aceleración aceleración de la gravedad gravedad de un planeta planeta hipotético hipotético bidimensional bidimensional dependería dependería de la distancia distancia s desde el centro centro del planeta según la relación k/s, donde donde k es una una constante. constante. planeta según relación a == - k/s, RE el radio radio del planeta planeta y gE gE la magnitud magnitud de la aceleración aceleración Sea RE debida superficie. debida a la gravedad gravedad en su superficie. (a) Si a un cuerpo cuerpo se le da da una una velocidad velocidad inicial inicial Vo hacia hacia afuera afuera a una una distancia distancia So So desde el centro centro del planeta, planeta, determine determine su velocidad locidad en función función de S. (b) Demuestre Demuestre que no existe velocidad velocidad de escape escape desde un planeplaneta bidimensional bidimensional (lo cual cual explicaría explicaría por por qué no nos han han visitado visitado seres bidimensionales). bidimensionales).

'' ••

.53

____ _ I'n <'n ~-~---

... -:;~-- I. ....~'~--I.

P2.60 P2.60

/


40 40

CAPíTULO 2 MOVIM IENTO DE CAPíTULO2 MOVIMIENTO DE UN UN PUNTO PUNTO

2.3 Movimiento Movimiento curvilíneo curvilíneo Si el movimiento limita a una una línea línea recta, recta, su vector vector de posiposimovimiento de un punto punto se limita ción r, su vector vector de aceleración aceleración a están están completacompletavector de velocidad velocidad v y su vector mente ya respectivamente. respectivamente. Conocemos Conocemos las mente descritos descritos por por los escalares escalares s, v ya direcciones porque son paralelos paralelos a la línea recta, recta, pero pero direcciones de esos vectores vectores porque si un punto curvilínea, debemos debemos especificar especificar tanto tanto punto describe describe una una trayectoria trayectoria curvilínea, las magnitudes vectores, y requerimos requerimos un magnitudes como como las direcciones direcciones de esos vectores, sistema términos de componentes componentes escalaescalasistema coordenado coordenado para para expresarlos expresados en términos res. Aunque magnitudes de los vectores vectores de posición, posición, de Aunque las direcciones direcciones y magnitudes velocidad dependen del sistema coordenado que se velocidad yy de aceleración aceleración no dependen sistema coordenado emplea representaciones de esos emplea para para expresarlos, expresados, mostraremos mostraremos que las representaciones vectores coordenados. Muchos Muchos probleproblevectores son diferentes diferentes en distintos distintos sistemas sistemas coordenados. mas se pueden cartesianas, pero pero algunas algunas situaciopueden expresar expresar en coordenadas coordenadas cartesianas, situaciones, incluyendo máquinas alternativas, alternativas, se incluyendo los movimientos movimientos de satélites satélites y máquinas pueden usando otros otros sistemas coordenados que pueden expresar expresar más fácilmente fácilmente usando sistemas coordenados ilustran los movimientos movimientos curvilíneos curvilíneos de puntos. ilustran puntos .

Coordenadas Coordenadas cartesianas carfesianas Sea r el vector punto P respecto respecto a un punto punto de referencia vector de posición posición de un punto referencia O. Para coordenado cartesiano, cartesiano, Para expresar expresar el movimiento movimiento de P en un sistema sistema coordenado colocamos modo que las componentes componentes de colocamos el origen origen en O (Fig. 2.15), de modo r son las coordenadas y, z de P: coordenadas x, y, rr=xi+yj+zk. = xi + yj+zk.

yy

Figura 2.15 Figura coordenada cartesiano con su Sistema coordenado punto O de referencia. referencia. origen en el punto

p

e

(x, y. y, z) z)

r )i

(

~--~-------------x ~--~------------ x

z

Suponiendo que el sistema sistema coordenado Suponiendo coordenado no gira, gira, los vectores vectores unitarios unitarios i, jj Y y k son constantes constantes (en el Cap. Cap. 6 veremos sistemas coordenados veremos el caso de sistemas coordenados rotación). . Entonces, Entonces, la velocidad en rotación) velocidad de P es dx , dy dr dx. dy.; d.: dz vV=--=-l+-J+--k. = -- = -- I + -- J + -- k. dt dt dt dt dt dt

(2.21)

Expresando la velocidad velocidad en términos términos de cumponentes cumponentes escalares, escalares, Expresando v = Vx i + vy j

+

Vz


k,

(2.22)

MOVIMIENTO CURViLíNEO CURVILíNEO 2.3 MOVIMIENTO 2.3

obtenemos ecuaciones ecuaciones escalares escalares que relacionan relacionan las componentes componentes de la veloobtenemos cidad con las coordenadas coordenadas de P: cidad dx dx Vxx U

dz

dy dy

u vyy = = -dt dt ,'

= dt dt ' =

Vzz U

=--. = - . dt dt

(2.23) (2.23)

aceleración de P es La aceleración dv dv dt dt

a= --- = a= yy

dvxx• • du dvy. du¿ du y . duz --l+-J+-k, l +-J+-k, dt dt dt dt dt dt

expresando la aceleración aceleración en términos términos de componentes componentes escalares, escalares, expresando (2.24) (2.24)

obtenemos las ecuaciones ecuaciones escalares escalares obtenemos du;y du dt dt

(2.25) (2.25)

aayy=-, =-,

e

describen el movimiento Las Ecs. (2.23) y (2.25) describen movimiento de un punto punto respecto respecto a un cartesiano. Observe Observe que las ecuaciones ecuaciones que describen describen el movimienmovimiensistema cartesiano. cada dirección dirección coordenada coordenada son idénticas idénticas en forma forma a las ecuaciones ecuaciones to en cada describen el movimiento movimiento de un punto largo de una que describen punto a lo largo una línea recta. recta. En consecuencia, a menudo menudo se puede analizar el movimiento cada dirección dirección consecuencia, puede analizar movimiento en cada coordenada usando aplicables al movimiento línea recta. coordenada usando los métodos métodos aplicables movimiento en línea recta. problema del proyectil proyectil es el ejemplo ejemplo clásico de este tipo. tipo. Si un cuerpo cuerpo El problema dispara al aire y la resistencia aerodinámica es insignificante, insignificante, su aceleraacelerase dispara resistencia aerodinámica abajo será la aceleración aceleración de la gravedad gravedad. . En un sistema sistema coordecoordeción hacia hacia abajo nado cartesiano cartesiano con su eje y hacia arriba, la aceleración aceleración es a a,x == O, 0, ay ay == hacia arriba, =s. = O. Suponga Suponga que en t == 0, el proyectil encuentra en el origen -g, azz = proyectil se encuentra origen yy tiene velocidad Vo en el plano ángulo 00 sobre sobre la horizontal velocidad Vo plano x-ya x -y a un ángulo horizontal 2.16a). (Fig. 2.16a).

yy

Figura 2.16 el (a) Condiciones iniciales para para el problema problema del proyectil.

i,

os

~_L-_------X ~--L------------x

1)

(a) (a)

2)


41

42 42

DE UN UN PUNTO PUNTO CAPíTULO 22 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE CAPíTULO

°yy

En En tt = 0, 0, xx = cero, cero,

VVx

=

Vo Vo cos (Jo. Oo.

La aceleración aceleración en la dirección dirección xx es es

do;x dv

=0, a x == -=0, dt

por lo que

VVx

es es constante constante y permanece permanece igual a su valor inicial:

VVxx

dx dx = -- = = vocos vocoseo8·0· = dt

(2.26)

(Este resultado resultado puede parecer parecer falso; la razón razón es que la intuición, intuición, con base en la experiencia experiencia diaria, diaria, considera considera la resistencia resistencia del aire, mientras mientras que este hace.) Integrando Integrando esta esta ecuación, ecuación, análisis no lo hace.)

1/

l

x

Iox dx cos80 dt, dx = = lo/ Vo vocoseodt, obtenemos cuerpo en función obtenemos la coordenada coordenada x del cuerpo función del tiempo: tiempo: (2.27)

x = = Vo Vocos 8ot. eot.

Así, hemos posición y velocidad velocidad en la dirección dirección x como como hemos determinado determinado la posición funciones tiempo sin considerar movimiento en las direcciones direcciones yo y o z. funciones del tiempo considerar el movimiento En t = 0, y = = y vy vy = = Vo sen Oo. (Jo. La La aceleración aceleración en la dirección dirección y es En

°°

du; dv y = = -g. -g. dt dt

ay ay = = --

Integrando Integrando respecto respecto al tiempo, tiempo, Y Y V

fl V

du; dv y = =

vo seni/o vosen 60

1/

-gdt, - g dt,

oo

obtenemos obtenemos Vyy

dy dy = = --dtdt = = voseneo vosen80 - gt gt..

(2.28)

Integrando Integrando esta esta ecuación, ecuación, y Y dy = = (vosen80 -- gt) gt) dt, dt, dy (voseneo

lIo

1/lo/

encontramos encontramos que que la la coordenada coordenada yy en en función función del del tiempo tiempo es es 1 1 22 Vo sen80t -- "2- gt gt YY = Voseneot

2

(2.29)

ve de de este este análisis análisis que que la la misma misma velocidad velocidad yy la la misma misma posición posición verticales verticales Se ve se obtienen obtienen lanzando lanzando el proyectil proyectil hacia hacia arriba arriba con con velocidad velocidad inicial inicial Vo Vo sen sen se (Figs. 2.16b, 2.16b, e), c). El El movimiento movimiento vertical vertical es es completamente completamente indepenindepen0(Jo0 (Figs. diente diente del del movimiento movimiento horizontal. horizontal.


2.3

(b) Posiciones del proyectil en intervalos de tiempo Ilt iguales. La distancia LU- = "o cos Oollt. (e) Posiciones en intervalos iguales de tiempo Al de un proyectil dada una velocidad vertical inicial igual a Vo sen Oo'

l' ,/'"

-:

/

V

/ x (e)

(b)

l·

Resolviendo la Ec. (2.27) para t y sustituyendo el resultado en la Ec. (2.29), obtenemos una ecuación que describe la trayectoria parabólica del proyectil:

y=taneox-

g 22

2vo cos

2

eo

x.

(2.30)

9)

n

CURVILíNEO

Figura 2.16

y

I

MOVIMIENTO

En el siguiente ejemplo analizamos una situación en la que se pueden usar las Ecs. (2.23) y (2.25) para determinar el movimiento de un cuerpo examinando por separado cada dirección coordenada.


43

44 44

CAPíTULO 2 MOVIMIENTO DE CAPíTULO2 DE UN UN PUNTO PUNTO

Ejemplo 2.6 Durante un vuelo de prueba, prueba, un helicóptero helicóptero parte parte del reposo reposo en t = O (Fig. Durante montados a bordo bordo indican indican que sus componentes componentes de acele2.17); acelerómetros acelerómetros montados ración entre entre t = O Y Y 1 = 10 s están dadas por por ración están dadas

a, 0.61 m/s-, ax = 0.61 m/ s2 , ay 1.8 - 00.361 .36t m/s-, m/ s2 , azz = = O. Determine helicóptero en función función del tiempo. Determine la velocidad velocidad y posición posición del helicóptero tiempo.

yy

Figura 2.17

'~------------------ - - -- - -- - - - x

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos analizar en forma forma independiente cada dirección Podemos analizar independiente el movimiento movimiento en cada dirección coordenada, integrando aceleración para determinar la velocidad coordenada, integrando la aceleración para determinar velocidad e integranintegrando la velocidad velocidad para para determinar determinar la posición. posición. SOLUCiÓN SOLUCiÓN La velocidad OYsuponemos Oen O. La velocidad es cero en t1 = O Y suponemos que x = y = z = O en t = O. aceleración en en,,la dirección aceleración dirección x es 2 dv x = -dv; = 0.6t 0.6t mis mis .

ax

dt dt

Integrando Integrando respecto respecto al tiempo, tiempo,

l

VV <

'

du, dv x

=

1/

0.6tdt, , 0.6tdt

obtenemos componente de velocidad obtenemos la componente velocidad v

Vxx

dx 2 = --= 0.3t 0.3t mis. mis . dx dt dt

2

Volviendo Volviendo a integrar, integrar,

l = 1/ xx

dx dx

=

2 0.3t2 dt, 0.3t dt,


Vx U

función del tiempo: en función tiempo:

2.3 MOVIMIENTO CURViLíNEO CURVILíNEO 2.3 MOVIMIENTO

obtenemos obtenemos x en función función del tiempo: tiempo: x

= 0.lt o.i.'3

m.

Ahora analizamos, de la misma Ahora analizamos, misma manera, manera, el movimiento movimiento en la dirección dirección y. La aceleración aceleración es dv do;y dt dt

ay = ay

Integrando, Integrando,

2

=

1.8-- 0.36t 0.36t mis mis . l.8

11"' l' V1

dv;y = = 1'(1.8 0.36t)dt,dt, dv (1.8 -- 0.36t)

obtenemos la velocidad, obtenemos velocidad, vyy V

dy = -dy = 1.8t l.8t -

dt dt

2

0.18t mis. 0.18t mis.

Integrando Integrando una una vez más, más,

11 l' YY

dy dy

=

2

(l.8t - 0.18t 0.18t2) ) dt, dt, (l.8t

determinamos determinamos la posición: posición: y

ión an-

= 0.9t 0.9t22 -

0.06t 0.06t3 3 m.

Se puede puede mostrar mostrar con facilidad facilidad que las componentes componentes Z de la velocidad velocidad y la posición son Vzz = Yz = = O OY = O. O. En la Fig. (a) mostramos mostramos la posición posición del helicóptero helicóptero en función función del tiempo. tiempo. yy

. La t= t= 8

s

t= t=

10 s

}-LLx r----------L----------~~--- x

100m

0._

(a) Posición Posición del helicóptero helicóptero en intervalos intervalos de 2 s.

COMENTARIO COMENTARIO ejemplo muestra muestra cómo cómo funcionan navegación inercial inercial usaEste ejemplo funcionan los sistemas sistemas de navegación aviones y barcos barcos comerciales. comerciales. Estos Estos sistemas sistemas contienen contienen acelerómetros acelerómetros dos en los aviones miden las componentes componentes x, y y z de la aceleración aceleración (los giróscopos giróscopos mantienen mantienen que miden alineamiento de los acelerómetros). acelerómetros). Integrando componentes de la aceleel alineamiento Integrando las componentes ración dos veces con respecto respecto al tiempo, tiempo, los sistemas sistemas calculan calculan los cambios cambios en ración coordenadas x, y y z del avión o barco. las coordenadas barco.


45

46 46


Problemas

2.61 Las Las coordenadas coordenadas cartesianas de de un un punto punto (en (en metros) metros) 2.61 cartesianas son son x = 2t 2t + 4, Y = t3 - 2t, 2t, Zz = 4t 4t22 - 4, donde donde t está está en en segunsegundos. dos. ¿Cuáles ¿Cuáles son son su velocidad velocidad y su aceleración aceleración en t = = 4 s? Estrategia: Como las las coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas están están dadas dadas Estrategia: Como en en función función del del tiempo, tiempo, se pueden pueden usar usar las las Ecs. Ecs. (2.23) (2.23) para para deterdeterminar las componentes en función minar las componentes de de la la velocidad velocidad en función del del tiempo, tiempo, y las las Ecs. Ecs. (2.25) (2.25) para para determinar determinar las las componentes componentes de la aceleraaceleración en función función del del tiempo. ción tiempo.

2.67 Si se lanza lanza horizontalmente horizontalmente una piedra 2.67 una piedra desde desde la la azotea azotea de un un edificio edificio de de 100 pies pies de altura altura a 50 pie/s, de pie/ s, ¿a ¿a qué qué distancia distancia horizontal desde desde el punto punto en que que se lanzó lanzó tocará horizontal tocará el suelo? suelo? (Su(Suponga suelo suelo a nivel.) nivel.) ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de de su su velocidad velocidad justo justo ponga antes antes de de tocar tocar el suelo? suelo? 50 pie/s

-,

2.62 2.62 La La velocidad velocidad de de un un punto punto es v = 2i + 3t22jj (pie/s). (pie/s). En En t = O su posición posición es r = -i + 2j (pie). (pie). Halle Halle r en t = 2 s.

"-"-

-, -, "-

"-

""

2.63 de punto (en 2.63 Las Las componentes componentes de la aceleración aceleración de de un un punto (en son a a;x = 3t 3t2,, ay = 6t Y azz = O. O. En En t = O, O, x = 5 pie, pie, son = 3 pie/s, pie/s, y = 1 pie, pie, vy = -2 pie/s, pie/s, z = OY Vzz = O. O. ¿Cuáles ¿Cuáles

pie/s-) pie/ s2) Vxx

"

2

""

""

\ ", ,

",, \

son de velocidad velocidad en son sus sus vectores vectores de de posición posición y de en t = 3 s?

\

\\ \\

(m/s-)2) (m/s

Las componentes componentes de de la aceleración aceleración de un un cuerpo cuerpo ·2.64 Las son a a,x = 2t, 2t, ay = 4t 4t22 - 2 Y azz = --6. En t = O la posición posición del del son 6. En cuerpo es r = lOj IOj - lOk IOk (m) (m) y su velocidad (m/s). velocidad es v = 2i - 4j (m/ s). cuerpo Determine su posición Determine posición cuando cuando t = 4 s. s.

2.65 2.65 Se diseña diseña un un mortero mortero para para lanzar lanzar una una cuerda cuerda de salvasalvamento mento desde desde un un guardacostas guardacostas a un un buque buque en zozobra. zozobra. La La cuerda cuerda está unida unida a un un peso peso que que es lanzado lanzado por por el mortero. mortero. El mortero mortero está se montará montará en forma forma tal tal que que disparará disparará a 45° 45° sobre sobre la la horizontal. horizontal. ignoran la del aire aire y el peso peso de de la la cuerda cuerda en en Si se ignoran la resistencia resistencia del el diseño inicial en la boca diseño preliminar, preliminar, y se supone supone una una velocidad velocidad inicial boca del del mortero mortero de 100 pie/ pie/s s en t = = O, O, ¿cuáles ¿cuáles son son las las coordenadas coordenadas x y y del del peso peso en función función del del tiempo? tiempo?

P2.67 P2.67

2.68 nivel del del suelo suelo con con velovelo2.68 Un Un proyectil proyectil se dispara dispara desde desde el nivel cidad inicial inicial Vo' Vo' ¿Con ¿Con qué qué ángulo ángulo inicial inicial e(Joo sobre sobre la la horizontal horizontal cidad se logra valor tiene tiene este este alcance alcance logra el alcance alcance máximo máximo R, y qué qué valor máximo? máximo?

------- --

....... .......

"-

"-

"-

""

----------------R----------------

.\ P2.68 P2.68

P2.65 P2.65

2.66 2.66 En En el Probo Probo 2.65, 2.65, ¿cuál ¿cuál debe debe ser ser la velocidad velocidad en la salida salida del mortero mortero para para alcanzar alcanzar barcos barcos a una una distancia distancia de de 1000 1000 pies? pies? del


2,3 MOVIMIENTO 2 ,3 MOVIM IENTO CURVILíNEO C URViLíNEO

2.69 Un piloto piloto quiere quiere lanzar lanzar suministros suministros en cierta cierta región región remota. Pretende Pretende volar volar horizontalmente horizontalmente y soltar soltar los paquetes paquetes sin mota. velocidad velocidad vertical. vertical. Deduzca Deduzca una una ecuación ecuación para para la distancia distancia horihorizontal zontal d a la que debe soltar soltar el paquete paquete en términos términos d~ de la velocialtura h del avión. avión. j- ~ dad Va Y la altura \; \-\\1, ~L ~

J \), JJ llJJ \é ~~ ó"

oo

1'/ I ( ,1\ /

'! / "1

~

47

pitcher lanza lanza una una bola bola rápida rápida con velocidad velocidad inicial 2.72 Un pitcher Va () el ángulo ángulo inicial del vector vector de velocidad velocidad Va = 90 mi/h. mi/h. Sea () pelota sobre de la pelota sobre la horizontal. horizontal. Cuando Cuando la pelota pelota es lanzada, lanzada, está a 6 pies sobre sobre el terreno terreno y a 58 pies del bateador. bateador. La zona zona bateador (entre (entre sus rodillas rodillas y sus hombros) hombros) se exde strike strike del bateador tiende entre pulg sobre sobre el terreno terreno y 4 pies 6 pulg. Ignoentre 1 pie 10 pulg pulg. Ignorando aerodinámicos, determine determine si la pelota pelota pasará pasará por por rando efectos efectos aerodinámicos, la zona strike: (a) si () () = = 1°; () = = 2°. 2° . zona de strike: l°; (b) si ()

(\

4 pies 6 pulg

a...a-~-

l·

8 p,r:le~s~-;;;;-;;""-P2.72 P2.72

P2.69 P2.69

bateador golpea golpea la pelota pelota a 3 pies sobre sobre el cojín cojín de 2.70 Un bateador home y la eleva con un ángulo ángulo de 60° sobre sobre la horizontal. horizontal. El home segunda base la toma sobre la segunda segunda base. ¿Cuál ¿Cuál fue toma a 6 pies sobre segunda velocidad inicial de la pelota? pelota? la velocidad

2.73 En el Probo 2.72 suponga suponga que qu'e elpitcher elpitcher lanza lanza la pelota pelota ángulo () () = = 1° sobre sobre la horizontal horizontal y determine determine el intervaintervacon un ángulo velocidades Va (en pie/s) lo de velocidades pie/s) con que debe lanzar lanzar la pelota pelota para que ésta pase por para por la zona zona de strike. strike. 2.74 Un zoólogo 2.74 zoólogo está está provisto provisto de un un arco arco y una una flecha que una jeringa tiene una jeringa con con tranquilizador, tranquilizador, pues debe debe medir medir la tempetemperatura de un rinoceronte. ratura rinoceronte. El alcance alcance máximo máximo es de 100 m. Si rinoceronte embiste el rinoceronte embiste directamente directamente hacia hacia el zoólogo zoólogo a 30 km/h km/h apunta su arco y éste apunta arco 20° sobre sobre la horizontal, horizontal, ¿a qué distancia distancia estar el rinoceronte rinoceronte cuando debe estar cuando dispar.e la flecha?

.68

P2.74

o

P2.70

2.71 En el Probo 2.70, ¿a qué altura altura sobre sobre el campo campo voló la 2.71 pelota? pelota?


48

CAPITULO MOVIMIENTO DE DE UN PUNTO PUNTO CAPITULO 2 MOVIMIENTO

2.75 Los clavadistas clavadistas de La Quebrada Quebrada en Acapulco Acapulco deben deben sincronizar cronizar sus clavados clavados de modo modo que entren entren al agua en la cresta cresta de una una ola. Las crestas crestas de las olas tienen tienen 2 pies sobre la profundiprofundidad media pies del agua; media h = 12 12pies agua; la velocidad velocidad de las olas es Viii. La meta meta de los clavadistas clavadistas es un punto punto a 6 pies de la base del acantilado. acantilado. Suponga Suponga que cuando cuando se inicia el clavado clavado la velocihorizontal. dad es horizontal. (a) ¿Cuál es la magnitud velocidad en mil magnitud de la velocidad milhh cuando cuando entran entran al agua? (b) ¿A qué distancia distancia de la meta meta debe estar estar la cresta cresta de la ola cuando cuando se lanza.un lanza.un clavadista clavadista para para que entre entre al agua agua sobre sobre ella?

2.77 Un esquiador esquiador salta una pendiente pendiente de 20° aSO pie/s. pie/s. salta de una punto en que cae. (a) Determine Determine la distancia distancia d al punto (b) Determine componentes de su velocidad velocidad paralela paralela y perDetermine las componentes cuando cae. pendicular pendiente de 45° cuando pendicular a la pendiente

TEO ?OOO ~Pies ~Pies

~,

~,

:' d d/' /'

-,

"- -, '\

I

\\

~5~

\\ \\ \

~5~

\ \

\ \ \\ \\ \ \\ \\ \\ \ I \I \I \I I I I

85 .5 pies 85.5 pies

P2.77

2.78 A una una bola bola de acero acero en un tanque tanque de aceite se le da, da, en t = O, velocidad horizontal horizontal v = 2i mis. mi s. Las componentes componentes O, una una velocidad aceleración en m/s1.2 uuyy,, m/s 2 son a; ax = = -1.2 uux'' ay ay = = -8 -8 - 1.2 de su aceleración azz = 1.2 UUzz' • ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad bola en t = = 1 s? = --1.2 velocidad de la bola

y

=::======t:Z~",.,.--~~~:------::;¡L.~

pies ~======t:Z~T--="'~~:------::;¡~~ 2 pies h

1-21

¡1-

pies--! 66 1--21 pieM pies pies

l.<, o---il-+----x P2.75

\

proyectil se lanza lanza a 10 10 mi miss desde una una superficie superficie incli2.76 Un proyectil nada. Determine Determine el alcance alcance R. nada. P2.78

2.79 En el Probo 2.78, 2.78, ¿cuál ¿cuál es la posición posición de la bola bola en t = respecto a su posición 1 s respecto posición en t = O? O?

P2.76

una línea de ensam2.80 Se debe diseñar diseñar un dispositivo dispositivo para para una ensamblaje que lance blaje lance pequeñas pequeñas piezas al aire, las cuales caerán caerán en un recipiente. El punto punto de lanzamiento lanzamiento es x = = 200 mm, mm, y = = -50 -50 recipiente. mm, Z == -100 -100 mm (el eje y es vertical vertical y positivo positivo hacia hacia arriba). arriba). Para caer en el recipiente, Para recipiente, las piezas deben deben pasar pasar por por el punto punto 600mm,y 100mmmoviéndosehorizontalx = 600 mm, y = 200mm,z 200 mm, Z = 100 mm moviéndose horizontalDetermine las componentes mente. Determine componentes de la velocidad velocidad que el lanzalanzador debe dar a las piezas. piezas.


49

2.3 MOVIMIENTO CURViLíNEO CURVllÍNEO

dy/dt = 300 mm/s cf2y/dI2 2 = O, O, 2.81 Si Y = 150 mm, mm, dy/dl mm/s y cf2y/dI ¿cuáles son las magnitudes magnitudes de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración del punto P? P? punto

Suponga que un proyectil condiciones iniciales 2.83 Suponga proyectil tiene las condiciones Demuestre que en el sistema mostradas en la Fig. 2. 16(a). Demuestre mostradas sistema coorcoordenado x' y' con su origen punto más alto trayectoria, denado xy' origen en el punto alto de la trayectoria, la ecuación ecuación que describe describe a ésta es y' =

yy

y' y'

- ......,..--+.......,--- x'

P2.81

es. y'

2.82 Un automóvil viaja a 100 km/h km/h sobre recto automóvil viaja sobre un camino camino recto con pendiente pendiente creciente perfil vertical vertical se puede puede aproxicreciente cuyo perfil aproximar con la ecuación mostrada. Cuando horizonmar ecuación mostrada. Cuando la coordenada coordenada horizontal del automóvil automóvil es x == 400 m, ¿cuál es su aceleración? aceleración?

P2.83 P2.83

2.84 Las componentes componentes de la aceleración aceleración de un punto 2.84 punto son ax -4 cos 2/, 2/, ay = --44 sen 2/, 2/, a azz = O. O. En 1 = O su posición = -4 posición y velocidad velocidad son r = i, v = 2j. Demuestre Demuestre que: (a) la magnitud magnitud constante; (b) los vectores de la velocidad velocidad es constante; vectores de velocidad velocidad y de aceleración son perpendiculares; aceleración perpendiculares; (c) la magnitud magnitud de la aceleraconstante y señala ción es constante señala hacia hacia el origen; origen; (d) la trayectoria trayectoria del punto CÍrculo con su centro centro en el origen. origen. punto es un círculo

y

y= O.OO03x 2

\

L-- - - - -- _ __ _L -_ _ x ~----------------------~--x

------------------x -- - - -- - - x P2.82 P2.82

Movimiento angular angular Movimiento .78

Hemos visto que en algunos algunos casos el movimiento curvilíneo de un punto Hemos movimiento curvilíneo punto analizar usando coordenadas cartesianas. cartesianas. En las siguientes siguientes secse puede puede analizar usando coordenadas describimos problemas analizar más fácilmente fácilmente con ciones describimos problemas que se pueden pueden analizar otros sistemas sistemas coordenados. coordenados. En esta sección presentamos otros presentamos dos temas temas prelipreliminares: el movimiento angular de una derivada movimiento angular una línea en un plano plano y la derivada respecto girando en un plano. respecto al tiempo tiempo de un vector vector unitario unitario girando plano.

mun 50 a).

nto talza-

Movimiento angular angular de de una una línea línea Podemos Podemos especificar especificar la posición Movimiento posición angular de una L en un plano línea de refeangular una línea L plano particular particular respecto respecto a una una línea rencia Lo en el plano ángulo ()6 (Fig. 2.18). 2.18)_ La velocidad plano por por medio medio del ángulo velocidad angular de L respecto definida por respecto a Lo está definida por angular

I w~ w~ dedO, II dt' dt

_L _ L

Figura 2.18

(2.31)


Línea L y línea de referencia Línea referencia Lo en un plano. plano .

50


y la aceleración aceleración angular angular de L respecto respecto a Lo por por

(2.32)

Las dimensiones dimensiones de la posición posición angular, angular, la velocidad velocidad angular angular y la aceleraaceleración angular respectivamente. Aunque angular son radianes radianes (rad), (rad), rad/s rad/s y rad/s rad/s-2 respectivamente. Aunque estas cantidades cantidades suelen expresarse expresarse en grados grados o revoluciones revoluciones en vez de radiaradianes, deben deben convertirse convertirse en radianes radianes antes de usarlas usarlas en cálculos. cálculos. Observe Observe la analogía analogía entre entre las Ecs. (2.31) y (2.32) Y las que relacionan relacionan posición, la velocidad velocidad y la aceleración aceleración de un punto punto en una una recta recta (Tabla (Tabla la posición, 2.2). En cada cada caso la posición posición se especifica especifica con una una sola coordenada coordenada escalar, que puede puede ser positiva positiva o negativa. negativa. (En la Fig. 2.18la 2.181a dirección dirección antihoantihoraria raria es positiva.) positiva.) Como Como las ecuaciones ecuaciones son idénticas, idénticas, los problemas problemas que impliquen pueden analizar impliquen movimientos movimientos angulares angulares de una una línea se pueden analizar con los mismos mismos métodos métodos aplicados aplicados al movimiento movimiento en línea recta. recta. Tabla Tabla 2.2 Las ecuaciones ecuaciones que rigen el movimiento movimiento en línea recta recta y las ecuaciones ecuaciones que rigen el movimiento movimiento angular angular de una línea tienen forma forma idéntica. idéntica. tienen

Movimiento Movimiento en línea recta recta

Movimiento Movimiento angular angular

ds ds v =v=dt dt

w =w=dt dt

de

dw d22ee dio Ci=-=a =-=dt dt22

Rotación Rotación de de un vector vector unitario unitario Hemos Hemos visto que los vectores vectores unitaunitarios cartesianos k son constantes cartesianos i, jj Y Yk constantes siempre siempre que el sistema sistema coordenado coordenado no gire. Sin embargo, embargo, en otros otros sistemas sistemas coordenados coordenados los vectores vectores unitarios unitarios usados giran conforme usados para para describir describir el movimiento movimiento de un punto punto giran conforme se mueve el punto. punto. Para Para obtener obtener expresiones expresiones de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración en tales sistemas sistemas coordenados, coordenados, debemos debemos conocer conocer las derivadas derivadas respecto respecto al tiempo tiempo de un vector vector unitario unitario en rotación. rotación. Podemos Podemos describir describir el movimiento movimiento angular angular de un vector vector unitario unitario e en un plano plano como como describimos describimos el movimiento movimiento angular angular de una una línea. línea. La dirección de e respecto respecto a una una línea de referencia referencia Lo se especifica especifica con el ángJlo ángulo ()()en en la Fig. 2.19(a), 2.19(a), y la razón razón de rotación rotación de e respecto respecto a Lo se especifica especifica con la velocidad velocidad angular angular

de

W=-, W=-. dt dt

La derivada por derivada respecto respecto al tiempo tiempo de e se define define por de = = lím e(t de dt <'./40 dt AI--+O

/)"t) + f...t)

e(t) .,

/)"t f...t

La Fig. 2.19(b) muestra muestra el vector vector e en el tiempo tiempo t y en el tiempo tiempo t + M. El cambio cambio en e durante durante este intervalo intervalo es ~e == e(t + M) - e(t), y el ánguló ánguló http://carlos2524.jimdo.com/

2.3 2.3 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURVILÍNEO CURVILíNEO

al cual gira e es ,1.8 M) - 8(t). triángulo de la Fig. 2.19(b) !lB = = 8(t B(t + M) B(t). El triángulo es isósceles, por por lo que la magnitud magnitud de ,1.e !le es 2)

l,1.el l!lel

aue iaan la aaue los

21 el sen (,1.812) 21el (!lBI2)

= =

= =

2 sen (,1.812). (!lBI2).

Para vector ,1.e términos de esta expresión, Para escribir escribir el vector !le en términos expresión, incluimos incluimos un vecunitario on que señala tor unitario señala en la dirección dirección de ,1.e !le (Fig. 2.19b): ,1.e !le = l,1.eln l!lelo = 2 sen (,1.812)n. (!lBI2)o. En términos términos de esta expresión, tiempo de e es expresión, la derivada derivada respecto respecto al tiempo de dt dt

=

lím ó'e ó,t ó't

=

M->O "'1-->0

lím 2 sen(ó'e /2) o D.. sen(ó'e /2) ó't

~t->O "'1-->0

Para límite, lo escribimos escribimos en la forma Para evaluar evaluar este límite, forma = lím sen(ó'e sen(ó'e /2) de = /2) ó'e o. D. dt ~t->O ó'e /2 ó't dt "'HO ó'e ó't

En el límite, cuando tiende a cero, M cuando M tiende cero, sen (,1.812)/(,1.812) (!lBI2)/(!lBI2) es igual igual al, al, ,1.8/ !lB/!lt es igual a d8/dt, vector unitario unitario on es perpendicular perpendicular a e(t) (Fig. 2.19c). dü/dt, y el vector Por tanto, la derivada respecto al tiempo tiempo de e es Por tanto, derivada respecto de de de = = -D=WD -o=wo dt dt ' dt dt

(2.33) (2.33)

--

itaado ios eve ales po

en

donde vector unitario unitario que es perpendicular perpendicular a e y señala donde on es un vector señala en la direc2.19d). En En las siguientes siguientes secciones usaremos usaremos este ción positiva positiva de 8B (Fig. 2.19d). resultado al deducir para la velocidad velocidad y aceleración punresultado deducir expresiones expresiones para aceleración de un punto en diferentes diferentes sistemas sistemas coordenados. coordenados.

~

~ """-----'----""'---'---------- - - -- - -- - Lo (a)

~--L---------- LO ~--L---------LO

(b)

~----------- Lo ""'-------------

!::..t. gula

(e)

~--L--------- LO ~--'----------LO

(d)


Figura 2.19 (a) Vector Vector unitario unitario e y línea de referencia Lo' Lo. referencia (b) El cambio cambio Lle en e de t a Llt. t + Llt. (e) Cuando Cuando Llt Llt tiende cero, n (c) tiende a cero, resulta perpendicular a e(t). resulta perpendicular (d) Derivada Derivada de e respecto respecto al tiempo. tiempo.

51 51

52


Ejemplo 2.7 El rotor rotor de un motor motor de reacción reacción está girando 000 rpm rpm cuando girando a 10 10000 cuando se interrumpe interrumpe el suministro resultante es C/ 0.02w, donde suministro de combustible. combustible. La aceleración aceleración resultante ex = --0.02w, donde velocidad angular rad/s. w es la velocidad angular en rad/s. (a) ¿Cuánto tarda el rotor rotor en alcanzar rpm? ¿Cuánto tarda alcanzar 1000 rpm? mientras desacelera rpm? (b) ¿Cuántas revoluciones gira el rotor ¿Cuántas revoluciones rotor mientras desacelera a 1000 rpm?

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Para analizar movimiento angular una línea L Para analizar el movimiento angular del rotor, rotor, definimos definimos una L fija al rotor (Fig.. 2.20). Luego examinamos el movimiento perpendicular a su eje (Fig Luego examinamos movimiento rotor y perpendicular aceleración de L respecto respecto a la línea de referencia referencia Le. Lo. La posición, posición, velocidad velocidad y aceleración angulares de L definen definen el movimiento angular del rotor. angulares movimiento angular rotor .

Figura 2.20 2.20 Línea L y línea de referencia referencia Lo Lo que especifican la posición angular del especifican posición angular rotor. rotor .

SOLUCiÓN SOLUCiÓN conversión de rpm La conversión rpm a rad/s rad/ s es

1 rpm rpm

= =

1 revolución/min revolución/ min x (

= =

7r/30 7l"/ 30 rad/s. rad/ s.


m 27l" rad. rad , ) x ( 116min 27r O isn)) 1 revolución revolución 60 s

2.3 2.3 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURVILíNEO CURViLíNEO

(a) La La aceleración aceleración angular angular es es (a) ex C'l

dw

dw -0.02w . == --dt == -0.02w. dt

Separando variables, variables, Separando dw dw

-

w ea

al lo 'n

-O.02dt, = -0.02dt,

integramos, definiendo definiendo t == Ocomo O como el tiempo tiempo en que que se corta corta el combustible: combustible: e integramos, 1000,,/30 IOOOrr/ 30 dco dw

1 f

-

l'

=

-0.02dt. -0.02dt.

oo

IOOOOrr/30 W 10 000,,/30 W

Evaluando las integrales integrales y despejando despejando t obtenemos obtenemos Evaluando

t

= (_1_) (_1_) In In (10 (10 0001l'/30) 00071"/30) = ll5.1 115.1 s. s. 0.02 0.02

100071"/30 10001l'

Escribimos la aceleración aceleración angular angular como como (b) Escribimos ex C'l

dco dw

=-

dt

doi dñ dw dO

dco dw

dO dt dt de

dO de

- w = -0.02w, -0.02w, =-- - = -w=

separamos variables, separamos variables, dw dco = -0.02dO -0.02de, ,

e integramos integramos, , definiendo definiendo ()(j == O como como la posición posición angular angular en que se corta corta el combustible: combustible: IOOOrr/ 30 1000,,/30

f1

dw dco = =

10000rr/ 30 10000,,/30

1 1° 9

-0.02dO. -0.02de.

O o

Despejando Despejando ()(j obtenemos obtenemos 0= e = (_1_) (_1_) [(10 [(10 00071"/30) 0001l'/30) - (100071"/30)] (10001l'/30)] 0.02 0.02

= 15 revoluciones. 15 00071" 0001l'rad rad = 7500 7500revoluciones.


53 53

54 54

MOVIMIENTO DE DE UN UN PUNTO PUNTO CAPíTULO 22 MOVIMIENTO CAPíTULO

________________________ L---------~

~

_____________________________ _4Problemasl--------------------------~

~

Problemasl

¿Cuáles son son las magnitudes magnitudes de de las velocidades velocidades angulares angulares 2.85 ¿Cuáles (en rad rad/s) aguja horaria horaria y la aguja aguja minutera minutera mostradas? mostradas? (en / s) de la aguja

2.89 La aceleración aceleración angular angular de una una línea línea L L respecto respecto a una una línea / s 2 • Cuando línea de referencia referencia Lo es el a = 30 30 -- 6t rad rad/s-, Cuando t = O, O, O O= O OY Y ww = O. o. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad angular angular máxima máxima de L L respecto respecto a Lo durante durante el intervalo intervalo de tiempo tiempo de t == O Oa t = 10 s? s? 2.90 Una Una turbina turbina de gas empieza empieza a girar girar en t = = O O con con aceleraaceleración ción angular angular el a = = 6t rad/s rad/s-2 durante durante 3 s y luego luego desacelera desacelera con con el / s2 hasta a = --33 rad rad/shasta que que se detiene. detiene. (a) ¿Qué ¿Qué velocidad velocidad angular angular máxima máxima alcanza? alcanza? (b) ¿Cuál ¿Cuál es el ángulo ángulo total total que que gira? gira?

P2.85 P2.85

2.86 En En la Fig. Fig. P2.86, P2.86, sea sea L L una una línea línea del del centro centro de la Tierra Tierra un punto punto fijo fijo sobre sobre el ecuador, ecuador, y sea sea Lo una una línea línea de referenreferena un cia de dirección dirección fija. fija. La La figura figura muestra muestra la Tierra Tierra vista vista desde desde cia arriba del del polo norte. arriba polo norte. (a) ¿Es dñ/ dt dt positiva positiva o negativa? negativa? (a) ¿Es dOl ¿Cuál es la magnitud magnitud de rad/s? (b) ¿Cuál de dO/dt dOldt en en rad / s?

2.91 2.91 El rotor rotor de un un generador generador eléctrico eléctrico está está girando girando a 200 200 rpm rpm cuando cuando el motor motor se apaga apaga. . Debido Debido a efectos efectos de fricción, fricción, la desadesaceleración celeración angular angular del rotor rotor después después de que que se apaga apaga el motor motor es el / s 2 , donde angular en a == -O.Olw -O.Olw rad rad/s-, donde w es la velocidad velocidad angular rad / s. ¿Cuántas hasta que que se detiene? detiene? rad/s. ¿Cuántas revoluciones revoluciones gira gira el rotor rotor hasta 2.92 La de medición medición está está conectada conectada La aguja aguja de un un instrumento instrumento de a un somete a una una aceleración aceleración angular angular un resorte resorte torsional torsional que que la somete el = - 40 rad/s angular de de la la aguja aguja en en ex = -40 rad/s-,2 , donde donde O es la posición posición angular radianes respecto una dirección referencia. Si la la aguja aguja se radianes respecto a una dirección de de referencia. libera del reposo en O = 1 rad, rad, ¿cuál ¿cuál es su su velocidad velocidad angular angular libera del reposo O = en O O? en O = O?

P2.86 P2.86

2.87 El El ángulo ángulo entre entre una una línea línea L yy una una línea línea de de referencia referencia Lo Lo es es O O= = 2t 2t22 rad. rad. (a) (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son son la la velocidad velocidad yy la la aceleración aceleración angulares angulares de de L resrespecto pecto aa Lo Lo en en tt = 66 s? (b) (b) ¿Cuántas ¿Cuántas revoluciones revoluciones gira gira LL respecto respecto aa Lo Lo durante durante el el interintervalo valo de de tiempo tiempo de de t == O O aa t == 66 s? s? Estrategia: Estrategia: Use Use Ecs. Ecs. (2.31) (2.31) yy (2.32) (2 .32) para para determinar determinar la la velocivelocidad la aceleración aceleración angulares angulares como como funciones funciones del del tiempo. tiempo. dad yy la 2.88 2.88 En En la la Fig. Fig. P2.88, P2.88, el el ángulo ángulo OOentre entre la la barra barra yy la la línea línea horizontal horizontal es es OO = tt33 -- 2t 2t22 + 44 (grados). (grados). Determine Determine la la velocidad velocidad yy la la aceleración aceleración angulares angulares de de la la barra barra en en tt == 10 10 s. s.

P2.92

2.93 El El ángulo ángulo OOde de la la Fig. Fig. P2.93 P2.93 mide mide la la dirección dirección del del vector vector 2.93 unitario ee respecto respecto al al eje eje x. x. Si Si ww = = dO/ dOldt = 22 rad/s, rad / s, determine determine unitario dt = 0 vector del del dt: dt: (a) (a) cuando cuando O O= = O; (b) (b) cuando cuando O O= = 90 90°; (c) cuancuanel vector ; (e) 0 180° do OO = 180 do •. Estrategia: Use Use la la Ec. Ec. (2.33) (2.33) oo exprese exprese ee en en términos términos de de su) Estrategia: y, yy derive derive respecto respecto al al tiempo. tiempo. componentes xx yy y, componentes its time time derivative. derivative. its yy

------------~L---~--------x ------------~~--~-------- x

e

P2.93 P2.93

o

° P2.88 P2.88

2.94 En En elel Probo Probo 2.93 2.93 suponga suponga que que elel ángulo ángulo OO 2.94 ¿Cuál ¿Cuál es es elel vector vector del deldt dt en en tt = = 44 s?s?


2t2 2 rad. rad. 2t

2.3 MOVIM MOVIMIENTO CURVILíNEO 2,3 IENTO C URViLíNEO yy

2.95 La línea OP tiene longitud constante constante R. El ángulo ()() = 2.95 dondeo¿ constante. wot, donde ,wo es una constante. (a) Use las relaciones dx dx

Vx

Vx

dy dy

vvyy = dt

==-, == dt' dt

determinar la velocidad del punto punto P respecto a O. para determinar (2.33) para determinar determinar la velocidad de P respecto (b) Use Ec. (2.33) a O, y vea que su resultado coincida con el de la parte (a). Estrategia: Estrategia: En la parte (b), escriba el vector posición de P unitario que respecto a O como r = Re, donde e es un vector unitario apunta de O a P. P. apunta

n

------o~-~-----x

------o~-~-----x

P2.95 P2.95

Componentes normal normal y tangencial tangencial Componentes ''\ \

n

?

a n

e

55 55

describir el movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo especificamos especificamos la posición punAl describir posición de un punposición medida medida a lo largo largo de de su su trayectoria, trayectoria, y expresamos expresamos la to por su posición velocidad y la aceleración aceleración en sus componentes componentes tangencial tangencial y normal normal (pervelocidad pendicular) trayectoria. Estas Estas componentes componentes son muy útiles cuando cuando pendicular) a la trayectoria. un punto punto se mueve en una una trayectoria trayectoria circular, circular, y permiten observar el capermiten observar rácter de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración en el movimiento movimiento curvilíneo. curvilíneo. rácter Considere un punto punto P que sigue una una trayectoria trayectoria plana curvilínea (Fig. Considere plana curvilínea 2.21a). El vector vector de posición especifica la posición 2.21a). posición r especifica posición de Prespecto Prespecto al punto punto referencia O, y la coordenada coordenada s mide la posición respecto a un de referencia posición de P respecto punto sobre su trayectoria. trayectoria. La velocidad velocidad de P P respecto respecto a O es punto O' sobre

v= = dr dr = = lím r(t r(t dt L'.t40 dt t.t--+O

+ !J.t) M) ~t ~t

r(t) r(t)

=

lím ~r ~r

(2.34)

L'.t40 ~t ~t ' t.t--+O

donde M M = = r(t r(t + !::.t) ~t) - r(t) r(t) (Fig. 2.21b). 2.21b). Denotamos Denotamos con /).S as la distancia distancia donde recorrida entre entre t y t + !::.t. toma un vector vector unitario unitario e definido definido apuntan-o apuntan-. recorrida /).t. Si se toma dirección de /).r, !::.r, podemos podemos escribir escribir la Ec. (2.34) como como do en la dirección 92

Ss , ~s 11m Hfl --e.e. v= 1 L'.t-+O ~t ~t t.t---+O

n-

us

.

Figura 2.21

or

Cuando !::.t !::.ttiende tiende a cero, cero, ~s/!::.t ~s/!::.t se vuelve ds/ ds/ dt dt y e es un vector vector unitario unitario Cuando tangente a la trayectoria trayectoria en la posición tiempo t, que denotamos denotamos tangente posición de P en el tiempo con el (Fig. 2.21c): ds ds = -et. -et. v= vet = dt dt

(2.35)

(a) La posición de P a lo largo de su trayectoria se especifica con la trayectoria coordenada s. coordenada (b) Posición de P en el tiempo t y en el tiempo t + M. (e) El límite de e cuando M ~ - O O es es un (c) unitario tangente a la trayectoria. vector unitario

P(t) P(t)

.93

o

d, (a)

o

o (b)


(e)

56

CAPíTU LO 2 MOVIM IENTO DE PUNTO CAPíTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO

La velocidad velocidad de de un un punto punto en movimiento curvilíneo un vector vector cuya cuya La en movimiento curvilíneo es un magnitud es igual igual a la la razón razón de de cambio de la la distancia distancia recorrida recorrida a lo largo largo magnitud cambio de de la la trayectoria trayectoria y cuya tangente a ésta. ésta. de cuya dirección dirección es tangente Para la la aceleración derivamos respecto respecto al tiempo tiempo la la Ec. Ec. (2.35): Para aceleración de P, P, derivamos (2.35):

a

dv dv dt dt

del del u_o u_o

(2.36) (2.36)

dt dt

Si la la trayectoria trayectoria no no es una una línea línea recta, recta, el vector vector unitario unitario el gira gira conforme conforme P se mueve. mueve. En En consecuencia, la derivada derivada respecto respecto al tiempo tiempo de de eelt no no es consecuencia, la cero. En En la la sección dedujimos una una expresión para la la derivada derivada resrescero. sección anterior anterior dedujimos expresión para pecto en rotación en términos un vector vector unitario unitario en rotación en términos de de la la velocivelocipecto al tiempo tiempo de de un dad angular del vector vector unitario, unitario, Ec. Ec. (2.33). Para usar usar ese resultado, resultado, dad angular del (2.33). Para definimos el ángulo trayectoria O que especifica especifica la la dirección dirección de de eelt resresdefinimos ángulo de trayectoria O que pecto a una una línea línea de de referencia referencia (Fig. 2.22). Entonces, Entonces, de de la Ec. Ec. (2.33), pecto (Fig. 2.22). (2.33), la derivada respecto respecto al tiempo tiempo de derivada de el es

donde en en es un un vector vector unitario unitario normal normal a el que que apunta apunta en la dirección dirección popodonde en la sitiva de O si dO/dt dOldt es positiva positiva (Fig. 2.22). Sustituyendo esta expresión expresión en en sitiva de (Fig. 2.22). Sustituyendo esta la Ec. Ec . (2.36) obtenemos la aceleración de P: la (2.36) obtenemos aceleración de (2.37) (2.37)

o Figura 2.22 Ángulo Ángulo ()() de la trayectoria. trayectoria.

Podemos deducir deducir este resultado de de una una manera manera menos menos rigurosa rigurosa pero pero Podemos este resultado que aclara aclara el significado de las las componentes tangencial y normal normal de de la que significado de componentes tangencial aceleración. La en los aceleración. La Fig. Fig. 2.23(a) 2.23(a) muestra muestra la la velocidad velocidad de de P en los tiempos tiempos t ilt. En En la la Fig. Fig. 2.23(b) puede ver ver que que el cambio en la la velocidad, velocidad, y t + ilt. 2.23(b) se puede cambio en v(t ilt) - v(t), v(t), consiste en dos dos componentes La componente componente ilu, tangenv(t + ilt) consiste en componentes. . La Llu, tangente a la la trayectoria trayectoria en tiempo t, se debe debe al cambio cambio en la magnitud magnitud de de te en el tiempo en la la velocidad. velocidad. La La componente componente uLlO, uilO, que que es perpendicular perpendicular a la la trayectoria trayectoria la en tiempo t, se debe debe al cambio cambio de de dirección del del vector vector de de velocidad. velocidad . en el tiempo Así, el cambio la velocidad velocidad es (aproximadamente) Así, cambio en en la (aproximadamente) v(t v(t

+

Llt) ilt) - v(t) v(t) == Llue iluelt

+ uLlOe uilOe nn••

Figura 2.23 Velocidad de P en t y en t + t:J.t. (a) Velocidad (b) Componentes tangencial del Componentes tangencial y normal normal del cambio la velocidad cambio en la velocidad. .

(a)


(b)

IENTO CURViLíNEO 57 MOVIMIENTO CURVILíNEO 57 2.3 MOVIM

a

o ):

Para obtener aceleración dividimos tomamos Para obtener la aceleración dividimos esta expresión expresión entre entre I1t !1t y tomamos el límite límite cuando ~ O: O: cuando M M --. !1v ,[!1V , [ 11 v et + v-!1(J l1e en ]] lím -11 v = 11m lím --et+v-en aa== M-+O Llt-+O t:..t t:..t M~O t:..t I:!..t tl t ~O I:!..t I:!..t

dv de dv de = et + v- en· = --et+v-en' dt dt dt dt

6)

la

0-

en

7)

nuevo la Ec. (2.37). Pero, Pero, esta deducción deducción señala claraAsí, obtuvimos obtuvimos de nuevo señala claramente que la componente tangencial de la aceleración proviene de la razón razón mente componente tangencial aceleración proviene de cambio magnitud de la velocidad, velocidad, mientras mientras que la componente componente cambio de la magnitud normal proviene proviene de la razón razón de cambio vector de velocivelocinormal cambio de la dirección dirección del vector dad. trayectoria es una una línea línea recta recta en el tiempo tiempo t, la componente nordad. Si la trayectoria componente norigual a cero porque porque dñ/dt dOl dt es cero mal de la aceleración aceleración es igual cero.. Podemos expresar menudo es más Podemos expresar la aceleración aceleración en otra otra forma forma que a menudo conveniente. La Fig. posiciones sobre sobre la trayectoria alcanconveniente. Fig. 2.24 muestra muestra las posiciones trayectoria alcanzadas por por P en los tiempos tiempos t y t + dt. dt . Si la trayectoria trayectoria es curva, zadas curva, las líneas puntos perpendicularmente perpendicularmente a la trayectrayecrectas que se extiendan extiendan desde esos puntos toria se intersecarán intersecarán como muestra. La distancia trayectoria al toria como se muestra. distancia p de la trayectoria punto donde donde esas dos líneas se intersecan intersecan se llama punto llama radio radio de curvatura curvatura instantáneo de la trayectoria trayectoria (si la trayectoria trayectoria es circular, tantáneo circular, p es simplemente simplemente el radio radio de ella). El ángulo ángulo dO es el cambio trayectoria, cambio en el ángulo ángulo de la trayectoria, ds es la distancia recorrida entre M . p está relacionada relacionada con ds ds por por y ds distancia recorrida entre t y t + M. ds = ds = opde. d«.

ro

Figura 2.24 Figura 2.24

la

curvatura p instantáneo. instantáneo. Radio de curvatura

st d, n-

de ria d.

Dividiendo dt obtenemos Dividiendo entre entre dt obtenemos ds de ds de - v - p -v-p dt· dt dt

Usando Usando esta relación, relación, podemos podemos escribir escribir la Ec. Ec. (2.37) como como

Para dado de v, componente normal aceleración depende Para un valor valor dado u, la componente normal de la aceleración depende curvatura instantáneo. Cuanto mayor curvatura de la del radio radio de curvatura instantáneo. Cuanto mayor es la curvatura http://carlos2524.jimdo.com/

58 58

CAPíTULO 22 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN UN PUNTO PUNTO CAPíTULO

trayectoria, trayectoria, mayor mayor es es la la componente componente normal normal de de la la aceleración. aceleración. Cuando Cuando la la aceleración aceleración se se expresa expresa de de esta esta manera, manera, el el vector vector unitario unitario en en debe debe definirse definirse de de manera manera que que apunte apunte hacia hacia el el lado lado cóncavo cóncavo de de la la trayectoria trayectoria (Fig. (Fig. 2.25). 2.25). Figura 2.25 2.25 Figura El vector vector unitario unitario normal normal aa la la trayectoria trayectoria El apunta hacia hacia el el lado lado cóncavo cóncavo de de ésta. ésta. apunta

Así, la velocidad velocidad y la aceleración aceleración en componentes componentes normal normal y tangencial tangencial son (Fig. 2.26) . - - - - - ------,1 '

ds vet = = -el, -e¡, vv == vel dt

(2.38) (2.38) (2.39) (2.39)

donde donde dv dv

at=-, al = dt' dt

de

v22

ann = - = -. =v v=-. dt dt p

(2.40) (2.40)

Figura 2.26 2.26 Componentes Componentes normal normal yy tangencial tangencial de de la la velocidad velocidad (a) (a) yy la la aceleración aceleración (b). (b).

Movimiento circular circular Si Si un un punto punto P P se se mueve mueve en en una una trayectoria trayectoria circucircuMovimiento lar de de radio radio R R (Fig. (Fig. 2.27), 2.27), la la distancia distancia ss está está relacionada relacionada con con el el ángulo ángulo e(J por por lar ss = = Re. Re.

Trayectoria circular circular Trayectoria

Figura Figura 2.27 2.27 Punto Punto moviéndose moviéndose en en una una trayectoria trayectoria circular. circular.

R


o

2.3 MOVIMIENTO C CURVILíNEO 2.3 MOVIMIENTO URViLíNEO

a

e

Esta relación relación significa significa que que podemos podemos especificar especificar la P a lo largo Esta la posición posición de de P largo circular por por medio medio de ss o (). (). Derivando de la trayectoria trayectoria circular Derivando respecto respecto al tiempo tiempo esta ecuación, ecuación, obtenemos obtenemos una una relación relación entre entre v = = ds/ anguesta ds/ dt dt y la la velocidad velocidad angular de la línea línea que que va va del del centro centro de la trayectoria trayectoria a P: lar

de

=R R-- = = Rú). RúJ. v = dt dt

Trayectoria Trayectoria circular

(2.41) (2.41)

Derivando de nuevo, obtenemos una una relación relación entre entre la componente tangenDerivando nuevo, obtenemos la componente tangencial de la aceleración aceleración a a,t dv / dt dt y la aceleración aceleración angular: angular: dv cial

dú) dúJ Ra. at = RR - = Ra. dt dt

Trayectoria Trayectoria circular

Para la trayectoria trayectoria circular, circular, el radio radio de curvatura curvatura instantáneo Para instantáneo p que la componente componente normal normal de aceleración es lo que de la aceleración Trayectoria Trayectoria circular

(2.42) (2.42)

= R, = R, por por

(2.43) (2.43)

Como los problemas problemas que que implican implican movimiento movimiento circular son comunes, Como circular son comunes, vale vale pena recordar recordar estas estas expresiones. expresiones. Tenga Tenga cuidado cuidado de usarlas sólo cuanla pena de usarlas sólo cuantrayectoria sea sea circular. circular. do la trayectoria

Il-

or

Los siguientes siguientes ejemplos ejemplos muestran muestran el uso uso de las Ecs. (2.38) y (2.39) (2.39) para Los Ecs. (2.38) para analizar los los movimientos movimientos curvilíneos curvilíneos de los los cuerpos. cuerpos. Como Como las las ecuaciones analizar ecuaciones que relacionan relacionan s, v y la componente componente tangencial tangencial de que de la aceleración, aceleración,

ds vv= = dt' dt' dv aa--dt ' t dt' tienen una una forma idéntica a la de las ecuaciones ecuaciones que tienen forma idéntica que rigen rigen el movimiento movimiento un punto largo de una una línea línea recta, recta, en algunos de un punto a lo largo algunos casos casos se se pueden pueden resolresolusando los los mismos mismos métodos métodos aplicables aplicables al línea recta. ver usando al movimiento movimiento en en línea recta.


59

60 CAPiTULO CAPíTULO 22 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN UN PUNTO PUNTO 60

Ejemplo 2.8 2.8 Ejemplo La La motocicleta motocicleta de de la la Fig. Fig. 2.28 2.28 parte parte del del reposo reposo en en tt == O Osobre sobre una una pista pista circular circular de de 400 400 m m de de radio. radio. La La componente componente tangencial tangencial de de su su aceleración aceleración es es al al = = 22 ++ 00.2t .2t m/ s2 . En rn/s-. En tt == 10 10 ss determine: determine: (a) (a) la la distancia distancia que que ha ha recorrido recorrido aa lo lo largo largo de de la la pista; pista; (b) (b) la la magnitud magnitud de de su su aceleración. aceleración.

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Sea Sea ss la la distancia distancia desde desde la la posición posición inicial inicial O O de de la la motocicleta motocicleta aa su su posición posición en en el el tiempo tiempo tt (Fig. (Fig. a). a). Conociendo Conociendo la la aceleración aceleración tangencial tangencial en en función función del del tiempo, tiempo, podemos podemos integrar integrar para para determinar determinar uv yy ss como como funciones funciones del del tiempo. tiempo.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La aceleración aceleración tangencial tangencial es es (a) La

Figura 2.28 Figura

dv dt

= - = 2 + 0.2t

al al

Integrando, , Integrando

1 [(2 1'(2

2

mls2.. mis

v

1vdv dv = =

+ 0.2t)dt 0.2t) dt,,

obtenemos vv en en función función del del tiempo: tiempo: obtenemos

V

2 ds 2t + O.lt = -ds = 2t O.lt dt

dt

mis. mis.

Integrando Integrando esta esta ecuación, ecuación,

1 l' ss

1

(a) La La coordenada coordenada s mide mide la la distancia distancia aa lo lo largo largo de de la la pista. pista.

ds = = ds

(2t (2t

2 0.lt2) ) dt, dt, + 0.lt

la coordenada coordenada s en en función función del del tiempo tiempo es es la 22

ss =t =t

En tt En

0.1 33 0.1 + -t - t m. m. 33

10 s,s, la la distancia distancia recorrida recorrida aa lo lo largo largo de de lala pista pista es es 10 22

ss = = (10) (10)

(b) (b) En En tt

0.1 0.1 33 ++ 3(10) 3(10) = = 133.3 133.3 ID. m.

10 s,s, lala componente componente tangencial tangencial de de lala aceleración aceleración es es 10 al

= 2 + 0.2(10) = 4 mls2.

Tambiéndebemos debemosdeterminar determinarlalacomponente componentenormal normalde delalaaceleración. aceleración. El Elradio radio También es elel radio radio de de lala pista pista circular, circular, pp de curvatura curvatura instantáneo instantáneo de de lala trayectoria trayectoria es de 400 m. m. La La magnitud magnitud de de lala velocidad velocidad en en tt == 10 10 ss es es 400 2(10) + +0.1(10)2 0.1(10)2 == 30 30mis. mis. vv == 2(10) Por Por tanto, tanto,


2.3 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURViLíNEO CURVILíNEO 2.3

61 61

v22 (30)2 2 = -- = =-- - = = 2.25 mis . an = 400 pp La magnitud magnitud de la aceleración aceleración en t = 10 s es

+ o

n

Ejemplo 2.9

el

Un satélite satélite está en órbita órbita circular circular de radio radio R alrededor alrededor de la Tierra. Tierra. ¿Cuál ¿Cuál es velocidad? su velocidad?

ESTRATEGIA ESTRATEGIA La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad a una distancia distancia R del centro centro de la Tierra Tierra es gRV gRV R2, donde junto con donde RE es el radio radio de la Tierra. Tierra. Usando Usando esta esta expresión expresión junto la ecuación normal y tanecuación para para la aceleración aceleración en términos términos de sus componentes componentes normal tanpodemos obtener obtener una una ecuación ecuación para para la velocidad velocidad del satélite. satélite. gencial, podemos

SOLUCiÓN SOLUCiÓN En componentes componentes normal normal y tangencial tangencial (Fig. 2.29), la aceleración aceleración del satélite satélite es dv a= -et+ dt

v2 -en' R

aceleración de la gravedad gravedad hacia hacia el centro centro Esta expresión expresión debe ser igual a la aceleración Tierra: de la Tierra: gR~ dv v2 gR~ -et+-en=-2-e.· -e,+-e -e.· n = -2 R

dt

R

Como no hay componente componente e, et en el lado derecho, derecho, concluimos concluimos que la magnitud magnitud Como velocidad del satélite satélite es constante: constante: de la velocidad dv

O. -dv.= ,=0. dt Igualando las componentes componentes en eny despejando v obtenemos obtenemos Igualando y despejando

v

Jg~~.

= Jg~~.

COMENTARIO COMENTARIO io

En el Ej. 2.5 determinamos determinamos la velocidad velocidad de escape de un cuerpo cuerpo que viaja viaja en recta alejándose alejándose de la Tierra, Tierra, en términos distancia inicial desde línea recta términos de su distancia centro de la Tierra. Tierra. La velocidad velocidad de escape de un cuerpo cuerpo a una una distancia distancia el centro centro de la Tierra, Tierra, Vese Vesc = --J .J 2gR~/ 2gR~/ R, velocidad de R del centro R, es sólo V2 veces la velocidad cuerpo en una una órbita órbita circular circular de radio radio R R.. Esto explica por por qué fue posible posible un cuerpo empezar a lanzar lanzar sondas sondas a otros otros planetas planetas poco poco después después de que se pusieron pusieron en empezar órbita los primeros primeros satélites. satélites. órbita


Figura 2.29 Descripción movimiento del satélite Descripción del movimiento términos de las componentes componentes normal normal y en términos tangencial. tangencial.

62 CAPíTULO CAPíTULO 22 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DEUN UN PUNTO PUNTO 62

1.---------~----_i·1 Ejemplo 2.10 2.10 I _~____~____~J1 h - - - - - - - - - - ---il Ejemplo 1

1

....•

JI

Durante las componenDurante un unvuelo vueloen enque queun unhelicóptero helicóptero parte parte del delreposo reposo en entt == O,O,las componentes cartesianas cartesianas de de su su aceleración aceleración son son tes

¿Cuáles ¿Cuáles son son las las componentes componentes normal normal yy tangencial tangencial de de su su aceleración aceleración yy elel radio radio de de curvatura curvatura instantáneo instantáneo de de su su trayectoria trayectoria en en tt == 44 s? s?

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos Podemos integrar integrar las las componentes componentes cartesianas cartesianas de de la la aceleración aceleración para para determideterminar nar las las componentes componentes cartesianas cartesianas de de la la velocidad velocidad en en tt == 44 s.s. El El vector vector de de velocivelocidad dad es es tangente tangente aa la la trayectoria, trayectoria, por por lo lo que que el el conocimiento conocimiento de de las las componentes componentes cartesianas cartesianas de de la la velocidad velocidad nos nos permite permite determinar determinar el el ángulo ángulo de de la trayectoria. trayectoria.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Figura 2.30 2.30 Figura

Integrando Integrando las componentes componentes de la aceleración aceleración respecto respecto al tiempo (véase el Ej. 2.6), las componentes componentes cartesianas cartesianas de la velocidad velocidad son

yy

vx

0.3t22 = 0.3t

mis,

l.8t - 0.18t 0.18t2 2 mis. vvyy = 1.8t

mi s y vuyy = 4.32 mis. mi s. Por Por tanto, ángulo de la trayectotrayectoEn t = 4 s, Vx = 4.80 mis tanto, el ángulo ria (Fig. a) es

e(J = arctan L---------------

x

~-------------------------------x

4.32) 4.32) --( -4.80 4.80

42.0o . = 42.0°.

Las componentes componentes cartesianas cartesianas de la aceleración aceleración en en t Las

(a) (a) Componentes Componentes cartesianas cartesianas de de la la

velocidad velocidad yy ángulo ángulo () () de de la trayectoria. la trayectoria.

4 s son son

ay ay = = l.8 1.8 -- 0.36(4) 0.36(4) = = 0.36 0.36 mls mls22. . Calculando las las componentes componentes de de esas esas aceleraciones aceleraciones en en las las direcciones direcciones tangencial tangencial Calculando normal aa la la trayectoria trayectoria (Fig. (Fig. b), b), obtenemos obtenemos alal Y Yaann: : yy normal al al

(2.4) cos cos 42.0° 42.0° ++ (0.36) (0.36) sen sen 42.0° 42.0° == 2.02 2.02 rri/s-, m/ s2, == (2.4)

(2.4) sen sen 42.0° 42.0° -- (0.36) (0 .36) cos cos 42.0° 42.0° == l.34 1.34 m/s-. m/s 2 . aann == (2.4)

(b) (b) Determinación Determinación de de las las componentes componentes

tangencial tangencial yy normal normal de de lala aceleración aceleración aa partir partir de de las las componentes. componentescartesianas. cartesianas.

Para determinar determinar elel radio radio de de curvatura curvatura instantáneo instantáneo de de lala trayectoria, trayectoria, usamos usamos Para 2 relación aann == vu2lp. / p. La La magnitud magnitud de de lala velocidad velocidad en en tt == 44 ss es es lala relación

Jv;++v;v; == J(4.8W J (4 .8W ++(4.32)2 (4.32)2 == 6.46 6.46 mis, mis, vv== Jv; por por lolo que que elel valor valor de de pp en en tt == 44 ss es es vv2 2 (6.46)2 (6.46)2 == ---- - - - == 3l.2m. 31.2 ffi . aan n l.34 1.34

PP== --


2.3 2.3 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURVILÍNEO CURViLíNEO

~~~~~~~~~~~~~~~ Problemas ~

63 63

____________________~____~

n-

2.96 La Laarmadura armadurade deun unmotor motoreléctrico eléctricogira giraaarazón razónconstanconstan2_96 respecto aa O O es es te. La La magnitud magnitud de de la la velocidad velocidad del del punto punto PP respecto te. mis. 44 mis. (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son son las las componentes componentes normal normalyytangencial tangencialde dela laaceleacele(a) respecto aa O? O? ración de de PP respecto ración (b) ¿Cuál ¿Cuál es es la la velocidad velocidad angular angular de de la la armadura? armadura? (b)

2.99 2.99 Una Una lancha lancha de de motor motor parte parte del del reposo reposo yy es es conducida conducida

en una trayectoria trayectoria circular circular de de 40 40 pies pies de de radio. radio. La La magnitud magnitud en una 2 En de S2. de su su velocidad velocidad aumenta aumenta aa una una razón razón constante constante de de 22 piel pie/s .' En términos términos de de las las componentes componentes normal normal yy tangencial, tangencial, determine: determine: (a) (a) la la velocidad velocidad en en función función del del tiempo; tiempo; (b) (b) la la aceleración aceleración en en funfunción ción del del tiempo. tiempo.

,/

1-

,/

/

/

-- ----

------- - --- -

/

//

ies a.

// //

II II II 1I

1I 1I

1\ \\ \\

j.

\\ \\ \\

P2.96 P2.96

, ,,, -,,

.....--

........ , --::---

<, _~,.;::~~::::"~-

2.97 2.97 0-

parte del reposo reposo y tiene una una La armadura armadura del Probo 2.96 parte aceleración a == 10 rad/s-. rad/ s2 • ¿Cuál aceleración angular angular constante constante ex ¿Cuál es la velocidad y la aceleración respecto a O en términos aceleración de P respecto términos de las componentes ponentes radial radial y tangencial tangencial después de 10 10 s? 2.98 2.98 Las centrífugas centrífugas se usan usan en los laboratorios laboratorios médicos médicos para para aumentar aumentar la velocidad velocidad de precipitación precipitación de la materia materia sólida sólida prepresente en soluciones. soluciones. Suponga Suponga que se quiere diseñar diseñar una centrífucentrífuga para para someter someter muestras muestras a aceleraciones aceleraciones de 1000 1000 g. g. (a) (a) Si Si la distancia distancia del centro centro de la centrífuga centrífuga a la muestra muestra es es de 300 300 mm, ¿qué velocidad velocidad de rotación rotación en en rpm se se necesita? (b) (b) Si Si se se quiere que la centrífuga centrífuga alcance alcance sus sus rpm de diseño en 11 min, min, ¿qué ¿qué aceleración aceleración angular angular constante constante se se necesita? necesita?

P2.99 P2.99

ángulo ()() = 2(2 2t2 rad. rad. 2.100 Se tiene el ángulo magnitud de la velocidad velocidad y de la aceleración aceleración de (a) ¿Cuál es la magnitud respecto a O en (t = 1 s? s? P respecto distancia a lo largo de la trayectoria trayectoria circular circular recorre recorre (b) ¿Qué distancia s? P entre (t = O Y (t = 1 s?

ial

P2.100 P2.100

os

2.101 En En elelProbo Probo 2.100, 2.100, ¿cuál ¿cuál es esla la magnitud magnitud de de lalavelocidad velocidad 2.101 de la la aceleración aceleración de de PP respecto respecto aa O O cuando cuando PP ha ha efectuado efectuado yy de una revolución revolución en en la la trayectoria trayectoria circular circular comenzando comenzando en en (t == O? O? una P2.98 P2.98


64

CAPíTULO 2 MOVIMIENTO

DE UN PUNTO

2.102 El radio de la Tierra es de 3960 millas. Si usted está de pie en el ecuador, ¿cuál es la magnitud de su velocidad respecto al centro de la Tierra?

2.107 Un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40 mi/h en A a 60 mi/h en B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2 s después de que pasa por el punto A?

2.103 El radio de la Tierra es de 6370 km. Si usted está de pie en el ecuador, ¿cuál es la magnitud de su aceleración respecto al centro de la Tierra? 2.104 Suponga que usted está de pie en un punto P a 30° de latitud norte (es decir, en un punto a 30° al norte del ecuador). El radio de la Tierra es RE = 3960 millas. ¿Cuáles son las magnitudes de su velocidad y aceleración respecto al centro de la Tierra?

y

A

_80

pies.--1--X

P2.107

Ecuador P2.104

2.105 La magnitud de la velocidad del avión mostrado es constante e igual a 400 mis. La razón de cambio del ángulo (J de su trayectoria es constante e igual a 5° /s. (a) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del avión en términos de componentes normal y tangencial? (b) ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del avión?

2.108 Determine la magnitud de la aceleración del automóvil del Probo 2.107 cuando ha viajado a lo largo del camino una distancia (a) de 120 pies desde A; (b) de 160 pies desde A. 2.109 Un aspirante a astronauta va a someterse a una prueba en una centrífuga con radio de 10 m. El perderá la conciencia si su aceleración horizontal total llega a 14 g. ¿Cuál debe ser la aceleración angular constante máxima de la centrífuga, partiendo de cero, para que esta persona no pierda la conciencia en el primer minuto?

/ / / / / / /

e

/

"

P2.109

--------

P2.105

2.106

En t = O, un automóvil parte del reposo en el punto

A. Se mueve hacia la derecha y la componente tangencial de

su aceleración es at = O.4t m/s-, ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del automóvil cuando llega al punto B?

CA

/7

B

I

\.

200m

.\

2.110 Un proyectil tiene una velocidad inicial de 20 pie/s a 30° sobre la horizontal. (a) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del proyectil en términos de las componentes normal y tangencial cuando está en el punto más alto de su trayectoria? (b) ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del proyectil cuando éste se encuentra en el punto más alto de su trayectoria? Estrategia: En la parte (b), se puede determinar el radio de curvatura instantáneo con la relación an = u2/ p. 20 pie/s

P2.106

~o

-------

".,.....-----

--

<, <,

",

P2.110


2.3 2.3 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURViLíNEO CURVILíNEO

2.111 En En el el Probo Probo 2.110, 2.110, sea sea tt == O O el el instante instante en en el el que que se se 2.111 dispara el el proyectil. proyectil. dispara (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son la velocidad velocidad yy la la aceleración aceleración en en términos términos de de las las (a) componentes normal normal y tangencial tangencial en en tt = 0.2 0.2 s? s? componentes (b} ¿Cuál es es el el radio de curvatura curvatura instantáneo instantáneo de la la trayectoria trayectoria (b). s? en t( == 0.2 s?

n d

65 65

2.116 2.116 Si Si y == 100 100 mm, mm, dy/dt dy/dt = = 200 200 mm/s mm/s yy d2y/dt d2y/d(22 = = O, O, ¿cuáles ¿cuáles son son la la velocidad velocidad yy la la aceleración aceleración de PP en en términos términos de de las las componentes componentes normal normal yy tangencial? tangencial?

2.112 Las coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas de un punto punto que se se mueve 2.112 el plano x-y son en el

x = 20 + 4t 4(22 m, y = 10 10 - t(33 m. es el el radio radio de curvatura curvatura instantáneo instantáneo de la trayectoria trayectoria en ¿Cuál es s? t == 3 s? 2.113 Un satélite satélite se encuentra encuentra en una una órbita órbita circular circular a 200 2.113 sobre la superficie superficie de la Tierra, Tierra, cuyo radio radio es de 3960 mi. mi sobre ¿Cuál es la magnitud magnitud uu de la velocidad velocidad del satélite satélite respecto respecto (a) ¿Cuál al centro centro de la Tierra? Tierra? ¿Cuánto tarda tarda el satélite satélite en completar completar una una órbita? órbita? (b) ¿Cuánto

07

v

P2.116

2.117 Suponga se mueve hacia 2.117 Suponga que el puntoPdel puntoPdel Probo 2.116 2.116se hacia arriba arriba por por la ranura ranura con velocidad velocidad v == 300 el e¡ mm/s. mm/s. Cuando Cuando y = 150 150 mm, ¿qué valor valor tienen tienen dy/dt dy/dt y d2y/dt d2y/dt2?2? 2.118 Un auto 2.118 auto viaja viaja a 100 km/h km/h cuesta cuesta arriba arriba por por un camino camino recto perfil vertical puede aproximar recto cuyo perfil vertical se puede aproximar con la ecuación ecuación mostrada. Cuando mostrada. Cuando la coordenada coordenada horizontal horizontal del auto auto es x = ¿cuáles son las componentes componentes de su aceleración? aceleración? 400 m, ¿cuáles y

P2.113 P2.113

200 200 mi mi

2.114 2.114 Para Para el entrenamiento entrenamiento de astronautas, astronautas, el avión avión mostramostrado debe debe alcanzar alcanzar la "ingravidez" "ingravidez" por por un un corto corto periodo periodo de tiemtiempo volando volando a lo largo largo de una una trayectoria trayectoria tal que que su aceleración aceleración sea aaxx = O, O, ay = -g. -g. Si su velocidad velocidad en O en t = O es v = uoi, uoi, demuestre demuestre que que el piloto piloto automático automático debe debe volar volar el avión avión de manera manera que que su componente componente tangencial tangencial de aceleración aceleración en funfunción del tiempo tiempo sea 09

=s

al al = g

a

(gt (gt /vo) /vo)

.. J¡ JI + (gt/VO)2 (gt/vO)2

--------------------- x

---------------------x

P2.118 P2.118

2.119 2.119

joven patina patina sobre sobre la superficie superficie de concreto concreto de un un Un joven canal vacío vacío descrito descrito por por la la ecuación ecuación mostrada. mostrada. El El joven joven parte parte canal = 20 pie pie y la magnitud magnitud de su velocidad velocidad está está dada dada por por uu de yy = = .,,12(32.2)(20 .,)2(32.2)(20 -- y) y) pie/s. pie/s. ¿Cuáles ¿Cuáles son son las componentes componentes normal normal tangencial de su aceleración aceleración cuando cuando llega llega al fondo? fondo? y tangencial

en tá

yy 2

0.03x2 yy == 0.03x

ia de de

xx

t 10

l

------~------~~~--~-------------x --------------~~~~~-------------x

oo P2.114 P2.114 2.115 2.115 En En el el Probo Probo 2.114, 2.114, ¿cuál ¿cuál es es la la componente componente normal normal de de

aceleración aceleración del del avión avión en en función función del del tiempo? tiempo?

P2.119 P2.119

2.120 En Enel Probo 2.119, 2.119, ¿cuáles ¿cuáles son son las las componentes componentes normal normal 2.120 el Probo tangencial de de la la aceleración aceleración del del joven joven cuando cuando ha ha pasado pasado por por yy tangencial el lOpies? el fondo fondo yy alcanza alcanza la la posición posición yy == lOpies?


66

PUNTO CAPíTULO 2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN PUNTO CAPíTULO yy

Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas polares cilíndricas

p

r o~~------------- x o~~-------------x

(a) yy

Las polares suelen usarse para para describir curviLas coordenadas coordenadas polares suelen usarse describir el movimiento movimiento curvilíneo punto. El movimiento problemas de líneo de un un punto. movimiento circular, circular, los los problemas de ciertas ciertas órbitas órbitas y, más problemas de más generalmente, generalmente, los problemas de fuerza fuerza central, central, en en los los que que la la aceleraaceleración un punto punto se dirige un punto punto dado, pueden expresarse ción de un dirige hacia hacia un dado, pueden expresarse conveconvenientemente polares. nientemente en coordenadas coordenadas polares. Consideremos un punto punto P en plano x-y x -y de un sistema Consideremos un en el plano de un sistema coordenado coordenado cartesiano posición de respecto al origen por cartesiano. . Podemos Podemos especificar especificar la la posición de P respecto origen O por medio por sus polares, medio de sus sus coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas x, y o por sus coordenadas coordenadas polares, r, O polares, definimos O (Fig. (Fig. 2.31 2.31 a). a). Para Para expresar expresar vectores vectores en coordenadas coordenadas polares, definimos un vector unitario er que un vector unitario que señale señale en en la la dirección dirección de la la línea línea radial radial del oriorigen un vector unitario ee perpendicular a er y que gen a P y un vector unitario e, perpendicular que apunte apunte en la la b). En dirección dirección creciente creciente de O O (Fig. (Fig. 2.31 2.31 b). En términos términos de esos esos vectores, vectores, el vector vector de posición posición r de O a P es (2.44) (2.44)

~~------------- x ~~-------------x

(Observe no tiene tiene componente (Observe que que r no componente en en la la dirección dirección de de ee') eo') polares derivanPodemos Podemos determinar determinar la la velocidad velocidad de de P en coordenadas coordenadas polares derivando respecto tiempo la la Ec. (2.44): do respecto al tiempo Ec. (2.44):

(b)

Figura 2.31 (a) Coordenadas Coordenadas polares de P. (b) Vectores unitarios ee,r y ee, eo, y vector de posición r.

dr dr dr dr v= = -- = = --- er dt dt dt dt

de de;r . dt dt

+ r --.

(2.45) (2.45)

Cuando una trayectoria unitario er giCuando P se mueve mueve en en una trayectoria curvilínea, curvilínea, el vector vector unitario giracon w == dO/dt. ra con velocidad velocidad angular angular w dO/ dt. Por Por tanto, tanto, de de laEc. la Ec. (2.33), (2.33), la la derivada derivada respecto al tiempo tiempo de puede expresar respecto de err en en términos términos de ee e, se puede expresar como como de de;r dt dt

de de dt dt

(2.46) (2.46)

--=--ee· = -- eo·

Sustituyendo Sustituyendo este este resultado resultado en en la la Ec. Ec. (2.45) (2.45) obtenemos obtenemos la la velocidad velocidad de de P: dr de dr dr de dr vv= = -er + r--e(i = er + rúJeg. -er+r--ee = --er+rúJeg. dt dt dt dt dt dt yy

(2.47) (2.47)

Podemos resultado de un modo pero más Podemos obtener obtener el resultado de un modo menos menos riguroso, riguroso, pero más directo posición de de P directo e intuitivo. intuitivo. La La Fig. Fig. 2.32 2.32 muestra muestra el vector vector de posición P en en los los tiempos t y t + t:.t. D.t. El cambio cambio en en el vector vector de de posición, D.t) - r(t), tiempos posición, r(t + t:.t) r(t), consiste La consiste en en dos dos componentes. componentes. La componente!::.r componente Ar se debe debe al cambio cambio en en la posición tiene la la dirección dirección de de ero e., La La componente componente r !::.O debida debida la posición radial radial r y tiene al cambio posición de cambio en en O O tiene tiene la la dirección dirección de de ee' eo' Así, Así, el cambio cambio en en la la posición P P es (aproximadamente) (aproximadamente) r(t r(t

+ !::.t) !::.t)--

r(t) = = !::.r /')"ree,r + r!::.e r/')"e eo ee.. r(t)

~--------------------x

o ~-------------------- x

Figura 2.32 Vector de posición de P en t y en ilt. t + t:J.t.

Dividiendo esta esta expresión expresión entre entre !::.t !::.t y tomando tomando el límite límite cuando cuando !::.t -- 0, Dividiendo se obtiene obtiene la la velocidad velocidad de de P P:: /')"r

so ]

f:J.r f:J.e ] v= = lím lím [ - err + r - eo ee 1':.1-40 /')"t /')"t 1'>1 -4 0 f:J.t f:J.t

dr dr = = -- er dt dt

+ rúJeo rúJee··


2.3

MOVIMIENTO

CURVILíNEO

Una componente de la velocidad está en la dirección radial y es igual a la razón de cambio de la posición radial r. La otra componente es normal, o transversal a la dirección radial, y es proporcional a la distancia radial y a la razón de cambio de O.

1-

Tenemos la aceleración de P derivando respecto al tiempo Ec. (2.47): Figura 2.33 Derivadas respecto al tiempo de e,

(2.48)

s,

d2e

de dee

dt

dt dt

+r-ee+r--. 2

OS

rila or

La derivada respecto al tiempo del vector unitario er debido a la razón de cambio de O está dada por la Ec. (2.46). Cuando P se mueve, eo también gira con velocidad angular dñ/ dt (Fig. 2.33). En esta figura se puede ver que la derivada respecto al tiempo de e, tiene la dirección +e, si dO/ dt es positiva: dee

Il-

-

dt

de

= --er• dt

Sustituyendo esta expresión y la Ec. (2.46) en la Ec. (2.48), obtenemos la aceleración de P:

5)

gida

)2]

2

a=

d--r r [ dt2

(de dt

2

e dr de] er+ [dr-+2-dt2 dt dt

ee.

Así, la velocidad y la aceleración son (Fig. 2.34)

6)

v

P:

=

Vr er

dr

+ Ve ee = -

dt

er

(2.49)

+ r cu ee

y

I

ás los

a = a; e,

+ ae ee, I

(2.50)

(l),

en ida de Figura 2.34

y \

././ ./

0,

./ ./

l l

Componentes radial y transversal de la velocidad (a) la aceleración (b).

\ V

\

voeo

\

x

O (a)

x

O (b)


y

y eo.

67

68

CAPíTULO 2 MOVIM MOVIMIENTO DE UN PUNTO PUNTO CAPíTULO IENTO DE

donde donde

yy

(2.51) tI"'------''----+--x-x e<=:-----''"'----+-

d22ee dr dr dr de de dr a(J 2- - = ra 2-ú>. ao = rr-- 22 + +2-ra + +2-w. dt dt dt dt dt dt dt dt

El término radial de la aceleración término -rw -rw2 2 en la componente componente radial aceleración se llama llama aceleración centrípeta, centrípeta, y el término 2(drldt)w en la componente componente transveraceleración término 2(drldt)w transverllama aceleración aceleración de Coriolis Coriolis. . sal se llama (a) (a)

~R

Movimiento circular circular El movimiento circular puede describirse usanMovimiento movimiento circular puede describirse usancomponentes radial componentes normal do las componentes radial y transversal transversal o las componentes normal y tantangencia!. Comparemos Comparemos esos dos métodos métodos de expresar expresar la velocidad gencial. velocidad y la aceleración de un punto circular de aceleración punto P que se mueve en una una trayectoria trayectoria circular radio Como la coordenada coordenada polar polar r = R es constante, constante, la radio R (Fig. 2.35). Como Ec.. (2.49) para Ec para la velocidad velocidad se reduce reduce a

s \

~R

v= Rú>e(J . = Rweo.

componentes normal En términos términos de las componentes normal y tangencial, tangencial, la velocidad velocidad es (b)

vet o v= = veto Figura 2.35 Punto P moviéndose Punto moviéndose en una una trayectoria trayectoria circular. . circular Coordenadas polares. polares. (a) Coordenadas Componentes normal (b) Componentes normal y tangencia!. tangencial.

Observe e, == el. Comparando Comparando esas dos expresiones expresiones Observe en la Fig. 2.35 que ee para velocidad obtenemos obtenemos la relación entre la velocidad para la velocidad relación entre velocidad y la velocidad velocidad angular en el movimiento movimiento circular: circular: angular v = = Reo, Rú>.

(2.51), aceleración en coordenadas coordenadas polares De las Ecs. (2.50) y (2 .51), la aceleración polares para para una circular de radio una trayectoria trayectoria circular radio R es

y la aceleración aceleración en términos componentes normal términos de las componentes normal y tangencial tangencial es

-en. Debido Debido a la relación componenEl vector vector unitario unitario err = = -en. relación v == Rw, Rw, las compunentes normales aceleración son iguales: v22/ R == Rw Igualando las normales de la aceleración Rw22• • Igualando componentes transversal transversal y tangencial, tangencial, obtenemos obtenemos la relación componentes relación

- x

Figura 2.36 Coordenadas cilíndricas cilíndricas r, (J, 8, zz del punto Coordenadas punto P y vectores e., ee, eo, eez·z• vectores unitarios unitarios en

dv dv =at = Ra. - = at = dt dt

Coordenadas cilíndricas cilíndricas Las coordenadas coordenadas polares describen el moCoordenadas polares describen movimiento de un punto describir el movimiento vimiento punto P en el plano plano x-y. x-y . Podemos Podemos describir movimiento tridimensional coordenadas cilíndricas cilíndricas r, (), (), Z (Fig. 2.36). Las coorcoortridimensional usando usando coordenadas denadas cilíndricas cilíndricas r y ()() son las coordenadas coordenadas polares denadas polares de P medidas medidas en el http://carlos2524.jimdo.com/

2.3 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURViLíNEO CURVILíNEO 2.3

plano paralelo las definiciones definiciones de los los vectores plano paralelo al plano plano x-y, y las vectores unitarios unitarios cambian. La La posición P perpendicular ee,r y eenu no no cambian. posición de P perpendicular al plano plano x-y se mide mide con la la coordenada coordenada z, apunta en en la la dirección dirección positicon z, y el vector vector unitario unitario ee,z apunta positidel eje eje z. va del El vector en coordenadas coordenadas cilíndricas cilíndricas es la la suma suma de la la expreexpreEl vector de posición posición r en sión para en coordenadas coordenadas polares la componente componente z: sión para el vector vector de posición posición en polares y la r

e, + zzee,z = rre,

(2.52) (2.52)

(La coordenada coordenada polar igual a la la magnitud de r excepto excepto cuando cuando (La polar r no no es igual magnitud de P se encuentra encuentra en en el plano obtenemos la la velocidad, P plano x-y.) Derivando Derivando obtenemos velocidad, dr dr v == -- == v, Vr e, er

dt

el! + Vzz ezz + VI! el!

n-

(2.53) (2.53)

la

dr dr = - re, +rwel! = -e +rwel! dt

de

la

ddz: + -ez, dt

aceleración, y la aceleración,

(2.54) (2.54)

donde donde

es ad

ar = = a,

d22rr 2 - rw , --22 -rw, dt dt

al! al!

dr dr

= ra+2 - w, ra + 2-w, dt

Observe que que las las Ecs. Ecs. (2.53) (2.53) y (2.54) (2.54) se reducen las expresiones expresiones en en coordecoordereducen a las Observe nadas polares la velocidad aceleración, Ecs. (2.49) y (2.50), (2.50), cuando cuando nadas polares para para la velocidad y aceleración, Ecs. (2.49) largo de de una en el plano P se mueve mueve a lo largo una trayectoria trayectoria en plano x-y.

ara

es

enlas

monto orn el

Los siguientes ejemplos muestran Los siguientes dos ejemplos muestran el uso de las Ecs. (2.49) (2.49) y (2.50) para analizar analizar movimientos curvilíneos de cuerpos cuerpos en coordenadas coordenadas polares. movimientos curvilíneos polares. http://carlos2524.jimdo.com/

69

70


Ejemplo 2.11 2.11

---

~o

Suponga usted de pie sobre Suponga que está usted sobre un gran gran disco (un tiovivo) tiovivo) que gira gira con velocidad usted empieza rapidez consvelocidad angular angular constante constante wo, y usted empieza a caminar caminar con rapidez una línea recta recta radial radial pintada pintada sobre tante Vo tante Uo a lo largo largo de una sobre el disco (Fig. 2.37). ¿Cuáles son su velocidad velocidad y aceleración aceleración cuando cuando se encuentre encuentre a una distancia una distancia ¿Cuáles r del centro centro del disco?

ESTRATEGIA ESTRATEGIA

-Figura 2.37

Podemos movimiento en coordenadas polares (Fig. a). Usando Usando la Podemos describir describir su movimiento coordenadas polares movimiento y el movimiento movimiento del disco, podemos información información dada dada acerca acerca de su movimiento disco, podemos para la velocidad evaluar evaluar los términos términos en las expresiones expresiones para velocidad yy la aceleración aceleración en coordenadas coordenadas polares. polares.

a

SOLUCiÓN SOLUCiÓN camina a lo largo largo de la línea radial La rapidez rapidez con que usted usted camina radial es la razón razón de cambio de r, dr drlI dt dt = vo, uo, y la velocidad velocidad angular angular del disco es la razón cambio razón de cambio cambio w = = Wo' wo' Su velocidad velocidad es de O, w

yy

v

dr dr

= -=

dt dt

e,r e

rweo = = voe, rwoeo. + rweo voe + rwoeo. r

consiste en dos componentes: componentes: la componente componente radial debida a la Su velocidad velocidad consiste radial debida rapidez caminando, y una componente transversal debida a una componente transversal debida rapidez con que usted va caminando, la razón componente transversal transversal se incrementa incrementa conforconforrazón de rotación rotación del disco. La componente aumenta su distancia distancia desde el centro centro del disco. me aumenta rapidez al caminar caminar Vo Uo = = drldt drldt es constante, constante, por cPrldt2 = = O. La Su rapidez por lo que cPrldt2 velocidad angular del disco, Wo Wo = = dOldt, dñ/ dt, también constante, por velocidad angular también es constante, por lo que cPOIdt componente radial aceleración es cPOI dt22 = O. La componente radial de su aceleración

d ( n

s (:

E

""--.LO:....----t---~--~------~-----xx

y la componente componente transversal transversal es

ao = ra ra ae coordenadas (a) Su posición posición en coordenadas polares. polares.

dr dr

2--w = 2vowo. + 2-w dt dt

COMENTARIO COMENTARIO

y

alguna vez de caminar caminar sobre sobre un tiovivo, tiovivo, sabrá sabrá que no es Si usted usted ha tratado tratado alguna ejemplo indica indica por subjetivamente, usted va caminando caminando a lo fácil. Este ejemplo por qué: subjetivamente, velocidad constante, constante, pero pero en realidad una línea recta recta con velocidad realidad usted usted experilargo de una menta, debido a la rotación disco, la aceleración aceleración centrípeta centrípeta aa,r yy la aceleraaceleramenta, debido rotación del disco, ao de Coriolis Coriolis.. ción ao

e

e d

e:

R si


•

2.3 MOVIMIENTO CURVILÍNEO CURVILÍNEO 2.3 MOVIMIENTO

71

Ejemplo 2.12 manera que el punto punto En la Fig. 2.38 el brazo brazo del robot robot está programado programado de manera P describa describa la trayectoria trayectoria

).

y

r = = 1 - 0.5 cos 27rt m,

ia

()() = 0.5 - 0.2 sen 27rt 27rf rad. rad. determine: (a) la velocidad velocidad de P en términos En t = 0.8 s, determine: términos de las componentes componentes radial cartesianas de la velocidad velocidad de P. radial y transversal; transversal; (b) las componentes componentes cartesianas P.

a s n


io

Como r y ()()están dadas en función función del tiempo, tiempo, podemos calcular las deriva(a) Como están dadas podemos calcular derivaobtener la velocidas en la expresión expresión para para la velocidad velocidad en coordenadas coordenadas polares polares y obtener dad en función función del tiempo. tiempo. valor de ()()en usamos la trigonometría trigonometría para (b) Con el valor en t = 0.8 s, usamos para hallar hallar las compocomponentes cartesianas términos de la radial transversal. cartesianas en términos radial y la transversal.

~-------~---x

~------~--- x

SOLUCiÓN SOLUCiÓN

Figura 2_38 Figura 2.38

velocidad es (a) De la Ec. (2.49), la velocidad la a r-

La ue

dr

de

dt

dt

vv = - ee -ee +r-eo r r +r (zrsen 2JTt) e e,r + + (1 (1 = (n sen 2nt)

En t

= 0.8

2JTf)( -O.4n -O.4JT cos 2nt) 2JTt) ee. eo. 0.5 cos 2m)(

s, v

-2.9ger r = -2.9ge

-

0.328eo (mis).. 0.328e e (mis)

(b)En t = 0.8 s, ()() = 0.690rad 0.690rad == 39.5° (Fig. a). Lacomponentexdela (b)En Lacomponentexdela velocidad velocidad de P es Vx

=

Vr

cos 39.5° -

Vee V

yy

ve

v~~ "~~

sen 39.5°

/

'------

(-2.99) 39.5°° - (-0.328) (-0.328) sen 39.5° (2.99) cos 39.5

-2.09 -2.09 mis. m i s.

/

/

/

\\

39.5° 39.5°

v---------~-xx componente y es y la componente es lo

Vy

= =

v,r V

sen 39.5° +

Ve

39.5° cos 39.5°

(-2.99) sen 39.5° + (-0.328) (-0.328) cos 39.5° 39.so (-2.99)

-2.16 -2.16 mis. m i s. (a) Posición Posición en t

COMENTARIO COMENTARIO Cuando las componentes componentes de un vector determinan en sistemas sistemas coordenados Cuando vector se determinan coordenados diferentes, siempre siempre se debe verificar verificar que éstos den la misma diferentes, misma magnitud. magnitud. En este ejemplo, ejemplo, J(-2.99)2 (-0.328)2 = J(-2.09)2 (-2.16)2 = 3.01 mis. Ivl = J( -2.99)2 + (-0.328)2 J( -2.09)2 + (-2.16)2 aunque las componentes componentes de la velocidad diferentes en los dos Recuerde que aunque velocidad son diferentes coordenados, esas componentes componentes describen describen el mismo vector de velocidad. sistemas coordenados, velocidad.


0_8 S. 0.8 s.

72 72


Problemas Problemas 2.121 En un tiempo tiempo determinado, determinado, las coordenadas coordenadas polares polares de un punto punto P P que se mueve en el plano plano x-y x-y son r = 4 pie, O O == 0.5 rad, rad, y sus derivadas derivadas respecto respecto al tiempo tiempo son dr/dt dr/dt = 8 pie/ pie/ss y dO/ dt = --22 rad/ dO/dt rad/s.s. (a) ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de P? (b) ¿Cuáles son las componentes componentes cartesianas cartesianas de esa velocidad?

2.126 Una busca tesoros tesoros arqueológicos arqueológicos naUna embarcación embarcación que busca vega a4 trayectoriar = 100 lOO m, con O radianes a4 nudos nudos y sigue la trayectoriar O en radianes (1 nudo nudo = náutica, o 1852 m, por O = (1 = 1 milla náutica, por hora). hora) . Cuando Cuando O 211" velocidad de la embarcación embarcación (a) en coordecoorde21l'rad, rad, determine determine la velocidad nadas polares; coordenadas cartesianas. cartesianas. nadas polares; (b) en coordenadas

En el Probo 2.121, suponga dt2 2 = 6 pie/ s2 y suponga que cf2r/ cPr/dt pie/s? 2 cf20/ dP = 3 rad/s cPO/dP rad/s-. • En el instante instante descrito, descrito, determine: determine: (a) la magnitud magnitud de la aceleración aceleración de P; (b) el radio radio de curvatura curvatura instantáneo tantáneo de la trayectoria. trayectoria.

2.122

y

/' / ,

//'

//

2.123 Las coordenadas coordenadas polares polares de un punto punto P que se mueve = t22 - trad. en el plano plano x-y x-y son r = = {3 t3 - 4t 4t m, O O= trad. Determine Determine la velocidad velocidad de P en términos términos de las componentes componentes radial radial y transtransversal en t == 1 s. S. 2.124 En el Probo Prob o2.123, ¿cuál es la aceleración ¿cuáles aceleración dePen dePen térmitérminos de las componentes componentes radial radial y transversal transversal en {t == 1 s?

----

.---

---

~, ......

<,

"-

//

"--, <,

"- \\

II

\

/

\ \ I

I (

ílI"----I-----r~--r------.-- x

I \ \

I

I 1 I

/ /

\ \\

/

-,

'\

-, -,

'\

2.125 En Fig. P2.125 P2.125 la línea radial radial gira con velocidad velocidad anguangular constante constante de 2 rad/s. rad/s. El punto punto P se mueve a lo largo largo de la línea con rapidez rapidez constante constante de 4 mis mis. . Determine Determine las magnitudes magnitudes de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración de P cuando cuando r = 2 m m..

-----

"- <,

,//'

I I ,/ /

"- <,

"- ,~

...... --

----

....-

/ /

//

/

/ /

/'/' ....-/

./

P2.126 P2.126

2.127 En el Probo 2.126, ¿cuál ¿cuál es la aceleración aceleración de la embarembarcación polares? cación en coordenadas coordenadas polares? Estrategia: embarcación Estrategia: La magnitud magnitud de la velocidad velocidad de la embarcación es constante, componente tangencial tangencial constante, por por lo que se sabe que la componente de su aceleración cero . aceleración es igual a cero.

y

~~---------------------x

o~~------------x

2.128 Un punto mueve en el plano plano x-ya x-ya lo largo largo de la punto P se mueve trayectoria descrita descrita por O está trayectoria por la ecuación ecuación r = = en, eB, donde donde O está en radianes. angular dO/dt dO/ dt = Wo = constante, constante, y O = dianes. La velocidad velocidad angular = Oen O. (a) Dibuje O en t = O. Dibuje una una gráfica gráfica polar polar de la trayectoria trayectoria para para valores de O O de O Oaa 211". 21l'. (b) Demuestre valores Demuestre que la velocidad velocidad y la aceleración como funciones del tiempo ración como funciones tiempo son v = = w wooe"'oI(e e"'oI(eT + e8), e8), 2wije"'o'e8•8• a == 2wije"'ole T

P2.12~ P2.12~

2.129 En Probo 2.128, 2.128, muestre muestre que el radio radio de curvatura curvatura instantáneo trayectoria en función tantáneo de la trayectoria función del tiempo tiempo es p = V2e"'oI. Y2e"'rI. Ej.. 2. 2.12, 2.130 En el Ej 12, determine determine la aceleración aceleración del punto punto P en t == 0.8 s (a) en términos componentes radial radial y transvertransvertérminos de las componentes términos de las componentes sal; (b) en términos componentes cartesianas. cartesianas. cuenta se desliza 2.131 Una Una cuenta desliza por por un alambre alambre que gira gira en el plano x-y con velocidad velocidad angular Wo.La plano angular constante constante Wo. La componente componente radial aceleración de la cuenta radial de la aceleración cuenta es cero. cero. La La de su velocidad velocidad Vo cuando cuando r = ro. ro' Determine Determine las componentes componentes radial radial y transtranses Vo velocidad de la cuenta versal de la velocidad cuenta en función función de r. Estrategia: La componente componente radial Estrategia: radial de la velocidad velocidad es dr dr dt

== -, dt'

Vr

VT


2.3 MOVIMIENTO CURVIlÍNEO CURVllÍNEO

(b) Partiendo Partiendo de la expresión expresión para para el vector vector de posición posición de P coordenadas cartesianas, cartesianas, r == xi yj, deduzca deduzca la Ec. (2.44) en coordenadas xi + yj, para para el vector vector de posición posición en coordenadas coordenadas polares. polares. (c) vector de posi(e) Tomando Tomando la derivada derivada respecto respecto al tiempo tiempo del vector ción del punto coordenadas cartesianas, punto P expresado expresado en coordenadas cartesianas, deduzdeduzca la Ec. (2.47) para para la velocidad velocidad en coordenadas coordenadas polares polares. .

y la componente componente radial radial de su aceleración aceleración es 22 aa;r = d rr _ r (de) = dV r _ rw2. (de) rw2. dt dt dt oo dt22 dt dt UsandC? Usando la regla de la cadena, cadena, dV du,r

dV d»,r dr

73

dV dv,r

dt = dr Tr dt dt = drvr. Trvco dt

yy

la componente componente radial radial de la aceleración aceleración se puede puede expresar expresar en la forma forma dv,

2

a, = TrVr - rwO· e, y

r

p

e

P2.133

~----~----------------x

~-----L----------------x I

I

\.___

\

.___

..---\ ---\

2.134 El avión vuela en línea recta 2.134 avión mostrado mostrado vuela recta a 400 mi/h. mi/h. El radio radio de su hélice es de 5 pies, y gira a 2000 rpm rpm en dirección antihoraria antihoraria cuando cuando se ve desde el frente frente del avión. avión. Determine Determine la velocidad velocidad y la aceleración aceleración de un punto punto en la punta punta de la hélice coordenadas cilíndricas. cilíndricas. (Considere (Considere el eje zz como está orienorienen coordenadas tado en la figura figura.).) tado

-> r~

~---x ~---x 6

P2.131

n

a

t

barra gira gira en el plano plano x-y x-y de la figura figura con velocidad velocidad 2.132 La barra angular constante constante wo. La componente componente radial radial de la aceleración aceleración angular collarín e es a a,r = -Kr, +Kr, donde donde K es una una constante. constante. Cuando Cuando del collarín r == ro, la componente componente radial radial de la velocidad velocidad de e es vo. ve- DeterDetercomponentes radial radial y transversal transversal de la velocidad velocidad de mine las componentes función de r. e en función

pies 5 pies

-'-------z ' - -- - z

P2.134

y

2.135 Una Una partícula partícula cargada cargada P en un campo campo magnético magnético se 2.135 mueve en la trayectoria trayectoria espiral espiral descrita descrita por por r = 1 m, e () = 2z rad (z está en metros). metros). La partícula partícula se mueve en la dirección dirección rad mostrada con rapidez rapidez constante constante Ivl lvl = 1 km/s. km/s. ¿Cuál ¿Cuál es la velomostrada cidad de la partícula partícula en coordenadas coordenadas cilíndricas? cilíndricas? cidad

p T-

-------------------- x ---------------------x P2.132 P2.132

el te d

s-

coordenadas cartesianas cartesianas de un punto punto P en el plano plano 2.133 Las coordenadas x-y están relacionadas relacionadas con las coordenadas coordenadas polares polares por por las relax-y ciones x == rr cos (), y == rr sen (). Demuestre que los vectores vectores unitarios están relacionados relacionados (a) Demuestre unitarios ii y jj están

e, y

e.

con los vectores vectores unitarios unitarios ee,r y eo eo por por

e() + sen e

e, ee cos e. (). ee

= e e,r cos () - ee ee sen (), =

jj = = er

P2.135

¿Cuál es la aceleración aceleración de la partícula partícula cargada cargada del 2.136 ¿Cuál coordenadas cilíndricas? cilíndricas? Probo 2.135 en coordenadas .


74


2.4 Mecánica Mecánica de órbitas La determinación determinación analítica analítica de Newton elípticas Newton con respecto respecto a las órbitas órbitas elípticas de los planetas, deducido a partir habían deducido partir de datos datos observados observados por por planetas, que se habían Johannes (1571-1630), constituyó un triunfo Johannes Kepler (1571 -1630), constituyó triunfo de la mecánica mecánica newtonewtoniana confirmación de la relación cuadrada de la aceleración aceleración niana y una una confirmación relación inversa inversa cuadrada gravitatoria. ecuaciones desarrolladas desarrolladas en este capítulo capítulo gravitatoria. Podemos Podemos usar usar las ecuaciones para determinar la órbita órbita de un satélite satélite terrestre para determinar terrestre o de un planeta. planeta. Suponga que en t = O un satélite satélite tiene velocidad Suponga =O velocidad inicial Vo a una una distancia supone que la velocidad tancia r« ro del centro centro de la Tierra Tierra (Fig. 2.39a). 2.39a). Se supone velocidad inicial es perpendicular centro de la Tierra satélite. perpendicular a la línea que va del centro Tierra al satélite. La posición subsecuente está especificada posición de éste durante durante su movimiento movimiento subsecuente especificada por coordenadas polares (), donde donde (J()se por sus coordenadas polares (r, (J), se mide desde su posición posición en O (Fig. 2.39b). determinar r en función función de (J. (). t == O 2.39b). Se debe determinar

,:-1"

Figura 2.39 2.39 (a) Posición y velocidad iniciales iniciales de un satélite terrestre. terrestre . (b) Especificación de la trayectoria trayectoria coordenadas polares. subsecuente en coordenadas

<,

"--, \\ \\ \ \

\ \\

I\ f--'---'. )--' - - -. (a)

(b)

concebimos a la Tierra aceleración Si concebimos Tierra como como una una esfera esfera homogénea, homogénea, la aceleración debida distancia r del centro debida a la gravedad gravedad a una una distancia centro de ella es gR~ gR~ --2-er, a= -2-er ,

r

donde RE RE es el radio esta expresión expresión a la Ec. (2.50) donde radio de la Tierra. Tierra. Igualando Igualando esta para aceleración en coordenadas coordenadas polares, para la aceleración polares,

obtenemos las ecuaciones ecuaciones e igualando igualando las componentes componentes ee,r y ee. ee, obtenemos 22 d rr _ r (de)2 (de)2 dt dt dt22 dt

(2.56)

d22ee dr dr de de r-+2--=0. r + 2 - - = 0. 2 2 dt dt dt dt dt dt

(2.57)

Podemos escribir la Ec. (2.57) en la forma forma Podemos escribir

~~ (r2de2dedtdt) ) = O,O, ~~ (r r dt dt http://carlos2524.jimdo.com/

22.4 .4 MECÁNICA MECÁNICA DE DE ÓRBITAS

indica que que indica icas por 0-

ión ulo dis-

dad lite.

ada en

de de r 2 _dt dt

constante. = rVe = constante.

(2.58)

O las componentes componentes de la velocidad velocidad son Uu,r = O, Uo Ue = Uo, uo, y la posiEn t = O radial es r == ro. ro. Por Por tanto, podemos escribir escribir la constante constante en la Ec. ción radial tanto, podemos términos de las condiciones condiciones iniciales: (2.58) en términos

de de r 2 - == rVe == rovo. dt dt

(2.59)

Usando eliminar dO dñ/dt obtenemos para eliminar / dt de la Ec. (2.56) obtenemos Usando la Ec. (2.59) para

(2.60) Podemos resolver ecuación diferencial cambio de variable Podemos resolver esta ecuación diferencial mediante mediante el cambio variable 1 u =-. =-. rr

(2.61 ) (2.61)

Al proceder proceder así también también cambiamos cambiamos la variable variable independiente independiente de t a OOporporque queremos determinar ren Para expresar r en función función del ángulo ángulo OOyy no de t. Para expresar queremos determinar la Ec. (2.60) en términos dt'2 en términos términos de uu se determina determina d'r? cPr/dt términos de u. Con Con la regla de la cadena, cadena, escribimos escribimos la derivada derivada de r respecto respecto al tiempo tiempo como como ción

dr dr dt dt

(1) = - 1 dt = - 1

d (1) ~ ~

= = dtdt

1 du du u22 dt

1 du du de de u22 de de dt dt .

(2.62)

Observe Observe en la Ec. (2.59) que que de de

-

2.50)

dt dt

rovo

= = rovou = -2- 2- =rovou

2

(2.63)

r

Sustituyendo Sustituyendo esta esta expresión expresión en la Ec. (2.62) obtenemos obtenemos dr dr

--

dt dt

.56)

du du

= = -rovo-· -rovo-·

(2.64)

de de

Diferenciamos Diferenciamos esta esta expresión expresión con con respecto respecto al tiempo tiempo y aplicamos aplicamos de nuevo nuevo la regla regla de la la cadena: cadena: 22 dd rr dt dt22

22

= = ~!!:... (-rov (-rov dU) = = -rovo -rovo de de .!!:....:!:...- (dU) (dU) = = -rovo -rovo de de dd uu .. o odU) dt dt

de de

dt dt de de

de de

dt dt de de22

.57)

Usando Usando la la Ec. Ec. (2.63) para para eliminar eliminar dOI dO / dt dt de esta esta expresión, expresión, obtenemos obtenemos la segunda segunda derivada derivada respecto respecto al tiempo tiempo de r en términos términos de u: 2 dd 2rr dt2 dt2

22 2 2 2d 2d uu de2' de 2 ·

= -rovou -rovou


75

76

CAPíTULO MOVIMIENTO DE DE UN PUNTO PUNTO CAPíTULO 2 MOVIMIENTO

Sustituyendo este resultado una ecuación Sustituyendo resultado en la Ec. (2.60) (2.60) se obtiene obtiene una ecuación diferencial lineal de u en función rencial función de (); ():

solución general general de esta La solución esta ecuación ecuación es

U U

e + B cos ee +

= A sen e =

gR22

2;' 2; '

(2.65) (2.65)

rov rovoo

donde A y B son constantes. donde constantes. Podemos Podemos usar usar las condiciones condiciones iniciales iniciales para para determinar A y B. Cuando determinar Cuando () () = 0, u = l/r lIro. mismo, cuando cuando () () = o. Así mismo, componente radial radial de la velocidad la componente velocidad Vu,r == drl drl dt dt == 0, por por lo que de la (2.64), duld() du/dñ O. Ec. (2.64), O. De esas dos condiciones condiciones obtenemos obtenemos

°°

A=O, A=O,

Sustituyendo estos resultados solución Sustituyendo resultados en la Ec. (2.65), (2.65), podemos podemos escribir escribir la solución resultante para para r == lIu l/u como resultante como r ro

1+8 1+8 1 + 88 cose' cose'

(2.66) (2.66)

donde donde 2

rov o 8=---l. 8 = - o-l. gR~ gR~

(2.67) (2.67)

curva llamada llamada sección La curva sección cónica cónica (Fig. 2.40) 2.40) tiene la propiedad propiedad de que razón de r a la distancia la razón distancia perpendicular perpendicular d a una una línea recta, recta, llamada llamada direcdirectriz, es constante. constante. Esta = rol do, se llama triz, Esta razón, razón, rl rl d = llama excentricidad excentricidad de la curva. En la Fig. 2.40 curva. 2.40 vemos que

e + d == ro + do, do,

r cos e

2.40 Figura 2.40

Directriz Directriz

<, ~

razón rl d es constante, constante, la curva curva Si la razón describe una una sección cónica. cónica. describe d

~ '~-~--~

ro


do

2.4 MECÁNICA MECÁNICA DE DE ÓRBITAS ÓRBITAS 77 e=l e=l

que se puede puede escribir escribir en términos términos de la excentricidad excentricidad como como

\v> e> 1 \\

r ro

\\

1 + (roldo) (rol do) 1 + (rol (rol do) cos (J

\\ \\ \\

\ \

Comparando Comparando esta expresión expresión con la Ec. (2.66), vemos que la órbita órbita del del satélisatélidescribe una una sección cónica con con excentricidad te describe sección cónica excentricidad E. valor de la excentricidad excentricidad determina determina el carácter carácter de la órbita órbita (Fig. 2.41). El valor Si la velocidad velocidad inicial Vo se escoge de modo modo que E( == O, la Ec. (2.66) se reduce reduce a r = ro y la órbita órbita es circular. circular. Haciendo Haciendo E( = O O en la Ec. (2.67) y despejando despejando vo, obtenemos obtenemos a O a

Vo = =

JgR~, JgR~,

(2.68)

ro

que concuerda concuerda con la velocidad velocidad de una una órbita órbita circular circular obtenida obtenida en el Ej. 2.9 por por un método método diferente. diferente. O < Ee < 1, la órbita órbita es una una elipse. El radio radio máximo máximo de la elipse se Si O presenta presenta cuando cuando 8 == 1800 • Haciendo Haciendo 8 igual a 180 0 enlaEc. enlaEc. (2.66), obteneobtenemos una una expresión expresión para para el radio radio máximo máximo de la elipse en términos términos del radio radio e: inicial y E: 0

•

n

máx = = ro ro rmáx

8) . (11-& + &) 1-8

0

(2.69)

Observe que el radio máximo de la elipse aumente aumente sin límite cuando cuando E( ~ ~ Observe radio máximo l. Cuando E;e == 1, la órbita órbita es una una parábola, parábola, lo cual significa significa que Vo es l . Cuando velocidad de escape. Haciendo Haciendo E;( == 1 en la Ec. (2.67) y despejando despejando VVoo la velocidad obtenemos obtenemos = Vo =

ue

ela

J2gR~, ro

mismo valor valor obtenido obtenido para para la velocidad velocidad de escape que en el Ej. que es el mismo movimiento de alejamiento Tierra. Si E;E > 1, la 2.5 para para el caso de movimiento alejamiento de la Tierra. órbita es una una hipérbola. hipérbola. órbita solución que hemos hemos presentado, presentado, basada basada en la hipótesis hipótesis de que la La solución Tierra es una una esfera esfera homogénea, homogénea, da en forma aproximada la órbita órbita de Tierra forma aproximada satélite terrestre. terrestre. La determinación determinación precisa precisa de la órbita órbita requiere tomar un satélite requiere tomar cuenta las variaciones variaciones del campo campo gravitatorio gravitatorio de la Tierra Tierra debido debido a su en cuenta distribución real de masa. masa. De manera manera similar, similar, dependiendo dependiendo de la exactitud exactitud distribución requerida, la determinación determinación de la órbita órbita de un planeta planeta alrededor alrededor del Sol requerida, puede requerir requerir que se tomen tomen en cuenta cuenta las perturbaciones perturbaciones debidas debidas a las puede atracciones gravitatorias gravitatorias de los otros otros planetas. planetas. atracciones


o _----_ o
/

//

//

/

//

....•.•.....•. ...............

\ \ "<, <,~~ \\ \

I

II \ \

\\

-,,-,

\.

, ......... <,

•.•.......••

....... .......

_--_---

Figura 2.41 Órbitas para diferentes valores de la excentricidad.

78 78

CAPíTULO 22 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DEUN UN PUNTO PUNTO CAPíTULO

Ejemplo 2.13 2.13 Ejemplo Un Un satélite satélite terrestre terrestre está está en en una una órbita órbita elíptica elíptica con con radio radio mínimo mínimo de de 4160 4160 mi mi radio máximo máximo de de 10 10000 000 mi. mi. yy radio (a) (a)Determine Determine la la velocidad velocidad del delsatélite satélite cuando cuando está está en en elelperigeo perigeo (su (suradio radio mínimínimo) mo) yy cuando cuando se se halla halla en en elel apogeo apogeo (su (su radio radio máximo) máximo).. (b) (b) Dibuje Dibuje una una gráfica gráfica de de la la órbita. órbita.

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos Podemos considerar considerar elel radio radio yy la la velocidad velocidad del del satélite satélite en en elel perigeo perigeo como como las las condiciones condiciones iniciales iniciales ro r¿ yy Vo Vousadas usadas al al obtener obtener la la Ec. Ec. (2.66). (2.66). Como Como también también coconocemos nocemos elel radio radio máximo máximo de de la la órbita, órbita, podemos podemos despejar despejar en en la la Ec. Ec. (2.69) (2.69) la la excentricidad excentricidad de de la la órbita órbita yy luego luego usar usar la la Ec Ec.. (2.67) (2.67) para para determinar determinar Vo. vo. De De acuerdo acuerdo con con la la Ec. Ec. (2.58), (2.58), el el producto producto de de rr yy la la componente componente transversal transversal de de la la velocidad velocidad es es constante. constante. Podemos Podemos usar usar esta esta condición condición para para determinar determinar la la velocivelocidad en en el el apogeo. apogeo. dad SOLUCiÓN SOLUCiÓN

(a) (a) Despejando Despejando 8

E.E

en la Ec. (2.69), la excentricidad excentricidad de la órbita órbita es es

= rmáx/ ro - 1 = rmáx / ro + 1

10 10 000/4160 000/4160 - 1 = = 0.412. 10 4160 + 1 10 000/ 000/4160

Ahora, Ahora, de la Ec. (2.67), la velocidad velocidad en el perigeo es Vo

=

(0.412 + 1)(32.2)[(3960)(5280)]2 1)(32.2)[(3960)(5280)]2 (4160)(5280)

(8 + l)gR~ (t:+l)gR~

ro '0

30087 pie/s. pie/ s. == 30087 perigeo y en el apogeo, apogeo, la velocidad velocidad tiene tiene sólo sólo una una componente componente transversal. transversal. En el perigeo En Por tanto, tanto, la velocidad velocidad en el apogeo, apogeo, Va' Va. está está relacionada relacionada con con la velocidad velocidad Vo Vo Por en el perigeo perigeo por por 'OVo

= 'máx Va·

Resolvemos esta esta ecuación ecuación para para la la velocidad velocidad en en el el apogeo: apogeo: Resolvemos ro 4160 '0 4160 .. s. -Vo -)) (30087) (30087) = = 12 12 516ple/s. 516ple/ == -Vo == (( -10 000 r

Va Va

'máx máx

10 000

(b) Dibujando Dibujando la la Ec. Ec. (2.66) (2.66) con con EE. == 0.412, 0.412, obtenemos obtenemos la la gráfica gráfica de de la la órbita órbita (b) (Fig. (Fig . 2.42). 2.42).

Figura Figura 2.42 2.42 Órbita Órbita de de un un satélite satélite terrestre terrestre con con un un perigeo perigeo de de 4160 4160 mi mi yy un un apogeo apogeo de de 10 10 000 000 mi. mi.


2.4 2.4 MECÁNICA MECÁNICA DE ÓRBITAS

Ejemplo 2.14

i-

Aplicación a la ingeniería Aplicación ingeniería de comunicaciones comunicaciones Satélites de

a e a i-

satélite de comunicaciones comunicaciones usualmente usualmente se coloca coloca en órbita órbita geosincrónica, geosincrónica, Un satélite una órbita órbita circular circular sobre sobre el ecuador ecuador en la que el satélite satélite permanece permanece es decir, una sobre el mismo mismo punto punto de la Tierra Tierra conforme conforme ésta ésta gira gira debajo debajo de él. El satélite satélite sobre coloca en órbita órbita geosincrónica geosincrónica desde una una órbita órbita circular circular de espera espera cercana cercana se coloca Tierra por por medio medio de un procedimiento procedimiento llamado llamado transferencia transferencia Hohmann a la Tierra Hohmann velocidad del satélite satélite en la órbita órbita circular circular de espera. espera. El (Fig. 2.43). Sea VI la velocidad satélite se impulsa impulsa primero una velocidad tangensatélite primero desde VVII a una velocidad V2 en la dirección dirección tangenórbita de espera espera para para colocarlo colocarlo en una una órbita órbita elíptica elíptica cuyo radio radio máximo máximo cial a la órbita órbita geosincrónica. geosincrónica. Cuando Cuando el satélite satélite alcanza alcanza la órbita órbita es igual al radio radio de la órbita geosincrónica, su velocidad velocidad ha disminuido disminuido de V2 a una una velocidad velocidad V3' V3' Se le imgeosincrónica, pulsa luego a la velocidad velocidad V4 necesaria necesaria para para que quede quede en la órbita órbita geosincrógeosincrópulsa nica, completándose completándose así la transferencia transferencia Hohmann. Determine el radio radio rg Hohmann. (a) Determine órbita geosincrónica. radio de la Tierra Tierra es RE RE = = 6370 km. (en km) de la órbita geosincrónica. (b) El radio radio de la órbita órbita circular circular de espera espera es rp rp = = 6670 km, determine determine las veloSi el radio cidades VI' VI' V2, V3 V3 Y V4' V4' cidades

Figura 2.43 Órbita elíptica Órbita

//

- ---_ /

-- ----_/ ,.. ----••.... "--... <,

/'

/ /

/

" -, '\

//

/ /

Transferencia Hohmann. Hohmann. Transferencia

\\

~/ ~/ Impulso de ~ ~ VI a v22

Impulso de v33 a v44

VI

/

Órbita de espera Órbita

/

'la

Órbita Órbita geosincrónica

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Para estar estar en órbita órbita geosincrónica, geosincrónica, un satélite satélite debe completar completar una una revolurevolu(a) Para mientras que la Tierra Tierra gira una una revolución revolución debadebación en aproximadamente aproximadamente 24 h, mientras jo de él. Esta Esta condición, condición, junto junto con la Ec. (2.68) para para la velocidad velocidad de un satélite satélite órbita circular, circular, nos permite permite determinar determinar el radio radio de una una órbita órbita geosincrónica. geosincrónica. en órbita Como las órbitas órbitas de espera espera y geosincrónicas geosincrónicas son circulares, circulares, podemos podemos usar usar (b) Como para determinar determinar VVII y V4' Las condiciones condiciones iniciales para para la órbita órbita la Ec. (2.68) para elíptica son ro ro = rp, rp, Vo = V2' V2' Queremos Queremos que el radio radio máximo máximo de la órbita órbita elíptielíptielíptica radio de la órbita órbita geosincrónica: geosincrónica: r máx == rg' rg' Podemos Podemos despejar despejar ca sea igual al radio excentricidad de la órbita órbita elíptica elíptica y luego usar usar la Ec. (2.67) de la Ec. (2.69) la excentricidad para determinar determinar Vo = (2.58), producto de r y la componencomponenpara = V2' Según la Ec. (2 .58), el producto transversal de la velocidad constante mientras mientras el satélite satélite está en la órbita órbita te transversal velocidad es constante elíptica, por por lo que podemos podemos determinar determinar la velocidad velocidad V3 a partir partir de la relación relación elíptica, rpv2 = rpv2 = rrgv3' g v 3'


79

80 80

CAPíTULO 22 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN UN PUNTO PUNTO CAPíTULO

SOLUCiÓN SOLUCIÓN (a) s. En (a) Sea Sea TT == 24 24hh == (24)(3600) (24)(3600)s. En un tiempo T, T, un satélite satélite en en órbita órbita geosincrógeosincrónica debe viajar la distancia distancia 27rT 2'1Trgg, , de de modo que que ni ca debe (2.70) (2.70) De De la Ec. (2.68), (2.68), la velocidad ecuación ecuación

V4 V4

Y el el radio Trgg también deben satisfacer la

Sustituyendo esta expresión en la Ec. (2.70) (2.70) y despejando Trgg obtenemos _

T rgg -

g

1/3 1/3

(

2/3 _ )2/3 T RE 2/3 1/3 _ 1/3 ( (24)(3600)(6.37 (24)(3600)(6.37 x 10 106) )2/3 - (9.81) (9.81)

2n 2n

)

2n 2n

= 4.22 =

X

10 1044 km. km.

(b) De la Ec. (2.68), la velocidad del satélite en la órbita órbita de espera es 66

(9.81)(6.37 )2 5 mJs mis (9.81)(6.37 X 10 10 )2 = 772 -'----'--'---____ --'...:.....----'-'---~'7725 6 6.67 6.67 Xx 10 106

''

y su velocidad en la órbita órbita geosincrónica es 66

(9.81)(6.37 = 3070 mJs. mis. (9.81)(6.37 XX 10 )2 )2 = 4.22 x 1077

l

e

radio máximo de la órbita órbita elíptica está relacionado relacionado con De la Ec. (2.69), el radio su excentricidad por por l+e 1+c

(¡ (1

obtenemos obtenemos

2 T

Tg rg

Despejando Despejando

E E

-. == rp--'p 1-c 1-e

CI

el

Ahora Ahora podemos podemos encontrar encontrar

V2

=

V2

con la Ec. Ec. (2.67):

gR~(e gR~(c + 1) 1)

(9.81)(6.37 xx 106)2(0.727 )2(0.727 + 1) (9.81)(6.37 6.67 XX 1066 6.67

2 P

se (e (t el

== 10,153 10,153 mJs. mis.

2, De la relación

V3 V3

rpv2

=

rgv3'

la velocidad

== (~) (~) V2V2 == 1604 1604 mJs. mis.

V3

es

p

2, ta er m

2.


2.4 MECÁNICA MECÁNICA DE ÓRBITAS 2.4

81 81

CONSIDERACIONES DE DISEÑO CONSIDERACIONES DE cró-

.70) r la

[

l

satélites (Fig. 2.44) han revolucionado revolucionado las comunicaciones comunicaciones haciendo haciendo posible posible Los satélites la transmisión trans~isión en tiempo tiempo real de información información audiovisual audiovisual a todo todo el planeta. planeta. Como Como los satélites satélites se colocan colocan en órbitas órbitas geosincrónicas, geosincrónicas, las estaciones estaciones terrestres terrestres que envían envían o reciben reciben sus señales pueden pueden usar antenas antenas fijas sencillas y relativarelativamente baratas baratas (las antenas antenas parabólicas parabólicas comunes comunes que reciben transmisiones transmisiones de mente órbitas geosincrónicas). televisión televisión apuntan apuntan hacia hacia los satélites satélites en órbitas geosincrónicas). Como radio de una Como el radio una órbita órbita geosincrónica geosincrónica es grande grande en comparación comparación con el radio radio de la Tierra, Tierra, rg = 4.22 x 1044 km o aproximadamente aproximadamente 26 200 mi, la construcción y el lanzamiento lanzamiento de los satélites satélites de comunicaciones problema construcción comunicaciones es un problema tremendo tremendo en el diseño de sistemas. sistemas. En el Ej. 2.14, el satélite satélite en órbita órbita circular circular de espera espera debe ser impulsado impulsado de VI VI a Vz, V2' un incremento incremento en velocidad velocidad de 2427 mis mis,, para para iniciar iniciar la órbita órbita elíptica. elíptica. Luego Luego debe ser impulsado impulsado de V3 a V4 V4' , un incremento de 1467 1467 mi mis, para que quede quede en órbita órbita geosincrónica. geosincrónica. El satélite satélite incremento s, para debe estar estar equipado equipado con motores motores cohete cohete capaces capaces de producir producir esos incrementos incrementos de velocidad. puevelocidad. Además, Además, debe tener tener sistemas sistemas de control control de orientación orientación que puedan alinearlo mediante cambios alinearIo en las direcciones direcciones correctas correctas mediante cambios en la velocidad. velocidad. Una geosincrónica, el satélite Una vez colocado colocado en órbita órbita geosincrónica, satélite debe poder poder determinar determinar su orientación orientación y apuntar apuntar sus propias propias antenas antenas para para recibir recibir y transmitir transmitir señales señales..

~

~~ __~

~Problemas~

. . . .-----------------1 Use Use los los valores valores RF de la Tierra Tierra con

Figura 2.44 2.44 Satélite comunicaciones Intelsat Intelsat V. V. Satélite de comunicaciones

Problemas

= = 6370 km = = 3960 mi para para el radio radio

2.137 Un satélite satélite está en una una órbita órbita circular circular a 200 mi sobre sobre la superficie superficie de la Tierra. Tierra. (a) ¿Cuál es la magnitud magnitud de su velocidad? velocidad? (b) ¿Cuánto ¿Cuánto tarda tarda en completar completar una una revolución? revolución?

~

1-------------------0-.1

2.143 A partir partir de datos datos astronómicos, astronómicos, Keplerdedujo Keplerdedujo que la línea del Sol a un planeta planeta describe describe áreas áreas iguales en tiempos tiempos iguainfiere del hecho hecho de que la les (Fig Demuestre que esto se infiere (Fig.. a). Demuestre componente transversal aae6 de la aceleración aceleración del planeta planeta es cecomponente transversal ro (Cuando r cambia cambia en una una cantidad cantidad dr cambia en una una ro.. (Cuando dr y O cambia cantidad elemento diferencial diferencial de área área resultante resultante cantidad dO (Fig. b), el elemento es dA dA = (r/2)(rdO).) (r/2)(rdO).)

2.138 La Luna Luna está aproximadamente aproximadamente a 238 000 mi de la Tierra. Tierra. Si la órbita órbita de la Luna Luna alrededor alrededor de la Tierra Tierra es circular circular con velocidad velocidad dada dada por por la Ec. (2.68), ¿cuánto ¿cuánto tarda tarda la Luna Luna efectuar una una revolución revolución alrededor Tierra? en efectuar alrededor de la Tierra? satélite se le da una velocidad inicial Vo = 22 000 2.139 A un satélite una velocidad piel pielss a una una distancia distancia ro = 2REE del centro centro de la Tierra, Tierra, como se muestra muestra en la Fig. 2.39(a). 2.39(a). (a) ¿Cuál es el radio radio máximo máximo de la órbita órbita elíptica elíptica resultante? resultante? (b) (b) ¿Cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del satélite satélite cuando cuando está posición de su radio radio máximo? máximo? en la posición

A

o

A

(a) (a)

yy

Dibuje una una gráfica gráfica de la órbita órbita elíptica elíptica descrita descrita en el 2.140 Dibuje Probo 2.139. Probo 2.141 A un satélite 2.141 satélite se le da una una velocidad velocidad inicial Vo a una distancia ro == 6800 km del centro centro de la Tierra, Tierra, como como se muestra muestra en la Fig. 2.39(a). 2.39(a). La órbita órbita elíptica elíptica resultante resultante tiene un radio radio 20000 km km.. ¿Qué valor tiene vo? máximo de 20000

r+ dr dr r+

dO de

dA r

O

2.141, ¿qué velocidad velocidad Vo ve sería necesaria necesaria 2.142 En el Probo 2.141, para poner poner el satélite satélite en una órbita órbita parabólica parabólica de escape?


~--~---------------x ~--~---------------x

(b)

P2. 143 P2.143

82

CAPíTULO IENTO DE CAPíTULO 2 MOVIM MOVIMIENTO DE UN PUNTO PUNTO

2.144 En t == Q, un satélite satélite terrestre terrestre está a una una distancia distancia ro del centro centro de la Tierra Tierra y tiene una una velocidad velocidad inicial Vo Vo en la dimostrada.\D·emuestre ecuación polar polar de la órbita órbita rección mostrada.\D· emuestre que la ecuación resultante resultante es

r ro ro

(f; + 1) 1) cos22 (3 (3 (E ,, 2 1) cos cos? (3 (3-- 1] 1] cos (J - (E + 1) 1) sen (3 (3cos [(E + 1) cos (3(3sen sen (J + 1

donde donde

E

= (r (rov5/gR~) = OV5/gR~)

los problemas 2.146 al 2.149 2.149 están están relacionados con Losproblemas relacionados con el Ej. Ej. 2.14. una órbita órbita circular circular de espe2.146 Un satélite satélite terrestre terrestre está en una ra de radio Determine el incremento incremento de velociradio rp == 6800 km. Determine dad V2 V2 - V VII necesario necesario para dad para ponerlo ponerlo en una una órbita órbita elíptica elíptica con una órbita órbita geosincrónica. geosincrónica. radio radio rg de una radio máximo máximo igual igual al radio

2. 147 (a) Determine velocidad V3 satélite del Probo 2.147 Determine la velocidad V3 del satélite 2.146 cuando radio de la órbita órbita geosincrónica. geosincrónica. cuando alcanza alcanza el radio Determine el incremento incremento de velocidad V3 pa· pa(b) .Determine velocidad necesaria necesaria vyy - V3 ra colocar geosincrónica. colocar el satélite satélite en Órbita geosincrónica.

1. - 1.

2.1 48 Un satélite está en una una órbita órbita circular circular de espera espera de radio radio 2.148 satélite está = 4560 mi desde el centro centro de la Tierra. Tierra. Determine Determine los incrementos V3 necesarios para para efectuar efectuar mentos de velocidad velocidad V2 V2 - V VI I Y V4 V4 V3 necesarios una Hohmann a una una órbita órbita circular circular con radio radio una transferencia transferencia Hohmann órbita de la Luna Luna (238 000 millas). millas). igual al radio radio de la órbita

rp P2.144 P2.144

Dibuje las gráficas gráficas de las órbitas órbitas dadas dadas por por la ecuación ecuación 2.145 Dibuje polar obtenida obtenida en el Prob Proboo2.144 para para E = O OY(3 0,30° Y Y60°. polar Y(3 = 0,30° 60°.

satélite está en una 2.149 Un satélite una órbita órbita circular circular de espera espera de radio radio = 3500 km desde el centro centro de Marte. Marte. El radio radio de Marte Marte es aceleración debida de 3394 km, la aceleración debida a la gravedad gravedad en su superficie superficie m/s22,.y , y gira es de 3.73 m/s gira sobre sobre su eje polar polar una una vez cada cada 24 h mino Determine Determine los incrementos V2 VI Y V4 V4 37 mino incrementos de velocidad velocidad V2 VI necesarios para para colocar colocar el satélite satélite en una una órbita órbita sincrónica sincrónica - V3 necesarios alrededor de Marte. Marte. alrededor

rp

Movimiento relativo relativo 2.5 Movimiento Hasta ahora, ahora, nuestro nuestro estudio estudio se ha ha limitado Hasta limitado al movimiento movimiento de un solo punpunembargo, suele no ser el movimiento to. Sin embargo, movimiento de un punto punto individual individual lo considerar, sino el movimiento movimiento relativo que se debe considerar, relativo entre entre ellos de dos o puntos. . Por Por ejemplo ejemplo, , si un piloto piloto quiere más puntos quiere aterrizar aterrizar sobre sobre un portaavioportaavio2.45a), le importan importan menos menos los movimientos nes (Fig. 2.45a), movimientos de su avión avión y del

a

d

u

2.45(0) Figura 2.45(0) muchos casos el movimiento movimiento relativo relativo En muchos mayor importancia importancia que el es de mayor movimiento individual. individual. movimiento

d

d

Y

a

n

el

L (a)


RELATIVO 83 83 2.5 MOVIMIENTO RELATIVO

on

pe-

ocicon ica, ob. pa-

portaaviones respecto respecto a la la Tierra Tierra que que el movimiento movimiento relativo relativo de avión portaaviones de su avión respecto al alportaaviones. par de patinadores (Fig. (Fig. 2.45b) 2.45b) debe debe controcontrorespecto portaaviones. Un Un par de patinadores lar cuidadosamente cuidadosamente sus movimientos movimientos individuales individuales respecto respecto al hielo, hielo, así así cocolar sus mo sus sus movimientos movimientos relativos relativos entre entre sí para realizar realizar con con éxito éxito sus sus figuras. figuras. mo sí para En esta esta sección sección analizamos analizamos los los movimientos movimientos relativos relativos de de puntos. En puntos. Supongamos que que A y B son son dos dos puntos puntos cuyos cuyos movimientos movimientos individuales individuales Supongamos medimos respecto respecto a un un punto de referencia referencia O, O, y analicemos analicemos cómo cómo describir medimos punto de describir movimiento de de A respecto respecto a B. Sean Sean r AA y Y r BB los los vectores vectores de posición el movimiento posición los puntos respecto a O O (Fig. (Fig. 2.46). 2.46). El vector vector r AAI/BB es el vector vector de de los puntos A y B respecto posición de de A respecto respecto a B. Estos Estos vectores vectores están están relacionados relacionados por por posición

II rrAA adio cretoar adio

= = rrB B

+

rrA/B· A / B•

II

(2.71) (2.71)

Derivando esta esta expresión expresión respecto respecto al tiempo, tiempo, obtenemos obtenemos Derivando

II VA == VB + Vv AlA l B,B, II

(2.72) (2.72)

donde v A es la la velocidad velocidad de de A respecto respecto a O, v B es la la velocidad velocidad de B resresdonde pecto a O y v vA/B = dr dr AlB/ dt es la velocidad velocidad de A respecto respecto a B. AIB = AlB/ dt pecto

(b)

Figura 2.45(b) 2.45(b) A

B

pun-

al lo

os o viodel

2.46 Figura 2.46 puntos A y B Y un punto punto de Dos puntos referencia O. O. Los vectores vectores rA Y Y rBB referencia especifican las posiciones posiciones de A y B especifican respecto a O, y frAAIB /B especifica especifica la posición posición respecto respecto a B. de A respecto

En el ejemplo ejemplo del del avión avión aproximándose aproximándose al portaaviones, portaaviones, el avión En avión podría podría punto A y el portaaviones portaaviones el punto punto B. Los Los movimientos movimientos individuales individuales de de ser el punto ambos se medirían medirían (p. ej., ej., usando usando a bordo bordo sistemas sistemas de navegación navegación inerciales) inerciales) ambos respecto a un un punto punto de referencia referencia O fijo fijo con con respecto la Tierra. Tierra. ConociConocirespecto a la respecto das las velocidades velocidades del del avión, avión, vA' del portaaviones, portaaviones, v B' piloto podría podría das A' Y del B' el piloto usar la la Ec. Ec. (2.72) (2.72) para determinar su velocidad velocidad respecto respecto al portaaviones. usar para determinar portaaviones. Derivando respecto respecto al tiempo tiempo la la Ec. Ec. (2.72) (2.72) obtenemos obtenemos Derivando (2.73) (2.73) donde aAA Y aaBB son son las las aceleraciones aceleraciones de de A y B respecto respecto a O y aA/B/ B == donde dVA/B/dt es la aceleración de A respecto a B. Al deducir las las Ecs. Ecs. (2.72) (2.72) dVAI B/dt la aceleración A respecto B. Al deducir y (2.73) (2.73) hemos hemos supuesto supuesto que que los vectores de posición, de velocidad los vectores de posición, velocidad y de aceleración están están expresados en términos términos de de un un amparo amparo de de referencia referencia que aceleración expresados en En el capítulo capítulo 6 analizaremos analizaremos movimientos relativos expresados expresados movimientos relativos no gira. En términos de de marcos marcos de referencia referencia en en rotación. rotación. en términos

Los siguientes siguientes ejemplos ejemplos muestran muestran cómo cómo usar las Ecs. (2.71) (2.71) a (2. (2.73) 73) para para movimientos relativos relativos de cuerpos. cuerpos. analizar los movimientos http://carlos2524.jimdo.com/

84


Ejemplo 2.15 portaaviones'viaja en dirección norte a 15 nudos nudos (millas náuticas náuticas por por hora) hora) Un portaavionesviaja dirección norte respecto a la Tierra radar determina velocidad de un avión respecrespecto Tierra y con su radar determina que la velocidad avión respechorizontal y con magnitud magnitud de 300 nudos hacia hacia el noreste. noreste. ¿Cuáles to a él es horizontal 300 nudos ¿Cuáles son la magnitud magnitud y la dirección velocidad del avión respecto a la Tierra? dirección de la velocidad avión respecto Tierra?

Figura 2.47 y El avión portaaviones (B) y un avión (A), el portaaviones

punto O fijo relativo relativo a la Tierra. punto Tierra.

o~--~--------------------------------~~----~------x o~~~--------------------------------~L-----~------X

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como portaaviones respecto respecto a la Tierra Como conocemos conocemos la velocidad velocidad del portaaviones Tierra y la velocidad respecto al portaaviones, portaaviones , podemos podemos usar la Ec. (2.72) para determidad del avión avión respecto (2.72) para determinar la velocidad velocidad del avión respecto a la Tierra. nar avión respecto Tierra.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Sea el avión punto A y el portaaviones portaaviones el punto punto B (Fig. 2.47). punto O avión el punto 2.47). El punto xy están respecto a la Tierra. y el sistema sistema coordenado coordenado xy están fijos respecto Tierra. En la figura figura se muestra la velocidad velocidad del portaaviones portaaviones respecto respecto a la Tierra velocidad del avión tra Tierra y la velocidad

respecto portaaviones. La velocidad velocidad del portaaviones portaaviones es respecto al portaaviones. VBB

= 15j (nudos), (nudos),

velocidad del avión respecto al portaaviones portaaviones es y la velocidad avión respecto AIB V AIB

= 300 300 cos 45°¡ 45°¡ + 300 300 sen 45°j 45°j (nudos). (nudos).

Por tanto, la velocidad velocidad del avión avión respecto respecto a la Tierra Por tanto, Tierra es 300 300 cos 45°¡ 45°¡ + (15 + 300 300 sen 45°)j 45°)j 212.li 212.li + 227.1j 227.1j (nudos). (nudos).

La magnitud magnitud de la velocidad velocidad del avión avión respecto respecto a la Tierra Tierra es ,)(212.1)2 + (227.1)2 (227.1)2 = = 310.8 310.8 nudos, ..J(212.1)2 nudos, y su dirección (212.11227.1) = 43.0° noreste. dirección es arctan arctan (212.1/227.1) 43.0° noreste.


2.5 2.5 MOVIMIENTO MOVIMIENTO RELATIVO RELATIVO

Ejemplo 2.16 barco que se mueve a 5 mis respecto al agua una corriente uniforme Un barco mis respecto agua está en una corriente uniforme que fluye hacia hacia el este a 2 mis. navegar hacia hacia el noroeste noroeste mis. Si el capitán capitán quiere quiere navegar respecto a la Tierra, barco? ¿Cuál respecto Tierra, ¿en qué dirección dirección debe dirigir dirigir el barco? ¿Cuál será la magnitud resultante velocidad del barco barco respecto respecto a la Tierra? tud resultante de la velocidad Tierra?


Figura 2.48

Sea el punto punto A el barco barco y sea B un punto punto que se mueve con el agua agua (Fig. a). yy El punto punto O y el sistema xy están respecto a la Tierra. sistema coordenado coordenado xy están fijos respecto Tierra. ConoceConocemagnitud de v AIB' A I B' Podemos usar la mos v B' la dirección dirección deseada deseada de v A y la magnitud Podemos usar para determinar A I B' Ec. (2.72) para determinar la magnitud magnitud de vvA y la dirección dirección de vvAIB'

E

B

•

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La velocidad velocidad del barco barco respecto respecto a la Tierra velocidad del agua' Tierra es igual a la velocidad respecto a la Tierra velocidad del barco barco respecto respecto al agua: respecto Tierra más la velocidad agua:

O'~------------------------------X O~------------------------------x

En la Fig. b mostramos mostramos esta relación relación junto junto con la información tenemos información que tenemos hacia el este, sobre velocidades: la velocidad velocidad de la corriente sobre esas velocidades: corriente es de 2 mis mis hacia la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del barco barco respecto respecto al agua agua es de 5 mis, mis, y la dirección dirección de la velocidad velocidad del barco barco respecto noroeste. En el sistema respecto a la Tierra Tierra es noroeste. sistema coordecoordenado que se muestra, muestra, la velocidad velocidad de la corriente nado corriente es vB == 2i mis. mis. No conoceconocemagnitud de VA' pero, como mos la magnitud VA' pero, como conocemos conocemos su dirección, dirección, podemos podemos escribirla términos de componentes escribirla en términos componentes como como

elocitermi-

(a) El barco barco A y un punto punto B moviéndose moviéndose

en el agua. agua. y

La velocidad velocidad del barco barco respecto respecto al agua agua es

nto O muesavión

~------------------x ~-------------------x

O

La magnitud magnitud de este vector vector es

I

Resolviendo Al Resolviendo esta ecuación, ecuación, obtenemos obtenemos Iv [vAl dad barco respecto respecto al agua dad del barco agua es VAIB = AIB =

(b) Diagrama vectores de velocidad. velocidad. Diagrama de los vectores

= =

3.38 mis, por lo que la velocimis, por

-4.39i + 2.39j mi mis.s. -4.39i

El capitán barco a arctan(4.3912.39) hacia el noroeste noroeste capitán debe orientar orientar su barco arctan(4.3912.39) = 61.400 hacia para que el barco barco navegue navegue en dirección noroeste respecto respecto a la Tierra. para dirección noroeste Tierra.

COMENTARIO COMENTARIO El problema problema descrito resolverse siempre barco viaje descrito en este ejemplo ejemplo debe resolverse siempre que un barco corriente o un avión vuele en un viento que no es paralelo deseado. paralelo al curso deseado. en una corriente


85

86

CAPíTULO 2 MOVIM MOVIMIENTO PUNTO CAPíTULO IENTO DE UN PUNTO

¡.

Ejemplo 2.17 barras OP y PQ PQ de la Fig. 2.49 giran plano x-y x -y con velocidades velocidades angulaLas barras giran en el plano angulamuestra, ¿cuál es la acelerares constantes. constantes. En el sistema sistema coordenado coordenado fijo que se muestra, acelerapunto Q respecto respecto al punto punto fijo O? ción del punto

y

4 rad/s radls


p

~i~=}==:::::::::=~L---.:._-t-.Lx especto al punto circular alrededor alrededor .Jii~~======~L---.:.._-t-L x RRespecto punto P, el punto punto Q se mueve en una una trayectoria trayectoria circular velocidad angular Podemos usar usar coordenadas polares para para de P con velocidad angular constante. constante. Podemos coordenadas polares l·1----2 2 pies pies - - - - t - - determinar y luego expresarla términos de componentes determinar Y expresarla en términos componentes del sistema sistema ------.l

aQ/ aQ/pp

punto P se mueve en una trayectoria circular coordenado coordenado xy. El punto una trayectoria circular alrededor alrededor de O con velocidad velocidad angular podemos usar usar coordenadas polares para para angular constante constante, , y podemos coordenadas polares determinar expresarla en términos términos de componentes determinar la aceleración aceleración a app y luego expresarla componentes en el sistema Entonces la aceleración relativa a O es aQ sistema coordenado coordenado xy. Entonces aceleración de Q relativa aQ aQ/p, = aapp + aQ/ p.

Figura 2.49

r

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Expresando coordenadas polares Expresando el movimiento movimiento de Q respecto respecto a P en coordenadas polares (Fig. a), obtenemos la componente componente radial aceleración, obtenemos radial de la aceleración, d22rr a a, = -dt22

oO --

- rw2

dt - rw y la componente componente transversal, transversal, r

aceleración (a) Determinación Determinación de la aceleración P.. respecto a P de Q respecto

ae

(V2)(-8)2 (V2)(W = --90.51 90.51 pie/s", pieN,

dr dr

= ra ra + 2-w 2- w = O. dt dt

Por aceleración de Q relativa sistema coordenado coordenado xy es Por tanto, tanto, la aceleración relativa a P en el sistema

También expresamos expresamos la aceleración aceleración de P respecto coordenadas polares También respecto a O en coordenadas polares componente radial radial es (Fig. b). La componente

4 rad/s rad/s

'.

p 22

1-1-'1.- -2 pies --2

pies

-1 -1

aceleración (b) Determinación Determinación de la aceleración de P respecto respecto a O.

aa,r

= d--2rr2 dt dt

--

2 2 .. / / 2 reo 0-(2)(4) -32 pie rw22 = 0-(2)(4) = -32 pIe s2 ,

y la componente componente transversal transversal es ae

dr dr

2-w = O. = ra ra + 2-w dt dt

La aceleración aceleración de P respecto coordenadas xy es respecto a O en coordenadas ap ap

= aa,r ii = --3232 ii

2 (pie/s-). (pie/s ).

Por aceleración de Q Q respecto Por tanto, tanto, la aceleración respecto a O es aQ aQ

ap + aQ aQ/p -32i = ap / p = -32i

-96i = -96i


64i - 64j 64j (pie/s"). 64j (pie/ s2).

r

2 .5 MOVIMIENTO 2.5 MOVIMIENTO RELATIVO RELATIVO

1 r

87

COMENTARIO COMENTARIO usar· coordenadas polares, polares, ¿violamos nuestra hipótesis hipótesis de que los vectores vectores Al usar-coordenadas ¿violamos nuestra términos de un marco marco de referencia referencia en las Ecs. (2.71) a (2.73) se expresan expresan en términos que no gira? No, No, porque porque las expresiones para la velocidad velocidad y la aceleración expresiones para aceleración en coordenadas polares consideran vectores unitarios unitarios giran. coordenadas polares consideran que los vectores giran. Ellas dan dan la velocidad y la aceleración marco de referencia referencia en que se miden miden las velocidad aceleración respecto respecto al marco coordenadas Por lo mismo, mismo, se pueden pueden usar usar componentes componentes normal normal coordenadas polares polares (r, O). Por para evaluar términos en Ecs. (2.71) a (2.73). tangencial para y tangencial evaluar los términos movimiento relaEste ejemplo ejemplo demuestra demuestra un uso importante importante del concepto concepto de movimiento punto Q respecto respecto al punto punto O es muy complicado. movimiento del punto tivo. El movimiento complicado. Sin embargo, movimiento de Q respecto respecto a P y el de P respecto respecto a Q son embargo, como como el movimiento relativamente sencillos, podemos aprovechar movimiento rerelativamente sencillos, podemos aprovechar las ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento de Q respecto respecto a O. lativo lativo para para obtener obtener información información sobre sobre el movimiento

~~

~~~~

__~~~~~Problemas~

2.150 Dos automóviles una intersecautomóviles A y B se aproximan aproximan a una intersección. A viaja viaja a 20 mis viaja mis y va desacelerando desacelerando a 2 m/s m/s-,2 , y B viaja 10 mis mis y va desacelerando desacelerando a 3 m/s m/s-.2 • En el sistema sistema coordenacoordenaa 10 Tierra mostrado, determine la velocidad deA respecdo fijo a la Tierra mostrado, determine velocidad deA to a B B y la velocidad B respecto velocidad de B respecto a A.

~~

~~~~

2.153 Dos botes botes de vela tienen tienen velocidades velocidades constantes constantes vA y respecto a la Tierra. bote A divisa un punto punto vBB respecto Tierra. El capitán capitán del bote sobre el horizonte detrás del bote Como el bote horizonte detrás bote B. Como bote B parece parece sobre estar en reposo capitán se da cuenta cuenta estar reposo respecto respecto a ese punto, punto, el capitán cambiar su curso curso para evitar una colisión. Use la de que debe cambiar para evitar una colisión. Ec. (2.72) para explicar por para explicar por qué.

yy

/ / /

/ /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

L-~======~~======~-x

o

/ / / /

//

P2.150 P2.150

/ / / /

determine la aceleración aceleración deA de A respec2.151 En el Probo 2.150 determine to a B y la aceleración aceleración de B respecto respecto a A. A. Suponga que los dos automóviles automóviles del Probo 2.150 se 2.152 Suponga aproximan a la intersección intersección con velocidades constantes. Deaproximan velocidades constantes. muestre automóviles llegarán llegarán a la intersección intersección al mismo muestre que los automóviles mismo tiempo apunta de A hacia tiempo si la velocidad velocidad de A respecto respecto a B apunta hacia B. P2.153 P2.153


88

CAPíTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO PUNTO CAPíTULO 2 MOVIMIENTO

2.154 Dos proyectiles proyectiles A y B se disparan disparan al mismo tiempo tiempo desde O con las velocidades elevación iniciales mostravelocidades y ángulos ángulos de elevación mostrados respecto instanrespecto al sistema"coordenada sistema
2.157 Una Una barra barra gira respecto respecto al punto punto fijo O mostrado mostrado con una una velocidad velocidad angular angular constante constante de 2 rad/s. rad/s. El punto punto A se mueve hacia afuera a lo largo largo de la barra barra con una una velocidad velocidad constanconstanhacia afuera te de 100 mm/s. punto B es un punto sobre la barra. mm/s. El punto punto fijo sobre barra. En el instante instante mostrado, mostrado, ¿cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del punto punto A respecto respecto al punto punto B?

#/)

yy

/,

<#'/-A

y;

100 pie/s 100

2 rad/s

~mmh

O P2.154 P2.154 P2.157 P2.157

2.155 En un proceso proceso de maquinado, maquinado, el disco gira respecto respecto al punto punto fijo O con una una velocidad velocidad angular angular constante constante de 10 rad/s. rad/s. En el sistema sistema coordenada coordenado sin giro que se muestra, muestra, ¿cuál es la magnitud respecto a B? magnitud de la velocidad velocidad de A respecto

yy

2.158 En el Probo 2.157, ¿cuál es la magnitud magnitud de la aceleraaceleración del punto punto B respecto respecto al punto punto A en el instante instante mostrado? mostrado? 2.159 Las barras barras OA y AB AB mostradas mostradas tienen tienen cada cada una una 400 mm de longitud longitud y giran giran en el plano plano x-y. OA tiene una una velocidad velocidad angular antihoraria de 10 rad/s rad/s y una una aceleración aceleración angular angular antiantiangular antihoraria horaria horaria de 2 rad/s-, rad/s 2 • AB AB tiene una una velocidad velocidad angular angular constante constante antihoraria rad/s. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad del puntoB puntoB respecantihoraria de 5 rad/s. to al punto sistema coordenada punto A en términos términos del sistema coordenado fijo?

yy

P2.155 P2.155

2.156 En el Probo 2.155, ¿cuál es la magnitud magnitud de la aceleraaceleración de A respecto respecto a B.

----~------------------x ----~------------------x P2.159 P2.159

2.160 En el Probo 2.159, 2. 159, ¿cuál es la aceleración aceleración del punto punto B respecto punto A? A? respecto al punto 2.161 En el Probo 2.159, ¿cuál es la velocidad velocidad del punto punto B respecto respecto al punto punto fijo O? 2.162 2.162 En el Probo 2.159, 2.159, ¿cuál ¿cuál es la aceleración aceleración del punto punto B respecto al punto punto fijo O? respecto


t I 2.5 2.5 MOVIMIENTO MOVIMIENTO RELATIVO RELATIVO

t

i

2.163 En la Fig. P2.163, P2.163, el tren sobre sobre la vía circular circular viaja viaja con una una velocidad velocidad constante constante de 50 pie/s. pie/s. El tren tren sobre sobre la vía recta recta viaja viaja a 20 pie/s pie/s y está está incrementando incrementando su velocidad velocidad a 2 pie/s pie/s-.2 • En el sistema coordenado fijo a la Tierra muestra, ¿cuál sistema coordenado Tierra que se muestra, es la velocidad velocidad del pasajero pasajero A respecto respecto al pasajero pasajero B? y

~

0"-- - - -- -- - - B B -0"------------

89

2.166 En el Probo 2.165, ¿cuáles son la velocidad aceleravelocidad y la aceleración del esquiador esquiador respecto respecto a la Tierra? Tierra? 2.167 Un jugador jugador de hockey hockey patina patina con componentes componentes de velocidad VUxx = 4 pie/s, pie/s, VUzz = -20 -20 pie/s pie/s cuando cuando golpea golpea el disco cidad disco con con una La posición posición una velocidad velocidad de 100 pie/s pie/s respecto respecto a sí mismo. mismo. La del disco al sergolpeado x = 12 pies, z == 12 pies. Si el jugador jugador sergolpeado es x= 12pies, 12pies. golpea respecto golpea el disco de modo modo que su vector vector de velocidad velocidad respecto a él esté dirigido interseca dirigido hacia hacia el centro centro de la meta, meta, ¿dónde ¿dónde interseca x? ¿Entrará ancho? el disco al eje x? ¿Entrará a la meta meta de 6 pies de ancho?

A . ----x --x A.

z

l

P2.167 P2.167

1

2.168 En el Probo 2.167, ¿a qué punto punto sobre sobre el eje x debe jugador dirigir velocidad del disco relativo relativo a él el jugador dirigir el vector vector de velocidad para para que entre entre por por el centro centro de la meta? meta?

I P2.163 P2.163

2.164 En el Probo 2.163, ¿cuál es la aceleración aceleración del pasajero pasajero B? A respecto respecto al pasajero pasajero B?

2.169 hacia 2.169 Un avión vuela en una una corriente corriente de aire que fluye hacia el este a 100 mi/h. mi/h. La velocidad velocidad del avión avión respecto respecto al aire es milh hacia noroeste. ¿Qué ¿Qué magnitud magnitud y dirección de 500 milh hacia el noroeste. dirección tiene la velocidad velocidad del avión respecto respecto a la Tierra? Tierra?

2.165 En la Fig. P2.165, P2.165, la velocidad velocidad del bote bote respecto respecto al sistema tema coordenado coordenado fijo a la Tierra Tierra es 40i pie/s pie/s y es constante. constante. La longitud longitud de la cuerda cuerda de remolque remolque es de 50 pies. El ángulo ángulo (}()es es de 30° y aumenta /s. ¿Cuáles aumenta a una una razón razón constante constante de 10° 10°/s. ¿Cuáles son la velocidad bote? velocidad y la aceleración aceleración del esquiador esquiador respecto respecto al bote?

N

yy

100 mi/h

°4s

=~~~----x

9

=~~§;.>---- x

P2.169

2.170 En el Probo 2.169, si el piloto piloto quiere volar volar hacia 2.170 hacia una una ciudad al noroeste noroeste de su posición posición presente, presente, ¿en qué dirección ciudad dirección dirigir el avión y cuál será la magnitud magnitud de su velocidad velocidad debe dirigir respecto Tierra? respecto a la Tierra?

1 P2.165 P2.165


90

CAPíTULO 2 MOVIMIENTO

DE UN PUNTO

2.171 Un río fluye hacia el norte a 3 mis (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar en línea recta del punto e al punto D en un bote que navega a una velocidad constante de 10 mis respecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar el bote? ¿Cuánto tarda en efectuar el cruce?

-,

.---

I

In

I

3 mIs

\

D

I

!

\

400 m

l e 500m

,I ,

)

,

~

2.174 El origen O del sistema coordenado sin giro que se muestra está en el centro de la Tierra y el eje y apunta hacia el norte. El satélite A sobre el eje x está en una órbita circular polar de radio R y su velocidad es vAj. Sea w la velocidad angular de la Tierra. ¿Cuál es la velocidad del satélite respecto al punto B sobre la Tierra directamente abajo del satélite?

)

, ,

\

I

s

I

,I

I ,/ I

I

P2.171

2.172 En el Probo 2.171, ¿cuál es la mínima velocidad del bote respecto al agua, necesaria para navegar del punto e al punto D?

2.175 En el Probo 2.174, ¿cuál es la aceleración del sateiite respecto al punto B sobre la Tierra directamente abajo del satélite?

2.173 Una embarcación navega hacia el norte con velocidad Vo respecto a la Tierra y luego hacia el este a la misma velocidad. La velocidad del viento es uniforme y constante. Un "registrador de rumbo" a bordo apunta en la dirección de la velocidad del viento respecto a la embarcación. ¿Cuáles son la dirección y la magnitud de la velocidad del viento respecto a la Tierra? (Obtenga la magnitud de la velocidad del viento en términos de vo.)

Registrador.\~ de rumbo

s P2.173


91

2.5 2.5 MOVIMIENTO MOVIMIENTO RELATIVO

j

Ejemplo Ejemplo con computador computador

CDCo

coce

coco Dcca

problemas están diseñados para utilizar El siguidnte siguiente ejemplo ejemplo y los problemas diseñados para utilizar una calculadora calculadora programable o un computador. programable computador.

Iloca

Ejemplo 2.18 Con Con la la flotación flotación considerada, considerada, la la aceleración aceleración hacia hacia abajo abajo de de una una bola bola de de acero acero que que cae cae en un un cierto cierto líquido líquido es a = O.9g O.9g - ev, donde donde e es una una constante constante proporproporcional cional a la la viscosidad viscosidad del del líquido. líquido. Para Para determinar determinar la viscosidad, viscosidad, se libera libera la bola parte superior Si bola del del reposo reposo en en la la parte superior de de un un tanque tanque de 2 m de profundidad. profundidad. bola tarda tarda 2 s en en alcanzar alcanzar el fondo, fondo, ¿cuál ¿cuál es el valor valor de de e? la bola

1

Figura 2.50

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos en función del tiempo Podemos obtener obtener una una ecuación ecuación para para e determinando determinando función del tiempo la distancia distancia que que la bola bola cae. cae.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Medimos bola hacia Medimos la la posición posición ss de de la bola hacia abajo abajo desde desde el punto punto en en que que se libera libera (Fig. a) y hacemos que t = = O O sea sea el tiempo tiempo inicial. inicial. (Fig. hacemos que La aceleración aceleración es La

l

a

dv dt

== - = O.9g O.9g -

s (a) La La bola bola se libera libera del del reposo reposo en en la superficie. superficie.

ev.

Separando variables variables e integrando, integrando, Separando

1""

l'

dv ..,.--::---= ..,.----= dt, O.9g - e evo' oo O.9g vo ·

obtenemos obtenemos

ds O.9g -ct O.9g =ct vv=-=-(1-e = - = - (1 - e ). dt e Integrando esta esta ecuación ecuación con con respecto respecto al tiempo, tiempo, obtenemos obtenemos la la distancia distancia que que Integrando bola ha ha caído caído desde desde que que se libera libera en función función del del tiempo: tiempo: la bola

l

s

O.9g O.9g , -2-(et(et --11 +e+e= -2-

CC ). ).

e

Sabemos ques que s = 2 m cuando cuando t Sabemos resolver la ecuación ecuación resolver

0.4 004

de modo modo que que para determinar e se requiere requiere = 2 s, de para determinar

0.2 f(c) f(c)

f(e) f(e)

(o.9)~.81) (2e = (O.9)~.81)

1+

e-2c2c) ) e-

2

O. = O.

e

01----------""""'-::,------0 1----------==""""=- - - -0.2 -0.2 7

No podemos podemos resolver resolver esta esta trascendente trascendente ecuación ecuación en forma forma cerrada cerrada para para dedeNo terminar Hay programas programas para para resolver resolver problemas, problemas, como como Mathead Mathead y TK! Solterminar e. Hay diseñados para para obtener obtener raíces raíces de tales tales ecuaciones. ecuaciones. Otro Otro enfoque enfoque es calcular calcular ver, diseñados valor def(e) def(e) para para un un intervalo intervalo de de valores valores de de e y graficar graficar los los resultados, resultados, como como el valor hicimos en la Fig. Fig. 2.51. 2.51. De la gráfica gráfica calculamos calculamos que que e = = 8.3 8.3 S-l. hicimos De la


2.51 Figura 2.51 Gráfica de la función función f(e). Gráfica f(e).

9

10

92

CAPíTU LO 2 MOVIMIENTO CAPíTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO PUNTO

•....... -----""""'1 Problemas I--~---"" - - - -""""l Problemas I-----'-~...... 2.176 Un ingeniero proceso de maquinado maquinado ingeniero que analiza analiza un proceso trabajo parte parte determina determina que de t = O Oaa t = 4 s, la pieza de trabajo del reposo reposo y se mueve en línea recta recta con aceleración aceleración a

= 2 +

2.180 trabaja en una una casa pide a su ayu2.180 Un carpintero carpintero que trabaja una manzana. manzana es lanzada dante dante que le lance una manzana. La manzana lanzada a valores de (jo permiten que la manzamanza32 pie/s. pie/s. ¿Cuáles ¿Cuáles dos valores 80 permiten mano del carpintero, pies en la horizontal horizontal na caiga en la mano carpintero, a 12 12pies punto desde donde y 12 12 pies en la vertical vertical del punto donde se lanza? lanza? /-

/

(1.5 (J.5

/

tl.5 tU pie/s-. pie/s 2 .

/ /

(a) Dibuje una gráfica posición de la pieza respecto respecto Dibuje una gráfica de la posición a su posición posición en t == O para valores Opara valores de 1t de t = O Oaa t = 4 s. (b) Calcule velocidad máxima máxima durante Calcule la velocidad durante este intervalo intervalo de tiempo en que ocurre. tiempo y el tiempo tiempo ocurre. 2.177 En el Probo 2.72, determine determine el intervalo intervalo de ángulos ángulos (j8 dentro pitcher debe lanzar pelota para para que dentro del cual el pitcher lanzar la pelota por la zona pase por zona de slrike. strike. 2.178 Una Una catapulta para arrojar barcatapulta diseñada diseñada para arrojar un cable a barcos en zozobra proyectil con velocidad velocidad inicial Vo zozobra lanza lanza un proyectil (l - 004 0.4 sen (jo), (0), donde donde (jo 80 es el ángulo ángulo sobre sobre la horizontal. (1 horizontal. Determine el valor 80 para distancia alcanzada alcanzada para el cual la distancia Determine valor de (jo por demuestre que la distancia distancia mápor el proyectil proyectil es máxima, máxima, y demuestre má22 v0 /g. xima es 0.559 vo /g.

/ / / /

I I

I I

I

& P2.180

2.181 Una motocicleta parte del reposo en t = Oy se mueve 2.181 Unamotocic\etaparte largo de una circular de 400 m de radio. compoa lo largo una pista pista circular radio. La componente aceleración es al at = 2 + 0.21 0.2t rri/s-. nente tangencial tangencial de su aceleración m/s 2 • Cuando la magnitud de su aceleración total es 6 rri/s", Cuando magnitud aceleración total m/s 2 , la fricción ya no puede puede mantenerlo circular y patina patina fricción mantenerlo en la pista pista circular hacia afuera. ¿Cuánto ¿Cuánto tarda, empezar a hacia afuera. tarda, desde el inicio, en empezar patinar entonces? patinar y a qué velocidad velocidad va entonces?

vo(l 004 sen~ vo(l - 0.4 sen~

~\ ~\ ¡\Ll , P2.178 P2.178

Oun origen a una 2.179 En t = O un proyectil proyectil parte parte del origen una velocisobre la horizontal. mis a 40° sobre horizontal. El perfil perfil de dad inicial de 20 mis superficie del terreno sobre el que viaja aproximarse la superficie terreno sobre viaja puede puede aproximarse 2 , donde ecuación y = O.4x - 0.006x 0.006x2, donde x y y están están en = OAx con la ecuación metros. Determine en forma forma aproximada aproximada las coordenadas coordenadas metros. Determine del punto punto en que toca toca el terreno. terreno. y 20 mIs 20 yy = OAx - 0.006x 0.006x22

~~~------------------------------------- x ~--~-------------------------------------x

P2.179 P2.179

P2.181 P2.181


RESUMEN DEL CAPíTULO

2.182 En t = O, una bola de acero en un tanque de aceite recibe una velocidad horizontal v = 2i mis. Las componentes de su aceleración son ax = -cvx' ay = -0.8g - cVy' az = -cvz' donde e es una constante. Cuando la bola toca el fondo del tanque, su posición respecto a su posición en t = O es r = 0.8i - j (m). ¿Cuál es el valor de e? y

..\

2.185 El robot de la figura está programado de manera que el punto P describa la trayectoria r = 1 - 0.5 cos 21ft m, (J = 0.5 - 0.2 sen[21f(t - 0.1)] rad.

Determine los valores de r y (J en los que la magnitud de la velocidad de P alcanza su valor máximo .

"...

~ F\ 1...;;..) <,

~

y

x

-, \ \

\ \ \

Ó i

~~~ I

P2.182

2.183 Las coordenadas polares de un punto P que se mueve en el plano x-y son r = t3 - 4t m, (J = t2 - trad. (a) Dibuje una gráfica de la magnitud de la velocidad de P de t = O a t = 2 s. (b) Calcule la magnitud mínima de la velocidad y el tiempo en que ocurre. 2.184 (a) Dibuje una gráfica de la magnitud de la aceleración del punto P del Probo 2.183 de t = O a t = 2 s. (b) Calcule la magnitud mínima de la aceleración y el tiempo en que ocurre.

P2.185

2.186 En el Probo 2.185, determine los valores de ry (J para los que la magnitud de la aceleración de P alcanza su valor máximo.

Resumen del capítulo 1

La posición de un punto P respecto a un punto O se da con el vector de posición r que va de O a P. La velocidad de P respecto a O es

I

v

L y

dr

=--

dr'

Ec. (2.1)

la aceleración de P respecto a O es dv

a = --. dt

l~~~-----------------L---x

Ec. (2.2)

Movimiento en línea recta La posición de un punto P sobre una línea recta respecto a un punto de referencia O se especifica mediante una coordenada s medida a lo largo de la línea de O a P. La coordenada s y la velocidad y aceleración de P a lo largo de la línea están relacionadas por http://carlos2524.jimdo.com/

93

94

CAPíTU LO 2 MOVIMI ENTO DE CAPíTULO MOVIMIENTO DE UN PUNTO PUNTO

ds

= dt'' = dt

V

(2.3) Ec. (2.3)

dv dv

a = = --. .

Ec. (2.4)

dt dt

Si la aceleración especifica en función tiempo, la posición posición y velocidad velocidad aceleración se especifica función del tiempo, se pueden determinar en función función del tiempo tiempo por por integración. integración. Si la aceleraacelerapueden determinar ción se especifica velocidad, dv/dt dv/dt == a(v), a(v), entonces entonces la especifica en función función de la velocidad, velocidad puede determinar determinar en función función del tiempo mediante la separaseparavelocidad se puede tiempo mediante ción de variables: variables:

!,f

a(v) a(v)

--

Vo t'c

11/ 1

vv - dv dv

dt dt

lo

(2.16) Ec. (2.16) •

aceleración se especifica función de la posición, Si la aceleración especifica como como función posición, dv/dt dv / dt == a(s) , aceleración en términos la regla de la cadena cadena se puede puede usar usar para para expresar expresar la aceleración términos una derivada de una derivada respecto respecto a la posición: posición: dv dv

dv dv ds

dv dv

---v ==a(s). a(s). - == -- - - == -v

dt ds dt ds dt dt Separando variables, Separando variables, la velocidad velocidad se puede puede determinar determinar como como función función de la posición: posición:

r vdv = 1a(s)ds. l; Jvo s

vdv =

s

a(s)ds.

Ec. (2.19) (2.19)

So So

yy

Coordenadas cartesianas carfesianas Coordenadas posición, la velocidad, La posición, velocidad, y la aceleración aceleración son [Ecs. (2.21) a (2.25)]

p (x, y, z)

O~---------x ~---------------- x

= xx ii + Y Y jj rr =

v= =

z a

.

Vxx II

+ zz kk,,

dx dx.; dy dy.; ddz; kk - II + -J++ vvyy J. + Vzz kk == -, dt dt dt dt dt dt

.. . .

dv dvxx•

= a¿ a x II + ay ay J + azz k = -

dt dt

• II

dvy . dv + - J + - z k. dt dt dt dt dvy•

du¿

ecuaciones que describen Las ecuaciones describen el movimiento movimiento en cada cada dirección dirección coordenada coordenada idénticas en forma son idénticas forma a las ecuaciones ecuaciones que describen describen el movimiento movimiento de punto a lo largo un punto largo de una una línea recta. recta.

~L

~L

~---~---Lo

~------~---- Lo

Movimienfo angular angular Movimiento velocidad angular co y la aceleración La velocidad angular w aceleración angular angular a de L respecto respecto a Lo Lo son

de

W=-, w = --, dt dt

Ec. (2.31) (2.31)

dca d22ee dw a---a--- dt dt - dt dt2·2 ·

Ec. (2.32) (2.32)


RESUMEN DEL CAPíTULO CAPíTULO

Componentes normal normal y tangencial tangencial Componentes

1

velocidad y la aceleración aceleración son La veloéidad Ec. Ec. (2.38) (2.38)

ad ala

a-

Ec. (2.39) (2.39) Ec.

r

donde donde dv dv dt' dt'

de de

v22

an=v-=-. an = v- =- . dt dt p

at = at=-

Ec. Ec. (2.40) (2.40)

El vector vector unitario unitario en apunta apunta hacia hacia el lado cóncavo cóncavo de la trayectoria. trayectoria. El término radio de curvatura término p es el radio curvatura instantáneo instantáneo de la trayectoria. trayectoria.

s),

os

y

Coordenadas Coordenadas polares polares La posición, velocidad, y la aceleración aceleración son posición, la velocidad, Ec. (2.44) (2.44) Ec.

de v

dr dr dt dt

= vrr e rr + Vo ve eo ee = - e rr + rweo, rwee,

r Ec. (2.49) (2.49) Ec.

e

o~~-------x o~~-------x

Ec. (2.50) (2.50)

donde donde

Ec. Ec. (2.51) (2.51)

ao ae =

dr de de dr d22ee dr dr r + 2 - - = ra+2 - w. r- +2-ra +2-w. 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt

r Movimiento relativo relativo Movimiento

A

Los vectores vectores rAA Y rBB especifican especifican las posiciones posiciones de A y B respecto respecto a O, y rrAIB especifica especifica la posición posición de A respecto respecto a B: da de

= rB rA = rB

rA/B. + rA / B.

Ec. (2.71) (2.71) Ec.

Derivando esta ecuación ecuación se obtienen obtienen las relaciones relaciones Derivando

on

l

+

VA=VB+VA/B, VA = VB VA/B,

Ec.(2.72) Ec. (2.72)

y V B son las velocidades velocidades de A y B respecto respecto a O y VVAl donde VvA Y Al B es es la velocidad velocidad de A respecto respecto a B, y = aB aB aA =

aA/B, + aA/B,

= dr dr Al BI dt dt =

Ec. (2.73) (2.73) Ec.

donde donde aaAA Y a BB son las aceleraciones aceleraciones de A y B respecto respecto a O Y aAIB AIB aceleración de A respecto respecto a B. es la aceleración

dvAIBldt dvA I Bldt


95

96

CAPíTULO 2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN PUNTO PUNTO CAPíTULO

_______________--'IProblemas '--"___________ -:...."--"''''--_ _ _-.;. ___ ''''"'''''........:..r ......... •••• [Problernos de repaso 1¡--•........ ---._ .•..... """-_--"

determinar la duración duración de la luz ámbar ámbar en la 2.187 Se debe determinar intersección de una carretera. carretera. Los vehículos vehículos se aproximan aproximan a la intersección intersección a no más de 65 mi/ mi/h,h, los tiempos reacción de intersección tiempos de reacción conductores son de 0.5 s, y los vehículos vehículos pueden pueden alcanzar alcanzar los conductores seguridad una desaceleración desaceleración de al menos menos OAg. con seguridad ¿Cuánto tiempo tiempo debe permanecer permanecer la luz amarilla amarilla para (a) ¿Cuánto para que los conductores conductores se detengan detengan con seguridad seguridad antes de que se encienda la luz roja? roja? cienda distancia mínima mínima deben deben estar estar los vehículos vehículos de la in(b) ¿A qué distancia tersección cuan(Io cuando se pone pone la luz amarilla amarilla para para poder poder detenerse detenerse tersección seguridad en la intersección? intersección? con seguridad

aceleración de un punto punto que se mueve 2.191 La aceleración mueve a lo largo largo una línea recta recta es a = --cv donde e es una de una cv3, 3 , donde una constante. constante. Si velocidad del punto punto es vo, Va, ¿qué distancia distancia se mueve antes la velocidad antes de que su velocidad velocidad disminuya disminuya a vvaol2? l2? agua sale de la boquilla boquilla de una una manguera 2.192 El agua manguera a 20 20°0 sobre sobre horizontal y toca toca la pared pared en el punto punto indicado. la horizontal indicado. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad del agua agua cuando cuando sale de la boquilla? boquilla? velocidad Estrategia: Determine Determine el movimiento movimiento del agua agua tratando tratando cada cada partícula de agua agua como como un proyectil. proyectil. partícula

aceleración de un punto punto que se mueve a lo largo largo 2.188 La aceleración 2 una línea recta recta es a = 4t + 2 (m/s (m/s-). Cuando t = 2 s, su de una ). Cuando posición es s == 36 m, y cuando cuando t == 4 s, su posición posición es s posición ¿Cuál es su velocidad velocidad cuando cuando t = 4 s? 90 m. ¿Cuál cohete despega despega en línea recta recta ascendente. ascendente. Su acele2.189 Un cohete durante los 2 s que su motor motor está encendido encendido es de 25 25 m/ m/s-. s2 . ración durante Ignore la resistencia resistencia aerodinámica. aerodinámica. Determine Determine (a) la velocidad velocidad Ignore máxima durante durante el vuelo; (b) la altura altura máxima máxima alcanzada. alcanzada. máxima

¡

1-----'--:;----35 pies --'-:----.j 1---- - - 3 5 pies -....o.,--'----!·I

O pies

1 P2.192 P2.192

mariscal de campo campo lanza el balón Va 2.193 Un mariscal balón con velocidad velocidad Vo 45 o sobre sobre la horizontal. horizontal. En el mismo mismo instante, a 45° instante, el receptor, receptor, encuentra 20 pies adelante adelante de él, empieza empieza a correr línea que se encuentra correr en línea recta a 10 pie/ pie/ss y recibe el balón. balón. Si el balón balón se lanzó recibió recta lanzó y recibió misma altura altura sobre sobre el terreno, terreno, ¿cuál es la velocidad va? a la misma velocidad vo?

P2.189 P2.189

paracaídas del cohete cohete no se abre, abre, 2.190 En el Probo 2.189, si el paracaídas tiempo total total de vuelo desde el despegue despegue hasta hasta que ¿cuál es el tiempo cohete toca toca el suelo? el cohete


P2.193 P2.193

PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO

2.194 velocidad v = 2 mis 2.194 La velocidad mis es constante. constante. ¿Cuáles ¿Cuáles son las punto P cuando magnitudes de la velocidad velocidad y la aceleración magnitudes aceleración del punto cuando x = 0.25 m?

,

f

y

l,

97

2.198 Un vehículo vehículo tripulado tripulado (M) intenta intenta encontrarse encontrarse con un satélite (S) para escala). La magnisatélite para repararlo repararlo (no se muestran muestran a escala). magnitud de la velocidad velocidad del satélite km/s, y una una visual tud satélite es IVsl IVsl = 66 km/s, determina que el ángulo ángulo {3 {3= supone que sus velocidadetermina = 40°. Si se supone velocidaconstantes y que los vehículos se mueven des permanecen permanecen constantes mueven a lo largo de las líneas rectas magnitud largo rectas mostradas, mostradas, ¿cuál debe ser la magnitud encuentro? para que se realice el encuentro? de VVMM para

--x -x

/// s.:«:

1-·----lm-----·I ---- lm ----~·1

/ ~f3

11-'

~

P2.194 P2.194

2.195 En el Probo 2.194, 2.194, ¿cuál es la aceleración aceleración del punto 2.195 punto P componentes normal cuando en términos términos de las componentes normal y tangencial tangencial cuando x = 0.25 m? ¿Cuál ¿Cuál es el radio curvatura instantáneo instantáneo de la radio de curvatura trayectoria? trayectoria? 2.194, ¿cuál es la aceleración aceleración del punto 2.196 En el Probo 2.194, punto P componentes radial (coordenaen términos términos de las componentes radial y transversal transversal (coordenacuando x = 0.25 m? das polares) polares) cuando espiral 2.197 Un punto punto Pse Pse mueve mueve a lo largo de la trayectoria trayectoria espiral r == (0.1)0 pie, donde donde ()() está en radianes. angular radianes. La posición posición angular donde ttestáen segundos, y r = O Oen O.Determine ()() = 2trad, 2t rad, donde está en segundos, en t = O. Determine aceleración de P en t = 1 S. las magnitudes magnitudes de la velocidad velocidad y la aceleración

~

M

P2.198 P2.198

2.198, ¿cuál es la magnitud 2.199 En Probo 2.198, magnitud de la velocidad velocidad espacial una del vehículo vehículo tripulado tripulado respecto respecto a la nave espacial una vez que ajustado para encuentro? la magnitud magnitud de VVMM se ha ajustado para que se dé el encuentro? 2.200 Las tres barras giran en el plano 2.200 barras de 1 pie giran plano x-y x-y con velocidad angular angular constante constante w. W. Si w = 20 radls, dad w = radls, ¿cuál es la magnitud magnitud sistema punto e respecto respecto al punto punto A en el sistema de la velocidad velocidad del punto coordenado fijo? coordenado

y

a Ó

?

OJ

P2.197 P2.197

o A A- - - - - - xx ;:.J_~r~~~O -----;JiIr::;=1~= P2.200

I 3

\

2.201 En el Probo 2.200, ¿cuál es la velocidad velocidad del punto punto respecto respecto al punto punto fijo O?

e

2.202 En el Probo 2.200, aceleró aceleró metros 2.202 metros montados montados en e indiaceleración del punto e respecto can que la aceleración punto e respecto al punto punto fijo O es ¿Cuál es la velocidad angular angular ac = -150Oi - 1500j (piel S2). ¿Cuál w? determinar, a partir información, si w w? ¿Se puede puede determinar, partir de esta información, w es antihoraria u horaria? antihoraria horaria?


na motocicleta motocicleta de carreras carreras puena puede ir de O a 60 mi/h mi/ h en 3 s. Su aceleración está relacionada, aceleración relacionada, por segunda ley de Newton, masa la segunda Newton, con la masa combinada de la moto moto y el conductor conductor combinada y con las fuerzas fuerzas externas externas que actúan actúan sobre ellos ellos.. Aquí diagramas sobre Aquí usaremos usaremos diagramas cuerpo libre y dicha dicha ley para de cuerpo para determinar los movimientos movimientos que resultan resultan minar fuerzas que actúan actúan sobre sobre los de las fuerzas cuerpos. cuerpos.

U


I Capítulo Capítulo

,

I p

31

masa y Fuerza, masa aceleración aceleración

¡,

I

~ I

I

H H

analizado los movimientos ASTA ahora hemos ASTA ahora hemos analizado movimientos de

cuerpos sin considerar considerar las fuerzas causan. cuerpos fuerzas que los causan. capítulo relacionaremos causa y efecto: efecto: dibujandibujanEn este capítulo relacionaremos causa diagrama de cuerpo cuerpo libre de un cuerpo cuerpo para identifipara identifido el diagrama fuerzas que actúan actúan sobre sobre él, podemos car las fuerzas podemos usar usar la segunda ley de Newton determinar su aceleración. aceleración. para determinar segunda Newton para Una conocida la aceleración, aceleración, podemos/determinar Una vez conocida podemos/determinar su velocidad desarrollados en velocidad y posición posición con los métodos métodos desarrollados capítulo 2. el capítulo

99


100 100

CAPíTU LO 3 FUERZA. MASA ACE LE RACiÓN CAPíTULO MASA Y ACELERACiÓN

3. 1 1 Segunda Segunda ley ley de de Newfon Newfon La fuerza una partícula partícula es igual a la razón fuerza sobre sobre una razón de cambio cambio de su cantidad cantidad de movimiento producto de su masa movimiento lineal, lineal, t producto masa y de su velocidad: velocidad: d (mv). ff= = --(mv). dt dt

masa de la partícula constante, la fuerza fuerza es igual al producto Si la masa partícula es constante, producto de masa y de su aceleración: aceleración: su masa

~

~

t En esta obra obra usamos término cantidad tEn usamos el término cantidad de movimiento para término original original momentum momentum. . movimiento para el término embargo, en otros otros libros libros el término término se traduce traduce Sin embargo, como impetu simplemente, momento. momento. Aparte, Aparte, como fmpetu o, simplemente, para momentum se emplea emplea aquí aquí momento momento para angular momentum angular, aunque aunque habrá habrá quien lo traduzca angular, traduzca como como impetu fmpetu angular. (N. del R. T.)

(3.1)

indicamos que la segunda segunda ley precisa términos fuerza masa. Una Una Ya indicamos precisa los términos fuerza y masa. masa, la unidad fuerza se define define como como la vez elegida una una unidad unidad de masa, unidad de fuerza fuerza necesaria necesaria para dar a la unidad unidad de masa masa una aceleración de magnitud magnitud fuerza para dar una aceleración unitaria. ejemplo, el newton, newton, que es la unidad unidad de fuerza fuerza en SI, es la unitaria. Por Por ejemplo, fuerza necesari' necesariaa para imprimir a una masa de un kilogramo kilogramo una acelerafuerza para imprimir una masa una acelerametro sobre sobre segundo segundo al cuadrado. cuadrado. En principio, segunda ción de un metro principio, la segunda valor de cualquier cualquier fuerza fuerza y la masa masa de cualquier cualquier cuerpo cuerpo.. SometienSometienley da el valor masa de un kilogramo kilogramo a una fuerza arbitraria arbitraria y midiendo midiendo la aceleraacelerado una una masa una fuerza ción, podemos encontrar con ayuda ayuda de la segunda segunda ley la dirección dirección de ción, podemos encontrar fuerza y su magnitud magnitud en newtons. Sometiendo una masa arbitraria arbitraria a la fuerza newtons. Sometiendo una masa una fuerza de un newton newton y midiendo midiendo la aceleración, aceleración, podemos encontrar una fuerza podemos encontrar dicha ley el valor valor de la masa masa en kilogramos. kilogramos. con dicha conocen la masa masa de una fuerza que actúa actúa sobre sobre ella, Si se conocen una partícula partícula y la fuerza segunda ley podemos determinar su aceleración. aceleración. Ya aprendimos aprendimos con la segunda podemos determinar a determinar velocidad, posición posición y trayectoria trayectoria de un punto punto si se conoce conoce determinar la velocidad, aceleración. Por Por tanto, tanto, la segunda ayuda a determinar movimiensu aceleración. segunda ley ayuda determinar el movimienconoce la fuerza fuerza que actúa sobre sobre el/a. to de una partícula partícula si se conoce

Marcos de de referencia referencia inerciales inercia/es 3.2 Marcos

1 r

Cuando se analizó analizó el movimiento movimiento de un punto, especificamos su posición, Cuando punto, especificamos posición, velocidad y aceleración aceleración respecto referencia arbitrario. arbitrario. velocidad respecto a un punto punto O de referencia embargo, la segunda segunda ley de Newton expresar en términos términos Sin embargo, Newton no se puede puede expresar de cualquier cualquier punto referencia. Si ninguna ninguna fuerza actúa sobre sobre una punto de referencia. fuerza actúa una partípartímedimos su movimiento movimiento respecto respecto a determinado determinado punto cula, medimos punto O de referenreferencia, y concluimos este~punto concluimos que su aceleración aceleración es cero. En términos términos de estepunto referencia, la segunda segunda ley de Newton concuerda con nuestra nuestra observaobservade referencia, Newton concuerda ción, medimos el movimiento movimiento de la partícula respecto a un ción, pero pero si luego medimos partícula respecto punto O' que tiene una aceleración respecto respecto a O, determinaremos determinaremos que su punto (J' una aceleración aceleración no es cero cero.. Respecto Respecto a O', la segunda segunda ley de Newton, aceleración Newton, por por lo forma dada dada por resultado correcto. correcto. menos en la forma por la Ec. (3.1), no predice predice el resultado La Ec. (3.1) tampoco tampoco predice resultado correcto correcto si usamos sistema predice el resultado usamos un sistema coordenado, o marco marco de referencia, referencia, que esté giraQdo. girando. coordenado, Para Newton, segunda ley debe expresarse expresarse en términos términos de un marco marco Para Newton, la segunda referencia sin giro y sin aceleración aceleración respecto respecto a las "estrellas "estrellas fijas". fijas". Aun Aun de referencia http://carlos2524.jimdo.com/

e r

1:

e

r.

3.3 ECUACiÓN CENTRO DE MASA 3.3 ECUACiÓN DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO PARA PARA EL EL CENTRO MASA

I

"

si virtualmente si las estrellas estuvieran estuvieran fijas, esto no es práctico, práctico, ya que virtualmente todo ambas cosas todo marc9 marco de referencia referencia conveniente conveniente acelera, acelera, gira o hace ambas debido puede aplicar aplicar rigurorigurodebido al movimiento movimiento de la Tierra. Tierra. La segunda segunda ley se puede samente aceleraciones, samente usando usando marcos marcos de referencia referencia sometidos sometidos a giros y aceleraciones, mediante rotación. En mediante la consideración consideración apropiada apropiada de la aceleración aceleración y la rotación. el Cap. necesitamos indicar indicar Cap. 6 explicaremos explicaremos cómo cómo hacerlo. hacerlo. Por Por ahora, ahora, necesitamos cuándo Newton. cuándo sí y cuándo cuándo no se puede puede aplicar aplicar la segunda segunda ley de Newton. Por puede apliPor fortuna, fortuna, en casi todas todas las aplicaciones aplicaciones "mundanas" "mundanas" se puede car la segunda términos segunda ley de Newton Newton en la forma forma dada dada por por la Ec. (3.1) en términos de un marco obtener respuestas respuestas marco de referencia referencia fijo respecto respecto a la Tierra, Tierra, y obtener suficientemente una tiza tiza en un cuarto, cuarto, suficientemente precisas. precisas. Por Por ejemplo, ejemplo, si se tira tira una con un sistema puede predecir predecir su sistema coordenado coordenado fijo respecto respecto al cuarto cuarto se puede movimiento. Tierra y, con movimiento. Mientras Mientras la tiza está en movimiento, movimiento, gira la Tierra sistema coordenado. coordenado. Pero, Pero, como como el vuelo tiza es breve, ella, el sistema vuelo de de la tiza breve, el efecto en la predicción lentitud; su predicción es muy pequeño pequeño (la Tierra Tierra gira con lentitud; velocidad reloj). TamTamvelocidad angular angular es la mitad mitad de la de la aguja aguja horaria horaria de un reloj). bién se pueden usanpueden obtener obtener respuestas respuestas exactas exactas en la mayoría mayoría de los casos, casos, usando un marco constante respecto respecto marco de referencia referencia que se traslade traslade con velocidad velocidad constante a la Tierra. juegan tenis en un barco barco Tierra. Por Por ejemplo, ejemplo, si usted y un amigo juegan que se mueve a velocidad velocidad constante, Ec. (3.1) (3 .1) en términos términos de un constante, con la Ec. sistema coordenado analizar el movimiento movimiento coordenado fijo respecto respecto al barco barco se puede puede analizar de la pelota. modificando su pelota. Pero Pero no se puede puede si el barco barco está girando girando o modificando velocidad. como el movimiento movimiento de velocidad. En situaciones situaciones no "mundanas", "mundanas", como espaciales cerca de la Tierra, Tierra, se puede satélites y naves espaciales puede aplicar aplicar la Ec. (3.1) con un sistema centro de la Tierra. Tierra. sistema coordenado coordenado sin giro con origen origen en el centro Si se puede aplicar la Ec. (3.1), (3 .1), decipuede usar un marco marco de referencia referencia para para aplicar mos que el marco Cap . 6 analizaremos analizaremos los marco de referencia referencia es inercial. inercial. En Cap. marcos ejemplos y marcos de referencia referencia inerciales. inerciales. Por Por ahora, ahora, suponga suponga que los ejemplos problemas referencia inerciales. inerciales. problemas están están planteados planteados con respecto respecto a marcos marcos de referencia

3.3 3.3 Ecuación de movimiento para masa para el centro de masa La segunda partícula, o pequeño pequeño elesegunda ley de Newton Newton se postula postula para para una una partícula, misma forma mento mento de materia, materia, pero una una ecuación ecuación con exactamente exactamente la misma forma describe el movimiento cuerpo arbitrario. arbitrario. PodePodemovimiento del centro centro de de masa masa de un cuerpo mos demostrar cuerpo cualquiera cualquiera es demostrar que la fuerza fuerza externa externa total total sobre sobre un cuerpo igual al producto masa por centro de masa. masa. producto de su masa por la aceleración aceleración de su centro Dividimos un cuerpo partículas . Sea m¡ mi la masa masa Dividimos conceptualmente conceptualmente cuerpo en N partículas. de la i-ésima partícula, masa partícula, y sea rr,i su vector vector de posición posición (Fig. 3.1a). 3.1a). La masa cuerpo es la suma suma de las masas masas de las partículas, partículas, m del cuerpo m=Lmi, i

donde la suma N '. donde la sumatoria sumatoria con subíndice subíndice i significa significa ""la suma sobre sobre i de 1 a N". La posición posición del centro centro de masa masa del cuerpo cuerpo es

r=--m m


101

102 102

CAPíTULO LERACiÓN CAPíTULO 3 FUERZA, MASA MASA Y ACE ACELERACiÓN

Derivando Derivando dos veces esta expresión expresión obtenemos obtenemos (3.2) donde donde a es la aceleración aceleración del centro centro de masa masa del cuerpo. cuerpo. La i-ésima partícula partícula puede puede estar estar sometida sometida a fuerzas fuerzas por por las otras otras partípartículas. j -ésima partícula culas. Sea fij la fuerza fuerza ejercida ejercida por por la j-ésima partícula sobre sobre la i-ésima. i-ésima. La tercera Newton establece tercera ley de Newton establece que la i-ésima partícula partícula ejerce sobre sobre la j-ésima j-ésima partícula partícula una una fuerza fuerza de igual magnitud magnitud y dirección dirección opuesta: opuesta: ffjiji = fijo Si denotamos = --fijo denotamos la fuerza fuerza externa externa sobre sobre la i-ésima partícula partícula (i.e., (i.e., la fuerza total total que ejercen ejercen sobre sobre la i-ésima partícula partícula otros otros cuerpos) cuerpos) con fr, Ir, fuerza segunda ley de Newton Newton para para la i-ésima partícula partícula es (Fig (Fig.. 3.1b) la segunda

(a)

,. ~

¿.

¿mmi¡ O~-----~ rr¡,-.-----Nt O

Lf Lf .. ..+ fE fE j

,

" ' IJ

I

(b)

Figura 3.1 Figura

cuerpo en partículas. partículas. (a) División de un cuerpo vector de posición El vector r es el vector posición de la partícula y r es el vector de i-ésima partícula posición del centro centro de masa del cuerpo. cuerpo. posición Fuerzas sobre sobre la i-ésima partícula. partícula. (b) Fuerzas

partícula del cuerpo. cuerpo. Sumando Podemos Podemos escribir escribir esta ecuación ecuación para para cada cada partícula Sumando las ecuaciones ecuaciones resultantes resultantes de i == 1 a N, N, obtenemos obtenemos

L L fu + L f¡E = ma,

(3.3)

j

yY usamos usamos Ec. (3.2) (3.2).. El primer primer término término del miembro miembro izquierdo, izquierdo, que es la suma suma de las fuerzas fuerzas internas internas sobre sobre el cuerpo, cuerpo, es cero por por la tercera tercera ley:

L L fu

fij = = ff12 l2

i

+ ff2121 + f13 + ff3131 + ... == o.o.

j

El segundo segundo término término del miembro miembro izquierdo izquierdo de la Ec. (3.3) es la suma suma de las fuerzas Denotándolo con ~F, fuerzas externas externas sobre sobre el cuerpo. cuerpo. Denotándolo EF, concluimos concluimos que la suma suma de las fuerzas fuerzas externas externas es igual al producto producto de la masa masa por por la aceleración aceleración del centro centro de masa: masa: ~F == ma·1 ma·1 II EF

(3.4)

Como Como esta ecuación ecuación es idéntica idéntica en forma forma al postulado postulado de Newton Newton para para una partícula, la llamamos Newton. Al obtener una partícula, llamamos segunda segunda ley de Newton. obtener este resultado resultado no restringimos La restringimos la naturaleza naturaleza del" cuerpo" ni su estado estado de movimiento. movimiento. La suma suma de las fuerzas externas sobre un cuerpo cuerpo o conjunto conjunto de cuerpos (sólido, líquido o gas) es igual al producto líquido producto de la masa masa total total por por la aceleración aceleración del centro centro de masa. masa. Por Por ejemplo, ejemplo, un transbordador transbordador espacial espacial está en órbita órbita y aún tiene combustible. combustible empieza combustible. Si se encienden encienden sus motores, motores, el combustible empieza a agitarse agitarse en forma forma complicada, complicada, afectando afectando el movimiento movimiento del transbordatransbordador dor debido debido a las fuerzas fuerzas internas internas entre entre el combustible combustible y el transbordador. transbordador. Podemos usar usar la Ec. (3.4) para para determinar determinar la aceleración aceleración exacta exacta del centro centro Podemos masa del transbordador, transbordador, incluyendo incluyendo el combustible combustible que contiene, contiene, y de de masa obtener la velocidad, velocidad, la posición posición y la trayectoria trayectoria del centro centro de masa masa.. ahí obtener


3.4 APLICACIONES 3.4 APLICACIONES

103 103

- -

-x

3.4 A'plicaciones A'plicaciones .2)

tí-

a. re : fj¡ , la

fr,

Para Newton a una una situación particular, se debe Para aplicar aplicar la segunda segunda ley ley de Newton situación particular, debe escoger un sistema menudo que escoger un sistema coordenado. coordenado. Se encontrará encontrará a menudo que las las fuerzas fuerzas se pueden pueden descomponer en un sistema descomponer convenientemente convenientemente en componentes componentes de de un sistema coordenado particular, o con base en trayectoria del coordenado particular, con base en la la trayectoria del cuerpo. cuerpo. En En las las siguientes usaremos diferentes tipos de sistemas guientes secciones secciones usaremos diferentes tipos sistemas coordenados coordenados para para determinar movimientos de los determinar los los movimientos los cuerpos. cuerpos.

Coordenadas Coordenadas cartesianas cattesianas y movimiento en línea línea recta recta Si expresamos total y la Newton expresamos la fuerza fuerza total la aceleración aceleración de la la segunda segunda ley ley de de Newton en términos términos de un sistema en de sus sus componentes componentes en en un sistema coordenado coordenado cartesiano, cartesiano,

y

I do

obtenemos tres ecuaciones movimiento: obtenemos tres ecuaciones escalares escalares de movimiento: (3.5) (3.5)

.3) la y:

de os or

.4)

La total en producto de la La fuerza fuerza total en cada cada dirección dirección coordenada coordenada es igual igual al producto la masa la componente componente de la aceleración aceleración en en esa esa dirección dirección (Fig. (Fig. 3.2a). 3.2a). por la masa por limita al plano plano x-y, x-y, azz == 0, por que la la suma suma Si el movimiento movimiento se limita por lo que fuerzas en en la dirección dirección zz es cero. cero. Así, cuando el movimiento de un de las fuerzas Así, cuando movimiento de un cuerpo se limita limita a un fijo, la la componente componente de de la la fuerza fuerza total cuerpo un plano plano fijo, total normal normal igual a cero. cero. Para Para un línea recta largo del del al plano plano es igual un movimiento movimiento en línea recta a lo largo eje x (Fig. (Fig. 3.2b), 3.2b), las las Ecs. Ecs. (3.5) (3.5) son son eje "LFxx 'LF

mav,x , = nw

"LFyy 'LF

= O,

z

/ (a)

"LFz = O. LFz =

En el movimiento línea recta, recta, las las componentes componentes de la la fuerza fuerza total En movimiento en línea total perpenperpendicular a la línea línea son son iguales iguales a cero, cero, y la componente componente de la fuerza fuerza total dicular total tangente a la línea línea es igual igual al producto la aceleración aceleración del del tangente producto de la la masa masa por por la cuerpo a lo largo largo de la la línea. línea. cuerpo

"LF=O 'LF=O zz

(b)

3.2 Figura 3.2 Componentes de fuerza fuerza y aceleración aceleración (a) Componentes de en coordenadas coordenadas cartesianas. en cartesianas. (b) Un cuerpo con con movimiento línea (b) Un cuerpo movimiento en línea recta largo del del eje eje x. recta a lo largo

a.

Los ejemplos muestran muestran el uso de la segunda Los siguientes siguientes ejemplos segunda ley de Newton Newton para para movimientos de los cuerpos. cuerpos. Dibujando diagrama de cuerpo cuerpo analizar los movimientos Dibujando el diagrama cuerpo se pueden identificar las fuerzas externas que actúan actúan libre de un cuerpo pueden identificar fuerzas externas sobre él, y luego se puede determinar puede usar la segunda segunda ley de Newton Newton para para determinar conoce el movimiento cuerpo, su aceleración. Inversamente, Inversamente, si se conoce movimiento de un cuerpo, se puede Newton para determinar las fuerzas segunda ley de Newton para determinar fuerzas exterpuede usar la segunda nas que actúan actúan sobre sobre él. En particular, particular, si se sabe que la aceleración de cuerpo en una dirección específica específica es nula, la suma lasfuerzas un cuerpo suma de las fuerzas extertambién debe ser nula. nas en esa dirección también http://carlos2524.jimdo.com/

104 104

c'APíTULO FUERZA, MASA MASA Y Y ACELERACIÓN ACELERACiÓN CAPíTULO 33 FUERZA.

3.1 Ejemplo 3.1 El avión avión de de la la Fig. Fig. 3.3 aterriza aterriza con con una una velocidad velocidad horizontal horizontal de 50 mis respecto respecto al portaaviones fuerza ejercida portaaviones. . La componente componente horizontal horizontal de la l~fuerza ejercida sobre sobre el mecamecanismo OOOvj\l, donde nismo de detención detención tiene tiene una una magnitud magnitud de)O de JO üOOv::N, donde ves ves la velocidad velocidad del avión avión en metros metros sobre sobre segundo. segundo. La La masa masa del avión avión es de 6500 6500 kg. (a) ¿Qué ¿Qué fuerza fuerza horizontal horizontal máxima máxima ejerce ejerce el mecanismo mecanismo de detención detención sobre sobre el avión? avión? (b) Si se ignoran ignoran las otras otras fuerzas fuerzas horizontales, horizontales, ¿qué ¿qué distancia distancia recorre recorre el avión avión antes de detenerse? detenerse? antes

Figura 3.3 Figura

ESTRATEGIA ESTRATEGIA (a) Como Como el avión avión empieza empieza a desacelerar desacelerar cuando cuando entra entra en en contacto contacto con con el mecameca(a) nismo de de detención, detención, la la fuerza fuerza máxima máxima se se presenta presenta durante durante ese ese contacto, contacto, es decir, decir , nismo cuando cuando su su velocidad velocidad es es v = 50 50 mis. mis . (b) La La fuerza fuerza horizontal horizontal ejercida ejercida por por el mecanismo mecanismo de de detención detención es es igual igual al al propro(b) ducto de de la la masa masa del del avión avión por por su su aceleración. aceleración. Una Una vez vez conocida conocida la la aceleración, aceleración, ducto para determinar determinar la la distancia distancia requerida requerida para para que que el el avión avión se se podemos integrar integrar para podemos detenga. detenga. SOLUCiÓN SOLUCiÓN

(a) La La magnitud magnitud de de la la fuerza fuerza máxima máxima es es (a) 10 OOOv OOOv = (10 (lO 000)(50) 000)(50) 10

500000 N, N, = 500000

oo 112400 112400 lb. lb. el sistema sistema coordenado coordenado de de la la Fig. Fig. (a), (a), obtenemos obtenemos la la ecuación ecuación de de movimovi(b) Usando Usando el (b) miento: miento: 'EFx ~Fx = = ma, max :: -10 OOOv OOOvxx = = ma max•x • -10


3.4 APLICACIONES 3.4 APLICACIONES yy

. . ._ _ _ _ _ LL _ .•••

___ ~..>......<._

_ __

---"'-"--_ __ _ __ ..>...L

xX

10 000 v 10000v

El eje eje x está está alineado alineado con con el movimiento movimiento horizontal horizontal del del avión. avión. (a) El

La aceleración aceleración del del avión avión es función función de de su su velocidad. velocidad. Usamos Usamos la la regla regla de de la la cadecadeLa na para para expresar expresar la la aceleración en términos términos de de la la derivada derivada respecto respecto a x: x: na aceleración en dv dv dv du,x du,x dx dv;x =m- =m-v max =m =m-=m-=m-vx = -10000vx'x ' x =-10000v dx dt dt dx

Ahora integramos, posición en avión entra entra Ahora integramos, definiendo definiendo x = Ocomo como la posición en la que que el avión en contacto mecanismo de de detención: en contacto con con el mecanismo detención:

1 150 0

[o mdv m d»,x

IX -1~ °

=-

10000dx.

o

50

Resolviendo para x obtenemos Resolviendo para obtenemos xx

50m 50m

= -= =10 000 000 = 10

(50)(6500) (50)(6500) = 10 000 000 = 32.5 32.5 m. m. 10

COMENTARIO COMENTARIO Como en Como demostramos demostramos en este este ejemplo, ejemplo, una una vez vez que que se ha ha usado usado la segunda segunda ley Newton para para determinar determinar la aceleración, aceleración, se aplican aplican los métodos métodos desarrollados desarrollados de Newton en el Cap. Cap. 2 para para determinar determinar la posición posición y la velocidad. velocidad.


105 105

106 106

CAPíTULO ACELERACIÓN CAPíTULO 3 FUERZA, FUERZA MASA MASA Y ACELERACiÓN

Ejemplo 3.2 cajas de la Fig. 3.4 se liberan liberan delreposo. derreposo. Sus masas masas son mAA = = 40 kg Las dos cajas Ym = kg, Ylos coeficientes de fricción entre la caja A y la superficie incliYms = 30 Y los coeficientes fricción entre caja superficie B nada son Ji.s Jl.s = = 0.2, Y Ji.k Jl.k = = 0.15. ¿Cuál aceleración? nada ¿Cuál es su aceleración?


B

Debemos primero primero determinar determinar si A se desliza. Supondremos cajas permapermaDebemos Supondremos que las cajas reposo y veremos veremos si la fuerza fuerza de fricción fricción necesaria necesaria para para el equilibrio necen en reposo equilibrio excede a la fuerza fuerza de fricción máxima. Si ocurre ocurre el deslizamiento, deslizamiento, podemos podemos fricción máxima. determinar la aceleración aceleración resultante resultante dibujando dibujando los diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre determinar aplicando aisladamente aisladamente a ellas la segunda Newton. cajas y aplicando de las cajas segunda ley de Newton.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Figura 3.4

Dibujamos el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre de la caja caja A de la Fig. (a) Dibujamos (a).. Si suponemos suponemos desliza, son aplicables aplicables las ecuaciones equilibrio, que no se desliza, ecuaciones de equilibrio, yy

'E.F mAg sen 20° - 1 'E-Fxx = T + mAg 1= O, 'E-Fyy = N 'E.F N - mAg m Ag cos 20° = O,

y la tensión fuerza de fricción tensión T es igual al peso de la caja caja B. Por Por tanto, tanto, la fuerza fricción necesaria equilibrio es para el equilibrio necesaria para

1= 1 =

x

(a) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre de la caja A.

r------y r ------ y

T

mBg msg

+

m Ag sg

= 428.5 sen 20° = = (30 + 40 sen 20°)(9.81) 20°)(9.81) = 428 .5 N.

La fuerza fuerza normal N = = mAg normal N mAg cos 20°, por por lo que la fuerza de fricción fricción máxima máxima que la superficie superficie soportará soportará es 1máx = 1máx = Ji..JV JI.,/V = =

(0.2)[(40)(9.81) cos 20°] = (0.2)[(40)(9.81) = 73.7 N.

Entonces fricción es 1 1= Ji.kN. fuerza de fricción Jl.kN. Aplicando Aplicando Entonces la caja caja A se desliza y la fuerza la segunda segunda ley de Newton, Newton,

= mAa T + mAg m Ag sen 20° - Ji.kN Jl.kN = m Aaxx, , N - mAg mAg cos 20° = O. La caja superficie, por suma de caja A no tiene aceleración aceleración normal normal a la superficie, por lo que la suma las fuerzas fuerzas en la dirección cero. En este caso no conocemos conocemos la tensión tensión dirección y es igual a cero. equilibrio. Del diagrama T porque porque la caja caja B no está en equilibrio. diagrama de cuerpo cuerpo libre de la caja ecuación de movimiento obtenemos la ecuación movimiento caja B (Fig. b) obtenemos

x

Diagrama de cuerpo (b) Diagrama cuerpo libre de la caja B. caja B.

(Observe que en los dos sistemas sistemas coordenados (Observe coordenados que usamos, usamos, las dos cajas cajas tienen tienen la misma segunda ley de Newton ambas cajas, cajas, aplicar la segunda Newton a ambas misma aceleración aceleración ax.). ) Al aplicar obtuvimos ecuaciones en términos T, N Ny a., Ya Resolvienobtuvimos tres ecuaciones términos de las incógnitas incógnitas T, x . Resolviendo para para a, ax obtenemos obtenemos a, ax = 5.33 m/s-, m/s 2 •



107 107

··COMENTARIOS COMENTARIOS Observe Observe que que supusimos supusimos que que la tensión tensión en el cable cable es la misma misma en en cada cada lado lado rede la polea polea (Fig porque se re(Fig. . c). e). De De hecho, hecho, las las tensiones tensiones deben deben ser ser diferentes diferentes porque quiere un momento para impartir una aceleración polea. Por Por ahora, quiere un momento para impartir una aceleración angular angular a la la polea. ahora, nuestro suponer que que la polea suficientemente ligera de manemanenuestro único único recurso recurso es suponer polea es suficientemente ligera de necesario para para acelerarla En ra que ra que el momento momento necesario acelerarla sea sea insignificante. insignificante. En el Cap. Cap. 7 polea en problemas problemas de incluiremos incluiremos el análisis análisis del del movimiento movimiento angular angular de de la polea de este este soluciones más apegadas realidad. tipo y obtendremos tipo obtendremos soluciones más apegadas a la realidad. (e) Se supone supone que que la la tensión tensión es igual igual en polea. en ambos ambos lados lados de la polea.

aio os re

Problemas Problemas' os 3.1 La un cuerpo de 10 kg es 90i 3.1 La fuerza fuerza externa externa total total sobre sobre un cuerpo de respec- 60j 60j + 20k 20k (N). (N). ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de de su su aceleración aceleración respecto un marco marco de referencia inercial? to a un de referencia inercial? ón

3.2 3.2

La un cuerpo La fuerza fuerza externa externa total total sobre sobre un cuerpo de 20 lb es lOi

3.6 El lb está reposo sobre 3.6 El collarín collarín A de 1 lb está inicialmente inicialmente en reposo sobre la barra lisa horizontal en en la posición posición mostrada. mostrada. En una barra lisa horizontal En t = O, una fuerza F = = fcii totj -- Jlik tot3k (lb) (lb) se aplica aplica al collarín, collarín, ocasioocasiofuerza fot2i + totj nando que nando que éste éste se deslice deslice a lo largo largo de de la barra. barra. ¿Cuál ¿Cuál es la velocivelocibarra? dad dad del collarín collarín cuando cuando éste éste llega llega al extremo extremo derecho derecho de la barra?

+ 20j posición respecto un 20j (lb). (lb). Cuando Cuando t = O, su su vector vector de posición respecto a un marco referencia inercial velocidad es v = 20i marco de de referencia inercial es r = O O Y su su velocidad 20i IOj (pie/s): (pie/sj.Tjetermine posición y velocidad velocidad cuando cuando t = 2 s. s. - lOj Determine posición yy

a

o

n

3.3 La externa total total sobre sobre un cuerpo es lOti IOti + 60j 60j (lb). (lb). 3.3 La fuerza fuerza externa un cuerpo Cuando posición respecto respecto a un un marco Cuando t = = O, su su vector vector de de posición marco de referencia inercial pie/s. referencia inercial es r = O O Y su velocidad velocidad es v == 0.2j 0.2j pie/s. Cuando posición se mide Cuando t = 5 s, la magnitud magnitud de su vector vector de de posición mide yy determina pie. ¿Cuál determina como como 8.75 8.75 pie. ¿Cuál es la masa masa del del cuerpo? cuerpo?

F

~~~~~~. - x

1--- -----

3.4 La posición de un cuerpo respecto a un un marco La posición de un cuerpo de de 10 kg respecto marco inercial es r = tt tt33ii + 4tj 4tj - 30t 30t22kk (m). (m). ¿Cuáles ¿Cuáles de referencia referencia inercial son son las componentes componentes de la fuerza fuerza externa externa total total que que actúa actúa sobre sobre el cuerpo cuerpo en en t == 10 s? 3.5 Si un un helicóptero helicóptero de parte del rotor 3.5 de 15 000 000 lb parte del reposo reposo y su rotor ejerce una fuerza vertical constante ejerce una fuerza vertical constante de 20 000 000 lb, lb, ¿cuánto ¿cuánto se eleva eleva en en 2 s?

la

n

-------

~.I

44 pies pies - - - - - --1

P3.6

Suponga usted en un un elevador pie sobre una Suponga que que está está usted elevador y de pie sobre una báscula. Cuando el elevador elevador está está en en reposo, indica báscula. Cuando reposo, la báscula báscuia indica su peso peso W. ¿Cuál es la aceleración aceleración del elevador elevador si la báscula indica 1.01 W? (a) ¿Cuál báscula indica báscula indica (b) (b) ¿Cuál ¿Cuál es su su aceleración aceleración si la báscula indica 0.99 0.99 W? W? Estrategia: Dibuje Estrategia: Dibuje su diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre. . La La fuerza fuerza por la báscula báscula es igual hacia arriba usted por hacia arriba ejercida ejercida sobre sobre usted igual a la fuerza usted ejerce fuerza que que usted ejerce sobre sobre ella. ella. 3.7 3.7

P3.5 P3.5


108.

CAPíTULO 3 FUERZA MASA Y ACELERACiÓN

3.8 Un carro parcialmente lleno de agua está inicialmente en reposo (Fig. a). La masa total del carro y el agua es m. El carro está sometido a una fuerza dependiente del tiempo (Fig. b). Si las fuerzas horizontales ejercidas sobre las ruedas por el piso son insignificantes y el agua no se derrama, ¿cuál es la coordenada x del centro del carro después de que el movimiento del agua ha cesado?

3.9 Un cohete viaja verticalmente hacia arriba a baja altitud. Su peso durante ese tiempo es de 200 klb Yel empuje de su motor es de 270 klb. Un acelerómetro a bordo indica que su aceleración es de 10 pie/s- hacia arriba. ¿Cuál es la magnitud de la resistencia aerodinámica sobre el cohete?

y

~ ti: 1

x

I

(a)

F Fo

-F

f-----....I.----

o

y

P3.9

lo

...•

210

3.10 Un avión pesa 20000 lb. En el instante mostrado, se aumenta en 5000 lb el empuje T del motor. La componente horizontal de la aceleración del avión antes del aumento del empuje es de 20 pie/s-. ¿Cuál es la componente horizontal de la aceleración del avión un instante después del aumento del empuje?


3,4 APLICACIONES 109 109 3.4 APLICACIONES

3.11 En la Fig. P3.l1 P3.ll el peso combinado combinado de la motocicleta motocicleta 3.11 conductor es de 360 lb. El coeficiente coeficiente de fricción fricción cinética cinética y el conductor entre los neumáticos neumáticos de la motocicleta motocicleta y el camino camino es J.tk == 0.8. entre conductor hace patinar patinar la rueda rueda trasera trasera (motriz), (motriz), la fuerza fuerza Si el conductor normal entre entre esa rueda rueda y el camino Y si si la fuernormal camino es de 250 lb, Y ejercida sobre sobre la rueda rueda frontal por el camino camino es insignificaninsignificanza ejercida frontal por te, ¿cuál es la aceleración aceleración horizontal horizontal resultante? resultante?

a

3.14 Los ingenieros ingenieros que llevan a cabo cabo la prueba prueba descrita descrita en el Probo 3.13 quieren quieren expresar expresar la fuerza fuerza total total sobre sobre el helicóptehelicóptefuerzas: el peso W, W, una términos de tres fuerzas: una compocomporo en t == 6 s en términos nente T tangente tangente a la trayectoria trayectoria y una una componente componente L normal normal nente a la trayectoria. trayectoria. ¿Cuáles L? ¿Cuáles son los valores valores de W, T y L? yy

-. \lo ",ec\O~\ ->

»>

't~\lo,

//

w

// /

1 X L---------------------------------------x

P3.14 P3.14

P3.11

.9

robot de la figura manera que 3.15 El robot figura está programado programado de manera = 4 4 + (2 [2 pulg, = pulg, y = = ~x2 ~x2 pulg, pulg, z = = O O durante durante el intervalo intervalo de tiempo de t = = OO a t == 44 s. S. ¿Cuáles ¿Cuáles son las componentes componentes x y tiempo y de la fuerza fuerza total total ejercida ejercida por por las tenazas tenazas del robot robot sobre sobre la pieza A en t = = 2 s?

x cangilón B de la figura figura pesa 400 lb Y Y la aceleración aceleración 3.12 El cangilón 2 centro de masa es a == -30i -3Oi - IOj lOj (pie/s (pie/s-). Determine las ). Determine de su centro componentes x y y de la fuerza fuerza total total ejercida ejercida sobre sobre el cangilón cangilón componentes por sus soportes. soportes. por

~ y

A

c;:==>---x

• I ...,

141'"'"

"U

,.

,"<.OMÚ

•

----1

x

x

10

P3.15 P3.15

P3.12 P3.12

Durante un vuelo de prueba prueba un helicóptero helicóptero de 9000 kg 3.13 Durante parte del reposo reposo en t == O; la aceleración aceleración de su centro centro de masa masa parte entre t[ = O Y t = 10 s es entre a

(0.6t) ii + (1.8 = (0.6t)

2 0.36t) jj (m/s (m/s"). 0.36t) ).

¿Cuál es la magnitud magnitud de la fuerza fuerza externa externa total total sobre sobre el helicóp¿Cuál helicóp(incluido su peso) en t[ == 6 s? tero (incluido

3.16 El robot robot del Probo 3.15 se encuentra encuentra en reposo reposo en t == programado de manera OAuxx pulg/s-, O y está programado manera que a, ax = 2 - OAu pulg/ s2 , 2 0.2uyy pulg/s-, ay = 1 - 0.2u pulg/s , azz = O O durante durante el intervalo intervalo de tiempo tiempo O a t = 44 s. S. ¿Cuáles ¿Cuáles son las componentes componentes x y y de la de t[ == O fuerza total total ejercida robot sobre ejercida por por las tenazas tenazas del robot sobre la pieza de fuerza 10 lb en t = 2 s?


110 110

CAPíTULO 3 FUERZA. FUERZA, MASA MASA Y ACELERACiÓN ACELERACiÓN CAPíTULO

3.17 En cierto juego juego de bolos, la idea es es lanzar lanzar el bolo con 44"lb el centro centro de la meta meta localizada localizada a 31 31 yardas yardas peso de 44 lb hacia el punto de lanzamiento. lanzamiento. Si Si JLk IA-k = 0.01 Y Yel el bolo se lanza direcdel punto tamente hacia la meta, meta, ¿qué velocidad velocidad inicial logrará logrará un lanzatamente perfecto? miento perfecto?

Manija

3.20 Cada Cada caja caja de la figura pesa 50 50 lb Y se se puede ignorar ignorar la fricción fricción.. Si Si las cajas empiezan empiezan a moverse del reposo reposo en t == O, O, determine determine la magnitud magnitud de sus velocidades velocidades y la distancia distancia que se movido desde su posición posición inicial en t = 1 s. han movido

-: P3.20 P3.20

3.21 3.21 En el Probo 3.20, determine determine la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de las cajas distancia que se han movido movido desde su posición cajas y la distancia posición inicial en t == 1 s si el coeficiente fricción cinética coeficiente de fricción cinética entre entre las superficie es JLk IA-k = cajas y la superficie = 0.15.

P3.17

3.22 Las masas masas mAA == 15 Y los coeficientes 15 kg, mBB == 30 kg, Ylos coeficientes de fricción fricción entre entre todas todas las superficies superficies son IA-s JL s = = 0.4, IA-k JLk = = 0.35. 0.35. ¿Cuál es la fuerza máxima F que se puede ¿Cuál fuerza máxima puede aplicar aplicar sin que A B? ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración resultante? se deslice respecto respecto a B? aceleración resultante?

3.18 Los dos dos pesos mostrados mostrados se liberan liberan del reposo. reposo. ¿Qué ¿Qué distancia tancia cae el peso de 50 lb en medio medio segundo? segundo?

P3.22 P3.22

P3.18 P3.18

3.19 3.19 En En el Ej. Ej. 3.2, 3.2, determine determine la razón razón de la tensión tensión en el cable cable al peso peso de la cajaB caja B después después de que que las cajas cajas se liberan liberan del reposo. reposo.


APLICACIONES 111 3.4 APLICACIONES

3.23 La carretilla grúa mostrada mostrada se mueve hacia hacia la carretilla A de la grúa derecha derecha con aceleración aceleración constante, constante, y la carga carga de 800 kg se mueve oscilar. sin oscilar. (a) ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración de la carretilla carretilla y de la carga? carga? (b) ¿Cuál ¿Cuál es la suma suma de las tensiones tensiones en los cables paralelos paralelos que soportan soportan la carga? carga?

3.26 La caja una masa masa de 120 kg YY los coeficaja mostrada mostrada tiene una fricción entre entre ella y el plano cientes de fricción plano inclinado inclinado son Its Its = 0.6 Y Y Itk ejercer el malacate malacate sobre sobre el caItk = 0.5. (a) ¿Qué tensión tensión debe ejercer deslizarse hacia hacia arriba arriba ble para para que la caja caja en reposo reposo empiece a deslizarse sobre el plano plano inclinado? tensión se mantiene mantiene en el valor valor sobre inclinado? (b) Si la tensión determinado magnitud de la velocidad de determinado en la parte (a), ¿cuál es la magnitud plano inclinado? inclinado? la caja caja cuando cuando ésta ha ascendido ascendido 10 pies en el plano

P3.26 P3.23

3.24 En la Fig. P3.24 P3.24 la caja caja de 100 lb está inicialmente inicialmente en reposo. Los coeficientes coeficientes de fricción entre entre la caja caja y la superficie superficie reposo. inclinada inclinada son Its Its = 0.2 Y Y Itk = 0.16. Determine Determine la distancia distancia que recorre recorre la caja caja desde su posición posición inicial en 2 s si la fuerza fuerza horihorizontal es F F = 90 lb lb.. zontal

vehículo utilitario utilitario mostrado 3.27 El vehículo mostrado se mueve hacia hacia adelante adelante a 10 pie/s. fricción entre entre su carga carga A y la pie/s. Los coeficientes coeficientes de fricción plataforma Its = 0.5, 0.5, Itk Itk = 0.45. Si O' Cl' = O, plataforma del vehículo vehículo son Its determine corta en que se puede puede detener detener el vehídetermine la distancia distancia más corta culo sin que la carga sobre la plataforma. plataforma. carga se deslice sobre

P3.24

3.25 En el Probo 3.24 determine determine la distancia distancia que se mueve caja desde su posición posición inicial en 2 s si la fuerza fuerza horizontal horizontal la caja es F == 30 lb lb.. P3.27

3.28 En el Prob distancia más corta corta si el Proboo 3.27, determine determine la distancia ángulo Cl' O' es (a) 15°; (b) -15°. ángulo 15°.


112 112

'CAPíTUlO MASA Y ACELERACiÓN ACELERACIÓN CAPíTULO 3 FUERZA, MASA

3.29 En un proceso de ensamblado en línea, un paquete de 20 kg kg parte del reposo y se se desliza hacia abajo por la rampa 20 lisa. Suponga que se se quiere diseñar el el dispositivo hidráulico B lisa. mostrado para que ejerza una fuerza constante constante de magnitud mostrado 100 mm. F sobre el paquete y lo detenga en una distancia de 100 es la fuerza F requerida? ¿Cuál es

3.31 3.31 Un paracaIdista paracaidista y su paracaídas paracaídas pesan 200 200 lb. Él va cayendo verticalmente a 100 100 pie/ pie/ss cuando su paracaídas paracaídas se se abre. Entonces, la magnitud de la fuerza de arrastre arrastre es es 0.5v 0.5v22• • (a) ¿Cuál es es la magnitud magnitud de su aceleración en el instante en que el el paracaídas paracaídas se se abre? (b) ¿Cuál es es la magnitud de su velocidad cuando ha descendido punto en que se 20 pies desde el punto se abrió el paracaídas? paracaídas?

P3.29 P3.29

3.30 En la Fig. P3.30, la fuerza ejercida por el resorte lineal sobre la masa de 10 10 kg es F = =ks, constante -ks, donde k es la constante del resorte y s es el desplazamiento desplazamiento de la masa, medido desde la posición en que el resorte no está estirado. estirado. El valor de k es 50 N/m. N/m. La masa se libera del reposo en la posición s = = 1 m. (a) ¿Cuál es la aceleración de la masa en el instante instante en que se libera? (b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando cuando alcanza la posición s = = O? s

)

P3.31

3.32 Un lanzador lanzador al vacío se lanza sobre un río desde un puen3.32 cuerda que lo sostiene mide 60 pies 130 pies de altura. altura. La cuerda te de 130pies 14 lb/pie. lb/pie . estirar y su constante constante de resorte resorte es k = 14 sin estirar altura sobre el río se encuentra encuentra el saltador saltador cuando cuando (a) ¿A qué altura la cuerda cuerda lo detiene? cuerda sobre él? (b) ¿Cuál es la fuerza máxima que ejerce la cuerda

P3.30 P3.30

P3.32 P3.32

3.33 En En el Probo 3.32, 3.32, ¿cuál ¿cuál es es la velocidad máxima máxima que que alal3.33 canza el el saltador saltador y aa qué qué altura altura sobre sobre el río ocurre ocurre esto? esto? canza


3.4 APLICACIONES APLICACIONES 3.4 31 10-31 kg) entra entra por por O a un tubo tubo de rayos catódicos, catódicos, con velocidad velocidad v == (2.2 x 1077)i

3.34 Un electrón electrón (masa (masa = 9.11

X

113

3.37

¿Cuál es la aceleración aceleración del collarín collarín A de 8 kg respecto ¿Cuál respecto a la barra barra lisa?

(m/s). (m/s). Mierttras Mientras está entre entre las placas placas cargadas, cargadas, el campo campo eléctrieléctridonde co generado generado por por ellas lo somete somete a una una fuerza fuerza F = -eEj, -eEj, donde la carga carga del electrón electrón e = 1.6 x 10-1919 C (coulombs) (coulombs) y la intensiintensidel campo campo eléctrico eléctrico E == 15 15 kN/C. externas dad del kN/C. Las fuerzas fuerzas externas sobre sobre el electrón electrón son insignificantes insignificantes si éste no está entre entre las placas. cas. ¿En qué parte parte de la pantalla pantalla incide el electrón? electrón? yy

antalla antalla

~ VIII/l/l/m ~ VII/l/111m

x

o UjJflrf1tl1 u;n¡J.7I!lJJ ++++

P3.37 P3.37

30

mm

P3.34 P3.34

3.35 En el Probo 3.34 determine pantalla determine en qué parte parte ae de la pantalla incide el electrón electrón si la magnitud magnitud del campo campo eléctrico eléctrico es E = 15 15 sen (wt) kN/C, donde (wt) kN/C, donde la frecuencia frecuencia circular circular w w = 2 X X 10 1099 S-l. S-l.

3.38 En el Probo 3.37 determine aceleración del collarín collarín determine la aceleración fricción cinética cinética entre entre A respecto respecto a la barra barra si el coeficiente coeficiente de fricción

3.36 Un astronauta astronauta quiere quiere desplazarse desplazarse desde una una estación estación espacial pacial hasta hasta un satélite satélite que necesita necesita reparación. reparación. El astronuta astronuta estación espacial espacial en O. Un dispositivo dispositivo de lanzamiento lanzamiento sale de la estación a base de resorte maniobras una una velocidad velocidad resorte da a su unidad unidad de maniobras mis (respecto (respecto a la estación estación espacial) espacial) en la dirección dirección inicial de 1 mis y. instante, la posición posición del satélite satélite es x = = 70 m, y = y. En ese instante, O Y está viajando viajando a 2 mis mis (respecto (respecto a la estación) 50 m, Z = O estación) dirección X. El astronauta astronauta intercepta intercepta el satélite satélite aplicando aplicando en la dirección empuje constante constante paralelo masa total total del astroastroX. La masa un empuje paralelo al eje X. nauta y su unidad unidad de maniobras maniobras es de 300 kg. nauta ¿Cuánto tarda tarda en alcanzar alcanzar el satélite? satélite? (a) ¿Cuánto ¿Cuál es la magnitud magnitud del empuje empuje que debe aplicar aplicar para para hacer hacer (b) ¿Cuál intercepción? la intercepción? (e) ¿Cuál ¿Cuál es su velocidad velocidad respecto respecto al satélite satélite cuando cuando lo alcanza? alcanza? (c)

el collarín collarín y la barra barra es

0.1. 0.1.

aceleración del collarín collarín A de 20 lb es 2i + 3j - 3k 3.39 La aceleración 2). ¿Cuál (pie/s-). ¿Cuál es la fuerza fuerza F? (pie/s

zz

yy

Jlk Jlk = =

s

P3.39 P3.39

determine la fuerza 3.40 En el Probo 3.39 determine fuerza F si el coeficiente coeficiente fricción cinética cinética entre entre el collarín collarín y la barra barra es Jlk Jlk = = 0.1. de fricción

~----~----~~---------------x

P3.36 P3.36


114

CAPíTULO MASA Y ACELERACiÓN ACELERACiÓN CAPíTU LO 3 FUERZA, MASA

3.41 La caja caja de la figura figura es jalada largo del piso por por un 3.41 jalada a lo largo malacate que repliega repliega el cable a una una razón constante de 0.2 mis. mis. razón constante malacate masa de la caja caja es de 120 120 kg Y Yel coeficiente de fricción fricción cinéticinétiLa masa el coeficiente ea entre entre la caja caja y el piso es P,k Jlk = = 0.24. ca instante mostrado, mostrado, ¿cuál es la tensión tensión en el cable? (a) En el instante Obtenga una una solución solución "cuasiestática" "cuasiestática" para para la tensión tensión en el (b) Obtenga ignorando la aceleración aceleración de la caja, caja, y compárela compárela con su cable ignorando resultado de la parte parte (a) (a).. resultado

bloques de 100 100lb liberan del reposo. reposo. DetermiDetermi3.43 Los dos bloques lb se liberan ne las magnitudes magnitudes de sus aceleraciones aceleraciones si la fricción en todas todas superficies de contacto contacto es insignificante. insignificante. las superficies Estrategia: hecho de que las componentes componentes de las aceleEstrategia: Use el hecho raciones de los bloques bloques perpendiculares perpendiculares a su interfaz interfaz mutua mutua deraciones ben ser iguales.

2m

I

1------

P3.43 P3.43

4m ----~

P3.41

P3.42, si y = 100 100 mm, dy/ dyldtdt = 600 mm/ mm/ss 3.42 En la Fig. P3.42, rJlyldt -200 mm/ mrri/s-, horizontal ejerce ejerce la ray rPy/ dt22 = -200 s2 , ¿qué fuerza fuerza horizontal nura lisa circular circular sobre sobre el deslizador deslizador A de 0.4 kg? nura

determine cuánto cuánto tarda tarda el bloque bloque A 3.44 En el Probo 3.43, determine descender 1 pie si P,k Jlk = 0.1 en todas todas las superficies superficies de en descender contacto. contacto.

P3.42 P3.42



Componentes Componentes normal normal y tangencial tangencial Cuando up. cuerpo mueve en una trayectoria plana, podemos podemos exCuando u~ cuerpo se mueve en una trayectoria curva curva plana, expresar Newton en las componentes presar la la segunda segunda ley de Newton componentes normal normal y tangencial: tangencial: (3.6) (3.6) donde donde dv dv at=at =dt' dt'

normal y tangencial en la Ec. obtenemos Igualando Igualando las las componentes componentes normal tangencial en Ec. (3.6), (3.6), obtenemos dos ecuaciones ecuaciones escalares escalares de de movimiento: dos movimiento: dv dv :EF :EFtt == m-, m-, dt

(3.7) (3.7)

La suma de las producto de La suma las fuerzas fuerzas en la la dirección dirección tangencial tangencial es igual igual al producto la masa magnitud de la velocidad, masa por por la razón razón de cambio cambio de de la magnitud velocidad, y la suma suma de las normal es igual producto de la masa por las fuerzas fuerzas en la dirección dirección normal igual al producto masa por la componente normal de la componente normal la aceleración aceleración (Fig. (Fig. 3.5). 3.5). La La suma suma de las las fuerzas fuerzas perpendiculares a la trayectoria plana debe perpendiculares trayectoria curva curva plana debe ser ser igual igual a cero. cero. Figura 3.5 Componente's Componentes normal y tangencial de I:F 1:F y a.

En los siguientes siguientes ejemplos segunda ley de Newton Newton expresada ejemplos usaremos usaremos la segunda expresada en términos para analizar términos de las componentes componentes normal normal y tangencial tangencial para analizar los momovimientos Dibujando el diagrama de cuerpo vimientos de los cuerpos. cuerpos. Dibujando cuerpo libre de un cuerpo pueden identificar fuerzas que cuerpo se pueden identificar las componentes componentes de las fuerzas que actúan actúan sobre él y luego usar la segunda segunda ley de Newton Newton para para determinar sobre determinar las compocomponentes nentes de su aceleración. aceleración. O bien, si se conocen conocen las componentes componentes de la aceleración, se puede puede usar la segunda Newton para para determinar fuerzas segunda ley de Newton determinar las lasfuerzas externas. externas. Cuando Cuando un cuerpo cuerpo describe una trayectoria trayectoria circular, las compocomponentes normal normal y tangencial tangencial suelen ser la mejor mejor opción opción para analizar su para analizar nentes movimiento. movimiento. http://carlos2524.jimdo.com/

115 115

116

CAPíTULO 3 FUERZA. MASA MASA Y ACE ACELERACiÓN CAPíTULO LERACiÓN

Ejemplo 3.3 Las estaciones estaciones espaciales espaciales del futuro futuro podrán podrán diseñarse diseñarse con movimiento movimiento giratorio giratorio para simular simular una gravedad gravedad artificial. artificial. Si la distancia distancia desde el eje de rotación rotación para de la estación estación al anillo externo habitado habitado es R = 100 100 m, ¿qué razón razón de rotación rotación anillo externo para simular simular una gravedad gravedad igual a la mitad mitad de la terrestre? terrestre? se necesita para

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Dibujando el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre de una una persona persona en equilibrio equilibrio y expresanexpresanDibujando segunda ley de Newton términos de las componentes componentes normal normal y tangentangendo la segunda Newton en términos podemos relacionar fuerza ejercida ejercida sobre sobre la persona persona por por el piso con cial, podemos relacionar la fuerza velocidad angular angular de la estación. estación. La persona persona ejerce una fuerza fuerza igual y opuesta opuesta la velocidad sobre sobre el piso, que es su peso efectivo efectivo..

Figura 3.6

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La Fig. (a) es el diagrama anillo diagrama de cuerpo cuerpo libre de una una persona persona de pie en el anillo exterior, donde donde N N es la fuerza fuerza ejercida ejercida por por el piso. Con respecto respecto al centro centro de exterior, estación, la persona persona se mueve en una trayectoria circular circular de radio radio R. La segununa trayectoria la estación, da ley de Newton componentes normal Newton en términos términos de las componentes normal y tangencial tangencial es

LF

N N

Por Rw, donde Por tanto, tanto, N = mu mu2/2 / R. R. La magnitud magnitud de su velocidad velocidad es u = Rw, donde w es la velocidad gravedad igual a la mitad velocidad angular angular de la estación. estación. Si se simula simula una gravedad mitad terrestre, N N = (1/2) (1/2) mg. mg. Por Por tanto, tanto, de la terrestre, 1 1

(a) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre de una una

persona de pie en el anillo persona habitado. habitado.

= ma:

(RW)2 (RW)2

mg =m-· "2Zmg=mR R

·

Resolviendo para para w, obtenemos obtenemos la velocidad velocidad angular angular necesaria estación, Resolviendo necesaria de la estación, 9.81 (2)(100)

--rad/s,, -:-::-:--:-:-::-:-:= 0.221 rad/s equivale a una revolución revolución cada cada 28.4 segundos. segundos. que equivale


3.4 3,4 APLICACIONES APLICACIONES

117

Ejemplo 3.4 experimental de levitación levitación magnética magnética de la Fig. 3.7 está soportado soportado por El tren experimental fuerzas repulsión magnéticas magnéticas normales normales a las vías. El movimiento movimiento transversal transversal fuer zas de repulsión impedido por soportes soportes laterales. laterales. El tren de 20 Mg viaja a a las vías del tren es impedido 30 mi miss sobre sobre un segmento segmento circular circular de vía de radio R = = 150 150 m y ángulo ángulo de inclinación de 40°. ¿Qué fuer fuerza el sistema de levitación magnética magnética inclinación za debe ejercer el para soportar soportar el el tren y qué fuerza total total ejercen los soportes soportes laterales? laterales? pai·a

Figura 3.7

"t__1L, ESTRATEGIA ESTRATEGIA

eri

Conocemos Con·o cemos la velocidad velocidad del tren y el radio radio de su trayectoria trayectoria circular, circular, por por lo que podemos podemos determinar determinar su componente componente normal normal de aceleración. aceleración. Expresando Expresando la segunda segunda ley de Newton Newton en términos términos de las componentes componentes normal normal y tangencial, tangencial, podemos podemos determinar determinar las componentes componentes de fuerza fuerza normal normal y transversal transversal a la vía. VISTA SUPERIOR

SOLUCiÓN SOLUCiÓN

"

La trayectoria trayectoria del tren, tren, vista vista desde desde arriba, arriba, es circular circular (Fig. a). El vector vector unitario unitario es horizontal horizo ntal y apunta apunta hacia hacia el centro centro de la trayectoria. trayectoria. En la Fig. (b) dibudibujamos jamos el diagrama diag rama de cuerpo cuerpo libre del tren tren visto visto desde desde el frente, frente, donde donde M es la fuerza S es la fuerza fuerza transversal. transversal. La La suma suma de fuer za magnética magnética normal normal a la vía y S las fuerzas fuer zas en la dirección dirección vertical vertical (perpendicular (perpendicular a la trayectoria trayectoria circular circular del tren) tren) debe debe ser igual igual a cero: cero: en

M M cos 40° 40°

+ S sen 40° 40° -

mg mg

Vista superior superior de la trayectoria trayectoria (a) Vista

circular circular del tren. tren .

= O. O.

La suma suma de las fuerzas fuerzas en la dirección dirección en en es igual igual al producto producto de la masa masa por por la componente componente normal normal de la aceleración: aceleración: v2

'EFn

= m-

M sen40° - Scos40°

= mli

p

s

: M M

v2

VISTA VISTA FRONTAL FRONTAL

Resolviendo para M y S obtenemos obtenemos M = = 227.4 227.4 kN y S S Resolviendo para

34.2 34.2 kN.


(b) Diagrama Diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre del tren. tren. (b)

118

CAPíTULO 3 FUERZA FUERZA, MASA MASA Y ACE ACELERACIÓN CAPíTULO LERACIÓN

Ejemplo 3.5

Aplicaciones a la Aplicaciones la ingeniería ingeniería Dinámica de de vehículos vehículos Dinámica diseño preliminar preliminar de una rampa rampa de de autopista autopista es circular circular con con radio radio R == 300 300 El diseño de una pies (Fig. 3.8). 3.8). Si se supone supone que que el coeficiente coeficiente de de fricción fricción estática entre los neuneupies (Fig. estática entre máticos y el camino por lo menos menos /ls Jls = = DA, 0.4, ¿cuál ¿cuál es la velocidad velocidad máxima máxima máticos camino es de por que los los vehículos vehículos pueden pueden entrar entrar a la rampa sin perder perder tracción? a la que rampa sin tracción? Figura 3.8 Figura

----

-

-

.. .-

----¡¡¡¡-¡;;¡¡¡¡¡---==-:~;,;--. _.;.:.=--======;;::=

-

300 pies pies 300

I ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como un un vehículo vehículo sobre sobre la rampa rampa se mueve mueve en una una trayectoria trayectoria circular, circular, tiene tiene Como una componente componente de aceleración aceleración normal normal que que depende depende de de su velocidad. velocidad. La La comcomuna ponente normal normal de la fuerza fuerza necesaria necesaria es ejercida ejercida por por la fricción fricción entre entre los los neuponente neumáticos y el camino, camino, y la fuerza fuerza de fricción no puede puede ser ser mayor mayor que que el producto producto máticos fricción no de /ls Jls por por la fuerza fuerza normal. normal. Suponiendo Suponiendo que que la fuerza fuerza de fricción fricción es igual de igual a este valor, valor, podemos podemos determinar determinar la velocidad velocidad máxima máxima para para que que no no ocurra ocurra deslideslieste zamiento. . zamiento

SOLUCiÓN SOLUCiÓN En la Fig. vemos el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre libre de de un un auto auto sobre sobre la rampa, rampa, En Fig. (a) vemos y en la Fig. Fig. (b) lo vemos vemos desde desde el frente. frente. La La fuerza fuerza de de fricciónfdebe fricciónfdebe ser igual igual yen ser

mg mg

Vista superior superior del del diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre. libre. (a) Vista


Vista frontal. frontal. (b) Vista

3.4 3.4 APLICACIONES APLICACIONES

producto de la masa masa m del auto auto por por su componente al producto componente normal normal de aceleración: aceleración:

v22

!=m-. !=m-. R

fricción requerida requerida aumenta aumenta con la velocidad fuerza de fricLa fuerza de fricción velocidad v. La fuerza máxima que la superficie superficie puede puede proporcionar /J.,!V = /J.smg. ción máxima proporcionar eS/máx eS/máx = fJ.,N fJ.smg. Por Por tanto, la velocidad velocidad máxima máxima para para que no ocurra tanto, ocurra deslizamiento deslizamiento es v

JLsg R = J(0.4)(32.2)(300) (0.4)(32.2)(300) = 62.2 pie/s, = J¡.tsgR pie/s, .j

.j

o 42.4 mi/h. mi/h.

CONSIDERACIONES DE DE DISEÑO CONSIDERACIONES Los ingenieros ingenieros mecánicos, ingenieros civiles que diseñan carreteras y los mecánicos, los ingenieros diseñan carreteras ingenieros que estudian estudian los accidentes accidentes de tránsito analizar ingenieros tránsito y su prevención prevención deben deben analizar medir los movimientos movimientos de vehículos vehículos en diferentes y medir diferentes condiciones. condiciones. Usando Usando los métodos descritos descritos en este capítulo, capítulo, pueden métodos pueden relacionar relacionar las fuerzas fuerzas que actúan actúan vehículos con sus movimientos movimientos y estudiar, estudiar, por ejemplo, los efectos efectos por ejemplo, sobre los vehículos peralte y la curvatura curvatura sobre sobre la velocidad velocidad con que se puede puede guiar guiar con seguridel peralte vehículo sobre un camino camino en curva curva (Fig. 3.9). dad un vehículo análisis indica indica que los vehículos vehículos perderán perderán tracción tracción si entran entran En el Ej. 3.5, el análisis rampa con velocidades velocidades superiores superiores a 42.4 mi/h. mi/h. Esto Esto puede puede danos danos una una idea a la rampa velocidad límite que se debe señalar señalar para de la velocidad para que los vehículos vehículos entren entren a la rampa con seguridad, seguridad, o bien la rampa rampa se podría podría diseñar diseñar para para una una mayor mayor velocirampa incrementando su radio radio de curvatura. curvatura. Sin embargo, embargo, si se desea una una mayor mayor dad incrementando velocidad segura segura y las limitaciones limitaciones de espacio mayor radio espacio impiden impiden usar usar un mayor radio de velocidad curvatura, la rampa rampa se podría podría diseñar con un peralte peralte adecuado adecuado (véase Probo 3.65). curvatura, Figura 3.9 3.9 Figura

Las pruebas pruebas de la capacidad capacidad de los vehículos para tomar tomar curvas curvas influyen influyen en vehículos para el diseño diseño de éstos y de las carreteras. carreteras.


119 119

120 120

CAPíTULO 3 FUERZA. MASA ACELERACiÓN CAPíTULO MASA Y ACELERACiÓN

~ ________________________~Problemasl ________ ~

~

Problemasl

apropiadamente la velocidad velocidad del tren tren del Ej. 3.45 Si se escoge apropiadamente fuerza lateral lateral S ejercida ejercida sobre cuando viaja viaja alo a lo largo 3.4, la fuerza sobre él cuando cero. circular es cero. de la vía circular velocidad? (a) ¿Cuál ¿Cuál es esta velocidad? por qué ésta es la velocidad velocidad deseable deseable desde el punto punto (b) Explique Explique por de vista de los pasajeros. pasajeros.

~ ~__ ______________

Pequeñas piezas sobre una banda banda transportadora transportadora que 3.48 Pequeñas sobre una constante caen en un arcón. arcón. DemuesDemuesse mueve con con velocidad velocidad v constante O! en el que las piezas empiezan empiezan a deslizarse deslizarse ángulo O!en tre que el ángulo sobre la banda satisface la ecuación sobre banda satisface ecuación 1

cosO! - -sen - sen O! O! = cosO!fJ-s ¡'¿S

artificial con masa masa de 300 slugs se encuentra encuentra 3.46 Un satélite satélite artificial una órbita órbita circular circular de radio radio R = 5000 mi. Su velocidad velocidad relatirelatien una respecto al centro centro de la Tierra Tierra es de 23 092 pie/s. va respecto pie/s. (a) Use la información gravitain fo rmación dada dada para para determinar determinar la fuerza fuerza gravitatoria satélite y compárela toria que actúa actúa sobre sobre el satélite compárela con el peso de éste a nivel del mar. mar. (b) La aceleración una distancia distancia R desde aceleración debida debida a la gravedad gravedad a una el centro gR~/ R2, R 2 , donde donde el radio radio de la Tierra Tierra centro de la Tierra Tierra es gR~/ es RE = 3960 mi. Use esta expresión expresión para para confirmar confirmar su respuesta puesta a la parte parte (a).

~~

22

-v , gR' gR

donde ¡;'s es el coeficiente coeficiente de fricción fricción estática estática entre entre las piezas donde y la banda. banda.

3.47 El deslizador deslizador A de 2 kg mostrado mostrado parte parte del reposo reposo y se desliza en en el el plano plano horizontal horizontal a lo largo de la barra barra lisa circular circular bajo = 4t = 4 bajo la acción acción de una una fuerza fuerza tangencial tangencial F, F, = 4t N. N . En t = s, determine determine (a) la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del deslizador; deslizador; (b) la magnitud sobre barra sobre magnitud de la fuerza fuerza horizontal horizontal que ejerce la barra el deslizador. deslizador.

(

P3.48

3.49 La masa masa m gira gira alrededor alrededor del poste poste vertical vertical en una una tratrayectoria yectoria horizontal horizontal circular. circular. Determine Determine la magnitud magnitud de su velocidad () y L. cidad en términos términos de ()

VISTA SUPERIOR VISTA SUPERIOR

P3.47

P3.49

3.50 En el Probo 3.49, si m = 1 slug slug,, L L = 4 pies y la masa masa una trayectoria trayectoria circular circular con u = 15 15 pie/s, pie/ s, se está moviendo moviendo en una ¿cuál ¿cuál es la tensión tensión en la cuerda? cuerda?


3.4 APLICACIONES APLICACIONES 3.4 3.51 3.51 Una masa masa m de 10 10 kg gira alrededor alrededor de un poste poste vertical vertical en una trayectoria trayectoria circular circular horizontal horizontal de radio radio R = 1 m. Si la magnitud magnitud de·su de-su velocidad velocidad es v = 3 mis, mis, ¿cuáles son las tensiones tensiones en las cuerdas cuerdas A y B?

121 121

3.54 Un avión efectúa un viraje viraje avión con peso W = 200 000 lb efectúa a altitud constante v = = 600 pie/s. pie/s. El altitud constante constante y a velocidad velocidad constante ángulo de inclinación inclinación es de 15°. ángulo (a) Determine Determine la fuerza fuerza LL de sustentación. sustentación. (b) ¿Cuál curvatura de la trayectoria trayectoria del avión? avión? ¿Cuál es el radio radio de curvatura

15 0

/.--~-

/..-"--

//

----

--

/'' /

.......•.......•• ..................

<, "-

!! (I

\\

-,

"\ I \

-,

'- <, '-

//

R

'---- ---'------ --U- ---

//'

//

P3.54 P3.54

m

P3.51

Probo 3.51, ¿cuál es el intervalo intervalo de valores de v 3.52 En el Prob. para los cuales la masa permanecerá en la trayectoria trayectoria circular circular para masa permanecerá descrita? descrita?

3.55 En Fig. P3.55, P3.55, la masa masa m suspendida suspendida está está en equilibrio. equilibrio. tensiones en las cuerdas? (a) ¿Cuáles son las tensiones cuerdas? corta la cuerda cuerda A, A, ¿cuál es la tensión tensión en la cuerda cuerda B (b) Si se corta inmediatamente después? después? inmediatamente

diseñar un sistema sistema de transporte transporte por por monorriel monorriel 3.53 Se va a diseñar que viajará ángulo IX excon vagones oscilarán oscilarán viajará a 50 mis. mi s. El ángulo con que los vagones respecto vertical al tomar tomar una curva curva no debe ser mayor mayor que respecto a la vertical 20°.. Si las curvas curvas son circulares circulares con radio radio R, ¿cuál es el mínimo mínimo 20° admisible de R? valor admisible

A A

P3.55 P3.55

P3.53


122 122

CAPíTULO 33 FUERZA. FUERZA MASA MASA Y Y ACELERACiÓN ACELERACiÓN CAPíTULO

3.56 Un Un avión avión vuela vuela con con velocidad velocidad vu constante constante aa lo lo largo largo de de 3.56 una trayectoria trayectoria circular circular en en un un plano plano vertical. vertical. El El radio radio de de su su trauna yectoria circular circular es es de de 5000 5000 pies pies.. El El piloto piloto pesa 150 150 lb. lb. yectoria (a) El El piloto experimentará' experimentará' 'ingravidez" 'ingravidez" en en la la cima cima de de la la trayec(a) toria circular circular si si el el avión avión no ejerce ejerce ninguna ninguna fuerza fuerza neta sobre sobre toria él en en ese ese punto. punto. Dibuje Dibuje un diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre del del piloto él determinar la velocidad v necesaria necesaria para lograr esta esta y úselo para determinar condición. condición. (b) Determine Determine la la fuerza ejercida ejercida sobre sobre el el piloto por el el avión en en (b) trayectoria circular circular si si el el avión está viajando viajando a una la cima de la trayectoria velocidad que duplica duplica la de la parte parte (a). velocidad

3.58 3.58 La fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre una partícula partícula cargada cargada por un campo campo magnético magnético es es F F = qv xx B,

donde donde q y v son la carga y el el vector de velocidad velocidad de la partícula partícula y B es es el el vector vector de campo campo magnético. magnético. Una partícula partícula de masa m y carga carga positiva positiva q entra entra en O con velocidad velocidad v == voi uoi a un campo campo magnético magnético uniforme uniforme B = = Bok. Bok. Usando Usando las componencomponentes normal normal y tangencial, tangencial, demuestre demuestre que: (a) la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de la partícula partícula es es constante; constante; (b) la trayectoria trayectoria de la partícula partícula es una circunferencia circunferencia con radio radio mvo! muo! qB qBo. o. y

v P3.56 P3.56

_ __

+----~----------

x

barra circular circular lisa de la figura gira con velocidad velocidad an3.57 La barra gular constante constante Wo alrededor alrededor del eje vertical vertical AB. Determine Determine el gular ángulo {3 (3en collarín de masa m permanecerá permanecerá en reposo reposo ángulo en el cual el collarín respecto a la barra circular. respecto barra circular. P3.58 P3.58

3.59 Una Una masa masa m está está unida unida a una una cuerda cuerda enrollada enrollada alrededor alrededor 3.59 R. En En t = = O, se da da a la masa masa una una velociposte fijo de radio radio R. de un poste dad uo, vo, como como se muestra muestra en la figura. figura. Ignore Ignore las fuerzas fuerzas exterexterdad excepto la ejercida ejercida por por la cuerda. cuerda. Determine Determine la sobre m excepto nas sobre cuerda en función función del ángulo ángulo {j. {}. tensión en la cuerda tensión Estrategia: El vector vector velocidad velocidad de la masa masa es perpendicular perpendicular Estrategia: cuerda. Exprese Exprese la segunda segunda ley de Newton Newton en términos términos de a la cuerda. las componentes componentes normal normal y tangencia!. tangencial.

A

LO r------A~----------~

P3.57 P3.57

P3.59 P3.59

3.60 En En el el Probo Probo 3.59 3.59 determine determine el el ángulo ángulo {j{} en en función función del del 3.60 tiempo. tiempo.



Los Probs. 3.61 a 3.65 3.65 están están relacionados relacionados con con el el Ej.3.5. Ej. 3.5. los 3.61 Un Un áutomóvil automóvil viaja viaja por por un un camino camino recto recto aa nivel nivel cuando cuando conductor percibe percibe adelante adelante una una zona zona de de peligro. peligro. Después Después de de el conductor trabando las las un tiempo tiempo de de reacción reacción de de 0.5 0.5 s, s, aplica aplica los los frenos frenos trabando un ruedas . El El coeficiente coeficiente de de fricción fricción cinética cinética entre entre los los neumáticos neumáticos ruedas. {tk = 0.6. 0.6. Determine Determine la la distancia distancia total total que que el auaucamino es /Lk yy el camino tomóvil recorre recorre antes antes de de detenerse, detenerse, incluyendo incluyendo la la distancia distancia recorecotomóvil viaja aa (a) (a) 55 milh; mi / h; (b) (b) 65 mi/h. mi/ h. rrida antes antes del del frenado, frenado, si viaja rrida

123

3.65 Una rampa rampa de de acceso acceso aa una una supercarretera supercarretera es es circular circular 3.65 Una con (Fig. a), a), yy la la carpeta carpeta asfáltica asfáltica está está inclinada inclinada un un con radio radio RR (Fig. ángulo ángulo (3 {3 respecto respecto aa la la horizontal horizontal (Fig. (Fig. b). b). Demuestre Demuestre que que la la velocidad velocidad constante constante máxima máxima aa la la que que un un automóvil automóvil puede puede viajar viajar en rampa sin sin perder perder tracción tracción es es en la la rampa v= v=

sen J-Ls cos cos f3 )) sen f3 + J-L, gR .. gR ( ( cos cos f3 -- J-L, J-Ls sen sen fJ{3

-

3.62 Si el automóvil automóvil del del Probo Probo 3.61 3.61 viaja viaja aa 65 mi/h mi/h yy la la lluvia lluvia valor de de /Lk {tk a 0.4, 0.4, ¿qué ¿qué distancia distancia total total viaja viaja el auaudisminuye el valor disminuye tomóvil antes antes de de detenerse? detenerse? tomóvil 3.63 Un Un automóvil automóvil viaja viaja a 30 30 mis mi s y está está en en la la cima cima de de una una colina. El El coeficiente coeficiente de de fricción fricción cinética cinética entre entre los los neumáticos neumáticos colina. camino es /Lk {tk = = 0.8 0.8 yy el radio radio de de curvatura curvatura instantánea instantánea de de yy el camino la trayectoria trayectoria del del automóvil automóvil es de de 200 200 m. m. Si el conductor conductor aplica aplica la traban las las ruedas ruedas del del vehículo, vehículo, ¿cuál ¿cuál es la la desacedesacelos frenos frenos yy se traban los leración resultante resultante en en la la dirección dirección tangente tangente a la la trayectoria? trayectoria? leración

c-,

P3.63 P3.63

(b)

3.64 Suponga que el automóvil automóvil del del Probo Probo 3.63 Suponga que 3.63 está está en elfondo el fondo de una una depresión depresión cuyo cuyo radio radio de de curvatura curvatura es de 200 m m cuando de de 200 cuando conductor aplica aplica los los frenos. la desaceleración el conductor frenos. ¿Cuál ¿Cuál es la desaceleración resulresultante del del automóvil en la dirección dirección tangente tangente a su trayectoria? trayectoria? tante automóvil en

P3.64 P3.64


P3.65 P3.65

124

MASA Y ACELERACIÓN ACELERACiÓN 'CAPíTULO 3 FUERZA. MASA CAPíTULO

Coordenadas polares polares Coordenadas En coordenadas coordenadas polares, polares, la segunda segunda ley de Newton Newton para para un un cuerpo cuerpo que que En mueve en el plano plano x-y es se mueve

C¿;Fr er

+ ¿;Fg eg)

= mear er

+ ag eg),

(3.8) (3.8)

donde donde

2 2 ar = d r _ r(de)2 = d r _ rú} ' dt 2 dt dt 2 d22ee

de dr de

a() = r r- - + +2-ag 2-dt22 dt dt dt dt dt

dr dr dt dt

ra + +2-w. = re/. 2-úJ.

Igualando ee,r y ee,o en la la Ec. Ec. (3.8), (3.8), obtenemos obtenemos las las ecuaciones ecuaciones escalares escalares Igualando

(3.9) (3.9)

(3.10)

La de las dirección radial La suma suma de las fuerzas fuerzas en en la la dirección radial es igual igual al producto producto de de la la masa masa por por la la componente componente radial radial de de la la aceleración, aceleración, y la la suma suma de de las las fuerzas fuerzas en en la la dirección dirección transversal transversal es igual igual al al producto producto de de la la masa masa por por la la componencomponente te transversal transversal de de la la aceleración aceleración (Fig. (Fig. 3.10). 3.10). Figura Figura 3.10 3.10

yy

Componentes Componentes radial radial y transversal transversal de de EF y a.

r (J

~_-L_-----------X ~-~------------x En En el siguiente siguiente ejemplo ejemplo usaremos usaremos la segunda segunda ley ley de Newton Newton expresada expresada en coordenadas coordenadas polares, polares, o componentes componentes radial radial yy transversal, transversal, para para analizar analizar los movimientos un cuerpo. cuerpo. Dibujando Dibujando el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre libre movimientos de un de un un cuerpo, cuerpo, podemos podemos identificar identificar las componentes componentes de las fuerzas fuerzas que que actúan segunda ley ley de Newton Newton para para determinar determinar actúan sobre sobre él yy luego luego usar usar la segunda las componentes aceleración. O O bien, bien, si si se conocen conocen las componentes componentes componentes de su aceleración. de aceleración, se puede puede usar usar la segunda segunda ley ley de Newton Newton para para determinar determinar de la aceleración, las fuerzas fuerzas externas. externas. http://carlos2524.jimdo.com/

3.4 APLICACIONES APLICACIONES 3.4

125

Ejemplo 3.6 La barra lisa Fig. 3.11 plano horizontal velocidad angular La barra lisa de de la Fig. 3.11 gira gira en en un un plano horizontal con con velocidad angular constante Wo. wo. La La longitud longitud del del resorte lineal no estirado es ro. El El collarín collarín A tiene resorte lineal no estirado tiene constante masa m y se libera libera en en r = = ro sin sin velocidad masa velocidad radial. radial. (a) Determine radial del Determine la velocidad velocidad radial del collarín collarín en en función función de de r. Determine la fuerza transversal ejercida ejercida sobre sobre el collarín collarín por la barra en (b) Determine fuerza transversal por la barra en función de r. función

ESTRATEGIA ESTRATEGIA La única única fuerza sobre el collarín en la dirección radial fuerza del del resorte, (a) La fuerza sobre collarín en la dirección radial es la fuerza resorte, que podemos expresar polares en que podemos expresar en coordenadas coordenadas polares en términos términos de de r. Integrando Integrando la Ec. podemos determinar velocidad radial radial u, Ec. (3.9), (3.9), podemos determinar la velocidad Vr en en función función de r. (b) Una Una vez vez conocida términos de r, podemos usar la Ec. conocida u, Vr = dr/dt dr/dt en en términos podemos usar Ec. (3.10) (3.10) para transversal que barra sobre para determinar determinar la fuerza fuerza transversal que ejerce ejerce la barra sobre el collarín. collarín.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN

3.11 Figura 3.11

ejerce una ro) en en la dirección dirección negativa (a) El resorte resorte ejerce una fuerza fuerza radial radial k(r k(r - ro) negativa de r (Fig. barra es lisa, no ejerce radial sobre A, pero pero puede puede (Fig. a). a). Como Como la barra lisa, no ejerce fuerza fuerza radial sobre A, ejercer una fuerza transversal Fo. De la Ec. ejercer una fuerza transversal De la Ec. (3.9), (3.9), 'E.F r

=

2

-k(r

- ro)

r = m (d-dt2

- rw

2) = (dV m

r

dt

2)

- rwo

.

Usando cadena para expresar la derivada derivada respecto de para expresar respecto al tiempo tiempo de Usando la regla regla de la cadena en términos de una derivada respecto u, en términos de una derivada respecto a r,

A A

d», d», dr dr d», dv, dv, dv, =--= -v " dt dt = --¡;: dt = --¡;: dr dt dr v" obtenemos obtenemos u, dv, = = [[ (w (w6 6 -v,

~~)) r + ~ro ~ro ] dr. (a) Fuerzas radial y transversal transversal sobre A. Fuerzas radial sobre A.

obtenemos radial en obtenemos la velocidad velocidad radial en función función de de r: v, Vr

=

~ roer ~)~) (r22 - rJ) rJ) + ~ ro(r - ro). ro)·

(w (w6 6 --

(b) De por la barra barra sobre De la Ec Ec.. (3.10), (3.10), la fuerza fuerza transversal transversal ejercida ejercida por sobre A es

Fo Fe

=m

(ra (ra

dr dr

w) = 2mwov,. 2mwovr. + 2 dt w) dt .

Sustituyendo la expresión expresión para en función función de de r, obtenemos obtenemos la fuerza fuerza horipara u, en horiSustituyendo zontal zontal ejercida ejercida por en función función de de r: por la barra barra en

Fe

= 2mwo

(

k) (r

w2 - o m

2

2k

- r 2 ) + -roer - ro). o m


126 126

CAPíTULO 3 FUERZA FUERZA. MASA MASA Y ACELERACiÓN ACELERACiÓN CAPíTULO

~~------~~~~~~~~~Problemasl coordenadas polares polares de un cuerpo cuerpo son son r = t22 + 2 3.66 Las coordenadas pies, ()() = = 2t33 - t2 rad, rad, y su masa masa es de 3 slugs slugs. . ¿Cuáles ¿Cuáles son son las las pies, componentes radial radial y transversal transversal de la fuerza fuerza externa externa total total sobre sobre componentes cuerpo en t = = 1 s? el cuerpo

__~~

~~

~

-J

3.70 La plano horizontal La barra barra lisa lisa mostrada mostrada gira gira en el plano horizontal con con velocidad velocidad angular angular constante constante Wo = 60 rpm rpm (revoluciones (revoluciones por por minuto). de 2lb pie sin minuto). Si el collarín collarín A de 2lb se suelta suelta en r = 1 pie sin velocivelocidad magnitud de su velocidad dad radial, radial, ¿cuál ¿cuál es la magnitud velocidad cuando cuando llega llega barra? al extremo extremo de la barra?

Las coordenadas coordenadas polares polares de un un cuerpo cuerpo son son r == 2t 2t22 + 3.67 Las rad, y su masa masa es de 20 kg. ¿Cuáles ¿Cuáles son son las las 4t m, ()() = t2 - t rad, componentes radial radial y transversal transversal de la fuerza fuerza externa externa total sobre componentes total sobre cuerpo en t = 1 s? el cuerpo robot cte de la Fig Fig.. P3.68 P3.68 está está programado de modo que programado de modo que 3.68 El robot parte A de 0.4 0.4 kg describe describe la trayectoria trayectoria la parte

r () ()

1 - 0.5 0.5 cos cos 27ft m, m, 0.5 - 0.2 0.2 sen sen 27ft rad. 0.5 rad.

En t = = 2 s, determine determine las componentes componentes radial radial y transversal transversal de de En la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre A por tenazas del del robot. robot. por las tenazas

P3.70 P3.70

En el Probo Probo 3.70, 3.70, ¿cuál ¿cuál es la la máxima máxima fuerza fuerza horizontal horizontal 3.71 En que que ejerce ejerce la la barra barra sobre sobre el collarín? collarín? En Fig. Fig. P3.72, P3.72, la la masa masa m se se libera libera del del reposo reposo con con la la cuercuer3.72 En 3.72 da da en en posición posición horizontal. horizontal. Usando Usando la la segunda segunda ley ley de de Newton Newton expresada expresada en en coordenadas coordenadas polares, polares, determine determine la la magnitud magnitud de de la la velocidad velocidad de de la la masa masa yy la la tensión tensión de de la la cuerda cuerda en en función función de de (). ().

P3.68 P3.68

3.69 3.69 En En el Ej. Ej. 3.6, 3.6, ¿cuál ¿cuál es la la máxima máxima distancia distancia radial radial alcanalcanzada zada por por el collarín collarín A? A?


P3.72 P3.72

3.4 3.4 APLICACIONES APLICACIONES 127 127

n

3.73 El El esquiador esquiador de de la la Fig. Fig. P3.73 P3.73 pasa pasa por por el el punto punto A A aa 17 17 3.73 mis. B, el el radio radio de de su su trayectoria trayectoria circular circular es es de de 66 m m.. mi s. De AA aa B, Usando la'segunda lasegunda ley ley de de Newton Newton en en coordenadas coordenadas polares, polares, dedeUsando termine la magnitud magnitud de su su velocidad en el el momento momento en en que termine abandona la rampa rampa en B. B. Ignore las fuerzas transversales transversales excepexcepabandona to la la componente componente de su su peso. to

.II""'_ _...:

3.75 3.75 El El deslizador deslizador A A de de 1/4 l/4lblb es es empujado empujado aa lo lo largo largo de de la la barra barra circular circular por por la la barra barra ranurada. ranurada. La La barra barra circular circular está está en en el el plano plano horizontal. horizontal. La posición angular angular de de la la barra barra ranurada ranurada es es O (J = lOt lOt22 rad. rad. Determine Determine las componentes componentes radial yy transvertransversal sal de la fuerza externa externa total sobre sobre el el deslizador deslizador en t = 0.2 s. s.

B

P3.75

)I"""",,_-"B

P3.73

o

3.74 Una una barra Una masa masa de 2 kg descansa descansa sobre sobre una barra plana plana horihorizontal. La barra barra comienza alrededor zontal. comienza a girar girar en el plano plano vertical alrededor de O con una rad/s-. una aceleración aceleración angular angular constante constante de 1 rad / s2 . Se observa que la masa masa se desliza respecto respecto a la barra barra cuando cuando está está 30° arriba arriba de la horizontal. horizontal. ¿Cuál ¿Cuál es el coeficiente coeficiente de fricción fricción estátiestática entre entre la masa masa y la barra? barra? ¿La ¿La masa masa se desliza acercándose acercándose o alejándose alejándose de O?

3.76 En el Probo 3.75, suponga suponga que la barra barra circular circular se enplano vertical. Determine cuentra en un plano cuentra Determine las componentes componentes radial radial y transversal transversal de la fuerza por fuerza total total ejercida ejercida sobre sobre el deslizador deslizador por circular y ranurada ranurada cuando cuando t = 0.25 s. S. las barras barras circular barra ranurada ranurada de la figura figura gira en el plano plano horizonhorizon3.77 La barra velocidad angular angular constante constante Wo. Wo. La masa masa m tiene un patal con velocidad ranura . Un resorte resorte mantiene mantiene el pasador pasador sador que embona embona en la ranura. sador contra la superficie superficie de la leva fija. fija . Esta Esta superficie superficie se describe describe con contra = ro (2 - cos (J). O). Determine Determine las componentes componentes radial radial y transtransrr = versal de la fuerza fuerza externa externa total total sobre sobre el pasador pasador en función función de (J. O. versal

n 11 rad/s? rad/s 2

2kg 2 kg

oo

Leva Leva

--------------lm--------------·I ~------------ lm-------------' l P3.74 P3.74

2

P3.77 P3.77

3.78 En En el el Probo Probo 3.77, 3.77, suponga suponga que que la la longitud longitud del del resorte resorte 3.78 sin estirar estirar es es ro. ro. Determine Determine el el valor valor mínimo mínimo de de la la constante constante del del sin resorte kk para para el el cual cual el el pasador pasador permanecerá permanecerá sobre sobre la la superfice superfice resorte de de la la leva. leva.


128

CAPíTULO 3 FUERZA, MASA MASA Y ACELERACiÓN ACELERACiÓN CAPíTULO

Ejemplo Ejemplo con computador computador El material para utilizar programaterial de esta sección está diseñado diseñado para utilizar una calculadora calculadora programable mable o un computador. computador.

Hasta visto muchos Hasta ahora, ahora, en este este capítulo capítulo se han han visto muchos casos casos en que que el movimiento movimiento de desde un un cuerpo cuerpo se podía podía determinar determinar por por medio medio de de un un simple simple procedimiento: procedimiento: después la segunda pués de usar usar la segunda ley de de Newton Newton para para determinar determinar la aceleración, aceleración, se inteintegraba para para obtener obtener expresiones expresiones analíticas analíticas o de forma forma cerrada cerrada para para la velocidad velocidad graba y posición posición del del cuerpo. cuerpo. Esos Esos ejemplos ejemplos son son muy muy valiosos; valiosos; enseñan enseñan a usar usar diagradiagramas mas de cuerpo cuerpo libre libre ya ya expresar expresar problemas problemas en diferentes diferentes sistemas sistemas coordenados, coordenados, desarrollan la comprensión comprensión intuitiva intuitiva de las fuerzas fuerzas y movimientos. movimientos. Sin Sin embarembary desarrollan go, la mayoría mayoría de los los problemas problemas que que se tratan tratan en ingeniería ingeniería no no pueden pueden resolverse go, resolverse esta manera. manera. Las Las funciones funciones que que describen describen las las fuerzas, fuerzas, y por por ende ende las aceleacelede esta raciones, suelen suelen ser ser demasiado demasiado complejas complejas para para poder poder integrarlas obtener solusoluraciones, integrarlas y obtener ciones cerradas. cerradas. En En otros otros casos casos no no se conocen conocen las las fuerzas fuerzas en términos términos de funcio funcio- ciones nes sino sino en términos términos de de datos, datos, ya ya sea sea como como un un registro registro continuo continuo de la la fuerza fuerza nes en función función del del tiempo tiempo (datos (datos analógicos) analógicos) o como como valores valores de de la fuerza fuerza medida medida en en tiempos tiempos discretos discretos (datos (datos digitales). digitales). en pueden obtener obtener soluciones soluciones aproximadas aproximadas de tales tales problemas problemas usando usando inteinteSe pueden gración numérica. numérica. Consideremos Consideremos un un cuerpo cuerpo de de masa masa m en movimiento movimiento en línea línea gración recta a lo largo largo del del eje eje x (Fig. (Fig. 3. 3.12) supongamos que la componente componente x de recta 12) y supongamos que fuerza total total puede puede depender depender del del tiempo, tiempo, la posición, posición, y la velocidad: velocidad: la fuerza (3.11) (3.11)

Figura 3.12 Cuerpo que que se mueve mueve a lo largo largo del del eje eje x. Cuerpo

Supongamos que que en un un tiempo tiempo particular particular too conocemos conocemos la posición posición x x (lo) y la Supongamos velocidad vAt vAtoo).). La La aceleración aceleración del del cuerpo cuerpo en to es velocidad (3.12) (3.12)

La definición definición de de la derivada derivada respecto respecto al tiempo tiempo de de La dv;x dv --(to)(to) dt

Vx

en to en o es

,vAto ~t) - vx(to) vx(to) ,vAto + llt) . ~t llt

lím = "'HO hm "'Ha

Escogiendo un un valor valor suficientemente suficientemente pequeño de llt, ~t, podemos podemos aproximar aproximar esta esta Escogiendo pequeño derivada con con derivada dv; -(to) dt

=

vx(to + ~t) - vAto) ~t

,

sustituirla en la Ec. Ec. (3 (3.12) para obtener obtener una una expresión expresión aproximada aproximada de de la velocivelociy sustituirla ,12) para dad en to M: dad + llt: o (3.13) (3.13)


3,4 3,4 APLICACIONES APLICACIONES

La relación relación entre entre la velocidad velocidad y la posicjón posición en lo es ,dx 'dx

-(to) -(to) dt dt

vx(to)· = vx(to)·

Aproximando Aproximando esta derivada derivada con dx dx dt (to) dt

=

x(to x(to

+ l!..t) /1t) -

x(to) x(to)

/1t l!..t

~~

obtenemos obtenemos una una expresión expresión aproximada aproximada p'ara para la posición posición en lo + l!..l: t1l: x(to x(to

+ l!..t) M) = x (to) + vAto)l!..t. vAto)M.

(3.14)

Así pues, pues, si conocemos conocemos la posición posición y la velocidad velocidad en un tiempo tiempo lo, podemos podemos aproximar aproximar sus valores valores en tloo + l!..t t1t usando usando las Ecs. (3.13) y (3.14). Podemos Podemos repetir petir entonces entonces el procedimiento, procedimiento, usando usando x(to x(to + l!..t) t1l) Y Vxx (to + l!..t) t1t) como como condicondiciones iniciales para para determinar determinar la posición posición y la velocidad velocidad aproximadas aproximadas en lo + 2l!..t. Continuando de esta manera, para 2t1l. Continuando manera, obtenemos obtenemos soluciones soluciones aproximadas aproximadas para la posición posición y la velocidad velocidad en función función del tiempo. tiempo. Este procedimiento procedimiento es fácil de llevar a cabo cabo usando usando una una calculadora calculadora o un computador. computador. Se llama llama método método de las diferencias diferencias finitas finitas porque porque determina determina cambios cambios en las variables variables dependiendependientes en intervalos intervalos finitos de tiempo. tiempo. El método método particular particular que describimos, describimos, debido a Leonhard Leonhard Euler Euler (1707-1783), se llama llama diferencias diferencias hacia hacia adelante: adelante: el valor valor de la derivada derivada de una una función función en lo se aproxima aproxima usando usando su valor en ffoo yY su valor hacia hacia adelante adelante en el tiempo, tiempo, en tloo + l!..t. t1t. Si bien hay métodos métodos más elaboelaborados rados de diferencias diferencias finitas finitas que dan errores errores menores menores en cada cada incremento incremento de tiempo, el método método de Euler adecuado para tiempo, Euler es adecuado para presentar presentar las soluciones soluciones numéricas numéricas de problemas problemas de dinámica. dinámica. Observe Observe que laEc. laEc. (3.11) no tiene que ser una una expresión funcional funcional para para llevar a cabo cabo este proceso. proceso. Los valores valores de la fuerza fuerza total total deben conocerse se pueden conocerse en los tiempos tiempos lo, tloo + l!..l, t1l, ... ... , Y Yse pueden determinar determinar a partir partir de una una función función o de datos datos analógicos analógicos o digitales. digitales. La velocidad velocidad y la posición posición de un cuerpo cuerpo en movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo se pueden pueden determinar determinar con el mismo mismo procedimiento. procedimiento. Supongamos Supongamos que un cuerpo cuerpo se mueve en el plano plano x-y x-y y que las componentes componentes de fuerza fuerza pueden pueden depender depender del tiempo, tiempo, la posición posición y la velocidad: velocidad:

xr;«.

x, y, "E,Fyy = f:,Fy(t, "E,Fy(t, x, y, y, vVxx'' vv),y), f:,F y, VVxx'' vvy). y)' Si Si la posición posición y la velocidad velocidad se conocen conocen en un tiempo tiempo to, lo, podemos podemos usar usar los mismos pasos que conducen Y (3.14) a fin de obtener conducen a las Ecs. (3.13) Y(3.14) obtener expresiones expresiones aproximadas aproximadas para para las componentes componentes de la posición posición y la velocidad velocidad en lo + l!..l: t1l: "E,Fx f:,F x = f:,Fx(t,

x(to x(to

+ l!..t) M) = x(to) x(to) + vx(to)l!..t, vx(to)M,

y(to y(to

+ l!..t) t1t) = y(to) y(to) + vy(to)l!..t, vy(to)/1t,


129 129

130 CAPíTULO CAPíTULO 33 FUERZA, FUERZA, MASA MASA YY ACE ACELERACiÓN 130 LERACiÓN El El material material de de esta esta sección sección está está diseñado diseñado para para utilizar utilizar una una calculadora calculadora prograprogramable oo un un computador. computador. mable

Ejemplo 3.7 3.7 Ejemplo yy

Un con velocidad Un proyectil proyectil de de 100 100slugs slugs se se dispara dispara desde desde xx == O, O,YY == O Ocon velocidad inicial inicial VUxx = s, vuyy == 400 = 400 400 pie/ pie/s, 400 pie/ pie/ss (el (el eje eje yy positivo positivo está está dirigido dirigido hacia hacia arriba). arriba). La La resistencia resistencia aerodinámica aerodinámica es es de de magnitud magnitud ee Iv12, Iv12,donde donde ee es es una una constante. constante. Determine Determine la la trayectoria trayectoria para para valores valores de de ee de de 0.002, 0.002, 0.004 0.004 yy 0.006. 0.006. SOLUCiÓN SOLUCiÓN

~ ~ D D

Para Para aplicar aplicar las las Ecs Ecs.. (3.15) (3.15) debemos debemos determinar determinar las las componentes componentes x yy y de de la la fuerza fuerza total total sobre sobre el el proyectil. proyectil. Sea Sea D D la la fuerza fuerza de de arrastre arrastre (Fig. (Fig. 3.13). 3.13). Como Como v/lv v/lv]l es es un un vector unitario en en la la dirección dirección de de v, v, podemos escribir escribir D D como

i., !-mgj

L-------------------

x

~------------------------ x

Figura 3.13 Figura el proyectil son su su Las fuerzas sobre el peso y la fuerza de arrastre arrastre D.

22 V V

D D = -C¡vl -Clvl -Ivl lvl

= -+Clvlv. C¡vlv.

Las fuerzas externas sobre el el proyectil son su peso y la fuerza de arrastre, arrastre, ¿;F= -mg jj -- C¡v Clv]v, :EF = -mg lv,

por lo que las componentes de la fuerza total son :EFy ¿;Fy

=

el

-mg - cJv; -mg v;

+ v~ v~ vvy.y.

(3 .16) (3.16)

Consideremos el caso e = = 0.002, y sea I1t M = = 0.1. En el tiempo inicial too Consideremos O, x(to) x(to) y y(to) y(to) son cero, uAt vAto)o) = 400 pie/s pie/ s y uy(to) vy(to) = 400 pie/s. pie/s . Las compo= O, nentes de la posición y la velocidad después del primer primer incremento incremento de tiempo son x(to x(to

~t) + I1t) x(O . I) x(O.l)

y(to y(to + f:..t) ~t) y(O.l) y(O.I)

x (to) + vAto)LH vx(to)~t : == x(to) x(O) + vx(O)M vxCO)M == x(O) 0+ (400)(0.1) (400) (0.1) = 40 pies, = 0+

= y(to) y(to) + vy(to)f:..t Vy (to)~t ::

== y(O) y(O) + vy(O)f:..t vy(O)Ll.t 0+ (400)(0.1) (400)(0.1) = = 40pies, 40pies, == 0+

1 .. vAto + + f:..t) M) = vx(to) vx(to) + -¿;Fx(to, -1 :E FAto, x(to), x(to), y(to), y(to), vAto), vAto), vy(to»f:..t Vy(to))~t :: vx(to m m v x (O.I) vx(O.l)

vAO) + + {{-~J[vx + [vy(0)]2 [vy(O)f vx(O) VAO)} ~t == vx(O) -~J[VAO)]2 (0)]2 + } M

400 ++ [[-0.002 0.002J J(400)2+ (400)2 + (40W (40W (400)J (400)J (0.1) (0.1) == 400 100 100

399.55 pie/'s, pie/s, == 399.55 1 v y(to + +f:..t) ~t) = = vy(to) v y(to) + + --1m ¿;Fy(to, :E F y (to ,x(to), x(to) ,y(to), y(to), vAto), vAto), vy(to»f:..t Vy(to))~t :: vy(to m v y(O.I) == vy(O) vy(O) + + vy(O.l)

{-g -- ~J[VAO)f ++ {-g

400++ [-32.2 [ - 32.2-==400 396.33 pie/s. pie/ s. == 396.33


~J[Vx(O)f

0~~~2 J

[v y(O)f Vy(O)} Vy(O)} f:..t M [vy(O)f

(400)2 + (400)2(400)J (400)2 (400) J (0.1) (0.1) 0~~~2J (400)2+


Continuando de esta manera, manera, obtenemos obtenemos los siguientes siguientes resultados Continuando resultados para para los cinco primeros incrementos incrementos de tiempo: primeros tiempo: t

Tiempo, s Tiempo,

x, pies

y, y, pies

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.00 40.00 79.95 119.86 159.73 199.55

0.00 40.00 79.63 118.90 157.80 196.33

VX' VX'

pie/s pie/s

vVyy' ,

400.00 400 .00 399.55 399.10 398.65 398.21 397.77

pie/s pie/s

400.00 396.33 392.66 389.00 385.35 381.70

Cuando no hay fuerza fuerza de arrastre arrastre (e (C = O), podemos obtener la solución Cuando podemos obtener solución forma cerrada cerrada para para la trayectoria compararla con soluciones soluciones numéricas, trayectoria y compararla numéricas, en forma I.lt = 3.5 s, 1.0 s y 0.1 s. Observe Observe que la como se hace en la Fig. 3.14 para para t:.t solución numérica numérica con /11 111 = aproxima bastante solución cerrada. cerrada. solución = 0.1 s se aproxima bastante a la solución muestra las soluciones soluciones numéricas diversos valores C para los diversos valores de e La Fig. 3.15 muestra numéricas para cuando /1t I1t = 0.1 s. Como Como se esperaba, esperaba, el alcance alcance del proyectil disminuye al cuando proyectil disminuye aumentar C. yy cuando cuando hay fuerza fuerza de arrastre, arrastre, la forma forma de la trayectoria cambia. aumentar trayectoria cambia. proyectil desciende desciende con un ángulo ángulo más inclinado inclinado que con el que asciende asciende.. El proyectil 4ooo,---------------------------------------------~ 4000,---------------------------------------------~ //

~ 3000 '0.

M=3.5s M= 1.0s 6.t = 0.1s

La solución solución cerrada cerrada para para la trayectoria trayectoria cuando e C = O O comparada comparada con cuando soluciones soluciones numéricas. numéricas.

. Solución

,,:: 2000

Figura 3.14

exacta

1000 0L-.---~~----~~----~~----~~--~~~--~12~000

12000

x, pies pies

4000.---------------------------------------------~ 4000 r---------------------------------------------~

c=o

Figura 3.15

C= 0.002 0.002 C= C=O.004 C = O.004

Trayectorias para Trayectorias para diversos diversos valores valores de C.

c=O

dd ...oIIII!!!!~!!~§~:::::::::

~ 3000 3000 :tl '0. '0. ,,:: 2000

"

.....III!!!!!t!!~~:::3::::::::

2000

C = 0.006 0.006

1000 1000 2000 2000

4000 4000

12000 12000 x, pies pies

COMENTARIO COMENTARIO desarrollo del primer primer computador computador digital digital completamente completamente electrónico, electrónico, llamallamaEl desarrollo ENIAC (Electronic (Electronic Numerical Numerical Integrator Integrator and and Computer) Computer) y construido construido en do ENIAC University of Pennsylvania Pennsylvania entre entre 1943 1943 y 1945, fue motivado la University motivado en parte parte por por la calcular trayectorias trayectorias de proyectiles. computador ocupaba ocupaba tonecesidad de calcular proyectiles. Este computador habitación, tenía tenía 18000 18000 bulbos, (randomda una habitación, bulbos, 20 bytes de memoria memoria RAM (randommemory) y 450 bytes de memoria (read-only memory). memory). access memory) memoria ROM (read-only


131 131

132 132

CAPíTULO33 FUERZA, FUERZA,MASA ACELERACiÓN CAPíTULO MASA YYACELERACiÓN

.....

~_IProblemasl prOblemasl_ _ _ _ _

........._~~~-l

...J ....I

3.79 3.79

Un cuerpo cuerpo de de 11kg kg se se mueve mueve aa lo lo largo largo del del eje eje xx bajo bajo Un la acción acción de de la la fuerza fuerza Fx F; == 6t 6t N. N. En En tt == O, O, su su posición posición yy la velocidad son son xx == O OY 10mis. mis. Usando Usando integración integración nunuvelocidad Y VVxx == 10 mérica con con t:J.t M == 0.1 0.1 s,s, determine determine la la posición posición yy velocidad velocidad mérica del cuerpo cuerpo para para los los primeros primeros cinco cinco incrementos incrementos de de tiempo. tiempo. del Estrategia: Al Al inicio, inicio, fofo == 0, O,x(to) x(to) == O OY vilo) == 10 10mis. mis. Estrategia: Y vito) Con las las Ecs. Ecs. (3.13) (3.13) yy (3. (3.14) podemos determinar determinar la la velocidad velocidad Con 14) podemos la posición posición en en el el tiempo tiempo tloo + + t:J.t M == 0.1 0.1 s.s. La La posición posición es es yy la xx(to (to

3.83 slugs parte 3.83 Un Un cohete cohete de de 1000 1000slugs parte del del reposo reposo yy viaja viaja vertiverticalmente calmente hacia hacia arriba. arriba. La La fuerza fuerza total total ejercida ejercida sobre sobre élél es es FF == 100 100 000 000 ++ 10 10OOOt OOOt -- vv22 lb lb.. Usando Usando integración integración numénumérica rica con con t:J.t !::.t == 0.1 0.1 s,s, determine determine la la altura altura yy la la velocidad velocidad del del cohete cohete para para los los cinco cinco primeros primeros incrementos incrementos de de tiempo tiempo (su(suponga ponga que que elel cambio cambio de de masa masa del del cohete cohete es es insignificante insignificante en en este este intervalo intervalo de de tiempo). tiempo).

+ !'!.t) 1':..t)= = x(to) x(to) x(O.l) = x(O) x(O) x(O.I)

+

vAto)1':..t :: ++ vAto)!'!.! vx(O)1':..t + vx(O)!'!.t 0+ (10)(0.1) (10)(0.1) = 11 m, m, = 0+

=

es y la velocidad es

vx(O.l)l) vAO.

1

10 + + (1)6(0)(0.1) 056(0)(0.1) = 10 10 mIs. mis. = 10

Use esos valores de la posición posición y la velocidad velocidad como como las condicondipara el siguiente siguiente incremento incremento de tiempo. tiempo. ciones iniciales para 3.80 Para cuerpo de 1 kg descrito descrito en el Probo 3.79, 3.80 Para el cuerpo 3.79, dibudibuje una gráfica comparando una gráfica comparando la solución solución exacta exacta entre entre t = O Yt lOss con las soluciones = 10 soluciones obtenidas obtenidas usando usando integración integración Yt = numérica numérica con !::.t t:J.t = = 2 s, !::.t t:J.t = = 0.5 0.5 s y M t:J.t = = 0.1 s. 3.81 3.81 En En t = = O, O, un cuerpo cuerpo se libera libera del reposo reposo y cae con con aceleración = 9.81 m/s-. m/s 2 • aceleración constante constante gg = (a) Usando Usando la forma forma de solución solución cerrada, cerrada, determine determine la velocivelocidad dad del cuerpo cuerpo yy la distancia distancia que que ha ha caído caído cuando cuando t = = 2 s. (b) Aproxime Aproxime las las respuestas respuestas a la parte parte (a) usando usando integración integración numérica t:J.t == 0.2 0.2 s. numérica con con !::.t 3.82 3.82 En En el el Probo Probo 3.81, 3.81, dibuje dibuje una una gráfica gráfica de de la la distancia distancia que el cuerpo cuerpo en en función función del del tiempo tiempo desde desde tt == O Ohasta hasta que cae cae el tt == 44 s, s, comparando comparando la la solución solución cerrada, cerrada, la la solución solución numérinumérica t:J.t == 0.5 0.5 ss yy la la solución solución numérica numérica usando usando M t:J.t = = ca usando usando M 0.05 0.05 s.s.

P3.83 P3.83

3.84 En En la Fig. P3.84, P3.84, la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre la masa masa de 3.84 por el resorte resorte lineal lineal es F = -kx, -kx, donde donde x es el desplazadesplaza50 kg por miento de la masa masa desde desde la posición posición en que que el resorte resorte no no está está miento La constante constante de de resorte resorte k es es 50 N/m. N/ m. La La masa masa se estirado. La estirado. m. Use Use integración integración libera del reposo reposo en en la la posición posición xx = 1 m. libera t:J.t = = 0.01 0.01 s para para determinar determinar la la posición posición yy la la numérica con con !::.t numérica para los los primeros primeros cinco cinco pasos. pasos. velocidad de de la la masa masa para velocidad

xx

)

P3.84 P3.84

3.85 En En elel Probo Probo 3.84, 3.84, use use integración integración numérica numérica con con M !'!.! 3.85 = 0.01 0.01 ss para para determinar determinar lala posición posición yy lala velocidad velocidad de de lala = Ohastatt == lOs. 10 s. DibuDibumasaen enfunción funcióndel deltiempo tiempodesde desdett == Ohasta masa las gráficas gráficas de de sus sus resultados. resultados. jeje las


133

3.4 APLICACIONES

3.86 En t = O, la velocidad de un elemento de máquina de 50 slugs 'que se mueve a lo largo del eje x es Vx = 22 pie/s. La fuerza total 'E,Fx que actúa sobre el elemento a intervalos de 0.1 s desde t = O hasta t = 0.9 s es: Tiempo, s

Fuerza, lb

Tiempo, s

Fuerza, lb

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

50.0 51.1 56.0 57.2 58.5

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

58.8 57.6 55.4 52.1 49.9

3.89 Un automóvil parte del reposo en t = ción es

3.87 Los soportes laterales de un elemento estructural de 100 kg ejercen las componentes horizontales de fuerza Fy

=

o. Su acelera-

a = 10 + 2t - 0.0185t3 pie/s-.

Determine aproximadamente la distancia que se mueve el elemento entre t = O Y t = 1 s y su velocidad en t = 1 s.

Fx = -2000x,

3.88 En el Probo 3.87 use integración numérica con M = 0.001 s para determinar la trayectoria elíptica descrita por el centro de masa, y dibuje una gráfica de la trayectoria.

-2000y,

donde x y y son las coordenadas del centro de masa.en metros. En t = O,las coordenadas y los componentes de la velocidad del centro de masa son x = 0.1 m, y = O, VX = O Y vy = 1 mis. Usando M = 0.1 s, determine la posición y la velocidad aproximadas del centro de masa para los primeros cinco pasos.

(a) Usando la forma cerrada de solución, determine la distancia que el automóvil ha recorrido y su velocidad en t = 6 s. (b) Use integración numérica con t1t = 0.1 s para aproximar las respuestas obtenidas en la parte (a). (e) Use integración numérica con t1t = 0.01 s para aproximar las respuestas obtenidas en la parte (a). 3.90 Se dispara un proyectil de 20 kg desde el suelo con componentes de velocidad Vx = 100 mis y vy = 49 mis. La magnitud de la fuerza de arrastre aerodinámico es C¡vI2, donde e es una constante. Si el alcance del proyectil es de 600 m, ¿cuál es el valor de la constante C? (Use integración numérica con t1t = 0.01 s para calcular la trayectoria.)

y

H~

y I

'--y-------' 100 mis

~,

i

. 1

----------------600m---------------· P3.90

-x

P3.87


134 134

CAPíTULO ACELERACiÓN CAPíTULO 3 FUERZA, MASA MASA Y ACELERACiÓN

Resumen Resumen del del capítulo capítulo La fuerza total sobre un cuerpo cuerpo es igual igual al producto producto de de su masa masa La fuerza externa externa total sobre un por la la aceleración centro de masa masa respecto respecto a un un marco marco de referencia por aceleración de su centro de referencia inercial: inercial: :EF = = ma.

Ec. Ec. (3.4) (3.4)

Un marco marco de referencia referencia es inercial inercial si en puede aplicar Un en él se puede aplicar la segunda segunda ley expresada de esa Un marco marco de referencia que traslada con expresada de esa forma. forma. Un de referencia que se traslada con velocivelocidad constante constante respecto dad respecto a un un marco marco inercial inercial también también es inercia!. inercial. Al expresar la la segunda segunda ley de Newton en un sistema coordenado coordenado se obobAl expresar Newton en un sistema tienen ecuaciones escalares escalares del tienen las las ecuaciones del movimiento: movimiento:

Coordenadascartesianas Coordenadas cartesianas Ec. Ec. (3.5)

Componentesnormal tangencial Componentes normal y tangencial dv dv :EFtt = m-, :EF m-, dt

Ec. Ec. (3.7)

Coordenadaspolares Coordenadas polares Ec. (3.9) (3 .9)

Ec. (3.10) Ec. (3.10)

cuerpo se limita fijo, la componente componente Si el movimiento movimiento de de un un cuerpo limita a un un plano plano fijo, fuerza total cero. En en de la fuerza total normal normal al plano plano es igual igual a cero. En el movimiento movimiento en línea componentes de fuerza total línea recta, recta, las las componentes de la la fuerza total perpendiculares perpendiculares a la línea línea son iguales cero y la la componente componente tangente la línea línea es igual igual al producto producto son iguales a cero tangente a la de la aceleración del cuerpo a lo largo de la masa masa por por la la aceleración del cuerpo largo de de la línea línea..

....•---------------lProblemas

'--------------~_1

de repaso repasop.•••••• Problemas de 1'-_ _ _ _...IL. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _----'

3.91 En una una misión misión futura, futura, una una nave espacial se aproxima 3.91 En nave espacial aproxima superficie de un un asteroide asteroide que que pasa cerca de a la superficie pasa cerca de la la Tierra, Tierra, Justo Justo antes de aterrizar, aterrizar, la nave nave desciende desciende a velocidad constante resantes velocidad constante respecto a la superficie superficie del asteroide asteroide y su empuje empuje hacia abajo es pecto hacia abajo de 0.01 0.01 N. El computador computador disminuye el empuje de disminuye empuje a 0.005 0,005 N, N, y interferómetro láser a bordo bordo determina determina que que la aceleración el interferómetro láser aceleración de de nave respecto respecto a la superficie superficie es ahora ahora de 10-66 m/sla nave de 5 x 10m/ s2 hacia hacia abajo. ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración gravitatoria abajo. gravitatoria del del asteroide asteroide cerca cerca de su superficie? superficie?

P3.91


PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO REPASO

a a

3.92 Una locamotora tira 3.92 Una locamotora de "cremallera" "cremallera" tira de de tres tres vagones vagones de de turistas hasta la cumbre una montaña. La turistas hasta cumbre de de una montaña. La masa masa de de cada cada vagón, pasajeros, es de 10 Mg vagón, incluidos incluidos sus sus pasajeros, Mg Y las las fuerzas fuerzas de fricción por las ruedas de los fricción ejercidas ejercidas por las ruedas los vagones vagones son son insignificaninsignificantes. 1, 2 Y 3 si (a) tes. Determine Determine las las fuerzas fuerzas en en los los acoplamientos acoplamientos (a) mueve a velocidad la locomotora locomotora se mueve velocidad constante; constante; (b) (b) la la locomotolocomotora acelera hacia arriba a 1.2 1.2 m/ m/s-, ra acelera hacia arriba s2 .

135 135

3.95 Si m AA = 10 kg, = 40 kg Y el coeficiente 3.95 kg, mB mB = coeficiente de fricción fricción cinética entre entre todas todas las las superficies superficies es P-k = 0.11, 0.11, ¿cuál ¿cuál es la cinética aceleración aceleración de de B a lo largo largo de la la superficie superficie inclinada? inclinada?

y 1-

P3.95 P3.95

3.96 En pesa 20 lb, pesa 100 lb Y el coefi3.96 En el Probo Probo 3.95, 3.95, si A pesa lb, B pesa Yel coeficiente todas las ciente de de fricción fricción cinética cinética entre entre todas las superficies superficies es P-k = 0.15, resbala hacia hacia 0.15, ¿cuál ¿cuál es la tensión tensión en en la cuerda cuerda cuando cuando B resbala abajo abajo sobre sobre la la superficie superficie inclinada? inclinada?

P3.92 P3.92

3.93 El automóvil automóvil de de la la figura figura viaja viaja a velocidad constante ha3.93 velocidad constante hacia arriba arriba sobre sobre el segmento segmento recto de camino camino a la izquierda. izquierda. Si cia recto de del vehículo vehículo continúan continúan ejerciendo ejerciendo la misma misma los neumáticos neumáticos del fuerza tangencial tangencial sobre sobre el camino camino después después de que que el vehículo. vehículo. fuerza cresta, y viaja viaja ahora ahora sobre sobre el segmento segmento recto ha pasado pasado la cresta, recto de camino a la derecha, derecha, ¿cuál ¿cuál será será la aceleración aceleración del del automóvil? automóvil? camino

3.97 Para investigar investigar propiedades materiales se usa 3.97 Para propiedades de materiales usa una una pispistola de de gas gas que que acelera acelera proyectiles altas velocidades. velocidades. El El proyectola proyectiles a altas proyecmantiene en en su lugar lugar mientras mientras se bombea gas a una alta bombea gas una alta til se mantiene presión en la parte izquierda del del tubo tubo y simultáneamente simultáneamente presión Po en parte izquierda se evacúa su su parte derecha. . El El proyectil libera y es acelerado acelerado evacúa parte derecha proyectil se libera por gas en en expansión expansión. . Suponga Suponga que que la la presión del gas gas está está por el gas presión p del relacionada con el volumen que ocupa ocupa por medio de la relarelacionada con volumen V que por medio relación p = constante, constante, donde donde 'Y es una constante. Si se puede ción p V~ V~ = una constante. puede ignorar la la fricción, fricción, demuestre demuestre que que la velocidad velocidad del del proyectil en ignorar proyectil en esta posición esta posición x es 2poAxÓ 2poAxÓ ni(y - 1) ni(y

v= v=

XÓ-I - xyy-I- I

'

donde m es la masa masa del del proyectil área de de la la sección sección donde proyectil y A es el área transversal del del tubo. tubo. transversal

¡¡ f 5°

(1XÓ- I - 1) 1) (1

Proyectil

8° P3.93 P3.93

v

3.94 El El portaaviones 91000 tons tons (una (una ton ton equivaequiva3.94 portaaviones Nimitz Nimitz pesa pesa 91000 2000 lb). lb). Está Está viajando viajando a su su velocidad velocidad máxima máxima de de aproximaaproximale a 2000 damente 30 nudos equivale a 6076 6076 pie/h) cuando se damente nudos (un (un nudo nudo equivale pie/ h) cuando apagan sus sus motores. motores. Si el agua agua ejerce ejerce una fuerza de de arrastre arrastre apagan una fuerza OOOv lb, lb, donde donde vv es la velocidad velocidad del del portaaviones en pie/s, de 20 OOOv portaaviones en pie/ s, ¿qué distancia distancia recorre recorre éste éste antes antes de detenerse? detenerse? ¿qué

•• ¡m!!::::[

I

::.::::::::=-.::? =":::::;:;:

} - --

::±;;;;D~~~;;;;;;;;;;;;n

x--'I,1

--x


P3.97

136

CAPíTULO 3 FUERZA FUERZA. MASA MASA Y ACELERACiÓN ACELERACIÓN CAPíTULO

3.98 Los pesos de los bloques bloques mostrados mostrados son WAA = 120 120 lb 3.98 superficies son lisas. Determine Determine la Y W B = 20 lb, Y sus superficies aceleración del bloque bloque A y la tensión tensión en la cuerda. cuerda. aceleración

3.101 3.101 Suponga Suponga que se va a diseñar diseñar la vía de un lazo vertical de 40 pies de radio. radio. Si se decide que, por seguridad, seguridad, la fuerza hacia hacia abajo abajo ejercida ejercida sobre sobre un pasajero pasajero por su asiento asiento en la parte parte superior superior del lazo debe ser de por lo menos la mitad mitad de su peso, ¿cuál es la mínima mínima velocidad velocidad segura segura de los carros carros en la parte parte superior del lazo? superior

A

P3.98

3.99 Un transbordador transbordador espacial espacial de 100 Mg está en órbita órbita 3.99 cuando sus motores motores se encienden, encienden, ejerciendo ejerciendo un empuje empuje T = cuando lOi-- 20j + lOk lOk (k (kN) durante 2 s. Ignore Ignore el cambio cambio resultante lOi N) durante resultante masa.. Al final de los dos segundos, segundos, el combustible combustible está en su masa agitándose en los tanques transbordador. ¿Cuál ¿Cuál es el aún agitándose tanques del transbordador. cambio en la velocidad cambio velocidad del centro centro de masa masa del transbordador transbordador (incluyendo el combustible combustible que contiene) contiene) debido debido al encendido (incluyendo encendido de los motores motores durante durante 2 s?

P3.101

3.102 Si se quieren 3.102 quieren diseñar diseñar los vagones vagones de un tren tren de manera manera que curva para que se inclinen inclinen al entrar entrar a una una curva para lograr lograr la máxima máxima comodidad ¿cuál es la relación entre el ángulo ángulo relación entre modidad de los pasajeros, pasajeros, ¿cuál IX ex de inclinación inclinación deseada, deseada, la velocidad velocidad vv del tren tren y el radio radio de curvatura curvatura instantáneo instantáneo p de la vía? a

3.100 En la Fig. Fig. 3.100, el elesquiador acuático entra 3.100 esquiador acuático entra a la rampa rampa con una una velocidad velocidad de 25 mi/h mi / h paralela paralela a la superficie superficie de la ramrampa. Ignorando fricción y suponiendo suponiendo que que la cuerda cuerda de arrastre arrastre Ignorando la fricción no ejerce fuerza fuerza sobre sobre él una una vez que toca toca la rampa, rampa, calcule calcule salto desde el extremo la longitud longitud horizontal horizontal de su salto extremo de la rampa rampa..

•...... ~.~.~~.-'-~JP~~ ~--_~"~~i-" ~ ~l __

~

__

20 20 pies pies

I~

__

-..J

·1

P3.100 P3.100

P3.102 P3.102

3.103 3.103 Si un un automóvil automóvil viaja viaja a 30 mi/h mi/ h por por un un camino camino recto recto el coeficiente coeficiente de de fricción fricción estática estática entre entre sus sus neumáticos neumáticos y el y el camino camino es Jl.JJ.ss = 0.8, 0.8, ¿cuál ¿cuál es es la máxima máxima aceleración aceleración negativa negativa que que el conductor conductor puede puede obtener obtener al aplicar aplicar los los frenos? frenos?


PROBLEMAS DE REPASO PROBLEMAS

Siel automóvil del Probo 3.103 toma curva circular circular 3.104 Si el automóvil toma una una curva peraltada de 100 pies de radio, desaceleración no peraltada radio, ¿cuál es la desaceleración tangencial máxima máxima que el conductor conductor puede lograr al aplicar aplicar los pu<::de lograr tangencial frenos?

137

angular de la barra está en radianes. radianes. La posición posición angular barra ranurada ranurada es componentes radial 11O = 2t 2t rad. rad. Determine Determine las componentes radial y transversal transversal de fuerza externa externa total ejercida sobre sobre el deslizador deslizador cuando cuando 11O = la fuerza total ejercida 120°.

Para determinar determinar el coeficiente coeficiente de fricción fricción estática estática entre entre 3.105 Para materiales, se coloca coloca una una pequeña pequeña muestra muestra de uno uno de los dos materiales, materiales sobre sobre un disco horizontal superficie en contaccontachorizontal con su superficie materiales otro; luego se gira el disco partiendo to con la del otro; partiendo del reposo reposo aceleración angular angular constante constante de 0.4 rad/s-. rad/s 2 • Si se decon una aceleración termina que la pequeña pequeña muestra sobre el disco después después muestra resbala resbala sobre termina coeficiente de fricción? fricción? de 9.903 s, ¿cuál es el coeficiente

P3.108 P3.108

3.109 En el Probo 3.108, suponga suponga que la barra curva se en3.109 barra curva cuentra en en un un plano componentes radial plano vertical. vertical. Determine Determine las componentes radial cuentra y transversal fuerza total ejercida sobre sobre A por las barras transversal de la fuerza total ejercida barras curva y ranurada cuando t = 0.5 s. curva ranurada cuando P3.105 P3.105

girar la barra en un un plano 3.106 En la Fig. P3.106, P3.106, al girar barra lisa en plano horizontal, la cuerda cuerda se enrolla enrolla sobre sobre el cilindro cilindro fijo y atrae atrae al horizontal, collarín A de 1 kg. La barra barra parte parte del reposo reposo en t = O en la collarín posición mostrada mostrada y gira con aceleración aceleración angular angular constante. constante. posición tensión en la cuerda cuerda en t == 1 s? ¿Cuál es la tensión

lancha se mueve respecto agua con velocidad respecto al agua velocidad 3.110 La lancha constante de magnitud constante magnitud IVBI = 30 pie/s. pie/s. La magnitud magnitud de la velocidad del esquiador esquiador (S) de 170 lb respecto lancha es IVslB1 IVslB1 locidad respecto a la lancha = 10 pie/s. cuerda de 36 pies es de 40 lb, Yla = 10 pie/s. La tensión tensión en la cuerda Y la fuerza horizontal ejercida sobre sobre el esquiador esquiador por agua es perpor el agua fuerza horizontal ejercida pendicular dirección de su movimiento agua. Si pendicular a la dirección movimiento respecto respecto al agua. otras fuerzas fuerzas horizontales, aceleración del se ignoran ignoran otras horizontales, ¿cuál es la aceleración esquiador respecto agua en la dirección dirección de su movimiento? esquiador respecto al agua movimiento?

P3.106 P3.106

suponga que el coeficiente coeficiente de fric3.107 En el Probo 3.106, suponga cinética entre entre el collarín collarín y la barra ¿Cuál es barra es P,k JLk = 0.2. ¿Cuál ción cinética tensión en la cuerda cuerda cuando cuando t == 1 s? la tensión deslizador A de 1 kg es empujado empujado por 3.108 El deslizador por la barra barra ranuranurada a lo largo de la barra curva. La barra curva está en en el plano barra curva. barra curva plano rada horizontal, y su perfil es descrito por r = = 2(0/27r 1) m, donde donde O horizontal, 2(11/27r + 1) 11

P3.11 O O P3.11

3.111 En el Probo 3.110, ¿cuál es la magnitud 3.111 magnitud de la fuerza horizontal ejercida por el agua agua sobre sobre el esquiador? esquiador? horizontal ejercida


aatelesilla telesilla efectúa efectúa trabajo bajo al aumentar aumentar la energía potencial gravitatoria vitatoria de los esquiadoesquiadores. res. Al descender descender la colina, éstos convierten convierten su energía potencial potencial en cinética. cinética. Para Para evitar evitar una una velocidad velocidad excesiva, deben deben esquiar esquiar de modo modo que la nieve efectúe efectúe sobre sobre ellos trabatrabajo negativo, reduciendo jo negativo, reduciendo su energía cinética. Aquí Aquí energía cinética. usaremos usaremos los conceptos conceptos energía para para de trabajo trabajo y energía analizar movimientos analizar los movimientos de los cuerpos. cuerpos.

L


: I~ I

II Capítulo Capítulo

41 4\

'Métodos energéticos energéticos métodos energéticos usan en casi todas todas las áreas os métodos energéticos se usan áreas

L L

ciencia y de la ingeniería. ingeniería. Los cambios cambios de energía energía de la ciencia deben deben considerarse considerarse en el diseño diseño de cualquier cualquier dispositivo dispositivo para esquiadores móvil, incluyendo móvil, incluyendo las telesillas para esquiadores y los esquíes. esquíes. Los conceptos conceptos de energía energía y conservación conservación de la parte en el estudio energía energía se originaron originaron en gran gran parte estudio de la mecánica clásica. clásica. Una segunda Una simple transformación transformación de la segunda cánica lugar a una ecuación que induce induce las ley de Newton Newton da lugar una ecuación definiciones de trabajo, energía cinética cinética (energía (energía debida debida trabajo, energía definiciones cuerpo) y energía energía potencial (energía al movimiento movimiento de un cuerpo) potencial (energía debida a la posición cuerpo). Esta ecuación relacioEsta ecuación relaciodebida posición de un cuerpo). na el trabajo efectuado por fuerzas externas externas que actrabajo efectuado por las fuerzas túan sobre un cuerpo cuerpo con el cambio cambio en la magnitud túan sobre magnitud de considerasu velocidad. velocidad. Esta Esta relación relación puede puede simplificar simplificar considerablemente solución de problemas intervienen blemente la solución problemas en los que intervienen fuerzas que dependen dependen de la posición cuerpo, como como fuerzas posición de un cuerpo, fuerzas gravitatorias fuerzas ejercidas ejercidas por por resorresorlas fuerzas gravitatorias o las fuerzas tes. Además, estudiar en este capítulo capítulo las deducciones deducciones Además, al estudiar y aplicaciones aplicaciones se desarrollará desarrollará su intuición intuición respecto respecto a la energía y sus transformaciones, obtendrá una energía transformaciones, y obtendrá una mejor mejor viaplicación de esas ideas a otros otros campos. campos. sión de la aplicación

~~~~------~--~----------------------------------------139


-

140 140

CAPíTULO CAPíTULO 4 MÉTODOS MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS

11--.0._ ---"---"--'-1 Trabajo Trabajo y y energía ene rgía cinética ci nética I'-~---1-----------.......--.......1

1

4.1 4.1 Principio del del trabajo trabajo y la energía energía Hemos usado la segunda para relacionar relacionar la aceleración Hemos usado segunda ley de Newton Newton para aceleración del centro centro de masa masa de un cuerpo cuerpo con su masa masa y las fuerzas fuerzas externas externas sobre sobre él. Mostraremos puede transformarse Mostraremos ahora ahora cómo cómo esta ecuación ecuación vectorial vectorial puede transformarse matemáticamente una forma matemáticamente en una forma escalar escalar que es muy útil en ciertas ciertas circunscircunstancias. Comenzamos Comenzamos con la segunda segunda ley de Newton forma tancias. Newton en la forma

dv ~F = m ~F=m-

dt' dt'

(4.1)

producto punto punto de ambos y tomamos tomamos el producto ambos miembros miembros con la velocidad: velocidad:

dv

~F·v = m-·v. ~F·v=m-·v. dt

(4.2)

Expresando velocidad en el miembro Expresando la velocidad miembro izquierdo izquierdo de esta ecuación ecuación como como dr/dt dr/dt y observando observando que

d dv dv dv dv dv dv --(v· (v . v) = -- .. vv + vv·. -- = v) = =2 2-- .. vv dt dt dt dt ' dt dt

podemos escribir podemos escribir la Ec. (4.2) como como (4.3)

donde v22 == v . v es el cuadrado cuadrado de la magnitud término de la donde magnitud de v. El término izquierda es el trabajo trabajo expresado expresado en términos términos de la fuerza fuerza externa externa total total izquierda sobre el cuerpo cuerpo y del desplazamiento desplazamiento infinitesimal infinitesimal dr. Integrando, Integrando, sobre (4.4)

donde v) v) y V22 son las magnitudes magnitudes de la velocidad velocidad en las posiciones r, y donde posiciones r) Evaluando la integral integral de la derecha, derecha, obtenemos obtenemos r22•• Evaluando U

1 2 1 2 = -mv 2 2 - -mv 2 l'

U

=

(4.5)

donde donde

I

r2

~F·dr

r,


(4.6)

4.2 POTENCIA 4 .2 TRABAJO TRABAJO Y POTENCIA

, ,

cuando el centro centro de masa cuerpo se mueve de la es el trabajo trabajo hecho hecho cuando masa del cuerpo 2 se llama posición llama energía energía cinética. cinética. Las posición ~If, 1 a la posición posición r22•• El término término !mv ~mv2 dimensiones del trabajo, consiguiente las de la energía energía cinética, cinética, son dimensiones trabajo, y por por consiguiente (fuerza) x (longitud). (longitud). En unidades expresa en lb-pie. (fuerza) unidades inglesas, inglesas, el trabajo trabajo se expresa En unidades expresa en newton-metro, (J). unidades SI, el trabajo trabajo se expresa newton-metro, o joule joule (1). La Ec. (4.5) establece que el trabajo cuerpo que se mueve de r, trabajo sobre un cuerpo rl cambio en su energía energía cinética. cinética. Esto a r22 es igual al cambio Esto recibe el nombre nombre de principio energía. Si se puede evaluar el trabajo, puede evaluar trabajo, este principrinciprincipio del trabajo trabajo y la energía. pio nos permite determinar el cambio cambio en la magnitud permite determinar magnitud de la velocidad velocidad de un cuerpo cuerpo cuando cuando éste se mueve de una otra. También También se puede una posición posición a otra. puede igualar realizado por fuerzas externas externas sobre sobre un' conjunto igualar el trabajo trabajo total total realizado por fuerzas un conjunto cuerpos con el cambio cambio en la energía energía cinética cinética total sistema si las lasfuerde cuerpos total del sistema fuerzas internas internas no efectúan efectúan trabajo trabajo neto. fuerzas de fricción fricción internas neto. Las fuerzas internas pueefectuar trabajo sistema (véase el Ej. den efectuar trabajo neto neto sobre sobre un sistema Ej. 4.3). energía relaciona cambios de Si bien el principio principio del trabajo trabajo y la energía relaciona los cambios posición obtener otra otra información posición con los de velocidad, velocidad, no sirve para para obtener información acercomo el tiempo ca del movimiento, movimiento, como tiempo requerido requerido para para moverse moverse de una una posiposiotra. Además, como el trabajo ción a otra. Además, como trabajo es una una integral integral respecto respecto a la posición, posición, evaluarse cuando cuando las fuerzas fuerzas que lo efectúan efectúan se conocen conocen como como sólo puede puede evaluarse funciones de la posición. ciertos funciones posición. A pesar pesar de esto, el principio principio es muy útil en ciertos problemas determinarse con facilidad. facilidad. problemas porque porque el trabajo trabajo puede puede determinarse

Trabajo y potencia 4.2 Trabajo potencia En esta sección analizamos analizamos cómo cómo determinar determinar el trabajo sobre un trabajo hecho hecho sobre cuerpo, tanto general como como en varios comunes e imporcuerpo, tanto en general varios casos especiales comunes importantes. fuerzas que actúan actúan tantes. También También definimos definimos la potencia potencia hecha hecha por por las fuerzas sobre un cuerpo cuerpo y mostramos cómo se calcula. calcula. mostramos cómo

Evaluación del del trabajo trabajo Evaluación Consideremos un cuerpo cuerpo en movimiento curvilíneo (Fig. 4.1 a) y especifiConsideremos movimiento curvilíneo quemos su posición coordenada s medida largo de su trayectoria quemos posición por por la coordenada medida a lo largo trayectoria e" su velocidad velocidad es desde O. En términos términos del vector vector unitario unitario tangencial tangencial el'

(a) (a)

ds ds -et. vv= = -et. dt dt

Como v == dr dr / dt, dt, podemos dt a fin de obteobteComo podemos multiplicar multiplicar la velocidad velocidad por por dI ner una expresión para dr que describe describe un desplazamiento desplazamiento infiniuna expresión para el vector vector dr infinitesimal a lo largo largo de la trayectoria trayectoria (Fig. 4.1b): 4.1 b): dr = vdt = dset. ds e.. dr = vdt =

El trabajo fuerzas externas externas que actúan actúan sobre sobre el cuerpo cuerpo a trabajo hecho hecho por por las fuerzas consecuencia del desplazamiento desplazamiento dr dr es consecuencia

1,

~F· dr ~F· dr

=

(~F· (~F· et)ds et)ds

=

(b)

Figura 4.1 Figura

~Ftds, ~Ftds,

donde 'L,F, í:.F, es la componente componente tangencial fuerza total. donde tangencial de la fuerza total. Por Por tanto, tanto, al http://carlos2524.jimdo.com/

Coordenada s y vector (a) Coordenada vector unitario unitario tangente. tangente. (b) Desplazamiento Desplazamiento infinitesimal infinitesimal dr.

141

142


moverse cuerpo de moverse el cuerpo

SI

a

S2

(Fig. trabajo realizado realizado es (Fig. 4.lc), 4.lc), el trabajo (4.7)

(e)

Figura 4.1 4.1 (e) El trabajo trabajo realizado realizado de de SI SI a S2 está está determinado por determinado por la componente componente tangencial tangencial de las las fuerzas fuerzas externas externas. .

integral de la componente componente tangencial tangencial de la fuerza total El trabajo trabajo es la integral fuerza total respecto distancia a lo largo largo de la trayectoria. trayectoria . Así, Así, el trabajo trabajo efectuado respecto a la distancia efectuado es el área definida por por la gráfica gráfica de la fuerza fuerza tangencial tangencial de SI a S2 (Fig. área definida (Fig. 4.2a). componentes de defuerza perpendiculares a la trayectoria 4.2a). Las Las componentes fuerza perpendiculares trayectoria no trabajan. Observe Observe que í.:.F; es opuesta bajan. que si 'EF; opuesta a la dirección dirección del movimiento movimiento en trayectoria (frenado), trabajo es negativo negativo (Fig. (Fig. 4.2b). 4.2b). alguna alguna parte parte de la trayectoria (frenado), el trabajo í.:.Ft es constante constante entre entre SI y S2' sólo el producto Si 'EF S2' el trabajo trabajo es sólo producto de la fuerza fuerza total por el desplazamiento desplazamiento (Fig. 4.2c): total tangencial tangencial por (Fig. 4.2c): ==:EFt(si u =' :E Ft(Si -

Figura 4.2 4.2 trabajo es igual igual al área área definida definida (a) El trabajo por la gráfica gráfica de la fuerza fuerza tangencial tangencial en por en función de de la distancia distancia a lo largo largo de función de la trayectoria. trayectoria. (b) Si la fuerza fuerza tangencial opuesta a la (b) tangencial es opuesta dirección del del movimiento movimiento se efectúa efectúa dirección trabajo negativo negativo. . trabajo trabajo realizado realizado por por una una fuerza fuerza (e) El trabajo tangencial constante constante es igual igual al producto producto tangencial de la fuerza fuerza por por la distancia. distancia. de

SI). . SI)

Fuerza Fuerza tangencial tangencial constante constante

(4.8) (4.8)

L~

Ol------'-------'---S O t - - - - - - ' - - - - -----1-- - s SI

s2

(a) (a)

Of----~_-+-------r'---_+_S O f - ---'Ir--...,.:-------;"----+- s

(b) (h)

o 1------'------'---- S Ol------'-------'---S s2 s2

SI

(e)

siguientes ejemplos trabajo y la energía En los siguientes ejemplos aplicamos aplicamos el principio principio del trabajo y usamos usamos las Ecs. (4.7) Y trabajo. Se debe considerar y (4.8) para para evaluar evaluar el trabajo. considerar el uso de este principio principio para para relacionar relacionar el cambio cambio de velocidad velocidad de un cuerpo cuerpo cambio de su posición. implicar dos pasos: con el cambio posición. Esto Esto suele suele implicar pasos: Identifique las fuerzas efectúan trabajo. l. Identifique fuerzas que que efectúan trabajo. En un diagrama de cuerpo libre determine lasfuerzas las fuerzas externas que efectúan trabajo sobre el cuerpo. 2. Aplique Aplique el principio energía. Iguale trabajo total total principio del trabajo trabajo y la energía. Iguale el trabajo hecho en un cambio de posición con el cambio en la energía cinética. hecho cambio posición cambio


4.2 4.2 TRABAJO TRABAJO Y Y POTENCIA POTENCIA

- '-·-'< -··-· -· ·----···,,-'\-· - -'- 1

Ejemplo 4.1

1 ...._ _ _

It -__________

--¡

recipiente A A de 400 400 Ibde lbde la la Fjg. Fig. 4.3 4.3 parte parte del reposo en en la posición posición ss == Oy Oyestá El recipiente está horizontal FF = = 160 160-- lOs lb por el el cilindro cilindro hidráulico. hidráulico. El sometido a una fuerza horizontal coeficiente de fricción cinética entre el recipiente recipiente y el el piso es es Jl.k JLk = = 0.26. coeficiente es la velocidad del recipiente recipiente cuando cuando éste ha alcanzado alcanzado la posición ¿Cuál es s == 4 pies?

Figura 4.3

A

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Identifique las fuerzas fuerzas que que efectúan efectúan trabajo trabajo En la Fig. (a) aparece aparece Identifique diagrama de cuerpo cuerpo libre del recipiente. recipiente. Las fuerzas fuerzas tangentes tangentes a su trayectoria trayectoria el diagrama ejercida por cilindro hidráulico hidráulico y la fuerza fuerza de fricción. por el cilindro fricción. La aceleson la fuerza fuerza ejercida ración recipiente en la dirección dirección vertical vertical es cero, por 400 lb. por lo que N == 400 ración del recipiente

A

(a) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre libre del recipiente. recipiente.

Aplique Aplique el el principio principio del del trabajo trabajo yy la la energía energía Sea uu la magnitud magnitud de la velocidad Usando laEc. laEc. (4.7) para para evaluar evaluar el trabajo trabajo velocidad del recipiente recipiente en en ss = 4 pies. Usando obtenemos obtenemos I

I

1

4 4

oo

1

4 4

oo

(F (F -- J.LkN)ds ¡'¿kN)ds

11

2 2== -mv -mv

22

[(160 - lOs) lOs) -- (0.26)(400)]ds (0.26)(400) ]ds

O,

(400) == -1 (400) vv22. • 22

32.2 32.2

Evaluando Evaluando la la integral integral yy despejando despejando uu obtenemos obtenemos uu == 4.81 4.81 pie/s. pie/ s.

·~ , http://carlos2524.jimdo.com/

143 143

144

CAPíTULO MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS CAPíTULO 4 MÉTODOS

Ejemplo 4.2 Las dos cajas cajas de la Fig. 4.4 se liberan liberan del reposo. reposo. Sus masas masas son mAA = 40 kg Ym superficie Y mBB = 30 kg, Yel Yel coeficiente coeficiente de fricción fricción cinética cinética entre entre la caja caja A y la superficie inclinada JLk = 0.15. Halle Halle su velocidad velocidad cuando cuando se han han desplazado desplazado 400 mm. mm . inclinada es J.f.k

Figura 4.4

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Determinaremos Determinaremos la velocidad velocidad de dos maneras. maneras. método Dibujando Primer método Dibujando los diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre libre de las cajas cajas aisladas y aplicando trabajo y la energía, energía, podemos podemos obtener obtener dos ecuaaplicando el principio principio del trabajo ciones en términos cable. términos de la magnitud magnitud de la velocidad velocidad y la tensión tensión en el cable. Segundo método Podemos Segundo método Podemos dibujar dibujar un solo diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre de las dos cajas, principio del trabajo cajas, el cable y la polea, polea, y aplicar aplicar el principio trabajo y la energía energía al sistema sistema completo. completo. SOLUCiÓN SOLUCiÓN método La Fig. (a) es el diagrama Primer método diagrama de cuerpo cuerpo libre de la caja caja A. Las fuerzas trabajo cuando cuando la caja caja se mueve hacia hacia abajo abajo son las tantanfuerzas que efectúan efectúan trabajo genciales T, la componente genciales a su trayectoria: trayectoria: la tensión tensión T, componente tangencial tangencial del peso mAg mAg superficie sen 20° y la fricción fricción J.f.kN. JLkN. Como Como la aceleración aceleración de la caja caja normal normal a la superficie es cero, N = mAg cero, N mAg cos 20°. Sea v la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de la caja caja cuando cuando

(a) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre de A. A.


TRABAJO Y POTENCIA POTENCIA 4.2 TRABAJO 4.2

145 145

movido 400 mm mm.. Usando Usando la Ec. (4.7) para para determinar determinar el trabajo, trabajo, ésta se ha movido igualamos el trabajo trabajo hecho sobre A con el cambio cambio en su energía energía cinética: igualamos \

1.

2 S

'L.Ftds

=

SI

1 1 -mv~ - -mvi

2

:

2 B

(b) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre de B. B_

efectúan trabajo trabajo sobre sobre la caja caja B son su peso mBg mBg Y Yla tensión Las fuerzas que efectúan la tensión T(Fig. b). La magnitud magnitud de su velocidad velocidad es igual que la de la caja caja A. trabajo ' T (Fig. b). A. El trabajo sobre B es igual al cambio cambio en su energía energía cinética: cinética: hecho sobre

1.

2 S

S

'L.Ftds

1

•

=

1 1 -mv~ - -mvi

2

0.40.4

1°°

T)ds (mBg - T)ds

2

=

:

1 1 -mBv2 2 - O. -mBv

(4.10)

2

Sumando las Ecs. (4.9) y (4.10) eliminamos T y obtenemos (4 .10) eliminamos obtenemos Sumando

[40 sen 20° - (0.15)(40) cos 20° + 30](9.81)(0.4) 30](9.81)(0.4)

1

= 22(40 + 30)v 30)v2.2 .

Despejando Despejando u, la velocidad velocidad de las cajas cajas es u = 2.07 mis. m i s. Segundo Segundo método método Dibujamos Dibujamos el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre del sistema sistema que que consiste en las cajas, polea de la Fig. (e). (c) . Observe Observe que la tensión tensión cajas, el cable y la polea del cable no aparece aparece en este diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre. libre. Las reacciones reacciones en el soporte porte de pasador pasador de la polea polea no efectúan efectúan trabajo trabajo porque porque el soporte soporte no se mueve. mueve. El trabajo trabajo total total realizado realizado por por las fuerzas fuerzas externas externas sobre sobre el sistema sistema cuando cuando las cajas se mueven 400 mm es igual al cambio cambio en la energía energía cinética cinética total total del sistema: as nAg

eie do

1

[40 sen20° sen 20° - (0.15)(40)cos20° (0.15)(40) cos 20° + 30](9.81)(0.4) 30](9.81)(0.4) = 2(40 2(40 + 30)v 30)v2•2 . Esta Esta ecuación ecuación es idéntica idéntica a la obtenida obtenida aplicando aplicando el principio principio del trabajo trabajo y la energía energía a las cajas cajas aisladas. aisladas. COMENTARIO COMENTARIO A menudo menudo se encontrará encontrará que que es más más fácil aplicar aplicar el principio principio del trabajo trabajo y la la energía energía a un un sistema sistema completo completo que que a sus partes partes por por separado. separado. Sin embargo, embargo, como como veremos veremos en el siguiente siguiente ejemplo, ejemplo, las fuerzas fuerzas internas internas en un un sistema sistema pueden pueden efectuar efectuar un un trabajo trabajo neto. neto.


B B

(e) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre libre del

conjunto. conjunto.

146 146

CAPíTULO 4 M MÉTODOS ENERGÉTICOS CAPíTULO ÉTODOS ENERGÉTICOS

Ejemplo 4.3 Las cajas cajas A y B de la Fig. 4.5 se liberan liberan del reposo. reposo. El coeficiente fricción coeficiente de fricción cinética entre entre A y B es Jl-k, fricción entre entre B y el plano plano inclinado inclinado puede puede ignocinética Jl.k, y la fricción rarse. ¿Cuál ¿Cuál es su velocidad velocidad cuando cuando las cajas cajas se han movido movido una una distancia distancia b? rarse.

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Aplicando el principio principio del trabajo trabajo y la energía energía a cada cada caja, caja, podemos podemos obtener obtener Aplicando ecuaciones en términos tensión en el cable y la velocidad. velocidad. dos ecuaciones términos de la tensión

SOLUCiÓN SOLUCiÓN

Figura 4.5

Dibujamos los diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre de las cajas cajas en las Figs. Figs. (a) y (b). La Dibujamos aceleración de A normal normal a la superficie superficie inclinada inclinada es cero, cero, por por lo que N == mAg mAg aceleración cos (J. 8. Sea u la magnitud magnitud de la velocidad velocidad cuando cuando las cajas cajas se han movido movido una una distancia b. b. El trabajo trabajo hecho hecho sobre sobre A es igual al cambio cambio en su energía energía cinética, cinética, distancia (4.11)) (4.11

trabajo hecho hecho sobre sobre B es igual al cambio cambio en su energía energía cinética, cinética, y el trabajo (4.12)

Sumando estas ecuaciones ecuaciones para para eliminar despejando u obtenemos obtenemos eliminar T y despejando Sumando v

J2gb[(mB = J2gb[(mB

mA) sene sen - mA) é

2J1.kmA coSe]/(mA coSeJ/(mA - 2J1.kmA -

mB)' . + mB)

Diagrama de cuerpo cuerpo libre de A. (a) Diagrama A.

COMENTARIO COMENTARIO intentamos resolver resolver este ejemplo ejemplo aplicando aplicando el principio principio del trabajo trabajo y la enerSi intentamos sistema consistente consistente en las cajas, cajas, el cable y la polea polea (Fig. c), e), obtenemos obtenemos gía al sistema resultado incorrecto. incorrecto. Igualando Igualando el trabajo trabajo hecho hecho por por las fuerzas fuerzas externas externas un resültado cambio en la energía energía cinética cinética total total del sistema, sistema, obtenemos obtenemos al cambio

bll b oo

mBg sen e ds ds mBg

lb o

1

2 m s g sene sen ds ds = = -mAv mAg - mAv

2

é

2

1 2 -mBv2 : + -mBv

2

Diagrama de cuerpo cuerpo libre de B. (b) Diagrama

Pero si sumamos sumamos las ecuaciones ecuaciones de trabajo trabajo y energía energía para para las cajas cajas aisladas aisladas Pero -Ecs. (4.11) y (4.12)(4.12)- obtenemos obtenemos la ecuación ecuación correcta: correcta: -Ecs. (4.11) [~mBg

sen e)b

~ (mAg

sen 8)bJ, +,[-(2J1.km~g cos8)bJ, =

Trabajo efectuado efectuado por por Trabajo fuerzas externas externas las fuerzas

Diagrama de cuerpo cuerpo libre del (e) Diagrama conjunto. conjunto.

1

"2mAv-

o

1

+ "2mBv

2

Trabajo Trabajo efectuado efectuado por por las fuerzas fuerzas internas internas

fuerzas de fricción fricción interna interna que las cajas cajas ejercen ejercen entre entre sí efectúan efectúan trabajo trabajo Las fuerzas neto sobre sobre el sistema. sistema. No tomamos tomamos en cuenta cuenta este trabajo trabajo al aplicar aplicar el principio principio neto trabajo y la energía energía al diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre del sistema. sistema. del trabajo


.

4.2 TRABAJO Y POTENCIA y

Trabajo realizado por varias fuerzas

n

147

Hemos visto que si la componente tangencial de la fuerza externa total sobre un cuerpo se conoce en función de la distancia a lo largo de su trayectoria, el principio del trabajo y la energía permite relacionar un cambio de posición con el cambio de velocidad del cuerpo. Sin embargo, para ciertos tipos de fuerzas no sólo se puede determinar el trabajo sin conocer la componente tangencial de la fuerza en función de la distancia sobre la trayectoria, sino que incluso no es necesario conocer la trayectoria. Dos ejemplos importantes son el peso y la fuerza ejercida por un resorte.

1, (xl' Yl' z¡)

\

\

-,

x \

\ 2 .• (x2, Y2, z2) z (a) y

Peso a

Para evaluar el trabajo hecho por el peso de un cuerpo, orientamos un sistema coordenado cartesiano con el eje y hacia arriba y suponemos que el cuerpo se mueve de la posición 1 con coordenadas (x¡, y¡, z.) a la posición 2 con coordenadas (x2, h, Z2) (Fig. 4.6a). La fuerza ejercida por su peso es F = -mgj (otras fuerzas pueden actuar sobre el cuerpo, pero nos interesa sólo el trabajo hecho por su peso). Como v = dr/dt, podemos multiplicar la velocidad, expresada en coordenadas cartesianas, por dt a fin de obtener una expresión para el vector dr: .

dr = Formando

dX. dy , dZ) ( -dt I + -dt J + -dt k

el producto

.. dy J + dz = dx 1+

dt

¡

r2

F· dr=

jY2

./

<,

\

~

<, X

(b)

+ dz

k) = -mg dy, 1 a la posición

(a) Cuerpo en movimiento entre dos posiciones. (b) El trabajo efectuado por el peso es igual para cualquier trayectoria.

=mg dy .

y,

r¡

Evaluando la integral, obtenemos el trabajo cuerpo al moverse entre dos posiciones:

I U = -mg(Y2

./

\

Figura 4.6

el trabajo realizado al moverse el cuerpo de la posición 2 se reduce a una integral con respecto a y: U =

-----.

/\

k.

de F y dr,

F . dr = (-mg j) . (dx i + dy j

1 r. ./

-

y¡).

I

efectuado

por el peso de un

(4.13)

El trabajo es simplemente el producto del peso por el cambio en la altura del cuerpo. Es negativo si la altura aumenta y positivo si disminuye. Observe que el trabajo efectuado es el mismo independientemente de la trayectoria que siga el cuerpo entre las posiciones 1y 2 (Fig. 4.6b). No es necesario conocer la trayectoria para determinar el trabajo hecho por el peso de un cuerpo, basta conocer las alturas relativas de las dos posiciones. ¿Qué trabajo realiza el peso de un cuerpo si se toma en cuenta su variación con la distancia desde el centro de la Tierra? En coordenadas polares, podemos escribir el peso de un cuerpo a una distancia r desde el centro «íe la Tierra como (Fig. 4.7)

F

Figura 4.7

F

=

mgR~

Peso de un cuerpo expresado en coordenadas polares.

---2-er' r


148 148

CAPíTULO 4 MÉTODOS MÉTODOS EN ENERGÉTICOS CAPíTULO ERG ÉTICOS

Usando expresión para coordenadas polares, vector Usando la expresión para la velocidad velocidad en coordenadas polares, el vector dt es dr == v dI dr dr

= (dr-dr dt dt

de)e er + r -d eo) dt dt = dr e, er + rde rdi) eo. e, eo dt . dt

(4.14)

escalar de F y dr es El producto producto escalar

··F·dr F·dr

= =

22 mgR mgR dr , . (dre, (dr e, + +rdeeo) = -Tdr, rdeeo) =

-Te, .

mgR2 mgR2 -Ter (

)

-T

por integral con con respecto por lo que el trabajo trabajo se reduce reduce a una una integral respecto a r:

Evaluando la integral integral obtenemos obtenemos el trabajo Evaluando trabajo efectuado efectuado por por el peso de un cuerpo, considerando considerando la variación altura: cuerpo, variación del peso con la altura:

2(1 1)

=mgR U = mgR E E

-

-

rz r2

rl rl

.

(4.15)

independiente de la trayectoria entre las posiciones De nuevo, nuevo, el trabajo trabajo es independiente trayectoria entre posiciones Para evaluarlo, evaluarlo, sólo se necesita conocer la distancia distancia radial cuerpo 11yy 2. Para necesita conocer radial del cuerpo desde el centro centro de la Tierra Tierra en las dos posiciones. posiciones.

Resortes Supongamos que un resorte conecta un cuerpo Resortes Supo'ngamos resorte lineal conecta cuerpo a un soporte coordenadas polares fuerza sobre sobre el cuerpo cuerpo es porte fijo. En coordenadas polares (Fig. 4.8), la fuerza ro) e" e., F == --k(r k(r - ro)

donde k es la constante constante del resorte longitud del resorte donde resorte y ro es la longitud resorte sin estirar. Ec. (4.14), el producto escalar de F y dr es rar. Usando Usando la Ec. producto escalar dr = [-k(r ro) e,] er] . (dr e, er + rdt) -k(r - ro) ro) dr. F . dr [-k(r - ro) rde eo) = -k(r Figura 4.8 Figura

Fuerza ejercida por un resorte lineal coordenadas polares. expresada en coordenadas

Conviene expresar expresar el trabajo trabajo de un resorte alargamiento, Conviene resorte en términos términos de su alargamiento, definido por (Aunque esta palabra implicar un incredefinido por S == r - ro. (Aunque palabra suele implicar mento longitud, la usamos aquí para denotar cualquier cualquier cambio cambio de longimento de longitud, usamos aquí para denotar tud resorte. Un alargamiento alargamiento negativo longitud.) En términos tud del resorte. negativo reduce reduce la longitud.) términos efectuado es de esta variable, variable, F . dr == --kSdS, kSdS, y el trabajo trabajo efectuado U

=

r2 r2F· drdr = ¡S2 -kS -kS dS.

II r,

r¡

s, SI

soporte fijo es El trabajo trabajo realizado realizado por por un resorte resorte unido unido a un soporte

(4.16) donde SI Y S2 son el alargamiento alargamiento en las posiciones donde posiciones inicial y final. http://carlos2524.jimdo.com/

4.2 TRABAJO 4.2 TRABAJO Y POTENCIA POTENCIA

trabajo No se necesita necesita conocer conocer la trayectoria trayectoria del cuerpo cuerpo para para determinar determinar el trabajo realizado realizado P9r el resorte. resorte. Recuerde Recuerde que la Ec. (4.16) se aplica aplica sólo a un resorte resorte lineal. En Fig. 4.9 determinamos determinamos el trabajo trabajo hecho hecho al estirar estirar un resorte lineal calculando calculando el área área definida definida por por la gráfica gráfica de kS en función función de S. kS

Figura 4.9

~=::=:=:~---"'-------

S

Trabajo Trabajo efectuado al estirar un resorte lineal de SI a S2' (Si (Si S2 S2 > SI' SI' el trabajo trabajo realizado sobre sobre el resorte es positivo, por lo trabajo realizado por por el resorte lo que el trabajo es negativo.) es

Potencia Potencia La potencia por potencia es la razón razón con que se efectúa efectúa trabajo. trabajo. El trabajo trabajo hecho hecho por las fuerzas externas externas que actúan actúan sobre sobre un cuerpo cuerpo durante durante un desplazamiendesplazamiento infinitesimal infinitesimal dr es hF·dr. hF·dr. Obtenemos Obtenemos la potencia potencia P P dividiendo dividiendo esta expresión expresión entre entre el intervalo intervalo de tiempo dt dt durante durante el cual tiene lugar lugar el desplazamiento: desplazamiento: tiempo P = = hF·v. hF·v.

(4.17)

Ésta Ésta es la potencia potencia transmitida transmitida a o desde el cuerpo, cuerpo, dependiendo dependiendo de si P es positiva negativa. En unidades newtonpositiva o negativa. unidades SI, la potencia potencia se expresa expresa en newtonmetro entre metro entre segundo, segundo, que es un joule joule entre entre segundo segundo (J/s) (l/s) o watts watts (W). En unidades cabaunidades inglesas se expresa expresa en libra-pie libra-pie entre entre segundo segundo o bien bien en caballos de potencia potencia (hp), que es igual a 746 W o unos unos 550 lb-pie/s. lb-pie/s. Observe cambio Observe en la Ec. (4.3) que la potencia potencia es igual a la razón razón de cambio de la energía energía cinética cinética del cuerpo: cuerpo:

(~mv2).

~ (~mv2). 2

P = = ~ dt

La transmisión energía transmisión de potencia potencia hacia hacia o desde un cuerpo cuerpo ~ace hace que su energía cinética aumente aumente o disminuya. disminuya. Esta Esta relación relación permite permite escribir escribir el promedio promedio de la potencia como potencia respecto respecto al tiempo tiempo durante durante un intervalo intervalo de ti a t22 como

Pmedia Pmedia

=

--1. --1. 1

t2 tz - ti ti

12

/1

P dt

=

--1 vi 1

1 2 -m d(v d(v2). ). -m v~ vf 2 v~

t2 tz - ti ti

Este resultado resultado establece establece que la potencia potencia media media transmitida transmitida a o desde un cuerpo tiempo es igual al cambio energía cuerpo durante durante un intervalo intervalo de tiempo cambio en su energía dividido entre tiempo: cinética, cinética, o al trabajo trabajo efectuado, efectuado, dividido entre el intervalo intervalo de tiempo:

u t2 -

(4.18) ti


149

150

CAPíTULO ERGÉTICOS CAPíTULO 4 MÉTODOS MÉTODOS EN ENERGÉTICOS

Ejemplo 4.4 yy

El esquiador esquiador de la Fig. Fig. 4.10 4.10 viaja viaja a 15 mis mis en en la la posición Cuando alcanza alcanza El posición 1. Cuando extremo a nivel nivel de la rampa salta y alcanza alcanza una componente el extremo rampa en la posición posición 2, salta una componente vertical posición ververtical de velocidad velocidad de 3 mi miss (no (no tome tome en en cuenta cuenta el cambio cambio en en la posición verresistencia aerodinámica tical tical de su su centro centro de masa masa debido debido al salto). salto). Ignore Ignore la resistencia aerodinámica y la la fricción fricción en en sus sus esquíes. esquíes. (a) ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de su velocidad velocidad cuando cuando deja deja la la rampa en la posición rampa en posición 2? (a) (b) sobre la posición posición 2 en punto más (b) ¿Cuál ¿Cuál es su su altura altura h sobre en el punto más alto alto de su su salto, salto, sea en en la posición posición 3? o sea


Figura 4.10

(a) peso del del esquia(a) Si ignoramos ignoramos las las fuerzas fuerzas aerodinámicas aerodinámicas y de fricción, fricción, sólo sólo el peso esquiador efectúa trabajo entre entre las las posiciones 2, Y Y el principio del trabajo trabajo y la dor efectúa trabajo posiciones 1 y 2, principio del energía permite calcular su su velocidad velocidad justo antes de saltar. saltar. justo antes energía permite calcular (b) posición 2 y cuando posición (b) Entre Entre el tiempo tiempo que que deja deja la la rampa rampa en en la posición cuando llega llega a la posición 3, única fuerza peso, por por lo que Y la componente 3, la única fuerza es su su peso, que a a,x = O OY componente horizontal horizontal de su velocidad velocidad es constante. constante. Esto Esto significa significa que que conocemos conocemos la magnitud magnitud de de su su de velocidad posición 3, porque porque se está horizontalmente en ese velocidad en en la posición está moviendo moviendo horizontalmente ese punto. Por consiguiente, consiguiente, podemos aplicar el principio del trabajo trabajo y la energía energía punto. Por podemos aplicar principio del a su posición 2 y la posición posición 3 para su movimiento movimiento entre entre la la posición para determinar determinar h h..

SOLUCiÓN SOLUCiÓN (a) Usando Ec. (4.13) (4.13) para evaluar el trabajo trabajo realizado su peso entre (a) Usando la Ec. para evaluar realizado por por su peso entre la posición posición 1 y la posición posición 2, principio del 2, el principio del trabajo trabajo y la energía energía es y¡) --mg(Y2 mg(Y2 - YI)

--m(9.81)(2 m(9.81)(2 - 20) 20)

1 2 -mv22 = -mv 22

=

1 2 -mv¡ I : -mv

22

1 2 1 2 Zmv Zmv22 - Zm(15) Zm(15) .

Despejando punto 2 antes Despejando V2, V2, la la magnitud magnitud de su velocidad velocidad en en el punto antes de de que que salte salte es de 24 .04 mi posición 24.04 mis.s. Después Después de de que que salta, salta, la la magnitud magnitud de de su su velocidad velocidad en en la la posición (24.04)2 + 24.23 mi mis.s. = 24.23 2 es v; = .J (24.04)2 (b) La La magnitud magnitud de su velocidad velocidad en en la posición igual a la componente componente hori(b) posición 3 es igual horizontal velocidad en posición 2: V3 = .04 mis. zontal de su velocidad en la posición = 24 24.04 mis. Aplicando Aplicando el trabajo trabajo posición 2 y la 3, y la energía energía a su movimiento movimiento entre entre la la posición

(w

-m(9.81)h -m(9.81)h

= ~m(24.04)2 ~m(24.04)2 - ~m(24.23)2, ~m(24.23)2,

obtenemos h = = 0.459 0.459 m m.. obtenemos

COMENTARIO COMENTARIO Aunque ignoramos ignoramos los los efectos efectos aerodinámicos aerodinámicos, , un esquiador está está realmente soAunque un esquiador realmente sometido tanto paralelas a su trayectoria metido a considerables considerables fuerzas fuerzas aerodinámicas, aerodinámicas, tanto paralelas su trayectoria (arrastre) perpendiculares a ella ella (levantamiento) (arrastre) como como perpendiculares (levantamiento). .


4.2 POTENCIA 4.2 TRABAJO TRABAJO Y POTENCIA

151 151

Ejemplo 4.5 anza ente vertea

n2? alto,

uiay la

ción ntal e su ese rgía

ntre

dispositivo de forja forja de la Fig. 4.11, el martillo En el dispositivo martillo de 40 kg se levanta levanta a la libera del reposo. reposo. Cae y golpea golpea una una pieza de trabajo trabajo cuando posición 1 y se libera cuando está posición 2. La constante constante del resorte resorte k = 1500 1500 N Nlm, tensión en cada en la posición l m, y la tensión cada 150 N cuando cuando el martillo martillo está en la posición posición 2. Ignore Ignore la fricción. resorte es de 150 fricción . (a) ¿Cuál es la velocidad velocidad del martillo martillo justamente golpee la pieza (a) justamente antes de que golpee pieza trabajo? de trabajo? (b) Si Si toda toda la energía energía cinética cinética del martillo martillo se transfiere transfiere a la pieza pieza de trabajo, (b) trabajo, duración del impacto impacto es de 0.02 s? ¿qué potencia potencia media media se transfiere transfiere si la duración

mm mm


1 1

martillo y los dos resortes resortes efectúan efectúan trabajo sobre él. Podemos Podemos aplicar El peso del martillo trabajo sobre aplicar el principio principio del trabajo trabajo y la energía energía al movimiento movimiento del martillo martillo de la posición el posición posición 2 para para determinar determinar su velocidad velocidad en la posición posición 2. 1 a la posición SOLUCiÓN SOLUCiÓN

Figura 4.11

(a) Sea ro la longitud longitud de uno de los resortes resortes sin estirar. estirar. En la posición posición 2, la (a) resorte es de 150 150 N Y Ysu longitud es de 0.3 m. De la relación relación entre su longitud entre tensión en el resorte la tensión en un resorte resorte lineal y su alargamiento, alargamiento, 150 = k(0.3 k(0.3 - ro) = (1500)(0 (1500)(0.3 ro), 150 .3 - ro), obtenemos ro == 0.2 m. Los valores valores de los alargamientos alargamientos de cada cada resorte obtenemos resorte en las posiciones posiciones 1 y 2 son S S¡I = vi '" (0.4)2 (0.4)2 + (0.3)2 (0.3)2 - 0.2 = 0.3 m y S2 S2 = 0.3 - 0.2 las = 0.1 m. De la Ec. (4. (4.16), total realizado realizado sobre sobre el martillo martillo por = 16), el trabajo trabajo total por los dos resortes resortes de la posición posición 1 a la posición posición 2 es

Uresortes Uresortes

~k(Si - S?)] S?)] = -(1500)[(0.1)2 -(1500)[(0.1)2 = 2 [ - ~k(Si

(0.3)2] = 120 N-m. (0.3)2]

trabajo realizado realizado por por el peso de la posición posición 1 a la posición posición 2 es positivo El trabajo positivo e producto del peso yy el cambio cambio de altura: altura: igual al producto U peso

mg(O.4 m) = (40)(9.81)(0.4) (40)(9.81)(0.4) = 156.96 N-m. = mg(O.4

principio del trabajo trabajo y la energía, energía, Del principio

U

resortes+ U peso reso rtes + U

1 2 mV2 = 22mv2

156.96 = 120 + 156.96

1

2

2mv¡ 2m VI ::

1

O, 2(40) vi -- O,

obtenemos V2 V2 = = 3.72 mis mis. . obtenemos (b) Toda Toda la energía energía cinética cinética del martillo transfiere a la pieza de trabajo, (b) martillo se transfiere trabajo, y Ec.. (4.18) indica indica que la potencia potencia media media es igual a la energía energía cinética cinética del martila Ec martidividida entre entre la duración duración del impacto: impacto: llo dividida 0-

ia

(112)(40 kg)(3.72 m mls)2 / s)2 Pmedia Pmedia

0.02 s

(kilowatts). . 13.8 kW (kilowatts)


152 152


..... Problemas 1I----------------a ---------------' "'"-_________________--ltProblemas 4.1 La La nave Enterprise obtiene nave estelar estelar ficticia ficticia Enterprise obtiene su energía energía combicombinando nando materia materia y antimateria, antimateria, logrando logrando una una conversión conversión complecompleta en una ta de de masa masa en en energía. energía. La La energía energía contenida contenida en una cantidad cantidad materia de masa masa m está está dada dada por por la la ecuación ecuación de Einstein Einstein de materia donde e es la velocidad velocidad de de la la luz luz (3 x 108 mis). mis). E = m¿', donde La masa masa del del Enterprise aproximadamente kg. (a) La Enterprise es de aproximadamente 5 x 109 kg. ¿Cuánta masa masa debe debe convertirse convertirse en en energía energía cinética cinética para para acelerar acelerar ¿Cuánta nave del del reposo reposo a l/lO l/lO de de la la velocidad velocidad de la luz? luz? la nave (b) ¿Cuánta ¿Cuánta masa masa debe debe convertirse convertirse en en energía energía cinética cinética para para aceacelerar lerar un un avión avión comercial comercial de 200 200 000 000 lb del del reposo reposo a 600 600 mi/h? mi/h?

4.3 La La fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre una una partícula partícula cargada cargada por por un un 4.3 campo campo magnético magnético es

F

= qv x B, =

donde q y v son son la carga carga y la la velocidad velocidad de la la partícula donde partícula y B B es el vector de de campo campo magnético. magnético. Si las las otras otras fuerzas fuerzas sobre sobre la partícuvector partícuson insignificantes, insignificantes, use el principio principio del del trabajo trabajo y la energía energía la son use para demostrar demostrar que que la magnitud magnitud de la la velocidad velocidad es constante. constante. para 4.4 Un Un vehículo vehículo de carreras carreras de 2000 2000 lb puede puede acelerar acelerar del del rere4.4 poso a 300 300 mi/h mi/h en en un un cuarto cuarto de de milla. milla. poso ¿Cuánto trabajo trabajo se efectúa efectúa sobre sobre el vehículo? vehículo? (a) ¿Cuánto (b) Si se supone supone como como una una primera primera aproximación aproximación que que la fuerza fuerza (b) tangencial ejercida ejercida sobre sobre el vehículo vehículo es constante, constante, ¿cuál ¿cuál es la tangencial magnitud de la la fuerza? fuerza? magnitud

P4.1

Un cráter cráter de meteorito meteorito en en Winslow, Winslow, Arizona, Arizona, tiene tiene 4000 4.2 Un 4000 pies de diámetro. diámetro. U Una explosión de de energía energía E al nivel nivel del del terreno terreno pies na explosión abre un un cráter cráter cuyo cuyo diámetro diámetro es proporcional proporcional Una exa El/3. El / 3. Una abre plosión de 1 ton ton de TNT, TNT, con una energía energía de 3.1 x 109 lb-pie, plosión con una lb-pie, abre un un cráter cráter de aproximadamente aproximadamente pies de de diámetro. diámetro. abre 30 pies ¿Cuántas toneladas TNT serían serían equivalentes equivalentes a la energía energía (a) ¿Cuántas toneladas de TNT liberada por por el impacto impacto del del meteorito? meteorito? liberada meteorito tenía tenía una una velocidad velocidad de de 25 000 000 piel pie/s s al chocar chocar (b) Si el meteorito con el suelo suelo y se supone supone como como primera primera aproximación aproximación que toda toda que con energía cinética cinética dio dio como como resultado resultado la formación formación del del cráter, cráter, su energía ¿cuál era era la masa del meteorito? meteorito? ¿cuál masa del

P4.4 P4.4

Suponga que que todo todo el peso peso del del vehículo vehículo del del Probo Probo 4.4 4.4 actúa actúa 4.5 Suponga sobre sus sus ruedas ruedas traseras traseras (motrices) (motrices) y que que los los coeficientes coeficientes de de sobre fricción entre entre las las ruedas ruedas y el camino camino son!J.s son P-s = !J.k P-k = 0.9. 0.9. Use Use fricciór¡. principio del del trabajo trabajo y la energía energía para para determinar determinar la velocidad velocidad el principio máxima en en mi/h mi/h que que en en teoría teoría puede puede alcanzar alcanzar el carro carro en un un máxima cuarto de de milla. milla. ¿Cuál ¿Cuál puede puede ser ser la causa causa de la discrepancia discrepancia enencuarto tre su respuesta respuesta y la velocidad velocidad real real de 300 300 mi/h? mi/h? tre Suponiendo como como primera primera aproximación aproximación que la fuerza 4.6 Suponiendo que fuerza tangencial ejercida ejercida sobre sobre el vehículo vehículo del del Probo Probo 4.4 4.4 es constante, constante, tangencial ¿cuál es la la potencia potencia máxima máxima transmitida transmitida al vehículo vehículo cuando cuando éste éste ¿cuál acelera del del reposo reposo a 300 300 milh? milh? acelera

P4.2 P4.2

4.7 Un Un avión avión de 10 Mg Mg (megagramo) (megagramo) debe debe alcanzar alcanzar una una velovelo4.7 cidad de mis para para despegar. despegar. Si la la fuerza horizontal ejercida ejercida cidad de 60 mis fuerza horizontal por su motor motor es de de 60 kN kN Y Yse ignoran las las otras otras fuerzas fuerzas horizonhorizonpor se ignoran tales, ¿qué ¿qué longitud longitud de pista tales, pista se requiere? requiere?


a s t. d

4.2 TRABAJO Y POTENCIA

un

4.8 Se quiere diseñar un cohete auxiliar que permita que el avión del Preb. 4.7 alcance su velocidad de despegue usando sólo 100 m de pista. Para los cálculos preliminares, se puede suponer que la masa combinada del cohete y del avión es constante e igual a 10.5 Mg. ¿Qué componente horizontal de empuje debe proporcionar el cohete?

153

4_13 El tubo de 200 mm de diámetro de la Fig. P4.13 está evacuado a la derecha del pistón de 8 kg. A la izquierda, el tubo contiene gas a una presión Po = 1 X 105 Pa (N/m2). La fuerza F aumenta con lentitud, moviendo el pistón 0.5 m hacia la izquierda. Después se elimina la fuerza y el pistón se acelera hacia la derecha: Si se ignora la fricción y se supone que para el gas se cumple que p V = constante, ¿cuál es la velocidad del pistón cuando ha regresado a su posición original?

el u-

ía te.

I!

re-

:;;/

l·

Gas

Pistón

:: 1m

::Q;

ff

;F::

1)

·1 P4.13

za

la P4.8

4.9 La fuerza ejercida sobre un automóvil por una barrera contrachoques al golpear el automóvil contra ésta es F = -(1000 + 10 OOOs) lb, donde s es la distancia en pies medida desde el punto de contacto inicial. Si se quiere diseñar la barrera de manera que pueda detener un auto de 5000 lb que viaje a 80 mi/h, ¿cuál es la longitud efectiva necesaria de la barrera? Es decir, ¿cuál es la distancia necesaria de la barrera para que detenga al auto?

4.14 En el Probo 4.13, si se supone que la presión del gas está relacionada con su volumen por la expresión p V = constante mientras el gas es comprimido (proceso isotérmico) y por la expresión p V 1.4 = constante mientras se está expandiendo (proceso isentrópico), ¿cuál es la velocidad del pistón cuando regresa a su posición original? 4.15 El sistema mostrado se libera del reposo. Aplicando el principio del trabajo y la energía a cada peso, determine la magnitud de la velocidad de los pesos cuando se han movido 1 pie.

P4.9

.4

a e d

4.10 La componente de la fuerza externa total tangente a la trayectoria de un cuerpo de 2 lb es EFt = 4s - s2 lb, donde s es su posición medida a lo largo de la trayectoria en pies. En s = O, la velocidad del cuerpo es v = 10 pie/s. (a) ¿Qué trabajo se efectúa sobre el cuerpo cuando éste se mueve de s = O a s = 4 pies? (b) ¿Cuál es su velocidad cuando s = 4 pies?

n

4.11 La componente de la fuerza externa total tangente a la trayectoria de un cuerpo de 10 kg es EFt = 100 - 20t N, donde t está en segundos. Cuando t = O, su velocidad es v = 4 mis. ¿Qué trabajo se efectúa sobre el cuerpo de t = 2 a t = 4 s? 4.12 La componente de la fuerza externa total tangente a la trayectoria de un cuerpo de masa m es EFt = +c», donde v es la magnitud de la velocidad del cuerpo y c es una constante. Cuando la posición es s = O, su velocidad es v = vo. ¿Qué trabajo se efectúa cuando el cuerpo se mueve de s = Oa s = sr?

P4.15

4.16 En el Probo 4.15, ¿cuál es la tensión en el cable durante el movimiento del sistema? 4.17 Resuelva el Probo 4.15 aplicando el principio del trabajo y la energía al sistema formado por los dos pesos, el cable y la polea.


154


4.18 Se quiere "parachoques" que detenga quiere diseñar diseñar un "parachoques" detenga un paquete quete de 50 lb que se mueve a 10 10 pie/s pie/s a 6 pulg del punto punto de contacto. contacto. Si la fricción fricción es insignificante, insignificante, ¿cuál es la constante constante de resorte resorte k necesaria? necesaria?

4.23 La caja libera del reposo reposo con el caja de 20 kg mostrada mostrada se libera resorte es k = = 100 N/m. N/m. resorte resorte sin estirar. estirar. La constante constante del resorte Ignore Ignore la fricción. fricción. (a) ¿Qué distancia superficie inclidistancia recorre recorre la caja caja a lo largo largo de la superficie nada antes de detenerse? nada antes detenerse? (b) ¿Qué velocidad recorrido? velocidad máxima máxima alcanza alcanza en su recorrido?

P4.18 P4.18

4.18, ¿qué constante constante de resorte resorte se requiere requiere 4.19 En el Probo 4.18, coeficiente de fricción fricción cinética cinética entre entre el paquete paquete y el piso si el coeficiente JLk = 0.3 Y el paquete paquete entra contacto con el resorte resorte moes JLk entra en' contacto viéndose a 10 pie/ pie/s? viéndose s? sistema mostrado mostrado se libera libera del reposo reposo con el resorte 4.20 El sistema resorte estirar. Si la constante constante del resorte resorte es k = 30 lb/pie, lb/pie, ¿qué sin estirar. velocidad máxima máxima alcanzan alcanzan los pesos? velocidad

30°

P4.23 P4.23

4.24 Resuelva Resuelva el Probo 4.23 si el coeficiente coeficiente de fricción 4.24 fricción cinétiea entre entre la caja caja y la superficie superficie es JLk = 0.12. ca 4.25 Resuelva Resuelva el Probo 4.23 si el coeficiente coeficiente de fricción 4.25 fricción cinétiea entre entre la caja caja y la superficie superficie es JLk = 0.16.y ca 0.16 .y la tensión tensión en el resorte es de 20 N cuando cuando la caja caja se libera. resorte libera. caja de 30 kg de la figura figura parte parte del reposo 4.26 La caja reposo en la posiposi1. Ignore Ignore la fricción. fricción. Para Para los casos casos (a) y (b), determine determine ción 1. trabajo efectuado efectuado sobre sobre la caja caja entre entre las posiciones el trabajo posiciones 1 y 2 Y magnitud de la velocidad velocidad de la caja caja en la posición posición 2. la magnitud

P4.20 P4.20

Suponga que no se conoce conoce la constante constante de resorte resorte k del 4.21 Suponga sistema del Probo 4.20. Si el sistema sistema se libera libera del reposo reposo con sistema resorte sin estirar estirar y se observa observa que el peso de 50 lb cae 2 pies el resorte antes de rebotar, rebotar, ¿qué valor valor tiene k? antes

4.22 En el Ej. 4.5, 4.5, suponga suponga que la longitud longitud sin estirar estirar de cada cada resorte resorte es de 200 mm y que el dispositivo dispositivo se quiere quiere diseñar diseñar de manera que el martillo martillo golpee golpee la pieza de trabajo trabajo a 5 mi mis.s. DeterDetermanera constante k de resorte resorte necesaria. necesaria. mine la constante

(a)

(b) P4.26 P4.26

4.27 Resuelva Resuelva el Probo 4.26 si el coeficiente coeficiente de fricción fricción cinétiea entre entre la caja caja y la superficie superficie inclinada inclinada es JLk = ca = 0.2. 0.2.


4 .2 TRABAJO 4.2 TRABAJO Y POTENCIA POTENCIA

el

li-

4.28 4.28 Las masas masas de los tres bloques bloques son m mAA = = 40 kg, mB mB = = 16 kg Y me = 12 kg. Ignore 16kg Yme Ignore la masa masa de la barra barra que mantiene mantiene a Cen reposo. ~a La fricción es insignificante. insignificante. Aplicando Aplicando el principio principio del del trabajo trabajo y la energía energía aA aA y B por por separado, separado, determine determine la magnitud de sus velocidades velocidades cuando cuando se hayan hayan movido movido 500 mm.

155 155

4.32 En la Fig. P4.32 4.32 P4.32 los coeficientes coeficientes de fricción fricción entre entre la caja caja y la rampa rampa son Jl. = 0.3 Y y JLk Jl.k = = 0.28. de 160 kg Y JLss = para que la caja (a) ¿Qué tensión tensión T Too debe ejercer ejercer el malacate malacate para caja empiece empiece a moverse moverse hacia hacia arriba arriba a lo largo largo de la rampa? rampa? (b) Si la tensión tensión permanece permanece con el valor valor T Too después después de que la caja caja comienza comienza a deslizarse, deslizarse, ¿qué trabajo trabajo total total se efectúa efectúa sobre sobre la caja caja al desplazarse desplazarse ésta ésta una una distancia distancia s == 3 m hacia hacia arriba, arriba, velocidad resultante resultante de la caja? caja? y cuál es la velocidad

23 P4.32 P4.32

P4.28 P4.28

ti-

iel

l-

y

4.29 4.29 Resuelva Resuelva el Probo 4.28 aplicando aplicando el principio principio del trabajo trabajo y la energía formado por A, B, el cable que los conecenergía al sistema sistema formado por A, ta y la polea. polea. 4.30 4.30 En el Probo 4.28 determine determine la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de A y B cuando cuando se han han movido movido 500 mm si el coeficiente coeficiente de fricción cinética cinética entre entre todas todas las superficies superficies es JLk Jl.k = 0.1. Estrategia: El procedimiento Estrategia: procedimiento más sencillo es aplicar aplicar el principrincipio del trabajo trabajo y la energía energía a A y B por por separado. separado. Si se tratan tratan como un solo sistema, sistema, se debe tomar tomar en cuenta cuenta el trabajo trabajo efectuado por por las fuerzas fuerzas internas internas de fricción. fricción. Véase el Ej. 4.3.

4.33 En el Probo 4.32, si el malacate 4.33 malacate ejerce ejerce una una tensión tensión T = T Too (1 (1 + O.ls) O.ls) después después de que la caja caja empieza empieza a deslizarse, deslizarse, ¿qué trabajo total se efectúa trabajo total efectúa sobre sobre la caja caja cuando cuando ésta se desplaza desplaza una distancia distancia s = 3 m hacia arriba a lo largo largo de la rampa, una hacia arriba rampa, y cuál es la velocidad velocidad resultante resultante de la caja? caja? 4.34 La masa 4.34 masa del cohete cohete de la Fig. P4.34 P4.34 es de 250 kg Y y su empuje empuje constante constante es de 6000 N. La longitud longitud total total de la rampa rampa de lanzamiento lanzamiento es de 10 m. Ignorando Ignorando la fricción, fricción, la fuerza fuerza de arrastre arrastre y el cambio cambio de masa masa del cohete, cohete, determine determine la magnitud magnitud de su velocidad velocidad cuando cuando llega al final de la rampa. rampa.

f

2m

collarín de 2 kg mostrado mostrado parte parte del reposo reposo en la posi4.31 El collarín ción 1 y se desliza desliza hada hada abajo abajo por por el alambre alambre rígido rígido liso. El eje y apunta apunta hacia hacia arriba. arriba. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad del collarín collarín cuando alcanza alcanza la posición posición 2? cuando

!

yy

(5,5,2) (5,5,2) m m P4.34 P4.34

6

)-------+------x r-------------~-----------x

2

zz

P4.31


156

CAPíTULO MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS CAPíTULO 4 MÉTODOS

4.35 El automóvil mostrado viaja viaja a 40 mi/h mi/h en automóvil de 2400 lb mostrado la posición posición 1. Si el efecto resistencia aerodináefecto combinado combinado de la resistencia aerodinátangencial ejercida mica sobre sobre el aut·omóvil automóvil y la fuerza fuerza tangencial ejercida sobre sobre el camino por sus neumáticos neumáticos es una una fuerza tangencial neta neta nula nula camino por fuerza tangencial sobre vehículo, ¿cuál es su velocidad velocidad en la posición posición 2? sobre el vehículo,

demolición de 200 kg mostrada mostrada cuelga cuelga de un 4.39 La bola bola de demolición cable de 6 m. Si está en reposo reposo en la posición posición 1, ¿cuál es la magnimagnitud de su velocidad justo justo antes de golpear la pared en la posición 2?

P4.39 P4.39

P4.35 P4.35

4.36 En el Probo 4.35, si el efecto resistencia efecto combinado combinado de la resistencia aerodinámica tangencial ejercida aerodinámica sobre sobre el automóvil automóvil y la fuerza fuerza tangencial ejercida sobre por sus neumáticos neumáticos es una una fuerza tangencial sobre el camino camino por fuerza tangencial constante vehículo en la dirección moviconstante de 400 lb sobre sobre el vehículo dirección de su movimiento, velocidad en la posición posición 2? miento, ¿cuál es su velocidad

4.40 En el Probo 4.39, ¿cuál es la tensión tensión máxima máxima en el cable durante movimiento de la bola bola de la posición posición 1 a la 2? durante el movimiento 4.41 Un conductor través de un conductor quiere quiere guiar guiar un automóvil automóvil a través necesita saber velocidad Voo se nelazo circular radio R y necesita circular de radio saber qué velocidad cesita en la entrada entrada del lazo para inercia para recorrer recorrer éste por por pura pura inercia cesita contacto con el carril. sin perder perder contacto carril. (a) ¿Qué valor valor debe tener tener Uo si se ignora ignora la fricción fricción y la resistencia aerodinámica? tencia aerodinámica? ¿Cuál es la velocidad velocidad resultante automóvil en la parte parte resultante del automóvil (b) ¿Cuál superior del lazo? superior

4.37 En la Fig. P4.37 P4.37 la bola bola de masa masa m se libera libera del reposo reposo· Determine el trabajo trabajo efectuado efectuado sobre sobre la bola en la posición posición 1. Determine bola fuerza ejercida ejercida por su peso; (b) por por la fuerza al llegar a la posición posición 2 (a) por sobre ella por cuerda. (c) (e) ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud sobre por la cuerda. magnitud de su velocidad velocidad en la posición posición 2?

\\ \\ \

L

\\ \\

P4.41

\ \ \ \

2

P4.37 P4.37

cuerda en la 4.38 En el Probo 4.37, ¿cuál es la tensión tensión en la cuerda posición 2? posición


44.2 .2 TRABAJO TRABAJO Y Y POTENCIA POTENCIA un 1-

2?

4_42 Suponga Suponga que que se se lanzan lanzan piedras piedras desde desde la la parte parte superior superior 4.42 de un un acantilado acantjlado de de 200 200 m m de de altura altura aa una una velocidad velocidad de 10 10 mis mis de en las las tres direcciones direcciones mostradas. mostradas. Ignorando Ignorando la la resistencia resistencia aeroaeroen el principio principio del trabajo trabajo y la la energía para para determidetermidinámica, use el la magnitud magnitud de la velocidad de de la piedra piedra justo justo antes de de llegar llegar nar la al suelo en cada caso. al

157 157

4.46 4.46 El El collarín collarín de de 20 20 lb lb mostrado mostrado parte parte del del reposo en en la la posiposición 11 con con el el resorte resorte sin sin estirar. estirar. La constante constante de de resorte resorte es es kk == 40 40 lb/pie. lb/pie. Ignore Ignore la la fricción. ¿Qué distancia distancia cae cae el el collarín? collarín?

Ca)

:----r-----.L)'b) -,Eo-i--.

;----.--

Ch)

~

(e) Ce)

200m 39

P4.42 P4.42

le

n

eia -s-

P4.46 P4.46

Una canica canica de masa masa m se desliza desde la posición posición de 4.43 Una largo de la superficie superficie lisa del cilindro cilindro mostrado. reposo en 1 a lo largo mostrado. (a) ¿Qué trabajo trabajo se efectúa efectúa sobre sobre la canica canica al resbalar resbalar ésta ésta de la posición posición 1 a la 2? (b) ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de la canica canica en la posición 2?

4.47 En el Probo 4.46, ¿qué velocidad velocidad máxima máxima alcanza alcanza el collarín? llarín? 4.48 ¿Cuál es la solución solución del Prob. Probo 4.46 si la tensión tensión en el 4.48 ¿Cuál resorte resorte en la posición posición 1 es de 4 lb? 4.49 El collarín collarín de 4 kg mostrado mostrado se suelta suelta del reposo reposo en la 4.49 posición 1. Ignore Ignore la fricción. fricción. Si la constante constante de resorte resorte es k posición kN/m y el resorte resorte no está está estirado estirado en la posición posición 2, ¿cuál ¿cuál = 6 kN/m es la velocidad velocidad del collarín collarín cuando cuando éste ha caído caído a la posición posición 2?

R R

a

P4.43 P4.43

4.44 4.44 En En el Probo 4.43, 4.43, ¿cuál ¿cuál es el valor valor del ángulo ángulo ael en en que que la canica abandona la la superficie superficie del del cilindro? cilindro? canica abandona 4.45 4.45 En En el Probo Probo 4.43, 4.43, ¿a ¿a qué qué distancia distancia del del centro centro del del cilindro cilindro golpea golpea la la canica canica el piso? piso?

P4.49 P4.49


158 158

CAPíTULO 4 MÉTODOS MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS CAPíTULO

EnelProb.4.49,silaconstantederesortees 4.50 En el Prob.4.49, si la constante de resorte es k = 44kN/m kN/m tensión en el ~I resorte resorte en la posición posición 2 es de 500 N, ¿cuál y la tensión es la velocidad velocidad del collarín collarín cuando cuando ha caído a la posición posición 2? es 4.51 En el el Probo 4.49, suponga suponga que no se conoce conoce la constante constante 4.51 resorte k. ,Si Si el resorte resorte no está estirado estirado en la posición posición 2 y de resorte velocidad del collarín collarín cuando cuando éste ha caído a la posición posición 2 la velocidad es de 4 mi mis, es s, ¿qué valor tiene k?

collarín de 2 kg mostrado mostrado está inicialmente inicialmente en reposo reposo 4.54 El collarín posición l. Una fuerza fuerza constante constante de 100 100 N se aplica aplica a la en la posición cuerda, ocasionando ocasionando que el collarín collarín se deslice hacia hacia arriba arriba sobre sobre cuerda, barra lisa vertical. vertical. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad del collarín collarín cuando cuando la barra alcanza la posición posición 2? alcanza

collarín de 10 10kg mostrado parte parte del reposo reposo en la posi4.52 El collarín kg mostrado resbala a lo largo largo de la barra barra lisa. El eje y apunta apunta hacia ción 1 y resbala arriba. La constante constante de resorte resorte es k == 100 100 N/ Nlmm y la longitud longitud arriba. resorte sin estirar estirar es de 2 m. ¿Cuál es la velocidad velocidad del collarín collarín del resorte cuando éste alcanza alcanza la posición posición 2? cuando y

2 (4,4,2)

ID

100 100 N

r--------------------r---------------------________ xx P4.54 P4.54

zz P4.52 P4.52

4.53, 4.53 Suponga Suponga que un cuerpo cuerpo está está unido unido a una una cuerda cuerda con con tensión constante constante T como como se muestra. muestra. La fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre el cuerpo cuerpo se puede puede expresar expresar en coordenadas coordenadas polares polares como como F = -T -T e., e" Demuestre Demuestre que el trabajo trabajo realizado realizado sobre sobre el cuerpo cuerpo cuando cuando éste se mueve mueve a lo largo largo de una una trayectoria trayectoria plana plana arbitraarbitraria desde desde una una posición posición radial radial rll a otra otra posición posición radial radial r22 es U = -T(r -T(r rl)· 2 2 -- r l)·

4.55 El collarín collarín de 10 kg mostrado mostrado parte parte del reposo reposo en la posiposi4.55 ción l. l. La La tensión tensión en la cuerda cuerda es de 200 N y el eje y señala señala hacia hacia arriba. arriba. Si la fricción fricción se puede puede ignorar, ignorar, ¿cuál ¿cuál es la magnimagnitud tud de la velocidad velocidad del collarín collarín cuando cuando éste alcanza alcanza la posición posición 2?

y

2 (4,4,2) (4,4,2) ID ID

(6,2, 1) ID ID (6,2,1) 200 N N 200

r----------------------~----------------------------x x

<,

"

T

zz P4.55 P4.55 P4.53 P4.53


4.2 TRABAJO TRABAJO Y Y POTENCIA POTENCIA 4.2

so la re do

4.56 Un mortero mortero accionado accionado por por un resorte resorte se usa para para lanzar lanzar al aire paguetes paguetes de fuegos artificiales artificiales de 10 lb. El paquete paquete parte parte del reposo reposo con el resorte resorte comprimido comprimido a una una longitud longitud de 6 pulgapulgadas; la longitud longitud no estirada estirada del resorte resorte es de 30 pulgadas. pulgadas. Si la constante constante de resorte resorte es k = 1300 1300 lb/pie, lb/pie, ¿cuál es la magnitud magnitud velocidad del paquete paquete cuando cuando sale del mortero? mortero? de la velocidad

159

4.59

En el Probo 4.58, suponga suponga que el sistema sistema se libera libera del reposo reposo con el peso A a nivel con la polea. polea. ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud velocidad de A cuando cuando ha caído caído 1 pie? de la velocidad

4.60 4.60 Una Una nave espacial espacial a 200 mi sobre sobre la superficie superficie de la Tierra tiene una una velocidad velocidad de escape Vese Vesc = = ..J2gRVr, ..J2gRVr, donde donde Tierra distancia desde el centro centro de la Tierra Tierra y RE = 3960 mi r es su distancia radio de la Tierra. Tierra. ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad es el radio de la nave cuando cuando alcanza alcanza la órbita órbita de la Luna, Luna, a 238 000 millas centro de la Tierra? Tierra? del centro V

ese .....

200mi{ -

P4.60

4.61 P4.56

Suponga que el mortero mortero del Probo 4.56 se quiere quiere diseñar diseñar 4.57 Suponga para lanzar lanzar el paquete paquete a una una altura altura de 150 150 pies sobre sobre su posición posición para Ignorando la fricción fricción y la fuerza fuerza de arrastre, arrastre, determine determine inicial. Ignorando constante de resorte resorte necesaria. necesaria. la constante

pedazo de material material desprendido desprendido por por el choque choque de un Un pedazo meteoro contra contra la Luna Luna tiene una una velocidad velocidad de 200 m/ m/ s respecto respecto meteoro centro de la Luna Luna cuando cuando está está a 1000 km de la superficie. superficie. al centro ¿Cuál es la magnitud magnitud de su velocidad antes de chocar chocar con ¿Cuál velocidad justo justo antes superficie lunar? lunar? (La aceleración aceleración debida debida a la gravedad gravedad en la la superficie superficie de la Luna Luna es de 1.62 m/s m/s?2 y el radio Luna es superficie radio de la Luna 1738 km.) km.) de 1738 1000 km km {{ 1000

.~

.~

200 mis 200

4.58

1-

?

sistema de la figura figura se libera libera del reposo reposo en la posición El sistema posición mostrada. Los pesos son WAA = 40 lb Y WBB = 300 lb. Ignore Ignore mostrada. fricción. ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de A cuando cuando la fricción. elevado 4 pies? se ha elevado P4.61 pies----l 66 pies-----l

órbita circular circular de radio radio r alrededor alrededor 4.62 Un satélite satélite en una una órbita Tierra tiene una una velocidad velocidad Vv == ..JgR~/r, donde donde RE es el de la Tierra radio de la Tierra. Tierra. Suponga Suponga que se usa un cohete cohete para para transferir transferir radio satélite de 900 kg desde una una órbita órbita de espera espera de 6700 km un satélite de radio radio a una una órbita geosincrónica de 42 222 km de radio. radio. órbita geosincrónica ¿Cuánto trabajo trabajo debe efectuar efectuar el cohete cohete sobre sobre el satélite? satélite? ¿Cuánto 4.63

vehículo de 2000 lb puede puede acelerar acelerar de cero a 300 mi/ mi/hh Un vehículo potencia media media se transmite transmite al vehículo? en 6 s. ¿Qué potencia vehículo?

4.64 En el Probo 4.9, 4.9, ¿a qué razón razón se transfiere transfiere potencia potencia desde 4.64 auto cuando cuando éste entra entra en contacto barrera? el auto contacto con la barrera? 4.65 En el Probo 4.32, 4.32, ¿cuál es la máxima máxima potencia potencia que el ma4.65 suministrar al jalar arriba sobre la rampa? lacate debe suministrar jalar la caja hacia arriba 4.66 En el Prob Proboo4.39, si la bola bola demoledora demoledora alcanza alcanza el reposo reposo 4.66 P4.58

golpear la pared, pared, ¿qué potencia potencia media transtransen 0.1 s después después de golpear pared? mite a la pared?


160


4.67 Un avión puede aceleavión Boeing 737 con peso de 124500 124500 lb puede rar a una velocida~ pie/s en 30 s. velocidad de despegue despegue de 180 pie/s (a) ¿Qué potencia avión? potencia media media se transmite transmite al avión? (b) Si Si se supone que la fuerza tangencial tangencial ejercida ejercida sobre el avión es constante, máxima potencia potencia transmitida transmitida al avión constante, ¿cuál es la máxima avión durante durante su carrera carrera de despegue? despegue?

En Winter Park, en Colorado, una caída vertical de 4.68 En Colorado, hay una caída vertical 2200 pies. Cuatro Cuatro esquiadores esquiadores llegan a la cumbre cumbre en telesillas mueven a 4 pie/s pie/s y el viaje a la cumbre dura 18 cada cada 8 s; éstas éstas se mueven cumbre dura 18 minutos. Si el esquiador medio con equipo pesa 160 lb, ¿qué minutos. esquiador medio equipo pesa ¿qué potencia aproximada requiere para para operar operar las telesillas? telesillas? potencia aproximada se requiere

P4.68 P4.68 P4.67 P4.67

1 L-----"-"'-:·,""---·'--tEnergía potencial¡.---...,¡¡¡;",¡,..-----,:----"--J .........------~........... ~:'~ -..-_. ---l Energía potencialt--'''',. ''-. <.....-------II

1 ....-

4.3 Conservación de la energía energía trabajo realizado realizado sobre por algunas puede expresar El trabajo sobre un cuerpo cuerpo por algunas fuerzas fuerzas se puede expresar como una función posición del cuerpo, llamada energía como el cambio cambio de una función de la posición cuerpo, llamada potencial. Si todas todas las fuerzas trabajo sobre tienen potencial. fuerzas que efectúan efectúan trabajo sobre un sistema sistema tienen esta propiedad, propiedad, el principio principio del trabajo trabajo y la energía una ley de conservaenergía es una conservación: la suma energías cinética potencial es constante. suma de las energías cinética y potencial constante. Cuando principio del trabajo trabajo y la energía energía integrando integrando la Cuando dedujimos dedujimos el principio segunda Newton, pudimos pudimos evaluar integral a un lado lado de la ecuasegunda ley de Newton, evaluar la integral ción y obtuvimos obtuvimos el cambio cambio en la energía energía cinética: cinética: U = =

¡¡

r 2 r2

dr :EF· dr

r,

1

= = -mv~ -mv~

2

1 - -mvr. - mvf. 2

(4.19) (4.19)

Si podemos podemos determinar una función posición V tal que determinar una función escalar escalar de la posición (4.20) (4.20)

dV dV = = -:EF· -:EF· dr. dr.

Entonces también también podemos podemos evaluar integral que define trabajo: Entonces evaluar la integral define el trabajo: U

=

¡¡ r2

r,

r2

:EF :EF.. dr dr

=


jV2 -dV jV2 -dV = VI VI V, v,

V22,,

(4.21) (4.21)

4.4 FUERZAS CONSERVATIVAS CONSERVATIVAS 4.4

e as

161 161

donde VI V¡ Y y V2 son los valores valores de Ven Ven las posiciones posiciones rr¡l Y y r2•• El principio principio del trabaj€! trabajo y la energía energía tendría tendría entonces entonces la siguiente siguiente forma forma sencilla

18

ué

(4.22) que significa significa que la suma suma de la energía energía y la función función V es constante: constante: 1 2mv2 2mv2

+V

(4.23)

= constante. =

Si la energía energía cinética cinética aumenta, aumenta, V debe disminuir, disminuir, y viceversa, viceversa, como como si V Si fuese un depósito depósito de energía energía cinética cinética "potencial". "potencial". Por esta razón, razón, V se fuese Por esta llama energía energía potencial. potencial. Si existe una una energía energía potencial potencial para para una una fuerza fuerza F dada, dada, lo cual significa significa Si una función función de posición posición V tal que dV dV == --F· entonces se que existe una F' dr, entonces conservativa. Si todas todas las fuerzas fuerzas que efectúan efectúan trabajo trabajo sobre sobre dice que F es conservativa. conservativas, la energía energía total total (suma (suma de las energías energías cinética cinética un sistema son conservativas, potencial de las fuerzas) fuerzas) es constante, constante, o se conserva. conserva. Entonces, y potencial Entonces, se dice sistema es conservativo conservativo y se puede usar la conservación conservación de la energía energía que el sistema puede usar principio del trabajo trabajo y la energía energía para cambio en vez del principio para relacionar relacionar un cambio posición con el cambio cambio en su energía energía cinética. cinética. Los dos enfoques enfoques son en su posición equivalentes y se obtiene obtiene con ellos la misma misma información información cuantitativa. cuantitativa. Sin equivalentes embargo, esto es más claro al usar usar la conservación conservación de la energía, energía, pues el embargo, movimiento del cuerpo cuerpo o del sistema sistema se puede puede interpretar interpretar en términos términos de movimiento transformaciones entre las energías cinética y potencial. transformaciones entre energías cinética potencial.

conservativas 4.4 Fuerzas conservativas Íl

n

a

conservación de la energía energía se puede puede aplicar aplicar sólo si las fuerzas fuerzas que efectúefectúLa conservación trabajo sobre sobre un cuerpo cuerpo o sistema sistema son conservativas conservativas y se conocen conocen sus an trabajo potenciales. En esta esta sección determinamos determinamos las energías energías potenciapotenciaenergías potenciales. les de algunas algunas fuerzas fuerzas conservativas conservativas y presentamos presentamos aplicaciones aplicaciones de la les conservación de la energía. energía. Antes Antes de analizar analizar fuerzas fuerzas conservativas, conservativas, deconservación mostramos con un sencillo ejemplo ejemplo que las fuerzas fuerzas de fricción fricción no lo son. son. mostramos una fuerza fuerza conservativa conservativa cuando cuando un cuerpo cuerpo se mueve de El trabajo trabajo de una posición 1 a una una posición posición 2, es independiente independiente de la trayectoria. trayectoria. Esto Esto una posición infiere de la Ec. (4.21), que establece establece que el trabajo trabajo depende depende sólo de se infiere energía potencial potencial en 1 y 2. También También implica implica que si el cuerpo cuerpo se mueve la energía una trayectoria cerrada, que lo hace volver al, al, el trabajo trabajo realizado realizado en una trayectoria cerrada, una fuerza fuerza conservativa conservativa es cero. Supongamos Supongamos que un libro libro de masa masa por una descansa sobre sobre una una mesa y es empujado empujado horizontalmente horizontalmente deslizándose deslizándose m descansa una trayectoria trayectoria de longitud L. La magnitud magnitud de la fricción fricción es ""kmg, ¡.tkmg, y en una longitud L. apunta en dirección dirección opuesta opuesta a la del movimiento movimiento (Fig. 4.12). El trabajo trabajo es apunta U

= !aL foL

-f.Lkmgds -JLkmgds

=

--f.LkmgL. JLkmgL.

trabajo es proporcional proporcional a la longitud longitud de la trayectoria trayectoria y por por tanto tanto no El trabajo independiente de ésta. Las fuerzas fricción no son conservativas. conservativas. es independiente fuerzas de fricción http://carlos2524.jimdo.com/

2

Figura 4.12 Figura Trayectoria del libro de la posición 1 a la Trayectoria apunta en 2. La fuerza de fricción apunta dirección opuesta a la del movimiento. movimiento .

162 162

MÉTODOS ENERGÉ ENERGÉTICOS CAPíTULO 44 MÉTODOS CAPíTULO TICOS

Energías Energías potenciales potenciales de de varias varias fuerzas fuerzas El El peso peso de deun un cuerpo cuerpo yyla la fuerza fuerza ejercida ejercida por por un un resorte resorte unido unido aaun un soporte soporte fijo fijo son son fuerzas fuerzas conservativas. conservativas. Con Con ellas ellas como como ejemplos, ejemplos, determinaremos determinaremos las las energías energías potenciales potenciales de de otras otras fuerzas fuerzas conservativas. conservativas. Dichas Dichas energías energías servirán servirán como como ejemplos ejemplos del del uso uso de dela laconservación conservación de de la laenergía energía para para analianalizar zar los los movimientos movimientos de de sistemas sistemas conservativos. conservativos.

Peso Peso Para Para determinar determinar la la energía energía potencial potencial asociada asociada con con el el peso peso de de un un cuerpo, cuerpo, usamos usamos un un sistema sistema cartesiano cartesiano con con su su eje eje yy dirigido dirigido hacia hacia arriba arriba (Fig. (Fig. 4.13). 4.13). El El peso peso es es FF == -mgj -mgj yy su su producto producto escalar escalar con con elel vector vector dr dr es es FF .. dr dr == (-mg (-mg j) j) .. (dx (dx ii+ +dy dy jj + +dz dz k) k) == -mg -mg dy. dy. y

Figura 4.13 4.13 Figura Peso de un cuerpo expresado en un Peso de cuerpo expresado en un sistema coordenado coordenado con con el el eje eje y dirigido dirigido sistema hacia arriba. hacia

r--------f---------x

r-------~--------x

-mgj -mgj

z

Ec. (4.20), la energía potencial V debe satisfacer satisfacer la relación relación De la Ec. energía potencial dV = = -F·dr=mgdy, -F·dr = mgdy, dV

(4.24) (4.24)

que que se puede puede escribir escribir como como dV dV -=mg. -=mg. dy dy

Integrando esta esta ecuación ecuación obtenemos obtenemos Integrando V =mgy+C, = mgy+C, V

donde CC es es una una constante constante de de integración. integración. La La constante constante C e eses arbitraria, arbitraria, donde porque esta esta expresión expresión satisface satisface la la Ec. Ec. (4.24) (4.24) para para cualquier cualquier valor valor de de C. C. porque Otra manera manera de de entender entender por por qué qué Ce es es arbitraria arbitraria es es observar observar en en la la Ec. Ec. Otra (4.22) que que la la diferencia diferencia en en la la energía energía potencial potencial entre entre dos dos posiciones posiciones es es la la (4.22) que determina determinael elcambio cambioen enla laenergía energíacinética. cinética. Hacemos Hacemos CC == OOYentonces Yentonces que escribimos lala energía energía potencial potencial del del peso peso de de un un cuerpo cuerpo como como escribimos mgy.! I\ VV == mgy·1

(4.25) (4.25)

La energía energíapotencial potencial es es elel producto producto del del peso peso del del cuerpo cuerpo por por lala altura. altura. La La La altura se sepuede puede medir medir desde desde cualquier cualquier nivel nivel de de referencia referencia conveniente, conveniente, oo altura plano de de referencia referencia (o (odatum), datum). Como Como lala diferencia diferencia de de energía energía potencial potencial plano determinaelelcambio cambioen enlalaenergía energíacinética, cinética,es eslaladiferencia diferenciade dealtura alturaloloqur qur determina importa, no no elel nivel nivel desde desde elel cual cual se se mide mide ésta. ésta. importa, http://carlos2524.jimdo.com/

4.4 4.4 FUERZAS FUERZASCONSERVATIVAS CONSERVATIVAS 163 163

Plano de referencia

e un riba res

Figura Figura4.14 4.14

(a) (a)Montaña Montañarusa rusayyplano planode de referencia. referencia. (b) (b) La Lasuma sumade de las las energías energías cinética cinéticayy potencial potencial eses constante. constante.

(a) (a)

~

Energía cinética

I

tc;::::---------------------I
/

Energía total total = = O O Energía

Energía Energía potencial potencial

4) (b)

a s

El El vagón vagón de de una una montaña montaña rusa rusa (Fig. (Fig. 4.14a) 4.14a) es es un ejemplo ejemplo clásico clásico de la la conservación conservación de de la la energía. energía. Si Si se se ignoran ignoran las las fuerzas fuerzas aerodinámicas aerodinámicas y de de fricción, fricción, el el peso peso es es la la única única fuerza fuerza que que efectúa efectúa trabajo trabajo yy el el sistema sistema es es conservativo. conservativo. La La energía energía potencial potencial del del vagón vagón de de la la montaña montaña rusa rusa es es proporproporcional cional aa la la altura altura de de la la vía vía respecto respecto aa un un plano plano de de referencia. referencia. En En la la Fig. Fig. 4.14(b), 4.14(b), suponemos suponemos que que el el vagón vagón parte parte del del reposo reposo en en elelnivel nivel de de referencia. referencia. La La suma suma de de las las energías energías cinética cinética yy potencial potencial es es constante, constante, por por lo lo que que la la energía energía cinética cinética "refleja" "refleja" la la energía energía potencial. potencial. En En puntos puntos de de la la vía vía que que tienen tienen igual igual altura, altura, las las magnitudes magnitudes de de las las velocidades velocidades son son iguales. iguales. Para Para tomar tomar en en cuenta cuenta la la variación variación del del peso peso con con la la distancia distancia desde desde elel centro centro de de la la Tierra, Tierra, expresamos expresamos elel peso peso en en coordenadas coordenadas polares polares como como

FF

- _ mgR~ mgR~ FF= 2 er , ---2-er, rr

donde donde rr eseslaladistancia distancia desde desde elelcentro centro de delalaTierra Tierra (Fig. (Fig. 4.15). 4.15). De De lala Ec. Ec. (4.14), (4.14), elel vector vector dr dr en en coordenadas coordenadas polares polares eses dr dr ==dr dr eer r++rde rdú eo. e(i.

(4.26) (4.26)


Figura Figura 4.15 4.15 Peso expresado expresado en encoordenadas coordenadas polares. polares. Peso

164 CAPíTULO CAPíTULO 44 MÉTODOS MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS 164

La La energía energía potencial potencial debe debe satisfacer satisfacer

mgR mgR22 dV F·dr= ~dr, dV == --F·dr= ~dr, rr

oo

dV dV dr dr

mgR~ mgR~

-;:z r2

Integramos Integramos esta esta ecuación ecuación yy hacemos hacemos igual igual aa cero cero aa la la constante constante de de integraintegración, obteniendo obteniendo la la energía potencial potencial ción,

(4.27) (4.27)

Resortes Resortes En coordenadas coordenadas polares, polares, la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre un cuerpo cuerpo resorte lineal es por un resorte

F = - k(r - ro) er , donde ro es la longitud longitud sin estirar estirar del resorte resorte (Fig. 4.16). Usando Usando la Ec. donde ro satisfacer (4.26), la energía energía potencial potencial debe satisfacer

dV = = -F· dr dr = = k(r k(r - ro)dr. ro) dr. dV Expresada en términos términos del alargamiento alargamiento del resorte resorte S Expresada ción ción es dV dV = = kSdS, kSdS, o

Figura Figura 4.16 4.16 Fuerza Fuerza ejercida ejercida por por un resorte resorte lineal lineal en coordenadas coordenadas polares. polares.

= =

esta ecuaecuar - ro, esta

dV dV -=kS. - = kS. dS dS

Integrando esta esta ecuación, ecuación, obtenemos obtenemos la la energía energía potencial potencial de un un resorte resorte Integrando lineal: lineal: (4.28) (4.28)

En los los siguientes siguientesejemplos ejemplos usamos usamos la la conservación conservación de de la la energía energíapara para relarelaEn cionar cambios cambios en en las las posiciones posiciones de de sistemas sistemas conservativos conservativos con con cambios cambios cionar en sus sus energías energías cinéticas. cinéticas. Por Por lo lo general, general, esto esto implica implica dos dos pasos: pasos: en Determinar la laenergía energíapotencial. potencial. Se Sedeben deben identificar identificarlas lasfuerzas fuerzas conconl.l. Determinar servativas que efectúan trabajo y evaluar sus energz'as potenciales en servativas que efectúan trabajo y evaluar sus energias potenciales en términos posición del sistema. términos de de la la posición del sistema. 2. Aplicar Aplicar la la conservación conservación de de lala energía. energía. Igualando Igualando la la suma suma de de las las 2. energz'as cinética y potencial del sistema en dos posiciones, se obtiene energias cinética y potencial del sistema en dos posiciones, se obtiene una expresión expresión para para elel cambio cambio en en la la energia energía cinética. cinética. una http://carlos2524.jimdo.com/

4.4 FUERZAS FUERZAS CONSERVATIVAS 4.4 CONSERVATIVAS

165 165

Ejemplo 4.6 4.5, el martillo martillo de de 40 40 kg se levanta levanta a la la posición posición 1 y se libera libera del del reposo. reposo. En el Ej. Ej. 4.5, En peso y los dos resortes resortes (k = = 1500 1500 N/m) N/m) aceleran aceleran el martillo martillo hacia hacia abajo abajo Su peso los dos hasta la posición posición 2, donde donde golpea golpea una pieza de de trabajo trabajo. . Use Use la conservación conservación de hasta una pieza energía para para determinar determinar la velocidad del martillo martillo cuando cuando llega llega a la posición posición 2. la energía velocidad del

yy


T

efectúa trabajo trabajo sobre sobre el martillo martillo por por parte parte de de su peso peso y los los dos dos resortes, resortes, Se efectúa manera que que el sistema sistema es conservativo. conservativo. Igualando Igualando las las sumas sumas de de las las energías energías de manera cinética y potencial potencial en las posiciones posiciones 1 y 2, podemos podemos obtener obtener una una ecuación ecuación para para cinética velocidad del del martillo martillo en la la posición posición 2. la velocidad

400 mrn mm

~Plano

~Plano de referencia referencia

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Determinación de de la energía energía potencial potencial La energía energía potencial potencial de de cada cada Determinación La resorte es !kS2, !kS2, donde donde S es el alargamiento, alargamiento, por lo que que la la energía energía potencial potencial por resorte los dos dos resortes resortes es de los _ 2 2

Vresorles -V,csorlcs

(1

(~kS2) "22 kS 2) .

300mm -

Figura 4.17 Medición de de la (a) Medición la altura altura del del martillo martillo respecto a la la posición respecto posición 2.

En el Ej. Ej. 4.5 4.5 los los alargamientos alargamientos las posiciones posiciones 1 y 2 fueron en las fueron SI En S2 = 0.1 m m.. La La energía energía potencial potencial asociada asociada con con el peso peso es S2

0.3 m m y 0.3

peso = mgy, v peso mgy,

donde y es la altura altura respecto respecto a un plano plano conveniente conveniente de referencia referencia (Fig. (Fig. a) a).. donde

Aplicación de de la conservación conservación de de la energía energía Las Las sumas sumas de de las las enerAplicación energías potencial potencial y cinética cinética en las las posiciones deben ser ser iguales: iguales: gías posiciones 1 y 2 deben 2

(~kS~) +mgYI +mgYI + ~mvT ~mvf = 2 (~kSi) (~kSi) +mgY2 +mgY2 + ~mvi ~mvi: : (~kS~)

(1500)(0.3)2 (1500)(0.3)2

350 300 300

(40)(9.81)(0.4) + 0= O = (1500)(0.1)2 (1500)(0.1)2 + O + ~ ~(40) (40) v vii.. + (40)(9.81)(0.4)

k / /

Energía total total Energía

250 250 Resolviendo esta esta ecuación ecuación obtenemos obtenemos Resolviendo

t f

V2

3.72 mis. 3.72

COMENTARIO COMENTARIO

8 200

Z Z .i ,~

...00

gráficas de de la energía energía potencial potencial total total asociada asociada con los resortes resortes y el peso peso y la De las las gráficas con los energía cinética cinética del del martillo martillo como como funciones de y (Fig. (Fig. 4.18), 4.18), se puede puede ver ver la transtransenergía funciones dey formación de la energía energía potencial potencial en en energía energía cinética cinética conforme conforme va va cayendo cayendo el marmarformación tillo. Observe Observe que que la energía energía total total del del sistema sistema conservativo conservativo permanece permanece constante. constante. tillo.

í

~

'"~

¡:¡

ISO 150 100

u:¡ ~

300

200 y,mm y,mm

100

Figura 4.18 Las energías energías potencial potencial y cinética Las cinética en en función de las las coordenadas coordenadas y del función del martillo. martillo.


oO

166 166


Ejemplo 4.7 Una nave nave espacial una distancia mueve Una espacial a una distancia ro = = 2R 2REE del del centro centro de de la Tierra Tierra se mueve hacia exterior con con una inicial Vo Vo = = .J ..J 2gR 2gREE/3/ 3 (Fig (Fig. . 4.19). 4.19). DetermiDetermihacia el exterior una velocidad velocidad inicial ne su velocidad en ne su velocidad en función función de de su distancia distancia al centro centro de de la la Tierra. Tierra. 'o

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Determinación La potencial asociada Determinación de de la energía energía potencial potencial La energía energía potencial asociada con peso de la nave está dada en términos de su distancia con el peso la nave está dada en términos distancia r desde desde el centro centro de la Tierra Tierra por Ec.. (4.27): (4.27): de por la Ec

Figura 4.19

mgR~ vv=--=-mgR~ -r

Aplicación de la conservación conservación de de la energía energía Sea Sea v la la magnitud de Aplicación de magnitud de la velocidad velocidad de de la la nave distancia arbitraria arbitraria r. Las Las sumas sumas de de las las energías energías la nave a una una distancia potencial y cinética cinética en en ro ro y r deben deben ser ser iguales: iguales: potencial

Despejando la velocidad de la la nave en función función de de res res Despejando v, la velocidad de nave en

vv== COMENTARIO COMENTARIO En la Fig. Fig. 4.20 4.20 mostramos gráficas de de la la energía energía cinética, cinética, la energía energía potencial En mostramos gráficas potencial y la energía energía total total como como funciones funciones de de rIR rIREE• • La La energía energía cinética cinética disminuye disminuye y la energía potencial aumenta conforme conforme la nave exterior hasta energía potencial aumenta nave se mueve mueve hacia hacia el exterior hasta que su velocidad disminuye a cero cero en en r = 6REE• • que velocidad disminuye

Figura 4.20 Energías en en función función de de la la Energías coordenada radial. coordenada radial. /Energía cinética / Energía cinética

2 _ mgR mgREE

'o

oo


2

4

5

6

4,4 4,4 FUERZAS FUERZAS CONSERVATIVAS CONSERVATIVAS

Relaciones Relaciones entre entre la la fuerza fuerza y la energía potencial energía potencial Aquí consideraremos consideraremos dos asuntos: asuntos: (1) Dada Dada una una energía energía potencial, potencial, ¿cómo ¿cómo Aquí se puede puede determinar determinar la fuerza fuerza correspondiente? correspondiente? (2) Dada Dada una una fuerza, fuerza, ¿cómo puede determinar puede ¿cómo se puede determinar si es conservativa? conservativa? Es decir, ¿cómo ¿cómo se puede determinar si existe una una energía energía potencial asociada? determinar potencial asociada? La energía energía potencial potencial V de una una fuerza fuerza F es una una función función de la posición posición que satisface satisface la relación relación

dV ·dr. av == -F -F·dr.

(4.29)

Si expresamos expresamos Ven Ven un sistema sistema coordenado coordenado cartesiano, cartesiano, yy = y, z), = Y(x, Y(x, y,

su diferencial diferencial dV dV es dY

=

ay

ay ay

ay ay

(4.30)

-dx+-dy+ -dz. -dx+-dy+ -dz. ax ay az

Expresando Expresando F Y dr en componentes componentes cartesianas, cartesianas, su producto producto escalar escalar es

= F¿ = Fx dx

z; + F; Fy dy + Fzd Fz dz.

Sustituyendo Sustituyendo esta expresión expresión y la Ec. (4.30) en la Ec. (4.29), obtenemos obtenemos

ay ay

-dx -dx ax

ay ay + -dy + -dz -dy +-dz = -(Fxdx -(Fxdx + Fydy + Fzdz), ay az ay

az

lo cual implica implica que

ay

F --- - ax' x ax'

ay

F --- - ay' yy ay'

F¿ Fz

=

ay --o - o -

az

(4.31)

Dada potencial V expresada Dada una una energía energía potencial expresada en coordenadas coordenadas cartesianas, cartesianas, esas relaciones relaciones se pueden pueden usar usar para para determinar determinar la fuerza fuerza correspondiente. correspondiente. La La fuerza fuerza Fes F es (4.32)

1

donde donde VVes VVes el gradiente gradiente de V. V. Usando Usando expresiones expresiones para para el gradiente gradiente en otros otros sistemas sistemas coordenados, coordenados, se puede puede determinar determinar la fuerza fuerza F cuando cuando se conoce potencial en esos sistemas conoce la energía energía potencial sistemas coordenados. coordenados. Por Por ejemplo, ejemplo, en coordenadas coordenadas cilíndricas, cilíndricas,

(4.33)

r

t


167 167

168

CAPíTULO 4 MÉTODOS ENERGÉTICOS

Si una fuerza F es conservativa, su rotacional V x F es cero. La expresión para el rotacional de F en coordenadas cartesianas es j

k

a

a

a

ax

ay

az

V'xF=

(4.34)

r; r, r, Sustituyendo las Ecs. (4.31) en esta expresión, se confirma que V x F = O cuando F es conservativa. El enunciado inverso también es cierto: Una fuerza F es conservativa si su rotacional es cero. Esta condición se puede usar para determinar si una fuerza dada es conservativa. En coordenadas cilíndricas, el rotacional de F es er

V'xF=-

a

1

r

reo

a

-

ar ae Fr rFo

ez

a

(4.35)

-

az

r,

Ejemplo 4.8 Según la Ec. (4.27), la energía potencial asociada con el peso de un cuerpo de masa m a una distancia r del centro de la Tierra es (en coordenadas polares) mgR~

V=---,

r

donde RE es el radio de la Tierra. Use esta expresión para determinar la fuerza ejercida sobre el cuerpo por su peso.

ESTRATEGIA /

La fuerza F = - VV. La energía potencial está expresada en coordenadas polares, por lo que usamos la Ec. (4.33) para determinar la fuerza. SOLUCiÓN Las derivadas parciales de V con respecto a r,

av ar

mgR~

----;z'

av ae

Según la Ec. (4.33), la fuerza es mgR~

F= -VV = ---er. r2


=0

'

av az

(j

y Z son

=0.

4.4

FUERZAS CONSERVATIVAS

169

COMENTARIO Ya sabemos que la fuerza es conservativa porque conocemos su energía potencial, pero podemos usar la Ec. (4.35) para confirmar que su rotacional es cero:

reo

e,

V'xF=-

1

a

r

ar

a

a

-

ae

mgR~ ----;z

ez

o

-

=0.

az

o

Aunque usamos coordenadas cilíndricas para determinar F y para evaluar el producto vectorial, la expresión para V y la expresión resultante para F son válidas sólo si el cuerpo permanece en el plano z = O.

Problemas

---------------1

4.69 Suponga que usted patea un balón directamente hacia arriba. Cuando abandona su pie, el balón está a 3 pies sobre el suelo y se mueve a 40 pie/s. Ignorando la resistencia del aire, use la conservación de la energía para determinar la altura que alcanza el balón y la rapidez con la cual se estará moviendo justo antes de tocar el suelo. Obtenga las respuestas expresando la energía potencial en términos de un plano de referencia (a) al nivel de la posición inicial del balón; (b) al nivel del suelo.

~o ~ -~3Ples

~ ~

~o

pie/s

(a)

•..•••.•• ------'

4.70 El módulo lunar podría efectuar un aterrizaje seguro si su velocidad vertical durante el impacto fuese de 5 m/ s o menor. Suponga que se quiere determinar la altura máxima h a la que el piloto podría apagar el motor si la velocidad del tren de aterrizaje respecto a la superficie fuese (a) cero; (b) 2 mis hacia abajo; (e) 2 mis hacia arriba. Use el principio de la conservación de la energía para determinar h. La aceleración debida a la gravedad en la superficie lunar es de 1.62 m/s-.

pie/s

ttT

Plano de TreferenCia

~ 1_

I--->:'O¡¡,,¡.,,;¡ •.•••••..•••.•••..•••.•••..•••.•• ----

3 pies

,--

1__

Plano de referencia

(b) P4.69

P4.70


170


4.71 La bola bola de la Fig. P4.71 se libera libera del reposo reposo en la posi1. , ción l. principio de la conservación conservación de la energía energía para para deterdeter(a) Use el principio minar la magnitud minar magnitud de su velocidad velocidad en la posición posición 2. (b) Dibuje Dibuje gráficas gráficas de la energía energía cinética, cinética, la energía energía potencial potencial y la energía energía total total para para valores valores de ex desde O O hasta hasta 180 18000•• 1

"'" \ \ \

4.74 4.73, ¿qué ¿qué fuerza fuerza normal normal ejerce la barra barra so4.74 En el Probo 4.73, bre el deslizador deslizador en B en los casos (a) y (b)? 4 .75 El collarín collarín de 10 kg mostrado mostrado parte parte del reposo reposo en la posiposi4.75 10kg señala hacia resbala a lo largo largo de la barra. barra. El eje señala hacia arriba. arriba. ción 1 y resbala La constante constante de resorte resorte es k = = 100 Nlm N l m y la longitud resorte longitud del resorte sin estirar estirar es de 2 m. m . Use el principio principio de la conservación conservación de la energía para para determinar determinar la velocidad velocidad del collarín collarín cuando cuando éste energía alcanza la posición alcanza posición 2. y

L

\\ \\ \\

m

2

P4.71 (6,2,1) m

}------------------------------ x }------------------------------x

4.72 Si la bola bola mostrada mostrada se libera del reposo reposo en la posición posición 1, principio de la conservación conservación de la energía energía para para determinar determinar use el principio el ángulo ángulo inicial ex necesario necesario para para que oscile hasta hasta la posición posición 2.

a 2

P4.72 P4.72

zz P4.75 P4.75

4 .76 Un Un alpinista alpinista de peso Westá unido, por por seguridad, una 4.76 Westá unido, seguridad, a una cuerda amarrada Suponga que cuerda amarrada a una una distancia distancia h debajo debajo de él. Suponga cuerda se comporta comporta como como un resorte resorte el alpinista alpinista se cae y que la cuerda lineal con longitud longitud sin estirar estirar h y constante constante de resorte resorte k = = e ell h, donde una constante. constante. Use la conservación conservación de la energía energía donde e es una para determinar la máxima máxima fuerza fuerza ejercida ejercida por por la cuerda cuerda sobre para determinar sobre independiente de h, lo que él. (Observe (Observe que la fuerza fuerza máxima máxima es independiente una tranquiliza alpinistas; la fuerza fuerza máxima máxima que resulta resulta de una tranquiliza a los alpinistas; caída larga es la misma misma que en una una caída caída corta.) corta.) caída larga

4.73 La barra barra de la Fig. P4.73 es lisa. Use el principio principio de la conservación conservación de la energía energía para para determinar determinar la velocidad velocidad mínima mínima deslizador de 10 10 kg debe tener en A (a) para para alcanzar alcanzar que el deslizador e; (b) para para alcanzar alcanzar D.

B

P4.73 P4.73

P4.76 P4.76


4.4 FUERZAS 4.4 FUERZAS CONSERVATIVAS CONSERVATIVAS

4.77 El collarín mostrado parte parte del reposo reposo en A y rescollarín de 5 lb mostrado bala a lo largo largo de la barra semicircular. La constante constante de resorte barra semicircular. resorte bala ido lb/pie lb/pie yy la longitud longitud de! del resorte estirar es de l1 es k = Ido resorte sin estirar principio de la conservación conservación de la energía energía para deterpara deterpie. Use el principio minar la velocidad velocidad del collarín collarín en B. minar

171 171

4.79 El cilindro cilindro de 20 kg mostrado libera desde la posición 4.79 mostrado se libera posición mostrada sobre el resorte 3000 N/m). mostrada y cae sobre resorte lineal (k = 3000 N/m). Use el principio conservación de la energía energía para determinar la principio de la conservación para determinar distancia hacia abajo distancia que el cilindro cilindro se desplaza desplaza hacia abajo después después de golpear el resorte. resorte. pear e!

T 2m

+

B

P4.77 P4.77

P4.79 P4.79

4.78 La fuerza cuerpo por por un resorte resorte no fuerza ejercida ejercida sobre sobre un cuerpo lineal es

donde k Y qq son constantes constantes y ro es la longitud longitud del resorte donde resorte sin estirar potencial del resorte resorte en términos términos estirar. . Determine Determine la energía energía potencial de su alargamiento alargamiento S = r - ro.

4.80 Suponga Suponga que el resorte 4.80 resorte del Probo 4.79 es no lineal con energía potencial donde k = 3000 3000 N/m ~k,s2 + ~qS4, iqs4, donde N/m y energía potencial V = ~kS2 = 4000 ¿Cuál es la velocidad cilindro cuando cuando el q = 4000 N/m N/ m3•3 • ¿Cuál velocidad del cilindro resorte se ha comprimido resorte comprimido 0.5 m?

4.81 La cuerda cuerda mostrada mostrada ejerce una fuerza magnitud consejerce una fuerza de magnitud tante Tsobre Tsobre el cuerpo. cuerpo. Determine Determine la energía energía potencial potencial asociada asociada tante con esta fuerza polares. fuerza en coordenadas coordenadas polares.

P4.78 P4.78

<,

"

T

t http://carlos2524.jimdo.com/

P4.81

172

CAPíTU LO 4 MÉTODOS CAPíTULO MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS

sistema está en reposo reposo en la posición posición mostrada, 4.82 El sistema mostrada, con el collarín collarín A de 12 12 lb descansando descansando sobre sobre el resorte resorte (k == 20 lb/pie), cuando cuando una una fuerza fuerza constante constante de 30 lb se aplica aplica al cable. cable. lb/pie), collarín cuando cuando se ha desplazado desplazado 11pie? ¿¿Cuál Cuál es la velocidad velocidad del collarín pie?

4.85 4.85 Un satélite satélite a una una distancia distancia ro del centro centro de la Tierra Tierra tiene una principio de la conseruna velocidad velocidad de magnitud magnitud Vo. vo- Use el principio conservación de la energía energía para determinar la magnitud magnitud de su velocipara determinar vación dad una distancia dad v cuando cuando está está a una distancia r del centro centro de la Tierra. Tierra. v

"

o \

r=----,....-+ 30 lb -,...-- - . 30

= -

pies 3 pies

r A

\

\ \ \\ \\ II I I II II I

oo IVIV

kk

::+----0 "1----0 P4.82 P4.82

4;83 En la Fig. P4.83, P4.83, el tubo tubo (área (área de su sección transversal transversal 4:83 evacuado a la derecha derecha del pistón masa m, mientras mientras = A) A) es evacuado pistón de masa izquierda contiene contiene gas a presión valor de que a la izquierda presión p. Sea Po Po el valor cuando s = So So Y Ysuponga presión del gas está está suponga que la presión la presión presión cuando por la ecuación p V = constante. relacionada relacionada con su volumen volumen V por ecuación p constante. Determine la energía energía potencial asociada con la fuerza fuerza ejerci(a) Determine potencial asociada da sobre pistón en función sobre el pistón función de s. pistón parte parte del reposo la fricción (b) Si el pistón reposo en s = So Y Yla fricción es insignificante, ¿cuál es su velocidad velocidad en función función de s? nificante,

P4.85 P4.85

4.86 Unos Unos astrónomos astrónomos detectan, detectan, a 100000 100000 km de la Tierra, Tierra, un asteroide asteroide que se mueve mueve a 2 km/s km/s respecto respecto al centro centro de ésta. principio de la conEn caso de que chocara chocara con la Tierra, Tierra, use el principio servación para determinar servación de la energía energía para determinar la magnitud magnitud de su velocidad cidad al entrar entrar a la atmósfera atmósfera (ignore (ignore el espesor espesor de la atmósfera atmósfera comparación con el radio radio de la Tierra Tierra de 6370 km). en comparación satélite está está en órbita órbita elíptica elíptica alrededor alrededor de la Tierra. Tierra. 4.87 Un satélite perigeo A es de 28280 pie/s. Use el principio principio Su velocidad velocidad en el perigeoA 28280 pie/s. de la conservación para determinar conservación de la energía energía para determinar su velocidad velocidad en B. El radio radio de la Tierra Tierra es de 3960 millas. B

Gas Gas

Pistón Pistón 8660 mi 8660

I----s--1 - - - s - -----1

P4.83 P4.83

4.84 presión del 4.84 Resuelva Resuelva el Probo 4.83, suponiendo suponiendo que la presión relacionada con su volumen volumen por expresión p vr por la expresión p Vr gas está relacionada constante, una constante. constante, donde donde 'Y es una constante.

cC~--------r~~ ,--------+-;r.

10 000 000 mi mi 10

----1-

5000 mi mi 5000

-e-

5000 mi P4.87 P4.87

4.88 En el Probo 4.87, use el principio principio de la conservación conservación de energía para determinar la velocidad velocidad del satélite satélite en el apogeo apogeo la energía para determinar c. Usando Usando su resultado, resultado, confirme confirme numéricamente numéricamente que las velocidades en el perigeo apogeo satisfacen satisfacen la relación relación rAA vAA cidades perigeo y en el apogeo = rcvc·


4.4 FUERZAS CONSERVATIVAS 4.4 CONSERVATIVAS

4.89 La total tangente tangente a la de la la fuerza fuerza externa externa total La componente componente de trayectoria un cuerpo kg que mueve a lo largo trayectoria.de\de un cuerpo de de 10 kg que se mueve largo del del 2i N, eje x es 'L,F EFxx = 3x 3.x2i donde x está está en en metros. eje N, donde metros. En En x = 2 m, m, la velocidad velocidad del del cuerpo cuerpo es VVxx = 4 mis. (a) Use principio del trabajo y la energía para determinar Use el principio del trabajo energía para determinar su su m. velocidad velocidad en en x == 6 m. (b) Determine la energía potencial asociada la fuerza Determine la energía potencial asociada con con la fuerza 'L,F EFxx y use la conservación para determiuse el principio principio de de la conservación de de la energía energía para determim. nar nar su velocidad velocidad en en x = 6 m.

173

4.94 La La energía potencial asociada una fuerza 4.94 energía potencial asociada con con una fuerza F que que acactúa sobre un cuerpo es V = -r =r sen sen (J{J + ? cos cos-2 (J lb-pie, lb-pie, donde donde túa sobre un cuerpo pies. r está está en en pies. (a) Determine F. (a) Determine mueve del punto 1 al 2 a lo largo la senda (b) (b) Si el cuerpo cuerpo se mueve del punto largo de de la senda circular, trabajo efectúa F? circular, ¿qué ¿qué trabajo efectúa F?

r

yy

2

4.90 La potencial asociada una fuerza La energía energía potencial asociada a una fuerza F que que actúa actúa sobre un un cuerpo cuerpo es V = 2.x2 en metros). sobre ~ - y N-m N-m (x y yyen metros). (a) Determine Determine F. (b) Si el cuerpo mueve de de 1 a 2 a lo lo largo cuerpo se mueve largo de de las las sendas sendas A y R, trabajo realizado realizado por por F en una. B, determine determine el trabajo en cada cada una.

----~----------~---- x ----~----------~----x

P4.94 P4.94

yy

¡ -____-----. 2 2 1-__

+_----.

4 .95 En En coordenadas polares, la un 4.95 coordenadas polares, la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre un cuerpo masa m por por la gravedad un planeta planeta hipotético hipotético bidibidicuerpo de de masa gravedad de de un -(mgTRTlr)e" dondegTes mensional es F = -(mgTRTlr)e" mensional donde ges la la aceleración aceleración dedeplaneta bida a la superficie, RT es el radio bida la gravedad gravedad en en la la superficie, radio del del planeta planeta. y r es la la distancia distancia desde desde el centro centro del del planeta. (a) Determine la potencial asociada gra(a) Determine la energía energía potencial asociada con con esta esta fuerza fuerza gravitatoria. vitatoria. (b) tiene una una velocidad velocidad Vo una distancia (b) Si el cuerpo cuerpo tiene Vo a una distancia ro, ¿cuál ¿cuál es su velocidad v en su velocidad en función función de de r?

(1,1) m m

A

--~r-----~------~---------x ----t-----~------~---------x

B

P4.90 P4.90

4.91 la fuerza yi - xj xj N, N, 4.91 Un Un cuerpo cuerpo está está sometido sometido a la fuerza F yi donde metros. donde x y y están están en en metros. (a) Demuestre no es conservativa. Demuestre que que F no conservativa. (b) Si el cuerpo mueve del punto 1 al2 largo de las sendas cuerpo se mueve del punto al2 a lo largo de las sendas A yR Probo 4.90, 4.90, determine trabajo efectuaB mostradas mostradas en en el Probo determine el trabajo efectuado cada senda. do por por F a lo largo largo de de cada senda. 4.92 En polares, la potencial asociada En coordenadas coordenadas polares, la energía energía potencial asociada con la fuerza fuerza F ejercida ejercida sobre sobre un cuerpo por lineal es con un cuerpo por un un resorte resorte no no lineal

V

=

1

2k(r 2k(r - ro)

2

1 q (r +4 4q(r

4

ro) ,

donde resorte sin donde k YY q son son constantes constantes y ro es la la longitud longitud del del resorte sin estirar. Determine F en polares. estirar. Determine en coordenadas coordenadas polares.

4.93 En polares, la fuerza un En coordenadas coordenadas polares, fuerza ejercida ejercida sobre sobre un cuerpo un resorte resorte no no lineal cuerpo por por un lineal es F

=

-[k(r - ro) -[k(r

+ q(r q(r -

ro)3] ro) 3] e., ero

donde longitud del resorte sin donde k y q son son constantes constantes y ro es la longitud del resorte sin para demostrar estirar. Use la Ec . (4.35) estirar. Use la Ec. (4.35) para demostrar que que F es conservativa. conservativa.

P4.95 P4.95

4.96 Sustituyendo Sustituyendo las Ecs. (4.31) Ec. (4.34), 4.96 las Ecs. (4.31) en en la la Ec. (4.34), confirme confirme que 'í1 O si FF es conservativa. conservativa. que 'í1 x FF = O Determine cuáles las siguientes 4.97 Determine cuáles de de las siguientes fuerzas fuerzas son son conservaconservativas: tivas: (3.x2 - 2xy)i 2xy)i - .x2j; (a) F = (3x2 x2j; (b) F = xy2)i + x2yj; x2yj; = (x (x - xy2)i (c) (e) F = = (2x (2xy2 (2x2y - 3xy2)j. 3xy2)j. y 2 + y3)i + (2x2y

4.98 4.98 tivas: tivas: (a) (a) F (b) (b) F (c) F

Determine cuáles de las Determine cuáles de las siguientes siguientes fuerzas fuerzas son son conserva· conserva-

3r

2r

{J cos = 3? sen sen-2 {Je (Jerr + 2? sen sen (J cos (Je (Jeoo; ; {J -- cos {J -- sen = (2r sen sen (J cos {J)e (J)er r + (r cos cos (J sen {J)eo; (J)ee; = (sen (sen (J cos-2 {J)e (J)er r + (cos (cos (J sen (J cos {J)e (J)eoo .. {J + rr cos {J -- rr sen {J cos


174

CAPíTULO 4 MÉTODOS MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS CAPíTULO

Ejemplo con computador computador Ejemplo El ejemplo ejemplo y los problemas siguientes están diseñados diseñados para El problemas siguientes para resolverse resolverse usando usando calculadora programable computador. una calculadora programable o un computador.

Ejemplo 4.9 interruptor mecánico mecánico de acción acción retardada retardada de la Fig. En el interruptor Fig. 4.21, 4.21, un electroimán electroimán libera el deslizador deslizador de 1 kg en la posición posición l. Bajo Bajo la acción libera acción de la gravedad gravedad y lineal, el deslizador deslizador se mueve mueve a lo largo largo de la barra del resorte resorte lineal, barra lisa de la posición posición posición 2, cerrando cerrando el interruptor. interruptor. La constante constante del resorte 1 a la posición resorte es k = 40 N/m longitud sin estirar estirar es ro = 50 mm. Las dimensiones N/ m y su longitud dimensiones son R = 200 mm y h == 100 100mm. ¿Cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad máxima mm. ¿Cuál máxima del deslizador, deslizador, posición ocurre? ocurre? y en qué posición

Figura 4.21

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos usar la conservación conservación de la energía energía para para obtener Podemos obtener una una ecuación ecuación que relacione la velocidad velocidad del deslizador deslizador con su posición posición. . Dibujando Dibujando una relacione una gráfica gráfica velocidad en función función de la posición, posición, podemos podemos calcular calcular la velocidad velocidad máxima máxima de la velocidad posición en que ocurre. ocurre. y la posición

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Podemos especificar especificar la posición posición del deslizador deslizador con el ángulo Podemos ángulo ()a (J a través través del cual movido respecto respecto a la posición posición 1 (Fig. a) a).. En la posición se ha movido posición 1, el alargamiento alargamiento

Plano Plano de referencia referencia

ángulo (J() especifica especifica la posición posición del deslizador. (a) El ángulo deslizador.


4.4 FUERZAS CONSERVATIVAS

del resorte es igual a su longitud en la posición 1 menos su longitud sin estirar: do

,

• SI

=

+ h2 -

J(2R)2

ro.

. Cuando el deslizador ha descrito el ángulo O, el alargamiento del resorte es

s = J(R + Rcos8)2 + (h + R sen8)2 án dy

ión 40 00 or,

- ro.

Expresamos la energía potencial del peso del deslizador usando el plano de referencia de la Fig. (a). La suma de las energías cinética y potencial en la posición 1debe ser igual a la suma de las energías cinética y potencial cuando el deslizador ha descrito el ángulo O: 1 ZkS~ ~k [

1

+ mgYI + zmvf =

J (2R)2

+ h2 -

ro

r

= ~k

1 2 ZkS

1

+ mgy + zmv2

:

+O +O [J(R

+ Rcos8)2 + (h + Rsen

0)2_

-r

1

-mgR sen O + Zmv2• Despejando v obtenemos v = {(k/m)

-(k/m)

[J(2R)2

[

+ h2 -

ror

J (R + R COs8)2+ (h + Rsen

2

0)2_ ro]

+ 2gRsen

} 1/2

O

Calculando los valores de esta expresión en función de O obtenemos la gráfica mostrada en la Fig. 4.22. La velocidad es máxima aproximadamente en O = 135°. Examinando los resultados calculados cerca de 135°, 8

mis

132° 133° 134° 13Y 136° 137° 138°

2.5393 2.5397 2.5399 2.5398 2.5394 2.5389 2.5380

calculamos que una velocidad máxima de 2.54 mis ocurre en O = 134°. Figura 4.22

3 2.5

/

2 ~

1.5

/

¡:;-

.......••.

~

Magnitud de la velocidad en función de O.

/

/ v O

0.5

O ~~&Wl~l~l~l&lW

e


175

176 176

MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS CAPíTULO 4 MÉTODOS

' - - - - - --1 '-------1

4.103 4.103

libera del reposo posición mostramostraEl sistema sistema se libera reposo en la posición Ignore la WA = 200 lb Y WBB = 300 lb. Ignore fricción. fricción. Determine Determine la velocidad velocidad máxima máxima que alcanza alcanza A al ser izado. izado .

Problemas - - ' - ; " ' - - - ' ; ' - . ....• 1 Problemas 1 t----da. da. Los pesos son

4.99 La componente fuerza externa componente de la fuerza externa total total tangente tangente trayectoria de un cuerpo cuerpo de 4 kg es EP EFtt = 200 + 2.il a la trayectoria 2Sl O.~ N, donde donde s es su posición posición medida medida en metros metros a lo lar- 0.2,s3 go de la trayectoria. trayectoria. En s == O, O, la velocidad velocidad del cuerpo cuerpo es v = 10 ha 10 mi mis.s. ¿Qué distancia distancia a lo largo de su trayectoria trayectoria ha viajado cuerpo cuando cuando su velocidad velocidad es de 30 mis? mis? viajado el cuerpo 4.100 El collarín libera del reposo reposo en la posición collarín de 6 kg se libera posición mostrada. mostrada. Si la constante constante de resorte resorte es k = 4 kN/m kN/m y la longiresorte sin estirar estirar es de 150 mm mm,, ¿qué distancia distancia cae tud del resorte collarín desde su posición posición inicial antes de rebotar? rebotar? el collarín

P4.103 P4.103

250rnm

1 4.104 En el Probo Prob o 4.103, 4.103, ¿qué ¿qué altura altura máxima máxima alcanza alcanza A 4.104 respecto a su posición posición inicial? respecto

P4.100 P4.100

4.105 El cilindro cilindro de 16 kg se libera libera en la posición posición mostrada mostrada 4.105 y cae sobre sobre un resorte resorte no lineal con energía energía potencial potencial V = ~kSZ + iQS4, Q = 3000 N/m iQS4, donde donde k = 2400 N/m N/m y Q N/m3•3 • Derecorre el cilindro cilindro destermine la distancia distancia hacia hacia abajo termine abajo que recorre pués de entrar entrar en contacto contacto con con el resorte. resorte.

4.101 ¿A qué distancia distancia de su posición posición inicial alcanza alcanza el co4.101 llarín del Probo 4.100 su velocidad velocidad máxima, máxima, y qué valor valor tiene tiene velocidad? esta velocidad?

T

4.102 distancia de su posición posición inicial alcanza alcanza su 4. 102 ¿A qué distancia máximo la potencia potencia transferida transferida al collarín collarín del Prob. Probo 4.100, máximo 4. 100, potencia máxima? máxima? y qué valor tiene esta potencia

-1-

2m 2m

+ 1.5 m m

~

~

P4.105 P4.105



177 177

4.106 En el Prob 4.106 Proboo4.105, 4.105, ¿cuál es la velocidad velocidad máxima máxima alcanzada por el cilindro? canzada por cilindro? t\

4.10.7 En el Probo 4.82, ¿cuánto ¿cuánto se eleva el collarín collarín A res4.107 pecto pecto a su posición posición inicial?

En el Probo 4.9, 4.108 4.108 4.9, ¿cuál es la máxima máxima potencia potencia transtransferida ferida del auto auto a la barrera, barrera, y qué distancia distancia ha recorrido recorrido el auto auto desde el momento momento en que ocurre ocurre el contacto? contacto? Un estudiante 4.109 4.109 estudiante corre corre a 15 15 pie/ pie/s,s, sujeta sujeta una una cuerda cuerda y se columpia columpia sobre sobre un lago lago.. Determine Determine el ángulo ángulo (J en que para maximizar debe soltar soltar la cuerda cuerda para maximizar la distancia distancia horizontal horizontal b. ¿Cuál ¿Cuál es el valor resultante resultante de b? P4.109 P4.109

Resumen Resumen del del capítulo capítulo Principio del del trabajo trabajo y la energía energía El principio principio del trabajo trabajo y la energía energía establece establece que el trabajo trabajo U efectuado efectuado sobre un cuerpo cuerpo que se mueve de una una posición posición rr¡l a una una posición posición r22 es igual al cambio cambio en su energía energía cinética, cinética, 1 2 1 2 U = = "2mv2 -mv2 - "2mvl -mv¡ ' 22'

Ec. (4.5) (4.5) Ec.

donde donde r 2 r2

U = =

1

~F·dr ~F·dr

Ec. Ec. (4.6)

r, r¡

El trabajo total desarrollado conjunto de trabajo total desarrollado por por fuerzas fuerzas externas externas sobre sobre un conjunto cuerpos cuerpos es igual al cambio cambio en la energía energía cinética cinética total total del sistema sistema si las fuerzas internas internas no efectúan efectúan trabajo trabajo neto. neto.

Evaluación Evaluación del del trabajo trabajo Sea s la posición posición del centro centro de masa masa de un cuerpo cuerpo a lo largo largo de su trayectrayectoria. toria. El trabajo trabajo realizado realizado sobre sobre el cuerpo cuerpo al pasar pasar de SI a S2 es

l 1 S2 s2

U = =

~Ftds, ~Ftds,

Ec. Ec. (4.7) (4.7)

s, SI

donde donde "i:.F¡ "i:,Pt es la componente componente tangencial tangencial de la fuerza fuerza externa externa total total sobre sobre el Las componentes perpendiculares a la trayectoria el cuerpo. cuerpo. Las componentes perpendiculares trayectoria no trabajan. trabajan.

Peso Peso En un sistema sistema coordenado coordenado con el eje y positivo positivo dirigido dirigido hacia hacia arriarriba, el trabajo trabajo efectuado efectuado por por el peso de un cuerpo cuerpo cuando cuando su centro centro de masa masa se mueve de la posición posición 1 a la 2 es U = = -mg(Y2 -mg(Y2 - YI). Y¡)·

Ec. (4.13) (4.13) Ec.


178 178


trabajo es el producto producto del peso por El trabajo por el cambio cambio de altura altura de su centro centro de trabajo es negativo si la altura masa. El trabajo altura aumenta aumenta y positivo si ésta disminuye. Cuando se toma toma en cuenta cuenta la variación Cuando variación del peso de un cuerpo cuerpo con la distancia r desde el centro centro de la Tierra, distancia Tierra, el trabajo trabajo realizado realizado por por su peso es

2(1 1)

=mgR U= mgR E E

-

-

-

rz r2

Ec. (4.15) (4.15) Ec.

,

rl rl

donde RE es el radio radio de la Tierra. donde Tierra.

Resortes efectuado sobre cuerpo por por un resorte resorte unido unido Resortes El trabajo trabajo efectuado sobre un cuerpo a un soporte soporte fijo es U U

=

1 2 2 1 --k(S --k(S - S) S)l 2 2 l' '

Ec. (4.16) (4.16) Ec.

donde alargamiento del resorte resorte en las posicioposiciodonde SI Y S2 son los valores valores del alargamiento nes inicial y final. Potencia Potencia potencia es la razón razón a la que se efectúa La potencia efectúa trabajo. trabajo. La La potencia potencia transmitida transmitida cuerpo por por las fuerzas fuerzas externas sobre él es a un cuerpo externas que actúan actúan sobre = :EF· :EF· v. P =

Ec. (4.17) (4.17) Ec.

potencia es igual a la razón La potencia razón de cambio cambio de la energía energía cinética cinética del cuerpo. cuerpo. promedio respecto respecto al tiempo intervalo de El promedio tiempo de la potencia potencia durante durante un intervalo tiempo de titI a t22 es igual al cambio tiempo cambio en su energía energía cinética, cinética, o el trabajo trabajo realizado dividido dividido entre entre el intervalo realizado intervalo de tiempo: tiempo: U

Ec. Ec. (4.18) (4.18)

potencial Energía potencial

Para actúe sobre sobre un cuerpo, cuerpo, si existe una una función función Para una una fuerza fuerza dada dada F que actúe posición del cuerpo cuerpo tal que V de la posición dV = = --F·dr, dV F·dr,

se dice entonces conservativa y que Ves energía potencial potencial asoentonces que F es conservativa Ves la energía ciada por F entre entre la posición posición 11yy la posición posición 2 es ciada con F. El trabajo trabajo efectuado efectuado por U = VI - V2.

Ec. Ec. (4.21) (4.21)

todas las fuerzas fuerzas que efectúan sobre un sistema sistema son conservatiSi todas efectúan trabajo trabajo sobre conservatienergía total, total, es decir, suma de las energías cinética y potencial vas, la energía decir, la suma energías cinética potencial de las fuerzas, fuerzas, se conserva: conserva: 1 22 = constante. --mv mv + V = constante. 2


Ec. (4.23) (4.23) Ec.

PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO

e e. la

179 179

Peso En un sistema sistema coordenado coordenado cartesiano cartesiano con su su eje yy dirigido hacia Peso arriba, la energía potencial potencial del peso de ).lll JIn cuerpo es es arriba, t

mgy. v == mgy.

Ec. (4.25) Ec.

energía potencial potencial es es el el producto producto del peso del cuerpo cuerpo por la altura altura de La energía centro de masa medida medida desde cualquier cualquier nivel nivel de referencia referencia conveniente. conveniente. su centro Cuando se toma toma en cuenta cuenta la variación variación del peso de un cuerpo cuerpo con la Cuando distancia r desde el el centro centro de la Tierra, Tierra, la energía energía potencial potencial de su peso es distancia

o

mgR~ mgRª V=---, V =---, r

(4.27) Ec. (4.27)

donde R REE es el radio radio de la Tierra. Tierra. donde

Resortes La energía energía potencial potencial de la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre un cuerpo cuerpo por por Resortes resorte lineal es un resorte 1 22 '2kS , V == 2kS a

Ec. (4.28) Ec. (4.28)

donde, alargamiento del resorte. dond~. S es el alargamiento resorte.

Relacionesentrefuerza Relaciones entre fuerza y energía energía potencial potencial Una U na fuerza fuerza F está está relacionada relacionada con con su energía energía potencial potencial asociada asociada por por e o

F

av ax

av , av) av ay ay az

= _ ((av i + av j + F=-i+-J+-k

k) =

-VV. =-Y'V.

Ec. Ec. (4.32) (4.32)

Una Una fuerza fuerza F es conservativa conservativa si su rotacional rotacional es cero: cero: i

Y'xF= VxF= n

jj

k

aa aa aa --ax ax ay az az Fy r, r. Fx r, Fz

=0. =0.

L......;..:;;.~~.;;....,..;;...;,~::.:.í.;,;,¡¡~~;i;.....¡. .••••.••• ~~~ _""'"'""'1 Problemas e ............................................................................................ Problemas d de

1-

4.110 4.110 El El conductor conductor de de un un auto auto de de 3000 3000 lb lb que que circula circula aa 40 40 mi/h mi/ h aplica aplica una una fuerza fuerza creciente creciente sobre sobre el el pedal pedal del del freno. freno. La La magnitud magnitud de de la la fricción fricción ejercida ejercida sobre sobre el el vehículo vehículo por por el el camino camino es es ff == 250 250 + + 6s 6s lb, lb, donde donde ss es es la la posición posición horizontal horizontal del del auto auto relativa relativa aa la la que que tenía tenía cuando cuando se se aplicaron aplicaron los los frenos. frenos. SuponienSuponiendo do que que los los neumáticos neumáticos no no resbalan, resbalan, determine determine lala distancia distancia necenecesaria saria para para que que elel auto auto se se detenga detenga (a) (a) usando usando lala segunda segunda ley ley de de Newton; Newton; (b) (b) usando usando elel principio principio del del trabajo trabajo yy lala energía. energía.

repaso1------------------' repaso 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1

4.111 Suponga Suponga que que el el auto auto del del Probo Probo 4.110 4.110 viaja viaja sobre sobre un un papa4.111 vimento húmedo húmedo yy que que los los coeficientes coeficientes de de fricción fricción entre entre los los neuneuvimento máticos yy el el camino camino son son J1./l-s = 0.4 0.4 YYJ1.k /l-k = = 0.35. 0.35. Determine Determine lala máticos s = para que que el el auto auto se se detenga. detenga. distancia necesaria necesaria para distancia


180 180

CAPíTULO MÉTODOS ENERGÉTI ENERGÉTICOS CAPíTU LO 4 MÉTODOS COS

4.112 El tripulante tripulante de una una pequeña pequeña nave espacial espacial (masa (masa comcom4.112 binada == 450 kg) en vuelo estacionario estacionario a 100 100m sobre la superfisuperfim sobre binada Luna, descubre descubre que el combustible combustible casi se ha agotado agotado cie de la Luna, ejercer el empuje empuje necesario necesario sólo durante durante 5 segundos segundos y puede ejercer más.. Rápidamente Rápidamente considera considera dos estrategias estrategias para para llegar a la sumás perficie: (a) Descender Descender 20 m, ejercer ejercer el empuje empuje durante durante 5 s y perficie: resto del trayecto; trayecto; (b) descender descender 40 m, ejercer ejercer el empuje empuje caer el resto durante 5 s y caer el resto resto del trayecto. trayecto. ¿Qué estrategia estrategia le da durante mayor probabilidad probabilidad de sobrevivir? sobrevivir? ¿Qué trabajo trabajo es realizado realizado mayor por el empuje empuje del motor motor en cada cada caso? (gLuna m/s22.).) por (gLuna = 1.62 m/s

4.117 Si un auto auto que circula circula a 65 mi/h mi/ h choca choca contra contra la barrera barrera del Probo 4.9, 4.9, determine determine la desaceleración desaceleración máxima máxima que experiexperimentan los pasajeros pasajeros si el auto auto pesa (a) 2500 lb; (b) 5000 lb. mentan 4.118 En el diseño diseño preliminar preliminar de una una máquina máquina clasificadora clasificadora 4.118 correo, los paquetes abajo por por una una ramramdel correo, paquetes que se mueven mueven hacia hacia abajo pie/ss son detenidos pa lisa a 2 pie/ detenidos por por un resorte resorte lineal. ¿Cuál ¿Cuál debe constante del resorte paquete de ser la constante resorte si no se quiere quiere que un paquete quede sometido 10 lb quede sometido a una unª desaceleración desaceleración máxima máxima superior superior 10 g? g? a 10

4.113 En la Fig. P4.113 P4.113,, los coeficientes coeficientes de fricción fricción entre entre la 4.113 superficie son JlJls = Jlk = 0.22. Si la caja de 20 kg yY la superficie = 0.24 Y Jlk caja parte parte del reposo reposo y la fuerza fuerza horizontal horizontal es F F = 200 N, ¿cuál caja magnitud de su velocidad velocidad cuando cuando se ha desplazado desplazado 2 m? es la magnitud

P4.118 P4.118

P4.113 P4.113

4.119 Cuando Cuando el collarín 4.119 collarín de 1 kg mostrado mostrado está en la posición posición tensión en el resorte 1, la tensión resorte es de 50 N Y y la longitud longitud del resorte resorte estirar es de 260 mm. mm. Si el collarín collarín se jala jala hacia hacia la Posición Posición sin estirar libera del reposo, velocidad cuando cuando regresa regresa al? al? 2 y se libera reposo, ¿cuál es su velocidad

4.114 En el Probo 4.113, ¿cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad 4.114 caja cuando cuando ésta se ha desplazado desplazado 2 m si la fuerza fuerza horizonhorizonde la caja tal es F = 40 N? Una locomotora pesa 1.19 millones millones de libras y la fuerza fuerza 4.115 U na locomotora tracción tangencial tangencial de sus ruedas ruedas motrices motrices es de 135 135 000 lb. de tracción ignoran las otras otras fuerzas tangenciales, tangenciales, ¿qué distancia distancia reSi se ignoran quiere para para acelerar acelerar de cero a 60 mi/ mi/h? h? quiere

T

300rnm 300rnm

~ ~

-----600 600rrun rnm----~------------------~ P4.119 P4.119

P4.115 P4.115

4.120 En el Probo 4.119, 4.120 4.119, suponga suponga que las tensiones tensiones en el resorte posiciones 1 y 2 son 100 N y 400 N respectivamente. sorte en las posiciones respectivamente. ¿Cuál es la constante (a) ¿Cuál constante de resorte resorte k? collarín tiene 15 mis una velocidad velocidad de 15 mis en 1, ¿cuál ¿cuál es (b) Si el collarín tiene una velocidad cuando su velocidad cuando alcanza alcanza la posición posición 2?

4.116 En el Probo 4.115, suponga suponga que la fuerza fuerza tangencial tangencial 4.116 total sobre sobre la locomotora locomotora al acelerar acelerar de cero a 60 mi/h milh es total (Fo/m)(l v/88), donde donde Fo == 135 135 000 lb, m es su masa masa y v (Fo/m)(l - v/88), velocidad en pie/s. pie/s. es su velocidad trabajo efectúa efectúa al acelerar acelerar hasta hasta 60 mi/h? mi/h? (a) ¿Qué trabajo Determine su velocidad velocidad en función función del tiempo. tiempo. (b) Determine



a

4.121 4.121 El peso de 30 lb mostrado mostrado se libera del reposo con los (kA = 30 lb/pie, 15 lb/pie) lb/pie) sin estirar. dos resortes (kA lb/pie, kBB = 15 (a) ¿Qué distancia cae el peso antes de rebotar? rebotar? (b) ¿Qué velocidad máxima alcanza?

a

181 181

4.124 4.124 En la Fig. P4.124, el pistón y la carga que soporta soporta son acelerados hacia arriba arriba por el gas en el cilindro. cilindro. El peso total total del pistón y la carga es es 1000 1000 lb. El cilindro ejerce una fuerza de fricción constante constante de 50 lb sobre el pistón cuando éste se levanta. levanta. La fuerza neta ejercida sobre el pistón por la presión es (p patm)A, donde P es la presión del gas, P (p - Patm)A, Patm = 2117 2117 atm = Ib/ pie 2 es la presión atmosférica, lb/pieatmosférica, y A = 1 pie pie?2 es es el el área transversal del pistón. pistón. Suponga que el producto producto de P y el volumen del cilindro es es constante. constante. Cuando Cuando s = 1 pie, el pistón está en reposo y P == 5000 5000 Ib/pie lb/pie',2 • ¿Cuál es es la velocidad del pistón cuando s = 2 pies?

Pistón Pistón Gas Gas P4.121

T s --L

8

P4.124 P4.124

4.122 El collarín A de 12 12 kg está en reposo en la posición Yse encuentra mostrada mostrada en t == O OYse encuentra sometido a la fuerza tangencial F = = 24 24 - 12t22 N durante durante 1.5 s. Ignorando Ignorando la fricción, ¿qué altura máxima h alcanza?

T T h ¡¡

1-·

4.125 4.125 Suponga que para para diseñar un lazo para un parque de diversiones se ha establecido como criterio de seguridad que en la parte superior del lazo la fuerza normal ejercida sobre un pasajero pasajero sea igual al 100/0 100/0 del peso de éste (es (es decir, el "peso "peso efectivo" que comprime al pasajero pasajero en su asiento es el 10% 10% de efectivo" pie/s cuando cuando entra al lazo. su peso). El vagón se mueve a 62 pie/s es el el radio de curvatura curvatura instantáneo instantáneo necesario p de la vía ¿Cuál es en la parte superior del lazo?

-2m~ 2m ~

1· - - - - 1

P4.122 P4.122

9

Cuando el motor motor de un cohete de 22 Mg se apaga a 4.123 Cuando altura de 2 km, su velocidad es de 3 km/ km/ss y viaja con un una altura horizontal. Ignore la variación de ángulo de 60° respecto a la horizontal. altura. la fuerza gravitatoria gravitatoria con la altura. Si se ignoran ignoran las fuerzas aerodinámicas, aerodinámicas, ¿cuál es la magnitud magnitud (a) Si de la velocidad del cohete cuando éste alcanza una altura de 6 km? (b) Si Si la velocidad real del cohete cuando éste alcanza una altura altura (b) km/s, ¿qué trabajo trabajo efectúan las fuerzas aerodide 6 km es de 2.8 km/s, námicas cuando el cohete se desplaza de 2 km a 6 km de altura? altura?


P4.125 P4.125

182

CAPíTULO ÉTICOS CAPíTULO 4 MÉTODOS MÉTODOS ENERG ENERGÉTICOS

4.126 pie/s, sujeta 4.126 Un joven de 180 180 lb corre a 15 15pie/s, sujeta una cuerda y se columpia sobre un lago. Suelta la cuerda cuando cuando su velocidad es cero. (a) ¿Cuál es el ángulo ()(}cuando cuando el joven suelta la cuerda? justo antes de que la suelte? (b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda justo (c) (e) ¿Cuál es la tensión máxima en la cuerda?

4.130 Un collarín de 1 kg está unido con una cuerda a un parte del reposo en resorte lineal (k = 500 500 N/m). N/m). El collarín parte la posición mostrada, mostrada, y la tensión inicial en la cuerda es de 100 100 barra lisa? N. ¿Qué distancia recorre el collarín sobre la barra

P4.130 P4.130

P4.126 P4.126

4.127

4.131 En la Fig. P4.131, el eje y es vertical y la barra barra curva Si la magnitud es lisa. Si magnitud de la velocidad del deslizador de 4 lb es 1, ¿cuál es la magnitud magnitud de su velocidad pie/s en la posición 1, de 6 pie/s cuando llega a la posición 2? cuando

Si el joven del Probo Probo 4.126 suelta la cuerda cuando cuando Si

= 25°, ¿qué altura altura máxima alcanza respecto a su posición ()(} =

sujeta la cuerda? cuando sujeta 4.128 Un niño sale corriendo corriendo y salta sobre su trineo en la posiAbandona el terreno en la posición 2 y aterrición 11de de la figura. Abandona 25 pies. ¿Qué velocidad tenía za en la nieve a una distancia b = 25 1? en la posición 1?

T T

2 pies pies

j-~1_'-------_ 1l·-.---------44 pies pies ------_ -

----x ---- x

- - - -..j

15 pies P4.131 P4.131

1

I----b---I-------- b------~ P4.128 P4.128

4.129 En el Prob. Probo 4.128, si el niño tiene en la posición 1 una 4.129 velocidad de 15 15 pie/s, pie/s, ¿a qué distancia b aterriza en la nieve? nieve?

4.132 Probo 4.131, determine la magnitud 4.132 En el Probo magnitud de la velocivelocicuando alcanza la posición 2 si durante durante su dad del deslizador cuando movimiento está sometido a una fuerza adicional F = 3xi 3xi-2j (lb).



superfiSuponga que un cuerpo cuerpo de masa masa m está bajo bajo la superfi4.133 Suponga Tierra. sistema polar polar de coordenadas coordenadas con su cie de la T~ erra. En un sistema centro de la Tierra, Tierra, la fuerza fuerza gravitatoria gravitatoria sobre sobre el origen en ei centro cuerpo es -(mgr/ -(mgrl RE)e" RE)e" donde donde RE es el radio radio de la Tierra. cuerpo Tierra. Demuestre que la energía energía potencial potencial asociada fuerza gravitagravitamuestre asociada con la fuerza toria es V == mgr2I2R mgrl2RE• E • toria 4.134 Se afirma afirma que si se pudieran pudieran perforar perforar túneles rectos rectos a 4.134 Tierra entre entre puntos puntos sobre sobre su superficie, superficie, los trenes trenes través de la Tierra podrían viajar viajar entre entre esos puntos puntos usando usando la fuerza fuerza gravitatoria gravitatoria podrían para acelerar desacelerar (los efectos de la fricción fricción y de la fuerpara acelerar y desacelerar arrastre aerodinámica aerodinámica se podrían podrían minimizar minimizar evacuando evacuando za de arrastre usando trenes trenes con levitación levitación magnética). magnética). Suponga Suponga los túneles y usando viaja del Polo Polo Norte Norte a un punto sobre el ecuador. ecuador. que un tren así viaja punto sobre Determine la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del tren (a) cuando cuando llega Determine ecuador; (b) cuando cuando se encuentra encuentra a la mitad mitad del camino. camino. El al ecuador; radio de la Tierra Tierra es RE == 3960 millas. radio

183

"Cañón París", París", usado usado por por Alemania Alemania en la Primera Primera 4.137 El "Cañón Guerra Mundial, Mundial, tenía tenía un alcance alcance de 120 km, un barril barril de 37 37.5 Guerra .5 una velocidad velocidad inicial de 1550 mis mis y disparaba disparaba un proyectil proyectil m, una 120 kg. de 120 supone que la aceleración aceleración del proyectil proyectil era constante, constante, (a) Si se supone potencia máxima máxima se le transmitía transmitía al viajar viajar a lo largo largo del ¿qué potencia barril? barril? potencia media media se le transmitía transmitía al proyectil? proyectil? (b) ¿Qué potencia

N N

P4.137 P4.137

P4.134 P4.134

4.115, máxima potencia potencia transfetransfe4.135 En el Probo 4.1 15, ¿cuál es la máxima locomotora durante durante su aceleración? aceleración? rida a la locomotora Justo antes de despegar, despegar, un avión de 10.5 Mg tiene una una 4.136 Justo velocidad de 60 mi mis. fuerza horizontal horizontal total total ejercida ejercida por por velocidad s. La fuerza sus motores motores es de 189 189 kN, Y Yel acelerando a 15 15 m/ m/s-, el avión está acelerando s2 • potencia transmiten transmiten sus motores motores al avión? avión? (a) ¿Qué potencia (b) ¿Cuál es la potencia potencia total total transmitida transmitida al avión? avión?

P4.136 P4.136


l L

cantidad de movimiento movimiento lineal aa cantidad lineal total de los vehículos vehículos es la misma misma total justo antes y después después de de su colicolijusto antes sión. . Al analizar analizar accidentes accidentes simu simulados, sión lados, los ingenieros ingenieros obtienen obtienen información información los útil para para el diseño diseño de los los vehículos, útil vehículos, de sus sistemas sistemas de dirección dirección y frenos, frenos, y sus dispositivos de protección protección para para los de dispositivos pasajeros. Aquí usaremos usaremos métodos Aquí métodos pasajeros. basados en la cantidad cantidad de movimiento movimiento basados lineal y en en el momento momento angular angular para para lineal analizar movimientos de los cuerpos cuerpos. . ana lizar los movimientos


II Capítulo Capítulo

51

Métodosdela Métodosdela cantidad cantidad de movimiento N el Cap. transformamos la segunda Newton Cap. 4 transformamos segunda ley de Newton

E E

para obtener principio del trabajo para obtener el principio trabajo y la energía. energía. En En

este respecto al tiempo este capítulo capítulo integramos integramos esa esa ley con con respecto tiempo una relación relación entre respecto al y obtenemos obtenemos una entre la integral integral respecto tiempo un cuerpo tiempo de las fuerzas fuerzas que que actúan actúan sobre sobre un cuerpo y el cambio en su cantidad cantidad de movimiento. Con este este principio cambio movimiento. Con principio impulso y la cantidad cantidad de movimiento movimiento podemos deterdel impulso podemos determinar cambio en la velocidad velocidad de un cuerpo cuando cuando se minar el cambio un cuerpo conocen las fuerzas fuerzas externas externas en función función del del tiempo. tiempo. conocen Aplicando el principio dos o más cuerpos, obteneobteneAplicando principio a dos más cuerpos, mos la ley de la conservación conservación de la cantidad cantidad de movimienmos movimiento lineal, lineal, que que nos analizar impactos impactos entre entre cuerpos cuerpos to nos permite permite analizar evaluar las fuerzas fuerzas ejercidas ejercidas por flujos continuos continuos de mapor flujos may evaluar sa, como como ocurre ocurre en los motores aviosa, motores de retroimpulso retroimpulso de aviones cohetes. nes y cohetes. Otra transformación transformación de la segunda segunda ley de Newton Otra Newton nos nos da una una relación entre la integral integral respecto da relación entre respecto al tiempo tiempo de los momentos ejercidos sobre sobre un cuerpo y el cambio cambio en una momentos ejercidos un cuerpo una cantidad llamada llamada momento momento angular. angular. También También mostracantidad mostramos que en la situación situación llamada llamada movimiento fuerza movimiento bajo bajo fuerza mos que central, el momento momento angular angular de un cuerpo se conserva. conserva. central, un cuerpo

185


186 186

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE lA lA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO CAPíTULO

5. 5. 1 Principio del del impulso y la cantidad cantidad de de movimiento movimiento lineal lineal El principio principio del trabajo trabajo y la energía energía es muy muy útil útil en mecánica. mecánica. Podemos Podemos El obtener otra otra herramienta herramienta útil útil para para el análisis análisis del del movimiento movimiento integrando integrando obtener segunda ley de Newton Newton respecto respecto al tiempo. tiempo. Expresamos Expresamos dicha dicha ley así: así: la segunda

dv :EF=m - . :EF=m-. dt

Luego Luego integramos integramos con con respecto respecto al tiempo tiempo para para obtener obtener

(5.1)

donde donde VI VI Y V22 son son las velocidades velocidades del del centro centro de masa masa en los los tiempos tiempos ti ti y t 22•• El término término de la la izquierda izquierda se llama llama impulso impulso lineal, lineal, y mv mv es la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal. lineal. Este Este resultado resultado es el principio principio del impulso impulso y la canticantidad de movimiento movimiento lineal: durante un lineal: el impulso impulso aplicado aplicado a un un cuerpo cuerpo durante un intervalo intervalo de tiempo tiempo es igual igual al cambio cambio en su cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal lineal (Fig. (Fig. 5.1). 5.1). Las Las dimensiones dimensiones de ambas ambas cantidades cantidades son son (fuerza) (fuerza) x (tiempo). (tiempo).

Figura Figura 5.1 5.1 Principio del impulso impulso y la cantidad cantidad de Principio movimiento. movimiento.

tiempo t2 tiempo

tiempo tiempo t, ti

LF

Observe Observe que que la Ec. Ec. (5.1) (5.1) y el principio principio del del trabajo trabajo y la energía, energía, expresado expresado por por la Ec. Ec. (4.5), (4.5), son son muy muy siq1ilares. similares. Ambas Ambas relacionan relacionan la integral integral de las fuerzas fuerzas externas externas con con el cambio cambio de velocidad velocidad de de un un cuerpo. cuerpo. La La Ec. Ec. (5.1) (5.1) es una una ecuación ecuación vectorial vectorial que que nos nos da da el cambio cambio de de magnitud magnitud y dirección dirección de la velocidad, velocidad, mientras mientras que que el principio principio del trabajo trabajo y la energía, energía, que que es una una ecuación ecuación escalar, escalar, sólo sólo nos nos da da el cambio cambio en la magnitud magnitud de la velocivelocidad. dad. Sin Sin embargo, embargo, hay hay una una gran gran diferencia diferencia entre entre los dos dos métodos: métodos: En En el caso impulso y la cantidad caso del impulso cantidad de movimiento, movimiento, no no hay hay tipos tipos de fuerzas fuerzas equivalentes equivalentes a las las fuerzas fuerzas conservativas conservativas que que facilitan facilitan en grado grado sumo sumo la aplicación aplicación del del trabajo trabajo y la energía. energía. Cuando Cuando se conocen conocen las fuerzas fuerzas externas externas que que actúan actúan sobre sobre un un cuerpo cuerpo como como funciones funciones del tiempo, tiempo, el principio principio del del impulso impulso y la cantidad cantidad de movimovimiento miento nos nos permite permite determinar determinar el cambio cambio en su velocidad velocidad durante durante un un interintervalo valo de tiempo. tiempo. Éste Éste es un un resultado resultado importante importante pero pero no no nuevo. nuevo. Cuando Cuando usamos usamos la segunda segunda ley de Newton Newton en el Cap. Cap. 3 para para determinar determinar la aceleraacelera-


5.11 PRINCIPIé) PRINCIPI5 DEL IMPULSO IMPULSO Y LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO LINEAL 5.

ción de un cuerpo cuerpo y luego luego integramos integramos la aceleración aceleración con con respecto ción respecto al tiempo tiempo para determinar determinar su velocidad, estábamos aplicando aplicando realmente para velocidad, estábamos realmente el principio principio impulso y la cantidad cantidad de movimiento. Sin embargo, embargo, en en este este capítulo capítulo del impulso movimiento. Sin mostraremos que que tal tal principio extender a nuevas interesantes mostraremos principio se puede puede extender nuevas e interesantes aplicaciones. aplicaciones. promedio respecto respecto al tiempo fuerza total que actúa actúa sobre sobre un tiempo de la fuerza total que un El promedio cuerpo entre entre ti y t22 es cuerpo 1 I:Fllledia = =----I:Fl11cdia 1

tz - ttii t2

1.1.

12

I:F dt, I:F dt,

II II

manera que que podemos podemos escribir escribir la Ec. (5.1) como como de manera Ec . (5.1) ti) I:F I:F media = mV2 mV2 - mv¡. mv¡. (t2 - t¡) media =

(5.2) (5 .2)

Con esta esta ecuación ecuación se puede determinar el valor fuerza total Con puede determinar valor medio medio de la fuerza total que actúa actúa sobre sobre un un cuerpo cuerpo durante durante un intervalo de de tiempo dado si se conoce conoce que un intervalo tiempo dado cambio en su velocidad. velocidad. el cambio Una fuerza de magnitud grande que que actúa actúa durante durante un Una fuerza magnitud relativamente relativamente grande un pequeño intervalo intervalo de tiempo llama fuerza fuerza impulsora impulsora (Fig. (Fig. 5.2). 5.2). La deterpequeño tiempo se llama La determinacióndel,del desarrollo desarrollo temporal real de tal fuerza suele suele ser ser impráctica, minación temporal real tal fuerza impráctica, pero a menudo menudo puede especificarse su valor ejemplo, una pero puede especificarse valor medio. medio . Por Por ejemplo, una pelopelogolf golpeada golpeada por está sometida sometida a una impulsiva. . ta de golf por un un palo palo está una fuerza fuerza impulsiva Filmando a gran gran velocidad velocidad podemos determinar la duración duración del del impacto, impacto, Filmando podemos determinar velocidad de la pelota pelota y el movimiento impacto. . ConoConola velocidad movimiento resultante resultante por por el impacto ciendo la duracióri duración y la cantidad cantidad de movimiento lineal de la pelota ciendo movimiento lineal pelota resultanresultanimpacto, podemos podemos usar (5.2) para determinar la fuerza fuerza media usar la Ec. Ec . (5.2) para determinar media tes del impacto, ejercida sobre sobre la pelota pelota por (véase el Ej. 5.2). . ejercida por el palo palo (véase Ej. 5.2)

F

Fmooia - F media - -

Figura 5.2 Figura Fuerza impulsara y su valor Fuerza impulsora valor medio, medio.

-1------,I----IJ---+_- -1 +_-

~ ~-

I I I


187 187

188 188

CAPíTULO CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE lA lA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

Ejemplo 5.1 5.1 El cohete Fig. 5.3 recta hacia hacia arriba arriba cuando repentinamente cohete de la Fig. 5.3 viaja viaja en línea línea recta cuando repentinamente rev/s, yy es destruido empieza empieza a girar girar en sentido sentido antihorario antihorario a 0.25 0.25 rev/s, destruido 2 s después. después. hacia arriba Su masa masa es J11 m = 90 Mg, Mg, su empuje empuje es T = 1.0 MN MN Y su velocidad velocidad hacia arriba cuando cuando empieza empieza a girar girar es de 10 mis mis. . Si se ignoran ignoran las fuerzas fuerzas aerodinámicas, aerodinámicas, ¿cuál ¿cuál era era su velocidad velocidad al ser ser destruido? destruido?

T

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como podemos determinar Como conocemos conocemos la velocidad velocidad angular, angular, podemos determinar la dirección dirección del del empuje periodo de 2 empuje en función función del tiempo tiempo y calcular calcular el impulso impulso durante durante el periodo segundos. segundos. mg mg

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La rad/s. Con La velocidad velocidad angular angular del cohete cohete es 7r/2 7r/2 rad/s. Con t = = O O como como el tiempo tiempo en que que empieza empieza a girar, girar, el ángulo ángulo entre entre su eje eje y la vertical vertical es (7r/2)t (7r/2)t (Fig (Fig. . a). a). La La fuerza fuerza total total sobre sobre el cohete cohete es

Figura 5.3

~F ~F

= ((-Tsen~t) = -Tsen~t) ii+(Tcos~t-mg)j, + (TCOS ~t - mg) j,

de modo modo que que el impulso impulso entre entre t

= = O O Yt = =

2 s es

yy

.-r---""......----

4 = - - Ti Ti - 2mgj. 2mg j. =

x

11:

~---'..,......---- x

Del principio del Del principio del impulso impulso y la cantidad cantidad de de movimiento, movimiento,

foZ ~Fdt 1 2

~Fdt

mg mg

= mv: mV2 --

mv¡ :: mv¡

-~(l 2(90 x 103)(9.81)j 103)(9.81)j = = (90 x 103)(v2 - 10j). 10j). - ~(l x 106) ii -- 2(90 11:

Obtenemos v2 Obtenemos v2 El cohete cohete gira. gira. (a) El

= -14.15i -14.15i - 9.62j 9.62j (m (m/s). = /s).

COMENTARIO COMENTARIO Observe que que el empuje empuje del cohete cohete no tiene efecto efecto en en la componente componente y de de su Observe no tiene velocidad durante durante los 2 s. s. El efecto efecto de la componente componente y positiva del empuje empuje positiva del velocidad durante el primer cuarto de revolución cancelado por efecto de la compocornpodurante primer cuarto revolución es cancelado por el efecto nentey durante el segundo segundo cuarto cuarto de revolución. revolución. El El cambio cambio en en la comcomnentey negativa negativa durante ponente de la velocidad velocidad es causado causado enteramente enteramente por del cohete cohete. . El ponente y de por el peso peso del empuje tiene tiene una componente x negativa durante el intervalo intervalo de de 2 s, dando dando empuje una componente negativa durante cohete su componente componente x de velocidad velocidad negativa cuando es destruido destruido. . al cohete negativa cuando


CANTIDAD DE MOVIMIENTO 5.1 PRINCIPIO PRINCIPIO DEL IMPULSO IMPULSO Y LA CANTIDAD MOVIMIENTO LINEAL

189 189

Ejemplo 5.2 5.2 ...-.---------------1Ejemplo Una 5.4). Una pelota pelota de de golf golf en en vuelo vuelo es fotografiada fotografiada a intervalos intervalos de de 0.001 0.001 s (Fig. (Fig. 5.4). La 1.62 onzas 1.68 pulg La pelota pelota de de 1.62 onzas tiene tiene 1.68 pulg de de diámetro. diámetro. Si el palo palo tocó tocó la pelota pelota durante 0.0006 0.0006 s, calcule calcule la fuerza fuerza impulsiva impulsiva media media ejercida ejercida por por el palo. palo . durante

Figura Figura 5.4 5.4

yy

® ~--.

--~--

\

-

1.9 pulg - - - -- ----'-- x (a) Cálculo Cálculo de de la distancia distancia recorrida recorrida durante un un intervalo intervalo de de 0.001 0.001 s. durante

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Midiendo la la distancia distancia recorrida recorrida por por la la pelota pelota en en uno uno de de los los intervalos intervalos de de 0.001 0.001 Midiendo s, podemos ser golpeada podemos calcular calcular su velocidad velocidad después después de de ser golpeada y luego luego usar usar la Ec. Ec . (5.2) para para determinar determinar la fuerza fuerza media media total total sobre la pelota. pelota. (5.2) sobre la

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Comparando la la distancia distancia recorrida recorrida durante durante uno uno de de los los intervalos intervalos de de 0.001 0.001 s Comparando con 1.9 pulg diámetro conocido conocido de de la pelota, pelota, calculamos calculamos que que ésta ésta viajó viajó 1.9 pulg y con el diámetro de 21 0 sobre la horizontal horizontal (Fig. (Fig. a). a) . La La magnitud magnitud de de la la que su dirección dirección fue fue de que sobre la velocidad de de la pelota pelota es velocidad 0

(1.9/12) (1.9/ 12) pies pies pie/s . 0.001 s 0.001 = 158 pie/s.

0.101 lb, lb, por por lo que que su masa masa es 0.101/32.2 0.101/32.2 peso de de la la pelota pelota es 1.62/16 El peso 1.62/16 = 0.101 3.14 slugs. De 3. 14 x 10-33 slugs. De la Ec. Ec. (5.2), (5.2),

(0.0006)EFmedia (0.0006)EF media

(3 . 14 xx 1O)(l58.3)(cos 2100 i (3.14 1O-3)(158.3)(cos

j) - O, O, + sen sen 21 0 j) 0

obtenemos obtenemos 775i 775i

+ 297j 297j (lb). (lb).

COMENTARIO COMENTARIO La La fuerza fuerza media media durante durante el tiempo tiempo en en que que el palo palo está está en en contacto contacto con con la la pelota pelota incluye incluye la fuerza fuerza impulsiva impulsiva ejercida ejercida por por el palo palo y el peso peso de de la pelota. pelota. En En compacomparación con con la la gran gran fuerza impulsiva media media ejercida ejercida por por el palo, palo, el peso peso (O. 101j ración fuerza impulsiva (-0.101j lb) es insignificante. insignificante.


190 190

CAPíTULO 5 MÉTODOS lA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMI MOVIMIENTO CAPíTULO MÉTODOS DE lA ENTO

_ _ _ _ _ _. . . ._ _ _IlII. Problemas

000 toneladas. Suponga 5.1 El portaaviones portaaviones Nimitz pesa pesa 91 000 toneladas. Suponga que sus sus motores' ejercen sobre sobre que motores y la resistencia resistencia hidrodinámica hidrodinámica ejercen fuerza constante constante de de desaceleración desaceleración de 1 000 000 000 000 lb. lb. él una una fuerza de (a) del impulso impulso yy la cantidad cantidad de de movimiento movimiento (a) Use Use el principio principio del para determinar cuánto cuánto tarda desde su velopara determinar tarda la nave nave en detenerse detenerse desde velocidad máxima de aproximadamente aproximadamente (un nudo equivale cidad máxima de 30 nudos nudos (un nudo equivale alrededor de de 6076 6076 pie/h). pie/h). a alrededor Con el principio del trabajo energía, determine determine la distandistan(b) Con principio del trabajo yy la energía, cia que que recorre antes de de detenerse. detenerse. cia recorre la nave nave antes

5.3 Un camión de de bomberos de 21 900 900 kg, diseñado para 5.3 Un camión bomberos de kg, diseñado para resresponder emergencias en en aeropuertos, aeropuertos, acelera del del ponder rápidamente rápidamente a emergencias acelera reposo reposo a 80 km/h km/h en 35 s. (a) ¿Qué ¿Qué impulso impulso se aplica aplica al vehículo durante los los 35 s? (a) vehículo durante supone como como primera aproximación que que la fuerza fuerza tan(b) Si se supone primera aproximación tangencial ejercida ejercida sobre sobre el vehículo constante, ¿cuál ¿cuál es la maggencial vehículo es constante, magnitud de nitud de la fuerza? fuerza? (e) ¿Qué ¿Qué potencia (c) potencia media media se transfiere transfiere al vehículo? vehículo?

P5.3

P5.1 P5.1

de 2000 2000 lb acelera acelera del del reposo 300 mi/h 5.2 Un Un vehículo vehículo de reposo a 300 mi/h en 6 s. (a) ¿Qué impulso impulso se aplica aplica al vehículo durante los los 6 s? (a) ¿Qué vehículo durante supone como como primera aproximación que que la fuerza fuerza tanprimera aproximación tan(b) Si se supone gencial ejercida ejercida sobre sobre el el vehículo constante, ¿cuál ¿cuál es la maggencial vehículo es constante, magnitud de la fuerza? nitud de fuerza?

5.4 En En la Fig. combinado de de la motocicleta Fig. P5,4, P5.4, el peso peso combinado motocicleta y conductor es de de 300 300 lb lb.. El coeficiente coeficiente de de fricción fricción cinética cinética entre entre el conductor de la motocicleta camino es Jlk Jlk = 0.8. Sulos neumáticos neumáticos de motocicleta yy el camino 0.8. Suponga que el el conductor conductor parte del reposo ponga que parte del reposo y hace hace patinar patinar la rueda rueda trasera (motriz). La La fuerza fuerza normal entre la rueda trasera (motriz). normal entre rueda trasera trasera y el camino es de de 250 250 lb. lb. camino (a) ¿Qué ¿Qué impulso impulso ejerce ejerce la fuerza fuerza de de fricción fricción sobre sobre la rueda (a) rueda tratrasera en 5 s? sera (b) Si se ignoran ignoran otras otras fuerzas fuerzas horizontales, ¿qué velocidad (b) horizontales, ¿qué velocidad se alcanza en 5 s? alcanza

P5.2


P5.4

5.1 PRINCIPIO PRINCIPIO DEL IMPULSO IMPULSO Y LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO LINEA LINEALL

5.5 Un astronauta astronauta ""flota" flota" hacia hacia una una estación estación espacial espacial a 8 5.5 Un mis. (un pequeño mis . Lleva Lleva consigo c9nsigo una una unidad unid ad de de maniobras maniobras (un pequeño cohecohete de peróxido tiene un peróxido de de hidrógeno) hidrógeno) que que tiene un impulso impulso nominal nominal de dl' 720 N-s. N-s. La La masa masa total total del del astronauta, astronauta, su traje traje yla y la unidad unid a d ma niobras es de de maniobras Si usa de 120 kg. kg. Si usa todo todo el impulso im pulso para para disminuir disminuir su velocidad, ve locidad, ¿cuá ésta respecto respecto a la estación? estación? ¿cuál l será será ésta

191

5.9 5.9

Una Una caja ca ja de de 100 lb parte parte del d el reposo reposo y está está sometida so metida a la fuer za mostrada. mostrada. Si ignora la fricción, fri cción, ¿cuál velocidad fuerza Si se ignora ¿cuál es la velocidad de la caja caja en II = 8 s? de

L. 1

F

40 lb lb 40

r-':--':--':--!:-- t, segundos segundos

¡c-- ' - - ' - - - ' - - - - : ' - - -

2464 6 88

P5.9

5.10 5.10

Resuelva 5.9 si los Resuelva el Probo Probo 5.9 los coeficientes coeficientes de d e fricción fricción entre entre la caja son ¡;'s ¡;"s = ¡;"k = caja y el piso piso son = ¡;'k = 0.2. 0.2 .

P5.5 5.6 5.6

La sobre un La fuerza fuer za externa externa total total sobre un cuerpo cuerpo de de 10 kg es consconstante igual a 90i - 60j 60j + 20k 20k (N) En t == 2 s, la velocidad velocidad tante e igual (N). . En cuerpo es -8i - 8i + 6j (m /s) . del cuerpo (m/s). (a) ¿Q ¿Qué ué impulso impulso se aplica aplica al cuerpo cuerpo de de t = 2 s a t = 4 s? velocida d del del cuerpo cuerpo en {I = 4 s? (b) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad

La fuerza fuerza externa externa total total sobre un cuerpo cuerpo es F == IOlí La sobre un IOti + 60j (lb). En {t == O, O, su velocidad velocidad es v == 20j 20j (pie/s). (pie/s). En En {I == 12 (lb). En s, la componente componente x de de su velocidad velocidad es 48 pie/s. pie/s. ué impulso ap lica al cuerpo cuerpo entre entre t == O (a) ¿Q ¿Qué impulso se aplica O YY t = = 66 s? (b) ¿C ¿Cuál su velocidad s? uá l es su velocidad en en 1 == 6 5?

5.7 5.7

5.11 La 5.11 La caja caja mostrada mostrada tiene tiene una una masa masa de de 120 kg Y los los coeficoeficientes de fricción fricción entre entre ella ella y la la superficie inclinada son cientes superficie inclinada son ¡;'s ¡;"s = = 0.6 ¡;"k = = 0.5. 0 .6 Y ¡;'k 0 .5. La La caja caja parte parte del del reposo reposo y el malacate malacate ejerce eje rce una 1220 N. una tensión tensión T = = 1220 N. (a) ué impulso impulso se aplica aplica a la caja caja durante durante el primer primer segundo (a) ¿Q ¿Qué segundo de de movimiento? movimiento? (b) ve locidad de d e la caja caja después d espués de de 1 s? (b) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad

5.8 5.8

Durante los primeros primeros 5 5s del del recorrido reco rrido de despegue despegue de de un un Durante avión de d e 32 200 200 lb, lb , el el piloto piloto aumenta aumenta el e l empuje empuje del del motor mot o r a avión un a razón razó n constante constante de de 5000 hasta alcanzar empuje total tot a l una 5000 lb hasta alcanzar su empuje de 25 000 000 lb. lb. de ué impulso impulso ejerce ejerce el el empuje empuje sobre el avión av ión durante durante los 5 s? (a) ¿Q ¿Qué sobre el (b) Si ignoran otras otras fuerzas, fuerzas, ¿qué tiempo total tot a l se requiere requi ere Si se ignoran ¿qué tiempo para su velocidad para que que el el avión avión alcance alca nce su ve locidad de de despegue despegue de de 150 pie/s? pie /s? P5.11

5.12 Resuelva 5.11 si la caja 5.12 Resuelv a el el Probo Probo 5.11 caja parte parte del del reposo reposo en II = O Y el 1220 + 200/ el malacate m a laca te ejerce ejerce una una tensión tensión T = 1220 2001 N.

P5.8


192 192

CAPíTULO 55 MÉTODOS MÉTODOS DE LA LA CAN:fIDAD CAN;¡-IDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO CAPíTULO

En un un proceso proceso de de ensamblado, ensamblado, el paquete paquete A de de 20 20 kg kg 5.13 En rampa lisa lisa mostrada. mostrada. SuponSuponparte del del reposo reposo yy resbala resbala sobre sobre la la rampa parte dispositivo hidráulico hidráulico B para para que que ga que que se quiere quiere diseñar diseñar el dispositivo ga ejerza una una fuerza fuer za constante constante de de magnitud magnitud FF sobre sobre el paquete paquete yy ejerza 0. 2 s. s. ¿Cuál ¿Cuál es la la fuerza fuerza requerida? requerida? lo detenga detenga en en 0.2 lo

5.16 5.16 Los Los dos dos pesos pesos mostrados mostrados se liberan liberan del del reposo. reposo. ¿Cuál ¿Cuál es la la magnitud magnitud de de sus sus velocidades velocidades después después de de medio medio segundo? segundo? Estrategia: Estrategia: Aplique Aplique por por separado separado el principio principio del del impulso impulso cada peso. peso. la cantidad cantidad de de movimiento movimiento a cada yy la

P5.16 P5.16 P5.13 P5.13

5.14 En En el Probo Probo 5.13, dispositivo hidráulico hidráulico B ejerce una 5.13, si el dispositivo ejerce una fuerza de magnitud sobre el paquete, fuerza magnitud F = 540(1 + O.4t) N N sobre paquete, dondonmomento del primer conde t está está en segundos segundos medido medido desde desde el momento del primer conpaquete al reposo? tacto, ¿qué ¿qué tiempo tacto, tiempo se requiere requiere para para llevar llevar el paquete reposo?

5.17 Las dos cajas de la la Fig. Fig. P5.17 reposo. Sus Sus Las dos cajas de P5 . 17 se liberan liberan del del reposo. masas son kg, Y coeficiente de de fric40 kg kg Y mB m B = 30 kg, Y el coeficiente fricmasas son mAA = 40 ción cinética entre la caja A y la inclinada es /l-k /lk = la superficie superficie inclinada ción cinética entre la caja 0.15. ¿Cuál es la magnitud magnitud de sus velocidades velocidades después después de de 1 s? 0.15. ¿Cuál de sus

9.11 x 10-3131 kg) Un electrón electrón (masa 5.15 Un (masa = 9.11 kg) entra entra en en O a un un tubo velocidad v = (2.2 tubo de rayos rayos catódicos catódicos con con velocidad (2.2 x 1077)i (mis). Mientras Mientras está está entre entre las las placas placas cargadas, cargadas, el campo campo eléctrico eléctrico genegenerado por por éstas éstas lo somete somete a una una fuerza fuerza F = -eEj. -eEj. La La carga carga rado del electrón electrón es e = 1.6 x 10-1919 C (coulombs) (coulombs) y la intensidad intensidad del del campo eléctrico eléctrico es E = = 15 sen(wt) sen(wt) kN kN/C, donde la frecuencia frecuencia campo / C, donde w = = 2 X X 109 SS-l.l. (a) ¿Qué ¿Qué impulso impulso ejerce ejerce el campo campo eléctrico eléctrico sobre sobre el electrón electrón mientras mientras éste éste se halla halla entre entre las las placas? placas? (b) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad del del electrón electrón cuando cuando sale sale de la región región localizada localizada entre entre las las placas? placas?

B

P5.17 P5.17

y

I ]~o~--------------------- x

rGv~========J~o---------------------x

En el Ej. Ej. 5.1, 5.1, si el cohete cohete se destruye destruye 1 s después después de que que 5.18 En empieza a girar girar, , ¿cuál ¿cuál es su velocidad velocidad en el momento momento en que que es empieza destruido? destruido?

II,---=~-----------,-I \_._+--+-+3: m: -+--+-+-·1 . + + + + +

- - -\

+ + +

30 mm - - - -

P5.15 P5.15


5.1 PRINCIPIO LSO Y LA CANTIDAD PRINCIPIO DEL IMPU IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO LINEAL

5.19 Un cuerpo cuerpo de masa masa m se desliza con velocidad velocidad constante constante sobre unfl mesa horizontal horizontal (vista desde arriba Vo sobre arriba en la figura). figura). El cuerpo cuerpo eStá está unido unido con una una cuerda cuerda al punto punto fijo O y se halla halla en la posición posición mostrada, mostrada, con la cuerda cuerda paralela paralela al eje x, en t = O. (a) Determine Determine las componentes componentes x y y de la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre la masa masa por por la cuerda cuerda en función función del tiempo. tiempo. (b) Use los resultados resultados de la parte parte (a) y el principio principio del impulso impulso para determinar y la cantidad cantidad de movimiento movimiento para determinar el vector vector velocidad velocidad de la masa masa cuando cuando ésta ha recorrido recorrido un cuarto cuarto de vuelta vuelta alredealrededor del punto punto O.

193

esquiador de 77 kg desciende desciende a 10 10 m mis tarda 5.23 Un esquiador i s en 1 y tarda 0.7 s en ir de 1 a 2. (a) Si se ignoran ¿cuál ignoran la fricción fricción y la resistencia resistencia aerodinámica, aerodinámica,¿cuál es el tiempo tiempo medio medio de la componente componente tangencial tangencial de la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre él al pasar pasar de 1 a 2? velocidad real en 2 y se encuentra encuentra que es de (b) Si se mide su velocidad 13.1 componente tangencial 13.1 mis, mis, ¿cuál es el tiempo tiempo medio medio de la componente tangencial de la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre él al pasar pasar de 1 a 2?

yy

O~.

O •• _

_ _L_

1:

__

L------------------------------x L------------------------------ x

P5.19 P5. 19

proyectil de 50 lb se le da una una velocidad velocidad 5.20 En t = O, a un proyectil sobre la horizontal. horizontal. Ignore Ignore la fuerza fuerza inicial de 40 pie/s pie/s a 60° sobre arrastre. de arrastre. impulso se aplica aplica al proyectil proyectil entre entre t == O O Y t == 2 s? (a) ¿Qué impulso ¿Cuál es la velocidad proyectil en t == 2 s? velocidad del proyectil (b) ¿Cuál P5.23 P5.23

cañón sobre sobre rieles, que usa un campo campo electromagnéelectromagné5.21 Un cañón para acelerar acelerar un cuerpo, cuerpo, acelera acelera un proyectil tico para proyectil de 30 g a 5 km/s fuerza media media ejerce ejerce sobre sobre el proyectil? proyectil? km / s en 0.0005 s. ¿Qué fuerza lancha mostrada mostrada viaja viaja a 50 mi/ mi/hh cuando cuando su motor motor 5.22 La lancha apaga. En 5 s su velocidad velocidad disminuye disminuye a 30 mi mi/h. lancha se apaga. / h. La lancha y sus pasajeros magnitud de la fuerpasajeros pesan pesan 1800 1800 lb. Determine Determine la magnitud za media media ejercida ejercida sobre sobre la lancha lancha por por las fuerzas fuerzas de arrastre arrastre hidrodinámica y aerodinámica aerodinámica durante durante los 5 s. hidrodinámica

5.24 una prueba prueba de una una barrera barrera antichoques antichoques, , un automóautomó5.24 En una estrella contra contra ésta a 5 mi/ mi/h.h. La duración duración del vil de 2800 lb se estrella impacto es de 0.4 s y el automóvil automóvil rebota rebota a 1 mi/h. mi/h. impacto ¿Cuál es la magnitud magnitud de la fuerza fuerza horizontal horizontal media media ejercida ejercida (a) ¿Cuál sobre el automóvil automóvil durante durante el impacto? impacto? sobre ¿Cuál es la desaceleración desaceleración media media del vehículo vehículo durante durante el im(b) ¿Cuál pacto? pacto?

P5.22 P5.22 P5.24 P5.24


194 194

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO CAPíTULO

5.25 A fin de probar probar una una máscara máscara protectora protectora para para porteros porteros lanza el de hockey, hockey, se usa una una máscara máscara de plástico plástico a la que se lanza mis. Por fotografías disco de 170 g horizontalmente horizontalmente a 40 mis. Por las fotografías impacto, se calcula calcula que la duración duración de éste es de 0.02 s y del impacto, mis.s. que el disco rebota rebota a 5 mi (a) ¿Qué impulso impulso lineal ejerce el disco? (b) ¿Cuál ¿Cuál es el valor fuerza impulsora impulsora ejercida ejercida sobre sobre valor medio de la fuerza por el disco? la máscara máscara por

onzas está a 3 pies sobre sobre el terreno cuando 5.29 Una Una bola bola de 5 onzas terreno cuando golpeada con un bate. distancia horizontal es golpeada bate. La distancia horizontal al punto punto en que estudios fotográficos fotográficos indican indican cae la pelota pelota es de 180 pies. Los estudios aproximadamente en dirección dirección horizontal que la pelota pelota se movía aproximadamente horizontal antes de ser golpeada; golpeada; la duración duración del impacto impacto fue piel s antes a 100 piels sobre la horizontal. ¿Cuál de 0.015 s y la pelota pelota viajó viajó a 30° sobre horizontal. ¿Cuál fuerza impulsora impulsora media ejercida sobre sobre fue la magnitud magnitud de la fuerza media ejercida por el bate? bate? la bola bola por

.// .

.// .

.// .

.// .

Jjj JJj

P5.29 P5.29

P5.25 P5.25

cuerpo frágil que cae sobre sobre una superficie dura dura se 5.26 Un cuerpo una superficie rompe debido a que queda queda sometido sometido a una gran fuerza fuerza impulsoimpulsorompe debido una gran ra. Si se deja deja caer un reloj de 2 onzas onzas desde 4 pies, la duración duración impacto es de 0.001 s y el reloj rebota sobre el piso; rebota 2 pulg sobre del impacto ¿qué valor fuerza impulsora? impulsora? valor medio tiene la fuerza está sometido sometido a una fuerza impulimpul5.27 Un proyectil proyectil de 50 lb está una fuerza sora con duración duración de 0.01 s que lo acelera acelera del reposo una velosora reposo a una cidad de 40 piels sobre la horizontal. ¿Cuál es el valor piel s a 60° sobre horizontal. ¿Cuál valor cidad medio de la fuerza fuerza impulsora? impulsora? Estrategia: determinar la fuerza fuerza total Estrategia: Use la Ec. (5.2) para para determinar total media sobre el proyectil. determinar el valor Para determinar valor medio de la media sobre proyectil. Para fuerza impulsora, impulsora, se debe restar fuerza restar el peso del proyectil. proyectil.

5.30 La bola bola de 1 kg mostrada mostrada tiene una una velocidad velocidad horizontal horizontal l.2 mis fotográficas indican indican que b de l.2 mi s en A. A. Las mediciones mediciones fotográficas l.2 m, h = 1.3 l.3 m y que la duración duración del rebote = 1.2 rebote en B es de ¿Cuáles son las componentes componentes de la fuerza fuerza impulsora impulsora me0.1 s. ¿Cuáles ejercida sobre sobre la bola bola por por el piso en B? B? dia ejercida

y A

T T 1 1 2m 2m

insecto de 3 g durante durante su 5.28 Se mide el movimiento movimiento de un insecto salto y se determina determina que acelera acelera del reposo mis en 25 milisalto reposo a 3.4 mis segundos. El ángulo ángulo de despegue despegue es de 55° sobre sobre la horizontal. segundos. horizontal. ¿Cuáles son las componentes componentes horizontal ¿Cuáles horizontal y vertical vertical de la fuerza fuerza media impulsora ejercida ejercida por por las patas patas traseras traseras del insecto dumedia impulsora rante salto? rante el salto?


P5.30 P5.30

5. q NSERVACIÓN DE LA CA NTIDA D DE MOVIMIENTO 5.22 C CONSERVACiÓN CANTIDAD MOVIMIENTO LINEA LINEALL

5.2 Cpnservación Cpnservación de la cantidad cantidad de movimiento lineal lineal Aquí consideramos movimientos de varios varios cuerpos mostramos que consideramos los movimientos cuerpos y mostramos si las fuerzas pueden ignorarse, movimiento lineal fuerzas externas externas pueden ignorarse, la cantidad cantidad de movimiento total muy útil para para analizar total se conserva. conserva. Esto Esto es muy analizar interacciones interacciones entre entre cuercuerpos, como las colisiones, permite determinar colisiones, y nos permite determinar las fuerzas fuerzas ejercidas ejercidas sobre los cuerpos resultado de la ganancia pérdida de masa. masa. cuerpos como como resultado ganancia o pérdida Consideremos AB es la fuerza Consideremos los cuerpos cuerpos A y B de la Fig. 5.5. F AB fuerza ejerciejercida sobre A por por A sobre por B y F BA es la fuerza fuerza ejercida ejercida por sobre B. Esas fuerzas fuerzas podrían podrían ser ejercidas podrían resultar resultar del contacto contacto entre entre los dos cuerpos, cuerpos, o podrían ejercidas por un resorte tercera ley de resorte que los conectara. conectara. Como Como consecuencia consecuencia de la tercera Newton, Newton, esas fuerzas fuerzas son iguales y opuestas: opuestas: F FBA = FAB +FBA = O. AB +

A A

~

~

(5.3) (5.3) Figura Figura 5.5

Suponga ninguna otra Suponga que ninguna otra fuerza fuerza externa externa actúa actúa sobre sobre A y B, o que otras otras externas son insignificantes insignificantes en comparación comparación con con las fuerzas fuerzas que fuerzas externas A y B ejercen principio del impulso ejercen entre entre sí. Podemos Podemos aplicar aplicar el principio impulso y la canticantidad de movimiento tiempos arbitrarios movimiento a cada cada cuerpo cuerpo durante durante tiempos arbitrarios ttii y t 22::

Dos cuerpos cuerpos y las fuerzas fuerzas que ejercen ejercen entre sí. entre

Al sumar términos de la izquierda tenemos sumar estas ecuaciones los términos izquierda se cancelan cancelan y tenemos

esto es, la cantidad movimiento lineal total total de A y B se conserva: cantidad de movimiento conserva: (5.4) Podemos velocidad del centro masa combinado Podemos demostrar demostrar que la velocidad centro de masa combinado de A y B (es decir, de A y B considerados también considerados como como un solo cuerpo) cuerpo) también

es constante. Y rBB los vectores vectores de posición posición de sus centros masa constante. Sean rAA Yr centros de masa individuales posición del centro masa combinado individuales (Fig. 5.6). La posición centro de masa combinado es mArA + mBrB mArA +mBrB rr=-----= - -- - - mA + mB mA+mB A

Figura Figura 5.6

Vector centro de masa Vector de posición posición r del centro masa de A y B.

o http://carlos2524.jimdo.com/

195 195

196 196

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO CAPíTULO

Derivando ecuación, obtenemos obtenemos Derivando respecto respecto al tiempo tiempo esta ecuación, (m ,A + mB)v constante, mB)v = mAYA mAYA + mBv¡¡ mBv R = constante, (m

(5.5)

donde v == dr/dt dr/dt es la velocidad centro de masa combinado. Si bien velocidad del centro masa combinado. donde objetivo por general consistirá consistirá en determinar determinar los movimientos el objetivo por lo general movimientos de los cuerpos aislados, aislados, saber saber que la velocidad centro de masa combinado cuerpos velocidad del centro masa combinado constante contribuye contribuye al mejor entendimiento del problema, en algunos algunos es constante mejor entendimiento problema, yyen casos el movimiento centro de masa combinado puede movimiento del centro masa combinado puede ser la única única información disponible. disponible. información Aun cuando haya fuerzas externas externas que actúen actúen sobre sobre A y B, si las fuerzas fuerzas Aun cuando haya fuerzas externas son insignificantes insignificantes en una externas una dirección dirección particular, particular, las Ecs. (5.4) y aplicables en esa dirección. dirección. Estas Estas ecuaciones ecuaciones también aplican (5.5) son aplicables también se aplican número arbitrario arbitrario de cuerpos: cuerpos: si las fuerzas fuerzas externas externas que actúan actúan sobre sobre a un número cualquier conjunto conjunto de cuerpos cuerpos son insignificantes, insignificantes, la cantidad cantidad de movicualquier miento cuerpos se conserva conserva y la velocidad centros miento lineal total total de los cuerpos velocidad de sus centros constante. de masa masa es constante. En ejemplos demostramos En los siguientes siguientes ejemplos demostramos el uso de las Ecs. (5.4) y (5.5) cuerpos. Cuando Cuando se conocen conocen las lasposiciones en el análisis del movimiento movimiento de cuerpos. posiciones y velocidades velocidades iniciales de los cuerpos cuerpos y se pueden ignorar las lasfuerzas pueden ignorar fuerzas externas, esas ecuaciones ecuaciones relacionan relacionan sus velocidades en cualquier cualquier sus posiciones posiciones y velocidades tiempo posterior. tiempo posterior.

Ejemplo 5.3 Una centro de una Una persona persona de masa masa m-. mp esta de pie en el centro una barcaza barcaza de masa masa mBB encuentra en reposo Ignore las fuerzas fuerzas horizontales ejercidas que se encuentra reposo (Fig. 5.7). Ignore horizontales ejercidas sobre la barcaza agua. sobre barcaza por por el agua. derecha con velocidad agua, (a) Si la persona persona corre corre hacia hacia la derecha velocidad Vpp respecto respecto al agua, agua? velocidad resultante resultante de la barcaza barcaza respecto respecto al agua? ¿cuál es la velocidad detiene cuando cuando llega al extremo extremo derecho derecho de la barcaza, (b) Si la persona persona se detiene barcaza, ¿cuaoriginales? les son su posición posición y la de la barcaza barcaza respecto respecto a sus posiciones posiciones originales?

Figura 5.7

ESTRATEGIA ESTRATEGIA fuerzas horizontales ejercidas sobre sobre la persona (a) Las únicas únicas fuerzas horizontales ejercidas persona y la barcaza barcaza son ejercen entre entre sí. Por cantidades de movimiento las que ellas ejercen Por tanto, tanto, sus cantidades movimiento lineal total horizontal se conservan conservan y podemos dirección horizontal podemos usar usar la Ec. (5.4) para para total en la dirección determinar la velocidad determinar velocidad de la barcaza barcaza mientras mientras la persona persona está corriendo. corriendo. centro de masa combinado de la persona inicialmente (b) El centro masa combinado persona y la barcaza barcaza está inicialmente Conociendo la posición en reposo, reposo, por por lo que debe permanecer permanecer en reposo. reposo. Conociendo posición del centro de masa combinado, podemos determinar las posiciones centro masa combinado, podemos determinar posiciones de la persona persona y la barcaza cuando la primera halla en el extremo extremo derecho derecho de la barcaza. barcaza cuando primera se halla barcaza.


CANTIDAD DE MOVIM MOVIMIENTO 5.2 CONSERVACIÓN CONSERVACIÓN 5.2 DE LA CANTIDAD IENTO LINEAL

SOLUCiÓN SOLUCiÓN (a) Antes Antes de ~ue 4ue la persona persona empiece a correr, correr, la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal barcaza en la dirección total total de la persona persona y la barcaza dirección horizontal horizontal es cero, por por lo que debe ser cero después comience a correr. valor de después de que aquélla aquélla comience correr. Si VB es el valor la velocidad velocidad de la barcaza barcaza hacia la izquierda izquierda mientras mientras la persona persona está está corriendo corriendo (Fig. a), obtenemos obtenemos mpvp mpvp

+

mB(vB) = 0, mB(-vB)

por lo que la velocidad velocidad de la barcaza barcaza es

(a) Velocidades persona Velocidades de la persona y la barcaza. barcaza. x

(b) Sea el origen origen del sistema sistema coordenado coordenado en la Fig. (b) la posición posición horizontal horizontal original original de los centros centros de masa masa de la barcaza barcaza y la persona, persona, y sea XBB la posición posición del centro centro de masa masa de la barcaza barcaza a la izquierda izquierda del origen. Cuando Cuando la persona persona se ha detenido detenido en el extremo extremo derecho derecho de la barcaza, barcaza, el centro centro de masa masa combinado combinado debe estar estar aún en x = O: xpmp xpmp

+ (-xB)mB = O. (-xB)mB

mp+mB mp+mB

Resolviendo junto con la relación Resolviendo esta ecuación ecuación junto relación xpp +

Xp

=

mBL 2(mp

+ mB)

,

XB

=

XB

L/2, obtenemos L/2, obtenemos

mpL 2(mp

+ mB) .

y

(b) Posiciones Posiciones después después de que la

persona persona se detiene. detiene.

x

COMENTARIO COMENTARIO Este ejemplo buena ilustración basaejemplo es una una buena ilustración de la fuerza fuerza que tienen tienen los métodos métodos basados en la cantidad cantidad de movimiento. movimiento. Observe Observe que fuimos fuimos capaces capaces de determinar determinar velocidad de la barcaza aun cuando cuando la velocidad barcaza y las posiciones posiciones finales de ésta y la persona persona aun conocíamos la complicada complicada dependencia dependencia respecto respecto al tiempo tiempo de las fuerzas no conocíamos horizontales que se ejercían ejercían entre entre sí. horizontales


197 197

198 198

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE llAA CANTIDA CANTIDADD DE MOVIM MOVIMIENTO CAPíTULO IENTO

Impactos 5.3 Impactos máquinas de estampado estampado o de forja, forja, los troqueles troqueles se impactan impactan contra contra En máquinas trabajo. . Las impresoras impresoras mecánicas mecánicas crean crean imágenes imágenes impactanimpactanlas piezas de trabajo elementos metálicos metálicos contra contra papel placas. Hay Hay vehículos vehículos que se impacimpacdo elementos papel y placas. tan intencionalmente, intencionalmente, como como los vagones vagones de ferrocarril, ferrocarril, y otros manera tan otros de manera accidental. Los impactos impactos ocurren ocurren en muchas muchas situaciones situaciones de interés interés para accidental. para ingeniería. Aquí Aquí veremos veremos un asunto asunto básico: velocidades la ingeniería. básico: si se conocen conocen las velocidades cuerpos antes antes de que choquen, choquen, ¿cómo ¿cómo cambiarán cambiarán después después de la de dos cuerpos colisión? Es decir, ¿cómo ¿cómo afecta afecta el impacto impacto sus movimientos? movimientos? colisión? cuerpos que chocan chocan no están están sujetos sujetos a fuerzas fuerzas externas, externas, sus canticantiSi los cuerpos dades de movimiento movimiento lineal total total deben deben ser las mismas mismas antes antes y después después dades impacto. Aun Aun cuando cuando estén sujetos sujetos a fuerzas fuerzas externas, externas, el impacto impacto es del impacto. menudo tan tan fuerte fuerte y su duración duración tan tan breve, efecto en sus movia menudo breve, que el efecto mientos durante durante el impacto insignificante. Suponga Suponga que los cuerpos cuerpos A mientos impacto es insignificante. velocidades VA vA y vV BB entran entran en colisión, colisión, y sean v~ y B con velocidades v~ y v~ v~ sus velocidespués del impacto impacto (Fig. 5.8a). 5.8a). Si los efectos efectos de fuerzas fuerzas externas externas dades después insignificantes, la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal total total se conserva: conserva: son insignificantes, (5.6) (5 .6) Además, la velocidad velocidad vV de su centro centro de masa masa es la misma misma antes antes y después Adymás, despu~s Ec. (5.5), del impacto. impacto. De De la Ec. V= V=

mAYA +mBVB +mBVB mAYA

(5.7)

ms+m» mA + mB

adhieren y permanecen después de la colisión, colisión, se dice Si A y B se adhieren permanecen juntos juntos después sufren un impacto perfectamente plástico. plástico. La Ec. (5.7) da la velocidad velocidad impacto perfectamente que sufren centro de masa masa del cuerpo cuerpo que ellos forman forman después después del impacto impacto (Fig. del centro 5.8b). Un aspecto aspecto notable notable de este resultado resultado es que se puede determinar 5.8b). puede determinar velocidad posterior impacto sin considerar considerar la naturaleza naturaleza física la velocidad posterior al impacto física del impacto. impacto. adhieren, la mera mera conservación conservación de la cantidad cantidad de moviSi A y B no se adhieren, miento lineal no es suficiente suficiente para determinar sus velocidades velocidades después después del para determinar miento impacto. Primero Primero consideraremos consideraremos el caso en que viajan viajan a lo largo largo de la impacto. misma recta recta antes antes y luego de que entren entren en colisión. colisión. misma

Figura 5.8 Velocidades de A y B antes y (a) Velocidades después de impacto y velocidad v de sus centros de masa. (b) Impacto perfectamente plástico.

(a)


(b)

5.3 IMPACTOS

199

Impactos Impactos centrales centrales directos directos I

.

SupongamoJ masa de A y B viajan viajan a lo largo misma Supongamos que los centros centros de masa largo de la misma recta con velocidades velocidades VVAA y VBB antes antes de su impacto impacto (Fig. 5.9a). 5.9a). Sea R la magnitud de la fuerza fuerza que ejercen ejercen entre entre sí durante durante el impacto impacto (Fig. 5.9b). 5.9b). magnitud Suponemos manera que Suponemos que las superficies superficies que chocan chocan están están orientadas orientadas de manera R es viajan y que está dirigida hacia sus centros es paralela paralela a la línea en la que viajan dirigida hacia centros de masa. Esta condición, impacto central masa. Esta condición, llamada llamada impacto central directo, directo, significa significa que pueden seguir viajando viajando en la misma misma recta recta después impacto (Fig. 5.9c). después del impacto Si los efectos efectos de las fuerzas fuerzas externas externas durante durante el impacto impacto se pueden ignorar, Si pueden ignorar, su cantidad movimiento lineal total se conserva: cantidad de movimiento lineal total conserva: (5.8) (5.8) Figura 5.9 (a) Cuerpos recorren la misma misma Cuerpos A y B que que recorren (a) Antes del recta. recta. impacto impacto (b) Durante Durante el impacto, impacto, ejercen ejercen entre entre sí una fuerza R. una fuerza después de su (e) Recorren Recorren la misma misma recta recta después impacto central. impacto central.

A~B

A~B

(b) Durante Durante el

impacto impacto v~

v~

------------------------A+~ ~~~---r~ ~~·~)'B-----

(e) Después del impacto

embargo, necesitamos otra ecuación ecuación para Sin embargo, necesitamos otra para determinar determinar las velocidades velocidades v~ y v~. v~. Para Para obtenerla obtenerla debemos debemos considerar considerar el impacto impacto con mayor v~ mayor detalle. entran por contacto (Fig. Sea tti¡ el tiempo tiempo en que A y B entran por primera primera vez en contacto 5.lOa). Como resultado impacto, primero deforman y sus centros centros de 5. lOa). Como resultado del impacto, primero se deforman continúan acercándose acercándose uno otro. En un tiempo centros masa continúan uno al otro. tiempo te, t o sus centros masa habrán alcanzado su máxima 5.lOb). En de masa habrán alcanzado máxima proximidad proximidad (Fig. 5.lOb). En este tiempo la velocidad centros de masa cero, por tiempo velocidad relativa relativa de los dos centros masa es cero, por lo ambos tendrán denotamos con Ve' Ve' Los cuerque ambos tendrán la misma misma velocidad. velocidad. La denotamos comienzan a separarse separarse en un tiempo 5.lOc). Aplicamos el prinpos comienzan tiempo t22 (Fig. 5. lOe). Aplicamos princantidad de movimiento durante los intervalos intervalos cipio del impulso impulso y la cantidad movimiento a A durante tiempo de t¡ti al tiempo te Ytambién de tiempo tiempo de máxima máxima proximidad proximidad te Y también de te a t22: :

tú3' ..

(a) (a)

(b)

(5.9)

(5.10) (5.10) (e) (e)

aplicamos este principio intervalos de tiempo: Luego aplicamos principio a B en los mismos mismos intervalos tiempo:

¡l 1.1

Figura 5.10

tete

R dt = mBVC dt = mBVC

ttII

-

mBVB, mBvB,

(5.11) (5.11)

-

mBvC. mBvC.

(5.12) (5.12)

.

t2t2

R dt = mBv~ dt = mBv~

te


contacto, t == tti'I' (a) Primer Primer contacto, (b) Acercamiento Acercamiento más más próximo, próximo, t contacto, t = = t2•• (e) Fin Fin del contacto,

200 200

CAPíTULO 5 MÉTODOS CAPíTULO5 MÉTODOS DE DE LA LA CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO

Como resultado del impacto, impacto, parte parte de la energía cinética de los cuerpos cuerpos Como resultado energía cinética puede perderse debido debido a una una variedad variedad de mecanismos, mecanismos, incluidos incluidos la defordeforpuede perderse mación permanente y la generación generación de calor calor y sonido. Como consecuencia consecuencia mación permanente sonido. Como de esto, impulso que se imparten imparten entre esto, el impulso entre sí durante durante la fase de "restitución" "restitución" del impacto impacto de ttec a t22 es, en general, general, menor menor que el impulso impulso que se imparimparte. La razón de esos impulsos se llama coeficiente de restitución: ten de t}tI a tc.

(2 (2 Rdt Jt, Rdt

e = =

lt~c lt~c

(5.13)

Rdt Rdt

t) tI

Su valor valor depende depende de las propiedades propiedades de los cuerpos cuerpos y de sus velocidades velocidades y orientaciones determinar sólo mediante mediante experimenorientaciones al chocar, chocar, y se puede puede determinar experimentos o por por un análisis detallado de las deformaciones durante el impacto. impacto. análisis detallado deformaciones durante Si dividimos laEc. dividimos la Ec. (5.10) entre entre la Ec. (5.9) y dividimoslaEc. dividimos la Ec. (5.12) entre la laEc. podemos expresar resultantes en las formas Ec. (5.11), podemos expresar las ecuaciones ecuaciones resultantes formas

(Ve - vB)e v~ - Ve vB)e = = v~ Ve··

Restando primera ecuación obtenemos Restando la primera ecuación de la segunda segunda obtenemos V~

-

v~

e = --=-----'-'-

(5.14)

sencilla con las Así, el coeficiente coeficiente de restitución restitución se relaciona relaciona de manera manera sencilla velocidades después del impacto. impacto. Si se conoconovelocidades relativas relativas de los cuerpos cuerpos antes antes y después ecuación de la conservación ce e, se puede puede usar usar la.Ec. la ,Ec. (5.14) junto junto con la ecuación conservación cantidad de movimiento determinar v~ de la cantidad movimiento lineal, lineal, Ec. (5.8), para para determinar v~ y v~. v~. = v~. Los cuerpos Si e == 0, la Ec. (5.14) indica indica que v~ v~ = cuerpos permanecen permanecen juntos después del impacto, juntos después impacto, y éste es perfectamente perfectamente plástico. plástico. Si e == 1, energía cinética impacto: se puede puede demostrar demostrar que la energía cinética total total no cambia cambia por por el impacto:

vb o

energía cinética Un impacto impacto en el que se conserva conserva la energía cinética se denomina denomina perfectaperfectamente elástico. elástico. Aunque cualquier mente Aunque ésta es a veces una una útil aproximación, aproximación, en cualquier impacto entre entre cuerpos siempre se pierde energía. Si se puede impacto cuerpos materiales materiales siempre pierde energía. puede choque, la energía energía cinética convertido en sonido. sonido. Las deformadeformaoír un choque, cinética se ha ha convertido // ciones permanentes permanentes y las vibraciones vibraciones de los cuerpos cuerpos en colisión colisión después después impacto también energía cinética. también representan representan pérdidas pérdidas de energía cinética. -------+~~~{~--~-------x -------+~~--~~--r-------x del impacto y

Impactos centrales centrales oblicuos oblicuos Impactos

Figura 5.11 Figura

Impacto central oblicuo.

empleado para analizar los impactos centrales se puede El procedimiento procedimiento empleado para analizar impactos centrales puede extender al caso en que los cuerpos cuerpos se aproximen aproximen entre entre sí con con un ángulo ángulo extender oblicuo. Supongamos Supongamos que A y B se aproximan aproximan con velocidades velocidades arbitrarias arbitrarias oblicuo. fuerzas que ejercen ejercen entre entre sí durante vAA y VBB (Fig. 5.11) Yque Yque las fuerzas durante su impacimpacapuntan hacia centros de masa. to son paralelas paralelas al eje x y apuntan hacia sus centros masa. Ninguna Ninguna http://carlos2524.jimdo.com/

5.3 5.3 IMPACTOS IMPACTOS 201 201

fuerza se se ejerce sobre sobre ellos ellos en en las direcciones direcciones yo yo Z, z, por lo lo que que sus sus velocidafuerza des en esas direcciones no cambian con el impacto: des en esa,s direcciones cambian con el impacto: (5.15) (5.15)

dirección x se se conserva conserva la cantidad cantidad de movimiento, movimiento, En la dirección (5.16) (5.16)

el mismo análisis que usamos usamos para para obtener obtener la Ec. (5.14), las compocompoy por el velocidad satisfacen satisfacen la relación relación nentes x de la velocidad (5.17) (5.17)

fricción es insignificante, insignificante, podemos podemos analizar analizar un impacto impacto en el que Si la fricción choca con un cuerpo cuerpo en reposo, reposo, por por ejemplo ejemplo una una pared como A choca pared (Fig. 5.12), como impacto central central oblicuo. oblicuo. Las componentes componentes y y z de la velocidad velocidad de A un impacto cambian y la componente componente x después después del impacto impacto está dada dada por no cambian por la Ec. velocidad de B igual a cero: (5.17) con la velocidad (v~)x = -e(v -e(v A)x. (v~)x = A)x'

yy

Figura 5.12 Impacto Impacto con un cuerpo en reposo.

------~~~4---------x ------~~~4---------x / /

En En el elsiguiente siguiente ejemplo ejemplo analizamos analizamos el elimpacto impacto de de dos dos cuerpos. cuerpos. Si Si un un impacimpacto es perfectamente plástico, lo cual significa que los cuerpos se to es perfectamente plástico, lo cual significa que los cuerpos se adhieren adhieren yy permanecen permanecen juntos, juntos, podemos podemos determinar determinar con con la la Ec. Ec. (5. (5. 7) 7) la la velocidad velocidad .de sus centros de masa después del impacto. En un impacto central .de sus centros de masa después del impacto. En un impacto centraldirecto, directo, en en el el sistema sistema coordenado coordenado que que aparece aparece en en la la Fig. Hg. 5.11, 5.11, las las componentes componentes yy yy zz de de las las velocidades velocidades de de los los cuerpos cuerpos no no cambian cambian yy las las Ecs. Ecs. (5.16) (5.16) yy (5.17) (5.17) se pueden resolver para las componentes x de las velocidades se pueden resolver para las componentes x de las velocidades después después del del impacto. impacto. http://carlos2524.jimdo.com/

202 202

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE lA lA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO CAPíTULO

Ejemplo 5.4 El CSM Apolo Apolo (A) intenta intenta acoplarse acoplarse con la cápsula cápsula Soyuz (B) (15 (15 de julio julio de 1975) (Fig. 5.13). Sus masas masas son m AA = 18 18 Mg Y m BB = 6.6 Mg Mg.. El Soyuz Soyuz está 1975) reposo respecto marco de referencia referencia mostrado, mostrado, y el CSM se aproxima aproxima en reposo respecto al marco velocidad VA = 0.2i + 0.03j - 0.02k 0.02k (mis). (mis). con velocidad primer intento intento de acoplamiento acoplamiento tiene éxito, éxito, ¿cuál es la velocidad velocidad del (a) Si el primer centro de masa masa de los dos vehículos vehículos combinados? combinados? centro primer intento intento no tiene éxito y el coeficiente coeficiente de restitución restitución del impacto impacto (b) Si el primer resultante es e == 0.95, ¿cuáles son las velocidades velocidades de los dos vehículos vehículos después después resultante del impacto? impacto?

Figura 5.13

ESTRATEGIA ESTRATEGIA acoplamiento tuvo tuvo éxito, éxito, el impacto impacto es perfectamente perfectamente plástico plástico y pode(a) Si el acoplamiento podeusar la Ec. (5.7) para para determinar determinar la velocidad velocidad del centro centro de masa masa de los mos usar vehículos combinados combinados después después del impacto. impacto. vehículos Suponiendo un impacto impacto central central oblicuo oblicuo con las fuerzas fuerzas ejercidas ejercidas por por los (b) Suponiendo acoplamiento paralelos paralelos al eje x, podemos podemos usar usar las Ecs. (5.16) Y Y(5.17) (5.17) cuellos de acoplamiento para determinar determinar las velocidades velocidades de ambos ambos vehículos vehículos después después del impacto. impacto. para SOLUCiÓN SOLUCiÓN velocidad del centro centro de masa masa de los vehículos combina(a) Según la Ec. (5.7), la velocidad vehículos combinados es

(18)(0.2ii + 0.03 O.03jj - 0.02 k) (18)(0.2 18 + 6.6 18

+O

= 0.146 i + 0.022j 0.022j - 0.015 k (mIs). = http://carlos2524.jimdo.com/

5.3 5.3 IMPACTOS IMPACTOS

203 203

(b) Las Las componentes componentes yy yy zz de de las las velocidades velocidades de de ambos ambos vehículos vehículos no no cambian. cambian. (b) Para determinar determinar las las componentes componentes x, x, usamos usamos la la conservación conservación de de la la cantidad cantidad de de Para movimiento lineal, lineal, Ec. Ec. (5.16), (5.16), movimiento mA(vú, x + + mB(vú, mB(vBL == m mA(v~)x mA(vA) A(v;\)x

(18)(0.2) (18)(0.2)

mB(v'B)X'x, ++ mB(v~)

(18)(v~)x + + (6 (6.6)(v~)x, == (18)(v~)x . 6)(v~ )x,

el coeficiente coeficiente de de restitución, restitución, Ec. Ec. (5.17), (5.17), yy el

Resolviendo estas estas dos ecuaciones, ecuaciones, obtenemos obtenemos (v~)x = 0.095 (m (mis) (v~)x = Resolviendo i s) y (v~)x 0.285 (m (mis), lo que las las velocidades velocidades de los vehículos vehículos espaciales después del 0.285 i s), por lo impacto son impacto v~ = 0.095 ii + 0.03j 0.03 j -- 0.02k 0.02 k (mis), VA VB v~

¡(mis). . = 0.285 ¡(mis)

IProblemas f-- - - - - - - - - - - - - - - - " ~~~~~~~~~~~~--~IProblemas~------------------------~

....1IIiiiIiII............_ _ _ _ _ _--"-'""_ _

5.31 Una Una joven joven que pesa pesa 100 lb está está de pie en reposo reposo en una una barcaza barcaza que pesa pesa 500 lb. Empieza Empieza a correr correr a 10 piels piels respecto respecto aa la barcaza barcaza yy al llegar llegar al extremo extremo salta salta al agua. agua. Ignore Ignore la la fuerza fuerza horizontal barcaza por por el agua. agua. horizontal ejercida ejercida sobre sobre la barcaza (a) ]Justo usto antes antes de que que ella toque toque el agua, agua, ¿cuál ¿cuál es la componente componente horizontal horizontal de su velocidad velocidad respecto respecto al agua? agua? (b) ¿Cuál barcaza respecto respecto al al agua agua mientras mientras ¿Cuál es la velocidad velocidad de la barcaza la joven joven corre? corre?

5.32 Un Un astronauta astronauta pesa pesa 60 kg Yse Yse impulsa impulsa con con los pies hacia hacia 5.32 el centro centro de masa masa del transbordador transbordador de 105 Mg a 1 mis mis respecto respecto éste. Se desplaza desplaza 6 m antes antes de llegar llegar al reposo reposo en la pared pared a éste. opuesta. opuesta. ¿Cuál es la magnitud magnitud del cambio cambio de velocidad velocidad del transbortransbor(a) ¿Cuál dador durante durante este este desplazamiento? desplazamiento? dador (b) ¿Cuál ¿Cuál es la la magnitud magnitud del desplazamiento desplazamiento del del centro centro de de masa masa (b) del transbordador transbordador debido debido aa este este recorrido? recorrido? del

o P5.32 P5.32

P5.31 P5.31


204

CAPíTULO 5 MÉTODOS DE LA CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

5.33 Un joven que pesa 80 lb está sentado en un carro de 20 lb Yquiere simular una propulsión de reacción lanzando ladrillos desde el carro. Ignore las fuerzas horizontales sobre las ruedas. Si tiene tres ladrillos de 10 lb cada uno y los lanza con una velocidad horizontal de 10 pie/s respecto al carro, determine la velocidad alcanzada (a) si lanza uno a la vez; (b) si los lanza juntos.

5.37 El cañón de 400 lb mostrado disparó un proyectil de 10 lb con una velocidad de 200 pie/s en la boca. Para el ángulo de elevación de 10° mostrado, determine (a) la velocidad del cañón después del disparo; (b) la distancia que recorre el proyectil (ignore la resistencia del aire).

P5.37

P5.33

5.34 Dos vagones de ferrocarril (mA = l.7 mB) chocan y quedan acoplados. El carro A está lleno y el B semilleno de ácido. Por el choque, el ácido en B se agita con violencia. (a) Inmediatamente después del impacto, ¿cuál es la velocidad del centro común de masa de los dos vagones? (b) Unos pocos segundos después, cuando ha cesado la agitación, ¿cuál es la velocidad de los dos vagones?

5.38 Una bala (masa m) golpea un bloque de madera en reposo (masa mB) Yse incrusta en él. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el piso es Jl.k' Como resultado del impacto, el bloque se desliza una distancia D antes de detenerse. ¿Qué velocidad tenía la bala? Estrategia: Primero resuelva el problema de impacto para determinar la velocidad del bloque y la bala incrustada después del impacto en términos de v y luego relacione la velocidad inicialdel bloque y la.bala.en.su interior con la distancia D que ambos se deslizan. v

A

----.~

2 pie/s

B

~

1 pie/s

c::::> m

[

mB

P5.38 P5.34

5.35 En el Probo 5.34, si la vía tiene una pendiente de medio grado hacia arriba a la derecha y los carros están inicialmente separados a 10 pies, ¿cuál es la velocidad de su centro común de masa inmediatamente después del impacto?

5.39 En la Fig. P5.39, la banda transportadora deja caer el paquete A de 12kg en la cajaB de l.6 kg. El paquete es "pegajoso" y se adhiere al fondo de la caja. Si el coeficiente de fricción entre la caja y la banda horizontal es Jl.k = 0.2, ¿qué distancia resbala la caja después del impacto?

5.36 Un satélite S de 400 kg viaja a 7 km/s y es golpeado por un meteoro M de 1 kg que viaja a 12 km/s. Debido al impacto, el meteoro se incrusta en el satélite. Determine la magnitud de la velocidad de su centro de masa común después del impacto y el ángulo f3 entre la trayectoria del centro de masa y la trayectoria original del satélite.

P5.36


P5.39

5.3 IMPACTOS IMPACTOS 205 205

5.40 Una bala bala de 1 onza 5.40 Una onza con trayectoria trayectoria horizontal horizontal golpea golpea un bloque bloque colgante madera de 100 lb y se incrusta colgante de madera incrusta en él. Si el ángulo bloque oscilaron ángulo q'ue que los alambres alambres de los que cuelga el bloque oscilaron a través de un ángulo ángulo de 7° como como consecuencia consecuencia del impacto, impacto, ¿cuál era la velocidad bala? velocidad de la bala?

5.42 5.42 En Fig. P5A2, P5A2, la velocidad velocidad del astronauta astronauta A de 100 100 kg respecto respecto alaestación a la estación espacial espacial es 40i + 30j (mm/s). (mm/s). La velocidad velocidad elemento estructural estructural B de 200 kg respecto respecto a la estación estación es del elemento -20i -2Oi + 30j (mm/s). (mm/s). Cuando Cuando se aproximan aproximan uno al otro, otro, el astroastronauta se sujeta sujeta del elemento elemento estructural estructural y permanece permanece junto nauta junto a él. (a) Determine Determine la velocidad velocidad de su centro centro de masa masa común común cuando cuando estación. llegan a la estación. Determine la posición posición aproximada aproximada en la que entran entran en con(b) Determine tacto con la estación. estación. tacto

pies 3 pies

~~~í!ifl ~~~~

P5.40 P5.40

5.41

Suponga que se está está investigando investigando un accidente accidente en el que Suponga automóvil de 3000 lb con velocidad velocidad Ve = 20j mi/h mi/h chocó chocó un automóvil autobús de 12000 12000 lb con velocidad velocidad VB VB = lOi lOi (mi/h). (mi/h). con un autobús vehículos quedaron quedaron trabados trabados y permanecieron permanecieron juntos juntos desLos vehículos colisión. pués de la colisión. ¿Cuál fue la velocidad velocidad del centro centro de masa masa común común de los vehí(a) ¿Cuál después de la colisión? colisión? culos después coeficiente de fricción fricción entre entre los vehículos vehículos deslizantes deslizantes (b) Si el coeficiente camino después después de la colisión colisión es ¡.tk J.tk = = OA, 004, ¿cuál es la posiy el camino aproximada del centro centro de masa masa común común respecto respecto a su ción final aproximada posición cuando cuando ocurrió ocurrió el impacto? impacto? posición

P5.42 P5.42

5.43 En la Fig. P5.53, P5.53, los cuerpos cuerpos A y B con la misma misma masa masa 5.43 sufren un impacto impacto central central directo. directo. La velocidad velocidad de A antes m sufren impacto es VA' VA' mientras mientras que B está en reposo. reposo. Determine Determine del impacto velocidades deA deA y B después después del impacto impacto si éste es (a) perfeclas velocidades tamente plástico plástico (e = O); O); (b) perfectamente perfectamente elástico elástico (e = 1). 1). tamente

A

B P5.43 P5.43

5.44 Enel Enel Probo 5A3, 5043, sila sila velocidaddeBdespués velocidaddeBdespués del impacto impacto 5.44 es 0.6v A' determine el coeficiente coeficiente de restitución restitución e y la velociA' determine dad de A después después del impacto. impacto. dad 5.45 En la Fig. P5A5, cuerpos A y B con masas mAA Y mB 5.45 P5A5, los cuerpos

P5.41

sufren un impacto impacto central central directo. directo. sufren demuestre que la energía energía cinética cinética total total después después (a) Si e = 1, demuestre impacto es igual a la energía energía cinética cinética total total antes del impacto. impacto. del impacto O, ¿cuánta ¿cuánta energía energía cinética cinética se pierde pierde como como resultado (b) Si e == O, resultado colisión? de la colisión?

P5.45 P5.45


206

CAPíTULO MÉTODOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIM MOVIMIENTO CAPíTU LO 5 MÉTODOS IENTO

10 lb se deslizan deslizan sobre sobre la barra 5.46 Dos pesos de 10 barra horizontal horizontal Determine sus velocidades velocidades después después de que chocan chocan si los lisa. Determine recubiertos con velero quedan pegados. pesos están recubiertos velcro y se quedan pegados.

5 pie/s pie/ s

pie/ss 10 pie/

+-+

auto A de 1300 kg golpea golpea el auto auto 5.52 En la Fig. P5.52, P5 .52, el auto B de 1200 kg que se encuentra encuentra estacionado. estacionado. Las cuatro cuatro ruedas ruedas estaban frenadas frenadas y las marcas indican un resbade B estaban marcas de patinaje patinaje indican resbalamiento de 2 m después después del impacto. impacto. Si el coeficiente coeficiente de friclamiento fricentre los neumáticos ción entre neumáticos de B y el pavimento pavimento es Jlk JLk = 0.8 Y antes del impacto? e = 0.4, ¿cuál ¿cuál fue la velocidad velocidad de A justo justo antes impacto? (Suponga que sólo ocurrió ocurrió un impacto.) impacto.) (Suponga

B

A

P5.46 P5.46

Determine las velocidades 5.47 Determine velocidades de los pesos del Probo 5.46 impacto si son perfectamente elásticos. después de su impacto perfectamente elásticos. Determine las velocidades 5.48 Determine velocidades de los pesos del Probo 5.46 impacto si el toeficiente después de su impacto ~oeficiente de restitución restitución es e = 0.8. automóviles con parachoques parachoques absorbed absorbed ores de 5.49 Dos automóviles energía chocan chocan a velocidades velocidades v A = energía = V B == 5 mi/h. mi/h. Sus pesos son coeficiente de restitución W A = 2800 lb Y W B = = 4400 lb. Si el coeficiente restitución automóviles deses e = 0.2, ¿cuáles son las velocidades velocidades de los automóviles colisión? pués de la colisión?

P5.52 P5.52

5.53 A 5 pies del suelo se deja deja caer una una pelota, pelota, que rebota rebota hasta altura de 4 pies. Se vuelve a soltar soltar a 3 pies del suelo, suelo, hasta una una altura pero abajo. ¿Qué una velocidad velocidad de 30 piels piels hacia hacia abajo. pero esta vez con una altura alcanza alcanza el rebote? altura rebote? 5.54 Tomando Tomando medidas directamente de la fotografía fotografía de la 5.54 medidas directamente pelota golf rebotando, coeficiente de restitución. restitución. pelota de golf rebotando, calcule el coeficiente

P5.49 P5.49

5.50 En el Probo 5.49, si la duración duración de la colisión colisión es de 0.1 magnitudes de la aceleración aceleración media media a la que s, ¿cuáles son las magnitudes quedan sometidos sometidos los ocupantes ocupantes de los dos automóviles? automóviles? quedan 5.51 La masa masa A de 10 10 kg mostrada cuando 5.51 mostrada se mueve a 5 mis mi s cuando masa B de 10 10 kg en reposo. coeficiente de está a 1 m de la masa reposo. El coeficiente cinética entre entre el piso y las dos masas masas es Jlk JLk = 0.6 Y el fricción cinética coeficiente de restitución restitución del impacto impacto es e == 0.5. Determine coeficiente Determine cuánto se desplaza desplaza B desde desde su posición consecuencia cuánto posición inicial a consecuencia impacto. del impacto. mIs 5 mIs ---+-

5.55 Si la pelota golf del Probo lanza horizontalpelota de golf Prob o 5.54 se lanza horizontalmente suelta 4 pies arriba superficie, ¿cuál mente a 2 piels piels y se suelta arriba de la superficie, entre los dos primeros es la distancia distancia entre primeros rebotes? rebotes?

)

B B

A

P5.54 P5.54

1-- 11 m--j m -----j P5.51


5.3 IMPACTOS IMPACTOS 207

5.56 Durante Durante la prueba prueba de diseño de un casco de 2.4 kg que contiene contiene un'} un~ cabeza cabeza de plástico plástico de 2 kg, el casco es lanzado lanzado contra contra una una superficie superficie rígida rígida a 6 m/ mi s. La cabeza, cabeza, suspendida suspendida dendentro del casco, no es afectada afectada inmediatamente inmediatamente por por el impacto impacto continúa moviéndose moviéndose hacia hacia la derecha derecha a 6 mis, hasta hasta que chochoy continúa ca con el casco. Si el coeficiente coeficiente de restitución restitución del impacto impacto del casco con la superficie superficie es de 0.8 y el de la cabeza cabeza con el casco es de 0.2, 0.2, ¿cuáles son las velocidades velocidades del casco y de la cabeza cabeza después de su interacción interacción inicial?

5.59 Un cuerpo cuerpo A de 1 slug y un cuerpo cuerpo B de 2 slugs sufren 5.59 sufren impacto central central oblicuo. oblicuo. El coeficiente coeficiente de restitución restitución es e un impacto Antes del impacto, impacto, vBB = -lOi -lOi piels, pie/s, y después después del im= 0.8. Antes pacto, v~ = = -l5i - l5i + 4j + 2k pie/s. pie/s. Determine Determine la velocidad velocidad de pacto, antes del impacto impacto y la velocidad velocidad de B después después del impacto. impacto. A antes yy

B

A

------~~Ir-+--~~~-------x ------~-4~-+--~~~-------x

P5.59 P5.59

P5.56 P5.56

duración del impacto impacto de la 5.57 (a) En el Probo 5.56, si la duración cabeza con el casco es de 0.008 s, ¿a qué fuerza fuerza media media queda queda cabeza sometida la cabeza? cabeza? sometida Suponga que la cabeza cabeza sola golpea golpea la superficie superficie a 6 mis, mis, (b) Suponga coeficiente de restitución restitución es 0.3 y la duración duración del impacto impacto es el coeficiente S. ¿A qué fuerza fuerza media sometida la cabeza? cabeza? de 0.002 s. media está sometida

5.60 En Fig. P5.60, P5 .60, el taco taco da a la bola bola A una una velocidad velocidad paraparay, y la bola bola 8 entra buchaca. Si la magnitud magnitud de lela al eje y, entra en la buchaca. la velocidad velocidad de A justo justo antes del impacto impacto con la 8 es de 2 mis yy e = 1, ¿cuáles = 1, ¿cuáles son los vectores vectores de velocidad velocidad de las dos bolas justo después del impacto? justo después impacto? (Las (Las bolas bolas tienen tienen masas masas iguales.) iguales.)

yy

bolas pequeñas pequeñas, , cada cada una con masa masa m, cuelgan de 5.58 Dos bolas cuerdas de longitud longitud L. L. La bola bola izquierda izquierda se libera del reposo reposo cuerdas posición mostrada. mostrada. Como Como resultado resultado de la primera primera colisión, colisión, en la posición derecha oscila a través través de un ángulo ángulo {3. {3.Determine Determine el la bola derecha coeficiente de restitución restitución. . coeficiente A A

L-------------------------------x L------------------------------- x m

m

P5.58 P5.58

P5.60 P5.60

5.61 En el Probo 5.60, 5.60, ¿cuáles ¿cuáles son los vectores vectores de velocidad velocidad de las dos bolas bolas inmediatamente inmediatamente después después del impacto impacto si el coeficiente de restitución restitución es e = 0.9?


208 208

CAPíTULO MÉTODOS DE lA lA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO CAPíTULO 5 MÉTODOS

5.62 no varía, 5.62 En En la Fig. Fig. P5.62, P5.62, si el coeficiente coeficiente de restitución restitución no varía, demuestre que a yectoria de la bola demuestre que la tr' trayectoria bola blanca blanca después después de golgolpear pear dos dos barandas barandás es paralela paralela a su trayectoria trayectoria original. original.

5.67 5.67 La La velocidad velocidad del del disco disco de de hockey hockey de de 170 g es v p = lOi lOi - 4j (m/s) (m/s). . Si se ignora ignora el cambio cambio en la velocidad velocidad Vs Vs == ud del restitución es e = 0.6, bastón por bastón por el impacto impacto y el coeficiente coeficiente de de restitución 0.6, ¿qué disco hacia ¿qué valor valor debe debe tener tener U"ss para para enviar enviar el disco hacia la meta? meta? y

Dirección Dirección meta de la meta

~P

r-~~----~~--~---------------X

P5.62 P5.62 En Fig. Fig. P5.63, P5.63, el taco taco da da a la bola bola blanca blanca A una una velocidad velocidad 5.63 En mis. . El ángulo ángulo {3 {3 = O y el coeficiente coeficiente de restitución restitución de ella ella de 3 mis con la bola l. Si la ve lo cidad de de B después después del del impacto impacto velocidad con bola B es e = l. 0.9 mis, mis, ¿cuál ¿cuál fue fue el coeficiente coeficiente de restitución restitución del del impaces de 0.9 impaccon la baranda? baranda? (Las (Las bolas bolas tienen tienen masas masas iguales.) iguales.) to de de A con

P5.67 5.68 En En el Probo Probo 5.67, 5.67, si el bastón bastón responde impacto como como 5.68 responde al impacto un cuerpo cuerpo con con la misma misma masa masa que que el disco disco y el coeficiente coeficiente de de un restitución es e = = 0.6, 0.6, ¿qué ¿qué valor valor debe debe tener tener vs "s para para enviar enviar el restitución disco a la meta? meta? disco

5.69 En En la Fig. Fig. P5.69, P5.69, el peso peso de 100 lb se levanta levanta hasta hasta la 5.69 posición 1 yy luego luego se libera libera del del reposo. reposo. Al caer caer golpea golpea una una pieza pieza posición trabajo en la posición posición 2. Si el peso se mueve mueve a 15 pie/ pie/s s inmeinmeel peso de trabajo diatamente antes antes del del impacto impacto y el coeficiente coeficiente de de restitución diatamente restitución es e = 0.3, después? 0.3, ¿cuál ¿cuál es su velocidad velocidad inmediatamente inmediatamente después?

P5.63 P5.63

5.64 5.64

¿Cuál es la solución solución del del Probo Probo 5.63 5.63 si el ángulo ángulo {3 {3 = = 10°? 10°? ¿Cuál

5.65 ¿Cuál ¿Cuál es la solución solución del del Probo 5.63 si el ángulo ángulo {3 {3 == 15° 5.65 Probo 5.63 coeficiente de restitución restitución del del impacto impacto entre entre las las dos dos bolas bolas y el coeficiente 0.9? es e == 0.9? 5.66 A una una pelota pelota se le da da una una velocidad velocidad horizontal horizontal de 3 mi miss 5.66 arriba del del piso piso liso. liso. Halle Halle la dist!incia distancia D D entre entre su primer primer a 2 m arriba segundo rebotes rebotes si el coeficiente coeficiente de restitución restitución es e == 0.6. 0.6. y segundo

P5.69 P5.69

5.70 En En el Probo 5.69, suponga suponga que que la constante constante de resorte resorte 5.70 Probo 5.69, lb/pie, que que los los resortes resortes no no están están estirados estirados en la posiposies k == 120 lb/pie, ción 2 y que que el coeficiente restitución es e = 0.2. 0.2. Determine Determine ción coeficiente de restitución velocidad del del peso inmediatamente después del del impacto. impacto. la velocidad peso inmediatamente después

r-

D

----1

P5.66

5.71 En En el Probo Probo 5.69, 5.69, suponga suponga que que la constante constante de resorte resorte 5.71 lb/pie, que que los los resortes resortes no no están están estirados estirados en la posiposies k = 160 lb/pie, ción 2 y que que el peso peso rebota rebota 3 pu pulg después del del impacto. impacto. EncuenEncuenlg después ción tre el coeficiente coeficiente de restitución. tre restitución.


5.4 MOMENTO ANGULAR ANGULAR 5,4

209 209

5.4 Momento Momento angular angular Aquí obtenemos obtenemos un resultado, resultado, análogo análogo al principio principio del impulso impulso y la canticantidad de movimiento, movimiento, que relaciona relaciona la integral integral respecto respecto al tiempo tiempo de un momento momento con el cambio cambio en una una cantidad cantidad llamada llamada momento momento angular. angular. TamTambién obtenemos obtenemos una útil ley de conservación: conservación: si el momento momento total total debido debido a fuerzas externas angular se conserva. externas sobre sobre un cuerpo cuerpo es cero, el momento momento 'angular conserva. ~F

Principio del del impulso angular angular y del del momento momento angular angular Describimos Describimos la posición posición de un cuerpo cuerpo con el vector vector de posición posición de su centro centro de masa referencia O (Fig. 55.14a). .14a). Recuerde masa respecto respecto a un punto punto de referencia Recuerde que obtuvimos obtuvimos el principio principio del trabajo trabajo y la energía energía formando formando el producto producto escalar de la segunda segunda ley de Newton Newton con la velocidad. velocidad. Aquí Aquí obtenemos obtenemos otro otro útil resultado resultado formando formando el producto producto vectorial vectorial de la segunda segunda ley de Newton Newton con el vector vector de posición. posición. Esto nos da una relación relación entre el momento momento de las fuerzas externas externas respecto respecto a O y el movimiento movimiento del cuerpo. cuerpo. El producto producto vectorial vectorial de la segunda segunda ley de Newton Newton con r es dv

r x EF :EF == r x ma = r x m-o m-o dt dt

o (a) (a)

(5.18)

Observe Observe que la derivada derivada respecto respecto al tiempo tiempo de la cantidad cantidad r x mv mv es ) (dr) -(r --dxr mv -d (r x mv) = =( dt dt dt

'-...--' =0

+(r

dV) . x m -dV) dt dt

'-...--'

(b)

(El primer primer término término es cero porque porque dr/dt dr / dt == v, y el producto producto vectorial vectorial de vectores paralelos paralelos es cero.) cero.) Con esto podemos podemos escribir la Ec. (5.18) como como

dHo dHo rr xx:EF EF = =--,- , dt

(5.19)

donde donde el vector (5.20) (5.20)

H¿ = = rr x mv Ha

se llama 5.14b). Si interpretamos llama momento momento angular angular respecto respecto a O (Fig. 5.14b). interpretamos el momento momento angular angular como como el momento momento de la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal cuerpo respecto respecto a O, esta ecuación ecuación establece establece que el momento momento r x EF :EF del cuerpo es la razón razón de cambio movimiento respecto cambio del momento momento de la cantidad cantidad de movimiento respecto a O. Si el momento momento es cero durante durante un intervalo, intervalo, Ho H¿ es constante. constante. Integrando Integrando la Ec. (5.19) respecto respecto al tiempo tiempo obtenemos obtenemos

1.1.

t22

(r x EF) :EF) di = = (Hoh (Hoh - (Hoh. (Hoh.

(5.21) (5.21)

t, t

La integral integral de la izquierda izquierda se llama llama impulso impulso angular, angular, y esta ecuación ecuación http://carlos2524.jimdo.com/

Figura 5.14 Vector de posición posición y fuerza fuerza externa externa (a) Vector total sobre sobre un cuerpo. cuerpo. total Vector de momento momento angular angular y regla (b) Vector de la mano mano derecha derecha para para determinar. determinar. su dirección. dirección.

210 210

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE DE llAA CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO CAPíTULO5

llama principio principio del impulso impulso angular angular y del momento momento angular: angular: el impulso impulso se llama angular angular aplicado aplicado a un cuerpo cuerpo durante durante un intervalo intervalo de tiempo tiempo es igual al cambio cambio en su momento momento angular. angular. Si se conoce conoce el momento momento r X EF en funfunción del tiempo, momento angular. tiempo, se puede puede determinar determinar el cambio cambio en el momento angular.

Movimiento Movimiento bajo bajo una una fuerza fuerza central central

. I 1,

:EF LF

I

o

(a)

Si la fuerza fuerza total total que actúa actúa sobre sobre un cuerpo cuerpo permanece permanece dirigida dirigida hacia hacia un punto punto fijo respecto respecto a un marco marco de referencia referencia inercial, inercial, se dice que el cuerpo cuerpo se encuentra encuentra en movimiento movimiento bajo bajo una una fuerza fuerza central. central. El punto punto fijo se llama llama centro centro del movimiento. movimiento. Los problemas problemas de órbitas órbitas son los casos más famimovimientos bajo bajo una una fuerza fuerza central. central. Por Por ejemplo, ejemplo, la fuerza fuerza gragraliares de movimientos vitatoria vitatoria sobre sobre un satélite satélite de la Tierra Tierra permanece permanece dirigida dirigida hacia hacia el centro centro de la Tierra. Tierra. colocamos el punto punto de referencia referencia O en el centro centro del movimiento movimiento (Fig. Si colocamos 5.15a), el vector vector de posición posición r es paralelo paralelo a la fuerza fuerza total, total, por por lo que r x EF es igual a cero. Por Por consiguiente, consiguiente, la Ec. (5.21) indica indica que en un X movimiento bajo bajo una una fuerza fuerza central, central, el momento momento angular angular del cuerpo cuerpo se movimiento conserva: conserva: (5.22) H¿ == constante. constante. Ho movimiento bajo bajo una una fuerza fuerza central central plano plano podemos podemos expresar expresar r y En un movimiento coordenadas cilíndricas cilíndricas (Fig. 55.15b): v en coordenadas .15b):

o

(b)

Sustituyendo estas expresiones expresiones en la Ec. (5.20) obtenemos obtenemos el momento momento anSustituyendo gular: gular:

Figura 5.15 Figura Movimiento bajo bajo una una fuerza fuerza central. central. (a) Movimiento Posición y velocidad velocidad en coordenadas coordenadas (b) Posición cilíndricas. . cilíndricas

expresión vemos que en un movimiento movimiento plano bajo una una fuerza fuerza En esta expresión plano bajo central, el producto distancia radial desde el centro centro del movimiento movimiento central, producto de la distancia y la componente componente transversal velocidad es constante: constante: transversal de la velocidad Ve == constante. constante. r Vii

(5.23)

En los siguientes siguientes ejemplos ejemplos mostraremos mostraremos cómo cómo se puede puede usar el principio principio impulso angular angular y la cantidad cantidad de movimiento, movimiento, así como como la conservaconservadel impulso momento angular, para analizar el movimiento movimiento de cuerpos. cuerpos. Si ción del momento para analizar conoce el momento momento r X EF durante durante un intervalo intervalo de tiempo, tiempo, se puede se conoce puede impulso angular angular y determinar cambio en el momento momento angular angular determinar el cambio calcular el impulso cuerpo. En el movimiento movimiento bajo bajo una fuerza central (la fuerza total de un cuerpo. fuerza central fuerza total sobre un cuerpo cuerpo está dirigida hacia un punto sabemos que punto O) sabemos que actúa sobre momento angular angular respecto respecto a O O se conserva. conserva. el momento http://carlos2524.jimdo.com/

5.4 5,4 MOMENTO ANGULAR ANGULAR

Ejemplo 5.5 masa m unido unido a una una cuerda cuerda se desliza sobre sobre una una mesa horizontal horizontal Un disco de masa bajo la acción acción de una fuerza fuerza transversal transversal constante constante F (Fig. 5.16). La cuerda cuerda lisa bajo jala a través de un agujero agujero en O en la mesa a velocidad velocidad constante constante uo. ve- En se jala 0, r = ro ro y la velocidad velocidad transversal transversal del disco es cero. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad t = O, función del tiempo? tiempo? del disco en función

o!:?~r

o!:? II ~ r ~ ~ II II II II II II

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Expresando r en función función del tiempo, tiempo, podemos podemos determinar determinar el momento momento de las Expresando respecto a O que actúan actúan sobre sobre el disco en función función del tiempo. tiempo. El momenmomenfuerzas respecto angular del disco depende depende de su velocidad, velocidad, por por lo que podemos podemos aplicar aplicar el to angular principio del impulso impulso y del momento momento angular angular .para para obtener obtener información información sobre sobre principio velocidad en función función del tiempo. tiempo. su velocidad SOLUCiÓN SOLUCiÓN

F

Figura 5.16

posición radial radial en función función del tiempo tiempo es r == ro - uot. voto En términos términos de coorcoorLa posición denadas momento respecto respecto a O de las fuerzas fuerzas sobre sobre el disco es denadas polares polares (Fig. a), el momento

r x EF l:F = re, rer x (-Ter (-Ter + Fe Feee)) = Fir¿ F(ro - vot)e uot) e" z' donde T es la tensión tensión en la cuerda. cuerda. El momento momento angular angular en el tiempo tiempo 1t es donde

Sustituyendo Sustituyendo estas expresiones expresiones en el principio principio del impulso impulso y el momento momento anguangular, lar, obtenemos obtenemos

¡1

= (Hoh (Hoh -

F(ro F(ro -- vot) vot) e, dt dt

= = rnVe(ro mVe (ro - vot) vot) e, - O.

I'

'2

(r dt (r x bF) EF)dt

1l' 1

(Ho)¡ (Ho)l :

"

I¡

polares. polares.

Evaluando Evaluando la integral integral obtenemos obtenemos la componente componente transversal transversal de la velocidad velocidad en función función del tiempo: tiempo: Ve

=

(a) El momento momento en coordenadas coordenadas

[rot - (lj2)vot2]F (ro -- vot)rn vot)m

La La velocidad' velocidad del disco disco en función función del tiempo tiempo es v=-voe v = -vor+ er +

2 [rot ]F 2 ]F [rot -- (lj2)vot (1/2)vot

(ro -- vot)rn vot)m

ee· ee·


211 211

212

CAPíTU LO 5 MÉTODOS IENTO CAPíTULO MÉTODOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIM MOVIMIENTO

Ejemplo 5.6 Cuando un satélite terrestre terrestre está está í!n en su su perigeo en que que se encuentra encuentra Cuando un satélite perigeo (el punto punto en más más cercano cercano a la Tierra), Tierra), la magnitud magnitud de su su velocidad velocidad es Vp Vp = = 7000 7000 mis mis y su su distancia distancia al centro centro de de la la Tierra Tierra es fp rp = 10 000 000 km km (Fig. (Fig. 5.17). 5.17). ¿Cuáles ¿Cuáles son son las las magnitudes magnitudes de de su su velocidad velocidad vv A y de de su su distancia distancia fA r A al al centro centro de de la la Tierra Tierra en en su apogeo punto en radio apogeo (el punto en que que se encuentra encuentra más más alejado alejado de de la Tierra)? Tierra)? El El radio de la Tierra Tierra es RE = 6370 6370 km. km. de

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como éste éste es un fuerza central central respecto centro de de Como un movimiento movimiento bajo bajo una una fuerza respecto al centro la Tierra, Tierra, sabemos sabemos que que el producto de la la distancia distancia desde desde el centro centro de ésta ésta y la la producto de componente transversal de la la velocidad velocidad del del satélite satélite es constante. constante. Esto Esto nos da nos da componente transversal de una ecuación que que relaciona rA- Podemos Podemos obtener obtener una segunda ecuación ecuación una ecuación relaciona VA y fAuna segunda que relacione r A usando de la conservación conservación de de la la energía. energía. que relacione v A y fA usando el principio principio de

Figura 5.17

SOLUCiÓN SOLUCiÓN De la la Ec. Ec. (5.23), (5.23), la conservación conservación del del momento momento angular angular requiere requiere que que De

De acuerdo acuerdo con con la la Ec. Ec. (4.27), (4.27), la la energía energía potencial del satélite satélite en en términos términos de potencial del De la distancia distancia al centro centro de de la la Tierra Tierra es la rngR~ rngR~ V = - - -. v=---. r La suma suma de de las las energías energías cinética cinética y potencial en el apogeo apogeo y en en el perigeo deben La potencial en perigeo deben ser iguales: iguales: ser

1 2 rng R~ R~ -rnv - --- -rnv r s; 2 A fA Sustituyendo Sustituyendo

rA fA

=

(VA (VA

=

1 2 rng R~ R~ --- - --rnv rnv 2 p rp fp

rpup/vA fpVp/VA

en esta esta ecuación ecuación y reordenando términos, obtenemos obtenemos en reordenando términos,

Vp) Vp)

2gR~) 2gR~) = O. -- + Vp - rpvp

(

VA

rpvp

Esta ecuación ecuación da da la la solución solución trivial trivial Esta cidad en en el apogeo: apogeo: cidad

VA

2gR~ 2gR~ =-- - = rpvp fpVp

= up y también también la la solución solución para la velovelouA = para la

Vp. Vp.

Sustituyendo RT , Sustituyendo los los valores valores de g, RT' 16007 km. km. 16007


fp rp

yY

Vp Up

obtenemos obtenemos

VA

4373 4373 mis mis y

fA r»:

= =

5,4 5.4 MOMENTO MOMENTO ANGULAR ANGULAR

__ ________________ ~~~_IProblemas~ ______ ~~~.-~a-~

~

D

o

e a

~

~

IProblemas

5.72 cuerpo con con posición posición rr = = 12i 12i + 4j 4j -- 3k 3k (pies) (pies) respecto respecto 5.72 Un cue'rpo punto O O se se mueve mueve aa 130 130 pie/ pie/s,s, y su su momento momento angular angular resaa un punto pecto aa O O es es cero. cero. ¿Cuál ¿Cuál es es su su vector vector de de velocidad? velocidad? pecto 5.73 La fuerza fuerza externa externa total total sobre sobre un cuerpo cuerpo de 2 kg es !:F EF 5.73 La = 2ti 2ti + 4j (N), (N), donde donde t es es el tiempo tiempo en en segundos. segundos. En En ti tI = O, O, = posición y velocidad velocidad son son r = O, O, v = O. o. su posición

~

__________________________ ~ __~

~

5.77 Un 5.77 Un disco disco de 2 kg se desliza desliza sobre sobre una una mesa mesa horizontal horizontal lisa lisa y está está conectado conectado a una una cuerda cuerda elástica elástica cuya cuya tensión tensión es T T = 6, 6, (N), (N), donde, donde, es la posición posición radial radial del disco disco en metros. metros. Si el el disco disco está está en ,r = 11 m y se le da da una una velocidad velocidad inicial inicial de 4 mi miss en la dirección dirección transversal, transversal, ¿cuáles ¿cuáles son son las magnitudes magnitudes de las componentes componentes radial radial y transversal transversal de su velocidad velocidad cuando cuando ,r == 2 m? m?

(a) Use Use la segunda segunda ley de Newton Newton para para determinar determinar la posición posición cuerpo y su velocidad velocidad v en función función del tiempo. tiempo. r del cuerpo Integrando r x !:F EF con con respecto respecto al tiempo, tiempo, determine determine el im(b) Integrando pulso angular angular entre entre ti tI = O Y t2 pulso 2 = 6 s. (c) Use Use los resultados resultados de la parte parte (a) para para determinar determinar el cambio cambio momento angular angular del cuerpo cuerpo entre entre ttIi = O Y t2 = 6 s. en el momento

~ ~ r ~r

II ~II II II II II

5.74 Unn astronauta astronauta se mueve mueve en el plano plano xx-y sujeto al extremo extremo 5.74 U -y sujeto de una una cuerda cuerda de 10 m unida unida a una una estación estación espacial espacial en en O. O. La La masa total total del del astronauta astronauta y su equipo equipo es de de 120 kg. kg. masa ¿Cuál es su momento momento angular angular respecto respecto a O antes antes de que que la (a) ¿Cuál cuerda se tense? tense? cuerda (b) ¿Cuál ¿Cuál es la la magnitud de la componente componente de velocidad perpermagnitud de de su su velocidad pendicular después de de que que la cuerda cuerda inmediatamente inmediatamente después cuerda pendicular a la la cuerda se tensa? tensa?

213 213

~ ~

P5.77 P5.77

5.78 Enel Prob o5.77 5.77 determine determine el valor valor máximo máximo de, de, alcanzaalcanza5.78 Enel Probo do por el disco. disco. do por 5.79 Un Un disco disco de de masa masa m se se desliza desliza sobre sobre una una mesa mesa horizontal horizontal 5.79 está unido unido a una una cuerda cuerda que que pasa pasa por por un un agujero agujero en en la la mesa. mesa . y está masa se mueve mueve en en una una trayectoria trayectoria circular circular de de radio radio '0 (a) Si la la masa (a) con velocidad velocidad transversal transversal vo, ¿cuál ¿cuál es la la tensión tensión T? con (b) Comenzando Comenzando con con la la condición condición inicial inicial descrita descrita en en la la parte parte (b) (a), la la tensión tensión se se incrementa incrementa de de manera manera que que se se tira tira de de la la cuerda cuerda (a), través del del agujero agujero aa razón razón constante constante hasta hasta que, que, = ~ '0. '0 ' DeDea través termine T en en función función de de r, mientras mientras esto esto ocurre. ocurre. termine (c) ¿Qué ¿Qué trabajo trabajo se se efectúa efectúa sobre sobre la la masa masa al al tirar tirar de de la la cuerda cuerda aa (e) través del del agujero, agujero, como como se se describió describió en en la la parte parte (b)? (b)? través

y n

2im/s

I

!

6m

~r

~ ~r 1I

P5.74 P5.74

1I

~~

~1I

1I

5.75 5.75 En En el el Probo Probo 5.74, 5.74, si si el el coeficiente coeficiente de de restitución restitución del del "im"impacto" pacto" que que ocurre ocurre cuando cuando el el astronauta astronauta alcanza alcanza el el extremo extremo de de la 0.8, ¿cuáles ¿cuáles son son las las componentes componentes xx yy yy de de su su la cuerda cuerda es es ee == 0.8, velocidad inmediatamente después después de de que que la la cuerda cuerda se se tensa? tensa? velocidad inmediatamente 5.76 5.76 En En el el Ej. Ej. 5.5 5.5 determine determine la la velocidad velocidad del del disco disco en en función función del del tiempo tiempo sisi la la fuerza fuerza es es F F == Ct, Ct, donde donde C es es una una constante. constante.

e


1I 1I

I

P5.79 P5.79

214

DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIM MOVIMIENTO CAPíTULO 5 M MÉTODOS CAPíTULO ÉTODOS DE IENTO

satélites (mA (mA = 250 kg, 5.80 Dos satélites

mB = 50 kg) están están unidos unidos mB por satélites y el cable giran giran con velocidad velocidad angular angular por un cable. Los satélites = 0.25 rev/mih. rev/rnih. Desde Desde la Tierra Tierra se ordena ordena al satélite satélite A deWo = senrollar con lentitud lentitud 6 m de cable adicional. adicional. ¿Cuál ¿Cuál es la velocisenrollar dad angular angular después después de esto? dad

determinelas magnitudes de las compocompo5.82 En el Probo Prob o5.81 determine las magnitudes nentes radial radial y transversal transversal de la velocidad velocidad del satélite satélite cuando cuando nentes 15 000 millas. r = 15 determine la máxima máxima distancia distancia r alean-' alcan-: 5.83 En el Probo 5.81 determine zada por satélite. zada por el satélite. 5.84 Una Una esfera esfera suspendida suspendida de una cuerda que pasa 5.84 una cuerda pasa por por un

°

~!--""'IL!.J

B

P5.80

agujero en el techo techo en se mueve con velocidad velocidad uv A en una traagujero una trayectoria circular circular horizontal horizontal de radio radio rA" cuerda jala yectoria La cuerda se jala a Ao través del agujero agujero hasta hasta que la esfera esfera se mueve mueve con velocidad velocidad través VB en una una trayectoria trayectoria circular circular horizontal horizontal de radio rB' Use el UB radio rB. principio impulso angular angular y del momento momento angular angular para principio del impulso para demostrar que rAuA rAvA = rBuB. rBvB' = mostrar Estrategia: vector unitario techo. Estrategia: Sea e un vector unitario perpendicular perpendicular al techo. Aunque éste no es un problema fuerza central, central, ya que el peso Aunque problema de fuerza esfera no señala señala hacia hacia 0, se puede puede demostrar demostrar que e . (r de la esfera O, por conserva. x EF) = O, por lo que e . se conserva.

"o

satélite a ro = 10 000 millas del centro centro de la Tierra Tierra 5.81 Un satélite velocidad inicial Uo Vo = = 20 20000 dirección recibe una una velocidad 000 pie/s pie/s en la dirección mostrada. Determine Determine la magnitud magnitud de la componente transversal mostrada. componente transversal velocidad cuando cuando r == 20 000 millas. El radio radio de la Tierra Tierra de su velocidad es de 3960 millas.

P5.84

P5.81


5.5 FLUJOS DE DE MASA MASA 5.5

o

n

a d

1

o

5.5 Flujos Flujos de de masa masa , usamos la conservación conservación de la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal para para Aquí usamos determinar la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre un cuerpo cuerpo que emite o absorbe absorbe un flujo flujo determinar continuo de masa. La ecuación ecuación resultante resultante se aplica aplica a diversas situaciones situaciones continuo determinación del empuje empuje de un cohete cohete y el cálculo de las fuerzas fuerzas como la determinación ejercidas sobre cuerpos cuerpos por por flujos de fluidos o materiales materiales granulares. granulares. ejercidas Suponga que un cuerpo cuerpo de masa masa m y velocidad velocidad v no está sometido sometido a Suponga externas (Fig. 55.18a) elemento de masa masa !:J.m Sm,r con fuerzas externas .18a) y que emite un elemento velocidad Vfr respecto respecto al cuerpo cuerpo (Fig. 5.18b). Denotamos Denotamos con v + !:J.v I::!.vla velocidad velocidad del cuerpo. cuerpo. La cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal del cuerpo cuerpo nueva velocidad emisión del elemento elemento de masa masa es igual a la cantidad cantidad de moviantes de la emisión miento lineal total total del cuerpo cuerpo y el elemento elemento después de la emisión: emisión: miento mv = = (m - !:J..mf)(v I::!.mf)(v mv

Av) + !:J..mf(v I::!.mf(v + Vf). Vf). + !:J..v)

r

Figura 5.18 Masa y velocidad velocidad de un cuerpo cuerpo Masa (a) antes antes y (b) después después de emitir emitir elemento de masa. masa. un elemento

0-(b) (h)

(a) (a)

Evaluando Evaluando los productos productos y simplificando simplificando obtenemos obtenemos m!:J..v

+ !:J..mfvf -

(5.24)

!:J..mf!:J..v = O.

Suponemos ahora Suponemos ahora que, que, en vez de un elemento elemento de masa masa discreto, discreto, se emite emite un flujo flujo continuo continuo de masa masa y que Sm, !:J.m r es la cantidad cantidad emitida emitida en un interintervalo M. !:J.t. Dividimos Dividimos la Ec. Ec . (5.24) entre entre M !:J.t y escribimos escribimos el resultado resultado como como !:J..V !:J..mf !:J..mf!:J..v m- -Vf - ----!:J..t = O. !:J..t!:J..t !:J..t !:J..t

+

Tomando Tomando el límite límite de esta esta ecuación ecuación cuando cuando M !:J.t ~ -- O obtenemos obtenemos

donde dt aceleración del centro centro de masa masa del cuerpo. cuerpo. El término término dm.r dm¡ldt donde a es la aceleración es la razón razón de de flujo flujo másico, másico, es decir, decir, la velocidad velocidad con con que que la masa masa fluye del cuerpo. cuerpo. Comparando Comparando esta esta ecuación ecuación con con la segunda segunda ley de Newton, Newton, concluimos concluimos que que un un flujo flujo de masa masa desde desde un un cuerpo cuerpo ejerce ejerce una una fuerza fuerza Fr Ff =

dm» dmf

---Vf - -- Vf

dt dt

(5.25)

sobre La fuerza fuerza es proporcional proporcional a la razón razón de flujo flujo másico másico y a la magnimagnisobre él. La tud de la velocidad velocidad relativa relativa del flujo, flujo, y su dirección dirección es opuesta opuesta a la dirección dirección tud de de la velocidad velocidad relativa. relativa. Por Por el contrario, contrario, un un flujo flujo de masa masa hacia hacia un un cuerpo cuerpo ejerce ejerce una una fuerza fuerza en en la misma misma dirección dirección que que la velocidad velocidad relativa. relativa. http://carlos2524.jimdo.com/

215

216 216

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE LA CANTIDAD MOVIMIENTO CAPíTULO CANTIDAD DE MOVIMIENTO

fuerza creada creada por por un flujo flujo de masa presenta en El ejemplo ejemplo clásico de fuerza masa se presenta cohete (Fig. 5.19). Suponga una velocidad velocidad de escape uniun cohete Suponga que éste tiene una forme Uf paralela al eje x y que la razón razón de flujo flujo másico másico del escape es forme Vf paralela dm¡l sistema coordenado dm¡l dt. dt. En En el sistema coordenado que se da, el vector vector de velocidad velocidad del escape es Vfr == -vfi, -vri, por por lo que, de la Ec. (5.25), la fuerza sobre el cohete es dmf dt

Ff =

- - - Vf

=

l d u d

dmf. dt

e

- - Vfl.

E F d

Figura 5.19

Cohete con su escape escape alineado alineado Cohete con el eje x.

q

s e

fuerza ejercida ejercida sobre cohete por por su escape es hacia hacia la derecha, derecha, opuesta opuesta La fuerza sobre el cohete dirección del flujo flujo de su escape. escape. Si suponemos ninguna fuerza fuerza a la dirección suponemos que ninguna externa actúa actúa sobre cohete, la segunda Newton es externa sobre el cohete, segunda ley de Newton dm¡ dmf dt dt

d q

F d n

dv dv dt dt

m -o = m-o

(5.26)

1<

razón de flujo másico del combustible combustible es la razón razón a la cual se consume consume La razón flujo másico la masa Por tanto, tanto, la razón razón de cambio cambio de la masa masa del cohete cohete es masa del cohete. cohete . Por

s

-Vf --Vf

dm dm

dm¡ dmf

dt dt

dt dt

e

L

Usando podemos escribir Usando esta expresión expresión podemos escribir la Ec. (5.26) como como

Cl

q

dv = = dv

dm dm -Vf-. Vf-.

m

Supongamos que el cohete Supongamos cohete parte parte del reposo reposo con masa masa inicial m.: mo. Si la velocidad esta ecuación ecuación para locidad de escape es constante, constante, podemos podemos integrar integrar esta para deterdeterminar minar la velocidad velocidad del cohete cohete en función función de su masa: masa:

ll

v

v

Oo

dv = = dv

/,m 1m

p

dm dm m

-Vf-. Vf-.

/no /nO

<

El resultado resultado es

v=

L

Vf

In

(:0) .

(5.27)

El cohete cohete puede puede ganar ganar más velocidad velocidad consumiendo consumiendo más masa, masa, pero pero obserobserincremento de la razón razón mo/m molm de 10 a 100 sólo aumenta aumenta la velo- .' ve que el incremento cidad cidad en un factor factor de dos. Por Por el contrario, contrario, incrementando incrementando la velocidad velocidad de escape se obtiene obtiene un aumento aumento proporcional proporcional en la velocidad velocidad del cohete. cohete. http://carlos2524.jimdo.com/

a

5 .5 FLUJOS DE MASA 5.5 MASA

n

217 217

Ejemplo 5.7

s corriente horizontal horizontal de agua agua con velocidad razón de flujo flujo másico másico Una corriente velocidad VVoo y razón dm¡/ golpea una una placa placa que desvía el agua agua en el plano plano horizontal horizontal a través través de dmr/ dt golpea un ángulo Suponga que la magnitud ángulo 8 (Fig. (Fig . 5.20). Suponga magnitud de la velocidad velocidad del agua agua cuancuanabandona la placa placa es aproximadamente aproximadamente igual igual a Vo. ¿Qué fuerza fuerza ejerce ejerce do ésta abandona "o- ¿Qué agua sobre placa? el agua sobre la placa?

el

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos determinar determinar la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre placa considerando considerando la parte parte Podemos sobre la placa de la corriente masa corriente en contacto contacto con la placa placa como como un cuerpo cuerpo con un flujo flujo de masa que entra él. entra y sale de él.

Figura 5.20 5.20 Figura

SOLUCiÓN SOLUCiÓN

ta

a

En la Fig. Fig. (a) dibujamos dibujamos el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre de la parte parte de la corriente corriente en contacto masa con velocidad "o entran salen entran y salen contacto con con la placa. placa. Corrientes Corrientes de masa velocidad Vo de este cuerpo, sobre la corriente. cuerpo, y Fpp es la fuerza fuerza que ejerce la placa placa sobre corriente. Lo que queremos sobre la placa. queremos determinar determinar es la fuerza fuerza -F - Fpp que ejerce la corriente corriente sobre placa. Primero Primero consideramos consideramos la corriente corriente de agua agua que que sale. La La razón razón de flujo flujo másico másico de agua agua que sale del diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre libre debe debe ser igual a la razón razón de flujo flujo másico que entra. sistema coordenado coordenado que se muestra, muestra, la velocidad velocidad de entra. En el sistema la corriente corriente que sale es

yy

L -_

le

dm¡ dm¡

dm¡ dm¡

dt dt

dt dt

x

(a) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre de la

sobre el cuerpo. Sea F DD la fuerza fuerza que ejerce ejerce la corriente corriente que sale sobre cuerpo. De la Ec. (5.25), (5 .25), FD

_ __ _ _ _ _ _ X

'-----------

vr e ii + Vo sen ee j.j. vr = Vo cos e

corriente. corriente.

= - --- - V rr = - --- (vo cos e e ii + Vo Vosen e e j). j).

La velocidad = VoL ingresa al velocidad de la corriente corriente que entra entra es vr V¡ = voL Como Como este flujo flujo ingresa cuerpo cuerpo en vez de salir de él, la fuerza fuerza resultante resultante FE tiene la misma misma dirección dirección que la velocidad velocidad relativa: relativa: FE

dm¡ dm¡

dmf. dm¡.

sobre la placa. (b) Fuerza Fuerza ejercida ejercida sobre placa.

= --v --VOl. - -vr = - VOl. dt dt dt

r

dt

La suma suma de las fuerzas sobre el diagrama fuerzas sobre diagrama de cuerpo cuerpo libre debe debe ser igual a cero, cero, FDD

+

FE + Fpp = O, O,

por lo cual la fuerza sobre la placa fuerza que ejerce el agua agua sobre placa es (Fig. b) -Fp p -F

= FDD + FE = dmf dmf vo[(lvo[(l dt dt

cose) ii cose) - sen e j]. j).

COMENTARIO COMENTARIO Este sencillo ejemplo ejemplo nos da da una una idea de cómo cómo los álabes álabes de las turbinas turbinas y las alas de los aviones aviones crean crean fuerzas fuerzas al desviar desviar corrientes corrientes de líquidos líquidos o gases (Fig. e). c).

T·

d


(e) Patrón Patrón del fluido fluido en movimiento movimiento

alrededor alrededor del ala ala de un avión. avión .

218

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO CAPíTULO

Ejemplo 5.8

Aplicación a a la ingeniería ingeniería Aplicación Motores de de reacción reacción Mofores motor turborreactor turborreactor (Fig. 5.21), entra entra al compresor una razón En un motor compresor una razón de flujo dm./dt velocidad Vi. Vi' El aire se mezcla con combustible másico dm / dt de aire con velocidad combustible y enciende en la cámara cámara de combustión. combustión. Luego Luego la por la turbina turbina se enciende la, mezcla fluye por impulsa al compresor. compresor. Los gases de escape, una razón másico que impulsa escape, con una razón de flujo flujo másico razón de flujo / igual a la del aire más la razón flujo másico másico del combustible, combustible, dm dm/ dt + c dt dmf/ dt, salen a una alta velocidad velocidad Ve' ejerciendo ejerciendo una gran fuerza dm¡l una alta una gran fuerza sobre sobre el motor. Suponga Suponga que dm dms/dt dt = 0.009 slug/s. / dt == 0.925 slug/s slug/s y que dm.r dmr/dt slug/s. La vetor. locidad de entrada entrada del aire es Vi Vi = 400 pie/s locidad pie/s y la velocidad velocidad de escape escape es Ve Ve = 1605 pie/ pie/s.s. ¿Cuál empuje del motor? 1605 ¿Cuál es el empuje motor? dmf f dm -(jf

Figura 5.21

-rz:

=:=-- ( j f ~==-- dm dmc c

dl

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos Podemos determinar determinar el empuje empuje del motor motor usando usando la la Ec. Ec. (5.25): (5.25). Para Para determinar determinar el empuje empuje neto neto debemos debemos incluir incluir la la fuerza fuerza ejercida ejercida por por la la descarga descarga del motor motor y la fuerza fuerza ejercida ejercida por por el flujo flujo másico másico del del aire aire que que entra entra al compresor. compresor.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La La descarga descarga del del motor motor ejerce ejerce una una fuerza fuerza hacia hacia la la izquierda izquierda igual igual al producto producto de la razón razón del flujo flujo másico másico de la la mezcla mezcla combustible-aire combustible-aire por por la la velocidad velocidad de descarga. una fuerza fuerza hacia hacia la la derecha derecha igual igual al producto producto descarga. El aire aire de entrada entrada ejerce ejerce una de la la razón razón del flujo flujo másico másico del del aire aire entrante entrante por por la la velocidad velocidad de de entrada. entrada. El El empuje empuje del motor motor (fuerza (fuerza neta neta hacia hacia la la izquierda) izquierda) es

T T

dmc dm f ) == ((dm -- c + -dmf) dt dt

dt dt

Ve -_ Ve

dmc dm c Vi --Vi dt dt

= (0.925 + 0.009)(1605) 0.009)(1605) = 1129 lb. http://carlos2524.jimdo.com/

(0.925)(400) (0.925)(400)

v

5.5 5.5 FLUJOS DE MASA MASA

219

CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES DE DE DISEÑO

, I

poco antes antes del inicio de la Segunda Segunda El motor motor de reacción reacción se desarrolló desarrolló en Europa Europa poco Guerra Guerra Mundial. Mundial. El diseño diseño del motor motor turborreactor turborreactor de la Fig. Fig. 5.21 tuvo tuvo mucho mucho éxito y dominó por muchos dominó por muchos años años la aviación aviación militar militar y comercial, comercial, aunque aunque tiene el inconveniente inconvenieI}te de consumir consumir mucho mucho combustible. combustible. Durante doble flujo Durante los últimos últimos treinta treinta años, años, el motor motor de reacción reacción de doble flujo mostramostrado en la Fig. 5.22 ha llegado llegado a ser el diseño diseño más común, común, particularmente particularmente en aviones comerciales. proporcionada por por el aire, que es comerciales. Parte Parte de su empuje empuje es proporcionada acelerado por un ventilador. acelerado por ventilador. La razón razón del flujo flujo másico másico del aire que entra entra al ventilador, / dt, a la del flujo ventilador, dmb dmi./dt, flujo másico másico del aire que entra entra al compresor, compresor, dm.rdt, se llama llama razón de derivación. derivación. dmc/dt, Ventilador

Figura 5.22

dm f

- - - ---¡¡¡.....i-.....iii- - -

dm c

---¡¡¡-

La fuerza fuerza ejercida ejercida por motor de reacción reacción es igual al producpor el escape de un motor producpor la velocidad to de la razón razón del flujo flujo másico másico por velocidad de escape. En el motor motor de reacreacción de doble por la doble flujo, flujo, el aire que pasa pasa por por el ventilador ventilador no es calentado calentado por combustión por ello mayor combustión del combustible, combustible, y tiene por mayor densidad densidad que la descarga descarga de los motores reacción de doble motores turborreactores. turborreactores. Como Como resultado, resultado, el motor motor de reacción doble flujo puede puede proporcionar proporcionar un empuje empuje dado dado con menor menor velocidad velocidad media media de saliComo el trabajo trabajo que se debe efectuar efectuar para crear el empuje empuje depende depende de la da. Como para crear cinética de la descarga, descarga, el motor motor de reacción reacción de doble doble flujo flujo genera genera un energía cinética empuje más eficiente. eficiente. empuje


Reactor flujo Reactor de doble doble flujo. flujo. Parte Parte del flujo másico másico de aire que entra entra es acelerado acelerado por el ventilador por ventilador y no ingresa ingresa al compresor compresor. .

220 220

CAPíTULO CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

________ ~

~

IProblemas~--------~~------------~

5.85 La embarcación bomberos mostrada mostrada puede puede lanzar, lanzar, embarcación de bomberos con cada uno de sus dos cañones, kg/s de agua una velocicada uno cañones, 3.8 kg/s agua a una dad de 44 mis. Si ambos misma direcambos cañones cañones apuntan apuntan en la misma ción, total ejercen ción, ¿qué fuerza fuerza total ejercen sobre sobre la embarcación? embarcación?

5.87 El tractor tractor se mueve a 2 mi/h mi/h yy recoge 66 000 lb de minehierro en 3 s. ¿Qué fuerza horizontal deben ejercer ral de hierro fuerza horizontal ejercer sus ruedas? ruedas?

P5.87

P5.85

desplaza a 1 mis 5.88 El vehículo vehículo limpianieve limpianieve mostrado mostrado se desplaza y recoge 750 kg/s. Determine la fuerza fuerza ejercida ejercida por flujo enkg/s. Determine por el flujo trante trante de nieve.

Una boquilla sobre un camión camión de bomberos 5.86 Una boquilla montada montada sobre bomberos una corriente corriente de agua agua a 80 piel flujo emite una pie/ss con una una razón razón de flujo másico de 3.4 slug/s. slug/s. Determine Determine el momento momento respecto respecto aA aA debifuerza ejercida ejercida por corriente de agua. agua. por la corriente do a la fuerza

3 pies pies

P5.88

P5.86

diseña de modo 5.89 Si el vehículo vehículo del Probo 5.88 se diseña modo que lance 45 o desde una una boquilla boquilla a 2 m sobre la nieve a 45° sobre el suelo y la nieve distancia, ¿qué ¿qué fuerza fuerza horizontal sobre caiga a 20 m de distancia, horizontal ejerce sobre flujo de la nieve lanzada? el vehículo vehículo el flujo lanzada?


5.5

5.90 Una boquilla emite una corriente de agua horizontal a 40 mis con uha razón de flujo másico de 30 kg/s, y la corriente es desviada en el plano horizontal por una placa. Determine la fuerza que ejerce la corriente sobre la placa en los casos (a), (b) y (e).

FLUJOS DE MASA

221

5.92 La boquilla A del rociador se localiza en (7, -0.5, 0.5) pulg. De la boquilla sale agua a 25 piels, con una razón de flujo de 0.5Ib/s. Los cosenos directores del flujoenA son (JJ, - JJ, JJ)' ¿Cuál es el momento total respecto al eje z que ejercen los flujos de las cuatro boquillas sobre el rociador?

y

¡ //;;';;-

I

, /,.".

/:~~f"';/~ ,..•...

'••...

I

',,,

\\~\

(a) y

(/ft-"

,\

x

", \'"

',~~~~\

',,:~\'..

y

~~~, <

I

---x \~'x,\

I

I

X

(b)

~~~~',

'"o"

I

\,' \,

-, , , '

\\',

X

\\,

,

(e)

,

',

P5.90

\'

P5.92

5.91 Una corriente de agua con velocidad de 80i mis y razón de flujo másico de 6 kg/s golpea el álabe de una turbina que se mueve a una velocidad constante de 20i mis. (a) ¿Qué fuerza ejerce él agua sobre el álabe? (b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del agua al abandonar el álabe?

5.93 Un flujo de 45 kg/s de grava sale de una tolva a 2 mis y cae sobre una banda que se mueve a 0.3 mis. Determine las componentes de la fuerza que ejerce el flujo de la grava sobre la banda si () = O.

y

P5.91

P5.93

5.94

Resuelva el Prob. 5.93 si ()


30° .

222

CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIM MOVIMIENTO CAPíTULO IENTO

auto de juguete impulsado por por el agua agua que sale de 5.95 Un auto juguete es impulsado tanque interior interior ~~ 3 mis mis respecto respecto al auto. auto. Si la masa masa del auto auto un tanque contiene 2 kg de agua, agua, ¿cuál ¿cuál es la velocidad velocidad vacío es de 1 kg Y contiene máxima del auto auto si se ignoran ignoran las otras otras fuerzas fuerzas tangenciales? tangenciales? máxima

Cuando se apaga apaga el motor motor de un trineo cohete, se usa 5.99 Cuando trineo cohete, agua para para detenerlo. detenerlo. Un tubo tubo penetra penetra dentro dentro del un freno de agua canal y el agua agua fluye por por él a la velocidad velocidad del trineo trineo y hacia hacia canal afuera en una una dirección dirección perpendicular perpendicular al movimiento movimiento de éste. afuera razón de flujo flujo másico másico en el tubo tubo es pp vA, vA, donde donde p == 1.94 La razón slug/pie' densidad del agua, agua, v es la velocidad velocidad de flujo flujo y slug/ pie 3 es la densidad A == 0.1 pie pie"2 es el área área de la sección sección transversal transversal del tubo tubo.. La masa del trineo trineo es de 30 slugs. slugs. Ignorando Ignorando la fricción fricción y la resistenresistenmasa aerodinámica, determine determine la distancia distancia y el tiempo tiempo requeridos requeridos cia aerodinámica, para que el trineo trineo desacelere de 1000 pie/s pie/s a 100 pie/s. pie/s. para

P5.95 P5.95

cohete consta consta de llna una carga carga útll útil de 2 Mg Y Yun impulsor 5.96 Un cohete un impulsor 80070 de la masa masa del impulsor impulsor es combustible combustible y de 40 Mg. El 80070 velocidad de escape es de 11km/ cohete parte parte del reposo reposo su velocidad km/ s. Si el cohete ignoran las fuerzas fuerzas externas, externas, ¿qué velocidad velocidad alcanz;:trá? alcanzará? y se ignoran

E

P5.99 P5.99

~-------------yr--------------

Carga útil

Impulsor Impulsor

P5.96 P5.96

cohete consta consta de una una carga carga útil de 2 Mg Y Yun impul5.97 Un cohete un impulsor,, con masa masa total total == 40 Mg, de 2 etapas. etapas. El 80% de la masa masa sor etapa es combustible; combustible; cuando cuando el de la etapa etapa 1 se agota, agota, de cada etapa éstalseldesprend~dellimpulsor motor de la etapa etapa ést alseldesprend~del limpulsor y selenciende el motor velocidad de escape del gas de combustión combustión es de 1 km/ km/s.s. 2. La velocidad cohete parte parte del reposo reposo y se ignoran ignoran las fuerzas fuerzas externas. externas. HaHaEl cohete velocidad del cohete cohete si las dos etapas etapas tienen tienen la misma misma masa. masa. lle la velocidad Compare el resultado resultado con el del Probo 5.96. 5.96. Compare

:

5.100 Suponga Suponga que sujeta sujeta el extremo extremo de una una cadena cadena que pesa 5.100 lb/pie y la levanta levanta del piso a una una velocidad velocidad constante constante de 2 3 lb/pie pie/s. pie/s. Determine la fuerza hacia arriba arriba que usted usted debe ejercer ejercer (a) Determine fuerza F hacia función de la altura altura S. en función ¿Cuánto trabajo efectúa usted usted al levantar levantar la parte parte superior superior (b) ¿Cuánto trabajo efectúa cadena hasta hasta s == 4 pies? de la cadena Estrategia: Trate la parte parte de la cadena cadena que ha levantado levantado coEstrategia: Trate cuerpo que que está ganando ganando masa. masa. mo un cuerpo

=rr T

.r.. ~'-6é<"',~ ~ :.1 s

2

útil Carga útÍl P5.97 P5.97

determine la velocidad velocidad alcanzada alcanzada por por 5.98 En el Probo 5.97, determine cohete para para tres conjuntos conjuntos de valores valores de las masas de las dos el cohete etapas: (a) m mii = 25 Mg, m22 = 15 15 Mg; (b) mi ~ ~ 35 Mg, m22 etapas: = 5 Mg; (c) (e) mi == 38 Mg, m2 == 2 Mg. =


P5.100 P5.100

5.5 5.5 FLUJOS DE MASA MASA

5.101 5.101 Resuelva Resuelva el Probo 5.100 suponiendo suponiendo que usted usted levanta levanta del piso el t¡xtremo extremo de la cadena cadena con una una aceleración aceleración constante constante de 2 píe/s-. pie/s 2 : 5.102 Para una pesada pesada Para detener detener gradualmente gradualmente un avión se usa una cadena. cadena. Un gancho gancho unido unido al extremo extremo de la cadena cadena se engarza engarza a la rueda jala una rueda frontal frontal del avión y éste jala una longitud longitud creciente creciente de la cadena pista. Sea m la masa cadena al rodar rodar sobre sobre la pista. masa del avión, avión, Va por unidad Va su velocidad velocidad inicial y P P L la masa masa por unidad de longitud longitud de la cadena. cadena. Si se ignoran ignoran la fricción fricción y la resistencia resistencia aerodinámica, aerodinámica, ¿cuál es la velocidad velocidad del avión en función función de s?

223

5.106 Un inversor inversor del empuje empuje del motor motor turborreactor turborreactor hace que la descarga descarga salga del motor motor a 20° respecto respecto a la línea central central de éste. éste. La razón razón de flujo flujo másico másico del aire que entra entra al compresor compresor slug/s. La razón razón de flujo flujo másico másico del combusticombustia 200 pie/s pie/s es de 3 slug/s. pie/ s. ble es de 0.1 slug/ slug/ss y su velocidad velocidad de salida salida es de 1200 pie/s. ¿Qué fuerza fuerza de frenado frenado ejerce el motor motor sobre sobre el avión? avión?

P5.106 P5.106

P5.102 P5.102

fuerza de fricción fricción que ejerce el 5.103 En el Probo 5.102, la fuerza terreno sobre sobre la cadena cadena dominaría dominaría realmente realmente a las otras otras fuerzas terreno conforme aumentara aumentara la distancia distancia S. S. Si el coeficiente coeficiente de fricción fricción conforme cinética entre entre la cadena cadena y el terreno terreno es JLk JLk y se ignoran ignoran todas todas cinética excepto la de fricción, fricción, ¿cuál es la velocidad velocidad del avión las fuerzas excepto función de s? en función

5.107 Un avión / h. La razón avión de 13.6 Mg vuela a 400 km km/h. razón de flujo flujo másico másico de aire total total que entra entra a los compresores compresores de sus turborreactores turborreactores es de 280 kg/s, kg/s, y la razón razón de flujo flujo másico másico total total combustible es de 2.6 kg/ kg/s.s. La velocidad velocidad efectiva efectiva del aire que de combustible entra a los compresores compresores es igual a la velocidad velocidad del avión, avión, y la entra velocidad salida es de 480 mi mis.s. La razón razón de la fuerza fuerza sustenvelocidad de salida sustentadora L a la fuerza fuerza de arrastre arrastre B es 6, y la componente componente ZZ de tadora aceleración del avión es cero. ¿Cuál ¿Cuál es la componente componente x la aceleración aceleración? de su aceleración?

LosProbs. 5.104 a 5.108 elitén están relacionados relacionados con con el Ej. Ej. Los Probs. 5.104

5.8. probando el motor motor turborreactor turborreactor de la Fig. Fig. 5.104 Se está probando 5.21.. La velocidad velocidad de flujo flujo másico másico del aire que entra entra al comprecompre5.21 kg/ss y la velocidad velocidad de flujo flujo másico másico del combusticombustisor es de 13.5 kg/ ble es de 0.13 kg/ kg/s.s. La velocidad velocidad efectiva efectiva del aire que entra entra al compresor es cero y la velocidad velocidad de descarga descarga es de 500 mi mis.s. compresor ¿Cuál es el empuje empuje del motor? motor? ¿Cuál zz Suponga que el motor motor descrito descrito en el Probo Prob. 5.104 está está 5.105 Suponga km/h.h . La velocidad velocidad efectiva efectiva del en un avión que vuela vuela a 400 km/ entra en la admisión admisión es igual a la velocidad velocidad del avión. avión. aire que entra ¿Cuál es el empuje empuje del motor? motor? ¿Cuál

P5.107 P5.107

Considere el reactor reactor de doble doble flujo flujo de la Fig. 5.22. 5.108 Considere Cuando el avión inicia inicia su carrera carrera de despegue, despegue, la velocidad velocidad del Cuando entra al compresor compresor y al ventilador ventilador es insignificante. insignificante. Una Una aire que entra razón de flujo flujo másico másico de 38.5 slug/ slug/ss entra entra al ventilador ventilador y es razón acelerada a 885 pie/s. Una razón razón de flujo flujo másico másico de 7.7 slug/s slug/s acelerada pie/ s. Una entra al compresor. compresor. La razón razón de flujo flujo másico másico de combustible combustible entra es de 0.23 slug/s slug/s y la velocidad velocidad de salida salida es de 1190 pie/s. pie/s. (a) ¿Cuál es la razón razón de derivación? derivación? (b) ¿Cuál ¿Cuál es el empuje empuje del mo¿Cuál tor? (c) (e) Si el avión pesa 500 500000 aceleración initor? 000 lb, ¿cuál es su aceleración cuatro motores.) motores.) cial? (El avión tiene cuatro


224

CAPíTULO CAPíTULO 5 MÉTODOS MÉTODOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

Resumen Resumen del del capítulo capítulo Principio del del impulso y la cantidad cantidad de de movimiento movimiento El impulso tiempo impulso lineal aplicado aplicado a un cuerpo cuerpo durante durante un intervalo intervalo de tiempo es igual al cambio movimiento lineal: cambio en su cantidad cantidad de movimiento 12 12

1.1

'L,F dt 'bFdt

= mV2 -

Ec. (5.1)

mVl. mVl.

11

Este resultado también también se puede puede expresar términos del promedio promedio con Este resultado expresar en términos respecto fuerza total: respecto al tiempo tiempo de la fuerza total: Ec. (5.2) (5.2)

Conservación de de la cantidad cantidad de de movimiento movimiento lineal lineal Conservación cuerpos A y B no están están sujetos sujetos a fuerzas fuerzas externas externas que no sean sean las Si los cuerpos fuerzas que ejercen ejercen entre efectos de otras fuerzas externas externas son fuerzas entre sí (o si los efectos otras fuerzas insignificantes), sus cantidades cantidades de movimiento lineal total conservan, insignificantes), movimiento lineal total se conservan, Ec. (5.4) y

centros de masa común es constante. constante. la velocidad velocidad de sus centros masa común

Impactos Impactos cuerpos que chocan chocan no están están sujetos sujetos a fuerzas fuerzas externas, externas, sus cantidaSi los cuerpos cantidadeben ser iguales iguales antes antes y después impacdes de movimiento movimiento lineal total total deben después del impacto. cuando estén sujetos sujetos a fuerzas fuerzas externas, externas, la fuerza fuerza del impacto impacto to . Aun Aun cuando grande, y su duración duración tan efecto de las fuerzas fuerzas suele ser tan tan grande, tan breve, breve, que el efecto externas sobre sobre sus movimientos durante el impacto impacto es insignificante. insignificante. externas movimientos durante cuerpos A y B se adhieren adhieren y permanecen Si los cuerpos permanecen juntos juntos después después de la colisión, se dice que sufren sufren un impacto impacto perfectamente perfectamente plástico. colisión, plástico. La velocicentro común común de masa después de la colisión está está dada dada por dad de su centro masa antes y después ta colisión por mAVA

+mBvB

v= -----------

Ec. (5.7) (5.7)

mA+mB

Impactos centrales Impactos centrales En un impacto impacto central central directo directo (Fig. a), la cantidad cantidad de movimiento En movimiento lineal conserva, se conserva, mAVA mAVA

mBVB = = mAv~ + mBVB mAv~ + mBv~, mBv~,

Ec. (5.8)

.......• V' V'

A A

V'

E) E)

A

Antes impacto Antes del impacto

Después impacto Después del impacto (a)


B

RESUMEN DEL CAPíTULO y

las velocidades están relacionadas por el coeficiente de restitución: v~ - v~

e=

Ec. (5.14)

Si e = 0, el impacto es perfectamente plástico. Si e = 1, la energía cinética total se conserva y el impacto se llama perfectamente elástico. En un impacto central oblicuo (Fig. b), las componentes de la velocidad en las direcciones y y z no cambian por el impacto:

Ec. (5.15)

En la dirección x, la cantidad de movimiento lineal se conserva, mA(VA)x

= mA(V~)x

+mB(VB)x

+mB(V~)x,

Ec. (5.16)

las componentes de velocidad están relacionadas por el coeficiente de restitución:

y

Ec. (5.17)

y

0 0 /

~

<,

<,

/

/

<,

x

ci5'

/

(b)

Principio del impulso angular y del momento angular El impulso angular respecto a un punto O aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en su momento angular respecto a O:

1.

12

(r x hF)dt

=

(Hoh - (Ho)¡,

Ec. (5.21)

ti

donde el momento angular es H¿ = r x mv.

Ec. (5.20)


225

226

CAPíTULO 5 MÉTODOS DE LA CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

Movimento bajo una fuerza central Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo permanece dirigida hacia un punto fijo, se dice que el cuerpo se encuentra en movimiento bajo una fuerza central, y su momento angular respecto al punto fijo se conserva: Ho

constante.

=

Ec. (5.22)

En el movimiento plano bajo una fuerza central, el producto de la distancia radial y la componente transversal de la velocidad es constante: r Ve

= constante.

Ec. (5.23)

Flujos de masa Un flujo de masa desde un cuerpo con velocidad ejerce una fuerza Ff=

Vf

relativa al cuerpo

dm¡ --Vf

dt

Ec. (5.25)

sobre el cuerpo, donde dmrl dt es la velocidad de flujo másico. La dirección de la fuerza es opuesta a la dirección de la velocidad relativa. Un flujo de masa hacia un cuerpo ejerce una fuerza en la misma dirección que la velocidad relativa. 11..----------------1

Problemas de repas0t-

5.109 Para detener aviones cuyos sistemas de frenos fallan se usa un sistema de detención de aviones. El sistema detiene un avión de 47.5 Mg que se mueve a 80 mis en 9.15 s. (a) ¿Qué impulso se aplica al avión durante los 9.15 s? (b) ¿Cuál es la desaceleración media a que se someten los pasajeros?

-'--

_'----'-

..;....., .....•

5.111 Una nave espacial está en órbita elíptica alrededor de un gran asteroide. La aceleración debida a la gravedad del asteroide se desconoce. Cuando la nave está en su punto más cercano, su distancia desde el centro del asteroide es rp = 2 km y su velocidad es Vp = 1 mis. Cuando está en el punto más alejado del asteroide, su distancia es rA = 6 km. ¿Cuál es la velocidad VA?

P5.109

5.110 Un cañon tiene un barril de 1.94 m de largo, una velocidad de 300 mis en la boca, y dispara un obús de 38 kg. Si el obús tarda 0.013 s en recorrer la longitud del barril, ¿qué fuerza media se ejerce sobre el obús?


P5.111

227


5.112 En el Prob 111, ¿cuál es la masa Proboo 5. 5.111, masa del asteroide? asteroide? Si se supone supone que el asteroide asteroide es aproximadamente aproximadamente esférico esférico con densidad densidad media media de 7000 kg/m kg/rn",3 , ¿cuál es su radio? radio? Estrategia: Estrategia: Use la conservación conservación de la energía energía y exprese la potencial gravitatoria gravitatoria en la forma forma V = -=Gmm c/r, energía potencial GmmA/r, donde donde G G== 6.67 Xx 10-1111 N~m2/kg2 N~m2/kg2 es la constante constante de gravitagravitauniversal y m AA es la masa masa del asteroide. asteroide. ción universal 5.113 Un atleta atleta lanza lanza una una bala bala de 16 16 lb. Cuando Cuando la suelta, suelta, la bala bala está a 7 pies sobre sobre el terreno terreno y sus componentes componentes de velocidad son Vxx = 31 31 pie/ pie/ss y vyy = 26 pie/ pie/s.s. (a) Si acelera acelera la bala bala desde el reposo reposo en 0.8 s y como primera primera aproximación fuerza F que ejerce sobre aproximación se supone supone que la fuerza sobre ella es constante, constante, use el principio principio del impulso impulso y la cantidad cantidad de movimiento miento para para determinar determinar las componentes componentes x y y de F F.. (b) ¿¿Cuál Cuál es la distancia distancia horizontal horizontal desde el punto punto en que suelta suelta la bala hasta hasta el punto punto en que ésta toca toca el suelo?

jugadores de hockey 5.115 Dos jugadores hockey (mA (mA = 80 kg, mB B = 90 kg) al convergirhacia se traban convergirhacia el disco en x = O, O, Y = O Ose traban y caen al hielo. Antes Antes de la colisión, colisión, VA VA = 9i + 4j (m/s) (mis) y VB VB = -3i -3i + mis. Si el coeficiente coeficiente de fricción fricción cinética cinética entre entre los jugadores 6j mis. jugadores y el hielo es P,k 1, ¿cuál es su posición P-k = = 0. 0.1, posición aproximada aproximada cuando cuando dejan dejan de deslizarse? deslizarse? yy

---------~~------x

------~------------~-----------x

yy

P5.115 P5.115

5.116 Una Una pelota pelota de balonmano balonmano aceptable aceptable rebota rebota a una una altura altura entre 3 pies 6 pulg y 4 pies cuando cuando se suelta suelta sobre sobre un piso de entre duro duro desde una una altura altura de 5 pies 10 pulg. pulg. ¿Cuál ¿Cuál es el intervalo intervalo aceptable baaceptable de coeficientes coeficientes de restitución restitución para para las pelotas pelotas de balonmano? lonmano?

-------------'-------""""'''''"------------------ x --------'-----""""""'-----------x

P5.113 P5.113

Una pelota pelota de 1 kg se mueve horizontalmente horizontalmente a 12 mi miss 5.117 Una y golpea golpea un bloque bloque de 10 10 kg. El coeficiente coeficiente de restitución restitución del impacto es e = 0.6, Y el coeficiente coeficiente de fricción fricción cinética cinética entre entre impacto bloque y la superficie superficie inclinada inclinada es P,k P-k = 0.4. ¿Qué distancia distancia el bloque bloque antes de detenerse? detenerse? se desliza el bloque

camión A de 6000 lb que circula circula a 40 pie/s choca 5.114 El camión pie/ s choca automóvil B de 4000 lb que circula circula a 30 pie/s. pie/s. con el automóvil magnitud de la velocidad velocidad de su centro centro de masa (a) ¿Cuál es la magnitud común común después después del impacto? impacto? (b) Si la colisión colisión se trata trata como un impacto impacto perfectamente perfectamente plástiplásti¿cuánta energía energía cinética cinética se pierde? pierde? co, ¿cuánta

o...!!.. P5.117 P5.117

AIKI)- .... P5.114


228 CAPíTULO CAPíTULO 55 MÉTODOS MÉTODOS DE DE LA LA CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO 228 5.118 Una Una persona persona diseña diseña elel dispositivo dispositivo mostrado mostrado para para perper5.118 forarpozos. Un "martillo" "martillo" de de 70 70 kg kg se se levanta levanta aa hh == 11m m yy forar pozos. Un sedeja deja caer caer sobre sobre la la cabeza cabeza del del tubo tubo de de perforación. perforación. La La masa masa de de se la cabeza cabeza yy del del tubo tubo es es de de 20 20 kg. kg. Suponga Suponga que que elel coeficiente coeficiente la de restitución restitución es es casi casi cero. cero. de (a) ¿Cuál ¿Cuál es es la la velocidad velocidad de de la la cabeza cabeza yy elel tubo tubo inmediatamente inmediatamente (a) después del del impacto? impacto? después (b) Si Si el el tubo tubo se se mueve mueve 30 30 mm mm hacia hacia abajo abajo cuando cuando el el martillo martillo (b) lo golpea, golpea, ¿qué ¿qué fuerza fuerza resistente resistente ejerce ejerce el el suelo suelo sobre sobre el el tubo? tubo? lo (Suponga que que esta esta fuerza fuerza es es constante constante durante durante el el movimiento movimiento (Suponga del tubo.) tubo.) del

5.121 5.121 Las Las bolas bolas mostradas mostradas tienen tienen igual igual masa masa m. m. Las Las bolas bolas BB yy ee están están conectadas conectadas por por un un resorte resorte lineal lineal sin sin estirar estirar yy están están bola AA se en en reposo. reposo. LaLa-bola se mueve mueve hacia hacia la la bola bola BB con con velocidad velocidad VVA" A- El El impacto impacto de de AA con con BB es es perfectamente perfectamente elástico elástico (e (e == 1). 1). Ignore Ignore las las fuerzas fuerzas externas. externas. (a) (a) ¿Cuál ¿Cuál es es la la velocidad velocidad del del centro centro de de masa masa común común de de las las bolas bolas BB yy ee inmediatamente inmediatamente después después del del impacto? impacto? (b) (b) ¿Cuál ¿Cuál es es la la velocidad velocidad del del centro centro de de masa masa común común de de las las bolas bolas BB yy e e en en el el tiempo tiempo tt después después del del impacto? impacto?

o

e

B B

A

P5.121 P5.121

5.122 En el Probo 5.121, ¿cuál es la máxima máxima fuerza fuerza de compresión presión en el resorte resorte como consecuencia consecuencia del impacto? impacto? 5.123 Suponga Suponga que el Probo 5.121 se interpreta interpreta como un impacto bolas pacto entre entre la bola bola A y un cuerpo cuerpo D D que consiste consiste en las bolas B y e conectadas. conectadas. restitución del impacto A (a) ¿Cuál ¿Cuál es el coeficiente coeficiente de restitución impacto entre entre A D? y D? energía total total después después del impacto considera como como (b) Si la energía impacto se considera la suma suma de las energías energías cinéticas cinéticas !m(v~)2 !m(v~)2 + !(2m)(v~)2, !(2m)(v~)2 , donde donde v~ es la velocidad velocidad del centro centro de masa masa de D después después del impacimpacv~ to, ¿cuánta ¿cuánta energía energía se "pierde" "pierde" como como resultado resultado del impacto? impacto? to, (c) ¿Cuánta ¿Cuánta energía energía se pierde pierde realmente realmente como como resultado resultado del im(e) pacto? (Este (Este problema problema es un un modelo modelo interesante interesante para para uno uno de de pacto? mecanismos de pérdida pérdida de de energía energía en impactos impactos entre entre cuercuerlos mecanismos pos. La La energía energía "perdida" "perdida" calculada calculada en en la la parte parte (b) se transfortransforpos. ma en en "energía "energía interna" interna" ,, es es decir, decir, en en movimientos movimientos vibratorio vibratorioss ma de B B yy ee respecto respecto aa su su centro centro de de masa masa común.) común.) de

P5.118 P5.118

5.119 5.119 Un Un remolcador remolcador (masa (masa = 40 Mg) Yuna Y una barcaza barcaza (masa (masa == 160 Mg) están están en reposo reposo con con una una cuerda cuerda no no tensa tensa que que los los conecta. nudo == 1852 m/h) m/h) conecta. El El remolcador remolcador acelera acelera aa 2 nudos nudos (1 nudo antes antes de de que que la la cuerda cuerda se tense. tense. Determine Determine las las velocidades velocidades del del remolcador la barcaza barcaza justo justo después después de de que que la la cuerda cuerda se tensa tensa remolcador yy la (a) (a) si el el "impacto" "impacto" es es perfectamente perfectamente plástico plástico (e (e = = O); O); (b) (b) si el el "impacto" "impacto" es es perfectamente perfectamente elástico elástico (e (e == 1). Ignore Ignore las las fuerzas fuerzas ejercidas por el el agua agua yy el el motor motor del del remolcador. remolcador. ejercidas por

5.124 Un Un cuerpo cuerpo pequeño pequeño parte parte del del reposo reposo en en AA yy se se desliza desliza 5.124 hacia abajo abajo por por la la rampa rampa lisa. lisa. El El coeficiente coeficiente de de restitución restitución de de hacia su impacto impacto con con el el piso piso es es ee == 0.8. 0.8. ¿A ¿A qué qué altura altura sobre sobre el el piso piso su toca la la pared? pared? toca AA

~~~~~~~id~E~~L-P5.11:1Lies_-----'::~~:-!------l~ ~~~C~~i;J¡¡~:d:i~=~~p l5w.11. Ji_es_- - =~=---L-L--------~ 3

5.120 5.120 En Enelel Probo Prob o5.119, 5.119, determine determinelalamagnitud magnitudde de lala fuerza fuerza impulsora impulsora ejercida ejercida sobre sobre elel remolcador remolcador en en los los dos dos casos casos sisi lala duración "impacto" es es de de44S.S. Ignore Ignore las las fuerzas fuerzas ejercidas ejercidas duración del del "impacto" por porelelagua: aguayylos losmotores motoresdel delremolcador remolcadordurante duranteeste esteperiodo. periodo.


---!

1 - - -- - 1-------6

----------_.1-1.\

pies

6 pies

P5.124 P5.124

PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO REPASO 5.125

Una U~a pelota pelota de baloncesto baloncesto lanzada lanzada al suelo desde una una altura de 4 pies rebota rebota a una una altura altura de 3 pies. En el lanzamiento lanzamiento altura mostrado, la magnitud magnitud de la velocidad velocidad de la peolota peolota es de 5 pie/s pie/s mostrado, ángulos entre entre su vector vector de velocidad velocidad y los ejes coordenados coordenados y los ángulos positivos son 0x justo antes de positivos ex = 42°, eOyy = 68° YyeO,z = 124° justo tocar el tablero. tablero. ¿Cuáles ¿Cuáles son la magnitud magnitud de su velocidad velocidad y los tocar ángulos entre entre su vector vector de velocidad velocidad y los ejes coordenados coordenados posiángulos después de que rebota rebota en el tablero? tablero? tivos justo justo después

229

5.128

55 lb con 3 pies de diámetro Un tambor tambor vacío de 55 diámetro está está sobre una una balanza. balanza. El agua agua empieza empieza a entrar entrar al tambor tambor a 1200 sobre lb/min desde 8 pies arriba arriba del fondo fondo del tambor. lb/min tambor. La densidad densidad agua es 62.4 Ib/pie lb/pie",3 • ¿Qué peso indica indica la balanza balanza 40 s desdel agua comenzó a entrar entrar el agua? agua? pués de que comenzó

,¡ x

P5.128 P5.128

sistema de propulsión propulsión por 5.129 El sistema por chorro chorro admite admite agua agua en expulsa en B a 80 pie/s pie/s respecto Suponga A y la expulsa respecto a la lancha. lancha. Suponga agua admitida admitida entra entra sin velocidad velocidad horizontal horizontal relativa relativa con que el agua respecto al agua. agua. La razón razón máxima máxima de flujo flujo másico másico del agua agua respecto través del motor motor es de 2.5 slug/ slug/ s. La resistencia a través resistencia hidrodinámica hidrodinámica sobre la lancha lancha una una fuerza fuerza de 1.5 v lb, donde donde v es la velociejerce sobre lancha en pie/s. pie/s. Si se ignora ignora la resistencia dad de la lancha resistencia aerodinámiaerodinámiea, ¿cuál es la velocidad velocidad máxima máxima de la lancha? lancha? ca,

zz

P5.125 P5.125

5.126

Probo 5.125 el diámetro diámetro de la pelota pelota es de 9.5 En el Prob. coordenadas del centro centro del borde canasta son pulg, las coordenadas borde de la canasta O, Y = O, O, z = 12 pulg y el tablero tablero está en el plano plano x-y. x = O, Determine las coordenadas coordenadas x y y del punto punto en que la pelota pelota debe Determine golpear el tablero tablero para para que el centro centro de la pelota pelota pase por por el golpear centro del borde borde de la canasta. canasta. centro P5.127 la nieve tiene 2 pies de profundidad profundidad 5.127 En la Fig. P5.127 lb/pie";3 ; el camión camión limpianieve limpianieve mostrado mostrado tiene 8 pies yy pesa 20 Ib/pie viaja a 5 mi/h. mi/h. ¿Qué fuerza fuerza ejerce la nieve sobre sobre de ancho ancho y viaja camión? el camión?

5.130

lancha del Probo 5.129 pesa La lancha pesa 2800 lb. La velocidad velocidad agua que pasa pasa por por su motor motor es de 2.5 slug/s, slug/s, de flujo flujo másico del agua parte del reposo reposo en t = o. O.Determine yy parte Determine la velocidad velocidad de la lancha lancha (a) en t = 20 s; (b) en t = 60 S. Una caja caja de masa masa m se desliza desliza a lo largo Una largo de un piso una cadena cadena que está apilada apilada y en reposo. masa jalando una reposo. La masa liso jalando por unidad unidad de longitud longitud de la cadena cadena es PPL' velocidad de la por L' Si la velocidad caja es Vo "o cuando O, ¿cuál es su velocidad caja cuando s == O, velocidad en función función de s?

5.131

- - - - s ----rr;~:-¡;;;;;;;;;;~

P5.127 P5.127

l

P5.131

Efectuando mediciones, Proyecto 5.1 Efectuando mediciones, determine determine el coeficienrestitución de una una pelota pelota de tenis que rebota rebota sobre' sobre ' una una te de restitución superficie rígida. rígida. Trate Trate de determinar determinar si su resultado superficie resultado es indepenindependiente de la velocidad velocidad de la pelota. pelota. Describa Describa su procedimiento procedimiento diente comente las posibles posibles fuentes fuentes de error. y comente error.


tl

E E

engrane acoplado acoplado determina determina la Il engrane relación velocidad angular angular de relación de la velocidad pedales y la rueda rueda dentada dentada molos pedales rueda trasera trasera de la bicitriz con la de la rueda relación entre entre el radio radio de la cleta. La relación rueda motriz motriz y el del piñón piñón trasero trasero es rueda igual a la relación relación entre entre la velocidad velocidad angular de la rueda rueda y la de los pedales. pedales. En gular capítulo obtendremos obtendremos resulel presente presente capítulo tados de este tipo tipo modelando modelando objetos objetos tados como cuerpos rígidos.

---


Capitulo Capitulo 6 61

Cinemática plana Cinemática plana de cuerpos cuerpos rígidos de l'

H H

ASTA ahora ahora hemos considerado considerado situaciones situaciones en que el ASTA movimiento del centro centro de masa masa de un cuerpo cuerpo se podía movimiento podía determinar con la segunda embargo, determinar segunda ley de Newton. Newton. Sin embargo, determinar el movimiento movimiento rotacional rotacional suele ser necesario necesario determinar cuerpo, aun aun cuando cuando el único único objetivo objetivo sea determidetermide un cuerpo, nar el movimiento movimiento de su centro centro de masa. masa. Además, Además, el monar vimiento rotacional rotacional en sí puede interés o incluso incluso vimiento puede ser de interés fundamental en el caso que se considere, considere, como como ocurre ocurre ser fundamental engranes, generadores, generadores, turbinas en los movimientos movimientos de engranes, turbinas y giróscopos. giróscopos. capítulo analizamos analizamos la cinemática cinemática de cuerEn este capítulo pos, descripción y el análisis análisis del movimiento movimiento pos, es decir, la descripción cuerpos sin considerar considerar las fuerzas fuerzas y pares de los cuerpos pares que lo generan. En particular, mostraremos la forma forma como como los particular, mostraremos generan. movimientos de puntos individuales de un cuerpo cuerpo se relamovimientos puntos individuales cionan con su movimiento movimiento angular. angular. cionan

1

231


232

CAPíTULO 6 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

Cuerpos rígidos y tipos 6. 1 Cuerpos de de movimiento movimiento Si se lanza ladrillo (Fig. 6.1a), lanza un ladrillo 6.1a), se puede puede determinar determinar el movimiento movimiento de centro de masa masa sin tener tener que considerar considerar su movimiento movimiento rotacional. rotacional. La su centro única fuerza fuerza significativa significativa es su peso, y la segunda segunda ley de Newton determina única Newton determina aceleración de su centro centro de masa. masa. Sin embargo, embargo, suponga suponga que el ladrillo la aceleración ladrillo está parado parado sobre vuelca (Fig. 6.1 b) porque porque desea determisobre el piso y usted usted lo vuelca 6.1b) determinar el movimiento movimiento de su centro centro de masa ladrillo nar masa al caer. En este caso el ladrillo está sometido puede sometido a su peso y a una una fuerza fuerza ejercida ejercida por por el piso. No se puede determinar la fuerza por el piso ni el movimiento movimiento del centro determinar fuerza ejercida ejercida por centro de masa analizar su movimiento masa sin analizar movimiento rotacional. rotacional. Figura 6.1 (a) Lanzamiento Lanzamiento de un ladrillo; ladrillo; afecta el su rotación rotación no afecta movimiento movimiento de su centro centro de masa. masa. (b) Volcamiento Volcamiento de un ladrillo; ladrillo; la rotación movimiento del rotación y el movimiento centro centro de masa masa están están relacionados. relacionados.

(a)

(b)

Antes considerar cómo cómo descriAntes de analizar analizar tales tales movimientos, movimientos, debemos debemos considerar describirlos. birlos. Un Un ladrillo ladrillo es un un ejemplo ejemplo de cuerpo cuerpo cuyo movimiento movimiento se puede puede describir como cuerpo describir tratándolo tratándolo como cuerpo rígido. rígido. Un Un cuerpo rígido es un un modelo modelo idealizado cuerpo que definición precisa idealizado de un cuerpo que no se deforma. deforma. La La definición precisa es que la distancia distancia entre entre todo todo par par de puntos puntos del cuerpo cuerpo rígido rígido permanece permanece constanconstante. Si bien bien cualquier cualquier cuerpo cuerpo se deforma deforma al moverse, moverse, si su deformación deformación es pequeña pequeña su movimiento movimiento puede puede aproximarse aproximarse modelándolo modelándolo como como cuerpo cuerpo rígido. Por ejemplo, ejemplo, un bastón bastón se puede puede modelar modelar en su uso normal normal como como rígido. Por cuerpo cuerpo rígido rígido (Fig. 6.2a), 6.2a), no así una una caña caña de pescar pescar (Fig. 6.2b). 6.2b). Para Para describir describir el movimiento movimiento de un un cuerpo cuerpo rígido rígido basta basta con con describir describir el movimiento movimiento de un un solo solo punto, punto, como como su centro centro de masa, masa, y el movimiento movimiento rotacional rotacional del cuerpo cuerpo alrededor alrededor de ese punto. punto. Algunos Algunos tipos tipos particulares particulares de movimientos movimientos ocurren ocurren con con frecuencia frecuencia en ciertas ciertas aplicaciones. aplicaciones. Como Como ayuayuda da para para visuarlizarlos visuarlizarlos usamos usamos un un sistema sistema coordenado coordenado que que se mueve mueve junto junto con con el cuerpo cuerpo rígido. rígido. Tal Tal sistema sistema coordenado coordenado se llama llama fijo al cuerpo.

Figura 6.2 6.2 (a) Un Un bastón bastón se puede puede modelar modelar como como un un cuerpo cuerpo rígido. rígido. (b) Una Una vara vara de pescar pescar es demasiado demasiado flexible flexible para para modelarla modelarla como como un un cuerpo cuerpo rígido. rígido.

(a) (a)

(b) (b)


6.1 CUERPOS RíGIDOS Y TIPOS DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO CUERPOS RíGIDOS

Traslación Si un cuerpo cuerpo rígido en movimiento movimiento no gira, se dice que está en traslación. cuerpo rígido en traslación traslación. Cada Cada punto punto de un cuerpo traslación tiene la misma misma velocidad velocidad y aceleración, aceleración, por por lo que el movimiento movimiento del cuerpo cuerpo rígido se puede puede describir describir completamente completamente si se describe describe el movimiento movimiento de un punto punto de él. El punto punto se puede puede mover mover en línea recta recta o en forma forma curvilínea. curvilínea. Las direcciones direcciones de los ejes de un sistema sistema coordenado coordenada fijo al cuerpo cuerpo permanecen permanecen constantes ejemplo, el columpio constantes (Fig. 6.3a). 6.3a). Por Por ejemplo, columpio del niño de la Fig. 6.3(b) está diseñado diseñado para para trasladarse, trasladarse, de manera manera que sea más fácil columpiarse columpiarse Cada punto punto del columpio columpio se mueve en una una trayectoria trayectoria circular, circular, pero pero en él. Cada girar, por por lo que permanece permanece a nivel. sin girar,

Figura 6.3

y

x

(a) Un cuerpo en traslación traslación no gira. (b) El columpio en traslación permanece a nivel.

y

z y

x

z (a)

(b)

Rotación respecto respecto a a un eje eje fijo Después Después de la traslación, traslación, el tipo tipo Rotación movimiento de cuerpo cuerpo rígido es la rotación alrededor de más sencillo de movimiento rotación alrededor Por ejemplo, ejemplo, en la Fig. 6.4(a) el eje z del sistema sistema coordenado coordenada un eje fijo. Por cuerpo permanece permanece fijo y los ejes x y y giran giran alrededor alrededor del eje z. fijo al cuerpo Cada punto punto del cuerpo cuerpo rígido rígido que no esté sobre sobre el eje se mueve en una una Cada trayectoria circular alrededor alrededor de él. Un disco en un tocadiscos tocadiscos y el rotor rotor trayectoria circular motor eléctrico eléctrico (Fig. 6.4b) son ejemplos ejemplos de cuerpos cuerpos que giran giran alredealredede un motor movimiento de la hélice de un barco barco relativo relativo al barco dor de un eje fijo. El movimiento también es una una rotación rotación respecto respecto a un eje fijo. En la siguiente siguiente sección analianalitambién zaremos con más detalle detalle "este "este tipo de movimiento. movimiento. zaremos

Figura 6.4 6.4 (a) Cuerpo rígido que gira alrededor del eje z. (b) Si el bastidor bastidor del motor motor está fijo, su rotar rotor gira alrededor alrededor de un eje fijo.

(a) (a)

(b)


233 233

234

CAPíTU LO 6 CINEMÁTI CA PLANA CAPíTULO CINEMÁTICA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Movimiento Movimiento bidimensional bidimensional En este capítulo capítulo estudiaremos estudiaremos los movimientos bidimensionales bidimensionales de cuerpos rígidos. Un cuerpo rígido está mientos cuerpos rígidos. cuerpo rígido está sometisometido a un movimiento movimiento plano plano o bidimensional bidimensional si su centro centro de masa masa se mueve en un plano plano fijo y un eje del sistema permanece sistema coordenado coordenado fijo al cuerpo cuerpo permanece perpendicular al plano plano (Fig plano fijo es el plano plano del movimienperpendicular (Fig.. 6.5a). 6.5a). El plano movimienrotación de un cuerpo rígido respecto respecto a un eje fijo es un caso especial to. La rotación cuerpo rígido Cuando un auto del movimiento movimiento bidimensional. bidimensional. Cuando auto sigue una una trayectoria trayectoria recruedas están movimiento bidimensional bidimensional (Fig. 6.5b). ta, sus ruedas están en movimiento 6.5b). --+--'----cr----......, zZ --+-~r---"'"

(b)

Plano del del movimiento

(a)

Figura 6.5

(a) Movimiento. Movimiento. plano plano o bidimensional. bidimensional. (b) Rueda Rueda en movimiento movimiento plano. plano.

Las partes combustión interna, interna, al operar operar en un dispositidispositipartes de un motor motor de combustión pruebas, ilustran tipos de movimiento movimiento (Fig. 6.6). Los pistopistovo de pruebas, ilustran esos tres tipos trasladan dentro movimiento nes se trasladan dentro de los cilindros. cilindros. Las bielas están están en movimiento bidimensional, y el cigüeñal bidimensional, cigüeñal gira alrededor alrededor de un eje fijo. siguiente sección empezamos movimiento de un cuerEn la siguiente empezamos a estudiar estudiar el movimiento rotación respecto respecto a un eje fijo Aquí, los puntos puntos po rígido analizando analizando la rotación fijo.. Aquí, del cuerpo mueven en trayectorias trayectorias circulares respecto al eje, y podemos podemos cuerpo se mueven circulares respecto usar los resultados resultados del Cap. para el movimiento movimiento de un punto punto en una una usar Cap. 2 para trayectoria Usando las componentes normal y tangencial, tangencial, expretrayectoria circular. circular. Usando componentes normal samos velocidad y la aceleración punto del cuerpo rígido en térmitérmisamos la velocidad aceleración de un punto cuerpo rígido velocidad y la aceleración Luego veremos veremos nos de la velocidad aceleración angulares angulares del cuerpo. cuerpo. Luego el movimiento movimiento bidimensional bidimensional general general y obtendremos obtendremos expresiones expresiones que relarelacionan la velocidad velocidad y la aceleración aceleración relativas relativas de puntos puntos de un cuerpo rígido cionan cuerpo rígido con su velocidad velocidad y aceleración aceleración angulares angulares. . Con Con ellas analizaremos analizaremos ejemplos ejemplos del movimiento movimiento bidimensional bidimensional general, rodamiento, y los movigeneral, como como el rodamiento, mientos de cuerpos rígidos conectados. conectados. mientos cuerpos rígidos Figura 6.6

Traslación, respecto a un eje fijo Traslación, rotación rotación respecto y movimiento plano en un motor motor de movimiento plano automóvil. automóvil. Pistón~ Pistón ---' ~n (traslación) Biela (movimiento----J1Il plano general) general)

Cigüeñal (rotación)


6.2 EJE FIJO 6.2 ROTACiÓN ROTACiÓN RESPECTO A UN EJE

6.2 Rotación respecto a un eje eje fijo fijo Podemos presentar algunos de los conceptos conceptos implícitos implícitos en la descripción Podemos presentar algunos descripción del movimiento movimiento de un cuerpo rígido considerando primero un cuerpo cuerpo rígido considerando primero cuerpo que gira alrededor una línea alrededor de un eje fijo. Imaginemos Imaginemos una línea recta recta fija fija al cuerpo cuerpo dentro de él que sea perpendicular Para describir describir la posición dentro perpendicular al eje fijo. Para posición del cuerpo, respecto al eje, se especifica cuerpo, o su orientación orientación respecto especifica el ángulo ángulo O O entre entre esa línea una dirección referencia (Fig. 6.7). La velocidad velocidad angular línea y una dirección de referencia angular W, o razón razón de giro, giro, del cuerpo cuerpo y su aceleración aceleración angular angular ex a son

de

ú)=-úJ=

dt' dt'

Línea Línea fija al cuerpo cuerpo

dio dt

a=-=-

d2e dt? .

(6.1)

Eje Eje fijo

Figura 6.7 Especificación de la orientación de un cuerpo que gira respecto a un eje fijo.

Dirección Dirección de referencia referencia

Cada punto que no está sobre una trayectoria trayectoria Cada punto sobre el eje fijo se mueve en una circular alrededor alrededor de él. Con Con nuestro conocimiento del movimiento nuestro conocimiento movimiento de un circular punto en una una trayectoria trayectoria circular, podemos relacionar relacionar la velocidad velocidad y la punto circular, podemos aceleración punto con velocidad y la aceleración aceleración de un punto con la velocidad aceleración angulares angulares del cuerpo. paralela al eje fijo. cuerpo. En la Fig. 6.8 vemos el cuerpo cuerpo en dirección dirección paralela fijo. La La velocidad de un punto punto a una una distancia tangente a su trayectoria trayectoria velocidad distancia r del eje es tangente (Fig. 6.8a) términos de la velocidad velocidad angular por 6.8a) y está está dada, dada, en términos angular del cuerpo, cuerpo, por rú). I I II v == rúJ.

(6.2) (6.2)

Un punto componentes de aceleración aceleración tangencial punto tiene tiene componentes tangencial y normal normal a su tratrayectoria circular términos de la velocidad velocidad y de la aceleración yectoria circular (Fig. 6. 8b). En En términos aceleración angulares por angulares del cuerpo, cuerpo, las componentes componentes están están dadas dadas por

(6.3) (6.3)

Figura 6.8 (a) (a) Velocidad y (b) aceleración de un punto de un cuerpo rígido que gira respecto a un eje fijo.

(a)

(b)


235 235

236 236


Con Con estas relaciones podemos podemos analizar analizar problemas problemas de cuerpos cuerpos que giran alrededor alrededor de ejes fijos. Por Por ejemplo, ejemplo, supongamos supongamos que conocemos conocemos la velocidad la aceleración cidad angular angular WA WA Y Yla aceleración angular angular aA aA del engrane engrane izquierdo izquierdo de la queremos determinar Fig. Fig. 6.9, 6.9, Y Yqueremos determinar WB WB Y YaB. aB' Como las velocidades velocidades de los engranes granes deben ser iguales en P P (no hay movimiento movimiento relativo relativo entre ellos en P), P),

por lo que WB WB == (rAlrB)wA(rA/rB)WA" Derivando Derivando respecto respecto al tiempo tiempo esta ecuación ecuación o igualando igualando las componentes componentes tangenciales tangenciales de la aceleración aceleración en P, P, obteneobtenemos aBB == (rAlrB)aA(rA/rB)aA"

Figura 6.9 Figura las velocidades velocidades angulares y Relación entre las aceleraciones angulares de engranes las aceleraciones acoplados.

En el el siguiente siguiente ejemplo ejemplo mostramos mostramos el el análisis análisis de de los los movimientos movimientos de de cuercuerEn pos que que giran giran alrededor alrededor de de ejes ejes fijos. fijos. Podemos Podemos usar usar las las Ecs. Ecs. (6.1) (6.1) para para pos analizar los los movimientos movimientos angulares angularesyy las las Ecs. Ecs. (6.2) (6.2) yy (6.3) (6.3)para para determinar determinar analizar las las velocidades velocidades yy las las aceleraciones aceleraciones de de puntos. puntos. http://carlos2524.jimdo.com/

6.2 6.2 ROTACiÓN ROTACiÓN RESPECTOA RESPECTO A UN EJE EJE FIJO

Ejemplo Ejemplo 6.1 6.1 engrane A del malacate malacate de la Fig. 6.10 6.10 hace hace girar girar a B, que que eleva el gancho gancho H. El engrane parte del reposo reposo en t == OY O Ysu aceleración aceleración angular angular horaria horaria es O'A aA = = O.2t O.2t Si AA parte rad/sS2,2 , calcule calcule la distancia distancia vertical vertical que que se eleva H y su velocidad velocidad en t = lOs. 10 s. radl

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Igualando las componentes componentes tangenciales tangenciales de la aceleración aceleración de los engranes engranes A Igualando y B en sus puntos puntos de contacto, contacto, podemos podemos determinar determinar la aceleración aceleración angular angular del Luego podemos podemos integrar integrar para para obtener obtener la velocidad velocidad angular angular del enengrane B. Luego engrane grane B y el ángulo ángulo que que ha ha girado girado en t = 10 s. grane

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La aceleración aceleración tangencial tangencial del punto punto de contacto contacto de los dos engranes engranes (Fig. a) es Figura 6.10 at at

m)(0.2t = (0.05 m)(0.2t

rad/s 2 ) rad/s")

m)(aB). = (0.2 m)(O'B)'

Por tanto, tanto, la aceleración aceleración angular angular del engrane engrane B es Por aB = O'B

dWB dWB

-- - = dt dt

m)(0.2t rad/s'') rad/s2 ) (0.05 m)(0.2t (0.2 m)

22

0.05t rad/s . = 0.05t

r

Integrando esta ecuación, Integrando ecuación,

¡"'. ¡'¡I

¡WH ddWB WB =

0.05t 0.05t dt, dt,

obtenemos velocidad angular obtenemos la velocidad angular del engrane engrane B: WB WB

aceleraciones tangenciales tangenciales de (a) Las aceleraciones

deB 2 = -deB = 0.025t 0.025t rad/s.

engranes son iguales en sus los engranes puntos contacto. puntos de contacto.

dt dt

Integrando Integrando de nuevo obtenemos obtenemos el ángulo ángulo que ha girado girado el engrane engrane B: 3 3 rad. eeBB = 00.00833t .00833t

En t == 10 10 s, OB 0B = = 8.33 rad. rad. La longitud longitud de cable enrollado· enrollado en el tambor, tambor, que es es la distancia distancia que el gancho gancho H se ha elevado, elevado, es el producto producto de OB 0B por el radio radio del tambor: tambor: (8.33 rad)(O.l m) == 0.833 m. En t = 10 10 s, WB WB = 2.5 rad/s. rad/s. La velocidad velocidad de un punto punto sobre sobre el borde, borde, que es igual a la velocidad velocidad del gancho gancho H (Fig. b), es VH VH

(0.1 m)(2.5 rad/s) = 0.25 mis. = (0.1

t

Determinación de la velocidad velocidad (b) Determinación gancho. del gancho.


237 237

238


Probtemos] ----' '---------------i a...--------------.J Problemasl-__________________ .......... mostrado gira respecto respecto al árbol árbol fijo O. Parte Parte del 6.1 El disco mostrado OY Ytiene aceleración angular angular constante constante antiantireposo en t = O tiene una aceleración horaria aex = 44"rad/s-. determine (a) su velocidad velocidad horaria rad/s 2 • En t = 5 s, determine angular y el el número número de revoluciones revoluciones que ha girado; girado; (b) las magangular nitudes de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración del punto punto A A.. nitudes

P6.4, la rueda rueda catalina catalina de 120 120mm 6.4 En Fig. P6.4, mm de la bicicleta girad/s.s. ¿Cuál es la velocidad velocidad angular angular del engrane engrane de 45 mm? ra a 3 rad/

P6.1 6.2 En la Fig. P6.2, P6.2, el peso A parte 6.2 parte del reposo reposo en t == OO Y una aceleración constante de 2 m/ m/s-, cae con una aceleración constante s2 , ocasionando ocasionando que P6.4 el disco gire. (a) ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración angular angular del disco? ¿Cuántas revoluciones girado el disco en t 1 s? (b) ¿Cuántas revoluciones ha girado 6.5 6.5 La rueda rueda trasera trasera de la bicicleta bicicleta del Probo Prob. 6.4 tiene tiene un un radio radio de 330 mm mm y está está rígidamente rígidamente unida unida al engrane engrane de 45 mm. mm. Si el ciclista ciclista gira gira los pedales, pedales, que que están están rígidamente rígidamente unidos unidos a la rueda rueda catalina catalina de 120 mm, mm, a una una revolución revolución por por segundo, segundo, ¿cuál ¿cuál es la velocidad velocidad de la bicicleta? bicicleta?

6.6 6.6 El disco mostrado mostrado gira gira con con velocidad velocidad angular angular constante constante antihoraria rad/ s. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad y aceleración aceleración del antihoraria de 10 rad/s. punto punto A con con respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado que que se muestra? muestra? yy A

II

P6.2 P6.2 A A

e-e --

6.3 6.3

Determine Determine

WB/WA WB / WA

Y wC/WA wC/WA de la Fig. P6.3. P6.3.

P6.6 P6.6 200 mm

P6.3

6.7 6.7 En En el Probo 6.6, 6.6, ¿cuáles ¿cuáles son son la la velocidad velocidad yy la aceleración aceleración del punto punto AA respecto respecto al punto punto B? B? 6.8 6.8 En En el Probo Probo 6.6 6.6 suponga suponga que que el disco disco parte parte del reposo reposo en la la posición posición mostrada mostrada en en t == OOYque Yque está está sometido sometido a una una aceleraaceleración ción angular angular constante constante antihoraria antihoraria de de 6 rad/s-. rad/ s2 • Determine Determine la la punto BB en en el sistema sistema coordenado coordenado de de la figura figura velocidad del del punto velocidad en en t = 1 ss si tal tal sistema sistema (a) (a) está está fijo fijo al al cuerpo; cuerpo; (b) (b) permanece permanece orientado orientado con con los los ejes ejes horizontal horizontal yy vertical, vertical, como como se se muestra. muestra.


MOVIMIENTOS GENERALES: GENERALES:VELOCIDADES VELOCIDADES 239 239 6.3 MOVIMIENTOS

6.9 La ménsula ménsula mostrada mostrada gira gira alrededor alrededor del eje fijo en O. Si 6.9 una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria de 20 rad/ rad/ s y una una aceletiene una ración angul~r angular horaria horaria de 200 rad/s rad/s-,2 , ¿cuáles son las magnitumagnituración aceleraciones de los puntos des de las aceleraciones puntos A y B? B?

6.10 Considere Considere la ménsula ménsula del Probo 6.9. Si Iv [vAl Al = 10 pie/ pie/ss 6.10 laAI = 200 pie/s-, valor tienen tienen IVBI IVBI y laBI? laBI? y laAI pie/s 2 , ¿qué valor 6.11 Considere Considere la ménsula ménsula del Probo 6.9. Si Iv [vAl Al == 36 pulg/s pulg/s 6.11 laBI = = 600 pulg/s pulg/s-,2 , ¿qué valor valor tienen tienen IvBI IvBI y laAI? laAI? y laBI

A

P6.9 P6.9

generales: 6.3 Movimientos Movimientos generales: velocidades velocidades Cada punto cuerpo rígido rígido en traslación traslación experimenta experimenta el mismo mismo movimoviCada punto de un cuerpo miento. Cada Cada punto punto de un cuerpo cuerpo rígido rígido que gira respecto respecto a un eje fijo miento. experimenta un movimiento movimiento circular circular respecto respecto a él. Para Para analizar analizar movimovíexperimenta mientas más complejos complejos que combinan combinan traslación traslación y rotación, rotación, debemos debemos demientos sarrollar ecuaciones ecuaciones que relacionen relacionen los movimientos movimientos relativos relativos de puntos sarrollar puntos cuerpo rígido rígido con con su movimiento movimiento angular. angular. de un cuerpo

A

Velocidades relativas relativas Velocidades 6.11 (a) vemos un cuerpo cuerpo rígido rígido perpendicular En la Fig. 6.11(a) perpendicular al plano plano de movimiento. cuerpo contenidos contenidos en el plano, miento. A y B son puntos puntos del cuerpo plano, y O es un punto referencia. La velocidad respecto a B se relaciona relaciona de manera manera punto de referencia. velocidad de A respecto velocidad angular angular del cuerpo. cuerpo. La posición respecto sencilla con la velocidad posición de A respecto relaciona con las de los puntos respecto a O mediante mediante a B, rrAIB puntos respecto A / B, , se relaciona

o (a)

Derivando respecto respecto al tiempo tiempo esta ecuación ecuación obtenemos obtenemos Derivando (6.4) (6.4) (b) (h)

donde VvAI drAlB/dt respecto a B B.. Como Como A y B donde A /{!f! ='= dr velocidad de A respecto A / B / dI es la velocidad cuerpo rígido, rígido, la distancia distancia entre entre ellos, IrA/B IrAIBI,I, es constante. constante. son puntos puntos del cuerpo significa que al girar el cuerpo cuerpo rígido, A se mueve mueve en una trayectoria trayectoria Esto significa respecto a B (Fig. 6.11b). La velocidad velocidad deA deA respecto respecto aBes aBes tangencircular respecto tangentrayectoria circular, circular, y su valor valor es igual al producto producto de IrA/BI IrAl BI por te a la trayectoria por velocidad angular angular w w del cuerpo cuerpo rígido rígido.. Este resultado resultado se puede usar para la velocidad puede usar para relacionar velocidades velocidades de puntos cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento bidirelacionar puntos de un cuerpo mensional cuando cuando se conoce conoce su velocidad velocidad angular. angular. mensional http://carlos2524.jimdo.com/

Figura 6.11 6.11 Figura Cuerpo rígido en movimiento movimiento (a) Cuerpo bidimensional. bidimensional. movimiento visto por por un (b) El movimiento "observador" estacionario estacionario respecto B. "observador" respecto a B.

240 240

CAPíTULO 6 CIN EMÁTICA PLANA RíGIDOS CAPíTULO6 CINEMÁTICA PLANA DE CUERPOS CUERPOSRíGIDOS

--w

Por radio R que rueda Por ejemplo, ejemplo, sea un disco circular circular de radio rueda sobre sobre una una supersuperficie plana plana estacionaria estacionaria con con velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria w (Fig. 6.12a). 6.12a). Rodar Rodar implica implica que la velocidad velocidad del disco en su punto punto de contacto contacto e respecrespecsuperficie es cero. cero. Sea B el centro centro del disco. Respecto punto to a la superficie Respecto a e, el punto Bse una trayectoria trayectoria circular circular de radiaR radioR (Fig. 6.12b). 6.12b). En el sistema sistema B se mueve en una coordenado que se muestra, muestra, la velocidad velocidad de B respecto respecto a e es vBl BICe coordenado Como la velocidad velocidad de e es cero, cero, la de B es --RwL RwL Como VB

vBIC -Rwi. = Vc + VB j C = -Rwi.

pena recordar recordar este resultado: resultado: La magnitud de la velocidad velocidad del cenVale la pena La magnitud cuerpo redondo redondo que rueda rueda sobre estacionaria es tro de un cuerpo sobre una superficie superficie estacionaria magnitud de la velocidad velocidad angular. el producto producto del radio por por la magnitud Podemos calcular calcular así la velocidad velocidad de cualquier cualquier otro otro punto punto del disco. Podemos Consideremos el punto punto A de la Fig. 6.12(c). Respecto Respecto al centro centro B, el punto punto Consideremos A se mueve en una una trayectoria trayectoria circular circular de radio radio R, por por lo que la velocidad velocidad relativa vAIB = Rwj (Fig. 6.12d). 6.12d). Por Por tanto, tanto, la velocidad velocidad de A es relativa A IB =

yy

=-----x

.-----

VA VA

vAIB = VB + VA jB =

--Rwi Rwi + Rwj. Rwj.

Cb)

Vector de de velocidad velocidad angular angular Vector

w

A

(c) Ce) yy

Rw

L-------~--~-------x

L-------~--~--------x

(d) Cd)

Podemos expresar expresar la razón razón de rotación rotación de un cuerpo cuerpo rígido rígido como como un vecPodemos tor. El teorema teorema de Euler Euler establece establece que un cuerpo cuerpo rígido rígido restringido restringido a girar girar tor. alrededor de un punto punto fijo B, puede puede moverse moverse entre entre dos posiciones posiciones cualesalrededor quiera con una una simple rotación respecto a algún algún eje que pase por por B. ElijaElijaquiera rotación respecto punto arbitrario arbitrario B B de un cuerpo cuerpo rígido rígido sometido sometido a un movimiento mos un punto movimiento arbitrario en un tiempo tiempo t. El teorema teorema de Euler Euler nos permite permite expresar expresar el arbitrario cambio en la posición posición respecto respecto a B del cuerpo cuerpo entre entre de t y t + dt como como cambio una simple rotación rotación a través través de un ángulo ángulo dO respecto a algún algún eje. eje. En t, una dO respecto razón de giro del cuerpo cuerpo respecto respecto al eje es su velocidad velocidad angular angular w == la razón dO/dt, y el eje alrededor alrededor del cual gira gira se llama llama eje instantáneo instantáneo de rotación. rotación. vector de velocidad velocidad angular, angular, denotado denotado porw, especifica la dirección dirección El vector porw, especifica instantáneo de rotación rotación y la velocidad velocidad angular. angular. Se define define paralelo del eje instantáneo paralelo instantáneo de rotación rotación (Fig. 6. 13 13a) magnitud es la razón razón de al eje instantáneo a) y su magnitud rotación, o sea, el valor valor absoluto absoluto de w. Su dirección dirección está relacionada relacionada con rotación, dirección de la rotación rotación del cuerpo cuerpo rígido rígido por por la regla de la mano mano derela dirección pulgar de la mano mano derecha derecha apunta apunta hacia dedos se enrollan enrollan cha: si el pulgar hacia w, los dedos alrededor de w en la dirección dirección de la rotación rotación (Fig. 6.13b). 6.13b). alrededor rotación Dirección de la rotación

Figura 6.12 Figura rodando con velocidad angular w. (a) Disco rodando (b) Determinación de la velocidad del centro B respecto a C. (e) Punto Punto A en el borde del disco. (e) Determinación de la velocidad de A (d) Determinación respecto a B.

"~

/I

Figura 6.13 Figura

(a) Vector de velocidad angular. para la (b) Regla de la mano derecha para dirección del vector.

//

(a) Ca)


;/

(b)

6.3 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS G GENERALES: VELOCIDADES 6.3 ENERALES: VELOCIDADES

r-

).

Por ejemplo, ejemplo, el eje de rotación rotación del disco rodante rodante de la Fig. 6.12 es Por paralelo al eje z, por por lo que su vector vector de velocidad velocidad angular angular es paralelo paralelo paralelo ~u magnitud magnitud es w. Si los dedos de la mano mano derecha derecha se enrollan enrollan al eje z y ~u alrededor del eje zz en la dirección dirección de la rotación, rotación, el pulgar pulgar apuntará apuntará en alrededor dirección z positiva positiva (Fig. 6.14). El vector vector de velocidad velocidad angular angular del disco la dirección es w = wk. vector de velocidad velocidad angular angular permite permite expresar expresar los resultados resultados de la El vector anterior en una una forma forma muy conveniente. conveniente. Sean A y B puntos puntos de sección anterior cuerpo rígido rígido con velocidad velocidad angular angular w (Fig. (Fig. 6.15a). 6.15a). Podemos Podemos demostrar demostrar un cuerpo velocidad de A respecto respecto a B es que la velocidad drA/B drAIB

VA/B VA /B

o d

o el o t,

n

o e n n

.

--;¡¡- = =w = ----;¡¡-

= VVBB =

yy

x

(6.5)

rA/B. x rA / B.

Respecto aaB, punto A se mueve en el instante instante presente presente en una trayectoria Respecto B, el punto una trayectoria circular de radio radio IrA IrAIBI donde {3 {3 es el ángulo ángulo entre entre los vectores vectores rrA fBI sen {3, donde fB circular AIB 6.15b). La magnitud magnitud de la velocidad velocidad de A respecto respecto a B es igual y w (Fig. 6.15b). producto del radio radio de la trayectoria trayectoria circular circular por por la velocidad velocidad angular angular al producto cuerpo rígido, rígido, Iv IvAIBI = ((IrAIBI magnitud del del cuerpo AfB I = IrA fBI sen (3)/w/, (3)/w/, que es la magnitud producto vectorial vectorial de rA rAIB por w. Además, Además, VA v AIB perpendicular aw aw ya producto f B por f B es perpendicular rAIB pero, ¿es V igual a w X f o a f X w? En la Fig. 6.15(b) A f B pero, VAfB X rA fB rA fB X AIB AIB AIB observe que, que, apuntando apuntando con los dedos dedos de la mano mano derecha derecha en la dirección dirección observe cerrándolos hacia hacia rA fAIB , pulgar apunta apunta hacia hacia la velocidad velocidad de A de w y cerrándolos f B' el pulgar respecto a B B,, por por lo que VAfB VAIB = W X frAfB • Sustituyendo respecto ' Sustituyendo la Ec. (6.5) en AIB (6.4), obtenemos obtenemos una una ecuación ecuación para para la relación relación entre entre las velocidades velocidades la Ec. (6.4), puntos de un cuerpo cuerpo rígido rígido en función función de su velocidad velocidad angular: angular: de dos puntos VA V A

+ w x rrA/B. A/ B .

Figura 6.14 Determinación de la dirección del vector de velocidad angular de un disco rodando.. rodando

(6.6)

'-v-" ' -v-" VA/B VA lB

Volvamos al ejemplo ejemplo del disco de radio radio R que rueda rueda con velocidad velocidad Volvamos angular w (Fig. 6.16), y usemos usemos la Ec. (6.6) para para determinarla determinarla velocidad angular velocidad del punto A. La velocidad velocidad del centro centro del disco está está dada dada en función función de su punto velocidad angular angular por por v VB B = = -Rwi, el vector vector de velocidad velocidad angular velocidad angular del disco es w = wk, wk, y yelel vector vector de posición posición de A respecto respecto al centro centro es rfAIB AfB velocidad de A es Ri. La velocidad VA

241 241

rA/B = -Rwi -Rwi + (wk) = VB -r-t- w x rA/B

(a)

(Ri) x (Ri)

= -Rw -Rwi+i + Rwj. = Rwj. B

(b)

Figura 6.15 yy

-: --: Q 0

Puntos A y B de un cuerpo rígido en (a) Puntos rotación. rotación. trayectoria (b) A se mueve en una trayectoria circular respecto a B.

w

A

A

rAfB rAIB

¡-------"'----""--------, ----x i-------"'----''''------;:-¡---x

Figura 6. 16 6.16 Disco en rotación rotación y vector de posición de A respecto a B.


242

CAPíTULO 6 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

Los ejemplos muestran cómo aplicar la Ec. (6.6). (6.6). Si conoce Los siguientes siguientes ejemplos muestran cómo Si se conoce la velocidad expresar las velocidades otros velocidad de un punto, punto, se pueden pueden expresar velocidades de otros puntos cuerpo rígido enfunción en funcián de su velocidad angular. Repitiendo puntos de un cuerpo velocidad angular. Repitiendo este paso paso para para diferentes diferentes puntos, puntos, se pueden pueden analizar movimientos de analizar los movimientos sistemas cuerpos rígidos conectados. por cuerpos rígidos conectados. sistemas formados formados por

Ejemplo 6.2 En la Fig. 6.17, si la velocidad

VR UR

es de 36 pulg/s pulg/ s ¿cuál es la velocidad

VL? UL?


ESTRATEGIA ESTRATEGIA El centro de la polea derecha está fijo, por lo que la parte parte vertical del cable arriba con velocidad UR. VR. El punto entre las dos poleas se mueve hacia arriba punto de la polea izquierda en contacto contacto con esa parte del cable se mueve hacia arriba arriba con la misma velocidad. velocidad . La parte vertical del cable conectado al techo es fija, por contacto con esa parte del cable también lo que el punto punto de la polea izquierda en contacto es fijo. Así, conocemos las velocidades de dos puntos de la polea izquierda. izquierda. Usando esta información, determinar su velocidad angular y luego información, podemos determinar la velocidad de su centro, que es es igual a la velocidad UL. VL.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La velocidad del punto punto A de la polea izquierda de la Fig. (a) es uv A = 36 pulg/s, pulg/ s, y la velocidad del punto punto B es cero. Con respecto a B, el punto punto A se mueve en una trayectoria trayectoria circular con la velocidad angular w de la polea izquierda, es decir, izquierda, VA UA

= 36 pulg/s (24 pulg)w, pulg/ s = (24 pulg)w,

(a) Análisis del movimiento de la polea izquierda.


6.3 VELOCIDADES 6.3 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: VELOCIDADES

velocidad angular angular de la polea polea izquierda izquierda es w w = = 36/24 36/24 = = 1.5 rad/ rad/s.s. El punto punto y la velocidad e, que que es el centro centro de la polea, polea, también también se mueve mueve respecto respecto a B en una una trayectoria trayectoria e, circular con contvelocidad angular w, es decir, decir, circular tvelocidad angular

=

Ve

VL VL

= (12 pulg)w pulg)w = (12)(1.5) (12)(1.5) = 18 pulg/s. pulg/s.

También podemos podemos obtener obtener este este resultado resultado con con la Ec. Ec. (6.6). (6.6). En En el sistema sistema También coordenado de la Fig. Fig. (b), (b), v VA (pulg/s),s), rAA/B/ B = 24i (pulg), (pulg), y el vector vector A = 36j (pulg/ coordenado velocidad angular angular de la polea polea es W == wk. Por Por tanto tanto de velocidad

36j 36j

0+ (wk) (wk) = 0+

(24i) x (24i)

24wj. = 24wj.

De esta esta ecuación ecuación obtenemos obtenemos w = 36/24 36/24 = 1.5 rad/ rad/s.s. La La velocidad velocidad del del centro centro De w= de la polea polea es

=

Vc = VB VB

+W

W x rC/B rCjB

0+ (1.5 (1.5 k) x = 0+

(12 i) (12

18j (pulg/ (pulg/s).s). = 18j

(b) Vectores • Vectores de de posición posición rrA y rre/ A/B/ B y GlBB·

COMENTARIO COMENTARIO En En este este ejemplo, ejemplo, la la geometría geometría es es tan tan sencilla sencilla que que podemos podemos relacionar relacionar con con facilidad facilidad las las velocidades velocidades del del cable cable con con las las velocidades velocidades angulares angulares de de las las poleas poleas sin una sin usar usar la la Ec. Ec. (6.6). (6.6). Esto Esto no no suele suele ser ser el el caso. caso. El El siguiente siguiente ejemplo ejemplo ilustra ilustra una situación situación que que sería sería mucho mucho más más difícil difícil de de resolver resolver sin sin usar usar la la Ec. Ec. (6.6). (6.6).


243

244

CAPíTULO CAPíTULO 6 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Ejemplo 6.3 La barra AB de la Fig. 6.18 gira con velocidad angular angular horaria horaria de 10 rad/s. barra AB 10 rad/s. Determine la velocidad angular de la barra punto C. C. barra BC BC y la velocidad del punto

B

Figura 6.18

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como ya conocemos la velocidad angular de la barra barra AB AB y el punto punto A está aplicarla Ec. (6.6) alos a los puntos A y Bpara fijo, podemos aplicarla puntosA Bpara determinarla determinarla velocidad de B. Luego, aplicando de nuevo la Ec. (6.6) para para expresar la velocidad hoC en función de la velocidad de B, obtenemos obtenemos una una ecuación rizontal del punto C angular de la vectorial con dos incógnitas: la velocidad de C y la velocidad angular barra barra BC. SOLUCiÓN SOLUCiÓN coordenado de la Fig. (a), el vector de posición de B respecto En el sistema coordenado = OAi O.4i + OAj O.4j (m). El vector de velocidad angular a A es rBIA angular de la barra barra AB AB B1A = -lOk (rad/s), (rad/s), por lo que la velocidad de B es es WAB == -lOk VB=VA+WABxrB/A=o+1 VB =VA +W A B x rB / A

=0 +

I 0.4~ 0.4~ -~O -~O O ~

~

0.4

0.4

O

=4i-4j (m/s). =4i-4j (m/s).

y B

T T mrn 400 mm

II

A

~ ~

r-------------'''''-''----, --x r---------------------~~----~ --- x

~400mm~ ~400mm~

Determinación de la velocidad de B. (al Determinación


6.3 6.3 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: GENERALES: VELOCIDADES VELOCIDADES WBe la velocidad velocidad angular angular desconocida desconocida de la barra Be (Fig. b), por por lo que Sea WBe barra BC vector dde velocidad velocidad angular angular es WBe WBe = = WBe WBe k. El vector posición de e e su vector vector de posición respecto a B es rC/B rC/B = 0.8i - OAj OAj (m). Aunque Aunque no conocemos conocemos la velocidad velocidad respecto = sabemos que tiene dirección dirección horizontal, horizontal, por por lo que podemos podemos escribirla escribirla de e, sabemos vri (Fig. b). Expresamos Expresamos la velocidad velocidad de e en función función de en la forma forma Ve = vri velocidad de B: la velocidad

r

Ahora sustituimos sustituimos los valores valores de vvBB yY rrBle expresiones para WBe en Ahora Bl e y las expresiones para ve y WBe ecuación, y obtenemos obtenemos esta ecuación,

Ve Ve

ii = = 4 ii -- 4 jj

O + II o

0.8

jj

O O -004 -004

k úJBC WBC O O

OAúJBc ii + 0.8WBC 0.8úJBC j. = 4 ii -- 4 j + OAwBc

Igualando ecuación las componentes obtenemos dos ecuaciones: ecuaciones: Igualando en esta ecuación componentes ii y j obtenemos Vc Vc

=

OAúJBc, , 4 + OAWBC

0.8úJBC. 0= -4 + 0.8WBC.

Resolviéndolas obtenemos obtenemos Resolviéndolas

WBe WBe

radls y = 5 radls

Ve Ve

6 mis.

yy B

e

V

c

¡----::-~ --=::>..:L==_. - --x ..--__ ----------""..:L:==-x

~800mm~ ~800mm~

Expresión de ve == vei en función función de VB' VB' (b) Expresión

COMENTARIO COMENTARIO Expresando la velocidad velocidad de C e en función función de la veloddad velocidad de B, incluimos incluimos en Expresando solución la condición condición de que el punto punto e e se debe mover mover horizontalmente. horizontalmente. Es la solución cuenta la presencia presencia del piso. El procedimiento procedimiento en este decir, tomamos tomamos en cuenta ejemplo -aplicar -aplicar sistemáticamente sistemáticamente la Ec. (6.6) para para relacionar relacionar las velocidades velocidades ejemplo velocidades angularesangulares- es aplicable aplicable a muchos muchos problemas problemas juntas con las velocidades de las juntas tienen que determinar determinar velocidades velocidades y velocidades velocidades angulares angulares de cuerpos cuerpos en que se tienen conectados. Quizá necesiten algunas algunas pruebas pruebas de ensayo ensayo y error error para para rígidos conectados. Quizá se necesiten encontrar las relaciones relaciones particulares particulares requeridas. requeridas. encontrar


245

246


Ejemplo 6.4 La barraAB barraAB de de la la Fig. Fig. 6.19 6.19 gira La gira con con una una velocidad velocidad angular angular horaria horaria de de 10 rad/s. rad/s. ¿Cuál es la velocidad velocidad vertical vertical VR ¿Cuál VR de de la cremallera cremallera del del engrane engrane de de cremallera cremallera y piñón? piñón?

Figura 6.19

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Para de la la cremallera cremallera necesitamos necesitamos la la velocidad velocidad angular angular Para determinar determinar la velocidad velocidad de del elemento elemento CD. Como Como conocemos conocemos la la velocidad velocidad angular angular de de la la barra barra AB, AB, podepodedel para determinar determinar la la velocidad velocidad de de B. mos los puntos puntos A y B para mos aplicar aplicar la Ec. Ec. (6.6) (6.6) a los Luego Ec. (6.6) (6.6) a C y D a fin fin de de obtener obtener una una ecuación ecuación para para Luego podemos podemos aplicar aplicar la Ec. función de la velocidad velocidad angular elemento CD. También angular del del elemento Vcc en función También podemos podemos en función función de de la la velocidad obtener una una ecuación ecuación para para Vcc en aplicarla aplicarIa a B y C y obtener velocidad Igualando las las dos dos expresiones expresiones para para Vvcc obtenemos obtenemos una angular angular de la barra barra BC. BC. Igualando una ecuación vectorial vectorial con con dos dos incógnitas: CD. ecuación incógnitas: las las velocidades velocidades angulares angulares de de BC BC y CD.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Primero (6.6) a los los puntos puntos A y B (Fig. (Fig. a). a). En En el sistema sistema coordecoordePrimero aplicamos aplicamos la Ec. Ec. (6.6) nado que que se muestra, muestra, el vector de posición nado vector de posición de de B respecto respecto a A es fB1A = 0.5i BIA = + j (pie), velocidad angular angular de de la la barra barra AB AB esw esw AB AB = = -lOk -lOk (pie), y el vector vector de de velocidad (rad/s). La velocidad velocidad de de B es (rad/s). La jj k O -10 -10 O

oo 0.5

1

O O

=lOi-5j = lOi - 5j (pie/s). (pie/s).

(6.6) a los los puntos puntos C y D. D. Sea la velocidad velocidad angular angular Aplicamos Aplicamos ahora ahora la Ec. Ec. (6.6) Sea WCD la desconocida del del elemento elemento CD (Fig. (Fig. a). a) . El El vector vector de de posición posición de de C respecto respecto a desconocida Des ffC;D = -0.50Oi -0.50Oi + 0.833j Des C/D = 0.833j (pies), (pies), y el vector vector de de velocidad velocidad angular angular del del eleelemento CD es W CD -WCD k. k. La La velocidad velocidad de de C es mento CD = -WCD

Vc Vc

= VD VD + WCD WCD

x

rC / D rCjD

= OO+ II

~~

-0.500 -0.500

j O O 0.833

k -úJCD -WCD

= 0.833wCD ii + 0.500WCDj.j. 0.833úJCD


0.500úJcD

OO

6 .3 MOVIMIENTOS VELOCIDADES 6.3 MOVIMIENTOS GENERALES: VELOCIDADES

Ahora Ahora aplicamos la Ec. (6.6) a los puntos puntos B y C (Fig. b). Denotamos Denotamos con WBC la velocidad velocidasI angular desconocida de la barra barra BC. El vector de posición de C respecto a B = 1.333i 1.333i - 0.167j l3 es rCIB rClB = 0. 167j (pies), y el vector de velocidad angular de la barra WBC = WBC k. Expresando BC es WBC Expresando la velocidad de C en función de barra BC la velocidad de B obtenemos obtenemos j Vc

= VB + WBC WBC x

fC /B = VB rC/B

+ II oO

OO 1.333 -0.167 -0.167 1.333

k WBC

OO

= VB + 0.167wBc 0.167wBc ii + 1.333wBC 1.333wBC j. = j. Sustituyendo las expresiones para para VvBB Y VVcc en esta ecuación, obtenemos 0.833wCDi+0.500WCDj 0.833wCD i + 0.500WCDj

= lOi-5j+0.167w l.333wBCj. j. lOi - 5j + 0.167wBc Bci+ i + 1.333wBC

yy

yy B

A

x

(a) Determinación Determinación de las velocidades de

x

(b) Expresión de la velocidad del punto punto

C en función de la velocidad del punto punto B.

los puntos puntos B y C.

Igualando Igualando las componentes componentes ii y j,j, resultan resultan dos ecuaciones que relacionan con WCD: 0.833wCD 0.833wCD

= 10 10 + 0.167wBc, 0.167wBc,

0.500WCD 0.500WCD

= -5 + 1.333wBC. 1.333wBC.

WBC

Resolviéndolas obtenemos rad/ss y W WCD 13.78 rad/s. obtenemos WBC = = 8.92 rad/ CD = = 13.78 rad/ s. La velocidad vertical de la cremallera es igual a la velocidad del engrane en el punto punto en que éste se halla en contacto contacto con la cremallera: VR VR

== (0.5 pies)wcD pies)wcD = = (0.5)(13.78) == 6.89 pie/s. pie/s.


247

248

CAPíTULO UERPOS RíGIDOS CAPíTULO 6 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE C CUERPOS RíGIDOS

Problemas Una turbina turbina gira a 30 rad/s rad/s alrededor alrededor de un eje fijo que 6.12 Una coincide coincide con el eje x. ¿Cuál ¿Cuál es el vector vector de velocidad velocidad angular? angular?

1-'''"""---

--------------'

6.15 Si la Tierra Tierra se modela modela como como un cuerpo cuerpo rígido, rígido, ¿cuál es la magnitud ¿ApuntawE magnitud de su vector vector de velocidad velocidad angularwE? angularccg? ¿ApuntawE hacia hacia el norte norte o hacia hacia el sur?

y

6.16 El cuerpo cuerpo rígido rígido gira alrededor alrededor del eje z con velocidad velocidad angular angular w antihoraria. antihoraria. (a) ¿Cuál ¿Cuál es su vector vector de velocidad velocidad angular? angular? (b) Use la Ec. (6 .6) para (6.6) para determinar determinar la velocidad velocidad del punto punto A respecto respecto al punto punto B B..

z

yY

x

__r-___

-~~~B~----------r~~---x --~~~B~====~==~ A x '---v--'

P6.12

rA1B

6.13 La placa placa rectangular rectangular mostrada mostrada oscila con brazos brazos de igual longitud. Determine Determine el vector vector de velocidad velocidad angular angular de (a) la plalongitud. barra AB. ca rectangular; rectangular; (b) la barra

P6.16 P6.16

y

II

¿Cuál es el vector vector de velocidad velocidad angular barra 6.17 (a) ¿Cuál angular de la barra mostrada? mostrada? (6.6) para determinar determinar la velocidad velocidad del punto punto B .6) para (b) Use la Ec. (6 respecto al punto punto O. respecto (e) Use la Ec. (6.6) para para determinar determinar la velocidad velocidad del punto punto A (c) respecto al punto punto B B.. respecto

----x -- - x

yY

P6.13

velocidad angular angular de cada cada 6.14 ¿Cuáles son los vectores vectores de velocidad barra del mecanismo mecanismo mostrado? mostrado? barra

20 rad/s

A

B

~oEr~=~ --x

r-Im---t-Im- I

Y lO rad/s Y, 10 B B~--+-~""""", _______ e J--===-r==~ I-"""""'=.'''-'=~q

I

~--+-~

P6.17 , 10 rad/s

I'lD--x

P6.14


6.3

6.18 (a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular de la barra mostrada? ¡ (b) Use la Ec. (6.6) para determinar la velocidad del punto A.

MOVIMIENTOS

249

GENERALES: VELOCIDADES

6.21 El disco mostrado rueda sobre la superficie plana. El punto A se mueve hacia la derecha a 6 pie/s. (a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del disco? (b) Use laEc. (6.6) para determinar las velocidades de los puntos B, CyD.

í

A

D

,----L--x

2 pies

P6.18

'A 6.19 En la Fig. P6.19 el disco gira respecto al eje z a 50 rad/s en dirección horaria. Use la Ec. (6.6) para determinarlas velocidades de los puntos A, B Y C.

:--

----=::"'-~B~=----__:____,

---x P6.21

y A

6.22 En la Fig. P6.22 el engrane anular está fijo y el engrane central gira a 120 rpm en dirección antihoraria. Determine la velocidad angular de los engranes periféricos y la magnitud de la velocidad de sus puntos centrales.

100mm

~

;;j;-----+--x /Engrane

anular

P6.19 ~~ngranes _ ~~eriféricos

6.20 El automóvil de la figura se mueve hacia la derecha a 100 km/h y sus neumáticos tienen 600 mm de diámetro. (a) ¿Cuál es la velocidad angular de sus neumáticos? (b) ¿Qué punto sobre el neumático tiene la máxima velocidad respecto al camino, y cuál es la magnitud de esa velocidad?

.;;;:::;~~~~:;::;;..",

(3)

Engrane central

P6.22

6.23 La barra de la figura se halla en movimiento bidimensional en el plano x-y. La velocidad del punto A es 8i (pie/s). La componente x de la velocidad del punto B es 6 pie/s. (a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular de la barra? (b) ¿Cuál es la velocidad del punto B? y

~B

4 pies

~ P6.20

A •


30°

\

x

P6.23

250 250


6.24 Los Los puntos puntos A AyB B de de la la barra barra de de 11m mostrada se se deslizan deslizan 6.24 m mostrada sobre las las superficie superficies~ planas. planas. La La velocidad velocidad del del punto punto B B es es 2i 2i sobre (mis). (m i s) .

6.27 6.27 Si Si el el cigüeñal cigüeñal AB de de la la figura figura gira gira aa 6000 6000 rpm en en direcdirección ción antihoraria, antihoraria, ¿cuál ¿cuál es es la la velocidad velocidad del del pistón en el el instante instante mostrado? mostrado?

(a) ¿Cuál es es el el vector de velocidad velocidad angular angular de la barra? barra? (a) (b) ¿Cuál es es la velocidad velocidad del punto punto A? A? (b) y

y

I A A

- -- - x '*'"----x L-_..L-_~I..-_--...

- -x

P6.27 P6.27

P6.24 P6.24

6.25 6.25 En En el Probo 6.24, 6.24, ¿cuál ¿cuál es la velocidad velocidad del punto punto medio medio G de la barra? barra? 6.26 6.26 La La barra barra AB AB mostrada mostrada gira gira en dirección dirección antihoraria antihoraria a 6 radl rad/ s. Determine Determine la velocidad velocidad angular angular de la barra barra BCD BCD y la velocidad punto D. D. velocidad del punto

[ 1

~#¡¡~i ~~~t

6.28 La barra barra AB AB mostrada mostrada gira gira a 10 radl radl s en dirección dirección antianti6.28 horaria. Determine Determine la velocidad velocidad angular angular de la barra barra CD. horaria. Estrategia : Como Como se conoce conoce la velocidad velocidad angular angular de la barra barra Estrategia: AB, se puede puede determinar determinar la velocidad velocidad de B. Aplique Aplique luego la AB, obtener una una ecuación ecuación para para Ec. (6.6) a los puntos puntos By B y C a fin de obtener Ec. función de la velocidad velocidad angular angular de la barra barra BC, BC, yyaplíve en función aplíobtener una una ecuación ecuación para para quela a los puntos puntos C y D a fin de obtener quela ve en función función de la velocidad velocidad angular angular de la barraCD. barraCD. IgualanIgualanve do las dos dos expresiones expresiones se obtiene obtiene una una ecuación ecuación vectorial vectorial con con do dos incógnitas: incógnitas: las las velocidades velocidades angulares angulares de las barras barras BCy BCy CD. CD . dos

8 pulg pulg

yy

~I---,---

_

Brcl...-e 1-_ -----c:--. ______-<' e

B

eF~~

12 pulg pulg

~::v_~_L, ~Jf-~_~ I "

__

--T'

r :Jt;------'-----1 ----------

10 ractÍsl f. 10";'-1

1---2 -L2 -L2 ~ ppies ies

P6.26 P6.26


pies pies

------¡

P6.28 P6.28

6.3 6 .3 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: GENERALES: VELOCIDADES VELOCIDADES

6.29 La La barraAB barraAB mostrada mostrada gira gira a 12 rad/s rad / s en dirección dirección horahora6.29 ria. Determine y CD. Determ\ne las velocidades velocidades angulares angulares de las barras barras BC BCy CD.

,

251 251

6.33 AB mostrada 6.33 La La barra barraAB mostrada gira gira a 4 rad/ rad/ s en dirección dirección antihoantihoraria. raria . Determine Determine la velocidad velocidad del punto punto e. C. yy

I

e • B B

rf! A

1--~

mm

--

mm----l

300 300 mm -~.J----- --1--- - 350 350 mm ----1

1-3001-300mm

600 600 mm mm ~.J-----I --I---~ 200 200 mm

P6.33 P6.33

P6.29 P6.29

6.30 6.30 La barra barra CD mostrada mostrada gira gira a 2 rad/s rad / s en dirección dirección horahoraria. Determine Determine las velocidades velocidades angulares angulares de las barras barras AB AB y Be. BC.

6.35 Cada 6.35 Cada una una de las barras barras OA DA y AB AB de la figura figura tiene 2 pies de longitud. sobre la supunto B se desliza desliza hacia hacia arriba arriba sobre longitud. El punto perficie pie/ s. Determine Determine las velocidades velocidades angulaangulaperficie inclinada inclinada a 10 pie/s. res de las barras. barras.

r - 1 2 pulg---j

~B

~

/ o

G

e o

6.34 6.34 En el sistema sistema del Probo 6.33, 6.33, si la magnitud magnitud de la velocidad C es ¡vd punto Ces Ivd == 2 mis, mi s, ¿cuáles ¿cuáles son las magnitudes magnitudes dad del punto de las velocidades AB y DE? DE! velocidades angulares angulares de las barras barras AB

2 rad/s rad/s

A A D

P6.30 P6.30

6.31 En el Probo 6.30, ¿cuál es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del punto medio G de la barra punto medio barra Be! Be! P6.35 P6.35

6.32 La barra AB mostrada rad/s en dirección dirección antianti6.32 barraAB mostrada gira a 10 rad/s horaria. Determine Determine la velocidad velocidad del punto punto E. horaria.

í1

6.36 P6.36, diámetro del disco es de 1 m y la 6 .36 En la Fig. P6 .36, el diámetro longitud de la barra barra AB rodando y el AB es de 1 m. El disco está rodando longitud punto B B se desliza sobre sobre la superficie superficie plana. plana. Determine Determine la velocipunto angular de la barra barra AB velocidad del punto punto B. AB y la velocidad dad angular

B

4rad/~ 4radl( /'

P6.36 P6.36


252


P6.37, un motor motor hace girar girar al disco montado montado 6.37 En la Fig. P6.37, dando a la sierra sierra un movimiento movimiento de vaivén. (La sierra sierra esen A, dando soportada por por una una ranura ranura horizontal horizontal de modo modo que C e se mueve tá soportada horizontalmente.) El radio radio AB eslabón BC Be de AB es de 4 pulg y el eslabón horizontalmente.) 14pulg. posición mostrada, mostrada, (J(j == 45 00 YBCestáen Be está en posición posición 14 pulg. En la posición horizontal. Si el disco gira a una una revolución revolución por segundo segundo en di· dihorizontal. antihoraria, ¿cuál es la velocidad velocidad de la sierra? sierra? rección antihoraria, yy

o

6.41 En la Fig. P6.41, P6.41, si WAB WAB = 2 rad/s rad/s y WBe WBe = 4 rad/s, rad/s, 6.41 velocidad del punto punto C, e, donde donde el cubo cubo de la excavadoexcavado¿cuál es la velocidad ra está conectado? conectado? yy

T

5.5m m 5.5

"t--+-...1...... x

I 5m

~~LlL ~4m-+-3m-+-2.3m~

P6.41 P6.37 P6.37

6.38 En el Probo 6.37, 6.37, si la velocidad 6.38 velocidad angular angular del disco es de una segundo en dirección una revolución revolución por por segundo dirección antihoraria antihoraria y (J(j 27000, , ¿cuál ¿cuál es la velocidad velocidad de la sierra? sierra?

6.42 En En el Probo 6.41, 6.41, si WAB = 2 rad/s, rad/s, ¿qué velocidad an6.42 WAB = ¿qué velocidad gular gular horaria horaria WBe WBe hará hará que la componente componente vertical vertical de la velocipunto Csea C sea cero? ¿Cuál velocidad resultante resultante de C? dad del punto dad ¿Cuál es la velocidad e?

6.39 superficie plana. 6.39 Los discos mostrados mostrados ruedan ruedan sobre sobre la superficie plana. La velocidad velocidad angular angular del disco izquierdo izquierdo es de 2 rad/s rad/s en direcdirección horaria. horaria. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad angular angular del disco derecho? derecho?

6.43 6.41, si la velocidad es ve = = -6i 6.43 En Probo 6.41, velocidad del punto punto eCes -6i (mis), ¿cuáles ¿cuáles son las velocidades velocidades angulares angulares WAB WAB Y WBe? - 4j (mis), WBe? 6.44 6.44 El atleta atleta de la figura figura ejercita ejercita su brazo brazo levantando levantando la masa masa La articulación articulación del hombro hombro A está está en reposo. reposo. La La distancia distancia m. La AB es de 300 mm mm y la distancia distancia Be BC es de 400 mm. mm. En En el instante instante AB mostrado, WAB WAB = = 1 rad/s rad/s y WBe WBe = = 2 rad/s. rad/s. ¿Con ¿Con qué rapidez rapidez mostrado, masa? se eleva la masa?

2¡¡ P6.39 P6.39

6.40 6.40 El disco disco de la figura figura rueda rueda sobre sobre la superficie superficie curva. curva. La La barra barra gira gira a 10 rad/s rad/s en dirección dirección antihoraria. antihoraria. Determine Determine la velocidad A. locidad del punto punto A. y

P6.44 P6.44

-----1- - - x

6.45 6.45 En En el Probo Probo 6.44, 6.44, suponga suponga que que la la distancia distancia AB AB es de de 12 pulg, pulg, la la distancia distancia Be BC de de 16 pulg, pulg, WAB WAB = 0.6 0.6 rad/s rad/s yy que que la mamasa sa mm se eleva eleva aa 24 pulg/s. pulg/s. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad angular angular WBe? WBe?

P6.40 P6.40


6.3 6.3 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: GENERALES: VELOCIDADES VELOCIDADES

6.46 En En la Fig. P6.46, P6.46, los puntos puntos B yy C están están en el plano plano x-y. x -y. 6.46 vectorestde velocidad velocidad angular angular de de los brazos brazos AB AB yy AC AC son son Los vectores-de WAB = = -0.2k -0.2k (rad/s) (rad/s) yy WBe WBe = = OAk O.4k (rad/s). (rad/s) . Determine Determine la veloWAB cidad del punto punto C. C. cidad

253 253

6.49 6.49 Determine Determine la velocidad velocidad del bloque bloque yy la velocidad velocidad angular angular de la polea polea pequeña pequeña de la figura. figura.

.pulg

y

9 9 pulg/s pulg/ s

(Ir!~=::::::;~;;:s:s::) •••••

P6.49 P6.49

6.50 6.50 En En la Fig. Fig. P6.50 P6.50 el engrane engrane anular anular está está fijo fijo yy los engranes engranes piñón La barra barra conectora conectora gira gira en dipiñón yperiférico y'periférico están están unidos. unidos. La rección rección antihoraria antihoraria a 60 rpm. rpm. Determine Determine la velocidad velocidad angular angular del engrane engrane central central yy la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del punto punto A. A.

A A

Engrane piñón Engrane

P6.46 P6.46

Barra conectora

= 6.47 En el Probo 6.46, 6.46, si la velocidad velocidad del punto punto C es ve Ve = lOj (pulg/ s) , ¿cuáles son los vectores vectores de velocidad velocidad angular angular de !Oj (pulg/s), AB y Be! brazos AB los brazos Be!

6.48 Determine Determine la velocidad velocidad Vw v w yY la velocidad velocidad angular angular de la polea pequeña pequeña de la figura. polea figura. Engrane anular

P6.50 P6.50

50

tO.66 mIs tO.

6.51

P6.51la rueda rueda dentada dentada grande grande está fija fija.. La En la Fig. P6.51la barra AB AB tiene una una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria de 2 rad/ rad/s.s. barra ¿Cuáles son las velocidades velocidades angulares angulares de las barras barras CD y DE? ¿Cuáles

mIs

1---16 pulg~o pulg ID ' e ID

4 ---lPulg puIg-----\-tO .,J""""" Pul ll!>A g \---- 16

10 P6.48 P6.48

A

P6.51


254 254

CAPíTU LO 6 CINEMÁTICA PLANA RíGIDOS CAPíTULO6 PLANA DE DE CUERPOS CUERPOSRíGIDOS

Centros instantáneos instantáneos El centro punto de un cuerpo cuerpo rígido rígido cuya cuya velocidad velocidad es centro instantáneo instantáneo es un punto momento dado. dado. "Instantáneo" "Instantáneo" significa significa que podría cero en un momento podría tener tener velocidad nula nula sólo en el instante instante considerado, cidad considerado, si bien bien nos referimos referimos también también punto fijo como como un centro por ejemplo ejemplo el punto punto de un a un punto centro instantáneo, instantáneo, por respecto al cual gira eje fijo respecto gira un cuerpo cuerpo rígido. rígido . conocemos la posición posición del centro Si conocemos centro instantáneo instantáneo de un cuerpo cuerpo rígido rígido movimiento plano plano y también en movimiento también su velocidad velocidad angular, angular, las velocidades velocidades de otros puntos puntos son fáciles de determinar. Fig. 6.20(a) otros determinar. Por Por ejemplo, ejemplo, si en la Fig. centro instantáneo instantáneo de un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento plano plano con C es el centro velocidad angular angular w, un punto velocidad punto A se mueve en una una trayectoria trayectoria circular circular respecto a C. La velocidad velocidad de A respecto pecto respecto a C es tangente tangente a la trayectoria trayectoria producto de la distancia e igual al producto distancia de C a A por por la velocidad velocidad angular. angular . Pero Pero como C es estacionario estacionario en ese instante, como instante, la velocidad velocidad de A respecto respecto a C velocidad deA, deA, y cada cada punto 6.20b). es la velocidad punto del cuerpo cuerpo gira respecto respecto a C(Fig. C(Fig. 6.20b).

Figura 6.20 centro instantáneo instantáneo (a) Un centro

e y un

punto punto

o

A diferente. diferente.

Cada punto punto gira alrededor alrededor del centro centro (b) Cada instantáneo. . instantáneo

G0",Od'B G~",Od'B Dirección del Di~ec~ión del .. d A

D'" d l Dirección ireccion del e

C;c C;c

B B

instantáneo Centro instantáneo (a) Ca)

(a) Ca)

(b) Cb)

localizar el centro Suele ser fácil localizar centro instantáneo instantáneo de un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento bidimensional. bidimensional. Supongamos Supongamos que se conocen movimiento conocen las direcciones direcciones movimientos de los puntos de los movimientos puntos A y B (Fig. 6.21a). 6.21a). Si se dibujan dibujan líneas por A y B perpendiculares perpendiculares a sus direcciones por direcciones de movimiento, movimiento, el punto punto C, donde se intersecan intersecan las líneas, donde líneas, es el centro centro instantáneo. instantáneo. Para demostrar demostrar que esto es verdadero, expresemos la velocidad Para verdadero, expresemos velocidad de C función de la velocidad velocidad de A (Fig. en función (Fig. 6.21b): = VA VA + +WW x re/A. Ve = re/A.

Como vector W w X Tel rClAA es perpendicular Como el vector perpendicular a re/A' r e l A , esta esta ecuación ecuación establece establece dirección del movimiento movimiento de C es paralela que la dirección paralela a la dirección dirección del movimovimiento de A. También También podemos miento podemos expresar expresar la velocidad velocidad de C en función función velocidad de B: de la velocidad = VB Ve = (b) Cb)

6.21 Figura 6.21 Localización del centro centro instantáneo instantáneo en (a) Localización movimiento plano. plano. movimiento Demostración de que ve = O. O. (b) Demostración

+wW +

x t cte. re / B.

vector w X rFc,» El vector perpendicular a rClB' r C/ B' por por lo que esta esta ecuación ecuación estaestaelB es perpendicular blece que la dirección dirección del movimiento movimiento de C es paralela paralela a la dirección dirección del movimiento de B. Sin embargo, movimiento embargo , C no puede puede moverse moverse paralelamente paralelamente a A ya B, por por lo que esas ecuaciones ya ecuaciones son contradictorias contradictorias entre entre sí a menos menos que = O. Ve = http://carlos2524.jimdo.com/

6.3 MOVIMIENTOS GENERALES: VELOCIDADES 6 .3 MOVIMIENTOS VELOCIDADES

255

centro instantáneo instantáneo puede puede no ser un punto punto del cuerpo cuerpo rígido rígido (Fig. El centro Esto significa significa sencillamente sencillamente que en este instante instante el cuerpo cuerpo rígido rígido gi6.22a). Est0 respecto a un punto punto externo. externo. Es conveniente conveniente imaginar imaginar el cuerpo cuerpo rígido rígido ra respecto extendido de modo modo que quede quede incluido incluido el centro centro instantáneo instantáneo (Fig. 6.22b). 6.22b). extendido instante, la velocidad velocidad del punto punto e e del cuerpo cuerpo extendido extendido sería cero. cero. En este instante, En la Fig. 6.22(a) 6.22(a) observe observe que si se modifican modifican las direcciones direcciones del movimiento de A y B de modo modo que las líneas perpendiculares perpendiculares a sus direcciones direcciones miento movimiento resulten resulten paralelas, paralelas, e e se desplaza desplaza al infinito. infinito. En este caso de movimiento cuerpo rígido rígido está en traslación: traslación: su velocidad velocidad angular angular es cero. el cuerpo Figura 6.22

Dirección del movimiento de B

Dirección del movimiento de A

(a) Centro instantáneo externo al cuerpo (a) rígido. (b) Cuerpo hipotéticamente extendido. El punto e sería estacionario.

G\f:

G_ instantáneo-: Centro instantáneo-(a) (a)

(b)

Volviendo de nuevo a nuestro nuestro ejemplo ejemplo del disco de radio radio R que rueda rueda Volviendo velocidad angular angular w w (Fig. 6.23a), 6.23a), en ese instante instante el punto punto e en contaccontaccon velocidad fijo, o sea, es el centro centro instantáneo instantáneo del disco. Por Por tanto, tanto, to con el piso está fijo, velocidad de cualquier cualquier otro otro punto punto es perpendicular perpendicular a la línea línea de e e al la velocidad punto y su magnitud magnitud equivale equivale al producto producto de w w por por la distancia distancia de e punto punto. En el sistema coordenado que se muestra muestra en la Fig. 6.23(b), 6.23(b), la al punto. sistema coordenado velocidad del punto punto A es velocidad VA VA

= --Y2Rw V2Rw

Y2Rw sen 45° j cos 45° ii + V2Rw

--Rwi Rwi + Rwj.

yy

Figura 6.23 es el centro (a) El punto e es disco rodante. instantáneo del disco (b) Determinación de la (b) del punto A. velocidad del

e (a)


256 256

PLANA DE DE CUERPOS CUERPOSRíGIDOS CAPíTULO6 CAPíTULO 6 CINEMÁTICA PLANA RíGIDOS

En el siguiente siguiente ejemplo ejemplo usamos usamos los centros centros instantáneos instantáneos para para analizar analizar el movimiento de un mecanismo. mecanismo. Identificando movimiento Identificando el centro centro instantáneo instantáneo de un cuerpo rígido en movimiento movimiento plano, cuerpo plano, se pueden pueden expresar expresar las velocidades velocidades como productos distancias desde puntos como productos de sus distancias desde el centro centro instantáneo instantáneo de sus puntos por velocidad angular angular del cuerpo por la velocidad cuerpo rígido.

Ejemplo 6.5 Ejemplo barraAB de la Fig. 6.24 gira con velocidad velocidad angular angular antihoraria La barraAB antihoraria de 10 rad/s. rad/s. Cuáles son las velocidades velocidades angulares angulares de las barras barras BC ¿ Cuáles BC y CD?


e

B

f·~~~-----'r 2 pies rad/s 10 radls

.

~2

.J

Pies+2

Pies~

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como barras ABy ABy CD giran giran respecto respecto a ejes fijos, fijos, conocemos conocemos las direcciones Como las barras direcciones movimiento de los puntos puntos B y C y por por tanto tanto podemos podemos localizar localizar el centro centro del movimiento instantáneo de la barra barra BC. BC. Comenzando Comenzando con la barra instantáneo barra AB AB (porque (porque conocemos conocemos velocidad angular), angular), podemos podemos usar usar los centros centros instantáneos instantáneos de las barras para su velocidad barras para determinar las velocidades velocidades de los puntos puntos en que ellas se conectan, determinar conectan, así como como velocidades angulares. angulares. sus velocidades SOLUCiÓN SOLUCiÓN velocidad de B debida debida a la rotación rotación de la barra barra AB La velocidad AB respecto respecto a A (Fig. a) es VB

rad/s) = 20 pie/s pie/s. . = (2 pies)(IO rad/s)

e

B

2 pies 10 rad/s

...

1

AO~

Determinación de (a) Determinación


VB." VB

6.3 MOVIMIENTOS VELOCIDADES 6.3 MOVIMIENTOS GENERALES: GENERALES: VELOCIDADES

Dibujando líneas perpendiculares perpendiculares a las direcciones direcciones del movimiento movimiento de B y e, Dibujando localizamos Be (Fig. b). La B localizamos el ~l centro centro instantáneo instantáneo de la barra barra Be La velocidad velocidad de B producto de su distancia distancia desde el centro centro instantáneo instantáneo de la barra barra Be es igual al prdducto Be por la velocidad velocidad angular por angular WBC' VB = =

pie/s == (2 20 pie/s

pies)wBC> pies)wBC>

por lo que WBC = 10 rad/s rad/ s (observe barra Be gira en dirección dirección horaria). horaria). por (observe que la barra Be gira Usando el centro centro instantáneo instantáneo de la barra barra Bey velocidad angular angular WBC' podepodeUsando Bey su velocidad punto e: determinar la velocidad velocidad del punto mos determinar Vc Vc

== (Y8 (Y8 pies)wBc pies)wBc = = 1OY8 pie/s. pie/s. Centro instantáneo instantáneo de la barra barra Be Centro

!! }} 2 pies

(b) Determinación Determinación de WBC Y Vc· Vc·

último paso paso es usar usar la velocidad velocidad del punto para determinar determinar la velocidad velocidad El último punto e para angular de la barra barra eD respecto al punto punto D c), angular Cl) respecto D (Fig. e), Vc Vc

pie/ s = (Y8 pies)wcD' = 1OY8 pie/s (Y8 pies)wcD'

donde se obtiene obtiene de donde

WCD

rad/s antihoraria. antihoraria. = 10 rad/s

B

A

(e) Determinación Determinación de WCD.

COMENTARIO COMENTARIO centros instantáneos instantáneos simplificó En este ejemplo, ejemplo, el uso de los centros simplificó en forma forma consideconsidecálculo de las velocidades velocidades angulares angulares de las barras barras Bey rable el cálculo rable Bey eD Cl) en,comparaen.comparaprocedimientos usados usados antes. antes . Sin embargo, q.ue las ción con los procedimientos embargo, observe observe que longitudes y posiciones posiciones de las barras barras eran muy fácil determinar determinar longitudes eran tales que fue muy centro instantáneo el centro instantáneo de la barra barra Be. Si la geometría geometría es muy muy compleja, compleja, el uso uSo centros instantáneos instantáneos puede puede resultar resultar impráctico. impráctico. de los centros


257

258 258


6.52 Si Sila la barra barra mostrada mostrada tiene tiene una una velocidad velocidad angular angular horaria horaria 6.52 de 10 10 radls rad/s yy VA VA = = 20 20 mis, mis, ¿cuáles ¿cuáles son son las las coordenadas coordenadas de de su su de centro instantáneo instantáneo yy el el valor valor de de VB? VB? centro yy

6.55 6.55 Los Los puntos puntos AA yy BB de de la la barra barra de de 11m m mostrada mostrada resbalan resbalan sobre sobre las las superficies superficies planas. planas. La La velocidad velocidad de de B B es es vvBB == 2i 2i (m/s). (mis). (a) (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son son las las coordenadas coordenadas del del centro centro instantáneo? instantáneo? (b) A. (b) Use Useel elcentro centro instantáneo instantáneo para determinar determinar la la velocidad velocidad de deA. yy

I 1---

A

1m

------f.1--

B

1m

------1

P6.52 P6.52

el Probo Probo 6.52, si si VA = 24 mis mis y VB = 36 mis, mis, ¿cuá6.53 En el les son las coordenadas coordenadas del centro instantáneo instantáneo de la barra barra y su les velocidad angular? 6.54 En la Fig. P6.54 la velocidad del punto 6.54 punto O del bate es v 1.4j (pie/s), y el bate gira alrededor Voo = -6i - 6i - l.4j alrededor del eje zz con una velocidad angular angular antihoraria antihoraria de 4 rad/s. rad/s. ¿Cuáles son las coordenadas coordenadas x y y de su centro centro instantáneo? instantáneo?

~--~--~----~ ---- x

P6.55 P6.55

y

II

6.56 En el Probo 6.55 use el centro centro instantáneo instantáneo para para determidetermi6.56 nar la velocidad del punto punto medio G de la barra. barra. nar 6.57 La barra barra mostrada mostrada tiene un movimiento movimiento bidimensional bidimensional 6.57 en el plano plano x-y. x-y . La velocidad velocidad del punto punto A es VA VA = = 8i (pie/s), (pie/s), B se mueve en la dirección dirección paralela paralela a la barra. barra. Determine Determine la la yy B velocidad de BB (a) usando usando la Ec. (6.6); (b) usando usando el el centro centro insinsvelocidad tantáneo. tantáneo. yy

~B

~B

~P¡~

~~~ P6.54 P6.54

AA ••


30° 30·

________ ILX ------~\-----------x

P6.57 P6.57

259

6.3 MOVIMIENTOS V ELOCIDADES 6.3 MOVIMIENTOS GENERALES: VELOCIDADES

6.58 Los puntos puntos A y B de la barra barra de 4 pies mostrada mostrada resbalan resbalan punto B se desliza hacia hacia abajo sobre las superficies planas . El punto superficies planas. abajo sobre la superficie inclinada a 2 pie/s. pie/s. superficie inclinada (a) ¿Cuáles instantáneo? ¿Cuáles son las coordenadas coordenadas del centro centro instantáneo? para determinar determinar la velocidad velocidad de A. A. (b) Use U se el centro instantáneo para centro instantáneo

barra AB AB mostrada mostrada gira a 6 rad/s rad/s en dirección dirección horahora6.61 La barra para determinar determinar la velocidad velocidad ancentros instantáneos instantáneos para ria. Use centros angular gular de la barra barra Be. B

l

yy

4 pulg

~o 3 pulg

B

+

~4 PUlg~

~4 PUlg~lO

10 pulg - - --j pulg---P6.61

'------'----.::.....'---, -x P6.58 P6.58

6.62 barra AB AB de la figura rad/s en dirección dirección 6.62 La barra figura gira a 10 10 rad/s antihoraria. Use centros centros instantáneos para determinar determinar la velociantihoraria. instantáneos para punto E. dad del punto E.

6.59 Use centros instantáneos para para determinar determinar la velocidad velocidad centros instantáneos punto B de la figura. horizontal del punto horizontal figura.

1 í B B

O

T T 400mm 400

O

mm

e

I Jt!'í" Jé'C ~A ~A 1

-+

D D

E E

e --x x

o

~700mm-+~~+700mm~ ~ ~~ mm~ 700 mm

+-700

P6.62 P6.62

P6.59 P6.59

6.60 Cuando 6.60 Cuando el mecanismo mecanismo del Probo 6.59 está en esta posición, para determinar determinar la velocidad velocidad hohoción, use centros centros instantáneos instantáneos para rizontal rizontal de B.

sobre la superficie superficie plana. izquierdo: 6.63 Los discos ruedan ruedan sobre plana. El izquierdo: gira gira a 2 rad/s rad/s en dirección dirección horaria. horaria. Use centros centros instantáneos instantáneos y calcule las velocidades calcule velocidades angulares angulares de la barra barra y del disco derecho. derecho.

22(¡ ¡¡ P6.63 P6.63

P6.60 P6.60


260


6.64 La barraAB barra AB mostrada mostrada gira a 12 12rad/ dirección horahora6.64 rad/ss en dirección centros instantáneos instantáneos para para determinar determinar las velocidades velocidades ria. Use centros angulares barras BC y CD. angulares de las barras

6.65 Un cuerpo cuerpo rígido rígido se encuentra encuentra en movimiento movimiento plano. plano. Un 6.65 punto A con coordenadas coordenadas x == 200 mm, y == 600 mm se mueve punto paralelamente al vector vector unitario unitario -0.97Oi -0.97Oi + 0.243j, 0.243j, Y Yun un punto punto paralelamente Bconcoordenadasx = 800mm,y 800mm,y = 400 400mmsemueveparalelaBconcoordenadasx mm se mueve paralelamente al vector vector unitario unitario -0.832i -0.832i + 0.555j. 0.555j. mente ¿Cuáles son las coordenadas coordenadas del centro centro instantáneo? (a) ¿Cuáles instantáneo? Determine Iv IvAI/lvBI. (b) Determine A I/lv8 1. Demuestre que si un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento plano plano 6.66 Demuestre centros instantáneos, instantáneos, se encuentra encuentra en reposo reposo en ese tiene dos centros instante. instante.

1-

mm --.¡~-- 350 mm-----l

300 mm--1---300

350 mm-----l

P6.64 P6.64

Movimientos generales: generales: 6.4 Movimientos aceleraciones aceleraciones Cap. 7 nos interesará interesará determinar determinar el movimiento En el Cap. movimiento de un cuerpo cuerpo rígido cuando se conozcan conozcan las fuerzas fuerzas y los pares pares externos externos que actúan actúan sobre sobre él. cuando ecuaciones que lo rigen se expresan expresan en función función de la aceleración aceleración del Las ecuaciones centro de masa masa del cuerpo cuerpo rígido y de su aceleración aceleración angular. angular. Para Para resolver resolver centro tales problemas, problemas, es necesario necesario entender entender las relaciones relaciones entre entre las aceleraciones aceleraciones puntos de un cuerpo cuerpo rígido rígido y su aceleración aceleración angular. angular .. En esta sección de puntos extendemos a las aceleraciones aceleraciones los métodos métodos que hemos hemos usado usado para para analizar analizar extendemos velocidades de cuerpos cuerpos rígidos. rígidos. velocidades Consideremos los puntos puntos A yyB B en el plano plano del movimiento movimiento de un cuerpo cuerpo Consideremos rígido en movimiento movimiento bidimensional bidimensional (Fig. 6.25a). 6.25a). Sus velocidades velocidades están están rígido relacionadas por relacionadas por VA

= vB

+

VAIB'

donde vVAA yYvVB8 son velocidades velocidades respecto punto de referencia referencia O. Deridonde respecto a un punto vando respecto tiempo esta ecuación, ecuación, obtenemos obtenemos vando respecto al tiempo

Como el punto punto A se mueve en una una trayectoria trayectoria circular circular respecto respecto al punto punto Como B al girar girar el cuerpo cuerpo rígido, rígido, aaAIB componentes normal normal y tangencial tangencial AI8 tiene componentes 6.25b). El valor valor de la componente componente tangencial tangencial es el producto producto de Ir;u81 Ir;I/BI (Fig. 6.25b). aceleración angular angular ex del cuerpo cuerpo rígido. rígido. La componente componente normal normal apunapuny la aceleración hacia el centro centro de la trayectoria trayectoria circular circular y su magnitud magnitud es Iv [vAlBI2/lr I 1 ta hacia Al81 2 /lr AIBA18 2 2 = 1rA181. Observe como la componente = w IrAIBI. Observe que, como componente normal normal de la aceleración aceleración apunta en dirección dirección opuesta opuesta a la del vector vector r AIB, podemos expresarla expresarla coapunta A18, podemos mo un vector vector escribiendo escribiendo -w22rrAIB. AI8. http://carlos2524.jimdo.com/

6.4 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: GENERALES: ACELERACIONES ACELERACIONES 6.4

261

Figura 6.25

~rA:1

Puntos de un cuerpo rígido (a) Puntos plano.. en movimiento plano Componentes de la (b) Componentes aceleración de A respecto a B.

~rA:1

A

2

1rz7l' P

lr w ú}

aex w

B--:/

B

// //

//

/

IrA/B IrA/BI

(b)

(a)

--

Consideremos un disco circular circular de radio radio R que rueda rueda sobre sobre una una superfisuperfiConsideremos plana fija con velocidad velocidad angular angular w antihoraria antihoraria y aceleración aceleración angular angular cie plana antihoraria (Fig. 6.26a). centro B del disco se mueve en una una línea línea aa antihoraria 6.26a). El centro recta con velocidad velocidad Rw. velocidad es hacia hacia la izquierda izquierda si w es positiva. positiva. recta Rw. Su velocidad aceleración del centro centro B es d/ d/dt(Rw) aceleración es hacia hacia La aceleración dt(Rw) == Ra, Ra. Su aceleración izquierda si a es positiva. positiva. La magnitud de la aceleraciórt aceleración del centro centro de la izquierda La magnitud cuerpo redondo redondo que rueda sobre sobre una superficie un cuerpo superficie fija fija es el producto producto del radio por por la aceleración angular. Ahora que conocemos conocemos la aceleración aceleración del centro centro del disco, determinemos determinemos Ahora aceleración del punto punto e en contacto contacto con la superficie superficie (Fig. 6.26b). 6.26b). En la aceleración sistema coordenado coordenada de la Fig. 6.26(c), la aceleración aceleración del centro centro B es el sistema Respecto a B, punto e se mueve en una una trayectoria trayectoria circular circular de --Rai. Rai. Respecto B, el punto radio R. La componente componente tangencial tangencial de la aceleración aceleración de e respecto respecto a B radio componente normal normal es Rw Por tanto, tanto, la aceleración aceleración de e es es Roá Raí y la componente Rw22j.j. Por

ac =

+

aB + aCj aCjBB aB

w

-a--a--

(a)

--

-a--a-w

2-J al - + + R al al - + + R úJ2= - R al ú)

aceleración del punto punto e paralela paralela a la superficie superficie es cero, pero pero tiene una una La aceleración aceleración normal normal a la superficie. superficie. aceleración Expresar la aceleración aceleración de un punto punto A respecto respecto a un punto punto B en función función Expresar trayectoria circular circular de A respecto respecto a B, como como lo hemos hemos hecho, hecho, ayuda ayuda de la trayectoria visualizarla y a entenderla. entenderla. Sin embargo, embargo, como como lo hicimos en el caso a visualizarla velocidad relativa, relativa, podemos podemos obtener una forma forma más conveconvede la velocidad obtener aaA/B A/B en una para las aplicaciones aplicaciones usando usando el vector vector de velocidad velocidad angular angular w w.. La niente para velocidad de A respecto respecto a B está dada dada en función función de w por por la Ec. Ec. (6.5): velocidad

e (b)

yy

L-------~~~~.-------x Derivando esta ecuación ecuación respecto respecto al tiempo tiempo obtenemos obtenemos Derivando

aAj j B aA

dw dw x r AAjj B dt

= -=

dw dw = -- x = dt dt

+ ww

vAAjj B X V

rAjB +w rA j B +w

(w x x (w

rAjB). rA j B).


Ra

ROl

Figura 6.26 (a) Disco que rueda con velocidad ex.. angular w yy aceleración angular Ct punto e está en contacto con la (b) El punto superficie. (c) (e) Determinación Determinación de la aceleración de e respecto a B.

262 262

CAPíTULO6 CINEMÁTICA PLANA PLANADE DECUERPOS CUERPOSRíGIDOS CAPíTULO 6 CINEMÁTICA RíGIDOS

Definiendo Definiendo elel vector vector de de aceleración aceleración angular angular no: como como la la razón razón de de cambio cambio del vector vector de de velocidad velocidad angular, angular, del dw dw dt '' dt

(6.7) (6.7)

0:=n= -

la aceleración aceleración de de A A respecto respecto aa B B es es la

Usando Usando esta expresión, expresión, podemos podemos escribir ecuaciones ecuaciones que relacionen relacionen las velocidades velocidades yy aceleraciones aceleraciones de dos puntos puntos de un cuerpo cuerpo rígido en función función aceleración angulares: angulares: de su velocidad yy su aceleración VA

=

VB

+w

x rAIB,

(6.8)

(6.9) En el movimiento movimiento bidimensional, bidimensional, el término término nlX o:JX rA1B A / B de la Ec. (6.9) es la componente aceleración de A respecto Byy w x (w componente tangencial tangencial de la aceleración respecto a B (w X r A1B es la componente componente normal normal (Fig. 6.27). Por Por tanto, tanto, para para el movimiento movimiento A / B) ) es bidimensional bidimensional podemos podemos escribir escribir la Ec. (6.9) en la forma forma más sencilla (6.10)

Figura 6.27 Figura 6.27

Componentes Componentes vectoriales de la aceleración de A A respecto a B en movimiento plano. plano.

En los los siguientes siguientes ejemplos ejemplos usaremos usaremos las las Ecs. Ecs. (6.8)-(6.10) (6.8)-(6.10) para para analizar analizar los los En movimientosde de cuerpos cuerposrígidos. rígidos. Para Para determinar determinarlas lasaceleraciones aceleracionesde depunpunmovimientos tosyy las las aceleraciones aceleracionesangulares angularesde de cuerpos cuerposrígidos, rígidos, por porlo logeneral generalse sedeben deben tos determinarprimero primero las las velocidades velocidadesde de los lospuntos puntosyy las las velocidades velocidadesangulaanguladeterminar res de de los los cuerpos cuerposrígidos, rígidos, porque porquelas lasEcs. Ecs. (6.9) (6.9)yy (6.10) (6.10) contienen contienenla la velocivelocires dad angular. angular. Cuando Cuando encontremos encontremos una una secuencia secuencia de depasos pasos usando usando la la Ec. Ec. dad (6.8) que que determina determina las las velocidades velocidadesyy las las velocidades velocidades angulares, angulares, la la misma misma (6.8) secuencia de depasos pasos usando usando la la Ec. Ec. (6.9) (6.9) oo la la (6.10) (6.10) determinará determinará las las aceleraacelerasecuencia ciones ciones yy las las aceleraciones aceleraciones angulares. angulares. http://carlos2524.jimdo.com/

6.4 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: GENERALES: ACELERACIONES ACELERACIONES 6.4

Ejemplo 6.6 rodante una velocidad velocidad angular angular w y una una aceleración aceleración El disco ro dante de la Fig. 6.28 tiene una angular aC! antihorarias. antihorarias. ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración del punto punto A? A? angular

Figura 6.28

A


y

Sabemos que la magnitud aceleración del centro centro del disco es el producto producto Sabemos magnitud de la aceleración radio por por la aceleración aceleración angular. angular. Por Por tanto, tanto, podemos podemos expresar expresar la aceleración aceleración del radio como la suma suma de la aceleración aceleración del centro centro y la aceleración aceleración de A respecto respecto de A como centro. Lo haremos haremos por por inspección inspección y usando usando la Ec Ec.. (6.10). al centro.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN sistema coordenado coordenado de la Fig. (a) (a),, la aceleración aceleración del centro centro B es as En el sistema -CiRi. El movimiento movimiento de A en una una trayectoria trayectoria circular circular de radio radio R respecto respecto a -aRi. B da como como resultado resultado las componentes componentes tangencial tangencial y normal normal de la aceleración aceleración relativa mostradas mostradas en la Fig. (b): relativa

(9) Aceleración Aceleración del centro centro del disco disco.. (
yy

Por tanto, tanto, la aceleración aceleración de A es Por aA aA

aB + aA/ aA/BS = -aR -CiR ii -- úJ2 úJ2 R ii + CiRj = as aRj

= (-aR

-

úJ2

R) i + aRj.

L------------------L----

x ~-----------------L------------ x

Componentes de la aceleración aceleración de (b) Componentes A respecto respecto a B.

Solución alternativa: alternativa: El vector aceleración angular angular del disco es a = ak, ok, y Y Solución vector de aceleración posición de A respecto respecto a B es frA/S e). De la Ec. (6. (6.10), acelerala posición A/S = Ri Ri (Fig. c). 10), la aceleración de A es yy (a k) x = -+aaRR i + (a

(R i) - úJ2(R úJ2(R i) (R

(e) Posición Posición de A respecto respecto a B B..


263

264


Ejemplo 6.7 velocidad angular angular antihoraria antihoraria de 10 10 rad/s rad/s barra AB AB de la Fig. 6.29 tiene una una velocidad La barra y una una aceleración aceleración angular angular horaria horaria de 300 rad/s rad/s-.2 • ¿Cuáles ¿Cuáles son las aceleraciones aceleraciones angulares de las barras barras BC y CD? CD? angulares y

Figura 6.29 B

I

,......-- -==---:-- --=-- ....;:e

O~~-~1

1,

10 rad/s radls 300 radls rad/s?2 300

A o

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como determinar Como conocemos conocemos la velocidad velocidad angular angular de la barra barra AB, AB, podemos podemos determinar la velocidad velocidad del punto punto B y luego luego aplicar aplicar la Ec. (6.8) a los puntos puntos C y D a fin de obtener obtener una una ecuación ecuación para para ve ve en función función de la velocidad velocidad angular angular de la barra barra CD. También También podemos podemos aplicarla aplicarla a B y C a fin de obtener obtener una una ecuación ecuación para para ve ve en función función de la velocidad velocidad angular angular de la barra barra Be. BC. Igualando Igualando las dos expreexpresiones siones para para ve ve obtenemos obtenemos una una ecuación ecuación vectorial vectorial con con dos dos incógnitas: incógnitas: las velocidades cidades angulares angulares de BC BC y CD. CD . Siguiendo Siguiendo la misma misma secuencia secuencia de pasos pasos con la Ec. Ec. (6.10), (6.10), obtenemos obtenemos las aceleraciones aceleraciones angulares angulares de las barras barras BC BC y CD. SOLUCiÓN SOLUCiÓN La La velocidad velocidad de B es (Fig. a)

= k) x (2j) = 0+ 0+ (10 (lOk) (2j)

= -20 - 20 (pie/s). (pie/s). yy

e

BB I I

10 10 rad/s radls 300 300 rad/s? radls 2

A

(a) Determinación Determinación del del movimiento movimiento de de B. B.


ACELERACIONES 6.4 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: ACELERACIONES 6.4 WCD la velocidad angular desconocida de la barra barra CD (Fig. b). La velociSea WCD dad de C ten función de la velocidad de D es

Vc

= VD + WCD VD

WCD

=-

i-

k

O WCD ro

2WCDJ

Denotando la la V:O:i:D~~ul:e;:1a barra Be "Be (Fig. e), la la velocidad Denotando velocidad angular de la barra BC con con WBC (Fig. c), velocidad de C en función de la velocidad de B es Vc

= VB + WBC VB

WBC

= --20i 20i +

Bm l .,--~~ ,- - - - - - - . Br¡l ====~c:---__

WCD

-2 2

2WCD

yy

"'r-~---'''''""'--~''

rc¡o rCjD

j O

I ~

=0+

x

265

Determinación del movimiento de (b) Determinación C en función del movimiento barra CD. angular de la barra

rc¡s x rC jB

k) x (2i)

(WBC (WBC

Pi::~

------I-.- 2Pi::~ 2

A. ------\.--

= --20i+2wBCj. 20i + 2WBCJ = Igualando las dos expresiones para para Igualando -2WCD -2WCD

i-

2WCDj 2WCDj

eVc>

= --20i 20i +

2WBd, 2WBd,

igualando las componentes ii y jj obtenemos WCD WCD = 10 rad/s rad/s y WBC = -10 -10 e igualando rad/s. rad/s. Podemos usar la misma secuencia de pasos para determinar las aceleraciones Podemos para determinar angulares. La aceleración de B es (Fig. a)

~2Pie~

O+ (-300 k) x (2j) (2j) - (1W(2j) (lW(2j) = O + (-300 2 600i - 200j 200j (pie/s (pie/s-). = 600i ).

Determinación del movimiento de (e) Determinación

La aceleración de C en función de la aceleración de D es (Fig. b) 3C

= 3D 3D =

OlCD + OlCD

=0+ = 0+

II

= (200 -

ii O -2 -2

x

xc¡o rC j D --

k

jj O 22

2aCD) ) 2aCD

aCD aCD

C en función del movimiento angular BC. barra Be. angular de la barra

W~DrCjD W~DrCjD

II --(lO)2(-2i+2j) (lW(-2i+2j)

O O i - (200 +

2aCD) 2aCD)

j.

e) La aceleración de C en función de la aceleración de B es (Fig. c)

600i - 200j 200j + = 600i

(CXBC k) (aBC

400i - (200 = 400i

2CXBC)j. 2aBC)j.

Igualando para Igualando las expresiones para (200 -

2CXCD) 2aCD)

3c

(2i) - (-lW(2i) (-lW(2i) x (2i)

obtenemos

i - (200 +

2CXCD)j 2aCD)j

400i - (200 - 2aBc)j, 2cxae:)j, = 400i

igualando las componentes componentes ii y j obtenemos las aceleraciones angulares e igualando rad/s-2 y aCD aCD -100 rad/s rad/s-.2 • = 100 rad/s = -100

aBC aBC


266 266

CAPíTULO 6 C CINEMÁTICA PLANA DE C CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO INEMÁTICA PLANA UERPOS RíGIDOS

__________________________ ~Problemas~--~--------------------~ ________________~~____~~ Problemas ~--~------~------~--~~ 6.67 El cuerpo cuerpo rígido rígido de la figura figura gira alrededor alrededor del eje z con 6.67 velocidad angular angular w y aceleración aceleración angular angular Ci antihorarias. Deel antihorarias. velocidad termine la aceleración aceleración del punto punto A respecto respecto al punto punto B (a) usanusantermine (6.9); usando la Ec. (6.10). (6.10). do la Ec. (6 .9); (b) usando

6.70 La barra mostrada gira gira con una una velocidad angular conscons6.70 barra mostrada velocidad angular tante de 20 rad/s dirección antihoraria. antihoraria. tante rad/ s en dirección Determine la aceleración aceleración del punto (a) Determine punto B. resultado de la parte la Ec. (6. (6.10) determinar (b) Use el resultado parte (a) y laEc. 10) para para determinar aceleración del punto la aceleración punto A. A.

yy

yy

--/7~B~====~==~-t----x --~~B~====~==~-t----x rad/s 20 rad/s

P6.67 P6.67

6.68 La barra mostrada gira gira con una una velocidad velocidad angular angular antianti6.68 barra mostrada horaria de 5 rad/s rad/s y una una aceleración aceleración angular angular antihoraria antihoraria de 30 horaria rad/s-.2 • Determine Determine la aceleración aceleración de A (a) expresándola expresándola en rad/s coordenadas polares; usando la Ec. (6 (6.9); (e) usando usando la Ec. coordenadas polares; (b) usando .9); (c) (6.10). (6 . 10).

A.

S---x

r--lm~lm~

P6.70 P6.70

P6.71 rueda rueda sobre sobre la superficie superficie plana. 6.71 El disco de la Fig. P6.71 plana. velocidad del punto mis hacia la derecha, derecha, y su La velocidad punto A es de 6 m i s hacia aceleración es de 20 m/ m/s? hacia la derecha. derecha. aceleración s2 hacia ¿Cuál es el vector vector de aceleración aceleración angular angular del disco? (a) ¿Cuál Determine las aceleraciones aceleraciones de los puntos puntos B, e y D. (b) Determine

yy

rad/s?2 5 rad/s rad/s 30 rad/s

~)

'?L )

~----=-~-x ~---=--------= ~ -x

~)

1--1· ---2 1 - - -- - 2

m-------11- 11 m-----

íí

P6.68 P6.68

6.69 La barra mostrada gira gira con una una velocidad velocidad angular angular antianti6.69 barra mostrada horaria de 5 rad/ rad/s s y una una aceleración aceleración angular angular antihoraria antihoraria de 30 horaria rad/s-. Determine la aceleración aceleración de A usando usando (a) la Ec. (6 (6.9), rad/ s2 . Determine .9), (6.10).. (b) la Ec. (6.10)

D D

~mm

~mm

---'--+=''---'--+=''---

----1-''A A - --1--

yy A 5rad/s 5 rad/s~

/'1>

.-____ ~~,=B~---___, ---- x r---------~~~B~------__,-----x

30rad/~C/ 30rad/~ C/ '

~",--/

--x

~",---/

-: ~

P6.71

x

2m 2m P6.69 P6.69


6.4 6.4 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: GENERALES: ACELERACIONES ACELERACIONES

6.72 La La velocidad velocidad yy la la aceleración aceleración angulares angulares de de la la barra barra AB AB 6.72 mostrada spn spn WAB WAB = 22 rad rad/s, 10 rad/s rad/s-,2 . Las dimensiodimensiomostrada / s, aC'I.AB AB = 10 nes de la la placa placa rectangular rectangular son 12 12 pulg xx 24 24 pulg. ¿Cuáles ¿Cuáles son son nes la velocidad y la la aceleración aceleración angulares angulares de de la placa rectangular? rectangular? la

~ ~ 12 pulg 12 ~ "<'

267 267

6.7 4 El 6.74 El disco disco de de la la Fig. Fig. P6.74 P6.74 rueda rueda sobre sobre la la superficie superficie circu/s . lar lar con con una una velocidad velocidad angular angular constante constante horaria horaria de 1 rad rad/s. ¿Cuáles ¿Cuáles son son las aceleraciones aceleraciones de de los los puntos puntos A y B?

/L---/--

20 pulg 20

4 pulg

~

""

~

-x --x

B

12 12 pulg

\

P6.72 P6.72

6.73 Los puntos puntos extremos extremos de la barra barra mostrada mostrada resbalan resbalan sosuperficies planas. Demuestre que la aceleración aceleración del punpunbre las superficies planas. Demuestre to medio G está relacionada aceleración relacionada con la velocidad velocidad y la aceleración angulares de la barra angulares barra por por

P6.74 P6.74

6.75 El engrane engrane anular anular está fijo y el engrane tiene una una engrane central central tiene aceleración angular angular de 10 rad/s 2 en dirección dirección antihoraria. antihoraria. Deaceleración 10 rad/stermine la aceleración aceleración angular angular de los engranes engranes periféricos. termine periféricos.

IJ-- ww22 sen lJ)i(01. sen O IJ + ww22 cos lJ)j]. = 4L[C'1. 4L[a cos O O)i - (a O)j].

aG aG =

/

Engrane anular anular Engrane

Engranes periféricos (3)' Engrane Engrane central central

P6.75 P6.75

P6.73 P6.73

6.76 El El engrane engrane central central del del Probo Probo 6.75 6.75 tiene tiene una una velocidad velocidad 6.76 rad/s yy una una aceleración aceleración angular angular horaria horaria angular antihoraria antihoraria de de 4 rad/ angular rad /s 2 • ¿Cuál ¿Cuál es la la magnitud magnitud de de la la aceleración aceleración de de los los de 12 rad/s-. de puntos centrales centrales de de los los engranes engranes periféricos? periféricos? puntos


268 268


6.77 El El disco disco de de 1 m m de de diámetro diámetro mostrado mostrado rueda rueda y el el punto punto de la la barra barra de de 1 m m de ~e largo largo se se desliza desliza sobre sobre la la superficie superficie plana. plana. B de Determine la la aceler~ción aceleración angular angular de de la la barra barra y la la aceleración aceleración Determine del punto punto B. del

6.80 6.80 La La velocidad velocidad y la la aceleración aceleración angulares angulares de de la la barra barra AB AB mostrada mostrada son son WAB "'AB = = 22 rad/s rad/s y CiAB O!AB = = 66 rad/s-, rad/s 2 • ¿Cuáles ¿Cuáles son son la la velocidad velocidad angular angular yy la la aceleración aceleración angular angular de de la la barra barra BD? BD?

------... -------... .....--:-10 10 rad/s? radls2

y)'

¡1-

radls 4 radls

~

8 pulg pulg

tt

112 2 pulg pulg

B B

2 O~(j;'~--¡----L-j , 1-p~lg_14 1-

P6.77 P6.77

~~~_Lx

A

8 PUlg +

La barra barra AB AB mostrada mostrada tiene tiene una una velocidad velocidad angular cons6.78 La angular constante horaria horaria de de 200 rpm. ¿Cuáles ¿Cuáles son son la velocidad velocidad y la tante 200 rpm. la aceleraaceleración del pistón P? P? ción del pistón

pulg

P6.80 P6.80

En el Probo Probo 6.80, 6.80, si la velocidad la aceleración aceleración angulaangula6.81 En velocidad y la res son W WAB CiAB = -10 -10 rad/s-, res de la barra barra AB AB son A B = 2 rad/s rad/s y O!AB rad/s 2 , ¿cuáles son son la la velocidad aceleración del del punto ¿cuáles velocidad y la aceleración punto D?

ff

2 pulg pulg

~L

WAB = 6 rad/s CiABB = = 20 rad/s-, ¿cuáles son son la ve6.82 Si W AB = rad/ s y O!A rad / s2 , ¿cuáles velocidad y la aceleración aceleración del del punto C? punto C? locidad

P6.78 P6.78

6.79 La barra AB mostrada tiene tiene una La barra AB mostrada una velocidad velocidad angular angular antiantihoraria horaria de 10 rad/s rad/s y una una aceleración aceleración angular angular horaria horaria de 20 rad / s2 • Determine rad/s-, Determine la aceleración aceleración angular angular de la barra barra BC Be y la aceleración aceleración del punto punto C. y )'

-

8 pulg pulg 10 ID radls radls

T T66

y )'

~

o

_..L::.L-_

pulg 3 pulg

t!

I

~

pulg pulg

B

¡---",-

.,

-1--

PUlg~

pulg

o.

e

---x

10 PUlg----1 10 PUlg - - l P6.82 P6.82

\l_--= _ ___ _ _-,:B ..,:B

, ----L---,---x - - - - ' .-.,---- X

P6.79 P6.79


269

6,4 MOVIMIENTOS MOVIMIENTOS GENERALES: 6.4 GENERALES: ACELERACIONES ACELERACIONES

P6.83, un motor motor hace girar girar el disco circular circular 6.83 En la Fig. P6.83, montado eI\ en A, A, moviendo moviendo la sierra sierra en vaivén (la sierra sierra está somontado portada poi poi una ranura horizontal horizontal de manera manera que el punto punto C portada una ranura horizontalmente). . El radio radioAB eslabón se mueve horizontalmente) AB es de 4 pulg y el eslabón BC tiene 14 pulg de largo. largo. En la posición mostrada, ()() = 45 00 BC posición mostrada, Y el eslabón eslabón BC BC está horizontal. horizontal. Si el disco tiene una una velocidad velocidad Y angular constante constante de una una revolucióu revolución por por segundo segundo antihoraria, antihoraria, angular aceleración de la sierra? sierra? ¿cuál es la aceleración

barra AB AB mostrada mostrada gira gira en dirección dirección antihoraria antihoraria con 6.87 La barra una velocidad velocidad angular angular constante una constante de 10 rad/s. rad/s. ¿Cuáles ¿Cuáles son las aceleraciones angulares angulares de las barras aceleraciones barras BC BC y CD? y

I

Be

e

e

y

o rad/s 10 rad/s

~

1-22 pies 1pies

-1-

e 22 pies----l pies----l

P6.87 P6.83

instante mostrado, 6.88 En el instante mostrado, la barraAB barra AB no tiene velocidad velocidad angular pero pero sí una una aceleración angular aceleración angular angular antihoraria antihoraria de 10 2 • Determine rad/s-, Determine la aceleración rad/s aceleración del punto punto E.

una velocidad velocidad angular angular 6.84 En el Probo 6.83, si el disco tiene tiene una constante de una una revolución revolución por por segundo segundo antihoraria antihoraria y ()() constante 18000,, ¿cuál es la aceleración aceleración de la sierra? sierra? 180 P6.85,, si WAB = 2 rad/s, rad/s, CiAB CiAB = 2 rad/s rad/s-,2 , WBe WBe 6.85 En la Fig. P6.85 2 rad/s,s, y CiBe CiBe = 4 rad/s rad/s-, , ¿cuál es la aceleración aceleración del punto punto = 1 rad/ donde se conecta conecta el cucharón cucharón de la excavadora? excavadora? C donde

¡

1 B

TO 400mm

~AIt~--~~~==~iD~~~==E?--x

y

T

~700mm-+~~+700mm~

í

5.5m 5.5 m

P6.88

5m 5m

~~lL --1- --l ~~lL ~4m--+-3m-+2.3m~ -----1-- 3 m

6.89 En la Fig. P6.89, P6.89, si WA WAB CiAB = 100 rad/s-, B = 12 rad/s rad/s y CiAB rad/ s2 , aceleraciones angulares ¿cuáles son las aceleraciones angulares de las barras barras BC BC y CD?

2.3 m

P6.85

velocidad del punto punto C de la excavadora excavadora del Probo 6.86 Si la velocidad 6.85 es ve = 4i (m/s) (mis) y es constante constante en el instante instante mostrado, mostrado, WAB' CiA CiAB' WBe y Y CiBe? CiBe? ¿cuáles son WAB' B' WBe

1

B

~gT I

IlZ I A

o

1---1---

300mm ---1-------1" 300 mm -4 - - - - 350mm 350 mm - -{

P6.89


270


6.90 En la Fig. P6.90, = 4 rad/s P6.90, si si WAB WAB rad/s antihoraria antihoraria y CtAIJ CXAIJ 12 12 rad/s rad/s- 2 antihoraria, antihoraria, ¿cuál es la aceleración aceleración del punto punto C? t yy

e •

6.95 Si la velocidad velocidad del punto punto C de la excavadora excavadora del Probo 2) en el instante 6.85 es cero y su aceleración aceleración es ace = 4i (m/s (rri/s-) instante mostrado, B, aAB, mostrado, ¿cuáles son WA WAB, CXAB' WB WBCe Y aBe? CXBC?

B

1 1

6.96 El engrane engrane anular anular mostrado mostrado está fijo y los engranes engranes piñón piñón y periférico periférico están están unidos. unidos. La barra barra conectora conectora tiene una una aceleración aceleración angular angular antihoraria antihoraria de 10 10 rad/s rad/s-.2 • Determine Determine las aceleraciones angulares angulares de los engranes engranes periférico periférico y central. central. leraciones

600rnm 600rnm 500rnm

EL

A 00 11 A

-- -

6.94 6.94 En el Probo 6.92, si se quiere quiere que el brazo brazo CD permanezpermanezca vertical vertical y que la pane parte D tenga tenga velocidad velocidad VD = 1.0i (m/s) (m/s) y aceleración aceleración nula, nula, ¿cuáles son las velocidades velocidades angulares angulares y aceleraciones angulares angulares necesarias necesarias de los brazos brazos AB AB y BC? raciones

x

A

11-300-300mm rnm P6.90 P6.90

WABB = 6 rad/ rad/ss horaria horaria y 6.91 En el Probo 6.90, si WA aceleración del punto punto C? ¿cuál es la aceleración

CXDE aDE

= 0, O,

Engrane piñón Engrane Barra conectora conectora

á&.

= --~"'"

brazoABde la Fig. P6.92 P6.92 tiene una una velocidad velocidad angu6.92 Si el brazoABdelaFig. constante horaria horaria de 0.8 rad/s, rad/s, el brazo una velocibrazo BCtiene BC tiene una lar constante angular constante constante horaria horaria de 0.2 rad/s, rad/s, y el brazo brazo CD perdad angular vertical, ¿cuál es la aceleración aceleración de la parte parte D? manece vertical, yy

Engrane anular

P6.96 P6.96

T T 170rnm 170rnm

!.~

;lL.-1l-y"-----

x

~

D D

varilla de acoplamiento acoplamiento del Probo 6.96 tiene una una velo6.97 La varilla cidad angular angular antihoraria antihoraria de 4 rad/s rad/s y una una aceleración aceleración angular angular cidad horaria de 12 12 rad/s rad/s-.2 . Determine Determine la magnitud magnitud de la aceleración aceleración horaria punto A. del punto A. Fig. P6.98, P6.98, la rueda dentada grande grande está fija. La 6.98 En la Fig. rueda dentada velocidad yy la aceleración aceleración angulares angulares de la barra barra AB WAB = velocidad AB son WAB rad/ss y aAB CXAB = 4 rad/s-. Determine las aceleraciones aceleraciones angulaangula2 rad/ rad/s 2 • Determine barras CD y DE. DE. res de las barras 4 --!pulg r---16 PUlgin - + 10 10pulg - j pulg f - - - 16 pulg-

B

ee

IDD

P6.92 P6.92

brazo AB 6.93 En el Probo 6.92, si el brazo AB tiene una una velocidad velocidad angular constante constante horaria horaria de 0.8 rad/ rad/ss y se quiere quiere que la parte parte gular D tenga velocidad velocidad y aceleración aceleración nulas, nulas, ¿cuáles son las velocidavelocidaD angulares y aceleraciones aceleraciones angulares angulares necesarias necesarias de los brazos brazos des angulares BC BC y CD?

-LJ:tlL.---40l-----""'-~

--'c..u"'----'-fo}-----.=t.-~


-------- - - - -

E

P6.98 P6.98

6.5 CONTACTOS CONTACTOS DESLIZANTES DESLlZANTES 6.5

6.5 Contactos deslizantes Aquí consideraremos un tipo superficialmente similar similar a los Aquí consideraremos tipo de problema problema superficialmente analizado en este capítulo, capítulo, pero que ya hemos hemos analizado pero que requiere requiere un método método solución diferente. diferente. Por ejemplo, supongamos supongamos que conocemos conocemos la velocide solución Por ejemplo, v~loci aceleración angulares angulares de la barraAB queremos dad y la aceleración barraAB de la Fig. 6.30 y que queremos determinar la velocidad aceleración angulares angulares de la barra determinar velocidad y la aceleración barra AC. AC. No podemos ecuación VA = V B + w X r Al expresar la velocidad podemos usar usar la ecuación VA = A l B para para expresar velocidad función de la velocidad dedujimos del punto punto A en función velocidad angular angular de AB, AB, porque porque la dedujimos bajo supuesto de que A y B son puntos cuerpo rígido. bajo el supuesto puntos del mismo mismo cuerpo rígido. A no es parte conforme el parte de la barra barra AB, pero pero se mueve mueve respecto respecto a ella conforme pasador ejemplo de contacto contacto deslizante deslizante pasador se desliza por por la ranura. ranura. Éste es un ejemplo entre cuerpos cuerpos rígidos. debemos volver a entre rígidos. Para Para resolver resolver tales problemas, problemas, debemos deducir las Ecs (6.8)-(6.1O) sin suponer suponer que A es un punto cuerpo. punto del cuerpo. deflucir Ecs"-.(6.8)-(6.1O) Figura 6.30 Eslabón con un contacto deslizante.

suponemos que el sistema sistema coordenado coordenado está está fijo al cuerpo cuerpo En la Fig. 6.31 suponemos y que B es un cuerpo rígido, suponemos que A es un un punto punto del cuerpo rígido, pero pero no suponemos punto cuerpo rígido. La posición punto del cuerpo rígido. La posición de A respecto respecto a O es rA=rB+xi+yj+zk, rA = fB+xi+yj+zk, '-v-" ~

rAjB donde x, y y Z son las coordenadas sistema coordenado coordenado fijo donde coordenadas de A en el sistema cuerpo. El siguiente siguiente paso derivar respecto expresión al cuerpo. paso es derivar respecto al tiempo tiempo esta expresión obtener una ecuación para deA. Al hacerlo una ecuación para la velocidad velocidad deA. hacerlo así reconoreconoa fin de obtener

Figura 6.31

y

Punto Punto B de un cuerpo rígido, rígido , sistema coordenado fijo al cuerpo y punto arbitrario A. arbitrario !II=------¡~--

x

zz


271

272

CAPíTULO CAPíTULO 6 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

cemos que los vectores vectores unitarios unitarios i, j Y k no son constantes constantes ya que giran giran con el sistema sistema coordenado coordenada fijo al cuerpo: cuerpo: VA =VB = VB VA

dx di dy ; dj dz dx . dy. dj dk + I + X - +-j+ + - j + yy- +-k+z-. + -k+z-. + -I+Xdt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt

¿Cuáles derivadas respecto respecto al tiempo tiempo de los vectores vectores unitarios? unitarios? ¿Cuáles son las derivadas En la Seco mostramos que si rrp1B posición de un punto punto P de un En Seco 6.3 mostramos p1B es la posición cuerpo rígido respecto respecto a otro punto B del mismo mismo cuerpo rígido, drplB/dt drplB/dt cuerpo rígido otro punto cuerpo rígido, = =W Puesto que podemos podemos considerar vector unitario unitario = V Vp1B W X rrplB considerar al vector p1B = plB. . Puesto ii como vector posición posición de un punto punto P del cuerpo rígido (Fig. 6.32), su como el vector cuerpo rígido derivada respecto al tiempo tiempo es di/ di! dt dt == w X x i. Aplicando Aplicando el mismo mismo razonarazonaderivada respecto miento a los vectores vectores unitarios unitarios j y k obtenemos miento obtenemos . di X 1, - =w =WXI dt ' dt

. dj dt = W x j, dt = j,

Figura 6.32 Figura

dk - =wxk. =w xk. dt dt

yy

Interpretación de ii como como vector Interpretación vector de posición posición de un punto punto P respecto respecto a B.

P ____ B~~~~ B')-_~ ••... -_-x x

z

Usando expresiones podemos escribir la velocidad como Usando esas expresiones podemos escribir velocidad del punto punto A como V VA

=V = VB

+~ ~ Arel Arel + W

(6.11)

x r Al Al B, '

VAIB VAIB

donde donde dx ; dy. dy ; dz dx. dz VA l=-I+-j+-k l=-I+-j+-k re dt dt dt re dt dt dt

(6.12)

sistema coordenado coordenada fijo al cuerpo. cuerpo. Esto es la velocidad velocidad deA deA respecto respecto al sistema Esto es, cuerpo rígido. es la velocidad velocidad de A relativa relativa al cuerpo rígido. La Ec. (6.11) expresa expresa la velocidad como la suma suma de tres velocidad de un punto punto A como términos cuerpo rígido, términos (Fig. 6.33): la velocidad velocidad de un punto punto B del cuerpo rígido, la velo-

V A rel rel

Figura 6.33 Figura Expresión Expresión de la velocidad velocidad de A en función de la velocidad función velocidad de un punto punto B cuerpo rígido. del cuerpo rígido.

A

+


+

6.5 6.5 CONTACTOS CONTACTOS DESLIZANTES DESLlZANTES 273

n

cidad w X rrAfB rotación del cuerpo rígido, respecto a B debido debido a la rotación cuerpo rígido, A I B de A respecto y la velocidad respecto al cuerpo rígido. velocidad VA rel de A respecto cuerpo rígido. Para punto A, derivamos Para ol)tener obtener una una ecuación ecuación de la aceleración aceleración del punto derivamos respecto usamos la Ec. (6.12). El resultado resultado es respecto al tiempo tiempo la Ec. (6.11) y usamos aA aA

= = aB aB

+ ~Arel VArel + a ~Arel + 2w X VArel

/B x rA rA/B

+w

x (w x rrA/B): A/ B):

(6.13)

aA/B aA/B

donde donde (6.14) es la aceleración aceleración de A respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado fijo al cuerpo. cuerpo. Los términos velocidad y la aceleración punto A restérminos v A y aA son la velocidad aceleración del punto respecto al punto punto O. pecto a un sistema sistema coordenado coordenado sin giro que es fijo respecto términos VA rel Y aA rel son la velocidad aceleración del punto Los términos velocidad y la aceleración punto A medidas por por un observador observador que se mueve con el cuerpo cuerpo rígido medidas mueve con rígido (Fig. 6.34). punto del cuerpo cuerpo rígido, cero, y las Ecs. (6.11) Si A yS un punto rígido, VA rel Ya Y aAA rel son cero, idénticas a las Ecs. (6.8) y (6.9). y (6.13) son idénticas movimiento bidimensional expresar la Ec. En el caso del movimiento bidimensional podemos podemos expresar (6.1J) en la forma forma más sencilla sencilla (6.1J) aA aA

= aB aB =

~Arel + 2w X VArel a + ~Arel VArel + a

x rA/B {JirA/B,'/ B, ' x rA / B - úirA

(6.15)

aA/B aA /B

6.34 Figura 6.34

o

Imagínese a usted mismo en en' reposo respecto al cuerpo rígido.

x

siguientes ejemplos ejemplos analizaremos analizaremos los movimientos movimientos de eslabones eslabones con En los siguientes contactos deslizantes. deslizantes. Se puede aplicamos a puede usar el mismo mismo método método que aplicamos contactos sistemas de cuerpos cuerpos rígidos rígidos articulados, articulados, empezando empezando con puntos cuyas velosistemas puntos cuyas aceleraciones se conocen conocen y aplicando cidades y aceleraciones aplicando las Ecs. (6.11) y (6.15). http://carlos2524.jimdo.com/

274

CAPíTULO INEMÁTICA PLANA CAPíTULO 6 C CINEMÁTICA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Ejemplo 6.8

e l' - - - - 800 800 mm rnm 1

una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria de 2 rad/s rad/s La barra barra AB AB de la Fig. 6.35 tiene una una aceleración aceleración angular angular antihoraria antihoraria de 10 10 rad/s rad/s-,2 • y una Determine la velocidad velocidad angular angular de la barra barra AC velocidad del pasador (a) Determine AC y la velocidad pasador A respecto respecto a la ranura ranura de la barra barra AB. AB. Determine la aceleración aceleración angular angular de la barra aceleración del pasador pasador (b) Determine barra A C y la aceleración A respecto respecto a la ranura ranura en la la barra barra AB. AB. e


----l ------l

Podemos usar usar la Ec. (6.11) para para expresar expresar VA en función función de la velocidad velocidad de A Podemos respecto a la ranura ranura en la barra velocidad angular angular conocida conocida de la barra barra respecto barra y la velocidad AB. puntos de la barra barra AC, también expresar expresar AB. A Y C son puntos AC, por por lo que podemos podemos también función de la velocidad velocidad angular angular de AC manera usual. usual. Igualando Igualando VA en función AC de la manera las expresiones expresiones resultantes resultantes para obtenemos una una ecuación ecuación vectorial vectorial en funpara VA' A' obtenemos velocidad de A respecto respecto a la ranura ranura y de la velocidad velocidad angular angular de ción de la velocidad AC. Luego, procediendo pero esta esta vez usando usando la Ec. Ec. (6.15), obtenemos obtenemos AC. Luego, procediendo igual pero la aceleración aceleración de A respecto respecto a la ranura ranura y la aceleración aceleración angular angular de la barra barra A C.

Figura 6.35 yy

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Aplicando la Ec Ec.. (6 (6.11) (a) Aplicando . 11) a la barra barra AB AB (Fig. a), la velocidad velocidad de A es

B [eri:Y"'- - - - - - - =

VA =

VB

+ VArel +

WAB

x

rAjB

l' 800 mm rnm ~ -----j 1---800 Expresión de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración (a) Expresión función de la velocidad velocidad y la de A en función aceleración angulares barra AB. aceleración angulares de la barra AB. yy

= + = O+VArel 0+ VAre!+

i

j

0.8

004

I O~ O~ ~ l· I 0.8 004 O

Suponiendo que el sistema sistema coordenado coordenado de la Fig. (a) está fijo respecto respecto a la barra Suponiendo barra reles velocidad de A relativa relativa a este sistema sistema coordenado. coordenado. VA rel es la velocidad No conocemos conocemos la magnitud magnitud de VA rel' reí- pero dirección es paralela paralela a la ranura ranura pero su dirección Por consiguiente, consiguiente, podemos expresarla como como (Fig. b). Por podemos expresarla

AB, velocidad AB, la velocidad

T

.í.. lx 400rnm 400 mm

J--I· -11-,--

800 rnm -----j 800mm~

VAre!= VArel VArel {3ii + VArel VA re!sen{3 VArel COS f3 senf3 j, donde f3 == arctan arctan (0.4/ (0.4/0.8). expresión en la ecuación ecuación para donde 0.8). Sustituyendo Sustituyendo esta expresión para v A obtenemos obtenemos V VA= (VA re!COS {30.8) i + (VArel (VArelsenf3 sen{3+ 1.6) j. VA = (VArelcosf3 - 0.8)i + 1.6)j.

Dirección de la velocidad velocidad de A (b) Dirección

W A Cla velocidad angular angular de la barra C (Fig. c). e). Expresando Expresando la velocidad velocidad Sea WAC la velocidad barra A AC función de la velocidad velocidad de C obtenemos obtenemos de A en función

respecto al sistema respecto sistema coordenado fijo al cuerpo. cuerpo. coordenado

VA = VC+WACXrAjC VA=VC+WACxrA/C =0 0++ (WAC (WAC k) x (OAj) (Oo4j) =

400 mm B

-Oo4wAc i. = -OAwAc

-1

Expresión de la velocidad velocidad y la aceleración aceleración (e) Expresión función de la velocidad velocidad y la de A en función aceleración angulares angulares de la barra aceleración barra A C.

Observe que no aparece aparece ningún ningún término término de velocidad velocidad relativa relativa porque porque A es un Observe punto Igualando las dos expresiones expresiones para VA obtenemos punto de la barra barra AC. A C. Igualando para V A obtenemos (VArelcos{3- 0.8)i+ 0.8)i+ (vArelsenf3 (VAreISen{3 1.6)j = --Oo4wACi. (VArelcosf3 + 1.6)j OAwAci.


6.5 CONTACTOS CONTACTOS DESLIZANTES DESlIZANTES 6.5

Igualando las componentes componentes i y j resultan resultan las dos ecuaciones ecuaciones Igualando VArel cosf3 VArel cos fi - 0.8

-O.4WAC,C, = -O.4WA

VArelSenf3 1.6 = O. O. VArelSenfi + 1.6 Resolviéndolas obtenemos obtenemos VA VA rel rel = -3.58 -3.58 mis mis y WAC = 10 10 rad/s. rad/s. En este insResolviéndolas tante, el pasador pasador A se está moviendo moviendo respecto respecto a la ranura ranura a 3.58 mis mis hacia hacia tante, reles B. El vector vVAA rel es VA

rel == -3 -3.58(cos {3i + sen (3j) (3j) rel .58(cos {3i

= =

-3.2i - 1.6j (m/s). (m/s). -3.2i

Aplicando la Ec. (6.15) a la barra barra AB (Fig. b), la aceleración aceleración de A es (b) Aplicando

a o

=

O+ aAre!+ 21 O + aArel + 21

~~ -3.2.2 -3

jj

jj

O O

O O -1.6 -1.6

0.8

k

O 10 O 0.4

O O

-(2)2(0.8 i + 0.4 j). -(2)2(0.8 j). relativa al sistema sistema coordenado coordenado de cuerpo cuerpo fijo es paralela paralela La aceleración aceleración de A relativa a la ranura por lo que podemos podemos escribirla escribirIa como para VA rel: ranura (Fig. d), por como lo hicimos hicimos para vArel:

yy

T

aArel= aArel cos senf3j.j. aArel COS f3 fi i + aArel senfi

400 mm 400rnrn

Sustituyendo esta Sustituyendo esta expresión expresión en la ecuación ecuación para para aaAA resulta resulta aA 0.8)i + (aArelsenf3 aA = (aArel (aArel cosf3 cosfi - 0.8)i (aArelsenfi - 6.4)j. 6.4)j. Expresando Expresando la aceleración aceleración deA deA en función función de la aceleración aceleración de C(Fig. e (Fig. e) c) tenemos tenemos obtain

B e

~

lx

f3

1--1,-'--- 1

800 800 rnrn mm

-l ----l

(d) Dirección Dirección de la aceleración aceleración de A

respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al cuerpo. cuerpo.

= (1W(O.4j)j) = 0+ 0+ (aAC (CtAC k) x (O.4j) (0.4 j) - (1W(O.4

= -O.4aAc -O.4CtAC i -

40j. 40j.

Igualando Igualando las expresiones expresiones para para aaAA obtenemos obtenemos (a os f3 enf3-- 6.4) j (a Arel Arel ccos fi -- 0.8) i + (a (a Arel Arel ssenfi d

=

-O.4aAC j. -O.4CtAC i - 40 40j.

Igualando Igualando las componentes componentes i y j resultan resultan las dos ecuaciones ecuaciones aArel cos f3 - 0.8

=

-O.4aAC,

aA aA relsenf3 rel senfi - 6.4 = = -40. -40.

Resolviéndolas Resolviéndolas obtenemos obtenemos aaAA rel rel = = -75.13 -75.13 m/sm/s 2 y aAC CtAC = = 170 rad/s-. rad/s 2 • En En este este instante, instante, el pasador pasador A A está acelerando acelerando respecto a la ranura ranura a 75.13 rn/s? m/s 2 hacia hacia B. B. n


275

276


Ejemplo 6.9

f

La barra AB de la Fig. 6.36 gira con velocidad barra AB velocidad angular angular antihoraria antihoraria constante constante de 1 rad/s. una ranura rad/s. El bloque bloque B se desliza desliza en una ranura circular circular en la barra barra curva curva Be. En el instante instante mostrado, mostrado, el centro centro de la ranura ranura circular circular está en D. Determine Determine velocidad y la aceleración aceleración angulares angulares de la barra barra Be. la velocidad

!


350rnm A

.~ rnm

o

l

~ll:-~

Como conocemos conocemos la velocidad velocidad angular angular de la barra barra AB, podemos determinar determinar Como AB, podemos velocidad del punto punto B. Como Como B no es un punto punto de la barra barra Be, BC, debemos debemos la velocidad aplicar la Ec. (6.11) a los puntos puntos B y e. C. Igualando Igualando las expresiones expresiones para para VB' VB, aplicar podemos despejar despejar la velocidad velocidad angular angular de la barra barra Be. BC. Luego, Luego, siguiendo siguiendo la podemos misma secuencia secuencia de pasos pasos pero esta vez usando usando la Ec. (6.15), podemos podemos determidetermimisma pero esta nar la aceleración aceleración angular angular de la barra barra Be. BC. nar

Figura 6.36

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Para determinar determinar la velocidad velocidad de B, la expresamos expresamos en función función de la velocidad velocidad Para velocidad angular angular de la barra barra AB: = VA + WAB WAB X rB/ rB/AAB: vB = A- En el de A y la velocidad sistema coordenado vector de posición respecto a A es sistema coordenado de la Fig. (a), el vector posición de B respecto

y

rBjA rB/A

+ 0.500cos,8) 0.500cos {J) ii + + 0.350j 0.350j = 0.857 ii + + 0.350j 0.350j (m), = (0.509 +

donde {3 {3 = = arcsen arcsen (350/500) (350/500) = = 44.400• • Por Por tanto, tanto, la velocidad velocidad de Bes B es donde

VB = VA + WAB x rBjA = 0+1 VB=VA+WABxrB/A=o+1

~

~ 0.857

i

~ 0.350

-0.350 i + + 0.857 j = -0.350i Determinación de la velocidad velocidad del (a) Determinación punto B. punto y

kOl lI kol

(6.16)

(m/s).

Para aplicar aplicar la Ec. (6 (6.11) puntos B y e, C, introducimos introducimos un sistema sistema coordenacoordenaPara .11) a los puntos origen en e C que gire con la barra barra curva curva (Fig. b). La velocidad velocidad de B es do con su origen VB

Vc + VBrel VBrel + WBC WBC = Vc

(6.17)

rBjC·C· xx rB/

roBC

aBC

posición de B respecto respecto a e C es El vector vector de posición rBjC C rB/

-(0.500 = -(0.500

0.500cos {J) ii + + 0.350j 0.350j 0.500cos,8)

-0.143 ii + + 0.350j 0.350j (m). = -0.143

Con respecto respecto al sistema coordenado fijo cuerpo, el punto punto B se mueve en eon sistema coordenado fijo al cuerpo, una trayectoria trayectoria circular circular alrededor alrededor del punto punto D (Fig. c). e). En función función del ángulo ángulo una {3,el vector VV B rel rel es {3, el vector V B rel rel V

Sistema coordenado coordenado fijo con (b) Sistema

{3i + vVBB rel rel cos COS {3j. {3j. = --VBV B rel rel sen {3i

Sustituimos estas expresiones expresiones para para Sustituimos

rB/e rB/c

rel en la Ec. (6.17), y obtenemos obtenemos Y vV B rel

respecto a la barra barra curva. curva. respecto

ii

vBB =

rel --VB VB rel

{3i + sen {3i


rel COS COS VB rel

{3j + {3j

O -0.143 II -0.143

j

O 0.350

6.5 CONTACTOS DESLlZANTES 6.5 CONTACTOS DESLIZANTES

Igualando esta esta expresión expresión para para Igualando ecuaciones las ecuaciones

VB

con su valor valor dado dado en la Ec. Ec. (6.16) (6.16) resultan resultan con

yy

\t

-UB rel rel -sen sen (3 (3 - 0.350WBC 0.350WBC -UB

-0.350, -0.350,

UBrel cos cos (3 (3 - 0. 0.143wBc UBrel 143wBc

0.857. 0.857.

Resolviéndolas obtenemos vBB rel rel = 1.0 1.0 m mis -1.0 0 rad rad/s. Resolviéndolas obtenemos i s y WBC = -1. / s. Seguimos la misma misma secuencia secuencia de de pasos pasos para para determinar determinar la aceleración aceleración anguanguSeguimos lar barra Be. La La aceleración aceleración del punto B B es del punto lar de la barra aB

= a, + QAB

= O+ O-

X

(e) Velocidad Velocidad de de B respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al al cuerpo. cuerpo.

rBIA - w~BrBIA

(1)2(0.857 i + 0.350j) 0.350j) (1)2(0.857

-0.857i = -0.857i

D--"-----W1 D

(6.18) (6.18)

2). 0.350j (m/s (m/s"), 0.350j

Como el movimiento movimiento del del punto punto B respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado fijo Como fijo al cuercuerpo es una una trayectoria trayectoria circular circular alrededor alrededor del del punto punto D, existe una una componente componente D , existe po tangencial de de aceleración, aceleración, que llamamos llamamos aBt ,, Y una una componente componente normal de de tangencial que normal 2Bre/(0.5 aceleración V V2Bre /(0.5 m). Estas Estas componentes componentes se muestran muestran en la la Fig. Fig. (d). (d). En En aceleración m). función del del ángulo ángulo (3, {3, el vector vector aB rel rel es función

yy

aaBB rel rel = -a -aBtBI sen sen (3i {3i + a aBt cos (3j {3j BI cos -(U~ re/0.5) re/0.5) cos cos (3i {3i - (u~ (u~ reI/0.5) rel/0.5) sen sen (3j. {3j. -(U~

Aplicando Aplicando la la Ec. Ec. (6.15) (6.15) a los los puntos puntos B y

e, la la aceleración aceleración de B es (d) Aceleración Aceleración de de B respecto respecto al al sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al al cuerpo. cuerpo.

oo -

aBt sen (3i {3i + a aBt cos (3j (3j a BI sen BI cos

-[(IWO.5] cos (3i {3i - [(1)2/0.5] [(1)2/0.5] sen sen (3j {3j -[(lWO.5] cos

+

2\ ~~

+

O O

~~

--(1) (1) sen sen (3 (3 (1) (1) cos cos (3 (3 ii

\\ -0.143 -0.143

~~

~1~1O \\

kk \-(-1)2(-0.143i 0.350j). aCXBCBC\-(1)2(- 0.143i + 0.350j).

0.350 0.350

oO

Igualando esta esta expresión expresión para para aB con con su valor valor dado dado en la Ec. Ec. (6.18) (6.18) resultan resultan Igualando las ecuaciones ecuaciones las -aBlBl sen sen (3 {3 - 0.350aBC 0.350CXBC -a

0.143 = = -0.857, -0.857, + 0.143

aBl cos (3 {3 - 0. 0.143cxBC 0.350 = -0.350. -0.350. a 143aBc - 0.350 Bt cos

Resolviéndolas obtenemos aBt = 00408 00408 m m/s? CXBC = 2.040 2.040 rad rad/s-. Resolviéndolas obtenemos / s2 y aBC / s2.


277

278


•••••

••••~~~~~Problemas Problemas

6.99 La barra barra mostrada mostrada gira con velocidad velocidad angular angular constante constante antihoraria antihoraria de 10 rad/s rad/s y el manguito manguito A se desliza a 4 pie/s pie/s con determinar la velocirespecto respecto a la barra. barra. Use la Ec. (6.11) (6.11) para para determinar dad de A. y

rad/s/s 10 rad

B

~_~

1I----~_.....-

6.103 La barra AC tiene una angular de 2 rad/s rad/s barra AC una velocidad velocidad angular dirección antihoraria antihoraria que está disminuyendo en dirección disminuyendo a razón razón de 4 ranura de la barra barra BD. rad/ s2 . El pasador rad/s-. pasador en C se desliza en la ranura (a) Determine barra BD BD y la velocidad velocidad Determine la velocidad velocidad angular angular de la barra del pasador pasador respecto respecto a la ranura. ranura. barra BD y la aceleraacelera(b) Determine Determine la aceleración aceleración angular angular de la barra ción del pasador ranura. pasador respecto respecto a la ranura.

pie/s 44 pie/s

D

rfF:?~1======~:o5IE·;,-:::::::::::=;:¡ - - - - x

====~-------x

I . _2Pi~~A ~

__ /~::::=:=p=ies=~====~i{J5.~~<--;.

---' _________ ....

COi

P6.99 P6.99

4 pulg

1

manguito A del Probo 6.99 se desliza con respecto respecto 6.100 El manguito barra a una velocidad velocidad constante constante de 4 pie/ pie/s.s. Use la Ec. (6.15) (6.15) a la barra para determinar determinar la aceleración aceleración de A. para

1-. pulg -----·1 ¡..1·----7 pulg

manguito Cmostrado Cmostrado se desliza a 11mis respecto 6.101 El manguito mis con respecto barra BD. ¿Cuál ¿Cuál es su velocidad? velocidad? a la barra

- ._ _ _ _yl l_ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _

~~-4~rn~d~h--~:lfrml/~s:.~~D I

le

=----1

------'7

- -- - - -- --1

P6.103 P6.103

sistema del Probo 6.103, 6.103, la velocidad 66.104 . 104 En el sistema velocidad del pasador pasador respecto a la ranura ranura es de 21 21 pulg/ pulg/s s hacia hacia arriba arriba y disminuye disminuye C respecto pulg/s-, ¿Cuáles son son la velocidad a razón razón de 42 pulg/ s2 • ¿Cuáles velocidad y la aceleraaceleración angulares angulares de la barra barra A C? 6.105 En el sistema sistema del Probo 6.103, 6.103, ¿cuáles 6.105 ¿cuáles deberían deberían ser la velocidad y la aceleración aceleración angulares angulares de la barra velocidad barra A C si se quiere quiere velocidad y la aceleración aceleración angulares angulares de la barra barra BD sean que la velocidad rad/s antihoraria antihoraria y de 24 rad/s rad/s- 2 antihoraria, antihoraria, respectivarespectivade 4 rad/s mente? mente?

600 mm

L 2""!i"d_'_S,_'____ - - - -- - -x I¡..·-----~ ------~

barra AB AB mostrada mostrada tiene tiene una 6.106 La barra una velocidad velocidad angular angular de rad/s s en dirección dirección horaria. horaria. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad del pasador pasador 4 rad/ B respecto respecto a la ranura? ranura? B

P6.101 ¿ 2

Proboo6.101 6.101 las aceleraciones aceleraciones angulares angulares de las dos 6.102 En el Prob barras son cero y el manguito manguito C se desliza con una una velocidad velocidad barras constante de 11mi respecto a la barra barra BD. ¿Cuál ¿Cuál es la aceleconstante mi s con respecto ración del manguito manguito C? ración

• •

1 1 60rnm

A o A

11--l· ·- -

80 mm rnm 80

----l--·35 rnm ------+1 P6.106 P6.106


279

6.5 CONTACTOS CONTACTOS DESLIZANTES DESLlZANTES 6.5

/s 4 d

6.107 En el sistema sistema del Probo 6.106, la barra barra AB una AB tiene una velocidaq angular angular de 4 radls rad/s en dirección dirección horaria horaria y una una aceleraaceleravelocidad, angular de 10 10 rad/s rad/s- 2 en dirección dirección antihoraria. antihoraria, ¿Cuál ¿Cuál es la ción angular aceleración del pasador pasador B respecto respecto a la ranura? ranura? aceleración

velocidad angular angular WAC WAC 5°/s = SOis 6.111 En el Probo 6.110, si la velocidad 2 2 aceleración angular angular
brazoABmostrado gira a4 a4 radl rad/ss en dirección dirección horahora6.108 El brazoABmostrado Determine la velocidad velocidad angular angular del brazo brazo BC BCyy la velocidad velocidad ria. Determine respecto a la ranura ranura en el brazo brazo BC. del punto punto B respecto

manguito en el punto punto A de la figura figura se desliza desliza hacia hacia 6.112 El manguito arriba con velocidad velocidad constante constante de 10 10mis. barraACse deslim i s. La barraACse arriba través del manguito manguito en B. B. Determine Determine la velocidad velocidad angular angular za a través barraACy la velocidad velocidad con que se desliza respecto respecto al manmande la barraACy guito en B. B. guito

a-

)10

) 10mis mis

PUlg~

1--~+-----10 1---.¡---10 PUlg~ 2 pulg

P6.108 P6.108

e P6.112 P6.112

03

brazo AB 6.108 gira con una una velocidad velocidad 6.109 El brazo AB del Probo 6. 108 gira angular constante constante de 4 radl rad/ss en dirección dirección horaria. horaria. Determine Determine angular la aceleración aceleración angular brazo BC y la aceleración aceleración del punto punto angular del brazo respecto a la ranura ranura en el brazo brazo BC. B con respecto

a e

velocidad angular angular WAC WAC 5°/s. Determine Determine la velo6.110 La velocidad = SOis. cidad angular angular del actuador actuador hioráulico hidráulico BC y la razón razón a la que cidad extiende. se extiende.

n

manguito en A se desliza hacia hacia 6.113 En el Probo 6.112, el manguito arriba con velocidad constante de 10 10mis. Determine la aceleraaceleraarriba velocidad constante m i s. Determine angular de la barra barra A Cy Cy la razón razón de cambio cambio de la velocidad velocidad ción angular desliza respecto respecto al manguito manguito en B. con que se desliza bloque A mostrado mostrado se desliza hacia hacia arriba arriba sobre sobre la 6.114 El bloque superficie inclinada inclinada a 2 pie/s. pie/s. Determine Determine la velocidad velocidad angular angular superficie barra A C y la velocidad velocidad del punto punto C. de la barra AC yy

e

pies 6 pulg pulg 44 pies

------------------~----~----+_----x

---I-+--'l, ------¡.~

pies 6 pul pies P6.114 P6. 114

P6.110 P6.110

bloque A se desliza hacia hacia arriba arriba 6.115 En el Probo 6.114, el bloque sobre la superficie superficie inclinada inclinada a una una velocidad velocidad constante constante de 2 sobre piel S. Determine Determine la aceleración aceleración angular angular de la barra barra A C y la acepiel s. leración del punto punto C. leración


280 280


6 .116 La La velocidad velocidad angular angular del cucharón cucharón mostrado mostrado es de 1.0 6.116 rad/s horaria. horaria. Determine Determine la razón razón a la que que se está está extendiendo extendiendo rad/s actuador hidrátilico hidrátlico AB. AB. el actuador

6.121 En En el Probo 6.120, 6.120, el 'disco 'disco rueda rueda sobre sobre la superficie superficie plana plana con con una una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria constante constante de 10 rad/s. rad/s. Determine Determine la aceleración aceleración angular angular de la barra barra AB. AB. 6.122 6.122 La La barra barra BC BC de la figura figura gira gira con con una una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria de 2 rad/s. rad/s. Un Un pasador pasador en B se desliza desliza en una una ranura ranura circular circular de la placa placa rectangular. rectangular. Determine Determine la velocidad velocidad angular angular de la placa velocidad a la que que el pasador pasador se desliza desliza respecto respecto placa y la velocidad a la ranura ranura circular. circular.

P6.116 P6.116

6.117 La La aceleración aceleración angular angular del cucharón cucharón del Probo 6.116 es cero. cero. Determine Determine la razón razón de cambio cambio de la razón razón a la que el actuador hidráulico AB AB se está está extendiendo. extendiendo. actuador hidráulico

-¡ 30mm

~

6.118 Suponga Suponga que la barra barra curva curva del Ej. Ej. 6.9 gira gira con una una velocidad angular antihoraria de 2 rad/s. rad/ s. velocidad angular antihoraria velocidad angular barra AB? AB? (a) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad angular de la barra (b) ¿Cuál velocidad del bloque bloque B respecto respecto a la ranura? ranura? ¿Cuál es la velocidad 6.119 Suponga barra curva una velociSuponga que la barra curva del Ej. 6.9 tiene una dad horaria de 4 rad/s rad/s y una una aceleración dad angular angular horaria aceleración angular angular antiantihoraria de 10 10 rad/s-. ¿Cuál es la aceleración aceleración angular angular de la bahoraria rad/s 2 • ¿Cuál rra rra AB? AB? 6.120 El disco mostrado rueda sobre plana con mostrado rueda sobre la superficie superficie plana una velocidad angular rad/ s. La barra barra AB una velocidad angular antihoraria antihoraria de 10 rad/s. AB se desliza sobre sobre la superficie superficie del disco enA. en A. Determine Determine la velocidad angular angular de la barra barra AB. AB.

40 mm--J..,~-- -¡.- - - 60 60 mm----j mm - - 1 P6.122 P6.122

La barra BC del Probo 6.122 gira con una 6.123 La barra BC una velocidad velocidad angular antihoraria antihoraria constante constante de 2 rad/s. acelerarad/s. Determine Determine la aceleraangular ción angular angular de la placa. placa. 6.124 Derivando usando 6.124 Derivando respecto respecto al tiempo tiempo la Ec. (6.11) y usando deduzca la Ec. (6.13). la Ec. (6.12), deduzca

10rad/,::

lOra~

----'----l------~

A

oo B

P6.120 P6.120


6.6 EN ROTACiÓN COORDENADOS ROTACiÓN 6.6 SISTEMAS COORDENADOS

'e

o

a o

281

6.6 Sistemas coordenados coordenados en rotación rotación yy

En nuevo el movimiento un punto En esta esta sección sección veremos veremos de de nuevo movimiento de de un punto y la la segunda segunda ley de Newton, Newton, estudiados estudiados en en los los Caps. Caps. 2y 2y 3. En En algunos algunos casos casos es conveconveniente niente describir describir el movimiento movimiento de un un punto punto usando usando un un sistema sistema coordenado coordenado que respecto que gira. gira. Por Por ejemplo, ejemplo, para para medir medir el movimiento movimiento de de un un punto punto respecto a un un vehículo vehículo en movimiento, movimiento, se puede puede usar usar un un sistema sistema coordenado coordenado que que se mueva mueva y gire gire con con el vehículo. vehículo. Aquí Aquí mostramos mostramos cómo cómo están están relacionadas relacionadas velocidad y la la aceleración aceleración de un un punto punto respecto respecto a sus valores valores en en un un sistesistela velocidad ma coordenado en jugar ma coordenado en rotación. rotación. En En el Cap. Cap. 3 mencionamos mencionamos el ejemplo ejemplo de de jugar tenis tenis sobre sobre la cubierta cubierta de de un un barco. barco. Si el barco barco se traslada traslada con con velocidad velocidad constante, constante, se puede puede usar usar la la ecuación ecuación EF EF == ma ma expresada expresada en en un un sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo relativo relativo al barco barco para para analizar analizar el movimiento movimiento de la pelota. pelota. No se puede modifica su rapidez. puede hacer hacer así así si el barco barco gira gira o modifica rapidez. Sin Sin embargo, embargo, se puede aplicar sepuede aplicar la segunda segunda ley ley usando usando sistemas sistemas coordenados coordenados que que aceleran aceleran y giran giran si se toman toman en cuenta cuenta la aceleración aceleración y la la rotación. rotación. Explicaremos Explicaremos cómo cómo se hace hace esto esto ... .

A

~:::---- , - - - - x ~-=---,'----x

z

o Figura 6.37 6.37

Movimiento Movimiento de de un punto punto respecto respecto a un sistema coordenado coordenado en rotación rotación d

Sistema coordenado rotación con coordenada en rotación B y punto arbitrario arbitrario A. origen en B

Las Ecs. Ecs. (6.11) (6.11) y (6.13) (6.13) dan dan la velocidad velocidad y la aceleración aceleración de de un un punto arbiLas punto arbitrario trario A respecto respecto a un un punto punto B de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido en en un un sistema sistema coordenacoordenado fijo fijo al cuerpo: cuerpo: VA

aA aA

= = aB aB

= VB =

V A re! + w X + VA

+ aA re! + 2w X aAre!

VAre! VA re!

yy

(6.19) (6.19)

rrAj Al B

,

+ aa

X rAIB rAjB

+ w Xx

(W (W X x rAIB) rA/B). .

I

(6.20)

Sin embargo, embargo, estos estos resultados resultados no no requieren requieren que que supongamos supongamos que que el sistema sistema coordenado está algún cuerpo coordenado está conectado conectado a algún cuerpo rígido. rígido. Se aplican aplican a cualquier cualquier sistema sistema coordenado coordenado que que gira gira con con velocidad velocidad angular angular wy wy aceleración aceleración angular angular (Fig.. 6.37). Los términos términos Vv A Y y aA son son la velocidad aceleración de de ex (Fig 6.37). Los velocidad y la aceleración A respecto respecto a un un sistema sistema coordenado coordenado sin sin giro giro fijo fijo respecto respecto a O. Los Los térmitérminos vArel Arel Y aArel son la velocidad velocidad y la aceleración aceleración de de A respecto respecto al sistema sistema nos Arel son coordenado coordenado en en rotación. rotación. Es Es decir decir, , son son la velocidad velocidad y la aceleración aceleración medimedidas que das por por un un "observador" "observador" que se mueve mueve con con el sistema sistema coordenado coordenado en rotarotación ción (Fig. (Fig. 6.38). 6.38).

Los siguientes Los siguientes ejemplos ejemplos muestran muestran aplicaciones aplicaciones de sistemas sistemas coordenados coordenados rotación. Si se conoce conoce el movimiento movimiento de un punto sistema coorpunto A en un sistema en rotación. rotación, se pueden (6.19) y (6.20) para determinar para determinar denado en rotación, pueden usar las Ecs. (6.19) otros casos, si se conocen conocen VA y aA se pueden VA y aA•• En otros pueden usar las Ecs. determinar la velocidad velocidad y la aceleración de A respecto respecto para determinar (6.19) y (6.20) para sistema coordenado coordenado en rotación. rotación. a un $istema


zz

Figura 6.38 6.38 Imagínese en reposo respecto al sistema coordenado rotación. coordenada en rotación.

x

282

CAPíTULO CINEMÁTICA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTU LO 6 C INEMÁTICA PLANA

Ejemplo 6.10 velocidad angular Suponga que El tiovivo de la Fig. 6.39 gira con velocidad angular constante constante w. w. Suponga usted está en el centro centro en B y observa observa el movimiento movimiento de una una segunda segunda persona persona usted usando un sistema sistema coordenado coordenado que gira con A, usando con el tiovivo. tiovivo. Considere Considere dos casos. casos. Caso 1 La persona persona A no está sobre sobre el tiovivo, tiovivo, sino de pie en el terreno Caso terreno próxipróxiinstante mostrado, mostrado, ¿cuáles son su velocidad mo a él. En el instante velocidad y aceleración aceleración respecto respecto sistema coordenado? coordenado? a su sistema Caso 2 La persona persona A está en el borde borde del tiovivo Caso tiovivo y se mueve mueve con con él. ¿Cuáles ¿Cuáles velocidad y aceleración aceleración respecto respecto a la Tierra? Tierra? son su velocidad

Figura 6.39

y

y

ro

A

--+-----~~-------4-.-x

--~----~~-------+~x

____ ______4-_ X -+-----~~------.....¡-x ~~

~B~

o

R

CASO 1

CASO 2

ESTRATEGIA ESTRATEGIA ejemplo aclara aclara la diferencia diferencia entre entre los términos Este simple ejemplo términos vA' VA' a a A y los térmitérmivArel' aA rel en las Ecs. (6.19) y (6.20). En nos VA rel' aA En el caso 1 la velocidad velocidad y aceleraaceleración de A respecto respecto a la Tierra, Tierra, VA VA y a aAA, , son conocidas: conocidas: él está está en reposo. reposo. Podemos usar usar las Ecs. (6.19) y (6.20) para para determinar Podemos determinar vVAA rel rel Y aA rel rel s, que son velocidad y su aceleración aceleración relativas relativas a su sistema sistema coordenado coordenado en rotación. rotación. su velocidad conocen, VA rel Y YaaAA rel: rel: A está está fijo respecto En el caso 2 se conocen, VA rel respecto a su sistema sistema coordecoordenado.. Podemos usar las Ecs Ecs.. (6. (6.19) 19) y (6.20) para para determinar determinar VA VA y aAaAnado Podemos usar


6.6 6.6 SISTEMAS COORDENADOS COORDENADOS EN EN ROTACiÓN ROTACiÓN

SOLUCiÓN SOLUCiÓN t

terreno, por lo que su velocidad velocidad respecto respecto a la Caso 1 A está de pie en el terreno, Caso Tierra es VA = O. O. El vector vector de velocidad velocidad angular angular de su sistema sistema coordenado coordenado Tierra es w == wk, yen y en el instante instante mostrado mostrado rAIB = Ri. De la Ec. (6.19), (6.19), es AI B = VA = = VA

VB

+VArel

+w +W

0+ VArel VArel+ oo == 0+ +

x

rAjB: rA j B:

(wk) x (Ri). (Ri). (wk)

Encontramos que VA vA rel rel = -wRj. -wRj. Aunque Aunque A está fijo respecto respecto a la Tierra, Tierra, vArel Arel Encontramos cero. ¿Qué representa representa este término? término? Al sentarse sentarse B en el centro centro del tiovivo, tiovivo, no es cero. moviéndose a su alrededor alrededor en una trayectoria circular. circular. Respecto Respecto a su ve a A moviéndose una trayectoria sistema coordenado en rotación, rotación, A se mueve en una una trayectoria trayectoria circular circular de R sistema coordenado dirección horaria horaria con velocidad velocidad de magnitud magnitud constante constante wR. En el instante instante en dirección mostrado, la velocidad velocidad de A respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado de B es -wRj. -wRj. mostrado, Sabemos que un punto trayectoria circular circular de radio radio Sabemos punto que se mueve en una una trayectoria R con velocidad velocidad v tiene una una componente componente normal normal de aceleración aceleración igual a v22/R. / R. Respecto al sistema sistema coordenado coordenado de B, la persona Respecto persona A se mueve en una una trayectoria trayectoria circular de radio radio R con velocidad velocidad wR. Por Por tanto, tanto, con respecto respecto al sistema coordecircular sistema coordenado una componente componente normal aceleración (WR)2/R R. nado de B, A tiene una normal de aceleración (wR)2/ R = w22R. En el instante instante mostrado, aceleración normal normal señala señala en la dirección negativa. mostrado, la aceleración dirección x negativa. Por tanto, aceleración de A respecto respecto al sistema sistema coordenado Por tanto, concluimos concluimos que que la aceleración coordenado de B es aaA rel rel = = -w - w22Ri. Ri. Podemos confirmar este resultado resultado con la Ec. (6.20). aceleración de A Podemos confirmar (6.20) . La aceleración respecto Tierra es aaAA = O. O.El respecto a la Tierra El vector vector de velocidad velocidad angular angular del sistema sistema coorcoordenado denado es constante, constante, por por lo que a ex = O. O. De la Ec. (6.20), (6.20),

w w~~ yy

~ ______~B~ ____~ __~__ x

wR 0= (-wRj) +0+ 0= O+aArel 0+ aArel +2(wk) + 2(wk) x (-wRj) + 0+ (wk) (wk) x [(wk) [(wk) x (Ri)]. (Ri)]. Resolviendo Resolviendo esta esta ecuación ecuación para para aArel aArel obtenemos obtenemos aArel aArel = -w - w22Ri. Ri. La velocidad velocidad y la aceleración respecto al sistema sistema coordenado coordenado de B se muestran muestran en la aceleración de A respecto Fig. (a). (a) .

Velocidad y aceleración aceleración de A (a) Velocidad respecto al sistema sistema respecto coordenado en rotación rotación en el coordenado caso l. l. caso

Caso Caso 2 Respecto Respecto al sistema sistema coordenado coordenado de B, A está está en reposo, reposo, por por lo que que vVArel rel = O. Arel = O OY aaAArel O. De la Ec. (6.19), (6.19), la velocidad velocidad de A respecto respecto a la Tierra Tierra es VA B + VArel+ VA = = V VB VArel +

W W

x rrAAjj BB = k) x (R = O + O + (w (wk) (R i)

= wRj. wRj.

w~ w~ yy

En En este este caso, caso, A se mueve mueve en una una trayectoria trayectoria circular circular de radio radio R con con velocidad velocidad constante constante de magnitud magnitud wR respecto respecto a la Tierra. Tierra. De la Ec. Ec. (6.20), (6.20), la aceleración aceleración de A respecto respecto a la Tierra Tierra es a,

= aB

+ aArel + 2w

==O+ 0+0+0+0+ O +O +

X

VArel+ a x

rAjB

+ w x (w x

rAjB)

O + (wk) (wk) x [(wk) [(wk) x (Ri)] (Ri) ]

= = -w -w22Ri. Ri. Ésta Ésta es la aceleración aceleración de A A respecto respecto a la Tierra Tierra debido debido a su movimiento movimiento circular. circular. La A respecto La velocidad velocidad yy la la aceleración aceleración de deA respecto a la Tierra Tierra se muestran muestran en en la la Fig. Fig. (b). (b) .


(b) Velocidad Velocidad y aceleración aceleración de A A (b)

respecto respecto aa la la Tierra Tierra en el caso caso 2. 2.

283

284 284

CAPíTULO INEMÁTICA PLANA CAPíTULO 6 C CINEMÁTICA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Ejemplo 6.11 6.11 En el instante mostrado, el barco barco de Fig. 6.40 mueve hacia hacia el norte norte con En instante mostrado, de la la Fig. 6.40 se mueve con mis respecto respecto a la Tierra hacia el velocidad constante velocidad constante de de 15.0 15.0 mis Tierra y está está girando girando hacia oeste razón constante Is. Respecto Respecto al sistema baroeste a razón constante de de 5.0° 5.00 Is. sistema coordenado coordenado fijo fijo en en el barco, radar indica posición, velocidad velocidad y aceleración helicóptero son co, su radar indica que que la posición, aceleración del del helicóptero son rA / B rA/B

= 420.0i 420.0i + 236.2j 236.2j + 212.0k 212.0k (m),

VArel VArel

6.6 k (m/s), (m/s), = --53.5 53.5 ii + 2.0j 2.0j + 6.6

aArel aArel

OAi = OAi

2 0.2j - 13 13.0k (m/s").) . 0.2j .0k (m/s

¿Cuáles son son la aceleración del del helicóptero la Tierra? Tierra? ¿Cuáles la velocidad velocidad y la aceleración helicóptero respecto respecto a la

Figura 6.40

y

ESTRATEGIA ESTRATEGIA la velocidad del barco la Tierra Tierra y suficiente suficiente información información Se tiene tiene la velocidad del barco respecto respecto a la para determinar su aceleración, aceleración, velocidad angular y aceleración aceleración angular. angular. Por para determinar velocidad angular Por tanto, usar las las Ecs. (6.19) y (6.20) (6.20) para determinar la la velocidad la tanto, podemos podemos usar Ecs. (6.19) para determinar velocidad y la aceleración del del helicóptero Tierra. aceleración helicóptero respecto respecto a la Tierra.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN En sistema coordenado coordenado fijo fijo al cuerpo, cuerpo, la la velocidad VB = 15.Di En el sistema velocidad del del barco barco es vB (mis). La angular del del barco debido a su razón de giro giro es w (mis). La velocidad vélocidad angular barco debido razón de w = (5.0/180)11" = 0.0873 0.0873 rad/s. está girando girando respecto eje y. Si el arco arco (5.0/180)11" rad/s. El El barco barco está respecto al eje de los los dedos dedos de de la la mano derecha señala señala en en la la dirección dirección de de la la rotación del barco de mano derecha rotación del barco


I

'T'

6.6 EN ROTACiÓN 6.6 SISTEMAS COORDENADOS COORDENADOS ROTACiÓN

alrededor y, entonces pulgar señala positiva, por por alrededor del eje y, entonces el pulgar señala en la dirección dirección y positiva, lo que el vectbr vectbr de velocidad velocidad angular velocidad del angular es w = 0.0873j 0.0873j (rad/s). (rad/s). La velocidad helicóptero relativa relativa a la Tierra helicóptero Tierra es

= 15.0i + (-53.5i + 2.0jj + 6.6k) + 1 =15.0i+(-53 .5i+2.0 +6.6k)+1

~

~

~ ~ 0.J87 420.0 420.0 236.2 236.2 212.0 212.0

= -20.0 i + 2.0j - 30.1 30.1k k (m/s). = -20.0i

aceleración (a) Determinación Determinación de la aceleración

Podemos determinar la aceleración aceleración del barco expresándola en sus compocompoPodemos determinar barco expresándola nentes forma dada dada por (2.37) (Fig. a): por la Ec. Ec . (2.37) nentes normal normal y tangencial tangencial en la forma aB a8

dv dv

=-

dt dt

e,

de

+ vv - en dt dt

del barco. barco.

= 00++ (15)(0.0873) (15)(0.0873)en

x

El eje zz es perpendicular señala hacia lado convexo convexo perpendicular a la trayectoria trayectoria del barco barco y señala hacia su lado coordenado fijo al cuerpo,la cuerpo,la aceleración aceleración del barbar(Fig. b). P~ P~ tanto, tanto, en el sistema coordenado 2). El vector (m/s-). angular del barco consco es aB == --1.31k 1.31k (m/s vector de la velocidad velocidad angular barco es constante, aceleración del helicóptero Tierra es tante, por por lo que Ci = O. La La aceleración helicóptero respecto respecto a la Tierra

II

e,

~------~-----------z ~------~----------z

= --1.31 1.31 k +

(OAi - 0.2j - 13.0 13.0k) (OAi k) + 21 21

+0+ (0.0873j) j) x 1 + 0+ (0.0873

~

O --53.5 53.5

jj kO 0.0873 0.0873 ~ 420.0 420.0 236.2 236.2 212.0 212.0

k jj O 0.0873 O 0.0873 2.0 2.0 6.6 6.6

1 1

Correspondencia entre entre las (b) Correspondencia componentes normal componentes normal y tangencial tangencial y el sistema sistema coordenado coordenado fijo al cuerpo. cuerpo.

= -1.65 -1.65i i -

2 0.20jj - 6.59k (m/s"). 0.20 6.59 k (m/s ).

COMENTARIO COMENTARIO Observe las considerables considerables diferencias diferencias entre entre la velocidad aceleración del heliObserve velocidad y aceleración cóptero respecto sistema cóptero respecto a la Tierra Tierra y los valores valores que el barco barco mide usando usando su sistema coordenado fijo al cuerpo. cuerpo. coordenado


285

286 286

CAPíTULO6 PLANA DE DE CUERPOS CUERPOSRíGIDOS CAPíTULO 6 CINEMÁTICA PLANA RíGIDOS

Marcos de de referencia referencia inercia/es Marcos inerciales marco de referencia referencia es inercial segunda Un marco inercial si se puede puede usar usar para para aplicar aplicar la segunda Newton en la forma ¿Por qué suele suponerse suponerse que un ley de Newton forma EF EF == ma. ma. ¿Por marco de referencia marco referencia fijo a la Tierra Tierra es inercial, inercial, aun aun cuando cuando ésta ésta acelera acelera ¿Cómo se puede segunda ley de Newton y gira? ¿Cómo puede aplicar aplicar la segunda Newton usando usando un sistecoordenado que está ma coordenado está fijo respecto respecto a un barco barco o avión avión que está está aceleranacelerangirando? Ahora Ahora podemos do y girando? podemos responder responder esas preguntas. preguntas.

Q/F-----0 1'-- -- - -

coordenado sin con su origen origen en en el el centro centro Sistema coordenado sin rotación, rotación, con de la Tierra Empezamos de Empezamos mostrando mostrando por por qué un marco marco de referencia referencia respecto al centro suponerse inercial sin giro, fijo respecto centro de la Tierra, Tierra, puede puede suponerse inercial con describir movimientos el fin de describir movimientos de los cuerpos cuerpos cerca cerca de la Tierra. Tierra. La Fig. muestra un sistema sistema coordenado 6.41 (a) muestra coordenado hipotético hipotético sin giro y sin aceleración aceleración origen en 0, O, y otro sistema coordenado con origen otro sistema coordenado sin giro con su centro centro en la Tierra. La Tierra, Tierra, y por sistema coordenado por consiguiente consiguiente el sistema coordenado centrado centrado en Tierra. acelera debido debido a las atracciones ella, acelera atracciones gravitatorias gravitatorias del Sol, la Luna, Luna, etc. Denotamos la aceleración aceleración de la Tierra Denotamos Tierra con el vector vector gB' gB' Supongamos que queremos Supongamos queremos determinar determinar el movimiento movimiento de un cuerpo cuerpo A masa m (Fig. 6.41 6.41b). sometido a las atracciones de masa b). A también también está está sometido atracciones gravitagravitatorias del Sol, la Luna, torias Luna, etc., etc., y denotamos denotamos la aceleración aceleración gravitatoria gravitatoria resultante con el vector vector gA' vector EF gA' El vector EF es la suma suma de todas todas las otras otras fuerzas fuerzas tante externas que act actúan externas úan en A, incluyendo incluyendo la fuerza fuerza gravitatoria gravitatoria ejercida ejercida por por Tierra. La fuerza fuerza externa la Tierra. externa total total que actúa actúa en A es EF EF + mgAA• • Podemos Podemos aplicar la segunda segunda ley de Newton sistema coordenado aplicar N ewton a A, usando usando el sistema coordenado inerinerhipotético: cial hipotético:

(a) (a)

(6.21) donde aAA es la aceleración sistema coordenadonde aceleración de A respecto respecto a O. Como Como el sistema coordenacentrado en la Tierra do centrado Tierra no gira, gira, podemos podemos usar usar la Ec. (6.20) para para escribir escribir

(b)

donde aAA rel rel es la aceleración sistema coordenado donde aceleración de A respecto respecto al sistema coordenado centracentraTierra. Usando do en la Tierra. Usando esta esta relación relación y la definición definición de la aceleración aceleración de la Tierra Tierra aB == gB' gB' la Ec. (6.21) se convierte convierte en (6.22)

Figura 6.41 Marco de referencia referencia inercial inercial y marco (a) Marco marco referencia sin giro con su origen origen en el de referencia centro de la Tierra. Tierra. céntro Determinación del movimiento movimiento de un (b) Determinación cuerpo A. cuerpo A.

cuerpo A está está en la Tierra Si el cuerpo Tierra o cerca cerca de ella, su aceleración aceleración gravitatoria gravitatoria debida a la atracción atracción del Sol, etc., gA debida etc., es casi igual a la de la Tierra, Tierra, gB' gB' ignoramos la diferencia, Si ignoramos diferencia, la Ec. (6.22) se convierte convierte en

:EF =

maArel.

(6.23)

puede aplicar segunda ley de Newton Así, se puede aplicar la segunda Newton usando usando un marco marco de refereferencia sin giro centrado centrado en la Tierra. acelera, virrencia Tierra. Aun Aun cuando cuando este marco marco acelera, virtualmente la misma misma aceleración cuerpo. Observe tualmente aceleración gravitatoria gravitatoria actúa actúa sobre sobre el el cuerpo. Observe ... válido si el cuerpo que esto no es válido cuerpo no está está cerca cerca de la Tierra. Tierra. Por Por ejemplo, ejemplo, quisiera analizar viaja a otro si se quisiera analizar el movimiento movimiento de una una nave que que viaja otro planeta, planeta, necesitaría usar usar un marco se necesitaría marco de referencia referencia sin giro centrado centrado en el Sol. http://carlos2524.jimdo.com/

SISTEMASCOORDENADOS EN EN ROTACiÓN 6.6 SISTEMAS

coordenado fijo fijo a a la la Tierra En aplicaciones' aplicaciones' 'mundanas" 'mundanas" , Sistema coordenado mejor ml!rco m~rco de referencia sistema coordenado coordenado local fijo a la el mejor referencia es un sistema Tierra. ¿Por ¿Por qué podemos suponer que un sistema sistema así es inercial? inercial? La Fig. Tierra. podemos suponer muestra un sistema sistema coordenado coordenado sin giro con con su origen origen en el centro centro 6.42 muestra O de la Tierra uno fijo a la Tierra Tierra y uno Tierra con su origen origen en un punto punto B. Como Como podemos suponer que el sistema sistema sin giro centrado centrado en la Tierra Tierra es inercial, inercial, podemos suponer escribimos la segunda segunda ley de Newton cuerpo Ade masa m como como escribimos Newton para para un cuerpo Ade masa

287 287

¡F

(6.24)

donde aA es la aceleración aceleración de A respecto respecto a O. El marco marco de referencia referencia fijo donde Tierra gira gira con la velocidad velocidad angular angular de ésta, ésta, que denotamos denotamos conwE' conwE' a la Tierra Podemos usar escribir la Ec. (6.24) en la forma forma Podemos usar la Ec. (6.20) para para escribir ~F = maArel

+ m[aB + 2WE

X VArel

+ WE

X

(WE

x

rA j B)],

(6.25)

donde aAA rel rel es la aceleración aceleración de A respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado fijo a donde Tierra. Si ignoramos ignoramos los términos términos en corchetes corchetes de la Ec. (6.25), el sistema la Tierra. sistema Tierra es inercial. inercial. Consideremos cada término. término. (Recuerde, (Recuerde, de la fijo a la Tierra Consideremos cada definición producto vectorial, definición del producto vectorial, que IU x VI = IUIIVI IUIIVI sen e, 8, donde donde 8e ángulo entre entre los dos vectores. vectores. Por Por tanto, tanto, la magnitud magnitud del producto es el ángulo producto vectorial está limitada limitada por magnitudes de los vectores.) vectores.) vectorial por el producto producto de las magnitudes

I

f

término WE WEX (WE (WE X rA //BB):): La velocidad velocidad angular angular de la Tierra Tierra WE WE • El término aproximadamente de de-, una revolución por es aproximadamente una revolución por día == 7.27 X 10-5 2 rad/s. Por Por tanto, tanto, la magnitud término está limitada limitada por E rad/s. magnit~d de este término por W2E IrA/BI I == (5.29 xX 10-99)) IrA IrA/BI. Por ejemplo, ejemplo, si la distancia distancia IrAlB1 IrAlB1 del IrA/B /BI. Por origen del sistema sistema coordenado coordenado fijo a la Tierra Tierra al cuerpo cuerpo A es de origen 10000 m, este término término no es mayor mayor que 5.3 x 10-55 m/s m/s-.2 • 10000 término aB: aB: Es la aceleración aceleración del origen origen B del sistema sistema coordenado coordenado • El término Tierra respecto respecto al centro centro de ésta. ésta. B se mueve en una trayectoria fijo a la Tierra una trayectoria circular debido debido a la rotación rotación de la Tierra. Tierra. Si B se encuentra encuentra en la supersupercircular Tierra, este término término está limitado limitado por por w~ RE' donde donde RE w~ RE' ficie de la Tierra, radio de la Tierra. Tierra. Usando Usando el valor valor RE == 6370 km, w~ = es el radio w~ RE = 2 • Este m/s-, Este valor valor suele ser muy grande grande para ignorarlo, y nornor0.0337 m/s para ignorarlo, malmente se incluye incluye el término término como como parte valor local local de la aceleraaceleramalmente parte del valor debida a la gravedad. gravedad. ción debida término 2WE 2WEX VA VA rel: Coriolis. . Su magnitud magnitud • El término rel: Es la aceleración aceleración de Coriolis limitada por 2WE[v red = = (1.45 (l.45 X x 10-4) IvA red. red. Por Por ejemplo, ejemplo, si está limitada por 2WE IvA red magnitud de la velocidad velocidad de A respecto respecto al sistema sistema fijo a la Tierra Tierra la magnitud 10 mis, mis, este término término no es mayor mayor que 1.45 xX 10-3 m/s m/s-.2 • es de 10 mayoría de las aplicaciones términos entre entre corchecorcheVemos que en la mayoría aplicaciones los términos ignorarse, pero siempre es posible. pueden ignorarse, pero esto no siempre posible. La tes de la Ec. (6.25) pueden aceleración de Coriolis Coriolis es importante importante si la velocidad velocidad del cuerpo cuerpo respecto respecto aceleración Tierra es grande, grande, y aun aun pequeñas aceleraciones son importantes importantes si a la Tierra pequeñas aceleraciones movimiento tiene tiene que predecirse largo. En tales casos, casos, el movimiento predecirse en un periodo periodo largo. deben retener retener los términos términos significasignificaaún se puede puede usar usar la Ec. (6.25), pero pero se deben términos entre entre corchetes corchetes suelen suelen pasarse lado izquierdo: izquierdo: tivos. Los términos pasarse al lado (6.26) = maArel· maArel· =


Figura 6.42 centrado en Marco de referencia sin giro centrado la Tierra (origen O), marco de referencia A. fijo a la Tierra (origen B) y cuerpo A.

288 288

CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 6 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS CAPíTULO

Escrita de esta manera, manera, la ecuación ecuación tiene la forma forma usual usual de la segunda segunda Escrita excepto que el lado lado izquierdo izquierdo contiene contiene "fuerzas" "fuerzas" adicionaadicionaley de Newton Newton excepto Usamos comillas comillas porque términos no son fuerzas, fuerzas, sino términos términos les. Usamos porque estos términos surgen del movimiento movimiento del marco marco de referencia referencia fijo a la Tierra. Tierra. que surgen término-~mwE llama fuerza fuerza de Coriolis. Coriolis. El término - 2mwE xX VvArel A rel en la Ec. (6.26) se llama Explica cierto cierto número número de fenómenos fenómenos físicos que exhiben exhiben comportamientos comportamientos Explica diferentes en los hemisferios hemisferios norte norte y sur, como como la dirección dirección en que un líquidiferentes tiende a girar girar al salir por dueto, la dirección dirección en que una una viña viña tiende tiende do tiende por un ducto, alrededor de un poste vertical, y la dirección dirección de la rotación rotación de a crecer alrededor poste vertical, huracán. El vector vector de velocidad velocidad angular angular WE WE de la Tierra Tierra apunta apunta hacia hacia un huracán. norte. Cuando Cuando un cuerpo cuerpo en el hemisferio norte, que se está moviendo moviendo el norte. hemisferio norte, tangente a la superficie superficie de la Tierra, Tierra, viaja viaja hacia hacia el norte norte (Fig. 6.43a), 6.43a), el tangente producto vectorialwj, x VA rel apunta apunta hacia hacia el oeste (Fig. 6.43b) 6.43b).. Por Por tantanproducto vectorialwE to, la fuerza fuerza de Coriolis Coriolis señala señala hacia hacia el este, es decir, decir, ocasiona ocasiona que un to, cuerpo que se mueve hacia hacia el norte norte se desvíe hacia hacia la derecha derecha (Fig. 6.43c). cuerpo cuerpo se está moviendo moviendo hacia hacia el sur, la dirección dirección de VA rel se invierte invierte Si el cuerpo fuerza de Coriolis Coriolis apunta apunta hacia hacia el oeste, oeste, ocasionando ocasionando que el cuerpo cuerpo y la fuerza hacia el sur gire a la derecha derecha (Fig. 6.43c). Por Por ejemplo, ejemplo, en que se mueve hacia hemisferio norte norte los vientos vientos que convergen convergen en un centro centro de baja el hemisferio baja presión presión tienden a girar girar alrededor alrededor de él en dirección dirección antihoraria antihoraria (Fig. 6.44a). 6.44a). tienden Cuando un cuerpo cuerpo en el hemisferio hemisferio sur viaja viaja hacia hacia el norte norte (Fig. 6.43d), 6.43d), Cuando vectorial WE WE X V Arel Arel apunta apunta hacia hacia el este (Fig. 6.43e). La fuerel producto producto vectorial Coriolis apunta apunta hacia hacia el oeste y ocasiona ocasiona que el cuerpo cuerpo gire hacia hacia za de Coriolis izquierda (Fig. 6.43f). 6.43f). Si el cuerpo cuerpo se está moviendo moviendo hacia hacia el sur, la la izquierda fuerza de Coriolis Coriolis apunta apunta hacia hacia el este y ocasiona ocasiona que el cuerpo cuerpo gire hacia hacia fuerza izquierda (Fig. 6.43f). 6.43f). En el hemisferio hemisferio sur, los vientos vientos que convergen convergen la izquierda centro de baja tienden a girar girar alrededor alrededor de él en dirección dirección en un centro baja presión presión tienden horaria (Fig. 6.44b). 6.44b). horaria Figura 6.43 'norte que se (a) Cuerpo en el hemisferio 'norte mueve hacia el norte. Producto vectorial de la velocidad (b) Producto Tierra y la velocidad del angular de la Tierra cuerpo. (e) Efectos de la fuerza de Coriolis en el (e) hemisferio norte. (d) Cuerpo en el hemisferio sur que se norte.. mueve hacia el norte (e) Producto Producto vectorial de la velocidad (e) Tierra y la velocidad del angular de la Tierra cuerpo. (f) Efectos de la fuerza de Coriolis en el hemisferio sur.

N

N

J

(b)

(a)

"'El

WE l

(e)

-4 4 VA VA •• •• ,,

~ ~

WE A rel "'EXX V VArel

(d)


(e)

(f)

6.6 6 .6 SISTEMAS SISTEMAS COORDENADOS COORDENADOS EN EN ROTACiÓN ROTACiÓN

289 289


Tormentas en en (a) (a) el hemisferio hemisferio norte norte yy (b) (b) el hemisferio hemisferio sur.

(a)

(b)

Sistema coordenado coordenado arbitrario arbitrario ¿Cómo ¿ Cómo se analiza analiza el movimiento movimiento de un sistema sistema coordenado coordenado sometido sometido a un un movimiento movimiento un cuerpo respecto a un cuerpo respecto arbitrario, como el sistema fijo a un vehículo en movimiento? Supongaarbitrario, como sistema vehículo movimiento? Supongamos que el sistema sistema coordenado coordenado con con su origen origen en O en la Fig. 6.45 es inerinercial, y que el sistema coordenado con su origen en B sufre un movimiento sistema coordenado con origen sufre un movimiento arbitrario velocidad angularw angularw y aceleración aceleración angular angular o. O' • Podemos escriarbitrario con con velocidad Podemos escribir la segunda ley de Newton para un cuerpo A de masa m como segunda Newton para cuerpo masa como (6.27)

donde respecto a O. Usamos Usamos la Ec. (6.20) para para donde aA es la aceleración aceleración de A respecto escribir escribir la Ec. (6.27) en la forma forma ~F-m[aB ~F - m[aB

+2w + 2w

+

X VArel +0 O' x X

rrAjB AI B

+w + w

(6.28)

donde donde aAA rel es la aceleración aceleración de A A respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado que sufre un movimiento movimiento arbitrario. arbitrario. Ésta Ésta es la segunda segunda ley de Newton Newton expresada en un marco marco de referencia referencia sometido sometido a un movimiento movimiento arbitrario arbitrario presada respecto respecto a un marco marco de referencia referencia inercial: inercial: si se conocen conocen las fuerzas que actúan sobre sobre A A y el movimiento movimiento del sistema sistema coordenado coordenado, , se puede usar actúan esta ecuación ecuación para para determinar determinar aa, relA rel.

lF

Figura 6.45 Figura

Marco de de referencia referencia inercial inercia! (origen (origen O) O) yy Marco marco de de referencia referencia sometido sometido aa un un marco movimiento arbitrario arbitrario (origen (origen B). B). movimiento

o~~------------------

O ~--------------------


290 290


Ejemplo 6.12 Suponga que usted amigo juegan cubierta de un barco Suponga usted y un amigo juegan tenis sobre sobre la cubierta barto (Fig. 6.46), Y que usa el sistema sistema coordenado coordenado fijo en el barco origen en B para barco con origen para 6.46), analizar En el instante instante mostrado, analizar el movimiento movimiento de la pelota pelota A. A. En mostrado, la posición posición y velocidad sistema coordenado coordenado fijo en el barco barco son velocidad de la pelota pelota respecto respecto al sistema rrAAIB = 15i + 8j + 36k 36k (pies) y VA re! = = 2i - 8j + 22k 22k (pie/s). (pie/s). La pelota fB = vArel pelota pesa pesa 0.125 fuerza aerodinámica aerodinámica que actúa actúa sobre sobre ella en el instante instante mostrado mostrado 0. 125 lb, Yla Yla fuerza 0.025Oi + O.OOlOj O.OOlOj + 0.0025k 0.0025k (lb). El barco está girando girando a razón es F = 0.0250i barco está razón constante consecuencia, la aceleración aceleración del punto Tierra es tante y, en consecuencia, punto B respecto respecto a la Tierra -3.Oi 0.2k (pie/s (pie/s-)2) y la velocidad angular del barco = O.lj O.lj aB == -3 .Oi + 0.2k velocidad angular barco es w = (rad/s). Determine aceleración de la pelota sistema coordenado coordenado (rad/s). Determine la aceleración pelota respecto respecto al sistema suponiendo que el sistema sistema coordenado coordenado fijo al barco inercial: fijo al barco: barco: (a) suponiendo barco es inercial: suponer que el sistema sistema coor.denado coordenado fijo al barco inercial, pero supo(b) sin suponer barco es inercial, pero suponiendo sistema coordenado coordenado local fijo a la Tierra Tierra es inercial. inercia!. niendo que un sistema Flgura 6.46 F"lgura

yy

ESTRATEGIA ESTRATEGIA conocemos la masa fuerzas externas externas que actúan actúan En la parte parte (a) conocemos masa de la pelota pelota y las fuerzas sobre ella, por aplicar la segunda segunda ley de Newton determisobre por lo que podemos podemos aplicar Newton para para determinar aceleración. En En la parte expresar la segunda segunda ley de Newton nar la aceleración. parte (b) podemos podemos expresar Newton forma dada (6.28), que se aplica aplica a un sistema sistema coordenado coordenado sometisometien la forma dada por por la Ec. (6.28), arbitrario respecto sistema coordenado coordenado inercia!. do a un movimiento movimiento arbitrario respecto a un sistema inercial.


6.6 6 .6 SISTEMAS SISTEMAS COORDENADOS COORDENADOS EN EN ROTACiÓN ROTACiÓN

SOLUCiÓN SOLUCiÓN lt

(a) Suponiendo Suponiendo que que el el sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al al barco barco es es inercial, inercial, la la segunda segunda (a) ley de de Newton Newton es es ley ~F :EF

maArel :: == maArel

-0.125jJ. ++ (0.02501 (0.0250i.,++ 0.0010 O.OOlOjJ ++ 0.0025 0.0025 k) k) = = (0.125) (0.125) a Arel. -0.125 -a, rel32.2 32.2 Resolviendo esta esta ecuación, ecuación , obtenemos obtenemos la la aceleración aceleración de de la la pelota pelota con con base base en en Resolviendo la hipótesis hipótesis de de que que el el sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al barco barco es es inercial: inercial: la a Arel aArel

6.44i - 31.94j 31.94j + 0.64 0.64 k (pie/s"). (pie/s 2). == 6.44i

(b) Dividiendo Dividiendo la Ec. Ec. (6.28) entre entre m m resulta resulta

(~) ~F-aB -2w -2w

(~)

:EF-aB

X VAfel-a VArel X

X rAfB rA j B -W - W x x X

Q

(w

r Aj B) x rAfB)

a A rel: = aArel:

1 (0.125 / 32.2) ] [-0.125 [-0.125 j + (0.0250 i + 0.0010 j + 0.0025 k)] k)] [ (0.125~32.2) - (-3.0i + 0.2k) - 2 -(-3.Oi+0.2k)-2

- (O.lj) x

ii

II

j

O 0.1 2 -8 -8

I~

15

k

O 22

I -O -O

j

0.1 8

La aceleración aceleración de la pelota, pelota, con base en la hipótesis hipótesis de que el sistema sistema coordenacoordenado fijo a la Tierra Tierra es es inercial, inercial, es es aaAfel A rel

= 5.19i 5.19 i -

31.94j s2). 31.94 j + 1.20 1.20 k (pie/ (píe/s-).

COMENTARIO COMENTARIO Este ejemplo ejemplo ilustra ilustra lo cuidadoso cuidadoso que que hay que que ser ser al aplicar aplicar la segunda segunda ley ley de Newton. Newton. La aceleración aceleración obtenida obtenida al al suponer suponer que que el el sistema coordenado coordenado fijo al al barco es es inercial inercial no se se parece parece en en nada nada al al valor correcto. correcto.


291 291

292

CINEMÁTICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS· CUERPOS· RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 6 CINEMÁTICA CAPíTULO

P'roblemas r-------------~~----1 1------------------' Problemas Y(6.20) Yel sistema coordenado coordenado de cuerpo cuerpo fijo mosmos(6.20) Y el sistema 6.125 Un carrusel carrusel gira gira a una una velocidad velocidad angular angular constante constante de Ecs. (6.19) Y 6.125 trado, (a) determine determine la velocidad velocidad y la aceleración aceleración de A respecto respecto trado, 0.5 rad/ rad/s.s. La persona persona A camina camina con una una velocidad velocidad constante constante 0.5 marco de referencia referencia sin giro con origen determine a un marco origen en O; (b) determine largo de una una línea radial. radial. Determine Determine la velocidad velocidad de 1 mi s a lo largo velocidad y la aceleración aceleración de A respecto respecto a un marco marco de refeaceleración de A respecto respecto a la Tierra cuando cuando está está a 2 m del la velocidad y aceleración rencia sin giro cuyo origen origen se mueve mueve con el punto punto B. rencia centro del carrusel, carrusel, usando usando dos métodos: métodos: centro Exprese velocidad velocidad y aceleración aceleración en coordenadas coordenadas polares. polares. (a) Exprese para expresar expresar la velocidad velocidad y la (b) Use las Ecs. (6.19) y (6.20) para aceleración en un sistema sistema coordenado coordenado fijo al cuerpo cuerpo con su eje aceleración x alineado alineado con la línea a lo largo largo de la cual camina camina A y su perpendicular al carrusel. carrusel. eje zz perpendicular

0.5 rad/s

~A ~A

P6.126 P6.126

B

placa metálica metálica de la figura figura -está 'está unida unida a una una junta 6.127 La placa junta esférica de soporte soporte en O. El pasador pasador A se desliza en una una ranura ranura esférica placa. En el instante instante mostrado, mostrado, XA dx s/dt = 2 de la placa. XA = 1 m, dxAldt mis y d2xAAldt Yla velocidad y aceleración aceleración angulares angulares son mis ldt2 2 = O, Y la velocidad (rad/s) y ex = O. ¿Cuáles ¿Cuáles son las componentes componentes x, y, w = 2k (rad/s) z de la velocidad velocidad y aceleración aceleración de A respecto respecto a un marco marco de referencia sin giro y en reposo reposo respecto respecto a O? referencia

P6.125 P6.125

\

6.126 Una estación estación espacial espacial en forma forma de disco de radio radio R gira gira 6. 126 Una velocidad angular angular constante constante w w alrededor alrededor del eje perpendicuperpendicucon velocidad página. Dos personas personas están están en reposo reposo respecto respecto a la lar a -Ia la página. estación en A y B B,, Y O es el centro centro de la estación. estación. Usando Usando las estación

y= 0.25x y= 0.25x2 2 m m

P6.127 P6.127


6.6 SISTEMAS COORDENADOS EN ROTACiÓN 6.6 COORDENADOS ROTACiÓN

6.128 Suponga en el Probo Probo 6.127, Suponga que que en el instante instante mostrado mostrado en 6.127, /dt2 == 4 m/s-, xAA == 1 m, m/s 2 , y que que la la m, tdXA/dt tdXA/dt == -3 mis, mis, y rFxA/dt2 velocidad de la la placa placa son velocidad y la aceleración aceleración angulares angulares de son w = -4j -4j + 2k (rad/s) las componentes componentes (rad/s) y ex a = 3i - 6j (rad/s (rad/s-).2). ¿Cuáles ¿Cuáles son son las x, y, z de la velocidad de A respecto respecto a un un marco marco velocidad y aceleración aceleración de referencia sin sin rotación rotación que que está está en de referencia en reposo reposo respecto respecto a O? O?

293

El tren tren sobre la vía vía circular circular de de la la figura viaja a una una velovelo6.131 El sobre la figura viaja constante de de 50 pie/s pie/s en en la la dirección dirección mostrada. mostrada. El El tren tren cidad constante cidad sobre la vía vía recta recta viaja viaja a 20 20 pie/s pie/s en en la la dirección dirección mostrada mostrada e sobre la incrementa su velocidad a razón razón de de 2 pie/s-, pie/s 2 • Determine Determine la la veveincrementa su velocidad que el pasajero pasajero B observa observa respecto respecto al al locidad del del pasajero pasajero A que locidad sistema que se muestra, muestra, el cual cual está está fijo al vagón vagón en en que que viaja viaja B. sistema que fijo al

6.129 El muestra está está fijo al barco barco El sistema sistema coordenado coordenado que que se muestra fijo al B, que pie/s respecto respecto a la la Tierra Tierra que se dirige dirige hacia hacia el norte norte a 10 pie/s con velocidad velocidad angular angular de de 0.02 0.02 rad/s rad/s horaria. y con horaria. El El avión-vuela avión--vuela hacia el este este a 400 400 piel piel s respecto respecto a la Tierra Tierra y su su posición posición relativa relativa hacia a B es fAIE barco usa usa rAIB = 2000i 2000i + 2000j 2000j + 1000k 1000k (pies) (pies). . Si el barco respecto a su su radar radar para para medir medir la la velocidad velocidad del del avión avión respecto su sistema sistema fijo fijo al cuerpo, cuerpo, ¿qué ¿qué valor valor obtiene? obtiene? 500 500 pies

y

, -_ _ _ _~A~ _ _ _ __ , A

I.I-------------------A~I~X ------------------~A~~--x

1 1

20 pie/s pie/s 20

N N

'.i\

6!.llJE

P6.131

~----------------~~~---------------x Q~r-------------------------------------X

P6.129 P6.129

Un transbordador transbordador espacial intenta intenta recuperar satéli6.130 Un espacial recuperar un un satélipara repararlo repararlo. . En En cierto cierto momento, momento, la satélite te para la posición posición del del satélite respecto a un un sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al al transbordador transbordador es 50i respecto (m).. Los Los giróscopos giróscopos del del transbordador transbordador indican su velocidad (m) indican que que su velocidad angular es 0.05j 0.05j + O.03k 0.03k (rad/s). (rad/s). El piloto piloto mide angular mide la la velocidad velocidad del del satélite respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al satélite al cuerpo cuerpo y obtiene obtiene valor -2i -2i - 1.5j 1.5j + 2.5k 2.5k (m/s). (m/s). ¿Cuáles ¿Cuáles son son las el valor las componentes componentes de la velocidad velocidad del del satélite satélite respecto respecto a un sistema coordex, y, z de un sistema coordenado sin sin giro giro con con su origen origen en en el transbordador? transbordador? nado

6.131, determine 6.132 En En el Probo Probo 6.131, determine la la aceleración aceleración del del pasajepasajero sistema coordenado que el pasajero pasajero B observa observa respecto respecto al al sistema coordenado ro A que fijo al fijo al vagón vagón en en que que viaja viaja B.

6.133 El satélite A está (órbita que El satélite está en en órbita órbita circular circular polar polar (órbita que interseca interseca los los polos). polos) . El El radio radio de de la la órbita órbita es R, y la la magnitud magnitud de satélite respecto de la la velocidad velocidad del del satélite respecto a un un marco marco de de referencia referencia sin giro v A- En sin giro con con origen origen en en el centro centro de de la la Tierra Tierra es VA. En el instaninstante satélite se encuentra sobre el ecuador. te mostrado, mostrado, el satélite encuentra sobre ecuador. Un Un obserobservador sobre la satélite mide su vador B sobre la Tierra Tierra directamente directamente abajo abajo del del satélite mide su movimiento sistema coordenado fijo a la movimiento usando usando el sistema coordenado fijo la Tierra Tierra mosmostrado. ¿Cuáles son son la satélite restrado. ¿Cuáles la velocidad velocidad y la la aceleración aceleración del del satélite respecto sistema coordenado fijo a la coordenado de de B fijo la Tierra? Tierra? El El radio radio de de pecto al sistema la su velocidad la Tierra Tierra es RE RE y su velocidad angular angular es WE' yy N N

~--~---+----+-------X

P6.130 P6.130


P6.133 P6.133

294


6.134 automóvil A en latitud latitud norte norte L viaja viaja hacia hacia el norte norte 6.134 Un automóvil una carretera carretera con orientación orientación norte-sur norte-sur a una una velocidad velocidad consen una tante v. El radio radio de la Tierra Tierra es RE y su velocidad velocidad angular angular es tante WE. Determine las componentes componentes x, y, y, z de la velocidad velocidad y aceleWE. Determine ración del automóvil automóvil (a) respecto respecto al sistema coordenado fijo ración sistema coordenado Tierra mostrado; mostrado; (b) respecto respecto a un sistema a la Tierra sistema coordenado coordenado sin centro de la Tierra. Tierra. giro con su origen origen en el centro

N N yy

II

6.136 Para llevar a cabo cabo experimentos experimentos relacionados relacionados con vue6.136 Para larga duración, duración, se construye construye en la Tierra Tierra un los espaciales espaciales de larga laboratorio que gira alrededor alrededor del eje vertical vertical en B laboratorio B con velocidad angular angular constante constante W de 1 rev cada cada 6 s. Se establece dad establece un sistecoordenado fijo al laboratorio ma coordenado laboratorio con su origen origen en B y el eje dirigido hacia hacia arriba. arriba. Un ingeniero ingeniero sostiene cuerpo en el zz dirigido sostiene un cuerpo punto A, A, a 3 m del eje de rotación, rotación, y lo suelta. En el instante instante punto suelta. En cuerpo, determine determine su aceleración aceleración relativa relativa al sisen que suelta suelta el cuerpo, tema coordenado coordenado fijo al laboratorio laboratorio (a) suponiendo tema suponiendo que este inercial; (b) sin suponer inercial, sistema sistema es inercial; suponer que este sistema sistema es inercial, pero suponiendo un sistema coordenado fijo a la Tierra Tierra pero suponiendo que un sistema coordenado con origen origen en B sí es inercia!. inercial.

x

P6.134 P6.134

6.135 P6.135 el avión avión B efectúa efectúa pruebas pruebas de vuelo 6.135 En la Fig. P6.135 cohete. En el instante instante mostrado, mostrado, el avión avión viaja viaja a 200 mis mis de un cohete. respecto respecto a la Tierra Tierra en una una trayectoria trayectoria circular circular de 2000 m de radio en un plano plano horizontal. horizontal. El sistema coordenado está está fijo radio sistema coordenado respecto al avión. avión. El eje x es tangente tangente a la trayectoria trayectoria y apunta apunta respecto hacia adelante. adelante. El eje y apunta apunta hacia hacia afuera afuera del lado lado derecho derecho hacia del avión fondo del avión. inclinación avión y el zz hacia hacia afuera afuera del fondo avión. La inclinación respecto a la vertical vertical es constante constante e igual igual a 20° . Respecto Respecto del eje z respecto piloto mide la posición posición sistema coordenado avión, el piloto al sistema coordenada del avión, cohete y obtiene obtiene los valores valores rrAIB y velocidad velocidad del cohete 1000i (m) y AIB = 1000í VA I B = 100.Oí VAIB 100.Oí + 94.0j + 34.2k 34.2k (mis). ¿Cuáles son las componentes y, z del vector vector de velocidad velocidad (a) ¿Cuáles componentes x, y, angular del avión? avión? angular ¿Cuáles son las componentes velocidad del cohe(b) ¿Cuáles componentes x, y, z de la velocidad respecto a la Tierra? Tierra? te respecto

-----------------2000m--------------~ - - - - - --2000m--- - - - - B

z P6.135 P6.135


B~ __ ~ ~_x x B~____~A~ ~A____ ~_______ ''--.,---' --.r---'

3m 3m

B

x

P6.136 P6.136

6.6 EN ROTACiÓN 6.6 SISTEMAS COORDENADOS COORDENADOS ROTACiÓN

6.13 7 Un disco en un plano plano horizontal horizontal gira alrededor alrededor de un eje fijo en el origen origen con velocidad velocidad angular angular constante constante w. El deslimasa m se mueve en una zador zador A de tmasa una ranura ranura lisa del disco. disco.'' El resorte resorte no está estirado estirado cuando cuando x = o. O. (a) Expresando Expresando la segunda segunda ley de Newton Newton en el sistema sistema coordecoordenado cuerpo, demuestre demuestre que el movimiento-del deslizador nado fijo al cuerpo, movimiento del deslizador está dado dado por por la ecuación ecuación

ddPx + (~ (k;;;-- w ) ~:~

6.139 Considere Considere un punto punto A en la superficie superficie de la Tierra Tierra con latitud norte latitud norte L. L. El radio radio de la Tierra Tierra es RE y su velocidad velocidad anguangular es WE' justo sobre WE' Una Una plomada plomada suspendida suspendida justo sobre el terreno terreno en respecto a la vertical A cuelga con un pequeño pequeño ángulo ángulo {3 {3respecto vertical debido debido a la rotación rotación de la Tierra. Tierra. Demuestre Demuestre que {3 se relaciona relaciona con la latitud latitud por por R

tan f'f>

2

22

)

X

O. = o.

deslizador mostrado mostrado recibe una una velocidad dx/dt (b) El deslizador velocidad inicial dx/ dt Vo en xx = O. Determine Determine su velocidad velocidad en función función de x. x. = Vo

295

=

W~RE W~RE senL senL cos L

-':='--=.."....--;:--'=.--=..".---~ 2

g - W~ RE cos W~RE cos" L' L'

Estrategia: Usando Usando el e! sistema sistema coordenado coordenado fijo a la Tierra Tierra Estrategia: muestra, exprese la segunda segunda ley de Newton Newton en la forma forma que se muestra, dada por por la Ec. (6.25). dada N N y

x

x

A ---x --x

P6.137

P6.139

efectúan pruebas pruebas de vuelo de un cohete cohete a 30° de lati6.138 Se efectúan norte. Se mide el movimiento movimiento del de! cohete cohete usando usando un sistema sistema tud norte. coordenado fijo a la Tierra Tierra con el e! eje x dirigido dirigido hacia hacia arriba arriba coordenado hacia el norte. norte. En un instante particular, fa masa masa del y el eje y hacia instante particular, cohete es de 4000 kg, su velocidad velocidad relativa relativa al sistema sistema coordenacoordenacohete (mis) suma de las fuerzas fuerzas ejercidas ejercidas do es 2000i + 2000j (m i s) y la suma e! cohete cohete por por su empuje, empuje, peso y fuerzas fuerzas aerodinámicas aerodinámicas sobre el Determine la aceleración aceleración del cohete cohete respecto respecto es 400i + 400j (N). Determine sistema coordenado coordenado (a) suponiendo suponiendo que el sistema sistema coordenacoordenaal sistema Tierra es inercial; suponer que el sistema sistema do fijo a la Tierra inercial; (b) sin suponer inercia!. es inercial.

Suponga que una una estación estación espacial espacial está en órbita órbita alre6.140 Suponga dedor de la Tierra Tierra y que dos astronautas astronautas dentro lanzan dedor dentro de ella se lanzan entre sí una una pelota. pelota. Observan Observan que la pelota pelota parece parece viajar viajar entre entre entre recta a velocidad velocidad constante. constante. ellos en línea recta Escriba la segunda segunda ley de Newton Newton para para la pelota pelota al viajar viajar (a) Escriba entre ellos en un sistema sistema coordenado coordenado sin giro estacionario estacionario resentre estación. ¿Qué es el e! término término EF? EF? Use la ecuación ecuación pecto a la estación. para explicar comportamiento de la pelota pelota observado observado por por los para explicar el comportamiento astronautas. astronautas. Escriba la segunda segunda ley de Newton Newton para para la pelota pelota al viajar viajar (b) Escriba entre ellos en un sistema sistema coordenado estacionaentre coordenado sin giro que sea estacionarespecto al centro Tierra. ¿Qué es el término término EF? Explirio respecto centro de la Tierra. diferencia entre entre esta ecuación ecuación y la obtenida obtenida en (a). que la diferencia

N N

II

y

x

P6.138


296 296

CAPíTULO 6 C INEMÁTICA PLANA DE CUERPOSRíGIDOS CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO6 CINEMÁTICA

Resumen Resumen del del capítulo capítulo es un modelo idealizado de un cuerpo en el que la distandistanUn cuerpo rígido es puntos permanece constante. cia entre cada par de puntos constante. Si un cuerpo rígido traslación. Si el centro de masa en movimiento no gira, se dice que está en traslación. se mueve en un plano fijo y un eje de un sistema coordenada coordenado fijo al cuerpo perpendicular al plano, plano, se dice que está sometido a un movipermanece perpendicular miento plano o bidimensional. bidimensional.

Velocidades Velocidades y aceleraciones aceleraciones relativas relativas

y A

angular w de un cuerpo rígido es paralelo paralelo al eje El vector de velocidad angular razón de rotación. rotación. Si rotación y su magnitud magnitud w es la razón de rotación Si el pulgar de la apunta en la dirección de w, los dedos se enrollan enrollan alrededor alrededor mano derecha apunta de w en la dirección de la rotación. rotación. El vector de aceleración angular angular aa = = dwl dwl dt dt es la razón de cambio del vector de velocidad angular. angular. punto B de un cuerpo rígido, un sistema coordenada coordenado Consideremos un punto fijo al cuerpo y un punto punto arbitrario arbitrario A (Fig. a). Las velocidades vA y V B puntos respecto a O están relacionadas relacionadas por de los puntos VA

~---+--- x

zz

= = VB

+ V Arel Arel + W

A j B, B, x r Aj

Ec. Ec. (6.11) (6.11)

donde VA rel es la velocidad de A respecto al sistema coordenada coordenado fijo al cuerpo. Si Si A es un punto punto del cuerpo rígido, VA rel es cero. Las aceleraciones aAA Y aB de los puntos puntos respecto a O están relacionadas por aA aA

= aB = aB

+ aArel aArel + 2w 2w X

VArel VArel

+ aa

x x rAjB rAjB Ec. Ec. (6.13) (6.13)

o (a)

donde aA rel es la aceleración de A respecto al sistema coordenada coordenado fijo al cuerpo. En movimiento plano, (wx X rrAAIB /B) ) se puede escriplano, el término término w x (w 2r2r/ • • bir en la forma más sencilla -W -W AA BI B SiAA es un punto Si punto del cuerpo rígido, VA rel Y aA rel son cero.

Centros instantáneos instantáneos Centros Un centro instantáneo instantáneo es un punto punto de un cuerpo rígido cuya velocidad en un instante instante dado es cero. Considere un cuerpo rígido en movimiento plano y suponga suponga que e Ces es un centro instantáneo. instantáneo. La velocidad de un punto punto A es perpendicular C a A y su magnitud perpendicular a la línea de e magnitud es el producto producto de la distancia de e C a A por la velocidad angular angular (Fig. b).

(b) (h)



Si se conocen conocen las direcciones direcciones de los movimientos movimientos de dos puntos puntos A y B de un cuerpo plano, las líneas por cuerpo rígido en movimiento movimiento plano, por A y B perpendiculares perpendiculares a sus direcclonesde c). direcclonesde movimiento movimiento se intersecan intersecan en el centro centro instantáneo instantáneo (Fig. e). Direcciones Direcciones del movimiento movimiento

(e) (c)

Sistemas coordenados coordenados en rotación rotación Consideremos Consideremos un punto punto A y un sistema sistema coordenado coordenado con origen origen en B que gira con velocidad velocidad angularw angularw y aceleración aceleración o: o: (Fig. d). Las velocidades velocidades de A y B respecto respecto a un sistema sistema coordenado coordenado sin giro estacionario estacionario respecto respecto al punto punto de referencia referencia O están están relacionadas relacionadas por por V A VA

= = VB

+ V Arel Arel + W

x r Al Al B

,

Ec. (6.19)

donde VA rel es la velocidad de A relativa al sistema coordenado coordenado en rotación. rotación. Las aceleraciones aceleraciones de A y B respecto respecto al sistema sistema coordenado coordenado sin giro que es estacionario están relacionadas por estacionario con respecto respecto al punto punto de referencia referencia O están relacionadas por aA aA

= = aB

+ aArel aArel + 2w 2w X

VArel VArel

Ec. (6.20)

donde relativa al sistema rotadonde aA rel es la aceleración aceleración de A relativa sistema coordenado coordenado en rotayy ción. A

w

~~----'-------x

~~--- I ------- x

zz

o (d)


297 297

298 298

CAPíTULO CINEMÁTICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 6 CINEMÁTICA

•..•• .....

-:~ __ ~ Problemas Problemas de repaso¡.-______________ repas0f-----' -----~--------__..01 ---'

6.141 En la Fig. P6.141 P6. 141 determine la velocidad vertical del gancho y la velocidad angular angular de la polea pequeña.

UH

6.143 En el Probo 6.142, si el pistón se mueve con velocidad s), ¿cuáles son las velocidades angulares del ciVe = 20j (pie/ (pie/s), cigüeñal AB A B y de la barra barra conectora conectora BC? Be! 6.144 6.144 En el Probo 6.142, si el el pistón se mueve con velocidad ve = 20j (pie/s) (pie/s) y su aceleración es cero, ¿cuáles son las aceleraciones angulares del cigüeñal AB conectara Be? BC? A B y de la barra barra conectora 6.145 La barra barraAB 6.145 A B mostrada mostrada gira a 6 rad/s rad/ s en dirección antihoraria. instantáneos para determinar la velocihoraria. Use los centros instantáneos para determinar velocidad angular barra BeD punto D angular de la barra BCD y la velocidad del punto D..

mm/s !

120rnm/s! 120

yy

I

1

88 pulg pulg

'i~lt P6.141 P6.141

Si el cigüeñal AB antihora6.142 Si AB mostrado mostrado gira en dirección antihoraria a 2000 ría 2000 rpm, ¿cuál es la velocidad del pistón?

t

12 pulg 12pulg

~~~---+-_L
<

P~lg~ y

P6.145 P6.145

6.146 A B gira a una velocidad 6.146 En el Probo 6.145, la barra barra AB rad/ s en dirección antihoraria. angular angular constante constante de 6 rad/s antihoraria. Determine la aceleración del punto punto D. 6.147 El punto punto e C se está moviendo hacia la derecha a 20 pulg/s. pulg/ s. ¿Cuál es la velocidad del punto punto medio G de la barraBC? barra Be? yy B

¡f

4 4 pulg pulg

~ /

P6.142 P6.142

~ pulg--"--:--'-3

3 pulg

!!

~

~44 PUlg+-PUlg+ - - 10 10 pulg pulg

,1 .1 P6.147 P6.147


PROBLEMASDE PROBLEMAS DE REPASO REPASO 299 299

6.148 6.148

En el el Probo Probo 6.147, 6.147, el el punto punto C C se se está está moviendo moviendo hacia hacia En una velocidad velocidad constante constante de 20 20 pulg/s. pulg/s. ¿Cuál ¿Cuál es es la la la derecha derecha con con una la aceleración del del punto punto medio medio G G de de la la barra barra BC? BC? aceleración

En En la la Fig. Fig. P6.154 P6.154 la la velocidad velocidad angular angular del del brazo brazo AC AC es es de de 1 rad/s rad/s antihoraria. antihoraria. ¿Cuál ¿Cuál es es la la velocidad velocidad angular angular del del cucucharón? charón?

6.154 6.154

6.149 En En el Probo Probo 6.147, si la la velocidad velocidad del del punto punto C Ces Vc 6.149 es Vc (pulg/ s), ¿cuáles ¿cuáles son son los los vectores vectores de velocidad velocidad angular angular == 1.0i (pulg/s), de los los brazos brazos AB AB yy BC? BC? de 6.150 En En la Fig. Fig. P6.150 P6.150 los puntos puntos By By C están están en el plano plano 6.150 velocidad angular angular de los los brazos brazos AB AB yy xx-y. - y. Los vectores de velocidad BC sonWAB sonWAB = -0.5k -0.5k (rad/s),wBc (rad/s),wBc = 2.0k 2.0k (rad/s). (rad/s). Determine Determine BC punto C. la velocidad del punto yy

P6.154 P6.154

La velocidad angular C del Probo 6.154 es angular del brazo brazo A AC de 2 rad/s rad/ s antihoraria antihoraria y su aceleración angular angular es de 4 rad/srad/s 2 horaria. horaria. ¿Cuál es la aceleración angular angular del cucharón? cucharón?

6.155 6.155

programar el robot robot de manera manera que en el Si se quiere programar instante instante mostrado mostrado la velocidad del punto punto D sea VD VD = = 0.2i + (m/s) angular del brazo CD sea 0.3 rad/s 0.8j (m/ s) y la velocidad angular rad/s antihoraria, antihoraria, ¿cuáles son las velocidades angulares necesarias de AB y Be? BC? los brazos AB

6.156 6.156

y

P6.150 P6.150

6.151 En el 6.151 el Probo Probo 6.150, si si la velocidad del del punto Ces C es Vc Vc = = 1.0i 1.0i (m/s), (rn/s), ¿cuáles ¿cuáles son los vectores de de velocidad angular de los los brazos AB AB y BC? 6.152 En el 6.152 el Probo Probo 6.150, 6.150, si si los los vectores de de velocidad angular de de los los brazos AB AB y BC sonw sonwABAB = -0.5k -0.5k (rad/s), (rad/s), YWBC YWBC = 2.0k (rad/ s), y sus (rad/s), sus vectores vectores de de aceleración angular son aAB aAB = = 1.0k 1.0k 2 (rad/s ), aBC s2), ¿cuál es (rad/s-), aBC = = 1.0k 1.0k (rad/ (rad/s-), es la aceleración de de C? 6.153 6.153 En el el Probo Probo 6.150, 6.150, si si la la velocidad del del punto Ces C es Vc Vc == 1.Oi 1.0i (m/s) yy ac = O, O, ¿cuáles ¿cuáles son son los los vectores vectores de de la velocidad y la la aceleración aceleración angulares angulares del del brazo Be? BC?

P6.156 P6.156

6.157 En el el Probo Probo 6. 6.156, si la la aceleración aceleración del del punto punto D yy la la 6.157 En 156, si aceleración angular angular del del brazo brazo CD CD son son cero cero en en el el instante instante mostraaceleración do, ¿cuáles ¿cuáles son son las las aceleraciones aceleraciones angulares angulares de de los los brazos brazos AB AB do, yyBC? Be?


300


10rad/s 6.158 El brazo AB AB mostrado mostrado gira a 10 rad/s en dirección horaria. Determine laivelocidad angular del brazo BC y la velocidad a la que se desliza respecto al manguito manguito en C.

6.161 En el Probo 6.160, si la cremallera R del engrane de piñón y cremallera se mueve hacia arriba arriba a una velocidad constante de 10 10pie/s, pie/s, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración angulares de la barra barra BC? 6.162 La barra barra AB AB de la figura tiene una velocidad angular antihoraria constante constante de 2 rad/s. antihoraria rad/ s. El collarín C de 1 kg se desliza instante mostrado, sobre la barra barra horizontal horizontal lisa. En el instante mostrado, ¿cuál es la tensión en el cable BC?

P6.158 P6.158

Probo 6.158, el brazo AB 6.159 En el Probo AB gira a una velocidad 10 rad/s angular de 20 rad/s-, rad/ s y una aceleración angular rad/s 2 , angular de 10 ambas en dirección horaria. Determine la aceleración angular horarja. BC. del brazo BC. angular 6.160 El brazo AB AB mostrado mostrado gira a una velocidad angular antihoraria constante constante de 10 10 rad/s. antihoraria rad/ s. Determine la velocidad y la aceleración verticales de la cremallera R del engrane de piñón y cremallera.

-11

P6.162 P6.162

atleta de la figura ejercita su brazo levantando levantando la 6.163 El atleta masa m de 8 kg. La articulación articulación del hombro hombro A está en reposo. La distancia AB 300 mm, la distancia BC es de 400 mm AB es de 300 y la distancia de C a la polea es de 340 340 mm. Las velocidades WAB = 1.5 1.5 rad/s WBC = 2 rad/s constantes. rad/s y wBC rad/s son constantes. angulares WAB es la tensión en el cable? ¿Cuál es

12 pulg pulg

1 1 R

P6.160 P6.160

P6.163 P6.163



6.164 El El sistema sistema coordenado coordenado de de la la figura figura gira gira con con velocidad velocidad 6.164 angular constante constante w w == 2k 2k (rad/s). (rad / s). El El punto punto A A se se mueve mueve hacia hacia angular afuera aa 16 lb largo largo del del eje eje xx aa una una razón razón constante constante de de 55 mis. mis. afuera (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son son la la velocidad velocidad yy la la aceleración aceleración de de AA respecto respecto al al (a) sistema coordenado? coordenado? sistema ¿Cuáles son son la la velocidad velocidad yy la la aceleración aceleración de de AA respecto respecto aa (b) ¿Cuáles un sistema sistema coordenado coordenado sin sin giro giro con con su su origen origen en en B, cuando cuando A A un está en en la la posición posición xx = = 1 m? m? está

yy

mIs S5 mIs

)

~----------1-------X

~----------~------ x

B B

P6.164 P6.164

A A

6.165 El sistema sistema coordenado coordenado de la figura figura está está fijo fijo respecto respecto 6.165 B . Éste Éste usa usa su radar radar para para medir medir la posición posición de una una boya boy~ al barco barco B. estacionaria y determina A estacionaria determina que es 400i + 200j (m). También También velocidad de la boya boya respecto respecto a su sistema sistema coordenado coordenado mide la velocidad valor 2i - 8j (mis). ¿Cuáles son la cuerpo y obtiene obtiene el valor fijo al cuerpo (mis). ¿Cuáles velocidad y la velocidad barco respecto respecto a la Tierra? velocidad velocidad angular angular del barco Tierra? (Su ponga que la velocidad velocidad del barco barco es en la dirección (Suponga dirección del eje y.)

y

B*-+---------------X B ~--------------x

P6.165 P6.165


301 301

'\

L L

de una excavadora excavadora pala frontal frontal de a pala movimiento bidimensional bidimensional tiene movimiento cuando el el cilindro cilindro hidráulico hidráulico y cuando elementos accesorios accesorios la levantan levantan y la elementos plano vertical. vertical. La sesehacen girar en un plano gunda ley ley de Newton Newton relaciona relaciona la suma gunda de las fuerzas sobre la pala pala con la aceleración de su centro centro de masa, masa, y una ración ecuación de movimiento movimiento angular angular relaecuación momentos respecciona la suma de los momentos to al centro centro de masa masa de la pala con su aceleración angular. angular. Usaremos Usaremos diagradiagraaceleración cuerpo libre y las ecuaciones ecuaciones mas de cuerpo movimiento de cuerpos cuerpos rígidos pade movimiento determinar movimientos movimientos debidos debidos a ra determinar fuerzas y pares. pares. fuerzas


I Capítulo Capítulo 7 71

Dinámica Dinámica bidimensional bidimensional de cuerpos rígidos rígidos

capítulo 6 analizamos analizamos los movimientos N el capítulo movimientos bidimenbidimensionales rígidos sin considerar sionales de cuerpos cuerpos rígidos considerar las fuerzas fuerzas pares que los producen. producen. Usamos Usamos la segunda New- · y pares segunda ley de New-· ton para para determinar movimientos de los centros ton determinar los movimientos centros de masa de cuerpos, pero ¿cómo ¿cómo se determinan masa cuerpos, pero determinan sus movimientos rotacionales? capítulo deducimos mientos rotacionales? En este capítulo deducimos ecuaciones bidimensionales bidimensionales para para el movimiento movimiento angular angular de un cuerpo rígido. Dibujando cuerpo rígido. Dibujando el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre de una excavadora, podeun cuerpo, cuerpo, como como el cucharón cucharón de una excavadora, podemos determinar determinar la aceleración aceleración de su centro centro de masa masa y su aceleración angular angular en función función de las fuerzas fuerzas y pares aceleración pares a que está está sometido. sometido.

E E

l·

I

303 http://carlos2524.jimdo.com/

304

DINÁMICA BIDIMENSIONAl DE C CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO 7 DINÁM CAPíTULO ICA BI DIMENSIONAL DE UE RPOS RíGIDOS

previa de de las 7. 11 Revisión previa ecuaciones de de movimiento movimiento ecuaciones ecuaciones bidimensionales bidimensionales del movimiento movimiento angular cuerpo rígiLas ecuaciones angular de un cuerpo sencillas, pero pero durante durante su deducción deducción es fácil perder do son muy sencillas, perder de vista vista Para evitar evitar esto, esto, aquí aquí resumiremos resumiremos las ecuaciones. su esencia. Para ecuaciones. ecuaciones de movimiento movimiento de un cuerpo cuerpo rígido rígido incluyen Las ecuaciones incluyen la segunda segunda ley de Newton, Newton, =ma, hF = ma, establece que la suma suma de las fuerzas fuerzas externas la cual establece externas que actúan actúan sobre sobre el cuerpo es igual al producto producto de su masa masa por cuerpo por la aceleración aceleración de su centro centro masa. Las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento se completan de masa. completan con con una una ecuación ecuación de movimiento angular. angular. Si el cuerpo cuerpo rígido rígido gira movimiento gira respecto respecto a un eje fijo O (Fig. suma de los momentos momentos respecto respecto al eje debido debido a las fuerzas fuerzas y pares pares 77.la), . la), la suma externos sobre sobre él se relaciona relaciona con su aceleración aceleración angular externos angular por por = loa, loa, hMo =

donde lo es el momento momento de inercia inercia de masa masa del cuerpo donde cuerpo rígido rígido respecto respecto a como la masa masa de un cuerpo cuerpo determina determina la aceleración O. Así como aceleración que resulta resulta fuerzas que actúan actúan sobre sobre él, su momento momento de inercia de las fuerzas inercia de masa masa lo respecto a un eje fijo determina determina la aceleración aceleración angular angular resultante resultante de la suma suma pecto momentos respecto respecto al eje. de los momentos movimiento plano plano (Fig. b), la suma En el movimiento suma de los momentos momentos respecto respecto centro de masa masa está relacionada relacionada con con su aceleración al centro aceleración angular angular por por 'E.M = = la, la, 'E,M

donde 11es el momento momento de inercia inercia de masa masa del cuerpo donde cuerpo rígido rígido respecto respecto a centro de masa. masa. Si conocemos conocemos las fuerzas fuerzas y pares su centro pares externos externos que actúan actúan sobre un cuerpo cuerpo rígido en movimiento plano, podemos sobre movimiento plano, podemos usar usar esas ecuacioecuaciopara determinar determinar la aceleración aceleración de su centro centro de masa masa y su aceleración aceleración nes para angular. angular. Figura 7.1 7.1 Figura

(a) Cuerpo rígido girando alrededor de un eje fijo O. (b) Cuerpo rígido en movimiento plano (b) general.

(a) (a)

(b)


7.2 PRINCIPIOS PRINCIPIOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO PARA PARA UN SISTEMA DE DE PARTíCULAS PARTíCULAS 7.2

de la la cantidad cantidad de de 7.2 Principios de movimiento para para un sistema de de movimiento partículas partículas capítulo y en el análisis análisis de la dinámica dinámica tridimensional tridimensional de cuerpos cuerpos En este capítulo Cap. 9, nuestras nuestras deducciones deducciones de las ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento rígidos del Cap. empiezan con los principios principios que rigen el movimiento movimiento de un sistema sistema de parparempiezan tículas. En esta sección sección resumimos resumimos estos importantes importantes principios principios generales. generales. tículas.

Principio de de la fuerza y cantidad cantidad de de movimiento movimiento lineal lineal Principio Primero veremos veremos que la suma suma de las fuerzas fuerzas externas externas sobre sobre un sistema sistema de Primero partículas es igual a la razón razón de cambio cambio de su cantidad cantidad de movimiento movimiento lipartículas total. Sea un sistema de N N partículas partículas donde m¡ es la masa de la i-ésima neal total. partícula y r¡ r, su vector vector de posición posición respecto respecto al punto punto fijo O (Fig. 7.2). padícula fuerza ejercida ejercida por por laj-ésima laj-ésima partícula partícula sobre sobre la i-ésima partícupartícuSea fij la fuerza fuerza externa.sobre externasobre la i-ésima partícula partícula (es decir, decir, la fuerza fuerza la, y sea ff la fuerza total ejercida ejercida por por cuerpos cuerpos ajenos ajenos al sistema). sistema). La segunda segunda ley de Newton Newton total establece que la fuerza fuerza total total sobre sobre la i-ésima partícula partícula es igual al producto producto establece masa por por la razón razón de cambio cambio de su cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal, lineal, de su masa

Jij +

'L dd L_.fij + f¡EE == -(m¡v¡), '"" ...

.

(7.1 )

dt

JJ

donde dr¡l di di es la velocidad velocidad de la i-ésima partícula. partícula. Escribiendo Escribiendo esta esta donde v¡ == dr¡l ecuación para para cada cada partícula partícula del sistema y sumando sumando de i == 11aa N, N, obtenemos obtenemos ecuación ¿¿fij ¿ff ==!!.. ¿ Z:)ij + ¿f¡ !!:... ¿m¡v¡. .. . dt . . . dt ¡¡

JJ

¡¡

(7.2)

¡¡

Figura 7.2

o

o

Sistema de partículas. El vector vector r¡t¡ es el Sistema vector de posición posición de la i-ésima vector partícula. partícula.

o

o

primer término término del lado lado izquierdo izquierdo de esta ecuación ecuación es la suma suma de las El primer fuerzas internas internas sobre sobre el sistema sistema de partículas. partículas. Como Como consecuencia consecuencia de la fuerzas tercera ley de Newton Newton (fji (fji + fij = = O), este término término es igual a cero: tercera

¿ ¿ fij = ff12 + ff21 + f13 + ff31 + ... = O.o. 12

21

f13

31

j


305 305

306 306

CAPíTULO ICA BIDIM ENSIONAL DE UERPOS RíG IDOS CAPíTULO 7 DINÁM DINÁMICA BIDIMENSIONAl DE C CUERPOS RíGIDOS

El segundo término del izquierdo de Ec. (7.2) la suma de las las El segundo término del lado lado izquierdo de la la Ec. (7.2) es la suma de fuerzas Denotándolo con EF, concluimos fuerzas externas externas sobre sobre el sistema. sistema. Denotándolo con EF, concluimos que que la suma las fuerzas igual a la razón de cambio la suma de las fuerzas externas externas sobre sobre el sistema sistema es igual la razón cambio de su movimiento lineal total: de su cantidad cantidad de de movimiento lineal total: d EF = - ¿m¡v¡. (7.3) EF = ¿m¡v¡. (7.3) dt ¡¡. dt Sea las masas masas de de las las partículas: partículas: Sea m la la suma suma de de las m = ¿m¡. La posición posición del masa del La del centro centro de de masa del sistema sistema es

(7.4) (7.4)

r =--m

por que la del centro centro de por lo que la velocidad velocidad del de masa masa es ¿m¡v¡

dr dr ¡ v------'---v = -= - -- dt dt m Usando esta expresión expresión podemos escribir la como Usando esta podemos escribir la Ec. Ec. (7~3) (7 ~ 3) como d I;F = - (mv). hF = -(mv). dt

La fuerza externa externa total sobre un sistema de de partículas La fuerza total sobre un sistema partículas es igual igual a la la razón razón de cambio cambio del su masa su centro centro de de del producto producto de de su masa total total por por la la velocidad velocidad de de su de masa. Como cualquier cualquier cuerpo cuerpo o colección colección de cuerpos, incluyendo cuermasa. Como de cuerpos, incluyendo un un cuerpo considerar como como un sistema de de partículas, partículas, este este resultapo rígido, rígido, se puede puede considerar un sistema resultado es uno elegantes de de la do uno de de los los más más generales generales y elegantes la mecánica. mecánica. Además, Además, si la masa constante, obtenemos obtenemos la masa total total m es constante, EF EF == ma, ma, donde a = = dv aceleración del del centro fuerza externa externa donde dv / dt dt es la la aceleración centro de masa. masa. La La fuerza total la masa la aceleración aceleración del del centro centro total es igual igual al producto producto de la masa total total por por la de de masa. masa.

o

o

o O

o

o Figura 7.3 Figura

R¡ es el vector posición de El vector vector R¡ vector de posición la i-ésima z-ésima partícula partícula respecto respecto al al centro centro la masa. de masa.

del momento momento y momento momento angular angular Principios del Ahora obtenemos relaciones entre la de los los momentos debidos a Ahora obtenemos relaciones entre la suma suma de momentos debidos las fuerzas externas externas sobre sobre un sistema de partículas y la la razón cambio las fuerzas un sistema de partículas razón de de cambio su momento angular total. momento angular total. de su La sistema respecto está relacioLa posición posición de la la i-ésima i-ésima partícula partícula del del sistema respecto a O está relacionada con su su posición centro de masa (Fig. 7.3) 7.3) por nada con posición respecto respecto al centro masa (Fig. por

r, = r+R¡. r¡ = r+R¡ .

(7.5)

Al multiplicar multiplicar esta esta ecuación por mi' mi' sumando usar la Ec. Ec. (7.4) Al ecuación por sumando de 1 a N, N, y usar (7.4)


..

7.2 7.2 PRINCIPIOS PRINCIPIOS DE LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO PARA PARA UN SISTEMA DE PARTíCULAS PARTíCULAS

encontramos posiciones de las partículas partículas respecto respecto al centro centro de masa masa encontramos que las posiciones están relacionadas por están relacionadas por t

(7.6)

¿m¡R¡ = O.

momento angular total del sistema respecto a O es la suma El momento angular total sistema respecto suma de los momentos angulares angulares de las partículas, partícu,las, momentos

Ho = ¿r¡ m¡v¡, Ho= ¿r¡ x m.v],

(7.7)

donde sistema respecto donde v¡ v¡ == dr¡ldt. dr¡ldt. El momento momento angular angular del sistema respecto a su centro centro de masa coincide momento angular angular respecto respecto al punto punto fijo que coincide masa (es decir, el momento con el centro centro de masa instante presente) con masa en el instante presente) es H m¡v¡ . H= = ¿R¡ ¿R¡ x m.vi.

(7.8) (7.8)

¡

Usando Usando las Ecs. (7.5) Y (7.6) se puede puede demostrar demostrar que Ho= Ho = r x mv+H.

(7.9) (7.9)

Esto expresa el momento como la suma suma de los Esto expresa momento angular angular total total respecto respecto a O como momentos angulares respecto debido a la velocidad centro de masa momentos angulares respecto a O debido velocidad v del centro masa angular total centro de masa del sistema y el momento momento angular total respecto respecto al centro masa (Fig. 7.4).

Figura 7.4 El momento angular respecto momento angular respecto a O es igual suma del momento igual a la suma momento angular angular respecto centro de masa respecto al centro masa y el momento momento angular angular respecto respecto a O debido debido a la velocidad velocidad del centro centro de masa. masa.

o

Para obtener relaciones entre el momento ejercido sobre sobre el sistema sistema Para obtener relaciones entre momento total total ejercido momento angular angular total, partimos de la segunda segunda ley de Newton. su momento total, partimos Newton. ForFormamos mamos el producto producto vectorial vectorial de la Ec. (7.1) con el vector vector de posición posición r, r¡ y sumamos sumamos de i == 1 a N: y

¿¿r¡ . J. ¡

x

t., + ¿r¡ . ¡

x

ff

= ¿r¡

.

¡

x ~(m¡v¡). dt

(7.10)

El término esta ecuación ecuación es la razón término del lado lado derecho derecho de esta razón de cambio cambio del momento angular total sistema respecto respecto a O: momento angular total del sistema oo d (m¡v¡) [d dH d dH ¿r¡ x -d (m¡v¡)= ¿¿ [d -d (r¡ (r, x m¡v¡) -d ¿r¡ m¡v¡) - v¡ v¡ x m.v¡ m¡v¡ ] = d. . t . t '-..-' t '--.-' =0 ¡¡ ¡¡


307 307

308 308

DINÁMICA BIDIMENSIONAl CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 7 DINÁM CAPíTULO ICA BIDIM ENSIONAL DE CUERPOS

segundo término entre corchetes corchetes desaparece desaparece porque (El segundo término entre porque el producto producto vectorial de dos vectores cero.) vectores paralelos paralelos es igual a cero.) El primer suma de los primer término término del lado lado izquierdo izquierdo de la Ec. (7.10) es la suma momentos fuerzas internas, desaparece si las fuerzas fuerzas momentos respecto respecto a O de las fuerzas internas, y desaparece internas entre cada cada par opuestas sino internas entre par de partículas partículas no sólo son iguales iguales y opuestas que también también están dirigidas dirigidas a lo largo de la recta entre entre las dos dos partículas. partículas. (Esta hipótesis excepto en sistemas sistemas que implican fuerzas electroelectro(Esta hipótesis es válida válida excepto implican fuerzas magnéticas entre partículas cargadas.).) Por ejemplo, sean las partículas magnéticas entre partículas cargadas Por ejemplo, partículas están dirigidas dirigidas a lo largo 1 y 2 de la Fig. 7.5. Si las fuerzas fuerza~ internas internas están largo de la recta entre las partículas, escribir el momento recta entre partículas, podemos podemos escribir momento respecto respecto a O debido a f212 [ como como r¡ debido a las r[ x f212 [,, y el momento momento total total respecto respecto a O debido debido fuerzas que las dos partículas ejercen entre entre sí es fuerzas partículas ejercen r¡ x

f¡2

+ r¡ x f2¡ = r¡ x (f[2 + f2¡) = O.

Figura 7.5

2

Partículas 1 y 2 Y las fuerzas que ejercen Partículas sí. Si las fuerzas actúan a lo largo entre sí. de la línea entre las partículas, partículas, su momento total respecto a O es cero.

o El segundo segundo término suma de término del lado lado izquierdo izquierdo de la Ec. (7.10) es la suma los momentos debido a las fuerzas fuerzas y pares externos, que denodenomomentos respecto respecto a O debido pares externos, tamos con ~Mo' establece que la suma suma de los motamos ~Mo . Por Por tanto, tanto, la Ec. (7.10) establece mentos fuerzas y pares externos es igual mentos respecto respecto a O de las fuerzas pares externos igual a la razón razón cambio del momento angular del sistema sistema respecto de cambio momento angular respecto a O: dHo hMO=-. hMO = -. dt dt

(7.11)

Usando escribir este resultado función Usando la Ec. (7.9), también también podemos podemos escribir resultado en función angular total centro de masa, del momento momento angular total respecto respecto al centro masa, dH d dH hMO = -(r mv+H)= ma+-, hMO = - (r x x mv+H) = rr x x ma+ - , dt dt dt dt

(7.12)

donde a es la aceleración aceleración del centro centro de masa. donde masa. También necesitamos determinar la relación entre la suma suma de los moTambién necesitamos determinar relación entre mentos centro de masa sistema, que denotamos denotamos con ~M, mentos respecto respecto al centro masa del sistema, ~M, y el momento angular respecto centro de masa. obtener momento angular respecto a su centro masa. Podemos Podemos obtener coincida con este resultado resultado de la Ec. (7.12) haciendo haciendo que el punto punto fijo O coincida el centro centro de masa masa en el instante instante presente. presente. En En ese caso ~Mo = = ~M ~M Y y vemos que la suma momentos respecto respecto al centro masa es r == 0, O, Yvemos suma de los momentos centro de masa igual a la razón cambio del momento angular respecto centro de masa: razón de cambio momento angular respecto al centro dH dH hM=-. hM = - . dt dt


(7.13)

7.3 DEDUCCiÓN 7.3 DEDUCCiÓN DE LAS ECUACIONES ECUACIONES DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

309 309

7.3 Deducción Deducción de las ecuaciones ecuaciones de movimiento Ahora deduciremos deduciremos las las ecuaciones ecuaciones de de movimiento movimiento para para un un cuerpo cuerpo rígido rígido Ahora con movimiento movimiento bidimensional. bidimensional. Ya Ya hemos hemos mostrado mostrado que que la la fuerza externa con fuerza externa total sobre cualquier igual al producto su masa aceleratotal sobre cualquier cuerpo cuerpo es igual producto de de su masa por por la la aceleración de de su centro centro de de masa: masa: ción EF = = ma.

Por tanto, tanto, esta llamada segunda ley de de Newton, Newton, describe describe el momoPor esta ecuación, ecuación, llamada segunda ley vimiento del del centro centro de de masa masa de de un un cuerpo cuerpo rígido. rígido. Para Para deducir deducir las las ecuacioecuaciovimiento nes del del movimiento movimiento angular, angular, primero primero consideramos consideramos la la rotación rotación alrededor alrededor nes un eje eje fijo fijo y luego luego el movimiento movimiento plano plano general. general. de un de

Rotación alrededor alrededor de de un eje eje fijo Rotación Supongamos que eje fijo fijo Lo que Supongamos que un un cuerpo cuerpo rígido rígido gira gira alrededor alrededor de de un un eje que pasa sistema coordenado pasa por por un un punto punto fijo fijo O. En En un un sistema coordenado con con el eje eje z alineado alineado con (Fig. 7.6a), con Lo (Fig. 7.6a), podemos podemos expresar expresar el vector vector de de velocidad velocidad angular angular cocomo mo w = wk, wk, y la la velocidad velocidad de de la la i-ésima i-ésima partícula partícula es dr¡l dr/ dt dt = w X r, r¡ = wk Sea EMo suma de wk x x r., r¡. Sea EMo == EMo. EMo . k k la la suma de los los momentos momentos respecto respecto a Lo, Lo. De (7.7) y (7.11), De las las Ecs. Ecs. (7.7) (7 .11),

dHo EMo = - EMo=-dt dt '

(7.14) (7.14) Figura 7.6 7.6

Plano Plano del movimiento m.

~ I rj

r. = Ir.1 1

1

senf3

=Ikxri l ______

z

(a)

(a) Sistema coordenado con el eje zz alineado con el eje de rotación Lo. (b) (b) La magnitud de k x f¡ f ¡ es la distancia perpendicular del eje de rotación a mi. m;.

y

~

..

f3( k

_-----

Lo

o"'--x

(b)

donde donde

2:)ri

Ho=Ho·k x m¡(wk x r¡)]·k Ho=Ho·k= = I)r¡ xmi(wkxri)]·k

(7.15) (7.15)

es el momento momento angular angular respecto respecto a Lo, Lo. Si usamos usamos la la identidad identidad U .• (V x W) (U x V) . W, (7.15) como W) == (U W, podemos podemos escribir escribir la la Ec. Ec . (7.15) como (7.16) (7.16) En perpendicular de En la la Fig. Fig. 7.6(b) 7.6(b) mostramos mostramos que que [k jk x rA es la la distancia distancia perpendicular de Lo a la T¡. Usando la i-ésima i-ésima partícula, partícula, que que denotamos denotamos con con Ti' Usando la la definición definición del del momento momento de de inercia inercia de de masa masa del del cuerpo cuerpo rígido rígido respecto respecto a Lo,


310

CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAl DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

podemos podemos escribir escribir la Ec. (7.16) como como Ho = = low. Ho

Sustituimos esta esta expresión expresión en la Ec. (7.14) Ytenemos ecuación del moviSustituimos Ytenemos la ecuación miento angular angular de un un cuerpo cuerpo rígido rígido que gira gira alrededor alrededor de un eje fijo O: miento :EMo = loa. EMo = loa.

(7.17)

Movimiento plano plano general general Movimiento pasa por por un punto punto fijo O que es perpendjcular perpendicular al plano plano Sea Lo Lo el eje que pasa movimiento de un un cuerpo cuerpo rígido, rígido, y sea L L el eje paralelo paralelo que pasa pasa por por del movimiento centro de masa masa (Fig. 7.7a). 7.7a). No suponemos que el cuerpo cuerpo rígido rígido gira gira el centro No suponemos alrededor Lo. En el sistema alrededor de Lo' sistema coordenado coordenado que se muestra, muestra, podemos podemos expresar velocidad de la presar el vector vector de velocidad velocidad angular angular como como w = wk, y la velocidad z-ésima partícula partícula respecto respecto al centro centro de masa masa es dR/ dR/ dI dt == wk x R¡. R¡. De i-ésima Y (7.12), las Ecs. (7.8) Y d :EMo = = -[(r -[(r x x mv)· mv) • k+ k + H], H], EMo dt

(7.18)

donde donde

H == H· kk == ¿[R¡ ¿[R¡ x m¡(wk m¡(wk x R¡)] R¡)].. k k (a) (a)

momento angular angular respecto respecto aaL. Usando la misma misma identidad identidad que aplies el momento L. Usando camos a la Ec. (7.15), podemos escribir esta esta ecuación ecuación para para H H como como camos podemos escribir (7.19) L

(b)

Figura 7.7

(a) Sistema Sistema coordenado coordenado con el eje zz alineado con L. alineado (b) La magnitud magnitud de k x R¡ R¡ es la distancia distancia perpendicular perpendicular de LL a mi' mi'

r¡

término Ik Ik x R¡I R¡I == r¡ es la distancia distancia perpendicular perpendicular de L L a la i-ésima z-ésima El término partícula (Fig. 7.7b). 7.7b). En términos términos del momento momento de inercia inercia de masa masa del partícula cuerpo rígido rígido respecto respecto aL, aL, cuerpo

¿m¡r;,

1 1 = ¿m¡r;,

y la Ec. (7.19) establece establece que el momento momento angular angular de un cuerpo cuerpo rígido rígido respecto respecto a L es H /w. H = = /w. Sustituyendo Sustituyendo esta esta expresión expresión en la Ec. (7.18) obtenemos obtenemos d :EMo = = -[(r -[(r x x mv) ·k+ • k + lw] lw] = = (r xx ma)· ma) • k+ k + la. la. EMo dt

(7.20)

Con Con esta ecuación ecuación podemos podemos obtener obtener la relación relación entre entre la suma suma de los momentos respecto respecto a L, denotamos con 'E.M, EM, y la aceleración aceleración angular. angular. mentos L, que denotamos hacemos que el eje fijo Lo coincida coincida con con L en el instante instante presente, presente, 'E.M EMoo Si hacemos EM y r == 0, y de la Ec. (7.20) obtenemos obtenemos 'E.M :EM = = la. la. EM

La suma suma de los momentos momentos respecto respecto a L L es igual al producto producto del momento momento de inercia inercia respecto respecto a L L por por la aceleración aceleración angular. angular.



Aplicaciones 7.4 Aplicaciones ¡¡

.

Hemos visto que las ecuaciones ecuaciones de movimiento para un cuerpo cuerpo rígido rígido en Hemos movimiento para movimiento plano incluyen segunda ley de Newton, Newton, movimiento plano incluyen la segunda

I1:F

= ma, =

II

(7.21)

donde a es la aceleración aceleración del centro centro de masa, masa, y una una ecuación ecuación que relaciona relaciona donde momentos debidos debidos a fuerzas aceleración angular. angular. Si el los momentos fuerzas y pares con la aceleración cuerpo rígido gira respecto respecto a un eje fijo O, el momento momento total total respecto respecto a cuerpo O es igual al producto producto del momento momento de inercia inercia respecto respecto a O por por la aceleraaceleraangular: ción angular:

(7.22) cualquier movimiento movimiento plano, plano, el momento momento total total respecto respecto al centro centro de En cualquier masa es igual al producto producto del momento momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto al cenmasa masa por por la aceleración aceleración angular: angular: tro de masa

I1:M

= la, la, =

II

(7.23)

Por supuesto, supuesto, esta ecuación ecuación es aplicable rotación respecto respecto a Por aplicable al caso de rotación pero para para este tipo tipo de movimiento movimiento suele ser más conveniente conveniente un eje fijo, pero usar la Ec. (7.22). usar Cuando se aplican aplican estas ecuaciones, ecuaciones, el objetivo objetivo puede puede ser obtener obtener inforinforCuando mación sobre sobre el movimiento movimiento de un cuerpo, cuerpo, o determinar determinar los valores valores de mación fuerzas o pares pares desconocidos desconocidos que actúan actúan sobre sobre él. Esto Esto suele implicar implicar las fuerzas tres pasos: l. Dibujar Dibujar el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre libre.. Aísle el cuerpo cuerpo e identifique identifique las 1. pares externos externos que actúan actúan sobre sobre él. fuerzas y pares Aplicar las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento. . Escriba Escriba las ecuaciones ecuaciones de movimovi2. Aplicar miento apropiadas apropiadas para para el tipo tipo de movimiento. movimiento. Debe escoger un sistemiento coordenado apropiado apropiado para para aplicar aplicar la segunda segunda ley de Newton. Por ma coordenado Newton. Por ejemplo, si el centro centro de masa masa se mueve en una una trayectoria trayectoria circular, circular, ejemplo, provechoso usar usar componentes componentes normales normales y tangenciales. tangenciales. será provechoso Determinar relaciones relaciones cinemáticas. cinemáticas. Si es necesario, necesario, complemente complemente las 3. Determinar ecuaciones de movimiento movimiento con relaciones relaciones entre entre la aceleración aceleración del cenecuaciones tro de masa masa y la aceleración aceleración angular. angular. tro

Como veremos veremos en las secciones siguientes, siguientes, el método método dependerá dependerá en parte parte Como tipo de movimiento movimiento de que se trate. trate. del tipo


311

312

CAPíTULO CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAl DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Traslación

S

Si un cuerpo rígido está en traslación 7.8), para para determinar cuerpo rígido traslación (Fig. 7.8), determinar su movimiento necesaria la Newton. No hay movimiento miento sólo es necesaria la segunda segunda ley de Newton. movimiento rotacional que determinar. puede ser necesario rotacional determinar. Sin embargo, embargo, puede necesario tener tener que aplicar aplicar la ecuación ecuación de movimiento movimiento angular angular para para determinar determinar fuerzas fuerzas o pares pares desconocidos. desconocidos. Como Como Ol a == 0, la Ec. (7.23) establece establece que el momento momento total total respecto al centro de masa es igual a cero:

D rr

B

y

EM EM = = o. O. Figura 7.8 Cuerpo rígido en traslación. traslación. No hay rotacional que determinar. movimiento rotacional determinar.

Ejemplo 7.1 7.1 n

La masa del avión de la Fig. 7.9 es m == 250 Mg (megagramos) y el empuje de sus motores durante durante su carrera carrera de despegue es T = 700 kN. Determine la aceleración del avión y las fuerzas normales ejercidas sobre sus ruedas en A y B. Ignore l
Figura 7.9

••

1

1 A

I-~-l----- - 22 22 m-----1---1-m Sm Sm

-

ESTRATEGIA ESTRATEGIA traslación durante durante su carrera carrera de despegue, por IO'que lo-que la suma El avión está en traslación es cero. Usando de los momentos respecto a su centro de masa es Usando esta condición y la segunda ley de Newton, podemos determinar determinar la aceleración del avión y las fuerzas normales ejercidas sobre sus ruedas.



SOLUCiÓN SOLUCiÓN del dicilgrama diélgrama de de cuerpo cuerpo libre En la Fig. (a) dibujamos dibujamos el diagradiagraDibujo del cuerpo libre que muestra muestra el peso del avión avión y las fuerzas fuerzas normales normales A y ma de cuerpo B ejercidas ejercidas sobre sobre sus ruedas. ruedas.

yy

L-____________________________~~HL~--------~------~--~=-x ~t---------~------~~~L---X 1------22m ---~~ - - - - 22 m --- 1 B

Diagrama de cuerpo cuerpo libre del avión. avión. (a) Diagrama

Aplicación de de las ecuaciones ecuaciones de de movimiento movimiento Aplicación nado de la Fig. (a), la segunda segunda ley de Newton Newton es nado

'L,Fyy 'L,F

= A +B

rng - rng

coordeEn el sistema sistema coorde-

= O.

primera ecuación, ecuación, la aceleración aceleración del avión es De la primera ax

T

=- = m

700000 N 700000 250000 kg 250000

= 2.8 mis

2

.

ecuación del movimiento movimiento angular angular es La ecuación 'L,M

(2)T + (22)B (22)B = (2)T

(5)A (5)A

= O.

Resolviendo esta esta ecuación ecuación junto segunda ecuación ecuación que obtuvimos obtuvimos de Resolviendo junto con la segunda segunda ley de Newton Newton para para A y B, obtenemos obtenemos A = 2050 kN, B = 402 kN. la segunda

COMENTARIOS COMENTARIOS Cuando un cuerpo cuerpo está en equilibrio, equilibrio, la suma suma de los momentos momentos respecto respecto a cualCuando punto debido debido a las fuerzas fuerzas y pares pares externos externos que actúan actúan sobre sobre él es cero. quier punto recordar que cuando cuando un cuerpo cuerpo rígido en traslación traslación no está en equiliSe debe recordar brio, sólo se sabe que la suma suma de los momentos momentos respecto respecto al centro centro de masa brio, instructivo volver a resolver resolver este ejemplo ejemplo suponiendo suponiendo que la suma suma es cero. Sería instructivo momentos respecto respecto aA o B es cero. No se obtendrían obtendrían entonces entonces los valores valores de los momentos correctos para para las fuerzas fuerzas normales normales ejercidas ejercidas sobre sobre las ruedas. ruedas. correctos


313

314

CAPíTULO CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAl DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Giro alrededor alrededor de un eje eje fijo fijo En el caso de rotación rotación alrededor alrededor de un eje fijo (Fig. 7.10), sólo se necesita necesita la Ec. (7.22) para para determinar determinar el movimiento movimiento rotacional, rotacional, aunque aunque también también se puede pares puede requerir requerir la segunda segunda ley de Newton Newton para para determinar determinar fuerzas fuerzas o pares desconocidos. desconocidos. Figura 7.10 Cuerpo rígido que gira alrededor alrededor de O. Cuerpo Sólo se necesita necesita la ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular respecto respecto a O para para determinar determinar su aceleración aceleración angular. angular.

Ejemplo 7.2 La caja jalada·por el malacate caja de 100 100 lb de la Fig. 7.11 está está siendo siendo jaladapor malacate hacia hacia arriba arriba sobre sobre la superficie superficie inclinada. inclinada. El coeficiente coeficiente de fricción fricción cinética cinética entre entre la caja caja superficie es JLk J.tk = 0.4. DA. El momento momento de inercia inercia de masa masa del tambor tambor sobre sobre y la superficie el cual se enrolla enrolla el cable, cable, incluyendo incluyendo el cable cable enrollado enrollado en el tambor, tambor, es slug-pie-.2 • Si el motor motor ejerce un par par M M = 40 pie-lb sobre sobre el tambor, tambor, lA = 3 slug-pie aceleración de la caja? caja? ¿cuál es la aceleración 7.11 Figura 7.11

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Dibujamos diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre separados separados de la caja caja y del tambor tambor y aplicaaplicaDibujamos cada uno uno las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento. . El tambor tambor gira alrededor alrededor de mos a cada por lo que podemos usar la ecuación ecuación de movimiento movimiento angular angular respecto respecto un eje fijo, por podemos usar para determinar determinar su aceleración aceleración angular. angular. Para Para completar completar la solución, solución, debeal eje para determinar la relación relación entre entre la aceleración aceleración de la caja caja y la aceleración aceleración angumos determinar lar' "del tambor. tambor. lar SOLUCiÓN SOLUCiÓN de los diagramas diagramas de de cuerpo cuerpo libre En la Fig. (a) dibujamos dibujamos los Dibujo de diagramas de cuerpo cuerpo libre que muestran muestran las fuerzas fuerzas iguales que ejerce el elcable diagramas "cable sobre la caja caja y el tambor. tambor. sobre



a n

(a) Diagramas Diagramas de de cuerpo cuerpo libre libre de de la la caja caja yy el el tambor. tambor. (a)

(b) (b) Relación Relación entre entre la la aceleración aceleración de de la la

caja caja yy la la aceleración aceleración angular angular del del tambor. tambor.

Aplicación de de las ecuaciones ecuaciones de de movimiento movimiento Denotamos Denotamos con con a) a) la la Aplicación aceleración de la la caja caja hacia hacia arriba arriba sobre sobre la la superficie superficie inclinada inclinada y con con acx la la aceleaceleración horaria del tambor tambor (Fig. b). La La segunda segunda ley de Newton Newton para para ración angular angular horaria ración la caja caja es EFx = T - 100 sen 20° - /LkN JLkN = (100/32.2)a (100/ 32.2)a EFx x' x' EFy = = N N-lOO = O. EFy - 100 cos 20° =

Despejando N de la segunda segunda ecuación ecuación y sustituyéndola sustituyéndola en la primera, primera, obtenemos obtenemos Despejando T - 100 sen 20° - (0.4)(100 cos 20°) = = (100/ 32.2)ax . (100/32.2)ax-

La ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular del tambor tambor es

Si Si entre entre esas dos ecuaciones ecuaciones eliminamos eliminamos T, T, obtenemos obtenemos 2M - 100 32.2)a cx. 100 sen 20° - (0.4)(100 cos 20°) == (100/ (100/32.2)a 2IAAa. x x + 2I

(7.24) (7.24)

El último paso es es determinar determinar la relación relación entre aa¿x y cx. a.

Determinación La componente Determinación de las las relaciones relaciones cinemáticas cinemáticas componente tangencial de de la aceleración aceleración del tambor tambor en el el punto punto en que el el cable empieza a enrollarse es es igual aa la aceleración aceleración de la caja (Fig. b): b):

aa, = (0.5 (0.5 pie) pie) cx. a. x = Usando .24) para Usando esta esta relación, relación, la la solución solución de de la la Ec. Ec. (7 (7.24) para aaxx es es a

a, x

2M -- 100 100 sen sen 20° 20° -- (0.4)(100 (0.4)(100 cos cos 20°) 20°) = 0.544 pie/s 2 • = 2M = (100/32.2) + + 4I 4I = 0.544 pie/sé. (100/32.2) A

COMENTARIO COMENTARIO Observe Observe que, que, por por conveniencia, conveniencia, definimos definimos la la aceleración aceleración angular angular cxa como como positipositiva va en en la la dirección dirección horaria horaria para para que que aa una una cxa positiva positiva le le correspondiese correspondiese una una aa, x positiva. positiva.


315 315

316


Ejemplo 7.3 La barra suelta del reposo reposo en la posición posición barra esbelta esbelta de masa masa m de la Fig. 7.12 se suelta horizontal instante, determine determine la aceleración aceleración angular angular de la horizontal mostrada. mostrada. En ese instante, barra sobre la barra barra por por el soporte A. barra y la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre soporte A.

Figura 7.12

Q~~~~~~~~-==--==--=~~ ~~~~~~~~=-~~-==--=~~

I11--------

,

, I1

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como la barra barra gira alrededor alrededor de un punto Como punto fijo, fijo, podemos podemos usar usar la Ec.(7 Ec .(7 .22) para para determinar su aceleración aceleración angular. determinar angular. La ventaja ventaja de usar usar esta esta ecuación ecuación en vez de la Ec. Ec. (7.23) es que las reacciones reacciones desconocidas desconocidas en A no aparecen aparecen en la ecuación ecuación movimiento angular. angular. Una del movimiento Una vez conocida conocida la aceleración aceleración angular, angular, podemos podemos determinar la aceleración aceleración del centro segunda ley de Newton determinar centro de masa masa y usar usar la segunda Newton para obtener obtener las reacciones reacciones en A. para SOLUCiÓN SOLUCiÓN Dibujo del del diagrama diagrama de libre La DibujO de cuerpo cuerpo libre La Fig. Fig. (a) es el diagrama diagrama de cuercuerbarra mostrando mostrando las reacciones soporte de pasador. po libre de la barra reacciones en el soporte pasador.

Diagrama de cuerpo (a) Diagrama cuerpo libre libre de la barra. barra. Aplicación de de las ecuaciones ecuaciones de movimiento Sea aG = a) + a~ la Aplicación de movimiento aceleración del centro centro de masa aceleración masa G de la barra barra y sea ex O/. su aceleración aceleración angular angular antihoraria (Fig. b). La segunda segunda ley de Newton Newton para para la barra barra es antihoraria

'EFyy 'L.F

=

Ay A y - mg mg

= mayo mayo y

x

Aceleración angular (b) Aceleración angular y componentes componentes de la aceleración del centro aceleración centro de masa. masa.


7,4 7,4 APLICACIONES APLICACIONES

La ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular respecto respecto al punto punto fijo A es (7,25) (7,25) n

la

El momento momento de inercia inercia de masa masa de una una barra barra esbelta esbelta respecto respecto a su centro centro de f2m12 2 (véase el Ap. masa masa es 11 = f2m1 Ap. C). Usando Usando el teorema teorema de los ejes paralelos, paralelos, el momento momento de inercia inercia de masa masa de la barra barra respecto respecto a A es 1 2 ml lA = = 1 +d + d m == 12 ml 2

2

+ ((

1 "2'211)

2

)

1 2 m= = 3ml '3ml .

Sustituyendo Sustituyendo esta expresión expresión en la Ec. (7.25) (7.25) obtenemos obtenemos la aceleración aceleración angular: angular: a e n

a= a=

(l j 2)mgl (lj2)mgl (lj3)mz2 (l j 3)mI 2

3g 3g 21 21

s n

Determinación Para Determinación de de las relaciones relaciones cinemáticas cinemáticas Para hallar hallar las reaccioreacciones Ax Ax y Ay Ay necesitamos necesitamos hallar hallar las componentes componentes ax y ay de la aceleración. aceleración. PoPodemos hacerlo hacerlo expresando expresando la aceleración aceleración de G en función función de la aceleración aceleración deA: deA:

instante en que se suelta suelta la barra, barra, su velocidad velocidad angular angular w == O. O.Así mismo En el instante Así mismo por lo que obtenemos obtenemos aA == O, por

Igualando las componentes componentes ii y j, obtenemos obtenemos Igualando

1

ay = --la --la ay 2

3

--g. = --g. 4

Sustituyendo estas componentes componentes de aceleración aceleración en la segunda segunda ley de Newton, Sustituyendo Newton, reacciones en A en el instante instante en que la barra barra se suelta suelta son las reacciones Ax Ax

= O,

COMENTARIOS COMENTARIOS Podríamos haber haber determinado determinado la aceleración aceleración de G de manera manera menos menos formal. formal. Podríamos Como G describe describe una una trayectoria trayectoria circular circular alrededor alrededor de A, sabemos sabemos que la magComo nitud de la componente componente tangencial tangencial de la aceleración aceleración es igual al producto producto de nitud distancia radial radial de A a G por por la aceleración aceleración angular. angular. Debido Debido a la forma forma como como la distancia definimos las direcciones direcciones positivas positivas de a ya -(!l)a. Además, Además, la compocompodefinimos yaxx, , ay = -(!l)a. nente normal aceleración de G es igual al cuadrado cuadrado de su velocidad velocidad dividida dividida nente normal de la aceleración entre el radio radio de su trayectoria trayectoria circular. circular. Como Como su velocidad velocidad es igual a cero en entre instante en que se suelta suelta la barra, barra, a, O. el instante ax = o.


317 317

318


Movimiento plano general Movimiento plano general :EF = ma LF :EM LM ==la la

Figura 7.13

cuerpo rígido rígido está sometído sometido a traslación Si un cuerpo traslación y rotación rotación (Fig. 7.13), es necesario segunda ley de Newton ecuación de movimiento angunecesario usar usar la segunda Newton y la ecuación movimiento angular. Si el movimiento centro de masa lar. movimiento del centro masa y el movimiento movimiento rotacional rotacional no independientes, por ejemplo cuando cuando un cuerpo cuerpo rueda, encontrará son independientes, por ejemplo rueda, se encontrará incógnitas que ecuaciones ecuaciones de movimiento. casos, que hay hay más incógnitas movimiento. En En tales casos, obtener ecuaciones ecuaciones adicionales adicionales relacionando aceleración del se pueden pueden obtener relacionando la aceleración centro de masa angular. centro masa con la aceleración aceleración angular.

Cuerpo rígido Cuerpo rígido en movimiento movimiento plano. plano. Se aplicar la segunda segunda ley de Newton debe aplicar Newton y ecuación del movimiento angular la ecuación movimiento angular respecto al centro centro de masa. respecto masa.

Ejemplo 7.4 La barra esbelta de masa barra esbelta masa m de la Fig. 7.14 se desliza sobre sobre el piso y la pared pared lisos y tiene una angular antihoraria antihoraria w instante mostrado. ¿Cuál una velocidad velocidad angular w en el instante mostrado. ¿Cuál aceleración angular angular de la barra? barra? es la aceleración

Figura 7.14

SOLUCiÓN SOLUCiÓN del diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre En dibujamos el diagradiagraDibujo del En la Fig. (a) dibujamos ma de cuerpo cuerpo libre, libre, con el peso de la barra fuerzas normales ejercidas barra y las fuerzas normales ejercidas por por el piso y la pared. pared. Aplicación de las ecuaciones ecuaciones de de movimiento movimiento Si escribimos escribimos la aceleAplicación de ración centro de masa como aGG == a) a) + a;-i, segunda ley de Newton ración del centro masa G como a~, la segunda Newton es 'EFxx 'EF

= P = ma., max ,

'E F Fyy = N - mg mg

= maymay-

aceleración angular angular antihoraria antihoraria de la barra. ecuación del movimienSea ex O! la aceleración barra. La La ecuación movimiento angular angular es

(a) Diagrama cuerpo libre libre Diagrama de cuerpo

'EM

=

N

Gt

sen

de la barra. barra.


la, o) -- P (~lcose) (~lcose) = la,

7.4 APLICACION APLICACIONESES 7.4

donde donde 11es el momento momento de inercia inercia de masa masa de la barra barra respecto respecto a su centro centro de masa. Tenemos Tenemos tres ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento en función función de las incógnitas incógnitas masa. a.,x ' ay y y ct. ex. Para Para completar completar la solución, solución, debemos debemos relacionar relacionar la aceleración aceleración P, N, a del centro centro de masa masa de la barra barra con su aceleración aceleración angular. angular.

Determinación Aunque Determinación de de las relaciones relaciones cinemáticas cinemáticas Aunque no conocemos conocemos las aceleraciones (Fig. b), sabemos aceleraciones de los puntos puntos extremos extremos A y B B(Fig. sabemos que A se mueve horizontalmente y B verticalmente. verticalmente. Podemos Podemos usar usar esta información información para para obteobtehorizontalmente relaciones necesarias necesarias entre entre la aceleración aceleración del centro centro de masa masa y la aceleraaceleraner las relaciones ción angular. angular. Expresando Expresando la aceleración aceleración de deAA como aAA = aAi, podemos podemos escribir aceleración del centro centro de masa masa como la aceleración

jj

O O

k

O O

1 ---1 -1 sen e e 2

oO

Aceleración de G en función función de (b) Aceleración

Tomando Tomando en cuenta cuenta el hecho hecho de que aA no tiene componente componente j, igualamos igualamos las componentes componentes jj en esta ecuación ecuación y obtenemos obtenemos

Ahora expresamos expresamos la aceleración aceleración de B como aB aB = = aBj aBj Y Yescribimos aceleraAhora escribimos la aceleración del centro centro de masa masa como como cjón

ax

i

+ ay j = aB j +

O O

k

jj O O

ct

1 1 1 -=l1 sen (J() --1 -1cos e 2 2

e

--úJ w22

(1 l1 )) e

2:lsenei . 2:lsenei- - 2:lcosej 2:lcosej

O O

Igualamos Igualamos las componentes componentes ii en esta ecuación ecuación y obtenemos obtenemos

Con Con estas dos relaciones relaciones cinemáticas, cinemáticas, tenemos tenemos cinco ecuaciones ecuaciones con cinco incógnitas. cógnitas. Resolviéndolas Resolviéndolas para para la aceleración aceleración angular angular y usando usando la relación relación 11 = -f2m122 para para el momento momento de inercia inercia de masa masa de la barra barra (Ap. C), C), obtenemos obtenemos izml ct ex

3g 3g

= --- sen 21

(J. ().

COMENTARIO COMENTARIO Observe que al expresar expresar la aceleración aceleración de G en función función de las aceleraciones aceleraciones Observe puntos extremos, extremos, incluimos incluimos en la solución solución las restricciones restricciones impuestas impuestas de los puntos sobre la barra barra por por el piso y la pared, pared, es decir, que el punto punto A se debe mover mover sobre horizontalmente y el punto punto B verticalmente. verticalmente. horizontalmente


aceleraciones de los puntos puntos las aceleraciones extremos extremos A A y B.

319

320 320

CAPíTULO ICA BIDIM ENSIO NA L DE CUERPOS IDOS CAPíTULO 7 DINÁM DINÁMICA BIDIMENSIONAl CUERPOS RíG RíGIDOS

Ejemplo 7.5 barra esbelta esbelta de la Fig. Fig. 7.15 tiene masa masa m y está bloque La barra está articulada articulada en A a un bloque metálico de masa masa mBB que descansa una superficie horizontal lisa. metálico descansa sobre sobre una superficie horizontal lisa. El sistema se libera reposo en la posición posición mostrada. mostrada. ¿Cuál tema libera del reposo ¿Cuál es la aceleración aceleración anguangular de la barra instante en que se libera? libera? lar barra en el instante

Figura 7.15

A

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Debemos dibujar diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre libre de la barra aplicarles Debemos dibujar barra y del bloque bloque y aplicarles por separado las ecuaciones ecuaciones de movimiento. completar la solución, solución, tampor separado movimiento. Para Para completar también debemos debemos relacionar aceleración del centro centro de masa relacionar la aceleración masa de la barra barra y su aceleración angular con la aceleración aceleración del bloque. ración angular bloque.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN de los diagramas diagramas de de cuerpo cuerpo libre libre En dibujamos los Dibujo de En la Fig. (a) dibujamos diagramas de cuerpo cuerpo libre de la barra Observe las fuerzas fuerzas opuestas opuestas diagramas barra y del bloque. bloque. Observe ejercen entre entre sí en el punto están conectados. conectados. punto en que están que ejercen

tN tN

L-----------------------~~---x L-----------------------~~---x

cuerpo libre libre de la barra (a) Diagramas Diagramas de cuerpo barra y del bloque. bloque. Aplicación de las ecuaciones ecuaciones de de movimiento movimiento Si escribimos escribimos la aceleAplicación de ración centro de masa como ac a¿ = = a) + a~, segunda ley ración del centro masa de la barra barra como a,j, la segunda para la barra barra es de Newton Newton para

"L;Fy = Ay 'EFy A y - mg mg

= mayo mayo


7.4 APLICACIONES

Si a es la aceleración angular antihoraria de la barra, la ecuación del movimiento angular ~s

=

~M

Ax (~l

cose) + Ay Gl

sene)

=

[a.

Expresamos la aceleración del bloque como aBi Yescribimos la segunda ley de Newton:

Determinación de las relaciones cinemáticas Para relacionar el movimiento de la barra con el del bloque, expresamos la aceleración del centro de masa de la barra en función de la aceleración del punto A (Fig. b):

axi+ayj

j O

a

'2l cose

O

O

=aBi+

1

-!lsene 2

k

-O.

Igualando las componentes i y j obtenemos

ay

1

= --tasen 2

().

Tenemos cinco ecuaciones de movimiento y dos relaciones cinemáticas en función de siete incógnitas: Ax, Ay, N, a., ay, a y aB• Resolviéndolas para la aceleración angular y usando la relación 1 = fi m[2 para el momento de inercia de masa de la barra, obtenemos a

=

(3/2)(g/

1 - (3/4)

t)sen()

. (_m __ ) cos e m+mB 2

(b) Aceleración de G en función de la aceleración de A.


321

322

CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAl DE DE CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

Ejemplo 7.6 rueda motriz motriz de la Fig. Fig, 7. 7.16 rueda sobre sobre la vía horizontal. horizontal. La rueda rueda está La rueda 16 rueda sometida a una fuerza fuerza hacia hacia abajo abajo FA por por su eje A ya ya una fuerza fuerza horizontal horizontal sometida barra conectora. conectora. La masa masa de la rueda rueda es m y el momento momento de inercia inercia Fe por la barra masa respecto respecto a su centro centro de masa masa es l. l. El centro centro de masa masa G está a una una disde masa tancia b del centro centro de la rueda. rueda. En el instante instante mostrado mostrado, , la rueda rueda tiene una una tancia velocidad angular angular antihoraria antihoraria w. ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración angular angular de la rueda? rueda? velocidad

Figura 7.16

Barra conectora conectora Barra

-:

Vía Vía

/'

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Dibujo del Dibujo del diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre En En la Fig. Fig. (a) dibujamos dibujamos el diagradiagrama ma de cuerpo cuerpo libre libre de la rueda rueda motriz, motriz, que que muestra muestra su peso peso yy las fuerzas fuerzas normal normal y de fricción fricción ejercidas ejercidas por por la vía.

yy

ee

Aplicación Aplicación de de las ecuaciones ecuaciones de de movimiento movimiento Si escribimos escribimos la aceleración ración del centro centro de masa masa G como como aGG = = a) a) + ayj, la segunda segunda ley de Newton Newton es

---x - --x

Recuerde Recuerde que que debemos debemos expresar expresar la la ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular en función función de la suma suma de los momentos momentos respecto respecto al centro centro de masa masa G, no no con con respecto respecto al al centro centro de la rueda. rueda. La La ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular es EM "L.M N N

(a) tal Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre libre de la la

== Fdd Fdd cos 8) -

FA(b FA(b sen sen 8)

+ N(b N (b sen 8) + f(b f(b cos 8 + R) R) = = la, lCi.

Tenemos Tenemos tres tres ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento en en función función de las cinco cinco incógnitas incógnitas N, f,f, a., ax , ay y ex. Ci. Para Para completar completar la la solución, solución, debemos debemos relacionar relacionar la la aceleración aceleración del del centro centro de masa masa de de la la rueda rueda con con su su aceleración aceleración angular. angular.

rueda. rueda.


..


Determinación Determinación de de las relaciones relaciones cinemáticas cinemáticas La aceleración aceleración del centro A de la rueda rueda en rodamiento rodamiento es aaA -1:__..... . Expresando Expresando la aceleración aceleración del A = -1: centro de rriasa, aG' en función función de aA (Fig. b), podemos podemos obtener obtener relaciones relaciones encentro tre las componentes componentes de aG y a:

a) a) + a~

-Rai -Rai +

II ~~ -b -b sen

t: ~:oo II

bb cos

(j

-w22(-b (-b sen (ji (Ji

(J (j

+ b cos

(jj). (jj).

y

---x

Aceleración del centro centro de masa masa G (b) Aceleración función de la aceleración aceleración del en función centro A. centro A. Igualamos las componentes componentes ii y jj en esta ecuación ecuación y obtenemos obtenemos Igualamos axx

=

-=Ro: Ra - ba cos

ay = -ba =bix sen

(j -

(j

+ bw22 sen

bw22 cos

(j, (J,

(j. (J.

Con estas dos relaciones relaciones cinemáticas, cinemáticas, tenemos tenemos cinco ecuaciones ecuaciones con cinco inCon cógnitas. Resolviéndolas Resolviéndolas para para la aceleración aceleración angular angular obtenemos obtenemos cógnitas. aa

FdR + b cos (j + d cos (j) (j) + mgb mgb sen (j + mbRw FdR mbRw22 sen m(b22 + 2bR 2bR cos (j + R2) + 1 m(b

(j


323

324

CAPíTULO 7 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAl DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

Ejemplo 7.7

Aplicación a a la ingeniería ingeniería Aplicación Fuerzas y momentos momentos internos en vigas vigas Fuerzas barra esbelta de masa m de la Fig. 7.17 parte del reposo en la posición mostraLa barra Cuando ha girado un ángulo 8, momento flector da y cae. Cuando e, ¿cuál es el máximo momento barra y dónde se presenta? en la barra

Figura 7.17

1 1 11

Al Al ESTRATEGIA ESTRATEGIA I I

L ~-------'vll 7--+ ---v¡l~--+P

Y

---,1

M

~M

p --x -

x

I

I

yy

Lp_f-t.-----¡v L P_ tf'---IV

-

--x - - x

Las fuerzas y momentos momentos internos internos en una una viga sometida sometida a carga bidimensional bidimensional P, la fuerza cortante cortante V y el momento momento flector M (Fig. (Fig . a). son la fuerza axial P, Primero Primero debemos usar la ecuación del movimiento movimiento angular angular para para determinar determinar la aceleración angular angular de la barra. barra. Luego podemos podemos cortar cortar la barra barra aa una distandistancia arbitraria arbitraria x desde un extremo y aplicar las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento para para determinar determinar el momento momento flector en función de x. SOLUCiÓN SOLUCiÓN

M M

El momento momento de inercia inercia de masa masa de la barra barra respecto a A es (a) Fuerza Fuerza axial, fuerza cortante cortante y

momento momento flector en una viga.

2 1 2 1 lA= = 11 + dd m m= = -mi lA 12m1

12

22

1 1 + ( 2-21i))

1 1 2 m= = 3ml -mI .. m

3

Cuando Cuando la barra barra ha ha girado girado un ángulo ángulo 8e (Fig. b), el momento momento total total respecto respecto a A es EM EMAA = mg(1/sen mg(!lsen 8). e) . Como Como A es fijo, podemos podemos escribir la ecuación ecuación del movimiento angular angular como

Despejando aceleración angular angular obtenemos obtenemos Despejando la aceleración AA

3g ex = l!I 2/I sen sen 8e.. 2

O'

(b) Determinación Determinación del momento momento respecto a A. A.



325 325

e x

x

(e) Corte barra a una una distancia Corte de de la la barra distancia x arbitraria. arbitraria.

En presentamos un un sistema cortamos la barra barra a una una En la la Fig. Fig. (c) (e) presentamos sistema coordenado, coordenado, cortamos la distancia parte superior un diagrama distancia x desde desde la la parte superior y dibujamos dibujamos un diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre de parte superior. punto medio, de la parte superior. El El centro centro de de masa masa está está en en el punto medio, y determinamos determinamos la masa masa de la barra por por la razón masa multiplicando multiplicando la la masade la barra razón de de la la longitud longitud del del cuerpo cuerpo libre a la longitud longitud de de la la barra. Aplicando la segunda ley de Newton en la la direcbarra. Aplicando la segunda Newton en direclibre ción ción y obtenemos obtenemos

Determinación de la la aceleración aceleración (d) Determinación de del del centro centro de de masa masa del del cuerpo cuerpo libre. libre.

I:.F = - V - ! mg sen sen (J() = x m I:,p ~1 mg ~ y 11ma aY' 1 yo

El del cuerpo El momento momento de de inercia inercia de de masa masa del cuerpo libre libre respecto respecto a su su centro centro de de masa masa 1i[(x/l)m]r, por que la la ecuación ecuación del del movimiento movimiento angular angular es es -fz[(x/l)m].x2, por lo que "E, M = la: 'EM=Ia:

1 ) V M M - 1-x ( -x 2

(X-m ) x 23 23- -g sen = -121 (X -m ) sen 11 2 11

(J ()

.

La producto de La componente componente y de de la la aceleración aceleración del del centro centro de masa masa es igual igual al producto su por la su distancia distancia radial radial desde desde A por la aceleración aceleración angular angular (Fig. (Fig. d): d):

a =-(l-~x)a=-(l-~x)~~sen(). 2 . 2 y

21

Usando podemos resolver resolver las Usando esta esta expresión, expresión, podemos las dos dos ecuaciones ecuaciones de de movimiento movimiento para Vy para M es para Vy M en en función función de de 8. (). La La solución solución para

Gr (1 -- T).T).

"Q;' ~

M = ~mglSene ~mglSene M

(7.26) (7.26)

El momento momento flector flector es igual igual a cero cero en en ambos ambos extremos extremos de de la barra. Tomando El barra. Tomando la derivada respecto a x e igualándola para determiderivada de de esta esta expresión expresión con con respecto igualándola a cero cero para determinar dónde dónde M M es máximo, máximo, obtenemos obtenemos x = ~l. Sustituyendo este este valor valor de de x en en nar ~l. Sustituyendo la Ec. Ec. (7.26) (7.26) obtenemos obtenemos el momento momento flector flector máximo: máximo:

~ ~

I 0.8

I

~ 0.6 ~

1

dS jB, 0.4

I

~ 0.2 ~

1

O ~~-L--__L -_ _-L~~L-_ _~ O~~-L---J----~~I~L-~ O 0.2 0.4 0.6 2/3 0.8

xII xII

M Mmáx máx

1 = = 27mgl 27mgl sen sen (J. B,

La distribución distribución de de m se muestra muestra en la Fig. Fig. 7.18. 7.18. La en la


Figura 7.18 Distribución del del momento momento flector flector en en Distribución una que cae. cae. una barra barra que

326 326

CAPíTULO CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAl DE DE CUERPOS RíGIDOS

CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES DE DE DISEÑO Para Para diseñar diseñar un miembro miembro de una una estructura, estructura, los ingenieros ingenieros deben deben considerar considerar las fuerzas fuerzas y momentos momentos externos externos e internos internos a que estará estará sometido. sometido. En el caso de una una viga, se deben deben determinar determinar las distribuciones distribuciones de la fuerza fuerza axial P, la fuerza fuerza cortante V y el momento momento flector flector M como primer primer paso paso para para determinar determinar si la cortante viga soportará soportará sus cargas cargas de diseño diseño sin fallar. fallar. Si se conocen conocen las cargas cargas externas externas yy.las las reacciones está en equilibrio, reacciones y la viga está equilibrio, se pueden pueden aplicar aplicar las ecuaciones ecuaciones de equilibrio equilibrio para para determinar determinar las fuerzas fuerzas y momentos momentos internos internos en una una sección transversal transversal dada. dada. Sin embargo, embargo, en muchas muchas situaciones situaciones la viga no estará estará en equilibrio. brio. Podría Podría ser un miembro miembro de U:la una estructura, estructura, como como la armazón armazón interna interna de un avión avión que está acelerando, acelerando, o podría podría ser la biela biela de un motor motor de combustión combustión interna. interna. En tales casos las fuerzas fuerzas y momentos momentos internos internos máximos máximos pueden pueden exceder considerablemente considerablemente los valores valores predichos predichos por por un análisis análisis estático, estático, y entonces entonces se debe usar usar el procedimiento procedimiento que describimos' describimos en este ejemplo. ejemplo. La distribución distribución del momento momento flector flector dinámico dinámico que obtuvimos obtuvimos en el Ej. 7.7 (Fig. 7.18) explica explica un fenómeno fenómeno que se ha observado observado durante durante la demolición demolición chimeneas de mampostería. mampostería. Una Una carga carga explosiva explosiva en la base de la chimenea chimenea de chimeneas ocasiona la caída caída de ésta, ésta, girando girando inicialmente inicialmente como cuerpo rígido rígido alrededor alrededor ocasiona como cuerpo base. Al caer la chimenea, chimenea, se observa observa que se fractura fractura cerca cerca de la posición posición de su base. momento flector flector máximo del momento máximo (Fig. 7.19).

r--------~

Figura 7.19 Una chimenea chimenea que cae se fractura fractura Una debido al momento flector a que se debido momento flector somete. somete.


7.5 PRINCIPIO DE D'ALEM D'ALEMBERT 7 .5 PRINCIPIO BERT

327

de D'Alemberf D'Alemberf 7.5 Principio de t

En describimos un enfoque enfoque alternativo alternativo para dinámica de En esta sección describimos para la dinámica cuerpos rígidos, conocido como como principio cuerpos rígidos, conocido principio de D' D' Alembert. Alembert. Escribiendo Escribiendo la segunda ley de Newton como segunda Newton como EF EF

(-ma) + (ma)

(7.27)

= O, = O,

podemos considerarla como como una ecuación de "equilibrio" "equilibrio" que establece establece una ecuación podemos considerarla suma de las fuerzas fuerzas externas, externas, incluida incluida una fuerza inercial que la suma una fuerza inercial -ma, - ma, es igual a cero (Fig (Fig.. 7.20a). 7.20a). Para establecer de manera equivalente la ecuación ecuación Para establecer manera equivalente angular usamos del movimiento movimiento angular usamos la Ec. (7.20), que relaciona relaciona el momento momento total aceleración angular angular en el movimienpunto fijo O con la aceleración movimientotal respecto respecto a un punto to plano general: plano general: EMo = = (r X ma) ma) . k

la. + la.

Escribiendo esta ecuación ecuación como como Escribiendo esta EMo

+

(-ma)] (-la) [r x x (ma)] . k + (la) == O,

(7.28)

podemos considerarla como como una ecuación de equilibrio equilibrio que establece establece que una ecuación podemos considerarla suma de los momentos debido a fuerzas fuerzas y la suma momentos respecto respecto a cualquier cualquier punto punto debido pares externos, incluidos debido a la fuerza fuerza inercial-ma pares externos, incluidos el momento momento debido inercial - ma que actúa en el centro centro de masa cero. actúa masa y un par par inercial inercial =lcc, - la, es igual a cero. En expresión de la Ec. (7.28) para determinar el momento En vez de usar usar la expresión para determinar momento debido a la fuerza fuerza interna, determinarla multiplicando debido interna, puede puede ser más fácil determinarla multiplicando fuerza inercial distancia perpendicular la magnitud magnitud de la fuerza inercial por por la distancia perpendicular desde desde la línea de acción acción de la fuerza fuerza al punto 7.20b). Así mismo, línea punto O (Fig. 7.20b). mismo, recuerde recuerde sentido del par opuesto al de la aceleración aceleración angular angular (Fig. par inercial inercial es opuesto que el sentido 7.20c).. 7.20c) Figura 7.20 Figura

~ ~

-ma/

:l

-ma,/ -mal' / /

la la

~

~

/ /

/~

/~

D

(a) La suma de las fuerzas externas (a) y la fuerza inercial es cero.

oO

(b) La magnitud del momento debido l-maID. a la fuerza inercial es l-maID.

En los siguientes ejemplos aplicamos 'Alembert a los mosiguientes ejemplos aplicamos el principio principio de D 'Alembert movimientos secuencia de pasos (dibujar el vimientos planos planos de cuerpos cuerpos rígidos. rígidos. La La secuencia pasos (dibujar diagrama ecuaciones de "equilibrio" "equilibrio" y determidiagrama de cuerpo cuerpo libre, aplicar aplicar las ecuaciones determinar relaciones relaciones cinemáticas) cinemáticas) es la misma misma que que al aplicar aplicar las ecuaciones ecuaciones de movimiento. embargo, al usar el elprincipio 'Alembert debe tenerse movimiento. Sin embargo, principio de D 'Alembert cuidado de asignar los signos correctos a los términos términos de las ecuaciones. ecuaciones. el cuidado signos correctos Por ejemplo, si la aceleración Por ejemplo, aceleración angular angular se define define como como positiva positiva en la dirección antihoraria, también la dirección antihoraria, ésa será también dirección positiva positiva para para el momento momento ejercido por inercial es horario. ejercido por la fuerza fuerza inercial, y el par par inercial horario. http://carlos2524.jimdo.com/

(e) Un par inercial horario (e) horario es el resultado antihoraria. de una aceleración angular antihoraria.

328 328


Ejemplo 7.8 La masa del avión de la Fig. 7.21 7.21 es m == 250 Mg (megagramos) y el empuje durante el despegue es T == 700 kN. Use el principio principio de D'Alemde sus motores durante D'Alembert para determinar determinar la aceleración del avión y las fuerzas normales ejercidas sobre sus ruedas en A y B. Ignore las fuerzas horizontales horizontales ejercidas sobre sus ruedas.

Figura 7.21

\~==-~~~~ \

---_._._._._. __ ._._.~

._",,------------L·---

•••••••••••

I--S-m--t---- 22 m 5m

-

-

-

..."

..j

SOLUCiÓN SOLUCiÓN diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre En el sistema coordenado coordenado de la Dibujo del del diagrama a). Sobre el Fig. (a) podemos escribir la aceleración del avión como a = aj. diagrama de cuerpo libre mostramos mostramos el peso del avión, las fuerzas normales diagrama A y B ejercidas sobre las ruedas, y la fuerza inercial --ma -ma). ma = -majo

y

L---------------------~~~t-------------~~-----x L---------------------------~~~t_------------~~----x A A

L

mg mg

Diagrama de cuerpo libre del avión. (a) Diagrama

Aplicación de de las ecuaciones ecuaciones de de "equilibrio" "equilibrio" Aplicación 2;F + (-ma) 2;F

= O:

Ti+(A+B-mg)j+(-ma Ti + (A + B - mg)j + x(-max i)i)=O. = O.


La Ec. (7.27) es

7.5 PRINCIPIO PRINCIPIO DE D'ALEMBERT D'ALEMBERT 7.5

Igualando las componentes componentes ii y jj obtenemos obtenemos Igualando

A

+

B == mg.

primera ecuación, ecuación, la aceleración aceleración del avión avión es De la primera

ax

__ I.. __

-

700 000 N _

2

250000 kg - 2.8 mis, mis, m - 250000

fuerza inercial inercial es --ma) y la fuerza ma) == -70Oi (kN) (véase la Fig. b). aplicar la Ec. (7.28) podemos podemos escoger cualquier cualquier punto punto como como el punto punto Al aplicar Situándolo en A (Fig. b) obtenemos obtenemos una una ecuación ecuación en que la única única incógnita incógnita O. Situándolo fuerza B. El avión se está trasladando, trasladando, por por lo que O! ex = O O Y no existe par par es la fuerza inercia!. Definiendo Definiendo los momentos momentos antihorarios antihorarios como como positivos, positivos, la suma suma de los inercial. momentos respecto respecto a O es momentos (5)(700000) - (3)T (3)T - (5)mg (5)mg + (27)B = = O. O. (5)(700000) ecuación obtenemos obtenemos B = 402 kN Y luego A = mg - B = 2050 kN. De esta ecuación yy

3m 3m

L---------------------------------~~~~~----------~------~---L-----x

L---------------------------------~~~~~----------~------~---L----- x

~5~m--II--------22m------I -S,--m -:I- - - - - - 22 m - - - -A

mg mg

(b) Ubicación Ubicación del punto punto O en las ruedas ruedas traseras traseras. .

COMENTARIOS COMENTARIOS Observe que calculamos calculamos el momento momento debido debido a la fuerza fuerza inercial inercial multiplicando multiplicando Observe magnitud de la fuerza fuerza inercial inercial por por la distancia perpendicular a su línea de distancia perpendicular la magnitud acción, (5)(700 000) == 3 5~0 500 000 N-m antihorario. antihorario. En el presente presente ejemplo, ejemplo, este acción, método usar el producto producto vectorial, vectorial, método es más sencillo que usar (-ma)]· k [r x (-ma)]·

[(5i+5j) = [(5i+5j)

(-700 OOOi)]· OOOi)]·k x (-700 k

= 3 500 000 N-m antihorario antihorario, , =

pero en otros otros casos se encontrará encontrará que es más sencillo usar usar el producto producto vectorial. vectoria!. pero debería comparar comparar esta aplicación aplicación del principio principio de D' D' Alembert Alembert con la deSe debería terminación, en el Ej Ej.. 7.1, de la aceleración aceleración del avión avión y las fuerzas fuerzas normales normales terminación, ejercidas sobre sobre sus ruedas ruedas.. ejercidas


329 329

330 330

CAPíTULO 7 DINÁM DINÁMICA BIDIMENSIONAl DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO ICA BIDIMENSIONAL

Ejemplo Ejemplo 7.9 7.911---------------' inercia II se libera libera del reposo reposo sobre sobre una Un disco de masa masa m y momento momento de inercia una superficie inclinada inclinada (Fig. 7.22). Suponiendo Suponiendo que el disco rueda, superficie rueda, use el principio principio Alembert para determinar su aceleración aceleración angular. angular. de D' D' Alembert para determinar SOLUCiÓN SOLUCiÓN del diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre En el sistema sistema coordenado coordenado de la Dibujo del Fig. aceleración del centro centro del disco es a = a). Definimos aceleración Definimos la aceleración Fig. (a), la aceleración angular a como como positiva dirección horaria. dibujamos el angular positiva en la dirección horaria. En la Fig. Fig. (b) dibujamos diagrama de cuerpo cuerpo libre libre del disco, disco, mostrando fuerzas normal diagrama mostrando su peso, peso, las fuerzas normal y fricción ejercidas ejercidas por superficie, y la fuerza fuerza y el par por la superficie, par inerciales. inerciales. de fricción

Figura 7.22

Aplicación de las ecuaciones ecuaciones de de "equilibrio" "equilibrio" Aplicamos Aplicación de Aplicamos la Ec. evaluando los momentos está en contaccontac(7.28), evaluando momentos respecto respecto al punto punto en que el disco está to con la superficie superficie para eliminar ff y N de la ecuación ecuación resultante: para eliminar resultante: -R(mg sen (3) (3) + R(ma O. -R(mg R(max)x ) + la la = O.

(7.29)

Determinación de de las relaciones relaciones cinemáticas cinemáticas aceleración del cenDeterminación La aceleración tro aceleración angular angular por tro del disco en rodamiento rodamiento se relaciona relaciona con la aceleración por ax == Ra, Sustituyendo esta relación despejando a, obtenemos obtenemos Ra. Sustituyendo relación en la Ec. (7.29) y despejando a

mgR {3 mgR sen {3 2 mR2 mR

+ II yy yy

centro del disco (a) Aceleración Aceleración del centro y su aceleración aceleración angular. angular.

cuerpo libre (b) Diagrama Diagrama de cuerpo incluye la fuerza fuerza y el que incluye par inerciales. par inerciales.

COMENTARIO COMENTARIO Como consecuencia consecuencia de sumar sumar momentos contacto del disComo momentos respecto respecto al punto punto de contacto ecuación I:F EF + (-ma) = O Opara determinar la aceleraaceleraco, no tuvimos tuvimos que usarla usar la ecuación (-ma) = para determinar angular. ción angular.


7.5

__~-=======~=-__==

~Problemas,

7.1 Un refrigerador de masa m descansa sobre ruedas orientables en A y B. Se le quiere empujar con una fuerza horizontal F pero con las ruedas permaneciendo en el piso liso. (a) ¿Cuál es la aceleración del refrigerador? (b) ¿Qué fuerzas normales se ejercen sobre las ruedas en A y B?

r~ ,

331

~

7.4 En el Probo 7.3, b = 615 mm, e = 445 mm, h = 985 mm y m = 77 kg. Si la bicicleta viaja a 6 mis y la persona aplica los frenos, logrando la máxima desaceleración para la cual la rueda trasera no se separa del terreno, ¿cuánto tarda la bicicleta en detenerse y qué distancia viaja durante ese tiempo? 7.5 En la Fig. P7.5 el gancho de frenaje del avión de 14000 lb ejerce la fuerza F y ocasiona que el avión desacelere a 6g. Las fuerzas horizontales ejercidas por las ruedas de aterrizaje son insignificantes. Determine Fy las fuerzas normales ejercidas sobre las ruedas.

F

!

~

PRINCIPIO DE D'ALEMBERT

~

A 1I111111111llUlIIIIIIl"

B

I P7.1

7.2 En el Probo 7.1, ¿cuál es la máxima fuerza F que se puede aplicar si el refrigerador permanece en contacto con el piso en A y B? (Suponga que e es positiva.) 7.3 En la Fig. P7.3, la masa combinada de la persona y la bicicleta es m. Se muestra la posición del centro de masa combinado. (a) Si tienen una aceleración a, ¿cuáles son las fuerzas normales que ejerce el terreno sobre las ruedas? (Ignore la fuerza horizontal que ejerce la rueda frontal sobre el terreno.) (b) Con base en los resultados de la parte (a), ¿cuál es la aceleración máxima que se puede alcanzar sin que la rueda frontal se separe del terreno?

P7.5

7.6 Una persona se apoya en la parte posterior de un camión que va acelerando, y ejerce una fuerza horizontal F sobre la cabina del camión en A. Determine la fuerza horizontal que debe ejercer en función de su peso W, la aceleración a del camión y las dimensiones mostradas.

P7.6

P7.3


332

CAPíTULO 7 DINÁMICA

BIDIMENSIONAl

DE CUERPOS RíGIDOS

7.7 La grúa mostrada se mueve hacia la derecha con aceleración constante, y la carga de 800 kg se mueve sin oscilar. (a) ¿Cuál es la aceleración de la grúa y la carga? (b) ¿Cuáles son las tensiones en los cables unidos a A y B?

,.

7.11 Durante una actividad extravehicular, un astronauta dispara un propulsor de su unidad de maniobras, ejerciendo una fuerza T = 14.2 N durante 1 s. Se requieren 60 s desde el disparo para que él gire una revolución. Si el astronauta y su unidad de maniobras se modelan como un cuerpo rígido, ¿cuál es el momento de inercia respecto a su centro de masa?

~"

"

I

"

U-

(o

v.~~ ~

5°1

vvvv

A

--

7.10 En el Probo 7.9, el coeficiente de fricción cinética entre la rueda trasera de la motocicleta y el camino es JLk = 0.8. Si el conductor hace patinar la rueda trasera, ¿cuál es la aceleración de la motocicleta y cuáles son las fuerzas normales ejercidas por las ruedas trasera y frontal sobre el camino?

~

B

1ml

~ 1.5

m

1.5

m

P7.7

7.8 Si la aceleración de la grúa del Probo 7.7 repentinamente disminuye a cero, ¿cuáles son las tensiones en los cables unidos en A y B inmediatamente después? 7.9 En la Fig. P7.9 la masa combinada de la motocicleta y el conductor es de 160 kg. La rueda trasera ejerce una fuerza horizontal de 400 N sobre el camino, y se puede ignorar la fuerza horizontal que ejerce la rueda frontal sobre el camino. Modelando la motocicleta y sus ruedas como un cuerpo rígido, halle (a) la aceleración de la motocicleta; (b) las fuerzas normales ejercidas por las ruedas trasera y frontal sobre el camino.

P7.11

7.12 El momento de inercia de masa del rotor del helicóptero mostrado es de 400 slug-pie-. Si el rotor parte del reposo en t = O,el motor ejerce un par de torsión constante de 500 pie-lb sobre el rotor y se ignora la resistencia aerodinámica, ¿cuál es la velocidad angular w del rotor en t = 6 s?

P7.12

7.13 En el Probo 7.12, si la resistencia aerodinámica ejerce un par de torsión sobre el rotor del helicóptero de magnitud 20w2 pie-lb, ¿cuál es la velocidad angular del rotor en t = 6 s? P7.9


7 .5 PRINCIPIO 7.5 PRINCIPIO DE DE D'ALEMBERT D'ALEMBERT

7.14 En la Fig. P7 .14, el momento momento de inercia inercia de masa masa del brabrazo del robot robot respecto respecto al eje y vertical vertical es de 8 slug-pie slug-pie'.2 • El momomento ercia de masa mento de iJ irlercia masa respecto respecto al eje y' y' de la pieza de trabajo trabajo de 30 lb sostenida slug-pie 2 • ¿Qué par sostenida por por el brazo brazo es 0.6 slug-pie/. par respecto al eje y es necesario necesario para para dar dar al brazo brazo una una aceleración aceleración pecto 2 angular rad/s-? angular de 2 rad/s ?

yy

333 333

7.16 El momento momento de inercia inercia de masa masa de la polea polea mostrada mostrada slug-pie-.2 • Determine aceleración es de 0.4 slug-pie Determine en los dos casos la aceleración angular angular de la polea polea y la tensión tensión en el cable. cable.

yy''

Brazo del del robot robot Brazo

Pieza de trabajo 20 lb

••. ~,~-#--- 3 pies,-----l

(a)

(b)

P7.16 P7.16

P7.14 P7.14

engranes A y B mostrados mostrados pueden pueden girar girar libremente libremente 7.15 Los engranes alrededor de sus soportes soportes de pasador. pasador. Sus momentos momentos de inercia inercia alrededor masa son lA == 0.002 kg-m kg-m-2 e lB == 0.006 kg-m kg-m-.2 • InicialmenInicialmende masa están en reposo, reposo, y en t = O se aplica aplica un par par constante constante te están M = 2 N-m al engrane engrane B B.. ¿Cuántas ¿Cuántas revoluciones revoluciones ha girado girado el M engrane A en t = 4 s? engrane

Fig. P7.17 P7.17 cada cada caja caja pesa pesa 50 lb, el momento momento de 7.17 En la Fig. inercia de masa masa de la polea polea es de 0.6 slug-pie y la fricción se inercia puede ignorar. ignorar. Si las cajas cajas parten parten del reposo reposo en t == O, O,determine puede determine velocidades y la distancia distancia que se han movido movido la magnitud magnitud de sus velocidades posiciones iniciales en t == 1 s. desde sus posiciones

M

~ ~

P7.17 P7.17

90mm

P7.15 P7. 15


334

CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAL DE DE CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

7.18 La barra barra esbelta esbelta pesa 10 10 lb Y Yel coeficiente el disco 20 lb. El coeficiente cinética entre el disco y la superficie superficie horizontal horizontal es de fricción cinética J1.k = 0.1. Si el diitco disco tiene una una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria Jl.k 10 rad/s, rad/s, ¿cuánto ¿cuánto tiempo tiempo tarda tarda en dejar dejar de girar? girar? inicial de 10

7.22 En la Fig. P7.22, P7.22, ¿para ¿para qué valor dexes de x es máxima máxima la aceleración ración angular angular de la barra barra horizontal, horizontal, y cuál es esa aceleración aceleración angular angular máxima? máxima?

m

l.

~oo

P7.22 3 pies

1 pie

P7.18

¿cuánto tiempo tiempo tarda 7.19 En el Probo 7.18, ¿cuánto tarda el disco en dejar dejar de girar girar si tiene una una velocidad velocidad angular angular horaria horaria inicial de 10 rad/s? rad/ s?

7.23 Modele brazo ABC mostrado como Modele el brazoABCmostrado como un cuerpo cuerpo rígido. rígido. Su masa masa es de 300 kg Y el momento masa respecto respecto Yel momento de inercia inercia de masa 2 • Si el punto a su centro centro de masa masa es 1 == 360 kg-m kg-m-, punto A está está en reposo aceleración angular antireposo y la aceleración angular del brazo brazo es de 0.6 rad/srad/s 2 antihoraria, fuerza ejerce ejerce el cilindro cilindro hidráulico hidráulico sobre sobre el brazo brazo horaria, ¿qué ¿qué fuerza (Sobre el brazo actúan dos cilindros B? (Sobre brazo actúan cilindros hidráulicos, hidráulicos, uno uno a en B? cada lado lado del vehículo. vehículo. Se debe determinar fuerza total total ejercicada determinar la fuerza da por cilindros.) por los dos cilindros.)

7.20 Los cuerpos cuerpos mostrados mostrados constan constan de barras barras idénticas idénticas de 3 pies y 10 lb soldadas soldadas entre entre sí. Si se liberan liberan del reposo reposo en las posiciones posiciones mostradas, mostradas, ¿cuáles ¿cuáles son son sus aceleraciones aceleraciones angulares angulares y cuáles son las componentes componentes de las reacciones reacciones en A en ese instante? verticales.) tante? (Los ejes y son verticales.) yy

yy

II

II

:=:==========ilio~A--x

4~;;:;:;;::::;;;;:::::lJ;-x

4~===::::::~_x

(b)

(a) (a)

P7.20 P7.20

P7.23 P7.23

7.21 El cuerpo cuerpo mostrado mostrado consta consta de barras barras idénticas idénticas de 1 m y 5 kg soldadas soldadas entre entre sí. Si se liberan liberan del reposo reposo en la posición posición mostrada, mostrada, ¿cuál ¿cuál es su aceleración aceleración angular angular y las componentes componentes de la reacción A en ese instante? instante? (El (El eje eje y es vertical.) vertical.) reacción en A yy

I

7.24 el Probo 7.23, ABC 7.24 En EnelProb. 7.23, sila si la aceleración aceleración angular angular del brazo brazoABC es de 0.6 0.6 rad/srad/ s2 antihoraria antihoraria y su velocidad velocidad angular angular es de 1.4 lA rad/s horaria, horaria, ¿cuáles ¿cuáles son son las componentes componentes de la la fuerza fuerza ejercida ejercida rad/s sobre sobre el brazo brazo en A? A? (Hay (Hay dos dos soportes soportes de pasador, pasador, uno uno a cada cada lado lado del vehículo. vehículo. Se deben deben determinar determinar las componentes componentes de la la fuerza fuerza total total ejercida ejercida por por los dos dos soportes.) soportes.)

r;=;:¡¡¡;;¡:==~A·--x

P7.21

..


7.5 PRINCIPIO PRINCIPIO DE D'ALEMBERT D'ALEMBERT 7.5

puente giratorio giratorio mostrado, mostrado, los engranes engranes Para bajar 7.25 Para bajar el puente levantan se desacoplan desacoplan y una una fracción fracción de segundo segundo desque lo lev"antan otro conjunto conjunto de engranes engranes que lo bajan, bajan, se acoplan. acoplan. En pués otro instante en que los engranes engranes que lo levantan levantan se desacoplan, desacoplan, el instante componentes de la fuerza fuerza ejercida ejercida por por el puente puente ¿cuáles son las componentes sobre su soporte soporte en O? El puente puente giratorio giratorio pesa 360 klb, su mosobre mento de inercia inercia de masa respecto a O es lo == 1.0 X 1077 slugmento masa respecto 2 pie",, y las coordenadas coordenadas de su centro centro de masa masa en el instante pie instante en engranes se desacoplan desacoplan son x = 8 pies, y que los engranes JI = 16 pies.

335 335

7.27 En el Probo 7.26, 7.26, ¿cuáles son el par par y las componentes componentes de la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre el brazo Be en B si el brazo brazo Be brazo AB tiene una una velocidad velocidad angular angular horaria horaria constante constante de 2 rad/s rad/s y el brazo brazo Be tiene una Be una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria de 2 rad/s rad/s y una una aceleración rad/s?2 en el instante aceleración angular angular horaria horaria de 4 rad/s instante mostrado? mostrado? 7.28 Un U n anillo anillo delgado delgado y un disco circular, circular, cada cada uno uno de masa masa m y radio sobre una superficie inclinada inclinada radio R, se liberan liberan del reposo reposo sobre una superficie y ruedan ruedan una una distancia distancia D. Determine Determine la razón razón de los tiempos tiempos

requeridos. requeridos.

P7.28 P7.28

P7.25 P7.25

brazo Be Be de la figura figura tiene una una masa masa de 12 kg Y su 7.26 El brazo

escalonado pesa 7.29 En la Fig. P7.29, P7 .29, el disco escalonado pesa 40 lb Ysu Ysu momento slug-pie-.2 • Si se libera mento de inercia inercia de masa masa es 11 == 0.2 slug-pie libera del reposo, ¿cuánto tarda reposo, ¿cuánto tarda el centro centro del disco en caer 3 pies? (Supon(Suponga que la cuerda cuerda permanece permanece vertical.) vertical.)

momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto a su centro centro de masa momento masa es 2 • Si B kg-m-. B está en reposo reposo y el brazo brazo Be Be tiene tiene una de 3 kg-m una velociangular antihoraria antihoraria constante constante de 2 rad/ rad/ s en el instante dad angular instante mosmostrado, determine determine el par par y las componentes componentes de la fuerza fuerza ejercida ejercida trado, sobre el brazo brazo Be Be en B. B. sobre y

\ 40

P7.29 P7.29

0

--~~~~----------~~~+-~~----------x

--+-ft-~~----------~~~+-~~-----------X

A

B

I--+-- 700 700mm rnrn -------1 --------1 1---+---

P7.26 P7.26


336

CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIM BIDIMENSIONAl CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO ENSIONAL DE C UERPOS RíG IDOS

O, una una esfera esfera de masa masa m y radio radio R (1 == ~~ mR2) 7.30 En t == O, sobre una una superficie superficie plana plana tiene una una velocidad velocidad angular angular úJo úJo Y la sobre velocidad de su centrb es cero. cero. El coeficiente coeficiente de fricción fricción cinética cinética velocidad J.l.k' ¿Cuál es la velocidad máxima entre la esfera y la superficie es Jl.k' alcanzará y cuánto cuánto tarda tarda en alcanzarla? alcanzarla? que el centro de la esfera alcanzará

7.32 El disco cilíndrico cilíndrico de 100 kg mostrado mostrado está en reposo reposo cuando cuando la fuerza fuerza F F se aplica aplica a una una cuerda cuerda enrollada enrollada a su alredealrededor. dor. Los coeficientes coeficientes estático estático y cinético cinético de fricción fricción entre entre el disco y la superficie superficie es igual a 0.2. Determine Determine la aceleración aceleración angular angular del disco si (a) F = 500 N; (b) F = 1000 N. Estrategia: suponiendo que el Estrategia: Primero Primero resuelva resuelva el problema problema suponiendo disco no no resbala, resbala, sino que rueda rueda sobre sobre la superficie. superficie. Determine Determine la fuerza fuerza de fricción fricción y vea si excede el producto producto del coeficiente coeficiente de fricción fricción y la fuerza fuerza normal. normal. Si es así, reinicie reinicie el problema problema suponiendo que el disco resbala. resbala. suponiendo

P7.30

P7.32 P7.32

fútbol pasa pasa el balón balón a un compañero compañero que 7.31 Un jugador jugador de fútbol halla a 20 pies. El balón balón viaja viaja a 20 pie/s pie/s paralelo paralelo al terreno terreno se halla velocidad angular angular inicial. El coeficiente coeficiente de fricción fricción cinética cinética sin velocidad entre el balón balón y el césped es Jl.k J.l.k = = 004. 0.4. ¿Cuánto ¿Cuánto tarda tarda el balón balón entre compañero? (El balón balón tiene 28 pulg de circunferencircunferenen llegar al compañero? 14 onzas. onzas. Calcule Calcule su momento momento de inercia inercia de masa masa cia y pesa 14 usando la ecuación ecuación para para un cascarón cascarón esférico delgado: delgado: 11 usando ~mR2.) ~mR2.)

7.33 La La escalera escalera de 18 kg se libera libera del reposo reposo en la posición posición mostrada. mostrada. Modélela Modélela como como una una barra barra esbelta esbelta e ignore ignore la fricción. fricción. En En el instante instante en que que se libera, libera, determine determine (a) la aceleración aceleración anguangular; sobre la escalera. lar; (b) la fuerza fuerza normal normal que ejerce ejerce el piso sobre escalera.

P7.31 P7 .31

P7.33 P7.33

7.34 Suponga Suponga que la escalera escalera del Probo 7.33 tiene una una velocidad dad angular angular antihoraria antihoraria de 1.0 rad/s rad/s en la posición posición mostrada. mostrada. Determine Determine (a) la aceleración aceleración angular; angular; (b) la fuerza fuerza normal normal que ejerce el piso sobre sobre la escalera. escalera.


7.5 7.5 PRINCIPIO PRINCIPIO DE DE D'ALEMBERT D'ALEMBERT

Suponga que la escalera del Probo 7.33 tiene una veloci7.35 Suponga angular antihoraria antihoraria de 1.0 rad/s rad/s en la posición posición mostrada mostrada dad angular céeficiente de fricción cinética en el piso y la pared pared es y que el c6eficiente ¡,tk = 0.2. Determine Determine (a) la aceleración aceleración angular; angular; (b) la fuerza JLk normal ejercida ejercida por el el piso sobre sobre la escalera. escalera. normal

337

7.39 La barra barra esbelta esbelta de 4 lb Y Yel bloque de 10 10 lb se liberan liberan 7.39 el bloque posición mostrada. mostrada. Si la fricción fricción es insignificaninsignificandel reposo en la posición ¿cuál es la aceleración aceleración del bloque bloque en ese instante? instante? te, ¿cuál

7.36 En la Fig. P7.36 P7.36 la barra barra esbelta esbelta pesa 30 lb Y el disco 7.36 cilíndrico 20 lb. El sistema se libera del reposo reposo con la barra barra horicilíndrico zontal. Determine Determine la aceleración aceleración angular angular de la barra barra en el instaninstanzontal. barra y el disco están soldados soldados en A. te en que se libera si la barra

0°

1-·-----4 pies ------l,,.---........j - - - - - -4 pies

---'l:--~

.32

P7.39 P7.39

P7.36 P7.36

ión ón. gu-

ra.

7.37 7.37

En el Probo 7.36 determine aceleración angular determine la aceleración angular de la barra si ésta y el disco están están conectados pasador en A. conectados por por un pasador A. barra 7.38 Yel 7.38 En la Fig. P7 .381a barra barra esbelta esbelta de 0.1 kg Y el disco cilíndrico de 0.2 kg se liberan liberan del reposo reposo con la barra barra horizontal. horizontal. El disco rueda rueda sobre sobre la superficie superficie curva. curva. ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración angular angular de la barra barra en ese instante? instante?

7.40 En el Probo 7.39 suponga 7.40 suponga que la velocidad velocidad del bloque bloque es cero y que la barra barra tiene tiene una una velocidad velocidad angular angular de 4 rad/s rad / s en el instante instante mostrado. mostrado. ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración del bloque? bloque? 7.41 En la Fig. P7Alla P7.41 la barra barra esbelta esbelta de 004 0.4 kg Yel Y el disco de liberan del reposo reposo en la posición posición mostrada. mostrada. Si el disco 1 kg se liberan rueda, rueda, ¿cuál es la aceleración aceleración angular angular de la barra barra en ese instante? instante?

P7.41 P7.41 P7.38 P7.38

7.42 En En el Probo Prob o77.41, ¿cuál es el mínimo mínimo valor valor del coeficiente coeficiente 7.42 Al, ¿cuál de fricción fricción estática estática para para que que el disco disco ruede ruede en vez de resbalar resbalar al ser liberado? liberado?


338


BIDIMENSIONAl

DE CUERPOS RíGIDOS

7.43 En la Fig. P7.43 la polea A pesa 4 lb, lA = 0.060 slugpie" e lB = 0.014 slug-pie-. Si el sistema se libera del reposo, ¿qué distancia caet el peso de 16 lb en medio segundo?

7.46 La barra AB mostrada gira con una velocidad angular constante de 6 rad/s en dirección antihoraria. La barra esbelta BCD pesa 10 lb Y el collarín al que la barra BCD está unida en C pesa 2 lb. El eje y señala hacia arriba. Ignorando la fricción, determine las componentes de las fuerzas ejercidas sobre la barra BCD por los pasadores en B y C en el instante mostrado.

y

r

8pulg

i 12 pu!g

~o-

P7.43 ~8

7.44 En la Fig. P7.44 la barra esbelta pesa 20 lb Yla caja 80 lb. Ésta descansa sobre una superficie lisa. Si el sistema está en reposo en el instante mostrado, ¿qué par M ocasionará que la caja acelere hacia la izquierda a 4 píe/s'' en ese instante?

fh

---;-~~L,

PU!g-+6PU!g

~4PU!g~

P7.46

7.47 En la Fig. P7.47, la barraABpesa 10lb yla barraBC6lb. Si el sistema se libera del reposo en la posición mostrada, ¿cuáles son la aceleración angular de la barra AB y la fuerza normal ejercida por el piso en C en ese instante? Ignore la fricción.

B

A

4 pies

o

T 1

1

1 pie

\--2 pies

4 pies

e 1-

-1 P7.44

7.45 Suponga que la barra esbelta del Probo 7.44 giraen dirección antihoraria a 2 rad/s en el instante mostrado y que el coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie horizontal es J.tk = 0.2. ¿Qué par M ocasionará que la caja acelere hacia la izquierda a 4 pie/s? en ese instante?

2 pies

--------11-1

pie----j

P7.47

7.48 En el Probo 7.47, si la velocidad angular de la barra AB es de 1.0 rad/s horaria en el instante mostrado, ¿cuáles son la aceleración angular de la barra BC y la fuerza normal ejercida por el piso en C en ese instante?


7.5 PRINCIPIO DE D'ALEMBERT PRINCIPIODE D'ALEMBERT 339 339 ngular belta unida a friesobre trado.

Ig

7.49 7.49 En En la Fig. Fig. P7.49 P7.49 la masa masa combinada combinada de de motocicleta motocicleta y conductor conductor es de 160 kg. kg. Cada Cada rueda rueda de 9 kg tiene tiene un un radio radio de mrñ y un un momento momento de de inercia inercia de de masa masa 1 == 0.8 0.8 kg-m kg-m-.2 • El 330 mm motor motor impulsa impulsa la rueda rueda trasera. trasera. Si la rueda rueda trasera trasera ejerce ejerce una una fuerza fuerza horizontal horizontal de 400 400 N N sobre sobre el camino camino y no se ignora ignora la fuerfuerza horizontal rueda frontal horizontal que que ejerce ejerce la rueda frontal sobre sobre el camino, camino, deterdetermine mine (a) la aceleración aceleración de la motocicleta; motocicleta; (b) las fuerzas fuerzas normales normales que que ejercen ejercen las las ruedas ruedas trasera trasera y frontal frontal sobre sobre el camino. camino. (Se muestra del centro centro de de masa muestra la posición posición del masa de de la motocicleta motocicleta sin incluir sus sus ruedas.) ruedas.) Estrategia: Aísle Aísle las las ruedas ruedas y dibuje dibuje tres tres diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre. libre. El motor motor de la motocicleta motocicleta impulsa impulsa la rueda rueda trasera trasera ejerejerciendo ciendo un un par par sobre sobre ella. ella.

7.52 En En la Fig. Fig. P7.52 P7.52 la masa masa de la barra barra esbelta esbelta es m y la masa masa del del disco disco homogéneo homogéneo es 4m. 4m. El sistema sistema se libera libera del del reposo reposo en la la posición posición mostrada. mostrada. Si el disco disco rueda rueda y la fricción fricción entre entre barra y la superficie superficie horizontal horizontal es insignificante, insignificante, demuestre demuestre la barra que que la aceleración aceleración angular angular del del disco disco es ex = 6g/95R 6g/95R antihoraria. antihoraria.

f---2R---I f---2R ---1

P7.52 P7.52

7.53 Si el disco 7.53 disco del del Probo Probo 7.52 7.52 rueda rueda y el coeficiente coeficiente de fricfricción cinética cinética entre entre la barra barra y la superficie superficie horizontal horizontal es I'-k' /lb ción ¿cuál ¿cuál es la aceleración aceleración angular angular del del disco disco en el instante instante en que que se libera libera el sistema? sistema?

x

7.54 El engrane 7.54 engrane anular anular mostrado mostrado está está fijo. fijo. La masa masa y el momomento inercia de mento de inercia de masa masa del del engrane engrane central central son son ms == 22 slug,1s s = = 4400 4400 slug-pie slug-pie-.2 • La La masa masa y el momento momento de inercia inercia de slug,1 masa de cada cada engrane engrane periférico son mp = = 2.7 2.7 slug, slug, Ipp = = 65 masá periférico son slug-pie-.2 • Si se aplica aplica un un par par M = 600 600 pie-lb pie-lb al engrane engrane cencenslug-pie tral, ¿cuál ¿cuál es la aceleración aceleración angular angular resultante resultante en los engranes engranes tral, periféricos, cuál es la fuerza fuerza tangencial tangencial ejercida ejercida sobre sobre el engraengraperiféricos, y cuál central por por cada cada engrane engrane periférico? periférico? ne central

P7.46

61b. ¿cuármal ción.

P7.49 P7.49

/

Engrane anular anular Engrane

En el Probo Probo 7.49, 7.49, si la rueda rueda frontal frontal se levanta ligeramen7.50 En levanta ligeramente del del camino camino cuando cuando el conductor conductor acelera, acelera, determine determine (a) la aceaceleración de la motocicleta; motocicleta; (b) el par par ejercido ejercido por por el motor motor sobre sobre leración rueda trasera. trasera. la rueda

P7.47

Usando las Ecs. Ecs. (7.5) (7.5) a (7.8), (7.8), demuestre demuestre que que el momento momento 7.51 Usando angular de un un cuerpo cuerpo rígido rígido respecto respecto a un un punto fijo O es la punto fijo angular suma del del momento angular respecto respecto a O debido debido al movimiento movimiento suma momento angular centro de de masa masa y el momento momento angular angular respecto respecto a su centro centro de su centro masa: Ho H¿ = r X mv mv + H. H. de masa:

AB n la

cida

P7.54 P7.54 sistema del del Probo Probo 7.54 7.54 parte parte del del reposo, reposo, ¿qué ¿qué par par 7.55 Si el sistema constante M M ejercido ejercido sobre sobre el engrane central ocasionará ocasionará que que engrane central constante éste acelere acelere a 120 rpm rpm en 1 l m min? éste in?


340 340

CAPíTULO 77 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAl BIDIMENSIONAL DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

los Probs. Probs. 7.56 7.56 aa 7.62 7.62 están están relacionados relacionados con con el el Ej.7.7. Ej. 7.7. los 7.56 El El cohete cohete d~ d 33 Mg Mg mostrado mostrado está está acelerando acelerando hacia hacia arriba arriba 7.56 razón de de 2g. 2g. Si Si se se idealiza idealiza como como una una barra barra homogénea, homogénea, ¿cuál ¿cuál aa razón en el el punto punto medio? medio? es la la magnitud magnitud de de la la fuerza fuerza axial axial en es

7.58 7.58 Para Para la la barra barra en en rotación rotación del del Probo Probo 7.57, 7.57, dibuje dibuje la la gráfigráfica como una una función función de de x. X. ca de de la la fuerza fuerza axial axial como 7.59 7.59 En En la la Fig. Fig. P7.59, P7.59, la la barra barra esbelta esbelta AB AB de de 100 100 lb lb tiene tiene un un soporte soporte empotrado empotrado en en A. A. El El eje eje yy apunta apunta hacia hacia arriba. arriba. DetermiDetermine ne las las magnitudes magnitudes de de la la fuerza fuerza cortante cortante yy el el momento momento flector flector en punto medio medio de de la la barra barra si si (a) (a) el el soporte soporte está está fijo; fijo; (b) (b) el el en el el punto soporte soporte está está siendo siendo acelerado acelerado hacia hacia arriba arriba aa 10 pie/s-. pie/ s2 . 20 20 lb lb B B

________________-----: t==========~==1-x

~-+

~-----1--- - - - - - 44 pies pies

6m 6m

-x

-------.1 --------11

P7.59 P7.59

7.60 7.60 Para Para la la barra barra del del Probo Probo 7.59 7.59 dibuje dibuje los los diagramas diagramas de de fuerza fuerza cortante cortante y momento momento flector flector en en los los dos dos casos. casos. P7.56 P7.56

7.57 La La barra de 20 kg de de la figura unida a un un barra esbelta esbelta de figura está está unida gira en un plano plano horizontal horizontal con_una velocidad eje vertical vertical en eje en A y gira conuna velocidad angular de 10 rad / s. ¿Cuál axial en el angular constante constante de rad/s. ¿Cuál es la fuerza fuerza axial punto medio de la barra? barra? punto medio

7.61 La escalera de La escalera de 18 kg es mantenida mantenida en en equilibrio equilibrio en en la posición escalera como como mostrada por por la fuerza fuerza F. Modele Modele la la escalera posición mostrada una esbelta e ignore fricción. una barra barra esbelta ignore la la fricción. (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son son la fuerza fuerza axial, fuerza cortante cortante y el momento momento (a) axial, la fuerza flector en su punto flector en su punto medio? medio? (b) Si se quita quita repentinamente fuerza F, F, ¿cuáles ¿cuáles son son la fuerza fuerza (b) repentinamente la fuerza axial, la fuerza fuerza cortante cortante y el momento flector en el punto punto medio momento flector medio axial, escalera en ese instante? instante? de la escalera y

P7.57

F F

\\

xx

P7.61 P7.61

7.62 Para Para la la escalera escalera del del Probo Probo 7.61, 7.61, dibuje dibuje los los diagramas diagramas de de 7.62 fuerza cortante cortante yy momento momento flector flector en en los los dos dos casos casos. . fuerza


DE D'ALEMBERT D'ALEMBERT 7.5 PRINCIPIO PRINCIPIO DE 7.5

Ejemplo con computador computador Ejemplo materiafde esta sección está diseñado diseñado para calculadora prograprogreEl material"de para el uso de una calculadora mable o de un computador. computador. mable Cuando se conocen conocen las fuerzas fuerzas y pares pares que que actúan actúan sobre sobre un cuerpo cuerpo rígido, rígido, se Cuando pueden usar usar las las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento para para determinar determinar la aceleración aceleración de de pueden centro de masa masa y su aceleración aceleración angular. angular. En En algunos algunos casos casos se puede puede integrar integrar su centro para obtener obtener expresiones expresiones cerradas cerradas de de la velocidad velocidad y la posición posición de de su centro centro para masa y para para su velocidad velocidad y posición posición angulares angulares como como funcio funciones del tiempo. tiempo. de masa nes del Pero si las funciones funciones que que describen aceleraciones son son muy muy complejas, complejas, o las las Pero describen las aceleraciones fuerzas pares se conocen conocen en términos términos de datos datos continuos continuos o analógicos analógicos en en vez vez fuer zas y pares ecuaciones, se deberá deberá usar usar un un método método numérico. numérico. de ecuaciones, En el Cap. Cap. 3 describimos describimos un método sencillo sencillo de diferencias diferencias finitas finitas para para deterdeterEn un método minar la posición posición y la velocidad velocidad del del centro centro de masa como funciones funciones del del tiempo. tiempo. minar masa como La posición posición y la velocidad velocidad angu angulares pueden determinar determinar de la misma misma manera. La lares se pueden manera. Supongamos que que la aceleración aceleración angular angular de un un cuerpo rígido depende depende del del tiemtiemSupongamos cuerpo rígido po, de su posición posición angular angular y de velocidad angular: angular: po, de su velocidad a

a(t, 8 8,, w). w). = a(t,

(7.30) (7.30)

Supongamos que que en un un tiempo tiempo particular particular lo fo conocemos conocemos el ángulo ángulo O(to) 8(to) y la veSupongamos locidad angular w(to). La La aceleración aceleración angular angular en lo fo es angular w(to)' locidad dw dw -(to) = aCto, aCto, 8(to), 8(to), w(to», w(to)), -(to) = dt dt

(7.31) (7.31)

donde donde dco dw

-(to) ( fo) dt dt

=

lí w(to l' w(to l Hl ------un

M) + M)

I'.HO ~I""O

w(to) w(to)

I1t !:,.t

Elegimos un valor valor suficientemente suficientemente pequeño pequeño de!:,.l de Af para para aproximar aproximar esta esta derivada derivada con con Elegimos dco dw

-;¡¡(to) (fo) dt

w(to w(to

I1t) + !:"t)

w(to) w(to)

= = --'--'----'----'--'--I1t !:,.t

sustituirla en la Ec. (7.31) (7.31) a fin fin de obtener una expresión expresión aproximada aproximada para para y sustituirla obtener una la velocidad velocidad angular angular en en el tiempo tiempo lo to + !:,.l Af: : w(to w(to

w(to) + aCto, aCto, 8(to), 8(to), w(to»!:"t. w(to))l1t. + M) = w(to)

(7.32) (7.32)

La relación relación entre entre la velocidad velocidad y la posición posición angulares angulares en lo fo es La d8 --(to)(to) dt dt

w(to)· = w(to)·

Aproximar esta derivada derivada con con Aprox imar esta d8 d8

-(to) -(fo) dt dt

=

8(to 8(to

At) + !:"t)

8(to) 8(to)

,

I1t·: , . t · !

da una una expresión expresión aprox aproximada para la posición posición angular en el tiempo tiempo lo fo + 11/: A/: da im ada para angular en 8(to 8(to

At) = 8(to) 8(to) + w(to)!:"t. w(to)l1t. + !:"t)

(7.33) (7.33)

Con las las Ecs. Ecs. (7 (7.32) (7.33) podemos podemos determinar determinar los los valores valores aproximados aproximados Con .32) Y (7.33) de velocidad y la posición posición angulares angulares en en /0 fo + 11/. At. Usando Usando esos esos valores valores como como la velocidad condiciones iniciales, iniciales, podemos podemos repetir repetir el procedimiento procedimiento para determinar determinar la vecondiciones para locidad y la posición posición angulares angulares en en el tiempo tiempo /0 fo + 2111, 2At, etc. etc. locidad


o eoe coco 0000 0000 0000

341

342


Ejemplo 7.10 La escalera de la Fig. Fig. 7.23 7.23 se libera libera del del reposo en t = O. O. Ignorando Ignorando La escalera de 18 kg de reposo en fricción, determine determine su posición posición y velocidad angulares como como funciones funciones del del la fricción, velocidad angulares tiempo. Use incrementos !:J.t M de de tiempo de 0.1 0.01 s y 0.001 0.001 s. tiempo de 0.1 s, 0.01 tiempo. Use incrementos

ESTRATEGIA ESTRATEGIA En el Ej. Ej. 7.4 7.4 se presentan iniciales (dibujar (dibujar el el diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo En presentan los pasos pasos iniciales libre de la escalera, escalera, aplicar aplicar las ecuaciones ecuaciones de de equilibrio equilibrio y determinar determinar la aceleraaceleralibre ción angular). angular). La La aceleración aceleración angular angular de de la escalera escalera es ción

3g 21 sen sen 8, 2/

4m 4m

donde 8 es el ángulo ángulo entre entre la escalera escalera yy la pared longitud. . Con Con esta esta donde pared yy I es su longitud expresión podemos usar las Ecs. Ecs. (7.32) (7.32) Y (7.33) (7.33) para aproximar la posición expresión podemos usar para aproximar posición y angulares de la escalera escalera como como funciones funciones del del tiempo. tiempo. la velocidad velocidad angulares

SOLUCiÓN SOLUCiÓN La aceleración aceleración angular angular es La (3)(9.81) (3)(9.81) (2)(4) (2)(4) sen sen 8

3.68 sen 8 rad/s-. 3.68 sen rad/s 2 •

Figura 7.23 Sea !:J.t !:J.t = 0.1 0.1 s. En En el tiempo inicial to = O, O, 8 (to) = 5° = 0.0873 0.0873 rad Sea tiempo inicial rad y w(to) w(to) O. Podemos Podemos usar las Ecs. Ecs. (7.32) (7.32) Y (7.33) (7.33) para determinar la velocidad = O. usar las para determinar velocidad y la posición angulares en en el tiempo 0.1 s. La La posición angular es posición angulares tiempo too + M == 0.1 posición angular w(to)L'H: + L'H) = 8 (to) + w(to)!:J.t:

8(to 8(to

8(0.1) 8(0.1)

8(0) + w(O)L'H w(O)L'H = 8(0) 0.0873 + (0)(0.1) (0)(0.1) = 0.0873 0.0873 rad. rad. = 0.0873

La velocidad angular es La velocidad angular w(to w(to

+

!:J.t) !:J.t)

w(O.I) = O w(O.I)

[3.68 sen (0.0873)](0.1) (0.0873)](0.1) 0.0321 rad/s. + [3 .68 sen = 0.0321 rad /s.

Usando estos estos valores valores como como las condiciones condiciones iniciales iniciales para siguiente incremento incremento Usando para el siguiente de tiempo, angular en en t = 0.2 0.2 s es de tiempo, la posición posición angular 8(0.2) 8(0.2)

8(0.1) 8(0.1)

w(O.I)M + w(O.I)M

0.0873 + (0.0321)(0.1) (0.0321)(0.1) 0.0873

0.0905 rad, 0.0905 rad,

y la velocidad angular es velocidad angular w(0.2) = = w(O.I) w(0.2) w(O.I)

+ a(O.I)!:J.t a(O.I)!:J.t

0.0321 + [3.68 [3.68 sen sen (0.0873)](0.1) (0.0873)](0.1) 0.0641 rad/s. = 0.0321 = 0.0641 rad / s. Así, obtenemos los los siguientes siguientes valores los primeros cinco incrementos incrementos de de para los primeros cinco Así, obtenemos valores para tiempo: tiempo:


7.5 7.5 PRINCIPIO PRINCIPIO DE DE D'ALEMBERT D'ALEMBERT

Tiempo, s Tiempo,

rad O, rad

0.0 0.0 0.1 0.2 0.2 0.3 0.4 004 0.5

0.0873 0.0873 0.0905 0.0969 0.0969 0.1066 0.1066 0. 1199 0.1199

w, w,

343

rad/s rad/s

0.0000 0.0000 0.0321 0.0641 0.0974 0.0974 0.l329 0.1329 0.1721

para la posición posición y la y 7.25 muestran muestran las soluciones soluciones numéricas numéricas para Las Figs. 7.24 Y7.25 t!.t = 0.1 s, M M = 0.01 s y M t!.t = 0.001 s. velocidad angulares angulares obtenidas obtenidas usando usando f,t velocidad t!.t = = 0.001 s se aproxiaproxiEnsayos con incrementos incrementos de tiempo tiempo menores menores indican indican que f,t Ensayos ma bastante bastante bien a la solución solución exacta. exacta. Mostramos Mostramos las posiciones posiciones de la escalera escalera ma intervalos de 0.2 s en la Fig. 7.26. que cae a intervalos 0.8 ,--------------, 0.7 0.6 0.5 0.5 "O "O ~ ..." 0.4 0.4
1.5 ~-----------~ 1.5 ,------------~ At = 0.001 s At= 0.01 s At=O.ls

~ ~

1.0 1.0

] ~ 0.5 0.5

OL--L_L--L~L_~~_~~ O 0.8 1.0 1.0 1.2 1.2 1.4 1.4 1.6 1.6 O O 0.2 0.4 0.6 0.8

O~~_~~_-L_L--L_~~ O~~~-~~-~~-~~

O O

0.2 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1.0 1.0 1.2 1.2 1.4 1.4 1.6 1.6 0.2

t, segundos 1, segundos

t, 1, segundos segundos

Figura 7.24

Figura 7.25

Soluciones Soluciones numéricas numéricas para para la posición posición angular angular de la escalera. escalera.

Soluciones numéricas para la Soluciones numéricas para velocidad angular angular de la escalera. escalera. velocidad

Figura 7.26 Posición de la escalera escalera a intervalos Posición intervalos de O a t = 0.2 s de t = O = 1.4 lA s.

COMENT COMENT ARIOS 1.5 , ,----------------:1.5 ----------------,

Usando la regla de la cadena cadena podemos podemos escribir la aceleración aceleración angular angular de la escaUsando lera como dw dw

=-

ex Ol

dt

=

dw dw w -w de

3g 3g

=-

2l

~

~

sen O.

] ...

"

8

Separando variables, variables, podemos podemos integrar integrar para para determinar determinar la velocidad velocidad angular angular Separando en función de la posición posición angular: angular:

¡l

ww

oo

I

i

w dw == wdw

[°lB ~-.!i 33

5° 5°

OdO. sen OdO.

e,

(J, rad

2l

= )(3g/ J (3g/ l)(cos5° l)(cos 5° -

0.5 0.5

OL-LL_L--L_L--L_L--L~ --'--' O'--..LJ...-....L.----''----'--...l...----'O 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 O

Figura 7.27 Soluciones analítica analítica y numérica numérica para para Soluciones la velocidad velocidad angular angular de la escalera en función de su posición posición angular. angular. función

Obtenemos Obtenemos w

1.0 1.0

"O

cose). cos e).

r

resultado en forma forma cerrada cerrada se se compara compara con la gráfica gráfica de la solución solución numéEste resultado (usando t!.t M= = 0.001 0.001 s) s) de la Fig. 7.27. Las curvas son son indistinguibles indistinguibles entre sí. sí. rica (usando

\


344

CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAl DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

~....I 1.-.-----11 Problemas 1------" •....•........... ..;;;......;

Problemas ~

Continúe los cálculos cálculos presentados presentados en el Ej Ej.. 7.10 usan7.63 Continúe tlt = 0.1 s, y determine determine la posición posición angular angular de la escalera escalera do /:¡.l velocidad angular angular en 1t = 0.6 s y 1t = 0.7 s. y su velocidad momento de inercia inercia de masa del rotor rotor del helicóp7.64 El momento slug-pie-,2 • Parte Parte del reposo en t = O, O, el motor motor tero es de 400 slug-pie par constante constante de 500 pie-lb y la resistencia resistencia aerodiaerodiejerce un par námica ejerce un par de magnitud magnitud 20w 20w22 pie-lb, donde donde w es námica velocidad angular angular del rotor rotor en rad/s. rad/s. Con I:!.t l1t = 0.2 s, halle la velocidad velocidad angulares angulares del rotor rotor para para los cinco la posición posición y la velocidad primeros incrementos incrementos de tiempo. tiempo. Compare Compare sus resultados resultados de primeros la velocidad angular con la solución solución cerrada. cerrada. velocidad angular

7.66 La barra barra esbelta esbelta de 10 10 kg se libera libera del reposo reposo en la posición posición horizontal horizontal mostrada mostrada. . Usando Usando I:!.t l1t = 0.1 s, determine determine posición y la velocidad velocidad angulares angulares de la barra barra para para los cinco la posición primeros incrementos incrementos de tiempo. tiempo. primeros

~--~U (~--------------1J t--I· 1-· ---1

-------1·1 m---~·I

-1m

P7.66 P7.66

determine la posición 7.67 En el Probo 7.66 determine posición y la velocidad velocidad angulares de la barra barra como funciones funciones del tiempo angulares tiempo desde t = = O hasta /:¡.t = 0.1 s, l1t /:¡.t = 0.01 s y tlt I:!.t = 0.001 s. hasta tt = 0.8 s usando usando l1t Dibuje las gráficas gráficas de la velocidad velocidad angular Dibuje angular como como función función casos y compárelos compárelos con posición angular angular para para esos tres casos de la posición la gráfica gráfica de la solución solución en forma forma cerrada cerrada para para la velocidad velocidad angular en función función de la posición posición angular. angular angular.

7.68 En el Probo 7.66 suponga suponga que el soporte soporte de pasador pasador de la barra barra contiene contiene un dispositivo dispositivo amortiguador amortiguador que ejerce ejerce resistente sobre barra de magnitud magnitud CW un par par resistente sobre la barra cw (N-m), (N-m), donde donde velocidad angular angular en rad/s. rad/s . Usando Usando l1t I:!.t = = 0.001 s, w es la velocidad dibuje gráficas de la velocidad velocidad angular angular de la barra barra como como fundibuje gráficas = 0.8 s para para los casos casos en que ción del tiempo tiempo de t = O a t = e = O, O, e = 2, 2, e = 4 Y e = 8. 7.65 En el Probo 7.64 dibuje dibuje una una gráfica gráfica de la velocidad velocidad angular angular del rotor rotor en función función del tiempo tiempo de t = = O a t = 10 s, comparando comparando la solución solución cerrada, cerrada, la solución solución numérica numérica usando usando tlt /:¡.t = 1.0 s y la solución solución numérica numérica usando usando l1t /:¡.t = = 0.2 s.

7.69 La escalera escalera del Ej. Ej. 7.10 perderá perderá contacto contacto con con la pared pared antes de tocar tocar el suelo. suelo. Usando Usando tlt /:¡.t = = 0.001 s, calcule calcule el tiemtiemantes po y el valor valor del ángulo ángulo entre entre la pared pared y la escalera escalera cuando cuando esto ocurra. ocurra.

Apéndice: Momentos Momentos de de inercia inercia Apéndice:

------.

Mf \ h

L

----------(a) (a)

Cuando Cuando un cuerpo cuerpo rígido rígido está está sometido sometido a fuerzas fuerzas y pares, pares, el movimiento movimiento rotacional sólo de su masa, masa, sino sino también también de cómo cómo rotacional resultante resultante depende depende no sólo está está distribuida distribuida la masa. masa. Aunque Aunque los dos cuerpos cuerpos de la Fig. Fig. 7.28 7.28 tienen tienen la misma misma masa, masa, las aceleraciones aceleraciones angulares angulares causadas causadas por por el par par M M son son difediferentes. rentes. Esta Esta diferencia diferencia se refleja refleja en la ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular M M = = Ia lex. a través través del momento momento de inercia inercia l. El cuerpo cuerpo de la Fig. Fig. 7.28(a) 7.28(a) tiene tiene un momento momento de inercia inercia menor menor respecto respecto al eje L, por por lo que que su aceleraaceleración ción angular angular es mayor. mayor. Al deducir deducir las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento de un un cuerpo cuerpo rígido rígido en las Secs. 7.2 y 7.3, 7.3, consideramos consideramos éste como como un un número número finito finito de partículas partículas y expresamos expresamos su momento momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto a un un eje eje Lo Lo como como

(b)

Figura 7.28 7.28 Cuerpos Cuerpos de igual igual masa masa con con momentos momentos de inercia L. inercia de masa masa diferentes diferentes respecto respecto a L.

donde mi mi es la la masa masa de la i-ésima i-ésima partícula partícula y r¡r i es la la distancia distancia perpendicuperpendicudonde lar de Lo Lo a la la r-ésima i-ésima partícula partícula (Fig. 7.29a). 7 .29a). Para Para calcular calcular momentos momentos de de lar inercia como distribuciodistribucioinercia de cuerpos, cuerpos, suele suele ser ser más más conveniente conveniente modelarlos modelarlos como


APÉNDICE APÉNDICE: : MOMENTOS MOMENTOS DE INERCIA INERCIA

345

nes continuas continuas de masa masa y expresar expresar el momento momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto a Lo como como t

lo 10==

iL

r2dm r 2 dm. .

(7.34)

donde Lo al elemento donde r es la distancia distancia perpendicular perpendicular de Lo elemento diferencial diferencial de ma.29b). Cuando sa dm dm (Fig. 7 7.29b). Cuando el eje pasa pasa por por el centro centro de masa masa del cuerpo, cuerpo, denotamos con L el eje y con 1 el momento momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto aL. aL. denotamos

Cuerpos Cuerpos simples momentos de inercia inercia de masa masa de cuerpos cuerpos complejos complejos se pueden pueden determidetermiLos momentos nar sumando sumando los momentos momentos de inercia inercia de sus partes partes individuales. individuales. Por Por tantannar comenzamos por por determinar determinar los momentos momentos de inercia inercia de masa masa de to, comenzamos algunos cuerpos cuerpos sencillos. En la siguiente siguiente sección describiremos describiremos el teorema algunos teorema permite determinar determinar los momentos momentos de inercia inercia de de los ejes paralelos, paralelos, que permite masa de cuerpos cuerpos compuestos compuestos por por combinaciones combinaciones de partes partes sencillas. masa

Barras esbeltas esbeltas Determinaremos el momento momento de inercia inercia de masa masa de Determinaremos una barra barra recta recta esbelta esbelta respecto respecto a un eje perpendicular perpendicular L L que pasa pasa por por una centro de masa masa de la barra barra (Fig. 7.30a). 7.30a). "Esbelta" "Esbelta" significa significa que la longiel centro tud de la barra barra es mucho mucho mayor mayor que su ancho ancho.. Sea ¡la ¡la longitud longitud de la barra, tud barra, área de su sección transversal transversal y m su masa. masa. Suponemos Suponemos que A es A el área uniforme a lo largo largo de la barra barra y que el material material es homogéneo. homogéneo. uniforme Consideremos un elemento elemento diferencial diferencial de la barra barra de longitud longitud dr dr a una una Consideremos distancia rdel rdel centro centro de masa masa (Fig. (Fig. 77.30b). masa del elemento elemento es igual al distancia .30b) . La masa producto de su volumen volumen por por su densidad: densidad: dm = pAdr. pAdr. Sustituyendo Sustituyendo esta producto expresión en la Ec. (7.34), obtenemos obtenemos el momento momento de inercia inercia de masa masa de expresión barra respecto respecto a un eje perpendicular perpendicular que pasa pasa por por su centro centro de masa: la barra 1

=

¡ =¡

1/2

r2dm

ni

pAr2dr

-1/2

=

Figura 7.29 Determinación del momento momento de inercia inercia de Determinación masa modelando modelando un cuerpo cuerpo como (a) un masa número finito finito de partículas partículas y (b) una número distribución continua continua de masa masa.. distribución

1 -pAZ3.

12

Figura 7.30 Barra esbelta. esbelta. (a) Barra Elemento diferencial diferencial de longitud longitud dr. (b) Elemento

(a) Ca)

(b)


346 346


La La masa de de la la barra barra es es igual igual al al producto producto de de la la densidad densidad por su su volumen, volumen,

m == pAt, p A], Y Y podemos podemos expresar expresar el el momento momento de de inercia inercia de de masa como m 1 1 = -mz2

(7.35) (7.35)

12

Hemos Hemos ignorado ignorado las dimensiones dimensiones laterales de la barra. barra. Es decir, consideraconsiderael elemento elemento diferencial diferencial de masa dm como si si estuviera estuviera concentrado concentrado mos el sobre el el eje de la barra. barra. Por Por ello, la Ec. (7.35) es es una aproximación aproximación para para el el momento momento de inercia inercia de masa de una barra. barra. Más adelante adelante determinaredeterminaremos los momentos momentos de inercia inercia para para una barra barra de dimensiones dimensiones laterales laterales finitas y veremos que la Ec. (7.35) es es una buena buena aproximación aproximación cuando cuando el el ancho ancho barra es es pequeño pequeño en comparación comparación con su longitud. longitud. de la barra

Placas Consideremos Placas delgadas delgadas Consideremos una placa placa plana plana homogénea homogénea con maespesor uniforme uniforme T. T. No especificamos especificamos la forma forma de su sección transtranssa m y espesor Orientemos un sistema sistema coordenado coordenado cartesiano cartesiano de modo modo que la versal. Orientemos placa x -y (Fig. 7.31a). Nuestro objetivo placa quede quede en el plano plano x-y 7.31a). Nuestro objetivo es determinar determinar los momentos momentos de inercia inercia de masa masa de la placa placa respecto respecto a los ejes x, y y z. Podemos placa propro- . Podemos obtener obtener un elemento elemento diferencial diferencial de volumen volumen de la placa yectando placa (Fig. yectando un elemento elemento de área área dA a través través del espesor espesor T de la placa 7.31 b). El volumen resultante es T dA. 7.31b). volumen resultante dA. La La masa masa de este elemento elemento de volumen es igual al producto producto de la densidad densidad por por el volumen: volumen: dm == pT p T dA. dA. Sustituyendo esta expresión Sustituyendo expresión en la Ec. (7.34), obtenemos obtenemos el momento momento de inercia respecto al eje zz en la forma inercia de masa masa de la placa placa respecto forma ¡(eje z) ¡(eje z)

donde donde

dm = pT pT = {{ r22 dm

1m i.

{ r22 dA, dA,

lA

rr es la distancia distancia del eje zz a dA. dA. Como Como la masa masa de la placa placa es m

= pp TA, TA, =

con A como como el área área de la sección sección transversal, transversal, el producto producto pp T = = con miA. La La integral integral de la derecha derecha es el momento momento polar polar de inercia inercia JJoo de la mi

sección sección transversal transversal de la placa. placa. Por Por tanto, tanto, podemos podemos escribir escribir el momento momento de inercia inercia de masa masa de la placa placa respecto respecto al eje zz como como

¡(eje ¡(eje z) z)

Figura 7.31

m = -Jo· = A lo·

(7.36)

A

yy

------O --------lT D yy

II

(a) Placa Placa de forma forma arbitraria arbitraria yy espesor espesor uniforme T. uniforme T. (b) Elemento Elemento de volumen volumen obtenido obtenido proyectando proyectando un un elemento elemento de de área área dA dA aa través través de de la la placa. placa.

--T

-----------'--------------x- - z-----' -;--- I X

I

(a) (a) yy

r

y

I

,1

"

i'I==j=========

1/ X ~--+_---x

(b) (b)


z---z---~

dm

A PÉNDICE : M O MENTOS DE DE INERCIA INERCIA APÉNDICE: MOMENTOS

De la Fig. Fig. 7.31 (b) vemos que la distancia distancia perpendicular perpendicular del eje x al elemento mento de área área dA es la coordenada coordenada y de dA. dA. Por Por tanto, tanto, el momento momento de inercia asa de la placa inercia de bbasa placa al eje x es

I(eje I(eje x)

= =

¡f

m

y 22

dm

= pT pT

12m 1Y dAdA = l«, 2m

-Ix, A =

A

(7.37)

donde donde 1, 1, es el momento momento de inercia inercia de la sección transversal transversal respecto respecto al eje x. x . El momento momento de inercia inercia de masa masa de la placa placa respecto respecto al eje y es 1

y)

I(eje (eje y)

=

¡f

x 22 dm

= pT pT

m m

12m 1x dAdA = --Iy,Iy, 2m

A

A

(7.38)

donde Iy es el momento donde I, momento de inercia inercia de la sección transversal transversal respecto respecto al eje y. y. Así, hemos hemos expresado expresado los momentos momentos de inercia inercia de masa masa de una una placa placa delgada delgada homogénea homogénea de espesor espesor uniforme uniforme en función función de los momentos momentos de inercia placa. Estos inercia de la sección transversal transversal de la placa. Estos resultados resultados explican explican por por qué las integrales I n I, Iy Y lo Jo se llaman integrales de área área l., llaman momentos momentos de inercia. inercia. Como Iy es igual al Como la suma suma de los momentos momentos de inercia inercia de área área Ix I, e I, momento polar de inercia Jo, el momento momento polar inercia lo, momento de inercia inercia de masa masa de la placa placa delgada delgada respecto respecto al eje zz es igual a la suma suma de sus momentos momentos de inercia inercia respecto a los ejes x y y: respecto y: I(eje I(eje z) = = I(eje I(eje x x))

+

I(eje ). I(eje y y).

(7 .39) (7.39)

para determinar En el siguiente siguiente ejemplo ejemplo usamos usamos integración integración para determinar el momento momento de inercia de masa soldadas masa de un cuerpo cuerpo que consta consta de dos barras esbeltas esbeltas soldadas entre sí. Luego Luego presentamos presentamos un ejemplo ejemplo que muestra muestra el uso de las Ecs. (7.36) para determinar (7.36) a (7.38) para determinar los momentos momentos de inercia de masa de una placa delgada homogénea homogénea con un área de sección transversal transversal especifica. especifica. http://carlos2524.jimdo.com/

347

348


BIDIMENSIONAl

DE CUERPOS RíGIDOS

Ejemplo 7.11 Dos barras esbeltas homogéneas, cada una de longitud 1, masa m y área de sección transversal A, están soldadas formando un cuerpo en forma de L (Fig. 7.32). Determine el momento de inercia de masa del cuerpo respecto al eje Lo que pasa por O (el eje Lo es perpendicular a las dos barras).

Figura 7.32

ESTRATEGIA Usando el mismo procedimiento de integración que para una sola barra, podemos determinar el momento de inercia de masa de cada barra respecto a Lo y sumar los resultados.

SOLUCiÓN

y

~

Orientamos un sistema coordenada con el eje z a lo largo de Lo Y el eje x colineal con la barra 1 (Fig. a). La masa del elemento diferencial de la barra 1 de longitud dx es dm = pAdx. Su momento de inercia de masa respecto a Lo es

2 dm 1

o

\

En función

---x

de la masa de la barra,

m = pAI, podemos

escribir

esto como

I--dx

~x~

(a) Elemento barra l.

diferencial

de la La masa del elemento de la barra 2 de longitud dy (Fig. b) es dm = pA dy. Vemos que la distancia perpendicular de Lo al elemento es r = 12 + y2. Por tanto, el momento de inercia de masa de la barra 2 respecto a Lo es

-J

y

~ dm

-:

d

r

-c-,

r

2

En función

1

de la masa de la barra

(Ioh El momento

o

4

=

3m1

2

.

de inercia de masa del cuerpo

1

(b) Elemento barra 2.

diferencial

obtenemos

de la


en forma

de L respecto

a Lo es

APÉNDICE: APÉNDICE: MOMENTOS MOMENTOS DE INERCIA INERCIA

11Ejemplo Ejemplo 7.12 7.12 11 I

1•••• -,.- -_ _ _ _ _ _ _ _ _ ¡I 1 ...__- _ - r t ti

Figura 7.33

TT h

----~----------------~~L----xx ----~----------------~~L----

-------·1

1--- b b - -----1 1----

ESTRATEGIA Los momentos de inercia de masa masa respecto respecto a los ejes x y y están están dados dados por Los momentos de inercia los ejes por las Ecs. Y (7.38) los momentos momentos de inercia las Ecs. (7.37) (7.37) Y (7.38) en función función de los inercia del del área área de de la sección transversal de la placa. placa. Con podemos determinar sección transversal Con la Ec. Ec. (7.39) (7.39) podemos determinar el momomento placa respecto mento de de inercia inercia de masa masa de la placa respecto al eje eje z.

SOLUCiÓN SOLUCIÓN Según el Ap. Ap. B, los los momentos momentos de inercia inercia del área área triangular triangular respecto respecto a los ejes ejes Según son Ix == izbh fibh33 e Iy /y = = ~hb3. ~hb3. Por Por tanto, tanto, los momentos momentos de inercia inercia de masa masa x y y son respecto respecto a los ejes ejes x y y son son J1·-

rn rn m m-- -1 -- -/ ---A x - (lj2)bh (l/2)bh

(eje x) -

(1

El momento momento de inercia inercia respecto respecto al eje

---bh 12 bh

3) 3) --

11 22

-rnh -rnh 6 '

z es

1

I

...,

1_ _ __ _ _ _ _ _ _ _..., 1

La placa placa delgada delgada homogénea homogénea de de la la Fig. Fig. 7.33 7.33 tiene tiene espesor espesor uniforme uniforme yy masa masa La m. Determine Determine sus sus momentos momentos de de inercia inercia de de masa masa respecto respecto aa los los ejes ejes x, yy yy z. z.

yy

349 349


350 350


Teorema Teorema de los los ejes para/e/os para/e/os Este Este teorema teorema nos nos permite permite determinar determinar momentos momentos de de inercia inercia de masa masa de de cuerpos cuerpos compuestos compuestos cuando cuando conocemos conocemos los los momentos momentos de inercia de sus sus partes. partes. Supongamos Supongamos que conocemos conocemos el el momento momento de inercia de masa resrespecto a un eje LL que pase por el el centro centro de masa de un cuerpo, cuerpo, y que deseamos determinar determinar su momento momento de inercia de masa lo lo respecto a un eje paralelo paralelo Lo (Fig. 7.34a). Para Para determinar determinar lo lo incluimos incluimos sistemas coordenacoordenados paralelos el eje z' a lo largo paralelos xyz y x'y' xyz",z', con el el eje z a lo largo de Lo Y Yel de L, L, como se se muestra muestra en la Fig. 7.34(b) (en esta figura los ejes Lo Y L son perpendiculares perpendiculares a la página). página). El origen O del sistema sistema coordenado coordenado xyz está contenido contenido en el el plano plano x' -y'. Los términos términos dd,x Ydd;y son las coordenadas coordenadas centro de masa respecto respecto al sistema coordenado coordenado xyz xyz.. del centro Figura 7.34 (a) Eje LL a través del centro de masa de (a) Lo' un cuerpo y un eje paralelo Lo. (b) Sistemas coordenados coordenados xyz xyz y x'y' x'y' z'. z', (b)

-,"

""

y

y' y'

-, -,

""-, -, -, "" "~ -, "~ ""-, "

~\--'----T--X'

<,

~----~--~---X

~--------~----~---x

LO (a)

(b)

momento de inercia inercia de masa masa del cuerpo cuerpo respecto respecto a Lo es El momento lo

=

i

22 rr dm dm

=

i

22

(x (x

+ y2) y2)

(7.40)

dm, dm ,

donde r es la distancia distancia perpendicular perpendicular de Lo al elemento elemento diferencial diferencial de mamadonde dm, y x, x, y son las coordenadas coordenadas de dm dm en el plano plano x-y. x-y. Las coordenadas coordenadas sa dm, x-y x-y de dm dm están están relacionadas relacionadas con con sus coordenadas coordenadas x' x' -y' -y' por por

+dy•y • yy = y'y' +d

x = = x' x' +d +dx,x ,

Sustituyendo Sustituyendo estas estas expresiones expresiones en la Ec.(7.40) Ec.(7.40) podemos podemos escribirla escribirla como como

i

= i lo =

[(x')2 [(x')2

i

(y')2] dm dm + 2d 2dxx i + (y')2]

i1m

(d; + d;) d;) dm. dm. + { (d;

x' dm dm x'

i

2dy i + za,

yly' dm dm

(7.41) (7.41)

Como Como (X')2 (X')2 + (y')2 (y')2 = = (r')2, (r')2, donde donde r'r' es la la distancia distancia perpendicular perpendicular de de L L a dm, dm, la la primera primera integral integral en en el el lado lado derecho derecho de de esta esta ecuación ecuación es el el momento momento de inercia inercia de de masa masa 1 del del cuerpo cuerpo respecto respecto aL. a L. Recuerde Recuerde que que las coordenadas coordenadas de x' x' yy y'y' del del centro centro de de masa masa del del cuerpo cuerpo respecto respecto al al sistema sistema coordenado coordenado x'y' x'y'z' z' están están definidas definidas por por _1 _1

= xx =

i i1m

x' x' dm dm

{dm' dm '


_1 _1

i i

y'y' dm dm

= ':"":':":"i=-d-myy = dm .

APÉNDICE: APÉNDICE: MOMENTOS MOMENTOS DE DE INERCIA INERCIA

Como el el centro centro de de masa masa del del cuerpo cuerpo está está en en elel origen origen del del sistema sistema x'x'y'Z', Como y' z' , ;:= OY OYy'ji't= t = O. O. Por Portanto, tanto, las las integrales integrales en en los los términos términos segundo segundo yy terceterce= ro del del lado lado derecho derecho de de la la Fig. Fig. (7.41) (7.41) son son iguales iguales aa cero. cero. En En la la Ec. Ec. 7.34(b) 7. 34(b) ro vemos d;; ++ ct; c¡; == d-, d 2 , donde donde dd es es la la distancia distancia perpendicular perpendicular entre entre los los vemos que que rP; Lo. Por Por tanto, tanto, obtenemos obtenemos el el teorema teorema ejes LL yy Lo. ejes

i'i'

(7.42) (7.42)

donde m m es es la la masa masa del del cuerpo. cuerpo. Éste Éste es es el el teorema teorema de de los los ejes ejes paralelos. paralelos. donde Si se se conoce conoce el el momento momento de de inercia inercia de de masa masa de de un un cuerpo cuerpo respecto respecto aa un un Si eje dado, dado, se se puede puede usar usar este este teorema teorema para para determinar determinar su su momento momento de de inerinereje cia de de masa masa respecto respecto aa cualquier cualquier otro otro eje eje paralelo. paralelo. cia

En En los los siguientes siguientes dos dos ejemplos ejemplos usamos usamos el teorema teorema de de los ejes ejes paralelos paralelos para determinar determinar momentos momentos de de inercia inercia de de masa masa de de cuerpos cuerpos compuestos. compuestos. La determinación determinación del del momento momento de de inercia inercia de de masa masa respecto respecto aa un un eje eje Lo Lo dado suele requerir tres pasos: dado suele requerir tres l.l. Escoger Escoger las las partes. partes. Trate Trate de de dividir dividir el elcuerpo cuerpo en en partes cuyos cuyos momentos momentos de de inercia inercia de de masa masa se se conozcan conozcan oo se se puedan puedan determinar determinar con con facilidad. facilidad. 2. 2. Determinar Determinar elelmomento momento de de inercia inercia de de las las partes. partes. Primero Primero se sedebe debe deterdeterminar minar el el momento momento de de inercia inercia de de masa masa de de cada cada parte parte respecto respecto al al eje eje que que pasa pasa por por su su centro centro de de masa masa paralelo paralelo aa Lo. Lo. Luego Luego se se puede puede usar usar el elteorema teorema de de los losejes ejesparalelos paralelos para para determinar determinar su su momento momento de de inercia inercia de de masa masa respecto respecto aa Lo. Lo. 3. 3. Sumar Sumar los los resultados. resultados. Sume Sume los los momentos momentos de de inercia inercia de de masa masa de de las las partes partes (o (o réstelos réstelos en en el el caso caso de de agujeros agujeros oo recortes) recortes) para para obtener obtener el el momento momento de de inercia inercia de de masa masa del del cuerpo cuerpo compuesto. compuesto. http://carlos2524.jimdo.com/

351 351

352


Ejemplo 7.13 Dos Dos barras barras esbeltas esbeltas homogéneas, homogéneas, cada cada una una de longitud longitud 1/ y masa masa m, están están soldasoldadas Determine el momento das entre entre sí formando formando un un cuerpo cuerpo de de L (Fig. (Fig. 7.35). 7.35). Determine momento de de inercia de masa masa del cuerpo cuerpo respecto respecto al eje eje Lo que que pasa pasa por por el punto punto O (el eje eje inercia perpendicular las dos dos barras). Lo es perpendicular a las barras) .

Figura 7.35

í 1 1 l

SOLUCiÓN SOLUCiÓN 2

Selección de partes Selección de las partes barra barra 1 yy barra barra 2 (Fig. (Fig. a). a).

Las dos barras, Las partes partes son son las las dos barras, que que llamaremos llamaremos

Determinación Determinación de de los momentos momentos de de inercia inercia de de las partes partes Según Según la la Ec. momento de de inercia inercia de de masa masa de de cada cada barra barra respecto respecto a un un eje eje perperEc. (7.35), (7.35), el momento pendicular pendicular que que pasa pasa por por su su centro centro de de masa masa es 1 = -tz -&. ml", m1 2 . La La distancia distancia de de Lo Lo al al eje eje paralelo paralelo que que pasa pasa por por el centro centro de de masa masa de de la la barra barra 1 es 1/ (Fig. (Fig. a). a). Por Por tanto, tanto, el momento momento de de inercia inercia de de masa masa de de la la barra barra 11 respecto respecto aa Lo L o es

y

(a) Distancias Distancias de de Lo Lo aa los los ejes ejes paralelos paralelos que que pasan pasan por por los los centros centros de de masa masa de de las las barras barras 1 yy 2; 2.

2

1 1

2 (/0)1 1 + d2rn = -rnZ (lo) 1 = =l+d m= 12 ml 12

2

(1 )2 = 31

1 + ( -Z II 2 )

2

1

2

ml2 . m m= -rnZ 3

La La distancia distancia de de Lo Lo al al eje eje paralelo paralelo que que pasa pasa por por el centro centro de de masa masa de de la la barra barra 22 es [t2 [!2 + (l/2)2]1/2. (//2)2j1 12. El momento momento de de inercia inercia de de masa masa de de la la barra barra 22 respecto respecto aa Lo Lo es es

Suma de de los resultados resultados El El momento momento de de inercia inercia de de masa masa del del cuerpo cuerpo en en forforma ma de de LL respecto respecto aa Lo Lo es es

COMENTARIO COMENTARIO Compare Compare esto esto con con el el Ej. Ej. 7.11, 7.11, donde donde usamos usamos integración integración para para hallar hallar el el momento momento de de inercia inercia de de masa masa respecto respecto aa Lo. Lo. Obtuvimos Obtuvimos el el resultado resultado más más fácilmente fácilmente con con el el teorema teorema de de los los ejes ejes paralelos, paralelos, pero pero debemos debemos conocer conocer los los momentos momentos de de inercia inercia de masa masa de de las las barras barras respecto respecto aa los los ejes ejes que que pasan pasan por por sus sus centros centros de de masa. masa. de


APÉNDICE: APÉNDICE: MOMENTOS MOMENTOS DE INERCIA INERCIA

353 353

Ejemplo Ejemplo 7.14 cuerpo de la Fig. Fig. 7.36 consiste consiste en una una barra barra esbelta esbelta de 3 kg soldada soldada a un un El cuerpo disco delgado delgado circular circular de 2 kg. Determine Determine su momento momento -de de inercia inercia de masa masa respecto pecto al eje L que pasa pasa por por su centro centro de masa masa (el eje L es perpendicular perpendicular a la barra y al disco). disco). barra Figura 7.36 7.36

~O.6!11 L

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Debemos centro de masa masa del cuerpo compuesto y aplicar aplicar el teorema Debemos localizar localizar el centro cuerpo compuesto teorema podemos obtener obtener los momentos momentos de inercia inercia de de los ejes paralelos. paralelos. En el Ap. C podemos barra y del disco. masa masa de la barra Coordenada (a) Coordenada

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Selección de de las partes partes Las partes partes son la barra barra y el disco. Con el sistema sistema Selección coordenado de la Fig. (a), la coordenada coordenada x del centro centro de masa masa del cuerpo cuerpo comcoordenado puesto puesto es _

x =

x del

centro de masa masa centro

cuerpo. del cuerpo.

X(barra)m(barra) X(barra)m(barra) m(barra) m(barra)

+ + +

X(di scO) m(di sco) X(discO)m(disco) m(disco m(disco) )

=

(0.3)(3) + (0.6 + 0.2)(2) 0.5 m. = 0.5 3 + 2

Determinación de de los los momentos momentos de de inercia inercia de de masa masa de de las parDeterminación tes La distancia distancia del centro centro de masa masa de la barra barra al centro centro de masa masa del cuerpo cuerpo compuesto compuesto es 0.2 m (Fig. b). Por Por tanto, tanto, el momento momento de inercia inercia de masa masa de la barra barra respecto respecto a LL es 1J

(barra) (barra)

=

11 2 222 12 (3)(0.6)2 + (0.2) 2 (3) == 0.210 kg-m 12 kg-rn .

y

~ -05m~

~:=E~--+x

~ O.2m ~

Distancia de LL al centro centro de masa masa (b) Distancia barra. de la barra.

distancia del centro centro de masa del disco al centro centro de masa del cuerpo cuerpo compuescompuesLa distancia es 0.3 m (Fig. c). e). El momento momento de inercia de masa del disco respecto respecto a Les L es to es

¡(discO) ¡(disco)

2 = 2:11(2)(0.2) 2 + (0.3) 2 (2) (2) = 0.220 kg-m .

de los los resultados El momento momento de inercia de masa del cuerpo cuerpo comSuma de respecto a LL es es puesto respecto ¡[

= =

¡(barra) [(barra)

+

¡(disco) [(disco)

2. kg-m". 0.430 kg-m


(e) Distancia Distancia de LL al al centro centro de masa

del disco.

354 354


Ejemplo 7.15 cilindro homogéneo El cilindro homogéneo de la Fig. 7.37, tiene masa masa m, longitud longitud 11yy radio radio R. DeterDeterz. mine sus momentos momentos de inercia inercia de masa masa respecto respecto a los ejes x, y y z.

Figura 7.37

zz

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos determinar momentos de inercia Podemos determinar los momentos inercia de masa masa del cilindro cilindro por por medio medio una interesante interesante aplicación de una aplicación del teorema teorema de los ejes paralelos. paralelos. Primero Primero lo usausapara determinar determinar los momentos momentos de inercia inercia de masa masa respecto respecto a los ejes x, mos para y y z de un elemento elemento infinitesimal infinitesimal del cilindro cilindro que consiste consiste en un disco de espesor espesor Luego integramos dz. Luego integramos los resultados resultados con respecto respecto a z para para obtener obtener los momentos momentos inercia del cilindro. de inercia cilindro. SOLUCiÓN SOLUCiÓN Consideremos un elemento Consideremos elemento del cilindro cilindro de espesor espesor dz a una una distancia distancia Z del centro centro cilindro (Fig. a). (Podemos (Podemos imaginar del cilindro imaginar que este elemento elemento se obtiene' obtiene' 'rebanan'rebanando" el cilindro do" cilindro perpendicularmente perpendicularmente a su eje.) La masa masa del elemento elemento es igual 2 producto de la densidad por el volumen volumen del elemento, elemento, dm = p(7rR p(7rR2dz). dz). Obal producto densidad por tenemos los momentos tenemos momentos de inercia inercia de masa masa del elemento elemento usando usando los valores valores para para una placa placa delgada masa una delgada circular circular dados dados en el Ap, Ap. C. El momento momento de inercia inercia de masa respecto al eje zz es respecto

zz

(a) Elemento Elemento diferencial diferencial del cilindro cilindro en forma forma de disco. disco.


APÉNDICE: APÉNDICE: MOMENTOS MOMENTOS DE DE INERCIA INERCIA

Integramos este este resultado resultado respecto respecto aa zz de de -1/2 -1/2 aa 1/2, //2, sumando sumando de de esta esta manera manera Integramos los momentos momentos de de inercia inercia de de masa masa de de los los elementos elementos infinitesimales infinitesimales de de disco disco que que los forman el el cipndro. cilindro. El El resultado resultado es es el el momento momento de de inercia inercia de de masa masa del del cilindro cilindro forman respecto al al eje eje z: z: respecto

¡¡

1/ 2 1/2 I 1

1 4 -p:rrR - prc R4dz4 dz = = -- prc R 41. Z. P:rrR 2 _ 1/ 22 22 _1/2

l(ejez) 1 (eje z) = =

Podemos escribir escribir este este resultado resultado en función función de de la la masa masa del cilindro, cilindro, m Podemos 2l), como p(7rR2/), como p(7CR 1(eje z)

1 2 -rnR 2

=

x' es momento de inercia inercia de masa masa del elemento elemento de disco disco respecto respecto al eje x' El momento

dI(ejex') df(ejex')

=1 =:":"

4dmR

2

1 2 2 d z)R. == 44(prcR (p:rrR dz)R,

Usamos este resultado resultado y el teorema teorema de los ejes paralelos paralelos para para determinar determinar el momoUsamos mento de inercia inercia de masa masa del elemento elemento respecto respecto al eje x: x: mento

Integrando esta esta expresión expresión con respecto respecto a zz de -1/2 -1/2 a 1/2, obtenemos obtenemos el momento momento Integrando de inercia inercia de masa masa del cilindro cilindro respecto respecto al eje x:

l(ejex)

=

¡

1/2 ( 1

-1/2

-p:rrR

4

4

+p:rrRz

22 )

1 4 1 dz=-p:rrRl+-p:rrRl.

4

23

12

En función función de la masa masa del cilindro, cilindro, 1(eje x)

=

1 2 -rnR 4

1

2 + -rnI 12 •

Debido Debido a la simetría simetría del cilindro, cilindro, ¡(eje fleje y)

=

¡(eje fleje x)· x),

COMENTARIO COMENTARIO Cuando Cuando el el cilindro cilindro es es muy largo en comparación comparación con su ancho, ancho, I1 » R, el el primer término término en la ecuación ecuación para para ¡(eje fleje x) se se puede ignorar ignorar y obtenemos obtenemos el el momento de inercia de masa de una barra barra esbelta respecto respecto a un eje perpendicular, perpendicular, Ec. (7.35). Por otra otra parte, parte, cuando cuando el el radio radio del cilindro cilindro es es mucho mayor mayor que su su longitud, longitud, R R » 1,1, el el segundo segundo término término en la ecuación ecuación para para ¡(eje fleje x) x) se se puede ignorar ignorar y obtenemos obtenemos el el momento momento de inercia para para un disco delgado circular circular respecto a un eje paralelo paralelo al disco. Esto indica indica la magnitud magnitud de de los los términos términos que se se ignoran ignoran cuando cuando se se usan las expresiones expresiones aproximadas aproximadas para para los momentos momentos de inercia de de una barra barra "esbelta" "esbelta" y de de un disco disco "delgado". "delgado".


355 355

356


~

BIDIMENSIONAL

DE CUERPOS RíGIDOS

~

IProblemaSI

7.70 La barra esbelta homogénea mostrada tiene masa m y longitud /. Use integración para determinar su momento de inercia de masa respecto al eje perpendicular Lo. Estrategia: Siga el mismo procedimiento que usamos para obtener la Ec. (7.35). Sólo se requiere cambiar los límites de integración.

-w

~

7.73 Con una barra esbelta homogénea se forma un anillo circular de masa m y radio R. Determine el momento de inercia de masa del anillo (a) respecto al eje que pasa por su centro de masa y que es perpendicular al anillo; (b) respecto al eje L.

--~-----4~-----m~-L

P7.73

P7.70

7.71

Dos barras esbeltas homogéneas, cada una con masa m

y longitud /, están soldadas para formar el cuerpo en forma

de T. Use integración para determinar el momento de inercia de masa del cuerpo respecto al eje que pasa por O y que es perpendicular a las barras.

7.7 4 La placa delgada homogénea mostrada tiene espesor uniforme y masa m. Determine sus momentos de inercia de masa respecto a los ejes x, y y z. Estrategia: Los momentos de inercia de masa de una placa delgada de forma arbitraria están dados por las Ecs. (7.37) a (7.39) en función de los momentos de inercia del área de la sección transversal de la placa. En el Ap. B se pueden obtener los momentos de inercia del área rectangular. y

°

T h

----------

x

--------~I

1

~

7.75 7.72 La barra esbelta homogénea mostrada tiene masa m y longitud l. Use integración para determinar el momento de inercia de masa de la barra respecto al eje L.

b

l-

P7.71

-1

P7.74

La arandela de bronce mostrada tiene espesor uniforme

y masa m.

(a) Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x y z. (b) Haga R¡ = O Ycompare sus resultados con los valores dados en el Ap. C para una placa delgada circular. (e) Haga R¡ -+ Ro, Ycompare sus resultados con las soluciones del Probo 7.73. y

--------~~~~~------~-----L ""---+---t--x P7.72 P7.75


APÉNDICE: MOMENTOS APÉNDICE: MOMENTOS DE INERCIA INERCIA 7.76 placa delgada homogénea de la figura espesor 7.76 La placa delgada homogénea figura tiene espesor pet'a 20 lb. lb. Determine Determine su momento momento de inercia inercia de uniforme y pesa uniforme masa respecto respecto al eje y. masa

7.80 barras esbeltas esbeltas homogéneas, homogéneas, cada cada una una de masa masa m m 7.80 Dos barras longitud 1, están están soldadas entre sí formando cuerpo en fory longitud soldadas entre formando un cuerpo

ma de T. Use el teorema teorema de los ejes paralelos paralelos para para determinar determinar ma momento de inercia inercia de masa masa del cuerpo cuerpo respecto respecto al eje que el momento pasa por por O y que es perpendicular perpendicular a las barras. barras. pasa

-----x ""'------x P7.76 P7.76

O~I- - - -- ----~~ °1_---

T T

----411

7.77 Determine 7.77 Determine el momento momento de inercia inercia de masa masa de la placa placa del Probo 7.76 respecto respecto al eje x. 7.78 La masa 10 kg. Su momento 7.78 masa del cuerpo cuerpo mostrado mostrado es de 10 momento de inercia 10 kg-m-, ¿Cuál es su inercia de masa masa respecto respecto a L¡ es de 10 kg-m 2 • ¿Cuál momento L22?? (Los tres ejes están momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto a L están en el mismo mismo plano.) plano.)

357 357

P7.80 P7.80

7.81 7.81 Use el teorema teorema de los ejes paralelos paralelos para para determinar determinar el momento forma de T del Probo momento de inercia inercia de masa masa del cuerpo cuerpo en forma 7.80 respecto respecto al eje que pasa pasa por por el centro centro de masa masa del cuerpo cuerpo y que es perpendicular perpendicular a las dos barras. barras. \\

7.82 7.82

La masa masa de la barra barra esbelta esbelta homogénea homogénea mostrada mostrada es de 20 kg. Determine Determine su momento momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto al eje z. y'

T

0.6 m -~..¡---m 0.6 m -~+--- 0.6 0.6 m L

L22

~

~

7.79 7.79

yy

I

~--

----x' - - -x'

1m 1m

P7.78 P7.78

Un ingeniero recabando datos ingeniero que está recabando datos para para diseñar diseñar una una unidad unidad de maniobras maniobras determina determina que el centro centro de masa masa del astroastronauta nauta está a x == 1.01 m, y == 0.16 m y que su momento momento de inercia kg-m 2 • Su masa masa inercia de masa masa respecto respecto al eje zz es de 105.6 kg-m-, es de 81.6 kg. ¿Cuál ¿Cuál es su momento momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto al eje z' z' que pasa pasa por por su centro centro de masa? masa?

íí

7.83 7.83

m--1---

1.5m--~-1 ~ 1.5 m- --t--l m--1---

XX

~

P7.82 P7.82

Determine momento de inercia Determine el momento inercia de masa masa de la barra barra del Probo 7.82 respecto respecto al eje z' z' que pasa pasa por por su centro centro de masa. masa.

y' y'

P7.79 P7 .79


358


BIDIMENSIONAl

DE CUERPOS RíGIDOS

7.84 El peso del cohete y su momento de inercia de masa respecto al eje z que pasa por su centro de masa (incluido su combustible) son 10 @OOlb y 10 200 slug-pie- respectivamente. El combustible pesa 6000 lb, su centro de masa está en x = -3 pies, y = O, z = O Y el momento de inercia de masa del combustible respecto al eje paralelo al eje z que pasa por el centro de masa del combustible es de 2200 slug-pie-. Cuando el combustible se agota, ¿cuál es el momento de inercia de masa del cohete respecto al eje que pasa por su nuevo centro de masa paralelo al eje z?

7.88 Determine el momento de inercia de masa de la placa del Probo 7.87 respecto al eje y. 7.89 El radiador térmico mostrado (que el exceso de calor de un satélite) se puede placa delgada rectangular homogénea. Su Determine su momento de inercia de masa x, y y z. y

r-

y

sirve para eliminar modelar como una masa es de 5 slug. respecto a los ejes

3P¡es+-

P7.84

7.85 En la Fig. P7 .85 la masa de la placa delgada homogénea es de 36 kg. Determine su momento de inercia de masa respecto al eje x. P7.89 y

7.90 En la Fig. P7.90 la masa de la placa delgada homogénea es de 2 kg. Determine su momento de inercia de masa respecto al eje que pasa por el punto O y es perpendicular a la placa.

P7.85

7.86 Determine el momento de inercia de masa de la placa del Probo 7.85 respecto al eje z. 7.87 La placa delgada homogénea pesa 10 lb. Determine momento de inercia de masa respecto al eje x. y -

-1

5 pulg-

-

5 pulg

su

P7.90

·_1

10 pulg

5 pulg

_!

--x

P7.87


APÉNDICE: MOMENTOS DE INERCIA INERCIA APÉNDICE: MOMENTOS

7.91 cono homogéneo homogéneo tiene masa masa m. Determine Determine su mo7.91 El cono mento de iner ia de masa masa respecto respecto al eje z yy compare compare su resultaresultamento valor dado dado en el Ap. C. do con el valor Estrategia: Use el mismo mismo procedimiento procedimiento que usamos usamos en el Estrategia: para obtener obtener los momentos momentos de inercia cilindro Ej. 7.15 para inercia de un cilindro homogéneo. homogéneo.

359

paralelepípedo rectangular rectangular homogéneo homogéneo tiene masa masa m. 7.95 El paralelepípedo Halle sus momentos momentos de inercia inercia de masa masa respecto respecto a los ejes x, y, z y compárelos y, compárelos con los valores valores dados dados en el Ap. Ap. C. C. yy

y

~ ~a

z---t-z--t--

'r--+--,---"¡~ -------",~ 1---±-"'"-

b

~--~~ ~--~~ ~ C -----I.;, ~C---'f;"x

x P7.95 P7.95

z

P7.91

7.96 El anillo anillo homogéneo homogéneo mostrado mostrado está hecho hecho de acero acero con densidad p = 15 15 slug/pie', Determine su momento densidad slug/pie 3 • Determine momento de inercia inercia masa respecto de masa respecto al eje L L que pasa pasa por por su centro centro de masa. masa.

Determine los momentos momentos de inercia inercia de masa masa del cono cono 7.92 Determine homogéneo del Probo 7.91 respecto respecto a los ejes xxyy y, compare homogéneo y, y compare resultados con los valores valores dados dados en el Ap. C. sus resultados

--------------t},> 19

--

L

pirámide homogénea homogénea mostrada mostrada tiene masa masa m. DeterDeter7.93 La pirámide momento de inercia inercia de masa respecto respecto al eje z. mine su momento

r-

-- -- -- -- -- --- - --- - -- -- -- -- =--1 =--1P~lg P~lg f--

yy

P7.96 P7.96

x

7.97 El medio medio cilindro cilindro homogéneo homogéneo mostrado mostrado tiene tiene masa masa m. m. Determine su momento Determine momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto al eje L L que pasa por por su centro pasa centro de masa. masa.

h

P7.93 P7.93

Determine los momentos momentos de inercia inercia de masa masa de la pirápirá7.94 Determine homogénea del Probo 7.93 respecto respecto a los ejes x y y. mide homogénea

I

1


P7.97 P7.97

360

CAPíTULO CAPíTULO 7 DINÁMICA DINÁMICA BIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAL DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

7.98

El cuerpo cuerpo mostrado mostrado está hecho hecho de acero acero con densidau densidau

inercia de masa masa pp = = 7800 kg/m kg/rn".3 . Determine Determine su momento momento de inercia respecto pasa por O. respecto al eje Lo que quepasa

7.100 La placa placa de la figura hecha de acero acero con densidad figura está hecha densidad = 15 15 slug/pie slug/pie",3 • Determine Determine su momento momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto al eje z. p

yy

y

1----100 mm ------1

x

z

pulg P7.98 P7.98

Determine el momento momento de inercia inercia de masa cuerpo 7.99 Determine masa del cuerpo respecto al eje que pasa pasa por por el centro centro de masa masa del del Probo 7.98 respecto cuerpo y que es paralelo paralelo a Lo. cuerpo

P7.100 P7.100

7.101 Determine momento de inercia cuerpo 7.101 Determine el momento inercia de masa masa del cuerpo del Probo 7.100 respecto respecto al eje x.

Resumen del del capítulo capítulo Resumen Relaciones momento-momento momento-momento angular angular Relaciones sistema de partículas, partículas, y sea Sea r, r¡ la posición posición de la i-ésima i-ésima partícula partícula de un sistema R¡ su posición posición respecto respecto al centro masa. El momento momento angular R¡ centro de masa. angular del sistema suma de los momentos angulares de las ma respecto respecto a un punto punto O es la suma momentos angulares partículas, partículas, Ho = ¿r¡ m¡v¡, Ho= ¿r¡ x m.vi,

donde donde

V¡ = =

Ec. (7.7)

dr.rdt, angular respecto centro de masa dr¡ldt, y el momento momento angular respecto al centro masa es H ¿R¡ x m.v., H == ¿R¡ m¡v¡.

Ec. (7.8)

¡

Estos momentos angulares angulares están están relacionados Estos momentos relacionados por por H¿ Ho == r x mv+H, mv+H,

Ec. (7.9)

donde v == dr / dt es la velocidad centro de masa. donde velocidad del centro masa. El momento respecto a un punto momento total total respecto punto fijo O es igual a la razón razón de cambio del momento angular respecto momento angular respecto a O: dHoo dH ~Mo == --o -o dt dt

Ec. (7.11) (7.11)

Este resultado expresar en función función del momento angular resultado también también se puede puede expresar momento angular respecto centro de masa: respecto al centro masa: ~Mo

d

dH dH

dt dt

dt dt

= - (r x mv + H) = r x ma + --, ,


Ec. (7.12) (7.12)


donde donde a es la aceleración aceleración del centro centro de masa. masa. respecto al centro El momfnto momfnto total total respecto centro de masa masa es igual a la razón razón de camcambio del momento centro de masa: momento angular angular respecto respecto al centro masa: dH dH EM= -. .

dt

Ec. Ec. (7.13) (7.13)

Ecuaciones Ecuaciones del del movimiento movimiento plano plano Las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento para para un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento plano plano incluyen incluyen la segunda segunda ley de Newton, Newton,

EF

= = ma, ma,

Ec. (7.21) (7.21)

donde a es la aceleración aceleración del centro centro de masa. masa. Si el cuerpo cuerpo rígido gira respecdonde to a un eje fijo O, el momento momento total total respecto respecto a O es igual al producto producto del momento momento de inercia inercia respecto respecto a O por por la aceleración aceleración angular: angular: Ec. Ec. (7.22) (7.22)

En cualquier cualquier movimiento movimiento plano, plano, el momento momento total total respecto respecto al centro centro de masa es igual al producto momento de inercia respecto al centro producto del momento centro de masa por por la aceleración aceleración angular: angular: EM EM == la. la.

Ec. (7.23) (7.23)

Si un cuerpo cuerpo rígido está en traslación, traslación, la segunda segunda ley de Newton Newton es suficiente suficiente para para determinar determinar su movimiento. movimiento. Sin embargo, embargo, puede puede necesitarse necesitarse la ecuación de movimiento movimiento angular angular para para determinar determinar fuerzas o pares desconocidesconocidos. Como Como a == 0, el momento momento total total respecto respecto al centro centro de masa es igual a cero. En el caso de rotación rotación respecto respecto a un eje fijo, la Ec.(7 .22) es suficiensuficiente para para determinar determinar el movimiento movimiento rotatorio, rotatorio, aunque aunque quizá quizá se necesite la segunda segunda ley de Newton Newton para para determinar determinar fuerzas fuerzas o pares pares desconocidos. desconocidos. Si cuerpo rígido está sometido sometido a movimiento movimiento plano plano general, general, se necesitan necesitan un cuerpo tanto tanto dicha dicha ley como como la ecuación ecuación de movimiento movimiento angular. angular.

Principio de D' Alembert Principio de D'Alembert Escribiendo Escribiendo la segunda segunda ley de Newton Newton como como EF + (-ma) (-ma) == 0, EF

Ec. Ec. (7.27) (7.27)

la cual se puede puede considerar considerar como como una una ecuación ecuación de "equilibrio", "equilibrio", que estasuma de las fuerzas fuerzas externas, externas, incluyendo incluyendo una una fuerza fuerza inercial inercial blece que la suma -ma, es cero. La ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular se puede puede escribir escribir como como -ma, (-ma)) . k + (-la) (-la) == 0, EMo + [r X (-ma)]

Ec. (7.28) (7.28) Ec.

establece que la suma suma de los momentos momentos respecto respecto a cualquier cualquier punto que establece punto debido a fuerzas y pares externos, externos, incluyendo incluyendo el momento debido a la fuerdebido momento debido inercial -ma -ma que actúa actúa en el centro centro de masa masa y a un par par inercial inercial -=lcc, za inercial la, Expresadas de esta manera, manera, las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento de un es cero. Expresadas cuerpo rígido son análogas análogas a las ecuaciones ecuaciones de equilibrio equilibrio estático. estático. cuerpo http://carlos2524.jimdo.com/

361 361

362

CAPíTULO7 DINÁMICA BIDIMENSIONAl DE CUERPOSRíGIDOS

Momentos de inercia El momento de inercia de masa de un cuerpo respecto a un eje Lo es lo =

i

2

r

Ec. (7.34)

dm,

r es la distancia perpendicular de Lo al elemento diferencial de masa dm. Sea L un eje a través del centro de masa de un cuerpo, y sea Lo un eje paralelo. El momento de inercia de masa 10 respecto a Lo está dado en función del momento de inercia de masa 1 respecto a L por el teorema

de los ejes paralelos Ec. (7.42)

donde m es la masa del cuerpo

--------

.•••.-

.•••..••.• - •..•.•. ........:.:4 Problemas

El avión mostrado está en el inicio de su carrera de despegue. Su peso es de 1000 lb, Yel empuje inicial Tejercido por su motor es de 300 lb. Suponga que el empuje es horizontal, e ignore las fuerzas tangenciales ejercidas sobre sus ruedas. (a) Si la aceleración del avión permanece constante, ¿cuánto tarda en alcanzar su velocidad de despegue de 80 mi/h? (b) Determine la fuerza normal ejercida sobre la rueda delantera al inicio de la carrera de despegue. 7.102

de repaso

y d

1-__

es la distancia entre L

y Lo'

_"_

--"

7.103 Las poleas mostradas pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia de masa son lA = 0.002 kg-m-, lB = 0.036 kg-rn-, le = 0.032 kg-m-. Están inicialmente en reposo y en t = Ose aplica a la polea A un par constante M = 2 N-m. ¿Cuál es la velocidad angular de la polea e y cuántas revoluciones ha girado en t = 2 s?

200rnrn

e

B

P7.103

T

7.104 Una caja de 2 kg está sometida a una fuerza horizontal de 40 N. Ignore la fricción. (a) Si la caja permanece sobre el piso, ¿cuál es su aceleración? (b) Determine el intervalo de valores de e para los cuales la caja permanecerá sobre el piso cuando se aplique la fuerza. 1_---7

pies ---

P7.102

40N

1

l

~

.

A ~


~ 100 mm

--+-

-

100 mm

--1

B

P7.104

363


barra esbelta esbelta AB longitud. 7.105 La barra AB de 2 slug tiene 3 pies de longitud. articulada al carro carro en A y se apoya apoya sobre Está articulada sobre él en B. leración del carro carro es a = 20 pie/s pie/s-,2 , ¿qué fuerza fuerza (a) Si la ac leración normal ejerce el carro carro sobre sobre la barra normal barra en B? B? aceleración máxima máxima a para para la cual la barra barra permaperma(b) ¿¿Cuál Cuál es la aceleración necerá en contacto contacto con la superficie superficie en B? necerá B?

momento de inercia inercia de masa masa del disco mostrado mostrado es 7.107 El momento kg-m-.2 • ¿Cuál ¿Cuál es el coeficiente coeficiente de fricción fricción estática estática mínide 0.2 kg-m entre la cuerda cuerda y el disco para para el cual la cuerda cuerda no resbalará resbalará mo entre cuando el sistema sistema se libere del reposo? reposo? cuando

n

o

B

a a

P7.107 P7.107

P7.105 P7.105

7.106 Para Para determinar determinar el momento momento de inercia inercia de masa masa de un neumático ingeniero lo deja deja rodar sobre una una supersuperrodar sobre neumático de 4.5 kg, un ingeniero inclinada. Si Si tarda tarda 3.5 s en rodar rodar 3 m partiendo partiendo del reposo, reposo, ficie inclinada. momento de inercia inercia de masa masa del neumático neumático respecto respecto ¿cuál es el momento centro de masa? masa? a su centro

Modele el brazo brazo ABC excavadora mostrada mostrada como como 7.108 Modele ABC de la excavadora cuerpo rígido. rígido. Su masa masa es de 1200 1200kg, momento de inercia inercia un cuerpo kg, y el momento 2 masa respecto respecto a su centro centro de masa masa es 11 == 3600 kg-m kg-m-. . Si de masa punto A está está en reposo reposo y la aceleración aceleración angular angular del brazo brazo el punto rad/s? 2 antihoraria, antihoraria, ¿qué fuerza fuerza ejerce el cilindro cilindro hies de 1.0 rad/s dráulico vertical vertical sobre sobre el brazo brazo en B? dráulico B? yy

P7.106 P7.106

~L------J--------x

~L-------L--------x

P7.108 P7.108

7.109

si la aceleración aceleración angular angular del brazo brazo En el Probo 7.108, si

ABC es de 1.0 rad/s rad/s- 2 antihoraria antihoraria y su velocidad velocidad angular angular es de ABC

rad/s antihoraria, antihoraria, ¿cuáles son las componentes componentes de la fuerza 2.0 rad/s ejercida sobre sobre el brazo brazo en A? ejercida A?


364


7.110 Para 7.110 Para reducir reducir el ángulo ángulo de elevación elevación de la escalera escalera fija figura, los engranes engranes que la elevan se desacoplan desacoplan de 200 kg de la figura, una fracción fracción de ssegundo segundo conjunto conjunto de eny una gundo después un segundo bajan se acoplan. granes granes que la bajan acoplan. En el instante instante en que los engraengradesacoplan, ¿cuál es la aceleración aceleración angular angular nes que la elevan se desacoplan, de la escalera escalera y cuáles son las componentes componentes de la fuerza ejercida ejercida por su soporte sobre sobre la escalera escalera por soporte en O? El momento momento de inercia inercia 2, y de masa masa de la escalera escalera respecto respecto a O es lo = 14 000 kg-m kg-rn-, las coordenadas coordenadas de su centro centro de masa masa en el instante instante en que los engranes se desacoplan desacoplan son x = 3 m, JI y = 4 m. engranes

7.112 Una barra esbelta 7.112 Una barra esbelta de masa masa m se libera libera del reposo reposo en mostrada. Los coeficientes coeficientes estático estático y cinético cinético de fricla posición posición mostrada. pared tienen tienen el mismo mismo valor valor fJ.. u: Si la barra barra ción en el piso y la pared resbala, resbala, ¿cuál es su aceleración aceleración angular angular en el instante instante en que se libera? libera?

\\

l

P7.112 P7.112

7.113 Cada una una de las ruedas ruedas frontales frontales del vehículo vehículo mostrado mostrado 7.113 Cada Ytiene momento de inercia masa de 0.01 slugpesa 5 lb Y tiene un momento inercia de masa pie-, ruedas traseras traseras yy el eje trasero trasero forman forman un cuerpo cuerpo pie 2 • Las dos ruedas Ytiene momento de inercia inercia de masa masa de 0.1 0.1 libre que pesa 40 lb Y tiene un momento slug-píe-,2 . El peso total total del vehículo y el conductor conductor es de 240 lb slug-pie (se muestra muestra la posición posición del centro centro de masa masa del vehículo vehículo y el conductor ductor sin incluir incluir las ruedas ruedas frontales, frontales, las ruedas ruedas traseras traseras o el eje trasero). Si el motor ejerce un par de 12 pie-lb sobre trasero). motor par 12 sobre el eje P7.110 P7.110 trasero, ¿cuál es la aceleración aceleración del vehículo? vehículo? trasero,

Las barras barras esbeltas pesan cada esbeltas mostradas mostradas pesan cada una una 4 lb Y 10 pulg de longitud. longitud. La placa homogénea pesa 10 10 lb lb.. Si tienen 10 placa homogénea el sistema libera del reposo posición mostrada, sistema se libera reposo en la posición mostrada, ¿cuál es la aceleración barras en ese instante? aceleración angular angular de las barras instante?

7.111 7.111

1---1---

40 pulg pulg ---~- ---1 40

P7.111 P7.111 P7.113 P7.113

..


PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO PROBLEMAS 7.114 barra AB gira con velocidad velocidad angular angular constante constante de 7.114 La barra AB gira 10 rad/s rad/s en dirección dirección antihoraria. antihoraria. Las masas masas de BC CDE son 10 BC y CDE Y3.6 respectivamente. El eje y señala señala hacia hacia arriba. arriba. De2 kg Y 3.6 kg respectivamente. termine las componentes componentes de las fuerzas ejercidas ejercidas por por los pasadopasadotermine sobre la barra barra BC instante mostrado. mostrado. BC en el instante res en B y C sobre yy

II B

1 ° I~ 400

"t't~~{ ..i mm

~ ~lo~ra~d~/S___~~OLC~~-jD~__~~~~EJ E) ---x --x

365 365

7.117 instante en que se libera libera el sistema sistema del Probo 7.117 En el instante magnitud de la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre la barra barra 7.116, ¿cuál es la magnitud por el soporte soporte en O? OA por 7.118 engrane anular anular fijo está en un plano horizontal. Los 7.118 El engrane plano horizontal. engranes piñón piñón y periférico periférico están están unidos. unidos. La masa masa y el momento momento engranes inercia de masa masa de los engranes piñón y periférico periférico combinacombinade inercia engranes piñón 2 130 kg e IIpH 130 kg-m kg-m-. momento de •. El momento dos son mpH = 130 pH = 130 2 inercia de masa masa del engrane engrane central central es 11 == 60 kg-m kg-rn-. masa • La masa inercia barra conectora conectora es de 5 kg Y Yse idealizar como como una de la barra se puede idealizar una barra esbelta. esbelta. Si se aplica aplica al engrane engrane central central un par antihorario antihorario barra kN-m, ¿cuál es la aceleración aceleración angular angular resultante resultante en los ende 1 kN-m, engranes piñón piñón y periférico periférico unidos? unidos? granes

r-700 mm4mm+ ~ ~~ -1+-700 mm---.! mm~ 700

1-700

P7.114 P7.114

conectora Barra conectora

4

[

7.115 instante mostrado, mostrado, los brazos brazos del robot robot tienen tienen ve7.115 En el instante locidades angulares angulares constantes constantes antihorarias antihorarias WAB WAB = -0.5 -0.5 rad/s, rad/s, locidades WBC = = 2 rad/s rad/s y WCD WCD = 4 rad/s rad/s. . La masa masa del brazo brazo CD CD es de WBC 10 kg, Y Ysu centro de masa masa está en su punto punto medio. medio. En este ins10 su centro tante, ¿qué fuerza fuerza y par par se ejercen ejercen sobre sobre el brazo brazo CD CD en C? tante,

Engrane central /~

yy

anula~ Engrane anula~ P7.118 P7.118

D ~~'""I'!J-'" "-'=~~!'!J'II""

7.119 sistema está en reposo. reposo. La fuerza fuerza neta sobre el pistón pistón 7.119 El sistema por la mezcla mezcla explosiva explosiva de combustible combustible y aire y por por la fricción fricción por es de 5 kN hacia hacia la izquierda. izquierda. Un par par M = 200 N-m horario horario actúa sobre sobre el cigüeñal cigüeñal AB. momento de inercia inercia de masa masa del AB. El momento actúa 2 cigüeñal respecto respecto a A es de 0.0003 kg-m kg-rn-. masa de BC • La masa BC es cigüeñal centro de masa masa está a 40 mm de B sobre sobre la de 0.36 kg, Y su centro momento de inercia inercia de masa masa de BC respecto BC respecto línea de B a C. El momento 2 centro de masa masa es de 0.0004 kg-m kg-rn-. masa del pistón pistón • La masa a su centro ¿Cuál es la aceleración aceleración del pistón? pistón? (Ignore (Ignore las fueres de 4.6 kg. ¿Cuál gravitatorias.) zas gravitatorias.)

P7.115 P7.115

7.116 cada barra barra tiene 1 m de longitud longitud y 7.116 En la Fig. P7 .116 cada masa de 4 kg. La superficie superficie inclinada inclinada es lisa. Si el sistema sistema se masa libera del reposo reposo en la posición posición mostrada, mostrada, ¿cuáles son las acelelibera raciones angulares angulares de las barras barras en ese instante? instante? raciones A

P7.119 P7.119

P7.116 P7.116

7.120 cigüeñal AB Prob. 7.119 tiene una una velocidad velocidad 7.120 Si el cigüeñal AB del Prob. angular antihoraria antihoraria de 2000 rpm rpm en el instante instante mostrado, mostrado, ¿cuál ¿cuál angular aceleración del pistón? pistón? es la aceleración


U U

n generador generador homopolar horno polar transforma transforma la la energía energía cinética cinética de un volante volante en en rotación rotación en en energía energía electromagnética. electromagnética. de un El El generador generador mostrado mostrado almacena almacena 10 MJ MJ de de energía energía cinécinética tica rotatoria. rotatoria. Este Este tipo tipo de de generador generador puede puede producir producir corriencorrientes tes muy muy grandes grandes durante durante periodos periodos cortos cortos yy se se ha ha usado usado en en la la creación para lograr lograr la la fusión fusión nuclear nuclear creación de de los los campos campos necesarios necesarios para por por confinamiento confinamiento magnético. magnético. En En este este capítulo capítulo usaremos usaremos los los métodos para métodos de de la la energía energía yy de de la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento para analizar analizar movimientos movimientos bidimensionales bidimensionales de de cuerpos cuerpos rígidos. rígidos.


si8 cantidad Energía y cantidad de movimiento dinámica plana en la dinámica plana rígidos de cuerpos rígidos Capítulo 1I Capítulo

I

capítulos 4 y 5 hemos N los capítulos hemos visto que los métodos métodos de energía y de la cantidad cantidad de movimiento movimiento son muy útila energía para resolver resolver ciertos ciertos tipos dinámica. tipos de problemas problemas de dinámica. les para fuerzas sobre sobre un cuerpo cuerpo se conocen conocen como funciones Si las fuerzas como funciones posición, se puede de la posición, puede usar usar el principio principio del trabajo trabajo y energía para para relacionar cambio en la magnitud relacionar el cambio magnitud de la la energía velocidad del cuerpo cuerpo con cambio en su posición. posición. Si las velocidad con el cambio fuerzas se conocen conocen como como funciones funciones del tiempo, tiempo, se puede puede fuerzas usar el principio principio del impulso impulso y la cantidad cantidad de movimiento movimiento usar para determinar determinar el cambio cambio en la velocidad cuerpo dupara velocidad del cuerpo rante un intervalo intervalo de tiempo. En este capítulo capítulo ampliamos ampliamos tiempo. En rante deben considerar considerar los esos métodos métodos a los casos en que se deben movimientos traslacionales traslacionales y rotatorios cuerpos. movimientos rotatorios de los cuerpos.

E E

367 367


368 368

CAPíTULO UERPOS RíGIDOS CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE C CUERPOS RíGIDOS

8.1 8.1 Principio del del trabajo trabajo y la la energía energía El principio principio del trabajo para un cuerpo trabajo y la energía energía para cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento plano es un enunciado simple e implica ecuaciones sencillas, aunque la enunciado implica ecuaciones sencillas, aunque plano deducción deducción de éstas es algo complicada. complicada. Como Como ayuda ayuda en la deducción, deducción, empezaremos resumiendo resumiendo el principio. principio. Sea T la energía pezaremos energía cinética cinética de un cuerpo cuerpo rígido. El principio del trabajo y la energía establece que el trabajo U trabajo energía establece trabajo hecho hecho rígido. principio por fuerzas y pares externos al moverse el cuerpo rígido entre por fuerzas pares externos moverse cuerpo rígido entre dos posicioposiciones 1 y 2 es igual cambio en su energía energía cinética: cinética: igual al cambio U=T2-T¡. U=T 2 -T¡.

general la energía energía cinética cinética es En el movimiento movimiento plano plano general 1 2 1 T= = -mv2 + -lú} -lú} T 22' 2 ' 2

donde v es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del centro centro de masa masa e 11es el momento momento donde inercia de masa centro de masa. de inercia masa respecto respecto al centro masa. En el caso de una una rotación rotación alrededor también se puede expresar como rededor de un eje fijo O, la energía cinética también puede expresar

Para deducir deducir estos resultados, adoptamos el mismo mismo enfoque enfoque usado Para resultados, adoptamos usado en Cap.. .7 para deducir las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento de un cuerpo cuerpo rígido. el Cap para deducir rígido. Obtenemos el principio trabajo y la energía energía para sistema de partícuObtenemos principio del trabajo para un sistema partícupara obtener obtener el principio cuerpo rígido. las y los usamos usamos para principio para para un cuerpo rígido.

de partículas Sistema de partículas masa de la i-ésima partícula sistema de N partículas, Sea m¡ la masa partícula de un sistema partículas, y sea r, Denotar¡ su posición posición respecto respecto a un punto punto de referencia referencia O fijo (Fig. 8.1). DenotaT la suma suma de las energías energías cinéticas cinéticas de las partículas, mos con T partículas,

(8.1) donde donde

V¡

= =

dr/ dt es la velocidad objetidr/ velocidad de la i-ésima partícula. partícula. Nuestro Nuestro objeti-

8.1 Figura 8.1 es el Sistema de partículas. El vector r¡ r¡ es vector de posición de la i-ésima partícula.

G

Q

o

o http://carlos2524.jimdo.com/

LA ENERGíA ENERGíA 369 369 PRINCIPIODELTRABAJO 8.1 PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA YO es relacionar relacionar el trabajo trabajo realizado realizado sobre sobre el sistema sistema con el cambio cambio en T. T. vo Comenzamos con la segunda segunda ley de Newton Newton para para la i-ésima partícula, partícula, Comenzamos

t "L../ij ~fij

. J

J

d +f¡ + fiEE == -(m¡v¡), -(miVi), dt

(8.2)

donde fij es la fuerza fuerza que ejerce laj-ésima laj-ésima partícula partícula sobre la i-ésima partípartídonde cula y ff fp es la fuerza fuerza externa externa sobre la i-ésima partícula. partícula. Formamos Formamos el producto escalar escalar de esta ecuación ecuación con Vi Vi y sumamos sumamos de i producto 1 a N:

:t

E ¿fij.'ViV¡ ++ ¿f¡E. V¡ = (m¡v¡). ¿fi 'Vi = ¿Vi ¿Vi' . :t(miVi).

¿ ¿¿fij

J

I1

I1

(8.3)

I1

Podemos expresar expresar el término término del lado derecho derecho de esta esta ecuación ecuación como como la Podemos razón de cambio cambio de la energía energía cinética cinética total: total: razón d d 1 dt(miVi) = -dt ¿::;miVi' . ,¿.

¿Vi'

.

1

dT t

Vi = -d .

1

Por tanto, tanto, multiplicando multiplicando la Ec. (8.3) por obtiene Por por dt se obtiene ¿ ¿fij . dr¡ + ¿f¡E. ¿fiE. ds¡ = dT. dT. ¿¿fij. dr¡ + dr¡ = j

i

Integramos obtenemos Integramos esta esta ecuación ecuación y obtenemos

1

(r¡h (r¡h

¿ ¡i

¿ j

t., +¿ fij .. dr¡ + ¡i

(r¡)¡ (r¡)¡

l(r¡hh l(r¡

fiE. dr¡ f¡E dr¡ = = T2

-

TI.

(r¡)¡ (r¡)¡

Los términos términos del primer primer miembro miembro son el trabajo trabajo que efectúan efectúan las fuerzas fuerzas internas sobre el sistema internas y externas externas sobre sistema cuando cuando las partículas partículas se mueven mueven de las posiciones posiciones (r.)¡ (r;)\ a (r¡}2.Así, (r;)2' Así, obtenemos obtenemos el principio principio del trabajo trabajo y la energía energía para para un sistema sistema de partículas: partículas: el trabajo trabajo U U efectuado efectuado por por las fuerzas fuerzas interinternas y externas igual al cambio cambio en la energía energía cinética cinética total: total: externas es igual

II U == T2 2 -

TI. TI·

II

(8.4) (8.4)

Este Este resultado resultado se aplica aplica a cualquier cualquier cuerpo cuerpo o colección colección de cuerpos, cuerpos, incluincluyendo yendo un un cuerpo cuerpo rígido. rígido.

Cuerpo Cue;po rígido rígido en en movimiento movimiento plano plano Hemos Hemos demostrado demostrado que que el trabajo trabajo realizado realizado por por fuerzas fuerzas internas internas y externas externas sobre sobre un un cuerpo cuerpo rígido rígido cuando cuando se mueve mueve entre entre dos dos posiciones posiciones es igual igual al cambio cambio en su energía energía cinética. cinética. Si Si las fuerzas fuerzas internas internas entre entre cada cada par par de partículas partículas están están dirigidas dirigidas a lo largo largo de la recta recta que que las une, une, el el trabajo trabajo que que realizan fuerzas internas realizan las lasfuerzas internas sobre sobre un un cuerpo cuerpo rígido rígido es es cero. cero. Para Para demostrar demostrar esto, esto, consideremos consideremos en un un cuerpo cuerpo rígido rígido dos partículas partículas 1 y 2 (Fig. 8.2). 8.2). La cero, f1212 + f212 \ = = 0, O, por por La suma suma de las las fuerzas fuerzas que que ejercen ejercen entre entre sí es cero, lo que que la razón razón a la la que que las fuerzas fuerzas efectúan efectúan trabajo trabajo (la potencia) potencia) es

+

fl2 V2 = f21 (V2 - VI). VI ). 21 •. V2= 21 . (V212 . VI + f2l


oo Figura Figura 8.2 Las Las partículas partículas 1 yy 22 Y Y las las fuerzas fuerzas que que ejercen ejercen entre entre sí.

370 370

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIM MOVIMIENTO DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO IENTO EN llAA DINÁMICA

Podemos demostrar demostrar que que f 221¡ es perpendicular perpendicular a V2 - VVI'I ' Y y la razón Podemos razón a la la que que las fuerzas fuerzas internas internas efectúan efectúan trabajo trabajo entre entre las las partículas partículas es cero. Como las cero. Como estas últimas son puntos puntos de un un cuerpo cuerpo rígido, rígido, podemos podemos expresar expresar su estas últimas son su velocivelocidad relativa relativa en en función función de de la velocidad velocidad angular angular w del del cuerpo cuerpo como dad como V2 -

=

V¡

W X

(r2

-

r.).

(8.5) (8.5)

Esto muestra muestra que que la la velocidad velocidad relativa relativa V2 - VV¡I es perpendicular perpendicular a r22 - r., Esto rl , que es el vector vector de de posición posición de partícula 1 a la la 2. Como Como f221 ¡ es paralela que de la partícula paralela perpendicular Podemos razonar razonar igual igual para a r22 - rr.,l' es perpendicular a V2 - VVI'I' Podemos para cada cada par de partículas partículas del cuerpo cuerpo rígido rígido y ver ver que que la la razón razón total total a la la que par que efectúan efectúan trabajo las las fuerzas fuerzas internas internas es cero. cero. Esto Esto implica implica que que el trabajo trabajo que realizan trabajo que realizan cuando el cuerpo cuerpo se mueve mueve entre entre dos dos posiciones posiciones es cero. cero. cuando El sistema de de fuerzas fuerzas externas externas se puede puede representar representar como como fuerzas El sistema fuerzas y papares, y obtenemos obtenemos el principio principio del del trabajo trabajo y la la energía energía para para un un cuerpo res, cuerpo rígido: rígido: trabajo efectuado efectuado por por fuerzas fuerzas y pares pares externos externos cuando cuando un un cuerpo el trabajo cuerpo rígido rígido mueve es igual igual al cambio cambio en en su energía energía cinética. cinética. También También podemos se mueve podemos estaestablecer este este principio principio para para un un sistema sistema de de cuerpos cuerpos rígidos: rígidos: el trabajo trabajo efectuablecer efectuado por por fuerzas fuerzas y pares pares externos externos e internos internos cuando cuando un un sistema sistema de do de cuerpos cuerpos rígidos se mueve mueve es igual igual al cambio cambio en en su energía energía cinética cinética total. rígidos total. Para completar completar la deducción deducción del del principio principio del del trabajo trabajo y la Para la energía energía para para un cuerpo cuerpo rígido rígido en en movimiento movimiento plano, plano, debemos debemos expresar expresar la la energía un energía cinéticinétiea en en función función de velocidad del centro centro de masa masa del del cuerpo cuerpo rígido ca de la velocidad rígido y de de velocidad angular. angular. Primero Primero consideraremos consideraremos un un movimiento movimiento plano su velocidad plano genegeneral ral y luego luego la rotación alrededor de un un eje eje fijo. fijo. rotación alrededor

cinética en el movimiento movimiento plano plano general general RepresenteEnergía cinética Representemos un un cuerpo cuerpo rígido rígido como como un un sistema sistema de de partículas, partículas, y sea sea R¡el mos R¡ el vector vector posición de de la i-ésima z-ésima partícula partícula respecto respecto al centro centro de de masa masa (Fig. de posición (Fig. 8.3). 8.3). La posición posición del del centro centro de de masa masa es La ¿m¡r¡ i

r= ---r= '--m

(8.6) (8.6)

donde m es la masa masa del cuerpo rígido rígido. . La La posición posición de de la i-ésima i-ésima partícula donde del cuerpo partícula respecto a O está está relacionada con su posición posición respecto respecto al centro centro de pecto relacionada con de masa masa por por r¡ = = r+Ri, r+R¡, ri Figura 8.3 Figura Representación de un cuerpo cuerpo rígido rígido como como Representación un sistema sistema de partículas. partículas.

(8.7) (8.7)

los vectores vectores R¡ R¡satisfacen relación y los satisfacen la relación ¿m¡R¡ =0. ¿m¡Ri

(8.8) (8 .8)

La energía energía cinética cinética del del cuerpo cuerpo rígido rígido es la suma suma de de las las energías energías cinéticas La cinéticas partículas, dada dada por por la Ec. Ec. (8.1): (8.1): de sus sus partículas,

1 = ¿ -m¡ -m¡v¡. Vi. T = v¡ ·Vi.

¿.. 2 ¡ 1

Derivando con con respecto respecto al tiempo tiempo la la Ec. Ec. (8.7) (8.7) obtenemos obtenemos Derivando

dR¡

dt'dt

V i=V+-, v¡=v+


(8.9) (8.9)

PRINCIPIO DEL TRABAJO TRABAJO Y LA ENERGíA ENERGíA 8.1 8 .1 PRINCIPIO

e o

donde v es la velocidad velocidad del centro centro de masa. masa. Sustituyendo Sustituyendo esta esta expresión expresión en donde usando la Ec. (8.8), obtenemos obtenemos la energía energía cinética cinética en la forma forma la Ec. (8.9) y usando

r t

i-

(8.10) 5) 1>

la a n

n

donde u es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del centro centro de masa. masa. donde pasa por por un punto punto fijo O perpendicular perpendicular al plano plano del Sea Lo el eje que pasa movimiento, y LL el eje paralelo paralelo por por el centro centro de masa masa (Fig. 8.4a). 8.4a). En este movimiento, coordenado podemos podemos expresar expresar el vector de velocidad velocidad angular angular como sistema coordenado velocidad de la i-ésima partícula partícula respecto respecto al centro centro de masa w = wk. La velocidad dR/dt == wk x R¡, por por lo que podemos podemos escribir escribir la Ec. (8 (8.10) como es dR/dt .10) como

[~

1 2 + -1 [~L...,m¡(k -mv R¡) R¡) or.2 T == -mv L...,mi(k x R i ) .. (k x R i ) ] úJ. 22. 2 ., 2

o

a

(8.11)

magnitud del vector vector k Xx R¡ es la distancia distancia perpendicular perpendicular r¡ de L L a la La magnitud partícula (Fig. 8.4b), 8.4b), por término entre entre corchetes corchetes enlaEc. en laEc. i-ésima partícula por lo que el término momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto aL: aL: (8.11) es el momento ¿mi(k x R i )

e

.

(k x R i )

= ¿m;lk x

R;l2

= ¿mir; = l. i

Figura 8.4

Plano del Plano movimiento

zz

--

-

Sistema coordenado coordenado con el eje z (a) Sistema alineado con L. alineado L. magnitud de k x R¡ es la (b) La magnitud distancia perpendicular perpendicular de L L a mi' mi' distancia L

(b)

(a)

obtenemos la energía energía cinética cinética de un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento plaplaAsí, obtenemos general en la forma forma no general (8.12)

energía cinética cinética consiste consiste en dos términos: términos: la energía energía cinética cinética traslaciotraslacioLa energía nal, expresada expresada en función función de la velocidad velocidad del centro centro de masa, masa, y la energía energía nal, cinética rotatoria (Fig. 8.5). cinética rotatoria Energía cinética ctnética en la rotación rotación con con un eje eje fijo Un cuerpo cuerpo que Energía alrededor de un eje fijo está en movimiento plano general, general, y su energía energía movimiento plano gira alrededor cinética está dada dada por por la Ec. (8.12). Hay Hay otra otra expresión expresión para para la enercinética cinética que suele ser útil en algunos algunos casos. Supongamos Supongamos que un cuerpo cuerpo gía cinética velocidad angular respecto a un eje fijo O. En función función rígido gira con velocidad angular w respecto http://carlos2524.jimdo.com/

(i) ro

v

Figura 8.5 Energía cinética cinética en movimiento movimiento plano plano Energía general. general.

371 371

372

CAPíTULO CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

de masa, la velocidad del masa de la la distancia distancia d de O al centro centro de de masa, la velocidad del centro centro de masa es v = wd (Fig. = wd (Fig. 8.6a). 8.6a). Según Según la la Ec. Ec. (8.12), (8.12), la la energía energía cinética cinética es

De acuerdo teorema de los paralelos, el momento momento de De acuerdo con con el teorema los ejes ejes paralelos, de inercia inercia que obtenemos obtenemos la la energía energía de masa masa respecto respecto a O es lo == 1 + d-m, d 2m, por por lo que un cuerpo rígido girando respecto a un un eje cinética cinética de un cuerpo rígido girando respecto eje fijo fijo O en en la la forma forma (Fig. (Fig. 8.6b) 8.6b)

I T ~ ~low' I

(8.13) (8\3)

Figura 8.6 Figura Velocidad del centro centro de masa. (a) Velocidad masa. cinética de un cuerpo rígido (b) Energía Energía cinética un cuerpo rígido girando un eje fijo. girando alrededor alrededor de un fijo.

ro

(f)

oel.. oA,. (a) (a)

(b) (h)

Trabajo y energía energía potencial 8.2 Trabajo potencial Los determinar el trabajo que realizan los diferentes diferentes Los procedimientos procedimientos para para determinar trabajo que realizan los tipos de fuerzas fuerzas y las las expresiones expresiones que que estudiamos estudiamos en en el Cap. Cap. 4 para tipos de para las energías potenciales de fuerzas, fuerzas, nos las herramientas esenenergías potenciales de nos proporcionan proporcionan las herramientas esenciales para aplicar el principio del trabajo la energía energía a un cuerpo rígido. ciales para aplicar principio del trabajo y la un cuerpo rígido. El sobre un cuerpo rígido fuerza F F está está dado dado por trabajo realizado realizado sobre un cuerpo rígido por por una una fuerza por El trabajo

(8.14) (8.14)

donde rp es la del punto aplicación de F (Fig. (Fig. 8.7). donde la posición posición del punto de aplicación 8.7). Si el punto punto aplicación está está fijo, fijo, o si la la dirección dirección de de su movimiento de aplicación movimiento es perpendicular perpendicular efectúa trabajo. a F, F, no no se efectúa trabajo. Figura 8.7 8.7 Figura trabajo realizado realizado por fuerza sobre sobre El trabajo por una una fuerza cuerpo rígido rígido se determina determina por un cuerpo por la trayectoria aplicación. trayectoria de su punto punto de aplicación.


F

8.2 TRABAJO ENERGíA POTENCIAL POTENCIAL 8.2 TRABAJO Y ENERGíA

373 373

Una fuerza F es conservativa conservativa si existe una energía potencial Una fuerza una energía potencial V tal que

t. dr¿ = = --dV. ~. dr dV .

(8.15) (8.15)

p

función de V, V, el trabajo efectuado por fuerza conservativa conservativa F es En función trabajo efectuado por una una fuerza U = =

¡V2

ph (rph

1

2

¡
F· F . dr dr¿p = (v -dV -dV = VI VI - V v2 2 ,, J(f(rp ), Jv,v, donde V, Ven (rp)1 (rp), y (r (rpp)2. donde VI y V2 son los valores valores de Ven )2. cuerpo rígido sometido a un par M (Fig. 8.8a), 8.8a), ¿qué trabajo Si un cuerpo rígido está sometido par M trabajo efectúa cuando cuando se mueve entre entre dos posiciones? Podemos evaluar evaluar el trase efectúa posiciones? Podemos trabajo fuerzas (Fig. 8.8b) y determinando determinando el trabajo bajo representando representando el par par por por fuerzas trabajo efectúan. Si el cuerpo cuerpo gira gira un ángulo ángulo dO d8 en la dirección dirección del par que efectúan. par (Fig. cada fuerza fuerza es (~Dd8)F, total es trabajo que realiza realiza cada (~DdO)F, y el trabajo trabajo total 8.8c), el trabajo DFd8 == MdO. Md8. Integrando Integrando esta expresión obtenemos el trabajo efectuado DFdO expresión obtenemos trabajo efectuado por girar el cuerpo cuerpo de el 8, a e 82 en la dirección dirección de M: por un par par M M al girar M: p)'

/1202

U = = U

1 o, /1,

(8.16) (8.16)

M de. M de.

Figura 8.8 Figura

Cuerpo rígido sometido a un par. (a) Cuerpo Par equivalente que consiste en dos (b) Par fuerzas: DF = M. (e) Determinación (e) Determinación del trabajo trabajo realizado por las fuerzas.

F

F (b) (h)

(a)

(e)

M es constante constante entre entre el 8, y e 822,, el trabajo simplemente el producto Si M trabajo es simplemente producto del par por desplazamiento angular: angular: par por el desplazamiento Par constante Par constante

jj[--------~--~ jj[------------~

Un par conservativo si existe una energía potencial par M es conservativo una energía potencial V tal que Mde = = -dV. -dV. Mde

(8.17) (8.17)

Podemos expresar el trabajo efectuado por conservativo en función función Podemos expresar trabajo efectuado por un par par conservativo energía potencial: de su energía potencial: U

=

¡V2 /1202 ¡V2 M de = --dV dV = /1, V,v, o,

1

VI - vV2. 2.

Por ejemplo, en la Fig. 8.9 un resorte ejerce sobre sobre una Por ejemplo, resorte torsional torsional ejerce una barra barra un par ángulo de rotación barra: M M = = --k8. Como par proporcional proporcional al ángulo rotación de la barra: ke. Como M de = = -k8de -kede = = -dV, -dV, Md8


Figura 8.9 Figura

(a) Resorte torsional torsional lineal conectado a una barra. barra. (b) El resorte ejerce un par de magnitud k() en la dirección opuesta a la rotación rotación de la barra. barra.

374

ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 8 ENERGíA CAPíTULO

vemos que la energía energía potencial satisfacer la relación relación potencial debe satisfacer dV dV

--=ke. = ke.

de

Integrando, energía potencial Integrando, vemos que la energía potencial del resorte resorte torsional torsional es

(8.18) (8.18)

fuerzas que trabajan sobre un cuerpo cuerpo rígido pares y fuerzas trabajan sobre rígido son conSi todos los pares servativos, podemos expresar el trabajo entre las poservativos, podemos expresar trabajo realizado realizado al moverse moverse entre pofunción de la energía energía potencial fuerzas y pares: siciones 1 y 2 en función potencial total total de las fuerzas pares:

Combinando esta esta relación energía, conCombinando relación con el principio principio del trabajo trabajo y la energía, cluimos suma de la energía energía cinética cinética y la energía energía potencial cluimos que la suma potencial total total es constante (la energía constante energía se conserva): conserva):

I

T + V == constante. constante.

I

(8.19) (8.19)

Potencia 8.3 Potencia El trabajo fuerza F sobre sobre un cuerpo cuerpo rígido trabajo que que realiza realiza una una fuerza rígido durante durante un desplazamiento dr;p de su punto aplicación es desplazamiento infinitesimal infinitesimal dr punto de aplicación

Obtenemos la potencia P transmitida cuerpo rígido, Obtenemos potencia P transmitida al cuerpo rígido, es decir, decir, la razón razón sobre él, dividiendo esta expresión expresión entre entre el intera la que se efectúa efectúa trabajo trabajo sobre dividiendo esta intervalo de tiempo tiempo dt durante durante el cual tiene tiene lugar lugar el desplazamiento: desplazamiento: P = =F F·. vpp,,

(8.20) (8.20)

donde aplicación de F. donde vp es la velocidad velocidad del punto punto de aplicación De igual manera, M sobre sobre un cuerpo cuerpo manera, el trabajo trabajo realizado realizado por por un par par M rígido durante una rígido en movimiento movimiento plano plano durante una rotación rotación infinitesimal infinitesimal dO en la dirección M es dirección de M

u se. Mde. Dividiendo esta expresión expresión entre entre dt, la potencia cuerpo rígido Dividiendo esta potencia transmitida transmitida al cuerpo rígido es el producto producto del del par par por por la velocidad velocidad angular: angular: P = MúJ. P = MúJ.

(8.21) (8.21)

El trabajo sobre un cuerpo cuerpo rígido trabajo total total realizado realizado sobre rígido durante durante un intervalo intervalo · de tiempo tiempo es igual al cambio cambio en su energía energía cinética, cinética, por por lo que la potencia potencia http://carlos2524.jimdo.com/

8.3 POTENCIA POTENCIA 8.3

total total transmitida transmitida es igual a la razón razón de cambio cambio de su energía energía cinética: cinética: dT dT P=-. P =-. dt dt

promedio con respecto respecto al tiempo tiempo de la potencia potencia durante durante un intervalo intervalo El promedio tiempo de ti a t 22 es de tiempo 8)

Pmedia= Pmedia =

---

1-

tz - ti tI t2

n-

os:

1. 1 /2 /2

P dt Pdt

= =

---

tz - ttIi t2

1,

fj

TT

1-

2 2

T, T,

dT dT

= =

T¡ T22 -- TI .....::._ -

-=-----'t2 - ti t¡ t2

Esta expresión expresión muestra muestra que la potencia potencia media media transmitida transmitida a un cuerpo cuerpo Esta durante un intervalo intervalo de tiempo tiempo se puede puede determinar determinar divirígido o desde él durante diendo el cambio cambio en su energía energía cinética, trabajo total total efectuado, efectuado, entre entre diendo cinética, o el trabajo intervalo de tiempo: tiempo: el intervalo Pmedia== Pmedia

T¡ T22 - TI --- - -

u

(8.22) (8.22)

En los siguientes siguientes ejemplos ejemplos usamos usamos métodos métodos energéticos energéticos para analizar momopara analizar vimientos de cuerpos cuerpos rígidos rígidos y sistemas cuerpos rígidos. Se debe consivimientos sistemas de cuerpos métodos energéticos energéticos cuando cuando se quieren quieren relacionar relacionar camderar el uso de los métodos bios en las velocidades velocidades traslacionales traslacionales y rotatorias rotatorias de un cuerpo cuerpo con un bios cambio en su posición. implicar tres pasos: cambio posición. Esto Esto suele implicar pasos: Identificar las fuerzas fuerzas y los pares pares que trabajan. trabajan. Se deben usar diagra1. Identificar mas de cuerpo cuerpo libre para determinar qué qué fuerzas externos mas para determinar fuerzas y pares pares externos trabajan. . trabajan Aplicar el trabajo energía o la conservación energía. Iguale 2. Aplicar trabajo y la energía conservación de la energía. Iguale trabajo total total efectuado efectuado durante durante un cambio cambio de posición camel trabajo posición con el camsuma de las energías cinética cinética bio en la energía cinética, o bien iguale la suma y potencial potencial en las dos posiciones. posiciones. Determinar relaciones relaciones cinemáticas. cinemáticas. Para completar solución se ne3. Determinar completar la solución menudo relacionar relacionar la velocidad velocidad del centro centro de masa de un cuercesita a menudo po velocidad angular. po rígido con su velocidad http://carlos2524.jimdo.com/

375

376 376

CAPíTULO 88 ENERGíA ENERGíA Y Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN EN LA LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

8.1 Ejemplo 8.1 Un disco disco de de masa m y momento de de inercia 11se se libera libera del del reposo sobre una una superficie inclinada (Fig. (Fig. 8.10). 8.10). Suponiendo que rueda, ¿cuál es es la la velocidad del del centro del del disco disco cuando se se ha desplazado una distancia b?

Figura 8.10

~R

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos trabajo total total efectuado rodar Podemos determinar determinar la velocidad igualando igualando el trabajo efectuado al rodar el disco una distancia b con el cambio en su energía cinética.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Identificación de de las fuerzas fuerzas y los pares pares que que efectúan efectúan trabajo trabajo DiIdentificación bujamos el diagrama diagrama de dé cuerpo cuerpo libre del disco de la Fig. (a). El peso del disco bujamos efectúa trabajo trabajo al rodar, rodar, pero la fuerza normal normal N y la fuerza de fricción f no efectúa trabajo. Para Para ayudar ayudar a entender entender por por qué la fuerza de fricción no trabatrabaefectúan trabajo. efectúan ja, ja, escribimos el trabajo trabajo efectuado efectuado por por una una fuerza F como

punto de aplicación aplicación de F. F. Como Como la velocidad del donde vp es la velocidad del punto donde punto en que f actúa actúa es cero mientras mientras el disco rueda, rueda, el trabajo trabajo efectuado efectuado por por punto f es cero.

~mgsenf3 ~mgsenf3

mg CQS cos mg

ff

f3f3

N N

(a) Diagrama Diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre del del disco. disco. (a)


8.3 POTENCIA 8.3 POTENCIA

Aplicación trabajo Aplicación del del trabajo trabajo y la energía energía Podemos Podemos determinar determinar el trabajo efectuado portel por.el peso multiplicando multiplicando la componente componente en la dirección dirección del moviefectuado miento del centro centro del disco por por la distancia distancia b: miento

u=

(mg (mg sen (3)b.

Si v y w son la velocidad cuando velocidad y la velocidad velocidad angular angular del centro centro del disco cuando éste se ha movido cambio movido una una distancia distancia b (Fig. b), al igualar igualar el trabajo trabajo con el cambio en la energía energía cinética cinética del disco obtenemos obtenemos mgb sen fi

1 2 1 = -mv + -10/ 2 2

(8.23)

- O.

Velocidad del centro velocidad angular angular (b) Velocidad centro y velocidad cuando el disco se ha movido movido una una cuando distancia b. distancia

Determinación de de las relaciones relaciones cinemáticas cinemáticas velocidad angular Determinación La velocidad angular rodamiento está relacionada relacionada con la velocidad velocidad v por por w = v/R. w del disco en rodamiento vl R. Sustituyendo esta relación relación en la Ec. (8.23) y despejando despejando v, obtenemos obtenemos Sustituyendo v= v=

2gb senfi senf3 2gb 1 + I/mR2' 1+I/mR2'

COMENTARIO COMENTARIO Supongamos que la superficie superficie es lisa, por por lo que el disco resbala resbala en vez de rodar. Supongamos rodar. caso, el disco no tiene velocidad angular y la Ec. Ec. (8.23) se convierte En este caso, velocidad angular convierte en mgbsenf3 mgbsenfi

=

1 1

2,mv2 -- O, 2mv2

velocidad del centro centro del disco es y la velocidad v= sen fi. = .j2gb J2gbsenf3.

velocidad es mayor mayor cuando cuando el disco resbala. resbala. Se puede puede ver por por qué al compaLa velocidad compaexpresiones para para el principio trabajo y la energía. energía. El trabajo rar las dos expresiones principio del trabajo trabajo efectuado por por el peso del disco es el mismo mismo en cada cada caso. Cuando Cuando el disco rueda, efectuado rueda, parte del trabajo trabajo incrementa incrementa la energía energía cinética cinética traslacional traslacional del disco y parte parte parte incrementa energía cinética cinética rotatoria. rotatoria. Cuando Cuando el disco resbala, resbala, todo todo el trabaincrementa su energía trabajo incrementa incrementa su energía energía cinética cinética traslacional. traslacional.


377 377

378 378

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIM MOVIMIENTO DINÁMICA PLANA DE DE CU CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO IENTO EN LA DINÁM ICA PLANA ERPOS RíGIDOS

Ejemplo 8.2 Cada rueda rueda de la motocicleta motocicleta en la Fig. 8.11 tiene masa masa mw mw = radio R Cada = 9 kg, radio 2 momento de inercia inercia 11 = 0.8 0.8 kg-m kg-rn-. masa combinada combinada del con= 330 mm y momento • La masa ductor y la motocicleta, motocicleta, sin incluir incluir las ruedas, ruedas, es me == 142 kg. La motocicleta motocicleta ductor parte del reposo reposo y su motor motor ejerce un par par constante constante M = 140 140 N-m sobre sobre la parte rueda trasera. trasera. Suponga Suponga que las ruedas ruedas no resbalan. resbalan. rueda distancia horizontal horizontal b debe recorrer recorrer la motocicleta motocicleta para para alcanzar alcanzar una una (a) ¿Qué distancia velocidad de 25 mis? velocidad ¿Cuál es la máxima máxima potencia potencia transmitida transmitida a la motocicleta motocicleta por por su motor motor du(b) ¿Cuál rante el movimiento movimiento descrito descrito en la parte parte (a)? rante 8.11 Figura 8.11

ESTRATEGIA ESTRATEGIA (a) Para Para determinar determinar la distancia distancia b podemos podemos aplicar aplicar el principio principio del trabajo trabajo y energía al sistema sistema que consiste consiste en el conductor, conductor, la motocicleta motocicleta y las ruedas, ruedas, la energía potencia transmitida por el par par ejercido ejercido sobre sobre la rueda rueda trasera trasera está dada dada (b) La potencia transmitida por Para determinar determinar la potencia potencia máxima, máxima, debemos debemos determinar determinar por la Ec. (8.21). Para máxima velocidad velocidad angular angular de la rueda. rueda. la máxima SOLUCiÓN SOLUCiÓN determinación de la distancia distancia b por por métodos métodos energéticos energéticos requiere requiere tres (a) La determinación pasos. pasos. IdentificaCión de de las fuerzas fuerzas y los pares pares ql,le que realizan realizan trabajo trabajo En IdentificaCión dibujamos el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre del sistema. sistema. Los pesos no la Fig. (a) dibujamos trabajan porque porque el movimiento movimiento es horizontal, horizontal, y las fuerzas fuerzas ejercidas ejercidas por por el camicamitrabajan sobre las ruedas ruedas no trabajan trabajan porque porque la velocidad velocidad de sus puntos puntos de aplicación aplicación no sobre ¡ningún trabajo trabajo es realizado realizado por por fuerzas fuerzas es cero (véase el Ej. 8.1). Así pues, pues, ¡ningún pares externos! externos! Sin embargo, embargo, el par par M M que ejerce ejerce el motor motor sobre sobre la rueda rueda y pares trasera sí trabaja Aunque se trata trata de un par par interno interno para para el sistema sistema trasera trabaja (Fig. b). Aunque considerado (las ruedas ruedas ejercen ejercen un par par opuesto opuesto sobre sobre el cuerpo cuerpo de la motociclemotocicleconsiderado ta), se realiza realiza un trabajo trabajo neto porque porque las ruedas ruedas giran giran y el cuerpo cuerpo no. ta), Aplicación del del trabajo trabajo y la energía energía Si la motocicleta motocicleta se mueve una una disAplicación tancia horizontal horizontal b, las ruedas ruedas giran giran un ángulo ángulo blR blR rad rad y el trabajo trabajo realizado realizado tancia por el par par constante constante M M es por


8.3 8,3 POTENCIA POTENCIA

(b) Rueda Rueda trasera trasera aislada. aislada.

Sea vv la velocidad motocicleta y w velocidad angular ruedas cuando velocidad de la motocicleta w la velocidad angular de las ruedas cuando se ha ha movido movido una una distancia trabajo es igual al cambio cambio en la energía distancia b. El trabajo energía cinética cinética total: total: 1 mev 1 wv 2 + 22,[w 1 IúJ 2J . M ( Rb ) ..= 2,m ev 2 + +22 [ 2mwv 2,m = 2

Ji

(8.24) (8.24)

Determinación La velocidad velocidad angular Determinación de de las res relaciones relaciones cinemáticas cinemáticas angular de las ruedas ruedas está relacionada con la velocidad velocidad v por por w = vi está relacionada vi R. Sustituyendo Sustituyendo esta relación relación en la Ec. (8.24) (8.24) y despejando despejando b obtenemos obtenemos 11 b= = mc: + mw mw ( -z2 me

22

Rv Rv + -R21[ ) --M M

(0.8) J (0.33)(25)2 (0.33)(25)2 (140)

11

2,(142) + (9) + (0.33)2 = [ 2(142)

= 128.7 m. m. angular de las ruedas cuando la motocicleta motocicleta alcanza alcanza su veloci(b) La velocidad velocidad angular ruedas cuando dad máxima máxima es dad W úJ

v

25 00.33 .33

-- - = 75.8 75.8 rad/s. =- =rad/s . R

Ec.. (8.21), (8.21), la potencia máxima es De la Ec potencia máxima P

(140)(75.8) = 10 600 W. W. = Mw MúJ = (140)(75.8)

COMENTARIO COMENTARIO Aunque dibujamos por separado los diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre de la motocicleAunque dibujamos por separado motociclerueda trasera trasera para clarificar el trabajo ta y su rueda para clarificar trabajo realizado realizado por por el par par que ejerce observe que tratamos incluyendo sus ruedas, como el motor, motor, observe tratamos a la motocicleta, motocicleta, incluyendo ruedas, como un solo sistema sistema al aplicar aplicar el principio energía. Al hacerlo principio del trabajo trabajo y la energía. hacerlo así, no tuvimos considerar el trabajo internas entre entre tuvimos que considerar trabajo realizado realizado por por las fuerzas internas cuerpo de la motocicleta aplicar el principio el cuerpo motocicleta y sus ruedas. ruedas. Al aplicar principio del trabajo trabajo y energía a un sistema sistema de cuerpos cuerpos rígidos, expresar el la energía rígidos, suele ser más sencillo expresar principio sistema en su conjunto, conjunto, a diferencia diferencia de lo que se hace al deterdeterprincipio para para el sistema minar sistema de cuerpos cuerpos rígidos ecuación de minar el movimiento movimiento de un sistema rígidos usando usando la ecuación movimiento, es decir, dibujando dibujando diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre de cada cada cuerpo cuerpo rígido. movimiento,


379

380 380


p,

Ejemplo 8.3

y

esbeltas AB AB y Be Be del del mecanismo de de la la Fig. Fig. 8.12 8.12 tienen masa masa m my Las barras esbeltas el collarín collarín e e tiene tiene masa mc. Un resorte torsional en en A ejerce un longitud 1;1; el par horario k(J kOsobre la barraAB. barra AB. El sistema se se libera del del reposo en en la la posición (JO = O OY Y se se permite que caiga. Ignorando Ignorando la fricción, determine la la velocidad dO/dt AB como función de de (J. O. angular w = d(J / dt de la barra AB SOLUCiÓN SOLUCiÓN

Identificación Identificación de de las fuerzas y los los pares pares que que efectúan efectúan trabajo trabajo En la Fig. (a) (a) dibujamos el diagrama diagrama de cuerpo libre del sistema. Las fuerzas y pares que trabajan trabajan -los -los pesos de las barras y el el collarín y el el par ejercido por el resorte torsionaltorsional- son conservativos. Para Para determinar determinar w en función de (J, O, podemos usar la conservación de la energía y las relaciones cinemáticas entre las velocidades angulares de las barras y la velocidad del collarín.

1

Aplicación de Aplicación de la conservación conservación de de la energía energía Sea G el centro de masa barra Be, de la barra Be, y WBC su velocidad angular (Fig. (Fig. b). El momento momento de inercia ftml2•2 • Como AB de cada barra barra respecto a su centro de masa es 1 = = izml AB gira respecto al punto punto fijo A, A, podemos escribir su energía cinética como

TbarraA/J

=

121

"2IAW

="2

[

1

+(

1

"21)2 m ] W

2122 = (¡mI co .

Ig

La energía cinética de la barra barra Be Be es

Figura 8.12 (t

la la ce

e es

La energía cinética del collarín

Usando el plano plano de referencia referencia de la Fig. (a), las energías potenciales potenciales son: Usando

N

VbarraAB VbarraAB

+ + VbarraBC Vbarra/3C + + Vcollaríll Vcollarín = = mg rng

(~l

cos e) e) + + mg rng

(~l

cos e) e) + + mcg(21 rncg(21 cos e). e).

La energía energía potencial potencial del resorte resorte torsional torsional está está dada dada por por la la Ec. (8.18): (8 . 18): La

vvresorte = ~kLl2. ~ke2. resone = 2 2 v Tenemos Tenemos ahora ahora todos todos los los elementos elementos para para aplicar aplicar la la conservación conservación de de la la energía. energía. potencial en en la la posición posición O(J == OO Igualamos la la suma suma de de las las energías energías cinética cinética yy potencial Igualamos con la la suma suma de de las las energías energías cinética cinética yy potencial potencial en en un un valor valor arbitrario arbitrario de de O: (J: con T¡+V¡ T1+V1 =T =T 2+V 2: 2 2 +V mg

Ax Ax

--Plano --Plano de de referencia referencia

0+ 0+ 2mgl 2rngl + + 2mcgl 2rncgl

11

:

11

11

11

2w2 ++ -mv~ == -ml w1c ++ -mcv~ 6rnl2w2 2rnv~ + + -ml 24 2rnl2w~c 2rncv~ 6 2 24 2 1 1

2rngl cose cose + + 2mcgl 2rncgl cose cose + + "2ke2. 2ke2. ++ 2mgl

(a) (a) Diagrama Diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre

del del sistema. sistema.


S c:

8.3 POTENCIA POTENCIA 8,3

Para determinar determinar w de esta ecuación, ecuación, debemos debemos expresar expresar las velocidades velocidades Para WBC como como unciones unciones de w. y WBC y n n

d

Ve, Vc Vc Ve,

Determinación de de las relaciones relaciones cinemáticas cinemáticas Podemos determinar determinar Determinación Podemos velocidad del punto punto B en función función de WW y luego expresar expresar la velocidad velocidad del punto punto la velocidad función de la velocidad velocidad del punto punto B y de la velocidad velocidad angular angular WBC' ee en función velocidad de B es La velocidad VB=VA+WABxrBIA VB=VA+WABXrB jA

=0+ =0+1 ~O lcose ~O -l l cose I -lsene i

n

y

j

sen

é

y

k w O O

-lwcosei-lwsenej. = -lwcosei - lwsenej. expresada en ee expresada

velocidad de La velocidad

-I----x I----x

función velocidad de B es función de la velocidad

+

=

VCj=VB+WBC XrC vej VB WBe x relBj B

A

Velocidades angulares angulares de las (b) Velocidades barras y velocidad velocidad del collarín. collarín. barras

-lw cos ee ii -- lw leosené = -lw sene jj + 1I

O O senf l sene

jj O O

l cose cose

Igualando las componentes componentes ii y j obtenemos obtenemos Igualando WBe WBC

= -w,

=

Ve = -2lwsene. -2lwsene. Vc

menos indica indica que las direcciones direcciones de las velocidades velocidades son opuestas opuestas a (El signo menos las direcciones direcciones supuestas supuestas en la Fig. (b). Ahora Ahora que conocemos conocemos la velocidad velocidad anguangubarra Be en función función de w, podemos podemos determinar determinar la velocidad velocidad de su lar de la barra centro de masa masa en función función de w, expresándola expresándola en función función de vB: centro VG ve

+WBe = VB +WBC

x

rGIB rO jB

-lwcose i -lwsenej -lwsene j + I = -lwcosei

1

1

= ---lwcosei - lwcosei 2

k jj O O -w ~l cos e e OO ~l

O O ~l sené ~l sene

3. 3 . -lwseneJ. -lwseneJ.

2

Sustituyendo estas expresiones expresiones para para WBC' Vc Vc y ve en la ecuación ecuación de la conservaconservaSustituyendo energía y despejando despejando W obtenemos obtenemos ción de la energía W

=

1 22 [2ggl(m me)(l - cose) cose) - zke [2 l cm + mc)(l zke ]] 2 ~ml2 + Cm (m + 2mc)f2 sen sen2 e e ~ml2

1j2 1/2


381 381

382 382

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO Y CANTIDAD CANTIDAD DE

,---------"";,;,,,,-----

•••••••••••••••••••

Problemas 1------....;.;....-....;.;........;.;....--------'

1

8.1 Una Una rueda rueda del tren tren de aterrizaje aterrizaje de un Boeing Boeing 747 pesa pesa 240 lb, tiene un momento inercia de masa 17 slug-pie slug-pie?2 momento de inercia masa de 17 y un radio radio de 2 pies. Si el avión avión se mueve mueve a 245 pie/s pie/s y la rueda rueda gira ¿cuál es la energía gira sin resbalar, resbalar, ¿cuál energía cinética cinética de la rueda? rueda?

8.4 El momento 8.4 momento de inercia inercia de masa masa del rotor rotor del helicóptero helicóptero mostrado slug-pie-.2 • Si el rotor mostrado es de 400 slug-pie rotor parte parte del reposo, reposo, el motor sobre él. Ignorando motor ejerce ejerce un un par par constante constante de 500 pie-lb pie-lb sobre Ignorando la resistencia aerodinámica, principio del trabajo trabajo y la eneraerodinámica, use el principio gía para para determinar determinar cuántas cuántas revoluciones revoluciones debe girar girar el rotor rotor para para alcanzar por segundo. segundo. alcanzar una una velocidad velocidad angular angular de 2 revoluciones revoluciones por

II

L-:~

P8.1

El volante volante del generador generador homopolar homopolar mostrado mostrado en la págipágina 366 se puede pu'ede modelar modelar como como un cilindro cilindro homogéneo homogéneo de 1200 kg con radio Suponga que el volante radio de 280 mm. mm. Suponga volante gira gira a 6200 rpm. cinética del volante rpm. Convirtiendo Convirtiendo parte parte de la energía energía cinética volante en corriente corriente eléctrica, eléctrica, el generador generador se usa para para impulsar impulsar una una pistola pistola electromagnética electromagnética que acelera acelera un proyectil proyectil de 0.28 kg a una una velocidad supone que toda cidad de 5.3 km/s. km/ s. Si se supone toda la energía energía obtenida obtenida del volante volante se convierte convierte en energía energía cinética cinética del proyectil, proyectil, ¿cuál ¿cuál es la velocidad velocidad angular angular final del volante? volante?

P8.4

8.2 8.2

La velocidad velocidad angular angular de la estación estación espacial espacial es de 1 rpm. rpm. Use el trabajo trabajo y la energía energía para para determinar determinar el par par constante constante que el sistema sistema de control reducir su velocicontrol tendría tendría que ejercer ejercer para para reducir dad revoluciones . El momento momento de inercia inercia dad angular angular a cero en 100 revoluciones. de masa masa de la estación estación es 11 = 1.5 X 10 10 kg-m-. kg-m 2 •

8.3 8.3

-=I

8.5 ¿Qué 8.5 ¿Qué potencia potencia media media se transmite transmite al rotor rotor del Probo 8.4 al acelerarlo segundo? acelerarlo del reposo reposo a 2 revoluciones revoluciones por por segundo?

88.6 .6 Durante Durante una una actividad actividad extravehicular, extravehicular, un un astronauta astronauta dispara un impulsor una para impulsor de su unidad unidad de maniobras, maniobras, ejerciendo ejerciendo una fuerza fuerza constante constante T = 20 N. El momento momento de inercia inercia de masa masa del astronauta astronauta y su equipo equipo respecto respecto al centro centro de masa masa común común es de 45 kg-m-. kg-m 2 • Usando Usando el principio ptincipio del trabajo trabajo y la energía, energía, determine su razón razón de giro en revoluciones revoluciones por por segundo cuando determine segundo cuando él ha girado 1/4 de revolución girado 1/4 revolución desde desde su orientación orientación inicial. inicial.

'.,· , '.1 _._ _.11 ·' \ \ '."111' l'"0 ,; •1•1-,/i

!I

!I!" o· ~ . .~I .' · . ." ..:.1 . . -. . . . . . .... .. .. ... ....... .~~ ;,,: ...-l•.-__ .11II•.=. ,",.'

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.. >; •• ¡~, • (¡

~

•

'•.• • '• ,

~

P8.3 P8.3


P8.6

8,3 POTENCIA 8,3 POTENCIA

8.7 8.7 Una Una barra barra esbelta esbelta de masa masa m m se libera libera del reposo reposo en la posición hori~ontal horizontal mostrada. mostrada. Determine Determine su velocidad velocidad al)gular angular posición cuando cuando esté vertical vertical usando usando (a) el principio principio del trabajo trabajo y la energía; (b) la conservación conservación de la energía. energía.

barras idénticas idénticas 8.10 8.10 Los cuerpos cuerpos de la figura figura consisten consisten en barras soldadas entre entre sí. Si se liberan' liberan del reposo de 3 pies y 10 lb soldadas reposo en las posiciones angulares posiciones mostradas, mostradas, ¿cuáles son sus velocidades velocidades angulares cuando verticales? cuando las barras barras soportadas soportadas en A están están verticales?

P8.7

8.8 8.8 El momento momento de inercia inercia de masa masa de la polea polea mostrada mostrada es de 0.4 slug-pie polea parte slug-pie-.2 • La polea parte del reposo. reposo. En ambos ambos casos, use el principio principio del trabajo trabajo y la energía energía para para determinar determinar la velocidad cidad angular angular de la polea polea cuando cuando ha girado girado una una revolución. revolución.

383 383

A

(b)

(a)

P8.10 P8.10

8.11 La barra reposo en la posición posición barra esbelta esbelta de 8 kg se libera libera del reposo horizontal. Cuando Cuando ha caído caído a la posición posición mostrada, horizontal. mostrada, ¿cuáles ¿cuáles componentes x y y de la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre la barra barra son las componentes por el soporte soporte de pasador pasador en A? por A?

y

-1 ---x

20 lb (a) (a)

8.9

20 lb (b)

P8.8

P8.11

cuerpo mostrado mostrado consiste consiste en barras barras idénticas idénticas de 1 m El cuerpo

soldadas entre entre sí. Si se libera libera del reposo reposo en la posición posición y 5 kg soldadas mostrada, velocidad angular angular cuando cuando la barra barra somostrada, ¿cuál será su velocidad portada en A esté vertical? vertical? portada

r;===~A'

8.12 La barra barra esbelta esbelta se libera libera del reposo reposo en la posición 8.12 posición mostrada. trada. (a) Use la conservación conservación de la energía energía para para determinar determinar la velocidad angular angular cuando cuando la barra barra esté vertical. vertical. dad ¿Para qué valor valor de x es la velocidad velocidad angular (b) ¿Para angular determinada determinada parte (a) un máximo? máximo? en la parte

m

~

) ((~_m_----=0_--'=---,,,,-_'~) 0 P8.9


[.

r---x----I

,

[

P8.12 P8.12

384

CAPíTULO ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN lA LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 8 ENERGíA

8.13 Los engranes engranes giran giran libremente libremente sobre sobre sus soportes soportes de pasador. tos de inercia kg-m2 2 sador. Sus mome momentás inercia de masa masa son lA = 0.002 0.002kg-m 2 kg-ni-.• Los engranes engranes están están en reposo reposo al aplicar aplicar e lB = 0.006 kg-m N -m al engrane un par constante constante M == 2 N-rn engrane B. Ignorando Ignorando la fricción, fricción, principio del trabajo use el principio trabajo y la energía energía para para las velocidades velocidades angulares gulares cuando. cuando. el engrane engrane A ha girado girado 100 revoluciones. revoluciones.

P8.13 P8.13

8.16 Considere Considere el sistema sistema del Prob Proboo 8.15. (a) ¿Qué distal1cia distancia máxima máxima cae el peso de 5 lb cuando cuando se retira retira la superficie superficie de soporte? soporte? (b) ¿Qué velocidad velocidad máxima máxima adquiere adquiere el peso? 8.17 Considere Considere el sistema sistema del Probo 8.15. Suponga Suponga que el resorte sorte torsional torsional está estirado estirado en la posición posición mostrada mostrada y que la tensión tensión resultante resultante en la cuerda cuerda es de 21b. Si se retira retira la superficie superficie de soporte soporte del peso de 51b, ¿cuál es la velocidad velocidad del peso cuando cuando éste ha caído caído 3 pulg? 8.18 Modele Modele el brazo ABC de la figura brazo ABC figura como como un solo cuerpo cuerpo rígido. Su masa masa es de 300 kg Y Yel momento de inercia inercia de masa masa el momento rígido. respecto respecto a su centro centro de masa masa es 11 == 360 kg-m kg-m-.2 • Partiendo Partiendo del reposo reposo con su centro centro de masa masa 2 m arriba arriba del suelo (posición (posición 1), los cilindros ABC hacia cilindros hidráulicos hidráulicos empujan empujan el brazo brazo ABC hacia arriba. arriba. Cuando posición mostrada Cuando está en la posición mostrada (posición (posición 2), su velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria es de 1.4 lA rad/s. rad/s. ¿Cuánto ¿Cuánto trabajo trabajo efectúan efectúan cilindros hidráulicos hidráulicos sobre sobre el brazo brazo al moverlo moverlo de la posición posición los cilindros 1 a la posición posición 2?

8.14 Las poleas sobre sus soportes poleas pueden pueden girar girar libremente libremente sobre soportes pasador. Sus momentos momentos de inercia inercia de masa masa son llAA = 0.002 de pasador. kg-m-,2 , lB = 0.036 kg-m kg-rn-2 e le le = 0.032 kg-m kg-m-.2 • Las poleas poleas están están kg-m reposo cuando cuando un par par constante constante M M = = 2 N-m se aplica aplica a A. en reposo ¿Cuál velocidad angular angular de A después después de 10 10 revoluciones? revoluciones? ¿Cuál es la velocidad

200rnm 200rnm

B

e P8.14 P8.14

8.15

inercia de masa masa de los engranes engranes A y Los momentos momentos de inercia slug-pie'.2 • A está co= 0.014 slug-pie/ slug-pie 2 e lB = 0.100 slug-pie nectado resorte torsional torsional con k == 0.2 pie-lb/rad. pie-lb/rad. Si el renectado a un resorte sorte no está estirado estirado y se retira retira la superficie superficie que soporta soporta al peso sorte ¿cuál es la velocidad velocidad del peso cuando cuando ha caído caído 3 pulg? de 5 lb, ¿cuál

P8.18 P8.18

B son lA

masa del disco cilíndrico cilíndrico homogéneo homogéneo mostrado mostrado es m 8.19 La masa radio es R. El disco está en reposo reposo cuando cuando se le aplica aplica un y su radio par M M constante constante horario. horario. Use el trabajo trabajo y la energía energía para para deterdeterpar minar la velocidad velocidad angular angular del disco cuando cuando éste ha rodado rodado una minar una distancia b. distancia

f--b--1

P8.19 P8.19

P8.15 P8.15


8.3 POTENCIA 8.3 POTENCIA

ira

ela ie o

8.20 Un disco de masa masa m y momento momento de inercia inercia 11 parte parte del reposo soblie sobse una una superficie superficie inclinada inclinada y está sometido sometido a un par par reposo M M constante constante horario. horario. Suponiendo Suponiendo que rueda, rueda, ¿cuál es su velocidad angular angular cuando cuando se ha movido movido una una distancia distancia b?

385

P8.23, al disco cilíndrico cilíndrico homogéneo homogéneo de 11slug slug 8.23 En la Fig. P8.23, se le imparte imparte una una velocidad velocidad angular angular horaria horaria de 2 rad/s rad/s con el resorte sin estirar. estirar. La constante constante del resorte resorte es k = 3 lb/pie. lb/pie. Si resorte rueda, ¿cuánto ¿cuánto se moverá moverá su centro centro hacia hacia la derecha? derecha? el disco rueda,

R

P8.23 P8.23

P8.20 P8.20

8.21 su mo8.21 En la Fig. P8.21 el disco escalonado escalonado pesa 40 lb Y Ysu 2 mento de inercia inercia de masa masa es 11 = = 0.2 slug-pie slug-pie-. libera del mento • Si se libera reposo, ¿cuál ¿cuál es su velocidad velocidad angular angular cuando cuando el centro centro del disco reposo, ha caído 3 pies?

8.24 La placa placa P de 22 kg mostrada mostrada descansa cuatro roro8.24 descansa sobre sobre cuatro dillos. Éstos Éstos se pueden pueden modelar modelar como como cilindros cilindros homogéneos homogéneos de dillos. radio de 30 mm. mm. La placa placa está está en reposo reposo y el resorte resorte 1 kg con radio (k = 900 N/m) N/m) no está está estirado estirado cuando cuando se aplica aplica una una fuerza fuerza horizontal horizontal constante constante F == 100 lOO N como como se muestra. muestra. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad de la placa placa cuando cuando se ha movido movido 200 mm hacia hacia la derecha? derecha?

I

k

._--~----_P_"'---C.-:-"""j~

~

( ) () \(9

_L

P8.24 P8.24

P8.21

cilíndrico homogéneo homogéneo de 100 100 kg mostrado mostrado está 8.22 El disco cilíndrico en reposo reposo cuando cuando se aplica aplica la fuerza fuerza F = 500 N a una una cuerda cuerda enrollada alrededor de él, ocasionando ocasionando que el disco ruede. ruede. Use enrollada alrededor principio del trabajo energía para para determinar determinar la velocidad velocidad el principio trabajo y la energía angular del disco cuando cuando éste ha girado girado una una revolución. revolución. angular

8.25 sistema descrito 8.25 Considere Considere el sistema descrito en el Probo 8.24. (a) ¿Qué ¿Qué distancia distancia máxima máxima se mueve la placa placa hacia hacia la derecha derecha cuando cuando se aplica aplica la fuerza fuerza F? (b) ¿Qué ¿Qué velocidad velocidad máxima máxima alcanza alcanza la placa, placa, y qué distancia distancia se ha movido movido la placa placa hacia hacia la derecha derecha cuando cuando esto ocurre? ocurre? 8.26 El reglamento reglamento de una una carrera carrera de autos autos especifica especifica el peso combinado conductor, así como como el radio radio de las combinado del auto auto y el conductor, ruedas. ruedas. Un Un participante participante considera considera dos posibilidades: posibilidades: (a) usar ruedas ruedas ligeras, ruedas pesadas; pesadas; (b) usar usar ruedas ligeras, compensando compensando el peso con balasto. principio del tratrabalasto. Analice Analice este problema problema usando usando el principio bajo bajo y la energía, energía, y explique explique qué aconsejaría aconsejaría usted. usted.

P8.22 P8.22

P8.26 P8.26


386

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

Cada una de las ruedas ruedas frontales frontales del vehículo mostrado mostrado 8.27 Cada Ytiene m€>mentode inercia de masa masa de 0.01 slugpesa 5 lb Y tiene un m~ mento de inercia 2 pie". ruedas y el el eje traseros traseros forman forman un solo cuerpo cuerpo pie • Las dos ruedas Y tiene un momento momento de inercia inercia de masa masa rígido que pesa 40 lb Y 0.1 slug-pie slug-pie/.2 • El peso total total del conductor conductor y el vehículo, vehículo, inde 0.1 cluyendo las ruedas ruedas es de 240 lb lb.. El vehículo vehículo parte parte del reposo, reposo, cluyendo su motor motor ejerce un par constante constante de 15 15pie-lb sobre el el eje trasero trasero pie-lb sobre ruedas no resbalan. resbalan. Si se ignoran ignoran la fricción fricción y la resistencia resistencia y sus ruedas aerodinámica, ¿qué velocidad velocidad tiene el vehículo vehículo cuando cuando ha recoaerodinámica, rrido 50 pies? rrido

barra esbelta esbelta mostrada mostrada pesa 30 30 lb Y y el disco cilíndrico cilíndrico 8.30 La barra reposo con la barra barra horizontal. horizontal. 20 lb. El sistema se libera del reposo Determine la magnitud magnitud de la velocidad velocidad angular angular de la barra barra cuancuanDetermine si la barra barra y el disco están están soldados soldados en A. A. do esté vertical si

o

--r

~ó~----

1_.---------4

11--._

____

.4 pies pies----"-.::---,.--i ------'y--...., P8.30

determine la magnitud magnitud de la velocidad 8.31 En el Probo 8.30, determine velocidad angular de la barra barra cuando cuando ésta ha alcanzado alcanzado la posición posición vertical vertical angular barra y el disco están están conectados conectados por si la barra por un pasador pasador liso en A. A.

1------1-- - - - - 60 60 pulg pulg

P8.27

8.32 EnlaFig. 100lb EnlaFig. P8.32lacajade P8.32lacajade 100 lb es jalada jalada por por el malacate malacate hacia arriba arriba sobre sobre el plano coeficiente de fricción plano inclinado. inclinado . El coeficiente fricción hacia cinética entre entre la caja caja y la superficie superficie es ¡.tk J.tk = 0.4. cinética 0.4. El momento momento de inercia inercia de masa masa del tambor tambor en que está está enrollado enrollado el cable, cable, incluido incluido éste, es lA = 3 slug-pie-, slug-pie 2 • El motor motor ejerce ejerce un un par par M = 40 pie-lb constante constante sobre sobre el tambor. tambor. Si la caja caja parte parte del reporeposo, use el principio trabajo y la energía principio del trabajo energía para para determinar determinar su velocidad velocidad cuando cuando se ha desplazado desplazado 2 pies.

8.28 Determine Determine la potencia potencia máxima máxima y la potencia potencia media media que recibe de su motor motor el vehículo vehículo del Probo 8.27. 8.29 En la Fig. P8.29 P8.29 cada cada caja caja pesa pesa 50 lb, el momento momento de inercia inercia de la polea polea es de 0.6 slug-pie/ slug-pie 2 y la fricción fricción se puede puede ignorar. cajas parten parten del reposo, reposo, determine determine la magnitud magnitud de norar. Si las cajas sus velocidades velúcidades cuando cuando se han han movido movido 4 pies desde desde sus posicioposiciones iniciales. iniciales.

I~

30°

P8.32 P8.32

P8.29 P8.29


8.3 8.3 POTENCIA POTENCIA

o 1.

8.33 En En la la Fig. Fig. P8.33, P8.33, cada cada una una de de las las barras barras esbeltas esbeltas de de 22 8.33 pies pesa pesa 44 lb lb Y Yla la placa placa rectangular rectangular pesa pesa 20 20 lb. lb. Si Si el el sistema sistema pies selibera libera del ddl reposo reposo en enla laposición posiciónmostrada, mostrada, ¿cuál ¿cuál será serála lavelocivelocise dad de de la la placa placa cuando cuando las las barras barras estén estén verticales? verticales? dad

387 387

8.35 La longitud longitud del del resorte resorte sin sin estirar estirar es es de de 1.5 1.5 m m yy su su conscons8.35 La tante tante es es kk == 50 50 N/m. N/ m. Cuando Cuando la la barra barra esbelta esbelta de de 15 15 kg kg está está horizontal, horizontal, su su velocidad velocidad angular angular es es de de 0.1 0.1 rad/s. rad/s. ¿Cuál ¿Cuál es es su su velocidad velocidad angular angular cuando cuando está está en en la la posición posición mostrada? mostrada?

¡-2m ¡ -2m

o P8.33 P8.33

d

8.34 El sistema sistema mostrado mostrado parte parte del reposo reposo con con la barra barra esbelta esbelta 8.34 La masa masa del cilindro cilindro suspendido suspendido es de 10 horizontal. La de 4 kg horizontal. ¿Cuál es la velocidad velocidad angular angular de la barra barra cuando cuando está está en kg. ¿Cuál posición mostrada? mostrada? la posición

P8.35

n

8.36 8.36 La La polea polea A mostrada mostrada pesa pesa 4 lb, lA l A = 0.060 slug-pie? slug-pie2 e lB lB = 0.014 slug-pie-, slug-pie 2 • Si el sistema sistema parte parte del reposo, reposo, ¿cuál ¿cuál es

o

la velocidad velocidad del peso de 16 lb cuando cuando ha ha caído caído 2 pies?

~ 2m ~

P8.34 P8.34

P8.36 P8.36


388

CAPíTULO 8 ENERGíA Y CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

EN LA DINÁMICA

La escalera de 18 kg mostrada se libera del reposo con = 10°. La pared y el piso son lisos. Modelando la escalera como una barra esbe ta, use la conservación de la energía para determinar su velocidad angular cuando e = 40°. 8.37

e

PLANA DE CUERPOS RíGIDOS

8.40 El sistema está en equilibrio en la posición mostrada. La masa de la barra esbelta ABC es de 6 kg, la masa de la barra esbelta BD es de 3 kg Yla masa del deslizador en C es de 1 kg. La constante del resorte es k = 200 N/m. Si se aplica en A una fuerza constante de 100 N hacia abajo, ¿cuál es la velocidad angular de la barraABC cuando ha girado 20° desde su posición inicial?

P8.37

8.38 En la Fig. P8.38, la barra esbelta de 4 kg está articulada a un deslizador A de 2 kg Y a un disco cilíndrico homogéneo de 4 kg en B. Ignore la fuerza de fricción sobre el deslizador y suponga que el disco rueda. Si el sistema se libera del reposo con e = 60°, ¿cuál es la velocidad angular de la barra cuando e = O?

P8.40

8.41 En la Fig. P8.41 la barra AB pesa 10 lb Y la barra BC 6 lb. Si el sistema se libera del reposo en la posición mostrada, ¿cuáles son las velocidades angulares de las barras en el instante inmediato anterior en que la junta B toca el piso liso?

A

B

T

°

1 pie

e

~ ,'

l·

------1-1

2 pies

Pie--j P8.41

8.42 Si la barra AB del Probo 8.41 está girando a 1 rad/s con dirección horaria en el instante mostrado, ¿cuáles son las velocidades angulares de las barras en el instante inmediato anterior en que la junta B toca el piso liso? P8.38

Si el sistema del Probo 8.38 se libera del reposo con e = 80°, ¿cuál es la velocidad angular de la barra cuando e = 20°? 8.39


8.4 8.4 PRINCIPIOS PRINCIPIOS DEL DEL IMPULSO IMPULSO YY LA LA CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

a. fa g.

na d 'n

d~1 impulso impulso 8.4 Principios del la cantidad cantidad de de movimiento movimiento yy la Aquí repasamos repasamos el el principio principio del del impulso impulso yy la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento liliAquí neales del del Cap. Cap . 55 y deducimos deducimos el el principio principio del del impulso impulso y el el momento momento anguanguneales lares para para un un cuerpo cuerpo rígido, rígido . Estos Estos principios principios relacionan relacionan integrales integrales de de tiemtiemlares po de de las las fuerzas fuerzas y pares pares sobre sobre un un cuerpo cuerpo rígido, rígido, con con cambios cambios en en la la po velocidad de de su su centro centro de de masa masa yy su su velocidad velocidad angular, angular, yy se se pueden pueden usar usar velocidad para determinar determinar los los efectos efectos de de fuerzas fuerzas yy pares pares impulsores impulsores sobre sobre el el movimovipara miento del del cuerpo, cuerpo, así así como como las las velocidades velocidades de de los los centros centros de de masa masa yy las las miento velocidades angulares angulares de de los los cuerpos cuerpos después después de de que que han han sufrido sufrido colisiones. colisiones. velocidades

Cantidad de de movimiento lineal lineal Cantidad La segunda segunda ley ley de de Newton Newton integrada integrada respecto respecto al al tiempo tiempo da da el principio principio La del impulso impulso y la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento lineales lineales para para un un cuerpo cuerpo rígido: rígido : del

1.1'2 2

EFdt = mV2 mV2 - mv¡, mVI, 'EF dt =

(8.25) (8.25)

'1 t

(,

VI Y Y VV22 son las velocidades velocidades del del centro masa en los los tiempos tiempos ti ti y donde VI donde son las centro de masa t22 (Fig externas que un (Fig. . 8.13). 8.13), Si se conocen conocen las las fuerzas fuerzas externas que actúan actúan sobre sobre un cuerpo rígido rígido en función tiempo, podemos podemos determinar determinar el cambio cambio en la cuerpo función del del tiempo, en la velocidad del centro tiempo. En velocidad del centro de masa masa durante durante un un intervalo intervalo de tiempo. En función función del promedio promedio respecto respecto al tiempo tiempo de la fuerza fuerza total total entre entre ti y t2,,

1I:Fmedia I:Fmedia = =-- 1 t2 tz - ti

1. 1 12 t2

EF 'EF dt, dt,

11 t,

podemos podemos escribir escribir la Ec Ec.. (8.25) (8,25) como como (8.26) (8.26)

Esta Esta forma forma del principio principio del impulso impulso y la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineales lineales suele ser útil cuando un cuerpo está sometido a fuerzas suele útil cuando cuerpo está sometido fuerzas impulsoras. impulsaras. Si las únicas únicas fuerzas fuerzas que que actúan actúan sobre sobre dos dos cuerpos cuerpos rígidos rígidos A A yB B son son las fuerzas que se ejercen entre sí, o si otras fuerzas son insignificantes, fuerzas que ejercen entre otras fuerzas son insignificantes, su cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal lineal total total se conserva: conserva: (8,27) (8.27) Figura 8.13 8.13 Figura Principio del del impulso yy la la cantidad cantidad de de Principio movimiento lineal. lineal. movimiento


389 389

390 390

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

Momento angular angular Momento

o Figura 8.14 Cuerpo rígido en movimiento movimiento plano plano con Cuerpo velocidad v y velocidad velocidad anglJlar angular w. velocidad

Cuando aplicamos aplicamos los principios principios de las cantidades cantidades de movimiento movimiento a cuerCuando pos rígidos, rígidos, nos interesan interesan las velocidades velocidades de sus centros centros de masa masa y sus velocidades angulares. Para esto, no basta el principio del impulso velocidades angulares. Para basta principio impulso y la cantidad de movimiento movimiento lineal. Ahora Ahora deducimos deducimos el principio principio del impulso impulso cantidad y el momento angulares para un cuerpo rígido en movimiento momento angulares para cuerpo rígido movimiento plano plano.. Consideremos un cuerpo rígido en movimiento plano general respecto Consideremos cuerpo movimiento plano general respecto a un punto punto de referencia referencia O fijo (Fig. 8.14). En el Cap. Cap. 7, expresamos expresamos la relación entre el momento total respecto a O debido a fuerzas relación entre momento total respecto debido fuerzas y pares pares exterrazón de cambio cambio del momento momento angular angular del cuerpo cuerpo rígido respecto respecto nos y la razón a O en la forma forma (véanse las Ecs. 7.11 Y y 7.20) d dt dt

'EMo == --[(r[(r xx mv) mv)· k++ [w], !w], "bMo .k

p, L

(8.28)

donde 11es el momento momento de inercia inercia de masa masa del cuerpo cuerpo rígido rígido respecto respecto a donde masa. Esta Esta ecuación ecuación expresa expresa el momento momento angular angular como como la su centro centro de masa. suma de los momentos momentos angulares angulares respecto debido a la velocidad velocidad del suma respecto a O debido centro de masa masa y el momento momento angular angular respecto respecto al centro centro de masa. masa. El vector vector centro unitario k es perpendicular plano de movimiento, unitario perpendicular al plano movimiento, y su dirección dirección es defidefinida por dirección positiva positiva para para el momento por la elección elección de la dirección momento y la velocidad velocidad nida angular. Si se definen definen momentos antihorarios y velocidades velocidades angulares antiangular. momentos antihorarios angulares antihorarias apunta hacia hacia afuera 8.15). horarias como como positivos, positivos, k apunta afuera de la página página (Fig. 8.15). En vez de usar evaluar el momento usar el producto producto vectorial vectorial para para evaluar momento angular angular de un cuerpo movimiento plano, como se hizo cuerpo rígido rígido en movimiento plano, se puede puede proceder proceder como Figura 8.15 Determinación Determinación de la dirección dirección de k.

I

r--,\ r í ,

/

\

l

ro

t

~

/

I

)

\ I

-j


I I

8.4 PRINCIPIOS PRINCIPIOS DEL IMPULSO IMPULSO Y LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO 8.4

uer-

sus la ulso y

para determinar los momentos fuerzas en problemas para determinar momentos de fuerzas problemas bidimensionales. bidimensionales. "momento" de la cantidad cantidad de movimiento La magnitud magJ}.itud del "momento" movimiento lineal (r x mv) igual al producto cantidad de movimiento mv) . k es igual producto de la magnitud magnitud de la cantidad movimiento distancia perpendicular línea de acción acción de la cantidad cantidad por la distancia perpendicular de O a la línea lineal por "momento" tiene de movimiento movimiento lineal (Fig. 8.16). Es positivo positivo si el "momento" tiene la dirección de la w positiva dirección opuesta. opuesta. dirección positiva y negativo negativo en dirección Figura 8.16 8.16 Figura

\\ \ \

v

v

~

Determinación del momento angular Determinación momento angular respecto calculando el "momento" "momento" respecto a O calculando cantidad de movimiento de la cantidad movimiento lineal.

\ \ \ \

\\

.28)

Momento angular angular Momento = D(mlvl) + [ro = D(mlvl) Ico

Momento angular Momento angular = -D(m -D(mlvl) = lv l) + Ito /ro

Integrando la Ec. (8.28) respecto obtenemos el principio principio del Integrando respecto al tiempo tiempo obtenemos impulso angular angular y el momento momento angular: angular: impulso

1.1.

t2

izo

'i',Modt 'E,Modt

=

[(r x mv)· mv)· k+ mv)· k+ [(r k + /wh /wh - [(r x mv)· k + /w]¡. /w]¡ .

(8.29)

z¡ t t,

El impulso respecto a O durante impulso angular angular respecto durante el intervalo intervalo de tit, a t 22 es igual cambio en el momento angular del cuerpo cuerpo rígido al cambio momento angular rígido respecto respecto a O (Fig. 8.17). También podemos expresar el principio impulso angular angular y del momenTambién podemos expresar principio del impulso momento angular angular en función función del momento centro de masa. Intemomento total total respecto respecto al centro masa. Integrando la Ec. (7.23) con respecto obtenemos grando respecto al tiempo tiempo obtenemos

1.1.

r,

t?

(8.30)

'i',M dt = = /W2 co«. 'E, M dt /W2 - l/Wt.

t, /,


Principio impulso angular Principio del impulso angular y el momento angular. momento angular.

.,

J"

=»:

.

(r xmv )ok+/ro dt=(r XmV )ok+[ro (rll x mvll)· k + 10)11 + f'I.M 'I.Modt = (r2 k + 10)22 o 2x 2

"

entre tItI y t22 es El promedio promedio del momento momento respecto respecto a O con el tiempo tiempo entre 1

('i',Mo)media = =---1('E,Mo)mcdia ti t2 - ti

1.1./

122

'i',Modt, , 'E,Modt

t, /,


391

392 392

CAPíTULO 8 ENERGíA Y CANTIDAD DE RíGIDOS CAPíTULO ENERGíAY DE MOVIMIENTO EN EN lA lA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOSRíGIDOS

por por lo que podemos podemos escribir escribir la Ec. (8.29) como como A

+ [wh lwh

(t2 - t\)CEMo)media t\)CEMo)media = = [(r [(r x mv)· mv)· k

(8.31 ) (8.31) -[(r -ter x mv)· mv)· k

+ lw]\. [w]\.

Esta cambio en el momento momento Esta ecuación ecuación se puede puede usar usar para para determinar determinar el cambio angular pares impulsores. impulsores. angular de un cuerpo cuerpo rígido rígido sometido sometido a fuerzas fuerzas y pares También una ecuación ecuación de conTambién podemos podemos usar usar la Ec. (8.29) para para obtener obtener una servación cuerpos rígidos. rígidos. Supongamos servación del momento momento angular angular total total de dos cuerpos Supongamos que A y B se mueven sometidos sólo a las mueven en el mismo mismo plano plano y que están están sometidos fuerzas otras fuerzas fuerzas y pares pares son fuerzas y pares pares que se ejercen ejercen entre entre sí, o que las otras insignificantes. Sea M momento respecto respecto a un punto MOA punto fijo O debido debido insignificantes. OA el momento a las fuerzas sea M M OB el momento momento respecto fuerzas y pares pares que actúan actúan sobre sobre A, Y Ysea respecto hipótesis que hicimos hicimos a O debido debido a las que actúan actúan sobre sobre B. Con Con la misma misma hipótesis al deducir cada par par de deducir ¡as las ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento (las fuerzas fuerzas entre entre cada partículas MOA - MoB Por ejemplo, partículas actúan actúan en la línea entre entre éstas), M = -M ejemplo, en OA = oB• • Por Fig. 8.18 A Y B ejercen ejercen fuerzas fuerzas de contacto contacto entre entre sí. Los momentos momentos la Fig. resultantes MOA M OB rp X x (-(-R) - rp resultantes respecto respecto a O son M X R y YM R) = -r OA = rrp x OB = r Aplicamos el principio principio del impulso impulso y el momento momento angulares xX R. Aplicamos angulares a A y para los tiempos tiempos arbitrarios arbitrarios ti y t 2 Y obtenemos obtenemos B para Figura Figura 8.18

/2

1 1

Cuerpos rígidos A y B ejerciendo ejerciendo por por Cuerpos contacto fuerzas entre entre sí. contacto

MOA dt = [(rA x mAvA)·

k+ IAWAh

- [(rA x mAvA)·

k+ IAwAh,

/[

/2

MOB dt = [(rB x mBVB) • k

+ IBwBh

- [(rB x mBVB) • k

+ IBwB]\.

/)

Sumando, los términos términos de la izquierda izquierda se cancelan cancelan y obtenemos Sumando, obtenemos

momento angular angular total respecto a O se conserva: El momento total de A y B respecto conserva:

(r A

X

mA vA) • k

+ IAwA + (rB

x mBVB) • k

+ IBwB

= constante. (8.32)

Observe que este resultado resultado es válido válido aunque aunque A y B estén sometidos a fuerObserve estén sometidos pares externos externos si el momento momento total total respecto respecto a O debido debido a esas fuerzas fuerzas zas y pares y pares puede escoger O de manera manera que esta pares es cero. A veces se puede esta condición condición satisfaga. Esto también también se aplica número arbitrario se satisfaga. aplica a un número arbitrario de cuerpos cuerpos momento angular angular total total respecto respecto a O se conserva rígidos: su momento conserva si el momento momento total respecto respecto a O debido debido a fuerzas fuerzas y pares pares externos externos es cero. total

En los siguientes siguientes ejemplos ejemplos mostramos mostramos el uso de los principios principios del impulso impulso la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal y del impulso impulso y el momento momento angulares angulares para movimientos de cuerpos cuerpos rígidos. Se debe para analizar analizar movimientos debe considerar considerar el uso de la cantidad cantidad de movimiento movimiento cuando cuando se conocen conocen las fuerzas fuerzas y pares pares sobre sobre cuerpo enfunción en función del tiempo tiempo y se les quiere relacionar relacionar con los cambios cambios un cuerpo velocidad de su centro centro de masa masa y con su velocidad en la velocidad velocidad angular. angular. y


8.4 IENTO 8.4 PRINCIPIOS PRINCIPIOS DEL IMPULSO IMPULSO Y LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIM MOVIMIENTO

Ejemplo 8.4 1)

El disco A de la Fig. 8.19 tiene inicialmente una velocidad velocidad angular inicialmente una angular antihoraria antihoraria Wo y el disco B está reposo . En t == O, los discos se ponen ponen en contacto. está en reposo. contacto. DebiDebi-

o

do a la fricción punto de contacto, velocidad angular fricción en el punto contacto, la velocidad angular de A disminuye disminuye y la de B aumenta hasta que no hay resbalamiento resbalamiento entre aumenta hasta entre ellos. ellos. ¿Cuáles ¿Cuáles son sus velocidades velocidades angulares A Y Y WB? Los discos están angulares finales W WA están soportados soportados en sus centros masa, y sus momentos masa son lA e lB' centros de masa, momentos de inercia inercia de masa lB'

66

"--~.=...J "'-----'

Posición inicial Posición

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como respecto a ejes fijos pasan por por sus centros Como los discos giran giran respecto fijos que pasan centros de masa masa mientras podemos aplicar principio del impulso momientras están están en contacto, contacto, podemos aplicar el principio impulso y el momento angulares .30) a cada resbalamento angulares según la Ec. (8 (8.30) cada disco. Cuando Cuando ya no hay resbalamiento entre velocidades son iguales en su punto punto de contacto. miento entre los discos, discos, sus velocidades contacto. Con esta relación cinemática y las expresiones expresiones que se obtienen obtienen con el principio Con relación cinemática principio angulares, podemos determinar las velocidades finales. del impulso y el momento momento angulares, podemos determinar SOLUCiÓN SOLUCiÓN

Tiempo t Tiempo

dibujamos los diagramas diagramas de cuerpo cuerpo libre de los discos mientras mientras En la Fig. (a) dibujamos resbalan, fricción que ejercen ejercen entre entre sí. resbalan, mostrando mostrando las fuerzas normales normales y de fricción Para aplicar aplicar la Ec. (8.30) al disco A, coincidir el punto Para A, hacemos hacemos coincidir punto fijo O con centro. Si ti es el tiempo su centro. tiempo en que el resbalamiento resbalamiento cesa,

= O =

Figura 8.19

t2 2

1j

t

'L,Modt bModt

IW2 = lúJ2

IWI : lúJ¡

t, tI

¡t!

-RA!A! dt dt -R

=

IAwA IAúJA - IAwo. IAúJo.

También aplicamos aplicamos la Ec. (8.30) al disco B: También t2t 2

lj

'L,Modt bModt

IW2 -lwI = lúJ2-lúJ¡

:

ttI,

¡t! ¡t!

dt -RBB! ! dt

-IBwB = -IBúJB -

O.

(Observe que hemos definido WB WB como como positiva dirección horaria.) (Observe hemos definido positiva en la dirección horaria.) Dividimos la primera ecuación entre entre la segunda segunda y escribimos escribimos el resultado como dimos primera ecuación resultado como Diagramas de cuerpo (a) Diagramas cuerpo libre de los discos. discos. contacto: Sin resbalamiento, resbalamiento, las velocidades velocidades son iguales en el punto punto de contacto:

Resolviendo estas dos ecuaciones ecuaciones obtenemos obtenemos Resolviendo

Observe que si los discos tienen tienen el mismo mismo radio radio y momento momento de inercia inercia de masa, masa, Observe = !wo Yy WB ~wo' WB = !wo'

WA WA

iwo


393 393

394

CAPíTULO IENTO EN LA DINÁMICA CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIM MOVIMIENTO DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

-------:--------11

Ejemplo Ejemplo 8.5 8.5

I---------~-------'

Se quiere un poste poste de público que nivel del quiere diseñar diseñar un de alumbrado alumbrado público que falle falle al nivel del suelo suelo por un un vehículo, vehículo, a fin prevenir daños pasajeros (Fig. al ser ser golpeado golpeado por fin de de prevenir daños a los los pasajeros (Fig. 8.20). En del impacto impacto la la velocidad angular del del poste de 0.74 0.74 rad/s En una una prueba prueba del velocidad angular poste es de rad/s 8.20). velocidad horizontal horizontal de punto central 22 pie/s pie/ s después y la la velocidad de su su punto central es de de 22 después del del impacto, impacto, cuya At = 0.01 poste se modela modela como barra esbelta cuya duración duración es de de At 0.01 s. Si el poste como una una barra esbelta de 20 pies pies y 140 lb, pies sobre terreno de 20 lb, Y si se supone supone que que el auto auto lo golpea golpea a 2 pies sobre el terreno par ejercido poste por por sus puede ignorar, y que que el par ejercido sobre sobre el poste sus soportes soportes se puede ignorar, ¿qué ¿qué media cortará pernos que poste? fuerza fuerza media cortará los los pernos que soportan soportan al poste?

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos usar usar los principios del momento angular, Podemos los principios del impulso impulso angular angular y el momento angular, expreexpresados en en función función de de la fuerza fuerza media ejercidos sobre sobre el sados media y el momento momento medio medio ejercidos para determinar media. poste, para poste, determinar la la fuerza fuerza cortante cortante media.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN En la Fig. Fig. (a) poste, donde En (a) dibujamos dibujamos el diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre del del poste, donde F es la fuerza media ejercida por el auto media ejercida por fuerza media ejercida por auto y S es la la fuerza fuerza cort
Figura 8.20 yy

t¡)(I:Fx)media = (mvxh (mvxh - (mv (mvxx)¡)' : (t2 - t¡)(I:Fx)media

(8.33) (8.33)

II

/':;.t(F At(F - S) S)

,;!1

[(r x mv)· [(r mv)· k

10 pies pies F

~_ ~-.IJ..- _

S S

-,-1_

_

_

xx

O

(a) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre libre del del poste. poste. y

II .---1w ¿-1-r-.z

+ Iwh Iwh = [(10j) [(lOj)

--+ ¡ _ ---Ll_ x 10 pies

O

= [(r Iw)z [(r x mv)· mv)· k + Iwh

At(-2F) = At(-2F) = -lOmv -lOmv

+ Leo Iw = -lOmv -lOmv + lIw. t»,

+ Leo Iw -

[(r [(r x mv) mv)·. k

+ Iw]¡ fw],

:

O.

Resolviendo esta j unto con Ec. (8.33) para la fuerza media Resolviendo esta ecuación ecuación junto con la la Ec. (8.33) para fuerza cortante cortante media S, obtenemos obtenemos 8(140/32.2)(22) fz (140/32.2) (2W (0.74) 8(140/ 32.2)(22) - i'2(140/32.2)(2W(0.74)

8mv 8mv - IIw co S = - - -S=---2/':;.t 2At

(b) Velocidad Velocidad y velocidad velocidad angular angular al final final del del impacto. impacto.

2(0 .01) 2(0.01)

= http://carlos2524.jimdo.com/

l.

x m(vi)]· m(vi)]· k

(También podemos obtener de la cantidad (También podemos obtener esto esto calculando calculando el "momento" "momento" de la cantidad de de movimiento lineal respecto a O y sumando término Iw. Iw . La La magnitud magnitud del' 'momovimiento lineal respecto sumando el término del "momento" es el producto producto de magnitud de mento" de la magnitud de la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento lineal lineal (mv) (mv) por la distancia perpendicular de cantidad de movipor distancia perpendicular de O a la línea línea de de acción acción de de la la cantidad de movimiento lineal pies), y es negativo negativo porque porque el "momento" tiene dirección miento lineal (10 (10 pies), "momento" tiene dirección opuesta la de positiva. Véase Véase la Fig. Fig. 8.16.) Expresamos el principio principio del opuesta a' ala de la w positiva. 8.16.) Expresamos del impulso momento angulares momento medio medio respecto respecto a O: impulso y el momento angulares en en función función del del momento (t2 - tt¡)(I:Mo)media d(I:Mo)media

v

r

O.

Para aplicar principio del momento angular, usamos Para aplicar el principio del impulso impulso angular angular y el momento angular, usamos la Ec. Ec. (8.31) punto fijo poste (Fig. (8.31) colocando colocando el punto fijo O en en el extremo extremo inferior inferior del del poste (Fig. momento angular poste respecto respecto a O al final a) El momento a).. El angular del del poste final del del impacto impacto es

mg pies{ ----+ --+ 22 pies{ ...

= mv mv -

32900 32900 lb.

8.4 PRINCIPIOS PRINCIPIOS DEL IMPULSO IMPULSO Y LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO 8.4

395

Problemas "-'-_ _ _ _-..o_.....:...""""-..... Problemas ¡;...-_____ 1---..;...0 suelo (Fig. ad/s acto, belta reno ¿qué

8.45 La unidad unidad de maniobras una fuerza maniobras del Probo 8.44 ejerce una una veloimpulsora impulsora T de 0.2 s de duración, duración, dando dando al astronauta astronauta una cidad por minuto. cidad angular angular antihoraria antihoraria de una una revolución revolución por minuto. valor medio (a) ¿Cuál ¿Cuál es el valor medio de la fuerza fuerza impulsora? impulsora? (b) ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud del cambio cambio de velocidad velocidad de su centro centro de masa? masa?

prere el

8.46 Un volante unido a un motor reposo. volante unido motor eléctrico está en reposo. En t = O, el motor par M motor ejerce ejerce un par M = 200e- OO..1111 N-m sobre sobre el volante, volante, cuyo momento momento de inercia inercia de masa es de 10 10 kg-m kg-m-.2 • (a) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad angular angular del volante volante en t == 10 s? ¿Cuál es la máxima máxima velocidad velocidad angular angular que alcanzará? alcanzará? (b) ¿Cuál

esla por e su ipio erza

.33)

mos

ig.

8.43 El momento polea mostrada momento de inercia inercia de masa masa de la polea mostrada es de 004 polea parte parte del reposo 004 slug-pie slug-pie-.2 . La polea reposo en t == O. O. En ampara principios de la cantidad bos casos, casos, use los principios cantidad de movimiento movimiento para determinar determinar la velocidad velocidad angular angular de las poleas en t = 1 s.

20 lb (a) (a)

(b)

P8.43 P8.43

astronauta dispara dispara un impulsor impulsor de su unidad unidad de ma8.44 Un astronauta niobras ejerciendo ejerciendo una fuerza T = 2(1 2(1 + t) N, donde donde t está está una fuerza niobras segundos. . La masa masa combinada combinada del astronauta astronauta y su equipo equipo en segundos 122 kg, kg, Y Y el momento momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto al centro centro es de 122 masa común común es de 45 kg-m kg-m-,2 • Modelando Modelando al astronauta astronauta y a de masa equipo como como un cuerpo cuerpo rígido, rígido, use el principio impulso su equipo principio del impulso angular y el momento momento angular angular para determinar cuánto cuánto tarda tarda para determinar angular velocidad angular angular en alcanzar alcanzar el valor valor de 0.1 rad/s. rad/s. su velocidad

w. de

P8.46 P8.46

Una rueda rueda del tren tren de aterrizaje aterrizaje de un Boeing 747 tiene 8.47 Una momento de inercia inercia de masa masa de 17 17 slug-pie slug-pie-2 y un radio radio de un momento avión se mueve a 245 pie/s aterrizar. Suponga Suponga que pie/s al aterrizar. 2 pies. El avión marcas de resbalamiento resbalamiento que deja deja el avión avión al aterrizar aterrizar son las marcas largo. Si la velocidad velocidad del avión y la fuerza normal normal de 30 pies de largo. sobre la rueda rueda son constantes constantes mientras mientras ésta resbala, resbala, use el prinprinsobre impulso angular angular y el momento momento angular angular para calcular para calcular cipio del impulso fuerza de fricción fricción ejercida ejercida sobre sobre la rueda rueda al resbalar. resbalar. la fuerza muestra la fuerza fuerza que un bastón sobre una una pelo8.48 Se muestra bastón ejerce sobre golf de 1.62 onzas. onzas. La pelota diámetro ta de golf pelota tiene 1.68 pulg de diámetro modelar como como una esfera homogénea. homogénea. El bastón toca una esfera bastón toca y se puede puede modelar durante 0.0006 s, y la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del la pelota pelota durante centro de masa masa de la pelota después del golpe es de 160 160 pie/s. pie/s. pelota después centro velocidad angular angular adquiere adquiere la pelota? ¿Qué velocidad pelota?

0-

u)

viión del O:

dia

P8.44 P8.44 P8.48 P8.48


396 396

ENERGíA Y Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN EN LA lA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 88 ENERGíA CAPíTULO

8.49 En En la la Fig. Fig. P8.49, P8.49, la la barra barra esbelta esbelta suspendida suspendida de de 88 kg kg 8.49 está sometida sometida aa una una fuerza fuerza horizontal horizontal impulsora impulsara en en B. B. El El valor valor está medio de de la la fuerz fuerza
8.52 8.52 Una Una persona persona de de pie pie sobre sobre una una plataforma plataforma en en rotación rotación sostiene sostiene un un peso peso en en cada cada mano. mano. Suponga Suponga que que el el momento momento de de inercia inercia de masa masa de de la persona persona y la la plataforma plataforma es es de de 0.3 0.3 slug-pie slug-pie",2, y que que el momento momento de de inercia inercia de masa masa de cada cada peso peso de 8lb 8 lb respecrespecto a su propio propio centro centro de m'asa masa es de 0.0008 0.0008 slug-pie slug-pie-.2 • Si Si la la velovelocidad cidad angular angular de la persona persona con con sus brazos brazos extendidos extendidos es w) w) = = 11 rev/ rev/s,s, ¿cuál ¿cuál es su velocidad velocidad angular angular W2 W2 cuando cuando ella ella recoge recoge los brazos? brazos? (Los (Los patinadores patinadores usan usan esta esta maniobra maniobra para para controlar controlar su velocidad velocidad angular angular durante durante las las rotaciones rotaciones alterando alterando las posiposiciones ciones de sus brazos.) brazos.)

----'i

,1 '

J f ~

I

P8.49 P8.49

~

'

": k

2 pie

8.50 ¿Para qué qué valor valor de la distancia distancia h del del Probo 8.49 no habrá 8.50 ¿Para Probo 8.49 no habrá fuerza horizontal horizontal media media ejercida ejercida por soporte A sobre sobre la barra fuerza por el soporte barra cuando la fuerza fuerza impulsora impulsora horizontal aplique en en B? ¿Cuál cuando horizontal se aplique B? ¿Cuál angular de de la barra después de de que que se aplica aplica es la velocidad velocidad angular barra justo justo después la fuerza fuerza impulsora? impulsora? 8.51 En En la Fig. Fig. P8.51 P8.51 la 8.51 la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre sobre la bola bola por por el taco es horizontal. taco horizontal. Determine Determine el valor valor de de h para para el cual cual la bola bola rueda sin resbalar. rueda sin resbalar. (Suponga (Suponga que que la la fuerza fuerza media media de de fricción fricción ejercida sobre sobre la ejercida la bola bola por por la la mesa mesa es insignificante.) insignificante.)

P8.52 P8.52

8.53 Un Un transbordador transbordador espacial espacial libera libera dos dos satélites satélites conectaconecta8.53 pueden modelar modelar como como dos, que que después después se se separan. separan . Éstos Éstos se pueden dos, cilindros homogéneos homogéneos idénticos idénticos de de masa masa m, radio radio R yy longitud longitud cilindros l. Antes Antes de de separarse separarse están están girando girando alrededor alrededor de de un un eje eje perpenperpendicular al al eje eje de de los los cilindros cilindros con con velocidad velocidad angular angular ww (Fig. (Fig. a). a). dicular La conexión conexión se se libera libera yy ellos ellos se se alejan alejan entre entre sí sí (Fig. (Fig. b). b). La (a) Use Use la la conservación conservación del del momento momento angular angular para para determinar determinar (a) la velocidad velocidad angular angular w' w' de de los los satélites satélites individuales. individuales. la (b) ¿Cuál ¿Cuál e¿ la la magnitud magnitud de de la la velocidad velocidad vv de de sus sus centros centros de de (b) masa respecto respecto aa la la velocidad velocidad de de sus sus centros centros de de masa masa antes antes masa de de separarse? separarse?

00'

P8.51 P8.51

---í /T.,~_Y. ¡;·•••

LA ."'."-,"

(a) (a)

(b)

P8.53 P8.53


8.5 IMPACTOS IMPACTOS 397 8,5 ión

de ie2,

ecelo1=

8.54 Un satélite satélite tiene tiene velocidad velocidad angular angular w w = = 1 rad/s rad/s (Fig. (Fig. Un 8.54 a). En En cie\ cierto momento se extienden extienden dos antenas, cada cada una una de to momento dos antenas, a). longitud igual i ual al diámetro diámetro del del satélite, satélite, y la velocidad velocidad angular angular longitud éste disminuye disminuye a w' (Fig. (Fig. b), Modelando el satélite satélite como como una una b). Modelando de éste esfera de 500 500 kg y Y 1.2 1.2 m de radio radio y cada cada antena antena como como una una barra esfera barra esbelta de 10 kg, kg, determine determine w'. esbelta

los lar si-

8.55 La barra barra esbelta esbelta mostrada mostrada gira gira libremente libremente en un plano 8.55 La plano horizontal respecto respecto a un un eje eje vertical vertical en en O. O. La La barra horizontal barra pesa pesa 20 lb longitud es de 6 pies. deslizador A pesa 2 lb. Si la velocivelociyY su longitud pies. El deslizador pesa 21b. dad angular angular de la barra componente radial radial dad barra es w = 10 rad/s rad/s y la componente velocidad de A es cero cero cuando cuando r = 1 pie, ¿cuál es la velocivelocipie, ¿cuál de la velocidad dad angular angular de la barra cuando r == 4 pies? (El momento momento de dad barra cuando pies? (El inercia de de masa masa de A respecto respecto a su centro centro de masa masa es insignifiinsignifiinercia cante; es decir, decir, considere considere a A como como una cante; una partícula.) partícula.)

ta

~

~=O ~=0 ~ro

ro'

1----- 2.4 2.4ID m 1---

=2=.4=m=--¡== i--==2.4=m==.¡' P8.55 P8.55

(b)

P8.54 P8.54

Impactos 8.5 Impactos 52

ao d ).

Cap. 5 analizamos analizamos los impactos impactos entre entre cuerpos cuerpos para determinar las En el Cap. para determinar velocidades de sus centros centros de masa masa después de la colisión. colisión. Ahora Ahora analizaanalizavelocidades determinar las velocidades velocidades de los centros centros de masay masay las velocidamos cómo determinar angulares de cuerpos cuerpos rígidos rígidos después de que chocan. chocan. des angulares

Conservación de la cantidad cantidad de movimiento Conservación Supongamos que dos cuerpos cuerpos rígidos A A yB B que se mueven mueven en el mismo Supongamos plano, chocan. ¿Qué dicen los principios cantidad de movimiento movimiento plano, chocan. principios de la cantidad momento angular angular sobre sobre sus movimientos movimientos después del golpe? lineal y del momento Cantidad de movimiento movimiento lineal lineal Si otras otras fuerzas fuerzas son insignificantes insignificantes Cantidad comparación con las de impacto impacto que A y B ejercen ejercen entre entre sí, su cantidad cantidad en comparación movimiento lineal total total es la misma misma antes y después. después. Hay que ser cuidacuidade movimiento aplicar este resultado. resultado. Por Por ejemplo, ejemplo, si uno uno de los cuerpos cuerpos tiene doso al aplicar soporte de pasador reacciones que éste ejerce no se pueun soporte pasador (Fig. 8.21), las reacciones ignorar y la cantidad cantidad de movimiento movimiento no se conserva. conserva. den ignorar 8.21 Figura 8.21 A

B

Cuerpos rígidos rígidos A y B en colisión. colisión. Cuerpos Debido al soporte soporte de pasador, Debido pasador, su cantidad de movimiento movimiento lineal lineal total total no se cantidad conserva, , pero momento angular angular conserva pero sí su momento total respecto respecto a o. O. total


398 398

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA DE C CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO PLANA DE UERPOS RíGIDOS

Momento angular angular Si otras otras fuerzas fuerzas y pares son insignificantes insignificantes en en comcomMomento pares son paración con los los de de impacto impacto que que A y B ejercen ejercen entre entre sí, su su momento momento anguanguparación con lar total cualquier punto fijo mismo antes antes y después después lar total respecto respecto a cualquier punto fijo es el mismo del impacto impacto (véase (véase la la Ec. Ec. 8.32). 8.32). Si además además A y B ejercen ejercen sólo sólo fuerzas fuerzas entre entre del en su su punto de impacto impacto P, P, es decir, decir, ningún ningún par, momento angular angular sí en punto de par, el momento respecto de cada cada cuerpo cuerpo es el mismo mismo antes antes y después después del del impacto impacto (Fig. (Fig. respecto a P de 8.22). Este Este resultado resultado se infiere infiere del del principio del impulso impulso angular angular y el momo8.22). principio del mento angular, angular, Ec. Ec. (8.29), (8.29), porque las fuerzas fuerzas de de impacto impacto sobre sobre A y B no mento porque las no ejercen momento momento respecto de los los cuerpos cuerpos rígidos tiene un soporejercen respecto aP. Si uno uno de rígidos tiene un soporde pasador en un 0, como como en en la la Fig. Fig. 8.21, 8.21, su su momento angular te de pasador en un punto punto 0, m~mento angular total es el mismo total respecto respecto a mismo antes antes y después después del del impacto. impacto. Figura 8.22

°

°

Cuerpos rígidos A y B en colisión en P. Si se ejercen sólo fuerzas en P, se conservan el momento angular de A respecto a P y el momento angular de B respecto a P.

B

A

Coeficiente de de restitución restitución Coeficiente dos cuerpos cuerpos rígidos rígidos se adhieren adhieren y mueven mueven como como uno solo después después de Si dos uno solo chocar, sus sus velocidades velocidades y velocidades velocidades angulares angulares se pueden determinar chocar, pueden determinar usando sólo la la conservación conservación del del momento momento angular angular y las las relaciones cinemáusando sólo relaciones cinemáticas. no bastan bastan si los pero algunos ticas. Éstas Éstas no los cuerpos cuerpos no no se adhieren, adhieren, pero algunos impactos impactos de este este tipo tipo se pueden analizar con con el concepto concepto de de coeficiente coeficiente de de restitución. pueden analizar restitución. de Sea P el punto punto de contacto contacto de de los los cuerpos cuerpos rígidos durante un un Sea rígidos A y B durante impacto (Fig. (Fig. 8.23), 8.23), Y sean sean sus sus velocidades velocidades en en P V AP antes impacto justo antes AP Y V BP BP justo del impacto, impacto, y v~p y v~pjusto después. El eje eje x es perpendicular las susudel v~p justo después. perpendicular a las perficies de contacto contacto en enP. la fricción fricción que que resulta del impacto impacto es insignifiinsignifiperficies de P. Si la resulta del cante, podemos mostrar que que las componentes componentes de las velocidades velocidades normales normales a cante, podemos mostrar la superficie superficie en en P se relacionan relacionan con con el coeficiente coeficiente de restitución mediante la restitución e mediante

• I

Para deducir deducir esto esto debemos debemos considerar considerar los los efectos efectos del del impacto impacto sobre sobre los los Para cuerpos individuales. individuales. Sea Sea ti el tiempo tiempo en en el que que entran entran por vez por primera primera vez cuerpos en contacto. contacto. Los Los cuerpos cuerpos no son realmente sino que que se deformarán deformarán en no son realmente rígidos, rígidos, sino por la colisión. colisión. En En un tiempo te tendrá tendrá lugar lugar la la deformación deformación máxima máxima y por la un tiempo los cuerpos cuerpos entrarán entrarán en en una fase de de "recuperación" "recuperación" en la la que que tienden tienden a los una fase en retomar sus formas formas originales. originales. Sea Sea t22 el tiempo tiempo en en que que se separan. separan. retomar sus Figura Cuerpos rígidos A y B en colisión en P. El eje x es perpendicular perpendicular a las superficies contacto. de contacto.

y

B

..


8.5 8.5 IMPACTOS IMPACTOS 399 399

comanguspués entre guiar (Fig. Imo-

El primer primer paso paso es es aplicar aplicar el el principio principio del del impulso impulso yy la la cantidad cantidad de de movimoviEl A yy B en en los los intervalos intervalos de de tiempo tiempo de de tit i aa te te Y Yde de te te aa tt22• . miento lineal lineal aa A miento Sea R R i¡a magnitud de de la la fuerza fuerza normal normal ejercida ejercida durante durante el el impacto impacto (Fig. (Fig. Sea a magnitud VAe Y v~ la velocidad del centro de masa de A 8.24). Denotamos Denotamos con con vVA' 8.24). A' v Y v~ la velocidad del centro de masa de A Ae en los los tiempos tiempos ti' ti' te te YYt22,, YYcon con vVB' VBe Y v~ las velocidades correspondienen B. v Y v~ las velocidades correspondienBe tp.s del centro centro de de masa masa de de B. B. Para Para A A tenemos tenemos resdel (8.34)

Bno

oporguiar

(8.35) y

para B, para (8.36)

(8.37)

de inar

Figura 8.24 8.24 Fuerza Fuerza normal normal R resultante del impacto. impacto.

A A

y

má-

ctos

los vez

rán ay na

El coeficiente coeficiente de restitución restitución es es la relación relación entre entre el impulso impulso lineal durante durante la fase de recuperación recuperación y el el impulso impulso lineal durante durante la fase de deformación: deformación:

Jt,r

}" ee ==

1.\

l.t~c

R dt Rdt Rdt Rdt

ti ti

Si Si dividimos dividimos la la Ec. (8.35) (8.35) entre entre la la Ec. (8.34) y la la Ec. (8.37) entre entre la la Ec. (8.36), (8.36), podemos podemos escribir las ecuaciones ecuaciones resultantes resultantes como como (8.38) (8.38)

Aphcamos ahora ahora el el principio principio del del impulso impulso angular angular yy el el momento momento angular angular AplIcamos aa A de te A yy B B en en los los intervalos intervalos de de tiempo tiempo de de tIti aa te te Y Yde te aa tt22.• Denotamos Denotamos con con http://carlos2524.jimdo.com/

400 400


w~ la la velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria de de A A en en los los tiempos ti' ti' te te Y w~ WB' WBe WBe Y w~ w~ las las velocidades velocidades angulares angulares correspondientes correspondientes de de B. B. WB' Escribimos Escribimos los los vectores de de posición posición de de P respecto aa los centros centros de de masa de A A yB B como (Fig. 8.24) de WA' WAe WAe WA'

I

Ycon yy tt2, con 2, Y

s rp/B

=

XB

i

n

+ YB j.

Para aplicar aplicar a A A el principio principio del impulso impulso angular angular y el momento momento angular, angular, Para colocamos el punto punto fijo O en el centro centro de masa masa de A A.. Entonces, Entonces, el momento momento colocamos respecto a O de las fuerzas que el impacto impacto ejerce sobre sobre A Aeses r p//AA X (-Ri) (-Ri) respecto yARk, yY obtenemos obtenemos == yARk, te

l

= IAúJAc - IAúJA,

yARdt

(8.39)

ti

(8.40) Las ecuaciones para B, obtenidas punto ecuaciones correspondientes correspondientes para obtenidas colocando colocando el punto centro de masa masa de B, son fijo O en el centro

¡

te -yBR

dt =

IBÚ)BC -

IBÚ)B,

(8.41)

I 1 t

ti

(8.42) Dividiendo Dividiendo la Ec. (8.40) entre entre la Ec. (8.39) y la Ec. (8.42) entre entre la Ec. (8.41), (8.41), podemos podemos escribir escribir las ecuaciones ecuaciones resultantes resultantes como como

(8.43) ú)~ = - ú)Be

+ ú)Bc(l + e) .

Expresando Expresando la la velocidad velocidad del punto punto de A en P en función función de la la velocidad velocidad del centro centro de masa masa de A yy de la la velocidad velocidad angular angular de A, A, Y expresando expresando la la velocidad velocidad del punto punto de BB en en PP en función función de la la velocidad velocidad del centro centro de masa la velocidad velocidad angular angular de B, obtenemos obtenemos masa de B yy de la

(8.44)

En el el tiempo tiempo te, te, las las componentes componentes xx de de las las velocidades velocidades de de los los dos dos cuerpos cuerpos En son son iguales iguales en en P, P, lo lo que que da da la la relación relación (8.45) (8.45)


e s

8.5 IMPACTOS IMPACTOS 401 ¡, te eB. asa

De las Ecs. (8.44),

••

• (v~p)x (v~p)x - (v~p)x (v~p)x (VAP)x (VBP)x (VAP)x - (VBP)x

+ úJ~YA úJ~YA (VB)x (VB)x + úJB YB YB

(V~)x (V~)x - úJ~YB úJ~YB - (v~)x (v~)x

(VA)x (VA)x - úJAYA úJAYA -

Sustituyendo las Ecs. (8.38) y (8.43) en esta ecuación ecuación y agrupando agrupando térmiSustituyendo térmi nos, nos, obtenemos obtenemos ar, nto Ri)

9)

(V~p)x úJACYA - (VBc)x (VBc)x + úJBCYB úJBCYB ] (e (e (V~p)x - (v~p)x (v~p)x == ee __ [(VAc)X [(VAc)X - úJACYA (VAP)x (VBP)x (VA)x úJAYA (VB)x + úJBYB (VAP)x (VBP)x (VA)x úJAYA (VB)x úJBYB

+ 1).

El término término entre entre corchetes corchetes desaparece desaparece debido debido a la Ec. (8.45), y obtenemos obtenemos ecuación que relaciona componentes normales la ecuación relaciona las componentes normales de las velocidades velocidades en el punto punto de contacto restitución: contacto con con el coeficiente coeficiente de restitución: (8.46)

to

Para Para obtener obtener esta ecuación ecuación supusimos supusimos que las superficies superficies de contacto contacto son lisas, por por lo que la colisión colisión no ejerce ejerce fuerza fuerza sobre sobre A o B en la dirección dirección tangente tangente a sus superficies superficies de contacto. contacto. Aunque hipótesis de que los movimientos movimientos Aunque dedujimos dedujimos la Ec. (8.46) con la hipótesis están restringidos, están, por ejemplo restringidos, también también es válida válida si lo están, por ejemplo de A y B no están si uno pasador. uno de ellos está conectado conectado a un soporte soporte de pasador.

En los siguientes siguientes ejemplos ejemplos analizamos analizamos colisiones colisiones de cuerpos cuerpos rígidos rígidos en momovimiento plano. El El método colisión. Si Si otras fuerzas vimiento plano. método dependerá dependerá del tipo de colisión. otras fuerzas son insignificantes fuerzas de impacto, insignificantes en comparación comparación con las lasfuerzas impacto, la cantidad cantidad de movimiento Si otras fuerzas y pares pares son son insignimovimiento lineal total total se conserva. conserva. Si otras fuerzas ficantes en comparación fuerzas y pares pares de impacto, ficantes comparación con las fuerzas impacto, el momento momento angular respecto a cualquier punto fijo fijo se conserva. Si además angular total total respecto cualquier punto conserva. Si además se punto de impacto ejercen sólo fuerzas fuerzas en el elpunto impacto P, el momento momento angular angular respecto respecto a P de cada cuerpo Si uno cuerpo rígido se conserva. conserva. Si uno de los cuerpos cuerpos rígidos rígidos tiene un soporte soporte de pasador pasador en un punto punto O, el momento momento angular angular total total respecto respecto a O se conserva. Si se supone supone que el impacto fuerzas sobre sobre los conserva. Si impacto no ejerce fuerzas cuerpos en colisión colisión en la dirección dirección tangencial tangencial a su superficie contacto, cuerpos superficie de contacto, coeficiente de restitución restitución se relaciona, por medio de la Ec. (8.46), (8.46), las el coeficiente por medio punto de contacto. componentes componentes normales normales de las velocidades velocidades en el punto contacto.


402 402

CAPíTULO ICA PLANA CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁM DINÁMICA PLANA DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Ejemplo 8.6 Ejemplo La esfera homogénea 8.25 se está moviendo horizontalmente homogénea de la Fig. 8.25 horizontalmente con veldcidad vvA y velocidad angular cero cuando cuando golpea la barra barra esbelta en reposo.. La esfera tiene masa mAA Yla Ylongitud so Yla barra barra tiene masa mBB Y longitud l. El coeficiente de restitución del impacto es e. (a) ¿Cuál es la velocidad angular de la barra barra después del impacto? duración del impacto impacto es I1t, (b) Si la duración !J.t, ¿qué fuerza horizontal horizontal media ejerce el soporte de pasador soporte pasador e sobre la barra barra como resultado resultado del impacto?


Figura 8.25

(a) De la definición del coeficiente de restitución, restitución, podemos obtener obtener urra una ecuación que relacione la velocidad horizontal horizontal de la esfera con la velocidad de la barra punto de impacto impacto después de que ocurre la colisión. Además, el barra en el punto momento momento angular total total de la esfera y la barra barra respecto al pasador pasador e se conserva. determinar la Con estas dos ecuaciones y las relaciones cinemáticas podemos determinar velocidad de la esfera y la velocidad angular de la barra. barra. (b) Podemos Podemos determinar la fuerza media que ejerce el soporte soporte sobre la barra aplicando a la barra barra aplicando barra angular. el principio del impulso angular y el momento angular. SOLUCiÓN SOLUCiÓN impacto, donde (a) En la Fig. (a) mostramos mostramos las velocidades justo justo después del impacto, v~p es la velocidad de la barra impacto. De la definición del del v~p es barra en el punto punto de impacto. coeficiente de restitución restitución obtenemos

yy

yy

II

II --x -x

e ro B'

U v~

e

1T lh

-

V~p

J

(a) Velocidades de la esfera y la barra impacto. barra después del impacto.


IMPACTOS 8.5 IMPACTOS

ecuación de la conservación conservación del momento angular total La ecuación momento angular total respecto respecto a C es

e con repo-

icien-

rceel

ecuade la ás, el erva. ar la

Efectuando las operaciones operaciones vectoriales vectoriales obtenemos obtenemos Efectuando

Observe en la Fig. (a) que las velocidades velocidades Observe angular de la barra barra w~ w~ mediante mediante dad angular

v~ v~ y v~p v~p

se relacionan relacionan con la veloci-

Tenemos ahora ahora cuatro cuatro ecuaciones ecuaciones con cuatro cuatro incógnitas Tenemos incógnitas v~, v~, v~, v~, v~p v~p y w~. w~. Resolviéndolas para para la velocidad angular de la barra expresión lB == velocidad angular barra y usando usando la expresión solviéndolas 12mBz2, obtenemos obtenemos 12mBz2. onde n del

Consideremos que las fuerzas fuerzas sobre sobre el diagrama diagrama de cuerpo (b) Consideremos cuerpo libre de la barra barra representan las fuerzas fuerzas medias ejercidas durante de la Fig. (b) representan medias ejercidas durante el impacto. impacto. ApliAplicamos el principio principio del impulso impulso angular angular y del momento angular, en la forma camos momento angular, forma dada por la Ec. (8.31), respecto respecto al punto dada punto del impacto: impacto:

1 1 h

Despejando C C;x obtenemos obtenemos Despejando (h - ~l)mBv~ - IBw~ ex = --"------

ht..t

Usando la solución solución para para w~ w~ de la parte = !/wÉ, obtenemos obtenemos Usando parte (a) y la relación relación v~ v~ = fuerza horizontal horizontal media media ejercida ejercida por soporte: la fuerza por el soporte:

rr: .

I-p----'--

x

medias ejercidas ejercidas sobre sobre la (b) Fuerzas Fuerzas medias barra durante durante el impacto. barra impacto.

COMENTARIO COMENTARIO Observe que la fuerza fuerza horizontal horizontal media ejercida por soporte sobre sobre la barra Observe media ejercida por el soporte barra puede tener cualquier cualquier dirección dirección o puede puede puede ser cero, cero, dependiendo dependiendo del lugar lugar en que ocurra el impacto. impacto. La fuerza fuerza es cero si h == ~l. ocurra ~/.


403

404 404

CAPíTULO CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Ejemplo 8.7 masa combinada combinada de la motocicleta motocicleta y el conductor conductor de la Fig. 8.26 es m = La masa 170 centro de masa masa es 170 kg Y su momento momento de inercia inercia combinado combinado respecto respecto a su centro 2 • Después kg-m-. Después de saltar saltar un obstáculo, obstáculo, la motocicleta motocicleta y el conductor de 22 kg-m conductor están posición mostrada mostrada justo antes de que la rueda rueda trasera tán en la posición justo antes trasera toque toque el suelo. centro de masa magnitud Ival = La velocidad velocidad de su centro masa tiene magnitud = 8.8 mis mi s y velocidad velocidad angular w = 0.2 rad rad/s. ambos se modelan modelan como como un un solo cuerpo angular / s. Si ambos cuerpo rígido rígido y coeficiente de restitución restitución del impacto impacto es e = 0.8, ¿cuáles ¿cuáles son la velocidad el coeficiente velocidad angular w' y la velocidad velocidad v~ después del impacto? impacto? Ignore Ignore la componente componente tantanangular fuerza ejercida sobre sobre la rueda rueda de la motocicleta motocicleta durante gencial de la fuer za ejercida durante el impacto. impacto.

Figura 8.26

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Como se ignora ignora la componente componente tangencial tangencial de la fuerza fuerza sobre Como sobre la rueda rueda de la motocicleta durante durante el impacto, impacto, la componente componente de la la velocidad velocidad del centro motocicleta centro de masa paralela paralela al suelo no cambia cambia con el impacto. impacto. El coeficiente coeficiente de restitución restitución masa relaciona la velocidad velocidad de la motocicleta motocicleta normal normal al suelo en el punto relaciona punto de de impacto impacto antes valor después después del impacto. impacto. Además Además, , la fuerza antes de éste con su valor fuerza del impacto impacto momento respecto respecto al punto punto de impacto impacto, , por por lo que el momento no ejerce momento momento anguangumotocicleta respecto respecto a ese punto punto se conserva conserva (suponemos (suponemos que el impacto lar de la motocicleta impacto tan breve que el impulso impulso angular angular debido debido al peso es insignificante). insignificante). Con es tan Con esas relaciones podemos podemos determinar determinar las dos componentes componentes de la velocidad tres relaciones velocidad del centro de masa masa y la velocidad velocidad angular angular después después del impacto. impacto. centro SOLUCiÓN SOLUCiÓN x

alineamos un sistema sistema coordenado coordenado paralelo paralelo y perpendicular En la Fig. (a) alineamos perpendicular al terreno en el punto punto P, P, donde donde ocurre ocurre el impacto. impacto. Sean Ve = v) u) + vyj uyj y v~ v~ = terreno v~i + u~j, v~j, las componentes componentes de la velocidad velocidad del centro centro de masa u~i masa antes antes y después después impacto, respectivamente. respectivamente. Las componentes componentes UVxx y vuyy son del impacto, Vx U

mis, 8.8 cos 50° = 5.66 mi s,

coordenado, (a) Eje x del sistema coordenado, alineado con la tangente tangente al terreno terreno alineado en P. P.

-8.8 sen 50° -8.8


= =

-6.74 mi mis.s. -6.74

8.5 IMPACTOS 405

Como la componente de la fuerza del impacto tangencial al terreno es insignificante, la componente x de la velocidad del centro de masa no cambia: t

v~ =

Vx

= 5.66 mis.

Podemos expresar la componente y de la velocidad de la rueda en P antes del impacto en función de la velocidad del centro de masa y la velocidad angular (Fig. a): d Y d

=j. +

j . Vp

(vG

=j. = vy

¡+ i

Vx

x t ric)

W

vy j

k

j

+ 1 -0.65 O

O -0.78

co O

1I

- 0.65úJ.

(Observe que esta expresión da la componente y de la velocidad en P aun cuando la rueda: está resbalando.) La componente y de la velocidad de la rueda en P después del impacto es

J:

v'p

=J:

+w' x rp/G)

(v'G

= v~ -

0.65úJ'.

El coeficiente de restitución relaciona las componentes y de la velocidad de la rueda en P antes y después del impacto: e-

-(j .v~) (j·vp)

-

-(v~

-

- 0.65úJ')

(8.47)

(vy-0.65úJ)

La fuerza del impacto no ejerce momento respecto a P, por lo que el momento angular respecto a P se conserva: [(rG/p

0.65

x mVG) • k

j 0.78

+ [úJ] =

~1·k+[úJ=

[(rG/p

x mv~)

•k

0.65

j 0.78

k O

mv~

mv~

O

+ [úJ'], •k

+ [úJ'.

Desarrollando los determinantes y evaluando los productos escalares obtenemos 0.65mvy

- 0.78mvx

+ Leo = 0.65mv~

- 0.78mv~

+ Ice',

(8.48)

Como ya determinamos u~, podemos resolver las Ecs. (8.47) y (8.48) para u~ y w'. Los resultados son v~ = -3.84 mis,

w'

=

-14.37 rad/s.

La velocidad del centro de masa después del impacto es v~ = 5.66i - 3.84j mis, y la velocidad angular es 14.37 radls en dirección horaria.


406


DE MOVIMIENTO

EN LA DINÁMICA


Ejemplo 8.8 Se simula una colisión entre dos autos de 1600 kg modelándolos como cuerpos rígidos (Fig. 8.27). El momento de inercia de masa de cada uno respecto a su centro de masa es 960 kg-m-. Se supone que las superficies de contacto en P son lisas y paralelas al eje x, y que el coeficiente de restitución e = 0.2. ¿Cuáles son las velocidades angulares de los autos y las velocidades de sus centros de masa después de la colisión? Figura 8.27

1.8

Mostrar ecuaciones

Mandato

Editar

m I

1

m! 20 mIs

B

B

ESTRATEGIA Como las superficies de contacto son lisas, las componentes x de las velocidades de los centros de masa no cambian con el impacto. Las componentes y de las velocidades deben satisfacer la conservación de la cantidad de movimiento lineal, y las componentes y de las velocidades en el punto del impacto antes y después de éste se relacionan mediante el coeficiente de restitución. La fuerza del impacto no ejerce momento respecto a P sobre ninguno de los autos, por lo que el momento angular de cada uno respecto a P se conserva. De estas condiciones y de las relaciones cinemáticas entre las velocidades de los centros de masa y las velocidades en P, podemos determinar las velocidades angulares y las velocidades de los centros de masa después del impacto.

SOLUCiÓN Las componentes de las velocidades de los centros de masa antes del impacto son VA

= 30 cos 20° i - 30sen 20° j = 28.2 i - 10.3 j

(mis)

y VB

= 20i

(mis).

Las componentes x de las velocidades no cambian con el impacto: V~x

.....•. ,

=

VAx

= 28.2 mis,


V~x

= VBx = 20 mis.

8.5 IMPACTOS IMPACTOS 407

Las la conservación conservación de de la la Las componentes componentes y de las velocidades velocidades deben deben satisfacer satisfacer la cantidad cantidad fle movimiento movimiento lineal: lineal: (8.49) (8.49) u

p

Sean de la la colisión. colisión. El El Sean vAP AP y V BP las velocidades velocidades de los los dos dos autos autos en en P antes antes de coeficiente de de restitución restitución e = 0.2 0.2 relaciona relaciona sus sus componentes componentes y en coeficiente en P: P: I

0.2

I

= _v_B-'PY'-----_v_A_P-'-Y

(8.50) (8.50)

Podemos expresar expresar las las velocidades velocidades en en P después después del del impacto impacto en Podemos en función función de de las las velocidades de los los centros centros de de masa masa y las velocidades velocidades angulares angulares después velocidades después del del imimpacto (Fig. (Fig. a). a). La La posición posición de de P respecto respecto al centro centro de de masa pacto masa del del auto auto A es r P/AA rp/

[(1.8) cos 20° = [(1.8)cos20°

= 1.35 ii --

(1) sen Zí)"] i - [(1.8) [(1.8) sen sen20° cos 20 ]j (l)sen20°]i 20° + (1) (l)cos20°]j 0

1.56j (m). (m). l.56j

y

Por velocidad del del punto punto P del del auto auto A después después del impacto es Por tanto, tanto, la velocidad del impacto

,,

••

,,

••

=

l. · l

l. . ,

VAPx 1 + VAPyJ VAx 1 + VAyJ + VAPxl+VAPyJ=VAxl+VAyJ+

II

ii O 1.35 1.35

j

~ :O~ l·

O -1.56 -1.56

~--~~--~~~----------x

Igualando las componentes componentes en esta esta ecuación ecuación obtenemos obtenemos Igualando ii y j en (8.51) (8.51)

(a) Vectores Vectores de de posición posición de de P respecto respecto al al centro centro de de masa. masa.

La posición posición de de P respecto respecto al centro centro de de masa masa del del auto auto B es La rp/B rp /B

1.8i+ jj (m). (m). = 1.8i+

La velocidad del del punto punto P del del auto auto B después después del del impacto impacto se puede puede expresar expresar como como La velocidad

Igualando componentes obtenemos Igualando las componentes ii y j obtenemos (8.52) (8.52) 'El momento momento angular angular del del auto auto A respecto respecto a P se conserva: conserva: 'El

jj -1.35 -1.35

1.56

~1·k+O= = ~1·k+O

--1.35 1.35

j 1.56

k

OO OO


408

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE C CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO UERPOS RíG IDOS

Desarrollando Desarrollando los determinantes determinantes y evaluando evaluando los productos productos escalares obtenemos obtenemos

(8.53)

El momento momento angular angular del auto auto B respecto respecto a P también también se conserva, conserva,

II

ii --1.8 1.8

j -1

-1.8 -1.8

-1 -1

mBVBx mBVBx

O

m B v~x

mBV~y

jj

k O O O O

. k+ IBw~. k + IBú)~.

De esta ecuación ecuación obtenemos obtenemos (8.54)

Podemos para v~ v~p, w~, w~. Los Podemos resolver resolver las Ecs. Ecs. (8.49) a (8.54) para v~,, v~p, w~, v~, v~p v~p y w~. resultados para las velocidades resultados para velocidades de los centros centros de masa masa de los autos autos y sus velocidades angulares dades angulares son v~ v~

= 28.2i 28.2í -

9.08j 9.08j (mis) (mis),,

ú)~

v~ v~

= 20.0i 20.0í =

1.18j (mis), 1.18j

ú)~

w~

=

2.65 rad/s,

-3.54 rad/s. = -3.54

w~ =

........¡¡;,,¡,¡¡¡¡,,¡,¡;¡¡¡w¡,,¡.¡,.._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _----t·Problemas ---t 'Problemas 1 -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _--.1 '-¡-----------------------'

8.56 En la Fig. P8.56, P8.56, la barra esbelta de 2 kg parte reposo barra esbelta parte del reposo posición vertical vertical y cae, golpeando golpeando la superficie superficie lisa en P. en la posición coeficiente de restitución restitución del impacto impacto es e = 0.5. Al rebotar rebotar El coeficiente través de qué ángulo ángulo respecto respecto a la horizontal horizontal girará? girará? la barra, barra, ¿a través Estrategia: coeficiente de restitución restitución para relacionar Estrategia: Use el coeficiente para relacionar velocidad de la barra después del impacto impacto con su barra en P justo justo después la velocidad valor justo antes. valor justo antes.

T 1m

1

,e

-- --....

8.57 La barra esbelta de masa masa m cae del reposo reposo en la posición posición barra esbelta mostrada y golpea golpea el tope tope liso en A. coeficiente de restitución restitución A . El coeficiente mostrada Demuestre que la velocidad velocidad del centro centro de masa masa de la baes e. Demuestre rra es cero inmediatamente inmediatamente después del impacto impacto si b22 == e[2/ e[2/12. rra 12.

l·l·

......

---1 I

(~--~--~ ~ ~----~)

......

......

(~------~~~------) "-

""

T T h ¡¡

\ \

A

\

\

\ \ \

P8.57

P8.56 P8.56


8.5 IMPACTOS 409

os

8.58 En el Probo 8.57, si m = 2 kg, 1 = 1 m, b = 350 mm, = 200 rv-m,y el coeficiente de restitución es e = 0.4, determine la velocidad angular de la barra después del impacto. h

8.64 La esfera A de 1 kg se mueve a 10 mis cuando golpea el extremo de la barra esbelta B en reposo de 4 kg. Si la esfera queda adherida, ¿qué velocidad angular adquiere la barra?

.53)

8.59 Si la duración del impacto descrito en el Probo 8.58 es de 0.02 s, ¿qué fuerza media ejerce el tope en A sobre la barra durante el impacto?

(¡)~.

T

8.60 El viento ocasiona que el barco de 600 ton ilustrado se mueva lateralmente a 1 piels y golpee el muelle fijo en P. El momento de inercia de masa del barco respecto a su centro de masa es de 3 x 108 slug-pie-, y el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.2. ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto?

2m

1

~

B

A

8.65 En Probo 8.64, ¿cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto si el coeficiente de restitución es e = 0.5?

54)

Los oci-

8.66 En el Probo 8.64, determine la energía cinética total de la esfera y de la barra antes y después del impacto si (a) e = 0.5; (b) e = 1.

P8.60

8.61 En el Probo 8.60, si la duración del impacto del barco con el muelle es de 10 s, ¿cuál es el valor medio de la fuerza ejercida por el impacto sobre el barco?

'ón

ón a2.

P8.64

8.62 Una esfera de llb que se mueve a 20 piel s golpea el extremo de una barra esbelta B en reposo de 10 lb. La barra está articulad a a un soporte fijo en O. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto si la esfera se adhiere a la barra?

8.67 La pelota de 5 onzas se desplaza con velocidad VA 80 piel s perpendicular al bate justo antes del impacto. El jugador blande el bate de 31 onzas con velocidad angular w = 67r rad/s. El punto e es el centro instantáneo del bate antes y después del impacto. Las distancias b = 14 pulg y y = 26 pulg. El momento de inercia de masa del bate respecto a su centro de masa es lB = 0.033 slug-pie-, El coeficiente de restitución es e = 0.6 Y la duración del impacto es de 0.008 s. Determine la magnitud de la velocidad de la pelota después del impacto y la fuerza media A x que ejerce el jugador sobre el bate durante el impacto si (a) d = O;(b) d = 3 pulg; (e) d = 8 pulg.

T

~

o ~

B

w

d

T

3 pies

--. 20 pie/s

1 P8.62 b

8.63

En el Probo 8.62, determine la velocidad de la esfera lisa

y la velocidad angular de la barra después del impacto si el coefi-

ciente de restitución es e

=

-'------'--.

0.8.


e

P8.67

410

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO CUERPOS RíGIDOS

demuestre que la fuerza fuerza Ax 8.68 En el Probo 8.67 demuestre Ax es cero si IB/(mBJ), , dond dond mBB es la masa masa del bate. bate. d = IB/(mEf)

rr

Una barra barra esbelta esbelta de masa masa m se libera libera del reposo reposo en posi8.69 Una horizontal a una una altura altura h sobre sobre una una clavija clavija (Fig. a). Un ción horizontal pequeño gancho extremo de la barra barra se engarza engarza a la clavija, pequeño gancho en el extremo clavija, barra oscila desde la clavija clavija (Fig. b) b).. ¿Qué altura altura mínima mínima y la barra necesaria para para que la barra barra oscile 270 00 desde la posición posición h es necesaria engarza a la clavija? clavija? en que se engarza

l·j.

8.73 La barra barra esbelta esbelta se libera libera del reposo reposo en la posición posición mostrada en la Fig. (a) y cae una trada una distancia distancia h = 1 pie. Cuando Cuando la barra pega soportado por barra pega en el piso, piso, su extremo extremo queda queda soportado por una una depresión y permanece sobre el piso (Fig. b). La longitud permanece sobre longitud de la presión barra es de 1 pie y su peso es de 4 onzas. barra onzas. ¿Cuál ¿Cuál es su velocidad velocidad angular w justo angular justo después después de que toca toca el piso? piso?

.j·1

(b)

(a) (a)

(a)

P8.73

// (b)

P8.69

8.74 En la Fig. P8.74, 8.74 P8.74, la velocidad velocidad del centro centro de masa masa de la gimnasta de 90 lb es 4i 4i - lOj pie/s pie/ s y su velocidad velocidad angular angular es gimnasta sujete la barra barra en A. En la posición cero justo justo antes antes de que sujete posición mostrada, su momento trada, momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto a su centro centro de masa es 1.8 slug-pie slug-pie-,2 • Si se modela masa modela como como un cuerpo cuerpo rígido, rígido, ¿cuál es la velocidad ¿cuál velocidad de su centro centro de masa masa y su velocidad velocidad angular angular justo sujete la barra? justo antes antes de que sujete barra?

conserva la energía energía en el Probo 8.69? Si no no,, ¿cuánta ¿cuánta 8.70 ¿Se conserva energía se pierde? pierde? energía

yy

Una rueda rueda que se puede puede modelar modelar como un disco cilíndricilíndri8.71 Una homogéneo de 1 slug rueda rueda a 10 pie/ pie/ss sobre sobre una una superficie superficie co homogéneo horizontal hacia hacia un escalón escalón de 6 pulg. pulg. Si la rueda rueda permanece permanece horizontal contacto con el escalón y no resbala resbala mientras mientras rueda rueda sobre sobre en contacto velocidad de la rueda rueda una una vez que está sobre el él, ¿cuál es la velocidad escalón? escalón?

A

------~------~---x -------------------x

18 pulg

¡6 pulg

(-8, (-8, -22) -22) pulg

~ ~

P8.71 P8.71

8.71,, ¿cuál es la velocidad velocidad mínima mínima que la 8.72 En el Probo 8.71 rueda debe tener rodar hacia hacia el escalón escalón para para subirlo? subirlo? rueda tener al rodar


P8.74

8.5 IMPACTOS 411

8.78 Determine la velocidad angular del avión del Probo 8.77 inmediatamente después de su aterrizaje si las ruedas no permanecen en contacto con la pista y el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4.

8.75 La placa rectangular homogénea de 20 kg mostrada se libera del reposo (Fig. a) y cae 200 mm antes de que la cuerda unida a la esquina A se tense (Fig. b). Suponiendo que la componente vertical de la velocidad de A es cero justo después de que la cuerda se tensa, determine la velocidad angular de la placa y la magnitud de la velocidad de la esquina B en ese instante.

-¡?

t 200mm

¡

300 mm

~

f--

8.79 Un coche de 2800 lb al derrapar en hielo golpea un poste de concreto a 3 mi/h. El momento de inercia del coche respecto a su centro de masa es de 1800 slug-pie-. Si las superficies impactantes son lisas y paralelas al eje y, y el coeficiente de restitución es e = 0.8, ¿cuál es la velocidad angular del coche y la velocidad de su centro de masa después del impacto?

500 mm

--1

A

B

B (b)

(a)

P8.75

8.76 Una barra esbelta A se mueve sin girar con velocidad Vo cuando golpea una barra esbelta B en reposo. Cada barra tiene masa m y longitud l. Si las barras se adhieren al chocar, ¿cuál es su velocidad angular des ués del impacto?

8.80 Circulando en una calle cubierta de hielo, el auto (A) de 2800 lb de un estudiante golpeó el Rolls-Royce (B) de 6000 lb estacionado del rector. El punto de impacto es P. Suponga que las superficies de impacto son lisas y paralelas al eje y, y que el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.5. Los momentos de inercia de los automóviles respecto a sus centros de masa son lA = 1800 slug-pie- e lB = 5600 slug-pie-. Determine las velocidades angulares de los automóviles y las velocidades de sus centros de masa después de la colisión.

B

A

I

y 1 2

02~'~

~

~~~~~~-~IP 5 pies 6 pulg

P8.76

8.77 En la Fig. P8. 77 la velocidad horizontal del avión al aterrizar es de 50 mis, su velocidad vertical (razón de descenso) es de 2 mis y su velocidad angular es cero. La masa del avión es de 12 Mg Yel momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es 1 x 105 kg-m-. Cuando las ruedas traseras tocan la pista, permanecen en contacto con ella. Ignorando la fuerza horizontal ejercida por la pista sobre las ruedas, determine la velocidad angular del avión justo después de aterrizar.

~-

P8.80

8.81 Cada barra esbelta tiene 48 pulg de longitud y pesa 20 lb. La barra A se libera de la posición horizontal mostrada. Las barras son lisas y el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.8. Determine el ángulo que gira B después del impacto.

,/'

-D ••••

1

.

1-28 pulg-] A

--''''-*,,----1'--;/---

I

I 0.3 m

P8.77


B P8.81

412

CAPíTULO CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

8.82 En la Fig. Fig. P8 P8.82la espacial A se acerca acerca a la B. La 8.82 .?2Ia nave espacial masa masa de A es mAA == 18 18 Mg Y su momento momento de inercia inercia de masa masa

respecto pasa por por su centro paralelo al eje respecto al eje que pasa centro de masa masa paralelo Mg-rn-,2 • La masa masa de B es mB zz es lA = 114 Mg-m mB = 6.6 Mg Ysu Y su mo-

por su centro masa mento masa respecto respecto al eje por mento de inercia inercia de masa centro de masa paralelo refeparalelo al eje z es lB = 70 Mg-m Mg-m-.2 • Respecto Respecto al marco marco de referencia reposo y A se le aproxima rencia mostrado, mostrado, B está en reposo aproxima con velocidad VA = = 0.2i + 0.05j (m i s) y sin velocidad dad VA (mis) velocidad angular. angular. ¿Cuál ¿Cuál es su velocidad velocidad angular angular después de que se acoplan? acoplan?

y

--~------~~---------4----x --+--------Q~--------~----x

~4.3m

(A)

(B)

P8.82 P8.82

Resumen del del capítulo capítulo Resumen Trabajo y energía energía Trabajo trabajo realizado fuerzas y pares externos cuando cuerpo rígido rígido El trabajo realizado por por fuerzas pares externos cuando un cuerpo entre dos posiciones cambio en su energía energía cinética: cinética: se mueve entre posiciones es igual al cambio

u = T22 -

TI.

Ec. (8.4) Ec.

trabajo realizado fuerzas y pares externos e internos sobre un sisteEl trabajo realizado por por fuerzas pares externos internos sobre ma de cuerpos cuerpos rígidos rígidos es igual al cambio cambio en la energía energía cinética cinética total. total. ma energía cinética cinética de un cuerpo cuerpo rígido movimiento plano general es La energía rígido en movimiento plano general 1 22 11 T= = --mv T mv + --la} lú} 22' 2 2'

Ec. Ec. (8.12)

donde v es la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del centro centro de masa masa e 1I es el momento momento donde inercia respecto centro de masa. cuerpo rígido gira respecto de inercia respecto al centro masa. Si un cuerpo rígido gira respecto 0, su energía energía cinética cinética también también se puede expresar como como a un eje fijo 0, puede expresar Ec. (8.13)

trabajo efectuado efectuado por fuerza F sobre sobre un cuerpo cuerpo rígido El trabajo por una una fuerza rígido es Ec. (8.14)

donde r p es la posición aplicación de F F.. Si el punto donde posición del punto punto de aplicación punto de aplicación está en reposo, reposo, o si si la dirección dirección de su movimiento movimiento es perpendicular cación perpendicular trabajo. realiza trabajo. a F, no se realiza http://carlos2524.jimdo.com/

CAPíTULO RESUMEN DEL CAPíTULO

efectuado por por un par par M M sobre sobre un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimienmovimientrabajo efectuado El trabajo plano al girar girar de 011 a O O22 en la dirección dirección de M to plano M es

~--------~--jJr------------~ s

e2

1/2

= U =

l1 1/, e,

M de.

(8.16) Ec. (8.16)

par M es conservativo conservativo si existe una una energía energía potencial potencial V tal que Un par M de = = -dV. -sv,

(8.17) Ec. (8.17)

energía potencial resorte helicoidallineal helicoidal lineal que ejerce un par par kO La energía potencial de un resorte dirección opuesta opuesta a su desplazamiento desplazamiento angular angular O O (Fig. a) es ~k02. ~k02. en la dirección fuerzas y pares pares que trabajan trabajan sobre un cuerpo cuerpo rígido son conservaconservaSi las fuerzas suma de las energías energías cinética cinética y potencial potencial totales totales es constante: constante: tivas, la suma T

+V

= constante. constante. =

(8.19) Ec. (8.19)

Potencia Potencia La potencia una fuerza fuerza F a un cuerpo cuerpo rígido rígido es potencia transmitida transmitida por por una = F . v pp, • P =

(8.20) Ec. (8.20)

donde vp es la velocidad velocidad del punto punto de aplicación aplicación de F. La potencia potencia transtrans- . donde mitida por por un par par M M a un cuerpo cuerpo rígido movimiento plano mitida rígido en movimiento plano es P P == MúJ. MúJ.

(8.21) Ec. (8.21)

potencia media media transmitida transmitida a un cuerpo cuerpo rígido rígido durante intervalo La potencia durante un intervalo cambio en su energía energía cinética, cinética, o al trabajo trabajo total total efecde tiempo tiempo es igual al cambio tuado, dividido dividido entre entre el intervalo intervalo de tiempo: tiempo: tuado, T2 T2 - T¡ TI

Pmedia Pmedia

---- =t: -

tI

U

(8.22) Ec. (8.22)

tz - tI

cantidad de de movimiento movimiento Impulso y cantidad principio del impulso impulso y la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal establece establece que El principio impulso lineal aplicado aplicado a un cuerpo cuerpo rígido rígido durante durante un intervalo intervalo de tiemel impulso po es igual al cambio cambio en su cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal:

1.1.

t2 12

~F :EF

dt = mV2 dt = mV2 -- mv¡. mVI.

Ec. (8.25)

1, t,

resultado también también se puede puede expresar expresar en función función del promedio promedio respecto respecto Este resultado tiempo de la fuerza fuerza total: total: al tiempo (8.26) Ec. (8.26)

únicas fuerzas fuerzas que actúan actúan sobre sobre dos cuerpos cuerpos rígidos rígidos A y B son las Si las únicas fuerzas que ejercen ejercen entre entre sí, o si otras otras fuerzas fuerzas son insignificantes, insignificantes, su canticantifuerzas dad de movimiento movimiento lineal total total se conserva: conserva: dad (8.27) Ec. (8.27)


413

(a)

414 414

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

impulso angular angular y el momento momento angular angular establece establece que El principio principio del impulso impulso angular angular respecto aplicado a un cuerpo cuerpo rígido el impulso respecto a un punto punto fijo O aplicado rígido durante un intervalo intervalo de tiempo cambio en su momento angular durante tiempo es igual al cambio momento angular respecto respecto a O·

1.j(2

12

í:.Modt í:.Modt = = [(r [(r x mv). mv)· k + [wh lwh

l11l

-[(r x -[(r x mv) mv) . k

+ lw]¡. [w]¡o

Ec. (8.29) (8.29) Eco

vector unitario Señalando El vector unitario k es perpendicular perpendicular al plano plano del movimiento. movimiento. Señalando derecha en la dirección dirección de k, los dedos dedos se curvan curvan con el pulgar pulgar de la mano mano derecha dirección positiva también se puede expresar en en la direcCión positiva de w. Este principio principio también puede expresar función del momento función momento medio' respecto respecto a o: (12 (t2 -

ti) (í:.MO) (í:.MO) media = [(r 1wh ti) media = [(r Xx mv) mv) . k + [wh -[(r -[(r

X

mv)· mv) . k+ k + lw]¡. [W]¡o

Ec. (8.31) Eco (8.31)

fuerzas y pares actúan sobre sobre dos cuerpos cuerpos rígidos Si las únicas únicas fuerzas pares que actúan rígidos A y B en movimiento movimiento plano fuerzas y los pares ejercen entre entre plano son las fuerzas pares que se ejercen otras fuerzas fuerzas y pares insignificantes, su momento angular total sí, o si otras pares son insignificantes, momento angular total respecto cualquier punto conserva: respecto a cualquier punto fijo O se conserva:

+IBwB +[BWB

= constante. constante. =

Ec. (8.32) (8.32) Ec.

aun cuando cuando A y B estén sometidos sometidos a fuerzas fuerzas y Este resultado resultado es válido válido aun pares externos considerables considerables si el momento debido a pares externos momento total total respecto respecto a O debido fuerzas y los pares externos es igual a cero. cero. las fuerzas pares externos Impactos Impactos

A y

B B

Supongamos que dos cuerpos cuerpos rígidos movimiento bidimensioSupongamos rígidos A y B, en movimiento bidimensional en el mismo chocan. Si otras otras fuerzas fuerzas y pares insignificantes mismo plano, plano, chocan. pares son insignificantes comparación con las fuerzas fuerzas y los pares impacto que A y B ejercen ejercen en comparación pares del impacto entre sí, su cantidad cantidad de movimiento angular entre movimiento lineal total total y su momento momento angular total cualquier punto conservan. Además, Además, si A y fJ B total respecto respecto a cualquier punto fijo O se conservan. ejercen sólo fuerzas fuerzas entre entre sí en su punto impacto P, P, el momento angular ejercen punto de impacto momento angular respecto cuerpo rígido conserva. Si uno cuerpos rígirespecto a P de cada cuerpo rígido se conserva. uno de los cuetpos soporte de pasador punto O, su momento momento angular angular total total dos tiene un soporte pasador en un punto respecto conserva. respecto a ese punto punto se conserva. impacto (Fig. b). Las componentes componentes normales Sea P el punto punto de impacto normales de' las velocidades coeficiente de restitución velocidades en P se relacionan relacionan con el coeficiente restitución e mediante mediante e = (v~p)x

(b)

- (v~p)x .

(VAP)x - (VBP)x


Ec. (8.46) (8.46) Ec.

415


~ •.•..•.•.•..•. _ ....•.•••.•...••... .......:.. ....•.••....•.••....•.•• ~ Problemas de repaso¡••...• •...•.••.•..•........• L.,¡;¡¡¡;.........._~_~~¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡~~~_~ Problemas de re~)a~io¡;"_ _ _ _ _ _"':"'_ _ _ _ _--I

8.83 El momento momento de inercia inercia de masa masa de la polea polea mostrada mostrada es de 0.2 kg-m. El sistema sistema se libera libera del reposo. reposo. Use el principio principio del trabajo trabajo y la energía energía para para determinar determinar la velocidad velocidad del cilindro cilindro cuando cuando ha caído caído 1 m.

8.86 El carrito figura está en reposo cuando se le aplica aplica 8.86 carrito de la figura reposo cuando una F.. ¿Cuál ¿Cuál será su velocidad cuando haya una fuerza fuerza constante constante F velocidad cuando haya rodado rodado una una distancia distancia b? La masa masa del cuerpo cuerpo del carrito carrito es me me y cada momencada una una de las cuatro cuatro ruedas ruedas tiene masa masa m, radio radio R y momento de inercia inercia de masa masa l. J.

F

5 kg kg

lOkg lOkg

.

~

P8.83 -

!

8.84 Use los principios cantidad de movimiento 8.84 principios de la cantidad movimiento para para determinar determinar la velocidad velocidad del cilindro cilindro de 10 kg del Probo 8.83 un segundo después sistema se libera segundo después de que el sistema libera del reposo. reposo. mostrado tiene una 8.85 El brazo brazo BC BC mostrado una masa masa de 12 kg Ysu Ysu momento centro de masa mento de inercia inercia de masa masa respecto respecto a su centro masa es de punto B está en reposo. reposo. El brazo brazo BC BC está inicial3 kg-m-, kg-m 2 • El punto mente (horizontal) con velocidad mente alineado alineado con el eje x (horizontal) velocidad angular angular cero, cero, y un par par constante constante M aplicado aplicado en B lo hace hace girar girar hacia hacia arriba. arriba. Cuando Cuando está en la posición posición mostrada, mostrada, su velocidad velocidad anguangular antihoraria M. rad/ s. Determine Determine M. antihoraria es de 2 rad/s.

1-

.'-.

..

..

."

• I

P8.86

Cada polea 8.87 Cada polea tiene un momento momento de inercia inercia de masa masa 1 J = 0.003 kg-m-, kg-m2 , y la masa masa de la banda banda es de 0.2 kg. Si se aplica aplica a la polea M = 4 N-m, ¿cuál será polea inferior inferior un par par constante constante M angular cuando su velocidad velocidad angular cuando haya haya girado girado 10 revoluciones? revoluciones?

yy

P8.87

P8.8S P8.85

.l I


416

CAPíTULO 8 ENERGíA ENERGíA Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO EN LA DINÁMICA DINÁMICA PLANA PLANA DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

engrane anular anular está fijo. La masa masa y el momento momento de 8.88 El engrane inercia de masa masa del ep,grane epgrane central central son ms = 22 slugs, 15 = inercia Is = 2 slug-pie-. masa y el momento momento de inercia inercia de masa masa de 4400 slug-pie • La masa cada engrane engrane periférico periférico son mp mp = 2.7 slugs, Ilpp = 65 slug-pie slug-pie-,2 • cada aplica al engrane engrane central central un par par M == 600 pie-lb. Use el trabatrabaSe aplica jo energía para para determinar determinar la velocidad velocidad angular angular del engrane engrane j o y la energía central después de que ha girado girado 100 100 revoluciones. revoluciones. central

mínimo par 8.91 En el Probo 8.89, ¿cuál es el mínimo par M M constante constante necesario para para hacer hacer girar girar la barraAB barraAB 45 ° en dirección dirección horaria? necesario horaria? barra esbelta esbelta de 0.1 kg Y el disco cilíndrico 8.92 La barra cilíndrico de 0.2 mostrados se liberan liberan del reposo reposo con la barra barra horizontal. horizontal. El kg mostrados rueda sobre sobre la superficie superficie curva. curva. ¿Cuál ¿Cuál será disco rueda será la velocidad velocidad angular de la barra barra cuando cuando esté vertical? vertical? angular

Engrane //angularangular

L120mm-

~~Engranes

_Á"""fé'k" ~~~~~~'

(3)

Engrane central P8.88 P8.88

P8.89 el momento momento de inercia inercia de masa masa de la 8.89 En la Fig. P8.89 barra AB AB respecto respecto a A es de 0.0003 kg-m kg-m-.2 • La masa masa de la biela biela barra centro de masa masa está en su punto punto medio medio BC es de 0.36 kg, su centro momento de inercia inercia de masa masa respecto respecto al centro centro de masa masa y su momento kg-m-,2 • El radio radio del pistón pistón C es de 55 55 mm y su maes de 0.0004 kg-m posición mostrada, mostrada, el aire en el cilindro cilindro está está sa de 4.6 kg. En la posición presión atmosférica, atmosférica, Patm Patm = = 1 X 10 1055 Pa. Pa. Suponga Suponga que a la presión conforme el pistón pistón se mueve en el cilindro, cilindro, la presiónp presiónp dentro dentro conforme inversamente proporcional proporcional al volumen. volumen. La fuerza fuerza neta neta de éste es inversamente hacia la izquierda izquierda ejercida ejercida sobre sobre el pistón pistón por por la presión presión es hacia (p - Patm)A, donde A es el área área de la sección transversal transversal del (p Patm)A, donde pistón. Si se aplica aplica un par par constante constante M = 100 100 N-m a la barra barra pistón. AB, ¿cuál es su velocidad velocidad angular angular cuando cuando ha girado girado 45° en diAB, horaria? (Ignore (Ignore la fricción fricción y el trabajo trabajo realizado realizado por por rección horaria? gravitatorias sobre sobre la barra barra y la biela.) biela.) las fuerzas gravitatorias

P8.92 P8.92

Una barra barra esbelta esbelta de masa masa m se libera libera del reposo 8.93 Una reposo en posición vertical vertical y se deja deja que caiga. caiga. Ignorando Ignorando la fricción fricción y suposuponiendo que permanece permanece en contacto contacto con el piso y la pared, niendo pared, deterdetervelocidad angular angular en función función de (). (). mine su velocidad

\\

A B~

300 mm

350 mm

~

l

A

P8.89 P8.89

determine la velocidad velocidad angular angular de la 8.90 En el Probo 8.89, determine barraAB y la velocidad velocidad del pistón pistón cuando barraAB ha girado girado barraAB cuando la barraAB dirección horaria. horaria. 20° en dirección


P8.93 P8.93

PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO 417 417

8.94 En En la la Fig. Fig. P8.94la P8.94la barra barra esbelta esbelta de de 44 kg kg está está articulada articulada 8.94 los desli7fdores desli~adores A A yy B B de de 22 kg. kg . Si Si la la fricción fricción es es insignificante insignificante aa los el sistema sistema parte parte del del reposo reposo en en la la posición posición mostrada, mostrada, ¿cuál ¿cuál es es yy el lavelocidad velocidad angular angularde de la labarra barracuando cuando el el deslizador deslizadorAA ha ha caído caído la 0.5 m? m? 0.5

AA

8.97 Un ingeniero ingeniero decide decide controlar controlar la la velocidad velocidad angular angular de de 8.97 Un un un satélite satélite desplegando desplegando pequeñas pequeñas masas masas unidas unidas aa cables. cables. Si Si la la velocidad velocidad angular angular del del satélite satélite en en la la configuración configuración (a) (a) es es de de 44 rpm, rpm, determine determine la la distancia distancia dd en en la la configuración configuración (b) (b) que que hará hará que que la la velocidad velocidad angular angular sea sea de de 11 rpm. rpm. El El momento momento de de inercia inercia del del satélite satélite es es 1 1= = 500 500 kg-m? kg-m 2 yy cada cada masa masa es es de de 22 kg. kg. (Supon(Suponga ga que que los los cables cables yy las las masas masas giran giran con con la la misma mismavelocidad velocidad anguangular lar que que el el satélite. satélite. Ignore Ignore los los cables cables yy los los momentos momentos de de inercia inercia de de las las masas masas respecto respecto aa sus sus centros centros de de masa.) masa.)

1.2 1.2 ID m

.\.1 (a)

(b) P8.97 P8.97

P8.94 P8.94

8.95 Una Una semiesfera semiesfera homogénea homogénea de masa masa m se libera libera del reposo en la posición posición mostrada. mostrada. Si rueda rueda sobre sobre la superficie superficie horizonhorizontal, ¿cuál es será velocidad velocidad angular angular cuando cuando su superficie superficie plana plana esté horizontal? horizontal?

8.98 Un cilíndrico homogéneo homogéneo de masa sobre Un disco cilíndrico masa m rueda rueda sobre superficie horizontal horizontal con velocidad velocidad angular angular w. Si no resbala resbala la superficie inclinada al entrar entrar en contacto contacto con ella, ¿cuál o deja la superficie inclinada es la velocidad velocidad angular angular w' del disco inmediatamente inmediatamente después? después?

(j)

R

~-----;s.Q~"R P8.98 P8.98

3R 3R

88

P8.95 P8.95

8.96 8.96 ¿Qué ¿Qué fuerza fuerza normal normal ejerce ejerce la la superficie superficie horizontal horizontal sobre sobre la la semiesfera semiesfera del del Prob Proboo 8.95 8.95 en en el el instante instante en en que que su su superficie superficie plana plana está está horizontal? horizontal?


418


DE MOVIMIENTO

EN LA DINÁMICA

8.99 La barra esbelta de 10 lb mostrada cae del reposo en la posición vertical y golpea el tope liso en B. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.6, la duración del impacto es 0.1 s y b = 1 pie. Determine la fuerza media ejercida sobre la barra en B debido al impacto.


8.102 La barra esbelta mostrada se libera del reposo con = 45° Ycae una distancia h = 1 m sobre el piso liso. La longitud de la barra es 1 m y su masa es 2 kg. Si el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4, ¿cuál es la velocidad angular de la barra justo después de tocar el piso? (J

T

l

3 pies

h

1

P8.102

~

A

B b

-1

P8.99

8.100 En el Probo 8.99, determine el valor de b para el cual la fuerza media ejercida sobre la barra en A como resultado del impacto es cero. 8.101 La esfera A de 1 kg mostrada se está moviendo a 2 mi s cuando golpea el extremo de la barra esbelta B en reposo de 2 kg. Si la velocidad de la esfera después del impacto es de 0.8 mis hacia la derecha, ¿cuál es el coeficiente de restitución?

8.103 En el Prob. 8.102, determine el ángulo (J para el cual la velocidad angular de la barra justo después de que toca el piso es máxima. ¿Cuál es esa velocidad angular máxima? 8.104 Una astronauta se traslada hacia un satélite sin rotación a l.Oi (mis) respecto al satélite. Su masa es de 136 kg Y su momento de inercia respecto al eje que pasa por su centro de masa paralelo al eje z es de 45 kg-m-, La masa del satélite es de 450 kg Y su momento de inercia respecto al eje z es de 675 kg-m", En el instante en que ella se conecta al satélite y empieza a moverse con él, la posición de su centro de masa es (-1.8, -0.9, O)m. El eje de rotación del satélite, después de que ella se conecta, es paralelo al eje z. ¿Cuál es su velocidad angular?

T

B

y

2m

~ ~_A

I

1

----------·~------~----x P8.101

P8.104


PROBLEMAS DE REPASO REPASO PROBLEMAS n

suponga que los parámetros 8.105 En el Probo 8.104 suponga parámetros de diseño del sistema sistema de control control del satélite satélite requieren velocidad requieren que su velocidad angular no exceda de 0.02 rad/ rad/s.s. Si la astronauta astronauta se mueve paraangular paralelamente al eje x y la posición centro de masa cuando 1elamente posición de su centro masa cuando conecta es (-1.8, (-1.8, -0.9, -0.9, O) O)m, m, ¿cuál es la velocidad velocidad relativa relativa ella se conecta máxima a la que ella debería debería acercarse acercarse al satélite? satélite? máxima 170 lb salta salta verticalmente verticalmente para recibir 8.106 El jugador jugador de 170 para recibir un pase y está en reposo reposo en el instante instante en que recibe la pelota. pelota. mismo momento momento es derribado defenEn el mismo derribado en P por por un jugador jugador defen180 lb que se mueve horizontalmente 15 pie/s. horizontalmente a 15 pie/s. El mosivo de 180 mento de inercia inercia de masa masa del primero centró de mento primero respecto respecto a su centró masa slug-pie-,2 • Si los jugadores modelan como como cuermasa es de 7 slug-pie jugadores se modelan pos rígidos rígidos y se supone supone que e = O, O, ¿cuál es la velocidad velocidad angular angular inmediatamente después después del impacto? impacto? del receptor receptor inmediatamente

419

8.107 Si los jugadores jugadores del Probo 8.106 no permanecen permanecen en contacto después después de la colisión, colisión, y la velocidad velocidad horizontal horizontal del defentacto inmediatamente después después del impacto impacto es de 9 pie/s, sivo inmediatamente pie/s, ¿cuál velocidad angular angular del receptor? es la velocidad receptor? esbelta de 2 kg de la figura figura está está articulada articulada barra esbelta 8.108 La barra metálico de 10 10 kg que descansa descansa sobre sobre una en A a un bloque bloque metálico una superficie lisa a nivel. El sistema sistema se libera libera del reposo superficie reposo con la barra barra vertical. La La fricción fricción es insignificante. insignificante. Cuando Cuando el sistema sistema está vertical. mostrada, determine determine (a) la magnitud en la posición posición mostrada, magnitud de la velocidad angular angular de la barra; dad barra; (b) la magnitud magnitud de la velocidad velocidad del bloque. bloque. Estrategia: conservación de la enerEstrategia: Use los principios principios de la conservación gía y de la cantidad cantidad de movimiento movimiento lineal.

60°

P8.108 P8.108

P8.106 P8.106


a ori~ntación orientación del biplano biplano o de cualquier cuerpo cuerpo rígido se puede puede cualquier describir con tres ángulos ángulos que describir especifican las rotaciones rotaciones de un sisteespecifican coordenado fijo al cuerpo cuerpo respecma coordenado marco de referencia referencia fijo. El to a un marco cambio en la orientación orientación del avión en cambio función del tiempo función tiempo está regido por las ecuaciones del movimiento movimiento angular angular ecuaciones tridimensional que relacionan las fuertridimensional actúan sobre sobre él zas y los pares que actúan aceleración angular. angular. En este con su aceleración capítulo aprenderá aprenderá a analizar analizar los mocapítulo vimientos tridimensionales de cuervimientos tridimensionales pos rígidos. rígidos.

L L

z


91 1 1Icapítulo Capítulo 9

Cinemática Cinemática y dinámica dinámica fridim ension ale s tridimensionales cuerpos rígidos de cuerpos

H H

ASTA ahora ahora nuestro nuestro análisis análisis de la dinámica dinámica de cuerASTA tratado sólo el movimiento movimiento bidimensiobidimensiopos rígidos ha tratado

nal. Sin embargo, embargo, en muchas muchas aplicaciones aplicaciones de la dinámica, dinámica, nal. como el diseño de aviones y otros otros vehículos, vehículos, se debe concomo siderar el movimiento movimiento tridimensional. tridimensional. El primer primer paso siderar paso es explicar cómo se describe describe el movimiento movimiento tridimensional tridimensional explicar cuerpo rígido. rígido. Luego Luego deducimos deducimos las ecuaciones ecuaciones del de un cuerpo movimiento y las usamos usamos para para analizar analizar movimientos movimientos trimovimiento dimensionales simples. Finalmente, Finalmente, presentamos presentamos los ándimensionales Euler para para especificar especificar la orientación orientación de un gulos de Euler cuerpo rígido rígido en tres dimensiones dimensiones y expresamos expresamos las ecuacuerpo movimiento angular angular en función función de ellas. ciones del movimiento

,----.;

421 421


422

CAPíTULO 9 CINEMÁTICA CINEMÁTICA Y DINÁMICA TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO Y DINÁMICA

Cinemática 9. 1 Cinemática conducir una una bicicleta una trayectoria trayectoria recta recta sus sus ruedas ruedas describen describen Al conducir bicicleta en una un movimiento plano, vira su movimiento movimiento será será tridimensional tridimensional (Fig. (Fig. un movimiento plano, pero pero si vira 9.1a). Un Un avión avión puede en movimiento movimiento plano mientras vuela vuela 9.1a). puede permanecer permanecer en plano mientras nivel, desciende, desciende, asciende asciende o efectúa efectúa lazos. lazos. Pero Pero si se inclina inclina y vira, vira, su su a nivel, movimiento será será tridimensional tridimensional (Fig. (Fig. 9.1 b). Al hacer hacer girar girar un un trompo trompo éste éste movimiento b). Al permanece en movimiento movimiento plano durante un corto tiempo, tiempo, girando girando alredealredeplano durante un corto permanece en dor de de un un eje eje vertical vertical fijo; fijo; poco eje del del trompo trompo empieza empieza a incliinclidor poco a poco, poco, el eje narse y a girar. girar. El El trompo trompo está está entonces entonces en en movimiento movimiento tridimensional tridimensional narse muestra un un interesante interesante comportamiento, comportamiento, en el que que parece desafiar a la la y muestra en parece desafiar gravedad (Fig. (Fig. 9.1c). 9.1c). En En esta esta sección sección comenzamos análisis de de tales tales movimovigravedad comenzamos el análisis mientos estudiando estudiando la la cinemática cinemática de de los los cuerpos cuerpos rígidos rígidos en en movimiento movimiento mientos tridimensional. tridimensional.

(b) Cb)

(a) Ca)

Figura 9.1 Figura Ejemplos de movimientos planos y tridimensionales. tridimensionales.

(e) Ce)

Ya estamos estamos familiarizados familiarizados con con algunos algunos de los los conceptos implícitos en en Ya conceptos implícitos la descripción descripción del del movimiento movimiento tridimensional tridimensional un cuerpo cuerpo rígido. rígido. En la de un En el Cap. 6 mostramos mostramos que que el teorema de Euler Euler implica implica que que un cuerpo rígido Cap. teorema de un cuerpo rígido sometido a cualquier cualquier movimiento movimiento que no no sea sea traslación traslación tiene tiene un eje sometido que un eje instantáneo de de rotación. rotación. La La dirección dirección de de este este eje eje en en un instante particular, instantáneo un instante particular, la razón razón con con que que el cuerpo cuerpo gira gira alrededor del eje, eje, se pueden especificar y la alrededor del pueden especificar por medio del del vector vector w de de velocidad velocidad angular. angular. por medio Además, la la velocidad velocidad del del cuerpo cuerpo rígido queda completamente completamente determidetermiAdemás, rígido queda nada por su vector vector de de velocidad velocidad angular angular y el vector vector de de velocidad velocidad de de uno nada por su uno sus puntos. Para el cuerpo cuerpo rígido rígido de de la la Fig. Fig. 9.2, 9.2, si conocemos conocemos w y. de sus puntos. Para 11


9.1 9.1 CINEMÁTICA

el vector BI dt, la vector vB (= (= dr dr BI la velocidad velocidad del del punto punto B respecto respecto al punto punto de de referencia P), la la velocidad velocidad de de cualquier cualquier punto punto A está está dada dada por por la la Ec. Ec. (6.8): (6.8): referencia I

VA

= VB +W +W x

rA/B· rA/B·

(9.1) (9.1)

I 9.2 Figura 9.2

Puntos A B de un cuerpo rígido. La Puntos A y B velocidad de A se puede determinar determinar si se se conocen la velocidad de B y la velocidad angular del cuerpo rígido. La aceleración determinar si se conocen de A se puede determinar la aceleración, la velocidad angular y la angular de B. aceleración angular

o La aceleración aceleración de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido queda queda especificada especificada por por su aceleración aceleración La W I d t •, su velocidad angular y la la aceleración aceleración de de uno uno de sus sus puntos. puntos. aa = d W velocidad angular conocemos a, a, W.y w,y la la aceleración aceleración aBB del del punto punto B de la la Fig. Fig. 9.2, 9.2, la la aceleaceleSi conocemos ración de cualquier cualquier punto punto A está está dada dada por por la la Ec. Ec. (6.9): (6.9): ración (9.2) (9.2) Hemos supuesto supuesto que que las las velocidades velocidades y aceleraciones aceleraciones de puntos, puntos, la la veloveloHemos cidad angular angular W W y la la aceleración aceleración angular angular a de de las las Ecs. Ecs. (9.1) (9.1) y (9.2) (9.2) son son cidad relativas a un un marco marco de referencia referencia sin sin giro giro fijo fijo respecto respecto al punto punto O. O. Aquí Aquí relativas también usaremos usaremos sistemas sistemas coordenados coordenadas fijos fijos al cuerpo, cuerpo, estacionarios estacionarios resrestambién pecto a cuerpos cuerpos rígidos rígidos en en movimiento. movimiento. Además, Además, usaremos usaremos sistemas sistemas coorcoorpecto denados que que giran giran pero pero que que no no están están fijos fijos al cuerpo. cuerpo. Queremos Queremos destacar destacar denados que aun cuando cuando un vector vector especifica especifica una velocidad velocidad o una aceleración resque pecto marco de referencia referencia fijo, siempre podemos expresarlo en funpecto a un marco fijo, siempre podemos expresarlo fun componentes en un sistema sistema coordenado coordenado en rotación. rotación. ción de sus componentes Supongamos que que la la velocidad velocidad angular angular de de un un sistema sistema coordenado coordenado xyz Supongamos xyz en rotación rotación respecto respecto a un un marco marco de de referencia referencia fijo fijo se describe describe con con un un vector vector en Ode velocidad velocidad angular, angular, y que que la la velocidad velocidad angular angular de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido Ode respecto al sistema sistema xyz eswrel' Entonces, Entonces, la la velocidad velocidad y la la aceleración aceleración ananrespecto xyz eswrel' gulares del del cuerpo cuerpo rígido rígido relativas relativas al marco marco de de referencia referencia fijo fijo son son gulares W = =0 O+ +Wrel, W Wrel,

a= a =

dO dO dt dt

dWrelxx dWrel dt dt

dWrelyy dWrel dt dt

dWrelzz dt dt

-+--+--+--+Oxw +--+--+--+Oxw

(9.3) ll..

re re

Los siguientes ejemplos ejemplos muestran muestran el uso de las Ecs. (9.1)-(9.3) para Los siguientes para analizar el movimiento movimiento tridimensional tridimensional de cuerpos cuerpos rígidos. Se encontrará encontrará a menudo que la manera manera más más sencilla de determinar determinar los vectores vectores de velocidad velocidad nudo y aceleración angulares angulares de un cuerpo cuerpo rígido en rotación rotación es determinar determinar priprimero su velocidad velocidad angularwre, angularcs.¿ respecto respecto a un sistema sistema coordenado coordenado en rotamero ción y luego usar las Ecs. (9.3). http://carlos2524.jimdo.com/

423

424

CAPíTULO TRIDIMENSIONALES DE ERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 9 CINEMÁTICA CINEMÁTICA Y DINÁMICA DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES DE CU CUERPOS

9.1 Ejemplo 9.1 El neumático está rodando sobre una superficie horizontal. neumático de la Fig. 9.3 está rodando sobre una superficie horizontal. Su punto mi s. El automóvil automóvil está está girando girando y la línea línea perpendicupunto medio medio se mueve a 5 mis. perpendicular por gira respecto por el punto punto medio medio del neumático neumático gira respecto al punto punto fijo P mostrado mostrado en la vista superior. superior. én ¿Cuál es el vector angular del neumático? (a) ¿Cuál vector w de velocidad velocidad angular neumático? extremo posterior (b) Determine Determine la velocidad velocidad del punto punto A, que es el punto punto extremo posterior del neumático instante mostrado. neumático en el instante mostrado.

Figura 9.3

0.36 m

VISTA VISTA SUPERIOR SUPERIOR

ESTRATEGIA ESTRATEGIA sistema coordenado coordenado en (a) Sea B el punto punto medio medio del neumático. neumático. Incluimos Incluimos un sistema rotación origen en B y su eje y a lo largo largo de la línea línea de B a P (Fig. rotación con su origen Suponemos que el eje x permanece Conociendo la velocidad a). Suponemos permanece horizontal. horizontal. Conociendo velocidad determinar el vector angular del sistema sistema del punto punto B, podemos podemos determinar vector de velocidad velocidad angular coordenado y la velocidad angular del neumático sistema coordenacoordenacoordenado velocidad angular neumático relativa relativa al sistema do.. Luego determinar la velocidad angular del para determinar velocidad angular do Luego podemos podemos usar usar la Ec. (9.3) para neumático. neumático. Conociendo la velocidad angular del neumático, punto B y la velocidad velocidad angular neumático, (b) Conociendo velocidad del punto podemos (9.1) determinar la velocidad podemos usar usar la Ec. (9. 1) para para determinar velocidad del punto punto A. A.

SOLUCiÓN SOLUCiÓN angular dela dela línea línea PB PB es (5 m/s)/(lOm) m/s)/(lOm) rad/s. El sistema sistema (a) La velocidad velocidad angular = 0.5 rad/s. coordenado xyz dirección horaria como se ve en xyz gira respecto respecto a su eje z en dirección horaria como coordenado vector de velocidad angular del sistema sistema coordenado coordenado es la Fig. (a), por por lo que el vector velocidad angular

n = --0.5 n 0.5 k (radls). Respecto sistema coordenado coordenado xyz, xyz, el neumático gira alrededor alrededor del eje y con neumático gira Respecto al sistema velocidad angular (5 m/s)/(0.36 m/s)/(0.36 m) = = 13.9 rad/s. anguvelocidad angular rad/s. El vector vector de velocidad velocidad angular del neumático sistema coordenado coordenado es neumático respecto respecto al sistema Wrel Wrel

= -13.9 -13.9 jj (radls).


9.1 9.1 CINEMÁTICA CINEMÁTICA p p,--------------.---

10m 10m (No (No está está aa escala) escala) yy

..

-I

m 0.36 m

coordenado en rotación. rotación. El eje y permanece permanece (a) Sistema coordenado alineado con BP BP y el eje x permanece permanece horizontal. horizontal.

El vector de velocidad angular angular del neumático neumático es w W

= n + Wrel = -13.9 -13.9 jj --

0.5 k (rad/s). (radls).

(b) El vector de posición del punto IB = punto A respecto al punto punto B es rA rAIB = 0.36i (m). Por Por tanto, tanto, la velocidad del punto punto A es VA=VB+wxrA / B

= -5i+ -5i+ II ~~

0.36

jj

-13.9 -13.9 O O

k -0.5 -0.5 O O

= -5 -5 ii -- 0.18j + 55 kk (mis). (mis). COMENTARIO COMENTARIO de velocidad angular w del del neumático gira en en el el espacio conforme El vector de el el auto gira. Sin Sin embargo, expresándolo en en un sistema coordenado coordenado que gira con el el auto, obtenemos una expresión muy muy sencilla sencilla para w. w. (Observe (Observe que el el punto A A tiene tiene una componente de de velocidad velocidad en en la dirección y negativa debido aa la rotación rotación del del eje eje del del neumático.)


425 425

426

CAPíTULO 9 CINEMÁTICA

Y DINÁMICA

TRIDIMENSIONAlES

DE CUERPOS RíGIDOS

Ejemplo 9.2 La punta del trompo de la Fig. 9.4 permanece en el punto fijo O sobre el suelo. El ángulo () entre el eje vertical L y el eje del trompo (eje z) es constante. El eje x del sistema coordenado permanece paralelo al suelo y gira respecto a L con velocidad angular constante 1/1. Respecto al sistema coordenado en rot~ción, el trompo gira alrededor del eje z con velocidad angular constante <1>. (a) ¿Cuáles son los vectores de velocidad y de aceleración angulares del trompo? (b) Determine la velocidad del centro de masa G.

L

z

8

ESTRATEGIA (a) Conocemos la velocidad angular del trompo respecto al sistema coordenado en rotación, y tenemos suficiente información para determinar el vector de velocidad angular del sistema coordenado. Por tanto, podemos usar la Ec. (9.3) para determinar los vectores de velocidad y aceleración angulares del trompo. (b) Una vez conocido el vector de velocidad angular del trompo, podemos determinar la velocidad de su centro de masa aplicando la Ec. (9.1) a los puntos OyG.

Figura 9.4

SOLUCiÓN (a) El sistema coordenado gira respecto al eje vertical L con velocidad angular 1/1. Por tanto, el vector de velocidad angular del sistema coordenado es paralelo a L, y la regla de la mano derecha indica que señala hacia arriba (Fig. a). Resolviendo 1/1 en sus componentes y y z, obtenemos el vector de velocidad angular del sistema coordenado:

n = ,¡, sen e j + ,¡, cos e k.

L

z

La velocidad angular del trompo respecto al sistema coordenado en rotación eSWrel = ~k. Por tanto, el vector de velocidad angular del trompo es 1¡t /' /'

W

\

Y

\ \ \

Iysen8

~,

= n + Wrel= ,¡, sen e j + (,¡, cos e + 1jJ) k.

Las componentes x, y y z de las velocidades angulares O YWrelson constantes, por lo que el vector de aceleración angular del trompo es

Q

(a) Descomposición del vector de

velocidad angular del sistema coordenado en componentes.

i O

= n x Wrel=

I

O

j

k

O

(p

,¡, sen e ,¡, cos e

= (p'¡' sen ()i. (b) El vector de posición del centro de masa respecto a O es r G/O velocidad del centro de masa es VG

=

Vo

+W

=O+ = h'¡'

i O

IO

tc¡o

x

j

k

,¡, serif

,¡, cose + (p

O

h

sené i.


hk. La

9.1 9.1 CINEMÁTICA

~ __________________________ lo. El L la-

!p. o?

do 0-

.3)

o. ros

IProblemas~

427

~~

_

~ Problemasl----------~--------------~

9.1 El vector de velocidad angular de un cuerpo rígido es w = 200i 200i + 900j 900j - 600k 600k (rad/s) (rad/s). . Con respecto a un punto punto de referencia O, la posición y la velocidad de su centro de masa son 2k (m) y ve = lOOi lOOi + 80j 80j - 60k 60k (mis) (mis).. ¿Cuál re = 6i + 6j + 2k es la velocidad respecto a O de un punto punto A del cuerpo rígido 5.8i + 6.4j 6.4j + 1.6k 1.6k (mis)? con posición r A == 5.8i

9.5 El paralelepípedo paralelepípedo rectangular mostrado mostrado está girando res9.5 pecto a un eje fijo que pasa por los puntos A y B. La dirección de su rotación rotación es horaria horaria cuando el eje de rotación rotación se ve del punto A al punto punto B B.. punto w? (a) ¿Cuál es su vector de velocidad angular w? (b) ¿Cuáles son las velocidades de los puntos D? puntos C y D?

9.2 El vector de aceleración angular del cuerpo rígido del 9.2 Probo = 8000i s2) y la aceleraProbo 9. 9.11 es ex Q = 8000i - 8000j 8000j - 4000k 4000k (rad/ (rad/s-) ción de su centro de masa respecto a O es cero. ¿Cuál es la aceleración del punto punto A respecto a O?

9.3 9.3 Los giróscopos del avión de la figura indican que su velocidad angular es w == 4.Oi + 6.4j 6.4j + O.2k (rad/ (rad/s). s). ¿Cuál es la velocidad respecto al centro de masa del punto A ton ton coordena· coordenadas (8 (8,, 2, 2) 2) pies?

yy

e

A A

zz --- -- -..-

___- -

~/O t:,o

ar

lo 1-

---~í-------~~ --~í ---- - ---

-T pulg 5 pulg

\J \J

radls 30 radls "-.1...-

" ' - L -_ _ _ _

- .,,. 1_- -- 10 pulg

p/¡Ig --...1_. PUIg I, . ---

10 pulg

--'~ --' ~

1. . . . . . ............... 1 ~

__ -~ .o

~

ar

x

P9.5 P9.5

!

ón

zz

9.6 9.6 Si la velocidad angular del paralelepípedo rectangular rectangular del Prob 9.5 es constante, Proboo 9.5 constante, ¿cuál es la aceleración del punto C? 9.7 9.7 La turbina turbina mostrada mostrada está girando respecto a un eje fijo que coincide con la línea OA. (a) ¿Cuál es su vector de velocidad angular? punto de la turbina turbina con coordena·· coordena .. (b) ¿Cuál es la velocidad del punto das (3, 2, 2) m?

x

yy A (7 , 4,4) m (7,4,4) m

P9.3

a

Probo 9.3 indican que su ace99.4 .4 Los giróscopos del avión del Probo (rad/s 2) . ¿Cuál es leración angular es ex == --4i4i + 12j + 2k 2k (rad/s'). es la aceleración del punto punto A respecto al centro de masa?

~-------------------x

~------------------- x

zz


P9.7

428

CAPíTULO 9 CINEMÁTICA CINEMÁTICA Y DINÁMICA DINÁMICA TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONAlES DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

La velocidad velocidad angular angular de 900 900 rad/ rad/s s de la turbina turbina del Probo Probo 9.8 La 9.7 está está disminuyendo disminuyendo rad/s-.s2 • 9.7 a 100 rad/ ¿Cuál es el vect vects r de aceleración aceleración angular angular de la turbina? turbina? (a) ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración aceleración del punto punto de de la turbina turbina con con coordenacoordena(b) ¿Cuál das (3, 2, 2) m? m? das

9.10 El disco disco circular circular de de la figura figura permanece permanece perpendicular perpendicular al eje eje horizontal horizontal y gira gira respecto respecto a él con con velocidad velocidad angular angular Wd. Wd. El eje eje horizontal horizontal está está rígidamente rígidamente unido unido a un un eje eje vertical vertical que que gira con con velocidad velocidad angular angular Wo. gira (a) ¿Cuál ¿Cuál es el vector vector de velocidad velocidad angular angular w del disco? disco? (b) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad del del punto punto A del del disco? disco?

La base base de de ' la antena parabólica parabólica mostrada mostrada está está girando girando 9.9 La la antena rad/s. ángulo ()() = 30° Y y está está aumentando aumentando a 1 rad / s. El ángulo a 20° Is. ¿Cuáles son son las componentes componentes del del vector vector de de velocidad velocidad angular angular (a) ¿Cuáles de la antena en el sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al cuerpo cuerpo que que se w de la antena muestra? muestra? (b) ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad del del punto de de la antena con con coordenadas coordenadas la velocidad la antena (b) -2) m? m? (2, 2, -2)

y

zz x

P9.10 P9.10

xx

las velocidades velocidades angulares angulares Wd Wd Y Y Wo del del Probo Probo 9.10 9.10 son son 9.11 Si las constantes, constantes, ¿cuál ¿cuál es la la aceleración aceleración del del punto punto A del del disco? disco? 9.12 El marco marco circular circular del del giróscopo giróscopo de de la la figura figura gira gira alredealrededor dor del del eje eje vertical vertical aa 2 rad/s rad/ s en en dirección dirección antihoraria antihoraria cuando cuando se se ve ve desde desde arriba. arriba. La La rueda rueda de de 2.4 2.4 pulg pulg de de diámetro diámetro gira gira respecrespecto al al marco marco a 10 rad/s. rad/ s. Determine Determine las las velocidades velocidades de de los los puntos puntos to A yy B respecto respecto al al origen. origen.

yy

~~ cp2ra&S ; I

2radls

P9.9 P9.9

~Ulg ~ ~

2.4 2.4~Ulg

-.

11-:::: '

( ( xx

P9.12 P9.12


9.1 9.1 CINEMÁTICA CINEMÁTICA 429 429

ar d'

ue

9.13 Si las las velocidades velocidades angulares angulares del del marco marco yy la la rueda rueda del del gigi9. 13 Si róscopo del del Probo Probo 9.12 9.12 son son constantes, constantes, ¿cuáles ¿cuáles son son las las aceleraaceleraróscopo ciones de d~ los los puntos puntos AA yy B B respecto respecto al al origen? origen? ciones 9.14 El El robot robot mostrado mostrado gira gira alrededor alrededor del del eje eje vertical vertical con con veve9.14 ny == 0.1 0.1 rad/s. rad/s. El El eje eje yy del del sistema sistema coordenacoordenalocidad angular angular Oy locidad el sistema sistema coordenada coordenado gira gira con con el el robot robot do permanece permanece vertical vertical yy el da de manera manera que que los los puntos puntos A, A, B, B, ee permanecen permanecen en en el el plano plano x-y. x -y. de Los vectores vectores de de velocidad velocidad angular angular de de los los brazos brazosAB AB yyBe BerespecrespecLos son -0.2k -0.2k (rad/s) (rad/s) yy O.4k O.4k to al al sistema sistema coordenada coordenado en en rotación rotación son to (rad/s) respectivamente. respectivamente. (rad/s) es el el vector vector de de velocidad velocidad angular angularwBc del brazo brazo Be? Be? (a) ¿Cuál ¿Cuál es (a) W8C del (b) ¿Cuál ¿Cuál es la la velocidad velocidad del del punto punto e? e? (b)

9.16 En la la Fig. Fig. P9.16 P9.16 el el cono cono está está conectado conectado aa un un poste poste de de 9.16 En 100 100 mm mm por por una una junta junta de de bola bola yy cuenca cuenca en en su su vértice. vértice. El El radio radio de de su su base base es es de de 100 100 mm mm yyla la base base rueda rueda sobre sobre el el piso. piso. La La velocivelocidad dad del del centro centro de de la la base base es es Vc Vc == 2k 2k (mis). (mis). (a) (a) ¿Cuál ¿Cuál es es el el vector vector de de velocidad velocidad angular angular wW del del cono? cono? (b) es la la velocidad velocidad del del punto punto A? A? (b) ¿Cuál ¿Cuál es

y

xx

o

P9.16 P9.16

mecanismo mostrado mostrado es un tipo de junta junta universal universal 9.17 El mecanismo llamada de yunque yunque y araña. araña. El eje LL se encuentra encuentra en el plano plano llamada X-Z. Determine Determine la velocidad velocidad angular angular WL WL Y Yel velocidad X-Z. el vector de velocidad angular o s, de la "araña" "araña" en forma forma de cruz, en términos términos de la angularw velocidad angular angular WR en el instante instante mostrado. mostrado. velocidad

y P9.14 P9. 14

__

x

.---x

9.15 La velocidad velocidad angular angular del robot robot del Probo 9.14 respecto al al eje vertical es es constante. constante. Las aceleraciones aceleraciones angulares angulares de de los brazos brazos AB AB y Be Be respecto respecto al al sistema sistema coordenado coordenada en en rotación rotación son son cero. cero. ¿Cuál ¿Cuál es es la la aceleración aceleración del del punto punto e? C?

zz P9.17 P9.17


430 430

CAPíTULO CINEMÁTICA DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS CUERPOS RíG RíGIDOS C APíTULO 9 C INEM ÁTICA Y DINÁMICA TRIDIM ENSIONALES DE IDOS

Momento angular angular 9.2 Momento Al igual que en el caso del movimiento ecuaciones que rigen movimiento plano, plano, las ecuaciones cuerpo rígido consisten en la segunda segunda el movimiento movimiento tridimensional tridimensional de un cuerpo rígido consisten ecuaciones de movimiento angular. En comparación con ley de Newton Newton y ecuaciones movimiento angular. En comparación ecuaciones que rigen el movimiento angular bidimensional, las sencillas ecuaciones movimiento angular bidimensional, angular tridimensional complicadas (tres relalas del movimiento movimiento angular tridimensional son más complicadas cionan a las componentes componentes del momento momento total cada eje coordenacoordenacionan total respecto respecto a cada aceleración y de la velocidad angulares del do con las componentes componentes de la aceleración velocidad angulares cuerpo rígido). empezamos deduciendo deduciendo las ecuaciones ecuaciones cuerpo rígido). En esta sección empezamos angular mediante obtención de expresiones expresiones para del movimiento movimiento angular mediante la obtención para el momento angular de un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento tridimensional. tridimensional. PrimePrimemento angular ro consideraremos consideraremos un cuerpo cuerpo rígido gira alrededor alrededor de un punto rígido que gira punto fijo y luego un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento tridimensional. tridimensional.

Rotación respecto respecto a un punto Rotación punto fijo cuerpo rígido r, su posición. Sea m¡ la masa masa de la i-ésima partícula partícula de un cuerpo rígido y r¡ posición. respecto angular del cuerpo cuerpo resrespecto a un punto punto fijo O (Fig. 9.5). El momento momento angular pecto suma de los momentos angulares de sus partículas, pecto a O es la suma momentos angulares partículas,

Ha == ¿r¡ x m.vi, m¡v¡, Ho ¿ri x i

donde V¡ Supongamos que el cuerpo cuerpo rígido gira respecto donde v¡ == dr¡ldt. Supongamos rígido gira respecto al punto con velocidad angular w. Entonces expresar la velopunto fijo O con velocidad angular Entonces podemos podemos expresar cidad de la i-ésima i-ésima partícula como V¡ == w X rr.,¡, y el momento angular es cidad partícula como momento angular

o

(9.4)

Ha == ¿r¡ x mi(w m¡(w x x r.). r¡) . Ho ¿ri x i

Figura 9.5 Masa y posición de la i-ésima partícula partícula de un cuerpo rígido.

En sistema coordenado coordenado con su origen origen en O (Fig. 9.6), podemos expresar En un sistema podemos expresar función de sus componentes componentes como como los vectores vectores w Y rr,¡ en función w = =W co¿x ii + w úJyy j

r¡ r,

k, + Wzz k, úJ

y¡ jj + zi z¡ = x¡ ii + Yi

k k,,

donde (x¡, (x; y¡, z¡} coordenadas de la i-ésima i-ésima partícula. Sustituyendonde z) son las coordenadas partícula. Sustituyenevaluando los productos escribir do en la Ec. (9.4) y evaluando productos vectoriales, vectoriales, podemos podemos escribir componentes resultantes angular así: las componerltes resultantes del vector vector de momento momento angular

(9.5)

z Figura 9.6 Sistema coordenado coordenado con su origen en O. Sistema

Los coeficientes coeficientes Ixx Ixx

¿mi(l + zt), = ¿m¡(l z~),

Iyy I yy

¿mi (X; + zt), = ¿m¡(x; z;), (9.6)

Izz = = ¿mi ¿mi (x; (X; Iu i


l) + l)

9.2 MOMENTO ANGULAR

llaman momentos momentos de inercia inercia respecto respecto a los ejes x, coeficientes se llaman x, y,y, z, z. Los coeficientes Ixy = i., Iyx = ¿m¡x¡y¡, t., ¿mixiYi,

Iyz Iyz

=

Izy

¡i

=

¿m¡y¡Z¡, ¿miYiZi,

(9.7)

Ixz I zx == ¿m¡XiZi ¿mixiZi xz == t.; ¡i

llaman productos productos de inercia. inercia. Podemos Podemos escribir escribir las Ecs. (9.5) como como la se llaman ecuación matricial matricial ecuación

HOX] HOX]

(9.8) (9 .8)

Hoy [[ Hoy Ho Hozz

donde donde

t., --IxyIxy -Ixz -Ixz] ] IXX Iyy --IyzIyz = = [1] --IyxI yx Iyy [ [ - Izx Izz zx - Izy Izz llama matriz matriz de inercia inercia del cuerpo cuerpo rígido. rígido. se llama parecen complicadas complicadas en comparación comparación con la senciSi bien las Ecs. (9.5) parecen ecuación Ha H¿ == Iow para el momento momento angular angular de un cuerpo cuerpo rígido en lla ecuación Iow para movimiento plano plano respecto respecto a un eje fijo, podemos podemos señalar señalar algunas algunas relaciorelaciomovimiento entre ellas. Supongamos Supongamos que el cuerpo cuerpo rígido gira respecto respecto nes simples entre coincide con el eje x (Fig. 9.7). De las Ecs. (9.5), el a un eje fijo Lo Lo que coincide momento angular angular respecto respecto al eje x es momento

(yr

término (yf + zt) aparece en la definición definición de Ixx es el cuadrado El término zt) que aparece cuadrado distancia perpendicular partícula, por por lo que de la distancia perpendicular del eje x a la i-ésima partícula, Ixx lo. Por Por tanto, tanto, esta ecuación ecuación que relaciona relaciona Hox equivale a Ixx == lo. Hox con Wxx equivale ecuación plana. plana. Sin embargo, embargo, observe, observe, de las Ecs. (9.5), que si el eje la ecuación rotación no coincide coincide con uno de los ejes coordenados, coordenadas, la componente componente de rotación angular respecto respecto a un eje coordenado coordenada depende depende en general general del momento momento angular componente de la velocidad velocidad angular angular respecto respecto a ese eje, sino no sólo de la componente también de las componentes componentes de la velocidad angular respecto respecto a los otros otros también velocidad angular ejes, afectadas I xy , Iyz e IzX' afectadas por por los productos productos de inercia inercia Ixy,

yy

Figura 9.7 Figura El eje de rotación Lo coincide con el eje x.


431 431

432

CINEMÁTICA Y DINÁMICA DINÁMICA TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONAlES DE DE CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO 9 CINEMÁTICA

Movimiento general general Movimiento Aquí obtendremos obtendremos el momento Aquí momento angular angular de un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento general tridimensional. tridimensional. La deducción general deducción y las ecuaciones ecuaciones resultantes resultantes son muy muy similares a las de la rotación similares rotación respecto respecto a un un punto punto fijo. fijo. R¡ la posición posición de la i-ésima Sea R¡ i-ésima partícula partícula de un un cuerpo cuerpo rígido rígido respecto respecto centro de masa masa (Fig. 9.8). El momento al centro momento angular angular del cuerpo cuerpo rígido rígido respeccentro de masa to a su centro masa es H

i = ".L--R¡ mdR¡ ¡ - = ¿R¡ R¡). .L--Ri x m¡mi(w x Ri). '" dR '".L--Ri x m¡(w dt. t . . d ¡¡

¡¡

Figura 9.8 Figura

Posición de la i-ésima partícula partícula de un cuerpo rígido respecto al centro de masa.

y

Estableciendo un sistema sistema coordenado Estableciendo coordenado con origen origen en el centro centro de masa masa (Fig. expresamos w y R¡ en función 9.9), expresamos función de sus componentes componentes como como w == W xx ii + wyy jj

R¡ R, = =


X¡ ii x¡

+

y¡ jj Yi

+ Wzz kk,,

+ Z¡ k,

donde (x¡, (x; y¡, z¡) son las coordenadas donde coordenadas de la i-ésima partícula partícula respecto respecto al centro de masa. masa. Las componentes componentes resultantes angucentro resultantes del vector vector de momento momento angular son

coordenado con su origen en el Sistema coordenado centro de masa.

(9.9)

o

(9.10) (9.10)

momentos y productos Los momentos productos de inercia inercia están están definidos definidos por por la Ec. (9.6). ecuaciones para Estas ecuaciones para el momento momento angular angular en el movimiento movimiento general general idénticas en forma forma a las obtenidas rotación respecto son idénticas obtenidas para para la rotación respecto a un punto punto expresiones para fijo. Las expresiones para los momentos momentos y productos productos de inercia inercia son las mismas. Sin embargo, embargo, en el caso de rotación mismas. rotación respecto respecto a un punto punto fijo, fijo, momentos y productos productos de inercia sistema coordenado los momentos inercia se expresan expresan en un sistema coordenado origen en el punto con su origen punto fijo, mientras mientras que en el caso del movimiento movimiento general se expresan expresan en un sistema con general un sistema con su origen origen en el centro centro de masa. masa. http://carlos2524.jimdo.com/

9 .3 M OMENTOS Y PRODUCTOS 9.3 MOMENTOS PRODUCTOS DE DE INERCIA INERCIA

433 433

9.3 Momentos Momentos y productos de de inercia inercia t

Para Para determinar determinar el momento momento angular angular de un cuerpo cuerpo rígido rígido en movimiento movimiento tridimensional, tridimensional, se deben deben conocer conocer sus momentos momentos y productos productos de inercia. inercia. Si recuerda recuerda la dinámica dinámica de cuerpos cuerpos rígidos en el plano, plano, podrá podrá evaluar evaluar el momento mento de inercia inercia de un cuerpo cuerpo respecto respecto a un eje dado. dado. Las mismas mismas técnicas técnicas se aplican aplican en tres dimensiones. dimensiones. Demostraremos Demostraremos esto evaluando evaluando los momentos mentos y productos productos de inercia inercia de una una barra barra esbelta esbelta y de una una placa placa delgada. delgada. Luego ampliaremos ampliaremos el teorema teorema de los ejes paralelos paralelos a tres dimensiones dimensiones para para evaluar los momentos momentos y productos productos de cuerpos compuestos. compuestos.

y

dm dm

Cuerpos Cuerpos simples

éiJ LiJ y

Si modelamos como una una distribución modelamos un cuerpo cuerpo como distribución continua continua de masa, masa, podepodeexpresar la matriz matriz de inercia inercia como como mos expresar

?---------~--~----

x r----t--~-- x

=~:]

zz

Ixx -Ixy -Ixz ]

[1] -Iyx -~:: Iyy -Iyz [I] = = [-~::

[

- IIzxzx - Izy Izy

i (l + -i

i

- i

Izz Izz

-i

i

Z2) Z2) dm dm

yx dm yx dm

- i

zz

x

zx dm zx dm

- i

i

i

xy dm xy dm

i

zy dm zy dm

(9.11)

- iYZ

2 (x2 + Z2) Z2) dm dm - i


-- 1mrr xzx z dm dm - iYZ dm dm

i

i

Determinación Determinación de los momentos momentos y productos productos de inercia inercia modelando modelando un cuerpo cuerpo como como una una distribución distribución continua continua de masa masa..

2 dm (x2 + y2) y2) dm yy

donde y, z son las coordenadas donde x, y, coordenadas del elemento elemento diferencial diferencial de masa masa dm (Fig. 9.10).

Barras esbeltas esbeltas Consideremos el origen origen del sistema sistema coordenado coordenado en el Consideremos centro centro de masa masa de una una barra barra esbelta esbelta con el eje x dirigido dirigido a lo largo largo de la barra barra (Fig. 9.11a), 9.11a), longitud longitud 1, 1, área área A en su sección transversal, transversal, y masa masa m. A es uniforme uniforme a lo largo largo de la barra barra y el material material es homogéneo. homogéneo. Consideremos Consideremos un elemento elemento diferencial diferencial de la barra barra de longitud longitud dx a una una distancia distancia x del centro centro de masa masa (Fig. 9.11b). 9.11b). La masa masa del elemento elemento es dm = = pA pA dx, donde donde p es su densidad densidad de masa. masa. Ignoramos Ignoramos las dimensiones dimensiones laterales laterales de la barra barra y suponemos suponemos que las coordenadas coordenadas del elemento elemento diferencial dm son (x, 0, O). O). Como Como consecuencia consecuencia de esta aproximación, aproximación, el morencial mento mento de inercia inercia de la barra barra respecto respecto al eje x es cero: Ixx

=

(a) yy

r(l + Z2) dm = O. 1m

dm=pAdx dm=pAdx

El momento momento de inercia inercia respecto respecto al eje y es 12 Iyy (x22 + Z2) Z2) dm dm = = 11/2/ pAx dx = = Iyy == pAx2 2 dx

1

rr

l; 1m

-1/2 -1/2

~ pAZ 3 • ~

Expresando Expresando esto en función función de la masa masa de la barra barra m 1

Iyy = Iyy = 12mZ

(b)

3.

12

Figura Figura 9.11 = = pAI pAI

tenemos tenemos

22


(a) Barra Barra esbelta esbelta y un sistema coordenado coordenado con el eje x alineado alineado con la barra. barra. (b) Un elemento elemento diferencial diferencial de masa masa de longitud dx. longitud

434 434

CAPíTULO 99 CINEMÁTICA CIN EMÁTICA YY DINÁMICA DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES TRIDIMENSIONALES DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

El El momento momento de de inercia inercia respecto respecto al al eje eje zz es es igual igual al al momento momento de de inercia inercia respecto al eje eje y: y: respecto lzz l zz

==

¡ 1. + (x (x

22

22

yy )) dm dm

m m

1 22 == -mZ -mi .. 12 12

Como Como las coordenadas coordenadas yy y zz de dm dm son son cero, cero, los los productos productos de de inercia inercia son son cero y la matriz de inercia de la barra esbelta es cero la matriz inercia la barra esbelta es

[1] =

zz

[~

oOo O ]] ..

(9.12)

.lmZ J... m i22 12

Se debe recordar recordar que que los momentos momentos y productos productos de inercia inercia dependen dependen de la orientación En el sistema sistema orientación del sistema sistema coordenado coordenado respecto respecto al cuerpo. cuerpo. En coordenado coordenado alternativo alternativo que que se muestra muestra en la Fig. Fig. 9.12, 9.12, la matriz matriz de inercia inercia barra es de la barra O O O O O O

Figura 9.12 El eje y alineado con la barra. barra.

Placas delgadas Consideremos Placas delgadas Consideremos una una placa placa homogénea homogénea de espesor espesor uniuniforme T, T, área forma indefinida indefinida en el plano forme área A y forma plano x-y x-y (Fig. 9.13a). 9.13a). Podemos Podemos expresar sus momentos momentos de inercia inercia de masa masa en función expresar función de los momentos momentos inercia del área área de su sección transversal. transversal. de inercia Proyectando un elemento elemento de área área dA dA a través Proyectando través de su espesor espesor T (Fig. 9. 13b), obtenemos obtenemos un elemento elemento diferencial diferencial de masa masa dm 9.13b), dm = = pTdA. p TdA. IgnoraIgnoraespesor de la placa placa al calcular calcular los momentos momentos de inercia, inercia, por mos el espesor por lo que

Figura 9.13

y

y

(a) (a) Placa delgada en el el plano x-y. x-y. (b) (b) Obtención de un elemento diferencial de masa proyectando un elemento de área dA a través de la placa.

--~=-------------

--~=..::---------- ---

A T

--~~---------------~=-=- --- --------0- - - - - -- - - x z o~------------------x (a) (a)

y

y --~",-,-------------

--~=.:--------- ----

//dm=PTdA dm=PTdA

dA

xx

r,.

---_~¡c::

Yy

_

---~,,"",, -- -----------

o~-----------'-------

o~-----~--- xx

(b) (b)


z

9.3

MOMENTOS

las coordenadas del elemento dm son (x, y, O). El momento de inercia de la placa respecto al eje x es

t., =

L (l +

Z2)

= pT

dm

il

dA

= pT t.,

donde L; es el momento de inercia de la sección transversal de la placa respecto al eje x. Como la masa de la placa es m = pTA, el producto pT = m/A, y obtenemos el momento de inercia en la forma

El momento de inercia respecto al eje y es Iyy

=

1

(x 2

+ z2)

= pT

dm

1

2m

x

A

m

dA

=

-Iy, A

donde L, es el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje y. El momento de inercia respecto al eje z es Izz =

1

22

+y

(x

= -m lo,

) dm

A

m

donde lo = I, + Iy es el momento polar de inercia del área de la sección transversal. El producto de inercia Ixy es Ixy

=

1

m

xy dm

m

e donde IxAy=

i

=

-Ixy' A

A

xy dA

es el producto de inercia del área de la sección transversal (usamos un supraíndice A para distinguir el producto de inercia del área de la sección transversal de la placa, del producto de inercia de su masa). Si el área de su sección transversal A es simétrica respecto al eje x o al y, I~y = O. Como la coordenada z de dm es cero, los productos de inercia L¿ e IyZ son cero. La matriz de inercia de la placa delgada es

[1]=

m A -1 A x

m A --1 A xy

m A --1 A xy

m lA A y

O

O

O

m -lo A

O (9.13)

Si se conocen, o se pueden determinar, los momentos y los productos de inercia de la sección transversal de la placa, se pueden usar esas expresiones para obtener los momentos y los productos de inercia de su masa. http://carlos2524.jimdo.com/

Y PRODUCTOS DE INERCIA

435

436

CAPíTULO INEMÁTICA Y DINÁMICA CAPíTULO 9 C CINEMÁTICA DINÁMICA TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Teoremas paralelos Teoremas de de los ejes paralelos yy y' y'

W'}------\,-i"}- - - - 4 - x' x'

Supongamos que conocemos conocemos la matriz matriz de inercia inercia [f] de un cuerpo cuerpo en un Supongamos sistema coordenado x'y' x'y' z' con origen sistema coordenado origen en el centro centro de masa, masa, y queremos queremos determinar en un sistema paralelo xyz xyz (Fig. 9.14). determinar la matriz matriz de inercia inercia [1] [1]en sistema paralelo 9.14). (dxx' d d.,y , dzz)) las coordenadas coordenadas del centro centro de masa masa en el sistema sistema xyz. Sean (d xyz. Las coordenadas xyz coordenadas de un elemento elemento diferencial diferencial de masa masa dm dm en el sistema sistema xyz están x'y'Z' están dadas dadas en función función de sus coordenadas coordenadas en el sistema sistema x'y' z' por por x = = x' +ddxx, , x' +

zz == Z'z' + dd., z•

yy = = y' +ddyy, , y' +

(9.14) (9.14)

z' ~o!::"---------.. 0 - -- - - - - - - - x

zz

Figura Figura 9.14 9.14 Sistema coordenado coordenada xy' origen Sistema x'y' z' con su origen en el centro centro de masa masa y un sistema sistema coordenado paralelo xyz. coordenada paralelo

Sustituyendo obtenemos Sustituyendo esas expresiones expresiones en la definición definición de lxx obtenemos Ixx = t., =

L i

[(y? [(y?

+ (Z')2] (Z')2] 2dzz + 2d

dm dm

1 m

Z' z'

+ 2dy 2dy dm dm

L i

y' dm dm

(d; + d;) d;) + (d;

1

(9.15) (9.15)

dm. dm.

m

La primera integral La primera integral de la derecha derecha es el momento momento de inercia inercia del cuerpo cuerpo respecto Podemos demostrar demostrar que la segunda segunda y la tercera tercera integrales integrales pecto al eje x. x'. Podemos son cero usando usando las definiciones definiciones del centro centro de masa masa del cuerpo cuerpo expresado expresado sistema coordenado coordenado x' en el sistema x' y' y' z' z' :

_, iLx'

x' dm dm

_1

x = =

L i

dm dm '

_, = iLy'

_1 y

y

yl

=

1 L

dm dm

dm ' dm

_, L i iL

z' dm dm

_1

zZ = =

dm . dm

In

El centro y' z', por por lo centro de masa masa del cuerpo cuerpo está en el origen origen del sistema sistema x' y' = ..5" = z' = = O. O. Por Por tanto, tanto, en la Ec. (9.15) (9.15) la segunda segunda y tercera tercera que x' = JI' = integrales integrales de la derecha derecha son cero, cero, y obtenemos obtenemos

donde m es la masa masa del cuerpo. cuerpo. Sustituyendo Sustituyendo las Ecs. (9.14) (9.14) en la definición definición donde de lxy obtenemos obtenemos Ixy = =

L i

x' y' dm x' dm

= = Ix'y'

+ dx a,

L i

y' dm dm + dy d,

L i

x' dm x' dm

+ dxdy d.d;

L i

dm dm

+ dxdym. dxdym.

Si procedemos procedemos de esta manera uno de los momentos productos manera para para cada cada uno momentos y productos de inercia, paralelos: inercia, obtenemos obtenemos los teoremas teoremas de los ejes paralelos:

(9.16) (9.16)


9.3 MOMENTOS Y PRODUCTOS PRODUCTOS DE INERCIA INERCIA 9 .3 MOMENTOS

Si se conoce conoce la matriz matriz de inercia inercia de un cuerpo cuerpo en un sistema sistema coordenado coordenado particular se pueden pueden usar usar estos teoremas teoremas para para determinar determinar su matriz matriz de particular~ inercia inercia en cualquier cualquier sistema sistema coordenado coordenado paralelo. paralelo. También También se pueden pueden usar usar para para determinar determinar las matrices matrices de inercia inercia de cuerpos cuerpos compuestos. compuestos.

Momento Momento de de inercia inercia respecto respecto a a un eje eje arbitrario arbitrario Si conocemos inercia de un cuerpo conocemos la matriz matriz de inercia cuerpo rígido en un sistema sistema coordecoordenado nado dado dado con origen origen O, podemos podemos determinar determinar su momento momento de inercia inercia respecto pecto a cualquier cualquier eje arbitrario arbitrario que pase por por O. Supongamos Supongamos que el cuerpo cuerpo arbitrario fijo Lo Lo rígido gira con velocidad velocidad angular angular w respecto respecto a un eje arbitrario que pase por por O, y sea e un vector vector unitario unitario con la misma misma dirección dirección que w (Fig. 9.15). 9.15). En función función del momento momento de inercia inercia lo respecto respecto a Lo, el momento angular angular del cuerpo respecto a Lo Lo es mento cuerpo rígido respecto

Ha == Ialwl· Ialwl · Ha

Figura 9.15

yy /'

/'

Cuerpo rígido girando alrededor de Lo.

z

Podemos expresar expresar el vector velocidad angular angular como como Podemos vector de velocidad

de manera Wlezz.• Usando manera que Wxx = Iwlex> Iwlex> wyy = Iwley Iwley y Wzz = IIWle Usando estas expremomento angular angular respecto respecto a Lo Lo es sione y las Ecs. (9.5), el momento

Igualando las dos expresiones expresiones para para H¿ obtenemos Ho obtenemos Igualando

Observe que el momento momento de inercia inercia respecto respecto a un eje arbitrario arbitrario depende depende Observe productos de inercia inercia y de los momentos momentos de inercia inercia respecto respecto a los de los productos coordenados. Si se conoce conoce la matriz matriz de inercia inercia de un cuerpo, cuerpo, se puede puede ejes coordenados. usar usar la Ec. (9.17) para para determinar determinar su momento momento de inercia inercia respecto respecto a un por O y cuya dirección dirección esté dada dada por por el vector vector unitario unitario e. eje que pase por http://carlos2524.jimdo.com/

437

438 438


Ejes principales principales Ejes Para cualquier cualquier cuerpo cuerpo y origen origen 0, 0, existe existe por por lo menos menos un un sistema sistema coordecoordePara nado para para el cual cual los los productos productos de inercia inercia son son cero: cero: nado

o

IXXIX X

[I]= [1] =

[

~~

O] O .

I yy

O

(9.18) (9.18)

I zz

Esos ejes ejes coordenados coordenados se llaman llaman ejes ejes principales principales y los los momentos momentos de de inercia inercia Esos denominan momentos momentos de inercia inercia principales. principales. se denominan conoce la matriz matriz de de inercia inercia de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido en en un un sistema sistema coorcoorSi se conoce denado x'y'z' x'v'« y los los productos productos de inercia inercia son son cero, cero, x'y'Z' x'y'Z' es un un conjunto conjunto denado ejes principales. principales. Suponga Suponga que que los los productos productos de inercia inercia no no son son cero cero y de ejes que se quiere quiere encontrar encontrar un un conjunto conjunto de de ejes ejes principales principales xyz y los los corresponcorresponque dientes momentos momentos de de inercia inercia principales principales (Fig. (Fig. 9.16). 9.16). Se puede puede demostrar demostrar dientes que los momentos momentos de de inercia inercia principales principales son son raíces raíces de de la la ecuación ecuación cúbica cúbica que los

(9.19) (9.19)

yy

Figura 9.16 sistema xy' origen en O y un El sistema x'y' z' con su origen conjunto de ejes principales principales xyz. xyz. conjunto

y'

zz x'

z' x

Para cada cada momento momento de de inercia inercia principal principal 1, 1, el vector vector V con con componentes componentes Para

(9.20) (9.20)

paralelo al correspondiente correspondiente eje principal. principal. es paralelo eje Para determinar determinar los los momentos momentos principales principales de de inercia inercia se deben deben obtener obtener Para las raíces raíces de de la la Ec. Ec. (9.19) (9.19) Y sustituir sustituir uno uno de los los momentos momentos principales principales de de las inercia de las las Ecs. Ecs. (9.20) (9.20) para para obtener obtener las las componentes componentes de de un un vector vector papainercia


9.3 9.3 MOMENTOS MOMENTOS Y PRODUCTOS PRODUCTOS DE INERCIA INERCIA

ralelo al eje principal principal correspondiente. correspondiente. Repitiendo Repitiendo esto para para cada cada momenmomento principal, princip,al, se pueden principales. Si no se obtiene pueden determinar determinar los tres ejes principales. obtiene una una solución solución de las Ecs. (9.20), se debe escoger otro otro de los momentos momentos prinprincipales. y, Z, aunque cipales. Se pueden pueden elegir arbitrariamente arbitrariamente los ejes x, y, aunque se debe cuidar cuidar que el sistema sistema coordenado coordenado sea dextrógiro. dextrógiro. Véase el Ej. 9.5. Los ejes en O respecto respecto a los cuales el momento momento de inercia inercia de un cuerpo cuerpo es mínimo principales. Si los tres momentos mínimo o máximo máximo son los principales. momentos de inercia inercia principales son iguales, principales iguales, cualquier cualquier sistema sistema coordenado coordenado con origen origen en O es conjunto de ejes principales momento de inercia inercia tiene el mismo mismo un conjunto principales y el momento valor valor respecto respecto a cualquier cualquier eje por por O. Esto Esto ocurre ocurre si, por por ejemplo, ejemplo, el cuerpo cuerpo es una una esfera esfera homogénea homogénea con con origen origen en su centro centro (Fig. 9.17a). 9.17a). Si dos de los momentos principal único partir momentos son iguales, se puede puede determinar determinar un eje principal único a partir del tercero, perpendiculares a dicho principales. tercero, y cualesquier cualesquier ejes perpendiculares dicho eje son principales. Esto Esto sucede cuando cuando un cuerpo cuerpo tiene un eje de simetría simetría rotacional rotacional y el origen origen está sobre sobre él (Fig. 9.17b). 9.17b). El eje de simetría simetría es el eje principal principal único. único.

yy

Figura 9.17 x

(a) Esfera Esfera homogénea. homogénea. Cualquier Cualquier sistema sistema coordenado con su origen origen en el centro centro es coordenado un conjunto conjunto de ejes principales. principales. (b) Cuerpo Cuerpo rotacionalmente rotacionalmente simétrico. simétrico. El eje de simetría simetría es un eje principal principal y cualesquier cualesquier ejes perpendiculares perpendiculares son ejes principales. principales.

zz (a) x yy

zz (b)

siguientes ejemplos productos de inercia En los siguientes ejemplos determinamos determinamos momentos momentos y productos de cuerpos simples, aplicamos paralelos y evaluacuerpos simples, aplicamos los teoremas teoremas de los ejes paralelos evaluamos . mos los momentos momentos angulares angulares de cuerpos cuerpos rígidos. http://carlos2524.jimdo.com/

439 439

440

CAPíTULO CINEMÁTICA DINÁMICA TRIDIM TRIDIMENSIONAlES CUERPOS RíGIDOS CAPíTU LO 9 C INEMÁTICA Y DINÁMICA ENSIONALES DE C UERPOS RíG IDOS

Ejemplo 9.3 El aguilónAB una masa el pescante pescante aguilónAB de la grúa grúa de la Fig. 9.18 tiene una masa de 4800 kg Y Yel Betiene una masa masa de 1600 kg Yes Yes perpendicular perpendicular aAB. uno coBe tiene una 1600kg a AB. Modelando Modelando cada cada uno mo una esbelta y tratándolos como un sólo cuerpo, cuerpo, determine determine los momenuna barra barra esbelta tratándolos como momenproductos de inercia muestra. tos y productos inercia del cuerpo cuerpo en el sistema sistema coordenado coordenada que se muestra. Figura Figura 9.18 9.18

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos paralelos a cada barra para para determinar Podemos aplicar aplicar los teoremas teoremas de los ejes paralelos cada barra determinar productos de inercia sus momentos momentos y productos inercia en el sistema sistema coordenado coordenada dado. dado. Los momentos y productos productos de inercia mentos inercia del cuerpo cuerpo combinado combinado son las sumas sumas de los de las dos barras. barras. SOLUCiÓN SOLUCiÓN X, X' X' X,

Aguilón AB Aguilón

En la Fig. (a) fijamos x'y' z' paralelo paralelo con fijamos un sistema sistema coordenado coordenada xy' masa del aguilón x'y' z', la matriz matriz su origen origen en el centro centro de masa aguilón AB. En el sistema sistema x'y' AB es de inercia inercia del aguilón aguilón AB

[~

[1']= [J' ] = [~

[~

= [~

(a) Aplicación Aplicación de los teoremas teoremas de los paralelos al aguilón aguilón AB. ejes paralelos

o

~~l2] ~~l2]

firnz2 O

12

O o

12fi (4800)(18)2 (4800)(18)2 O O

OO O O

(18)2 12fi (4800) (4800)(18)2

]] kg-rn". kg_m2 •

Las coordenadas x'y' z' respecto respecto a xyz son d coordenadas del origen origen del sistema sistema xyz' d;x = 9 m, dd;y = O, Aplicando los teoremas paralelos tenemos O, d d,z = O. O. Aplicando teoremas de los ejes paralelos tenemos

518400 = 518 400 kg-m", kg-m2,


PRODUCTOS DE INERCIA INERCIA 9.3 MOMENTOS Y PRODUCTOS 9 .3 MOMENTOS

Izz

= In

d~)m =

+ (d; +

t

441

11 (4800)(18)2 + (9)2(4800) 2

kg_m2, = 518400 518400 kg-m",

Pescante Be En la Fig. (b) fijamos fijamos un sistema sistema coordenado coordenado xyz' Pescante x'y'z' paralelo paralelo sistema x' y' z,, la matriz masa de BC. En el sistema x'y'z' matriz de con su origen origen en el centro centro de masa inercia BC es inercia de BC

[1']

=

[

-&,rnz2

oo

~

O O O O

y'

1-~l2]

x

Á Á 6m 6m

x'/ .>

12

oo O O O O

oOo

]

kg-nr'. kg-m2 .

-&.(1600)(6)2 12(1600)(6)2

yy

Las coordenadas coordenadas del origen origen del sistema sistema x'y'Z' d;x = = 18 18 m, x'y'Z' respecto respecto a xyz xyz son d == --33 m, d, dz = = O. O. Aplicando Aplicando los teoremas teoremas de los ejes paralelos paralelos tenemos tenemos

d; dy

(b) Aplicación Aplicación de los teoremas teoremas de los ejes paralelos paralelos al pescante pescante BC.

kg_m2, = 19200 19200 kg-m",

= 537 600 kg-m", kg-m2, Ixy Ixy

= Ix'y" O+ (18)(-3)(1600) Ix'y' + + dxdyrn dxdym = 0 + (18)(3)(1600) = --86400 86400 kg-m", kg-m2,

Sumando los resultados inercia Sumando resultados para para las dos barras, barras, obtenemos obtenemos la matriz matriz de inercia cuerpo compuesto: compuesto: del cuerpo 19200 19200 [1]

= [ --((--8g8g 400) = =

19.200 19.200 86400 86400 [ O O

--( ( --86400) 86400) 518400 + 518400 + 518 400 O

86400 86400 1036800 1036800 O O

~

~

O ] O] O 518400 + 518400 + 537 600

] kg-m". kg_m2 .

1056000 1056000


442

CINEMÁTICA Y DINÁMICA DINÁMICA TRIDIM TRIDIMENSIONAlES CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO CAPíTU LO 9 CINEMÁTICA ENSIONALES DE CUERPOS

Ejemplo 9.4 rectangular de 4 kg de la Fig. 9.19 se halla en el plano xx-y La placa rectangular -y del sistema coordenado fijo al cuerpo. coordenado productos de inercia de la placa. (a) Determine los momentos y productos (b) Determine el momento de inercia de la placa respecto al eje diagonal Lo. L o. (e) Si la placa está girando respecto al punto punto fijo O con velocidad angular w (c) 4i - 2j (rad/ (rad/s), angular de la placa respecto a O? 4i s), ¿cuál es el momento angular

Figura 9.19

zz

x

ESTRATEGIA ESTRATEGIA productos de inercia del área (a) En el Ap. B podemos obtener los momentos y productos rectangular de la placa y usar las Ecs Ecs.. (9. (9.13) para encontrar encontrar los momentos momentos y 13) para rectangular productos de inercia. productos momentos y productos productos de inercia, podemos usar (b) Una vez conocidos los momentos (9.17) para determinar determinar el momento momento de inercia respecto a Lo. la Ec. (9.17) (e) El momento angular respecto a O está dado por la .Ec. .Ec. (9.8). (c) SOLUCiÓN SOLUCiÓN transversal de (a) Del Ap. B, los momentos de inercia del área de la sección transversal la placa son (Fig. a): 1x

~bh3 = ~bh3 3 '

~hb3

Iy =

Io Jo

=

3

'

1

3

3

3(bh +hb). +hb). 3(bh

zz

yy

= 300 300 mm b=

~ ~ -.>. ~

hh=600mm = 600mm x

Determinación de los momentos de inercia del área de la placa. (a) Determinación

,

I


9.3

Por tanto, los momentos m

y

productos de inercia son

(4)

(1) (1)

Ixx

= -X/x =

Iyy

= -Xly =

Ixy

m A = Alxy =

(4) (1) (0.3)(0.6)

Izz

=m Ajo

(0.3)(0.6)

Ixz

= Iyz = O. r:·..•

(0.3)(0.6)

(4) (0.3)(0.6)

m

"3

(0.3)(0.6)

"3

(0.6)(0.3)

4

(1)

(4)

=

"3

3

= 0.48 kg-m ,

2

3

= 0.12 kg-m ,

..

2

2 2 2 (0.3) (0.6) = 0.18 kg-m ,

[(0.3)(0.6)

+ (0.6)(0.3) 3 1 = 0.60

3

2

kg-m ,

(b) Para aplicar la Ec. (9.17) debemos determinar las componentes de un vector unitario paralelo a Lo: e

=

300' 1

1300i

+ 600'J = 0.447 i + 0.894 i, + 600jl J

El momento de inercia respecto a Lo es

=

(0.48)(0.447)2

= 0.048

+ (0.12)(0.894)2

- 2(0.18)(0.447)(0.894)

kg-m",

(e) El momento angular de la placa respecto a O es [HOX] Hoy Hoz

= [Ixx-Iyx -Izx

=

=

[

[

-Ixy Iyy -Izy

=Ixz] Iyz Izz

0.48 -0.18 O

-0.18 0.12 O

2.28] -0~6

kg-m2/s.

[wwxy ] z

W

o~J[-i]


MOMENTOS

Y PRODUCTOS DE INERCIA

443

444


Y DINÁMICA

TRIDIMENSIONAlES

DE CUERPOS RíGIDOS

Ejemplo 9.5 En un sistema coordenado x'y'z' con su origen en el centro de masa, la matriz de inercia de un cuerpo rígido es

Determine los momentos de inercia principales y las direcciones de ejes principales respecto al sistema x'y' z', 20

10 5

O -5

r

'"'""-

I

<,

-15 2

0

Sustituyendo la ecuación

.••...

-10 -20

SOLUCiÓN

I I I

15

-/ 5

en la Ec. (9.19) los momentos

13

I

3 4 1, kg-rn?

6

de un conjunto

7

91z

-

+ 201

- 10

y productos

de inercia, obtenemos

= O.

En la Fig. 9.20 mostramos el valor del lado izquierdo de esta ecuación en función de l. Las tres raíces, que son los valores de los momentos de inercia principales en kg-m-, son I¡ = 0.708, Iz = 2.397 e 13 = 5.895. Sustituyendo en las Ecs. (9.20) el momento de inercia principal I¡ = 0.708 kg-m? y dividiendo el vector resultante V entre su magnitud, obtenemos un vector unitario paralelo al eje principal correspondiente:

Figura 9.20 Gráfica

de

[3 -

91z

+ 201

e¡

- 10.

= 0.473i + 0.864j + 0.171

Iz

Sustituyendo

eZ

y sustituyendo rio

e3

k.

= 2.397 kg-rn- en las Ecs. (9.20) obtenemos

=

-0.458 i

+ 0.076j + 0.886

k,

13 = 5.895 kg-m- en las Ecs. (9.20) obtenemos

= 0.753

i - 0.497 j

+ 0.432

el vector unitario

el vector unita-

k.

Hemos determinado los momentos de inercia principles y las componentes de los vectores unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes. En la Fig. 9.21 mostramos los ejes principales, designándolos arbitrariamente de modo que Ixx = 5.895 kg-m-, Iyy = 0.708 kg-m- e Izz = 2.397 kg-m-. y'

Figura 9.21 Ejes principales.

y

La elección de cuál es x, y o z es arbitraria.

/ ~Ir--------x' 0.753i - 0.497 j + 0.432k

z'


\

x

445

9.3 MOMENTOS MOMENTOS Y PRODUCTOS PRODUCTOS DE INERCIA INERCIA 9.3

Problemos] _______________ .....-------------....--l Problemasl ,

'1

- - - - II

riz matriz de inercia inercia de un cuerpo cuerpo rígido sistema 9.18 La matriz rígido en un sistema coordenado fijo al cuerpo cuerpo con su origen origen en el centro coordenado centro de masa masa es [1] = [ ~~ [/] -1 -1

to

os

-1]

1

-1 ] 2 kg-nr'.• ~~ kg-m

2 O O

velocidad angular angular del cuerpo cuerpo es w = lOi(rad/ s),, Si la velocidad lOi - 5j + lOk (rad/s) momento angular angular respecto respecto al centro centro de masa? ¿cuál es su momento masa? inercia del cuerpo Cuál es el momento momento de inercia cuerpo rígido rígido del 9. 19 ¿¿Cuál respecto al eje que pasa pasa por por el origen origen y el punto Probo 9.18 respecto punto (4, -4,7) m? -4,7) Estrategia: Determine Determine las componentes componentes de un vector Estrategia: vector unitario unitario paralelo al eje y use la Ec. (9.17). paralelo

9.23 Considere Considere la barra esbelta del Probo 9.23 barra esbelta Prob o 9.22.

(a) Determine Determine sus momentos momentos y productos productos de inercia inercia en un sistema coordenado paralelo origen en el centro centro de mama coordenado paralelo xy' x'y' z' con su origen masa de la barra. barra. Si la barra está girando (rad/ s), barra está girando con velocidad velocidad angular angular w == 4i (rad/ (b) Sila ¿cuál es su momento centro de masa? ¿cuál momento angular angular respecto respecto a su centro masa? 9.24 La placa placa rectangular delgada de 4 kg de la figura figura está en 9.24 rectangular delgada

el plano plano x-y. x-y . Determine Determine sus momentos momentos y productos productos de inercia inercia sistema coordenado coordenado que se muestra. en el sistema muestra.

9.20 Un cuerpo cuerpo rígido rígido gira respecto respecto a un punto 9.20 punto fijo O. Su D-

I-

y

matriz de inercia inercia en un sistema sistema coordenado coordenado fijo al cuerpo cuerpo con matriz origen en O es su origen [1] = [1]

[

O] i1 -!-1 n

[ --1

O

5

1

1

7

slug-pie-2 slug-pie x

velocidad angular angular del cuerpo cuerpo rígido rígido es w = = 6i + 6j - 4k Si la velocidad (rad/s), momento angular angular respecto (rad/ s) , ¿cuál es su momento respecto a O?

P9.24 P9.24 "0

a-

9.21

¿Cuál es el momento momento de inercia cuerpo rígido ¿Cuál inercia del cuerpo rígido del respecto al eje que pasa pasa por por el origen origen y el punto (-1, Probo 9.20 respecto punto (-1, 5, 2) pie? 9.22 En la Fig. P9.22la P9.22la masa masa de la barra esbelta homogénea 9.22 barra esbelta homogénea Determine sus momentos momentos y productos es de 6 kg. Determine productos de inercia inercia en sistema coordenado coordenado que se muestra. muestra. el sistema

e a

9.25 Si la placa girando con velocidad 9.25 placa del Probo 9.24 está girando velocidad angular w == 6i + 4j - 2k (rad/s), (rad/s), ¿cuál ¿cuál es su momento angular gular momento angular respecto centro de masa? respecto a su centro masa? 9.26 La placa delgada de 30 lb de la figura figura está en 9.26 placa triangular triangular delgada

el plano plano x-y. Determine Determine sus momentos momentos y productos productos de inercia inercia sistema coordenado coordenado que se muestra. en el sistema muestra.

yy

II

z

T T 1 ~-;;;;,. l~=~-x

yy

1m 1m

¡;¡;¡

1---I

::

---2 m 2m

:;;

m

::;¡-x

- -- ------j,1I

P9.26 P9.26 P9.22 P9.22


446 446


9.27 Considere Considere la placa triangular del Probo 9.26. 9.27 placa triangular Determine sus mO,mentos momentos y productos inercia en un siste(a) Determine productos de inercia ma coordenado x'y' z' con su origen coordenado paratelo paralelo xy' origen en el centro centro de mamasa de la placa. placa. (b) Si la placa placa está girando girando con velocidad velocidad angular angular w = 20i 12j + 16k (rad/s), (rad/s), ¿cuál es su momento momento angular angular respecto respecto a su centro centro de masa? masa?

9.30 placa delgada 9.30 Determine Determine la matriz matriz de inercia inercia de la placa delgada de 0.6 slug en el sistema sistema coordenado coordenado que se muestra. muestra.

yy

9.28 barra esbelta 9.28 En la Fig. P9.28, P9 .28, la barra esbelta de masa masa m gira respecto respecto velocidad angular angular w == w"", Deteral punto punto fijo O con velocidad w~ + wzk. Determine su momento momento angular angular (a) respecto respecto a su centro centro de masa; masa; (b) respecto respecto a O. yy

zz

"

,..,-~--t--t-+-+--t- x x

"1

1

"1

1

1

~ P9.30 P9.30

~I~ x

P9.28 P9.28

9.29 9.29

esbelta de masa masa m mostrada mostrada es paralela paralela al eje La barra barra esbelta y su velocidad velocidad angular punto fijo O es w == wyj, angular respecto respecto al punto wyj, ¿cuál es el momento barra respecto mento angular angular de la barra respecto a O?

x. Si el sistema sistema coordenado coordenado está fijo al cuerpo cuerpo

X.

9.31 La placa placa delgada delgada de 0.6 slug del Prob Proboo9.30 tiene velocidad angular angular w = lOi lOi + 10j lOj (rad/s). (rad/s). ¿Cuál ¿Cuál es su momento momento angudad lar respecto respecto a su centro centro de masa? masa? 9.32 9.32 En el Ej. 9.3 los momentos momentos y productos productos de inercia inercia del cuerpo por las barras barras AB y Be Be se determicuerpo compuesto compuesto formado formado por determinaron en el sistema naron sistema coordenado coordenada de la Fig. 9.18. Determine Determine los productos productos y momentos momentos de inercia inercia del cuerpo cuerpo en un sistema sistema coorcoordenado x'y' paralelo con su origen en el centro denada x' y' z' z' paralelo centro de masa masa del cuerpo. cuerpo. 9.33 9.33 Suponga Suponga que la grúa grúa del Ej. 9.3 sufre sufre una una rotación rotación de cuerpo cuerpo rígido rígido respecto respecto al eje vertical vertical de 0.1 rad/s rad/s en dirección dirección antihoraria antihoraria cuando cuando se ve desde arriba. arriba. ¿Cuál es la velocidad velocidad angular angular del vector vector "'? lo}? (a) ¿Cuál cuerpo formado (b) ¿Cuál ¿Cuál es el momento momento angular angular del cuerpo formado por por AB yy Be Be respecto a su centro centro de masa?

T~ 1 z x

P9.29 P9.29


9.3 9 .3 MOMENTOS MOMENTOS Y Y PRODUCTOS PRODUCTOS DE INERCIA INERCIA

9.34 Una Una barra barra esbelta esbelta de 3 kg está está unida unida rígidamente rígidamente a un un 9.34 disco circul{lr circulttr delgado delgado de 2 kg. kg . En En el sistema sistema coordenadofijo coordenado fijo disco cuerpo que que se muestra, muestra, la velocidad velocidad angular angular del cuerpo cuerpo comcomal cuerpo lOOi - 4j 4j + 6k (rad/s). (rad/s). ¿Cuál ¿Cuál es el momento momento puesto es w = lOOipuesto angular del cuerpo cuerpo respecto respecto a su centro centro de masa? masa? angular

447 447

9.36 9.36 La La barra barra esbelta esbelta homogénea homogénea de 8 kg de la figura figura tiene tiene soportes soportes de bola bola yy cuenca cuenca en A A yy B. (a) ¿Cuál ¿Cuál es su momento momento de inercia inercia respecto respecto al eje eje AB? AB? (b) Si la barra barra gira gira respecto respecto al eje AB AB a 4 rad/s, rad/ s, ¿cuál ¿cuál es la magnitud rotación? magnitud de su momento momento angular angular respecto respecto a su eje de rotación? ·1

yy

c=========~~--~~--~ x

~600mm----~

P9.34 P9.34

9.35 La masa masa de la barra barra esbelta homogénea es m. m . Si la barra barra 9.35 esbelta homogénea gira con velocidad velocidad angular l2j - 6k), 6k) , ¿cuál gira angular w = = wQ(24i wo(24i + 12j ¿cuál es momento angular angular respecto respecto a su centro centro de masa? masa? su momento

zz P9.36

9.37

La esbelta homogénea La barra barra esbelta homogénea de 8 kg del Probo 9.36 se libera plano x-z x -z es horihorilibera del reposo reposo en la posición posición mostrada mostrada (el plano zontal). En ese instante, instante, ¿cuál es la magnitud magnitud de la aceleración aceleración zontal). En angular barra respecto respecto al eje AB? A B? angular de la barra sistema coordenado coordenado xy' centro 99.38 .38 En un sistema x 'y' z' con origen en el centro de masa, masa, la matriz matriz de inercia inercia de un cuerpo cuerpo rígido es [1'] [1']

~~ ~~ = [ ~~ ~~ -10 -10

fí

-10]

-10] O kg-rrr'. kg_m2 . O O 80

Determine inercia principales vectores Determine los momentos momentos de inercia principales y los vectores unitarios paralelos paralelos a los ejes principales principales correspondientes correspondientes. . unitarios

zz

/J

1

sistema coordenadox'y coordenado x'y'z' origen en el cen9.39 En un sistema 'z' con su origen tro de masa, masa, la matriz matriz de un cuerpo cuerpo rígido rígido es P9.35 [1']' ] [J

-~ = [ -~

-2 -2 12 O O

~] ~]

slug-pie-. 2 . slug-pie

16 16

Determine los momentos momentos de inercia inercia principales principales y los vectores Determine unitarios paralelos paralelos a los ejes principales principales correspondientes. correspondientes. unitarios


448

CAPíTULO CINEMÁTICA Y DINÁMICA DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS CAPíTU LO 9 CINEMÁTICA TRIDIM ENSIONALES DE RíGIDOS

9.40 9.40

barra esbelta esbelta de 1 kg Y Y 1 m de longitud longitud mostrada mostrada está La barra plano x-y. Su ¡natriz p1atriz de momento momento de inercia inercia es en el plano sen fJ f3 tz.tz sen 22

[I'] [I']

= --.tztz ser¿ senf3cos fJ f3

[

senf3fJ cos fJ f3 O] --.tztz sen cos?2 fJ f3 ? tz.tz cos

1]' n12

OO

O

9.41 La masa masa de la placa placa delgada delgada homogénea homogénea de la figura figura es 9.41 Para un sistema sistema coordenado origen en 0, 0, deterde 3 slugs. Para coordenado con origen momentos de inercia inercia principales principales y los vectores vectores unitaunitamine los momentos paralelos a los ejes principales principales correspondientes. correspondientes. rios paralelos

y' y'

1==3pies --1

(9.19) y (9.20) (9.20) para para determinar determinar los momentos momentos de Use las Ecs. (9.19) inercia principales principales y los vectores vectores unitarios unitarios paralelos paralelos a los ejes inercia principales correspondientes. correspondientes. principales

~3Pies--l

y' y' O)

--------,// I -------------~~-----~------

/:

X' ' x

r. T

--------9'=-x tiP;"

/

z' P9.40 P9.40

P9.41

Ecuaciones de de Eu/er Euler 9.4 Ecuaciones ecuaciones que rigen el movimiento movimiento tridimensional tridimensional de un cuerpo cuerpo rígiLas ecuaciones conocidas como como ecuaciones ecuaciones de Euler, Euler, consisten consisten en la segunda segunda ley de do, conocidas Newton Newton EF == ma ecuaciones de movimiento movimiento angular. angular. En las siguientes siguientes secciones deducideduciy ecuaciones ecuaciones de movimiento movimiento angular, angular, comenzando comenzando con con los principios mos las ecuaciones principios cantidad de movimiento movimiento para para un sistema sistema de partículas partículas desarrollados desarrollados de la cantidad Cap. 7, y usando usando las expresiones expresiones del momento momento angular angular de un cuerpo cuerpo en el Cap. rígido en tres dimensiones. dimensiones. rígido

Rotación respecto respecto a un un punto punto fijo Rotación cuerpo rígido rígido gira gira respecto respecto a un punto punto fijo O, la suma suma de los momenmomenSi un cuerpo respecto a O debido debido a fuerzas fuerzas y pares pares externos externos es igual a la razón razón de tos respecto cambio del momento momento angular angular respecto cambio respecto a O (Ec. 7.11): ~Mo ~Mo

dHoo =dH- o = dt . dt

(9.21)

Para obtener obtener las ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento angular angular debemos debemos sustituir sustituir Para aquí las componentes componentes del momento momento angular angular dadas dadas por por las Ecs. (9.5). El aquí sistema coordenado coordenado que se utiliza utiliza para para expresar expresar estas componentes componentes suele sistema estar fijo al cuerpo, cuerpo, por por lo que gira con la velocidad velocidad angular angular w del cuerpo cuerpo estar rígido. En algunos algunos casos conviene conviene usar usar un sistema sistema coordenado coordenado que gire rígido. pero que no esté fijo al cuerpo. cuerpo. Denotemos Denotemos con n nel vector vector de velocidad pero velocidad o

,


9.4 ECUACIONES ECUACIONES DE DE EULER EULER 449 9.4

angular del sistema sistema coordenado, coordenado, donde donde n n == w si el sistema sistema está fijo al angular cuerpo. Expresando función de sus componentes, componentes, cuerpo. Expresando Ha Ha en función Ho = = Hox Hox ii + Hoy Hoy jj

+ Hoz Hoz k,

cambio del momento angular es la razón razón de cambio momento angular dHoo dHox . dH oy . dj dHo z dk dH dHox. di dHoy. dj dHoz dk -= + - - J+Ho -+--k+Ho-· - + - -k+Ho - . --=--I+H -+--J+Ho o - - I+H o dt dt x dt dt y dt dt zz dt dt dt dt dt dt dt dt

Expresando derivadas respecto Expresando las derivadas respecto al tiempo tiempo de los vectores vectores unitarios unitarios en función de la velocidad angular n n del sistema sistema coordenado, coordenado, función velocidad angular

dt dt

= ~,

dk dk -=nxk = nxk dt dt '

dj •• dj '""' . dt = XJ, dt = Hu XJ,

••. '""' X -di =~, XI1.

'

podemos escribir la Ec. como podemos escribir Ec. (9.21) como dHox. •• H H dHox • dHoy. dHo y . dHoz dHo z kk '""' hMO=--I+--J+-+ux o. hMo = - - I + - - J + - - +H X o. dt dt dt dt dt dt

(9.22)

Sustituyendo las componentes componentes de Ha ecuación, obHa de la Ec. (9.5) en esta ecuación, Sustituyendo tenemos ecuaciones del movimiento angular: tenemos las ecuaciones movimiento angular: dco¿ dco; dco¿ dw x dw y dw z hMox = Ixx - - - Ixy-I xy - - - Ixz hMox = Ixx-xz-dt dt dt dt dt dt - Qz(0.z(-IyxIyxwx úJx + Iyy IyyúJy w y - IyzúJz) Iyz wz )

+ 0.y(-I Qy(-Izx Izywy + IzzúJz), Izzw z), zxúJw x x - IzyúJy dio¿ dw x hMOy = - I yx Tt hMOy = -IyxTt

dúJ dw y

y + IyyTt I yyTt -

+ 0. (IxxúJx + Q zz (Ixxwx

dco¿ dw z I yz -;¡¡ IyzTt

IxyúJy Ixywy - IxzúJz) Ixzwz)

(9.23)

- Qx( 0.x (-- IzxúJ Izxw x - IzyúJy Izywy + IzzúJz), Izz wz ), dco¿ dio; dw x dw y hMoz = - zxTt I zx Tt - IzyTt hMoz = -I zyTt -

dco¿ dw

z + IzzTt Izz -;¡¡

0.y (IxxúJx Q y (Ixx wx - IxyúJy Ixywy - IxzúJz) Ix zwz)

0.x (- IyxúJx IyzúJz)· + Qx(Iyx wx + IyyúJy Iyywy - Iyzw z)·

Como las componentes componentes de la velocidad angular, igual que las componentes componentes Como velocidad angular, expresan en un sistema sistema coordenado coordenado que gira con velocidad de Ha, Ha, se expresan velocidad angular n, n, la aceleración aceleración angular angular del cuerpo cuerpo rígido gular rígido es dw dw

a=a= -

dt dt

dco¿ dw x .,

dúJy. dw y .

dco¿ dw z

=-1+ = 1+ --J+-k+n J + - k+n xw. xw. dt dt

dt dt

dt dt

(9.24)

Si el sistema coordenado coordenado no gira o está fijo al cuerpo, cuerpo, los términos términos dw¿dt, dw¿ dt, dw/dt componentes de la aceleración aceleración angular cuerdw/dt y dw/dt dw/ dt son las componentes angular del cuerpo. De lo contrario, contrario, se debe usar determinarlas. usar la Ec. (9.24) para para determinarlas. http://carlos2524.jimdo.com/

450

CAPíTU LO 9 C INEMÁTICA Y DINÁMICA TRIDIMENSIONALES DE CUERPOS CAPíTULO CINEMÁTICA DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

"Podemos matricial "Podemos escribir escribir las Ecs. (9.23) como como la ecuación ecuación matricial

(9.25)

Movimiento general general Movimiento La suma suma de los momentos centro de masa cuerpo rígido momentos respecto respecto al centro masa de un cuerpo rígido debido a las fuerzas fuerzas y pares externos es igual a la razón cambio del debido pares externos razón de cambio momento angular respecto centro de masa 7.13):: momento angular respecto al centro masa (Ec. 7.13) dH ¿;M==-.- . hM dt

(9.26)

En función de las componentes componentes del vector angular, podemos En función vector de momento momento angular, podemos escribir esta ecuación ecuación como escribir como

au, an, dH dHy • su, dHz ¿;M = = - x ii + - Jj + - kk + n x H, hM + + + !"l dt dt dt

(9.27)

donde !"les nes la velocidad angular del sistema sistema coordenado. coordenado. Sustituyendo Sustituyendo las velocidad angular donde Ecs. (9.9) en esta ecuación, ecuación, obtenemos obtenemos las ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento angular gular dio¿ doi; dio¿ dw x dw y dw z ¿;M hMx = Ixx-I xx - - - Ixy-I xy - - - Ixz-x = dt dt dt -r2z(-Iyxwx - 0.z(- Iyxwx + Iyywy Iyywy - Iyzw Iyzwzz)) +r2y + 0. y (- Izxwx Izx w x - Izywy Izywy + Izzw Izzwzz),),

hMy ¿;My

=

dos, dco; dco¿ dw x dw y dw z - I yx - - + I I yy IYZ - d -Iyx-YY- -- - i., ddtt dt dtt +r2z(lxxwx - Ix Ixywy +0.z(lxxwx ywy - Ixzwz) Ixzwz) -r2 Izzw - 0.xC-Izx wxx - Izywy Izy wy + Izz wzz),), x (- Izxw

dio¿ dio; dco¿ dw x dw y dw z ¿;M = -I Izy-hMzz = - zx I zx-- - - - Izy - - + IzzIzz dt dt dt -r2y(lxxwx - 0.y(lxxwx - Ixywy Ixywy - Ixzwz) Ixzwz) +r2x(-Iyxwx + 0. x (-I yx w x


+ Iyywy Iyyw y -

Iyzw Iyzwzz),),

(9.28)

9,4 9.4 ECUACIONES ECUACIONES DE EULER EULER

o

(9.29) (9.29)

xx ---Ixz] Ixz] [úJ ]] -Iyz wy. Iyz úJ Y Izz úJ Izz Wzz

[W

'

ecuaciones del movimiento angular para general, Las ecuaciones movimiento angular para el movimiento movimiento general, expresiones para inercia, son idénticas idénticas las expresiones para los momentos momentos y productos productos de inercia, forma a las obtenidas obtenidas para para la rotación alrededor de un punto fijo. Sin en forma rotación alrededor punto fijo. embargo, en el caso del movimiento general las ecuaciones ecuaciones del movimiento embargo, movimiento general movimiento angular se expresan expresan en función función de las componentes componentes del momento angular momento respecto respecto centro de masa, inercia se expresan expresan en al centro masa, y los momentos momentos y productos productos de inercia relación con un sistema sistema coordenado coordenado con su origen origen en el centro centro de masa. relación con masa. y

En los siguientes ejemplos usamos usamos las ecuaciones ecuaciones de Euler siguientes ejemplos Euler para para analizar analizar movimientos tridimensionales de cuerpos cuerpos rígidos. Esto implicar tres movimientos tridimensionales Esto suele implicar pasos: pasos: l. Escoja Escoja un sistema sistema coordenado. coordenado. Si un cuerpo cuerpo gira respecto l. respecto a un punto punto fijo ecuaciones del movimiento angular se simplifican fijo O, las ecuaciones movimiento angular simplifican si se expresan coordenado con origen en O. La alternativa es presan en un sistema sistema coordenado La alternativa coordenado con origen en el centro centro de masa. En ambos ambos usar un sistema sistema coordenado escoja una orientación orientación para que simplificasos, escoja para los ejes del sistema sistema que simplifiquen la determinación quen determinación de los momentos momentos y productos productos de inercia. diagrama de cuerpo cuerpo libre. Aísle cuerpo e identifique identifique las 2. Dibuje Dibuje el diagrama Aísle el cuerpo fuerzas externos que actúan sobre fuerzas y pares pares externos que actúan sobre él. ecuaciones de movimiento. 3. Aplique Aplique las ecuaciones movimiento. Use la segunda segunda ley de Newton Newton y las ecuaciones ecuaciones de movimiento angular para relacionar las fuerzas movimiento angular para relacionar fuerzas y pares que actúan actúan sobre sobre el cuerpo cuerpo con la aceleración de su centro centro de pares que masa y su aceleración angular. http://carlos2524.jimdo.com/

451

452 452

CAPíTULO 99 CINEMÁTICA CINEMÁTICA Y Y DINÁMICA DINÁMICA TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONAlES DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

Ejemplo 9.6 9.6 Ejemplo Durante Durante un un proceso proceso de de ensamblado, ensamblado, la la placa placa rectangular rectangular de de 44 kg kg de de la la Fig. Fig. 9.22 9.22 se semantiene mantiene fija fija en en O O por por medio medio de de un un robot. robot. El El punto punto O O está está fijo. fijo. En En el elinstante instante mostrado, mostrado, la la placa placa está está horizontal, horizontal, su su velocidad velocidad angular angular es esw w= = 4i 4i -- 2j(rad/s), 2j(rad/s), yy su s2). Determine su aceleración aceleración angular angular es es QQ == -lOi -lOi + + 6j 6j (rad/ (rad/s-). Determine el el par par que que ejerejerce ce el el robot robot sobre sobre la la placa. placa. Figura 9.22 9.22 Figura

ESTRATEGIA ESTRATEGIA punto fijo O, por lo que podemos podemos usar la Ec. (9.25) La placa gira respecto al punto para determinar determinar el momento momento total total ejercido sobre la placa placa respecto a O. para

SOLUCiÓN SOLUCiÓN Dibujo del del diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre Denotamos Denotamos con F y e la fuerza Dibujo y el par par que ejerce el robot robot sobre la placa placa (Fig. a).

zz

F

x

(a) Diagrama Diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre de de la la placa. placa. (a)

1,


9.4 9.4 ECUACIONES ECUACIONES DE DE EULER EULER 453 453

Aplicación de de las las ecuaciones ecuaciones de de movimiento movimiento El El momento momento total total resresAplicación es la la suma suma del del par par ejercido ejercido por por el el robot robot yy el el momento momento respecto respecto aa pecto aa O O es pecto debido al al peso peso de de la la placa: placa: O debido LMo ~Mo

(0.15i+0.30j) [-(4)(9.81) k] k] == eC+ + (0.15 i + 0.30j) xx [-(4)(9.81) (9.30) (9.30)

== eC --

11.77i + + 5.89j 5.89j (N-m). (N-m) . 11.77i

Para obtener obtener el par par desconocido desconocido e, C , podemos podemos determinar determinar el momento momento total total resresPara pecto a O con con la la Ec. Ec. (9.25). (9.25). pecto Sea el sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al cuerpo, cuerpo, por por lo que que su velocidad velocidad angular angular Sea igual a la velocidad velocidad angular angular de la la placa placa n En En el Ej. Ej. 9.4 9.4 determinamos determinamos w es igual la matriz matriz de inercia inercia de la placa, placa, y obtuvimos obtuvimos la 0.48 [1]

=

[

-0.18 -0.18 0.12 0.12 OO

-0~8

OO ] .. 0.6 0.6

Por tanto, tanto, el momento momento total total respecto respecto a O ejercido ejercido sobre sobre la placa placa es Por

0.48

=

-0.18 -0.18 0.12 O O

-0.18 [ O

~] [-~O]

0.6

-0.18 -0.18 0.12 O O

O O O O 4

=

O

-5.88] -5.88] 2.52 N-m. N-m. 0.72

[

Sustituyendo Sustituyendo este resultado resultado en la Ec. (9.30), ~Mo = C e -- 11.77i 11.77i + + 5.89j 5.89j = -5.88 -5.88i i + + 2.52j 2.52j + + 0.72 kk,, LMo determinamos determinamos el par C: C e == 5.89i 5.89i - 3.37 j + + O.72k O.72k (N-m). (N-m).


454


Ejemplo 9.7 Una Una barra barra esbelta esbelta vertical vertical de masa masa m está rígidamente rígidamente unida unida a un disco horizonhorizontal que gira con velocidad velocidad angular angular constante constante Wo (Fig. 9.23). ¿Qué fuerza fuerza y par par sobre la barra? barra? ejerce el disco sobre

II

b

1L

1

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Las fuerzas externos sobre barra son su peso y la fuerza par fuerzas y pares pares externos sobre la barra fuerza y el par ejercidos por velocidad y la aceleración angulares de la barra barra están están ejercidos por el disco. La velocidad aceleración angulares dadas, aceleración de su centro dadas, y podemos podemos determinar determinar la aceleración centro de masa, masa, así que podepodetotales. mos usar usar las ecuaciones ecuaciones de Euler Euler para para calcular calcular la fuerza fuerza y el par par totales. SOLUCiÓN SOLUCiÓN

Selección de coordenado En En la Fig. (a) colocamos colocamos el oriSelección de un sistema coordenado gen de un sistema sistema fijo al cuerpo cuerpo en el centro centro de masa, masa, con con el eje y vertical vertical y el eje x en dirección ejexen dirección radial. radial. Con Con esta orientación orientación obtendremos obtendremos expresiones expresiones sencillas para para la velocidad velocidad angular angular y la aceleración aceleración del centro centro de masa masa de la barra. barra.

Figura 9.23

Dibujo Dibujo del del diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre La Fig. (a) es el diagrama diagrama de cuercuerpo libre de la barra barra mostrando mostrando la fuerza fuerza F y el par par e ejercidos ejercidos por por el disco. Aplicación de las ecuaciones Aplicación de ecuaciones de de movimiento movimiento La La aceleración aceleración del centro tro de masa masa de la barra barra debido debido a su movimiento movimiento a lo largo largo de su trayectoria trayectoria circular -w~bi. De la segunda segunda ley de Newton, Newton, circular es a = -w6bi. }:F 'EF

= = F - mgj rngj = m(-úJ~bi), rn( -úJ~bi),

obtenemos obtenemos la fuerza fuerza que que ejerce ejerce el disco sobre sobre la barra: barra: F = -múJ~bi -rnúJ~bi + mgj. rng j. El momento momento total total respecto respecto al centro centro de masa masa es la suma suma del par par e y el momenmomento to debido debido a F:

yy

La La matriz matriz de de inercia inercia de la barra barra en el sistema sistema coordenado coordenado de de la la Fig. Fig. (a) es mg

xx

[1]= [

(a) (a) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre libre de de la la

barra. barra.

Oo OO OO

firnz2

~

y su velocidad velocidad angular, angular, w w gular, gular, Ec. Ec. (9.29), (9.29), es

ex

[[ C¿ C z

Cx e, Cy

=

oOO ]] ,,

l..mZ .l..rnZ2 12 12

= woj, woj,

]] == [[

~mZbúJ~ ~rnlbúJ~


es constante. constante. La La ecuación ecuación de movimiento movimiento anan-

O OO O OO OO -úJo OO -úlQ

OO oO OO

O ] [O]

O fimZ2

úJo.

o

9.4 9,4 ECUACIONES ECUACIONES DE DE EULER EULER 455 455 yy

El lado lado derecho derecho es es igual igual aa cero, cero, por por lo lo que que las las componentes componentes del del par par ejercido ejercido El por el el disco disco sobre sobre la la barra barra son son ex Cx == o, 0, C; Cy == o, 0, eCz z == ~mlbw6· ~mlbw6. por tt

Solución alternativa alternativa La La barra barra gira gira respecto respecto aa un un eje eje fijo, fijo, por por lo lo que que tamtamSolución el par par C C usando usando la la Ec. Ec. (9.25). (9.25). Sea Sea el el punto punto fijo fijo O O bién podemos podemos determinar determinar el bién el centro centro del del disco disco (Fig. (Fig. b), b), Yorientemos Y orientemos el el sistema sistema coordenada coordenado fijo fijo al al cuerpo cuerpo el con el el eje eje xx pasando pasando por por la la base base de de la la barra. barra. El El momento momento total total respecto respecto aa O O es es con

~Mo == C+ C+ (bi) (bi) xx (-mw~bi+mgj) (-mw6bi+mgj) + + (bi+ (bi+ ~lj) ~lj) xx (-mgj) (-mgj)

EMo

=c. =C. Así, el el único único momento momento respecto respecto aa O O es es el el par par ejercido ejercido por por el el disco. disco. Aplicando Aplicando Así, productos de de inercia inercia de de la la los teoremas teoremas de de los los ejes ejes paralelos, paralelos, los los momentos momentos yy productos los barra son son (Fig. (Fig. e) c) barra

t., = i.. + Iyy

(d~

+ d;)m =

1

12ml2

+

(1 )2

"21 m

(b) (b) Ecuación Ecuación del del movimiento movimiento angular angular

respecto respecto al punto punto fijo fijo O.

= 31m12,

2 Iy'y' + (d; (l; + d;)m d;)m = mb", mb , = Iy'y'

t.; Izz = Iz'z' + (d; (d; +d~)m + d;)m =

°

l~mz2

22 112ml2 + [b [b +

dxdym = 0+ + (b) (b) I xy = Ix'y' + dxdym t.,

2 (~IJ] (~lJ] m = ~m12 ~ml2 -i-mb", + mb ,

yy y' y'

(~l) m = ~mbl, ~mbl,

II

(~l)

b

Sustituyendo resultados en la Ec. (9.25) obtenemos Sustituyendo estos resultados obtenemos

z

O ° ~: ]=[ ~ [ -wo ° Cz

O O

°

Aplicación del teorema teorema de los ejes (e) Aplicación paralelos. paralelos.

COMENTARIO COMENTARIO Si Si la la barra barra estuviera estuviera unida unida al al disco disco por un soporte soporte de de bola yy cuenca cuenca en en vez vez de de estar estar empotrada, empotrada, se se vería que que la la barra barra giraría giraría hacia hacia afuera afuera debido debido aa la la rotación rotación del del disco disco.. Hemos Hemos determinado determinado el el par par que que el el empotramiento empotramiento ejerce ejerce sobre sobre la la barra barra y que que impide impide que que gire gire hacia afuera. afuera.


456

CINEMÁTICA Y DINÁMICA TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO 9 CINEMÁTICA CAPíTULO Y DINÁMICA

Ejemplo 9.8 cilindro inclinado inclinado homogéneo sufre un movimiento El cilindro homogéneo de la Fig. 9.24 sufre movimiento uniforme uniforme extremo rueda sobre el piso mientras centro de masa en el cual un extremo rueda sobre mientras su centro masa permanece permanece ángulo {3 {3entre cilindro y la horizontal constante, fijo. Ei ángulo entre el eje del cilindro horizontal permanece permanece constante, y el eje del cilindro cilindro gira respecto angular constante constante respecto al eje vertical vertical con velocidad velocidad angular Wo. cilindro tiene masa m, radio longitud l.l. ¿Qué ¿Qué valor Wo. El cilindro masa m, radio R y longitud valor tiene wo?

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Expresando las ecuaciones ecuaciones del movimiento angular en función función de wo, podeExpresando movimiento angular podemos determinar determinar el valor satisface las ecuaciones. ecuaciones. Por Por tanto, valor Wo que satisface tanto, hay que determinar primero la velocidad velocidad angular Wo. Podeterminar primero angular w del cilindro cilindro en función función de Wo. Podemos simplificar simplificar esta esta tarea sistema coordenado coordenado no fijo al cuerpo. cuerpo. demos tarea usando usando un sistema SOLUCiÓN SOLUCiÓN Selección de de un sistema coordenado coordenado Usamos sistema coordenado coordenado Selección Usamos un sistema alineado con el eje del cilindro cilindro y cuyo eje y permanezca cuyo eje z permanezca permanezca alineado permanezca horizontal angular del horizontal (Fig. a). La razón razón para para hacerlo hacerlo así es que la velocidad velocidad angular sistema coordenado coordenado es fácil de describir describir (el sistema sistema coordenado coordenado gira gira respecto sistema respecto angular wo) y la rotación cilindro respecto al eje vertical vertical con velocidad velocidad angular rotación del cilindro respecto al sistema coordenado coordenado es también describir. El vector angular sistema también fácil de describir. vector de velocidad velocidad angular sistema coordenado coordenado es del sistema

9.24 Figura 9.24

n = Wo senf3k. n Wo cos f3 ii + Wo Wo senf3 k. Respecto al sistema sistema coordenado, coordenado, el cilindro cilindro gira respecto Escribiendo Respecto respecto al eje z. Escribiendo angular respecto sistema coordenado coordenado como como wre1k, su velocidad velocidad angular respecto al sistema wre1k, el vector vector de velocidad angular del cilindro cilindro es velocidad angular w

n+ =n

Wrel Wrel

k

= Wo Wo cos f3 ii +

senf3+ (wo senf3 +

Wrel) Wrel)

k.

Podemos determinar determinar Wrel condición de que la velocidad Podemos Wrel de la condición velocidad del punto punto P en contacto Expresando la velocidad función de la cero. Expresando velocidad de P en función contacto con el piso es cero. velocidad centro de masa obtenemos velocidad del centro masa e, obtenemos

= Vc + w x

Vp

t rrc rp jC :

0+ [wocosf3i [wo cos f3 i + oo == 0+

=

[~IWO [~IWO cos f3 --

+

R(wo senf3 senf3 + Wrel) R(wo Wrel) ]] j.j .

Despejando Wrel obtenemos Despejando Wrel obtenemos Sistema coordenado coordenado con el eje (a) Sistema

z

alineado con el eje del cilindro cilindro y alineado el eje y horizontal. horizontal.

Wrel Wrel

[~(l//

= [~(l

R) cos f3 -- sen senf3 ] Wo· Wo· R)

Por tanto, angular del cilindro cilindro es Por tanto, el vector vector de velocidad velocidad angular w

.

1

2 (1/ (1/ R)wo R)wo cos f3 k. = Wo Wo cos f3 11 + 2


k]

~lk]

(wo sen f3 + Wrel) k] xX [[-Ri - R i -- ~l (wosenf3 wrel)kj

9.4

me ece te, te

ECUACIONES

457

DE EULER

Dibujo del diagrama de cuerpo libre En la Fig. (a) dibujamos el diagrama de cu,.erpolibre del cilindro, mostrando su peso y la fuerza normal ejercida por el piso. Como el centro de masa es fijo, sabemos que el piso no ejerce fuerza horizontal sobre el cilindro y que la fuerza normal es N = mg. Aplicación de las ecuaciones de movimiento al centro de masa debido a la fuerza normal es

¿M

= (rngR sen{3- ~rngzcos.B)

El momento respecto

j.

Según el Ap. C, la matriz de inercia es

o + firnZ2

~rnR2

OO

do

ea el to

al ar

Sustituyendo las expresiones para n, w, I:M y los momentos y productos de inercia en la ecuación del movimiento angular, Ec. (9.29), y evaluando los productos matriciáles, obtenemos la ecuación rng(Rsen.B-~zcos.B)

= (~rnR2+ -~

o

].

~rnR2

O

Podemos resolver esta ecuación para

(~rnR2)

112rnz2)Cú~sen.Bcos.B Cú~(lIR)cos2.B.

w5:

de

(9.31)

n

COMENTARIO

la

Si la solución da un valor negativo de wJ para un valor dado de {3,el supuesto movimiento uniforme del cilindro no es posible. Por ejemplo, si el diámetro del cilindro es igual a su longitud, 2R = 1, podemos escribir la Ec. (9.31) como RCú~ g

25 20 15 10 C()

I

-

5

1f'0 -5 Ct::

J

¡....-¡--

./

I /

I

-10 -15 -20

sen.B- cos .B sen.B cos.B - ~ cos2 .B .

i1

En la Fig. 9.25 mostramos la gráfica de esta ecuación en función de {3.Para valores de {3de 40° a 45° aproximadamente, no hay solución real para Wo' Observe que en (3 = 45°, Wo = O, lo que significa que el cilindro es fijo y está en equilibrio con el centro de masa directamente sobre el punto P.

-250

10° 20° 30° 40° 50° 60 ° 70 ° 80° 90°

f3 Figura 9.25 Gráfica de RW5/g en función de {3.


458


Y DINÁMICA

TRIDIMENSIONAlES

9.42 La matriz de inercia de un cuerpo rígido en un sistema coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa es 1 ~

2

-1

O

[1] = [

DE CUERPOS RíGIDOS

9.47 En la Fig. P9.471a masa de la barra esbelta homogénea es de 6 kg. En t = O,la barra en reposo está sometida a la fuerza F = 12k (N) en el punto x = 2 m, y = o. Ninguna otra fuerza o par actúa sobre la barra. (a) ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en t = O? (b) ¿Cuál es la aceleración del punto x = 2 m, y = Oen t = O?

Si la velocidad angular del cuerpo rígido es w = lOi - 5j + lOk (rad/s) y su aceleración angular es cero, ¿cuáles son las componentes del momento total respecto a su centro de masa? 9.43 Si el momento total respecto al centro de masa del cuerpo rígido del Probo 9.42 es cero, ¿cuáles son las componentes de su aceleración angular? 9.44 Un cuerpo rígido gira respecto a un punto fijo O. Su matriz de inercia en un sistema coordenado fijo al cuerpo con origen en O es [I]

=

[-l -~ n

y

I

T 1m

1

--x

l·

slug-pie'

Si la velocidad angular del cuerpo rígido es w = 6i + 6j - 4k (rad/s) y su aceleración angular es cero, ¿cuáles son las componentes del momento total respecto a O? 9.45 Si el momento total respecto a O debido a las fuerzas y pares que actúan sobre el cuerpo rígido del Probo 9.44 es cero, ¿cuáles son las componentes de su aceleración angular? 9.46 En t = O, la placa rectangular en reposo de masa m que se muestra está sometida a la fuerza Fperpendicular a la placa. Ninguna otra fuerza o par actúa sobre la placa. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del punto A en t = O?

2m

P9.47

9.48 En la Fig. P9.481a masa de la barra esbelta homogénea es de 1.2 slugs. En t = O, la barra en reposo está sometida a la fuerza F = 2i + 4k (lb) en el punto x = 1 pie, y = 1 pie. Ninguna otra fuerza o par actúa sobre la barra. . (a) ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en t O? (b) ¿Cuál es la aceleración del punto x = -1 pie, y = -1 pie en t = O?

í

y

1 pie

~x

.>

A 1 pie

1 pie

í

~

1 pie

P9.46

l


P9.48

9.4 9.4 ECUACIONES ECUACIONES DE DE EULER EULER 459 459

9.49 9.49

En la la Fig. Fig . P9.49, P9.49, la la placa placa delgada delgada de de 0.6 0.6 slugs slugs tiene tiene veloveloEn cidad angular ang lar ww = = lOi lOi + + IOj lOj (rad/s) (rad/s) yy su su aceleración aceleración angular angular cidad es cero. cero. ¿Cuáles ¿Cuáles son son las las componentes componentes del del momento momento total total ejerciejercies do sobre sobre la la placa placa respecto respecto aa su centro centro de de masa? masa? do

a a r-

9.52 en reposo 9.52 En En tt == O,el O, el cuerpo cuerpo del del Probo Probo 9.51 9.51 está estáen reposo yy somesometido l Oi + tido al al momento momento 1:M l:M == -lOi + lOj lOj (N-m) (N-m) respecto respecto aa su su centro centro de otra fuerza fuerza oo par par actúan actúan sobre sobre él. él. ¿Cuáles ¿Cuáles de masa. masa. Ninguna Ninguna otra son son las las componentes componentes de de su su aceleración aceleración angular angular en en tt == O? O? +

La La base base de de la la antena antena parabólica parabólica gira gira con con una una velocidad velocidad angular angular constante constante de de 1rad/s. 1 rad/s. El El ángulo ángulo OO== 30°, 30°, dO/dt dOI dt == 20°/s 20° I s yy tPO/ cf201dt? dt 2 == -40° -40°/S2. / S2. La La masa masa de de la la antena antena es es de de 280 kg, kg, Ysus Y sus momentos momentos yy productos productos de de inercia inercia en en kg-mkg-m 2 son son Ixx Ixx = 140, 140, Iyy I yy = Izz Ixy Iu. = 220, 220,I IyZ = Izx Izx == O. O. Determine Determine el el par par ejercido ejercido xy == IyZ por por su soporte soporte A sobre sobre la la antena antena en ese instante. instante. 9.53 9.53

yy

--+.~--~~--+--+__ x --~----------~---r~T-~---r-- X

P9.49 P9.49

9.50 9.50

w

En t = O, O,la Proboo9.49 tiene velocidad angular la placa placa del Prob velocidad angular

= lOi lOi + lOj lOj (rad/s) (rad/s) y está sometida sometida a la fuerza fuerza F = -lOk -lOk

(lb) que actúa actúa en el punto punto (O, (O, 6, O) O) pulg. Ninguna Ninguna otra otra fuerza fuerza o par par actúa actúa sobre sobre la placa. placa. ¿Cuáles ¿Cuáles son las componentes componentes de su aceleración aceleración angular angular en ese instante? instante?

9.51 9.51 Una Una barra barra esbelta esbelta de 3 kg está rígidamente rígidamente unida unida a un disco circular circular ~elgado delgado de 2 kg. En el sistema sistema coordenado coordenado fijo al cuerpo cuerpo que se muestra, muestra, la velocidad velocidad angular angular del cuerpo cuerpo compuesto puesto es es w == l00i IOOi-- 4j + 6k (rad/ (rad/s)s) y su aceleración aceleración angular angular es cero. ¿Cuáles ¿Cuáles son las componentes componentes del momento momento total total ejercido sobre el cuerpo cuerpo respecto respecto a su centro centro de masa?

P9.53 P9.53

9.54 Una placa placa triangular triangular delgada delgada de masa m está soportada soportada 9.54 O por una junta junta de bola y cuenca. cuenca. Si está en posición posición horizonhorizonen O tal y se suelta del reposo, reposo, ¿cuáles son las componentes componentes de su aceleración angular angular en ese instante? instante? aceleración

y

~======~~~--~--+--x

~~====~~~--~--+-- X

1---600

rnm-----I rnrnl-- - - - j

P9.51 P9.51

P9.54 P9.54


460

CAPíTULO DINÁMICA RíGIDOS CAPiTULO 9 CINEMÁTICA C INEMÁTICA Y DINÁM ICA TRIDIMENSIONAlES TRIDIMENSIONALES DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS

9.55 soporte de bola 9.55 Determine Determine la fuerza fuerza que ejerce el soporte bola y cuenca sobre sobre la placa placa del Probo 9.54 en el instante instante en que se libera. libera. t

9.56 En el Probo Prob o 9.54, la masa masa de la placa placa es de 5 kg, b == 900 mm y h = 600 mm. mm. Si la placa placa se libera libera en la posición posición horihorizontal zontal con velocidad velocidad angular angular w = 4i (rad/s), (rad/s), ¿cuáles ¿cuáles son las componentes componentes de su aceleración aceleración angular angular en ese instante? instante?

9.60 esbelta de masa 9.60 En En la Fig. P9.60, P9.60, una una barra barra esbelta masa m y longitud longitud soldada a un eje horizontal 11 está está soldada horizontal que gira gira con velocidad velocidad angular angular constante constante Wo. Determine Determine las magnitudes magnitudes de la fuerza fuerza F y el par par sobre la barra e ejercidos ejercidos por por el eje sobre barra (escriba (escriba las ecuaciones ecuaciones del movimiento angular angular relativas relativas al sistema coordenado fijo al movimiento sistema coordenado cuerpo muestra). cuerpo que se muestra).

9.57 Una Una parte parte de una una estación estación espacial espacial se puede puede modelar modelar como dos barras barras esbeltas esbeltas rígidamente rígidamente unidas, unidas, cada cada una una de masa masa O cuando un motor motor de 5 Mg. La parte parte no está girando girando en t = Ocuando reacción reacción de control control ejerce una una fuerza fuerza F = 400k (N) en B. ¿Cuál ¿Cuál es la aceleración instante? aceleración del punto punto A en ese instante?

T T I=-_x I=-~x 1-----20 yy

A A

¡.1- ---20 m ----.¡.I m-----.I

P9.60 P9.60

B

P9.57 P9.57

9.61 Una 1 está soldada Una barra barra esbelta esbelta de masa masa m y longitud longitud 1 está soldada a un eje horizontal horizontal que gira gira con velocidad velocidad angular angular constante constante wo. Determine sobre Determine la magnitud magnitud del par par e ejercido ejercido por por el eje sobre la barra barra (escriba (escriba la ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular relativa relativa al sistema sistema coordenado coordenado fijo al cuerpo cuerpo que se muestra). muestra).

9.58 Si la parte parte descrita descrita en el Probo 9.57 gira gira respecto respecto al eje x a razón ¿cuál razón constante constante de una una revolución revolución cada cada diez minutos, minutos, ¿cuál es la magnitud sistema de reacción magnitud del par par que su sistema reacción de control control debe ejercer sobre ella? ejercer sobre --x -x

9.59 En la Fig. P9.59, P9.59, el disco circular circular delgado delgado de radio radio R y masa masa m está rígidamente rígidamente unido unido al árbol árbol vertical. vertical. El disco está está inclinado en un ángulo inclinado ángulo {3respecto {3 respecto al plano plano horizontal. horizontal. El árbol árbol gira con velocidad velocidad angular angular constante constante Wo. ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud del par sobre el disco? árbol sobre par que ejerce el árbol

R

P9.59 P9.59

»


P9.61

EULER 461 461 9,4 ECUACIONES ECUACIONES DE DE EULER 9.4

barra esbelta esbelta de longitud longitud 1y masa masa m está articula'da articulada 9.62 La barra vertic~ll en O. El eje vertical vertical gira con velocidad velocidad angular angular al eje vertict constante wo. wo. Muestre Muestre que el valor valor Wo Wo necesario necesario para para que la babaconstante rra permanezca en un ángulo ángulo constante constante {3 {3respecto respecto a la vertical vertical es rra permanezca Wo (vo

= J3g J3g / (21 cos f3). f3) .

circular delgado delgado de masa masa m montado montado sobre sobre un 9.64 Un disco circular horizontal gira respecto respecto al eje con velocidad velocidad angular angular conseje horizontal tante Wct. El eje horizontal horizontal está rígidamente rígidamente unido unido a un árbol árbol tante vertical que gira con velocidad velocidad angular angular constante constante wo. wo. DetermiDetermivertical magnitud del par par que ejerce el eje horizontal horizontal sobre sobre el disco. ne la magnitud

P9.64 P9.64

P9.62

árbol vertical vertical gira con velocidad velocidad angular angular constante constante 9.63 El árbol Wo' El ángulo ángulo de 35° entre entre el borde borde de la placa placa rectangular rectangular delwo. gada de 10 10lb articulada al árbol árbol y el árbol árbol permanece permanece constante. constante. gada lb articulada Determine Wo' Determine

9.65 La placa placa triangular triangular delgada delgada de la figura figura tiene soportes soportes 9.65 bola y cuenca cuenca en A y B. El eje y es vertical. vertical. Si la placa placa gira de bola con velocidad velocidad angular angular constante constante wo. wo. ¿cuáles son las compocomponentes horizontales horizontales de las reacciones reacciones sobre la placa placa en A y B? nentes

y

I

pies 2 pies

~ ••

\ \

// //

, .'

//

P9.65 P9.65

~ ~

pie 11 pIe

yy'

P9.63 P9.63

// http://carlos2524.jimdo.com/

462 462

CAPíTULO 9 9 CINEMÁTICA CINEMÁTICA Y Y DINÁMICA DINÁMICA TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONAlES DE DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CAPíTULO

9.66 El El disco disco circular circular delgado delgado de de 10 10lb lb de de la la figura figura está está unido unido 9.66 rígidamente al al árbol árbol esbelto esbelto horizontal horizontal de de 12 12 lb. lb. Ambos Ambos giran giran rígidamente respecto al al eje del del árlfol ár¡}ol con con velocidad velocidad angular angular constante constante Wd Wd = = respecto 20 rad/ rad/s.s. El El conjunto conjunto gira respecto al eje vertical con con velocidad velocidad 20 angular constante constante Wo Wo = = 4 rad/ rad/s.s. Determine Determine las componentes componentes angular de la la fuerza y el el par que ejerce el disco sobre el el árbol horizontal. horizontal. de

9.69 9.69 En En la la Fig. Fig. P9.69 P9.69 el el eje eje del del cono cono circular circular recto recto de de masa masa m, altura altura hh yy radio R R gira gira respecto respecto al al eje eje vertical vertical con con velocidad velocidad angular angular constante constante Wo Wo'' Su Su centro centro de de masa masa es es fijo fijo yy su su base rueda rueda sobre el el piso. Demuestre Demuestre que que la velocidad velocidad angular angular Wo Wo requerida requerida para 3R .. para este movimiento movimiento es es Wo Wo = = .J V lOg/ lOg/3R Estrategia: Estrategia: Considere Considere que el el eje z permanece permanece alineado alineado con el eje del cono y que el el eje x permanece permanece vertical. vertical.

x

I-·-h--·I

\f--.- -h- - - i '\

P9.69 P9.69

x

zz P9.66 P9.66

9.67 En el Probo 9.66 determine determine las reacciones reacciones ejercidas ejercidas por por los dos cojinetes cojinetes sobre sobre el árbol árbol horizontal. horizontal.

9.70 Un disco circular radio R y masa masa m rueda rueda circular delgado delgado de radio a lo largo trayectoria circular radio r. r. La magnitud largo de una una trayectoria circular de radio La magnitud velocidad del centro entre el eje v de la velocidad centro del disco y el ángulo ángulo 8()entre del disco y la vertical vertical son constantes. Demuestre que que vv satisface constantes. Demuestre satisface la ecuación ecuación - Rcose)2 v = ~3gcote(r ~gcote(r-RCOSe)2 v22 = -"-----=----~R cose cose r - ~R

9.68 La placa 9.68 placa rectangular rectangular delgada delgada está está unida unida al marco marco rectanrectangular por medio medio de pasadores. pasadores. El marco marco gira gira con con velocidad velocidad gular por angular ªngular constante constante Wo' Wo' Demuestre Demuestre que que dd22{Jf3

-2 -2

dt dt

2 = = -W6 -wo sen{J senf3 cos {J. f3.

P9.70 P9.70

yy

x

P9.68 P9.68


9.4 9 .4 ECUACIONES ECUACIONES DE DE EULER EULER

asa ad da 'da on

9.71 El Eleje ejevertical verticalmostrado mostradogira giracon convelocidad velocidadangular angularconscons9.71 tante Wo, Wo, ocasionando ocasionando que que la la rueda rueda gire gire sobre sobre la la superficie superficie hohotante Suponga que que el el punto punto PP de de la la rueda rueda está está en en reposo reposo rizontal.t Suponga rizontall enel elinstante instantemostrado, mostrado,yyque quela lafuerza fuerzaN ejercidapor porla lasuperfisuperfien N ejercida es perpendicular perpendicular aa ésta ésta yy actúa actúa en en P. P. La La masa masa cie sobre sobre la la rueda rueda es cie de la la rueda ruedaes es m m yysus sus momentos momentos yy productos productos de de inercia inercia relativos relativos de I xx' Iyy Iyy == Izz Izz ee Ixy Ixy al sistema sistema coordenado coordenado que que se se muestra muestra son son Ixx, al = IyZ IyZ == Izx Izx == O. O. Determine Determine N. N. =

463 463

9.73 9.73 Si Si el el conductor conductor vira vira aa su su izquierda, izquierda, ¿tenderá ¿tenderá el el par par que que ejercen ejercenlas lasruedas ruedas sobre sobrela lamotocicleta motocicletaaa que queésta éstase seincline inclinehacia hacia el el lado lado izquierdo izquierdo oo hacia hacia el el derecho derecho del del conductor? conductor?

yy

/ / /

,

,

II ,

"I II I

'

-,,

/ /

// //

// //

// //

//

," ,

//

//

,, ,

II

"

,, , , a

/

// //

I

9

/

//

,,

,

, ,

//

, , ,,

d

P9.73 P9.73

p

'e e

P9.71

9.72 En la Fig. (a) se muestra muestra el tren tren de aterrizaje aterrizaje visto desde atrás atrás del avión. avión. El radio radio de la rueda rueda es de 300 mm y su momento momento 2 . El avión despega a 30 mi s. Después de inercia inercia es de 2 kg-m kg-m-. despega mis. del despegue, despegue, el tren se recoge girando girando hacia hacia el lado derecho derecho del avión (Fig. b). Determine Determine la magnitud magnitud del par ejercido ejercido por la rueda rueda sobre su soporte. soporte. (Ignore (Ignore el movimiento movimiento angular angular del avión.) avión.)

, /

9.74 Sustituyendo Sustituyendo en la Ec. (9.22) las componentes componentes de Ha Ha 9.74 dadas por por las Ecs. (9.5), deduzca deduzca las Ecs. (9.23). dadas

,.

l8Z

I

--$---$1

(a) (a)

(b) (b) P9.72 P9.72


/I

464


Y DINÁMICA

TRIDIMENSIONAlES

DE CUERPOS RíGIDOS

9.5 Ángulos de Euler Las ecuaciones del movimiento angular relacionan el momento total que actúa sobre un cuerpo rígido con su velocidad y aceleración angulares. Si conocemos el momento total y la velocidad angular, podemos determinar la aceleración angular. Sin embargo, ¿cómo podemos usar la aceleración angular para determinar la posición angular u orientación en función del tiempo? Para explicar cómo se hace esto, primero debemos mostrar cómo especificar la orientación de un cuerpo rígido en tres dimensiones. Hemos visto que para describir la orientación de un cuerpo rígido en movimiento plano se requiere sólo el ángulo () que especifica la rotación del cuerpo respecto a alguna orientación de referencia. En el movimiento tridimensional se requieren tres ángulos. Para entender por qué, consideremos un eje particular fijo respecto al cuerpo. Se necesitan dos ángulos para especificar la dirección del eje, y un tercer ángulo para especificar la rotación del cuerpo rígido respecto al eje. El mejor sistema conocido para describir la orientación de un cuerpo rígido es el de los ángulos de Euler. En esta sección definimos tales ángulos y expresamos las ecuaciones del movimiento angular en función de ellos.

Cuerpos con un eje de simetría Primero explicamos cómo se usan los ángulos de Euler para describir la orientación de un cuerpo que tiene un eje de simetría rotacional, ya que este caso da las ecuaciones más sencillas de movimiento angular.

z, z

Definiciones Suponemos que un cuerpo tiene un eje de simetría rotacional y presentamos dos sistemas coordenados: el xYZ, con su eje z coincidiendo con el eje de simetría del cuerpo, y el XYZ, que es un sistema coordenado de referencia inercial. Empezamos considerando que el cuerpo está en una posición tal que los sistemas xyz y XYZ quedan sobrepuestos (Fig. 9.26a). Nuestro primer paso es girar el cuerpo y el sistema xyz juntos a través de un ángulo 1/1 respecto al eje Z (Fig. 9.26b). En esta orientación intermedia denotamos con xy' z' el sistema coordenado. A continuación giramos el cuerpo y el sistema xyz juntos a través de un ángulo () respecto al eje x' (Fig. 9.26c). Finalmente giramos el cuerpo respecto al sistema xyz a través de un ángulo cp respecto a su eje de simetría (Fig. 9.26d). Observe que el eje x permanece en el plano XY.

Y,y

X,x (a)

Z, z'

y' y

z

y

x'

X (b)

z

y'

-'-<---

Figura 9.26 (a) Posición de referencia. (b) Rotación 1/1 respecto al eje Z. (e) Rotación (J respecto al eje x. (d) Rotación 4> del cuerpo respecto al sistema xyz.

y

x', x (e)


(d)

9.5 ÁNGULOS DE EULER 465

Los ángulos t/; y O especifican la orientación del sistema xyz respecto al sistema de referencia XYZ. t/; es el ángulo de precesión y O es el ángulo de nutación. El ángulo que especifica el giro del cuerpo rígido respecto al sistema xyz se llama ángulo de giro. Estos tres ángulos especifican la orientación del cuerpo rígido respecto al sistema coordenado de referencia y se llaman ángulos de Euler. Podemos obtener cualquier orientación del cuerpo respecto al sistema coordenado de referencia mediante una elección apropiada de estos ángulos: Escogemos t/; y O para obtener la dirección deseada del eje de simetría, y luego escogemos para obtener la posición deseada del cuerpo respecto a su eje de simetría.

.ue es.

Z, z'

1fI

Ecuaciones del movimiento angular Para analizar el movimiento de un cuerpo en términos de los ángulos de Euler, debemos expresar las ecuaciones del movimiento angular en función de ellos. La Fig. 9.27(a) muestra la rotación t/; desde la orientación de referencia del sistema xyz hasta su orientación intermedia x'y' z'. La velocidad angular del sistema coordenado debido a la razón de cambio de t/; se representa con el vector de velocidad angular J; apuntando en la dirección z' (el punto denota derivada respecto al tiempo). La Fig. 9.27(b) muestra la segunda rotación O. La velocidad angular debido a la razón de cambio de O se representa con el vector & apuntando en la direcciónx. También descomponemos el vector J; en componentes en las direcciones y y z. Las componentes de la velocidad angular del sistema xyz respecto al sistema de referencia son a e

I

y'

y

1fI~

X (a)

z' y

= 8,

r2x

<.

r2y

= l¡r sene,

r2z

= l¡r cose.

x'

/

1/1fI,,,ut/

..___y'

I

(9.32)

a Xl,

En la Fig. 9.27(c), la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al sistema xyZ se representa con el vector ~. Sumando esta velocidad angular a la del sistema xyz, obtenemos las componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al sistema XYZ:

X

(b)

y

= 8,

Wx

z wy = =

Wz

l¡r sené

(9.33)

,

¡P + l¡r cos e.

Derivando estas ecuaciones respecto al tiempo obtenemos dwx = dt

e,

(e)

Figura 9.27

y = ;jr sen e + l¡r8 cos e,

dw dt

dos¿

x

....

(9.34)

(a) Rotación 1/1 y velocidad angular f. (b) Rotación (j, velocidad angular tJ y componentes de la velocidad angular

f.

..

(e) Rotación 1/1 y velocidad angular

dt = + 1/1 cos e - 1/Ie sen e.


f.

466 466

CAPíTULO INEMÁTICA Y DINÁ MICA TRIDIMENSIONALES CAPíTULO 9 C CINEMÁTICA DINÁMICA TRIDIMENSIONALES DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

z

A causa causa de la simetría simetría rotacional rotacional del cuerpo, cuerpo, los productos productos de inercia inercia I xy , Ixzxz e IyZ son cero, Ixx == Iyy" La matriz Ixy, cero, e Ixx matriz de inercia inercia es de la forma forma

y

e = const.

O]O]

O O O O .. lu In ~~ O O Izz t.;

/U In = [1] = '<----y y ~---

ljf

x

=const.

[

(9.35)

Sustituyendo Sustituyendo las Ecs. (9.32) a (9.35) en las Ecs. (9.28), obtenemos obtenemos las ecuaecuamovimiento angular función de los ángulos ángulos de Euler: Euler: ciones del movimiento angular en función

x ..

EMx = IxxO

Figura Figura 9.28

Precesión permanente. permanente.

+ (/zz -

~My = Ixx(lfrsene EMy = Ixx(lfrsenO ~Mz = Izz«b EMz = Izz(lP

· 2

Ixx )1/! senO cosO

2'ifré cosO) cose) + 21¡ré

..

+ Izz 1/!senO,

Izz«(pé

'ifré cosO), cose), + 1¡ré

cose -1¡résen - 'ifrésen O). e). + lfr cosO

(9.36)

(9.37) (9.37)

(9.38)

Para determinar determinar los ángulos ángulos de Euler Euler en función función del tiempo tiempo cuando cuando Para conoce el momento momento total, total, esas ecuaciones ecuaciones suelen resolverse resolverse por por integraintegrase conoce numérica. Sin embargo, embargo, podemos podemos obtener obtener una una clase importante ción numérica. importante de soluciones cerradas cerradas suponiendo suponiendo un tipo específico específico de movimiento. soluciones movimiento. Precesión permanente permanente movimiento llamado llamado precesión precesión permaPrecesión El movimiento permanente se observa observa comúnmente comúnmente en trompos trompos y giróscopos. giróscopos. La razón razón de giro nente respecto al sistema coordenado xyz xyz se supone supone constante constante (Fig. cÍ> del cuerpo cuerpo respecto sistema coordenado 9.28). El ángulo nutación (), (), es decir, la inclinación inclinación del eje de giro z 9.28). ángulo de nutación respecto al eje Z, se supone supone constante; constante; y la razón razón de precesión precesión if;, {;, que es respecto razón a la que el sistema sistema xyz xyz gira respecto respecto al eje Z, también también se supone supone la razón constante. La última última hipótesis hipótesis explica el nombre nombre dado dado a este movimiento. movimiento. constante. Con estas hipótesis, hipótesis, las Ecs. Ecs. (9.36) a (9.38) se reducen reducen a Con ·2

(a)

EMx = (/zz - I xx )1/! senO cosO

z

zz

~My EMy == O,

. .

+ Izz1/! senO,

(9.39) (9.40) (9.40) (9.41) (9.41)

yy

~-----~------y

x

Analizaremos dos ejemplos: ejemplos: la precesión precesión permanente permanente de un trompo que Analizaremos trompo que gira y la precesión permanente de un cuerpo cuerpo axialmente axialmente simétrico simétrico libre libre gira precesión permanente momentos externos. externos. de momentos y

x

(b)

Figura 9.29 Figura trompo girando parece que desafía (a) Un trompo la gravedad. (b) El ángulo de precesión .¡;if; y el ángulo e especifican la orientación orientación de nutación e del eje de giro.

Precesión de un trompo. trompo. El peculiar peculiar comportamiento comportamiento de un trompo trompo Precesión (Fig. 9.29a) motivó motivó algunos algunos de los primeros primeros análisis análisis de los movimientos movimientos (Fig. tridimensionales de cuerpos cuerpos rígidos. rígidos. Cuando Cuando el trompo trompo se pone movitridimensionales pone en movimiento, su eje de giro es inicialmente inicialmente vertical, vertical, y se dice que el trompo trompo está está miento, dormido. . Conforme Conforme la fricción fricción reduce reduce la razón razón de giro, giro, el eje de giro dormido inclina girando girando alrededor alrededor del eje vertical. vertical. Esta Esta fase del movimiento movimiento se se inclina aproxima a la precesión precesión permanente permanente (la razón razón de giro disminuye disminuye debido debido a aproxima fricción, pero pero en la precesión precesión permanente permanente suponemos suponemos que es constante). constante). la fricción, Para analizar analizar el movimiento, movimiento, colocamos colocamos el sistema sistema de referencia referencia XYZ Para XYZ origen en la puqt~ punta del trompo trompo y el eje Z hacia hacia arriba. arriba. Luego Luego alineaalineacon su origen sistema xrz con el eje de giro (Fig. 9.29b). 9.29b). Suponemos Suponemos que mos el eje zz del sisterríaxyz http://carlos2524.jimdo.com/

DE EULER EULER 467 9.5 ÁNGULOS DE 467

reia a

.35)

la punta modo que punta del trompo trompo descansa descansa en una una pequeña pequeña depresión, depresión, de modo permanece precesión l/; y el de nutación nutación permanece en un punto punto fijo. El ángulo ángulo de precesión ee especifIcan respecto al sistema xyZ es 1>. especifican el eje de giro, y la razón razón de giro respecto sistema xyZ El peso del trompo M x == mgh mgh sen e respecto al trompo ejerce un momento momento M, e respecto origen, momentos M Mx == mgli mgh sen origen, y los momentos M;y == O OY YM M,z = O. Sustituyendo Sustituyendo M; ee en la Ec. (9.39), obtenemos obtenemos . 2

. .. .

(lzz - IIxx)1/I e + IIzzzz
(9.42)

ua-

36)

y las Ecs. (9.40) y (9.41) se satisfacen satisfacen idénticamente. idénticamente. La Ec. (9.42) relaciorelaciona la razón giro , el ángulo razón de precesión. precesión. Por Por razón de giro, ángulo de nutación nutación y la razón ejemplo, si conocemos conocemos la razón razón de giro 1> y el ángulo ángulo de nutación ejemplo, nutación e, podepodemos hallar trompo. hallar la razón razón de precesión precesión ~ ~ del trompo.

37)

38)

aira ig.

oz es ne to.

9)

Precesión permanente libre de momento. Precesión permanente momento. Un cuerpo cuerpo axisimétrico axisimétrico en rotación, sin momentos momentos externos, externos, como como un satélite satélite axisimétrico axisimétrico en órbita, rotación, Órbita, puede precesión permanente permanente de un puede exhibir exhibir un movimiento movimiento similar similar al de precesión trompo. balón de fútbol trompo. Observamos Observamos esto cuando cuando se lanza lanza un balón fútbol americano americano en espiral espiral "oscilante". "oscilante". Para Para analizarlo, analizarlo, colocamos colocamos el origen origen del sistema sistema xyZ en el centro de masa del cuerpo (Fig. 9.30a). La Ec. (9.39) se vuelve xyZ centro masa cuerpo 9.30a).

z

(9.43)

yy

() f)

z

satisfacen idénticamente. idénticamente. Para dado y las Ecs. (9.40) yy(9.41) (9.41) se satisfacen Para un valor valor dado e, la Ec. (9.43) relaciona relaciona las razones razones de precesión de (j, precesión y giro del cuerpo. cuerpo. Podemos interpretar interpretar la Ec. Ec. (9.43) de manera manera que nos permita permita visualizar visualizar Podemos movimiento. Busquemos punto en el plano centro el movimiento. Busquemos un punto plano y-z (que no sea el centro para el cual la velocidad velocidad del cuerpo sistema XYZ de masa) para cuerpo respecto respecto al sistema XYZ instante considerado considerado. . Deseamos Deseamos un punto sea cero en el instante punto (O, y, z) z) tal que (yj w x (yj

z k) = = [(Vt [(Vtsene)j Vt cose) k] + zk) sene)j + (4) «(p + Vtcose)

[zVt

= [zVt sen e - Y«(p y(4) =

x [yj [yj

-"<--- - - yy

x

x

k] + zzk]

(a)

cos e)] e)] ii = = O. + VtVt cos

z

Esta ecuación ecuación se satisface satisface en puntos Esta puntos del plano plano y-z tales que

yy

1) y

ue re

po

os vitá

ro se a

Z

1p sen O = -:--'----;--4> + cos ()

z

Vt

'Esta relación satisface con los puntos sobre la recta ángulo (3 respecpuntos sobre recta a un ángulo 'Esta relación se satisface 9.30(b), donde donde to al eje z de la Fig. 9.30(b),

y zZ

tan,B tan fJ = ~ - =

Vtsen e . Vts~n e

7. -'---;.--

e (b)

Despejando 1> en la Ec. (9.43) y sustituyendo sustituyendo el resultado esta ecuación, ecuación, Despejando resultado en esta obtenemos obtenemos lzz) tanfJ == (Izz tan,B ( - ) tan e. Ixx t.. é.



(a) Cuerpo Cuerpo axisimétrico. axisimétrico. sobre la línea recta (b) Los Los puntos puntos sobre inclinada están fijos fij os inclinada respecto respecto al eje z están respecto sistema coordenado respecto al sistema coordenado XYZ. XYZ.

468 468

CAPíTULO CINEMÁTICA DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO 9 C INEMÁTICA Y DINÁMICA TRIDIM ENSIONALES DE CUERPOS RíGIDOS

(3 < (J().. En la Fig. 9.30(c) se ve un cono medio Si Ixx Ixx > Izz' I zz ' {3 cono imaginario imaginario de medio ángulo {3, {3,llamado ángulo llamado cono de cuerpo, cuyo eje coincide coincide con el eje z. Este cono cono está está en contacto contacto con uno uno fijo llamado llamado cono espacial, cuyo eje coincicoincide con el eje Z. Si el cono sobre la superficie superficie curva cono de cuerpo cuerpo rueda rueda sobre curva del cono cono espacial espacial conforme conforme el eje z preces a respecto respecto al eje Z (Fig. 9.30d), 9.30d), los puntos sobre la recta 30(b) tienen 9.30(b) tienen velocidad velocidad puntos del cono cono de cuerpo cuerpo sobre recta de la Fig. 9. nula sistema XYZ. significa que el movimiento nula respecto respecto al sistema XYZ. Esto Esto significa movimiento del cono cono de cuerpo puede visualizar visualizar el movimiento movimiento del cuerpo es idéntico idéntico al del cuerpo. cuerpo. Se puede cuerpo visualizando cuerpo a medida alrededor de cuerpo visualizando el cono cono de cuerpo medida que rueda rueda alrededor la superficie superficie del cono espacial. Esto cono espacial. Esto se llama llama precesión directa. {3> (J. ().En este caso se debe visualizar superfiSi Ixx Ixx < Iz<> Iw el ángulo ángulo {3 visualizar la superficie interior interior del cono sobre el cono (Fig. cono de cuerpo cuerpo rodando rodando sobre cono espacial espacial fijo (Fig. 9.30e). Este movimiento movimiento se llama llama precesión retrógrada.

Cuerpos arbitrarios arbitrarios Cuerpos Ahora ecuaciones del movimiento Ahora mostramos mostramos cómo cómo las ecuaciones movimiento angular angular se pueden pueden expresar en función de los ángulos de Euler para un cuerpo expresar función ángulos Euler para un cuerpo arbitrario. arbitrario. Los pasos similares a los de nuestro cuerpo pasos iniciales son similares nuestro tratamiento tratamiento del cuerpo axisimétrico, pero aquí suponemos suponemos que el sistema sistema xyz axisimétrico, pero aquí xyz está está fijo al cuerpo. cuerpo .

Figura 9.30 (e), (c) , (d) Conos Conos de cuerpo cuerpo y espacial. espacial. El cono sobre el cono cono cono de cuerpo cuerpo rueda rueda sobre espacial espacial fijo. (e) Cuando IX > e, la superficie superficie interior Cuando IX interior del cono rueda sobre sobre el cono cuerpo rueda cono cono de cuerpo espacial espacial fijo.

z

z

yy y

zz

/ \,,-"'----

zz

-- y

x

x (b)

(a)

z

z

Cono Cono espacial

z

Cono yy

yy

zz

z

z Cono Cono espacial espacial

\

\

Cono Cono del/ del / cuerpo cuerpo (e) (c)

X

A~~< (d)


,

h ~ h' \ . ->-~

~--y

/

Cono Cono del del cuerpo cuerpo

\

'\,'

X X

ljf~ lI'

'-

'\

,~_/ '-_/

(e) (e)

/

./ /

/

X

y

9.5 ÁNGULOS

edio Este incidel , los idad ano

del r de

Definiciones Empezamos con una posición de referencia en la que los sistemas xrz y XYZ están sobrepuestos (Fig. 9.31a). Primero giramos el sistema xyz a través del ángulo de precesión l/; respecto al eje Z (Fig. 9.31b) Y lo denotamos con xy's: en esta orientación intermedia. Luego giramos el sistema xyz a través del ángulo de nutación O respecto al eje x' (Fig. 9.31c), y lo denotamos con x'j/'z". Obtenemos la orientación final del sistema xyz girándolo a través del ángulo cf> respecto al eje z" (Fig. 9.3 ÚI). Observe que hemos usado una rotación más del sistema xyz que en el caso de un cuerpo axisimétrico.

z z'

z, z

y'

en io. rpo po.

y

Y,y

X

X,x

(b)

(a)

Z, z'

y y"

y"

y

z", z z"

x

y'

y

(e)

(d)

Figura 9.31 (a) Posición de referencia. (b) Rotación 1/; respecto al eje Z. (e) Rotación () respecto al eje x', (d) Rotación cp respecto al eje z',

y

Por medio de estas tres rotaciones podemos obtener cualquier orientación del sistema coordenado fijo al cuerpo respecto al sistema coordenado de referencia. Escogemos l/; y O para obtener la dirección deseada del eje z y luego elegimos cf> para obtener la orientación deseada de los ejes x y y. Como en el caso de un cuerpo con simetría rotacional, debemos expresar las componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido en función


DE EULER

469

470


de para obtener movimiento angude los los ángulos ángulos de Euler Euler para obtener las ecuaciones ecuaciones del del movimiento angular 32(a) rotación if; desde referencia lar oLa La Figo Fig 90 9032( a) muestra muestra la la rotación desde la la orientación orientación de de referencia del xyz hasta hasta la la orientación x'y' z' o La del sistema sistema xyz orientación intermedia intermedia x'y' La velocidad velocidad anguangular razón de lar del del sistema sistema coordenado coordenado fijo fijo al cuerpo cuerpo debido debido a la la razón de cambio cambio de if; se representa representa con ~ apuntando con el vector vector ~ apuntando en en la la dirección dirección z' o La La Figo Fig. 9032(b) 9 032(b) muestra rotación ()()que que lleva muestra la la siguiente siguiente rotación lleva al sistema sistema fijo fijo al al cuerpo cuerpo a la la orienorientación x'y" z" oLa razón de cambio tación intermedia intermedia xy" La velocidad velocidad angular angular debida debida a la la razón cambio de ()() se representa con el vector vector (jÓ apuntando apuntando en en la la dirección dirección x" tamde representa con x" oAquí Aquí también mostramos ~ en bién mostramos las las componentes componentes del del vector vector de de velocidad velocidad angular angular ~ en las las direcciones y" La Figo Fig, 9032(c) 9032(c) muestra muestra la la tercera tercera rotación que lleva lleva direcciones y" y z" o La rotación cf> que cuerpo a su su orientación por los tres ángulos al sistema al sistema fijo fijo al cuerpo orientación final final definida definida por los tres ángulos de Euler Euler o La La velocidad debido a la la razón de cambio cambio de de cf> se reprede velocidad angular angular debido razón de representa con con el vector vector cÍ> cÍ> apuntando en la la dirección dirección z, senta apuntando en Zo Para necesiPara determinar determinar wxx' , wyy y w Wzz en en función función de los los ángulos ángulos de de Euler, Euler, necesitamos tamos determinar determinar las las componentes componentes de las las velocidades velocidades angulares angulares de la la Fig Fig.o 9032(c) en en las las direcciones direcciones de de los los ejes ejes x,x, y y z. Los vectores vectores cÍ> cÍ> y ~ cos ()() 9032(c) z o Los ~ cos apuntan 09032(d) y (e), apuntan en en la la dirección dirección del del ejezo eje z. En En las las Figs Figs09032(d) (e), que que están están dibujadibujadas hacia afuera página, determinamos das con con el eje eje Z Z hacia afuera de la la página, determinamos las las componentes componentes de ~ sen yo de los los vectores vectores ~ sen ()() y (jÓ en en las las direcciones direcciones de de los los ejes ejes x y yo Sumando las las componentes componentes de de las las velocidades velocidades angulares angulares en en las las tres tres direcdirecSumando ciones ciones coordenadas coordenadas (Figo (Fig. 9032f), 9032f), obtenemos obtenemos o

o

o

o

o

o

o

o

Figura Figura 9032

(a) Rotación Rotación 1/; l/; y velocidad velocidad angular angular ..j;o fo (b) Rotación Rotación f), 8, velocidad velocidad angular angular iJ y componentes x"y" z" componentes de ..j; f en el sistema sistema x'y" z" o (c) Rotación Rotación
o cÍ>0 (d), (e) Componentes Componentes de las velocidades velocidades angulares XyZo angulares ..j; f sen f)8 y 8 en el sistema sistema XyZo Velocidades angulares angulares w wxx' ' w wy y Wz Wzoo (f) Velocidades o

Wxx W

= 1¡r sen =

4J, ee sen f/J4J + iJecos cos f/J,

e

yy = = 1¡r sen ecos 4J -- iJ sen f/J4J , ecos f/J

W

Wzz W

z; z' z,

= 1¡r cos cos =

ee + ¡P(p

(9044)

oo

z'

y

y"

z", Z "' zZ ~ y' '-Il:_ _- r xX

k'<"------

Y

~~---- y

x (b)

(a) (a)

(e) y

y"

y" y

y

zz

Vrsen 8 8 cos eos ifJ-8 ifJ-8 sen ifJ ifJ ",sen

.......... _-----x

........ _ _ _....._ X "'-

~

(d)

_ _ _ _ _.1..J..- X" X"

---~~--!o):----1.-x" ---~I;...--~_--I..- X"

(e) (e)


Vrsen 8senifJ+8eosifJ 8senifJ+BeosifJ ",sen

(f)

9.5 9.5 Á~GULOS Á~GULOS DE DE EULER EULER

Las derivadas derivadas respecto respecto alal tiempo tiempo de de esas esas ecuaciones ecuaciones son son Las t

dúJx'o dúJ . . .. .. . x" -= = 1/IsenOsen+ 1/1 sen Osen sensenO 1/I cos 0, o

é

o

o

eP- {¡r;PsenOsen 'ifr(¡, senO sen
y

dúJ senO cos dúJy = = ;¡, ;¡'senO cos 0,

(9.45) (9.45)

o

as va

os e1-

g. O

aes

dúJz"z " dúJ .. .. .... = 1/1 1/1 cos cos eO-- 1/Ie 1/10 sene senO ++ .
Ecuaciones Ecuaciones del del movimiento movimiento angular angular Con Con las las Ecs. Ecso (9.44) (9.44) yy (9.45) (9.45) podemos expresar expresar las las ecuaciones ecuaciones del del movimiento movimiento angular angular en en función función de de podemos los tres tres ángulos ángulos de de Euler. Euler. Para Para simplificar simplificar las las ecuaciones, ecuaciones, suponemos suponemos que que los el sistemaxyz sistema xyZ coordenado coordenado fijo fijo al al cuerpo cuerpo es es un un conjunto conjunto de de ejes ejes principales. principales. el Entonces, las las ecuaciones ecuaciones del del movimiento movimiento angular, angular, Ecs. Ecs. (9.28), (9.28), son son Entonces,

Sustituyendo Sustituyendo las Ecs. Ecs. (9.44) (9.44) y (9.45) (9.45) en estas estas ecuaciones, ecuaciones, obtenemos obtenemos las las ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento angular angular en función función de los ángul~s ángulos de Euler: Euler: Mx sen O sen Ixxecos +Ixx ({¡re cos O e sen sen + 'ifr(¡, {¡r;PsenO - é(¡, e;P sen )({¡r cos O e + + (¡,), ;P), --(/yy (/yy -- Izz )('ifrsen O cos -- ée sen
My ;¡'sen Ocos yye sen +Iyy cos -- 'ifr(¡,sen -- é(¡, + 1yy ('ifré ({¡re cos cos O ecos {¡r;Psen Osen e sen e;P cos cos
(9.46) (9.46)

-(/zz -- Ixx Ixx)({¡rcose +;P)({¡rsenesen +ecos
'ifré sen e M M¿z == Izz;¡' Izz;¡' cos coseO + + lzz{p /zz{P -- Izz Izz{¡resene -(/xx -- Iyy)('ifr Iyy)({¡r sen senO e sen+ + éecos )({¡r sene sené cos cos sen )('ifr -- ée sen
Si Si se se conocen conocen los los ángulos ángulos de de Euler Euler junto junto con con sus sus primeras primeras yy segundas segundas deriderivadas vadas respecto respecto al al tiempo, tiempo, se se pueden pueden resolver resolver esas esas ecuaciones ecuaciones para para obtener obtener las las componentes componentes del del momento momento total. total. Si Si se se conoce conoce éste, éste, los los ángulos ángulos de de Euler Euler yy sus sus primeras primeras derivadas derivadas respecto respecto al al tiempo, tiempo, se se pUeden pueden determinar determinar las las sesegundas gundas derivadas derivadas de de los los ángulos. ángulos. Con Con esas esas ecuaciones ecuaciones se se puede puede determinar determinar los los ángulos ángulos de de Euler Euler en en función función del del tiempo tiempo cuando cuando se se conoce conoce el el momento momento total, total, pero pero usualmente usualmente se se requiere requiere una una integración integración numérica. numérica. http://carlos2524.jimdo.com/

471 471

472

CAPíTULO INEMÁTICA Y DINÁM ICA TRIDIMENSIO NALES DE C UERPOS RíGIDOS CAPíTULO 9 C CINEMÁTICA DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES CUERPOS RíGIDOS

siguiente ejemplo movimiento de un cuerpo preceEn el siguiente ejemplo analizamos analizamos el movimiento cuerpo con precesión permanente. permanente. Alineando Alineando el sistema sistema coordenado coordenado como como en la Fig. 9.28, la Ec. (9.39) momento total (9.39) relaciona relaciona el momento total respecto respecto al eje x con el ángulo ángulo de nutación precesión ~, y la razón ~. nutación e, e, la razón razón de precesión razón de giro ~.

J,

Ejemplo 9.9 El disco circular radio R y masa rueda a lo largo circular delgado delgado de radio masa m de la Fig. 9.33 rueda largo una trayectoria trayectoria circular horizontal de radio radio r. El ángulo entre el eje del de una circular horizontal ángulo (J entre disco y la vertical permanece constante. velocidad vertical permanece constante. Determine Determine la magnitud magnitud vv de la velocidad del centro centro del disco en función función del ángulo ángulo (J.


..- ..-

./

,/ /

.--.---

.-- '---

./

/ /

I/

/ ee

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Podemos obtener obtener la velocidad centro del disco suponiendo suponiendo que éste se halla Podemos velocidad del centro halla determinando las condiciones necesarias para para que en precesión precesión permanente permanente y determinando condiciones necesarias satisfagan. las ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento se satisfagan. SOLUCiÓN SOLUCiÓN alineamos el eje z con el eje de rotación suponemos En la Fig. (a) alineamos rotación del disco y suponemos superficie sobre sobre la que rueda disco.. El que el eje x permanece permanece paralelo paralelo a la superficie rueda el disco ángulo (J es el ángulo ángulo de nutación. centro de masa ángulo nutación . El centro masa se mueve en una una trayectoria trayectoria circular de radio Por tanto, circular radio re = r - R cos (J. Por tanto, la razón razón de precesión, precesión, o sea plano horizontal, la razón razón a la que el eje x gira gira en el plano horizontal, es

yy

zz

.

v

1/f = --.

re

.

(9.33),, las componentes componentes de la velocidad angular del disco son De las Ecs. (9.33) velocidad angular x

z alineado alineado con el eje de giro giro.. El eje x es horizontal. horizontal.

(a) Eje

co,x W

e = 0,o, =e

wyy

1/fsen e sen e, = 1/fsen e = - sene,

Wzz

= ti>4> + 1/f 1/f cos e e = ti>4> + -

.

v

re

.. . .

,,1


.

v

re

cos e,

9.5 9.5 ÁNGULOS ÁNGULOS DE EULER EULER

.

.

donde donde cP4> es la razón razón de giro. giro . Para Para determinar determinar cP4> usamos usamos la condición condición de que que velocidad punto del disco en contacto contacto con con la superficie superficie es cero. cero . En En función función la velocid d del punto velocidad del punto punto de contacto contacto es velocidad del centro, centro, la velocidad de la velocidad

oo = vi + w x

((-

R j) j) = vi vi + oo R

oO

j v ~senfJ -sene rG rG

kk vv

.

c/J+ 4> + -cose - cosfJ rG rG

oO

-R -R

Desarrollando el determinante determinante y despejando despejando ~~ obtenemos obtenemos Desarrollando .

v

v

R

rG rG

c/J =-- - - -cose. 4> = - cosfJ. En la Fig. (b) dibujamos dibujamos el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre libre del disco. disco . Como Como el centro de masa masa se mueve mueve en el plano plano horizontal, horizontal, su aceleración aceleración en la dirección dirección centro vertical es cero. cero. Por Por tanto, tanto, la fuerza fuerza normal normal N = = mg. La La aceleración aceleración del centro centro vertical masa en la dirección perpendicular a su trayectoria trayectoria circular circular es ann = = v2lrG. u2l rG' de masa dirección perpendicular La segunda segunda ley de Newton Newton en la dirección perpendicular perpendicular a la trayectoria trayectoria circular circular es 2 v2 T=mT = m-..

rG

y

z

Diagrama de cuerpo cuerpo libre del disco, disco, que muestra (b) Diagrama muestra

la aceleración aceleración normal normal del centro centro de masa. masa.

Por Por tanto tanto, , las componentes componentes del momento momento total total respecto respecto al centro centro de masa masa son "EM 'L,Mxx

= TTRsene R senfJ -

22

N R cosfJ NRcose

v = m-RsenfJ m-Rsene -rG

mgR cosfJ , mgRcose,

'L,My =0 = O,, "EMy

ti, ~

Sustituyendo las expresiones expresiones para para ~, ~ y "EM 'E.Mx en la ecuación ecuación del movimiento movimiento Sustituyendo .39), y despejando angular angular para para la precesión precesión permanente, permanente, Ec. (9 (9.39), despejando u, v, obtenemos obtenemos v= v=

~~g g cotfJ(r cote(r -- R R cos cos fJ)2 e)2 rr -- ~Rcos ~RcosefJ


473 473

474

CAPíTULO CAPíTULO 9 CINEMÁTICA CINEMÁTICA Y DINÁMICA DINÁMICA TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Problemas ¡s.-•....•..•••••.• ~=..;=::.¡,: Problemas 9.75 9.75 El eje de giro de la turbina turbina axisimétrica axisimétrica mostrada mostrada es horihorizontal zontal y está alineada alineada con el eje longitudinal longitudinal del barco. barco. La turbiturbina gira a 10 000 rpm. rpm. Su momento momento de inercia inercia respecto respecto a su eje de 1000 kg-m kg-m-.2 • Si el barco barco vira a una una razón razón constante constante giro es de 1000 de 20 grados grados por por minuto, minuto, ¿cuál es la magnitud magnitud del momento momento que ejerce la turbina turbina sobre sobre el barco? barco? Estrategia: Estrategia: Trate Trate el movimiento movimiento de la turbina turbina como como una una prepermanente con ángulo cesión permanente ángulo de nutación nutación ()() == 90° 90°..

9.77 Resuelva Probo 9.64 tratando tratando el movimiento movimiento como como Resuelva el Probo una una precesión precesión permanente. permanente. 9.78 Resuelva movimiento como como Resuelva el Probo 9.69 tratando tratando el movimiento una una precesión precesión permanente. permanente. permanente 9.79 Un disco circular circular delgado delgado tiene tiene precesión precesión permanente libre de momento. perpen~icular al ~I disco. disco. Demuestre Demuestre momento. El eje zz es perpendicular razón de precesión precesión del disco es 1/t ~ = -2~/ cos ()(observe que la razón - 2/cos () (observe que cuando nutación es pequeño, pequeño, la razón razón de precesión precesión cuando el ángulo ángulo de nutación aproximadamente igual a dos veces la razón es aproximadamente razón de giro). giro).

z

zz

y

y í/-- - Y

x

x P9.79 P9.79

P9.75 P9.75

9.76 El centro centro de la rueda rueda A del auto auto mostrado mostrado viaja viaja en una una trayectoria circular circular alrededor alrededor de O a 15 mi/h. mi/h. El radio radio de la trayectoria rueda es de 1 pie, y su momento momento de inercia inercia respecto respecto a su eje rueda rotación es de 0.8 slug-pie slug-pie-.2 • ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud del mode rotación mento externo externo total total respecto respecto al centro centro de masa masa de la rueda? rueda? mento Estrategia: Trate Trate el el-movimiento rueda como una una preceEstrategia: movimiento de la rueda permanente con ángulo ángulo de nutación nutación ()() == 90°. sión permanente

cohete está en precesión 9.80 El cohete precesión permanente permanente libre libre de momenmomenángulo de nutación to con ángulo nutación () () = 40° y velocidad velocidad angular angular de giro ~ = 4 revis revisooSus momentos ~ momentos de inercia inercia son son Ixx Ixx = 10 000 kg-m" kg-m 2 2 Izz = = 2000 kg-m kg-m-.• ¿Cuál e Izz ¿Cuál es la razón razón de precesión precesión ~ ~ del cohete cohete rev/s? en rev/s?

z

zz (}

W"'llk-- -- - - -..,r------y

Y

x

P9.80

P9.76

,1


9.5 9.5 ÁNGULOS ÁNGULOS DE DE EULER EULER 475 475

9.81 9.81 Esboce Esboce los los conos conos de de cuerpo cuerpo yy espacial espacial para para el el movimienmovimiento del del cohele cohete del del Probo Probo 9.80. 9.80. to

9.86 Resuelva Resuelva el el Probo Probo 9.71 9.71 tratando tratando el el movimiento movimiento como como 9.86 una precesión precesión permanente. permanente. una

9.82 9.82 El El trompo trompo de de la la figura figura está está en en precesión precesión per~anente per~anente con con fJ == 15° Yrazón Y razón de de precesión precesión l/; -.J; == 1 reviso reviso ángulo de de nutación nutación () ángulo La masa masa del del trompo trompo es es de de 8 xx 1010-44 slugs, slugs, su su centro centro de de masa masa La está está aal1 pulg pulg de de la la punta punta yy sus sus momentos momentos de de inercia inercia son son Ixx Ixx = slug-pie 2 ee Izz Iu = 22 XX 1010-66 slug-pie', slug-pie2 • ¿Cuál ¿Cuál es la la razón razón 6 Xx '1010-66 slug-piede giro giro ~~ del del trompo trompo en en rev/s? rev/s? de

9.87 9.87 Resuelva Resuelva el el Probo Probo 9.72 9.72 tratando tratando el el movimiento movimiento como como una precesión precesión permanente. permanente. una 9.88 9.88 Resuelva Resuelva el el Probo Prob o 9.73 9.73 tratando tratando el el movimiento movimiento como como una precesión precesión permanente. permanente. una 9.89 9.89 Se está está probando probando un un auto auto yy se usan usan acelerómetros aceleró metros y gigiróscopos para medir medir sus ángulos ángulos de de Euler Euler y sus derivadas derivadas resresróscopos para pecto un sistema sistema coordenada coordenado de de referencia. referencia. En En cierto cierto momenmomenpecto a un to, to, l/; -.J; = = 15°, 15°, () fJ = = 4°, 4°, q, ~ = = 15°, 15°, las razones razones de cambio cambio de los ángulos ángulos de Euler Euler son son cero cero yy sus segundas segundas derivadas derivadas respecto respecto al tiempo ;¡ == O, O, ¡¡ = = 1 rad/srad/s 2 y~. y~. = = -0.5 -0.5 rad/s-. rad/s 2 • Los Los momotiempo son son;¡; mentos mentos de de inercia inercia principales principales del auto auto en kg-m? kg-m 2 son son Ixx I xx = = 2200,Iyy 2200, Iyy = = 480 e Izz Iu = = 2600. ¿Cuáles ¿Cuáles son son las componentes componentes del momento momento total total respecto respecto al centro centro de masa masa del auto? auto?

Z Z

zz

o·

yy

zZ zZ

~------------- y ~~-----------y

x

x

P9.82 P9.82

9.83 trompo descrito una razón razón de 9.83 El trompo descrito del Probo 9.82 tiene una

giro ~ ~ = Dibuje una una gráfica precesión = 15 15 reviso Dibuje gráfica de la razón razón de precesión (en rev/s) nutación fJ()para para valores valores de rev/s) en función función del ángulo ángulo de nutación fJ() entre entre O y 45°.

x

P9.89 P9.89

9.84 bamboleante se puede 9.84 El rotor rotar de un giróscopo giróscopo bamboleante puede modelar modelar en precesión precesión permanente permanente sin momento. momento. Sus momentos momentos de iner2 2 • Su razón , Iu cia son Ixx = lvv Tvv = 0.04 kg-m kg-m-, Izz = 0.18 kg-m kg-m-. razón de q, = 1500 rpm rpm yy su ángulo ángulo de nutación nutación es fJ() = 20°. giro es ~ (a) ¿Cuál ¿Cuál es su razón razón de precesión precesión en rpm? (b) Dibuje Dibuje los conos conos de cuerpo cuerpo y espacial. espacial.

9.85 9.85 Un satélite se puede puede modelar modelar como un mi cilindro cilindro de 800 kg de 4 m de longitud longitud y 2 m de diámetro. diámetro. Si el ángulo ángulo de nutación nutación es es fJ() == 20° Y su razón razón de giro ~ ~ es es 1 rev/s, rev/s, ¿cuál es su razón razón de precesión s? precesión ~¡en rev/ rev/s? Z Z

z

(J

y

9.90 Si los ángulos ángulos de Euler y sus segundas segundas derivadas derivadas para para 9.90 automóvil descrito descrito en el Probo 9.89 tienen los valores valores dados dados el automóvil razones de cambio cambio son ~¡= 0.2 rad/s, rad/s, O ¡j = --22 rad/s, rad/s, pero sus razones y~ ~ == O, O,¿cuáles componentes del momento momento total total respec¿cuáles son las componentes centro de masa del automóvil? automóvil? to al centro

9.91

Suponga que los ángulos ángulos de Euler del auto auto descrito descrito en Suponga el Probo 9.89 son -.J;l/; = 40°, fJ() = 20° Y ~. q,' = 5°, sus razones razones de cambio son cero y las componentes componentes del momento momento total total respecto cambio centro de masa del auto son EMx EMx = --400 EMy = 200 200 al centro 400 N-m, EMy EMzz == O. O. ¿Cuáles son las componentes componentes x, y yy z de la N-m yy EM aceleración angular angular del auto? auto? aceleración

~--------y

~---- y

xx

x

P9.85 P9.85


476


Y DINÁMICA

TRIDIMENSIONAlES

DE CUERPOS RíGIDOS

E

Resumen del capítulo

1

Cinemática Un cuerpo rígido sometido a cualquier movimiento que no sea traslación tiene un eje instantáneo de rotación. La dirección de ese eje en un momento dado y la razón a la que gira el cuerpo rígido respecto al eje están especificadas por su vector de velocidad angular w. La velocidad de un punto A de un cuerpo rígido está dada en función del vector de velocidad angular y la velocidad de un punto B por Ec.(9.1)

La aceleración de un punto A de un cuerpo rígido está dada en función del vector de velocidad angular, el vector de aceleración angular = dcif d: y la aceleración de un punto B por Q

aA

= aB +

Q

X rAjB

+ w x (w x

Ec.(9.2)

rAjB).

Sea O la velocidad angular de un sistema coordenado xyz en rotación respecto a un marco de referencia fijo, y sea w rella velocidad angular de un cuerpo rígido respecto al sistema xyz. La velocidad angular del cuerpo rígido y su aceleración angular respecto al marco de referencia fijo son w = O +Wrel, Ec. (9.3)

dO dúJrelx dúJrely a= -+--+--+--+uxúJ dt dt dt

dúJrelz dt

n l.

re

Momento angular Si un cuerpo gira respecto a un punto fijo O con velocidad angular W (Fig. a), las componentes de su momento angular respecto a O están dadas por HOX] Hoy Hoz

[

=

[/xx -Ixy -Ixz] -Iyx Iyy -Iyz -Izx -Izy Izz

[úJx] úJY•

Ec. (9.8)

úJz

Esta ecuación también da las componentes del momento angular del cuerpo rígido respecto al centro de masa en el movimiento tridimensional general (Fig. b). En ese caso los momentos de inercia se evalúan respecto a un sistema coordenado con su origen en el centro de masa.

y y

w O

x x

z

z (a)


(b)

RESUMEN RESUMEN DEL DEL CAPíTULO CAPíTULO

Ecuaciones de de Euler Ecuaciones Las ecuacioñes ecuaciones que que rigen rigen el movimiento movimiento tridimensional tridimensional de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido Las incluyen la la segunda segunda ley de Newton Newton yy las las ecuaciones ecuaciones del del movimiento movimiento anguanguincluyen lar. Para Para un un cuerpo cuerpo rígido rígido que que gira gira alrededor alrededor de un un punto punto fijo fijo O (Fig. (Fig. lar. ecuaciones del movimiento movimiento angular angular se expresan expresan en en función función de las las a), las ecuaciones momento total total respecto respecto a o: O: componentes del momento componentes

Ec. (9.25)

donde nes nes la velocidad velocidad angular angular del sistema sistema coordenado. coordenado. Si el sistema sistema coorcoordonde denado está está fijo fijo al cuerpo, cuerpo, n = = w. w. En En el caso caso del movimiento movimiento tridimensiotridimensiodenado general (Fig. b), las ecuaciones movimiento angular angular son son idénticas idénticas nal general ecuaciones del movimiento excepto que se expresan expresan en función componentes del momento momento total total excepto función de las componentes respecto al centro de masa. respecto centro masa. rígido está está relacionada relacionada con con las derivaderivaLa aceleración aceleración angular angular del cuerpo cuerpo rígido das de las componentes de w mediante componentes mediante a O!

dw dw dw dwxx• = -= -= = dt dt dt dt

• I1

dwy . dt dt

dw dt dt

n xx w. + -dwy. J + -dio¿z k + n

Ec. (9.24)

Si el términos dwjdt, dwx / dt, el sistema coordenado coordenado no gira o está fijo al cuerpo, cuerpo, los términos dw/ aceleración angular. angular. dw/ dt Y dw/ dt son las comP.onentes componentes de la aceleración

Momentos Momentos y productos productos de de inercia inercia En un sistema coordenado coordenado dado xyz, la matriz matriz de inercia inercia de un cuerpo cuerpo se define con la Ec. (9.11)

[I] [1] ==

IXXIXX -I -Ixyxy -Ixz -Ixz] ] -I -Iyxyx Iyy -Iyz -Iyz [ - I - Izy Izz zx

iL (l + -i- L -i- L

Z2) Z2) dm dm

yx dm dm yx

zx dm dm zx

iL

-

iL

22

(x (x

--

xy xy dm

Z2) + Z2)

iL

dm

zy dm zy

- iL iL

-

xz xz dm dm

-

yz dm yz

iL

22

(x (x

l) + /)

dm

donde donde x, x, y, y, zz son son las las coordenadas coordenadas del elemento elemento diferencial diferencial de de masa masa dm. Los ' I" e Iu son los momentos de inercia respecto aa los Los términos términos Ilxx' lyye lzz son los momentos de los ejes ejes xx x, y, Z e lxy, IyZ' lzx son los productos de inercia. x, y, Z e Ix" I'l' Izx son los productos de inercia .


477 477

478

CINEMÁTICA Y DINÁM DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES CUERPOS RíGIDOS CAPíTULO 9 CINEMÁTICA CAPíTULO ICA TRIDI M ENSIONALES DE C UERPOS RíGIDOS

coordenado con su origen origen en el centro centro de masa Si x'y'z' x'y' z' es un sistema sistema coordenado masa de un cuerpo cuerpo y xyz sistema paralelo, teoremas de los los ejes paralelos paralelos xyz es un sistema paralelo, los teoremas establecen que establecen

,(9.16) Ec. ,(9.16)

donde (dxx' ' d d., coordenadas del centro centro de masa sistema donde masa en el sistema y , dzz)) son las coordenadas coordenado xyz. coordenado xyz. inercia respecto origen y paralelo El momento momento de inercia respecto a un eje que pase pase por por el origen paralelo dado por a un vector vector unitario unitario e está dado por

Para cualquier cualquier cuerpo cuerpo y origen origen O existe por sistema coordecoordePara por lo menos menos un sistema nado inercia son cero. cero. Los ejes coordenados coordenados nado para para el cual los productos productos de inercia llaman ejes principales principales y los momentos momentos de inercia, inercia, momentos momentos de inercia inercia se llaman principales. Si se conoce conoce la matriz inercia en un sistema sistema coordenado coordenado principales. matriz de inercia xy' inercia principales ecuación cúbica cúbica x 'y' z', los momentos momentos de inercia principales son raíces de la ecuación

Ec. (9.19)

Para cada cada momento inercia principal 1, el vector componentes Para momento de inercia principal 1, vector V con componentes

Ec. (9.20)

z

yy

correspondiente eje principal. es paralelo paralelo al correspondiente principal. zz

Ángulos de de Euler: Euler: cuerpos cuerpos axisimétricos axisimétricos

(e)

,1

cuerpo con con un eje de simetría simetría rotacional, orientación En el caso de un cuerpo rotacional, la orientación sistema xyz sistema de referencia está especificada especificada del sistema xyz respecto respecto al sistema referencia XYZ XYZ está por ángulo de precesión precesión l/; y el ángulo ángulo de nutación nutación ()8 (Fig. (Fig, c). e). La rotación por el ángulo rotación cuerpo respecto sistema xyz especificada por ángulo de giro giro eI>. del cuerpo respecto al sistema xyz está especificada por el ángulo



masa

lelos

velocidad angular angular del cuerpo cuerpo rígido respecto respecto Las componentes componentes de la velocidad sistema XYZ están dadas dadas por por XYZ están al sisteII\a Wxx

=é, =é,

Wyy W

= 1¡¡senO, 1¡,sen(), =

W

Ec. (9.33)

z = (p + 1¡¡ cos O.

ecuaciones del movimiento movimiento angular angular expresada~ expresadas en función función de esos Las ecuaciones ángulos Euler son son [Ecs. (9.36) a (9.38)]: ángulos de Euler

"'EMy 'EMy

a

/xx(ifsen() 21¡,é cosO) cos /zz«(pé + 1¡¡é 1¡,é cosO), cos é), = lxx (i¡¡sen O + 21¡¡é - lzz«(pé

"'EMzz = = lzz /zz(;P 'EM (¡p

é

-

1¡,é sen O). (). + i¡¡if cos O() - 1¡¡é

o precesión permanente cuerpo que gira axisimétricamente, axisimétricamente, la En la precesión permanente de un cuerpo razón de giro giro 4>, el ángulo ángulo de nutación nutación ()() y la razón razón de precesión precesión ~ ~ se suposuporazón constantes. Con Con estas hipótesis, hipótesis, las ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento anguangunen constantes. reducen a [Ecs. (9.39) a (9.41)]. lar se reducen

s a o a

"'EMy = = 0, 'EMy

de Euler: Euler: cuerpos cuerpos arbitrarios arbitrarios Ángulos de cuerpo arbitrario, arbitrario, la orientación orientación del sistema sistema xyz xyz fijo al En el caso de un cuerpo cuerpo respecto respecto al sistema sistema XYZ referencia se especifica especifica con el ángulo ángulo XYZ de referencia cuerpo precesión 1/1, ¡f¡, el ángulo ángulo de nutación nutación ()() y el ángulo ángulo de giro cf> ~ (Fig. d). de precesión componentes de la velocidad velocidad angular angular del cuerpo cuerpo rígido respecto respecto Las componeptes sistema XYZ están dadas dadas por al sistema XYZ están por

z y

x z

ifJ, + é cos cf>,

Wxx

= 1¡¡ 1¡,sen ()sen ifJ = sen O sen cf>

Wyy

= 1¡¡ 1¡,sen sen O () cos cf> ifJ -=

Wz W z

= 1¡¡ 1¡,cos () + (po (po = cos O

é sen cf>ifJ ,

~-I---Y IB---"-- - Y

Ec. (9.44)

x (d)

xyz es un conjunto conjunto de ejes principales, principales, las ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento Si xyz angular en función función de los ángulos ángulos de Euler están dadas dadas por por las Ecs. (9.46). angular Euler están


479

480

CAPíTULO Y DINÁMICA TRIDIMENSIONALES DE CU ERPOS RíGIDOS CAPíTULO 9 CINEMÁTICA CINEMÁTICA Y DINÁMICA TRIDIMENSIONAlES DE CUERPOS RíGIDOS

Problemas de

9.92 La barra barra esbelta esbelta de longitud longitud Iy masa m de la figura figura está 9.92 Iy masa articuladaa a la barra barra en forma forma de L en O. La barra barra en L gira articulad respecto al eje vertical vertical con una una velocidad velocidad angular angular constante constante Wo. respecto Wo. Determine el valor valor de Wo necesario necesario para para que la barra barra permapermaDetermine nezca con un ángulo ángulo constante constante {3respecto (3 respecto a la vertical. vertical.

repaso¡----'----' •....•. -'-

........• .:....;....:....;.,;-'-'""""'"' .......•.......•... ;..;..;,¡

9.94 Una Una placa placa delgada delgada de masa masa m gira gira alrededor alrededor de un eje 9.94 vertical con su plano plano perpendicular piso. La esquina esquina en O vertical perpendicular al piso. descansa en una una ranura ranura de manera manera que permanece permanece en el mismo mismo descansa punto. La velocidad velocidad angular angular Wo y el ángulo ángulo {3 son constantes. constantes. punto. {3son (a) Demuestre Demuestre que la velocidad velocidad angular angular Wo está está relacionada relacionada con ángulo {3 por el ángulo {3por húJ~ húJ~

=

g

2 cos f3fJ -- senfJ senf3 sen22 f3fJ -- 2 sen senf3fJ cos f3 sen fJ -- cos2 f3. fJ .

(b) La ecuación ecuación obtenida obtenida en la parte parte (a) indica indica que Wo = OO = O. ¿Qué ¿Qué significa resultado? cuando 2 cos {3 cuando {3-- sen {3 {3 = significa este resultado?

P9.92 P9.92

9.93 9.93 Una Una barra barra esbelta esbelta de longitud longitud I y masa masa m está rígidamenrígidamente unida circular delgado delgado de radio radio R y masa masa unida al centro centro de un disco circular m. El cuerpo sometido a un movimiento cuerpo compuesto compuesto está sometido movimiento en el que la barra barra gira en un plano plano horizontal horizontal con velocidad velocidad angular angular constante constante Wo respecto respecto al centro centro de masa masa del cuerpo cuerpo compuesto, compuesto, y el disco rueda sobre el piso. rueda sobre piso. Demuestre Demuestre que Wo = = 2"; 2.) g/R. g/ R .

o

P9.94 P9.94

9.95 9.95 En el Probo Prob o 9.94, determine determine el intervalo intervalo de valores valores del ángulo {3para para los cuales la placa placa permanecerá permanecerá en el movimiento movimiento ángulo {3 permanente permanente descrito. descrito.

,

~--l--I ~--

l --I

P9.93 P9.93



o n

9.96 El El brazo brazo Be Be tiene tiene una una masa masa de de 12 kg kg Y Ysus sus momentos momentos 9.96 prod uCto~ de de inercia inercia respecto respecto al al sistema sistema coordenado coordenado de de la la figufiguyy productos ra son son Ixx Ixx = 0.03 0.03 kg-m-, kg-m 2 , Iyy Iyy == Izz Izz == 44 kg-m-, kg-m 2 , Ixy Ixy == IyZ IyZ == Ixz I xz ra O. En En el instante instante mostrado, mostrado, el brazo brazo AB AB está está girando girando en en un un == O. una velocidad velocidad angular angular constante constante de de 1 plano horizontal horizontal con con una plano rad/s en en dirección dirección antihoraria antihoraria visto visto desde desde arriba. arriba. Respecto Respecto al al rad/s brazo AB, AB, el brazo brazo Be Be está está girando girando respecto respecto al al eje eje zz con con velocivelocibrazo dad angular angular constante constante de de 2 rad/s. rad/s . Determine Determine la la fuerza fuerza yy el par par dad ejercidos sobre sobre el brazo brazo Be Be en en B. ejercidos

1rad/S ~

481 481

9.99 9.99 En En la la Fig. Fig. P9.99la P9.99la masa masa de de la la placa placa delgada delgada homogénea homogénea es es de de 1 kg. kg. Para Para un un sistema sistema coordenado coordenado con con origen origen en en 0, 0, deterdetermine mine los los momentos momentos de de inercia inercia principales principales yy las las direcciones direcciones de de los los vectores vectores unitarios unitarios paralelos paralelos aa los correspondientes correspondientes ejes ejes prinprincipales. cipales.

T T160 160

yy

mm l )~I' --400-m-m------Y,I-'-x. /r-400mm---1 mm

OL-

Y

_..L.l

x'

z· z' P9.99 P9.99 700mm~

P9.96

9.97 Un balón balón de fútbol fútbol americano americano se lanza lanza con un movimiento miento espiral espiral oscilante oscilante y un ángulo ángulo de nutación nutación de 25°. Los Ixx = Iyy Iyy = 0.903 slug-pie momentos momentos de inercia inercia del balón balón son Ixx slug-pie'2 2 e Izz Izz = 0.001 slug-pie slug-pie-.• Si su razón razón de giro es cf> cf>= 4 rev/s, rev/s, ¿cuál es la magnitud magnitud de su razón razón de precesión precesión (la razón razón a la que oscila)?

9.100 9.100 Los Los momentos momentos de inercia inercia principales principales en slug-pieslug-pie 2 del avión Ixx = 8000, Iyy Iyy = 48 000 e Izz Izz = 50 000. avión mostrado mostrado son Ixx (a) El avión posición de referencia maavión parte parte de la posición referencia mostrada mostrada y maniobra t/; = (}= cf>= 45°. Dibuje niobra con la orientación orientación 1/; 8 = cf> Dibuje un esquema esquema muestre su orientación orientación relativa relativa al sistema XYZ. que muestre sistema XYZ. avión está con la orientación orientación descrita descrita en la (a), las (b) El avión I~ parte parte ~a), razones de cambio cambio de los ángulos ángulos de Euler Euler son t/; O, 8(} = 0.2 1/; = O, razones rad/s y ~ ~ = 0.2 rad/s, rad/s, y sus segundas segundas derivadas derivadas respecto rad/s respecto al tiempo cero, ¿cuáles son las componentes componentes del momento momento totiempo son cero, respecto al centro centro de masa masa del avión? tal respecto

z

z

P9.100

9.101 ¿Cuáles son son las las componentes componentes x, y, z de de la la aceleración aceleración 9.101 angular del del avión avión descrito descrito en en el el Probo Probo 9.100? 9.100? angular P9.97 P9.97

9.102 Si Si la la orientación orientación del del avión avión del del Probo Probo 9. 9.100 es 1/;t/; == 45°, 45°, 9.102 100 es 60°, cpc{>== 4~0, 4~0, las las razones razones .de .de cambio cambio de de los los ángulos ángulos de de 8(J = 60°, Euler son son 1/; == 0,8 O,(J = = 0.2rad/s 0.2Tad/sycf> = 0.1 O.lrad/s,ylascomponenEuler y cf> = rad/s, y las componentes del del momento momento total total respecto respecto al al centro centro de de masa masa son son EMx EMx = = tes 400 pie-lb, pie-lb, EMy EMy = = 1200 1200 pie-lb pie-lb yy EM EMzz = = O,O, ¿cuáles ¿cuáles son son las las 400 componentes x, x, y, y, zz de de la la aceleración aceleración angular angular del del avión? avión? componentes é

9.98 9.98 Dibuje Dibuje los los conos conos de de cuerpo cuerpo yy espacial espacial para para el el movimienmovimiento to del del balón balón del del Prob Proboo 9.97 9.97..


L

~

os ingenieros usan "mesas vibratorias" para simular las vibraciones de edificios y otras estructuras durante sismos y para investigar métodos de minimización de daño estructural. Las mesas se pueden programar para simular las magnitudes e historias en el tiempo de las vibraciones del terreno medidas durante sismo s reales. En este capítulo analizaremos las vibraciones de sistemas mecánicos sencillos.

,

n

\


"

ICapítulol0 IcapítulOl0! 1 t

Vibraciones Vibraciones ti

L L

AS vibraciones han han sido de interés interés en la ingeniería ingeniería por AS vibraciones por menos desde el principio Revolución IndusInduslo menos principio de la Revolución trial. Los movimientos movimientos oscilatorios oscilatorios de los motores motores rotatorotatotrial. alternativos someten someten a sus partes grandes cargas cargas rios y alternativos partes a grandes deben considerarse considerarse en su diseño. diseño. Los operadores operadores y que deben pasajeros vehículos movidos movidos por motores depasajeros de los vehículos por esos motores ben quedar quedar aislados aislados de tales vibraciones. vibraciones. Empezando Empezando con desarrollo de dispositivos dispositivos electromecánicos electromecánicos capaces capaces de el desarrollo generar y medir medir vibraciones vibraciones mecánicas, mecánicas, como como altoparlanaltoparlangenerar micrófonos, las aplicaciones aplicaciones en ingeniería ingeniería de las vites y micrófonos, braciones han incluido incluido las diversas diversas áreas áreas de la acústica, acústica, braciones han acústica arquitectónica arquitectónica hasta hasta la detección detección y aná.:. anádesde la acústica lisis de sismos.

capítulo consideraremos consideraremos sistemas sistemas vibratorios vibratorio s En este capítulo grado de libertad; libertad; esto es, la posición configurade un grado posición o configuracada sistema sistema se especifica especifica con una una sola variable. variable. ción de cada vibratorio s reales tienen un solo grado de Muchos sistemas vibratorios libertad movimientos se pueden modelar por por medio medio libertad o sus movimientos pueden modelar sistema de un grado grado de libertad libertad en circunstancias circunstancias de un sistema particulares. Analizaremos conceptos conceptos fundamentales fundamentales coparticulares. Analizaremos amplitud, la frecuencia, frecuencia, el periodo, amortiguamo la amplitud, periodo, el amortiguamiento y la resonancia, resonancia, que también también se usan análisis miento usan en el análisis sistemas con múltiples múltiples grados grados de libertad. libertad. de sistemas


484

CAPíTU LO 10 VIBRACIONES V IBRACION ES CAPíTULO

10.1 10.1 Sistemas conservativos conservativos Empezamos un grado Empezamos presentando presentando diferentes diferentes ejemplos ejemplos de de sistemas sistemas de de un grado de de libertad movilibertad sometidos sometidos a fuerzas fuerzas conservativas, conservativas, y demostramos demostramos que que sus sus movimientos son descritos descritos por la misma ecuación diferencial. diferencial. Luego Luego examinaexaminamientos son por la misma ecuación mos soluciones usamos para para describir vibraciones mos soluciones de de esta esta ecuación ecuación y las las usamos describir las las vibraciones de un grado de sistemas sistemas conservativos conservativos de de un grado de libertad. libertad.

Ejemplos Ejemplos

(a)

El resorte-masa (Fig. más sencillo un El oscilador oscilador resorte-masa (Fig. 1O.la) lO.la) es el ejemplo ejemplo más sencillo de de un sistema vibratorio de un un grado de libertad. Una sola sistema vibratorio grado de libertad. Una sola coordenada coordenada x que que mide el desplazamiento de la masa respecto respecto a un un punto punto de referencia referencia es mide desplazamiento la masa suficiente para especificar posición del suficiente para especificar la la posición del sistema. sistema. Dibujamos Dibujamos el diagrama diagrama de cuerpo masa de Fig. 1O.1(b), cuerpo libre libre de la la masa de la Fig. 10.1(b), ignorando ignorando la fricción fricción y suposuponiendo que resorte no no está Aplicando la niendo que el resorte está estirado estirado cuando cuando x == O. O. Aplicando la segunda segunda ley de Newton, podemos podemos escribir movimiento horizontal horizontal de Newton, escribir la la ecuación ecuación del del movimiento de la masa como la masa como d22xx --2 2

k

(10.1) (10.1)

+-x = O. +-x=O. dt m dt

(b)

También podemos obtener usando un un método método diferente, También podemos obtener esta esta ecuación ecuación usando diferente, que mucha utilidad. utilidad. La única fuerza trabajo sobre que será será de de mucha La única fuerza que que efectúa efectúa trabajo sobre la masa, es decir, por el resorte, resorte, es conservativa, la masa, decir, la la fuerza fuerza ejercida ejercida por conservativa, lo que que implica potencial es constante: implica que que la la suma suma de las las energías energías cinética cinética y potencial constante: 1 (d)2 1 (d)2~~ + -kx -m _kx2 = -m = constante. constante. 2 dt 2 dt 2

Derivando respecto al tiempo, tiempo, podemos podemos escribir Derivando esta esta ecuación ecuación respecto escribir la la ecuación ecuación resultante como resultante como

(d2x + ~x) (d2X ((dX)dX) dt fñ'--dt dt m22

= =O O

'

""-

(e)

Figura 10.1 10.1 (a) El oscilador tiene un un oscilador resorte-masa resorte-masa tiene grado grado de libertad libertad. . (b) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre libre de la masa. masa. (e) Masa Masa suspendida. suspendida.

que misma Ec. que es la misma Ec. (10.1). (10.1). Supongamos masa está resorte, como muestra Supongamos que que la la masa está suspendida suspendida del del resorte, como se muestra la Fig. Fig. 1O.1(c), lO.l(c), y que que está está sometida sometida a movimiento en la movimiento vertical. vertical. Si el resorte resorte puede confirmar no está no está estirado estirado en en x == O, O, se puede confirmar fácilmente fácilmente que que la la ecuación ecuación del movimiento es del movimiento d22xx dt2 dt2

k

+ mXX

= = g.

Si la masa suspendida reposo, la magnitud de la la masa suspendida está está en reposo, la magnitud la fuerza fuerza ejercida ejercida por el resorte resorte debe peso, kx por lo que posidón de por debe ser ser igual igual al peso, kx == mg, por que la la posición de equilibrio también se puede puede determinar posiequilibrio es x == mg/k mg/k (observe (observe que que también determinar la la posición haciendo igual la ecuación ción de equilibrio equilibrio haciendo igual a cero cero la la aceleración aceleración en la ecuación de de movimiento). Incluyamos una nueva nueva variable variable xx que mida la posición de la movimiento). Incluyamos una que mida la posición la http://carlos2524.jimdo.com/

10.1 10.1 SISTEMAS SISTEMAS CONSERVATIVOS CONSERVATIVOS

x

masa respecto respecto aa su su posición posición de de equilibrio: equilibrio: x = = xx -- mg/k. mg/k. Escribiendo Escribiendo masa la la ecuáción ecuAción de de movimiento movimiento en en función función de de esta esta variable variable obtenemos obtenemos de

d 2i

k _

dt

m

-+-x =0, 2 que es es idéntica idéntica aa la la Ec. Ec. (10.1). (10.1). El El movimiento movimiento vertical vertical de de la la masa masa de de la la que Fig. 1O.1(c) 1O. I(c) respecto respecto a su su posición posición de de equilibrio equilibrio está está descrito descrito por por la la misma misma Fig. ecuación que que describe describe el el movimiento movimiento horizontal horizontal de de la la masa masa de de la la Fig. Fig. ecuación 10.I(a) respecto respecto aa su su posición posición de de equilibrio. equilibrio. 1O.1(a) Consideremos un un sistema sistema diferente diferente de de un un grado grado de de libertad. libertad. Si Si desplazadesplazaConsideremos mos mos la la barra barra de de la la Fig. Fig. 10.2(a) 1O.2(a) lateralmente lateralmente yy la la soltamos, soltamos, oscilará oscilará (un (un cuerpo que que oscila oscila desde desde un un punto punto fijo fijo se se llama llama péndulo). péndulo). Tiene Tiene un un solo solo cuerpo O especifica especifica la la posición posición de de la la barra. barra. grado de de libertad, libertad, ya ya que que () grado Dibujando el diagrama diagrama de de cuerpo cuerpo libre libre de de la la barra barra (Fig. (Fig. 1O.2b) 1O.2b) Y YescriescriDibujando obtenemos biendo la la ecuación ecuación del del movimiento movimiento angular angular respecto respecto a A, obtenemos biendo d22()()

3g 3g

dt dt

21 21

- 22 + -sen() -sen() = = o. O.

(10.2) (10.2)

.1)

Figura 10.2 (a) Péndulo formado por una barra de --Plano Plano de esbelta. referencia (b) Diagrama de cuerpo libre libre de la barra. (b)

e,

(a)

n

(b)

También También podemos podemos llegar llegar a ecuación ecuación usando usando la conservación conservación de la energía. energía. La La energía energía cinética cinética de la barra barra es T T == !I MAA (dO/dt)2. (d()/dt)2. Si colocamos colocamos el plano plano de referencia 0.2b), la energía referencia al nivel nivel del punto punto A A (Fig. (Fig. 11O.2b), energía potencial potencial asociada asociada con con el peso peso de la barra barra es V == -mg -mg (!lcos Glcos O), ()), por por lo que que

1(1 22)) (d())2 1

V= = --1 (1-mI -mi TT + V 2 3

(d())2 1 -mgl cos = = constante constante - -mgl cos() dt 2 .. é

Derivando Derivando respecto respecto al tiempo tiempo yy escribiendo escribiendo el resultado resultado en la forma forma 22

3g 3g ) -sen() O, dt2 + 2t sen() = O, 21

d()) (d-() () d()) - (d (( dt dt di?

=

obtenemos obtenemos la la Ec. Ec. (10.2) (10.2). . La La Eé. Ec. (10.2) (10.2) no no tiene tiene la la misma misma forma forma que que la la Ec. Ec. (10.1). (10.1). Sin Sin embargo, embargo, si si expresamos expresamos sen sen O () en en series series de de Taylor, Taylor, 11 33 11 55 sen - -() ++ ... sen ()() == ()()-() + + -() -() ... 66 120 120


485 485

486

CAPíTULO 10 VIBRACIONES VIBRACIONES CAPíTULO

suponemos que (J()permanece bastante pequeña pequeña para para sustituir sustituir sen (J()por y suponemos permanece bastante por resulta idéntica idéntica en forma forma a la Ec. (10.1): la Ec. (10.2) resulta

(), entonces entonces (J,

d

e 22 d ()() dt22

+ 3g ()() == O.

+

dt

(10.3)

21 21

1:

q 1

Nuestros análisis del oscilador oscilador resorte-masa resorte-masa y el péndulo produjeron Nuestros péndulo produjeron ecuaciones de movimiento idénticas en forma. forma. Para Para lograr lograr esto en el priecuaciones movimiento idénticas mer caso tuvimos tuvimos que expresar expresar la ecuación ecuación del movimiento movimiento en función función del desplazamiento relativo posición de equilibrio. equilibrio. En el caso del péndulo, péndulo, desplazamiento relativo a la posición tuvimos que suponer suponer que las amplitudes eran pequeñas. tuvimos amplitudes eran pequeñas. Sin embargo, embargo, con ecuaciones obtenidas obtenidas describen describen los moviesas restricciones restricciones se verá que las ecuaciones mientos sistemas conservativos conservativos de un grado grado de libertad. libertad. mientos de muchos muchos sistemas

Soluciones Soluciones Consideremos la ecuación ecuación diferencial diferencial Consideremos d2x _dt2

+ úJ2 x

(l0.4) (l0.4)

=0 ,

donde t» es una constante. Vimos que con w22 = esta ecuación ecuación desdonde w una constante. = k/m, k/m, esta cribe cribe el movimiento movimiento de un un oscilador oscilador resorte-masa, resorte-masa, y con con w22 = = 3gl2! 3gl2/ describe una barra barra esbelta esbelta suspendida. suspendida. La Ec. cribe los pequeños pequeños movimientos movimientos de una (10.4) es una una ecuación ecuación diferencial diferencial ordinaria, ordinaria, porque porque se expresa expresa en términos términos de derivadas derivadas ordinarias ordinarias (no parciales) parciales) de la variable variable dependiente dependiente x con con respecto respecto a la variable variable independiente independiente t. Es lineal, lineal, ya que que no contiene contiene térmitérminos no lineales de x o de sus derivadas, derivadas, y es homogénea, homogénea, pues cada cada término término contiene contiene a x o a una una de sus derivadas. derivadas. La La solución solución general general es

II xx

= =

Asen A sen wt wt + B cos wt, wt,

II

(10.5) (l0.5)

donde donde A Y B son son constantes constantes arbitrarias. arbitrarias. Aunque encontrará que la Ec. (10.5) es la forma forma Aunque en problemas problemas prácticos prácticos se encontrará más más conveniente conveniente de la solución solución de la Ec. (10.4), (l0.4), podemos podemos describir describir las propropiedades piedades de la solución solución más fácilmente fácilmente expresándola expresándola en la forma forma alternativa alternativa xx

= =

E sen (wt (wt -- cf», cp),

(10.6)

donde cp son son constantes. constantes . Para Para demostrar demostrar que que esas dos dos soluciones soluciones son son donde E Y cf> equivalentes, equivalentes, usamos usamos la identidad identidad E sen (wt (wt --

cf» cp)

E(sen E(sen wt wt cos

cf> cp --

(E cos cf» cp) sen sen wt wt

cos wt wt sen sen

cf» cp)

+ (-E (-E sen cf»cp) cos wt. wt .

Esta Esta expresión expresión es idéntica idéntica a la la Ec. Ec. (10.5) si las constantes constantes A y B se relaciorelacionan cp por por nan con con E yy cf> AA = Ecos Ecos

cf>, cp,

BB


-E -E sen sen cf>. cp.

(10.7) (10.7)

( (

10.1 10.1 SISTEMAS SISTEMAS CONSERVATIVOS CONSERVATIVOS 487 487

LaEc. Ec. (10.6) (10.6) muestra muestraclaramente claramentela lanaturaleza naturalezaoscilatoria oscilatoriade de la lasolución solución La movimiento armónico armónico simple, simple, describe describe una una funfunde la la Ec. Ec. (10.4). (10.4). Llamada Llamada movimiento de ción senoiclal senoiclal de de wt. wt. La La constante constante cf>rJ> determina determina la la posición posición horizontal horizontal de de ción la función función senoidal senoidal respecto respecto al al origen origen wt wt == O, O, Yse Yse llama llama fase. fase. Definimos Definimos la rJ> como como la la distancia distancia aa la la derecha derecha de de wt wt == O Oen en donde donde la la solución solución corta corta cf> por primera primera vez vez el el eje eje horizontal horizontal con con pendiente pendiente positiva positiva (Fig. (Fig. 10.3). 10.3). La La por constante positiva positiva E E se se llama llama amplitud amplitud de de la la vibración. vibración. Elevando Elevando al al constante cuadrado las las Ecs. Ecs. (10.7) (10.7) yy sumándolas, sumándolas, obtenemos obtenemos una una relación relación entre entre la la cuadrado amplitud yy las las constantes constantes A A yy B: B: amplitud (10.8) (10.8)

Figura Figura 10.3 Gráfica Gráfica de x en función función de wt.

xx

T T E E

~~~~--------~----------~----------rot

~~~~--------~----------~----------wt

Podemos Podemos interpretar interpretar la Ec. (10.6) como el movimiento movimiento uniforme uniforme de un punto punto a lo largo de una una trayectoria trayectoria circular. circular. Dibujamos Dibujamos un círculo cuyo radio radio es es igual a la amplitud amplitud (Fig. 10.4) y suponemos suponemos que la línea de O O a P gira en dirección dirección antihoraria antihoraria con velocidad velocidad angular angular constante constante w. Si Si escogemos la posición posición de P P en t == O como se se indica, indica, la proyección proyección de la línea OP OP sobre el el eje eje vertical es es E E sen(wt sen(wt - rJ». cf».

Figura 10.4 10.4 Figura Correspondencia del del movimiento movimiento Correspondencia armónico simple simple con con el el movimiento armónico circular de de un un punto. punto. circular

xx

~~~-"----------\-------wt rot

I---I~-'--------~-------

Posición Posición de de PP en en t=O t= O


488 488

CAPíTULO 10 10 VIBRACIONES VIBRACIONES CAPíTULO

Así, se se tiene una correspondencia correspondencia biunívoca biunívoca entre entre el el movimiento movimiento circular circular de revolución completa, completa, oo ciclo, ciclo, de P P y la la Ec. (10.6). (10.6). El El punto punto P P efectúa efectúa una revolución durante durante el el tiempo requerido requerido para para que que el el ángulo ángulo wt wt crezca crezca 271" 27r rad. El tiempo = 271"/ 27r / w w requerido requerido para para un ciclo se se llama periodo periodo de de la la vibración. vibración. Como T7 T7 = es el el tiempo tiempo requerido requerido para para un ciclo, su inverso inverso jj == lIT lIT es es el el número número es unidad de tiempo, tiempo, o frecuencia frecuencia natural natural de la vibración. vibración. La de ciclos por unidad frecuencia frecuencia suele expresarse expresarse en ciclos por segundo, segundo, o Hertz Hertz (Hz). En la Fig. 10.5 ilustramos ilustramos el el efecto de cambiar cambiar el el periodo periodo y la frecuencia. frecuencia. 10.5

Figura 10.5 Efecto de incrementar incrementar el periodo periodo Efecto (disminución de la frecuencia) frecuencia) del (disminución movimiento armónico armónico simple. movimiento

1"1 TI

<< 1"2 T2 < < 1"3 T3 < < 1"4 T4

ff1l >> f22 >> f3f3 >>f4 1 2

3

4

En resumen, resumen, el periodo periodo y la frecuencia son frecuencia natural natural son 2:rr 271: r=-, r =-, co w

(10.9)

f=~. f=~.

(10.10)

2:rr 271:

periodo y la frecuencia frecuencia natural natural de un un sistema sistema se determinan determinan mediante mediante El periodo sus propiedades propiedades físieas físicas y no dependen dependen de la función función con con la la que que se expresa expresa el movimiento. movimiento. La frecuencia frecuencia natural natural jj es el número número de revoluciones revoluciones que que el punto punto P La se mueve mueve en la la trayectoria trayectoria circular circular de la la Fig. Fig. 10.4 en un un tiempo tiempo unitario, unitario, por lo que que ww = = 27r 271"jj son son los radianes radianes por por unidad unidad de tiempo. tiempo. Por Por tanto, tanto, por t» w también también es una una medida medida de la la frecuencia frecuencia y se expresa expresa en en rad/s. rad/s. Para Para distindistindej, ww se llama llama frecuencia frecuencia natural natural circular. circular. El El término término t»t wt y la la vavaguirla dej, guirla riable riable cf> cf> que que especifica especifica la la fase fase se pueden pueden dar dar en en radianes radianes o en en grados. grados. (10.6) describe describe el desplazamiento desplazamiento del del oscilador oscilador Supongamos que que la la Ec. Ec. (10.6) Supongamos resorte-masa de la la Fig. Fig. 1O.1(a), 10.1 (a), de modo modo que que ww22 = = k/m. k/m. La La energía energía cinécinéresorte-masa tica tica de de la la masa masa es es T

11

== 22

dx dx

22

mm (( dt dt ))

11

22

mE = 22mE

yy la la energía energía potencial potencial del del resorte resorte es es


22

co w

22

cos cos (wt (wt -- cf»,
L

ta ci al

CONSERVATIVOS 10.1 SISTEMAS 10 .1 SISTE MAS CONSERVATIVOS

suma de las energías energías cinética cinética y potencial, potencial, T + V == ~mPw2, es consconsLa suma tante (Fig. 1O.6). 10.6). Al vibrar vibrar el sistema sistema su energía energía total total oscila entre entre energía energía tante cinética y energía energía potencial. potencial. Observe Observe que la energía energía total total es proporcional proporcional cinética cuadrado de la amplitud amplitud y al cuadrado cuadrado de la frecuencia frecuencia natural. natural. al cuadrado

Cinética Cinética

'Potencial 'Potencial

Total Total

Figura 10.6 Energías cinética, potencial yy total de un oscilador resorte-masa. resorte-masa.

'"8

'"~

;¡;

-~O.5 ,~

...

OJ) Q)

¡::

¡¡¡

O~-----L--~~~----~=d~---L--~~LO 2 3 4 O 5

~wt_~ wt 6

rp

En los siguientes siguientes ejemplos ejemplos analizamos analizamos sistemas sistemas vibratorios vibratorios de un grado libertad. Nuestro objetivo será determinar determinar la ecuación ecuación de movimovide libertad. Nuestro primer primer objetivo miento del sistema sistema y expresarlo expresarlo en la forma miento forma de la Ec. (10.4): tf2x ~x dt22

+w

22

x == o. O.

Para hacerlo así, se debe escribir escribirlala ecuación ecuación de movimiento movimiento en función función desplazamiento del sistema sistema respecto respecto a su posición equilibrio. Tam Tam-del desplazamiento posición de equilibrio. requiere hacer lineal la ecuación ecuación suponiendo suponiendo que el desplazamiento desplazamiento bién se requiere como lo hicimos hicimos para obtener la Ec. (10.3) de la Ec. es pequeño, pequeño, como para obtener Ec. (10.2). ecuación de movimiento movimiento en esta forma, conoce Una vez que se tiene la ecuación forma, se conoce sistema y se puede el valor de w para para el sistema puede usar para para hallar el periodo periodo y la frecuencia natural con las Ecs. (10.9) y (10.10). También También se puede determifrecuencia natural puede determimovimiento del sistema sufinar el movimiento sistema con las Ecs. (10.5) o (10.6) si se tiene sufiinformación para determinar las constantes constantes arbitrarias. arbitrarias. ciente información para determinar http://carlos2524.jimdo.com/

489 489

490 490

CAPíTULO 10 V VIBRACIONES CAPíTULO IBRACIONES

10.1 Ejemplo 10.1 La 1; el cable no resbala La polea polea de la Fig. 10.7 tiene radio radio R y momento momento de inercia inercia 1; resbala respecto desplaza hacia abajo una distancia h desde respecto a la polea. polea. La masa masa m se desplaza hacia abajo una distancia equilibrio y se libera su posición posición de equilibrio libera del reposo reposo en t = o. ¿Cuál es la frecuencia frecuencia natural (a) ¿Cuál natural de las vibraciones vibraciones resultantes? resultantes? equilibrio en (b) Determine Determine la posición posición de la masa masa respecto respecto a su posición posición de equilibrio función del tiempo. función tiempo.

ESTRATEGIA ESTRATEGIA Con una coordenada se pueden especificar las posiciones Con una sola coordenada pueden especificar posiciones de la masa masa y la polea, ecuación por lo que se tiene un solo grado grado de libertad. libertad. Obtenemos Obtenemos la ecuación polea, por sistema escribiendo escribiendo las ecuaciones ecuaciones individuales de movimiento movimiento del sistema individuales de la masa masa y la polea energía. polea y usando usando la conservación conservación de la energía. SOLUCiÓN SOLUCiÓN

Figura 10.7

desplazamiento hacia abajo de la masa cuando Sea x el desplazamiento hacia abajo masa respecto respecto a su posición posición cuando estirado. Dibujamos diagramas de cuerpo cuerpo libre polea el resorte resorte no está estirado. Dibujamos los diagramas libre de la polea y la masa cable y ex es la aceleración aceleración masa de la Fig. (a), donde donde Te es la tensión tensión en el cable angular de la polea. segunda ley de Newton obtenemos angular polea. Aplicando Aplicando la segunda Newton a la masa masa obtenemos mg - Te

d2 x

= m-o 2

(10.11)

dt

kx

Plano de x referencia

1 ti

cuerpo libre libre de la polea (a) Diagramas Diagramas de cuerpo polea y la masa. masa.

La ecuación ecuación del movimiento angular de la polea movimiento angular polea es TeR - (kx)R (kx)R TeR

=

la. [a.

(10.12)

La aceleración aceleración angular angular de la polea polea y la aceleración aceleración de la masa masa están están relacionadas relacionadas 2)/R, por por escribir la Ec. (10.12) como como por ex == (fi2x/dt (~X/dt2)/R, por lo que podemos podemos escribir Te - kx kx

d2x

2 = (l/R (l/R2)-2· )-2· dt dt

Sumando esta ecuación ecuación con la Ec. (10.11) obtenemos obtenemos la ecuación ecuación de movimiento Sumando movimiento

(10.13)


10,1 10.1 SISTEMAS SISTEMAS CONSERVATIVOS CONSERVATIVOS

Solución alternativa alternativa En En función función de de la la velocidad velocidad de de la la masa, masa, la la velocidad velocidad Solución angular de,la de la polea polea es es (dx/ (dx/dt)/ dt)/R. R . Por Por tanto, tanto, podemos podemos escribir escribir la la energía energía cinética cinética angular total de de la la masa masa yy la la polea polea como como jotal

en

Colocando el plano plano de referencia referencia para para la la energía energía potencial potencial asociada asociada con con el peso peso Colocando la energía energía potencial potencial total total es la masa masa en x = O, la de la 1 22 -mgx + -kx -kx . = -mgx 2

V

la La suma suma de las energías energías cinética cinética y potencial potencial es constante: constante: La

(dX)2 --mgx+ -11 kx2 mgx + -kx

1 1 T+V=-(m+I/R T + V = -(m + 1j R2)2 ) (dX)2 dt 2 dt

2

2

=

constante. constante-

Derivando respecto respecto al tiempo tiempo esta ecuación, ecuación, obtenemos obtenemos de nuevo nuevo la Ec. Ee. (10.13). (10. 13) . Derivando Haciendo ~X/dt2 d2x/ dt2 = = O en la Ec. (10.13), (10.13), vemos que la posición posición de equiliequiliHaciendo brio brio es x = = mg/k. mg/ k. Expresando Expresando la Ec. (10.13) en función función de una una nueva nueva variable variable mg/k que mide la posición posición de la masa masa respecto respecto a su posición posición de equilixx == x - mg/k brio , obtenemos obtenemos la ecuación ecuación brio,

donde donde a> w

2 2

=

k . m m + I/R2 IjR2

(a) La frecuencia frecuencia natural natural de vibración vibración del sistema es

podemos escribir la solución solución general para para (b) De la Ec. (10.5), podemos

ii Con Con t

forma x en la forma

= Asena>t a>t. Asenwt + B cos coswt.

O, O, X

=

hh Y dx/ dx/ dt dt

= O. O. La derivada derivada de la solución solución general es es

di -di cos a>t -- = = Aa> Awcoswt dt dt

B a>sen a>t . Bwsenwt.

Las condiciones condiciones iniciales iniciales dan dan las las ecuaciones ecuaciones hh== B, B,

oO=Aw, = Aa>,

de manera manera que que la la posición posición de de la masa masa respecto respecto aa su su posición posición de de equilibrio equilibrio es es de o

ii = cos a>t . = hhcoswt.


491 491

492


Ejemplo 10.2 El resorte resorte unido unido a la barra barra esbelta esbelta de masa masa m de la Fig. 10.8 no está está estirado estirado cuando O (} = = O. fricción, determine cuando O. Ignorando Ignorando la fricción, determine la frecuencia frecuencia natural natural de las pequeñas vibraciones barra respecto respecto a su posición posición de equilibrio. equilibrio. pequeñas vibraciones de la barra

Figura 10.8

ESTRATEGIA ESTRATEGIA ángulo O (}especifica El ángulo especifica la posición posición de la barra, barra, por por lo que sólo hay un grado grado libertad. Podemos expresar las energías energías cinética función de de libertad. Podemos expresar cinética y potencial potencial en función (}y O y de su derivada derivada respecto respecto al tiempo tiempo y derivar derivar respecto respecto al tiempo tiempo la energía energía total para para obtener obtener la ecuación ecuación de movimiento. movimiento . total SOLUCiÓN SOLUCiÓN energía cinética La energía cinética de la barra barra es T

(de)2 (de)2 dt '

1 = -mv -11mv2 + -[ -1 -2 2

donde vv es la velocidad donde velocidad del centro centro de masa masa e 1[ = fiml f¡mI2• 2 • La distancia distancia del centro centro instantáneo de la barra ~I (Fig. a), por barra a su centro centro de masa masa es il por lo que v = instantáneo (~I)(d(}/dt), (il)(dO / dI), y la energía energía cinética cinética es

T = ~m [~l (de)J2 (de)2 T [~l (de)J2 (~ml2) (de)2 ~mz2 (de)2 2 2 dt + ~~2 (~ml2) dt = ~mz2(de)2 6 dt 12 Determinación de la velocidad velocidad del (a) Determinación

Centro Centro instantáneo instantáneo

centro de masa, masa, del alargamiento alargamiento del centro resorte y de la altura altura del centro centro de resorte masa sobre sobre el nivel de referencia. referencia. masa

~lcosí

Plano Plano de referencia


O ------\, De -- - --,


En función función de de (J, 8, el el alargamiento alargamiento del del resorte resorte es es 1{- 1{cos 8. Situamos Situamos el el plano plano En cos (J. de referencia referencia para para la la energía energía potencial potencial asociada asociada con con el el peso peso en en el el fondo fondo de de la la de barra (Fi (Fig.. a), a), por por lo lo que que la la energía energía potencial potencial total total es es barra

o as

mg (( ~l ~l cose) cose) + + ~k(l ~k(l -1- l cose)2. cose)2. vv == mg

La suma suma de de las las energías energías cinética cinética yy potencial potencial es es constante: constante: La TT

1

+ VV ==

de

22

-6 ml 6m1

((

22

- )) dt dt

1 1 22 mgl cose cos e + "2-kl k1 (1 + "2-2mg1 2 (1 -

22

cos e) cose)

constante. ==constante. .

Derivando respecto respecto al tiempo tiempo esta esta ecuación, ecuación, obtenemos obtenemos la la ecuación ecuación del del movimoviDerivando miento: miento:

ee

2

2 1 22 dd2 1 2(1-cose)sene=0. - ml -2 -2 --mglsene+kI - -mglsene+kl (l - cose)sene = 0. -mi dt 33 dt 2

(10.14) (10.14)

Para expresar expresar esta esta ecuación ecuación en la forma forma de la Ec. Ec. (10.4), (lOA), necesitamos necesitamos escribirla escribirla Para términos de pequeñas pequeñas vibraciones vibraciones respecto respecto a la posición posición de equilibrio. equilibrio. Sea en términos 8e el valor valor de (J8 cuando cuando la barra barra está está en equilibrio. equilibrio. Haciendo Haciendo cf2(Jj cf28/ dt22 = OO en (Je (10.14), encontramos encontramos que que (Je 8e debe debe satisfacer satisfacer la relación relación la Ec. (10.14), mg mg cose 1--. cos eee = = 1 - 2kl 2kl '

(10.15)

Definimos O = 8(J -- Oe Oe y desarrollamos desarrollamos sen 8 Taylor en funDefinimos O = (J y cos 8 (J en series de Taylor ción de 8: (J: sene =sen(ee sen =sen(ee é

+ e) " ', 9) =sen =seneeee + coseee cosee9 + +"',

cose e + .. cose = COS(ee cos(ee + e) 9) = cose cos é,e -sen -sen ee ee9 .".'. Sustituyendo Sustituyendo estas expresiones expresiones en la Ec. (10.14), ignorando ignorando los términos términos en 8(J de segundo segundo orden y superiores superiores, , y usando usando la Ec. (10.15) obtenemos obtenemos 2de 2der 22 +w -2 +w e ==0,0,

dt dt

donde donde

De De la la Ec. Ec. (10.10) (10.10),, la la frecuencia frecuencia natural natural de de pequeñas pequeñas vibraciones vibraciones de de la la barra barra es es

w 11 w ! =- =!=-=2n 2n 2n 2n

(1 _ 4kl 4kl

g 3g 3g (1 _ m m ).) .

11


493 493

494 494


Problemas Problemas Confirme que x = A Asen donde A y B 10.1 Confirme sen wt + B cos wt, donde constantes arbitrarias, arbitrarias, satisface satisface la Ec. (10.4). (lOA). son constantes 10.2 Confirmequex Confirme quex = Esen Esen (wt-cf», (wt - dondeEy

10.7 El cuerpo cuerpo suspendido suspendido pesa 30 lb Y k = 20 lb/pie. lb/pie. En 10.7 O, su desplazamiento desplazamiento respecto respecto a la posición posición de equilibrio equilibrio t = O, x == 0.25 pies y se mueve hacia hacia abajo abajo a 1.5 pie/s. pie/s. es x frecuencia natural natural de las vibraciovibracio(a) Determine Determine el periodo periodo y la frecuencia nes resultantes. resultantes. Determine x x en función función del tiempo. tiempo. (b) Determine (e) Grafique Grafique xx en función función del tiempo tiempo entre entre t (c) O YY t 3 s.

10.4 La posición sistema en vibración 10.4 posición de un sistema vibración es

x = (l/V2) (l/fl) sen wt - (1/V2) (I/fl) cos wt pie. (a) Determine ángulo cf>
. Pl0.7 PID.7

10.5 La posición sistema en vibración 10.5 posición de un sistema vibración es

x = -V2 -fl sen wt + fl V2 cos wt m. (a) Determine
Determine la amplitud amplitud E de la vibración grados. grados. (b) Dibuje para valores valores de wt de Oa O a 47f 47r radiaradiaDibuje un diagrama diagrama de x para nes, mostrando cf>. mostrando el ángulo ángulo
10.8 coordenada x mide el desplazamiento desplazamiento de la masa masa res10.8 La coordenada pecto está estirado. pecto a la posición posición en que el resorte resorte no está estirado. La La masa masa tiene las siguientes siguientes condiciones condiciones iniciales: tt

10.6 En la Fig. PlO.6, 10.6 P 10.6, la coordenada coordenada x mide el desplazamiendesplazamiento de la masa respecto a su posición posición de equilibrio. equilibrio. masa m = 10 kg respecto k = = 90 N/m. N/ m. En t = = O,la O, la masa masa se suelta suelta del reposo reposo en la posición posición x = = 0.1 m. (a) Determine Determine el periodo periodo yy la frecuencia frecuencia natural natural de las vibraciovibraciones resultantes. resultantes. \ (b) Determine Determine x en función función del tiempo. tiempo.

== OO

x x = = 0.1 m, m, dx = O. dx O dt - . dt

II

(a) Determine Determine la posición posición de la masa masa en función función del tiempo. tiempo. (b) Dibuje Dibuje gráficas gráficas de la posición posición y velocidad velocidad de la masa masa en función ción del tiempo tiempo para para los primeros primeros 5 s de movimiento. movimiento.

\

kk

Pl0.8 PID.8 PID.6 Pl0.6

10.9 10.9 Cuando Cuando t == O,la O, la masa masa del Probo Probo 10.8 está está en la posición posición en que que el resorte resorte no no está está estirado estirado yy tiene tiene una una velocidad velocidad de de mis hacia hacia la derecha. derecha. Determine Determine la posición posición de de la la masa masa en 0.3 mis 0.3 función función del tiempo tiempo y la la amplitud amplitud de de la vibración: vibración: (a) expresando expresando la solución solución en la forma forma dada dada por por la la Ec. Ec. (10.5); (10.5); (b) expresando expresando la solución solucióh en la forma forma dada dada por por la la Ec. Ec. (10.6). (10.6).



10.10 Determine Determinela la frecuencia frecuencianatural naturalde devibración vibraciónde dela lamasa masa 10.10 respecto aa su su posición posición de de equilibrio. equilibrio. respecto t

En rio io-

495 495

10.13 10.13 Para Para determinar determinar los los momentos momentos de de inercia inercia de de un un astroastronauta, nauta, se se une une una una plataforma plataforma horizontal horizontal aa una una barra barra vertical vertical de plataforma respecto respecto aa de acero. acero. El El momento momento de de inercia inercia de de la la plataforma L L es es de de 7.5 7.5 kg-m-, kg-m 2 , yy la la frecuencia frecuencia natural natural de de las las oscilaciones oscilaciones torsionales torsionales de de la la plataforma plataforma descargada descargada es es de de 11 Hz. Hz. Con Con el el asastronauta tronauta en en la la plataforma, plataforma, la la frecuecia frecuecia natural natural de de las las oscilaciooscilaciones nes torsionales torsionales es es de de 0.520 0.520 Hz. Hz. ¿Cuál ¿Cuál es es el el momento momento de de inercia inercia del aL? del astronauta astronauta respecto respecto aL?

s. Pl0.l0 P10.10

10.11 Un Un saltador saltador al vacío vacío de 200 lb lb salta salta desde desde un un puente. puente. 10.11 La cuerda cuerda sin estirar estirar tiene tiene una una longitud longitud de de 60 60 pies pies yy se estira estira La antes de que que él rebote. rebote. Si la cuerda cuerda se modela modela como como un un 40 pies antes resorte lineal, lineal, ¿cuál ¿cuál es el periodo perioQo de de sus sus oscilaciones oscilaciones verticales? verticales? resorte

.7

sa

Pl0.13 P10.13

(' 10.14 El péndulo péndulo mostrado consiste en un disco homogéneo homogéneo 10.14 mostrado consiste barra esbelta esbelta de 0.2 kg. ¿Cuál ¿Cuál es la frecuenfrecuenuna barra de 1 kg unido unido a una natural de las pequeñas pequeñas vibraciones vibraciones del péndulo? péndulo? cia natural

Pl0.ll P10.11

10.12 10.12 Un disco disco homogéneo homogéneo de masa m y radio radio R gira alrededor de de un eje eje fijo fijo yy está unido aa un resorte resorte torsional torsional con constanconstante kk (el (el resorte ejerce ejerce un momento momento restaurador restaurador de magnitud magnitud k8, kñ, donde es el donde 8()es el ángulo ángulo de de rotación rotación del del disco disco respecto aa su posición posición cuando cuando el el resorte resorte no está está estirado). estirado). Demuestre Demuestre que que el el periodo periodo de de las las vibraciones vibraciones rotacionales rotacionales del del disco disco es es rr

== 7rrrR"/2m/k. RJ2m/ k . Pl0.14 P10.14

Pl0.12 P10.12


496 496


10.15 El El disco disco homogéneo homogéneo pesa pesa 100 100 lb lb Y Ysu su radio radio es es R R == 11 10.15 pie. Rueda Rueda sobre sobre la la superficie superficie plana. plana. La La constante constante del del resorte resorte pie. es kk == 100 100 lb/pie. lb/pie. lt es (a) Determine Determine la la frecuencia frecuencia natural natural de de las vibraciones vibraciones del del disco disco (a) respecto a su su posición posición de equilibrio. equilibrio. respecto (b) En t = O, O, el el resorte resorte no está estirado estirado yy el el disco tiene una una (b) angular horaria horaria de 2 rad/s. rad/s. ¿Cuál es es la la amplitud amplitud de velocidad angular vibraciones resultantes resultantes y cuál es es la velocidad angular angular del del dislas vibraciones cuando t == 3 s? s? co cuando

10.18 10.18 En En tt = O, O, la la plataforma plataforma del del Probo Probo 10.17 10.17 está está 0.1 0.1 m m aa la la izquierda izquierda de de su su posición posición de de equilibrio equilibrio yy se se está está moviendo moviendo hacia cia la la derecha derecha a 2 mis. mis. ¿Cuáles ¿Cuáles son son la posición posición y la la velocidad velocidad de de la la plataforma plataforma en tt == 44 s? s? 10.19 10.19 Un disco homogéneo homogéneo de masa m y radio radio r rueda rueda sobre una superficie superficie curva de radio radio R. R. Demuestre Demuestre que la frecuencia frecuencia natural natural de las pequeñas pequeñas vibraciones vibraciones del disco respecto a su su posición de equilibrio equilibrio es es

j¡-¡6(/-

I

f=;V~· f =~ r)· R

10.16 El radio radio del disco mostrado mostrado es R = = 100 100 mm y su mo10.16 mento de inercia inercia es 1 = 0.1 kg-m kg-m-,2 . m = 5 kg Y k = 135 135 N/ N/m. mento m. El cable no se desliza respecto respecto al disco. La coordenada coordenada x mide desplazamiento de la masa masa respecto respecto a la posición posición en que el el desplazamiento resorte no está estirado. estirado. resorte (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son el periodo natural de las vibraciovibracioperiodo y la frecuencia frecuencia natural nes verticales respecto a su posición equilibrio? verticales de la masa masa respecto posición de equilibrio? (b) Determine Determine x en función función del tiempo tiempo si el sistema sistema se libera libera del reposo reposo con x = = O. O.

/

R

PIO.15 PI0.15

/

PI0.19 PIO.19

10.20 esbelta mostrada tiene soportes 10.20 La barra barra esbelta mostrada tiene soportes de rodillo rodillo en está en equilibrio una depresión depresión circular circular de sus extremos extremos y está equilibrio en una radio. ¿Cuál ¿Cuál es la frecuencia frecuencia de las pequeñas pequeñas vibraciovibracio8 pies de radio. barra respecto respecto a su posición posición de equilibrio? equilibrio? nes de la barra

1-------4 1 - - - - - - 4 pies------I.I pies------l

PI0.20 PIO.20 kk

TT

10.21 Una Una barra barra esbelta esbelta de masa masa m m y longitud longitud 11 está está articulaarticula10.21 da a un un soporte soporte fijo. fijo. Un Un resorte resorte torsional torsional de constante constante k unido unido da barra en el soporte soporte no no está está estirado estirado cuando cuando la barra barra está está a la barra vertical. Demuestre Demuestre que que la ecuación ecuación que que rige pequeñas pequeñas vibraciovibraciovertical. nes de la la barra barra desde desde su posición posición vertical vertical de equilibrio equilibrio es nes PIO.16 PI0.16

dd22()() - 2 -2

La La plataforma plataforma PP de 22 kg kg mostrada mostrada descansa descansa sobre sobre cuatro cuatro rodillos. rodillos. Éstos Éstos se pueden pueden representar representar como como cilindros cilindros hohomogéneos mogéneos de 1 kg kg con con 30 mm mm de de radio; radio; kk = = 900 N/m. N/m. ¿Cuál ¿Cuál es es la la frecuencia frecuencia natural natural de de las las vibraciones vibraciones horizontales horizontales de de la la plaplataforma taforma respecto respecto aa su su posición posición de de equilibrio? equilibrio? 10.17 10.17

~~

22

+ WW ()() == O,

PIO.17 PI0.17


2 2

donde ww = = donde

kmg

(k -- !mgl)l ) (k I 1

2 2

~~ }~

..

PI0.21 PIO.2I

10.1 SISTEMAS CONSERVATIVOS

a d

10.22

Las condiciones

iniciales de la barra esbelta del Probo

10.21 so 8=0 t=O

e a i·

(a) Si k

d8 . { -=80. dt

>

!mgL,

8

=

demuestre

fJo -senwt,

<

~mgL.

2

donde

fJo

demuestre

8 -- 2h ( e ht - e -ht) ,

10.24 Un disco gira respecto a un eje fijo vertical con velocidad angular constante O (el plano del disco es horizontal). Una masa m se desliza en una ranura lisa del disco y está unida a un resorte con constante k. La distancia del centro del disco a la masa cuando el resorte no está estirado es ro. Demuestre que si k/m > 02, la frecuencia natural de vibración de la masa es f = (l127r)-J k/m - 02•

que () está dada por ea

=

~mgl)

(k 1

2

-

'jml

W

(b) Si k

497

Q

que () está dada por

donde

h

2

=

1 (-2mgl

- k) ~ml2

Estrategia: En (b), busque una solución de la ecuación movimiento de la forma x = con y A constantes.

e»,

de

e

10.23 Una boya flotante está en equilibrio en la posición vertical mostrada (su centro de masa está suficientemente bajo, de modo que se encuentra estable en esta posición). Es un cilindro de 10 kg de 1 m de longitud y 125 mm de diámetro. La densidad del agua es de 1025 kg/m", y la fuerza de flotación que soporta a la boya es igual al peso del agua que ocuparía el volumen de la parte del cilindro bajo la superficie. Si la boya se empuja ligeramente hacia abajo y se suelta, ¿cuál es la frecuencia natural de las vibraciones verticales resultantes?

P10.24

10.25 Suponga que en t = O, la masa descrita del Probo 10.24 está localizada en r = ro y que su velocidad radial es dr/dt = O. Determine la posición r de la masa en función del tiempo. 10.26 Un disco homogéneo de 100 lb con radio R = 1 pie está unido a dos barras cilíndricas idénticas de acero de longitud L = l. pie. La relación entre el momento M que ejerce una de las barras sobre el disco y el ángulo de giro () del disco es

P10.23

donde J es el momento polar de inercia de la sección transversal de la barra y G ~ 1.7 X 109 lb/pie- es el módulo por cortante del acero. Determine el radio requerido de las barras si la frecuencia natural de las vibraciones rotacionales del disco debe ser de 10 Hz.

,--

~ '-

-

,-

~

P10.26


498

CAPíTULO 10 VIBRACIONES

10.27 Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados son lA = 0.025 kg-m- e lB = 0.100 kg-m-, El engrane A está conectado a un resorte torsional con k = 10N-mirad constante. ¿Cuál es la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones angulares de los engranes?

10.30 El peso de 5lb del Probo 10.29 se levanta 0.5 pulg desde su posición de equilibrio y se libera del reposo en t = O.Determine la posición angular antihoraria del engrane B respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo. 10.31 En la Fig. P1O.31 cada barra esbelta tiene masa m y longitud l. Determine la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones del sistema.

,

Pl0.31 Pl0.27

10.28 En t = O, el resorte torsional del Probo 10.27 no está estirado y el engrane B tiene velocidad angular antihoraria de 2 rad/s. Determine la posición angular antihoraria del engrane B respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo.

10.32 En la Fig. P10.32la masa de cada barra esbelta es de 1 kg. Si la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones del sistema es 0.935 Hz, ¿cuál es la masa del cuerpo A?

I 10.29 Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados son lA = 0.014 slug-pie? e lB = 0.100 slug-pie-. A está conectado a un resorte torsional con k = 2 pie-lb/rad constante. ¿Cuál es la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones angulares de los engranes respecto a su posición de equilibrio?

T

T 350 mm

10

280 mm

'R

IA~

I

~

~~~---1 Pl0.32

10.33 La barra esbelta de masa m y longitud 1 se mantiene en equilibrio en la posición mostrada, mediante un resorte torsional con constante k. El resorte no está estirado cuando la barra está vertical. Determine la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones respecto a la posición de equilibrio mostrada.

Pl0.29

Pl0.33


10.2 VIBRACIONES VIBRACIONES AMORTIGUADAS 10.2 AMORTIGUADAS

de

isu

499

masas de la barra barra esbelta esbelta y el disco homogéneo homogéneo 10.34 Las masas mostrados son m y md m¿ respectivamente. respectivamente. El resorte resorte no está está estimostrados Suponga que el disco rueda rado rado cuando cuando (JO = O. O.Suponga rueda sobre sobre la superfisuperfihorizontal. cie horizontal. Demuestre que el movimiento movimiento está está regido regido por por la ecuación ecuación (a) Demuestre

y vi-

2)

3md 2 d 2e 3md ( -de + -cos -3md cos e e ) --d22e sen e cos e (de)2 - )2 -1I + -- --3md senecose 2

(

( 3

2m 2m

dt dt

2m 2m

dt dt

k ---sen·e -sen·e + + -(1 -(1 - cosll)sene cosl/)senl/ 2l 21 m g

= O.O.

(b) Si el sistema sistema está en equilibrio equilibrio en el ángulo ángulo (JO = (Je Oe Y (JO = demuestre que la ecuación ecuación que rige las pequeñas vibrademuestre pequeñas vibraciones respecto posición de equilibrio respecto a la posición equilibrio es

O -- (Je' 0e' (J

2)

1~ + 3md 3md cos2 ee) dd2{)[) ee - 22 ( -3 + -cos 2m dt 2m dt

(

31

+ [[~~ (cos ee o, -+ m

2

ee + +sen ee) -cos ee sen ee) 22

22

Pl0.34 Pl0.34

l/e] [)() = O. O. ft!l.. cos eeJ 2l

10.35 Las masas barra y el disco del Prob masas de la barra Proboo 10.34 son

m m = 2 kg Y md = 4 kg respectivamente. respectivamente. Las dimensiones dimensiones e el

N/m. son 1 == 1 m y R == 0.28 m, y k == 70 N/m. (a) Determine en el que el sistema Determine el ángulo ángulo (Je Oeen sistema está está en equilibrio. brio. (b) El sistema sistema está en reposo reposo en la posición posición de equilibrio equilibrio cuando cuando imparte una una velocidad velocidad angular angular horaria horaria de 0. 0.11 al disco se le imparte rad/s. rad/s. Determine Determine (JO en función función del tiempo. tiempo.

10.2 Vibraciones Vibraciones amortiguadas amortiguadas 2

n a

desplaza la masa masa de un oscilador oscilador resorte-masa resorte-masa y se libera, libera, es obvio obvio Si se desplaza que no continuará continuará vibrando vibrando indefinidamente; indefinidamente; se irá irá frenando frenando y finalmente finalmente detendrá debido debido a la fricción fricción o a los mecanismos mecanismos de amortiguamiento amortiguamiento se detendrá actúan sobre sobre el sistema. sistema. Estos Estos mecanismos mecanismos amortiguan amortiguan o atenúan atenúan la que actúan vi::'ración. vibración. En algunos algunos casos se incluyen incluyen intencionalmente intencionalmente mecanismos mecanismos amortiguadores amortiguadores en los sistemas sistemas vibratorios. vibratorios. Por Por ejemplo, ejemplo, los amortiguaamortiguadores de los autos autos se diseñan diseñan para absorber vibraciones vibraciones de la suspensión suspensión para absorber dores respecto al bastidor. anterior ignoramos ignoramos el amortiguamiento, amortiguamiento, respecto bastidor. En la sección anterior soluciones que obtuvimos describen movimientos movimientos en periodos y las soluciones obtuvimos sólo describen periodos breves. Veremos ahora ahora un método método sencillo para modelar el amortiguabreves. Veremos para modelar amortiguamiento en sistemas sistemas vibratorios. vibratorios. miento oscilador resorte-masa resorte-masa de la Fig. 1O.9(a) lO.9(a) tiene un elemento elemento amortiamortiEl oscilador guador, representado representado esquemáticamente esquemáticamente como como un pistón moviéndose en guador, pi.s tón moviéndose cilindro con fluido fluido viscoso. La fuerza fuerza requerida requerida para alargar o acortar acortar un cilindro para alargar un elemento elemento amortiguador amortiguador se define define como como el producto una constante constante producto de una llamada constante constante de amortiguamiento, amortiguamiento, y la razón razón de cambio cambio de su lone, llamada gitud (Fig. 1O.9b) 1O.9b).. Por Por tanto, tanto, la ecuación ecuación del movimiento movimiento de la masa masa es gitud

e

k

(a)

(b)

Figura 10.9

dx d22xx dx c - -- kx . -ckx = = m-m--. dt dt?2 dt dt

(a) Oscilador Oscilador amortiguado amortiguado resorte-masa. resorte-masa. (b) Diagrama Diagrama de cuerpo cuerpo libre de la masa masa..


500

VIBRACIONES CAPíTULO 10 VIBRACIONES CAPíTULO

Definiendo w = .J k/m k/m y d = c/(2m), c/(2m), podemos podemos escribir escribir esta ecuación ecuación en Definiendo la forma forma

(10.16) Esta Esta ecuación ecuación describe describe las vibraciones vibraciones de muchos muchos sistemas sistemas amortiguados amortiguados de un grado grado de libertad. libertad. La forma forma de su solución, solución, y en consecuencia consecuencia el carácter carácter del comportamiento comportamiento predicho predicho del sistema, sistema, depende depende de si d es menor, nor, igualo igualo mayor mayor que w. Veremos Veremos estos casos en las siguientes siguientes secciones. secciones.

Amortiguamiento subcrítico Amortiguamiento subcrítico Si d < w, se dice que el sistema sistema está subcríticameute subcríticamente amortiguado. amortiguado. SupoSuponiendo niendo una una solución solución de la forma forma (10.17) donde son constantes, donde e Cyy A Ason constantes, y sustituyéndolas sustituyéndolas en la Ec. (10.16) obtenemos obtenemos 2 )..

Zd): + úi = = o. + 2d)"

Esta ecuación ecuación cuadrática cuadrática da dos valores valores para para la constante constante A Aque Esta que podemos podemos escribir como como escribir

donde i donde

= =

Ff y ..r:T (10.18)

Como hemos hemos supuesto supuesto que d < w, la constante constante Wd es un número real. un número Como para A Anos dan dos soluciones soluciones de la forma forma de la Ec. (10.17). Las dos raíces para nos dan La solución solución general general resultante resultante de la Ec. (10.16) es La

donde e CyD D son constantes. constantes. Usando Usando la identidad identidad ei8 donde podemos expresar expresar la solución general en la forma forma podemos solución general e-dt(Asenwdt+ + BCOSúJdt), Bcoswdt), II x == e-dt(AsenúJdt II

= =

(), cos (j() + i sen (j,

(10.19)

donde A y YB son constantes. constantes. La Ec. (10.19) es el producto producto de una una función función donde exponencial decreciente decreciente en el tiempo tiempo por por una una expresión expresión idéntica idéntica en forma forma exponencial solución que obtuvimos obtuvimos para para un un sistema sistema sin amortiguamiento. amortiguamiento. La funa la solución exponencial ocasiona ocasiona el efecto efecto esperado esperado de amortiguamiento: amortiguamiento: la amamción exponencial plitud vibración se atenúa atenúa con el tiempo. tiempo. El coeficiente coeficiente d determina determina plitud de la vibración razón con que disminuye disminuye la amplitud. amplitud. la razón El amortiguamiento amortiguamiento tiene un efecto efecto importante importante además además de la atenuaatenuaComo la parte parte oscilatoria oscilatoria de la solución solución es idéntica idéntica en forma forma a la ción. Como http://carlos2524.jimdo.com/

10.2 VIBRACIONES AMORTIGUADAS AMORTIGUADAS 10.2 VIBRACIONES

en

Ec. (10.5), excepto que la frecuencia w es reemplazada frecuencia natural natural circular circular w reemplazada por Wd' Wd' se infiere infiere de las Ecs. (10.9) y (10.10) que el periodo frecuenpor periodo y la frecuencia natuial natural del sistema sistema amortiguado amortiguado son

I ,~~: .

16)

w, f= -1 =-. i

(10.20)

I

2:n:

por lo que que el periodo periodo de vibración vibración De la Ec. (10.18) vemos que Wd < w, por aumenta frecuencia natural como resultado resultado del amortiguaamortiguaaumenta y su frecuencia natural disminuye disminuye como miento miento subcrítico. subcrítico. razón de amortiguamiento amortiguamiento suele expresarse expresarse en términos decreLa razón términos del decremento logaritmo natural natural de la razón razón de la amplitud mento logarítmico logarítmico 0, 0, que es el ellogaritmo amplitud tiempo t a la amplitud amplitud en un tiempo tiempo t + 7. Como Como la amplitud amplitud es en un tiempo proporcional a e-dI, e:", podemos podemos obtener obtener una una relación sencilla entre entre el decreproporcional relación sencilla mento logarítmico, logarítmico, el coeficiente coeficiente d y el periodo: mento periodo: 7)

8= = In

-dt -dt ] [ e~d(t+¡:)

e~d(t+¡:)

= = di.

os

os

Amortiguamientos crítico crítico y supercrítico Amortiguamientos supercrítico Cuando d ~ ~ w, el tipo tipo de la solución solución de la Ec. (10.16) es muy diferente diferente Cuando amortiguamiento subcrítico. subcrítico. Supongamos Supongamos que d > w. Cuando Cuando del caso de amortiguamiento sistema está está supercríticamente supercríticamente amortiguado. amortiguado. éste es el caso, se dice que el sistema Sustituimos una una solución solución de la forma forma Sustituimos

(10.21) obtenemos en la Ec. (10.16) y obtenemos A2 + 2dA 2dA + úJ2 = = O. A

(10.22)

Podemos escribir las raíces de esta ecuación ecuación como como Podemos escribir A = = --d±h, A d ± h,

0, donde donde

(10.23) solución general general de la Ec. (10.16) es La solución

II

x

= e e-(d-h)t e-(d-h)t =

De-(d+h)t, + De-(d+h)t,

(10.24)

donde e e y DD son constantes. constantes. donde Cuando d == w, se dice que el sistema sistema está críticamente amortiguado. amortiguado. Cuando está críticamente constante h = O, O, por por lo que la Ec. (10.22) tiene La constante tiene una una raíz repetida, repetida, http://carlos2524.jimdo.com/

501

502


A = -d, Yobtenemos sólo una solución de la forma (10.21). En este caso se puede demostrar que la solución general de la Ec. (10.16) es

I x = Ce-

+ Dte-dt,

dt

I

(10.25)

donde e y D son constantes. Las Ecs. (10.24) y (10.25) indican que el movimiento del sistema no es oscilatorio cuando d ~ w. Ellas están expresadas en términos de funciones exponenciales y no contienen senos ni cosenos. La condición d = w define la cantidad mínima de amortiguamiento necesario para evitar un comportamiento oscilatorio, debido a lo cual se le llama caso críticamente amortiguado. La Fig. 10.10 muestra el efecto de cantidades crecientes de amortiguamiento en el comportamiento de un sistema vibratorio. El concepto de amortiguamiento crítico tiene importantes implicaciones en el diseño de muchos sistemas. Por ejemplo, es deseable introducir suficiente amortiguamiento en la suspensión de un auto para que su movimiento no sea oscilatorio, aunque demasiado amortiguamiento haría muy rígida la suspensión.

Figura 10.10 Historia

de la amplitud vibratorio (a) no (b) subcríticamente (e) críticamente (d) supercríticamente

de un sistema amortiguado; amortiguado; amortiguado; amortiguado.

~E

(a)l~

d=~

En los siguientes ejemplos analizamos sistemas amortiguados de un grado de libertad. Expresando la ecuación del movimiento del sistema en la forma de la Ec. (10.16), se puede determinar d y w. Sus valores nos dicen si el amortiguamiento es subcrítico, crítico o supercrítico, lo que indica la forma de la solución que se debe usar: Tipo de amortiguamiento

Solución

d
Subcritico

Ec. (10.19)

d=w:

Critico

Ec. (10.25)

d > w:

Supercritico

Ec. (10.24)


I

10.2 VIBRACIONES

AMORTIGUADAS

Ejemplo 10.3 El oscilador amortiguado masa-resorte de la Fig. 1O.9(a) tiene masa m = 2 kg, k = 8 N/m y constante de amortiguamiento e = 1 N-s/m. En t = O. la masa se libera del reposo en la posición x = 0.1 m. Determine su posición en función del tiempo. no

io-

SOLUCiÓN

w un

Las constantes w = .J k/m = 2 rad/s y d = c/2m = 0.25 rad/s, por lo que el amortiguamiento es subcrítico y el movimiento está descrito por la Ec. (10.19). De la Ec. (10.18),

nte de

=

Wd

iocir vi-

.J

w2

-

d2

=

1.98 radls.

De la Ec.(1O.19), x

uy

= e-O.25t

(A sen 1.98t

+ B cos 1.98t),

y la velocidad de la masa es dx

-

dt

=

_0.25e-O.25t

(A sen 1.98t

+ B cos 1.98t)

+e-O.25t (1.98A cos 1.98t - 1.98B sen 1.98t).

De las condiciones x = 0.1 m y dx/dt = O en t = O, obtenemos A = 0.0126 Y B = 0.1 m, por lo que la posición de la masa es x

= e-O.25t (0.0126 sen 1.98t + 0.1 cos 1.98t) m.

La gráfica de x para los primeros 10 s de movimiento de la Fig. 10.11 muestra claramente la atenuación de la amplitud.

0.1

Figura 10.11 Posición de la masa en función del tiempo.

.,•.. '"o

El ><

O

-0.1


503

504

VIBRACIONES CAPíTULO 10 VIBRACIONES CAPíTULO

Es

Ejemplo 10.4 El disco escalonado escalonado de 40 lb de la Fig. 10.12 se libera libera del reposo reposo con el resorte resorte no estirado estirado. . Determine centro del disco en función función del tiempo Determine la posición posición del centro tiempo 10 lb/pie, lb/pie, e = 4Ib-s/pie, función si R = 1 pie, k = 10 4Ib-s/pie, y el momento momento de inercia inercia en función 3mR2. de la masa masa m del disco es 1 = 3mR2. El la

Figura 10.12

e

El 2R

e

re

SOLUCiÓN SOLUCiÓN

E

desplazamiento hacia abajo del centro centro del disco respecto Sea x el desplazamiento hacia abajo respecto a su posición posición cuando el resorte estirado. De la posición centro instantáneo instantáneo del cuando resorte no está estirado. posición del centro disco (Fig. a), podemos estira es 2(dx/dt) 2(dx/dt) podemos ver que la razón razón a la que el resorte resorte se estira y la razón elemento amortiguante amortiguan te se alarga alarga es 3(dx/dt). 3(dx/dt). Cuando Cuando razón a la que el elemento centro del disco se desplaza desplaza una distancia x, el alargamiento alargamiento del resorte el centro una distancia resorte es 2x. Dibujamos diagrama de cuerpo cuerpo libre del disco de la Fig. (b), que muestra Dibujamos el diagrama muestra fuerzas ejercidas ejercidas por las fuerzas por el resorte, resorte, el amortiguador amortiguador y la tensión tensión en el cable. Por segunda ley de Newton, Newton, Por la segunda dx dx mg 3cmg - T - 2kx 2kx - 3c dt dt

centro instantáneo (a) Uso del centro instantáneo para para determinar las relaciones entre las determinar relaciones entre velocidades. velocidades.

22

d xx = mm - 22 dt dt

'

y la ecuación ecuación del movimiento angular es movimiento angular RT RT - R(2kx) R(2kx) - 2R (3C

2)a. dX) = (3mR (3mR2)a. dX) dt dt

La aceleración aceleración angular angular está relacionada aceleración del centro centro del disco relacionada con la aceleración por (d2x/dt22)/R. Sumando la ecuación ecuación del movimiento angular a la sepor ex = (d2x/dt )/R. Sumando movimiento angular gunda ley de Newton, obtenemos la ecuación ecuación de movimiento movimiento gunda Newton, obtenemos T

2kx

3c t!:': 3c~ dt dt

d22xx dx dx 4m-2 2 +9c + 9c-- +4kx + 4kx 4mdt dt

= mg.

Haciendo esta ecuación ecuación d2x/dt d2x/dt22 y dx/dt dx/dt igual a cero, cero, determinamos determinamos que la Haciendo en esta posición equilibrio del disco es x = mg/4k. ecuación del moviposición de equilibrio mg/4k. Planteando Planteando la ecuación miento x = obtenemos miento para para la variable variable x = x - mg/4k, mg/4k, obtenemos mg mg 22

Diagrama de cuerpo cuerpo libre libre del (b) Diagrama

di d ii 9c ) di k _ + (( ---+-x=O. + - x=O. -+ dt m dt22 4m dt

disco.


10.2 10.2 VIBRACIONES VIBRACIONES AMORTIGUADAS AMORTIGUADAS

Esta ecuación ecuación es es idéntica idéntica en en forma forma aa la la Ec. Ec. (10.16), (10.16), donde donde las las constantes constantes dd yy ww son son Esta

dd

9c 9c

-8m == == -8m

(9)(4) (9)(4)

(8)(40/32.2) (8)(40/32.2)

3.62 rad/s, == 3.62rad/s ,

10 (40/32.2) (40/32.2)

== 2.84 2.84 rad/s. rad/s.

..

amortiguamiento es supercrítico, supercrítico, por por lo lo que que el movimiento movimiento es es descrito descrito por por El amortiguamiento Ec. (10.24) con con hh == .J ..Jdd22 -- ww22 == 2.25 2.25 rad/s: rad/s: la Ec. ii

5 .87t 5.87t = Ce-(d-h)1 . . e e-(d-h)t + De-(d+h), De-(d+h)t = Ce-1. e e-1.37137t + DeDe-

La velocidad velocidad es La 37t _di = _1.37Ce-1. __ -1.37Ce-1.37t

5.87t 5.871 5.87De. . 5.87De-

dt dt

-mg/4k = = -1 - 1 pie y dx/ dx/dt dt = = O. O. De estas estas condiciones condiciones obtenemos obtenemos = O, O,xx = -mg/4k e = -1.304 -1.304 pies y D = 0.304 0.304 pies, pies, por por lo que que la posición posición del centro centro del disco disco

En t

respecto a su posición posición de equilibrio equilibrio es respecto ii

=

= _1.304e-1.37t -1.304e-1.37t

5.87t pie. S.871 + O.304e0.304e-

En la Fig. 10.13 mostramos gráfica de la posición mostramos la gráfica posición para para los primeros primeros cuatro cuatro segundos movimiento. segundos del movimiento.

O¡-------------~~~-===----IFigura 10.13 O¡--------------=~~-=~----I Posición del centro centro del disco en función función Posición del tiempo. tiempo.

-0.2

.,v

-0.4

V> V)

'5. 1'; !~

-0.6 -0.8

0.5

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1, t, segundos segundos

iseo se-

e la ovi-


505 505

506 506

~


______

~~

__ __ ~

~~~

__

~ Problemasl

________________ ________ ~

10 ~

es. yc ñai

10.36 (a) (a) ¿Cuáles ¿Cuáles son son la la frecuencia frecuencia natural natural y el el periodo periodo del 10.36 oscilador resorte-masa resorte-masa descrito descrito en en el el Ej. Ej. 1O.3? 1O.3? (b) ¿Cuáles son oscilador la frecuencia frecuencia natural natural y el el periodo periodo si si se se quita quita el el amortiguador? amortiguador? la 10.37 (a) (a) ¿Qué ¿Qué valor debe debe tener cpara e para que que el el disco escalonado escalonado 10.37 del Ej. Ej. 10.4 10.4 esté críticamente críticamente amortiguado? amortiguado? (b) Si Si eetiene del tiene el valor determinado en (a) (a) y el el disco se se libera del reposo reposo con el resorte resorte determinado estirado, determine determine la posición posición del centro centro del disco respecto respecto no estirado, posición de equilibrio equilibrio en función función del tiempo. tiempo. a su posición

10.42 10.42 En la Fig. Fig. 10.42 10.42 la barra barra esbelta homogénea homogénea tiene 4 pies de longitud longitud y pesa 10 10 lb. lb. La resistencia resistencia aerodinámica aerodinámica y la fricción en el soporte soporte ejercen un momento momento resistente resistente sobre la barra barra de magnitud magnitud 0.5(dOl 0.5(dOI dl) dt) pie-lb pie-lb,, donde donde dO/ dOI dI dt es es la velocidad velocidad anbarra en rad/ rad/s.s. gular de la barra (a) ¿Cuáles son el el periodo periodo y la frecuencia frecuencia natural natural de las pequepequeñas vibraciones vibraciones de la barra? barra? (b) ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo tiempo pasa pasa antes de que la amplitud amplitud de la vibravibradisminuya a la mitad mitad de su valor inicial? ción disminuya

le

10.38 La constante constante de amortiguamiento amortiguamiento del oscilador oscilador mos10.38 trado es ee == 20 N-s N-s/m. periodo y la frecuencia frecuencia trado / m. ¿Cuáles son el periodo natural del sistema? Compárelos Compárelos con el periodo periodo y la frecuennatural natural del sistema sistema no amortiguado. amortiguado. cia natural

o) es H lo

a: la dr

Pl0.42 Pl0.42 e

90 N/m

10.43 barra del Probo 10.42 se desplaza peque10.43 Sila Si la barra desplaza un ángulo ángulo pequelibera del reposo reposo en I = O, O, determine determine O ño 0000 y se libera O en función función del tiempo. tiempo.

10 kg Pl0.38 Pl0.38

10.39 O,la 10.39 En I = O, la posición posición de la masa masa del Probo 10.38 respecrespecto a su posición posición de equilibrio equilibrio es x = = OYsu O Y su velocidad velocidad es 1 mis mis hacia hacia la derecha. derecha. Determine Determine x en función función del tiempo. tiempo.

10.44 El radio radio de la polea polea mostrada mostrada es R = = 100 mm mm yy su momo10.44 mento de inercia inercia es 1 = = 0.1 0. 1 kg-rn-. kg-m2 • La La masa masa m = = 5 kg Y yk = = mento 135 N / m. El cable cable no no resbala resbala respecto respecto a la la polea. polea. La La coordenada coordenada 135N/m. mide el desplazamiento desplazamiento de la masa masa respecto respecto a la posición posición en x mide resorte no no está está estirado. estirado. Determine Determine x en función función del tiemtiemque el resorte que po si e = 60 N-s/m N-s/ m yy el sistema sistema se libera libera del reposo reposo con con x = O. o. po

10.40 10.40 EneIProb.1O.38, EneIProb.1O.38, ¿qué ¿qué valor valor dela de la constantecde constante cde amoramortiguamiento hará que que la amplitud amplitud de la vibración vibración del sistema sistema tiguamiento hará disminuya disminuya a un un medio medio de su valor valor inicial inicial en 10 s? 10.41 10.41 En En I = = O, O, la posición posición de la masa masa del Probo 10.38 es xx = Oy Oy tiene tiene una una velocidad velocidad de de 1 mi mi s hacia hacia la derecha. derecha. Determine Determine xx en función función del tiempo tiempo si e duplica duplica el valor valor necesario necesario para para que que el sistema sistema sea sea críticamente críticamente amortiguado. amortiguado .

PI 0.44 Pl0.44 10.45 10.45 Para Para el el sistema sistema descrito descrito en en el el Probo Probo 10.44, 10.44, determine determine en función función del del tiempo tiempo si si ee == 120 120 N-s/m N-s/m yy el el sistema sistema se se libera libera xx en

del del reposo reposo con con xx == O. o. 10.46 Para Para el el sistema sistema descrito descrito en en el el Probo Prob o10.44, 10.44, escoja escoja el el vava10.46 lor de de ee de de manera manera que que el el sistema sistema sea sea críticamente críticamente amortiguado amortiguado lor determine xx en en función función del del tiempo tiempo si si el el sistema sistema se se libera libera del del yy determine reposo reposo con con xx == O. O.


10.2 UADAS 10.2 VIBRACIONES VIBRACIONES AMORTIG AMORTIGUADAS

10.47 El disco homogéneo homogéneo mostrado mostrado pesa 100 lb Y su radio radio es R = 1 pie. Rueda Rueda sobre sobre la superficie superficie plana. plana. k = 100 lb/pie lb/pie yc yc = 3 lb-s/pie. lb-s/pie. Determine Determine la frecuencia frecuencia natural natural de las pequepequeñas vibraciones vibraciones del disco respecto respecto a su posición posición de equilibrio. equilibrio.

507

¿Cuál ¿Cuál es la frecuencia frecuencia de las pequeñas pequeñas vibraciones vibraciones angulares angulares de los engranes? engranes?

uera-

P10.47 Pl0.47

10.48 En el Probo 10.47, el resorte resorte no está estirado estirado en tI == O Yel disco tiene una Cuál OYel una velocidad velocidad angular angular horaria horaria de 2 rad/ radl s. S. ¿ ¿Cuál es la velocidad velocidad angular angular del disco cuando cuando tI == 3 s? momento de inercia inercia del disco esca10.49 En la Fig. P 10.49 el momento lonado es l. l. Sea O O el desplazamiento desplazamiento angular angular del disco respecto respecto lonado posición cuando cuando el resorte resorte no está estirado. estirado. Demuestre Demuestre que a su posición ecuación que rige a O O es idéntica idéntica en forma forma a la Ec. (10.16), la ecuación donde donde .42

P10.51 Pl0.51

10.52 En tI = O, O, el resorte resorte torsional torsional del Probo 10.51 10.51 no está estirado estirado y el engrane engrane B tiene tiene una una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria rad/s. . Determine Determine la posición posición angular angular antihoraria antihoraria de B resde 2 rad/s pecto a su posición posición de equilibrio equilibrio en fUilción función del tiempo. tiempo. pecto momentos de inercia inercia de los engranes engranes A y B son 10.53 Los momentos slug-pie-2 e lB = 0.100 slug-pie slug-pie-.2 • A está conectado conectado lA = 0.014 slug-pie resorte helicoidal helicoidal con k = pie-lb/rad. El cojinete cojinete que = 2 pie-lb/rad. a un resorte soporta a B contiene contiene un elemento elemento amortiguador amortiguador que ejerce un soporta momento resistente resistente sobre sobre B de magnitud magnitud 1.5(dO 1.5(dOBB/dt) /dl) pie-lb, momento donde dOB/dt dOB/dl es la velocidad velocidad angular angular de B en rad/s rad/s. . ¿Cuál ¿Cuál es la donde frecuencia de las pequeñas vibraciones angulares de los engranes?

e-

o. Pl0.49 P10.49

EneIProb.1O.49,elradioR 250mm,k 150N/m 10.50 EneIProb.1O.49,elradioR = 250 mm, k = 150N/m inercia del disco es 11 = 2 kg-m kg-m-.2 • y el momento momento de inercia valor de e hará hará que el sistema sistema sea críticamente críticamente amortiamorti(a) ¿Qué valor guado? guado? O, el resorte resorte no está estirado estirado y la velocidad velocidad angular angular (b) En tI == O, horaria rad/s. . Determine Determine O O en función función del horaria del disco es de 10 rad/s tiempo si el sistema sistema es críticamente críticamente amortiguado. amortiguado. tiempo (e) Usando resultado de la parte parte (b), determine determine el máximo máximo (c) Usando el resultado desplazamiento angular angular resultante resultante del disco y el tiempo tiempo en que desplazamiento ocurre. ocurre. 10.51 Los momentos momentos de inercia inercia de los engranes engranes A y B mostramostra10.51 2 A son lA = 0.025 kg-m kg-m?2 e lB = 0.100 kg-m kg-m-. conectados so'n está conecta• resorte helicoidal helicoidal con k = 10 N-m/rad. N-mirad. El cojinete cojinete que do a un resorte soporta a B contiene contiene un elemento elemento amortiguador amortiguador que ejerce un soporta momento resistente resistente sobre sobre el engrane engrane B de magnitud magnitud 2(dO 2(dOBB/dt) /dl) momento N-m, donde N-m, donde d()B/dt dOB/dl es la velocidad velocidad angular angular de B en rad/s rad/s .

P10.53

5lb del Probo 10.53 se eleva 0.5 pulg desde 10.54 El peso de 5lb su posición posición de equilibrio equilibrio y se libera libera del reposo reposo en tI = O. O.DetermiDetermiposición angular angular antihoraria antihoraria del engrane engrane B respecto respecto a su ne la posición posición de equilibrio equilibrio en función función del tiempo tiempo. . posición Para el caso del movimiento movimiento críticamente críticamente amortiguaamortigua10.55 Para confirme que la expresión expresión do, confirme xx

= = Ce-dI ce:"

una solución solución de la Ec. (10. (10.16). es una 16).

.J

I

+ DteDte-drdl


508


Vibraciones forzadas forzadas 10.3 Vibraciones término vibraciones vibraciones forzadas forzadas significa significa que fuerzas fuerzas externas externas afectan afectan las El término vibraciones de un sistema. sistema. Hasta Hasta ahora ahora hemos hemos analizado analizado vibraciones vibraciones libres libres vibraciones sistemas, o sea, vibraciones vibraciones no afectadas afectadas por por fuerzas fuerzas externas. externas. Por Por de sistemas, ejemplo, durante durante un sismo, un edificio sufre sufre vibraciones vibraciones forzadas forzadas induciinduciejemplo, por fuerzas oscilatorias oscilatorias ejercidas ejercidas en su cimentación. cimentación. Cuando Cuando el sismo das por pasa, el edificio vibra vibra libremente libremente hasta hasta que su movimiento movimiento cesa por por amortiamortipasa, guamiento. guamiento. oscilador amortiguado amortiguado resorte-masa resorte-masa de la Fig. 10 10.14(a) El oscilador .14(a) está está sometido sometido una fuerza fuerza horizontal horizontal F(t) dependiente dependiente del tiempo. tiempo. De acuerdo acuerdo con el a una diagrama de cuerpo cuerpo libre de la masa masa (Fig. 10. 1O.14b), diagrama 14b), su ecuación ecuación de movimiento es miento dx d 22 '( x F(t)-kx-c-=m-. F(t)-kx-c-=m-. . dt dt? dt dt 2

Figura 10.14 (a) Oscilador resorte-masa resorte-masa amortiguado sometido a una amortiguado fuerza dependiente del tiempo. Diagrama de cuerpo libre de (b) Diagrama la masa.

e

~

~

• Vm 1 g•

k

tN (b)

(a)

Definiendo Definiendo d = cl2m, cl2m, ecuación ecuación en la forma forma d22xx -2 - 2

dt dt

w22

= k/m a(t) = F(t)/m, k/m yya(t) F(t)/m, podemos podemos escribir escribir esta esta

dx dx

+ 2d2d- + úy2x w2 x dt dt

= = a(t). a(t).

(10.26)

Llamamos Llamamos a a(t) función función de de excitación. excitación. La La Ec. (10.26) (10.26) describe describe las vibravibraciones un grado grado de libertad. libertad. ciones forzadas forzadas de muchos muchos sistemas sistemas amortiguados amortiguados de un No es homogénea, homogénea, porque porque la función función de excitación excitación no no contiene contiene a xx o a una una de sus derivadas. derivadas. Su solución solución general general consta consta de dos dos partes, partes, la la solución solución homogénea solución particular: particular: homogénea y la solución x =

Xh

+xp .

La La solución solución homogénea homogénea XXhh es la la solución solución general general de la la Ec. Ec. (10.26) (10.26) con con el miembro miembro derecho derecho igualado igualado a cero. cero. Por Por tanto, tanto, es la la solución solución general general para para vibraciones vibraciones libres, libres, descritas descritas en la Seco Seco 10.2. La La solución solución particular particular xxpp es una una solución solución que que satisface satisface a la Ec. Ec. (10.26). (10.26) . En En las secciones secciones siguientes siguientes anaanalizaremos lizaremos las soluciones soluciones particulares particulares para para dos dos tipos tipos de de funciones funciones de de excitaexcitación ción que que se presentan presentan con con frecuencia frecuencia en las aplicaciones. aplicaciones. http://carlos2524.jimdo.com/

VIBRACIONES FORZADAS FORZADAS 10.3 10 .3 VIBRACIONES

de excitación excitación oscilatoria oscilatoria Función de ruedas y ejes desbalanceados desbalanceados fuerzas fuerzas que oscilan oscilan a sus frecuencias frecuencias Las ruedas rotación. Si las ruedas ruedas de un auto auto están están desbalanceadas, desbalanceadas, ejercen ejercen fuerzas de rotación. oscilatorias que causan causan vibraciones vibraciones perceptibles. perceptibles. Se diseñan diseñan dispositivos dispositivos oscilatorias electromecánicos que transforman transforman corrientes corrientes oscilatorias oscilatorias en fuerzas fuerzas oscielectromecánicos latorias para para probar probar sistemas sistemas vibratorios. vibratorios. La razón razón principal principal por por la que latorias interesa este tipo de función función de excitación excitación es que casi cualquiera cualquiera puede puede nos interesa representarse como como una una suma suma de funciones funciones oscilatorias excitación con representarse oscilatorias de excitación diferentes frecuencias frecuencias o un espectro espectro continuo continuo de frecuencias. frecuencias. diferentes Estudiando Estudiando el movimiento movimiento de un sistema sistema vibratorio vibratorio sometido sometido a una una funoscilatoria de excitación, excitación, podemos podemos determinar determinar su respuesta respuesta en función función ción oscilatoria frecuencia de la fuerza. fuerza. Supongamos Supongamos que la función función de excitación excitación es de la frecuencia una función función oscilatoria oscilatoria de la forma forma una

(10.27)

a(t) = = aosenwot aosenwot + +bocoswot, a(t) bocoswot,

donde aoo,, b b¿o y la frecuencia frecuencia circular circular Wo de la función función de excitación excitación son donde constantes dadas. dadas. Podemos Podemos obtener obtener la solución solución particular particular de la Ec. (10.26) constantes buscando una una solución solución de la forma forma buscando (10.28)

(t)

donde Ap Ap Y Y Bp B¿ son constantes constantes por por determinar. determinar. Sustituyendo Sustituyendo esta expredonde Ec. (10.26), podemos podemos escribir escribir el resultado resultado como como sión y la Ec. (10.27) en la Ec.

la

Igualando los coeficientes coeficientes de sen wot y cos wot a cero y despejando despejando Ap Ap y Igualando s;p , obtenemos obtenemos B A _ (w2 - w6)ao p (w2 - w6)2

+ 2dwobo + 4d2W6 '

(10.29)

Sustituyendo estos resultados resultados en la Ec. (10.28), la solución solución particular particular es Sustituyendo ad.

a n

(10.30)

+

-2dwoao W6)boJJ - 2dwoao + (w2 -- W 2 2 cos wot. [ (w 2 - w 2))2 + 4d 4d Woo oo

amplitud de la solución solución particular particular es La amplitud el a s

Ep ==

JJ A2 + B2BJ Aª

P

P

J 6+b6 2

2

Jaa +b

= =

o o . --¡:.======== J(W22 - W6)2 J(W w6)2 + 4d2w6 4d2w6

(10.31)

Seco 10.2 mostramos mostramos que la solución solución de la ecuación ecuación que describe describe En la Seco vibración libre de un sistema sistema amortiguado amortiguado se atenúa atenúa con el tiempo. tiempo. Por Por la vibración http://carlos2524.jimdo.com/

509

510 510

CAPíTULO CAPíTULO 10 VIBRACIONES VIBRACIONES

esta razón, particular para para el movimiento razón, la solución solución particular movimiento de un sistema sistema vibravibratorio una fuerza torio amortiguado amortiguado sometido sometido a una fuerza oscilatoria oscilatoria externa externa también también se llama permanente. El movimiento llama solución solución de estado estado permanente. movimiento se aproxima aproxima a la solución permanente al aumentar solución de estado estado permanente aumentar el tiempo tiempo (véase el Ej. 10.5). En la Fig. 10.15 ilustramos ilustramos los efectos efectos del amortiguamiento amortiguamiento y la frecuenfrecuenfunción de excitación excitación sobre sobre la amplitud amplitud de la solución solución particular. cia de la función particular. Dibujamos la expresión expresión adimensional adimensional w22EEpp.J.J aij a5 + b5 como función función de Dibujamos bij como varios valores valores del parámetro d/w. Cuando Cuando no hay amortiguaamortiguawo/w para para varios parámetro d/w. particular tiende miento miento (d == O), O), la amplitud amplitud de la solución solución particular tiende al infinito infinito cuando tiende a la cuando la frecuencia frecuencia circular circular Wo de la función función de excitación excitación tiende frecuencia natural w. Cuando pequeño, frecuencia circular circular natural Cuando el amortiguamiento amortiguamiento es pequeño, la amplitud particular tiende para amplitud de la solución solución particular tiende a un valor valor máximo máximo finito finito para un valor valor de Wo menor menor que w. La frecuencia frecuencia a la que la amplitud amplitud de la solución particular es máxima lución particular máxima se llama llama frecuencia frecuencia de resonancia. resonancia. Figura Figura 10.15 10.15

Amplitud particular Amplitud · de la solución particular (estado permanente) en función de la frecuencia de la función de excitación.

44,----------------,----.----------------, .----------------r----T---------------- , dIO)

O ~0.2

3

0.4 0.6 1.0 3.0

O ~__~L_====~====c===~ O

0.5 0.5

1.5 1.5

'---2 2 <

El fenómeno fenómeno de resonancia resonancia es común común en la vida diaria. diaria. Por Por ejemplo, ejemplo, cuando la rueda rueda de un auto auto está desbalanceada, desbalanceada, se perciben vibraciones cuando perciben las vibraciones resultantes cuando cuando el auto auto se mueve a cierta cierta velocidad. velocidad. A tal velocidad, velocidad, resultantes giran a la frecuencia frecuencia de resonancia suspensión del auto. auto. las ruedas ruedas giran resonancia de la suspensión resonancia es de importancia importancia práctica muchas aplicaciones, aplicaciones, ya que La resonancia práctica en muchas fuerzas oscilatorias oscilatorias relativamente relativamente pequeñas pequeñas pueden ocasionar grandes grandes fuerzas pueden ocasionar amplitudes de vibración vibración que generan generan daños daños o interfieren interfieren con con el funcionafuncionaamplitudes miento de un sistema. sistema. El ejemplo ejemplo clásico es el de un grupo grupo de soldados soldados miento marchando sobre sobre un común de ellos coincide coincide con una marchando un puente. puente. Si el paso paso común una frecuencias de resonancia resonancia del puente, dañar aun aun cuando cuando de las frecuencias puente, éste se puede puede dañar pueda soportar con seguridad seguridad el peso de ellos. pueda soportar

excitación polinomial Función de excitación polinomial Supongamos que la función función de excitación excitación a(t) a(/) de la Ec. (10.26) es una Supongamos una función tiempo: ción polinomial polinomial del tiempo: a(t) = = ao ao a(t)

N ait + a2t2 + ... ... + aNt aNtN, , + a¡t

donde al' al' a22,, ... ••• ,, aN constantes dadas. dadas. Esta Esta función función de excitación excitación es donde N son constantes importante en las aplicaciones aplicaciones porque muchas funciones funciones se pueden aproimportante porque muchas pueden apro-


10.3 IBRACIONES FORZADAS 10.3 V VIBRACIONES FORZADAS

xi mar con polinomios polinomios en un intervalo ximar intervalo dado dado de tiempo. tiempo. En este caso, obteobtenemos la solución solución particular particular de la Ec. (10.26) buscando buscando una una solución solución de nemos mis\na forma: forma: la mis\na (10.32) donde Ao, Al, constantes por determinar. donde Al ' A22, , •••••• , AN A N son constantes por determinar. Por ejemplo, Por ejemplo, si a(t) a(t) = aoo + alt, a.t, la Ec. (10.26) es d22xx dx 2 dx +2d+0)w x = = ao aO+alt, + 2d - + + alt , dt dt dt dt

2 -2

ño,

ara so-

(10.33)

y buscamos particular de la forma A lt. Sustitubuscamos una una solución solución particular forma xpp == Ao Ao + Alt. Sustituyendo yendo esta solución solución en la Ec. (10.33), (l0.33), podemos podemos escribir escribir la ecuación ecuación resulresultante tante como como (2dAI I (2dA

0)2Ao + ú/ Ao -

ao)

2 (0)2Al + (w Al

al)t = = O. O. - al)t

Esta Esta ecuación ecuación se puede puede satisfacer satisfacer en un intervalo intervalo de tiempo tiempo sólo si 2dAl l 2dA

2 + w0)2Ao Ao -

O ao == O

y 2 0)2Al al = =O O.. w Al - al

Resolviendo Al' Y Resolviendo estas dos ecuaciones ecuaciones encontramos encontramos Ao Ao Y Y Al' Y obtenemos obtenemos la solución particular: solución particular: = (ao - 2da¡fw 2dalj0)2 2 xp =

alt)j0)2.2 . + alt)/w

Se puede puede comprobar comprobar que ésta es una una solución solución particular particular sustituyéndola sustituyéndola en la Ec. (10.33). (l0.33). 0,

es d,

o. ue es aos a

° siguientes ejemplos forzadas de sistemas sistemas En los siguientes ejemplos analizamos analizamos vibraciones vibraciones forzadas de un grado grado de libertad. Después de expresar ecuación del movimiento libertad. Después expresar la ecuación movimiento forma del sistema sistema en la forma d22xx --22 dt dt

dx dx dt dt

2 2da(t), , + 2d+ w0)2x x == a(t)

es

se deben determinar soluciones homogénea particular. Las Las formas formas determinar las soluciones homogénea y particular. la Seco 10.2. homogénea se dan en Seco de la solución solución homogénea http://carlos2524.jimdo.com/

511 511

512

CAPíTULO 10 V VIBRACIONES CAPíTULO IBRACIONES

Ejemplo 10.5 Un ingeniero ingeniero que diseña diseña un sistema sistema aislante aislante de vibraciones vibraciones para para la consola consola de instrumento modela modela ésta ésta y el sistema sistema de aislamiento aislamiento por por medio medio del oscilador un instrumento oscilador resorte-masa amortiguado amortiguado de la Fig. 10. 10.14(a) masa m == 2 kg, k = resorte-masa 14(a) con masa = 8 N/m N/m yc = 1N-s/m. Para determinar determinar la respuesta respuesta del sistema sistema a vibraciones vibraciones externas, yc = 1 N-s/m. Para externas, supone que la masa masa está inicialmente inicialmente en reposo reposo con el resorte resorte sin estirar, él supone estirar, y que en t = = O O se aplica aplica a la masa masa la fuerza fuerza N. F(t) == 20 sen 4t N. ¿Cuál es la amplitud amplitud de la solución particular (estado (estado permanente)? permanente)? (a) ¿Cuál solución particular ¿Cuál es la posición posición de la masa masa en función función del tiempo? tiempo? (b) ¿Cuál

ESTRATEGIA ESTRATEGIA función de excitación excitación es a(t) = = F(t)/m F(t)/m = = 10 sen 4t m/s m/s-,2 , que es una La función una funfun2 oscilatoria de la forma forma de la Ec. (10.27) con ao = 10 m/s m/s-, ción oscilatoria b o = OO YY Wo , b¿ rad/s. La amplitud amplitud de la solución solución particular particular está dada dada por por la Ec. = 4 rad/s. Ec. (10.31) solución particular particular por por la Ee. Ec. (10.30). También También debemos debemos determinar determinar si el y la solución amortiguamiento es subcrítico, subcrítico, crítico o supercrítico supercrítico y escoger amortiguamiento escoger la forma forma aproapropiada solución homogénea. homogénea. piada de la solución

SOLUCiÓN SOLUCiÓN frecuencia circular circular natural natural del sistema sistema no amortiguado amortiguado es ww = (a) La frecuencia = .J k/m k/m rad/s y la constante constante d = c/(2m) c/(2m) = 0.25 rad/s. rad/s. Por Por tanto, tanto, la amplitud = 2 rad/s amplitud solución particular particular es de la solución 10

=0.822m. = 0.822 m. Como d < w, el sistema sistema está sub subcríticamente amortiguado y la solución críticamente amortiguado solución (b) Como homogénea está dada dada por por la Ec. (10 (10.19). circular del sistema sistema amor.19). La frecuencia circular amorhomogénea 22 tiguado es Wd Wd = .J w - d d~2 = 1.98 rad/s, rad/s, por por lo que la solución solución homogénea tiguado homogénea es Xhh X

2St = e-OO.25t 1.98t + B cos 1.98t). 1.98t). = (A sen sen 1.98t

solución particular particular es De la Ec. (10.30), la solución Xpp

sen4t - 0.135 cos4t, cos 4t, = -0.811 - 0.811 sen4t

solución completa completa es y la solución

25t = e-OO.2St sen 1.98t 1.98t + B cos 1.98t) 1.98t) = (A sen

sen 4t 4t - 0.135 cos 4t. 0.811 sen 4t .

O, x = O Y Ydx/ O. Usando condiciones para para determinar determinar las En t == O, dx/ dt = O. Usando estas condiciones constantes obtenemos A = 1.651 1.651 III Y B = 0.135 m. La posición constantes A y B, obtenemos posición de masa en función función del tiempo tiempo es la masa 25t x = = ee-oo..2St (1.651 sen1.98t (1.651 sen1.98t

0.135cos 1.98t) 1.98t) + 0.135cos

--0.811sen4t 0 .811sen4t --0.135cos4t 0 .135cos4t m.


10.3 VIBRACIONES

FORZADAS

La Fig. 10.16 muestra las soluciones homogénea, particular y completa para los primeros 25 segundos del movimiento. La solución completa tiene una fase inicial "\ransitoria" debido a la parte homogénea de la solución. Conforme la solución homogénea se atenúa, la solución completa tiende a la solución particular o de estado permanente.

Figura 10.16

2

Soluciones homogénea, particular completa. '"o

..,•.. E ><

O

~~-1~\-~~~~~~~~------~-------J t, segundos 25

20

15

-1

-2 (a) Solución homogénea xh• Wo

2

1) el

o·

n n

" "

'"o

ti

E ><

m d

"

"

n

n n

"

O H-+-I--I--HI4--HI-+~flI-H+H+I--I--hI--l-...fl.1H-~I-+-f-J -1

I~\,j

t, segundos 25

\j

'"

'"

'"

-2 (b) Solución particular xp' 2

"

n

<:l

!:l

E'" ><

1\

O

1\

-1

\) -2

11

(l,

fl

fl.

••

"

11 "

,.,

n

~ \J ~

\j

\J

\J

t, segundos

25

"

'"

\j

"

\j

\J

(e) Solución total xh + xp'


y

513

514

CAPíTULO VIBRACIONES CAPíTULO 10 VIBRACIONES

Ejemplo 10.6 El disco homogéneo homogéneo de la Fig. Fig. 10.17 tiene radio radio R = 2 pies y masa masa m = 4. 4. slugs slugs.. k == 30 lb/pie. lb/pie. El disco está está inicialmente inicialmente en reposo reposo en su posición posición de se aplica equilibrio, equilibrio, y en t == O Ose aplica al centro centro del disco una una fuerza fuerza hacia hacia abajo abajo F(t) = Determine la posición = 12 12 + 12t 12t - 0.6t2 0.6t2 lb. Determine posición del centro centro del disco en función función del tiempo. tiempo.

ESTRATEGIA ESTRATEGIA La fuerza fuerza F(t) es un polinomio, polinomio, por por lo que buscamos buscamos una una solución solución particular particular forma de la Ec. Ee. (10.32). de la forma

SOLUCiÓN SOLUCiÓN desplazamiento del centro centro del disco respecto respecto a su posición posición cuando cuando el Sea x el desplazamiento resorte no está está estirado. estirado. En la Fig. (a) dibujamos dibujamos el diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre resorte donde T es la tensión tensión en el cable en el lado lado izquierdo izquierdo del disco disco.. De del disco, donde segunda ley de Newton, la segunda Newton,

F(t) F(t)

Figura 10.17 F(t) F(t)

+ mg -

2kx - T

d 2xx

m-2• =m • 2

(10.34)

dt

aceleración angular angular del disco en dirección dirección horaria horaria está está relacionada relacionada con la La aceleración 2)/R . Usando aceleración del centro centro del disco por por ex Ci = = (d2x/dt (~X/dt2)/R. Usando esta esta expresión, expresión, aceleración podemos escribir escribir la ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular del disco como como podemos Y.. M I:;M

2kx 2kx

T

= la = Iex::

(1 2) (1

TR-2kxR= = (1--mR TR-2kxR mR 2

22

X) .

X) --. dR dt22

Resolviendo esta ecuación ecuación para para Ty Ty sustituyendo sustituyendo el resultado resultado en la Ec. (10.34), Resolviendo obtenemos la ecuación ecuación de movimiento movimiento obtenemos

F(t)

Diagrama de cuerpo cuerpo libre del (a) Diagrama disco.

3 d22xx -m+4kx m - +4kx 2 2 dt 2

+mg. = F(t) F(t) +mg.

(10.35)

Haciendo y F(t) = O en esta Haciendo ~X/dt2 ~x/ dt2 = O Oy Oen esta ecuación, ecuación, encontramos encontramos que la posiequilibrio del disco es x = mg/4k. mg/4k. Con Con referencia referencia a la posición posición del ción de equilibrio centro del disco respecto respecto a su posición posición de equilibrio, equilibrio, x x = x - mg/4k, mg/4k, la ecuación ecuación centro movimiento es de movimiento 2F(t) d 22ix 8k _ 2F(t) --+-x=--. + - x = -- . dt22 3m 3m

Esta ecuación ecuación es idéntica idéntica en forma forma a la Ec. (10.26). Sustituyendo Sustituyendo los valores valores Esta función polinomial polinomial F(t), obtenemos obtenemos de k y m y la función

xx

d22

--22

dt

__ + 20x = 2 + 2t -

2

O.lt .

(10.36)

Comparando esta ecuación ecuación con la Ec. (10.26) (10.26),, vemos que d == O O(no amortiComparando (no hay amortiguamiento) y w22 == 20 (rad/s)2. (rad/s)-. De la Ec Ec.. (10.19), la solución solución homogénea homogénea es guamiento) Xh Xh = Asen4.472t Asen4.472t

+ Bcos4.472t. Bcos4.472t.


10.3 10.3 VIBRACIONES VIBRACIONES FORZADAS FORZADAS

Para obtener obtener la la solución solución particular, particular, buscamos buscamos una una solución solución en en la la forma forma de de Para un polinomio polinomio del del mismo mismo orden orden que que F(t): F(t): un 4.

e n

donde AQ, A o, AA ¡¡ Y YAA2 2 son son constantes constantes por por determinar. determinar. Sustituimos Sustituimos esta esta expresión expresión donde .en la la Ec. Ec. (10.36) (10.36) yy agrupamos agrupamos los los términos términos de de igual igual potencia potencia de de t:t: en (2A22 + 20A 20AQo-- 2) 2) + (20A¡ (20A¡ -- 2)t 2)t + (20A (20A22 + 0.I)t 0.I)t2 2 = = O. O. (2A

Esta ecuación ecuación se se satisface satisface si si los los coeficientes coeficientes de de cada cada potencia potencia igual igual de de t se se igualan igualan Esta cero: a cero: 2A22 + 20A 20AQo = = 2,2, 2A 20A¡ e e

== 2,2,

20A 20A22 = = -0.1. -0.1.

Resolviendo estas estas tres tres ecuaciones ecuaciones para para AQ, A o, A A ¡¡ YA22 obtenemos obtenemos la la solución solución parparResolviendo ticular: ticular:

= 0.101 + 0.100t O.lOOt - 0.005t22• • Xpp = a

La solución solución completa completa es La

Asen4.472t + B cos4.472t cos4.472t + 0.101 + O.lOOt 0.100t = Asen4.472t

En t

0.005t22• .

= = O, O, xx = = O Y dx/dt dx/dt = = o. Usando Usando estas condiciones condiciones para para determinar determinar A

y B, B, obtenemos obtenemos la posición posición del centro centro del disco en función función del tiempo: tiempo:

-0.022sen4.47t xx == -0.022sen4.47t

0.100cos4.47t 0.100cos4.47t

0.101 + O.lOOt 0.100t + 0.101

0.005t22• •

La posición posición se se muestra muestra para para los primeros primeros 30 segundos segundos de movimiento movimiento en la Fig. 10.18. 10.18. Se Se puede ver la solución solución homogénea homogénea oscilatoria oscilatoria no amortiguada amortiguada superpuesta superpuesta a la solución solución particular particular que varía lentamente. lentamente.

Figura 10.18 10.18 Figura Posición del del centro del del disco disco en función función Posición tiempo. del tiempo.

...'"'" Oo ¡<-_ i!-___--'-_ --L __ _----I. ----l_ _ _-'--_ ..L __ _ ...!L_Ho\----l '0.

"a

--"'-. ~~--'

¡,;' I~

-1 -1


515 515

516


Ejemplo 10.7

Aplicación a la ingeniería ingeniería Aplicación de desplazamiento desplazamiento Transductores de Para medir medir el desplazamiento desplazamiento de un cuerpo cuerpo se puede puede usar usar un oscilador oscilador resorteresortePara masa amortiguado, amortiguado, o un dispostivo dispostivo que que se pueda modelar como como ese tipo de masa pueda modelar oscilador. Supongamos Supongamos que la base del oscilador oscilador de la Fig. 10.19 10.19 está unida unida oscilador. cuerpo, la coordenada coordenada x¡ x¡ es un desplazamiento desplazamiento por por medir medir respecto respecto a un a un cuerpo, marco de referencia referencia inercial inercial,, y x mide el desplazamiento desplazamiento de la masa masa respecto marco base. Si x = = O, O, el resorte resorte no está estirado. estirado. Suponga Suponga que el sistema sistema está a la base. inicialmente en reposo reposo y que en t = O Ola somete al movimiento movimiento oscilatorio oscilatorio inicialmente la base se somete

Figura 10.19

co.t. + b¡b, cos w¡t.

X¡ = = a¡ a¡ sen senw¡t w¡t x¡

(10.37) (10.37)

N/m, ce == 4 N-s/m, N-s/m, a¡ a¡ == 0.1 0.1 m, b¡ b, == 0.1 0.1 m y W¡ == 10 Si m == 2 kg, k == 8 N/m, rad/s, ¿cuál es la amplitud amplitud de estado estado permanente permanente resultante resultante del desplazamiento desplazamiento rad/s, masa respecto respecto a la base? de la masa SOLUCiÓN SOLUCIÓN aceleración de la masa masa respecto respecto a la base es rPx/ dt2, dt", por por lo que su aceleraaceleraLa aceleración 2). La serespecto al marco marco de referencia referencia inercial inercial es (rPx/ (rPx/dt (rPx¡ldt dt22) ) + (rPx¡l dt2). ción respecto gunda ley de Newton Newton para para la masa masa es gunda

Podemos escribir escribir esta ecuación ecuación como como Podemos

donde d == cl2m cl2m donde a(t) a(t)

rad/s, 1 rad/s,

W

d2x¡

.,¡k/m k/m = 2 rad/s, rad/s, y la función función a(t) es = .J

d x¡ 2 2 sen w¡t + b¡w¡ cosw¡t. cos w¡t. = -- --22 - = a¡w¡ sen 2

2

dt dt

(10.38) (10.38)

obtenemos una una ecuación ecuación de movimiento movimiento idéntica forma a la del oscilador oscilador Así, obtenemos idéntica en forma resorte-masa sometido sometido a una una fuerza fuerza oscilatoria. oscilatoria. Comparando (10.38) resorte-masa Comparando la Ec. (10.38) obtenemos la amplitud amplitud de la solución solución particular particular (estado (estado percon la Ec. (10.27) (10.27) obtenemos manente) a partir partir de la Ec. (10.31) (10.31) haciendo haciendo ao ao == a¡w~, a¡w~, boo == b¡w~y = w¡: manente) b¡w~ y Wo = Ep== Ep

Ja Ja

2

w211

2 JJ(w (w2 -

2 2 11

+b2121

W~)2 W~)2

( 10.39) (10.39)

4d2W~ + 4d2W~

Por tanto, tanto, la amplitud amplitud del estado estado permanente permanente del desplazamiento desplazamiento de la masa masa Por respecto a su base es respecto Ep

=

(1O)2J(0.1)2 + (0.1)2 (0.1)2 (1O)2J(0.1)2 2 J[(2)2 (10)2]2 + 4(1)2(10)2 4(1)2(10)2 J[(2)2 - (1W1


= 0.144 0.144 m.


CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES DE DE DISEÑO DISEÑO Un micrófono micrófono transforma transforma las ondas ondas de sonido sonido en un voltaje voltaje variable variable que se puede registrar por medio de una una bocina. bocina. puede registrar o convertir convertir de nuevo nuevo en ondas ondas sonoras sonoras por U Unn dispositivo que transforma transforma una una entrada entrada mecánica en una una salida salida electromagnéelectromagnéuna entrada entrada electromagnética electromagnética en una salida mecánica, llama transductransductica, o una una salida mecánica, se llama tor. pueden usar usar para para medir toro Los transductores transductores se pueden medir desplazamientos, desplazamientos, velocidades velocidades aceleraciones transformándolas transformándolas en voltajes voltajes o corrientes corrientes medibles. y aceleraciones medibles. En el caso del oscilador por medir, oscilador de la Fig. 10.19, x¡ es el desplazamiento desplazamiento por medir, o sea la entrada. puede usar para medir entrada. Se puede usar un transductor transductor para medir el desplazamiento desplazamiento x de la masa masa respecto respecto a la base, base, o sea, la salida. salida. Si se conoce conoce la relación relación entre entre puede determinar Xi. Algunos la entrada entrada y la salida, salida, se puede determinar el desplazamiento desplazamiento Xi. Algunos sismógrafos mógrafos (Fig. 10.20) miden miden de esta manera manera los movimientos movimientos de la Tierra. Tierra. Si la entrada por la Ec. (10.37), la entrada es un desplazamiento desplazamiento oscilatorio oscilatorio dado dado por amplitud de la salida salida está está dada dada por Podemos escribir escribir ésta como como amplitud por la Ec. (10.39). Podemos Ep Ep E¡

Figura 10.20 Sismógrafo Sismógrafo que mide el desplazamiento desplazamiento local del terreno. terreno.

(w¡/w)2 (w¡/w)2 J[1 - (w¡jw)2f (w¡jw)2f J[1

4(d/w)2(W¡jW)2' + 4(d/w)2(W¡jW)2'

ar br

donde E¡ = ..J + amplitud de la entrada. entrada. En la Fig. 10.21 10.21 mostramostradonde es la amplitud razón E/ E/ E¡ E¡ en función función de la razón frecuencia de entrada entrada a la fremos la razón razón de la frecuencia cuencia natural natural del sistema sistema no amortiguado, amortiguado, w/ w/ w, para diferentes valores valores de cuencia para diferentes di w. Si se conocen conocen los parámetros oscilador, una una gráfica gráfica de este tipo di parámetros del oscilador, tipo sirve para determinar la amplitud amplitud de la entrada entrada midiendo midiendo la de la salida. salida. para determinar desplazamiento de entrada entrada no suele tener tener una frecuenEn la práctica, práctica, el desplazamiento una sola frecuenconsiste en una combinación de diferentes diferentes frecuencias frecuencias o aun aun de cia, sino que consiste una combinación un espectro espectro continuo continuo de frecuencias frecuencias. . Por Por ejemplo, ejemplo, los desplazamientos desplazamientos que resultan de los sismos tienen tienen un espectro espectro de frecuencias. frecuencias. En ese caso, caso, es deseable deseable sultan razón de la amplitud amplitud de salida salida a la amplitud amplitud de entrada entrada sea aproximadaaproximadaque la razón mente intervalo de las frecuencias frecuencias de entrada. entrada. Se dice entonces· entonces' mente igual a 1 en el intervalo respuesta del instrumento instrumento es "plana". "plana". En la Fig. 10.21 10.21 se ve que la resque la respuesta puesta frecuencias w¡ w¡ mayores mayores que aproximaaproximapuesta es aproximadamente aproximadamente plana plana para para frecuencias damente 2w si el amortiguamiento amortiguamiento del sistema sistema se escoge de modo modo que di di w quede quede damente intervalo de 0.6 a 0.7. Además, Además, observe observe que haciendo haciendo pequeña frecuenen el intervalo pequeña a la frecuennatural w aumenta aumenta el intervalo intervalo de frecuencias frecuencias de entrada entrada sobre sobre el cual la cia natural respuesta del instrumento Por esta esta razón, razón, los sismógrafos sismógrafos suelen diseplana. Por respuesta instrumento es plana. ñarse con grandes grandes masas y resortes resortes relativamente ñarse relativamente débiles. 1.4 ,-----=----------, 1.2 1.2 1

E/E¡

0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 O O~~~ O

d/(j) d/ro 0.4 0.4

10.21 Figura 10.21 Razón de la amplitud amplitud de salida Razón salida a la amplitud de entrada. entrada. amplitud

0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8

__~~~~~~~~ 1.5 2 1.5

2.5 2.5

3

3.5 4 3.5

ro/ro (j)J(j)


517 517

518

CAPíTULO V IBRACIONES CAPíTULO 10 VIBRACIONES

Problemas 10.56 En la Fig. Fig. PlO.56 PlO.56 la masa masa m == 2slugy 2slugyk k = 200 lb/pie. lb/pie. posición de la masa masa respecto respecto a su posición posición cuando Sea x la posición cuando el resorte no está resorte está estirado. estirado. La fuerza fuerza F(t) = 36 sen 8t lb. (a) Determine solución particular. Determine la solución particular. O, x = 1 pie y la velocidad velocidad de la masa masa es cero. Deter(b) En t = O,x cero. Detertiempo. mine x en función función del tiempo.

l~._I-... :....1

LA----A-"

m

Estrategia: Para Para determinar determinar la solución particular, busque busque Estrategia: solución particular, una solución una solución de la forma forma ()p

= Ap Ap + BpeBpe-t,t •

donde Ap y Bp son constantes por determinar. donde Ap constantes por determinar.

. 11--~) ..• )

F(t) F(t)

=-------,1

P10.56 P10.56

k~

)) M(t) M("

k~

oscilador resorte-masa amortigua10.57 En la Fig. P 10.57, el oscilador resorte-masa amortiguaresorte no estirado. do está inicialmente inicialmente en reposo reposo con el resorte estirado. En t =.0 = .0 se le aplica una fuerza masa. aplica una fuerza constante constante de 1.2 N a la masa. permanente? (a) ¿Cuál ¿Cuál es la solución solución (particular) (particular) de estado estado permanente? (b) Determine Determine la posición posición de la masa masa en función tiempo. función del tiempo.

12N/m 12N/m 6N-s/m 6N-s/m

3 kg kg P10.57 P10.57

P10.58 P10.58

10.59 El disco escalonado pesa 20 lb Ysu Ysu momenmomenescalonado de la figura figura pesa Rueda sobre to de inercia inercia es 11 = 0.6 0.6 slug-pie slug-pie-.2 • Rueda sobre la superficie superficie horizontal. rizontal. El disco está inicialmente inicialmente en reposo reposo con el resorte resorte sin estirar. En aplica una fuerza constante 10-lb estirar. En t = O se le aplica una fuerza constante F = 10lb muestra. Determine Determine la posición posición del centro centro del disco como como se muestra. en función tiempo. función del tiempo.

10.58 Un disco con momento momento de inercia inercia 11gira respecto respecto a un eje fijo y está conectado conectado a un resorte resorte torsional torsional con constante constante k. El ángulo ángulo (J(j mide la posición posición angular angular del disco respecto respecto a su posición cuando resorte no está estirado. posición cuando el resorte estirado. El disco está está inicialmente en reposo reposo con el resorte resorte no estirado. O, se aplica aplica mente estirado. En t = O, al disco el momento momento M(t) M(t) = Mo(1 - e"), e- I ), donde donde M¿ Mo es una una constante. Demuestre que la posición posición angular constante. Demuestre angular del disco en función del tiempo tiempo es

P10.59 P10.59


10.3 FORZADAS 10.3 VIBRACIONES VIBRACIONES FORZADAS

10.60 Un motor una mesa. Con motor eléctrico eléctrico está atornillado atornillado a una el mot~H motor encendido, encendido, la mesa vibra vibra horizontalmente. horizontalmente. Suponga Suponga que las patas patas de la mesa se comportan comportan como como resortes resortes lineales e ignore ignore el amortiguamiento. amortiguamiento. El peso total total del motor motor y la mesa mesa es de 150 lb . Con el motor 150lb. motor apagado, apagado, la frecuencia frecuencia de la vibración vibración horizontal horizontal de la mesa y el motor motor es de 5 Hz. Con el motor motor girangirando a 600 rpm, rpm, la amplitud amplitud de la vibración vibración horizontal horizontal es de 0.01 ¿Cuál es la magnitud magnitud de la fuerza fuerza oscilatoria oscilatoria ejercida ejercida sopulg. ¿Cuál bre la mesa por por el motor motor a esta esta velocidad? velocidad?

cilindro de 1.5 kg está montado montado sobre 10.62 Un cilindro sobre una una barra barra en un túnel dirección del túnel de viento viento con su eje transversal transversal a la dirección cilindro flujo. flujo. Sin flujo, flujo, una una fuerza fuerza vertical vertical de 10 N aplicada aplicada al cilindro flexiona 0.15 mm. Con flujo túnel, los vórtices vórtices lo de deflexiona flujo de aire en el túnel, someten al cilindro cilindro a fuerzas fuerzas laterales laterales alternantes. alternantes. La velocidad someten velocidad mis, la distancia distancia entre entre vórtices vórtices es de 80 mm del aire es de 5 mis, y la magnitud fuerzas magnitud de las fuerzas fuerzas laterales laterales es de 1 N. Si las fuerzas laterales laterales se modelan modelan con la función función oscilatoria oscilatoria F(t) = (1.0) sen wot N, ¿cuál es la amplitud lateral de estado estado amplitud del movimiento movimiento lateral permanente permanente del cilindro? cilindro?

Pl0.62 Pl0.62

Pl0.60 Pl0.60

10.61 10.61 Los momentos momentos de inercia inercia de los engranes engranes A y B mostramostraslug-pie?2 e lB = 0.100 slug-pie slug-pie/,2 • A está codos son lA = 0.014 slug-pie nectado nectado a un resorte resorte torsional torsional con k = 2 pie-lb/rad. pie-lb/rad. El sistema sistema está en equilibrio equilibrio en t = O cuando cuando se le somete somete a una una fuerza fuerza oscilatoria oscilatoria F(t) = 4 sen 3t lb. ¿Cuál ¿Cuál es el desplazamiento desplazamiento hacia hacia abajo abajo del peso de 5 lb en función función del tiempo? tiempo?

519

10.63 Demuestre particular daDemuestre que la amplitud amplitud de la solución solución particular por la Ec. (10.31) es máxima máxima cuando cuando la frecuencia frecuencia de la fun-' da por funexcitación es Wo = ..J ,¡w22 - 2d 2d22• • ción de excitación Los con el Ej. Ej. Los Probs. Probs. 10.64 a 10.67 están relacionados relacionados con 10.7. 10.64 En la Fig. 10.19 la masa lb/pie masa pesa 50 lb. k = 200 lb/pie yc desplazamiento yc = 10 10 lb-s/pie. lb-s/pie. Si la base está sometida sometida a un desplazamiento oscilatorio circular W¡ oscilatorio x¡ x, con amplitud amplitud de 10 pulg y frecuencia frecuencia circular W¡ = 15 rad/s, ¿cuál es la amplitud estado permanenpermanen15rad/s, amplitud resultante resultante de estado te del desplazamiento desplazamiento de la masa masa respecto respecto a la base?

(

10.65 La masa N/m y masa de la Fig. 10.19 es de 100 kg. k = 4 N/m e = 24 N-s/m. N-s/m. La base está sometida sometida a un desplazamiento desplazamiento oscilatorio de frecuencia frecuencia circular circular W¡ W¡ = = 0.2 rad/s. rad/s. La latorio La amplitud amplitud de estado masa respecto respecto a estado permanente permanente del desplazamiento desplazamiento de la masa la base se mide y se obtiene mm. ¿Cuál ¿Cuál es la obtiene el valor valor de 200 mm. amplitud amplitud del desplazamiento desplazamiento de la base?

Pl0.61 Pl0.61


520

CAPíTULO VIBRACIONES C APíTULO 10 VIBRACIONES

10.66 La La coordenada coordenada del sismógrafo sismógrafo mostrado mostrado mide mide el 10.66 Xi del movimiento local horizontal del del suelo. suelo. La La coordenada coordenada Xi mide movimiento local horizontal X i mide posición de la masa masa resp~cto respecto al marco marco del del sismógrafo. sismógrafo. El El rerela posición sorte no no está está estirado estirado cuando cuando XX = O. O. La La masa masa m = 1 kg, kg, k sorte N/m y ce = 2 N-s/m. N-s/m. Suponga Suponga que que el sismógrafo sismógrafo está está iniini= 10 N/m cialmente en reposo reposo y que que en en t = O se somete somete a un un movimiento movimiento cialmente oscilatorio del del terreno terreno Xi = 10 sen sen 2t mm. mm. ¿Cuál ¿Cuál es la amplitud amplitud oscilatorio respuesta de de estado estado permanente permanente de masa? de la respuesta de la masa?

-10.68 Una boya -10.68 Una boya acústica acústica flota flota en en un un tanque. tanque . Es Es un un cilindro cilindro de masa masa m con con área área transversal transversal A. La La densidad densidad del del agua agua es pp la fuerza soporta a la y la fuerza de de flotación flotación que que soporta la boya boya es igual igual al al peso peso del agua cilindro bajo del agua que que ocuparía ocuparía el volumen volumen de de la la parte parte del del cilindro bajo superficie. Cuando boya la superficie. Cuando el agua agua del del tanque tanque está está en en reposo, reposo, la la boya está en en equilibrio está equilibrio en en la la posición posición vertical vertical mostrada. mostrada. Se generan generan olas en olas en el tanque, tanque, ocasionando ocasionando que que la la profundidad profundidad del del agua agua en en sea la posición posición de de la la boya boya respecto respecto a su profundidad profundidad original original sea sen wot. Sea y la d = = do d o sen wot. Sea la posición posición vertical vertical de de la la boya boya respecto respecto a su posición posición original. original. Demuestre Demuestre que que la la posición posición vertical vertical está está dada por dada por la la ecuación ecuación

dddtdtyy + (APg) (APg) (APg) --;;;: --;;;: dosenwot. do wot. --;;;: yy = (APg) --;;;: 22

22

~~~ig='111

H H

sen

VISTA SUPERIOR SUPERIOR VISTA

x

k

~c,.::¡~,::¡ m

1I11

VISTA EN -;,¡=¡~~:= VISTA ~ ~

/ : 1: :.' •

".•

'

•:. • :;

.' ,*

••

"o',. ,.

', '

.

'. . ....'

~

' , ''

ELEVACIÓN ELEVACIÓN o' ,',

.. ·

,·

,',

.. .

.

P10.68 P10.68

.. •

• o.'·

P10.66

10.67 En En el Probo Probo 10.66, 10.66, determine determine la posición posición X de la masa masa 10.67 respecto a la base base en función función del del tiempo. tiempo. respecto

10.69 Suponga Suponga que 10.68 es m = = 10.69 que la la masa masa de de la la boya boya del del Probo Prob o10.68 su diámetro 10 kg, kg, su diámetro es de de 125 mm mm y la la densidad densidad del del agua agua p = 1025 kg/rn '.3 • Si la sen 2t m, kg/m la profundidad profundidad del del agua agua es d == 0.1 0.1 sen m, ¿cuál ¿cuál magnitud de es la la magnitud de las las vibraciones vibraciones verticales verticales de de estado estado permanenpermanente de de la la boya? boya?



Ejemplo con computador computador tt El material material de de esta esta sección sección está está diseñado diseñado para para el el uso uso de de una una calculadora calculadora prograprograEl mable oo de de un un computador. computador. mable

En la Seco Seco 10.1 dedujimos dedujimos la ecuación ecuación de movimiento movimiento de un un péndulo péndulo formado formado En por una una barra barra esbelta esbelta (Fig. (Fig. 10.22), Y obtuvimos obtuvimos por d2200 -2 -2

dt dt

3g 3g

-senO = O. O. + -senO

(10.40)

21

para considerar considerar sen Suponiendo que que las vibraciones vibraciones eran eran bastante bastante pequeñas pequeñas para Suponiendo O = (},obtuvimos 0, obtuvimos la ecuación ecuación para para un oscilador oscilador resorte-masa. resorte-masa. Sin embargo, embargo, si (}= vibraciones no no son son pequeñas, pequeñas, no podemos podemos hacer hacer lineal lineal la ecuación ecuación del movimovilas vibraciones miento. ¿Cómo ¿Cómo podemos podemos entonces entonces determinar determinar el movimiento movimiento del péndulo? péndulo? miento. Cuando los sistemas sistemas están están sometidos sometidos a vibraciones vibraciones de gran gran amplitud, amplitud, las Cuando Figura 10.22 ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales que que describen describen sus movimientos movimientos no son son lineales. lineales. AunAun- Péndulo Péndulo en forma forma de una una barra barra esbelta. esbelta. (10.40), casi nunca nunca se puede puede obteobteuria solución solución analítica analítica de la Ec. (10.40), que existe una para tales tales ecuaciones. ecuaciones. Aun Aun cuando cuando sea posible posible obtener obtener soluciones cerradas cerradas para ner soluciones una solución analítica para para el sistema sistema sin excitación, excitación, éste puede puede estar estar sometido sometido una solución analítica fuerzas demasiado demasiado complejas complejas para para obtener obtener una una solución cerrada. a fuerzas solución cerrada. por integración integración numérica numérica soluciones aproximadas a tales Podemos obtener obtener por Podemos soluciones aproximadas problemas. Consideremos Consideremos una una ecuación ecuación de movimiento movimiento lo bastante bastante general general para para problemas. incluir a la mayoría mayoría de los sistemas vibratorioss de un grado grado de libertad. libertad. Supon-o Supon- o incluir sistemas vibratorio gamos que la aceleración aceleración es función función de la velocidad, velocidad, la posición posición y el tiempo: tiempo: gamos

dddtdtxx 22

22

=f

(

dX) . dX)

x, dt dt t, x,

Si v = dx/ dt, podemos podemos expresar expresar las ecuaciones ecuaciones que rigen al sistema como dos dx/dt, sistema como ecuaciones diferenciales diferenciales de primer orden: ecuaciones primer orden: dx dx

dt dt

=v =v, , (10.41)

dv dv dt dt

=

f(t, x, v). f(t,

valores de x y v como funciones Usando Usando el método método de Euler Euler aproximaremos aproximaremos los valores funciones del tiempo. tiempo. Suponiendo Suponiendo que en cierto cierto tiempo tiempo to conocemos conocemos los valores valores x(t x(too)) y v(to), determinamos determinamos sus valores en to + I1t ilt aproximando aproximando las derivadas derivadas en las Ecs. (10.41) por por diferencias diferencias hacia hacia adelante: adelante: x(to x(to

t:..t) = x(to) x (to) + v(to)l1t v(to)ilt, , + I1t)

v(to veto

/',.t) = veto) v(to) + f(to, x(to), v(to»l1t. v(to))/',.t. + t::..t) feto, x(to),

Repetimos Repetimos el procedimiento procedimiento usando usando x(to x(to + t::..t) ilt) Y v(to + I1t) M) como condiciones condiciones iniciales p, a ra determinar para determinar los valores de x y v en to + 211t, 2ilt, etcétera. etcétera. De esta manera, manera, podemos podemos determinar determinar la posición posición y su razón razón de cambio cambio como funciones funciones del tiempo tiempo para para un sistema con un grado grado de libertad. libertad.


521

522


Ejemplo 10.8 El péndulo de la Fig. 10.22 tiene 1 m de largo y se libera del reposo con un desplazamiento inicial 0o. Determine en función del tiempo entre 1 = O Y 1 = 4 s para los casos 0 = 2°, 45° Y 90°.

°

°

SOLUCiÓN Expresamos la ecuación del movimiento del péndulo, Ec. (10.40), como dos ecuaciones de primer orden de la misma forma que las Ecs. (10.41):

de dt

dco

= ea,

- = dt

3g --sene. 2l

Consideremos el caso 00 = 45° Y sea t::..t 0.7854 rad y w(to) = O. En el tiempo lo e(to

=

0.01 s. En lo = O, O(to) = 45° 0.01 s, el ángulo es

+ t::..t =

+ /lt) = e(to) + W(to)lH

:

'1(0.01) = ecO) + w(O)/lt

= 0.7854 + (0)(0.01) = 0.7854 La velocidad

angular

w(to

rad.

es

+ /lt) w(O.l)

= w(to)

+ [ - ~~sen(e(to)) (3)(9.81)

= 0-

(2)(1)

] 6.t :

sen(0.7854)(0.01)

=

-0.1041

radls.

Usando estos valores como condiciones iniciales para el siguiente incremento, el ángulo y la velocidad angular en t = 0.02 s son e(0.02)

= 0.7854 + (-0.1041)(0.01)

w(0.02)

=

-0.1041

Continuando de esta manera, ros cinco incrementos:

-

(3)(9.81) (2)(1)

obtenemos

= 0.7844

sen(0.7854)(0.01)

w, rad/s

0.00

0.7854

0.0000

0.01

0.7854

-0.1041

0.02

0.7844

-0.2081

0.03

0.7823

-0.3120

0.04

0.7792

-0.4158

0.05

0.7750

-0.5192


=

-0.2081

radls.

los siguientes valores para los prime-

e, rad

Tiempo, s

rad,

10.3 VIBRACIONES

FORZADAS

En la Fig. 10.23 comparamos las soluciones numéricas para el ángulo (normalizado por su valor inicial (}o = 45°) obtenido usando /1t = 0.01 s, 0.001 s y 0.0005 s. P;'uebas con intervalos de tiempo menores indican que con /1/ = 0.0005 s se acerca uno bastante a la solución exacta en este intervalo de tiempo. Usando /1t = 0.0005 s obtenemos las soluciones para (}o = 2°, 45° Y 90° mostradas en la Fig. 10.24. Los resultados normalizados para las diferentes amplitudes iniciales son cualitativamente similares, pero el periodo de las vibraciones aumenta con amplitud creciente, es decir, la barra tarda más en efectuar oscilaciones mayores.

M=O.OI

Figura 10.23

s

/

Soluciones numéricas para (}o = 45° usando diferentes valores de /1t.

0.5 8180

O -0.5 -1 -1.5 O

1.5

0.5

2

2.5

3

3.5

4

t, segundos

Figura 10.24 Posición de la barra en función del tiempo para diferentes desplazamientos iniciales.

-1.5

L-_--.JL-_--L

O

0.5

__

-'-- __

1.5

---L __

2

-L- __

.l...__

2.5

3

L- __

3.5

4

t, segundos


523

524


•••••••••.•.•..•.•• .•.•..•.••.•.•..•.•• ""'1 ' - - ---- - --1

Problemas 1 I----Problemas -- - --..,j -....

do I1t ilt = = 0.001 s, determine determine el desplazamiento desplazamiento y la velocidad velocidad de la pared pared para para los primeros primeros cinco incrementos incrementos de tiempo. tiempo.

10.70 El péndulo péndulo descrito descrito en el Ej. 10.8 se libera libera del reposo reposo 10.70 2°. Usando Usando I1t ilt = 0.01 0.01 s, calcule los valores valores del con (Jo = 2°. ángulo y la velocidad velocidad angular angular para para los cinco primeros primeros increángulo mentos de tiempo. tiempo. mentos

péndulo descrito descrito en el Ej Ej,. 10.8 se libera del reposo 10.71 El péndulo reposo Haciendo lineal la ecuación ecuación de movimiento, movimiento, con (Jo = 2°. Haciendo obtenga la solución solución cerrada cerrada para para el ángulo ángulo en función función del obtenga tiempo. Dibuje Dibuje una una gráfica gráfica y compare compare su solución solución para tiempo. para el ángulo en grados grados de t == O Oa t = = 44 s con la solución solución numérica numérica ángulo obtenida usando usando M ilt == 0.01 s. obtenida 10.72 En el diseño inicial de una una pared pared de protección protección con10.72 tra explosiones, se supone supone que la pared pared se comporta comporta como como un tra explosiones, oscilador resorte-masa resorte-masa con masa constante de oscilador masa de 300 slugs y constante resorte de 10 klb/ klb/pie. fuerza de la explosión explosión ejercida ejercida soresorte pie. La fuerza klb.. Usanmodela con la función F = 20te-4t41 klb Usanbre la pared pared se modela

P10.72 Pl0.72 10.73 10.73 miento miento de t = =

Usando ilt = 0.001 s, obtenga Usando I1t obtenga gráficas gráficas del desplazadesplazay velocidad 10.72 velocidad de la pared pared descrita descrita en el Probo 10.72 O S. Oa t = = 22 s.

Resumen del capítulo Resumen del capítulo Sistemas conservativos conservativos Las pequeñas pequeñas vibraciones vibraciones de muchos muchos sistemas conservativos conservativos de un grado grado de libertad libertad relativas relativas a una una posición posición de equilibrio equilibrio están están regidas regidas por por la ecuación ecuación Ec. Ec. (10.4)

donde donde ww es una una constante constante determinada determinada por por las propiedades propied~des del sistema. sistema. Su solución I solución general general es xx = cot = Asen A senwt

+ BB cos cos cot wt,,

Ec. Ec. (10.5)

donde donde A Y y B son son constantes. constantes. Su solución solución general general también también se puede puede expresar expresar en la forma forma xx = = EE sen(úJt sen(wt - cf»,
Ec. Ec. (10.6)

donde donde las constantes constantes EE yy cf> cJ> están están relacionadas relacionadas con con AA yy BB por por A A= = Ecoscf>, Ecos
B= = -E -E sencf>. sen
La La amplitud amplitud de de la la vibración vibración es E =

J A2 + B 2 .

Ec_ (10.8) Ec.


Ec. Ec. (10.7)

RESUMEN RESUMEN DEL DEL CAPíTULO CAPíTULO

El periodo periodo El

de la la vibración vibración es es el el tiempo tiempo requerido requerido para para una una oscilación oscilación T7 de completa, oo ciclo. ciclo. La La frecuencia frecuencia natural natural ffes el número número de de ciclos ciclos por por uniunicompleta, es el r• dad de de tiempo. tiempo. El periodo periodo yy la la frecuencia frecuencia natural natural están están relacionados relacionados con con dad El w por por w 271: 211: r = -, r=-,

Ec. Ec. (10.9) (10.9)

W W

W

f = -. !=-. 271: 211: El término término

=

w w =

Ec. Ec. (10.10)

27rf 27rf se llama llama frecuencia frecuencia circular circular natural. natural.

Vibraciones amortiguadas amortiguadas Vibraciones Las pequeñas pequeñas vibraciones vibraciones de muchos muchos sistemas sistemas amortiguados amortiguados de un un grado grado de Las libertad libertad respecto respecto a una una posición posición de equilibrio equilibrio están están regidas regidas por por la la ecuación ecuación 2

d2xx

-

dt22 dt

dx dx

22

+2d+W + 2d- + W x =0. = o.

Ec. (10.16) Ec.

dt dt

Amortiguamiento subcrítico subcrítico Si d < w, se dice que el sistema sistema está está subAmortiguamiento críticamente críticamente amortiguado. amortiguado . En este caso, caso, la solución solución general general de la Ec. (10.16) es Ec. Ec. (10.19)

donde donde A Y B son constantes constantes y

Wd

está por está definida definida por

Ec. (10.18) Ec.

El periodo periodo y la frecuencia frecuencia de las vibraciones vibraciones amortiguadas amortiguadas son 271: 211: r =-, r=-, Wd Wd

Wd f!=-. = Wd. 271:

Ec.(10.20) Ec.(10.20)

211:

Amortiguamiento Amortiguamiento crítico y supercrítico supercrítico Si d > > w, se dice que el sistema sistema está supercríticamente supercríticamente amortiguado. amortiguado. La solución solución general es x == Ce-(dCe-Cd-h)th)t

+ De-(d+h)t, De-Cd+h)t,

Ec.(10.24) Ec.(10.24)

donde donde ee yy D son constantes constantes yy h está definida definida por Ec.(10.23) Ec. (10.23)

Si d == w, w, se dice dice que que el el sistem<1 sistema está está críticamente críticamente amortiguado. amortiguado. La La solución solución Si general general es es dt , ce:" ++ Dtetn«:",

xx == Ce-dt

donde donde

Ec.(10.25) Ec.(10.25)

ee y DD son son constantes. constantes.


525 525

526 526


Vibraciones forzadas forzadas Vibraciones

Las Las vibraciones vibraciones forzadas de de muchos muchos sistemas sistemas amortiguados amortiguados de de un grado de libertad están regidas regidas por la ecuación ecuación de d 22xx dt dt

-2 2 -

dx dt dt

dx 2 2dúJ a(t), + 2d+ ú.ix == a(t),

Ec. (10.26) (10.26)

X

a(t) es es la función función de excitación. excitación. La solución general de la Ec. (10.26) (10.26) donde a(t) las soluciones homogénea y particular: particular: consiste en las

La solución solución homogénea homogénea x Xh es es la soluci9n solución general de la Ec. (10.26) (10.26) con el el segundo miembro igual a cero, y la solución solución particular particular xp es es una solución (10.26). que satisface la Ec. (10.26). Si Si a(t) es es una función oscilatoria oscilatoria de

Función de de excitación excitación oscilatoria oscilatoria

la forma = ao senúJot senúJot aa(t) (t) =

cos úJot úJot,, + bboo COS

donde a particular es (Ec. 10.30) 10.30) aoo,, boo Y Wo son constantes, constantes, la solución particular 2

(úJ2 -- úJ6)ao _ [(úJ 2 2 2 [ (úJ -- úJ úJoo)) (úJ

xpp =

+ 2dúJ 2dúJOObbOO] ] sen 2 2 sen úJot + 4d 4d úJ úJoo 2

-2dúJoao -2dúJoao + (úJ (úJ2

+[

(úJ (úJ

2

--

2 2 úJ úJo) o)

úJ )bOO] ] úJ66)b

-

+ 4d 4d

2

2 úJ úJoo

úJot,, cos úJot

y su amplitud amplitud es (Ec. 10.31) 10.31)

La solución particular particular para para el movimiento movimiento de un sistema sistema amortiguado amortiguado en vibración sometido sometido a una una fuerza oscilatoria oscilatoria externa externa se llama llama también también vibración solución de de estado estado permanente. permanente. El movimiento movimiento se aproxima aproxima aa la solución solución solución de estado estado permanente permanente conforme conforme aumenta aumenta el tiempo. tiempo. de excitación excitación polinomial polinomial Función de

un polinomio polinomio de de la la forma forma Si a(t) es un

al' aa22,, ... aNN son son constantes, constantes, la la solución solución particular particular se se puede puede obteobtedonde al' . .. ,, a donde ner ner buscando buscando una una solución solución de de la la misma misma forma: forma: Ec. (10.32) (10.32) Ec.

donde donde Al' Al' AA2,2 , •••...,, AN A N son son constantes constantes por por determinar. determinar. http://carlos2524.jimdo.com/

PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO REPASO

527

o

6)

10.74 La masa masa de la barra barra esbelta esbelta mostrada mostrada es m. El resorte resorte está estirado estirado cuando cuando la barra barra está posición vertical. vertical. El no está está en posición collarín collarín ligero e e se desliza desliza sobre sobre la barra barra vertical vertical lisa, quedando quedando resorte horizontal. horizontal. Determine Determine la frecuencia frecuencia natural natural de las peel resorte queñas queñas vibraciones vibraciones de la barra. barra.

Considere el oscilador oscilador inmerso inmerso en aceite del Prob Proboo 10.77 . Considere 10.76. Si la masa masa se desplaza desplaza 0. 0.11 m hacia hacia la derecha derecha de su posición posición de equilibrio equilibrio y se libera libera del reposo, reposo, ¿cuál es su posición posición respecto tiempo? respecto a la de equilibrio equilibrio en función función del tiempo?

10.78 El disco escalonado su momento escalonado pesa 20 lb Y Ysu momento de inercia inercia es 11 == 0.6 slug-pie slug-pie-.2 • Rueda Rueda sobre sobre la superficie superficie horizontal. horizontal. Si e == 8Ib-s/pie, 8Ib-s/pie, ¿cuál es la frecuencia frecuencia de las pequeñas pequeñas vibraciones vibraciones del disco?

k

el

Pl0.74 PIO.74 Pl0.78 PIO.78

Una semiesfera semiesfera homogénea homogénea de radio radio R y masa masa m des10.75 Una cansa sobre sobre una una superficie superficie a nivel. Si se hace girar girar ligeramente ligeramente cansa posición de equilibrio equilibrio y se libera, libera, ¿cuál es la frecuencia frecuencia desde su posición natural de sus vibraciones? vibraciones? natural

descrito en el Probo 10.78 está ini10.79 El disco escalonado escalonado descrito cialmente en equilibrio, equilibrio, yen yen t == O Orecibe una velocidad velocidad angular angular recibe una cialmente horaria de 1 rad/s. rad/s. Determine Determine la posición posición del centro centro del disco horaria respecto a su posición posición de equilibrio equilibrio en función función del tiempo. tiempo. respecto escalonado del Probo 10.78 está inicialmente inicialmente 10.80 El disco escalonado una velocidad velocidad angular angular horaria horaria en equilibrio, equilibrio, y en t = O tiene una rad/s. Halle Halle la posición posición del centro centro del disco respecto respecto a su de 1 rad/s. posición de equilibrio equilibrio en función función del tiempo tiempo si e = 16Ib-s/ 16Ib-s/pie. pie. posición

PIO.75 Pl0.75

n

n n

frecuencia del oscilador oscilador resorte-masa resorte-masa mostrado mostrado es 10.76 La frecuencia oscilador se introduce introduce en un barril barril de aceite y de 4.00 Hz. El oscilador su frecuencia frecuencia es entonces entonces de 3.80 Hz. ¿Cuál ¿Cuál es el decremento decremento logarítmico de las vibraciones vibraciones de la masa masa en tal condición? condición? logarítmico

10.81 La plataforma plataforma P de 22 kg mostrada mostrada descansa descansa sobre sobre 10.81 cuatro rodillos rodillos que se modelan modelan como como cilindros cilindros homogéneos homogéneos de cuatro radios de 30 mm; k == 900 N/m. N/m. La plataforma plataforma está está 1 kg con radios sometida a una una fuerzaF(t) fuerzaF(t) = = 100 100sen 3tN. ¿Cuáles ¿Cuáles la magnitud magnitud sometida sen 3tN. vibración horizontal horizontal de estado estado permanente? permanente? de su vibración

a

lOkg PIO.81 Pl0.81 PIO.76 Pl0.76


528

CAPíTULO CAPíTULO 10 VIBRACIONES VIBRACIONES

10.82 En t == O, la plataforma O,la plataforma del Probo 10.81 10.81 está está 0.1 m a la derecha derecha de su posición posición de equilibrio equilibrio y está moviéndose moviéndose hacia hacia la derecha derecha a 2 mis. mis. Deter\nine Deterinine su posición posición respecto respecto a su posición posición equilibrio en función función del tiempo. tiempo. de equilibrio masa m están están inicialmente inicialmente en reposo. reposo. La 10.83 La base y la masa somete a un desplazamiento desplazamiento vertical vertical h sen w¡f w¡f respecto respecto base se somete posición original. original. ¿Cuál ¿Cuál es la magnitud magnitud de la vibración vibración de a su posición estado permanente permanente resultante resultante de la masa masa m respecto respecto a la base? estado

remolque del Probo 10.84, sin incluir incluir sus ruedas ruedas y 10.85 El remolque eje, pesa 1000 1000 lb. La constante constante del resorte resorte de su suspensión suspensión es lb/pie y el coeficiente coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento de sus k = 2400 lb/pie amortiguadores es c = 200 lb-s/pie. lb-s/pie. Los parámetros parámetros de la supersuperamortiguadores camino son h = 2 pulg y A = 8 pies. La velocidad velocidad ficie del camino horizontal remolque es uv == 6 mi/h. mi/h. Determine Determine la magnitud magnitud horizontal del remolque vibraciones verticales verticales de estado estado permanente permanente del remolque remolque de las vibraciones respecto a la superficie superficie del camino: camino: (a) ignorando ignorando el amortiguaamortiguarespecto miento debido debido a los amortiguadores; ignorar el amortiamortimiento amortiguadores; (b) sin ignorar guamiento. guamiento.

Pl0.83 Pl0.83

PlO.84la masa masa del remolque, remolque, sin incluir incluir sus 10.84 En la Fig. PlO.84la ruedas y eje, es m y la constante resorte de su suspensión suspensión ruedas constante del resorte analizar el comportamiento comportamiento de la suspensión, suspensión, se suposupoes k. Para Para analizar altura de la superficie superficie del camino camino respecto respecto a su altura altura ne que la altura sen(27rx/A). Suponga Suponga que las ruedas ruedas del remolque remolque media es h sen(27rx/A). permanecen sobre sobre el camino camino y que la componente componente horizontal horizontal permanecen velocidad es U. V. Ignore Ignore el amortiguamiento amortiguamiento debido debido a los de su velocidad amortiguadores de la suspensión. suspensión. amortiguadores Determine la magnitud magnitud de la vibración estado permanente permanente (a) Determine vibración de estado vertical del remolque remolque respecto a la superficie superficie del camino. camino. velocidad uv ocurrirá ocurrirá la resonancia? resonancia? (b) ¿A qué velocidad

Pl0.84 Pl0.84


y

es us

Repaso de matemáticas matemáticas

•...••.•..•...•..•... ~ Apéndice A

Álgebra A.l A. 1 Álgebra Ecuaciones Ecuaciones cuadráticas cuadráticas

Logaritmos Logaritmos naturales naturales

Las Las soluciones soluciones de la ecuación ecuación cuadrática cuadrática

El logaritmo natural natural de de un un número número real real positivo positivo x se dedeEllogaritmo nota con define como número tal tal que que nota con In x, y se define como el número

1-

22

ax ax

+ bx bx + e = =O O

1nx = x, e1nx = x,

son son

= x =

+b ± ± vb vb22 -b 2a

-

-------------

donde .. es la donde e == 2.7182_ 2.7182 ... la base base de los los logaritmos logaritmos naturales. naturales. Los logaritmos logaritmos tienen tienen las las siguientes propiedades: Los siguientes propiedades:

4ae 4ae

ln(xy) = lnx ln(xy) = lnx

+ lny, lny,

ln(x/y) = lnx -lny, ln(x/y) = lnx -lny,

InyX lny. ln y" = = x lny.

A.2

Trigonometría Trigonometría

Las funciones funciones trigonométricas son Las trigonométricas para para un un triángulo triángulo rectángulo rectángulo son

1

b 1 cos aex == cos -- - ==-,-, sec aex sec e

a

sena ex = = -- - = =-, sen - , ese csc aex e b

a tan aex == - 1- === _. tan cot aex b cot _o

El seno seno y el coseno satisfacen la El coseno satisfacen la relación relación sen-2 aex + cossen cos 2 aex == 1, seno y el coseno suma y diferencia ángulos satisfacen satisfacen las y el seno coseno de de la la suma diferencia de de dos dos ángulos las relaciones relaciones seruo sen(ex senfo sen(ex costo cos(ex costo cos(ex

sen aex cos + (3) == sen cos {3 {3 + cos cos asen ex sen (3, sen aex COS - (3) == sen cos {3 {3 - COS COS asen ex sen (3, sen asen + (3) == COS COS a ex COS COS {3 {3 - sen ex sen (3, {3 + sen sen asen - (3) == COS COS a ex COS COS {3 ex sen {3.

La ley de los La los cosenos cosenos para para un un triángulo triángulo cualquiera cualquiera es e

e22 == a22 + b22

-

2ab 2ab cos cos aexcc, ,

senos es y la ley de los senos b

sen ex c • sen ac. e

529 529


530

REPASO DE DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS APÉNDICE A REPASO

Derivadas A.3 Derivadas t

d

'

-x" nxn-11 -x" = nx"dx dx

d 1 -Inx =--lnx = dx x dx

x

d dx senx senx = = cosx cosx dx

-senhx = coshx coshx senhx = dx dx

d cosx = = -sen -sen x - cosx dx dx

d - coshx coshx =senhx =senhx dx dx

d 11 --tanx=-tanx = -2dx cos- Xx dx cos

d - tanh x = = sech/ sech 2 x dx dx

d

Integrales A.4 Integrales

If If If If

X"+1 x"+1 x't dx = =-x"dx -n+l n+l

=1=-1) (n =1= -1)

dx = = ~(a ~(a + bx)3/2 bx)3/2 + bX)I/2 bx)I /2 dx

3b

x(a x(a

1(1

I

dx = _ 2(2a 2(2a + bx) bX)I1/2 /2 dx

+ a 2x 2)1 /2 dx

x(1

=

+ a 2x 2)1/2 dx

3bx)(a 3bx)(a 15b22

bx)3/2 + bx)3/2

~ [X(1 + a2x2) 1/2 + ~ In [ x + (:2 + x 2) =

~

(:2 + y/2 x2

1/2]

1 [ ( 1 --In - 8a 8a33 In x+ x + -aa22 +x + 2X2 ) 1/2]

I I f

x(l-a 2x 2)1/2dx = x2(a 2 - x2) 1/2 dx

(1

dx

+ a2x2) 1/2 =

sen x dx = = -cosx - cos x senxdx

feoscosxdx x dx = senx sen x

1 dx = Inx xx - 1dx = lnx

(a(a

If I If If 1/2] 1 If I

-~ (:2_ x 2y

= -~x(a2 -

1 [ ~In x+

/2

2 11 sen x dx dx = -- - senx senx cosx cosx

2 2

2 1 dx = - senx sen x cosx cos x cos x dx

22

1 1 + -x -x

2 2

-1 x + -x 2 2

-~

sen3 x dx xtsen/2 x dx = -~ cos cosx(sen

If If If If If

x2)3/2

2 ) 1/2] ( 1 a2 +x


3

3

cos X dx

+ + 2) 2)

= ~ sen x (cos2 x + 2)

4 3 xdx = = -x -x cos xdx 8

1 1 -sen2x + -sen4x -sen4x + -sen2x 4

(senx)" +1 (senx)"+1 sen" senil x cos x dx dx = --'------'---n+l n+l senhx senh x dx dx = coshx coshx coshx coshx dx dx = senhx senhx tanhx tanhx dx dx = In coshx coshx

32

(n =1= =1= -1) -1)

A.6 A.6 ANÁLISIS ANÁLISIS VECTORIAL VECTORIAL

531

de Taylor A.S Serie de La serie de Taylor de una función f(x) f(x) es 1 1 2 2+ 3 3 +"', fea + x) = fea) + f'(a)x + f"(a)x + - f"'(a)x f"'(a)x + " ', fea + x) = fea) + f'(a)x + - f"(a)x 2! 3! 2! 3!

donde las primas indican derivadas. Algunas series series de Taylor útiles son 2 xx2 x33 eX = l + x+-+ - + ··· eX=l+x+-+-+··· 2! 3! 2! '

11 11 2 2 -- -(cos sen {a + x) = - (sena)x - (cos a)x a)x3 3 + + .... .. , sen{a + x) = sen sena ++ (cos (cos a)x a)x - -(sena)x

2 2

66

1 1 1 1 2 2 + -(sena)x 3 3 +"', cosCa - (cosa)x - (sena)x cos(a + +x)x) = = cosa cosa - (sena)x (sena)x - -(cosa)x +"',

2 2

1) (( cos1)

tan(a x) = + tan(a++ x) = tana tana+

2--2-

cos a

X

6 6

2 (sena) + (sena) - 3+ --3xx2

cos a

2

2 sen a sen al) l )

3

+ -+ x + ··· +--+ x+···. (( -cos 3 cos . cos"4 a cos?2 a

A.6 Análisis vectorial vecforial Coordenadas Coordenadas cartesianas cartesianas

Coordenadas cilíndricas cilíndricas Coordenadas

El gradiente de un campo escalar ljr 1/1 es es

1/1 es El gradiente de un campo escalar 1/1

a 1/1 1 a1/l a 1/1 er + - - ee + - ez· ar r ae az

V 1/1 = -

La divergencia y el rotacional rotacional de un campo vectorial v= = Vxx ii ++ vyj vyj + + Vzz k son aV aVxx axx

La divergencia y el rotacional rotacional de un campo vectorial vv = VI' eil + V Vr eel'r + Vil Ve ee Vzz ezz son

aV av,.r ar ar

av avyy av avzz +az '' ''ay ay az

ñ

jj

Vxv Vxv==

aVe r ae ae

u, VI' r

1 aViI

av avz az az

z V·v = - + - + - - + - , V·v=-+-+--+-,

V·v =-+ V·v=-+-+-

k

~~~ ~~~

V x

ax ay ay az az ax Vxx v vyy Vzz

v=-

1

r

a

---

a

a

ar ar ae ae az az VI' rViI Vz


~~

Propiedades de áreas y líneas

Apéndice B •

8.1

Áreas

Las coordenadas del centroide del área A son

y

---.--1_--+_

~ A

_

y

i

xdA

x = idA'

l~ __

_i

YdA

y = idA'

+--_-x

°f------x

El momento de inercia respecto al eje x, Ix, el momento de inercia respecto al eje y, Iy, Y el producto de inercia Ixy son

y

t----a--~

t., = i xydA. El momento polar de inercia respecto a O es lo

=

2 r dA

i

=

(x2 + y2)dA

i

= t, + t; Área

,

Area y

=

triangular

1 "2bh

_ 1 Ix' - -bh 36

3

y'

-b

'1

T

¡

I

lh

x'

~x

2

tor-~bÁrea rectangular

Área

= bh

Área circular

1 2 2 Ixy = ¡b h

I = ~bh3 x 3 '

Iy'

=

1 3 12hb , y'

Área = n R?

Ix'y' = O

Ix'y' = O

-r

y'

h

I

x'

---'--:+-iJ"'r--I---

x, x'

Área triangular

,

1 Area = -bh 2 1 I = -bh3 x 12

Área '

I

y

=

~rr R2 2

Área semi circular

= ~hb3 4 '

532

l. = (~-~) y


8

9rr

R4

'

Ix'y' = O

8.2 B.2 LíNEAS liN EAS yy

TI TI

R~

R~

lUJ-x l~LUx 1~ ~

xx

~ j~ ~

Área Área de de un un cuarto cuarto de de elipse elipse

Área de de un un cuarto cuarto de de círculo círculo Área

,, 1 Area ab Area = = =tt - nab 44

Ix

=

Iy

=

1 4 16n R ,

Ixy

1 3 3 I1 = = -Jrab - nab

1 4

= gR

16

xx

1

3

t, = 16Jra b,

'

yy

1 22 22 t., bb Ixy = = 8a ga

yy

R/) R/?

+

~a ':--1----t---x x .:- -+-- ~ --+--

~a

O

~

a

y=cx" y =ex n

(n + l)cb" l)eb n 4n+2 I 4n+2 --L . -L _

__~ ~

L-~ __ ~I_-L--xx L-~~~~I--~-

r~(:+}r~ r ~(:++Xb=W

2Rsena

~

Tímpano Tímpano

Sector Sector circular circular

,

cb

++11

nn

Area =-Area = --n+l n+ l

aR22

Área Área = = aR 11 4 11 1 4 Ix (a Ix = = --RR4(a(a - -sen -sen 2a), Iy == --RR4(a 4 2 4

11 + --sen sen 2a), Ixy Ixy = =O 2

cbn+3 Iy=--, n+3

8.2 Líneas coordenadas del centro centroide Las coordenadas id e de la línea LL son

y

_ _i¡ ¡i

LL

Jr S,

xdL xdL

x ==

y

zz

dL dL ''

_i ¡i

YdL ¡ydL

_

Yy ==

dL dL ''

_i¡ _ ¡i

z ==

xx

yy

yy

~--+--+---'-xx --¡--+---+---'--

yy

~--+-~íN--x

~---+------'t~- x

2R

Arco Arco semicircular semicircular

Arco de de un un cuarto cuarto de de círculo círculo Arco


Arco circular

zdL zdL dL . dL

533 533

L;;......,;.;..,...~

Apéndice Apéndice •t

e 1~"""'""_ _-'-'-'. Propiedades Propiedades

de volúmenes y homogéneos cuerpos homogéneos Los momentos masa de los cuerpos momentos de inercia inercia de masa cuerpos en un sistema coordenado coordenado x yy ZZ son sistema

y

z

x

(y2

lI (eje (eje y)

= Iyy = = Iyy =

(x2 (x

1 I (eje

= Izz Izz =

2 (x2 (x

z) l)

t., = Ixy = t.; = I zx =

Ix'y' Ix'y'

/.(eje x') [,(ejex')

z'

y2) dm, y2) dm,

i.; = Iyz =

xydm, xydm,

i L

yz dm, yzdm,

zx dm, zxdm.

lI (eje y') y') = = lI (eje z')l ') = =

1

2 12 12 m1 mi 2, ,

= Iy'z' Iy'z' = Iz'x' Iz,x' = O.

y' y'

Ixy Ixy

Z2) dm, Z2) dm,

= Iyz Iyz = Izx I zx = O. O.

lI (eje x') x') = O, 0, Barra Barra esbelta

iL iL

2

Z2) dm, Z2) dm,

1 lI (eje y)y) = = lI (eje z)l) = = 3m12, 3m12,

lI (eje (eje x) = = O, 0, Ixy I xy

i (l + L iL + =i L+

(eje x) x) = = i., Il (eje Ixx ==

=

I(eje y') I(ejey')

=

1 2 ¡mR ¡mR ,

= Iyz Iy z = Izx In = O.

x'

Placa Placa circular delgada

1 = -mh - mh2 2 lI (eje (eje x)x) =

3

1

t.; Ixy = = ¡mbh, ¡mbh , I(ejex') I (eje x')

534 534

Ix'y' Ix'y'

I(eje I(eje y) y)

' Iyz Iyz

1 22 -mb,, = -mb 3

I(eje I(eje z) z)

= = Izx In = = O.O.

1 22 = = -mh 12 mh , 12

1 (eje y') l(ejey')

= Iy'z' Iy'z' = Iz'x' Iz'x' = O. O.


=

1 22 -mb 12mb, , 12

I(eje I(eje z') ,')

1 1 2 2 = +h2) = -m(b -m(b +h 2 ), 12 ' 12

APÉNDICE APÉNDICE C C

m m

yy

m m

AA

I xy = = t.,

m m

AA

AA

1I (eje (eje x) (eje z) l) = = II(eje xl

= AA Iy' Iy, =

I(eje y) I(ejey)

=

535 535

+ + I(eje I(eje y) y)

= O.O.

Iyz = Izx I zx = Iyz

Ixy, AA Ixy'

(Los (Los superíndices superíndices A denotan denotan momentos momentos de de inercia inercia del' del" área área transversal .transversal A de de la la placa.) placa.) A zz

xx

Placa delgada delgada Placa

Volumen= abe. abe. Volumen= 1 2 I(ejex') I(ejex') = = 12m(a2+b2), 12mea2 + b ),

y'

I '(ejel') I'(eje z')

I(ejey') I (eje y')

1 = 12m(b2 12meb2+e2), = + e2),

1 22 22 = e ), = 12m(a 12mea + +e),

Ix,y' Ix'y' = = Iy'z' I y'z' = = Iz'x' Iz'x' = = O. O.

Prisma rectangular rectangular Prisma

Volumen= Volumen= lr T( RR221.1. I(ejex) I (eje x ) = = x

I xy = Iyz I yz = Izx I zx = O. O. Ixy

II(ejex') (eje x') = = II Cilindro circular

= =

(eje (eje y')

m m

22 + ¡R 2) , 41 R 2)

1 ( 1211

I(eje I(eje z') l ')

1

2

mR 2 = = '2-mR 2 , '

Ix' y' = IIy'z' Ix'y' y'z' = Iz'x' I z'x' = O. O.

1

Volumen= 3T( -lr R22h. Volumen= h.

y

3

lh

y'

(~/22 ~ 2)2),,

1 1(eje (eje y) y) =m = m ( '31 +¡R + 1R

4

(eje x) I (eje

x

3 2 3 2) :5 h 2 + 20 20 R = m (35 ,

(eje y) I (eje

m

O. IIxy yz = IIzx xy = IIyz zx = O.

II

(eje (eje xx))

Cono Cono circular

=

I

== I

(eje (eje y')

==

m m

3 22 3 R 2) , (:Oh h + ;OR2), ( 80

20

IX'l = IIy'z' O. Ix'y' y'z' = Iz'x' = O.

y'

44

3

Volumen= 3T( '3lr R . Volumen=

II (eje (eje x') x')

I (eje (eje y ' ) = 1 (eje z') z') = I (eje y')

Ix'y' = = IIy'z' = IIz'x' = O. O. lx'y' y'z' = z'x' = xx''

zz' Esfera Esfera


2 2 2 = -mR ,' = 5 5-mR

3 2 2 -mR I (eje (eje l) z) = -mR 10 10 '' 3 22. (eje z') z') = = -mR -mR II (eje 10 10

•

Apéndice O 1---_...1

w..o.••••.•.•••.• ~~~

I

Coordenadas esféricas

e

Este apéndice resume las ecuaciones de cinemática y cálculo vectorial en coordenadas esféricas.

z

Los vectores de posición, de velocidad y de aceleración son r

=

re,., dr

difJ

dt

dt

2

----y

x

a

=

dr [ dt2

-

r

1.

de +r-senifJelJ, dt

v = -er +r-e",

(difJ)2

di

-

dr dd: + [ r-d2ifJ +2-dt? dt dt d2e + [ r-senifJ dt?

r

1.

(de)2

2

di

-r

(de)2 dt

senifJcosifJ

]

1. e", 1.

+ 2r--dd: de cosifJ ] elJ. dt dt

dr de + 2--senifJ dt dt

El gradiente de un campo escalar

1. 1.

]

sen ifJ e,

1.

1. I.

1/; es

1.

La divergencia son 'V. v

y

rotacional de un campo vectorial v 1 a r ar

= --2

1 a (v",senifJ) rsenifJ aifJ

2

(r vr) + ---

1 'Vxv=--r2senifJ

er a ar Vr

re", a aifJ r o¿

= vrer

+

voeo

+

v.pe~

e

1 + ----,

aVIJ rsenifJ ae

rsenifJelJ a -

ae rsenifJvlJ

2. 2. 2. 2.

2.

2.

2.

2.

2.

2.

2.

2.

2.

2.

2.

2.

536


Respuestas a los problemas problemas pares pares 2.426.98 2.426.98 mi. mi.

Capítulo Capítulo 1

= ~(1 ~(1

- e-2e2c').S) . (b) uv22

=

1.22.7183 1.22.7183

2.44 (a) uv2 2.44 (a)

1.40.950 1.40.950

2.46693 m. m. 2.46693

1.6 km/h. 1.6 (a) 36.7 36.7 pie/s; pie/s; (b) 40.2 40.2 km/h.

2.50 uv = 3 pie/s. pie/s .

1.8 ll mi/s. mi/s. 1.8 (a) 5000 5000 m/s; mis; (b) 3. 3.11

2.52 mis. mis. 2.52 k = 64 m33/s/s2,2 , uv = 2.52

1.10 g 1.10

= =

32.2 pie/s píe/s-.2 • 32.2

2.54 uv = -2(1 s2)112 mis. - 2(1 - s2)112 m/s.

m22••

1.12 1.12 0.310 0.310 m 1.14 1.14 2.07 2.07 x

106

1.16 G == 3.44 3.44 1.16

2.56 Vo Uo Pa. Pa. X

10-88 10-

Ib-pie /s1ug

2.62 r 2.62

±.J.J u~ ± v~ -

I I

gTRTT ln(s/ ln(s/ so). so). gTR

= 3i + lOj (pies) (pies). .

29 .3 m, m, y = 63 .3 m, m, ZZ = --58.0 58.0 m. m. 2.64 x = 29.3 63.3 2.66 179.4 pie/s. 2.66 179.4 pie/s .

1.22 (a) 491 N; (b) (b) 81.0 81.0 N. 1.22

2.680 2.6800 0

1.24 163 lb. lb. 1.24

=

45°, 45°, Rmáx máx

=

u~/g. v~/g.

2.7069.3 2.7069.3 pie/s. pie/s.

1.26-32 100 m. 1.26-32

2.72 2.72 (a) Sí. (b) No. No.

1.28 4.45 4.45 N = = 1 lb. lb. 1.28

2.7482.5 m. 2.7482.5 m.

2.76 R = 18.6 18.6 m.

Capítulo 2 Capítulo 2.2 (a) s = -0.31 -0.31 + 0. 0.15 (b) uv = --0.3 2.2 15 m. m. (b) 0.3 mis. m/s. 2.4 (a) C1s = 32 pie. pie. (b) uv = O, O, aa = 4 pie/s-. (e) uv = 16 pie/s, 2.4 pie/s 2 • (c) pie/s, pie/s-. a = = 4 pie/s:. 2.6 (a) C1s = 132 m. m. (b) (b) v u = 28 mis en I = 4 s. (c) (e) a a = O. O. 2.6 mis en 2.8 (a) 0.628 0.628 m/s. mis. (b) 3.95 3.95 m/s-, 2.8 m/s 2 • 2.10 (a) vu = 126 pie/s pie/s en en I 2.10 4.2 s. 4.2

= =

11.8 s. (b) (b) a 14.2 14.2 pie/s'' en I = 11.8 pie/s 2 en

2.12 s = 100 m, 2.12 m, vu = 80 mis. m/s . 8.07 pie/s pie/s-,2 , distancia distancia 8.07

2.16 0.0273 0.0273 s, C1s 2.16

=

2.60 2.60 (a) uv

•

1.20 51.2 51.2 lb. lb. 1.20

=

= pie/s == 24 500 mi/h. = 35 900 900 pie/s 500 mi/h.

2.58 2370 2370 mis. m/s. 2.58 2 2 lb-pievslug",

22 2 1.18 kg-m2/s /s; ; (b) (b) T = 73.8 1.18 (a) Las Las unidades unidades SI de de Tson Tson kg-m 73.8 slugslug2 2 2• • pie pie2/s/s

2.14 a

2gs. 2gs.

=

403 403 pies. pies.

= 1.20 1.20 pies. pies .

2.182.73 m/s. mis. 2.182.73 2.20 s = = 505 pies pies. . 2.20 2.22 s = 1074 1074 m, a = --24 24 m/s-, m/s 2 • 2.22 2.246.77 s. s. 2.246.77 2.26 Sí, el auto auto recorre recorre 94.7 94.7 m en en 5 s. 2.26 2.28 51.9 51.9 años años solares solares. . 2.28 2.30 (a) 45.5 45.5 s. (b) 3390.5 3390.5 m. 2.30 2.321010 s. 2.32 6.73 pie/s, pie/s, a = -8.64 2.34 vu = 6.73 -8.64 pie/s-, pie/s2 • 2e-2121 m/s. mis. 2.36 vu = 2epie/s. . 2.38 vu = 4 pie/s

0.9g e-el). c-(1 -- e-CI). 2 •.40 vu == --c-(1

2.78 2.78 v

= 0.602i 0.602i - 4.66j (m/s). 4 .66j (m/s).

2.80 VUxx = 1.77 1.77 mis, 2.21 mis, 0.89 m/s, uvy = 2.21 mis, VUzz = 0. 89 mis. mis. 2 2.82 0.414j (m/s (m/s-).). 2.82 a = = --0.099i 0.099i + 0.414j 2.86 (a) Positiva. (b) Aproximadamente rad en en 24 h. 2.86 (a) Positiva. (b) Aproximadamente 27r 271" rad h. 2.88 w = 4.54 0.98 rad/s-. 4.54 rad/s, rad/s, ex = 0.98 rad/s 2 • 2.90 (b) 148 148.5 2.90 (a) 27 rad/s. rad/s. (b) .5 rad. rad.

2.92 w w = ±2 ±2 rad/s. rad/s . 2.94 de/di 13.35j. de/dI = --8.82i 8.82i + 13.35j. 2.96 (a) al = = O, O, ann = = 200 (b) 50 rad/s. 2.96 (a) 200 m/s-. m/s2. (b) rad/s. 2.98 1730 rpm. (b) 3.01 3.01 rad/s-. 2.98 (a) 1730 rpm. (b) rad/s2 • 2.100 (a) Ivl 2.100 (a) 2.102 2.102

lvl Ivl

2.104 lvl 2.104 Ivl

= 16 pie/s, [a] = 66.0 66.0 píe/s-, pie/s, lal pieN . (b) 8 pies. pies .

= 1521 pie/s = 1037 1037 mi/h. = pie/s = mi/h.

= 1320 1320 pie/s, [a] = 0.0958 0.0958 pie/s-, pie/s, lal pie/s 2 •

2.10654.2 2.10654.2 m/s-. m/s 2 • 2.108 [a] 2.108 (a) lal

= 45.0 [a] = 59.9 59.9 pie/s", 45.0 pie/s-, pie/s 2 • (b) lal pie/s 2 . = 17.3e 17.3et t pie/s, 32.2enn pie/s píe/s-.2 . (b) (b) pp = 9.32 9.32 pies. pie/s, aa = 32.2e pies.

2.110 (a) v 2.110 (a)

2.112218 2.112218 m. 2.116 0.212et t mis, a 2.116 v = 0.212e m/s, a 2.118 alt 2.118 a

= 0.053e 0.053e l + 0.150e 0.150en n m/s-. m/ s2 . l

2

= O, ann = 0.426 0.426 m/s-. m/s .

== --23.78 11.84 pie/s-. 23 .78 pie/s-, pie/s2 , ann = 11.84 pie/s 2 . 2.122 (a) lal [a] = 22.36 (b) p = 6.03 6.03 pies. 2.122 (a) 22.36 pie/s-, pie/s 2 • (b) pies.

2.120 alt 2.120 a

II

2 2.124 (m/s-). ). 2.124 aa = gerr - 8eee (m/s 2.126 (a) Vu,r = 0.323 0.323 mis, Ue 2.126 (a) m/s, Ve (b) VUxx = 0.323 0.323 mis, (b) m/s, uvy


= 2.032 2.032 mis. mis. = 2.032 2.032 mis. m/ s.

537

538

RESPUESTASA LOS PROBLEMAS PARES

2.128 (a)

2.180 60.90 Y 74.10• 2.182 e = l.31 S-l. 2.184 (a) )

/

4, ) 3

M

)

V

~

.;'2 )

)!'---v J

2.130 (a) a = 5.97e, - 4.03eo (rn/s-). (b) a = 7.17Oi - 0.696j

o

0,5

(rn/s-),

~--------~------~ +

= ...J v~

2.134 v

= 1047.2eo + 586.7ez

Ti -

(w~ - K)(fl -

pie/s, a

Ti)e, +

rwoee'

= -219 324.5e, pie/s-.

2.136 a = -800e, km/s-. 2.138 2.36 x 106 s, o 27.3 días. 2.140

-

NO

2.154 (a) aAIB = O. (b) VAIB = -36.6i + 36.6j (pie/s). (e) = -56.8i + 56.8j (pies). 2.156 laA/BI = 283 píe/s", laBIAl

2.160

aBIA

rAIB

= 0.625 m/s",

= -5i - 8.66j

2.164 aA/B = -5i - 2j (pie/s-), 2.166 Velocidad = 44.36i -7.56j + 0.76j (pie/s-), 2.168 x = -4.99 pies.

(pie/s), aceleración

+

6.85i pie/s. Fot~/m.

3.10 27.8 pie/s-, 3.12 -372.7i + 275.8j (lb).

= l.32i

3.20 Velocidad = 8.05 pie/s, distancia 3.22 F = 331.1 N, a = 3.92 rri/s-.

3.28 (a) 2.1 pies. (b) 6.9 pies. 3.30 (a) a = -5 m/s-. (b) v = -2.24 mis. 3.32 (a) 1l.9 pies. (b) 813.2 lb.

REwk. ~

3.34 Y = -18.8 mm. 3.36 (a) 50

~

'6. ..;

4

3.40 F = 19.4 lb. o

I

I

I

2

3

I

4

3.72 pie/s en t

2.17800 = 33.40

=

3.42 Fx

=

-0.544 N.

3.440.284 s

" segundos

=

(b) 40.8 N. (e) 4.8i + j mis.

3.382.06 m/s- hacia arriba de la barra .

Ol...............!

V

S.

6

2

(b)

= 4.02 pies.

3.26 (a) 1200.3 N. (b) 4.12 mis.

lO,

2.176 (a)

=

3.24 4.43 pies hacia arriba sobre la superficie.

2.172 2.34 mis. = vAj

=

~3-.-16-0.023i + 1O.017j (lb).) 3.18 2.68 pies.

2.170 53.10 noroeste, 424.3 mi/h.

vAIB

3.6 v 3.8 x

n3.14 W = 88.29 kN, T = 6l.67 kN, L = 66.93 kN.

(m/s-).

2.162 aB = -41.6i - 24.8j (m/s-),

2.174

(b) [almín = 2.074 (m/s-) en t = 0.310 S. 2.186 lalmáx= 22.636 m/s? en r = 1.493 m, O = 20.490• 2.188 V = 42.3 mis. 2.19013.1 S. 2.192 68.65 pie/s. 2.194 lvl = 2.19 mis, [a] = 5.58 m/s-. 2.196 a = -2.75e, - 4.86ee (m/s-), 2.1981vMI = 7.65 km/s. 2.200IvC/AI = 37.0 pie/s. 2.202 w = ±29.64 rad/s. No.

3.2 r = 72.2i + 44.4j pies, v = 52.2i + 54.4j pie/s. 3.420Oi - 60k (N).

2.1462391 mis. 2.148 V2 - VI = 9693 pie/s, V4 - V3 = 2698 pie/s. 2.150 VAIB = -vBIA = -2Oi - lOj (m/s).

2.158

1.5

segundos

Capítulo 3

10.82 km/s.

=

~

I 1,

2.132 v

2.142 Vo

--

/

2.31

S.

3.46 Fuerza gravitatoria = 9660 lb.


=

6059.6 lb, peso al nivel del mar


3.50 70.9 lb.

3.96 10.5 lb. 3.98

::s: ~ ::s: 3.74 mis.

3.522.62

=

.J (Lo/ R)2

Lo/ R -

=

3.70

+

3.72

lvl = lvl =

=

138 lb.

=

sen 8, T

.J2gL

=

3.82

80

4.6 2.00 x 106 pie-lb/s,

4.12 U

/

//

IIr = 0.05 s,/Ir = 0.50 s")-

E 50 ¿ ~40

4.14 v

1'-/ / '/

o 3644 hp.

= ~m[(vo = 21.8 mis.

csrfm)2

- v~].

4.16 16.7 lb. 4.18 62l.l

//

;§ 30

//V

lb/pie.

4.20 5.35 lb/pie.

2O

4.22 k = 4288 N/m.

~/

~ ~ 1.5 2 2.5 1, segundos

0.5

107 slugs.

4.8 129 kN.

Solución exacta,

O

x

4.10 (a) 10.67 pie-lb. (b) 21.06 pie/s.

70

O

(b) 2.35

4.4 (a) 6.01 x 106 pie-lb. (b) 4555 lb.

2mw~.

10

(N).

4.2 (a) 2.37 x 106 tons (2.37 megatons).

3mg sen 8.

0.202ee (lb).

60

+ 2.55 eo

-10.7 e,

Capítulo 4

3.74 P-s = OA06. La masa se desliza hacia O.

3.78 k

17.5 lb.

3.110 5.46 pie/s",

3A4ee (N).

-

=

3.108 EF

16.6 pie/s.

3.76 -1.476er

=

3.106 9.30 N.

-138 lb, EFe

3.68 9A6er

T

3.104 17.0 pie/s".

3.62 400.5 pies. 3.64 11.4 rn/s-. 3.66 EFr

pie/s-,

3.102 tan a = v2/(pg).

(2vo/ R)t .

-

= 4.02

aA

3.100 29.7 pies.

3.54 (a) 207 055 lb. (b) 41 725 pies. 3.56 (a) 401.2 pie/s. (b) 450.0 lb hacia abajo. 3.60 8

539

3

3.5

4.24 (a) 1.55 m. (b) 1.74 mis. 4

=

4.26 (a), (b) Trabajo

588.6 N-m, v

=

6.26 mis.

4.28 v = 1.72 mis. 3.84

Tiempo,

s

Posición,

=

22.5 pies,

3.88

=

Vx

/'

0.2

O. 1

mis

0.0000 -0.0100 -0.0200 -0.0300 -0.0400 -0.0500

= arccos(2/3).

4.48 0.8 pies.

\

= 7.03 mis.

o

4.52 5.77 mis. 4.54 4.90 mis.

/ <,V o

-0.1

o 35.9 mi/h.

4.40 2.33 kN.

"-0.0 5

-o, 2

89.6 N-m, v

4.38 T = 3mgsen a.

E

-0.2 5 -0.2

4.58 0.1

V2

4.56 129.0 pie/s.

/

VA

= 16.4 pie/s.

4.60 4733 pie/s.

0.2

x, metros

=

4.36 52.7 pie/s,

4.50

1\ \

=

4.34 21.0 mis.

0.05

-0.1 5

e

4.32 (a) 932.9 N. (b) Trabajo

4.46 1 pie.

\

,1

1.14 mis.

g

-o. 1

3.90

=

4.44 a

r--....

I

4.30 v

4.42 (a), (b), (e) 63.4 mis.

23.1 pie/s.

0.25

0.15

Velocidad,

1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9994 0.9990

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 3.86 x

m

4.62 2.25 x 1010 N-m. 4.64 P

0.0217.

=

-117,333

=

pie-lb/s.

3.92 (a) FI = 63.1 kN, F2 = 126.1 kN, F3 = 189.2 kN. (b) FI = 75.1 kN, F2 = 150.1 kN, F3 = 225.2 kN.

4.66

3.94 14 309 pies (2.71 mi).

4.70 (a) 7.72 m. (b), (e) 6.48 m.

Pmedia

10.58 kW.

4.68 1.78 x 105 pie-lb/s,


o 323 hp.

=

1.06 mis

540 540

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROBLEMAS PARES PARES RESPUESTASA

4.72 4.72 60°. 60°.

5.16 5.16 10.7 10.7 pie/s. pie/s.

4.74 N. 4.74 (a) 686.7 686.7 N. (b) t882.9 t882.9 N.

5.18 5.18 -:-7.07i + 7.26j 7.26j (m/s). (m/s).

4.76 W 4.76

[1 + .JI .)1 + 4CjW 4C/W l l [1

5.20 5.20 (a) (a) - 100j 100j (lb-s). (lb-s). (b) (b) v = 20i 20i - 29.8j 29.8j (pie/s). (pie/s). 5.22328 5.22328 lb. lb. 5.24 .0 lb pieN. 5.24 (a) (a) 1913 1913.0 lb.. (b) (b) 22 pie/s-.

4.78 = ~kS2 4.78 V = ~kS2 + iqS4. ~qS4. 4.80 v 4.80

2.30 m/s. = 2.30

5.2675.1 600 peso del 5.2675.1 lb (aproximadamente (aproximadamente 600 veces veces el peso del reloj) reloj). .

4.82 v = 8.45 8.45 pie/s. pie/s. 4.82 4.84 (a) V = pos6 4.84 pos6 AsI-y ASI -Y /(y /(y - 1). (b) v

= J2pos6 J2pos6 A A(s¿-Y (s¿-y -

5.28 La La fuerza fuerza horizontal horizontal es 0.234 0.234 N, la vertical vertical es 0.364 0.364 N. 5.28 N, la N. 5.30 0.35 i + 5.30 --0.35 + 122.96 122.96j j (N). (N).

s l-Y)/ [m(y - 1)]. sI-Y)/[m(y 1)].

5.32 5.32 (a) 0.00057 0.00057 mIs. mIs. (b) 0.00343 0.00343 m.

= 11.0 1l.0 km/s. km/s. 4.88 pie/s. 4.88 Ve = 9423 9423 pie/s. 4.90 N. (b) N-m para para cualquier 4.90 (a) (a) F = = 4xi 4xi - j N. (b) El El trabajo trabajo es --11 N-m cualquier 4.86 4.86 v

trayectoria trayectoria de de la la posición posición 1 a la la 2. 4.92 4.92 F = = -[k(r -[k(r - ro) + + q(r q(r - ron ero e..

ron

4.94 (a) (a) F (sen O O -- 2r 2r cos cos-2 O)e r + (cos (cos OO + 2r 2r sen sen O O cos cos O)ee. OJee. 4.94 F = (sen El trabajo trabajo es 2 pie-lb cualquier trayectoria trayectoria de de 1 1aa 2. 2. (b) El pie-lb para para cualquier 4.98 (a) (a) y (e). 4.98

4.104 8.01 pies. 4.104 pies .

4.112 Se debe debe escoger escoger la estrategia estrategia (b). La La velocidad velocidad de impacto impacto 4.112 11.8 mis, mis, el trabajo trabajo es --251.3 kN-m. En En (a), (a), la velocivelocies 11.8 251.3 kN-m. dad de de impacto 13.9 mis, mis, el trabajo trabajo es --1l9.2 kN-m. dad impacto es 13.9 119.2 kN-m. 4.114 v = 2.08 2.08 mis. mis. 4.114 4.116 (a) 14.3 14.3 x 107 pie-lb. (b) pie-lb. (b) 4.116 4.118 k = 163.3 163.3 lb/pie. lb/pie. 4.118 4.120 (a) k = 809.0 809.0 N/m. N/m. (b) 4.120

V2

v

= 88(1 -

6.29 = 6.29

88m)(). e-(FoI88m e-(FoI )/) .

2.)(1cos(3)/(1cose) - 1. = 2.j(1cos(3)/(1cose) v~ = i + + j (m (mIs), v~ = - i + + j (mIs). (mIs). v'A Is), v~

5.60 5.60

5.64 e 5.64

= 0.304. 0.304.

5.66 2.30 2.30 m. 5.66 5.68 Vs = 35.3 35.3 mIs. mIs. 5.68 5.70 2.19 2.19 pie/s. 5.70 pie/s. 5.72 v = 120i 120i + + 40j 40j - 30k(pie/s)o 30k (pie/s) o v 5.72 30 k (pie/s). (pie/s). 30k 2 5.74 (a) --1440k (kg-rrrvs). mIs. 1440k (kg-m /s). (b) 1.2 m Is. 5.74

m/s. m/s.

0.179 m. = 0.179

4.124 4.39 4.124 4.39 pie/s. pie/s. 27.9°. (b) ee = 27.9°. = 4.73 4.73 pie/s. pie/s.

0.77. = 0.77.

5.58 e 5.58

4.110 (a), (a), (b) (b) 193.2 193.2 pies. 4.110 pies.

VI VI

5.44 e = 0.2, 0.2, v~ OAVA' v~ = O.4VA' 5.44 5.46 2.5 pie/s la derecha. derecha. 5.46 pie/ s a la

5.56 Casco: Casco: 1.09 1.09 mis derecha; cabeza: cabeza: 1.07 1.07 mis mis a la izq. izq. 5.56 mis a la derecha;

4.108 P = --88 578000 578000 pie-lb/s. 4.108 pie-lb/s.

4.128 4.128

mB/m). . + ms/m)

5.42 s) . (b) 6i 5.42 (a) 30j 30j (mm/ (rnrnls). 6i + + 6j 6j (m). (m).

5.54 e 5.54

6.32 mIs. mIs. = 6.32

4.126 (a) 4.126

5.38 v = ,j2P,kgD(1 5.38 J2 p,kgD(1 5.40 pie/s. 5.40 1921 pie/s.

5.50 A: 107.6 pie/s-; 68.4 pie/s". 5.50 A: 107.6 pie/s 2 ; B: 68.4 pie/s 2 • 5.52 VA VA = 7.70 7.70 m mIs. 5.52 Is.

4.102 58.7 58.7 mm, rnm, 1277.6 1277.6 N-mIs (watts). 4.102 N-mIs (watts).

4.122 h 4.122

5.36 5.36 Velocidad Velocidad = 6.96 6.96 km/s, km/s, (3 = 0.174° 0.174°. .

5.48 A: izquierda; B: 8.5 8.5 pie/s la derecha. 5.48 A: 3.5 3.5 pie/s pie/s a la izquierda; pie/s a la derecha.

4.100 552.5 552.5 rnrn. 4.100 mm.

4.106 v 4.106

5.34 (a), (b) 1.63 pie/s. 5.34 pie/s.

5.76 v v=-voe r+ r + 5.76 = -voe

159.0 lb. (e) 221.9 221.9 lb. 159.0

=

-120i - 40j + + -120i-40j

3 «(1/2)rot2 2 - (l/3)vot (1/3)vot3)C «(l/2)rot )C ee. ee. (ro - vot)m vot)m (ro

5.78 2.31 2.31 m. 5.78

4.130 1.02 m. 4.130

5.80 0.111 0.1l1 rpm rpm. . 5.80

4.132 24.8 24.8 pie/s. 4.132 pie/s.

5.82 1vrl IvA == 11 549 549 pie/ pie/s,s, 5.82

4.134 (a) v = O. O.(b) v = =.).jgRE/2 gRE/2 = 18348 18348 pie/s, 012 510 mi/h mi/h. . 4.134 pie/s, 012 4.136 (a) 11.34 11.34 MW MW (megawatts). (megawatts). (b) 9.45 9A5 MW. MW. 4.136

5.86 625.1 625.1 pie-lb. 5.86 pie-lb. 5.88 750 750 N. 5.88

IVel

= 9428 9428 pie/s. pie/s. =

5.90 (a) 35li-849j 35li-849j 1200i-1200j (N). (e) 2400i 2400i (N). 5.90 (N). (b) 1200i - 1200j (N).

Capítulo 5 5 Capítulo

5.92 0.486 OA86 k (pie-lb). (pie-lb). 5.92

5.2 (a) 27.3 27.3 klb-s. klb-s. (b) 4555 4555 lb. 5.2

5.94 51.9i 51.9i-282.2j 5.94 - 282.2j (N).

5.4 (a) 1000 1000 lb-s. lb-s. (b) 107.3 107.3 pie/s, 73.2 mi/h. mi/h. 5.4 pie/s, o 73.2

5.96 1.435 1.435 km/s. km/s. 5.96

5.6 5.6 (a) 180i 180i - 120j 120j + + 40k 40k (N-s). (N-s). (b) lOi lOi - 6j 6j + + 4k 4k (mIs). (mIs).

5.98 (a) (a) 1.87 1.87 km/s.--{b) km/s.ub) 1.946 1.946 km/s. km/s. (e) 1.797 1.797 km/s. km/s. 5.98

5.8 (a) 75 klb-s, (b) 8 s. 5.8 klb-s . (b)

pie/s. 5.10 5.10 32.2 32.2 pie/s. 5.12 (a) 221.7 221.7 N-s. mIs. 5.12 N-s. (b) 1.85 mIs. 5.14 0.192 0.192 s. 5.14

5.100 5.100 (a) F

12/32.2 = 3s ++ 12/ 32.2 lb.

5.102 v = = vo/[l + (PL/2m)s]. (PL/2m)s]. 5.102 5.104 6815 N. 5.104 6815 5.106 4095.7 4095.7 lb. 5.106


25A9 pie-lb. (b) 25.49 pie-lb.

RESPUESTAS RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROBLEMAS PARES 5.108 (a) 5. (b) 43509 43509 lb. (e) (c) 11.2 pie/s píe/s",2 • 5.108

6.56 VG Ve = = 1.00i 1.00i - 0.36j 0.36j (m/s). (m/s). 6.56

5.110 876,9 876t9 kN. 5.110

6.58 (a) (3.46,4) (3.46,4) pie. (b) VA VA pie. (b) 6.58

5.112 Masa= Masa= 2.0 2.0 x 101313 kg. Radio, Radio, = 880.1 880.1 m. 5.112

6.60 6.57 6.57 pulg/s. pulg/s. 6.60

5.114 (a) 34.9 34.9 pie/s., pie/s, (b) 15,710 15,710 pie-lb. pie-lb. 5.114

6.62 VE VE = = -12.25j -12.25j (rn/s). 6.62 (m/s). 6.64 6.64

0.828. :s.s e :s::::0.828.

5.116 0.775 0.775 5.116

5.118 (a) 3.45 mIs. (b) 18.7 kN. 5.118

VA

(pie/s). 2i (pie/s).

antihoraria, antihoraria,

WCO weD

4.57 rad/s rad/s = 4.57

2 6.68 (a) aA aA = -50e, -50 e, + 60eo 60 eo (m/s (m/s"). aA = -50i -50 i + ). (b), (e) aA 6.68 2 60j (m/s (rn/s"). 60j ).

5.120 (a) 8.23 kN. kN. (b) (b) 16.5 kN. 5.120 5.122 5.122

WBC = 5.33 5.33 rad/s rad/s WBC horaria. horaria.

541

2 2 6.70 (a) aB = -800i -800 i (m/s (m/s"). aA = -400i -400 i (m/s (rn/s"). 6.70 ). (b) aA ).

Jmk/2. Jmk / 2.

= O, O, aaAC 1.l3 rad/s rad/s''2 horaria. horaria. Ae = 1.13

5.124 1.57 pies pies. . 5.124

6.72 6.72

5.126 x = -11.13 -11.13 pulg, pulg, y = 6.42 6.42 pulg. pulg. 5.126

2 2 6.74 aA a, = = -5 -5 j (pulg/s (pulg/s-), = 3j (pulg/s (pulg/s-). ). 6.74 ), aB =

5.128 867.4 867.4 lb. (incluido (incluido el peso peso del del tambor). tambor). 5.128

6.76 Aceleración Aceleración = 133.8 133.8 pulg/s pulg/s-.2 • 6.76 =

5.130 (a) 30.1 pie/s. pie/s. (b) (b) 46.8 46.8 pie/s. pie/s. 5.130

6.78 La La velocidad velocidad es 55 55.9 pulg/s a la la derecha; derecha; la aceleración 6.78 .9 pulg/s la aceleración 909.8 pulg/s pulg/s? 2 a la la izquierda. izquierda. es 909.8

Capítulo 6 Capítulo

6.80 6.80

6.2 (a) 20 rad/s rad/s"2 horaria. horaria. (b) (b) 1.59 1.59 revoluciones. revoluciones. 6.2 6.4 rad/s. 6.4 8 rad/s. 2 6.6 v vA = -6.67 -6.67 ii -- 6.67 6.67 jj (pie/s), (pie/s), aA aA = = 66.7i 66.7j (pie/s (pie/s-). 6.6 A= 66.7i -- 66.7j ). VB = 8j 8j (pie/s). (pie/s). (b) VB VB = -1.31 -1.31 i -7.92j -7.92j (pie/s). 6.8 (a) VB (pie/s).

WAC WAC

2.67 rad/s rad/s horaria, horaria, = 2.67 raria. raria.

WBO WBD

aBO aBD

6.82 Vc Vc = 40.8 40.8 i pulg/s, pulg/s, acc = 6.98i pulg/s pulg/s-,2 • = 6.98i 6.82 2). 6.84 ae ac = = 205.9 205.9 i (pulg/s (pulg/s-). 6.84 6.86 = 0.879 rad/s, = 6.86 WAB WAB = --0.879 rad/s, aAB aAB = -1.06 -1.06 rad/s rad/s",2 , 2 -1.15 rad/s, aBC = -2.41 rad/s". -1.l5 rad/s, ClB C -2.41 rad/s

6.10 IVal IV81 = = 15 pie/s, pie/s, laBI la81 = = 300 300 pie/s pie/s-.2 • 6.10

2 6.88 aE = = -12.25j -12.25 j (m/s (m/s").). 6.88

6.12 6.12

W

2 6.90 ac ac = = -7.78 -7.78 i - 33.54 33.54 j (m/s (m/s"). 6.90 ).

6.14 6.14

WAB WAa

(rad/s). . = 30 ii (rad/s)

10k (rad/s), (rad/s), = 10k (rad/s). . (rad/s)

WBC Wac

-lOk (rad/s), (rad/s), = -lOk

WCO W CD

W

wk. (b) = wk.

6.18 (a) 6.18

= rA / Bwj.

W

(rad/s). (b) vvA -5 i + 8.66j 8.66j (m/s). (m/s). = 5 k (rad/s). A = -5

rA/Bwj.

6.20 (a) 92.6 92.6 rad/s rad/s horaria. horaria. (b) (b) La La parte parte superior; superior; 200 200 km/h, km/h, 6.20 055.6 mis. mis. 055.6 6.22 Velocidad Velocidad angular angular = = 17.95 17.95 rad/s, rad/s, 0171.4 0171.4 rpm rpm horaria; horaria; 6.22 velocidad = = 125.7 125.7 pulg/s. pulg/s. velocidad 6.24 (a) W = 2.13 2.13 k (rad/s). (rad/s). (b) v vA -0.73 j (m/s). (m/s). 6.24 A = -0.73 6.26 8 rad/s rad/s horaria, horaria, 6.26 6.28 6.28

WBCO WB CD

6.30 6.30

WAB W AB

160i - 32j 32j pulg/s. pulg/s. = 160i

VD VD

6.92 ao 6.92 aD 6.94 6.94

6.16 (a) 6.16

VA/B VA /B

10k = 10k

rad/s horaria, horaria, = 10 rad/s

rad/s horaria, horaria, = 2 rad/s wise. wise.

VD = = VD WBCC WB

32j (pulg/s). (pulg/s). 136i - 32j

3.22 rad/s rad/s antihoraria. antihoraria. = 3.22

-0.135 = -0 .1 35ii -

6.98 6.98

26.45 rad/s rad/s''2 horaria" horaria" = 26.45 horaria. horaria.

aCO aeD

6.104 6.104

= 3 rad/s rad/s raria. raria. WAC WAC

6.34 6.34

IWABI I IWAB

6.36 6.36

WAB WAB

6.112 6.112

WAC WAC

3.15 mIs ala ala izquierda. izquierda. = 3.15

6.38 Vc = 25. 25.13 (pulg/s).s). 6.38 vC = 13 (pulg/ 6.40 VA vA = = 1.2 1.2 ii + + 1.2j 1.2j (m/s). (m/s). 6.40 6.42 WBC WBC = 2.61 rad/s, rad/s, Ve Vc = -9. -9.1010 i (m/s). (m/s). 6.42

antihoraria, antihoraria,

aAC a AC

rad/s''2 = 6 rad/s

hoho-

6.106 0.549 0.549 mJs mIs a la la izquierda. izquierda. 6.106

WBC WBC

VB

31.14 rad/s anti= 31.14 rad/s22 anti-

2 6.102 ae ac = = -8.80 -8.80 i + 5.60j 5.60j (m/s (rn/s"). 6.102 ).

WBC WBC

rad/s horaria, horaria, = 2.31 rad/s

aOE aDE

2). 6.100 aA aA = = -200i -200i + 80j 80j (pie/s (pie/s-). 6.100

6.110 6.110

6.77 rad/s. rad/s. = 6.77

2 0.144 j (m/s (rn/s"). 0.144j ).

6.96 aa'periférico 41.43 rad/s rad/s? 2 horaria, horaria, acentr.1 acentral = = 82.86 82.86 rad/s rad/s? 2 6.96 'periférico == 41.43 antihoraria. antihoraria.

6.108 6.108 IWoEI I IWDE

WB WBCe

WAB = 3.55 3.55 rad/s rad/s horaria, horaria, aAB rad/s''2 horahoraWAB aAB = 12.05 rad/s ria, WBCC = 2.36 2.36 rad/s rad/s antihoraria, aBCe = 16.53 16.53 ria, WB antihoraria, ClB rad/s"2 antilhoraria. antihoraria. rad/s

6.32 VE VE = = -12.3j -12.3j (m (m/s). /s). 6.32 rad/s, = 4.91 rad/s,

6.22 rad/s rad/s''2 ,antiho' .antiho- = 6.22

1.16 rad/s rad/s horaria, horaria, 15.4 15.4 pulg/s pulg/s hacia hacia C. C. = 1.16

0 6.17 /s /s antihoraria; antihoraria; la razón de extensión extensión es = 6.17 la razón de 0.109 mis. 0.109 mis. 0

8.66 rad/s rad/s antihoraria, antihoraria, la barra barra AC desliza = 8.66 y la AC se desliza por manguito aa 55 m/ por el el manguito m/ ss hacia hacia A. A. 6.114 .293 rad/s Vc l .370j (pie/s). 6.114 WAC WAC = 0, 0,.293 rad/s horaria, horaria, Vc = -0.738 -0.738 ii-I.370j (pie/s). 6.116 Se está está extendiendo extendiendo a 1.08 1.08 pie/s. pie/s. 6.116

6.44 0.95 0.95 mIs. 6.44

6.118 6.118

WAB WAB

rad/s horaria" horaria" = 2 rad/s

6.46 Ve Vc = 1O.86i+7.53j 1O.86i+7.53j pulg/s. 6.46 pulg/s.

6.120 6.120

WAB WAB

3.88 rad/s antihoraria. = 3.88 rad/s antihoraria.

6.48 6.48

6.122 Wpl. Wplaca = 2 rad/s rad/s antihoraria, la velocidad velocidad con con que que el 6.122 antihoraria, y la c.= pasador resbala resbala respecto ranura es 0.2 0.2 mis mis hacia hacia abajo. abajo. pasador respecto a la ranura

Vw Vw

0.2 mIs, mIs, 4 rad/s rad/s antihoraria. antihoraria. = 0.2

6.50 Velocidad Velocidad angular angular = = 52.06 52.06 rad/s, rad/s, 0497.1 0497.1 rpm, rpm, IvA IvAII 6.50 5.21 mis. mis. 5.21 6.52 Xc Xc = 3 m, Ye Yc = O, O, VB = 10 LO mIs. 6.52 6.54 x = 0.35 0.35 pie, pie, y 6.54

= -1.5 -1.5 pie. pie. =

VBrel= mIs hacia hacia C. VBrel = 2 mIs

2 2 6.126 (a) v VA Rwj,j , aA a, = = --Rw Rwi. i. 6.126 A= = Rw 2 2 VA = = 2Rwj 2Rwj, , aaA = --2Rw (b) VA A= 2Rwi. i.

6.128 VA VA = -3.5i -3.5i + 0.5j 0.5j + 4.0k 4.0k (m/s), (m/s), aaA 6.5j6.128 A = --IOi IOi - 6.5j19.2511:(rn/s"). 19.25k (m /s2 ).


542


6.130 -2i

(m/s).

7.40 (a) 0.244 pie/s? a la derecha.

6.132 aArel = -14i

7.42 Jl.s = 0.0339. 7.44 M = 82.4 pie-lb.

- 2) (pie/sé).

6.134 (a) VArel= vj, aA:el = -(v2jRE)i. (b) VA = vj - Wp,REcosL k, aA = (_v2 j RE - úJ~RE COS2 L) i + úJ~RE sen Lcos Lj + 2Wp,v sen Lk.

= -60.3 lb, By = -125.6 lb, C; = 11.4 lb, C, = 135.6 lb. 7.48 CtBe = 34.1 rad/s? antihoraria, fuerza normal = 3.50 lb. 7.50 (a) 9.34 m/s-, (b) 515.5 N-m. 7.46 B,

6.136 (a) -9.81 k (m/s"). (b) 3.29 i - 9.81 k (m/s"). 6.138 (a) 0.1 i + 0.1 j (m/s"). (b) 0.125i+0.085j+0.106k 6.142 Ve

6.144

=

CtAB

-32.0j

7.54 Ctp = 0.178 rad/s? horaria, (m/s").

7.56 IPI

(pie/s).

= 13.60 X 103 rad/s- horaria,

= 8.64 x 103

CtBe

7.58

fuerza

=

10.1 lb.

kN.

12oo~------------, 1000,--_

z

rad/s- antihoraria.

800

6.146 aD = -3488i pulg/s-, 6.148 ao = -8.18i

= 44.1

~ ~

- 26.4j (pulg/s-).

6.150 Ve

=

-1.48 i + 0.79 j (m/s).

6.152 ae

=

-2.99 i - 1.40j (m/s").

6.154 úJBD = 0.733 rad/s antihoraria. 6.156 úJAB = 0.261 rad/s antihoraria,

&

600 400 200 o o

0.2 x, metros

cose

=

2.80 rad/s anti-

7.60

2ool~------------,

horaria.

6.158

cose = 1.22 rad/s horaria, 17.96 mis de B a C. 6.160 Velocidad = 6.89 pie/s hacia arriba; aceleración 168.65 pie/s- hacia arriba.

6.162 TBe

=O

6.164 (a) VArel= 5i mIs, aArel = O. (b) vAIB aAI B = -4 i + 20 j (m/s'').

=

2 x, pies

5i + 2j (m/s),

4

loo~----------~ o~--------~=-~

Capítulo 7 7.2 F = (bj2c)mg.

-100

= 0.980 s, distancia = 2.94 m. 7.6 F = W(b - cajg)j h. 7.8 TA = 3681.1 N, TB = 4137.1 N.

7.4 Tiempo

7.10 6.78 mls2, NA

=

1356.4 N, NB

= 213.2

a = 10 pie/52 2 x, pies

N.

7.12 co = 7.5 rad/s.

7.62

7.14 34.0 pie-lb. Ct = 25 rad/s- horaria, T rad/s- horaria, T = 14.4 lb. 7.18 Tiempo = l.17 s.

7.16 (a)

7.20 (a), (b)Ct lb.

=

=

20 lb. (b)

1l.4rad/s2antihoraria,Ax

=

18.0

Ct

O,Ay

7.22 x = ljJ12, Ctrnáx= .;3gj l. 7.24 Ax = -10.28 kN, Ay = -7.04 kN. 7.26 MB = 27.1 N-m antihorario, B; = -11.0 N, By

=

=

4.12

x, metros

108.5

N. 7.28 tanillo/tdisco

=

70,------------,

..J413.

7.30 Vrnáx= ~RúJo, tiempo

= ~RWoI(p.kg).

7.32 (a) No resbala, Ct = 22.2 rad/s? horaria. (b) Sí resbala, Ct = 53.6 rad/shoraria. 7.34 (a) Ct = l.84 rad/s? antihoraria. (b) 112.3 N. 7.369.20 rad/s- horaria. 7.38 6l.3 rad/s? horaria.

x, metros


4

RESPUESTASA LOS PROBLEMAS PARES 543

7.64 Tiempo, s O, rad w, rad/s w en forma cerrada, rad/s 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.000 0.050 0.150 0.299 0.498

7.66 Tiempo, s 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 7.68

0.000 0.250 0.499 0.747 0.991 1.232

O.üOO

0.000 0.250 0.498 0.744 0.987 1.225

O, rad

w, rad/s

0.000 0.000 0.147 0.441 0.881 1.454

0.000 1.472 2.943 4.399 5.729 6.665

7.10840.2 kN. 7.110 a = -0.420 rad/s-, F;

336.3 N, F;

=

1709.7 N.

[3(1 - p.2) sen O - 6p.cos O]g . . (2 _ p.2)11 antihoraria.

7.112 a = 7.114

=

s, = -1959

N, By = 1238 N,

e, = 2081 N, e, = -922

N. = 0.425 rad/s? antihoraria, raria. 7.118 aHP = 5.37 rad/s- horaria.

7.116

aOA

aAB

= 1.586 rad/s- ho-

m/s- a la izquierda.

7.120208.2

Capítulo 8 8.2504.3 rad/s (4816 rpm). 8.4 10.05 revoluciones. 8.6 0.103 rps.

6

8.8 (a) 17.7 rad/s. (b) 15.0 rad/s. 8.10 (a), (b) 4.77 rad/s.

4

~

J2

+ x2).

3

8.12 (a) ea =

2

8.14 139.0 rad/s antihoraria.

.!!:

gx/(

fiZ2

(b) x

= Z/,.[fi

.

¡j

8.16 (a) 1.125 pie. (b) 1.088 pie/s. 0.1

0.2

0.4

0.3

0.5

0.6

0.7

8.18 U = 5634 N-m. ~--::---::--:-:-:~ (mg senf3 + M / R)2b 8.20 co = 1 + R2m

0.8

1, segundos

7.70 ID = tml2.

sen20.

7.72 1 = fimP 7.74

I(eje x) =

7.76

I(ejey)

=

fimh2,

I(eje y) =

fimb2,

I(eje z) =

1.99 slug-pie'.

7.7820.8 kg-m-. 7.80 lo = Hm12. 7.82

I(eje z) =

8.42

I(ejez)

=

7.88

I(ejey)

= 0.0881 slug-pie'.

I(eje

x)

=

I(eje y)

= m(f-oR2 + ~h2).

7.94

I(eje x)

=

I(eje y)

=

+

~h2).

= 0.460 slug-pie-,

7.98 lo = 0.00367 kg-m-. I(ejez)

= 0.714 slug-pie",

7.102 (a) 12.1 s. (b) 143.8 lb. 7.104 (a) 20 m/s-. (b) e ~ 49.1 mm. 7.1061

= 2.05 kg-m-.

wBC

8.46 (a) 126.4 rad/s. (b) 200 rad/s.

= 0.0188 kg-m-. m(fow2

= 4.64 rad/s horaria,

WAB

ria. 8.443 s.

7.92

7.100

h2).

= 289.9 pie-Ibis


9.00 kg-m-,

7.86

7.961

+

Pmedia


47.0 kg-m-.

7.843807.5 slug-pie/,

7.90 lo

fim(b2

8.22 16.7 rad/s horaria. 8.24 u = 0.413 mis. 8.28 PmáJ< = 579.7 pie-Ibis (1.05 hp), (0.53 hp). 8.30 Iwl = 4.29 rad/s. 8.32 1.47 pie/s. 8.343.69 rad/s horaria. 8.367.93 pie/s.

8.48 ea = 680.3 rad/s. 8.50 h = 1.33 m, 8.52

W2

W

=

3.75 rad/s.

= 4.38 rev/s.

8.54 w' = 0.721 rad/s.

8.5614.5° . 8.584.72 rad/s antihoraria. 8.60 0.00589 rad/s antihoraria. 8.62 1.54 rad/s antihoraria. 8.643.75 rad/s antihoraria.


= 5.68 rad/s antihora-

544

RESPUESTASA PROBLEMAS PARES PARES RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS

8.66 (a) 50 N-m N-m antes, antes, 31.3 31.3 N-m N-m después. después.Tb)(o) 50 N-m N-m antes, antes, 8.66 N-m después. después .• , 50 N-m 8.70 Pérdida Pérdida de energí~ energí~: : tmgl. ~mgl. 8.70 8.72 5.96 5.96 pie/s. pie/s. 8.72 8.74 Velocidad Velocidad = 5.77i 5.77i - 2.lOj 2.lOj (pie/s), (pie/s), velocidad velocidad angular angular = 8.74 3.15 rad/ rad/ s antihoraria. antihoraria. 3.15 8.76 w W= = -6vo -6vo antl antr'h orana. orana.. 8.76 7l 7l 8.78 8.78 8.80 8.80

W

0.0997 rad/s 5.71 grados/ grados/s s antihoraria. antihoraria. = 0.0997 rad/ s = 5.71

w~ = 0.370 0.370 rad/s horaria, w~ = 0.119 0.119 rad/s horaria, w~ = rad/ s horaria, w~ = rad/ s horaria,

v~ 0.57i (pie/s), (pie/s), v~ v~ = l.79i 1.79i (pie/ (pie/s).s). v ~ = 0.57i

J

2(m + 1/ + 2(m I j R2)]. R2)].

12.53 rad/s. = 12.53 rad/s. 8.90 W WAB = 11.6 11.6 rad/s 8.90 AB = rad/ s

Ve Ve

= =

2(wy j + tzml2(wyj + w, Wz k). k). (b) Ha Ha 1zml

=

~ml2(wyjj- + w, Wz k) k).. ~ml2(wyj

9.301xx xx = = 0.0398 0.0398 1yy = = 0.0373 0.0373 slug-pie slug-píe-,2 , f1zz = 9.30I Iyy zz = 2 0.0772 slug-pie slug-pie-, , Ixy 1xy = = IyZ 1yZ = = Izx 1zx = = O. O. 0.0772 slug-píe-,2 , slug-pie

9.32 Ix'x' Ix'x' = 15600 15600 kg-m kg-rrr',2 , Iy'y' Iy'y' = 226800 226800 kg_m kg-rrr',2 , IN Iz'z' 9.32 2 2 242400 kg_m , IIyz 242400 kg_m kg-m", , Ix'y' Ix'y' = -32400 -32400 kg-rn", O. y, = IIzx zx = O. 2 9.34 H H = 2.00 2.00 i - 1.64 j + + 2.58 2.58 k (kg-m (kg-rrrvs). 9.34 /s). 2 2 9.36 (a) 1= I = 3.56 3.56 kg_m kg-m", . (b) 14.22 14.22 kg-m kg-nrvs, 9.36 /s.

9.38 1) 11= 16.15, 16.15, h h = 62.10, 62.10, h h = 81.75 81.75 kg-m kg-rn",2 , e) el = 0.964i0.964i9.38 0.220j 0.220j + + 0.151 0.151 k, e2 = -0.204i -0.204i - 0.972j 0.972j - 0.114k, 0.114k, e3 e3 = 0.172 i + + 0.079 0.079 j - 0.982 0.982 k. 0.172

9.46 laA laAII = 5Fjm. 5F/m. 9.46 2 9.48 (a) aa: = 28.57i+5.71j-2.00k 28.57 i + 5.71 j - 2.00 k (rad/s (rad/s"). -0.33 i + 9.48 ). (b) -0.33i+ 2.00j - 19.54k 19.54k(pieN). 2.00j (pieN).

8.88 Ws 8.88

horaria, horaria,

=

9.401) kg-m2 , e) 9.4011 = = 0,1 0,12 2 = = 1/12,1 1/12,13 3 = = 1/12 1/12 kg-m", el = = cos cos {3i f3i + sen sen {3j, sen {3i k. f3j, ee22 = --sen f3i + cos cos {3j, f3j, e3 e, = k. 9.42 I:M ~M = -250i -250i - 250j 250j + + 125 125kk (N-m). (N-m). 9.42 9.44 ~Ma -52 i + + 132j 132j + + 120 k (pie-lb). (pie-lb). 9.44 I:M a = -52

8.82 0.00336 0.00336 rad/s 8.82 rad/s horaria. horaria. 8.84 v = = 2.0¡:..:5:......:.=mI::..;s:..:... 8.84 2.0r-:5:...=mI:....:s:.:..,._ _ _ _ ___ 8.86 v = = ) Fbj[~mc Fb/[~mc 8.86

9.28 (a) H 9.28

2.7 mis. 2.7 mis.

8.92 11.07 11.07 rad/s. 8.92 rad/s. 8.94 1.77 rad/s 8.94 1.77 rad/s antihoraria. antihoraria. 8.96 (373/283)mg. 8.96 N = (373j283)mg. 8~98 w' w' = (~+ cos {J)w. f3)w. (~ + ~ ~ cos 8.98 8.100 8.100 b = = 2 pie. pie.

9.50 aa: 9.50 9.52 9.52 aa:

-125.49 i + + 4.48j 4.48 j + + 3.46 3.46 k = -125.49 2 = -500.0 i + + 24.4j 24.4 j (rad/s (rad/s''). = -500.0i ).

9.54 aa: 9.54

= ~(g/b)j. = ~(gjb)j.

2 (rad/s"). ). (rad/s

8.104 8.104 0.0822 0.0822 k (rad/s) (rad/s)

9.56 a: 14.53 j + 9.56 a = 14.53 + 4.65 4.65 k (rad/s"). (rad/s 2 ). 9.58 9.58 27.4 27.4 N-m. N-m. 2w¿ lsen 13 2w51sen 9.60 ICi = tzml 9.60 IFI = mg, mg, ICI 1zml {3 cos cos 131. {31·

8.106 8.106 4.44 4.44 rad/s rad/s antihoraria. antihoraria.

9.64 9.64 ~mR2wowd. ~mR2 wowd'

8.108 8.108 (a) (a) 3.90 3.90 rad/s. rad/s. (b) (b) 0.162 0.162 mis. mis.

9.66 9.66 -lOj -lOj + + 14.91 14.91 k (lb), (lb), -12.4i - 12.4i (pie-lb). (pie-lb).

8.102 10.5 rad/s 8.102 10.5 rad/s antihoraria. antihoraria.

9.72 N-m. 9.72 157 N-m. 9.76 9.76 21.5 21.5 pie-lb. pie-lb .

Capítulo Capítulo 9 o'. ".

9.80 9.80 1¡r 1¡¡

+

9.2 149.6k (km/s"). 9.2 aA aA = = 358.8i 358.8 i +24.0j 24.0j + + 149.6k (kmIs 2 ). 9.4 199.3j - 209.0 k (pie/s-). 9.4 aA = = -255.2i -255.2i + + 199.3j 209.0k (pie/s 2) . 9.6 9.6 ae ae

= 1.305 tevl«. = 1.305 revIso

9.84 9.84 (a) (a) 1¡r 1¡¡ = = -2052 -2052 rpm. rpm. (b)

= 1000 k (pulg/s-), 1000ii - 4000 4000jj - 1000 1000k (pulgN).

9.8 9.8 (a) (a) a: a = = 77.8 77 .8 i + + 44.4 44.4 j + + 44.4 44.4 kk (rad/s"). (rad/s 2 ) . (b) (b) 160.0i 160.0i - 140.0j 140.0j - 140.0k 140.0k (krn/s"), (kmIs 2 ). 9.10 9.10 (a) (a) (b) (b) 9.12 9.12 9.14 9.14

W

z

é

-

= = 20 20 i - 55 jj (rad/s). (rad/s). VA VA = 0.25i 0.25 i + + 1.00j 1.00j + + 3.73k 3.73 k (mis). (mis). 2 9.18 9.18 H H= = 25 ii + + 50 50 kk (kg-rrr'/s). (kg-m /s). W W

9.90 9.90 ~M I:M = = 2122.5 2122.5 ii -- 155.4 155.4jj -- 534.0 534.0 kk (N-m). (N-m).

= 0.67 0.67 kg-m", kg_m2 , Iyy Iyy = = 5.33 5.33 kg-rn", kg_m2 , Izz Izz := = 66 kg-rn", kg-m2, = Iyz I y, = = IIzx zx = O. 9.24 9.24 Ixx Ixx = 0.12 0.12 kg-m", kg_m2 , Iyy Iyy = 0.03 0.03 kg-m", kg-m2 , Izz Izz = 0.15 0.15 kg-m", kg_m2 , Ixy Ixy = Iyz Iy, = Izx I,x = O. 9.261 9.26I 2.48 slug-pie-, slug-pie2 , 1yy Iyy == 16.77 16.77 slug-píe', slug-pie2 , 1zz Iv. == 19.25 19.25 xx xx == 2.48 2 slug-pie-, slug-pie2, 1xy f xy == 5.59 5.59 slug-pie-, slug-pie , 1yZ IyZ == 1zx f zx == O. 0

0

9.86 9.86 N = = w5[(b/r)/zzsen w¿ [(b j r)Izz2 sen2 f3 {J -- Ixxserif3cosf3]/(bsenf3Ixx seri{Jcos{J]j(bsen{Jrrcos(3). cos f3). 9.88 9.88 Su Su lado lado derecho. derecho.

9.20 9.20 Ha Ha = = 20j 20j - 22k 22k (slug-pievs). (slug-pie 2/s) . 9.22 9.22 Ixx Ixx '. Ixy Ixy

20°

Cono espacial espacial

== -Rwo - Rwo cose cose i-} i+ RWd RWd cose cos e jj + + (RWd (RWd sen e - bwo) bwo) k. k. VA VA =3.20 =3.20 i (pulg/s), (pulg/ s), yvBB = = -4.10 -4.10 i + + 11.28j 11.28j - 2.26 2.26 kk (pulg/s). (pulg/ s). (a) W Be = O.lj 0.1 j + + O.4k 0.4 k (rad/s). (rad/s). (a) WBe (b) Ve = = -0.315 -0.315ii + + 0.085j 0.085j - 0.131 0.131 kk (mis). (mis). (b) Ve

9.16 9.16 (a) (a) (b) (b)

Z

Cono de cuerpo

= Wd Wd i + + woJ woj.

VA VA

l

9.82 9.82 29.1 29.1 revIso

9.92 9.92 Wo

= = vi Jgg senf3/(~l sen{Jj(~ l senf3 sen{J cos cos f3 {J + + bb cos cos f3). {J) .

9.94 9.94 (b) (b) Si Si Wo = O, la la placa placa está está en en reposo. reposo. La La solución solución de de la la ecuación 22 cos cos 13 {3 -- sen sen 13 {3 == O Oes es el el valor valor de de 13 {3 para para el el cual cual ecuación el el centro centro de de masa masa de de la la placa placa está está directamente directamente arriba arriba del del punto punto O; O; la la placa placa está está equilibrada equilibrada sobre sobre una una esquina. esquina. 9.96 = 52.72i 52.72i + + 97.35j 97.35j + + 9.26k 9.26k (N), (N), MBB = = 0.05i0.05 i9.96 BB = 10.25 10.25 jj + + 30.63 30.63 kk (N-m). (N-m).


RESPUESTASA LOS PROBLEMAS PARES 10.30

9.98

eB = 0.167cos6.11t

545

rad.

= 4.38 kg. = 3.17 s, f = 0.316 f = 0.318 Hz.

10.32 m ¿ 10.36 (a)

z

10.38

t:

T = 2.22 s, miento son

10.40 e

=

9.102 a

=

=

= 0.0535 i + 0.0374 j + 0.0160

=

k (rad/s-).

=

10.46 x

=

-(0.363

1, 1>

= 2.09 = (0.1)

s,

f = 0.477

Hz. (b) x

=

s

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

(0.1) cos 3t m.

cos 3t m.

10.72 Tiempo,

0.1

-0.2 -0.3 -0.4 ':-0 ------'----~2----~3------L4--~ t. segundos

10.74

(1/2n).Jk/m.

-0.4

sen lOt

+

cos lOt

w, rad/s

0.0349 0.0349 0.0349 0.0348 0.0346 0.0344

0.0000 -0.0051 -0.0103 -0.0154 -0.0205 -0.0256

Desplazam.,

f =

0.0000 0.0000 0.0664 0.1987 0.3963 0.6587

0.0000 0.0000 0.0000 0.0664 0.2651 0.6614

(1/2n)J3[(k/m)

= 2.07. = 0.714 Hz. x = 0.118e-2.68t

pie x 106 Vel., piel s x 103

- (g/21»).

10.76 8

10.14 1.46 Hz.

= 2.09

s,

f =

0.48 Hz. (b) x

10.18 0.212 m a la izquierda,

= 0.36(1

- cos 3t) m.

10.78 10.80

1.630 mis hacia la derecha.

f

Hz.

10.84

eB = O.I72sen

- 0.118e-14.01t pie.

= 0.253sen 6.19t + 0.100 (a) Ep = (2nv/A)2h/[(k/m) (b) v = A.Jk/m/2n.

10.82 x

10.26 0.39 pulg. 10.28

s

0, rad

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

-0.1

= 0.321

=

10.66 5.5 mm.

0.2

f

°

radian es

0.3

10.20

m.

10.64 16.5 pulg.

0.4 ,---------------------------,

10.16 (a) t:

horaria.

+ 0.363

m.

10.62 0.113 rnm.

10.70 Tiempo,

f =

sen 2.24t - 0.363 cos 2.24t)

+ l.090t)e-3t + 0.363

10.60 1l.5 lb.

----2~rr-----------4rr wl,

10.10

0.55 Hz. (b) 4.59 s.

10.56 (a) xp = 0.5 sen 8t pie. (b) x + 0.5 sen 8t pie .

= 45°.

o

10.8 (a) x

f =

e e

.~:tY? Ll~ -ILSZ Sd 10.6 (a) t:

0.450 Hz. (Los valores sin amortigua2.09 s, f = 0.477 Hz.)

10.50 (a) 277 ."1N-s/m. (b) = lOte-4.33t rad. (e) 0máx = 0.850 rad en t = 0.231 s. 10.52 B = 0.20ge-662t se~ 9.55t rad. 10.54 B = e-s.OSt (0.244sen 3.45t + 0.167 cos 3.45t) rad.

Capítulo 10 10.4 (a) E

10.44 x

1.81 s, 2t e- (-0.325

10.48 0.153 rad/s

i - 2545.6j - 800 k (pie-lb).

-282.8

3.14 s,

1.39 N-s/m.

10.42 (a) t:

9.100 ~M

f = T =

=

Hz. (b) r

11.62t rad.


cos 6.19t

+ 0.145

- (2nv/A)2).

sen3.00t m.

546 íNDICE DE MATERIAS

índice de de materias materias índice

17 aceleración, 4, 17 50, 235, 235, 262 262 angular, 50, centrípeta, 68 68 21 constante, 21 de Coriolis, 68, 68, 287 287 de 41 en coordenadas cartesianas, 41 coordenadas cilíndricas, 69 en coordenadas coordenadas esféricas, 536 536 en coordenadas coordenadas polares, 67 67 en coordenadas 18 movimiento en línea recta, 18 32, 35 35 en función de la posición, 32, 31 en función de la velocidad, 31 19 en función del tiempo, 19 componentes normal y tangencial, 56, 58 56,58 235 aceleración angular, 50, 235 centrípeta, 68 aceleración centrípeta, aceleración debida a la gravedad, 6 287 aceleración de Coriolis, 68, 287 aceleración relativa arbitrarios, 83 83 de dos puntos arbitrarios, de dos puntos de un cuerpo fijo, 260,423 260,423 coordenado en en un sistema coordenado rotación, rotación, 281 281 amortiguador, 499 amortiguador, amortiguamiento crítico, 501 501 amortiguamiento amortiguamiento 500 amortiguamiento subcrítico, 500 amortiguamiento supercrítico, 501 amortiguamiento supercrítico, 501 amplitud, 487 ángulo de trayectoria, trayectoria, 56 ángulos de Euler, 464 -ángulos de giro, 465 -ángulos apogeo, 78 atenuación, atenuación, 499

cantidad cantidad de movimiento angular, angular, 209, 306, 430 de un sistema de partículas, partículas, 305 lineal, 100. 185, 186. 195 100. 185, 186. 195 conservación de la, 195, 195, 215 215 centro centro instantáneo, instantáneo, 254 centroides, centroides, tablas de, 532 cinemática, cinemática, 231, 422 cinemática de partículas, partículas, véase véase movimiento movimiento de un punto punto cohete, 210 cohete,21O colisiones, véase véase impactos impactos componentes componentes normal normal y tangencial, tangencial, 55 aceleración, 56, 58

ley de Newton, 115 115 segunda ley 58 velocidad, 55, 58 -cono 468 cono de cuerpo, 468 468 cono espacial, 468 cantidad de conservación de la cantidad 195, 215 215 movimiento lineal, 195, 160, 484 conservación de la energía, 160, angular, conservación del momento momento angular, 210, 392 392 constante gravitatoria gravitatoria universal, 5 constante contacto deslizante, 271 271 contacto conversión de unidades, 9 coordenadas cartesianas, cartesianas, 40 coordenadas aceleración, 41 41 103 segunda ley de Newton, 103 vector de posición, 40 velocidad, 40 coordenadas cilíndricas, 68 coordenadas aceleración, 69 vector de posición, 69 velocidad, 69 coordenadas coordenadas esféricas, 536 coordenadas coordenadas polares, polares, 66 aceleración, aceleración, 67 segunda segunda ley de Newton, Newton, 124 124 vector de posición, 66 velocidad, 66 cuerpo rígido, 232 cinemática, cinemática, aceleración relativa de dos puntos, puntos, 260,423 260, 423 ángulos de Euler, 464 bidimensional, 231 bidimensional, 231 contacto contacto deslizante, 271 271 rodamiento, rodamiento, 240 rotación un eje fijo, 233, rotación respecto a un 235 teorema teorema de Euler, Euler, 240 traslación, traslación, 233 tridimensional, tridimensional, 422 vector de velocidad angular, angular, 240 velocidad relativa relativa de dos puntos, puntos, 83, 239, 241, 423 dinámica, dinámica, bidimensional, bidimensional, 304 conservación conservación de la energía, energía, 374 ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular en dos dimensiones, 304 ecuación ecuación del movimiento movimiento angular angular en tres dimensiones, 448 448 impactos, impactos, 397 principio D'Alembert, Alembert, 327 principio de de D' principio principio del del impulso impulso angular angular yy el el momento momento angular, angular, 391 391


principio del impulso y la cantidad de movimiento, 389 389 principio del trabajo trabajo y la energía, 368 368 soluciones numéricas, 128, 128, 341, 521 521 tridimensional, 430 tridimensional,

D' Alembert, A1embert, principio de, 327 327 decremento logarítmico, logarítmico, 501 501 derivada de un vector, 16 16 derivadas, tablas de, 530 desplazamiento, desplazamiento, 16 16 en movimiento en línea recta, recta, 17 17 dinámica de un sistema de partículas, partículas, 305 305 trabajo y la energía, 368 principio del trabajo 368 diferencias hacia adelante, adelante, 129 129 dígitos significativos, 6 directriz, 76

ecuación diferencial, 486, 508 ecuación diferencial homogénea, homogénea, 486 ecuación diferencial lineal, 486 ecuaciones de Euler, 448 ecuaciones del movimiento rígido, 304 bidimensional de cuerpo rígido, instantáneo de rotación, rotación, 240, 422 eje instantáneo eje fijo, rotación rotación alrededor alrededor de un, un, 233 233 ejes principales, 438 amortiguamiento, 499 elemento de amortiguamiento, energía, 141, 367 141, 367 cinética, 141, 368 conservación de la, 160, 374, 484 de un sistema de partículas, partículas, 368 potencial, potencial, 161 161 uso de la, en vibraciones, vibraciones, 484 energía potencial, potencial, 161, 167 167 cuerpo, 162 del peso de un cuerpo, de un resorte resorte lineal, 162 espacio, 4 espectro de frecuencias, 517 estática, estática, 2 estrategia, 3 estrategia, Euler, Euler, Leonhard, Leonhard, 129 Euler, Euler, teorema teorema de, 240, 422 excentricidad, excentricidad, 76

fase, 487 flujo flujo másico o de masa, masa, 215 frecuencia frecuencia 501 amortiguada, 501 amortiguada,

íNDICE DE MATERIAS MATERIAS 547 íNDICE

488 circular, 488 natural, 488 488 natural, 100 fuerza, 4, 100 161, 167 167 conservativa, 161, 102, 305 305 externa, 102, gravitatoria, 5 gravitatoria, 187 impulsora, 187 327 inercial, 327 102, 305 305 interna, 102, 187, 389 389 media, 187, trabajo realizado por una, 141 141 trabajo 324 fuerza axial, 324 161, 167 167 fuerza' conservativa, 161, fuerza ejercida por un, resorte lineal, 164 164 162 peso de un cuerpo, 162 cortante, 324 324 fuerza cortante, 288 fuerza de Coriolis, 288 324 fuerzas y momentos internos, 324 508 función de excitación, 508 oscilatoria, 509 509 510 polinomial, 510

428 giróscopo, 428 167 gradiente, 167 grado, 8 483 grado de libertad, 483 gravedad, 5 nivel del mar, 6 al nivel de la Tierra, 5 partículas, 5 fuerza entre dos partículas, gravitación newtoniana, 5

Hohmann, transferencia, transferencia, 79 79 Hohmann,

198 impactos, 198 199 central directo, 199 200 central oblicuo, 200 397 de cuerpos rígidos, 397 200 perfectamente elástico, 200 198 perfectamente plástico, 198 199 impactos centrales directos, 199 200 impactos centrales oblicuos, 200 impulso 209, 391 391 angular, 209, 189, 389 389 lineal, 189, 391 impulso angular, 209, 391 impulso angular y momento angular, 210, 390 390 principio del, 210, 186, 389 389 impulso lineal, 186, impulso y la cantidad de movimento 186, 389 389 lineal, principio del, 186, 530 integrales, tablas de, 530

Kepler, Johannes, Johannes, 74 kilogramo, 5, 7

libra, 5, 8 libra masa, 8

100, 286 marco de referencia inercial, 100, 100 masa, 4, 100 matriz de inercia, 431 431 mecánica, 2 mecánica celeste, 74 órbitas, 74 mecánica de órbitas, amortiguamiento, 499 mecanismo de amortiguamiento, 129, método de diferencias finitas, 129, 521 341, 521 metro, 4, 7 metro, momento angular, angular, 209, 306, 390, 430 momento de inercia 346 de área, 346 tablas de, 532 433 de masa, 304, 344, 430, 433 barra esbelta, 345, 345, 433 barra 433 354 de un cilindro, 354 ejes y momentos de inercia principales, 438 438 matriz de inercia, 431 431 placa delgada, 346, 346, 434 productos 431 productos de inercia, 431 respecto a un eje arbitrario, arbitrario, 437 437 tabla tabla de, 534 teoremas de los ejes paralelos, 350, 350, 436 momento de inercia de masa, véase véase momento de inercia 324 momento flector, 324 momentos de inercia principales, 438 438 motor de reacción, 218 motor 218 movimiento angular, 49 304, 309 ecuación del, bidimensional, 304, ecuación del, tridimensional, tridimensional, 448 448 movimiento armónico simple, 487 487 bajo una fuerza central, movimiento bajo 210 véase movimiento bidimensional, véase movimiento plano 68 movimiento circular, 58, 68 movimiento curvilíneo, curvilíneo, 40 101, movimiento del centro de masa, 101, 304 304 véase movimiento de un cuerpo rígido, véase cuerpo rígido 16 movimiento de un punto, punto, 16 17 a lo largo de una línea recta, 17 a lo largo de una trayectoria trayectoria curvilínea, 40


en componentes normal y tangencial, 55 55 en coordenadas coordenadas cartesianas, 40 68 en coordenadas coordenadas cilíndricas, cHíndricas, 68 en coordenadas coordenadas polares, 66 movimiento en línea recta, 17 17 movimiento oscilatorio, véase véase vibraciones movimiento plano, 234, también 234, véase véase también cuerpo rígido, cinemática movimiento rectilíneo, véase véase movimiento en línea recta movimiento relativo de dos puntos, puntos, 82 aceleración, 83, 260 posición, 83 83 velocidad, 83, 239, 241 241

Newton, Isaac, 4, 5, 7, 74 Newton, leyes leyes de, 4 Newton, segunda ley 100, 304, ley de, 4, 100, 305 305 en componentes normal y tangencial, 115 115 103 en coordenadas coordenadas cartesianas, 103 124 en coordenadas coordenadas polares, 124 en un sistema coordenado en rotación, rotación, 289 para para el movimiento en línea recta, 103 103 para para el centro de masa de un cuerpo, 102 102 Newton, tercera ley 305 ley de, 305 nutación, nutación, ángulo de, 465 465

órbita, órbita, 74 circular, 61, 77 77 elíptica, 77 77 hiperbólica, 77 77 parabólica, parabólica, 77 77 órbita órbita circular, 61, 77, 79 órbita geosincrónica, 79 órbita orientación, orientación, 235 235 orientación orientación de un cuerpo rígido, 464 464 oscilador resorte-masa, 484

par inercial, 327 327 trabajo 373 trabajo realizado por un, un , 373 par inercial, 327 327 partículas, 305, 368 368 partículas-, sistemas de, 305, péndulo, 485 485 perigeo, 78 78 periodo amortiguado, 501 amortiguado, 501 libre, 488 488

548 íNDICE DE DE MATERIAS peso, 16 peso, pie, 5, 8 pie, plano de referencia, referencia, 162tl plano potencia, 149, 374 potencia, precesión precesión libre momento, 467 libre de momento, permanente, 466 permanente, precesión, ángulo precesión, ángulo de, de, 465 productos de inercia, productos inercia, 431 proyectil, 41 proyectil, punto de referencia, referencia, 16 punto

radián, 18 radián, radio curvatura instantáneo, instantáneo, 57 radio de curvatura razón de flujo másico, 215 razón flujo másico, razón giro, 466 466 razón de giro, redondeo, redondeo, 6 regla cadena, 21, 32 regla de la cadena, regla derecha, 240 mano derecha, regla de la mano respuesta respuesta plana, plana, 517 restitución, coeficiente de, de, 200, 200, 398 restitución, coeficiente rodamiento, rodamiento, 240 rotación rotación respecto eje fijo, fijo, 233 respecto a un un eje respecto fijo, 430, 430, 448 un punto punto fijo, respecto a un

satélite, 61, 61, 74, 212 satélite, satélite de comunicaciones, comunicaciones, 79 satélite sección cónica, cónica, 76 sección separación de variables, separación variables, 31 sismógrafo, 517 sismógrafo, sistema coordenado coordenado sistema cartesiano, 40 cartesiano, cilíndrico, 68 cilíndrico, 281, 423 en rotación, rotación, 281, esférico, 536 esférico, fijo al cuerpo, cuerpo, 232 fijo polar, polar, 66 sistema coordenado coordenado centrado centrado en la sistema Tierra, 286 Tierra, sistema coordenado coordenado fijo fijo a la Tierra, Tierra, sistema 287 sistema internacional internacional de unidades, sistema unidades, 4, 7 sistemas sobreamortiguados, sobreamortiguados, véase sistemas véase amortiguamiento subcrítico amortiguamiento subcrítico sistemas subamortiguados, subamortiguados, véase véase sistemas amortiguamiento subcrítico amortiguamiento subcrítico slug, 5, 8 slug,

solución solución homogénea, homogénea, 508 solución particular, 508 solución particular, soluciones numéricas, 128, 341, soluciones numéricas, 341, 521

tablas tablas de centroides centroides de áreas, áreas, 532 de centroides centroides de líneas, líneas, 533 de centroides volúmenes, 535 centroides de volúmenes, derivadas, 530 de derivadas, de integrales, integrales, 530 de momentos momentos de inercia inercia de áreas, áreas, 532 de momentos momentos de inercia inercia de cuerpos cuerpos homogéneos, 534 homogéneos, Taylor, series de, 531 Taylor, series de, teoremas de los ejes paralelos, 350, teoremas ejes paralelos, 350, 436 tiempo, tiempo, 4 trabajo, trabajo, 141, 147, 372 realizado cuerpo, realizado por por el peso peso de un un cuerpo, 147 realizado realizado por por un un par, par, 373 realizado lineal, 148 realizado por por un un resorte resorte lineal, relación con la energía energía potencial, relación con potencial, 160 trabajo energía, principio del, 141 trabajo y la energía, principio del, transductor, transductor, 517 transductor desplazamientos, transductor de desplazamientos, 516 traslación, traslación, 233 trigonometría, trigonometría, 529

unidades unidades conversión de, de, 9 conversión sistema inglés, inglés, 4, 8 del sistema sistema internacional, internacional, 4, 7 del sistema unidades angulares, 8 unidades angulares, unidades unidades básicas básicas sistema inglés inglés, , 8 del sistema sistema internacional, internacional, 7 del sistema unidades derivadas, 7 unidades derivadas, unidades inglesas, 4, 8 unidades inglesas, unidades SI, véase véase sistema sistema unidades SI, internacional de unidades internacional unidades

vector aceleración angular, angular, 262 vector de aceleración sistema coordenado coordenado en de un un sistema rotación, 281 rotación, vector vector de posición, posición, 16 coordenadas cartesianas, cartesianas, 40 coordenadas


coordenadas cilíndricas, cilíndricas, 69 coordenadas coordenadas coordenadas esféricas, esféricas, 536 coordenadas polares, 66 coordenadas polares, vector angular, 240 vector de velocidad velocidad angular, un sistema de un sistema coordenado coordenado en rotación, 281 rotación, 281,, 423 vectores unitarios unitarios vectores en coordenadas coordenadas cartesianas, cartesianas, 40 en coordenadas coordenadas cilíndricas, cilíndricas, 68 en componentes normal y tangencial, tangencial, componentes normal 55 en coordenadas polares, 66 coordenadas polares, en rotación, rotación, 50 motor, dinámica de, 118 vehículos de motor, vehículos dinámica de, velocidad, 4, 16 velocidad, componentes normal normal y tangencial, tangencial, componentes 55, 58 escape, 36, 36, 77 de escape, determinada usando centro determinada usando centro instantáneo, 254 instantáneo, coordenadas cartesianas cartesianas, , 40 en coordenadas coordenadas cilíndricas. cilíndricas. 69 en coordenadas coordenadas esféricas, esféricas, 536 en coordenadas coordenadas polares, en coordenadas polares, 66 movimiento línea recta, movimiento en línea recta, 18 velocidad angular, 49, 235 velocidad angular, velocidad velocidad relativa relativa dos puntos arbitrarios, 83 de dos puntos arbitrarios, dos puntos cuerpo rígido, de dos puntos de un un cuerpo rígido , 239, 241, 423 239, sistema coordenado coordenado en en un un sistema en rotación, rotación, 281 vibración (vibraciones), 483 vibración (vibráciones), amortiguadas y libres, libres, 499 amortiguadas amplitud, 487 de amplitud, fase,, 487 de fase sistemas conservativos, conservativos, 484 484 de sistemas forzadas, 508 forzadas, frecuencia de la, la, 488, 488, 501 frecuencia no amortiguadas y libres, libres, 486 no amortiguadas periodo de, 488, 488, 501 periodo de, soluciones numéricas, soluciones numéricas, 521 vibraciones amortiguadas, 499 vibraciones amortiguadas, amortiguamiento crítico, 501 amortiguamiento crítico, amortiguamiento subcrítico, 500 amortiguamiento subcrítico, amortiguamiento supercrítico, 501 amortiguamiento supercrítico, decremento logarítmico, logarítmico, 501 decremento vibraciones libres, 486, 486, 499 499 vibraciones libres, vigas, fuerzas y momentos internos vigas, fuerzas momentos internos en, 324 en,

•.....

-,1

Factores Factores de de conversión conversión de de unidades unidades

!'---------,

TIEMPO TIEMPO

ACELERACiÓN ACELERACiÓN

min = = 60 60 ss 11 min

11 m/sm / s2 == 3.281 3.281 pie/spie/ s2 == 39.37 39.37 pulg/spulg/ s2

= 60 60 min min = = 3600 3600 ss 11 hh =

11 pulg/s? pulg/ s2

día = = 24 24 hh = = 86 86 400 400 ss 11 día

11 pie/spie/ s2 == 0.3048 0.3048 rri/sm / s2

= 0.08333 0.08333 pie/spie/ s2 == 0.02540 0.02540 m/sm / s2

=

11 gg = = 9.81 9.81 m/sm / s2 == 32.2 32.2 pie/spie/s 2

LONGITUD LONGITUD MASA MASA

m = 3.281 3.281 pie pie = 39.37 39.37 pulg pulg 11 m km = 0.6214 0.6214 mi mi 11 km

11 kg kg = = 0.0685 0.0685 slug slug

1 pulg pulg = = 0.08333 0.08333 pie pie = = 0.02540 0.02540 m m

11 slug slug = = 14.59 14.59 kg kg

pulg = = 0.3048 0.3048 m m == 12 pulg

pie 1 pie

1 tt (tonelada (tonelada métrica) métrica)

=

1033 kg kg = = 68.5 68 .5 slug slug

mi = = 5280 5280 pie pie = = 1.609 1.609 km km 1 mi milla náutica náutica 1 milla

= 1852 1852 m m = = 6080 6080 pie pie

FUERZA FUERZA

=

1N N = = 0.2248 0.2248 lb lb

ÁNGULO ÁNGULO

=

1 lb lb

1 rad rad = = (18hr-)D (18hr)0 10 = = 11"/180 rad 1r/180 rad

= =

57.3000 57.30

= 0.01 745 rad rad = 0.01745

4.448 4.448 N

=

1 klb klb

= =

1000 1000 lb lb = = 4448 4448 N N

1 ton ton

= =

2000 2000 lb lb = = 8896 8896 N N

1 revolución revolución = = 21r 211" rad rad == 360 36000 1 rev/ min (rpm) rev/min (rpm)

= = 0.1047 0.1047 rad/ rad/s s

TRABAJO Y Y ENERGíA 1J

ÁREA

= 1 N-m N-m = = = 0.7376 0.7376 pie-lb pie-lb

pie-lb 1 pie-lb 1.550 x 10-33 pulg pulg-2 = 1.076 1.076 = 1.550

mm-2 1 mm

X

pie10-55 pie

2

1m m- == 10.76 10.76 pie pie? 2

2

1 pulg pulg-

= 1.356 1.356 J =

2

POTENCIA POTENCIA 2

== 645 .2 mm 645.2 mm-

1 pie pie-2 == 144 144 pulg pulg-2 == 0.0929 0.0929 m?

W = = 1 N N-m/s 1W -mis 1.340 Xx 10-33 hp hp 1.340

VOLUMEN

11 hp

= =

0.7376 pie-Ibis pie-lh/s 0.7376

= =

pie-lh/ss == 1.356 1.356 W 1 pie-Ibi == 6.102 6.102 x

11 mm mm!3

1010-5 pulg pulg!3

== 3.531 3.531 XX

1010-8 pie pie'3

11 m m! == 6.102 6.102 X x 10 10 pulg pulg' == 35.31 35.31 pie pie' 3 3 pulg! == 1.639 1.639 Xx 104 104 mm mm- == 1.639 1.639 Xx 1010-55 m m!3 11 pulg 44

3

3

11 pie pie'

==

3

pie-Ih/ss = 746 W = 550 pie-Ibi

3

PRESiÓN PRESiÓN Pa 11 Pa

N/m 0.0209 Ib/ lb/pie1.451 Xx == 11 N / m2 2 = 0.0209 pie 2 = 1.451

3

0.02832 0.02832 m m!

lh/pulgIb / pulg 2 bar 11 bar

1055 Pa Pa == 10

VELOCIDAD VELOCIDAD

lh/pulg11 Ib/ pulg 2

11 m i s == 3.281 m/s 3.281 pie/s pie/s ,, 1¡km /h = km/h = 0.2778 0.2778 mis m/s

lb/pie11 Ib/ pie

milh 11 m i /h

== 0.6214 0.6214 milh milh = = 0.9113 0.9113 pie/s pie/s (88/60) pie/s pie/s = = 1.609 1.609 km/h km/h = = 0.4470 0.4470 mis m/s == (88/60)

11 nudo nudo

== 11 milla milla náutica/h náutica/h == 0.5144 0.5144 mis m/s ==

2

144 Ib/ lb/pie' 6891 Pa Pa == 144 pie 2 == 6891

6.944 = 6.944

1.689 1.689 pie/ pie/ss


x X

10-3 Ib/ lb/pulg10pulg 2

47.85 Pa Pa == 47.85

10-44 10-


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Mecánica para Ingeniería Dinámica [Anthony Bedford, Wallace Fowler]

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